Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

4MA1 2H · June 20244MA1 2H · มิ.ย. 2024

IGCSE · Edexcel 4MA1 Higher · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Statistics from a list · 3 marksข้อ 1 · สถิติจากรายการตัวเลข · 3 คะแนน

Answer: h = 5, j = 12, k = 18คำตอบ: h = 5, j = 12, k = 18

Q1 Find h, j and kQ1 หา h, j, k

Here are eight numbers in size order: $h,\ 6,\ 7,\ 8,\ j,\ 16,\ k,\ k$ (h, j, k are whole numbers). The median is 10, the mode is 18 and the range is 13. Work out h, then find j and k too. [3]

  1. $\text{mode}=k$mode = the repeated valueฐานนิยม = ค่าที่ซ้ำ
  2. $k=18$
  3. $r=k-h$range = largest − smallestพิสัย = มากสุด ลบ น้อยสุด
  4. $h=k-r$rearrange for hจัดหา h
  5. $h=18-13$substituteแทนค่า
  6. $h=5$
  7. $\dfrac{8+j}{2}=10$median = mean of the middle twoมัธยฐาน = ค่าเฉลี่ยสองค่ากลาง
  8. $8+j=20$multiply both sides by 2คูณสองข้างด้วย 2
  9. $j=20-8$subtract 8 from both sidesลบ 8 ทั้งสองข้าง
  10. $j=12$

3. Q2 · Straight lines and a region · 4 marksข้อ 2 · เส้นตรงกับบริเวณที่สอดคล้อง · 4 คะแนน

Answer: three lines drawn & labelled; R = triangle (1,2)-(6,2)-(6,7)คำตอบ: three lines drawn & labelled; R = triangle (1,2)-(6,2)-(6,7)

Q2(a) Draw three linesQ2(a) เขียนสามเส้นตรง

(a) On the grid (0 to 8 on both axes), draw and label three straight lines: $y=2$, $x=6$ and $y=x+1$. [3]

  1. $y=2$horizontal line at height 2เส้นแนวนอนที่ความสูง 2
  2. $x=6$vertical line at 6 along xเส้นแนวตั้งที่ตำแหน่ง 6 บนแกน x
  3. $y=x+1$diagonal line through (0, 1)เส้นทแยงผ่าน (0, 1)

Q2(b) Shade the regionQ2(b) แรเงาบริเวณ

(b) Shade the region that fits all three at once: $y\ge2$, $x\le6$, $y\le x+1$. Label it R. [1]

  1. $y\ge2$at or above y = 2อยู่เหนือเส้น y=2
  2. $x\le6$at or left of x = 6อยู่ซ้ายเส้น x=6
  3. $y\le x+1$at or below y = x + 1อยู่ใต้เส้น y=x+1
  4. $R$where all three overlapบริเวณที่ทั้งสามซ้อนกัน

4. Q3 · Speed, distance and time · 3 marksข้อ 3 · อัตราเร็ว ระยะทาง เวลา · 3 คะแนน

Answer: 7872คำตอบ: 7872

Q3 Find the total distanceQ3 หาระยะทางรวม

A plane flies from New Delhi to Perth in 9 hours 36 minutes. Its average speed on the way is 820 km/h. Find the total distance flown. [3]

  1. $9\dfrac{36}{60}=9.6$convert the minutes to hoursแปลงนาทีเป็นชั่วโมง
  2. $d=s\times t$distance = speed × timeระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา
  3. $=820\times9.6$substituteแทนค่า
  4. $=7872$answer · kmคำตอบ · กิโลเมตร

5. Q4 · Multiplying mixed numbers · 3 marksข้อ 4 · คูณจำนวนคละ · 3 คะแนน

Answer: 8 (shown)คำตอบ: 8 (shown)

Q4 Show that the product is 8Q4 แสดงว่าผลคูณเท่ากับ 8

Show that $2\dfrac{4}{7}\times3\dfrac{1}{9}=8$. [3]

  1. $2\dfrac{4}{7}=\dfrac{18}{7}$write as an improper fractionเขียนเป็นเศษเกิน
  2. $3\dfrac{1}{9}=\dfrac{28}{9}$write as an improper fractionเขียนเป็นเศษเกิน
  3. $\dfrac{18}{7}\times\dfrac{28}{9}$multiply the two fractionsคูณเศษส่วนทั้งสอง
  4. $=2\times4$cancel: 18÷9 and 28÷7ตัด: 18÷9 กับ 28÷7
  5. $=8$answer · shownคำตอบ · แสดงแล้ว

6. Q5 · Right-angled trigonometry · 3 marksข้อ 5 · ตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก · 3 คะแนน

Answer: 3.6คำตอบ: 3.6

Q5 Find BCQ5 หาความยาว BC

Triangle $ABC$ has a right angle at $B$. Angle $BAC=34^\circ$ and the hypotenuse $AC=6.5$ cm. Diagram not to scale.
Find the length $BC$, calling it $x$ cm. Answer to 1 d.p. [3]

  1. $\sin34^\circ=\dfrac{x}{6.5}$sin = opposite over hypotenusesin = ด้านตรงข้าม ส่วน ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  2. $x=6.5\times\sin34^\circ$rearrange for xจัดหา x
  3. $x=3.6$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

7. Q6 · Compound units · 3 marksข้อ 6 · หน่วยผสม · 3 คะแนน

Answer: 3.6w km/hคำตอบ: 3.6w km/h

Q6 Speed in km/hQ6 ความเร็วเป็น กม./ชม.

A speed is w metres per second. Write the same speed in kilometres per hour, as simply as possible, using w. [3]

  1. $w\times3600$× seconds in an hourคูณจำนวนวินาทีใน 1 ชม.
  2. $=3600w\text{ m/h}$metres per hourเมตรต่อชั่วโมง
  3. $3600w\div1000$÷ metres in a kmหารเมตรใน 1 กม.
  4. $=3.6w\text{ km/h}$answer · simplest formคำตอบ · รูปง่ายที่สุด

8. Q7 · Area of a compound shape · 4 marksข้อ 7 · พื้นที่รูปทรงผสม · 4 คะแนน

Answer: h = 19.5คำตอบ: h = 19.5

Q7 Find the heightQ7 หาความสูง

The figure shows a six-sided shape ABCDEF: a rectangle ABEF with a trapezium BCDE on top of it, where $CD$ runs parallel to $AF$.
$AF=21$ cm, $CD=15$ cm, and $AB=FE=13$ cm. The whole shape stands h cm tall, and its total area is 390 $\text{cm}^2$.
Find h. [4]

  1. $21\times13$area of rectangle ABEFพื้นที่สี่เหลี่ยม ABEF
  2. $=273\text{ cm}^2$below the trapeziumใต้คางหมู
  3. $390-273$left for the trapeziumเหลือให้คางหมู
  4. $=117\text{ cm}^2$
  5. $\tfrac12(15+21)$half the parallel sidesครึ่งหนึ่งของด้านขนาน
  6. $=18$
  7. $18(h-13)=117$trapezium area = 117พื้นที่คางหมู = 117
  8. $h-13=6.5$÷18 both sidesหารสองข้างด้วย 18
  9. $h=19.5$answer · h in cmคำตอบ · h หน่วยเซนติเมตร

9. Q8 · Ratio, percentage and fraction of an amount · 5 marksข้อ 8 · อัตราส่วน เปอร์เซ็นต์ เศษส่วนของจำนวน · 5 คะแนน

Answer: 342คำตอบ: 342

Q8 Bulbs for yellow flowersQ8 ดอกไม้สีเหลืองกี่ต้น

Ishir plants 600 bulbs: tulip, crocus and daffodil bulbs in the ratio $9:4:2$.
Of the ones with yellow flowers: 45% are tulip bulbs, $\dfrac{5}{8}$ are crocus bulbs, and every single daffodil bulb is one of them.
How many bulbs in total will have yellow flowers? [5]

  1. $600\div15$one share of the ratioหนึ่งส่วนของอัตราส่วน
  2. $=40$
  3. $\text{tulips}=9\times40$tulip shareส่วนของทิวลิป
  4. $=360$
  5. $0.45\times360$yellow tulips · 45%ทิวลิปสีเหลือง · 45%
  6. $=162$
  7. $\text{crocus}=4\times40$crocus shareส่วนของคร็อกคัส
  8. $=160$
  9. $\tfrac58\times160$yellow crocusesคร็อกคัสสีเหลือง
  10. $=100$
  11. $\text{daffodils}=2\times40$daffodil share, all yellowส่วนดอกแดฟโฟดิล เหลืองทั้งหมด
  12. $=80$
  13. $162+100+80$add the three yellow countsบวกสามจำนวนดอกสีเหลือง
  14. $=342$answerคำตอบ

10. Q9 · Compound interest · 3 marksข้อ 9 · ดอกเบี้ยทบต้น · 3 คะแนน

Answer: 4948 korunaคำตอบ: 4948 koruna

Q9 Compound interest totalQ9 ยอดรวมดอกเบี้ยทบต้น

Giovanni puts 4500 koruna into a savings account for 4 years, earning 2.4% compound interest every year.
Find the total in the account after the 4 years. Answer to the nearest koruna. [3]

  1. $4500\times1.024$one year, grows by 2.4%หนึ่งปี โต 2.4%
  2. $=4608$
  3. $4500\times1.024^4$same growth, four yearsโตแบบเดิม สี่ปี
  4. $=4947.8$before roundingก่อนปัดเศษ
  5. $=4948$answer · nearest korunaคำตอบ · ปัดเป็นจำนวนเต็มใกล้สุด

11. Q10 · Simultaneous equations · 3 marksข้อ 10 · สมการพร้อมกัน · 3 คะแนน

Answer: x = −1.5, y = 2.5คำตอบ: x = −1.5, y = 2.5

Q10 Solve the pair of equationsQ10 แก้สมการคู่

Solve this pair of equations, showing every algebra step: $6x+4y=1$ and $3x+5y=8$. [3]

