Quadratics · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Quadratics
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Quadratics
The function $f$ is defined by $f(x) = 2x^2 - 16x + 16$ for all real $x$.
(a) Express $f(x)$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
(b) Hence state the range of $f$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$, giving your answers in exact form.
Write $x^2 - 8x$ in the form $(x + p)^2 + q$.
เขียน $x^2 - 8x$ ในรูป $(x + p)^2 + q$
Answershow ▾
$p$ is half the number in front of $x$; subtract $p^2$ to undo what the square added.
Write $x^2 - 8x + 19$ in the form $(x + p)^2 + q$.
Answershow ▾
The $p$ is unchanged — the constant only shifts $q$.
Factorise $2$ out of $2x^2 - 16x$.
Answershow ▾
This is the step people skip when the $x^2$ coefficient is not 1.
You are about to complete the square on $2x^2 - 16x + 16$. One of these first lines is right. Which one — and what is wrong with the other two?
(A) $2\left(x^2 - 8x + 16\right)$ (B) $2\left(x^2 - 8x\right) + 16$ (C) $2\left(x^2 - 16x\right) + 16$
กำลังจะ complete the square ของ $2x^2 - 16x + 16$ · บรรทัดแรกข้อไหนถูก และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $2\left(x^2 - 8x + 16\right)$ (B) $2\left(x^2 - 8x\right) + 16$ (C) $2\left(x^2 - 16x\right) + 16$
Answershow ▾
The $2$ comes out of the $x^2$ term and the $x$ term, and out of nothing else. (A) pulls the $+16$ inside without dividing it by $2$; (C) forgets to divide the middle term. No mark is attached to the choice — the M1 pays for whatever you take out, so a wrong choice here loses everything after it.ดึง $2$ ออกจากพจน์ $x^2$ กับพจน์ $x$ เท่านั้น · (A) ลาก $+16$ เข้าไปในวงเล็บโดยไม่หารด้วย $2$ · (C) ลืมหารพจน์กลาง · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกนี้ แต่เลือกผิดแล้วเสียคะแนนทั้งหมดหลังจากนั้น
Express $2x^2 - 16x + 16$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
Answershow ▾
Questions 1 and 3 together. This is part (a) of the exam question.
Given $f(x) = 2(x - 4)^2 - 16$, state the least value of $f(x)$.
Answershow ▾
The bracket squared is at its smallest, zero, when $x = 4$.
The least value of $f$ is $-16$, and $f$ really reaches it, at $x = 4$. One of these is the range of $f$. Which — and what is wrong with the other two?
(A) $x \ge -16$ (B) $f(x) \gt -16$ (C) $f(x) \ge -16$
ค่าน้อยที่สุดของ $f$ คือ $-16$ และไปถึงได้จริงที่ $x = 4$ · ข้อไหนคือ range ของ $f$ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $x \ge -16$ (B) $f(x) \gt -16$ (C) $f(x) \ge -16$
Answershow ▾
A range is a statement about what comes OUT of the function, so (A) is about the wrong letter altogether. The least value is reached and not merely approached, so the sign is $\ge$ and not $\gt$. The B1 pays for the line once it is written; nothing pays for choosing the letter or the sign.range พูดถึงค่าที่ออกมาจากฟังก์ชัน (output) ไม่ใช่ $x$ ดังนั้น (A) ผิดตัวแปร · ค่าน้อยสุดไปถึงได้จริง จึงเป็น $\ge$ ไม่ใช่ $\gt$ · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกตัวแปรหรือเครื่องหมาย
$f(x) = 2(x - 4)^2 - 16$ for all real $x$. State the range of $f$.
Answershow ▾
Part (b). The range is everything from that least value upwards.
Solve $(x - 4)^2 = 8$, giving exact answers.
Answershow ▾
Square-root both sides and keep the $\pm$ — that is where a mark goes.
Solve $2(x - 4)^2 - 16 = 0$, giving your answers in exact form.
Answershow ▾
Part (c). Question 7 with one extra move first: add $16$ to both sides, then divide by $2$.
Part (c) says Hence solve $f(x) = 0$. Two routes both reach the right answer: (A) expand back to $2x^2 - 16x + 16 = 0$ and use the quadratic formula, or (B) start from $2(x - 4)^2 - 16 = 0$. Which route does the word Hence ask for, and which part of the question is it pointing back to?
ข้อ (c) เขียนว่า Hence จงแก้ $f(x) = 0$ · ทั้งสองทางได้คำตอบถูก: (A) กระจายกลับเป็น $2x^2 - 16x + 16 = 0$ แล้วใช้สูตร หรือ (B) เริ่มจาก $2(x - 4)^2 - 16 = 0$ · คำว่า Hence สั่งให้ใช้ทางไหน และชี้กลับไปที่ข้อย่อยไหน
Answershow ▾
Hence means: use the line you have just been paid for. (A) is not wrong mathematics, but it throws part (a) away and takes three times as long, and some boards will not accept it. Reading that one word is worth no mark at all.Hence แปลว่า ให้ใช้ผลที่เพิ่งทำได้ในข้อก่อนหน้า · (A) คณิตศาสตร์ไม่ผิด แต่ทิ้งข้อ (a) ไปเปล่า ๆ ใช้เวลาสามเท่า และบางบอร์ดไม่ให้คะแนน · การอ่านคำนี้ออกไม่มีคะแนนให้เลย
The function $f$ is defined by $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ for all real $x$.
(a) Express $f(x)$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
(b) Hence state the range of $f$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$.
Answershow ▾
Same three parts, but the roots come out whole.
The function $f$ is defined by $f(x) = 2x^2 - 16x + 16$ for all real $x$.
(a) Express $f(x)$ in the form $a(x + p)^2 + q$.
(b) Hence state the range of $f$.
(c) Hence solve $f(x) = 0$, giving your answers in exact form.
Answershow ▾
7 marks, and every part is a question you have already climbed.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Quadratics · the discriminant
The equation $x^2 + px + (p + 8) = 0$, where $p$ is a constant, has two distinct real roots.
(a) Show that $p$ satisfies $p^2 - 4p - 32 \gt 0$.
(b) Hence find the set of values of $p$.
For the equation $x^2 + 12x + 1 = 0$, write down the values of $a$, $b$ and $c$.
จากสมการ $x^2 + 12x + 1 = 0$ เขียนค่า $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
Everything in this question type starts here. Get $c$ wrong and the rest cannot be right.
Find the discriminant of $x^2 + 12x + 1 = 0$.
Answershow ▾
$b^2 - 4ac$. Square $b$ first, then subtract.
An equation has discriminant $-7$. How many distinct real roots does it have?
Answershow ▾
Negative discriminant means the curve never reaches the $x$-axis.
In $x^2 + px + (p + 8) = 0$ the letter $p$ is a constant and $x$ is the unknown. By the end of part (b) you have an answer in $p$ and no $x$ anywhere. Which letter are you solving for at the end, and at which line does $x$ leave the page?
ในสมการ $x^2 + px + (p + 8) = 0$ ตัว $p$ เป็นค่าคงที่ และ $x$ เป็นตัวไม่ทราบค่า · แต่พอจบข้อ (b) คำตอบเป็นช่วงของ $p$ และไม่มี $x$ เหลือเลย · สุดท้ายแล้วกำลังแก้หาตัวไหน และ $x$ หายไปที่บรรทัดไหน
Answershow ▾
$b^2 - 4ac$ swallows $x$ and turns a question about $x$ into a question about $p$. A student who keeps hunting for $x$ after that line can no longer read their own working. Nothing in the mark scheme says the swap has happened.$b^2 - 4ac$ กลืน $x$ หายไป แล้วเปลี่ยนโจทย์เรื่อง $x$ ให้กลายเป็นโจทย์เรื่อง $p$ · ถ้ายังตามหา $x$ ต่อ จะอ่านงานตัวเองไม่ออก · มาร์คสกีมไม่พูดถึงจุดนี้เลย
For $x^2 + px + (p + 8) = 0$, write down $c$ in terms of $p$, then write $b^2 - 4ac$ in terms of $p$.
Answershow ▾
The whole bracket is $c$. Multiplying out $4(p + 8)$ is where marks are lost.
An exam can say four different things about the roots. Match each to $\gt 0$, $= 0$, $\lt 0$ or $\ge 0$:
(i) two distinct real roots · (ii) equal roots / a repeated root · (iii) no real roots · (iv) has real roots.
Then say which one the question above uses.
ข้อสอบพูดถึงรากได้สี่แบบ · จับคู่กับ $\gt 0$, $= 0$, $\lt 0$ หรือ $\ge 0$:
(i) มีรากจริงสองรากที่ต่างกัน · (ii) รากซ้ำ · (iii) ไม่มีรากจริง · (iv) มีรากจริง
แล้วบอกว่าโจทย์ข้างบนใช้แบบไหน
Answershow ▾
This choice is the whole topic, and no mark is attached to it: the M1 pays for using a discriminant at all, whichever of the four you wrote down, so the wrong one costs every mark that follows. Note that (iv) allows the repeated root and so is the one case that takes $\ge$.การเลือกนี้คือหัวใจของทั้งหัวข้อ แต่ไม่มีคะแนนให้: M1 ให้เพราะ "ใช้ discriminant" ไม่ว่าจะเขียนเครื่องหมายไหน · เลือกผิดจึงเสียคะแนนที่เหลือทั้งหมด · แบบ (iv) ยอมให้มีรากซ้ำ จึงเป็นแบบเดียวที่ใช้ $\ge$
An equation has $b^2 - 4ac = p^2 - 4p - 32$. Write down the inequality that says it has two distinct real roots.
Answershow ▾
Two distinct roots means strictly greater than zero — not $\ge$. That is part (a) done.
Factorise $p^2 - 4p - 32$.
Answershow ▾
It is a quadratic like any other; the letter is just $p$ instead of $x$.
Solve $p^2 - 4p - 32 = 0$.
Answershow ▾
These are the critical values — the boundaries of the answer, not the answer.
You have $(p + 4)(p - 8) \gt 0$, with critical values $-4$ and $8$. Sketch $y = (p + 4)(p - 8)$: is the curve above the axis BETWEEN the two values or OUTSIDE them? So which is the answer — $-4 \lt p \lt 8$, or $p \lt -4$ or $p \gt 8$?
ได้ $(p + 4)(p - 8) \gt 0$ โดยมีค่าวิกฤต $-4$ กับ $8$ · ลองร่าง $y = (p + 4)(p - 8)$: เส้นโค้งอยู่เหนือแกนตรงช่วง "ระหว่าง" หรือ "นอก" สองค่านั้น · แล้วคำตอบคือ $-4 \lt p \lt 8$ หรือ $p \lt -4$ หรือ $p \gt 8$
Answershow ▾
A $\cup$-shaped parabola is positive at both ends and negative in the middle, so $\gt 0$ is the two outside pieces and $\lt 0$ is the middle one. The A1 pays for the final line; nobody pays for knowing which side, and the wrong side is the single commonest wrong answer in this topic.พาราโบลาหงาย เป็นบวกที่ปลายทั้งสองข้าง และเป็นลบตรงกลาง · ดังนั้น $\gt 0$ คือสองช่วงด้านนอก ส่วน $\lt 0$ คือช่วงกลาง · A1 ให้กับบรรทัดสุดท้าย ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่าเป็นด้านไหน และเลือกผิดด้านคือคำตอบผิดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้
Given that $(p + 4)(p - 8) \gt 0$, find the set of values of $p$.
Answershow ▾
A positive product means OUTSIDE the two critical values. Sketch it if unsure — the curve is above the axis at both ends.
The equation $x^2 + px + (p + 3) = 0$ has two distinct real roots.
(a) Show that $p^2 - 4p - 12 \gt 0$.
(b) Hence find the set of values of $p$.
Answershow ▾
Same two parts, smaller numbers.
The equation $x^2 + px + (p + 8) = 0$, where $p$ is a constant, has two distinct real roots.
(a) Show that $p$ satisfies $p^2 - 4p - 32 \gt 0$.
(b) Hence find the set of values of $p$.
Answershow ▾
5 marks. Questions 4 and 5 are part (a); questions 6, 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Quadratics in disguise
(a) By using the substitution $u = x^2$, show that the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ can be written as a quadratic in $u$.
(b) Hence solve the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$.
Solve $u^2 - 26u + 25 = 0$.
แก้สมการ $u^2 - 26u + 25 = 0$
Answershow ▾
Nothing disguised yet — this is the quadratic hiding inside the real question.
Solve $x^2 = 25$.
Answershow ▾
Two answers, always. Losing the negative root is the single most common slip here.
Using $u = x^2$, write $x^4$ in terms of $u$.
Answershow ▾
$x^4 = (x^2)^2$, and $x^2$ is $u$ — that is the entire trick.
The substitution $u = x^2$ turns $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ into a quadratic. Now try the same substitution on $x^4 - 26x^3 + 25 = 0$. Write down the powers of $x$ in each equation, and say why one works and the other does not.
การแทน $u = x^2$ เปลี่ยน $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ ให้เป็นสมการกำลังสอง · ลองแทนแบบเดียวกันใน $x^4 - 26x^3 + 25 = 0$ · เขียนเลขชี้กำลังของ $x$ ในแต่ละสมการ แล้วบอกว่าทำไมอันหนึ่งได้และอีกอันไม่ได้
Answershow ▾
The test is on the powers, never on the numbers: $u = x^2$ works exactly when the powers read $2n$, $n$, $0$. The same test picks $u = \sqrt{x}$ for $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$ and $u = 3^x$ for $9^x - 4\times 3^x + 3 = 0$. No mark is given for running it.ให้ดูที่เลขชี้กำลัง ไม่ใช่ตัวเลขสัมประสิทธิ์: $u = x^2$ ใช้ได้พอดีเมื่อเลขชี้กำลังเรียงเป็น $2n$, $n$, $0$ · การทดสอบเดียวกันเลือก $u = \sqrt{x}$ ให้ $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$ และ $u = 3^x$ ให้ $9^x - 4\times 3^x + 3 = 0$ · ไม่มีคะแนนให้กับการทดสอบนี้
Use $u = x^2$ to write $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ as an equation in $u$.
Answershow ▾
That is part (a). Two marks for a line of substitution.
Solve the equation in $u$ from question 4.
Answershow ▾
Same as question 1. Do not stop here — $u$ is not what the question asked for.
Given $u = x^2$ and $u = 1$, find all values of $x$.
Answershow ▾
Undo the substitution. Every $u$ gives two $x$ values when $u \gt 0$.
You have reached $u = 1$ and $u = 25$. How many values of $x$ does each one give you, and why? Write both out.
ตอนนี้ได้ $u = 1$ กับ $u = 25$ · แต่ละค่าให้ $x$ กี่ค่า และเพราะอะไร · เขียนออกมาให้ครบ
Answershow ▾
$u = x^2$, so the journey back is a square root, and the square root of a positive number has two signs. Dropping the $\pm$ halves the answer and is the commonest loss on this question type; no mark is attached to remembering it.เพราะ $u = x^2$ การย้อนกลับจึงเป็นการถอดราก และรากที่สองของจำนวนบวกมีสองเครื่องหมาย · ลืม $\pm$ คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง เป็นจุดเสียคะแนนที่พบบ่อยที่สุดของโจทย์แบบนี้ และไม่มีคะแนนให้กับการจำข้อนี้
$u = 1$ and $u = 25$, with $u = x^2$. Write down all four values of $x$.
Answershow ▾
A quartic has up to four roots — here all four are real.
A different equation this time. Solve $x^4 + x^2 - 2 = 0$.
Answershow ▾
Not the numbers from the question at the top — this one is here because it does something that one does not. Here $u = 1$ or $u = -2$, and a negative $u$ is impossible since $u = x^2$, so it is rejected. Saying so out loud is worth a mark.
A student stops with the line "$u = 1$ or $u = 25$". The question said Hence solve $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$. Is that a complete answer? If not, what is missing — and where did the letter $u$ come from in the first place?
นักเรียนคนหนึ่งหยุดที่บรรทัด "$u = 1$ หรือ $u = 25$" · แต่โจทย์สั่งว่า Hence solve $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ · คำตอบนี้ครบหรือยัง ถ้ายัง ขาดอะไร และตัว $u$ มาจากไหนตั้งแต่แรก
Answershow ▾
Every substitution question ends with a journey back. The letter $u$ appears nowhere in the question, so it can appear nowhere in the answer: you invented it, and you have to remove it. The A1 is for the four values of $x$; stopping at $u$ scores nothing for it.โจทย์แบบแทนค่าทุกข้อจบด้วยการย้อนกลับเสมอ · ตัว $u$ ไม่ปรากฏในโจทย์เลย จึงต้องไม่ปรากฏในคำตอบ เพราะเราสร้างมันขึ้นมาเอง เราก็ต้องเอามันออกเอง · A1 ให้กับค่า $x$ ทั้งสี่ค่า หยุดที่ $u$ จึงไม่ได้คะแนนส่วนนั้น
(a) Use $u = x^2$ to write $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ as a quadratic in $u$.
(b) Hence solve it.
Answershow ▾
The same two parts with numbers that factorise on sight.
(a) By using the substitution $u = x^2$, show that the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ can be written as a quadratic in $u$.
(b) Hence solve the equation $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$.
Answershow ▾
6 marks. Questions 3 and 4 are part (a); questions 5, 6 and 7 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Completing the square · Exact solutions Completing the square · คำตอบแบบ exact
(a) Express $x^{2}-8x+11$ in the form $(x+p)^{2}+q$ where $p$ and $q$ are constants.
(b) Hence find the exact solutions of the equation $x^{2}-8x+11=1$.
(ก) เขียน $x^{2}-8x+11$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่
(ข) จากนั้นหาคำตอบแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของสมการ $x^{2}-8x+11=1$
Write $x^{2}-8x$ in the form $(x+p)^{2}+k$. Find $p$.
เขียน $x^{2}-8x$ ในรูป $(x+p)^{2}+k$ จงหาค่า $p$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $x$.หารสประสิทท์ของ $x$ ด้วยสอง
Expand $(x-4)^{2}$.
จงกระจาย $(x-4)^{2}$
Answershow ▾
Square the first term, double the product, square the last term.ยกกำลังสองพจน์แรก คูนสองของผลคูณพจน์ แล้วยกกำลังสองพจน์หลัง
Solve $y^{2}=6$. Give an exact answer.
จงแก้สมการ $y^{2}=6$ ให้คำตอบเป็นค่าแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Square-rooting both sides gives a $\pm$.การถอดรากทั้งสองข้างต้องมีเครื่องหมาย $\pm$
Use questions 1 and 2 to write $x^{2}-8x+11$ in terms of $(x-4)^{2}$.
ใช้คำตอบข้อ 1 และ 2 เขียน $x^{2}-8x+11$ ให้อยู่ในรูป $(x-4)^{2}$
Answershow ▾
Replace $x^{2}-8x$ with $(x-4)^{2}-16$, then keep the $+11$.แทน $x^{2}-8x$ ด้วย $(x-4)^{2}-16$ แล้วคง $+11$ ไว้
Simplify $(x-4)^{2}-16+11$ to complete part (a).
จงจัดรูป $(x-4)^{2}-16+11$ ให้จบข้อ (a)
Answershow ▾
$-16+11=-5$.$-16+11=-5$
Part (a) gives $x^{2}-8x+11=(x-4)^{2}-5$. To solve $x^{2}-8x+11=1$ ("hence"), pick the first move.
(A) substitute into $(x-4)^{2}-5=1$
(B) substitute into $(x+4)^{2}-5=1$
(C) start again from $x^{2}-8x+11=1$ with the quadratic formula
จากข้อ (a) ได้ $x^{2}-8x+11=(x-4)^{2}-5$ เมื่อจะแก้สมการ $x^{2}-8x+11=1$ ("hence") จงเลือกขั้นแรก
(A) แทนใน $(x-4)^{2}-5=1$
(B) แทนใน $(x+4)^{2}-5=1$
(C) เริ่มใหม่จาก $x^{2}-8x+11=1$ โดยใช้สูตรกำลังสอง
Answershow ▾
(B) uses the wrong sign - part (a) gives $p=-4$, so the bracket is $(x-4)^{2}$. (C) reaches the same roots, but skipping the completed square loses the marks "hence" is asking for.(B) ใช้เครื่องหมายผิด เพราะข้อ (a) ได้ $p=-4$ วงเล็บจุงต้องเป็น $(x-4)^{2}$ · (C) ได้คำตอบเดียวกัน แต่ข้ามรูปกำลังสองสมบูรณ์ไป จึงเสียคะแนนที่ "hence" ต้องการ
Solve $(x-4)^{2}-5=1$ for $(x-4)^{2}$.
จงแก้สมการ $(x-4)^{2}-5=1$ เพื่อหา $(x-4)^{2}$
Answershow ▾
Add $5$ to both sides.บวก $5$ เข้าทั้งสองข้าง
Solve $(x-4)^{2}=6$ for $x$, keeping the answer exact.
จงแก้สมการ $(x-4)^{2}=6$ หา $x$ เป็นค่าแม่นตรง
Answershow ▾
Root both sides, keep the $\pm$, then add $4$.ถอดรากทั้งสองข้าง เก็บ $\pm$ ไว้ แล้วบวก $4$
Check $x=4+\sqrt{6}$ by substituting into $(x-4)^{2}-5$. Does it equal $1$?
จงตรวจ $x=4+\sqrt{6}$ โดยแทนใน $(x-4)^{2}-5$ ได้เท่ากับ $1$ หรือไม่
Answershow ▾
$(x-4)$ becomes $\sqrt{6}$, and $(\sqrt{6})^{2}=6$.$(x-4)$ กลายเป็น $\sqrt{6}$ และ $(\sqrt{6})^{2}=6$
(a) Express $x^{2}-6x+5$ in the form $(x+p)^{2}+q$.
(b) Hence solve $x^{2}-6x+5=-3$.
(ก) เขียน $x^{2}-6x+5$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $x^{2}-6x+5=-3$
Answershow ▾
Same two moves: complete the square, then solve from it.สองขั้นเดิม: จัดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วแก้สมการจากรูปนั้น
(a) Express $x^{2}-8x+11$ in the form $(x+p)^{2}+q$ where $p$ and $q$ are constants.
(b) Hence find the exact solutions of the equation $x^{2}-8x+11=1$.
(ก) เขียน $x^{2}-8x+11$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่
(ข) จากนั้นหาคำตอบแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของสมการ $x^{2}-8x+11=1$
Answershow ▾
4 marks: 2 for completing the square, 2 for solving and keeping both roots exact.4 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับจัดกำลังสองสมบูรณ์ และ 2 คะแนนสำหรับแก้สมการและเก็บคำตอบแม่นตรงทั้งสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Completed square, then an inequality จัดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วตั้งอสมการ
(i) Express $x^{2}+6x+2$ in the form $(x+a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(ii) Hence, or otherwise, find the set of values of $x$ for which $x^{2}+6x+2>9$.
(i) เขียน $x^{2}+6x+2$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ii) จากนั้น (หรือวิธีอื่น) หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^{2}+6x+2>9$
Write $x^{2}+6x$ in the form $(x+p)^{2}-q$.
จงเขียน $x^{2}+6x$ ในรูป $(x+p)^{2}-q$
Answershow ▾
Halve the $6$ to get $p$, then subtract $p^{2}$.หาร $6$ ด้วย $2$ เพื่อหา $p$ แล้วลบด้วย $p^{2}$
Solve $(x+3)^{2}=16$.
จงแก้สมการ $(x+3)^{2}=16$
Answershow ▾
Square root both sides; a square root gives a $\pm$ pair.ถอดรากทั้งสองข้าง · การถอดรากให้คำตอบ $\pm$ สองค่า
The curve $y=x^{2}-5x+6$ crosses the $x$-axis at $x=2$ and $x=3$ and opens upward. Solve $x^{2}-5x+6\gt0$.
เส้นโค้ง $y=x^{2}-5x+6$ ตัดแกน $x$ ที่ $x=2$ และ $x=3$ และหงายขึ้น จงแก้ $x^{2}-5x+6\gt0$
Answershow ▾
An upward curve sits above the axis outside its two roots.เส้นโค้งหงายขึ้นจะอยู่เหนือแกนในบริเวณนอกสองราก
In part (ii) the critical values turn out to be $x=-7$ and $x=1$, as in Q2, and $y=(x+3)^{2}-7$ opens upward, just like Q3. Pick the solution to $x^{2}+6x+2\gt9$.
(A) $-7\lt x\lt1$
(B) $x\lt-7$ or $x\gt1$
(C) $x=-7$ or $x=1$
ในส่วน (ii) ค่าวิกฤตคือ $x=-7$ กับ $x=1$ เหมือนข้อ 2 และ $y=(x+3)^{2}-7$ หงายขึ้นเหมือนข้อ 3 จงเลือกคำตอบของ $x^{2}+6x+2\gt9$
(A) $-7\lt x\lt1$
(B) $x\lt-7$ หรือ $x\gt1$
(C) $x=-7$ หรือ $x=1$
Answershow ▾
(A) is the solution for the opposite inequality, $\lt0$, between the roots. (C) only restates the critical values as an equation, not the inequality asked for.(A) คือคำตอบของอสมการตรงข้าม $\lt0$ ซึ่งอยู่ระหว่างสองราก · (C) เป็นเพียงการเขียนค่าวิกฤตใหม่เป็นสมการ ไม่ใช่อสมการที่โจทย์ถาม
Using $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$ from Q1, write $x^{2}+6x+2$ in the form $(x+3)^{2}+b$. Find $b$.
โดยใช้ $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$ จากข้อ 1 จงเขียน $x^{2}+6x+2$ ในรูป $(x+3)^{2}+b$ แล้วหาค่า $b$
Answershow ▾
Add the extra $+2$ onto the $-9$ you already have.บวก $+2$ ที่เหลือเข้ากับ $-9$ ที่มีอยู่แล้ว
Part (i) gives $x^{2}+6x+2=(x+3)^{2}-7$. Use this to write $x^{2}+6x+2\gt9$ with $(x+3)^{2}$ alone on one side.
จาก (i) ได้ $x^{2}+6x+2=(x+3)^{2}-7$ จงใช้สิ่งนี้เขียน $x^{2}+6x+2\gt9$ ให้เหลือ $(x+3)^{2}$ ด้านเดียว
Answershow ▾
Add $7$ to both sides.บวก $7$ เข้าทั้งสองข้าง
Solve $(x+3)^{2}=16$ to find the critical values of $x$.
จงแก้ $(x+3)^{2}=16$ เพื่อหาค่าวิกฤตของ $x$
Answershow ▾
Same move as Q2, now on the real numbers of this question.ขั้นเดียวกับข้อ 2 แต่ใช้กับตัวเลขจริงของข้อนี้
Using the critical values from Q6 and the decision step, write the set of values of $x$ for which $x^{2}+6x+2\gt9$.
โดยใช้ค่าวิกฤตจากข้อ 6 และคำตอบจากขั้นเลือก จงเขียนเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^{2}+6x+2\gt9$
Answershow ▾
Outside the critical values, the same pattern as Q3.อยู่นอกค่าวิกฤต ทำนองเดียวกับข้อ 3
Check $x=2$, which is inside $x\gt1$, in $x^{2}+6x+2\gt9$. Does it fit?
จงตรวจ $x=2$ ซึ่งอยู่ในช่วง $x\gt1$ ใน $x^{2}+6x+2\gt9$ เป็นจริงหรือไม่
Answershow ▾
A value inside the set must make the original inequality true.ค่าในเซตคำตอบต้องทำให้อสมการเดิมเป็นจริง
(i) Express $x^{2}+4x+3$ in the form $(x+2)^{2}+b$. (ii) Hence find the set of values of $x$ for which $x^{2}+4x+3\gt8$.
(i) จงเขียน $x^{2}+4x+3$ ในรูป $(x+2)^{2}+b$ (ii) จากนั้นหาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^{2}+4x+3\gt8$
Answershow ▾
Same four moves: complete the square, isolate the bracket, solve, then take outside the roots.สี่ขั้นเดิม: จัดกำลังสองสมบูรณ์ แยก $(x+2)^{2}$ ออกมา แก้สมการ แล้วเอาค่านอกสองราก
(i) Express $x^{2}+6x+2$ in the form $(x+a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(ii) Hence, or otherwise, find the set of values of $x$ for which $x^{2}+6x+2>9$.
(i) เขียน $x^{2}+6x+2$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ii) จากนั้น (หรือวิธีอื่น) หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $x^{2}+6x+2>9$
Answershow ▾
4 marks: 2 for completing the square, 2 for the critical values and the correct direction.4 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับจัดกำลังสองสมบูรณ์ 2 คะแนนสำหรับค่าวิกฤตและทิศทางที่ถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Finding k for distinct roots หาค่า k ให้ได้รากไม่ซ้ำสองค่า
Find the set of values of $k$ for which the equation $2x^{2}+3kx+k=0$ has distinct real roots.
หาเซตของค่า $k$ ที่ทำให้สมการ $2x^{2}+3kx+k=0$ มีรากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน (distinct real roots)
Expand $(3k)^{2}$.
จงกระจาย $(3k)^{2}$
Answershow ▾
Square both the number and the letter.ยกกำลังสองทั้งตัวเลขและตัวแปร
For a quadratic to have two distinct real roots, write the condition on $b^{2}-4ac$.
ถ้าสมการกำลังสองมีรากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน จงเขียนเงื่อนไขของ $b^{2}-4ac$
Answershow ▾
Two distinct real roots need a positive value under the square root.รากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน ต้องมีค่าใต้เครื่องหมายรากเป็นบวก
Factorise $9k^{2}-8k$.
จงแยกตัวประกอบ $9k^{2}-8k$
Answershow ▾
Both terms share a factor of $k$.ทั้งสองพจน์มี $k$ เป็นตัวประกอบร่วม
The equation is $2x^{2}+3kx+k=0$. Pick the correct $a,\,b,\,c$ for $b^{2}-4ac$.
(A) $a=2,\ b=3k,\ c=k$
(B) $a=2,\ b=3,\ c=k$
(C) $a=2k,\ b=3k,\ c=k$
สมการคือ $2x^{2}+3kx+k=0$ จงเลือก $a,\,b,\,c$ ที่ถูกต้องสำหรับ $b^{2}-4ac$
(A) $a=2,\ b=3k,\ c=k$
(B) $a=2,\ b=3,\ c=k$
(C) $a=2k,\ b=3k,\ c=k$
Answershow ▾
(B) drops the $k$ from the $x$-coefficient, as if the term were $3x$; (C) multiplies $a$ by $k$ too, as if the equation had already been divided by something that is not there.(B) ตัด $k$ ออกจากสัมประสิทธิ์ของ $x$ เหมือนพจน์นั้นเป็น $3x$ · (C) เอา $k$ ไปคูณ $a$ ด้วย เหมือนสมการถูกหารด้วยอะไรบางอย่างที่ไม่มีจริงไปแล้ว
For $2x^{2}+3kx+k=0$, work out $b^{2}-4ac$ in terms of $k$.
สำหรับ $2x^{2}+3kx+k=0$ จงหา $b^{2}-4ac$ ในรูปตัวแปร $k$
Answershow ▾
Substitute $a=2,\,b=3k,\,c=k$ into $b^{2}-4ac$.แทน $a=2,\,b=3k,\,c=k$ ลงใน $b^{2}-4ac$
Distinct real roots need $b^{2}-4ac\gt 0$. Write this as an inequality in $k$.
รากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน ต้องมี $b^{2}-4ac\gt 0$ จงเขียนเป็นอสมการในตัวแปร $k$
Answershow ▾
Replace $b^{2}-4ac$ with the expression from the last rung.แทน $b^{2}-4ac$ ด้วยนิพจน์จากข้อที่แล้ว
Solve $9k^{2}-8k=0$ to find the critical values of $k$.
จงแก้สมการ $9k^{2}-8k=0$ เพื่อหาค่าวิกฤตของ $k$
Answershow ▾
Factorise, then set each factor to $0$.แยกตัวประกอบ แล้วให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับ $0$
$9k^{2}-8k$ is a $\cup$-shaped curve in $k$, with roots $k=0$ and $k=\dfrac{8}{9}$. Where is the curve positive?
(A) between the roots: $0\lt k\lt\dfrac{8}{9}$
(B) outside the roots: $k\lt0$ or $k\gt\dfrac{8}{9}$
(C) only at the roots: $k=0$ or $k=\dfrac{8}{9}$
$9k^{2}-8k$ เป็นพาราโบลาหงายในตัวแปร $k$ โดยมีราก $k=0$ และ $k=\dfrac{8}{9}$ จงหาว่าช่วงไหนที่กราฟเป็นบวก
(A) ระหว่างราก: $0\lt k\lt\dfrac{8}{9}$
(B) นอกช่วงราก: $k\lt0$ หรือ $k\gt\dfrac{8}{9}$
(C) ที่รากเท่านั้น: $k=0$ หรือ $k=\dfrac{8}{9}$
Answershow ▾
(A) is where a $\cup$-shaped curve dips below the axis, which is negative; (C) gives the zeros, not where the curve is positive.(A) คือช่วงที่พาราโบลาหงายลดลงต่ำกว่าแกน ซึ่งเป็นค่าลบ · (C) คือจุดที่กราฟเท่ากับศูนย์ ไม่ใช่ช่วงที่กราฟเป็นบวก
Write the full set of values of $k$ for which $2x^{2}+3kx+k=0$ has distinct real roots.
จงเขียนเซตของค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $2x^{2}+3kx+k=0$ มีรากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน
Answershow ▾
Combine both critical values with the outside-the-roots direction.รวมค่าวิกฤตทั้งสองเข้ากับทิศทางนอกช่วงราก
Check $k=1$, which is outside the critical values, in $9k^{2}-8k$. Is the result positive?
ตรวจค่า $k=1$ ซึ่งอยู่นอกช่วงราก ใน $9k^{2}-8k$ ผลลัพธ์เป็นบวกหรือไม่
Answershow ▾
A value outside the critical values should make the discriminant positive.ค่าที่อยู่นอกช่วงราก ต้องทำให้ Discriminant เป็นบวก
Find the set of values of $k$ for which $x^{2}+4kx+4k=0$ has distinct real roots.
หาเซตของค่า $k$ ที่ทำให้ $x^{2}+4kx+4k=0$ มีรากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน
Answershow ▾
Same three moves: discriminant, factorise, read outside the roots.สามขั้นเดิม: Discriminant แยกตัวประกอบ แล้วอ่านนอกช่วงราก
Find the set of values of $k$ for which the equation $2x^{2}+3kx+k=0$ has distinct real roots.
หาเซตของค่า $k$ ที่ทำให้สมการ $2x^{2}+3kx+k=0$ มีรากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน (distinct real roots)
Answershow ▾
4 marks: the discriminant, the inequality, the critical values, then outside the roots.4 คะแนน: Discriminant อสมการ ค่าวิกฤต แล้วนอกช่วงราก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic hidden behind a root สมการกำลังสองที่ซ่อนอยู่หลังราก
Showing all necessary working, solve the equation $4x-11x^{\frac12}+6=0$.
แสดงวิธีทำที่จำเป็นทั้งหมด แก้สมการ $4x-11x^{\frac12}+6=0$
Let $u=x^{\frac12}$. Write $x$ in terms of $u$.
กำหนด $u=x^{\frac12}$ จงเขียน $x$ ในรูปของ $u$
Answershow ▾
Squaring both sides undoes the square root.ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะหักล้างรากที่สอง
Factorise $4u^{2}-7u+3$.
จงแยกตัวประกอบ $4u^{2}-7u+3$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $12$ and add to $-7$: $-4$ and $-3$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $12$ และบวกกันได้ $-7$ คือ $-4$ กับ $-3$
Work out $\left(\tfrac34\right)^{2}$.
จงคำนวณ $\left(\tfrac34\right)^{2}$
Answershow ▾
Square the top and the bottom separately.ยกกำลังสองตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
The equation has both $x$ and $x^{\frac12}$. Pick the first move.
(A) divide every term by $x^{\frac12}$
(B) let $u=x^{\frac12}$, so $x=u^{2}$, and rewrite the equation in $u$
(C) square every term to remove the root
สมการมีทั้ง $x$ และ $x^{\frac12}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารทุกพจน์ด้วย $x^{\frac12}$
(B) ให้ $u=x^{\frac12}$ ดังนั้น $x=u^{2}$ แล้วเขียนสมการใหม่ในรูปของ $u$
(C) ยกกำลังสองทุกพจน์เพื่อกำจัดราก
Answershow ▾
(A) turns $4x$ into $4x^{\frac12}$ and $6$ into $6x^{-\frac12}$, which is not a quadratic. (C) squares a sum of three terms, so it does not remove the root cleanly - cross terms appear instead.(A) ทำให้ $4x$ กลายเป็น $4x^{\frac12}$ และ $6$ กลายเป็น $6x^{-\frac12}$ ซึ่งไม่ใช่สมการกำลังสองแล้ว · (C) ยกกำลังสองผลบวกสามพจน์ ทำให้มีพจน์ไขว้เกิดขึ้น ไม่ได้กำจัดรากออกอย่างง่าย
Let $u=x^{\frac12}$. Rewrite $4x-11x^{\frac12}+6=0$ as a quadratic in $u$.
กำหนด $u=x^{\frac12}$ จงเขียน $4x-11x^{\frac12}+6=0$ ใหม่ให้เป็นสมการกำลังสองของ $u$
Answershow ▾
$x$ becomes $u^{2}$ and $x^{\frac12}$ becomes $u$, term by term.$x$ กลายเป็น $u^{2}$ และ $x^{\frac12}$ กลายเป็น $u$ ทีละพจน์
Factorise $4u^{2}-11u+6$.
จงแยกตัวประกอบ $4u^{2}-11u+6$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $24$ and add to $-11$: $-8$ and $-3$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $24$ และบวกกันได้ $-11$ คือ $-8$ กับ $-3$
Solve $(4u-3)(u-2)=0$.
จงแก้สมการ $(4u-3)(u-2)=0$
Answershow ▾
Each bracket can equal $0$ on its own.วงเล็บแต่ละตัวสามารถเท่ากับ $0$ ได้เอง
Square each value of $u$ to find the two values of $x$.
จงยกกำลังสองค่า $u$ ทั้งสองค่า เพื่อหาค่า $x$
Answershow ▾
Squaring undoes the substitution $u=x^{\frac12}$ and gives $x$ back.การยกกำลังสองจะหักล้างการแทนค่า $u=x^{\frac12}$ และได้ $x$ กลับคืนมา
Check that $x=4$ satisfies $4x-11x^{\frac12}+6=0$.
จงตรวจว่า $x=4$ สอดคล้องกับสมการ $4x-11x^{\frac12}+6=0$
Answershow ▾
A solution makes the left side equal to $0$.ค่าคำตอบทำให้ด้านซ้ายของสมการเท่ากับ $0$
Solve the equation $x-3x^{\frac12}+2=0$.
จงแก้สมการ $x-3x^{\frac12}+2=0$
Answershow ▾
Same three moves: substitute, factorise, solve, then square back.สามขั้นเดิม: แทนค่า แยกตัวประกอบ แก้สมการ แล้วยกกำลังสองกลับ
Showing all necessary working, solve the equation $4x-11x^{\frac12}+6=0$.
แสดงวิธีทำที่จำเป็นทั้งหมด แก้สมการ $4x-11x^{\frac12}+6=0$
Answershow ▾
3 marks: the substitution and quadratic, both values of $u$, then both values of $x$.3 คะแนน: การแทนค่าและสมการกำลังสอง ค่า $u$ ทั้งสองค่า แล้วค่า $x$ ทั้งสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sixth-power equation in disguise สมการกำลังหกที่แฝงกำลังสอง
Solve the equation $8x^{6}+215x^{3}-27=0$.
แก้สมการ $8x^{6}+215x^{3}-27=0$
The equation $8x^{6}+215x^{3}-27=0$ has terms in $x^{6}$ and $x^{3}$. Given $u=x^{3}$, write $8x^{6}$ using $u$.
สมการ $8x^{6}+215x^{3}-27=0$ มีพจน์ $x^{6}$ และ $x^{3}$ กำหนดให้ $u=x^{3}$ จงเขียน $8x^{6}$ ในรูปของ $u$
Answershow ▾
$x^{6}=(x^{3})^{2}=u^{2}$, so $8x^{6}$ becomes $8u^{2}$.$x^{6}=(x^{3})^{2}=u^{2}$ ดังนั้น $8x^{6}$ จึงเป็น $8u^{2}$
Factorise $2u^{2}+5u-3$.
จงแยกตัวประกอบ $2u^{2}+5u-3$
Answershow ▾
Near: $-1\times u=-u$. Far: $2u\times3=6u$. Together: $5u$.ใกล้: $-1\times u=-u$ · ไกล: $2u\times3=6u$ · รวมกัน: $5u$
Solve $x^{3}=-8$.
จงแก้สมการ $x^{3}=-8$
Answershow ▾
A cube root keeps the sign: the cube root of a negative number is negative.รากที่สามคงเครื่องหมายเดิม รากที่สามของจำนวนลบยังเป็นจำนวนลบ
The equation $8x^{6}+215x^{3}-27=0$ has $x^{6}$ and $x^{3}$. Pick the first move.
(A) treat it as a quadratic in $x^{6}$
(B) let $u=x^{3}$ and rewrite it as a quadratic in $u$
(C) divide every term by $x^{3}$
สมการ $8x^{6}+215x^{3}-27=0$ มี $x^{6}$ กับ $x^{3}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) มองเป็นสมการกำลังสองของ $x^{6}$
(B) แทน $u=x^{3}$ แล้วเขียนเป็นสมการกำลังสองของ $u$
(C) หารทุกพจน์ด้วย $x^{3}$
Answershow ▾
(A) would need $x^{6}=(x^{6})^{2}$, which is false - the real link is $x^{6}=(x^{3})^{2}$. (C) divides by $x^{3}$ and leaves $8x^{3}+215-27x^{-3}=0$, which is not a quadratic.(A) ต้องให้ $x^{6}=(x^{6})^{2}$ ซึ่งไม่จริง ความเชื่อมโยงที่แท้จริงคือ $x^{6}=(x^{3})^{2}$ · (C) หารด้วย $x^{3}$ แล้วเหลือ $8x^{3}+215-27x^{-3}=0$ ซึ่งไม่ใช่สมการกำลังสอง
Let $u=x^{3}$. Rewrite $8x^{6}+215x^{3}-27=0$ as an equation in $u$.
กำหนดให้ $u=x^{3}$ จงเขียน $8x^{6}+215x^{3}-27=0$ ใหม่เป็นสมการของ $u$
Answershow ▾
$8x^{6}=8u^{2}$ and $x^{3}=u$, substitute both.$8x^{6}=8u^{2}$ และ $x^{3}=u$ แทนค่าทั้งสองพจน์
Factorise $8u^{2}+215u-27$.
จงแยกตัวประกอบ $8u^{2}+215u-27$
Answershow ▾
Near: $-1\times u=-u$. Far: $8u\times27=216u$. Together: $215u$.ใกล้: $-1\times u=-u$ · ไกล: $8u\times27=216u$ · รวมกัน: $215u$
Solve $(8u-1)(u+27)=0$ for $u$.
จงแก้สมการ $(8u-1)(u+27)=0$ หาค่า $u$
Answershow ▾
Either bracket can equal zero on its own.วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเท่ากับศูนย์ก็ได้
You have $u=\tfrac18$ and $u=-27$, where $u=x^{3}$. What do you do with $u=-27$?
(A) reject it, because $u$ cannot be negative
(B) cube-root it: $x=\sqrt[3]{-27}$
(C) stop, because there is no real $x$ for a negative $u$
ได้ $u=\tfrac18$ กับ $u=-27$ โดย $u=x^{3}$ จะทำอย่างไรกับ $u=-27$
(A) ตัดทิ้ง เพราะ $u$ เป็นลบไม่ได้
(B) ถอดรากที่สาม: $x=\sqrt[3]{-27}$
(C) หยุด เพราะไม่มี $x$ จริงเมื่อ $u$ เป็นลบ
Answershow ▾
(A) is wrong - $u=x^{3}$ can be negative, unlike $u=x^{2}$. (C) is wrong - a cube root exists for every real number, including negatives.(A) ผิด เพราะ $u=x^{3}$ เป็นลบได้ ไม่เหมือน $u=x^{2}$ · (C) ผิด เพราะรากที่สามมีอยู่จริงสำหรับทุกจำนวนจริง รวมถึงจำนวนลบ
Given $u=x^{3}=\tfrac18$, find $x$.
กำหนดให้ $u=x^{3}=\tfrac18$ จงหาค่า $x$
Answershow ▾
$\left(\tfrac12\right)^{3}=\tfrac18$, so the cube root of $\tfrac18$ is $\tfrac12$.$\left(\tfrac12\right)^{3}=\tfrac18$ ดังนั้นรากที่สามของ $\tfrac18$ คือ $\tfrac12$
Given $u=x^{3}=-27$, find $x$. Check: does $(-3)^{3}=-27$?
กำหนดให้ $u=x^{3}=-27$ จงหาค่า $x$ แล้วตรวจว่า $(-3)^{3}=-27$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
A cube root keeps the sign of the number inside it.รากที่สามคงเครื่องหมายของจำนวนภายในไว้
Solve the equation $x^{6}-7x^{3}-8=0$.
จงแก้สมการ $x^{6}-7x^{3}-8=0$
Answershow ▾
Same two moves: substitute $u=x^{3}$ and factorise, then cube-root back.สองขั้นเดิม: แทน $u=x^{3}$ แล้วแยกตัวประกอบ จากนั้นถอดรากที่สามกลับ
Solve the equation $8x^{6}+215x^{3}-27=0$.
แก้สมการ $8x^{6}+215x^{3}-27=0$
Answershow ▾
3 marks: substitute $u=x^{3}$ and factorise, both values of $u$, then cube-root back keeping the sign.3 คะแนน: แทน $u=x^{3}$ แล้วแยกตัวประกอบ ได้ค่า $u$ ทั้งสองค่า จากนั้นถอดรากที่สามกลับโดยคงเครื่องหมายเดิม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic that must stay high ฟังก์ชันกำลังสองที่ต้องสูงกว่าค่าที่กำหนดเสมอ
The function $\mathrm{f}$ is defined for $x\in\mathbb{R}$ by $\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$, where $c$ is a constant. It is given that $\mathrm{f}(x)>2$ for all values of $x$.
Find the set of possible values of $c$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามสำหรับ $x\in\mathbb{R}$ โดย $\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ $\mathrm{f}(x)>2$ สำหรับทุกค่าของ $x$
หาเซตของค่า $c$ ที่เป็นไปได้
Write $x^{2}-6x$ in the form $(x-p)^{2}-q$.
จงเขียน $x^{2}-6x$ ในรูป $(x-p)^{2}-q$
Answershow ▾
Halve the $6$ to get $p$, then subtract $p^{2}$.หาร $6$ ด้วย $2$ เพื่อหา $p$ แล้วลบด้วย $p^{2}$
Write the least value of $(x-3)^{2}-9$.
จงเขียนค่าต่ำสุดของ $(x-3)^{2}-9$
Answershow ▾
$(x-3)^{2}$ is never negative, so its least value is $0$.$(x-3)^{2}$ ไม่เป็นลบ ค่าต่ำสุดของมันคือ $0$
Solve $k-9 \gt 2$ for $k$.
จงแก้อสมการ $k-9 \gt 2$ หา $k$
Answershow ▾
Add $9$ to both sides.บวก $9$ เข้าทั้งสองข้าง
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$ and $\mathrm{f}(x) \gt 2$ for every $x$. Pick the first move.
(A) set $\mathrm{f}(x)=2$ and solve for $x$
(B) complete the square, then require the least value to be $\gt 2$
(C) use $b^{2}-4ac$ on $\mathrm{f}(x)=0$
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$ และ $\mathrm{f}(x) \gt 2$ สำหรับทุกค่า $x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $\mathrm{f}(x)=2$ แล้วแก้หา $x$
(B) จัดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วให้ค่าต่ำสุด $\gt 2$
(C) ใช้ $b^{2}-4ac$ กับ $\mathrm{f}(x)=0$
Answershow ▾
(A) finds the $x$ where $\mathrm{f}(x)$ equals $2$, not the values of $c$ that keep it above $2$. (C) tests whether $\mathrm{f}(x)=0$ has roots, a different question from staying above $2$.(A) หาค่า $x$ ที่ทำให้ $\mathrm{f}(x)=2$ ไม่ใช่ค่า $c$ ที่ทำให้สูงกว่า $2$ เสมอ · (C) ตรวจว่า $\mathrm{f}(x)=0$ มีรากหรือไม่ ซึ่งเป็นคนละคำถามกับการสูงกว่า $2$
Write $\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$ in the form $(x-3)^{2}+q$.
จงเขียน $\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$ ในรูป $(x-3)^{2}+q$
Answershow ▾
Use question $1$, then put $c$ back on.ใช้ข้อ $1$ แล้วบวก $c$ กลับเข้าไป
Using $(x-3)^{2} \geqslant 0$, write the least value of $\mathrm{f}(x)$.
โดยใช้ $(x-3)^{2} \geqslant 0$ จงเขียนค่าต่ำสุดของ $\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
The least value happens when $(x-3)^{2}=0$, at $x=3$.ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $(x-3)^{2}=0$ ที่ $x=3$
The least value of $\mathrm{f}(x)$ must be greater than $2$. Write this as an inequality in $c$.
ค่าต่ำสุดของ $\mathrm{f}(x)$ ต้องมากกว่า $2$ จงเขียนเป็นอสมการของ $c$
Answershow ▾
Replace the least value with the expression from question $5$.แทนค่าต่ำสุดด้วยนิพจน์จากข้อ $5$
Solve $c-9 \gt 2$ to find the set of possible values of $c$.
จงแก้ $c-9 \gt 2$ เพื่อหาเซตของค่า $c$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same move as question $3$, now on $c$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$ แต่ใช้กับ $c$
$c=11$ is not included. Work out $\mathrm{f}(3)$ when $c=11$ to see why.
$c=11$ ไม่รวมอยู่ในเซต จงหา $\mathrm{f}(3)$ เมื่อ $c=11$ เพื่อดูว่าทำไม
Answershow ▾
$2$ is not greater than $2$, so $c=11$ fails the condition.$2$ ไม่มากกว่า $2$ จึงทำให้ $c=11$ ใช้ไม่ได้
$\mathrm{g}(x)=x^{2}-4x+k$ for $x\in\mathbb{R}$, and $\mathrm{g}(x) \gt 5$ for all $x$. Find the set of possible values of $k$.
$\mathrm{g}(x)=x^{2}-4x+k$ สำหรับ $x\in\mathbb{R}$ และ $\mathrm{g}(x) \gt 5$ สำหรับทุกค่า $x$ จงหาเซตของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same three moves: complete the square, read the least value, solve the inequality.สามขั้นเดิม: จัดกำลังสองสมบูรณ์ อ่านค่าต่ำสุด แล้วแก้อสมการ
The function $\mathrm{f}$ is defined for $x\in\mathbb{R}$ by $\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$, where $c$ is a constant. It is given that $\mathrm{f}(x)>2$ for all values of $x$.
Find the set of possible values of $c$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามสำหรับ $x\in\mathbb{R}$ โดย $\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ $\mathrm{f}(x)>2$ สำหรับทุกค่าของ $x$
หาเซตของค่า $c$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
4 marks: complete the square, read the least value, form then solve the inequality.4 คะแนน: จัดกำลังสองสมบูรณ์ อ่านค่าต่ำสุด แล้วเขียนและแก้อสมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A line that misses the curve เส้นตรงที่ไม่ตัดเส้นโค้ง
Find the set of values of $m$ for which the line with equation $y=mx-3$ and the curve with equation $y=2x^{2}+5$ do not meet.
หาเซตของค่า $m$ ที่ทำให้เส้นตรง $y=mx-3$ กับเส้นโค้ง $y=2x^{2}+5$ ไม่ตัดกัน (do not meet)
Simplify $2x^{2}+5+3$.
จงทำให้ง่าย $2x^{2}+5+3$
Answershow ▾
Add the two plain numbers; the $x^{2}$ term does not change.บวกตัวเลขสองตัว ส่วน $x^{2}$ ไม่เปลี่ยน
Simplify $(-m)^{2}$.
จงทำให้ง่าย $(-m)^{2}$
Answershow ▾
A negative squared is positive, so the minus sign disappears.ลบยกกำลังสองได้บวก เครื่องหมายลบจึงหายไป
Work out $4\times2\times8$.
จงคำนวณ $4\times2\times8$
Answershow ▾
Multiply the three numbers in order.คูณตัวเลขทั้งสามตัวตามลำดับ
The line and the curve do not meet. Which condition on $b^{2}-4ac$ is this?
(A) $b^{2}-4ac\gt0$
(B) $b^{2}-4ac=0$
(C) $b^{2}-4ac\lt0$
เส้นตรงกับเส้นโค้งไม่ตัดกัน ตรงกับเงื่อนไขใดของ $b^{2}-4ac$
(A) $b^{2}-4ac\gt0$
(B) $b^{2}-4ac=0$
(C) $b^{2}-4ac\lt0$
Answershow ▾
(A) means two real meeting points; (B) means the line touches the curve once. Neither is "do not meet".(A) หมายถึงตัดกันสองจุดจริง · (B) หมายถึงสัมผัสกันจุดเดียว · ไม่มีข้อใดหมายถึง "ไม่ตัดกัน"
Equate $y=2x^{2}+5$ and $y=mx-3$, then move everything to the left so the right side is $0$.
จับ $y=2x^{2}+5$ กับ $y=mx-3$ ให้เท่ากัน แล้วย้ายทุกพจน์ไปด้านซ้าย ให้ด้านขวาเป็น $0$
Answershow ▾
Move $mx$ and $-3$ across the $=$; $5$ and the moved $3$ add, matching the warm-up.ย้าย $mx$ กับ $-3$ ข้าม $=$ ไป · $5$ กับ $3$ ที่ย้ายมาบวกกัน ตรงกับที่ฝึกไว้
For $2x^{2}-mx+8=0$, write $b^{2}-4ac$ using $a=2$, $b=-m$, $c=8$.
สำหรับ $2x^{2}-mx+8=0$ จงเขียน $b^{2}-4ac$ โดยใช้ $a=2$, $b=-m$, $c=8$
Answershow ▾
Square $-m$ and multiply $4\times2\times8$, both from the warm-up.ยกกำลังสอง $-m$ แล้วคูณ $4\times2\times8$ ตามที่ฝึกไว้
Solve $m^{2}-64=0$ to find the critical values of $m$.
จงแก้ $m^{2}-64=0$ เพื่อหาค่าวิกฤตของ $m$
Answershow ▾
$m^{2}=64$ has two square roots, $8$ and $-8$.$m^{2}=64$ มีรากที่สองสองค่า คือ $8$ กับ $-8$
$m^{2}-64\lt0$, and the critical values are $m=8$ and $m=-8$. What is the solution set?
(A) $m\lt8$
(B) $m\lt-8$ or $m\gt8$
(C) $-8\lt m\lt8$
$m^{2}-64\lt0$ และค่าวิกฤตคือ $m=8$ กับ $m=-8$ คำตอบคือเซตใด
(A) $m\lt8$
(B) $m\lt-8$ หรือ $m\gt8$
(C) $-8\lt m\lt8$
Answershow ▾
(A) drops the $m\lt-8$ branch. (B) is the set OUTSIDE the roots, which fits $m^{2}-64\gt0$, not $\lt0$. A "less than" inequality on a $\cup$-shaped graph holds between its roots.(A) ขาดช่วง $m\lt-8$ ไป · (B) คือเซตนอกราก ซึ่งตรงกับ $m^{2}-64\gt0$ ไม่ใช่ $\lt0$ · อสมการ "น้อยกว่า" บนกราฟรูปตัว U เป็นจริงระหว่างราก
Starting from $y=2x^{2}+5$ and $y=mx-3$, write $b^{2}-4ac\lt0$ for the equation they give.
เริ่มจาก $y=2x^{2}+5$ กับ $y=mx-3$ จงเขียน $b^{2}-4ac\lt0$ ของสมการที่ได้
Answershow ▾
Equate, move to one side, then write the discriminant condition - three moves joined.จับเท่ากัน ย้ายข้าง แล้วเขียนเงื่อนไข discriminant - สามขั้นรวมกัน
Check $m=0$ is inside $-8\lt m\lt8$. Does the line $y=-3$ meet the curve $y=2x^{2}+5$?
ตรวจว่า $m=0$ อยู่ใน $-8\lt m\lt8$ เส้นตรง $y=-3$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=2x^{2}+5$ หรือไม่
Answershow ▾
With $m=0$, $b^{2}-4ac=0-64=-64$, confirming no real roots.เมื่อ $m=0$, $b^{2}-4ac=0-64=-64$ ยืนยันว่าไม่มีรากจริง
Find the set of values of $m$ for which the line $y=mx$ and the curve $y=x^{2}+9$ do not meet.
หาเซตของค่า $m$ ที่ทำให้เส้นตรง $y=mx$ กับเส้นโค้ง $y=x^{2}+9$ ไม่ตัดกัน
Answershow ▾
Same three moves: equate, write $b^{2}-4ac\lt0$, solve the two-sided inequality.สามขั้นเดิม: จับเท่ากัน เขียน $b^{2}-4ac\lt0$ แล้วแก้อสมการสองข้าง
Find the set of values of $m$ for which the line with equation $y=mx-3$ and the curve with equation $y=2x^{2}+5$ do not meet.
หาเซตของค่า $m$ ที่ทำให้เส้นตรง $y=mx-3$ กับเส้นโค้ง $y=2x^{2}+5$ ไม่ตัดกัน (do not meet)
Answershow ▾
3 marks: equate and move everything to one side, then $b^{2}-4ac\lt0$, then the two-sided inequality.3 คะแนน: จับเท่ากันแล้วย้ายข้างให้เป็นศูนย์ จากนั้น $b^{2}-4ac\lt0$ แล้วเขียนอสมการสองข้าง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Tangent to a curve with k เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่มี k
The equation of a curve is $y=(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)$, where $k$ is a constant. The line $y=3x-4$ is a tangent to the curve.
Find the value of $k$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $y=3x-4$ เป็น tangent (เส้นสัมผัส) ของเส้นโค้งนี้
หาค่า $k$
Expand $(k+3)^{2}$.
จงกระจาย $(k+3)^{2}$
Answershow ▾
The middle term comes twice: $3k+3k=6k$.พจน์กลางมาสองครั้ง: $3k+3k=6k$
The equation $(2k-3)x^{2}-(k+3)x+(6-k)=0$ is a quadratic in $x$. State $a$, $b$ and $c$.
สมการ $(2k-3)x^{2}-(k+3)x+(6-k)=0$ เป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $x$ จงระบุ $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
Compare with $ax^{2}+bx+c=0$, term by term.เทียบกับ $ax^{2}+bx+c=0$ ทีละพจน์
Solve $(k-3)^{2}=0$.
จงแก้สมการ $(k-3)^{2}=0$
Answershow ▾
A squared bracket is zero only when the bracket itself is zero.วงเล็บยกกำลังสองเป็นศูนย์ได้ ก็ต่อเมื่อตัวมันเองเป็นศูนย์
Collect the equation onto one side: $(2k-3)x^{2}-(k+3)x+(6-k)=0$. What condition tells you the line is a tangent?
