Coordinate geometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Coordinate geometry
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Coordinate geometry
The line $y = -4x + 12$ meets the curve $y = x^2$ at the points $A$ and $B$, where the $x$-coordinate of $A$ is less than that of $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$.
(b) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Solve $x^2 + 4x - 12 = 0$.
แก้สมการ $x^2 + 4x - 12 = 0$
Answershow ▾
This is the equation you get when the line meets the curve. Nothing else yet.
The point with $x = 2$ lies on $y = x^2$. Find its $y$-coordinate.
Answershow ▾
Substitute. This is how you turn an $x$-value into a full coordinate.
Solving $x^2 + 4x - 12 = 0$ gives $x = -6$ and $x = 2$. To get the $y$-coordinates of $A$ and $B$, which equation do you put those numbers back into — the line $y = -4x + 12$, the curve $y = x^2$, or either? Say why.
แก้ $x^2 + 4x - 12 = 0$ ได้ $x = -6$ กับ $x = 2$ · จะหาค่า $y$ ของ $A$ และ $B$ ต้องแทนกลับเข้าสมการไหน เส้นตรง $y = -4x + 12$ เส้นโค้ง $y = x^2$ หรือได้ทั้งสอง เพราะอะไร
Answershow ▾
"Meets" means the two graphs share those points, which is the whole reason the two right-hand sides could be set equal in the first place. Use the easier one, $y = x^2$, and the other one as a free check. The mistake is going back into the rearranged quadratic $x^2 + 4x - 12$, which is neither graph.คำว่า "ตัดกัน" แปลว่าจุดนั้นอยู่บนทั้งสองกราฟ ซึ่งเป็นเหตุผลที่จับสองสมการมาเท่ากันได้ตั้งแต่ต้น · ใช้อันที่ง่ายกว่าคือ $y = x^2$ แล้วใช้อีกอันตรวจฟรี ๆ · ที่ผิดกันคือแทนกลับเข้า $x^2 + 4x - 12$ ซึ่งไม่ใช่กราฟไหนเลย
Find the midpoint of $(-6,\,36)$ and $(2,\,4)$.
Answershow ▾
Average the $x$s, average the $y$s.
Find the gradient of the line through $(-6,\,36)$ and $(2,\,4)$.
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$, both read the same way round.
A line has gradient $-4$. State the gradient of a line perpendicular to it.
Answershow ▾
Flip it and change the sign — the product must be $-1$.
The question asks for the perpendicular bisector of $AB$. That is two words doing two different jobs. Which of the two things a straight line needs — a point, or a gradient — does each word give you?
โจทย์ขอ perpendicular bisector (เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก) ของ $AB$ · สองคำนี้ทำคนละหน้าที่ · เส้นตรงต้องใช้สองอย่างคือจุดกับความชัน · แต่ละคำให้อะไร
Answershow ▾
A straight line needs exactly one point and one gradient, and the phrase hands you exactly one of each. Miss "bisector" and you have a gradient with nowhere to put it; miss "perpendicular" and you have redrawn $AB$. The mark scheme opens at the midpoint, after the reading has been done, so no mark exists for doing it.เส้นตรงต้องใช้จุดหนึ่งจุดกับความชันหนึ่งค่า และวลีนี้ให้มาอย่างละหนึ่งพอดี · ถ้าพลาดคำว่า bisector จะได้ความชันแต่ไม่มีจุด · ถ้าพลาดคำว่า perpendicular ก็คือวาด $AB$ ซ้ำ · มาร์คสกีมเริ่มที่จุดกึ่งกลาง คือหลังจากอ่านโจทย์ออกแล้ว จึงไม่มีคะแนนให้ตรงนี้
Find the equation of the line with gradient $\frac{1}{4}$ passing through $(-2,\,20)$, in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
$y - y_1 = m(x - x_1)$, then rearrange.
The line $y = -4x + 12$ meets $y = x^2$ at $A$ and $B$. Find the coordinates of $A$ and $B$.
เส้นตรง $y = -4x + 12$ ตัดกับเส้นโค้ง $y = x^2$ ที่จุด $A$ และ $B$ · หาพิกัดของ $A$ และ $B$
Answershow ▾
Questions 1 and 2 together: solve for $x$, then get each $y$.
The points $A(-6,\,36)$ and $B(2,\,4)$ are given. Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$, in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
Questions 3, 4, 5 and 6 in one go — the points are handed to you this time.
Part (b) ends with "giving your answer in the form $y = mx + c$". A student stops at $y - 20 = \frac{1}{4}(x + 2)$. Is that the answer? What still has to happen, and is that instruction decoration or an order?
ข้อ (b) ปิดท้ายว่า "ตอบในรูป $y = mx + c$" · นักเรียนหยุดที่ $y - 20 = \frac{1}{4}(x + 2)$ · นี่คือคำตอบหรือยัง ต้องทำอะไรต่อ และประโยคนั้นเป็นแค่คำประดับหรือเป็นคำสั่ง
Answershow ▾
A "in the form" clause is an order. The final A1 is written against that form, so a correct line in the wrong shape scores nothing for it — and the rearranging itself is worth no separate mark, which is exactly why it gets skipped.ประโยค "ในรูป..." คือคำสั่ง · A1 ตัวสุดท้ายเขียนไว้ตามรูปนั้น บรรทัดที่ถูกแต่รูปไม่ตรงจึงไม่ได้คะแนน · และการจัดรูปเองก็ไม่มีคะแนนแยกให้ นั่นแหละคือเหตุผลที่คนข้าม
The line $y = 2x + 3$ meets the curve $y = x^2$ at $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$.
(b) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$.
Answershow ▾
Same shape as the exam question, but the numbers stay small.
The line $y = -4x + 12$ meets the curve $y = x^2$ at the points $A$ and $B$, where the $x$-coordinate of $A$ is less than that of $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$.
(b) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
8 marks. Every step is a question you have already done.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Coordinate geometry · circles
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$.
(a) Find the centre and radius of the circle.
(b) Show that the point $P(-7,\,6)$ lies on the circle.
(c) Find the equation of the tangent to the circle at $P$, giving your answer in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers.
Write $x^2 + 8x$ in the form $(x + p)^2 + q$.
เขียน $x^2 + 8x$ ในรูป $(x+p)^2+q$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $x$ to get $p$; subtract $p^2$ to undo what squaring added.
Write $y^2 - 8y$ in the form $(y + p)^2 + q$.
Answershow ▾
Exactly the same move as for $x$ in question 1, applied to the $y$ terms.
Show that the point $(3,\,3)$ lies on the curve $x^2 + y^2 = 18$.
แสดงว่าจุด $(3,\,3)$ อยู่บนเส้นโค้ง $x^2 + y^2 = 18$
Answershow ▾
Substitute both coordinates into the LHS and check it equals the RHS.
The circle is given as $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$. The centre and the radius are not visible anywhere in it. Which of these gets them out, and why do the other two fail?
(A) complete the square in $x$ and in $y$ separately (B) factorise the whole left-hand side (C) put $x = 0$ and $y = 0$
วงกลมให้มาเป็น $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$ ซึ่งมองไม่เห็นจุดศูนย์กลางกับรัศมีเลย · ข้อไหนดึงออกมาได้ และอีกสองข้อพังตรงไหน
(A) ทำ complete the square แยกกันในตัว $x$ และตัว $y$ (B) แยกตัวประกอบทั้งฝั่งซ้าย (C) แทน $x = 0$ และ $y = 0$
Answershow ▾
The centre and the radius live in $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ and in no other form, so the expanded equation has to be pushed back into it — twice, once for each letter. (B) is not possible; (C) finds where the circle cuts the axes, which is a different question. No mark is attached to choosing; the M1 is for doing.จุดศูนย์กลางกับรัศมีอยู่ในรูป $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ เท่านั้น จึงต้องดันสมการที่กระจายแล้วกลับเข้ารูปนั้น สองครั้ง ตัวละหนึ่ง · (B) ทำไม่ได้ · (C) คือหาจุดตัดแกน ซึ่งเป็นคนละคำถาม · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือก M1 ให้กับการทำ
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$. Find its centre and radius.
Answershow ▾
Complete the square in $x$ and in $y$ separately, exactly as in questions 1 and 2, to reach $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 100$; then read off the centre and radius.
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$. Show that the point $P(-7,\,6)$ lies on the circle.
Answershow ▾
Substitute the coordinates of $P$ into the LHS and check it simplifies to $0$.
You now know the centre $C(-1,\,-2)$ and the point $P(-7,\,6)$, and part (c) wants the tangent at $P$. The word "radius" appears nowhere in the question. Which line do you find the gradient of first, and which single fact turns that gradient into the tangent's gradient?
ตอนนี้รู้จุดศูนย์กลาง $C(-1,\,-2)$ และจุด $P(-7,\,6)$ แล้ว และข้อ (c) ต้องการเส้นสัมผัสที่ $P$ · คำว่า "รัศมี" ไม่ปรากฏในโจทย์เลย · ต้องหาความชันของเส้นไหนก่อน และข้อเท็จจริงข้อเดียวอะไรที่เปลี่ยนความชันนั้นเป็นความชันของเส้นสัมผัส
Answershow ▾
That one fact is the only bridge from a circle equation to a straight line, and it is the whole question. The mark scheme opens at "gradient of $CP$" — after the decision has already been made — so the decision itself is worth nothing and is invisible in every worked solution.ข้อเท็จจริงข้อนี้คือสะพานเดียวจากสมการวงกลมไปสู่สมการเส้นตรง และมันคือทั้งข้อ · มาร์คสกีมเริ่มที่ "ความชันของ $CP$" คือหลังจากตัดสินใจไปแล้ว การตัดสินใจนี้จึงไม่มีคะแนน และไม่ปรากฏในเฉลยที่ไหนเลย
The circle above has centre $C(-1,\,-2)$, and $P(-7,\,6)$ lies on the circle. Find the gradient of $CP$.
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$, from $C$ to $P$, both read the same way round.
A tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact. The radius $CP$ has gradient $- \frac{4}{3}$. State the gradient of the tangent at $P$.
เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมี ณ จุดสัมผัส · รัศมี $CP$ มีความชัน $- \frac{4}{3}$ หาความชันของเส้นสัมผัสที่ $P$
Answershow ▾
Flip the fraction and change the sign — the product of the two gradients must be $-1$. This is the mark most often lost in this question.
Find the equation of the line through $P(-7,\,6)$ with gradient $\frac{3}{4}$, giving your answer in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers.
Answershow ▾
$y - 6 = \frac{3}{4}(x + 7)$, then clear the fraction and collect $x$ and $y$ on one side so every coefficient is an integer.
Part (c) wants the answer "in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers". Is $y = \frac{3}{4}x + \frac{45}{4}$ an acceptable final line? If not, what has to be done to it?
ข้อ (c) ขอคำตอบ "ในรูป $ax + by = k$ เมื่อ $a$, $b$, $k$ เป็นจำนวนเต็ม" · บรรทัด $y = \frac{3}{4}x + \frac{45}{4}$ ใช้เป็นคำตอบสุดท้ายได้ไหม ถ้าไม่ได้ ต้องทำอะไรต่อ
Answershow ▾
"Integers" is the instruction that kills the fractions, and "$ax + by = k$" is the instruction that moves everything to one side. Both are orders. The A1 is written against that shape and pays nothing for a correct line in the wrong one.คำว่า "จำนวนเต็ม" คือคำสั่งให้กำจัดเศษส่วน และรูป "$ax + by = k$" คือคำสั่งให้ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว · ทั้งคู่เป็นคำสั่ง · A1 เขียนไว้ตามรูปนั้น บรรทัดที่ถูกแต่รูปผิดจึงไม่ได้คะแนน
A circle has equation $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0$.
(a) Find its centre and radius.
(b) Show that the point $P(4,\,5)$ lies on the circle.
(c) Find the equation of the tangent at $P$, in the form $ax + by = k$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
A circle has equation $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 95 = 0$.
(a) Find the centre and radius of the circle.
(b) Show that the point $P(-7,\,6)$ lies on the circle.
(c) Find the equation of the tangent to the circle at $P$, giving your answer in the form $ax + by = k$, where $a$, $b$ and $k$ are integers.
Answershow ▾
9 marks. Questions 1, 2 and 4 are part (a); question 5 is part (b); questions 6, 7 and 8 are part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A midpoint, then a parallel line จุดกึ่งกลาง แล้วเส้นตรงที่ขนาน
The point $M$ is the mid-point of the line joining the points $(3,\,7)$ and $(-1,\,1)$. Find the equation of the line through $M$ which is parallel to the line $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$.
จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง (mid-point) ของเส้นตรงที่เชื่อมจุด $(3,\,7)$ และ $(-1,\,1)$ หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และขนาน (parallel) กับเส้นตรง $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$
The point $M$ is the mid-point of $(3,\,7)$ and $(-1,\,1)$. Find $M$.
จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $(3,\,7)$ และ $(-1,\,1)$ จงหา $M$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.เฉลี่ยพิกัด $x$ แล้วเฉลี่ยพิกัด $y$
Rearrange $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$ into the form $y=mx+c$. State the gradient.
จงจัดรูป $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$ ให้อยู่ในรูป $y=mx+c$ แล้วบอกความชัน
Answershow ▾
Isolate $\dfrac{y}{2}$ first, then $y$.แยก $\dfrac{y}{2}$ ออกมาก่อน แล้วค่อยแยก $y$
A line has gradient $3$ and passes through $(2,\,5)$. Write its equation as $y=mx+c$.
เส้นตรงมีความชัน $3$ และผ่านจุด $(2,\,5)$ จงเขียนสมการในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Use $y-y_1=m(x-x_1)$, then simplify.ใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$ แล้วจัดรูปให้ง่าย
The line you need is parallel to $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$, which has gradient $-\dfrac{2}{3}$. Pick the gradient for your new line.
(A) $m=-\dfrac{2}{3}$
(B) $m=\dfrac{3}{2}$
(C) $m=\dfrac{2}{3}$
เส้นที่ต้องหาขนานกับ $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$ ซึ่งมีความชัน $-\dfrac{2}{3}$ จงเลือกความชันของเส้นใหม่
(A) $m=-\dfrac{2}{3}$
(B) $m=\dfrac{3}{2}$
(C) $m=\dfrac{2}{3}$
Answershow ▾
(B) is the negative reciprocal of $-\dfrac{2}{3}$ - that fits a PERPENDICULAR line, not a parallel one. (C) keeps the right size but flips the sign; parallel lines keep the gradient exactly, sign included.(B) คือส่วนกลับของ $-\dfrac{2}{3}$ โดยสลับเครื่องหมาย ซึ่งเป็นเงื่อนไขของเส้นตั้งฉาก ไม่ใช่เส้นขนาน · (C) ขนาดถูกแต่สลับเครื่องหมาย เส้นขนานต้องมีความชันเท่ากันทุกประการ รวมเครื่องหมายด้วย
Write the equation of the line through $M(1,\,4)$ with gradient $-\dfrac{2}{3}$, using $y-y_1=m(x-x_1)$.
จงเขียนสมการเส้นตรงที่ผ่าน $M(1,\,4)$ ด้วยความชัน $-\dfrac{2}{3}$ โดยใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Substitute $M$ and the gradient straight into the formula.แทน $M$ และความชันลงในสูตรได้เลย
Multiply both sides of $y-4=-\dfrac{2}{3}(x-1)$ by $3$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $y-4=-\dfrac{2}{3}(x-1)$ ด้วย $3$
Answershow ▾
$3$ times the fraction $\dfrac{2}{3}$ leaves just $2$.$3$ คูณกับเศษส่วน $\dfrac{2}{3}$ เหลือแค่ $2$
Rearrange $3y-12=-2x+2$ into the form $ax+by=c$ with positive integers.
จงจัดรูป $3y-12=-2x+2$ ให้อยู่ในรูป $ax+by=c$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก
Answershow ▾
Move $x$ to the left, then move the number to the right.ย้าย $x$ ไปทางซ้าย แล้วย้ายจำนวนไปทางขวา
Starting from $M(1,\,4)$ and gradient $-\dfrac{2}{3}$, write the line in the form $ax+by=c$.
เริ่มจาก $M(1,\,4)$ และความชัน $-\dfrac{2}{3}$ จงเขียนเส้นตรงในรูป $ax+by=c$
Answershow ▾
Point-gradient form, then clear the fraction, then collect.สมการจากจุดและความชัน แล้วกำจัดเศษส่วน แล้วรวมพจน์
Check: does $M(1,\,4)$ satisfy $2x+3y=14$?
จงตรวจว่าจุด $M(1,\,4)$ เป็นจริงกับ $2x+3y=14$ หรือไม่
Answershow ▾
A point on the line must make both sides equal.จุดที่อยู่บนเส้นตรง ต้องทำให้ทั้งสองข้างเท่ากัน
$M$ is the mid-point of $(2,\,6)$ and $(6,\,-2)$. Find the line through $M$ parallel to $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{3}=1$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $(2,\,6)$ และ $(6,\,-2)$ จงหาเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และขนานกับ $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{3}=1$
Answershow ▾
Same three moves: midpoint, gradient, point-gradient form.สามขั้นเดิม: จุดกึ่งกลาง ความชัน แล้วสมการจากจุดและความชัน
The point $M$ is the mid-point of the line joining the points $(3,\,7)$ and $(-1,\,1)$. Find the equation of the line through $M$ which is parallel to the line $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$.
จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง (mid-point) ของเส้นตรงที่เชื่อมจุด $(3,\,7)$ และ $(-1,\,1)$ หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $M$ และขนาน (parallel) กับเส้นตรง $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$
Answershow ▾
4 marks: 2 for the midpoint, 2 for the line using the same gradient, simplified to integers.4 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับจุดกึ่งกลาง 2 คะแนนสำหรับเส้นตรงที่ใช้ความชันเดียวกัน จัดให้อยู่ในรูปจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Perpendicular line meets the x-axis เส้นตั้งฉากตัดแกน x
Two points $A$ and $B$ have coordinates $(-1,\,1)$ and $(3,\,4)$ respectively. The line $BC$ is perpendicular to $AB$ and intersects the $x$-axis at $C$.
(i) Find the equation of $BC$ and the $x$-coordinate of $C$.
(ii) Find the distance $AC$, giving your answer correct to 3 decimal places.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(-1,\,1)$ และ $(3,\,4)$ ตามลำดับ เส้นตรง $BC$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $AB$ และตัดแกน $x$ ที่จุด $C$
(i) หาสมการของ $BC$ และพิกัด $x$ ของจุด $C$
(ii) หาระยะทาง $AC$ ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$A(-1,1)$ and $B(3,4)$. Find the gradient of $AB$.
$A(-1,1)$ และ $B(3,4)$ จงหาความชันของ $AB$
Answershow ▾
Divide the change in $y$ by the change in $x$.หารการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
Using the same points, find the distance $AB$.
ใช้จุดเดิม จงหาระยะทาง $AB$
Answershow ▾
Square each difference, add them, then square root.ยกกำลังสองผลต่างแต่ละตัว บวกกัน แล้วถอดราก
A line has gradient $-2$ and passes through $(1,5)$. Write its equation in the form $ax+by=c$.
เส้นตรงมีความชัน $-2$ และผ่านจุด $(1,5)$ จงเขียนสมการในรูป $ax+by=c$
Answershow ▾
Use $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, then move the $x$-term across.ใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ แล้วย้ายพจน์ $x$ ข้ามไปอีกฝั่ง
$AB$ has gradient $\dfrac{3}{4}$. $BC$ is perpendicular to $AB$. Pick the gradient of $BC$.
(A) $-\dfrac{3}{4}$
(B) $\dfrac{4}{3}$
(C) $-\dfrac{4}{3}$
$AB$ มีความชัน $\dfrac{3}{4}$ และ $BC$ ตั้งฉากกับ $AB$ จงเลือกความชันของ $BC$
(A) $-\dfrac{3}{4}$
(B) $\dfrac{4}{3}$
(C) $-\dfrac{4}{3}$
Answershow ▾
(A) negates the gradient but does not flip it - that is just $-m$, not a perpendicular gradient. (B) flips the fraction but does not negate it. A perpendicular gradient does both: flip AND negate.(A) ใส่เครื่องหมายลบให้แต่ไม่กลับเศษส่วน จึงเป็นแค่ $-m$ ไม่ใช่ความชันตั้งฉาก · (B) กลับเศษส่วนแต่ไม่ใส่เครื่องหมายลบ · ความชันตั้งฉากต้องทำทั้งสองอย่าง: กลับเศษส่วน และใส่เครื่องหมายลบ
Using $B(3,4)$ and the perpendicular gradient $-\dfrac{4}{3}$, write the point-gradient equation of $BC$.
ใช้จุด $B(3,4)$ และความชันตั้งฉาก $-\dfrac{4}{3}$ จงเขียนสมการจุด-ความชันของ $BC$
Answershow ▾
Substitute the point and the gradient into $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.แทนจุดและความชันลงใน $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Clear the fraction in $y-4=-\dfrac{4}{3}(x-3)$ and collect terms. Write the equation of $BC$ in the form $ax+by=c$.
จงขจัดเศษส่วนใน $y-4=-\dfrac{4}{3}(x-3)$ แล้วรวมพจน์ เขียนสมการของ $BC$ ในรูป $ax+by=c$
Answershow ▾
Multiply every term by $3$, then move the $x$-term across.คูณทุกพจน์ด้วย $3$ แล้วย้ายพจน์ $x$ ข้ามไปอีกฝั่ง
The line $4x+3y=24$ meets the $x$-axis where $y=0$. Find the $x$-coordinate of $C$.
เส้นตรง $4x+3y=24$ ตัดแกน $x$ เมื่อ $y=0$ จงหาพิกัด $x$ ของจุด $C$
Answershow ▾
On the $x$-axis, $y=0$. Substitute, then solve for $x$.บนแกน $x$ จะได้ $y=0$ แทนค่าแล้วแก้หา $x$
$C=(6,0)$. Using $A(-1,1)$, find the distance $AC$ in surd form.
$C=(6,0)$ ใช้ $A(-1,1)$ จงหาระยะทาง $AC$ ในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
Simplify the surd: find the largest square factor of $50$.ลดรูปกรณฑ์: หาตัวประกอบที่เป็นจำนวนยกกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดของ $50$
Give $5\sqrt{2}$ correct to $3$ decimal places.
จงเขียน $5\sqrt{2}$ ให้ถูกต้องถึงทศนิยม $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\sqrt{2}=1.41421...$, so multiply by $5$, then round.$\sqrt{2}=1.41421...$ จึงคูณด้วย $5$ แล้วปัดเศษ
$A(0,2)$ and $B(4,4)$. The line $BC$ is perpendicular to $AB$ and meets the $x$-axis at $C$.
(i) Find the equation of $BC$ and the $x$-coordinate of $C$.
(ii) Find the distance $AC$, giving your answer correct to $3$ decimal places.
$A(0,2)$ และ $B(4,4)$ เส้นตรง $BC$ ตั้งฉากกับ $AB$ และตัดแกน $x$ ที่จุด $C$
(i) จงหาสมการของ $BC$ และพิกัด $x$ ของจุด $C$
(ii) จงหาระยะทาง $AC$ ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same four moves: gradient, perpendicular gradient, line through $B$, then $y=0$ and distance.สี่ขั้นเดิม: หาความชัน ความชันตั้งฉาก เส้นผ่าน $B$ แล้ว $y=0$ และระยะทาง
Two points $A$ and $B$ have coordinates $(-1,\,1)$ and $(3,\,4)$ respectively. The line $BC$ is perpendicular to $AB$ and intersects the $x$-axis at $C$.
(i) Find the equation of $BC$ and the $x$-coordinate of $C$.
(ii) Find the distance $AC$, giving your answer correct to 3 decimal places.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(-1,\,1)$ และ $(3,\,4)$ ตามลำดับ เส้นตรง $BC$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $AB$ และตัดแกน $x$ ที่จุด $C$
(i) หาสมการของ $BC$ และพิกัด $x$ ของจุด $C$
(ii) หาระยะทาง $AC$ ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
6 marks: gradient of $AB$, perpendicular gradient and point-gradient at $B$, the equation of $BC$, the $x$-coordinate of $C$, the distance formula, then 3 decimal places.6 คะแนน: ความชันของ $AB$ ความชันตั้งฉากและสมการจุด-ความชันที่ $B$ สมการของ $BC$ พิกัด $x$ ของ $C$ สูตรระยะทาง แล้วทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Perpendicular bisector, working backwards เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ย้อนกลับหาจุดปลาย
Points $A$ and $B$ have coordinates $(8,\,3)$ and $(p,\,q)$ respectively. The equation of the perpendicular bisector of $AB$ is $y=-2x+4$. Find the values of $p$ and $q$.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(8,\,3)$ และ $(p,\,q)$ ตามลำดับ สมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) ของ $AB$ คือ $y=-2x+4$ หาค่าของ $p$ และ $q$
Find the midpoint of $(2,\,5)$ and $(6,\,9)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $(2,\,5)$ และ $(6,\,9)$
Answershow ▾
The midpoint is an average of the two $x$ values and an average of the two $y$ values.จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของ $x$ ทั้งสอง และค่าเฉลี่ยของ $y$ ทั้งสอง
A line has gradient $-2$. Work out the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $-2$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Perpendicular gradients are negative reciprocals: they multiply to $-1$.ความชันของเส้นตั้งฉากเป็นส่วนกลับติดลบกัน คูณกันได้ $-1$
$(3,\,1)$ is the midpoint of $(0,\,0)$ and $(x,\,y)$. Find $x$ and $y$.
$(3,\,1)$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $(0,\,0)$ และ $(x,\,y)$ จงหาค่า $x$ และ $y$
Answershow ▾
The known point plus the unknown point, halved, gives the midpoint - so double the midpoint and subtract the known point.จุดที่รู้บวกจุดที่ไม่รู้ หารสอง ได้จุดกึ่งกลาง จึงคูณจุดกึ่งกลางด้วยสองแล้วลบจุดที่รู้
The perpendicular bisector of $AB$ is $y=-2x+4$. $AB$ itself is a different line. Pick the two facts that pin down $B=(p,q)$.
(A) $AB$ has gradient $-2$, and $B$ lies on $y=-2x+4$
(B) the midpoint of $AB$ lies on $y=-2x+4$, and $AB$ has gradient $\dfrac{1}{2}$
(C) $A$ lies on $y=-2x+4$, and $AB$ has gradient $-2$
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $AB$ คือ $y=-2x+4$ ส่วน $AB$ เองเป็นเส้นตรงอีกเส้น จงเลือกสองข้อเท็จจริงที่ใช้หา $B=(p,q)$ ได้
(A) $AB$ มีความชัน $-2$ และ $B$ อยู่บน $y=-2x+4$
(B) จุดกึ่งกลางของ $AB$ อยู่บน $y=-2x+4$ และ $AB$ มีความชัน $\dfrac{1}{2}$
(C) $A$ อยู่บน $y=-2x+4$ และ $AB$ มีความชัน $-2$
Answershow ▾
(A) and (C) put $A$ or $B$ on the bisector - but the bisector only touches $AB$ at the midpoint. (C) also keeps gradient $-2$, which belongs to the bisector; $AB$ is perpendicular to it, so its gradient is $\dfrac{1}{2}$.(A) และ (C) วาง $A$ หรือ $B$ ลงบนเส้นแบ่งครึ่ง แต่เส้นแบ่งครึ่งตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลางเท่านั้น · (C) ยังใช้ความชัน $-2$ ซึ่งเป็นของเส้นแบ่งครึ่งเอง $AB$ ตั้งฉากกับเส้นนั้น ความชันของมันจึงเป็น $\dfrac{1}{2}$
The perpendicular bisector of $AB$ has gradient $-2$. Work out the gradient of $AB$.
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $AB$ มีความชัน $-2$ จงหาความชันของ $AB$
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now on the real line.ขั้นตอนเดียวกับที่ฝึกมา แต่ใช้เส้นจริงในข้อสอบ
$A=(8,\,3)$ and $B=(p,\,q)$. Write the midpoint of $AB$.
$A=(8,\,3)$ และ $B=(p,\,q)$ จงเขียนจุดกึ่งกลางของ $AB$
Answershow ▾
Average the $x$ coordinates, then average the $y$ coordinates.หาค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ แล้วหาค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
You know the midpoint of $AB$ is $\left(\dfrac{8+p}{2},\,\dfrac{3+q}{2}\right)$, and $m_{AB}=\dfrac{1}{2}$. Which TWO equations do you write next?
(A) put the midpoint into $y=-2x+4$; set $\dfrac{q-3}{p-8}=\dfrac{1}{2}$
(B) put $A$ into $y=-2x+4$; set $\dfrac{q-3}{p-8}=\dfrac{1}{2}$
(C) put the midpoint into $y=-2x+4$; set $\dfrac{q-3}{p-8}=-2$
รู้ว่าจุดกึ่งกลางของ $AB$ คือ $\left(\dfrac{8+p}{2},\,\dfrac{3+q}{2}\right)$ และ $m_{AB}=\dfrac{1}{2}$ จะเขียนสองสมการใดต่อไป
(A) แทนจุดกึ่งกลางใน $y=-2x+4$; ให้ $\dfrac{q-3}{p-8}=\dfrac{1}{2}$
(B) แทน $A$ ใน $y=-2x+4$; ให้ $\dfrac{q-3}{p-8}=\dfrac{1}{2}$
(C) แทนจุดกึ่งกลางใน $y=-2x+4$; ให้ $\dfrac{q-3}{p-8}=-2$
Answershow ▾
(B) puts $A=(8,3)$ itself into the bisector - but $A$ is not on the bisector, only the midpoint of $AB$ is. (C) uses $-2$ for $m_{AB}$, which is the bisector’s own gradient, not the perpendicular gradient found above.(B) แทน $A=(8,3)$ ลงในเส้นแบ่งครึ่งโดยตรง แต่ $A$ ไม่ได้อยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง มีเพียงจุดกึ่งกลางของ $AB$ ที่อยู่บนเส้นนั้น · (C) ใช้ $-2$ เป็น $m_{AB}$ ซึ่งเป็นความชันของเส้นแบ่งครึ่งเอง ไม่ใช่ความชันตั้งฉากที่หามาได้ข้างต้น
Write equation ① from the midpoint lying on $y=-2x+4$, and equation ② from $m_{AB}=\dfrac{1}{2}$.
จงเขียนสมการ ① จากการที่จุดกึ่งกลางอยู่บน $y=-2x+4$ และสมการ ② จาก $m_{AB}=\dfrac{1}{2}$
Answershow ▾
Substitute the midpoint coordinates into the line; write the gradient as a fraction equation.แทนพิกัดจุดกึ่งกลางลงในสมการเส้นตรง และเขียนความชันเป็นสมการเศษส่วน
Simplify ① $\dfrac{3+q}{2}=-2\left(\dfrac{8+p}{2}\right)+4$ and ② $q-3=\dfrac{1}{2}(p-8)$, removing fractions.
จงจัดรูปสมการ ① $\dfrac{3+q}{2}=-2\left(\dfrac{8+p}{2}\right)+4$ และ ② $q-3=\dfrac{1}{2}(p-8)$ โดยกำจัดเศษส่วน
Answershow ▾
Multiply ① by $2$ throughout; multiply ② by $2$ throughout.คูณ ① ด้วย $2$ ทั้งสมการ และคูณ ② ด้วย $2$ ทั้งสมการ
Solve ① $q=-8-2p$ and ② $2q=p+2$ together. Find $p$ and $q$.
จงแก้สมการ ① $q=-8-2p$ และ ② $2q=p+2$ ร่วมกัน หาค่า $p$ และ $q$
Answershow ▾
Substitute ① into ②, since ① already gives $q$ on its own.แทน ① เข้าใน ② เพราะ ① เขียน $q$ ไว้ตัวเดียวแล้ว
$A=(2,\,1)$ and $B=(p,\,q)$. The perpendicular bisector of $AB$ is $y=-x+5$. Find $p$ and $q$.
$A=(2,\,1)$ และ $B=(p,\,q)$ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $AB$ คือ $y=-x+5$ จงหาค่า $p$ และ $q$
Answershow ▾
Same three moves: perpendicular gradient, midpoint on the bisector, solve the pair.สามขั้นเดิม: ความชันตั้งฉาก จุดกึ่งกลางบนเส้นแบ่งครึ่ง แล้วแก้ระบบสมการ
Points $A$ and $B$ have coordinates $(8,\,3)$ and $(p,\,q)$ respectively. The equation of the perpendicular bisector of $AB$ is $y=-2x+4$. Find the values of $p$ and $q$.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(8,\,3)$ และ $(p,\,q)$ ตามลำดับ สมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) ของ $AB$ คือ $y=-2x+4$ หาค่าของ $p$ และ $q$
Answershow ▾
4 marks: the perpendicular gradient of $AB$, the midpoint written on the bisector, then solving the pair for $p$ and $q$.4 คะแนน: ความชันตั้งฉากของ $AB$ จุดกึ่งกลางที่แทนลงในเส้นแบ่งครึ่ง แล้วแก้ระบบสมการหา $p$ และ $q$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Bisector first, then the circle เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากก่อน แล้วค่อยวงกลม
Points $A$ and $B$ have coordinates $(5,\,2)$ and $(10,\,-1)$ respectively.
(a) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$.
(b) Find the equation of the circle with centre $A$ which passes through $B$.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(5,\,2)$ และ $(10,\,-1)$ ตามลำดับ
(ก) หาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) ของ $AB$
(ข) หาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $A$ และผ่านจุด $B$
Points $A$ and $B$ have coordinates $(5,2)$ and $(10,-1)$. Find the midpoint of $AB$.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(5,2)$ และ $(10,-1)$ จงหาจุดกึ่งกลางของ $AB$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.หาค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ แล้วหาค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
Find the gradient of the line through $A(5,2)$ and $B(10,-1)$.
จงหาความชันของเส้นที่ผ่าน $A(5,2)$ และ $B(10,-1)$
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$.ผลต่างของ $y$ หารด้วยผลต่างของ $x$
A line has gradient $-\dfrac{3}{5}$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นหนึ่งมีความชัน $-\dfrac{3}{5}$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมัน
Answershow ▾
Flip the fraction, then flip the sign: $m_1m_2=-1$.กลับเศษส่วน แล้วสลับเครื่องหมาย: $m_1m_2=-1$
The perpendicular bisector of $AB$ must pass through one point, with one gradient. Pick the correct pair.
(A) point $A(5,2)$, gradient $-\dfrac{3}{5}$
(B) midpoint of $AB$, gradient $\dfrac{5}{3}$
(C) point $B(10,-1)$, gradient $-\dfrac{3}{5}$
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $AB$ ต้องผ่านจุดหนึ่ง ด้วยความชันหนึ่ง จงเลือกคู่ที่ถูกต้อง
(A) จุด $A(5,2)$ ความชัน $-\dfrac{3}{5}$
(B) จุดกึ่งกลางของ $AB$ ความชัน $\dfrac{5}{3}$
(C) จุด $B(10,-1)$ ความชัน $-\dfrac{3}{5}$
Answershow ▾
(A) and (C) use an endpoint of $AB$ instead of its midpoint, and keep $AB$’s own gradient instead of flipping it; the perpendicular bisector needs both the midpoint and the negative reciprocal gradient.(A) และ (C) ใช้จุดปลายของ $AB$ แทนจุดกึ่งกลาง และยังใช้ความชันเดิมของ $AB$ ไม่ได้กลับเป็นความชันตั้งฉาก เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากต้องใช้ทั้งจุดกึ่งกลางและความชันตั้งฉาก
Using the midpoint $(7.5,0.5)$ and gradient $\dfrac{5}{3}$, write the equation of the bisector using $y-y_1=m(x-x_1)$. Do not simplify yet.
ใช้จุดกึ่งกลาง $(7.5,0.5)$ และความชัน $\dfrac{5}{3}$ จงเขียนสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากโดยใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Put the midpoint in for $(x_1,y_1)$ and the perpendicular gradient in for $m$.แทนจุดกึ่งกลางเป็น $(x_1,y_1)$ และความชันตั้งฉากเป็น $m$
Multiply both sides of $y-0.5=\dfrac{5}{3}(x-7.5)$ by $3$ to clear the fraction.
คูณทั้งสองข้างของ $y-0.5=\dfrac{5}{3}(x-7.5)$ ด้วย $3$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
Answershow ▾
Three times the gradient $\dfrac{5}{3}$ leaves a whole number, $5$.สามเท่าของความชัน $\dfrac{5}{3}$ จะได้จำนวนเต็ม คือ $5$
Expand $3y-1.5=5(x-7.5)$ and collect it into the form $5x-3y=$ a number.
จงกระจาย $3y-1.5=5(x-7.5)$ แล้วจัดรูปให้อยู่ในรูป $5x-3y=$ จำนวนหนึ่ง
Answershow ▾
Move every term onto one side, keeping $x$ positive.ย้ายทุกพจน์ไปอยู่ข้างเดียวกัน โดยให้ $x$ มีเครื่องหมายบวก
To write the circle’s equation $(x-5)^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}$, you need $r^{2}$. Pick the correct value.
(A) $r^{2}=AB$
(B) $r^{2}=AB^{2}$
(C) $r^{2}=$ (distance from the midpoint of $AB$ to $A)^{2}$
เพื่อเขียนสมการวงกลม $(x-5)^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}$ ต้องหา $r^{2}$ จงเลือกค่าที่ถูกต้อง
(A) $r^{2}=AB$
(B) $r^{2}=AB^{2}$
(C) $r^{2}=$ (ระยะจากจุดกึ่งกลางของ $AB$ ถึง $A)^{2}$
Answershow ▾
(A) forgets to square the distance; the circle’s equation uses $r^{2}$, not $r$. (C) measures from the wrong point; the radius is from the centre $A$, not from the midpoint of $AB$.(A) ลืมยกกำลังสองระยะทาง สมการวงกลมใช้ $r^{2}$ ไม่ใช่ $r$ · (C) วัดจากจุดที่ผิด รัศมีต้องวัดจากจุดศูนย์กลาง $A$ ไม่ใช่จากจุดกึ่งกลางของ $AB$
Find $r^{2}=AB^{2}$ using $A(5,2)$ and $B(10,-1)$.
จงหา $r^{2}=AB^{2}$ โดยใช้ $A(5,2)$ และ $B(10,-1)$
Answershow ▾
Square the change in $x$, square the change in $y$, then add. No square root needed.ยกกำลังสองผลต่างของ $x$ ยกกำลังสองผลต่างของ $y$ แล้วบวกกัน ไม่ต้องถอดรากที่สอง
Check that $B(10,-1)$ satisfies $(x-5)^{2}+(y-2)^{2}=34$.
จงตรวจว่าจุด $B(10,-1)$ เป็นจริงกับ $(x-5)^{2}+(y-2)^{2}=34$
Answershow ▾
A point that fits the equation is on the circle.จุดที่เป็นจริงกับสมการ อยู่บนวงกลม
Points $C$ and $D$ have coordinates $(1,1)$ and $(3,5)$.
(a) Find the equation of the perpendicular bisector of $CD$.
(b) Find the equation of the circle with centre $C$ which passes through $D$.
จุด $C$ และ $D$ มีพิกัด $(1,1)$ และ $(3,5)$
(ก) จงหาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $CD$
(ข) จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $C$ และผ่านจุด $D$
Answershow ▾
Same moves: midpoint and perpendicular gradient for the bisector; $CD^{2}$ for $r^{2}$.ขั้นตอนเดิม: จุดกึ่งกลางและความชันตั้งฉากสำหรับเส้นแบ่งครึ่ง · $CD^{2}$ สำหรับ $r^{2}$
Points $A$ and $B$ have coordinates $(5,\,2)$ and $(10,\,-1)$ respectively.
(a) Find the equation of the perpendicular bisector of $AB$.
(b) Find the equation of the circle with centre $A$ which passes through $B$.
จุด $A$ และ $B$ มีพิกัด $(5,\,2)$ และ $(10,\,-1)$ ตามลำดับ
(ก) หาสมการเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) ของ $AB$
(ข) หาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $A$ และผ่านจุด $B$
Answershow ▾
6 marks: midpoint and perpendicular gradient for (a); $AB^{2}$ for $r^{2}$ in (b).6 คะแนน: จุดกึ่งกลางและความชันตั้งฉากสำหรับ (a) · $AB^{2}$ สำหรับ $r^{2}$ ใน (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
One tangent, two circles เส้นสัมผัสเดียว วงกลมสองวง
The point $A$ has coordinates $(1,\,5)$ and the line $l$ has gradient $-\dfrac{2}{3}$ and passes through $A$. A circle has centre $(5,\,11)$ and radius $\sqrt{52}$.
(a) Show that $l$ is the tangent to the circle at $A$.
(b) Find the equation of the other circle of radius $\sqrt{52}$ for which $l$ is also the tangent at $A$.
จุด $A$ มีพิกัด $(1,\,5)$ และเส้นตรง $l$ มีความชัน $-\dfrac{2}{3}$ และผ่านจุด $A$ วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $(5,\,11)$ และรัศมี $\sqrt{52}$
(ก) แสดงว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $A$
(ข) หาสมการของวงกลมอีกวงที่มีรัศมี $\sqrt{52}$ ซึ่ง $l$ เป็นเส้นสัมผัสที่จุด $A$ ด้วยเช่นกัน
Find the gradient of the line through $(1,5)$ and $(5,11)$.
จงหาความชันของเส้นที่ผ่าน $(1,5)$ และ $(5,11)$
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$.ผลต่างของ $y$ หารด้วยผลต่างของ $x$
Two lines have gradients $\dfrac{3}{2}$ and $-\dfrac{2}{3}$. Check whether they are perpendicular.
เส้นสองเส้นมีความชัน $\dfrac{3}{2}$ และ $-\dfrac{2}{3}$ จงตรวจว่าตั้งฉากกันหรือไม่
Answershow ▾
Perpendicular gradients multiply to $-1$.ความชันที่ตั้งฉากกัน คูณกันได้ $-1$
A circle has centre $(5,11)$ and radius $\sqrt{52}$. Check whether the point $(1,5)$ lies on it.
วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $(5,11)$ และรัศมี $\sqrt{52}$ จงตรวจว่าจุด $(1,5)$ อยู่บนวงกลมหรือไม่
Answershow ▾
A point is on the circle when its squared distance from the centre equals $r^{2}$.จุดจะอยู่บนวงกลม เมื่อระยะยกกำลังสองจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r^{2}$
To show that $l$ is the tangent to the circle at $A$, which fact (or facts) do you need?
(A) only that $A$ lies on the circle
(B) only that $l$ is perpendicular to the radius $CA$
(C) both - $A$ on the circle AND $l$ perpendicular to $CA$
เพื่อแสดงว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $A$ ต้องใช้ข้อเท็จจริงใด
(A) แค่ $A$ อยู่บนวงกลม
(B) แค่ $l$ ตั้งฉากกับรัศมี $CA$
(C) ทั้งสองอย่าง - $A$ อยู่บนวงกลม และ $l$ ตั้งฉากกับ $CA$
Answershow ▾
(A) alone just means $A$ sits on the circle - a secant through $A$ fits too. (B) alone just matches the direction, not the point. Both together force the tangent to be at $A$.(A) อย่างเดียวบอกแค่ว่า $A$ อยู่บนวงกลม เส้นตัดผ่าน $A$ ก็เป็นจริงเหมือนกัน · (B) อย่างเดียวบอกแค่ทิศทาง ไม่ได้บอกจุด · ต้องทั้งสองอย่างจึงบังคับให้เส้นสัมผัสอยู่ที่ $A$
The circle’s centre is $C(5,11)$. Work out the gradient of the radius $CA$, where $A$ is $(1,5)$.
วงกลมมีจุดศูนย์กลาง $C(5,11)$ จงหาความชันของรัศมี $CA$ โดย $A$ คือ $(1,5)$
Answershow ▾
Same gradient formula, now on the radius.สูตรความชันเดิม ใช้กับรัศมี
Show that the radius $CA$ (gradient $\dfrac{3}{2}$) is perpendicular to $l$ (gradient $-\dfrac{2}{3}$), and that $A(1,5)$ lies on the circle.
จงแสดงว่ารัศมี $CA$ (ความชัน $\dfrac{3}{2}$) ตั้งฉากกับ $l$ (ความชัน $-\dfrac{2}{3}$) และ $A(1,5)$ อยู่บนวงกลม
Answershow ▾
Both checks must hold for $l$ to be the tangent at $A$.ต้องเป็นจริงทั้งสองอย่าง จึงจะเป็นเส้นสัมผัสที่ $A$
The second circle has the same radius $\sqrt{52}$ and is tangent to $l$ at the same point $A$. Along which line must its centre lie?
วงกลมวงที่สองมีรัศมี $\sqrt{52}$ เท่ากัน และสัมผัส $l$ ที่จุด $A$ เดียวกัน จุดศูนย์กลางของมันต้องอยู่บนเส้นใด
Answershow ▾
Both centres sit perpendicular to $l$ at $A$ - that is one line.จุดศูนย์กลางทั้งสองอยู่ในแนวตั้งฉากกับ $l$ ที่ $A$ นั่นคือเส้นเดียวกัน
Both circles are tangent to $l$ at $A$, with the same radius $\sqrt{52}$, so both centres lie on line $AC$, at distance $\sqrt{52}$ from $A$. Pick the other centre.
(A) the midpoint of $A$ and $C$
(B) the reflection of $C$ in the point $A$
(C) the reflection of $A$ in the point $C$
วงกลมทั้งสองสัมผัส $l$ ที่ $A$ ด้วยรัศมี $\sqrt{52}$ เท่ากัน จุดศูนย์กลางทั้งสองจึงอยู่บนเส้น $AC$ ห่างจาก $A$ เท่ากับ $\sqrt{52}$ จงเลือกจุดศูนย์กลางอีกวง
(A) จุดกึ่งกลางของ $A$ และ $C$
(B) จุดสะท้อนของ $C$ ผ่านจุด $A$
(C) จุดสะท้อนของ $A$ ผ่านจุด $C$
Answershow ▾
(A) is only half the radius from $A$ - that is the midpoint. (C) is $2\sqrt{52}$ from $A$, on the same side as $C$ - not the mirror point.(A) ห่างจาก $A$ แค่ครึ่งหนึ่งของรัศมี นั่นคือจุดกึ่งกลาง · (C) ห่างจาก $A$ เท่ากับ $2\sqrt{52}$ อยู่ฝั่งเดียวกับ $C$ ไม่ใช่จุดสะท้อน
Using $\text{centre}_2 = 2A - C$, work out the coordinates of the other centre.
ใช้ $\text{centre}_2 = 2A - C$ จงหาพิกัดของจุดศูนย์กลางอีกวง
Answershow ▾
Double $A$’s coordinates, then subtract $C$’s.เอาพิกัดของ $A$ คูณสอง แล้วลบด้วยพิกัดของ $C$
Write the equation of the new circle, then check that $A(1,5)$ satisfies it.
จงเขียนสมการวงกลมวงใหม่ แล้วตรวจว่า $A(1,5)$ เป็นจริงกับสมการนั้น
Answershow ▾
Same radius, new centre - and $A$ must still lie on it.รัศมีเท่าเดิม จุดศูนย์กลางใหม่ และ $A$ ต้องยังอยู่บนวงกลม
$A(2,1)$ lies on a circle with centre $(4,2)$ and radius $\sqrt{5}$. The line $l$ through $A$ has gradient $-2$.
(a) Show that $l$ is the tangent to the circle at $A$.
(b) Find the other circle of radius $\sqrt{5}$ for which $l$ is also the tangent at $A$.
$A(2,1)$ อยู่บนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(4,2)$ และรัศมี $\sqrt{5}$ เส้นตรง $l$ ที่ผ่าน $A$ มีความชัน $-2$
(ก) จงแสดงว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $A$
(ข) จงหาสมการของวงกลมอีกวงที่มีรัศมี $\sqrt{5}$ ซึ่ง $l$ เป็นเส้นสัมผัสที่จุด $A$ ด้วยเช่นกัน
Answershow ▾
Same two moves: check both tangent facts, then reflect the centre through $A$.สองขั้นตอนเดิม: ตรวจเงื่อนไขเส้นสัมผัสทั้งสอง แล้วสะท้อนจุดศูนย์กลางผ่าน $A$
The point $A$ has coordinates $(1,\,5)$ and the line $l$ has gradient $-\dfrac{2}{3}$ and passes through $A$. A circle has centre $(5,\,11)$ and radius $\sqrt{52}$.
(a) Show that $l$ is the tangent to the circle at $A$.
(b) Find the equation of the other circle of radius $\sqrt{52}$ for which $l$ is also the tangent at $A$.
จุด $A$ มีพิกัด $(1,\,5)$ และเส้นตรง $l$ มีความชัน $-\dfrac{2}{3}$ และผ่านจุด $A$ วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $(5,\,11)$ และรัศมี $\sqrt{52}$
(ก) แสดงว่า $l$ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $A$
(ข) หาสมการของวงกลมอีกวงที่มีรัศมี $\sqrt{52}$ ซึ่ง $l$ เป็นเส้นสัมผัสที่จุด $A$ ด้วยเช่นกัน
Answershow ▾
5 marks: 1 for the gradient, 1 for both checks, 3 for the new centre and circle.5 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับความชัน 1 คะแนนสำหรับการตรวจทั้งสองอย่าง 3 คะแนนสำหรับจุดศูนย์กลางใหม่และสมการวงกลม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circle form, then a cutting line จัดรูปวงกลม แล้วเส้นตรงที่ตัดมัน
The equation of a circle is $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$.
(a) Find the coordinates of the centre of the circle and the radius. Hence find the coordinates of the lowest point on the circle.
(b) Find the set of values of the constant $k$ for which the line with equation $y=kx-5$ intersects the circle at two distinct points.
สมการของวงกลมวงหนึ่งคือ $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$
(ก) หาพิกัดจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม จากนั้นหาพิกัดจุดที่ต่ำที่สุด (lowest point) บนวงกลม
(ข) หาเซตของค่าคงที่ $k$ ที่ทำให้เส้นตรง $y=kx-5$ ตัดวงกลมที่จุดสองจุดที่ต่างกัน
Write $x^{2}+6x$ in the form $(x+3)^{2}-k$. Find $k$.
จงเขียน $x^{2}+6x$ ในรูป $(x+3)^{2}-k$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Half of $6$ is $3$; squaring it back out costs $9$.ครึ่งหนึ่งของ $6$ คือ $3$ · ยกกำลังสองแล้วต้องลบ $9$ กลับออกมา
Write $y^{2}-2y$ in the form $(y-1)^{2}-k$. Find $k$.
จงเขียน $y^{2}-2y$ ในรูป $(y-1)^{2}-k$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Half of $-2$ is $-1$; squaring it back out costs $1$.ครึ่งหนึ่งของ $-2$ คือ $-1$ · ยกกำลังสองแล้วต้องลบ $1$ กลับออกมา
Work out $b^{2}-4ac$ for $x^{2}-4x+3=0$.
จงคำนวณ $b^{2}-4ac$ ของ $x^{2}-4x+3=0$
Answershow ▾
$b^{2}-4ac\gt0$ means the equation has two different real roots.$b^{2}-4ac\gt0$ แปลว่าสมการนี้มีรากจริงที่ต่างกันสองค่า
The circle has centre $(-3,1)$ and radius $6$. Pick the way to find its lowest point.
(A) add $6$ to the $y$-coordinate of the centre
(B) subtract $6$ from the $y$-coordinate of the centre
(C) subtract $6$ from the $x$-coordinate of the centre
วงกลมนี้มีจุดศูนย์กลาง $(-3,1)$ รัศมี $6$ จงเลือกวิธีหาจุดที่ต่ำที่สุด
(A) บวก $6$ เข้ากับพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลาง
(B) ลบ $6$ จากพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลาง
(C) ลบ $6$ จากพิกัด $x$ ของจุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
(A) moves to the top of the circle, not the bottom. (C) moves sideways along $x$, which reaches the leftmost point, not the lowest one.(A) ได้จุดบนสุดของวงกลม ไม่ใช่จุดต่ำสุด · (C) เลื่อนไปทางด้าน $x$ ซึ่งได้จุดซ้ายสุด ไม่ใช่จุดต่ำสุด
Complete the square on $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$ to write it as $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=r^{2}$. Find $r^{2}$.
จงจัดกำลังสองสมบูรณ์ $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$ ให้อยู่ในรูป $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=r^{2}$ แล้วหา $r^{2}$
Answershow ▾
Collect the two completed squares and the $-26$, then move the numbers across.รวมผลจากการเติมกำลังสองสมบูรณ์ทั้งสองรอบกับ $-26$ แล้วย้ายตัวเลขข้ามฝั่ง
The circle is $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=36$. Write down the centre.
วงกลมคือ $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=36$ จงเขียนจุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
The centre is the negative of the numbers added inside each bracket.จุดศูนย์กลางคือค่าตรงข้ามของตัวเลขที่บวกอยู่ในวงเล็บแต่ละอัน
The circle has centre $(-3,1)$ and radius $6$. Find the lowest point.
วงกลมนี้มีจุดศูนย์กลาง $(-3,1)$ รัศมี $6$ จงหาจุดที่ต่ำที่สุด
Answershow ▾
Keep the $x$-coordinate, subtract the radius from the $y$-coordinate.พิกัด $x$ คงเดิม นำรัศมีไปลบออกจากพิกัด $y$
You substitute $y=kx-5$ into the circle and collect everything into one quadratic in $x$. For the line to meet the circle at two distinct points, which condition must the discriminant satisfy?
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\gt0$
(C) $b^{2}-4ac\lt0$
แทน $y=kx-5$ ลงในสมการวงกลม แล้วรวมเป็นสมการกำลังสองสมการเดียวในตัวแปร $x$ เพื่อให้เส้นตรงตัดวงกลมที่จุดสองจุดที่ต่างกัน discriminant ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใด?
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\gt0$
(C) $b^{2}-4ac\lt0$
Answershow ▾
(A) gives exactly one point, where the line just touches the circle. (C) gives no real solutions, so the line misses the circle completely.(A) ได้จุดเดียว คือจุดที่เส้นตรงสัมผัสวงกลมพอดี · (C) ไม่มีคำตอบจริง แปลว่าเส้นตรงไม่โดนวงกลมเลย
Substitute $y=kx-5$ into $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$. Expand and collect into one quadratic in $x$.
แทน $y=kx-5$ ลงใน $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$ แล้วกระจายและรวมพจน์ให้เป็นสมการกำลังสองสมการเดียวในตัวแปร $x$
Answershow ▾
Collect the $x^{2}$ terms, the $x$ terms, and the numbers separately.รวมพจน์ $x^{2}$ พจน์ $x$ และตัวเลขแยกกันเป็นสามกลุ่ม
The quadratic is $(k^{2}+1)x^{2}+(6-12k)x+9=0$. Work out $b^{2}-4ac$, then solve $b^{2}-4ac\gt0$ to find the set of values of $k$.
สมการกำลังสองคือ $(k^{2}+1)x^{2}+(6-12k)x+9=0$ จงคำนวณ $b^{2}-4ac$ แล้วแก้ $b^{2}-4ac\gt0$ เพื่อหาเซตของค่า $k$
Answershow ▾
The $k^{2}$ coefficient of $b^{2}-4ac$ is positive, so it is positive outside its two roots, not between them.สัมประสิทธิ์ $k^{2}$ ของ $b^{2}-4ac$ เป็นบวก จึงเป็นบวกนอกช่วงสองรากนี้ ไม่ใช่ระหว่างราก
A circle has equation $x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0$.
(a) Find the centre, radius, and lowest point of the circle.
(b) Find the set of values of $k$ for which the line $y=kx-1$ meets the circle at two distinct points.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0$
(ก) หาจุดศูนย์กลาง รัศมี และจุดที่ต่ำที่สุดของวงกลม
(ข) หาเซตของค่า $k$ ที่ทำให้เส้นตรง $y=kx-1$ ตัดวงกลมที่จุดสองจุดที่ต่างกัน
Answershow ▾
Same moves as before: complete the square, read off centre/radius/lowest point, then substitute the line and solve the discriminant inequality.ขั้นตอนเดิม: เติมกำลังสองสมบูรณ์ อ่านจุดศูนย์กลาง/รัศมี/จุดต่ำสุด จากนั้นแทนเส้นตรงแล้วแก้อสมการจาก discriminant
The equation of a circle is $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$.
(a) Find the coordinates of the centre of the circle and the radius. Hence find the coordinates of the lowest point on the circle.
(b) Find the set of values of the constant $k$ for which the line with equation $y=kx-5$ intersects the circle at two distinct points.
สมการของวงกลมวงหนึ่งคือ $x^{2}+y^{2}+6x-2y-26=0$
(ก) หาพิกัดจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม จากนั้นหาพิกัดจุดที่ต่ำที่สุด (lowest point) บนวงกลม
(ข) หาเซตของค่าคงที่ $k$ ที่ทำให้เส้นตรง $y=kx-5$ ตัดวงกลมที่จุดสองจุดที่ต่างกัน
Answershow ▾
10 marks: 4 for the circle, 6 for the method through the discriminant - show every line.10 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับวงกลม 6 คะแนนสำหรับวิธีทำผ่าน discriminant จึงต้องเขียนทุกบรรทัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A chord that becomes a diameter คอร์ดที่กลายเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
A circle has equation $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=40$. A line with equation $y=x-9$ intersects the circle at points $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of the two points of intersection.
(b) Find an equation of the circle with diameter $AB$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=40$ เส้นตรง $y=x-9$ ตัดวงกลมที่จุด $A$ และ $B$
(ก) หาพิกัดของจุดตัดทั้งสองจุด
(ข) หาสมการวงกลมที่มี $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (diameter)
Simplify $x-9+4$.
จงทำให้ $x-9+4$ ง่ายขึ้น
Answershow ▾
Collect the constant terms.รวมพจน์คงที่เข้าด้วยกัน
Expand $(x-5)^{2}$.
จงกระจาย $(x-5)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets multiplied. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บคูณกัน พจน์กลางมาสองครั้ง
Solve $x^{2}-6x-7=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}-6x-7=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-7$ and add to $-6$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-7$ และบวกกันได้ $-6$
A line and a circle are both given. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) put $x-9$ in place of $y$ in the circle equation
(C) square both sides of $y=x-9$
มีทั้งเส้นตรงและวงกลม จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) แทน $y$ ในสมการวงกลมด้วย $x-9$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y=x-9$
Answershow ▾
(A) the two equations describe different things, so adding them has no meaning. (C) squaring both sides still leaves two letters; it does not combine the equations.(A) สองสมการอธิบายคนละอย่างกัน การบวกกันจึงไม่มีความหมาย · (C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างยังเหลือตัวแปรสองตัว ไม่ได้รวมสมการเป็นสมการเดียว
Substitute $y=x-9$ into $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=40$. Write the new equation.
แทน $y=x-9$ ลงใน $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=40$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Replace every $y$ with $x-9$.แทน $y$ ทุกตัวด้วย $x-9$
Show that $(x-1)^{2}+(x-9+4)^{2}=40$ becomes $2x^{2}-12x-14=0$.
จงแสดงว่า $(x-1)^{2}+(x-9+4)^{2}=40$ จัดรูปได้เป็น $2x^{2}-12x-14=0$
Answershow ▾
Use questions 1 and 2 for both brackets, then collect like terms and move the $40$.ใช้ข้อ 1 และ 2 กระจายทั้งสองวงเล็บ แล้วรวมพจน์และย้าย $40$
Divide $2x^{2}-12x-14=0$ by $2$, then solve for $x$.
หาร $2x^{2}-12x-14=0$ ด้วย $2$ แล้วแก้สมการหา $x$
Answershow ▾
This is the same equation as question 3.นี่คือสมการเดียวกันกับข้อ 3
$A$ and $B$ are now known. For part (b), what is the centre of the circle with diameter $AB$?
(A) the midpoint of $A$ and $B$
(B) the point $A$
(C) the centre of the original circle
ตอนนี้รู้ $A$ และ $B$ แล้ว สำหรับข้อ (ข) จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มี $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คือจุดใด
(A) จุดกึ่งกลางของ $A$ และ $B$
(B) จุด $A$
(C) จุดศูนย์กลางของวงกลมเดิม
Answershow ▾
(B) $A$ is a point on the new circle, not its centre. (C) the original circle is a different circle - $AB$ is only a chord of it.(B) $A$ เป็นจุดบนวงกลมใหม่ ไม่ใช่จุดศูนย์กลาง · (C) วงกลมเดิมเป็นวงกลมคนละวง $AB$ เป็นเพียงคอร์ดของวงกลมเดิมเท่านั้น
Use $y=x-9$ to find $y$ for $x=7$ and for $x=-1$. Write both points $A$ and $B$.
ใช้ $y=x-9$ หา $y$ เมื่อ $x=7$ และเมื่อ $x=-1$ แล้วเขียนทั้งสองจุด $A$ และ $B$
Answershow ▾
Each $x$-value pairs with its own $y$ on the line.ค่า $x$ แต่ละตัวให้ค่า $y$ ของตัวเองบนเส้นตรง
Find the centre and $r^{2}$ of the circle with diameter $AB$, using $A(-1,-10)$ and $B(7,-2)$. Then write the equation of this circle.
หาจุดศูนย์กลางและ $r^{2}$ ของวงกลมที่มี $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยใช้ $A(-1,-10)$ และ $B(7,-2)$ แล้วเขียนสมการของวงกลมนี้
Answershow ▾
The midpoint gives the centre. Pythagoras from the centre to $A$ gives $r^{2}$.จุดกึ่งกลางให้จุดศูนย์กลาง พีทาโกรัสจากจุดศูนย์กลางถึง $A$ ให้ $r^{2}$
A circle has equation $x^{2}+y^{2}=20$. A line with equation $y=x-2$ intersects the circle at points $A$ and $B$. Find an equation of the circle with diameter $AB$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $x^{2}+y^{2}=20$ เส้นตรง $y=x-2$ ตัดวงกลมที่จุด $A$ และ $B$ จงหาสมการวงกลมที่มี $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
Answershow ▾
Same five moves: substitute, factorise, find both points, then midpoint and $r^{2}$.ห้าขั้นเดิม: แทนค่า แยกตัวประกอบ หาทั้งสองจุด แล้วหาจุดกึ่งกลางและ $r^{2}$
A circle has equation $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=40$. A line with equation $y=x-9$ intersects the circle at points $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of the two points of intersection.
(b) Find an equation of the circle with diameter $AB$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=40$ เส้นตรง $y=x-9$ ตัดวงกลมที่จุด $A$ และ $B$
(ก) หาพิกัดของจุดตัดทั้งสองจุด
(ข) หาสมการวงกลมที่มี $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง (diameter)
Answershow ▾
7 marks across both parts: substitute and factorise for the points, then midpoint and $r^{2}$ for the circle.7 คะแนนทั้งสองข้อ: แทนค่าและแยกตัวประกอบหาจุดตัด แล้วหาจุดกึ่งกลางและ $r^{2}$ สำหรับวงกลม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two unknown constants, then a tangent สองค่าคงที่ที่ไม่รู้ แล้วหาเส้นสัมผัส
The equation of a circle is $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$. The points $A(1,\,1)$ and $B(2,\,-6)$ lie on the circle.
(a) Find the values of $a$ and $b$ and hence find the coordinates of the centre of the circle.
(b) Find the equation of the tangent to the circle at the point $A$, giving your answer in the form $px+qy=k$, where $p$, $q$ and $k$ are integers.
สมการของวงกลมวงหนึ่งคือ $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ จุด $A(1,\,1)$ และ $B(2,\,-6)$ อยู่บนวงกลมนี้
(ก) หาค่าของ $a$ และ $b$ จากนั้นหาพิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลม
(ข) หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $A$ โดยตอบในรูป $px+qy=k$ เมื่อ $p$, $q$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
The point $A(1,1)$ lies on the circle $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$. Substitute $A$ into the equation and simplify to an equation in $a$ and $b$.
จุด $A(1,1)$ อยู่บนวงกลม $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ จงแทนจุด $A$ ลงในสมการ แล้วจัดรูปให้เป็นสมการในรูป $a$ และ $b$
Answershow ▾
Replace $x$ with $1$ and $y$ with $1$, then collect the number terms.แทน $x$ ด้วย $1$ และ $y$ ด้วย $1$ แล้วรวมพจน์ตัวเลข
A circle is $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ with $a=4$ and $b=6$. Write the centre, using centre $=\left(-\dfrac{a}{2},\,-\dfrac{b}{2}\right)$.
วงกลม $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ โดย $a=4$ และ $b=6$ จงเขียนจุดศูนย์กลาง โดยใช้จุดศูนย์กลาง $=\left(-\dfrac{a}{2},\,-\dfrac{b}{2}\right)$
Answershow ▾
Halve $a$ and $b$, then make both negative.หาร $a$ และ $b$ ด้วย $2$ แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นลบทั้งคู่
A radius has gradient $\dfrac{4}{3}$. Find the gradient of the tangent at that point, using $m_{1}\times m_{2}=-1$.
รัศมีมีความชัน $\dfrac{4}{3}$ จงหาความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น โดยใช้ $m_{1}\times m_{2}=-1$
Answershow ▾
Turn the fraction upside down, then change its sign.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
The circle is $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ with unknowns $a$ and $b$. Points $A(1,1)$ and $B(2,-6)$ lie on it. Pick the first move.
(A) substitute $A$ and $B$ into the equation to form two equations in $a$ and $b$
(B) find the midpoint of $A$ and $B$ and call it the centre
(C) complete the square on $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ straightaway
วงกลม $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ มี $a$ และ $b$ ที่ไม่รู้ จุด $A(1,1)$ และ $B(2,-6)$ อยู่บนวงกลมนี้ จงเลือกขั้นแรก
(A) แทนจุด $A$ และ $B$ ลงในสมการ เพื่อตั้งสมการสองสมการในรูป $a$ และ $b$
(B) หาจุดกึ่งกลางของ $A$ และ $B$ แล้วให้เป็นจุดศูนย์กลาง
(C) ทำให้ $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ เป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์ตั้งแต่ตอนนี้
Answershow ▾
(B) the midpoint of two points on a circle is only the centre when they are the two ends of a diameter, which is not given here. (C) completing the square with $a$ and $b$ still unknown gives no numbers to work with.(B) จุดกึ่งกลางของสองจุดบนวงกลมจะเป็นจุดศูนย์กลางได้ ก็ต่อเมื่อสองจุดนั้นเป็นปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งโจทย์ไม่ได้บอกไว้ · (C) การทำกำลังสองสมบูรณ์ตอนที่ $a$ และ $b$ ยังไม่รู้ค่า จะไม่ได้ตัวเลขอะไรออกมา
$A(1,1)$ and $B(2,-6)$ lie on $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$. Substitute each point and simplify. Label the two equations ① and ②.
$A(1,1)$ และ $B(2,-6)$ อยู่บนวงกลม $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ จงแทนแต่ละจุดแล้วจัดรูป ติดเลข ① และ ②
Answershow ▾
Replace $x$ and $y$ with each point's coordinates, then collect the number terms.แทน $x$ และ $y$ ด้วยพิกัดของแต่ละจุด แล้วรวมพจน์ตัวเลข
Solve ① $a+b=10$ and ② $2a-6b=-28$ for $a$ and $b$.
จงแก้ ① $a+b=10$ และ ② $2a-6b=-28$ เพื่อหา $a$ และ $b$
Answershow ▾
Scale ① so its $a$ term matches ②, then subtract to remove $a$.ขยาย ① ให้พจน์ $a$ เท่ากับใน ② แล้วลบเพื่อกำจัด $a$
Using $a=4$ and $b=6$, find the centre of the circle, using centre $=\left(-\dfrac{a}{2},\,-\dfrac{b}{2}\right)$.
โดยใช้ $a=4$ และ $b=6$ จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลม โดยใช้จุดศูนย์กลาง $=\left(-\dfrac{a}{2},\,-\dfrac{b}{2}\right)$
Answershow ▾
Completing the square on $x^{2}+ax$ gives $\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^{2}$, so the centre is at $-\dfrac{a}{2}$.การทำกำลังสองสมบูรณ์ของ $x^{2}+ax$ ได้ $\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^{2}$ จุดศูนย์กลางจึงอยู่ที่ $-\dfrac{a}{2}$
The centre is $C(-2,-3)$. To find the tangent at $A(1,1)$, pick the first move.
(A) find the gradient of the radius $CA$, then flip and negate it
(B) find the gradient of the chord $AB$, then flip and negate it
(C) find the gradient from the origin to $A$, then flip and negate it
จุดศูนย์กลางคือ $C(-2,-3)$ จะหาเส้นสัมผัสที่ $A(1,1)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หาความชันของรัศมี $CA$ แล้วกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
(B) หาความชันของคอร์ด $AB$ แล้วกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
(C) หาความชันจากจุดกำเนิดไปยัง $A$ แล้วกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
Answershow ▾
(B) a tangent is perpendicular to the RADIUS at the point of contact, not to a chord through that point; $AB$ is a chord, not the radius. (C) the origin is not the centre of this circle, so there is no perpendicular relationship with it.(B) เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัสเท่านั้น ไม่ใช่กับคอร์ดที่ผ่านจุดนั้น · $AB$ เป็นคอร์ด ไม่ใช่รัศมี · (C) จุดกำเนิดไม่ใช่จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้ จึงไม่มีความสัมพันธ์ตั้งฉากกับมัน
Find the gradient of the radius $CA$, from $C(-2,-3)$ to $A(1,1)$. Then find the gradient of the tangent at $A$.
จงหาความชันของรัศมี $CA$ จาก $C(-2,-3)$ ไปยัง $A(1,1)$ จากนั้นหาความชันของเส้นสัมผัสที่ $A$
Answershow ▾
Flip the radius gradient upside down, then change its sign.กลับความชันของรัศมี แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Using the point-gradient form through $A(1,1)$ with gradient $-\dfrac{3}{4}$, write the tangent. Clear it to the form $px+qy=k$, then check that $A$ fits it.
โดยใช้สูตรจุด-ความชัน ผ่าน $A(1,1)$ ด้วยความชัน $-\dfrac{3}{4}$ จงเขียนเส้นสัมผัส แล้วจัดให้อยู่ในรูป $px+qy=k$ จากนั้นตรวจว่า $A$ อยู่บนเส้นนี้
Answershow ▾
Multiply out the bracket, then collect $x$ and $y$ on one side.กระจายวงเล็บ แล้วรวม $x$ และ $y$ ไว้ข้างเดียวกัน
A circle is $x^{2}+y^{2}+ax+by-15=0$. Points $P(7,4)$ and $Q(-1,4)$ lie on it. Find $a$, $b$, the centre, and the equation of the tangent at $P$, in the form $px+qy=k$.
วงกลมหนึ่งคือ $x^{2}+y^{2}+ax+by-15=0$ จุด $P(7,4)$ และ $Q(-1,4)$ อยู่บนวงกลมนี้ จงหา $a$, $b$ จุดศูนย์กลาง และสมการเส้นสัมผัสที่ $P$ ในรูป $px+qy=k$
Answershow ▾
Same six moves: substitute both points, solve for $a$ and $b$, halve them for the centre, find the radius gradient, flip it, then clear to integers.หกขั้นเดิม: แทนทั้งสองจุด แก้หา $a$ และ $b$ หารครึ่งเพื่อหาจุดศูนย์กลาง หาความชันรัศมี กลับความชัน แล้วจัดเป็นจำนวนเต็ม
The equation of a circle is $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$. The points $A(1,\,1)$ and $B(2,\,-6)$ lie on the circle.
(a) Find the values of $a$ and $b$ and hence find the coordinates of the centre of the circle.
(b) Find the equation of the tangent to the circle at the point $A$, giving your answer in the form $px+qy=k$, where $p$, $q$ and $k$ are integers.
สมการของวงกลมวงหนึ่งคือ $x^{2}+y^{2}+ax+by-12=0$ จุด $A(1,\,1)$ และ $B(2,\,-6)$ อยู่บนวงกลมนี้
(ก) หาค่าของ $a$ และ $b$ จากนั้นหาพิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลม
(ข) หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $A$ โดยตอบในรูป $px+qy=k$ เมื่อ $p$, $q$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
8 marks: show every substitution, the centre, both gradients, and the tangent in integer form.8 คะแนน: แสดงการแทนค่าทุกจุด จุดศูนย์กลาง ความชันทั้งสอง และเส้นสัมผัสในรูปจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Surd chord, then a tangent คอร์ดกรณฑ์ แล้วหาเส้นสัมผัส
The line $y=2x+5$ intersects the circle with equation $x^{2}+y^{2}=20$ at $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$ in surd form and hence find the exact length of the chord $AB$.
(b) A straight line through the point $(10,\,0)$ with gradient $m$ is a tangent to the circle. Find the two possible values of $m$.
เส้นตรง $y=2x+5$ ตัดวงกลม $x^{2}+y^{2}=20$ ที่จุด $A$ และ $B$
(ก) หาพิกัดของ $A$ และ $B$ ในรูปกรณฑ์ (surd form) และหาความยาวคอร์ด $AB$ แบบค่าแม่นตรง (exact)
(ข) เส้นตรงที่ผ่านจุด $(10,\,0)$ ด้วยความชัน $m$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม หาค่าของ $m$ ที่เป็นไปได้สองค่า
Expand $(2x+5)^{2}$.
จงกระจาย $(2x+5)^{2}$
Answershow ▾
Square each term, then double the cross product for the middle term.ยกกำลังสองแต่ละพจน์ แล้วคูณผลคูณไขว้ด้วย $2$ สำหรับพจน์กลาง
Solve $x^{2}+6x+3=0$ using the quadratic formula. Give $x$ in surd form, simplified.
จงแก้สมการ $x^{2}+6x+3=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง · ให้ $x$ ในรูปกรณฑ์ที่จัดรูปแล้ว
Answershow ▾
Simplify the surd under the root before dividing every term by $2$.จัดรูปกรณฑ์ใต้เครื่องหมายรากก่อน แล้วหารทุกพจน์ด้วย $2$
For $x^{2}-6x+9=0$, work out $b^{2}-4ac$. Then write how many points a line and a curve share when this value is $0$.
สำหรับ $x^{2}-6x+9=0$ จงหา $b^{2}-4ac$ แล้วเขียนว่าเส้นตรงกับเส้นโค้งมีจุดตัดกันกี่จุด เมื่อค่านี้เป็น $0$
Answershow ▾
Equal roots mean one $x$-value, so the line only touches the curve once.รากซ้ำหมายถึงค่า $x$ ค่าเดียว เส้นตรงจึงสัมผัสเส้นโค้งเพียงจุดเดียว
The circle is $x^{2}+y^{2}=20$ and the line is $y=2x+5$. Pick the first move.
(A) Add the two equations together.
(B) Substitute $y=2x+5$ into $x^{2}+y^{2}=20$.
(C) Multiply $y=2x+5$ by $2$.
วงกลมคือ $x^{2}+y^{2}=20$ และเส้นตรงคือ $y=2x+5$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) แทน $y=2x+5$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=20$
(C) คูณ $y=2x+5$ ด้วย $2$
Answershow ▾
(A) adding a linear equation to a quadratic one does not remove a letter, since $y$ and $y^{2}$ are different. (C) multiplying the line by $2$ still leaves two equations, so substitution is needed anyway.(A) การบวกสมการเชิงเส้นกับสมการกำลังสองไม่ทำให้ตัวแปรหายไป เพราะ $y$ กับ $y^{2}$ ไม่เหมือนกัน · (C) คูณเส้นตรงด้วย $2$ ก็ยังเหลือสองสมการอยู่ดี จึงต้องแทนค่าอยู่ดี
Substitute $y=2x+5$ into $x^{2}+y^{2}=20$. Expand and simplify to a quadratic equal to $0$.
แทน $y=2x+5$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=20$ · กระจายแล้วจัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองเท่ากับ $0$
Answershow ▾
Expand the bracket from question 1, then move the $20$ across.กระจายวงเล็บจากข้อ 1 แล้วย้าย $20$ ข้ามไป
Divide $5x^{2}+20x+5=0$ by $5$, then solve using the quadratic formula. Keep $x$ in surd form - do not round.
หาร $5x^{2}+20x+5=0$ ด้วย $5$ แล้วแก้ด้วยสูตรกำลังสอง · ให้ $x$ ในรูปกรณฑ์ ยังไม่ปัดเศษ
Answershow ▾
Simplify the surd under the root, then divide every term by $2$.จัดรูปกรณฑ์ใต้เครื่องหมายรากก่อน แล้วหารทุกพจน์ด้วย $2$
Use $y=2x+5$ to write $A$ and $B$ as coordinates, in surd form. Then find the exact length $AB$.
ใช้ $y=2x+5$ เขียนพิกัดจุด $A$ และ $B$ ในรูปกรณฑ์ · แล้วหาความยาว $AB$ แบบค่าแม่นตรง
Answershow ▾
$B\left(-2+\sqrt3,\,1+2\sqrt3\right)$
$AB=2\sqrt{15}$
Subtract the coordinates first; do not round the surds before squaring them.ลบพิกัดก่อน · อย่าปัดเศษกรณฑ์ก่อนยกกำลังสอง
A line through $(10,0)$ with gradient $m$ is a tangent to the circle $x^{2}+y^{2}=20$. Pick the first move.
(A) Find the gradient of the radius to $(10,0)$ and make the tangent perpendicular to it.
(B) Substitute $y=m(x-10)$ into $x^{2}+y^{2}=20$ and set the discriminant to $0$.
(C) Substitute $x=10$ into $x^{2}+y^{2}=20$ to find $y$.
เส้นตรงที่ผ่าน $(10,0)$ ด้วยความชัน $m$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม $x^{2}+y^{2}=20$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หาความชันของรัศมีไปยัง $(10,0)$ แล้วให้เส้นสัมผัสตั้งฉากกับมัน
(B) แทน $y=m(x-10)$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=20$ แล้วให้ discriminant เท่ากับ $0$
(C) แทน $x=10$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=20$ เพื่อหา $y$
Answershow ▾
(A) only works for a point ON the circle, but $10^{2}+0^{2}=100$, not $20$, so $(10,0)$ is outside and has no single radius to use. (C) only checks whether $(10,0)$ lies on the circle - it never produces $m$.(A) ใช้ได้เมื่อจุดนั้นอยู่บนวงกลมเท่านั้น แต่ $10^{2}+0^{2}=100$ ไม่ใช่ $20$ ดังนั้น $(10,0)$ อยู่นอกวงกลมและไม่มีรัศมีเดียวให้ใช้ · (C) เป็นแค่การตรวจว่า $(10,0)$ อยู่บนวงกลมหรือไม่ ไม่ได้ให้ค่า $m$ เลย
Substitute $y=m(x-10)$ into $x^{2}+y^{2}=20$. Expand and collect into the form $(1+m^{2})x^{2}+bx+c=0$.
แทน $y=m(x-10)$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=20$ · กระจายแล้วรวมพจน์ให้เป็นรูป $(1+m^{2})x^{2}+bx+c=0$
Answershow ▾
Expand the bracket first, then group every $x^{2}$ term and every $x$ term together.กระจายวงเล็บก่อน แล้วรวมพจน์ $x^{2}$ และพจน์ $x$ เข้าด้วยกัน
This quadratic has equal roots, since the line is a tangent. Set $b^{2}-4ac=0$ using $a=1+m^{2}$, $b=-20m^{2}$, $c=100m^{2}-20$. Solve for $m$.
สมการนี้มีรากซ้ำ เพราะเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส · ให้ $b^{2}-4ac=0$ โดย $a=1+m^{2}$, $b=-20m^{2}$, $c=100m^{2}-20$ แล้วแก้หา $m$
Answershow ▾
Expand both squared terms before subtracting - they share a $400m^{4}$ that cancels.กระจายทั้งสองพจน์ยกกำลังสองก่อนลบ · ทั้งสองมี $400m^{4}$ ที่ตัดกันได้
The line $y=x+2$ meets the circle $x^{2}+y^{2}=8$ at $C$ and $D$.
(a) Find $C$ and $D$ in surd form and the exact length $CD$.
(b) A line through $(4,0)$ with gradient $k$ is a tangent to the circle. Find the two values of $k$.
เส้นตรง $y=x+2$ ตัดวงกลม $x^{2}+y^{2}=8$ ที่จุด $C$ และ $D$
(ก) หาพิกัด $C$ และ $D$ ในรูปกรณฑ์ และหาความยาว $CD$ แบบค่าแม่นตรง
(ข) เส้นตรงที่ผ่าน $(4,0)$ ด้วยความชัน $k$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม จงหาค่า $k$ ที่เป็นไปได้สองค่า
Answershow ▾
$D\left(-1+\sqrt3,\,1+\sqrt3\right)$
$CD=2\sqrt6$
(b) $k=\pm1$
Same two methods: substitute the line into the circle for the points, then the discriminant $=0$ for the tangent.สองวิธีเดิม: แทนเส้นตรงลงในวงกลมเพื่อหาจุด แล้วใช้ discriminant $=0$ เพื่อหาเส้นสัมผัส
The line $y=2x+5$ intersects the circle with equation $x^{2}+y^{2}=20$ at $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and $B$ in surd form and hence find the exact length of the chord $AB$.
(b) A straight line through the point $(10,\,0)$ with gradient $m$ is a tangent to the circle. Find the two possible values of $m$.
เส้นตรง $y=2x+5$ ตัดวงกลม $x^{2}+y^{2}=20$ ที่จุด $A$ และ $B$
(ก) หาพิกัดของ $A$ และ $B$ ในรูปกรณฑ์ (surd form) และหาความยาวคอร์ด $AB$ แบบค่าแม่นตรง (exact)
(ข) เส้นตรงที่ผ่านจุด $(10,\,0)$ ด้วยความชัน $m$ เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม หาค่าของ $m$ ที่เป็นไปได้สองค่า
Answershow ▾
12 marks, mostly method: show every line, and keep the surds exact until the very end.12 คะแนน ส่วนใหญ่เป็นคะแนนวิธีทำ: เขียนทุกบรรทัด และคงกรณฑ์ไว้แบบค่าแม่นตรงจนถึงบรรทัดสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circle, tangent, and where two tangents meet วงกลม เส้นสัมผัส และจุดที่เส้นสัมผัสสองเส้นตัดกัน
The equation of a circle with centre $C$ is $x^{2}+y^{2}-8x+4y-5=0$.
(a) Find the radius of the circle and the coordinates of $C$.
(b) The point $P(1,\,2)$ lies on the circle. Show that the equation of the tangent to the circle at $P$ is $4y=3x+5$.
(c) The point $Q$ also lies on the circle and $PQ$ is parallel to the $x$-axis. Write down the coordinates of $Q$.
(d) The tangents to the circle at $P$ and $Q$ meet at $T$. Find the coordinates of $T$.
สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $C$ คือ $x^{2}+y^{2}-8x+4y-5=0$
(ก) หารัศมีของวงกลมและพิกัดของ $C$
(ข) จุด $P(1,\,2)$ อยู่บนวงกลม แสดงว่าสมการเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $P$ คือ $4y=3x+5$
(ค) จุด $Q$ อยู่บนวงกลมด้วยเช่นกัน และ $PQ$ ขนาน (parallel) กับแกน $x$ เขียนพิกัดของ $Q$
(ง) เส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $P$ และ $Q$ ตัดกันที่จุด $T$ หาพิกัดของ $T$
Write $x^{2}-8x$ in the form $(x-a)^{2}-b$.
จงเขียน $x^{2}-8x$ ในรูป $(x-a)^{2}-b$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $x$, then subtract its square.หารสัมประสิทธิ์ของ $x$ ด้วย $2$ แล้วลบด้วยกำลังสองของมัน
Write $y^{2}+4y$ in the form $(y+a)^{2}-b$.
จงเขียน $y^{2}+4y$ ในรูป $(y+a)^{2}-b$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $y$, then subtract its square.หารสัมประสิทธิ์ของ $y$ ด้วย $2$ แล้วลบด้วยกำลังสองของมัน
Find the gradient of the line joining $(4,\,-2)$ and $(1,\,2)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่เชื่อม $(4,\,-2)$ และ $(1,\,2)$
Answershow ▾
Gradient is the change in $y$ over the change in $x$.ความชัน คือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
The gradient of the radius $CP$ is $-\dfrac{4}{3}$. The tangent at $P$ is perpendicular to $CP$. Pick the gradient of the tangent.
(A) $-\dfrac{4}{3}$
(B) $\dfrac{4}{3}$
(C) $\dfrac{3}{4}$
ความชันของรัศมี $CP$ คือ $-\dfrac{4}{3}$ เส้นสัมผัสที่ $P$ ตั้งฉากกับ $CP$ จงเลือกความชันของเส้นสัมผัส
(A) $-\dfrac{4}{3}$
(B) $\dfrac{4}{3}$
(C) $\dfrac{3}{4}$
Answershow ▾
(A) keeps the radius gradient itself, with no perpendicular step at all. (B) only flips the sign; a perpendicular gradient needs the reciprocal too, not just the sign.(A) ใช้ความชันของรัศมีตรง ๆ ไม่มีขั้นตอนตั้งฉากเลย · (B) สลับเครื่องหมายอย่างเดียว แต่ความชันตั้งฉากต้องกลับเศษส่วนด้วย ไม่ใช่สลับเครื่องหมายอย่างเดียว
The circle is $x^{2}+y^{2}-8x+4y-5=0$. Complete the square for $x$ and for $y$ to find the centre $C$ and the radius.
วงกลมคือ $x^{2}+y^{2}-8x+4y-5=0$ จงจัดกำลังสองสมบูรณ์ทั้ง $x$ และ $y$ เพื่อหาจุดศูนย์กลาง $C$ และรัศมี
Answershow ▾
Group the $x$ terms and the $y$ terms, then complete the square on each.จัดพจน์ $x$ และพจน์ $y$ แยกกัน แล้วจัดกำลังสองสมบูรณ์ทีละตัว
Using the gradient $\dfrac{3}{4}$ at $P(1,\,2)$, write the equation of the tangent in point-gradient form.
โดยใช้ความชัน $\dfrac{3}{4}$ ที่จุด $P(1,\,2)$ จงเขียนสมการเส้นสัมผัสในรูปจุด-ความชัน
Answershow ▾
Point-gradient form: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.รูปจุด-ความชัน: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Simplify $y-2=\dfrac{3}{4}(x-1)$ to show it is the same as $4y=3x+5$.
จงจัดรูป $y-2=\dfrac{3}{4}(x-1)$ ให้เห็นว่าเหมือนกับ $4y=3x+5$
Answershow ▾
Multiply every term by $4$ to clear the fraction.คูณทุกพจน์ด้วย $4$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
$P(1,\,2)$ lies on the circle with centre $C(4,\,-2)$, and $PQ$ is parallel to the $x$-axis. Pick the way to find $Q$.
(A) reflect $P$ through the centre $C$
(B) keep the same $y$ as $P$, and mirror the $x$-coordinate across the vertical line through $C$
(C) reflect $P$ in the $y$-axis
จุด $P(1,\,2)$ อยู่บนวงกลมที่มีศูนย์กลาง $C(4,\,-2)$ และ $PQ$ ขนานกับแกน $x$ จงเลือกวิธีหา $Q$
(A) สะท้อน $P$ ผ่านจุดศูนย์กลาง $C$
(B) ให้ $y$ เท่าเดิม แล้วสะท้อนพิกัด $x$ ข้ามเส้นตั้งที่ผ่าน $C$
(C) สะท้อน $P$ ข้ามแกน $y$
Answershow ▾
(A) reflecting through $C$ gives the point diametrically opposite $P$, which has a different $y$ - not parallel to the $x$-axis. (C) the $y$-axis has nothing to do with this circle, so that point will not even lie on it.(A) การสะท้อนผ่าน $C$ ให้จุดตรงข้ามกับ $P$ ซึ่งมี $y$ ต่างกัน ไม่ขนานกับแกน $x$ · (C) แกน $y$ ไม่เกี่ยวกับวงกลมนี้ จุดที่ได้จึงไม่อยู่บนวงกลมด้วยซ้ำ
Using that method, find the coordinates of $Q$.
โดยใช้วิธีดังกล่าว จงหาพิกัดของ $Q$
Answershow ▾
Same $y$ as $P$; $x$ is as far from $4$ as $P$ is, on the other side.$y$ เท่ากับของ $P$ · $x$ ห่างจาก $4$ เท่ากับที่ $P$ ห่าง แต่อยู่อีกฝั่ง
The tangent at $Q$ has gradient $-\dfrac{3}{4}$, the mirror of the tangent at $P$. The tangents at $P$ and $Q$ meet at $T$. Find $T$.
เส้นสัมผัสที่ $Q$ มีความชัน $-\dfrac{3}{4}$ เป็นภาพสะท้อนของเส้นสัมผัสที่ $P$ เส้นสัมผัสที่ $P$ และ $Q$ ตัดกันที่จุด $T$ จงหา $T$
Answershow ▾
Write the tangent at $Q$, then solve it together with the tangent at $P$.เขียนสมการเส้นสัมผัสที่ $Q$ แล้วแก้สมการร่วมกับเส้นสัมผัสที่ $P$
A circle has equation $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$ and centre $C$. The point $P(5,\,7)$ lies on the circle. $Q$ also lies on the circle and $PQ$ is parallel to the $x$-axis. The tangents at $P$ and $Q$ meet at $T$. Find $T$.
วงกลมวงหนึ่งมีสมการ $x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0$ และจุดศูนย์กลาง $C$ จุด $P(5,\,7)$ อยู่บนวงกลม จุด $Q$ อยู่บนวงกลมด้วยและ $PQ$ ขนานกับแกน $x$ เส้นสัมผัสที่ $P$ และ $Q$ ตัดกันที่จุด $T$ จงหา $T$
Answershow ▾
Same four moves: complete the square, tangent at $P$, mirror to $Q$, then solve for $T$.สี่ขั้นเดิม: จัดกำลังสองสมบูรณ์ หาเส้นสัมผัสที่ $P$ สะท้อนไปยัง $Q$ แล้วแก้สมการหา $T$
The equation of a circle with centre $C$ is $x^{2}+y^{2}-8x+4y-5=0$.
(a) Find the radius of the circle and the coordinates of $C$.
(b) The point $P(1,\,2)$ lies on the circle. Show that the equation of the tangent to the circle at $P$ is $4y=3x+5$.
(c) The point $Q$ also lies on the circle and $PQ$ is parallel to the $x$-axis. Write down the coordinates of $Q$.
(d) The tangents to the circle at $P$ and $Q$ meet at $T$. Find the coordinates of $T$.
สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $C$ คือ $x^{2}+y^{2}-8x+4y-5=0$
(ก) หารัศมีของวงกลมและพิกัดของ $C$
(ข) จุด $P(1,\,2)$ อยู่บนวงกลม แสดงว่าสมการเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $P$ คือ $4y=3x+5$
(ค) จุด $Q$ อยู่บนวงกลมด้วยเช่นกัน และ $PQ$ ขนาน (parallel) กับแกน $x$ เขียนพิกัดของ $Q$
(ง) เส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $P$ และ $Q$ ตัดกันที่จุด $T$ หาพิกัดของ $T$
Answershow ▾
11 marks: 3 for the centre and radius, 3 to show the tangent, 2 for $Q$, 3 for $T$.11 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับจุดศูนย์กลางและรัศมี, 3 คะแนนสำหรับการแสดงเส้นสัมผัส, 2 คะแนนสำหรับ $Q$, 3 คะแนนสำหรับ $T$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A perpendicular line through a point เส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดหนึ่ง
The line $l_1$ has equation $3x+5y-7=0$.
(a) Find the gradient of $l_1$.
(b) The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the point $(6,\,-2)$.
Find the equation of $l_2$ in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3x+5y-7=0$
(ก) หาความชัน (gradient) ของ $l_1$
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $l_1$ และผ่านจุด $(6,\,-2)$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
Make $y$ the subject of $3x+5y-7=0$.
จงจัดรูป $3x+5y-7=0$ ให้ $y$ อยู่ข้างเดียว
Answershow ▾
Move the $x$-term and the number across, then divide by the coefficient of $y$.ย้ายพจน์ $x$ กับจำนวนข้ามไป แล้วหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$
A line has gradient $\dfrac{2}{5}$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $\dfrac{2}{5}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับมัน
Answershow ▾
Flip the fraction, then change its sign.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
A line has gradient $-2$ and passes through $(1,3)$. Write its equation in the form $y=mx+c$.
เส้นตรงมีความชัน $-2$ และผ่านจุด $(1,3)$ จงเขียนสมการในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Use $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, then make $y$ the subject.ใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ แล้วจัดรูปให้ $y$ อยู่ข้างเดียว
$l_1$ is $3x+5y-7=0$. Pick the gradient of $l_1$.
(A) $3$
(B) $-3$
(C) $-\dfrac{3}{5}$
$l_1$ คือ $3x+5y-7=0$ จงเลือกความชันของ $l_1$
(A) $3$
(B) $-3$
(C) $-\dfrac{3}{5}$
Answershow ▾
(A) and (B) read a coefficient straight off $3x+5y-7=0$ without rearranging first. A coefficient in that form is not the gradient until $y$ is on its own.(A) และ (B) อ่านสัมประสิทธิ์จาก $3x+5y-7=0$ ตรง ๆ โดยไม่จัดรูปก่อน สัมประสิทธิ์ในรูปนั้นยังไม่ใช่ความชัน จนกว่าจะจัดให้ $y$ อยู่ข้างเดียวก่อน
$m_{1}=-\dfrac{3}{5}$. Pick the gradient of $l_2$, perpendicular to $l_1$.
(A) $-\dfrac{5}{3}$
(B) $\dfrac{3}{5}$
(C) $\dfrac{5}{3}$
$m_{1}=-\dfrac{3}{5}$ จงเลือกความชันของ $l_2$ ซึ่งตั้งฉากกับ $l_1$
(A) $-\dfrac{5}{3}$
(B) $\dfrac{3}{5}$
(C) $\dfrac{5}{3}$
Answershow ▾
(A) flips the fraction but keeps the minus sign, so the double negative is lost. (B) changes the sign but forgets to flip. A perpendicular gradient needs both moves.(A) กลับเศษส่วนแต่ยังใส่เครื่องหมายลบไว้ จึงเสียลบคูณลบที่ควรเป็นบวก · (B) เปลี่ยนเครื่องหมายแต่ลืมกลับเศษส่วน ความชันตั้งฉากต้องทำทั้งสองอย่าง
Using the point $(6,\,-2)$ and the gradient $m_{2}=\dfrac{5}{3}$, write the point-gradient equation of $l_2$.
ใช้จุด $(6,\,-2)$ และความชัน $m_{2}=\dfrac{5}{3}$ จงเขียนสมการจุด-ความชันของ $l_2$
Answershow ▾
Substitute the point and the gradient into $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.แทนจุดและความชันลงใน $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Expand the bracket in $y+2=\dfrac{5}{3}(x-6)$.
จงกระจายวงเล็บใน $y+2=\dfrac{5}{3}(x-6)$
Answershow ▾
Multiply the $\dfrac{5}{3}$ onto both terms inside the bracket.คูณ $\dfrac{5}{3}$ เข้ากับทั้งสองพจน์ในวงเล็บ
Make $y$ the subject of $y+2=\dfrac{5}{3}x-10$. Write $l_2$ in the form $y=mx+c$.
จงจัดรูป $y+2=\dfrac{5}{3}x-10$ ให้ $y$ อยู่ข้างเดียว เขียน $l_2$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Subtract $2$ from both sides.ลบ $2$ ออกจากทั้งสองข้าง
$l_1:3x+5y-7=0$. Find the gradient of $l_1$, then the gradient of $l_2$, perpendicular to $l_1$.
$l_1:3x+5y-7=0$ จงหาความชันของ $l_1$ แล้วหาความชันของ $l_2$ ซึ่งตั้งฉากกับ $l_1$
Answershow ▾
Rearrange for $m_1$, then flip and negate for $m_2$.จัดรูปหา $m_1$ แล้วกลับเศษส่วนและใส่ลบเพื่อหา $m_2$
Check that $(6,\,-2)$ lies on $y=\dfrac{5}{3}x-12$.
จงตรวจว่าจุด $(6,\,-2)$ อยู่บนเส้นตรง $y=\dfrac{5}{3}x-12$
Answershow ▾
Substitute $x=6$ and check the result is $-2$.แทน $x=6$ แล้วตรวจว่าได้ผลลัพธ์ $-2$
The line $l_1$ has equation $x+2y-6=0$.
(a) Find the gradient of $l_1$.
(b) The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through $(4,\,1)$.
Find the equation of $l_2$ in the form $y=mx+c$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $x+2y-6=0$
(ก) หาความชันของ $l_1$
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุด $(4,\,1)$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Same four moves: rearrange, perpendicular gradient, equation through the point, then simplify.สี่ขั้นเดิม: จัดรูป หาความชันตั้งฉาก สมการผ่านจุด แล้วจัดรูปให้ง่าย
The line $l_1$ has equation $3x+5y-7=0$.
(a) Find the gradient of $l_1$.
(b) The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the point $(6,\,-2)$.
Find the equation of $l_2$ in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3x+5y-7=0$
(ก) หาความชัน (gradient) ของ $l_1$
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $l_1$ และผ่านจุด $(6,\,-2)$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
Answershow ▾
5 marks: rearrange for $m_1$, the perpendicular gradient rule, the equation through the point, then simplify to $y=mx+c$.5 คะแนน: จัดรูปหา $m_1$ ใช้กฎความชันตั้งฉาก สมการผ่านจุด แล้วจัดรูปให้อยู่ในรูป $y=mx+c$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two years, two prices, one line สองปี สองราคา เส้นตรงเดียว
The share price of a company is monitored.
Exactly 3 years after monitoring began, the share price was £1.05
Exactly 5 years after monitoring began, the share price was £1.65
The share price, £$V$, of the company is modelled by the equation $$V=pt+q$$ where $t$ is the number of years after monitoring began and $p$ and $q$ are constants.
(a) Find the value of $p$ and the value of $q$.
(b) Exactly $T$ years after monitoring began, the share price was £2.50
Find the value of $T$, according to the model, giving your answer to one decimal place.
ราคาหุ้นของบริษัทแห่งหนึ่งถูกติดตาม (monitored)
เมื่อผ่านไป 3 ปีพอดีหลังเริ่มติดตาม ราคาหุ้นคือ £1.05
เมื่อผ่านไป 5 ปีพอดีหลังเริ่มติดตาม ราคาหุ้นคือ £1.65
ราคาหุ้น £$V$ ของบริษัทถูกจำลอง (modelled) ด้วยสมการ $$V=pt+q$$ เมื่อ $t$ คือจำนวนปีหลังเริ่มติดตาม และ $p$, $q$ เป็นจำนวนคงที่
(ก) หาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
(ข) เมื่อผ่านไป $T$ ปีพอดีหลังเริ่มติดตาม ราคาหุ้นคือ £2.50
ตามแบบจำลองนี้ หาค่าของ $T$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
A model gives $V=pt+q$. When $t=3$, $V=1.05$. Substitute to write an equation in $p$ and $q$.
แบบจำลองคือ $V=pt+q$ เมื่อ $t=3$, $V=1.05$ จงแทนค่าเพื่อเขียนสมการในรูป $p$ และ $q$
Answershow ▾
Replace $t$ and $V$ with the numbers given.แทน $t$ และ $V$ ด้วยตัวเลขที่ให้มา
A quantity is modelled by $y=5x+8$. Work out $y$ when $x=0$.
ปริมาณหนึ่งถูกจำลองด้วย $y=5x+8$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=0$
Answershow ▾
The term with $x$ disappears when $x=0$.พจน์ที่มี $x$ จะหายไปเมื่อ $x=0$
Solve $2p=0.6$ for $p$.
จงแก้หา $p$ จาก $2p=0.6$
Answershow ▾
Divide both sides by $2$.หารทั้งสองข้างด้วย $2$
You have $1.05=3p+q$ and $1.65=5p+q$. Pick the first move to find $p$.
(A) subtract the first equation from the second
(B) add the two equations
(C) divide the second equation by the first
มี $1.05=3p+q$ และ $1.65=5p+q$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $p$
(A) นำสมการแรกไปลบออกจากสมการที่สอง
(B) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(C) นำสมการที่สองไปหารด้วยสมการแรก
Answershow ▾
(B) adds $q+q=2q$ instead of cancelling it, so $q$ does not disappear. (C) divides one side by the other and leaves $p$ and $q$ mixed together - neither letter is isolated.(B) บวก $q+q=2q$ แทนที่จะตัด $q$ ออก ทำให้ $q$ ไม่หายไป · (C) หารข้างหนึ่งด้วยอีกข้าง ทำให้ $p$ กับ $q$ ปนกัน ไม่มีตัวแปรใดถูกแยกออกมาเดี่ยวๆ
At $t=3$, $V=1.05$; at $t=5$, $V=1.65$. Substitute each into $V=pt+q$. Write both equations.
เมื่อ $t=3$, $V=1.05$ และเมื่อ $t=5$, $V=1.65$ จงแทนค่าทั้งสองลงใน $V=pt+q$ แล้วเขียนทั้งสองสมการ
Answershow ▾
Same substitution as before, once for each data point.แทนค่าแบบเดิม ทำทีละจุดข้อมูล
Subtract $1.05=3p+q$ from $1.65=5p+q$. Solve for $p$.
นำ $1.05=3p+q$ ไปลบออกจาก $1.65=5p+q$ แล้วแก้หา $p$
Answershow ▾
Subtracting cancels $q$, leaving one letter.การลบทำให้ $q$ หายไป เหลือตัวแปรเดียว
Substitute $p=0.3$ into $1.65=5p+q$. Find $q$.
แทน $p=0.3$ ลงใน $1.65=5p+q$ แล้วหา $q$
Answershow ▾
Replace $p$, then move the number across.แทน $p$ แล้วย้ายตัวเลขข้ามไปอีกข้าง
The model is $V=0.3t+0.15$. Exactly $T$ years in, the price was £2.50. Pick the first move to find $T$.
(A) substitute $V=2.50$ into the model and rearrange
(B) divide $2.50$ by $0.3$ straight away
(C) substitute $T$ into $q=0.15$
แบบจำลองคือ $V=0.3t+0.15$ เมื่อผ่านไป $T$ ปีพอดี ราคาคือ £2.50 จงเลือกขั้นแรกในการหา $T$
(A) แทน $V=2.50$ ลงในแบบจำลอง แล้วจัดรูป
(B) นำ $2.50$ ไปหารด้วย $0.3$ ทันที
(C) แทน $T$ ลงใน $q=0.15$
Answershow ▾
(B) divides by $0.3$ alone, which only undoes multiplying by $t$ - it ignores the $+0.15$. (C) is not a real step: $T$ does not appear inside $q=0.15$.(B) หารด้วย $0.3$ อย่างเดียว ซึ่งแก้ได้แค่การคูณด้วย $t$ แต่ไม่สนใจ $+0.15$ · (C) ไม่ใช่ขั้นที่มีจริง เพราะ $T$ ไม่ได้อยู่ใน $q=0.15$
Substitute $V=2.50$ into $V=0.3t+0.15$, using $t=T$. Rearrange to isolate the term with $T$.
แทน $V=2.50$ ลงใน $V=0.3t+0.15$ โดยใช้ $t=T$ แล้วจัดรูปให้เหลือพจน์ $T$ ไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Move the number $0.15$ to the other side first.ย้ายตัวเลข $0.15$ ไปอีกข้างก่อน
Solve $0.3T=2.35$ for $T$, giving your answer to one decimal place.
จงแก้หา $T$ จาก $0.3T=2.35$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide, then round the result.หารแล้วปัดเศษผลลัพธ์
The temperature of a liquid, $y$°C, after $t$ minutes is modelled by $y=pt+q$. At $t=2$, $y=50$; at $t=6$, $y=70$. (a) Find $p$ and $q$. (b) Find $t$ when $y=100$.
อุณหภูมิของของเหลว $y$°C หลังจากเวลา $t$ นาที ถูกจำลองด้วย $y=pt+q$ เมื่อ $t=2$, $y=50$ และเมื่อ $t=6$, $y=70$ (ก) หาค่า $p$ และ $q$ (ข) หาค่า $t$ เมื่อ $y=100$
Answershow ▾
Same four moves: two equations, subtract for $p$, back-substitute for $q$, then solve for $t$.สี่ขั้นเดิม: สองสมการ ลบเพื่อหา $p$ แทนกลับหา $q$ แล้วแก้หา $t$
The share price of a company is monitored.
Exactly 3 years after monitoring began, the share price was £1.05
Exactly 5 years after monitoring began, the share price was £1.65
The share price, £$V$, of the company is modelled by the equation $$V=pt+q$$ where $t$ is the number of years after monitoring began and $p$ and $q$ are constants.
(a) Find the value of $p$ and the value of $q$.
(b) Exactly $T$ years after monitoring began, the share price was £2.50
Find the value of $T$, according to the model, giving your answer to one decimal place.
ราคาหุ้นของบริษัทแห่งหนึ่งถูกติดตาม (monitored)
เมื่อผ่านไป 3 ปีพอดีหลังเริ่มติดตาม ราคาหุ้นคือ £1.05
เมื่อผ่านไป 5 ปีพอดีหลังเริ่มติดตาม ราคาหุ้นคือ £1.65
ราคาหุ้น £$V$ ของบริษัทถูกจำลอง (modelled) ด้วยสมการ $$V=pt+q$$ เมื่อ $t$ คือจำนวนปีหลังเริ่มติดตาม และ $p$, $q$ เป็นจำนวนคงที่
(ก) หาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
(ข) เมื่อผ่านไป $T$ ปีพอดีหลังเริ่มติดตาม ราคาหุ้นคือ £2.50
ตามแบบจำลองนี้ หาค่าของ $T$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: form two equations from the data, solve for $p$ then $q$, then substitute and solve for $T$.5 คะแนน: ตั้งสองสมการจากข้อมูล แก้หา $p$ แล้ว $q$ จากนั้นแทนค่าและแก้หา $T$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Surd gradient, then perpendicular line ความชันกรณฑ์ แล้วหาเส้นตั้งฉาก
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The point $A$ has coordinates $(-2\sqrt3,\,5)$ and the point $B$ has coordinates $(7\sqrt3,\,8)$. The straight line $l_1$ passes through $A$ and $B$.
(a) Show that the gradient of $l_1$ is $p\sqrt3$, where $p$ is a rational constant to be found. You must show each step of your working.
(b) The straight line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through $A$.
Find the equation of $l_2$, giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จุด $A$ มีพิกัด $(-2\sqrt3,\,5)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(7\sqrt3,\,8)$ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) จงแสดงว่าความชันของ $l_1$ คือ $p\sqrt3$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุด $A$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
Work out $7\sqrt3-(-2\sqrt3)$.
จงหาค่า $7\sqrt3-(-2\sqrt3)$
Answershow ▾
Subtracting a negative adds; $7\sqrt3+2\sqrt3=9\sqrt3$.ลบจำนวนลบคือการบวก $7\sqrt3+2\sqrt3=9\sqrt3$
Rationalise the denominator of $\dfrac{3}{9\sqrt3}$.
จงทำส่วนของ $\dfrac{3}{9\sqrt3}$ ให้ไม่มีกรณฑ์
Answershow ▾
Multiply the top and bottom by $\sqrt3$.คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt3$
A line has gradient $\dfrac19\sqrt3$. Find the gradient of a line perpendicular to it, written as a single surd term.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $\dfrac19\sqrt3$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมัน เขียนเป็นกรณฑ์เดียว
Answershow ▾
Flip the fraction, change the sign, then rationalise the new denominator.พลิกเศษส่วน เปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วทำส่วนใหม่ให้ไม่มีกรณฑ์
To find the gradient of $l_1$ through $A(-2\sqrt3,5)$ and $B(7\sqrt3,8)$, pick the correct denominator for $m_1=\dfrac{8-5}{?}$.
(A) $7\sqrt3-2\sqrt3$
(B) $7\sqrt3-(-2\sqrt3)$
(C) $(-2\sqrt3)-7\sqrt3$
หาความชันของ $l_1$ ผ่าน $A(-2\sqrt3,5)$ และ $B(7\sqrt3,8)$ จงเลือกตัวส่วนที่ถูกต้องสำหรับ $m_1=\dfrac{8-5}{?}$
(A) $7\sqrt3-2\sqrt3$
(B) $7\sqrt3-(-2\sqrt3)$
(C) $(-2\sqrt3)-7\sqrt3$
Answershow ▾
(A) drops the minus sign on the x-coordinate of A, so the denominator is $4\sqrt3$ too small. (C) puts A first in the denominator but B first in the numerator ($8-5$), so the order does not match and the gradient has the wrong sign.(A) ลืมเครื่องหมายลบของพิกัด $x$ ของจุด $A$ ทำให้ตัวส่วนน้อยไป $4\sqrt3$ · (C) ใช้จุด $A$ ก่อนในตัวส่วน แต่ใช้จุด $B$ ก่อนในตัวเศษ ($8-5$) ลำดับไม่ตรงกัน ความชันจึงออกมาผิดเครื่องหมาย
Using $A(-2\sqrt3,5)$ and $B(7\sqrt3,8)$, write $m_1$ using the gradient formula $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Do not simplify yet.
ใช้ $A(-2\sqrt3,5)$ และ $B(7\sqrt3,8)$ เขียน $m_1$ โดยใช้สูตรความชัน $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Keep the bracket around $-2\sqrt3$ so the minus sign is not lost.ใส่วงเล็บรอบ $-2\sqrt3$ ไว้ เพื่อไม่ให้เครื่องหมายลบหายไป
Simplify $\dfrac{8-5}{7\sqrt3-(-2\sqrt3)}$.
จงลดรูป $\dfrac{8-5}{7\sqrt3-(-2\sqrt3)}$
Answershow ▾
$8-5=3$ on top; $7\sqrt3+2\sqrt3=9\sqrt3$ on the bottom.เศษ: $8-5=3$ · ส่วน: $7\sqrt3+2\sqrt3=9\sqrt3$
Rationalise $\dfrac{3}{9\sqrt3}$ to show the gradient is $p\sqrt3$, and state $p$.
จงทำ $\dfrac{3}{9\sqrt3}$ ให้ไม่มีกรณฑ์ เพื่อแสดงว่าความชันคือ $p\sqrt3$ และบอกค่า $p$
Answershow ▾
Multiply top and bottom by $\sqrt3$, same move as the warm-up.คูณเศษและส่วนด้วย $\sqrt3$ เหมือนขั้นอุ่นเครื่อง
$l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through $A(-2\sqrt3,5)$. Pick the first move to find its equation.
(A) substitute $A$ into $y=mx+c$ using the gradient of $l_1$
(B) use $y-y_1=m(x-x_1)$ with $m=-3\sqrt3$ and $A$
(C) find the midpoint of $A$ and $B$, then use it as a point on $l_2$
$l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุด $A(-2\sqrt3,5)$ จงเลือกขั้นแรกในการหาสมการของ $l_2$
(A) แทนจุด $A$ ใน $y=mx+c$ โดยใช้ความชันของ $l_1$
(B) ใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$ โดย $m=-3\sqrt3$ และจุด $A$
(C) หาจุดกึ่งกลางของ $A$ กับ $B$ แล้วใช้เป็นจุดบน $l_2$
Answershow ▾
(A) uses the gradient of $l_1$, not the perpendicular gradient. (C) finds the midpoint of A and B, which is for a perpendicular bisector; $l_2$ only has to pass through A, not the midpoint.(A) ใช้ความชันของ $l_1$ ไม่ใช่ความชันตั้งฉาก · (C) หาจุดกึ่งกลางของจุด $A$ กับ $B$ ซึ่งใช้กับเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก แต่ $l_2$ ต้องผ่านจุด $A$ เท่านั้น ไม่ใช่จุดกึ่งกลาง
Find the gradient of $l_2$, perpendicular to $l_1$. Flip $\dfrac19\sqrt3$, change the sign, then rationalise.
จงหาความชันของ $l_2$ ซึ่งตั้งฉากกับ $l_1$ พลิก $\dfrac19\sqrt3$ เปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วทำให้ไม่มีกรณฑ์
Answershow ▾
Same three moves as the warm-up: flip, negate, rationalise.สามขั้นเดิมจากขั้นอุ่นเครื่อง: พลิก เปลี่ยนเครื่องหมาย ทำให้ไม่มีกรณฑ์
Check: does $m_1\times m_2=-1$?
จงตรวจ: $m_1\times m_2=-1$ หรือไม่
Answershow ▾
Perpendicular gradients always multiply to $-1$.ความชันตั้งฉากคูณกันได้ $-1$ เสมอ
Points $C(-\sqrt2,1)$ and $D(5\sqrt2,7)$. The line $l_3$ passes through $C$ and $D$. Show that its gradient is $q\sqrt2$ and find $q$. Then find the equation of the line perpendicular to $l_3$ through $C$, in the form $y=mx+c$.
จุด $C(-\sqrt2,1)$ และ $D(5\sqrt2,7)$ เส้นตรง $l_3$ ผ่านจุด $C$ และ $D$ จงแสดงว่าความชันของมันคือ $q\sqrt2$ และหาค่า $q$ จากนั้นหาสมการของเส้นที่ตั้งฉากกับ $l_3$ และผ่านจุด $C$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Same four moves: gradient formula, rationalise, flip the gradient, point-gradient form.สี่ขั้นเดิม: สูตรความชัน ทำให้ไม่มีกรณฑ์ พลิกความชัน แล้วใช้ point-gradient form
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The point $A$ has coordinates $(-2\sqrt3,\,5)$ and the point $B$ has coordinates $(7\sqrt3,\,8)$. The straight line $l_1$ passes through $A$ and $B$.
(a) Show that the gradient of $l_1$ is $p\sqrt3$, where $p$ is a rational constant to be found. You must show each step of your working.
(b) The straight line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through $A$.
Find the equation of $l_2$, giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จุด $A$ มีพิกัด $(-2\sqrt3,\,5)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(7\sqrt3,\,8)$ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) จงแสดงว่าความชันของ $l_1$ คือ $p\sqrt3$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุด $A$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
Answershow ▾
5 marks: two for the gradient, one for the perpendicular gradient, two for the line equation.5 คะแนน: สองคะแนนสำหรับความชัน หนึ่งคะแนนสำหรับความชันตั้งฉาก และสองคะแนนสำหรับสมการเส้นตรง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A line, then the perpendicular through its midpoint เส้นตรงหนึ่งเส้น แล้วเส้นตั้งฉากผ่านจุดกึ่งกลาง
The line $l_1$ passes through the point $A(-5,\,20)$ and the point $B(3,\,-4)$.
(a) Find an equation for $l_1$ giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
(b) The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the midpoint of $AB$.
Find an equation for $l_2$ giving your answer in the form $px+qy+r=0$, where $p$, $q$ and $r$ are integers.
เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A(-5,\,20)$ และจุด $B(3,\,-4)$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุดกึ่งกลาง (midpoint) ของ $AB$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
The line $l_1$ passes through $A(-5,20)$ and $B(3,-4)$. Find the gradient of $l_1$.
เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A(-5,20)$ และจุด $B(3,-4)$ จงหาความชันของ $l_1$
Answershow ▾
Use $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ with $A$ and $B$.ใช้ $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ โดยแทนจุด $A$ และ $B$
Find the midpoint of $A(-5,20)$ and $B(3,-4)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $A(-5,20)$ และ $B(3,-4)$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.หาค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ แล้วหาค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
A line has gradient $-3$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $-3$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
A perpendicular gradient is the negative reciprocal.ความชันตั้งฉากคือส่วนกลับที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
Use $A(-5,20)$ and the gradient $m=-3$ to find the equation of $l_1$, giving your answer in the form $y=mx+c$.
ใช้จุด $A(-5,20)$ และความชัน $m=-3$ หาสมการของ $l_1$ โดยให้คำตอบอยู่ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
$y-y_1=m(x-x_1)$, then expand the bracket and collect.$y-y_1=m(x-x_1)$ แล้วกระจายวงเล็บและจัดรูป
$l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the midpoint of $AB$. Which point does the equation of $l_2$ go through?
(A) $A(-5,20)$
(B) $B(3,-4)$
(C) the midpoint $(-1,8)$
$l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุดกึ่งกลางของ $AB$ สมการของ $l_2$ ผ่านจุดใด
(A) $A(-5,20)$
(B) $B(3,-4)$
(C) จุดกึ่งกลาง $(-1,8)$
Answershow ▾
The question defines $l_2$ as the line through the midpoint, not through $A$ or $B$ - (A) and (B) give a line through the wrong point entirely.คำถามกำหนดให้ $l_2$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลาง ไม่ใช่ผ่าน $A$ หรือ $B$ · (A) และ (B) จะได้เส้นตรงที่ผ่านจุดผิดไปเลย
Use the midpoint $(-1,8)$ and the perpendicular gradient $\dfrac{1}{3}$ to write an equation for $l_2$. Do not clear the fraction yet.
ใช้จุดกึ่งกลาง $(-1,8)$ และความชันตั้งฉาก $\dfrac{1}{3}$ เขียนสมการของ $l_2$ ยังไม่ต้องกำจัดเศษส่วน
Answershow ▾
Same move as $l_1$: $y-y_1=m(x-x_1)$, now with the midpoint and the new gradient.ใช้วิธีเดิมกับ $l_1$: $y-y_1=m(x-x_1)$ แต่เปลี่ยนเป็นจุดกึ่งกลางและความชันใหม่
$y-8=\dfrac{1}{3}(x+1)$ needs to become $px+qy+r=0$ with integers. Pick the best first move.
(A) multiply both sides by $3$
(B) multiply only the right side by $3$
(C) subtract $8$ from both sides, no multiplying needed
$y-8=\dfrac{1}{3}(x+1)$ ต้องจัดให้อยู่ในรูป $px+qy+r=0$ โดยสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จงเลือกขั้นแรกที่ดีที่สุด
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $3$
(B) คูณเฉพาะข้างขวาด้วย $3$
(C) ลบ $8$ ออกจากทั้งสองข้าง ไม่ต้องคูณ
Answershow ▾
(B) breaks the equation - a balanced move multiplies BOTH sides. (C) leaves the $\dfrac{1}{3}$ in place - still a fraction, not integers.(B) ทำให้สมการไม่สมดุล เพราะการคูณต้องทำกับทั้งสองข้าง · (C) ยังเหลือ $\dfrac{1}{3}$ อยู่ ไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม
Multiply both sides of $y-8=\dfrac{1}{3}(x+1)$ by $3$ and simplify.
คูณทั้งสองข้างของ $y-8=\dfrac{1}{3}(x+1)$ ด้วย $3$ แล้วทำให้เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
$3\times\dfrac{1}{3}=1$, so the fraction disappears on the right.$3\times\dfrac{1}{3}=1$ เศษส่วนทางขวาจึงหายไป
Rearrange $3y-24=x+1$ into the form $px+qy+r=0$, with $p$ positive.
จัดรูป $3y-24=x+1$ ให้อยู่ในรูป $px+qy+r=0$ โดยให้ $p$ เป็นบวก
Answershow ▾
Move every term to one side, then flip the sign of the whole equation to make $p$ positive.ย้ายทุกพจน์ไปอยู่ข้างเดียว แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสมการเพื่อให้ $p$ เป็นบวก
Check that the midpoint $(-1,8)$ fits $x-3y+25=0$.
จงตรวจว่าจุดกึ่งกลาง $(-1,8)$ สอดคล้องกับ $x-3y+25=0$ หรือไม่
Answershow ▾
A point on the line makes the left side equal $0$.จุดที่อยู่บนเส้นตรง จะทำให้ด้านซ้ายมีค่าเท่ากับ $0$
The line $l_1$ passes through $P(1,7)$ and $Q(5,-1)$.
(a) Find an equation for $l_1$ in the form $y=mx+c$.
(b) $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the midpoint of $PQ$. Find an equation for $l_2$ in the form $px+qy+r=0$, where $p$, $q$ and $r$ are integers.
เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $P(1,7)$ และ $Q(5,-1)$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุดกึ่งกลางของ $PQ$ จงหาสมการของ $l_2$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Same six moves as the real question, with cleaner numbers.ใช้ทั้งหกขั้นตอนเดิมเหมือนข้อสอบจริง แต่ตัวเลขลงตัวกว่า
The line $l_1$ passes through the point $A(-5,\,20)$ and the point $B(3,\,-4)$.
(a) Find an equation for $l_1$ giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
(b) The line $l_2$ is perpendicular to $l_1$ and passes through the midpoint of $AB$.
Find an equation for $l_2$ giving your answer in the form $px+qy+r=0$, where $p$, $q$ and $r$ are integers.
เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A(-5,\,20)$ และจุด $B(3,\,-4)$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
(ข) เส้นตรง $l_2$ ตั้งฉากกับ $l_1$ และผ่านจุดกึ่งกลาง (midpoint) ของ $AB$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
6 marks: 3 for $l_1$ in $y=mx+c$ form, 3 for $l_2$ as the perpendicular through the midpoint, in integer form.6 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$ และ 3 คะแนนสำหรับ $l_2$ ซึ่งตั้งฉากและผ่านจุดกึ่งกลาง ในรูปจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A parallel line and a parallelogram เส้นขนานหนึ่งเส้น กับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
The line $l_1$ has equation $3x-4y+20=0$.
The line $l_2$ cuts the $x$-axis at $R(8,\,0)$ and is parallel to $l_1$.
(a) Find the equation of $l_2$, writing your answer in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) The line $l_1$ cuts the $x$-axis at $P$ and the $y$-axis at $Q$.
Given that $PQRS$ is a parallelogram, find the area of $PQRS$.
(c) Find the coordinates of $S$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3x-4y+20=0$
เส้นตรง $l_2$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $R(8,\,0)$ และขนาน (parallel) กับ $l_1$
(ก) หาสมการของ $l_2$ ในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นตรง $l_1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $P$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $Q$
กำหนดให้ $PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram) หาพื้นที่ของ $PQRS$
(ค) หาพิกัดของจุด $S$
Line $l_1$ has equation $3x-4y+20=0$. Find its gradient.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3x-4y+20=0$ จงหาความชันของ $l_1$
Answershow ▾
Make $y$ the subject, then read off the coefficient of $x$.จัดให้ $y$ อยู่ข้างเดียว แล้วอ่านสัมประสิทธิ์ของ $x$
A line has gradient $\dfrac34$ and passes through $R(8,\,0)$. Write its equation in the form $y-y_1=m(x-x_1)$.
เส้นตรงมีความชัน $\dfrac34$ และผ่านจุด $R(8,\,0)$ จงเขียนสมการในรูป $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Put the coordinates of the point straight into the formula.แทนพิกัดของจุดลงในสูตรโดยตรง
Line $l_1$: $3x-4y+20=0$. Find where it crosses the $x$-axis ($P$) and the $y$-axis ($Q$).
เส้นตรง $l_1$: $3x-4y+20=0$ จงหาจุดตัดแกน $x$ (จุด $P$) และแกน $y$ (จุด $Q$)
Answershow ▾
At the x-axis $y=0$; at the y-axis $x=0$.ที่แกน $x$ ให้ $y=0$ · ที่แกน $y$ ให้ $x=0$
$l_2$ is parallel to $l_1$ and passes through $R(8,\,0)$. Pick the first move.
(A) use the negative reciprocal of the gradient of $l_1$
(B) use the same gradient as $l_1$
(C) swap the coefficients of $x$ and $y$ in $l_1$
$l_2$ ขนาน (parallel) กับ $l_1$ และผ่านจุด $R(8,\,0)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้ส่วนกลับติดลบของความชัน $l_1$
(B) ใช้ความชันเดียวกับ $l_1$
(C) สลับสัมประสิทธิ์ของ $x$ และ $y$ ใน $l_1$
Answershow ▾
(A) is the rule for perpendicular lines, not parallel. (C) does not come from any property of parallel lines; it just rearranges the digits.(A) เป็นกฎของเส้นตั้งฉาก ไม่ใช่เส้นขนาน · (C) ไม่ได้มาจากสมบัติของเส้นขนานเลย เป็นแค่การสลับตัวเลขไปมา
Using the gradient of $l_1$ and the point $R(8,\,0)$, write the equation of $l_2$ in the form $ax+by+c=0$.
ใช้ความชันของ $l_1$ และจุด $R(8,\,0)$ จงเขียนสมการของ $l_2$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Clear the fraction, then collect everything on one side.ตัดเศษส่วนออก แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
$P$ and $R(8,\,0)$ both lie on the $x$-axis. Find the distance $PR$.
$P$ และ $R(8,\,0)$ อยู่บนแกน $x$ ทั้งคู่ จงหาระยะทาง $PR$
Answershow ▾
Subtract the $x$-coordinates; both points have $y=0$.ลบพิกัด $x$ ลบกัน · ทั้งสองจุดมี $y=0$
$P$ and $R$ lie on the $x$-axis with $PR=\dfrac{44}{3}$, and $Q$ has $y$-coordinate $5$. Use $PR$ as base and this as height to find the area of $PQRS$.
$P$ และ $R$ อยู่บนแกน $x$ โดย $PR=\dfrac{44}{3}$ และ $Q$ มีพิกัด $y$ เท่ากับ $5$ จงใช้ $PR$ เป็นฐานและค่านี้เป็นความสูง หาพื้นที่ของ $PQRS$
Answershow ▾
The diagonal $PR$ splits the parallelogram into two triangles with this base and height.เส้นทแยงมุม $PR$ แบ่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีฐานและความสูงนี้
$PQRS$ is a parallelogram. Pick the first move to find $S$.
(A) $S=Q+R-P$
(B) $S=P+R-Q$
(C) $S=$ the midpoint of $Q$ and $R$
$PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงเลือกขั้นแรกในการหา $S$
(A) $S=Q+R-P$
(B) $S=P+R-Q$
(C) $S=$ จุดกึ่งกลางของ $Q$ และ $R$
Answershow ▾
(A) swaps $P$ and $Q$; the diagonals of a parallelogram bisect each other, so $P+R=Q+S$, not $Q+R=P+S$. (C) finds the midpoint of a side, not the fourth vertex.(A) สลับ $P$ กับ $Q$ · เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งกัน ดังนั้น $P+R=Q+S$ ไม่ใช่ $Q+R=P+S$ · (C) หาจุดกึ่งกลางของด้าน ไม่ใช่จุดยอดที่สี่
Using $P=\left(-\dfrac{20}{3},0\right)$, $Q=(0,5)$ and $R(8,\,0)$, find $S=P+R-Q$.
ใช้ $P=\left(-\dfrac{20}{3},0\right)$, $Q=(0,5)$ และ $R(8,\,0)$ จงหา $S=P+R-Q$
Answershow ▾
Combine the $x$-coordinates of $P$ and $R$, then subtract the $x$-coordinate of $Q$; same for $y$.รวมพิกัด $x$ ของ $P$ กับ $R$ แล้วลบพิกัด $x$ ของ $Q$ · ทำแบบเดียวกันกับ $y$
Check your answer: do $PR$ and $QS$ have the same midpoint?
ตรวจคำตอบ: $PR$ และ $QS$ มีจุดกึ่งกลางเดียวกันหรือไม่
Answershow ▾
The diagonals of a parallelogram always share the same midpoint.เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีจุดกึ่งกลางเดียวกันเสมอ
$l_1$: $x-2y+8=0$. $l_2$ is parallel to $l_1$ through $R(6,\,0)$. $l_1$ cuts the axes at $P$ and $Q$. Find the equation of $l_2$, the area of parallelogram $PQRS$, and the coordinates of $S$.
$l_1$: $x-2y+8=0$ · $l_2$ ขนานกับ $l_1$ ผ่านจุด $R(6,\,0)$ · $l_1$ ตัดแกนที่จุด $P$ และ $Q$ จงหาสมการของ $l_2$ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $PQRS$ และพิกัดของจุด $S$
Answershow ▾
Same moves: gradient, parallel line, axis intercepts, base times height, then shift for $S$.ขั้นตอนเดิม: ความชัน เส้นขนาน จุดตัดแกน ฐานคูณความสูง แล้วเลื่อนหา $S$
The line $l_1$ has equation $3x-4y+20=0$.
The line $l_2$ cuts the $x$-axis at $R(8,\,0)$ and is parallel to $l_1$.
(a) Find the equation of $l_2$, writing your answer in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) The line $l_1$ cuts the $x$-axis at $P$ and the $y$-axis at $Q$.
Given that $PQRS$ is a parallelogram, find the area of $PQRS$.
(c) Find the coordinates of $S$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3x-4y+20=0$
เส้นตรง $l_2$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $R(8,\,0)$ และขนาน (parallel) กับ $l_1$
(ก) หาสมการของ $l_2$ ในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นตรง $l_1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $P$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $Q$
กำหนดให้ $PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram) หาพื้นที่ของ $PQRS$
(ค) หาพิกัดของจุด $S$
Answershow ▾
8 marks: the equation of $l_2$, the area from $PR$ and the height of $Q$, then $S$ from the diagonal rule.8 คะแนน: สมการของ $l_2$ พื้นที่จาก $PR$ และความสูงของ $Q$ แล้วหา $S$ จากกฎเส้นทแยงมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Perpendicular lines meet, then a triangle เส้นตั้งฉากตัดกัน แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยม
The line $l_1$ has equation $3y-2x=30$.
The line $l_2$ passes through the point $A(24,\,0)$ and is perpendicular to $l_1$.
Lines $l_1$ and $l_2$ meet at the point $P$.
(a) Find, using algebra and showing your working, the coordinates of $P$.
(b) Given that $l_1$ meets the $x$-axis at the point $B$,
find the area of triangle $BPA$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3y-2x=30$
เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A(24,\,0)$ และตั้งฉากกับ $l_1$
เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $P$
(ก) ใช้พีชคณิต (using algebra) และแสดงวิธีทำ หาพิกัดของ $P$
(ข) กำหนดให้ $l_1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $B$
หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $BPA$
The line $l_1$ has equation $3y-2x=30$. Rearrange it into $y=mx+c$ and write down its gradient.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3y-2x=30$ จงจัดรูปเป็น $y=mx+c$ แล้วเขียนความชัน
Answershow ▾
Add $2x$ to both sides, then divide every term by $3$.บวก $2x$ เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารทุกพจน์ด้วย $3$
A line has gradient $\dfrac23$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $\dfrac23$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction, then change its sign.พลิกเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Solve the simultaneous equations $3y-2x=10$ and $2y+3x=11$ for $x$ and $y$.
จงแก้ระบบสมการ $3y-2x=10$ และ $2y+3x=11$ หาค่า $x$ และ $y$
Answershow ▾
Scale ① by $3$ and ② by $2$, so the $x$ terms become $-6x$ and $+6x$ and cancel when added.คูณขยาย ① ด้วย $3$ และ ② ด้วย $2$ ให้พจน์ $x$ เป็น $-6x$ กับ $+6x$ แล้วบวกกันให้หักกัน
$l_1$ has gradient $\dfrac23$. $l_2$ passes through $A(24,0)$ and is perpendicular to $l_1$. Pick the first move to find the equation of $l_2$.
(A) use gradient $\dfrac23$ through $A(24,0)$
(B) use gradient $-\dfrac32$ through $A(24,0)$
(C) use gradient $\dfrac32$ through $A(24,0)$
$l_1$ มีความชัน $\dfrac23$ · $l_2$ ผ่านจุด $A(24,0)$ และตั้งฉากกับ $l_1$ จงเลือกขั้นแรกในการหาสมการของ $l_2$
(A) ใช้ความชัน $\dfrac23$ ผ่าน $A(24,0)$
(B) ใช้ความชัน $-\dfrac32$ ผ่าน $A(24,0)$
(C) ใช้ความชัน $\dfrac32$ ผ่าน $A(24,0)$
Answershow ▾
(A) keeps the gradient of $l_1$ itself and ignores that $l_2$ is perpendicular. (C) flips the fraction but forgets to change its sign, giving the gradient of $l_1$ reflected, not rotated a quarter turn.(A) ใช้ความชันของ $l_1$ เอง และไม่สนใจว่า $l_2$ ตั้งฉาก · (C) พลิกเศษส่วนแล้ว แต่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ความชันของ $l_1$ แบบสะท้อน ไม่ใช่หมุนตั้งฉาก
Use gradient $-\dfrac32$ and the point $A(24,0)$ to write the equation of $l_2$ using $y-y_1=m(x-x_1)$.
จงใช้ความชัน $-\dfrac32$ กับจุด $A(24,0)$ เขียนสมการของ $l_2$ โดยใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Substitute the gradient and the coordinates of $A$ straight into the formula.แทนความชันและพิกัดของ $A$ ลงในสูตรโดยตรง
Simplify $y-0=-\dfrac32(x-24)$ into the form $2y+3x=c$.
จงจัดรูป $y-0=-\dfrac32(x-24)$ ให้เป็นรูป $2y+3x=c$
Answershow ▾
Multiply every term by $2$ first, to clear the fraction.คูณทุกพจน์ด้วย $2$ ก่อน เพื่อตัดเศษส่วน
$l_1$ is $3y-2x=30$ and $l_2$ is $2y+3x=72$. Solve them simultaneously to find the coordinates of $P$.
$l_1$ คือ $3y-2x=30$ และ $l_2$ คือ $2y+3x=72$ จงแก้ระบบสมการหาพิกัดของจุด $P$
Answershow ▾
Same method as the warm-up: scale each equation so one letter cancels when you add.วิธีเดียวกับข้อฝึก: คูณขยายแต่ละสมการให้ตัวแปรหนึ่งตัวหักกันตอนบวก
$l_1$ meets the $x$-axis at the point $B$. Set $y=0$ in $3y-2x=30$ and solve for $x$.
$l_1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $B$ จงแทน $y=0$ ใน $3y-2x=30$ แล้วแก้หาค่า $x$
Answershow ▾
On the $x$-axis, every point has $y=0$.บนแกน $x$ ทุกจุดมี $y=0$
$B=(-15,0)$, $P=(12,18)$ and $A(24,0)$. Pick the method to find the area of triangle $BPA$.
(A) base $OA=24$, height $18$
(B) base $BA=39$, height $18$
(C) base $BA=39$, height $12$
$B=(-15,0)$, $P=(12,18)$ และ $A(24,0)$ จงเลือกวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $BPA$
(A) ฐาน $OA=24$ สูง $18$
(B) ฐาน $BA=39$ สูง $18$
(C) ฐาน $BA=39$ สูง $12$
Answershow ▾
(A) uses $OA$, but $O$ is not a vertex of this triangle. The axis side is $BA$. (C) keeps the right base, but $12$ is horizontal, not perpendicular to it.(A) ใช้ $OA$ แต่ $O$ ไม่ใช่มุมของสามเหลี่ยมนี้ ด้านที่อยู่บนแกนคือ $BA$ · (C) ใช้ฐานถูก แต่ $12$ เป็นแนวนอน ไม่ตั้งฉากกับฐาน
Use $BA=39$ as the base and $18$ as the height to find the area of triangle $BPA$.
จงใช้ $BA=39$ เป็นฐาน และ $18$ เป็นความสูง หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $BPA$
Answershow ▾
Area of a triangle is half the base times the height.พื้นที่สามเหลี่ยม เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานคูณความสูง
$l_1$ has equation $2y-x=6$. $l_2$ passes through $A(9,0)$ and is perpendicular to $l_1$. They meet at $P$. (a) Find $P$. (b) $l_1$ meets the $x$-axis at $B$. Find the area of triangle $BPA$.
$l_1$ มีสมการ $2y-x=6$ · $l_2$ ผ่านจุด $A(9,0)$ และตั้งฉากกับ $l_1$ ตัดกันที่จุด $P$ (ก) หาพิกัดของ $P$ (ข) $l_1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $B$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $BPA$
Answershow ▾
Same four moves: perpendicular gradient, solve for $P$, find $B$, then area from $BA$ and the height of $P$.สี่ขั้นตอนเดิม: หาความชันตั้งฉาก แก้ระบบสมการหา $P$ หาจุด $B$ แล้วหาพื้นที่จาก $BA$ กับความสูงของ $P$
The line $l_1$ has equation $3y-2x=30$.
The line $l_2$ passes through the point $A(24,\,0)$ and is perpendicular to $l_1$.
Lines $l_1$ and $l_2$ meet at the point $P$.
(a) Find, using algebra and showing your working, the coordinates of $P$.
(b) Given that $l_1$ meets the $x$-axis at the point $B$,
find the area of triangle $BPA$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $3y-2x=30$
เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A(24,\,0)$ และตั้งฉากกับ $l_1$
เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $P$
(ก) ใช้พีชคณิต (using algebra) และแสดงวิธีทำ หาพิกัดของ $P$
(ข) กำหนดให้ $l_1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $B$
หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $BPA$
Answershow ▾
8 marks across two parts: 5 for finding $P$ algebraically, 3 for the area.8 คะแนนสองส่วน: 5 คะแนนสำหรับหาพิกัดของ $P$ ด้วยพีชคณิต 3 คะแนนสำหรับพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A line, a fixed length, and the smaller triangle เส้นตรงหนึ่งเส้น ระยะทางที่กำหนด แล้วสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า
The point $A$ has coordinates $(4,\,2)$ and the point $B$ has coordinates $(15,\,7)$. The line $l_1$ passes through $A$ and $B$.
(a) Find an equation for $l_1$, giving your answer in the form $px+qy+r=0$ where $p$, $q$ and $r$ are integers to be found.
(b) The line $l_2$ passes through $A$ and is parallel to the $x$-axis.
The point $C$ lies on $l_2$ so that the length of $BC$ is $5\sqrt5$.
Find both possible pairs of coordinates of the point $C$.
(c) Hence find the minimum possible area of triangle $ABC$.
จุด $A$ มีพิกัด $(4,\,2)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(15,\,7)$ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A$ และขนานกับแกน $x$
จุด $C$ อยู่บน $l_2$ โดยที่ความยาวของ $BC$ คือ $5\sqrt5$
หาพิกัดของจุด $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
(ค) จากข้อ (b) จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
The line $l_1$ passes through $A(4,2)$ and $B(15,7)$. Find the gradient of $l_1$.
เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A(4,2)$ และจุด $B(15,7)$ จงหาความชันของ $l_1$
Answershow ▾
Use $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ with $A$ and $B$.ใช้ $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ โดยแทนจุด $A$ และ $B$
A line passes through $A(4,2)$ and is parallel to the $x$-axis. Write its equation.
เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่านจุด $A(4,2)$ และขนานกับแกน $x$ จงเขียนสมการของเส้นตรงนี้
Answershow ▾
A line parallel to the $x$-axis has constant $y$, equal to the $y$-value of the point it passes through.เส้นตรงที่ขนานกับแกน $x$ มีพิกัด $y$ คงที่ เท่ากับพิกัด $y$ ของจุดที่ผ่าน
Solve $w^{2}=100$ for $w$.
จงแก้สมการ $w^{2}=100$ หาค่า $w$
Answershow ▾
Taking a square root gives two values, positive and negative.การถอดรากที่สองให้ค่าสองค่า คือค่าบวกและค่าลบ
Use $A(4,2)$ and the gradient $m=\dfrac{5}{11}$ to write an equation for $l_1$ in the form $y-y_1=m(x-x_1)$.
ใช้จุด $A(4,2)$ และความชัน $m=\dfrac{5}{11}$ เขียนสมการของ $l_1$ ในรูป $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Put the coordinates of $A$ straight into the point-gradient formula.แทนพิกัดของ $A$ ลงในสูตรจุด-ความชันโดยตรง
You have $y-2=\dfrac{5}{11}(x-4)$ and need the integer form $px+qy+r=0$. Pick the first move.
(A) multiply both sides by $11$
(B) multiply only the right side by $11$
(C) write $\dfrac{5}{11}$ as the decimal $0.4545\ldots$
คุณมี $y-2=\dfrac{5}{11}(x-4)$ และต้องการรูปจำนวนเต็ม $px+qy+r=0$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $11$
(B) คูณเฉพาะข้างขวาด้วย $11$
(C) เขียน $\dfrac{5}{11}$ เป็นทศนิยม $0.4545\ldots$
Answershow ▾
(B) breaks the balance - a legal move multiplies both sides. (C) loses the exact fraction, so the coefficients would not be integers.(B) ทำให้สมการไม่สมดุล เพราะการคูณต้องทำกับทั้งสองข้าง · (C) ทำให้เศษส่วนที่แน่นอนหายไป สัมประสิทธิ์จึงไม่เป็นจำนวนเต็ม
Multiply both sides of $y-2=\dfrac{5}{11}(x-4)$ by $11$ and rearrange into $px+qy+r=0$, with $p$ positive.
คูณทั้งสองข้างของ $y-2=\dfrac{5}{11}(x-4)$ ด้วย $11$ แล้วจัดให้อยู่ในรูป $px+qy+r=0$ โดยให้ $p$ เป็นบวก
Answershow ▾
Expand the right side, move every term to one side, then flip the sign if $p$ comes out negative.กระจายข้างขวา ย้ายทุกพจน์ไปอยู่ข้างเดียว แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายถ้า $p$ ติดลบ
$C$ lies on $l_2$ ($y=2$), so $C=(x,\,2)$. Using $B(15,7)$ and $BC=5\sqrt5$, set up the equation for $BC^{2}$ and simplify.
$C$ อยู่บน $l_2$ ($y=2$) ดังนั้น $C=(x,\,2)$ ใช้จุด $B(15,7)$ และ $BC=5\sqrt5$ จงตั้งสมการของ $BC^{2}$ แล้วทำให้เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
Use Pythagoras for $BC^{2}$, then put in $BC=5\sqrt5$ and simplify the constant.ใช้พีทาโกรัสหา $BC^{2}$ แล้วแทน $BC=5\sqrt5$ และคำนวณค่าคงที่ให้เป็นตัวเลขเดียว
Solve $(15-x)^{2}=100$ for $x$, then write both possible coordinates of $C$.
จงแก้สมการ $(15-x)^{2}=100$ หาค่า $x$ แล้วเขียนพิกัดของ $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
Answershow ▾
Each value of $15-x$ gives one value of $x$, and $C$ always has $y=2$.ค่า $15-x$ แต่ละค่าให้ $x$ หนึ่งค่า และ $C$ มี $y=2$ เสมอ
$C=(5,\,2)$ or $(25,\,2)$, and $B(15,7)$ is always height $5$ above $l_2$. Pick the first move to find the smallest possible area of triangle $ABC$.
(A) use the $C$ with the larger base $AC$
(B) use the $C$ with the smaller base $AC$
(C) average the two possible areas
$C=(5,\,2)$ หรือ $(25,\,2)$ และ $B(15,7)$ อยู่สูงจาก $l_2$ เท่ากับ $5$ เสมอ จงเลือกขั้นแรกในการหาพื้นที่ ที่น้อยที่สุดของสามเหลี่ยม $ABC$
(A) ใช้ $C$ ที่ให้ฐาน $AC$ ยาวกว่า
(B) ใช้ $C$ ที่ให้ฐาน $AC$ สั้นกว่า
(C) หาค่าเฉลี่ยของพื้นที่ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(A) gives the larger area, the opposite of what is asked. (C) is not a real move - area is not averaged between two separate triangles; the height is fixed, so only the base decides which area is smaller.(A) ให้พื้นที่ที่มากกว่า ซึ่งตรงข้ามกับที่ถาม · (C) ไม่ใช่ขั้นตอนที่แท้จริง พื้นที่ไม่สามารถเฉลี่ยระหว่างสามเหลี่ยมสองรูปได้ ความสูงคงที่ ฐานเท่านั้นที่กำหนดว่าพื้นที่ใดน้อยกว่า
Using $C=(5,\,2)$, base $AC=1$ and height $5$, find the minimum area of triangle $ABC$.
ใช้ $C=(5,\,2)$ ฐาน $AC=1$ และความสูง $5$ จงหาพื้นที่ที่น้อยที่สุดของสามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
Area of a triangle is half the base times the height.พื้นที่สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของฐานคูณความสูง
The point $A$ has coordinates $(1,\,1)$ and the point $B$ has coordinates $(4,\,5)$. The line $l_1$ passes through $A$ and $B$.
(a) Find an equation for $l_1$ in the form $px+qy+r=0$.
(b) The line $l_2$ passes through $A$ and is parallel to the $x$-axis. The point $C$ lies on $l_2$ so that the length of $BC$ is $2\sqrt5$. Find both possible pairs of coordinates of $C$.
(c) Hence find the minimum possible area of triangle $ABC$.
จุด $A$ มีพิกัด $(1,\,1)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(4,\,5)$ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $px+qy+r=0$
(ข) เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A$ และขนานกับแกน $x$ จุด $C$ อยู่บน $l_2$ โดยที่ความยาวของ $BC$ คือ $2\sqrt5$ จงหาพิกัดของจุด $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
(ค) จากข้อ (ข) จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same six moves as the real question: gradient, equation through $A$, integer form, Pythagoras on $l_2$, both coordinates for $C$, then minimum area.ใช้ทั้งหกขั้นตอนเดิมเหมือนข้อสอบจริง: ความชัน สมการผ่านจุด $A$ รูปจำนวนเต็ม พีทาโกรัสบน $l_2$ พิกัดของ $C$ ทั้งสองคู่ แล้วหาพื้นที่น้อยที่สุด
The point $A$ has coordinates $(4,\,2)$ and the point $B$ has coordinates $(15,\,7)$. The line $l_1$ passes through $A$ and $B$.
(a) Find an equation for $l_1$, giving your answer in the form $px+qy+r=0$ where $p$, $q$ and $r$ are integers to be found.
(b) The line $l_2$ passes through $A$ and is parallel to the $x$-axis.
The point $C$ lies on $l_2$ so that the length of $BC$ is $5\sqrt5$.
Find both possible pairs of coordinates of the point $C$.
(c) Hence find the minimum possible area of triangle $ABC$.
จุด $A$ มีพิกัด $(4,\,2)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(15,\,7)$ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A$ และขนานกับแกน $x$
จุด $C$ อยู่บน $l_2$ โดยที่ความยาวของ $BC$ คือ $5\sqrt5$
หาพิกัดของจุด $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
(ค) จากข้อ (b) จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
Answershow ▾
9 marks: 3 for $l_1$ in integer form, 4 for both coordinates of $C$, 2 for the minimum area.9 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับ $l_1$ ในรูปจำนวนเต็ม 4 คะแนนสำหรับพิกัดของ $C$ ทั้งสองคู่ และ 2 คะแนนสำหรับพื้นที่น้อยที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Perpendicular lines meet, then reflect เส้นตั้งฉากตัดกัน แล้วสะท้อนจุด
The line $l_1$ has equation $2x-5y+7=0$.
(a) Find the gradient of $l_1$.
(b) The point $A$ has coordinates $(6,\,-2)$ and the line $l_2$ passes through $A$ and is perpendicular to $l_1$.
Find the equation of $l_2$ giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants to be found.
(c) The lines $l_1$ and $l_2$ intersect at the point $M$.
Using algebra and showing all your working, find the coordinates of $M$. (Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)
(d) Given that the diagonals of a square $ABCD$ meet at $M$,
find the coordinates of the point $C$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $2x-5y+7=0$
(ก) หาความชันของ $l_1$
(ข) จุด $A$ มีพิกัด $(6,\,-2)$ และเส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A$ และตั้งฉากกับ $l_1$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
(ค) เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $M$
ใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน หาพิกัดของ $M$ (คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน)
(ง) กำหนดให้เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ตัดกันที่จุด $M$
หาพิกัดของจุด $C$
Rearrange $2x-5y+7=0$ into $y=mx+c$ form, and write down $m$.
จงจัดรูป $2x-5y+7=0$ ให้อยู่ในรูป $y=mx+c$ แล้วเขียนค่า $m$
Answershow ▾
Move the x-term and the constant to the other side, then divide by the y-coefficient.ย้ายพจน์ x และค่าคงที่ไปอีกฝั่ง แล้วหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ y
A line has gradient $m_1=\dfrac25$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $m_1=\dfrac25$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction and change the sign.กลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Write the equation of a line with gradient $-\dfrac52$ through the point $(6,\,-2)$, using $y-y_1=m(x-x_1)$.
จงเขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชัน $-\dfrac52$ ผ่านจุด $(6,\,-2)$ โดยใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Put the gradient and the point straight into the formula; there is no need to find c first.แทนความชันและจุดลงในสูตรได้ทันที ไม่ต้องหาค่า c ก่อน
The line $l_1$: $2x-5y+7=0$. Pick the gradient of $l_1$.
(A) $m=2$
(B) $m=-\dfrac25$
(C) $m=\dfrac25$
เส้นตรง $l_1$: $2x-5y+7=0$ จงเลือกความชันของ $l_1$
(A) $m=2$
(B) $m=-\dfrac25$
(C) $m=\dfrac25$
Answershow ▾
(A) reads the x-coefficient as the gradient and ignores the $-5y$. (B) uses $-\dfrac{a}{b}$ but gets the sign wrong, since $-\dfrac{2}{-5}=\dfrac25$. Rearranging to $y=mx+c$ settles it.(A) อ่านสัมประสิทธิ์ของ x เป็นความชันโดยไม่สนใจ $-5y$ · (B) ใช้ $-\dfrac{a}{b}$ แต่ได้เครื่องหมายผิด เพราะ $-\dfrac{2}{-5}=\dfrac25$ การจัดรูปเป็น $y=mx+c$ ช่วยให้แน่ใจ
Find the gradient of $l_1$: $2x-5y+7=0$.
จงหาความชันของ $l_1$: $2x-5y+7=0$
Answershow ▾
Same method as the warm-up: rearrange to $y=mx+c$.วิธีเดียวกับข้อฝึก: จัดรูปเป็น $y=mx+c$
The point $A$ has coordinates $(6,\,-2)$. Find the equation of $l_2$, the line through $A$ perpendicular to $l_1$, in the form $y=mx+c$.
จุด $A$ มีพิกัด $(6,\,-2)$ จงหาสมการของ $l_2$ ซึ่งผ่านจุด $A$ และตั้งฉากกับ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Flip-and-sign the gradient, then put the point straight into $y-y_1=m(x-x_1)$.กลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมายของความชัน แล้วแทนจุดลงใน $y-y_1=m(x-x_1)$
Lines $l_1$ and $l_2$ meet where $\dfrac25x+\dfrac75=-\dfrac52x+13$. Solve this equation for $x$.
เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่ $\dfrac25x+\dfrac75=-\dfrac52x+13$ จงแก้สมการนี้หาค่า $x$
Answershow ▾
Collect the x-terms on one side, then divide.รวมพจน์ x ไว้ฝั่งเดียว แล้วหาร
Use $x=4$ in $l_1$: $y=\dfrac25x+\dfrac75$, find $y$, and write the coordinates of $M$.
แทน $x=4$ ใน $l_1$: $y=\dfrac25x+\dfrac75$ หาค่า $y$ แล้วเขียนพิกัดของ $M$
Answershow ▾
Substitute the x you just found into either line; $l_1$ is already rearranged.แทนค่า x ที่หาได้ลงในเส้นตรงเส้นใดก็ได้ ซึ่ง $l_1$ จัดรูปไว้แล้ว
$M=(4,\,3)$ is the midpoint of $AC$, and $A=(6,\,-2)$. Pick the way to find $C$.
(A) $C=M+A$
(B) $C=M-A$
(C) $C=2M-A$
$M=(4,\,3)$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $A=(6,\,-2)$ จงเลือกวิธีหา $C$
(A) $C=M+A$
(B) $C=M-A$
(C) $C=2M-A$
Answershow ▾
(A) and (B) do not come from the midpoint formula at all. $M=\dfrac{A+C}{2}$ rearranges to $C=2M-A$: double the midpoint, then take away $A$.(A) และ (B) ไม่ได้มาจากสูตรจุดกึ่งกลางเลย · $M=\dfrac{A+C}{2}$ จัดรูปใหม่ได้เป็น $C=2M-A$ คือคูณจุดกึ่งกลางด้วยสอง แล้วลบด้วย $A$
Use $C=2M-A$ with $M=(4,\,3)$ and $A=(6,\,-2)$ to find $C$.
ใช้ $C=2M-A$ กับ $M=(4,\,3)$ และ $A=(6,\,-2)$ หาค่า $C$
Answershow ▾
Double each coordinate of M, then subtract the matching coordinate of A.คูณพิกัดของ M ด้วยสองทีละตัว แล้วลบด้วยพิกัดที่ตรงกันของ A
The line $l_1$ has equation $x-y+1=0$. The line $l_2$ passes through $A(4,\,1)$ and is perpendicular to $l_1$. $l_1$ and $l_2$ meet at $M$, and $M$ is the midpoint of $AC$. Find $M$ and $C$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $x-y+1=0$ เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A(4,\,1)$ และตั้งฉากกับ $l_1$ เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่ $M$ และ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ จงหา $M$ และ $C$
Answershow ▾
Same four moves: gradient, perpendicular line, where they meet, then double the midpoint.สี่ขั้นเดิม: หาความชัน เส้นตั้งฉาก จุดตัด แล้วคูณจุดกึ่งกลางด้วยสอง
The line $l_1$ has equation $2x-5y+7=0$.
(a) Find the gradient of $l_1$.
(b) The point $A$ has coordinates $(6,\,-2)$ and the line $l_2$ passes through $A$ and is perpendicular to $l_1$.
Find the equation of $l_2$ giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants to be found.
(c) The lines $l_1$ and $l_2$ intersect at the point $M$.
Using algebra and showing all your working, find the coordinates of $M$. (Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)
(d) Given that the diagonals of a square $ABCD$ meet at $M$,
find the coordinates of the point $C$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ $2x-5y+7=0$
(ก) หาความชันของ $l_1$
(ข) จุด $A$ มีพิกัด $(6,\,-2)$ และเส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $A$ และตั้งฉากกับ $l_1$
หาสมการของ $l_2$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
(ค) เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $M$
ใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน หาพิกัดของ $M$ (คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน)
(ง) กำหนดให้เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ตัดกันที่จุด $M$
หาพิกัดของจุด $C$
Answershow ▾
9 marks across 4 parts: the gradient, the perpendicular line, where they meet, then double the midpoint to reflect A.9 คะแนน จาก 4 ข้อ: ความชัน เส้นตั้งฉาก จุดตัด แล้วคูณจุดกึ่งกลางด้วยสองเพื่อสะท้อนจุด A
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two lines meet; find the area เส้นสองเส้นตัดกัน หาพื้นที่
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The straight line $l_1$, shown in the diagram, passes through the points $P(-2,\,9)$ and $Q(10,\,6)$.
(a) Find the equation of $l_1$, giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants to be found.
(b) The straight line $l_2$ passes through the origin $O$ and is perpendicular to $l_1$.
The lines $l_1$ and $l_2$ meet at the point $R$, as shown in the diagram.
Find the coordinates of $R$.
(c) Find the exact area of triangle $OPQ$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
เส้นตรง $l_1$ ตามรูป ผ่านจุด $P(-2,\,9)$ และ $Q(10,\,6)$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
(ข) เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุดกำเนิด $O$ และตั้งฉากกับ $l_1$
เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $R$ ตามรูป
หาพิกัดของ $R$
(ค) หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $OPQ$ แบบค่าแม่นตรง (exact)
Find the gradient of the line through the points $(-2,\,9)$ and $(10,\,6)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-2,\,9)$ และ $(10,\,6)$
Answershow ▾
Gradient is the change in $y$ divided by the change in $x$.ความชันคือการเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
A line has gradient $-\dfrac14$ and passes through $(-2,\,9)$. Write its equation using $y-y_1=m(x-x_1)$.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $-\dfrac14$ และผ่านจุด $(-2,\,9)$ จงเขียนสมการโดยใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Put the gradient and the point straight into the formula.แทนความชันและจุดลงในสูตรได้ทันที
A line has gradient $-\dfrac14$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $-\dfrac14$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction and change the sign.กลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
A line has gradient $m_1=-\dfrac14$. Pick the gradient of a line perpendicular to it.
(A) $m_2=4$
(B) $m_2=-4$
(C) $m_2=\dfrac14$
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $m_1=-\dfrac14$ จงเลือกความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
(A) $m_2=4$
(B) $m_2=-4$
(C) $m_2=\dfrac14$
Answershow ▾
(B) flips the fraction but keeps a negative sign; dividing $-1$ by $-\dfrac14$ gives $4$, not $-4$. (C) flips the fraction but forgets to change the sign.(B) กลับเศษส่วนแต่ยังคงเครื่องหมายลบ เพราะ $-1$ หารด้วย $-\dfrac14$ ได้ $4$ ไม่ใช่ $-4$ · (C) กลับเศษส่วนแต่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย
Find the gradient of $l_1$, the line through $P(-2,\,9)$ and $Q(10,\,6)$.
จงหาความชันของ $l_1$ ซึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $P(-2,\,9)$ และ $Q(10,\,6)$
Answershow ▾
Same method as the warm-up, now with the line named $l_1$.วิธีเดียวกับข้อฝึกหัด แต่ตั้งชื่อเส้นว่า $l_1$
Find the equation of $l_1$ in the form $y=mx+c$.
จงหาสมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Put $m_1$ and point $P$ into $y-y_1=m(x-x_1)$, then rearrange.แทน $m_1$ และจุด $P$ ลงใน $y-y_1=m(x-x_1)$ แล้วจัดรูป
The line $l_2$ passes through the origin $O$, perpendicular to $l_1$. Find the equation of $l_2$.
เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุดกำเนิด $O$ และตั้งฉากกับ $l_1$ จงหาสมการของ $l_2$
Answershow ▾
The perpendicular gradient is $4$, and $l_2$ passes through $O$, so $c=0$.ความชันตั้งฉากคือ $4$ และ $l_2$ ผ่านจุด $O$ จึงได้ $c=0$
The lines $l_1$ and $l_2$ meet at $R$. Solve $l_1$ and $l_2$ simultaneously to find $R$.
เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $R$ จงแก้ $l_1$ และ $l_2$ พร้อมกันเพื่อหา $R$
Answershow ▾
Solve for $x$ first, then substitute back into $l_2$ for $y$.แก้หาค่า $x$ ก่อน แล้วแทนกลับใน $l_2$ เพื่อหา $y$
$R=(2,\,8)$ lies on line $PQ$, and $OR\perp PQ$. Pick the way to find the area of triangle $OPQ$.
(A) $\dfrac12\times OP\times OQ$
(B) $\dfrac12\times OR\times PQ$
(C) $\dfrac12\times OQ\times PQ$
$R=(2,\,8)$ อยู่บนเส้น $PQ$ และ $OR\perp PQ$ จงเลือกวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $OPQ$
(A) $\dfrac12\times OP\times OQ$
(B) $\dfrac12\times OR\times PQ$
(C) $\dfrac12\times OQ\times PQ$
Answershow ▾
(A) multiplies $OP$ and $OQ$, which are not perpendicular. (C) multiplies $PQ$ by $OQ$, but only $OR$ is perpendicular to $PQ$, since $l_2$ is built perpendicular to $l_1$.(A) คูณ $OP$ กับ $OQ$ ซึ่งไม่ตั้งฉากกัน · (C) คูณ $PQ$ กับ $OQ$ แต่มีเพียง $OR$ เท่านั้นที่ ตั้งฉากกับ $PQ$ เพราะ $l_2$ สร้างให้ตั้งฉากกับ $l_1$
Find $OR$ and $PQ$, then the area of triangle $OPQ$.
จงหา $OR$ และ $PQ$ แล้วหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $OPQ$
Answershow ▾
$OR$ is the height, $PQ$ is the base; the $17$s cancel before you multiply.$OR$ คือความสูง $PQ$ คือฐาน เลข $17$ จะตัดกันก่อนคูณ
The line $l_1$ passes through $P(-2,\,6)$ and $Q(10,\,0)$. The line $l_2$ passes through $O$, perpendicular to $l_1$, meeting it at $R$. Find (a) the equation of $l_1$ in the form $y=mx+c$, (b) the coordinates of $R$, (c) the exact area of triangle $OPQ$.
เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $P(-2,\,6)$ และ $Q(10,\,0)$ เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุด $O$ ตั้งฉากกับ $l_1$ ตัดกันที่จุด $R$ จงหา (ก) สมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$ (ข) พิกัดของ $R$ (ค) พื้นที่ ของสามเหลี่ยม $OPQ$ แบบค่าแม่นตรง
Answershow ▾
Same three moves: gradient and equation, the perpendicular line through $O$, then $OR$ times $PQ$ for the area.สามขั้นเดิม: หาความชันและสมการ เส้นตั้งฉากผ่าน $O$ แล้วใช้ $OR$ คูณ $PQ$ หาพื้นที่
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The straight line $l_1$, shown in the diagram, passes through the points $P(-2,\,9)$ and $Q(10,\,6)$.
(a) Find the equation of $l_1$, giving your answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants to be found.
(b) The straight line $l_2$ passes through the origin $O$ and is perpendicular to $l_1$.
The lines $l_1$ and $l_2$ meet at the point $R$, as shown in the diagram.
Find the coordinates of $R$.
(c) Find the exact area of triangle $OPQ$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
เส้นตรง $l_1$ ตามรูป ผ่านจุด $P(-2,\,9)$ และ $Q(10,\,6)$
(ก) หาสมการของ $l_1$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่
(ข) เส้นตรง $l_2$ ผ่านจุดกำเนิด $O$ และตั้งฉากกับ $l_1$
เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $R$ ตามรูป
หาพิกัดของ $R$
(ค) หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $OPQ$ แบบค่าแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
10 marks across 3 parts: the gradient and equation of $l_1$, the perpendicular line meeting it at $R$, then $OR$ as the height onto base $PQ$ for the area.10 คะแนน จาก 3 ข้อ: ความชันและสมการของ $l_1$ เส้นตั้งฉากที่ตัดกันที่ $R$ แล้วใช้ $OR$ เป็นความสูงบนฐาน $PQ$ หาพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Bisector, then a point from area เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก แล้วหาจุดจากพื้นที่
The point $A$ has coordinates $(-4,\,11)$ and the point $B$ has coordinates $(8,\,2)$.
(a) Find the gradient of the line $AB$, giving your answer as a fully simplified fraction.
(b) The point $M$ is the midpoint of $AB$. The line $l$ passes through $M$ and is perpendicular to $AB$.
Find an equation for $l$, giving your answer in the form $px+qy+r=0$ where $p$, $q$ and $r$ are integers to be found.
(c) The point $C$ lies on $l$ such that the area of triangle $ABC$ is $37.5$ square units.
Find the two possible pairs of coordinates of point $C$.
จุด $A$ มีพิกัด $(-4,\,11)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(8,\,2)$
(ก) หาความชันของเส้นตรง $AB$ ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
(ข) จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง (midpoint) ของ $AB$ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $M$ และตั้งฉากกับ $AB$
หาสมการของ $l$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
(ค) จุด $C$ อยู่บน $l$ โดยที่พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $37.5$ ตารางหน่วย
หาพิกัดของจุด $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
Find the gradient of the line through $(-4,\,11)$ and $(8,\,2)$, as a simplified fraction.
หาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $(-4,\,11)$ และ $(8,\,2)$ ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Change in $y$ over change in $x$.การเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$
Find the midpoint of $(-4,\,11)$ and $(8,\,2)$.
หาจุดกึ่งกลางของ $(-4,\,11)$ และ $(8,\,2)$
Answershow ▾
Average the $x$-coordinates, then average the $y$-coordinates.เฉลี่ยพิกัด $x$ แล้วเฉลี่ยพิกัด $y$
A line has gradient $-\dfrac34$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นหนึ่งมีความชัน $-\dfrac34$ หาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมัน
Answershow ▾
Flip the fraction and swap the sign.กลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$A$ has coordinates $(-4,\,11)$ and $B$ has coordinates $(8,\,2)$. Find $M$, the midpoint of $AB$.
$A$ มีพิกัด $(-4,\,11)$ และ $B$ มีพิกัด $(8,\,2)$ หา $M$ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$
Answershow ▾
Same average rule, now on $A$ and $B$.ใช้กฎการเฉลี่ยเดิม กับจุด $A$ และ $B$
$l$ has gradient $\dfrac43$ and passes through $M=\left(2,\,\dfrac{13}{2}\right)$. Using $y=\dfrac43x+c$, find $c$.
$l$ มีความชัน $\dfrac43$ และผ่านจุด $M=\left(2,\,\dfrac{13}{2}\right)$ โดยใช้ $y=\dfrac43x+c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
Substitute the point into $y=mx+c$ and solve for $c$.แทนจุดลงใน $y=mx+c$ แล้วแก้หาค่า $c$
$l:\,y=\dfrac43x+\dfrac{23}{6}$. To write this as $px+qy+r=0$ with integers, pick the first move.
(A) multiply every term by $3$
(B) multiply every term by $6$
(C) multiply every term by $2$
$l:\,y=\dfrac43x+\dfrac{23}{6}$ จะเขียนให้เป็น $px+qy+r=0$ แบบจำนวนเต็ม จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $3$
(B) คูณทุกพจน์ด้วย $6$
(C) คูณทุกพจน์ด้วย $2$
Answershow ▾
(A) clears the $\dfrac43$ but $\dfrac{23}{6}$ stays a fraction. (C) clears the $\dfrac{23}{6}$ denominator only halfway. $6$ is the smallest number that clears BOTH denominators at once.(A) ทำให้ $\dfrac43$ หมดเศษส่วน แต่ $\dfrac{23}{6}$ ยังเป็นเศษส่วนอยู่ · (C) ทำให้ $\dfrac{23}{6}$ หมดเศษส่วนได้แค่ครึ่งทาง · $6$ คือจำนวนที่เล็กที่สุดที่ทำให้ทั้งสองส่วนหมดพร้อมกัน
Using $c=\dfrac{23}{6}$, write $l:\,y=\dfrac43x+\dfrac{23}{6}$ as $px+qy+r=0$ with integers.
ใช้ $c=\dfrac{23}{6}$ เขียน $l:\,y=\dfrac43x+\dfrac{23}{6}$ ให้อยู่ในรูป $px+qy+r=0$ แบบจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Multiply every term by $6$, the smallest number that clears both fractions.คูณทุกพจน์ด้วย $6$ ซึ่งเป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่ทำให้เศษส่วนทั้งสองหมดไป
Find the length of $AB$, from $A(-4,\,11)$ to $B(8,\,2)$.
หาความยาวของ $AB$ จาก $A(-4,\,11)$ ถึง $B(8,\,2)$
Answershow ▾
Pythagoras on the horizontal and vertical gaps.พีทาโกรัสบนระยะห่างแนวนอนและแนวตั้ง
Triangle $ABC$ has base $AB=15$ and area $37.5$. $C$ lies on $l$, at distance $MC$ from $M$. Find $MC$.
สามเหลี่ยม $ABC$ มีฐาน $AB=15$ และพื้นที่ $37.5$ จุด $C$ อยู่บน $l$ ห่างจาก $M$ เป็นระยะ $MC$ หา $MC$
Answershow ▾
$l$ is perpendicular to $AB$ through $M$, so $MC$ is the height of the triangle.$l$ ตั้งฉากกับ $AB$ ผ่านจุด $M$ ดังนั้น $MC$ คือความสูงของสามเหลี่ยม
$MC=5$ and $l$ has gradient $\dfrac43$ (a $3$-$4$-$5$ direction). Pick the correct way to find $C$.
(A) $C$ is $5$ units to the right of $M$ only
(B) step $3$ across and $4$ up from $M$, or $3$ across and $4$ down - one point on each side
(C) add $5$ to the $y$-coordinate of $M$ only
$MC=5$ และ $l$ มีความชัน $\dfrac43$ (อัตราส่วน $3$-$4$-$5$) จงเลือกวิธีที่ถูกในการหา $C$
(A) $C$ อยู่ห่างจาก $M$ ไปทางขวา $5$ หน่วยเท่านั้น
(B) เลื่อนจาก $M$ ไปทางขวา $3$ ขึ้น $4$ หรือ ไปทางซ้าย $3$ ลง $4$ - จุดหนึ่งในแต่ละฝั่ง
(C) บวก $5$ เข้ากับพิกัด $y$ ของ $M$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) and (C) ignore the direction of $l$, and each gives only one point. $C$ must move ALONG $l$, and the question asks for the two possible pairs, one on each side of $M$.(A) และ (C) ไม่ได้เลื่อนไปตามแนวของ $l$ และให้พิกัดมาเพียงจุดเดียว · $C$ ต้องเลื่อนไปตามแนวของ $l$ และโจทย์ถามพิกัดที่เป็นไปได้สองคู่ คู่ละฝั่งของ $M$
$A(0,\,0)$ and $B(6,\,8)$. $M$ is the midpoint of $AB$. The line $l$ passes through $M$, perpendicular to $AB$. Point $C$ lies on $l$ such that the area of triangle $ABC$ is $25$. Find $l$ as $px+qy+r=0$, and both possible coordinates of $C$.
$A(0,\,0)$ และ $B(6,\,8)$ จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $M$ ตั้งฉากกับ $AB$ จุด $C$ อยู่บน $l$ โดยพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $25$ หา $l$ ในรูป $px+qy+r=0$ และพิกัดของ $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
Answershow ▾
Same five moves: gradient, midpoint, perpendicular gradient and $c$, integer form, then the two points.ห้าขั้นตอนเดิม: ความชัน จุดกึ่งกลาง ความชันตั้งฉากแล้วหา $c$ รูปแบบจำนวนเต็ม แล้วหาสองจุด
The point $A$ has coordinates $(-4,\,11)$ and the point $B$ has coordinates $(8,\,2)$.
(a) Find the gradient of the line $AB$, giving your answer as a fully simplified fraction.
(b) The point $M$ is the midpoint of $AB$. The line $l$ passes through $M$ and is perpendicular to $AB$.
Find an equation for $l$, giving your answer in the form $px+qy+r=0$ where $p$, $q$ and $r$ are integers to be found.
(c) The point $C$ lies on $l$ such that the area of triangle $ABC$ is $37.5$ square units.
Find the two possible pairs of coordinates of point $C$.
จุด $A$ มีพิกัด $(-4,\,11)$ และจุด $B$ มีพิกัด $(8,\,2)$
(ก) หาความชันของเส้นตรง $AB$ ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
(ข) จุด $M$ เป็นจุดกึ่งกลาง (midpoint) ของ $AB$ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $M$ และตั้งฉากกับ $AB$
หาสมการของ $l$ ในรูป $px+qy+r=0$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
(ค) จุด $C$ อยู่บน $l$ โดยที่พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $37.5$ ตารางหน่วย
หาพิกัดของจุด $C$ ที่เป็นไปได้ทั้งสองคู่
Answershow ▾
11 marks: gradient, then midpoint and the perpendicular bisector, then the two points from the area.11 คะแนน: ความชัน จากนั้นจุดกึ่งกลางและเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก แล้วสองจุดจากพื้นที่