Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

4MA1 1H · June 20244MA1 1H · มิ.ย. 2024

IGCSE · Edexcel 4MA1 Higher · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Arithmetic sequences · 3 marksข้อ 1 · ลำดับเลขคณิต · 3 คะแนน

Answer: 3n − 2; 77คำตอบ: 3n − 2; 77

Q1(a) Write the nth termQ1(a) เขียนพจน์ที่ n

(a) An arithmetic sequence starts $1,4,7,10,\ldots$. Give a formula, using $n$, for its general term. [2]

  1. $a_1=1$first termพจน์แรก
  2. $d=4-1$common differenceผลต่างร่วม
  3. $=3$
  4. $u_n=a_1+(n-1)d$nth-term rule (u_n “u n”)สูตรพจน์ที่ n (u_n อ่านว่า ยู-เอ็น)
  5. $u_n=1+(n-1)3$substituteแทนค่า
  6. $=1+3n-3$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  7. $=3n-2$answerคำตอบ

Q1(b) Use the rule to find a termQ1(b) ใช้สูตรหาพจน์

(b) A second sequence has general term $5n+17$. Work out the value of its 12th term. [1]

  1. $u_n=5n+17$the rule for this sequenceสูตรของลำดับนี้
  2. $u_{12}=5\times12+17$substitute n = 12แทน n = 12
  3. $=60+17$multiply firstคูณก่อน
  4. $=77$answerคำตอบ

3. Q2 · Probability estimate · 4 marksข้อ 2 · ประมาณจำนวนครั้งจากความน่าจะเป็น · 4 คะแนน

Answer: 162คำตอบ: 162

Q2 How many travelled by car?Q2 เดินทางด้วยรถกี่คน

450 students each got to school one of four ways: on foot, by bus, by car or by bicycle, never more than one way.
The table gives the chance of each way, with the bus and car chances written as $x$ and $2x$.
One student is picked at random from the 450. Work out how many of them came to school by car. [4]

  1. $w+c=0.20+0.26$walk + bicycle, the known chancesเดิน + จักรยาน ที่รู้ค่าแล้ว
  2. $=0.46$
  3. $x+2x+0.46=1$bus + car + known chances total 1รถเมล์ + รถ + ที่รู้ค่า รวมกันได้ 1
  4. $3x=0.54$combine x and 2xรวม x กับ 2x
  5. $x=0.18$chance of busความน่าจะเป็นรถเมล์
  6. $\text{car}=2x$car chance is double the bus chanceความน่าจะเป็นรถ เป็นสองเท่าของรถเมล์
  7. $=2\times0.18$substitute xแทนค่า x
  8. $=0.36$chance of carความน่าจะเป็นรถ
  9. $\text{students}=0.36\times450$chance × number of studentsความน่าจะเป็น × จำนวนนักเรียน
  10. $=162$answer · studentsคำตอบ · คน

4. Q3 · Highest common factor · 2 marksข้อ 3 · ตัวหารร่วมมาก · 2 คะแนน

Answer: 36คำตอบ: 36

Q3 Find HCF(72, 108)Q3 หา ห.ร.ม. ของ 72 กับ 108

Find HCF(72, 108) (HCF = "highest common factor"). Show every step of your working. [2]

  1. $72=2^3\times3^2$break 72 into prime factorsแยก 72 เป็นตัวประกอบเฉพาะ
  2. $108=2^2\times3^3$break 108 into prime factorsแยก 108 เป็นตัวประกอบเฉพาะ
  3. $\text{HCF}=2^2\times3^2$take the lower power of each shared primeเลือกเลขชี้กำลังที่น้อยกว่าของแต่ละตัวร่วม
  4. $=4\times9$
  5. $=36$answerคำตอบ

5. Q4 · Reverse percentage · 3 marksข้อ 4 · ร้อยละย้อนกลับ · 3 คะแนน

Answer: 820คำตอบ: 820

Q4 Work backwards from a 15% riseQ4 ย้อนกลับจากที่เพิ่มขึ้น 15%

Nok drove 943 km one month. That distance was 15% more than she drove the month before. Find the earlier month’s distance. [3]

  1. $A=1.15M$later month = 115% of the earlier oneเดือนหลัง = 115% ของเดือนก่อน
  2. $943=1.15M$substitute A = 943แทน A = 943
  3. $M=820$answer · kmคำตอบ · กิโลเมตร

6. Q5 · Angles in a polygon · 4 marksข้อ 5 · มุมในรูปหลายเหลี่ยม · 4 คะแนน

Answer: 156°คำตอบ: 156°

Q5 Find the obtuse angle FEDQ5 หามุม FED ที่เป็นมุมป้าน

$ABCDE$ is a regular pentagon, and $F$ is a point outside it, joined to $E$. The sketch is not to scale.
Angle $AEF=96^\circ$.
Calculate the size of angle $FED$ (it is the obtuse one). [4]

  1. $\text{int}=\dfrac{(5-2)\times180}{5}$interior angle of a regular pentagonมุมภายในของรูปห้าเหลี่ยมปกติ
  2. $=\dfrac{540}{5}$
  3. $=108$interior ∠AED (∠ “angle”)มุมภายใน ∠AED (∠ อ่านว่า มุม)
  4. $96+108+y=360$angles round point E add to 360 · y = ∠FEDมุมรอบจุด E รวมกันได้ 360 · y = ∠FED
  5. $204+y=360$add the two known anglesบวกมุมที่รู้สองมุม
  6. $y=156$answerคำตอบ

