Series · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Series
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Series · arithmetic progressions
The 4th term of an arithmetic progression (AP) is $11$ and the 9th term is $31$.
(a) Find the first term and the common difference.
(b) Find the sum of the first $n$ terms.
(c) Find the least value of $n$ for which $S_n$ exceeds $324$.
Write down the first term $a$ and the common difference $d$ of the AP $5, 7, 9, 11, \dots$
เขียนพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$ ของลำดับเลขคณิต $5, 7, 9, 11, \dots$
Answershow ▾
The first term is the first number listed; the common difference is any term minus the one before it.
An AP has $a=5$ and $d=2$. Find the 6th term.
Answershow ▾
$u_n=a+(n-1)d$. Count the steps from the first term carefully — it is $(n-1)$ steps, not $n$.
The 4th term is $a + 3d$, not $a + 4d$. Where does the $-1$ in $u_n = a + (n-1)d$ come from? Test the formula on $n = 1$ and say in one phrase what $(n-1)$ counts.
พจน์ที่ $4$ คือ $a + 3d$ ไม่ใช่ $a + 4d$ · เลข $-1$ ใน $u_n = a + (n-1)d$ มาจากไหน · ลองทดสอบสูตรที่ $n = 1$ แล้วบอกในหนึ่งวลีว่า $(n-1)$ นับอะไร
Answershow ▾
Between the 1st and the 4th term there are three gaps, not four. Getting this wrong shifts every equation by one $d$ and both simultaneous equations stay perfectly solvable, so the answer is wrong and nothing looks wrong. The M1 pays for two equations of the right shape; it never checks the offset.ระหว่างพจน์ที่ $1$ กับพจน์ที่ $4$ มีช่องว่างสามช่อง ไม่ใช่สี่ · ถ้าพลาดตรงนี้ สมการทุกอันจะเลื่อนไป $d$ หนึ่งตัว และสมการคู่ก็ยังแก้ได้เรียบร้อย คำตอบจึงผิดโดยที่ไม่มีอะไรดูผิด · M1 ให้กับสมการสองอันที่รูปถูก ไม่เคยตรวจว่าเลื่อนหรือไม่
The 6th term of an AP with first term $a$ and common difference $d$ is $20$. Write down an equation connecting $a$ and $d$.
พจน์ที่ 6 ของลำดับเลขคณิตที่มี $a$ และ $d$ เท่ากับ $20$ จงเขียนสมการที่เชื่อม $a$ กับ $d$
Answershow ▾
Replace $n$ by the term number in $u_n=a+(n-1)d$ and set it equal to the given value — nothing is solved yet, just written down.
The 4th term of an AP is $11$ and the 9th term is $31$. Write down two equations connecting $a$ and $d$.
Answershow ▾
Same move as question 3, done twice — once for each given term.
Solve the simultaneous equations $a+3d=11$ and $a+8d=31$ to find $a$ and $d$.
Answershow ▾
Subtract the equations to eliminate $a$ first — this is the step that is easy to drop under exam pressure. Only then substitute back for $a$.
You have $a + 3d = 11$ and $a + 8d = 31$: two equations, two unknowns. Which single move removes $a$ in one line, and what does it leave? Compare with rearranging one equation for $a$ and substituting — which is fewer lines here, and why?
มี $a + 3d = 11$ และ $a + 8d = 31$ สองสมการ สองตัวไม่ทราบค่า · การเดินหมากครั้งเดียวแบบไหนที่กำจัด $a$ ได้ในบรรทัดเดียว และเหลืออะไร · เทียบกับการจัดรูปหา $a$ แล้วแทนค่า อันไหนสั้นกว่าและเพราะอะไร
Answershow ▾
The circled ① and ② are just labels for the two equations, and "② − ①" is read "equation two minus equation one". Both equations carry exactly one $a$, which is the condition under which subtraction is free. Substitution reaches the same place three lines later with three more chances to drop a sign. The A1 is for $a$ and $d$; the route is worth nothing and is the only thing that decides whether you finish inside the time.วงกลม ① กับ ② เป็นป้ายชื่อของสมการสองอัน และ "② − ①" อ่านว่า "สมการสองลบสมการหนึ่ง" · ทั้งสองสมการมี $a$ ตัวเดียวพอดี ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ทำให้การลบกันได้ฟรี · การแทนค่าไปถึงจุดเดียวกันช้ากว่าสามบรรทัด และมีโอกาสตกเครื่องหมายเพิ่มอีกสามครั้ง · A1 ให้กับ $a$ และ $d$ · เส้นทางไม่มีคะแนน แต่เป็นสิ่งเดียวที่ตัดสินว่าจะทำทันเวลาหรือไม่
Write down the formula for $S_n$, the sum of the first $n$ terms of an AP with first term $a$ and common difference $d$.
Answershow ▾
Learn this one — it is not derivable quickly under time pressure.
Using $a=-1$ and $d=4$, write $S_n=\dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ as a simplified expression in $n$.
Answershow ▾
Expand the bracket, collect like terms, then multiply through by $\frac{n}{2}$.
Given $S_n=2n^2 - 3n$, find the least value of $n$ for which $S_n$ exceeds $324$.
Answershow ▾
Solve the quadratic inequality, take the positive root, then round UP to the next whole number — $n$ counts terms, so it cannot be a decimal, and rounding down would leave $S_n$ still below the target.
$S_n \gt 324$ leads to $n \gt 13.5$. Which of $13$, $13.5$ and $14$ is the answer? Is the rule "round to the nearest" or something else — and would your rule still be right if the boundary had come out at $13.2$?
$S_n \gt 324$ นำไปสู่ $n \gt 13.5$ · คำตอบคือ $13$, $13.5$ หรือ $14$ · กฎคือ "ปัดเข้าใกล้ที่สุด" หรือเป็นอย่างอื่น และถ้าขอบเขตออกมาเป็น $13.2$ กฎของคุณยังถูกอยู่ไหม
Answershow ▾
$n$ counts terms, so it can only be a whole number, and $n = 13$ does not yet exceed $324$. Rounding to the nearest agrees here by luck and disagrees at $13.2$, where it gives $13$ and $S_{13}$ is still short. The A1 pays for $14$; nothing pays for the rule that produced it.$n$ นับจำนวนพจน์ จึงเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น และ $n = 13$ ยังไม่เกิน $324$ · การปัดเข้าใกล้ที่สุดบังเอิญตรงกันในข้อนี้ แต่จะไม่ตรงที่ $13.2$ ซึ่งจะได้ $13$ ทั้งที่ $S_{13}$ ยังไม่ถึง · A1 ให้กับ $14$ ไม่มีใครให้คะแนนกับกฎที่ผลิตมันออกมา
The 4th term of an arithmetic progression (AP) is $7$ and the 9th term is $17$.
(a) Find the first term and the common difference.
(b) Find the sum of the first $n$ terms.
(c) Find the least value of $n$ for which $S_n$ exceeds $30$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
The 4th term of an arithmetic progression (AP) is $11$ and the 9th term is $31$.
(a) Find the first term and the common difference.
(b) Find the sum of the first $n$ terms.
(c) Find the least value of $n$ for which $S_n$ exceeds $324$.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 are part (a); question 7 is part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Series · geometric progressions
A geometric progression (GP) has first term $a$ and common ratio $r$, where $|r| \lt 1$. The second term is $-12$ and the sum to infinity is $27$.
(a) Find $r$ and $a$.
(b) Find the sum of the first $n$ terms.
Find the common ratio $r$ of the GP $5, 15, 45, 135, \dots$
หาอัตราส่วนร่วม $r$ ของลำดับเรขาคณิต $5, 15, 45, 135, \dots$
Answershow ▾
Divide any term by the term immediately before it — $r = u_2 \div u_1$.
A GP has first term $a=8$ and common ratio $r=\dfrac{1}{2}$. Find the 4th term.
Answershow ▾
$u_n=ar^{n-1}$. Raise $r$ to the power $(n-1)$ before multiplying by $a$.
A GP has common ratio $r=- \frac{3}{4}$. Does it have a sum to infinity? Give a reason.
อนุกรมเรขาคณิตที่มี $r=- \frac{3}{4}$ มีผลบวกอนันต์หรือไม่ พร้อมเหตุผล
Answershow ▾
A sum to infinity exists only when $|r| \lt 1$ — otherwise the terms do not shrink to zero and the sum never settles.
A sum to infinity exists only when $|r| \lt 1$. Which of $r = -\frac{3}{4}$, $r = \frac{4}{3}$, $r = 1$ and $r = -1$ have one? Say in one phrase what the bars around $r$ are doing to a negative ratio.
ผลบวกอนันต์มีได้เฉพาะเมื่อ $|r| \lt 1$ · ในบรรดา $r = -\frac{3}{4}$, $r = \frac{4}{3}$, $r = 1$, $r = -1$ อันไหนมี · บอกในหนึ่งวลีว่าขีดคร่อม $r$ ทำอะไรกับอัตราส่วนที่ติดลบ
Answershow ▾
A negative ratio still shrinks the terms as long as it is small; $-\frac{3}{4}$ converges and $-1$ does not. The condition is printed in the question rather than derived, so it looks like decoration — and it is the line that later throws out one of the two roots of the quadratic in $r$.อัตราส่วนติดลบก็ยังทำให้พจน์เล็กลงได้ ถ้ามันมีขนาดเล็ก · $-\frac{3}{4}$ ลู่เข้า ส่วน $-1$ ไม่ลู่เข้า · เงื่อนไขนี้ถูกพิมพ์ไว้ในโจทย์ ไม่ได้ให้พิสูจน์ จึงดูเหมือนของประดับ แต่มันคือบรรทัดที่จะตัดรากหนึ่งในสองของสมการกำลังสองใน $r$ ทิ้งในภายหลัง
Write down the formula for the sum to infinity, $S_\infty$, of a GP with first term $a$ and common ratio $r$.
Answershow ▾
Valid only when $|r| \lt 1$ — learn the formula together with its condition.
A GP has second term $-12$ and sum to infinity $27$. Write down two equations connecting $a$ and $r$.
Answershow ▾
The second term is $ar$; the sum to infinity is $\dfrac{a}{1-r}$. Two given facts, two equations.
"The second term is $-12$." Is that $a$, $ar$, or $ar^2$? Write down the two equations the question gives you, and name the formula each one comes from.
"พจน์ที่สองคือ $-12$" · นั่นคือ $a$, $ar$ หรือ $ar^2$ · เขียนสมการสองอันที่โจทย์ให้มา และบอกว่าแต่ละอันมาจากสูตรไหน
Answershow ▾
The second term has had one multiplication, so it is $ar$; the same off-by-one that makes the 4th term $ar^3$. Two sentences of English become two equations, and the whole of part (a) is then routine algebra. The M1 pays for the pair once written; nothing pays for the translation.พจน์ที่สองผ่านการคูณมาหนึ่งครั้ง จึงเป็น $ar$ · เป็นการเลื่อนหนึ่งขั้นแบบเดียวกับที่ทำให้พจน์ที่ $4$ เป็น $ar^3$ · ประโยคภาษาอังกฤษสองประโยคกลายเป็นสมการสองอัน แล้วข้อ (a) ที่เหลือก็เป็นพีชคณิตธรรมดา · M1 ให้กับสมการคู่เมื่อเขียนแล้ว ไม่มีใครให้คะแนนกับการแปล
A different GP has first term $a = 12$ and common ratio $r = \frac{1}{4}$. Find its sum to infinity.
Answershow ▾
Practise the substitution on numbers that are not the ones you are hunting — $S_\infty = \dfrac{12}{1 - 1/4} = \dfrac{12}{3/4} = 16$.
Eliminate $a$ from $ar=-12$ and $\dfrac{a}{1-r}=27$ to form a quadratic equation in $r$, and solve it.
Answershow ▾
From the first equation $a=\dfrac{-12}{r}$; substituting into the second and clearing fractions gives a quadratic in $r$ with two roots.
This GP has $r=- \frac{1}{3}$ or $r=\frac{4}{3}$, and $|r| \lt 1$. State $r$, and hence find $a$.
Answershow ▾
Only one root can be the common ratio of a convergent GP — check $|r| \lt 1$ for each and discard the one that fails. That is part (a) complete.
Part (b) asks for the sum of the FIRST $n$ TERMS, and you now have $a = 36$ and $r = -\frac{1}{3}$. Which formula is it this time — $S_n$ or $S_\infty$ — and does the answer come out as a number or as an expression still containing $n$?
ข้อ (b) ขอผลบวกของ $n$ พจน์แรก และตอนนี้ได้ $a = 36$ กับ $r = -\frac{1}{3}$ · คราวนี้ใช้สูตรไหน $S_n$ หรือ $S_\infty$ และคำตอบออกมาเป็นตัวเลขหรือเป็นนิพจน์ที่ยังมี $n$ อยู่
Answershow ▾
Two sum formulas sit side by side in the formula book and the words "to infinity" are the only thing separating them. Part (a) already used $S_\infty$; using it again returns $27$, which is a number, looks like an answer, and answers nothing. The A1 is for an expression in $n$.สูตรผลบวกสองสูตรวางอยู่ข้างกันในเล่มสูตร และคำว่า "อนันต์" คือสิ่งเดียวที่แยกมันออกจากกัน · ข้อ (a) ใช้ $S_\infty$ ไปแล้ว ถ้าใช้ซ้ำจะได้ $27$ ซึ่งเป็นตัวเลข ดูเหมือนคำตอบ แต่ไม่ได้ตอบอะไรเลย · A1 ให้กับนิพจน์ที่มี $n$
A geometric progression (GP) has first term $a$ and common ratio $r$, where $|r| \lt 1$. The second term is $-3$ and the sum to infinity is $4$.
(a) Find $r$ and $a$.
(b) Find the sum of the first $n$ terms.
Answershow ▾
Same two parts, small numbers throughout.
A geometric progression (GP) has first term $a$ and common ratio $r$, where $|r| \lt 1$. The second term is $-12$ and the sum to infinity is $27$.
(a) Find $r$ and $a$.
(b) Find the sum of the first $n$ terms.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 7 and 8 are part (a); question 6's method plus the finite-sum formula give part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Expand, then solve for two unknowns กระจาย แล้วแก้หาค่าคงที่สองตัว
(a) Give the complete expansion of $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$.
(b) In the expansion of $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$, the coefficient of $x$ is zero and the coefficient of $\dfrac{1}{x}$ is $80$. Find the values of the constants $a$ and $b$.
(ก) เขียนการกระจาย $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ ให้ครบทุกพจน์ (complete expansion)
(ข) ในการกระจาย $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ สัมประสิทธิ์ (coefficient) ของ $x$ เป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ของ $\dfrac{1}{x}$ เท่ากับ $80$ จงหาค่าของค่าคงที่ $a$ และ $b$
Find $\binom{5}{2}$.
จงหา $\binom{5}{2}$
Answershow ▾
The nCr button gives this value directly.ปุ่ม nCr บนเครื่องคิดเลขให้ค่านี้ได้เลย
Simplify $\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}$.
จงดำเนินการ $\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}$ ให้เรียบร้อย
Answershow ▾
Square the top and the bottom separately.ยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
Simplify $\binom{5}{2}x^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}$.
จงดำเนินการ $\binom{5}{2}x^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}$ ให้เรียบร้อย
Answershow ▾
Multiply the nCr value by both powers of x.คูณค่า nCr เข้ากับกำลังของ $x$ ทั้งสองตัว
The expansion of $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ has six terms, from $r=0$ to $r=5$. Which pattern do the powers of $x$ follow?
(A) $x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x^{1},x^{0}$
(B) $x^{5},x^{3},x^{1},x^{-1},x^{-3},x^{-5}$
(C) $x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x^{1},x^{-1}$
การกระจาย $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ มีหกพจน์ จาก $r=0$ ถึง $r=5$ กำลังของ $x$ เรียงตามแบบใด
(A) $x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x^{1},x^{0}$
(B) $x^{5},x^{3},x^{1},x^{-1},x^{-3},x^{-5}$
(C) $x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x^{1},x^{-1}$
Answershow ▾
(A) treats $\dfrac{2}{x}$ as an ordinary constant and drops the power by $1$ each term. $\dfrac{2}{x}=2x^{-1}$, so every term really drops the power by $2$. (C) breaks that pattern partway through.(A) ปฏิบัติกับ $\dfrac{2}{x}$ เหมือนค่าคงที่ทั่วไป ทำให้กำลังลดลงทีละ $1$ แต่ $\dfrac{2}{x}=2x^{-1}$ กำลังจึงลดลงทีละ $2$ จริงๆ (C) เปลี่ยนแบบกลางทาง ทั้งที่ไม่มีเหตุผล
Simplify $\binom{5}{1}x^{4}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{1}$.
จงดำเนินการ $\binom{5}{1}x^{4}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{1}$ ให้เรียบร้อย
Answershow ▾
Same method, next value of r.วิธีเดิม แต่เปลี่ยนค่า $r$
Simplify $\binom{5}{3}x^{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}$.
จงดำเนินการ $\binom{5}{3}x^{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}$ ให้เรียบร้อย
Answershow ▾
A power of x on the bottom simplifies the same way.กำลังของ $x$ ที่อยู่ตัวส่วน ก็ทำแบบเดียวกัน
The middle four terms are $10x^{3}$, $40x$, $\dfrac{80}{x}$ and $\dfrac{80}{x^{3}}$. The two end terms use $\binom{5}{0}=\binom{5}{5}=1$: they are $x^{5}$ and $\dfrac{32}{x^{5}}$. Write the complete expansion of $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$.
สี่พจน์กลางคือ $10x^{3}$, $40x$, $\dfrac{80}{x}$ และ $\dfrac{80}{x^{3}}$ สองพจน์ปลายใช้ $\binom{5}{0}=\binom{5}{5}=1$ ได้เป็น $x^{5}$ และ $\dfrac{32}{x^{5}}$ จงเขียนการกระจาย $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ ให้ครบทุกพจน์
Answershow ▾
The missing ends are $r=0$ and $r=5$, where $\binom{5}{r}=1$.สองพจน์ปลายคือ $r=0$ และ $r=5$ ซึ่ง $\binom{5}{r}=1$
Multiplying $(a+bx^{2})$ by the expansion from part (a), which products give a term in $x$?
(A) only $a\times40x$
(B) $a\times40x$ and $bx^{2}\times\dfrac{80}{x}$
(C) only $bx^{2}\times\dfrac{80}{x}$
เมื่อคูณ $(a+bx^{2})$ กับการกระจายจากข้อ (a) ผลคูณใดบ้างที่ให้พจน์ $x$
(A) มีแค่ $a\times40x$
(B) $a\times40x$ และ $bx^{2}\times\dfrac{80}{x}$
(C) มีแค่ $bx^{2}\times\dfrac{80}{x}$
Answershow ▾
(A) finds the $x$ term from $a$, but misses that $bx^{2}$ also reaches $x$, from the $\dfrac{1}{x}$ term. (C) makes the same mistake the other way round.(A) หาพจน์ $x$ จาก $a$ ได้ แต่พลาดว่า $bx^{2}$ ก็ไปถึง $x$ ได้เช่นกัน จากพจน์ $\dfrac{1}{x}$ (C) พลาดแบบเดียวกันแต่สลับฝั่ง
Write $a\times40x+bx^{2}\times\dfrac{80}{x}$ as one term in $x$, then set its coefficient to zero.
จงเขียน $a\times40x+bx^{2}\times\dfrac{80}{x}$ เป็นพจน์ $x$ พจน์เดียว แล้วให้สัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์
Answershow ▾
Collect the x terms from both products, then set the total to zero.รวมพจน์ $x$ จากทั้งสองผลคูณ แล้วให้ผลรวมเท่ากับศูนย์
The coefficient of $\dfrac{1}{x}$ is $80$. Write the equation this gives, using $a\times\dfrac{80}{x}$ and $bx^{2}\times\dfrac{80}{x^{3}}$.
สัมประสิทธิ์ของ $\dfrac{1}{x}$ คือ $80$ จงเขียนสมการโดยใช้ $a\times\dfrac{80}{x}$ และ $bx^{2}\times\dfrac{80}{x^{3}}$
Answershow ▾
Same idea, now for the terms with x on the bottom.แนวคิดเดิม แต่เปลี่ยนเป็นพจน์ที่มี $x$ อยู่ตัวส่วน
In the expansion of $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}$, the coefficient of $x$ is zero and the coefficient of $\dfrac{1}{x}$ is $6$. Find $a$ and $b$.
ในการกระจาย $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}$ สัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ของ $\dfrac{1}{x}$ เท่ากับ $6$ จงหาค่า $a$ และ $b$
Answershow ▾
Same four moves: expand, build both products, then solve the pair.สี่ขั้นเดิม: กระจาย ตั้งผลคูณทั้งสอง แล้วแก้ระบบสมการ
(a) Give the complete expansion of $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$.
(b) In the expansion of $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$, the coefficient of $x$ is zero and the coefficient of $\dfrac{1}{x}$ is $80$. Find the values of the constants $a$ and $b$.
(ก) เขียนการกระจาย $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ ให้ครบทุกพจน์ (complete expansion)
(ข) ในการกระจาย $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ สัมประสิทธิ์ (coefficient) ของ $x$ เป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ของ $\dfrac{1}{x}$ เท่ากับ $80$ จงหาค่าของค่าคงที่ $a$ และ $b$
Answershow ▾
6 marks: 2 for the complete expansion, 4 for forming and solving the pair of equations.6 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับการกระจายให้ครบ และ 4 คะแนนสำหรับตั้งและแก้ระบบสมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A term with no x, in a binomial พจน์ที่ไม่มี x ในการกระจายทวินาม
In the expansion of $\left(kx+\dfrac{2}{x}\right)^{4}$, where $k$ is a positive constant, the term independent of $x$ is equal to $150$. Find the value of $k$ and hence determine the coefficient of $x^{2}$ in the expansion.
ในการกระจาย $\left(kx+\dfrac{2}{x}\right)^{4}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก พจน์ที่ไม่มี $x$ (term independent of $x$) มีค่าเท่ากับ $150$ จงหาค่า $k$ แล้วจากนั้น (hence) หาสัมประสิทธิ์ (coefficient) ของ $x^{2}$ ในการกระจายนี้
Evaluate $\binom{4}{2}$.
จงคำนวณ $\binom{4}{2}$
Answershow ▾
Choose $2$ from $4$: $\binom42=\dfrac{4\times3}{2\times1}$.เลือก $2$ จาก $4$: $\binom42=\dfrac{4\times3}{2\times1}$
In the general term $\binom{4}{r}(kx)^{4-r}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{r}$, write the power of $x$ in terms of $r$.
ในพจน์ทั่วไป $\binom{4}{r}(kx)^{4-r}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{r}$ จงเขียนกำลังของ $x$ ในรูปของ $r$
Answershow ▾
$(kx)^{4-r}$ gives $x^{4-r}$; $\left(\dfrac2x\right)^{r}$ gives $x^{-r}$.$(kx)^{4-r}$ ให้ $x^{4-r}$ · $\left(\dfrac2x\right)^{r}$ ให้ $x^{-r}$
Solve $4-2r=0$ for $r$.
จงแก้สมการ $4-2r=0$ หาค่า $r$
Answershow ▾
Independent of $x$ means the power of $x$ is zero.พจน์ที่ไม่มี $x$ หมายความว่ากำลังของ $x$ เป็นศูนย์
You need the term independent of $x$. Pick the first move.
(A) take $r=0$
(B) solve $4-2r=0$ for $r$
(C) take $r=4$
ต้องการพจน์ที่ไม่มี $x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้ $r=0$
(B) แก้สมการ $4-2r=0$ หาค่า $r$
(C) ใช้ $r=4$
Answershow ▾
(A) gives $(kx)^{4}$, power $x^{4}$. (C) gives $\left(\dfrac2x\right)^{4}$, power $x^{-4}$. Neither power is zero.(A) ได้ $(kx)^{4}$ กำลัง $x^{4}$ · (C) ได้ $\left(\dfrac2x\right)^{4}$ กำลัง $x^{-4}$ · ไม่มีอันไหนกำลังเป็นศูนย์
Using $r=2$, write $\binom{4}{2}(kx)^{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}$ as a single term in $k$.
ใช้ $r=2$ จงเขียน $\binom{4}{2}(kx)^{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}$ เป็นพจน์เดียวในรูป $k$
Answershow ▾
The $x^{2}$ and $x^{-2}$ cancel.$x^{2}$ กับ $x^{-2}$ หักกัน
The term independent of $x$ is $150$. Solve $24k^{2}=150$ for $k^{2}$.
พจน์ที่ไม่มี $x$ มีค่าเท่ากับ $150$ จงแก้สมการ $24k^{2}=150$ หาค่า $k^{2}$
Answershow ▾
Divide both sides by $24$.หารทั้งสองข้างด้วย $24$
Solving $k^{2}=\dfrac{25}{4}$ gives $k=\pm\dfrac{5}{2}$. Which value is correct here?
(A) $k=\dfrac{5}{2}$
(B) $k=-\dfrac{5}{2}$
(C) both values work
แก้สมการ $k^{2}=\dfrac{25}{4}$ ได้ $k=\pm\dfrac{5}{2}$ ค่าไหนถูกต้อง
(A) $k=\dfrac{5}{2}$
(B) $k=-\dfrac{5}{2}$
(C) ใช้ได้ทั้งสองค่า
Answershow ▾
The question states $k$ is a positive constant, so the negative root is rejected. (C) ignores that condition.โจทย์บอกว่า $k$ เป็นค่าคงที่บวก จึงตัดค่าลบออก · (C) ไม่ได้ใช้เงื่อนไขนี้
The $x^{2}$ term has $r=1$ (since $4-2(1)=2$). Write $\binom{4}{1}(kx)^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)$ as a single term in $k$ and $x$.
พจน์ $x^{2}$ มี $r=1$ (เพราะ $4-2(1)=2$) จงเขียน $\binom{4}{1}(kx)^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)$ เป็นพจน์เดียวในรูป $k$ และ $x$
Answershow ▾
Same general term, now with $r=1$ instead of $r=2$.พจน์ทั่วไปแบบเดิม แต่คราวนี้ $r=1$ แทน $r=2$
Substitute $k=\dfrac{5}{2}$ into $8k^{3}$ to find the coefficient of $x^{2}$.
แทนค่า $k=\dfrac{5}{2}$ ใน $8k^{3}$ เพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$
Answershow ▾
Two results joined: the $k$ from question $5$, used in the term from question $6$.นำผลสองข้อมารวมกัน: ค่า $k$ จากข้อ $5$ ใช้ในพจน์จากข้อ $6$
Check: does $k=\dfrac{5}{2}$ give an independent term of $150$?
ตรวจสอบ: $k=\dfrac{5}{2}$ ให้พจน์ที่ไม่มี $x$ เท่ากับ $150$ หรือไม่
Answershow ▾
A value that satisfies the original equation is confirmed correct.ค่าที่สอดคล้องกับสมการเดิม ยืนยันว่าถูกต้อง
In the expansion of $\left(kx+\dfrac{1}{x}\right)^{4}$, where $k$ is a positive constant, the term independent of $x$ is $6$. Find $k$ and the coefficient of $x^{2}$.
ในการกระจาย $\left(kx+\dfrac{1}{x}\right)^{4}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก พจน์ที่ไม่มี $x$ มีค่าเท่ากับ $6$ จงหาค่า $k$ และสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$
Answershow ▾
Same two moves: solve for $k$ from the independent term, then use it in the $x^{2}$ term.สองขั้นเดิม: แก้หาค่า $k$ จากพจน์ที่ไม่มี $x$ แล้วนำไปใช้ในพจน์ $x^{2}$
In the expansion of $\left(kx+\dfrac{2}{x}\right)^{4}$, where $k$ is a positive constant, the term independent of $x$ is equal to $150$. Find the value of $k$ and hence determine the coefficient of $x^{2}$ in the expansion.
ในการกระจาย $\left(kx+\dfrac{2}{x}\right)^{4}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่บวก พจน์ที่ไม่มี $x$ (term independent of $x$) มีค่าเท่ากับ $150$ จงหาค่า $k$ แล้วจากนั้น (hence) หาสัมประสิทธิ์ (coefficient) ของ $x^{2}$ ในการกระจายนี้
Answershow ▾
$4$ marks: solve for $k$ from the independent term, then substitute into the $x^{2}$ term.$4$ คะแนน: แก้หาค่า $k$ จากพจน์ที่ไม่มี $x$ แล้วแทนค่าในพจน์ $x^{2}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two known terms, one unknown term รู้สองพจน์ หาอีกพจน์
An arithmetic progression has fourth term $15$ and eighth term $25$. Find the 30th term of the progression.
ลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) มีพจน์ที่สี่เท่ากับ $15$ และพจน์ที่แปดเท่ากับ $25$ จงหาพจน์ที่ 30 ของลำดับนี้
An AP has first term $a$ and common difference $d$. Using $u_n=a+(n-1)d$, write the 4th term.
ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก $a$ และผลต่างร่วม $d$ จงใช้ $u_n=a+(n-1)d$ เขียนพจน์ที่ 4
Answershow ▾
The 4th term has made $3$ jumps from the first term, not $4$.พจน์ที่ 4 กระโดดมา $3$ ครั้งจากพจน์แรก ไม่ใช่ $4$ ครั้ง
Two equations: $a+3d=15$ and $a+7d=25$. Subtract the first from the second to find $4d$.
สองสมการ: $a+3d=15$ และ $a+7d=25$ จงเอาสมการที่สองลบด้วยสมการแรก เพื่อหา $4d$
Answershow ▾
Subtracting removes $a$, since it is unchanged in both equations.การลบทำให้ $a$ หายไป เพราะ $a$ เท่ากันในทั้งสองสมการ
An AP has first term $4$ and common difference $2$. Find $u_{30}=a+29d$.
ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก $4$ และผลต่างร่วม $2$ จงหา $u_{30}=a+29d$
Answershow ▾
Term $30$ has made $29$ jumps from the first term.พจน์ที่ 30 กระโดดมา $29$ ครั้งจากพจน์แรก
The 4th term of an AP is written using $u_n=a+(n-1)d$. Which is correct?
(A) $a+4d$
(B) $a+3d$
(C) $4a+d$
พจน์ที่ 4 ของลำดับเลขคณิตเขียนด้วย $u_n=a+(n-1)d$ ข้อใดถูกต้อง
(A) $a+4d$
(B) $a+3d$
(C) $4a+d$
Answershow ▾
(A) uses the term number itself as the jump count, forgetting the first term makes $0$ jumps. (C) multiplies $a$ by the term number instead of scaling $d$ by the jump count.(A) ใช้เลขพจน์เองเป็นจำนวนการกระโดด ลืมว่าพจน์แรกกระโดด $0$ ครั้ง · (C) เอา $a$ ไปคูณกับเลขพจน์ แทนที่จะเอา $d$ ไปคูณกับจำนวนการกระโดด
Use $u_n=a+(n-1)d$ to write the equation for the 4th term, $u_4=15$.
จงใช้ $u_n=a+(n-1)d$ เขียนสมการของพจน์ที่ 4 เมื่อ $u_4=15$
Answershow ▾
Three jumps from the first term.กระโดด 3 ครั้งจากพจน์แรก
Use $u_n=a+(n-1)d$ to write the equation for the 8th term, $u_8=25$.
จงใช้ $u_n=a+(n-1)d$ เขียนสมการของพจน์ที่ 8 เมื่อ $u_8=25$
Answershow ▾
Seven jumps from the first term.กระโดด 7 ครั้งจากพจน์แรก
Equations ① $a+3d=15$ and ② $a+7d=25$. Subtract ① from ② to find $d$.
สมการ ① $a+3d=15$ และ ② $a+7d=25$ จงเอา ② ลบด้วย ① เพื่อหา $d$
Answershow ▾
Subtracting removes $a$; dividing by $4$ then gives $d$.การลบทำให้ $a$ หายไป แล้วหารด้วย 4 จะได้ $d$
Use $d=\tfrac{5}{2}$ in $a+3d=15$ to find $a$. Then find $u_{30}=a+29d$.
จงใช้ $d=\tfrac{5}{2}$ ในสมการ $a+3d=15$ เพื่อหา $a$ แล้วหา $u_{30}=a+29d$
Answershow ▾
The same formula finds any term, once $a$ and $d$ are known.สูตรเดียวกันนี้หาพจน์ใดก็ได้ เมื่อรู้ $a$ และ $d$
Check $a=\tfrac{15}{2}$ and $d=\tfrac{5}{2}$ in the other equation, $a+7d=25$. Does it fit?
จงตรวจ $a=\tfrac{15}{2}$ และ $d=\tfrac{5}{2}$ ในสมการอีกตัว $a+7d=25$ ว่าตรงหรือไม่
Answershow ▾
A correct $a$ and $d$ must fit both of the original equations.ค่า $a$ และ $d$ ที่ถูกต้อง ต้องตรงกับสมการทั้งสองตัว
An arithmetic progression has 2nd term $7$ and 6th term $19$. Find the 15th term.
ลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 2 เท่ากับ $7$ และพจน์ที่ 6 เท่ากับ $19$ จงหาพจน์ที่ 15
Answershow ▾
Same four moves: two equations, subtract, solve, then evaluate.สี่ขั้นเดิม: ตั้งสองสมการ ลบกัน แก้สมการ แล้วคำนวณ
An arithmetic progression has fourth term $15$ and eighth term $25$. Find the 30th term of the progression.
ลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) มีพจน์ที่สี่เท่ากับ $15$ และพจน์ที่แปดเท่ากับ $25$ จงหาพจน์ที่ 30 ของลำดับนี้
Answershow ▾
3 marks: two equations, eliminate $a$ to find $d$, then $a$, then the 30th term.3 คะแนน: ตั้งสองสมการ ตัด $a$ เพื่อหา $d$ แล้วหา $a$ แล้วหาพจน์ที่ 30
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Crossing zero, then equal sums ข้ามศูนย์ แล้วผลบวกเท่ากัน
The first term of an arithmetic progression is $84$ and the common difference is $-3$.
(a) Find the smallest value of $n$ for which the $n$th term is negative.
(b) It is given that the sum of the first $2k$ terms of this progression is equal to the sum of the first $k$ terms. Find the value of $k$.
พจน์แรกของลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) คือ $84$ และผลต่างร่วม (common difference) คือ $-3$
(ก) หาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์ที่ $n$ เป็นจำนวนลบ
(ข) กำหนดให้ผลบวก $2k$ พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับผลบวก $k$ พจน์แรก จงหาค่า $k$
An AP has first term $a=84$ and common difference $d=-3$. Use $u_n=a+(n-1)d$ to write $u_n$, and simplify.
ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก $a=84$ และผลต่างร่วม $d=-3$ จงใช้ $u_n=a+(n-1)d$ เขียน $u_n$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect the constants.กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์คงที่
Solve $15-5n \lt 0$ for $n$.
จงแก้อสมการ $15-5n \lt 0$ หา $n$
Answershow ▾
Dividing both sides by a negative number flips $\lt$ to $\gt$.การหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ทำให้ $\lt$ กลายเป็น $\gt$
An AP has $a=84$ and $d=-3$. Simplify $2(84)+(n-1)(-3)$.
ลำดับเลขคณิตมี $a=84$ และ $d=-3$ จงจัดรูป $2(84)+(n-1)(-3)$
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect the constants, same as question $1$.กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์คงที่ เหมือนข้อ $1$
To find the smallest $n$ with a negative term, pick the first move.
(A) solve $84+(n-1)(-3)=0$ for $n$
(B) solve $84+(n-1)(-3)\lt 0$ for $n$
(C) solve $84+n(-3)\lt 0$ for $n$
หาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์เป็นลบ จงเลือกขั้นแรก
(A) แก้ $84+(n-1)(-3)=0$ หา $n$
(B) แก้ $84+(n-1)(-3)\lt 0$ หา $n$
(C) แก้ $84+n(-3)\lt 0$ หา $n$
Answershow ▾
(A) finds only where the term equals zero, not where it turns negative. (C) drops the $(n-1)$, which miscounts how many jumps of $d$ have happened since the first term.(A) หาแค่จุดที่พจน์เท่ากับศูนย์ ไม่ใช่จุดที่เป็นลบ · (C) ลืม $(n-1)$ ทำให้นับจำนวนครั้งที่กระโดดด้วย $d$ จากพจน์แรกผิดไป
Write $84+(n-1)(-3)\lt 0$ as a simplified inequality in $n$.
จงเขียน $84+(n-1)(-3)\lt 0$ เป็นอสมการที่จัดรูปแล้วในรูป $n$
Answershow ▾
Same expansion as question $1$, now as an inequality.กระจายแบบเดียวกับข้อ $1$ แต่เป็นอสมการ
Solve $87-3n \lt 0$ for $n$.
จงแก้อสมการ $87-3n \lt 0$ หา $n$
Answershow ▾
Subtract $87$, then divide by $-3$ and flip the sign.ลบ $87$ แล้วหารด้วย $-3$ และสลับเครื่องหมาย
$n \gt 29$. Pick the smallest $n$ for which $u_n$ is negative.
(A) $n=28$
(B) $n=29$
(C) $n=30$
$n \gt 29$ จงเลือก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $u_n$ เป็นลบ
(A) $n=28$
(B) $n=29$
(C) $n=30$
Answershow ▾
(A) is the last term that is still positive, $u_{28}=3$. (B) is the boundary term itself, $u_{29}=0$, which is not negative.(A) คือพจน์สุดท้ายที่ยังเป็นบวก $u_{28}=3$ · (B) คือพจน์ขอบเขตเอง $u_{29}=0$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนลบ
Evaluate $u_{29}$ and $u_{30}$ using $u_n=87-3n$. State the smallest $n$ for which the term is negative.
จงหา $u_{29}$ และ $u_{30}$ โดยใช้ $u_n=87-3n$ แล้วสรุปค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์เป็นลบ
Answershow ▾
$u_{29}=0$ is not negative. $u_{30}=-3$ is the first negative term.$u_{29}=0$ ไม่ใช่จำนวนลบ · $u_{30}=-3$ คือพจน์แรกที่เป็นลบ
Use $S_n=\dfrac n2\big(2(84)+(n-1)(-3)\big)$ and $2(84)+(n-1)(-3)=171-3n$ (question $3$) to write $S_{2k}$ and $S_{k}$.
จงใช้ $S_n=\dfrac n2\big(2(84)+(n-1)(-3)\big)$ และ $2(84)+(n-1)(-3)=171-3n$ (ข้อ $3$) เขียน $S_{2k}$ และ $S_{k}$
Answershow ▾
Put $n=2k$ for one sum and $n=k$ for the other, into the same bracket.แทน $n=2k$ สำหรับผลบวกหนึ่ง และ $n=k$ สำหรับอีกผลบวก ในวงเล็บเดียวกัน
Solve $k(171-6k)=\dfrac{k}{2}(171-3k)$ for $k$, given $k\gt0$.
จงแก้สมการ $k(171-6k)=\dfrac{k}{2}(171-3k)$ หา $k$ เมื่อ $k\gt0$
Answershow ▾
Dividing by $k$ is safe because $k$ is a count of terms, so $k\gt0$.การหารด้วย $k$ ทำได้ เพราะ $k$ คือจำนวนพจน์ ดังนั้น $k\gt0$
An AP has first term $a=20$ and common difference $d=-2$. (a) Find the smallest $n$ for which the $n$th term is negative. (b) It is given that $S_{2k}=S_{k}$. Find the value of $k$.
ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก $a=20$ และผลต่างร่วม $d=-2$ (ก) หาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์ที่ $n$ เป็นลบ (ข) กำหนดให้ $S_{2k}=S_{k}$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Same moves: nth term then inequality for (a); both sums then divide by $k$ for (b).ขั้นตอนเดิม: หาพจน์ที่ $n$ แล้วแก้อสมการสำหรับข้อ (ก) · เขียนผลบวกทั้งสองแล้วหารด้วย $k$ สำหรับข้อ (ข)
The first term of an arithmetic progression is $84$ and the common difference is $-3$.
(a) Find the smallest value of $n$ for which the $n$th term is negative.
(b) It is given that the sum of the first $2k$ terms of this progression is equal to the sum of the first $k$ terms. Find the value of $k$.
พจน์แรกของลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) คือ $84$ และผลต่างร่วม (common difference) คือ $-3$
(ก) หาค่า $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พจน์ที่ $n$ เป็นจำนวนลบ
(ข) กำหนดให้ผลบวก $2k$ พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับผลบวก $k$ พจน์แรก จงหาค่า $k$
Answershow ▾
5 marks: $2$ for the smallest $n$, $3$ for $k$. Show every line of the sum-formula algebra.5 คะแนน: $2$ คะแนนสำหรับ $n$ ที่น้อยที่สุด $3$ คะแนนสำหรับ $k$ · ต้องเขียนทุกขั้นของพีชคณิตสูตรผลบวก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A GP in p, to infinity GP ที่มี p หาผลบวกอนันต์
The first, second and third terms of a geometric progression are $2p+6$, $-2p$ and $p+2$ respectively, where $p$ is positive. Find the sum to infinity of the progression.
พจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของลำดับเรขาคณิต (geometric progression) คือ $2p+6$, $-2p$ และ $p+2$ ตามลำดับ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนบวก จงหาผลบวกอนันต์ (sum to infinity) ของลำดับนี้
Expand $(-2p)^{2}$.
จงกระจาย $(-2p)^{2}$
Answershow ▾
Squaring a negative gives a positive: the minus sign squares away.ยกกำลังสองจำนวนลบได้จำนวนบวก เครื่องหมายลบหายไปตอนยกกำลังสอง
Expand $(2p+6)(p+2)$.
จงกระจาย $(2p+6)(p+2)$
Answershow ▾
Multiply each term in the first bracket by each term in the second, then collect.คูณแต่ละพจน์ในวงเล็บแรกกับแต่ละพจน์ในวงเล็บสอง แล้วรวมพจน์
Solve $p^{2}-5p-6=0$ for a positive $p$.
จงแก้สมการ $p^{2}-5p-6=0$ โดย $p$ เป็นจำนวนบวก
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-6$ and add to $-5$ are $-6$ and $1$.สองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ และบวกกันได้ $-5$ คือ $-6$ และ $1$
The terms $2p+6$, $-2p$, $p+2$ are a GP. Pick the equation this gives.
(A) $(p+2)-(-2p) = (-2p)-(2p+6)$
(B) $(-2p)^{2} = (2p+6)(p+2)$
(C) $(2p+6)(-2p)(p+2) = 0$
พจน์ $2p+6$, $-2p$, $p+2$ เป็น GP จงเลือกสมการที่ถูกต้อง
(A) $(p+2)-(-2p) = (-2p)-(2p+6)$
(B) $(-2p)^{2} = (2p+6)(p+2)$
(C) $(2p+6)(-2p)(p+2) = 0$
Answershow ▾
(A) sets a constant difference between terms - the AP rule. This is a GP, which has a constant ratio instead. (C) sets the product of the terms to zero, which says nothing about the ratio being constant.(A) ตั้งผลต่างคงที่ระหว่างพจน์ ซึ่งเป็นกฎของ AP แต่นี่คือ GP ที่มีอัตราส่วนคงที่แทน · (C) ตั้งผลคูณของพจน์เท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่ได้บอกอะไรเลยว่าอัตราส่วนคงที่
Use $(-2p)^{2}=(2p+6)(p+2)$ to write an equation equal to $0$.
ใช้ $(-2p)^{2}=(2p+6)(p+2)$ เขียนสมการให้เท่ากับ $0$
Answershow ▾
Substitute the two expansions from questions 1 and 2, then move everything to one side.แทนค่าจากข้อ 1 และ 2 แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
Simplify $2p^{2}-10p-12=0$, then solve for $p$.
จงลดรูป $2p^{2}-10p-12=0$ แล้วแก้สมการหา $p$
Answershow ▾
$p$ is positive, so the root $p=-1$ is rejected.$p$ เป็นจำนวนบวก จึงตัด $p=-1$ ทิ้ง
Using $p=6$, find the first term $a$ and the common ratio $r$.
เมื่อ $p=6$ จงหาพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$
Answershow ▾
The first term comes from $2p+6$; the ratio is the second term over the first.พจน์แรกมาจาก $2p+6$ · อัตราส่วนร่วมคือพจน์ที่สองหารพจน์แรก
Use $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ with $a=18$, $r=-\dfrac{2}{3}$, to find $S_{\infty}$.
ใช้ $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ โดย $a=18$, $r=-\dfrac{2}{3}$ หา $S_{\infty}$
Answershow ▾
Subtracting a negative $r$ makes the denominator bigger, not smaller.การลบด้วย $r$ ที่เป็นลบ ทำให้ตัวหารมีค่ามากขึ้น ไม่ใช่น้อยลง
$S_{\infty}$ only exists when $|r|\lt1$. Check this holds for $r=-\dfrac{2}{3}$.
$S_{\infty}$ มีค่าเมื่อ $|r|\lt1$ เท่านั้น จงตรวจว่า $r=-\dfrac{2}{3}$ เป็นจริงตามนี้หรือไม่
Answershow ▾
A negative ratio still has to pass the size test, not a sign test.อัตราส่วนที่เป็นลบก็ต้องผ่านเงื่อนไขขนาด ไม่ใช่เงื่อนไขเครื่องหมาย
The first, second and third terms of a GP are $2p+16$, $-3p$ and $p+2$, where $p$ is positive. Find the sum to infinity of the progression.
พจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของ GP คือ $2p+16$, $-3p$ และ $p+2$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนบวก จงหาผลบวกอนันต์ของลำดับนี้
Answershow ▾
Same four moves: the ratio relation, solve for p, find a and r, then the formula.สี่ขั้นเดิม: ตั้งสมการจากอัตราส่วนร่วม แก้หา p หา a กับ r แล้วใช้สูตร
The first, second and third terms of a geometric progression are $2p+6$, $-2p$ and $p+2$ respectively, where $p$ is positive. Find the sum to infinity of the progression.
พจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของลำดับเรขาคณิต (geometric progression) คือ $2p+6$, $-2p$ และ $p+2$ ตามลำดับ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนบวก จงหาผลบวกอนันต์ (sum to infinity) ของลำดับนี้
Answershow ▾
5 marks: the ratio relation, solve for p, find a and r, then the formula.5 คะแนน: ตั้งสมการจากอัตราส่วนร่วม แก้หา p หา a กับ r แล้วใช้สูตร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Sum to infinity, choose the ratio ผลบวกอนันต์ เลือกอัตราส่วนร่วม
The second term of a geometric progression is $54$ and the sum to infinity of the progression is $243$. The common ratio is greater than $\dfrac{1}{2}$. Find the tenth term, giving your answer in exact form.
พจน์ที่สองของลำดับเรขาคณิตคือ $54$ และผลบวกอนันต์ (sum to infinity) ของลำดับคือ $243$ อัตราส่วนร่วม (common ratio) มากกว่า $\dfrac{1}{2}$ จงหาพจน์ที่สิบ ตอบในรูป exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
A GP has first term $a$ and common ratio $r$. The second term is $54$. Write this as an equation.
ลำดับเรขาคณิต (GP) หนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$ พจน์ที่สองคือ $54$ จงเขียนเป็นสมการ
Answershow ▾
The second term is the first term times the ratio once.พจน์ที่สอง คือพจน์แรกคูณอัตราส่วนร่วมหนึ่งครั้ง
The same GP has sum to infinity $243$. Write this as an equation in $a$ and $r$.
GP เดียวกันนี้มีผลบวกอนันต์ $243$ จงเขียนเป็นสมการในรูป $a$ และ $r$
Answershow ▾
Put $a$ and $r$ into the sum to infinity formula.แทน $a$ กับ $r$ ลงในสูตรผลบวกอนันต์
A GP has first term $a$ and common ratio $r$. Use $u_n=ar^{n-1}$ to write the tenth term.
GP หนึ่งมีพจน์แรก $a$ และอัตราส่วนร่วม $r$ จงใช้ $u_n=ar^{n-1}$ เขียนพจน์ที่สิบ
Answershow ▾
$n=10$, so the power is $10-1=9$, not $10$.$n=10$ ดังนั้นกำลังคือ $10-1=9$ ไม่ใช่ $10$
You have $ar=54$ and $\dfrac{a}{1-r}=243$, two letters in each. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) rearrange $ar=54$ to $a=\dfrac{54}{r}$, then substitute into the other equation
(C) square both equations and add them
มีสมการ $ar=54$ และ $\dfrac{a}{1-r}=243$ แต่ละสมการมีสองตัวแปร จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) จัดรูป $ar=54$ เป็น $a=\dfrac{54}{r}$ แล้วแทนลงในอีกสมการ
(C) ยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วบวกกัน
Answershow ▾
(A) adds two unrelated expressions; $a$ is still inside both, not removed. (C) squaring makes $a^{2}$ terms, adding a letter instead of removing one.(A) บวกสองนิพจน์ที่ไม่เกี่ยวกัน $a$ ยังอยู่ในทั้งสองสมการ ไม่ได้ถูกตัดออก · (C) การยกกำลังสองทำให้เกิดพจน์ $a^{2}$ เพิ่มตัวแปรเข้ามาแทนที่จะตัดออก
Rearrange $ar=54$ to make $a$ the subject.
จงจัดรูป $ar=54$ ให้ $a$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Divide both sides by $r$.หารทั้งสองข้างด้วย $r$
Substitute $a=\dfrac{54}{r}$ into $\dfrac{a}{1-r}=243$, and write it as one fraction.
จงแทน $a=\dfrac{54}{r}$ ลงใน $\dfrac{a}{1-r}=243$ แล้วเขียนเป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Dividing by $r$, then by $(1-r)$, is the same as dividing by $r(1-r)$.การหารด้วย $r$ แล้วหารด้วย $(1-r)$ อีกที เหมือนการหารด้วย $r(1-r)$
Clear the fraction in $\dfrac{54}{r(1-r)}=243$ and simplify to a quadratic equal to $0$, simplest integer coefficients.
จงกำจัดเศษส่วนใน $\dfrac{54}{r(1-r)}=243$ แล้วจัดเป็นสมการกำลังสองเท่ากับ $0$ สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด
Answershow ▾
Multiply out, move every term to one side, then divide by the common factor $27$.กระจายออก ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว แล้วหารด้วยตัวร่วม $27$
Solve $9r^{2}-9r+2=0$ by factorising.
จงแก้สมการ $9r^{2}-9r+2=0$ โดยการแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $9\times2=18$ and add to $-9$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $9\times2=18$ และบวกกันได้ $-9$
$r=\dfrac13$ or $\dfrac23$. The question says the ratio is greater than $\dfrac12$. Pick what you do next.
(A) keep $r=\dfrac13$, because it is listed first
(B) keep $r=\dfrac23$, and reject $r=\dfrac13$
(C) keep both, and work out two different tenth terms
$r=\dfrac13$ หรือ $\dfrac23$ โจทย์บอกว่าอัตราส่วนร่วมมากกว่า $\dfrac12$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) เลือก $r=\dfrac13$ เพราะมันถูกเขียนไว้ก่อน
(B) เลือก $r=\dfrac23$ และตัด $r=\dfrac13$ ทิ้ง
(C) เก็บไว้ทั้งสองค่า แล้วหาพจน์ที่สิบสองค่า
Answershow ▾
(A) has no reason tied to the given condition. (C) ignores the condition: a GP has one ratio, and only $\dfrac23$ is greater than $\dfrac12$.(A) ไม่มีเหตุผลที่เกี่ยวกับเงื่อนไขที่ให้มา · (C) ไม่สนเงื่อนไข เพราะ GP หนึ่งตัวมีอัตราส่วนร่วมเดียว และมีแค่ $\dfrac23$ ที่มากกว่า $\dfrac12$
Using $r=\dfrac23$, find $a$ from $ar=54$, then find $u_{10}=ar^{9}$. Give an exact value.
ใช้ $r=\dfrac23$ หา $a$ จาก $ar=54$ แล้วหา $u_{10}=ar^{9}$ ตอบเป็นเศษส่วน
Answershow ▾
$a=81$, then cube, cube again, and once more for the ninth power.$a=81$ แล้วยกกำลังสาม สามซ้ำอีก แล้วอีกครั้งเพื่อให้ได้กำลังเก้า
A GP has second term $3$ and sum to infinity $16$. The common ratio is greater than $\dfrac12$. Find the fifth term, giving your answer in exact form.
GP หนึ่งมีพจน์ที่สอง $3$ และผลบวกอนันต์ $16$ อัตราส่วนร่วมมากกว่า $\dfrac12$ จงหาพจน์ที่ห้า ตอบเป็นเศษส่วน
Answershow ▾
Same method: eliminate $a$, solve the quadratic, keep the root greater than $\dfrac12$, then evaluate.วิธีเดิม: ตัด $a$ ออก แก้สมการกำลังสอง เลือกรากที่มากกว่า $\dfrac12$ แล้วคำนวณ
The second term of a geometric progression is $54$ and the sum to infinity of the progression is $243$. The common ratio is greater than $\dfrac{1}{2}$. Find the tenth term, giving your answer in exact form.
พจน์ที่สองของลำดับเรขาคณิตคือ $54$ และผลบวกอนันต์ (sum to infinity) ของลำดับคือ $243$ อัตราส่วนร่วม (common ratio) มากกว่า $\dfrac{1}{2}$ จงหาพจน์ที่สิบ ตอบในรูป exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม)
Answershow ▾
5 marks: form the two equations, eliminate $a$ to get a quadratic in $r$, solve it, keep the root greater than $\dfrac12$, then evaluate.5 คะแนน: ตั้งสองสมการ ตัด $a$ ออกให้ได้สมการกำลังสองใน $r$ แก้สมการ เลือกรากที่มากกว่า $\dfrac12$ แล้วคำนวณ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Three terms, then one coefficient สามพจน์ แล้วหาหนึ่งสัมประสิทธิ์
(a) Find the first three terms in the expansion of $(3-2x)^{5}$ in ascending powers of $x$.
(b) Hence find the coefficient of $x^{2}$ in the expansion of $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$.
(ก) หาสามพจน์แรกของการกระจาย $(3-2x)^{5}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก (ascending powers of $x$)
(ข) จากนั้น (hence) หาสัมประสิทธิ์ (coefficient) ของ $x^{2}$ ในการกระจาย $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$
Evaluate $\binom{5}{2}$ using the nCr button.
จงคำนวณ $\binom{5}{2}$ โดยใช้ปุ่ม nCr
Answershow ▾
nCr jumps straight to one row of Pascal's triangle.nCr กระโดดไปหยิบแถวหนึ่งของสามเหลี่ยมพาสคาลได้เลย
Evaluate $3^{4}$.
จงคำนวณ $3^{4}$
Answershow ▾
This power appears again inside the $x$ term.กำลังนี้จะกลับมาอีกครั้งในพจน์ $x$
Work out $(-2x)^{2}$.
จงคำนวณ $(-2x)^{2}$
Answershow ▾
Squaring removes the minus sign.การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายลบหายไป
In $(3-2x)^{5}$, the $x$ term uses $(-2x)^{1}$ and the $x^{2}$ term uses $(-2x)^{2}$. Pick the true statement.
(A) both terms are negative
(B) both terms are positive
(C) the $x$ term is negative, the $x^{2}$ term is positive
ใน $(3-2x)^{5}$ พจน์ $x$ ใช้ $(-2x)^{1}$ และพจน์ $x^{2}$ ใช้ $(-2x)^{2}$ จงเลือกข้อที่ถูก
(A) ทั้งสองพจน์เป็นลบ
(B) ทั้งสองพจน์เป็นบวก
(C) พจน์ $x$ เป็นลบ พจน์ $x^{2}$ เป็นบวก
Answershow ▾
(A) forgets that $(-2x)^{2}=4x^{2}$ is positive. (B) forgets that $(-2x)^{1}=-2x$ keeps its minus - an odd power never removes the sign.(A) ลืมว่า $(-2x)^{2}=4x^{2}$ เป็นบวก · (B) ลืมว่า $(-2x)^{1}=-2x$ ยังมีเครื่องหมายลบอยู่ กำลังคี่ไม่ทำให้เครื่องหมายหายไป
Find the constant term of $(3-2x)^{5}$: evaluate $3^{5}$.
จงหาพจน์ค่าคงที่ของ $(3-2x)^{5}$ โดยคำนวณ $3^{5}$
Answershow ▾
The constant term is $r=0$: no $x$ at all.พจน์ค่าคงที่คือ $r=0$ ไม่มี $x$ เลย
Using $\binom{5}{1}=5$ and $3^{4}=81$, find the $x$ term: $5\times81\times(-2x)$.
ใช้ $\binom{5}{1}=5$ และ $3^{4}=81$ จงหาพจน์ $x$: $5\times81\times(-2x)$
Answershow ▾
Keep the $-2x$ in brackets, then let the power handle the sign.ใส่วงเล็บให้ $-2x$ แล้วปล่อยให้กำลังจัดการเครื่องหมายเอง
Using $\binom{5}{2}=10$, $3^{3}=27$, and $(-2x)^{2}=4x^{2}$, find the $x^{2}$ term: $10\times27\times4x^{2}$.
ใช้ $\binom{5}{2}=10$, $3^{3}=27$ และ $(-2x)^{2}=4x^{2}$ จงหาพจน์ $x^{2}$: $10\times27\times4x^{2}$
Answershow ▾
$10\times27=270$, then $270\times4=1080$.$10\times27=270$ แล้ว $270\times4=1080$
$(4+x)^{2}=16+8x+x^{2}$. To get the coefficient of $x^{2}$ in $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$, which pairs do you multiply?
(A) the two $x^{2}$ terms only: $x^{2}\times1080x^{2}$
(B) the two constant terms only: $16\times243$
(C) every pair whose powers add to $2$: $16\times1080x^{2}$, $8x\times(-810x)$, $x^{2}\times243$
$(4+x)^{2}=16+8x+x^{2}$ หาสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ใน $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$ ต้องคูณคู่ไหนบ้าง
(A) พจน์ $x^{2}$ ของทั้งสองวงเล็บเท่านั้น: $x^{2}\times1080x^{2}$
(B) พจน์ค่าคงที่ของทั้งสองวงเล็บเท่านั้น: $16\times243$
(C) ทุกคู่ที่กำลังรวมกันได้ $2$: $16\times1080x^{2}$, $8x\times(-810x)$, $x^{2}\times243$
Answershow ▾
(A) gives $x^{4}$, not $x^{2}$ - powers must add to $2$, not already equal $2$. (B) gives the constant term of the product, not $x^{2}$.(A) ได้ $x^{4}$ ไม่ใช่ $x^{2}$ เพราะกำลังต้องรวมกันได้ $2$ ไม่ใช่เท่ากับ $2$ ทั้งคู่ · (B) ได้พจน์ค่าคงที่ของผลคูณ ไม่ใช่ $x^{2}$
Work out the coefficient of $x^{2}$: $16(1080)+8(-810)+1(243)$.
จงคำนวณสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$: $16(1080)+8(-810)+1(243)$
Answershow ▾
Three products, one of them negative, added together.สามผลคูณ มีหนึ่งตัวเป็นลบ นำมาบวกกัน
Check $17280-6480+243=11043$ by adding the two positive parts first: $17280+243$, then subtract $6480$.
ตรวจคำตอบ $17280-6480+243=11043$ โดยบวกสองค่าบวกก่อน: $17280+243$ แล้วค่อยลบ $6480$
Answershow ▾
Same three numbers, different order, same total.เลขสามตัวเดิม สลับลำดับการบวกลบ ได้ผลรวมเท่ากัน
(a) Find the first three terms of $(2-x)^{4}$ in ascending powers of $x$.
(b) Hence find the coefficient of $x^{2}$ in $(1+x)^{2}(2-x)^{4}$.
(ก) หาสามพจน์แรกของ $(2-x)^{4}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก
(ข) จากนั้น (hence) หาสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ใน $(1+x)^{2}(2-x)^{4}$
Answershow ▾
Same six moves, smaller powers: $n=4$ instead of $5$.หกขั้นเดิม แต่กำลังเล็กลง: $n=4$ แทน $5$
(a) Find the first three terms in the expansion of $(3-2x)^{5}$ in ascending powers of $x$.
(b) Hence find the coefficient of $x^{2}$ in the expansion of $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$.
(ก) หาสามพจน์แรกของการกระจาย $(3-2x)^{5}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก (ascending powers of $x$)
(ข) จากนั้น (hence) หาสัมประสิทธิ์ (coefficient) ของ $x^{2}$ ในการกระจาย $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$
Answershow ▾
6 marks: three for the terms of $(3-2x)^{5}$, one for $(4+x)^{2}$, one for collecting every pair, one for the total.6 คะแนน: สามคะแนนจากพจน์ของ $(3-2x)^{5}$ หนึ่งคะแนนจาก $(4+x)^{2}$ หนึ่งคะแนนจากการรวมทุกคู่ และหนึ่งคะแนนจากผลรวม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two progressions sharing a and b สองลำดับที่ใช้ a และ b ร่วมกัน
The first, second and third terms of an arithmetic progression are $a$, $\dfrac{3}{2}a$ and $b$ respectively, where $a$ and $b$ are positive constants. The first, second and third terms of a geometric progression are $a$, $18$ and $b+3$ respectively.
(a) Find the values of $a$ and $b$.
(b) Find the sum of the first $20$ terms of the arithmetic progression.
พจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) คือ $a$, $\dfrac{3}{2}a$ และ $b$ ตามลำดับ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่บวก ส่วนพจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของลำดับเรขาคณิต (geometric progression) คือ $a$, $18$ และ $b+3$ ตามลำดับ
(ก) จงหาค่าของ $a$ และ $b$
(ข) จงหาผลบวก $20$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
The first three terms of an AP are $6$, $x$, $20$. Write the equation that says the two steps are equal.
พจน์สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $6$, $x$, $20$ จงเขียนสมการที่บอกว่าสองขั้นเท่ากัน
Answershow ▾
The middle term minus the first equals the last term minus the middle.พจน์กลางลบพจน์แรก เท่ากับพจน์สุดท้ายลบพจน์กลาง
The first three terms of a GP are $5$, $15$, $y$. Write the equation that says the two ratios are equal.
พจน์สามพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตคือ $5$, $15$, $y$ จงเขียนสมการที่บอกว่าสองอัตราส่วนเท่ากัน
Answershow ▾
The middle term over the first equals the last term over the middle.พจน์กลางหารพจน์แรก เท่ากับพจน์สุดท้ายหารพจน์กลาง
Solve $2x^{2}+3x-5=0$.
จงแก้สมการ $2x^{2}+3x-5=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-10$ and add to $3$ are $5$ and $-2$.สองจำนวนที่คูณกันได้ $-10$ และบวกกันได้ $3$ คือ $5$ และ $-2$
The first three terms of an AP are $a$, $\dfrac{3}{2}a$, $b$. Which equation is correct?
(A) $\dfrac{3}{2}a - a = b - \dfrac{3}{2}a$
(B) $\dfrac{\tfrac{3}{2}a}{a} = \dfrac{b}{\tfrac{3}{2}a}$
(C) $\dfrac{3}{2}a + a = b$
พจน์สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $a$, $\dfrac{3}{2}a$, $b$ จงเลือกสมการที่ถูกต้อง
(A) $\dfrac{3}{2}a - a = b - \dfrac{3}{2}a$
(B) $\dfrac{\tfrac{3}{2}a}{a} = \dfrac{b}{\tfrac{3}{2}a}$
(C) $\dfrac{3}{2}a + a = b$
Answershow ▾
(B) uses equal ratios, which is the rule for a GP, not an AP. (C) only adds the terms; that is not a condition either progression satisfies.(B) ใช้อัตราส่วนเท่ากัน ซึ่งเป็นกฎของลำดับเรขาคณิต ไม่ใช่เลขคณิต · (C) แค่บวกพจน์เข้าด้วยกัน ซึ่งไม่ใช่เงื่อนไขของลำดับใดเลย
Simplify $\dfrac{3}{2}a - a = b - \dfrac{3}{2}a$ to make $b$ the subject.
จงจัดรูป $\dfrac{3}{2}a - a = b - \dfrac{3}{2}a$ ให้ $b$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Add $\dfrac{3}{2}a$ to both sides to collect the $a$ terms.บวก $\dfrac{3}{2}a$ เข้าทั้งสองข้างเพื่อรวมพจน์ $a$
Write the equation that says the two ratios of the GP, $\dfrac{18}{a}$ and $\dfrac{b+3}{18}$, are equal. Then cross-multiply.
จงเขียนสมการที่บอกว่าสองอัตราส่วนของลำดับเรขาคณิต $\dfrac{18}{a}$ และ $\dfrac{b+3}{18}$ เท่ากัน แล้วคูณไขว้
Answershow ▾
Cross-multiply: $18\times18$ on one side, $a$ times the other term on the other.คูณไขว้: $18\times18$ ด้านหนึ่ง และ $a$ คูณกับพจน์อีกตัวอีกด้านหนึ่ง
Substitute $b=2a$ into $324=a(b+3)$, then collect everything on one side.
แทน $b=2a$ ใน $324=a(b+3)$ แล้วย้ายทุกพจน์มาไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Expand the bracket, then subtract $324$ from both sides.กระจายวงเล็บ แล้วลบ $324$ ออกจากทั้งสองข้าง
Solve $2a^{2}+3a-324=0$ for $a$, then use $b=2a$ to find $b$. Remember $a$ and $b$ are positive.
จงแก้สมการ $2a^{2}+3a-324=0$ หา $a$ แล้วใช้ $b=2a$ หา $b$ จำไว้ว่า $a$ และ $b$ เป็นค่าบวก
Answershow ▾
$a$ and $b$ are positive, so the negative root is rejected.$a$ และ $b$ เป็นค่าบวก จึงตัดรากที่เป็นค่าลบทิ้ง
Part (b) asks for the sum of the first $20$ terms of the AP. Which formula do you use?
(A) $S_n=\dfrac{a(r^{20}-1)}{r-1}$
(B) $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$
(C) $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)r\big)$
ข้อ (ข) ให้หาผลบวก $20$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต จงเลือกสูตรที่ใช้
(A) $S_n=\dfrac{a(r^{20}-1)}{r-1}$
(B) $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$
(C) $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)r\big)$
Answershow ▾
(A) is the sum formula for a GP, not an AP. (C) uses the AP formula shape but with the GP ratio $r$ in place of the AP difference $d$.(A) เป็นสูตรผลบวกของลำดับเรขาคณิต ไม่ใช่เลขคณิต · (C) ใช้รูปสูตรของเลขคณิต แต่ใส่อัตราส่วน $r$ ของเรขาคณิตแทนผลต่าง $d$
Find the common difference $d$, then find $S_{20}$.
จงหาผลต่างร่วม $d$ แล้วหา $S_{20}$
Answershow ▾
$d$ is the second term minus the first; then substitute into the sum formula with $n=20$.$d$ คือพจน์ที่สองลบพจน์แรก แล้วแทนค่าในสูตรผลบวกโดย $n=20$
The first three terms of an AP are $a$, $\dfrac{3}{2}a$, $b$, with $a$ and $b$ positive. The first three terms of a GP are $a$, $12$, $b+12$. Find $a$ and $b$, then find the sum of the first $10$ terms of the AP.
พจน์สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $a$, $\dfrac{3}{2}a$, $b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าบวก พจน์สามพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตคือ $a$, $12$, $b+12$ จงหาค่า $a$ และ $b$ แล้วหาผลบวก $10$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
Answershow ▾
Same moves: link the AP and GP into a quadratic, solve it, then use the sum formula.ขั้นตอนเดิม: เชื่อมเลขคณิตกับเรขาคณิตเป็นสมการกำลังสอง แก้สมการ แล้วใช้สูตรผลบวก
The first, second and third terms of an arithmetic progression are $a$, $\dfrac{3}{2}a$ and $b$ respectively, where $a$ and $b$ are positive constants. The first, second and third terms of a geometric progression are $a$, $18$ and $b+3$ respectively.
(a) Find the values of $a$ and $b$.
(b) Find the sum of the first $20$ terms of the arithmetic progression.
พจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) คือ $a$, $\dfrac{3}{2}a$ และ $b$ ตามลำดับ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่บวก ส่วนพจน์ที่หนึ่ง สอง และสามของลำดับเรขาคณิต (geometric progression) คือ $a$, $18$ และ $b+3$ ตามลำดับ
(ก) จงหาค่าของ $a$ และ $b$
(ข) จงหาผลบวก $20$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
Answershow ▾
$8$ marks: link the AP and GP into one quadratic in $a$, solve it, then use the sum formula with $n=20$.$8$ คะแนน: เชื่อมเลขคณิตกับเรขาคณิตเป็นสมการกำลังสองของ $a$ แก้สมการ แล้วใช้สูตรผลบวกโดย $n=20$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sinking distance, summed two ways ระยะที่จมลง บวกสองแบบ
A tool for putting fence posts into the ground is called a 'post-rammer'. The distances in millimetres that the post sinks into the ground on each impact of the post-rammer follow a geometric progression. The first three impacts cause the post to sink into the ground by $50$ mm, $40$ mm and $32$ mm respectively.
(a) Verify that the 9th impact is the first in which the post sinks less than $10$ mm into the ground.
(b) Find, to the nearest millimetre, the total depth of the post in the ground after $20$ impacts.
(c) Find the greatest total depth in the ground which could theoretically be achieved.
เครื่องมือสำหรับตอกเสารั้วลงดินเรียกว่า 'post-rammer' (เครื่องตอกเสา) ระยะในหน่วยมิลลิเมตรที่เสาจมลงดินในการตอกแต่ละครั้งเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric progression) การตอกสามครั้งแรกทำให้เสาจมลงดิน $50$ mm, $40$ mm และ $32$ mm ตามลำดับ
(ก) จงแสดงให้เห็นจริง (verify) ว่าการตอกครั้งที่ 9 เป็นครั้งแรกที่เสาจมลงดินน้อยกว่า $10$ mm
(ข) หาความลึกรวมของเสาในดินหลังการตอก $20$ ครั้ง ตอบเป็นมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุด (to the nearest millimetre)
(ค) หาความลึกรวมที่มากที่สุดที่ทำได้ในทางทฤษฎี (theoretically)
A GP has first three terms $50$, $40$ and $32$. Find the common ratio $r$.
ลำดับเรขาคณิตมีสามพจน์แรกคือ $50$, $40$ และ $32$ จงหาอัตราส่วนร่วม $r$
Answershow ▾
Divide any term by the one before it.นำพจน์ใดพจน์หนึ่งหารด้วยพจน์ก่อนหน้า
A GP has $a=50$ and $r=0.8$. Use $u_n=ar^{n-1}$ to find $u_3$.
ลำดับเรขาคณิตมี $a=50$ และ $r=0.8$ จงใช้ $u_n=ar^{n-1}$ หา $u_3$
Answershow ▾
$n=3$, so the power is $n-1=2$.$n=3$ ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ $n-1=2$
Round $247.1$ to the nearest whole number.
จงปัดเศษ $247.1$ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
The first decimal digit is $1$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งแรกคือ $1$ จึงปัดลง
To show the 9th impact is the first below $10$ mm, which impacts must you check? Pick the first move.
(A) only $u_9$
(B) $u_8$ and $u_9$
(C) every impact from $u_1$ to $u_9$
เพื่อแสดงว่าการตอกครั้งที่ 9 เป็นครั้งแรกที่จมน้อยกว่า $10$ mm ต้องตรวจการตอกครั้งไหนบ้าง จงเลือกขั้นแรก
(A) ตรวจเฉพาะ $u_9$
(B) ตรวจ $u_8$ และ $u_9$
(C) ตรวจทุกครั้งตั้งแต่ $u_1$ ถึง $u_9$
Answershow ▾
(A) shows $u_9\lt10$ but not that it is the first - $u_8$ could also be under $10$. (C) checks far more terms than needed: once the sequence is known to keep shrinking, only the term just before the switch matters.(A) แสดงว่า $u_9\lt10$ แต่ยังไม่พิสูจน์ว่าเป็นครั้งแรก เพราะ $u_8$ อาจน้อยกว่า $10$ ด้วย · (C) ตรวจมากเกินความจำเป็น เพราะลำดับลดลงตลอด จึงต้องดูแค่พจน์ก่อนหน้าจุดเปลี่ยนเท่านั้น
The post sinks $50$ mm on the first impact, with ratio $r=0.8$. Use $u_n=ar^{n-1}$ to find $u_8$, to $3$ significant figures.
เสาจมลง $50$ mm ในการตอกครั้งแรก อัตราส่วน $r=0.8$ จงใช้ $u_n=ar^{n-1}$ หา $u_8$ ถึง 3 เลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$n=8$, so the power is $n-1=7$.$n=8$ ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ $n-1=7$
Use $u_n=ar^{n-1}$ to find $u_9$, to $3$ significant figures.
จงใช้ $u_n=ar^{n-1}$ หา $u_9$ ถึง 3 เลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$n=9$, so the power is $n-1=8$.$n=9$ ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ $n-1=8$
$u_8\approx10.5$ and $u_9\approx8.39$. Write the full conclusion for part (a).
$u_8\approx10.5$ และ $u_9\approx8.39$ จงเขียนข้อสรุปสำหรับข้อ (a) ให้ครบ
Answershow ▾
State both terms against $10$, then name which impact is first.ระบุทั้งสองพจน์เทียบกับ $10$ แล้วบอกว่าเป็นการตอกครั้งไหนที่เป็นครั้งแรก
The sinking distances form a GP with $r=0.8\lt1$. To find the greatest total depth in theory, pick the first move.
(A) substitute a very large $n$ (say $n=1000$) into $S_n$
(B) use $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$
(C) use $S_{20}$ from part (b), since that already covers many impacts
ระยะที่จมเป็นลำดับเรขาคณิตที่ $r=0.8\lt1$ เพื่อหาความลึกรวมที่มากที่สุดในทางทฤษฎี จงเลือกขั้นแรก
(A) แทน $n$ ค่ามาก ๆ (เช่น $n=1000$) ลงใน $S_n$
(B) ใช้ $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$
(C) ใช้ $S_{20}$ จากข้อ (b) เพราะครอบคลุมหลายครั้งแล้ว
Answershow ▾
(A) only gives a large finite approximation, never the true limit. (C) is just the depth after $20$ impacts, not the greatest possible depth.(A) ให้เพียงค่าประมาณจำกัดจำนวนมาก ไม่ใช่ลิมิตจริง · (C) เป็นความลึกหลังตอก $20$ ครั้งเท่านั้น ไม่ใช่ความลึกที่มากที่สุดที่เป็นไปได้
Find $S_{20}$ for this GP, then round to the nearest millimetre.
จงหา $S_{20}$ ของลำดับนี้ แล้วปัดเศษเป็นมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
Use $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ with $n=20$.ใช้ $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ โดย $n=20$
Find $S_\infty$. Check that it is bigger than $S_{20}=247.1$, as it should be.
จงหา $S_\infty$ แล้วตรวจว่ามากกว่า $S_{20}=247.1$ ตามที่ควรเป็น
Answershow ▾
The total after infinitely many impacts must be at least the total after $20$.ผลรวมหลังตอกไม่สิ้นสุดต้องมากกว่าหรือเท่ากับผลรวมหลังตอก $20$ ครั้งเสมอ
A bouncing ball has rebound heights that form a GP. The first three bounces reach $80$, $40$ and $20$ cm.
(a) Show that the 5th bounce is the first that reaches less than $7$ cm.
(b) Find the total height after $5$ bounces.
(c) Find the greatest total height which could theoretically be reached.
ความสูงการเด้งของลูกบอลเป็นลำดับเรขาคณิต การเด้งสามครั้งแรกสูง $80$, $40$ และ $20$ cm
(ก) จงแสดงให้เห็นจริงว่าการเด้งครั้งที่ 5 เป็นครั้งแรกที่สูงน้อยกว่า $7$ cm
(ข) หาความสูงรวมหลังเด้ง $5$ ครั้ง
(ค) หาความสูงรวมที่มากที่สุดที่ทำได้ในทางทฤษฎี
Answershow ▾
Same three skills: find $r$, use $u_n=ar^{n-1}$ twice, then $S_n$ and $S_\infty$.สามทักษะเดิม: หา $r$ ใช้ $u_n=ar^{n-1}$ สองครั้ง แล้วหา $S_n$ และ $S_\infty$
A tool for putting fence posts into the ground is called a 'post-rammer'. The distances in millimetres that the post sinks into the ground on each impact of the post-rammer follow a geometric progression. The first three impacts cause the post to sink into the ground by $50$ mm, $40$ mm and $32$ mm respectively.
(a) Verify that the 9th impact is the first in which the post sinks less than $10$ mm into the ground.
(b) Find, to the nearest millimetre, the total depth of the post in the ground after $20$ impacts.
(c) Find the greatest total depth in the ground which could theoretically be achieved.
เครื่องมือสำหรับตอกเสารั้วลงดินเรียกว่า 'post-rammer' (เครื่องตอกเสา) ระยะในหน่วยมิลลิเมตรที่เสาจมลงดินในการตอกแต่ละครั้งเป็นลำดับเรขาคณิต (geometric progression) การตอกสามครั้งแรกทำให้เสาจมลงดิน $50$ mm, $40$ mm และ $32$ mm ตามลำดับ
(ก) จงแสดงให้เห็นจริง (verify) ว่าการตอกครั้งที่ 9 เป็นครั้งแรกที่เสาจมลงดินน้อยกว่า $10$ mm
(ข) หาความลึกรวมของเสาในดินหลังการตอก $20$ ครั้ง ตอบเป็นมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุด (to the nearest millimetre)
(ค) หาความลึกรวมที่มากที่สุดที่ทำได้ในทางทฤษฎี (theoretically)
Answershow ▾
7 marks: both terms and the conclusion in (a), then $S_n$ rounded in (b), $S_\infty$ in (c).7 คะแนน: ทั้งสองพจน์และข้อสรุปในข้อ (a) จากนั้น $S_n$ ปัดเศษในข้อ (b) และ $S_\infty$ ในข้อ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
GP terms become AP terms พจน์ GP กลายเป็นพจน์ AP
The first term of a geometric progression is $216$ and the fourth term is $64$.
(a) Find the sum to infinity of the progression.
(b) The second term of the geometric progression is equal to the second term of an arithmetic progression. The third term of the geometric progression is equal to the fifth term of the same arithmetic progression. Find the sum of the first $21$ terms of the arithmetic progression.
พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต (geometric progression) คือ $216$ และพจน์ที่สี่คือ $64$
(ก) จงหาผลบวกอนันต์ (sum to infinity) ของลำดับนี้
(ข) พจน์ที่สองของลำดับเรขาคณิตเท่ากับพจน์ที่สองของลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) ลำดับหนึ่ง และพจน์ที่สามของลำดับเรขาคณิตเท่ากับพจน์ที่ห้าของลำดับเลขคณิตเดียวกันนั้น จงหาผลบวก $21$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
A geometric progression has first term $216$. Write an expression, in terms of $r$, for its 4th term.
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์แรกเท่ากับ $216$ จงเขียนพจน์ที่ 4 ในรูปของ $r$
Answershow ▾
The 4th term is 3 steps after the first, so the power is $n-1$, not $n$.พจน์ที่ 4 ห่างจากพจน์แรก 3 ก้าว กำลังจึงเป็น $n-1$ ไม่ใช่ $n$
Solve $r^{3}=\dfrac{8}{27}$ for $r$.
จงแก้สมการ $r^{3}=\dfrac{8}{27}$ หาค่า $r$
Answershow ▾
Cube root the top and the bottom separately.ถอดรากที่สามของเศษและส่วนแยกกัน
A GP has first term $a=12$ and common ratio $r=\dfrac13$. Find $S_\infty$.
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์แรก $a=12$ และอัตราส่วนร่วม $r=\dfrac13$ จงหา $S_\infty$
Answershow ▾
$S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$, valid only when $|r|\lt1$.$S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$ ใช้ได้เมื่อ $|r|\lt1$ เท่านั้น
A GP has first term $216$ and fourth term $64$. Pick the equation that correctly links them.
(A) $216r^{4}=64$
(B) $216r^{3}=64$
(C) $216+3r=64$
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์แรก $216$ และพจน์ที่สี่ $64$ จงเลือกสมการที่เชื่อมสองพจน์นี้ถูกต้อง
(A) $216r^{4}=64$
(B) $216r^{3}=64$
(C) $216+3r=64$
Answershow ▾
(A) uses $r^{4}$ - the first term already counts as step $0$, so the 4th term is only 3 multiplications on. (C) adds $3r$, which is the rule for an AP, not a GP.(A) ใช้ $r^{4}$ - พจน์แรกนับเป็นก้าวที่ $0$ อยู่แล้ว พจน์ที่ 4 จึงคูณเพียง 3 ครั้ง · (C) บวก $3r$ ซึ่งเป็นกฎของ AP ไม่ใช่ GP
Solve $216r^{3}=64$ to find the common ratio $r$.
จงแก้สมการ $216r^{3}=64$ เพื่อหาอัตราส่วนร่วม $r$
Answershow ▾
Divide first, then cube root; $\dfrac{64}{216}$ simplifies to $\dfrac{8}{27}$.หารก่อน แล้วถอดรากที่สาม · $\dfrac{64}{216}$ ลดส่วนได้ $\dfrac{8}{27}$
Using $a=216$ and $r=\dfrac23$, write $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$ with these numbers substituted.
โดยใช้ $a=216$ และ $r=\dfrac23$ จงเขียน $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$ แทนค่าตัวเลขเหล่านี้
Answershow ▾
Substitute both numbers before simplifying anything.แทนค่าทั้งสองตัวก่อน แล้วจึงค่อยจัดรูป
Evaluate $\dfrac{216}{1-\frac23}$.
จงคำนวณ $\dfrac{216}{1-\frac23}$
Answershow ▾
$1-\dfrac23=\dfrac13$, and dividing by $\dfrac13$ is multiplying by $3$.$1-\dfrac23=\dfrac13$ และการหารด้วย $\dfrac13$ คือการคูณด้วย $3$
Find the 2nd term of the GP, $u_2=216r$.
จงหาพจน์ที่สองของ GP คือ $u_2=216r$
Answershow ▾
This value equals the second term of the AP, $a+d$.ค่านี้เท่ากับพจน์ที่สองของ AP คือ $a+d$
Find the 3rd term of the GP, $u_3=216r^{2}$, using the same ratio.
จงหาพจน์ที่สามของ GP คือ $u_3=216r^{2}$ โดยใช้อัตราส่วนเดิม
Answershow ▾
Same $r$ as before - the ratio does not change partway through a GP.ใช้ $r$ ตัวเดิม เพราะอัตราส่วนของ GP ไม่เปลี่ยนกลางทาง
You have $a+d=144$ and $a+4d=96$. Pick the way to find $d$.
(A) subtract the equations to eliminate $a$
(B) divide the equations
(C) add the equations
มีสมการ $a+d=144$ และ $a+4d=96$ จงเลือกวิธีหา $d$
(A) ลบสมการเพื่อกำจัด $a$
(B) หารสมการ
(C) บวกสมการ
Answershow ▾
(B) dividing does not cancel $a$ cleanly, since $a$ is added, not multiplied, in each equation. (C) adding keeps $a$ in the result, doubled, so it still has two unknowns.(B) การหารไม่ตัด $a$ ออกอย่างง่าย เพราะ $a$ ถูกบวกไม่ใช่คูณในสมการแต่ละข้าง · (C) การบวกยังเหลือ $a$ อยู่ในผลลัพธ์ (เป็นสองเท่า) จึงยังมีตัวไม่รู้สองตัว
A GP has first term $27$ and fourth term $8$. Its 2nd term equals the 2nd term of an AP, and its 3rd term equals the 5th term of the same AP. Find the sum of the first $21$ terms of the AP.
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์แรก $27$ และพจน์ที่สี่ $8$ พจน์ที่สองของ GP เท่ากับพจน์ที่สองของ AP และพจน์ที่สามของ GP เท่ากับพจน์ที่ห้าของ AP เดียวกัน จงหาผลบวก $21$ พจน์แรกของ AP
Answershow ▾
Same six moves: find $r$, the GP terms, the two AP equations, then $d$, $a$, and $S_{21}$.หกขั้นเดิม: หา $r$ พจน์ของ GP สองสมการของ AP แล้วหา $d$, $a$ และ $S_{21}$
The first term of a geometric progression is $216$ and the fourth term is $64$.
(a) Find the sum to infinity of the progression.
(b) The second term of the geometric progression is equal to the second term of an arithmetic progression. The third term of the geometric progression is equal to the fifth term of the same arithmetic progression. Find the sum of the first $21$ terms of the arithmetic progression.
พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต (geometric progression) คือ $216$ และพจน์ที่สี่คือ $64$
(ก) จงหาผลบวกอนันต์ (sum to infinity) ของลำดับนี้
(ข) พจน์ที่สองของลำดับเรขาคณิตเท่ากับพจน์ที่สองของลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) ลำดับหนึ่ง และพจน์ที่สามของลำดับเรขาคณิตเท่ากับพจน์ที่ห้าของลำดับเลขคณิตเดียวกันนั้น จงหาผลบวก $21$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิต
Answershow ▾
9 marks: 3 for the sum to infinity, 6 for the arithmetic progression and its sum.9 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับผลบวกอนันต์ อีก 6 คะแนนสำหรับลำดับเลขคณิตและผลบวกของมัน