Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

4MA1 2H · January 20234MA1 2H · ม.ค. 2023

IGCSE · Edexcel 4MA1 Higher · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Dividing mixed numbers · 3 marksข้อ 1 · หารจำนวนคละ · 3 คะแนน

Answer: 2 2/7คำตอบ: 2 2/7

Q1 Show the quotient is 2 2/7Q1 แสดงว่าผลหารคือ 2 2/7

Show by working that $3\tfrac{5}{7}\div1\tfrac{5}{8}=2\tfrac{2}{7}$. Use fractions, not decimals. [3]

  1. $3\tfrac{5}{7}=\dfrac{26}{7}$mixed number to a top-heavy fractionจำนวนคละเป็นเศษเกิน
  2. $1\tfrac{5}{8}=\dfrac{13}{8}$same for the second numberตัวที่สองทำเหมือนกัน
  3. $T=\dfrac{26}{7}\div\dfrac{13}{8}$T = the quotientT = ผลหาร
  4. $=\dfrac{26}{7}\times\dfrac{8}{13}$divide by a fraction: flip it and multiplyหารด้วยเศษส่วน = กลับแล้วคูณ
  5. $=\dfrac{208}{91}$top × top, bottom × bottomบนคูณบน ล่างคูณล่าง
  6. $=\dfrac{16}{7}$divide top and bottom by 13หารบนและล่างด้วย 13
  7. $=2\tfrac{2}{7}$16 ÷ 7 = 2 remainder 2 · matches the target16 ÷ 7 = 2 เศษ 2 · ตรงกับที่โจทย์ให้

3. Q2 · Speed units · 3 marksข้อ 2 · หน่วยความเร็ว · 3 คะแนน

Answer: 25คำตอบ: 25

Q2 Change km/h to m/sQ2 เปลี่ยน กม./ชม. เป็น ม./วินาที

A speed is 90 kilometres per hour. Write it in metres per second. Show each step. [3]

  1. $1\text{ km}=1000\text{ m}$distance: kilometres to metresระยะทาง: กม. เป็น ม.
  2. $1\text{ h}=3600\text{ s}$time: 60 × 60 secondsเวลา: 60 × 60 วินาที
  3. $90\times1000=90000$metres travelled in one hourเมตรที่เดินทางใน 1 ชั่วโมง
  4. $v=\dfrac{90000}{3600}$v = speed · metres in 3600 secondsv = ความเร็ว · เมตรใน 3600 วินาที
  5. $=25$answer · m/sคำตอบ · ม./วินาที

4. Q3 · Venn diagram · 3 marksข้อ 3 · แผนภาพเวนน์ · 3 คะแนน

Answer: A only 14, 18 · both 12, 16, 20 · B only 11, 13, 15 · outside 17, 19คำตอบ: A only 14, 18 · both 12, 16, 20 · B only 11, 13, 15 · outside 17, 19

Q3 Fill in the Venn diagramQ3 เติมแผนภาพเวนน์

The universal set holds the whole numbers from 11 to 20.
A is the set of even numbers in it. The numbers in both A and B are 12, 16 and 20. The numbers in neither A nor B are 17 and 19.
Write every number from 11 to 20 in its place in the Venn diagram. [3]

  1. $A\cap B=12,16,20$∩ “and” · in both circles, the overlap∩ อ่านว่า “และ” · อยู่ทั้งสองวง ส่วนซ้อน
  2. $\text{outside}=17,19$in neither circleไม่อยู่วงใดเลย
  3. $A\text{ only}=14,18$evens are 12 14 16 18 20 · take away the 3 in the overlapเลขคู่: 12 14 16 18 20 · ตัด 3 ตัวที่อยู่ส่วนซ้อนออก
  4. $B\text{ only}=11,13,15$the numbers left overเลขที่เหลือ
  5. $3+2+3+2=10$check: all 10 numbers placed onceตรวจ: ครบ 10 ตัว ตัวละหนึ่งที่

5. Q4 · Perimeter with algebra · 4 marksข้อ 4 · เส้นรอบรูปกับพีชคณิต · 4 คะแนน

Answer: 88คำตอบ: 88

Q4 Find the perimeterQ4 หาเส้นรอบรูป

$ABCD$ is a rectangle. $AB=24$ cm, $AD=(5x-1)$ cm and $BC=(3x+7.4)$ cm. The diagram is not drawn accurately.
Find the distance round the rectangle. Show clear working. [4]

  1. $5x-1=3x+7.4$AD = BC in a rectangleด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมมุมฉากยาวเท่ากัน
  2. $5x=3x+8.4$x terms to the leftย้าย x มาซ้าย
  3. $2x=8.4$one x term leftเหลือ x ก้อนเดียว
  4. $x=4.2$answer for xได้ x
  5. $AD=5\times4.2-1$put x into ADแทน x ใน AD
  6. $=20$AD and BC are both 20 cmAD และ BC ยาว 20 ซม. ทั้งคู่
  7. $P=2(24+20)$P = perimeter · two lengths plus two widthsP = เส้นรอบรูป · สองยาวกับสองกว้าง
  8. $=2\times44$add inside the bracketบวกในวงเล็บก่อน
  9. $=88$answer · cmคำตอบ · ซม.

6. Q5 · Bounds and estimating · 4 marksข้อ 5 · ขอบเขตและการประมาณ · 4 คะแนน

Answer: 2.745; 2.755; 1200คำตอบ: 2.745; 2.755; 1200

Q5(a) Lower boundQ5(a) ขอบล่าง

A cake has a weight of 2.75 kg, rounded to 2 d.p.
(a) Write down the lowest weight the cake could have. [1]

  1. $h=0.01\div2$h = half a step · 2 d.p. means steps of 0.01h = ครึ่งขั้น · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง = ขั้นละ 0.01
  2. $=0.005$the cake may be this far offน้ำหนักคลาดได้เท่านี้
  3. $L=2.75-0.005$L = lower bound · go down by 0.005L = ขอบล่าง · ลดลง 0.005
  4. $=2.745$answer · kgคำตอบ · กก.

Q5(b) Upper boundQ5(b) ขอบบน

A cake has a weight of 2.75 kg, rounded to 2 d.p.
(b) Write down the highest weight the cake could have. [1]

  1. $h=0.01\div2$h = the same half step as in (a)h = ครึ่งขั้นเหมือนข้อ (a)
  2. $=0.005$the cake may be this far offน้ำหนักคลาดได้เท่านี้
  3. $U=2.75+0.005$U = upper bound · go up by 0.005U = ขอบบน · เพิ่มขึ้น 0.005
  4. $=2.755$answer · kgคำตอบ · กก.

Q5(c) Show it is not sensibleQ5(c) แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล

A cake has a weight of 2.75 kg, rounded to 2 d.p.
(c) Penny worked out $\dfrac{81.3\times59.2}{1.9^2}$ on a calculator and got 13 332.299 17. Round each number to 1 s.f. and find an estimate that shows her answer is far off. [2]

  1. $81.3\approx80$1 s.f. · the tensปัดเหลือ 1 ตัวสำคัญ · หลักสิบ
  2. $59.2\approx60$1 s.f.ปัดเหลือ 1 ตัวสำคัญ
  3. $1.9\approx2$1 s.f. · the unitsปัดเหลือ 1 ตัวสำคัญ · หลักหน่วย
  4. $\text{est}=\dfrac{80\times60}{2^2}$est = estimate · use the rounded numbersest = ค่าประมาณ · ใช้เลขที่ปัดแล้ว
  5. $=\dfrac{4800}{4}$80 × 60 = 4800 and 2² = 480 × 60 = 4800 และ 2² = 4
  6. $=1200$estimateค่าประมาณ
  7. $1200\ne13332$far from Penny's answer, so it is not sensibleห่างจากคำตอบของเพนนีมาก จึงไม่สมเหตุสมผล

7. Q6 · Midpoint of a line · 3 marksข้อ 6 · จุดกึ่งกลางของเส้นตรง · 3 คะแนน

Answer: j = 26, k = 11.5คำตอบ: j = 26, k = 11.5

Q6 Find j and kQ6 หา j และ k

Point $A$ is $(6, 4)$ and point $B$ is $(17, j)$, with $j$ a number. The midpoint of $AB$ is $(k, 15)$. Find $k$ and $j$. [3]

  1. $k=\dfrac{6+17}{2}$midpoint x = the mean of the two x valuesx กึ่งกลาง = ค่าเฉลี่ยของ x ทั้งสอง
  2. $=11.5$kค่า k
  3. $\dfrac{4+j}{2}=15$midpoint y = the mean of the two y valuesy กึ่งกลาง = ค่าเฉลี่ยของ y ทั้งสอง
  4. $4+j=30$multiply both sides by 2คูณทั้งสองข้างด้วย 2
  5. $j=26$answerคำตอบ

8. Q7 · Simultaneous equations · 3 marksข้อ 7 · สมการเชิงพร้อมกัน · 3 คะแนน

Answer: x = 1.2, y = −2คำตอบ: x = 1.2, y = −2

Q7 Solve the pairQ7 แก้สมการคู่

Solve $5x+4y=-2$ and $2x-y=4.4$ together. Show the working. [3]

  1. $5x+4y=-2$first equationสมการแรก
  2. $2x-y=4.4$second equationสมการที่สอง
  3. $8x-4y=17.6$make the y terms match: 4 × the secondทำให้ y ตรงกัน: คูณสมการที่สองด้วย 4
  4. $13x=15.6$the y terms cancel: addy ตัดกัน: บวกกัน
  5. $x=1.2$xค่า x
  6. $2(1.2)-y=4.4$put x = 1.2 into ②แทน x = 1.2 ใน ②
  7. $2.4-y=4.4$multiply outคูณออก
  8. $-y=2$subtract 2.4ลบ 2.4
  9. $y=-2$answer: x = 1.2, y = −2คำตอบ: x = 1.2, y = −2

9. Q8 · Compound interest · 4 marksข้อ 8 · ดอกเบี้ยทบต้น · 4 คะแนน

Answer: 16.28 Swiss francsคำตอบ: 16.28 Swiss francs

Q8 Compare the two banksQ8 เปรียบเทียบสองธนาคาร

Matteo has 5000 Swiss francs to invest for two years. Bank G pays 1.6% a year, compound interest. Bank H adds 2.9% interest once, after two years.
How much more interest does Bank G give than Bank H? Give the answer in Swiss francs. [4]

  1. $5000\times1.016$Bank G, year 1: add 1.6 % = × 1.016ธนาคาร G ปีที่ 1: เพิ่ม 1.6% = × 1.016
  2. $=5080$after year 1หลังปีที่ 1
  3. $5080\times1.016$year 2: × 1.016 again (on the new amount)ปีที่ 2: × 1.016 อีกครั้ง (จากยอดใหม่)
  4. $=5161.28$after year 2หลังปีที่ 2
  5. $G=5161.28-5000$G = interest from Bank GG = ดอกเบี้ยจากธนาคาร G
  6. $=161.28$in francsหน่วยฟรังก์
  7. $H=5000\times0.029$H = interest from Bank H: 2.9 % of 5000H = ดอกเบี้ยจากธนาคาร H: 2.9% ของ 5000
  8. $=145$in francsหน่วยฟรังก์
  9. $G-H=161.28-145$how much more G givesG ให้มากกว่ากี่ฟรังก์
  10. $=16.28$answer · Swiss francsคำตอบ · ฟรังก์สวิส

10. Q9 · Indices, factorising, line · 7 marksข้อ 9 · ดัชนี การแยกตัวประกอบ เส้นตรง · 7 คะแนน

Answer: 1; 27a⁶b¹²; 7x²y²(2y² + 3x); y = −2x + 4คำตอบ: 1; 27a⁶b¹²; 7x²y²(2y² + 3x); y = −2x + 4

Q9(a) Power zeroQ9(a) เลขยกกำลังศูนย์

(a) $m$ is any positive whole number. What is $(m+2)^0$ equal to? [1]

  1. $m+2\ge3$m is 1 or more, so m + 2 is not 0m อย่างน้อย 1 ดังนั้น m + 2 ไม่ใช่ 0
  2. $(m+2)^0=1$any number except 0, to the power 0, is 1เลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 ยกกำลัง 0 ได้ 1

Q9(b) Power of a productQ9(b) ยกกำลังของผลคูณ

(b) Simplify $(3a^2b^4)^3$. [2]

  1. $(xy)^n=x^ny^n$a power goes onto every factorยกกำลังกับทุกตัวคูณ
  2. $3^3=27$the numberตัวเลข
  3. $(a^2)^3=a^6$power of a power: multiply 2 × 3กำลังของกำลัง: คูณ 2 × 3
  4. $(b^4)^3=b^{12}$multiply 4 × 3คูณ 4 × 3
  5. $(3a^2b^4)^3=27a^6b^{12}$answerคำตอบ

Q9(c) Factorise fullyQ9(c) แยกตัวประกอบให้สุด

(c) Factorise fully $14x^2y^4+21x^3y^2$. [2]

  1. $\text{HCF}=7x^2y^2$HCF = highest common factor: 7, lowest x power, lowest y powerHCF = ตัวร่วมที่ใหญ่สุด: 7, กำลัง x ต่ำสุด, กำลัง y ต่ำสุด
  2. $14x^2y^4=7x^2y^2\times2y^2$what is left of the first termส่วนที่เหลือของพจน์แรก
  3. $21x^3y^2=7x^2y^2\times3x$what is left of the second termส่วนที่เหลือของพจน์ที่สอง
  4. $14x^2y^4+21x^3y^2$put the HCF outside a bracketเอา HCF ไว้นอกวงเล็บ
  5. $=7x^2y^2(2y^2+3x)$answerคำตอบ

Q9(d) Equation of the lineQ9(d) สมการของเส้นตรง

(d) The grid shows a straight line. Give one equation for it. [2]

  1. $y=mx+c$m = gradient (slope) · c = where it crosses the y axism = ความชัน · c = จุดตัดแกน y
  2. $c=4$the line crosses the y axis at (0, 4)เส้นตัดแกน y ที่ (0, 4)
  3. $m=\dfrac{0-4}{2-0}$it also goes through (2, 0) · change in y ÷ change in xผ่าน (2, 0) ด้วย · y ที่เปลี่ยน ÷ x ที่เปลี่ยน
  4. $=-2$down 4 for every 2 acrossลง 4 ต่อทุก 2 ทางขวา
  5. $y=-2x+4$answerคำตอบ

11. Q10 · Area of an isosceles triangle · 5 marksข้อ 10 · พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว · 5 คะแนน

Answer: 108 cm²คำตอบ: 108 cm²

Q10 Find the areaQ10 หาพื้นที่

An isosceles triangle has a base of 24 cm. Its perimeter is 54 cm. The sketch is not to scale.
Find the area of this triangle in cm². [5]

  1. $2x+24=54$x = each equal side · perimeter = 54x = ด้านเท่าแต่ละด้าน · เส้นรอบรูป = 54
  2. $2x=30$subtract 24ลบ 24
  3. $x=15$each equal side in cmด้านเท่าแต่ละด้าน · ซม.
  4. $h^2+12^2=15^2$h = height · Pythagoras on half the triangle (24 ÷ 2 = 12)h = ความสูง · พีทาโกรัสกับครึ่งสามเหลี่ยม (24 ÷ 2 = 12)
  5. $h^2=15^2-12^2$subtract 12²ลบ 12²
  6. $=225-144$squaresยกกำลังสอง
  7. $=81$h squaredh กำลังสอง
  8. $h=\sqrt{81}$square rootรากที่สอง
  9. $=9$height in cmความสูง · ซม.
  10. $A=\dfrac{24\times9}{2}$area = base × height ÷ 2พื้นที่ = ฐาน × สูง ÷ 2
  11. $=108$answer · cm²คำตอบ · ตร.ซม.

12. Q11 · Match graphs to equations · 3 marksข้อ 11 · จับคู่กราฟกับสมการ · 3 คะแนน

Answer: (1) B · (2) A · (3) Fคำตอบ: (1) B · (2) A · (3) F

Q11 Pick the graph for each equationQ11 เลือกกราฟให้แต่ละสมการ

Six sketch graphs are labelled A to F. Three equations are given below. Pick the sketch that fits each one.
Which sketch fits each equation? (1) $y=-\dfrac{2}{x}$ (2) $y=5-x^{2}$ (3) $y=-2x^{3}$ [3]

  1. $y=-\dfrac{2}{x}$x on the bottom: a reciprocal graphx อยู่ตัวส่วน: กราฟส่วนกลับ
  2. $y(1)=-2$x = 1 gives a negative yx = 1 ได้ y ติดลบ
  3. $\text{graph}=B$right branch below the axisแขนขวาอยู่ใต้แกน x
  4. $y=5-x^2$x² with a minus: a hillx² มีลบนำ: เป็นรูปเนิน
  5. $y(0)=5$the top sits above the x-axisจุดสูงสุดอยู่เหนือแกน x
  6. $\text{graph}=A$the hill above the axisเนินเหนือแกน x
  7. $y=-2x^3$a cubic with a negative numberกำลังสามที่มีค่าลบนำ
  8. $y(2)=-16$x = 2 gives a negative yx = 2 ได้ y ติดลบ
  9. $\text{graph}=F$right side below: it fallsฝั่งขวาอยู่ใต้แกน: กราฟลดลง

13. Q12 · Cumulative frequency · 5 marksข้อ 12 · ความถี่สะสม · 5 คะแนน

Answer: about 44 minutes; 12; 7, 10, 15, 15, 5คำตอบ: about 44 minutes; 12; 7, 10, 15, 15, 5

Q12(a) Median timeQ12(a) มัธยฐานของเวลา

The curve is a cumulative frequency graph of the time, in minutes, that 60 shoppers spent in a market.
(a) Use the curve to estimate the median time. [1]

  1. $\dfrac{60}{2}=30$the median is the 30th shopperมัธยฐานคือคนที่ 30
  2. $\text{CF}=30$go across from 30 to the curveลากจาก 30 ไปชนเส้นโค้ง
  3. $t\approx44$then down to the time axisแล้วลงมาที่แกนเวลา

Q12(b) More than 55 minutesQ12(b) นานกว่า 55 นาที

The curve is a cumulative frequency graph of the time, in minutes, that 60 shoppers spent in a market.
(b) Use the curve to estimate how many shoppers took more than 55 minutes. [2]

  1. $t=55$go up from 55 to the curveขึ้นจาก 55 ไปชนเส้นโค้ง
  2. $\text{CF}\approx48$across: 48 shoppers took 55 or lessข้ามไปอ่านได้ 48 คนใช้ไม่เกิน 55
  3. $60-48=12$all 60 minus those 48ทั้งหมด 60 ลบ 48

Q12(c) Complete the frequency tableQ12(c) เติมตารางความถี่

The curve is a cumulative frequency graph of the time, in minutes, that 60 shoppers spent in a market.
(c) Fill in the frequency table with the curve. The first two rows are given: 3 and 5. Read the cumulative frequency at 20, 30, 40, 50, 60, 70, then take differences. [2]

  1. $15-8=7$20 to 30: CF at 30 minus CF at 2020-30: CF ที่ 30 ลบ CF ที่ 20
  2. $25-15=10$30 to 4030-40
  3. $40-25=15$40 to 5040-50
  4. $55-40=15$50 to 6050-60
  5. $60-55=5$60 to 7060-70

14. Q13 · Fractions in an equation · 3 marksข้อ 13 · สมการที่มีเศษส่วน · 3 คะแนน

Answer: x = 11คำตอบ: x = 11

Q13 Clear the fractionsQ13 กำจัดเศษส่วน

Solve $\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{7-x}{5}=4.3$. Show each step.
Find $x$. Multiply every term by the common denominator. [3]

  1. $20\times\dfrac{x+3}{4}=5(x+3)$× 20 = 4 × 5; 20 ÷ 4 = 5คูณ 20 = 4 × 5 · 20 ÷ 4 = 5
  2. $20\times\dfrac{7-x}{5}=4(7-x)$same for the second: 20 ÷ 5 = 4ก้อนที่สองเหมือนกัน: 20 ÷ 5 = 4
  3. $20\times4.3=86$the right side tooฝั่งขวาก็คูณ 20
  4. $5(x+3)=5x+15$expandกระจายวงเล็บ
  5. $-4(7-x)=-28+4x$expand with the minusกระจายพร้อมเครื่องหมายลบ
  6. $9x-13=86$add: 5x + 4x, 15 − 28รวม: 5x + 4x และ 15 − 28
  7. $9x=99$move −13 acrossย้าย −13 ข้ามเครื่องหมาย =
  8. $x=11$divide by 9หารด้วย 9

15. Q14 · Circle theorems · 5 marksข้อ 14 · ทฤษฎีบทวงกลม · 5 คะแนน

Answer: (i) 140° · (ii) opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180°; 16°คำตอบ: (i) 140° · (ii) opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180°; 16°

Q14(a) Angle DCB and the reasonQ14(a) มุม DCB และเหตุผล

A, B, C and D lie on a circle with centre O. The line EBF touches the circle at B. Angle DAB = 40° and the angle between chord BA and the tangent BF is 66°. The picture is drawn to scale.
(a) (i) Find angle DCB. (ii) Say why that value is right. [2]

  1. $\angle DAB=40^\circ$given: A and C are opposite cornersโจทย์กำหนด: A กับ C เป็นมุมตรงข้าม
  2. $\angle DCB=180-40$opposite angles add to 180°มุมตรงข้ามรวมกัน 180°
  3. $=140^\circ$answer (i)คำตอบ (i)
  4. $140+40=180$reason: opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180°เหตุผล: มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมในวงกลมรวมกัน 180°

Q14(b) Angle ADOQ14(b) มุม ADO

A, B, C and D lie on a circle with centre O. The line EBF touches the circle at B. Angle DAB = 40° and the angle between chord BA and the tangent BF is 66°. The picture is drawn to scale.
(b) Work out angle ADO. [3]

  1. $\angle ADB=\angle ABF$alternate segment theoremทฤษฎีบทมุมในส่วนโค้งสลับ
  2. $=66^\circ$the tangent angle at Bมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับคอร์ดที่ B
  3. $\angle DOB=80^\circ$centre angle = 2 × 40°มุมที่จุดศูนย์กลาง = 2 × 40°
  4. $2\angle ODB=180-80$OD = OB: two equal base anglesOD = OB: มุมฐานเท่ากันสองมุม
  5. $=100$angle sum of a triangleมุมในสามเหลี่ยมรวม 180°
  6. $\angle ODB=50^\circ$halve both sidesหาร 2 ทั้งสองข้าง
  7. $\angle ADO=66-50$ADB minus ODBADB ลบ ODB
  8. $=16^\circ$answerคำตอบ

16. Q15 · Interquartile range · 3 marksข้อ 15 · พิสัยระหว่างควอไทล์ · 3 คะแนน

Answer: A: IQR = 30. B: IQR = 42, 12 more, so the runs of team B are more spread out.คำตอบ: A: IQR = 30. B: IQR = 42, 12 more, so the runs of team B are more spread out.

Q15 Compare spread with IQRQ15 เทียบการกระจายด้วย IQR

Eleven players in cricket team A scored these runs last week, in order: 2, 3, 4, 6, 21, 26, 27, 32, 34, 61, 72. For team B, the interquartile range of the eleven players' runs was 42. Compare the two teams with a suitable calculation. Show working.
Work out the interquartile range for team A, then compare it with team B. [3]

  1. $\dfrac{12}{4}=3$LQ position: (11 + 1) ÷ 4ตำแหน่ง LQ: (11 + 1) ÷ 4
  2. $\text{LQ}=4$the 3rd valueค่าที่ 3
  3. $\dfrac{36}{4}=9$UQ position: 3 × 12 ÷ 4ตำแหน่ง UQ: 3 × 12 ÷ 4
  4. $\text{UQ}=34$the 9th valueค่าที่ 9
  5. $\text{IQR}=34-4$upper minus lowerบนลบล่าง
  6. $=30$team Aทีม A
  7. $42-30=12$team B has the bigger IQRทีม B มี IQR มากกว่า

17. Q16 · Recurring decimal as a fraction · 2 marksข้อ 16 · ทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน · 2 คะแนน

Answer: 217/495คำตอบ: 217/495

Q16 Show it equals 217/495Q16 แสดงว่าเท่ากับ 217/495

The number $0.4\dot3\dot8$ is $0.4383838\ldots$, where the digits $38$ repeat for ever.
Prove with algebra that $0.4\dot3\dot8=\dfrac{217}{495}$. [2]

  1. $x=0.4\dot3\dot8$let x be the number · the dots mark the repeatให้ x เป็นจำนวนนี้ · จุดบอกว่าซ้ำ
  2. $1000x=438.\dot3\dot8$move the point 3 placesเลื่อนจุดทศนิยม 3 ตำแหน่ง
  3. $10x=4.\dot3\dot8$move the point 1 place · same repeatเลื่อน 1 ตำแหน่ง · ส่วนซ้ำเหมือนกัน
  4. $990x=434$the repeats cancelส่วนซ้ำหักล้างกัน
  5. $x=\dfrac{434}{990}$divide both sides by 990หารทั้งสองข้างด้วย 990
  6. $=\dfrac{217}{495}$divide top and bottom by 2หารบนและล่างด้วย 2

18. Q17 · Surds · 4 marksข้อ 17 · เซิร์ด (ราก) · 4 คะแนน

Answer: 12; 1 − 2√2 (a = 1, b = −2)คำตอบ: 12; 1 − 2√2 (a = 1, b = −2)

Q17(a) Find kQ17(a) หา k

Here $m$ is a prime number and $k$ is an integer.
(a) Given $8\sqrt{m}+\sqrt{49m}-\sqrt{9m}=k\sqrt{m}$, find $k$. [1]

  1. $\sqrt{49m}=7\sqrt m$49 = 7²49 = 7²
  2. $\sqrt{9m}=3\sqrt m$9 = 3²9 = 3²
  3. $k\sqrt m=(8+7-3)\sqrt m$put both in · take out √mแทนทั้งสองตัว · ดึง √m ออก
  4. $k=8+7-3$divide both sides by √mหารทั้งสองข้างด้วย √m
  5. $=12$answerคำตอบ

Q17(b) Rationalise the denominatorQ17(b) ทำส่วนให้ไม่มีราก

Here $m$ is a prime number and $k$ is an integer.
(b) Write $\dfrac{5-\sqrt{18}}{1-\sqrt2}$ in the form $a+b\sqrt2$ with integers $a$ and $b$. Show every step. [3]

  1. $\sqrt{18}=3\sqrt2$18 = 9 × 2 · √9 = 318 = 9 × 2 · √9 = 3
  2. $\dfrac{5-\sqrt{18}}{1-\sqrt2}=\dfrac{5-3\sqrt2}{1-\sqrt2}$put in 3√2แทน 3√2
  3. $1=\dfrac{1+\sqrt2}{1+\sqrt2}$multiply top and bottom by thisคูณทั้งบนและล่างด้วยตัวนี้
  4. $5(1+\sqrt2)=5+5\sqrt2$new top, first pieceตัวบนใหม่ ชิ้นแรก
  5. $3\sqrt2(1+\sqrt2)=3\sqrt2+6$second piece · √2 × √2 = 2ชิ้นที่สอง · √2 × √2 = 2
  6. $\text{top}=5-6+2\sqrt2$first − second · 5√2 − 3√2 = 2√2ชิ้นแรก − ชิ้นที่สอง · 5√2 − 3√2 = 2√2
  7. $=-1+2\sqrt2$
  8. $\text{bottom}=1^2-(\sqrt2)^2$(1 − √2)(1 + √2) · difference of two squares(1 − √2)(1 + √2) · ผลต่างกำลังสอง
  9. $=1-2$
  10. $=-1$no root in the bottom nowตัวล่างไม่มีรากแล้ว
  11. $\dfrac{5-\sqrt{18}}{1-\sqrt2}=\dfrac{-1+2\sqrt2}{-1}$new top over new bottomตัวบนใหม่ส่วนตัวล่างใหม่
  12. $=1-2\sqrt2$divide each term by −1หารทุกพจน์ด้วย −1
  13. $a=1$the whole-number partส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม
  14. $b=-2$the number in front of √2ตัวเลขหน้า √2

19. Q18 · Histogram and probability · 5 marksข้อ 18 · ฮิสโทแกรมและความน่าจะเป็น · 5 คะแนน

Answer: bars of height 6, 7, 5, 4, 1.8; 17/55คำตอบ: bars of height 6, 7, 5, 4, 1.8; 17/55

Q18(a) Draw the histogramQ18(a) วาดฮิสโทแกรม

Pedro delivers parcels on Monday. The weights, in kg, are grouped like this:

Weight $w$ (kg)Frequency
$0\lt w\le2$12
$2\lt w\le3$7
$3\lt w\le6$15
$6\lt w\le9$12
$9\lt w\le14$9

(a) Draw the histogram of these weights, with frequency density on the vertical axis. [3]

  1. $\text{FD}=\dfrac{\text{freq}}{\text{width}}$FD = frequency density · width = class widthFD = ความหนาแน่นความถี่ · width = ความกว้างชั้น
  2. $\text{FD}_1=12\div2$class 0 to 2ชั้น 0 ถึง 2
  3. $=6$
  4. $\text{FD}_2=7\div1$class 2 to 3ชั้น 2 ถึง 3
  5. $=7$
  6. $\text{FD}_3=15\div3$class 3 to 6ชั้น 3 ถึง 6
  7. $=5$
  8. $\text{FD}_4=12\div3$class 6 to 9ชั้น 6 ถึง 9
  9. $=4$
  10. $\text{FD}_5=9\div5$class 9 to 14ชั้น 9 ถึง 14
  11. $=1.8$five bars, no gapsห้าแท่ง ไม่มีช่องว่าง

Q18(b) Estimate P(over 7 kg)Q18(b) ประมาณ P(เกิน 7 กก.)

Pedro delivers parcels on Monday. The weights, in kg, are grouped like this:

Weight $w$ (kg)Frequency
$0\lt w\le2$12
$2\lt w\le3$7
$3\lt w\le6$15
$6\lt w\le9$12
$9\lt w\le14$9

(b) A parcel is picked at random. Use the table to estimate the probability that it weighs more than 7 kg. [2]

  1. $9-7=2$the part of the 6 to 9 class above 7ส่วนของชั้น 6 ถึง 9 ที่เกิน 7
  2. $\text{share}=\dfrac{2}{3}$out of the class width, 3จากความกว้างชั้น 3
  3. $n=\dfrac{2}{3}\times12$n = parcels in that partn = พัสดุในส่วนนั้น
  4. $=8$
  5. $m=9$the whole 9 to 14 class is above 7ชั้น 9 ถึง 14 ทั้งชั้นเกิน 7
  6. $12+7+15=34$add the frequenciesบวกความถี่
  7. $34+12+9=55$all the parcelsพัสดุทั้งหมด
  8. $n+m=8+9$parcels above 7 kgพัสดุที่เกิน 7 กก.
  9. $=17$
  10. $P=\dfrac{17}{55}$answer · 0.309 as a decimalคำตอบ · 0.309 เป็นทศนิยม

20. Q19 · Similar solids · 4 marksข้อ 19 · รูปทรงคล้าย · 4 คะแนน

Answer: 175 cm³คำตอบ: 175 cm³

Q19 Find the volume of vase BQ19 หาปริมาตรแจกัน B

Vases $A$ and $B$ are similar in shape.
Surface area of $B=\dfrac{25}{64}\times$ surface area of $A$.
The volume of $A$ is $541.8\text{ cm}^3$ more than the volume of $B$.
Work out the volume of vase $B$, in $\text{cm}^3$. [4]

  1. $S_B:S_A=25:64$surface area ratio · S = surface areaอัตราส่วนพื้นที่ผิว · S = พื้นที่ผิว
  2. $L_B:L_A=5:8$square root of each · L = lengthถอดรากที่สองแต่ละตัว · L = ความยาว
  3. $V_B:V_A=5^3:8^3$cube for volumes · V = volumeยกกำลังสามสำหรับปริมาตร · V = ปริมาตร
  4. $=125:512$
  5. $V_A=4.096V_B$512 ÷ 125 = 4.096512 ÷ 125 = 4.096
  6. $V_A-V_B=541.8$the difference givenผลต่างที่โจทย์ให้
  7. $4.096V_B-V_B=541.8$put ① into ②แทน ① ลงใน ②
  8. $3.096V_B=541.8$4.096 − 1 = 3.0964.096 − 1 = 3.096
  9. $V_B=\dfrac{541.8}{3.096}$divide both sides by 3.096หารทั้งสองข้างด้วย 3.096
  10. $=175$answer · cm³คำตอบ · ซม.³

21. Q20 · Line and circle · 5 marksข้อ 20 · เส้นตรงและวงกลม · 5 คะแนน

Answer: x = 0.6, y = 5.8 and x = 5, y = −3คำตอบ: x = 0.6, y = 5.8 and x = 5, y = −3

Q20 Solve the pairQ20 แก้สมการคู่

Solve together: $y=7-2x$ and $x^2+y^2=34$. Show clear algebra. [5]

  1. $y=7-2x$the lineเส้นตรง
  2. $x^2+y^2=34$the circle (centre 0, radius √34)วงกลม (จุดศูนย์กลาง 0 รัศมี √34)
  3. $x^2+(7-2x)^2=34$put ① into ②แทน ① ลงใน ②
  4. $(7-2x)^2=49-28x+4x^2$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  5. $5x^2-28x+49=34$x² + 4x² = 5x² · then − 34x² + 4x² = 5x²
  6. $5x^2-28x+15=0$49 − 34 = 1549 − 34 = 15
  7. $(5x-3)(x-5)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  8. $5x-3=0$first bracket is 0วงเล็บแรกเป็น 0
  9. $5x=3$divide by 5หารด้วย 5
  10. $x=0.6$
  11. $x-5=0$second bracket is 0วงเล็บที่สองเป็น 0
  12. $x=5$
  13. $y=7-2(0.6)$put x = 0.6 in the lineแทน x = 0.6 ในเส้นตรง
  14. $=5.8$
  15. $y=7-2(5)$put x = 5 in the lineแทน x = 5 ในเส้นตรง
  16. $=-3$
  17. $(x,y)=(0.6,5.8)$first solutionคำตอบแรก
  18. $(x,y)=(5,-3)$second solutionคำตอบที่สอง

22. Q21 · Sphere: area to volume · 3 marksข้อ 21 · ทรงกลม: จากพื้นที่ผิวไปปริมาตร · 3 คะแนน

Answer: 180 cm³คำตอบ: 180 cm³

Q21 Volume of the sphereQ21 ปริมาตรของทรงกลม

A sphere has surface area $49\pi$ cm².
Find the volume of the sphere. Answer to the nearest whole number. [3]

  1. $S=4\pi r^2$surface area of a sphere ($S$ “S” = area)พื้นที่ผิวทรงกลม
  2. $49\pi=4\pi r^2$put in the given areaแทนค่าพื้นที่ที่โจทย์ให้
  3. $\dfrac{49}{4}=r^2$
  4. $r=\sqrt{\dfrac{49}{4}}$square rootถอดราก
  5. $=3.5$radius in cmรัศมี ซม.
  6. $V=\dfrac43\pi r^3$volume of a sphereปริมาตรทรงกลม
  7. $=\dfrac{4}{3}\pi\times3.5^3$put in r = 3.5แทน r = 3.5
  8. $=179.59$cm³ลบ.ซม.
  9. $V\approx180$answer · cm³ · nearest whole numberคำตอบ · ลบ.ซม. · จำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

23. Q22 · Quadratic inequality · 3 marksข้อ 22 · อสมการกำลังสอง · 3 คะแนน

Answer: −7 ≤ x ≤ 5/6คำตอบ: −7 ≤ x ≤ 5/6

Q22 Solve 6x² + 37x ≤ 35Q22 แก้อสมการ 6x² + 37x ≤ 35

Find every value of $x$ for which $6x^2+37x\le35$. Algebra working must be seen.
Which values of $x$ make $6x^2+37x\le35$ true? [3]

  1. $6x^2+37x\le35$one side must be 0: move 35 acrossให้ด้านหนึ่งเป็น 0: ย้าย 35
  2. $6x^2+37x-35\le0$the curve must be on or below the x-axisเส้นโค้งต้องอยู่บนหรือใต้แกน x
  3. $(6x-5)(x+7)\le0$factorise: $42x-5x=37x$แยกตัวประกอบ: $42x-5x=37x$
  4. $6x-5=0$critical values: each factor equal to 0ค่าวิกฤต: ให้แต่ละตัว = 0
  5. $6x=5$divide by 6หารด้วย 6
  6. $x=\dfrac56$first critical valueค่าวิกฤตแรก
  7. $x+7=0$second factorตัวประกอบที่สอง
  8. $x=-7$second critical valueค่าวิกฤตที่สอง
  9. $-7\le x\le\dfrac56$6 is positive: the curve opens up, so it is below the axis between the roots6 เป็นบวก: เส้นโค้งหงายขึ้น จึงอยู่ใต้แกนระหว่างราก

24. Q23 · Angle between a line and a base · 5 marksข้อ 23 · มุมระหว่างเส้นกับฐาน · 5 คะแนน

Answer: 38.3°คำตอบ: 38.3°

Q23 Angle of AJ with the base ABHGQ23 มุมของ AJ กับฐาน ABHG

$ABCDEFGHIJ$ is a prism. Its cross-section is the pentagon $ABCDE$ with $AE=BC=x$ cm, $AB=2x$ cm and $ED=CD=8$ cm. Angles $EAB$ and $CBA$ are $90^\circ$. Angles $AED$ and $BCD$ are $120^\circ$.
$AG=BH=EF=DJ=CI=12$ cm. The sketch is not drawn accurately.
Work out the angle between the line $AJ$ and the base $ABHG$. Answer to 3 s.f. [5]

  1. $\angle DEC=30^\circ$join EC: angle AEC is 90°, so 120° − 90°ลาก EC: มุม AEC = 90° ดังนั้น 120° − 90°
  2. $x=8\cos30^\circ$N is the midpoint of EC, so $EN=x$N เป็นจุดกึ่งกลาง EC ดังนั้น EN = x
  3. $=4\sqrt3$exact formรูปติดราก
  4. $=6.928$cmซม.
  5. $DN=8\sin30^\circ$DN is the height of D above ECDN คือความสูงของ D เหนือ EC
  6. $=4$cmซม.
  7. $JM=x+DN$J is above M, the midpoint of GHJ อยู่เหนือ M จุดกึ่งกลาง GH
  8. $=6.928+4$put in x and DNแทน x และ DN
  9. $=10.928$cmซม.
  10. $x^2=48$$(4\sqrt3)^2=16\times3$$(4\sqrt3)^2=16\times3$
  11. $AM^2=12^2+x^2$triangle AGM: right angle at G, $GM=x$สามเหลี่ยม AGM: มุมฉากที่ G · GM = x
  12. $=144+48$substituteแทนค่า
  13. $=192$
  14. $AM=\sqrt{192}$square rootถอดราก
  15. $=13.856$cmซม.
  16. $\tan\theta=\dfrac{JM}{AM}$triangle AMJ, right angle at M: tan = opposite ÷ adjacentสามเหลี่ยม AMJ มุมฉากที่ M: tan = ข้าม ÷ ชิด
  17. $=\dfrac{10.928}{13.856}$substituteแทนค่า
  18. $=0.7887$
  19. $\theta=\tan^{-1}0.7887$inverse tan ($\theta$ “theta” = the angle)ใช้ tan⁻¹ (θ อ่านว่า ทีตา = มุม)
  20. $\theta=38.3^\circ$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 หลัก

25. Q24 · Read a sine graph · 2 marksข้อ 24 · อ่านกราฟไซน์ · 2 คะแนน

Answer: a = 3, b = 0.5คำตอบ: a = 3, b = 0.5

Q24 Find a and bQ24 หา a และ b

The curve $y=a\sin x^\circ+b$ is plotted for $0\le x\le360$. Its highest point is $(90,\ 3.5)$ and its lowest point is $(270,\ -2.5)$. The curve starts at $y=0.5$ when $x=0$.
Work out $a$ and $b$. [2]

  1. $a+b=3.5$top: $\sin x^\circ=1$ at $x=90$จุดสูงสุด: sin x° = 1 ที่ x = 90
  2. $-a+b=-2.5$bottom: $\sin x^\circ=-1$ at $x=270$จุดต่ำสุด: sin x° = −1 ที่ x = 270
  3. $2b=1$add the two lines: the $a$ terms cancelบวกสองบรรทัด: พจน์ a หักล้างกัน
  4. $b=0.5$the middle line of the waveเส้นกลางของคลื่น
  5. $a+0.5=3.5$put b into ①แทน b ใน ①
  6. $a=3$the height of the wave above the middleความสูงของคลื่นเหนือเส้นกลาง

26. Q25 · Inverse of a quadratic · 4 marksข้อ 25 · ฟังก์ชันผกผันของกำลังสอง · 4 คะแนน

Answer: f⁻¹(x) = 2 − √((x + 5)/3)คำตอบ: f⁻¹(x) = 2 − √((x + 5)/3)

Q25 Find f⁻¹(x)Q25 หา f⁻¹(x)

The function $f$ is defined by $f(x)=3x^2-12x+7$ for $x\le2$.
Give $f^{-1}(x)$ as an expression in $x$. [4]

  1. $y=3x^2-12x+7$write y for f(x), then make x the subjectเขียน y แทน f(x) แล้วทำ x ให้เป็นตัวตั้ง
  2. $y-7=3x^2-12x$take out the 3: divide by 3ดึง 3 ออก: หารด้วย 3
  3. $\dfrac{y-7}{3}=x^2-4x$first step of completing the squareขั้นแรกของการทำกำลังสองสมบูรณ์
  4. $\dfrac{y-7}{3}=(x-2)^2-4$complete the square: $x^2-4x=(x-2)^2-4$ทำกำลังสองสมบูรณ์: $x^2-4x=(x-2)^2-4$
  5. $\dfrac{y+5}{3}=(x-2)^2$$\frac{y-7}{3}+4=\frac{y+5}{3}$$\frac{y-7}{3}+4=\frac{y+5}{3}$
  6. $x-2=\pm\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$square root: two signs (± “plus or minus”)ถอดราก: ได้สองเครื่องหมาย (± อ่านว่า บวกหรือลบ)
  7. $x\le2$the domain is $x\le2$, so $x-2$ is not positiveโดเมนคือ $x\le2$ ดังนั้น x − 2 ไม่เป็นบวก
  8. $x-2=-\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$only the negative root fitsใช้ได้เฉพาะรากลบ
  9. $x=2-\sqrt{\dfrac{y+5}{3}}$this gives x for each yได้ x สำหรับแต่ละ y
  10. $f^{-1}(x)=2-\sqrt{\dfrac{x+5}{3}}$answer: call the input x againคำตอบ: เรียกอินพุตว่า x อีกครั้ง

27. Q26 · Powers: find n · 5 marksข้อ 26 · เลขยกกำลัง: หา n · 5 คะแนน

Answer: n = −1/3 and n = 4คำตอบ: n = −1/3 and n = 4

Q26 Find the values of nQ26 หาค่า n

$n$ is a number such that $\dfrac{10^{4n}\times2^{3(n^2-5n)}\times5^{2(1-2n)}}{20^2}=1$. Algebra working must be seen.
Find the values of $n$. [5]

  1. $10^{4n}=2^{4n}\times5^{4n}$$10=2\times5$, so split the power10 = 2 × 5 จึงแยกกำลัง
  2. $20^2=2^4\times5^2$$20=2^2\times5$, then square it20 = 2² × 5 แล้วยกกำลังสอง
  3. $5^{2(1-2n)}=5^{2-4n}$expand the powerกระจายกำลัง
  4. $5^{4n}\times5^{2-4n}=5^2$fives on top: add the powers, $4n+2-4n=2$เลข 5 ข้างบน: บวกกำลัง 4n + 2 − 4n = 2
  5. $2^{4n}\times2^{3n^2-15n}=2^{3n^2-11n}$twos on top: add the powers, $4n-15n=-11n$เลข 2 ข้างบน: บวกกำลัง 4n − 15n = −11n
  6. $\dfrac{2^{3n^2-11n}\times5^2}{2^4\times5^2}=1$the whole equation, rewrittenเขียนสมการใหม่ทั้งหมด
  7. $\dfrac{2^{3n^2-11n}}{2^4}=1$$5^2$ on top and bottom cancel: powers of 2 only5² บนกับล่างตัดกัน: เหลือแต่กำลังของ 2
  8. $2^{3n^2-11n-4}=1$divide: subtract the powersหาร: ลบกำลัง
  9. $3n^2-11n-4=0$$2^0=1$, and no other power of 2 equals 12⁰ = 1 และไม่มีกำลังอื่นของ 2 ที่เท่ากับ 1
  10. $(3n+1)(n-4)=0$factorise: $-12n+n=-11n$แยกตัวประกอบ: −12n + n = −11n
  11. $3n+1=0$a product is 0: one factor is 0ผลคูณเป็น 0: ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0
  12. $3n=-1$divide by 3หารด้วย 3
  13. $n=-\dfrac13$first valueค่าแรก
  14. $n-4=0$second factorตัวที่สอง
  15. $n=4$second valueค่าที่สอง
  16. $n=-\dfrac13,\ 4$answer: both valuesคำตอบ: ทั้งสองค่า

28. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A rectangle is 15 cm long. Its two widths are (4x + 1) cm and (2x + 9) cm. Find the perimeter in cm.สี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 15 ซม. ด้านกว้างสองด้านคือ (4x + 1) ซม. และ (2x + 9) ซม. หาเส้นรอบรูปเป็น ซม.
    Answer:เฉลย: 644x + 1 = 2x + 9 gives x = 4, so the side is 17. P = 2(15 + 17) = 64.4x + 1 = 2x + 9 ได้ x = 4 ด้านยาว 17 · P = 2(15 + 17) = 64
  2. An isosceles triangle has a base of 10 cm and a perimeter of 36 cm. Find its area in cm².สามเหลี่ยมหน้าจั่วฐานยาว 10 ซม. เส้นรอบรูป 36 ซม. หาพื้นที่เป็น ตร.ซม.
    Answer:เฉลย: 60Equal sides: (36 − 10) ÷ 2 = 13. Height: √(13² − 5²) = 12. Area = 10 × 12 ÷ 2 = 60.ด้านเท่า (36 − 10) ÷ 2 = 13 · สูง √(13² − 5²) = 12 · พื้นที่ = 10 × 12 ÷ 2 = 60
  3. Solve $\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{10-x}{3}=0.5$.แก้สมการ $\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{10-x}{3}=0.5$
    Answer:เฉลย: 4Multiply by 6: 3(x+1) − 2(10−x) = 3, so 5x − 17 = 3 and x = 4.คูณ 6: 3(x+1) − 2(10−x) = 3 ได้ 5x − 17 = 3 จึง x = 4
  4. Use the same method to write $0.\dot2\dot7$ as a fraction in its simplest form (type it like 3/11).ใช้วิธีเดียวกันเขียน $0.\dot2\dot7$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (พิมพ์แบบ 3/11)
    Answer:เฉลย: 3/11100x − x = 27, so x = 27/99 = 3/11.100x − x = 27 ดังนั้น x = 27/99 = 3/11
  5. A sphere has surface area $100\pi$ cm². Find its volume to the nearest whole number, in cm³.ทรงกลมมีพื้นที่ผิว $100\pi$ ตร.ซม. หาปริมาตรเป็น ลบ.ซม. จำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด
    Answer:เฉลย: 5244πr² = 100π gives r = 5. V = 4/3 × π × 125 = 523.6, so 524.4πr² = 100π ได้ r = 5 · V = 4/3 × π × 125 = 523.6 ดังนั้น 524

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี