Algebra · practice ladders ชุดไต่ระดับ · พีชคณิต
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Forming the equation การตั้งสมการ
A shop sold a number of identical school shirts for a total of 1800 baht. The price of each shirt was $x$ baht. In a sale the shop reduced the price of each shirt by 15 baht. For the same total of 1800 baht the shop could have sold 4 more shirts.
Show that $x^{2}-15x-6750=0$.
ร้านค้าขายเสื้อนักเรียนแบบเดียวกันจำนวนหนึ่ง ได้เงินรวม 1800 บาท ราคาเสื้อตัวละ $x$ บาท ต่อมาร้านลดราคาเสื้อลงตัวละ 15 บาท ด้วยเงินรวมเท่าเดิมคือ 1800 บาท ร้านจะขายเสื้อได้มากขึ้นอีก 4 ตัว
จงแสดงว่า $x^{2}-15x-6750=0$
A shop takes 1800 baht selling shirts at 90 baht each. How many shirts did it sell?
ร้านค้าได้เงิน 1800 บาท จากการขายเสื้อตัวละ 90 บาท ขายเสื้อไปกี่ตัว
Answershow ▾
Number is total divided by price. Hold on to that shape.จำนวน = ยอดรวม หารด้วย ราคา · จำรูปแบบนี้ไว้
The total is still 1800 baht and each shirt costs $x$ baht. Write the number of shirts in terms of $x$.
ยอดรวมยังเป็น 1800 บาท และเสื้อตัวละ $x$ บาท จงเขียนจำนวนเสื้อในรูปของ $x$
Answershow ▾
Exactly question 1 with $x$ where the $90$ was.เหมือนข้อ 1 ทุกอย่าง แค่เปลี่ยน $90$ เป็น $x$
Simplify $x(x-15)\times\dfrac{1800}{x}$.
จงทำให้ง่ายขึ้น $x(x-15)\times\dfrac{1800}{x}$
Answershow ▾
The $x$ on the top cancels the $x$ on the bottom, and $(x-15)$ is left untouched.$x$ ข้างบนตัดกับ $x$ ข้างล่าง เหลือ $(x-15)$ ไว้เหมือนเดิม
The question talks about money, but three quantities are moving, not two. Name all three, say which two the question hands you, and say which one it never gives a letter to.
โจทย์พูดถึงเงิน แต่มีปริมาณที่เปลี่ยนอยู่สามอย่าง ไม่ใช่สอง จงบอกทั้งสามอย่าง บอกว่าโจทย์ให้มาแล้วสองอย่างไหน และอย่างไหนที่โจทย์ไม่เคยตั้งตัวอักษรให้
Answershow ▾
The price is $x$ and the total is 1800 and never changes. The third quantity is doing all the work: the equation you are asked to show is entirely about how many shirts there are, and the question never says how many, never gives it a letter and never asks for it. A student who writes down only the letters they were handed has nothing to build an equation out of. The first M1 needs $\dfrac{1800}{x}$ on the page; deciding that such a thing exists earns nothing.ราคาคือ $x$ และยอดรวมคือ 1800 ซึ่งไม่เปลี่ยนเลย ส่วนอย่างที่สามคือตัวที่ทำงานทั้งหมด · สมการที่โจทย์ให้แสดงเป็นเรื่องของจำนวนเสื้อล้วนๆ แต่โจทย์ไม่เคยบอกว่ากี่ตัว ไม่เคยตั้งตัวอักษรให้ และไม่เคยถามถึงมันเลย · คนที่เขียนเฉพาะตัวอักษรที่โจทย์ให้มา จะไม่มีอะไรไปตั้งสมการ · M1 แรกต้องเห็น $\dfrac{1800}{x}$ บนกระดาษ ส่วนการคิดออกว่ามีสิ่งนี้อยู่ ไม่มีคะแนน
The shirts cost $x$ baht each and the shop took 1800 baht. Write down $n$, the number of shirts sold.
เสื้อราคาตัวละ $x$ บาท ร้านได้เงิน 1800 บาท จงเขียน $n$ ซึ่งเป็นจำนวนเสื้อที่ขายได้
Answershow ▾
The question never names this, so you name it. That is the first method mark.โจทย์ไม่ได้ตั้งชื่อให้ เราจึงต้องตั้งเอง · นี่คือคะแนนวิธีทำแรก
In the sale each shirt costs 15 baht less. Write the number of shirts the same 1800 baht now buys.
ตอนลดราคา เสื้อถูกลงตัวละ 15 บาท จงเขียนจำนวนเสื้อที่เงิน 1800 บาทเท่าเดิมซื้อได้
Answershow ▾
The 15 comes off the price, which is underneath. $\dfrac{1800}{x}-15$ is the common wrong line.เลข 15 ลดจากราคา ซึ่งอยู่ในตัวส่วน · $\dfrac{1800}{x}-15$ คือบรรทัดที่ผิดบ่อย
You have two numbers of shirts, $\dfrac{1800}{x}$ and $\dfrac{1800}{x-15}$, and the question says the shop could have sold 4 more. Decide which of the two is the bigger one, and write the equation the wrong choice would give you.
ตอนนี้มีจำนวนเสื้อสองค่า คือ $\dfrac{1800}{x}$ กับ $\dfrac{1800}{x-15}$ และโจทย์บอกว่าร้านจะขายได้มากขึ้นอีก 4 ตัว จงตัดสินว่าค่าไหนมากกว่า และเขียนสมการที่จะได้ถ้าเลือกผิด
Answershow ▾
Cheaper shirts means more shirts for the same money, so the $+4$ goes on the sale side. Put it on the other side and every line below is neat, correct algebra that ends at $x^{2}-15x+6750=0$ — and the question told you the answer has a minus. One sign, no mark, and all four marks turn on it: a “show that” question gives you the answer precisely so that you can catch this.เสื้อถูกลงแปลว่าซื้อได้มากขึ้นด้วยเงินเท่าเดิม ดังนั้น $+4$ ต้องอยู่ฝั่งลดราคา · ถ้าใส่ผิดฝั่ง ทุกบรรทัดข้างล่างจะเป็นพีชคณิตที่เรียบร้อยและถูกต้อง แต่จบที่ $x^{2}-15x+6750=0$ ทั้งที่โจทย์บอกแล้วว่าคำตอบมีเครื่องหมายลบ · เครื่องหมายเดียว ไม่มีคะแนน แต่ชี้ขาดทั้งสี่คะแนน · โจทย์แบบ “จงแสดงว่า” ให้คำตอบมาก็เพื่อให้จับข้อนี้ได้
Put the two rows together into one equation.
จงนำสองแถวมารวมเป็นสมการเดียว
Answershow ▾
Two fractions and a 4. Everything after this is tidying up.เศษส่วนสองตัวกับเลข 4 · หลังจากนี้เหลือแค่การจัดรูป
You must clear both denominators in one move. Pick what you multiply the whole equation by, and say what is left over if you pick either of the other two.
(A) $x$ (B) $x-15$ (C) $x(x-15)$
ต้องตัดตัวส่วนทั้งสองในครั้งเดียว จงเลือกว่าจะคูณทั้งสมการด้วยอะไร และบอกว่าถ้าเลือกอีกสองข้อจะเหลืออะไรค้างอยู่
(A) $x$ (B) $x-15$ (C) $x(x-15)$
Answershow ▾
Multiplying by $x$ clears the right-hand fraction and leaves $\dfrac{1800x}{x-15}$ on the left; multiplying by $x-15$ does the mirror image. Either way you still have a fraction, and the next line is usually wrong. The product of the two denominators clears both at once. The third M1 is for the cleared equation; choosing the multiplier is the step that decides whether you ever reach it.ถ้าคูณด้วย $x$ จะตัดเศษส่วนข้างขวาได้ แต่ข้างซ้ายเหลือ $\dfrac{1800x}{x-15}$ · ถ้าคูณด้วย $x-15$ ก็เป็นภาพสะท้อนกัน · ทั้งสองทางยังมีเศษส่วนเหลืออยู่ และบรรทัดถัดไปมักจะผิด · ผลคูณของตัวส่วนทั้งสองตัดได้พร้อมกันในครั้งเดียว · M1 ที่สามให้กับสมการที่ตัดตัวส่วนแล้ว ส่วนการเลือกตัวคูณคือขั้นที่ตัดสินว่าจะไปถึงหรือไม่
Multiply $\dfrac{1800}{x-15} = \dfrac{1800}{x} + 4$ through by $x(x-15)$.
จงคูณ $\dfrac{1800}{x-15} = \dfrac{1800}{x} + 4$ ตลอดด้วย $x(x-15)$
Answershow ▾
Every one of the three terms is multiplied, including the plain $4$.ทั้งสามพจน์ต้องถูกคูณ รวมถึงเลข $4$ ที่ไม่มีเศษส่วนด้วย
Expand $1800x = 1800(x-15)+4x(x-15)$ and tidy it to the form asked for.
จงกระจาย $1800x = 1800(x-15)+4x(x-15)$ แล้วจัดรูปให้ตรงกับที่โจทย์ต้องการ
Answershow ▾
The $1800x$ on each side cancels, and then everything divides by $4$.$1800x$ ทั้งสองข้างตัดกัน แล้วทุกพจน์หารด้วย $4$ ได้
A shop sold identical pens for a total of 300 baht. Each pen cost $x$ baht. If each pen had been 5 baht cheaper, the same 300 baht would have bought 2 more pens.
Show that $x^{2}-5x-750=0$.
ร้านค้าขายปากกาแบบเดียวกัน ได้เงินรวม 300 บาท ปากกาด้ามละ $x$ บาท ถ้าปากกาถูกลงด้ามละ 5 บาท เงิน 300 บาทเท่าเดิมจะซื้อได้มากขึ้นอีก 2 ด้าม
จงแสดงว่า $x^{2}-5x-750=0$
Answershow ▾
The same five lines with smaller numbers, and this one factorises.ห้าบรรทัดเดิม ตัวเลขเล็กลง และข้อนี้แยกตัวประกอบได้
A shop sold a number of identical school shirts for a total of 1800 baht. The price of each shirt was $x$ baht. In a sale the shop reduced the price of each shirt by 15 baht. For the same total of 1800 baht the shop could have sold 4 more shirts.
Show that $x^{2}-15x-6750=0$.
ร้านค้าขายเสื้อนักเรียนแบบเดียวกันจำนวนหนึ่ง ได้เงินรวม 1800 บาท ราคาเสื้อตัวละ $x$ บาท ต่อมาร้านลดราคาเสื้อลงตัวละ 15 บาท ด้วยเงินรวมเท่าเดิมคือ 1800 บาท ร้านจะขายเสื้อได้มากขึ้นอีก 4 ตัว
จงแสดงว่า $x^{2}-15x-6750=0$
Answershow ▾
4 marks. The algebra was never the hard part; naming the third quantity was.4 คะแนน · พีชคณิตไม่ใช่ส่วนที่ยาก · ส่วนที่ยากคือการตั้งชื่อปริมาณที่สาม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Every mark is for algebra. Nothing pays for inventing the quantity the question never names.
A rectangle that turns into a quadratic สี่เหลี่ยมที่กลายเป็นสมการกำลังสอง
The diagram shows a rectangle. The length of the rectangle is $x$ cm and the width of the rectangle is $(2x-7)$ cm. The area of the rectangle is $15$ cm$^{2}$.
(a) Show that $2x^{2}-7x-15=0$.
(b) Solve $2x^{2}-7x-15=0$ and hence work out the perimeter of the rectangle.
รูปแสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านยาว $x$ ซม. ด้านกว้าง $(2x-7)$ ซม. และพื้นที่เท่ากับ $15$ ซม.$^{2}$
(ก) จงแสดงว่า $2x^{2}-7x-15=0$
(ข) จงแก้สมการ $2x^{2}-7x-15=0$ แล้วหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม
Expand $x(2x-7)$.
จงกระจาย $x(2x-7)$
Answershow ▾
$x$ multiplies both terms inside, so the first one becomes $x^{2}$.$x$ คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บ พจน์แรกจึงกลายเป็น $x^{2}$
Solve $(2x+3)(x-5)=0$.
จงแก้สมการ $(2x+3)(x-5)=0$
Answershow ▾
A product is zero when one of the brackets is zero. Two brackets, two answers.ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์ · สองวงเล็บ สองคำตอบ
A rectangle is $5$ cm by $3$ cm. Work out its perimeter.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $5$ ซม. คูณ $3$ ซม. จงหาเส้นรอบรูป
Answershow ▾
All four sides, so each length is used twice.ครบทั้งสี่ด้าน ความยาวแต่ละด้านจึงถูกใช้สองครั้ง
The sides are $x$ and $(2x-7)$ and the area is $15$. Pick the expression that is the area, and name what each of the other two is.
(A) $x + (2x-7)$ (B) $x(2x-7)$ (C) $2\big(x + (2x-7)\big)$
ด้านทั้งสองคือ $x$ กับ $(2x-7)$ และพื้นที่เท่ากับ $15$ จงเลือกนิพจน์ที่เป็นพื้นที่ และบอกว่าอีกสองอันคืออะไร
(A) $x + (2x-7)$ (B) $x(2x-7)$ (C) $2\big(x + (2x-7)\big)$
Answershow ▾
Area multiplies the two sides; perimeter adds them. They look alike on the page and the exam gives you only the word “area” to tell them apart. Choose (A) or (C) and you get a linear equation that solves cleanly and can never become $2x^{2}-7x-15=0$. The first M1 is for $x(2x-7)=15$; nothing pays for reading which of the two words the question used.พื้นที่คือการคูณสองด้าน ส่วนเส้นรอบรูปคือการบวก · บนกระดาษหน้าตาคล้ายกัน และข้อสอบให้แค่คำว่า “พื้นที่” มาแยกความต่าง · ถ้าเลือก (A) หรือ (C) จะได้สมการเชิงเส้นที่แก้ได้สวยงาม แต่ไม่มีทางกลายเป็น $2x^{2}-7x-15=0$ · M1 แรกให้กับ $x(2x-7)=15$ ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านว่าโจทย์ใช้คำไหน
The area of the rectangle is $15$ cm$^{2}$. Show that $2x^{2}-7x-15=0$.
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเท่ากับ $15$ ซม.$^{2}$ จงแสดงว่า $2x^{2}-7x-15=0$
Answershow ▾
Part (a). Multiply the sides, expand, and move the $15$ across.ข้อ (ก) · คูณสองด้าน กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $15$ ข้ามไป
Factorise $2x^{2}-7x-15$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}-7x-15$
Answershow ▾
Check by expanding: the middle term must come out as $-7x$.ตรวจโดยกระจายกลับ พจน์กลางต้องออกมาเป็น $-7x$
Solve $(2x+3)(x-5)=0$.
จงแก้สมการ $(2x+3)(x-5)=0$
Answershow ▾
Two roots. The next step decides what to do with them.ได้สองคำตอบ · ขั้นถัดไปคือการตัดสินใจว่าจะทำอย่างไรกับทั้งสองค่า
You have $x = -1.5$ and $x = 5$. Produce the two side lengths that each root gives, and then say which root the question allows and why.
ได้ $x = -1.5$ กับ $x = 5$ จงหาความยาวด้านทั้งสองที่แต่ละคำตอบให้ แล้วบอกว่าโจทย์ยอมรับคำตอบไหน และเพราะอะไร
Answershow ▾
$x$ is a length in centimetres, so it cannot be negative, and $2x-7$ has to be positive too. Both conditions kill $-1.5$. Solving a quadratic in a shape question always produces a root that the shape does not allow, and the mark scheme simply prints $x = 5$ — the A1 already assumes the other root was thrown away, so a script that leaves both roots in has not earned it.$x$ คือความยาวหน่วยเซนติเมตร จึงติดลบไม่ได้ และ $2x-7$ ก็ต้องเป็นบวกด้วย · ทั้งสองเงื่อนไขตัด $-1.5$ ทิ้ง · การแก้สมการกำลังสองในโจทย์รูปทรงจะให้คำตอบที่รูปทรงรับไม่ได้เสมอ และเฉลยพิมพ์แค่ $x = 5$ · A1 ถือว่าตัดอีกคำตอบทิ้งไปแล้ว กระดาษที่ทิ้งคำตอบไว้ทั้งสองค่าจึงยังไม่ได้คะแนนนั้น
Take $x = 5$. Work out the length and the width of the rectangle.
ให้ $x = 5$ จงหาด้านยาวและด้านกว้างของสี่เหลี่ยม
Answershow ▾
Check: $5 \times 3 = 15$, which is the area the question gave.ตรวจ: $5 \times 3 = 15$ ซึ่งคือพื้นที่ที่โจทย์ให้มา
The two sides are $5$ cm and $3$ cm. Part (b) ends “hence work out the perimeter”. Pick the perimeter from $8$, $15$ and $16$, and name what the other two numbers are.
ด้านทั้งสองคือ $5$ ซม. กับ $3$ ซม. ข้อ (ข) ลงท้ายว่า “แล้วหาเส้นรอบรูป” จงเลือกเส้นรอบรูปจาก $8$, $15$ และ $16$ และบอกว่าอีกสองตัวคืออะไร
Answershow ▾
A rectangle has four sides, so each length is counted twice: $8$ is only half way round. $15$ is the area, and it is already printed in the question, which is exactly why it is so easy to write down by mistake. The final A1 is for the number $16$ — every step before it can be perfect and still end at $8$.สี่เหลี่ยมมีสี่ด้าน ความยาวแต่ละด้านจึงถูกนับสองครั้ง · $8$ คือเดินได้แค่ครึ่งรอบ · $15$ คือพื้นที่ ซึ่งพิมพ์อยู่ในโจทย์อยู่แล้ว จึงเผลอลอกลงมาได้ง่ายมาก · A1 สุดท้ายให้กับเลข $16$ · ทุกขั้นก่อนหน้าอาจถูกหมดแล้วยังจบที่ $8$ ได้
Solve $2x^{2}-7x-15=0$ and hence work out the perimeter of the rectangle.
จงแก้สมการ $2x^{2}-7x-15=0$ แล้วหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม
Answershow ▾
Part (b), three marks: the factorising, the root you keep, and the perimeter.ข้อ (ข) สามคะแนน คือการแยกตัวประกอบ คำตอบที่เก็บไว้ และเส้นรอบรูป
A rectangle has length $x$ cm and width $(x+2)$ cm. Its area is $24$ cm$^{2}$.
(a) Show that $x^{2}+2x-24=0$. (b) Solve it and work out the perimeter.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านยาว $x$ ซม. ด้านกว้าง $(x+2)$ ซม. และพื้นที่ $24$ ซม.$^{2}$
(ก) จงแสดงว่า $x^{2}+2x-24=0$ (ข) จงแก้สมการแล้วหาเส้นรอบรูป
Answershow ▾
$x = -6$ is rejected for the same reason as before.$x = -6$ ถูกตัดทิ้งด้วยเหตุผลเดียวกับข้อก่อนหน้า
The diagram shows a rectangle. The length of the rectangle is $x$ cm and the width of the rectangle is $(2x-7)$ cm. The area of the rectangle is $15$ cm$^{2}$.
(a) Show that $2x^{2}-7x-15=0$.
(b) Solve $2x^{2}-7x-15=0$ and hence work out the perimeter of the rectangle.
รูปแสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านยาว $x$ ซม. ด้านกว้าง $(2x-7)$ ซม. และพื้นที่เท่ากับ $15$ ซม.$^{2}$
(ก) จงแสดงว่า $2x^{2}-7x-15=0$
(ข) จงแก้สมการ $2x^{2}-7x-15=0$ แล้วหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม
Answershow ▾
5 marks. Two of them turn on words: area, and perimeter.5 คะแนน · สองคะแนนขึ้นอยู่กับคำ คือ พื้นที่ กับ เส้นรอบรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $(2x+3)(x-5)=0$ A1 $x = 5$ (rejecting $x = -1.5$) A1 perimeter $= 16$ cm.
The A1 assumes the negative root is gone. No mark is written for throwing it away.