Quadratics · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Quadratics
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Quadratics
The function $f$ is defined by $f(x) = 2x^2 - 16x + 16$ for all real $x$.
(a) Express $f(x)$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
(b) Hence state the range of $f$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$, giving your answers in exact form.
Write $x^2 - 8x$ in the form $(x + p)^2 + q$.
เขียน $x^2 - 8x$ ในรูป $(x + p)^2 + q$
Answershow ▾
$p$ is half the number in front of $x$; subtract $p^2$ to undo what the square added.
Write $x^2 - 8x + 19$ in the form $(x + p)^2 + q$.
Answershow ▾
The $p$ is unchanged — the constant only shifts $q$.
Factorise $2$ out of $2x^2 - 16x$.
Answershow ▾
This is the step people skip when the $x^2$ coefficient is not 1.
You are about to complete the square on $2x^2 - 16x + 16$. One of these first lines is right. Which one — and what is wrong with the other two?
(A) $2\left(x^2 - 8x + 16\right)$ (B) $2\left(x^2 - 8x\right) + 16$ (C) $2\left(x^2 - 16x\right) + 16$
กำลังจะ complete the square ของ $2x^2 - 16x + 16$ · บรรทัดแรกข้อไหนถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $2\left(x^2 - 8x + 16\right)$ (B) $2\left(x^2 - 8x\right) + 16$ (C) $2\left(x^2 - 16x\right) + 16$
Answershow ▾
The $2$ comes out of the $x^2$ term and the $x$ term, and out of nothing else. (A) pulls the $+16$ inside without dividing it by $2$; (C) forgets to divide the middle term. No mark is attached to the choice — the M1 pays for whatever you take out, so a wrong choice here loses everything after it.ดึง $2$ ออกจากพจน์ $x^2$ กับพจน์ $x$ เท่านั้น · (A) ลาก $+16$ เข้าไปในวงเล็บโดยไม่หารด้วย $2$ · (C) ลืมหารพจน์กลาง · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกนี้ แต่เลือกผิดแล้วเสียคะแนนทั้งหมดหลังจากนั้น
Express $2x^2 - 16x + 16$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
Answershow ▾
Questions 1 and 3 together. This is part (a) of the exam question.
Given $f(x) = 2(x - 4)^2 - 16$, state the least value of $f(x)$.
Answershow ▾
The bracket squared is at its smallest, zero, when $x = 4$.
The least value of $f$ is $-16$, and $f$ really reaches it, at $x = 4$. One of these is the range of $f$. Which — and what is wrong with the other two?
(A) $x \ge -16$ (B) $f(x) \gt -16$ (C) $f(x) \ge -16$
ค่าน้อยที่สุดของ $f$ คือ $-16$ และไปถึงได้จริงที่ $x = 4$ · ข้อไหนคือ range ของ $f$ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $x \ge -16$ (B) $f(x) \gt -16$ (C) $f(x) \ge -16$
Answershow ▾
A range is a statement about what comes OUT of the function, so (A) is about the wrong letter altogether. The least value is reached and not merely approached, so the sign is $\ge$ and not $\gt$. The B1 pays for the line once it is written; nothing pays for choosing the letter or the sign.range พูดถึงค่าที่ออกมาจากฟังก์ชัน (output) ไม่ใช่ $x$ ดังนั้น (A) ผิดตัวแปร · ค่าน้อยสุดไปถึงได้จริง จึงเป็น $\ge$ ไม่ใช่ $\gt$ · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกตัวแปรหรือเครื่องหมาย
$f(x) = 2(x - 4)^2 - 16$ for all real $x$. State the range of $f$.
Answershow ▾
Part (b). The range is everything from that least value upwards.
Solve $(x - 4)^2 = 8$, giving exact answers.
Answershow ▾
Square-root both sides and keep the $\pm$ — that is where a mark goes.
Solve $2(x - 4)^2 - 16 = 0$, giving your answers in exact form.
Answershow ▾
Part (c). Question 7 with one extra move first: add $16$ to both sides, then divide by $2$.
Part (c) says Hence solve $f(x) = 0$. Two routes both reach the right answer: (A) expand back to $2x^2 - 16x + 16 = 0$ and use the quadratic formula, or (B) start from $2(x - 4)^2 - 16 = 0$. Which route does the word Hence ask for, and which part of the question is it pointing back to?
ข้อ (c) เขียนว่า Hence จงแก้ $f(x) = 0$ · ทั้งสองทางได้คำตอบถูก: (A) กระจายกลับเป็น $2x^2 - 16x + 16 = 0$ แล้วใช้สูตร หรือ (B) เริ่มจาก $2(x - 4)^2 - 16 = 0$ · คำว่า Hence สั่งให้ใช้ทางไหน และชี้กลับไปที่ข้อย่อยไหน
Answershow ▾
Hence means: use the line you have just been paid for. (A) is not wrong mathematics, but it throws part (a) away and takes three times as long, and some boards will not accept it. Reading that one word is worth no mark at all.Hence แปลว่า ให้ใช้ผลที่เพิ่งทำได้ในข้อก่อนหน้า · (A) คณิตศาสตร์ไม่ผิด แต่ทิ้งข้อ (a) ไปเปล่า ๆ ใช้เวลาสามเท่า และบางบอร์ดไม่ให้คะแนน · การอ่านคำนี้ออกไม่มีคะแนนให้เลย
The function $f$ is defined by $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ for all real $x$.
(a) Express $f(x)$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
(b) Hence state the range of $f$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$.
Answershow ▾
Same three parts, but the roots come out whole.
The function $f$ is defined by $f(x) = 2x^2 - 16x + 16$ for all real $x$.
(a) Express $f(x)$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
(b) Hence state the range of $f$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$, giving your answers in exact form.
Answershow ▾
7 marks, and every part is a question you have already climbed.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B1 the square is never negative and $2 > 0$, so $f(x) \ge -16$.
(c) M1 $(x - 4)^2 = 8$ M1 $x - 4 = \pm2 \sqrt{2}$ A1 $x = 4 \pm 2 \sqrt{2}$.
Quadratics · the discriminant
The equation $x^2 + px + (p + 8) = 0$, where $p$ is a constant, has two distinct real roots.
(a) Show that $p$ satisfies $p^2 - 4p - 32 \gt 0$.
(b) Hence find the set of values of $p$.
For the equation $x^2 + 12x + 1 = 0$, write down the values of $a$, $b$ and $c$.
จากสมการ $x^2 + 12x + 1 = 0$ เขียนค่า $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
Everything in this question type starts here. Get $c$ wrong and the rest cannot be right.
Find the discriminant of $x^2 + 12x + 1 = 0$.
Answershow ▾
$b^2 - 4ac$. Square $b$ first, then subtract.
An equation has discriminant $-7$. How many distinct real roots does it have?
Answershow ▾
Negative discriminant means the curve never reaches the $x$-axis.
In $x^2 + px + (p + 8) = 0$ the letter $p$ is a constant and $x$ is the unknown. By the end of part (b) you have an answer in $p$ and no $x$ anywhere. Which letter are you solving for at the end, and at which line does $x$ leave the page?
ในสมการ $x^2 + px + (p + 8) = 0$ ตัว $p$ เป็นค่าคงที่ และ $x$ เป็นตัวไม่ทราบค่า · แต่พอจบข้อ (b) คำตอบเป็นช่วงของ $p$ และไม่มี $x$ เหลือเลย · สุดท้ายแล้วกำลังแก้หาตัวไหน และ $x$ หายไปที่บรรทัดไหน
Answershow ▾
$b^2 - 4ac$ swallows $x$ and turns a question about $x$ into a question about $p$. A student who keeps hunting for $x$ after that line can no longer read their own working. Nothing in the mark scheme says the swap has happened.$b^2 - 4ac$ กลืน $x$ หายไป แล้วเปลี่ยนโจทย์เรื่อง $x$ ให้กลายเป็นโจทย์เรื่อง $p$ · ถ้ายังตามหา $x$ ต่อ จะอ่านงานตัวเองไม่ออก · มาร์คสกีมไม่พูดถึงจุดนี้เลย
For $x^2 + px + (p + 8) = 0$, write down $c$ in terms of $p$, then write $b^2 - 4ac$ in terms of $p$.
Answershow ▾
The whole bracket is $c$. Multiplying out $4(p + 8)$ is where marks are lost.
An exam can say four different things about the roots. Match each to $\gt 0$, $= 0$, $\lt 0$ or $\ge 0$:
(i) two distinct real roots · (ii) equal roots / a repeated root · (iii) no real roots · (iv) has real roots.
Then say which one the question above uses.
ข้อสอบพูดถึงรากได้สี่แบบ · จับคู่กับ $\gt 0$, $= 0$, $\lt 0$ หรือ $\ge 0$:
(i) มีรากจริงสองรากที่ต่างกัน · (ii) รากซ้ำ · (iii) ไม่มีรากจริง · (iv) มีรากจริง
แล้วบอกว่าโจทย์ข้างบนใช้แบบไหน
Answershow ▾
This choice is the whole topic, and no mark is attached to it: the M1 pays for using a discriminant at all, whichever of the four you wrote down, so the wrong one costs every mark that follows. Note that (iv) allows the repeated root and so is the one case that takes $\ge$.การเลือกนี้คือหัวใจของทั้งหัวข้อ แต่ไม่มีคะแนนให้: M1 ให้เพราะ "ใช้ discriminant" ไม่ว่าจะเขียนเครื่องหมายไหน · เลือกผิดจึงเสียคะแนนที่เหลือทั้งหมด · แบบ (iv) ยอมให้มีรากซ้ำ จึงเป็นแบบเดียวที่ใช้ $\ge$
An equation has $b^2 - 4ac = p^2 - 4p - 32$. Write down the inequality that says it has two distinct real roots.
Answershow ▾
Two distinct roots means strictly greater than zero — not $\ge$. That is part (a) done.
Factorise $p^2 - 4p - 32$.
Answershow ▾
It is a quadratic like any other; the letter is just $p$ instead of $x$.
Solve $p^2 - 4p - 32 = 0$.
Answershow ▾
These are the critical values — the boundaries of the answer, not the answer.
You have $(p + 4)(p - 8) \gt 0$, with critical values $-4$ and $8$. Sketch $y = (p + 4)(p - 8)$: is the curve above the axis BETWEEN the two values or OUTSIDE them? So which is the answer — $-4 \lt p \lt 8$, or $p \lt -4$ or $p \gt 8$?
ได้ $(p + 4)(p - 8) \gt 0$ โดยมีค่าวิกฤต $-4$ กับ $8$ · ลองร่าง $y = (p + 4)(p - 8)$: เส้นโค้งอยู่เหนือแกนตรงช่วง "ระหว่าง" หรือ "นอก" สองค่านั้น · แล้วคำตอบคือ $-4 \lt p \lt 8$ หรือ $p \lt -4$ หรือ $p \gt 8$
Answershow ▾
A $\cup$-shaped parabola is positive at both ends and negative in the middle, so $\gt 0$ is the two outside pieces and $\lt 0$ is the middle one. The A1 pays for the final line; nobody pays for knowing which side, and the wrong side is the single commonest wrong answer in this topic.พาราโบลาหงาย เป็นบวกที่ปลายทั้งสองข้าง และเป็นลบตรงกลาง · ดังนั้น $\gt 0$ คือสองช่วงด้านนอก ส่วน $\lt 0$ คือช่วงกลาง · A1 ให้กับบรรทัดสุดท้าย ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่าเป็นด้านไหน และเลือกผิดด้านคือคำตอบผิดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้
Given that $(p + 4)(p - 8) \gt 0$, find the set of values of $p$.
Answershow ▾
A positive product means OUTSIDE the two critical values. Sketch it if unsure — the curve is above the axis at both ends.
The equation $x^2 + px + (p + 3) = 0$ has two distinct real roots.
(a) Show that $p^2 - 4p - 12 \gt 0$.
(b) Hence find the set of values of $p$.
Answershow ▾
Same two parts, smaller numbers.
The equation $x^2 + px + (p + 8) = 0$, where $p$ is a constant, has two distinct real roots.
(a) Show that $p$ satisfies $p^2 - 4p - 32 \gt 0$.
(b) Hence find the set of values of $p$.
Answershow ▾
5 marks. Questions 4 and 5 are part (a); questions 6, 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $p^2 - 4p - 32 = (p + 4)(p - 8)$ A1 critical values $p = -4$, $p = 8$ A1 $p \lt -4$ or $p \gt 8$.
Quadratics in disguise
(a) By using the substitution $u = x^2$, show that the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ can be written as a quadratic in $u$.
(b) Hence solve the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$.
Solve $u^2 - 26u + 25 = 0$.
แก้สมการ $u^2 - 26u + 25 = 0$
Answershow ▾
Nothing disguised yet — this is the quadratic hiding inside the real question.
Solve $x^2 = 25$.
Answershow ▾
Two answers, always. Losing the negative root is the single most common slip here.
Using $u = x^2$, write $x^4$ in terms of $u$.
Answershow ▾
$x^4 = (x^2)^2$, and $x^2$ is $u$ — that is the entire trick.
The substitution $u = x^2$ turns $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ into a quadratic. Now try the same substitution on $x^4 - 26x^3 + 25 = 0$. Write down the powers of $x$ in each equation, and say why one works and the other does not.
การแทน $u = x^2$ เปลี่ยน $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ ให้เป็นสมการกำลังสอง · ลองแทนแบบเดียวกันใน $x^4 - 26x^3 + 25 = 0$ · เขียนเลขชี้กำลังของ $x$ ในแต่ละสมการ แล้วบอกว่าทำไมอันหนึ่งได้และอีกอันไม่ได้
Answershow ▾
The test is on the powers, never on the numbers: $u = x^2$ works exactly when the powers read $2n$, $n$, $0$. The same test picks $u = \sqrt{x}$ for $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$ and $u = 3^x$ for $9^x - 4\times 3^x + 3 = 0$. No mark is given for running it.ให้ดูที่เลขชี้กำลัง ไม่ใช่ตัวเลขสัมประสิทธิ์: $u = x^2$ ใช้ได้พอดีเมื่อเลขชี้กำลังเรียงเป็น $2n$, $n$, $0$ · การทดสอบเดียวกันเลือก $u = \sqrt{x}$ ให้ $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$ และ $u = 3^x$ ให้ $9^x - 4\times 3^x + 3 = 0$ · ไม่มีคะแนนให้กับการทดสอบนี้
Use $u = x^2$ to write $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ as an equation in $u$.
Answershow ▾
That is part (a). Two marks for a line of substitution.
Solve the equation in $u$ from question 4.
Answershow ▾
Same as question 1. Do not stop here — $u$ is not what the question asked for.
Given $u = x^2$ and $u = 1$, find all values of $x$.
Answershow ▾
Undo the substitution. Every $u$ gives two $x$ values when $u \gt 0$.
You have reached $u = 1$ and $u = 25$. How many values of $x$ does each one give you, and why? Write both out.
ตอนนี้ได้ $u = 1$ กับ $u = 25$ · แต่ละค่าให้ $x$ กี่ค่า และเพราะอะไร · เขียนออกมาให้ครบ
Answershow ▾
$u = x^2$, so the journey back is a square root, and the square root of a positive number has two signs. Dropping the $\pm$ halves the answer and is the commonest loss on this question type; no mark is attached to remembering it.เพราะ $u = x^2$ การย้อนกลับจึงเป็นการถอดราก และรากที่สองของจำนวนบวกมีสองเครื่องหมาย · ลืม $\pm$ คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง เป็นจุดเสียคะแนนที่พบบ่อยที่สุดของโจทย์แบบนี้ และไม่มีคะแนนให้กับการจำข้อนี้
$u = 1$ and $u = 25$, with $u = x^2$. Write down all four values of $x$.
Answershow ▾
A quartic has up to four roots — here all four are real.
A different equation this time. Solve $x^4 + x^2 - 2 = 0$.
Answershow ▾
Not the numbers from the question at the top — this one is here because it does something that one does not. Here $u = 1$ or $u = -2$, and a negative $u$ is impossible since $u = x^2$, so it is rejected. Saying so out loud is worth a mark.
A student stops with the line "$u = 1$ or $u = 25$". The question said Hence solve $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$. Is that a complete answer? If not, what is missing — and where did the letter $u$ come from in the first place?
นักเรียนคนหนึ่งหยุดที่บรรทัด "$u = 1$ หรือ $u = 25$" · แต่โจทย์สั่งว่า Hence solve $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ · คำตอบนี้ครบหรือยัง ถ้ายัง ขาดอะไร และตัว $u$ มาจากไหนตั้งแต่แรก
Answershow ▾
Every substitution question ends with a journey back. The letter $u$ appears nowhere in the question, so it can appear nowhere in the answer: you invented it, and you have to remove it. The A1 is for the four values of $x$; stopping at $u$ scores nothing for it.โจทย์แบบแทนค่าทุกข้อจบด้วยการย้อนกลับเสมอ · ตัว $u$ ไม่ปรากฏในโจทย์เลย จึงต้องไม่ปรากฏในคำตอบ เพราะเราสร้างมันขึ้นมาเอง เราก็ต้องเอามันออกเอง · A1 ให้กับค่า $x$ ทั้งสี่ค่า หยุดที่ $u$ จึงไม่ได้คะแนนส่วนนั้น
(a) Use $u = x^2$ to write $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ as a quadratic in $u$.
(b) Hence solve it.
Answershow ▾
The same two parts with numbers that factorise on sight.
(a) By using the substitution $u = x^2$, show that the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ can be written as a quadratic in $u$.
(b) Hence solve the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$.
Answershow ▾
6 marks. Questions 3 and 4 are part (a); questions 5, 6 and 7 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $(u - 1)(u - 25) = 0$ A1 $u = 1$ or $u = 25$ M1 $x^2 = u$, so take square roots A1 $x = \pm1$, $x = \pm5$.