Coordinate geometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Coordinate geometry
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Coordinate geometry
The line $y = -4x + 12$ meets the curve $y = x^2$ at the points $A$ and $B$, where the $x$-coordinate of $A$ is less than that of $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$.
(b) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Solve $x^2 + 4x - 12 = 0$.
แก้สมการ $x^2 + 4x - 12 = 0$
Answershow ▾
This is the equation you get when the line meets the curve. Nothing else yet.
The point with $x = 2$ lies on $y = x^2$. Find its $y$-coordinate.
Answershow ▾
Substitute. This is how you turn an $x$-value into a full coordinate.
Solving $x^2 + 4x - 12 = 0$ gives $x = -6$ and $x = 2$. To get the $y$-coordinates of $A$ and $B$, which equation do you put those numbers back into — the line $y = -4x + 12$, the curve $y = x^2$, or either? Say why.
แก้ $x^2 + 4x - 12 = 0$ ได้ $x = -6$ กับ $x = 2$ · จะหาค่า $y$ ของ $A$ และ $B$ ต้องแทนกลับเข้าสมการไหน เส้นตรง $y = -4x + 12$ เส้นโค้ง $y = x^2$ หรือได้ทั้งสอง เพราะอะไร
Answershow ▾
"Meets" means the two graphs share those points, which is the whole reason the two right-hand sides could be set equal in the first place. Use the easier one, $y = x^2$, and the other one as a free check. The mistake is going back into the rearranged quadratic $x^2 + 4x - 12$, which is neither graph.คำว่า "ตัดกัน" แปลว่าจุดนั้นอยู่บนทั้งสองกราฟ ซึ่งเป็นเหตุผลที่จับสองสมการมาเท่ากันได้ตั้งแต่ต้น · ใช้อันที่ง่ายกว่าคือ $y = x^2$ แล้วใช้อีกอันตรวจฟรี ๆ · ที่ผิดกันคือแทนกลับเข้า $x^2 + 4x - 12$ ซึ่งไม่ใช่กราฟไหนเลย
Find the midpoint of $(-6,\,36)$ and $(2,\,4)$.
Answershow ▾
Average the $x$s, average the $y$s.
Find the gradient of the line through $(-6,\,36)$ and $(2,\,4)$.
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$, both read the same way round.
A line has gradient $-4$. State the gradient of a line perpendicular to it.
Answershow ▾
Flip it and change the sign — the product must be $-1$.
The question asks for the perpendicular bisector of $AB$. That is two words doing two different jobs. Which of the two things a straight line needs — a point, or a gradient — does each word give you?
โจทย์ขอ perpendicular bisector (เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก) ของ $AB$ · สองคำนี้ทำคนละหน้าที่ · เส้นตรงต้องใช้สองอย่างคือจุดกับความชัน · แต่ละคำให้อะไร
Answershow ▾
A straight line needs exactly one point and one gradient, and the phrase hands you exactly one of each. Miss "bisector" and you have a gradient with nowhere to put it; miss "perpendicular" and you have redrawn $AB$. The mark scheme opens at the midpoint, after the reading has been done, so no mark exists for doing it.เส้นตรงต้องใช้จุดหนึ่งจุดกับความชันหนึ่งค่า และวลีนี้ให้มาอย่างละหนึ่งพอดี · ถ้าพลาดคำว่า bisector จะได้ความชันแต่ไม่มีจุด · ถ้าพลาดคำว่า perpendicular ก็คือวาด $AB$ ซ้ำ · มาร์คสกีมเริ่มที่จุดกึ่งกลาง คือหลังจากอ่านโจทย์ออกแล้ว จึงไม่มีคะแนนให้ตรงนี้
Find the equation of the line with gradient $\frac{1}{4}$ passing through $(-2,\,20)$, in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
$y - y_1 = m(x - x_1)$, then rearrange.
The line $y = -4x + 12$ meets $y = x^2$ at $A$ and $B$. Find the coordinates of $A$ and $B$.
เส้นตรง $y = -4x + 12$ ตัดกับเส้นโค้ง $y = x^2$ ที่จุด $A$ และ $B$ · หาพิกัดของ $A$ และ $B$
Answershow ▾
Questions 1 and 2 together: solve for $x$, then get each $y$.
The points $A(-6,\,36)$ and $B(2,\,4)$ are given. Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$, in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
Questions 3, 4, 5 and 6 in one go — the points are handed to you this time.
Part (b) ends with "giving your answer in the form $y = mx + c$". A student stops at $y - 20 = \frac{1}{4}(x + 2)$. Is that the answer? What still has to happen, and is that instruction decoration or an order?
ข้อ (b) ปิดท้ายว่า "ตอบในรูป $y = mx + c$" · นักเรียนหยุดที่ $y - 20 = \frac{1}{4}(x + 2)$ · นี่คือคำตอบหรือยัง ต้องทำอะไรต่อ และประโยคนั้นเป็นแค่คำประดับหรือเป็นคำสั่ง
Answershow ▾
A "in the form" clause is an order. The final A1 is written against that form, so a correct line in the wrong shape scores nothing for it — and the rearranging itself is worth no separate mark, which is exactly why it gets skipped.ประโยค "ในรูป..." คือคำสั่ง · A1 ตัวสุดท้ายเขียนไว้ตามรูปนั้น บรรทัดที่ถูกแต่รูปไม่ตรงจึงไม่ได้คะแนน · และการจัดรูปเองก็ไม่มีคะแนนแยกให้ นั่นแหละคือเหตุผลที่คนข้าม
The line $y = 2x + 3$ meets the curve $y = x^2$ at $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$.
(b) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$.
Answershow ▾
Same shape as the exam question, but the numbers stay small.
The line $y = -4x + 12$ meets the curve $y = x^2$ at the points $A$ and $B$, where the $x$-coordinate of $A$ is less than that of $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$.
(b) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
8 marks. Every step is a question you have already done.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 midpoint $= (-2,\,20)$ M1 gradient of $AB = -4$ M1 perpendicular gradient $= \frac{1}{4}$ A1 $y = \frac{1}{4}x + \frac{41}{2}$.
Coordinate geometry · circles
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$.
(a) Find the centre and radius of the circle.
(b) Show that the point $P(-7,\,6)$ lies on the circle.
(c) Find the equation of the tangent to the circle at $P$, giving your answer in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers.
Write $x^2 + 8x$ in the form $(x + p)^2 + q$.
เขียน $x^2 + 8x$ ในรูป $(x+p)^2+q$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $x$ to get $p$; subtract $p^2$ to undo what squaring added.
Write $y^2 - 8y$ in the form $(y + p)^2 + q$.
Answershow ▾
Exactly the same move as for $x$ in question 1, applied to the $y$ terms.
Show that the point $(3,\,3)$ lies on the curve $x^2 + y^2 = 18$.
แสดงว่าจุด $(3,\,3)$ อยู่บนเส้นโค้ง $x^2 + y^2 = 18$
Answershow ▾
Substitute both coordinates into the LHS and check it equals the RHS.
The circle is given as $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$. The centre and the radius are not visible anywhere in it. Which of these gets them out, and why do the other two fail?
(A) complete the square in $x$ and in $y$ separately (B) factorise the whole left-hand side (C) put $x = 0$ and $y = 0$
วงกลมให้มาเป็น $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$ ซึ่งมองไม่เห็นจุดศูนย์กลางกับรัศมีเลย · ข้อไหนดึงออกมาได้ และอีกสองข้อพังตรงไหน
(A) ทำ complete the square แยกกันในตัว $x$ และตัว $y$ (B) แยกตัวประกอบทั้งฝั่งซ้าย (C) แทน $x = 0$ และ $y = 0$
Answershow ▾
The centre and the radius live in $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ and in no other form, so the expanded equation has to be pushed back into it — twice, once for each letter. (B) is not possible; (C) finds where the circle cuts the axes, which is a different question. No mark is attached to choosing; the M1 is for doing.จุดศูนย์กลางกับรัศมีอยู่ในรูป $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ เท่านั้น จึงต้องดันสมการที่กระจายแล้วกลับเข้ารูปนั้น สองครั้ง ตัวละหนึ่ง · (B) ทำไม่ได้ · (C) คือหาจุดตัดแกน ซึ่งเป็นคนละคำถาม · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือก M1 ให้กับการทำ
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$. Find its centre and radius.
Answershow ▾
Complete the square in $x$ and in $y$ separately, exactly as in questions 1 and 2, to reach $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 100$; then read off the centre and radius.
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$. Show that the point $P(-7,\,6)$ lies on the circle.
Answershow ▾
Substitute the coordinates of $P$ into the LHS and check it simplifies to $0$.
You now know the centre $C(-1,\,-2)$ and the point $P(-7,\,6)$, and part (c) wants the tangent at $P$. The word "radius" appears nowhere in the question. Which line do you find the gradient of first, and which single fact turns that gradient into the tangent's gradient?
ตอนนี้รู้จุดศูนย์กลาง $C(-1,\,-2)$ และจุด $P(-7,\,6)$ แล้ว และข้อ (c) ต้องการเส้นสัมผัสที่ $P$ · คำว่า "รัศมี" ไม่ปรากฏในโจทย์เลย · ต้องหาความชันของเส้นไหนก่อน และข้อเท็จจริงข้อเดียวอะไรที่เปลี่ยนความชันนั้นเป็นความชันของเส้นสัมผัส
Answershow ▾
That one fact is the only bridge from a circle equation to a straight line, and it is the whole question. The mark scheme opens at "gradient of $CP$" — after the decision has already been made — so the decision itself is worth nothing and is invisible in every worked solution.ข้อเท็จจริงข้อนี้คือสะพานเดียวจากสมการวงกลมไปสู่สมการเส้นตรง และมันคือทั้งข้อ · มาร์คสกีมเริ่มที่ "ความชันของ $CP$" คือหลังจากตัดสินใจไปแล้ว การตัดสินใจนี้จึงไม่มีคะแนน และไม่ปรากฏในเฉลยที่ไหนเลย
The circle above has centre $C(-1,\,-2)$, and $P(-7,\,6)$ lies on the circle. Find the gradient of $CP$.
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$, from $C$ to $P$, both read the same way round.
A tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact. The radius $CP$ has gradient $- \frac{4}{3}$. State the gradient of the tangent at $P$.
เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส · รัศมี $CP$ มีความชัน $- \frac{4}{3}$ หาความชันของเส้นสัมผัสที่ $P$
Answershow ▾
Flip the fraction and change the sign — the product of the two gradients must be $-1$. This is the mark most often lost in this question.
Find the equation of the line through $P(-7,\,6)$ with gradient $\frac{3}{4}$, giving your answer in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers.
Answershow ▾
$y - 6 = \frac{3}{4}(x + 7)$, then clear the fraction and collect $x$ and $y$ on one side so every coefficient is an integer.
Part (c) wants the answer "in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers". Is $y = \frac{3}{4}x + \frac{45}{4}$ an acceptable final line? If not, what has to be done to it?
ข้อ (c) ขอคำตอบ "ในรูป $ax + by = k$ เมื่อ $a$, $b$, $k$ เป็นจำนวนเต็ม" · บรรทัด $y = \frac{3}{4}x + \frac{45}{4}$ ใช้เป็นคำตอบสุดท้ายได้ไหม ถ้าไม่ได้ ต้องทำอะไรต่อ
Answershow ▾
"Integers" is the instruction that kills the fractions, and "$ax + by = k$" is the instruction that moves everything to one side. Both are orders. The A1 is written against that shape and pays nothing for a correct line in the wrong one.คำว่า "จำนวนเต็ม" คือคำสั่งให้กำจัดเศษส่วน และรูป "$ax + by = k$" คือคำสั่งให้ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว · ทั้งคู่เป็นคำสั่ง · A1 เขียนไว้ตามรูปนั้น บรรทัดที่ถูกแต่รูปผิดจึงไม่ได้คะแนน
A circle has equation $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0$.
(a) Find its centre and radius.
(b) Show that the point $P(4,\,5)$ lies on the circle.
(c) Find the equation of the tangent at $P$, in the form $ax + by = k$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$.
(a) Find the centre and radius of the circle.
(b) Show that the point $P(-7,\,6)$ lies on the circle.
(c) Find the equation of the tangent to the circle at $P$, giving your answer in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers.
Answershow ▾
9 marks. Questions 1, 2 and 4 are part (a); question 5 is part (b); questions 6, 7 and 8 are part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 substitute $P(-7,\,6)$ into the LHS: $85 - 14 + 24 - 95 = 0$ A1 the equation is satisfied, so $P$ lies on the circle.
(c) M1 gradient of the radius $CP = - \frac{4}{3}$ M1 tangent gradient $= \frac{3}{4}$, the negative reciprocal M1 $y - 6 = \frac{3}{4}(x + 7)$ A1 $3x - 4y = -45$.