7. Q6 · Expanding and solving · 5 marksข้อ 6 · กระจายและแก้สมการ · 5 คะแนน

Answer: m² − 3m − 40; n = 4.5 (9/2)คำตอบ: m² − 3m − 40; n = 4.5 (9/2)

Q6(a) Expand two bracketsQ6(a) กระจายสองวงเล็บ

(a) Expand and simplify $(m+5)(m-8)$. [2]

  1. $(m+5)(m-8)$two brackets, four productsสองวงเล็บ สี่ผลคูณ
  2. $=m^2-3m-40$answer · the four cells, −8m + 5m = −3mคำตอบ · สี่ช่องรวมกัน · −8m + 5m = −3m

Q6(b) Solve with a fractionQ6(b) แก้สมการที่มีเศษส่วน

(b) Solve $3n-4=\dfrac{5n+6}{3}$. Show each algebra step. [3]

  1. $3n-4=\dfrac{5n+6}{3}$the equationสมการ
  2. $9n-12=5n+6$both sides × 3คูณสองข้างด้วย 3
  3. $4n=18$n-terms on one sideพจน์ n ไว้ข้างเดียว
  4. $n=\dfrac{18}{4}$
  5. $n=4.5$answer · 9/2คำตอบ · 9/2

8. Q7 · Sets · 5 marksข้อ 7 · เซต · 5 คะแนน

Answer: {23, 24, 27, 29, 30, 31, 33}; {27, 33}; Yes — B ∩ C = ∅; {23, 25, 29, 31}คำตอบ: {23, 24, 27, 29, 30, 31, 33}; {27, 33}; Yes — B ∩ C = ∅; {23, 25, 29, 31}

Q7(a)(i) Union of two setsQ7(a)(i) ยูเนียนของสองเซต

The universal set is E = {23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}.
$A$ is the even numbers in $E$, $B=\{23,29,31\}$, and $C$ is the multiples of 3 in $E$.
(a)(i) Write down every member of $B\cup C$. [1]

  1. $B\cup C$∪ "union": in B or in C∪ อ่านว่า "ยูเนียน": อยู่ใน B หรือ C
  2. $=\{23,24,27,29,30,31,33\}$list each one onceเขียนแต่ละตัวครั้งเดียว

Q7(a)(ii) Complement and intersectionQ7(a)(ii) คอมพลีเมนต์และอินเตอร์เซกชัน

The universal set is E = {23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}.
$A$ is the even numbers in $E$, $B=\{23,29,31\}$, and $C$ is the multiples of 3 in $E$.
(a)(ii) Write down every member of $A'\cap C$. [1]

  1. $A'=\{23,25,27,29,31,33\}$A′ "not A": the odd numbersA′ อ่านว่า "ไม่ใช่ A": เลขคี่
  2. $A'\cap C$∩ "intersection": in both∩ อ่านว่า "อินเตอร์เซกชัน": อยู่ทั้งคู่
  3. $=\{27,33\}$in A′ and in Cอยู่ใน A′ และ C

Q7(b) Is the intersection emptyQ7(b) อินเตอร์เซกชันว่างไหม

The universal set is E = {23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}.
$A$ is the even numbers in $E$, $B=\{23,29,31\}$, and $C$ is the multiples of 3 in $E$.
(b) Is $B\cap C=\emptyset$? Answer Yes or No, and give your reason. [1]

  1. $B\cap C$numbers in both B and Cเลขที่อยู่ทั้ง B และ C
  2. $=\emptyset$∅ "empty set": nothing in common∅ อ่านว่า "เซตว่าง": ไม่มีตัวร่วม
  3. $\text{Yes}$no multiple of 3 is in Bไม่มีตัวคูณของ 3 อยู่ใน B

Q7(c) Build a fourth setQ7(c) สร้างเซตที่สี่

The universal set is E = {23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}.
$A$ is the even numbers in $E$, $B=\{23,29,31\}$, and $C$ is the multiples of 3 in $E$.
(c) $D$ has 4 members, and $D\cap(A\cup C)=\emptyset$. Write down the members of $D$. [2]

  1. $A\cup C$∪: in A or in C∪: อยู่ใน A หรือ C
  2. $=\{24,26,27,28,30,32,33,34\}$eight numbersแปดตัว
  3. $D=E-(A\cup C)$D is everything left overD คือตัวที่เหลือ
  4. $=\{23,25,29,31\}$answer · the four left overคำตอบ · สี่ตัวที่เหลือ

9. Q8 · Pressure · 3 marksข้อ 8 · ความดัน · 3 คะแนน

Answer: 1.12 N/cm²คำตอบ: 1.12 N/cm²

Q8 Pressure on the tableQ8 ความดันที่พื้นโต๊ะ

A solid cylinder sits on a table. The cylinder has height 21 cm and volume 1575 $\text{cm}^3$, and it presses down on the table with a force of 84 newtons.
Pressure is force divided by area. Work out the pressure the cylinder exerts on the table, in newtons per $\text{cm}^2$. [3]

  1. $V=A\times h$volume = base area × heightปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง
  2. $1575=A\times21$substituteแทนค่า
  3. $A=1575\div21$rearrange for the areaจัดสมการหาพื้นที่
  4. $=75$base area in cm²พื้นที่ฐาน ตร.ซม.
  5. $\text{pressure}=\dfrac{\text{force}}{\text{area}}$the given formulaสูตรที่โจทย์ให้
  6. $=\dfrac{84}{75}$substituteแทนค่า
  7. $=1.12$answer · newtons/cm²คำตอบ · นิวตัน/ตร.ซม.

10. Q9 · Standard form · 3 marksข้อ 9 · รูปแบบมาตรฐาน · 3 คะแนน

Answer: 35 000 000; 7.6 × 10⁶คำตอบ: 35 000 000; 7.6 × 10⁶

Q9(a) Standard form to ordinaryQ9(a) รูปมาตรฐานเป็นเลขปกติ

In 2020, Indonesia produced $3.5\times10^7$ tonnes of rice and Argentina produced $8.2\times10^5$ tonnes.
(a) Give $3.5\times10^7$ in full, as a normal number. [1]

  1. $3.5\times10^7$power 7: point moves right 7กำลัง 7: จุดเลื่อนขวา 7 ตำแหน่ง
  2. $=35\,000\,000$answerคำตอบ

Q9(b) Add then convert backQ9(b) บวกแล้วเขียนกลับ

In 2020, Indonesia produced $3.5\times10^7$ tonnes of rice and Argentina produced $8.2\times10^5$ tonnes.
(b) That same year, Japan's rice crop was 6 780 000 tonnes bigger than Argentina's. Find Japan's amount, in standard form. [2]

  1. $8.2\times10^5$Argentina, as a normal numberอาร์เจนตินา เป็นเลขปกติ
  2. $=820\,000$
  3. $\text{Japan}=820\,000+6\,780\,000$add the extra amountบวกส่วนที่มากกว่า
  4. $=7\,600\,000$tonnesตัน
  5. $=7.6\times10^6$answer · standard formคำตอบ · รูปแบบมาตรฐาน

11. Q10 · Laws of indices · 4 marksข้อ 10 · กฎเลขชี้กำลัง · 4 คะแนน

Answer: 1; 6; 125a¹²c⁶คำตอบ: 1; 6; 125a¹²c⁶

Q10(a) Power of zeroQ10(a) ยกกำลังศูนย์

(a) Simplify $(2p)^0$, given $p\gt0$. [1]

  1. $(2p)^0$anything (not 0) to the power 0เลขใดๆ (ไม่ใช่ 0) ยกกำลัง 0
  2. $=1$answerคำตอบ

Q10(b) Multiplying powersQ10(b) คูณเลขชี้กำลัง

(b) $y^9\times y^{-3}=y^n$. What is $n$? [1]

  1. $y^9\times y^{-3}=y^n$multiply: add the powersคูณ: บวกเลขชี้กำลัง
  2. $n=9+(-3)$add the powersบวกเลขชี้กำลัง
  3. $=6$answerคำตอบ

Q10(c) Power of a powerQ10(c) ยกกำลังซ้อน

(c) Simplify $(5a^4c^2)^3$ fully. [2]

  1. $(5a^4c^2)^3$cube each factor insideยกกำลัง 3 ทุกตัวในวงเล็บ
  2. $=5^3\times(a^4)^3\times(c^2)^3$power outside × power insideเลขชี้กำลังนอกคูณเลขชี้กำลังใน
  3. $=125\times a^{12}\times c^6$
  4. $=125a^{12}c^6$answer · fully simplifiedคำตอบ · ย่อสุดแล้ว

12. Q11 · Pythagoras and cost · 4 marksข้อ 11 · พีทาโกรัสและค่าใช้จ่าย · 4 คะแนน

Answer: 795.50 eurosคำตอบ: 795.50 euros

Q11 Roof wood, whole metresQ11 ไม้ค้ำหลังคา หน่วยเมตรเต็ม

A roof support is built using four pieces of wood, named AB, AC, BC and MC, with M on AB. Angle AMC is a right angle, and AC = BC = 9 m while AB = 12 m. Wood costs 21.50 euros per metre, and Lewis can only buy whole metres.
Find the total amount Lewis spends on the wood, and show your steps. [4]

  1. $AM=MB=\dfrac{12}{2}$M is the midpoint, so the roof is symmetricM อยู่กึ่งกลาง หลังคาสมมาตร
  2. $AM=MB=6$metres, each halfเมตร แต่ละครึ่ง
  3. $MC^2+AM^2=AC^2$Pythagoras in the right triangleพีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก
  4. $MC^2+6^2=9^2$substituteแทนค่า
  5. $MC^2+36=81$square 6 and 96 และ 9 ยกกำลังสอง
  6. $MC^2=81-36$move 36 acrossย้าย 36 ข้าม
  7. $MC^2=45$
  8. $MC=\sqrt{45}$square root both sidesถอดรากทั้งสองข้าง
  9. $MC=6.708\ldots$metres · not rounded yetเมตร · ยังไม่ปัดเศษ
  10. $MC=7$round UP · must buy a whole metreปัดขึ้น · ต้องซื้อเป็นเมตรเต็ม
  11. $\text{total}=7+9+9+12$MC + AC + BC + ABMC + AC + BC + AB
  12. $\text{total}=37$metres of woodเมตรของไม้
  13. $\text{cost}=37\times21.50$metres × price per metreเมตร × ราคาต่อเมตร
  14. $\text{cost}=795.50$answer · eurosคำตอบ · ยูโร

13. Q12 · Factorising and algebraic fractions · 5 marksข้อ 12 · แยกตัวประกอบและเศษส่วนพีชคณิต · 5 คะแนน

Answer: (2y + 1)(3y − 4); (31 − 14x)/(12x)คำตอบ: (2y + 1)(3y − 4); (31 − 14x)/(12x)

Q12(a) Factorise the quadraticQ12(a) แยกตัวประกอบกำลังสอง

(a) Factorise $6y^2-5y-4$ completely. [2]

  1. $(2y+1)(3y-4)$try these bracketsลองวงเล็บนี้
  2. $\text{near}\times\text{near}=1\times3y$inner pairคู่ด้านใน
  3. $=3y$
  4. $\text{far}\times\text{far}=2y\times(-4)$outer pairคู่ด้านนอก
  5. $=-8y$
  6. $3y-8y=-5y$matches the middle termตรงกับพจน์กลาง
  7. $6y^2-5y-4=(2y+1)(3y-4)$answerคำตอบ

Q12(b) Add the fractionsQ12(b) บวกเศษส่วน

(b) Write $\dfrac{2x+1}{4x}+\dfrac{7-5x}{3x}$ as one simplified fraction. [3]

  1. $\text{LCD}=12x$lowest common denominator of 4x, 3xตัวส่วนร่วมน้อยสุดของ 4x, 3x
  2. $\dfrac{2x+1}{4x}=\dfrac{3(2x+1)}{12x}$×3 top and bottom×3 ทั้งบนและล่าง
  3. $=\dfrac{6x+3}{12x}$expandกระจาย
  4. $\dfrac{7-5x}{3x}=\dfrac{4(7-5x)}{12x}$×4 top and bottom×4 ทั้งบนและล่าง
  5. $=\dfrac{28-20x}{12x}$expandกระจาย
  6. $\text{tops}=6x+3+28-20x$same bottom now · add the topsตัวส่วนเท่ากันแล้ว · บวกตัวเศษ
  7. $=31-14x$collect · 3+28=31, 6x−20x=−14xรวมพจน์ · 3+28=31, 6x−20x=−14x
  8. $\text{sum}=\dfrac{31-14x}{12x}$answer · back over 12xคำตอบ · ใส่กลับบน 12x

14. Q13 · Probability tree diagram · 5 marksข้อ 13 · แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็น · 5 คะแนน

Answer: A: white 3/10, black 7/10; B: white 5/9, black 4/9 (same on both pairs); 43/90คำตอบ: A: white 3/10, black 7/10; B: white 5/9, black 4/9 (same on both pairs); 43/90

Q13(a) Complete the treeQ13(a) เติมต้นไม้ให้ครบ

Harman has two bags filled with beads. Bag A holds 3 white and 7 black beads. Bag B holds 5 white and 4 black beads. He takes one bead from each bag at random.
(a) Fill in the missing probabilities on the tree. [2]

  1. $P(W_A)=\dfrac{3}{10}$white in bag A: 3 of 10ขาวในถุง A: 3 จาก 10
  2. $P(K_A)=1-P(W_A)$two branches add to 1สองกิ่งรวมกันได้ 1
  3. $=1-\dfrac{3}{10}$substituteแทนค่า
  4. $=\dfrac{7}{10}$bag A, black branchกิ่งดำของถุง A
  5. $P(W_B)=\dfrac{5}{9}$5 white of 9 in bag Bขาว 5 จาก 9 ในถุง B
  6. $P(K_B)=\dfrac{4}{9}$answer · same on both pairsคำตอบ · ถุง B เหมือนกันทั้งสองคู่

Q13(b) Same colourQ13(b) สีเดียวกัน

Harman has two bags filled with beads. Bag A holds 3 white and 7 black beads. Bag B holds 5 white and 4 black beads. He takes one bead from each bag at random.
(b) Find the probability that the two beads are the same colour. [3]

  1. $P(WW)=P(W_A)P(W_B)$both white: multiply along the path“ขาวทั้งคู่”: คูณตามกิ่ง
  2. $P(WW)=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{5}{9}$substituteแทนค่า
  3. $=\dfrac{15}{90}$top × top, bottom × bottomบนคูณบน ล่างคูณล่าง
  4. $P(KK)=P(K_A)P(K_B)$both black: multiply along the path“ดำทั้งคู่”: คูณตามกิ่ง
  5. $P(KK)=\dfrac{7}{10}\times\dfrac{4}{9}$substituteแทนค่า
  6. $=\dfrac{28}{90}$top × top, bottom × bottomบนคูณบน ล่างคูณล่าง
  7. $P(\text{same})=\dfrac{15}{90}+\dfrac{28}{90}$“or”: add the two paths“หรือ”: บวกสองเส้นทาง
  8. $=\dfrac{43}{90}$answerคำตอบ

15. Q14 · Ratio and percentage · 5 marksข้อ 14 · อัตราส่วนและร้อยละ · 5 คะแนน

Answer: 6090 dinarsคำตอบ: 6090 dinars

Q14 Find the savings of ChandaQ14 หาเงินออมของ Chanda

Abel and Bahira together have 15 435 dinars saved. Bahira has 45% more savings than Abel. Bahira has saved 3/2 times what Chanda has saved.
Find how many dinars Chanda has saved. [5]

  1. $B=1.45A$Bahira: 45% more than AbelBahira มากกว่า Abel 45%
  2. $A+B=15435$their savings add to thisเงินออมรวมกันได้เท่านี้
  3. $A+1.45A=15435$substitute Bแทนค่า B
  4. $2.45A=15435$collect like termsรวมพจน์เหมือนกัน
  5. $A=\dfrac{15435}{2.45}$divide by 2.45หารด้วย 2.45
  6. $A=6300$savings of Abel, in dinarsเงินออมของ Abel · ดีนาร์
  7. $B=1.45\times6300$substituteแทนค่า
  8. $B=9135$savings of Bahira, in dinarsเงินออมของ Bahira · ดีนาร์
  9. $B=1.5C$Bahira: 1.5 × ChandaBahira เป็น 1.5 เท่าของ Chanda
  10. $C=\dfrac{B}{1.5}$rearrangeจัดรูปใหม่
  11. $C=\dfrac{9135}{1.5}$substituteแทนค่า
  12. $C=6090$answer · dinarsคำตอบ · ดีนาร์

16. Q15 · Functions and inverses · 4 marksข้อ 15 · ฟังก์ชันและอินเวอร์ส · 4 คะแนน

Answer: x = 2; f⁻¹(x) = (1 + 2x)/(x − 3)คำตอบ: x = 2; f⁻¹(x) = (1 + 2x)/(x − 3)

Q15(a) Excluded x-valueQ15(a) ค่า x ที่ห้ามใช้

The function f is given by $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$.
(a) Write down the value of x that must be excluded from the domain of f. [1]

  1. $x-2=0$the denominator cannot be 0ตัวส่วนเป็น 0 ไม่ได้
  2. $x=2$answerคำตอบ

Q15(b) Find the inverseQ15(b) หาฟังก์ชันอินเวอร์ส

The function f is given by $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$.
(b) Write $f^{-1}$, the inverse function, in the form $f^{-1}(x)=\ldots$ [3]

  1. $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$let y = f(x)ให้ y = f(x)
  2. $y(x-2)=3x+1$multiply both sides by (x − 2)คูณทั้งสองข้างด้วย (x − 2)
  3. $yx-2y=3x+1$expand, then swap sidesกระจาย แล้วย้ายข้าง
  4. $yx-3x=1+2y$
  5. $x(y-3)=1+2y$factorise: x is commonแยกตัวร่วม: x เป็นตัวร่วม
  6. $x=\dfrac{1+2y}{y-3}$divide by (y − 3)หารด้วย (y − 3)
  7. $f^{-1}(x)=\dfrac{1+2x}{x-3}$swap x and y for the inverseสลับ x กับ y เพื่อหาอินเวอร์ส

17. Q16 · Probability without replacement · 4 marksข้อ 16 · ความน่าจะเป็นแบบไม่ใส่คืน · 4 คะแนน

Answer: 45/76คำตอบ: 45/76

Q16 Mixed colours, no replacementQ16 สีผสม ไม่ใส่คืน

A box has 20 sweets: 15 red and 5 yellow. Fred picks 3 sweets one at a time, with none put back. Find the probability his 3 sweets are not all the same colour. [4]

  1. $P(A)=\dfrac{91}{228}$A = all 3 redA = แดงทั้ง 3 เม็ด
  2. $P(B)=\dfrac{2}{228}$B = all 3 yellowB = เหลืองทั้ง 3 เม็ด
  3. $1-P(A)-P(B)$mixed = 1 − all sameผสม = 1 − สีเดียวกันหมด
  4. $=\dfrac{135}{228}$228 − 91 − 2228 − 91 − 2
  5. $=\dfrac{45}{76}$simplify ÷3ตัดทอน ÷3

18. Q17 · Surds · 3 marksข้อ 17 · กรณฑ์ · 3 คะแนน

Answer: 2 + √5 (a = 2, b = 5)คำตอบ: 2 + √5 (a = 2, b = 5)

Q17 Rationalise the denominatorQ17 ทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ

Show that $\dfrac{1+\sqrt5}{3-\sqrt5}$ simplifies to $a+\sqrt b$, where $a$ and $b$ are whole numbers. Write out every step. [3]

  1. $\dfrac{3+\sqrt5}{3+\sqrt5}=1$multiply by this (=1)คูณด้วยตัวนี้ (ค่า = 1)
  2. $\text{top}=8+4\sqrt5$multiply the tops · see the gridคูณตัวเศษ · ดูในตาราง
  3. $\text{bottom}=9-5$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
  4. $=4$
  5. $\dfrac{8+4\sqrt5}{4}$put the parts togetherนำมารวมกัน
  6. $=2+\sqrt5$answer: a=2, b=5คำตอบ: a=2, b=5

19. Q18 · Differentiation and gradient · 5 marksข้อ 18 · อนุพันธ์กับความชัน · 5 คะแนน

Answer: (4, −95) and (−4, 97)คำตอบ: (4, −95) and (−4, 97)

Q18 Where the gradient is 8Q18 จุดที่ความชันเท่ากับ 8

A curve has equation $y=x^3-40x+1$. Find the coordinates of the two points on the curve where the gradient equals 8. [5]

  1. $\dfrac{dy}{dx}=3x^2-40$differentiate term by termหาอนุพันธ์ทีละพจน์
  2. $3x^2-40=8$set the gradient = 8ให้ความชัน = 8
  3. $3x^2=48$
  4. $x^2=16$square root both sidesถอดรากทั้งสองข้าง
  5. $x=\pm4$
  6. $y=4^3-40(4)+1$put x=4 into yแทน x=4 ลงใน y
  7. $=-95$first pointจุดแรก
  8. $y=(-4)^3-40(-4)+1$put x=−4 into yแทน x=−4 ลงใน y
  9. $=97$second pointจุดที่สอง
  10. $\begin{array}{l}(4,\,-95)\\(-4,\,97)\end{array}$answer · both pointsคำตอบ · ทั้งสองจุด

20. Q19 · Sine rule and cosine rule · 5 marksข้อ 19 · กฎไซน์และโคไซน์ · 5 คะแนน

Answer: 75.6°คำตอบ: 75.6°

Q19 Sine rule then cosine ruleQ19 กฎไซน์แล้วกฎโคไซน์

In quadrilateral $ABCD$, the diagonal $BD$ is drawn. $AB=15.2$ m, $AD=13.4$ m and $BC=12.8$ m. Angle $BAD=x^\circ$, angle $BDC=40^\circ$ and angle $BCD=62^\circ$. Work out the value of $x$. Answer to 3 s.f. [5]

  1. $\dfrac{BD}{\sin62}=\dfrac{12.8}{\sin40}$sine rule in triangle BDCกฎไซน์ในสามเหลี่ยม BDC
  2. $BD=17.582$solve – see the pictureแก้สมการ – ดูรูป
  3. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos x$cosine rule: a=BD, b=AB, c=ADกฎโคไซน์: a=BD, b=AB, c=AD
  4. $\cos x=0.2491$substitute – see the pictureแทนค่า – ดูรูป
  5. $x=\cos^{-1}(0.2491)$inverse cosineใช้ cos⁻¹
  6. $x=75.6^\circ$answer · 3 s.f.คำตอบ · เลขนัยสำคัญ 3 ตัว

21. Q20 · Circle sector and segment · 4 marksข้อ 20 · เซกเตอร์และส่วนโค้งวงกลม · 4 คะแนน

Answer: 41.9 cmคำตอบ: 41.9 cm

Q20 Perimeter of a segmentQ20 เส้นรอบรูปส่วนโค้ง

A sector $OABC$ sits inside a circle with centre $O$, and $B$ lies on the arc between $A$ and $C$. Angle $AOC=60^\circ$ and the shaded segment $ABC$ has area 38 cm$^2$. Work out the perimeter of segment $ABC$. Answer to 1 d.p. [4]

  1. $S=\dfrac{\pi r^2}{6}$S = sector area (60/360 of circle)S = พื้นที่เซกเตอร์ (60/360 ของวงกลม)
  2. $T=\tfrac12r^2\sin60$T = area of triangle OACT = พื้นที่สามเหลี่ยม OAC
  3. $S-T=38$segment = sector − triangleส่วนแรเงา = เซกเตอร์ − สามเหลี่ยม
  4. $r^2(0.0906)=38$π/6 − √3/4 ≈ 0.0906π/6 − √3/4 ≈ 0.0906
  5. $r^2=419.5$
  6. $r=20.48$square rootถอดราก
  7. $AC=r$OAC is equilateral: 60°, 2 equal radiiOAC เป็นด้านเท่า: มุม 60° รัศมีเท่ากัน
  8. $=20.48$chord lengthความยาวคอร์ด
  9. $\text{arc}=\dfrac{\pi r}{3}$arc ABC: 60/360 of the circumferenceส่วนโค้ง ABC: 60/360 ของเส้นรอบวง
  10. $=21.45$substitute r=20.48แทน r=20.48
  11. $P=21.45+20.48$arc + chordส่วนโค้ง + คอร์ด
  12. $=41.9$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

22. Q21 · Function transformations · 2 marksข้อ 21 · การแปลงฟังก์ชัน · 2 คะแนน

Answer: (−2, −4); (5, −10)คำตอบ: (−2, −4); (5, −10)

Q21(i) Shift inside the bracketQ21(i) เลื่อนในวงเล็บ

A curve has equation $y=f(x)$, and its only minimum point is $(5,\ -4)$.
(i) Write down the minimum point on the curve $y=f(x+7)$. [1]

  1. $x_{\min}=5$know: the min x-valueรู้: ค่า x ต่ำสุด
  2. $=5-7$f(x+7): shift left 7f(x+7): เลื่อนซ้าย 7
  3. $=-2$
  4. $(x,y)=(-2,-4)$y stays the samey เท่าเดิม

Q21(ii) Shift outside the bracketQ21(ii) เลื่อนนอกวงเล็บ

A curve has equation $y=f(x)$, and its only minimum point is $(5,\ -4)$.
(ii) Write down the minimum point on the curve $y=f(x)-6$. [1]

  1. $y_{\min}=-4$know: the min y-valueรู้: ค่า y ต่ำสุด
  2. $=-4-6$f(x)−6: shift down 6f(x)−6: เลื่อนลง 6
  3. $=-10$
  4. $(x,y)=(5,-10)$x stays the samex เท่าเดิม

23. Q22 · Histogram: a missing bar · 3 marksข้อ 22 · ฮิสโทแกรม: แท่งที่หายไป · 3 คะแนน

Answer: 5–15 km, frequency density 2.7 (27 adults)คำตอบ: 5–15 km, frequency density 2.7 (27 adults)

Q22 Complete the histogramQ22 เติมฮิสโทแกรมให้ครบ

An incomplete histogram shows the distances, in km, that 100 adults ran last week. Every adult ran at least 5 km, and none ran more than 55 km. 14 adults ran between 15 km and 20 km.
Work out the height of the missing bar, and say which interval it covers. [3]

  1. $f_1=14$given: 15–20 kmให้มา: 15–20 กม.
  2. $FD_1=14\div5$freq ÷ widthความถี่ ÷ ความกว้าง
  3. $=2.8$
  4. $f_2=15\times3.4$bar 20–35: width × FDแท่ง 20–35: กว้าง × FD
  5. $=51$
  6. $f_3=20\times0.4$bar 35–55: width × FDแท่ง 35–55: กว้าง × FD
  7. $=8$
  8. $known=14+51+8$the three bars so farสามแท่งที่มีอยู่
  9. $=73$
  10. $f_4=100-73$the rest of the 100 adultsที่เหลือจาก 100 คน
  11. $=27$
  12. $FD_4=27\div10$freq ÷ width (5–15)ความถี่ ÷ ความกว้าง (5–15)
  13. $=2.7$bar 5–15 at height 2.7แท่ง 5–15 สูง 2.7

24. Q23 · Cone minus a hemisphere · 5 marksข้อ 23 · กรวยลบครึ่งทรงกลม · 5 คะแนน

Answer: 1090 cm²คำตอบ: 1090 cm²

Q23 Surface area of the removed pieceQ23 พื้นที่ผิวของชิ้นที่เอาออก

A solid is made by removing a hemisphere (shaded) from a cone.
Hemisphere radius $2x$ cm · cone base radius $5x$ cm · cone height $6x$ cm.
The volume of the solid is $6948\pi$ cm³.
Find the whole outer surface of the hemisphere piece that was taken out of the cone. Give your answer to the nearest whole number. [5]

  1. $V_c=\dfrac13\pi r^2h$cone volumeปริมาตรกรวย
  2. $=\dfrac13\pi(5x)^2(6x)$substitute r, hแทน r, h
  3. $=50\pi x^3$simplifyลดรูป
  4. $V_h=\dfrac23\pi r^3$hemisphere volumeปริมาตรครึ่งทรงกลม
  5. $=\dfrac23\pi(2x)^3$substitute rแทน r
  6. $=\dfrac{16}{3}\pi x^3$simplifyลดรูป
  7. $V_c-V_h=6948\pi$cone minus hemisphereกรวย ลบ ครึ่งทรงกลม
  8. $50x^3-\dfrac{16}{3}x^3=6948$divide every term by πหารทุกพจน์ด้วย π
  9. $\dfrac{134}{3}x^3=6948$combine like termsรวมพจน์เหมือนกัน
  10. $x^3=\dfrac{6948\times3}{134}$rearrange for x³จัดหา x³
  11. $x=\sqrt[3]{155.55\ldots}$cube rootถอดรากที่สาม
  12. $=5.378\ldots$keep the extra d.p.เก็บทศนิยมไว้ก่อน
  13. $S=2\pi r^2+\pi r^2$curved + flatผิวโค้ง + ฐาน
  14. $=3\pi(2x)^2$r = 2xr = 2x
  15. $=12\pi x^2$simplifyลดรูป
  16. $=12\pi(5.378)^2$substitute xแทนค่า x
  17. $=1090\text{ cm}^2$answer · nearest integerคำตอบ · ปัดเป็นจำนวนเต็ม

25. Q24 · Polygon: arithmetic sequence of angles · 6 marksข้อ 24 · รูปหลายเหลี่ยม: มุมเป็นลำดับเลขคณิต · 6 คะแนน

Answer: 7740°คำตอบ: 7740°

Q24 Find the angle sumQ24 หาผลรวมของมุม

A polygon has $n$ sides, $n\gt5$. Its interior angles form an arithmetic sequence: smallest angle $84^\circ$, common difference $4^\circ$.
Find the total of all the interior angles in this polygon. Set out every line of your algebra. [6]

  1. $S_n=\dfrac n2[2a+(n-1)d]$sum of n termsผลรวม n พจน์
  2. $=\dfrac n2[2(84)+(n-1)4]$substitute a = 84, d = 4แทน a = 84, d = 4
  3. $=\dfrac n2(164+4n)$simplify inside the bracketลดรูปในวงเล็บ
  4. $=82n+2n^2$expandกระจาย
  5. $S_n=(n-2)\times180$sum of interior anglesผลรวมมุมภายใน
  6. $82n+2n^2=180n-360$equate the two expressionsให้สองนิพจน์เท่ากัน
  7. $2n^2-98n+360=0$collect like termsรวมพจน์เหมือนกัน
  8. $n^2-49n+180=0$divide by 2หารด้วย 2
  9. $(n-45)(n-4)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  10. $n=45\ \text{or}\ n=4$two solutionsสองคำตอบ
  11. $n\gt5\Rightarrow n=45$reject n = 4ตัด n = 4 ทิ้ง
  12. $sum=(45-2)\times180$substitute nแทนค่า n
  13. $=43\times180$
  14. $=7740^\circ$answerคำตอบ

26. Q25 · Completing the square · 4 marksข้อ 25 · การเติมเต็มกำลังสอง · 4 คะแนน

Answer: 29 − 3(x − 2)²คำตอบ: 29 − 3(x − 2)²

Q25 Write it as a − b(x − c)²Q25 เขียนในรูป a − b(x − c)²

$f(x)=17-3x^2+12x$
Write $f(x)$ in the form $a-b(x-c)^2$, where $a$, $b$ and $c$ are constants. [4]

  1. $f(x)=-3x^2+12x+17$write in descending orderเรียงกำลังจากมากไปน้อย
  2. $=-3(x^2-4x)+17$factor out −3ดึง −3 ออก
  3. $x^2-4x=(x-2)^2-4$half of −4 is −2ครึ่งของ −4 คือ −2
  4. $f(x)=-3[(x-2)^2-4]+17$substitute backแทนกลับ
  5. $=-3(x-2)^2+12+17$−3 × −4 = 12−3 × −4 = 12
  6. $=29-3(x-2)^2$12 + 17 = 2912 + 17 = 29

27. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A shop took USD 870 one month, 20% more than the month before. Work out the earlier month’s takings.ร้านค้าขายได้ 870 ดอลลาร์ในเดือนหนึ่ง มากกว่าเดือนก่อน 20% หายอดขายของเดือนก่อน
    Answer:เฉลย: 725870 = 1.2 × earlier month, so earlier month = 870 ÷ 1.2 = 725.870 = 1.2 × เดือนก่อน ดังนั้นเดือนก่อน = 870 ÷ 1.2 = 725
  2. A cylinder has volume 900 cm³ and height 18 cm. It presses on a table with a force of 60 newtons. Find the pressure, in newtons per cm².ทรงกระบอกปริมาตร 900 ลบ.ซม. สูง 18 ซม. กดโต๊ะด้วยแรง 60 นิวตัน · หาความดัน นิวตัน/ตร.ซม.
    Answer:เฉลย: 1.2Area = 900 ÷ 18 = 50. Pressure = 60 ÷ 50 = 1.2.พื้นที่ = 900 ÷ 18 = 50 · ความดัน = 60 ÷ 50 = 1.2
  3. A different roof support: AC = BC = 8 m, AB = 10 m, M is the midpoint, angle AMC = 90°. Wood costs 15 euros per metre, bought in whole metres. Find the total cost.ค้ำหลังคาอีกแบบ · AC = BC = 8 ม. · AB = 10 ม. · M เป็นจุดกึ่งกลาง · มุม AMC = 90° · ไม้ราคาเมตรละ 15 ยูโร ต้องซื้อเป็นเมตรเต็ม · หาค่าใช้จ่ายรวม
    Answer:เฉลย: 495AM = 5, MC = √(64−25) = √39 = 6.24…, round UP to 7. Total 7+8+8+10 = 33 m × 15 = 495 euros.AM = 5 · MC = √(64−25) = √39 = 6.24… ปัดขึ้นเป็น 7 · รวม 7+8+8+10 = 33 ม. × 15 = 495 ยูโร
  4. A box has 16 sweets: 12 red and 4 blue. Jo picks 3 at random, none put back. Find the probability her 3 sweets are not all the same colour.กล่องมี 16 เม็ด: แดง 12 ฟ้า 4 · โจหยิบ 3 เม็ดไม่ใส่คืน · หาความน่าจะเป็นที่ไม่ได้สีเดียวกันหมด
    Answer:เฉลย: 3/51 − P(RRR) − P(BBB) = 1 − 11/28 − 1/140 = 3/5.1 − P(แดงล้วน) − P(ฟ้าล้วน) = 1 − 11/28 − 1/140 = 3/5
  5. A polygon has n sides, n > 5. Its interior angles form an arithmetic sequence: smallest angle 100°, common difference 4°. Find the sum of the interior angles.รูปหลายเหลี่ยมมี n ด้าน (n > 5) มุมภายในเป็นลำดับเลขคณิต มุมเล็กสุด 100° ผลต่างร่วม 4° หาผลรวมของมุมภายใน
    Answer:เฉลย: 6120The same equation gives n² − 41n + 180 = 0, so n = 36 (reject n = 5). Sum = (36 − 2) × 180 = 6120.สมการเดิมให้ n² − 41n + 180 = 0 จึงได้ n = 36 (ตัด n = 5 ทิ้ง) ผลรวม = (36 − 2) × 180 = 6120

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี