Trigonometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Trigonometry
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Trigonometry · solving a trig equation over an interval
Solve $2\sin(3x) = 1$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$, giving all solutions.
Write down the exact values of $\sin(30^\circ)$, $\sin(45^\circ)$ and $\sin(60^\circ)$.
เขียนค่า $\sin(30^\circ)$, $\sin(45^\circ)$ และ $\sin(60^\circ)$ ในรูปเศษส่วนหรือราก
Answershow ▾
These three values come up in almost every trig equation on this paper — know them cold.
Find the value of $\theta$ between $-90^\circ$ and $90^\circ$ such that $\sin\theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Answershow ▾
This is exactly what your calculator's $\sin^{-1}$ button gives you — the principal value, and only one of possibly several solutions.
The graph shows $y = \sin x$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$. One solution of $\sin x = \frac{1}{2}$ is marked at $x = 30^\circ$. Using the symmetry of the curve, write down the second solution in the range.
Answershow ▾
The sine curve is symmetric about $x = 90^\circ$: a second solution is always $180^\circ$ minus the first.
The interval is written $0^\circ \le x \le 360^\circ$. Before any $\sin^{-1}$ is pressed, which calculator mode has to be selected? Work out what $\sin^{-1}(0.5)$ returns in each of the two modes, and say which of the two answers looks like a plausible exam answer.
ช่วงคำตอบเขียนว่า $0^\circ \le x \le 360^\circ$ · ก่อนกด $\sin^{-1}$ ต้องตั้งโหมดเครื่องคิดเลขเป็นอะไร · ลองดูว่า $\sin^{-1}(0.5)$ ให้ค่าอะไรในแต่ละโหมด และค่าไหนที่ดูเหมือนคำตอบข้อสอบได้
Answershow ▾
The degree signs in the interval are the only instruction, and no line of working ever records the mode. A complete solution done in radians is arithmetically perfect and scores zero; worse, the numbers are small and tidy, so nothing on the page looks wrong. There is no mark for the mode, in this or any other question.สัญลักษณ์องศาในช่วงคำตอบคือคำสั่งเดียวที่มี และไม่มีบรรทัดไหนของงานที่บันทึกโหมดไว้ · คำตอบที่ทำในโหมดเรเดียนถูกต้องทางเลขทุกบรรทัดแต่ได้ศูนย์ และเลขที่ได้ก็เล็กและเรียบร้อย จึงไม่มีอะไรบนหน้ากระดาษที่ดูผิด · ไม่มีคะแนนให้กับโหมด ทั้งข้อนี้และข้ออื่น
Given $2\sin(3x) = 1$, divide both sides by 2 to write the equation in the form $\sin(3x) = \ldots$.
จาก $2\sin(3x) = 1$ หารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อเขียนในรูป $\sin(3x) = \ldots$
Answershow ▾
Always isolate $\sin(\ldots)$ before doing anything else; 2 is not part of the angle.
Solve $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ for the value of $3x$ between $-90^\circ$ and $90^\circ$.
Answershow ▾
$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$ — one of the exact values from question 1.
Using the symmetry of the sine curve, find the second value of $3x$ in $[0^\circ, 360^\circ]$ satisfying $\sin(3x) = \frac{1}{2}$.
Answershow ▾
$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ — same rule as question 3.
The equation is $\sin(3x) = \frac{1}{2}$, but the interval $0^\circ \le x \le 360^\circ$ is given for $x$, not for $3x$. Which interval does $3x$ run over? Is it wider or narrower than the one you were given, and how many solutions should you therefore be looking for?
สมการคือ $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ แต่ช่วง $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ให้ไว้สำหรับ $x$ ไม่ใช่ $3x$ · แล้ว $3x$ วิ่งในช่วงไหน กว้างขึ้นหรือแคบลงกว่าที่ให้มา และควรมองหาคำตอบกี่ตัว
Answershow ▾
Multiplying the angle by $3$ multiplies the hunting ground by $3$, and every solution found in the narrow interval is one you have to divide back down at the end. Students who search $0^\circ$ to $360^\circ$ for $3x$ find two solutions, divide, and hand in a third of the answer. The mark scheme lists the six values; it never says where the $1080^\circ$ came from.คูณมุมด้วย $3$ ก็คือคูณพื้นที่ค้นหาด้วย $3$ และคำตอบทุกตัวที่หาได้จะต้องหารกลับตอนท้าย · คนที่ค้นเฉพาะ $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ สำหรับ $3x$ จะเจอสองคำตอบ หารกลับ แล้วส่งคำตอบไปหนึ่งในสาม · มาร์คสกีมลิสต์ค่าทั้งหกไว้ แต่ไม่เคยบอกว่า $1080^\circ$ มาจากไหน
Since $0^\circ \le x \le 360^\circ$, $3x$ itself ranges over $0^\circ$ to $1080^\circ$ — a WIDER interval than $x$. List every value of $3x$ in $[0^\circ, 1080^\circ]$ satisfying $\sin(3x) = \frac{1}{2}$.
เนื่องจาก $3x$ มีพิสัยกว้างกว่า $x$ จงหาค่าทั้งหมดของ $3x$ ในช่วง $[0^\circ, 1080^\circ]$ ที่สอดคล้องกับ $\sin(3x) = \frac{1}{2}$
Answershow ▾
Keep adding $360^\circ$ to $30^\circ$ and to $150^\circ$ until you pass $1080^\circ$ — forgetting to widen the interval here is the single biggest lost mark in this question type.
Given $3x =$ $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$, $510^\circ$, $750^\circ$, $870^\circ$, divide every value by 3 to find every value of $x$ in $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
Answershow ▾
Divide every value through by 3. Each value of $3x$ gives exactly one value of $x$ — none should be dropped or duplicated.
You have $x = 10^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 170^\circ,\ 250^\circ,\ 290^\circ$. How do you know that is all of them and not the first few? Find the gap between consecutive pairs, and say what that gap is the period of.
ได้ $x = 10^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 170^\circ,\ 250^\circ,\ 290^\circ$ · จะรู้ได้อย่างไรว่าครบแล้ว ไม่ใช่แค่ตัวแรก ๆ · หาช่องว่างระหว่างคู่ที่ติดกัน แล้วบอกว่าช่องว่างนั้นคือคาบของอะไร
Answershow ▾
A count you can justify is the only way to know you have finished. $\sin 3x$ completes three full waves across $0^\circ$ to $360^\circ$ and a horizontal line at $\frac{1}{2}$ cuts each wave twice. Nothing in the mark scheme pays for the count; it pays for the values, and a missing value is simply a missing mark.การนับที่อธิบายได้คือทางเดียวที่จะรู้ว่าทำครบแล้ว · $\sin 3x$ วิ่งครบสามลูกคลื่นในช่วง $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ และเส้นแนวนอนที่ $\frac{1}{2}$ ตัดลูกคลื่นละสองครั้ง · มาร์คสกีมไม่ให้คะแนนกับการนับ มันให้คะแนนกับค่า และค่าที่หายไปก็คือคะแนนที่หายไป
Solve $\sin(2x) = \frac{1}{2}$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same method top to bottom, with the smallest numbers that still force you to widen the interval.
Solve $2\sin(3x) = 1$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
6 marks. Questions 4-6 build the method; question 7 is the widening step; question 8 is the final list.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Trigonometry · identity then solve
(a) Show that the equation $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$.
(b) Hence solve $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
State the identity connecting $\sin^2\theta$ and $\cos^2\theta$, then rearrange it to make $\cos^2\theta$ the subject.
เขียนเอกลักษณ์ที่เชื่อมโยง $\sin^2\theta$ กับ $\cos^2\theta$ แล้วจัดรูปให้ $\cos^2\theta$ อยู่โดดเดี่ยว
Answershow ▾
This single identity is the key that unlocks every 'quadratic in $\sin\theta$' question.
Write $4\cos^2\theta$ in terms of $\sin\theta$ only.
Answershow ▾
Replace $\cos^2\theta$ with $1 - \sin^2\theta$ and multiply out — nothing more.
The equation carries $\cos^2\theta$ and $\sin\theta$, and one of them has to go. You could replace $\cos^2\theta$ by $1 - \sin^2\theta$, or replace $\sin\theta$ by $\pm\sqrt{1 - \cos^2\theta}$. Both are true. Which one do you use, and what does the other one drag onto the page?
สมการมีทั้ง $\cos^2\theta$ และ $\sin\theta$ และต้องกำจัดอันหนึ่ง · จะแทน $\cos^2\theta$ ด้วย $1 - \sin^2\theta$ หรือแทน $\sin\theta$ ด้วย $\pm\sqrt{1 - \cos^2\theta}$ ก็ได้ ทั้งคู่จริง · ใช้อันไหน และอีกอันลากอะไรเข้ามาบนหน้ากระดาษ
Answershow ▾
Replace the squared one, because the identity is written in squares and comes out clean; replace the unsquared one and you are left with a surd and a sign to chase. The direction of the swap is the whole first move and no mark is attached to it — the M1 is for using the identity, whichever way you turned it.ให้แทนตัวที่ยกกำลังสอง เพราะเอกลักษณ์เขียนอยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว ผลจึงออกมาสะอาด · ถ้าแทนตัวที่ไม่ได้ยกกำลังสอง จะเหลือรากที่สองกับเครื่องหมายให้ตามเก็บ · ทิศทางของการแทนคือการเดินหมากแรกทั้งหมด และไม่มีคะแนนให้ เพราะ M1 ให้กับการใช้เอกลักษณ์ ไม่ว่าจะพลิกทางไหน
Solve $s^2 - s - 2 = 0$.
Answershow ▾
It's an ordinary quadratic; the letter $s$ instead of $x$ changes nothing about the method.
Part (a) says Show that the equation can be written as a quadratic in $\sin\theta$. Part (b) says Hence solve. What has to appear on the page for a "Show that" that a "Find" does not need — and what is the last line of part (a) allowed to be?
ข้อ (a) บอกว่า Show that สมการเขียนเป็นสมการกำลังสองใน $\sin\theta$ ได้ · ข้อ (b) บอกว่า Hence solve · อะไรที่ต้องปรากฏบนหน้ากระดาษสำหรับ "Show that" แต่ "Find" ไม่ต้องมี และบรรทัดสุดท้ายของข้อ (a) เป็นอะไรได้
Answershow ▾
In a "Show that" the answer is already given, so the only thing being marked is the road. Jumping two steps, or starting from the answer and working backwards to the question, loses the marks even though the final line is right. The mark scheme prints the road; it never says that printing it is the point.ใน "Show that" คำตอบถูกให้มาแล้ว สิ่งเดียวที่ตรวจคือเส้นทาง · การกระโดดข้ามสองขั้น หรือเริ่มจากคำตอบแล้วย้อนกลับไปหาโจทย์ ทำให้เสียคะแนน แม้บรรทัดสุดท้ายจะถูก · มาร์คสกีมพิมพ์เส้นทางไว้ แต่ไม่เคยบอกว่าการเขียนเส้นทางนั่นแหละคือประเด็น
Given $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$, use $\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$ to rewrite the left-hand side with no cosine terms.
จาก $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ ใช้ $\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$ เพื่อกำจัด $\cos^2\theta$ ออกจากสมการ
Answershow ▾
Same substitution as questions 1 and 2, now with the actual coefficients of the question.
Simplify $6(1-\sin^2\theta) + 15\sin\theta + 3 = 0$ into the form $p\sin^2\theta + q\sin\theta + r = 0$.
Answershow ▾
Collect the $\sin^2\theta$ terms, then multiply through by $-1$ so the leading coefficient is positive — this line IS the 'show that' answer.
You are about to solve $6\sin^2\theta - 15\sin\theta - 9 = 0$. Which is the unknown of THAT quadratic — $\theta$, or $\sin\theta$? When you factorise it, what will the two answers be values of, and what still has to happen afterwards?
กำลังจะแก้ $6\sin^2\theta - 15\sin\theta - 9 = 0$ · ตัวไม่ทราบค่าของสมการกำลังสองนี้คือ $\theta$ หรือ $\sin\theta$ · เมื่อแยกตัวประกอบแล้ว คำตอบสองค่าเป็นค่าของอะไร และหลังจากนั้นยังต้องทำอะไรอีก
Answershow ▾
Write $s = \sin\theta$ if it helps: the quadratic knows nothing about angles. Solving it and writing $\theta = -\frac{1}{2}$ is the standard collapse, and the extra step back to $\theta$ is where the last two marks live. The M1 pays for solving the quadratic, never for knowing what its roots are roots of.ถ้าช่วยได้ให้เขียน $s = \sin\theta$ · สมการกำลังสองไม่รู้จักมุมเลย · แก้แล้วเขียน $\theta = -\frac{1}{2}$ คือจุดพังมาตรฐาน และขั้นที่ต้องย้อนกลับไปหา $\theta$ คือที่อยู่ของสองคะแนนสุดท้าย · M1 ให้กับการแก้สมการกำลังสอง ไม่ได้ให้กับการรู้ว่ารากของมันเป็นรากของอะไร
Solve $6\sin^2\theta - 15\sin\theta - 9 = 0$ for $\sin\theta$.
Answershow ▾
Factorise or use the quadratic formula exactly as for any quadratic in $x$.
The equation $\sin\theta = 3$ is one of the two solutions found in question 6. Explain why it must be rejected.
สมการ $\sin\theta = 3$ เป็นหนึ่งในสองคำตอบจากข้อ 6 จงอธิบายว่าเหตุใดจึงต้องตัดทิ้ง
Answershow ▾
This is worth a mark on its own — state the reason, do not just silently drop the root.
Solve $\sin\theta = - \frac{1}{2}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Use the exact value and the symmetry rule from the sine-equation ladder: two solutions per period, one from the principal value and one by symmetry.
(a) Show that the equation $2\cos^2\theta + 5\sin\theta - 4 = 0$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$.
(b) Hence solve $2\cos^2\theta + 5\sin\theta - 4 = 0$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same two parts, the smallest numbers that still need a root rejected.
(a) Show that the equation $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$.
(b) Hence solve $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
6 marks. Questions 4 and 5 are part (a); questions 6, 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Reciprocals of sin and tan ส่วนกลับของ sin และ tan
It is given that $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{17}\right)$.
Find, without using the trigonometric functions on your calculator, the exact value of $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$.
กำหนดให้ $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{17}\right)$
หาค่าแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$ โดยห้ามใช้ปุ่มฟังก์ชันตรีโกณมิติ (trigonometric functions) บนเครื่องคิดเลข
Given $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$, with $\alpha$ acute, use $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ to find $\sin\alpha$.
กำหนด $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$ โดย $\alpha$ เป็นมุมแหลม จงใช้ $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ หาค่า $\sin\alpha$
Answershow ▾
Square the cosine, subtract from $1$, then take the positive root.ยกกำลังสอง $\cos\alpha$ แล้วนำไปลบจาก $1$ จากนั้นถอดรากบวก
Given $\sin\beta=\dfrac{5}{13}$ and $\cos\beta=\dfrac{12}{13}$, use $\tan\beta=\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}$ to find $\tan\beta$.
กำหนด $\sin\beta=\dfrac{5}{13}$ และ $\cos\beta=\dfrac{12}{13}$ จงใช้ $\tan\beta=\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}$ หาค่า $\tan\beta$
Answershow ▾
Divide the two fractions - the $13$s cancel.หารเศษส่วนทั้งสอง ตัว $13$ จะตัดกัน
Simplify $\dfrac{7}{4}+\dfrac{3}{4}$, giving your answer in its lowest terms.
จงทำ $\dfrac{7}{4}+\dfrac{3}{4}$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Same denominator, so add the numerators, then simplify.ตัวส่วนเท่ากัน จึงบวกตัวเศษ แล้วทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
You know $\cos\theta=\dfrac{8}{17}$, where $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{17}\right)$. Using $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ gives $\sin\theta=\pm\dfrac{15}{17}$. Which sign applies, and why?
(A) Both signs are possible: give $\pm\dfrac{15}{17}$.
(B) $+\dfrac{15}{17}$, because $\cos^{-1}$ always gives $\theta$ between $0^{\circ}$ and $180^{\circ}$, where sine is never negative.
(C) $-\dfrac{15}{17}$, because $\theta$ comes from an inverse function, so it must be reflex or negative.
คุณรู้ว่า $\cos\theta=\dfrac{8}{17}$ โดย $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{17}\right)$ และการใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ ให้ $\sin\theta=\pm\dfrac{15}{17}$ เครื่องหมายใดถูก และเพราะเหตุใด?
(A) เป็นไปได้ทั้งสองเครื่องหมาย ตอบ $\pm\dfrac{15}{17}$
(B) $+\dfrac{15}{17}$ เพราะ $\cos^{-1}$ ให้ $\theta$ อยู่ระหว่าง $0^{\circ}$ ถึง $180^{\circ}$ เสมอ ซึ่ง sine ไม่เป็นลบ
(C) $-\dfrac{15}{17}$ เพราะ $\theta$ มาจากฟังก์ชันผกผัน จึงต้องเป็นมุมป้านเกินหรือมุมลบ
Answershow ▾
(A) is wrong because $\cos^{-1}(\ldots)$ names one fixed angle, not two - only one sign is correct. (C) is wrong because $\cos^{-1}$ never returns a reflex or negative angle.(A) ผิดเพราะ $\cos^{-1}(\ldots)$ ให้มุมที่แน่นอนเพียงค่าเดียว ไม่ใช่สองค่า จึงมีเครื่องหมายที่ถูกเพียงหนึ่ง · (C) ผิดเพราะ $\cos^{-1}$ ไม่ให้มุมป้านเกินหรือมุมลบ
Use $\cos\theta=\dfrac{8}{17}$ and $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ to find $\sin^{2}\theta$.
ใช้ $\cos\theta=\dfrac{8}{17}$ และ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ หาค่า $\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now with $\dfrac{8}{17}$.ขั้นเดิมจากวอร์มอัพ ตอนนี้ใช้กับ $\dfrac{8}{17}$
Take the positive square root of $\sin^{2}\theta=\dfrac{225}{289}$ to find $\sin\theta$.
ถอดรากที่สองค่าบวกของ $\sin^{2}\theta=\dfrac{225}{289}$ เพื่อหาค่า $\sin\theta$
Answershow ▾
$225$ and $289$ are both perfect squares: $15^{2}$ and $17^{2}$.$225$ และ $289$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ คือ $15^{2}$ และ $17^{2}$
Use $\sin\theta=\dfrac{15}{17}$, $\cos\theta=\dfrac{8}{17}$ and $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ to find $\tan\theta$.
ใช้ $\sin\theta=\dfrac{15}{17}$, $\cos\theta=\dfrac{8}{17}$ และ $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ หาค่า $\tan\theta$
Answershow ▾
Same division as the warm-up, now the $17$s cancel.การหารแบบเดิมจากวอร์มอัพ ครั้งนี้ตัว $17$ ตัดกัน
You have $\sin\theta=\dfrac{15}{17}$ and $\tan\theta=\dfrac{15}{8}$. Pick the first move to combine $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$.
(A) Find a common denominator of $17$ and $8$, giving $136$.
(B) Write $\dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{17}{15}$ and $\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{8}{15}$ - both already have denominator $15$.
(C) Since $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, write $\dfrac{1}{\tan\theta}$ as $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ and add it to $\dfrac{1}{\sin\theta}$ directly.
คุณมี $\sin\theta=\dfrac{15}{17}$ และ $\tan\theta=\dfrac{15}{8}$ จงเลือกขั้นแรกในการรวม $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$
(A) หาตัวส่วนร่วมของ $17$ กับ $8$ ได้ $136$
(B) เขียน $\dfrac{1}{\sin\theta}=\dfrac{17}{15}$ และ $\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{8}{15}$ ซึ่งมีตัวส่วน $15$ เท่ากันอยู่แล้ว
(C) เนื่องจาก $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ จงเขียน $\dfrac{1}{\tan\theta}$ เป็น $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ แล้วบวกกับ $\dfrac{1}{\sin\theta}$ ได้เลย
Answershow ▾
(A) uses the denominators of $\sin\theta,\cos\theta$ themselves, not their reciprocals - flipping $\dfrac{15}{17}$ and $\dfrac{15}{8}$ both give denominator $15$. (C) flips $\tan\theta$ the wrong way: its reciprocal is $\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$.(A) ใช้ตัวส่วนของ $\sin\theta,\cos\theta$ เอง ไม่ใช่ของส่วนกลับ · การกลับ $\dfrac{15}{17}$ และ $\dfrac{15}{8}$ ได้ตัวส่วน $15$ เท่ากันทั้งคู่ · (C) กลับ $\tan\theta$ ผิดด้าน เพราะส่วนกลับของมันคือ $\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Write $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$, using $\sin\theta=\dfrac{15}{17}$ and $\tan\theta=\dfrac{15}{8}$, as a sum of two fractions with denominator $15$.
เขียน $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$ โดยใช้ $\sin\theta=\dfrac{15}{17}$ และ $\tan\theta=\dfrac{15}{8}$ เป็นผลบวกของเศษส่วนสองตัวที่มีตัวส่วน $15$
Answershow ▾
Flip each fraction: $\dfrac{1}{15/17}=\dfrac{17}{15}$ and $\dfrac{1}{15/8}=\dfrac{8}{15}$.กลับเศษส่วนแต่ละตัว: $\dfrac{1}{15/17}=\dfrac{17}{15}$ และ $\dfrac{1}{15/8}=\dfrac{8}{15}$
Add $\dfrac{17}{15}+\dfrac{8}{15}$, then check that it simplifies to $\dfrac{5}{3}$ by dividing top and bottom by the same number.
จงบวก $\dfrac{17}{15}+\dfrac{8}{15}$ แล้วตรวจว่าทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ $\dfrac{5}{3}$ โดยหารเศษและส่วน ด้วยจำนวนเดียวกัน
Answershow ▾
$25$ and $15$ share a factor of $5$.$25$ และ $15$ มีตัวประกอบร่วมคือ $5$
$\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)$. Find, without a calculator, the exact value of $\dfrac{1}{\sin\varphi}+\dfrac{1}{\tan\varphi}$.
$\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)$ จงหาค่าแบบแม่นตรง ของ $\dfrac{1}{\sin\varphi}+\dfrac{1}{\tan\varphi}$ โดยห้ามใช้เครื่องคิดเลข
Answershow ▾
Same five moves as rungs $4$ to $8$, with the $3$-$4$-$5$ triangle.ห้าขั้นเดิมจากข้อ $4$ ถึง $8$ แต่ใช้สามเหลี่ยม $3$-$4$-$5$
It is given that $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{17}\right)$.
Find, without using the trigonometric functions on your calculator, the exact value of $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$.
กำหนดให้ $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{17}\right)$
หาค่าแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $\dfrac{1}{\sin\theta}+\dfrac{1}{\tan\theta}$ โดยห้ามใช้ปุ่มฟังก์ชันตรีโกณมิติ (trigonometric functions) บนเครื่องคิดเลข
Answershow ▾
5 marks: the identity, the positive root, $\tan\theta$, then combine the two reciprocals over $15$.5 คะแนน: เอกลักษณ์ รากบวก $\tan\theta$ แล้วรวมส่วนกลับทั้งสองด้วยตัวส่วน $15$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cosine and its reciprocal โคไซน์กับส่วนกลับของมัน
Solve the equation $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ for $-90^{\circ}\lt\theta\lt 90^{\circ}$.
แก้สมการ $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt\theta\lt 90^{\circ}$
Multiply every term of $2x = 7-\dfrac{3}{x}$ by $x$. Write the new equation.
จงคูณทุกพจน์ของ $2x = 7-\dfrac{3}{x}$ ด้วย $x$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Multiplying by $x$ turns $\dfrac{3}{x}$ into $3$.การคูณด้วย $x$ ทำให้ $\dfrac{3}{x}$ กลายเป็น $3$
Solve $2x^{2}-7x+3=0$ by factorising.
จงแก้สมการ $2x^{2}-7x+3=0$ โดยแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Check by expanding: $(2x-1)(x-3)$ gives $-6x-x=-7x$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(2x-1)(x-3)$ ได้ $-6x-x=-7x$
If $0^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$, $\cos\theta=\tfrac12$ gives $\theta=60^{\circ}$. Using $\cos(-\theta)=\cos\theta$, write the other value of $\theta$ with $\cos\theta=\tfrac12$ in $-90^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$.
ถ้า $0^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$ สมการ $\cos\theta=\tfrac12$ ให้ $\theta=60^{\circ}$ จงใช้ $\cos(-\theta)=\cos\theta$ หาค่า $\theta$ อีกค่าที่ $\cos\theta=\tfrac12$ ใน $-90^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$
Answershow ▾
Cosine is an even function, so $+\theta$ and $-\theta$ give the same value.cosine เป็นฟังก์ชันคู่ มุม $+\theta$ กับ $-\theta$ ให้ค่าเดียวกัน
$2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ for $-90^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$. Pick the first move.
(A) multiply both sides by $\cos\theta$
(B) square both sides of the equation
(C) multiply only $\dfrac{3}{\cos\theta}$ by $\cos\theta$, leave the rest unchanged
$2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $\cos\theta$
(B) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ
(C) คูณเฉพาะ $\dfrac{3}{\cos\theta}$ ด้วย $\cos\theta$ ส่วนที่เหลือไม่เปลี่ยน
Answershow ▾
(B) squaring mixes in $\cos^{2}\theta$ and $\dfrac{9}{\cos^{2}\theta}$ - messier, not simpler. (C) must multiply the WHOLE equation by $\cos\theta$, or the two sides stop being equal.(B) การยกกำลังสองทำให้มี $\cos^{2}\theta$ และ $\dfrac{9}{\cos^{2}\theta}$ ปนกัน ยุ่งขึ้น ไม่ง่ายขึ้น · (C) ต้องคูณทั้งสมการด้วย $\cos\theta$ ไม่ใช่แค่บางพจน์ ไม่เช่นนั้นสองข้างจะไม่เท่ากันอีกต่อไป
Multiply both sides of $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ by $\cos\theta$. Write the new equation.
จงคูณทั้งสองข้างของ $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ ด้วย $\cos\theta$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Same move as question 1, with $\cos\theta$ in place of $x$.ขั้นเดียวกับข้อ 1 แต่ใช้ $\cos\theta$ แทน $x$
Rearrange $2\cos^{2}\theta = 7\cos\theta - 3$ so one side is $0$, then factorise.
จงจัดรูป $2\cos^{2}\theta = 7\cos\theta - 3$ ให้ข้างหนึ่งเป็น $0$ แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move the $7\cos\theta-3$ across, then use question 2 with $\cos\theta$ in place of $x$.ย้าย $7\cos\theta-3$ ข้ามไป แล้วใช้ข้อ 2 โดยแทน $x$ ด้วย $\cos\theta$
Solve $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-3)=0$ for $\cos\theta$.
จงแก้สมการ $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-3)=0$ เพื่อหา $\cos\theta$
Answershow ▾
Same factor pattern as question 2, written in $\cos\theta$.รูปแบบตัวประกอบเดียวกับข้อ 2 เขียนด้วย $\cos\theta$
$\cos\theta=\tfrac12$ and $\cos\theta=3$ came from the factorising. Pick the pair of values to keep.
(A) keep both values
(B) keep $\cos\theta=3$, reject $\cos\theta=\tfrac12$
(C) keep $\cos\theta=\tfrac12$, reject $\cos\theta=3$
$\cos\theta=\tfrac12$ กับ $\cos\theta=3$ ได้มาจากการแยกตัวประกอบ จงเลือกคู่ค่าที่ถูกต้องให้เก็บไว้
(A) เก็บทั้งสองค่า
(B) เก็บ $\cos\theta=3$ ตัด $\cos\theta=\tfrac12$ ทิ้ง
(C) เก็บ $\cos\theta=\tfrac12$ ตัด $\cos\theta=3$ ทิ้ง
Answershow ▾
$\cos\theta$ never leaves $[-1,1]$. $\cos\theta=3$ is outside that interval, so (A) and (B) both keep an impossible value; only $\cos\theta=\tfrac12$ is possible.$\cos\theta$ ไม่เคยออกนอกช่วง $[-1,1]$ · $\cos\theta=3$ อยู่นอกช่วงนี้ ดังนั้น (A) กับ (B) เก็บค่าที่เป็นไปไม่ได้ไว้ มีเพียง $\cos\theta=\tfrac12$ ที่เป็นไปได้
Solve $\cos\theta=\tfrac12$ for $\theta$ in $-90^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$. Write both values.
จงแก้สมการ $\cos\theta=\tfrac12$ หา $\theta$ ใน $-90^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$ เขียนทั้งสองค่า
Answershow ▾
Combines question 3 (the symmetry) with $\cos60^{\circ}=\tfrac12$.รวมข้อ 3 (ความสมมาตร) กับ $\cos60^{\circ}=\tfrac12$
Check that $\theta=-60^{\circ}$ fits the original equation $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$.
จงตรวจว่า $\theta=-60^{\circ}$ เป็นจริงกับสมการเดิม $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$
Answershow ▾
$\cos(-60^{\circ})=\tfrac12$, the same value as $\cos60^{\circ}$.$\cos(-60^{\circ})=\tfrac12$ ค่าเดียวกับ $\cos60^{\circ}$
Solve the equation $2\cos\phi=5-\dfrac{2}{\cos\phi}$ for $-90^{\circ}\lt\phi\lt90^{\circ}$.
จงแก้สมการ $2\cos\phi=5-\dfrac{2}{\cos\phi}$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt\phi\lt90^{\circ}$
Answershow ▾
Same four moves: clear the fraction, factorise, reject the impossible value, use the symmetry.สี่ขั้นเดิม: กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ ตัดค่าที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง แล้วใช้ความสมมาตร
Solve the equation $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ for $-90^{\circ}\lt\theta\lt 90^{\circ}$.
แก้สมการ $2\cos\theta=7-\dfrac{3}{\cos\theta}$ สำหรับ $-90^{\circ}\lt\theta\lt 90^{\circ}$
Answershow ▾
4 marks: clear the fraction, factorise, reject $\cos\theta=3$, then use the symmetry for the negative angle.4 คะแนน: กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ ตัด $\cos\theta=3$ ทิ้ง แล้วใช้ความสมมาตรหาค่ามุมที่เป็นลบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
One sine equation, four answers สมการไซน์เดียว สี่คำตอบ
Solve the equation $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ for $-180^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$.
แก้สมการ $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ สำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$
Multiply both sides of $6x=1+\dfrac{2}{x}$ by $x$, then move every term to one side.
คูณทั้งสองข้างของ $6x=1+\dfrac{2}{x}$ ด้วย $x$ แล้วย้ายทุกพจน์มาไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Multiplying clears the fraction; then everything moves to one side.การคูณช่วยกำจัดเศษส่วน จากนั้นย้ายทุกพจน์มาไว้ข้างเดียว
Factorise $6x^{2}-x-2=0$ and solve for $x$.
จงแยกตัวประกอบ $6x^{2}-x-2=0$ แล้วแก้หาค่า $x$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $6\times(-2)=-12$ and add to $-1$ are $-4$ and $3$.สองจำนวนที่คูณกันได้ $6\times(-2)=-12$ และบวกกันได้ $-1$ คือ $-4$ กับ $3$
Use a calculator to find the acute angle $\theta$ with $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$, to 1 decimal place.
ใช้เครื่องคิดเลขหามุมแหลม $\theta$ ที่ $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$ ปัดเศษ 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
This acute angle is the reference angle for every solution of $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$.มุมแหลมนี้คือมุมอ้างอิงสำหรับทุกคำตอบของ $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$
The equation is $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$. Pick the first move.
(A) multiply every term by $\sin\theta$
(B) multiply only $\dfrac{2}{\sin\theta}$ by $\sin\theta$
(C) cancel $\sin\theta$ from both sides
สมการคือ $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $\sin\theta$
(B) คูณเฉพาะ $\dfrac{2}{\sin\theta}$ ด้วย $\sin\theta$
(C) ตัด $\sin\theta$ จากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(B) leaves the equation unbalanced - one term was multiplied and the others were not. (C) cannot cancel $\sin\theta$, because it does not divide every term.(B) ทำให้สมการไม่สมดุล เพราะคูณเพียงพจน์เดียวแต่พจน์อื่นไม่ได้คูณ · (C) ตัด $\sin\theta$ ไม่ได้ เพราะไม่ได้หารทุกพจน์
Multiply both sides of $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ by $\sin\theta$.
คูณทั้งสองข้างของ $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ ด้วย $\sin\theta$
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now with $\sin\theta$ in place of $x$.การคูณแบบเดียวกับข้อฝึก เปลี่ยนจาก $x$ เป็น $\sin\theta$
Rearrange $6\sin^{2}\theta=\sin\theta+2$ to equal zero, then factorise.
จัดรูป $6\sin^{2}\theta=\sin\theta+2$ ให้เท่ากับศูนย์ แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Same quadratic as the warm-up, with $\sin\theta$ in place of $x$.สมการกำลังสองเดียวกับข้อฝึก เปลี่ยนจาก $x$ เป็น $\sin\theta$
Solve $(2\sin\theta+1)(3\sin\theta-2)=0$ for $\sin\theta$.
จงแก้ $(2\sin\theta+1)(3\sin\theta-2)=0$ หาค่า $\sin\theta$
Answershow ▾
Each bracket equal to zero gives one value of $\sin\theta$.แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์ ให้ค่า $\sin\theta$ หนึ่งค่า
Find both values of $\theta$ for $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ when $\sin\theta=-\tfrac{1}{2}$.
จงหาค่า $\theta$ ทั้งสองค่าสำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ เมื่อ $\sin\theta=-\tfrac{1}{2}$
Answershow ▾
$\sin^{-1}(-\tfrac{1}{2})=-30^{\circ}$ is already a solution; the second is $-180^{\circ}-(-30^{\circ})=-150^{\circ}$.$\sin^{-1}(-\tfrac{1}{2})=-30^{\circ}$ เป็นคำตอบหนึ่งอยู่แล้ว คำตอบที่สองคือ $-180^{\circ}-(-30^{\circ})=-150^{\circ}$
The reference angle for $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$ is $41.8^{\circ}$. Pick both solutions for $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$.
(A) $41.8^{\circ}$ and $138.2^{\circ}$
(B) $41.8^{\circ}$ only
(C) $41.8^{\circ}$ and $318.2^{\circ}$
มุมอ้างอิงของ $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$ คือ $41.8^{\circ}$ จงเลือกคำตอบทั้งสองค่าสำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$
(A) $41.8^{\circ}$ และ $138.2^{\circ}$
(B) $41.8^{\circ}$ เท่านั้น
(C) $41.8^{\circ}$ และ $318.2^{\circ}$
Answershow ▾
Sine is also positive in the second quadrant, giving $180^{\circ}-41.8^{\circ}=138.2^{\circ}$. (B) misses that second solution. (C) uses $360^{\circ}-41.8^{\circ}$, which falls outside $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$.ไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่สองด้วย ได้ $180^{\circ}-41.8^{\circ}=138.2^{\circ}$ · (B) ขาดคำตอบที่สองไป · (C) ใช้ $360^{\circ}-41.8^{\circ}$ ซึ่งอยู่นอกช่วง $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$
Find both values of $\theta$ for $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ when $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$.
จงหาค่า $\theta$ ทั้งสองค่าสำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ เมื่อ $\sin\theta=\tfrac{2}{3}$
Answershow ▾
Same two angles chosen in the last step, now with the reference angle from question 3.สองมุมเดียวกับที่เลือกไว้ โดยใช้มุมอ้างอิงจากข้อ 3
Solve $2\sin\theta=1+\dfrac{1}{\sin\theta}$ for $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$.
จงแก้สมการ $2\sin\theta=1+\dfrac{1}{\sin\theta}$ สำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
Same three moves: clear the fraction, factorise, then every angle in range.สามขั้นเดิม: กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ แล้วหาทุกมุมในช่วงที่กำหนด
Solve the equation $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ for $-180^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$.
แก้สมการ $6\sin\theta=1+\dfrac{2}{\sin\theta}$ สำหรับ $-180^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$
Answershow ▾
4 marks: clear the fraction into a quadratic, factorise for both $\sin\theta$ values, then both angles from each.4 คะแนน: กำจัดเศษส่วนให้ได้สมการกำลังสอง แยกตัวประกอบหาค่า $\sin\theta$ ทั้งสอง แล้วหามุมทั้งสองจากแต่ละค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Read a graph, count crossings อ่านกราฟ แล้วนับจุดตัด
The diagram shows part of the graph of $y=a\cos bx+c$.
(a) Find the values of the positive integers $a$, $b$ and $c$.
(b)(i) For these values of $a$, $b$ and $c$, use the given diagram to determine the number of solutions in the interval $0\le x\le 2\pi$ for the equation $a\cos bx+c=\dfrac{6}{\pi}x$.
(b)(ii) For these values of $a$, $b$ and $c$, use the given diagram to determine the number of solutions in the interval $0\le x\le 2\pi$ for the equation $a\cos bx+c=6-\dfrac{6}{\pi}x$.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $y=a\cos bx+c$
(ก) หาค่าของ $a$, $b$ และ $c$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก (positive integers)
(b)(i) ใช้ค่า $a$, $b$, $c$ ที่ได้ และแผนภาพที่กำหนดให้ เพื่อหาจำนวนคำตอบในช่วง $0\le x\le 2\pi$ ของสมการ $a\cos bx+c=\dfrac{6}{\pi}x$
(b)(ii) ใช้ค่า $a$, $b$, $c$ ที่ได้ และแผนภาพที่กำหนดให้ เพื่อหาจำนวนคำตอบในช่วง $0\le x\le 2\pi$ ของสมการ $a\cos bx+c=6-\dfrac{6}{\pi}x$
A cosine graph has maximum value $8$ and minimum value $-2$. Find its amplitude $a$, using $a=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}$.
กราฟ cosine มีค่าสูงสุด $8$ และค่าต่ำสุด $-2$ จงหาแอมพลิจูด $a$ โดยใช้ $a=\dfrac{\text{max}-\text{min}}{2}$
Answershow ▾
Amplitude is half the distance from the lowest point to the highest point.แอมพลิจูดคือครึ่งหนึ่งของระยะจากจุดต่ำสุดถึงจุดสูงสุด
The same graph has period $\pi$. Find $b$, using $b=\dfrac{2\pi}{\text{period}}$.
กราฟเดียวกันมีคาบ $\pi$ จงหา $b$ โดยใช้ $b=\dfrac{2\pi}{\text{period}}$
Answershow ▾
Divide a full turn, $2\pi$, by the period.หารรอบเต็ม $2\pi$ ด้วยคาบ
The same graph has maximum value $8$ and minimum value $-2$. Find its vertical shift $c$, using $c=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}$.
กราฟเดียวกันมีค่าสูงสุด $8$ และค่าต่ำสุด $-2$ จงหาการเลื่อนแนวตั้ง $c$ โดยใช้ $c=\dfrac{\text{max}+\text{min}}{2}$
Answershow ▾
Vertical shift is the average of the highest and lowest values.การเลื่อนแนวตั้งคือค่าเฉลี่ยของค่าสูงสุดกับต่ำสุด
The diagram shows the curve completing two full waves between $x=0$ and $x=2\pi$. Pick the correct way to find $b$ in $y=a\cos bx+c$.
(A) count the peaks shown in the diagram and use that number as $b$
(B) read the period off the diagram, then use $b=\dfrac{2\pi}{\text{period}}$
(C) use the maximum value $8$ as $b$
แผนภาพแสดงเส้นโค้งครบสองรอบระหว่าง $x=0$ กับ $x=2\pi$ จงเลือกวิธีหา $b$ ใน $y=a\cos bx+c$ ที่ถูกต้อง
(A) นับจุดสูงสุดในแผนภาพ แล้วใช้จำนวนนั้นเป็น $b$
(B) อ่านคาบจากแผนภาพ แล้วใช้ $b=\dfrac{2\pi}{\text{period}}$
(C) ใช้ค่าสูงสุด $8$ เป็น $b$
Answershow ▾
(A) only matches here because the window shown happens to be exactly two periods; it fails once the window is not a whole number of periods. (C) confuses the maximum with $b$, which controls speed, not height.(A) ได้คำตอบถูกเพราะช่วงที่เห็นพอดีเป็นสองคาบเท่านั้น จะผิดทันทีถ้าช่วงไม่ครบจำนวนคาบ ส่วน (C) สลับค่าสูงสุดกับ $b$ ซึ่ง $b$ ควบคุมความเร็ว ไม่ใช่ความสูง
The diagram shows $y=a\cos bx+c$ with maximum value $8$ and minimum value $-2$. Find $a$.
แผนภาพแสดง $y=a\cos bx+c$ โดยมีค่าสูงสุด $8$ และค่าต่ำสุด $-2$ จงหา $a$
Answershow ▾
Same formula as question $1$, now on the real diagram.สูตรเดิมจากข้อ $1$ แต่ใช้กับแผนภาพจริง
The diagram shows the curve returning to its maximum at $x=\pi$, after one full wave. Find $b$.
แผนภาพแสดงกราฟกลับสู่จุดสูงสุดอีกครั้งที่ $x=\pi$ หลังจากคลื่นหนึ่งรอบเต็ม จงหา $b$
Answershow ▾
Same formula as question $2$, now on the real diagram.สูตรเดิมจากข้อ $2$ แต่ใช้กับแผนภาพจริง
Find the vertical shift $c$ for this graph.
จงหาการเลื่อนแนวตั้ง $c$ สำหรับกราฟนี้
Answershow ▾
Same formula as question $3$.สูตรเดียวกับข้อ $3$
With $a=5$, $b=2$, $c=3$, you need the number of solutions of $5\cos2x+3=\dfrac{6}{\pi}x$ for $0\leqslant x\leqslant2\pi$. Pick the first move.
(A) solve the equation algebraically for $x$
(B) count the crossings of the line $y=\dfrac{6}{\pi}x$ with the curve on the diagram
(C) rearrange into a quadratic and use the discriminant
เมื่อ $a=5$, $b=2$, $c=3$ ต้องหาจำนวนคำตอบของ $5\cos2x+3=\dfrac{6}{\pi}x$ ในช่วง $0\leqslant x\leqslant2\pi$ จงเลือกขั้นแรก
(A) แก้สมการด้วยพีชคณิตหา $x$ โดยตรง
(B) นับจุดตัดระหว่างเส้น $y=\dfrac{6}{\pi}x$ กับกราฟบนแผนภาพ
(C) จัดรูปเป็นสมการกำลังสอง แล้วใช้ discriminant
Answershow ▾
(A) fails: $x$ sits both inside and outside the cosine, so there is no algebraic way to isolate it. (C) fails too: this is not a quadratic in any single variable, so there is no discriminant to take. The diagram is the only way in.(A) ไม่ได้: $x$ อยู่ทั้งในและนอก cosine จึงไม่มีวิธีเชิงพีชคณิตแยกมันออกได้ ส่วน (C) ก็ไม่ได้เช่นกัน เพราะไม่ใช่สมการกำลังสอง จึงไม่มี discriminant แผนภาพเป็นทางเดียวที่เหลือ
The diagram now adds the line $y=\dfrac{6}{\pi}x$. Count how many times this line crosses the curve for $0\leqslant x\leqslant2\pi$.
แผนภาพเพิ่มเส้น $y=\dfrac{6}{\pi}x$ จงนับจำนวนครั้งที่เส้นนี้ตัดกับกราฟในช่วง $0\leqslant x\leqslant2\pi$
Answershow ▾
Read this straight off the diagram - do not try to solve the equation.อ่านสิ่งนี้เลยจากแผนภาพ อย่าเสียเวลาแก้สมการ
The diagram also shows the line $y=6-\dfrac{6}{\pi}x$. Count how many times this line crosses the curve for $0\leqslant x\leqslant2\pi$.
แผนภาพยังแสดงเส้น $y=6-\dfrac{6}{\pi}x$ จงนับจำนวนครั้งที่เส้นนี้ตัดกับกราฟในช่วง $0\leqslant x\leqslant2\pi$
Answershow ▾
Same method as question $7$, a different line.วิธีเดียวกับข้อ $7$ แต่เปลี่ยนเส้น
A graph of $y=a\cos bx+c$ has maximum value $7$, minimum value $3$, and the same period $\pi$ as above. Find $a$, $b$ and $c$, then count how many times the curve crosses its own midline $y=c$ for $0\leqslant x\leqslant2\pi$.
กราฟ $y=a\cos bx+c$ อันหนึ่งมีค่าสูงสุด $7$ ค่าต่ำสุด $3$ และคาบ $\pi$ เท่ากับข้างบน จงหา $a$, $b$ และ $c$ แล้วนับจำนวนครั้งที่กราฟตัดเส้นกลาง $y=c$ ของมันเองในช่วง $0\leqslant x\leqslant2\pi$
Answershow ▾
Crossing the midline means $\cos bx=0$; with $b=2$ that happens $4$ times in $0\leqslant x\leqslant2\pi$.การตัดเส้นกลางหมายความว่า $\cos bx=0$ เมื่อ $b=2$ เกิดขึ้น $4$ ครั้งใน $0\leqslant x\leqslant2\pi$
The diagram shows part of the graph of $y=a\cos bx+c$.
(a) Find the values of the positive integers $a$, $b$ and $c$.
(b)(i) For these values of $a$, $b$ and $c$, use the given diagram to determine the number of solutions in the interval $0\le x\le 2\pi$ for the equation $a\cos bx+c=\dfrac{6}{\pi}x$.
(b)(ii) For these values of $a$, $b$ and $c$, use the given diagram to determine the number of solutions in the interval $0\le x\le 2\pi$ for the equation $a\cos bx+c=6-\dfrac{6}{\pi}x$.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $y=a\cos bx+c$
(ก) หาค่าของ $a$, $b$ และ $c$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก (positive integers)
(b)(i) ใช้ค่า $a$, $b$, $c$ ที่ได้ และแผนภาพที่กำหนดให้ เพื่อหาจำนวนคำตอบในช่วง $0\le x\le 2\pi$ ของสมการ $a\cos bx+c=\dfrac{6}{\pi}x$
(b)(ii) ใช้ค่า $a$, $b$, $c$ ที่ได้ และแผนภาพที่กำหนดให้ เพื่อหาจำนวนคำตอบในช่วง $0\le x\le 2\pi$ ของสมการ $a\cos bx+c=6-\dfrac{6}{\pi}x$
Answershow ▾
5 marks: three for $a$, $b$ and $c$, then one each for counting the crossings on the diagram.5 คะแนน: สามคะแนนสำหรับ $a$, $b$, $c$ แล้วอีกอย่างละหนึ่งคะแนนสำหรับการนับจุดตัดบนแผนภาพ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic disguised as tan squared สมการกำลังสองที่ซ่อนอยู่ใน tan กำลังสอง
Solve the equation $3\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ for $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$.
แก้สมการ $3\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$
The equation $3x+1=\dfrac{2}{x}$ has $x$ in a denominator. Multiply both sides by $x$, then write the result as a quadratic equal to $0$.
สมการ $3x+1=\dfrac{2}{x}$ มี $x$ อยู่ในตัวส่วน จงคูณทั้งสองข้างด้วย $x$ แล้วเขียนผลลัพธ์เป็นสมการกำลังสองที่เท่ากับ $0$
Answershow ▾
Multiplying by $x$ clears the fraction, then move the $2$ across.การคูณด้วย $x$ จะกำจัดเศษส่วน จากนั้นย้าย $2$ ข้ามไป
Factorise $3x^{2}+x-2=0$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}+x-2=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-6$ ($3\times-2$) and add to $1$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ ($3\times-2$) และบวกกันได้ $1$
$\tan\theta=-1$ for $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$. The calculator gives $-45^{\circ}$, outside the range. Add one period of $\tan$ ($180^{\circ}$) to bring it in.
$\tan\theta=-1$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ เครื่องคิดเลขให้ $-45^{\circ}$ ซึ่งอยู่นอกช่วง จงบวกคาบของ $\tan$ หนึ่งคาบ ($180^{\circ}$) เพื่อให้เข้าช่วง
Answershow ▾
$\tan$ repeats every $180^{\circ}$, so adding $180^{\circ}$ keeps the same tan value.$\tan$ ซ้ำรูปแบบทุก $180^{\circ}$ การบวก $180^{\circ}$ จึงให้ค่า tan เท่ากัน
Clear the fraction in $3\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ by multiplying both sides by $\tan^{2}\theta$. Write the resulting equation.
จงกำจัดเศษส่วนใน $3\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ โดยคูณทั้งสองข้างด้วย $\tan^{2}\theta$ แล้วเขียนสมการที่ได้
Answershow ▾
Same move as question 1, with $\tan^{2}\theta$ in place of $x$.ขั้นเดียวกับข้อ 1 แต่ใช้ $\tan^{2}\theta$ แทน $x$
Rearrange $3\tan^{4}\theta+\tan^{2}\theta=2$ to equal $0$, then factorise it.
จงจัดรูป $3\tan^{4}\theta+\tan^{2}\theta=2$ ให้เท่ากับ $0$ แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Same quadratic shape, and the same factor pair, as question 2.รูปแบบสมการกำลังสองและตัวประกอบคู่เดียวกับข้อ 2
$(3\tan^{2}\theta-2)(\tan^{2}\theta+1)=0$. Pick what to do with the two factors.
(A) solve $\tan^{2}\theta+1=0$ too
(B) reject $\tan^{2}\theta=-1$, solve only $\tan^{2}\theta=\tfrac23$
(C) add the two factors and solve the sum
$(3\tan^{2}\theta-2)(\tan^{2}\theta+1)=0$ จงเลือกวิธีจัดการกับตัวประกอบสองตัวนี้
(A) แก้ $\tan^{2}\theta+1=0$ ด้วย
(B) ตัด $\tan^{2}\theta=-1$ ทิ้ง แก้แค่ $\tan^{2}\theta=\tfrac23$
(C) บวกตัวประกอบทั้งสองแล้วแก้ผลบวก
Answershow ▾
(A) $\tan^{2}\theta$ is a square, so it can never equal $-1$: that factor gives no real $\theta$. (C) adding factors is not a valid step and loses the real solution.(A) $\tan^{2}\theta$ เป็นค่ากำลังสอง จึงไม่มีทางเป็น $-1$ ได้ ตัวประกอบนี้ไม่ให้ $\theta$ จริง · (C) การบวกตัวประกอบไม่ใช่ขั้นตอนที่ถูกต้อง และทำให้คำตอบจริงหายไป
Solve $\tan^{2}\theta=\tfrac23$ for $\theta$, then give the first solution in $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ to $1$ d.p.
จงแก้ $\tan^{2}\theta=\tfrac23$ หา $\theta$ แล้วให้คำตอบตัวแรกในช่วง $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Square-rooting gives two values of $\tan\theta$, take the positive one first.การถอดรากให้ค่า $\tan\theta$ สองค่า เริ่มจากค่าบวกก่อน
$\tan\theta$ is negative for $90^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$. Use $\theta=180^{\circ}-39.2^{\circ}$ to find the second solution.
$\tan\theta$ เป็นลบในช่วง $90^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ จงใช้ $\theta=180^{\circ}-39.2^{\circ}$ หาคำตอบตัวที่สอง
Answershow ▾
Same move as question 3: subtract the first solution from $180^{\circ}$.ขั้นเดียวกับข้อ 3 คือนำ $180^{\circ}$ ลบด้วยคำตอบตัวแรก
Check: round $\tan^{2}(140.8^{\circ})$ to $2$ d.p. Does it match $\tfrac23\approx0.67$?
ตรวจคำตอบ: ปัดเศษ $\tan^{2}(140.8^{\circ})$ เป็นทศนิยม $2$ ตำแหน่ง ตรงกับ $\tfrac23\approx0.67$ หรือไม่
Answershow ▾
$\tan(180^{\circ}-x)=-\tan x$, so squaring removes the sign.$\tan(180^{\circ}-x)=-\tan x$ การยกกำลังสองจึงตัดเครื่องหมายออก
Solve $\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ for $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$.
จงแก้สมการ $\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
Same three moves: clear the fraction, factorise, reject the negative square.สามขั้นเดิม: กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ ตัดค่ากำลังสองที่เป็นลบทิ้ง
Solve the equation $3\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ for $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$.
แก้สมการ $3\tan^{2}\theta+1=\dfrac{2}{\tan^{2}\theta}$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$
Answershow ▾
5 marks: clear the fraction, factorise, reject $\tan^{2}\theta=-1$, then both solutions.5 คะแนน: กำจัดเศษส่วน แยกตัวประกอบ ตัด $\tan^{2}\theta=-1$ ทิ้ง แล้วหาคำตอบทั้งสองตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An identity hides a quadratic เอกลักษณ์ซ่อนสมการกำลังสอง
(a) Express the equation $3\cos\theta=8\tan\theta$ as a quadratic equation in $\sin\theta$.
(b) Hence find the acute angle, in degrees, for which $3\cos\theta=8\tan\theta$.
(ก) เขียนสมการ $3\cos\theta=8\tan\theta$ ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin\theta$
(ข) จากนั้นหามุมแหลม (acute angle) เป็นองศา ที่ทำให้ $3\cos\theta=8\tan\theta$
Write $\tan\theta$ in terms of $\sin\theta$ and $\cos\theta$.
จงเขียน $\tan\theta$ ในรูปของ $\sin\theta$ และ $\cos\theta$
Answershow ▾
This is the definition of $\tan\theta$.นี่คือนิยามของ $\tan\theta$
Use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ to write $\cos^{2}\theta$ in terms of $\sin^{2}\theta$.
ใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ เขียน $\cos^{2}\theta$ ในรูปของ $\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
Move $\sin^{2}\theta$ to the other side.ย้าย $\sin^{2}\theta$ ไปอีกข้าง
Factorise $3x^{2}+8x-3$.
จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}+8x-3$
Answershow ▾
Find factors of $3\times(-3)=-9$ that add to make $8$.หาตัวประกอบของ $3\times(-3)=-9$ ที่บวกกันได้ $8$
$3\cos\theta=8\tan\theta$. Pick the first move to get everything in terms of $\sin\theta$.
(A) write $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, then multiply both sides by $\cos\theta$
(B) square both sides of the equation
(C) replace $\cos\theta$ with $1-\sin^{2}\theta$
$3\cos\theta=8\tan\theta$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อให้สมการอยู่ในรูปของ $\sin\theta$ เท่านั้น
(A) เขียน $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $\cos\theta$
(B) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ
(C) แทน $\cos\theta$ ด้วย $1-\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
(B) still leaves $\tan\theta$ in the equation and adds extra roots from squaring. (C) has no identity for $\cos\theta$ alone - only $\cos^{2}\theta$ can be replaced.(B) ยังเหลือ $\tan\theta$ อยู่ในสมการ และเพิ่มคำตอบเกินจากการยกกำลังสอง · (C) ไม่มีเอกลักษณ์สำหรับ $\cos\theta$ เดี่ยว ๆ แทนได้แค่ $\cos^{2}\theta$
Multiply both sides of $3\cos\theta=\dfrac{8\sin\theta}{\cos\theta}$ by $\cos\theta$. Write the result.
คูณทั้งสองข้างของ $3\cos\theta=\dfrac{8\sin\theta}{\cos\theta}$ ด้วย $\cos\theta$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
$\cos\theta$ on the right cancels with the $\cos\theta$ underneath.$\cos\theta$ ทางขวายกเลิกกับ $\cos\theta$ ที่ตัวส่วน
Use $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ to rewrite $3\cos^{2}\theta=8\sin\theta$ in terms of $\sin\theta$ only.
ใช้ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ เขียน $3\cos^{2}\theta=8\sin\theta$ ในรูปของ $\sin\theta$ เท่านั้น
Answershow ▾
Replace $\cos^{2}\theta$ with the bracket - keep it in brackets for now.แทน $\cos^{2}\theta$ ด้วยวงเล็บ เก็บวงเล็บไว้ก่อน
Expand $3\left(1-\sin^{2}\theta\right)=8\sin\theta$ and collect everything on one side, as $a\sin^{2}\theta+b\sin\theta+c=0$.
จงกระจาย $3\left(1-\sin^{2}\theta\right)=8\sin\theta$ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว ในรูป $a\sin^{2}\theta+b\sin\theta+c=0$
Answershow ▾
Keep the leading term positive, so multiply through by $-1$ at the end.ให้พจน์แรกเป็นบวก จึงคูณทั้งหมดด้วย $-1$ ในขั้นสุดท้าย
Factorise $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$ and solve for $\sin\theta$. Reject any value sine cannot take.
จงแยกตัวประกอบ $3\sin^{2}\theta+8\sin\theta-3=0$ แล้วแก้หา $\sin\theta$ โดยตัดค่าที่ sine เป็นไปไม่ได้ทิ้ง
Answershow ▾
$\sin\theta$ can never be $-3$ - sine always stays inside $[-1,1]$.$\sin\theta$ เป็น $-3$ ไม่ได้ เพราะ sine อยู่ในช่วง $[-1,1]$ เสมอ
Find the acute angle $\theta$ for which $\sin\theta=\dfrac{1}{3}$, to $1$ decimal place.
จงหามุมแหลม $\theta$ ที่ทำให้ $\sin\theta=\dfrac{1}{3}$ ปัดเศษ $1$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Use $\sin^{-1}$ on a calculator; the acute angle is the one in the first quadrant.ใช้ $\sin^{-1}$ ในเครื่องคิดเลข มุมแหลมคือมุมในจตุภาคที่หนึ่ง
Express $2\cos\theta=3\tan\theta$ as a quadratic in $\sin\theta$, then find the acute angle.
จงเขียน $2\cos\theta=3\tan\theta$ ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin\theta$ จากนั้นหามุมแหลม
Answershow ▾
Same three moves: clear the tan fraction, substitute for $\cos^{2}\theta$, then factorise.สามขั้นเดิม: กำจัดเศษส่วนของ tan แทนค่า $\cos^{2}\theta$ แล้วแยกตัวประกอบ
(a) Express the equation $3\cos\theta=8\tan\theta$ as a quadratic equation in $\sin\theta$.
(b) Hence find the acute angle, in degrees, for which $3\cos\theta=8\tan\theta$.
(ก) เขียนสมการ $3\cos\theta=8\tan\theta$ ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin\theta$
(ข) จากนั้นหามุมแหลม (acute angle) เป็นองศา ที่ทำให้ $3\cos\theta=8\tan\theta$
Answershow ▾
5 marks: 3 for the quadratic (clear the $\tan$ fraction, then use $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$), 2 for factorising and the angle.5 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสมการกำลังสอง (กำจัดเศษส่วนของ $\tan$ แล้วใช้ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$) 2 คะแนนสำหรับแยกตัวประกอบและหามุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Prove it, then use it พิสูจน์ก่อน แล้วค่อยใช้
(a) Prove the identity $$\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}.$$
(b) Hence find the exact solutions of the equation $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=2$ for $0\le\theta\le\pi$.
(ก) พิสูจน์เอกลักษณ์ $$\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}$$
(ข) จากนั้นหาคำตอบแบบ exact ของสมการ $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=2$ สำหรับ $0\le\theta\le\pi$
Expand $(\sin\theta+\cos\theta)(\sin\theta-\cos\theta)$.
จงกระจาย $(\sin\theta+\cos\theta)(\sin\theta-\cos\theta)$
Answershow ▾
A sum times a difference of the same two terms is the difference of their squares.ผลบวกคูณผลต่างของสองพจน์เดิม คือผลต่างของกำลังสองของสองพจน์นั้น
Divide every term of $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ by $\cos^{2}\theta$. Write the result using $\tan\theta$ and $\sec\theta$.
จงหารทุกพจน์ของ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ ด้วย $\cos^{2}\theta$ แล้วเขียนผลลัพธ์ด้วย $\tan\theta$ กับ $\sec\theta$
Answershow ▾
$\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\tan^{2}\theta$ and $\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=\sec^{2}\theta$.$\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\tan^{2}\theta$ และ $\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=\sec^{2}\theta$
State the exact value of $\tan\dfrac{\pi}{3}$.
จงบอกค่าแม่นตรง ของ $\tan\dfrac{\pi}{3}$
Answershow ▾
One of the three standard angles, alongside $\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}$ and $\tan\frac{\pi}{4}=1$.หนึ่งในสามมุมมาตรฐาน คู่กับ $\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}$ และ $\tan\frac{\pi}{4}=1$
You are about to prove $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}$. Pick the first move.
(A) combine the two fractions on the left into one, using the common denominator $(\sin\theta+\cos\theta)(\sin\theta-\cos\theta)$
(B) cross-multiply the $\equiv$ sign, turning it into an equation to solve
(C) divide every term by $\cos^{2}\theta$ straight away, before combining the fractions
กำลังจะพิสูจน์ $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) รวมเศษส่วนสองตัวทางซ้ายเป็นก้อนเดียว โดยใช้ตัวส่วนร่วม $(\sin\theta+\cos\theta)(\sin\theta-\cos\theta)$
(B) คูณไขว้เครื่องหมาย $\equiv$ ทำให้กลายเป็นสมการที่ต้องแก้
(C) หารทุกพจน์ด้วย $\cos^{2}\theta$ ทันที ก่อนรวมเศษส่วน
Answershow ▾
(B) cross-multiplies the identity before it is proved, assuming the very thing you want to show. (C) divides by $\cos^{2}\theta$ before combining, but the denominators are $\sin\theta+\cos\theta$ and $\sin\theta-\cos\theta$, not $\cos^{2}\theta$, so nothing cancels.(B) คูณไขว้เอกลักษณ์ก่อนที่จะพิสูจน์ ซึ่งสมมติว่าสิ่งที่กำลังจะพิสูจน์เป็นจริงไปแล้ว · (C) หารด้วย $\cos^{2}\theta$ ก่อนรวมเศษส่วน แต่ตัวส่วนตอนนี้คือ $\sin\theta+\cos\theta$ กับ $\sin\theta-\cos\theta$ ไม่ใช่ $\cos^{2}\theta$ จึงยังตัดกันไม่ได้
Combine $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}$ into one fraction. Write just the denominator.
จงรวม $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}$ เป็นเศษส่วนเดียว แล้วเขียนเฉพาะตัวส่วน
Answershow ▾
Same move as the warm-up, now on the two denominators in this question.ท่าเดิมจากข้อวอร์มอัพ ใช้กับตัวส่วนทั้งสองของโจทย์จริง
The numerator of that combined fraction is $\sin\theta(\sin\theta-\cos\theta)+\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)$. Use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ to write the numerator in its simplest form.
เศษของเศษส่วนที่รวมแล้วคือ $\sin\theta(\sin\theta-\cos\theta)+\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)$ จงใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ เขียนเศษให้อยู่ในรูปง่ายที่สุด
Answershow ▾
Expanding leaves $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta$, which is just $1$.กระจายแล้วเหลือ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta$ ซึ่งก็คือ $1$
Divide the numerator and denominator of $\dfrac{1}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}$ by $\cos^{2}\theta$, then write $\sec^{2}\theta$ as $\tan^{2}\theta+1$. What do you get?
จงหารเศษและส่วนของ $\dfrac{1}{\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}$ ด้วย $\cos^{2}\theta$ แล้วเขียน $\sec^{2}\theta$ เป็น $\tan^{2}\theta+1$ จะได้อะไร
Answershow ▾
This finishes part (a): the left side alone turns into the right side.ข้อ (a) จบตรงนี้ ข้างซ้ายข้างเดียวถูกเขียนใหม่จนกลายเป็นข้างขวา
Hence use $\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}=2$ to find $\tan\theta$.
จากเอกลักษณ์ จงใช้ $\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}=2$ หา $\tan\theta$
Answershow ▾
Cross-multiplying is safe now: the identity is already proved, so this is an ordinary equation.คูณไขว้ได้แล้วตอนนี้ เพราะเอกลักษณ์พิสูจน์เสร็จแล้ว บรรทัดนี้คือสมการธรรมดา
You have $\tan\theta=\pm\sqrt{3}$ for $0\leqslant\theta\leqslant\pi$. Pick both correct values of $\theta$.
(A) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ and $\theta=\dfrac{\pi}{3}+\pi$
(B) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ and $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
(C) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ only
ได้ $\tan\theta=\pm\sqrt{3}$ สำหรับ $0\leqslant\theta\leqslant\pi$ จงเลือกค่า $\theta$ ที่ถูกทั้งสองค่า
(A) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ กับ $\theta=\dfrac{\pi}{3}+\pi$
(B) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ กับ $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
(C) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) adds a full period, $\pi$, which lands outside $[0,\pi]$. (C) misses the second solution: $\tan\theta$ is also negative at $\pi-\dfrac{\pi}{3}$, in the second quadrant.(A) บวกไปเต็มคาบ $\pi$ ซึ่งหลุดจากช่วง $[0,\pi]$ · (C) ขาดคำตอบที่สอง เพราะ $\tan\theta$ เป็นลบด้วยที่ $\pi-\dfrac{\pi}{3}$ ซึ่งอยู่ในควอดรันต์ที่สอง
Check: does $\tan\theta=-\sqrt{3}$ really satisfy $\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}=2$?
ตรวจสอบ: $\tan\theta=-\sqrt{3}$ ทำให้ $\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}=2$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
Squaring removes the sign, so $\tan\theta=\sqrt3$ and $\tan\theta=-\sqrt3$ give the same check.ยกกำลังสองแล้วเครื่องหมายหายไป $\tan\theta=\sqrt3$ กับ $\tan\theta=-\sqrt3$ จึงตรวจได้ผลเดียวกัน
Prove $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}$, then use it to solve $\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}=-2$ for $0\leqslant\theta\leqslant\pi$.
จงพิสูจน์ $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}$ แล้วใช้มันแก้ $\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}=-2$ สำหรับ $0\leqslant\theta\leqslant\pi$
Answershow ▾
Same proof as before. In part (b) the number changes, but the method (cross-multiply, solve for tan²θ, then θ) does not.ข้อ (a) พิสูจน์แบบเดิมทุกอย่าง · ข้อ (b) เปลี่ยนแค่ตัวเลข วิธีทำ (คูณไขว้ หา tan²θ แล้วหา θ) เหมือนเดิม
(a) Prove the identity $$\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}.$$
(b) Hence find the exact solutions of the equation $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=2$ for $0\le\theta\le\pi$.
(ก) พิสูจน์เอกลักษณ์ $$\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}\equiv\dfrac{\tan^{2}\theta+1}{\tan^{2}\theta-1}$$
(ข) จากนั้นหาคำตอบแบบ exact ของสมการ $\dfrac{\sin\theta}{\sin\theta+\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=2$ สำหรับ $0\le\theta\le\pi$
Answershow ▾
7 marks total (3 for the proof, 4 for the equation). The lost marks are cross-multiplying the identity itself, and stopping at just $\theta=\dfrac{\pi}{3}$.7 คะแนนรวม (3 คะแนนสำหรับการพิสูจน์ 4 คะแนนสำหรับสมการ) คะแนนที่เสียบ่อยคือคูณไขว้เอกลักษณ์ก่อนพิสูจน์ และตอบแค่ $\theta=\dfrac{\pi}{3}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Prove an identity, then solve พิสูจน์เอกลักษณ์ แล้วแก้สมการ
(a) Show that $$\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv 2\tan^{2}\theta.$$
(b) Hence solve the equation $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=8$, for $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$.
(ก) แสดงว่า $$\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv 2\tan^{2}\theta$$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=8$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$
Write $\dfrac{4}{1-x}-\dfrac{4}{1+x}$ as a single fraction.
จงเขียน $\dfrac{4}{1-x}-\dfrac{4}{1+x}$ ให้เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Multiply each numerator by the other denominator, then combine.คูณเศษแต่ละตัวด้วยตัวส่วนอีกตัว แล้วรวมเข้าด้วยกัน
Write $1-\sin^{2}\theta$ using $\cos\theta$.
จงเขียน $1-\sin^{2}\theta$ โดยใช้ $\cos\theta$
Answershow ▾
This comes from $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$.ได้จาก $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
Write $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}$ using $\tan\theta$.
จงเขียน $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}$ โดยใช้ $\tan\theta$
Answershow ▾
$\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$, so squaring both sides squares each one.$\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง แต่ละข้างก็ถูกยกกำลังสองด้วย
Prove $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv2\tan^{2}\theta$. Pick the first move.
(A) multiply every term by $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$, like clearing an equation
(B) write both fractions over the common denominator $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$
(C) replace $1-\sin\theta$ with $\cos^{2}\theta/(1+\sin\theta)$ straight away
จงพิสูจน์ $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv2\tan^{2}\theta$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$ เหมือนเคลียร์สมการ
(B) เขียนเศษส่วนทั้งสองด้วยตัวส่วนร่วม $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$
(C) แทน $1-\sin\theta$ ด้วย $\cos^{2}\theta/(1+\sin\theta)$ ทันที
Answershow ▾
(A) treats $\equiv$ like an equation with another side to balance - an identity has none, so there is nothing to multiply onto. (C) uses the circle identity before it applies: nothing yet equals $1-\sin^{2}\theta$, so $1-\sin\theta$ cannot be replaced that way.(A) ปฏิบัติกับ $\equiv$ เหมือนสมการที่มีอีกข้างให้ถ่วงดุล แต่เอกลักษณ์ไม่มีอีกข้าง จึงไม่มีอะไรให้คูณเข้าไป · (C) ใช้เอกลักษณ์วงกลมก่อนที่มันจะใช้ได้ เพราะยังไม่มีอะไรเท่ากับ $1-\sin^{2}\theta$ จึงแทน $1-\sin\theta$ แบบนั้นไม่ได้
Write $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}$ as a single fraction.
จงเขียน $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}$ ให้เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Same move as Q1, now with $\sin\theta$ as the numerator.ขั้นเดียวกับข้อ 1 แต่เศษเป็น $\sin\theta$
Expand the numerator of Q4 and write its denominator using $\cos\theta$ (Q2).
จงกระจายเศษของข้อ 4 แล้วเขียนตัวส่วนโดยใช้ $\cos\theta$ (ข้อ 2)
Answershow ▾
The numerator doubles; the denominator is $1-\sin^{2}\theta$, which is Q2.เศษกลายเป็นสองเท่า ตัวส่วนคือ $1-\sin^{2}\theta$ ซึ่งคือข้อ 2
Using Q3, write $\dfrac{2\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}$ using $\tan\theta$. This completes part (a).
โดยใช้ข้อ 3 จงเขียน $\dfrac{2\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}$ โดยใช้ $\tan\theta$ ซึ่งเป็นการพิสูจน์ส่วน (a) เสร็จสมบูรณ์
Answershow ▾
Q3 showed $\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta=\tan^{2}\theta$; this is twice that.ข้อ 3 แสดงว่า $\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta=\tan^{2}\theta$ นี่คือสองเท่าของมัน
Part (a) proved the identity $\equiv2\tan^{2}\theta$. Part (b) asks to solve the LHS $=8$. Pick the first move.
(A) combine the two fractions again from scratch, ignoring part (a)
(B) replace the LHS with $2\tan^{2}\theta$ from part (a), giving $2\tan^{2}\theta=8$
(C) try $\theta=90^{\circ}$ and see if it works
ส่วน (a) พิสูจน์แล้วว่าเอกลักษณ์ $\equiv2\tan^{2}\theta$ ส่วน (b) ให้แก้สมการเมื่อด้านซ้าย $=8$ จงเลือกขั้นแรก
(A) รวมเศษส่วนทั้งสองใหม่ตั้งแต่ต้น โดยไม่ใช้ส่วน (a)
(B) แทนด้านซ้ายด้วย $2\tan^{2}\theta$ จากส่วน (a) ได้ $2\tan^{2}\theta=8$
(C) ลองแทน $\theta=90^{\circ}$ แล้วดูว่าใช่หรือไม่
Answershow ▾
"Hence" means use the result just proved - (A) throws that work away and redoes it. (C) is guessing one value, not solving for every $\theta$ in the range."จากนั้น" หมายถึงใช้ผลที่พิสูจน์แล้ว แต่ (A) ทิ้งงานนั้นแล้วทำใหม่ · (C) เป็นการเดาค่าเดียว ไม่ใช่การแก้หาทุกค่า $\theta$ ในช่วงที่กำหนด
Solve $2\tan^{2}\theta=8$ for $\tan\theta$.
จงแก้ $2\tan^{2}\theta=8$ เพื่อหา $\tan\theta$
Answershow ▾
Divide by $2$, then square root - a square root gives a $\pm$ pair.หารด้วย $2$ แล้วถอดราก การถอดรากให้คำตอบ $\pm$ สองค่า
For $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$: find $\theta$ when $\tan\theta=2$, and find $\theta$ when $\tan\theta=-2$.
สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$ จงหา $\theta$ เมื่อ $\tan\theta=2$ และเมื่อ $\tan\theta=-2$
Answershow ▾
$\tan\theta=2$ gives the base angle; $\tan\theta=-2$ in this range is $180^{\circ}$ minus it, not $360^{\circ}$ minus it.$\tan\theta=2$ ให้มุมฐาน ส่วน $\tan\theta=-2$ ในช่วงนี้คือ $180^{\circ}$ ลบมุมฐาน ไม่ใช่ $360^{\circ}$ ลบมุมฐาน
Show that $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv2\tan^{2}\theta$, hence solve the equation $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=2$, for $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$.
จงแสดงว่า $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv2\tan^{2}\theta$ จากนั้นแก้สมการ $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=2$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt180^{\circ}$
Answershow ▾
Same proof as part (a); the same moves on $2\tan^{2}\theta=2$ give $\tan\theta=\pm1$.พิสูจน์แบบเดียวกับส่วน (a) ใช้ขั้นเดิมกับ $2\tan^{2}\theta=2$ ได้ $\tan\theta=\pm1$
(a) Show that $$\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv 2\tan^{2}\theta.$$
(b) Hence solve the equation $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=8$, for $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$.
(ก) แสดงว่า $$\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}\equiv 2\tan^{2}\theta$$
(ข) จากนั้นแก้สมการ $\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=8$ สำหรับ $0^{\circ}\lt\theta\lt 180^{\circ}$
Answershow ▾
6 marks: 3 for the proof, 3 for forming the equation and finding both angles.6 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับการพิสูจน์ 3 คะแนนสำหรับการตั้งสมการและหามุมทั้งสอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Transform the graph, then solve it แปลงกราฟ แล้วแก้สมการ
The curve $y=\sin x$ is transformed to the curve $y=4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$.
(a) Describe fully a sequence of transformations that have been combined, making clear the order in which the transformations are applied.
(b) Find the exact solutions of the equation $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$ for $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$.
เส้นโค้ง $y=\sin x$ ถูกแปลง (transformed) ไปเป็นเส้นโค้ง $y=4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$
(ก) จงบรรยายให้ครบถ้วน (describe fully) ถึงลำดับของ transformation ที่รวมกัน โดยระบุลำดับที่ใช้ให้ชัดเจน
(ข) หาคำตอบแบบ exact ของสมการ $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$
The curve $y=\sin x$ is translated by $30^{\circ}$ in the positive $x$-direction. Write the new equation.
เส้นโค้ง $y=\sin x$ ถูกเลื่อนขนาน (translation) $30^{\circ}$ ในทิศ $x$ บวก จงเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
A translation of $a$ in the positive $x$-direction replaces $x$ with $x-a$.การเลื่อนขนาน $a$ ในทิศ $x$ บวก คือแทน $x$ ด้วย $x-a$
The curve $y=\sin x$ is stretched parallel to the $x$-axis with scale factor $2$. Write the new equation.
เส้นโค้ง $y=\sin x$ ถูกยืด ขนานแกน $x$ ตัวคูณ $2$ จงเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
A stretch of scale factor $k$ parallel to the $x$-axis replaces $x$ with $\tfrac{x}{k}$.การยืดขนานแกน $x$ ด้วย ตัวคูณ $k$ คือแทน $x$ ด้วย $\tfrac{x}{k}$
The curve $y=\sin x$ is stretched parallel to the $y$-axis with scale factor $4$. Write the new equation.
เส้นโค้ง $y=\sin x$ ถูกยืด ขนานแกน $y$ ตัวคูณ $4$ จงเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
A stretch of scale factor $k$ parallel to the $y$-axis multiplies the whole right-hand side by $k$.การยืดขนานแกน $y$ ด้วย ตัวคูณ $k$ คือคูณด้านขวาทั้งหมดด้วย $k$
To reach $y=4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$ you need a translation and a stretch parallel to the $x$-axis. If you do the $x$-axis stretch FIRST, then the translation, what translation distance is needed?
(A) $30^{\circ}$
(B) $15^{\circ}$
(C) $60^{\circ}$
การแปลงไปเป็น $y=4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$ ต้องมีการเลื่อนขนานกับการยืดขนานแกน $x$ ถ้ายืดแกน $x$ ก่อน แล้วค่อยเลื่อนขนาน ต้องเลื่อนขนานเท่าไร
(A) $30^{\circ}$
(B) $15^{\circ}$
(C) $60^{\circ}$
Answershow ▾
(A) is only the right distance when the translation comes BEFORE the stretch. (B) halves the wrong way: a stretch of scale factor $2$ doubles a translation that comes after it, it does not halve it.(A) เป็นระยะที่ถูกเฉพาะตอนเลื่อนขนานก่อนยืด · (B) หารผิดทาง เพราะการยืดด้วย ตัวคูณ $2$ ทำให้การเลื่อนขนานที่ตามมาเป็นสองเท่า ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง
Start from $y=\sin x$. Apply a translation of $30^{\circ}$ in the positive $x$-direction. Write the resulting equation.
เริ่มจาก $y=\sin x$ แล้วเลื่อนขนาน $30^{\circ}$ ในทิศ $x$ บวก จงเขียนสมการที่ได้
Answershow ▾
Replace $x$ with $x-30^{\circ}$.แทน $x$ ด้วย $x-30^{\circ}$
Now apply a stretch parallel to the $x$-axis, scale factor $2$, to $y=\sin(x-30^{\circ})$. Write the resulting equation.
นำ $y=\sin(x-30^{\circ})$ ไปยืดขนานแกน $x$ ตัวคูณ $2$ จงเขียนสมการที่ได้
Answershow ▾
Replace $x$ with $\tfrac{x}{2}$ in the WHOLE equation from the step before, including the $-30^{\circ}$ already there.แทน $x$ ด้วย $\tfrac{x}{2}$ ในสมการทั้งก้อนจากขั้นก่อน รวมทั้ง $-30^{\circ}$ ที่มีอยู่แล้วด้วย
Now apply a stretch parallel to the $y$-axis, scale factor $4$, to $y=\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$. Write the final equation.
นำ $y=\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$ ไปยืดขนานแกน $y$ ตัวคูณ $4$ จงเขียนสมการสุดท้าย
Answershow ▾
Multiply the whole right-hand side by $4$.คูณด้านขวาทั้งหมดด้วย $4$
Solve $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$. Divide both sides by $4$, then write the exact value on the right.
จงแก้สมการ $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$ โดยหารทั้งสองข้างด้วย $4$ แล้วเขียนค่าแม่นตรง ทางขวา
Answershow ▾
Divide first; $\sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ is a value to know, not to calculate.หารก่อน · $\sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ เป็นค่าที่ต้องจำ ไม่ต้องคำนวณ
Check that $x=150^{\circ}$ satisfies $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$.
จงตรวจว่า $x=150^{\circ}$ สอดคล้องกับ $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$ หรือไม่
Answershow ▾
Substitute the value back into the ORIGINAL equation before trusting it.แทนค่ากลับเข้าสมการตั้งต้นก่อนเชื่อคำตอบ
The curve $y=\sin x$ is transformed to the curve $y=2\sin\left(\tfrac{1}{2}x-15^{\circ}\right)$.
(a) Describe fully the sequence of transformations, making clear the order.
(b) Find the exact solutions of $2\sin\left(\tfrac{1}{2}x-15^{\circ}\right)=1$ for $0^{\circ}\leqslant x\leqslant360^{\circ}$.
เส้นโค้ง $y=\sin x$ ถูกแปลงไปเป็นเส้นโค้ง $y=2\sin\left(\tfrac{1}{2}x-15^{\circ}\right)$
(ก) จงบรรยายให้ครบถ้วนถึงลำดับของ transformation โดยระบุลำดับให้ชัดเจน
(ข) หาคำตอบแบบแม่นตรง ของสมการ $2\sin\left(\tfrac{1}{2}x-15^{\circ}\right)=1$ สำหรับ $0^{\circ}\leqslant x\leqslant360^{\circ}$
Answershow ▾
Same three moves as the real question, then divide by $2$ and use $\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$.สามขั้นเดิมจากข้อสอบจริง แล้วหารด้วย $2$ และใช้ $\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$
The curve $y=\sin x$ is transformed to the curve $y=4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$.
(a) Describe fully a sequence of transformations that have been combined, making clear the order in which the transformations are applied.
(b) Find the exact solutions of the equation $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$ for $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$.
เส้นโค้ง $y=\sin x$ ถูกแปลง (transformed) ไปเป็นเส้นโค้ง $y=4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)$
(ก) จงบรรยายให้ครบถ้วน (describe fully) ถึงลำดับของ transformation ที่รวมกัน โดยระบุลำดับที่ใช้ให้ชัดเจน
(ข) หาคำตอบแบบ exact ของสมการ $4\sin\left(\tfrac{1}{2}x-30^{\circ}\right)=2\sqrt{2}$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$
Answershow ▾
8 marks: $5$ for the three transformations in order, then $3$ for dividing by $4$ and solving exactly with $\sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.8 คะแนน: $5$ คะแนนสำหรับการแปลงสามท่าตามลำดับ แล้ว $3$ คะแนนสำหรับหารด้วย $4$ และแก้แบบแม่นตรง ด้วย $\sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Inverse of a sine graph ตัวผกผันของกราฟไซน์
The diagram shows the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ where the function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ for $0\le x\le 2\pi$.
(a) On the diagram, sketch the graph of $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$.
(b) Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
(c) The function $\mathrm{g}$ is defined by $\mathrm{g}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ for $-2\pi\le x\le 2\pi$. Complete the sketch of the graph of $\mathrm{g}(x)$ and hence explain whether the function $\mathrm{g}$ has an inverse.
(d) Describe fully a sequence of three transformations which can be combined to transform the graph of $y=\sin x$ for $0\le x\le\tfrac{1}{2}\pi$ to the graph of $y=\mathrm{f}(x)$, making clear the order in which the transformations are applied.
แผนภาพแสดงกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ โดยฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ สำหรับ $0\le x\le 2\pi$
(ก) จากแผนภาพ ให้ร่างกราฟ (sketch) ของ $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$
(ข) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ สำหรับ $-2\pi\le x\le 2\pi$ ให้ร่างกราฟของ $\mathrm{g}(x)$ ต่อให้ครบ แล้วอธิบายว่าฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ มี inverse หรือไม่
(ง) จงบรรยายให้ครบถ้วน (describe fully) ถึงลำดับของ transformation สามขั้นที่รวมกันแล้วแปลงกราฟ $y=\sin x$ สำหรับ $0\le x\le\tfrac{1}{2}\pi$ ไปเป็นกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ โดยระบุลำดับที่ใช้ให้ชัดเจน
The point $(0,3)$ lies on $y=\mathrm{f}(x)$. Reflecting a point in the line $y=x$ swaps its two coordinates. Write the reflected point.
จุด $(0,3)$ อยู่บน $y=\mathrm{f}(x)$ การสะท้อนจุดในเส้น $y=x$ คือการสลับพิกัดทั้งสอง จงเขียนจุดที่สะท้อนแล้ว
Answershow ▾
Swap the $x$- and $y$-coordinates.สลับพิกัด $x$ กับ $y$
$\mathrm{h}(x)=3+2x$ is built by $\times2$ then $+3$. To find $\mathrm{h}^{-1}(x)$ you undo the operations in reverse order. Which do you undo first: $+3$ or $\times2$?
$\mathrm{h}(x)=3+2x$ สร้างจาก $\times2$ แล้ว $+3$ การหา $\mathrm{h}^{-1}(x)$ ต้องแก้ย้อนลำดับ จะแก้ย้อน $+3$ หรือ $\times2$ ก่อน
Answershow ▾
The last operation applied forward is the first one undone.ขั้นที่ทำทีหลังสุด คือขั้นที่แก้ย้อนก่อน
Evaluate $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$.
จงหาค่า $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$
Answershow ▾
This is the lowest point of the sine wave.นี่คือจุดต่ำสุดของกราฟไซน์
To sketch $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$ from $y=\mathrm{f}(x)$, you reflect the curve in one line. Pick that line.
(A) the $x$-axis
(B) the line $y=x$
(C) the $y$-axis
การร่างกราฟ $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$ จาก $y=\mathrm{f}(x)$ ต้องสะท้อนกราฟในเส้นหนึ่ง จงเลือกเส้นนั้น
(A) แกน $x$
(B) เส้น $y=x$
(C) แกน $y$
Answershow ▾
(A) reflecting in the $x$-axis gives $y=-\mathrm{f}(x)$, not the inverse. (C) reflecting in the $y$-axis gives $y=\mathrm{f}(-x)$. An inverse swaps $x$ and $y$, which is reflection in $y=x$.(A) การสะท้อนในแกน $x$ ให้ $y=-\mathrm{f}(x)$ ไม่ใช่ตัวผกผัน · (C) การสะท้อนในแกน $y$ ให้ $y=\mathrm{f}(-x)$ · ตัวผกผันคือการสลับ $x$ กับ $y$ ซึ่งคือการสะท้อนในเส้น $y=x$
The curve $y=\mathrm{f}(x)$ runs from $(0,3)$ to $(2\pi,5)$. Using the swap from question $1$, write the two endpoints of $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$.
กราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ ลากจาก $(0,3)$ ถึง $(2\pi,5)$ โดยใช้การสลับจากข้อ $1$ จงเขียนจุดปลายทั้งสองจุดของ $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
Swap each endpoint the same way as question $1$.สลับแต่ละจุดปลายแบบเดียวกับข้อ $1$
Set $y=\mathrm{f}(x)$ and subtract $3$ from both sides of $y=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$.
ให้ $y=\mathrm{f}(x)$ แล้วลบ $3$ จากทั้งสองข้างของ $y=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$
Answershow ▾
Undo the $+3$ first - the outer operation.แก้ย้อน $+3$ ก่อน เพราะเป็นขั้นนอกสุด
From $y-3=2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$, pick the next move.
(A) apply $\sin^{-1}$ to both sides now
(B) divide both sides by $2$
(C) multiply both sides by $4$
จาก $y-3=2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ใช้ $\sin^{-1}$ ทั้งสองข้างตอนนี้
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $2$
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $4$
Answershow ▾
$\sin^{-1}$ only undoes $\sin()$ alone. With the $2$ still multiplying it, applying $\sin^{-1}$ now treats $2\sin\left(\tfrac14x\right)$ as one sine value, which is wrong. $\times4$ is the last undo step, not this one.$\sin^{-1}$ แก้ย้อนได้เฉพาะ $\sin()$ เท่านั้น เมื่อ $2$ ยังคูณอยู่ การใช้ $\sin^{-1}$ ตอนนี้ จะเข้าใจผิดว่า $2\sin\left(\tfrac14x\right)$ เป็นค่าไซน์เดียว ซึ่งผิด · $\times4$ เป็นขั้นแก้ย้อนขั้นสุดท้าย ไม่ใช่ขั้นนี้
Divide both sides of $y-3=2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ by $2$.
จงหารทั้งสองข้างของ $y-3=2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ ด้วย $2$
Answershow ▾
Now $\sin\left(\tfrac14x\right)$ is alone on one side.ตอนนี้ $\sin\left(\tfrac14x\right)$ อยู่ตัวเดียวด้านหนึ่งแล้ว
From $\dfrac{y-3}{2}=\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$, apply $\sin^{-1}$ to both sides, then multiply by $4$ to make $x$ the subject. Write $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
จาก $\dfrac{y-3}{2}=\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ ใช้ $\sin^{-1}$ ทั้งสองข้าง แล้วคูณด้วย $4$ เพื่อแก้หา $x$ จงเขียน $\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
$\sin^{-1}$ undoes $\sin$, then $\times4$ undoes $\div4$.$\sin^{-1}$ แก้ย้อน $\sin$ แล้ว $\times4$ แก้ย้อน $\div4$
$\mathrm{g}(x)=3+2\sin\left(\tfrac14x\right)$ for $-2\pi\leqslant x\leqslant2\pi$. Using $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ from question $3$, work out $\mathrm{g}(-2\pi)$.
$\mathrm{g}(x)=3+2\sin\left(\tfrac14x\right)$ สำหรับ $-2\pi\leqslant x\leqslant2\pi$ ใช้ $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ จากข้อ $3$ จงหา $\mathrm{g}(-2\pi)$
Answershow ▾
This is the lowest point the extended curve reaches.นี่คือจุดต่ำสุดที่กราฟที่ต่อออกไปไปถึง
$\mathrm{k}(x)=1+2\sin\left(\tfrac12x\right)$ for $0\leqslant x\leqslant\pi$. Write the two endpoints of $y=\mathrm{k}^{-1}(x)$, and find $\mathrm{k}^{-1}(x)$.
$\mathrm{k}(x)=1+2\sin\left(\tfrac12x\right)$ สำหรับ $0\leqslant x\leqslant\pi$ จงเขียน จุดปลายทั้งสองจุดของ $y=\mathrm{k}^{-1}(x)$ แล้วหา $\mathrm{k}^{-1}(x)$
Answershow ▾
Same two moves: swap the endpoints, then subtract, divide, $\sin^{-1}$, multiply.สองขั้นเดิม: สลับจุดปลาย แล้วลบ หาร ใช้ $\sin^{-1}$ แล้วคูณ
The diagram shows the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ where the function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ for $0\le x\le 2\pi$.
(a) On the diagram, sketch the graph of $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$.
(b) Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
(c) The function $\mathrm{g}$ is defined by $\mathrm{g}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ for $-2\pi\le x\le 2\pi$. Complete the sketch of the graph of $\mathrm{g}(x)$ and hence explain whether the function $\mathrm{g}$ has an inverse.
(d) Describe fully a sequence of three transformations which can be combined to transform the graph of $y=\sin x$ for $0\le x\le\tfrac{1}{2}\pi$ to the graph of $y=\mathrm{f}(x)$, making clear the order in which the transformations are applied.
แผนภาพแสดงกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ โดยฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ สำหรับ $0\le x\le 2\pi$
(ก) จากแผนภาพ ให้ร่างกราฟ (sketch) ของ $y=\mathrm{f}^{-1}(x)$
(ข) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=3+2\sin\left(\tfrac{1}{4}x\right)$ สำหรับ $-2\pi\le x\le 2\pi$ ให้ร่างกราฟของ $\mathrm{g}(x)$ ต่อให้ครบ แล้วอธิบายว่าฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ มี inverse หรือไม่
(ง) จงบรรยายให้ครบถ้วน (describe fully) ถึงลำดับของ transformation สามขั้นที่รวมกันแล้วแปลงกราฟ $y=\sin x$ สำหรับ $0\le x\le\tfrac{1}{2}\pi$ ไปเป็นกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ โดยระบุลำดับที่ใช้ให้ชัดเจน
Answershow ▾
12 marks across four parts: reflect the curve, solve for $\mathrm{f}^{-1}$, extend and check $\mathrm{g}$, then name the three transformations in order.12 คะแนน สี่ส่วน: สะท้อนกราฟ แก้หา $\mathrm{f}^{-1}$ ต่อกราฟและตรวจ $\mathrm{g}$ แล้วบอกชื่อ transformation สามขั้นตามลำดับ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A transformed cosine, read off the sketch กราฟ cosine ที่ถูกแปลง อ่านจากภาพ
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$, $0\le x\le 2\pi$, where $k$ is a constant. The curve meets the $y$-axis at the point $(0,\sqrt3)$ and passes through the points $(p,0)$ and $(q,0)$.
(a) Find the value of $k$.
(b) Find the exact value of $p$ and the exact value of $q$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งของสมการ $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$, $0\le x\le 2\pi$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ (constant) เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,\sqrt3)$ และผ่านจุด $(p,0)$ กับ $(q,0)$
(ก) จงหาค่า $k$
(ข) จงหาค่าแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $p$ และของ $q$
Write the exact value of $\cos\dfrac{\pi}{6}$.
จงเขียนค่าแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $\cos\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
A standard exact value, one of the special angles.ค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ มาตรฐาน หนึ่งในมุมพิเศษ
Work out $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}$.
จงคำนวณ $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
Common denominator $6$, then subtract the numerators.ตัวส่วนร่วมคือ $6$ แล้วลบตัวเศษ
For $0\leqslant\theta\leqslant2\pi$, write both values of $\theta$ where $\cos\theta=0$.
ในช่วง $0\leqslant\theta\leqslant2\pi$ จงเขียนค่า $\theta$ ทั้งสองค่าที่ $\cos\theta=0$
Answershow ▾
Cosine crosses zero twice in one period: a quarter turn, and three quarter turns.cosine ตัดศูนย์สองครั้งในหนึ่งคาบ คือที่หนึ่งในสี่รอบ และสามในสี่รอบ
The curve meets the $y$-axis at $(0,\sqrt3)$ and the $x$-axis at $(p,0)$ and $(q,0)$. To find $k$, which point should you substitute first?
(A) $(0,\sqrt3)$
(B) $(p,0)$
(C) $(q,0)$
เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่ $(0,\sqrt3)$ และตัดแกน $x$ ที่ $(p,0)$ กับ $(q,0)$ จะหาค่า $k$ ต้องแทนจุดใดก่อน?
(A) $(0,\sqrt3)$
(B) $(p,0)$
(C) $(q,0)$
Answershow ▾
Substituting $(p,0)$ or $(q,0)$ gives $k\cos(\cdot)=0$ either way - the cosine factor is already zero, so $k$ cancels out and never appears in the equation.การแทน $(p,0)$ หรือ $(q,0)$ ให้ $k\cos(\cdot)=0$ เหมือนกัน เพราะตัวประกอบ cosine เป็นศูนย์อยู่แล้ว $k$ จึงหายไปจากสมการ ไม่ปรากฏเลย
Substitute $x=0$ into $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ and set it equal to $\sqrt3$. Write the equation.
แทน $x=0$ ใน $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ แล้วให้เท่ากับ $\sqrt3$ จงเขียนสมการ
Answershow ▾
Zero inside the bracket just leaves $\dfrac{\pi}{6}$.ศูนย์ในวงเล็บ เหลือแค่ $\dfrac{\pi}{6}$
Use $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ (question $1$) to solve $k\cos\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3$ for $k$.
ใช้ $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ (ข้อ $1$) แก้สมการ $k\cos\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Divide both sides by $\dfrac{\sqrt3}{2}$, which is the same as multiplying by $2$.หารทั้งสองข้างด้วย $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ซึ่งเหมือนกับคูณด้วย $2$
With $k=2$, the $x$-intercepts satisfy $2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0$. Divide by $2$ and write the equation in $\cos$ alone.
เมื่อ $k=2$ จุดตัดแกน $x$ สอดคล้องกับ $2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0$ จงหารด้วย $2$ แล้วเขียนสมการที่มีแค่ $\cos$
Answershow ▾
Dividing by $2$ never changes where an expression equals zero.การหารด้วย $2$ ไม่เปลี่ยนจุดที่นิพจน์มีค่าเป็นศูนย์
You have $x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$. Pick the correct next line.
(A) $x=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}$
(B) $x=\dfrac{\pi}{2}$
(C) $x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}$
ได้ $x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ จงเลือกบรรทัดต่อไปที่ถูกต้อง
(A) $x=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}$
(B) $x=\dfrac{\pi}{2}$
(C) $x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
$\dfrac{\pi}{6}$ is added to $x$ on the left, so it must be SUBTRACTED from both sides. (B) drops it completely. (C) adds it again instead of undoing the addition.$\dfrac{\pi}{6}$ ถูกบวกเข้ากับ $x$ ทางซ้าย จึงต้อง "ลบ" ออกจากทั้งสองข้าง · (B) ทิ้งมันไปเฉย ๆ · (C) บวกซ้ำอีกครั้งแทนการย้อนกลับการบวก
Use the answer from question $2$ to write the exact value of $p$.
ใช้คำตอบของข้อ $2$ จงเขียนค่าแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของ $p$
Answershow ▾
This is exactly the subtraction from question $2$.นี่คือการลบแบบเดียวกับข้อ $2$
The other zero of $\cos\theta$ (question $3$) is at $\theta=\dfrac{3\pi}{2}$. Subtract the shift $\dfrac{\pi}{6}$ and write the exact value of $q$.
ศูนย์อีกจุดของ $\cos\theta$ (ข้อ $3$) อยู่ที่ $\theta=\dfrac{3\pi}{2}$ จงลบส่วนเลื่อน $\dfrac{\pi}{6}$ แล้วเขียนค่าแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของ $q$
Answershow ▾
Same move as $p$, starting from the other zero.ขั้นเดียวกับ $p$ แต่เริ่มจากศูนย์อีกจุด
A curve has equation $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$, $0\leqslant x\leqslant2\pi$. It meets the $y$-axis at $\left(0,\dfrac32\right)$ and the $x$-axis at $(p,0)$ and $(q,0)$. Find $k$, and the exact values of $p$ and $q$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$, $0\leqslant x\leqslant2\pi$ ตัดแกน $y$ ที่ $\left(0,\dfrac32\right)$ และตัดแกน $x$ ที่ $(p,0)$ กับ $(q,0)$ จงหาค่า $k$ และค่าแบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของ $p$ และของ $q$
Answershow ▾
Same three moves: substitute $x=0$ for $k$, then subtract the shift from each zero of $\cos$.สามขั้นเดิม: แทน $x=0$ เพื่อหา $k$ แล้วลบส่วนเลื่อนออกจากศูนย์ของ $\cos$ แต่ละจุด
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$, $0\le x\le 2\pi$, where $k$ is a constant. The curve meets the $y$-axis at the point $(0,\sqrt3)$ and passes through the points $(p,0)$ and $(q,0)$.
(a) Find the value of $k$.
(b) Find the exact value of $p$ and the exact value of $q$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งของสมการ $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$, $0\le x\le 2\pi$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ (constant) เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,\sqrt3)$ และผ่านจุด $(p,0)$ กับ $(q,0)$
(ก) จงหาค่า $k$
(ข) จงหาค่าแบบ exact (ค่าแม่นตรง ไม่ปัดทศนิยม) ของ $p$ และของ $q$
Answershow ▾
3 marks: one for $k$, one for each exact $x$-intercept using $\cos=0$.3 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับ $k$ และอีกหนึ่งคะแนนต่อจุดตัดแกน $x$ แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ จาก $\cos=0$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Stretched sine: period, minimum, symmetry ไซน์ที่ถูกยืด: คาบ จุดต่ำสุด ความสมมาตร
The diagram shows a sketch of part of the curve $C$ with equation $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$, where $x$ is measured in radians. The point $M$ shown is a minimum point on $C$.
(a) State the period of $C$.
(b) State the coordinates of $M$.
(c) The smallest positive solution of the equation $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$, where $k$ is a constant, is $\alpha$. Find, in terms of $\alpha$,
(i) the negative solution of the equation $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ that is closest to zero,
(ii) the smallest positive solution of the equation $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C$ บางส่วนของสมการ $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ โดย $x$ วัดเป็นเรเดียน (radian) จุด $M$ ที่แสดงไว้เป็นจุดต่ำสุด (minimum point) ของ $C$
(ก) จงบอกคาบ (period) ของ $C$
(ข) จงบอกพิกัดของ $M$
(ค) คำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ คือ $\alpha$ จงหาคำตอบต่อไปนี้ในรูปของ $\alpha$
(i) คำตอบที่เป็นลบซึ่งใกล้ศูนย์ที่สุดของสมการ $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$
(ii) คำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$
The graph $y=\sin x$ has period $2\pi$. Stretching the $x$-axis by factor $12$ gives $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$. State the new period.
กราฟ $y=\sin x$ มีคาบ $2\pi$ การยืดแกน $x$ ด้วยตัวประกอบ $12$ ทำให้ได้ $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ จงบอกคาบใหม่
Answershow ▾
A stretch by factor $12$ in $x$ multiplies the period by $12$.การยืดแกน $x$ ด้วยตัวประกอบ $12$ ทำให้คาบถูกคูณด้วย $12$
For $0\leqslant\theta\leqslant2\pi$, state the angle $\theta$ at which $\sin\theta$ reaches its minimum value $-1$.
เมื่อ $0\leqslant\theta\leqslant2\pi$ จงบอกมุม $\theta$ ที่ทำให้ $\sin\theta$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ $-1$
Answershow ▾
The sine curve dips to $-1$ once, three-quarters of the way round.กราฟไซน์ลงไปต่ำสุดที่ $-1$ ครั้งเดียว ที่สามในสี่ของรอบ
$\sin\theta=k$ has a solution $\theta=\beta$ in $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$. Using $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$, write the other solution between $0$ and $\pi$, in terms of $\beta$.
$\sin\theta=k$ มีคำตอบ $\theta=\beta$ อยู่ในช่วง $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ โดยใช้ $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ จงเขียนคำตอบอีกค่าที่อยู่ระหว่าง $0$ และ $\pi$ ในรูปของ $\beta$
Answershow ▾
Sine is positive in the first two quarters, mirrored about $\theta=\dfrac{\pi}{2}$.ไซน์เป็นบวกในสองส่วนแรก สมมาตรกันรอบ $\theta=\dfrac{\pi}{2}$
To find the minimum point $M$ of $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$, pick the equation to solve.
(A) $\dfrac{x}{12}=\dfrac{3\pi}{2}$
(B) $x=\dfrac{3\pi}{2}$
(C) $\dfrac{x}{12}=\dfrac{\pi}{2}$
หาจุดต่ำสุด $M$ ของ $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ ต้องแก้สมการใด จงเลือก
(A) $\dfrac{x}{12}=\dfrac{3\pi}{2}$
(B) $x=\dfrac{3\pi}{2}$
(C) $\dfrac{x}{12}=\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
(B) solves for the angle, not for $x$ - it skips the stretch. (C) uses $\dfrac{\pi}{2}$, the angle for the maximum, not the minimum.(B) แก้หามุม ไม่ใช่ $x$ จึงข้ามการยืดไป · (C) ใช้ $\dfrac{\pi}{2}$ ซึ่งเป็นมุมของจุดสูงสุด ไม่ใช่จุดต่ำสุด
Solve $\dfrac{x}{12}=\dfrac{3\pi}{2}$ for $x$.
จงแก้สมการ $\dfrac{x}{12}=\dfrac{3\pi}{2}$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Multiply both sides by $12$.คูณทั้งสองข้างด้วย $12$
State the minimum value of $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$.
จงบอกค่าต่ำสุดของ $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$
Answershow ▾
Sine never goes below $-1$, whatever is inside it.ไซน์ไม่มีค่าต่ำกว่า $-1$ ไม่ว่าข้างในจะเป็นอะไร
Write the full coordinates of the minimum point $M$.
จงเขียนพิกัดเต็มของจุดต่ำสุด $M$
Answershow ▾
Pair the $x$-value with the lowest value sine reaches.นำค่า $x$ มาคู่กับค่าต่ำสุดที่ไซน์ไปถึงได้
The other solution of $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ within one period is $12\pi-\alpha$, the same rule as before, scaled by $12$. Shift this back by one whole period, $24\pi$, to reach the negative solution closest to zero. Write it.
คำตอบอีกค่าของ $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ ภายในหนึ่งคาบคือ $12\pi-\alpha$ ซึ่งเป็นกฎเดิม ที่สเกลด้วย $12$ จงเลื่อนย้อนไปหนึ่งคาบเต็ม $24\pi$ เพื่อหาคำตอบลบที่ใกล้ศูนย์ที่สุด แล้วเขียนคำตอบ
Answershow ▾
Going back one more period always lands on a solution, and this is the closest negative one.เลื่อนย้อนไปอีกหนึ่งคาบ จะตกที่คำตอบเสมอ และนี่คือคำตอบลบที่ใกล้ศูนย์ที่สุด
$x=\alpha$ solves $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$. The graph of $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)$ is the same curve, shifted by a quarter of the period $24\pi$. Pick the smallest positive solution of $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$.
(A) $6\pi-\alpha$
(B) $12\pi-\alpha$
(C) $6\pi+\alpha$
$x=\alpha$ เป็นคำตอบของ $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ กราฟของ $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)$ เป็นเส้นโค้งเดียวกัน แต่เลื่อนไปหนึ่งในสี่ของคาบ $24\pi$ จงเลือกคำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของ $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$
(A) $6\pi-\alpha$
(B) $12\pi-\alpha$
(C) $6\pi+\alpha$
Answershow ▾
(B) uses half the period - that move finds a second $\sin$ solution, not $\cos$. (C) shifts forward, not back.(B) ใช้ครึ่งคาบ ซึ่งเป็นขั้นหาคำตอบที่สองของ $\sin$ ไม่ใช่ $\cos$ · (C) เลื่อนไปข้างหน้า ไม่ใช่ข้างหลัง
Using the quarter-period shift from the last choice, write the smallest positive solution of $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$, in terms of $\alpha$.
ใช้การเลื่อนหนึ่งในสี่คาบจากข้อที่เลือกไว้ จงเขียนคำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของ $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ ในรูปของ $\alpha$
Answershow ▾
A quarter of $24\pi$ is $6\pi$.หนึ่งในสี่ของ $24\pi$ คือ $6\pi$
A curve has equation $y=\sin\left(\dfrac{x}{4}\right)$, where $x$ is in radians. State the period, the coordinates of its minimum point, and, given that the smallest positive solution of $\sin\left(\dfrac{x}{4}\right)=k$ is $\dfrac{\pi}{3}$, (i) the negative solution closest to zero and (ii) the smallest positive solution of $\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)=k$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\sin\left(\dfrac{x}{4}\right)$ โดย $x$ วัดเป็นเรเดียน จงบอกคาบ พิกัดของจุดต่ำสุด และเมื่อคำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของ $\sin\left(\dfrac{x}{4}\right)=k$ คือ $\dfrac{\pi}{3}$ จงหา (i) คำตอบที่เป็นลบซึ่งใกล้ศูนย์ที่สุด และ (ii) คำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของ $\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)=k$
Answershow ▾
Same four results, fresh numbers: period scales by $4$, minimum needs $\dfrac{3\pi}{2}$, then half- and quarter-period shifts.ผลลัพธ์สี่อย่างเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: คาบสเกลด้วย $4$ จุดต่ำสุดใช้ $\dfrac{3\pi}{2}$ แล้วเลื่อนครึ่งและหนึ่งในสี่คาบ
The diagram shows a sketch of part of the curve $C$ with equation $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$, where $x$ is measured in radians. The point $M$ shown is a minimum point on $C$.
(a) State the period of $C$.
(b) State the coordinates of $M$.
(c) The smallest positive solution of the equation $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$, where $k$ is a constant, is $\alpha$. Find, in terms of $\alpha$,
(i) the negative solution of the equation $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ that is closest to zero,
(ii) the smallest positive solution of the equation $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C$ บางส่วนของสมการ $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ โดย $x$ วัดเป็นเรเดียน (radian) จุด $M$ ที่แสดงไว้เป็นจุดต่ำสุด (minimum point) ของ $C$
(ก) จงบอกคาบ (period) ของ $C$
(ข) จงบอกพิกัดของ $M$
(ค) คำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ คือ $\alpha$ จงหาคำตอบต่อไปนี้ในรูปของ $\alpha$
(i) คำตอบที่เป็นลบซึ่งใกล้ศูนย์ที่สุดของสมการ $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$
(ii) คำตอบที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$
Answershow ▾
4 marks, all follow-through: the multiplier $12$ scales everything, the period, the minimum, and the shifts by a half and a quarter of it.4 คะแนน เป็นคะแนนต่อเนื่องทั้งหมด: ตัวคูณ $12$ สเกลทุกอย่าง ทั้งคาบ จุดต่ำสุด และการเลื่อนครึ่งและหนึ่งในสี่คาบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Counting crossings of a steep line นับจำนวนจุดตัดของเส้นชัน
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=\tan x$ and the straight line $l$ with equation $y=\pi x$ in the interval $-\pi \lt x \lt \pi$.
(a) State the period of $\tan x$.
(b) Write down the number of roots of the equation
(i) $\tan x = (\pi+2)x$ in the interval $-\pi \lt x \lt \pi$,
(ii) $\tan x = \pi x$ in the interval $-2\pi \lt x \lt 2\pi$,
(iii) $\tan x = \pi x$ in the interval $-100\pi \lt x \lt 100\pi$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งของสมการ $y=\tan x$ และเส้นตรง $l$ ของสมการ $y=\pi x$ ในช่วง $-\pi \lt x \lt \pi$
(ก) จงบอกคาบของ $\tan x$
(ข) จงเขียนจำนวนรากของสมการต่อไปนี้
(i) $\tan x = (\pi+2)x$ ในช่วง $-\pi \lt x \lt \pi$
(ii) $\tan x = \pi x$ ในช่วง $-2\pi \lt x \lt 2\pi$
(iii) $\tan x = \pi x$ ในช่วง $-100\pi \lt x \lt 100\pi$
The graph of $y=\tan x$ has two neighbouring asymptotes, at $x=-\dfrac{\pi}{2}$ and $x=\dfrac{\pi}{2}$. State the period of $\tan x$.
กราฟ $y=\tan x$ มีเส้นกำกับสองเส้นที่อยู่ติดกันที่ $x=-\dfrac{\pi}{2}$ และ $x=\dfrac{\pi}{2}$ จงบอกคาบของ $\tan x$
Answershow ▾
The period is the distance between two neighbouring asymptotes.คาบคือระยะระหว่างเส้นกำกับที่อยู่ติดกันสองเส้น
$\tan x$ has asymptotes at $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ for integer $k$. How many of these lie strictly between $x=0$ and $x=3\pi$?
$\tan x$ มีเส้นกำกับที่ $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม มีกี่เส้นที่อยู่ระหว่าง $x=0$ กับ $x=3\pi$
Answershow ▾
They are at $\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}$ - the next one, $\dfrac{7\pi}{2}$, is past $3\pi$.คือ $\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}$ - เส้นถัดไปคือ $\dfrac{7\pi}{2}$ ซึ่งเกิน $3\pi$ แล้ว
A straight line through the origin is steeper than $\tan x$ at the origin. On a branch of $\tan x$ that does NOT contain the origin, the curve runs from $-\infty$ to $\infty$ (or the other way). How many times does the line cross that branch?
เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด ชันกว่า $\tan x$ ที่จุดกำเนิด บนช่วงของ $\tan x$ ที่ไม่มีจุดกำเนิด กราฟไล่จาก $-\infty$ ถึง $\infty$ (หรือกลับกัน) เส้นตรงตัดช่วงนั้นกี่ครั้ง
Answershow ▾
The curve passes through every value exactly once on that branch, so it meets a fixed line exactly once too.กราฟผ่านทุกค่าเพียงครั้งเดียวในช่วงนั้น จึงตัดเส้นตรงคงที่เพียงครั้งเดียวเช่นกัน
To count the roots of $\tan x = mx$ (with $m\gt1$) on an interval centred at the origin, pick the correct counting method.
(A) $2$ roots every time the line passes one more asymptote, going outward
(B) $1$ root at the origin, then $1$ more root every time the line passes one more asymptote, going outward on each side
(C) $1$ root for every asymptote passed, with no separate root at the origin
จงเลือกวิธีนับรากของ $\tan x = mx$ (เมื่อ $m\gt1$) ในช่วงที่มีจุดกำเนิดอยู่กึ่งกลาง ให้ถูกต้อง
(A) $2$ รากทุกครั้งที่เส้นตรงผ่านเส้นกำกับเพิ่มอีกหนึ่งเส้น
(B) $1$ รากที่จุดกำเนิด แล้ว $1$ รากเพิ่มทุกครั้งที่เส้นตรงผ่านเส้นกำกับเพิ่มอีกหนึ่งเส้น ออกไปทั้งสองข้าง
(C) $1$ รากต่อเส้นกำกับที่ผ่านแต่ละเส้น โดยไม่มีรากแยกที่จุดกำเนิด
Answershow ▾
(A) counts $2$ for every asymptote, doubling the real total. (C) drops the root AT the origin itself - that is exactly why it gives $200$ instead of $201$ on the widest interval.(A) นับ $2$ ต่อเส้นกำกับทุกเส้น ทำให้ได้จำนวนมากเป็นสองเท่าของจริง · (C) ทิ้งรากที่จุดกำเนิดไป ซึ่งเป็นสาเหตุที่ได้ $200$ แทน $201$ ในช่วงที่กว้างที่สุด
On $-\pi\lt x\lt\pi$, how many asymptotes of $\tan x$ lie strictly between $x=0$ and $x=\pi$?
ในช่วง $-\pi\lt x\lt\pi$ มีเส้นกำกับของ $\tan x$ กี่เส้นที่อยู่ระหว่าง $x=0$ กับ $x=\pi$
Answershow ▾
Only $x=\dfrac{\pi}{2}$ lies strictly between $0$ and $\pi$.มีเพียง $x=\dfrac{\pi}{2}$ ที่อยู่ระหว่าง $0$ กับ $\pi$
Using $1$ asymptote passed on each side (rung 4), write the number of roots of $\tan x=(\pi+2)x$ on $-\pi\lt x\lt\pi$.
ใช้จำนวนเส้นกำกับ $1$ เส้นในแต่ละข้าง (ข้อ 4) จงหาจำนวนรากของ $\tan x=(\pi+2)x$ ในช่วง $-\pi\lt x\lt\pi$
Answershow ▾
$1$ root at the origin, plus $1$ more on each side.$1$ รากที่จุดกำเนิด บวก $1$ รากเพิ่มในแต่ละข้าง
On $-2\pi\lt x\lt2\pi$, how many asymptotes of $\tan x$ lie strictly between $x=0$ and $x=2\pi$?
ในช่วง $-2\pi\lt x\lt2\pi$ มีเส้นกำกับของ $\tan x$ กี่เส้นที่อยู่ระหว่าง $x=0$ กับ $x=2\pi$
Answershow ▾
$\dfrac{\pi}{2}$ and $\dfrac{3\pi}{2}$ both lie between $0$ and $2\pi$; the next, $\dfrac{5\pi}{2}$, does not.$\dfrac{\pi}{2}$ และ $\dfrac{3\pi}{2}$ อยู่ระหว่าง $0$ กับ $2\pi$ ทั้งคู่ ส่วน $\dfrac{5\pi}{2}$ ที่ถัดไปไม่อยู่
Using $2$ asymptotes passed on each side (rung 6), write the number of roots of $\tan x=\pi x$ on $-2\pi\lt x\lt2\pi$.
ใช้จำนวนเส้นกำกับ $2$ เส้นในแต่ละข้าง (ข้อ 6) จงหาจำนวนรากของ $\tan x=\pi x$ ในช่วง $-2\pi\lt x\lt2\pi$
Answershow ▾
$1$ root at the origin, plus $1$ more on each side, twice.$1$ รากที่จุดกำเนิด บวก $1$ รากเพิ่มในแต่ละข้าง สองครั้ง
Widening from $-\pi\lt x\lt\pi$ ($3$ roots, rung 5) to $-2\pi\lt x\lt2\pi$ adds exactly $1$ new asymptote on each side. Does $3+1+1$ match your rung 7 answer?
เมื่อขยายจาก $-\pi\lt x\lt\pi$ ($3$ ราก ข้อ 5) เป็น $-2\pi\lt x\lt2\pi$ จะมีเส้นกำกับใหม่เพิ่มอีก $1$ เส้น ในแต่ละข้าง $3+1+1$ ตรงกับคำตอบข้อ 7 หรือไม่
Answershow ▾
Each new asymptote passed adds exactly one root, on whichever side it is on.เส้นกำกับใหม่ที่ผ่านแต่ละเส้น เพิ่มรากทีละหนึ่ง ไม่ว่าจะอยู่ข้างไหน
A curve $y=\tan x$ meets the line $y=5x$ through the origin. (a) State the period of $\tan x$. (b) Find the number of roots of $\tan x=5x$ on $-3\pi\lt x\lt3\pi$.
เส้นโค้ง $y=\tan x$ ตัดกับเส้นตรง $y=5x$ ที่ผ่านจุดกำเนิด (ก) จงบอกคาบของ $\tan x$ (ข) จงหาจำนวนรากของ $\tan x=5x$ ในช่วง $-3\pi\lt x\lt3\pi$
Answershow ▾
$3$ asymptotes lie between $0$ and $3\pi$, so roots $=1+2\times3$.มีเส้นกำกับ $3$ เส้นระหว่าง $0$ กับ $3\pi$ จึงได้ราก $=1+2\times3$
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=\tan x$ and the straight line $l$ with equation $y=\pi x$ in the interval $-\pi \lt x \lt \pi$.
(a) State the period of $\tan x$.
(b) Write down the number of roots of the equation
(i) $\tan x = (\pi+2)x$ in the interval $-\pi \lt x \lt \pi$,
(ii) $\tan x = \pi x$ in the interval $-2\pi \lt x \lt 2\pi$,
(iii) $\tan x = \pi x$ in the interval $-100\pi \lt x \lt 100\pi$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งของสมการ $y=\tan x$ และเส้นตรง $l$ ของสมการ $y=\pi x$ ในช่วง $-\pi \lt x \lt \pi$
(ก) จงบอกคาบของ $\tan x$
(ข) จงเขียนจำนวนรากของสมการต่อไปนี้
(i) $\tan x = (\pi+2)x$ ในช่วง $-\pi \lt x \lt \pi$
(ii) $\tan x = \pi x$ ในช่วง $-2\pi \lt x \lt 2\pi$
(iii) $\tan x = \pi x$ ในช่วง $-100\pi \lt x \lt 100\pi$
Answershow ▾
4 marks: B1 for the period, then B1 for each root count as the interval widens by one asymptote each side.4 คะแนน: B1 สำหรับคาบ แล้ว B1 สำหรับจำนวนรากในแต่ละข้อ เมื่อช่วงขยายออกทีละเส้นกำกับในแต่ละข้าง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sine graph, pushed up กราฟไซน์ที่ถูกเลื่อนขึ้น
The diagram shows part of the curve $C_1$ with equation $y=3\sin x$, where $x$ is measured in degrees. The point $P$ and the point $Q$ lie on $C_1$ and are shown in the diagram.
(a) State
(i) the coordinates of $P$,
(ii) the coordinates of $Q$.
(b) A different curve $C_2$ has equation $y=3\sin x+k$, where $k$ is a constant. The curve $C_2$ has a maximum $y$ value of $10$. The point $R$ is the minimum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate. Find the coordinates of $R$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=3\sin x$ โดย $x$ วัดเป็นองศา จุด $P$ และจุด $Q$ อยู่บน $C_1$ ตามที่แสดงในแผนภาพ
(ก) จงบอก
(i) พิกัดของ $P$
(ii) พิกัดของ $Q$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ อีกเส้นหนึ่งของสมการ $y=3\sin x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นโค้ง $C_2$ มีค่า $y$ สูงสุดเท่ากับ $10$ จุด $R$ คือจุดต่ำสุดของ $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหาพิกัดของ $R$
For $0^\circ \leqslant x \leqslant 180^\circ$, solve $3\sin x = 3$.
ถ้า $0^\circ \leqslant x \leqslant 180^\circ$ จงแก้สมการ $3\sin x = 3$
Answershow ▾
$\sin x$ reaches its largest value, $1$, at $x=90^\circ$.$\sin x$ มีค่าสูงสุดคือ $1$ ที่ $x=90^\circ$
For $360^\circ \lt x \leqslant 720^\circ$, solve $3\sin x = 0$ for the smallest such $x$.
ถ้า $360^\circ \lt x \leqslant 720^\circ$ จงแก้สมการ $3\sin x = 0$ โดยหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุด
Answershow ▾
$\sin x=0$ at every multiple of $180^\circ$; the smallest one past $360^\circ$ is $540^\circ$.$\sin x=0$ ที่ทุกจำนวนเท่าของ $180^\circ$ · ค่าที่น้อยที่สุดหลัง $360^\circ$ คือ $540^\circ$
$y=5\sin x$ has maximum value $5$. It is translated upward to make $y=5\sin x+k$, with new maximum value $10$. Find $k$.
$y=5\sin x$ มีค่าสูงสุดเท่ากับ $5$ ถูกเลื่อนขนานขึ้นเป็น $y=5\sin x+k$ โดยมีค่าสูงสุดใหม่เท่ากับ $10$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
The maximum goes up by exactly $k$: $5+k=10$.ค่าสูงสุดเพิ่มขึ้นตาม $k$ พอดี: $5+k=10$
The diagram has no numbers marked on its $x$-axis. $P$ is the first maximum of $C_1$. Pick the right way to find its $x$-coordinate.
(A) Measure the distance to $P$ with a ruler on the sketch.
(B) Solve $3\sin x=3$ for the smallest $x\gt0$.
(C) Assume the maximum is halfway along one period, at $x=180^\circ$.
แผนภาพไม่มีตัวเลขกำกับบนแกน $x$ จุด $P$ คือจุดสูงสุดจุดแรกของ $C_1$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหาพิกัด $x$ ของจุดนี้
(A) วัดระยะไปยัง $P$ ด้วยไม้บรรทัดบนภาพร่าง
(B) แก้สมการ $3\sin x=3$ โดยหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า $0$
(C) สมมติว่าจุดสูงสุดอยู่ที่ครึ่งหนึ่งของคาบ คือ $x=180^\circ$
Answershow ▾
Method (A): a sketch is not drawn to scale. Method (C) is a quarter-period too far, that is where $\sin x$ returns to $0$, not where it peaks.วิธี (A): ภาพร่างไม่ได้วาดตามสัดส่วนจริง · วิธี (C) ไกลเกินไปหนึ่งในสี่ของคาบ ซึ่งเป็นจุดที่ $\sin x$ กลับมาเป็น $0$ ไม่ใช่จุดสูงสุด
Solve $3\sin x=3$ for the smallest $x\gt0$, then write the coordinates of $P$.
แก้สมการ $3\sin x=3$ โดยหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า $0$ แล้วเขียนพิกัดของ $P$
Answershow ▾
$P$ is that maximum point itself: $x=90^\circ$, $y=3$.$P$ คือจุดสูงสุดนั้นเอง: $x=90^\circ$, $y=3$
$Q$ is where $C_1$ next crosses the $x$-axis after $x=360^\circ$. Solve $3\sin x=0$ for the smallest such $x$, then write the coordinates of $Q$.
$Q$ คือจุดที่ $C_1$ ตัดแกน $x$ ถัดไปหลัง $x=360^\circ$ จงแก้สมการ $3\sin x=0$ โดยหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุด แล้วเขียนพิกัดของ $Q$
Answershow ▾
$\sin x=0$ at every multiple of $180^\circ$; the smallest one past $360^\circ$ is $540^\circ$.$\sin x=0$ ที่ทุกจำนวนเท่าของ $180^\circ$ · ค่าที่น้อยที่สุดหลัง $360^\circ$ คือ $540^\circ$
$C_2\colon y=3\sin x+k$ has maximum value $10$. Find $k$.
$C_2\colon y=3\sin x+k$ มีค่าสูงสุดเท่ากับ $10$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
The maximum of $3\sin x$ is $3$, so $3+k=10$.ค่าสูงสุดของ $3\sin x$ คือ $3$ ดังนั้น $3+k=10$
$C_2\colon y=3\sin x+k$ has maximum value $10$. $R$ is the minimum point with the smallest positive $x$. Pick the right first move.
(A) Solve $3\sin x+k=0$ for the smallest $x\gt0$.
(B) Use the maximum value $10$ to find $k$, then evaluate the new minimum value.
(C) Take $k=0$, since $C_2$ would then be the same as $C_1$.
$C_2\colon y=3\sin x+k$ มีค่าสูงสุดเท่ากับ $10$ จุด $R$ คือจุดต่ำสุดที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกน้อยที่สุด จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้อง
(A) แก้สมการ $3\sin x+k=0$ โดยหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า $0$
(B) ใช้ค่าสูงสุด $10$ หาค่า $k$ แล้วคำนวณค่าต่ำสุดใหม่
(C) กำหนดให้ $k=0$ เพราะเช่นนั้น $C_2$ จะเหมือนกับ $C_1$
Answershow ▾
Method (A) finds a zero, not a minimum. Method (C) ignores the given fact that the maximum of $C_2$ is $10$, which $C_1$ does not have.วิธี (A) หาจุดตัดแกน $x$ ไม่ใช่จุดต่ำสุด · วิธี (C) ไม่ใช้ข้อมูลที่กำหนดว่าค่าสูงสุดของ $C_2$ คือ $10$ ซึ่ง $C_1$ ไม่มี
A vertical translation does not move where the maxima and minima sit on the $x$-axis. Write the smallest positive $x$ where $y=3\sin x+7$ has a minimum, and work out that minimum value.
การเลื่อนขนานในแนวตั้งไม่เปลี่ยนตำแหน่งจุดสูงสุด/ต่ำสุดบนแกน $x$ จงเขียนค่า $x$ ที่เป็นบวกน้อยที่สุด ซึ่ง $y=3\sin x+7$ มีค่าต่ำสุด และคำนวณค่าต่ำสุดนั้น
Answershow ▾
$\sin x=-1$ first at $x=270^\circ$; the minimum value is $-3+7$.$\sin x=-1$ ครั้งแรกที่ $x=270^\circ$ · ค่าต่ำสุดคือ $-3+7$
Write the coordinates of $R$, then check by substituting $x=270^\circ$ into $y=3\sin x+7$.
เขียนพิกัดของ $R$ แล้วตรวจคำตอบโดยแทน $x=270^\circ$ ลงใน $y=3\sin x+7$
Answershow ▾
$3\sin270^\circ+7=-3+7=4$, matching the minimum value from question $7$.$3\sin270^\circ+7=-3+7=4$ ตรงกับค่าต่ำสุดจากข้อ $7$
$C_1\colon y=4\sin x$ has first maximum $P$, and crosses the $x$-axis next, after $x=360^\circ$, at $Q$. $C_2\colon y=4\sin x+k$ has maximum value $14$. Find the coordinates of $P$, $Q$, and $R$, the minimum point on $C_2$ with the smallest positive $x$.
$C_1\colon y=4\sin x$ มีจุดสูงสุดจุดแรกคือ $P$ และตัดแกน $x$ ถัดไปหลัง $x=360^\circ$ ที่จุด $Q$ $C_2\colon y=4\sin x+k$ มีค่าสูงสุดเท่ากับ $14$ จงหาพิกัดของ $P$, $Q$ และ $R$ ซึ่งเป็นจุดต่ำสุด ของ $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกน้อยที่สุด
Answershow ▾
Same two facts, new numbers: maximum $4$ at $x=90^\circ$, zero at $x=540^\circ$, and $k=14-4=10$.ข้อเท็จจริงสองข้อเดิม ตัวเลขใหม่: ค่าสูงสุด $4$ ที่ $x=90^\circ$ จุดศูนย์ที่ $x=540^\circ$ และ $k=14-4=10$
The diagram shows part of the curve $C_1$ with equation $y=3\sin x$, where $x$ is measured in degrees. The point $P$ and the point $Q$ lie on $C_1$ and are shown in the diagram.
(a) State
(i) the coordinates of $P$,
(ii) the coordinates of $Q$.
(b) A different curve $C_2$ has equation $y=3\sin x+k$, where $k$ is a constant. The curve $C_2$ has a maximum $y$ value of $10$. The point $R$ is the minimum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate. Find the coordinates of $R$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=3\sin x$ โดย $x$ วัดเป็นองศา จุด $P$ และจุด $Q$ อยู่บน $C_1$ ตามที่แสดงในแผนภาพ
(ก) จงบอก
(i) พิกัดของ $P$
(ii) พิกัดของ $Q$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ อีกเส้นหนึ่งของสมการ $y=3\sin x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นโค้ง $C_2$ มีค่า $y$ สูงสุดเท่ากับ $10$ จุด $R$ คือจุดต่ำสุดของ $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหาพิกัดของ $R$
Answershow ▾
5 marks across two parts: find the maximum and the next zero for $P$ and $Q$, then use the new maximum to get $k$ and the new minimum for $R$.5 คะแนนในสองส่วน: หาจุดสูงสุดและจุดศูนย์ถัดไปสำหรับ $P$ และ $Q$ แล้วใช้ค่าสูงสุดใหม่หา $k$ และหาค่าต่ำสุดใหม่สำหรับ $R$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cosine curve shifted up กราฟ cosine ที่เลื่อนขึ้น
The diagram shows a sketch of part of the curve $C_1$ with equation $y=4\cos x°$. The point $P$ and the point $Q$ lie on $C_1$ and are shown in the diagram.
(a) State
(i) the coordinates of $P$,
(ii) the coordinates of $Q$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=4\cos x°+k$, where $k$ is a constant. Curve $C_2$ has a minimum $y$ value of $-1$. The point $R$ is the maximum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate. Find the coordinates of $R$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=4\cos x°$ จุด $P$ และจุด $Q$ อยู่บน $C_1$ ตามที่แสดงในแผนภาพ
(ก) จงบอก
(i) พิกัดของ $P$
(ii) พิกัดของ $Q$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ มีสมการ $y=4\cos x°+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นโค้ง $C_2$ มีค่า $y$ ต่ำสุดเท่ากับ $-1$ จุด $R$ คือจุดสูงสุดของ $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหาพิกัดของ $R$
$\cos x°$ has minimum $-1$ at $x=\pm180°$. State the value of $4\cos(-180°)$.
$\cos x°$ มีค่าต่ำสุด $-1$ ที่ $x=\pm180°$ จงหาค่า $4\cos(-180°)$
Answershow ▾
The minimum of $\cos x°$ is $-1$, so $4\cos(-180°)=4\times(-1)$.ค่าต่ำสุดของ $\cos x°$ คือ $-1$ ดังนั้น $4\cos(-180°)=4\times(-1)$
$\cos x°$ repeats every $360°$, with zeros at $90°+180°n$. Write $450°$ as an angle between $0°$ and $360°$, then state $4\cos(450°)$.
$\cos x°$ ซ้ำทุก $360°$ และเป็นศูนย์ที่ $90°+180°n$ จงเขียน $450°$ ให้อยู่ระหว่าง $0°$ กับ $360°$ แล้วหาค่า $4\cos(450°)$
Answershow ▾
$450°-360°=90°$, a zero of $\cos$, so $4\cos(450°)=0$.$450°-360°=90°$ เป็นศูนย์ของ $\cos$ ดังนั้น $4\cos(450°)=0$
A curve has minimum value $2$. After it is translated up by $k$, the new minimum is $9$. Find $k$.
เส้นโค้งหนึ่งมีค่าต่ำสุด $2$ หลังเลื่อนขึ้น $k$ ค่าต่ำสุดใหม่เป็น $9$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
A vertical translation adds $k$ to every $y$-value, including the minimum.การเลื่อนในแนวตั้งบวก $k$ เข้ากับค่า $y$ ทุกค่า รวมถึงค่าต่ำสุด
$C_1$: $y=4\cos x°$ has minimum $-4$. $C_2$: $y=4\cos x°+k$ has minimum $-1$. Pick the equation that finds $k$.
(A) $-4+k=-1$
(B) $-4k=-1$
(C) $-4-k=-1$
$C_1$: $y=4\cos x°$ มีค่าต่ำสุด $-4$ · $C_2$: $y=4\cos x°+k$ มีค่าต่ำสุด $-1$ จงเลือกสมการที่หาค่า $k$
(A) $-4+k=-1$
(B) $-4k=-1$
(C) $-4-k=-1$
Answershow ▾
(B) multiplies by $k$, which is a stretch, not a shift. (C) subtracts $k$, reversing the direction of the translation.(B) คูณด้วย $k$ ซึ่งเป็นการยืด ไม่ใช่การเลื่อน · (C) ลบด้วย $k$ ซึ่งกลับทิศของการเลื่อน
Solve $-4+k=-1$ for $k$.
จงแก้สมการ $-4+k=-1$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Add $4$ to both sides.บวก $4$ เข้าทั้งสองข้าง
The maximum of $4\cos x°+k$ is $4+k$. Using $k=3$, state the maximum value of $C_2$.
ค่าสูงสุดของ $4\cos x°+k$ คือ $4+k$ เมื่อ $k=3$ จงหาค่าสูงสุดของ $C_2$
Answershow ▾
The maximum goes up by the same shift $k$ as the minimum.ค่าสูงสุดเลื่อนขึ้นด้วย $k$ ค่าเดียวกับค่าต่ำสุด
The maximum of $C_2$ happens where $\cos x°=1$, at $x=0°,\,360°,\,720°,\dots$ Pick the smallest POSITIVE value of $x$.
(A) $x=0°$
(B) $x=360°$
(C) $x=-360°$
ค่าสูงสุดของ $C_2$ เกิดที่ $\cos x°=1$ คือ $x=0°,\,360°,\,720°,\dots$ จงเลือกค่า $x$ ที่เป็นบวกน้อยที่สุด
(A) $x=0°$
(B) $x=360°$
(C) $x=-360°$
Answershow ▾
(A) $0°$ is neither positive nor negative, so it cannot be the smallest positive value. (C) is negative, the wrong direction from zero.(A) $0°$ ไม่เป็นทั้งบวกและลบ จึงไม่ใช่ค่าบวกน้อยที่สุด · (C) เป็นค่าลบ ผิดทิศจากศูนย์
Write the coordinates of $R$.
จงเขียนพิกัดของ $R$
Answershow ▾
Put the $x$ from the decision above with the maximum from question $5$.นำ $x$ จากข้อตัดสินใจด้านบน มาเขียนคู่กับค่าสูงสุดจากข้อ $5$
Using $4\cos(-180°)=-4$ and $4\cos(450°)=0$, write the coordinates of $P$ and $Q$.
ใช้ $4\cos(-180°)=-4$ และ $4\cos(450°)=0$ จงเขียนพิกัดของ $P$ และ $Q$
Answershow ▾
The $x$-coordinate is the angle, the $y$-coordinate is the value of $4\cos x°$ there.พิกัด $x$ คือมุม พิกัด $y$ คือค่าของ $4\cos x°$ ที่มุมนั้น
Check that $R=(360,7)$ fits $C_2$ by confirming $4\cos(360°)+3=7$.
จงตรวจว่า $R=(360,7)$ เป็นจริงกับ $C_2$ โดยยืนยันว่า $4\cos(360°)+3=7$
Answershow ▾
$360°$ is a full turn from $0°$, so $\cos(360°)=1$ again.$360°$ คือครบหนึ่งรอบจาก $0°$ ดังนั้น $\cos(360°)=1$ อีกครั้ง
A curve $C_1$ is $y=6\cos x°$. Find the $y$-coordinate of (i) the point $P$ on $C_1$ at $x=-180°$, (ii) the point $Q$ on $C_1$ at $x=450°$. (b) A curve $C_2$ is $y=6\cos x°+k$, with minimum $-4$. Find the coordinates of $R$, the maximum point on $C_2$ with the smallest positive $x$.
เส้นโค้ง $C_1$ คือ $y=6\cos x°$ จงหาพิกัด $y$ ของ (i) จุด $P$ บน $C_1$ ที่ $x=-180°$ (ii) จุด $Q$ บน $C_1$ ที่ $x=450°$ (ข) เส้นโค้ง $C_2$ คือ $y=6\cos x°+k$ มีค่าต่ำสุด $-4$ จงหาพิกัดของ $R$ ซึ่งเป็นจุดสูงสุดของ $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกน้อยที่สุด
Answershow ▾
Same five moves, amplitude $6$ instead of $4$.ห้าขั้นเดิม แต่แอมพลิจูดเป็น $6$ แทน $4$
The diagram shows a sketch of part of the curve $C_1$ with equation $y=4\cos x°$. The point $P$ and the point $Q$ lie on $C_1$ and are shown in the diagram.
(a) State
(i) the coordinates of $P$,
(ii) the coordinates of $Q$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=4\cos x°+k$, where $k$ is a constant. Curve $C_2$ has a minimum $y$ value of $-1$. The point $R$ is the maximum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate. Find the coordinates of $R$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=4\cos x°$ จุด $P$ และจุด $Q$ อยู่บน $C_1$ ตามที่แสดงในแผนภาพ
(ก) จงบอก
(i) พิกัดของ $P$
(ii) พิกัดของ $Q$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ มีสมการ $y=4\cos x°+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ เส้นโค้ง $C_2$ มีค่า $y$ ต่ำสุดเท่ากับ $-1$ จุด $R$ คือจุดสูงสุดของ $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหาพิกัดของ $R$
Answershow ▾
5 marks, one for each line: $P$, $Q$, the shift equation, $k$, then $R$ - remember $x=0$ is not positive.5 คะแนน บรรทัดละ 1 คะแนน: $P$ · $Q$ · สมการการเลื่อน · $k$ · แล้ว $R$ - $x=0$ ไม่เป็นบวก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The minimum, then two transformed maxima จุดต่ำสุด แล้วจุดสูงสุดที่แปลงสองแบบ
The diagram shows a plot of part of the curve $C_1$ with equation $y=5\cos x$, with $x$ being measured in degrees. The point $P$, shown in the diagram, is a minimum point on $C_1$.
(a) State the coordinates of $P$.
(b) The point $Q$ lies on a different curve $C_2$. Given that point $Q$ is a maximum point on the curve, and is the maximum point with the smallest $x$ coordinate, $x \gt 0$, find the coordinates of $Q$ when
(i) $C_2$ has equation $y=5\cos x-2$,
(ii) $C_2$ has equation $y=-5\cos x$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=5\cos x$ โดย $x$ วัดเป็นองศา จุด $P$ ที่แสดงไว้เป็นจุดต่ำสุดของ $C_1$
(ก) จงบอกพิกัดของ $P$
(ข) จุด $Q$ อยู่บนเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งคือ $C_2$ กำหนดให้จุด $Q$ เป็นจุดสูงสุด และเป็นจุดสูงสุดที่มีพิกัด $x$ น้อยที่สุด โดย $x \gt 0$ จงหาพิกัดของ $Q$ เมื่อ
(i) $C_2$ มีสมการ $y=5\cos x-2$
(ii) $C_2$ มีสมการ $y=-5\cos x$
Solve $\cos x = -1$ for the smallest positive value of $x$, in degrees.
จงแก้ $\cos x = -1$ หาค่า $x$ บวกที่น้อยที่สุด ในหน่วยองศา
Answershow ▾
Cosine is $-1$ at $180^{\circ}$ on the unit circle.โคไซน์มีค่า $-1$ ที่มุม $180^{\circ}$ บนวงกลมหนึ่งหน่วย
Solve $\cos x = 1$ for the smallest value of $x$ with $x \gt 0$, in degrees.
จงแก้ $\cos x = 1$ หาค่า $x$ ที่น้อยที่สุดโดยที่ $x \gt 0$ ในหน่วยองศา
Answershow ▾
$x=0$ also works, but the question needs $x \gt 0$.$x=0$ ก็เป็นคำตอบ แต่โจทย์ต้องการ $x \gt 0$
A point is at $(a,b)$. The curve through it is translated by $\left(\begin{smallmatrix}0\\-2\end{smallmatrix}\right)$. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(a,b)$ เส้นโค้งที่ผ่านจุดนี้ถูกเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\-2\end{smallmatrix}\right)$ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A translation by $\left(\begin{smallmatrix}0\\-2\end{smallmatrix}\right)$ subtracts $2$ from the $y$-coordinate only.การเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\-2\end{smallmatrix}\right)$ ลบ $2$ ออกจากพิกัด $y$ เท่านั้น
$P$ is a minimum point on $C_1\!:y=5\cos x$. The diagram shows $P$ further along the curve than the first minimum. Pick the correct $x$-coordinate of $P$.
(A) $x=180$
(B) $x=180+360=540$
(C) $x=2\times180=360$
$P$ เป็นจุดต่ำสุดบน $C_1\!:y=5\cos x$ แผนภาพแสดงว่า $P$ อยู่ไกลกว่าจุดต่ำสุดจุดแรก จงเลือกพิกัด $x$ ที่ถูกต้องของ $P$
(A) $x=180$
(B) $x=180+360=540$
(C) $x=2\times180=360$
Answershow ▾
(A) is the first minimum, not the one shown. (C) multiplies the angle by $2$ instead of adding one full period of $360^{\circ}$.(A) เป็นจุดต่ำสุดจุดแรก ไม่ใช่จุดที่แสดงไว้ · (C) คูณมุมด้วย $2$ แทนการบวกคาบเต็ม $360^{\circ}$ เข้าไปหนึ่งคาบ
$C_1$ has equation $y=5\cos x$. Work out $y$ when $x=540$.
$C_1$ มีสมการ $y=5\cos x$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=540$
Answershow ▾
$\cos540^{\circ}=\cos180^{\circ}=-1$, one full period later.$\cos540^{\circ}=\cos180^{\circ}=-1$ ซึ่งอยู่อีกหนึ่งคาบถัดไป
Using $x=540$ and $y=-5$, write the coordinates of $P$.
ใช้ $x=540$ และ $y=-5$ จงเขียนพิกัดของ $P$
Answershow ▾
The $x$-coordinate needed one extra period; the $y$-coordinate just needed the cosine value.พิกัด $x$ ต้องบวกไปอีกหนึ่งคาบ ส่วนพิกัด $y$ แค่ใช้ค่าโคไซน์ที่หาไว้
$C_2$ has equation $y=5\cos x-2$. Write the $x$-coordinate of its first maximum with $x\gt0$.
$C_2$ มีสมการ $y=5\cos x-2$ จงเขียนพิกัด $x$ ของจุดสูงสุดแรกที่ $x\gt0$
Answershow ▾
A translation like question $3$ moves the curve down only; the $x$-coordinate of the maximum is still the one from question $2$.การเลื่อนแบบข้อ $3$ เลื่อนกราฟลงอย่างเดียว พิกัด $x$ ของจุดสูงสุดยังเป็นค่าจากข้อ $2$
$C_2$ has equation $y=-5\cos x$. Pick the first move to find its first maximum with $x\gt0$.
(A) use $x=360$, the same as the last question
(B) find where $\cos x=-1$, since the minus sign turns minima into maxima
(C) solve $-5\cos x=0$
$C_2$ มีสมการ $y=-5\cos x$ จงเลือกขั้นแรกในการหาจุดสูงสุดแรกที่ $x\gt0$
(A) ใช้ $x=360$ เหมือนข้อที่แล้ว
(B) หาจุดที่ $\cos x=-1$ เพราะเครื่องหมายลบทำให้จุดต่ำสุดกลายเป็นจุดสูงสุด
(C) แก้สมการ $-5\cos x=0$
Answershow ▾
(A) assumes nothing changed, but the minus sign is outside $\cos$, not just a shift. (C) finds where the curve crosses the $x$-axis, not its maximum.(A) คิดว่าไม่มีอะไรเปลี่ยน แต่เครื่องหมายลบอยู่นอก $\cos$ ไม่ใช่แค่การเลื่อน · (C) หาจุดที่กราฟตัดแกน $x$ ไม่ใช่จุดสูงสุด
Work out $y=5\cos(360)-2$, then write the coordinates of $Q$ for part (i).
จงหาค่า $y=5\cos(360)-2$ แล้วเขียนพิกัดของ $Q$ สำหรับส่วน (i)
Answershow ▾
$\cos360^{\circ}=1$, so $y=5(1)-2=3$.$\cos360^{\circ}=1$ ดังนั้น $y=5(1)-2=3$
Using the decision step, $x=180$. Work out $y=-5\cos(180)$, then write the coordinates of $Q$ for part (ii).
จากขั้นตัดสินใจ ได้ $x=180$ จงหาค่า $y=-5\cos(180)$ แล้วเขียนพิกัดของ $Q$ สำหรับส่วน (ii)
Answershow ▾
$\cos180^{\circ}=-1$, so $y=-5(-1)=5$.$\cos180^{\circ}=-1$ ดังนั้น $y=-5(-1)=5$
$C_1$ has equation $y=4\cos x$. $M$ is a minimum point on $C_1$, with $x\gt400$. $C_2$ is a different curve. Find the coordinates of $M$, and of the maximum point on $C_2$ with the smallest $x\gt0$, when (i) $C_2=4\cos x+2$, (ii) $C_2=-4\cos x$.
$C_1$ มีสมการ $y=4\cos x$ จุด $M$ เป็นจุดต่ำสุดบน $C_1$ โดยที่ $x\gt400$ ส่วน $C_2$ เป็นเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่ง จงหาพิกัดของ $M$ และพิกัดของจุดสูงสุดบน $C_2$ ที่มีค่า $x$ น้อยที่สุดโดย $x\gt0$ เมื่อ (i) $C_2=4\cos x+2$ (ii) $C_2=-4\cos x$
Answershow ▾
Same three moves: periodicity for $M$, shift keeps $x$, reflection swaps max and min.สามขั้นเดิม: คาบสำหรับ $M$ · เลื่อนโดยไม่เปลี่ยน $x$ · สะท้อนสลับจุดสูงสุดกับจุดต่ำสุด
The diagram shows a plot of part of the curve $C_1$ with equation $y=5\cos x$, with $x$ being measured in degrees. The point $P$, shown in the diagram, is a minimum point on $C_1$.
(a) State the coordinates of $P$.
(b) The point $Q$ lies on a different curve $C_2$. Given that point $Q$ is a maximum point on the curve, and is the maximum point with the smallest $x$ coordinate, $x \gt 0$, find the coordinates of $Q$ when
(i) $C_2$ has equation $y=5\cos x-2$,
(ii) $C_2$ has equation $y=-5\cos x$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=5\cos x$ โดย $x$ วัดเป็นองศา จุด $P$ ที่แสดงไว้เป็นจุดต่ำสุดของ $C_1$
(ก) จงบอกพิกัดของ $P$
(ข) จุด $Q$ อยู่บนเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งคือ $C_2$ กำหนดให้จุด $Q$ เป็นจุดสูงสุด และเป็นจุดสูงสุดที่มีพิกัด $x$ น้อยที่สุด โดย $x \gt 0$ จงหาพิกัดของ $Q$ เมื่อ
(i) $C_2$ มีสมการ $y=5\cos x-2$
(ii) $C_2$ มีสมการ $y=-5\cos x$
Answershow ▾
6 marks: find each $x$ from cosine, then evaluate $y$ on the right curve.6 คะแนน: หาค่า $x$ จากโคไซน์ในแต่ละข้อ แล้วคำนวณ $y$ บนกราฟที่ถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Cosine graph: count the solutions กราฟโคไซน์ นับจำนวนคำตอบ
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=4\cos x$, where $x$ is measured in degrees. The points $P$ and $Q$ lie on the curve and are shown in the diagram.
(a) State the coordinates of $P$.
(b) State the coordinates of $Q$.
(c) State the number of solutions of the equation
(i) $4\cos x=3$ in the interval $0 \lt x \le 18\,000°$,
(ii) $5+4\cos x=1$ in the interval $-720° \lt x \le 720°$,
(iii) $4\cos x-3=1$ in the interval $-1080° \le x \le 1080°$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งบางส่วนของสมการ $y=4\cos x$ โดย $x$ วัดเป็นองศา จุด $P$ และจุด $Q$ อยู่บนเส้นโค้งตามที่แสดงในแผนภาพ
(ก) จงบอกพิกัดของ $P$
(ข) จงบอกพิกัดของ $Q$
(ค) จงบอกจำนวนคำตอบของสมการต่อไปนี้
(i) $4\cos x=3$ ในช่วง $0 \lt x \le 18\,000°$
(ii) $5+4\cos x=1$ ในช่วง $-720° \lt x \le 720°$
(iii) $4\cos x-3=1$ ในช่วง $-1080° \le x \le 1080°$
Work out $4\cos(270^{\circ})$.
จงหาค่า $4\cos(270^{\circ})$
Answershow ▾
$\cos(270^{\circ})=0$.$\cos(270^{\circ})=0$
Work out $4\cos(-180^{\circ})$.
จงหาค่า $4\cos(-180^{\circ})$
Answershow ▾
$\cos(-180^{\circ})=-1$, the minimum of the curve.$\cos(-180^{\circ})=-1$ ซึ่งเป็นค่าต่ำสุดของเส้นโค้ง
How many solutions does $\cos x=\dfrac34$ have for $0^{\circ}\leqslant x\lt360^{\circ}$?
$\cos x=\dfrac34$ มีคำตอบกี่ค่า สำหรับ $0^{\circ}\leqslant x\lt360^{\circ}$
Answershow ▾
A value strictly between $-1$ and $1$ gives two mirror solutions every period.ค่าที่อยู่ระหว่าง $-1$ กับ $1$ จริง ๆ ให้คำตอบคู่กระจกสองค่าในทุกคาบ
On $y=4\cos x$, the diagram places $P$ at $x=270^{\circ}$. Using warm-up $1$, write the coordinates of $P$.
บน $y=4\cos x$ แผนภาพวางจุด $P$ ไว้ที่ $x=270^{\circ}$ โดยใช้ข้อฝึกหัด $1$ จงเขียนพิกัดของ $P$
Answershow ▾
$x$ comes from the diagram; $y=4\cos(270^{\circ})$ is warm-up $1$.$x$ มาจากแผนภาพ ส่วน $y=4\cos(270^{\circ})$ คือข้อฝึกหัด $1$
On $y=4\cos x$, the diagram places $Q$ at $x=-180^{\circ}$. Using warm-up $2$, write the coordinates of $Q$.
บน $y=4\cos x$ แผนภาพวางจุด $Q$ ไว้ที่ $x=-180^{\circ}$ โดยใช้ข้อฝึกหัด $2$ จงเขียนพิกัดของ $Q$
Answershow ▾
$x$ comes from the diagram; $y=4\cos(-180^{\circ})$ is warm-up $2$.$x$ มาจากแผนภาพ ส่วน $y=4\cos(-180^{\circ})$ คือข้อฝึกหัด $2$
How many solutions does $4\cos x=3$ have in $0^{\circ}\lt x\leqslant18\,000^{\circ}$?
$4\cos x=3$ มีคำตอบกี่ค่า ในช่วง $0^{\circ}\lt x\leqslant18\,000^{\circ}$
Answershow ▾
$18\,000^{\circ}\div360^{\circ}=50$ periods, and warm-up $3$ gives $2$ solutions in each.$18\,000^{\circ}\div360^{\circ}=50$ คาบ และข้อฝึกหัด $3$ ให้คำตอบ $2$ ค่าในแต่ละคาบ
In (c)(i), $\cos x=\dfrac34$ gave $2$ solutions per $360^{\circ}$. For (c)(ii), $5+4\cos x=1$ becomes $\cos x=-1$. How many solutions does $\cos x=-1$ give per $360^{\circ}$?
(A) $2$, the same rule as (i)
(B) $1$, because $-1$ is the single lowest point of the curve
(C) $0$, because $-1$ is outside the range of $\cos x$
ใน (c)(i) $\cos x=\dfrac34$ ให้คำตอบ $2$ ค่าต่อ $360^{\circ}$ สำหรับ (c)(ii) $5+4\cos x=1$ กลายเป็น $\cos x=-1$ สมการนี้ให้คำตอบกี่ค่าต่อ $360^{\circ}$
(A) $2$ กฎเดียวกับ (i)
(B) $1$ เพราะ $-1$ คือจุดต่ำสุดจุดเดียวของเส้นโค้ง
(C) $0$ เพราะ $-1$ อยู่นอกพิสัยของ $\cos x$
Answershow ▾
(A) only holds strictly between $-1$ and $1$; at the exact minimum the two mirror solutions merge into one. (C) is wrong: $\cos x=-1$ is the bottom of the range, not outside it.(A) ใช้ได้เฉพาะเมื่อค่าอยู่ระหว่าง $-1$ กับ $1$ จริง ๆ แต่ที่ค่าต่ำสุดพอดี คำตอบคู่กระจกสองค่ารวมเป็นค่าเดียว · (C) ผิด เพราะ $\cos x=-1$ คือปลายสุดของพิสัย ไม่ใช่นอกพิสัย
How many solutions does $5+4\cos x=1$ have in $-720^{\circ}\lt x\leqslant720^{\circ}$?
$5+4\cos x=1$ มีคำตอบกี่ค่า ในช่วง $-720^{\circ}\lt x\leqslant720^{\circ}$
Answershow ▾
$\cos x=-1$ gives $1$ solution per period (the D step); $1440^{\circ}\div360^{\circ}=4$ periods.$\cos x=-1$ ให้คำตอบ $1$ ค่าต่อคาบ (ขั้นตัดสินใจ) และ $1440^{\circ}\div360^{\circ}=4$ คาบ
In (ii) the interval $-720^{\circ}\lt x\leqslant720^{\circ}$ had no solution sitting on either endpoint. In (iii) the interval is $-1080^{\circ}\leqslant x\leqslant1080^{\circ}$, and $\cos(\pm1080^{\circ})=1$ really is a solution of $\cos x=1$. What do you do?
(A) ignore the endpoints, like in (ii)
(B) check each endpoint against the equation, and count it because $\leqslant$ includes it
(C) always drop one endpoint to avoid double counting
ใน (ii) ช่วง $-720^{\circ}\lt x\leqslant720^{\circ}$ ไม่มีคำตอบอยู่ที่ปลายช่วงเลย ส่วนใน (iii) ช่วงคือ $-1080^{\circ}\leqslant x\leqslant1080^{\circ}$ และ $\cos(\pm1080^{\circ})=1$ เป็นคำตอบจริงของ $\cos x=1$ จะทำอย่างไร
(A) ไม่สนใจปลายช่วง เหมือน (ii)
(B) ตรวจปลายช่วงแต่ละด้านกับสมการ แล้วนับเพราะ $\leqslant$ รวมปลายช่วงด้วย
(C) ตัดปลายช่วงด้านหนึ่งออกเสมอ เพื่อไม่ให้นับซ้ำ
Answershow ▾
$\leqslant$ is not decorative: $x=\pm1080^{\circ}$ really do satisfy $\cos x=1$, so both count. (A) copies the rule from (ii), where the endpoints happened not to be solutions.$\leqslant$ ไม่ใช่สัญลักษณ์ประดับ $x=\pm1080^{\circ}$ สอดคล้องกับ $\cos x=1$ จริง จึงนับทั้งคู่ · (A) ลอกกฎจาก (ii) ซึ่งปลายช่วงบังเอิญไม่ใช่คำตอบ
How many solutions does $4\cos x-3=1$ have in $-1080^{\circ}\leqslant x\leqslant1080^{\circ}$?
$4\cos x-3=1$ มีคำตอบกี่ค่า ในช่วง $-1080^{\circ}\leqslant x\leqslant1080^{\circ}$
Answershow ▾
$\cos x=1$ at every multiple of $360^{\circ}$; the D step counts both endpoints in.$\cos x=1$ ที่ทุกจำนวนเท่าของ $360^{\circ}$ และขั้นตัดสินใจนับปลายช่วงทั้งสองเข้าด้วย
A curve has equation $y=2\cos x$. $P$ is at $x=90^{\circ}$ and $Q$ is at $x=180^{\circ}$.
(a) State the coordinates of $P$.
(b) State the coordinates of $Q$.
(c) State the number of solutions of the equation
(i) $2\cos x=1$ in $0^{\circ}\lt x\leqslant3600^{\circ}$,
(ii) $5+2\cos x=3$ in $-360^{\circ}\lt x\leqslant1080^{\circ}$,
(iii) $2\cos x-2=0$ in $-720^{\circ}\leqslant x\leqslant720^{\circ}$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=2\cos x$ จุด $P$ อยู่ที่ $x=90^{\circ}$ และจุด $Q$ อยู่ที่ $x=180^{\circ}$
(a) จงบอกพิกัดของ $P$
(b) จงบอกพิกัดของ $Q$
(c) จงบอกจำนวนคำตอบของสมการต่อไปนี้
(i) $2\cos x=1$ ในช่วง $0^{\circ}\lt x\leqslant3600^{\circ}$
(ii) $5+2\cos x=3$ ในช่วง $-360^{\circ}\lt x\leqslant1080^{\circ}$
(iii) $2\cos x-2=0$ ในช่วง $-720^{\circ}\leqslant x\leqslant720^{\circ}$
Answershow ▾
Same five moves as the exam question, same numbers scaled down: amplitude $2$ instead of $4$.ห้าขั้นเดิมของข้อสอบจริง แต่ลดตัวเลขลง: แอมพลิจูด $2$ แทน $4$
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=4\cos x$, where $x$ is measured in degrees. The points $P$ and $Q$ lie on the curve and are shown in the diagram.
(a) State the coordinates of $P$.
(b) State the coordinates of $Q$.
(c) State the number of solutions of the equation
(i) $4\cos x=3$ in the interval $0 \lt x \le 18\,000°$,
(ii) $5+4\cos x=1$ in the interval $-720° \lt x \le 720°$,
(iii) $4\cos x-3=1$ in the interval $-1080° \le x \le 1080°$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งบางส่วนของสมการ $y=4\cos x$ โดย $x$ วัดเป็นองศา จุด $P$ และจุด $Q$ อยู่บนเส้นโค้งตามที่แสดงในแผนภาพ
(ก) จงบอกพิกัดของ $P$
(ข) จงบอกพิกัดของ $Q$
(ค) จงบอกจำนวนคำตอบของสมการต่อไปนี้
(i) $4\cos x=3$ ในช่วง $0 \lt x \le 18\,000°$
(ii) $5+4\cos x=1$ ในช่วง $-720° \lt x \le 720°$
(iii) $4\cos x-3=1$ ในช่วง $-1080° \le x \le 1080°$
Answershow ▾
6 marks: $1$ for $P$, $2$ for $Q$, $1$ each for the three counts in part (c).6 คะแนน: $1$ คะแนนสำหรับ $P$ · $2$ คะแนนสำหรับ $Q$ · ส่วน (c) ข้อละ $1$ คะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Chasing a turning point through shifts ตามรอยจุดวกกลับผ่านการเลื่อนกราฟ
The diagram shows a sketch of part of the curve $C_1$ with equation $y=12\sin x$, where $x$ is measured in radians. The point $P$ shown is a maximum point on $C_1$.
(a) Find the coordinates of $P$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=12\sin x+k$, where $k$ is a constant. Given that the maximum value of $y$ on $C_2$ is $3$, find the coordinates of the minimum point on $C_2$ which has the smallest positive $x$ coordinate.
(c) The curve $C_3$ has equation $y=12\sin(x+B)$, where $B$ is a positive constant. Given that $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$, where $A$ is a constant, is the minimum point on $C_3$ which has the smallest positive $x$ coordinate, find
(i) the value of $A$,
(ii) the smallest possible value of $B$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=12\sin x$ โดย $x$ วัดเป็นเรเดียน จุด $P$ ที่แสดงไว้เป็นจุดสูงสุดของ $C_1$
(ก) จงหาพิกัดของ $P$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ มีสมการ $y=12\sin x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ค่า $y$ สูงสุดบน $C_2$ เท่ากับ $3$ จงหาพิกัดของจุดต่ำสุดบน $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด
(ค) เส้นโค้ง $C_3$ มีสมการ $y=12\sin(x+B)$ เมื่อ $B$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก กำหนดให้ $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ เมื่อ $A$ เป็นค่าคงที่ เป็นจุดต่ำสุดบน $C_3$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหา
(i) ค่าของ $A$
(ii) ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $B$
Write the maximum value of $\sin x$, and the smallest positive value of $x$ at which it happens.
จงเขียนค่าสูงสุดของ $\sin x$ และค่า $x$ ที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดนั้น
Answershow ▾
The sine graph reaches its highest point, $1$, a quarter of the way through each full turn.กราฟไซน์ขึ้นถึงจุดสูงสุด $1$ ที่หนึ่งในสี่ของรอบ
Write the minimum value of $\sin x$, and the smallest positive value of $x$ at which it happens.
จงเขียนค่าต่ำสุดของ $\sin x$ และค่า $x$ ที่เป็นบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุดนั้น
Answershow ▾
The sine graph reaches its lowest point, $-1$, three quarters of the way through each full turn.กราฟไซน์ลงถึงจุดต่ำสุด $-1$ ที่สามในสี่ของรอบ
A curve has maximum value $12$. Every point on the curve is shifted up by $k$ (so $y$ becomes $y+k$). Write the new maximum value.
เส้นโค้งหนึ่งมีค่าสูงสุดเท่ากับ $12$ ทุกจุดบนเส้นโค้งถูกเลื่อนขึ้น $k$ หน่วย (คือ $y$ กลายเป็น $y+k$) จงเขียนค่าสูงสุดใหม่
Answershow ▾
Shifting every point up by $k$ adds $k$ to every $y$-value, including the maximum.การเลื่อนทุกจุดขึ้น $k$ หน่วย ทำให้ค่า $y$ ทุกค่าเพิ่มขึ้น $k$ รวมถึงค่าสูงสุดด้วย
The diagram shows $C_1\!:y=12\sin x$, with $P$ its maximum point. Find the coordinates of $P$.
แผนภาพแสดง $C_1\!:y=12\sin x$ โดย $P$ เป็นจุดสูงสุด จงหาพิกัดของ $P$
Answershow ▾
Use question $1$: $\sin x=1$ at $x=\dfrac{\pi}{2}$, so $y=12\times1$.ใช้ข้อ $1$: $\sin x=1$ ที่ $x=\dfrac{\pi}{2}$ ดังนั้น $y=12\times1$
$C_2$ has equation $y=12\sin x+k$, and its maximum value is $3$. Pick the first move to find $k$.
(A) $12+k=3$
(B) $12-k=3$
(C) $12k=3$
$C_2$ มีสมการ $y=12\sin x+k$ และมีค่าสูงสุดเท่ากับ $3$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหาค่า $k$
(A) $12+k=3$
(B) $12-k=3$
(C) $12k=3$
Answershow ▾
$k$ is added to the whole curve (question $3$), so the maximum $12$ plus $k$ gives $3$. (B) subtracts $k$ instead of adding it. (C) multiplies by $k$, treating the shift as a stretch.$k$ ถูกบวกเข้ากับเส้นโค้งทั้งหมด (ข้อ $3$) ดังนั้นค่าสูงสุด $12$ บวก $k$ จึงเท่ากับ $3$ · (B) ลบ $k$ แทนการบวก · (C) คูณด้วย $k$ เสมือนเป็นการยืดกราฟ
The curve $C_2$ has equation $y=12\sin x+k$. Given its maximum value is $3$, find the coordinates of the minimum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate.
เส้นโค้ง $C_2$ มีสมการ $y=12\sin x+k$ กำหนดให้ค่าสูงสุดเท่ากับ $3$ จงหาพิกัดของจุดต่ำสุดบน $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด
Answershow ▾
Find $k$ from the maximum first; the minimum value is $-12+k$, and question $2$ gives its $x$-coordinate.หาค่า $k$ จากค่าสูงสุดก่อน ค่าต่ำสุดคือ $-12+k$ และข้อ $2$ ให้พิกัด $x$
The curve $C_3$ has equation $y=12\sin(x+B)$. A shift inside the bracket moves the curve sideways only - the height of the curve is unchanged. Write the minimum value of $y$ on $C_3$, which is the value $A$.
เส้นโค้ง $C_3$ มีสมการ $y=12\sin(x+B)$ การเลื่อนภายในวงเล็บเลื่อนกราฟไปด้านข้างเท่านั้น ความสูงของกราฟไม่เปลี่ยน จงเขียนค่าต่ำสุดของ $y$ บน $C_3$ ซึ่งคือค่า $A$
Answershow ▾
Use question $2$: $\sin$ still reaches $-1$, so the minimum value stays $12\times(-1)$.ใช้ข้อ $2$: $\sin$ ยังมีค่าต่ำสุด $-1$ ดังนั้นค่าต่ำสุดยังเป็น $12\times(-1)$
$\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ is the minimum point on $C_3$ with the smallest positive $x$ coordinate. Pick the equation that finds $B$.
(A) $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{3\pi}{2}$
(B) $\dfrac{\pi}{4}-B=\dfrac{3\pi}{2}$
(C) $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{\pi}{2}$
$\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ เป็นจุดต่ำสุดบน $C_3$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงเลือกสมการที่ใช้หาค่า $B$
(A) $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{3\pi}{2}$
(B) $\dfrac{\pi}{4}-B=\dfrac{3\pi}{2}$
(C) $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
$x+B$ must equal the minimum location from question $2$, $\dfrac{3\pi}{2}$. (B) subtracts $B$ instead of adding it inside the bracket. (C) uses $\dfrac{\pi}{2}$, the maximum location from question $1$, not the minimum.$x+B$ ต้องเท่ากับตำแหน่งจุดต่ำสุดจากข้อ $2$ คือ $\dfrac{3\pi}{2}$ · (B) ลบ $B$ แทนการบวกภายในวงเล็บ · (C) ใช้ $\dfrac{\pi}{2}$ ซึ่งเป็นตำแหน่งจุดสูงสุดจากข้อ $1$ ไม่ใช่จุดต่ำสุด
Solve $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{3\pi}{2}$ for the smallest positive value of $B$.
จงแก้สมการ $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{3\pi}{2}$ เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $B$
Answershow ▾
Subtract $\dfrac{\pi}{4}$ from both sides.ลบ $\dfrac{\pi}{4}$ ออกจากทั้งสองข้าง
Check your value of $B$: does $\dfrac{\pi}{4}+B$ equal $\dfrac{3\pi}{2}$ when $B=\dfrac{5\pi}{4}$?
จงตรวจค่า $B$: $\dfrac{\pi}{4}+B$ เท่ากับ $\dfrac{3\pi}{2}$ หรือไม่ เมื่อ $B=\dfrac{5\pi}{4}$
Answershow ▾
Putting $B$ back into the equation should give the minimum location already known from question $2$.แทนค่า $B$ กลับในสมการ ควรได้ตำแหน่งจุดต่ำสุดเดียวกับที่รู้แล้วจากข้อ $2$
A curve $C_1$ has equation $y=10\sin x$, with maximum point $P$.
(a) Find the coordinates of $P$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=10\sin x+k$. Given the maximum value of $y$ on $C_2$ is $2$, find the coordinates of the minimum point on $C_2$ with the smallest positive $x$ coordinate.
(c) The curve $C_3$ has equation $y=10\sin(x+B)$, where $B$ is a positive constant. Given that $\left(\dfrac{\pi}{3},A\right)$ is the minimum point on $C_3$ with the smallest positive $x$ coordinate, find (i) the value of $A$, (ii) the smallest possible value of $B$.
เส้นโค้ง $C_1$ มีสมการ $y=10\sin x$ มีจุดสูงสุด $P$
(ก) จงหาพิกัดของ $P$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ มีสมการ $y=10\sin x+k$ กำหนดให้ค่าสูงสุดของ $y$ บน $C_2$ เท่ากับ $2$ จงหาพิกัดของจุดต่ำสุดบน $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด
(ค) เส้นโค้ง $C_3$ มีสมการ $y=10\sin(x+B)$ เมื่อ $B$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก กำหนดให้ $\left(\dfrac{\pi}{3},A\right)$ เป็นจุดต่ำสุดบน $C_3$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหา (i) ค่าของ $A$ (ii) ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $B$
Answershow ▾
Same three moves: use question $1$ for $P$, find $k$ from the new maximum for the minimum point, then solve for $B$ as in question $7$.สามขั้นเดิม: ใช้ข้อ $1$ หา $P$ หาค่า $k$ จากค่าสูงสุดใหม่เพื่อหาจุดต่ำสุด แล้วแก้หา $B$ แบบข้อ $7$
The diagram shows a sketch of part of the curve $C_1$ with equation $y=12\sin x$, where $x$ is measured in radians. The point $P$ shown is a maximum point on $C_1$.
(a) Find the coordinates of $P$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=12\sin x+k$, where $k$ is a constant. Given that the maximum value of $y$ on $C_2$ is $3$, find the coordinates of the minimum point on $C_2$ which has the smallest positive $x$ coordinate.
(c) The curve $C_3$ has equation $y=12\sin(x+B)$, where $B$ is a positive constant. Given that $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$, where $A$ is a constant, is the minimum point on $C_3$ which has the smallest positive $x$ coordinate, find
(i) the value of $A$,
(ii) the smallest possible value of $B$.
แผนภาพแสดงเส้นโค้ง $C_1$ บางส่วนของสมการ $y=12\sin x$ โดย $x$ วัดเป็นเรเดียน จุด $P$ ที่แสดงไว้เป็นจุดสูงสุดของ $C_1$
(ก) จงหาพิกัดของ $P$
(ข) เส้นโค้ง $C_2$ มีสมการ $y=12\sin x+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ค่า $y$ สูงสุดบน $C_2$ เท่ากับ $3$ จงหาพิกัดของจุดต่ำสุดบน $C_2$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด
(ค) เส้นโค้ง $C_3$ มีสมการ $y=12\sin(x+B)$ เมื่อ $B$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก กำหนดให้ $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ เมื่อ $A$ เป็นค่าคงที่ เป็นจุดต่ำสุดบน $C_3$ ที่มีพิกัด $x$ เป็นบวกที่น้อยที่สุด จงหา
(i) ค่าของ $A$
(ii) ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $B$
Answershow ▾
6 marks: locate $P$ on $C_1$, use the new maximum to find $k$ and the minimum of $C_2$, then solve for $B$ from where the minimum of $C_3$ sits.6 คะแนน: หาตำแหน่ง $P$ บน $C_1$ ใช้ค่าสูงสุดใหม่หาค่า $k$ และจุดต่ำสุดของ $C_2$ แล้วแก้หาค่า $B$ จากตำแหน่งจุดต่ำสุดของ $C_3$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Sine symmetry, then solve by halving สมมาตรไซน์ แล้วแก้ด้วยการหารครึ่ง
The diagram shows part of the graph of the curve with equation $y=\sin x$. Given that $\sin\alpha = p$, where $0 \lt \alpha \lt 90°$.
(a) State, in terms of $p$, the value of
(i) $2\sin(180°-\alpha)$,
(ii) $\sin(\alpha-180°)$,
(iii) $3+\sin(180°+\alpha)$.
(b) On a copy of the diagram, sketch the graph of $y=\sin 2x$.
(c) Hence find, in terms of $\alpha$, the $x$ coordinates of any points in the interval $0 \lt x \lt 180°$ where $\sin 2x=p$.
แผนภาพแสดงกราฟ $y=\sin x$ บางส่วน กำหนดให้ $\sin\alpha = p$ เมื่อ $0 \lt \alpha \lt 90°$
(ก) จงบอกค่าต่อไปนี้ในรูปของ $p$
(i) $2\sin(180°-\alpha)$
(ii) $\sin(\alpha-180°)$
(iii) $3+\sin(180°+\alpha)$
(ข) บนสำเนาของแผนภาพ จงวาดกราฟของ $y=\sin 2x$
(ค) จากข้อ (b) หรือวิธีอื่น จงหาพิกัด $x$ ในรูปของ $\alpha$ ของจุดในช่วง $0 \lt x \lt 180°$ ที่ $\sin 2x=p$
Given $\sin30°=\tfrac12$, work out $2\sin(180°-30°)$.
กำหนด $\sin30°=\tfrac12$ จงหาค่า $2\sin(180°-30°)$
Answershow ▾
$180°-30°=150°$ is the mirror angle of $30°$, so $\sin150°=\sin30°$.$180°-30°=150°$ เป็นมุมสมมาตรของ $30°$ ดังนั้น $\sin150°=\sin30°$
Given $\sin30°=\tfrac12$, work out $\sin(30°-180°)$.
กำหนด $\sin30°=\tfrac12$ จงหาค่า $\sin(30°-180°)$
Answershow ▾
$30°-180°$ is a half turn from $30°$, so the sine flips sign.$30°-180°$ คือการหมุนครึ่งรอบจาก $30°$ ค่า sine จึงเปลี่ยนเครื่องหมาย
Given $\sin30°=\tfrac12$, work out $3+\sin(180°+30°)$.
กำหนด $\sin30°=\tfrac12$ จงหาค่า $3+\sin(180°+30°)$
Answershow ▾
$180°+30°$ is also a half turn from $30°$, so $\sin(180°+30°)=-\sin30°$ too.$180°+30°$ ก็เป็นการหมุนครึ่งรอบจาก $30°$ เช่นกัน ดังนั้น $\sin(180°+30°)=-\sin30°$ ด้วย
$\sin\alpha=p$. Which identity gives $\sin(\alpha-180°)$?
(A) $\sin(\alpha-180°)=\sin(180°-\alpha)$
(B) $\sin(\alpha-180°)=-\sin\alpha$
(C) $\sin(\alpha-180°)=\cos\alpha$
$\sin\alpha=p$ เอกลักษณ์ใดให้ $\sin(\alpha-180°)$?
(A) $\sin(\alpha-180°)=\sin(180°-\alpha)$
(B) $\sin(\alpha-180°)=-\sin\alpha$
(C) $\sin(\alpha-180°)=\cos\alpha$
Answershow ▾
(A) treats $\alpha-180°$ as the mirror angle $180°-\alpha$ - they differ by a half turn, not a mirror, so the sign is wrong. (C) swaps sine for cosine with no reason.(A) ถือว่า $\alpha-180°$ เป็นมุมสมมาตร $180°-\alpha$ ซึ่งผิด เพราะทั้งสองต่างกันด้วยการหมุนครึ่งรอบ ไม่ใช่มุมสมมาตร เครื่องหมายจึงผิด · (C) สลับ sine เป็น cosine โดยไม่มีเหตุผล
Given $\sin\alpha=p$, state $2\sin(180°-\alpha)$ in terms of $p$.
กำหนด $\sin\alpha=p$ จงบอกค่า $2\sin(180°-\alpha)$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
The mirror identity from the warm-up: $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$.เอกลักษณ์มุมสมมาตรจากข้อฝึกหัด: $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$
State $\sin(\alpha-180°)$ in terms of $p$.
จงบอกค่า $\sin(\alpha-180°)$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
The decision step: the half-turn identity gives $\sin(\alpha-180°)=-\sin\alpha$.ขั้นตัดสินใจ: เอกลักษณ์การหมุนครึ่งรอบให้ $\sin(\alpha-180°)=-\sin\alpha$
State $3+\sin(180°+\alpha)$ in terms of $p$.
จงบอกค่า $3+\sin(180°+\alpha)$ ในรูปของ $p$
Answershow ▾
$180°+\alpha$ is the same half turn as $\alpha-180°$, so $\sin(180°+\alpha)=-\sin\alpha$.$180°+\alpha$ เป็นการหมุนครึ่งรอบแบบเดียวกับ $\alpha-180°$ ดังนั้น $\sin(180°+\alpha)=-\sin\alpha$
$y=\sin x$ is drawn for $0°\leqslant x\leqslant360°$. What does the graph of $y=\sin2x$ do, compared to $y=\sin x$?
(A) stretches away from the $y$-axis, period doubles
(B) squashes towards the $y$-axis, period halves
(C) shifts sideways, same period
$y=\sin x$ ถูกวาดสำหรับ $0°\leqslant x\leqslant360°$ กราฟ $y=\sin2x$ เทียบกับ $y=\sin x$ เป็นอย่างไร?
(A) ยืดออกจากแกน $y$ คาบเพิ่มเป็นสองเท่า
(B) บีบเข้าหาแกน $y$ คาบลดลงครึ่งหนึ่ง
(C) เลื่อนไปด้านข้าง คาบเท่าเดิม
Answershow ▾
(A) describes $\sin\tfrac{x}{2}$, where the input is divided, not multiplied. (C) describes a shift, such as $\sin(x+90°)$, which moves sideways, not inward.(A) คืออาการของ $\sin\tfrac{x}{2}$ ที่หารตัวแปรเข้า ไม่ใช่คูณ · (C) คืออาการของการเลื่อน เช่น $\sin(x+90°)$ ซึ่งเลื่อนด้านข้าง ไม่ใช่บีบเข้า
$y=\sin2x$ has the same shape as $y=\sin x$, only squashed. State its period, and the smallest positive $x$ where $y=\sin2x$ first returns to $0$.
$y=\sin2x$ มีรูปทรงเหมือน $y=\sin x$ เพียงแค่ถูกบีบ จงบอกคาบของมัน และค่า $x$ ที่เป็นบวกน้อยที่สุด ที่ $y=\sin2x$ กลับมาเป็น $0$ อีกครั้ง
Answershow ▾
Half the period of $\sin x$, so the first zero after the origin is also half of $180°$.เป็นครึ่งหนึ่งของคาบ $\sin x$ ดังนั้นศูนย์แรกหลังจุดกำเนิดก็เป็นครึ่งหนึ่งของ $180°$
Hence find, in terms of $\alpha$, the values of $x$ in $0 \lt x \lt 180°$ where $\sin2x=p$.
จากข้อ (b) จงหาค่า $x$ ในรูปของ $\alpha$ ในช่วง $0 \lt x \lt 180°$ ที่ $\sin2x=p$
Answershow ▾
$0 \lt x \lt 180°$ means $0 \lt 2x \lt 360°$, a full turn, so $2x$ has two solutions: $\alpha$ and the mirror angle $180°-\alpha$.$0 \lt x \lt 180°$ หมายความว่า $0 \lt 2x \lt 360°$ ครบหนึ่งรอบ ดังนั้น $2x$ มีสองคำตอบคือ $\alpha$ และมุมสมมาตร $180°-\alpha$
$\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$. State (i) $2\sin(180°-60°)$, (ii) $\sin(60°-180°)$, (iii) $3+\sin(180°+60°)$. Hence find the values of $x$ in $0 \lt x \lt 180°$ where $\sin2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
$\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$ จงบอกค่า (i) $2\sin(180°-60°)$ (ii) $\sin(60°-180°)$ (iii) $3+\sin(180°+60°)$ แล้วหาค่า $x$ ในช่วง $0 \lt x \lt 180°$ ที่ $\sin2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Answershow ▾
Same three identities and the same mirror-pair method, now with $\alpha=60°$ instead of a letter.เอกลักษณ์สามตัวและวิธีคู่มุมสมมาตรแบบเดิม แต่ใช้ $\alpha=60°$ แทนตัวแปร
The diagram shows part of the graph of the curve with equation $y=\sin x$. Given that $\sin\alpha = p$, where $0 \lt \alpha \lt 90°$.
(a) State, in terms of $p$, the value of
(i) $2\sin(180°-\alpha)$,
(ii) $\sin(\alpha-180°)$,
(iii) $3+\sin(180°+\alpha)$.
(b) On a copy of the diagram, sketch the graph of $y=\sin 2x$.
(c) Hence find, in terms of $\alpha$, the $x$ coordinates of any points in the interval $0 \lt x \lt 180°$ where $\sin 2x=p$.
แผนภาพแสดงกราฟ $y=\sin x$ บางส่วน กำหนดให้ $\sin\alpha = p$ เมื่อ $0 \lt \alpha \lt 90°$
(ก) จงบอกค่าต่อไปนี้ในรูปของ $p$
(i) $2\sin(180°-\alpha)$
(ii) $\sin(\alpha-180°)$
(iii) $3+\sin(180°+\alpha)$
(ข) บนสำเนาของแผนภาพ จงวาดกราฟของ $y=\sin 2x$
(ค) จากข้อ (b) หรือวิธีอื่น จงหาพิกัด $x$ ในรูปของ $\alpha$ ของจุดในช่วง $0 \lt x \lt 180°$ ที่ $\sin 2x=p$
Answershow ▾
8 marks: three B1 for the identities, M1 A1 for the sketch, then B1 for one solution directly and M1 A1 for the mirror-pair second solution.8 คะแนน: สาม B1 สำหรับเอกลักษณ์ M1 A1 สำหรับภาพวาด แล้ว B1 สำหรับคำตอบแรกตรง ๆ และ M1 A1 สำหรับคำตอบที่สองจากคู่มุมสมมาตร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two trig graphs, shifted กราฟตรีโกณสองเส้น ที่เลื่อนตำแหน่ง
(i) The diagram shows part of the graph of the trigonometric function with equation $y=f(x)$.
(i)(a) Write down an expression for $f(x)$.
(i)(b) On a separate diagram, sketch, for $-2\pi \lt x \lt 2\pi$, the graph of the curve with equation $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Show clearly the coordinates of all the points where the curve intersects the coordinate axes.
(ii)(a) The diagram shows part of the graph of the trigonometric function with equation $y=g(x)$. Write down an expression for $g(x)$.
(ii)(b) On a separate diagram, sketch, for $-2\pi \lt x \lt 2\pi$, the graph of the curve with equation $y=g(x)-2$. Show clearly the coordinates of the $y$-intercept.
(i) แผนภาพแสดงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณ (trigonometric function) $y=f(x)$ บางส่วน
(i)(a) จงเขียนนิพจน์ (expression) ของ $f(x)$
(i)(b) บนแผนภาพแยกต่างหาก จงวาดกราฟของสมการ $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ สำหรับ $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ แสดงพิกัดของจุดที่กราฟตัดแกนพิกัดทั้งหมดให้ชัดเจน
(ii)(a) แผนภาพแสดงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณ $y=g(x)$ บางส่วน จงเขียนนิพจน์ของ $g(x)$
(ii)(b) บนแผนภาพแยกต่างหาก จงวาดกราฟของสมการ $y=g(x)-2$ สำหรับ $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ แสดงพิกัดของจุดตัดแกน $y$ ให้ชัดเจน
Write the exact value of $\cos\dfrac{\pi}{4}$.
จงเขียนค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ของ $\cos\dfrac{\pi}{4}$
Answershow ▾
This is one of the three exact values, in radians.เป็นหนึ่งในสามค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ ที่ต้องจำ ในหน่วยเรเดียน
The rule is: $y=h\left(x+a\right)$ moves the graph of $y=h(x)$ left by $a$. A zero of $y=h(x)$ is at $x=\dfrac{\pi}{2}$. Using $a=\dfrac{\pi}{4}$, write the new $x$-value of that zero.
กฎคือ: $y=h\left(x+a\right)$ เลื่อนกราฟของ $y=h(x)$ ไปทางซ้ายเป็นระยะ $a$ · จุดศูนย์ของ $y=h(x)$ อยู่ที่ $x=\dfrac{\pi}{2}$ เมื่อ $a=\dfrac{\pi}{4}$ จงเขียนค่า $x$ ใหม่ของจุดศูนย์นี้
Answershow ▾
Moving left means subtracting $a$ from the old $x$-value.เลื่อนไปทางซ้าย คือเอา $a$ ไปลบออกจากค่า $x$ เดิม
A curve $y=h(x)$ passes through $(0,0)$. Write the coordinates of the $y$-intercept of $y=h(x)-2$.
เส้นโค้ง $y=h(x)$ ผ่านจุด $(0,0)$ จงเขียนพิกัดของจุดตัดแกน $y$ ของ $y=h(x)-2$
Answershow ▾
Subtracting a constant moves every point down by that amount.การลบด้วยค่าคงที่ ทำให้ทุกจุดเลื่อนลงเท่ากัน
For $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$, pick the correct move on every $x$-intercept of $y=f(x)$.
(A) add $\dfrac{\pi}{4}$ to $x$
(B) subtract $\dfrac{\pi}{4}$ from $x$
(C) add $\dfrac{\pi}{4}$ to $y$
สำหรับ $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ จงเลือกการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องบนจุดตัดแกน $x$ ทุกจุดของ $y=f(x)$
(A) บวก $\dfrac{\pi}{4}$ เข้ากับ $x$
(B) ลบ $\dfrac{\pi}{4}$ ออกจาก $x$
(C) บวก $\dfrac{\pi}{4}$ เข้ากับ $y$
Answershow ▾
$f(x+a)$ moves the graph in the NEGATIVE $x$-direction, so (A) has the sign backwards. (C) moves $y$ instead of $x$ - that would be $f(x)+\dfrac{\pi}{4}$, a different graph.$f(x+a)$ เลื่อนกราฟไปในทิศทาง $x$ ลบ ดังนั้น (A) ใส่เครื่องหมายผิด · (C) เลื่อนพิกัด $y$ แทน ซึ่งจะเป็น $f(x)+\dfrac{\pi}{4}$ ซึ่งเป็นกราฟคนละเส้น
The graph of $y=f(x)$ has amplitude $3$, period $2\pi$, and a maximum at $x=0$. Write $f(x)$.
กราฟของ $y=f(x)$ มี amplitude $3$ คาบ $2\pi$ และจุดสูงสุดที่ $x=0$ จงเขียน $f(x)$
Answershow ▾
A maximum at $x=0$ means cosine, not sine.จุดสูงสุดที่ $x=0$ หมายความว่าเป็น cosine ไม่ใช่ sine
Using the rule from question $2$, write $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ in terms of $x$, for $f(x)=3\cos x$.
ใช้กฎจากข้อ $2$ จงเขียน $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ ในรูปของ $x$ เมื่อ $f(x)=3\cos x$
Answershow ▾
Replace $x$ with $x+\dfrac{\pi}{4}$ inside the function.แทน $x$ ด้วย $x+\dfrac{\pi}{4}$ ในฟังก์ชัน
Solve $3\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ for $-2\pi \lt x \lt 2\pi$. Write all four $x$-intercepts.
จงแก้สมการ $3\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ สำหรับ $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ จงเขียนจุดตัดแกน $x$ ทั้งสี่จุด
Answershow ▾
Each zero of $\cos x$ in the interval shifts left by $\dfrac{\pi}{4}$, same as question $2$.จุดศูนย์ของ $\cos x$ ทุกจุดในช่วงนี้เลื่อนไปทางซ้ายเป็นระยะ $\dfrac{\pi}{4}$ เหมือนข้อ $2$
Find the $y$-intercept of $y=3\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$, as an exact value.
จงหาจุดตัดแกน $y$ ของ $y=3\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ เป็นค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸
Answershow ▾
Put $x=0$ into the shifted equation, then use the exact value from question $1$.แทน $x=0$ ในสมการที่เลื่อนแล้ว แล้วใช้ค่า à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ จากข้อ $1$
The graph of $y=g(x)$ has amplitude $1$, period $\pi$, and passes through the origin. Pick the correct $g(x)$.
(A) $\sin\dfrac{x}{2}$
(B) $2\sin x$
(C) $\sin 2x$
กราฟของ $y=g(x)$ มี amplitude $1$ คาบ $\pi$ และผ่านจุดกำเนิด จงเลือก $g(x)$ ที่ถูกต้อง
(A) $\sin\dfrac{x}{2}$
(B) $2\sin x$
(C) $\sin 2x$
Answershow ▾
A period of $\pi$ is half of $2\pi$, so $x$ is doubled inside the function - not halved, as in (A), and not multiplied outside, as in (B).คาบ $\pi$ เป็นครึ่งหนึ่งของ $2\pi$ จึงต้องเพิ่ม $x$ เป็นสองเท่าด้านในฟังก์ชัน ไม่ใช่ลดลงครึ่งหนึ่งแบบ (A) และไม่ใช่คูณด้านนอกแบบ (B)
Using $g(x)=\sin 2x$, write the $y$-intercept of $y=g(x)-2$.
ใช้ $g(x)=\sin 2x$ จงเขียนจุดตัดแกน $y$ ของ $y=g(x)-2$
Answershow ▾
The same shift-down rule from question $3$ applies to any curve, including this one.กฎเลื่อนลงเดียวกันจากข้อ $3$ ใช้ได้กับเส้นโค้งทุกเส้น รวมถึงเส้นนี้
A curve $y=p(x)=2\cos x$ has amplitude $2$, period $2\pi$, maximum at $x=0$. A curve $y=q(x)=\sin 2x$ has amplitude $1$, period $\pi$. Find (i) the $x$-intercepts of $y=p\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ for $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ and its exact $y$-intercept, and (ii) the $y$-intercept of $y=q(x)-3$.
เส้นโค้ง $y=p(x)=2\cos x$ มี amplitude $2$ คาบ $2\pi$ จุดสูงสุดที่ $x=0$ · เส้นโค้ง $y=q(x)=\sin 2x$ มี amplitude $1$ คาบ $\pi$ จงหา (i) จุดตัดแกน $x$ ของ $y=p\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ สำหรับ $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ และจุดตัดแกน $y$ แบบ à¹à¸¡à¹à¸à¸à¸£à¸ (ii) จุดตัดแกน $y$ ของ $y=q(x)-3$
Answershow ▾
Same five moves as the real question: shift, solve, evaluate, identify, subtract.ห้าขั้นเดิมจากข้อสอบจริง: เลื่อน แก้สมการ คำนวณ ระบุฟังก์ชัน แล้วลบ
(i) The diagram shows part of the graph of the trigonometric function with equation $y=f(x)$.
(i)(a) Write down an expression for $f(x)$.
(i)(b) On a separate diagram, sketch, for $-2\pi \lt x \lt 2\pi$, the graph of the curve with equation $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Show clearly the coordinates of all the points where the curve intersects the coordinate axes.
(ii)(a) The diagram shows part of the graph of the trigonometric function with equation $y=g(x)$. Write down an expression for $g(x)$.
(ii)(b) On a separate diagram, sketch, for $-2\pi \lt x \lt 2\pi$, the graph of the curve with equation $y=g(x)-2$. Show clearly the coordinates of the $y$-intercept.
(i) แผนภาพแสดงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณ (trigonometric function) $y=f(x)$ บางส่วน
(i)(a) จงเขียนนิพจน์ (expression) ของ $f(x)$
(i)(b) บนแผนภาพแยกต่างหาก จงวาดกราฟของสมการ $y=f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ สำหรับ $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ แสดงพิกัดของจุดที่กราฟตัดแกนพิกัดทั้งหมดให้ชัดเจน
(ii)(a) แผนภาพแสดงกราฟของฟังก์ชันตรีโกณ $y=g(x)$ บางส่วน จงเขียนนิพจน์ของ $g(x)$
(ii)(b) บนแผนภาพแยกต่างหาก จงวาดกราฟของสมการ $y=g(x)-2$ สำหรับ $-2\pi \lt x \lt 2\pi$ แสดงพิกัดของจุดตัดแกน $y$ ให้ชัดเจน
Answershow ▾
9 marks across 4 parts: read amplitude and period off each graph, then move every feature of the curve by the same shift.9 คะแนน 4 ส่วน: อ่าน amplitude กับคาบจากกราฟแต่ละเส้น แล้วเลื่อนจุดเด่นทุกจุดของกราฟด้วยระยะเดียวกัน