Trigonometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Trigonometry
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Trigonometry · solving a trig equation over an interval
Solve $2\sin(3x) = 1$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$, giving all solutions.
Write down the exact values of $\sin(30^\circ)$, $\sin(45^\circ)$ and $\sin(60^\circ)$.
เขียนค่า $\sin(30^\circ)$, $\sin(45^\circ)$ และ $\sin(60^\circ)$ ในรูปเศษส่วนหรือราก
Answershow ▾
These three values come up in almost every trig equation on this paper — know them cold.
Find the value of $\theta$ between $-90^\circ$ and $90^\circ$ such that $\sin\theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Answershow ▾
This is exactly what your calculator's $\sin^{-1}$ button gives you — the principal value, and only one of possibly several solutions.
The graph shows $y = \sin x$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$. One solution of $\sin x = \frac{1}{2}$ is marked at $x = 30^\circ$. Using the symmetry of the curve, write down the second solution in the range.
Answershow ▾
The sine curve is symmetric about $x = 90^\circ$: a second solution is always $180^\circ$ minus the first.
The interval is written $0^\circ \le x \le 360^\circ$. Before any $\sin^{-1}$ is pressed, which calculator mode has to be selected? Work out what $\sin^{-1}(0.5)$ returns in each of the two modes, and say which of the two answers looks like a plausible exam answer.
ช่วงคำตอบเขียนว่า $0^\circ \le x \le 360^\circ$ · ก่อนกด $\sin^{-1}$ ต้องตั้งโหมดเครื่องคิดเลขเป็นอะไร · ลองดูว่า $\sin^{-1}(0.5)$ ให้ค่าอะไรในแต่ละโหมด และค่าไหนที่ดูเหมือนคำตอบข้อสอบได้
Answershow ▾
The degree signs in the interval are the only instruction, and no line of working ever records the mode. A complete solution done in radians is arithmetically perfect and scores zero; worse, the numbers are small and tidy, so nothing on the page looks wrong. There is no mark for the mode, in this or any other question.สัญลักษณ์องศาในช่วงคำตอบคือคำสั่งเดียวที่มี และไม่มีบรรทัดไหนของงานที่บันทึกโหมดไว้ · คำตอบที่ทำในโหมดเรเดียนถูกต้องทางเลขทุกบรรทัดแต่ได้ศูนย์ และเลขที่ได้ก็เล็กและเรียบร้อย จึงไม่มีอะไรบนหน้ากระดาษที่ดูผิด · ไม่มีคะแนนให้กับโหมด ทั้งข้อนี้และข้ออื่น
Given $2\sin(3x) = 1$, divide both sides by 2 to write the equation in the form $\sin(3x) = \ldots$.
จาก $2\sin(3x) = 1$ หารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อเขียนในรูป $\sin(3x) = \ldots$
Answershow ▾
Always isolate $\sin(\ldots)$ before doing anything else; 2 is not part of the angle.
Solve $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ for the value of $3x$ between $-90^\circ$ and $90^\circ$.
Answershow ▾
$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$ — one of the exact values from question 1.
Using the symmetry of the sine curve, find the second value of $3x$ in $[0^\circ, 360^\circ]$ satisfying $\sin(3x) = \frac{1}{2}$.
Answershow ▾
$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ — same rule as question 3.
The equation is $\sin(3x) = \frac{1}{2}$, but the interval $0^\circ \le x \le 360^\circ$ is given for $x$, not for $3x$. Which interval does $3x$ run over? Is it wider or narrower than the one you were given, and how many solutions should you therefore be looking for?
สมการคือ $\sin(3x) = \frac{1}{2}$ แต่ช่วง $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ให้ไว้สำหรับ $x$ ไม่ใช่ $3x$ · แล้ว $3x$ วิ่งในช่วงไหน กว้างขึ้นหรือแคบลงกว่าที่ให้มา และควรมองหาคำตอบกี่ตัว
Answershow ▾
Multiplying the angle by $3$ multiplies the hunting ground by $3$, and every solution found in the narrow interval is one you have to divide back down at the end. Students who search $0^\circ$ to $360^\circ$ for $3x$ find two solutions, divide, and hand in a third of the answer. The mark scheme lists the six values; it never says where the $1080^\circ$ came from.คูณมุมด้วย $3$ ก็คือคูณพื้นที่ค้นหาด้วย $3$ และคำตอบทุกตัวที่หาได้จะต้องหารกลับตอนท้าย · คนที่ค้นเฉพาะ $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ สำหรับ $3x$ จะเจอสองคำตอบ หารกลับ แล้วส่งคำตอบไปหนึ่งในสาม · มาร์คสกีมลิสต์ค่าทั้งหกไว้ แต่ไม่เคยบอกว่า $1080^\circ$ มาจากไหน
Since $0^\circ \le x \le 360^\circ$, $3x$ itself ranges over $0^\circ$ to $1080^\circ$ — a WIDER interval than $x$. List every value of $3x$ in $[0^\circ, 1080^\circ]$ satisfying $\sin(3x) = \frac{1}{2}$.
เนื่องจาก $3x$ มีพิสัยกว้างกว่า $x$ จงหาค่าทั้งหมดของ $3x$ ในช่วง $[0^\circ, 1080^\circ]$ ที่สอดคล้องกับ $\sin(3x) = \frac{1}{2}$
Answershow ▾
Keep adding $360^\circ$ to $30^\circ$ and to $150^\circ$ until you pass $1080^\circ$ — forgetting to widen the interval here is the single biggest lost mark in this question type.
Given $3x =$ $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$, $510^\circ$, $750^\circ$, $870^\circ$, divide every value by 3 to find every value of $x$ in $0^\circ \le x \le 360^\circ$.
Answershow ▾
Divide every value through by 3. Each value of $3x$ gives exactly one value of $x$ — none should be dropped or duplicated.
You have $x = 10^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 170^\circ,\ 250^\circ,\ 290^\circ$. How do you know that is all of them and not the first few? Find the gap between consecutive pairs, and say what that gap is the period of.
ได้ $x = 10^\circ,\ 50^\circ,\ 130^\circ,\ 170^\circ,\ 250^\circ,\ 290^\circ$ · จะรู้ได้อย่างไรว่าครบแล้ว ไม่ใช่แค่ตัวแรก ๆ · หาช่องว่างระหว่างคู่ที่ติดกัน แล้วบอกว่าช่องว่างนั้นคือคาบของอะไร
Answershow ▾
A count you can justify is the only way to know you have finished. $\sin 3x$ completes three full waves across $0^\circ$ to $360^\circ$ and a horizontal line at $\frac{1}{2}$ cuts each wave twice. Nothing in the mark scheme pays for the count; it pays for the values, and a missing value is simply a missing mark.การนับที่อธิบายได้คือทางเดียวที่จะรู้ว่าทำครบแล้ว · $\sin 3x$ วิ่งครบสามลูกคลื่นในช่วง $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ และเส้นแนวนอนที่ $\frac{1}{2}$ ตัดลูกคลื่นละสองครั้ง · มาร์คสกีมไม่ให้คะแนนกับการนับ มันให้คะแนนกับค่า และค่าที่หายไปก็คือคะแนนที่หายไป
Solve $\sin(2x) = \frac{1}{2}$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same method top to bottom, with the smallest numbers that still force you to widen the interval.
Solve $2\sin(3x) = 1$ for $0^\circ \le x \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
6 marks. Questions 4-6 build the method; question 7 is the widening step; question 8 is the final list.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 principal value $3x = 30^\circ$, from $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$.
M1 second value in one period: $3x = 150^\circ$ (symmetry of the sine curve).
M1 add $360^\circ$ repeatedly since $3x$ ranges up to $1080^\circ$: $3x =$ $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$, $510^\circ$, $750^\circ$, $870^\circ$.
A1 divide throughout by 3.
A1 $x =$ $10^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$, $170^\circ$, $250^\circ$, $290^\circ$.
Trigonometry · identity then solve
(a) Show that the equation $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$.
(b) Hence solve $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
State the identity connecting $\sin^2\theta$ and $\cos^2\theta$, then rearrange it to make $\cos^2\theta$ the subject.
เขียนเอกลักษณ์ที่เชื่อมโยง $\sin^2\theta$ กับ $\cos^2\theta$ แล้วจัดรูปให้ $\cos^2\theta$ อยู่โดดเดี่ยว
Answershow ▾
This single identity is the key that unlocks every 'quadratic in $\sin\theta$' question.
Write $4\cos^2\theta$ in terms of $\sin\theta$ only.
Answershow ▾
Replace $\cos^2\theta$ with $1 - \sin^2\theta$ and multiply out — nothing more.
The equation carries $\cos^2\theta$ and $\sin\theta$, and one of them has to go. You could replace $\cos^2\theta$ by $1 - \sin^2\theta$, or replace $\sin\theta$ by $\pm\sqrt{1 - \cos^2\theta}$. Both are true. Which one do you use, and what does the other one drag onto the page?
สมการมีทั้ง $\cos^2\theta$ และ $\sin\theta$ และต้องกำจัดอันหนึ่ง · จะแทน $\cos^2\theta$ ด้วย $1 - \sin^2\theta$ หรือแทน $\sin\theta$ ด้วย $\pm\sqrt{1 - \cos^2\theta}$ ก็ได้ ทั้งคู่จริง · ใช้อันไหน และอีกอันลากอะไรเข้ามาบนหน้ากระดาษ
Answershow ▾
Replace the squared one, because the identity is written in squares and comes out clean; replace the unsquared one and you are left with a surd and a sign to chase. The direction of the swap is the whole first move and no mark is attached to it — the M1 is for using the identity, whichever way you turned it.ให้แทนตัวที่ยกกำลังสอง เพราะเอกลักษณ์เขียนอยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว ผลจึงออกมาสะอาด · ถ้าแทนตัวที่ไม่ได้ยกกำลังสอง จะเหลือรากที่สองกับเครื่องหมายให้ตามเก็บ · ทิศทางของการแทนคือการเดินหมากแรกทั้งหมด และไม่มีคะแนนให้ เพราะ M1 ให้กับการใช้เอกลักษณ์ ไม่ว่าจะพลิกทางไหน
Solve $s^2 - s - 2 = 0$.
Answershow ▾
It's an ordinary quadratic; the letter $s$ instead of $x$ changes nothing about the method.
Part (a) says Show that the equation can be written as a quadratic in $\sin\theta$. Part (b) says Hence solve. What has to appear on the page for a "Show that" that a "Find" does not need — and what is the last line of part (a) allowed to be?
ข้อ (a) บอกว่า Show that สมการเขียนเป็นสมการกำลังสองใน $\sin\theta$ ได้ · ข้อ (b) บอกว่า Hence solve · อะไรที่ต้องปรากฏบนหน้ากระดาษสำหรับ "Show that" แต่ "Find" ไม่ต้องมี และบรรทัดสุดท้ายของข้อ (a) เป็นอะไรได้
Answershow ▾
In a "Show that" the answer is already given, so the only thing being marked is the road. Jumping two steps, or starting from the answer and working backwards to the question, loses the marks even though the final line is right. The mark scheme prints the road; it never says that printing it is the point.ใน "Show that" คำตอบถูกให้มาแล้ว สิ่งเดียวที่ตรวจคือเส้นทาง · การกระโดดข้ามสองขั้น หรือเริ่มจากคำตอบแล้วย้อนกลับไปหาโจทย์ ทำให้เสียคะแนน แม้บรรทัดสุดท้ายจะถูก · มาร์คสกีมพิมพ์เส้นทางไว้ แต่ไม่เคยบอกว่าการเขียนเส้นทางนั่นแหละคือประเด็น
Given $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$, use $\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$ to rewrite the left-hand side with no cosine terms.
จาก $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ ใช้ $\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$ เพื่อกำจัด $\cos^2\theta$ ออกจากสมการ
Answershow ▾
Same substitution as questions 1 and 2, now with the actual coefficients of the question.
Simplify $6(1-\sin^2\theta) + 15\sin\theta + 3 = 0$ into the form $p\sin^2\theta + q\sin\theta + r = 0$.
Answershow ▾
Collect the $\sin^2\theta$ terms, then multiply through by $-1$ so the leading coefficient is positive — this line IS the 'show that' answer.
You are about to solve $6\sin^2\theta - 15\sin\theta - 9 = 0$. Which is the unknown of THAT quadratic — $\theta$, or $\sin\theta$? When you factorise it, what will the two answers be values of, and what still has to happen afterwards?
กำลังจะแก้ $6\sin^2\theta - 15\sin\theta - 9 = 0$ · ตัวไม่ทราบค่าของสมการกำลังสองนี้คือ $\theta$ หรือ $\sin\theta$ · เมื่อแยกตัวประกอบแล้ว คำตอบสองค่าเป็นค่าของอะไร และหลังจากนั้นยังต้องทำอะไรอีก
Answershow ▾
Write $s = \sin\theta$ if it helps: the quadratic knows nothing about angles. Solving it and writing $\theta = -\frac{1}{2}$ is the standard collapse, and the extra step back to $\theta$ is where the last two marks live. The M1 pays for solving the quadratic, never for knowing what its roots are roots of.ถ้าช่วยได้ให้เขียน $s = \sin\theta$ · สมการกำลังสองไม่รู้จักมุมเลย · แก้แล้วเขียน $\theta = -\frac{1}{2}$ คือจุดพังมาตรฐาน และขั้นที่ต้องย้อนกลับไปหา $\theta$ คือที่อยู่ของสองคะแนนสุดท้าย · M1 ให้กับการแก้สมการกำลังสอง ไม่ได้ให้กับการรู้ว่ารากของมันเป็นรากของอะไร
Solve $6\sin^2\theta - 15\sin\theta - 9 = 0$ for $\sin\theta$.
Answershow ▾
Factorise or use the quadratic formula exactly as for any quadratic in $x$.
The equation $\sin\theta = 3$ is one of the two solutions found in question 6. Explain why it must be rejected.
สมการ $\sin\theta = 3$ เป็นหนึ่งในสองคำตอบจากข้อ 6 จงอธิบายว่าเหตุใดจึงต้องตัดทิ้ง
Answershow ▾
This is worth a mark on its own — state the reason, do not just silently drop the root.
Solve $\sin\theta = - \frac{1}{2}$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Use the exact value and the symmetry rule from the sine-equation ladder: two solutions per period, one from the principal value and one by symmetry.
(a) Show that the equation $2\cos^2\theta + 5\sin\theta - 4 = 0$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$.
(b) Hence solve $2\cos^2\theta + 5\sin\theta - 4 = 0$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
Same two parts, the smallest numbers that still need a root rejected.
(a) Show that the equation $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$.
(b) Hence solve $6\cos^2\theta + 15\sin\theta + 3 = 0$ for $0^\circ \le \theta \le 360^\circ$, giving all solutions.
Answershow ▾
6 marks. Questions 4 and 5 are part (a); questions 6, 7 and 8 are part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 solve the quadratic: $\sin\theta = - \frac{1}{2}$ or $\sin\theta = 3$ B1 reject $\sin\theta = 3$ since $|\sin\theta| \le 1$ always M1 principal value from $\sin\theta = - \frac{1}{2}$ A1 $\theta =$ $210^\circ$, $330^\circ$.