(A) set $2k-3=0$, so there is no $x^{2}$ term
(B) set $b^{2}-4ac=0$, so the equation has a repeated root
(C) try whole-number values of $k$ until one works
จัดสมการให้เป็น $(2k-3)x^{2}-(k+3)x+(6-k)=0$ เงื่อนไขอะไรบอกว่าเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส?
(A) ให้ $2k-3=0$ จะไม่มีพจน์ $x^{2}$
(B) ให้ $b^{2}-4ac=0$ สมการจะมีรากซ้ำ
(C) ลองแทนค่า $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มไปจนกว่าจะได้
Answershow ▾
(A) removes the $x^{2}$ term for the wrong reason - that is not what touching once means. (C) might hit $k=3$ by luck, but proves nothing and fails when $k$ is not a whole number.(A) ทำให้พจน์ $x^{2}$ หายไปด้วยเหตุผลที่ผิด ไม่ใช่ความหมายของการแตะกันครั้งเดียว · (C) อาจได้ $k=3$ โดยบังเอิญ แต่ไม่ได้พิสูจน์อะไร และใช้ไม่ได้ถ้า $k$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม
The curve is $y=(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)$ and the line is $y=3x-4$. Make the two expressions for $y$ equal.
เส้นโค้งคือ $y=(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)$ และเส้นตรงคือ $y=3x-4$ จงตั้งทั้งสองนิพจน์ของ $y$ ให้เท่ากัน
Answershow ▾
Both expressions equal $y$ at the point where the line meets the curve.ทั้งสองนิพจน์เท่ากับ $y$ ที่จุดซึ่งเส้นตรงพบเส้นโค้ง
Collect $(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)=3x-4$ onto one side, so it reads $=0$.
จงย้ายข้างสมการ $(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)=3x-4$ ให้เป็น $=0$
Answershow ▾
Subtract the whole right side from both sides in one move.ลบด้านขวาทั้งหมดออกจากทั้งสองข้างในขั้นเดียว
Using $a=2k-3$, $b=-(k+3)$, $c=6-k$ from question 5, write the tangent condition $b^{2}-4ac=0$.
ใช้ $a=2k-3$, $b=-(k+3)$, $c=6-k$ จากข้อ 5 เขียนเงื่อนไขเส้นสัมผัส $b^{2}-4ac=0$
Answershow ▾
A repeated root is the algebra meaning of touching once.รากซ้ำ คือความหมายทางพีชคณิตของการแตะกันครั้งเดียว
Expand $(k+3)^{2}-4(2k-3)(6-k)=0$, then divide by the common factor $9$.
จงกระจาย $(k+3)^{2}-4(2k-3)(6-k)=0$ แล้วหารด้วยตัวร่วม $9$
Answershow ▾
$9k^{2}-54k+81=0$ divides exactly by $9$.$9k^{2}-54k+81=0$ หารด้วย $9$ ได้ลงตัว
Substitute $k=3$: the curve becomes $y=3x^{2}-3x-1$. Equate it to $y=3x-4$ and simplify. Is there a repeated root in $x$?
แทน $k=3$: เส้นโค้งกลายเป็น $y=3x^{2}-3x-1$ จงตั้งให้เท่ากับ $y=3x-4$ แล้วจัดรูป มีรากซ้ำในตัวแปร $x$ หรือไม่?
Answershow ▾
One repeated root in $x$ confirms the line touches the curve once.รากซ้ำหนึ่งค่าของ $x$ ยืนยันว่าเส้นตรงแตะเส้นโค้งจุดเดียว
A curve has equation $y=(k-3)x^{2}-kx+(k-3)$, where $k$ is a constant. The line $y=3x$ is a tangent to the curve. Find the possible values of $k$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=(k-3)x^{2}-kx+(k-3)$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $y=3x$ เป็นเส้นสัมผัส ของเส้นโค้งนี้ จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $k$
Answershow ▾
Same four moves: equate, collect, discriminant zero, solve the quadratic in $k$.สี่ขั้นเดิม: ตั้งให้เท่ากัน ย้ายข้าง ให้ discriminant เป็นศูนย์ แล้วแก้สมการกำลังสองในตัวแปร $k$
The equation of a curve is $y=(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)$, where $k$ is a constant. The line $y=3x-4$ is a tangent to the curve.
Find the value of $k$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=(2k-3)x^{2}-kx-(k-2)$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $y=3x-4$ เป็น tangent (เส้นสัมผัส) ของเส้นโค้งนี้
หาค่า $k$
Answershow ▾
5 marks: equate, collect, discriminant zero, simplify, then state $k$.5 คะแนน: ตั้งให้เท่ากัน ย้ายข้าง ให้ discriminant เป็นศูนย์ จัดรูป แล้วระบุค่า $k$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A tangent, then two intersections เส้นสัมผัส แล้วตัดเส้นโค้งสองจุด
The equation of a line is $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants, and the equation of a curve is $xy=16$.
(a) Given that the line is a tangent to the curve, express $m$ in terms of $c$.
(b) Given instead that $m=-4$, find the set of values of $c$ for which the line intersects the curve at two distinct points.
สมการของเส้นตรงคือ $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ และสมการของเส้นโค้งคือ $xy=16$
(ก) ถ้าเส้นตรงเป็น tangent ของเส้นโค้ง จงเขียน $m$ ในรูปของ $c$
(ข) ถ้าเปลี่ยนเป็น $m=-4$ หาเซตของค่า $c$ ที่ทำให้เส้นตรงตัดเส้นโค้งสองจุดที่ต่างกัน
Expand $x(mx+c)$.
จงกระจาย $x(mx+c)$
Answershow ▾
Multiply $x$ by each term inside the bracket.คูณ $x$ เข้ากับแต่ละพจน์ในวงเล็บ
For $mx^{2}+cx-16=0$, write $b^{2}-4ac$ in terms of $m$ and $c$.
สำหรับ $mx^{2}+cx-16=0$ จงเขียน $b^{2}-4ac$ ในรูปของ $m$ และ $c$
Answershow ▾
Here $a=m$, $b=c$, and the constant is $-16$.ในที่นี้ $a=m$, $b=c$ และค่าคงที่คือ $-16$
$x^{2}+6x+k=0$ has a repeated root. Use $b^{2}-4ac=0$ to find $k$.
$x^{2}+6x+k=0$ มีรากซ้ำ จงใช้ $b^{2}-4ac=0$ หาค่า $k$
Answershow ▾
A repeated root means the discriminant is $0$.รากซ้ำ หมายความว่า discriminant เท่ากับ $0$
The line $y=mx+c$ is a tangent to the curve $xy=16$. After substituting, $mx^{2}+cx-16=0$. Pick the condition on $m$ and $c$.
(A) $b^{2}-4ac\gt0$
(B) $b^{2}-4ac=0$
(C) solve $mx^{2}+cx-16=0$ for $x$
เส้นตรง $y=mx+c$ เป็น tangent ของเส้นโค้ง $xy=16$ หลังแทนค่าได้ $mx^{2}+cx-16=0$ จงเลือกเงื่อนไขของ $m$ และ $c$
(A) $b^{2}-4ac\gt0$
(B) $b^{2}-4ac=0$
(C) แก้ $mx^{2}+cx-16=0$ หาค่า $x$
Answershow ▾
(A) gives two distinct points, not a tangent. (C) cannot be solved for $x$ without knowing $m$ and $c$ first.(A) ให้จุดตัดสองจุดที่ต่างกัน ไม่ใช่ tangent · (C) แก้หา $x$ ไม่ได้ ถ้ายังไม่รู้ค่า $m$ และ $c$
Substitute $y=mx+c$ into $xy=16$, then rearrange so that one side is $0$.
จงแทน $y=mx+c$ ลงใน $xy=16$ แล้วจัดให้ด้านหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Replace $y$, expand the bracket, then move $16$ across.แทน $y$ กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $16$ ข้าง
$mx^{2}+cx-16=0$ is a tangent, so $b^{2}-4ac=0$. Write this equation in $m$ and $c$, then simplify.
$mx^{2}+cx-16=0$ เป็น tangent ดังนั้น $b^{2}-4ac=0$ จงเขียนสมการนี้ในรูป $m$ และ $c$ แล้วจัดให้ง่าย
Answershow ▾
Here $a=m$, $b=c$, $c$-term $=-16$, same as question 2.ในที่นี้ $a=m$, $b=c$ พจน์คงที่ $=-16$ เหมือนข้อ 2
Solve $c^{2}+64m=0$ for $m$.
จงแก้ $c^{2}+64m=0$ หาค่า $m$
Answershow ▾
Move $c^{2}$ across, then divide by $64$.ย้าย $c^{2}$ ข้าง แล้วหารด้วย $64$
Now $m=-4$, and the line meets the curve at two distinct points. Pick the condition on $c$.
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\gt0$
(C) $b^{2}-4ac\lt0$
ถ้า $m=-4$ และเส้นตรงตัดเส้นโค้งสองจุดที่ต่างกัน จงเลือกเงื่อนไขของ $c$
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\gt0$
(C) $b^{2}-4ac\lt0$
Answershow ▾
(A) gives a repeated root, one point, not two. (C) gives no real roots, so the line misses the curve.(A) ให้รากซ้ำ จุดเดียว ไม่ใช่สองจุด · (C) ไม่มีรากจริง เส้นตรงไม่ตัดเส้นโค้งเลย
With $m=-4$, the equation is $-4x^{2}+cx-16=0$. Write $b^{2}-4ac\gt0$ for this equation, then simplify.
เมื่อ $m=-4$ สมการคือ $-4x^{2}+cx-16=0$ จงเขียน $b^{2}-4ac\gt0$ สำหรับสมการนี้ แล้วจัดให้ง่าย
Answershow ▾
Here $a=-4$, $b=c$, $c$-term $=-16$.ในที่นี้ $a=-4$, $b=c$ พจน์คงที่ $=-16$
Solve $c^{2}-256\gt0$. First find the critical values, then state the set of values of $c$.
จงแก้ $c^{2}-256\gt0$ หาค่าวิกฤตก่อน แล้วบอกเซตของค่า $c$
Answershow ▾
$c^{2}\gt256$ holds when $c$ is further than $16$ from zero, on either side.$c^{2}\gt256$ จริงเมื่อ $c$ ห่างจากศูนย์เกิน $16$ ทั้งสองฝั่ง
A line is $y=mx+c$ and a curve is $xy=9$.
(a) Given the line is a tangent to the curve, find $m$ in terms of $c$.
(b) Given instead $m=-1$, find the set of values of $c$ for which the line meets the curve at two distinct points.
เส้นตรงคือ $y=mx+c$ และเส้นโค้งคือ $xy=9$
(ก) ถ้าเส้นตรงเป็น tangent ของเส้นโค้ง จงหา $m$ ในรูปของ $c$
(ข) ถ้าเปลี่ยนเป็น $m=-1$ หาเซตของค่า $c$ ที่ทำให้เส้นตรงตัดเส้นโค้งสองจุดที่ต่างกัน
Answershow ▾
Same method as the exam question, with $9$ instead of $16$ and $m=-1$ instead of $m=-4$.วิธีเดียวกับข้อสอบจริง เปลี่ยน $16$ เป็น $9$ และ $m=-4$ เป็น $m=-1$
The equation of a line is $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants, and the equation of a curve is $xy=16$.
(a) Given that the line is a tangent to the curve, express $m$ in terms of $c$.
(b) Given instead that $m=-4$, find the set of values of $c$ for which the line intersects the curve at two distinct points.
สมการของเส้นตรงคือ $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ และสมการของเส้นโค้งคือ $xy=16$
(ก) ถ้าเส้นตรงเป็น tangent ของเส้นโค้ง จงเขียน $m$ ในรูปของ $c$
(ข) ถ้าเปลี่ยนเป็น $m=-4$ หาเซตของค่า $c$ ที่ทำให้เส้นตรงตัดเส้นโค้งสองจุดที่ต่างกัน
Answershow ▾
6 marks: form the quadratic, set the discriminant to $0$ for the tangent, then $\gt0$ for two distinct points.6 คะแนน: จัดเป็นสมการกำลังสอง ให้ discriminant เท่ากับ $0$ สำหรับ tangent แล้ว $\gt0$ สำหรับสองจุดที่ต่างกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic with a front number สมการกำลังสองที่มีตัวเลขนำหน้า
The equation of a curve is $y=4x^{2}+20x+6$.
(a) Express the equation in the form $y=a(x+b)^{2}+c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants.
(b) Hence solve the equation $4x^{2}+20x+6=45$.
(c) Sketch the graph of $y=4x^{2}+20x+6$ showing the coordinates of the stationary point. You are not required to indicate where the curve crosses the $x$- and $y$-axes.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=4x^{2}+20x+6$
(ก) เขียนสมการในรูป $y=a(x+b)^{2}+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่
(ข) จากนั้นแก้สมการ $4x^{2}+20x+6=45$
(ค) ร่างกราฟ $y=4x^{2}+20x+6$ แสดงพิกัดของจุดคงที่ (stationary point) ไม่ต้องบอกว่าเส้นโค้งตัดแกน $x$ และแกน $y$ ที่ไหน
Factor $4$ out of $4x^{2}+20x$.
จงดึง $4$ ออกจาก $4x^{2}+20x$
Answershow ▾
Both terms share a factor of $4$; the $+6$ stays outside, it is not part of this.ทั้งสองพจน์มีตัวประกอบ $4$ · $+6$ อยู่ข้างนอก ไม่เกี่ยวกับขั้นนี้
Write $x^{2}+5x$ in the form $(x+b)^{2}+c$.
จงเขียน $x^{2}+5x$ ในรูป $(x+b)^{2}+c$
Answershow ▾
Half of $5$ is $\tfrac52$; square it, then subtract the same amount back out.ครึ่งของ $5$ คือ $\tfrac52$ · ยกกำลังสองแล้วลบจำนวนเท่ากันออก
Simplify $4\left[\left(x+\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}\right]+6$ to find the constant on its own.
จงจัดรูป $4\left[\left(x+\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}\right]+6$ เพื่อหาค่าคงที่เดี่ยว ๆ
Answershow ▾
$4\times\tfrac{25}{4}=25$, so the constants are $-25+6=-19$.$4\times\tfrac{25}{4}=25$ ดังนั้นค่าคงที่คือ $-25+6=-19$
To write $4x^{2}+20x+6$ as $a(x+b)^{2}+c$, what is the right first move?
(A) halve the $20$ to get $(x+10)^{2}$
(B) factor the $4$ out of $4x^{2}+20x$ first
(C) divide the whole equation by $4$
จะเขียน $4x^{2}+20x+6$ เป็น $a(x+b)^{2}+c$ ควรเริ่มจากขั้นไหน
(A) หาร $20$ ด้วยสองได้ $(x+10)^{2}$
(B) ดึง $4$ ออกจาก $4x^{2}+20x$ ก่อน
(C) หารทั้งสมการด้วย $4$
Answershow ▾
(A) treats the $x^{2}$ coefficient as $1$: squaring $(x+10)$ gives $x^{2}+20x+100$, not $4x^{2}+20x$. (C) divides $y$ too, so the result no longer equals the original $y$.(A) ถือว่าสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ เป็น $1$ ยกกำลังสอง $(x+10)$ ได้ $x^{2}+20x+100$ ไม่ใช่ $4x^{2}+20x$ · (C) หาร $y$ ไปด้วย ผลลัพธ์จึงไม่เท่ากับ $y$ เดิม
Combine the pieces above to write $y=4x^{2}+20x+6$ as $y=a(x+b)^{2}+c$.
จงรวมขั้นข้างต้นเพื่อเขียน $y=4x^{2}+20x+6$ เป็น $y=a(x+b)^{2}+c$
Answershow ▾
$a=4$ from Q1, $b=\tfrac52$ from Q2, $c=-19$ from Q3.$a=4$ จากข้อ 1 · $b=\tfrac52$ จากข้อ 2 · $c=-19$ จากข้อ 3
Hence, replace $4x^{2}+20x+6$ with the form from (a) to write $4x^{2}+20x+6=45$ as an equation in brackets.
จากนั้น แทน $4x^{2}+20x+6$ ด้วยรูปจาก (a) เพื่อเขียน $4x^{2}+20x+6=45$ เป็นสมการที่มีวงเล็บ
Answershow ▾
"Hence" means reuse (a) - never restart with the quadratic formula."จากนั้น" หมายถึงใช้ผลจาก (a) ต่อ อย่าเริ่มใหม่ด้วยสูตรกำลังสอง
Solve $4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19=45$ for $x$.
จงแก้สมการ $4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19=45$ หา $x$
Answershow ▾
Undo in reverse order: add, divide, then square root both signs.ย้อนลำดับการกระทำ: บวก หาร แล้วถอดราก ได้สองเครื่องหมาย
For part (c) you need the stationary point. What is the quickest way to find it here?
(A) solve $4x^{2}+20x+6=0$ for the roots, then average them
(B) read it directly from $y=4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19$ in (a)
(C) differentiate $y$ and solve $\tfrac{dy}{dx}=0$
ข้อ (c) ต้องหาจุดคงที่ วิธีไหนเร็วที่สุด
(A) แก้สมการ $4x^{2}+20x+6=0$ หาราก แล้วเฉลี่ย
(B) อ่านตรงจาก $y=4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19$ ใน (a)
(C) ดิฟ $y$ แล้วแก้ $\tfrac{dy}{dx}=0$
Answershow ▾
(A) needs the roots, which may not be nice numbers, then an extra averaging step - already done in (a). (C) is correct but slower: the bracket in (a) already gives the $x$-coordinate for free.(A) ต้องหารากซึ่งอาจไม่เป็นจำนวนสวย แล้วเฉลี่ยอีกขั้น ซึ่ง (a) ทำให้แล้ว · (C) ถูกแต่ช้ากว่า เพราะวงเล็บใน (a) ให้พิกัด $x$ มาให้ฟรีอยู่แล้ว
Using $y=4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19$, write the coordinates of the stationary point.
ใช้ $y=4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19$ เขียนพิกัดของจุดคงที่
Answershow ▾
The bracket is $0$ when $x=-\tfrac52$; then $y$ is just the constant that is left.วงเล็บเป็น $0$ เมื่อ $x=-\tfrac52$ แล้ว $y$ เหลือเพียงค่าคงที่
Since $a=4\gt0$ in $y=4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19$, which is $\left(-\tfrac52,-19\right)$?
(A) a minimum, curve opens upwards
(B) a maximum, curve opens downwards
(C) it depends on the sign of $c$
เนื่องจาก $a=4\gt0$ ใน $y=4\left(x+\tfrac52\right)^{2}-19$ จุด $\left(-\tfrac52,-19\right)$ เป็นอะไร
(A) จุดต่ำสุด เส้นโค้งหงายขึ้น
(B) จุดสูงสุด เส้นโค้งคว่ำลง
(C) ขึ้นกับเครื่องหมายของ $c$
Answershow ▾
A positive $x^{2}$ coefficient always gives a $\cup$-shape; $c$ only slides it up or down.สัมประสิทธิ์ $x^{2}$ เป็นบวก จะได้รูปหงาย $\cup$ เสมอ · $c$ แค่เลื่อนขึ้นลง
The equation of a curve is $y=2x^{2}+8x+3$.
(a) Write it in the form $y=a(x+b)^{2}+c$.
(b) Hence solve $2x^{2}+8x+3=-3$.
(c) Write the coordinates of the stationary point.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=2x^{2}+8x+3$
(a) เขียนในรูป $y=a(x+b)^{2}+c$
(b) จากนั้นแก้สมการ $2x^{2}+8x+3=-3$
(c) เขียนพิกัดของจุดคงที่
Answershow ▾
Same three moves: factor the front number out, complete the square, then use it twice.สามขั้นเดิม: ดึงตัวเลขนำหน้าออก จัดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วใช้ผลลัพธ์สองครั้ง
The equation of a curve is $y=4x^{2}+20x+6$.
(a) Express the equation in the form $y=a(x+b)^{2}+c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants.
(b) Hence solve the equation $4x^{2}+20x+6=45$.
(c) Sketch the graph of $y=4x^{2}+20x+6$ showing the coordinates of the stationary point. You are not required to indicate where the curve crosses the $x$- and $y$-axes.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=4x^{2}+20x+6$
(ก) เขียนสมการในรูป $y=a(x+b)^{2}+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่
(ข) จากนั้นแก้สมการ $4x^{2}+20x+6=45$
(ค) ร่างกราฟ $y=4x^{2}+20x+6$ แสดงพิกัดของจุดคงที่ (stationary point) ไม่ต้องบอกว่าเส้นโค้งตัดแกน $x$ และแกน $y$ ที่ไหน
Answershow ▾
9 marks: 3 for completing the square, 3 for using it to solve, 3 for the stationary point and shape.9 คะแนน: 3 สำหรับจัดกำลังสองสมบูรณ์ · 3 สำหรับใช้ผลนั้นแก้สมการ · 3 สำหรับจุดคงที่กับรูปร่าง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Discriminant · a parameter in every term Discriminant (ตัวจำแนก) · พารามิเตอร์อยู่ในทุกพจน์
Given that the equation $kx^{2}+6kx+5=0$ where $k$ is a non zero constant has no real roots, find the range of possible values for $k$.
กำหนดให้สมการ $kx^{2}+6kx+5=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ไม่มีคำตอบจริง (no real roots) จงหาช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
Expand $(6k)^{2}$.
จงกระจาย $(6k)^{2}$
Answershow ▾
Square the number and the letter separately.ยกกำลังสองตัวเลขกับอกษรแยกกาน
Factorise $36k^{2}-20k$.
จงแยกตัวประกอบ $36k^{2}-20k$
Answershow ▾
$4k$ is the highest common factor of $36k^{2}$ and $20k$.$4k$ เป็นตัวประกอบร่วมมากของ $36k^{2}$ กับ $20k$
Solve $(x-2)(x-5)\lt0$.
จงแก้อสมการณ์ $(x-2)(x-5)\lt0$
Answershow ▾
A product of two factors is negative only between its two roots.ผลคูณของสองตัวประกอบเป็นลบเฉพาะระหว่างสองรากของมัน
The equation $kx^{2}+6kx+5=0$ has no real roots. Pick the correct condition on the discriminant $b^{2}-4ac$.
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\lt0$
(C) $b^{2}-4ac\gt0$
สมการ $kx^{2}+6kx+5=0$ ไม้องคำตอบจริง จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกของ discriminant $b^{2}-4ac$
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\lt0$
(C) $b^{2}-4ac\gt0$
Answershow ▾
(A) a zero discriminant gives one repeated real root, not zero roots. (C) a positive discriminant gives two distinct real roots.(A) discriminant เป็นศูนย์ จะได้รากซ้ำหนึ้งราก ไม่ใช่ไม่มีรากเลย · (C) discriminant เป็นบวก จะได้สองรากจริงแยกกัน
For $kx^{2}+6kx+5=0$, write $b^{2}-4ac$ using $a=k,\,b=6k,\,c=5$.
สำหรับ $kx^{2}+6kx+5=0$ จงเขียน $b^{2}-4ac$ โดยใช้ $a=k,\,b=6k,\,c=5$
Answershow ▾
Substitute directly into $b^{2}-4ac$, keeping every bracket.แทนค่าลงใน $b^{2}-4ac$ โดยตรง และเก้บวงเล็บทุกสวนไว้
Simplify $(6k)^{2}-4(k)(5)$.
จงทำให้ $(6k)^{2}-4(k)(5)$ เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
Use question 1 for the square, then multiply $4\times k\times5$.ใช้ข้อ 1 สำหรับการยกกำลังสอง แล้วคูณ $4\times k\times5$
No real roots means $36k^{2}-20k\lt0$. Factorise the left side.
ไม้มีรากจริงหมายความว่า $36k^{2}-20k\lt0$ จงแยกตัวประกอบด้านซ้าย
Answershow ▾
Use question 2 for the factorising, keep the inequality sign.ใช้ข้อ 2 สำหรับการแยกตัวประกอบ และคงเครื่องหมายอสมการณ์ไว้
You have factorised to $4k(9k-5)\lt0$. Pick the correct range for $k$.
(A) $k\lt0$ or $k\gt\dfrac59$
(B) $0\lt k\lt\dfrac59$
(C) $k\lt\dfrac59$
แยกตัวประกอบได้ $4k(9k-5)\lt0$ จงเลือกช่วงของ $k$ ที่ถูกต้อง
(A) $k\lt0$ หรือ $k\gt\dfrac59$
(B) $0\lt k\lt\dfrac59$
(C) $k\lt\dfrac59$
Answershow ▾
(A) is where the product $4k(9k-5)$ is positive, outside the two critical values, not between them. (C) drops the lower critical value and forgets $k\gt0$.(A) เป็นช่วงที่ผลคูณ $4k(9k-5)$ เป็นบวก ซึ้งอยู่นอกช่วงรางสองค่าวิกฤต ไม่ใช่ระหว่างกลาง · (C) ทงค่าวิกฤตล้าง และลืม $k\gt0$
From $4k(9k-5)=0$, state the two critical values of $k$.
จาก $4k(9k-5)=0$ จงหาค่าวิกฤตสองค่าของ $k$
Answershow ▾
Set each factor equal to zero separately.ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์แยกกัน
Check $k=0.3$: work out $36k^{2}-20k$ and confirm it is negative.
จงตรวจ $k=0.3$: คำนวณ $36k^{2}-20k$ แล้วยืนยันว่าเป็นลบ
Answershow ▾
A value inside the range makes the discriminant negative, as required.ค่าที่อยู่ในช่วงทำให้ discriminant เป็นลบตามที่ต้องการ
The equation $px^{2}+4px+3=0$ ($p\ne0$) has no real roots. Find the range of values of $p$.
สมการ $px^{2}+4px+3=0$ ($p\ne0$) ไม้องคำตอบจริง จงหาช่วงของค่า $p$
Answershow ▾
Same three moves: discriminant, factorise, read between the critical values.สามขั้นเดีม: discriminant แยกตัวประกอบ แล้วอ่านช่วงระหว่างค่าวิกฤต
Given that the equation $kx^{2}+6kx+5=0$ where $k$ is a non zero constant has no real roots, find the range of possible values for $k$.
กำหนดให้สมการ $kx^{2}+6kx+5=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ไม่มีคำตอบจริง (no real roots) จงหาช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
4 marks: discriminant negative for no real roots, factorise, then read the range between the critical values, keeping $k\gt0$.4 คะแนน: discriminant เป็นลบเมื่อไม้มีรากจริง แยกตัวประกอบ แล้วอ่านช่วงระหว่างค่าวิกฤต เก็บ $k\gt0$ ไว้
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Negative front coefficient, then a sketch สัมประสิทธิ์หน้าติดลบ แล้วสเก็ตช์กราฟ
$f(x)=11-4x-2x^{2}$
(a) Express $f(x)$ in the form $a+b(x+c)^{2}$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) Sketch the graph of the curve $C$ with equation $y=f(x)$, showing clearly the coordinates of the point where the curve crosses the $y$-axis.
(c) Write down the equation of the line of symmetry of $C$.
$f(x)=11-4x-2x^{2}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) ร่างกราฟเส้นโค้ง $C$ สมการ $y=f(x)$ แสดงพิกัดจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $y$ ให้ชัดเจน
(ค) เขียนสมการแกนสมมาตร (line of symmetry) ของ $C$
Factorise $-4x-2x^{2}$, taking out $-2$.
จงแยกตัวประกอบ $-4x-2x^{2}$ โดยดึง $-2$ ออก
Answershow ▾
Divide each term by $-2$: $-4x\div(-2)=2x$ and $-2x^{2}\div(-2)=x^{2}$.หารแต่ละพจน์ด้วย $-2$: $-4x\div(-2)=2x$ และ $-2x^{2}\div(-2)=x^{2}$
A curve has equation $y=13-2(x+1)^{2}$. Write down the coordinates of its maximum point.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=13-2(x+1)^{2}$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุด
Answershow ▾
The bracket is zero when $x=-1$; the number outside stays $13$.วงเล็บเป็นศูนย์เมื่อ $x=-1$ ตัวเลขข้างนอกยังคงเป็น $13$
A curve has equation $y=13-2(x+1)^{2}$. Write down the equation of its line of symmetry.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=13-2(x+1)^{2}$ จงเขียนสมการแกนสมมาตร
Answershow ▾
The line of symmetry passes through the maximum point from Q2.แกนสมมาตรผ่านจุดสูงสุดจากข้อ 2
$f(x)=11-4x-2x^{2}$. The coefficient of $x^{2}$ is $-2$, not $1$. Pick the first move.
(A) halve $-4$ to write $(x-2)^{2}$
(B) factor $-2$ out of the $x$-terms first: $-2(x^{2}+2x)+11$
(C) factor $-2$ out of $-4x-2x^{2}$ to get $-2(x^{2}+4x)+11$
$f(x)=11-4x-2x^{2}$ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ คือ $-2$ ไม่ใช่ $1$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หาร $-4$ ด้วย $2$ แล้วเขียน $(x-2)^{2}$
(B) ดึง $-2$ ออกจากพจน์ $x$ ก่อน: $-2(x^{2}+2x)+11$
(C) ดึง $-2$ ออกจาก $-4x-2x^{2}$ แล้วได้ $-2(x^{2}+4x)+11$
Answershow ▾
(A) halves $-4$ as if the $x^{2}$ coefficient were $1$ - it is $-2$, so $(x-2)^{2}$ expands wrong. (C) divides $-4x$ by $-2$ incorrectly, giving $4x$ instead of $2x$.(A) หาร $-4$ ด้วยสอง เหมือนสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ เป็น $1$ แต่จริงๆคือ $-2$ จึงกระจาย $(x-2)^{2}$ ผิด · (C) หาร $-4x$ ด้วย $-2$ ผิด ได้ $4x$ ทั้งที่ควรได้ $2x$
Factor $-2$ out of the $x$-terms in $f(x)=11-4x-2x^{2}$.
จงดึง $-2$ ออกจากพจน์ $x$ ใน $f(x)=11-4x-2x^{2}$
Answershow ▾
Same move as the decision step, now on the whole function.ขั้นเดียวกับขั้นเลือก แต่คราวนี้ใช้กับฟังก์ชันทั้งหมด
Complete the square for $x^{2}+2x$ inside the bracket.
จงจัดกำลังสองสมบูรณ์สำหรับ $x^{2}+2x$ ในวงเล็บ
Answershow ▾
Halve the $2$ to get $1$, then subtract $1^{2}$.หาร $2$ ด้วยสองได้ $1$ แล้วลบด้วย $1^{2}$
Use Q5 to write $f(x)$ in the form $a+b(x+c)^{2}$. Find $a$, $b$ and $c$.
จงใช้ข้อ 5 เขียน $f(x)$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ แล้วหาค่า $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
Multiply $-2$ through carefully: $-2\times(-1)=+2$, not $-2$.คูณ $-2$ กระจายเข้าไปอย่างระมัดระวัง: $-2\times(-1)=+2$ ไม่ใช่ $-2$
$f(x)=13-2(x+1)^{2}$, so $b=-2$. Pick which way the curve $y=f(x)$ opens.
(A) $\cup$, because $(x+1)^{2}\geqslant0$
(B) $\cap$, because $b=-2\lt0$
(C) $\cup$, because $a=13\gt0$
$f(x)=13-2(x+1)^{2}$ ดังนั้น $b=-2$ จงเลือกทิศทางการหงาย/คว่ำของเส้นโค้ง $y=f(x)$
(A) $\cup$ เพราะ $(x+1)^{2}\geqslant0$
(B) $\cap$ เพราะ $b=-2\lt0$
(C) $\cup$ เพราะ $a=13\gt0$
Answershow ▾
(A) is true but does not decide direction by itself - multiplying by a negative flips it. (C) looks at $a$, which only moves the graph up or down.(A) จริงอยู่ แต่ไม่ได้บอกทิศทางเอง · คูณด้วยจำนวนลบทำให้กลับทิศ · (C) ดูที่ $a$ ซึ่งมีผลแค่เลื่อนกราฟขึ้นลง
Using $f(x)=13-2(x+1)^{2}$, write down the coordinates of the maximum point of $y=f(x)$.
จาก $f(x)=13-2(x+1)^{2}$ จงเขียนพิกัดจุดสูงสุดของ $y=f(x)$
Answershow ▾
Same rule as Q2, now on the real function.กฎเดียวกันกับข้อ 2 แต่ใช้กับฟังก์ชันจริง
Find where $y=f(x)$ crosses the $y$-axis using $f(0)=11-4(0)-2(0)^{2}$, then check it against the completed square form $13-2(0+1)^{2}$.
จงหาจุดตัดแกน $y$ ของ $y=f(x)$ โดยใช้ $f(0)=11-4(0)-2(0)^{2}$ แล้วตรวจกับรูปกำลังสองสมบูรณ์ $13-2(0+1)^{2}$
Answershow ▾
Both forms of $f(x)$ must give the same value at $x=0$.ทั้งสองรูปของ $f(x)$ ต้องให้ค่าเดียวกันเมื่อ $x=0$
$g(x)=19-8x-2x^{2}$. (a) Write $g(x)$ in the form $a+b(x+c)^{2}$. (b) Give the coordinates where $y=g(x)$ crosses the $y$-axis and its maximum point. (c) Write down its line of symmetry.
$g(x)=19-8x-2x^{2}$ (ก) จงเขียน $g(x)$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ (ข) จงหาพิกัดจุดตัดแกน $y$ และจุดสูงสุด ของ $y=g(x)$ (ค) จงเขียนแกนสมมาตร
Answershow ▾
Same four moves: factor out $-2$, complete the square, read the vertex, read the line of symmetry.สี่ขั้นตอนเดิม: ดึง $-2$ ออก จัดกำลังสองสมบูรณ์ อ่านจุดสูงสุด แล้วอ่านแกนสมมาตร
$f(x)=11-4x-2x^{2}$
(a) Express $f(x)$ in the form $a+b(x+c)^{2}$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) Sketch the graph of the curve $C$ with equation $y=f(x)$, showing clearly the coordinates of the point where the curve crosses the $y$-axis.
(c) Write down the equation of the line of symmetry of $C$.
$f(x)=11-4x-2x^{2}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูป $a+b(x+c)^{2}$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) ร่างกราฟเส้นโค้ง $C$ สมการ $y=f(x)$ แสดงพิกัดจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $y$ ให้ชัดเจน
(ค) เขียนสมการแกนสมมาตร (line of symmetry) ของ $C$
Answershow ▾
6 marks across three parts: 3 for completing the square, 2 for the sketch, 1 for the line of symmetry.6 คะแนนสามส่วน: 3 คะแนนจัดกำลังสองสมบูรณ์ 2 คะแนนสเก็ตช์กราฟ 1 คะแนนแกนสมมาตร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Front coefficient, then the sketch ดึงเลขหน้าก่อน แล้วร่างกราฟ
(a) Express $3x^{2}+12x+13$ in the form $a(x+b)^{2}+c$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) Hence sketch the curve with equation $y=3x^{2}+12x+13$. On your sketch show clearly the coordinates of the $y$-intercept and the coordinates of the turning point of the curve.
(ก) เขียน $3x^{2}+12x+13$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) จากนั้นร่างกราฟเส้นโค้ง $y=3x^{2}+12x+13$ แสดงพิกัดจุดตัดแกน $y$ และพิกัดจุดยอด (turning point) ของเส้นโค้งให้ชัดเจน
Write $x^{2}+4x$ in the form $(x+p)^{2}+q$.
จงเขียน $x^{2}+4x$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$
Answershow ▾
Halve the $x$-coefficient for $p$, then subtract $p^{2}$.หารเลขหน้า $x$ ด้วย $2$ เพื่อหา $p$ แล้วลบด้วย $p^{2}$
The curve $y=3x^{2}+12x+13$ has $a=3$. Does it open upward ($\cup$) or downward ($\cap$)?
เส้นโค้ง $y=3x^{2}+12x+13$ มี $a=3$ จงบอกว่ากราฟหงาย ($\cup$) หรือคว่ำ ($\cap$)
Answershow ▾
$a$ positive means the curve opens upward.$a$ เป็นบวก แปลว่ากราฟหงายขึ้น
Work out the value of $3x^{2}+12x+13$ when $x=0$.
จงหาค่าของ $3x^{2}+12x+13$ เมื่อ $x=0$
Answershow ▾
Substitute $x=0$; only the constant term survives.แทน $x=0$ เหลือแค่พจน์คงที่
To write $3x^{2}+12x+13$ as $a(x+b)^{2}+c$, pick the first move.
(A) halve $12$ to get $3(x+6)^{2}+13$
(B) factor $3$ out of the $x$-terms: $3(x^{2}+4x)+13$
(C) factor $3$ out of all three terms: $3\big(x^{2}+4x+\dfrac{13}{3}\big)$
ต้องการเขียน $3x^{2}+12x+13$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หาร $12$ ด้วย $2$ ได้ $3(x+6)^{2}+13$
(B) ดึง $3$ ออกจากพจน์ $x$: $3(x^{2}+4x)+13$
(C) ดึง $3$ ออกจากทั้งสามพจน์: $3\big(x^{2}+4x+\dfrac{13}{3}\big)$
Answershow ▾
(A) only works when the $x^{2}$ coefficient is $1$; halving $12$ ignores the $3$ in front. (C) forces a fraction, so $a$, $b$, $c$ could not all be integers.(A) ใช้ได้เฉพาะเมื่อเลขหน้า $x^{2}$ เป็น $1$ การหาร $12$ ด้วย $2$ ไม่ได้คำนึงถึงเลข $3$ ที่อยู่หน้า · (C) ทำให้เกิดเศษส่วน ทำให้ $a$, $b$, $c$ ไม่ใช่จำนวนเต็มทั้งหมด
Factor $3$ out of the $x$-terms in $3x^{2}+12x+13$. Write the result.
จงดึง $3$ ออกจากพจน์ $x$ ใน $3x^{2}+12x+13$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Divide each $x$-term by $3$: $12x\div3=4x$.หารแต่ละพจน์ $x$ ด้วย $3$: $12x\div3=4x$
Complete the square for $x^{2}+4x$ inside the bracket.
จงทำ completing the square สำหรับ $x^{2}+4x$ ในวงเล็บ
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now inside this bracket.ท่าเดิมจากขั้นอุ่นเครื่อง ใช้ในวงเล็บนี้
$y=3\big[(x+2)^{2}-4\big]+13$. Pick the correct next line.
(A) $y=3(x+2)^{2}-4+13=3(x+2)^{2}+9$
(B) $y=3(x+2)^{2}-12+13=3(x+2)^{2}+1$
(C) $y=3(x+2)^{2}+13$
$y=3\big[(x+2)^{2}-4\big]+13$ จงเลือกบรรทัดต่อไปที่ถูกต้อง
(A) $y=3(x+2)^{2}-4+13=3(x+2)^{2}+9$
(B) $y=3(x+2)^{2}-12+13=3(x+2)^{2}+1$
(C) $y=3(x+2)^{2}+13$
Answershow ▾
$3$ is still multiplying everything inside the bracket: $3\times(-4)=-12$, not $-4$.เลข $3$ ยังคูณทุกอย่างในวงเล็บอยู่: $3\times(-4)=-12$ ไม่ใช่ $-4$
Finish: simplify $y=3\big[(x+2)^{2}-4\big]+13$ and state $a$, $b$, $c$.
จงทำต่อ: จัดรูป $y=3\big[(x+2)^{2}-4\big]+13$ แล้วบอกค่า $a$, $b$, $c$
Answershow ▾
$3(x+2)^{2}-12+13=3(x+2)^{2}+1$.$3(x+2)^{2}-12+13=3(x+2)^{2}+1$
From $y=3(x+2)^{2}+1$, write the coordinates of the turning point.
จาก $y=3(x+2)^{2}+1$ จงเขียนพิกัดจุดยอด
Answershow ▾
The bracket is zero when $x=-2$, the negative of $b=2$; the minimum value is $c=1$.วงเล็บเป็น $0$ เมื่อ $x=-2$ ซึ่งเป็นค่าลบของ $b=2$ ค่าต่ำสุดคือ $c=1$
Check: substitute $x=0$ into $y=3(x+2)^{2}+1$. Does it give $13$?
ตรวจสอบ: แทน $x=0$ ใน $y=3(x+2)^{2}+1$ ได้ $13$ หรือไม่
Answershow ▾
The two different forms of $y$ must agree at every point, including $x=0$.$y$ ทั้งสองรูปต้องให้ค่าตรงกันทุกจุด รวมถึง $x=0$
Express $2x^{2}+8x+9$ in the form $a(x+b)^{2}+c$. State the turning point and the $y$-intercept of $y=2x^{2}+8x+9$.
จงเขียน $2x^{2}+8x+9$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ พร้อมบอกจุดยอดและจุดตัดแกน $y$ ของ $y=2x^{2}+8x+9$
Answershow ▾
Same three moves: factor out $2$, complete the square, then distribute and simplify.สามขั้นเดิม: ดึง $2$ ออก ทำ completing the square แล้วกระจายและจัดรูป
(a) Express $3x^{2}+12x+13$ in the form $a(x+b)^{2}+c$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) Hence sketch the curve with equation $y=3x^{2}+12x+13$. On your sketch show clearly the coordinates of the $y$-intercept and the coordinates of the turning point of the curve.
(ก) เขียน $3x^{2}+12x+13$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) จากนั้นร่างกราฟเส้นโค้ง $y=3x^{2}+12x+13$ แสดงพิกัดจุดตัดแกน $y$ และพิกัดจุดยอด (turning point) ของเส้นโค้งให้ชัดเจน
Answershow ▾
6 marks: factor out $3$, complete the square, simplify, then read the shape and the two coordinates from the result.6 คะแนน: ดึง $3$ ออก ทำ completing the square จัดรูป แล้วอ่านรูปกราฟและพิกัดทั้งสองจากผลลัพธ์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Disguised quadratic, substitute p สมการกำลังสองแฝง แทนด้วย p
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(a) Use the substitution $p=9^{t}$ to show that the equation $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$ can be rewritten as $27p^{2}-82p+3=0$.
(b) Hence solve $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(ก) โดยการแทน $p=9^{t}$ จงแสดงว่าสมการ $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$ เขียนใหม่ได้เป็น $27p^{2}-82p+3=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$
Use the law $a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}$ to write $3^{4t+2}$ as a product.
ใช้กฎ $a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}$ เขียน $3^{4t+2}$ ให้เป็นผลคูณ
Answershow ▾
Split the exponent into $4t$ and $2$.แยกเลขชี้กำลังเป็น $4t$ กับ $2$
Write $3^{4t}$ as $3^{2t}$ raised to a power.
เขียน $3^{4t}$ ให้เป็น $3^{2t}$ ยกกำลัง
Answershow ▾
$4t$ is $2t$ doubled, so write it as a square.$4t$ คือ $2t$ คูณสอง จึงเขียนเป็นกำลังสอง
Write $3^{2t}$ with base $9$.
เขียน $3^{2t}$ ให้มีฐานเป็น $9$
Answershow ▾
$9=3^{2}$, so $3^{2t}=(3^{2})^{t}$.$9=3^{2}$ ดังนั้น $3^{2t}=(3^{2})^{t}$
$p=9^{t}$. Pick the correct way to write $3^{4t+2}$ in terms of $p$.
(A) $3^{4t+2}=9p^{2}$
(B) $3^{4t+2}=3p$
(C) $3^{4t+2}=p+9$
$p=9^{t}$ จงเลือกวิธีเขียน $3^{4t+2}$ ในรูป $p$ ที่ถูกต้อง
(A) $3^{4t+2}=9p^{2}$
(B) $3^{4t+2}=3p$
(C) $3^{4t+2}=p+9$
Answershow ▾
(B) treats $3^{4t+2}$ as $3\times3^{2t}$, losing the square. (C) turns the multiplication $9\times p^{2}$ into addition.(B) ถือว่า $3^{4t+2}$ เท่ากับ $3\times3^{2t}$ ทำให้กำลังสองหายไป · (C) เปลี่ยนการคูณ $9\times p^{2}$ ให้เป็นการบวก
Substitute $9^{t}=p$ and $3^{4t+2}=9p^{2}$ into $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$.
แทน $9^{t}=p$ และ $3^{4t+2}=9p^{2}$ ลงในสมการ $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$
Answershow ▾
Replace $3^{4t+2}$ by $9p^{2}$ and every $9^{t}$ by $p$.แทน $3^{4t+2}$ ด้วย $9p^{2}$ และแทน $9^{t}$ ทุกตัวด้วย $p$
Expand $3(9p^{2}+1)$.
จงกระจาย $3(9p^{2}+1)$
Answershow ▾
Multiply $3$ into both terms inside the bracket.คูณ $3$ เข้าไปในทั้งสองพจน์ในวงเล็บ
Show that $27p^{2}+3=82p$ rearranges to $27p^{2}-82p+3=0$.
จงแสดงว่า $27p^{2}+3=82p$ จัดรูปได้เป็น $27p^{2}-82p+3=0$
Answershow ▾
Move $82p$ to the left, so the right side is $0$.ย้าย $82p$ มาทางซ้าย ให้ด้านขวาเป็น $0$
Solve $27p^{2}-82p+3=0$.
จงแก้สมการ $27p^{2}-82p+3=0$
Answershow ▾
Factorise, then set each bracket to $0$.แยกตัวประกอบ แล้วให้แต่ละวงเล็บเท่ากับ $0$
You have $p=\dfrac1{27}$ or $p=3$. Pick the next move.
(A) use $9^{t}=p$ and $9^{t}=3^{2t}$ to solve for $t$
(B) stop here - $p$ is already the answer
(C) write $t=p$, since $p$ was defined from $t$
ได้ $p=\dfrac1{27}$ หรือ $p=3$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ใช้ $9^{t}=p$ กับ $9^{t}=3^{2t}$ เพื่อหา $t$
(B) หยุดตรงนี้ - $p$ คือคำตอบแล้ว
(C) เขียน $t=p$ เพราะ $p$ ถูกนิยามจาก $t$
Answershow ▾
(B) stops at $p$, but the question asks to solve for $t$. (C) reads the substitution backwards: $p$ is defined FROM $t$, not the other way round.(B) หยุดอยู่ที่ $p$ แต่โจทย์ให้แก้หา $t$ · (C) อ่านการแทนค่ากลับทิศ: $p$ ถูกนิยามจาก $t$ ไม่ใช่ทางกลับกัน
Check that $t=\dfrac12$ satisfies $9^{t}=3$.
จงตรวจว่า $t=\dfrac12$ เป็นจริงกับ $9^{t}=3$
Answershow ▾
The square root of $9$ is $3$.รากที่สองของ $9$ คือ $3$
Use the substitution $p=4^{t}$ to solve $2\big(4^{2t+1}+1\big)=17\times4^{t}$.
ใช้การแทน $p=4^{t}$ แก้สมการ $2\big(4^{2t+1}+1\big)=17\times4^{t}$
Answershow ▾
Same moves: substitute, expand, factorise, then convert $p$ back to $t$.ขั้นตอนเดิม: แทนค่า กระจาย แยกตัวประกอบ แล้วแปลง $p$ กลับเป็น $t$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(a) Use the substitution $p=9^{t}$ to show that the equation $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$ can be rewritten as $27p^{2}-82p+3=0$.
(b) Hence solve $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(ก) โดยการแทน $p=9^{t}$ จงแสดงว่าสมการ $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$ เขียนใหม่ได้เป็น $27p^{2}-82p+3=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $3\big(3^{4t+2}+1\big)=82\times9^{t}$
Answershow ▾
5 marks: 2 for part (a) (the substitution, shown), 3 for part (b) (factorise, back to $t$, both solutions).5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับข้อ (a) (แสดงการแทนค่า) 3 คะแนนสำหรับข้อ (b) (แยกตัวประกอบ กลับไปหา $t$ ทั้งสองคำตอบ)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two curves, one meeting point สองเส้นโค้ง ตัดกันจุดเดียว
The curve $C_{1}$ has equation $y=x^{2}+kx-9$ and the curve $C_{2}$ has equation $y=-3x^{2}-5x+k$, where $k$ is a constant. Given that $C_{1}$ and $C_{2}$ meet at a single point $P$,
(a) show that $k^{2}+26k+169=0$.
(b) Hence find the coordinates of $P$.
เส้นโค้ง $C_{1}$ มีสมการ $y=x^{2}+kx-9$ และเส้นโค้ง $C_{2}$ มีสมการ $y=-3x^{2}-5x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ $C_{1}$ และ $C_{2}$ ตัดกันที่จุดเดียวคือ $P$
(ก) จงแสดงว่า $k^{2}+26k+169=0$
(ข) จากนั้นหาพิกัดของ $P$
Simplify $x^{2}-(-3x^{2})$.
จงหาผลลัพธ์ของ $x^{2}-(-3x^{2})$
Answershow ▾
Subtracting a negative adds.การลบด้วยจำนวนลบ คือการบวก
Simplify $kx-(-5x)$.
จงหาผลลัพธ์ของ $kx-(-5x)$
Answershow ▾
Same rule: subtracting $-5x$ adds $5x$.กฎเดิม ลบด้วย $-5x$ คือบวก $5x$
Expand $-16(-9-k)$.
จงกระจาย $-16(-9-k)$
Answershow ▾
A negative times a negative bracket gives a positive bracket.ลบคูณวงเล็บติดลบ ได้วงเล็บเป็นบวก
$C_{1}$ and $C_{2}$ meet at a single point $P$. Pick the first move.
(A) equate $C_{1}$ and $C_{2}$, collect into one quadratic in $x$, then use the quadratic formula
(B) equate $C_{1}$ and $C_{2}$, collect into one quadratic in $x$, then set its discriminant to $0$
(C) equate $C_{1}$ and $C_{2}$ and solve for $x$ and $k$ as two simultaneous equations
$C_{1}$ และ $C_{2}$ ตัดกันที่จุดเดียว $P$ จงเลือกขั้นแรก
(A) จับ $C_{1}$ กับ $C_{2}$ เท่ากัน รวมเป็นสมการกำลังสองตัวแปร $x$ แล้วใช้สูตรกำลังสอง
(B) จับ $C_{1}$ กับ $C_{2}$ เท่ากัน รวมเป็นสมการกำลังสองตัวแปร $x$ แล้วให้ discriminant เท่ากับ $0$
(C) จับ $C_{1}$ กับ $C_{2}$ เท่ากัน แล้วแก้หา $x$ กับ $k$ แบบสมการพร้อมกันสองตัว
Answershow ▾
A leaves $k$ inside a square root, never using the single-point fact, so $k$ stays unknown. C assumes two equations, but there is only one: the curves equal. One equation cannot fix two unknowns.A ปล่อยให้ $k$ ค้างในเครื่องหมายกรณฑ์ ไม่ได้ใช้ข้อเท็จจริง "จุดเดียว" เลย จึงหา $k$ ไม่ได้ · C คิดว่ามีสองสมการ แต่จริง ๆ มีสมการเดียวคือสองเส้นโค้งเท่ากัน สมการเดียวแก้ตัวไม่ทราบค่าสองตัวไม่ได้
$C_{1}:\ y=x^{2}+kx-9$ and $C_{2}:\ y=-3x^{2}-5x+k$. Equate them and collect everything onto one side. Write the quadratic in $x$.
$C_{1}:\ y=x^{2}+kx-9$ และ $C_{2}:\ y=-3x^{2}-5x+k$ จงจับให้เท่ากัน แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว เขียนสมการกำลังสองตัวแปร $x$
Answershow ▾
Move every term from $C_{2}$ across the $=$, then collect like terms.ย้ายทุกพจน์จาก $C_{2}$ ข้าม $=$ แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
The collected equation is $4x^{2}+(k+5)x+(-9-k)=0$. Pick the correct $a,\,b,\,c$ for $b^{2}-4ac=0$.
(A) $a=4,\ b=k+5,\ c=-9-k$
(B) $a=1,\ b=k+5,\ c=-9-k$
(C) $a=4,\ b=k+5,\ c=9+k$
สมการที่รวมแล้วคือ $4x^{2}+(k+5)x+(-9-k)=0$ จงเลือก $a,\,b,\,c$ ที่ถูกต้องสำหรับ $b^{2}-4ac=0$
(A) $a=4,\ b=k+5,\ c=-9-k$
(B) $a=1,\ b=k+5,\ c=-9-k$
(C) $a=4,\ b=k+5,\ c=9+k$
Answershow ▾
B takes $a=1$ from $C_{1}$, forgetting the two curves are already collected into $4x^{2}+\ldots$ C drops the minus sign before $k$, so every term from expanding $-4ac$ gets the wrong sign.B เอา $a=1$ จาก $C_{1}$ เดิม ลืมไปว่าสองเส้นโค้งถูกรวมเป็น $4x^{2}+\ldots$ แล้ว · C ตัดเครื่องหมายลบหน้า $k$ ทิ้งไป ทำให้ทุกพจน์หลังกระจาย $-4ac$ ได้เครื่องหมายผิด
The quadratic is $4x^{2}+(k+5)x+(-9-k)=0$. For $C_{1}$ and $C_{2}$ to meet at a single point, write the condition $b^{2}-4ac=0$ using these $a,\,b,\,c$, before expanding.
สมการกำลังสองคือ $4x^{2}+(k+5)x+(-9-k)=0$ เพื่อให้ $C_{1}$ กับ $C_{2}$ ตัดกันที่จุดเดียว จงเขียนเงื่อนไข $b^{2}-4ac=0$ โดยใช้ $a,\,b,\,c$ ข้างต้น ยังไม่ต้องกระจาย
Answershow ▾
One point means a repeated root, so the discriminant is $0$.จุดเดียวหมายถึงรากซ้ำ ดังนั้น discriminant เท่ากับ $0$
Expand $(k+5)^{2}-4(4)(-9-k)=0$ and collect like terms. Show that it becomes $k^{2}+26k+169=0$.
จงกระจาย $(k+5)^{2}-4(4)(-9-k)=0$ แล้วรวมพจน์ จงแสดงว่าได้ $k^{2}+26k+169=0$
Answershow ▾
Expand the square and the bracket separately, then add.กระจายกำลังสองและวงเล็บแยกกัน แล้วนำมาบวกกัน
Solve $k^{2}+26k+169=0$ for $k$. Then substitute this $k$ into $4x^{2}+(k+5)x+(-9-k)=0$ and solve for $x$.
จงแก้สมการ $k^{2}+26k+169=0$ หาค่า $k$ แล้วแทนค่า $k$ นี้ลงใน $4x^{2}+(k+5)x+(-9-k)=0$ เพื่อแก้หา $x$
Answershow ▾
A perfect square, so $k$ and $x$ each have one repeated value.เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้น $k$ และ $x$ มีค่าซ้ำค่าเดียว
Find $y$ on $C_{1}$ at $x=1$, and write the coordinates of $P$. Then check that $(1,-21)$ also fits $C_{2}$.
จงหา $y$ บน $C_{1}$ เมื่อ $x=1$ แล้วเขียนพิกัดของ $P$ จากนั้นตรวจว่า $(1,-21)$ เป็นจริงกับ $C_{2}$ ด้วย
Answershow ▾
$C_{1}$ and $C_{2}$ meet at one point, so both give the same $y$.$C_{1}$ กับ $C_{2}$ ตัดกันจุดเดียว จึงได้ $y$ ค่าเดียวกันทั้งคู่
The curve $y=x^{2}+kx-2$ and the curve $y=-x^{2}+k$ meet at a single point $P$. Find the coordinates of $P$.
เส้นโค้ง $y=x^{2}+kx-2$ และเส้นโค้ง $y=-x^{2}+k$ ตัดกันที่จุดเดียว $P$ จงหาพิกัดของ $P$
Answershow ▾
Same four moves: equate, discriminant $=0$, solve $k$, then $x$ and $y$.สี่ขั้นเดิม จับเท่ากัน discriminant เท่ากับ $0$ แก้หา $k$ แล้วหา $x$ กับ $y$
The curve $C_{1}$ has equation $y=x^{2}+kx-9$ and the curve $C_{2}$ has equation $y=-3x^{2}-5x+k$, where $k$ is a constant. Given that $C_{1}$ and $C_{2}$ meet at a single point $P$,
(a) show that $k^{2}+26k+169=0$.
(b) Hence find the coordinates of $P$.
เส้นโค้ง $C_{1}$ มีสมการ $y=x^{2}+kx-9$ และเส้นโค้ง $C_{2}$ มีสมการ $y=-3x^{2}-5x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ $C_{1}$ และ $C_{2}$ ตัดกันที่จุดเดียวคือ $P$
(ก) จงแสดงว่า $k^{2}+26k+169=0$
(ข) จากนั้นหาพิกัดของ $P$
Answershow ▾
6 marks: equate and collect, discriminant $=0$, expand to the given quadratic, solve for $k$, substitute back for $x$, then $y$ on $C_{1}$.6 คะแนน จับเท่ากันและรวมพจน์ discriminant เท่ากับ $0$ กระจายให้ได้สมการที่โจทย์ให้ แก้หา $k$ แทนกลับหา $x$ แล้วหา $y$ บน $C_{1}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
No real roots, find c’s range ไม่มีคำตอบจริง หาช่วงของ c
The equation $\dfrac{3}{x}+5=-2x+c$, where $c$ is a constant, has no real roots.
Find the range of possible values of $c$.
สมการ $\dfrac{3}{x}+5=-2x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ ไม่มีคำตอบจริง (no real roots)
หาช่วงของค่า $c$ ที่เป็นไปได้
Simplify $\dfrac{3}{x}\times x$.
จงหาค่า $\dfrac{3}{x}\times x$
Answershow ▾
The $x$ on top and the $x$ on the bottom cancel.$x$ บนและ $x$ ล่างตัดกัน
Multiply every term of $5=-2x+c$ by $x$.
จงคูณทุกพจน์ของ $5=-2x+c$ ด้วย $x$
Answershow ▾
Every term gets multiplied by $x$, including the $5$ on its own.ทุกพจน์ต้องถูกคูณด้วย $x$ รวมถึง $5$ ที่อยู่เดี่ยวๆด้วย
$ax^{2}+bx+c=0$ has no real roots. Write the condition on $b^{2}-4ac$.
$ax^{2}+bx+c=0$ ไม่มีคำตอบจริง จงเขียนเงื่อนไขของ $b^{2}-4ac$
Answershow ▾
No real roots means the discriminant is negative.ไม่มีคำตอบจริง หมายถึง discriminant เป็นลบ
$\dfrac{3}{x}+5=-2x+c$. Pick the first move.
(A) multiply every term by $x$: $3+5x=-2x^{2}+cx$
(B) multiply only $\dfrac{3}{x}$ by $x$, leave $5$ alone: $3+5=-2x^{2}+cx$
(C) move $5$ to the other side first: $\dfrac{3}{x}=-2x+c-5$
$\dfrac{3}{x}+5=-2x+c$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $x$: $3+5x=-2x^{2}+cx$
(B) คูณเฉพาะ $\dfrac{3}{x}$ ด้วย $x$ ปล่อย $5$ ไว้เฉยๆ: $3+5=-2x^{2}+cx$
(C) ย้าย $5$ ไปอีกฝั่งก่อน: $\dfrac{3}{x}=-2x+c-5$
Answershow ▾
(B) forgets to multiply the $5$ by $x$ too - every term on both sides needs it. (C) still has a fraction, so it never turns into a quadratic.(B) ลืมคูณ $5$ ด้วย $x$ ด้วย — ทุกพจน์ทั้งสองฝั่งต้องถูกคูณ · (C) ยังมีเศษส่วนเหลืออยู่ จึงไม่กลายเป็นสมการกำลังสอง
Collect $3+5x=-2x^{2}+cx$ into the form $2x^{2}+(5-c)x+3=0$.
จงจัด $3+5x=-2x^{2}+cx$ ให้อยู่ในรูป $2x^{2}+(5-c)x+3=0$
Answershow ▾
Move every term to one side, then write the $x^{2}$ term first.ย้ายทุกพจน์มาไว้ฝั่งเดียว แล้วเขียนพจน์ $x^{2}$ ไว้ก่อน
For $2x^{2}+(5-c)x+3=0$, write $b^{2}-4ac$ using $a=2,\,b=5-c,\,c=3$.
สำหรับ $2x^{2}+(5-c)x+3=0$ จงเขียน $b^{2}-4ac$ โดยใช้ $a=2,\,b=5-c,\,c=3$
Answershow ▾
$4ac=4\times2\times3=24$.$4ac=4\times2\times3=24$
No real roots means $(5-c)^{2}-24\lt0$. Find the critical values of $c$ where $(5-c)^{2}-24=0$.
ไม่มีคำตอบจริงคือ $(5-c)^{2}-24\lt0$ จงหาค่าวิกฤตของ $c$ ที่ $(5-c)^{2}-24=0$
Answershow ▾
Square root both sides of $(5-c)^{2}=24$, then add $5$.ถอดรากทั้งสองข้างของ $(5-c)^{2}=24$ แล้วบวก $5$
The critical values are $c=5-2\sqrt6$ and $c=5+2\sqrt6$. For no real roots, is $c$ between them or outside them?
(A) between: $5-2\sqrt6\lt c\lt5+2\sqrt6$
(B) outside: $c\lt5-2\sqrt6$ or $c\gt5+2\sqrt6$
(C) equal to them: $c=5-2\sqrt6$ or $c=5+2\sqrt6$
ค่าวิกฤตคือ $c=5-2\sqrt6$ และ $c=5+2\sqrt6$ ไม่มีคำตอบจริงต้องมี $c$ อยู่ระหว่างหรือนอกช่วงนี้
(A) ระหว่าง: $5-2\sqrt6\lt c\lt5+2\sqrt6$
(B) นอกช่วง: $c\lt5-2\sqrt6$ หรือ $c\gt5+2\sqrt6$
(C) เท่ากับค่าวิกฤต: $c=5-2\sqrt6$ หรือ $c=5+2\sqrt6$
Answershow ▾
$(5-c)^{2}-24$ opens upward in $c$, so it is negative only between its two roots, not outside. (C) makes the discriminant $=0$, a repeated real root - not "no real roots".$(5-c)^{2}-24$ เป็นกราฟหงายในตัวแปร $c$ จึงเป็นลบเฉพาะระหว่างสองรากเท่านั้น ไม่ใช่นอกช่วง · (C) ทำให้ discriminant เท่ากับ $0$ คือรากซ้ำที่เป็นจำนวนจริง ไม่ใช่ "ไม่มีคำตอบจริง"
Expand $(5-c)^{2}-24\lt0$ into a quadratic inequality in $c$.
จงกระจาย $(5-c)^{2}-24\lt0$ ให้เป็นอสมการกำลังสองของ $c$
Answershow ▾
$(5-c)^{2}=25-10c+c^{2}$, then subtract $24$.$(5-c)^{2}=25-10c+c^{2}$ แล้วลบ $24$
Check your range: when $c=5$, does $2x^{2}+(5-c)x+3=0$ have no real roots?
ตรวจช่วงคำตอบ: เมื่อ $c=5$ สมการ $2x^{2}+(5-c)x+3=0$ ไม่มีคำตอบจริงหรือไม่
Answershow ▾
$c=5$ sits inside the range, so the discriminant must come out negative.$c=5$ อยู่ในช่วงคำตอบ discriminant จึงต้องเป็นลบ
The equation $\dfrac{1}{x}+2=-x+c$ has no real roots. Find the range of possible values of $c$.
สมการ $\dfrac{1}{x}+2=-x+c$ ไม่มีคำตอบจริง จงหาช่วงของค่า $c$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Same five moves: multiply by $x$, collect, discriminant, critical values, between them.ห้าขั้นเดิม: คูณด้วย $x$ รวมพจน์ หา discriminant หาค่าวิกฤต แล้วเลือกช่วงระหว่างสองค่า
The equation $\dfrac{3}{x}+5=-2x+c$, where $c$ is a constant, has no real roots.
Find the range of possible values of $c$.
สมการ $\dfrac{3}{x}+5=-2x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ ไม่มีคำตอบจริง (no real roots)
หาช่วงของค่า $c$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
7 marks: multiply by $x$, collect, discriminant, critical values, then the correct side.7 คะแนน: คูณด้วย $x$ รวมพจน์ หา discriminant หาค่าวิกฤต แล้วเลือกฝั่งที่ถูก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Negative front coefficient, then a triangle ตัวเลขนำหน้าติดลบ แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยม
$f(x)=3+12x-2x^{2}$
(a) Express $f(x)$ in the form $a-b(x+c)^{2}$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) The curve with equation $y=f(x)-7$ crosses the $x$-axis at the points $P$ and $Q$ and crosses the $y$-axis at the point $R$. Find the area of the triangle $PQR$, giving your answer in the form $m\sqrt{n}$ where $m$ and $n$ are integers to be found.
$f(x)=3+12x-2x^{2}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูป $a-b(x+c)^{2}$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นโค้ง $y=f(x)-7$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $P$ และ $Q$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $R$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $PQR$ ตอบในรูป $m\sqrt{n}$ เมื่อ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม
Write $x^{2}-6x$ in the form $(x+p)^{2}+k$. Find $p$.
เขียน $x^{2}-6x$ ในรูป $(x+p)^{2}+k$ จงหาค่า $p$
Answershow ▾
Halve the coefficient of $x$.หารสัมประสิทธิ์ของ $x$ ด้วยสอง
Expand $(x-3)^{2}$.
จงกระจาย $(x-3)^{2}$
Answershow ▾
Square the first term, double the product, square the last term.ยกกำลังสองพจน์แรก คูณสองของผลคูณพจน์ แล้วยกกำลังสองพจน์หลัง
Solve $y^{2}=7$. Give an exact answer.
จงแก้สมการ $y^{2}=7$ ให้คำตอบเป็นค่าแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Square-rooting both sides gives a $\pm$.การถอดรากทั้งสองข้างต้องมีเครื่องหมาย $\pm$
$f(x)=3+12x-2x^{2}$. Pick the first move to reach the form $a-b(x+c)^{2}$.
(A) complete the square directly, treating $-2x^{2}$ as $x^{2}$
(B) take $-2$ out of the $x^{2}$ and $x$ terms first: $3-2(x^{2}-6x)$
(C) multiply the whole of $f(x)$ by $-1$ to remove the minus sign
$f(x)=3+12x-2x^{2}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อไปให้ถึงรูป $a-b(x+c)^{2}$
(A) จัดกำลังสองสมบูรณ์ทันที โดยถือว่า $-2x^{2}$ คือ $x^{2}$
(B) ดึง $-2$ ออกจากพจน์ $x^{2}$ และ $x$ ก่อน: $3-2(x^{2}-6x)$
(C) คูณ $f(x)$ ทั้งหมดด้วย $-1$ เพื่อตัดเครื่องหมายลบออก
Answershow ▾
(A) the halving trick needs a bare $x^{2}$ with coefficient $1$; $-2x^{2}+12x$ is not that. (C) multiplying by $-1$ gives $-f(x)$, a different function, not $f(x)$.(A) เทคนิคหารครึ่งต้องใช้กับ $x^{2}$ เปล่า ๆ ที่สัมประสิทธิ์เป็น $1$ แต่ $-2x^{2}+12x$ ไม่ใช่แบบนั้น · (C) คูณด้วย $-1$ ได้ $-f(x)$ ซึ่งเป็นคนละฟังก์ชันกับ $f(x)$
Use the method from question 1: take $-2$ out of $3+12x-2x^{2}$. Write $f(x)$ as $3-2(x^{2}-6x)$.
ใช้วิธีจากข้อ 1: ดึง $-2$ ออกจาก $3+12x-2x^{2}$ จงเขียน $f(x)$ เป็น $3-2(x^{2}-6x)$
Answershow ▾
$-2\times(-6x)=12x$, so the bracket is $(x^{2}-6x)$.$-2\times(-6x)=12x$ ดังนั้นในวงเล็บคือ $(x^{2}-6x)$
Use questions 1 and 2 to write $x^{2}-6x$ in the form $(x-3)^{2}+k$.
ใช้คำตอบข้อ 1 และ 2 เขียน $x^{2}-6x$ ให้อยู่ในรูป $(x-3)^{2}+k$
Answershow ▾
$(x-3)^{2}$ carries an extra $+9$, so take it back off.$(x-3)^{2}$ พก $+9$ เกินมา ต้องหักออก
Hence write $f(x)=3-2(x^{2}-6x)$ in the form $a-2(x-3)^{2}$.
จากนั้นเขียน $f(x)=3-2(x^{2}-6x)$ ให้อยู่ในรูป $a-2(x-3)^{2}$
Answershow ▾
The $-2$ multiplies the $-9$ too: $-2\times(-9)=+18$.$-2$ ต้องคูณ $-9$ ด้วย: $-2\times(-9)=+18$
The curve $y=f(x)-7$ crosses the $x$-axis where $f(x)-7=0$, i.e. $f(x)=7$. Pick the first move.
(A) set $f(x)=0$ and solve $21-2(x-3)^{2}=0$
(B) set $f(x)-7=0$, i.e. $14-2(x-3)^{2}=0$, and solve
(C) set $f(x)=-7$ and solve $21-2(x-3)^{2}=-7$
เส้นโค้ง $y=f(x)-7$ ตัดแกน $x$ ตรงที่ $f(x)-7=0$ คือ $f(x)=7$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $f(x)=0$ แล้วแก้ $21-2(x-3)^{2}=0$
(B) ให้ $f(x)-7=0$ คือ $14-2(x-3)^{2}=0$ แล้วแก้สมการ
(C) ให้ $f(x)=-7$ แล้วแก้ $21-2(x-3)^{2}=-7$
Answershow ▾
(A) ignores the shift by $7$ completely: that finds where $y=f(x)$ crosses the axis, not $y=f(x)-7$. (C) rearranges $f(x)-7=0$ with the sign of the $7$ flipped.(A) ไม่สนใจการเลื่อน $7$ เลย นั่นคือหาจุดตัดของ $y=f(x)$ ไม่ใช่ $y=f(x)-7$ · (C) จัดรูป $f(x)-7=0$ ผิด โดยสลับเครื่องหมายของ $7$
Use $f(x)=21-2(x-3)^{2}$ to solve $f(x)-7=0$. Give $x$ exactly.
ใช้ $f(x)=21-2(x-3)^{2}$ แก้สมการ $f(x)-7=0$ ตอบเป็นค่าแม่นตรง
Answershow ▾
Root both sides, keep the $\pm$, then add $3$.ถอดรากทั้งสองข้าง เก็บ $\pm$ ไว้ แล้วบวก $3$
$P$ and $Q$ are at $x=3-\sqrt7$ and $x=3+\sqrt7$ on the $x$-axis. $R$ is where $y=f(x)-7$ crosses the $y$-axis. Find the area of triangle $PQR$.
$P$ และ $Q$ อยู่ที่ $x=3-\sqrt7$ และ $x=3+\sqrt7$ บนแกน $x$ · $R$ คือจุดที่ $y=f(x)-7$ ตัดแกน $y$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $PQR$
Answershow ▾
$PQ$ is the base, along the $x$-axis; $|y_{R}|$ is the height, never the negative number itself.$PQ$ เป็นฐาน อยู่บนแกน $x$ ส่วน $|y_{R}|$ เป็นความสูง ไม่ใช่ตัวเลขติดลบนั้นตรง ๆ
$g(x)=4+2x-x^{2}$.
(a) Express $g(x)$ in the form $a-b(x+c)^{2}$.
(b) The curve $y=g(x)-2$ crosses the $x$-axis at $P$ and $Q$ and the $y$-axis at $R$. Find the area of triangle $PQR$, giving your answer in the form $m\sqrt n$.
$g(x)=4+2x-x^{2}$
(ก) เขียน $g(x)$ ในรูป $a-b(x+c)^{2}$
(ข) เส้นโค้ง $y=g(x)-2$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $P$ และ $Q$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $R$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $PQR$ ตอบในรูป $m\sqrt n$
Answershow ▾
Same three moves: take out the front number, complete the square, then shift and solve.สามขั้นเดิม: ดึงเลขนำหน้าออก จัดกำลังสองสมบูรณ์ แล้วเลื่อนและแก้สมการ
$f(x)=3+12x-2x^{2}$
(a) Express $f(x)$ in the form $a-b(x+c)^{2}$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
(b) The curve with equation $y=f(x)-7$ crosses the $x$-axis at the points $P$ and $Q$ and crosses the $y$-axis at the point $R$. Find the area of the triangle $PQR$, giving your answer in the form $m\sqrt{n}$ where $m$ and $n$ are integers to be found.
$f(x)=3+12x-2x^{2}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูป $a-b(x+c)^{2}$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) เส้นโค้ง $y=f(x)-7$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $P$ และ $Q$ และตัดแกน $y$ ที่จุด $R$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $PQR$ ตอบในรูป $m\sqrt{n}$ เมื่อ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
7 marks: 3 for completing the square with the front $-2$, 4 for the area, using $|y_{R}|$ as the height.7 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับจัดกำลังสองสมบูรณ์พร้อม $-2$ นำหน้า · 4 คะแนนสำหรับพื้นที่ โดยใช้ $|y_{R}|$ เป็นความสูง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Powers of 2 hiding a quadratic เลขชี้กำลังฐาน 2 ที่แฝงสมการกำลังสอง
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
(a) By substituting $p=2^{x}$, show that the equation $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ can be written in the form $4p^{2}-33p+8=0$.
(b) Hence solve $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(ก) โดยการแทน $p=2^{x}$ จงแสดงว่าสมการ $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ เขียนใหม่ได้เป็น $4p^{2}-33p+8=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$
$p=2^{x}$. Write $4^{x}$ in terms of $p$.
$p=2^{x}$ จงเขียน $4^{x}$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
$4=2^{2}$, so $4^{x}=(2^{x})^{2}$.$4=2^{2}$ ดังนั้น $4^{x}=(2^{x})^{2}$
$p=2^{x}$. Write $2^{x+3}$ in terms of $p$.
$p=2^{x}$ จงเขียน $2^{x+3}$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
Adding in the exponent means multiplying the powers.การบวกในเลขชี้กำลัง คือการคูณกันของตัวที่ยกกำลัง
$p=2^{x}$. Write $2^{x-1}$ in terms of $p$.
$p=2^{x}$ จงเขียน $2^{x-1}$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
Subtracting in the exponent means dividing the powers.การลบในเลขชี้กำลัง คือการหารกันของตัวที่ยกกำลัง
To turn $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ into an equation in $p$, pick the first move.
(A) substitute $p$ for every $2^{x}$ you see, leaving $4^{x}$ unchanged
(B) rewrite $4^{x}$, $2^{x+3}$ and $2^{x-1}$ as powers of $2^{x}$ first, using questions 1-3
(C) multiply every term by $2^{1-x}$ first
เพื่อเปลี่ยน $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ เป็นสมการในรูป $p$ จงเลือกขั้นแรก
(A) แทน $p$ ในทุกตำแหน่งที่เห็น $2^{x}$ โดยปล่อย $4^{x}$ ไว้เหมือนเดิม
(B) เขียน $4^{x}$, $2^{x+3}$ และ $2^{x-1}$ ใหม่เป็นเลขชี้กำลังฐาน $2^{x}$ ก่อน โดยใช้ข้อ 1-3
(C) คูณทุกพจน์ด้วย $2^{1-x}$ ก่อน
Answershow ▾
(A) fails because $4\ne2$, so $4^{x}$ is not already $2^{x}$; it must become $p^{2}$ first. (C) invents a factor that does not simplify any term.(A) ใช้ไม่ได้เพราะ $4\ne2$ ดังนั้น $4^{x}$ ยังไม่ใช่ $2^{x}$ ต้องเปลี่ยนเป็น $p^{2}$ ก่อน · (C) คูณด้วยตัวที่ไม่ได้ทำให้พจน์ใดง่ายขึ้นเลย
Using questions 1-3, write $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ in terms of $p$.
ใช้ข้อ 1-3 เขียน $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
Replace each power with its $p$ form from questions 1-3.แทนแต่ละพจน์ด้วยรูป $p$ จากข้อ 1-3
You have $2p^{2}-8p=\dfrac{17p}{2}-4$. Pick the first move to remove the fraction.
(A) multiply every term in the equation by $2$
(B) multiply only $\dfrac{17p}{2}$ by $2$
(C) subtract $4$ from both sides first
มี $2p^{2}-8p=\dfrac{17p}{2}-4$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อกำจัดเศษส่วน
(A) คูณทุกพจน์ในสมการด้วย $2$
(B) คูณเฉพาะ $\dfrac{17p}{2}$ ด้วย $2$
(C) ลบ $4$ ออกจากทั้งสองข้างก่อน
Answershow ▾
(B) breaks the equation - whatever is done to one term must be done to every term. (C) still leaves a fraction, so the next line still has a half in it.(B) ทำให้สมการไม่สมดุล เพราะต้องทำสิ่งเดียวกันกับทุกพจน์ ไม่ใช่แค่บางพจน์ · (C) ยังเหลือเศษส่วนอยู่ บรรทัดต่อไปยังมีครึ่งติดอยู่
Multiply every term in $2p^{2}-8p=\dfrac{17p}{2}-4$ by $2$.
จงคูณทุกพจน์ใน $2p^{2}-8p=\dfrac{17p}{2}-4$ ด้วย $2$
Answershow ▾
$2$ times each term, including the $4$.คูณ $2$ เข้ากับทุกพจน์ รวมทั้ง $4$
Rearrange $4p^{2}-16p=17p-8$ so one side is $0$.
จงจัดรูป $4p^{2}-16p=17p-8$ ให้ด้านหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Move $17p$ and $-8$ across to the left.ย้าย $17p$ และ $-8$ ไปทางซ้าย
Factorise $4p^{2}-33p+8=0$ and solve for $p$.
จงแยกตัวประกอบ $4p^{2}-33p+8=0$ แล้วแก้หาค่า $p$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $4\times8=32$ and combine to $-33p$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $4\times8=32$ และรวมกันได้ $-33p$
Write $p=\dfrac14$ and $p=8$ as powers of $2$, then state the values of $x$.
จงเขียน $p=\dfrac14$ และ $p=8$ เป็นเลขชี้กำลังฐาน $2$ แล้วหาค่า $x$
Answershow ▾
$2^{x}$ equals a power of $2$, so match the exponents.$2^{x}$ เท่ากับเลขชี้กำลังฐาน $2$ จึงเทียบตัวที่ยกกำลังกันได้
By substituting $p=3^{x}$, solve $9^{x}-3^{x+1}=3^{x}-3$.
โดยการแทน $p=3^{x}$ จงแก้สมการ $9^{x}-3^{x+1}=3^{x}-3$
Answershow ▾
Same method: rewrite each power as $p$, form a quadratic, then convert $p$ back to $x$.วิธีเดียวกัน: เขียนแต่ละพจน์เป็น $p$ จัดเป็นสมการกำลังสอง แล้วแปลง $p$ กลับเป็น $x$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
(a) By substituting $p=2^{x}$, show that the equation $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ can be written in the form $4p^{2}-33p+8=0$.
(b) Hence solve $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(ก) โดยการแทน $p=2^{x}$ จงแสดงว่าสมการ $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$ เขียนใหม่ได้เป็น $4p^{2}-33p+8=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการ $2\times4^{x}-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$
Answershow ▾
6 marks: rewrite each power in $p$, clear the fraction, factorise, then convert $p$ back to $x$.6 คะแนน: เขียนแต่ละพจน์เป็น $p$ กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ แล้วแปลง $p$ กลับเป็น $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A rectangle from perimeter and area สี่เหลี่ยมผืนผ้าจากเส้นรอบรูปและพื้นที่
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
A rectangular sports pitch has length $x$ metres and width $y$ metres, where $x\gt y$.
(a) Given that the perimeter of the pitch is $350$ m, write down an equation linking $x$ and $y$.
(b) Given also that the area of the pitch is $7350$ m$^{2}$, write down a second equation linking $x$ and $y$.
(c) Hence find the value of $x$ and the value of $y$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
สนามกีฬารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาว $x$ เมตร และความกว้าง $y$ เมตร โดยที่ $x\gt y$
(ก) กำหนดให้เส้นรอบรูปของสนามเท่ากับ $350$ เมตร จงเขียนสมการที่เชื่อม $x$ กับ $y$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าพื้นที่ของสนามเท่ากับ $7350$ ตร.ม. จงเขียนสมการที่สองที่เชื่อม $x$ กับ $y$
(ค) จากนั้นหาค่าของ $x$ และค่าของ $y$
A rectangle has length $x$ m and width $y$ m. Its perimeter is $350$ m. Write an equation linking $x$ and $y$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาว $x$ เมตร และความกว้าง $y$ เมตร เส้นรอบรูปเท่ากับ $350$ เมตร จงเขียนสมการที่เชื่อม $x$ กับ $y$
Answershow ▾
The perimeter is twice the length plus twice the width.เส้นรอบรูปคือสองเท่าของความยาว บวกสองเท่าของความกว้าง
The same rectangle has area $7350$ m$^{2}$. Write an equation linking $x$ and $y$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปเดียวกันมีพื้นที่ $7350$ ตร.ม. จงเขียนสมการที่เชื่อม $x$ กับ $y$
Answershow ▾
The area is length times width.พื้นที่คือความยาวคูณความกว้าง
Make $y$ the subject of $2x+2y=350$.
จงจัด $2x+2y=350$ ให้ $y$ อยู่ตัวเดียว
Answershow ▾
Move the $x$ term across, then divide every term by $2$.ย้ายพจน์ $x$ ข้ามเครื่องหมาย แล้วหารทุกพจน์ด้วย $2$
You have $2x+2y=350$ and $xy=7350$. Pick the first move to find $x$ and $y$.
(A) substitute $y=175-x$ into $xy=7350$
(B) add the two equations: $2x+2y+xy=350+7350$
(C) multiply the two equations together
คุณมี $2x+2y=350$ และ $xy=7350$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $x$ และ $y$
(A) แทน $y=175-x$ ใน $xy=7350$
(B) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน: $2x+2y+xy=350+7350$
(C) คูณสองสมการเข้าด้วยกัน
Answershow ▾
(B) adds a term in $x,y$ to a term in $xy$ - unlike terms, so adding gains nothing. (C) multiplying the equations gives a degree-$3$ equation, harder, not easier. Substituting removes one letter and leaves a single equation in $x$.(B) บวกพจน์ดีกรีหนึ่งกับพจน์ที่เป็นผลคูณของสองตัวแปร เพราะ $2x+2y$ กับ $xy$ ไม่ใช่พจน์ชนิดเดียวกัน จึงไม่ช่วยให้ง่ายขึ้น · (C) การคูณสมการทำให้ได้สมการดีกรี $3$ ซึ่งยากกว่าเดิม การแทนค่าทำให้เหลือตัวแปรเดียวคือ $x$
Substitute $y=175-x$ into $xy=7350$. Write the new equation.
แทน $y=175-x$ ใน $xy=7350$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Replace $y$ with the expression from the last step.แทน $y$ ด้วยนิพจน์จากขั้นที่แล้ว
Expand $x(175-x)=7350$ and rearrange it into the form $x^{2}+bx+c=0$.
จงกระจาย $x(175-x)=7350$ แล้วจัดให้อยู่ในรูป $x^{2}+bx+c=0$
Answershow ▾
Move everything to one side, then multiply by $-1$ so $x^{2}$ is positive.ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว แล้วคูณด้วย $-1$ เพื่อให้ $x^{2}$ เป็นบวก
Factorise $x^{2}-175x+7350=0$.
จงแยกตัวประกอบ $x^{2}-175x+7350=0$
Answershow ▾
$7350=2\times3\times5^{2}\times7^{2}$; pair the factors into $70\times105$, which add to $175$.$7350=2\times3\times5^{2}\times7^{2}$ จับคู่ตัวประกอบเป็น $70\times105$ ซึ่งบวกกันได้ $175$
The quadratic gives $x=70$ or $x=105$, and the stem says $x\gt y$. Which value is $x$?
(A) $x=70$
(B) $x=105$
(C) either value could be $x$
สมการกำลังสองให้ $x=70$ หรือ $x=105$ และโจทย์กำหนด $x\gt y$ ค่าไหนคือ $x$
(A) $x=70$
(B) $x=105$
(C) เป็น $x$ ได้ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(A) gives $x=70$ and $y=105$, which breaks $x\gt y$. (C) is wrong because $x\gt y$ fixes exactly one assignment: the larger root is $x$, the smaller is $y$.(A) ให้ $x=70$ และ $y=105$ ซึ่งขัดกับ $x\gt y$ · (C) ผิดเพราะ $x\gt y$ กำหนดไว้ชัดเจนแล้วว่าค่าที่มากกว่าคือ $x$ ค่าที่น้อยกว่าคือ $y$
Substitute $x=105$ into $y=175-x$ to find $y$.
แทน $x=105$ ใน $y=175-x$ เพื่อหา $y$
Answershow ▾
This confirms the pairing chosen in the last decision.ขั้นนี้ยืนยันการจับคู่ที่เลือกไว้ในขั้นที่แล้ว
Check that $x=105$ and $y=70$ satisfy both $2x+2y=350$ and $xy=7350$.
จงตรวจว่า $x=105$ และ $y=70$ เป็นจริงกับทั้ง $2x+2y=350$ และ $xy=7350$
Answershow ▾
A correct pair of values makes both original equations true.ค่าที่ถูกต้องจะทำให้สมการเดิมทั้งสองเป็นจริง
A rectangular garden has length $x$ m and width $y$ m, where $x\gt y$. The perimeter is $50$ m and the area is $150$ m$^{2}$. Work out $x$ and $y$.
สวนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาว $x$ เมตร และความกว้าง $y$ เมตร โดยที่ $x\gt y$ เส้นรอบรูปเท่ากับ $50$ เมตร และพื้นที่เท่ากับ $150$ ตร.ม. จงหาค่า $x$ และ $y$
Answershow ▾
Same four moves: subject, substitute, factorise, then $x\gt y$ picks the pair.สี่ขั้นเดิม: จัดตัวแปร แทนค่า แยกตัวประกอบ แล้วใช้ $x\gt y$ เลือกคู่ที่ถูก
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
A rectangular sports pitch has length $x$ metres and width $y$ metres, where $x\gt y$.
(a) Given that the perimeter of the pitch is $350$ m, write down an equation linking $x$ and $y$.
(b) Given also that the area of the pitch is $7350$ m$^{2}$, write down a second equation linking $x$ and $y$.
(c) Hence find the value of $x$ and the value of $y$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
สนามกีฬารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาว $x$ เมตร และความกว้าง $y$ เมตร โดยที่ $x\gt y$
(ก) กำหนดให้เส้นรอบรูปของสนามเท่ากับ $350$ เมตร จงเขียนสมการที่เชื่อม $x$ กับ $y$
(ข) กำหนดเพิ่มเติมว่าพื้นที่ของสนามเท่ากับ $7350$ ตร.ม. จงเขียนสมการที่สองที่เชื่อม $x$ กับ $y$
(ค) จากนั้นหาค่าของ $x$ และค่าของ $y$
Answershow ▾
$6$ marks: two for writing the equations, four for solving - substitute, form the quadratic, factorise, then use $x\gt y$.$6$ คะแนน: สองคะแนนสำหรับเขียนสมการ สี่คะแนนสำหรับการแก้สมการ - แทนค่า ตั้งสมการกำลังสอง แยกตัวประกอบ แล้วใช้ $x\gt y$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A disguised quadratic, then its discriminant สมการกำลังสองที่แฝงอยู่ แล้วหา discriminant
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$(k-1)x^{6}+4x^{3}+(k-4)=0$ where $k$ is a constant.
(a) Find the exact solutions to the given equation for $k=4.5$.
(b) Find the set of possible values of $k$ for which the given equation has no real roots.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
$(k-1)x^{6}+4x^{3}+(k-4)=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาคำตอบแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของสมการเมื่อ $k=4.5$
(ข) หาเซตของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ ที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบจริง (no real roots)
Let $u=x^{3}$. Rewrite $7x^{6}+8x^{3}+1=0$ in terms of $u$.
กำหนด $u=x^{3}$ จงเขียน $7x^{6}+8x^{3}+1=0$ ในรูปของ $u$
Answershow ▾
$x^{6}=(x^{3})^{2}$, so writing $u=x^{3}$ turns every power of $x$ into a power of $u$.$x^{6}=(x^{3})^{2}$ ดังนั้นการแทน $u=x^{3}$ จะเปลี่ยนเลขชี้กำลังของ $x$ ทุกตัวให้เป็นของ $u$
Solve $x^{3}=-1$ for the real value of $x$.
จงแก้สมการ $x^{3}=-1$ เพื่อหาค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริง
Answershow ▾
A negative number has a real cube root, and that root is negative too, unlike a square root.จำนวนลบมีรากที่สามเป็นจำนวนจริง และรากนั้นเป็นจำนวนลบด้วย ไม่เหมือนรากที่สอง
Write down the coefficient $a$ in $(k-1)u^{2}+4u+(k-4)=0$.
จงเขียนสัมประสิทธิ์ $a$ ของ $(k-1)u^{2}+4u+(k-4)=0$
Answershow ▾
The coefficient of $u^{2}$ is the whole bracket $(k-1)$, not just $k$.สัมประสิทธิ์ของ $u^{2}$ คือวงเล็บทั้งหมด $(k-1)$ ไม่ใช่แค่ $k$
$3.5x^{6}+4x^{3}+0.5=0$. Pick the substitution that turns this into a quadratic.
(A) let $u=x^{2}$
(B) let $u=x^{3}$
(C) divide every term by $x^{3}$
$3.5x^{6}+4x^{3}+0.5=0$ จงเลือกการแทนค่าที่ทำให้สมการนี้กลายเป็นสมการกำลังสอง
(A) ให้ $u=x^{2}$
(B) ให้ $u=x^{3}$
(C) หารทุกพจน์ด้วย $x^{3}$
Answershow ▾
(A) gives $x^{6}=u^{3}$, a cubic in $u$, not a quadratic. (C) turns the constant $0.5$ into $0.5x^{-3}$, a negative power, so no quadratic appears that way.(A) ได้ $x^{6}=u^{3}$ ซึ่งเป็นสมการกำลังสามของ $u$ ไม่ใช่กำลังสอง · (C) เปลี่ยนค่าคงที่ $0.5$ เป็น $0.5x^{-3}$ ซึ่งเป็นเลขชี้กำลังลบ จึงไม่ได้สมการกำลังสองเช่นกัน
Multiply $3.5u^{2}+4u+0.5=0$ by $2$ to clear the decimals.
จงคูณ $3.5u^{2}+4u+0.5=0$ ด้วย $2$ เพื่อกำจัดทศนิยม
Answershow ▾
Multiplying every term by $2$ turns each decimal coefficient into a whole number.การคูณทุกพจน์ด้วย $2$ จะเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ที่เป็นทศนิยมให้เป็นจำนวนเต็ม
Factorise $7u^{2}+8u+1=0$ to find the two values of $u$.
จงแยกตัวประกอบ $7u^{2}+8u+1=0$ เพื่อหาค่า $u$ สองค่า
Answershow ▾
Two numbers that multiply to give $7\times1=7$ and add to give $8$ are $7$ and $1$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $7\times1=7$ และบวกกันได้ $8$
Factorising gives $u=-1$ or $u=-\dfrac17$, where $u=x^{3}$. Pick what to do with $u=-\dfrac17$.
(A) keep it, a cube root of a negative number is a real number
(B) reject it, $u$ must be positive, the same rule as $u=x^{2}$
(C) reject it, only non-integer values of $x$ get rejected
การแยกตัวประกอบได้ $u=-1$ หรือ $u=-\dfrac17$ โดย $u=x^{3}$ จงเลือกวิธีจัดการกับ $u=-\dfrac17$
(A) เก็บไว้ รากที่สามของจำนวนลบเป็นจำนวนจริง
(B) ตัดทิ้ง $u$ ต้องเป็นบวก เหมือนกฎของ $u=x^{2}$
(C) ตัดทิ้ง เพราะมีแต่ค่า $x$ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเท่านั้นที่ถูกตัดทิ้ง
Answershow ▾
(B) copies the rule for $u=x^{2}$, where negative $u$ really is impossible, but here $u=x^{3}$ and every real number has a real cube root. (C) invents a rule: being non-integer is not a reason to reject a value.(B) เอากฎของ $u=x^{2}$ มาใช้ ซึ่งที่นั่น $u$ เป็นลบจริงๆไม่ได้ แต่ที่นี่ $u=x^{3}$ และจำนวนจริงทุกตัว มีรากที่สามเป็นจำนวนจริง · (C) สร้างกฎขึ้นมาเอง การที่ $x$ ไม่ใช่จำนวนเต็มไม่ใช่เหตุผลที่จะตัดค่าทิ้ง
Find $x$ from $x^{3}=-1$ and $x^{3}=-\dfrac17$.
จงหาค่า $x$ จาก $x^{3}=-1$ และ $x^{3}=-\dfrac17$
Answershow ▾
Each cube root keeps the sign of the number inside it, the rule from rung $2$.รากที่สามคงเครื่องหมายของจำนวนภายในไว้ ตามกฎจากข้อ $2$
Write down $b^{2}-4ac$ for $(k-1)u^{2}+4u+(k-4)=0$, then simplify it.
จงเขียน $b^{2}-4ac$ ของ $(k-1)u^{2}+4u+(k-4)=0$ แล้วจัดรูปให้ง่าย
Answershow ▾
Expand $(k-1)(k-4)=k^{2}-5k+4$, substitute into $b^{2}-4ac$, then simplify.กระจาย $(k-1)(k-4)=k^{2}-5k+4$ แทนลงใน $b^{2}-4ac$ แล้วจัดรูป
The equation has no real roots when $20k-4k^{2}\lt0$. Factorise the left side, then solve for $k$.
สมการไม่มีคำตอบจริงเมื่อ $20k-4k^{2}\lt0$ จงแยกตัวประกอบด้านซ้าย แล้วแก้หาค่า $k$
Answershow ▾
$4k(5-k)$ is negative when $k$ and $(5-k)$ have opposite signs, which happens outside $0$ and $5$, not between them.$4k(5-k)$ เป็นลบเมื่อ $k$ และ $(5-k)$ มีเครื่องหมายต่างกัน ซึ่งเกิดขึ้นนอกช่วง $0$ ถึง $5$ ไม่ใช่ระหว่างนั้น
$(k-1)x^{6}+6x^{3}+(k-9)=0$ where $k$ is a constant.
(a) Find the exact solutions for $k=5$.
(b) Find the set of possible values of $k$ for which the equation has no real roots.
$(k-1)x^{6}+6x^{3}+(k-9)=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาคำตอบแบบ แม่นตรง เมื่อ $k=5$
(ข) หาเซตของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ ที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบจริง
Answershow ▾
Same three moves: substitute $u=x^{3}$ for a quadratic, factorise and cube-root for (a), then the discriminant in $k$ for (b).สามขั้นเดิม: แทน $u=x^{3}$ ให้ได้สมการกำลังสอง แยกตัวประกอบและถอดรากที่สามสำหรับ (ก) จากนั้นหา discriminant ในรูป $k$ สำหรับ (ข)
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$(k-1)x^{6}+4x^{3}+(k-4)=0$ where $k$ is a constant.
(a) Find the exact solutions to the given equation for $k=4.5$.
(b) Find the set of possible values of $k$ for which the given equation has no real roots.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
$(k-1)x^{6}+4x^{3}+(k-4)=0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาคำตอบแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของสมการเมื่อ $k=4.5$
(ข) หาเซตของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ ที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบจริง (no real roots)
Answershow ▾
7 marks: three for substituting, factorising and finding both values of $x$; four for the discriminant, simplifying, setting it negative and finding the range of $k$.7 คะแนน: สามคะแนนสำหรับการแทนค่า แยกตัวประกอบ และหาค่า $x$ ทั้งสองค่า สี่คะแนนสำหรับ discriminant การจัดรูป การกำหนดให้เป็นลบ และการหาช่วงของ $k$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic inequality, outside the roots อสมการกำลังสอง ช่วงด้านนอกราก
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Solve the inequality $4x^{2}-3x+7\ge4x+9$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จงแก้อสมการ $4x^{2}-3x+7\ge4x+9$
Rearrange $3x^{2}+5x\geqslant2x-4$ so it compares with $0$.
จงจัด $3x^{2}+5x\geqslant2x-4$ ให้เทียบกับ $0$
Answershow ▾
Subtract $2x$ and add $4$ to both sides.ลบ $2x$ และบวก $4$ ทั้งสองข้าง
Factorise $2x^{2}+5x-3$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}+5x-3$
Answershow ▾
Split $5x$ using two numbers that multiply to $-6$ and add to $5$: $6$ and $-1$.แยกพจน์กลาง $5x$ ด้วยสองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ และบวกกันได้ $5$ คือ $6$ กับ $-1$
The curve $y=(2x-1)(x+3)$ crosses the $x$-axis where $y=0$. Find these two $x$-values.
เส้นโค้ง $y=(2x-1)(x+3)$ ตัดแกน $x$ ที่ $y=0$ จงหาค่า $x$ ทั้งสองค่านี้
Answershow ▾
Each factor can equal $0$ on its own.แต่ละวงเล็บเป็น $0$ ได้เองทีละตัว
Solve $4x^{2}-3x+7\geqslant4x+9$. Pick the first move.
(A) collect every term onto one side, so it compares with $0$
(B) divide both sides by $x$, since $x$ appears in every term
(C) solve $4x^{2}-3x+7=4x+9$ as an equation, and give the two $x$-values as the final answer
จงแก้อสมการ $4x^{2}-3x+7\geqslant4x+9$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ย้ายทุกพจน์มารวมไว้ด้านเดียว ให้เทียบกับ $0$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $x$ เพราะ $x$ อยู่ในทุกพจน์
(C) แก้ $4x^{2}-3x+7=4x+9$ แบบสมการ แล้วให้ค่า $x$ ทั้งสองค่าเป็นคำตอบสุดท้าย
Answershow ▾
(B) wrongly assumes every term has a factor of $x$ - the constants $7$ and $9$ do not, and dividing an inequality by $x$ is unsafe because its sign is unknown. (C) finds useful $x$-values but stops before turning them into a range of $x$.(B) สมมติผิดว่าทุกพจน์มี $x$ เป็นตัวประกอบ - ค่าคงที่ $7$ กับ $9$ ไม่มี และการหารอสมการด้วย $x$ ไม่ปลอดภัย เพราะไม่รู้เครื่องหมายของ $x$ · (C) ได้ค่า $x$ ที่มีประโยชน์ แต่หยุดก่อนเปลี่ยนเป็นช่วงของ $x$
Collect $4x^{2}-3x+7\geqslant4x+9$ onto one side.
จงจัด $4x^{2}-3x+7\geqslant4x+9$ ให้ด้านหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Subtract $4x$ and $9$ from both sides.ลบ $4x$ และ $9$ ทั้งสองข้าง
Factorise $4x^{2}-7x-2$.
จงแยกตัวประกอบ $4x^{2}-7x-2$
Answershow ▾
Split $-7x$ using two numbers that multiply to $-8$ and add to $-7$: $-8$ and $1$, same method as question 2.แยกพจน์กลาง $-7x$ ด้วยสองจำนวนที่คูณกันได้ $-8$ และบวกกันได้ $-7$ คือ $-8$ กับ $1$ ตามวิธีเดียวกับข้อ 2
$(4x+1)(x-2)=0$. Find the critical values of $x$.
$(4x+1)(x-2)=0$ จงหาค่าวิกฤตของ $x$
Answershow ▾
Each factor can equal $0$ on its own - same idea as question 3.แต่ละวงเล็บเป็น $0$ ได้เองทีละตัว เหมือนข้อ 3
The curve $y=4x^{2}-7x-2$ opens upward, with critical values $x=-\dfrac14$ and $x=2$. Pick the solution of $4x^{2}-7x-2\geqslant0$.
(A) $-\dfrac14\leqslant x\leqslant2$
(B) $x\lt-\dfrac14$ or $x\gt2$
(C) $x\leqslant-\dfrac14$ or $x\geqslant2$
เส้นโค้ง $y=4x^{2}-7x-2$ หงายขึ้น มีค่าวิกฤต $x=-\dfrac14$ และ $x=2$ จงเลือกคำตอบของ $4x^{2}-7x-2\geqslant0$
(A) $-\dfrac14\leqslant x\leqslant2$
(B) $x\lt-\dfrac14$ หรือ $x\gt2$
(C) $x\leqslant-\dfrac14$ หรือ $x\geqslant2$
Answershow ▾
(A) is the region BETWEEN the roots, where the curve dips below the $x$-axis - wrong for an upward curve and $\geqslant0$. (B) is the right region but drops the critical values - $\geqslant$ keeps them, since the curve equals $0$ there too.(A) คือช่วงระหว่างสองราก ซึ่งเส้นโค้งลดลงต่ำกว่าแกน $x$ - ผิดสำหรับเส้นโค้งหงายขึ้นและ $\geqslant0$ · (B) เป็นช่วงที่ถูกแต่ตัดค่าวิกฤตออก - $\geqslant$ ต้องเก็บค่าวิกฤตไว้ด้วย เพราะเส้นโค้งเป็น $0$ ที่จุดนั้นเช่นกัน
Write the solution of $4x^{2}-3x+7\geqslant4x+9$.
จงเขียนคำตอบของอสมการ $4x^{2}-3x+7\geqslant4x+9$
Answershow ▾
Same critical values, same region, written as the final answer.ค่าวิกฤตและช่วงเดิม เขียนเป็นคำตอบสุดท้าย
Check $x=0$. Does $4(0)^{2}-3(0)+7\geqslant4(0)+9$ hold?
ตรวจ $x=0$: $4(0)^{2}-3(0)+7\geqslant4(0)+9$ จริงไหม
Answershow ▾
$x=0$ sits between the critical values, so it should fail - and it does.$x=0$ อยู่ระหว่างค่าวิกฤต จึงควรไม่เป็นจริง และผลที่ได้ก็เป็นเช่นนั้น
Solve the inequality $x^{2}-x-6\geqslant0$.
จงแก้อสมการ $x^{2}-x-6\geqslant0$
Answershow ▾
Same three moves: factorise, find the critical values, then take outside the roots.สามขั้นเดิม: แยกตัวประกอบ หาค่าวิกฤต แล้วเลือกช่วงด้านนอกราก
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
Solve the inequality $4x^{2}-3x+7\ge4x+9$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
จงแก้อสมการ $4x^{2}-3x+7\ge4x+9$
Answershow ▾
4 marks: collect and factorise, state the critical values, then take outside the roots since the curve opens upward.4 คะแนน: ย้ายข้างแล้วแยกตัวประกอบ บอกค่าวิกฤต แล้วเลือกช่วงด้านนอกราก เพราะเส้นโค้งหงายขึ้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Fraction inequality, then an infinite region อสมการเศษส่วน แล้วพื้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด
(i) Solve $\dfrac{3}{x}\gt4$.
(ii) The curve $C$ has equation $y=2x^{2}-50$.
The straight line $l$ has a gradient of $3$, and $C$ and $l$ intersect on the negative $x$-axis.
The infinite region $R$, shown shaded in the diagram, lies in quadrants 2 and 3 and is bounded by $C$ and $l$ only.
Use inequalities to define the region $R$.
(i) จงแก้อสมการ $\dfrac{3}{x}\gt4$
(ii) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=2x^{2}-50$
เส้นตรง $l$ มีความชัน $3$ และ $C$ กับ $l$ ตัดกันบนแกน $x$ด้านลบ
พื้นที่ $R$ ซึ่งไม่มีที่สิ้นสุด แสดงเป็นแถบสีในรูป อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 และ 3 และล้อมด้วย $C$ กับ $l$ เท่านั้น
จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Work out $4^{2}$ and $(-4)^{2}$.
จงหาค่า $4^{2}$ และ $(-4)^{2}$
Answershow ▾
Squaring removes the sign, so the result is positive either way.การยกกำลังสองทำให้สัญญาณหายไป ผลลัพธ์เป็นบวกเสมอ
Solve $-4x\gt12$ by dividing both sides by $-4$. Remember to flip the inequality.
จงแก้อสมการ $-4x\gt12$ โดยหารทั้งสองข้างด้วย $-4$ อย่าลืมกลับทิศอสมการ
Answershow ▾
Dividing by a negative number flips $\gt$ to $\lt$.การหารด้วยจำนวนลบทำให้ $\gt$ กลับเป็น $\lt$
A boundary is the line $y=x+2$. Compare $0$ with $5+2$ to decide if the point $(5,0)$ is above or below this line.
เส้นขอบคือเส้นตรง $y=x+2$ จงเทียบ $0$ กับ $5+2$ เพื่อตัดสินว่าจุด $(5,0)$ อยู่เหนือหรือใต้เส้นนี้
Answershow ▾
A point with a smaller $y$-value than the line, at the same $x$, sits below the line.จุดที่มีค่า $y$ น้อยกว่าเส้นตรง ที่ $x$ เดียวกัน จะอยู่ใต้เส้นนั้น
To solve $\dfrac3x\gt4$, pick the safe first move.
(A) multiply both sides by $x$
(B) multiply both sides by $x^{2}$
(C) square both sides
เพื่อแก้อสมการ $\dfrac3x\gt4$ จงเลือกขั้นแรกที่ปลอดภัย
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $x$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $x^{2}$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(A) multiplies by $x$, whose sign is unknown - for $x\lt0$ this flips the inequality, so it silently assumes $x\gt0$ and can drop part of the answer. (C) squares both sides: $\dfrac9{x^{2}}\gt16$ is also true when $\dfrac3x\lt-4$, a case the original inequality does not allow.(A) คูณด้วย $x$ ซึ่งไม่รู้สัญญาณ - ถ้า $x\lt0$ อสมการจะพลิก จึงแอบสมมติว่า $x\gt0$ และอาจทำให้คำตอบขาดไป · (C) ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: $\dfrac9{x^{2}}\gt16$ เป็นจริงได้แม้ $\dfrac3x\lt-4$ ซึ่งเป็นกรณีที่อสมการเดิมไม่อนุญาต
Multiply both sides of $\dfrac3x\gt4$ by $x^{2}$. Write the result.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac3x\gt4$ ด้วย $x^{2}$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
$x^{2}$ is always positive, so the inequality keeps the same direction.$x^{2}$ เป็นบวกเสมอ อสมการจึงคงทิศทางเดิม
Rearrange $3x\gt4x^{2}$, factorise, then use a sketch of the parabola to read the solution.
จงจัดรูป $3x\gt4x^{2}$ แยกตัวประกอบ แล้วใช้สเก็ตช์พาราโบลาอ่านคำตอบ
Answershow ▾
The parabola $x(4x-3)$ opens upward and is zero at $0$ and $\dfrac34$ - negative only between them.พาราโบลา $x(4x-3)$ หงายขึ้น และเป็น $0$ ที่ $0$ กับ $\dfrac34$ - ติดลบเฉพาะช่วงระหว่างสองค่านี้
The line $l$ has gradient $3$ and passes through $(-5,0)$. Write its equation.
เส้นตรง $l$ มีความชัน $3$ และผ่านจุด $(-5,0)$ จงเขียนสมการของเส้นนี้
Answershow ▾
Use $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ with the given point.ใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ กับจุดที่กำหนด
$R$ is bounded by $C$ and $l$, for $x\lt-5$. Pick the safe way to decide which side of each boundary $R$ is on.
(A) assume $R$ is "below $C$" and "above $l$" from how the shading looks
(B) test a point known to be in $R$, such as $(-8,0)$, against each boundary
(C) use the signs in $y=2x^{2}-50$ and $y=3x+15$ without testing anything
$R$ ถูกล้อมด้วย $C$ และ $l$ สำหรับ $x\lt-5$ จงเลือกวิธีที่ปลอดภัยในการตัดสินว่า $R$ อยู่ฝั่งไหนของเส้นขอบแต่ละเส้น
(A) สมมติว่า $R$ "อยู่ใต้ $C$" และ "อยู่เหนือ $l$" จากรูปที่แรเงา
(B) ทดสอบจุดที่รู้ว่าอยู่ใน $R$ เช่น $(-8,0)$ กับเส้นขอบแต่ละเส้น
(C) ใช้เครื่องหมายใน $y=2x^{2}-50$ และ $y=3x+15$ โดยไม่ทดสอบอะไร
Answershow ▾
(A) guesses from the picture - a flipped sketch gives the wrong answer with nothing to catch it. (C) looks only at the equations; their signs do not say which side a region is on.(A) เดาจากรูป - ถ้ารูปพลิก ก็ได้คำตอบผิดโดยไม่มีอะไรช่วยจับได้ · (C) ดูแค่สมการ เครื่องหมายในสมการไม่บอกว่าพื้นที่อยู่ฝั่งไหน
At $(-8,0)$: compare $y=0$ with $2(-8)^{2}-50=78$, and with $3(-8)+15=-9$. Write the two inequalities for $R$.
ที่ $(-8,0)$: จงเทียบ $y=0$ กับ $2(-8)^{2}-50=78$ และกับ $3(-8)+15=-9$ แล้วเขียนอสมการสองข้อของ $R$
Answershow ▾
$0$ is less than the curve value and more than the line value, at the test point.ที่จุดทดสอบ $0$ น้อยกว่าค่าบนเส้นโค้ง และมากกว่าค่าบนเส้นตรง
Check that the test point $(-8,0)$ also satisfies $x\lt-5$, completing the three facts for $R$.
จงตรวจว่าจุดทดสอบ $(-8,0)$ สอดคล้องกับ $x\lt-5$ ด้วย ซึ่งทำให้ครบทั้งสามข้อเท็จจริงของ $R$
Answershow ▾
The point used to find the directions must itself be inside $R$ - the same check, on the third boundary.จุดที่ใช้หาทิศทางต้องอยู่ใน $R$ ด้วย - การตรวจแบบเดียวกัน แต่กับเส้นขอบที่สาม
(i) Solve $\dfrac2x\gt1$.
(ii) The curve $D$ has equation $y=x^{2}-9$. The line $m$ has gradient $1$ and meets $D$ on the negative $x$-axis. Define, using inequalities, the infinite region in quadrants 2 and 3 bounded only by $D$ and $m$.
(i) จงแก้อสมการ $\dfrac2x\gt1$
(ii) เส้นโค้ง $D$ มีสมการ $y=x^{2}-9$ เส้นตรง $m$ มีความชัน $1$ และตัดกับ $D$ บนแกน $x$ด้านลบ จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในควอดรันต์ที่ 2 และ 3 ซึ่งล้อมด้วย $D$ กับ $m$ เท่านั้น
Answershow ▾
Same three moves: multiply by $x^{2}$ and factorise; find the line from its point; test $(-6,0)$ for direction.สามขั้นเดิม: คูณด้วย $x^{2}$ แล้วแยกตัวประกอบ · หาสมการเส้นตรงจากจุดที่กำหนด · ทดสอบ $(-6,0)$ เพื่อหาทิศทาง
(i) Solve $\dfrac{3}{x}\gt4$.
(ii) The curve $C$ has equation $y=2x^{2}-50$.
The straight line $l$ has a gradient of $3$, and $C$ and $l$ intersect on the negative $x$-axis.
The infinite region $R$, shown shaded in the diagram, lies in quadrants 2 and 3 and is bounded by $C$ and $l$ only.
Use inequalities to define the region $R$.
(i) จงแก้อสมการ $\dfrac{3}{x}\gt4$
(ii) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=2x^{2}-50$
เส้นตรง $l$ มีความชัน $3$ และ $C$ กับ $l$ ตัดกันบนแกน $x$ด้านลบ
พื้นที่ $R$ ซึ่งไม่มีที่สิ้นสุด แสดงเป็นแถบสีในรูป อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 และ 3 และล้อมด้วย $C$ กับ $l$ เท่านั้น
จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Answershow ▾
6 marks: (i) 3 for the critical values, the range between them, and the upward parabola; (ii) 3 for the line, the curve/line inequalities, and the extra fact $x\lt-5$.6 คะแนน: (i) 3 คะแนนสำหรับค่าวิกฤต ช่วงระหว่างค่าวิกฤต และพาราโบลาที่หงายขึ้น · (ii) 3 คะแนนสำหรับเส้นตรง อสมการจากเส้นโค้ง/เส้นตรง และข้อเท็จจริงเพิ่ม $x\lt-5$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A line missing a curve เส้นตรงที่ไม่โดนเส้นโค้ง
The straight line $l$ has equation $y=k(2x-1)$, where $k$ is a constant.
The curve $C$ has equation $y=x^{2}+2x+11$.
Find the set of values of $k$ for which $l$ does not cross or touch $C$.
เส้นตรง $l$ มีสมการ $y=k(2x-1)$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{2}+2x+11$
จงหาช่วงของค่า $k$ ที่ทำให้ $l$ ไม่ตัดและไม่สัมผัส $C$
Expand $k(2x-1)$.
จงกระจาย $k(2x-1)$
Answershow ▾
Multiply both terms inside the bracket by $k$.คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย $k$
Write the discriminant $b^{2}-4ac$ for $2x^{2}-5x+1=0$.
จงเขียนดิสคริมิแนนต์ $b^{2}-4ac$ ของ $2x^{2}-5x+1=0$
Answershow ▾
Here $a=2$, $b=-5$, $c=1$.ในที่นี้ $a=2$, $b=-5$, $c=1$
Solve $x^{2}-x-6\lt0$.
จงแก้อสมการ $x^{2}-x-6\lt0$
Answershow ▾
Factorise first, then the expression is negative between its two roots.แยกตัวประกอบก่อน แล้วค่านี้จะน้อยกว่าศูนย์ระหว่างสองราก
To show $l$ does not cross or touch $C$, the equation $k(2x-1)=x^{2}+2x+11$ must have no real solution for $x$. Pick the correct condition on $b^{2}-4ac$.
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\lt0$
(C) $b^{2}-4ac\gt0$
เพื่อแสดงว่า $l$ ไม่ตัดและไม่สัมผัส $C$ สมการ $k(2x-1)=x^{2}+2x+11$ ต้องไม่มีคำตอบจริงสำหรับ $x$ จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้องของ $b^{2}-4ac$
(A) $b^{2}-4ac=0$
(B) $b^{2}-4ac\lt0$
(C) $b^{2}-4ac\gt0$
Answershow ▾
(A) means the line touches $C$ at one point, which still counts as touching. (C) means the line crosses $C$ twice.(A) หมายความว่าเส้นตรงสัมผัส $C$ ที่จุดเดียว ซึ่งนับเป็นการสัมผัส ไม่ใช่สิ่งที่ต้องการ · (C) หมายความว่าเส้นตรงตัด $C$ สองจุด
The line $l$ has equation $y=k(2x-1)$. The curve $C$ has equation $y=x^{2}+2x+11$. Set $k(2x-1)=x^{2}+2x+11$ and expand the bracket on the left.
เส้นตรง $l$ มีสมการ $y=k(2x-1)$ เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{2}+2x+11$ จงให้ $k(2x-1)=x^{2}+2x+11$ แล้วกระจายวงเล็บทางซ้าย
Answershow ▾
Multiply both terms inside the bracket by $k$.คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย $k$
Collect $2kx-k=x^{2}+2x+11$ into one quadratic equation in $x$, equal to $0$.
จงรวม $2kx-k=x^{2}+2x+11$ ให้เป็นสมการกำลังสองเดียวของ $x$ เท่ากับ $0$
Answershow ▾
Move every term to the right-hand side, then group the $x$ terms and the number terms.ย้ายทุกพจน์ไปด้านขวา แล้วจัดกลุ่มพจน์ $x$ กับพจน์ตัวเลข
Write $b^{2}-4ac$ for $x^{2}+(2-2k)x+(11+k)=0$, using $a=1$, $b=2-2k$, $c=11+k$, and simplify.
จงเขียน $b^{2}-4ac$ ของ $x^{2}+(2-2k)x+(11+k)=0$ โดยใช้ $a=1$, $b=2-2k$, $c=11+k$ แล้วจัดรูปให้ง่าย
Answershow ▾
Square $(2-2k)$ carefully, then subtract $4(11+k)$.ยกกำลังสอง $(2-2k)$ ให้ระมัดระวัง แล้วลบด้วย $4(11+k)$
$4k^{2}-12k-40\lt0$. Divide by $4$, then factorise to find the critical values of $k$.
$4k^{2}-12k-40\lt0$ จงหารด้วย $4$ แล้วแยกตัวประกอบเพื่อหาค่าวิกฤตของ $k$
Answershow ▾
Dividing by a positive number does not change the direction of the inequality.การหารด้วยจำนวนบวก ไม่เปลี่ยนทิศทางของอสมการ
You have $k^{2}-3k-10\lt0$, with critical values $k=5$ and $k=-2$. Pick the set of values that satisfies this.
(A) $-2\lt k\lt5$
(B) $k\lt-2$ or $k\gt5$
(C) $k\leqslant-2$ or $k\geqslant5$
คุณได้ $k^{2}-3k-10\lt0$ โดยมีค่าวิกฤตคือ $k=5$ และ $k=-2$ จงเลือกช่วงของค่าที่สอดคล้อง
(A) $-2\lt k\lt5$
(B) $k\lt-2$ หรือ $k\gt5$
(C) $k\leqslant-2$ หรือ $k\geqslant5$
Answershow ▾
The graph of $k^{2}-3k-10$ opens upward, so it is negative between its roots, not outside them - (B) and (C) pick the outside region.กราฟของ $k^{2}-3k-10$ หงายขึ้น จึงมีค่าน้อยกว่าศูนย์ระหว่างสองราก ไม่ใช่นอกราก · (B) และ (C) เลือกช่วงนอกราก
Check the boundary: show that the discriminant $4k^{2}-12k-40$ equals $0$ when $k=5$.
ตรวจสอบขอบเขต: จงแสดงว่าดิสคริมิแนนต์ $4k^{2}-12k-40$ มีค่าเท่ากับ $0$ เมื่อ $k=5$
Answershow ▾
At $k=5$ the line and curve touch at exactly one point, the edge of the region.เมื่อ $k=5$ เส้นตรงกับเส้นโค้งสัมผัสกันที่จุดเดียว ซึ่งเป็นขอบของช่วง
The line $l$ has equation $y=k(2x+3)$. The curve $C$ has equation $y=x^{2}+4x+10$. Find the set of values of $k$ for which $l$ does not cross or touch $C$.
เส้นตรง $l$ มีสมการ $y=k(2x+3)$ เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{2}+4x+10$ จงหาช่วงของค่า $k$ ที่ทำให้ $l$ ไม่ตัดและไม่สัมผัส $C$
Answershow ▾
Same moves: equate and expand, collect, discriminant less than $0$, then factorise.ขั้นตอนเดิม: ให้สมการเท่ากันแล้วกระจาย รวมพจน์ ดิสคริมิแนนต์น้อยกว่าศูนย์ แล้วแยกตัวประกอบ
The straight line $l$ has equation $y=k(2x-1)$, where $k$ is a constant.
The curve $C$ has equation $y=x^{2}+2x+11$.
Find the set of values of $k$ for which $l$ does not cross or touch $C$.
เส้นตรง $l$ มีสมการ $y=k(2x-1)$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{2}+2x+11$
จงหาช่วงของค่า $k$ ที่ทำให้ $l$ ไม่ตัดและไม่สัมผัส $C$
Answershow ▾
6 marks: form the quadratic, set the discriminant less than $0$, then solve for the interval between the critical values.6 คะแนน: ตั้งสมการกำลังสอง กำหนดดิสคริมิแนนต์ให้น้อยกว่า $0$ แล้วแก้หาช่วงระหว่างค่าวิกฤต
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A fraction equation that limits p สมการเศษส่วนที่จำกัดค่า p
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The equation
$4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$, $x\ne-p$
where $p$ is a constant, has two distinct real roots.
(a) Show that $3p^{2}-10p-8\gt0$.
(b) Hence, using algebra, find the range of possible values of $p$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
สมการ
$4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$, $x\ne-p$
เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ มีคำตอบจริงที่แตกต่างกันสองค่า
(ก) จงแสดงว่า $3p^{2}-10p-8\gt0$
(ข) จากข้อ (a) จงใช้พีชคณิตหาช่วงของค่า $p$ ที่เป็นไปได้
Expand $(p-2x)(x+p)$.
จงกระจาย $(p-2x)(x+p)$
Answershow ▾
Multiply every term in the first bracket by every term in the second, then collect like terms.คูณทุกพจน์ในวงเล็บแรกกับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
For a quadratic to have two distinct real roots, write the condition on $b^{2}-4ac$.
ถ้าสมการกำลังสองมีรากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน จงเขียนเงื่อนไขของ $b^{2}-4ac$
Answershow ▾
Two distinct real roots need a positive value under the square root.รากจริงสองค่าที่ไม่ซ้ำกัน ต้องมีค่าใต้เครื่องหมายรากเป็นบวก
Factorise $3p^{2}-10p-8$.
จงแยกตัวประกอบ $3p^{2}-10p-8$
Answershow ▾
Find two brackets that multiply out to give this, with $3p^{2}$ and $-8$ at the ends.หาสองวงเล็บที่กระจายแล้วได้นิพจน์นี้ โดยหัวและท้ายเป็น $3p^{2}$ กับ $-8$
The equation is $4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$. Pick the first move to remove the fraction.
(A) multiply both sides by $(x+p)$
(B) expand $4(p-2x)$ first
(C) multiply both sides by $4$
สมการคือ $4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อกำจัดเศษส่วน
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $(x+p)$
(B) กระจาย $4(p-2x)$ ก่อน
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $4$
Answershow ▾
(B) expanding the left side does not touch the denominator on the right - the fraction is still there. (C) multiplying by $4$ scales both sides but $(x+p)$ is still underneath; it never clears the fraction.(B) การกระจายข้างซ้ายไม่กระทบตัวหารทางขวา เศษส่วนยังอยู่เหมือนเดิม · (C) การคูณด้วย $4$ ขยายทั้งสองข้าง แต่ $(x+p)$ ยังอยู่ข้างใต้ ไม่ได้กำจัดเศษส่วนเลย
Multiply both sides of $4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$ by $(x+p)$, then expand the left side using question $1$.
คูณทั้งสองข้างของ $4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$ ด้วย $(x+p)$ แล้วกระจายข้างซ้ายโดยใช้ผลจากข้อ $1$
Answershow ▾
The bracket $(p-2x)(x+p)$ is the answer to question $1$. Multiply it by $4$.วงเล็บ $(p-2x)(x+p)$ คือคำตอบจากข้อ $1$ นำไปคูณด้วย $4$
Collect $4p^{2}-4px-8x^{2}=12+15p$ onto one side, as a quadratic in $x$ with a positive $x^{2}$ term.
รวมพจน์ของ $4p^{2}-4px-8x^{2}=12+15p$ ไว้ข้างเดียว เขียนเป็นสมการกำลังสองใน $x$ ที่พจน์ $x^{2}$ เป็นบวก
Answershow ▾
Move everything to the right of $=0$, then flip every sign so $x^{2}$ is positive.ย้ายทุกพจน์ไปให้เท่ากับ $0$ แล้วสลับเครื่องหมายทุกพจน์ให้ $x^{2}$ เป็นบวก
For $8x^{2}+4px+(12+15p-4p^{2})=0$, form $b^{2}-4ac\gt0$ and simplify it fully.
สำหรับ $8x^{2}+4px+(12+15p-4p^{2})=0$ จงตั้ง $b^{2}-4ac\gt0$ แล้วจัดรูปให้สุด
Answershow ▾
Use $a=8$, $b=4p$, $c=12+15p-4p^{2}$, then divide the result by $48$.ใช้ $a=8$, $b=4p$, $c=12+15p-4p^{2}$ แล้วหารผลลัพธ์ด้วย $48$
$3p^{2}-10p-8\gt0$ factorises to $(3p+2)(p-4)\gt0$ (question $3$). Where is this positive?
(A) between the roots: $-\dfrac23\lt p\lt4$
(B) outside the roots: $p\lt-\dfrac23$ or $p\gt4$
(C) only at the roots: $p=-\dfrac23$ or $p=4$
$3p^{2}-10p-8\gt0$ แยกตัวประกอบได้ $(3p+2)(p-4)\gt0$ (ข้อ $3$) จงหาว่าช่วงไหนที่นิพจน์นี้เป็นบวก
(A) ระหว่างราก: $-\dfrac23\lt p\lt4$
(B) นอกช่วงราก: $p\lt-\dfrac23$ หรือ $p\gt4$
(C) ที่รากเท่านั้น: $p=-\dfrac23$ หรือ $p=4$
Answershow ▾
The curve $3p^{2}-10p-8$ opens upward, so it dips below the $p$-axis between its two roots - that region is negative, not $\gt0$. (A) is that negative region; (C) only names the zeros.กราฟของ $3p^{2}-10p-8$ หงายขึ้น จึงต่ำกว่าแกน $p$ ในช่วงระหว่างสองราก ซึ่งเป็นค่าลบ ไม่ใช่ $\gt0$ · (A) คือช่วงลบนั้น ส่วน (C) เป็นแค่จุดที่กราฟเท่ากับศูนย์
Use $(3p+2)(p-4)\gt0$ and the region you chose. Write the full range of values of $p$.
ใช้ $(3p+2)(p-4)\gt0$ และช่วงที่เลือกไว้ จงเขียนช่วงของค่า $p$ ทั้งหมด
Answershow ▾
The critical values are $p=-\dfrac23$ and $p=4$; the correct region is outside them.ค่าวิกฤตคือ $p=-\dfrac23$ และ $p=4$ ช่วงที่ถูกต้องคือนอกช่วงราก
Check $p=5$, which is outside the critical values, in $3p^{2}-10p-8$. What value do you get?
ตรวจค่า $p=5$ ซึ่งอยู่นอกช่วงราก ใน $3p^{2}-10p-8$ จะได้ค่าเท่าใด
Answershow ▾
A value outside the critical values should make the expression positive.ค่าที่อยู่นอกช่วงราก ต้องทำให้นิพจน์เป็นบวก
The equation $(m-2x)=\dfrac{6+3m}{x+m}$, $x\ne-m$, has two distinct real roots. Find the range of values of $m$.
สมการ $(m-2x)=\dfrac{6+3m}{x+m}$, $x\ne-m$ มีคำตอบจริงที่แตกต่างกันสองค่า จงหาช่วงของค่า $m$
Answershow ▾
Same moves: clear the fraction, form the quadratic in $x$, the discriminant, then factorise.ขั้นเดิม: กำจัดเศษส่วน ตั้งสมการกำลังสองใน $x$ หา Discriminant แล้วแยกตัวประกอบ
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The equation
$4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$, $x\ne-p$
where $p$ is a constant, has two distinct real roots.
(a) Show that $3p^{2}-10p-8\gt0$.
(b) Hence, using algebra, find the range of possible values of $p$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
สมการ
$4(p-2x)=\dfrac{12+15p}{x+p}$, $x\ne-p$
เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ มีคำตอบจริงที่แตกต่างกันสองค่า
(ก) จงแสดงว่า $3p^{2}-10p-8\gt0$
(ข) จากข้อ (a) จงใช้พีชคณิตหาช่วงของค่า $p$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
6 marks: clear the fraction, form the quadratic in $x$, simplify the discriminant to the given inequality, then factorise and pick the region outside the roots.6 คะแนน: กำจัดเศษส่วน ตั้งสมการกำลังสองใน $x$ จัดรูป Discriminant ให้ได้อสมการที่โจทย์ให้ แล้วแยกตัวประกอบและเลือกช่วงนอกราก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A line that meets a shifted circle เส้นตรงตัดวงกลมที่เลื่อนศูนย์กลาง
Use algebra to solve the simultaneous equations
$y-3x=4$
$x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$
You must show all stages of your working.
จงใช้พีชคณิตแก้สมการพร้อมกัน
$y-3x=4$
$x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$
ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
Make $y$ the subject of $y-3x=4$.
จงจัดรูป $y-3x=4$ ให้ $y$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Add $3x$ to both sides.บวก $3x$ เข้าทั้งสองข้าง
Expand $(3x+4)^{2}$.
จงกระจาย $(3x+4)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Expand $-4(3x+4)$.
จงกระจาย $-4(3x+4)$
Answershow ▾
Multiply both terms inside the bracket by $-4$.คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย $-4$
One equation is a line, one has $x^{2}$ and $y^{2}$. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) make $y$ the subject of $y-3x=4$ and substitute into the other equation
(C) square both sides of $y-3x=4$
สมการหนึ่งเป็นเส้นตรง อีกสมการมี $x^{2}$ และ $y^{2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) จัดรูป $y-3x=4$ ให้ $y$ เป็นตัวตั้ง แล้วแทนค่าในอีกสมการ
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $y-3x=4$
Answershow ▾
(A) does not cancel anything: $x^{2}$ and $y^{2}$ have no matching terms in the line. (C) creates a new $xy$ term, leaving two variables tangled together.(A) ไม่ตัดอะไรออกเลย เพราะ $x^{2}$ และ $y^{2}$ ไม่มีพจน์ที่ตรงกับเส้นตรง · (C) ทำให้เกิดพจน์ $xy$ ใหม่ ทำให้ตัวแปรสองตัวยังพันกันอยู่
Substitute $y=3x+4$ into $x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $3x+4$ ใน $x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Keep the brackets. The whole of $3x+4$ is squared, and the whole of $3x+4$ is times $-4$.ต้องมีวงเล็บ · ยกกำลังสองทั้ง $3x+4$ และคูณทั้ง $3x+4$ ด้วย $-4$
Show that $x^{2}+(3x+4)^{2}+6x-4(3x+4)=4$ becomes $10x^{2}+18x-4=0$.
จงแสดงว่า $x^{2}+(3x+4)^{2}+6x-4(3x+4)=4$ จัดรูปได้เป็น $10x^{2}+18x-4=0$
Answershow ▾
Use questions 2 and 3 for the brackets, then move the $4$.ใช้ข้อ 2 และ 3 กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $4$
Divide $10x^{2}+18x-4=0$ by $2$, then solve the resulting quadratic by factorising.
หาร $10x^{2}+18x-4=0$ ด้วย $2$ แล้วแก้สมการกำลังสองที่ได้โดยแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Check by expanding: $(5x-1)(x+2)$ gives $5x^{2}+10x-x-2=5x^{2}+9x-2$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(5x-1)(x+2)$ ได้ $5x^{2}+10x-x-2=5x^{2}+9x-2$
You have $x=\dfrac15$ and $x=-2$. To find the matching $y$ for each, which equation do you substitute into?
(A) $x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$, and solve for $y$
(B) $y=3x+4$
(C) use the same $y$ for both $x$ values
ได้ $x=\dfrac15$ กับ $x=-2$ จะหา $y$ ที่ตรงกันต้องแทนค่าในสมการไหน
(A) $x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$ แล้วแก้หา $y$
(B) $y=3x+4$
(C) ใช้ $y$ ค่าเดียวกันสำหรับทั้งสอง $x$
Answershow ▾
(A) gives a quadratic in $y$ for each $x$ - two values, and only one lies on the line. (C) is wrong: each $x$ gives its own $y$ through $y=3x+4$.(A) ให้สมการกำลังสองของ $y$ สำหรับแต่ละ $x$ ซึ่งมีสองค่า และมีแค่ค่าเดียวที่อยู่บนเส้นตรง · (C) ผิด เพราะ $x$ แต่ละค่าให้ $y$ ของตัวเองผ่าน $y=3x+4$
Use $y=3x+4$ to find $y$ for $x=\dfrac15$ and for $x=-2$. Write both pairs.
ใช้ $y=3x+4$ หา $y$ เมื่อ $x=\dfrac15$ และเมื่อ $x=-2$ แล้วเขียนทั้งสองคู่
Answershow ▾
Two pairs: the line meets the circle twice.ได้สองคู่ เพราะเส้นตรงตัดวงกลมสองครั้ง
Check that $\left(\dfrac15,\dfrac{23}{5}\right)$ fits $x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$.
จงตรวจว่าคู่ $\left(\dfrac15,\dfrac{23}{5}\right)$ เป็นจริงกับ $x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$
Answershow ▾
A pair that fits both equations lies on both graphs.คู่ที่เป็นจริงกับทั้งสองสมการ อยู่บนกราฟทั้งสอง
Solve the simultaneous equations $y=x+1$ and $x^{2}+y^{2}+2x-2y=3$.
จงแก้ระบบสมการ $y=x+1$ และ $x^{2}+y^{2}+2x-2y=3$
Answershow ▾
Same moves: substitute, expand, collect, then back into the line.ขั้นตอนเดิม: แทนค่า กระจาย รวมพจน์ แล้วแทนกลับในเส้นตรง
Use algebra to solve the simultaneous equations
$y-3x=4$
$x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$
You must show all stages of your working.
จงใช้พีชคณิตแก้สมการพร้อมกัน
$y-3x=4$
$x^{2}+y^{2}+6x-4y=4$
ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
Answershow ▾
7 marks: four for method, three for accuracy. Show every line, and pair each $x$ with its own $y$.7 คะแนน: สี่คะแนนเป็นวิธีทำ สามคะแนนเป็นความถูกต้อง ต้องเขียนทุกบรรทัด และจับคู่ $x$ แต่ละค่ากับ $y$ ของมันเอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Line meets curve, then shade a region เส้นตรงตัดเส้นโค้ง แล้วหาพื้นที่แถบสี
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
A line $l$ with equation $x+y=6$ and a curve $C$ with equation $y=6x-2x^{2}+1$ are shown in the diagram.
The line $l$ intersects the curve $C$ at the points $P$ and $Q$, as shown.
(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and the coordinates of $Q$.
(b) The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by $C$, $l$ and the $x$-axis.
Use inequalities to define the region $R$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
รูปแสดงเส้นตรง $l$ ซึ่งมีสมการ $x+y=6$ และเส้นโค้ง $C$ ซึ่งมีสมการ $y=6x-2x^{2}+1$
เส้นตรง $l$ ตัดเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $P$ และ $Q$ ตามรูป
(ก) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$ และพิกัดของจุด $Q$
(ข) พื้นที่ $R$ ซึ่งแสดงเป็นแถบสีในรูป ล้อมด้วย $C$, $l$ และแกน $x$
จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Make $y$ the subject of $x+y=6$.
จงจัดให้ $y$ อยู่ตัวเดียวจาก $x+y=6$
Answershow ▾
Move $x$ to the other side of the equals sign.ย้าย $x$ ไปอีกฝั่งของเครื่องหมายเท่ากับ
$0 = 7x-2x^{2}-5$. Multiply both sides by $-1$ to make the $x^{2}$ term positive.
$0 = 7x-2x^{2}-5$ จงคูณทั้งสองข้างด้วย $-1$ ให้พจน์ $x^{2}$ เป็นบวก
Answershow ▾
Every term flips sign, and the two sides swap too.ทุกพจน์เปลี่ยนเครื่องหมาย และสองข้างสลับที่กันด้วย
Factorise $2x^{2}-7x+5$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}-7x+5$
Answershow ▾
Two brackets whose outer and inner terms add to $-7x$.สองวงเล็บที่พจน์นอกกับพจน์ในรวมกันได้ $-7x$
The line $l$ is $x+y=6$ and the curve $C$ is $y=6x-2x^{2}+1$. Pick the correct equation for where they meet.
(A) $6x-2x^{2}+1 = 6+x$
(B) $6x-2x^{2}+1 = 6-x$
(C) $x = 6x-2x^{2}+1$
เส้นตรง $l$ คือ $x+y=6$ และเส้นโค้ง $C$ คือ $y=6x-2x^{2}+1$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับหาจุดที่ทั้งสองตัดกัน
(A) $6x-2x^{2}+1 = 6+x$
(B) $6x-2x^{2}+1 = 6-x$
(C) $x = 6x-2x^{2}+1$
Answershow ▾
(A) rearranges $x+y=6$ with the wrong sign - it should be $y=6-x$, not $6+x$. (C) replaces $y$ with $x$ instead of with the line, confusing the two letters.(A) จัดรูป $x+y=6$ ด้วยเครื่องหมายผิด ที่ถูกคือ $y=6-x$ ไม่ใช่ $6+x$ · (C) แทน $y$ ด้วย $x$ แทนที่จะแทนด้วยเส้นตรง ทำให้สับสนตัวแปรทั้งสอง
Substitute $y=6-x$ into the curve $y=6x-2x^{2}+1$, and collect everything into $2x^{2}-7x+5=0$.
จงแทน $y=6-x$ ลงในเส้นโค้ง $y=6x-2x^{2}+1$ แล้วรวมทุกพจน์ให้อยู่ในรูป $2x^{2}-7x+5=0$
Answershow ▾
Substitute first, then move every term across the equals sign one at a time.แทนค่าก่อน แล้วย้ายทุกพจน์ข้ามเครื่องหมายเท่ากับทีละขั้น
Solve $2x^{2}-7x+5=0$.
จงแก้สมการ $2x^{2}-7x+5=0$
Answershow ▾
Check by expanding the brackets from question $3$.ตรวจโดยกระจายวงเล็บจากข้อ $3$ กลับ
Use $y=6-x$ to find $y$ when $x=1$ and when $x=2.5$, then write the coordinates of $P$ and $Q$.
ใช้ $y=6-x$ หาค่า $y$ เมื่อ $x=1$ และเมื่อ $x=2.5$ แล้วเขียนพิกัดของจุด $P$ และ $Q$
Answershow ▾
$Q=(2.5,3.5)$
The smaller $x$ with its own $y$ makes $P$; the larger $x$ with its own $y$ makes $Q$.$x$ ค่าน้อยคู่กับ $y$ ของตัวเองเป็น $P$ ส่วน $x$ ค่ามากคู่กับ $y$ ของตัวเองเป็น $Q$
The point $(1.5,3)$ is inside the region $R$. Use it to pick the correct inequality for the curve boundary.
(A) $y \geqslant 6x-2x^{2}+1$
(B) $y \leqslant 6x-2x^{2}+1$
(C) $x \geqslant 6x-2x^{2}+1$
จุด $(1.5,3)$ อยู่ภายในพื้นที่ $R$ จงใช้จุดนี้เลือกอสมการที่ถูกต้องสำหรับขอบของเส้นโค้ง
(A) $y \geqslant 6x-2x^{2}+1$
(B) $y \leqslant 6x-2x^{2}+1$
(C) $x \geqslant 6x-2x^{2}+1$
Answershow ▾
At $(1.5,3)$ the curve gives $y=5.5$. Since $3$ is less than $5.5$, the correct direction is $\leqslant$, not $\geqslant$ - (A) has it backwards. (C) compares $x$, the wrong letter, to an expression for $y$.ที่ $(1.5,3)$ เส้นโค้งให้ $y=5.5$ เนื่องจาก $3$ น้อยกว่า $5.5$ ทิศทางที่ถูกคือ $\leqslant$ ไม่ใช่ $\geqslant$ · (A) ใส่ทิศทางผิด · (C) เอา $x$ ซึ่งเป็นตัวแปรผิดไปเทียบกับนิพจน์ของ $y$
Using the test point $(1.5,3)$, write the inequality for the curve boundary of $R$.
โดยใช้จุดทดสอบ $(1.5,3)$ จงเขียนอสมการสำหรับขอบของเส้นโค้งของพื้นที่ $R$
Answershow ▾
The test point sits below the curve, so every point in $R$ sits below it too.จุดทดสอบอยู่ต่ำกว่าเส้นโค้ง ดังนั้นทุกจุดใน $R$ จึงอยู่ต่ำกว่าเส้นโค้งเช่นกัน
$R$ also has a left edge at $P$, an upper bound from the line, and a floor on the $x$-axis. Write the three remaining inequalities, then check $(1.5,3)$ against all four.
$R$ ยังมีขอบซ้ายที่จุด $P$ ขอบบนจากเส้นตรง และพื้นเป็นแกน $x$ จงเขียนอสมการที่เหลือทั้งสาม แล้วตรวจ $(1.5,3)$ กับทั้งสี่อสมการ
Answershow ▾
$x+y \leqslant 6$
$y \geqslant 0$
The floor stops $R$ going below the $x$-axis once the curve bends back down, past $Q$.พื้นหยุดไม่ให้ $R$ ลึกลงต่ำกว่าแกน $x$ หลังเส้นโค้งโค้งกลับลงหลังจุด $Q$
A line $l$: $x+y=5$ and a curve $C$: $y=3x-x^{2}+2$ meet at $P$ and $Q$.
(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and $Q$.
(b) The region $R$ is bounded by $C$, $l$ and the $x$-axis. Use inequalities to define $R$.
เส้นตรง $l$: $x+y=5$ และเส้นโค้ง $C$: $y=3x-x^{2}+2$ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$
(ก) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$ และ $Q$
(ข) พื้นที่ $R$ ล้อมด้วย $C$, $l$ และแกน $x$ จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Answershow ▾
$Q=(3,2)$
$x\geqslant1$
$y\leqslant3x-x^{2}+2$
$x+y\leqslant5$
$y\geqslant0$
Same two moves as the exam question: substitute and factorise for $P$ and $Q$, then test a point for each boundary.สองขั้นเดิมเหมือนข้อสอบ: แทนค่าแล้วแยกตัวประกอบหา $P$ และ $Q$ แล้วทดสอบจุดสำหรับขอบแต่ละด้าน
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
A line $l$ with equation $x+y=6$ and a curve $C$ with equation $y=6x-2x^{2}+1$ are shown in the diagram.
The line $l$ intersects the curve $C$ at the points $P$ and $Q$, as shown.
(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and the coordinates of $Q$.
(b) The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by $C$, $l$ and the $x$-axis.
Use inequalities to define the region $R$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
รูปแสดงเส้นตรง $l$ ซึ่งมีสมการ $x+y=6$ และเส้นโค้ง $C$ ซึ่งมีสมการ $y=6x-2x^{2}+1$
เส้นตรง $l$ ตัดเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $P$ และ $Q$ ตามรูป
(ก) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$ และพิกัดของจุด $Q$
(ข) พื้นที่ $R$ ซึ่งแสดงเป็นแถบสีในรูป ล้อมด้วย $C$, $l$ และแกน $x$
จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Answershow ▾
7 marks across two parts: four for the algebra in (a), three for the four inequalities in (b).7 คะแนนจากสองข้อ: สี่คะแนนสำหรับพีชคณิตใน (ก) และสามคะแนนสำหรับสี่อสมการใน (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Simultaneous equations, a hidden quadratic สมการพร้อมกัน มีสมการกำลังสองซ่อนอยู่
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
(a) Given that
$2xy-3x^{2}=50$
and
$y-x^{3}+6x=0$
show that
$2x^{4}-15x^{2}-50=0$
(b) Hence solve the simultaneous equations
$2xy-3x^{2}=50$
$y-x^{3}+6x=0$
Give your answers in fully simplified surd form.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(ก) กำหนดให้
$2xy-3x^{2}=50$
และ
$y-x^{3}+6x=0$
จงแสดงว่า
$2x^{4}-15x^{2}-50=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการพร้อมกัน
$2xy-3x^{2}=50$
$y-x^{3}+6x=0$
ตอบในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Make $y$ the subject of $y-x^{3}+6x=0$.
จงจัดให้ $y$ อยู่ตัวเดียวจาก $y-x^{3}+6x=0$
Answershow ▾
Move every other term to the other side.ย้ายพจน์อื่นทั้งหมดไปอีกข้าง
Solve $2u^{2}-7u-15=0$.
จงแก้สมการ $2u^{2}-7u-15=0$
Answershow ▾
Find factors of $2\times(-15)=-30$ that add to $-7$.หาตัวประกอบของ $2\times(-15)=-30$ ที่บวกกันได้ $-7$
$x^{2}=-\dfrac52$ or $x^{2}=10$. Which one is possible?
$x^{2}=-\dfrac52$ หรือ $x^{2}=10$ อันไหนเป็นไปได้?
Answershow ▾
A square is never negative.กำลังสองไม่มีวันเป็นลบ
Both equations have $y$. Pick the first move.
(A) make $y$ the subject of $y-x^{3}+6x=0$, then substitute into $2xy-3x^{2}=50$
(B) make $y$ the subject of $2xy-3x^{2}=50$, then substitute into $y-x^{3}+6x=0$
(C) add the two equations together
ทั้งสองสมการมี $y$ จงเลือกขั้นแรก
(A) จัดให้ $y$ อยู่ตัวเดียวจาก $y-x^{3}+6x=0$ แล้วแทนใน $2xy-3x^{2}=50$
(B) จัดให้ $y$ อยู่ตัวเดียวจาก $2xy-3x^{2}=50$ แล้วแทนใน $y-x^{3}+6x=0$
(C) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
Answershow ▾
(B) leaves $y$ as a fraction, $y=\dfrac{50+3x^{2}}{2x}$, before any substitution happens. (C) removes no letter: $2xy-3x^{2}$ and $-x^{3}+6x$ share no term, so adding keeps both $x$ and $y$.(B) ทำให้ $y$ กลายเป็นเศษส่วน $y=\dfrac{50+3x^{2}}{2x}$ ก่อนจะได้แทนค่าเลยด้วยซ้ำ · (C) ไม่ได้กำจัดตัวแปรใดเลย เพราะ $2xy-3x^{2}$ กับ $-x^{3}+6x$ ไม่มีพจน์ร่วมกัน การบวกจึงยังเหลือทั้ง $x$ และ $y$
Replace $y$ with $x^{3}-6x$ in $2xy-3x^{2}=50$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $x^{3}-6x$ ใน $2xy-3x^{2}=50$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Keep the bracket: the whole of $x^{3}-6x$ is multiplied by $2x$.ต้องมีวงเล็บ เพราะ $2x$ คูณกับ $x^{3}-6x$ ทั้งก้อน
Show that $2x(x^{3}-6x)-3x^{2}=50$ becomes $2x^{4}-15x^{2}-50=0$.
จงแสดงว่า $2x(x^{3}-6x)-3x^{2}=50$ จัดรูปได้เป็น $2x^{4}-15x^{2}-50=0$
Answershow ▾
A given answer needs every line: expand, move the $50$, then collect.คำตอบที่โจทย์ให้มาต้องมีทุกขั้น: กระจาย ย้าย $50$ แล้วรวมพจน์
Put $u=x^{2}$ in $2x^{4}-15x^{2}-50=0$, then solve for $u$.
แทน $u=x^{2}$ ใน $2x^{4}-15x^{2}-50=0$ แล้วแก้หา $u$
Answershow ▾
$x^{4}=(x^{2})^{2}=u^{2}$, so the equation is a quadratic in $u$.$x^{4}=(x^{2})^{2}=u^{2}$ สมการนี้จึงเป็นสมการกำลังสองของ $u$
You have $u=-\dfrac52$ and $u=10$, where $u=x^{2}$. Pick what happens next.
(A) keep both values and find $x$ for each
(B) reject $u=-\dfrac52$, since $x^{2}$ cannot be negative, and keep $u=10$
(C) reject $u=10$, since it is the larger value
ได้ $u=-\dfrac52$ กับ $u=10$ โดย $u=x^{2}$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) เก็บทั้งสองค่า แล้วหา $x$ จากทั้งคู่
(B) ตัด $u=-\dfrac52$ ทิ้ง เพราะ $x^{2}$ เป็นลบไม่ได้ แล้วเก็บ $u=10$
(C) ตัด $u=10$ ทิ้ง เพราะเป็นค่าที่มากกว่า
Answershow ▾
(A) keeps a value that $x^{2}$ can never equal: a real square is never negative. (C) rejects the only possible value, for no reason at all - size is not the test, sign is.(A) เก็บค่าที่ $x^{2}$ เป็นไปไม่ได้เลย เพราะกำลังสองของจำนวนจริงไม่เป็นลบ · (C) ตัดค่าเดียวที่เป็นไปได้ทิ้งโดยไม่มีเหตุผลรองรับ ขนาดไม่ใช่ตัวตัดสิน เครื่องหมายคือตัวตัดสิน
Solve $x^{2}=10$ for $x$, in simplified surd form.
จงแก้ $x^{2}=10$ หา $x$ ในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
Square-rooting gives a plus root and a minus root.การถอดรากที่สองได้รากบวกและรากลบ
Use $y=x^{3}-6x$ to find $y$ when $x=\sqrt{10}$, and when $x=-\sqrt{10}$. Write both pairs.
ใช้ $y=x^{3}-6x$ หา $y$ เมื่อ $x=\sqrt{10}$ และเมื่อ $x=-\sqrt{10}$ แล้วเขียนทั้งสองคู่
Answershow ▾
Keep the sign together: the positive $x$ pairs with the positive $y$.เก็บเครื่องหมายให้ตรงกัน: $x$ บวกจับคู่กับ $y$ บวก
Solve the simultaneous equations $2xy-7x^{2}=9$ and $y-x^{3}+5x=0$.
จงแก้ระบบสมการ $2xy-7x^{2}=9$ และ $y-x^{3}+5x=0$
Answershow ▾
Same moves: rearrange for $y$, substitute, put $u=x^{2}$, reject the negative, go back to $x$ and $y$.ขั้นตอนเดิม: จัดหา $y$ แทนค่า ใช้ $u=x^{2}$ ตัดค่าลบทิ้ง แล้วกลับไปหา $x$ และ $y$
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
(a) Given that
$2xy-3x^{2}=50$
and
$y-x^{3}+6x=0$
show that
$2x^{4}-15x^{2}-50=0$
(b) Hence solve the simultaneous equations
$2xy-3x^{2}=50$
$y-x^{3}+6x=0$
Give your answers in fully simplified surd form.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
(ก) กำหนดให้
$2xy-3x^{2}=50$
และ
$y-x^{3}+6x=0$
จงแสดงว่า
$2x^{4}-15x^{2}-50=0$
(ข) จากข้อ (a) จงแก้สมการพร้อมกัน
$2xy-3x^{2}=50$
$y-x^{3}+6x=0$
ตอบในรูปกรณฑ์อย่างง่าย
Answershow ▾
7 marks: 2 for part (a), 5 for part (b). Show every line - this is a show-that question followed by a solve question.7 คะแนน: ข้อ (a) 2 คะแนน ข้อ (b) 5 คะแนน ต้องเขียนทุกบรรทัด เพราะเป็นข้อแสดงที่มาต่อด้วยข้อแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Line meets curve, region never closes เส้นตรงตัดเส้นโค้ง พื้นที่ไม่ปิดด้านหนึ่ง
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a line $l$ with equation $y-5x=75$ and a curve $C$ with equation $y=2x^{2}+x-21$.
The line $l$ intersects the curve $C$ at the points $P$ and $Q$, as shown.
(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and the coordinates of $Q$.
(b) The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by $C$, $l$ and the $x$-axis.
Use inequalities to define the region $R$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
รูปแสดงเส้นตรง $l$ ซึ่งมีสมการ $y-5x=75$ และเส้นโค้ง $C$ ซึ่งมีสมการ $y=2x^{2}+x-21$
เส้นตรง $l$ ตัดเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $P$ และ $Q$ ตามรูป
(ก) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$ และพิกัดของจุด $Q$
(ข) พื้นที่ $R$ ซึ่งแสดงเป็นแถบสีในรูป ล้อมด้วย $C$, $l$ และแกน $x$
จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Make $y$ the subject of $y-5x=75$.
จงจัดให้ $y$ อยู่ตัวเดียวจาก $y-5x=75$
Answershow ▾
Move $-5x$ to the other side of the equals sign.ย้าย $-5x$ ไปอีกฝั่งของเครื่องหมายเท่ากับ
Divide every term of $2x^{2}-4x-96=0$ by $2$.
จงหารทุกพจน์ของ $2x^{2}-4x-96=0$ ด้วย $2$
Answershow ▾
Dividing by the common factor first makes the numbers smaller before you factorise.หารด้วยตัวร่วมก่อน ทำให้ตัวเลขเล็กลงก่อนแยกตัวประกอบ
Factorise $x^{2}-2x-48$.
จงแยกตัวประกอบ $x^{2}-2x-48$
Answershow ▾
Two brackets whose outer and inner terms add to $-2x$.สองวงเล็บที่พจน์นอกกับพจน์ในรวมกันได้ $-2x$
The line $l$ is $y-5x=75$ and the curve $C$ is $y=2x^{2}+x-21$. Pick the correct equation for where they meet.
(A) $2x^{2}+x-21 = 5x-75$
(B) $2x^{2}+x-21 = 5x+75$
(C) $2x^{2}+x-21 = -5x+75$
เส้นตรง $l$ คือ $y-5x=75$ และเส้นโค้ง $C$ คือ $y=2x^{2}+x-21$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับหาจุดที่ทั้งสองตัดกัน
(A) $2x^{2}+x-21 = 5x-75$
(B) $2x^{2}+x-21 = 5x+75$
(C) $2x^{2}+x-21 = -5x+75$
Answershow ▾
(A) flips the sign of $75$, moving $-5x$ to the wrong side gives the wrong constant. (C) flips the sign of $5x$ instead, which is the opposite mistake.(A) สลับเครื่องหมายของ $75$ ย้าย $-5x$ ไปผิดฝั่ง ทำให้ค่าคงที่ผิด · (C) สลับเครื่องหมายของ $5x$ แทน ซึ่งเป็นความผิดพลาดตรงข้าม
Substitute $y=5x+75$ into the curve $y=2x^{2}+x-21$, and collect everything into $x^{2}-2x-48=0$.
จงแทน $y=5x+75$ ลงในเส้นโค้ง $y=2x^{2}+x-21$ แล้วรวมทุกพจน์ให้อยู่ในรูป $x^{2}-2x-48=0$
Answershow ▾
Equate first, move every term across the equals sign one at a time, divide by the common factor last.ให้สมการเท่ากันก่อน ย้ายทุกพจน์ข้ามเครื่องหมายเท่ากับทีละขั้น แล้วหารด้วยตัวร่วมเป็นขั้นสุดท้าย
Solve $x^{2}-2x-48=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}-2x-48=0$
Answershow ▾
Check by expanding the brackets from question $3$.ตรวจโดยกระจายวงเล็บจากข้อ $3$ กลับ
Use $y=5x+75$ to find $y$ when $x=-6$ and when $x=8$, then write the coordinates of $P$ and $Q$.
ใช้ $y=5x+75$ หาค่า $y$ เมื่อ $x=-6$ และเมื่อ $x=8$ แล้วเขียนพิกัดของจุด $P$ และ $Q$
Answershow ▾
$Q=(8,115)$
The smaller $x$ with its own $y$ makes $P$; the larger $x$ with its own $y$ makes $Q$.$x$ ค่าน้อยคู่กับ $y$ ของตัวเองเป็น $P$ ส่วน $x$ ค่ามากคู่กับ $y$ ของตัวเองเป็น $Q$
The point $(8.5,50)$ is inside the region $R$, beyond $Q$. Use it to pick the correct inequality for the line boundary.
(A) $y \geqslant 5x+75$
(B) $y \leqslant 5x+75$
(C) $x \geqslant 5x+75$
จุด $(8.5,50)$ อยู่ภายในพื้นที่ $R$ ถัดจากจุด $Q$ จงใช้จุดนี้เลือกอสมการที่ถูกต้องสำหรับขอบของเส้นตรง
(A) $y \geqslant 5x+75$
(B) $y \leqslant 5x+75$
(C) $x \geqslant 5x+75$
Answershow ▾
At $(8.5,50)$ the line gives $y=117.5$; since $50$ is less, the direction is $\leqslant$, not $\geqslant$ - (A) is backwards. (C) compares $x$, the wrong letter, to $y$.ที่ $(8.5,50)$ เส้นตรงให้ $y=117.5$ เนื่องจาก $50$ น้อยกว่า ทิศทางที่ถูกคือ $\leqslant$ ไม่ใช่ $\geqslant$ · (A) ใส่ทิศทางผิด · (C) เอา $x$ ซึ่งเป็นตัวแปรผิดไปเทียบกับ $y$
Using the test point $(6,30)$, write the inequality for the curve boundary of $R$ near $Q$.
โดยใช้จุดทดสอบ $(6,30)$ จงเขียนอสมการสำหรับขอบของเส้นโค้งของพื้นที่ $R$ ใกล้จุด $Q$
Answershow ▾
The test point sits below the curve, so every point in $R$ near $Q$ sits below it too.จุดทดสอบอยู่ต่ำกว่าเส้นโค้ง ดังนั้นทุกจุดใน $R$ ใกล้จุด $Q$ จึงอยู่ต่ำกว่าเส้นโค้งเช่นกัน
$R$ also has a line boundary beyond $Q$, a left edge somewhere before the curve crosses the $x$-axis, and a floor on the $x$-axis. Write the three remaining inequalities, then check $(8.5,50)$ against all four.
$R$ ยังมีขอบจากเส้นตรงถัดจากจุด $Q$ ขอบซ้ายที่อยู่ก่อนเส้นโค้งตัดแกน $x$ และพื้นเป็นแกน $x$ จงเขียนอสมการที่เหลือทั้งสาม แล้วตรวจ $(8.5,50)$ กับทั้งสี่อสมการ
Answershow ▾
$x \geqslant a$
$y \geqslant 0$
The curve crosses the $x$-axis at $x=-3.5$ and $x=3$, so the left edge can sit anywhere between them; the check below uses $a=3$.เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ $x=-3.5$ และ $x=3$ ขอบซ้ายจึงอยู่ที่ไหนก็ได้ระหว่างนั้น การตรวจนี้ใช้ $a=3$
A line $l$: $y-2x=24$ and a curve $C$: $y=2x^{2}-2x-24$ meet at $P$ and $Q$.
(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and $Q$.
(b) The region $R$ is bounded by $C$, $l$ and the $x$-axis. Use inequalities to define $R$.
เส้นตรง $l$: $y-2x=24$ และเส้นโค้ง $C$: $y=2x^{2}-2x-24$ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$
(ก) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$ และ $Q$
(ข) พื้นที่ $R$ ล้อมด้วย $C$, $l$ และแกน $x$ จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Answershow ▾
$Q=(6,36)$
$x\geqslant4$
$y\leqslant2x^{2}-2x-24$
$y\leqslant2x+24$
$y\geqslant0$
Same two moves as the exam question: substitute and divide by the common factor for $P$ and $Q$, then test a point for each boundary.สองขั้นเดิมเหมือนข้อสอบ: แทนค่าแล้วหารด้วยตัวร่วมหา $P$ และ $Q$ แล้วทดสอบจุดสำหรับขอบแต่ละด้าน
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a line $l$ with equation $y-5x=75$ and a curve $C$ with equation $y=2x^{2}+x-21$.
The line $l$ intersects the curve $C$ at the points $P$ and $Q$, as shown.
(a) Find, using algebra, the coordinates of $P$ and the coordinates of $Q$.
(b) The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by $C$, $l$ and the $x$-axis.
Use inequalities to define the region $R$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
รูปแสดงเส้นตรง $l$ ซึ่งมีสมการ $y-5x=75$ และเส้นโค้ง $C$ ซึ่งมีสมการ $y=2x^{2}+x-21$
เส้นตรง $l$ ตัดเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $P$ และ $Q$ ตามรูป
(ก) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$ และพิกัดของจุด $Q$
(ข) พื้นที่ $R$ ซึ่งแสดงเป็นแถบสีในรูป ล้อมด้วย $C$, $l$ และแกน $x$
จงใช้อสมการนิยามพื้นที่ $R$
Answershow ▾
7 marks across two parts: four for the algebra in (a), three for the four inequalities in (b).7 คะแนนจากสองข้อ: สี่คะแนนสำหรับพีชคณิตใน (ก) และสามคะแนนสำหรับสี่อสมการใน (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The notched garden plan แผนผังสวนที่มีมุมเว้า
The diagram shows the plan of a garden. The marked angles are right angles.
The six edges are straight lines.
The lengths shown in the diagram are given in metres.
(a) Given that the perimeter of the garden is greater than $29$ m, show that $x\gt1.5$.
(b) Given also that the area of the garden is less than $72$ m$^{2}$, form and solve a quadratic inequality in $x$.
(c) Hence state the range of possible values of $x$.
รูปแสดงแผนผังของสวน มุมที่กำกับไว้เป็นมุมฉากทุกมุม
ขอบทั้งหกเส้นเป็นเส้นตรง
ความยาวในรูปมีหน่วยเป็นเมตร
(ก) กำหนดให้เส้นรอบรูปของสวนมากกว่า $29$ เมตร จงแสดงว่า $x\gt1.5$
(ข) กำหนดเพิ่มว่าพื้นที่ของสวนน้อยกว่า $72$ ตารางเมตร จงตั้งและแก้อสมการกำลังสองของ $x$
(ค) จากข้อ (a) และ (b) จงบอกช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Expand $2x(4x-1)$.
จงกระจาย $2x(4x-1)$
Answershow ▾
Multiply $2x$ by each term inside the bracket.คูณ $2x$ เข้ากับทุกพจน์ในวงเล็บ
Solve $22x\gt33$ for $x$.
จงแก้อสมการ $22x\gt33$ หา $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $22$. The sign does not flip for a positive divisor.หารทั้งสองข้างด้วย $22$ · เครื่องหมายไม่เปลี่ยนเพราะหารด้วยจำนวนบวก
Solve $(x-1)(x+3)\lt0$.
จงแก้อสมการ $(x-1)(x+3)\lt0$
Answershow ▾
The curve opens upward, so below the $x$-axis is between the two roots.กราฟหงายขึ้น ดังนั้นต่ำกว่าแกน $x$ คือช่วงระหว่างสองราก
The garden has six straight edges, but only four lengths are labelled. Pick the first move for the perimeter.
(A) Add the four labelled lengths: $5x+(2x-1)+2x+(6x-2)$
(B) $2(5x)+2(6x-2)$
(C) $5x\times(6x-2)$
สวนมีขอบตรงหกเส้น แต่มีความยาวกำกับไว้แค่สี่เส้น จงเลือกขั้นแรกสำหรับเส้นรอบรูป
(A) บวกความยาวที่กำกับไว้สี่เส้น: $5x+(2x-1)+2x+(6x-2)$
(B) $2(5x)+2(6x-2)$
(C) $5x\times(6x-2)$
Answershow ▾
(A) leaves out two edges, so it undercounts. (C) multiplies the two outer lengths, which gives area, not perimeter. The notch removes two edges but adds two of equal total length, so the perimeter of the outer rectangle is correct.(A) ไม่ได้นับเส้นสองเส้น ทำให้ได้ค่าน้อยเกินจริง · (C) เอาความยาวด้านนอกสองด้านมาคูณกัน ซึ่งเป็นพื้นที่ ไม่ใช่เส้นรอบรูป · มุมเว้าตัดเส้นสองเส้นออกไปแต่เพิ่มเส้นใหม่สองเส้นที่ยาวรวมเท่ากัน ดังนั้นเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านนอกจึงถูกต้อง
Write $2(5x)+2(6x-2)\gt29$, then expand and simplify the left side.
จงเขียน $2(5x)+2(6x-2)\gt29$ แล้วกระจายและจัดรูปข้างซ้ายให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
Expand both brackets, then collect the $x$ terms and the numbers.กระจายทั้งสองวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $x$ กับตัวเลขแยกกัน
Solve $22x-4\gt29$ for $x$, writing the final line the question asks for.
จงแก้อสมการ $22x-4\gt29$ หา $x$ โดยเขียนบรรทัดสุดท้ายตามที่โจทย์ต้องการ
Answershow ▾
Add $4$ to both sides, then divide by $22$. The last line must say $x\gt1.5$.บวก $4$ ทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $22$ · บรรทัดสุดท้ายต้องเขียน $x\gt1.5$
The area is $5x(6x-2)-2x(4x-1)$. Expand it, then write the inequality $\lt72$ with everything on one side.
พื้นที่คือ $5x(6x-2)-2x(4x-1)$ จงกระจาย แล้วเขียนอสมการ $\lt72$ โดยย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
Answershow ▾
Expand both products, subtract, attach the $\lt72$, then move $72$ across.กระจายทั้งสองผลคูณ แล้วลบกัน ใส่ $\lt72$ แล้วย้าย $72$ ข้ามไป
$11x^{2}-4x-36\lt0$ has roots $x=-\dfrac{18}{11}$ and $x=2$. The curve opens upward. Pick the correct solution.
(A) outside the roots: $x\lt-\dfrac{18}{11}$ or $x\gt2$
(B) between the roots: $-\dfrac{18}{11}\lt x\lt2$
(C) all values of $x$ except $-\dfrac{18}{11}$ and $2$
$11x^{2}-4x-36\lt0$ มีราก $x=-\dfrac{18}{11}$ และ $x=2$ กราฟหงายขึ้น จงเลือกคำตอบที่ถูกต้อง
(A) นอกช่วงราก: $x\lt-\dfrac{18}{11}$ หรือ $x\gt2$
(B) ระหว่างราก: $-\dfrac{18}{11}\lt x\lt2$
(C) ค่า $x$ ทั้งหมดยกเว้น $-\dfrac{18}{11}$ และ $2$
Answershow ▾
(A) is where the curve is above the $x$-axis, the opposite region. (C) describes a not-equal condition, not a sign condition. An upward curve dips below the axis between its roots, which is where it is negative.(A) คือช่วงที่กราฟอยู่เหนือแกน $x$ ซึ่งตรงข้ามกัน · (C) เป็นเงื่อนไข "ไม่เท่ากับ" ไม่ใช่เงื่อนไขเรื่องเครื่องหมาย · กราฟหงายขึ้นจะต่ำกว่าแกนในช่วงระหว่างสองราก ซึ่งเป็นช่วงที่ค่าติดลบ
Divide $22x^{2}-8x-72\lt0$ by $2$, then factorise to find the critical values.
จงหาร $22x^{2}-8x-72\lt0$ ด้วย $2$ แล้วแยกตัวประกอบเพื่อหาค่าวิกฤต
Answershow ▾
Dividing by $2$ first gives smaller numbers that factorise more easily.หารด้วย $2$ ก่อน จะได้ตัวเลขที่เล็กลงและแยกตัวประกอบได้ง่ายขึ้น
Part (a) gives $x\gt1.5$. Part (b) alone gives $-\dfrac{18}{11}\lt x\lt2$. Combine both to state the range of $x$.
ข้อ (a) ให้ $x\gt1.5$ ข้อ (b) อย่างเดียวให้ $-\dfrac{18}{11}\lt x\lt2$ จงรวมทั้งสองเพื่อบอกช่วงของ $x$
Answershow ▾
Both conditions must hold together. The tighter lower bound, $x\gt1.5$, wins.ทั้งสองเงื่อนไขต้องเป็นจริงพร้อมกัน · ขอบล่างที่แคบกว่าคือ $x\gt1.5$ เป็นตัวตัดสิน
The same L-shaped plan has outer rectangle $2x$ by $3x-1$, with a notch $x$ by $x-1$ cut from it. Given the perimeter is greater than $8$ and the area is less than $18$, find the range of $x$.
แผนผังรูปตัว L แบบเดียวกัน มีสี่เหลี่ยมด้านนอกขนาด $2x$ คูณ $3x-1$ และมีมุมเว้าขนาด $x$ คูณ $x-1$ กำหนดให้เส้นรอบรูปมากกว่า $8$ และพื้นที่น้อยกว่า $18$ จงหาช่วงของ $x$
Answershow ▾
Same three moves: form and solve the perimeter inequality, form and solve the area inequality, then combine.สามขั้นเดิม: ตั้งและแก้อสมการเส้นรอบรูป ตั้งและแก้อสมการพื้นที่ แล้วรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน
The diagram shows the plan of a garden. The marked angles are right angles.
The six edges are straight lines.
The lengths shown in the diagram are given in metres.
(a) Given that the perimeter of the garden is greater than $29$ m, show that $x\gt1.5$.
(b) Given also that the area of the garden is less than $72$ m$^{2}$, form and solve a quadratic inequality in $x$.
(c) Hence state the range of possible values of $x$.
รูปแสดงแผนผังของสวน มุมที่กำกับไว้เป็นมุมฉากทุกมุม
ขอบทั้งหกเส้นเป็นเส้นตรง
ความยาวในรูปมีหน่วยเป็นเมตร
(ก) กำหนดให้เส้นรอบรูปของสวนมากกว่า $29$ เมตร จงแสดงว่า $x\gt1.5$
(ข) กำหนดเพิ่มว่าพื้นที่ของสวนน้อยกว่า $72$ ตารางเมตร จงตั้งและแก้อสมการกำลังสองของ $x$
(ค) จากข้อ (a) และ (b) จงบอกช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
9 marks across three parts: the perimeter inequality, the area inequality, then combine the two ranges.9 คะแนน สามข้อ: อสมการเส้นรอบรูป อสมการพื้นที่ แล้วรวมสองช่วงเข้าด้วยกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cubic hiding in two disguises สมการกำลังสามที่แฝงตัวอยู่ในอีกสองรูป
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=ax^{3}+(6a+8)x^{2}-a^{2}x$
where $a$ is a positive constant.
Given that $f(-1)=32$
(a) (i) Show that the only possible value for $a$ is $3$.
(ii) Using $a=3$, solve the equation $f(x)=0$.
(b) Hence find all real solutions of
(i) $3y+26y^{2/3}-9y^{1/3}=0$
(ii) $3(9^{3z})+26(9^{2z})-9(9^{z})=0$
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
$f(x)=ax^{3}+(6a+8)x^{2}-a^{2}x$
เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก
กำหนดให้ $f(-1)=32$
(ก) (i) จงแสดงว่าค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ มีเพียง $3$
(ii) ใช้ $a=3$ จงแก้สมการ $f(x)=0$
(ข) จากข้อ (a) จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ
(i) $3y+26y^{2/3}-9y^{1/3}=0$
(ii) $3(9^{3z})+26(9^{2z})-9(9^{z})=0$
Factorise $a^{2}+5a-24$.
จงแยกตัวประกอบ $a^{2}+5a-24$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-24$ and add to $5$: $8$ and $-3$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-24$ และบวกกันได้ $5$ คือ $8$ และ $-3$
Factor $x$ out of $3x^{3}+26x^{2}-9x$.
จงดึง $x$ ออกจาก $3x^{3}+26x^{2}-9x$
Answershow ▾
Every term has an $x$ in it.ทุกพจน์มี $x$ อยู่
If $x=y^{1/3}$, write $y^{2/3}$ in terms of $x$.
ถ้า $x=y^{1/3}$ จงเขียน $y^{2/3}$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
$y^{2/3}$ is $y^{1/3}$ squared.$y^{2/3}$ คือ $y^{1/3}$ ยกกำลังสอง
To form an equation in $a$ from $f(-1)=32$, where $f(x)=ax^{3}+(6a+8)x^{2}-a^{2}x$, pick the correct substitution.
(A) $a+(6a+8)+a^{2}=32$
(B) $-a+(6a+8)+a^{2}=32$
(C) $-a+(6a+8)-a^{2}=32$
จะตั้งสมการของ $a$ จาก $f(-1)=32$ เมื่อ $f(x)=ax^{3}+(6a+8)x^{2}-a^{2}x$ ต้องแทนค่าแบบไหนถูก
(A) $a+(6a+8)+a^{2}=32$
(B) $-a+(6a+8)+a^{2}=32$
(C) $-a+(6a+8)-a^{2}=32$
Answershow ▾
(A) treats $(-1)^{3}$ as $+1$, losing the minus sign. (C) treats $-a^{2}\times(-1)$ as $-a^{2}$ instead of $+a^{2}$: a negative times a negative is positive.(A) ถือว่า $(-1)^{3}$ เป็น $+1$ ทำให้เครื่องหมายลบหายไป · (C) ถือว่า $-a^{2}\times(-1)$ เป็น $-a^{2}$ แทน $+a^{2}$ ทั้งที่ลบคูณลบได้บวก
Show that $f(-1)=32$ can be written as $a^{2}+5a-24=0$.
จงแสดงว่า $f(-1)=32$ เขียนได้เป็น $a^{2}+5a-24=0$
Answershow ▾
Collect like terms, then move the $32$ across.รวมพจน์ที่เหมือนกัน แล้วย้าย $32$ ข้าม
Solve $a^{2}+5a-24=0$ for $a$, then state the value that fits $a\gt0$.
จงแก้สมการ $a^{2}+5a-24=0$ หา $a$ แล้วบอกค่าที่เป็นไปตาม $a\gt0$
Answershow ▾
$a=-8$ is rejected: the question says $a$ is a positive constant.ตัด $a=-8$ ทิ้ง เพราะโจทย์กำหนดให้ $a$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก
Using $a=3$, solve $f(x)=0$ where $f(x)=3x^{3}+26x^{2}-9x$.
ใช้ $a=3$ จงแก้สมการ $f(x)=0$ เมื่อ $f(x)=3x^{3}+26x^{2}-9x$
Answershow ▾
Factor $x$ out first, then factorise the quadratic that is left.ดึง $x$ ออกก่อน แล้วแยกตัวประกอบสมการกำลังสองที่เหลือ
Part (b)(i) asks you to solve $3y+26y^{2/3}-9y^{1/3}=0$. You already solved $3x^{3}+26x^{2}-9x=0$ in part (a). Pick the link.
(A) solve this as a brand new equation, ignoring part (a)
(B) let $x=y^{1/3}$, so the equation becomes $3x^{3}+26x^{2}-9x=0$ again
(C) let $x=y$, since both equations start with $3\ldots+26\ldots-9\ldots$
ข้อ (b)(i) ให้แก้สมการ $3y+26y^{2/3}-9y^{1/3}=0$ ซึ่งแก้ $3x^{3}+26x^{2}-9x=0$ ไปแล้วในข้อ (a) จงเลือกการเชื่อมโยง
(A) แก้สมการนี้เป็นสมการใหม่ ไม่ใช้ข้อ (a)
(B) ให้ $x=y^{1/3}$ สมการจะกลายเป็น $3x^{3}+26x^{2}-9x=0$ อีกครั้ง
(C) ให้ $x=y$ เพราะทั้งสองสมการเริ่มด้วย $3\ldots+26\ldots-9\ldots$
Answershow ▾
(A) throws away all the work done in part (a). (C) ignores the fractional powers: $y^{2/3}$ equals $x^{2}$ only when $x=y^{1/3}$, not when $x=y$.(A) ไม่ใช้ผลงานจากข้อ (a) เลย · (C) ไม่สนใจเลขชี้กำลังเศษส่วน: $y^{2/3}$ เท่ากับ $x^{2}$ เมื่อ $x=y^{1/3}$ เท่านั้น ไม่ใช่เมื่อ $x=y$
Using $x=y^{1/3}$ and the roots $x=0,\;\dfrac13,\;-9$ from part (a), find all values of $y$.
ใช้ $x=y^{1/3}$ กับรากจากข้อ (a) คือ $x=0,\;\dfrac13,\;-9$ จงหาค่า $y$ ทั้งหมด
Answershow ▾
Cube both sides to undo the cube root.ยกกำลังสามทั้งสองข้างเพื่อแก้ผลของรากที่สาม
Using $x=9^{z}$ and the roots from part (a), find all values of $z$.
ใช้ $x=9^{z}$ กับรากจากข้อ (a) จงหาค่า $z$ ทั้งหมด
Answershow ▾
$9^{z}$ is never $0$ or negative, so only $x=\dfrac13$ is possible here.$9^{z}$ เป็น $0$ หรือลบไม่ได้ จึงมีแค่ $x=\dfrac13$ ที่เป็นไปได้
$g(x)=bx^{3}+(2b-2)x^{2}-b^{2}x$ where $b$ is a positive constant. Given that $g(-1)=4$:
(a) (i) Show that $b=2$.
(ii) Using $b=2$, solve $g(x)=0$.
(b) Hence find all real solutions of
(i) $2y+2y^{2/3}-4y^{1/3}=0$
(ii) $2(9^{3z})+2(9^{2z})-4(9^{z})=0$
$g(x)=bx^{3}+(2b-2)x^{2}-b^{2}x$ เมื่อ $b$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก กำหนดให้ $g(-1)=4$
(ก) (i) จงแสดงว่า $b=2$
(ii) ใช้ $b=2$ จงแก้สมการ $g(x)=0$
(ข) จากข้อ (ก) จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ
(i) $2y+2y^{2/3}-4y^{1/3}=0$
(ii) $2(9^{3z})+2(9^{2z})-4(9^{z})=0$
Answershow ▾
Same four moves: find the constant, factor $x$ out, then use $x=y^{1/3}$ and $x=9^{z}$ again.สี่ขั้นเดิม: หาค่าคงที่ ดึง $x$ ออก แล้วใช้ $x=y^{1/3}$ กับ $x=9^{z}$ อีกครั้ง
In this question you must show all stages of your working.
Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
$f(x)=ax^{3}+(6a+8)x^{2}-a^{2}x$
where $a$ is a positive constant.
Given that $f(-1)=32$
(a) (i) Show that the only possible value for $a$ is $3$.
(ii) Using $a=3$, solve the equation $f(x)=0$.
(b) Hence find all real solutions of
(i) $3y+26y^{2/3}-9y^{1/3}=0$
(ii) $3(9^{3z})+26(9^{2z})-9(9^{z})=0$
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน
คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน
$f(x)=ax^{3}+(6a+8)x^{2}-a^{2}x$
เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก
กำหนดให้ $f(-1)=32$
(ก) (i) จงแสดงว่าค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ มีเพียง $3$
(ii) ใช้ $a=3$ จงแก้สมการ $f(x)=0$
(ข) จากข้อ (a) จงหาคำตอบจริงทั้งหมดของ
(i) $3y+26y^{2/3}-9y^{1/3}=0$
(ii) $3(9^{3z})+26(9^{2z})-9(9^{z})=0$
Answershow ▾
10 marks: 3 for the quadratic in $a$, 2 for factorising $f(x)$, 3 for the $y$ substitution, 2 for the $z$ substitution.10 คะแนน: 3 สำหรับสมการกำลังสองของ $a$ · 2 สำหรับแยกตัวประกอบ $f(x)$ · 3 สำหรับการแทนค่า $y$ · 2 สำหรับการแทนค่า $z$