  1. $6x+4y=1$
  2. $3x+5y=8$
  3. $6y=15$double ②, then subtract ①คูณ ② ด้วย 2 แล้วลบ ①
  4. $y=2.5$y foundหา y ได้แล้ว
  5. $6x+4(2.5)=1$put y into ①แทน y ใน ①
  6. $6x+10=1$
  7. $6x=-9$−10 both sidesลบ 10 สองข้าง
  8. $x=-1.5$answer · x and yคำตอบ · x และ y

12. Q11 · Factorise and solve · 3 marksข้อ 11 · แยกตัวประกอบและแก้สมการ · 3 คะแนน

Answer: (x − 2)(x + 11); x = 2 and x = −11คำตอบ: (x − 2)(x + 11); x = 2 and x = −11

Q11(i) FactoriseQ11(i) แยกตัวประกอบ

(i) Factorise $x^2+9x-22$ completely. [2]

  1. $x^2+9x-22$need two numbers: product −22, sum 9หาตัวเลขสองตัว: คูณได้ −22 บวกได้ 9
  2. $-2\times11=-22$check the productตรวจผลคูณ
  3. $-2+11=9$check the sumตรวจผลบวก
  4. $x^2+9x-22=(x-2)(x+11)$answerคำตอบ

Q11(ii) SolveQ11(ii) แก้สมการ

(ii) Hence solve $x^2+9x-22=0$. [1]

  1. $(x-2)(x+11)=0$use the factors from (i)ใช้ตัวประกอบจาก (i)
  2. $x-2=0$first bracket could be 0วงเล็บแรกเป็น 0 ได้
  3. $x=2$one solutionคำตอบหนึ่ง
  4. $x+11=0$second bracket could be 0วงเล็บที่สองเป็น 0 ได้
  5. $x=-11$other solutionอีกคำตอบ

13. Q12 · Combined mean · 3 marksข้อ 12 · ค่าเฉลี่ยรวม · 3 คะแนน

Answer: 12 403 stepsคำตอบ: 12 403 steps

Q12 Mean over 7 daysQ12 ค่าเฉลี่ยตลอด 7 วัน

Ali used a fitness tracker to count his daily steps over 7 days.
His mean for the first 4 days was 11 800 steps, and his mean for the next 3 days was 13 207 steps. Find his mean number of steps for all 7 days. [3]

  1. $4\times11800=47200$total steps for the first 4 daysรวมก้าวใน 4 วันแรก
  2. $3\times13207=39621$total steps for the next 3 daysรวมก้าวใน 3 วันถัดมา
  3. $\text{total}=47200+39621$add both totalsบวกสองยอดรวม
  4. $\text{total}=86821$steps over all 7 daysก้าวรวมทั้ง 7 วัน
  5. $\text{mean}=\dfrac{86821}{7}$divide by the number of daysหารด้วยจำนวนวัน
  6. $\text{mean}=12403$answer · stepsคำตอบ · ก้าว

14. Q13 · Cumulative frequency graph · 7 marksข้อ 13 · กราฟความถี่สะสม · 7 คะแนน

Answer: 7, 24, 42, 56, 66, 70; points at (10,7) (20,24) (30,42) (40,56) (50,66) (60,70), joined; ≈21 km (18–22 accepted); ≈8 teachers (6–9 accepted)คำตอบ: 7, 24, 42, 56, 66, 70; points at (10,7) (20,24) (30,42) (40,56) (50,66) (60,70), joined; ≈21 km (18–22 accepted); ≈8 teachers (6–9 accepted)

Q13(a) Cumulative frequency tableQ13(a) ตารางความถี่สะสม

70 teachers were asked how far they travel to school. Their distances, in km, were grouped into six classes.
(a) Complete the table of cumulative frequencies. [1]

  1. $7$first class: the running total starts hereชั้นแรก: เริ่มยอดสะสมที่นี่
  2. $7+17=24$add the next frequencyบวกความถี่ถัดไป
  3. $24+18=42$
  4. $42+14=56$
  5. $56+10=66$
  6. $66+4=70$answer · last total = all 70 teachersคำตอบ · ยอดสุดท้าย = ครบ 70 คน

Q13(b) Plot the graphQ13(b) พล็อตกราฟ

70 teachers were asked how far they travel to school. Their distances, in km, were grouped into six classes.
(b) Plot the cumulative frequency graph, using the upper end of each class, and join your points. [2]

  1. $(10,7)$plot the upper end of each class against its cumulative frequencyพล็อตปลายบนของแต่ละชั้นกับความถี่สะสม
  2. $(20,24)$
  3. $(30,42)$
  4. $(40,56)$
  5. $(50,66)$
  6. $(60,70)$join every point with a smooth curveเชื่อมทุกจุดด้วยเส้นโค้ง

Q13(c) Interquartile rangeQ13(c) พิสัยควอร์ไทล์

70 teachers were asked how far they travel to school. Their distances, in km, were grouped into six classes.
(c) Use your graph to estimate the interquartile range of the distances, in km. [2]

  1. $\dfrac{70}{4}=17.5$lower quartile position: a quarter of 70ตำแหน่งควอร์ไทล์ล่าง: หนึ่งในสี่ของ 70
  2. $d\approx16.2$read across to the curve, then downอ่านข้ามไปที่เส้นโค้ง แล้วอ่านลง
  3. $\dfrac{3\times70}{4}=52.5$upper quartile position: three quarters of 70ตำแหน่งควอร์ไทล์บน: สามในสี่ของ 70
  4. $d\approx37.5$read across, then downอ่านข้าม แล้วอ่านลง
  5. $\text{IQR}=37.5-16.2$upper reading minus lower readingค่าบนลบค่าล่าง
  6. $\text{IQR}\approx21$answer · km (accept 18–22)คำตอบ · กม. (ยอมรับ 18–22)

Q13(d) More than 46 kmQ13(d) เกิน 46 กม.

70 teachers were asked how far they travel to school. Their distances, in km, were grouped into six classes.
(d) Use your graph to estimate how many of the 70 teachers travel more than 46 km. [2]

  1. $d=46$read up from 46 on the distance axisอ่านขึ้นจาก 46 บนแกนระยะทาง
  2. $cf\approx62$across to the cumulative frequency axisอ่านข้ามไปแกนความถี่สะสม
  3. $70-62=8$answer · teachers (accept 6–9)คำตอบ · คน (ยอมรับ 6–9)

15. Q14 · Expand a triple product; solve a fractional equation · 7 marksข้อ 14 · กระจายผลคูณสามพจน์ และแก้สมการเศษส่วน · 7 คะแนน

Answer: a = 6, b = 57, c = 105; x = 1.2คำตอบ: a = 6, b = 57, c = 105; x = 1.2

Q14(a) Show the expansionQ14(a) แสดงการกระจาย

(a) Show that $3y(2y+5)(y+7)$ can be written as $ay^3+by^2+cy$, and give the values of a, b and c. [3]

  1. $(2y+5)(y+7)$expand these two bracketsกระจายสองวงเล็บนี้
  2. $2y\times y=2y^2$first × firstพจน์แรก × พจน์แรก
  3. $2y\times7=14y$first × lastพจน์แรก × พจน์หลัง
  4. $5\times y=5y$last × firstพจน์หลัง × พจน์แรก
  5. $5\times7=35$last × lastพจน์หลัง × พจน์หลัง
  6. $(2y+5)(y+7)=2y^2+19y+35$collect: 14y+5y=19yรวม: 14y+5y=19y
  7. $3y(2y^2+19y+35)$now multiply by 3yคูณด้วย 3y ต่อ
  8. $3y\times2y^2=6y^3$
  9. $3y\times19y=57y^2$
  10. $3y\times35=105y$
  11. $3y(2y^2+19y+35)=6y^3+57y^2+105y$collect the three termsรวมสามพจน์
  12. $a=6,\ b=57,\ c=105$answerคำตอบ

Q14(b) Solve the equationQ14(b) แก้สมการ

(b) Solve $\dfrac{2x+3}{5}+\dfrac{6x-5}{4}=\dfrac{163}{100}$. Show every step. [4]

  1. $\text{LCD}=20$the 5 and the 4 both divide 20ทั้ง 5 และ 4 หาร 20 ลงตัว
  2. $4(2x+3)=8x+12$×20: the 5 leaves a 4×20: ตัวส่วน 5 เหลือ 4
  3. $5(6x-5)=30x-25$×20: the 4 leaves a 5×20: ตัวส่วน 4 เหลือ 5
  4. $1.63\times20=32.6$×20 on the right tooข้างขวา ×20 ด้วย
  5. $38x-13=32.6$add them: 8x+30x, 12-25รวมกัน: 8x+30x, 12-25
  6. $38x=45.6$move −13 acrossย้าย −13 ข้าม
  7. $x=1.2$answerคำตอบ

16. Q15 · Change the subject; quadratic inequality · 7 marksข้อ 15 · จัดตัวแปรใหม่ และอสมการกำลังสอง · 7 คะแนน

Answer: g = (5 − 11e²)/(2e² − 7); y < −4 or y > 8/3คำตอบ: g = (5 − 11e²)/(2e² − 7); y < −4 or y > 8/3

Q15(a) Change the subjectQ15(a) จัดตัวแปรใหม่

(a) Make g the subject of $e=\sqrt{\dfrac{7g+5}{11+2g}}$. [4]

  1. $e=\sqrt{\dfrac{7g+5}{11+2g}}$startเริ่มต้น
  2. $e^2=\dfrac{7g+5}{11+2g}$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
  3. $e^2(11+2g)=7g+5$multiply by the denominatorคูณด้วยตัวส่วน
  4. $11e^2+2e^2g=7g+5$expand, then send the g terms one wayกระจาย แล้วย้ายพจน์ g ไปด้านหนึ่ง
  5. $2e^2g-7g=5-11e^2$
  6. $g(2e^2-7)=5-11e^2$factorise: g is commonแยกตัวร่วม: g เป็นตัวร่วม
  7. $g=\dfrac{5-11e^2}{2e^2-7}$divide by (2e²−7)หารด้วย (2e²−7)

Q15(b) Solve the inequalityQ15(b) แก้อสมการ

(b) Solve $3y^2+4y-32\gt0$. Show your working. [3]

  1. $f(y)=3y^2+4y-32$name the left sideตั้งชื่อฝั่งซ้าย
  2. $f(y)=0$critical values: where it is zeroค่าวิกฤต คือตรงที่เท่าศูนย์
  3. $(3y-8)(y+4)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  4. $3y-8=0$first bracket could be 0วงเล็บแรกเป็น 0 ได้
  5. $y=\dfrac{8}{3}$one critical valueค่าวิกฤตหนึ่ง
  6. $y+4=0$second bracket could be 0วงเล็บที่สองเป็น 0 ได้
  7. $y=-4$other critical valueอีกค่าวิกฤต
  8. $3y^2+4y-32\gt0$positive quadratic: above zero outside the rootsกำลังสองบวก: เหนือศูนย์นอกราก
  9. $y\lt-4\ \text{or}\ y\gt\dfrac{8}{3}$answerคำตอบ

17. Q16 · Sets and conditional probability · 7 marksข้อ 16 · เซตกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข · 7 คะแนน

Answer: K=7, K∩P=8, P∩E=7, K∩E=11, P=4, E=12, all three=9, none=2; 17/28; 11; 28คำตอบ: K=7, K∩P=8, P∩E=7, K∩E=11, P=4, E=12, all three=9, none=2; 17/28; 11; 28

Q16(a) Fill the Venn diagramQ16(a) เติมแผนภาพเวนน์

60 students on an art course were asked about workshops in knitting ($K$), photography ($P$) and embroidery ($E$).
9 chose all three workshops.
17 picked both knitting and photography.
16 picked both photography and embroidery.
20 picked both knitting and embroidery.
28 chose the photography workshop.
39 chose the embroidery workshop.
2 chose none of the three workshops.
(a) Fill in the Venn diagram with the number of students in each region. [3]

  1. $K\cap P\cap E=9$given: all three (∩ = "and")ให้มา: ทั้งสามอย่าง (∩ แปลว่า "และ")
  2. $17-9=8$both K and P, minus the middleทั้ง K กับ P ลบส่วนกลาง
  3. $16-9=7$both P and E, minus the middleทั้ง P กับ E ลบส่วนกลาง
  4. $20-9=11$both K and E, minus the middleทั้ง K กับ E ลบส่วนกลาง
  5. $28-8-7-9=4$all of P minus its three overlapsทั้งหมดใน P ลบส่วนที่ซ้อนสามส่วน
  6. $39-11-7-9=12$all of E minus its three overlapsทั้งหมดใน E ลบส่วนที่ซ้อนสามส่วน
  7. $8+7+11+4=30$add the regions found so farบวกส่วนที่หาได้แล้ว
  8. $30+12+9+2=53$and the rest of themแล้วบวกส่วนที่เหลือ
  9. $60-53=7$the last region: knitting onlyส่วนสุดท้าย: ถักผ้าอย่างเดียว
  10. $\text{none}=2$given: chose none of the threeให้มา: ไม่เลือกเลยสักอย่าง

Q16(b) Conditional probabilityQ16(b) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

60 students on an art course were asked about workshops in knitting ($K$), photography ($P$) and embroidery ($E$).
9 chose all three workshops.
17 picked both knitting and photography.
16 picked both photography and embroidery.
20 picked both knitting and embroidery.
28 chose the photography workshop.
39 chose the embroidery workshop.
2 chose none of the three workshops.
(b) Pick one of the 60 students at random. Given this student chose photography, work out the probability that knitting was chosen too. [2]

  1. $P(K\mid P)=\dfrac{n(K\cap P)}{n(P)}$∣ means "given" here∣ แปลว่า "เมื่อรู้ว่า" ตรงนี้
  2. $n(K\cap P)=8+9$K and P regions, from the diagramส่วน K กับ P จากรูป
  3. $=17$
  4. $n(P)=4+8+7+9$every region inside Pทุกส่วนที่อยู่ใน P
  5. $=28$
  6. $P(K\mid P)=\dfrac{17}{28}$substitute both numbersแทนทั้งสองตัวเลข

Q16(c) In P, not in KQ16(c) อยู่ใน P แต่ไม่อยู่ใน K

60 students on an art course were asked about workshops in knitting ($K$), photography ($P$) and embroidery ($E$).
9 chose all three workshops.
17 picked both knitting and photography.
16 picked both photography and embroidery.
20 picked both knitting and embroidery.
28 chose the photography workshop.
39 chose the embroidery workshop.
2 chose none of the three workshops.
(c) Find $n(P \cap K^{\prime})$. [1]

  1. $n(P\cap K^{\prime})=4+7$K′ means "not in K"K′ แปลว่า "ไม่อยู่ใน K"
  2. $=11$in P, outside Kอยู่ใน P แต่นอก K

Q16(d) K, with P or EQ16(d) K ร่วมกับ P หรือ E

60 students on an art course were asked about workshops in knitting ($K$), photography ($P$) and embroidery ($E$).
9 chose all three workshops.
17 picked both knitting and photography.
16 picked both photography and embroidery.
20 picked both knitting and embroidery.
28 chose the photography workshop.
39 chose the embroidery workshop.
2 chose none of the three workshops.
(d) Find $n([P \cup E] \cap K)$. [1]

  1. $n([P\cup E]\cap K)=8+11+9$∪ means "or" (either group)∪ แปลว่า "หรือ" (กลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง)
  2. $=28$answerคำตอบ

18. Q17 · Direct proportion with a root · 3 marksข้อ 17 · แปรผันตรงกับราก · 3 คะแนน

Answer: Q = 0.25√dคำตอบ: Q = 0.25√d

Q17 Formula connecting Q and dQ17 สูตรเชื่อม Q กับ d

Q varies directly with the square root of d. When d = 324, Q = 4.5. Work out a formula connecting Q and d. [3]

  1. $Q=k\sqrt{d}$direct proportion formรูปแปรผันตรง
  2. $4.5=k\sqrt{324}$substitute d=324, Q=4.5แทน d=324, Q=4.5
  3. $4.5=18k$√324 simplifies to 18√324 เท่ากับ 18
  4. $k=0.25$
  5. $Q=0.25\sqrt{d}$answerคำตอบ

19. Q18 · Perpendicular gradient · 2 marksข้อ 18 · ความชันตั้งฉาก · 2 คะแนน

Answer: 5/2คำตอบ: 5/2

Q18 Gradient at right angles to PQ18 ความชันที่ตั้งฉากกับ P

Line P is given by 5y + 2x = 7. Work out the gradient of a line at right angles to P. [2]

  1. $5y+2x=7$move 2x acrossย้าย 2x ข้าม
  2. $5y=7-2x$divide both sides by 5หารทั้งสองข้างด้วย 5
  3. $y=\dfrac{7-2x}{5}$gradient = coefficient of xความชัน = สปส. ของ x
  4. $m_P=-\dfrac{2}{5}$
  5. $m_{\perp}=\dfrac{5}{2}$negative reciprocalกลับเศษกลับส่วน เปลี่ยนเครื่องหมาย

20. Q19 · Lower bound of G · 3 marksข้อ 19 · ขอบล่างของ G · 3 คะแนน

Answer: 0.765คำตอบ: 0.765

Q19 Choose the bounds, then work out GQ19 เลือกขอบเขต แล้วหา G

$G=\dfrac{c}{2f-3h}$. In the formula, c is 8 after rounding to a whole number, f is 6.62 after rounding to 2 d.p., and h is 1.2 after rounding to 1 d.p.
Find the lower bound of G. Answer to 3 d.p., and show your working. [3]

  1. $G=\dfrac{c}{2f-3h}$G smallest: small top, big bottomG เล็กสุด: บนเล็ก ล่างใหญ่
  2. $c=7.5$smallest c makes G smallerc เล็กสุดทำให้ G เล็ก
  3. $f=6.625$largest f makes 2f biggerf ใหญ่สุดทำให้ 2f ใหญ่
  4. $h=1.15$smallest h makes 3h smallerh เล็กสุดทำให้ 3h เล็ก
  5. $2(6.625)-3(1.15)$work out the bottom firstคิดส่วนล่างก่อน
  6. $=9.8$
  7. $G=\dfrac{7.5}{9.8}$substitute the single numberแทนตัวเลขตัวเดียว
  8. $=0.765$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

21. Q20 · Simplify to a single fraction · 3 marksข้อ 20 · ทำให้เป็นเศษส่วนเดียว · 3 คะแนน

Answer: (5 − 20y²)/(1 + 8y)คำตอบ: (5 − 20y²)/(1 + 8y)

Q20 Substitute and clear the small fractionQ20 แทนค่าแล้วกำจัดเศษส่วนซ้อน

k = x − y and $x=\dfrac{1}{4y}$.
Write $\dfrac{5k}{x+2}$ as $\dfrac{a-by^2}{c+dy}$. Here a, b, c, d are whole numbers. [3]

  1. $k=x-y$givenโจทย์ให้มา
  2. $x=\dfrac1{4y}$givenโจทย์ให้มา
  3. $\dfrac{5k}{x+2}\times\dfrac{4y}{4y}$multiply top and bottom by 4yคูณเศษและส่วนด้วย 4y
  4. $\text{top}=5(1-4y^2)$5k × 4y, using k and x5k × 4y โดยแทน k และ x
  5. $=5-20y^2$expandกระจาย
  6. $\text{bottom}=(x+2)\times4y$
  7. $=1+8y$
  8. $\dfrac{5-20y^2}{1+8y}$answer: a=5, b=20, c=1, d=8คำตอบ: a=5, b=20, c=1, d=8

22. Q21 · Circle inscribed in a square · 5 marksข้อ 21 · วงกลมในสี่เหลี่ยมจัตุรัส · 5 คะแนน

Answer: 27.3 cmคำตอบ: 27.3 cm

Q21 Find the diagonal ACQ21 หาเส้นทแยงมุม AC

Square $ABCD$ has a circle drawn inside it, touching all four sides. The four shaded corner pieces together have an area of $80$ cm².
Let the side of the square be $x$ cm. Find the length of diagonal AC. Answer to 3 s.f. [5]

  1. $S=x^2-\pi\left(\dfrac x2\right)^2$square minus circleสี่เหลี่ยมลบวงกลม
  2. $=x^2\left(1-\dfrac\pi4\right)$take out x²ดึง x² ออก
  3. $x^2\left(1-\dfrac\pi4\right)=80$shaded area is 80พื้นที่แรเงาคือ 80
  4. $x^2=\dfrac{80}{1-\pi/4}$solve for x²หา x²
  5. $=372.8\ldots$keep the extra d.p.เก็บทศนิยมไว้ก่อน
  6. $x=19.307\ldots$square rootถอดราก
  7. $AC=x\sqrt2$diagonal of a squareเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  8. $=19.307\times\sqrt2$substitute xแทนค่า x
  9. $=27.3\text{ cm}$answer · 3 s.f.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

23. Q22 · A line meets a curve · 5 marksข้อ 22 · เส้นตรงตัดเส้นโค้ง · 5 คะแนน

Answer: (9, −4) and (−3, 8)คำตอบ: (9, −4) and (−3, 8)

Q22 Find where they crossQ22 หาจุดตัด

Line L: $x+y=5$. Curve C: $2x^2+3y^2=210$.
Find every point where L and C meet. Show full algebraic working. [5]

  1. $y=5-x$rearrange L for yจัด L หา y
  2. $(5-x)^2=25-10x+x^2$square the bracket firstกำลังสองวงเล็บก่อน
  3. $2x^2+3y^2=210$the curve Cเส้นโค้ง C
  4. $5x^2-30x+75=210$substitute, then collectแทนค่า แล้วรวมพจน์
  5. $5x^2-30x-135=0$quadratic in xสมการกำลังสองในรูป x
  6. $x^2-6x-27=0$divide by 5หารด้วย 5
  7. $(x-9)(x+3)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  8. $x=9\ \text{or}\ x=-3$two x-valuesค่า x สองค่า
  9. $y=5-9=-4$substitute x=9 into Lแทน x=9 ใน L
  10. $y=5-(-3)=8$substitute x=−3 into Lแทน x=−3 ใน L

24. Q23 · Indices with a surd · 3 marksข้อ 23 · เลขยกกำลังกับกรณฑ์ · 3 คะแนน

Answer: 5^(2x+10)คำตอบ: 5^(2x+10)

Q23 Write the power of 5Q23 หาเลขชี้กำลังของ 5

Simplify $\dfrac{30\times25^{2x+7}}{\sqrt{180}\times(\sqrt5)^{4x+9}}$, writing the answer as $5^w$.
Simplify the fraction. Give the answer as $5^w$, where w is an expression in x. Show each stage. [3]

  1. $30=6\times5$split 30แยก 30
  2. $25^{2x+7}=5^{4x+14}$25 = 5², double the power25 = 5² คูณเลขชี้กำลังสอง
  3. $\text{top}=6\times5^{4x+15}$combine the topรวมเศษ
  4. $\sqrt{180}=6\sqrt5=6\times5^{1/2}$write √180 as a power of 5เขียน √180 เป็นเลขยกกำลัง 5
  5. $(\sqrt5)^{4x+9}=5^{2x+4.5}$half the powerหารเลขชี้กำลังด้วยสอง
  6. $\text{bot}=6\times5^{2x+5}$combine the bottomรวมส่วน
  7. $\dfrac{\text{top}}{\text{bot}}=\dfrac{5^{4x+15}}{5^{2x+5}}$the 6 cancelsตัด 6 ออก
  8. $=5^{2x+10}$subtract the powersลบเลขชี้กำลัง

25. Q24 · Vectors in a quadrilateral · 6 marksข้อ 24 · เวกเตอร์ในรูปสี่เหลี่ยม · 6 คะแนน

Answer: 4b − 2a; 8.4a + 7.2bคำตอบ: 4b − 2a; 8.4a + 7.2b

Q24(a) Find ACQ24(a) หา AC

OACB is a quadrilateral: O bottom-left, A bottom-right, B above O, C above A. $\overset{\to}{OA}=4\mathbf a$, $\overset{\to}{OB}=3\mathbf b$, $\overset{\to}{BC}=2\mathbf a+\mathbf b$. A bold letter like $\mathbf a$ is a vector.
(a) Find $\overset{\to}{AC}$ in terms of $\mathbf a$ and $\mathbf b$. Give your answer fully simplified. [2]

  1. $AC=AO+OB+BC$go O then B then Cไปทาง O แล้ว B แล้ว C
  2. $=-4\mathbf a+3\mathbf b+(2\mathbf a+\mathbf b)$substitute each vectorแทนแต่ละเวกเตอร์
  3. $=4\mathbf b-2\mathbf a$simplifyลดรูป

Q24(b) Find OQQ24(b) หา OQ

OACB is a quadrilateral: O bottom-left, A bottom-right, B above O, C above A. $\overset{\to}{OA}=4\mathbf a$, $\overset{\to}{OB}=3\mathbf b$, $\overset{\to}{BC}=2\mathbf a+\mathbf b$. A bold letter like $\mathbf a$ is a vector.
(b) $P$ is on $AC$ with $AP:PC=3:2$. $Q$ is the point where line $OP$ meets line $BC$ extended. Using vectors, find $\overset{\to}{OQ}$ in terms of $\mathbf a$ and $\mathbf b$, simplified. Show your working. [4]

  1. $OP=OA+\dfrac35AC$P splits AC, 3 parts of 5P แบ่ง AC เป็น 3 ส่วนจาก 5
  2. $=4\mathbf a+\dfrac35(4\mathbf b-2\mathbf a)$substitute AC from (a)แทน AC จาก (a)
  3. $=\dfrac{14}5\mathbf a+\dfrac{12}5\mathbf b$simplify, this is OPลดรูป นี่คือ OP
  4. $OQ=k\left(\dfrac{14}5\mathbf a+\dfrac{12}5\mathbf b\right)$Q is on line OPQ อยู่บนเส้น OP
  5. $OQ=3\mathbf b+t(2\mathbf a+\mathbf b)$Q is on line BC extendedQ อยู่บนเส้น BC ต่อออกไป
  6. $\dfrac{14}5k=2t$match the a-partsเทียบส่วนของ a
  7. $\dfrac{12}5k=3+t$match the b-partsเทียบส่วนของ b
  8. $t=\dfrac75k$rearrange ①จัด ①
  9. $\dfrac{12}5k=3+\dfrac75k$substitute t into ②แทน t ใน ②
  10. $k=3$solve for kหา k
  11. $OQ=3\left(\dfrac{14}5\mathbf a+\dfrac{12}5\mathbf b\right)$k = 3 back into OPแทน k = 3 ใน OP
  12. $=\dfrac{42}5\mathbf a+\dfrac{36}5\mathbf b$simplifyลดรูป
  13. $=8.4\mathbf a+7.2\mathbf b$answerคำตอบ

26. Q25 · Reading a sine graph · 2 marksข้อ 25 · อ่านกราฟไซน์ · 2 คะแนน

Answer: (30, 2); (300, 0)คำตอบ: (30, 2); (300, 0)

Q25(i) Find AQ25(i) หา A

The sketch shows $y=2\sin(x+60)^\circ$. $A$ is the first peak; $B$ is the next point, moving right, where the curve crosses the x-axis going upward.
(i) Find the coordinates of point A. [1]

  1. $x+60=90$sin peaks at 90°ไซน์สูงสุดที่ 90°
  2. $x=30$solve for xหา x
  3. $y=2\sin90^\circ=2$peak value of 2 sinค่าสูงสุดของ 2 sin
  4. $A=(30,2)$answerคำตอบ

Q25(ii) Find BQ25(ii) หา B

The sketch shows $y=2\sin(x+60)^\circ$. $A$ is the first peak; $B$ is the next point, moving right, where the curve crosses the x-axis going upward.
(ii) Find the coordinates of point B. [1]

  1. $x+60=360$sin next returns to 0, risingไซน์กลับมาเป็น 0 ขาขึ้นรอบถัดไป
  2. $x=300$solve for xหา x
  3. $B=(300,0)$answerคำตอบ

27. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. Triangle XYZ has a right angle at Y. Angle YXZ = 27° and hypotenuse XZ = 8.2 cm. Find YZ to 1 d.p.สามเหลี่ยม XYZ มุมฉากที่ Y · มุม YXZ = 27° · ด้านตรงข้ามมุมฉาก XZ = 8.2 ซม. · หา YZ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: 3.7YZ = 8.2 × sin 27° = 3.7.YZ = 8.2 × sin 27° = 3.7
  2. Ploy invests 2000 koruna for 3 years at 5% per year compound interest. Find the total after 3 years, to the nearest koruna.พลอยลงทุน 2000 โครนา 3 ปี ดอกเบี้ยทบต้น 5% ต่อปี · หายอดรวมหลัง 3 ปี ปัดเป็นจำนวนเต็ม
    Answer:เฉลย: 23152000 × 1.05³ = 2315.25, which rounds to 2315.2000 × 1.05³ = 2315.25 ปัดเป็น 2315
  3. Factorise $x^2+2x-15$, then solve $x^2+2x-15=0$.แยกตัวประกอบ $x^2+2x-15$ แล้วแก้สมการ $x^2+2x-15=0$
    Answer:เฉลย: x = 3, x = −5Two numbers multiply to −15 and add to 2: 5 and −3, so (x+5)(x−3)=0.หาตัวเลขสองตัวคูณได้ −15 บวกได้ 2 คือ 5 กับ −3 จึงได้ (x+5)(x−3)=0
  4. R varies directly with the square root of t. When t = 16, R = 6. Work out a formula connecting R and t.R แปรผันตรงกับรากของ t · เมื่อ t = 16, R = 6 · หาสูตรเชื่อม R กับ t
    Answer:เฉลย: R = 1.5√tR = k√t, so 6 = k×4, giving k = 1.5.R = k√t ดังนั้น 6 = k×4 ได้ k = 1.5
  5. Line L: x + y = 3. Curve C: x² + 2y² = 33. Find every point where L and C meet.เส้นตรง L: x + y = 3 · เส้นโค้ง C: x² + 2y² = 33 · หาจุดตัดทั้งหมด
    Answer:เฉลย: (5,-2) and (-3,6)Substitute y = 3 − x into C: 3x² − 12x − 15 = 0, so x = 5 or x = −3.แทน y = 3 − x ใน C จะได้ 3x² − 12x − 15 = 0 จึง x = 5 หรือ x = −3

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี