Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

4MA1 2H · June 20234MA1 2H · มิ.ย. 2023

IGCSE · Edexcel 4MA1 Higher · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Dividing mixed numbers · 3 marksข้อ 1 · หารจำนวนคละ · 3 คะแนน

Answer: 35/9 = 3 8/9 (shown)คำตอบ: 35/9 = 3 8/9 (shown)

Q1 Show the divisionQ1 แสดงว่าผลหารถูก

Using fractions (not decimals), prove that $4\dfrac{2}{3}\div1\dfrac{1}{5}=3\dfrac{8}{9}$. Write every step. [3]

  1. $4\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}$improper: 4 × 3 + 2 = 14แปลงเป็นเศษเกิน: 4 × 3 + 2 = 14
  2. $1\dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{5}$improper: 1 × 5 + 1 = 6แปลงเป็นเศษเกิน: 1 × 5 + 1 = 6
  3. $\text{LHS}=\dfrac{14}{3}\div\dfrac{6}{5}$LHS “left-hand side”LHS = ฝั่งซ้ายของโจทย์
  4. $=\dfrac{14}{3}\times\dfrac{5}{6}$flip the second, then multiplyกลับเศษส่วนตัวหลัง แล้วคูณ
  5. $=\dfrac{70}{18}$top × top, bottom × bottomบนคูณบน ล่างคูณล่าง
  6. $=\dfrac{35}{9}$divide top and bottom by 2ตัดทอน: หาร 2 ทั้งบนและล่าง
  7. $=3\dfrac{8}{9}$shown · 35 = 3 × 9 + 8ได้ตามโจทย์ · 35 = 3 × 9 + 8

3. Q2 · Probability estimate · 3 marksข้อ 2 · ประมาณจำนวนครั้งจากความน่าจะเป็น · 3 คะแนน

Answer: 54คำตอบ: 54

Q2 How many pinks?Q2 ได้สีชมพูกี่ครั้ง

A biased spinner always stops on one of four colours: green, yellow, brown or pink.
P(green) = 0.32, P(yellow) = 0.13 and P(brown) = 0.28.
Timucin spins it 200 times. Estimate how many of the spins land on pink. [3]

  1. $G+Y=0.32+0.13$green plus yellowเขียว บวก เหลือง
  2. $=0.45$
  3. $G+Y+B=0.45+0.28$add brownบวกสีน้ำตาล
  4. $=0.73$the three known coloursสามสีที่รู้ค่า
  5. $p+0.73=1$all four add to 1 · p = pinkสี่สีรวมกันได้ 1 · p = ชมพู
  6. $p=0.27$chance of pinkโอกาสได้ชมพู
  7. $E=p\times n$expected = probability × spinsจำนวนที่คาด = ความน่าจะเป็น × จำนวนครั้ง
  8. $E=0.27\times200$substituteแทนค่า
  9. $=54$
  10. $E=54$answer · timesคำตอบ · ครั้ง

4. Q3 · Angles in a trapezium · 4 marksข้อ 3 · มุมในสี่เหลี่ยมคางหมู · 4 คะแนน

Answer: 115°คำตอบ: 115°

Q3 The largest angleQ3 มุมที่ใหญ่ที่สุด

$ABCD$ is a trapezium, and side $BC$ is parallel to side $AD$. The sketch is not to scale.
Angle $A=(4x-27)^\circ$, angle $B=(3x+46)^\circ$ and angle $D=(3x+10)^\circ$.
Work out the biggest of its four interior angles. [4]

  1. $A+B=180$co-interior · BC ∥ AD (∥ “parallel”)มุมภายในข้างเดียวกัน รวม 180 · BC ∥ AD
  2. $A+B=7x+19$4x + 3x and −27 + 464x + 3x และ −27 + 46
  3. $7x+19=180$soดังนั้น
  4. $7x=161$
  5. $x=23$
  6. $B=3x+46$angle Bมุม B
  7. $=3\times23+46$substituteแทนค่า
  8. $=115$
  9. $A=4\times23-27$check the othersตรวจมุมอื่นด้วย
  10. $=65$
  11. $D=3\times23+10$
  12. $=79$
  13. $C=180-79$C + D = 180 tooC + D = 180 เช่นกัน
  14. $=101$
  15. $\text{largest}=115^\circ$answer · angle Bคำตอบ · มุม B

5. Q4 · Graph of a quadratic · 4 marksข้อ 4 · กราฟกำลังสอง · 4 คะแนน

Answer: y = 8, 2, −2, −4, −4, −2, 2; smooth U-shaped curve through the 7 points, dipping to (0.5, −4.25)คำตอบ: y = 8, 2, −2, −4, −4, −2, 2; smooth U-shaped curve through the 7 points, dipping to (0.5, −4.25)

Q4(a) Fill in the tableQ4(a) เติมตาราง

The curve is $y=x^2-x-4$.
(a) Fill in the missing $y$ values for $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$. Two are given: $x=-2$ gives $y=2$, and $x=1$ gives $y=-4$. [2]

  1. $y=x^2-x-4$the ruleสูตร
  2. $y(-3)=9+3-4$x = −3 · (−3)² = 9x = −3 · (−3)² = 9
  3. $=8$
  4. $y(-1)=1+1-4$x = −1 · −(−1) = +1x = −1 · −(−1) = +1
  5. $=-2$
  6. $y(0)=0-0-4$x = 0x = 0
  7. $=-4$
  8. $y(2)=4-2-4$x = 2x = 2
  9. $=-2$
  10. $y(3)=9-3-4$x = 3x = 3
  11. $=2$answer · table completeคำตอบ · ตารางครบ

Q4(b) Draw the curveQ4(b) วาดกราฟ

The curve is $y=x^2-x-4$.
(b) With $y=8,2,-2,-4,-4,-2,2$ for $x=-3$ to $3$, plot $y=x^2-x-4$ from $x=-3$ to $x=3$ on a grid with $y$ from $-5$ to $10$. [2]

  1. $y=x^2-x-4$plot each (x, y) pairจุดทีละคู่ (x, y)
  2. $(-3,\ 8)$
  3. $(-2,\ 2)$
  4. $(-1,\ -2)$
  5. $(0,\ -4)$
  6. $(1,\ -4)$same y as (0, −4)y เท่ากับจุด (0, −4)
  7. $(2,\ -2)$
  8. $(3,\ 2)$all 7 pointsครบ 7 จุด
  9. $x=\dfrac{0+1}{2}$lowest point: halfwayจุดต่ำสุดอยู่ตรงกลาง
  10. $=0.5$
  11. $y=0.25-0.5-4$substitute x = 0.5แทน x = 0.5
  12. $=-4.25$below −4 · join with a smooth curveต่ำกว่า −4 · ลากเส้นโค้งเรียบ

6. Q5 · Ratio with money · 4 marksข้อ 5 · อัตราส่วนกับเงิน · 4 คะแนน

Answer: 10คำตอบ: 10

Q5 How many more 5p coinsQ5 เหรียญ 5p มากกว่ากี่เหรียญ

Nancy's coins are worth 85p altogether. Every coin is either a 2p or a 5p.
Number of 2p coins : number of 5p coins = 1 : 3, so she has more 5p coins.
Find how many more 5p coins than 2p coins she has. [4]

  1. $2\text{p}:5\text{p}=1:3$one group: one 2p, three 5pหนึ่งกลุ่ม = 2p หนึ่งเหรียญ 5p สามเหรียญ
  2. $\text{group}=1\times2+3\times5$value of one groupมูลค่าของหนึ่งกลุ่ม
  3. $=17$penceเพนนี
  4. $k=85\div17$how many groupsมีกี่กลุ่ม
  5. $=5$
  6. $n_2=1\times5$n₂ = number of 2p coinsn₂ = จำนวนเหรียญ 2p
  7. $=5$
  8. $n_5=3\times5$n₅ = number of 5p coinsn₅ = จำนวนเหรียญ 5p
  9. $=15$
  10. $5\times2+15\times5=85$check the totalตรวจยอดรวม
  11. $n_5-n_2=15-5$the differenceผลต่าง
  12. $=10$answer · 10 more 5p coinsคำตอบ · 5p มากกว่า 10 เหรียญ

7. Q6 · Standard form · 2 marksข้อ 6 · รูปแบบมาตรฐาน · 2 คะแนน

Answer: 7.6 × 10⁷; 0.00054คำตอบ: 7.6 × 10⁷; 0.00054

Q6(a) Large number to standard formQ6(a) เลขใหญ่เป็นรูปมาตรฐาน

(a) Rewrite 76 000 000 as $a\times 10^n$, where $1\le a\lt 10$. [1]

  1. $76\,000\,000=7.6\times10^n$one digit before the pointหน้าจุดมีเลขหลักเดียว
  2. $n=7$the 7 is in the 10⁷ columnเลข 7 อยู่หลัก 10⁷
  3. $76\,000\,000=7.6\times10^7$answerคำตอบ

Q6(b) Negative power to ordinaryQ6(b) กำลังลบเป็นเลขธรรมดา

(b) Give $5.4\times10^{-4}$ as an ordinary number. [1]

  1. $10^{-4}=\dfrac{1}{10^4}$negative power: one overกำลังลบ = หนึ่งส่วน
  2. $5.4\times10^{-4}=5.4\div10^4$so divide by 10⁴จึงหารด้วย 10⁴
  3. $=5.4\div10\,000$
  4. $=0.00054$answer · point moves 4 leftคำตอบ · จุดเลื่อนไปซ้าย 4 ตำแหน่ง

8. Q7 · Tangents and a reflex angle · 3 marksข้อ 7 · เส้นสัมผัสกับมุมกลับ · 3 คะแนน

Answer: 228°คำตอบ: 228°

Q7 Reflex angle AOCQ7 มุมกลับ AOC

Points A and C lie on a circle with centre O. The line DA touches the circle at A, and the line DC touches it at C (both are tangents). Angle ADC = 48°. Our picture is drawn to scale.
Find reflex angle AOC. [3]

  1. $\angle OAD=90^\circ$tangent meets radius at 90°เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี
  2. $\angle OCD=90^\circ$the same at Cที่ C ก็เช่นกัน
  3. $90+90+48=228$three known angles of OADCมุมที่รู้สามมุมของ OADC
  4. $\angle AOC=360-228$a quadrilateral adds to 360°มุมในสี่เหลี่ยมรวมกัน 360°
  5. $=132$obtuse angle AOCมุมป้าน AOC
  6. $\text{reflex}=360-132$angles round O add to 360°มุมรอบจุด O รวม 360°
  7. $=228^\circ$answer · the outside angleคำตอบ · มุมด้านนอก

9. Q8 · Compound growth · 3 marksข้อ 8 · การเพิ่มแบบทบต้น · 3 คะแนน

Answer: USD 765คำตอบ: USD 765

Q8 Value after 3 yearsQ8 มูลค่าหลัง 3 ปี

Charlotte pays USD 680 for a painting. Its value goes up by 4% every year.
Find its value after 3 years. Answer to the nearest dollar. [3]

  1. $m=1+0.04$multiplier for +4%ตัวคูณของการเพิ่ม 4%
  2. $=1.04$
  3. $V=P\times m^n$P = start, n = yearsP = ราคาเริ่ม · n = จำนวนปี
  4. $V=680\times1.04^3$substituteแทนค่า
  5. $=764.90752$in USDหน่วย USD
  6. $\approx765$answer · nearest dollar, USD 765คำตอบ · ปัดเป็นดอลลาร์ USD 765

10. Q9 · Converting a speed · 3 marksข้อ 9 · แปลงหน่วยความเร็ว · 3 คะแนน

Answer: 7.5 m/sคำตอบ: 7.5 m/s

Q9 km/h to m/sQ9 km/h เป็น m/s

Write a speed of 27 km/h as a speed in m/s. [3]

  1. $1\text{ km}=1000\text{ m}$know: metres in a kmรู้: 1 กม. = 1000 ม.
  2. $1\text{ h}=60\times60\text{ s}$60 min, each 60 s60 นาที นาทีละ 60 วินาที
  3. $=3600\text{ s}$
  4. $27\text{ km}=27\times1000\text{ m}$change the distanceแปลงระยะทาง
  5. $=27000\text{ m}$
  6. $v=\dfrac{d}{t}$speed = distance ÷ timeความเร็ว = ระยะทาง ÷ เวลา
  7. $v=\dfrac{27000}{3600}$27 000 m in 3600 sวิ่ง 27 000 ม. ใน 3600 วินาที
  8. $=7.5\text{ m/s}$answerคำตอบ

11. Q10 · Mean and total · 4 marksข้อ 10 · ค่าเฉลี่ยกับผลรวม · 4 คะแนน

Answer: 12คำตอบ: 12

Q10 Points in the extra roundQ10 คะแนนรอบที่เพิ่ม

Teams A and B play in a quiz league.
Team A has played 11 rounds, with a mean of 17 points a round. Team B has played 9 rounds, with a mean of 18 points a round.
Each team then plays one more round. Now each team has a mean of 18.5 points a round. In that extra round, A got more points than B.
Find how many more points A scored than B in the extra round. [4]

  1. $\text{total}=\text{mean}\times n$n = number of roundsn = จำนวนรอบ
  2. $A_{11}=17\times11$A after 11 roundsA หลัง 11 รอบ
  3. $=187$
  4. $A_{12}=18.5\times12$A after 12 roundsA หลัง 12 รอบ
  5. $=222$
  6. $a=222-187$a = A in the extra rounda = คะแนน A รอบที่เพิ่ม
  7. $=35$
  8. $B_9=18\times9$B after 9 roundsB หลัง 9 รอบ
  9. $=162$
  10. $B_{10}=18.5\times10$B after 10 roundsB หลัง 10 รอบ
  11. $=185$
  12. $b=185-162$b = B in the extra roundb = คะแนน B รอบที่เพิ่ม
  13. $=23$
  14. $a-b=35-23$the differenceผลต่าง
  15. $=12$answer · 12 more pointsคำตอบ · มากกว่า 12 คะแนน

12. Q11 · Angles in a regular polygon · 3 marksข้อ 11 · มุมในรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า · 3 คะแนน

Answer: 30คำตอบ: 30

Q11 Find xQ11 หา x

ABCDEFGHJ is a regular polygon with 9 sides and centre O.
The lines ODK and FEK are straight. Angle DKE is $x$°.
Find the value of $x$. [3]

  1. $c=\dfrac{360}{9}$c = angle at O for one sidec = มุมที่ O ต่อหนึ่งด้าน
  2. $=40$
  3. $\angle FOD=2\times40$F to D is two sidesจาก F ถึง D คือสองด้าน
  4. $=80$∠FOK = 80°∠FOK = 80°
  5. $i=180-40$interior = 180 − exterior (360 ÷ 9)มุมภายใน = 180 − มุมภายนอก (360 ÷ 9)
  6. $=140$
  7. $\angle OFE=140\div2$OF cuts the angle at F in halfOF แบ่งครึ่งมุมที่ F
  8. $=70$
  9. $x=180-80-70$angles in triangle FOKมุมในสามเหลี่ยม FOK รวม 180
  10. $=30$answerคำตอบ

13. Q12 · Trigonometry in two steps · 4 marksข้อ 12 · ตรีโกณสองขั้น · 4 คะแนน

Answer: 2.47 cmคำตอบ: 2.47 cm

Q12 Find CDQ12 หา CD

Triangle ABD has a right angle at D. AB = 14 cm and AD = 8 cm.
Point C lies on BD, and angle BAC = 38°.
Find the length CD. Answer to 3 s.f. [4]

  1. $\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$θ “theta” = angle BADθ “ทีตา” = มุม BAD
  2. $\cos\theta=\dfrac{8}{14}$substituteแทนค่า
  3. $\theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{8}{14}\right)$inverse cosใช้ cos⁻¹
  4. $=55.15\ldots$keep every digitเก็บทศนิยมไว้ครบ
  5. $\angle CAD=55.15\ldots-38$take away angle BACลบมุม BAC ออก
  6. $=17.15\ldots$
  7. $\dfrac{CD}{8}=\tan17.15\ldots$tan = opposite ÷ adjacenttan = ข้าม ÷ ชิด
  8. $CD=8\tan17.15\ldots$multiply both sides by 8คูณ 8 ทั้งสองข้าง
  9. $=2.468\ldots$
  10. $CD=2.47\text{ cm}$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ

14. Q13 · Probability tree diagram · 4 marksข้อ 13 · แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็น · 4 คะแนน

Answer: A yellow 4/6; B red 1/6, yellow 5/6 (on both pairs); 5/9คำตอบ: A yellow 4/6; B red 1/6, yellow 5/6 (on both pairs); 5/9

Q13(a) Fill in the treeQ13(a) เติมต้นไม้ให้ครบ

Narin throws two fair dice once each. Both dice have 6 faces.
On dice A, 2 faces are red and 4 are yellow. On dice B, 1 face is red and 5 are yellow.
(a) Write the missing probabilities on the tree diagram. Dice A comes first, then dice B. [2]

  1. $P(R_A)=\dfrac{2}{6}$R = red · 2 red of 6R = แดง · แดง 2 จาก 6 หน้า
  2. $P(Y_A)=1-P(R_A)$Y = yellow · each pair adds to 1Y = เหลือง · สองกิ่งรวมกันได้ 1
  3. $=1-\dfrac{2}{6}$substituteแทนค่า
  4. $=\dfrac{4}{6}$dice A, yellow branchกิ่งเหลืองของลูก A
  5. $P(R_B)=\dfrac{1}{6}$1 red face of 6แดง 1 จาก 6 หน้า
  6. $P(Y_B)=\dfrac{5}{6}$answer · same on both pairsคำตอบ · ลูก B ใส่เหมือนกันทั้งสองชุด

Q13(b) Both yellowQ13(b) เหลืองทั้งสองลูก

Narin throws two fair dice once each. Both dice have 6 faces.
On dice A, 2 faces are red and 4 are yellow. On dice B, 1 face is red and 5 are yellow.
(b) Find the probability that both dice show yellow. [2]

  1. $P(YY)=P(Y_A)P(Y_B)$and: multiply along the path“และ” = คูณตามกิ่ง
  2. $P(YY)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{5}{6}$substituteแทนค่า
  3. $=\dfrac{20}{36}$top × top, bottom × bottomบนคูณบน ล่างคูณล่าง
  4. $=\dfrac{5}{9}$answer · ÷ 4 top and bottomคำตอบ · หาร 4 ทั้งบนและล่าง

15. Q14 · Circle theorems · 4 marksข้อ 14 · ทฤษฎีบทวงกลม · 4 คะแนน

Answer: 90°; The angle in a semicircle is 90°.; 22°; Angles in the same segment are equal.คำตอบ: 90°; The angle in a semicircle is 90°.; 22°; Angles in the same segment are equal.

Q14(a)(i) Angle RQPQ14(a)(i) มุม RQP

P, Q, R and S lie on a circle with centre O. The line ROP is a diameter.
Angle PRQ = 22°. The diagram is not to scale.
(a)(i) Work out angle RQP. [1]

  1. $RP=\text{diameter}$R, O, P on one lineR, O, P อยู่บนเส้นตรงเดียว
  2. $\angle RQP=90^\circ$answer · Q faces the diameterคำตอบ · Q มองเส้นผ่านศูนย์กลาง

Q14(a)(ii) Reason for (i)Q14(a)(ii) เหตุผลของ (i)

P, Q, R and S lie on a circle with centre O. The line ROP is a diameter.
Angle PRQ = 22°. The diagram is not to scale.
(a)(ii) State the circle fact that gives angle RQP = 90°. [1]

  1. $RP=\text{diameter}$RQP stands on itมุม RQP ยืนบนเส้นนี้
  2. $\angle RQP=90^\circ$angle in a semicircle = 90°มุมในครึ่งวงกลม = 90°

Q14(b)(i) Angle PSQQ14(b)(i) มุม PSQ

P, Q, R and S lie on a circle with centre O. The line ROP is a diameter.
Angle PRQ = 22°. The diagram is not to scale.
(b)(i) Work out angle PSQ. [1]

  1. $\angle PRQ=22^\circ$given · R looks at chord PQโจทย์ให้ · R มองคอร์ด PQ
  2. $\angle PSQ=\angle PRQ$S looks at the same chordS มองคอร์ดเดียวกัน
  3. $=22^\circ$answerคำตอบ

Q14(b)(ii) Reason for (i)Q14(b)(ii) เหตุผลของ (i)

P, Q, R and S lie on a circle with centre O. The line ROP is a diameter.
Angle PRQ = 22°. The diagram is not to scale.
(b)(ii) State the circle fact that gives angle PSQ = 22°. [1]

  1. $\angle PSQ=\angle PRQ$both stand on chord PQทั้งสองมุมยืนบนคอร์ด PQ
  2. $=22^\circ$R and S: same side of PQR กับ S อยู่ฝั่งเดียวกันของ PQ
  3. $\angle PSQ=22^\circ$angles in the same segmentมุมในส่วนของวงกลมเดียวกันเท่ากัน

16. Q15 · Indices and an equation with fractions · 7 marksข้อ 15 · เลขยกกำลังและสมการเศษส่วน · 7 คะแนน

Answer: 8a⁹; 1000x³; y = 2.9คำตอบ: 8a⁹; 1000x³; y = 2.9

Q15(a) Fractional powerQ15(a) กำลังเป็นเศษส่วน

(a) Write $(32a^{15})^{\frac{3}{5}}$ in its simplest form. [2]

  1. $(xy)^n=x^ny^n$power of a productยกกำลังทุกตัวในวงเล็บ
  2. $32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{32})^3$bottom 5 = root · top 3 = cubeส่วน 5 = ราก 5 · เศษ 3 = กำลัง 3
  3. $=2^3$because 2⁵ = 32เพราะ 2⁵ = 32
  4. $=8$
  5. $(a^{15})^{\frac{3}{5}}=a^{15\times\frac{3}{5}}$power of a power: multiplyกำลังซ้อนกำลัง ให้คูณกัน
  6. $=a^9$15 × 3/5 = 915 × 3/5 = 9
  7. $(32a^{15})^{\frac{3}{5}}=8a^9$answerคำตอบ

Q15(b) Negative powerQ15(b) กำลังติดลบ

(b) Write $\left(\dfrac{1}{10x}\right)^{-3}$ as $px^n$, with $p$ and $n$ integers. [2]

  1. $\left(\dfrac{1}{k}\right)^{-n}=k^n$negative power: flip the fractionกำลังลบ = กลับเศษเป็นส่วน
  2. $\left(\dfrac{1}{10x}\right)^{-3}=(10x)^3$flip, power becomes 3กลับเศษส่วน กำลังเป็น 3
  3. $=10^3x^3$cube each factorยกกำลัง 3 ทุกตัว
  4. $=1000x^3$answer · p = 1000, n = 3คำตอบ · p = 1000, n = 3

Q15(c) Equation with fractionsQ15(c) สมการที่มีเศษส่วน

(c) Solve $\dfrac{1-2y}{3}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{2y-1}{2}$. Show your algebra clearly. [3]

  1. $\text{LCD}=30$LCD “lowest common denominator” of 3, 5, 2ตัวส่วนร่วมน้อยสุดของ 3, 5, 2
  2. $\dfrac{1-2y}{3}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{2y-1}{2}$multiply every term by 30คูณทุกพจน์ด้วย 30
  3. $10-20y=24-30y+15$expand, see the tableกระจายวงเล็บ ดูตาราง
  4. $10-20y=39-30y$24 + 15 = 3924 + 15 = 39
  5. $10y+10=39$−20y + 30y = 10y−20y + 30y = 10y
  6. $10y=29$
  7. $y=2.9$answerคำตอบ

17. Q16 · Proportion from a graph · 5 marksข้อ 16 · การแปรผันจากกราฟ · 5 คะแนน

Answer: Q = 3√t; 44%คำตอบ: Q = 3√t; 44%

Q16(a) Formula for QQ16(a) สูตรของ Q

$Q$ varies in direct proportion to $\sqrt{t}$. The curve below shows $Q$ against $t$, for $0 \lt t \lt 8$.
(a) Write $Q$ as a formula in $t$. [3]

  1. $Q\propto\sqrt{t}$∝ means “is proportional to”∝ อ่านว่า “แปรผันตรงกับ”
  2. $Q=k\sqrt{t}$k is a number to findk คือค่าคงที่ที่ต้องหา
  3. $k\sqrt{4}=6$read (4, 6) off the curveอ่านจุด (4, 6) จากกราฟ
  4. $2k=6$√4 = 2√4 = 2
  5. $k=3$
  6. $Q=3\sqrt{t}$answerคำตอบ

Q16(b) Percentage increase in tQ16(b) t เพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์

$Q$ varies in direct proportion to $\sqrt{t}$. The curve below shows $Q$ against $t$, for $0 \lt t \lt 8$.
(b) Using $Q=3\sqrt{t}$: $Q$ goes up by 20%. By what percentage does $t$ go up? [2]

  1. $Q_{\text{new}}=1.2Q$20% more means × 1.2เพิ่ม 20% คือคูณ 1.2
  2. $3\sqrt{t_{\text{new}}}=1.2\times3\sqrt{t}$put in Q = 3√tแทน Q = 3√t
  3. $\sqrt{t_{\text{new}}}=1.2\sqrt{t}$√t is × 1.2 too√t ก็คูณ 1.2 ด้วย
  4. $t_{\text{new}}=1.2^2\,t$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
  5. $1.2^2=1.44$the multiplier for tตัวคูณของ t
  6. $1.44=1+0.44$the old t + the increaset เดิม + ส่วนที่เพิ่ม
  7. $0.44=44\%$answerคำตอบ

18. Q17 · Expanding and changing the subject · 7 marksข้อ 17 · กระจายวงเล็บและย้ายข้างสูตร · 7 คะแนน

Answer: 3x³ + 34x² + 84x − 72; e = (g + w²d)/(w²f − 1)คำตอบ: 3x³ + 34x² + 84x − 72; e = (g + w²d)/(w²f − 1)

Q17(a) Expand three bracketsQ17(a) กระจายสามวงเล็บ

(a) Multiply out $(x+6)(3x-2)(x+6)$ and simplify. [3]

  1. $(x+6)(x+6)$the two equal brackets firstคูณวงเล็บที่เหมือนกันก่อน
  2. $=x^2+12x+36$6x + 6x = 12x6x + 6x = 12x
  3. $\times(3x-2)$times the third bracket · gridคูณวงเล็บที่สาม · ใช้ตาราง
  4. $x^2\text{ terms}=36x^2-2x^2$like terms from the gridรวมพจน์ที่เหมือนกันจากตาราง
  5. $=34x^2$
  6. $x\text{ terms}=108x-24x$
  7. $=84x$
  8. $\begin{array}{l}3x^3+34x^2\\+84x-72\end{array}$answer · all 4 termsคำตอบ · ครบ 4 พจน์

Q17(b) Make e the subjectQ17(b) ทำให้ e เป็นตัวหลัก

(b) Rearrange $w=\sqrt{\dfrac{e+g}{ef-d}}$ so that $e$ is the subject. [4]

  1. $w=\sqrt{\dfrac{e+g}{ef-d}}$the formulaสูตรที่ให้
  2. $w^2=\dfrac{e+g}{ef-d}$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
  3. $w^2(ef-d)=e+g$no fraction nowไม่มีเศษส่วนแล้ว
  4. $w^2ef-w^2d=e+g$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  5. $w^2ef=e+g+w^2d$e terms go leftพจน์ที่มี e ไปซ้าย
  6. $w^2ef-e=g+w^2d$every e is on the lefte ทุกตัวอยู่ซ้ายแล้ว
  7. $e(w^2f-1)=g+w^2d$take e outดึง e ออกมา
  8. $e=\dfrac{g+w^2d}{w^2f-1}$answerคำตอบ

19. Q18 · Match the graph · 3 marksข้อ 18 · จับคู่กราฟ · 3 คะแนน

Answer: C; F; Aคำตอบ: C; F; A

Q18 Which one is y = sin x?Q18 กราฟไหนคือ y = sin x

Six sketch graphs are labelled A, B, C, D, E and F.
Which letter could be the graph of $y=\sin x$? [1]

  1. $y=\sin x$a wave: C or Eกราฟคลื่น: C หรือ E
  2. $y=\sin0$try x = 0ลอง x = 0
  3. $=0$it goes through Oผ่านจุด O
  4. $\text{graph}=\text{C}$answer · E is 1 at x = 0คำตอบ · E มีค่า 1 ที่ x = 0

Q18 Which one is y = −3/x?Q18 กราฟไหนคือ y = −3/x

Six sketch graphs are labelled A, B, C, D, E and F.
Which letter could be the graph of $y=-\dfrac{3}{x}$? [1]

  1. $y=-\dfrac{3}{x}$reciprocal: two parts, B or Fส่วนกลับ: สองท่อน B หรือ F
  2. $y=-\dfrac{3}{1}$try x = 1ลอง x = 1
  3. $=-3$below the axisอยู่ใต้แกน x
  4. $\text{graph}=\text{F}$answer · B is above thereคำตอบ · B อยู่เหนือแกนตรงนั้น

Q18 Which one is y = 4x³ − 5x?Q18 กราฟไหนคือ y = 4x³ − 5x

Six sketch graphs are labelled A, B, C, D, E and F.
Which letter could be the graph of $y=4x^3-5x$? [1]

  1. $y=4x^3-5x$x³ is the top power: a cubicกำลังสูงสุดคือ 3: กราฟกำลังสาม
  2. $y=4(1)^3-5(1)$try x = 1ลอง x = 1
  3. $=-1$dips below just after Oลงใต้แกนหลังผ่าน O
  4. $\text{graph}=\text{A}$answer · D is an x² curveคำตอบ · D เป็นกราฟ x²

20. Q19 · Completing the square · 3 marksข้อ 19 · ทำกำลังสองสมบูรณ์ · 3 คะแนน

Answer: 3(x − 1)² + 2คำตอบ: 3(x − 1)² + 2

Q19 Write as a(x − b)² + cQ19 เขียนเป็น a(x − b)² + c

Write $3x^2-6x+5$ as $a(x-b)^2+c$. [3]

  1. $3x^2-6x=3(x^2-2x)$take the 3 out of the x termsดึง 3 ออกจากพจน์ที่มี x
  2. $x^2-2x=(x-1)^2-1$half of −2 is −1 · take away (−1)²ครึ่งหนึ่งของ −2 คือ −1 · ลบ (−1)² ออก
  3. $3(x^2-2x)=3(x-1)^2-3$multiply both sides by 3คูณ 3 ทั้งสองข้าง
  4. $3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2$add 5 · −3 + 5 = 2บวก 5 · −3 + 5 = 2
  5. $a=3,\ b=1,\ c=2$answer · 3(x − 1)² + 2คำตอบ · 3(x − 1)² + 2

21. Q20 · Probability without replacement · 3 marksข้อ 20 · ความน่าจะเป็นแบบไม่ใส่คืน · 3 คะแนน

Answer: 219/220คำตอบ: 219/220

Q20 At least one red leftQ20 ยังเหลือแดงอย่างน้อย 1

A bag holds 12 counters: 3 red, and the other 9 green.
One at a time, Ameya, Jack and Ella each pull a counter out at random.
Find the probability that the bag still has at least one red counter in it. [3]

  1. $P(A)=1-P(\text{RRR})$A: a red is left · not A: all 3 reds takenA: ยังเหลือแดง · ตรงข้าม: หยิบแดงไปครบ 3
  2. $P(\text{RRR})=\dfrac{3}{12}\times\dfrac{2}{11}\times\dfrac{1}{10}$one fewer counter each timeหยิบแล้วไม่ใส่คืน · ลดทีละ 1
  3. $=\dfrac{6}{1320}$multiplyคูณกัน
  4. $=\dfrac{1}{220}$simplifyตัดทอน
  5. $P(A)=1-\dfrac{1}{220}$substituteแทนค่า
  6. $=\dfrac{219}{220}$answerคำตอบ

22. Q21 · Simultaneous equations (one squared) · 5 marksข้อ 21 · สมการสองตัวแปร (มีกำลังสอง) · 5 คะแนน

Answer: x = 2, y = 1 and x = −16/7, y = −3/7คำตอบ: x = 2, y = 1 and x = −16/7, y = −3/7

Q21 Solve a line and a curveQ21 แก้สมการเส้นตรงกับเส้นโค้ง

Solve these two equations together, and show clear algebra:
$2x^2+3y^2=11$
$x=3y-1$ [5]

  1. $2x^2+3y^2=11$the curveเส้นโค้ง
  2. $x=3y-1$the lineเส้นตรง
  3. $2x^2=2(3y-1)^2$put ② into 2x²แทน ② ลงใน 2x²
  4. $=2(9y^2-6y+1)$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  5. $=18y^2-12y+2$times 2คูณ 2
  6. $11=21y^2-12y+2$the left side is ①, so 11ฝั่งซ้ายคือ ① จึงเท่ากับ 11
  7. $0=21y^2-12y-9$take 11 from both sidesลบ 11 ทั้งสองข้าง
  8. $0=7y^2-4y-3$divide by 3หาร 3
  9. $0=(7y+3)(y-1)$factoriseแยกตัวประกอบ
  10. $y=1\ \text{or}\ y=-\dfrac{3}{7}$one bracket is 0วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็น 0
  11. $x=3(1)-1=2$put y = 1 into ②แทน y = 1 ใน ②
  12. $x=3\left(-\dfrac{3}{7}\right)-1$put y = −3/7 into ②แทน y = −3/7 ใน ②
  13. $=-\dfrac{9}{7}-1$
  14. $=-\dfrac{16}{7}$
  15. $x=2,\ y=1$answer · pair 1คำตอบ · คู่ที่ 1
  16. $x=-\dfrac{16}{7},\ y=-\dfrac{3}{7}$answer · pair 2คำตอบ · คู่ที่ 2

23. Q22 · 3D trigonometry · 5 marksข้อ 22 · ตรีโกณมิติ 3 มิติ · 5 คะแนน

Answer: 59.2°คำตอบ: 59.2°

Q22 Angle of elevation from DQ22 มุมเงยจาก D

Triangle ABC lies on flat, horizontal ground. A flagpole BF stands straight up at B.
AC = 16 m, AB = 9 m, BC = 11 m, and the pole BF is 10 m tall.
Point D lies on AC so that angle BDC = 90°.
Find the angle of elevation of F from D. Answer to 1 d.p. [5]

  1. $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$cosine rule · a = BC, b = AC, c = ABกฎ cos · a = BC, b = AC, c = AB
  2. $\cos A=\dfrac{9^2+16^2-11^2}{2\times9\times16}$substituteแทนค่า
  3. $=\dfrac{216}{288}$work out top and bottomคิดเศษและส่วน
  4. $=0.75$
  5. $AD=9\cos A$right angle at D · adj = hyp × cosมุมฉากที่ D · ชิด = ฉาก × cos
  6. $=9\times0.75$substituteแทนค่า
  7. $=6.75$AD in mAD หน่วยเมตร
  8. $BD^2=9^2-6.75^2$Pythagoras in ABDพีทาโกรัสในสามเหลี่ยม ABD
  9. $=35.4375$
  10. $BD=\sqrt{35.4375}$square rootถอดรากที่สอง
  11. $=5.952\ldots$keep every digitเก็บทุกหลักไว้
  12. $\tan\theta=\dfrac{BF}{BD}$θ “theta” = angle FDBθ (ทีตา) = มุม FDB
  13. $=\dfrac{10}{5.952\ldots}$substituteแทนค่า
  14. $\theta=\tan^{-1}1.679\ldots$inverse tan · 10 ÷ 5.95… = 1.679…ใช้ tan⁻¹ · 10 ÷ 5.95… = 1.679…
  15. $=59.2^\circ$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

24. Q23 · Surds: volume of a cuboid · 4 marksข้อ 23 · กรณฑ์: ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยม · 4 คะแนน

Answer: x = 2 + √5คำตอบ: x = 2 + √5

Q23 Find x as a + √bQ23 หา x ในรูป a + √b

A cuboid has a square cross section with sides $x$ cm. Its length is $(2\sqrt{5}-3)$ cm and its volume is $(13+6\sqrt{5})$ cm³.
With no calculator, find $x$. Write it as $a+\sqrt{b}$, where $a$ and $b$ are integers, and show every step. [4]

  1. $V=x^2h$h = length · area × lengthh = ความยาว · พื้นที่หน้าตัด × ความยาว
  2. $x^2(2\sqrt5-3)=13+6\sqrt5$substituteแทนค่า
  3. $x^2=\dfrac{13+6\sqrt5}{2\sqrt5-3}$x² on its ownเหลือ x² ตัวเดียว
  4. $\times\dfrac{2\sqrt5+3}{2\sqrt5+3}$top and bottom times 2√5 + 3คูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2√5 + 3
  5. $\text{bottom}=(2\sqrt5)^2-3^2$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
  6. $=20-9$(2√5)² = 4 × 5(2√5)² = 4 × 5
  7. $=11$no √ left in the bottomส่วนไม่มี √ แล้ว
  8. $\text{top}=99+44\sqrt5$add the four grid cellsบวกสี่ช่องในตาราง
  9. $x^2=\dfrac{99+44\sqrt5}{11}$top over bottomเศษ ÷ ส่วน
  10. $=9+4\sqrt5$divide each term by 11หารทีละพจน์ด้วย 11
  11. $(a+\sqrt b)^2=a^2+b+2a\sqrt b$square the answer formยกกำลังสองรูปคำตอบ
  12. $2a\sqrt b=4\sqrt5$match the √ partsจับคู่ส่วนที่มี √
  13. $a=2,\ b=5$check: 2² + 5 = 9เช็ก: 2² + 5 = 9
  14. $x=2+\sqrt5$answerคำตอบ

25. Q24 · Kite: perpendicular lines · 6 marksข้อ 24 · ว่าว: เส้นตั้งฉาก · 6 คะแนน

Answer: D = (4.6, 8)คำตอบ: D = (4.6, 8)

Q24 Find DQ24 หาพิกัด D

$ABCD$ is a kite, with $AB = AD$ and $CB = CD$.
The vertices are $A(-2,\ 10)$, $B\left(-\dfrac{27}{5},\ 4\right)$ and $C(4,\ -5)$.
Find the coordinates of $D$. [6]

  1. $m_{AC}=\dfrac{-5-10}{4-(-2)}$AC is the line of symmetryAC คือแกนสมมาตรของว่าว
  2. $=-\dfrac{5}{2}$gradient of ACความชันของ AC
  3. $y-10=-\dfrac{5}{2}(x+2)$line through Aเส้นผ่าน A
  4. $y=-\dfrac{5}{2}x+5$expand: −5 + 10 = 5กระจาย: −5 + 10 = 5
  5. $m_{BD}=\dfrac{2}{5}$BD ⟂ AC: flip, change signBD ตั้งฉาก AC: กลับเศษส่วน เปลี่ยนเครื่องหมาย
  6. $y-4=\dfrac{2}{5}(x+5.4)$line through B · −27/5 = −5.4เส้นผ่าน B · −27/5 = −5.4
  7. $y=\dfrac{2}{5}x+6.16$2/5 × 5.4 = 2.162/5 × 5.4 = 2.16
  8. $-\dfrac{5}{2}x+5=\dfrac{2}{5}x+6.16$M: the lines meetM: จุดที่สองเส้นตัดกัน
  9. $-25x+50=4x+61.6$no fractions nowไม่มีเศษส่วนแล้ว
  10. $-29x=11.6$
  11. $x=-0.4$
  12. $y=-\dfrac{5}{2}(-0.4)+5$x into line ACแทน x ในเส้น AC
  13. $=6$M = (−0.4, 6)M = (−0.4, 6)
  14. $B\to M=(5,\ 2)$M is the midpoint of BDM เป็นจุดกึ่งกลาง BD
  15. $D=(4.6,\ 8)$answer · same step from Mคำตอบ · ก้าวเท่าเดิมจาก M

26. Q25 · Bounds: density of a sphere · 4 marksข้อ 25 · ขอบเขต: ความหนาแน่นของทรงกลม · 4 คะแนน

Answer: 9.56 g/cm³คำตอบ: 9.56 g/cm³

Q25 Upper bound of densityQ25 ขอบบนของความหนาแน่น

A solid sphere has radius 2.8 cm, to 1 d.p.
Its mass is $M\pi$ grams, and $M = 260$ to 2 s.f.
Find the upper bound of its density in g/cm³, to 2 d.p. Show your working. [4]

  1. $r_{\min}=2.75$1 d.p.: half of 0.1 downทศนิยม 1 ตำแหน่ง: ลดครึ่งของ 0.1
  2. $M_{\max}=265$2 s.f.: half of 10 up2 หลักนัยสำคัญ: เพิ่มครึ่งของ 10
  3. $D=\dfrac{\text{mass}}{V}$density = mass ÷ volumeความหนาแน่น = มวล ÷ ปริมาตร
  4. $D_{\max}=\dfrac{M_{\max}\pi}{V_{\min}}$big top, small bottomเศษมากสุด ส่วนน้อยสุด
  5. $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$volume of a sphereปริมาตรทรงกลม
  6. $V_{\min}=\dfrac{4}{3}\pi(2.75)^3$use r minใช้ r ต่ำสุด
  7. $=\dfrac{1331}{48}\pi$keep π · = 87.11… cm³เก็บ π ไว้ · = 87.11… cm³
  8. $D_{\max}=265\pi\div\dfrac{1331\pi}{48}$substituteแทนค่า
  9. $=\dfrac{265\times48}{1331}$π cancelsπ ตัดกัน
  10. $=9.5567\ldots$
  11. $=9.56\text{ g/cm}^3$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

27. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A spinner lands on red, blue, white or black. P(red) = 0.15, P(blue) = 0.4, P(white) = 0.25. It is spun 300 times. Estimate how many times it lands on black.สปินเนอร์ 4 สี · P(แดง) = 0.15, P(น้ำเงิน) = 0.4, P(ขาว) = 0.25 · หมุน 300 ครั้ง · ประมาณว่าได้สีดำกี่ครั้ง
    Answer:เฉลย: 60P(black) = 1 − 0.8 = 0.2, then 0.2 × 300 = 60.P(ดำ) = 1 − 0.8 = 0.2 · 0.2 × 300 = 60
  2. A painting costs USD 500. Its value goes up by 3% every year. Find its value after 2 years, to the nearest dollar.ภาพวาดราคา USD 500 · มูลค่าเพิ่มปีละ 3% · หามูลค่าหลัง 2 ปี ปัดเป็นดอลลาร์
    Answer:เฉลย: 530500 × 1.03² = 530.45, so USD 530.500 × 1.03² = 530.45 · ได้ USD 530
  3. Write a speed of 72 km/h in m/s.เปลี่ยน 72 km/h เป็น m/s
    Answer:เฉลย: 2072 × 1000 = 72 000 m in 3600 s, and 72 000 ÷ 3600 = 20.72 × 1000 = 72 000 ม. ใน 3600 วินาที · 72 000 ÷ 3600 = 20
  4. Dice A: 3 red faces of 6. Dice B: 2 red faces of 6. Each is thrown once. Find P(both yellow).ลูก A แดง 3 จาก 6 หน้า · ลูก B แดง 2 จาก 6 หน้า · โยนลูกละครั้ง · หา P(เหลืองทั้งคู่)
    Answer:เฉลย: 1/3P(Y) is 3/6 for A and 4/6 for B, so 3/6 × 4/6 = 12/36 = 1/3.P(เหลือง) ของ A = 3/6 · ของ B = 4/6 · 3/6 × 4/6 = 12/36 = 1/3
  5. $Q$ is proportional to $\sqrt{t}$. $Q$ goes up by 30%. By what percentage does $t$ go up?$Q$ แปรผันตรงกับ $\sqrt{t}$ · $Q$ เพิ่มขึ้น 30% · $t$ เพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์
    Answer:เฉลย: 69√t is × 1.3, so t is × 1.3² = 1.69: up 69%.√t คูณ 1.3 · t คูณ 1.3² = 1.69 · เพิ่ม 69%
  6. A bag has 10 counters: 2 red and 8 green. Two people each take one counter at random. Find the chance that the bag still holds one or more red counters.ถุงมี 10 เม็ด · แดง 2 เขียว 8 · สองคนหยิบไปคนละเม็ด · หาความน่าจะเป็นที่ยังเหลือแดงในถุงอย่างน้อย 1 เม็ด
    Answer:เฉลย: 44/45No red left means both reds taken: (2/10)(1/9) = 1/45. So 1 − 1/45 = 44/45.ไม่เหลือแดง = หยิบแดงไปทั้ง 2: (2/10)(1/9) = 1/45 · 1 − 1/45 = 44/45
  7. A sphere has radius 3.2 cm to 1 d.p. and mass Mπ g, with M = 340 to 2 s.f. Find the upper bound of its density in g/cm³, to 2 d.p.ทรงกลมรัศมี 3.2 cm (ทศนิยม 1 ตำแหน่ง) · มวล Mπ g, M = 340 (2 หลักนัยสำคัญ) · หาขอบบนของความหนาแน่น g/cm³ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: 8.28Use M = 345 and r = 3.15: 345 ÷ (4/3 × 3.15³) = 8.278… → 8.28.ใช้ M = 345 กับ r = 3.15: 345 ÷ (4/3 × 3.15³) = 8.278… → 8.28

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี