Algebra · practice ladders ชุดไต่ระดับ · พีชคณิต
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Forming the equation การตั้งสมการ
A shop sold a number of identical school shirts for a total of 1800 baht. The price of each shirt was $x$ baht. In a sale the shop reduced the price of each shirt by 15 baht. For the same total of 1800 baht the shop could have sold 4 more shirts.
Show that $x^{2}-15x-6750=0$.
ร้านค้าขายเสื้อนักเรียนแบบเดียวกันจำนวนหนึ่ง ได้เงินรวม 1800 บาท ราคาเสื้อตัวละ $x$ บาท ต่อมาร้านลดราคาเสื้อลงตัวละ 15 บาท ด้วยเงินรวมเท่าเดิมคือ 1800 บาท ร้านจะขายเสื้อได้มากขึ้นอีก 4 ตัว
จงแสดงว่า $x^{2}-15x-6750=0$
A shop takes 1800 baht selling shirts at 90 baht each. How many shirts did it sell?
ร้านค้าได้เงิน 1800 บาท จากการขายเสื้อตัวละ 90 บาท ขายเสื้อไปกี่ตัว
Answershow ▾
Number is total divided by price. Hold on to that shape.จำนวน = ยอดรวม หารด้วย ราคา · จำรูปแบบนี้ไว้
The total is still 1800 baht and each shirt costs $x$ baht. Write the number of shirts in terms of $x$.
ยอดรวมยังเป็น 1800 บาท และเสื้อตัวละ $x$ บาท จงเขียนจำนวนเสื้อในรูปของ $x$
Answershow ▾
Exactly question 1 with $x$ where the $90$ was.เหมือนข้อ 1 ทุกอย่าง แค่เปลี่ยน $90$ เป็น $x$
Simplify $x(x-15)\times\dfrac{1800}{x}$.
จงทำให้ง่ายขึ้น $x(x-15)\times\dfrac{1800}{x}$
Answershow ▾
The $x$ on the top cancels the $x$ on the bottom, and $(x-15)$ is left untouched.$x$ ข้างบนตัดกับ $x$ ข้างล่าง เหลือ $(x-15)$ ไว้เหมือนเดิม
The question talks about money, but three quantities are moving, not two. Name all three, say which two the question hands you, and say which one it never gives a letter to.
โจทย์พูดถึงเงิน แต่มีปริมาณที่เปลี่ยนอยู่สามอย่าง ไม่ใช่สอง จงบอกทั้งสามอย่าง บอกว่าโจทย์ให้มาแล้วสองอย่างไหน และอย่างไหนที่โจทย์ไม่เคยตั้งตัวอักษรให้
Answershow ▾
The price is $x$ and the total is 1800 and never changes. The third quantity is doing all the work: the equation you are asked to show is entirely about how many shirts there are, and the question never says how many, never gives it a letter and never asks for it. A student who writes down only the letters they were handed has nothing to build an equation out of. The first M1 needs $\dfrac{1800}{x}$ on the page; deciding that such a thing exists earns nothing.ราคาคือ $x$ และยอดรวมคือ 1800 ซึ่งไม่เปลี่ยนเลย ส่วนอย่างที่สามคือตัวที่ทำงานทั้งหมด · สมการที่โจทย์ให้แสดงเป็นเรื่องของจำนวนเสื้อล้วนๆ แต่โจทย์ไม่เคยบอกว่ากี่ตัว ไม่เคยตั้งตัวอักษรให้ และไม่เคยถามถึงมันเลย · คนที่เขียนเฉพาะตัวอักษรที่โจทย์ให้มา จะไม่มีอะไรไปตั้งสมการ · M1 แรกต้องเห็น $\dfrac{1800}{x}$ บนกระดาษ ส่วนการคิดออกว่ามีสิ่งนี้อยู่ ไม่มีคะแนน
The shirts cost $x$ baht each and the shop took 1800 baht. Write down $n$, the number of shirts sold.
เสื้อราคาตัวละ $x$ บาท ร้านได้เงิน 1800 บาท จงเขียน $n$ ซึ่งเป็นจำนวนเสื้อที่ขายได้
Answershow ▾
The question never names this, so you name it. That is the first method mark.โจทย์ไม่ได้ตั้งชื่อให้ เราจึงต้องตั้งเอง · นี่คือคะแนนวิธีทำแรก
In the sale each shirt costs 15 baht less. Write the number of shirts the same 1800 baht now buys.
ตอนลดราคา เสื้อถูกลงตัวละ 15 บาท จงเขียนจำนวนเสื้อที่เงิน 1800 บาทเท่าเดิมซื้อได้
Answershow ▾
The 15 comes off the price, which is underneath. $\dfrac{1800}{x}-15$ is the common wrong line.เลข 15 ลดจากราคา ซึ่งอยู่ในตัวส่วน · $\dfrac{1800}{x}-15$ คือบรรทัดที่ผิดบ่อย
You have two numbers of shirts, $\dfrac{1800}{x}$ and $\dfrac{1800}{x-15}$, and the question says the shop could have sold 4 more. Decide which of the two is the bigger one, and write the equation the wrong choice would give you.
ตอนนี้มีจำนวนเสื้อสองค่า คือ $\dfrac{1800}{x}$ กับ $\dfrac{1800}{x-15}$ และโจทย์บอกว่าร้านจะขายได้มากขึ้นอีก 4 ตัว จงตัดสินว่าค่าไหนมากกว่า และเขียนสมการที่จะได้ถ้าเลือกผิด
Answershow ▾
Cheaper shirts means more shirts for the same money, so the $+4$ goes on the sale side. Put it on the other side and every line below is neat, correct algebra that ends at $x^{2}-15x+6750=0$ — and the question told you the answer has a minus. One sign, no mark, and all four marks turn on it: a “show that” question gives you the answer precisely so that you can catch this.เสื้อถูกลงแปลว่าซื้อได้มากขึ้นด้วยเงินเท่าเดิม ดังนั้น $+4$ ต้องอยู่ฝั่งลดราคา · ถ้าใส่ผิดฝั่ง ทุกบรรทัดข้างล่างจะเป็นพีชคณิตที่เรียบร้อยและถูกต้อง แต่จบที่ $x^{2}-15x+6750=0$ ทั้งที่โจทย์บอกแล้วว่าคำตอบมีเครื่องหมายลบ · เครื่องหมายเดียว ไม่มีคะแนน แต่ชี้ขาดทั้งสี่คะแนน · โจทย์แบบ “จงแสดงว่า” ให้คำตอบมาก็เพื่อให้จับข้อนี้ได้
Put the two rows together into one equation.
จงนำสองแถวมารวมเป็นสมการเดียว
Answershow ▾
Two fractions and a 4. Everything after this is tidying up.เศษส่วนสองตัวกับเลข 4 · หลังจากนี้เหลือแค่การจัดรูป
You must clear both denominators in one move. Pick what you multiply the whole equation by, and say what is left over if you pick either of the other two.
(A) $x$ (B) $x-15$ (C) $x(x-15)$
ต้องตัดตัวส่วนทั้งสองในครั้งเดียว จงเลือกว่าจะคูณทั้งสมการด้วยอะไร และบอกว่าถ้าเลือกอีกสองข้อจะเหลืออะไรค้างอยู่
(A) $x$ (B) $x-15$ (C) $x(x-15)$
Answershow ▾
Multiplying by $x$ clears the right-hand fraction and leaves $\dfrac{1800x}{x-15}$ on the left; multiplying by $x-15$ does the mirror image. Either way you still have a fraction, and the next line is usually wrong. The product of the two denominators clears both at once. The third M1 is for the cleared equation; choosing the multiplier is the step that decides whether you ever reach it.ถ้าคูณด้วย $x$ จะตัดเศษส่วนข้างขวาได้ แต่ข้างซ้ายเหลือ $\dfrac{1800x}{x-15}$ · ถ้าคูณด้วย $x-15$ ก็เป็นภาพสะท้อนกัน · ทั้งสองทางยังมีเศษส่วนเหลืออยู่ และบรรทัดถัดไปมักจะผิด · ผลคูณของตัวส่วนทั้งสองตัดได้พร้อมกันในครั้งเดียว · M1 ที่สามให้กับสมการที่ตัดตัวส่วนแล้ว ส่วนการเลือกตัวคูณคือขั้นที่ตัดสินว่าจะไปถึงหรือไม่
Multiply $\dfrac{1800}{x-15} = \dfrac{1800}{x} + 4$ through by $x(x-15)$.
จงคูณ $\dfrac{1800}{x-15} = \dfrac{1800}{x} + 4$ ตลอดด้วย $x(x-15)$
Answershow ▾
Every one of the three terms is multiplied, including the plain $4$.ทั้งสามพจน์ต้องถูกคูณ รวมถึงเลข $4$ ที่ไม่มีเศษส่วนด้วย
Expand $1800x = 1800(x-15)+4x(x-15)$ and tidy it to the form asked for.
จงกระจาย $1800x = 1800(x-15)+4x(x-15)$ แล้วจัดรูปให้ตรงกับที่โจทย์ต้องการ
Answershow ▾
The $1800x$ on each side cancels, and then everything divides by $4$.$1800x$ ทั้งสองข้างตัดกัน แล้วทุกพจน์หารด้วย $4$ ได้
A shop sold identical pens for a total of 300 baht. Each pen cost $x$ baht. If each pen had been 5 baht cheaper, the same 300 baht would have bought 2 more pens.
Show that $x^{2}-5x-750=0$.
ร้านค้าขายปากกาแบบเดียวกัน ได้เงินรวม 300 บาท ปากกาด้ามละ $x$ บาท ถ้าปากกาถูกลงด้ามละ 5 บาท เงิน 300 บาทเท่าเดิมจะซื้อได้มากขึ้นอีก 2 ด้าม
จงแสดงว่า $x^{2}-5x-750=0$
Answershow ▾
The same five lines with smaller numbers, and this one factorises.ห้าบรรทัดเดิม ตัวเลขเล็กลง และข้อนี้แยกตัวประกอบได้
A shop sold a number of identical school shirts for a total of 1800 baht. The price of each shirt was $x$ baht. In a sale the shop reduced the price of each shirt by 15 baht. For the same total of 1800 baht the shop could have sold 4 more shirts.
Show that $x^{2}-15x-6750=0$.
ร้านค้าขายเสื้อนักเรียนแบบเดียวกันจำนวนหนึ่ง ได้เงินรวม 1800 บาท ราคาเสื้อตัวละ $x$ บาท ต่อมาร้านลดราคาเสื้อลงตัวละ 15 บาท ด้วยเงินรวมเท่าเดิมคือ 1800 บาท ร้านจะขายเสื้อได้มากขึ้นอีก 4 ตัว
จงแสดงว่า $x^{2}-15x-6750=0$
Answershow ▾
4 marks. The algebra was never the hard part; naming the third quantity was.4 คะแนน · พีชคณิตไม่ใช่ส่วนที่ยาก · ส่วนที่ยากคือการตั้งชื่อปริมาณที่สาม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Every mark is for algebra. Nothing pays for inventing the quantity the question never names.
A rectangle that turns into a quadratic สี่เหลี่ยมที่กลายเป็นสมการกำลังสอง
The diagram shows a rectangle. The length of the rectangle is $x$ cm and the width of the rectangle is $(2x-7)$ cm. The area of the rectangle is $15$ cm$^{2}$.
(a) Show that $2x^{2}-7x-15=0$.
(b) Solve $2x^{2}-7x-15=0$ and hence work out the perimeter of the rectangle.
รูปแสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านยาว $x$ ซม. ด้านกว้าง $(2x-7)$ ซม. และพื้นที่เท่ากับ $15$ ซม.$^{2}$
(ก) จงแสดงว่า $2x^{2}-7x-15=0$
(ข) จงแก้สมการ $2x^{2}-7x-15=0$ แล้วหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม
Expand $x(2x-7)$.
จงกระจาย $x(2x-7)$
Answershow ▾
$x$ multiplies both terms inside, so the first one becomes $x^{2}$.$x$ คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บ พจน์แรกจึงกลายเป็น $x^{2}$
Solve $(2x+3)(x-5)=0$.
จงแก้สมการ $(2x+3)(x-5)=0$
Answershow ▾
A product is zero when one of the brackets is zero. Two brackets, two answers.ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์ · สองวงเล็บ สองคำตอบ
A rectangle is $5$ cm by $3$ cm. Work out its perimeter.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $5$ ซม. คูณ $3$ ซม. จงหาเส้นรอบรูป
Answershow ▾
All four sides, so each length is used twice.ครบทั้งสี่ด้าน ความยาวแต่ละด้านจึงถูกใช้สองครั้ง
The sides are $x$ and $(2x-7)$ and the area is $15$. Pick the expression that is the area, and name what each of the other two is.
(A) $x + (2x-7)$ (B) $x(2x-7)$ (C) $2\big(x + (2x-7)\big)$
ด้านทั้งสองคือ $x$ กับ $(2x-7)$ และพื้นที่เท่ากับ $15$ จงเลือกนิพจน์ที่เป็นพื้นที่ และบอกว่าอีกสองอันคืออะไร
(A) $x + (2x-7)$ (B) $x(2x-7)$ (C) $2\big(x + (2x-7)\big)$
Answershow ▾
Area multiplies the two sides; perimeter adds them. They look alike on the page and the exam gives you only the word “area” to tell them apart. Choose (A) or (C) and you get a linear equation that solves cleanly and can never become $2x^{2}-7x-15=0$. The first M1 is for $x(2x-7)=15$; nothing pays for reading which of the two words the question used.พื้นที่คือการคูณสองด้าน ส่วนเส้นรอบรูปคือการบวก · บนกระดาษหน้าตาคล้ายกัน และข้อสอบให้แค่คำว่า “พื้นที่” มาแยกความต่าง · ถ้าเลือก (A) หรือ (C) จะได้สมการเชิงเส้นที่แก้ได้สวยงาม แต่ไม่มีทางกลายเป็น $2x^{2}-7x-15=0$ · M1 แรกให้กับ $x(2x-7)=15$ ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านว่าโจทย์ใช้คำไหน
The area of the rectangle is $15$ cm$^{2}$. Show that $2x^{2}-7x-15=0$.
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเท่ากับ $15$ ซม.$^{2}$ จงแสดงว่า $2x^{2}-7x-15=0$
Answershow ▾
Part (a). Multiply the sides, expand, and move the $15$ across.ข้อ (ก) · คูณสองด้าน กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $15$ ข้ามไป
Factorise $2x^{2}-7x-15$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}-7x-15$
Answershow ▾
Check by expanding: the middle term must come out as $-7x$.ตรวจโดยกระจายกลับ พจน์กลางต้องออกมาเป็น $-7x$
Solve $(2x+3)(x-5)=0$.
จงแก้สมการ $(2x+3)(x-5)=0$
Answershow ▾
Two roots. The next step decides what to do with them.ได้สองคำตอบ · ขั้นถัดไปคือการตัดสินใจว่าจะทำอย่างไรกับทั้งสองค่า
You have $x = -1.5$ and $x = 5$. Produce the two side lengths that each root gives, and then say which root the question allows and why.
ได้ $x = -1.5$ กับ $x = 5$ จงหาความยาวด้านทั้งสองที่แต่ละคำตอบให้ แล้วบอกว่าโจทย์ยอมรับคำตอบไหน และเพราะอะไร
Answershow ▾
$x$ is a length in centimetres, so it cannot be negative, and $2x-7$ has to be positive too. Both conditions kill $-1.5$. Solving a quadratic in a shape question always produces a root that the shape does not allow, and the mark scheme simply prints $x = 5$ — the A1 already assumes the other root was thrown away, so a script that leaves both roots in has not earned it.$x$ คือความยาวหน่วยเซนติเมตร จึงติดลบไม่ได้ และ $2x-7$ ก็ต้องเป็นบวกด้วย · ทั้งสองเงื่อนไขตัด $-1.5$ ทิ้ง · การแก้สมการกำลังสองในโจทย์รูปทรงจะให้คำตอบที่รูปทรงรับไม่ได้เสมอ และเฉลยพิมพ์แค่ $x = 5$ · A1 ถือว่าตัดอีกคำตอบทิ้งไปแล้ว กระดาษที่ทิ้งคำตอบไว้ทั้งสองค่าจึงยังไม่ได้คะแนนนั้น
Take $x = 5$. Work out the length and the width of the rectangle.
ให้ $x = 5$ จงหาด้านยาวและด้านกว้างของสี่เหลี่ยม
Answershow ▾
Check: $5 \times 3 = 15$, which is the area the question gave.ตรวจ: $5 \times 3 = 15$ ซึ่งคือพื้นที่ที่โจทย์ให้มา
The two sides are $5$ cm and $3$ cm. Part (b) ends “hence work out the perimeter”. Pick the perimeter from $8$, $15$ and $16$, and name what the other two numbers are.
ด้านทั้งสองคือ $5$ ซม. กับ $3$ ซม. ข้อ (ข) ลงท้ายว่า “แล้วหาเส้นรอบรูป” จงเลือกเส้นรอบรูปจาก $8$, $15$ และ $16$ และบอกว่าอีกสองตัวคืออะไร
Answershow ▾
A rectangle has four sides, so each length is counted twice: $8$ is only half way round. $15$ is the area, and it is already printed in the question, which is exactly why it is so easy to write down by mistake. The final A1 is for the number $16$ — every step before it can be perfect and still end at $8$.สี่เหลี่ยมมีสี่ด้าน ความยาวแต่ละด้านจึงถูกนับสองครั้ง · $8$ คือเดินได้แค่ครึ่งรอบ · $15$ คือพื้นที่ ซึ่งพิมพ์อยู่ในโจทย์อยู่แล้ว จึงเผลอลอกลงมาได้ง่ายมาก · A1 สุดท้ายให้กับเลข $16$ · ทุกขั้นก่อนหน้าอาจถูกหมดแล้วยังจบที่ $8$ ได้
Solve $2x^{2}-7x-15=0$ and hence work out the perimeter of the rectangle.
จงแก้สมการ $2x^{2}-7x-15=0$ แล้วหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม
Answershow ▾
Part (b), three marks: the factorising, the root you keep, and the perimeter.ข้อ (ข) สามคะแนน คือการแยกตัวประกอบ คำตอบที่เก็บไว้ และเส้นรอบรูป
A rectangle has length $x$ cm and width $(x+2)$ cm. Its area is $24$ cm$^{2}$.
(a) Show that $x^{2}+2x-24=0$. (b) Solve it and work out the perimeter.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านยาว $x$ ซม. ด้านกว้าง $(x+2)$ ซม. และพื้นที่ $24$ ซม.$^{2}$
(ก) จงแสดงว่า $x^{2}+2x-24=0$ (ข) จงแก้สมการแล้วหาเส้นรอบรูป
Answershow ▾
$x = -6$ is rejected for the same reason as before.$x = -6$ ถูกตัดทิ้งด้วยเหตุผลเดียวกับข้อก่อนหน้า
The diagram shows a rectangle. The length of the rectangle is $x$ cm and the width of the rectangle is $(2x-7)$ cm. The area of the rectangle is $15$ cm$^{2}$.
(a) Show that $2x^{2}-7x-15=0$.
(b) Solve $2x^{2}-7x-15=0$ and hence work out the perimeter of the rectangle.
รูปแสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านยาว $x$ ซม. ด้านกว้าง $(2x-7)$ ซม. และพื้นที่เท่ากับ $15$ ซม.$^{2}$
(ก) จงแสดงว่า $2x^{2}-7x-15=0$
(ข) จงแก้สมการ $2x^{2}-7x-15=0$ แล้วหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม
Answershow ▾
5 marks. Two of them turn on words: area, and perimeter.5 คะแนน · สองคะแนนขึ้นอยู่กับคำ คือ พื้นที่ กับ เส้นรอบรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $(2x+3)(x-5)=0$ A1 $x = 5$ (rejecting $x = -1.5$) A1 perimeter $= 16$ cm.
The A1 assumes the negative root is gone. No mark is written for throwing it away.
A line that cuts a circle เส้นตรงที่ตัดวงกลม
Solve the simultaneous equations
$y=3-2x$
$x^{2}+y^{2}=18$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$y=3-2x$
$x^{2}+y^{2}=18$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Expand $(3-2x)^{2}$.
จงกระจาย $(3-2x)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Solve $x^{2}-x-6=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}-x-6=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-6$ and add to $-1$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ และบวกกันได้ $-1$
$y=3-2x$. Work out $y$ when $x=-0.6$.
$y=3-2x$ จงหา $y$ เมื่อ $x=-0.6$
Answershow ▾
Minus times minus is plus.ลบคูณลบได้บวก
One equation is a line, one has $x^{2}$ and $y^{2}$. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) put $3-2x$ in place of $y$ in $x^{2}+y^{2}=18$
(C) square both sides of $y=3-2x$
สมการหนึ่งเป็นเส้นตรง อีกสมการมี $x^{2}$ และ $y^{2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการ
(B) แทน $y$ ใน $x^{2}+y^{2}=18$ ด้วย $3-2x$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y=3-2x$
Answershow ▾
Adding does not remove a letter here: $y$ and $y^{2}$ are different. Substituting leaves one letter, $x$. That line is the first M1.การบวกไม่ได้ทำให้ตัวแปรหายไป เพราะ $y$ กับ $y^{2}$ ไม่เหมือนกัน · การแทนค่าทำให้เหลือตัวแปรเดียวคือ $x$ · บรรทัดนี้คือ M1 แรก
Replace $y$ with $3-2x$ in $x^{2}+y^{2}=18$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $3-2x$ ใน $x^{2}+y^{2}=18$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Keep the bracket. The whole of $3-2x$ is squared.ต้องมีวงเล็บ · ยกกำลังสองทั้ง $3-2x$
Show that $x^{2}+(3-2x)^{2}=18$ becomes $5x^{2}-12x-9=0$.
จงแสดงว่า $x^{2}+(3-2x)^{2}=18$ จัดรูปได้เป็น $5x^{2}-12x-9=0$
Answershow ▾
Use question 1 for the bracket, then move the $18$.ใช้ข้อ 1 กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $18$
Solve $5x^{2}-12x-9=0$.
จงแก้สมการ $5x^{2}-12x-9=0$
Answershow ▾
Check by expanding: $(5x+3)(x-3)$ gives $-15x+3x=-12x$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(5x+3)(x-3)$ ได้ $-15x+3x=-12x$
You have $x=3$ and $x=-0.6$. To get $y$, which equation do you use? Try $x=3$ in both and compare.
ได้ $x=3$ กับ $x=-0.6$ จะหา $y$ ต้องใช้สมการไหน ลองแทน $x=3$ ทั้งสองสมการแล้วเทียบกัน
Answershow ▾
$x^{2}+y^{2}=18$ has two $y$ values for each $x$. Only one of them is on the line. The line gives one $y$ per $x$, so it gives the right one.$x^{2}+y^{2}=18$ ให้ค่า $y$ สองค่าต่อ $x$ หนึ่งค่า แต่มีแค่ค่าเดียวที่อยู่บนเส้นตรง · เส้นตรงให้ $y$ ค่าเดียวต่อ $x$ จึงได้ค่าที่ถูก
Use $y=3-2x$ to find $y$ for $x=3$ and for $x=-0.6$. Write both points.
ใช้ $y=3-2x$ หา $y$ เมื่อ $x=3$ และเมื่อ $x=-0.6$ แล้วเขียนทั้งสองจุด
Answershow ▾
Two points: the line crosses the circle twice.ได้สองจุด เพราะเส้นตรงตัดวงกลมสองครั้ง
Check that $(-0.6,\,4.2)$ fits $x^{2}+y^{2}=18$.
จงตรวจว่าจุด $(-0.6,\,4.2)$ เป็นจริงกับ $x^{2}+y^{2}=18$
Answershow ▾
A point that fits both equations is on both graphs.จุดที่เป็นจริงกับทั้งสองสมการ อยู่บนกราฟทั้งสอง
Solve the simultaneous equations $y=x+1$ and $x^{2}+y^{2}=13$.
จงแก้ระบบสมการ $y=x+1$ และ $x^{2}+y^{2}=13$
Answershow ▾
Same four moves: substitute, expand, solve, back into the line.สี่ขั้นเดิม: แทนค่า กระจาย แก้สมการ แทนกลับในเส้นตรง
Solve the simultaneous equations
$y=3-2x$
$x^{2}+y^{2}=18$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$y=3-2x$
$x^{2}+y^{2}=18$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Four are for method, so show every line.5 คะแนน · สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จึงต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 $5x^{2}-12x-9=0$
M1 $(5x+3)(x-3)=0$, so $x=-0.6$ or $x=3$
M1 $y=3-2x$ for each $x$
A1 $(3,-3)$ and $(-0.6,4.2)$.
The A1 needs both points, each $x$ with its own $y$.
Two fractions that turn into a quadratic เศษส่วนสองตัวที่กลายเป็นสมการกำลังสอง
Solve the equation
$\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}+2x}=2$
Show clear algebraic working.
จงแก้สมการ
$\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}+2x}=2$
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
Factorise $x^{2}+2x$.
จงแยกตัวประกอบ $x^{2}+2x$
Answershow ▾
Both terms have an $x$ in them.ทั้งสองพจน์มี $x$ อยู่
Write $\dfrac{5}{x+2}$ as a fraction with denominator $x(x+2)$.
จงเขียน $\dfrac{5}{x+2}$ เป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น $x(x+2)$
Answershow ▾
Multiply the top and the bottom by $x$.คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $x$
Solve $2x^{2}+x-3=0$.
จงแก้สมการ $2x^{2}+x-3=0$
Answershow ▾
Check the middle term: $(2x+3)(x-1)$ gives $-2x+3x=x$.ตรวจพจน์กลาง: $(2x+3)(x-1)$ ได้ $-2x+3x=x$
Pick the common denominator for $\dfrac{5}{x+2}$ and $\dfrac{3}{x^{2}+2x}$.
(A) $(x+2)(x^{2}+2x)$
(B) $x(x+2)$
(C) $x+2$
จงเลือกตัวส่วนร่วมของ $\dfrac{5}{x+2}$ และ $\dfrac{3}{x^{2}+2x}$
(A) $(x+2)(x^{2}+2x)$
(B) $x(x+2)$
(C) $x+2$
Answershow ▾
$x^{2}+2x$ is already $x(x+2)$, so $x(x+2)$ covers both. (A) also works but gives a cubic. (C) does not cover the second fraction.$x^{2}+2x$ ก็คือ $x(x+2)$ อยู่แล้ว $x(x+2)$ จึงครอบคลุมทั้งสองตัว · (A) ใช้ได้แต่จะได้สมการกำลังสาม · (C) ไม่ครอบคลุมเศษส่วนตัวที่สอง
You multiply every term of $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x(x+2)}=2$ by $x(x+2)$. What does the $2$ on the right become?
(A) $2$
(B) $2x$
(C) $2x(x+2)$
คูณทุกพจน์ของ $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x(x+2)}=2$ ด้วย $x(x+2)$ เลข $2$ ทางขวาจะกลายเป็นอะไร
(A) $2$
(B) $2x$
(C) $2x(x+2)$
Answershow ▾
Every term is multiplied, including the one with no fraction. Leaving it as $2$ gives $5x+3=2$, which is not a quadratic.ทุกพจน์ต้องคูณ รวมถึงพจน์ที่ไม่มีเศษส่วน · ถ้าปล่อยเป็น $2$ จะได้ $5x+3=2$ ซึ่งไม่ใช่สมการกำลังสอง
Multiply every term of $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x(x+2)}=2$ by $x(x+2)$.
คูณทุกพจน์ของ $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x(x+2)}=2$ ด้วย $x(x+2)$
Answershow ▾
$(x+2)$ cancels in the first term. $x(x+2)$ cancels in the second.พจน์แรกตัด $(x+2)$ ได้ · พจน์ที่สองตัด $x(x+2)$ ได้
Show that $5x+3=2x(x+2)$ gives $2x^{2}-x-3=0$.
จงแสดงว่า $5x+3=2x(x+2)$ จัดรูปได้เป็น $2x^{2}-x-3=0$
Answershow ▾
Expand, then move everything to the side with $x^{2}$.กระจายวงเล็บ แล้วย้ายทุกอย่างไปข้างที่มี $x^{2}$
Solve $2x^{2}-x-3=0$.
จงแก้สมการ $2x^{2}-x-3=0$
Answershow ▾
Check: $(2x-3)(x+1)$ gives $2x-3x=-x$.ตรวจ: $(2x-3)(x+1)$ ได้ $2x-3x=-x$
A value of $x$ that makes a denominator zero cannot be an answer. Which values are banned here? Do you lose $x=\dfrac32$ or $x=-1$?
ค่า $x$ ที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์เป็นคำตอบไม่ได้ ค่าไหนบ้างที่ห้ามใช้ในข้อนี้ แล้วต้องทิ้ง $x=\dfrac32$ หรือ $x=-1$ ไหม
Answershow ▾
The denominators are $x+2$ and $x(x+2)$. Neither answer makes them zero, so both stay. The mark scheme wants both values.ตัวส่วนคือ $x+2$ และ $x(x+2)$ · คำตอบทั้งสองไม่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ จึงเก็บไว้ทั้งคู่ · เฉลยต้องการทั้งสองค่า
Put $x=-1$ into $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}+2x}$. Do you get $2$?
แทน $x=-1$ ใน $\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}+2x}$ ได้ $2$ ไหม
Answershow ▾
Checking takes one line and catches a sign slip.การตรวจใช้แค่บรรทัดเดียว และจับเครื่องหมายผิดได้
Solve $\dfrac{4}{x}=x-3$.
จงแก้สมการ $\dfrac{4}{x}=x-3$
Answershow ▾
Multiply both sides by $x$. The right side becomes $x(x-3)$.คูณทั้งสองข้างด้วย $x$ · ข้างขวากลายเป็น $x(x-3)$
Solve $\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{2}{x^{2}+x}=3$.
จงแก้สมการ $\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{2}{x^{2}+x}=3$
Answershow ▾
Same moves: factorise, common denominator, clear, solve.ขั้นเดิม: แยกตัวประกอบ หาตัวส่วนร่วม กำจัดเศษส่วน แก้สมการ
Solve the equation
$\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}+2x}=2$
Show clear algebraic working.
จงแก้สมการ
$\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{3}{x^{2}+2x}=2$
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Write the common denominator line: it is a mark.5 คะแนน · เขียนบรรทัดตัวส่วนร่วมด้วย เพราะมีคะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 common denominator $x(x+2)$
M1 $5x+3=2x(x+2)$
M1 $2x^{2}-x-3=0$
A1 $(2x-3)(x+1)=0$, so $x=\dfrac32$ or $x=-1$.
Four of the five marks are for method.
A curve that touches the axis เส้นโค้งที่แตะแกน
A curve $\mathbf{C}$ has equation $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$
The curve $\mathbf{C}$ has two turning points.
(b) Work out the $x$ coordinates of the two turning points.
(c) Show that the $x$-axis is a tangent to the curve $\mathbf{C}$.
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีสมการ $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีจุดวกกลับสองจุด
(ข) จงหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับทั้งสองจุด
(ค) จงแสดงว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $\mathbf{C}$
$y = x^{3}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y = x^{3}$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
The power $3$ comes down in front, and the power drops by one.เลขชี้กำลัง $3$ ลงมาคูณข้างหน้า แล้วเลขชี้กำลังลดลงหนึ่ง
$y = x^{2} - 8x + 12$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y = x^{2} - 8x + 12$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
A number on its own has gradient $0$, so the $12$ goes.ตัวเลขโดด ๆ มีความชัน $0$ เลข $12$ จึงหายไป
$y = x^{2} - 8x + 12$. At which $x$ is the gradient $0$?
$y = x^{2} - 8x + 12$ ความชันเป็น $0$ ที่ $x$ เท่าไร
Answershow ▾
Put $\dfrac{dy}{dx}$ equal to $0$ and solve.ตั้ง $\dfrac{dy}{dx}$ ให้เท่ากับ $0$ แล้วแก้สมการ
One script writes $\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2} - 2x - 8 + 12$ for $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$. Name the mistake.
กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2} - 2x - 8 + 12$ สำหรับ $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$ จงบอกว่าผิดตรงไหน
Answershow ▾
A number on its own differentiates to $0$. The B2 is for $3x^{2} - 2x - 8$ only.ตัวเลขโดด ๆ ดิฟแล้วได้ $0$ · B2 ให้เฉพาะ $3x^{2} - 2x - 8$ เท่านั้น
$y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Part (a), two marks: one term right is B1, all three is B2.ข้อ (ก) สองคะแนน: ถูกหนึ่งพจน์ได้ B1 ถูกครบสามพจน์ได้ B2
Factorise $3x^{2} - 2x - 8$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2} - 2x - 8$
Answershow ▾
Find two numbers that multiply to $-24$ and add to $-2$: $-6$ and $4$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-24$ และบวกกันได้ $-2$: คือ $-6$ กับ $4$
Solve $(3x + 4)(x - 2) = 0$.
จงแก้สมการ $(3x + 4)(x - 2) = 0$
Answershow ▾
Each bracket can be $0$, so there are two answers.แต่ละวงเล็บเป็น $0$ ได้ จึงได้สองคำตอบ
Part (b) asks for the turning points. One script solves $y = 0$, another solves $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Which is right?
ข้อ (ข) ถามหาจุดวกกลับ กระดาษแผ่นหนึ่งแก้ $y = 0$ อีกแผ่นแก้ $\dfrac{dy}{dx} = 0$ แผ่นไหนถูก
Answershow ▾
A turning point is where the curve is flat, so the gradient is $0$. $y = 0$ finds where the curve meets the $x$-axis.จุดวกกลับคือตรงที่เส้นโค้งแบนราบ ความชันจึงเป็น $0$ · ส่วน $y = 0$ คือจุดที่เส้นโค้งพบแกน $x$
Find $y$ when $x = 2$ on $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$.
จงหา $y$ เมื่อ $x = 2$ บน $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
Answershow ▾
Put $x = 2$ into $y$, not into $\dfrac{dy}{dx}$.แทน $x = 2$ ลงใน $y$ ไม่ใช่ลงใน $\dfrac{dy}{dx}$
Part (c): a script finds $y = 0$ at $x = 2$ and stops. What is missing?
ข้อ (ค): กระดาษแผ่นหนึ่งหา $y = 0$ ที่ $x = 2$ แล้วหยุด ขาดอะไรไป
Answershow ▾
On the axis AND flat at the same point, so the axis touches the curve there. The A1 needs that said in words.อยู่บนแกน และแบนราบ ที่จุดเดียวกัน แกนจึงแตะเส้นโค้งตรงนั้น · A1 ต้องเขียนข้อสรุปนี้เป็นคำ
$y = x^{3} - 3x + 2$. Find the $x$ coordinates of the turning points, and show that the $x$-axis is a tangent to the curve.
$y = x^{3} - 3x + 2$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับ และแสดงว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง
Answershow ▾
The same three steps: differentiate, set to $0$, then put the $x$ back into $y$.สามขั้นเดิม: ดิฟ ตั้งให้เท่ากับ $0$ แล้วแทน $x$ กลับลงใน $y$
$y = x^{3} - 12x + 16$. Find both turning points, and say which one lies on the $x$-axis.
$y = x^{3} - 12x + 16$ จงหาจุดวกกลับทั้งสองจุด และบอกว่าจุดไหนอยู่บนแกน $x$
Answershow ▾
Only the turning point with $y = 0$ touches the axis.มีเพียงจุดวกกลับที่ $y = 0$ เท่านั้นที่แตะแกน
A curve $\mathbf{C}$ has equation $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$
The curve $\mathbf{C}$ has two turning points.
(b) Work out the $x$ coordinates of the two turning points.
(c) Show that the $x$-axis is a tangent to the curve $\mathbf{C}$.
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีสมการ $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีจุดวกกลับสองจุด
(ข) จงหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับทั้งสองจุด
(ค) จงแสดงว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $\mathbf{C}$
Answershow ▾
7 marks. Two for $\dfrac{dy}{dx}$, three for the turning points, two for $(2, 0)$ with the sentence.7 คะแนน · สองคะแนนสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}$ สามคะแนนสำหรับจุดวกกลับ และสองคะแนนสำหรับ $(2, 0)$ พร้อมประโยคสรุป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $3x^{2} - 2x - 8 = 0$ M1 $(3x + 4)(x - 2) = 0$ or the formula A1 $-\tfrac{4}{3}$, $2$
(c) M1 substitutes $-\tfrac{4}{3}$ or $2$ into $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$ A1 shows $(2, 0)$ is a turning point on the curve, with a concluding statement.
Source: Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Paper 1HR, January 2019, Question 13, paper reference P59022A. Question © Pearson Education Ltd.
Expand one bracket, collect both sides กระจายวงเล็บเดียว แล้วย้าย x ทั้งสองข้าง
Solve $3(2-4x) = 5-8x$. Show clear algebraic working.
จงแก้สมการ $3(2-4x) = 5-8x$
Expand $3(2-4x)$.
จงกระจาย $3(2-4x)$
Answershow ▾
Multiply both terms inside by 3. The negative sign travels with the $4x$.คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย 3 · เครื่องหมายลบติดไปกับ $4x$
Simplify $12x-8x$.
จงทำให้ง่าย $12x-8x$
Answershow ▾
Both terms have $x$, so subtract the numbers in front: $12-8=4$.ทั้งสองพจน์มี $x$ จึงลบตัวเลขหน้า $x$: $12-8=4$
$6-12x=5-8x$ has $x$ on both sides. Move the numbers to the left and the $x$ terms to the right. Write the result as $a=bx$.
$6-12x=5-8x$ มี $x$ อยู่ทั้งสองข้าง จงย้ายตัวเลขไปด้านซ้ายและพจน์ $x$ ไปด้านขวา เขียนผลลัพธ์ในรูป $a=bx$
Answershow ▾
Add $12x$ to both sides, then subtract 5 from both sides.บวก $12x$ ทั้งสองข้าง แล้วลบ 5 ทั้งสองข้าง
What is $3(2-4x)$ expanded correctly?
(A) $6-12x$
(B) $2-4x$
(C) $6-4x$
$3(2-4x)$ กระจายอย่างถูกต้องได้เท่าไร
(A) $6-12x$
(B) $2-4x$
(C) $6-4x$
Answershow ▾
(B) drops the 3 completely, giving a different expression. (C) multiplies only the first term by 3 and forgets the 3 on $-4x$. The 3 must multiply every term inside.(B) ตัดเลข 3 ออกไปทั้งหมด ได้นิพจน์ที่ไม่เท่ากัน · (C) คูณ 3 เฉพาะพจน์แรก ลืมคูณพจน์ $-4x$ · 3 ต้องคูณทุกพจน์ในวงเล็บ
Expand $3(2-4x)=5-8x$. Write the new equation.
จงกระจาย $3(2-4x)=5-8x$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
The left side changes. The right side stays the same.ด้านซ้ายเปลี่ยน ด้านขวาเหมือนเดิม
Collect: $6-12x=5-8x$. Write the equation with numbers on one side and $x$ terms on the other.
จงย้ายข้าง: $6-12x=5-8x$ ให้ตัวเลขอยู่ด้านหนึ่งและพจน์ $x$ อยู่อีกด้าน
Answershow ▾
Add $12x$ to both sides, then subtract 5 from both sides, same as the warm-up.บวก $12x$ ทั้งสองข้าง แล้วลบ 5 ทั้งสองข้าง เหมือนขั้นวอร์มอัพ
Solve $1=4x$ for $x$.
จงแก้สมการ $1=4x$ หา $x$
Answershow ▾
Divide both sides by 4.หารทั้งสองข้างด้วย 4
Solve $3(2-4x)=5-8x$. Show the expand and collect steps together.
จงแก้สมการ $3(2-4x)=5-8x$ โดยแสดงขั้นกระจายและย้ายข้างต่อกัน
Answershow ▾
Expand first, then collect the $x$ terms, then divide.กระจายก่อน แล้วย้ายข้าง แล้วหาร
Check $x=\dfrac14$ in $3(2-4x)=5-8x$. Do both sides match?
จงตรวจคำตอบ $x=\dfrac14$ ในสมการ $3(2-4x)=5-8x$ ว่าทั้งสองข้างเท่ากันหรือไม่
Answershow ▾
A correct answer gives the same number on both sides.คำตอบที่ถูกต้องให้ค่าเท่ากันทั้งสองข้าง
Solve $2(5-3x)=6-2x$.
จงแก้สมการ $2(5-3x)=6-2x$
Answershow ▾
Same three moves: expand, collect, solve.ขั้นตอนเดียวกันสามขั้น: กระจาย ย้ายข้าง แก้สมการ
Solve $3(2-4x) = 5-8x$. Show clear algebraic working.
จงแก้สมการ $3(2-4x) = 5-8x$
Answershow ▾
3 marks: two for the method (expand, then collect), one for the final answer.3 คะแนน: สองคะแนนสำหรับวิธีทำ (กระจาย แล้วย้ายข้าง) หนึ่งคะแนนสำหรับคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$3(2-4x) = 5-8x$
$6-12x = 5-8x$
M1 collect $x$ on one side, numbers on the otherย้ายพจน์ $x$ มาไว้ด้านเดียว ตัวเลขไปอีกด้าน
$6-5 = 12x-8x$
$1 = 4x$
A1 the solutionคำตอบ
$x = \dfrac14$
Expand a minus bracket, factor letters กระจายวงเล็บลบ แล้วแยกตัวประกอบตัวอักษร
(a) Expand and simplify $(y+4)(2-y)$.
(b) Factorise fully $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$.
(ก) จงกระจายและทำให้ $(y+4)(2-y)$ อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) จงแยกตัวประกอบ $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$ ให้หมด
Expand $(x+4)(x+2)$.
จงกระจาย $(x+4)(x+2)$
Answershow ▾
Multiply every term in the first bracket by every term in the second.คูณทุกพจน์ในวงเล็บแรกกับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง
Work out $y \times (-y)$.
จงหา $y \times (-y)$
Answershow ▾
A positive times a negative is a negative.บวกคูณลบได้ลบ
Simplify $2y - 4y$.
จงทำ $2y - 4y$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
Subtract the coefficients and keep the letter.นำสัมประสิทธิ์มาลบกัน แล้วคงตัวอักษรไว้
Expand $(y+4)(2-y)$. Do not simplify yet.
จงกระจาย $(y+4)(2-y)$ ยังไม่ต้องทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
Same method as question 1, with one bracket now holding a minus.วิธีเดียวกับข้อ 1 แต่วงเล็บหนึ่งมีเครื่องหมายลบ
Collect like terms in $2y-y^{2}+8-4y$.
จงรวมพจน์ที่เหมือนกันใน $2y-y^{2}+8-4y$
Answershow ▾
The $2y$ and $-4y$ are the pair from question 3.$2y$ กับ $-4y$ คือคู่เดียวกับข้อ 3
Find the highest common factor of $15$ and $35$.
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $15$ และ $35$
Answershow ▾
$5$ is the biggest number that divides both.$5$ คือจำนวนที่มากที่สุดที่หารทั้งสองตัวได้พอดี
Which of these is $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$ factorised fully?
(A) $5(3b^{5}c-7b^{3}c^{9})$
(B) $5b^{3}c(3b^{2}-7c^{8})$
(C) $5b^{5}c(3b^{2}-7c^{8})$
ข้อใดคือ $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$ ที่แยกตัวประกอบจนหมดแล้ว
(A) $5(3b^{5}c-7b^{3}c^{9})$
(B) $5b^{3}c(3b^{2}-7c^{8})$
(C) $5b^{5}c(3b^{2}-7c^{8})$
Answershow ▾
(A) only took out the number: every term left inside still shares $b^{3}c$, so it is not fully factorised. (C) took out $b^{5}$, but the second term only has $b^{3}$, so multiplying back gives $15b^{7}c$, not $15b^{5}c$ — the power taken out must be the lower one.(A) ดึงเฉพาะตัวเลขออก พจน์ที่เหลือในวงเล็บยังมี $b^{3}c$ ร่วมกันอยู่ จึงยังแยกไม่หมด · (C) ดึง $b^{5}$ ออก แต่พจน์ที่สองมีแค่ $b^{3}$ คูณกลับจึงได้ $15b^{7}c$ ไม่ใช่ $15b^{5}c$ ต้องดึงกำลังที่น้อยกว่าออกเสมอ
Factorise fully $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$.
จงแยกตัวประกอบ $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$ ให้หมด
Answershow ▾
The HCF from question 6, with the lower power of $b$ and of $c$.ใช้ HCF จากข้อ 6 กับกำลังที่น้อยกว่าของ $b$ และของ $c$
Check that $5b^{3}c(3b^{2}-7c^{8})$ expands back to $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$.
จงตรวจว่า $5b^{3}c(3b^{2}-7c^{8})$ กระจายกลับได้ $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$
Answershow ▾
A correct factorisation always expands back to the start.ถ้าแยกตัวประกอบถูก กระจายกลับต้องได้โจทย์ตั้งต้นเสมอ
(a) Expand and simplify $(x+2)(3-x)$.
(b) Factorise fully $12a^{4}b-18a^{2}b^{5}$.
(ก) จงกระจายและทำให้ $(x+2)(3-x)$ อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) จงแยกตัวประกอบ $12a^{4}b-18a^{2}b^{5}$ ให้หมด
Answershow ▾
Same two skills, kinder numbers: a minus bracket, then the HCF and the lower powers.สองทักษะเดิม ตัวเลขง่ายลง: วงเล็บลบ แล้วตัว HCF กับกำลังที่น้อยกว่า
(a) Expand and simplify $(y+4)(2-y)$.
(b) Factorise fully $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$.
(ก) จงกระจายและทำให้ $(y+4)(2-y)$ อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) จงแยกตัวประกอบ $15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$ ให้หมด
Answershow ▾
4 marks, two unrelated parts: an expansion, then a factorisation.4 คะแนน สองส่วนที่ไม่เกี่ยวกัน คือการกระจาย แล้วการแยกตัวประกอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(y+4)(2-y)$
$= 2y-y^{2}+8-4y$
A1 collect like termsรวมพจน์ที่เหมือนกัน
$= 8-2y-y^{2}$
B2 take out the highest common factorดึงตัวประกอบร่วมมากที่สุดออก
$15b^{5}c-35b^{3}c^{9}$
$= 5b^{3}c(3b^{2}-7c^{8})$
Factorise, then solve by Hence แยกตัวประกอบ แล้วแก้ด้วย Hence
(i) Factorise $x^{2}+5x-24$
(ii) Hence, solve $x^{2}+5x-24=0$
(i) จงแยกตัวประกอบ $x^{2}+5x-24$
(ii) จากนั้น จงแก้สมการ $x^{2}+5x-24=0$
List the pairs of positive whole numbers that multiply to give $24$.
จงเขียนคู่จำนวนเต็มบวกที่คูณกันได้ $24$
Answershow ▾
Every pair of factors of $24$. The sign comes later.คู่ตัวประกอบของ $24$ ทุกคู่ ส่วนเครื่องหมายค่อยคิดทีหลัง
Two numbers multiply to give $-24$. What must be true about their signs?
จำนวนสองตัวคูณกันได้ $-24$ เครื่องหมายของทั้งสองตัวต้องเป็นอย่างไร
Answershow ▾
A negative product needs one positive factor and one negative factor.ผลคูณติดลบได้ ต้องมีตัวประกอบบวกหนึ่งตัวและลบหนึ่งตัว
In the lesson, $(x+6)(x-1)=0$. What are the two values of $x$?
ในบทเรียน $(x+6)(x-1)=0$ จงหาค่า $x$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
A product is zero only when one bracket is zero.ผลคูณเป็นศูนย์ได้ ก็ต่อเมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์
The two numbers multiply to $-24$ and add to $+5$. One is positive, one negative. Which pair is correct?
(A) $-3$ and $8$
(B) $3$ and $-8$
(C) $-4$ and $6$
จำนวนสองตัวคูณกันได้ $-24$ และบวกกันได้ $+5$ ตัวหนึ่งบวกตัวหนึ่งลบ คู่ไหนถูกต้อง
(A) $-3$ และ $8$
(B) $3$ และ $-8$
(C) $-4$ และ $6$
Answershow ▾
(B) has the right size numbers but the wrong signs: $3+(-8)=-5$, not $+5$. (C) is a different factor pair of $24$: $-4+6=2$, not $+5$.(B) ขนาดถูกแต่เครื่องหมายผิด: $3+(-8)=-5$ ไม่ใช่ $+5$ · (C) เป็นคู่ตัวประกอบของ $24$ คนละคู่: $-4+6=2$ ไม่ใช่ $+5$
Write $x^{2}+5x-24$ as $(x+a)(x+b)$. What two conditions must $a$ and $b$ satisfy?
เขียน $x^{2}+5x-24$ เป็น $(x+a)(x+b)$ จงหาเงื่อนไขสองข้อของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
Expand $(x+a)(x+b)$ and match it to $x^{2}+5x-24$.กระจาย $(x+a)(x+b)$ แล้วเทียบกับ $x^{2}+5x-24$
Using $a+b=5$ and $ab=-24$, with the pair from the decision above, find $a$ and $b$.
ใช้ $a+b=5$ และ $ab=-24$ กับคู่จำนวนจากข้อก่อนหน้า จงหา $a$ และ $b$
Answershow ▾
$3$ and $8$ multiply to $24$; the signs from the decision make it $-3$ and $8$.$3$ กับ $8$ คูณกันได้ $24$ ส่วนเครื่องหมายจากข้อก่อนหน้าทำให้เป็น $-3$ กับ $8$
Hence, write $x^{2}+5x-24$ in factorised form.
จากนั้น จงเขียน $x^{2}+5x-24$ ในรูปแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
$a=-3$ gives the bracket $(x-3)$ and $b=8$ gives $(x+8)$.$a=-3$ ให้วงเล็บ $(x-3)$ และ $b=8$ ให้วงเล็บ $(x+8)$
Part (ii) says "Hence, solve $x^{2}+5x-24=0$." You already have $(x-3)(x+8)$ from part (i). Which method should you use?
(A) the quadratic formula
(B) completing the square
(C) set each bracket from (i) to zero
ส่วน (ii) บอกว่า "จากนั้น จงแก้สมการ $x^{2}+5x-24=0$" ซึ่งมี $(x-3)(x+8)$ จากข้อ (i) อยู่แล้ว ควรใช้วิธีไหน
(A) สูตรกำลังสอง
(B) การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
(C) ให้วงเล็บจากข้อ (i) เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
"Hence" means use the result just found. The formula and completing the square both re-derive what (i) already gives, for no extra marks."Hence" แปลว่าให้ใช้ผลลัพธ์ที่ได้มาแล้ว · สูตรกำลังสองและการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เป็นการหาซ้ำสิ่งที่ข้อ (i) ให้มาแล้ว โดยไม่ได้คะแนนเพิ่ม
Hence, solve $x^{2}+5x-24=0$.
จากนั้น จงแก้สมการ $x^{2}+5x-24=0$
Answershow ▾
A product is zero only when one bracket is zero.ผลคูณเป็นศูนย์ได้ ก็ต่อเมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์
Check that $x=-8$ satisfies $x^{2}+5x-24=0$.
จงตรวจว่า $x=-8$ เป็นจริงกับ $x^{2}+5x-24=0$
Answershow ▾
A correct root makes the left side equal zero.คำตอบที่ถูกต้อง ทำให้ข้างซ้ายเท่ากับศูนย์
Factorise $x^{2}+2x-15$, then hence solve $x^{2}+2x-15=0$.
จงแยกตัวประกอบ $x^{2}+2x-15$ แล้วจากนั้นแก้สมการ $x^{2}+2x-15=0$
Answershow ▾
Same two moves: find the pair, then read the solutions off the brackets.ขั้นเดิมสองขั้น: หาคู่จำนวน แล้วอ่านคำตอบจากวงเล็บ
(i) Factorise $x^{2}+5x-24$
(ii) Hence, solve $x^{2}+5x-24=0$
(i) จงแยกตัวประกอบ $x^{2}+5x-24$
(ii) จากนั้น จงแก้สมการ $x^{2}+5x-24=0$
Answershow ▾
3 marks. The brackets are the method and answer marks; "Hence" means the solving step is one line.3 คะแนน · วงเล็บคือคะแนนวิธีทำและคำตอบ · "Hence" แปลว่าขั้นแก้สมการมีแค่บรรทัดเดียว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x^{2}+5x-24 = (x+a)(x+b)$
$ab=-24,\;a+b=5$
A1 the factorised formรูปแยกตัวประกอบ
$(x-3)(x+8)$
B1ft both solutions, from their factorsคำตอบทั้งสองค่า จากตัวประกอบของตน
$x-3=0 \;\text{or}\; x+8=0$
$x=3 \;\text{or}\; x=-8$
Factorise top and bottom, cancel แยกตัวประกอบบนล่าง แล้วตัด
Simplify fully $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$.
จงทำ $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Factorise $6x^{3}+13x^{2}-5x$ by taking out the common factor.
จงแยกตัวประกอบ $6x^{3}+13x^{2}-5x$ โดยดึงตัวประกอบร่วม
Answershow ▾
Every term has an $x$ in it.ทุกพจน์มี $x$ อยู่
Factorise $6x^{2}+13x-5$.
จงแยกตัวประกอบ $6x^{2}+13x-5$
Answershow ▾
Front coefficient is not $1$: split $13x$ into $15x-2x$, since $15\times(-2)=-30=6\times(-5)$.ตัวหน้าไม่ใช่ $1$: แยก $13x$ เป็น $15x-2x$ เพราะ $15\times(-2)=-30=6\times(-5)$
Factorise $4x^{2}-25$.
จงแยกตัวประกอบ $4x^{2}-25$
Answershow ▾
$4x^{2}$ and $25$ are both squares: $(2x)^{2}$ and $5^{2}$.$4x^{2}$ และ $25$ เป็นกำลังสองทั้งคู่: $(2x)^{2}$ และ $5^{2}$
Simplify fully $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$. Pick the first move.
(A) cancel the $x$ terms straight away
(B) divide top and bottom by the common factor without factorising
(C) factorise top and bottom first
จงทำ $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด จงเลือกขั้นแรก
(A) ตัด $x$ ทันที
(B) หารบนและล่างด้วยตัวประกอบร่วมโดยไม่แยกตัวประกอบก่อน
(C) แยกตัวประกอบบนและล่างก่อน
Answershow ▾
$6x^{3}+13x^{2}-5x$ and $4x^{2}-25$ are sums of terms, not products, so (A) and (B) each cancel something out of a sum, which changes its value. Only a bracket that multiplies the WHOLE top and the WHOLE bottom can cancel, and that bracket only shows up once both are factorised.$6x^{3}+13x^{2}-5x$ และ $4x^{2}-25$ เป็นผลบวกของพจน์ ไม่ใช่ผลคูณ ดังนั้น (A) และ (B) จึงตัดบางส่วนออกจากผลบวก ซึ่งทำให้ค่าเปลี่ยนไป ตัวที่ตัดได้มีแค่วงเล็บที่คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน และวงเล็บแบบนี้จะเห็นก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งสองฝั่งแล้ว
Factorise $6x^{3}+13x^{2}-5x$ completely.
จงแยกตัวประกอบ $6x^{3}+13x^{2}-5x$ ให้หมด
Answershow ▾
Pull out the $x$ first, then factorise what is left inside the bracket.ดึง $x$ ออกก่อน แล้วแยกตัวประกอบสิ่งที่เหลือในวงเล็บ
Write $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$ with the top and the bottom both factorised.
จงเขียน $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$ โดยแยกตัวประกอบทั้งบนและล่าง
Answershow ▾
Put the two factorised forms from above over each other, unexpanded.นำรูปที่แยกตัวประกอบแล้วทั้งสองข้างมาเขียนเป็นเศษส่วนเดียว โดยไม่กระจายกลับ
Simplify $\dfrac{x(2x+5)(3x-1)}{(2x+5)(2x-5)}$ fully.
จงทำ $\dfrac{x(2x+5)(3x-1)}{(2x+5)(2x-5)}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
$(2x+5)$ multiplies the whole top and the whole bottom, so it cancels.$(2x+5)$ คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน จึงตัดได้
$\dfrac{x(2x+5)(3x-1)}{(2x+5)(2x-5)}$. Which bracket cancels?
(A) $(2x-5)$
(B) $(3x-1)$
(C) $(2x+5)$
$\dfrac{x(2x+5)(3x-1)}{(2x+5)(2x-5)}$ วงเล็บไหนตัดได้
(A) $(2x-5)$
(B) $(3x-1)$
(C) $(2x+5)$
Answershow ▾
$(2x-5)$ sits only in the bottom and $(3x-1)$ sits only in the top — only $(2x+5)$ multiplies the whole top and the whole bottom, so only it cancels.$(2x-5)$ อยู่แค่ในส่วน และ $(3x-1)$ อยู่แค่ในเศษ มีแค่ $(2x+5)$ ที่คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน จึงตัดได้เพียงตัวเดียว
Simplify fully $\dfrac{3x^{2}+10x+8}{9x^{2}-16}$.
จงทำ $\dfrac{3x^{2}+10x+8}{9x^{2}-16}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Factorise top and bottom first, then cancel the bracket they share.แยกตัวประกอบบนและล่างก่อน แล้วตัดวงเล็บที่มีร่วมกัน
Check $\dfrac{x+2}{3x-4}=\dfrac{3x^{2}+10x+8}{9x^{2}-16}$ by substituting $x=2$ into both sides.
จงตรวจ $\dfrac{x+2}{3x-4}=\dfrac{3x^{2}+10x+8}{9x^{2}-16}$ โดยแทน $x=2$ ทั้งสองข้าง
Answershow ▾
The simplified fraction must give the same value as the original, for any $x$.เศษส่วนที่ทำง่ายแล้ว ต้องให้ค่าเท่ากับเศษส่วนเดิม สำหรับ $x$ ใดๆ
Simplify fully $\dfrac{2x^{3}+5x^{2}+3x}{4x^{2}-9}$.
จงทำ $\dfrac{2x^{3}+5x^{2}+3x}{4x^{2}-9}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same three moves: common factor, front-coefficient quadratic, difference of two squares.สามขั้นเดิม: ดึงตัวร่วม แยกตัวประกอบที่มีตัวหน้าไม่ใช่ $1$ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง
Simplify fully $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$.
จงทำ $\dfrac{6x^{3}+13x^{2}-5x}{4x^{2}-25}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
3 marks. Two for factorising the top and the bottom, one for cancelling the right bracket.3 คะแนน · สองคะแนนสำหรับแยกตัวประกอบเศษและส่วน อีกหนึ่งคะแนนสำหรับตัดวงเล็บที่ถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$6x^{3}+13x^{2}-5x = x(6x^{2}+13x-5)$
$= x(2x+5)(3x-1)$
M1 factorise the denominator as the difference of two squaresแยกตัวประกอบส่วน ด้วยผลต่างกำลังสอง
$4x^{2}-25 = (2x+5)(2x-5)$
A1 cancel the common factor $(2x+5)$ตัดตัวประกอบร่วม $(2x+5)$
$\dfrac{x(2x+5)(3x-1)}{(2x+5)(2x-5)}$
$= \dfrac{x(3x-1)}{2x-5}$
x trapped under a square root x ติดอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์
Make $x$ the subject of the formula $y=\sqrt{\dfrac{3x-2}{x+1}}$.
จงจัดสูตร $y=\sqrt{\dfrac{3x-2}{x+1}}$ ใหม่ โดยให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม (subject)
Make $x$ the subject of $y=\sqrt{x}$.
จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตามของ $y=\sqrt{x}$
Answershow ▾
Squaring undoes a square root.ยกกำลังสองแก้เครื่องหมายกรณฑ์
Make $x$ the subject of $y=\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตามของ $y=\sqrt{\dfrac{1}{x}}$
Answershow ▾
Squaring first turns the root into a plain fraction.ยกกำลังสองก่อน จะได้เศษส่วนธรรมดา
Make $x$ the subject of $y=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}$.
จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตามของ $y=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}$
Answershow ▾
Treat $x+1$ as one block until the very last step.มองว่า $x+1$ เป็นก้อนเดียว จนถึงขั้นตอนสุดท้าย
$y=\sqrt{\dfrac{3x-2}{x+1}}$. Square both sides. What equation do you get?
$y=\sqrt{\dfrac{3x-2}{x+1}}$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้สมการใด
Answershow ▾
Squaring removes the root from both sides at once.ยกกำลังสองทั้งสองข้างพร้อมกัน จะกำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ได้
From $y^{2}=\dfrac{3x-2}{x+1}$, multiply both sides by $x+1$. What equation do you get?
จาก $y^{2}=\dfrac{3x-2}{x+1}$ คูณทั้งสองข้างด้วย $x+1$ จะได้สมการใด
Answershow ▾
Multiplying by the whole bracket removes the fraction.คูณด้วยวงเล็บทั้งก้อน จะกำจัดเศษส่วนได้
$y^{2}(x+1)=3x-2$. $x$ is now on both sides. Pick the next move.
(A) divide both sides by $y^{2}$
(B) take the $x$ out of one side only
(C) expand, then collect every $x$ term on one side and factorise out $x$
$y^{2}(x+1)=3x-2$ ตอนนี้ $x$ อยู่ทั้งสองข้าง จงเลือกขั้นต่อไป
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $y^{2}$
(B) ดึง $x$ ออกจากข้างเดียว
(C) กระจายวงเล็บ แล้วย้ายพจน์ $x$ มารวมด้านเดียว แยกตัวประกอบ $x$ ออก
Answershow ▾
(A) still leaves $x$ on both sides and brings the fraction back; (B) cannot isolate $x$ while one copy sits inside the bracket and the other sits alone, so expanding first is the only way both copies end up together.(A) ยังเหลือ $x$ ทั้งสองข้าง แล้วเศษส่วนก็กลับมาอีก · (B) ดึง $x$ ไม่ได้ เพราะ $x$ ตัวหนึ่งติดอยู่ในวงเล็บ อีกตัวอยู่โดดๆ จึงต้องกระจายวงเล็บก่อน $x$ ทั้งสองตัวถึงจะมารวมกันได้
From $xy^{2}+y^{2}=3x-2$, collect every $x$ term on one side and factorise. What do you get?
จาก $xy^{2}+y^{2}=3x-2$ ย้ายพจน์ $x$ มารวมด้านเดียว แล้วแยกตัวประกอบ จะได้อะไร
Answershow ▾
Move every $x$ term to one side before factorising.ย้ายพจน์ $x$ มารวมด้านเดียวก่อน แล้วค่อยแยกตัวประกอบ
Make $x$ the subject of $y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$.
จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตามของ $y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$
Answershow ▾
Same chain as the exam question: square, clear the fraction, expand, collect, factorise, divide.ขั้นตอนเดียวกับข้อสอบ: ยกกำลังสอง กำจัดเศษส่วน กระจาย ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ แล้วหาร
Use $y=2$ in $x=\dfrac{y^{2}+2}{y^{2}-1}$, then check the value of $x$ fits $y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$.
แทน $y=2$ ใน $x=\dfrac{y^{2}+2}{y^{2}-1}$ แล้วตรวจว่าค่า $x$ ที่ได้เป็นจริงกับ $y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}$
Answershow ▾
A correct rearrangement must satisfy the original equation both ways.สูตรที่จัดใหม่ถูกต้อง ต้องเป็นจริงกับสมการเดิมทั้งสองทาง
Make $x$ the subject of $y=\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+1}}$.
จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตามของ $y=\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+1}}$
Answershow ▾
Same six moves as question 10, with kinder numbers.ขั้นตอนหกขั้นเดียวกับข้อ 10 เพียงแต่ตัวเลขเป็นมิตรกว่า
Make $x$ the subject of the formula $y=\sqrt{\dfrac{3x-2}{x+1}}$.
จงจัดสูตร $y=\sqrt{\dfrac{3x-2}{x+1}}$ ใหม่ โดยให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม (subject)
Answershow ▾
4 marks, three for method: show every line so the examiner can follow $x$ being collected and factorised.4 คะแนน สามคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: เขียนทุกบรรทัด เพื่อให้เห็นว่า $x$ ถูกย้ายมารวมแล้วแยกตัวประกอบอย่างไร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y^{2} = \dfrac{3x-2}{x+1}$
M1 multiply by the denominator and expandคูณด้วยตัวส่วน แล้วกระจาย
$y^{2}(x+1) = 3x-2$
$xy^{2}+y^{2} = 3x-2$
M1 collect the $x$ terms on one side and factoriseย้ายพจน์ $x$ มาไว้ด้านเดียว แล้วแยกตัวประกอบ
$y^{2}+2 = 3x-xy^{2}$
$y^{2}+2 = x(3-y^{2})$
A1 divide to make $x$ the subjectหารเพื่อให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม
$x = \dfrac{y^{2}+2}{3-y^{2}}$
Apples and pears, two unknown prices แอปเปิลกับลูกแพร์ สองราคาที่ไม่รู้
Alison buys $5$ apples and $3$ pears for a total cost of $1.96$ USD
Greg buys $3$ apples and $2$ pears for a total cost of $1.22$ USD
Michael buys $10$ apples and $10$ pears.
Work out how much Michael pays for his $10$ apples and $10$ pears. Show your working clearly.
อลิสันซื้อแอปเปิล $5$ ผล และลูกแพร์ $3$ ผล รวมเป็นเงิน $1.96$ USD
เกร็กซื้อแอปเปิล $3$ ผล และลูกแพร์ $2$ ผล รวมเป็นเงิน $1.22$ USD
ไมเคิลซื้อแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผล
จงหาว่าไมเคิลต้องจ่ายเงินเท่าไรสำหรับแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผล แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Alison buys $5$ apples and $3$ pears for a total cost of $1.96$ USD. Let $a$ = the cost of one apple and $p$ = the cost of one pear, both in USD. Write an equation for what Alison pays in total.
อลิสันซื้อแอปเปิล $5$ ผล และลูกแพร์ $3$ ผล รวมเป็นเงิน $1.96$ USD ให้ $a$ = ราคาแอปเปิล $1$ ผล และ $p$ = ราคาลูกแพร์ $1$ ผล ทั้งสองเป็นหน่วย USD จงตั้งสมการแสดงเงินรวมที่อลิสันจ่าย
Answershow ▾
Five apples cost $5a$, three pears cost $3p$, and together they make $1.96$.แอปเปิล $5$ ผล รวมเป็น $5a$ ลูกแพร์ $3$ ผล รวมเป็น $3p$ รวมกันได้ $1.96$
Greg buys $3$ apples and $2$ pears for $1.22$ USD, so $3a+2p=1.22$. Multiply this equation by $3$. Write the result.
เกร็กซื้อแอปเปิล $3$ ผล และลูกแพร์ $2$ ผล รวมเป็นเงิน $1.22$ USD จึงได้ $3a+2p=1.22$ จงคูณสมการนี้ด้วย $3$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Multiply every term, including the $1.22$, by $3$.คูณทุกพจน์ รวมถึง $1.22$ ด้วย $3$
① $7x+4y=50$
② $7x+y=20$
The $x$ coefficients already match. Subtract ② from ① to eliminate $x$, and find $y$.
① $7x+4y=50$
② $7x+y=20$
สัมประสิทธิ์ของ $x$ เท่ากันอยู่แล้ว จงลบ ② ออกจาก ① เพื่อกำจัด $x$ แล้วหา $y$
Answershow ▾
The $x$ terms cancel because both coefficients are $7$.พจน์ $x$ หักกันเพราะสัมประสิทธิ์เท่ากันคือ $7$ ทั้งสองสมการ
Alison buys $5$ apples and $3$ pears for $1.96$ USD. Before you can write an equation, decide what $a$ and $p$ stand for.
(A) apples and pears
(B) the number of apples and the number of pears
(C) the cost of one apple and the cost of one pear, in USD
อลิสันซื้อแอปเปิล $5$ ผล และลูกแพร์ $3$ ผล รวมเป็นเงิน $1.96$ USD ก่อนตั้งสมการ ต้องตัดสินก่อนว่า $a$ และ $p$ แทนอะไร
(A) แอปเปิลและลูกแพร์
(B) จำนวนแอปเปิลและจำนวนลูกแพร์
(C) ราคาแอปเปิล $1$ ผล และราคาลูกแพร์ $1$ ผล เป็น USD
Answershow ▾
If $a$ meant apples, or the number of apples, then $5a$ is not money and $5a+3p$ can never equal $1.96$ USD. Only cost-per-item in USD makes the equation true, because $5a$ then means the cost of $5$ apples in USD.ถ้า $a$ แทนแอปเปิล หรือจำนวนแอปเปิล $5a$ ก็ไม่ใช่เงิน และ $5a+3p$ ไม่มีทางเท่ากับ $1.96$ USD ได้ ต้องให้ $a$ เป็นราคาต่อหน่วยเป็น USD เท่านั้นสมการจึงเป็นจริง เพราะ $5a$ จะแทนราคาแอปเปิล $5$ ผลเป็น USD
Write the equation for Alison and the equation for Greg, using $a$ and $p$ from above. Label them ① and ②.
จงเขียนสมการของอลิสันและสมการของเกร็ก โดยใช้ $a$ และ $p$ จากข้อก่อนหน้า แล้วติดเลข ① และ ②
Answershow ▾
Count $\times$ price, added, equals the total — once for each shopper.จำนวน $\times$ ราคา แล้วบวกกัน เท่ากับยอดรวม ทำทีละคนซื้อ
You have ① $5a+3p=1.96$ and ② $3a+2p=1.22$. To eliminate one letter by subtracting, which multiples should you use?
(A) ① $\times2$ and ② $\times3$
(B) ① $\times3$ and ② $\times2$
(C) ① $\times2$ and ② $\times2$
จากสมการ ① $5a+3p=1.96$ และ ② $3a+2p=1.22$ จะกำจัดตัวแปรหนึ่งตัวด้วยการลบ ต้องคูณเท่าไร
(A) ① $\times2$ และ ② $\times3$
(B) ① $\times3$ และ ② $\times2$
(C) ① $\times2$ และ ② $\times2$
Answershow ▾
In (B), the $a$ coefficients become $15$ and $6$, and the $p$ coefficients become $9$ and $4$ — neither pair matches, so subtracting removes nothing. (C) gives $10$ and $6$, and $6$ and $4$ — same problem. Only (A) makes one letter equal in both equations.ใน (B) สัมประสิทธิ์ $a$ กลายเป็น $15$ กับ $6$ และ $p$ กลายเป็น $9$ กับ $4$ ไม่มีคู่ไหนเท่ากันเลย ลบแล้วไม่หายไปสักตัว (C) ก็เช่นกัน ได้ $10$ กับ $6$ และ $6$ กับ $4$ มีแค่ (A) ที่ทำให้ตัวแปรหนึ่งตัวเท่ากันทั้งสองสมการ
Multiply ① by $2$ and ② by $3$. Write both results.
จงคูณ ① ด้วย $2$ และ ② ด้วย $3$ แล้วเขียนผลลัพธ์ทั้งสอง
Answershow ▾
Multiply every term on both sides, including the total.คูณทุกพจน์ทั้งสองข้าง รวมถึงยอดรวมด้วย
Subtract ② from ① to eliminate $p$, and solve for $a$.
จงลบ ② ออกจาก ① เพื่อกำจัด $p$ แล้วแก้หา $a$
Answershow ▾
The $p$ terms cancel because both coefficients are now $6$.พจน์ $p$ หักกันเพราะสัมประสิทธิ์เท่ากันเป็น $6$ ทั้งคู่แล้ว
Substitute $a=0.26$ into ② $3a+2p=1.22$ and solve for $p$.
จงแทน $a=0.26$ ใน ② $3a+2p=1.22$ แล้วแก้หา $p$
Answershow ▾
Put the known letter in first, then solve the one-letter equation that is left.แทนค่าตัวแปรที่รู้แล้วก่อน จากนั้นแก้สมการตัวแปรเดียวที่เหลือ
Michael buys $10$ apples and $10$ pears. Using $a=0.26$ and $p=0.22$, work out how much he pays.
ไมเคิลซื้อแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผล โดยใช้ $a=0.26$ และ $p=0.22$ จงหาว่าไมเคิลต้องจ่ายเงินเท่าไร
Answershow ▾
The question asks for a cost, so the answer must carry USD, not just a number.โจทย์ถามหาเงิน คำตอบจึงต้องมีหน่วย USD ไม่ใช่แค่ตัวเลข
Tom buys $2$ apples and $3$ pears for a total cost of $14$ USD. Jerry buys $1$ apple and $2$ pears for a total cost of $8$ USD. Work out the cost of $10$ apples and $10$ pears.
ทอมซื้อแอปเปิล $2$ ผล และลูกแพร์ $3$ ผล รวมเป็นเงิน $14$ USD เจอร์รีซื้อแอปเปิล $1$ ผล และลูกแพร์ $2$ ผล รวมเป็นเงิน $8$ USD จงหาราคาแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผล
Answershow ▾
Same five moves: form, scale, subtract, substitute, combine.ห้าขั้นเดิม: ตั้งสมการ คูณขยาย ลบกำจัด แทนค่า รวมคำตอบ
Alison buys $5$ apples and $3$ pears for a total cost of $1.96$ USD
Greg buys $3$ apples and $2$ pears for a total cost of $1.22$ USD
Michael buys $10$ apples and $10$ pears.
Work out how much Michael pays for his $10$ apples and $10$ pears. Show your working clearly.
อลิสันซื้อแอปเปิล $5$ ผล และลูกแพร์ $3$ ผล รวมเป็นเงิน $1.96$ USD
เกร็กซื้อแอปเปิล $3$ ผล และลูกแพร์ $2$ ผล รวมเป็นเงิน $1.22$ USD
ไมเคิลซื้อแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผล
จงหาว่าไมเคิลต้องจ่ายเงินเท่าไรสำหรับแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผล แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, 4 for method — write every equation and every substitution, and finish in USD.5 คะแนน 4 คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จงเขียนทุกสมการและการแทนค่า แล้วปิดคำตอบด้วยหน่วย USD
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$5a+3p = 1.96$
$3a+2p = 1.22$
M1 scale the equations so a coefficient matchesคูณสมการให้สัมประสิทธิ์ตัวหนึ่งเท่ากัน
$10a+6p = 3.92$
$9a+6p = 3.66$
M1 subtract to eliminate $p$, solve for $a$ลบกันเพื่อกำจัด $p$ แล้วแก้หา $a$
$a = 0.26$
M1 substitute back to find $p$แทนค่ากลับเพื่อหา $p$
$3(0.26)+2p = 1.22$
$p = 0.22$
A1 $10$ apples and $10$ pears togetherแอปเปิล $10$ ผล และลูกแพร์ $10$ ผลรวมกัน
$10(a+p) = 10(0.26+0.22)$
$= 4.80$
Two points where a line meets a circle สองจุดที่เส้นตรงตัดวงกลม
Solve the simultaneous equations
$y=7-2x$
$x^{2}+y^{2}=34$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$y=7-2x$
$x^{2}+y^{2}=34$
Expand $(7-2x)^{2}$.
จงกระจาย $(7-2x)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Solve $x^{2}-2x-15=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}-2x-15=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-15$ and add to $-2$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-15$ และบวกกันได้ $-2$
$y=7-2x$. Work out $y$ when $x=5$.
$y=7-2x$ จงหา $y$ เมื่อ $x=5$
Answershow ▾
Multiply first, then subtract from $7$.คูณก่อน แล้วค่อยลบออกจาก $7$
One equation is a line, one has $x^{2}$ and $y^{2}$. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) put $7-2x$ in place of $y$ in $x^{2}+y^{2}=34$
(C) square both sides of $y=7-2x$
สมการหนึ่งเป็นเส้นตรง อีกสมการมี $x^{2}$ และ $y^{2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการ
(B) แทน $y$ ใน $x^{2}+y^{2}=34$ ด้วย $7-2x$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y=7-2x$
Answershow ▾
Adding does not remove a letter here: $y$ and $y^{2}$ are different. Substituting leaves one letter, $x$. That line is the first M1.การบวกไม่ได้ทำให้ตัวแปรหายไป เพราะ $y$ กับ $y^{2}$ ไม่เหมือนกัน · การแทนค่าทำให้เหลือตัวแปรเดียวคือ $x$ · บรรทัดนี้คือ M1 แรก
Replace $y$ with $7-2x$ in $x^{2}+y^{2}=34$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $7-2x$ ใน $x^{2}+y^{2}=34$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Keep the bracket. The whole of $7-2x$ is squared.ต้องมีวงเล็บ · ยกกำลังสองทั้ง $7-2x$
Show that $x^{2}+(7-2x)^{2}=34$ becomes $5x^{2}-28x+15=0$.
จงแสดงว่า $x^{2}+(7-2x)^{2}=34$ จัดรูปได้เป็น $5x^{2}-28x+15=0$
Answershow ▾
Use question 1 for the bracket, then move the $34$.ใช้ข้อ 1 กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $34$
Solve $5x^{2}-28x+15=0$.
จงแก้สมการ $5x^{2}-28x+15=0$
Answershow ▾
Check by expanding: $(5x-3)(x-5)$ gives $-25x-3x=-28x$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(5x-3)(x-5)$ ได้ $-25x-3x=-28x$
You have $x=5$ and $x=0.6$. To get $y$, which equation do you use? Try $x=5$ in both and compare.
ได้ $x=5$ กับ $x=0.6$ จะหา $y$ ต้องใช้สมการไหน ลองแทน $x=5$ ทั้งสองสมการแล้วเทียบกัน
Answershow ▾
$x^{2}+y^{2}=34$ has two $y$ values for each $x$. Only one of them is on the line. The line gives one $y$ per $x$, so it gives the right one.$x^{2}+y^{2}=34$ ให้ค่า $y$ สองค่าต่อ $x$ หนึ่งค่า แต่มีแค่ค่าเดียวที่อยู่บนเส้นตรง · เส้นตรงให้ $y$ ค่าเดียวต่อ $x$ จึงได้ค่าที่ถูก
Use $y=7-2x$ to find $y$ for $x=5$ and for $x=0.6$. Write both points.
ใช้ $y=7-2x$ หา $y$ เมื่อ $x=5$ และเมื่อ $x=0.6$ แล้วเขียนทั้งสองจุด
Answershow ▾
Two points: the line crosses the circle twice.ได้สองจุด เพราะเส้นตรงตัดวงกลมสองครั้ง
Check that $(0.6,\,5.8)$ fits $x^{2}+y^{2}=34$.
จงตรวจว่าจุด $(0.6,\,5.8)$ เป็นจริงกับ $x^{2}+y^{2}=34$
Answershow ▾
A point that fits both equations is on both graphs.จุดที่เป็นจริงกับทั้งสองสมการ อยู่บนกราฟทั้งสอง
Solve the simultaneous equations $y=x-1$ and $x^{2}+y^{2}=25$.
จงแก้ระบบสมการ $y=x-1$ และ $x^{2}+y^{2}=25$
Answershow ▾
Same four moves: substitute, expand, solve, back into the line.สี่ขั้นเดิม: แทนค่า กระจาย แก้สมการ แทนกลับในเส้นตรง
Solve the simultaneous equations
$y=7-2x$
$x^{2}+y^{2}=34$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$y=7-2x$
$x^{2}+y^{2}=34$
Answershow ▾
5 marks. Four are for method, so show every line.5 คะแนน · สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จึงต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x^{2}+(7-2x)^{2} = 34$
M1 expand and collect into a three-term quadraticกระจายแล้วรวมพจน์เป็นสมการกำลังสองสามพจน์
$x^{2}+49-28x+4x^{2} = 34$
$5x^{2}-28x+15 = 0$
M1ft solve their quadraticแก้สมการกำลังสองของตน
$x = \dfrac{28\pm\sqrt{28^{2}-4(5)(15)}}{2(5)}$
$x = 5 \;\text{or}\; x = 0.6$
M1ft substitute both values of $x$ back to find $y$แทนค่า $x$ ทั้งสองค่ากลับเพื่อหา $y$
$x=5:\; y = 7-2(5) = -3$
$x=0.6:\; y = 7-2(0.6) = 5.8$
A1 both pairs, correctly matchedคำตอบทั้งสองคู่ จับคู่ให้ถูกต้อง
$x=5,\,y=-3 \;\text{or}\; x=0.6,\,y=5.8$
Two pens, no replacement หยิบปากกาสองด้าม ไม่แทนคืน
Pippa has a box containing $N$ pens. There are only black pens and red pens in the box. The number of black pens in the box is $3$ more than the number of red pens. Pippa is going to take at random $2$ pens from the box. The probability that she will take a black pen followed by a red pen is $\dfrac{9}{35}$. Find the possible values of $N$. Show clear algebraic working.
พิพพามีกล่องบรรจุปากกา $N$ ด้าม มีเฉพาะปากกาสีดำและปากกาสีแดงเท่านั้น จำนวนปากกาสีดำมากกว่าจำนวนปากกาสีแดงอยู่ $3$ ด้าม พิพพาจะสุ่มหยิบปากกา $2$ ด้ามจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ปากกาสีดำแล้วตามด้วยปากกาสีแดงคือ $\dfrac{9}{35}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $N$ แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
A box has $9$ black pens and $6$ red pens, $15$ pens altogether. Pippa takes one pen at random. Write the probability that it is black.
กล่องหนึ่งมีปากกาสีดำ $9$ ด้าม และปากกาสีแดง $6$ ด้าม รวม $15$ ด้าม พิพพาสุ่มหยิบปากกา $1$ ด้าม จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ปากกาสีดำ
Answershow ▾
The probability of a colour is that colour's count over the total count.ความน่าจะเป็นของสีหนึ่ง คือจำนวนสีนั้นหารด้วยจำนวนทั้งหมด
Pippa does not put the first pen back. Her first pen was black. Write the probability that her second pen is also black.
พิพพาไม่นำปากกาด้ามแรกกลับคืน ปากกาด้ามแรกเป็นสีดำ จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาด้ามที่สองจะเป็นสีดำด้วย
Answershow ▾
One black pen is gone, so both the black count and the total are one less.ปากกาดำหายไปหนึ่งด้าม ทั้งจำนวนดำและจำนวนทั้งหมดจึงลดลงหนึ่ง
Multiply $\dfrac{9}{15}$ and $\dfrac{8}{14}$, and simplify your answer.
จงคูณ $\dfrac{9}{15}$ กับ $\dfrac{8}{14}$ แล้วทำให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย
Answershow ▾
Multiply numerator by numerator and denominator by denominator, then cancel a common factor.คูณเศษด้วยเศษ และส่วนด้วยส่วน แล้วตัดตัวประกอบร่วม
Now picture Pippa taking a black pen first, then wanting a red pen second, without replacement. Compared with the first pick, what happens to the probability of red on the second pick?
(A) it is the same fraction as the probability of black on the first pick
(B) the number of red pens stays the same, but the total number of pens is one less
(C) both the number of red pens and the total number of pens are one less
ลองนึกภาพพิพพาหยิบปากกาสีดำก่อน แล้วอยากได้ปากกาสีแดงเป็นด้ามที่สอง โดยไม่แทนคืน เทียบกับการหยิบครั้งแรก ความน่าจะเป็นของการได้สีแดงครั้งที่สองเป็นอย่างไร
(A) เป็นเศษส่วนเดียวกับความน่าจะเป็นของสีดำในการหยิบครั้งแรก
(B) จำนวนปากกาสีแดงยังเท่าเดิม แต่จำนวนทั้งหมดลดลงหนึ่ง
(C) ทั้งจำนวนปากกาสีแดงและจำนวนทั้งหมดลดลงหนึ่ง
Answershow ▾
A black pen left the box, not a red one, so the red count is untouched and only the total drops by one. (C) is only true when the pen removed is the SAME colour you are now picking, like Q2 above.ปากกาที่หายไปเป็นสีดำ ไม่ใช่สีแดง จำนวนปากกาสีแดงจึงไม่เปลี่ยน มีแค่จำนวนทั้งหมดที่ลดลงหนึ่ง · (C) จะจริงก็ต่อเมื่อปากกาที่หายไปเป็นสีเดียวกับสีที่กำลังหยิบ เหมือนข้อ 2 ข้างบน
Pippa's box has $N$ pens, only black and red. The number of black pens is $3$ more than the number of red pens. Write the number of red pens and the number of black pens, in terms of $N$.
กล่องของพิพพามีปากกา $N$ ด้าม มีเฉพาะสีดำและสีแดง จำนวนปากกาสีดำมากกว่าจำนวนปากกาสีแดงอยู่ $3$ ด้าม จงเขียนจำนวนปากกาสีแดงและจำนวนปากกาสีดำ ในรูปของ $N$
Answershow ▾
Write both counts using one letter, then solve for it.เขียนทั้งสองจำนวนด้วยตัวแปรเดียว แล้วแก้หาตัวแปรนั้น
red $=\dfrac{N-3}{2}$ and black $=\dfrac{N+3}{2}$ out of $N$ pens. Using the method from the probability rungs above, write the equation for $P(\text{black then red}) = \dfrac{9}{35}$, without replacement.
แดง $=\dfrac{N-3}{2}$ และดำ $=\dfrac{N+3}{2}$ จากปากกา $N$ ด้าม จงใช้วิธีจากข้อความน่าจะเป็นข้างบน เขียนสมการของความน่าจะเป็น ดำแล้วแดง ที่เท่ากับ $\dfrac{9}{35}$ โดยไม่แทนคืน
Answershow ▾
Black over the total, times red over one fewer pen — red is untouched, only the total drops.ดำหารด้วยทั้งหมด คูณแดงหารด้วยทั้งหมดลดหนึ่ง เพราะแดงไม่เปลี่ยน มีแค่ทั้งหมดที่ลดลง
You now have $\dfrac{N+3}{2N}\times\dfrac{N-3}{2N-2} = \dfrac{9}{35}$. Pick the first move.
(A) cross-multiply to clear every denominator
(B) expand $(N+3)(N-3)$ while the fractions are still there
(C) substitute a guessed value of $N$ to see if it works
ตอนนี้ได้ $\dfrac{N+3}{2N}\times\dfrac{N-3}{2N-2} = \dfrac{9}{35}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณไขว้เพื่อกำจัดตัวส่วนทั้งหมด
(B) กระจาย $(N+3)(N-3)$ ทั้งที่ยังมีเศษส่วนอยู่
(C) แทนค่า $N$ แบบเดา เพื่อดูว่าใช้ได้ไหม
Answershow ▾
Expanding before the fractions are gone only multiplies the mess, and guessing a value is not algebraic working — clearing the denominators first turns the whole equation into one piece of whole-number algebra.กระจายวงเล็บก่อนที่เศษส่วนจะหมดไป มีแต่ทำให้ยุ่งขึ้น และการเดาค่าไม่ถือเป็นวิธีทำเชิงพีชคณิต · การกำจัดตัวส่วนก่อนจะเปลี่ยนทั้งสมการให้เป็นพีชคณิตจำนวนเต็มในขั้นเดียว
Clear the fractions in $\dfrac{N+3}{2N}\times\dfrac{N-3}{2N-2} = \dfrac{9}{35}$. Write the equation with no fractions.
จงกำจัดเศษส่วนใน $\dfrac{N+3}{2N}\times\dfrac{N-3}{2N-2} = \dfrac{9}{35}$ แล้วเขียนสมการที่ไม่มีเศษส่วน
Answershow ▾
Multiply both sides by every denominator at once.คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนทุกตัวพร้อมกัน
Expand $35(N+3)(N-3)=36N(N-1)$ and collect every term onto one side, equal to $0$.
จงกระจาย $35(N+3)(N-3)=36N(N-1)$ แล้วย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียว ให้เท่ากับ $0$
Answershow ▾
Expand both sides first, then move everything across in one go.กระจายทั้งสองข้างก่อน แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียวในขั้นเดียว
Solve $N^{2}-36N+315=0$. For each value of $N$, check that $\dfrac{N-3}{2}$ (the red count) is a whole, positive number. Which value(s) do you keep?
จงแก้สมการ $N^{2}-36N+315=0$ แล้วตรวจแต่ละค่าของ $N$ ว่า $\dfrac{N-3}{2}$ (จำนวนปากกาแดง) เป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่ แล้วเก็บค่าไหนไว้
Answershow ▾
A pen count cannot be negative or a fraction, so every root must be checked before it is accepted.จำนวนปากกาต้องไม่ติดลบและไม่เป็นเศษส่วน จึงต้องตรวจทุกคำตอบก่อนรับไว้
Pippa has a box containing $N$ pens, only black and red. The number of black pens is $3$ more than the number of red pens. She takes $2$ pens at random, without replacement. The probability that she takes a black pen followed by a red pen is $\dfrac{1}{5}$. Find $N$.
พิพพามีกล่องบรรจุปากกา $N$ ด้าม มีเฉพาะสีดำและสีแดง จำนวนปากกาสีดำมากกว่าจำนวนปากกาสีแดงอยู่ $3$ ด้าม พิพพาสุ่มหยิบปากกา $2$ ด้ามโดยไม่แทนคืน ความน่าจะเป็นที่จะได้ปากกาสีดำแล้วตามด้วยสีแดงคือ $\dfrac{1}{5}$ จงหา $N$
Answershow ▾
Same four moves as before; this time one root is a negative pen count and is rejected.ใช้สี่ขั้นเดิม แต่คราวนี้คำตอบหนึ่งให้จำนวนปากกาติดลบ จึงต้องตัดทิ้ง
Pippa has a box containing $N$ pens. There are only black pens and red pens in the box. The number of black pens in the box is $3$ more than the number of red pens. Pippa is going to take at random $2$ pens from the box. The probability that she will take a black pen followed by a red pen is $\dfrac{9}{35}$. Find the possible values of $N$. Show clear algebraic working.
พิพพามีกล่องบรรจุปากกา $N$ ด้าม มีเฉพาะปากกาสีดำและปากกาสีแดงเท่านั้น จำนวนปากกาสีดำมากกว่าจำนวนปากกาสีแดงอยู่ $3$ ด้าม พิพพาจะสุ่มหยิบปากกา $2$ ด้ามจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ปากกาสีดำแล้วตามด้วยปากกาสีแดงคือ $\dfrac{9}{35}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $N$ แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, 4 for method — show every line, and check both roots before you reject either.5 คะแนน · 4 คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ต้องเขียนทุกบรรทัด และตรวจทั้งสองคำตอบก่อนตัดทิ้งค่าใด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\text{red} = \dfrac{N-3}{2}, \;\text{black} = \dfrac{N+3}{2}$
M1 the probability of black then red, without replacementความน่าจะเป็นของดำแล้วแดง โดยไม่แทนคืน
$\dfrac{N+3}{2N}\times\dfrac{N-3}{2N-2} = \dfrac{9}{35}$
M1 clear the fractionsกำจัดเศษส่วน
$35(N+3)(N-3) = 9\times2N(2N-2)$
$35(N^{2}-9) = 36N(N-1)$
M1 rearrange into a three-term quadraticจัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองสามพจน์
$35N^{2}-315 = 36N^{2}-36N$
$N^{2}-36N+315 = 0$
A1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(N-15)(N-21) = 0$
$N = 15 \;\text{or}\; N = 21$
Integer list, then a linear solve รายการจำนวนเต็ม แล้วแก้อสมการเชิงเส้น
(a) $-4 \leqslant 2y \lt 6$
$y$ is an integer.
Write down all the possible values of $y$.
(b) Solve the inequality $7t-3 \leqslant 2t+31$. Show your working clearly.
(ก) $-4 \leqslant 2y \lt 6$ โดยที่ $y$ เป็นจำนวนเต็ม จงเขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
(ข) จงแก้อสมการ $7t-3 \leqslant 2t+31$
Divide every part of $-4\leqslant2y\lt6$ by $2$.
จงหารทุกส่วนของ $-4\leqslant2y\lt6$ ด้วย $2$
Answershow ▾
Dividing by a positive number leaves both symbols exactly as they are.หารด้วยจำนวนบวก สัญลักษณ์ทั้งสองไม่เปลี่ยน
List all integers $n$ with $-2\leqslant n\lt3$.
จงเขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-2\leqslant n\lt3$
Answershow ▾
$\leqslant$ at the left keeps $-2$ in. $\lt$ at the right keeps $3$ out.$\leqslant$ ฝั่งซ้ายเก็บ $-2$ ไว้ · $\lt$ ฝั่งขวาไม่เก็บ $3$
Solve $-2x\gt8$.
จงแก้อสมการ $-2x\gt8$
Answershow ▾
Dividing by a negative number flips the symbol: $\gt$ becomes $\lt$.หารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับสัญลักษณ์: $\gt$ กลายเป็น $\lt$
$-2\leqslant y\lt3$ and $y$ is an integer. Is $y=3$ one of the possible values?
(A) Yes, because $3$ appears in the inequality
(B) No, because the symbol there is $\lt$, which excludes its endpoint
(C) No, because $3$ is not an integer
$-2\leqslant y\lt3$ โดยที่ $y$ เป็นจำนวนเต็ม $y=3$ เป็นค่าที่เป็นไปได้หรือไม่
(A) ใช่ เพราะ $3$ ปรากฏอยู่ในอสมการ
(B) ไม่ เพราะสัญลักษณ์ที่ปลายนั้นคือ $\lt$ ซึ่งไม่รวมปลาย
(C) ไม่ เพราะ $3$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม
Answershow ▾
(A) confuses a number written in the inequality with a number inside the range it describes. (C) is simply false: $3$ IS an integer. Only the symbol at that end decides whether the endpoint counts.(A) สับสนระหว่างตัวเลขที่เขียนอยู่ในอสมการกับตัวเลขที่อยู่ในช่วงที่อสมการอธิบาย (C) ผิดตรงๆ เพราะ $3$ เป็นจำนวนเต็ม · มีแค่สัญลักษณ์ที่ปลายนั้นเท่านั้นที่ตัดสินว่าปลายนับหรือไม่
$-4\leqslant2y\lt6$ and $y$ is an integer. Write down all the possible values of $y$.
$-4\leqslant2y\lt6$ โดยที่ $y$ เป็นจำนวนเต็ม จงเขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
Answershow ▾
Divide by $2$ first, then list the integers inside $-2\leqslant y\lt3$. $-2$ is included, $3$ is not.หารด้วย $2$ ก่อน แล้วเขียนจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วง $-2\leqslant y\lt3$ · $-2$ รวมอยู่ด้วย ส่วน $3$ ไม่รวม
Solve $7t-3\leqslant2t+31$. Collect the $t$ terms on the left and the numbers on the right. Write the result.
จงแก้อสมการ $7t-3\leqslant2t+31$ โดยย้ายพจน์ $t$ มาด้านซ้ายและตัวเลขมาด้านขวา แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Subtract $2t$ from both sides, then add $3$ to both sides.ลบ $2t$ ทั้งสองข้าง แล้วบวก $3$ ทั้งสองข้าง
Divide $5t\leqslant34$ by $5$. Write the final answer in inequality form.
จงหาร $5t\leqslant34$ ด้วย $5$ แล้วเขียนคำตอบสุดท้ายในรูปอสมการ
Answershow ▾
$5$ is positive, so $\leqslant$ stays exactly as it is.$5$ เป็นบวก สัญลักษณ์ $\leqslant$ จึงไม่เปลี่ยน
$5t\leqslant34$. To finish, divide both sides by $5$. What happens to the symbol?
(A) It flips, because you always flip when you divide
(B) It never flips, no matter what number you divide by
(C) It stays $\leqslant$ here, because $5$ is positive — only a NEGATIVE divisor flips it
$5t\leqslant34$ เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย $5$ สัญลักษณ์จะเป็นอย่างไร
(A) กลับด้าน เพราะหารแล้วต้องกลับด้านเสมอ
(B) ไม่กลับด้านเลย ไม่ว่าจะหารด้วยอะไร
(C) ยังเป็น $\leqslant$ เหมือนเดิม เพราะ $5$ เป็นบวก — จะกลับด้านก็ต่อเมื่อหารด้วยจำนวนลบ
Answershow ▾
(A) flips even when dividing by a positive number. (B) never flips, even when dividing by a negative number. The sign of the number you divide by is the only thing that decides.(A) กลับด้านแม้หารด้วยจำนวนบวก · (B) ไม่กลับด้านแม้หารด้วยจำนวนลบ · มีแค่เครื่องหมายของตัวที่นำไปหารเท่านั้นที่เป็นตัวตัดสิน
Solve $7t-3\leqslant2t+31$ completely. Write the final answer in inequality form.
จงแก้อสมการ $7t-3\leqslant2t+31$ ให้เสร็จ แล้วเขียนคำตอบสุดท้ายในรูปอสมการ
Answershow ▾
Collect $t$ on one side, numbers on the other, then divide by a positive number.ย้ายพจน์ $t$ ไปด้านหนึ่ง ตัวเลขไปอีกด้าน แล้วหารด้วยจำนวนบวก
Check that $t=6.8$ makes $7t-3\leqslant2t+31$ true as an equality.
จงตรวจว่า $t=6.8$ ทำให้ $7t-3\leqslant2t+31$ เป็นจริงแบบเท่ากัน
Answershow ▾
At the boundary of a $\leqslant$ solution, the two sides of the original inequality are equal.ที่ขอบของคำตอบแบบ $\leqslant$ สองข้างของอสมการเดิมจะเท่ากัน
(a) $-2\leqslant2y\lt8$, $y$ is an integer. Write down all the possible values of $y$.
(b) Solve the inequality $9-3t\leqslant21$.
(ก) $-2\leqslant2y\lt8$ โดยที่ $y$ เป็นจำนวนเต็ม จงเขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
(ข) จงแก้อสมการ $9-3t\leqslant21$
Answershow ▾
Same two moves as the real question, but part (b) now divides by a negative number, so the symbol flips.สองขั้นเดิมเหมือนข้อจริง แต่ข้อ (ข) ครั้งนี้หารด้วยจำนวนลบ สัญลักษณ์จึงกลับด้าน
(a) $-4 \leqslant 2y \lt 6$
$y$ is an integer.
Write down all the possible values of $y$.
(b) Solve the inequality $7t-3 \leqslant 2t+31$. Show your working clearly.
(ก) $-4 \leqslant 2y \lt 6$ โดยที่ $y$ เป็นจำนวนเต็ม จงเขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
(ข) จงแก้อสมการ $7t-3 \leqslant 2t+31$
Answershow ▾
4 marks: 2 for the integer list, 2 for solving the linear inequality. Show every line.4 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับรายการจำนวนเต็ม อีก 2 คะแนนสำหรับการแก้อสมการเชิงเส้น ต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$-4 \leqslant 2y \lt 6$
$-2 \leqslant y \lt 3$
$y = -2,-1,0,1,2$
M1 collect $t$ on one side, numbers on the otherย้ายพจน์ $t$ ไปด้านเดียว ตัวเลขไปอีกด้าน
$7t-2t \leqslant 31+3$
$5t \leqslant 34$
A1 the solutionคำตอบ
$t \leqslant 6.8$
Two fractions, then a quadratic range สมการเศษส่วนสองตัว แล้วช่วงคำตอบกำลังสอง
(a) Solve $\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$. Show clear algebraic working.
(b) Solve the inequality $2y^{2}-7y-30 \leqslant 0$. Show your working clearly.
(ก) จงแก้สมการ $\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$
(ข) จงแก้อสมการ $2y^{2}-7y-30 \leqslant 0$
Multiply $\dfrac{4x+5}{3}$ by $6$. Write the result without a fraction.
คูณ $\dfrac{4x+5}{3}$ ด้วย $6$ แล้วเขียนผลลัพธ์แบบไม่มีเศษส่วน
Answershow ▾
$6\div3=2$, so the fraction becomes $2(4x+5)$.$6\div3=2$ เศษส่วนจึงกลายเป็น $2(4x+5)$
Expand $-3(3-2x)$.
จงกระจาย $-3(3-2x)$
Answershow ▾
The minus multiplies both terms inside: $-3\times3=-9$ and $-3\times(-2x)=+6x$.ลบคูณเข้าไปทั้งสองพจน์ในวงเล็บ: $-3\times3=-9$ และ $-3\times(-2x)=+6x$
Factorise $2x^{2}+5x-3$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}+5x-3$
Answershow ▾
Front not $1$: near $\times$ near plus far $\times$ far must give the middle term.ตัวหน้าไม่ใช่ $1$: ใกล้คูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล ต้องได้พจน์กลาง
$\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$. You want to clear both fractions in one move. Pick what to multiply every term by.
(A) $3$
(B) $2$
(C) $6$
$\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$ · ต้องการเคลียร์เศษส่วนทั้งสองในครั้งเดียว จงเลือกตัวที่ใช้คูณทุกพจน์
Answershow ▾
Multiplying by $3$ only clears the first denominator, leaving the second fraction. Multiplying by $2$ only clears the second. $6$ is a multiple of both $3$ and $2$, so one multiplication clears both at once.คูณด้วย $3$ เคลียร์ได้แค่ตัวส่วนแรก เศษส่วนตัวที่สองยังเหลืออยู่ · คูณด้วย $2$ เคลียร์ได้แค่ตัวที่สอง · $6$ เป็นพหุคูณร่วมของทั้ง $3$ และ $2$ จึงคูณครั้งเดียวเคลียร์ได้ทั้งคู่
Multiply every term of $\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$ by $6$. Keep the brackets round each numerator.
คูณทุกพจน์ของ $\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$ ด้วย $6$ · ให้คงวงเล็บรอบตัวเศษไว้
Answershow ▾
The second fraction becomes $-3(3-2x)$, not $-3-2x$: the bracket carries the minus sign.เศษส่วนตัวที่สองกลายเป็น $-3(3-2x)$ ไม่ใช่ $-3-2x$ · เครื่องหมายลบต้องคูณเข้าวงเล็บทั้งก้อน
Expand both brackets in $2(4x+5)-3(3-2x)=78$.
จงกระจายวงเล็บทั้งสองใน $2(4x+5)-3(3-2x)=78$
Answershow ▾
Use question $1$ for the first bracket and question $2$ for the second.ใช้ข้อ $1$ กระจายวงเล็บแรก และข้อ $2$ กระจายวงเล็บที่สอง
Collect like terms in $8x+10-9+6x=78$, then solve for $x$.
จงรวมพจน์ที่เหมือนกันใน $8x+10-9+6x=78$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
$8x+6x=14x$ and $10-9=1$, then move the $1$ across.$8x+6x=14x$ และ $10-9=1$ จากนั้นย้าย $1$ ข้าม
Factorise $2y^{2}-7y-30$ and write down its two critical values.
จงแยกตัวประกอบ $2y^{2}-7y-30$ แล้วเขียนค่าวิกฤตทั้งสอง
Answershow ▾
Check with near/far: $5\times y=5y$ and $2y\times(-6)=-12y$, and $5y-12y=-7y$.ตรวจด้วยใกล้คูณใกล้-ไกลคูณไกล: $5\times y=5y$ และ $2y\times(-6)=-12y$ รวมได้ $-7y$
$2y^{2}-7y-30=(2y+5)(y-6)$, so the critical values are $y=-\dfrac52$ and $y=6$. Pick the solution of $2y^{2}-7y-30\leqslant0$.
(A) $y=-\dfrac52$ or $y=6$
(B) $y\leqslant-\dfrac52$ or $y\geqslant6$
(C) $-\dfrac52\leqslant y\leqslant6$
$2y^{2}-7y-30=(2y+5)(y-6)$ ค่าวิกฤตคือ $y=-\dfrac52$ และ $y=6$ · จงเลือกคำตอบของ $2y^{2}-7y-30\leqslant0$
(A) $y=-\dfrac52$ หรือ $y=6$
(B) $y\leqslant-\dfrac52$ หรือ $y\geqslant6$
(C) $-\dfrac52\leqslant y\leqslant6$
Answershow ▾
(A) only gives where the expression is $0$, not where it is $\leqslant0$. (B) is the shape for $\geqslant0$, outside the roots — but the coefficient of $y^{2}$ is positive, so the curve dips below zero only between its roots. That is (C).(A) ให้แค่จุดที่นิพจน์เป็น $0$ ไม่ใช่ช่วงที่ $\leqslant0$ · (B) เป็นรูปของ $\geqslant0$ คือช่วงนอกราก แต่สัมประสิทธิ์ของ $y^{2}$ เป็นบวก กราฟจึงลงไปใต้แกนเฉพาะระหว่างรากทั้งสอง นั่นคือ (C)
Check the answer $-\dfrac52\leqslant y\leqslant6$ by testing $y=0$ (inside) and $y=10$ (outside) in $2y^{2}-7y-30$.
จงตรวจคำตอบ $-\dfrac52\leqslant y\leqslant6$ โดยแทน $y=0$ (ค่าที่อยู่ในช่วง) และ $y=10$ (ค่าที่อยู่นอกช่วง) ใน $2y^{2}-7y-30$
Answershow ▾
Inside the roots the curve is negative; outside the roots it is positive.ระหว่างรากเส้นโค้งเป็นลบ ส่วนนอกรากเป็นบวก
Solve $\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{2-x}{2}=4$. Then solve $2y^{2}-3y-14\leqslant0$.
จงแก้สมการ $\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{2-x}{2}=4$ จากนั้นจงแก้อสมการ $2y^{2}-3y-14\leqslant0$
Answershow ▾
Same two moves: clear the fractions keeping the bracket, then take the range between the roots.สองขั้นเดิม: เคลียร์เศษส่วนโดยคงวงเล็บไว้ แล้วหาช่วงระหว่างราก
(a) Solve $\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$. Show clear algebraic working.
(b) Solve the inequality $2y^{2}-7y-30 \leqslant 0$. Show your working clearly.
(ก) จงแก้สมการ $\dfrac{4x+5}{3}-\dfrac{3-2x}{2}=13$
(ข) จงแก้อสมการ $2y^{2}-7y-30 \leqslant 0$
Answershow ▾
7 marks, two separate skills. Clear the fractions keeping the bracket, then settle the range by the shape of the parabola.7 คะแนน สองสกิลแยกกัน · เคลียร์เศษส่วนโดยคงวงเล็บไว้ จากนั้นหาช่วงคำตอบจากรูปทรงของพาราโบลา
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$2(4x+5)-3(3-2x) = 13\times6$
M1ft expand both bracketsกระจายวงเล็บทั้งสอง
$8x+10-9+6x = 78$
M1ft collect like termsรวมพจน์ที่เหมือนกัน
$14x+1 = 78$
A1 the solutionคำตอบ
$14x = 77$
$x = 5.5$
M1 factorise the quadraticแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง
$2y^{2}-7y-30 = (2y+5)(y-6)$
A1 the critical valuesค่าวิกฤต (critical values)
$y = -\dfrac52 \;\text{or}\; y = 6$
A1 the inequality between the critical valuesอสมการระหว่างค่าวิกฤตทั้งสอง
$-\dfrac52 \leqslant y \leqslant 6$
Factorise a quadratic, hence solve แยกตัวประกอบ แล้วแก้สมการแบบ Hence
(i) Factorise $y^{2}-2y-48$
(ii) Hence, solve $y^{2}-2y-48=0$
(i) จงแยกตัวประกอบ $y^{2}-2y-48$
(ii) อาศัยผลจากข้อ (i) จงแก้สมการ $y^{2}-2y-48=0$
List the pairs of positive whole numbers that multiply to give $48$.
จงเขียนคู่จำนวนเต็มบวกที่คูณกันได้ $48$
Answershow ▾
Every pair of factors of $48$. The sign comes later.คู่ตัวประกอบของ $48$ ทุกคู่ ส่วนเครื่องหมายค่อยคิดทีหลัง
Two numbers multiply to give $-48$. What must be true about their signs?
จำนวนสองตัวคูณกันได้ $-48$ เครื่องหมายของทั้งสองตัวต้องเป็นอย่างไร
Answershow ▾
A negative product needs one positive factor and one negative factor.ผลคูณติดลบได้ ต้องมีตัวประกอบบวกหนึ่งตัวและลบหนึ่งตัว
In the lesson, $(y+4)(y-3)=0$. What are the two values of $y$?
ในบทเรียน $(y+4)(y-3)=0$ จงหาค่า $y$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
A product is zero only when one bracket is zero.ผลคูณเป็นศูนย์ได้ ก็ต่อเมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์
The two numbers multiply to $-48$ and add to $-2$. One is positive, one negative. Which pair is correct?
(A) $-8$ and $6$
(B) $8$ and $-6$
(C) $-4$ and $12$
จำนวนสองตัวคูณกันได้ $-48$ และบวกกันได้ $-2$ ตัวหนึ่งบวกตัวหนึ่งลบ คู่ไหนถูกต้อง
(A) $-8$ และ $6$
(B) $8$ และ $-6$
(C) $-4$ และ $12$
Answershow ▾
(B) has the right size numbers but the wrong signs: $8+(-6)=2$, not $-2$. (C) is a different factor pair of $48$: $-4+12=8$, not $-2$.(B) ขนาดถูกแต่เครื่องหมายผิด: $8+(-6)=2$ ไม่ใช่ $-2$ · (C) เป็นคู่ตัวประกอบของ $48$ คนละคู่: $-4+12=8$ ไม่ใช่ $-2$
Write $y^{2}-2y-48$ as $(y+a)(y+b)$. What two conditions must $a$ and $b$ satisfy?
เขียน $y^{2}-2y-48$ เป็น $(y+a)(y+b)$ จงหาเงื่อนไขสองข้อของ $a$ และ $b$
Answershow ▾
Expand $(y+a)(y+b)$ and match it to $y^{2}-2y-48$.กระจาย $(y+a)(y+b)$ แล้วเทียบกับ $y^{2}-2y-48$
Using $a+b=-2$ and $ab=-48$, with the pair from the decision above, find $a$ and $b$.
ใช้ $a+b=-2$ และ $ab=-48$ กับคู่จำนวนจากข้อก่อนหน้า จงหา $a$ และ $b$
Answershow ▾
$8$ and $6$ multiply to $48$; the signs from the decision make it $-8$ and $6$.$8$ กับ $6$ คูณกันได้ $48$ ส่วนเครื่องหมายจากข้อก่อนหน้าทำให้เป็น $-8$ กับ $6$
Hence, write $y^{2}-2y-48$ in factorised form.
จากนั้น จงเขียน $y^{2}-2y-48$ ในรูปแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
$a=-8$ gives the bracket $(y-8)$ and $b=6$ gives $(y+6)$.$a=-8$ ให้วงเล็บ $(y-8)$ และ $b=6$ ให้วงเล็บ $(y+6)$
Part (ii) says "Hence, solve $y^{2}-2y-48=0$." You already have $(y-8)(y+6)$ from part (i). Which method should you use?
(A) the quadratic formula
(B) completing the square
(C) set each bracket from (i) to zero
ส่วน (ii) บอกว่า "อาศัยผลจากข้อ (i) จงแก้สมการ $y^{2}-2y-48=0$" ซึ่งมี $(y-8)(y+6)$ จากข้อ (i) อยู่แล้ว ควรใช้วิธีไหน
(A) สูตรกำลังสอง
(B) การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
(C) ให้วงเล็บจากข้อ (i) เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
"Hence" means use the result just found. The formula and completing the square both re-derive what (i) already gives, for no extra marks."Hence" แปลว่าให้ใช้ผลลัพธ์ที่ได้มาแล้ว · สูตรกำลังสองและการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เป็นการหาซ้ำสิ่งที่ข้อ (i) ให้มาแล้ว โดยไม่ได้คะแนนเพิ่ม
Hence, solve $y^{2}-2y-48=0$.
จากนั้น จงแก้สมการ $y^{2}-2y-48=0$
Answershow ▾
A product is zero only when one bracket is zero.ผลคูณเป็นศูนย์ได้ ก็ต่อเมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์
Check that $y=-6$ satisfies $y^{2}-2y-48=0$.
จงตรวจว่า $y=-6$ เป็นจริงกับ $y^{2}-2y-48=0$
Answershow ▾
A correct root makes the left side equal zero.คำตอบที่ถูกต้อง ทำให้ข้างซ้ายเท่ากับศูนย์
Factorise $y^{2}-3y-10$, then hence solve $y^{2}-3y-10=0$.
จงแยกตัวประกอบ $y^{2}-3y-10$ แล้วจากนั้นแก้สมการ $y^{2}-3y-10=0$
Answershow ▾
Same two moves: find the pair, then read the solutions off the brackets.ขั้นเดิมสองขั้น: หาคู่จำนวน แล้วอ่านคำตอบจากวงเล็บ
(i) Factorise $y^{2}-2y-48$
(ii) Hence, solve $y^{2}-2y-48=0$
(i) จงแยกตัวประกอบ $y^{2}-2y-48$
(ii) อาศัยผลจากข้อ (i) จงแก้สมการ $y^{2}-2y-48=0$
Answershow ▾
3 marks. M1 for the pair, A1 for the brackets, B1 for both roots — "Hence" means the solving step is one line.3 คะแนน · M1 คู่ตัวเลข A1 วงเล็บ B1 คำตอบทั้งสอง · "Hence" แปลว่าขั้นแก้สมการมีแค่บรรทัดเดียว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(-8)\times6=-48$
$-8+6=-2$
A1 factorised formแยกตัวประกอบ
$(y-8)(y+6)$
B1 both rootsคำตอบทั้งสอง
$y=8\text{ or }y=-6$
Factorise fully, then factorise and solve แยกตัวประกอบให้หมด แล้วแยกตัวประกอบและแก้สมการ
(a) Factorise fully $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$
(b)(i) Factorise $y^{2}-3y-18$
(b)(ii) Hence, solve $y^{2}-3y-18=0$
(ก) จงแยกตัวประกอบให้หมด $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$
(b)(i) จงแยกตัวประกอบ $y^{2}-3y-18$
(b)(ii) อาศัยผลจากข้อ (b)(i) จงแก้สมการ $y^{2}-3y-18=0$
Find the highest common factor of $18$ and $21$.
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $18$ และ $21$
Answershow ▾
$3$ is the biggest number that divides both.$3$ คือจำนวนที่มากที่สุดที่หารทั้งสองตัวได้พอดี
Find the highest common factor of $c^{3}$ and $c^{2}$.
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $c^{3}$ และ $c^{2}$
Answershow ▾
The lower power is the one that divides both.กำลังที่น้อยกว่าคือตัวที่หารทั้งสองพจน์ได้พอดี
Find two integers that multiply to $-18$ and add to $-3$.
จงหาสองจำนวนเต็มที่คูณกันได้ $-18$ และบวกกันได้ $-3$
Answershow ▾
Try pairs that multiply to $-18$ until one also adds to $-3$.ลองคู่ตัวเลขที่คูณกันได้ $-18$ จนเจอคู่ที่บวกกันได้ $-3$ ด้วย
Which of these is $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$ factorised fully?
(A) $3c^{2}(6cd^{2}-7d)$
(B) $3c^{2}d(6cd-7)$
(C) $3c^{3}d(6d-7c)$
ข้อใดคือ $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$ ที่แยกตัวประกอบจนหมดแล้ว
(A) $3c^{2}(6cd^{2}-7d)$
(B) $3c^{2}d(6cd-7)$
(C) $3c^{3}d(6d-7c)$
Answershow ▾
(A) only took out $3c^{2}$: every term left in the bracket still shares a $d$, so it is algebraically true but not fully factorised, and that is the mark it loses. (C) took out $c^{3}$, but the second term only has $c^{2}$, so multiplying back gives $-21c^{4}d$, not $-21c^{2}d$ — the power taken out must be the lower one.(A) ดึงออกแค่ $3c^{2}$ พจน์ที่เหลือในวงเล็บยังมี $d$ ร่วมกันอยู่ จริงอยู่แต่ยังไม่หมด จึงไม่ได้คะแนนข้อ "ให้หมด" · (C) ดึง $c^{3}$ ออก แต่พจน์ที่สองมีแค่ $c^{2}$ คูณกลับจึงได้ $-21c^{4}d$ ไม่ใช่ $-21c^{2}d$ ต้องดึงกำลังที่น้อยกว่าออกเสมอ
Find the highest common factor of $18c^{3}d^{2}$ and $21c^{2}d$.
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $18c^{3}d^{2}$ และ $21c^{2}d$
Answershow ▾
Combine the number HCF with the lower power of each letter.นำ HCF ของตัวเลขมารวมกับกำลังที่น้อยกว่าของตัวอักษรแต่ละตัว
Factorise fully $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$.
จงแยกตัวประกอบ $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$ ให้หมด
Answershow ▾
Divide every term by the HCF from question 4.นำทุกพจน์มาหารด้วย HCF จากข้อ 4
Factorise $y^{2}-3y-18$.
จงแยกตัวประกอบ $y^{2}-3y-18$
Answershow ▾
Use the pair from question 3: $-6$ and $3$.ใช้คู่ตัวเลขจากข้อ 3 คือ $-6$ กับ $3$
You now have $(y-6)(y+3)=0$. To solve for $y$, what do you do?
(A) put $y^{2}-3y-18$ back into the quadratic formula
(B) set each bracket equal to zero, because the product is zero
(C) solve $y-6=y+3$
ตอนนี้ได้ $(y-6)(y+3)=0$ จะหา $y$ ต้องทำอย่างไร
(A) นำ $y^{2}-3y-18$ กลับไปแทนในสูตรกำลังสอง
(B) ให้แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์ เพราะผลคูณเท่ากับศูนย์
(C) แก้สมการ $y-6=y+3$
Answershow ▾
(A) throws away the factorised form you were just given and redoes the whole method for the same marks. (C) treats the two brackets as equal to each other, but the fact being used is that their PRODUCT is zero, not that the brackets are equal.(A) ทิ้งรูปที่แยกตัวประกอบไว้แล้ว แล้วทำวิธีเดิมทั้งหมดใหม่โดยได้คะแนนเท่ากัน · (C) ให้สองวงเล็บเท่ากัน แต่ข้อเท็จจริงที่ใช้คือ "ผลคูณ" เท่ากับศูนย์ ไม่ใช่วงเล็บเท่ากัน
Solve $(y-6)(y+3)=0$.
จงแก้สมการ $(y-6)(y+3)=0$
Answershow ▾
Zero product rule: if two things multiply to zero, one of them is zero.กฎผลคูณเป็นศูนย์: ถ้าสองสิ่งคูณกันได้ศูนย์ ต้องมีสิ่งหนึ่งเป็นศูนย์
Check that $y=-3$ satisfies $y^{2}-3y-18=0$.
จงตรวจว่า $y=-3$ เป็นจริงกับ $y^{2}-3y-18=0$
Answershow ▾
A correct root always makes the original equation true.คำตอบที่ถูกต้องต้องทำให้สมการตั้งต้นเป็นจริงเสมอ
(a) Factorise fully $10x^{3}y^{2}-15x^{2}y$.
(b)(i) Factorise $y^{2}+2y-15$.
(b)(ii) Hence, solve $y^{2}+2y-15=0$.
(ก) จงแยกตัวประกอบ $10x^{3}y^{2}-15x^{2}y$ ให้หมด
(ข)(i) จงแยกตัวประกอบ $y^{2}+2y-15$
(ข)(ii) อาศัยผลจากข้อ (ข)(i) จงแก้สมการ $y^{2}+2y-15=0$
Answershow ▾
Same three skills, kinder numbers: HCF with letters, then the pair, then zero product.สามทักษะเดิม ตัวเลขง่ายลง: HCF กับตัวอักษร แล้วคู่ตัวเลข แล้วผลคูณเป็นศูนย์
(a) Factorise fully $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$
(b)(i) Factorise $y^{2}-3y-18$
(b)(ii) Hence, solve $y^{2}-3y-18=0$
(ก) จงแยกตัวประกอบให้หมด $18c^{3}d^{2}-21c^{2}d$
(b)(i) จงแยกตัวประกอบ $y^{2}-3y-18$
(b)(ii) อาศัยผลจากข้อ (b)(i) จงแก้สมการ $y^{2}-3y-18=0$
Answershow ▾
5 marks across two unrelated parts: a full factorisation with letters, then factorise-and-solve.5 คะแนน สองส่วนที่ไม่เกี่ยวกัน: แยกตัวประกอบตัวอักษรให้หมด แล้วแยกตัวประกอบและแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\text{HCF}=3c^{2}d$
A1 factorised fullyแยกตัวประกอบครบ
$3c^{2}d(6cd-7)$
B1 pair: product -18, sum -3คู่ตัวเลข: คูณ -18 บวก -3
$(-6)\times3=-18$
$-6+3=-3$
A1 factorised formแยกตัวประกอบ
$(y-6)(y+3)$
B1 both rootsคำตอบทั้งสอง
$y=6\text{ or }y=-3$
A downward parabola's turning point จุดวกกลับของพาราโบลาคว่ำ
(a) Write $7+12x-3x^{2}$ in the form $a+b(x+c)^{2}$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
(b) The curve $C$ has equation $y=7+12x-3x^{2}$
The point $A$ is the turning point on $C$.
Using your answer to part (a), write down the coordinates of $A$.
(ก) จงเขียน $7+12x-3x^{2}$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=7+12x-3x^{2}$
จุด $A$ คือจุดวกกลับ (turning point) บน $C$
อาศัยคำตอบจากข้อ (a) จงบอกพิกัดของจุด $A$
Factorise $-3x^{2}+12x$, taking out a factor of $-3$.
จงแยกตัวประกอบ $-3x^{2}+12x$ โดยดึง $-3$ ออก
Answershow ▾
Divide each term by $-3$: the first term becomes $x^{2}$, the second becomes $-4x$.หารแต่ละพจน์ด้วย $-3$: พจน์แรกเหลือ $x^{2}$ พจน์ที่สองเหลือ $-4x$
Write $x^{2}-4x$ as a bracket squared, minus a correction.
จงเขียน $x^{2}-4x$ เป็นวงเล็บยกกำลังสอง ลบตัวแก้
Answershow ▾
Half of $-4$ is $-2$; the correction removes the extra $4$ the bracket adds.ครึ่งของ $-4$ คือ $-2$ · ตัวแก้คือการลบ $4$ ที่วงเล็บแถมมาออกไป
Multiply out $-3\left[(x-2)^{2}-4\right]$. Treat $(x-2)^{2}$ as a single term.
จงกระจาย $-3\left[(x-2)^{2}-4\right]$ โดยมองว่า $(x-2)^{2}$ เป็นก้อนเดียว
Answershow ▾
$-3\times(x-2)^{2}=-3(x-2)^{2}$ and $-3\times(-4)=+12$.$-3\times(x-2)^{2}=-3(x-2)^{2}$ และ $-3\times(-4)=+12$
Write $7+12x-3x^{2}$ as $7+\left[-3x^{2}+12x\right]$, then use your answer to Q1 to factor the bracket.
จงเขียน $7+12x-3x^{2}$ เป็น $7+\left[-3x^{2}+12x\right]$ แล้วใช้คำตอบจากข้อ 1 แยกตัวประกอบในวงเล็บ
Answershow ▾
Same bracket as Q1; only the $+7$ sitting outside is new.วงเล็บเหมือนข้อ 1 · มีแค่ $+7$ ข้างนอกที่เพิ่มมาใหม่
Using $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$ from Q2, rewrite $7-3(x^{2}-4x)$.
ใช้ $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$ จากข้อ 2 เขียน $7-3(x^{2}-4x)$ ใหม่
Answershow ▾
Swap the bracket for its square form from Q2; the $7$ and the outside $-3$ stay put.เปลี่ยนวงเล็บเป็นรูปกำลังสองจากข้อ 2 · ส่วน $7$ กับ $-3$ ข้างนอกไม่เปลี่ยน
Using $-3\left[(x-2)^{2}-4\right]=-3(x-2)^{2}+12$ from Q3, simplify $7-3\left[(x-2)^{2}-4\right]$ to the form $a+b(x+c)^{2}$.
ใช้ $-3\left[(x-2)^{2}-4\right]=-3(x-2)^{2}+12$ จากข้อ 3 จัดรูป $7-3\left[(x-2)^{2}-4\right]$ ให้เป็น $a+b(x+c)^{2}$
Answershow ▾
$7+12=19$: the two constants join, the squared bracket is untouched.$7+12=19$ · ค่าคงที่สองตัวรวมกัน ส่วนวงเล็บกำลังสองไม่เปลี่ยน
You have $y=19-3(x-2)^{2}$. Is the turning point $(-2,19)$, $(2,19)$, or $(2,-19)$?
(A) $(-2,19)$
(B) $(2,19)$
(C) $(2,-19)$
ได้ $y=19-3(x-2)^{2}$ จุดวกกลับคือ $(-2,19)$, $(2,19)$ หรือ $(2,-19)$?
(A) $(-2,19)$
(B) $(2,19)$
(C) $(2,-19)$
Answershow ▾
Set the bracket to zero: $x-2=0$ gives $x=2$, not $x=-2$. At $x=2$ the squared term is $0$, so $y=19$ untouched - the $-3$ only multiplies the bracket, never the standalone $19$.ให้วงเล็บเป็นศูนย์: $x-2=0$ ได้ $x=2$ ไม่ใช่ $x=-2$ · ที่ $x=2$ พจน์กำลังสองเป็น $0$ ดังนั้น $y=19$ ไม่เปลี่ยน — $-3$ คูณแค่วงเล็บ ไม่ได้คูณ $19$ ที่ยืนเดี่ยว
Hence, using $19-3(x-2)^{2}$, write down the coordinates of $A$, the turning point of $y=7+12x-3x^{2}$.
จากนั้น ใช้ $19-3(x-2)^{2}$ จงบอกพิกัดของ $A$ จุดวกกลับของ $y=7+12x-3x^{2}$
Answershow ▾
The bracket is zero at $x=2$; the leftover value is $y=19$.วงเล็บเป็นศูนย์ที่ $x=2$ ค่าที่เหลือคือ $y=19$
Check: substitute $x=2$ into $y=7+12x-3x^{2}$. Do you get $y=19$?
ตรวจสอบ: แทน $x=2$ ใน $y=7+12x-3x^{2}$ จะได้ $y=19$ ไหม
Answershow ▾
A correct completed-square form gives the same $y$ as the original, at every $x$.รูปเติมกำลังสองสมบูรณ์ที่ถูกต้อง ต้องให้ $y$ เท่ากับสมการเดิมที่ $x$ ทุกค่า
Write $5+8x-2x^{2}$ in the form $a+b(x+c)^{2}$, then write down its turning point.
จงเขียน $5+8x-2x^{2}$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ แล้วบอกจุดวกกลับ
Answershow ▾
Same three moves: factor out $-2$, halve and square, then combine the constants.สามขั้นเดิม: ดึง $-2$ ออก ครึ่งแล้วยกกำลังสอง จากนั้นรวมค่าคงที่
(a) Write $7+12x-3x^{2}$ in the form $a+b(x+c)^{2}$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
(b) The curve $C$ has equation $y=7+12x-3x^{2}$
The point $A$ is the turning point on $C$.
Using your answer to part (a), write down the coordinates of $A$.
(ก) จงเขียน $7+12x-3x^{2}$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=7+12x-3x^{2}$
จุด $A$ คือจุดวกกลับ (turning point) บน $C$
อาศัยคำตอบจากข้อ (a) จงบอกพิกัดของจุด $A$
Answershow ▾
5 marks: two for factoring and completing the square, two for the finished form, one for the point.5 คะแนน: สองคะแนนสำหรับดึงตัวประกอบกับเติมกำลังสองสมบูรณ์ สองคะแนนสำหรับรูปสุดท้าย และหนึ่งคะแนนสำหรับจุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$-3x^{2}+12x=-3(x^{2}-4x)$
M1 halve the coefficient of xแบ่งครึ่งสัมประสิทธิ์ของ x
$x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$
A1 combine the constantsรวมค่าคงที่
$-3[(x-2)^{2}-4]+7$
$=-3(x-2)^{2}+12+7$
A1 the completed formรูปที่เติมกำลังสองสมบูรณ์
$=19-3(x-2)^{2}$
B1 the turning pointจุดวกกลับ
$A=(2,19)$
A rectangle's area becomes an inequality พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้วเป็นอสมการ
Here is a rectangle.
Given that the area of the rectangle is less than $75\text{ cm}^{2}$, find the range of possible values of $x$.
นี่คือสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่ง
กำหนดให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยกว่า $75\text{ cm}^{2}$ จงหาช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Expand $(2x+3)(x-1)$.
จงกระจาย $(2x+3)(x-1)$
Answershow ▾
Multiply each term in the first bracket by each term in the second.คูณแต่ละพจน์ในวงเล็บแรกด้วยแต่ละพจน์ในวงเล็บที่สอง
Factorise $2x^{2}+x-78$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}+x-78$
Answershow ▾
Front not $1$: near $\times$ near plus far $\times$ far must give the middle term.ตัวหน้าไม่ใช่ $1$: ใกล้คูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล ต้องได้พจน์กลาง
Solve $(2x+13)(x-6)\lt0$.
จงแก้อสมการ $(2x+13)(x-6)\lt0$
Answershow ▾
The coefficient of $x^{2}$ is positive, so the product is negative only between its roots.สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เป็นบวก ผลคูณจึงเป็นลบเฉพาะระหว่างราก
A rectangle has sides $(2x+3)\text{ cm}$ and $(x-1)\text{ cm}$. Write an expression for its area.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้าน $(2x+3)\text{ cm}$ และ $(x-1)\text{ cm}$ จงเขียนนิพจน์แสดงพื้นที่ของมัน
Answershow ▾
Area of a rectangle is length times width.พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ ยาว คูณ กว้าง
Expand $(2x+3)(x-1)$, then write that the area is less than $75\text{ cm}^{2}$.
จงกระจาย $(2x+3)(x-1)$ แล้วเขียนว่าพื้นที่น้อยกว่า $75\text{ cm}^{2}$
Answershow ▾
Same expansion as question $1$.กระจายแบบเดียวกับข้อ $1$
Rearrange $2x^{2}+x-3\lt75$ so one side is $0$, then factorise.
จงจัดรูป $2x^{2}+x-3\lt75$ ให้ข้างหนึ่งเป็น $0$ แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move the $75$ across, then use question $2$ to factorise.ย้าย $75$ ข้าม แล้วใช้ข้อ $2$ แยกตัวประกอบ
$(2x+13)(x-6)\lt0$, so the critical values are $x=-6.5$ and $x=6$. Which of these is the final answer for $x$?
(A) $-6.5\lt x\lt6$
(B) $1\lt x\lt6$
(C) $x=-6.5$ or $x=6$
$(2x+13)(x-6)\lt0$ ดังนั้นค่าวิกฤตคือ $x=-6.5$ และ $x=6$ ข้อใดคือคำตอบสุดท้ายของ $x$
(A) $-6.5\lt x\lt6$
(B) $1\lt x\lt6$
(C) $x=-6.5$ หรือ $x=6$
Answershow ▾
$x-1$ is one side of the rectangle, so it has to be a positive length, not just less than $6$: that rules out $(A)$. $(C)$ keeps only the two boundary points, not the range between them. $x\gt1$ replaces $x\gt-6.5$, giving $(B)$.$x-1$ คือด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า จึงต้องเป็นความยาวที่เป็นบวก ไม่ใช่แค่น้อยกว่า $6$: ตัด $(A)$ ออกไป · $(C)$ มีแค่จุดขอบทั้งสอง ไม่ใช่ช่วง · $x\gt1$ มาแทน $x\gt-6.5$ จึงได้ $(B)$
Combine $x\gt1$ with $x\lt6$ to write the final range of $x$.
จงรวม $x\gt1$ กับ $x\lt6$ เพื่อเขียนช่วงคำตอบสุดท้ายของ $x$
Answershow ▾
The lower bound moves from $-6.5$ to $1$; the upper bound $6$ stays the same.ขอบล่างเปลี่ยนจาก $-6.5$ เป็น $1$ ส่วนขอบบน $6$ เหมือนเดิม
Check $x=4$: show that both sides of the rectangle are positive and the area is less than $75\text{ cm}^{2}$.
จงตรวจ $x=4$: แสดงว่าด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นบวก และพื้นที่น้อยกว่า $75\text{ cm}^{2}$
Answershow ▾
$x=4$ sits inside $1\lt x\lt6$, so both checks should pass.$x=4$ อยู่ในช่วง $1\lt x\lt6$ จึงควรผ่านทั้งสองการตรวจ
A rectangle has sides $(x+5)\text{ cm}$ and $(x-3)\text{ cm}$. Given that the area is less than $65\text{ cm}^{2}$, find the range of possible values of $x$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้าน $(x+5)\text{ cm}$ และ $(x-3)\text{ cm}$ กำหนดให้พื้นที่น้อยกว่า $65\text{ cm}^{2}$ จงหาช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same four moves: expand, rearrange, factorise, then keep the side positive.สี่ขั้นเดิม: กระจาย ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ แล้วรักษาด้านให้เป็นบวก
Here is a rectangle.
Given that the area of the rectangle is less than $75\text{ cm}^{2}$, find the range of possible values of $x$.
นี่คือสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่ง
กำหนดให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยกว่า $75\text{ cm}^{2}$ จงหาช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
5 marks. Three are for method, the last two need the physical restriction too.5 คะแนน · สามคะแนนเป็นวิธีทำ อีกสองคะแนนต้องใช้เงื่อนไขทางกายภาพด้วย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(2x+3)(x-1)=2x^{2}+x-3$
M1 set up the inequalityตั้งอสมการ
$2x^{2}+x-3\lt75$
$2x^{2}+x-78\lt0$
M1 factoriseแยกตัวประกอบ
$(2x+13)(x-6)\lt0$
A1 critical valuesค่าวิกฤต
$x=-6.5\text{ or }x=6$
A1 the range, with both sides positiveช่วงคำตอบ โดยด้านทั้งสองเป็นบวก
$1\lt x\lt6$
Composite function becomes a quadratic ฟังก์ชันประกอบกลายเป็นสมการกำลังสอง
The functions $g$ and $h$ are such that
$g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$
$h(x)=x^{2}+4x,\ x\geqslant0$
Solve $gh(x)=1$
กำหนดฟังก์ชัน $g$ และ $h$ ดังนี้
$g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$
$h(x)=x^{2}+4x,\ x\geqslant0$
จงแก้สมการ $gh(x)=1$
$gh(x)$ means do $h$ first, then $g$. Using $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$ and $h(x)=x^{2}+4x$, work out $gh(1)$.
$gh(x)$ หมายถึงทำ $h$ ก่อน แล้วค่อยทำ $g$ · กำหนด $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$ และ $h(x)=x^{2}+4x$ จงหา $gh(1)$
Answershow ▾
Read $gh$ from the right: the letter touching $x$ works first.อ่าน $gh$ จากขวา ตัวที่ติดกับ $x$ ทำก่อน
Solve $\dfrac{11}{2a-5}=1$ for $a$.
จงแก้สมการ $\dfrac{11}{2a-5}=1$ หา $a$
Answershow ▾
Multiply both sides by the denominator first, then it is a straight line equation.คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนก่อน จะเหลือสมการเส้นตรงธรรมดา
Simplify $\sqrt{48}$.
จงทำให้ $\sqrt{48}$ ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Pull out the largest square factor you can find.ดึงตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดออกมา
Replace $x$ in $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$ with $h(x)=x^{2}+4x$, then set $gh(x)=1$. Write the equation.
แทน $x$ ใน $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$ ด้วย $h(x)=x^{2}+4x$ แล้วให้ $gh(x)=1$ จงเขียนสมการ
Answershow ▾
$g$ acts on whatever $h(x)$ hands it, so the bracket round $x^{2}+4x$ stays.$g$ ทำงานกับสิ่งที่ $h(x)$ ส่งมาให้ วงเล็บรอบ $x^{2}+4x$ จึงต้องอยู่ครบ
Use the same move as question 2 on $\dfrac{11}{2(x^{2}+4x)-5}=1$, then collect every term on one side. Write the quadratic $=0$.
ใช้วิธีเดียวกับข้อ 2 กับ $\dfrac{11}{2(x^{2}+4x)-5}=1$ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว จงเขียนสมการกำลังสอง $=0$
Answershow ▾
Multiply by the denominator, expand the bracket, then move the $11$ across.คูณด้วยตัวส่วน กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $11$ ไปอีกข้าง
The quadratic is $x^{2}+4x-8=0$. Pick how to solve it.
(A) factorise
(B) quadratic formula
(C) complete the square
สมการกำลังสองคือ $x^{2}+4x-8=0$ จงเลือกวิธีแก้
(A) แยกตัวประกอบ
(B) สูตรควอดราติก
(C) เติมกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Factor pairs of $-8$ are $1\ \&\ -8$, $2\ \&\ -4$, $4\ \&\ -2$, $8\ \&\ -1$, and none of them add to $4$, so it will not factorise over the integers. Completing the square also works, but the formula reads straight off $a$, $b$, $c$ with no extra step.ตัวประกอบของ $-8$ มีแค่ $1\ \&\ -8$, $2\ \&\ -4$, $4\ \&\ -2$, $8\ \&\ -1$ ไม่มีคู่ไหนบวกกันได้ $4$ จึงแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มไม่ได้ · เติมกำลังสองสมบูรณ์ก็ใช้ได้เหมือนกัน แต่สูตรอ่าน $a$, $b$, $c$ ได้ตรงๆ ไม่ต้องมีขั้นเพิ่ม
The quadratic formula needs $a$, $b$, $c$ from $ax^{2}+bx+c=0$. Read them off $x^{2}+4x-8=0$, with their signs.
สูตรควอดราติกต้องใช้ $a$, $b$, $c$ จาก $ax^{2}+bx+c=0$ จงอ่านค่าจาก $x^{2}+4x-8=0$ พร้อมเครื่องหมาย
Answershow ▾
$c$ carries the minus sign that is already in front of the $8$, so do not drop it.$c$ ต้องมีเครื่องหมายลบติดมาด้วย เพราะหน้าเลข $8$ มีลบอยู่แล้ว ห้ามตกเครื่องหมาย
Write the quadratic formula with $a=1$, $b=4$, $c=-8$ substituted in, before simplifying.
จงเขียนสูตรควอดราติกโดยแทน $a=1$, $b=4$, $c=-8$ ก่อนที่จะทำให้ง่าย
Answershow ▾
Put every value in brackets first, because a bare $-4\times-8$ can lose its sign.ใส่วงเล็บรอบทุกค่าก่อนเสมอ ไม่งั้นเครื่องหมายของ $-4\times-8$ อาจหายไป
Simplify $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{48}}{2}$, then use $x\geqslant0$ to say which root is the answer.
จงทำให้ $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{48}}{2}$ ง่ายลง แล้วใช้ $x\geqslant0$ บอกว่ารากไหนคือคำตอบ
Answershow ▾
$h(x)$ is only defined for $x\geqslant0$, so a negative root cannot be the answer.$h(x)$ นิยามไว้เฉพาะ $x\geqslant0$ รากที่เป็นลบจึงเป็นคำตอบไม่ได้
Functions $p$ and $q$ are such that $p(x)=\dfrac{7}{x-2}$ and $q(x)=x^{2}+3x,\ x\geqslant0$. Solve $pq(x)=1$.
กำหนดฟังก์ชัน $p$ และ $q$ ดังนี้ $p(x)=\dfrac{7}{x-2}$ และ $q(x)=x^{2}+3x,\ x\geqslant0$ จงแก้สมการ $pq(x)=1$
Answershow ▾
Same four moves: substitute, clear the fraction, use the formula, then reject the negative root.สี่ขั้นเดิม แทนค่า จัดเศษส่วน ใช้สูตร แล้วตัดรากที่เป็นลบทิ้ง
The functions $g$ and $h$ are such that
$g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$
$h(x)=x^{2}+4x,\ x\geqslant0$
Solve $gh(x)=1$
กำหนดฟังก์ชัน $g$ และ $h$ ดังนี้
$g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$
$h(x)=x^{2}+4x,\ x\geqslant0$
จงแก้สมการ $gh(x)=1$
Answershow ▾
3 marks, 2 for method, so write $gh(x)=1$ and the quadratic before using the formula.3 คะแนน 2 คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ต้องเขียน $gh(x)=1$ และสมการกำลังสองก่อนใช้สูตร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{11}{2(x^{2}+4x)-5}=1$
M1 rearrange to a quadraticจัดเป็นสมการกำลังสอง
$2x^{2}+8x-5=11$
$x^{2}+4x-8=0$
A1 formula, reject negative rootสูตร ตัดคำตอบลบ
$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{48}}{2}$
$=-2\pm2\sqrt3$
$x=2\sqrt3-2$
Counters, no replacement, one quadratic เม็ดสี ไม่ใส่คืน หนึ่งสมการกำลังสอง
A bag contains $X$ counters.
There are only red counters and blue counters in the bag.
There are $4$ more blue counters than red counters in the bag.
Finty takes at random $2$ counters from the bag.
The probability that Finty takes $2$ blue counters from the bag is $\dfrac{3}{8}$
Work out the value of $X$.
Show clear algebraic working.
ถุงใบหนึ่งมีเม็ดสี $X$ เม็ด
ในถุงมีแต่เม็ดสีแดงกับเม็ดสีน้ำเงินเท่านั้น
จำนวนเม็ดสีน้ำเงินมากกว่าจำนวนเม็ดสีแดงอยู่ $4$ เม็ด
Finty สุ่มหยิบเม็ดสี $2$ เม็ดจากถุง
ความน่าจะเป็นที่ Finty จะหยิบได้เม็ดสีน้ำเงินทั้ง $2$ เม็ดคือ $\dfrac{3}{8}$
จงหาค่าของ $X$
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
The bag has $r$ red counters. There are $4$ more blue counters than red. Write an expression for the number of blue counters.
ในถุงมีเม็ดสีแดง $r$ เม็ด จำนวนเม็ดสีน้ำเงินมากกว่าสีแดงอยู่ $4$ เม็ด จงเขียนนิพจน์แสดงจำนวนเม็ดสีน้ำเงิน
Answershow ▾
"4 more than" means add 4 to the quantity you already have."มากกว่า...อยู่ 4" แปลว่าบวก 4 เข้ากับจำนวนที่มีอยู่แล้ว
Blue counters number $r+4$. Write an expression for $X$, the total number of counters in the bag.
เม็ดสีน้ำเงินมี $r+4$ เม็ด จงเขียนนิพจน์แสดงจำนวนเม็ดสีทั้งหมด $X$ ในถุง
Answershow ▾
The bag has only red and blue, so the total is red plus blue.ในถุงมีแต่สีแดงกับสีน้ำเงิน ผลรวมคือแดงบวกน้ำเงิน
One blue counter is taken out, leaving $r+3$ blue counters and one fewer counter overall. Expand $(r+4)(r+3)$.
เมื่อหยิบเม็ดสีน้ำเงินออกไป 1 เม็ด จะเหลือเม็ดสีน้ำเงิน $r+3$ เม็ด และจำนวนรวมลดลง 1 เม็ด จงกระจาย $(r+4)(r+3)$
Answershow ▾
Multiply each term in the first bracket by each term in the second.คูณแต่ละพจน์ในวงเล็บแรกกับแต่ละพจน์ในวงเล็บที่สอง
Before you can form the equation, decide what the letter $r$ should stand for.
(A) $r$ is the number of red counters
(B) $r$ is a red counter
(C) $r$ is the probability that a counter is red
ก่อนตั้งสมการ ต้องเลือกว่าตัวแปร $r$ แทนอะไร
(A) $r$ คือจำนวนเม็ดสีแดง
(B) $r$ คือเม็ดสีแดงหนึ่งเม็ด
(C) $r$ คือความน่าจะเป็นที่จะได้เม็ดสีแดง
Answershow ▾
(B) is an object, not a count: "a red counter plus 4" cannot be written as a number. (C) fails on a check: if $r$ were a probability, say $r=0.5$, then blue $=r+4=4.5$, and a bag cannot hold $4.5$ counters.(B) เป็นตัวของมันเอง ไม่ใช่จำนวน "เม็ดสีแดงหนึ่งเม็ดบวก 4" เขียนเป็นจำนวนไม่ได้ · (C) ตรวจแล้วผิด: ถ้า $r$ เป็นความน่าจะเป็น เช่น $r=0.5$ จะได้เม็ดสีน้ำเงิน $=r+4=4.5$ ซึ่งถุงใบหนึ่งมีเม็ดสี $4.5$ เม็ดไม่ได้
There are $X=2r+4$ counters in total, $r+4$ of them blue. Finty takes $2$ blue counters, one after another, without putting the first one back. Write the equation for this probability, which equals $\dfrac38$.
มีเม็ดสีทั้งหมด $X=2r+4$ เม็ด เป็นเม็ดสีน้ำเงิน $r+4$ เม็ด Finty หยิบเม็ดสีน้ำเงิน $2$ เม็ดทีละเม็ด โดยไม่ใส่เม็ดแรกคืน จงเขียนสมการของความน่าจะเป็นนี้ ซึ่งเท่ากับ $\dfrac38$
Answershow ▾
First blue out of the total, then one fewer blue out of one fewer total.เม็ดแรก: น้ำเงินจากทั้งหมด · เม็ดที่สอง: น้ำเงินที่เหลือจากทั้งหมดที่เหลือ
Clear the fractions in $\dfrac{(r+4)(r+3)}{(2r+4)(2r+3)}=\dfrac38$.
จงกำจัดเศษส่วนใน $\dfrac{(r+4)(r+3)}{(2r+4)(2r+3)}=\dfrac38$
Answershow ▾
Multiply each side by the other side's denominator.คูณแต่ละข้างด้วยตัวส่วนของอีกข้าง
Expanded, this is $8r^{2}+56r+96=12r^{2}+42r+36$. Pick the move that gives standard $=0$ form.
(A) subtract $8r^{2}+56r+96$ from both sides
(B) subtract $12r^{2}$ from the left side only
(C) add $56r$ to the right side only
กระจายแล้วได้ $8r^{2}+56r+96=12r^{2}+42r+36$ จงเลือกวิธีที่ทำให้ได้รูปมาตรฐาน $=0$
(A) ลบ $8r^{2}+56r+96$ จากทั้งสองข้าง
(B) ลบ $12r^{2}$ จากข้างซ้ายเท่านั้น
(C) บวก $56r$ เข้าข้างขวาเท่านั้น
Answershow ▾
Only (A) keeps both sides equal. (B) and (C) change one side and not the other, so the two sides no longer match the original equation.มีแต่ (A) ที่ทำให้ทั้งสองข้างเท่ากันเหมือนเดิม · (B) และ (C) เปลี่ยนข้างเดียว ทำให้สองข้างไม่ตรงกับสมการเดิมอีกต่อไป
Show that $8(r+4)(r+3)=3(2r+4)(2r+3)$ gives $2r^{2}-7r-30=0$.
จงแสดงว่า $8(r+4)(r+3)=3(2r+4)(2r+3)$ จัดรูปได้เป็น $2r^{2}-7r-30=0$
Answershow ▾
Expand both sides first, then move everything to one side and divide by the common factor.กระจายทั้งสองข้างก่อน แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว จากนั้นหารด้วยตัวร่วม
Solve $2r^{2}-7r-30=0$.
จงแก้สมการ $2r^{2}-7r-30=0$
Answershow ▾
Check: $(2r+5)(r-6)$ gives $-12r+5r=-7r$.ตรวจ: $(2r+5)(r-6)$ ได้ $-12r+5r=-7r$
$r=-\dfrac52$ or $r=6$. A number of counters cannot be negative or fractional. Write the valid value of $X$.
$r=-\dfrac52$ หรือ $r=6$ จำนวนเม็ดสีเป็นลบหรือเป็นเศษส่วนไม่ได้ จงเขียนค่าที่ใช้ได้ของ $X$
Answershow ▾
$r=-\dfrac52$ gives a negative, non-whole count of counters, so only $r=6$ is valid.$r=-\dfrac52$ ให้จำนวนเม็ดสีเป็นลบและไม่เป็นจำนวนเต็ม จึงใช้ได้เฉพาะ $r=6$
A bag contains $Y$ counters, only green and yellow. There are $2$ more yellow than green. Two counters are taken at random, one after another, without putting the first one back. The probability both are yellow is $\dfrac13$. Work out $Y$.
ถุงใบหนึ่งมีเม็ดสี $Y$ เม็ด มีแต่สีเขียวกับสีเหลืองเท่านั้น จำนวนเม็ดสีเหลืองมากกว่าสีเขียวอยู่ $2$ เม็ด สุ่มหยิบเม็ดสี $2$ เม็ดทีละเม็ดโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่ได้สีเหลืองทั้ง $2$ เม็ดคือ $\dfrac13$ จงหาค่าของ $Y$
Answershow ▾
Same moves: let green $=b$, form the fraction equation, clear it, solve, reject the negative root.ขั้นตอนเดิม: ให้สีเขียว $=b$ ตั้งสมการเศษส่วน กำจัดเศษส่วน แก้สมการ แล้วตัดคำตอบที่เป็นลบทิ้ง
A bag contains $X$ counters.
There are only red counters and blue counters in the bag.
There are $4$ more blue counters than red counters in the bag.
Finty takes at random $2$ counters from the bag.
The probability that Finty takes $2$ blue counters from the bag is $\dfrac{3}{8}$
Work out the value of $X$.
Show clear algebraic working.
ถุงใบหนึ่งมีเม็ดสี $X$ เม็ด
ในถุงมีแต่เม็ดสีแดงกับเม็ดสีน้ำเงินเท่านั้น
จำนวนเม็ดสีน้ำเงินมากกว่าจำนวนเม็ดสีแดงอยู่ $4$ เม็ด
Finty สุ่มหยิบเม็ดสี $2$ เม็ดจากถุง
ความน่าจะเป็นที่ Finty จะหยิบได้เม็ดสีน้ำเงินทั้ง $2$ เม็ดคือ $\dfrac{3}{8}$
จงหาค่าของ $X$
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Four are for method, so write every line, including the rejected root.5 คะแนน · สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จึงต้องเขียนทุกบรรทัด รวมถึงคำตอบที่ถูกตัดทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\text{blue}=r+4$
$X=2r+4$
M1 probability as a combinationความน่าจะเป็นแบบหยิบพร้อมกัน
$\dfrac{(r+4)(r+3)}{(2r+4)(2r+3)}=\dfrac38$
M1 clear the fractionsกำจัดเศษส่วน
$8(r+4)(r+3)=3(2r+4)(2r+3)$
M1 expand and simplifyกระจายแล้วจัดรูป
$8r^{2}+56r+96=12r^{2}+42r+36$
$2r^{2}-7r-30=0$
A1 solve and reject the invalid rootแก้สมการแล้วตัดคำตอบที่เป็นไปไม่ได้
$(2r+5)(r-6)=0$
$r=6$
$X=2(6)+4$
$=16$
Counters flipped, never removed พลิกเม็ดสี ไม่มีการเอาออก
Elliot has $x$ counters.
Each counter has one red face and one green face.
Elliot spreads all the counters out on a table and sees that the number of counters showing a red face is $5$
Elliot then picks at random one of the counters and turns the counter over.
He then picks at random a second counter and turns the counter over.
The probability that there are still $5$ counters showing a red face is $\dfrac{19}{32}$
Work out the value of $x$
Show clear algebraic working.
Elliot มีเม็ดสี $x$ เม็ด
เม็ดสีแต่ละเม็ดมีด้านหนึ่งเป็นสีแดงและอีกด้านเป็นสีเขียว
Elliot วางเม็ดสีทั้งหมดบนโต๊ะแล้วพบว่าจำนวนเม็ดที่หงายด้านแดงมี $5$ เม็ด
Elliot สุ่มหยิบเม็ดสีมา $1$ เม็ดแล้วพลิกกลับด้าน
จากนั้นสุ่มหยิบเม็ดที่สองแล้วพลิกกลับด้าน
ความน่าจะเป็นที่ยังมีเม็ดหงายด้านแดง $5$ เม็ดเท่าเดิมคือ $\dfrac{19}{32}$
จงหาค่าของ $x$
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
A tray has $20$ counters. Each shows either a red face or a green face. $5$ of them show a red face. Pick one counter at random. Write the probability that it shows a red face.
ถาดหนึ่งมีเม็ดสี $20$ เม็ด แต่ละเม็ดหงายหน้าแดงหรือหน้าเขียว มี $5$ เม็ดที่หงายหน้าแดง สุ่มหยิบเม็ดสี $1$ เม็ด จงหาความน่าจะเป็นที่จะหงายหน้าแดง
Answershow ▾
The probability of a colour is that colour's count over the total count.ความน่าจะเป็นของสีหนึ่ง คือจำนวนสีนั้นหารด้วยจำนวนทั้งหมด
Elliot picks a counter from the same tray of $20$ and turns it over. The counter stays on the tray. He then picks a second counter at random. Write the probability that the second pick is the SAME counter as the first.
Elliot สุ่มหยิบเม็ดสีจากถาดเดิมที่มี $20$ เม็ด แล้วพลิกกลับ เม็ดสีนั้นยังอยู่บนถาด จากนั้นสุ่มหยิบเม็ดที่สอง จงหาความน่าจะเป็นที่เม็ดที่สองเป็นเม็ดเดียวกับเม็ดแรก
Answershow ▾
The counter was never taken off the tray, so the second pick still has all $20$ counters to choose from, and only $1$ of them is the one just flipped.เม็ดสีไม่ได้ถูกเอาออกจากถาด การหยิบครั้งที่สองจึงยังมีให้เลือกครบ $20$ เม็ด และมีเพียง $1$ เม็ดที่เป็นเม็ดที่เพิ่งพลิก
Multiply $\dfrac{5}{20}$ and $\dfrac{15}{20}$, and simplify your answer.
จงคูณ $\dfrac{5}{20}$ กับ $\dfrac{15}{20}$ แล้วทำให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย
Answershow ▾
Multiply numerator by numerator and denominator by denominator, then cancel a common factor.คูณเศษด้วยเศษ และส่วนด้วยส่วน แล้วตัดตัวประกอบร่วม
Elliot picks a counter and turns it over. Is that counter still on the tray for the second pick?
(A) no — a counter that has been turned over is set aside, so the second pick is from one fewer counter
(B) yes — turning a counter over does not remove it, so the second pick is still from every counter on the tray
(C) yes, but a counter just turned over cannot be picked again straight away, so the second pick is from one fewer counter
Elliot สุ่มหยิบเม็ดสีมาพลิกกลับ เม็ดนั้นยังอยู่บนถาดสำหรับการหยิบครั้งที่สองหรือไม่
(A) ไม่อยู่ — เม็ดที่พลิกแล้วถูกแยกออกไป การหยิบครั้งที่สองจึงเหลือน้อยลงหนึ่งเม็ด
(B) อยู่ — การพลิกเม็ดสีไม่ได้เอาเม็ดนั้นออก การหยิบครั้งที่สองจึงยังมีเม็ดสีทุกเม็ดบนถาดให้เลือก
(C) อยู่ แต่เม็ดที่เพิ่งพลิกไปหยิบซ้ำทันทีไม่ได้ การหยิบครั้งที่สองจึงเหลือน้อยลงหนึ่งเม็ด
Answershow ▾
Turning a counter over only changes which face is up — it never leaves the tray. So nothing is taken away between the two picks, and both picks choose from the same full set of counters. (A) and (C) both imagine a counter leaving the tray, which never happens here.การพลิกเม็ดสีเปลี่ยนแค่หน้าที่หงายขึ้น ไม่เคยเอาเม็ดนั้นออกจากถาด การหยิบทั้งสองครั้งจึงเลือกจากเม็ดสีชุดเดิมครบทุกเม็ด · (A) และ (C) ต่างคิดว่ามีเม็ดสีหายไปจากถาด ซึ่งไม่เคยเกิดขึ้นในโจทย์นี้
Elliot has $x$ counters, $5$ of which show a red face, the rest green. He picks one at random, turns it over, then picks a second at random (the first counter is still on the tray). Write the probability that the second pick is the SAME counter as the first, in terms of $x$.
Elliot มีเม็ดสี $x$ เม็ด $5$ เม็ดหงายหน้าแดง ที่เหลือหงายหน้าเขียว เขาสุ่มหยิบ $1$ เม็ดแล้วพลิกกลับ จากนั้นสุ่มหยิบเม็ดที่สอง (เม็ดแรกยังอยู่บนถาด) จงหาความน่าจะเป็นที่เม็ดที่สองเป็นเม็ดเดียวกับเม็ดแรก ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Picking any one particular counter out of $x$ is $1$ chance out of $x$ — colour does not matter here.การหยิบเม็ดใดเม็ดหนึ่งที่เจาะจงจาก $x$ เม็ด คือ $1$ ใน $x$ · สีไม่เกี่ยวกับขั้นนี้
Write the probability that the two picks are different colours — one red-showing and one green-showing, in either order — in terms of $x$.
จงหาความน่าจะเป็นที่การหยิบสองครั้งได้คนละสี คือได้หน้าแดงหนึ่งครั้งและหน้าเขียวหนึ่งครั้ง ไม่ว่าลำดับใด ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Red then green is $\dfrac5x\times\dfrac{x-5}x$. Green then red is the same product the other way round, so add the two orders.หน้าแดงแล้วหน้าเขียวคือ $\dfrac5x\times\dfrac{x-5}x$ · หน้าเขียวแล้วหน้าแดงได้ผลคูณเดียวกันแต่สลับลำดับ จึงบวกสองลำดับเข้าด้วยกัน
You have $P(\text{same counter})=\dfrac1x$ and $P(\text{cross colours})=\dfrac{10(x-5)}{x^{2}}$. These are the only two ways the count of red-showing counters stays at $5$. What do you do with the two probabilities?
(A) add them, because either one happening on its own keeps the count at $5$
(B) multiply them, because both have to happen
(C) subtract the smaller one from the larger one
ได้ ความน่าจะเป็นที่หยิบเม็ดเดียวกันสองครั้ง $=\dfrac1x$ และ ความน่าจะเป็นที่หยิบคนละสี $=\dfrac{10(x-5)}{x^{2}}$ ทั้งสองคือสองทางเดียวที่ทำให้จำนวนเม็ดหงายแดงยังเป็น $5$ จะนำความน่าจะเป็นสองค่านี้มารวมกันอย่างไร
(A) บวกกัน เพราะเกิดทางใดทางหนึ่งก็ทำให้จำนวนยังเป็น $5$
(B) คูณกัน เพราะต้องเกิดทั้งสองทาง
(C) นำค่าน้อยไปลบค่ามาก
Answershow ▾
Same counter twice and cross colours cannot both happen on the same two picks — they are two separate, non-overlapping ways to end up with $5$ red-showing. The probability that EITHER one happens is the sum. Multiplying is for two things that both have to happen together, which is not the case here.เม็ดเดียวกันสองครั้ง กับคนละสี เกิดพร้อมกันในการหยิบสองครั้งเดียวกันไม่ได้ ทั้งสองเป็นทางที่แยกจากกันที่ทำให้ยังได้ $5$ หน้าแดง ความน่าจะเป็นที่เกิดทางใดทางหนึ่งคือผลบวก · การคูณใช้กับสองเหตุการณ์ที่ต้องเกิดพร้อมกัน ซึ่งไม่ใช่กรณีนี้
Use your last two answers to write the equation for $P(\text{still }5\text{ red-showing}) = \dfrac{19}{32}$.
ใช้สองคำตอบล่าสุดเขียนสมการของ ความน่าจะเป็นที่ยังหงายแดง $5$ เม็ด ที่เท่ากับ $\dfrac{19}{32}$
Answershow ▾
Same counter, or cross colours — add the two probabilities, as decided above.เม็ดเดียวกัน หรือคนละสี — บวกสองความน่าจะเป็นตามที่ตัดสินใจไว้ข้างบน
Clear the fractions in $\dfrac1x+\dfrac{10(x-5)}{x^{2}}=\dfrac{19}{32}$ and collect every term onto one side, equal to $0$.
จงกำจัดเศษส่วนใน $\dfrac1x+\dfrac{10(x-5)}{x^{2}}=\dfrac{19}{32}$ แล้วย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียว ให้เท่ากับ $0$
Answershow ▾
Write the left side over the one denominator $x^{2}$ first, then cross-multiply with the $32$.เขียนด้านซ้ายให้มีตัวส่วนเดียวคือ $x^{2}$ ก่อน แล้วคูณไขว้กับ $32$
Solve $19x^{2}-352x+1600=0$ by factorising. Which root is the value of $x$, and why is the other one rejected?
จงแก้สมการ $19x^{2}-352x+1600=0$ โดยแยกตัวประกอบ คำตอบใดคือค่าของ $x$ และอีกคำตอบถูกตัดทิ้งเพราะอะไร
Answershow ▾
A count of counters must be a positive whole number, so a root that is not a whole number is thrown out.จำนวนเม็ดสีต้องเป็นจำนวนเต็มบวก คำตอบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจึงถูกตัดทิ้ง
A different tray has $y$ counters, $2$ of which show a red face, the rest green. Elliot picks one at random, turns it over, then picks a second at random (the first counter is still there). The probability that there are still $2$ red-showing counters is $\dfrac{21}{50}$. Find $y$.
ถาดอื่นมีเม็ดสี $y$ เม็ด $2$ เม็ดหงายหน้าแดง ที่เหลือหงายหน้าเขียว Elliot สุ่มหยิบ $1$ เม็ดแล้วพลิกกลับ จากนั้นสุ่มหยิบเม็ดที่สอง (เม็ดแรกยังอยู่) ความน่าจะเป็นที่ยังหงายแดง $2$ เม็ดคือ $\dfrac{21}{50}$ จงหาค่าของ $y$
Answershow ▾
Same four moves as before: same counter, cross colours, add, then solve — one root is rejected because it is not a whole number.ใช้สี่ขั้นเดิม: เม็ดเดียวกัน คนละสี บวกกัน แล้วแก้สมการ — คำตอบหนึ่งถูกตัดทิ้งเพราะไม่ใช่จำนวนเต็ม
Elliot has $x$ counters.
Each counter has one red face and one green face.
Elliot spreads all the counters out on a table and sees that the number of counters showing a red face is $5$
Elliot then picks at random one of the counters and turns the counter over.
He then picks at random a second counter and turns the counter over.
The probability that there are still $5$ counters showing a red face is $\dfrac{19}{32}$
Work out the value of $x$
Show clear algebraic working.
Elliot มีเม็ดสี $x$ เม็ด
เม็ดสีแต่ละเม็ดมีด้านหนึ่งเป็นสีแดงและอีกด้านเป็นสีเขียว
Elliot วางเม็ดสีทั้งหมดบนโต๊ะแล้วพบว่าจำนวนเม็ดที่หงายด้านแดงมี $5$ เม็ด
Elliot สุ่มหยิบเม็ดสีมา $1$ เม็ดแล้วพลิกกลับด้าน
จากนั้นสุ่มหยิบเม็ดที่สองแล้วพลิกกลับด้าน
ความน่าจะเป็นที่ยังมีเม็ดหงายด้านแดง $5$ เม็ดเท่าเดิมคือ $\dfrac{19}{32}$
จงหาค่าของ $x$
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, 4 for method — write the same-counter case, the cross-colours case, the equation, and check the root.5 คะแนน · 4 คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ — เขียนกรณีเม็ดเดียวกัน กรณีคนละสี สมการ แล้วตรวจคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$P(\text{same counter})=\dfrac1x$
M1 two counters, cross coloursสองเม็ดคนละสี
$P(\text{cross})=\dfrac{2\times5\times(x-5)}{x^{2}}$
M1 add the two cases and equateบวกสองกรณีแล้วให้เท่ากับความน่าจะเป็นที่กำหนด
$\dfrac1x+\dfrac{10(x-5)}{x^{2}}=\dfrac{19}{32}$
M1 clear the fractionsกำจัดเศษส่วน
$32(11x-50)=19x^{2}$
$19x^{2}-352x+1600=0$
A1 solve and reject the non-integer rootแก้สมการแล้วตัดคำตอบที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
$(x-8)(19x-200)=0$
$x=8$
Complete the square with a letter in it เติมกำลังสองสมบูรณ์เมื่อมีตัวอักษรเข้ามา
Express each of $a$, $b$ and $c$ in terms of $q$ so that
$q+12x-qx^{2}$
can be written as $a-b(x-c)^{2}$
จงเขียน $a$, $b$ และ $c$ ในรูปของ $q$ โดยที่
$q+12x-qx^{2}$
เขียนได้เป็น $a-b(x-c)^{2}$
Complete the square for $2+12x-2x^{2}$. Write it as $a-b(x-c)^{2}$ and give $a$, $b$, $c$.
จงทำ $2+12x-2x^{2}$ ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เขียนเป็น $a-b(x-c)^{2}$ แล้วบอกค่า $a$, $b$, $c$
Answershow ▾
Factor out $-2$, halve and square inside the bracket, then combine what is left outside.ดึง $-2$ ออกก่อน หารครึ่งแล้วยกกำลังสองในวงเล็บ จากนั้นรวมสิ่งที่เหลือข้างนอก
Now complete the square for $3+12x-3x^{2}$, writing it as $a-b(x-c)^{2}$.
ทีนี้จงทำ $3+12x-3x^{2}$ ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เขียนเป็น $a-b(x-c)^{2}$
Answershow ▾
Same three moves as question 1, with a different number in front of $x^{2}$.สามขั้นเดิมจากข้อ 1 แต่เปลี่ยนตัวเลขหน้า $x^{2}$
In both workings, $b$ was just the number you factored out, and $c$ was half the number inside the bracket — no extra sum either time. Which of $a$, $b$, $c$ needed you to add two numbers together?
ทั้งสองข้อ $b$ คือตัวเลขที่ดึงออกมาตรงๆ และ $c$ คือครึ่งของตัวเลขในวงเล็บ ไม่ต้องบวกอะไรเพิ่ม มีแต่ตัวไหนใน $a$, $b$, $c$ ที่ต้องเอาตัวเลขสองตัวมาบวกกัน
Answershow ▾
$a$ comes from combining the number outside the bracket with the squared term taken out. $b$ and $c$ are direct reads, even once the number becomes a letter.$a$ มาจากการรวมตัวเลขข้างนอกวงเล็บกับพจน์กำลังสองที่ดึงออกมา · $b$ กับ $c$ อ่านตรงๆได้เลย แม้ตัวเลขจะกลายเป็นตัวอักษร
You know $x^{2}-\dfrac{12}{q}x=\left(x-\dfrac6q\right)^{2}+\square$. What goes in $\square$?
(A) $0$
(B) $\left(\dfrac6q\right)^{2}$
(C) $-\left(\dfrac6q\right)^{2}$
ได้ $x^{2}-\dfrac{12}{q}x=\left(x-\dfrac6q\right)^{2}+\square$ ในกล่อง $\square$ ควรเป็นอะไร
(A) $0$
(B) $\left(\dfrac6q\right)^{2}$
(C) $-\left(\dfrac6q\right)^{2}$
Answershow ▾
Expand $\left(x-\dfrac6q\right)^{2}$: it already contains $+\left(\dfrac6q\right)^{2}$. Subtracting that same amount is what takes it back out. (A) leaves it sitting there; (B) doubles it instead of cancelling it.กระจาย $\left(x-\dfrac6q\right)^{2}$ แล้วจะเจอ $+\left(\dfrac6q\right)^{2}$ อยู่แล้ว การลบจำนวนเท่านี้คือสิ่งที่เอามันออก · (A) ปล่อยมันไว้เฉยๆ (B) กลับเพิ่มเป็นสองเท่าแทนที่จะหักออก
Factor $-q$ out of $12x-qx^{2}$.
จงดึง $-q$ ออกจาก $12x-qx^{2}$
Answershow ▾
Dividing $-qx^{2}$ by $-q$ gives $x^{2}$; dividing $12x$ by $-q$ gives $-\dfrac{12}{q}x$.$-qx^{2}\div(-q)$ ได้ $x^{2}$ และ $12x\div(-q)$ ได้ $-\dfrac{12}{q}x$
Half of $\dfrac{12}{q}$ is $c$. What is $c$?
ครึ่งของ $\dfrac{12}{q}$ คือ $c$ จงหา $c$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $x$, exactly as with a number — the $q$ just comes along underneath.หารครึ่งสัมประสิทธิ์ของ $x$ เหมือนตอนเป็นตัวเลข เพียงแค่ $q$ ติดมาข้างใต้ด้วย
Using $c=\dfrac6q$ and the correction from the last question, write $x^{2}-\dfrac{12}{q}x$ in completed-square form.
ใช้ $c=\dfrac6q$ และตัวแก้จากข้อก่อนหน้า จงเขียน $x^{2}-\dfrac{12}{q}x$ ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
$b=q$ and $c=\dfrac6q$ are already settled. Only $a$ is left.$b=q$ และ $c=\dfrac6q$ เสร็จแล้ว เหลือแค่ $a$
Multiply $\left(x-\dfrac6q\right)^{2}-\dfrac{36}{q^{2}}$ back by $-q$, then add the $q$ that was outside the bracket from the start. Find $a$.
คูณ $\left(x-\dfrac6q\right)^{2}-\dfrac{36}{q^{2}}$ ด้วย $-q$ กลับ แล้วบวก $q$ ที่อยู่ข้างนอกวงเล็บตั้งแต่แรก จงหา $a$
Answershow ▾
$-q\times\left(-\dfrac{36}{q^{2}}\right)=\dfrac{36}{q}$: two negatives make a positive, and one $q$ cancels.$-q\times\left(-\dfrac{36}{q^{2}}\right)=\dfrac{36}{q}$: ลบคูณลบได้บวก และ $q$ ตัวหนึ่งตัดกัน
Check the formulas by putting $q=2$. Do $a=q+\dfrac{36}{q}$, $b=q$, $c=\dfrac6q$ match question 1?
ตรวจสูตรโดยแทน $q=2$ ค่า $a=q+\dfrac{36}{q}$, $b=q$, $c=\dfrac6q$ ตรงกับข้อ 1 หรือไม่
Answershow ▾
If a parameter answer does not reduce back to the numeric one, a sign or a division slipped.ถ้าคำตอบแบบพารามิเตอร์ไม่ย่อกลับไปตรงกับคำตอบแบบตัวเลข แสดงว่าเครื่องหมายหรือการหารพลาดที่ไหนสักแห่ง
Complete the square: write $k+8x-kx^{2}$ as $a-b(x-c)^{2}$, giving $a$, $b$, $c$ in terms of $k$.
จงทำ $k+8x-kx^{2}$ ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เขียนเป็น $a-b(x-c)^{2}$ โดยบอก $a$, $b$, $c$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
Same four moves, a new letter and new numbers: factor, halve, subtract, recombine.สี่ขั้นเดิม เปลี่ยนแค่ตัวอักษรและตัวเลข: ดึงตัวร่วม หารครึ่ง หักออก แล้วรวมกลับ
Express each of $a$, $b$ and $c$ in terms of $q$ so that
$q+12x-qx^{2}$
can be written as $a-b(x-c)^{2}$
จงเขียน $a$, $b$ และ $c$ ในรูปของ $q$ โดยที่
$q+12x-qx^{2}$
เขียนได้เป็น $a-b(x-c)^{2}$
Answershow ▾
4 marks: M1 factor out, M1 halve and subtract, A1 for $b$ and $c$, A1 for $a$ — every mark is algebra, no numbers to substitute.4 คะแนน: M1 ดึงตัวร่วม M1 หารครึ่งแล้วหักออก A1 ของ $b$ กับ $c$ A1 ของ $a$ ทุกคะแนนเป็นพีชคณิต ไม่มีตัวเลขให้แทน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$-qx^{2}+12x=-q\left(x^{2}-\dfrac{12}{q}x\right)$
M1 halve the coefficient of xแบ่งครึ่งสัมประสิทธิ์ของ x
$x^{2}-\dfrac{12}{q}x=\left(x-\dfrac6q\right)^{2}-\dfrac{36}{q^{2}}$
A1 b and cค่า b กับ c
$b=q$
$c=\dfrac6q$
A1 combine the constants for aรวมค่าคงที่เพื่อหา a
$-q\left(-\dfrac{36}{q^{2}}\right)+q=\dfrac{36}{q}+q$
$a=q+\dfrac{36}{q}$
Complete the square, then invert เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
(a) The function $f$ is such that $f(x)=5+6x-x^{2}$ for $x\leqslant3$
Express $5+6x-x^{2}$ in the form $p-(x-q)^{2}$ where $p$ and $q$ are constants.
(b) Using your answer to part (a), find the range of values of $x$ for which $f^{-1}(x)$ is positive.
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=5+6x-x^{2}$ สำหรับ $x\leqslant3$
จงเขียน $5+6x-x^{2}$ ในรูป $p-(x-q)^{2}$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่
(ข) อาศัยคำตอบจากข้อ (a) จงหาช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้ $f^{-1}(x)$ เป็นบวก
A function does $\times2$ then $+3$: $g(x)=2x+3$. Work out $g^{-1}(11)$.
ฟังก์ชันหนึ่งทำ $\times2$ แล้ว $+3$: $g(x)=2x+3$ จงหา $g^{-1}(11)$
Answershow ▾
Undo the last box first: subtract 3, then divide by 2.ย้อนกล่องหลังสุดก่อน: ลบ 3 แล้วหารด้วย 2
Make $x$ the subject of $(x-3)^{2}=14-y$.
จงทำให้ $x$ เป็นตัวแปรหลักจาก $(x-3)^{2}=14-y$
Answershow ▾
Square root both sides first; the root can be positive or negative.ถอดรากทั้งสองข้างก่อน รากอาจเป็นบวกหรือลบ
For $\sqrt{14-x}$ to be a real number, what values can $x$ take?
เพื่อให้ $\sqrt{14-x}$ เป็นจำนวนจริง $x$ มีค่าได้เท่าใด
Answershow ▾
The number under a square root cannot be negative.ตัวเลขใต้เครื่องหมายกรณ์ต้องไม่เป็นลบ
Express $5+6x-x^{2}$ in the form $p-(x-q)^{2}$.
จงเขียน $5+6x-x^{2}$ ในรูป $p-(x-q)^{2}$
Answershow ▾
Take out $-1$ from the $x$ terms first, then complete the square inside the bracket.ดึง $-1$ จากพจน์ $x$ ก่อน แล้วเติมกำลังสองสมบูรณ์ในวงเล็บ
Let $y=14-(x-3)^{2}$. Make $(x-3)^{2}$ the subject.
ให้ $y=14-(x-3)^{2}$ จงทำให้ $(x-3)^{2}$ เป็นตัวแปรหลัก
Answershow ▾
Move the squared bracket to one side and $y$ to the other.ย้ายวงเล็บกำลังสองไปข้างหนึ่ง และย้าย $y$ ไปอีกข้าง
Square root both sides of $(x-3)^{2}=14-y$.
จงถอดรากที่สองทั้งสองข้างของ $(x-3)^{2}=14-y$
Answershow ▾
A square root undoes a square two ways, $+$ and $-$.การถอดรากที่สองย้อนกำลังสองได้สองทาง คือ $+$ และ $-$
You have $x-3=\pm\sqrt{14-y}$, and $f$ has domain $x\leqslant3$. Which sign is correct for $f^{-1}$?
(A) always $+$
(B) always $-$, because $x\leqslant3$ means $x-3\leqslant0$
(C) $+$ when $y$ is positive, $-$ when $y$ is negative
มี $x-3=\pm\sqrt{14-y}$ และ $f$ มีโดเมน $x\leqslant3$ เครื่องหมายใดถูกต้องสำหรับ $f^{-1}$
(A) เป็น $+$ เสมอ
(B) เป็น $-$ เสมอ เพราะ $x\leqslant3$ ทำให้ $x-3\leqslant0$
(C) เป็น $+$ เมื่อ $y$ เป็นบวก และเป็น $-$ เมื่อ $y$ เป็นลบ
Answershow ▾
The domain of $f$ fixes the sign of $x-3$ for every output, so it does not depend on $y$ at all; (A) is the other branch, where $x\geqslant3$.โดเมนของ $f$ กำหนดเครื่องหมายของ $x-3$ ไว้แน่นอนสำหรับทุกค่าเอาต์พุต ไม่ขึ้นกับ $y$ เลย · (A) คือกิ่งอีกด้าน ซึ่ง $x\geqslant3$
Using $x-3=-\sqrt{14-y}$, write $f^{-1}(x)$ (rename $y$ to $x$).
จาก $x-3=-\sqrt{14-y}$ จงเขียน $f^{-1}(x)$ (เปลี่ยนชื่อ $y$ เป็น $x$)
Answershow ▾
Add 3 to both sides, then the inverse's own input is called $x$.บวก 3 ทั้งสองข้าง แล้วตัวแปรต้นของฟังก์ชันผกผันเรียกว่า $x$
Check $f^{-1}(x)=3-\sqrt{14-x}$ by working out $f^{-1}(14)$, then $f$ of that answer. Do you get back to $14$?
จงตรวจ $f^{-1}(x)=3-\sqrt{14-x}$ โดยหา $f^{-1}(14)$ แล้วหา $f$ ของคำตอบนั้น ได้กลับมาเป็น $14$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct inverse always returns the number you started with.ฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้องจะให้ค่าเดิมที่เริ่มต้นกลับมาเสมอ
The question asks where $f^{-1}(x)$ is positive. Which equation do you actually solve?
(A) $x\gt0$
(B) $f^{-1}(x)\gt0$, i.e. $3-\sqrt{14-x}\gt0$
(C) $f(x)\gt0$
คำถามถามหาช่วงที่ $f^{-1}(x)$ เป็นบวก ต้องแก้สมการใดจริง ๆ
(A) $x\gt0$
(B) $f^{-1}(x)\gt0$ คือ $3-\sqrt{14-x}\gt0$
(C) $f(x)\gt0$
Answershow ▾
"$f^{-1}(x)$ is positive" is about the OUTPUT of $f^{-1}$, not about $x$ itself; (A) answers a different question, and (C) tests the wrong function."$f^{-1}(x)$ เป็นบวก" พูดถึงเอาต์พุตของ $f^{-1}$ ไม่ใช่ตัว $x$ เอง · (A) ตอบคำถามคนละข้อ และ (C) ตรวจฟังก์ชันผิดตัว
$f(x)=8+2x-x^{2}$ for $x\leqslant1$. Write $8+2x-x^{2}$ in the form $p-(x-q)^{2}$, then find the range of $x$ for which $f^{-1}(x)$ is positive.
$f(x)=8+2x-x^{2}$ สำหรับ $x\leqslant1$ จงเขียน $8+2x-x^{2}$ ในรูป $p-(x-q)^{2}$ แล้วหาช่วงของ $x$ ที่ทำให้ $f^{-1}(x)$ เป็นบวก
Answershow ▾
Same three moves as the real question: complete the square, invert it one layer at a time, then solve $f^{-1}(x)\gt0$.ขั้นตอนเดียวกับข้อจริงสามขั้น: เติมกำลังสองสมบูรณ์ หาฟังก์ชันผกผันทีละชั้น แล้วแก้ $f^{-1}(x)\gt0$
(a) The function $f$ is such that $f(x)=5+6x-x^{2}$ for $x\leqslant3$
Express $5+6x-x^{2}$ in the form $p-(x-q)^{2}$ where $p$ and $q$ are constants.
(b) Using your answer to part (a), find the range of values of $x$ for which $f^{-1}(x)$ is positive.
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=5+6x-x^{2}$ สำหรับ $x\leqslant3$
จงเขียน $5+6x-x^{2}$ ในรูป $p-(x-q)^{2}$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่
(ข) อาศัยคำตอบจากข้อ (a) จงหาช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้ $f^{-1}(x)$ เป็นบวก
Answershow ▾
7 marks across two parts; the $\lt$ is strict because $f^{-1}(5)=0$ is not positive, but $\leqslant14$ comes from the domain.7 คะแนนจากสองข้อ · เครื่องหมาย $\lt$ เป็นแบบเคร่งครัดเพราะ $f^{-1}(5)=0$ ไม่เป็นบวก ส่วน $\leqslant14$ มาจากโดเมน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$5+6x-x^{2}=-(x^{2}-6x)+5$
$=-[(x-3)^{2}-9]+5$
A1 the completed formรูปที่เติมสมบูรณ์
$=14-(x-3)^{2}$
M1 let y = f(x)ให้ y = f(x)
$y=14-(x-3)^{2}$
$(x-3)^{2}=14-y$
M1 square root both sidesถอดรากทั้งสองข้าง
$x-3=\pm\sqrt{14-y}$
A1 choose the correct branchเลือกกิ่งที่ถูกต้อง
$x-3=-\sqrt{14-y}$
$f^{-1}(x)=3-\sqrt{14-x}$
M1 set the inverse positiveให้ฟังก์ชันผกผันเป็นบวก
$3-\sqrt{14-x}\gt0$
$9\gt14-x$
$x\gt5$
A1 combine with the domainรวมกับโดเมน
$5\lt x\leqslant14$
Add two equations to cancel a letter บวกสองสมการให้ตัวแปรหายไป
Solve the simultaneous equations
$3x+5y=6$
$7x-5y=-11$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$3x+5y=6$
$7x-5y=-11$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Work out $5y+(-5y)$.
จงหาค่า $5y+(-5y)$
Answershow ▾
Same size, opposite sign: they cancel to zero.ขนาดเท่ากัน เครื่องหมายตรงข้าม จึงหักกันเป็นศูนย์
Simplify $3x+7x$.
จงทำให้ง่าย $3x+7x$
Answershow ▾
Add the coefficients: $3+7=10$.บวกสัมประสิทธิ์: $3+7=10$
Solve $10x=-5$ for $x$.
จงแก้สมการ $10x=-5$ หา $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $10$; negative over positive stays negative.หารทั้งสองข้างด้วย $10$ · ลบหารบวก ยังคงเป็นลบ
$3x+5y=6$ ① and $7x-5y=-11$ ②. Pick the first move.
(A) multiply ① by $2$, leave ② as it is
(B) leave both equations as they are
(C) multiply ① by $3$ and ② by $2$
$3x+5y=6$ ① และ $7x-5y=-11$ ② จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณ ① ด้วย $2$ ปล่อย ② ไว้เดิม
(B) ปล่อยทั้งสองสมการไว้เดิม
(C) คูณ ① ด้วย $3$ และคูณ ② ด้วย $2$
Answershow ▾
(A) gives $6x+10y=12$ and $7x-5y=-11$: $x$ is $6$ against $7$, $y$ is $10$ against $-5$, neither pair matches. (C) gives $9x+15y=18$ and $14x-10y=-22$: $x$ is $9$ against $14$, $y$ is $15$ against $-10$, neither pair matches. (B) already has $y$ as $5$ and $-5$, the same size, so no multiplying is needed.(A) ได้ $6x+10y=12$ และ $7x-5y=-11$: $x$ เทียบ $6$ กับ $7$ ไม่เท่ากัน $y$ เทียบ $10$ กับ $-5$ ก็ไม่เท่ากัน · (C) ได้ $9x+15y=18$ และ $14x-10y=-22$: $x$ เทียบ $9$ กับ $14$ ไม่เท่ากัน $y$ เทียบ $15$ กับ $-10$ ก็ไม่เท่ากัน · (B) มี $y$ เป็น $5$ กับ $-5$ ขนาดเท่ากันอยู่แล้ว จึงไม่ต้องคูณเพิ่ม
The $y$-terms are $5y$ in ① and $-5y$ in ②, same size but opposite sign. To eliminate $y$, what do you do with ① and ②?
(A) subtract ② from ①
(B) add ① and ②
(C) subtract ① from ②
พจน์ $y$ คือ $5y$ ใน ① และ $-5y$ ใน ② ขนาดเท่ากันแต่เครื่องหมายตรงข้าม จะกำจัด $y$ ต้องทำอย่างไรกับ ① และ ②
(A) ① ลบ ②
(B) บวก ① กับ ②
(C) ② ลบ ①
Answershow ▾
Adding gives $5y+(-5y)=0$, so $y$ disappears; subtracting either way gives $5y-(-5y)=10y$ or $-5y-5y=-10y$, so the $y$-terms double instead of cancelling.บวกแล้วได้ $5y+(-5y)=0$ $y$ จึงหายไป · ลบไม่ว่าทางใดจะได้ $5y-(-5y)=10y$ หรือ $-5y-5y=-10y$ พจน์ $y$ กลายเป็นสองเท่าแทนที่จะหักกัน
① $3x+5y=6$
② $7x-5y=-11$
Add ① and ② together. Write the resulting equation.
① $3x+5y=6$
② $7x-5y=-11$
จงบวก ① กับ ② แล้วเขียนสมการที่ได้
Answershow ▾
Add the $x$-terms, the $y$-terms, and the right-hand sides separately: $3x+7x=10x$, $5y+(-5y)=0$, $6+(-11)=-5$.บวกพจน์ $x$ บวกพจน์ $y$ และบวกข้างขวาแยกกัน: $3x+7x=10x$, $5y+(-5y)=0$, $6+(-11)=-5$
Solve $10x=-5$ for $x$.
จงแก้สมการ $10x=-5$ หา $x$
Answershow ▾
The same division as question $3$, now inside the real equation.หารเหมือนข้อ $3$ แต่อยู่ในสมการจริงแล้ว
Substitute $x=-0.5$ into ① $3x+5y=6$ and solve for $y$.
แทน $x=-0.5$ ลงใน ① $3x+5y=6$ แล้วแก้หา $y$
Answershow ▾
$3\times(-0.5)=-1.5$, so move it to the other side and divide by $5$.$3\times(-0.5)=-1.5$ · ย้ายไปอีกข้าง แล้วหารด้วย $5$
① $3x+5y=6$
② $7x-5y=-11$
Add ① and ② then solve for $x$, showing both steps.
① $3x+5y=6$
② $7x-5y=-11$
จงบวก ① กับ ② แล้วแก้หา $x$ แสดงทั้งสองขั้น
Answershow ▾
Combine first, so you divide once instead of juggling two letters.รวมสมการก่อน จะได้หารครั้งเดียว ไม่ต้องจัดการสองตัวแปรพร้อมกัน
Check that $x=-0.5,\,y=1.5$ fits ② $7x-5y=-11$.
จงตรวจว่า $x=-0.5,\,y=1.5$ เป็นจริงกับ ② $7x-5y=-11$
Answershow ▾
Use the equation you have NOT used to find $y$; if it does not balance, a mistake is hiding.ใช้สมการที่ยังไม่ได้ใช้หา $y$ · ถ้าไม่เท่ากัน แปลว่ามีที่ผิดซ่อนอยู่
Solve the simultaneous equations $2x+3y=12$ and $5x-3y=9$.
จงแก้ระบบสมการ $2x+3y=12$ และ $5x-3y=9$
Answershow ▾
The same two moves: add to cancel $y$, then substitute back.ท่าเดิมสองขั้น: บวกให้ $y$ หายไป แล้วแทนกลับ
Solve the simultaneous equations
$3x+5y=6$
$7x-5y=-11$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$3x+5y=6$
$7x-5y=-11$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
$3$ marks: one for combining the equations, two for solving them.$3$ คะแนน · หนึ่งคะแนนสำหรับการรวมสมการ อีกสองคะแนนสำหรับการแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$10x = -5$
A1 solve for xแก้หาค่า x
$x = -0.5$
A1 substitute back for yแทนค่ากลับหา y
$3(-0.5)+5y = 6$
$y = 1.5$
Clear the decimal first ล้างทศนิยมก่อน
Solve the simultaneous equations
$7x+2y=5.5$
$3x-5y=17$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$7x+2y=5.5$
$3x-5y=17$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Multiply every term of $7x+2y=5.5$ by $10$.
จงคูณทุกพจน์ของ $7x+2y=5.5$ ด้วย $10$
Answershow ▾
Ten times each term, including the number on the right.คูณทุกพจน์ด้วย $10$ รวมถึงตัวเลขทางขวาด้วย
$7x+2y=5.5$ was multiplied by $10$, but one term was missed: $70x+2y=55$. Write the line with every term multiplied.
$7x+2y=5.5$ ถูกคูณด้วย $10$ แต่พลาดไปหนึ่งพจน์ ได้ $70x+2y=55$ จงเขียนบรรทัดที่คูณครบทุกพจน์
Answershow ▾
Three terms need $\times 10$: the $x$ term, the $y$ term, and the number on the right.มีสามพจน์ที่ต้องคูณด้วย $10$ คือพจน์ $x$ พจน์ $y$ และตัวเลขทางขวา
① $70x+20y=55$
② $12x-20y=68$
Add ① and ② to eliminate $y$, and solve for $x$.
① $70x+20y=55$
② $12x-20y=68$
จงบวก ① และ ② เพื่อกำจัด $y$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
The $y$ terms cancel because $+20y$ and $-20y$ add to zero.พจน์ $y$ หักกันเพราะ $+20y$ กับ $-20y$ บวกกันได้ศูนย์
The equations are $7x+2y=5.5$ and $3x-5y=17$. One has a decimal. Pick the first move.
(A) multiply $7x+2y=5.5$ by $10$, so every number in it becomes a whole number
(B) leave $7x+2y=5.5$ as it is, and scale both equations to match a letter using the decimal
(C) round $5.5$ to $6$ so there is no decimal to deal with
สมการคือ $7x+2y=5.5$ และ $3x-5y=17$ สมการแรกมีทศนิยม จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณ $7x+2y=5.5$ ด้วย $10$ ให้ทุกตัวเลขในสมการเป็นจำนวนเต็ม
(B) ปล่อย $7x+2y=5.5$ ไว้แบบนั้น แล้วคูณขยายสมการทั้งสองให้ตัวแปรหนึ่งตัวเท่ากัน โดยใช้ทศนิยมตามเดิม
(C) ปัดเศษ $5.5$ เป็น $6$ เพื่อไม่ต้องยุ่งกับทศนิยม
Answershow ▾
(A) turns every later line into a whole number, so no later step risks a decimal slip. (B) is equally valid algebra — scaling by $5$ and $2$ still matches the $y$ coefficients at $10$ — it only keeps a decimal in play for one more line. (C) is simply wrong: rounding $5.5$ to $6$ solves a different pair of equations, so the mark scheme gives it nothing.(A) ทำให้ทุกบรรทัดต่อจากนี้เป็นจำนวนเต็ม จึงไม่มีขั้นไหนเสี่ยงพลาดเรื่องทศนิยมอีก (B) ก็เป็นวิธีที่ถูกต้องเช่นกัน — คูณด้วย $5$ และ $2$ ก็ทำให้สัมประสิทธิ์ $y$ เท่ากันที่ $10$ ได้เหมือนกัน เพียงแต่ยังมีทศนิยมอยู่อีกหนึ่งบรรทัด (C) ผิดแน่นอน เพราะปัดเศษ $5.5$ เป็น $6$ คือการแก้สมการคนละชุด เกณฑ์การให้คะแนนจึงไม่ให้คะแนนเลย
Multiply $7x+2y=5.5$ by $10$ to clear the decimal. Label the result ①.
จงคูณ $7x+2y=5.5$ ด้วย $10$ เพื่อล้างทศนิยม แล้วติดเลข ①
Answershow ▾
Multiplying every term by $10$ is the move chosen in the decision above.การคูณทุกพจน์ด้วย $10$ คือขั้นที่เลือกไว้ในข้อก่อนหน้า
② is $3x-5y=17$. Multiply it by $4$ so its $y$ term matches $-20y$. Label the result ②.
② คือ $3x-5y=17$ จงคูณด้วย $4$ ให้พจน์ $y$ เท่ากับ $-20y$ แล้วติดเลข ②
Answershow ▾
$-5\times4=-20$, so multiplying by $4$ matches the $20y$ already in ①.$-5\times4=-20$ จึงคูณด้วย $4$ เพื่อให้เท่ากับ $20y$ ใน ①
Add ① $70x+20y=55$ and ② $12x-20y=68$ to eliminate $y$, and solve for $x$.
จงบวก ① $70x+20y=55$ และ ② $12x-20y=68$ เพื่อกำจัด $y$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
$55+68=123$ and $82\times1.5=123$.$55+68=123$ และ $82\times1.5=123$
Substitute $x=1.5$ into $7x+2y=5.5$ and solve for $y$.
จงแทน $x=1.5$ ใน $7x+2y=5.5$ แล้วแก้หา $y$
Answershow ▾
The original equation gives the same $y$ as the cleared one, with smaller numbers.สมการเดิมให้ $y$ เท่ากับสมการที่ล้างทศนิยมแล้ว แต่ตัวเลขเล็กกว่า
Check that $x=1.5,\,y=-2.5$ fits $3x-5y=17$.
จงตรวจว่า $x=1.5,\,y=-2.5$ เป็นจริงกับ $3x-5y=17$
Answershow ▾
A solution that fits both original equations, not just the scaled ones, is checked correctly.คำตอบที่เป็นจริงกับสมการเดิมทั้งสอง ไม่ใช่แค่สมการที่คูณขยายแล้ว ถือว่าตรวจถูก
Solve the simultaneous equations $5x+y=11.5$ and $2x+2y=7$.
จงแก้ระบบสมการ $5x+y=11.5$ และ $2x+2y=7$
Answershow ▾
Same four moves: clear the decimal, scale the other equation, eliminate, substitute back.สี่ขั้นเดิม: ล้างทศนิยม คูณขยายอีกสมการ กำจัดตัวแปร แทนค่ากลับ
Solve the simultaneous equations
$7x+2y=5.5$
$3x-5y=17$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$7x+2y=5.5$
$3x-5y=17$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
4 marks, mostly for method: clear the decimal, scale to match a letter, add, then substitute back.4 คะแนน ส่วนใหญ่เป็นคะแนนวิธีทำ: ล้างทศนิยม คูณขยายให้ตัวแปรเท่ากัน บวกกำจัด แล้วแทนค่ากลับ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$35x+10y = 27.5$
$6x-10y = 34$
M1 add to eliminate yบวกกันเพื่อกำจัด y
$41x = 61.5$
A1 solve for xแก้หาค่า x
$x = 1.5$
A1 substitute back for yแทนค่ากลับหา y
$7(1.5)+2y = 5.5$
$y = -2.5$
Scale then subtract, mind the sign คูณขยายแล้วลบ ระวังเครื่องหมาย
Solve the simultaneous equations $2x+7y=17$
$5x+3y=-1$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ $2x+7y=17$
$5x+3y=-1$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Work out $-8-(-3)$.
จงหาค่า $-8-(-3)$
Answershow ▾
Subtracting a negative number is the same as adding its positive: $-8-(-3)=-8+3$.การลบจำนวนลบ เหมือนกับการบวกด้วยจำนวนบวก: $-8-(-3)=-8+3$
Subtract $(x-3y)$ from $(4x-3y)$. Write every sign, then simplify.
จงนำ $(x-3y)$ ไปลบออกจาก $(4x-3y)$ เขียนทุกเครื่องหมาย แล้วจัดให้เป็นรูปง่ายที่สุด
Answershow ▾
Every sign in $(x-3y)$ flips: $-x$ and $+3y$. The $-3y$ and $+3y$ cancel to $0$, not $-6y$.ทุกเครื่องหมายใน $(x-3y)$ กลับหมด: เป็น $-x$ และ $+3y$ · $-3y$ กับ $+3y$ หักกันเหลือ $0$ ไม่ใช่ $-6y$
Multiply $5x+3y=-1$ by $2$. Write the result.
จงคูณ $5x+3y=-1$ ด้วย $2$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Multiply every term, including the $-1$. A positive times a negative stays negative.คูณทุกพจน์ รวมถึง $-1$ ด้วย · บวกคูณลบ ยังคงเป็นลบ
Scaling gives ① $10x+35y=85$ and ② $10x+6y=-2$. The $x$ coefficients are now both $+10$ — the same sign. To eliminate $x$, what do you do, and what is the right-hand side?
(A) subtract ② from ①: $10x-10x=0$ and $85-(-2)=87$
(B) subtract ② from ①: $10x-10x=0$ and $85-2=83$
(C) add ① and ②: $10x+10x=20x$, which does not eliminate $x$
สัมประสิทธิ์ของ $x$ หลังคูณขยาย คือ ① $10x+35y=85$ และ ② $10x+6y=-2$ ทั้งคู่เป็น $+10$ — เครื่องหมายเหมือนกัน จะกำจัด $x$ ต้องทำอย่างไร และข้างขวาได้เท่าไร
(A) ลบ ② ออกจาก ①: $10x-10x=0$ และ $85-(-2)=87$
(B) ลบ ② ออกจาก ①: $10x-10x=0$ และ $85-2=83$
(C) บวก ① กับ ②: $10x+10x=20x$ ซึ่งไม่ได้กำจัด $x$
Answershow ▾
Same sign, so subtract — the $x$ terms cancel, $10x-10x=0$. But $-(-2)$ flips to $+2$, so the right side is $85+2=87$. (B) keeps the right operation but drops that sign flip, landing on $83$. (C) adds instead of subtracting, so the $x$ terms double to $20x$ and never cancel.เครื่องหมายเหมือนกัน จึงลบกัน — พจน์ $x$ หักกันเหลือ $10x-10x=0$ แต่ $-(-2)$ กลับเป็น $+2$ ข้างขวาจึงเป็น $85+2=87$ · (B) ใช้วิธีถูกแต่ลืมกลับเครื่องหมาย ได้ $83$ แทน · (C) บวกแทนการลบ ทำให้พจน์ $x$ เพิ่มเป็น $20x$ ไม่หักกันเลย
Multiply ① $2x+7y=17$ by $5$ and ② $5x+3y=-1$ by $2$. Write both results.
จงคูณ ① $2x+7y=17$ ด้วย $5$ และ ② $5x+3y=-1$ ด้วย $2$ แล้วเขียนผลลัพธ์ทั้งสอง
Answershow ▾
Multiply every term on both sides, including the right-hand side.คูณทุกพจน์ทั้งสองข้าง รวมถึงข้างขวาด้วย
Using the decision above, subtract ② from ①. Write the result.
ใช้การตัดสินใจข้างบน จงลบ ② ออกจาก ① แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
The $x$ terms cancel; the right-hand side is $85-(-2)=87$, not $85-2$.พจน์ $x$ หักกันหมด · ข้างขวาคือ $85-(-2)=87$ ไม่ใช่ $85-2$
Solve $29y=87$ for $y$.
จงแก้สมการ $29y=87$ หาค่า $y$
Answershow ▾
Divide both sides by $29$.หารทั้งสองข้างด้วย $29$
Put $y=3$ into ① $2x+7y=17$ and solve for $x$.
จงแทน $y=3$ ลงใน ① $2x+7y=17$ แล้วแก้หาค่า $x$
Answershow ▾
Put $y=3$ into ①, the equation with the smaller numbers, and solve the one letter left.แทน $y=3$ ลงใน ① ซึ่งมีตัวเลขเล็กกว่า แล้วแก้หาตัวแปรที่เหลือตัวเดียว
Check that $x=-2,\,y=3$ satisfies ② $5x+3y=-1$.
จงตรวจว่า $x=-2,\,y=3$ เป็นจริงกับ ② $5x+3y=-1$
Answershow ▾
A correct solution must satisfy both equations. Check it in the one you have not used yet, ②.คำตอบที่ถูกต้องต้องเป็นจริงกับทั้งสองสมการ จงตรวจกับสมการที่ยังไม่ได้ใช้ คือ ②
Solve the simultaneous equations $2x-3y=12$ and $5x-3y=21$.
จงแก้ระบบสมการ $2x-3y=12$ และ $5x-3y=21$
Answershow ▾
Same method: the $y$ coefficients already match at $-3$ and $-3$ — same sign, so subtract.วิธีเดิม: สัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากันอยู่แล้วคือ $-3$ กับ $-3$ เครื่องหมายเหมือนกัน จึงลบกัน
Solve the simultaneous equations $2x+7y=17$
$5x+3y=-1$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ $2x+7y=17$
$5x+3y=-1$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
4 marks, 3 for method: show the scale, name the subtraction ① − ②, and keep the sign of $-2$ when you subtract it.4 คะแนน 3 คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: เขียนการคูณขยาย ระบุการลบว่า ① − ② และรักษาเครื่องหมายของ $-2$ ตอนลบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$10x+35y = 85$
$10x+6y = -2$
M1 subtract to eliminate xลบกันเพื่อกำจัด x
$29y = 87$
A1 solve for yแก้หาค่า y
$y = 3$
A1 substitute back for xแทนค่ากลับหา x
$2x+7(3) = 17$
$x = -2$
One multiplier, one decimal answer คูณสมการเดียว ได้คำตอบทศนิยม
Solve the simultaneous equations
$2x+9y=14.5$
$7x+3y=8$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$2x+9y=14.5$
$7x+3y=8$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Multiply every term of $7x+3y=8$ by $3$.
จงคูณทุกพจน์ของ $7x+3y=8$ ด้วย $3$
Answershow ▾
Three terms need $\times3$: the $x$ term, the $y$ term, and the number on the right.มีสามพจน์ที่ต้องคูณด้วย $3$ คือพจน์ $x$ พจน์ $y$ และตัวเลขทางขวา
Work out $24-14.5$.
จงหาค่า $24-14.5$
Answershow ▾
Line up the decimal points before subtracting: $24.0-14.5=9.5$.จัดจุดทศนิยมให้ตรงกันก่อนลบ: $24.0-14.5=9.5$
Solve $19x=9.5$ for $x$.
จงแก้สมการ $19x=9.5$ หา $x$
Answershow ▾
$9.5\div19=0.5$ — a whole number dividing a decimal still gives a decimal answer.$9.5\div19=0.5$ · จำนวนเต็มหารทศนิยม ก็ยังได้คำตอบเป็นทศนิยม
① $2x+9y=14.5$
② $7x+3y=8$
Which letter do you eliminate, and what do you multiply by?
(A) eliminate $y$: multiply ② by $3$ only
(B) eliminate $x$: multiply ① by $7$ and ② by $2$
(C) multiply ② by $4$
① $2x+9y=14.5$
② $7x+3y=8$
จะกำจัดตัวแปรไหน และคูณด้วยอะไร?
(A) กำจัด $y$: คูณ ② ด้วย $3$ เท่านั้น
(B) กำจัด $x$: คูณ ① ด้วย $7$ และ ② ด้วย $2$
(C) คูณ ② ด้วย $4$
Answershow ▾
(A) changes only ②, so ① (and its decimal, $14.5$) is never multiplied — one multiplication, small numbers, the mark scheme route. (B) is also valid algebra and reaches the same answer, but it scales both equations and multiplies the decimal $14.5$ by $7$ to get $101.5$ — more arithmetic, more places to slip. (C) multiplies by $4$ without checking either coefficient: ② becomes $28x+12y=32$, and $28x$ matches neither $2x$ in ① nor does $12y$ match $9y$, so nothing cancels.(A) เปลี่ยนแค่ ② ดังนั้น ① (และทศนิยม $14.5$ ของมัน) ไม่ถูกคูณเลย — คูณครั้งเดียว ตัวเลขเล็ก ตรงกับแนวเกณฑ์ให้คะแนน (B) ก็เป็นวิธีที่ถูกต้องและได้คำตอบเดียวกัน แต่ต้องคูณขยายทั้งสองสมการ และต้องคูณทศนิยม $14.5$ ด้วย $7$ ได้ $101.5$ — คำนวณมากกว่า พลาดได้ง่ายกว่า (C) คูณ ② ด้วย $4$ โดยไม่เช็คว่าตรงกับสัมประสิทธิ์ใดเลย: ② กลายเป็น $28x+12y=32$ ซึ่ง $28x$ ก็ไม่ตรงกับ $2x$ ใน ① และ $12y$ ก็ไม่ตรงกับ $9y$ จึงไม่มีอะไรหักล้างกัน
② is $7x+3y=8$. Multiply it by $3$ so its $y$-term matches the $9y$ in ① $2x+9y=14.5$. Label the result ②.
② คือ $7x+3y=8$ จงคูณด้วย $3$ ให้พจน์ $y$ เท่ากับ $9y$ ใน ① $2x+9y=14.5$ แล้วติดเลข ②
Answershow ▾
$3\times3=9$, matching the $9y$ already in ①.$3\times3=9$ ตรงกับ $9y$ ที่มีอยู่แล้วใน ①
Subtract ① $2x+9y=14.5$ from ② $21x+9y=24$ to eliminate $y$, and solve for $x$.
จงเอา ② $21x+9y=24$ ลบด้วย ① $2x+9y=14.5$ เพื่อกำจัด $y$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
$24-14.5=9.5$, and $9.5\div19=0.5$.$24-14.5=9.5$ และ $9.5\div19=0.5$
Substitute $x=0.5$ into $7x+3y=8$ and solve for $y$.
จงแทน $x=0.5$ ใน $7x+3y=8$ แล้วแก้หา $y$
Answershow ▾
Use the equation with smaller numbers to substitute into.เลือกสมการที่ตัวเลขเล็กกว่าไปแทนค่า
From ① $2x+9y=14.5$ and ② $7x+3y=8$, scale ② by $3$ and subtract ① to find $x$.
จาก ① $2x+9y=14.5$ และ ② $7x+3y=8$ จงคูณขยาย ② ด้วย $3$ แล้วลบด้วย ① เพื่อหา $x$
Answershow ▾
Same two moves as the rungs above, done back to back.สองท่าเดิมจากข้อก่อนหน้า ทำต่อกันรวดเดียว
Check that $x=0.5,\,y=1.5$ fits ① $2x+9y=14.5$, in its original decimal form.
จงตรวจว่า $x=0.5,\,y=1.5$ เป็นจริงกับ ① $2x+9y=14.5$ ในรูปทศนิยมเดิม
Answershow ▾
Checking the equation you did not substitute into is what proves the scaling step was right.การตรวจกับสมการที่ไม่ได้ใช้แทนค่า คือสิ่งที่พิสูจน์ว่าขั้นคูณขยายถูกต้อง
Solve the simultaneous equations $5x+6y=10.5$ and $4x+2y=7$.
จงแก้ระบบสมการ $5x+6y=10.5$ และ $4x+2y=7$
Answershow ▾
Same shape as the exam question: one small multiplier matches a letter, subtract, then substitute back.ทรงเดียวกับข้อสอบ: คูณขยายด้วยตัวเลขเล็ก ๆ ตัวเดียวให้ตัวแปรเท่ากัน ลบกัน แล้วแทนค่ากลับ
Solve the simultaneous equations
$2x+9y=14.5$
$7x+3y=8$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$2x+9y=14.5$
$7x+3y=8$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
3 marks, mostly for method: scale one equation, subtract, then substitute back.3 คะแนน ส่วนใหญ่เป็นคะแนนวิธีทำ: คูณขยายสมการหนึ่ง ลบกัน แล้วแทนค่ากลับ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$21x+9y = 24$
A1 subtract and solve for xลบกันแล้วแก้หา x
$19x = 9.5$
$x = 0.5$
A1 substitute back for yแทนค่ากลับหา y
$7(0.5)+3y = 8$
$y = 1.5$
One sum rule, one term fact กฎผลรวมหนึ่งข้อ กับพจน์หนึ่งข้อ
The sum of the first $10$ terms of an arithmetic series is $4$ times the sum of the first $5$ terms of the same series.
The $8$th term of this series is $45$
Find the first term of this series.
Show clear algebraic working.
ผลรวมของ $10$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตหนึ่ง เท่ากับ $4$ เท่าของผลรวม $5$ พจน์แรกของลำดับเดียวกัน
พจน์ที่ $8$ ของลำดับนี้คือ $45$
จงหาพจน์แรกของลำดับนี้
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ to write $S_{5}$ in terms of $a$ and $d$.
จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ เขียน $S_{5}$ ในรูปของ $a$ และ $d$
Answershow ▾
Put $n=5$ into the formula, then simplify the bracket.แทน $n=5$ ในสูตร แล้วจัดรูปในวงเล็บ
Use the same formula to write $S_{10}$ in terms of $a$ and $d$.
จงใช้สูตรเดียวกัน เขียน $S_{10}$ ในรูปของ $a$ และ $d$
Answershow ▾
Put $n=10$ into the formula, then simplify the bracket.แทน $n=10$ ในสูตร แล้วจัดรูปในวงเล็บ
Simplify $10a+45d=4(5a+10d)$. What equation connects $d$ and $a$?
จงจัดรูป $10a+45d=4(5a+10d)$ จะได้สมการใดที่เชื่อม $d$ กับ $a$
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect the $a$ terms on one side and the $d$ terms on the other.กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $a$ไว้ข้างหนึ่ง และพจน์ $d$ไว้อีกข้าง
"The sum of the first $10$ terms is $4$ times the sum of the first $5$ terms." Which equation is this?
(A) $a_{10}=4a_{5}$
(B) $S_{10}=4S_{5}$
(C) $S_{10}=S_{5}+4$
"ผลรวม $10$ พจน์แรก เท่ากับ $4$ เท่าของผลรวม $5$ พจน์แรก" คือสมการใด
(A) $a_{10}=4a_{5}$
(B) $S_{10}=4S_{5}$
(C) $S_{10}=S_{5}+4$
Answershow ▾
$S_n$ means all $n$ terms added together, not the single $n$th term, and "$4$ times" multiplies the whole sum rather than adding $4$ to it.$S_n$ คือผลรวมของ $n$ พจน์ทั้งหมด ไม่ใช่พจน์ที่ $n$ เพียงพจน์เดียว และ "$4$ เท่า" คือการคูณทั้งผลรวม ไม่ใช่การบวก $4$ เข้าไป
"The 8th term of this series is $45$." Using $a+(n-1)d$, which equation is this?
(A) $a+8d=45$
(B) $a+7d=45$
(C) $8a+d=45$
"พจน์ที่ 8 ของลำดับนี้คือ $45$" เมื่อใช้ $a+(n-1)d$ คือสมการใด
(A) $a+8d=45$
(B) $a+7d=45$
(C) $8a+d=45$
Answershow ▾
The step count is always one less than the term number: term $1=a$, term $2=a+d$, so term $8=a+7d$.จำนวนก้าวน้อยกว่าลำดับพจน์เสมอหนึ่งก้าว: พจน์ที่ $1=a$ พจน์ที่ $2=a+d$ ดังนั้นพจน์ที่ $8=a+7d$
Use $S_{10}=10a+45d$ and $S_{5}=5a+10d$ to write $S_{10}=4S_{5}$ in terms of $a$ and $d$.
จงใช้ $S_{10}=10a+45d$ และ $S_{5}=5a+10d$ เขียน $S_{10}=4S_{5}$ ในรูปของ $a$ และ $d$
Answershow ▾
Replace $S_{10}$ and $S_{5}$ with the expressions from the last two questions.แทน $S_{10}$ และ $S_{5}$ ด้วยนิพจน์จากสองข้อก่อนหน้า
The 8th term is $45$. Using $a+(n-1)d$, write the equation for the 8th term.
พจน์ที่ 8 คือ $45$ จงใช้ $a+(n-1)d$ เขียนสมการของพจน์ที่ 8
Answershow ▾
$n=8$, so $n-1=7$.$n=8$ ดังนั้น $n-1=7$
Substitute $d=2a$ into $a+7d=45$ and solve for $a$.
จงแทน $d=2a$ ใน $a+7d=45$ แล้วแก้หา $a$
Answershow ▾
$7\times2a=14a$, and $a+14a=15a$.$7\times2a=14a$ และ $a+14a=15a$
Use $d=2a$ and $a=3$ to find $d$.
จงใช้ $d=2a$ และ $a=3$ หา $d$
Answershow ▾
$d=6$, but the question asks for the first term $a$, not $d$ - keep going.$d=6$ แต่โจทย์ถามพจน์แรก $a$ ไม่ใช่ $d$ จึงยังไม่ใช่คำตอบ
Check that $a=3,\,d=6$ gives $S_{10}=4S_{5}$.
จงตรวจว่า $a=3,\,d=6$ ให้ $S_{10}=4S_{5}$
Answershow ▾
A correct $a$ and $d$ make the original sum rule true, not just the term-8 equation.$a$ และ $d$ ที่ถูกต้องต้องทำให้กฎผลรวมเดิมเป็นจริง ไม่ใช่แค่สมการพจน์ที่ 8
The sum of the first $6$ terms of an arithmetic series is $4$ times the sum of the first $3$ terms. The $3$rd term is $20$. Find the first term.
ผลรวม $6$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตหนึ่ง เท่ากับ $4$ เท่าของผลรวม $3$ พจน์แรก พจน์ที่ $3$ คือ $20$ จงหาพจน์แรก
Answershow ▾
Same three moves: write $S_{6}$ and $S_{3}$, simplify to connect $d$ and $a$, then use the term-3 equation.สามขั้นเดิม: เขียน $S_{6}$ และ $S_{3}$ จัดรูปเพื่อเชื่อม $d$ กับ $a$ แล้วใช้สมการพจน์ที่ 3
The sum of the first $10$ terms of an arithmetic series is $4$ times the sum of the first $5$ terms of the same series.
The $8$th term of this series is $45$
Find the first term of this series.
Show clear algebraic working.
ผลรวมของ $10$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตหนึ่ง เท่ากับ $4$ เท่าของผลรวม $5$ พจน์แรกของลำดับเดียวกัน
พจน์ที่ $8$ ของลำดับนี้คือ $45$
จงหาพจน์แรกของลำดับนี้
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, 4 for method: form $S_{10}$ and $S_{5}$, connect $d$ to $a$, then use the term-8 fact to finish.5 คะแนน 4 คะแนนเป็นวิธีทำ: เขียน $S_{10}$ และ $S_{5}$ เชื่อม $d$ กับ $a$ แล้วใช้ข้อเท็จจริงพจน์ที่ 8 เพื่อหาคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$S_{10} = 10a+45d$
$S_{5} = 5a+10d$
M1 relate S10 to 4 times S5เทียบ S10 กับ 4 เท่าของ S5
$10a+45d = 4(5a+10d)$
M1 simplify to find dจัดรูปเพื่อหา d
$10a+45d = 20a+40d$
$d = 2a$
M1 form the equation for term 8ตั้งสมการจากพจน์ที่ 8
$a+7d = 45$
$a+7(2a) = 45$
$15a = 45$
A1 solve for the first termแก้หาพจน์แรก
$a = 3$
The xy term that blocks elimination พจน์ xy ที่ทำให้กำจัดตัวแปรไม่ได้
Solve the simultaneous equations
$3xy-y=8$
$x-2y=1$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$3xy-y=8$
$x-2y=1$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Rearrange $x-2y=1$ to make $x$ the subject.
จงจัดสมการ $x-2y=1$ ใหม่ให้ $x$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Add $2y$ to both sides.บวก $2y$ ทั้งสองข้าง
$3xy$ means $3\times x\times y$. Replace $x$ with $2y+1$ and write the new expression.
$3xy$ หมายถึง $3\times x\times y$ จงแทน $x$ ด้วย $2y+1$ แล้วเขียนนิพจน์ใหม่
Answershow ▾
Every $x$ becomes the bracket. The $xy$ term turns into a $y^{2}$ term once it is expanded.ทุก $x$ กลายเป็นวงเล็บ · พจน์ $xy$ จะกลายเป็นพจน์ $y^{2}$ เมื่อกระจายออก
Solve $3y^{2}+y-4=0$ by factorising.
จงแก้สมการ $3y^{2}+y-4=0$ โดยแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $3\times(-4)=-12$ and add to $1$: $4$ and $-3$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $3\times(-4)=-12$ และบวกกันได้ $1$ คือ $4$ และ $-3$
① is $3xy-y=8$. ② is $x-2y=1$. Pick the first move.
(A) multiply ② by $3$ to match the $3xy$ term, then subtract from ①
(B) add ① and ② directly
(C) rearrange ② to make $x$ the subject, then substitute into ①
① คือ $3xy-y=8$ ② คือ $x-2y=1$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณ ② ด้วย $3$ ให้ตรงกับพจน์ $3xy$ แล้วลบออกจาก ①
(B) บวก ① และ ② ตรงๆ
(C) จัดสมการ ② ใหม่ให้ $x$ เป็นตัวตั้ง แล้วแทนค่าลงใน ①
Answershow ▾
① has a term in $xy$. Multiplying ② by any number $k$ gives $kx-2ky=k$ — never a term in $xy$, because ② is linear. So no multiple of ② can ever be added to or subtracted from ① to cancel $3xy$: (A) and (B) both fail for that same reason. The $xy$ term is only removed by substitution, the same reason a line meeting a curve is solved that way.① มีพจน์ $xy$ ซึ่งการคูณ ② ด้วยจำนวนใดๆ $k$ จะได้ $kx-2ky=k$ — ไม่มีพจน์ $xy$ เลย เพราะ ② เป็นสมการเชิงเส้น ดังนั้นจะบวกหรือลบ ② คูณด้วยจำนวนใดก็ไม่สามารถกำจัดพจน์ $3xy$ ใน ① ได้ (A) และ (B) จึงผิดด้วยเหตุผลเดียวกัน พจน์ $xy$ จะหายไปได้ด้วยการแทนค่าเท่านั้น เหตุผลเดียวกับการแก้ระบบเส้นตรงกับเส้นโค้ง
① is $3xy-y=8$. ② is $x-2y=1$. Rearrange ② to make $x$ the subject.
① คือ $3xy-y=8$ ② คือ $x-2y=1$ จงจัดสมการ ② ใหม่ให้ $x$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
This is the move chosen in the decision above.นี่คือขั้นที่เลือกไว้ในข้อก่อนหน้า
Substitute $x=2y+1$ into ①, replacing every $x$.
จงแทน $x=2y+1$ ลงใน ① โดยแทนทุก $x$
Answershow ▾
Only $x$ is replaced. The bracket is multiplied by $y$, not expanded yet.แทนแค่ $x$ · วงเล็บยังไม่ต้องกระจาย แค่คูณด้วย $y$ เอาไว้ก่อน
Expand and collect $3(2y+1)y-y=8$ into a quadratic equal to $0$.
จงกระจายและรวมพจน์ $3(2y+1)y-y=8$ ให้เป็นสมการกำลังสองเท่ากับ $0$
Answershow ▾
$3(2y+1)y=6y^{2}+3y$, then $3y-y=2y$, then move the $8$ and divide by $2$.$3(2y+1)y=6y^{2}+3y$ จากนั้น $3y-y=2y$ แล้วย้าย $8$ และหารด้วย $2$
Solve $3y^{2}+y-4=0$, then use $x=2y+1$ to find the matching $x$ for each $y$.
จงแก้สมการ $3y^{2}+y-4=0$ แล้วใช้ $x=2y+1$ หาค่า $x$ ที่สอดคล้องกับแต่ละ $y$
Answershow ▾
Use $x=2y+1$: it is already solved for $x$. The other equation would need dividing by $3y$, which breaks if $y=0$.ใช้ $x=2y+1$ เพราะจัดเป็น $x$ ไว้แล้ว · อีกสมการต้องหารด้วย $3y$ ซึ่งพังถ้า $y=0$
Check that $x=3,\,y=1$ fits both $3xy-y=8$ and $x-2y=1$.
จงตรวจว่า $x=3,\,y=1$ เป็นจริงกับทั้ง $3xy-y=8$ และ $x-2y=1$
Answershow ▾
A correct pair fits every original equation, not just the one it was found from.คำตอบที่ถูกต้องต้องเป็นจริงกับสมการเดิมทุกสมการ ไม่ใช่แค่สมการที่ใช้หาคำตอบ
Solve the simultaneous equations $xy-y=12$ and $x-2y=3$.
จงแก้ระบบสมการ $xy-y=12$ และ $x-2y=3$
Answershow ▾
Same moves: rearrange the linear equation, substitute, expand, solve, then pair each $y$ with its $x$.ขั้นตอนเดิม: จัดสมการเชิงเส้นใหม่ แทนค่า กระจาย แก้สมการ แล้วจับคู่ $y$ กับ $x$
Solve the simultaneous equations
$3xy-y=8$
$x-2y=1$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$3xy-y=8$
$x-2y=1$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, four for method. Substitution is forced because one equation has an $xy$ term.5 คะแนน สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ · ต้องใช้วิธีแทนค่าเพราะสมการหนึ่งมีพจน์ $xy$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x = 2y+1$
M1 substitute into the other equationแทนค่าลงในอีกสมการ
$3(2y+1)y-y = 8$
M1 expand and collect termsกระจายแล้วรวมพจน์
$6y^{2}+3y-y = 8$
$3y^{2}+y-4 = 0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(3y+4)(y-1) = 0$
$y = 1 \;\text{or}\; y = -\dfrac{4}{3}$
A1 find the matching x valuesหาค่า x ที่สอดคล้อง
$x = 3 \;\text{or}\; x = -\dfrac{5}{3}$
Not a circle this time ครั้งนี้ไม่ใช่วงกลม
Solve the simultaneous equations
$x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$
$x+2y-1=0$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$
$x+2y-1=0$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Make $x$ the subject of $x+2y-1=0$.
จงจัด $x+2y-1=0$ ให้ $x$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Move $2y$ and $-1$ to the other side.ย้าย $2y$ และ $-1$ ไปอีกข้าง
Expand $(1-2y)^{2}$.
จงกระจาย $(1-2y)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice and is negative.เขียนเป็นสองวงเล็บ พจน์กลางมาสองครั้งและเป็นลบ
Simplify $4y^{2}-9y^{2}-4y+2y$.
จงทำให้ง่าย $4y^{2}-9y^{2}-4y+2y$
Answershow ▾
Group the $y^{2}$ terms, then the $y$ terms.จับกลุ่มพจน์ $y^{2}$ ก่อน แล้วค่อยจับพจน์ $y$
The equations are $x+2y-1=0$ (linear) and $x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$ (quadratic, with both $x^{2}$ and $y^{2}$ in it). Pick the first move.
(A) rearrange the linear equation for $x$: $x=1-2y$
(B) rearrange the linear equation for $y$: $y=\dfrac{1-x}{2}$
(C) rearrange the quadratic equation for $x$
สมการคือ $x+2y-1=0$ (เชิงเส้น) และ $x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$ (กำลังสอง มีทั้ง $x^{2}$ และ $y^{2}$) จงเลือกขั้นแรก
(A) จัดสมการเชิงเส้นใหม่ให้ $x$ เป็นตัวตั้ง: $x=1-2y$
(B) จัดสมการเชิงเส้นใหม่ให้ $y$ เป็นตัวตั้ง: $y=\dfrac{1-x}{2}$
(C) จัดสมการกำลังสองใหม่ให้ $x$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
(B) squares a fraction, so every later term needs clearing by $4$. (C) needs the quadratic formula, which puts $y$ inside a square root. (A) substitutes straight in, with no fraction and no root.(B) ยกกำลังสองเศษส่วน จึงต้องคูณล้างเศษด้วย $4$ ทุกพจน์ (C) ต้องใช้สูตรสมการกำลังสอง ทำให้ $y$ เข้าไปอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ (A) แทนค่าได้ตรง ไม่มีเศษส่วนและไม่มีกรณฑ์
Substitute $x=1-2y$ into $x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$. Write the new equation.
แทน $x=1-2y$ ใน $x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Replace every $x$ with the whole bracket $(1-2y)$.แทนทุกตำแหน่งของ $x$ ด้วยวงเล็บทั้งก้อน $(1-2y)$
Show that $(1-2y)^{2}-9y^{2}-(1-2y)=2y-12$ becomes $5y^{2}+4y-12=0$.
จงแสดงว่า $(1-2y)^{2}-9y^{2}-(1-2y)=2y-12$ จัดรูปได้เป็น $5y^{2}+4y-12=0$
Answershow ▾
Subtracting $(1-2y)$ flips both of its signs: $-1+2y$.การลบ $(1-2y)$ ทำให้เครื่องหมายทั้งสองในวงเล็บกลับ: $-1+2y$
Solve $5y^{2}+4y-12=0$.
จงแก้สมการ $5y^{2}+4y-12=0$
Answershow ▾
Find factors of $5\times(-12)=-60$ that add to $4$: $10$ and $-6$.หาตัวประกอบของ $5\times(-12)=-60$ ที่บวกกันได้ $4$ คือ $10$ และ $-6$
You have $y=\dfrac{6}{5}$ and $y=-2$. To find the matching $x$, which equation should you use?
(A) the linear equation $x=1-2y$
(B) the quadratic equation, solved for $x$
(C) either one, they give the same pairs
ได้ $y=\dfrac{6}{5}$ กับ $y=-2$ แล้ว จะหา $x$ ที่คู่กัน ต้องใช้สมการไหน
(A) สมการเชิงเส้น $x=1-2y$
(B) สมการกำลังสอง แก้หา $x$
(C) ใช้สมการไหนก็ได้ ได้คู่เดียวกัน
Answershow ▾
(B) turns into a second quadratic in $x$ and can hand back an extra root that never solves the linear equation: at $y=-2$ it also gives $x=-4$, which fails $x+2y-1=0$. (A) gives one $x$ per $y$ directly.(B) กลายเป็นสมการกำลังสองอีกชุดในตัวแปร $x$ และอาจให้รากพิเศษที่ไม่เป็นจริงกับสมการเชิงเส้น เช่นที่ $y=-2$ ยังได้ $x=-4$ ซึ่งไม่เป็นจริงกับ $x+2y-1=0$ ด้วย (A) ให้ $x$ ค่าเดียวต่อ $y$ หนึ่งค่าโดยตรง
Use $x=1-2y$ to find $x$ for $y=\dfrac{6}{5}$ and for $y=-2$. Write both pairs.
ใช้ $x=1-2y$ หา $x$ เมื่อ $y=\dfrac{6}{5}$ และเมื่อ $y=-2$ แล้วเขียนทั้งสองคู่
Answershow ▾
Two pairs: the line meets the curve twice.ได้สองคู่ เพราะเส้นตรงตัดเส้นโค้งสองครั้ง
Check that $(5,-2)$ fits both $x+2y-1=0$ and $x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$.
จงตรวจว่า $(5,-2)$ เป็นจริงกับทั้ง $x+2y-1=0$ และ $x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$
Answershow ▾
A real solution fits every equation in the system, not just one.คำตอบที่ถูกต้องต้องเป็นจริงกับทุกสมการในระบบ ไม่ใช่สมการเดียว
Solve the simultaneous equations $x+y-1=0$ and $x^{2}-4y^{2}-x=2y-6$.
จงแก้ระบบสมการ $x+y-1=0$ และ $x^{2}-4y^{2}-x=2y-6$
Answershow ▾
Same four moves: rearrange the linear equation, substitute, expand and factorise, then pair with the linear equation.สี่ขั้นเดิม: จัดสมการเชิงเส้นใหม่ แทนค่า กระจายและแยกตัวประกอบ แล้วจับคู่กับสมการเชิงเส้น
Solve the simultaneous equations
$x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$
$x+2y-1=0$
Show clear algebraic working.
จงแก้ระบบสมการ
$x^{2}-9y^{2}-x=2y-12$
$x+2y-1=0$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Four are for method: rearrange, substitute, expand, solve. The last mark needs both $x$ values, each paired with its own $y$.5 คะแนน สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: จัดสมการใหม่ แทนค่า กระจาย แก้สมการ คะแนนสุดท้ายต้องได้ค่า $x$ ทั้งสองตัว จับคู่กับ $y$ ของมันเอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x = 1-2y$
M1 substitute into the quadraticแทนค่าลงในสมการกำลังสอง
$(1-2y)^{2}-9y^{2}-(1-2y) = 2y-12$
M1 expand and collect termsกระจายแล้วรวมพจน์
$1-4y+4y^{2}-9y^{2}-1+2y = 2y-12$
$5y^{2}+4y-12 = 0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(5y-6)(y+2) = 0$
$y = \dfrac{6}{5} \;\text{or}\; y = -2$
A1 find the matching x valuesหาค่า x ที่สอดคล้อง
$x = -\dfrac{7}{5} \;\text{or}\; x = 5$
A line and a shifted circle เส้นตรงกับวงกลมที่ไม่อยู่จุดกำเนิด
The line with equation $y=x+2$ intersects the curve with equation $x^{2}+y^{2}-2y=24$ at the points $A$ and $B$.
Find the coordinates of $A$ and $B$.
Show clear algebraic working.
เส้นตรง $y=x+2$ ตัดกับเส้นโค้ง $x^{2}+y^{2}-2y=24$ ที่จุด $A$ และ $B$
จงหาพิกัดของ $A$ และ $B$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
The curve is $x^{2}+y^{2}-2y=24$. Complete the square on $y^{2}-2y$.
เส้นโค้งคือ $x^{2}+y^{2}-2y=24$ จงเขียน $y^{2}-2y$ ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
$(y-1)^{2}$ expands to $y^{2}-2y+1$, one more than $y^{2}-2y$ — so this circle is centred at $(0,1)$, not the origin.$(y-1)^{2}$ กระจายได้ $y^{2}-2y+1$ ซึ่งมากกว่า $y^{2}-2y$ อยู่ $1$ จึงรู้ว่าวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,1)$ ไม่ใช่จุดกำเนิด
Expand $(x+2)^{2}$.
จงกระจาย $(x+2)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Solve $x^{2}-2x-24=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}-2x-24=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-24$ and add to $-2$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-24$ และบวกกันได้ $-2$
One equation is a line, one has $x^{2}$, $y^{2}$ and a plain $y$ term. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) put $x+2$ in place of $y$ in $x^{2}+y^{2}-2y=24$
(C) square both sides of $y=x+2$
สมการหนึ่งเป็นเส้นตรง อีกสมการมี $x^{2}$, $y^{2}$ และพจน์ $y$ เดี่ยว จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการ
(B) แทน $y$ ใน $x^{2}+y^{2}-2y=24$ ด้วย $x+2$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y=x+2$
Answershow ▾
Adding does not remove a letter: $y$ and $y^{2}$ are not like terms. Squaring the line gives $y^{2}=(x+2)^{2}$, but the lone $-2y$ in the curve still has nothing to replace it with.การบวกไม่ได้ทำให้ตัวแปรหายไป เพราะ $y$ กับ $y^{2}$ ไม่เหมือนกัน · การยกกำลังสองเส้นตรงได้ $y^{2}=(x+2)^{2}$ แต่พจน์ $-2y$ เดี่ยวในสมการเส้นโค้งยังไม่มีอะไรไปแทน
Replace $y$ with $x+2$ in $x^{2}+y^{2}-2y=24$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $x+2$ ใน $x^{2}+y^{2}-2y=24$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Replace every $y$, including the one inside $-2y$.ต้องแทน $y$ ทุกตัว รวมถึงตัวที่อยู่ใน $-2y$ ด้วย
Show that $x^{2}+(x+2)^{2}-2(x+2)=24$ becomes $x^{2}+x-12=0$.
จงแสดงว่า $x^{2}+(x+2)^{2}-2(x+2)=24$ จัดรูปได้เป็น $x^{2}+x-12=0$
Answershow ▾
Expand both brackets fully before collecting; $-2(x+2)$ expands to $-2x-4$, not just $-2x$.กระจายวงเล็บทั้งหมดก่อนรวมพจน์ $-2(x+2)$ กระจายได้ $-2x-4$ ไม่ใช่แค่ $-2x$
Solve $x^{2}+x-12=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}+x-12=0$
Answershow ▾
Check by expanding back: $(x+4)(x-3)$ gives $-3x+4x=x$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(x+4)(x-3)$ ได้ $-3x+4x=x$
You have $x=-4$ and $x=3$. To get $y$, which equation do you use? Try $x=3$ in both and compare.
ได้ $x=-4$ กับ $x=3$ จะหา $y$ ต้องใช้สมการไหน ลองแทน $x=3$ ทั้งสองสมการแล้วเทียบกัน
Answershow ▾
$x^{2}+y^{2}-2y=24$ is a quadratic in $y$, so it has two $y$ values for each $x$. The line gives exactly one $y$ per $x$, so it picks out the right one.$x^{2}+y^{2}-2y=24$ เป็นสมการกำลังสองของ $y$ จึงมี $y$ สองค่าต่อ $x$ หนึ่งค่า ส่วนเส้นตรงให้ $y$ ค่าเดียวต่อ $x$ จึงได้ค่าที่ถูก
Use $y=x+2$ to find $y$ for $x=-4$ and for $x=3$. Write both points.
ใช้ $y=x+2$ หา $y$ เมื่อ $x=-4$ และเมื่อ $x=3$ แล้วเขียนทั้งสองจุด
Answershow ▾
Two points: the line crosses the curve twice.ได้สองจุด เพราะเส้นตรงตัดเส้นโค้งสองครั้ง
Check that $(-4,-2)$ fits $x^{2}+y^{2}-2y=24$.
จงตรวจว่าจุด $(-4,-2)$ เป็นจริงกับ $x^{2}+y^{2}-2y=24$
Answershow ▾
A point that fits both equations lies on both graphs.จุดที่เป็นจริงกับทั้งสองสมการ อยู่บนกราฟทั้งสอง
Solve the simultaneous equations $y=x+3$ and $x^{2}+y^{2}-2y=19$.
จงแก้ระบบสมการ $y=x+3$ และ $x^{2}+y^{2}-2y=19$
Answershow ▾
Same four moves: substitute, expand, solve, then use the line for each $y$.สี่ขั้นเดิม: แทนค่า กระจาย แก้สมการ แล้วใช้เส้นตรงหา $y$ แต่ละค่า
The line with equation $y=x+2$ intersects the curve with equation $x^{2}+y^{2}-2y=24$ at the points $A$ and $B$.
Find the coordinates of $A$ and $B$.
Show clear algebraic working.
เส้นตรง $y=x+2$ ตัดกับเส้นโค้ง $x^{2}+y^{2}-2y=24$ ที่จุด $A$ และ $B$
จงหาพิกัดของ $A$ และ $B$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Four are for method, so show every line.5 คะแนน · สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จึงต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x^{2}+(x+2)^{2}-2(x+2) = 24$
M1 expand and simplifyกระจายแล้วจัดรูป
$x^{2}+x^{2}+4x+4-2x-4 = 24$
$2x^{2}+2x = 24$
M1 collect into a quadraticรวมพจน์เป็นสมการกำลังสอง
$x^{2}+x-12 = 0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(x+4)(x-3) = 0$
$x = -4 \;\text{or}\; x = 3$
A1 the coordinates of A and Bพิกัดของ A และ B
$y = x+2$
$(-4,-2) \;\text{and}\; (3,5)$
A line, a circle, exact length เส้นตรงกับวงกลม ความยาวแบบแน่นอน
The curve with equation $x^{2}-x+y^{2}=10$ and the straight line with equation $x-y=-4$ intersect at the points $A$ and $B$.
Work out the exact length of $AB$.
Give your answer in the form $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$ where $a$ is an integer.
Show clear algebraic working.
เส้นโค้ง $x^{2}-x+y^{2}=10$ และเส้นตรง $x-y=-4$ ตัดกันที่จุด $A$ และ $B$
จงหาความยาวของ $AB$ แบบแน่นอน
ให้คำตอบในรูป $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็ม
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Expand $(x+4)^{2}$.
จงกระจาย $(x+4)^{2}$
Answershow ▾
Multiply the bracket by itself; the two middle terms combine.คูณวงเล็บด้วยตัวเอง แล้วรวมสองพจน์กลางเข้าด้วยกัน
Work out the distance between $(2,3)$ and $(6,6)$ using $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
จงหาความยาวระหว่าง $(2,3)$ และ $(6,6)$ โดยใช้ $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
Answershow ▾
Subtract the x-values and the y-values separately, then square, add, and root.ลบค่า x กับค่า y แยกกันก่อน แล้วยกกำลังสอง บวก แล้วถอดราก
Simplify $\sqrt{0.5}$. Write $0.5$ as $\dfrac{2}{4}$ first.
จงทำให้ง่าย $\sqrt{0.5}$ โดยเขียน $0.5$ เป็น $\dfrac{2}{4}$ ก่อน
Answershow ▾
The denominator $4$ is a square number, so its root, $2$, is a whole number.ตัวส่วน $4$ เป็นจำนวนกำลังสอง รากที่สองของมันคือ $2$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
$x-y=-4$ and $x^{2}-x+y^{2}=10$. One equation is a line, one has $x^{2}$ and $y^{2}$. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) rearrange $x-y=-4$ to make $y$ the subject, then substitute into the curve
(C) square both sides of $x-y=-4$
$x-y=-4$ และ $x^{2}-x+y^{2}=10$ สมการหนึ่งเป็นเส้นตรง อีกสมการมี $x^{2}$ และ $y^{2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการ
(B) จัดรูป $x-y=-4$ ให้ $y$ เป็นตัวตั้ง แล้วแทนค่าลงในเส้นโค้ง
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $x-y=-4$
Answershow ▾
Adding leaves $x^{2}+y^{2}-y=6$, which still has two letters, so it does not remove a variable. Squaring leaves $x^{2}-2xy+y^{2}=16$, which adds a new $xy$ term instead of removing one. Substituting removes $y$ completely, leaving one letter, $x$.การบวกจะได้ $x^{2}+y^{2}-y=6$ ซึ่งยังมีสองตัวแปรอยู่ จึงไม่ได้กำจัดตัวแปรใดออกไป · การยกกำลังสองจะได้ $x^{2}-2xy+y^{2}=16$ ซึ่งเพิ่มพจน์ $xy$ ใหม่เข้ามาแทนที่จะลดตัวแปร · การแทนค่าทำให้ $y$ หายไปทั้งหมด เหลือตัวแปรเดียวคือ $x$
Rearrange $x-y=-4$ to make $y$ the subject.
จงจัดรูป $x-y=-4$ ให้ $y$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Isolate $y$ by moving the $x$ and the $4$ to the other side, one step at a time.ย้าย $x$ และ $4$ ไปอีกข้างทีละขั้น เพื่อแยก $y$ ออกมา
Substitute $y=x+4$ into $x^{2}-x+y^{2}=10$. Show that it simplifies to $2x^{2}+7x+6=0$.
แทน $y=x+4$ ลงใน $x^{2}-x+y^{2}=10$ จงแสดงว่าจัดรูปได้เป็น $2x^{2}+7x+6=0$
Answershow ▾
Use question $1$ for the bracket, then collect the $x^{2}$ terms and move the $10$.ใช้ข้อ $1$ กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $x^{2}$ และย้าย $10$
Solve $2x^{2}+7x+6=0$, then use $y=x+4$ to find the matching $y$ for each $x$. Write both points.
จงแก้สมการ $2x^{2}+7x+6=0$ แล้วใช้ $y=x+4$ หาค่า $y$ ที่ตรงกับแต่ละ $x$ แล้วเขียนทั้งสองจุด
Answershow ▾
Factorise first; check by expanding $(2x+3)(x+2)$ back to $2x^{2}+7x+6$.แยกตัวประกอบก่อน แล้วตรวจโดยกระจาย $(2x+3)(x+2)$ กลับเป็น $2x^{2}+7x+6$
Check that both $(-1.5,\,2.5)$ and $(-2,\,2)$ fit $x^{2}-x+y^{2}=10$.
จงตรวจว่าทั้ง $(-1.5,\,2.5)$ และ $(-2,\,2)$ เป็นจริงกับ $x^{2}-x+y^{2}=10$
Answershow ▾
A wrong point here gives a confidently wrong length later, so check both equations before computing $AB$.ถ้าจุดผิดตั้งแต่ตรงนี้ จะได้ความยาวที่ผิดแบบมั่นใจผิดๆ จึงต้องตรวจทั้งสองสมการก่อนหาค่า $AB$
Work out $AB$ using $A(-1.5,\,2.5)$ and $B(-2,\,2)$ and $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. Do not simplify yet.
จงหา $AB$ โดยใช้ $A(-1.5,\,2.5)$ และ $B(-2,\,2)$ กับ $AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ ยังไม่ต้องทำให้ง่าย
Answershow ▾
$\Delta x=-1.5-(-2)=0.5$ and $\Delta y=2.5-2=0.5$, so a small difference gives a small root.$\Delta x=-1.5-(-2)=0.5$ และ $\Delta y=2.5-2=0.5$ ผลต่างน้อย คำตอบใต้เครื่องหมายกรณฑ์จึงน้อยตามไปด้วย
$AB=\sqrt{0.5}$. The question asks for the exact length, in the form $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$. Pick the final answer.
(A) $AB=0.71$
(B) $AB=\sqrt{0.5}$
(C) $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$AB=\sqrt{0.5}$ โจทย์ต้องการความยาวแบบแน่นอน ในรูป $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$ จงเลือกคำตอบสุดท้าย
(A) $AB=0.71$
(B) $AB=\sqrt{0.5}$
(C) $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Answershow ▾
A decimal is a rounded value, so it scores zero on an exact question however correct it looks. $\sqrt{0.5}$ is exact but not in the required form, so the simplifying mark is still missing.ทศนิยมเป็นค่าที่ปัดแล้ว จึงไม่ได้คะแนนในข้อที่ถามหาค่าแน่นอน แม้ตัวเลขจะถูกก็ตาม · $\sqrt{0.5}$ แน่นอนแล้วแต่ยังไม่อยู่ในรูปที่โจทย์ต้องการ จึงยังขาดคะแนนการทำให้เป็นรูปง่าย
Solve the simultaneous equations $y=x+2$ and $x^{2}+y^{2}=20$, then find the exact distance between the two points.
จงแก้ระบบสมการ $y=x+2$ และ $x^{2}+y^{2}=20$ แล้วหาความยาวแบบแน่นอนระหว่างทั้งสองจุด
Answershow ▾
Same five moves: substitute, expand, solve, find both points, then the distance formula.ห้าขั้นเดิม: แทนค่า กระจาย แก้สมการ หาทั้งสองจุด แล้วใช้สูตรหาความยาว
The curve with equation $x^{2}-x+y^{2}=10$ and the straight line with equation $x-y=-4$ intersect at the points $A$ and $B$.
Work out the exact length of $AB$.
Give your answer in the form $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$ where $a$ is an integer.
Show clear algebraic working.
เส้นโค้ง $x^{2}-x+y^{2}=10$ และเส้นตรง $x-y=-4$ ตัดกันที่จุด $A$ และ $B$
จงหาความยาวของ $AB$ แบบแน่นอน
ให้คำตอบในรูป $\dfrac{\sqrt{a}}{2}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนเต็ม
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
$6$ marks: five for the method, one for the exact, simplified surd.$6$ คะแนน · ห้าคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ อีกหนึ่งคะแนนสำหรับค่ากรณฑ์แบบแน่นอนที่ทำให้ง่ายแล้ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y = x+4$
M1 substitute into the curveแทนค่าลงในสมการเส้นโค้ง
$x^{2}-x+(x+4)^{2} = 10$
M1 expand and collect termsกระจายแล้วรวมพจน์
$x^{2}-x+x^{2}+8x+16 = 10$
$2x^{2}+7x+6 = 0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(2x+3)(x+2) = 0$
$x = -1.5 \;\text{or}\; x = -2$
M1 the coordinates and the differencesพิกัดและผลต่างของแกน
$A(-1.5,\,2.5), \; B(-2,\,2)$
$\Delta x = 0.5,\;\Delta y = 0.5$
A1 the exact length ABความยาว AB แบบแน่นอน
$AB = \sqrt{0.5^{2}+0.5^{2}}$
$= \sqrt{0.5}$
$= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Separate x terms, then divide แยกพจน์ x แล้วหาร
Solve the inequality $3x+15\lt8x+3$
Show clear algebraic working.
จงแก้อสมการ $3x+15\lt8x+3$
แสดงวิธีทำพีชคณิตอย่างชัดเจน
Solve $x+3\lt15$.
จงแก้ $x+3\lt15$
Answershow ▾
Subtracting the same number from both sides never changes the symbol.การลบตัวเลขเท่ากันออกจากทั้งสองข้าง ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเลย
Solve $5x\gt12$.
จงแก้ $5x\gt12$
Answershow ▾
Dividing by a positive number also never changes the symbol.หารด้วยจำนวนบวก ก็ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเช่นกัน
Solve $-5x\lt25$.
จงแก้ $-5x\lt25$
Answershow ▾
Dividing by $-5$ is dividing by a negative: test $2\lt3$, divide both by $-1$, and it becomes $-2\gt-3$ — the symbol flips.หารด้วย $-5$ คือหารด้วยจำนวนลบ: ลอง $2\lt3$ หารทั้งสองข้างด้วย $-1$ จะได้ $-2\gt-3$ — เครื่องหมายพลิก
You have $-3x\gt12$. Divide both sides by $-3$. Which is correct?
(A) $x\gt-4$
(B) $x\lt-4$
(C) $x\gt4$
มี $-3x\gt12$ หารทั้งสองข้างด้วย $-3$ ข้อไหนถูก
(A) $x\gt-4$
(B) $x\lt-4$
(C) $x\gt4$
Answershow ▾
Test $x=5$: $-3(5)=-15$, not $\gt12$, so (A) and (C) are both wrong since $x=5$ fits them. Test $x=-5$: $-3(-5)=15\gt12$, true, so the answer is $x\lt-4$.ลอง $x=5$: $-3(5)=-15$ ไม่ $\gt12$ ดังนั้น (A) และ (C) ผิด เพราะ $x=5$ อยู่ในช่วงของทั้งสองข้อ · ลอง $x=-5$: $-3(-5)=15\gt12$ จริง ดังนั้นคำตอบคือ $x\lt-4$
Move the $x$ terms to one side and the numbers to the other in $3x+15\lt8x+3$. Write the new inequality.
ย้ายพจน์ $x$ ไปข้างหนึ่ง และตัวเลขไปอีกข้างหนึ่งของ $3x+15\lt8x+3$ แล้วเขียนอสมการใหม่
Answershow ▾
Subtract $3x$ from both sides, then subtract $3$ from both sides.ลบ $3x$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วลบ $3$ ออกจากทั้งสองข้างอีกครั้ง
Simplify $15-3\lt8x-3x$.
จงทำให้ง่าย $15-3\lt8x-3x$
Answershow ▾
Work out each side on its own: the numbers on the left, the $x$ terms on the right.คำนวณแต่ละข้างแยกกัน: ตัวเลขทางซ้าย พจน์ $x$ ทางขวา
Solve $12\lt5x$ for $x$.
จงแก้ $12\lt5x$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $5$, a positive number, so the symbol stays the same.หารทั้งสองข้างด้วย $5$ ซึ่งเป็นจำนวนบวก เครื่องหมายจึงไม่เปลี่ยน
Solve $3x+15\lt8x+3$, showing every step.
จงแก้ $3x+15\lt8x+3$ แสดงทุกขั้นตอน
Answershow ▾
Same three moves in a row: separate, simplify, divide.สามท่าเดิมต่อกัน: แยกพจน์ ทำให้ง่าย หาร
Your answer is $x\gt2.4$. Test $x=3$ and $x=0$ in $3x+15\lt8x+3$. Which one makes it true?
คำตอบคือ $x\gt2.4$ ลองแทน $x=3$ และ $x=0$ ใน $3x+15\lt8x+3$ ค่าไหนทำให้เป็นจริง
Answershow ▾
$x=3$ is inside the range and gives $24\lt27$, true; $x=0$ is outside and gives $15\lt3$, false.$x=3$ อยู่ในช่วงคำตอบ และให้ $24\lt27$ ซึ่งจริง · $x=0$ อยู่นอกช่วง และให้ $15\lt3$ ซึ่งไม่จริง
Solve the inequality $9-4x\lt1$.
จงแก้อสมการ $9-4x\lt1$
Answershow ▾
Subtracting $9$ leaves a negative $x$ term, so dividing by $-4$ flips the symbol.พอลบ $9$ ออก จะเหลือพจน์ $x$ ติดลบ หารด้วย $-4$ เครื่องหมายจึงพลิก
Solve the inequality $3x+15\lt8x+3$
Show clear algebraic working.
จงแก้อสมการ $3x+15\lt8x+3$
แสดงวิธีทำพีชคณิตอย่างชัดเจน
Answershow ▾
3 marks: 2 for rearranging and simplifying, 1 for the final division.3 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับการจัดรูปและทำให้ง่าย 1 คะแนนสำหรับการหารขั้นสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$15-3 \lt 8x-3x$
M1 simplify both sidesทำให้ง่ายทั้งสองข้าง
$12 \lt 5x$
A1 divide by 5หารด้วย 5
$x \gt 2.4$
Solve, then mark a circle แก้สมการ แล้วปักวงกลม
(c)(i) Solve the inequality $7t-8\lt2t+7$
(c)(ii) On the number line below, represent the solution set of the inequality solved in part (c)(i)
(c)(i) จงแก้อสมการ $7t-8\lt2t+7$
(c)(ii) บนเส้นจำนวนด้านล่าง จงแสดงเซตคำตอบของอสมการที่แก้ในข้อ (c)(i)
This number line shows an inequality in $t$. Read it and write the inequality.
เส้นจำนวนนี้แสดงอสมการของ $t$ จงอ่านแล้วเขียนอสมการ
Answershow ▾
A filled circle means the endpoint itself is included.วงกลมทึบ แปลว่ารวมจุดปลายนั้นด้วย
You have solved $x\lt4$. Is the circle at $4$ open or filled, and which way does the arrow point?
แก้ได้ $x\lt4$ วงกลมที่ $4$ เป็นวงกลมโปร่งหรือทึบ และลูกศรชี้ไปทางไหน
Answershow ▾
$4$ itself does not satisfy $x\lt4$, so its circle is left open.$4$ ไม่สอดคล้องกับ $x\lt4$ วงกลมที่ $4$ จึงต้องเป็นวงกลมโปร่ง
You have solved $x\geqslant-2$. Is the circle at $-2$ open or filled, and which way does the arrow point?
แก้ได้ $x\geqslant-2$ วงกลมที่ $-2$ เป็นวงกลมโปร่งหรือทึบ และลูกศรชี้ไปทางไหน
Answershow ▾
$-2$ itself satisfies $x\geqslant-2$, so its circle is filled in.$-2$ สอดคล้องกับ $x\geqslant-2$ วงกลมที่ $-2$ จึงต้องเป็นวงกลมทึบ
You solve down to $t\lt3$. To decide if the circle at $3$ should be open or filled, what should you do?
(A) substitute $t=3$ into $t\lt3$ and see if it is true
(B) remember that $\lt$ always means an open circle
(C) substitute $t=4$ into $t\lt3$ and see if it is true
แก้ได้ $t\lt3$ จะตัดสินว่าวงกลมที่ $3$ เป็นวงกลมโปร่งหรือทึบ ควรทำอย่างไร
(A) แทน $t=3$ ลงใน $t\lt3$ แล้วดูว่าจริงหรือไม่
(B) จำไว้ว่า $\lt$ แปลว่าวงกลมโปร่งเสมอ
(C) แทน $t=4$ ลงใน $t\lt3$ แล้วดูว่าจริงหรือไม่
Answershow ▾
(B) is a memorised rule, not a check, so it fails once a sign has flipped; (C) tests $4$, which is not the boundary, so it proves nothing about $3$.(B) เป็นกฎที่จำมา ไม่ใช่การตรวจสอบ จึงใช้ไม่ได้เมื่อเครื่องหมายพลิก · (C) ทดสอบที่ $4$ ซึ่งไม่ใช่ค่าปลาย จึงบอกอะไรเกี่ยวกับ $3$ ไม่ได้
Move the $t$ terms to one side and the numbers to the other in $7t-8\lt2t+7$. Write the new inequality.
ย้ายพจน์ $t$ ไปข้างหนึ่ง และตัวเลขไปอีกข้างหนึ่งของ $7t-8\lt2t+7$ แล้วเขียนอสมการใหม่
Answershow ▾
Subtract $2t$ from both sides, then add $8$ to both sides.ลบ $2t$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วบวก $8$ เข้าทั้งสองข้างอีกครั้ง
Simplify $7t-2t\lt7+8$ and solve for $t$.
จงทำให้ง่าย $7t-2t\lt7+8$ แล้วแก้หา $t$
Answershow ▾
Work out each side on its own, then divide by $5$.คำนวณแต่ละข้างแยกกัน แล้วหารด้วย $5$
You have $t\lt3$. On the number line below, is the circle at $3$ open or filled, and which way does the arrow point?
ได้ $t\lt3$ บนเส้นจำนวนด้านล่าง วงกลมที่ $3$ เป็นวงกลมโปร่งหรือทึบ และลูกศรชี้ไปทางไหน
Answershow ▾
$3$ itself does not satisfy $t\lt3$, so its circle stays open.$3$ ไม่สอดคล้องกับ $t\lt3$ วงกลมที่ $3$ จึงต้องเป็นวงกลมโปร่ง
Solve $6t+1\lt3t+13$. Then say whether the circle is open or filled, and which way the arrow points.
จงแก้ $6t+1\lt3t+13$ แล้วบอกว่าวงกลมเป็นวงกลมโปร่งหรือทึบ และลูกศรชี้ไปทางไหน
Answershow ▾
Same three moves as before: separate the $t$ terms, simplify, divide.สามท่าเดิม: แยกพจน์ที่มี $t$ ทำให้ง่าย แล้วหาร
Your answer is $t\lt3$. Test $t=2$ and $t=3$ in $7t-8\lt2t+7$. Which one makes it true?
คำตอบคือ $t\lt3$ ลองแทน $t=2$ และ $t=3$ ใน $7t-8\lt2t+7$ ค่าไหนทำให้เป็นจริง
Answershow ▾
$t=3$ makes both sides equal, which is exactly why its circle on the number line is open.$t=3$ ทำให้สองข้างเท่ากัน ซึ่งเป็นเหตุผลเดียวกันที่วงกลมที่ $3$ บนเส้นจำนวนต้องเป็นวงกลมโปร่ง
Solve $8x-10\lt3x+15$ and show the solution on a number line (open or filled circle, and which way the arrow points).
จงแก้ $8x-10\lt3x+15$ แล้วแสดงคำตอบบนเส้นจำนวน (วงกลมโปร่งหรือทึบ และลูกศรชี้ไปทางไหน)
Answershow ▾
The same moves, with numbers that come out exactly.ท่าเดิม แต่ตัวเลขลงตัวพอดี
(c)(i) Solve the inequality $7t-8\lt2t+7$
(c)(ii) On the number line below, represent the solution set of the inequality solved in part (c)(i)
(c)(i) จงแก้อสมการ $7t-8\lt2t+7$
(c)(ii) บนเส้นจำนวนด้านล่าง จงแสดงเซตคำตอบของอสมการที่แก้ในข้อ (c)(i)
Answershow ▾
3 marks: one for collecting the $t$ terms, one for dividing, one for the open circle.3 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับรวมพจน์ที่มี $t$ 1 คะแนนสำหรับหาร 1 คะแนนสำหรับวงกลมโปร่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$7t-2t \lt 7+8$
$5t \lt 15$
A1 divide by 5หารด้วย 5
$t \lt 3$
B1 open circle, arrow leftวงกลมโปร่ง ลูกศรไปซ้าย
$t \lt 3$
Two ends at once, then read a line สองปลายในขั้นเดียว แล้วอ่านเส้นจำนวน
(a) $-8\lt2y\leqslant2$
$y$ is an integer.
Find all the possible values of $y$
(b) Write down the inequality shown on the number line.
(ก) $-8\lt2y\leqslant2$
$y$ เป็นจำนวนเต็ม
จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
(ข) จงเขียนอสมการที่แสดงบนเส้นจำนวน
$-6\lt3n\leqslant9$ is two statements at once. Write them as two separate inequalities.
$-6\lt3n\leqslant9$ คืออสมการสองอันในคราวเดียว จงเขียนแยกเป็นสองอสมการ
Answershow ▾
A double inequality squeezes one expression between two limits — split it at that expression.อสมการสองชั้นบีบนิพจน์หนึ่งไว้ระหว่างค่าจำกัดสองค่า จงแยกตรงนิพจน์นั้น
Solve $-6\lt3n\leqslant9$ for $n$. Divide every part by $3$.
จงแก้ $-6\lt3n\leqslant9$ หาค่า $n$ โดยหารทุกส่วนด้วย $3$
Answershow ▾
Dividing every part by a positive number never changes either symbol.การหารทุกส่วนด้วยจำนวนบวก ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองตัวเลย
Read this number line. What double inequality does it show for $n$?
จงอ่านเส้นจำนวนนี้ แล้วบอกอสมการสองชั้นของ $n$
Answershow ▾
An open circle keeps that end out; a filled circle keeps it in.วงกลมโปร่งไม่รวมปลายนั้น ส่วนวงกลมทึบรวมปลายนั้นด้วย
You divide $-8\lt2y\leqslant2$ by $2$ to get $-4\lt y\leqslant1$. Which end is open and which is filled?
(A) $-4$ open, $1$ filled
(B) $-4$ filled, $1$ open
(C) both filled
หาร $-8\lt2y\leqslant2$ ด้วย $2$ ได้ $-4\lt y\leqslant1$ ปลายไหนโปร่ง ปลายไหนทึบ
(A) $-4$ โปร่ง, $1$ ทึบ
(B) $-4$ ทึบ, $1$ โปร่ง
(C) ทึบทั้งสองปลาย
Answershow ▾
Dividing by a positive number never swaps which symbol belongs to which end: $\lt$ stays with $-4$ (open) and $\leqslant$ stays with $1$ (filled) — (B) swaps them, (C) ignores that $\lt$ never becomes $\leqslant$.การหารด้วยจำนวนบวกไม่ทำให้เครื่องหมายสลับข้างกัน: $\lt$ ยังอยู่กับ $-4$ (โปร่ง) และ $\leqslant$ ยังอยู่กับ $1$ (ทึบ) · (B) สลับปลายทั้งสอง · (C) ลืมไปว่า $\lt$ ไม่กลายเป็น $\leqslant$
Solve $-8\lt2y\leqslant2$ for $y$. Divide every part by $2$.
จงแก้ $-8\lt2y\leqslant2$ หาค่า $y$ โดยหารทุกส่วนด้วย $2$
Answershow ▾
Same move as the warm-up, on the real numbers.ท่าเดิมจากข้ออุ่นเครื่อง แต่ใช้ตัวเลขจริงของข้อสอบ
$y$ is an integer and $-4\lt y\leqslant1$. List every possible value of $y$.
$y$ เป็นจำนวนเต็ม และ $-4\lt y\leqslant1$ จงเขียนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
Answershow ▾
Start just above $-4$ (not $-4$ itself) and count up to $1$, which is included.เริ่มจากค่าที่มากกว่า $-4$ (ไม่เอา $-4$ เอง) แล้วนับไปถึง $1$ ซึ่งรวมด้วย
This number line shows the inequality for part (b). Write it down.
เส้นจำนวนนี้แสดงอสมการของข้อ (ข) จงเขียนอสมการนั้น
Answershow ▾
The circle at $-1$ is open, so $-1$ itself is not included.วงกลมที่ $-1$ เป็นวงกลมโปร่ง จึงไม่รวม $-1$
$m$ is an integer and $-10\lt5m\leqslant10$. Find all the possible values of $m$.
$m$ เป็นจำนวนเต็ม และ $-10\lt5m\leqslant10$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $m$
Answershow ▾
Same two moves in a row: divide every part, then list the integers.สองท่าเดิมต่อกัน: หารทุกส่วน แล้วเขียนจำนวนเต็มทั้งหมด
Your answer is $-4\lt y\leqslant1$. Test $y=-4$ and $y=1$ in $-8\lt2y\leqslant2$. Which one satisfies it?
คำตอบคือ $-4\lt y\leqslant1$ ลองแทน $y=-4$ และ $y=1$ ใน $-8\lt2y\leqslant2$ ค่าไหนเป็นจริง
Answershow ▾
$y=-4$ fails because $-8$ is not less than itself, which is exactly why that end is open.$y=-4$ ไม่จริง เพราะ $-8$ ไม่น้อยกว่าตัวเอง ซึ่งเป็นเหตุผลเดียวกันที่ปลายนั้นต้องเป็นวงกลมโปร่ง
$k$ is an integer and $-9\lt3k\leqslant6$. Find all the possible values of $k$. Then write down the inequality shown by a number line with an open circle at $2$ and an arrow pointing right.
$k$ เป็นจำนวนเต็ม และ $-9\lt3k\leqslant6$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ แล้วเขียนอสมการที่แสดงด้วยเส้นจำนวนซึ่งมีวงกลมโปร่งที่ $2$ และลูกศรชี้ไปทางขวา
Answershow ▾
Same two skills, new numbers that still come out exactly.สองทักษะเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่ที่ยังลงตัวพอดี
(a) $-8\lt2y\leqslant2$
$y$ is an integer.
Find all the possible values of $y$
(b) Write down the inequality shown on the number line.
(ก) $-8\lt2y\leqslant2$
$y$ เป็นจำนวนเต็ม
จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $y$
(ข) จงเขียนอสมการที่แสดงบนเส้นจำนวน
Answershow ▾
3 marks: one for dividing, one for listing the integers, one for reading the line.3 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับการหาร 1 คะแนนสำหรับเขียนจำนวนเต็ม 1 คะแนนสำหรับอ่านเส้นจำนวน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$-4 \lt y \leqslant 1$
A1 list the integersเขียนจำนวนเต็มทั้งหมด
$y = -3,-2,-1,0,1$
B1 read the number lineอ่านจากเส้นจำนวน
$x \gt -1$
Draw the range, then list the integers วาดช่วงบนเส้นจำนวน แล้วเขียนจำนวนเต็ม
(a) On the number line, show the inequality $-2\leqslant y\lt1$
(b) $n$ is an integer.
Write down all the values of $n$ that satisfy $-3.4\lt n\leqslant2$
(ก) บนเส้นจำนวน จงแสดงอสมการ $-2\leqslant y\lt1$
(ข) $n$ เป็นจำนวนเต็ม
จงเขียนค่าทั้งหมดของ $n$ ที่สอดคล้องกับ $-3.4\lt n\leqslant2$
List all integers $x$ with $-2\leqslant x\leqslant1$.
จงเขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-2\leqslant x\leqslant1$
Answershow ▾
Both symbols are $\leqslant$, so both $-2$ and $1$ stay in the list.ทั้งสองสัญลักษณ์เป็น $\leqslant$ ดังนั้นทั้ง $-2$ และ $1$ อยู่ในรายการ
List all integers $x$ with $-2\leqslant x\lt1$.
จงเขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-2\leqslant x\lt1$
Answershow ▾
The right end is $\lt$, so $1$ itself drops out of the list.ปลายขวาเป็น $\lt$ ดังนั้น $1$ จึงหลุดออกจากรายการ
List all integers $x$ with $-3\lt x\leqslant1$.
จงเขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-3\lt x\leqslant1$
Answershow ▾
$-3$ itself is excluded, but $0$ is still an integer and must stay in the list.$-3$ เองถูกตัดออก แต่ $0$ ก็เป็นจำนวนเต็ม ต้องอยู่ในรายการด้วย
$-3.4\lt n\leqslant2$. Is $n=-3$ one of the values?
(A) No, because $-3$ looks smaller than $-3.4$
(B) Yes, because $-3$ sits to the right of $-3.4$ on the number line, so $-3\gt-3.4$
(C) No, because the left symbol is $\lt$, so no negative number can satisfy it
$-3.4\lt n\leqslant2$ · $n=-3$ เป็นค่าหนึ่งหรือไม่
(A) ไม่ เพราะ $-3$ ดูเหมือนน้อยกว่า $-3.4$
(B) ใช่ เพราะ $-3$ อยู่ทางขวาของ $-3.4$ บนเส้นจำนวน จึงได้ $-3\gt-3.4$
(C) ไม่ เพราะสัญลักษณ์ด้านซ้ายเป็น $\lt$ จำนวนลบจึงเป็นไปไม่ได้เลย
Answershow ▾
(A) compares the digits $3$ and $3.4$ and gets the direction backwards for negative numbers. (C) confuses "the boundary value is excluded" with "the whole negative side is excluded" — only $-3.4$ itself drops out.(A) เทียบตัวเลข $3$ กับ $3.4$ แล้วกลับทิศสำหรับจำนวนลบ · (C) สับสนระหว่าง "ค่าที่ขอบถูกตัดออก" กับ "ฝั่งลบทั้งหมดถูกตัดออก" — มีแค่ $-3.4$ เองที่หลุดไป
For $-2\leqslant y\lt1$, is the circle at $y=-2$ open or closed? Is the circle at $y=1$ open or closed?
$-2\leqslant y\lt1$ วงกลมที่ $y=-2$ เป็นแบบเปิดหรือปิด แล้วที่ $y=1$ เป็นแบบเปิดหรือปิด
Answershow ▾
$\leqslant$ at $-2$ means closed (filled). $\lt$ at $1$ means open (hollow).$\leqslant$ ที่ $-2$ หมายถึงปิด (จุดทึบ) · $\lt$ ที่ $1$ หมายถึงเปิด (จุดโปร่ง)
In $-3.4\lt n\leqslant2$, what is the smallest integer that satisfies $n\gt-3.4$?
ใน $-3.4\lt n\leqslant2$ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับ $n\gt-3.4$ คือเท่าไร
Answershow ▾
$-3$ is greater than $-3.4$, and no integer sits between them.$-3$ มากกว่า $-3.4$ และไม่มีจำนวนเต็มใดอยู่ระหว่างทั้งสอง
List all integers $n$ with $-3.4\lt n\leqslant2$.
จงเขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-3.4\lt n\leqslant2$
Answershow ▾
Start at the smallest integer above $-3.4$, and count up to $2$ itself.เริ่มจากจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $-3.4$ แล้วไล่ขึ้นไปจนถึง $2$ เอง
Using the inequality from part (a), $-2\leqslant y\lt1$, list every integer $y$ satisfies.
ใช้อสมการจากส่วน (ก) คือ $-2\leqslant y\lt1$ จงเขียนจำนวนเต็มทุกตัวที่ $y$ สอดคล้อง
Answershow ▾
Same listing skill as part (b), just a different range.ทักษะการเขียนรายการเดียวกันกับส่วน (ข) แค่คนละช่วง
Check your list for $-3.4\lt n\leqslant2$ by testing $n=-4$ and $n=2$ in the inequality. Which one satisfies it?
จงตรวจรายการสำหรับ $-3.4\lt n\leqslant2$ โดยลองแทน $n=-4$ และ $n=2$ ในอสมการ ค่าไหนสอดคล้อง
Answershow ▾
$-4\lt-3.4$ is false, so $-4$ is correctly left out. $2\leqslant2$ is true, so $2$ correctly stays in.$-4\lt-3.4$ เป็นเท็จ ดังนั้น $-4$ ถูกตัดออกอย่างถูกต้อง · $2\leqslant2$ เป็นจริง ดังนั้น $2$ ยังอยู่ในรายการ
(a) On a number line, show $-1\leqslant y\lt2$.
(b) $n$ is an integer. Write down all the values of $n$ that satisfy $-2\lt n\leqslant3$.
(ก) บนเส้นจำนวน จงแสดงอสมการ $-1\leqslant y\lt2$
(ข) $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงเขียนค่าทั้งหมดของ $n$ ที่สอดคล้องกับ $-2\lt n\leqslant3$
Answershow ▾
Same two skills: closed and open circles, then list the integers between them.สองทักษะเดิม: วงกลมปิดกับเปิด แล้วเขียนจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่างกลาง
(a) On the number line, show the inequality $-2\leqslant y\lt1$
(b) $n$ is an integer.
Write down all the values of $n$ that satisfy $-3.4\lt n\leqslant2$
(ก) บนเส้นจำนวน จงแสดงอสมการ $-2\leqslant y\lt1$
(ข) $n$ เป็นจำนวนเต็ม
จงเขียนค่าทั้งหมดของ $n$ ที่สอดคล้องกับ $-3.4\lt n\leqslant2$
Answershow ▾
4 marks: 2 for the number line (closed at $-2$, open at $1$), 2 for the integer list.4 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับเส้นจำนวน (ปิดที่ $-2$ เปิดที่ $1$) อีก 2 คะแนนสำหรับรายการจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$-2 \leqslant y \lt 1$
B1 line joining the two circlesลากเส้นเชื่อมสองจุด
$-2 \leqslant y \lt 1$
M1 the integers in the rangeจำนวนเต็มในช่วง
$-3.4 \lt n \leqslant 2$
A1 list themเขียนออกมาทั้งหมด
$n = -3,-2,-1,0,1,2$
Shade a region from three boundaries แรเงาบริเวณจากเส้นขอบสามเส้น
Show, by shading on the grid, the region that satisfies all three of the inequalities
$x\leqslant4$ and $y\geqslant-2$ and $y\leqslant x$
Label the region $R$.
จงแรเงาบนกริดแสดงบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสามข้อ
$x\leqslant4$ และ $y\geqslant-2$ และ $y\leqslant x$
เขียนชื่อบริเวณ $R$
The inequality is $y\geqslant-2$. Is its boundary line dashed or solid?
อสมการคือ $y\geqslant-2$ เส้นขอบเป็นเส้นประหรือเส้นทึบ
Answershow ▾
$\geqslant$ and $\leqslant$ keep the line. $\gt$ and $\lt$ remove it.$\geqslant$ และ $\leqslant$ เก็บเส้นไว้ · $\gt$ และ $\lt$ เอาเส้นออก
The boundary $x=4$ is vertical. Does the point $(10,0)$ satisfy $x\leqslant4$?
เส้นขอบ $x=4$ เป็นแนวตั้ง จุด $(10,0)$ สอดคล้องกับ $x\leqslant4$ หรือไม่
Answershow ▾
On a vertical line only the $x$-coordinate matters; $y$ plays no part.เส้นแนวตั้งดูแค่พิกัด $x$ · $y$ ไม่มีผล
The boundary $y=-2$ is horizontal. Does the point $(0,-5)$ satisfy $y\geqslant-2$?
เส้นขอบ $y=-2$ เป็นแนวนอน จุด $(0,-5)$ สอดคล้องกับ $y\geqslant-2$ หรือไม่
Answershow ▾
On a horizontal line only the $y$-coordinate matters.เส้นแนวนอนดูแค่พิกัด $y$
The boundary $y=x$ passes through $(0,0)$. Pick the method that safely finds the side to shade.
(A) test $(0,0)$ anyway
(B) test a point not on the line, such as $(0,1)$
(C) assume $\leqslant$ means "shade below the line"
เส้นขอบ $y=x$ ผ่านจุด $(0,0)$ จงเลือกวิธีที่หาฝั่งแรเงาได้อย่างปลอดภัย
(A) ทดสอบ $(0,0)$ ไปเลย
(B) ทดสอบจุดที่ไม่อยู่บนเส้น เช่น $(0,1)$
(C) สมมติว่า $\leqslant$ แปลว่า "แรเงาด้านล่างของเส้น"
Answershow ▾
$(0,0)$ sits exactly on the line, so $0\leqslant0$ is true there either way -- it cannot tell you which side is meant. The symbol-only guess in (C) happens to work for this line, but it fails for others, so it is not safe.$(0,0)$ อยู่บนเส้นพอดี ดังนั้น $0\leqslant0$ เป็นจริงไม่ว่าจะมองฝั่งไหน จึงบอกฝั่งไม่ได้ · การเดาจากเครื่องหมายใน (C) บังเอิญถูกสำหรับเส้นนี้ แต่ใช้ไม่ได้กับเส้นอื่น จึงไม่ปลอดภัย
Boundary $x=4$ is solid. Test $(0,0)$: is $0\leqslant4$ true?
เส้นขอบ $x=4$ เป็นเส้นทึบ ทดสอบ $(0,0)$: $0\leqslant4$ จริงไหม
Answershow ▾
A true test means shade the side that contains the test point.ผลทดสอบจริง แปลว่าแรเงาฝั่งที่มีจุดทดสอบอยู่
Boundary $y=-2$ is solid. Test $(0,0)$: is $0\geqslant-2$ true?
เส้นขอบ $y=-2$ เป็นเส้นทึบ ทดสอบ $(0,0)$: $0\geqslant-2$ จริงไหม
Answershow ▾
A true test means shade the side that contains the test point.ผลทดสอบจริง แปลว่าแรเงาฝั่งที่มีจุดทดสอบอยู่
Boundary $y=x$ is solid. Test $(0,1)$, which is not on the line: is $1\leqslant0$ true?
เส้นขอบ $y=x$ เป็นเส้นทึบ ทดสอบ $(0,1)$ ซึ่งไม่อยู่บนเส้น: $1\leqslant0$ จริงไหม
Answershow ▾
A false test means shade the side that does not contain the test point.ผลทดสอบเท็จ แปลว่าแรเงาฝั่งตรงข้ามกับจุดทดสอบ
Check that $(0,-2)$ satisfies $x\leqslant4$, $y\geqslant-2$ and $y\leqslant x$, all at once.
จงตรวจว่า $(0,-2)$ สอดคล้องกับ $x\leqslant4$, $y\geqslant-2$ และ $y\leqslant x$ พร้อมกันทั้งหมด
Answershow ▾
A point is in $R$ only if it passes every inequality, not just one.จุดจะอยู่ใน $R$ ได้ก็ต่อเมื่อผ่านอสมการทุกข้อ ไม่ใช่แค่ข้อเดียว
Solve $x=4$ and $y=x$ together to find one vertex of $R$.
จงแก้ $x=4$ และ $y=x$ พร้อมกัน เพื่อหาจุดยอดหนึ่งของ $R$
Answershow ▾
Two boundaries meet where both of their equations hold at once.เส้นขอบสองเส้นพบกันที่จุดซึ่งสมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกัน
Shade the region satisfying $x\leqslant3$ and $y\geqslant0$ and $y\leqslant x$. Name the vertices of the triangle.
จงแรเงาบริเวณที่สอดคล้องกับ $x\leqslant3$ และ $y\geqslant0$ และ $y\leqslant x$ แล้วเขียนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
Answershow ▾
Same three moves: boundary type, test point, meet of each pair of lines.สามขั้นเดิม: ชนิดเส้นขอบ จุดทดสอบ และจุดที่เส้นแต่ละคู่พบกัน
Show, by shading on the grid, the region that satisfies all three of the inequalities
$x\leqslant4$ and $y\geqslant-2$ and $y\leqslant x$
Label the region $R$.
จงแรเงาบนกริดแสดงบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสามข้อ
$x\leqslant4$ และ $y\geqslant-2$ และ $y\leqslant x$
เขียนชื่อบริเวณ $R$
Answershow ▾
3 marks, one for each boundary correctly shaded and labelled.3 คะแนน คะแนนละข้อสำหรับแต่ละเส้นขอบที่แรเงาและเขียนชื่อถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x=4$
B1 boundary $y=-2$, shade aboveเส้นขอบ $y=-2$ แรเงาด้านบน
$y=-2$
B1 boundary $y=x$, label $R$เส้นขอบ $y=x$ เขียนชื่อ $R$
$y=x$
Factorise, then read the sign แยกตัวประกอบ แล้วอ่านเครื่องหมาย
Solve the inequality $5y^{2}-17y\leqslant40$
จงแก้อสมการ $5y^{2}-17y\leqslant40$
Factorise $5y^{2}-17y-40$.
จงแยกตัวประกอบ $5y^{2}-17y-40$
Answershow ▾
Check by expanding: $5y\times y=5y^{2}$, $8\times(-5)=-40$, and the middle terms give $-25y+8y=-17y$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $5y\times y=5y^{2}$, $8\times(-5)=-40$ และพจน์กลางได้ $-25y+8y=-17y$
Solve $5y+8=0$ and $y-5=0$ to find the critical values.
จงแก้ $5y+8=0$ และ $y-5=0$ เพื่อหาค่าวิกฤต
Answershow ▾
Each bracket equal to zero gives one critical value.แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์ ให้ค่าวิกฤตหนึ่งค่า
Test $y=0$ (between $-1.6$ and $5$) in $(5y+8)(y-5)$. Is the product positive or negative?
ลองแทน $y=0$ (ระหว่าง $-1.6$ กับ $5$) ใน $(5y+8)(y-5)$ ผลคูณเป็นบวกหรือลบ
Answershow ▾
At $y=0$, one bracket is positive and the other is negative, so the product is negative.ที่ $y=0$ วงเล็บหนึ่งเป็นบวกและอีกวงเล็บเป็นลบ ผลคูณจึงเป็นลบ
You have the critical values $y=-1.6$ and $y=5$, and the test value showed the product is negative there. $5y^{2}-17y-40\leqslant0$ needs the product $\leqslant0$. Which is the answer?
(A) $y\lt-1.6$ or $y\gt5$
(B) $-1.6\leqslant y\leqslant5$
(C) $y=-1.6$ or $y=5$ only
มีค่าวิกฤต $y=-1.6$ และ $y=5$ และค่าทดสอบแสดงว่าผลคูณเป็นลบที่จุดนั้น $5y^{2}-17y-40\leqslant0$ ต้องการผลคูณ $\leqslant0$ ข้อไหนถูก
(A) $y\lt-1.6$ หรือ $y\gt5$
(B) $-1.6\leqslant y\leqslant5$
(C) $y=-1.6$ หรือ $y=5$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) is the OUTSIDE region, where the test value $y=0$ does not even sit — the test point proved BETWEEN is negative, not outside. (C) names only the two boundary points, missing the whole range the $\leqslant$ asks for.(A) คือบริเวณด้านนอก ซึ่ง $y=0$ ที่ทดสอบไม่ได้อยู่ในนั้นเลย — ค่าทดสอบพิสูจน์ว่าระหว่างสองรากเป็นลบ ไม่ใช่ด้านนอก · (C) ระบุแค่สองจุดขอบ ขาดช่วงทั้งหมดที่ $\leqslant$ ต้องการ
Rearrange $5y^{2}-17y\leqslant40$ so that one side is $0$.
จงจัดรูป $5y^{2}-17y\leqslant40$ ให้ด้านหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Subtract $40$ from both sides.ลบ $40$ ออกจากทั้งสองข้าง
Factorise $5y^{2}-17y-40\leqslant0$.
จงแยกตัวประกอบ $5y^{2}-17y-40\leqslant0$
Answershow ▾
Same factors as the warm-up, now written as an inequality.ตัวประกอบเดิมจากแบบฝึกหัดอุ่นเครื่อง เขียนเป็นอสมการ
The critical values are $y=-1.6$ and $y=5$, and the product is $\leqslant0$ between them. Write the full solution in inequality form.
ค่าวิกฤตคือ $y=-1.6$ และ $y=5$ และผลคูณ $\leqslant0$ ระหว่างกลาง จงเขียนคำตอบเต็มในรูปอสมการ
Answershow ▾
Both critical values are included because the original symbol is $\leqslant$, not $\lt$.ค่าวิกฤตทั้งสองรวมอยู่ด้วย เพราะสัญลักษณ์เดิมคือ $\leqslant$ ไม่ใช่ $\lt$
Solve $5y^{2}-17y\leqslant40$, showing every step.
จงแก้อสมการ $5y^{2}-17y\leqslant40$ แสดงทุกขั้นตอน
Answershow ▾
Same three moves in a row: rearrange, factorise, read off the range between the roots.สามท่าเดิมต่อกัน: จัดรูป แยกตัวประกอบ อ่านช่วงระหว่างสองราก
Test $y=0$ (inside your range) and $y=6$ (outside it) in $5y^{2}-17y\leqslant40$. Which one makes it true?
ลองแทน $y=0$ (ในช่วงคำตอบ) และ $y=6$ (นอกช่วง) ใน $5y^{2}-17y\leqslant40$ ค่าไหนทำให้เป็นจริง
Answershow ▾
$y=0$ is inside the claimed range and keeps the inequality true. $y=6$ is outside and breaks it.$y=0$ อยู่ในช่วงคำตอบ ทำให้อสมการเป็นจริง · $y=6$ อยู่นอกช่วง ทำให้อสมการเป็นเท็จ
Solve the inequality $y^{2}-y\leqslant12$.
จงแก้อสมการ $y^{2}-y\leqslant12$
Answershow ▾
Same three moves: rearrange, factorise, read the range between the roots.สามท่าเดิม: จัดรูป แยกตัวประกอบ อ่านช่วงระหว่างสองราก
Solve the inequality $5y^{2}-17y\leqslant40$
จงแก้อสมการ $5y^{2}-17y\leqslant40$
Answershow ▾
3 marks: 2 for rearranging and factorising, 1 for the final range.3 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับการจัดรูปและแยกตัวประกอบ 1 คะแนนสำหรับช่วงคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$5y^{2}-17y-40 \leqslant 0$
M1 factoriseแยกตัวประกอบ
$(5y+8)(y-5) \leqslant 0$
A1 between the critical valuesระหว่างค่าวิกฤตทั้งสอง
$-1.6 \leqslant y \leqslant 5$
A cubic's gradient, in letters ความชันเส้นโค้งกำลังสาม แบบตัวแปร
Curve $C$ has equation $y=px^{3}-mx$ where $p$ and $m$ are positive integers.
Find the range of values of $x$, in terms of $p$ and $m$, for which the gradient of $C$ is negative.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=px^{3}-mx$ โดยที่ $p$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จงหาพิสัยของค่า $x$ ในรูป $p$ และ $m$ ที่ทำให้ความชันของ $C$ เป็นลบ
Differentiate $px^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $px^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by one; the letter $p$ just rides along.คูณด้วยกำลังเดิม แล้วลดกำลังลงหนึ่ง ส่วนตัวแปร $p$ ก็ติดไปด้วย
Differentiate $-mx$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $-mx$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The derivative of $x$ is $1$, so the coefficient $-m$ is left on its own.อนุพันธ์ของ $x$ คือ $1$ จึงเหลือสัมประสิทธิ์ $-m$ ไว้เฉยๆ
For $p=1$ and $m=3$, $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-3$. Solve $3x^{2}-3\lt0$ for $x$.
เมื่อ $p=1$ และ $m=3$ จะได้ $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-3$ จงแก้ $3x^{2}-3\lt0$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Isolate $x^{2}$ first; a squared term under a wall needs both a lower and an upper bound.แยก $x^{2}$ ออกมาก่อน พจน์กำลังสองที่อยู่ใต้กำแพงต้องมีทั้งขอบล่างและขอบบน
Question 3 gave $x^{2}\lt1$. Which conclusion about $x$ is correct?
(A) $x\lt1$
(B) $x\gt1$
(C) $-1\lt x\lt1$
ข้อ 3 ได้ $x^{2}\lt1$ ข้อสรุปใดเกี่ยวกับ $x$ ถูกต้อง
(A) $x\lt1$
(B) $x\gt1$
(C) $-1\lt x\lt1$
Answershow ▾
Test $x=-10$: (A) says it should fit, since $-10\lt1$. But $(-10)^{2}=100$, and $100\lt1$ is false, so (A) wrongly includes it. (C) correctly leaves $-10$ out, since it is not between $-1$ and $1$.ลอง $x=-10$: ข้อ (A) บอกว่าควรอยู่ในคำตอบเพราะ $-10\lt1$ แต่ $(-10)^{2}=100$ และ $100\lt1$ เป็นเท็จ (A) จึงรวมผิด · ข้อ (C) ไม่รวม $-10$ อย่างถูกต้อง เพราะ $-10$ ไม่ได้อยู่ระหว่าง $-1$ กับ $1$
Using your two warm-up results, write $\dfrac{dy}{dx}$ for $y=px^{3}-mx$, and set it less than $0$.
ใช้ผลจากสองข้ออุ่นเครื่อง จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ของ $y=px^{3}-mx$ แล้วให้น้อยกว่า $0$
Answershow ▾
Add the two derivatives you already found, term by term.นำอนุพันธ์สองพจน์ที่หาไว้แล้วมาบวกกัน
Rearrange $3px^{2}-m\lt0$ to make $x^{2}$ the subject.
จงจัดรูป $3px^{2}-m\lt0$ ให้ $x^{2}$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
$p$ is a positive integer, so dividing by $3p$ never flips the symbol.$p$ เป็นจำนวนเต็มบวก การหารด้วย $3p$ จึงไม่พลิกเครื่องหมายเลย
Put $p=1$ and $m=3$ into $x^{2}\lt\dfrac{m}{3p}$. What does it become?
แทน $p=1$ และ $m=3$ ลงใน $x^{2}\lt\dfrac{m}{3p}$ จะได้อะไร
Answershow ▾
A correct letter formula must give back the same inequality as the numbers it came from.สูตรตัวแปรที่ถูกต้อง ต้องย้อนกลับไปได้อสมการเดียวกันกับตัวเลขที่มันมาจาก
Use the decision above to solve $x^{2}\lt\dfrac{m}{3p}$ for $x$.
ใช้ข้อสรุปข้างบนแก้ $x^{2}\lt\dfrac{m}{3p}$ หาค่า $x$
Answershow ▾
$\dfrac{m}{3p}$ is positive, so it has a real square root, and the range sits on both sides of zero.$\dfrac{m}{3p}$ เป็นบวก จึงมีรากที่สองจริง และคำตอบอยู่ทั้งสองด้านของศูนย์
Using $p=1$ and $m=3$, evaluate the gradient $3x^{2}-3$ at $x=0$ (inside your range) and at $x=2$ (outside). What do you get?
เมื่อ $p=1$ และ $m=3$ จงหาค่าความชัน $3x^{2}-3$ ที่ $x=0$ (อยู่ในช่วงคำตอบ) และที่ $x=2$ (อยู่นอกช่วง) ได้เท่าไร
Answershow ▾
A correct range must make the gradient itself negative inside it and positive outside it.ช่วงคำตอบที่ถูกต้อง ต้องทำให้ความชันเป็นลบอยู่ในช่วง และเป็นบวกอยู่นอกช่วง
Curve $K$ has equation $y=ax^{3}-bx$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find the range of values of $x$, in terms of $a$ and $b$, for which the gradient of $K$ is negative.
เส้นโค้ง $K$ มีสมการ $y=ax^{3}-bx$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาพิสัยของค่า $x$ ในรูป $a$ และ $b$ ที่ทำให้ความชันของ $K$ เป็นลบ
Answershow ▾
Same four moves as the exam question, with $a$ and $b$ in place of $p$ and $m$.สี่ขั้นเดิมเหมือนข้อสอบจริง เปลี่ยนแค่ $p$ กับ $m$ เป็น $a$ กับ $b$
Curve $C$ has equation $y=px^{3}-mx$ where $p$ and $m$ are positive integers.
Find the range of values of $x$, in terms of $p$ and $m$, for which the gradient of $C$ is negative.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=px^{3}-mx$ โดยที่ $p$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จงหาพิสัยของค่า $x$ ในรูป $p$ และ $m$ ที่ทำให้ความชันของ $C$ เป็นลบ
Answershow ▾
4 marks: one for each line — differentiate, set negative, isolate $x^{2}$, then take the root with both signs.4 คะแนน: ขั้นละคะแนน — หาอนุพันธ์ ให้เป็นลบ แยก $x^{2}$ แล้วถอดรากทั้งสองเครื่องหมาย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{dy}{dx} = 3px^{2}-m$
M1 set the gradient negativeให้ความชันเป็นลบ
$3px^{2}-m \lt 0$
M1 isolate $x^{2}$แยก $x^2$ ออกมา
$x^{2} \lt \dfrac{m}{3p}$
A1 square root, both signsถอดราก ทั้งสองเครื่องหมาย
$-\sqrt{\dfrac{m}{3p}} \lt x \lt \sqrt{\dfrac{m}{3p}}$
A cubic's gradient, to 3 s.f. ความชันเส้นโค้งกำลังสาม ถึง 3 นัยสำคัญ
(b) The curve $T$ has equation $y=x^{3}-2x^{2}-9x+15$
Find the range of values of $x$ for which $T$ has a positive gradient.
Give your values correct to $3$ significant figures.
Show your working clearly.
(ข) เส้นโค้ง $T$ มีสมการ $y=x^{3}-2x^{2}-9x+15$
จงหาพิสัยของค่า $x$ ที่ทำให้ $T$ มีความชันเป็นบวก
ตอบให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Differentiate $y=x^{3}-2x^{2}-9x+15$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=x^{3}-2x^{2}-9x+15$
Answershow ▾
Differentiate each term on its own: the power rule on the first two, $-9$ for the $x$ term, $0$ for the constant.หาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์แยกกัน: กฎกำลังสำหรับสองพจน์แรก $-9$ สำหรับพจน์ $x$ และ $0$ สำหรับค่าคงที่
Solve $2x^{2}+3x-1=0$ using the quadratic formula $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
จงแก้ $2x^{2}+3x-1=0$ โดยใช้สูตรกำลังสอง $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Answershow ▾
Read $a$, $b$, $c$ straight off the equation and substitute them into the formula.อ่าน $a$, $b$, $c$ จากสมการ แล้วแทนลงในสูตรโดยตรง
Round $1.1893$ to $3$ significant figures.
จงปัดเศษ $1.1893$ ให้มีเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The first $3$ significant figures are $1,1,8$; the next digit is $9$, so the $8$ rounds up to $9$.เลขนัยสำคัญ 3 ตัวแรกคือ $1,1,8$ ตัวต่อไปคือ $9$ ดังนั้น $8$ จึงปัดขึ้นเป็น $9$
Before solving $3x^{2}-4x-9=0$, check whether it factorises. Which pair of integers multiplies to $-27$ and adds to $-4$?
(A) $3$ and $-9$
(B) $-3$ and $9$
(C) no such pair exists
ก่อนแก้ $3x^{2}-4x-9=0$ จงตรวจว่ามันแยกตัวประกอบได้หรือไม่ จำนวนเต็มคู่ใดคูณกันได้ $-27$ และบวกกันได้ $-4$
(A) $3$ และ $-9$
(B) $-3$ และ $9$
(C) ไม่มีคู่แบบนั้นอยู่
Answershow ▾
(A) gives $3+(-9)=-6$ and (B) gives $-3+9=6$; neither is $-4$, so the quadratic formula is the only way in.(A) ได้ $3+(-9)=-6$ และ (B) ได้ $-3+9=6$ ไม่มีข้อใดเป็น $-4$ จึงต้องใช้สูตรกำลังสองเท่านั้น
Set $3x^{2}-4x-9=0$ and use $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ to write $x$.
ให้ $3x^{2}-4x-9=0$ แล้วใช้ $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ เขียนค่า $x$
Answershow ▾
Here $a=3$, $b=-4$, $c=-9$; substitute carefully, two minus signs make $-b$ positive.ที่นี่ $a=3$, $b=-4$, $c=-9$ แทนค่าอย่างระมัดระวัง ลบคูณลบทำให้ $-b$ เป็นบวก
Simplify $x=\dfrac{4\pm\sqrt{124}}{6}$ to decimals.
จงทำให้ $x=\dfrac{4\pm\sqrt{124}}{6}$ เป็นทศนิยม
Answershow ▾
$\sqrt{124}\approx11.1355$, so the two roots split into a positive one and a negative one.$\sqrt{124}\approx11.1355$ รากทั้งสองจึงแยกเป็นค่าบวกและค่าลบ
Round $x=2.5226\ldots$ and $x=-1.1893\ldots$ to $3$ significant figures.
จงปัดเศษ $x=2.5226\ldots$ และ $x=-1.1893\ldots$ ให้มีเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
For $-1.1893\ldots$ the digit after the $8$ is $9$, so it rounds up to $-1.19$, not down to $-1.2$.สำหรับ $-1.1893\ldots$ ตัวเลขหลัง $8$ คือ $9$ จึงปัดขึ้นเป็น $-1.19$ ไม่ใช่ปัดลงเป็น $-1.2$
The curve $y=3x^{2}-4x-9$ opens upward, with roots $-1.19$ and $2.52$. Where is it positive?
(A) between the roots
(B) outside the roots
(C) everywhere
เส้นโค้ง $y=3x^{2}-4x-9$ หงายขึ้น มีราก $-1.19$ และ $2.52$ มันเป็นบวกตรงไหน
(A) ระหว่างราก
(B) นอกราก
(C) ทุกที่
Answershow ▾
Test $x=0$, between the roots: $3(0)^{2}-4(0)-9=-9$, negative, so (A) and (C) both fail. Test $x=3$, outside: $3(3)^{2}-4(3)-9=6$, positive, matching (B).ลอง $x=0$ ระหว่างราก: $3(0)^{2}-4(0)-9=-9$ เป็นลบ (A) และ (C) จึงผิดทั้งคู่ · ลอง $x=3$ นอกราก: $3(3)^{2}-4(3)-9=6$ เป็นบวก ตรงกับ (B)
Combine the roots and the decision above into the full range of $x$ for which the gradient is positive.
รวมรากทั้งสองกับข้อสรุปข้างบน เขียนช่วงคำตอบเต็มของ $x$ ที่ทำให้ความชันเป็นบวก
Answershow ▾
Outside the roots means below the smaller one or above the larger one.นอกรากหมายถึงต่ำกว่ารากที่น้อยกว่า หรือสูงกว่ารากที่มากกว่า
Check your range: evaluate the gradient $3x^{2}-4x-9$ at $x=0$ and at $x=3$. Do the signs match?
ตรวจช่วงคำตอบ: หาค่าความชัน $3x^{2}-4x-9$ ที่ $x=0$ และที่ $x=3$ เครื่องหมายตรงกันไหม
Answershow ▾
$x=0$ is not in the range and gives a negative gradient; $x=3$ is in the range and gives a positive one.$x=0$ ไม่อยู่ในช่วงคำตอบ และให้ความชันเป็นลบ · $x=3$ อยู่ในช่วงคำตอบ และให้ความชันเป็นบวก
The curve $S$ has equation $y=x^{3}+3x^{2}-6x+4$. Find the range of values of $x$ for which $S$ has a positive gradient. Give your values correct to $3$ significant figures.
เส้นโค้ง $S$ มีสมการ $y=x^{3}+3x^{2}-6x+4$ จงหาพิสัยของค่า $x$ ที่ทำให้ $S$ มีความชันเป็นบวก ตอบให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same chain: differentiate, check it will not factorise, use the formula, round, then take the outside region.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ ตรวจว่าแยกตัวประกอบไม่ได้ ใช้สูตร ปัดเศษ แล้วเอาช่วงนอกราก
(b) The curve $T$ has equation $y=x^{3}-2x^{2}-9x+15$
Find the range of values of $x$ for which $T$ has a positive gradient.
Give your values correct to $3$ significant figures.
Show your working clearly.
(ข) เส้นโค้ง $T$ มีสมการ $y=x^{3}-2x^{2}-9x+15$
จงหาพิสัยของค่า $x$ ที่ทำให้ $T$ มีความชันเป็นบวก
ตอบให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
4 marks: differentiate, apply the formula, state both roots, then round to 3 s.f. and take the outside region.4 คะแนน: หาอนุพันธ์ ใช้สูตร ระบุรากทั้งสอง แล้วปัดเศษ 3 นัยสำคัญ และเอาช่วงนอกราก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2}-4x-9$
M1 set $=0$ and use the formulaให้เท่ากับ 0 แล้วใช้สูตร
$x = \dfrac{4\pm\sqrt{16+108}}{6}$
A1 the two rootsรากทั้งสองค่า
$x = \dfrac{4\pm\sqrt{124}}{6}$
$x = 2.5226\ldots$
$x = -1.1893\ldots$
A1 3 s.f., outside the rootsเลขนัยสำคัญ 3 ตัว นอกช่วงราก
$x \lt -1.19 \;\text{or}\; x \gt 2.52$
Draw three lines, then shade วาดเส้นตรงสามเส้น แล้วแรเงา
(a) On the grid, draw and label with its equation the straight line with equation
(i) $y=1$ (ii) $x=2$ (iii) $x+y=7$
(b) Show, by shading on the grid, the region that satisfies all three of the inequalities
$y\geqslant1$ $x\geqslant2$ $x+y\leqslant7$
Label the region $R$.
(ก) บนกริด จงวาดและเขียนชื่อเส้นตรงที่มีสมการ
(i) $y=1$ (ii) $x=2$ (iii) $x+y=7$
(ข) จงแรเงาบนกริดแสดงบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสามข้อ
$y\geqslant1$ $x\geqslant2$ $x+y\leqslant7$
เขียนชื่อบริเวณ $R$
The line $y=1$ is horizontal. What is $y$ when $x=5$?
เส้นตรง $y=1$ เป็นแนวนอน $y$ เท่ากับเท่าไรเมื่อ $x=5$
Answershow ▾
Every point on a horizontal line has the same $y$, whatever $x$ is.ทุกจุดบนเส้นแนวนอนมี $y$ ค่าเดียวกัน ไม่ว่า $x$ จะเป็นเท่าไร
The line $x=2$ is vertical. What is $x$ when $y=5$?
เส้นตรง $x=2$ เป็นแนวตั้ง $x$ เท่ากับเท่าไรเมื่อ $y=5$
Answershow ▾
Every point on a vertical line has the same $x$, whatever $y$ is.ทุกจุดบนเส้นแนวตั้งมี $x$ ค่าเดียวกัน ไม่ว่า $y$ จะเป็นเท่าไร
The line is $x+y=7$. What is $y$ when $x=0$?
เส้นตรงคือ $x+y=7$ $y$ เท่ากับเท่าไรเมื่อ $x=0$
Answershow ▾
Put $x=0$ into the equation and solve for $y$.แทน $x=0$ ลงในสมการ แล้วแก้หา $y$
You have the point $(0,7)$ on $x+y=7$. To draw the line you need a second point. Pick the best next move.
(A) use $(0,7)$ again as both points
(B) choose a different $x$, such as $x=7$, and solve for $y$
(C) assume the line passes through $(0,0)$
มีจุด $(0,7)$ บน $x+y=7$ แล้ว การวาดเส้นตรงต้องใช้จุดที่สอง จงเลือกขั้นต่อไปที่ดีที่สุด
(A) ใช้ $(0,7)$ ซ้ำเป็นทั้งสองจุด
(B) เลือก $x$ ค่าอื่น เช่น $x=7$ แล้วแก้หา $y$
(C) สมมติว่าเส้นผ่านจุด $(0,0)$
Answershow ▾
One point alone cannot fix a direction -- two DIFFERENT points are needed. Checking (C): $0+0=0$, not $7$, so the line does not pass through the origin; assuming is not the same as checking.จุดเดียวไม่สามารถกำหนดทิศทางของเส้นได้ ต้องใช้จุดที่ต่างกันสองจุด · ตรวจ (C): $0+0=0$ ไม่ใช่ $7$ แปลว่าเส้นไม่ผ่านจุดกำเนิด การสมมติไม่เหมือนกับการตรวจสอบ
Boundary $y=1$ is solid. Test $(3,3)$: is $3\geqslant1$ true?
เส้นขอบ $y=1$ เป็นเส้นทึบ ทดสอบ $(3,3)$: $3\geqslant1$ จริงไหม
Answershow ▾
A true test means shade the side that contains the test point.ผลทดสอบจริง แปลว่าแรเงาฝั่งที่มีจุดทดสอบอยู่
Boundary $x=2$ is solid. Test $(3,3)$: is $3\geqslant2$ true?
เส้นขอบ $x=2$ เป็นเส้นทึบ ทดสอบ $(3,3)$: $3\geqslant2$ จริงไหม
Answershow ▾
A true test means shade the side that contains the test point.ผลทดสอบจริง แปลว่าแรเงาฝั่งที่มีจุดทดสอบอยู่
Boundary $x+y=7$ is solid. Test $(3,3)$: is $3+3\leqslant7$ true?
เส้นขอบ $x+y=7$ เป็นเส้นทึบ ทดสอบ $(3,3)$: $3+3\leqslant7$ จริงไหม
Answershow ▾
The same test point can be reused on every boundary of the same region.ใช้จุดทดสอบเดียวกันได้กับทุกเส้นขอบของเขตเดียวกัน
Check that $(2,1)$ satisfies $y\geqslant1$, $x\geqslant2$ and $x+y\leqslant7$, all at once.
จงตรวจว่า $(2,1)$ สอดคล้องกับ $y\geqslant1$, $x\geqslant2$ และ $x+y\leqslant7$ พร้อมกันทั้งหมด
Answershow ▾
A point is in $R$ only if it passes every inequality, not just one.จุดจะอยู่ใน $R$ ได้ก็ต่อเมื่อผ่านอสมการทุกข้อ ไม่ใช่แค่ข้อเดียว
Solve $x=2$ and $x+y=7$ together to find one vertex of $R$.
จงแก้ $x=2$ และ $x+y=7$ พร้อมกัน เพื่อหาจุดยอดหนึ่งของ $R$
Answershow ▾
Two boundaries meet where both of their equations hold at once.เส้นขอบสองเส้นพบกันที่จุดซึ่งสมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกัน
Draw $y=2$, $x=1$ and $x+y=6$, then shade the region satisfying $y\geqslant2$ and $x\geqslant1$ and $x+y\leqslant6$. Name the vertices.
จงวาด $y=2$, $x=1$ และ $x+y=6$ แล้วแรเงาบริเวณที่สอดคล้องกับ $y\geqslant2$ และ $x\geqslant1$ และ $x+y\leqslant6$ แล้วเขียนจุดยอด
Answershow ▾
Same four moves: plot each line, test a point, shade, then meet each pair of lines.สี่ขั้นเดิม: วาดแต่ละเส้น ทดสอบจุด แรเงา แล้วหาจุดที่เส้นแต่ละคู่พบกัน
(a) On the grid, draw and label with its equation the straight line with equation
(i) $y=1$ (ii) $x=2$ (iii) $x+y=7$
(b) Show, by shading on the grid, the region that satisfies all three of the inequalities
$y\geqslant1$ $x\geqslant2$ $x+y\leqslant7$
Label the region $R$.
(ก) บนกริด จงวาดและเขียนชื่อเส้นตรงที่มีสมการ
(i) $y=1$ (ii) $x=2$ (iii) $x+y=7$
(ข) จงแรเงาบนกริดแสดงบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสามข้อ
$y\geqslant1$ $x\geqslant2$ $x+y\leqslant7$
เขียนชื่อบริเวณ $R$
Answershow ▾
4 marks: one for each line drawn and labelled, one for the shaded region labelled $R$.4 คะแนน: คะแนนละข้อสำหรับแต่ละเส้นที่วาดและเขียนชื่อ อีกคะแนนสำหรับบริเวณที่แรเงาและเขียนชื่อ $R$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y=1$
B1 draw and label $x=2$วาดและเขียนชื่อ $x=2$
$x=2$
B1 draw and label $x+y=7$วาดและเขียนชื่อ $x+y=7$
$x+y=7$
B1 shade the region, label $R$แรเงาบริเวณ เขียนชื่อ $R$
$y \geqslant 1$
$x \geqslant 2$
$x+y \leqslant 7$
A rectangle's side must stay positive ด้านสี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องเป็นบวก
The diagram shows a rectangle.
The area of the rectangle is $A$ cm$^{2}$
Given that $A\lt3x+27$
find the range of possible values for $x$.
แผนภาพแสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้า
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $A$ ซม$^{2}$
กำหนดให้ $A\lt3x+27$
จงหาพิสัยของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Expand $(2x-4)(3x+2)$.
จงกระจาย $(2x-4)(3x+2)$
Answershow ▾
Multiply each term in the first bracket by each term in the second.คูณแต่ละพจน์ในวงเล็บแรกด้วยแต่ละพจน์ในวงเล็บที่สอง
Factorise $6x^{2}-11x-35$.
จงแยกตัวประกอบ $6x^{2}-11x-35$
Answershow ▾
Front not $1$: near $\times$ near plus far $\times$ far must give the middle term.ตัวหน้าไม่ใช่ $1$: ใกล้คูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล ต้องได้พจน์กลาง
Solve $(2x-7)(3x+5)\lt0$.
จงแก้อสมการ $(2x-7)(3x+5)\lt0$
Answershow ▾
The coefficient of $x^{2}$ is positive, so the product is negative only between its roots.สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เป็นบวก ผลคูณจึงเป็นลบเฉพาะระหว่างราก
A rectangle has sides $(2x-4)\text{ cm}$ and $(3x+2)\text{ cm}$. Write an expression for its area, $A$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้าน $(2x-4)\text{ cm}$ และ $(3x+2)\text{ cm}$ จงเขียนนิพจน์แสดงพื้นที่ $A$ ของมัน
Answershow ▾
Area of a rectangle is length times width.พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ ยาว คูณ กว้าง
Expand $(2x-4)(3x+2)$, then write that $A\lt3x+27$.
จงกระจาย $(2x-4)(3x+2)$ แล้วเขียนว่า $A\lt3x+27$
Answershow ▾
Same expansion as question $1$.กระจายแบบเดียวกับข้อ $1$
Rearrange $6x^{2}-8x-8\lt3x+27$ so one side is $0$, then factorise.
จงจัดรูป $6x^{2}-8x-8\lt3x+27$ ให้ข้างหนึ่งเป็น $0$ แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $3x+27$ across, then use question $2$ to factorise.ย้าย $3x+27$ ข้าม แล้วใช้ข้อ $2$ แยกตัวประกอบ
$(2x-7)(3x+5)\lt0$, so the critical values are $x=-\dfrac{5}{3}$ and $x=3.5$. Which of these is the final answer for $x$?
(A) $-\dfrac{5}{3}\lt x\lt3.5$
(B) $2\lt x\lt3.5$
(C) $x=-\dfrac{5}{3}$ or $x=3.5$
$(2x-7)(3x+5)\lt0$ ดังนั้นค่าวิกฤตคือ $x=-\dfrac{5}{3}$ และ $x=3.5$ ข้อใดคือคำตอบสุดท้ายของ $x$
(A) $-\dfrac{5}{3}\lt x\lt3.5$
(B) $2\lt x\lt3.5$
(C) $x=-\dfrac{5}{3}$ หรือ $x=3.5$
Answershow ▾
The side $(2x-4)$ is zero at $x=2$ and negative below it, so no rectangle exists there even though the quadratic alone allows $x\gt-\dfrac{5}{3}$: that rules out $(A)$. $(C)$ keeps only the two boundary points, not the range between them. $x\gt2$ replaces $x\gt-\dfrac{5}{3}$, giving $(B)$.ด้าน $(2x-4)$ เท่ากับ $0$ ที่ $x=2$ และเป็นลบก่อนหน้านั้น จึงไม่มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าในช่วงนั้น แม้สมการกำลังสองล้วนจะอนุญาตให้ $x\gt-\dfrac{5}{3}$: จึงตัด $(A)$ ออก · $(C)$ มีแค่จุดขอบทั้งสอง ไม่ใช่ช่วงระหว่างกัน · $x\gt2$ มาแทน $x\gt-\dfrac{5}{3}$ จึงได้ $(B)$
Both sides must be positive for a real rectangle. Write the condition on $x$ from each side, and state which one is more restrictive.
ทั้งสองด้านต้องเป็นบวกเพื่อให้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจริง จงเขียนเงื่อนไขของ $x$ จากแต่ละด้าน แล้วบอกว่าข้อใดจำกัดแคบกว่า
Answershow ▾
$x\gt2$ is a bigger lower bound than $x\gt-\dfrac{2}{3}$, so it is the one that applies.$x\gt2$ เป็นขอบล่างที่มากกว่า $x\gt-\dfrac{2}{3}$ จึงเป็นเงื่อนไขที่ใช้จริง
Check $x=3$: show that both sides of the rectangle are positive and the area is less than $3x+27$. Then check $x=0$: show the quadratic inequality is true but one side is negative.
จงตรวจ $x=3$: แสดงว่าด้านทั้งสองเป็นบวก และพื้นที่น้อยกว่า $3x+27$ จากนั้นตรวจ $x=0$: แสดงว่าอสมการกำลังสองเป็นจริง แต่ด้านหนึ่งเป็นลบ
Answershow ▾
$x=3$ sits inside $2\lt x\lt3.5$. $x=0$ sits inside the quadratic range but outside the range a real rectangle allows.$x=3$ อยู่ในช่วง $2\lt x\lt3.5$ ส่วน $x=0$ อยู่ในช่วงของอสมการกำลังสองแต่อยู่นอกช่วงที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าจริงอนุญาต
A rectangle has sides $(x-1)\text{ cm}$ and $(x+6)\text{ cm}$. Given that the area is less than $(2x+34)\text{ cm}^{2}$, find the range of possible values of $x$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้าน $(x-1)\text{ cm}$ และ $(x+6)\text{ cm}$ กำหนดให้พื้นที่น้อยกว่า $(2x+34)\text{ cm}^{2}$ จงหาช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same four moves: expand, rearrange, factorise, then keep the side $(x-1)$ positive.สี่ขั้นเดิม: กระจาย ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ แล้วรักษาด้าน $(x-1)$ ให้เป็นบวก
The diagram shows a rectangle.
The area of the rectangle is $A$ cm$^{2}$
Given that $A\lt3x+27$
find the range of possible values for $x$.
แผนภาพแสดงสี่เหลี่ยมผืนผ้า
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $A$ ซม$^{2}$
กำหนดให้ $A\lt3x+27$
จงหาพิสัยของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
5 marks. Three are for method; the last two need the side $(2x-4)$ to stay positive.5 คะแนน · สามคะแนนเป็นวิธีทำ อีกสองคะแนนต้องให้ด้าน $(2x-4)$ เป็นบวก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$A = (2x-4)(3x+2)$
$= 6x^{2}-8x-8$
M1 form the inequalityตั้งอสมการ
$6x^{2}-8x-8 \lt 3x+27$
M1 rearrange to $\lt0$จัดรูปให้เท่ากับ $\lt0$
$6x^{2}-11x-35 \lt 0$
A1 factorise, critical valuesแยกตัวประกอบ หาค่าวิกฤต
$(2x-7)(3x+5) \lt 0$
$x = -\dfrac53 \;\text{or}\; x = 3.5$
A1 apply $x\gt2$ for a real sideใช้ $x\gt2$ เพื่อให้ด้านเป็นจริง
$2 \lt x \lt 3.5$
Three brackets, two at a time สามวงเล็บ ทำทีละสองวง
(a) Expand and simplify $(x+4)(x-2)(x+1)$
(ก) จงกระจายและย่อ $(x+4)(x-2)(x+1)$
Expand $(x+4)(x-2)$.
จงกระจาย $(x+4)(x-2)$
Answershow ▾
The middle terms are $-2x$ and $4x$; they do not cancel.พจน์กลางคือ $-2x$ กับ $4x$ ไม่หักกัน
Expand $(x^{2}+2x-8)(x+1)$. Do not collect yet.
จงกระจาย $(x^{2}+2x-8)(x+1)$ ยังไม่ต้องรวมพจน์
Answershow ▾
Multiply every term of the trinomial by $x$, then by $1$.คูณทุกพจน์ของสามพจน์ด้วย $x$ ก่อน แล้วคูณด้วย $1$
Collect like terms in $x^{3}+x^{2}+2x^{2}+2x-8x-8$.
จงรวมพจน์ที่เหมือนกันใน $x^{3}+x^{2}+2x^{2}+2x-8x-8$
Answershow ▾
Group the $x^{2}$ terms, then the $x$ terms.จัดกลุ่มพจน์ $x^{2}$ ก่อน แล้วจัดพจน์ $x$
Does it matter which two brackets of $(x+4)(x-2)(x+1)$ you multiply first?
(A) yes, $(x+4)(x-2)$ must go first
(B) no, any pair gives the same final answer
(C) yes, $(x-2)(x+1)$ must go first
การกระจาย $(x+4)(x-2)(x+1)$ ต้องเริ่มจากวงเล็บคู่ใดคู่หนึ่งเท่านั้นหรือไม่
(A) ต้องทำ $(x+4)(x-2)$ ก่อนเท่านั้น
(B) ไม่ต้อง คู่ไหนก่อนก็ได้คำตอบเดียวกัน
(C) ต้องทำ $(x-2)(x+1)$ ก่อนเท่านั้น
Answershow ▾
Multiplying $(x-2)(x+1)$ first gives $x^{2}-x-2$, and $(x^{2}-x-2)(x+4)$ still expands to $x^{3}+3x^{2}-6x-8$, so (A) and (C) are wrong to claim one order is required. This is also how you check your own working.ถ้าคูณ $(x-2)(x+1)$ ก่อนจะได้ $x^{2}-x-2$ และ $(x^{2}-x-2)(x+4)$ ก็กระจายได้ $x^{3}+3x^{2}-6x-8$ เหมือนกัน ดังนั้น (A) กับ (C) ผิดที่บอกว่าต้องเริ่มจากวงเล็บคู่เดียว · ใช้ตรวจคำตอบของตัวเองได้ด้วยวิธีนี้
In $(x+4)(x-2)(x+1)$, multiply the first two brackets.
ใน $(x+4)(x-2)(x+1)$ จงคูณวงเล็บสองอันแรก
Answershow ▾
Same move as question 1, inside the real question.ขั้นเดียวกับข้อ 1 แต่อยู่ในข้อจริง
Multiply $(x^{2}+2x-8)$ by $(x+1)$. Do not collect yet.
จงคูณ $(x^{2}+2x-8)$ ด้วย $(x+1)$ ยังไม่ต้องรวมพจน์
Answershow ▾
Six terms come out before anything is collected.จะได้หกพจน์ก่อนรวมพจน์
Collect like terms to finish $(x+4)(x-2)(x+1)$.
จงรวมพจน์เพื่อให้ได้คำตอบของ $(x+4)(x-2)(x+1)$
Answershow ▾
No common factor is left to take out.ไม่มีตัวประกอบร่วมเหลือให้ดึงออก
Expand and simplify $(x+4)(x-2)(x+1)$, start to finish.
จงกระจายและย่อ $(x+4)(x-2)(x+1)$ ตั้งแต่ต้นจนจบ
Answershow ▾
The three moves from questions 4 to 6, back to back.สามขั้นจากข้อ 4 ถึง 6 ต่อกัน
Check the expansion: put $x=1$ into $(x+4)(x-2)(x+1)$ and into $x^{3}+3x^{2}-6x-8$.
จงตรวจคำตอบ: แทน $x=1$ ใน $(x+4)(x-2)(x+1)$ และใน $x^{3}+3x^{2}-6x-8$
Answershow ▾
A correct expansion gives the same number at any value of $x$.การกระจายที่ถูกต้องให้ค่าเท่ากันไม่ว่าแทน $x$ เท่าใด
Expand and simplify $(x+3)(x-1)(x+2)$.
จงกระจายและย่อ $(x+3)(x-1)(x+2)$
Answershow ▾
Same three moves: multiply a pair, multiply by the third, collect.สามขั้นเดิม: คูณสองวงเล็บก่อน คูณด้วยวงที่สาม แล้วรวมพจน์
(a) Expand and simplify $(x+4)(x-2)(x+1)$
(ก) จงกระจายและย่อ $(x+4)(x-2)(x+1)$
Answershow ▾
3 marks: multiply a pair, multiply by the third, then collect.3 คะแนน: คูณสองวงเล็บก่อน คูณด้วยวงที่สาม แล้วรวมพจน์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(x+4)(x-2) = x^{2}+2x-8$
M1 multiply by the third bracketคูณด้วยวงเล็บที่สาม
$(x^{2}+2x-8)(x+1)$
A1 expand and collectกระจายและรวมพจน์
$= x^{3}+3x^{2}-6x-8$
Spot the difference of two squares มองหาผลต่างกำลังสองสองค่า
$N$ is a multiple of $5$. $A=N+1$, $B=N-1$. Prove, using algebra, that $A^{2}-B^{2}$ is always a multiple of $20$.
$N$ เป็นพหุคูณของ $5$ กำหนด $A=N+1$, $B=N-1$ จงพิสูจน์ด้วยพีชคณิตว่า $A^{2}-B^{2}$ เป็นพหุคูณของ $20$ เสมอ
Factorise $A^{2}-B^{2}$.
จงแยกตัวประกอบ $A^{2}-B^{2}$
Answershow ▾
Two squares that subtract always split into these two brackets.กำลังสองสองค่าที่ลบกัน แยกตัวประกอบได้เป็นสองวงเล็บนี้เสมอ
Simplify $(N+1)+(N-1)$.
จงย่อ $(N+1)+(N-1)$
Answershow ▾
The $+1$ and $-1$ cancel, leaving $N+N$.$+1$ กับ $-1$ หักกัน เหลือ $N+N$
$N$ is a multiple of $5$. Write $N$ in the form $5k$, for an integer $k$.
$N$ เป็นพหุคูณของ $5$ จงเขียน $N$ ในรูป $5k$ โดย $k$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
A multiple of $5$ is $5$ times some whole number.พหุคูณของ $5$ คือ $5$ คูณจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง
You need $A^{2}-B^{2}$ where $A=N+1$ and $B=N-1$. What is the best first move?
(A) expand $(N+1)^{2}$ and $(N-1)^{2}$ separately, then subtract
(B) write $A^{2}-B^{2}$ as $(A-B)(A+B)$ first
(C) substitute $N=5k$ into $A$ and $B$ straight away
ต้องหา $A^{2}-B^{2}$ โดย $A=N+1$ และ $B=N-1$ ขั้นแรกที่ดีที่สุดคือข้อใด
(A) กระจาย $(N+1)^{2}$ และ $(N-1)^{2}$ แยกกัน แล้วลบ
(B) เขียน $A^{2}-B^{2}$ เป็น $(A-B)(A+B)$ ก่อน
(C) แทน $N=5k$ ลงใน $A$ และ $B$ ทันที
Answershow ▾
(A) works but gives four terms to collect before anything cancels, with more chances to drop a sign. (C) substitutes before anything is simplified, so the brackets get bigger instead of smaller. (B) keeps the brackets short the whole way.(A) ใช้ได้แต่ต้องรวมสี่พจน์ก่อนจะหักกัน เสี่ยงใส่เครื่องหมายผิด · (C) แทนค่าก่อนย่อ ทำให้วงเล็บใหญ่ขึ้นไม่ใช่เล็กลง · (B) ทำให้วงเล็บสั้นตลอดทาง
Substitute $A=N+1$ and $B=N-1$ into $(A-B)(A+B)$.
จงแทน $A=N+1$ และ $B=N-1$ ลงใน $(A-B)(A+B)$
Answershow ▾
Replace $A$ and $B$ one at a time. Keep both brackets.แทนค่า $A$ กับ $B$ ทีละตัว โดยคงวงเล็บไว้ทั้งสองอัน
Simplify $(N+1)-(N-1)$ and $(N+1)+(N-1)$.
จงย่อ $(N+1)-(N-1)$ กับ $(N+1)+(N-1)$
Answershow ▾
Watch the sign on the second bracket: subtracting $(N-1)$ gives $-N+1$.ระวังเครื่องหมายของวงเล็บที่สอง: ลบ $(N-1)$ จะได้ $-N+1$
Use question 5 to write $A^{2}-B^{2}$ as a single term in $N$.
จงใช้ข้อ 5 เขียน $A^{2}-B^{2}$ เป็นพจน์เดียวในรูปของ $N$
Answershow ▾
$2\times2N$ is $4N$.$2\times2N$ ได้ $4N$
$N=15$ gives $A=16$, $B=14$: $16^{2}-14^{2}=60$, a multiple of $20$. $N=25$ gives $26^{2}-24^{2}=100$, also a multiple of $20$. Does this prove the result for every multiple of $5$?
(A) yes, two cases agree
(B) yes, if we check five cases
(C) no, because there are infinitely many multiples of $5$
$N=15$ ให้ $A=16$, $B=14$: $16^{2}-14^{2}=60$ เป็นพหุคูณของ $20$ และ $N=25$ ให้ $26^{2}-24^{2}=100$ ก็เป็นพหุคูณของ $20$ เช่นกัน การตรวจแบบนี้พิสูจน์ได้หรือไม่ว่าจริงสำหรับทุกพหุคูณของ $5$
(A) ได้ เพราะสองกรณีตรงกัน
(B) ได้ ถ้าตรวจห้ากรณี
(C) ไม่ได้ เพราะพหุคูณของ $5$ มีไม่จำกัดจำนวน
Answershow ▾
A finite number of checks can never cover an infinite set. Checking cases can only find one that fails; it can never prove that none does. Only algebra, with $N$ standing for every multiple of $5$ at once, proves it.การตรวจจำนวนจำกัดครอบคลุมเซตที่ไม่จำกัดไม่ได้ · การตรวจกรณีหาได้แค่กรณีที่ล้มเหลว ไม่สามารถพิสูจน์ว่าไม่มีกรณีล้มเหลวเลย · มีแต่พีชคณิตที่ให้ $N$ แทนพหุคูณของ $5$ ทุกตัวพร้อมกัน จึงพิสูจน์ได้จริง
$A^{2}-B^{2}=4N$ and $N=5k$. Write $4N$ in terms of $k$.
$A^{2}-B^{2}=4N$ และ $N=5k$ จงเขียน $4N$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
$4\times5k$ is $20k$.$4\times5k$ ได้ $20k$
Complete the sentence: "$20k$ is $20$ times a(n) ___, so $A^{2}-B^{2}$ is always a multiple of $20$."
จงเติมประโยค: "$20k$ คือ $20$ คูณ ___ ดังนั้น $A^{2}-B^{2}$ เป็นพหุคูณของ $20$ เสมอ"
Answershow ▾
$k$ must be an integer for $20k$ to count as a multiple of $20$.$k$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม $20k$ จึงนับเป็นพหุคูณของ $20$
$N$ is a multiple of $3$. $A=N+2$, $B=N-2$. Prove, using algebra, that $A^{2}-B^{2}$ is always a multiple of $24$.
$N$ เป็นพหุคูณของ $3$ กำหนด $A=N+2$, $B=N-2$ จงพิสูจน์ด้วยพีชคณิตว่า $A^{2}-B^{2}$ เป็นพหุคูณของ $24$ เสมอ
Answershow ▾
Same three moves: factorise, substitute, then write $N=3k$.ขั้นตอนเดียวกันสามขั้น: แยกตัวประกอบ แทนค่า แล้วเขียน $N=3k$
$N$ is a multiple of $5$. $A=N+1$, $B=N-1$. Prove, using algebra, that $A^{2}-B^{2}$ is always a multiple of $20$.
$N$ เป็นพหุคูณของ $5$ กำหนด $A=N+1$, $B=N-1$ จงพิสูจน์ด้วยพีชคณิตว่า $A^{2}-B^{2}$ เป็นพหุคูณของ $20$ เสมอ
Answershow ▾
3 marks. Factorise first, then bring in $N=5k$ at the end for the last mark.3 คะแนน แยกตัวประกอบก่อน แล้วใส่ $N=5k$ ช่วงสุดท้ายเพื่อคะแนนข้อสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$A^{2}-B^{2} = (A-B)(A+B)$
A1 substitute and simplifyแทนค่าและย่อ
$(N+1)-(N-1) = 2$
$(N+1)+(N-1) = 2N$
$A^{2}-B^{2} = 2\times2N$
$= 4N$
C1 write the multiple of 5เขียนพหุคูณของ 5
$N = 5k \text{ for an integer } k$
$4N = 20k$
Two fractions, one minus sign สองเศษส่วน ลบกันหนึ่งครั้ง
(a) Express $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ as a single fraction. Give your answer in its simplest form.
(ก) จงเขียน $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ ให้เป็นเศษส่วนเดียว ตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
Write $\dfrac{4}{x-2}$ as a fraction with denominator $(x-2)(x+1)$.
จงเขียน $\dfrac{4}{x-2}$ เป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น $(x-2)(x+1)$
Answershow ▾
Multiply the top and the bottom by the missing factor, $(x+1)$.คูณทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบที่ขาด คือ $(x+1)$
Expand $-3(x-2)$.
จงกระจาย $-3(x-2)$
Answershow ▾
The minus sign flips both terms inside the bracket, not just the first.เครื่องหมายลบต้องกระจายเข้าไปทั้งสองพจน์ในวงเล็บ ไม่ใช่แค่พจน์แรก
Collect $4(x+1)-3(x-2)$ into a single expression.
จงรวม $4(x+1)-3(x-2)$ ให้เป็นนิพจน์เดียว
Answershow ▾
Expand both brackets first, then collect the $x$ terms and the numbers.กระจายทั้งสองวงเล็บก่อน แล้วรวมพจน์ $x$ กับตัวเลข
Which is the correct numerator for $\dfrac{4(x+1)-3(x-2)}{(x-2)(x+1)}$?
(A) $4x+4-3x-6$
(B) $4x+4-3x+6$
(C) $4x+4+3x-6$
ตัวเศษที่ถูกต้องของ $\dfrac{4(x+1)-3(x-2)}{(x-2)(x+1)}$ คือข้อใด
(A) $4x+4-3x-6$
(B) $4x+4-3x+6$
(C) $4x+4+3x-6$
Answershow ▾
$4(x+1)=4x+4$ keeps its sign, but $-3(x-2)$ needs both terms flipped: $-3x+6$. (A) only flips the $x$ term and (C) flips neither term correctly.$4(x+1)=4x+4$ เครื่องหมายไม่เปลี่ยน แต่ $-3(x-2)$ ต้องกลับเครื่องหมายทั้งสองพจน์เป็น $-3x+6$ · (A) กลับแค่พจน์ $x$ ส่วน (C) กลับเครื่องหมายผิดทั้งสองพจน์
Write $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ over the common denominator $(x-2)(x+1)$.
จงเขียน $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ ด้วยตัวส่วนร่วม $(x-2)(x+1)$
Answershow ▾
Each top is multiplied by the factor its own bottom was missing.เศษแต่ละตัวคูณด้วยตัวประกอบที่ส่วนของมันขาด
Expand the numerator $4(x+1)-3(x-2)$.
จงกระจายเศษ $4(x+1)-3(x-2)$
Answershow ▾
The minus sign in front of $3(x-2)$ flips both of its terms.เครื่องหมายลบหน้า $3(x-2)$ ต้องกลับเครื่องหมายทั้งสองพจน์
Collect the numerator to finish $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ as a single fraction. Can it be simplified further?
จงรวมเศษให้ได้คำตอบของ $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ เป็นเศษส่วนเดียว ย่อต่อได้อีกหรือไม่
Answershow ▾
No: $x+10$ shares no factor with $(x-2)$ or $(x+1)$.ไม่ได้: $x+10$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกับ $(x-2)$ หรือ $(x+1)$
Express $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ as a single fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
The three moves from questions 4 to 6, back to back.สามขั้นจากข้อ 4 ถึง 6 ต่อกัน
Check the answer: let $x=3$. Work out $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ and $\dfrac{x+10}{(x-2)(x+1)}$ separately.
จงตรวจคำตอบ: ให้ $x=3$ หาค่า $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ และ $\dfrac{x+10}{(x-2)(x+1)}$ แยกกัน
Answershow ▾
A correct single fraction gives the same number as the original at any value of $x$.เศษส่วนเดียวที่ถูกต้องให้ค่าเท่ากับของเดิมไม่ว่าแทน $x$ เท่าใด
Express $\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{2}{x+3}$ as a single fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{2}{x+3}$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same two moves: common denominator, then collect, minding the sign.สองขั้นเดิม: ตัวส่วนร่วม แล้วรวมพจน์ โดยระมัดระวังเครื่องหมาย
(a) Express $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ as a single fraction. Give your answer in its simplest form.
(ก) จงเขียน $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}$ ให้เป็นเศษส่วนเดียว ตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
3 marks: common denominator, expand the numerator, then collect.3 คะแนน: ตัวส่วนร่วม กระจายเศษ แล้วรวมพจน์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{4(x+1)-3(x-2)}{(x-2)(x+1)}$
M1 expand the numeratorกระจายเศษ
$=\dfrac{4x+4-3x+6}{(x-2)(x+1)}$
A1 simplifyย่อ
$=\dfrac{x+10}{(x-2)(x+1)}$
Odd gap between square numbers ช่องว่างคี่ระหว่างเลขยกกำลังสอง
Prove that the difference between two consecutive square numbers is always an odd number.
จงพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างเลขยกกำลังสองสองจำนวนที่ติดกันเป็นเลขคี่เสมอ
Write two consecutive integers, starting from $n$.
จงเขียนจำนวนเต็มสองจำนวนที่เรียงติดกัน โดยเริ่มจาก $n$
Answershow ▾
Consecutive means one after the other, so the next integer is $n+1$.เรียงติดกัน หมายถึงตัวต่อไปทันที จึงเป็น $n+1$
Expand $(m+1)^{2}$.
จงกระจาย $(m+1)^{2}$
Answershow ▾
$(m+1)^{2}$ is $(m+1)(m+1)$. The middle term comes twice.$(m+1)^{2}$ คือ $(m+1)(m+1)$ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Write any odd number in the form $2k+1$, for an integer $k$.
จงเขียนจำนวนคี่ใดๆ ในรูป $2k+1$ โดย $k$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
$2k$ is always even, so one more than it is always odd.$2k$ เป็นเลขคู่เสมอ มากกว่านั้น $1$ จึงเป็นเลขคี่เสมอ
"Consecutive" square numbers come from bases that differ by $1$. Which pair is this?
(A) $n^{2}$ and $(n+1)^{2}$
(B) $n^{2}$ and $(n+2)^{2}$
(C) $(n+1)^{2}$ and $(n-1)^{2}$
เลขยกกำลังสอง "ที่เรียงติดกัน" มาจากฐานที่ต่างกัน $1$ คู่ใดเป็นแบบนี้
(A) $n^{2}$ และ $(n+1)^{2}$
(B) $n^{2}$ และ $(n+2)^{2}$
(C) $(n+1)^{2}$ และ $(n-1)^{2}$
Answershow ▾
In (B) the bases are $2$ apart, not $1$. In (C) the bases are also $2$ apart ($n+1$ to $n-1$), the same gap as (B), only centred differently — it is the pattern for numbers two apart, not consecutive ones.(B) ฐานต่างกัน $2$ ไม่ใช่ $1$ · (C) ฐานก็ต่างกัน $2$ เช่นกัน ($n+1$ ถึง $n-1$) เหมือน (B) เพียงแค่จุดกึ่งกลางต่างกัน เป็นรูปแบบของจำนวนที่ต่างกันสอง ไม่ใช่เรียงติดกัน
Using $n$ and $n+1$, write the difference between their squares.
ใช้ $n$ และ $n+1$ จงเขียนผลต่างระหว่างกำลังสองของทั้งสองตัว
Answershow ▾
The bigger square comes first, so the difference is positive.กำลังสองที่มากกว่าเขียนก่อน ผลต่างจึงเป็นบวก
Expand $(n+1)^{2}-n^{2}$.
จงกระจาย $(n+1)^{2}-n^{2}$
Answershow ▾
Use question 2 for the bracket; leave $-n^{2}$ as it is.ใช้ข้อ 2 กระจายวงเล็บ แล้วคง $-n^{2}$ ไว้เหมือนเดิม
Simplify $n^{2}+2n+1-n^{2}$.
จงย่อ $n^{2}+2n+1-n^{2}$
Answershow ▾
$n^{2}$ and $-n^{2}$ cancel.$n^{2}$ กับ $-n^{2}$ หักกัน
A student checks $4^{2}-3^{2}=7$ and $6^{2}-5^{2}=11$: both odd. Does this prove every pair of consecutive squares differs by an odd number?
(A) yes, two cases agree
(B) yes, because both answers were prime
(C) no, there are infinitely many consecutive pairs
นักเรียนตรวจ $4^{2}-3^{2}=7$ และ $6^{2}-5^{2}=11$ ทั้งคู่เป็นเลขคี่ สิ่งนี้พิสูจน์ได้หรือไม่ว่าทุกคู่ของเลขยกกำลังสองที่เรียงติดกันมีผลต่างเป็นเลขคี่
(A) ได้ เพราะสองกรณีตรงกัน
(B) ได้ เพราะคำตอบทั้งคู่เป็นจำนวนเฉพาะ
(C) ไม่ได้ เพราะคู่ที่เรียงติดกันมีไม่จำกัดจำนวน
Answershow ▾
Being prime is not the property being proved, and two checks can never rule out one of the infinitely many pairs that might fail. Only algebra, with $n$ standing for every starting integer, proves it.การเป็นจำนวนเฉพาะไม่ใช่สิ่งที่ต้องพิสูจน์ และการตรวจสองกรณีไม่สามารถตัดคู่ที่อาจล้มเหลวออกจากคู่ ที่มีไม่จำกัดจำนวนได้ · มีแต่พีชคณิตที่ให้ $n$ แทนจำนวนเต็มตั้งต้นทุกตัว จึงพิสูจน์ได้จริง
$2n+1$ matches the form $2k+1$ from question 3. What is $k$?
$2n+1$ ตรงกับรูป $2k+1$ จากข้อ 3 จงหา $k$
Answershow ▾
Line up the two forms term by term: $2k+1$ and $2n+1$.จับคู่สองรูปทีละพจน์: $2k+1$ กับ $2n+1$
Complete the sentence: "$n$ is an integer, so $2n$ is always ___, and $2n+1$ is one more than that, which makes it odd."
จงเติมประโยค: "$n$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $2n$ เป็น ___ เสมอ และ $2n+1$ มากกว่านั้นอยู่ $1$ จึงเป็นเลขคี่"
Answershow ▾
$2\times$ any integer is always even; one more than even is odd.$2\times$จำนวนเต็มใดๆ เป็นเลขคู่เสมอ · มากกว่าเลขคู่อยู่ $1$ จึงเป็นเลขคี่
Prove that the difference between the squares of two consecutive even numbers is always a multiple of $4$.
จงพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างกำลังสองของเลขคู่สองจำนวนที่เรียงติดกัน เป็นพหุคูณของ $4$ เสมอ
Answershow ▾
Same three moves: write $2n$ and $2n+2$, expand, then factor out $4$.ขั้นตอนเดียวกันสามขั้น: เขียน $2n$ กับ $2n+2$ กระจาย แล้วดึง $4$ ออกมา
Prove that the difference between two consecutive square numbers is always an odd number.
จงพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างเลขยกกำลังสองสองจำนวนที่ติดกันเป็นเลขคี่เสมอ
Answershow ▾
3 marks: write $n$ and $n+1$, expand the difference, then say why $2n+1$ is odd.3 คะแนน: เขียน $n$ กับ $n+1$ กระจายผลต่าง แล้วบอกว่าทำไม $2n+1$ เป็นเลขคี่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$n,\ n+1 \text{ for an integer } n$
M1 expand the difference of squaresกระจายผลต่างกำลังสอง
$(n+1)^{2}-n^{2} = n^{2}+2n+1-n^{2}$
C1 simplify and concludeย่อและสรุปผล
$= 2n+1$
Simplify a quadratic-over-quadratic fraction ย่อเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นพหุนามกำลังสอง
(a) Simplify fully $\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$
(ก) จงย่อ $\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ ให้ง่ายที่สุด
Factorise $10x^{2}+23x+12$.
จงแยกตัวประกอบ $10x^{2}+23x+12$
Answershow ▾
Front coefficient is not $1$: split $23x$ into $15x+8x$, since $15\times8=120=10\times12$.ตัวหน้าไม่ใช่ $1$: แยก $23x$ เป็น $15x+8x$ เพราะ $15\times8=120=10\times12$
Factorise $4x^{2}-9$.
จงแยกตัวประกอบ $4x^{2}-9$
Answershow ▾
$4x^{2}$ and $9$ are both squares: $(2x)^{2}$ and $3^{2}$.$4x^{2}$ และ $9$ เป็นกำลังสองทั้งคู่: $(2x)^{2}$ และ $3^{2}$
Simplify $\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x+7)}$ fully.
จงทำ $\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x+7)}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
$(x+3)$ multiplies the whole top and the whole bottom, so it cancels.$(x+3)$ คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน จึงตัดได้
$\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$. Pick the first move.
(A) cancel the $x^{2}$ terms top and bottom
(B) cancel the $12$ and the $9$
(C) factorise top and bottom first, then cancel the bracket they share
$\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ตัด $x^{2}$ ทั้งบนและล่าง
(B) ตัด $12$ กับ $9$
(C) แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนก่อน แล้วตัดวงเล็บที่มีร่วมกัน
Answershow ▾
$10x^{2}+23x+12$ and $4x^{2}-9$ are sums of terms, not products, so (A) and (B) each cancel one term out of a sum, which changes its value. Cancelling means dividing the WHOLE top and the WHOLE bottom by the SAME factor, and a shared bracket only appears once both sides are factorised.$10x^{2}+23x+12$ และ $4x^{2}-9$ เป็นผลบวกของพจน์ ไม่ใช่ผลคูณ ดังนั้น (A) และ (B) จึงตัดพจน์เดียวออกจากผลบวก ซึ่งทำให้ค่าเปลี่ยนไป การตัดคือการหารเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อนด้วยตัวประกอบตัวเดียวกัน และวงเล็บร่วมจะเห็นก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งสองฝั่งแล้ว
Write $\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ with the top and the bottom both factorised.
จงเขียน $\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ โดยแยกตัวประกอบทั้งบนและล่าง
Answershow ▾
Put the two factorised forms from above over each other, unexpanded.นำรูปที่แยกตัวประกอบแล้วทั้งสองข้างมาเขียนเป็นเศษส่วนเดียว โดยไม่กระจายกลับ
$\dfrac{(5x+4)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}$. Which bracket cancels?
(A) $(2x-3)$
(B) $(5x+4)$
(C) $(2x+3)$
$\dfrac{(5x+4)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}$ วงเล็บไหนตัดได้
(A) $(2x-3)$
(B) $(5x+4)$
(C) $(2x+3)$
Answershow ▾
$(2x-3)$ sits only in the bottom and $(5x+4)$ sits only in the top — only $(2x+3)$ multiplies the whole top and the whole bottom, so only it cancels.$(2x-3)$ อยู่แค่ในส่วน และ $(5x+4)$ อยู่แค่ในเศษ มีแค่ $(2x+3)$ ที่คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน จึงตัดได้เพียงตัวเดียว
Simplify $\dfrac{(5x+4)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}$ fully.
จงทำ $\dfrac{(5x+4)(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Cancel the $(2x+3)$ that multiplies the whole top and the whole bottom.ตัด $(2x+3)$ ที่คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน
$\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ is undefined at $x=\dfrac{3}{2}$ and at $x=-\dfrac{3}{2}$. The simplified fraction $\dfrac{5x+4}{2x-3}$ is undefined at only one of these. Which value does the simplified fraction HIDE?
$\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ หาค่าไม่ได้ที่ $x=\dfrac{3}{2}$ และที่ $x=-\dfrac{3}{2}$ เศษส่วนที่ทำง่ายแล้ว $\dfrac{5x+4}{2x-3}$ หาค่าไม่ได้เพียงค่าเดียวจากสองค่านี้ ค่าไหนที่หายไปหลังตัด
Answershow ▾
Cancelling $(2x+3)$ removes the information that $x=-\dfrac{3}{2}$ also makes the ORIGINAL denominator zero. The simplified fraction has the same value as the original everywhere EXCEPT at that one point.การตัด $(2x+3)$ ทำให้ข้อมูลที่ว่า $x=-\dfrac{3}{2}$ ทำให้ส่วนเดิมเป็น $0$ หายไปด้วย เศษส่วนที่ทำง่ายแล้วมีค่าเท่ากับเศษส่วนเดิมทุกจุด ยกเว้นจุดนั้นจุดเดียว
Simplify fully $\dfrac{6x^{2}+13x+6}{4x^{2}-9}$.
จงทำ $\dfrac{6x^{2}+13x+6}{4x^{2}-9}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Factorise top and bottom first, then cancel the bracket they share.แยกตัวประกอบบนและล่างก่อน แล้วตัดวงเล็บที่มีร่วมกัน
Check $\dfrac{3x+2}{2x-3}=\dfrac{6x^{2}+13x+6}{4x^{2}-9}$ by substituting $x=1$ into both sides.
จงตรวจ $\dfrac{3x+2}{2x-3}=\dfrac{6x^{2}+13x+6}{4x^{2}-9}$ โดยแทน $x=1$ ทั้งสองข้าง
Answershow ▾
The simplified fraction must give the same value as the original, for any $x$.เศษส่วนที่ทำง่ายแล้ว ต้องให้ค่าเท่ากับเศษส่วนเดิม สำหรับ $x$ ใดๆ
Simplify fully $\dfrac{6x^{2}+7x+2}{9x^{2}-4}$.
จงทำ $\dfrac{6x^{2}+7x+2}{9x^{2}-4}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same two moves: factorise with a front coefficient, then a difference of two squares.สองขั้นเดิม: แยกตัวประกอบที่มีตัวหน้าไม่ใช่ $1$ แล้วใช้ผลต่างกำลังสอง
(a) Simplify fully $\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$
(ก) จงย่อ $\dfrac{10x^{2}+23x+12}{4x^{2}-9}$ ให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
3 marks. Two for factorising the top and the bottom, one for cancelling the right bracket.3 คะแนน · สองคะแนนสำหรับแยกตัวประกอบเศษและส่วน อีกหนึ่งคะแนนสำหรับตัดวงเล็บที่ถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$10x^{2}+23x+12 = (5x+4)(2x+3)$
M1 factorise the denominatorแยกตัวประกอบส่วน
$4x^{2}-9 = (2x-3)(2x+3)$
A1 cancel the common factorตัดตัวประกอบร่วม
$= \dfrac{5x+4}{2x-3}$
Two odd forms, multiplied together เลขคี่สองรูป คูณกัน
Prove algebraically that the product of any two odd numbers is always an odd number.
จงพิสูจน์ด้วยพีชคณิตว่าผลคูณของเลขคี่สองตัวใดๆ เป็นเลขคี่เสมอ
Write any odd number in the form $2k+1$, for an integer $k$.
จงเขียนจำนวนคี่ใดๆ ในรูป $2k+1$ โดย $k$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
$2k$ is always even, so one more than it is always odd.$2k$ เป็นเลขคู่เสมอ มากกว่านั้น $1$ จึงเป็นเลขคี่เสมอ
Expand $(2x+1)(2y+1)$.
จงกระจาย $(2x+1)(2y+1)$
Answershow ▾
Multiply each term in the first bracket by each term in the second.คูณทุกพจน์ในวงเล็บแรกกับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง
Factorise $6a+6b$ by taking out the common factor $2$.
จงแยกตัวประกอบ $6a+6b$ โดยดึง $2$ ออกมาเป็นตัวร่วม
Answershow ▾
Divide every term by $2$ inside the bracket.หารทุกพจน์ในวงเล็บด้วย $2$
To prove the product of any two odd numbers is odd, how should you write them?
(A) $2n+1$ and $2n+1$
(B) $2n+1$ and $2n+3$
(C) $2n+1$ and $2m+1$, using two different letters
จะพิสูจน์ว่าผลคูณของเลขคี่สองตัวใดๆ เป็นเลขคี่ ควรเขียนเลขคี่สองตัวนั้นอย่างไร
(A) $2n+1$ และ $2n+1$
(B) $2n+1$ และ $2n+3$
(C) $2n+1$ และ $2m+1$ ใช้ตัวแปรคนละตัว
Answershow ▾
(A) forces both numbers to be equal, so it cannot represent $3\times7$. (B) forces the two numbers to always be $2$ apart, which is not true of every pair of odd numbers. (C) keeps them independent.(A) บีบให้เลขทั้งสองเท่ากัน จึงไม่สามารถแทน $3\times7$ ได้ · (B) บีบให้เลขทั้งสองต่างกัน $2$ เสมอ ซึ่งไม่จริงสำหรับเลขคี่ทุกคู่ · (C) ทำให้ทั้งสองตัวเป็นอิสระจากกัน
Write two different odd numbers using two different letters.
จงเขียนเลขคี่สองตัวที่ต่างกัน โดยใช้ตัวแปรคนละตัว
Answershow ▾
$n$ and $m$ are integers, and they do not have to be equal.$n$ กับ $m$ เป็นจำนวนเต็ม และไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
Multiply $(2n+1)(2m+1)$ out fully.
จงคูณ $(2n+1)(2m+1)$ ให้หมด
Answershow ▾
Use question 2 with $n$ in place of $x$ and $m$ in place of $y$.ใช้วิธีจากข้อ 2 แทน $x$ ด้วย $n$ และ $y$ ด้วย $m$
Write $4nm+2n+2m+1$ as $2(\dots)+1$ by taking out a common factor of $2$ from the first three terms.
จงเขียน $4nm+2n+2m+1$ เป็น $2(\dots)+1$ โดยดึง $2$ ออกจากสามพจน์แรก
Answershow ▾
Divide $4nm$, $2n$, $2m$ each by $2$ inside the bracket; leave the $+1$ outside.หาร $4nm$, $2n$, $2m$ ด้วย $2$ แต่ละพจน์ในวงเล็บ แล้วเหลือ $+1$ ไว้ข้างนอก
A student checks $3\times5=15$ and $7\times9=63$: both odd. Does this prove the product of any two odd numbers is always odd?
(A) yes, both products happened to be odd
(B) yes, if we check five pairs
(C) no, there are infinitely many pairs of odd numbers
นักเรียนตรวจ $3\times5=15$ และ $7\times9=63$ ทั้งคู่เป็นเลขคี่ สิ่งนี้พิสูจน์ได้หรือไม่ว่าผลคูณของเลขคี่สองตัวใดๆเป็นเลขคี่เสมอ
(A) ได้ เพราะผลคูณทั้งคู่บังเอิญเป็นเลขคี่
(B) ได้ ถ้าตรวจห้าคู่
(C) ไม่ได้ เพราะคู่ของเลขคี่มีไม่จำกัดจำนวน
Answershow ▾
No finite list of checks can rule out a pair that fails among infinitely many. Algebra with $n$ and $m$ standing for any integers covers every pair at once.การตรวจจำนวนจำกัดไม่สามารถตัดคู่ที่อาจล้มเหลวออกจากคู่ที่มีไม่จำกัดจำนวนได้ · พีชคณิตที่ให้ $n$ กับ $m$ แทนจำนวนเต็มใดๆ ครอบคลุมทุกคู่พร้อมกัน
$n$ and $m$ are integers. Complete the sentence: "$2nm+n+m$ is also a(n) ___, so $2(2nm+n+m)+1$ is one more than an even number."
$n$ กับ $m$ เป็นจำนวนเต็ม จงเติมประโยค: "$2nm+n+m$ ก็เป็น ___ ด้วย ดังนั้น $2(2nm+n+m)+1$ จึงมากกว่าเลขคู่อยู่ $1$"
Answershow ▾
Adding and multiplying integers always gives an integer.การบวกและการคูณจำนวนเต็ม ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มเสมอ
Check with $n=1$, $m=3$ (the odd numbers $3$ and $7$): work out $2(2nm+n+m)+1$ and compare with $3\times7$.
จงตรวจด้วย $n=1$, $m=3$ (เลขคี่ $3$ กับ $7$): หา $2(2nm+n+m)+1$ แล้วเทียบกับ $3\times7$
Answershow ▾
Both sides give the same number, $21$.ทั้งสองข้างได้ตัวเลขเดียวกันคือ $21$
Prove algebraically that the sum of two odd numbers is always even.
จงพิสูจน์ด้วยพีชคณิตว่าผลบวกของเลขคี่สองตัวเป็นเลขคู่เสมอ
Answershow ▾
Same two letters: write the forms, add them, then factor out $2$.ใช้ตัวแปรสองตัวเหมือนเดิม: เขียนรูปเลขคี่ บวกกัน แล้วดึง $2$ ออกมา
Prove algebraically that the product of any two odd numbers is always an odd number.
จงพิสูจน์ด้วยพีชคณิตว่าผลคูณของเลขคี่สองตัวใดๆ เป็นเลขคี่เสมอ
Answershow ▾
4 marks: two different letters, multiply out, factor out $2$, then say $2nm+n+m$ is an integer.4 คะแนน: ใช้ตัวแปรคนละตัว คูณให้หมด ดึง $2$ ออกมา แล้วบอกว่า $2nm+n+m$ เป็นจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$2n+1,\ 2m+1 \text{ for integers } n,\ m$
M1 multiply them outคูณทั้งสองพจน์
$(2n+1)(2m+1) = 4nm+2n+2m+1$
A1 factor out a 2ดึง 2 ออกมาเป็นตัวร่วม
$= 2(2nm+n+m)+1$
C1 state the conclusionสรุปผลการพิสูจน์
$2nm+n+m\in\mathbb{Z}$
Find x in terms of a by substitution หา x ในรูปของ a ด้วยการแทนค่า
Given that $x=\dfrac{5}{9y+5}$ and that $y=\dfrac{5}{5a-2}$, find an expression for $x$ in terms of $a$. Give your expression as a single fraction in its simplest form.
กำหนดให้ $x=\dfrac{5}{9y+5}$ และ $y=\dfrac{5}{5a-2}$ จงหานิพจน์ของ $x$ ในรูปของ $a$ ตอบเป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Given $y=\dfrac{5}{5a-2}$, write $9y+5$ as an expression in $a$ (do not simplify yet).
กำหนดให้ $y=\dfrac{5}{5a-2}$ จงเขียน $9y+5$ ในรูปของ $a$ (ยังไม่ต้องทำให้ง่าย)
Answershow ▾
Replace $y$ with its value and multiply the $9$ straight into the fraction.แทน $y$ ด้วยค่าของมัน แล้วคูณ $9$ เข้าไปในเศษส่วนนั้นเลย
Write $\dfrac{45}{5a-2}+5$ as a single fraction, fully simplified.
จงเขียน $\dfrac{45}{5a-2}+5$ เป็นเศษส่วนเดียว ทำให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Give the $5$ the same denominator, then add the numerators.ทำให้ $5$ มีตัวส่วนเดียวกัน แล้วบวกตัวเศษเข้าด้วยกัน
Simplify $5\div\dfrac{p}{q}$.
จงทำ $5\div\dfrac{p}{q}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Dividing by a fraction means multiplying by its reciprocal.การหารด้วยเศษส่วน คือการคูณด้วยส่วนกลับของมัน
$x=\dfrac{5}{9y+5}$ and $y=\dfrac{5}{5a-2}$. You want $x$ in terms of $a$. Pick the first move.
(A) make $y$ the subject of $x=\dfrac{5}{9y+5}$
(B) substitute the expression for $x$ into the equation for $y$
(C) substitute $y=\dfrac{5}{5a-2}$ into $x=\dfrac{5}{9y+5}$
$x=\dfrac{5}{9y+5}$ และ $y=\dfrac{5}{5a-2}$ ต้องการ $x$ ในรูปของ $a$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ทำให้ $y$ เป็นตัวตั้งจาก $x=\dfrac{5}{9y+5}$
(B) แทนนิพจน์ของ $x$ ลงในสมการของ $y$
(C) แทน $y=\dfrac{5}{5a-2}$ ลงใน $x=\dfrac{5}{9y+5}$
Answershow ▾
(A) rearranges for $y$ in terms of $x$, but $a$ never appears in that equation, so it cannot bring $a$ in. (B) puts $x$ into the $y$-equation, which has no $x$ in it to replace — there is nothing to substitute. Only (C) replaces the unknown $y$ with an expression that already has $a$ in it.(A) จัดหา $y$ ในรูปของ $x$ แต่สมการนั้นไม่มี $a$ อยู่เลย จึงดึง $a$ เข้ามาไม่ได้ (B) เอา $x$ ไปแทนในสมการของ $y$ ซึ่งไม่มี $x$ อยู่ให้แทนตั้งแต่แรก มีแค่ (C) ที่แทนตัวไม่รู้ $y$ ด้วยนิพจน์ที่มี $a$ อยู่แล้ว
Given $x=\dfrac{5}{9y+5}$ and $9y+5=\dfrac{25a+35}{5a-2}$, write $x$ as a fraction (do not cancel yet).
กำหนด $x=\dfrac{5}{9y+5}$ และ $9y+5=\dfrac{25a+35}{5a-2}$ จงเขียน $x$ เป็นเศษส่วน (ยังไม่ต้องตัด)
Answershow ▾
Dividing $5$ by that fraction means multiplying $5$ by its reciprocal.หาร $5$ ด้วยเศษส่วนนั้น คือคูณ $5$ ด้วยส่วนกลับของมัน
Factorise $25a+35$ by taking out the common factor.
จงแยกตัวประกอบ $25a+35$ โดยดึงตัวร่วม
Answershow ▾
$25$ and $35$ share a factor of $5$.$25$ และ $35$ มีตัวร่วมคือ $5$
Simplify $\dfrac{5(5a-2)}{5(5a+7)}$ fully.
จงทำ $\dfrac{5(5a-2)}{5(5a+7)}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
The $5$ multiplies the whole top and the whole bottom, so it cancels.$5$ คูณอยู่กับเศษทั้งก้อนและส่วนทั้งก้อน จึงตัดได้
Given $x=\dfrac{2}{3y+2}$ and $y=\dfrac{2}{4a-3}$, find $x$ in terms of $a$ as a single fraction in its simplest form.
กำหนดให้ $x=\dfrac{2}{3y+2}$ และ $y=\dfrac{2}{4a-3}$ จงหา $x$ ในรูปของ $a$ ตอบเป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Substitute, combine into one fraction, divide, then cancel.แทนค่า รวมเป็นเศษส่วนเดียว หาร แล้วตัด
Check the formula $x=\dfrac{4a-3}{4a}$ by substituting $a=1$: find $y$ first from $y=\dfrac{2}{4a-3}$, then $x$ from $x=\dfrac{2}{3y+2}$, and compare with the formula.
จงตรวจสูตร $x=\dfrac{4a-3}{4a}$ โดยแทน $a=1$ หา $y$ จาก $y=\dfrac{2}{4a-3}$ ก่อน แล้วหา $x$ จาก $x=\dfrac{2}{3y+2}$ แล้วเทียบกับสูตร
Answershow ▾
The formula must give the same $x$ as substituting straight into the original two equations.สูตรต้องให้ค่า $x$ เท่ากับการแทนค่าตรงจากสองสมการเดิม
Given $u=\dfrac{3}{4v+3}$ and $v=\dfrac{3}{2w-1}$, find $u$ in terms of $w$ as a single fraction in its simplest form.
กำหนดให้ $u=\dfrac{3}{4v+3}$ และ $v=\dfrac{3}{2w-1}$ จงหา $u$ ในรูปของ $w$ ตอบเป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same shape as the exam question: substitute, combine, divide, cancel.โครงเดียวกับข้อสอบจริง: แทนค่า รวมเศษส่วน หาร แล้วตัด
Given that $x=\dfrac{5}{9y+5}$ and that $y=\dfrac{5}{5a-2}$, find an expression for $x$ in terms of $a$. Give your expression as a single fraction in its simplest form.
กำหนดให้ $x=\dfrac{5}{9y+5}$ และ $y=\dfrac{5}{5a-2}$ จงหานิพจน์ของ $x$ ในรูปของ $a$ ตอบเป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
4 marks. Three for substituting, combining and dividing, one for cancelling the common factor $5$.4 คะแนน · สามคะแนนสำหรับแทนค่า รวมเศษส่วน และหาร อีกหนึ่งคะแนนสำหรับตัดตัวร่วม $5$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$9y+5 = \dfrac{45}{5a-2}+5$
M1 combine into one fractionรวมเป็นเศษส่วนเดียว
$=\dfrac{45+5(5a-2)}{5a-2}$
$= \dfrac{25a+35}{5a-2}$
M1 divide 5 by that fractionหาร 5 ด้วยเศษส่วนนั้น
$x = 5\div\dfrac{25a+35}{5a-2}$
$= \dfrac{5(5a-2)}{25a+35}$
A1 cancel the common factor 5ตัดตัวร่วม 5
$= \dfrac{5a-2}{5a+7}$
Multiply, then subtract a bracket คูณก่อน แล้วลบด้วยวงเล็บ
Write $\dfrac{25x^{2}-64}{5x^{2}-13x-6}\times\dfrac{x^{2}-8x+15}{5x+8}-(x-7)$ as a single fraction in its simplest form.
Show clear algebraic working.
จงเขียน $\dfrac{25x^{2}-64}{5x^{2}-13x-6}\times\dfrac{x^{2}-8x+15}{5x+8}-(x-7)$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
Factorise $25x^{2}-64$.
จงแยกตัวประกอบ $25x^{2}-64$
Answershow ▾
Both terms are square numbers, so it splits into (difference)(sum).ทั้งสองพจน์เป็นจำนวนกำลังสอง จึงแยกเป็น (ผลต่าง)(ผลบวก)
Factorise $5x^{2}-13x-6$.
จงแยกตัวประกอบ $5x^{2}-13x-6$
Answershow ▾
Check the middle term: $(5x+2)(x-3)$ gives $-15x+2x=-13x$.ตรวจพจน์กลาง: $(5x+2)(x-3)$ ได้ $-15x+2x=-13x$
Expand $-(x-7)$.
จงกระจาย $-(x-7)$
Answershow ▾
Subtracting a bracket multiplies every term inside it by $-1$.การลบด้วยวงเล็บคือการคูณทุกพจน์ในวงเล็บด้วย $-1$
$A-(x-7)$. To remove the bracket, which is right?
(A) $A-x-7$
(B) $A-x+7$
(C) $A+x-7$
$A-(x-7)$ จะดึงวงเล็บออกต้องเป็นแบบไหน
(A) $A-x-7$
(B) $A-x+7$
(C) $A+x-7$
Answershow ▾
Subtracting a bracket flips the sign of EVERY term inside it, not just the first: $-(x-7)=-x+7$. (A) flips only the $x$, and (C) flips neither.การลบด้วยวงเล็บต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์ในวงเล็บ ไม่ใช่แค่พจน์แรก: $-(x-7)=-x+7$ · (A) เปลี่ยนแค่ $x$ · (C) ไม่เปลี่ยนเลย
$\dfrac{(5x-8)(5x+8)}{(5x+2)(x-3)}\times\dfrac{(x-3)(x-5)}{5x+8}$. Cancel the common factors and write the product as one fraction.
$\dfrac{(5x-8)(5x+8)}{(5x+2)(x-3)}\times\dfrac{(x-3)(x-5)}{5x+8}$ จงตัดตัวประกอบร่วมแล้วเขียนผลคูณเป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
$(5x+8)$ cancels between the two numerators, and $(x-3)$ cancels between the two denominators.$(5x+8)$ ตัดกันระหว่างตัวเศษทั้งสอง และ $(x-3)$ ตัดกันระหว่างตัวส่วนทั้งสอง
Write $\dfrac{(5x-8)(x-5)}{5x+2}-(x-7)$ as a single fraction. Keep the bracket $(x-7)$ visible in the numerator — do not expand it yet.
จงเขียน $\dfrac{(5x-8)(x-5)}{5x+2}-(x-7)$ เป็นเศษส่วนเดียว โดยยังไม่กระจายวงเล็บ $(x-7)$
Answershow ▾
Multiply $(x-7)$ by the denominator $5x+2$ before you expand anything — this is the line students skip.ต้องคูณ $(x-7)$ ด้วยตัวส่วน $5x+2$ ก่อนกระจายอะไร บรรทัดนี้คือขั้นที่คนมักข้าม
Expand $(5x-8)(x-5)$ and $(x-7)(5x+2)$.
จงกระจาย $(5x-8)(x-5)$ และ $(x-7)(5x+2)$
Answershow ▾
Both expansions give the same $x^{2}$ and $x$ terms, so only the constants differ.ทั้งสองผลกระจายได้พจน์ $x^{2}$ และ $x$ เท่ากัน ต่างกันแค่พจน์คงที่
Simplify the top of the fraction: $(5x^{2}-33x+40)-(5x^{2}-33x-14)$.
จงลดรูปตัวเศษ: $(5x^{2}-33x+40)-(5x^{2}-33x-14)$
Answershow ▾
The $x^{2}$ and $x$ terms cancel, and subtracting a bracket flips both signs inside it: $40-(-14)=54$.พจน์ $x^{2}$ และ $x$ ตัดกันหมด และการลบวงเล็บเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองพจน์ในวงเล็บ: $40-(-14)=54$
Check $x=1$: does the original expression equal $\dfrac{54}{5x+2}$?
จงตรวจเมื่อ $x=1$: นิพจน์เดิมเท่ากับ $\dfrac{54}{5x+2}$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct simplification gives the same number both ways, for any $x$ that does not make a denominator zero.การลดรูปที่ถูกต้องให้ค่าเท่ากันทั้งสองทาง สำหรับ $x$ ใดที่ไม่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
Write $\dfrac{x^{2}-10x+16}{x^{2}-10x+24}\times\dfrac{x^{2}-7x+12}{x-8}-(x+1)$ as a single fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{x^{2}-10x+16}{x^{2}-10x+24}\times\dfrac{x^{2}-7x+12}{x-8}-(x+1)$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same four moves: factorise, cancel, combine over one denominator, then watch the sign again.ขั้นตอนเดียวกันสี่ขั้น: แยกตัวประกอบ ตัด รวมตัวส่วนเดียว แล้วระวังเครื่องหมายอีกครั้ง
Write $\dfrac{25x^{2}-64}{5x^{2}-13x-6}\times\dfrac{x^{2}-8x+15}{5x+8}-(x-7)$ as a single fraction in its simplest form.
Show clear algebraic working.
จงเขียน $\dfrac{25x^{2}-64}{5x^{2}-13x-6}\times\dfrac{x^{2}-8x+15}{5x+8}-(x-7)$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
4 marks, three of them for method. Factorise all four expressions, cancel, then keep $(x-7)$ visible before you expand.4 คะแนน สามคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จงแยกตัวประกอบทั้งสี่นิพจน์ ตัด แล้วเก็บ $(x-7)$ ไว้ก่อนกระจาย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$25x^{2}-64=(5x-8)(5x+8)$
$5x^{2}-13x-6=(5x+2)(x-3)$
$x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5)$
M1 cancel common factorsตัดตัวประกอบร่วม
$\text{cancel } (5x+8) \text{ and } (x-3)$
$\text{product} = \dfrac{(5x-8)(x-5)}{5x+2}$
M1 one fraction, bracket includedรวมกับวงเล็บด้วยตัวส่วนเดียว
$\dfrac{(5x-8)(x-5)-(x-7)(5x+2)}{5x+2}$
A1 expand and simplify the topกระจายและย่อเศษ
$(5x-8)(x-5) = 5x^{2}-33x+40$
$(x-7)(5x+2) = 5x^{2}-33x-14$
$\text{top} = 40-(-14)$
$= 54$
Multiply, then add a bracket คูณก่อน แล้วบวกด้วยวงเล็บ
Write $\dfrac{4x^{2}-17x-15}{2x-1}\times\dfrac{2x^{2}-7x+3}{x^{2}-25}+(29-4x)$ as a single fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{4x^{2}-17x-15}{2x-1}\times\dfrac{2x^{2}-7x+3}{x^{2}-25}+(29-4x)$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Factorise $4x^{2}-17x-15$.
จงแยกตัวประกอบ $4x^{2}-17x-15$
Answershow ▾
Check the middle term: $(4x+3)(x-5)$ gives $-20x+3x=-17x$.ตรวจพจน์กลาง: $(4x+3)(x-5)$ ได้ $-20x+3x=-17x$
Factorise $2x^{2}-7x+3$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}-7x+3$
Answershow ▾
Check the middle term: $(2x-1)(x-3)$ gives $-6x-x=-7x$.ตรวจพจน์กลาง: $(2x-1)(x-3)$ ได้ $-6x-x=-7x$
Factorise $x^{2}-25$.
จงแยกตัวประกอบ $x^{2}-25$
Answershow ▾
Both terms are square numbers, so it splits into (difference)(sum).ทั้งสองพจน์เป็นจำนวนกำลังสอง จึงแยกเป็น (ผลต่าง)(ผลบวก)
$\dfrac{(4x+3)(x-5)}{2x-1}\times\dfrac{(2x-1)(x-3)}{(x-5)(x+5)}$. May $(2x-1)$ and $(x-5)$ cancel, even though each pair sits in a DIFFERENT fraction?
(A) no, a factor only cancels against something in the SAME fraction
(B) yes, multiplying merges all four parts into ONE fraction, so any top may cancel any bottom
(C) no, cancelling across fractions changes the value
$\dfrac{(4x+3)(x-5)}{2x-1}\times\dfrac{(2x-1)(x-3)}{(x-5)(x+5)}$ จะตัด $(2x-1)$ กับ $(x-5)$ ได้หรือไม่ ทั้งที่แต่ละคู่อยู่คนละเศษส่วน
(A) ไม่ได้ ตัวประกอบตัดได้เฉพาะในเศษส่วนเดียวกันเท่านั้น
(B) ได้ การคูณรวมทั้งสี่ส่วนเป็นเศษส่วนเดียว จึงตัดเศษของตัวหนึ่งกับส่วนของอีกตัวได้
(C) ไม่ได้ การตัดข้ามเศษส่วนทำให้ค่าเปลี่ยน
Answershow ▾
A product $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$ is already one fraction, so any top factor cancels any bottom factor. A SUM $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ has no single top until you find a common denominator, so this cancel is not allowed there.ผลคูณ $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$ รวมเป็นเศษส่วนเดียวอยู่แล้ว ตัวเศษตัวใดจึงตัดกับตัวส่วนตัวใดก็ได้ แต่ผลบวก $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ ยังไม่มีตัวเศษเดียวจนกว่าจะหาตัวส่วนร่วมก่อน จึงตัดแบบนี้ไม่ได้
$\dfrac{(4x+3)(x-5)}{2x-1}\times\dfrac{(2x-1)(x-3)}{(x-5)(x+5)}$. Cancel $(2x-1)$ and $(x-5)$ and write the product as one fraction.
$\dfrac{(4x+3)(x-5)}{2x-1}\times\dfrac{(2x-1)(x-3)}{(x-5)(x+5)}$ จงตัด $(2x-1)$ กับ $(x-5)$ แล้วเขียนผลคูณเป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
$(2x-1)$ cancels top-left with bottom-right, and $(x-5)$ cancels top-right with bottom-left.$(2x-1)$ ตัดกันระหว่างเศษซ้ายกับส่วนขวา และ $(x-5)$ ตัดกันระหว่างเศษขวากับส่วนซ้าย
Write $\dfrac{(4x+3)(x-3)}{x+5}+(29-4x)$ as a single fraction. Keep the bracket $(29-4x)$ visible in the numerator — do not expand it yet.
จงเขียน $\dfrac{(4x+3)(x-3)}{x+5}+(29-4x)$ เป็นเศษส่วนเดียว โดยยังไม่กระจายวงเล็บ $(29-4x)$
Answershow ▾
Multiply $(29-4x)$ by the denominator $x+5$ before you expand anything, so the whole top is correct.ต้องคูณ $(29-4x)$ ด้วยตัวส่วน $x+5$ ก่อนกระจายอะไร เศษทั้งก้อนจะถูกต้อง
Expand $(4x+3)(x-3)$ and $(29-4x)(x+5)$.
จงกระจาย $(4x+3)(x-3)$ และ $(29-4x)(x+5)$
Answershow ▾
The leading $4x^{2}$ terms have opposite signs, which is why they are about to cancel.พจน์ $4x^{2}$ นำหน้ามีเครื่องหมายตรงข้ามกัน จึงกำลังจะตัดกัน
Add the top of the fraction: $(4x^{2}-9x-9)+(-4x^{2}+9x+145)$.
จงบวกตัวเศษ: $(4x^{2}-9x-9)+(-4x^{2}+9x+145)$
Answershow ▾
The $x^{2}$ and $x$ terms cancel, leaving only the constants: $-9+145=136$.พจน์ $x^{2}$ และ $x$ ตัดกันหมด เหลือแค่พจน์คงที่: $-9+145=136$
Check $x=1$: does the original expression equal $\dfrac{136}{x+5}$?
จงตรวจเมื่อ $x=1$: นิพจน์เดิมเท่ากับ $\dfrac{136}{x+5}$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct simplification gives the same number both ways, for any $x$ that does not make a denominator zero.การลดรูปที่ถูกต้องให้ค่าเท่ากันทั้งสองทาง สำหรับ $x$ ใดที่ไม่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
Write $\dfrac{x^{2}-x-2}{x+3}\times\dfrac{x^{2}-x-12}{x^{2}+3x-10}+(8-x)$ as a single fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{x^{2}-x-2}{x+3}\times\dfrac{x^{2}-x-12}{x^{2}+3x-10}+(8-x)$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same four moves: factorise, cancel across the product, combine under one denominator, then add.ขั้นตอนเดียวกันสี่ขั้น: แยกตัวประกอบ ตัดข้ามเศษส่วน รวมตัวส่วนเดียว แล้วบวก
Write $\dfrac{4x^{2}-17x-15}{2x-1}\times\dfrac{2x^{2}-7x+3}{x^{2}-25}+(29-4x)$ as a single fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{4x^{2}-17x-15}{2x-1}\times\dfrac{2x^{2}-7x+3}{x^{2}-25}+(29-4x)$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
4 marks, three of them for method. Factorise all four expressions, cancel across the product, then keep $(29-4x)$ visible before you expand.4 คะแนน สามคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จงแยกตัวประกอบทั้งสี่นิพจน์ ตัดข้ามเศษส่วน แล้วเก็บ $(29-4x)$ ไว้ก่อนกระจาย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$4x^{2}-17x-15=(4x+3)(x-5)$
$2x^{2}-7x+3=(2x-1)(x-3)$
$x^{2}-25=(x-5)(x+5)$
M1 cancel common factorsตัดตัวประกอบร่วม
$\text{cancel } (2x-1) \text{ and } (x-5)$
$\text{product} = \dfrac{(4x+3)(x-3)}{x+5}$
M1 one fraction, bracket includedรวมกับวงเล็บด้วยตัวส่วนเดียว
$\dfrac{(4x+3)(x-3)+(29-4x)(x+5)}{x+5}$
A1 expand and simplify the topกระจายและย่อเศษ
$(4x+3)(x-3) = 4x^{2}-9x-9$
$(29-4x)(x+5) = -4x^{2}+9x+145$
$\text{top} = -9+145$
$= 136$
Fraction equation, then change the subject แก้สมการเศษส่วน แล้วเปลี่ยนตัวแปรตาม
(a) Solve $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$. Show clear algebraic working.
(b) Make $c$ the subject of the formula $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$
(ก) จงแก้สมการ $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$ แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
(ข) จงทำให้ $c$ เป็นตัวแปรตามของสูตร $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$
Find the lowest common denominator of $5$ and $4$.
จงหา ค.ร.น. ของ $5$ และ $4$
Answershow ▾
The LCD is the smallest number that both $5$ and $4$ divide into exactly.ค.ร.น. คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทั้ง $5$ และ $4$ หารได้พอดี
Expand $-5(3a-7)$.
จงกระจาย $-5(3a-7)$
Answershow ▾
The $-5$ multiplies every term in the bracket, including the $-7$.$-5$ คูณทุกพจน์ในวงเล็บ รวมถึง $-7$ ด้วย
Factorise $pc-ac$.
จงแยกตัวประกอบ $pc-ac$
Answershow ▾
$c$ is in both terms, so $c$ comes out of the bracket.$c$ อยู่ในทั้งสองพจน์ จึงดึง $c$ ออกจากวงเล็บ
To solve $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$, every term must be multiplied by one number to clear both fractions at once. Which number?
(A) $5$
(B) $4$
(C) $20$
จะแก้สมการ $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$ ต้องนำทุกพจน์ไปคูณด้วยจำนวนเดียวเพื่อกำจัดเศษส่วนทั้งสองตัวพร้อมกัน จำนวนนั้นคือเท่าไร
(A) $5$
(B) $4$
(C) $20$
Answershow ▾
(A) multiplying by $5$ only clears the first fraction; the second still has a denominator. (B) multiplying by $4$ only clears the second fraction; the first still has a denominator. Only the LCD clears both at the same time.(A) คูณด้วย $5$ กำจัดได้แค่เศษส่วนตัวแรก ตัวที่สองยังมีตัวส่วนอยู่ · (B) คูณด้วย $4$ กำจัดได้แค่เศษส่วนตัวที่สอง ตัวแรกยังมีตัวส่วนอยู่ · มีแต่ ค.ร.น. เท่านั้นที่กำจัดได้ทั้งสองตัวพร้อมกัน
Multiply every term of $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$ by $20$. Write the new equation.
นำทุกพจน์ของ $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$ ไปคูณด้วย $20$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
$20$ is the number from the last question — it turns each fraction into a whole bracket.$20$ คือจำนวนจากข้อที่แล้ว ซึ่งเปลี่ยนเศษส่วนแต่ละตัวให้เป็นวงเล็บเต็ม
Expand $4(9a-7)-5(3a-7)=91$ and collect like terms.
จงกระจาย $4(9a-7)-5(3a-7)=91$ แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
Answershow ▾
Use the bracket from question $2$ for the second term.ใช้ผลการกระจายวงเล็บจากข้อ $2$ สำหรับพจน์ที่สอง
Solve $21a+7=91$.
จงแก้สมการ $21a+7=91$
Answershow ▾
Undo $+7$ first, then undo $\times21$.ย้าย $+7$ ออกก่อน แล้วจึงหารด้วย $21$
Make $c$ the subject of $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$. Multiply both sides by $(3+c)$ and expand the bracket. Write the result.
จงทำให้ $c$ เป็นตัวแปรตามของ $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$ โดยคูณทั้งสองข้างด้วย $(3+c)$ แล้วกระจายวงเล็บ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Multiplying by $(3+c)$ removes the denominator completely.การคูณด้วย $(3+c)$ ทำให้ตัวส่วนหายไปทั้งหมด
You have $3p+pc=ac+8$. $c$ is a letter inside two different terms. Which move puts both $c$-terms on the same side?
(A) divide every term by $c$
(B) move $ac$ to the left and $3p$ to the right: $pc-ac=8-3p$
(C) move only $3p$ to the right: $pc=ac+8-3p$
มี $3p+pc=ac+8$ ตัวแปร $c$ อยู่ในสองพจน์ที่ต่างกัน ข้อใดทำให้พจน์ที่มี $c$ มาอยู่ด้านเดียวกัน
(A) หารทุกพจน์ด้วย $c$
(B) ย้าย $ac$ ไปซ้ายและย้าย $3p$ ไปขวา: $pc-ac=8-3p$
(C) ย้ายแค่ $3p$ ไปขวา: $pc=ac+8-3p$
Answershow ▾
(A) dividing by $c$ while $c$ sits inside two separate terms does not gather them — it only makes $c$ appear in a denominator somewhere else. (C) moves $3p$ but leaves $pc$ on the left and $ac$ on the right, so the two $c$-terms are still on different sides and cannot be factorised together.(A) หารด้วย $c$ ทั้งที่ $c$ อยู่ในสองพจน์แยกกัน ไม่ได้ทำให้มันมารวมกัน แต่กลับทำให้ $c$ ไปอยู่ในตัวส่วนที่อื่นแทน · (C) ย้าย $3p$ แต่ $pc$ ยังอยู่ซ้ายและ $ac$ ยังอยู่ขวา พจน์ที่มี $c$ จึงยังอยู่คนละด้าน แยกตัวประกอบรวมกันไม่ได้
Factorise $pc-ac=8-3p$ to make $c$ the subject. Then check your formula works when $p=5$ and $a=1$.
จงแยกตัวประกอบ $pc-ac=8-3p$ เพื่อทำให้ $c$ เป็นตัวแปรตาม แล้วตรวจสูตรของคุณเมื่อ $p=5$ และ $a=1$
Answershow ▾
Putting the formula back into $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$ must give back the same $p$.เมื่อแทนสูตรกลับเข้า $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$ ต้องได้ $p$ ตัวเดิม
(a) Solve $\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{3}=1$.
(b) Make $y$ the subject of $k=\dfrac{xy+4}{2+y}$.
(ก) จงแก้สมการ $\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{x-1}{3}=1$
(ข) จงทำให้ $y$ เป็นตัวแปรตามของ $k=\dfrac{xy+4}{2+y}$
Answershow ▾
Same two skills, kinder numbers: clear the fractions and solve, then collect and factorise.สองทักษะเดิม ตัวเลขง่ายลง: กำจัดเศษส่วนแล้วแก้สมการ จากนั้นรวมพจน์แล้วแยกตัวประกอบ
(a) Solve $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$. Show clear algebraic working.
(b) Make $c$ the subject of the formula $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$
(ก) จงแก้สมการ $\dfrac{9a-7}{5}-\dfrac{3a-7}{4}=4.55$ แสดงวิธีทำด้วยพีชคณิตให้ชัดเจน
(ข) จงทำให้ $c$ เป็นตัวแปรตามของสูตร $p=\dfrac{ac+8}{3+c}$
Answershow ▾
7 marks across two unrelated parts: a fraction equation, then a change of subject with the letter on both sides.7 คะแนน สองส่วนที่ไม่เกี่ยวกัน: สมการเศษส่วน แล้วเปลี่ยนตัวแปรตามที่มีตัวแปรนั้นอยู่สองด้าน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$4(9a-7)-5(3a-7) = 91$
M1 expand and collectกระจายและรวมพจน์
$36a-28-15a+35 = 91$
$21a+7=91$
A1 solve for $a$แก้หา $a$
$21a=84$
$a=4$
M1 multiply both sides by $(3+c)$คูณทั้งสองข้างด้วย $(3+c)$
$p(3+c) = ac+8$
M1 expand the bracketกระจายวงเล็บ
$3p+pc = ac+8$
M1 collect $c$ terms on one sideรวมพจน์ที่มี $c$ ไว้ด้านเดียว
$pc-ac = 8-3p$
A1 factorise and divideแยกตัวประกอบแล้วหาร
$c(p-a) = 8-3p$
$c = \dfrac{8-3p}{p-a}$
Exclude, evaluate, then invert ตัดโดเมน หาค่า แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as
$f:x\to5x-7$
$g:x\to\dfrac{5x}{x+4}$
Write down the value of $x$ that must be excluded from any domain of $g$
(b) Find $gf(2.6)$
(c) Solve $fg(x)=2$
(d) Express the inverse function $g^{-1}$ in the form $g^{-1}:x\to\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f:x\to5x-7$
$g:x\to\dfrac{5x}{x+4}$
จงเขียนค่าของ $x$ ที่ต้องตัดออกจากโดเมนของ $g$
(ข) จงหา $gf(2.6)$
(ค) จงแก้สมการ $fg(x)=2$
(ง) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $g^{-1}$ ในรูป $g^{-1}:x\to\ldots$
$h(x)=\dfrac{3}{x-5}$. Which value of $x$ must be excluded from the domain of $h$?
$h(x)=\dfrac{3}{x-5}$ · ค่า $x$ ใดต้องตัดออกจากโดเมนของ $h$?
Answershow ▾
The bottom of a fraction can never be $0$, so set it equal to $0$ and solve.ตัวส่วนของเศษส่วนเป็น $0$ ไม่ได้ จึงตั้งตัวส่วนเท่ากับ $0$ แล้วแก้สมการ
$f(x)=5x-7$. Find $f(2.6)$.
$f(x)=5x-7$ · จงหา $f(2.6)$
Answershow ▾
Substitute $x=2.6$, then work out the arithmetic.แทน $x=2.6$ แล้วคำนวณ
Solve $\dfrac{25x}{x+4}=9$.
จงแก้สมการ $\dfrac{25x}{x+4}=9$
Answershow ▾
Multiply both sides by $x+4$ first, so the fraction disappears.คูณทั้งสองข้างด้วย $x+4$ ก่อน เศษส่วนจะหายไป
$g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$. Which value of $x$ must be excluded from the domain of $g$?
(A) $x=4$
(B) $x=0$
(C) $x=-4$
$g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$ · ค่า $x$ ใดต้องตัดออกจากโดเมนของ $g$?
(A) $x=4$
(B) $x=0$
(C) $x=-4$
Answershow ▾
$x=4$ comes from solving $x+4=0$ with a sign slip; $x=0$ wrongly treats a zero numerator as the problem, but $g(0)=0$ is a valid output. Only a zero denominator is banned.$x=4$ มาจากแก้ $x+4=0$ แล้วพลาดเครื่องหมาย · $x=0$ เข้าใจผิดว่าตัวเศษเป็น $0$ มีปัญหา แต่ $g(0)=0$ เป็นค่าที่ใช้ได้จริง · มีแค่ตัวส่วนเป็น $0$ เท่านั้นที่ห้าม
$g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$. Using $f(2.6)=6$ from above, find $gf(2.6)=g(6)$.
$g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$ · ใช้ $f(2.6)=6$ จากข้อก่อนหน้า จงหา $gf(2.6)=g(6)$
Answershow ▾
$gf$ means $f$ acts first, so the output of $f$ becomes the input of $g$.$gf$ หมายความว่า $f$ ทำก่อน ผลลัพธ์ของ $f$ จึงเป็นค่าที่ใส่เข้า $g$
$f(x)=5x-7$ and $g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$. Write $fg(x)$ as a single expression.
$f(x)=5x-7$ และ $g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$ · จงเขียน $fg(x)$ เป็นนิพจน์เดียว
Answershow ▾
$fg$ means $g$ acts first, so substitute the whole of $g(x)$ in place of $x$ in $f$.$fg$ หมายความว่า $g$ ทำก่อน จึงแทน $g(x)$ ทั้งหมดลงในตำแหน่ง $x$ ของ $f$
Using $fg(x)=\dfrac{25x}{x+4}-7$, solve $fg(x)=2$.
ใช้ $fg(x)=\dfrac{25x}{x+4}-7$ จงแก้สมการ $fg(x)=2$
Answershow ▾
Move the $-7$ across first, then clear the fraction the same way as above.ย้าย $-7$ ก่อน แล้วกำจัดเศษส่วนแบบเดียวกับข้างบน
$g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$. Express $g^{-1}$ in the form $g^{-1}(x)=\ldots$
$g(x)=\dfrac{5x}{x+4}$ · จงเขียน $g^{-1}$ ในรูป $g^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Cross multiply first, then collect every $x$-term onto one side before factorising.คูณไขว้ก่อน แล้วรวมพจน์ $x$ ทั้งหมดไว้ข้างเดียวก่อนแยกตัวประกอบ
Check $g^{-1}(x)=\dfrac{4x}{5-x}$ using $g(6)=3$ from above. Does $g^{-1}(3)$ give back $6$?
จงตรวจ $g^{-1}(x)=\dfrac{4x}{5-x}$ โดยใช้ $g(6)=3$ จากข้างบน · $g^{-1}(3)$ ได้ $6$ กลับมาหรือไม่
Answershow ▾
A correct inverse always returns the number you started with.ฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้องจะให้ค่าเดิมที่เริ่มต้นกลับมาเสมอ
$f(x)=3x-1$ and $g(x)=\dfrac{6x}{x+2}$.
(a) State the value of $x$ excluded from the domain of $g$.
(b) Find $gf(1)$.
(c) Solve $fg(x)=11$.
(d) Express $g^{-1}$ in the form $g^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=3x-1$ และ $g(x)=\dfrac{6x}{x+2}$
(ก) จงบอกค่า $x$ ที่ตัดออกจากโดเมนของ $g$
(ข) จงหา $gf(1)$
(ค) จงแก้สมการ $fg(x)=11$
(ง) จงเขียน $g^{-1}$ ในรูป $g^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
The same four moves: exclude the zero denominator, evaluate in order, clear the fraction to solve, then cross multiply to invert.สี่ขั้นเดิม: ตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ หาค่าตามลำดับ กำจัดเศษส่วนเพื่อแก้สมการ แล้วคูณไขว้เพื่อหาฟังก์ชันผกผัน
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as
$f:x\to5x-7$
$g:x\to\dfrac{5x}{x+4}$
Write down the value of $x$ that must be excluded from any domain of $g$
(b) Find $gf(2.6)$
(c) Solve $fg(x)=2$
(d) Express the inverse function $g^{-1}$ in the form $g^{-1}:x\to\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f:x\to5x-7$
$g:x\to\dfrac{5x}{x+4}$
จงเขียนค่าของ $x$ ที่ต้องตัดออกจากโดเมนของ $g$
(ข) จงหา $gf(2.6)$
(ค) จงแก้สมการ $fg(x)=2$
(ง) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $g^{-1}$ ในรูป $g^{-1}:x\to\ldots$
Answershow ▾
9 marks across four parts: 1 for the excluded value, 2 for $gf$, 3 for solving $fg(x)=2$, and 3 for the inverse.9 คะแนนจากสี่ข้อ: 1 คะแนนสำหรับค่าที่ตัดออก 2 คะแนนสำหรับ $gf$ 3 คะแนนสำหรับการแก้ $fg(x)=2$ และ 3 คะแนนสำหรับฟังก์ชันผกผัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x+4=0$
$x=-4$
M1 evaluate f(2.6) firstหาค่า f(2.6) ก่อน
$f(2.6)=5(2.6)-7$
$=6$
A1 then evaluate gแล้วหาค่า g
$g(6)=\dfrac{5(6)}{6+4}$
$=3$
M1 form fg(x)ตั้งสมการ fg(x)
$fg(x)=5\left(\dfrac{5x}{x+4}\right)-7$
M1 clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$\dfrac{25x}{x+4}=9$
$25x=9x+36$
A1 solve for xแก้หาค่า x
$16x=36$
$x=\dfrac94$
M1 cross multiply for inverseคูณไขว้เพื่อหาผกผัน
$y(x+4)=5x$
M1 collect x termsรวมพจน์ x
$4y=5x-xy$
$=x(5-y)$
A1 factor and divideแยกตัวประกอบแล้วหาร
$x=\dfrac{4y}{5-y}$
$g^{-1}(x)=\dfrac{4x}{5-x}$
Evaluate, then state a range หาค่า แล้วบอกเรนจ์
(a) The function $f$ is such that $f(x)=(x-4)^{2}$ for all values of $x$.
Find $f(1)$
(b) State the range of the function $f$.
(c) The function $g$ is such that $g(x)=\dfrac{4}{x+3}$, $x\neq-3$
Work out $fg(2)$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=(x-4)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$
จงหา $f(1)$
(ข) จงบอกเรนจ์ของฟังก์ชัน $f$
(ค) กำหนดฟังก์ชัน $g$ โดยที่ $g(x)=\dfrac{4}{x+3}$ เมื่อ $x\neq-3$
จงหา $fg(2)$
$p(x)=(x-3)^{2}$ for all values of $x$. Find $p(5)$.
$p(x)=(x-3)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$ จงหา $p(5)$
Answershow ▾
Substitute the number for $x$, then square the value inside the bracket.แทนค่าตัวเลขลงใน $x$ แล้วยกกำลังสองค่าในวงเล็บ
$q(x)=(x+1)^{2}$ for all values of $x$. What is the smallest possible value of $q(x)$?
$q(x)=(x+1)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $q(x)$ คือเท่าใด
Answershow ▾
A square is never negative, so its smallest possible value is $0$.ค่ากำลังสองไม่ติดลบ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้จึงเป็น $0$
$k(x)=\dfrac{6}{x+1}$, $x\neq-1$. Find $k(2)$.
$k(x)=\dfrac{6}{x+1}$ เมื่อ $x\neq-1$ จงหา $k(2)$
Answershow ▾
Work out the bracket first, then divide.คำนวณในวงเล็บก่อน แล้วจึงหาร
$f(x)=(x-4)^{2}$ for all values of $x$. Which pair correctly states its domain and range?
(A) domain: $x$ is any real number; range: $f(x)\geqslant0$
(B) domain: $x\geqslant4$; range: $f(x)\geqslant0$
(C) domain: $x$ is any real number; range: $f(x)=0$
$f(x)=(x-4)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$ ข้อใดระบุโดเมนและเรนจ์ได้ถูกต้อง
(A) โดเมน: $x$ เป็นจำนวนจริงใดก็ได้ เรนจ์: $f(x)\geqslant0$
(B) โดเมน: $x\geqslant4$ เรนจ์: $f(x)\geqslant0$
(C) โดเมน: $x$ เป็นจำนวนจริงใดก็ได้ เรนจ์: $f(x)=0$
Answershow ▾
The domain is every input the question allows - here, every real $x$. (B) restricts the domain to where the bracket is zero, confusing domain with the vertex. (C) treats the range as one output, the minimum, instead of every output the function reaches.โดเมนคือทุกค่าที่โจทย์ยอมรับให้แทนลงไปได้ ในที่นี้คือ $x$ จำนวนจริงทุกตัว · (B) จำกัดโดเมนไว้แค่จุดที่วงเล็บเป็นศูนย์ ทำให้สับสนโดเมนกับจุดยอด · (C) ถือว่าเรนจ์มีค่าเดียวคือค่าต่ำสุด ทั้งที่จริงคือทุกค่าที่ฟังก์ชันไปถึงได้
$f(x)=(x-4)^{2}$ for all values of $x$. Find $f(1)$.
$f(x)=(x-4)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$ จงหา $f(1)$
Answershow ▾
Same move as question 1: substitute, then square.ท่าเดิมจากข้อ 1: แทนค่า แล้วยกกำลังสอง
State the range of $f(x)=(x-4)^{2}$. Give a reason.
จงบอกเรนจ์ของ $f(x)=(x-4)^{2}$ พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
$(x-4)^{2}$ is a square, so it can never be negative - the range is every value from $0$ upward.$(x-4)^{2}$ เป็นค่ากำลังสอง จึงไม่ติดลบ เรนจ์คือทุกค่าตั้งแต่ $0$ ขึ้นไป
$g(x)=\dfrac{4}{x+3}$, $x\neq-3$. Find $g(2)$.
$g(x)=\dfrac{4}{x+3}$ เมื่อ $x\neq-3$ จงหา $g(2)$
Answershow ▾
Work out the bracket first, then divide - same move as question 3.คำนวณในวงเล็บก่อน แล้วจึงหาร ท่าเดิมจากข้อ 3
Using $g(2)=\dfrac45$, find $fg(2)$ by substituting into $f$.
ใช้ $g(2)=\dfrac45$ หา $fg(2)$ โดยแทนลงใน $f$
Answershow ▾
$fg(2)$ means evaluate $g$ first, then feed that answer into $f$.$fg(2)$ หมายความว่าให้หาค่า $g$ ก่อน แล้วนำคำตอบนั้นไปแทนใน $f$
$fg(2)=\dfrac{256}{25}$. Does this agree with the range you found in question 5?
$fg(2)=\dfrac{256}{25}$ ค่านี้สอดคล้องกับเรนจ์ที่หาได้ในข้อ 5 หรือไม่
Answershow ▾
Every output of $f$ must satisfy its own range, including an output reached through a composite.ผลลัพธ์ทุกค่าของ $f$ ต้องอยู่ในเรนจ์ของตัวมันเอง แม้จะมาจากฟังก์ชันประกอบก็ตาม
$f(x)=(x-2)^{2}$ for all values of $x$.
(a) Find $f(0)$.
(b) State the range of $f$.
(c) $g(x)=\dfrac{3}{x+1}$, $x\neq-1$. Work out $fg(1)$.
$f(x)=(x-2)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$
(ก) จงหา $f(0)$
(ข) จงบอกเรนจ์ของ $f$
(ค) $g(x)=\dfrac{3}{x+1}$ เมื่อ $x\neq-1$ จงหา $fg(1)$
Answershow ▾
Same three moves: substitute, give the reason for the range, then evaluate the inner function first.สามท่าเดิม: แทนค่า ให้เหตุผลของเรนจ์ แล้วหาค่าฟังก์ชันด้านในก่อน
(a) The function $f$ is such that $f(x)=(x-4)^{2}$ for all values of $x$.
Find $f(1)$
(b) State the range of the function $f$.
(c) The function $g$ is such that $g(x)=\dfrac{4}{x+3}$, $x\neq-3$
Work out $fg(2)$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=(x-4)^{2}$ สำหรับทุกค่าของ $x$
จงหา $f(1)$
(ข) จงบอกเรนจ์ของฟังก์ชัน $f$
(ค) กำหนดฟังก์ชัน $g$ โดยที่ $g(x)=\dfrac{4}{x+3}$ เมื่อ $x\neq-3$
จงหา $fg(2)$
Answershow ▾
4 marks across three parts. The range needs a reason, not just a symbol.4 คะแนน กระจายอยู่ 3 ส่วน การบอกเรนจ์ต้องมีเหตุผล ไม่ใช่แค่สัญลักษณ์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$f(1)=(1-4)^{2}$
$=9$
B1 range is never negativeเรนจ์ไม่ติดลบ
$f(x)\geqslant0$
M1 evaluate g(2) firstหาค่า g(2) ก่อน
$g(2)=\dfrac{4}{2+3}$
$=\dfrac45$
A1 then evaluate fแล้วหาค่า f
$f\left(\dfrac45\right)=\left(\dfrac45-4\right)^{2}$
$=\dfrac{256}{25}$
Complete the square, then invert เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
The function $f$ is such that $f(x)=x^{2}-8x+5$ where $x\geqslant4$
Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=x^{2}-8x+5$ สำหรับ $x\geqslant4$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Expand $(x-4)^{2}$.
จงกระจาย $(x-4)^{2}$
Answershow ▾
The middle term comes twice, so double the product.พจน์กลางมาสองครั้ง จึงคูณแล้วบวกสองเท่า
Write $x^{2}-8x+5$ in the form $(x-4)^{2}+c$.
จงเขียน $x^{2}-8x+5$ ในรูป $(x-4)^{2}+c$
Answershow ▾
Use question 1: $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$, so take away $11$ to get back to $+5$.ใช้ข้อ 1: $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$ จึงลบ $11$ เพื่อกลับไปเป็น $+5$
Square root both sides of $(x-4)^{2}=y+11$.
จงถอดรากที่สองทั้งสองข้างของ $(x-4)^{2}=y+11$
Answershow ▾
A square root undoes a square two ways, $+$ and $-$.การถอดรากที่สองย้อนกำลังสองได้สองทาง คือ $+$ และ $-$
$x-4=\pm\sqrt{y+11}$, and $f$ has domain $x\geqslant4$. Test $x=6$: $f(6)=-7$, so $y=-7$ and $\sqrt{y+11}=\sqrt{4}=2$. Which sign of $x-4=\pm2$ matches $x=6$?
(A) $+$, since $x-4=2$
(B) $-$, since $x-4=-2$
(C) either sign gives a valid $x$
$x-4=\pm\sqrt{y+11}$ และ $f$ มีโดเมน $x\geqslant4$ ลองทดสอบ $x=6$: $f(6)=-7$ ดังนั้น $y=-7$ และ $\sqrt{y+11}=\sqrt{4}=2$ เครื่องหมายใดของ $x-4=\pm2$ ตรงกับ $x=6$
(A) $+$ เพราะ $x-4=2$
(B) $-$ เพราะ $x-4=-2$
(C) ได้ทั้งสองเครื่องหมาย
Answershow ▾
Testing one domain value shows $x-4$ is positive, and the domain fixes the sign for every $y$, not just this one.การทดสอบค่าหนึ่งในโดเมนแสดงว่า $x-4$ เป็นบวก และโดเมนกำหนดเครื่องหมายไว้สำหรับทุกค่า $y$ ไม่ใช่เฉพาะค่านี้
Let $y=f(x)=x^{2}-8x+5$. Write $y$ in the form $(x-4)^{2}+c$.
ให้ $y=f(x)=x^{2}-8x+5$ จงเขียน $y$ ในรูป $(x-4)^{2}+c$
Answershow ▾
The same completing-the-square move as question 2, now written with $y$.ขั้นเติมกำลังสองสมบูรณ์เดียวกับข้อ 2 เพียงแต่เขียนด้วย $y$
Make $(x-4)^{2}$ the subject of $y=(x-4)^{2}-11$.
จงทำให้ $(x-4)^{2}$ เป็นตัวแปรหลักจาก $y=(x-4)^{2}-11$
Answershow ▾
Add $11$ to both sides to move it away from the bracket.บวก $11$ ทั้งสองข้างเพื่อย้ายออกจากวงเล็บ
Square root both sides of $(x-4)^{2}=y+11$ and keep the branch that matches $x\geqslant4$.
จงถอดรากที่สองทั้งสองข้างของ $(x-4)^{2}=y+11$ แล้วเลือกกิ่งที่ตรงกับ $x\geqslant4$
Answershow ▾
Question 3 gave both signs; the domain keeps only the $+$.ข้อ 3 ให้ทั้งสองเครื่องหมาย แต่โดเมนเลือกเหลือเพียง $+$
Using $x=4+\sqrt{y+11}$, write $f^{-1}(x)$ (rename $y$ to $x$).
จาก $x=4+\sqrt{y+11}$ จงเขียน $f^{-1}(x)$ (เปลี่ยนชื่อ $y$ เป็น $x$)
Answershow ▾
The inverse's own input is called $x$.ตัวแปรต้นของฟังก์ชันผกผันเรียกว่า $x$
Check $f^{-1}(x)=4+\sqrt{x+11}$ by working out $f(6)$, then $f^{-1}$ of that answer. Do you get back to $6$?
จงตรวจ $f^{-1}(x)=4+\sqrt{x+11}$ โดยหา $f(6)$ แล้วหา $f^{-1}$ ของคำตอบนั้น ได้กลับมาเป็น $6$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct inverse always returns the number you started with.ฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้องจะให้ค่าเดิมที่เริ่มต้นกลับมาเสมอ
$f(x)=x^{2}-6x+2$ for $x\geqslant3$. Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=x^{2}-6x+2$ สำหรับ $x\geqslant3$ จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Same three moves as the real question: complete the square, isolate it, then root the positive branch.สามขั้นเดียวกับข้อจริง: เติมกำลังสองสมบูรณ์ ทำให้เป็นตัวแปรหลัก แล้วถอดรากกิ่งบวก
The function $f$ is such that $f(x)=x^{2}-8x+5$ where $x\geqslant4$
Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=x^{2}-8x+5$ สำหรับ $x\geqslant4$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
3 marks: complete the square, root the positive branch, then write the inverse.3 คะแนน: เติมกำลังสองสมบูรณ์ ถอดรากกิ่งบวก แล้วเขียนฟังก์ชันผกผัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y=(x-4)^{2}-16+5$
$=(x-4)^{2}-11$
M1 square root, positive branchถอดราก เลือกกิ่งบวก
$x-4=\sqrt{y+11}$
A1 write the inverseเขียนฟังก์ชันผกผัน
$f^{-1}(x)=4+\sqrt{x+11}$
Factor out the coefficient, then invert ดึงตัวประกอบนำหน้า แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
The function $f$ is such that $f(x)=3x^{2}-12x+7$ where $x\geqslant2$
Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=3x^{2}-12x+7$ สำหรับ $x\geqslant2$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Factorise $3x^{2}-12x$ by taking out $3$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}-12x$ โดยดึง $3$ ออกมา
Answershow ▾
Divide both terms by $3$ inside the bracket.หารทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย $3$
Complete the square: write $x^{2}-4x$ in the form $(x-2)^{2}+c$.
จงเติมกำลังสองสมบูรณ์: เขียน $x^{2}-4x$ ในรูป $(x-2)^{2}+c$
Answershow ▾
Half of $4$ is $2$, and $(x-2)^{2}$ expands to $x^{2}-4x+4$.ครึ่งของ $4$ คือ $2$ และ $(x-2)^{2}$ กระจายได้ $x^{2}-4x+4$
Simplify $3\big[(x-2)^{2}-4\big]+7$ to the form $3(x-2)^{2}+c$.
จงจัดรูป $3\big[(x-2)^{2}-4\big]+7$ ให้อยู่ในรูป $3(x-2)^{2}+c$
Answershow ▾
Multiply the $3$ onto the $-4$ first: $3\times(-4)=-12$, then combine with $+7$.คูณ $3$ เข้ากับ $-4$ ก่อน: $3\times(-4)=-12$ แล้วรวมกับ $+7$
To write $3x^{2}-12x+7$ as $3(x-2)^{2}+c$, what is the first move?
(A) factor $3$ out of $3x^{2}-12x$ only: $3(x^{2}-4x)+7$
(B) factor $3$ out of $3x^{2}-12x$ as $3(x^{2}-12x)+7$
(C) complete the square directly: $3x^{2}-12x+7=3(x-6)^{2}+c$
ในการเขียน $3x^{2}-12x+7$ เป็น $3(x-2)^{2}+c$ ขั้นแรกต้องทำอย่างไร
(A) ดึง $3$ ออกจาก $3x^{2}-12x$ เท่านั้น: $3(x^{2}-4x)+7$
(B) ดึง $3$ ออกจาก $3x^{2}-12x$ เป็น $3(x^{2}-12x)+7$
(C) เติมกำลังสองสมบูรณ์โดยตรง: $3x^{2}-12x+7=3(x-6)^{2}+c$
Answershow ▾
(B) only divided the $x^{2}$ term by $3$, not the $-12x$ term; (C) assumes a leading coefficient of $1$, but $(x-6)^{2}$ expands with coefficient $1$, not $3$.(B) หารด้วย $3$ เฉพาะพจน์ $x^{2}$ ไม่ได้หารพจน์ $-12x$ ด้วย · (C) สมมติว่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น $1$ แต่ $(x-6)^{2}$ กระจายได้สัมประสิทธิ์ $1$ ไม่ใช่ $3$
Let $y=f(x)=3x^{2}-12x+7$. Write $y$ in the form $3(x-2)^{2}+c$.
ให้ $y=f(x)=3x^{2}-12x+7$ จงเขียน $y$ ในรูป $3(x-2)^{2}+c$
Answershow ▾
The same factor-then-complete-the-square moves as questions 1 to 3, now with $y$.ขั้นดึงตัวประกอบแล้วเติมกำลังสองสมบูรณ์เดียวกับข้อ 1 ถึง 3 เพียงแต่เขียนด้วย $y$
Make $(x-2)^{2}$ the subject of $y=3(x-2)^{2}-5$.
จงทำให้ $(x-2)^{2}$ เป็นตัวแปรหลักจาก $y=3(x-2)^{2}-5$
Answershow ▾
Add $5$, then divide by $3$ — the $3$ came from the factorising, so it leaves last.บวก $5$ แล้วหารด้วย $3$ เพราะ $3$ เป็นตัวที่ดึงออกมาก่อน จึงย้ายออกเป็นลำดับสุดท้าย
Square root both sides of $(x-2)^{2}=\dfrac{y+5}{3}$ and keep the branch that matches $x\geqslant2$.
จงถอดรากที่สองทั้งสองข้างของ $(x-2)^{2}=\dfrac{y+5}{3}$ แล้วเลือกกิ่งที่ตรงกับ $x\geqslant2$
Answershow ▾
The domain keeps only the $+$ sign, the same rule as a simpler quadratic.โดเมนเก็บไว้เฉพาะเครื่องหมาย $+$ กฎเดียวกันกับกำลังสองที่ง่ายกว่า
$x-2=\pm\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$, and $f$ has domain $x\geqslant2$. Test $x=4$: $f(4)=7$, so $\sqrt{\dfrac{7+5}{3}}=2$. Which sign matches $x=4$?
(A) $+$, since $x-2=2$
(B) $-$, since $x-2=-2$
$x-2=\pm\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$ และ $f$ มีโดเมน $x\geqslant2$ ลองทดสอบ $x=4$: $f(4)=7$ ดังนั้น $\sqrt{\dfrac{7+5}{3}}=2$ เครื่องหมายใดตรงกับ $x=4$
(A) $+$ เพราะ $x-2=2$
(B) $-$ เพราะ $x-2=-2$
Answershow ▾
Same branch rule as a simpler quadratic: the domain fixes $x-2$ positive, so the $+$ sign is kept for every $y$.กฎกิ่งเดียวกันกับกำลังสองที่ง่ายกว่า: โดเมนกำหนดให้ $x-2$ เป็นบวก จึงเก็บเครื่องหมาย $+$ ไว้สำหรับทุกค่า $y$
Using $x=2+\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$, write $f^{-1}(x)$ (rename $y$ to $x$).
จาก $x=2+\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$ จงเขียน $f^{-1}(x)$ (เปลี่ยนชื่อ $y$ เป็น $x$)
Answershow ▾
The inverse's own input is called $x$.ตัวแปรต้นของฟังก์ชันผกผันเรียกว่า $x$
Check $f^{-1}(x)=2+\sqrt{\dfrac{x+5}{3}}$ by working out $f(4)$, then $f^{-1}$ of that answer. Do you get back to $4$?
จงตรวจ $f^{-1}(x)=2+\sqrt{\dfrac{x+5}{3}}$ โดยหา $f(4)$ แล้วหา $f^{-1}$ ของคำตอบนั้น ได้กลับมาเป็น $4$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct inverse always returns the number you started with.ฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้องจะให้ค่าเดิมที่เริ่มต้นกลับมาเสมอ
$f(x)=2x^{2}-8x+3$ for $x\geqslant2$. Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=2x^{2}-8x+3$ สำหรับ $x\geqslant2$ จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Same four moves as the real question: factor out the $2$, complete the square, isolate it, then root the positive branch.สี่ขั้นเดียวกับข้อจริง: ดึง $2$ ออก เติมกำลังสองสมบูรณ์ ทำให้เป็นตัวแปรหลัก แล้วถอดรากกิ่งบวก
The function $f$ is such that $f(x)=3x^{2}-12x+7$ where $x\geqslant2$
Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=3x^{2}-12x+7$ สำหรับ $x\geqslant2$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
4 marks: factor out the $3$, complete the square, root the positive branch, then write the inverse.4 คะแนน: ดึง $3$ ออก เติมกำลังสองสมบูรณ์ ถอดรากกิ่งบวก แล้วเขียนฟังก์ชันผกผัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$3x^{2}-12x+7=3(x-2)^{2}-12+7$
A1 completed square formรูปกำลังสองสมบูรณ์
$=3(x-2)^{2}-5$
M1 square root, positive branchถอดราก เลือกกิ่งบวก
$x-2=\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$
A1 write the inverseเขียนฟังก์ชันผกผัน
$f^{-1}(x)=2+\sqrt{\dfrac{x+5}{3}}$
Form a composite, then invert รวมฟังก์ชัน แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
The functions $f$ and $g$ are such that
$f(x)=x+25$
$g(x)=x^{2}-12x$
The function $h$ is such that $h(x)=fg(x)$
The domain of $h$ is $\{x:x\geqslant6\}$
Express the inverse function $h^{-1}$ in the form $h^{-1}(x)=\ldots$
กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f(x)=x+25$
$g(x)=x^{2}-12x$
ฟังก์ชัน $h$ กำหนดโดย $h(x)=fg(x)$
โดเมนของ $h$ คือ $\{x:x\geqslant6\}$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}$ ในรูป $h^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=x+25$ and $g(x)=x^{2}-12x$. By definition $fg(x)=f(g(x))$: work out $g(1)$ then $f(g(1))$, and also $f(1)$ then $g(f(1))$. They are different, so which one is $fg(1)$?
$f(x)=x+25$ และ $g(x)=x^{2}-12x$ · ตามนิยาม $fg(x)=f(g(x))$ จงหา $g(1)$ แล้วหา $f(g(1))$ และหา $f(1)$ แล้วหา $g(f(1))$ ค่าทั้งสองไม่เท่ากัน แล้ว $fg(1)$ คือค่าไหน
Answershow ▾
$g$ is the letter next to $x$ in $fg(x)$, so $g$ acts first.$g$ เป็นตัวที่อยู่ติดกับ $x$ ใน $fg(x)$ จึงทำก่อน
$h(x)=(x^{2}-12x)+25$. Write this in completed-square form.
$h(x)=(x^{2}-12x)+25$ จงเขียนในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Half of $-12$ is $-6$; $(-6)^{2}=36$ then combine with $25$.ครึ่งของ $-12$ คือ $-6$ แล้ว $(-6)^{2}=36$ จากนั้นรวมกับ $25$
$y=(x-6)^{2}-11$. Make $x$ the subject.
$y=(x-6)^{2}-11$ จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตาม
Answershow ▾
Add $11$ to clear it from the squared bracket, then take the square root.บวก $11$ เพื่อดึงออกจากวงเล็บกำลังสอง แล้วถอดราก
$f(x)=x+25$, $g(x)=x^{2}-12x$. To find $h(3)=fg(3)$, which do you compute first?
(A) $f(3)$, then put the result into $g$
(B) $g(3)$, then put the result into $f$
(C) either order gives the same answer
$f(x)=x+25$, $g(x)=x^{2}-12x$ · หา $h(3)=fg(3)$ จะคำนวณอะไรก่อน
(A) $f(3)$ แล้วนำคำตอบไปแทนใน $g$
(B) $g(3)$ แล้วนำคำตอบไปแทนใน $f$
(C) ลำดับไหนก็ได้ คำตอบเหมือนกัน
Answershow ▾
Check with $x=3$: route B gives $g(3)=-27$ then $f(-27)=-2$; route A gives $f(3)=28$ then $g(28)=448$. They differ, so order is fixed.ตรวจด้วย $x=3$: ทาง B ได้ $g(3)=-27$ แล้ว $f(-27)=-2$ · ทาง A ได้ $f(3)=28$ แล้ว $g(28)=448$ ค่าต่างกัน แสดงว่าลำดับมีผล
$f(x)=x+25$ and $g(x)=x^{2}-12x$. $h(x)=fg(x)$. Write $h(x)$ before simplifying, by putting $g(x)$ in place of $x$ in $f$.
$f(x)=x+25$ และ $g(x)=x^{2}-12x$ · $h(x)=fg(x)$ จงเขียน $h(x)$ ก่อนลดรูป โดยแทน $g(x)$ ลงใน $f$
Answershow ▾
The whole of $g(x)$ goes where $x$ was in $f$. Nothing is multiplied.นำ $g(x)$ ทั้งก้อนไปแทนตำแหน่ง $x$ ใน $f$ · ไม่มีการคูณกัน
Write $h(x)=(x^{2}-12x)+25$ in completed-square form.
จงเขียน $h(x)=(x^{2}-12x)+25$ ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Same move as the warm-up above.ขั้นตอนเดียวกับแบบฝึกหัดด้านบน
The domain of $h$ is $x\geqslant6$. Let $y=(x-6)^{2}-11$. Make $x$ the subject, choosing the branch that fits $x\geqslant6$.
โดเมนของ $h$ คือ $x\geqslant6$ · ให้ $y=(x-6)^{2}-11$ จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตาม โดยเลือกกิ่งที่ตรงกับ $x\geqslant6$
Answershow ▾
$x\geqslant6$ means $x-6\geqslant0$, so the square root must be the positive branch.$x\geqslant6$ หมายความว่า $x-6\geqslant0$ จึงต้องเลือกกิ่งบวกของรากที่สอง
Write $h^{-1}(x)$ using your answer to question 6, swapping $x$ and $y$.
จงเขียน $h^{-1}(x)$ โดยใช้คำตอบจากข้อ 6 สลับ $x$ กับ $y$
Answershow ▾
$x$ becomes the input of $h^{-1}$, so $y$ is renamed $x$.$x$ กลายเป็นตัวแปรต้นของ $h^{-1}$ จึงเปลี่ยนชื่อ $y$ เป็น $x$
Check your inverse: work out $h(11)$, then put that answer into $h^{-1}$. Do you get back to $11$?
จงตรวจฟังก์ชันผกผัน: หา $h(11)$ แล้วนำคำตอบไปแทนใน $h^{-1}$ จะได้กลับมาที่ $11$ หรือไม่
Answershow ▾
Composing a function with its own inverse on a value always returns that value.เมื่อประกอบฟังก์ชันกับฟังก์ชันผกผันของมันที่ค่าหนึ่ง จะได้ค่านั้นกลับมาเสมอ
$f(x)=x+9$ and $g(x)=x^{2}-8x$. $k(x)=fg(x)$. The domain of $k$ is $x\geqslant4$. Express the inverse function $k^{-1}$ in the form $k^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=x+9$ และ $g(x)=x^{2}-8x$ · $k(x)=fg(x)$ · โดเมนของ $k$ คือ $x\geqslant4$ จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $k^{-1}$ ในรูป $k^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Same three moves: combine, complete the square, take the positive branch.สามขั้นตอนเดียวกัน: รวมฟังก์ชัน เติมกำลังสองสมบูรณ์ เลือกกิ่งบวก
The functions $f$ and $g$ are such that
$f(x)=x+25$
$g(x)=x^{2}-12x$
The function $h$ is such that $h(x)=fg(x)$
The domain of $h$ is $\{x:x\geqslant6\}$
Express the inverse function $h^{-1}$ in the form $h^{-1}(x)=\ldots$
กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f(x)=x+25$
$g(x)=x^{2}-12x$
ฟังก์ชัน $h$ กำหนดโดย $h(x)=fg(x)$
โดเมนของ $h$ คือ $\{x:x\geqslant6\}$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}$ ในรูป $h^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
4 marks. All four are method or the final line, so show every move: combine, complete the square, take the square root, write the inverse.4 คะแนน ทั้งหมดเป็นคะแนนวิธีทำหรือบรรทัดคำตอบ จึงต้องเขียนทุกขั้นตอน: รวมฟังก์ชัน เติมกำลังสองสมบูรณ์ ถอดราก เขียนฟังก์ชันผกผัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$h(x)=(x^{2}-12x)+25$
M1 complete the squareเติมกำลังสองสมบูรณ์
$=(x-6)^{2}-36+25$
$=(x-6)^{2}-11$
M1 square root, positive branchถอดราก เลือกกิ่งบวก
$x-6=\sqrt{y+11}$
A1 write the inverseเขียนฟังก์ชันผกผัน
$h^{-1}(x)=6+\sqrt{x+11}$
Evaluate a composite, then invert หาค่าฟังก์ชันประกอบ แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as
$f(x)=5x^{2}-10x+7$ where $x\geqslant1$
$g(x)=7x-6$
Find $fg(2)$
(b) Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f(x)=5x^{2}-10x+7$ สำหรับ $x\geqslant1$
$g(x)=7x-6$
จงหา $fg(2)$
(ข) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=5x^{2}-10x+7$ and $g(x)=7x-6$. By definition $fg(x)=f(g(x))$: work out $g(1)$ then $f(g(1))$, and also $f(1)$ then $g(f(1))$. They are different, so which one is $fg(1)$?
$f(x)=5x^{2}-10x+7$ และ $g(x)=7x-6$ · ตามนิยาม $fg(x)=f(g(x))$ จงหา $g(1)$ แล้วหา $f(g(1))$ และหา $f(1)$ แล้วหา $g(f(1))$ ค่าทั้งสองไม่เท่ากัน แล้ว $fg(1)$ คือค่าไหน
Answershow ▾
$g$ is the letter next to $x$ in $fg(x)$, so $g$ acts first.$g$ เป็นตัวที่อยู่ติดกับ $x$ ใน $fg(x)$ จึงทำก่อน
Write $f(x)=5x^{2}-10x+7$ in the form $5(x-1)^{2}+k$. Find $k$.
จงเขียน $f(x)=5x^{2}-10x+7$ ในรูป $5(x-1)^{2}+k$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Take out the $5$ first, then halve the $x$-coefficient inside the bracket.ดึง $5$ ออกก่อน แล้วหาครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ $x$ ในวงเล็บ
$y=5(x-1)^{2}+2$. Make $x$ the subject.
$y=5(x-1)^{2}+2$ จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตาม
Answershow ▾
Subtract $2$, divide by $5$, then take the square root.ลบ $2$ หารด้วย $5$ แล้วถอดราก
$f(x)=5x^{2}-10x+7$, $g(x)=7x-6$. To find $fg(2)$, which do you compute first?
(A) $f(2)$, then put the result into $g$
(B) $g(2)$, then put the result into $f$
(C) multiply $f(2)$ by $g(2)$
$f(x)=5x^{2}-10x+7$, $g(x)=7x-6$ · หา $fg(2)$ จะคำนวณอะไรก่อน
(A) $f(2)$ แล้วนำคำตอบไปแทนใน $g$
(B) $g(2)$ แล้วนำคำตอบไปแทนใน $f$
(C) นำ $f(2)$ คูณกับ $g(2)$
Answershow ▾
Check with $x=2$: route B gives $g(2)=8$ then $f(8)=247$; route A gives $f(2)=7$ then $g(7)=43$. They differ, and (C) is wrong because $fg$ is not a product; nothing is multiplied.ตรวจด้วย $x=2$: ทาง B ได้ $g(2)=8$ แล้ว $f(8)=247$ · ทาง A ได้ $f(2)=7$ แล้ว $g(7)=43$ ค่าต่างกัน · ส่วน (C) ผิดเพราะ $fg$ ไม่ใช่การคูณ ไม่มีการคูณกันเลย
Work out $fg(2)$ using $f(x)=5x^{2}-10x+7$ and $g(x)=7x-6$.
จงหาค่า $fg(2)$ โดยใช้ $f(x)=5x^{2}-10x+7$ และ $g(x)=7x-6$
Answershow ▾
Work out $g(2)$ first, then feed that number into $f$.หา $g(2)$ ก่อน แล้วนำค่านั้นไปแทนใน $f$
Write $f(x)=5x^{2}-10x+7$ in completed-square form, ready to invert.
จงเขียน $f(x)=5x^{2}-10x+7$ ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ เตรียมหาฟังก์ชันผกผัน
Answershow ▾
Same move as the warm-up above.ขั้นตอนเดียวกับแบบฝึกหัดด้านบน
The domain is $x\geqslant1$. Let $y=5(x-1)^{2}+2$. Make $x$ the subject, choosing the branch that fits $x\geqslant1$.
โดเมนคือ $x\geqslant1$ · ให้ $y=5(x-1)^{2}+2$ จงจัด $x$ เป็นตัวแปรตาม โดยเลือกกิ่งที่ตรงกับ $x\geqslant1$
Answershow ▾
$x\geqslant1$ means $x-1\geqslant0$, so the square root must be the positive branch.$x\geqslant1$ หมายความว่า $x-1\geqslant0$ จึงต้องเลือกกิ่งบวกของรากที่สอง
Write $f^{-1}(x)$ using your answer to question 6, swapping $x$ and $y$.
จงเขียน $f^{-1}(x)$ โดยใช้คำตอบจากข้อ 6 สลับ $x$ กับ $y$
Answershow ▾
$x$ becomes the input of $f^{-1}$, so $y$ is renamed $x$.$x$ กลายเป็นตัวแปรต้นของ $f^{-1}$ จึงเปลี่ยนชื่อ $y$ เป็น $x$
Check your inverse: work out $f(2)$, then put that answer into $f^{-1}$. Do you get back to $2$?
จงตรวจฟังก์ชันผกผัน: หา $f(2)$ แล้วนำคำตอบไปแทนใน $f^{-1}$ จะได้กลับมาที่ $2$ หรือไม่
Answershow ▾
Composing a function with its own inverse on a value always returns that value.เมื่อประกอบฟังก์ชันกับฟังก์ชันผกผันของมันที่ค่าหนึ่ง จะได้ค่านั้นกลับมาเสมอ
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as $f(x)=2x^{2}-4x+5$ where $x\geqslant1$, and $g(x)=3x-1$. Find $fg(2)$. (b) Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้ $f(x)=2x^{2}-4x+5$ สำหรับ $x\geqslant1$ และ $g(x)=3x-1$ จงหา $fg(2)$ (ข) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Same two moves: evaluate $g$ then $f$ for part (a); complete the square then invert for part (b).สองขั้นตอนเดิม: หา $g$ แล้วค่อย $f$ สำหรับข้อ (ก) · เติมกำลังสองสมบูรณ์แล้วหาฟังก์ชันผกผันสำหรับข้อ (ข)
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as
$f(x)=5x^{2}-10x+7$ where $x\geqslant1$
$g(x)=7x-6$
Find $fg(2)$
(b) Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f(x)=5x^{2}-10x+7$ สำหรับ $x\geqslant1$
$g(x)=7x-6$
จงหา $fg(2)$
(ข) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
6 marks over two parts. Part (a) is the composite; show the completed square and the square root line in part (b).6 คะแนนใน 2 ส่วน · ส่วน (ก) คือฟังก์ชันประกอบ · ส่วน (ข) ต้องเขียนรูปกำลังสองสมบูรณ์และบรรทัดถอดรากด้วย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$g(2)=7(2)-6$
$=8$
A1 then evaluate fแล้วหาค่า f
$f(8)=5(8)^{2}-10(8)+7$
$=247$
M1 complete the squareเติมกำลังสองสมบูรณ์
$5x^{2}-10x+7=5(x-1)^{2}-5+7$
A1 completed square formรูปกำลังสองสมบูรณ์
$=5(x-1)^{2}+2$
M1 square root, positive branchถอดราก เลือกกิ่งบวก
$x-1=\sqrt{\dfrac{y-2}{5}}$
A1 write the inverseเขียนฟังก์ชันผกผัน
$f^{-1}(x)=1+\sqrt{\dfrac{x-2}{5}}$
A quadratic inequality from a composite อสมการกำลังสองจากฟังก์ชันประกอบ
$f(x)=x^{2}-4$
$g(x)=2x+1$
Solve $fg(x)\gt0$
Show clear algebraic working.
$f(x)=x^{2}-4$
$g(x)=2x+1$
จงแก้ $fg(x)\gt0$
แสดงวิธีทำพีชคณิตอย่างชัดเจน
$p(x)=x^{2}-9$, $q(x)=3x$. Find $pq(x)$, leaving the bracket unexpanded.
$p(x)=x^{2}-9$, $q(x)=3x$ จงหา $pq(x)$ โดยยังไม่กระจายวงเล็บ
Answershow ▾
$pq(x)$ means replace every $x$ in $p$ with the whole of $q(x)$.$pq(x)$ หมายความว่าแทน $x$ ทุกตัวใน $p$ ด้วยทั้งหมดของ $q(x)$
Expand and simplify $(3x+2)^{2}-5$.
จงกระจายและทำให้ง่าย $(3x+2)^{2}-5$
Answershow ▾
Expand the bracket first, then collect with the number outside.กระจายวงเล็บก่อน แล้วจึงรวมกับตัวเลขที่อยู่นอกวงเล็บ
Solve $x^{2}-4\gt0$. Test a value inside $-2\lt x\lt2$ and a value outside it.
จงแก้ $x^{2}-4\gt0$ โดยตรวจค่าหนึ่งที่อยู่ระหว่าง $-2\lt x\lt2$ และอีกค่าหนึ่งที่อยู่นอกช่วงนั้น
Answershow ▾
$x=0$ (inside) gives $-4$, negative. $x=3$ (outside) gives $5$, positive. The inequality holds outside the roots.$x=0$ (ข้างใน) ได้ $-4$ ติดลบ · $x=3$ (ข้างนอก) ได้ $5$ เป็นบวก อสมการเป็นจริงนอกช่วงราก
You have factorised $x^{2}-4\gt0$ as $(x-2)(x+2)\gt0$. How do you know the solution is outside the roots, not between them?
(A) test a value, e.g. $x=0$, in $(x-2)(x+2)$
(B) assume $\gt0$ always means between the roots
(C) assume $\gt0$ always means outside the roots
กระจายตัวประกอบ $x^{2}-4\gt0$ เป็น $(x-2)(x+2)\gt0$ แล้ว จะรู้ได้อย่างไรว่าคำตอบอยู่นอกช่วงราก ไม่ใช่ระหว่างราก
(A) ตรวจค่าหนึ่ง เช่น $x=0$ ใน $(x-2)(x+2)$
(B) สมมติว่า $\gt0$ หมายถึงระหว่างรากเสมอ
(C) สมมติว่า $\gt0$ หมายถึงนอกรากเสมอ
Answershow ▾
Whether $\gt0$ means inside or outside the roots depends on which way the parabola opens - testing a value is the only way that always works. (B) and (C) are memorised rules that are right half the time and wrong the other half.$\gt0$ หมายถึงข้างในหรือข้างนอกราก ขึ้นอยู่กับทิศทางที่กราฟพาราโบลาเปิด การตรวจค่าเป็นวิธีเดียวที่ถูกเสมอ · (B) และ (C) เป็นกฎที่จำมา ถูกครึ่งหนึ่งผิดครึ่งหนึ่ง
$f(x)=x^{2}-4$, $g(x)=2x+1$. To find $fg(x)$, what do you substitute into what?
(A) substitute $g(x)$ into $f$
(B) substitute $f(x)$ into $g$
(C) multiply $f(x)$ by $g(x)$
$f(x)=x^{2}-4$, $g(x)=2x+1$ จะหา $fg(x)$ ต้องแทนอะไรลงในอะไร
(A) แทน $g(x)$ ลงใน $f$
(B) แทน $f(x)$ ลงใน $g$
(C) คูณ $f(x)$ ด้วย $g(x)$
Answershow ▾
$fg$ is read right to left: $g$ acts first, then $f$ acts on that result. (B) reverses the order, giving $gf(x)$ instead. (C) confuses composing functions with multiplying them.$fg$ อ่านจากขวาไปซ้าย: $g$ ทำงานก่อน แล้ว $f$ ทำงานต่อจากผลลัพธ์นั้น · (B) สลับลำดับ กลายเป็น $gf(x)$ แทน · (C) สับสนระหว่างการประกอบฟังก์ชันกับการคูณฟังก์ชัน
$f(x)=x^{2}-4$, $g(x)=2x+1$. Find $fg(x)$, leaving the bracket unexpanded.
$f(x)=x^{2}-4$, $g(x)=2x+1$ จงหา $fg(x)$ โดยยังไม่กระจายวงเล็บ
Answershow ▾
Same move as question 1: replace $x$ in $f$ with the whole of $g(x)$.ท่าเดิมจากข้อ 1: แทน $x$ ใน $f$ ด้วยทั้งหมดของ $g(x)$
Expand and simplify $(2x+1)^{2}-4$.
จงกระจายและทำให้ง่าย $(2x+1)^{2}-4$
Answershow ▾
Same move as question 2, on the real numbers.ท่าเดิมจากข้อ 2 แต่ใช้ตัวเลขจริงของข้อสอบ
Factorise $4x^{2}+4x-3$.
จงแยกตัวประกอบ $4x^{2}+4x-3$
Answershow ▾
Check: $(2x+3)(2x-1)$ gives $-2x+6x=4x$.ตรวจ: $(2x+3)(2x-1)$ ได้ $-2x+6x=4x$
Solve $(2x+3)(2x-1)\gt0$ for $x$.
จงแก้ $(2x+3)(2x-1)\gt0$ หาค่า $x$
Answershow ▾
The roots are $-1.5$ and $0.5$. The coefficient of $x^{2}$ is positive, so the graph opens upward and is above zero outside its roots - same shape as question 3.รากคือ $-1.5$ และ $0.5$ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เป็นบวก กราฟจึงเปิดขึ้นและมีค่ามากกว่าศูนย์นอกช่วงราก เหมือนข้อ 3
Check your answer: test $x=1$ (inside your claimed range) and $x=0$ (outside it) in $(2x+3)(2x-1)$.
จงตรวจคำตอบ: แทน $x=1$ (อยู่ในช่วงคำตอบที่ได้) และ $x=0$ (อยู่นอกช่วงนั้น) ใน $(2x+3)(2x-1)$
Answershow ▾
A value inside the claimed range must make the product positive; a value outside it must not.ค่าที่อยู่ในช่วงคำตอบต้องทำให้ผลคูณเป็นบวก ส่วนค่าที่อยู่นอกช่วงต้องไม่เป็นเช่นนั้น
$f(x)=x^{2}-9$, $g(x)=x+1$. Solve $fg(x)\gt0$.
$f(x)=x^{2}-9$, $g(x)=x+1$ จงแก้ $fg(x)\gt0$
Answershow ▾
Same four moves: substitute, expand, factorise, test a value inside and outside.สี่ท่าเดิม: แทนค่า กระจาย แยกตัวประกอบ แล้วตรวจค่าทั้งข้างในและข้างนอก
$f(x)=x^{2}-4$
$g(x)=2x+1$
Solve $fg(x)\gt0$
Show clear algebraic working.
$f(x)=x^{2}-4$
$g(x)=2x+1$
จงแก้ $fg(x)\gt0$
แสดงวิธีทำพีชคณิตอย่างชัดเจน
Answershow ▾
4 marks. Three are for method - substitute, expand, factorise - before the final inequality.4 คะแนน สามคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: แทนค่า กระจาย แยกตัวประกอบ ก่อนถึงอสมการคำตอบสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$fg(x) = (2x+1)^{2}-4$
M1 expand and simplifyกระจายและทำให้ง่าย
$= 4x^{2}+4x-3$
M1 factoriseแยกตัวประกอบ
$(2x+3)(2x-1) \gt 0$
A1 outside the critical valuesนอกช่วงค่าวิกฤต
$x \lt -1.5 \;\text{or}\; x \gt 0.5$
A point tracked through four moves ตามจุดเดียวผ่านการแปลงสี่แบบ
(a)(i) Curve $C$ has equation $y=f(x)$
The graph of curve $C$ has one maximum point.
The coordinates of this maximum point are $(3,5)$
Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=2f(x)$
(a)(ii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x)-7$
(a)(iii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(-x)$
(b) Curve $L$ has equation $y=x^{2}+7x+20$
Curve $L$ is transformed to curve $S$ under the translation $\binom{2}{0}$
Find an equation for $S$
Give your answer in the form $y=ax^{2}+bx+c$
(a)(i) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=f(x)$
กราฟของเส้นโค้ง $C$ มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว
พิกัดของจุดสูงสุดนี้คือ $(3,5)$
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=2f(x)$
(a)(ii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)-7$
(a)(iii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(-x)$
(ข) เส้นโค้ง $L$ มีสมการ $y=x^{2}+7x+20$
เส้นโค้ง $L$ ถูกแปลงเป็นเส้นโค้ง $S$ ด้วยการเลื่อนตำแหน่งเวกเตอร์ $\binom{2}{0}$
จงหาสมการของ $S$
ตอบในรูป $y=ax^{2}+bx+c$
Curve $C$ has a maximum point at $(3,5)$. Write down the maximum point on the curve with equation $y=2f(x)$.
เส้นโค้ง $C$ มีจุดสูงสุดที่ $(3,5)$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=2f(x)$
Answershow ▾
$y=2f(x)$ doubles every output, so only the $y$-coordinate changes.$y=2f(x)$ ทำให้ค่า $y$ ทุกค่าเป็นสองเท่า จึงเปลี่ยนเฉพาะพิกัด $y$
Write down the maximum point on the curve with equation $y=f(x)-7$.
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)-7$
Answershow ▾
Subtracting $7$ from every output moves the whole curve down $7$, so only the $y$-coordinate changes.การลบ $7$ จากค่า $y$ ทุกค่าทำให้เส้นโค้งทั้งเส้นเลื่อนลง $7$ จึงเปลี่ยนเฉพาะพิกัด $y$
Write down the maximum point on the curve with equation $y=f(-x)$.
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(-x)$
Answershow ▾
$y=f(-x)$ reflects the curve in the $y$-axis, so only the $x$-coordinate changes sign; it is not the same as $y=-f(x)$, which reflects in the $x$-axis instead.$y=f(-x)$ คือการสะท้อนกราฟข้ามแกน $y$ จึงเปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะพิกัด $x$ ไม่เหมือนกับ $y=-f(x)$ ที่สะท้อนข้ามแกน $x$ แทน
A different curve has its maximum where $x=3$. For the curve $y=f(x+3)$, does the maximum move left or right?
(A) left
(B) right
(C) it stays at $x=3$
เส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งมีจุดสูงสุดที่ $x=3$ สำหรับเส้นโค้ง $y=f(x+3)$ จุดสูงสุดจะเลื่อนไปทางซ้ายหรือทางขวา
(A) ซ้าย
(B) ขวา
(C) ยังอยู่ที่ $x=3$
Answershow ▾
$f$ still reaches its maximum when its own input equals $3$, so $x+3=3$ gives $x=0$, a move from $3$ to $0$, which is left; (B) swaps the direction and (C) ignores that the input to $f$ has changed.$f$ ยังขึ้นสูงสุดเมื่อค่าที่ป้อนเข้า $f$ เท่ากับ $3$ ดังนั้น $x+3=3$ ได้ $x=0$ คือเลื่อนจาก $3$ ไป $0$ ซึ่งคือไปทางซ้าย · (B) กลับทิศ และ (C) มองข้ามว่าค่าที่ป้อนเข้า $f$ เปลี่ยนไปแล้ว
Curve $L$ has equation $y=x^{2}+7x+20$. $L$ is translated to curve $S$ by the vector $\binom{2}{0}$, a move of $2$ to the right. Write the new equation before you expand it.
เส้นโค้ง $L$ มีสมการ $y=x^{2}+7x+20$ ถูกแปลงเป็นเส้นโค้ง $S$ ด้วยเวกเตอร์ $\binom{2}{0}$ ซึ่งคือการเลื่อนไปทางขวา $2$ จงเขียนสมการใหม่ก่อนกระจาย
Answershow ▾
A move right is the opposite of the left move you just checked, so it needs $x-2$ in place of $x$, not $x+2$.การเลื่อนไปทางขวาตรงข้ามกับการเลื่อนไปทางซ้ายที่ตรวจไปแล้ว จึงต้องแทน $x$ ด้วย $x-2$ ไม่ใช่ $x+2$
Expand $(x-2)^{2}$.
จงกระจาย $(x-2)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets, $(x-2)(x-2)$, then multiply out and collect the middle term.เขียนเป็นสองวงเล็บ $(x-2)(x-2)$ แล้วกระจายและรวมพจน์กลาง
Expand $7(x-2)$, then collect $y=(x-2)^{2}+7(x-2)+20$ into the form $y=ax^{2}+bx+c$, using $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$ from the last question.
จงกระจาย $7(x-2)$ แล้วรวม $y=(x-2)^{2}+7(x-2)+20$ ให้อยู่ในรูป $y=ax^{2}+bx+c$ โดยใช้ $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$ จากข้อก่อนหน้า
Answershow ▾
Collect the $x$ terms and the numbers separately: $-4x+7x=3x$ and $4-14+20=10$.รวมพจน์ $x$ และตัวเลขแยกกัน: $-4x+7x=3x$ และ $4-14+20=10$
Curve $L$: $y=x^{2}+7x+20$ has its minimum point at $x=-3.5$. Find the $y$-coordinate there, then write the point you expect on curve $S$ after the translation $\binom{2}{0}$.
เส้นโค้ง $L$: $y=x^{2}+7x+20$ มีจุดต่ำสุดที่ $x=-3.5$ จงหาพิกัด $y$ ที่จุดนั้น แล้วเขียนพิกัดที่คาดว่าจะได้บนเส้นโค้ง $S$ หลังการเลื่อนตำแหน่งด้วยเวกเตอร์ $\binom{2}{0}$
Answershow ▾
The translation $\binom{2}{0}$ moves every point on $L$, including its minimum, $2$ right and $0$ up.การเลื่อนตำแหน่งด้วยเวกเตอร์ $\binom{2}{0}$ ทำให้ทุกจุดบน $L$ รวมถึงจุดต่ำสุด เลื่อนไปทางขวา $2$ และขึ้น $0$
Check that $(-1.5,7.75)$ fits $y=x^{2}+3x+10$.
จงตรวจว่าจุด $(-1.5,7.75)$ เป็นจริงกับ $y=x^{2}+3x+10$
Answershow ▾
A point on the expected curve for $S$ should satisfy the equation you found for $S$.จุดที่คาดว่าอยู่บน $S$ ต้องเป็นจริงกับสมการของ $S$ ที่หาไว้
Curve $C$ has a maximum point at $(4,6)$. Write down the maximum point on $y=3f(x)$, on $y=f(x)+5$, and on $y=f(-x)$. Curve $M$ has equation $y=x^{2}+5x+11$ and is translated by the vector $\binom{3}{0}$ to curve $N$. Find an equation for $N$ in the form $y=ax^{2}+bx+c$.
เส้นโค้ง $C$ มีจุดสูงสุดที่ $(4,6)$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้ง $y=3f(x)$, $y=f(x)+5$ และ $y=f(-x)$ เส้นโค้ง $M$ มีสมการ $y=x^{2}+5x+11$ ถูกแปลงเป็นเส้นโค้ง $N$ ด้วยเวกเตอร์ $\binom{3}{0}$ จงหาสมการของ $N$ ในรูป $y=ax^{2}+bx+c$
Answershow ▾
Same four moves as the exam question: double the $y$, add to the $y$, flip the sign of $x$, then substitute $x-3$ and collect.สี่ขั้นเดิมจากข้อสอบจริง: คูณ $y$ สอง บวกกับ $y$ เปลี่ยนเครื่องหมาย $x$ แล้วแทน $x-3$ และรวมพจน์
(a)(i) Curve $C$ has equation $y=f(x)$
The graph of curve $C$ has one maximum point.
The coordinates of this maximum point are $(3,5)$
Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=2f(x)$
(a)(ii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x)-7$
(a)(iii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(-x)$
(b) Curve $L$ has equation $y=x^{2}+7x+20$
Curve $L$ is transformed to curve $S$ under the translation $\binom{2}{0}$
Find an equation for $S$
Give your answer in the form $y=ax^{2}+bx+c$
(a)(i) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=f(x)$
กราฟของเส้นโค้ง $C$ มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว
พิกัดของจุดสูงสุดนี้คือ $(3,5)$
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=2f(x)$
(a)(ii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)-7$
(a)(iii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(-x)$
(ข) เส้นโค้ง $L$ มีสมการ $y=x^{2}+7x+20$
เส้นโค้ง $L$ ถูกแปลงเป็นเส้นโค้ง $S$ ด้วยการเลื่อนตำแหน่งเวกเตอร์ $\binom{2}{0}$
จงหาสมการของ $S$
ตอบในรูป $y=ax^{2}+bx+c$
Answershow ▾
$7$ marks: three for the point moves, four for translating the equation of $L$; show the substitution, the expansion, and the collection as separate lines.$7$ คะแนน: สามคะแนนจากการเลื่อนจุด และสี่คะแนนจากการแปลงสมการของ $L$ ต้องเขียนการแทนค่า การกระจาย และการรวมพจน์แยกเป็นบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(3,5)\to(3,10)$
B1 shift down 7เลื่อนลง 7
$(3,5)\to(3,-2)$
B1 reflect in the y-axisสะท้อนข้ามแกน y
$(3,5)\to(-3,5)$
M1 substitute x minus 2แทน x ลบ 2
$x \to x-2$
${y=(x-2)^{2}+7(x-2)+20}$
M1 expand the squareกระจายกำลังสอง
$(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$
M1 combine like termsรวมพจน์เหมือนกัน
$7(x-2) = 7x-14$
$4-14+20 = 10$
A1 equation of Sสมการของ S
$y=x^{2}+3x+10$
A function that undoes itself, then a quartic composite ฟังก์ชันที่ย้อนตัวเอง แล้วฟังก์ชันประกอบกำลังสี่
(a) The function $f$ is such that $f(x)=\dfrac{k}{x}$ where $x\neq0$ and $k$ is an integer.
Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
(b)(i) The function $g$ is such that $g(x)=2-3x^{4}$ where $x\neq0$
The function $h$ is such that $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$ where $x\neq2$
Find $g(-2)$
(b)(ii) Express the composite function $hg$ in the form $hg(x)=\ldots$
Give your answer in its simplest form.
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=\dfrac{k}{x}$ เมื่อ $x\neq0$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
(b)(i) กำหนดฟังก์ชัน $g$ โดยที่ $g(x)=2-3x^{4}$ เมื่อ $x\neq0$
กำหนดฟังก์ชัน $h$ โดยที่ $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$ เมื่อ $x\neq2$
จงหา $g(-2)$
(b)(ii) จงเขียนฟังก์ชันประกอบ $hg$ ในรูป $hg(x)=\ldots$
ตอบในรูปที่ลดรูปแล้วที่สุด
$f(x)=\dfrac{6}{x}$, $x\neq0$. Find $f(2)$. Then find $f$ of that answer. What do you get back?
$f(x)=\dfrac{6}{x}$ เมื่อ $x\neq0$ จงหา $f(2)$ แล้วหา $f$ ของคำตอบนั้นอีกครั้ง ได้ค่าอะไรกลับมา
Answershow ▾
Applying $f$ twice returns the number you started with.การใช้ $f$ สองครั้งต่อกัน ทำให้ได้ตัวเลขเดิมที่เริ่มต้นกลับมา
$m(x)=x+5$. Find $m^{-1}(x)$ by swapping $x$ and $y$ in $y=x+5$, then rearranging for $y$.
$m(x)=x+5$ จงหา $m^{-1}(x)$ โดยสลับ $x$ กับ $y$ ใน $y=x+5$ แล้วจัดรูปใหม่เพื่อหา $y$
Answershow ▾
Finding an inverse always starts the same way: swap the letters, then solve for the new $y$.การหาฟังก์ชันผกผันเริ่มแบบเดียวกันเสมอ: สลับตัวแปร แล้วแก้หา $y$ ตัวใหม่
$n(x)=1-2x^{4}$, $x\neq0$. Find $n(-1)$.
$n(x)=1-2x^{4}$ เมื่อ $x\neq0$ จงหา $n(-1)$
Answershow ▾
$(-1)^{4}=1$, since an even power of a negative number is positive.$(-1)^{4}=1$ เพราะกำลังคู่ของจำนวนลบให้ผลลัพธ์เป็นบวก
$f(x)=\dfrac{k}{x}$, $x\neq0$, $k$ an integer. To find $f^{-1}$, pick the first move.
(A) swap $x$ and $y$ in $y=\dfrac{k}{x}$, then rearrange for the new $y$
(B) divide both sides of $y=\dfrac{k}{x}$ by $k$
(C) square both sides of $y=\dfrac{k}{x}$
$f(x)=\dfrac{k}{x}$ เมื่อ $x\neq0$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จะหา $f^{-1}$ ต้องเลือกขั้นแรก
(A) สลับ $x$ กับ $y$ ใน $y=\dfrac{k}{x}$ แล้วจัดรูปใหม่เพื่อหา $y$ ตัวใหม่
(B) หารทั้งสองข้างของ $y=\dfrac{k}{x}$ ด้วย $k$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y=\dfrac{k}{x}$
Answershow ▾
An inverse swaps which letter is the input and which is the output, so swapping $x$ and $y$ is always the first move. (B) only rearranges the existing equation without swapping that role. (C) destroys information - it cannot be undone and gives a relation with two values of $y$ for each $x$.ฟังก์ชันผกผันคือการสลับว่าตัวแปรใดเป็นตัวตั้งและตัวแปรใดเป็นผลลัพธ์ จึงต้องสลับ $x$ กับ $y$ เป็นขั้นแรกเสมอ · (B) เป็นการจัดรูปสมการเดิมเท่านั้น ไม่ได้สลับบทบาท · (C) ทำให้ข้อมูลเสียหาย ย้อนกลับไม่ได้ และให้ความสัมพันธ์ที่ $x$ หนึ่งค่าตรงกับ $y$ สองค่า
$g(x)=2-3x^{4}$, $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$. To find $hg(x)$, what do you substitute into what?
(A) substitute $g(x)$ into $h$
(B) substitute $h(x)$ into $g$
(C) multiply $g(x)$ by $h(x)$
$g(x)=2-3x^{4}$, $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$ จะหา $hg(x)$ ต้องแทนอะไรลงในอะไร
(A) แทน $g(x)$ ลงใน $h$
(B) แทน $h(x)$ ลงใน $g$
(C) คูณ $g(x)$ ด้วย $h(x)$
Answershow ▾
$hg$ is read right to left: $g$ acts first, then $h$ acts on that result. (B) reverses the order, giving $gh(x)$ instead. (C) confuses composing functions with multiplying them.$hg$ อ่านจากขวาไปซ้าย: $g$ ทำงานก่อน แล้ว $h$ ทำงานต่อจากผลลัพธ์นั้น · (B) สลับลำดับ กลายเป็น $gh(x)$ แทน · (C) สับสนระหว่างการประกอบฟังก์ชันกับการคูณฟังก์ชัน
$f(x)=\dfrac{k}{x}$, $x\neq0$, $k$ an integer. Swap $x$ and $y$ in $y=\dfrac{k}{x}$, then rearrange to express $f^{-1}(x)$.
$f(x)=\dfrac{k}{x}$ เมื่อ $x\neq0$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จงสลับ $x$ กับ $y$ ใน $y=\dfrac{k}{x}$ แล้วจัดรูปใหม่เพื่อเขียน $f^{-1}(x)$
Answershow ▾
Same move as question 2, and it lands back on the same form - this is what "self-inverse" means.ท่าเดิมจากข้อ 2 แต่ได้รูปเดิมกลับมา นี่คือความหมายของ "ย้อนตัวเอง"
$g(x)=2-3x^{4}$, $x\neq0$. Find $g(-2)$.
$g(x)=2-3x^{4}$ เมื่อ $x\neq0$ จงหา $g(-2)$
Answershow ▾
Same move as question 3: raise the negative number to the power first.ท่าเดิมจากข้อ 3: ยกกำลังตัวเลขติดลบก่อน
$g(x)=2-3x^{4}$, $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$, $x\neq2$. Find $hg(x)$, leaving it unsimplified.
$g(x)=2-3x^{4}$, $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$ เมื่อ $x\neq2$ จงหา $hg(x)$ โดยยังไม่ลดรูป
Answershow ▾
Replace every $x$ in $h$ with the whole of $g(x)$ - top and bottom.แทน $x$ ทุกตัวใน $h$ ด้วยทั้งหมดของ $g(x)$ ทั้งเศษและส่วน
Simplify $\dfrac{3(2-3x^{4})}{2-(2-3x^{4})}$ to the form $\dfrac{a}{x^{4}}+b$.
จงลดรูป $\dfrac{3(2-3x^{4})}{2-(2-3x^{4})}$ ให้อยู่ในรูป $\dfrac{a}{x^{4}}+b$
Answershow ▾
The two $2$s in the denominator cancel, leaving $3x^{4}$ - then divide top and bottom by $3$.เลข $2$ สองตัวในส่วนตัดกันหายไป เหลือ $3x^{4}$ แล้วหารเศษและส่วนด้วย $3$
Check $hg(x)=\dfrac{2}{x^{4}}-3$ by testing $x=1$ in both the unsimplified form and the simplified form.
จงตรวจ $hg(x)=\dfrac{2}{x^{4}}-3$ โดยแทน $x=1$ ทั้งในรูปที่ยังไม่ลดรูปและรูปที่ลดรูปแล้ว
Answershow ▾
A simplified expression must give the same number as the original, for any value of $x$.นิพจน์ที่ลดรูปแล้วต้องให้ผลลัพธ์เท่ากับนิพจน์เดิม ไม่ว่า $x$ จะเป็นค่าใด
$f(x)=\dfrac{4}{x}$, $x\neq0$.
(a) Express $f^{-1}(x)$.
(b)(i) $g(x)=1-2x^{4}$, $x\neq0$. Find $g(-1)$.
(b)(ii) $h(x)=\dfrac{4x}{1-x}$, $x\neq1$. Express $hg(x)$ in simplest form.
$f(x)=\dfrac{4}{x}$ เมื่อ $x\neq0$
(ก) จงเขียน $f^{-1}(x)$
(ข)(i) $g(x)=1-2x^{4}$ เมื่อ $x\neq0$ จงหา $g(-1)$
(ข)(ii) $h(x)=\dfrac{4x}{1-x}$ เมื่อ $x\neq1$ จงเขียน $hg(x)$ ในรูปที่ลดรูปแล้วที่สุด
Answershow ▾
Same three moves: swap and rearrange, substitute and evaluate, then substitute and simplify.สามท่าเดิม: สลับแล้วจัดรูปใหม่ แทนค่าแล้วหาค่า แล้วแทนค่าแล้วลดรูป
(a) The function $f$ is such that $f(x)=\dfrac{k}{x}$ where $x\neq0$ and $k$ is an integer.
Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\ldots$
(b)(i) The function $g$ is such that $g(x)=2-3x^{4}$ where $x\neq0$
The function $h$ is such that $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$ where $x\neq2$
Find $g(-2)$
(b)(ii) Express the composite function $hg$ in the form $hg(x)=\ldots$
Give your answer in its simplest form.
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ โดยที่ $f(x)=\dfrac{k}{x}$ เมื่อ $x\neq0$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\ldots$
(b)(i) กำหนดฟังก์ชัน $g$ โดยที่ $g(x)=2-3x^{4}$ เมื่อ $x\neq0$
กำหนดฟังก์ชัน $h$ โดยที่ $h(x)=\dfrac{3x}{2-x}$ เมื่อ $x\neq2$
จงหา $g(-2)$
(b)(ii) จงเขียนฟังก์ชันประกอบ $hg$ ในรูป $hg(x)=\ldots$
ตอบในรูปที่ลดรูปแล้วที่สุด
Answershow ▾
4 marks across three parts. The self-inverse result in (a) is true for every integer $k$.4 คะแนน กระจายอยู่ 3 ส่วน ผลลัพธ์ที่ย้อนตัวเองในข้อ (ก) เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม $k$ ทุกตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y=\dfrac{k}{x}$
$x=\dfrac{k}{y}$
$f^{-1}(x)=\dfrac{k}{x}$
B1 substitute into gแทนค่าใน g
$g(-2)=2-3(-2)^{4}$
$=2-48$
$=-46$
M1 substitute g into hแทน g ใน h
$hg(x)=\dfrac{3(2-3x^{4})}{2-(2-3x^{4})}$
A1 simplify the fractionลดรูปเศษส่วน
$=\dfrac{6-9x^{4}}{3x^{4}}$
$=\dfrac{2}{x^{4}}-3$
Solve two composites, then invert แก้สมการฟังก์ชันประกอบ แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as
$f(x)=x^{2}+6$
$g(x)=x-10$
Find $fg(3)$
(b) Solve the equation $fg(x)=f(x)$
Show clear algebraic working.
(c) The function $h$ is defined as
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
State the value of $x$ that cannot be included in the domain of $h$
(d) Express the inverse function $h^{-1}$ in the form $h^{-1}(x)=\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f(x)=x^{2}+6$
$g(x)=x-10$
จงหา $fg(3)$
(ข) จงแก้สมการ $fg(x)=f(x)$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
(ค) กำหนดฟังก์ชัน $h$ ดังนี้
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
จงบอกค่าของ $x$ ที่ไม่สามารถรวมอยู่ในโดเมนของ $h$ ได้
(ง) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}$ ในรูป $h^{-1}(x)=\ldots$
$g(x)=x-10$. Find $g(3)$.
$g(x)=x-10$ · จงหา $g(3)$
Answershow ▾
Substitute $x=3$ and simplify.แทน $x=3$ แล้วคำนวณ
$f(x)=x^{2}+6$. Find $f(-7)$.
$f(x)=x^{2}+6$ · จงหา $f(-7)$
Answershow ▾
Square the $-7$ first; a negative squared is positive.ยกกำลังสอง $-7$ ก่อน จำนวนลบยกกำลังสองได้บวก
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$. Which value of $x$ breaks this expression?
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$ · ค่า $x$ ใดที่ทำให้นิพจน์นี้มีปัญหา?
Answershow ▾
The denominator is $x$ itself, so $x=0$ is not allowed.ตัวส่วนคือ $x$ เอง ดังนั้น $x=0$ ใช้ไม่ได้
You must solve $fg(x)=f(x)$ where $f(x)=x^{2}+6$ and $g(x)=x-10$. Pick the first move.
(A) cancel $f$ from both sides to get $g(x)=x$, i.e. solve $x-10=x$
(B) write both sides as expressions in $x$: $fg(x)=(x-10)^{2}+6$ and $f(x)=x^{2}+6$, then set them equal
(C) guess a value of $x$ that seems to work, then check it
ต้องแก้สมการ $fg(x)=f(x)$ เมื่อ $f(x)=x^{2}+6$ และ $g(x)=x-10$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ตัด $f$ ออกจากทั้งสองข้าง เหลือ $g(x)=x$ คือแก้ $x-10=x$
(B) เขียนทั้งสองข้างเป็นนิพจน์ของ $x$: $fg(x)=(x-10)^{2}+6$ และ $f(x)=x^{2}+6$ แล้วให้เท่ากัน
(C) ลองเดาค่า $x$ ที่น่าจะใช้ได้ แล้วตรวจคำตอบ
Answershow ▾
$f(x)=x^{2}+6$ is not one-to-one ($f(4)=f(-4)=22$), so $f(p)=f(q)$ does not force $p=q$; (A) even gives $-10=0$, which is impossible. (C) is not a shown method, so it earns no marks.$f(x)=x^{2}+6$ ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ($f(4)=f(-4)=22$) ดังนั้น $f(p)=f(q)$ ไม่ได้แปลว่า $p=q$ เสมอไป · (A) ยังได้ $-10=0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ · (C) ไม่ใช่วิธีทำที่แสดง จึงไม่ได้คะแนน
$f(x)=x^{2}+6$ and $g(x)=x-10$. Write $fg(x)$ and $f(x)$ as expressions in $x$.
$f(x)=x^{2}+6$ และ $g(x)=x-10$ · จงเขียน $fg(x)$ และ $f(x)$ เป็นนิพจน์ของ $x$
Answershow ▾
Substitute the whole of $g(x)$ into $f$; $f(x)$ itself needs no extra work.แทน $g(x)$ ทั้งหมดลงใน $f$ ส่วน $f(x)$ ไม่ต้องทำอะไรเพิ่ม
Set $fg(x)=f(x)$ using the expressions above, and expand the bracket.
ให้ $fg(x)=f(x)$ ด้วยนิพจน์ข้างบน แล้วกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
$(x-10)^{2}=x^{2}-20x+100$. Expand it before anything else.$(x-10)^{2}=x^{2}-20x+100$ จงกระจายวงเล็บก่อนทำอย่างอื่น
Solve $x^{2}-20x+106=x^{2}+6$.
จงแก้สมการ $x^{2}-20x+106=x^{2}+6$
Answershow ▾
The $x^{2}$ on both sides cancels, leaving a simple linear equation.$x^{2}$ ทั้งสองข้างตัดกัน เหลือสมการเชิงเส้นธรรมดา
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$. Express $h^{-1}$ in the form $h^{-1}(x)=\ldots$
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$ · จงเขียน $h^{-1}$ ในรูป $h^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Cross multiply first, then collect every $x$-term onto one side before factorising.คูณไขว้ก่อน แล้วรวมพจน์ $x$ ทั้งหมดไว้ข้างเดียวก่อนแยกตัวประกอบ
Check $h^{-1}(x)=\dfrac{4}{2-x}$: work out $h(4)$, then put that answer into $h^{-1}$. Do you get back to $4$?
จงตรวจ $h^{-1}(x)=\dfrac{4}{2-x}$: หา $h(4)$ แล้วแทนคำตอบนั้นลงใน $h^{-1}$ ได้กลับมาเป็น $4$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct inverse always returns the number you started with.ฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้องจะให้ค่าเดิมที่เริ่มต้นกลับมาเสมอ
$f(x)=x^{2}+3$ and $g(x)=x-6$.
(a) Find $fg(1)$.
(b) Solve the equation $fg(x)=f(x)$.
(c) The function $h$ is defined as $h(x)=\dfrac{3x-6}{x}$. State the value of $x$ that cannot be included in the domain of $h$.
(d) Express the inverse function $h^{-1}$ in the form $h^{-1}(x)=\ldots$
$f(x)=x^{2}+3$ และ $g(x)=x-6$
(ก) จงหา $fg(1)$
(ข) จงแก้สมการ $fg(x)=f(x)$
(ค) กำหนด $h(x)=\dfrac{3x-6}{x}$ จงบอกค่า $x$ ที่ไม่สามารถรวมอยู่ในโดเมนของ $h$ได้
(ง) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}$ ในรูป $h^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
Same four moves: evaluate in order, write both composite sides before cancelling anything, exclude the zero denominator, then cross multiply to invert.สี่ขั้นเดิม: หาค่าตามลำดับ เขียนทั้งสองข้างของฟังก์ชันประกอบก่อนตัดอะไรทิ้ง ตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ แล้วคูณไขว้เพื่อหาฟังก์ชันผกผัน
(a) The functions $f$ and $g$ are defined as
$f(x)=x^{2}+6$
$g(x)=x-10$
Find $fg(3)$
(b) Solve the equation $fg(x)=f(x)$
Show clear algebraic working.
(c) The function $h$ is defined as
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
State the value of $x$ that cannot be included in the domain of $h$
(d) Express the inverse function $h^{-1}$ in the form $h^{-1}(x)=\ldots$
(ก) กำหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ดังนี้
$f(x)=x^{2}+6$
$g(x)=x-10$
จงหา $fg(3)$
(ข) จงแก้สมการ $fg(x)=f(x)$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
(ค) กำหนดฟังก์ชัน $h$ ดังนี้
$h(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
จงบอกค่าของ $x$ ที่ไม่สามารถรวมอยู่ในโดเมนของ $h$ ได้
(ง) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}$ ในรูป $h^{-1}(x)=\ldots$
Answershow ▾
9 marks across four parts: 2 for evaluating $fg(3)$, 3 for solving $fg(x)=f(x)$, 1 for the excluded value, and 3 for the inverse.9 คะแนนจากสี่ข้อ: 2 คะแนนสำหรับการหา $fg(3)$ 3 คะแนนสำหรับการแก้ $fg(x)=f(x)$ 1 คะแนนสำหรับค่าที่ตัดออก และ 3 คะแนนสำหรับฟังก์ชันผกผัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$g(3)=3-10$
$=-7$
A1 then evaluate fแล้วหาค่า f
$f(-7)=(-7)^{2}+6$
$=55$
M1 form the equationตั้งสมการ
$(x-10)^{2}+6=x^{2}+6$
M1 expand and simplifyกระจายและลดรูป
$x^{2}-20x+100=x^{2}$
A1 solve for xแก้หาค่า x
$-20x+100=0$
$x=5$
B1 denominator equals zeroตัวส่วนเท่ากับศูนย์
$x=0$
M1 cross multiply for inverseคูณไขว้เพื่อหาผกผัน
$yx=2x-4$
M1 collect x termsรวมพจน์ x
$x(y-2)=-4$
A1 factor and divideแยกตัวประกอบแล้วหาร
$x=\dfrac{-4}{y-2}$
$h^{-1}(x)=\dfrac{4}{2-x}$
Two terms, find a sum สองพจน์ หาผลรวม
In an arithmetic series, the $6$th term is $39$
In the same arithmetic series, the $19$th term is $7.8$
Work out the sum of the first $25$ terms of the arithmetic series.
ในลำดับเลขคณิตหนึ่ง พจน์ที่ $6$ คือ $39$
ในลำดับเดียวกัน พจน์ที่ $19$ คือ $7.8$
จงหาผลรวมของ $25$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตนี้
In an arithmetic series, the $6$th term is $20$. Write an equation for this using $a$ and $d$.
ในลำดับเลขคณิตหนึ่ง พจน์ที่ $6$ คือ $20$ จงเขียนสมการโดยใช้ $a$ และ $d$
Answershow ▾
The $n$th term is $a+(n-1)d$. Put $n=6$, so the power is $5$.พจน์ที่ $n$ คือ $a+(n-1)d$ · แทน $n=6$ จะได้ยกกำลัง $5$
Solve the simultaneous equations $p+2q=11$ and $p+5q=20$. Find $q$.
จงแก้ระบบสมการ $p+2q=11$ และ $p+5q=20$ หา $q$
Answershow ▾
Subtract the first equation from the second: $p$ cancels because both start with $p+\dots$.ลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง · $p$ จะหักกันเพราะทั้งสองขึ้นต้นด้วย $p+\dots$
An arithmetic series has $a=1$ and $d=4$. Find $S_{25}$.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมี $a=1$ และ $d=4$ จงหา $S_{25}$
Answershow ▾
$S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$. Put in $a$, $d$, $n$.$S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ · แทนค่า $a$, $d$, $n$
① $a+5d=39$
② $a+18d=7.8$
Pick the move that finds $d$ directly.
(A) subtract ① from ②
(B) add ① and ②
(C) divide ② by ①
① $a+5d=39$
② $a+18d=7.8$
จงเลือกวิธีที่หา $d$ ได้ตรงที่สุด
(A) ② ลบ ①
(B) บวก ① กับ ②
(C) ② หารด้วย ①
Answershow ▾
Both equations start with $a$, so subtracting cancels it, leaving $13d=7.8-39$. Adding gives $2a+23d=46.8$, still two letters. Dividing is not a legal move on equations with a sum inside them.ทั้งสองสมการขึ้นต้นด้วย $a$ เหมือนกัน การลบจึงทำให้ $a$ หายไป เหลือ $13d=7.8-39$ · การบวกจะได้ $2a+23d=46.8$ ยังมีสองตัวแปร · การหารใช้ไม่ได้กับสมการที่มีการบวกอยู่ข้างใน
The $6$th term is $39$ and the $19$th term is $7.8$. Write both as equations in $a$ and $d$.
พจน์ที่ $6$ คือ $39$ และพจน์ที่ $19$ คือ $7.8$ จงเขียนทั้งสองเป็นสมการในรูป $a$ และ $d$
Answershow ▾
Same move as question $1$, done twice: $n=6$ gives power $5$; $n=19$ gives power $18$.ท่าเดิมจากข้อ $1$ ทำสองรอบ: $n=6$ ยกกำลัง $5$ · $n=19$ ยกกำลัง $18$
① $a+5d=39$
② $a+18d=7.8$
Subtract ① from ② and solve for $d$.
① $a+5d=39$
② $a+18d=7.8$
จงเอา ② ลบ ① แล้วแก้หา $d$
Answershow ▾
Same subtraction as question $2$, now with the real numbers.ลบแบบเดียวกับข้อ $2$ แต่คราวนี้ใช้ตัวเลขจริง
Substitute $d=-2.4$ into ① $a+5d=39$ and solve for $a$.
แทน $d=-2.4$ ลงใน ① $a+5d=39$ แล้วแก้หา $a$
Answershow ▾
$5\times(-2.4)=-12$, so move it to the other side.$5\times(-2.4)=-12$ · ย้ายไปอีกข้าง
Use $a=51$ and $d=-2.4$ to find $S_{25}$.
ใช้ $a=51$ และ $d=-2.4$ หา $S_{25}$
Answershow ▾
Same formula as question $3$, now with the real $a$ and $d$.สูตรเดียวกับข้อ $3$ แต่ใช้ $a$ และ $d$ จริง
Check that $a=51,\,d=-2.4$ gives $19$th term $=7.8$.
จงตรวจว่า $a=51,\,d=-2.4$ ให้พจน์ที่ $19$ เท่ากับ $7.8$
Answershow ▾
Equation ② was only used inside the subtraction, never on its own — plug back into it to check for a slip.สมการ ② ถูกใช้แค่ตอนลบสมการ ยังไม่เคยแทนค่าตรง ๆ · แทนกลับเพื่อตรวจว่ามีที่พลาดหรือไม่
In an arithmetic series, the $4$th term is $11$ and the $10$th term is $29$. Find $S_{15}$.
ในลำดับเลขคณิตหนึ่ง พจน์ที่ $4$ คือ $11$ และพจน์ที่ $10$ คือ $29$ จงหา $S_{15}$
Answershow ▾
Same four moves: form two equations, eliminate for $d$, solve for $a$, then the sum formula.สี่ขั้นเดิม: ตั้งสองสมการ กำจัดตัวแปรหา $d$ แก้หา $a$ แล้วใช้สูตรผลรวม
In an arithmetic series, the $6$th term is $39$
In the same arithmetic series, the $19$th term is $7.8$
Work out the sum of the first $25$ terms of the arithmetic series.
ในลำดับเลขคณิตหนึ่ง พจน์ที่ $6$ คือ $39$
ในลำดับเดียวกัน พจน์ที่ $19$ คือ $7.8$
จงหาผลรวมของ $25$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตนี้
Answershow ▾
$4$ marks. Three are for method, so show every line.$4$ คะแนน · สามคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จึงต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$a+5d = 39$
$a+18d = 7.8$
M1 eliminate to find dกำจัดตัวแปรหา d
$13d = 7.8-39$
$= -31.2$
$d = -2.4$
M1 solve for the first termแก้หาพจน์แรก
$a = 39-5(-2.4)$
$= 51$
A1 sum of the first 25ผลรวม 25 พจน์แรก
$2a+24d = 102-57.6$
$= 44.4$
$S_{25} = 12.5\times44.4$
$= 555$
Sum given, find a term รู้ผลรวม หาพจน์
The first term of an arithmetic series $S$ is $-6$
The sum of the first $30$ terms of $S$ is $2865$
Find the $9$th term of $S$
พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $-6$
ผลรวมของ $30$ พจน์แรกของ $S$ คือ $2865$
จงหาพจน์ที่ $9$ ของ $S$
An arithmetic series has $a=2$ and $S_{30}=1000$. Write the equation you would solve for $d$.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมี $a=2$ และ $S_{30}=1000$ จงเขียนสมการที่จะแก้หา $d$
Answershow ▾
This time $S_n$ is already a number, so $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ becomes an equation to SOLVE for $d$, not evaluate.คราวนี้ $S_n$ เป็นตัวเลขอยู่แล้ว $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ จึงกลายเป็นสมการที่ต้องแก้หา $d$ ไม่ใช่แทนค่าหาคำตอบ
Solve $10(5+9d)=320$ for $d$.
จงแก้สมการ $10(5+9d)=320$ หา $d$
Answershow ▾
Divide both sides by $10$ first, then move the $5$ across.หารทั้งสองข้างด้วย $10$ ก่อน แล้วย้าย $5$ ไปอีกข้าง
An arithmetic series has $a=5$ and $d=2$. Find the $9$th term.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมี $a=5$ และ $d=2$ จงหาพจน์ที่ $9$
Answershow ▾
$u_n=a+(n-1)d$. Put $n=9$, so the power is $8$.$u_n=a+(n-1)d$ · แทน $n=9$ จะได้ยกกำลัง $8$
$a=-6$ and $S_{30}=2865$. Which formula do you solve for $d$?
(A) $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ — $a$, $n$ and $S_n$ are known, $d$ is the only unknown
(B) $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$ — but the last term $l$ is unknown too
(C) $u_n=a+(n-1)d$ — this uses a term value, and we have a sum, not a term
$a=-6$ และ $S_{30}=2865$ จะแก้หา $d$ ด้วยสูตรไหน
(A) $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ — รู้ $a$, $n$, $S_n$ แล้ว เหลือ $d$ ตัวเดียวที่ไม่รู้
(B) $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$ — แต่พจน์สุดท้าย $l$ ก็ไม่รู้เหมือนกัน
(C) $u_n=a+(n-1)d$ — สูตรนี้ใช้ค่าพจน์ แต่เรามีผลรวม ไม่ใช่พจน์
Answershow ▾
(B) trades one unknown ($d$) for two ($d$ and $l$), so one equation cannot solve it. (C) has no sum in it at all, so $S_{30}=2865$ cannot go in. (A) is the only form with exactly one unknown.(B) เปลี่ยนจากไม่รู้ตัวเดียว ($d$) เป็นไม่รู้สองตัว ($d$ กับ $l$) สมการเดียวแก้ไม่ได้ · (C) ไม่มีผลรวมอยู่ในสูตรเลย จึงใส่ $S_{30}=2865$ ไม่ได้ · (A) เป็นสูตรเดียวที่เหลือตัวไม่รู้ตัวเดียว
$a=-6$, $S_{30}=2865$. Write the sum formula with these numbers substituted in.
$a=-6$, $S_{30}=2865$ จงเขียนสูตรผลรวมโดยแทนตัวเลขเหล่านี้เข้าไป
Answershow ▾
Put $n=30$, $a=-6$, and the given sum straight into $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$.แทน $n=30$, $a=-6$ และผลรวมที่ให้ ลงใน $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ ตรง ๆ
Simplify $\dfrac{30}{2}\big(2(-6)+29d\big)=2865$ to the form $-12+29d=\dots$
จงจัดรูป $\dfrac{30}{2}\big(2(-6)+29d\big)=2865$ ให้อยู่ในรูป $-12+29d=\dots$
Answershow ▾
$\dfrac{30}{2}=15$ and $2(-6)=-12$; divide both sides by $15$ to undo it.$\dfrac{30}{2}=15$ และ $2(-6)=-12$ · หารทั้งสองข้างด้วย $15$ เพื่อย้อนกลับ
Solve $-12+29d=191$ for $d$.
จงแก้สมการ $-12+29d=191$ หา $d$
Answershow ▾
Move $-12$ to the other side first, then divide by $29$.ย้าย $-12$ ไปอีกข้างก่อน แล้วหารด้วย $29$
Use $a=-6$ and $d=7$ to find the $9$th term.
ใช้ $a=-6$ และ $d=7$ หาพจน์ที่ $9$
Answershow ▾
Same formula as question $3$, now with the real $a$ and $d$.สูตรเดียวกับข้อ $3$ แต่ใช้ $a$ และ $d$ จริง
Check that $a=-6,\,d=7$ gives $S_{30}=2865$.
จงตรวจว่า $a=-6,\,d=7$ ให้ $S_{30}=2865$
Answershow ▾
Put the found $d$ back into the sum you started from; if it does not match $2865$, a mistake is hiding.แทน $d$ ที่หาได้กลับเข้าไปในสมการผลรวมที่เริ่มมา · ถ้าไม่ตรง $2865$ แปลว่ามีที่พลาดซ่อนอยู่
The first term of an arithmetic series is $3$. The sum of the first $10$ terms is $120$. Find the $4$th term.
พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $3$ ผลรวมของ $10$ พจน์แรกคือ $120$ จงหาพจน์ที่ $4$
Answershow ▾
Same three moves: form the sum equation, solve for $d$, then the term formula.สามขั้นเดิม: ตั้งสมการผลรวม แก้หา $d$ แล้วใช้สูตรพจน์
The first term of an arithmetic series $S$ is $-6$
The sum of the first $30$ terms of $S$ is $2865$
Find the $9$th term of $S$
พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $-6$
ผลรวมของ $30$ พจน์แรกของ $S$ คือ $2865$
จงหาพจน์ที่ $9$ ของ $S$
Answershow ▾
$4$ marks. Three are for forming and solving the sum equation, one for the term.$4$ คะแนน · สามคะแนนเป็นคะแนนตั้งและแก้สมการผลรวม อีกหนึ่งคะแนนเป็นพจน์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{30}{2}(2(-6)+29d) = 2865$
M1 simplify the equationจัดรูปสมการ
$15(-12+29d) = 2865$
$-12+29d = 191$
M1 solve for dแก้หา d
$29d = 203$
$d = 7$
A1 the 9th termพจน์ที่ 9
$u_{9} = -6+8(7)$
$= 50$
Four terms, find the rule สี่พจน์ หากฎพจน์ที่ n
Here are the first $4$ terms of an arithmetic sequence.
$85\quad79\quad73\quad67$
Find an expression, in terms of $n$, for the $n$th term of the sequence.
ต่อไปนี้คือ $4$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
$85\quad79\quad73\quad67$
จงหานิพจน์ในรูป $n$ สำหรับพจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้
Here are three terms of a sequence: $20,\;17,\;14$. Find the common difference.
ต่อไปนี้คือสามพจน์ของลำดับหนึ่ง: $20,\;17,\;14$ จงหาผลต่างร่วม
Answershow ▾
Subtract a term from the one right after it: $17-20=-3$.นำพจน์ไปลบจากพจน์ที่อยู่ถัดไป: $17-20=-3$
Here are terms $1$, $2$, $3$ of a sequence: $5,\;8,\;11$. Term $3$ is how many gaps of $d$ away from term $1$?
ต่อไปนี้คือพจน์ที่ $1$, $2$, $3$ ของลำดับหนึ่ง: $5,\;8,\;11$ พจน์ที่ $3$ อยู่ห่างจากพจน์ที่ $1$ กี่ช่องของ $d$
Answershow ▾
Term $2$ is $1$ gap from term $1$; term $3$ is $2$ gaps from term $1$ — one FEWER than the term number.พจน์ที่ $2$ ห่างจากพจน์ที่ $1$ อยู่ $1$ ช่อง · พจน์ที่ $3$ ห่าง $2$ ช่อง — น้อยกว่าเลขพจน์อยู่หนึ่ง
A sequence has first term $5$ and common difference $3$. Find an expression for the $n$th term.
ลำดับหนึ่งมีพจน์แรก $5$ และผลต่างร่วม $3$ จงหานิพจน์สำหรับพจน์ที่ $n$
Answershow ▾
$u_n=a+(n-1)d$. Put in $a=5,\,d=3$, then expand.$u_n=a+(n-1)d$ · แทน $a=5,\,d=3$ แล้วกระจาย
$85,\;79,\;73,\;67$. What do you need before you can write $u_n=a+(n-1)d$?
(A) subtract two neighbouring terms to find $d$
(B) use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$
(C) average the four given terms
$85,\;79,\;73,\;67$ ก่อนจะเขียน $u_n=a+(n-1)d$ ต้องหาอะไรก่อน
(A) ลบพจน์ที่อยู่ติดกันหา $d$
(B) ใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$
(C) หาค่าเฉลี่ยของสี่พจน์ที่ให้มา
Answershow ▾
(B) needs a sum, but no sum is given or asked for here. (C) averages the four VALUES, which gives their mean, not the constant gap $d$ between them. $a$ is already the first term, $85$ — only $d$ is missing.(B) ต้องใช้ผลรวม แต่โจทย์นี้ไม่มีผลรวมให้หรือให้หา · (C) หาค่าเฉลี่ยของสี่ค่า ซึ่งคือค่าเฉลี่ย ไม่ใช่ช่องว่าง $d$ ที่คงที่ · $a$ คือพจน์แรก $85$ อยู่แล้ว เหลือแค่ $d$ ที่ยังไม่รู้
$85,\;79,\;73,\;67$. Find the common difference.
$85,\;79,\;73,\;67$ จงหาผลต่างร่วม
Answershow ▾
Same subtraction as question $1$, now with the real terms.ลบแบบเดียวกับข้อ $1$ แต่คราวนี้ใช้พจน์จริง
Use $a=85$ and $d=-6$ in $u_n=a+(n-1)d$. Write the expression, unexpanded.
ใช้ $a=85$ และ $d=-6$ ใน $u_n=a+(n-1)d$ จงเขียนนิพจน์โดยยังไม่กระจาย
Answershow ▾
Put $a$ and $d$ straight into the formula from question $3$.แทน $a$ และ $d$ ลงสูตรจากข้อ $3$ ตรง ๆ
Expand $85-6(n-1)$.
จงกระจาย $85-6(n-1)$
Answershow ▾
$-6\times(-1)=6$, so $85+6=91$.$-6\times(-1)=6$ ดังนั้น $85+6=91$
Use $u_n=91-6n$ to find the $10$th term of the sequence.
ใช้ $u_n=91-6n$ หาพจน์ที่ $10$ ของลำดับ
Answershow ▾
Put $n=10$ into the expression you just found.แทน $n=10$ ลงในนิพจน์ที่หาได้
Check that $u_n=91-6n$ gives the $4$th term, $67$.
จงตรวจว่า $u_n=91-6n$ ให้พจน์ที่ $4$ เป็น $67$
Answershow ▾
Put an ORIGINAL term number back in; if it does not match, a mistake is hiding.แทนเลขพจน์เดิมกลับเข้าไป · ถ้าไม่ตรง แปลว่ามีที่พลาดซ่อนอยู่
Here are the first $4$ terms of an arithmetic sequence.
$40\quad35\quad30\quad25$
Find an expression, in terms of $n$, for the $n$th term of the sequence.
ต่อไปนี้คือ $4$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
$40\quad35\quad30\quad25$
จงหานิพจน์ในรูป $n$ สำหรับพจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้
Answershow ▾
Same two moves: find $d$ from neighbouring terms, then expand $a+(n-1)d$.สองขั้นเดิม: หา $d$ จากพจน์ที่อยู่ติดกัน แล้วกระจาย $a+(n-1)d$
Here are the first $4$ terms of an arithmetic sequence.
$85\quad79\quad73\quad67$
Find an expression, in terms of $n$, for the $n$th term of the sequence.
ต่อไปนี้คือ $4$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
$85\quad79\quad73\quad67$
จงหานิพจน์ในรูป $n$ สำหรับพจน์ที่ $n$ ของลำดับนี้
Answershow ▾
$2$ marks. One for $d$, one for the expression.$2$ คะแนน · หนึ่งคะแนนสำหรับ $d$ อีกหนึ่งคะแนนสำหรับนิพจน์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$d = 79-85$
$= -6$
A1 nth term expressionนิพจน์พจน์ที่ n
$u_{n} = 85-6(n-1)$
$= 91-6n$
Two facts, a sum, and an N to find รู้สองพจน์ กับผลรวม แล้วหาค่า N
The sum of the first $N$ terms of an arithmetic series, $S$, is $292$
The $2$nd term of $S$ is $8.5$
The $5$th term of $S$ is $13$
Find the value of $N$
Show clear algebraic working.
ผลรวมของ $N$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $292$
พจน์ที่ $2$ ของ $S$ คือ $8.5$
พจน์ที่ $5$ ของ $S$ คือ $13$
จงหาค่าของ $N$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
The $2$nd term of an arithmetic series $S$ is $8.5$. Write an equation in $a$ and $d$ for this term.
พจน์ที่ $2$ ของอนุกรมเลขคณิต $S$ คือ $8.5$ จงเขียนสมการในรูป $a$ และ $d$ สำหรับพจน์นี้
Answershow ▾
The $n$th term is $a+(n-1)d$; the $2$nd term is $a+d$.พจน์ที่ $n$ คือ $a+(n-1)d$ พจน์ที่ $2$ คือ $a+d$
The $5$th term of $S$ is $13$. Write an equation in $a$ and $d$ for this term.
พจน์ที่ $5$ ของ $S$ คือ $13$ จงเขียนสมการในรูป $a$ และ $d$ สำหรับพจน์นี้
Answershow ▾
The same formula, with $n=5$.สูตรเดิม แทน $n=5$
$n$ is the number of terms in a sequence, so it must be a positive whole number. Solve $n^{2}+n-20=0$ and give the value of $n$ that is possible.
$n$ คือจำนวนพจน์ของลำดับ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก จงแก้สมการ $n^{2}+n-20=0$ แล้วบอกค่า $n$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
The quadratic gives $n=4$ or $n=-5$. A term count cannot be negative, so $n=-5$ is rejected.สมการกำลังสองให้ $n=4$ หรือ $n=-5$ จำนวนพจน์เป็นลบไม่ได้ จึงตัด $n=-5$ ทิ้ง
You have two equations: $a+d=8.5$ and $a+4d=13$. Pick the first move that removes $a$.
(A) add the two equations
(B) subtract the first from the second
(C) multiply the first equation by $4$, then add it to the second
มีสองสมการ: $a+d=8.5$ และ $a+4d=13$ จงเลือกขั้นแรกที่กำจัด $a$ ออก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) นำสมการที่สองลบด้วยสมการแรก
(C) คูณสมการแรกด้วย $4$ แล้วนำไปบวกกับสมการที่สอง
Answershow ▾
Adding keeps both $a$ and $d$: $2a+5d=21.5$. Multiplying the first by $4$ and adding gives $5a+8d=47$, which keeps both too. Subtracting the first from the second cancels $a$ because both equations have the same $a$ coefficient.การบวกยังเหลือทั้ง $a$ และ $d$: $2a+5d=21.5$ · การคูณสมการแรกด้วย $4$ แล้วบวก ก็ยังเหลือทั้งสองตัวเช่นกัน $5a+8d=47$ · การนำสมการที่สองลบด้วยสมการแรกจะตัด $a$ ออกได้ เพราะสัมประสิทธิ์ของ $a$ ในสองสมการเท่ากัน
Use $② - ①$ to find $d$, then find $a$.
ใช้ $② - ①$ หาค่า $d$ แล้วหาค่า $a$
Answershow ▾
Divide $3d=4.5$ by $3$ for $d$, then substitute into $①$ for $a$.หาร $3d=4.5$ ด้วย $3$ เพื่อหา $d$ แล้วแทนค่าใน $①$ เพื่อหา $a$
Using $a=7$ and $d=1.5$, write $S_N=\dfrac{N}{2}\left(2a+(N-1)d\right)$ and set it equal to $292$.
ใช้ $a=7$ และ $d=1.5$ จงเขียน $S_N=\dfrac{N}{2}\left(2a+(N-1)d\right)$ แล้วให้เท่ากับ $292$
Answershow ▾
$2a=14$, and $14+1.5(N-1)=12.5+1.5N$.$2a=14$ และ $14+1.5(N-1)=12.5+1.5N$
Rearrange $\dfrac{N}{2}(12.5+1.5N)=292$ into the form $aN^{2}+bN+c=0$.
จงจัด $\dfrac{N}{2}(12.5+1.5N)=292$ ให้อยู่ในรูป $aN^{2}+bN+c=0$
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$, expand the bracket, then move everything to one side.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$ กระจายวงเล็บ แล้วย้ายทุกพจน์มาฝั่งเดียวกัน
Solve $3N^{2}+25N-1168=0$ using the quadratic formula, and give the value of $N$ that makes sense.
จงแก้ $3N^{2}+25N-1168=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง แล้วบอกค่า $N$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
The formula gives $N=16$ or $N=-\dfrac{73}{3}$. $N$ counts terms, so it cannot be negative; the negative root is rejected.สูตรให้ $N=16$ หรือ $N=-\dfrac{73}{3}$ · $N$ คือจำนวนพจน์ เป็นลบไม่ได้ จึงตัดรากที่เป็นลบทิ้ง
Check $N=16$ by substituting into $S_N=\dfrac{N}{2}(12.5+1.5N)$. Does it give $292$?
จงตรวจ $N=16$ โดยแทนใน $S_N=\dfrac{N}{2}(12.5+1.5N)$ ได้ $292$ หรือไม่
Answershow ▾
A value that reproduces the given sum confirms the whole working.ถ้าค่าที่ได้ทำให้ผลรวมตรงกับที่กำหนด แสดงว่าวิธีทำทั้งหมดถูกต้อง
The sum of the first $N$ terms of an arithmetic series, $S$, is $195$. The $2$nd term of $S$ is $5$. The $5$th term of $S$ is $11$. Find the value of $N$.
ผลรวมของ $N$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $195$ พจน์ที่ $2$ ของ $S$ คือ $5$ พจน์ที่ $5$ ของ $S$ คือ $11$ จงหาค่าของ $N$
Answershow ▾
Same five moves as the real question: two term equations, solve for $a$ and $d$, form $S_N$, rearrange to a quadratic, solve and reject the negative root.ห้าขั้นเดิมจากข้อจริง: สมการสองพจน์ แก้หา $a$ และ $d$ ตั้งสมการ $S_N$ จัดเป็นสมการกำลังสอง แก้สมการแล้วตัดรากลบทิ้ง
The sum of the first $N$ terms of an arithmetic series, $S$, is $292$
The $2$nd term of $S$ is $8.5$
The $5$th term of $S$ is $13$
Find the value of $N$
Show clear algebraic working.
ผลรวมของ $N$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $292$
พจน์ที่ $2$ ของ $S$ คือ $8.5$
พจน์ที่ $5$ ของ $S$ คือ $13$
จงหาค่าของ $N$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks, four for method: two term equations, solve for $a$ and $d$, form and rearrange the $S_N$ equation, then solve the quadratic and reject the negative root.5 คะแนน สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: สมการสองพจน์ แก้หา $a$ และ $d$ ตั้งและจัดสมการ $S_N$ แล้วแก้สมการกำลังสองและตัดรากลบทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$a+d = 8.5$
$a+4d = 13$
M1 solve for d and aแก้หา d และ a
$3d = 4.5$
$d = 1.5$
$a = 7$
M1 form the Sn equationตั้งสมการ Sn
$2a+(N-1)d = 14+1.5(N-1)$
$= 12.5+1.5N$
$\dfrac{N}{2}(12.5+1.5N) = 292$
M1 rearrange to a quadraticจัดเป็นสมการกำลังสอง
$N(12.5+1.5N) = 584$
$3N^{2}+25N-1168 = 0$
A1 solve the quadratic for Nแก้สมการกำลังสองหา N
$N = \dfrac{-25+121}{6}$
$= 16$
A relation in letters, not numbers สมการที่มีแต่ตัวอักษร ไม่มีตัวเลข
An arithmetic series has first term $a$ and common difference $d$.
The sum of the first $2n$ terms of the series is four times the sum of the first $n$ terms of the series.
Find an expression for $a$ in terms of $d$.
Show your working clearly.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$
ผลรวมของ $2n$ พจน์แรกของลำดับนี้ เท่ากับ $4$ เท่าของผลรวม $n$ พจน์แรก
จงหานิพจน์ของ $a$ ในรูปของ $d$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
An arithmetic series has $a=3$ and $d=6$. Use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ to work out $S_{2}$.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมี $a=3$ และ $d=6$ จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ หา $S_{2}$
Answershow ▾
Put $n=2$ into the formula, then simplify the bracket.แทน $n=2$ ในสูตร แล้วจัดรูปในวงเล็บ
Use the same formula to work out $S_{4}$ for the same series, then check whether $S_{4}=4\times S_{2}$.
จงใช้สูตรเดียวกัน หา $S_{4}$ ของลำดับเดิม แล้วตรวจว่า $S_{4}=4\times S_{2}$ หรือไม่
Answershow ▾
Put $n=4$ into the formula, then multiply the question $1$ answer by $4$ to compare.แทน $n=4$ ในสูตร แล้วเอาคำตอบข้อ $1$ คูณ $4$ เพื่อเทียบ
Use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ with $2n$ in place of $n$ to write $S_{2n}$.
จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ โดยแทน $n$ ด้วย $2n$ เขียน $S_{2n}$
Answershow ▾
$\dfrac{2n}{2}$ simplifies to $n$ — everything else is the same as putting in a number.$\dfrac{2n}{2}$ จัดรูปได้เป็น $n$ ส่วนที่เหลือทำเหมือนแทนตัวเลขทุกอย่าง
Use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ to write $S_{n}$. Then use $S_{2n}=n\big(2a+(2n-1)d\big)$ from question $3$ to write the equation $S_{2n}=4S_{n}$.
จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ เขียน $S_{n}$ จากนั้นใช้ $S_{2n}=n\big(2a+(2n-1)d\big)$ จากข้อ $3$ เขียนสมการ $S_{2n}=4S_{n}$
Answershow ▾
$4\times\dfrac{n}{2}=2n$.$4\times\dfrac{n}{2}=2n$
Both sides of $n\big(2a+(2n-1)d\big)=2n\big(2a+(n-1)d\big)$ have a factor of $n$. What do you do?
(A) divide both sides by $n$, since $n$ is a count of terms so it is never $0$
(B) leave $n$ in — you cannot divide by a letter you do not know the value of
(C) set $n=0$ to remove those terms
สมการ $n\big(2a+(2n-1)d\big)=2n\big(2a+(n-1)d\big)$ มี $n$ เป็นตัวประกอบทั้งสองข้าง ควรทำอย่างไร
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $n$ เพราะ $n$ คือจำนวนพจน์ จึงไม่เท่ากับ $0$
(B) ปล่อย $n$ ไว้อย่างนั้น — หารด้วยตัวอักษรที่ไม่รู้ค่าไม่ได้
(C) ให้ $n=0$ เพื่อตัดพจน์เหล่านั้นออก
Answershow ▾
$n$ is unknown, but it is still a genuine number — a count of terms, so $n\ge1$ — and dividing both sides of an equation by any nonzero number is always valid, known or not. Setting $n=0$ is also not allowed: a series cannot have zero terms, and it would force $0=0$, which destroys the equation.$n$ ไม่รู้ค่า แต่ก็เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง คือจำนวนพจน์ ดังนั้น $n\ge1$ และการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ทำได้เสมอ ไม่ว่าจะรู้ค่าหรือไม่ · ส่วน $n=0$ ก็ทำไม่ได้ เพราะลำดับมีพจน์เป็น $0$ ไม่ได้ และจะทำให้ได้ $0=0$ ซึ่งทำลายสมการไป
Divide both sides of $n\big(2a+(2n-1)d\big)=2n\big(2a+(n-1)d\big)$ by $n$.
จงหารทั้งสองข้างของ $n\big(2a+(2n-1)d\big)=2n\big(2a+(n-1)d\big)$ ด้วย $n$
Answershow ▾
Dividing removes the $n$ outside each bracket; the brackets stay the same.การหารตัด $n$ ที่อยู่หน้าวงเล็บออกไป ส่วนในวงเล็บไม่เปลี่ยน
Expand both sides of $2a+(2n-1)d=2\big(2a+(n-1)d\big)$.
จงกระจายทั้งสองข้างของ $2a+(2n-1)d=2\big(2a+(n-1)d\big)$
Answershow ▾
Multiply $2$ into the bracket on the right; expand $(2n-1)d$ on the left.คูณ $2$ เข้าไปในวงเล็บทางขวา และกระจาย $(2n-1)d$ ทางซ้าย
The $2nd$ term appears on both sides of $2a+2nd-d=4a+2nd-2d$. Cancel it, then solve for $a$ in terms of $d$.
พจน์ $2nd$ อยู่ทั้งสองข้างของ $2a+2nd-d=4a+2nd-2d$ จงตัดออก แล้วแก้หา $a$ ในรูปของ $d$
Answershow ▾
Once $2nd$ cancels, $n$ is gone completely — the relation no longer depends on $n$ at all.เมื่อ $2nd$ ตัดกันแล้ว $n$ จะหายไปทั้งหมด สมการนี้จึงไม่ขึ้นกับ $n$ อีกต่อไป
Pick $d=10$. Use $a=\dfrac{d}{2}$ to find $a$, then check that $S_{6}=4S_{3}$ for this series.
จงเลือก $d=10$ ใช้ $a=\dfrac{d}{2}$ หา $a$ แล้วตรวจว่า $S_{6}=4S_{3}$ สำหรับลำดับนี้
Answershow ▾
Any $d$ you choose will work, because $a=\dfrac{d}{2}$ makes the relation true for every $n$, not just one.ไม่ว่าเลือก $d$ ใด ก็ใช้ได้ เพราะ $a=\dfrac{d}{2}$ ทำให้สมการเป็นจริงทุกค่า $n$ ไม่ใช่แค่ค่าเดียว
An arithmetic series has first term $a$ and common difference $d$. The sum of the first $4n$ terms of the series is $16$ times the sum of the first $n$ terms of the series. Find an expression for $a$ in terms of $d$.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$ ผลรวมของ $4n$ พจน์แรกของลำดับนี้ เท่ากับ $16$ เท่าของผลรวม $n$ พจน์แรก จงหานิพจน์ของ $a$ ในรูปของ $d$
Answershow ▾
Same moves: write $S_{4n}$ and $S_{n}$, divide by the common factor, expand, then cancel the matching $nd$ term.ขั้นตอนเดิม: เขียน $S_{4n}$ และ $S_{n}$ หารด้วยตัวประกอบร่วม กระจาย แล้วตัดพจน์ $nd$ ที่ซ้ำกัน
An arithmetic series has first term $a$ and common difference $d$.
The sum of the first $2n$ terms of the series is four times the sum of the first $n$ terms of the series.
Find an expression for $a$ in terms of $d$.
Show your working clearly.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$
ผลรวมของ $2n$ พจน์แรกของลำดับนี้ เท่ากับ $4$ เท่าของผลรวม $n$ พจน์แรก
จงหานิพจน์ของ $a$ ในรูปของ $d$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
4 marks. Write $S_{2n}$ and $S_{n}$, divide by $n$, expand, then cancel the matching $nd$ term to finish.4 คะแนน · เขียน $S_{2n}$ และ $S_{n}$ หารด้วย $n$ กระจาย แล้วตัดพจน์ $nd$ ที่ซ้ำกันเพื่อหาคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$S_{2n} = n(2a+(2n-1)d)$
$S_{n} = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
M1 set S2n equal 4Snให้ S2n เท่ากับ 4Sn
$n(2a+(2n-1)d) = 2n(2a+(n-1)d)$
$2a+(2n-1)d = 2(2a+(n-1)d)$
M1 expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
$2a+2nd-d = 4a+2nd-2d$
A1 a in terms of da ในรูปของ d
$2a-d = 4a-2d$
$d = 2a$
$a = \dfrac{d}{2}$
A shelving pattern, R and S แพทเทิร์นชั้นวาง R และ S
(a) In a warehouse there are two types of shelves, type $R$ and type $S$.
These two types of shelves are arranged into shelving units that form a sequence of patterns. Here are the first three terms in the sequence.
The width of each type $R$ shelf is $2.4$ m and the width of each type $S$ shelf is $3.5$ m.
Work out the total width of a shelving unit that has $6$ type $R$ shelves.
(b) A shelving unit has $n$ type $R$ shelves.
The total width of this shelving unit is $W$ metres.
Find an expression for $W$ in terms of $n$
Give your answer in its simplest form.
(ก) ในโกดังแห่งหนึ่งมีชั้นวางสองแบบ คือแบบ $R$ และแบบ $S$
ชั้นวางสองแบบนี้ถูกจัดเรียงเป็นชุดชั้นวางที่สร้างลำดับของแพทเทิร์น ต่อไปนี้คือสามพจน์แรกของลำดับนี้
ชั้น $R$ แต่ละชั้นกว้าง $2.4$ ม. และชั้น $S$ แต่ละชั้นกว้าง $3.5$ ม.
จงหาความกว้างรวมของชุดชั้นวางที่มีชั้น $R$ จำนวน $6$ ชั้น
(ข) ชุดชั้นวางหนึ่งมีชั้น $R$ จำนวน $n$ ชั้น
ความกว้างรวมของชุดชั้นวางนี้คือ $W$ เมตร
จงหานิพจน์ของ $W$ ในรูปของ $n$
ตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
Shelf $R$ is $2.4$ m wide. A shelving unit with just $1$ type $R$ shelf has no $S$ shelf yet. Work out its total width.
ชั้น $R$ กว้าง $2.4$ ม. ชุดชั้นวางที่มีชั้น $R$ แค่ $1$ ชั้น ยังไม่มีชั้น $S$ เลย จงหาความกว้างรวม
Answershow ▾
This is $a$, the width before any $S$ shelf is added.นี่คือ $a$ ความกว้างก่อนที่จะมีชั้น $S$ เพิ่มเข้ามา
The next shelving unit adds $1$ type $S$ shelf ($3.5$ m) and $1$ more type $R$ shelf ($2.4$ m). Work out how much width this adds.
ชุดชั้นวางถัดไปเพิ่มชั้น $S$ อีก $1$ ชั้น ($3.5$ ม.) และชั้น $R$ อีก $1$ ชั้น ($2.4$ ม.) จงหาว่าความกว้างเพิ่มขึ้นเท่าไร
Answershow ▾
This is $d$, the fixed amount every extra $R$ shelf brings with its own $S$ shelf.นี่คือ $d$ จำนวนคงที่ที่ชั้น $R$ ทุกชั้นที่เพิ่มขึ้นพาชั้น $S$ ของมันมาด้วย
Using $a=2.4$ and $d=5.9$, work out the total width of a shelving unit with $3$ type $R$ shelves.
ใช้ $a=2.4$ และ $d=5.9$ จงหาความกว้างรวมของชุดชั้นวางที่มีชั้น $R$ จำนวน $3$ ชั้น
Answershow ▾
$3$ type $R$ shelves means $d$ is added $(3-1)=2$ times to $a$.ชั้น $R$ $3$ ชั้น หมายถึงบวก $d$ เพิ่ม $(3-1)=2$ ครั้งจาก $a$
A shelving unit has $n$ type $R$ shelves. Each $S$ shelf sits between two $R$ shelves, and the pattern always starts and ends with $R$. How many type $S$ shelves are there?
(A) $n$
(B) $n-1$
(C) $n+1$
ชุดชั้นวางหนึ่งมีชั้น $R$ จำนวน $n$ ชั้น ชั้น $S$ แต่ละชั้นอยู่ระหว่างชั้น $R$ สองชั้น และแพทเทิร์นเริ่มและจบด้วย $R$ เสมอ มีชั้น $S$ กี่ชั้น
(A) $n$
(B) $n-1$
(C) $n+1$
Answershow ▾
('(A) and (C) both give $S$ one shelf for every $R$ shelf. Because the pattern starts and ends with $R$, there is always one fewer gap than there are $R$ shelves, so $S=n-1$.', '(A) และ (C) ให้ $S$ หนึ่งชั้นต่อ $R$ หนึ่งชั้น แต่เพราะแพทเทิร์นเริ่มและจบด้วย $R$ ช่องว่างจึงน้อยกว่าจำนวนชั้น $R$ อยู่ $1$ เสมอ ดังนั้น $S=n-1$')[{'m': 'S = n-1'}]
Use $S=n-1$ to find the number of type $S$ shelves when there are $6$ type $R$ shelves.
ใช้ $S=n-1$ หาจำนวนชั้น $S$ เมื่อมีชั้น $R$ จำนวน $6$ ชั้น
Answershow ▾
Same rule as the decision: one fewer than the $R$ count.กฎเดียวกับข้อเลือก: น้อยกว่าจำนวน $R$ อยู่ $1$
Work out the total width of a shelving unit with $6$ type $R$ shelves and $5$ type $S$ shelves.
จงหาความกว้างรวมของชุดชั้นวางที่มีชั้น $R$ $6$ ชั้น และชั้น $S$ $5$ ชั้น
Answershow ▾
Six $R$ widths plus five $S$ widths.ความกว้าง $R$ หกชั้น บวกความกว้าง $S$ ห้าชั้น
A shelving unit has $n$ type $R$ shelves, so it has $n-1$ type $S$ shelves. Write an expression for the total width $W$.
ชุดชั้นวางหนึ่งมีชั้น $R$ จำนวน $n$ ชั้น จึงมีชั้น $S$ จำนวน $n-1$ ชั้น จงเขียนนิพจน์ของความกว้างรวม $W$
Answershow ▾
Same two groups as question $5$, now with $n$ in place of $6$.สองกลุ่มเดียวกับข้อ $5$ เปลี่ยนจาก $6$ เป็น $n$
Simplify $W=2.4n+3.5(n-1)$.
จงจัดรูปให้ง่าย $W=2.4n+3.5(n-1)$
Answershow ▾
Collect the $n$ terms: $2.4n+3.5n=5.9n$.รวมพจน์ $n$: $2.4n+3.5n=5.9n$
Check the simplified formula: put $n=6$ into $W=5.9n-3.5$ and compare with question $5$.
ตรวจสูตรที่จัดรูปแล้ว: แทน $n=6$ ใน $W=5.9n-3.5$ แล้วเทียบกับข้อ $5$
Answershow ▾
If this does not match question $5$, the simplifying went wrong.ถ้าไม่ตรงกับข้อ $5$ แสดงว่าจัดรูปผิด
A different warehouse uses the same pattern with shelf $R$ ($3$ m wide) and shelf $S$ ($4$ m wide). (a) Find the total width for $5$ type $R$ shelves. (b) Write $W$ in terms of $n$ type $R$ shelves.
โกดังอีกแห่งใช้แพทเทิร์นเดียวกัน ชั้น $R$ กว้าง $3$ ม. และชั้น $S$ กว้าง $4$ ม. (ก) จงหาความกว้างรวมเมื่อมีชั้น $R$ $5$ ชั้น (ข) จงเขียน $W$ ในรูปของชั้น $R$ จำนวน $n$ ชั้น
Answershow ▾
Same two moves: count the $S$ shelves ($n-1$), then add the widths.สองขั้นเดิม: นับชั้น $S$ ($n-1$) แล้วบวกความกว้าง
(a) In a warehouse there are two types of shelves, type $R$ and type $S$.
These two types of shelves are arranged into shelving units that form a sequence of patterns. Here are the first three terms in the sequence.
The width of each type $R$ shelf is $2.4$ m and the width of each type $S$ shelf is $3.5$ m.
Work out the total width of a shelving unit that has $6$ type $R$ shelves.
(b) A shelving unit has $n$ type $R$ shelves.
The total width of this shelving unit is $W$ metres.
Find an expression for $W$ in terms of $n$
Give your answer in its simplest form.
(ก) ในโกดังแห่งหนึ่งมีชั้นวางสองแบบ คือแบบ $R$ และแบบ $S$
ชั้นวางสองแบบนี้ถูกจัดเรียงเป็นชุดชั้นวางที่สร้างลำดับของแพทเทิร์น ต่อไปนี้คือสามพจน์แรกของลำดับนี้
ชั้น $R$ แต่ละชั้นกว้าง $2.4$ ม. และชั้น $S$ แต่ละชั้นกว้าง $3.5$ ม.
จงหาความกว้างรวมของชุดชั้นวางที่มีชั้น $R$ จำนวน $6$ ชั้น
(ข) ชุดชั้นวางหนึ่งมีชั้น $R$ จำนวน $n$ ชั้น
ความกว้างรวมของชุดชั้นวางนี้คือ $W$ เมตร
จงหานิพจน์ของ $W$ ในรูปของ $n$
ตอบในรูปที่ง่ายที่สุด
Answershow ▾
4 marks. Two for finding the $S$ count, two for writing $W$.4 คะแนน · สองคะแนนสำหรับหาจำนวน $S$ อีกสองคะแนนสำหรับเขียน $W$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$R = 6$
$S = 5$
A1 total width for 6 R shelvesความกว้างรวมเมื่อ R มี 6
$6(2.4)+5(3.5) = 14.4+17.5$
$= 31.9$
M1 S shelves in terms of nจำนวน S ในรูป n
$R = n$
$S = n-1$
A1 simplify W in terms of nจัดรูป W ในรูป n
$W = 2.4n+3.5(n-1)$
$= 5.9n-3.5$
A polygon's angles, in order, are a sequence มุมของรูปหลายเหลี่ยม เรียงเป็นลำดับ
A polygon has $n$ sides, where $n \gt 5$
When arranged in order of size, starting with the largest number, the sizes of the interior angles of the polygon, in degrees, are the terms of an arithmetic sequence.
Here are the first five terms of this sequence.
$177\quad175\quad173\quad171\quad169$
Find the value of $n$
Show clear algebraic working.
รูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งมี $n$ ด้าน โดยที่ $n \gt 5$
เมื่อเรียงขนาดมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนี้จากมากไปน้อย มุมแต่ละมุม (หน่วยองศา) เป็นพจน์ของลำดับเลขคณิต
ต่อไปนี้คือห้าพจน์แรกของลำดับนี้
$177\quad175\quad173\quad171\quad169$
จงหาค่าของ $n$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
The angles $177,\,175,\,173,\,171,\,169$ (degrees) form an arithmetic sequence. Write the first term $a$ and the common difference $d$.
มุม $177,\,175,\,173,\,171,\,169$ (องศา) เป็นลำดับเลขคณิต จงเขียนพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$
Answershow ▾
Each angle is $2$ less than the one before, so $d$ is negative.มุมแต่ละมุมน้อยกว่าตัวก่อนหน้า $2$ องศา $d$ จึงเป็นลบ
Using $a=177$ and $d=-2$, find $S_{5}=\dfrac{5}{2}\big(2(177)+(5-1)(-2)\big)$, the sum of the first $5$ angles.
ใช้ $a=177$ และ $d=-2$ จงหา $S_{5}=\dfrac{5}{2}\big(2(177)+(5-1)(-2)\big)$ ผลรวมของห้ามุมแรก
Answershow ▾
Check: $177+175+173+171+169=865$, the same answer.ตรวจ: $177+175+173+171+169=865$ ได้คำตอบเดียวกัน
A polygon has $7$ sides. Use the angle-sum rule $(n-2)\times180$ to find the sum of its interior angles.
รูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งมี $7$ ด้าน จงใช้กฎผลรวมมุม $(n-2)\times180$ หาผลรวมมุมภายใน
Answershow ▾
Every polygon with $n$ sides has interior angles summing to $(n-2)\times180$ degrees.รูปหลายเหลี่ยมที่มี $n$ ด้าน มีผลรวมมุมภายในเท่ากับ $(n-2)\times180$ องศาเสมอ
You can write the sum of the $n$ angles two ways: as the arithmetic series $S_n$, and as the polygon rule $(n-2)\times180$. Both describe the sum of the same $n$ angles. What do you do with these two expressions?
(A) add them together
(B) set them equal to each other
(C) subtract the smaller from the larger
เขียนผลรวมของมุม $n$ มุมได้สองแบบ: อนุกรมเลขคณิต $S_n$ และกฎรูปหลายเหลี่ยม $(n-2)\times180$ ทั้งสองแบบคือผลรวมของมุม $n$ มุมเดียวกัน จะทำอย่างไรกับสองนิพจน์นี้
(A) บวกเข้าด้วยกัน
(B) ให้เท่ากัน
(C) เอาตัวใหญ่ลบตัวเล็ก
Answershow ▾
('(A) and (C) both treat the two expressions as different totals. They are the same total written two ways, so the correct move is to equate them, which gives one equation in $n$.', '(A) และ (C) ถือว่าสองนิพจน์เป็นผลรวมคนละตัว แต่ทั้งสองคือผลรวมเดียวกันที่เขียนสองแบบ จึงต้องให้เท่ากัน จะได้สมการเดียวที่มี $n$ ตัวเดียว')[{'m': 'S_{n} = (n-2)\\times180'}]
Write $S_{n}=\dfrac{n}{2}\big(2(177)+(n-1)(-2)\big)$ for this sequence, simplified to one bracket.
จงเขียน $S_{n}=\dfrac{n}{2}\big(2(177)+(n-1)(-2)\big)$ ของลำดับนี้ จัดให้เหลือวงเล็บเดียว
Answershow ▾
$354-2(n-1)=356-2n$, and half of that is $178-n$.$354-2(n-1)=356-2n$ ครึ่งหนึ่งของนั้นคือ $178-n$
Write the angle-sum rule for a polygon with $n$ sides, expanded.
จงเขียนกฎผลรวมมุมของรูป $n$ เหลี่ยม แบบกระจายวงเล็บแล้ว
Answershow ▾
Multiply out the bracket.กระจายวงเล็บออกมา
Set $S_n=n(178-n)$ equal to the angle-sum rule $180n-360$.
จงให้ $S_n=n(178-n)$ เท่ากับกฎผลรวมมุม $180n-360$
Answershow ▾
This is one equation with one unknown, $n$.นี่คือสมการเดียวที่มีตัวไม่รู้ค่าตัวเดียวคือ $n$
Expand $n(178-n)=180n-360$ and rearrange so one side is $0$.
จงกระจาย $n(178-n)=180n-360$ แล้วจัดให้ข้างหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Move every term to one side, then flip the sign so $n^{2}$ has a positive coefficient.ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว แล้วสลับเครื่องหมายให้ $n^{2}$ มีสัมประสิทธิ์เป็นบวก
Solve $n^{2}+2n-360=0$ using the quadratic formula. A polygon needs $n\gt5$ and a whole number of sides, so decide which root is the answer.
จงแก้สมการ $n^{2}+2n-360=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง รูปหลายเหลี่ยมต้องมี $n\gt5$ และเป็นจำนวนเต็ม จงเลือกคำตอบที่ถูก
Answershow ▾
The two roots are $18$ and $-20$. A polygon cannot have $-20$ sides, so $n=18$.สองรากคือ $18$ และ $-20$ รูปหลายเหลี่ยมมีด้าน $-20$ ด้านไม่ได้ จึง $n=18$
A polygon has $n$ sides, where $n\gt5$. Its interior angles, largest to smallest, form an arithmetic sequence. The first three are $135,\,129,\,123$ (degrees). Find $n$.
รูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งมี $n$ ด้าน โดยที่ $n\gt5$ มุมภายในเรียงจากมากไปน้อยเป็นลำดับเลขคณิต สามพจน์แรกคือ $135,\,129,\,123$ (องศา) จงหาค่าของ $n$
Answershow ▾
Same two facts: $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ and $(n-2)\times180$ describe the same total.สองข้อเท็จจริงเดิม: $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ และ $(n-2)\times180$ คือผลรวมเดียวกัน
A polygon has $n$ sides, where $n \gt 5$
When arranged in order of size, starting with the largest number, the sizes of the interior angles of the polygon, in degrees, are the terms of an arithmetic sequence.
Here are the first five terms of this sequence.
$177\quad175\quad173\quad171\quad169$
Find the value of $n$
Show clear algebraic working.
รูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งมี $n$ ด้าน โดยที่ $n \gt 5$
เมื่อเรียงขนาดมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนี้จากมากไปน้อย มุมแต่ละมุม (หน่วยองศา) เป็นพจน์ของลำดับเลขคณิต
ต่อไปนี้คือห้าพจน์แรกของลำดับนี้
$177\quad175\quad173\quad171\quad169$
จงหาค่าของ $n$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
6 marks. Five are for method: both facts, setting them equal, and rearranging.6 คะแนน · ห้าคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: สองข้อเท็จจริง การให้เท่ากัน และการจัดรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$a = 177$
$d = -2$
M1 sum of n interior anglesผลรวมมุมภายใน n มุม
$S_{n} = \dfrac{n}{2}(354-2(n-1))$
$= n(178-n)$
M1 angle sum of an n-gonผลรวมมุมภายในรูป n เหลี่ยม
$(n-2)\times180$
M1 set the two sums equalให้ผลรวมทั้งสองเท่ากัน
$n(178-n) = 180n-360$
M1 rearrange to a quadraticจัดเป็นสมการกำลังสอง
$178n-n^{2} = 180n-360$
$n^{2}+2n-360 = 0$
A1 solve the quadratic for nแก้สมการกำลังสองหา n
$n = \dfrac{-2+38}{2}$
$= 18$
The sum of the last 20 terms ผลรวม 20 พจน์สุดท้าย
An arithmetic sequence has first term $8$ and common difference $11$
The sequence has $k$ terms, where $k \gt 21$
The sum of the last $20$ terms of the sequence is $10170$
Find the value of $k$
Show clear algebraic working.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $8$ และผลต่างร่วม $11$
ลำดับนี้มี $k$ พจน์ โดยที่ $k \gt 21$
ผลรวมของ $20$ พจน์สุดท้ายของลำดับนี้คือ $10170$
จงหาค่าของ $k$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
An arithmetic sequence has first term $8$ and common difference $11$. Write an expression for the $n$th term, $u_n$.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $8$ และผลต่างร่วม $11$ จงเขียนนิพจน์ของพจน์ที่ $n$ คือ $u_n$
Answershow ▾
$u_n=a+(n-1)d=8+11(n-1)$, then collect like terms.$u_n=a+(n-1)d=8+11(n-1)$ จากนั้นรวมพจน์ที่เหมือนกัน
Using $u_n=11n-3$, write an expression for the term $19$ places earlier, $u_{n-19}$.
ใช้ $u_n=11n-3$ จงเขียนนิพจน์ของพจน์ที่อยู่ก่อนหน้า $19$ พจน์ คือ $u_{n-19}$
Answershow ▾
Replace $n$ with $n-19$ in the formula, then collect like terms.แทน $n$ ด้วย $n-19$ ในสูตร แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
A block of $20$ consecutive terms has first term $5$ and last term $100$. Using $S=\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$ with $n=20$, find the sum of the block.
พจน์ต่อเนื่อง $20$ พจน์ มีพจน์แรกเท่ากับ $5$ และพจน์สุดท้ายเท่ากับ $100$ จงใช้ $S=\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$ โดย $n=20$ หาผลรวมของพจน์ชุดนี้
Answershow ▾
$S=\dfrac{20}{2}(5+100)=10(105)=1050$.$S=\dfrac{20}{2}(5+100)=10(105)=1050$
The sequence has $k$ terms. Which range of terms is "the last $20$ terms"?
(A) $u_1$ to $u_{20}$
(B) $u_{k-19}$ to $u_k$
(C) $u_{k-20}$ to $u_{k-1}$
ลำดับนี้มี $k$ พจน์ "$20$ พจน์สุดท้าย" คือช่วงพจน์ใด
(A) $u_1$ ถึง $u_{20}$
(B) $u_{k-19}$ ถึง $u_k$
(C) $u_{k-20}$ ถึง $u_{k-1}$
Answershow ▾
(A) is the first $20$ terms, not the last. (C) stops one term short of $u_k$, the true last term. Counting from $u_{k-19}$ to $u_k$ gives exactly $20$ terms, ending at the real last term.(A) คือ $20$ พจน์แรก ไม่ใช่พจน์สุดท้าย · (C) หยุดก่อน $u_k$ หนึ่งพจน์ ซึ่ง $u_k$ คือพจน์สุดท้ายตัวจริง · การนับจาก $u_{k-19}$ ถึง $u_k$ ได้ครบ $20$ พจน์ และจบที่พจน์สุดท้ายจริง
The sequence has $k$ terms. Write an expression for $u_{k-19}$, the first term of the last $20$ terms.
ลำดับนี้มี $k$ พจน์ จงเขียนนิพจน์ของ $u_{k-19}$ ซึ่งเป็นพจน์แรกของ $20$ พจน์สุดท้าย
Answershow ▾
Same formula as question $2$, with the letter $n$ replaced by $k$.สูตรเดิมจากข้อ $2$ เปลี่ยน $n$ เป็น $k$
Write an expression for $u_k$, the last term of the sequence.
จงเขียนนิพจน์ของ $u_k$ ซึ่งเป็นพจน์สุดท้ายของลำดับ
Answershow ▾
Same formula as question $1$, with $n$ replaced by $k$.สูตรเดิมจากข้อ $1$ เปลี่ยน $n$ เป็น $k$
Using $S=\dfrac{n}{2}(u_{k-19}+u_k)$ with $n=20$, set the sum of the last $20$ terms equal to $10170$.
ใช้ $S=\dfrac{n}{2}(u_{k-19}+u_k)$ โดย $n=20$ จงตั้งสมการผลรวม $20$ พจน์สุดท้ายให้เท่ากับ $10170$
Answershow ▾
$\dfrac{20}{2}=10$, so divide both sides by $10$ first.$\dfrac{20}{2}=10$ จึงหารทั้งสองข้างด้วย $10$ ก่อน
Substitute $u_{k-19}=11k-212$ and $u_k=11k-3$ into $u_{k-19}+u_k=1017$, then simplify.
แทน $u_{k-19}=11k-212$ และ $u_k=11k-3$ ใน $u_{k-19}+u_k=1017$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
Collect the $k$ terms and the numbers separately, then move $-215$ across.รวมพจน์ $k$ และตัวเลขแยกกัน แล้วย้าย $-215$ ข้ามไป
Solve $22k=1232$ for $k$, and check it fits the given fact $k \gt 21$.
จงแก้ $22k=1232$ หาค่า $k$ แล้วตรวจว่าสอดคล้องกับเงื่อนไข $k \gt 21$ หรือไม่
Answershow ▾
Divide both sides by $22$. A value that satisfies the given condition confirms the answer.หารทั้งสองข้างด้วย $22$ · ค่าที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดยืนยันว่าคำตอบถูกต้อง
An arithmetic sequence has first term $2$ and common difference $3$. The sequence has $k$ terms, where $k \gt 21$. The sum of the last $20$ terms is $2290$. Find the value of $k$.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $2$ และผลต่างร่วม $3$ ลำดับนี้มี $k$ พจน์ โดยที่ $k \gt 21$ ผลรวมของ $20$ พจน์สุดท้ายของลำดับนี้คือ $2290$ จงหาค่าของ $k$
Answershow ▾
Same five moves as the real question: find $u_{k-19}$ and $u_k$, form the sum equation, combine and simplify, then solve for $k$.ห้าขั้นเดิมจากข้อจริง: หา $u_{k-19}$ และ $u_k$ ตั้งสมการผลรวม รวมและจัดรูป แล้วแก้หา $k$
An arithmetic sequence has first term $8$ and common difference $11$
The sequence has $k$ terms, where $k \gt 21$
The sum of the last $20$ terms of the sequence is $10170$
Find the value of $k$
Show clear algebraic working.
ลำดับเลขคณิตหนึ่งมีพจน์แรก $8$ และผลต่างร่วม $11$
ลำดับนี้มี $k$ พจน์ โดยที่ $k \gt 21$
ผลรวมของ $20$ พจน์สุดท้ายของลำดับนี้คือ $10170$
จงหาค่าของ $k$
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks: identify $u_{k-19}$ and $u_k$, form the sum equation, combine into one linear equation, simplify, then solve for $k$ — no quadratic here, and $k=56$ already satisfies $k \gt 21$.5 คะแนน: หา $u_{k-19}$ และ $u_k$ ตั้งสมการผลรวม รวมเป็นสมการเชิงเส้นเดียว จัดรูป แล้วแก้หา $k$ · ข้อนี้ไม่มีสมการกำลังสอง และ $k=56$ สอดคล้องกับ $k \gt 21$ อยู่แล้ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$u_{k-19} = 8+11(k-20)$
$= 11k-212$
$u_{k} = 8+11(k-1)$
$= 11k-3$
M1 sum of the last 20 termsผลรวม 20 พจน์สุดท้าย
$10(u_{k-19}+u_{k}) = 10170$
$u_{k-19}+u_{k} = 1017$
M1 combine into one equationรวมเป็นสมการเดียว
$11k-212+11k-3 = 1017$
M1 simplify the equationจัดรูปสมการ
$22k-215 = 1017$
$22k = 1232$
A1 solve for kแก้หา k
$k = 56$
Three terms in p, then solve for n สามพจน์ในรูป p แล้วหาค่า n
Here are the first three terms of an arithmetic sequence.
$8p\quad7p-3\quad4p+2$
The sum of the first $n$ terms of the sequence is $-1914$
Work out the value of $n$
Show your working clearly.
ต่อไปนี้คือสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิต
$8p\quad7p-3\quad4p+2$
ผลรวมของ $n$ พจน์แรกของลำดับนี้คือ $-1914$
จงหาค่าของ $n$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Three consecutive terms of an arithmetic sequence are $5x$, $4x-1$, $x+4$. Write the equation that says the two common differences are equal.
สามพจน์ต่อเนื่องของลำดับเลขคณิตคือ $5x$, $4x-1$, $x+4$ จงเขียนสมการที่บอกว่าผลต่างร่วมทั้งสองช่วงเท่ากัน
Answershow ▾
In an arithmetic sequence, (2nd term minus 1st term) equals (3rd term minus 2nd term).ในลำดับเลขคณิต (พจน์ที่ 2 ลบ พจน์ที่ 1) เท่ากับ (พจน์ที่ 3 ลบ พจน์ที่ 2)
Solve $(4x-1)-5x=(x+4)-(4x-1)$ for $x$.
จงแก้ $(4x-1)-5x=(x+4)-(4x-1)$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Simplify both sides first, then collect the $x$ terms on one side.จัดรูปทั้งสองข้างก่อน แล้วรวมพจน์ $x$ มาไว้ฝั่งเดียวกัน
Using $x=3$, find the first term ($5x$) and the common difference of $5x$, $4x-1$, $x+4$.
ใช้ $x=3$ จงหาพจน์แรก ($5x$) และผลต่างร่วมของ $5x$, $4x-1$, $x+4$
Answershow ▾
The common difference is (2nd term minus 1st term) using the value of $x$ you just found.ผลต่างร่วมคือ (พจน์ที่ 2 ลบ พจน์ที่ 1) โดยใช้ค่า $x$ ที่หาได้
The three terms are written in $p$, and you do not know $a$, $d$, or $n$ yet. What should you do first?
(A) use the $n$th-term formula $u_n=a+(n-1)d$ straight away
(B) use the fact that the two gaps between the terms are equal, to find $p$ first
(C) substitute the terms into $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ straight away
สามพจน์นี้เขียนในรูป $p$ และยังไม่รู้ค่า $a$, $d$, หรือ $n$ ควรทำอะไรก่อน
(A) ใช้สูตรพจน์ที่ $n$ คือ $u_n=a+(n-1)d$ ทันที
(B) ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลต่างทั้งสองช่วงเท่ากัน เพื่อหา $p$ ก่อน
(C) แทนพจน์ลงใน $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ ทันที
Answershow ▾
(A) and (C) both have three unknowns at once ($p$ with $a$/$d$, or $p$ with $a$/$d$/$n$) and no way to isolate one. Equal gaps gives one equation in $p$ alone, because $a$ and $d$ have not been named yet.(A) และ (C) มีตัวไม่รู้สามตัวพร้อมกัน ($p$ กับ $a$/$d$ หรือ $p$ กับ $a$/$d$/$n$) ไม่มีทางแยกหาตัวใดตัวหนึ่งได้ · ผลต่างที่เท่ากันให้สมการที่มีแค่ $p$ ตัวเดียว เพราะยังไม่ได้ตั้งชื่อ $a$ และ $d$
The first three terms of an arithmetic sequence are $8p$, $7p-3$, $4p+2$. Write the equation that says the two common differences are equal.
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $8p$, $7p-3$, $4p+2$ จงเขียนสมการที่บอกว่าผลต่างร่วมทั้งสองช่วงเท่ากัน
Answershow ▾
Same move as question $1$, with the real terms.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้พจน์จริง
Solve $(7p-3)-8p=(4p+2)-(7p-3)$ for $p$.
จงแก้ $(7p-3)-8p=(4p+2)-(7p-3)$ หาค่า $p$
Answershow ▾
Simplify both sides, then collect the $p$ terms.จัดรูปทั้งสองข้าง แล้วรวมพจน์ $p$
Using $p=4$, find the first term $a$ and the common difference $d$ of $8p$, $7p-3$, $4p+2$.
ใช้ $p=4$ จงหาพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$ ของ $8p$, $7p-3$, $4p+2$
Answershow ▾
$a=8p$ at $p=4$; $d$ is (2nd term minus 1st term) using $p=4$.$a=8p$ เมื่อ $p=4$ · $d$ คือ (พจน์ที่ 2 ลบ พจน์ที่ 1) โดยใช้ $p=4$
Using $a=32$ and $d=-7$, form the equation $S_n=-1914$ using $S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$, and rearrange it into the form $an^{2}+bn+c=0$.
ใช้ $a=32$ และ $d=-7$ ตั้งสมการ $S_n=-1914$ โดยใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ แล้วจัดให้อยู่ในรูป $an^{2}+bn+c=0$
Answershow ▾
$2a=64$, and $64-7(n-1)=71-7n$. Multiply by $2$, then move $-1914$ across.$2a=64$ และ $64-7(n-1)=71-7n$ · คูณด้วย $2$ แล้วย้าย $-1914$ ข้ามไป
Solve $7n^{2}-71n-3828=0$, reject the root that cannot be a number of terms, then check your value of $n$ by substituting it back into $S_n=\dfrac{n}{2}(71-7n)$.
จงแก้ $7n^{2}-71n-3828=0$ ตัดรากที่เป็นจำนวนพจน์ไม่ได้ทิ้ง แล้วตรวจค่า $n$ ที่ได้โดยแทนกลับใน $S_n=\dfrac{n}{2}(71-7n)$
Answershow ▾
A value that reproduces the given sum $-1914$ confirms the whole working.ค่าที่ทำให้ผลรวมตรงกับ $-1914$ ที่กำหนด ยืนยันว่าวิธีทำทั้งหมดถูกต้อง
Here are the first three terms of an arithmetic sequence: $5m$, $4m+1$, $m-2$. The sum of the first $n$ terms is $165$. Find the value of $n$.
ต่อไปนี้คือสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิต: $5m$, $4m+1$, $m-2$ ผลรวมของ $n$ พจน์แรกของลำดับนี้คือ $165$ จงหาค่าของ $n$
Answershow ▾
Same five moves as the real question: equal gaps gives $m$, then $a$ and $d$, then form, rearrange and solve the $S_n$ equation, rejecting the negative root.ห้าขั้นเดิมจากข้อจริง: ผลต่างเท่ากันหา $m$ จากนั้นหา $a$ และ $d$ ตั้งสมการ จัดรูปและแก้สมการ $S_n$ โดยตัดรากลบทิ้ง
Here are the first three terms of an arithmetic sequence.
$8p\quad7p-3\quad4p+2$
The sum of the first $n$ terms of the sequence is $-1914$
Work out the value of $n$
Show your working clearly.
ต่อไปนี้คือสามพจน์แรกของลำดับเลขคณิต
$8p\quad7p-3\quad4p+2$
ผลรวมของ $n$ พจน์แรกของลำดับนี้คือ $-1914$
จงหาค่าของ $n$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks: equal gaps gives $p$, then $a$ and $d$, then form and rearrange the $S_n$ equation, solve the quadratic and reject the negative root.5 คะแนน: ผลต่างเท่ากันหา $p$ จากนั้นหา $a$ และ $d$ ตั้งและจัดสมการ $S_n$ แก้สมการกำลังสองแล้วตัดรากลบทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(7p-3)-8p = (4p+2)-(7p-3)$
M1 solve for pแก้หา p
$-p-3 = -3p+5$
$2p = 8$
$p = 4$
M1 first term and dพจน์แรกและ d
$a = 8(4)$
$= 32$
$d = (7(4)-3)-32$
$= -7$
M1 form the Sn equationตั้งสมการ Sn
$2a+(n-1)d = 64-7(n-1)$
$= 71-7n$
$\dfrac{n}{2}(71-7n) = -1914$
A1 solve the quadratic for nแก้สมการกำลังสองหา n
$7n^{2}-71n-3828 = 0$
$n = \dfrac{71+335}{14}$
$= 29$
Two facts, then X in the subscript สองข้อเท็จจริง แล้ว X อยู่ใต้ตัวห้อย
The sum of the first $80$ terms of an arithmetic series, $S$, is $470$
The $75$th term of $S$ is $14.5$
The sum of the first $X$ terms of $S$ is $171$
Work out the value of $X$
Show your working clearly.
ผลรวมของ $80$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $470$
พจน์ที่ $75$ ของ $S$ คือ $14.5$
ผลรวมของ $X$ พจน์แรกของ $S$ คือ $171$
จงหาค่าของ $X$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ with $n=80$ to write an expression for $S_{80}$.
จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ โดยแทน $n=80$ หานิพจน์ของ $S_{80}$
Answershow ▾
Put $n=80$ into the formula; $\dfrac{80}{2}=40$.แทน $n=80$ ในสูตร โดย $\dfrac{80}{2}=40$
Use $a+(n-1)d$ with $n=75$ to write an expression for the $75$th term.
จงใช้ $a+(n-1)d$ โดยแทน $n=75$ หานิพจน์ของพจน์ที่ $75$
Answershow ▾
The step count is one less than the term number: term $75=a+74d$.จำนวนก้าวน้อยกว่าลำดับพจน์เสมอหนึ่งก้าว: พจน์ที่ $75=a+74d$
Use $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ with $X$ in place of $n$ to write an expression for $S_{X}$.
จงใช้ $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ โดยแทน $n$ ด้วย $X$ หานิพจน์ของ $S_{X}$
Answershow ▾
The same formula works for a letter as it does for a number.สูตรเดียวกันใช้ได้ทั้งกับตัวอักษรและตัวเลข
Use $S_{80}=40\big(2a+79d\big)$ and $S_{80}=470$ to form and simplify the equation. Label it ①.
จงใช้ $S_{80}=40\big(2a+79d\big)$ และ $S_{80}=470$ ตั้งสมการแล้วจัดรูป ติดเลข ①
Answershow ▾
Divide every term by $40$.หารทุกพจน์ด้วย $40$
The $75$th term is $14.5$. Use $a+74d$ from question $2$ to write the equation. Label it ②.
พจน์ที่ $75$ คือ $14.5$ จงใช้ $a+74d$ จากข้อ $2$ เขียนสมการ ติดเลข ②
Answershow ▾
No further simplifying is needed here.ไม่ต้องจัดรูปเพิ่มอีก
① $2a+79d=11.75$ and ② $a+74d=14.5$. To eliminate $a$, what do you do first?
(A) subtract ② from ①
(B) multiply ② by $2$, then subtract
(C) multiply ① by $2$, then add ②
① $2a+79d=11.75$ และ ② $a+74d=14.5$ จะกำจัด $a$ ต้องทำอะไรก่อน
(A) ลบ ② ออกจาก ①
(B) คูณ ② ด้วย $2$ แล้วลบ
(C) คูณ ① ด้วย $2$ แล้วบวก ②
Answershow ▾
In (A), the $a$ coefficients are $2$ and $1$ — they do not match, so subtracting leaves $a$ in the result. In (C), multiplying ① by $2$ gives $a$ coefficient $4$, and adding ② (coefficient $1$) gives $5a$, further from cancelling. Only (B) makes both $a$ coefficients $2$, so subtracting removes it.ใน (A) สัมประสิทธิ์ $a$ คือ $2$ กับ $1$ ไม่เท่ากัน ลบแล้ว $a$ ยังไม่หายไป · ใน (C) คูณ ① ด้วย $2$ ได้สัมประสิทธิ์ $a$ เป็น $4$ แล้วบวก ② (สัมประสิทธิ์ $1$) ได้ $5a$ ยิ่งห่างจากการตัดกัน · มีแค่ (B) ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ $a$ เท่ากันคือ $2$ ลบแล้วจึงตัดกัน
Multiply ② by $2$, then subtract ① to eliminate $a$.
จงคูณ ② ด้วย $2$ แล้วลบ ① เพื่อกำจัด $a$
Answershow ▾
The $a$ terms now match at $2a$, so they cancel.พจน์ $a$ เท่ากันเป็น $2a$ แล้ว จึงตัดกันได้
Solve $69d=17.25$ for $d$, then substitute into ② to find $a$.
จงแก้ $69d=17.25$ หา $d$ แล้วแทนค่าใน ② เพื่อหา $a$
Answershow ▾
$74\times0.25=18.5$, and $14.5-18.5=-4$.$74\times0.25=18.5$ และ $14.5-18.5=-4$
Use $S_{X}=\dfrac{X}{2}\big(2a+(X-1)d\big)$ with $a=-4$, $d=0.25$, and $S_{X}=171$ to form an equation, then simplify it to a quadratic in $X$.
จงใช้ $S_{X}=\dfrac{X}{2}\big(2a+(X-1)d\big)$ โดย $a=-4$, $d=0.25$ และ $S_{X}=171$ ตั้งสมการ แล้วจัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองของ $X$
Answershow ▾
Expand $2a+(X-1)d$ first, then clear the $\dfrac{X}{2}$ by multiplying both sides by $2$.กระจาย $2a+(X-1)d$ ก่อน แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $2$ เพื่อตัด $\dfrac{X}{2}$ ออก
Solving $X^{2}-33X-1368=0$ gives $X=57$ or $X=-24$. Which is the answer?
(A) $X=-24$
(B) $X=57$
(C) both — give two answers
สมการ $X^{2}-33X-1368=0$ ได้ $X=57$ หรือ $X=-24$ คำตอบคือข้อใด
(A) $X=-24$
(B) $X=57$
(C) ทั้งสองค่า ตอบสองคำตอบ
Answershow ▾
$X$ counts a number of terms, so it must be a positive whole number. $X=-24$ describes a negative number of terms, which is impossible, so only $X=57$ is valid — giving two answers would include one that cannot exist.$X$ คือจำนวนพจน์ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก $X=-24$ หมายถึงจำนวนพจน์เป็นลบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ จึงมีแค่ $X=57$ ที่ใช้ได้ · การตอบสองค่าจะรวมค่าที่เป็นไปไม่ได้เข้าไปด้วย
The sum of the first $10$ terms of an arithmetic series, $S$, is $155$. The $6$th term of $S$ is $17$. The sum of the first $Y$ terms of $S$ is $100$. Work out the value of $Y$.
ผลรวมของ $10$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $155$ พจน์ที่ $6$ ของ $S$ คือ $17$ ผลรวมของ $Y$ พจน์แรกของ $S$ คือ $100$ จงหาค่าของ $Y$
Answershow ▾
Same five moves: form ① and ②, eliminate $a$, solve for $d$ and $a$, form the $S_Y$ equation, then solve the quadratic and reject the root that cannot count terms.ห้าขั้นตอนเดิม: ตั้ง ① และ ② กำจัด $a$ แก้หา $d$ และ $a$ ตั้งสมการ $S_Y$ แล้วแก้สมการกำลังสองและตัดคำตอบที่เป็นจำนวนพจน์ไม่ได้
The sum of the first $80$ terms of an arithmetic series, $S$, is $470$
The $75$th term of $S$ is $14.5$
The sum of the first $X$ terms of $S$ is $171$
Work out the value of $X$
Show your working clearly.
ผลรวมของ $80$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต $S$ คือ $470$
พจน์ที่ $75$ ของ $S$ คือ $14.5$
ผลรวมของ $X$ พจน์แรกของ $S$ คือ $171$
จงหาค่าของ $X$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
6 marks, 5 for method: form ① and ②, eliminate $a$, solve for $d$ and $a$, then build the $S_X$ equation and reject the root that cannot count terms.6 คะแนน 5 คะแนนเป็นวิธีทำ: ตั้ง ① และ ② กำจัด $a$ แก้หา $d$ และ $a$ แล้วตั้งสมการ $S_X$ และตัดคำตอบที่เป็นจำนวนพจน์ไม่ได้
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{80}{2}(2a+79d) = 470$
$2a+79d = 11.75$
M1 the 75th term equationสมการพจน์ที่ 75
$a+74d = 14.5$
M1 eliminate aกำจัด a
$2a+148d = 29$
$69d = 17.25$
M1 solve for d and aแก้หา d และ a
$d = 0.25$
$a = 14.5-74(0.25)$
$= -4$
M1 form the SX equationตั้งสมการ SX
$2a+(X-1)d = -8+0.25(X-1)$
$= 0.25X-8.25$
$\dfrac{X}{2}(0.25X-8.25) = 171$
$X^{2}-33X-1368 = 0$
A1 solve the quadratic for Xแก้สมการกำลังสองหา X
$X = \dfrac{33+81}{2}$
$= 57$