Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

4MA1 1H · June 20234MA1 1H · มิ.ย. 2023

IGCSE · Edexcel 4MA1 Higher · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Ratio · 3 marksข้อ 1 · อัตราส่วน · 3 คะแนน

Answer: 32คำตอบ: 32

Q1 Goals for KathQ1 ประตูของ Kath

The goals that Arjun, Simon and Kath scored last season are in the ratio 2 : 5 : 8.
Simon got 12 goals more than Arjun.
How many goals did Kath score? [3]

  1. $S-A=5-2$Simon minus Arjun, in partsSimon ลบ Arjun นับเป็นส่วน
  2. $=3\text{ parts}$the gap is 3 partsห่างกัน 3 ส่วน
  3. $3\text{ parts}=12$3 parts are 12 goals3 ส่วน = 12 ประตู
  4. $1\text{ part}=4$one partหนึ่งส่วน
  5. $K=8\times4$Kath has 8 partsKath มี 8 ส่วน
  6. $=32$answer · goalsคำตอบ · ประตู

3. Q2 · Estimate from grouped data · 3 marksข้อ 2 · ประมาณค่าจากข้อมูลกลุ่ม · 3 คะแนน

Answer: 2160 minutesคำตอบ: 2160 minutes

Q2 Estimated total minutesQ2 ประมาณเวลารวม

Abby walked every day in September. The table groups the number of minutes, $M$, she walked each day.
Estimate how many minutes Abby walked in total during September. [3]

  1. $\text{total}\approx\sum fx$Σ “sigma” = add all · x = midpointΣ อ่านว่า ซิกมา = บวกทั้งหมด · x = จุดกึ่งกลาง
  2. $x=15,\ 45,\ 75,\ 105,\ 135$midpoints, e.g. (0 + 30) ÷ 2จุดกึ่งกลาง เช่น (0 + 30) ÷ 2
  3. $5\times15=75$first row: f × xแถวแรก: f × x
  4. $45\times6=270$the same on each rowทำแบบเดิมทุกแถว
  5. $\sum fx=2160$add the f × x columnบวกคอลัมน์ f × x
  6. $\text{total}\approx2160$answer · minutesคำตอบ · นาที

4. Q3 · Percentage profit · 4 marksข้อ 3 · กำไรเป็นร้อยละ · 4 คะแนน

Answer: 62.3%คำตอบ: 62.3%

Q3 Profit as a percentageQ3 กำไรคิดเป็นกี่ %

Nanette pays 780 dirhams for 60 notebooks. She sells 70% of them at 22 dirhams each, and the rest at 19 dirhams each.
Find her percentage profit. Answer to 3 s.f. [4]

  1. $0.7\times60=42$70% of the notebooks70% ของสมุด
  2. $60-42=18$the restที่เหลือ
  3. $42\times22=924$income at 22 dirhamsรายรับราคาเล่มละ 22
  4. $18\times19=342$income at 19 dirhamsรายรับราคาเล่มละ 19
  5. $\text{income}=924+342$add bothรวมสองก้อน
  6. $=1266$dirhamsดีแรห์ม
  7. $\text{profit}=1266-780$income minus costรายรับ ลบ ต้นทุน
  8. $=486$dirhamsดีแรห์ม
  9. $\%\text{ profit}=\dfrac{\text{profit}}{\text{cost}}\times100$divide by the costหารด้วยต้นทุน
  10. $=\dfrac{486}{780}\times100$substituteแทนค่า
  11. $=62.307\ldots$calculatorกดเครื่องคิดเลข
  12. $=62.3\%$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตำแหน่งสำคัญ

5. Q4 · Transformations · 8 marksข้อ 4 · การแปลงทางเรขาคณิต · 8 คะแนน

Answer: d = 5, e = 7, f = −4; Enlargement, scale factor 3, centre (0, 2); R with corners (0, 5), (1, 6), (3, 6), (1, 5)คำตอบ: d = 5, e = 7, f = −4; Enlargement, scale factor 3, centre (0, 2); R with corners (0, 5), (1, 6), (3, 6), (1, 5)

Q4(a) Translation: find d, e, fQ4(a) การเลื่อนขนาน: หา d, e, f

(a) Triangle A has corners (−11, −5), (−7, 2) and ($f$, −3). Triangle B has corners (2, $d$), (6, 12) and (9, $e$). The sketch is not to scale. A translation takes triangle A onto triangle B. Find $d$, $e$ and $f$. [3]

  1. $x\text{ move}=6-(-7)$top corner of A → top corner of Bมุมบนของ A → มุมบนของ B
  2. $=13$13 to the rightไปทางขวา 13
  3. $y\text{ move}=12-2$same corners, y valuesมุมคู่เดิม ใช้ค่า y
  4. $=10$10 upขึ้น 10
  5. $d=-5+10$left corner moves up 10มุมซ้ายขึ้นไป 10
  6. $=5$
  7. $e=-3+10$right corner moves up 10มุมขวาขึ้นไป 10
  8. $=7$
  9. $f+13=9$right corner moves 13 rightมุมขวาไปทางขวา 13
  10. $f=-4$answer: d = 5, e = 7, f = −4คำตอบ: d = 5, e = 7, f = −4

Q4(b) Describe P → Q fullyQ4(b) อธิบาย P → Q ให้ครบ

(b) On a grid, shape P has corners (2, 5), (2, 3), (3, 2), (3, 3) and shape Q has corners (6, 11), (6, 5), (9, 2), (9, 5). Give a full description of the single transformation that takes P to Q. [3]

  1. $k=\dfrac{\text{side of Q}}{\text{side of P}}$k = scale factork = ตัวคูณขยาย
  2. $=\dfrac{11-5}{5-3}$left edges: 6 and 2ด้านซ้าย: 6 กับ 2
  3. $=3$same shape, 3 times as bigรูปเดิม ใหญ่ขึ้น 3 เท่า
  4. $m=\dfrac{11-5}{6-2}$line through (2, 5) and (6, 11)เส้นผ่าน (2, 5) กับ (6, 11)
  5. $=\dfrac32$m = gradientm = ความชัน
  6. $y=5-\tfrac32\times2$go back to x = 0ถอยกลับไปที่ x = 0
  7. $y=2$line through (3, 2) and (9, 2)เส้นผ่าน (3, 2) กับ (9, 2)
  8. $\text{centre}=(0,2)$the two lines meet hereสองเส้นตัดกันตรงนี้
  9. $9-0=3\times(3-0)$check: 3 times as farเช็ค: ไกลขึ้น 3 เท่า
  10. $\text{Enlargement}$answer · scale factor 3, centre (0, 2)คำตอบ · ขยาย 3 เท่า จุดศูนย์กลาง (0, 2)

Q4(c) Rotate P to make RQ4(c) หมุน P ได้ R

(c) Using the same grid, turn shape P through 90° clockwise, centre (3, 5). Label the image R. [2]

  1. $\text{centre}=(3,5)$every corner turns about this pointทุกมุมหมุนรอบจุดนี้
  2. $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}$90° clockwise, from the centreหมุนตามเข็ม 90° วัดจากจุดหมุน
  3. $(2,5)\to(3,6)$1 left → 1 upซ้าย 1 → ขึ้น 1
  4. $(2,3)\to(1,6)$1 left, 2 down → 2 left, 1 upซ้าย 1 ลง 2 → ซ้าย 2 ขึ้น 1
  5. $(3,2)\to(0,5)$3 down → 3 leftลง 3 → ซ้าย 3
  6. $(3,3)\to(1,5)$2 down → 2 leftลง 2 → ซ้าย 2
  7. $R:\ (0,5),\ (1,6),\ (3,6),\ (1,5)$answer · join them, label Rคำตอบ · ลากเส้นต่อ เขียน R

6. Q5 · Pythagoras and perimeter · 4 marksข้อ 5 · พีทาโกรัสกับเส้นรอบรูป · 4 คะแนน

Answer: 33.6 cmคำตอบ: 33.6 cm

Q5 Perimeter of AEBCDQ5 เส้นรอบรูป AEBCD

Triangle AEB is cut out of rectangle ABCD. What is left is the shaded shape AEBCD.
AE = 7.2 cm, BE = 5.4 cm, BC = 6 cm, and angle AEB = 90°.
Find the shaded shape's perimeter. [4]

  1. $AB^2=AE^2+BE^2$Pythagoras · right angle at Eพีทาโกรัส · มุมฉากที่ E
  2. $AB^2=7.2^2+5.4^2$substituteแทนค่า
  3. $=51.84+29.16$square each sideยกกำลังสองแต่ละด้าน
  4. $=81$
  5. $AB=\sqrt{81}$square rootถอดรากที่สอง
  6. $=9$AB = 9 cmAB = 9 cm
  7. $DC=AB=9$opposite sides of a rectangleด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน
  8. $AD=BC=6$the other pairอีกคู่หนึ่ง
  9. $P=\text{5 edges}$go round the shaded edgeเดินรอบขอบส่วนที่แรเงา
  10. $P=7.2+5.4+6+9+6$substituteแทนค่า
  11. $P=33.6\text{ cm}$answer · AB is not on the edgeคำตอบ · AB ไม่ใช่ขอบ ไม่ต้องบวก

7. Q6 · Indices and factorising · 8 marksข้อ 6 · เลขยกกำลังและการแยกตัวประกอบ · 8 คะแนน

Answer: 8c¹²d²¹; 5; 4a²b(4b² + 5a); (x + 11)(x − 2); x = −11 or x = 2คำตอบ: 8c¹²d²¹; 5; 4a²b(4b² + 5a); (x + 11)(x − 2); x = −11 or x = 2

Q6(a) Power of a bracketQ6(a) ยกกำลังทั้งวงเล็บ

(a) Simplify $(2c^4d^7)^3$ [2]

  1. $(2c^4d^7)^3=2^3(c^4)^3(d^7)^3$cube every factorยกกำลัง 3 ทุกตัวในวงเล็บ
  2. $=8c^{4\times3}d^{7\times3}$power of a power: multiplyกำลังซ้อนกำลัง ให้คูณกัน
  3. $=8c^{12}d^{21}$answerคำตอบ

Q6(b) Power zeroQ6(b) ยกกำลังศูนย์

(b) Work out $5y^0$, given $y \gt 0$ [1]

  1. $y^0=1$any non-zero number to power 0 is 1อะไร (ที่ไม่ใช่ 0) ยกกำลัง 0 ได้ 1
  2. $5y^0=5\times1$substituteแทนค่า
  3. $=5$answer · only y has the 0คำตอบ · กำลัง 0 อยู่ที่ y ตัวเดียว

Q6(c) Take out the HCFQ6(c) ดึงตัวร่วมมาก

(c) Factorise $16a^2b^3+20a^3b$ completely. [2]

  1. $\text{HCF}=4a^2b$HCF “highest common factor” · lowest powerตัวร่วมมาก · ใช้กำลังที่ต่ำสุด
  2. $16a^2b^3\div4a^2b=4b^2$first term ÷ HCFพจน์แรก ÷ ตัวร่วม
  3. $20a^3b\div4a^2b=5a$second term ÷ HCFพจน์ที่สอง ÷ ตัวร่วม
  4. $16a^2b^3+20a^3b$the expressionโจทย์
  5. $=4a^2b(4b^2+5a)$answer · HCF outsideคำตอบ · ตัวร่วมอยู่นอกวงเล็บ

Q6(d)(i) Factorise a quadraticQ6(d)(i) แยกตัวประกอบกำลังสอง

(d)(i) Factorise $x^2+9x-22$ [2]

  1. $p\times q=-22$two numbers · product −22หาสองจำนวน · คูณกันได้ −22
  2. $p+q=9$and sum 9และบวกกันได้ 9
  3. $p=11,\ q=-2$from the tableจากตาราง
  4. $x^2+9x-22$the expressionโจทย์
  5. $=(x+11)(x-2)$answerคำตอบ

Q6(d)(ii) Solve from the factorsQ6(d)(ii) แก้สมการจากตัวประกอบ

(d)(ii) Use (i), where $x^2+9x-22=(x+11)(x-2)$, to solve $x^2+9x-22=0$ [1]

  1. $(x+11)(x-2)=0$one bracket must be 0วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งต้องเป็น 0
  2. $x+11=0$first bracketวงเล็บแรก
  3. $x=-11$
  4. $x-2=0$second bracketวงเล็บที่สอง
  5. $x=2$
  6. $x=-11\ \text{or}\ x=2$answerคำตอบ

8. Q7 · Region from inequalities · 4 marksข้อ 7 · บริเวณจากอสมการ · 4 คะแนน

Answer: x ≤ 1, y ≥ −2, y ≤ 2x + 4คำตอบ: x ≤ 1, y ≥ −2, y ≤ 2x + 4

Q7 Three inequalities for RQ7 อสมการสามตัวของ R

A shaded region R is drawn on the grid. Three straight lines make its edges.
Write down three inequalities that describe R. [4]

  1. $x\le1$R is left of the line x = 1R อยู่ทางซ้ายของเส้น x = 1
  2. $y\ge-2$R is above the line y = −2R อยู่เหนือเส้น y = −2
  3. $m=\dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$gradient of the sloping lineความชันของเส้นเอียง
  4. $m=\dfrac{4-0}{0-(-2)}$points (−2, 0) and (0, 4)จุด (−2, 0) และ (0, 4)
  5. $=2$
  6. $c=4$it cuts the y-axis at 4ตัดแกน y ที่ 4
  7. $y=2x+4$y = mx + cy = mx + c
  8. $0\le2(0)+4$test O (0, 0), inside Rลองจุด O (0, 0) ซึ่งอยู่ใน R
  9. $0\le4$true, so R is under the lineจริง · R อยู่ใต้เส้น
  10. $y\le2x+4$answer · with x ≤ 1 and y ≥ −2คำตอบ · คู่กับ x ≤ 1 และ y ≥ −2

9. Q8 · Prime factors and LCM · 4 marksข้อ 8 · ตัวประกอบเฉพาะและ ค.ร.น. · 4 คะแนน

Answer: 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5²; 37 800คำตอบ: 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3 × 5²; 37 800

Q8(a) 300 as primesQ8(a) แยก 300 เป็นจำนวนเฉพาะ

(a) Break $300$ into a product of prime numbers. Show each step. [2]

  1. $300=2\times150$split off a prime: 2แยกจำนวนเฉพาะออกมา: 2
  2. $150=2\times75$still even · split off 2ยังเป็นเลขคู่ · แยก 2
  3. $75=3\times25$digits add to 12 · 3 goes inผลบวกหลัก = 12 · 3 หารลงตัว
  4. $25=5\times5$both are prime · stopเป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ · หยุด
  5. $300=2\times2\times3\times5\times5$collect the circled primesรวมจำนวนเฉพาะที่วงไว้
  6. $=2^2\times3\times5^2$answer · index formคำตอบ · เขียนแบบเลขยกกำลัง

Q8(b) LCM of 5A and 7BQ8(b) ค.ร.น. ของ 5A กับ 7B

(b) $A=2\times2\times2\times3\times3\times5$ and $B=2\times2\times3\times3\times3\times5$.
Work out the LCM (lowest common multiple) of $5A$ and $7B$. Show each step. [2]

  1. $A=2^3\times3^2\times5$count each prime in Aนับจำนวนเฉพาะแต่ละตัวใน A
  2. $5A=2^3\times3^2\times5^2$one more 5เพิ่ม 5 อีกตัว
  3. $B=2^2\times3^3\times5$count each prime in Bนับจำนวนเฉพาะแต่ละตัวใน B
  4. $7B=2^2\times3^3\times5\times7$a new prime: 7มีจำนวนเฉพาะใหม่: 7
  5. $\text{LCM}=2^3\times3^3\times5^2\times7$highest power of each primeเลือกกำลังสูงสุดของแต่ละตัว
  6. $=8\times27\times25\times7$work out each powerคิดค่าแต่ละกำลัง
  7. $=37\,800$answerคำตอบ

10. Q9 · Simultaneous equations · 3 marksข้อ 9 · สมการสองตัวแปร · 3 คะแนน

Answer: x = 0.5, y = 1.5คำตอบ: x = 0.5, y = 1.5

Q9 Solve for x and yQ9 หา x และ y

Two equations: $2x+9y=14.5$ and $7x+3y=8$.
Find the $x$ and $y$ that make both true. Show every algebra step. [3]

  1. $2x+9y=14.5$number the first oneใส่เลขสมการแรก
  2. $7x+3y=8$number the second oneใส่เลขสมการที่สอง
  3. $21x+9y=24$make the y terms matchทำให้พจน์ y เท่ากัน
  4. $19x=9.5$9y cancels9y หักกันหมด
  5. $x=0.5$first answerได้ค่าแรก
  6. $2(0.5)+9y=14.5$put x = 0.5 into ①แทน x = 0.5 ใน ①
  7. $1+9y=14.5$move the 1ย้าย 1
  8. $9y=13.5$divide by 9หารด้วย 9
  9. $y=1.5$second answerได้ค่าที่สอง
  10. $x=0.5,\ y=1.5$answer · the lines cross hereคำตอบ · จุดที่สองเส้นตัดกัน

11. Q10 · Interquartile range · 2 marksข้อ 10 · พิสัยระหว่างควอไทล์ · 2 คะแนน

Answer: 10คำตอบ: 10

Q10 Find the IQRQ10 หา IQR

Fifteen students sat a test. Their marks, smallest first:
7, 10, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 20, 23, 25, 30, 39, 40
Work out the interquartile range (IQR) of the marks. [2]

  1. $n=15$count the marks · already in orderนับข้อมูล · เรียงแล้ว
  2. $\text{LQ place}=\dfrac{n+1}{4}$LQ “lower quartile”LQ = ควอไทล์ล่าง
  3. $=\dfrac{15+1}{4}$substituteแทนค่า
  4. $=4$the 4th markตัวที่ 4
  5. $\text{LQ}=15$read the 4th markอ่านค่าตัวที่ 4
  6. $\text{UQ place}=\dfrac{3(n+1)}{4}$UQ “upper quartile”UQ = ควอไทล์บน
  7. $=\dfrac{3\times16}{4}$substituteแทนค่า
  8. $=12$the 12th markตัวที่ 12
  9. $\text{UQ}=25$read the 12th markอ่านค่าตัวที่ 12
  10. $\text{IQR}=\text{UQ}-\text{LQ}$formulaสูตร
  11. $=25-15$substituteแทนค่า
  12. $=10$answerคำตอบ

12. Q11 · Differentiation · 6 marksข้อ 11 · อนุพันธ์ · 6 คะแนน

Answer: 12x² + 2x − 20; x = 4/3, x = −3/2คำตอบ: 12x² + 2x − 20; x = 4/3, x = −3/2

Q11(a) Find dy/dxQ11(a) หา dy/dx

Curve C: $y=4x^3+x^2-20x$.
(a) Differentiate to get $\dfrac{dy}{dx}$. [2]

  1. $y=4x^3+x^2-20x$the curveสมการเส้นโค้ง
  2. $\dfrac{d}{dx}\left(ax^n\right)=nax^{n-1}$dy/dx “dee y by dee x” = gradientdy/dx = ความชัน · ตบ ลบ ดิ๊ฟ
  3. $\dfrac{dy}{dx}=3\times4x^2+2x-20$power down, power minus 1ตบกำลังลงมา แล้วลบ 1
  4. $=12x^2+2x-20$answerคำตอบ

Q11(b) Where the gradient is 4Q11(b) จุดที่ความชันเท่ากับ 4

Curve C: $y=4x^3+x^2-20x$.
(b) Using $\dfrac{dy}{dx}=12x^2+2x-20$, find the $x$ coordinate of each point on C with gradient $4$. Show the algebra. [4]

  1. $\dfrac{dy}{dx}=12x^2+2x-20$gradient from (a)ความชันจากข้อ (a)
  2. $12x^2+2x-20=4$set the gradient to 4ให้ความชัน = 4
  3. $12x^2+2x-24=0$make it equal 0ทำให้อีกข้างเป็น 0
  4. $6x^2+x-12=0$smaller numbersตัวเลขเล็กลง
  5. $(3x-4)(2x+3)=0$factorise · 9x − 8x = xแยกตัวประกอบ · 9x − 8x = x
  6. $3x-4=0$first bracket = 0วงเล็บแรก = 0
  7. $3x=4$divide by 3หารด้วย 3
  8. $x=\dfrac43$first pointจุดแรก
  9. $2x+3=0$second bracket = 0วงเล็บที่สอง = 0
  10. $2x=-3$divide by 2หารด้วย 2
  11. $x=-\dfrac32$second pointจุดที่สอง
  12. $x=\dfrac43,\ x=-\dfrac32$answerคำตอบ

13. Q12 · Cumulative frequency · 4 marksข้อ 12 · ความถี่สะสม · 4 คะแนน

Answer: 28 cm; 14; 12คำตอบ: 28 cm; 14; 12

Q12(a) Median from the graphQ12(a) มัธยฐานจากกราฟ

50 plants grow in a flowerbed. The graph gives the cumulative frequency (CF) of their heights in cm.
(a) Estimate the median height from the graph. [1]

  1. $n=50$know: 50 plantsรู้: ต้นไม้ 50 ต้น
  2. $\dfrac{n}{2}=\dfrac{50}{2}$median: half of the totalมัธยฐาน: ครึ่งหนึ่งของทั้งหมด
  3. $=25$go across from 25 to the curveลากจาก 25 ไปชนกราฟ
  4. $\text{median}=28\text{ cm}$answer · go down, read the axisคำตอบ · ลากลง อ่านแกนนอน

Q12(b) Frequency of a classQ12(b) ความถี่ของช่วง

50 plants grow in a flowerbed. The graph gives the cumulative frequency (CF) of their heights in cm.
(b) From the graph, how many plants have a height $h$ with $30 \lt h \le 40$? [1]

  1. $f=\text{CF}(40)-\text{CF}(30)$CF = cumulative frequency · top minus bottomCF = ความถี่สะสม · บน − ล่าง
  2. $\text{CF}(40)=44$go up from 40ลากขึ้นจาก 40
  3. $\text{CF}(30)=30$go up from 30ลากขึ้นจาก 30
  4. $f=44-30$substituteแทนค่า
  5. $=14$answerคำตอบ

Q12(c) Taller than 35 cmQ12(c) สูงกว่า 35 ซม.

50 plants grow in a flowerbed. The graph gives the cumulative frequency (CF) of their heights in cm.
(c) Estimate from the graph how many plants are taller than 35 cm. [2]

  1. $\text{taller}=50-\text{CF}(35)$total minus those up to 35ทั้งหมด − ที่สูงไม่เกิน 35
  2. $\text{CF}(35)=38$go up from 35ลากขึ้นจาก 35
  3. $\text{taller}=50-38$substituteแทนค่า
  4. $=12$answerคำตอบ

14. Q13 · Equation of a line · 3 marksข้อ 13 · สมการเส้นตรง · 3 คะแนน

Answer: y = −2.5x − 0.5คำตอบ: y = −2.5x − 0.5

Q13 Line through A and BQ13 เส้นผ่าน A และ B

Point A is at (−5, 12) and point B is at (19, −48).
Write an equation of the straight line through A and B. [3]

  1. $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$m = gradient · rise over runm = ความชัน · ขึ้น ÷ ไป
  2. $m=\dfrac{-48-12}{19-(-5)}$substitute B and Aแทนค่า B กับ A
  3. $=\dfrac{-60}{24}$work out top and bottomคิดเศษและส่วน
  4. $=-2.5$gradientความชัน
  5. $y-y_1=m(x-x_1)$line through one pointเส้นตรงผ่านจุดหนึ่งจุด
  6. $y-12=-2.5(x+5)$substitute m and Aแทน m และจุด A
  7. $y-12=-2.5x-12.5$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  8. $y=-2.5x-0.5$answer · add 12 to both sidesคำตอบ · บวก 12 ทั้งสองข้าง

15. Q14 · Factorise fully · 3 marksข้อ 14 · แยกตัวประกอบให้สุด · 3 คะแนน

Answer: 2(5g + 3)(5g − 3)คำตอบ: 2(5g + 3)(5g − 3)

Q14 Common factor, then two squaresQ14 ตัวร่วม แล้วผลต่างกำลังสอง

Factorise $50g^2-18$ completely. [3]

  1. $50g^2-18=2(25g^2-9)$take out the common factor 2ดึงตัวร่วม 2 ออก
  2. $25g^2=(5g)^2$a squareเป็นกำลังสอง
  3. $9=3^2$a squareเป็นกำลังสอง
  4. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
  5. $25g^2-9=(5g+3)(5g-3)$a = 5g, b = 3a = 5g, b = 3
  6. $50g^2-18=2(5g+3)(5g-3)$answer · fully factorisedคำตอบ · แยกครบแล้ว

16. Q15 · Indices and standard form · 6 marksข้อ 15 · เลขยกกำลังและสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ · 6 คะแนน

Answer: −2.5; 1.8 × 10¹⁵⁶คำตอบ: −2.5; 1.8 × 10¹⁵⁶

Q15(a) Find nQ15(a) หาค่า n

(a) $\sqrt{2}\div\dfrac{8^3}{16^{\frac{3}{2}}}=2^n$. Find $n$, showing every step. [3]

  1. $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$square root = power ½รากที่สอง = ยกกำลัง ½
  2. $8^3=(2^3)^3$8 = 2³8 = 2³
  3. $=2^9$multiply the powersคูณเลขชี้กำลัง
  4. $16^{\frac{3}{2}}=(2^4)^{\frac{3}{2}}$16 = 2⁴16 = 2⁴
  5. $=2^6$4 × 3/2 = 64 × 3/2 = 6
  6. $\dfrac{8^3}{16^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{2^9}{2^6}$substituteแทนค่า
  7. $=2^3$divide: subtract the powersหาร: ลบเลขชี้กำลัง
  8. $2^{\frac{1}{2}}\div 2^3=2^n$the equation, all in base 2สมการ ฐาน 2 ทั้งหมด
  9. $2^{\frac{1}{2}-3}=2^n$divide: subtract the powersหาร: ลบเลขชี้กำลัง
  10. $n=\dfrac{1}{2}-3$same base, so powers are equalฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังเท่ากัน
  11. $n=-2.5$answerคำตอบ

Q15(b) A percent in standard formQ15(b) เปอร์เซ็นต์ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

(b) Work out 4% of $4.5\times10^{157}$. Write the answer in standard form. [3]

  1. $N=4.5\times 10^{157}$know: the numberรู้: จำนวนนี้
  2. $4\%\text{ of }N=0.04\times N$4% = 0.04 · of means times4% = 0.04 · "ของ" คือคูณ
  3. $=0.04\times 4.5\times 10^{157}$substituteแทนค่า
  4. $=0.18\times 10^{157}$0.04 × 4.5 = 0.180.04 × 4.5 = 0.18
  5. $=1.8\times 10^{-1}\times 10^{157}$0.18 = 1.8 × 10⁻¹0.18 = 1.8 × 10⁻¹
  6. $=1.8\times 10^{156}$answer · 1.8 is between 1 and 10คำตอบ · 1.8 อยู่ระหว่าง 1 กับ 10

17. Q16 · Venn diagrams · 3 marksข้อ 16 · แผนภาพเวนน์ · 3 คะแนน

Answer: 6; 36; 15คำตอบ: 6; 36; 15

Q16(a) Find xQ16(a) หา x

A Venn diagram shows sets A, B and C inside the universal set ℰ. Each number, and the letter x, is how many elements sit in that region.
$n(A\cup B)=42$.
(a) Work out the value of x. [1]

  1. $n(A\cup B)=42$∪ “union” = in A or in B∪ อ่านว่า ยูเนียน = อยู่ใน A หรือ B
  2. $9+12+5=26$three of the known regionsสามช่องที่รู้ค่า
  3. $26+3+7=36$all five known regionsครบห้าช่องที่รู้ค่า
  4. $x+36=42$x is the last regionx คือช่องที่เหลือ
  5. $x=6$answerคำตอบ

Q16(b) Find n(A′)Q16(b) หา n(A′)

A Venn diagram shows sets A, B and C inside the universal set ℰ. Each number, and the letter x, is how many elements sit in that region.
$n(A\cup B)=42$.
(b) Work out $n(A')$. [1]

  1. $n(A')=12+7+10+7$A′ “A dash” = not in AA′ อ่านว่า เอ แดช = ไม่อยู่ใน A
  2. $=36$answerคำตอบ

Q16(c) Find n(B′ ∩ C)Q16(c) หา n(B′ ∩ C)

A Venn diagram shows sets A, B and C inside the universal set ℰ. Each number, and the letter x, is how many elements sit in that region.
$n(A\cup B)=42$.
(c) Work out $n(B'\cap C)$. [1]

  1. $n(B'\cap C)=5+10$∩ “intersection” = in both · in C, not in B∩ อ่านว่า อินเตอร์เซกชัน = อยู่ทั้งคู่ · ใน C แต่ไม่อยู่ใน B
  2. $=15$answerคำตอบ

18. Q17 · Functions · 4 marksข้อ 17 · ฟังก์ชัน · 4 คะแนน

Answer: 2.5; 2คำตอบ: 2.5; 2

Q17(a) Value to leave outQ17(a) ค่าที่ต้องตัดออก

Two functions are $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$ and $h(x)=x^2+4$ for $x\ge 0$.
(a) Which value of x can never be in a domain of g? [1]

  1. $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$we cannot divide by 0หารด้วย 0 ไม่ได้
  2. $2x-5=0$find where the bottom is 0หาว่าตัวส่วนเป็น 0 ตรงไหน
  3. $2x=5$
  4. $x=2.5$answer · leave out x = 2.5คำตอบ · ตัด x = 2.5 ออก

Q17(b) Solve gh(x) = 1Q17(b) แก้ gh(x) = 1

Two functions are $g(x)=\dfrac{11}{2x-5}$ and $h(x)=x^2+4$ for $x\ge 0$.
(b) Find x when $gh(x)=1$. [3]

  1. $gh(x)=g(x^2+4)$h first, then gทำ h ก่อน แล้วค่อย g
  2. $=\dfrac{11}{2(x^2+4)-5}$put x² + 4 in place of xแทน x ด้วย x² + 4
  3. $=\dfrac{11}{2x^2+3}$expand: 8 − 5 = 3กระจาย · 8 − 5 = 3
  4. $\dfrac{11}{2x^2+3}=1$set it equal to 1ให้เท่ากับ 1
  5. $11=2x^2+3$
  6. $8=2x^2$
  7. $4=x^2$square root both sidesถอดรากทั้งสองข้าง
  8. $x=\pm 2$± “plus or minus”± อ่านว่า บวกลบ
  9. $x=2$answer · h has x ≥ 0, so not −2คำตอบ · h ใช้ x ≥ 0 จึงตัด −2

19. Q18 · Histograms · 4 marksข้อ 18 · ฮิสโทแกรม · 4 คะแนน

Answer: 25 and 60; bars of height 4.6, 1.8 and 0.7คำตอบ: 25 and 60; bars of height 4.6, 1.8 and 0.7

Q18 Finish the table and histogramQ18 เติมตารางและฮิสโทแกรม

140 people waited for a train at a station. A table and a histogram show their waiting times, t minutes, but both are unfinished.
Frequencies: $0\lt t\le 5$: 23 · $5\lt t\le 15$: ? · $15\lt t\le 30$: ? · $30\lt t\le 40$: 18 · $40\lt t\le 60$: 14.
Only the bars for $5\lt t\le 15$ and $15\lt t\le 30$ are drawn, and the frequency density axis has no numbers.
Fill in the two missing frequencies and draw the three missing bars. [4]

  1. $\text{missing}=140-(23+18+14)$the two blank rows share the restสองแถวที่ว่างแบ่งส่วนที่เหลือ
  2. $=85$85 people in the two drawn barsสองแท่งที่วาดแล้วมี 85 คน
  3. $\text{area}=1\times 2.5+1.5\times 4$big squares: 10 min wide, 1 line tallนับช่องใหญ่ · กว้าง 10 นาที สูง 1 ช่อง
  4. $=8.5\text{ squares}$
  5. $1\text{ square}=85\div 8.5$8.5 squares hold 85 people8.5 ช่องมี 85 คน
  6. $=10\text{ people}$
  7. $f=2.5\times 10$5 to 15: 2.5 squaresช่วง 5 ถึง 15 · 2.5 ช่อง
  8. $=25$first missing frequencyความถี่ที่หายไปตัวแรก
  9. $f=6\times 10$15 to 30: 1.5 × 4 = 6 squaresช่วง 15 ถึง 30 · 1.5 × 4 = 6 ช่อง
  10. $=60$check: 25 + 60 = 85เช็ก · 25 + 60 = 85
  11. $\text{fd}=\dfrac{f}{\text{width}}$fd = frequency densityfd = ความหนาแน่นความถี่
  12. $\dfrac{25}{10}=2.5$2.5 squares tall, so 1 line = 1สูง 2.5 ช่อง · 1 ช่อง = 1
  13. $\dfrac{23}{5}=4.6$0 to 5: bar 4.6 tallช่วง 0 ถึง 5 · สูง 4.6
  14. $\dfrac{18}{10}=1.8$30 to 40: bar 1.8 tallช่วง 30 ถึง 40 · สูง 1.8
  15. $\dfrac{14}{20}=0.7$answer · 40 to 60: bar 0.7 tallคำตอบ · ช่วง 40 ถึง 60 · สูง 0.7

20. Q19 · Vectors · 5 marksข้อ 19 · เวกเตอร์ · 5 คะแนน

Answer: −2a + b; 6 : 5คำตอบ: −2a + b; 6 : 5

Q19(a) Vector ANQ19(a) เวกเตอร์ AN

In the diagram, OMA, ONB, MPB and NPA are all straight lines. M is halfway along OA, and ON : NB = 1 : 5.
$\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$.
(a) Write $\overrightarrow{AN}$ using $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$. [1]

  1. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$M is halfway, so OA = 2aM อยู่กึ่งกลาง · OA = 2a
  2. $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{ON}$go A → O, then O → Nเดิน A → O แล้ว O → N
  3. $=-2\mathbf{a}+\mathbf{b}$answer · AO is OA backwardsคำตอบ · AO คือ OA กลับทิศ

Q19(b) Ratio AP : PNQ19(b) อัตราส่วน AP : PN

In the diagram, OMA, ONB, MPB and NPA are all straight lines. M is halfway along OA, and ON : NB = 1 : 5.
$\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$.
(b) Using $\overrightarrow{AN}=-2\mathbf{a}+\mathbf{b}$, find the ratio AP : PN by a vector method. [4]

  1. $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{a}$know: M is halfwayรู้: M อยู่กึ่งกลาง
  2. $\overrightarrow{OB}=6\mathbf{b}$1 : 5 is 6 parts of b1 : 5 รวม 6 ส่วน
  3. $\overrightarrow{MB}=-\mathbf{a}+6\mathbf{b}$M → O → BM → O → B
  4. $\overrightarrow{OP}=2\mathbf{a}+x(-2\mathbf{a}+\mathbf{b})$way 1: O → A → P · AP = x ANทาง 1: O → A → P · AP = x AN
  5. $=(2-2x)\mathbf{a}+x\mathbf{b}$collect a and bรวม a รวม b
  6. $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+y(-\mathbf{a}+6\mathbf{b})$way 2: O → M → P · MP = y MBทาง 2: O → M → P · MP = y MB
  7. $=(1-y)\mathbf{a}+6y\mathbf{b}$collect a and bรวม a รวม b
  8. $x=6y$b parts are equalส่วน b เท่ากัน
  9. $2-2x=1-y$a parts are equalส่วน a เท่ากัน
  10. $2-12y=1-y$put x = 6yแทน x = 6y
  11. $1=11y$
  12. $y=\dfrac{1}{11}$
  13. $x=6\times\dfrac{1}{11}=\dfrac{6}{11}$x is the share of ANx คือสัดส่วนของ AN
  14. $AP:PN=\dfrac{6}{11}:\dfrac{5}{11}$PN is the rest: 5/11PN คือส่วนที่เหลือ 5/11
  15. $AP:PN=6:5$answer · times by 11คำตอบ · คูณ 11

21. Q20 · Arithmetic series · 6 marksข้อ 20 · อนุกรมเลขคณิต · 6 คะแนน

Answer: 57คำตอบ: 57

Q20 Find XQ20 หา X

S is an arithmetic series. Its first 80 terms add up to 470, and its 75th term is 14.5.
Its first X terms add up to 171.
Find the value of X. Show clear working. [6]

  1. $S_n=\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$sum of n termsผลบวก n พจน์
  2. $\dfrac{80}{2}(2a+79d)=470$n = 80แทน n = 80
  3. $2a+79d=11.75$
  4. $u_n=a+(n-1)d$nth termพจน์ที่ n
  5. $a+74d=14.5$n = 75แทน n = 75
  6. $2a+148d=29$match the 2aให้ 2a ตรงกัน
  7. $69d=17.25$take away: 2a goesลบกัน · 2a หายไป
  8. $d=0.25$
  9. $a+74\times 0.25=14.5$put d backแทน d กลับ
  10. $a+18.5=14.5$
  11. $a=-4$a and d foundได้ a กับ d แล้ว
  12. $u_X=a+(X-1)d$the last termพจน์สุดท้าย
  13. $u_X=0.25X-4.25$put a and d inแทน a กับ d
  14. $a+u_X=0.25X-8.25$first term + last termพจน์แรก + พจน์สุดท้าย
  15. $\dfrac{X}{2}(a+u_X)=171$the X-term sumผลบวก X พจน์
  16. $X(a+u_X)=342$the halves are goneตัดครึ่งออกแล้ว
  17. $X(X-33)=1368$4 goes into the bracketเอา 4 เข้าวงเล็บ
  18. $X^2-33X=1368$expandกระจาย
  19. $X^2-33X-1368=0$quadratic in Xสมการกำลังสองของ X
  20. $(X-57)(X+24)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  21. $X=57$answer · X counts terms, so not −24คำตอบ · X คือจำนวนพจน์ ตัด −24

22. Q21 · Graph transformations · 2 marksข้อ 21 · การแปลงกราฟ · 2 คะแนน

Answer: (10, 5); (2, 5)คำตอบ: (10, 5); (2, 5)

Q21(a) Shift: f(x − 4)Q21(a) เลื่อน: f(x − 4)

The curve $y = \mathrm{f}(x)$ has exactly one turning point, at $(6, 5)$.
For each new curve below, state the coordinates of its turning point.
(a) The curve $y = \mathrm{f}(x - 4)$. [1]

  1. $\text{TP of }\mathrm{f}(x)=(6,\,5)$TP = turning point · givenTP = จุดวกกลับ · โจทย์ให้
  2. $y=\mathrm{f}(x-4)$“f of x minus 4”: shift right 4ลบ 4 ข้างใน = เลื่อนขวา 4
  3. $x=6+4$x moves, so add 4x เปลี่ยน · บวก 4
  4. $=10$new xx ใหม่
  5. $y=5$y does not changey เท่าเดิม
  6. $\text{TP}=(10,\,5)$answerคำตอบ

Q21(b) Stretch: f(3x)Q21(b) ยืด/หด: f(3x)

The curve $y = \mathrm{f}(x)$ has exactly one turning point, at $(6, 5)$.
For each new curve below, state the coordinates of its turning point.
(b) The curve $y = \mathrm{f}(3x)$. [1]

  1. $\text{TP of }\mathrm{f}(x)=(6,\,5)$givenโจทย์ให้
  2. $y=\mathrm{f}(3x)$times 3 inside: divide x by 3คูณ 3 ข้างใน = เอา 3 หาร x
  3. $x=6\div 3$x movesx เปลี่ยน
  4. $=2$new xx ใหม่
  5. $y=5$y does not changey เท่าเดิม
  6. $\text{TP}=(2,\,5)$answerคำตอบ

23. Q22 · Areas · pentagon and circles · 6 marksข้อ 22 · พื้นที่ · ห้าเหลี่ยมกับวงกลม · 6 คะแนน

Answer: 3.45 cmคำตอบ: 3.45 cm

Q22 Radius of the small circleQ22 รัศมีวงกลมเล็ก

Two circles share the centre $O$. A regular pentagon $ABCDE$ has its five corners on the larger circle, and each side of the pentagon is 8 cm. The smaller circle sits inside the pentagon.
Shaded parts: the larger circle outside the pentagon, and the whole smaller circle. The total shaded area equals the unshaded area.
Find the radius of the smaller circle. Answer to 3 s.f. [6]

  1. $\angle COB=\dfrac{360^\circ}{5}$five equal angles at Oมุมที่ O แบ่ง 5 ส่วนเท่ากัน
  2. $=72^\circ$angle COBมุม COB
  3. $\angle COM=36^\circ$OM cuts BC in half: MC = 4OM แบ่งครึ่ง BC · MC = 4
  4. $R=\dfrac{4}{\sin 36^\circ}$R = big radius · hyp = opp ÷ sinR = รัศมีใหญ่ · ฉาก = ข้าม ÷ sin
  5. $=6.805\ldots$big radiusรัศมีวงใหญ่
  6. $h=\dfrac{4}{\tan 36^\circ}$h = OM · adj = opp ÷ tanh = OM · ชิด = ข้าม ÷ tan
  7. $=5.505\ldots$height of one triangleสูงของสามเหลี่ยม 1 รูป
  8. $C=\pi R^2$C = big circle areaC = พื้นที่วงใหญ่
  9. $=145.49\ldots$π × 6.805²π × 6.805²
  10. $P=5\times\dfrac12\times 8\times h$P = pentagon = 5 trianglesP = ห้าเหลี่ยม = สามเหลี่ยม 5 รูป
  11. $=110.11\ldots$pentagon areaพื้นที่ห้าเหลี่ยม
  12. $C-P+\pi r^2=P-\pi r^2$shaded = unshadedส่วนแรเงา = ส่วนไม่แรเงา
  13. $35.38+\pi r^2=110.11-\pi r^2$substitute C − P = 35.38แทนค่า C − P = 35.38
  14. $35.38+2\pi r^2=110.11$r terms on one sideพจน์ r ไว้ข้างเดียว
  15. $2\pi r^2=74.73\ldots$divide by 2πหารด้วย 2π
  16. $r^2=11.89\ldots$square rootถอดรูท
  17. $r=3.45\text{ cm}$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 s.f.

24. Q23 · Frustum · surface area · 5 marksข้อ 23 · ฟรัสตัม · พื้นที่ผิว · 5 คะแนน

Answer: 5090 cm²คำตอบ: 5090 cm²

Q23 Total surface areaQ23 พื้นที่ผิวทั้งหมด

A large pyramid has a square base of side 39 cm and a height of 45 cm. A small pyramid, similar to it and 15 cm tall, is cut off the top. The piece that is left is a frustum.
Work out the frustum’s total surface area (all six faces). Answer to the nearest whole number. [5]

  1. $k=\dfrac{15}{45}$k = scale factor, small ÷ largek = อัตราส่วน เล็ก ÷ ใหญ่
  2. $=\dfrac13$every small length is ⅓ความยาวรูปเล็ก = ⅓ ของใหญ่
  3. $\text{top}=39\times\dfrac13$top square of the frustumด้านของสี่เหลี่ยมด้านบน
  4. $=13\text{ cm}$top sideด้านบนยาว 13
  5. $\text{squares}=13^2+39^2$top + baseบน + ฐาน
  6. $=1690$two square facesหน้าสี่เหลี่ยม 2 หน้า
  7. $l=\sqrt{45^2+19.5^2}$l = slant of big face · Pythagorasl = สูงเอียงของหน้าใหญ่ · พีทาโกรัส
  8. $=49.04\ldots$big slant heightสูงเอียงรูปใหญ่
  9. $s=\dfrac23\times 49.04\ldots$s = frustum slant: lower ⅔ of ls = สูงเอียงฟรัสตัม = ⅔ ของ l
  10. $=32.70\ldots$height of each side faceสูงของหน้าข้าง
  11. $\text{trap}=\dfrac12(13+39)s$each side face is a trapeziumหน้าข้างเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู
  12. $=850.08\ldots$one side faceหน้าข้าง 1 หน้า
  13. $A=1690+4\times 850.08$A = 2 squares + 4 side facesA = สี่เหลี่ยม 2 + หน้าข้าง 4
  14. $=5090.3\ldots$
  15. $A=5090\text{ cm}^2$answer · nearest whole numberคำตอบ · จำนวนเต็มที่ใกล้สุด

25. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A : B : C = 3 : 7 : 10, and B has 20 more than A. How many does C have?A : B : C = 3 : 7 : 10 · B มากกว่า A อยู่ 20 · C มีเท่าไร
    Answer:เฉลย: 507 − 3 = 4 parts = 20, so 1 part = 5 and C = 10 × 5.7 − 3 = 4 ส่วน = 20 · 1 ส่วน = 5 · C = 10 × 5
  2. Same shape: AE = 12 cm, BE = 5 cm, BC = 4 cm, angle AEB = 90°. Find the perimeter of AEBCD in cm.รูปเดิม · AE = 12, BE = 5, BC = 4 cm · มุม AEB = 90° · หาเส้นรอบรูป AEBCD (cm)
    Answer:เฉลย: 38AB = √(12² + 5²) = 13 = DC, so 12 + 5 + 4 + 13 + 4 = 38.AB = √(12² + 5²) = 13 = DC · 12 + 5 + 4 + 13 + 4 = 38
  3. Marks in order: 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 22, 26. Find the IQR.คะแนนเรียงแล้ว: 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 22, 26 · หา IQR
    Answer:เฉลย: 13n = 11. LQ is the 3rd mark (8), UQ is the 9th mark (21). 21 − 8 = 13.n = 11 · LQ คือตัวที่ 3 = 8 · UQ คือตัวที่ 9 = 21 · 21 − 8 = 13
  4. A is (−2, 7) and B is (4, −11). Find the equation of the line through A and B in the form y = mx + c.A(−2, 7) และ B(4, −11) · หาสมการเส้นตรงผ่าน A และ B ในรูป y = mx + c
    Answer:เฉลย: y = -3x + 1m = (−11 − 7) ÷ (4 + 2) = −3. Then 7 = −3(−2) + c, so c = 1.m = (−11 − 7) ÷ (4 + 2) = −3 · แทน A: 7 = −3(−2) + c ได้ c = 1
  5. g(x) = 7/(2x − 3) and h(x) = x² + 1 for x ≥ 0. Solve gh(x) = 1.g(x) = 7/(2x − 3) · h(x) = x² + 1 สำหรับ x ≥ 0 · แก้ gh(x) = 1
    Answer:เฉลย: 2gh(x) = 7/(2x² − 1). Set it equal to 1: 2x² = 8, x² = 4, and x ≥ 0 gives x = 2.gh(x) = 7/(2x² − 1) = 1 · 2x² = 8 · x² = 4 · x ≥ 0 จึงได้ x = 2
  6. An arithmetic series: the first 20 terms add up to 440 and the 10th term is 21. The first X terms add up to 168. Find X.อนุกรมเลขคณิต · ผลบวก 20 พจน์แรก = 440 · พจน์ที่ 10 = 21 · ผลบวก X พจน์แรก = 168 · หา X
    Answer:เฉลย: 1210(2a + 19d) = 440 and a + 9d = 21 give a = 3, d = 2. Then X/2(6 + 2(X − 1)) = 168, so X(X + 2) = 168 and X = 12.10(2a + 19d) = 440 กับ a + 9d = 21 ได้ a = 3, d = 2 · แล้ว X(X + 2) = 168 · X = 12
  7. A pyramid with a square base of side 24 cm and height 30 cm has a similar pyramid 10 cm tall cut off the top. Work out the frustum’s total surface area, to the nearest cm².พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน 24 cm สูง 30 cm · ตัดพีระมิดคล้ายสูง 10 cm ออกจากยอด · หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของฟรัสตัม (จำนวนเต็ม cm²)
    Answer:เฉลย: 2019k = ⅓, top 8. Squares 64 + 576 = 640. Slant √(30² + 12²) = 32.31, frustum slant ⅔ of it = 21.54. 4 × ½(8 + 24) × 21.54 = 1378.6. Total 2018.6 ≈ 2019.k = ⅓ ด้านบน 8 · สี่เหลี่ยม 64 + 576 = 640 · สูงเอียง √(30² + 12²) = 32.31 · ⅔ = 21.54 · หน้าข้าง 4 × ½(8 + 24) × 21.54 = 1378.6 · รวม 2018.6 ≈ 2019

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี