Edexcel A Level Maths 9MA0 Paper 1 June 2023: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

9MA0 Paper 1 · June 20239MA0 Paper 1 · มิ.ย. 2023

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Integrating fractional powers · 4 marksข้อ 1 · อินทิเกรตกำลังเศษส่วน · 4 คะแนน

Answer: (4/15)x^(5/2) − (10/9)x^(3/2) + cคำตอบ: (4/15)x^(5/2) − (10/9)x^(3/2) + c

Q1 Integrate term by termQ1 อินทิเกรตทีละพจน์

Find $\displaystyle\int\dfrac{x^{\frac12}(2x-5)}{3}\,dx$, with each term in its simplest form. [4]

$x^{\frac12}\times2x=2x^{\frac32}$expand: add the powers, ½ + 1กระจาย: บวกเลขชี้กำลัง ½ + 1
$x^{\frac12}\times5=5x^{\frac12}$second termพจน์ที่สอง
$\dfrac{x^{\frac12}(2x-5)}{3}=\dfrac23x^{\frac32}-\dfrac53x^{\frac12}$divide each term by 3หารทุกพจน์ด้วย 3
$\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$add 1 to the power, divide by the new powerบวกกำลังอีก 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
$\int\dfrac23x^{\frac32}dx=\dfrac23\cdot\dfrac{x^{\frac52}}{\frac52}$first term: 3/2 + 1 = 5/2พจน์แรก: 3/2 + 1 = 5/2
$=\dfrac4{15}x^{\frac52}$2/3 × 2/52/3 × 2/5
$\int\dfrac53x^{\frac12}dx=\dfrac53\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32}$second term: 1/2 + 1 = 3/2พจน์ที่สอง: 1/2 + 1 = 3/2
$=\dfrac{10}9x^{\frac32}$5/3 × 2/35/3 × 2/3
$\eqalign{&\dfrac4{15}x^{\frac52}\cr&-\dfrac{10}9x^{\frac32}+c}$answer · do not forget + cคำตอบ · อย่าลืม + c

3. Q2 · Factor theorem · 6 marksข้อ 2 · ทฤษฎีบทตัวประกอบ · 6 คะแนน

Answer: a(4a² + 5a − 6) = 0; a = 3/4; x = 0, x = (−5 ± √185)/8คำตอบ: a(4a² + 5a − 6) = 0; a = 3/4; x = 0, x = (−5 ± √185)/8

Q2(a) An equation for aQ2(a) สมการของ a

$\text{f}(x)=4x^3+5x^2-10x+4a$, for $x\in\mathbb{R}$, where $a$ is a positive constant. You are told that $(x-a)$ is a factor of $\text{f}(x)$.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Show that $a(4a^2+5a-6)=0$. [2]

$\text{f}(a)=0$factor theorem: (x − a) is a factorทฤษฎีบทตัวประกอบ: (x − a) เป็นตัวประกอบ
$\text{f}(a)=4a^3+5a^2-6a$put x = a · −10a + 4a = −6aแทน x = a · −10a + 4a = −6a
$4a^3+5a^2-6a=0$it equals 0ให้เท่ากับ 0
$a(4a^2+5a-6)=0$take out a · shownดึง a ออก · ได้ตามโจทย์

Q2(b)(i) The value of aQ2(b)(i) ค่าของ a

$a(4a^2+5a-6)=0$from (a)จากข้อ (a)
$4a^2+5a-6=(a+2)(4a-3)$factorise the quadraticแยกตัวประกอบกำลังสอง
$\eqalign{&a(a+2)\cr&\times(4a-3)}=0$so (a) becomesข้อ (a) จึงเป็น
$a=0,\ -2,\ \tfrac34$three rootsได้สามราก
$a=\dfrac34$answer · a is positiveคำตอบ · a เป็นบวก

Q2(b)(ii) Solve f(x) = 3 exactlyQ2(b)(ii) แก้ f(x) = 3 แบบค่าแม่นตรง

$4a=4\times\tfrac34$the constant termพจน์ค่าคงที่
$=3$4 × 3/44 × 3/4
$\text{f}(x)=\eqalign{&4x^3+5x^2\cr&-10x+3}$f with a = 3/4f เมื่อ a = 3/4
$p=4x^3+5x^2$name the first two terms pตั้งชื่อสองพจน์แรกว่า p
$p-10x+3=3$set f(x) = 3ให้ f(x) = 3
$p-10x=0$the 3s cancelเลข 3 หักกันหมด
$\eqalign{&4x^3+5x^2\cr&-10x}=0$put p backแทน p กลับ
$\eqalign{&x(4x^2+5x\cr&-10)}=0$take out xดึง x ออก
$x=0$first solutionคำตอบแรก
$4x^2+5x-10=0$or the bracket = 0หรือวงเล็บ = 0
$\Delta=5^2+160$discriminant: 5² − 4 × 4 × (−10)ดิสคริมิแนนต์: 5² − 4 × 4 × (−10)
$=185$not a square: the roots are surdsไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์: รากติดรูท
$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{185}}{8}$quadratic formula: (−5 ± √Δ) ÷ (2 × 4)สูตรกำลังสอง: (−5 ± √Δ) ÷ (2 × 4)
$x=0,\ \dfrac{-5\pm\sqrt{185}}{8}$answer · all three solutionsคำตอบ · ครบทั้งสามคำตอบ

4. Q3 · Vectors in 3-D · 3 marksข้อ 3 · เวกเตอร์สามมิติ · 3 คะแนน

Answer: |OA| = √38; a = 5คำตอบ: |OA| = √38; a = 5

Q3(a) Length of OAQ3(a) ความยาว OA

$O$ is a fixed origin. Point $A$ has position vector $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, and point $B$ has position vector $2\mathbf{i}+4\mathbf{j}+a\mathbf{k}$, with $a$ a positive whole number.
(a) Show that $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{38}$. [1]

$|\overrightarrow{OA}|^2=5^2+3^2+2^2$square, add, for all 3 partsยกกำลังสองแล้วบวก ทั้ง 3 ส่วน
$=25+9+4$each squareแต่ละกำลังสอง
$=38$addบวกกัน
$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{38}$square root · shownถอดรูท · ได้ตามโจทย์

Q3(b) Least a with OB longerQ3(b) a ที่น้อยที่สุดให้ OB ยาวกว่า

$O$ is a fixed origin. Point $A$ has position vector $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, and point $B$ has position vector $2\mathbf{i}+4\mathbf{j}+a\mathbf{k}$, with $a$ a positive whole number.
(b) Find the least value of $a$ such that $|\overrightarrow{OB}|\gt|\overrightarrow{OA}|$. [2]

$|\overrightarrow{OB}|^2=2^2+4^2+a^2$same method for OBวิธีเดิมกับ OB
$=20+a^2$4 + 164 + 16
$20+a^2\gt38$OB² > OA² = 38OB² > OA² = 38
$a^2\gt18$move the 20ย้าย 20
$a\gt\sqrt{18}$a is positivea เป็นบวก
$\sqrt{18}\approx4.24$between 4 and 5อยู่ระหว่าง 4 กับ 5
$a=5$answer · the first integer above 4.24คำตอบ · จำนวนเต็มแรกที่เกิน 4.24

5. Q4 · Small angles and a tangent · 5 marksข้อ 4 · มุมเล็กและเส้นสัมผัส · 5 คะแนน

Answer: α ≈ −0.243; y = ½x + 3คำตอบ: α ≈ −0.243; y = ½x + 3

Q4(a) Estimate αQ4(a) ประมาณค่า α

Curve $C$ has equation $y=\text{f}(x)$, $x\in\mathbb{R}$. You are told that $\text{f}'(x)=2x+\dfrac12\cos x$, that $C$ has a stationary point whose $x$ coordinate is $\alpha$, and that $\alpha$ is small.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Estimate $\alpha$ to 3 d.p. by using the small angle approximation for $\cos x$. [3]

$\text{f}\'(\alpha)=0$stationary point: gradient 0จุดคงที่: ความชันเป็น 0
$\cos\alpha\approx1-\dfrac{\alpha^2}2$small angle: cosมุมเล็ก: cos
$\dfrac12\cos\alpha\approx\dfrac12-\dfrac{\alpha^2}4$half of itครึ่งหนึ่งของมัน
$2\alpha+\dfrac12-\dfrac{\alpha^2}4=0$put it into f′(α) = 0แทนลงใน f′(α) = 0
$\alpha^2-8\alpha-2=0$a 3-term quadraticได้สมการกำลังสอง 3 พจน์
$\alpha=\dfrac{8\pm\sqrt{64+8}}2$formula: a = 1, b = −8, c = −2สูตร: a = 1, b = −8, c = −2
$=4\pm\sqrt{18}$√72 = 2√18√72 = 2√18
$4+\sqrt{18}\approx8.24$not small: rejectไม่เล็ก: ตัดทิ้ง
$\alpha=4-\sqrt{18}$the small rootรากที่เล็ก
$\approx-0.243$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q4(b) Tangent at PQ4(b) เส้นสัมผัสที่ P

Curve $C$ has equation $y=\text{f}(x)$, $x\in\mathbb{R}$. You are told that $\text{f}'(x)=2x+\dfrac12\cos x$, that $C$ has a stationary point whose $x$ coordinate is $\alpha$, and that $\alpha$ is small.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b) The point $P(0,\ 3)$ is on $C$. Find, in the form $y=mx+c$ with constants $m$ and $c$ to be found, the tangent to $C$ at $P$. [2]

$m=\text{f}\'(0)$gradient of the tangent at x = 0ความชันเส้นสัมผัสที่ x = 0
$=0+\dfrac12\cos0$substituteแทนค่า
$=\dfrac12$cos 0 = 1cos 0 = 1
$c=3$P is on the y-axisP อยู่บนแกน y
$y=\dfrac12x+3$answerคำตอบ

6. Q5 · Trapezium rule · 6 marksข้อ 5 · กฎสี่เหลี่ยมคางหมู · 6 คะแนน

Answer: a + 2b = 51; a = 5, b = 23คำตอบ: a + 2b = 51; a = 5, b = 23

Q5(a) An equation in a and bQ5(a) สมการของ a และ b

A continuous curve has equation $y=\text{f}(x)$. The table lists values of $x$ and $y$ on the curve; $a$ and $b$ are constants.
All the $y$ values in the table are used in the trapezium rule to estimate the area under the curve from $x=3$ to $x=4$. The estimate is 17.59.
(a) Show that $a+2b=51$. [3]

$h=3.2-3$strip widthความกว้างแต่ละแถบ
$=0.2$5 stripsมี 5 แถบ
$\text{ends}=a+13.5$first + last yy ตัวแรก + ตัวสุดท้าย
$2\times\text{mid}=2b+111.4$middle y doubled · 2 × (16.8 + b + 20.2 + 18.7)y ตรงกลางคูณ 2 · 2 × (16.8 + b + 20.2 + 18.7)
$\text{sum}=a+2b+124.9$ends + 2 × middle · 13.5 + 111.4ปลาย + 2 × กลาง · 13.5 + 111.4
$\dfrac h2\times\text{sum}\approx\text{area}$trapezium ruleกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
$0.1\times\text{sum}=17.59$h/2 = 0.1 · the area is 17.59h/2 = 0.1 · พื้นที่คือ 17.59
$\text{sum}=175.9$divide by 0.1หารด้วย 0.1
$a+2b+124.9=175.9$put the sum backแทนผลรวมกลับ
$a+2b=51$shownได้ตามโจทย์

Q5(b) Find a and bQ5(b) หา a และ b

$a+b+69.2=97.2$add the y values · 16.8 + 20.2 + 18.7 + 13.5บวกค่า y · 16.8 + 20.2 + 18.7 + 13.5
$a+b=28$move 69.2ย้าย 69.2
$a+2b=51$from (a)จากข้อ (a)
$b=23$subtractลบกัน
$a+23=28$put b into ①แทน b ลงใน ①
$a=5$answer · a = 5 and b = 23คำตอบ · a = 5 และ b = 23

7. Q6 · Laws of logarithms · 6 marksข้อ 6 · กฎของลอการิทึม · 6 คะแนน

Answer: a/2; a + b; 3 + b − aคำตอบ: a/2; a + b; 3 + b − a

Q6(a) log₂ √xQ6(a) log₂ √x

$a=\log_2x$ and $b=\log_2(x+8)$. Write each expression in terms of $a$, $b$ or both.
(a) $\log_2\sqrt{x}$ [1]

$\sqrt x=x^{\frac12}$a root is a power ½รากที่สองคือกำลัง ½
$\log_2x^{\frac12}=\tfrac12\log_2x$power law: the power comes to the frontกฎเลขชี้กำลัง: ยกกำลังลงมาคูณข้างหน้า
$=\dfrac a2$answerคำตอบ

Q6(b) log₂(x² + 8x)Q6(b) log₂(x² + 8x)

$a=\log_2x$ and $b=\log_2(x+8)$. Write each expression in terms of $a$, $b$ or both.
(b) $\log_2(x^2+8x)$ [2]

$x^2+8x=x(x+8)$take out xดึง x ออก
$\log_2x(x+8)=\eqalign{&\log_2x\cr&+\log_2(x+8)}$product law: times inside = add outsideกฎผลคูณ: คูณข้างใน = บวกข้างนอก
$=a+b$answerคำตอบ

Q6(c) log₂(8 + 64/x)Q6(c) log₂(8 + 64/x)

$a=\log_2x$ and $b=\log_2(x+8)$. Write each expression in terms of $a$, $b$ or both.
(c) $\log_2\left(8+\dfrac{64}{x}\right)$, in its simplest form. [3]

$8+\dfrac{64}x=\dfrac{8x+64}x$one fractionรวมเป็นเศษส่วนเดียว
$=\dfrac{8(x+8)}x$take out 8ดึง 8 ออก
$\log_2\dfrac{8(x+8)}x=\eqalign{&\log_28\cr&+\log_2(x+8)\cr&-\log_2x}$times: add · divide: subtractคูณ: บวก · หาร: ลบ
$=3+b-a$answer · log₂8 = 3 (2³ = 8), log₂(x + 8) = b, log₂x = aคำตอบ · log₂8 = 3 (2³ = 8), log₂(x + 8) = b, log₂x = a

8. Q7 · Functions · 8 marksข้อ 7 · ฟังก์ชัน · 8 คะแนน

Answer: f(x) > 3; f⁻¹(x) = (x − 3)² + 2, x > 3; 15/2; a = 2√6คำตอบ: f(x) > 3; f⁻¹(x) = (x − 3)² + 2, x > 3; 15/2; a = 2√6

Q7(a) Range of fQ7(a) เรนจ์ของ f

The function f is given by $\text{f}(x)=3+\sqrt{x-2}$, for $x\in\mathbb{R}$, $x\gt2$.
(a) State the range of the function f. [1]

$x\gt2$the domainโดเมน
$\sqrt{x-2}\gt0$the root of a positive numberรากของจำนวนบวก
$3+\sqrt{x-2}\gt3$add 3บวก 3
$\text{f}(x)\gt3$answerคำตอบ

Q7(b) The inverseQ7(b) ฟังก์ชันอินเวอร์ส

The function f is given by $\text{f}(x)=3+\sqrt{x-2}$, for $x\in\mathbb{R}$, $x\gt2$.
(b) Find $\text{f}^{-1}$. [3]

$y=3+\sqrt{x-2}$write y = f(x)เขียน y = f(x)
$y-3=\sqrt{x-2}$move the 3ย้าย 3
$(y-3)^2=x-2$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$(y-3)^2+2=x$x is the subjectx เป็นตัวหลัก
$\text{f}^{-1}(x)=(x-3)^2+2$rename y as xเปลี่ยน y เป็น x
$x\gt3$answer · domain of f⁻¹ = range of fคำตอบ · โดเมนของ f⁻¹ = เรนจ์ของ f

Q7(c) Value of gf(6)Q7(c) ค่าของ gf(6)

The function f is given by $\text{f}(x)=3+\sqrt{x-2}$, for $x\in\mathbb{R}$, $x\gt2$.
(c) The function g is given by $\text{g}(x)=\dfrac{15}{x-3}$, for $x\in\mathbb{R}$, $x\ne3$. Find $\text{gf}(6)$. [2]

$\text{f}(6)=3+\sqrt4$f first: 6 − 2 = 4ทำ f ก่อน: 6 − 2 = 4
$=5$√4 = 2√4 = 2
$\text{gf}(6)=\text{g}(5)$then g of thatแล้วเอาไปใส่ g
$=\dfrac{15}{5-3}$substituteแทนค่า
$=\dfrac{15}2$answerคำตอบ

Q7(d) Solve f(a² + 2) = g(a)Q7(d) แก้ f(a² + 2) = g(a)

The function f is given by $\text{f}(x)=3+\sqrt{x-2}$, for $x\in\mathbb{R}$, $x\gt2$.
(d) With $\text{g}(x)=\dfrac{15}{x-3}$ as in (c), the constant $a$ makes $\text{f}(a^2+2)=\text{g}(a)$ true. Find the exact value of $a$. [2]

$\text{f}(a^2+2)=3+\sqrt{a^2}$a² + 2 − 2 = a²a² + 2 − 2 = a²
$=3+a$f > 3, so g(a) > 3 needs a > 3; then √(a²) = af > 3 จึงต้องมี g(a) > 3 คือ a > 3 แล้ว √(a²) = a
$3+a=\dfrac{15}{a-3}$set f = gให้ f = g
$(a+3)(a-3)=15$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$a^2-9=15$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
$a^2=24$move the 9ย้าย 9
$a=\sqrt{24}$a > 3: −√24 is rejecteda > 3: ตัด −√24 ทิ้ง
$=2\sqrt6$answer · √24 = √4 × √6คำตอบ · √24 = √4 × √6

9. Q8 · Radians: a stage plan · 10 marksข้อ 8 · เรเดียน: แปลนเวที · 10 คะแนน

Answer: OC = 12 m; ∠AOB ≈ 0.421 rad; 214 m²คำตอบ: OC = 12 m; ∠AOB ≈ 0.421 rad; 214 m²

Q8(a) The radius OCQ8(a) รัศมี OC

$OC\times2.3=27.6$arc length = r × θ, θ in radiansความยาวส่วนโค้ง = r × θ, θ เป็นเรเดียน
$OC=\dfrac{27.6}{2.3}$divide by 2.3หารด้วย 2.3
$=12\text{ m}$shownได้ตามโจทย์

Q8(b) Angle AOBQ8(b) มุม AOB

The figure is a plan of a stage, drawn to scale. Two congruent triangles $ABO$ and $GFO$ are joined to a sector $OCDEO$ of a circle with centre $O$. Angle $COE=2.3$ radians, the arc $CDE$ is 27.6 m long, and $AOG$ is a straight line 15 m long.
(b) Show that angle $AOB$ is 0.421 radians to 3 d.p. [2]

$2\angle AOB+2.3=\pi$AOG is straight: π · AOB = GOFAOG เป็นเส้นตรง: π · AOB = GOF
$2\angle AOB=\pi-2.3$move 2.3ย้าย 2.3
$\angle AOB=\dfrac{\pi-2.3}2$halveหารสอง
$=0.420796...$calculatorเครื่องคิดเลข
$\approx0.421\text{ rad}$shown · 3 d.p.ได้ตามโจทย์ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q8(c) Total areaQ8(c) พื้นที่ทั้งหมด

The figure is a plan of a stage, drawn to scale. Two congruent triangles $ABO$ and $GFO$ are joined to a sector $OCDEO$ of a circle with centre $O$. Angle $COE=2.3$ radians, the arc $CDE$ is 27.6 m long, and $AOG$ is a straight line 15 m long.
(c) Use $OC=12$ m and angle $AOB=0.421$ rad from (a) and (b). The front edge $BCDEF$ is 35 m long in total. Find the area of the whole stage, to the nearest m². [6]

$\text{sector}=\tfrac12r^2\theta$sector area, θ in radiansพื้นที่เซกเตอร์, θ เป็นเรเดียน
$=\tfrac12\times12^2\times2.3$r = 12, θ = 2.3r = 12, θ = 2.3
$=165.6\text{ m}^2$sectorเซกเตอร์
$2BC+27.6=35$BC = EF (congruent) · front edgeBC = EF (เท่ากันทุกประการ) · ขอบหน้า
$2BC=7.4$move 27.6ย้าย 27.6
$BC=3.7$halveหารสอง
$OB=12+3.7$OB = OC + CBOB = OC + CB
$=15.7\text{ m}$addบวกกัน
$\triangle AOB=\tfrac12ab\sin C$triangle areaพื้นที่สามเหลี่ยม
$\tfrac12ab=\tfrac12\times7.5\times15.7$OA = 15 ÷ 2 = 7.5, OB = 15.7OA = 15 ÷ 2 = 7.5, OB = 15.7
$=58.875$multiplyคูณ
$\sin C=\sin0.420796$C = angle AOB, not roundedC = มุม AOB ไม่ปัดเศษ
$\approx0.40849$calculatorเครื่องคิดเลข
$\triangle AOB\approx24.05$58.875 × 0.4084958.875 × 0.40849
$\text{total}\approx165.6+48.1$sector + 2 triangles · 2 × 24.05เซกเตอร์ + 2 สามเหลี่ยม · 2 × 24.05
$\approx213.7$addบวกกัน
$\approx214\text{ m}^2$answer · nearest m²คำตอบ · ปัดเป็นจำนวนเต็ม m²

10. Q9 · Geometric sequence · 7 marksข้อ 9 · ลำดับเรขาคณิต · 7 คะแนน

Answer: 3k² − 62k + 40 = 0; k = 20 (r = −3/4, |r| < 1); S∞ = 256/7คำตอบ: 3k² − 62k + 40 = 0; k = 20 (r = −3/4, |r| < 1); S∞ = 256/7

Q9(a) An equation for kQ9(a) สมการของ k

A geometric sequence starts $3k+4$, $12-3k$, $k+16$ (its first three terms), where $k$ is a constant.
(a) Show that $k$ is a solution of $3k^2-62k+40=0$. [2]

$\dfrac{12-3k}{3k+4}=\dfrac{k+16}{12-3k}$the common ratio r is the sameอัตราส่วนร่วม r เท่ากัน
$(12-3k)^2=\eqalign{&(3k+4)\cr&\times(k+16)}$cross-multiplyคูณไขว้
$(12-3k)^2=9k^2-72k+144$expand the leftกระจายด้านซ้าย
$\eqalign{&(3k+4)\cr&\times(k+16)}=3k^2+52k+64$expand the rightกระจายด้านขวา
$9k^2-72k+144=3k^2+52k+64$put both inแทนทั้งสองข้าง
$6k^2-124k+80=0$all on the leftย้ายทั้งหมดไปซ้าย
$3k^2-62k+40=0$halve · shownหารสอง · ได้ตามโจทย์

Q9(b)(i) Which k convergesQ9(b)(i) k ไหนที่ลู่เข้า

A geometric sequence starts $3k+4$, $12-3k$, $k+16$ (its first three terms), where $k$ is a constant.
(b)(i) The sequence converges. Find $k$, giving a reason. (Part (b) is 5 marks in all.) [2]

$\eqalign{&(3k-2)\cr&\times(k-20)}=0$factorise 3k² − 62k + 40 = 0 from (a)แยกตัวประกอบสมการจาก (a)
$k=\dfrac23$first rootรากแรก
$r=\dfrac{12-2}{2+4}$r = (12 − 3k) ÷ (3k + 4)r = (12 − 3k) ÷ (3k + 4)
$=\dfrac53\gt1$too big: does not convergeใหญ่เกิน: ไม่ลู่เข้า
$k=20$second rootรากที่สอง
$r=\dfrac{12-60}{60+4}$same r formulaสูตร r เดิม
$=-\dfrac34$−48 ÷ 64−48 ÷ 64
$|r|\lt1$so it convergesจึงลู่เข้า
$k=20$answer · the only k with |r| < 1คำตอบ · k เดียวที่ |r| < 1

Q9(b)(ii) Sum to infinityQ9(b)(ii) ผลบวกอนันต์

A geometric sequence starts $3k+4$, $12-3k$, $k+16$ (its first three terms), where $k$ is a constant.
(b)(ii) Using $k=20$ from (i), find $S_\infty$. (Part (b) is 5 marks in all.) [3]

$a=3(20)+4$first termพจน์แรก
$=64$aa
$r=-\dfrac34$from (i)จาก (i)
$S_\infty=\dfrac a{1-r}$sum to infinity, |r| < 1ผลบวกอนันต์ เมื่อ |r| < 1
$=\dfrac{64}{1+\frac34}$substituteแทนค่า
$=\dfrac{64}{\frac74}$1 + 3/41 + 3/4
$=\dfrac{256}7$answer · 64 × 4/7คำตอบ · 64 × 4/7

11. Q10 · Circle and line · 9 marksข้อ 10 · วงกลมกับเส้นตรง · 9 คะแนน

Answer: centre (−3k, k); radius √(10k² − 7); k < 7 − √85 or k > 7 + √85คำตอบ: centre (−3k, k); radius √(10k² − 7); k < 7 − √85 or k > 7 + √85

Q10(a) Centre and radiusQ10(a) จุดศูนย์กลางและรัศมี

Circle $C$ has equation $x^2+y^2+6kx-2ky+7=0$, where $k$ is a constant.
(a) In terms of $k$, find (i) where the centre of $C$ is, as coordinates (ii) how long the radius of $C$ is. [3]

$x^2+6kx=(x+3k)^2-9k^2$complete the square in xทำกำลังสองสมบูรณ์ใน x
$y^2-2ky=(y-k)^2-k^2$complete the square in yทำกำลังสองสมบูรณ์ใน y
$\eqalign{&(x+3k)^2\cr&+(y-k)^2}=10k^2-7$9k² + k² − 7 to the right9k² + k² − 7 ไปทางขวา
$\text{centre}=(-3k,\ k)$answer (i) · signs flipคำตอบ (i) · กลับเครื่องหมาย
$r^2=10k^2-7$right side = r²ด้านขวา = r²
$r=\sqrt{10k^2-7}$answer (ii)คำตอบ (ii)

Q10(b) Two meeting pointsQ10(b) ตัดกันสองจุด

Circle $C$ has equation $x^2+y^2+6kx-2ky+7=0$, where $k$ is a constant.
(b) The line $y=2x-1$ cuts $C$ at two different points. Find the set of possible values of $k$. [6]

$y^2=4x^2-4x+1$y = 2x − 1, squaredy = 2x − 1 ยกกำลังสอง
$-2ky=-4kx+2k$−2k times y−2k คูณ y
$6kx-2ky=2kx+2k$add 6kxบวก 6kx
$\eqalign{&x^2+y^2\cr&+6kx-2ky\cr&+7}=0$the circle Cวงกลม C
$\eqalign{&x^2+4x^2\cr&-4x+1\cr&+2kx+2k\cr&+7}=0$put the three rows above into Cแทนสามแถวข้างบนลงใน C
$\eqalign{&5x^2\cr&+(2k-4)x\cr&+2k+8}=0$collect terms: a 3-term quadraticรวมพจน์: สมการกำลังสอง 3 พจน์
$p=2k-4$the x coefficientสัมประสิทธิ์ของ x
$q=2k+8$the constant termพจน์ค่าคงที่
$D=p^2-20q$discriminant b² − 4ac with a = 5ดิสคริมิแนนต์ b² − 4ac เมื่อ a = 5
$p^2=\eqalign{&4k^2-16k\cr&+16}$(2k − 4)²(2k − 4)²
$20q=40k+160$20(2k + 8)20(2k + 8)
$D=\eqalign{&4k^2-56k\cr&-144}$p² − 20qp² − 20q
$\dfrac D4=\eqalign{&k^2-14k\cr&-36}$divide by 4หารด้วย 4
$k^2-14k-36\gt0$two points: D > 0สองจุด: D > 0
$14^2+144=340$b² − 4ac of this quadratic in k: 196 + 4 × 36b² − 4ac ของสมการกำลังสองใน k: 196 + 4 × 36
$k=\dfrac{14\pm\sqrt{340}}2$critical values: the formulaค่าวิกฤต: ใช้สูตร
$=7\pm\sqrt{85}$√340 = 2√85√340 = 2√85
$k\lt7-\sqrt{85}$k² term positive: outside the roots · orสัมประสิทธิ์ k² บวก: นอกราก · หรือ
$k\gt7+\sqrt{85}$answer · k < 7 − √85 or k > 7 + √85คำตอบ · k < 7 − √85 หรือ k > 7 + √85

12. Q11 · Exponential model · 7 marksข้อ 11 · โมเดลเอกซ์โพเนนเชียล · 7 คะแนน

Answer: GBP 1000; V = 1000 × 0.953ᵗ; V ≈ GBP 315, close to GBP 320, so the model is reliableคำตอบ: GBP 1000; V = 1000 × 0.953ᵗ; V ≈ GBP 315, close to GBP 320, so the model is reliable

Q11(a) Value when newQ11(a) ราคาตอนซื้อ

A mobile phone is worth $V$ pounds $t$ months after it was bought. The model is $V=ab^t$, with constants $a$ and $b$. The graph of $\log_{10}V$ against $t$ is a straight line through $(0,\ 3)$ and $(10,\ 2.79)$. Use these two points.
(a) Find what the phone was worth when it was bought. [2]

$t=0$when it was boughtตอนซื้อ
$\log_{10}V=3$read off the line at t = 0อ่านจากเส้นที่ t = 0
$V=10^3$undo log₁₀ถอด log₁₀
$=1000$answer · GBP 1000คำตอบ · 1000 ปอนด์

Q11(b) The equation for VQ11(b) สมการของ V

A mobile phone is worth $V$ pounds $t$ months after it was bought. The model is $V=ab^t$, with constants $a$ and $b$. The graph of $\log_{10}V$ against $t$ is a straight line through $(0,\ 3)$ and $(10,\ 2.79)$. Use these two points.
(b) Find the full equation for $V$ in terms of $t$, with the exact value of $a$ and the value of $b$ to 3 s.f. [3]

$\log_{10}V=\eqalign{&\log_{10}a\cr&+t\log_{10}b}$log₁₀ both sides: a straight linelog₁₀ ทั้งสองข้าง: เป็นเส้นตรง
$\text{gradient}=\dfrac{2.79-3}{10-0}$rise over runระยะขึ้น ÷ ระยะข้าง
$=-0.021$gradientความชัน
$\log_{10}b=-0.021$gradient = log₁₀ bความชัน = log₁₀ b
$b=10^{-0.021}$undo log₁₀ถอด log₁₀
$\approx0.9528$calculatorเครื่องคิดเลข
$\log_{10}a=3$intercept = log₁₀ aจุดตัดแกน = log₁₀ a
$a=1000$exactค่าแม่นตรง
$V=1000\times0.953^t$answer · b to 3 s.f.คำตอบ · b เลขนัยสำคัญ 3 ตัว

Q11(c) Is the model reliable?Q11(c) โมเดลเชื่อถือได้ไหม

A mobile phone is worth $V$ pounds $t$ months after it was bought. The model is $V=ab^t$, with constants $a$ and $b$. The graph of $\log_{10}V$ against $t$ is a straight line through $(0,\ 3)$ and $(10,\ 2.79)$. Use these two points.
(c) Two years to the day after the purchase, the phone was worth GBP 320. Use this to judge how reliable the model is. Use $V=1000\times0.953^t$ from (b). [2]

$t=24$2 years = 24 months2 ปี = 24 เดือน
$0.953^{24}\approx0.3149$put t into the model: the power firstแทน t ลงในโมเดล: หากำลังก่อน
$V\approx1000\times0.3149$times a = 1000คูณ a = 1000
$\approx315$GBP 315 (unrounded b gives 313)315 ปอนด์ (ใช้ b ไม่ปัดได้ 313)
$315\approx320$answer · close: the model is reliableคำตอบ · ใกล้กัน: โมเดลเชื่อถือได้

13. Q12 · First principles: sin x · 5 marksข้อ 12 · หลักการแรก: sin x · 5 คะแนน

Answer: dy/dx = cos xคำตอบ: dy/dx = cos x

Q12 Prove dy/dx = cos xQ12 พิสูจน์ dy/dx = cos x

$y=\sin x$, with $x$ in radians. You may use the formula for $\sin(A\pm B)$ without proving it, and you may take it that, as $h\to0$, $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ and $\dfrac{\cos h-1}{h}\to0$.
Show, by differentiation from first principles, that $\dfrac{dy}{dx}=\cos x$. [5]

$\text{chord}=\dfrac{\eqalign{&\sin(x+h)\cr&-\sin x}}{h}$gradient from x to x + hความชันจาก x ถึง x + h
$\sin(x+h)=\eqalign{&\sin x\cos h\cr&+\cos x\sin h}$sin(A + B)สูตร sin(A + B)
$\text{top}=\eqalign{&\sin x\cos h\cr&-\sin x\cr&+\cos x\sin h}$the numerator: sin(x + h) − sin xตัวเศษ: sin(x + h) − sin x
$=\eqalign{&\sin x\cr&\times(\cos h-1)\cr&+\cos x\sin h}$take out sin xดึง sin x ออก
$\text{chord}=\eqalign{&\sin x\cr&\times\dfrac{\cos h-1}h\cr&+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}h}$divide each part by hหารแต่ละส่วนด้วย h
$\dfrac{\cos h-1}h\to0$given, as h → 0โจทย์ให้ เมื่อ h → 0
$\dfrac{\sin h}h\to1$given, as h → 0โจทย์ให้ เมื่อ h → 0
$\dfrac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\text{chord}$the derivative is the limitอนุพันธ์คือลิมิต
$=\eqalign{&\sin x\times0\cr&+\cos x\times1}$use both limitsใช้ลิมิตทั้งสอง
$=\cos x$shownได้ตามโจทย์

14. Q13 · Modelling a roller coaster · 7 marksข้อ 13 · โมเดลรถไฟเหาะ · 7 คะแนน

Answer: H = 60 − 0.145(t − 20)²; 2 m; H = 29 cos(9t + 180)° + 31; Model 2 repeats, so it allows more than one circuit (model 1 goes below the ground)คำตอบ: H = 60 − 0.145(t − 20)²; 2 m; H = 29 cos(9t + 180)° + 31; Model 2 repeats, so it allows more than one circuit (model 1 goes below the ground)

Q13(a) Model 1 in fullQ13(a) โมเดล 1 แบบครบ

Carriages on a roller coaster make many circuits of a track. A carriage reaches at most 60 m up, the ground is level, and each circuit starts with the carriage 2 m up.
Model 1: $t$ seconds after a carriage starts its first circuit, its height is $H$ m, where $H=a-b(t-20)^2$ and $a$, $b$ are positive constants.
(a) Find the full equation for model 1. [3]

$a=60$highest H: the bracket is 0 at t = 20H สูงสุด: วงเล็บเป็น 0 ที่ t = 20
$2=60-b(0-20)^2$t = 0, H = 2t = 0, H = 2
$2=60-400b$(−20)² = 400(−20)² = 400
$-58=-400b$move 60ย้าย 60
$b=0.145$58 ÷ 40058 ÷ 400
$H=\eqalign{&60-0.145\cr&\times(t-20)^2}$answerคำตอบ

Q13(b) Height at t = 40Q13(b) ความสูงที่ t = 40

$(40-20)^2=400$t = 40 in the bracketแทน t = 40 ในวงเล็บ
$0.145\times400=58$times bคูณ b
$H=60-58$model 1โมเดล 1
$=2\text{ m}$answerคำตอบ

Q13(c) Model 2 in fullQ13(c) โมเดล 2 แบบครบ

$29+\beta=60$highest H: cos = 1H สูงสุด: cos = 1
$\beta=31$move 29ย้าย 29
$29\cos\alpha+31=2$t = 0, H = 2t = 0, H = 2
$29\cos\alpha=-29$move 31ย้าย 31
$\cos\alpha=-1$divide by 29หารด้วย 29
$\alpha=180^\circ$the only angle in 0 ≤ α < 360° with cos = −1มุมเดียวในช่วง 0 ≤ α < 360° ที่ cos = −1
$H=\eqalign{&29\cos(9t\cr&+180)^\circ+31}$answerคำตอบ

Q13(d) Why model 2 fits betterQ13(d) ทำไมโมเดล 2 เหมาะกว่า

$t=120$2 minutes in seconds2 นาทีเป็นวินาที
$t-20=100$model 1 at t = 120โมเดล 1 ที่ t = 120
$0.145\times100^2=1450$b(t − 20)²b(t − 20)²
$H=60-1450$model 1โมเดล 1
$=-1390$below the ground: model 1 fails after t = 40ต่ำกว่าพื้น: โมเดล 1 ใช้ไม่ได้หลัง t = 40
$\text{period}=\dfrac{360}{9}$model 2: cos repeats each time 9t grows by 360โมเดล 2: cos ซ้ำทุกครั้งที่ 9t เพิ่ม 360
$=40\text{ s}$answer · model 2 repeats every 40 s: 3 circuits in 2 minutesคำตอบ · โมเดล 2 ซ้ำทุก 40 วินาที: 3 รอบใน 2 นาที

15. Q14 · Proof: odd for every n · 4 marksข้อ 14 · พิสูจน์: เป็นคี่ทุก n · 4 คะแนน

Answer: odd in both cases, so odd for all nคำตอบ: odd in both cases, so odd for all n

Q14 Two cases: n even, n oddQ14 สองกรณี: n คู่ n คี่

Using algebra, prove that $(n+1)^3-n^3$ is odd for every $n\in\mathbb{N}$. [4]

$n=2k$case 1: n even, k an integerกรณี 1: n คู่ k เป็นจำนวนเต็ม
$(2k+1)^3=\eqalign{&8k^3+12k^2\cr&+6k+1}$expandกระจาย
$(2k)^3=8k^3$n³n³
$(n+1)^3-n^3=12k^2+6k+1$subtract: 8k³ cancelsลบกัน: 8k³ หักกันหมด
$=\eqalign{&2(6k^2+3k)\cr&+1}$2 × integer + 1: odd2 × จำนวนเต็ม + 1: คี่
$n=2k+1$case 2: n oddกรณี 2: n คี่
$(2k+2)^3=\eqalign{&8k^3+24k^2\cr&+24k+8}$expandกระจาย
$(2k+1)^3=\eqalign{&8k^3+12k^2\cr&+6k+1}$expandกระจาย
$(n+1)^3-n^3=12k^2+18k+7$subtractลบกัน
$=\eqalign{&2(6k^2+9k+3)\cr&+1}$2 × integer + 1: odd2 × จำนวนเต็ม + 1: คี่
$\eqalign{&\text{odd for}\cr&\text{all }n}$answer · both cases are odd: provedคำตอบ · ทั้งสองกรณีเป็นคี่: พิสูจน์แล้ว

16. Q15 · Quotient rule and iteration · 13 marksข้อ 15 · กฎผลหารและการทำซ้ำ · 13 คะแนน

Answer: A = −4, B = −4; x = (2e³ˣ − 4)/(e³ˣ + 4); a staircase from x = 1 that climbs to β; x₂ ≈ 1.502; β ≈ 1.968; h(0.4315) < 0 < h(0.4325), so α = 0.432 (3 d.p.)คำตอบ: A = −4, B = −4; x = (2e³ˣ − 4)/(e³ˣ + 4); a staircase from x = 1 that climbs to β; x₂ ≈ 1.502; β ≈ 1.968; h(0.4315) < 0 < h(0.4325), so α = 0.432 (3 d.p.)

Q15(a) Differentiate fQ15(a) หาอนุพันธ์ของ f

A curve has equation $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{7x\text{e}^x}{\sqrt{\text{e}^{3x}-2}}$ and $x\gt\ln\sqrt[3]{2}$.
(a) Show that $\text{f}'(x)=\dfrac{7\text{e}^xN}{2(\text{e}^{3x}-2)^{\frac32}}$, where $N=\text{e}^{3x}(2-x)+Ax+B$, and find the constants $A$ and $B$. [5]

$u=7x\text{e}^x$the topตัวเศษ
$u'=7\text{e}^x+7x\text{e}^x$product ruleกฎผลคูณ
$v=(\text{e}^{3x}-2)^{\frac12}$the bottomตัวส่วน
$v'=\dfrac{3\text{e}^{3x}}{2(\text{e}^{3x}-2)^{\frac12}}$chain rule: ½ × 3e³ˣ × (…)^(−½)กฎลูกโซ่: ½ × 3e³ˣ × (…)^(−½)
$\text{f}'=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
$v^2=\text{e}^{3x}-2$the bottom squaredตัวส่วนยกกำลังสอง
$\text{f}'=\dfrac{2v^2u'-2v\,uv'}{2v^3}$times 2v on top and bottomคูณ 2v ทั้งบนและล่าง
$2v^2u'=\eqalign{&14\text{e}^x(1+x)\cr&\times(\text{e}^{3x}-2)}$first part of the topส่วนแรกของตัวเศษ
$2v\,uv'=21x\text{e}^{4x}$2v × v′ = 3e³ˣ, times 7xeˣ2v × v′ = 3e³ˣ แล้วคูณ 7xeˣ
$\text{top}=2v^2u'-2v\,uv'$name the numeratorตั้งชื่อตัวเศษ
$\dfrac{\text{top}}{7\text{e}^x}=\eqalign{&2\text{e}^{3x}-4\cr&+2x\text{e}^{3x}-4x\cr&-3x\text{e}^{3x}}$take out 7eˣ and expandดึง 7eˣ ออกแล้วกระจาย
$=\eqalign{&2\text{e}^{3x}-x\text{e}^{3x}\cr&-4x-4}$2xe³ˣ − 3xe³ˣ = −xe³ˣ2xe³ˣ − 3xe³ˣ = −xe³ˣ
$=\eqalign{&\text{e}^{3x}(2-x)\cr&-4x-4}$take out e³ˣดึง e³ˣ ออก
$\text{f}'(x)=\dfrac{\eqalign{&7\text{e}^x\times\cr&(\text{e}^{3x}(2-x)\cr&-4x-4)}}{2(\text{e}^{3x}-2)^{\frac32}}$2v³ = 2(e³ˣ − 2)^(3/2)2v³ = 2(e³ˣ − 2)^(3/2)
$A=-4$answerคำตอบ
$B=-4$answerคำตอบ

Q15(b) Turning pointsQ15(b) จุดวกกลับ

A curve has equation $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{7x\text{e}^x}{\sqrt{\text{e}^{3x}-2}}$ and $x\gt\ln\sqrt[3]{2}$.
(b) Hence show that, at each turning point of the curve, the $x$ coordinate satisfies $x=\dfrac{2\text{e}^{3x}-4}{\text{e}^{3x}+4}$. [2]

$\text{f}'(x)=0$turning pointจุดวกกลับ
$\eqalign{&2\text{e}^{3x}-x\text{e}^{3x}\cr&-4x-4}=0$the top is 0 (7eˣ is never 0)ตัวเศษเป็น 0 (7eˣ ไม่เคยเป็น 0)
$w=2\text{e}^{3x}-4$name the terms with no x in frontตั้งชื่อพจน์ที่ไม่มี x นำหน้าว่า w
$w-x\text{e}^{3x}-4x=0$the top with wตัวเศษเขียนด้วย w
$w=x\text{e}^{3x}+4x$x terms to the rightพจน์ x ไปทางขวา
$2\text{e}^{3x}-4=x\text{e}^{3x}+4x$put w backแทน w กลับ
$2\text{e}^{3x}-4=x(\text{e}^{3x}+4)$take out xดึง x ออก
$x=\dfrac{2\text{e}^{3x}-4}{\text{e}^{3x}+4}$shownได้ตามโจทย์

Q15(c) Staircase diagramQ15(c) แผนภาพขั้นบันได

A curve has equation $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{7x\text{e}^x}{\sqrt{\text{e}^{3x}-2}}$ and $x\gt\ln\sqrt[3]{2}$.
(c) The equation $x=\dfrac{2\text{e}^{3x}-4}{\text{e}^{3x}+4}$ has two positive roots, $\alpha$ and $\beta$, with $\beta\gt\alpha$. A student tries to approximate them with $x_{n+1}=\dfrac{2\text{e}^{3x_n}-4}{\text{e}^{3x_n}+4}$. The diagram shows part of the curve $y=\dfrac{2\text{e}^{3x}-4}{\text{e}^{3x}+4}$ and part of the line $y=x$. Draw a staircase on the diagram to show that the iteration, started at $x_1=1$, leads to an approximation of $\beta$. [1]

$x_1=1$start on the x-axis at 1เริ่มบนแกน x ที่ 1
$y=x_2$go up to the curve: its height is x₂ขึ้นไปถึงเส้นโค้ง: ความสูงคือ x₂
$x=x_2$go across to y = x: now x = x₂ไปทางขวาถึง y = x: ตอนนี้ x = x₂
$x_n\to\beta$answer · repeat: the steps close in on βคำตอบ · ทำซ้ำ: ขั้นบันไดเข้าหา β

Q15(d)(i) Find x₂Q15(d)(i) หา x₂

A curve has equation $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{7x\text{e}^x}{\sqrt{\text{e}^{3x}-2}}$ and $x\gt\ln\sqrt[3]{2}$.
(d)(i) Use $x_{n+1}=\dfrac{2\text{e}^{3x_n}-4}{\text{e}^{3x_n}+4}$ with $x_1=1$ to find $x_2$ to 3 d.p. (Part (d) is 3 marks in all.) [2]

$x_2=\dfrac{2\text{e}^{3}-4}{\text{e}^{3}+4}$put x₁ = 1 inแทน x₁ = 1
$\approx\dfrac{36.171}{24.086}$calculatorเครื่องคิดเลข
$\approx1.502$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q15(d)(ii) Find βQ15(d)(ii) หา β

A curve has equation $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{7x\text{e}^x}{\sqrt{\text{e}^{3x}-2}}$ and $x\gt\ln\sqrt[3]{2}$.
(d)(ii) Keep using $x_{n+1}=\dfrac{2\text{e}^{3x_n}-4}{\text{e}^{3x_n}+4}$ from $x_1=1$ to find $\beta$ to 3 d.p. (Part (d) is 3 marks in all.) [1]

$x_2\approx1.50178$from (i), unroundedจาก (i) ไม่ปัดเศษ
$x_3\approx1.87301$put x₂ back inแทน x₂ กลับเข้าไป
$x_4\approx1.95708$againทำซ้ำ
$x_5\approx1.96655$againทำซ้ำ
$x_6\approx1.96747$againทำซ้ำ
$x_7\approx1.96756$3 d.p. no longer changesทศนิยม 3 ตำแหน่งไม่เปลี่ยนแล้ว
$\beta\approx1.968$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q15(e) Show α = 0.432Q15(e) แสดงว่า α = 0.432

A curve has equation $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{7x\text{e}^x}{\sqrt{\text{e}^{3x}-2}}$ and $x\gt\ln\sqrt[3]{2}$.
(e) Pick a function and an interval that suit the job (say which function) and use them to show that $\alpha=0.432$ to 3 d.p. [2]

$\text{h}(x)=\dfrac{2\text{e}^{3x}-4}{\text{e}^{3x}+4}-x$α is a root of hα เป็นรากของ h
$\text{h}(0.4315)\approx-0.00030$just below 0.432ต่ำกว่า 0.432 นิดเดียว
$\text{h}(0.4325)\approx0.00095$just above 0.432สูงกว่า 0.432 นิดเดียว
$0.4315\lt\alpha\lt0.4325$sign change, h continuousเครื่องหมายเปลี่ยน h ต่อเนื่อง
$\alpha\approx0.432$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

17. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Find ∫ (2/5)x^(3/2) dx. Give the coefficient of x^(5/2) as a fraction.หา ∫ (2/5)x^(3/2) dx · ตอบสัมประสิทธิ์ของ x^(5/2) เป็นเศษส่วน
Answer:เฉลย: 4/253/2 + 1 = 5/2, and (2/5) ÷ (5/2) = 4/25.3/2 + 1 = 5/2 แล้ว (2/5) ÷ (5/2) = 4/25
P has position vector 2i + 6j + 3k. Find |OP|.P มีเวกเตอร์ตำแหน่ง 2i + 6j + 3k · หา |OP|
Answer:เฉลย: 7|OP|² = 4 + 36 + 9 = 49, so |OP| = 7.|OP|² = 4 + 36 + 9 = 49 · |OP| = 7
The trapezium rule with x = 0, 0.5, 1 and y = 2, 5, 6. Find the estimate of the area.กฎสี่เหลี่ยมคางหมู x = 0, 0.5, 1 และ y = 2, 5, 6 · หาพื้นที่โดยประมาณ
Answer:เฉลย: 4.5h = 0.5, so the area ≈ 0.25 × (2 + 6 + 2 × 5) = 0.25 × 18 = 4.5.h = 0.5 · พื้นที่ ≈ 0.25 × (2 + 6 + 2 × 5) = 0.25 × 18 = 4.5
Same f and g. Find gf(11).f และ g เดิม · หา gf(11)
Answer:เฉลย: 5f(11) = 3 + √9 = 6, then g(6) = 15 ÷ 3 = 5.f(11) = 3 + √9 = 6 แล้ว g(6) = 15 ÷ 3 = 5
A geometric series has a = 12 and r = −1/3. Find its sum to infinity.อนุกรมเรขาคณิต a = 12 และ r = −1/3 · หาผลบวกอนันต์
Answer:เฉลย: 912 ÷ (1 + 1/3) = 12 ÷ 4/3 = 9.12 ÷ (1 + 1/3) = 12 ÷ 4/3 = 9
A line of log₁₀V against t has gradient −0.05. Find b in V = abᵗ, to 3 s.f.เส้นของ log₁₀V กับ t มีความชัน −0.05 · หา b ใน V = abᵗ เลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answer:เฉลย: 0.891log₁₀ b = −0.05, so b = 10^(−0.05) ≈ 0.891.log₁₀ b = −0.05 · b = 10^(−0.05) ≈ 0.891
H = 50 − b(t − 15)² and H = 5 when t = 0. Find b.H = 50 − b(t − 15)² และ H = 5 เมื่อ t = 0 · หา b
Answer:เฉลย: 0.25 = 50 − 225b, so 225b = 45 and b = 0.2.5 = 50 − 225b · 225b = 45 · b = 0.2
Use the same iteration with x₁ = 0.5. Find x₂ to 3 d.p.ใช้สูตรทำซ้ำเดิม x₁ = 0.5 · หา x₂ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: 0.585x₂ = (2e^1.5 − 4)/(e^1.5 + 4) ≈ 0.585.x₂ = (2e^1.5 − 4)/(e^1.5 + 4) ≈ 0.585

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี