9MA0 Paper 1 · June 20249MA0 Paper 1 · มิ.ย. 2024

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Factor theorem · 3 marksข้อ 1 · ทฤษฎีบทตัวประกอบ · 3 คะแนน

Answer: k = 12คำตอบ: k = 12

Q1 Find kQ1 หา k

A cubic is $\text{g}(x)=3x^3-20x^2$ $+\,(k+17)x+k$, where $k$ is a constant.
You are told that $(x-3)$ is a factor of $\text{g}(x)$. Find the value of $k$. [3]

1. $\text{g}(3)=0$factor theorem: (x − 3) is a factor, so g(3) = 0ทฤษฎีบทตัวประกอบ: (x − 3) เป็นตัวประกอบ จึงได้ g(3) = 0
2. $3\times3^3=81$first term at x = 3พจน์แรกเมื่อ x = 3
3. $-20\times3^2=-180$second termพจน์ที่สอง
4. $3(k+17)+k=4k+51$last two termsสองพจน์สุดท้าย
5. $\text{g}(3)=4k-48$add: 81 − 180 + 51 = −48รวม: 81 − 180 + 51 = −48
6. $4k-48=0$g(3) = 0g(3) = 0
7. $4k=48$move the 48ย้าย 48
8. $k=12$answerคำตอบ

3. Q2 · Binomial expansion, fractional power · 4 marksข้อ 2 · ทวินาม กำลังเศษส่วน · 4 คะแนน

Answer: 1 − (9/2)x − (81/8)x² − (729/16)x³; |x| < 1/9 is needed, and |−2/9| = 2/9 > 1/9, so the expansion is not valid thereคำตอบ: 1 − (9/2)x − (81/8)x² − (729/16)x³; |x| < 1/9 is needed, and |−2/9| = 2/9 > 1/9, so the expansion is not valid there

Q2(a) First four termsQ2(a) สี่พจน์แรก

(a) Find the binomial expansion of $(1-9x)^{\frac12}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$. Write each term in its simplest form. [3]

1. $n=\tfrac12$the powerเลขชี้กำลัง
2. $u=-9x$u: the term after the 1, sign includedu: พจน์หลัง 1 รวมเครื่องหมาย
3. $T_1=1$first termพจน์แรก
4. $T_2=nu$second term: n × uพจน์ที่สอง: n × u
5. $=-\tfrac92x$½ × (−9x)½ × (−9x)
6. $\dfrac{n(n-1)}{2!}=-\dfrac18$½ × (−½) ÷ 2½ × (−½) ÷ 2
7. $T_3=-\dfrac18u^2$third termพจน์ที่สาม
8. $=-\dfrac{81}8x^2$(−9x)² = 81x²(−9x)² = 81x²
9. $n(n-1)(n-2)=\dfrac38$½ × (−½) × (−3/2)½ × (−½) × (−3/2)
10. $\dfrac38\div3!=\dfrac1{16}$divide by 3! = 6หารด้วย 3! = 6
11. $T_4=\dfrac1{16}u^3$fourth termพจน์ที่สี่
12. $=-\dfrac{729}{16}x^3$(−9x)³ = −729x³(−9x)³ = −729x³
13. $E=T_1+T_2+T_3+T_4$E: the expansion up to x³E: กระจายถึงพจน์ x³
14. $=\eqalign{&1-\frac92x-\frac{81}8x^2\cr&-\frac{729}{16}x^3}$answer · rising powers of xคำตอบ · เรียงกำลังของ x จากน้อยไปมาก

Q2(b) Why x = −2/9 failsQ2(b) ทำไมใช้ x = −2/9 ไม่ได้

(b) Give a reason why the value $x=-\dfrac29$ must not be put into this expansion to approximate $\sqrt3$. [1]

1. $|9x|\lt1$the series is valid only for |−9x| < 1อนุกรมใช้ได้เมื่อ |−9x| < 1 เท่านั้น
2. $|x|\lt\dfrac19$the range of validityช่วงที่ใช้ได้
3. $1-9\left(-\tfrac29\right)=3$why try it: the bracket becomes 3, so √3ทำไมถึงอยากใช้: ในวงเล็บเป็น 3 จึงได้ √3
4. $|x|=\dfrac29\gt\dfrac19$x = −2/9 is outside the rangex = −2/9 อยู่นอกช่วง
5. $\eqalign{&\text{expansion}\cr&\text{not valid}}$answer · |x| > 1/9, so the series does not converge thereคำตอบ · |x| > 1/9 อนุกรมจึงไม่ลู่เข้าที่ค่านั้น

4. Q3 · Sign change and Newton–Raphson · 6 marksข้อ 3 · การเปลี่ยนเครื่องหมายและนิวตัน–ราฟสัน · 6 คะแนน

Answer: f(3.6) ≈ −0.686 < 0, f(3.7) ≈ 0.212 > 0, sign change and f continuous, so α is in [3.6, 3.7]; f′(x) = 1 + ½ sec²(½x); 3.672คำตอบ: f(3.6) ≈ −0.686 < 0, f(3.7) ≈ 0.212 > 0, sign change and f continuous, so α is in [3.6, 3.7]; f′(x) = 1 + ½ sec²(½x); 3.672

Q3(a) Root between 3.6 and 3.7Q3(a) รากอยู่ระหว่าง 3.6 กับ 3.7

$\text{f}(x)=x+\tan\left(\dfrac12x\right)$, for $\pi\lt x\lt\dfrac{3\pi}2$.
The equation $\text{f}(x)=0$ has exactly one root, called $\alpha$.
(a) Show that $\alpha$ is in the interval $[3.6,\ 3.7]$. [2]

1. $\text{f}(3.6)=3.6+\tan1.8$radians · x/2 = 1.8โหมดเรเดียน · x/2 = 1.8
2. $\approx-0.686$negativeติดลบ
3. $\text{f}(3.7)=3.7+\tan1.85$x/2 = 1.85x/2 = 1.85
4. $\approx0.212$positiveเป็นบวก
5. $\text{f}(3.6)\lt0\lt\text{f}(3.7)$the sign changesเครื่องหมายเปลี่ยน
6. $3.6\lt\alpha\lt3.7$answer · f is continuous on [3.6, 3.7], so a root lies thereคำตอบ · f ต่อเนื่องบน [3.6, 3.7] จึงมีรากในช่วงนี้

Q3(b) Find f′(x)Q3(b) หา f′(x)

$\text{f}(x)=x+\tan\left(\dfrac12x\right)$, for $\pi\lt x\lt\dfrac{3\pi}2$.
The equation $\text{f}(x)=0$ has exactly one root, called $\alpha$.
(b) Find $\text{f}'(x)$. [2]

1. $\dfrac{d}{dx}(x)=1$first termพจน์แรก
2. $\dfrac{d}{dx}\tan\tfrac x2=\tfrac12\sec^2\tfrac x2$tan → sec², times ½ from inside (chain rule)tan → sec² คูณ ½ จากข้างใน (กฎลูกโซ่)
3. $\text{f}'(x)=1+\tfrac12\sec^2\tfrac x2$answerคำตอบ

Q3(c) One Newton–Raphson stepQ3(c) นิวตัน–ราฟสันหนึ่งรอบ

$\text{f}(x)=x+\tan\left(\dfrac12x\right)$, for $\pi\lt x\lt\dfrac{3\pi}2$.
The equation $\text{f}(x)=0$ has exactly one root, called $\alpha$.
(c) From (b): $\text{f}'(x)=1+\dfrac12\sec^2\left(\dfrac12x\right)$. Start from $x_1=3.7$ as the first approximation to $\alpha$ and do one step of the Newton–Raphson method to get a second approximation. Answer to 3 d.p. [2]

1. $x_1=3.7$the first approximationค่าประมาณแรก
2. $\text{f}(3.7)\approx0.2119$from (a), with more digitsจากข้อ (a) แต่ใช้ทศนิยมมากขึ้น
3. $\text{f}'(3.7)=1+\tfrac12\sec^21.85$put 3.7 into f′แทน 3.7 ใน f′
4. $\approx7.583$sec = 1 ÷ cossec = 1 ÷ cos
5. $x_2=x_1-\dfrac{\text{f}(x_1)}{\text{f}'(x_1)}$Newton–Raphson: follow the tangent to the x-axisนิวตัน–ราฟสัน: ลากเส้นสัมผัสลงแกน x
6. $=3.7-\dfrac{0.2119}{7.583}$substituteแทนค่า
7. $\approx3.672$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

5. Q4 · Differentiation from first principles · 3 marksข้อ 4 · อนุพันธ์จากหลักการแรก · 3 คะแนน

Answer: dy/dx = lim (h → 0) (2x + h) = 2xคำตอบ: dy/dx = lim (h → 0) (2x + h) = 2x

Q4 Prove dy/dx = 2xQ4 พิสูจน์ dy/dx = 2x

The curve is $y=x^2$. Show, by differentiating from first principles, that $\dfrac{dy}{dx}=2x$. [3]

1. $\text{f}(x)=x^2$the curve, as a functionเขียนเส้นโค้งเป็นฟังก์ชัน
2. $\text{f}(x+h)=(x+h)^2$a second point, a step h to the rightจุดที่สอง ห่างไปทางขวา h
3. $=x^2+2xh+h^2$expandกระจาย
4. $\text{rise}=2xh+h^2$f(x + h) − f(x): the x² cancelsf(x + h) − f(x): x² ตัดกันหมด
5. $\dfrac{\text{rise}}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}$gradient of the chordความชันของคอร์ด
6. $=2x+h$divide each term by hหารทุกพจน์ด้วย h
7. $\dfrac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}(2x+h)$let h → 0: the chord becomes the tangentให้ h → 0: คอร์ดกลายเป็นเส้นสัมผัส
8. $=2x$shownได้ตามที่โจทย์ให้

6. Q5 · Quotient rule, decreasing function · 6 marksข้อ 5 · กฎผลหาร ฟังก์ชันลด · 6 คะแนน

Answer: a = −2, b = 6, c = 8; x < −1 or x > 4คำตอบ: a = −2, b = 6, c = 8; x < −1 or x > 4

Q5(a) Show the form of f′(x)Q5(a) แสดงรูปของ f′(x)

The function f is given by $\text{f}(x)=\dfrac{2x-3}{x^2+4}$, for $x\in\mathbb{R}$.
(a) Show that $\text{f}'(x)$ can be written as $\dfrac{ax^2+bx+c}{\left(x^2+4\right)^2}$, and find the constants $a$, $b$ and $c$. [3]

1. $u=2x-3$quotient rule: f = u ÷ vกฎผลหาร: f = u ÷ v
2. $u'=2$differentiate uดิฟ u
3. $v=x^2+4$the bottomตัวส่วน
4. $v'=2x$differentiate vดิฟ v
5. $\text{f}'(x)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
6. $vu'=2x^2+8$2(x² + 4)2(x² + 4)
7. $uv'=4x^2-6x$2x(2x − 3)2x(2x − 3)
8. $vu'-uv'=-2x^2+6x+8$subtract: 2x² − 4x² = −2x²ลบกัน: 2x² − 4x² = −2x²
9. $\text{f}'(x)=\dfrac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4)^2}$the required formได้รูปตามโจทย์
10. $a=-2,\ b=6,\ c=8$answerคำตอบ

Q5(b) Where f is decreasingQ5(b) ช่วงที่ f ลดลง

The function f is given by $\text{f}(x)=\dfrac{2x-3}{x^2+4}$, for $x\in\mathbb{R}$.
(b) From (a): $\text{f}'(x)=\dfrac{-2x^2+6x+8}{\left(x^2+4\right)^2}$. Hence, by algebra, find the set of values of $x$ on which f is decreasing. Show every step of your working. [3]

1. $\text{f}'(x)\lt0$decreasing: gradient negativeลดลง: ความชันติดลบ
2. $(x^2+4)^2\gt0$the bottom is always positiveตัวส่วนเป็นบวกเสมอ
3. $-2x^2+6x+8\lt0$so the top must be negativeตัวเศษจึงต้องติดลบ
4. $x^2-3x-4\gt0$dividing by a negative flips the signหารด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายกลับ
5. $(x+1)(x-4)\gt0$factoriseแยกตัวประกอบ
6. $x=-1,\ x=4$critical valuesค่าวิกฤต
7. $x\lt-1\ \text{or}\ x\gt4$answer · outside the roots (U-shaped graph)คำตอบ · นอกราก (กราฟหงาย)

7. Q6 · Modulus graph · 6 marksข้อ 6 · กราฟค่าสัมบูรณ์ · 6 คะแนน

Answer: P(2, 5); x = 17/7; 1/2 < k < 3คำตอบ: P(2, 5); x = 17/7; 1/2 < k < 3

Q6(a) Coordinates of PQ6(a) พิกัดของ P

Figure 1 is a sketch of the graph of $y=3|x-2|+5$. Its vertex is the point $P$.
(a) Find the coordinates of $P$. [2]

1. $x-2=0$the vertex: the inside of |…| is 0จุดยอด: ข้างใน |…| เป็น 0
2. $x=2$move the 2ย้าย 2
3. $y=3(0)+5$|x − 2| = 0 at x = 2ที่ x = 2 ได้ |x − 2| = 0
4. $=5$the least value of yค่า y ที่น้อยที่สุด
5. $P=(2,\ 5)$answerคำตอบ

Q6(b) Solve with the modulusQ6(b) แก้สมการที่มีค่าสัมบูรณ์

Figure 1 is a sketch of the graph of $y=3|x-2|+5$. Its vertex is the point $P$.
(b) Solve the equation $16-4x=3|x-2|+5$. [2]

1. $y=16-4x$a line, gradient −4เส้นตรง ความชัน −4
2. $16-4x=11-3x$left arm: 3(2 − x) + 5 = 11 − 3xแขนซ้าย: 3(2 − x) + 5 = 11 − 3x
3. $5=x$but the left arm needs x ≤ 2: rejectแต่แขนซ้ายต้องมี x ≤ 2: ตัดทิ้ง
4. $16-4x=3(x-2)+5$right arm: x ≥ 2แขนขวา: x ≥ 2
5. $16-4x=3x-1$−6 + 5 = −1−6 + 5 = −1
6. $17=7x$collect: 16 + 1 = 17รวม: 16 + 1 = 17
7. $\dfrac{17}7=x$divide by 7หารด้วย 7
8. $\dfrac{17}7\gt2$it is on the right arm: keep itอยู่บนแขนขวาจริง: เก็บไว้
9. $x=\dfrac{17}7$answer · the only solutionคำตอบ · มีคำตอบเดียว

Q6(c) Two meeting points: range of kQ6(c) ตัดกันสองจุด: ช่วงของ k

Figure 1 is a sketch of the graph of $y=3|x-2|+5$. Its vertex is the point $P$.
(c) A line $l$ has equation $y=kx+4$, with $k$ a constant. The line $l$ meets $y=3|x-2|+5$ at two different points. Find the range of possible values of $k$. [2]

1. $y=kx+4$every such line passes through (0, 4)ทุกเส้นผ่านจุด (0, 4)
2. $k=\dfrac{5-4}{2-0}$the line through P(2, 5) touches only the vertexเส้นที่ผ่าน P(2, 5) แตะแค่จุดยอด
3. $=\dfrac12$gradient from (0, 4) to Pความชันจาก (0, 4) ไป P
4. $k=3$gradient of the right arm: parallel, so one point onlyความชันแขนขวา: ขนานกัน ได้จุดเดียว
5. $\dfrac12\lt k\lt3$answer · between the two, l cuts both armsคำตอบ · ระหว่างสองค่านี้ l ตัดทั้งสองแขน

8. Q7 · Differential equation model: a leaking tank · 8 marksข้อ 7 · โมเดลสมการเชิงอนุพันธ์: ถังรั่ว · 8 คะแนน

Answer: H = 0.6e^(−0.2t) + 0.9 (A = 0.6, B = 0.9); 3 hours 28 minutes; 0.9 mคำตอบ: H = 0.6e^(−0.2t) + 0.9 (A = 0.6, B = 0.9); 3 hours 28 minutes; 0.9 m

Q7(a) Solve for HQ7(a) หา H

Figure 2 is a cylindrical tank, 1.5 m high. At the start it is full of water. Then water begins to leak through a tiny hole at point $L$ in its side. While it leaks, the water depth is $H$ metres, modelled by $\dfrac{dH}{dt}=-0.12e^{-0.2t}$, where $t$ is the time in hours since the leak began.
(a) Use the model to show that $H=Ae^{-0.2t}+B$, and find the constants $A$ and $B$. [3]

1. $\dfrac{dH}{dt}=-0.12e^{-0.2t}$the modelโมเดล
2. $\int e^{-0.2t}dt=\dfrac{e^{-0.2t}}{-0.2}$∫ e^(at) dt = e^(at) ÷ a∫ e^(at) dt = e^(at) ÷ a
3. $H=0.6e^{-0.2t}+c$integrate: −0.12 ÷ (−0.2) = 0.6อินทิเกรต: −0.12 ÷ (−0.2) = 0.6
4. $1.5=0.6+c$full at the start: t = 0, H = 1.5 · e⁰ = 1ตอนเริ่มเต็มถัง: t = 0, H = 1.5 · e⁰ = 1
5. $0.9=c$move the 0.6ย้าย 0.6
6. $H=\eqalign{&0.6e^{-0.2t}\cr&+0.9}$the required formได้รูปตามโจทย์
7. $A=0.6,\ B=0.9$answerคำตอบ

Q7(b) Time to fall to 1.2 mQ7(b) เวลาที่ลดลงถึง 1.2 m

Figure 2 is a cylindrical tank, 1.5 m high. At the start it is full of water. Then water begins to leak through a tiny hole at point $L$ in its side. While it leaks, the water depth is $H$ metres, modelled by $\dfrac{dH}{dt}=-0.12e^{-0.2t}$, where $t$ is the time in hours since the leak began.
(b) From (a): $H=0.6e^{-0.2t}+0.9$. Use the model to find how long the water takes to fall to a depth of 1.2 m. Give the time in hours and minutes, rounded to the nearest minute. [3]

1. $E=e^{-0.2t}$E: the exponential part of HE: ส่วนเลขชี้กำลังของ H
2. $0.6E+0.9=1.2$H = 1.2, with H from (a)H = 1.2 โดยใช้ H จากข้อ (a)
3. $0.6E=0.3$move the 0.9ย้าย 0.9
4. $e^{-0.2t}=\dfrac12$E = 0.3 ÷ 0.60.3 ÷ 0.6
5. $-0.2t=\ln\dfrac12$ln of both sidesใส่ ln ทั้งสองข้าง
6. $t=5\ln2$−ln ½ = ln 2 · 1 ÷ 0.2 = 5−ln ½ = ln 2 · 1 ÷ 0.2 = 5
7. $\approx3.4657$hoursชั่วโมง
8. $0.4657\times60\approx27.9$the part after 3 hours, in minutesส่วนที่เกิน 3 ชั่วโมง เป็นนาที
9. $t\approx3\text{ h }28\text{ min}$answer · nearest minuteคำตอบ · ปัดเป็นนาที

Q7(c) Height of the holeQ7(c) ความสูงของรู

Figure 2 is a cylindrical tank, 1.5 m high. At the start it is full of water. Then water begins to leak through a tiny hole at point $L$ in its side. While it leaks, the water depth is $H$ metres, modelled by $\dfrac{dH}{dt}=-0.12e^{-0.2t}$, where $t$ is the time in hours since the leak began.
(c) From (a): $H=0.6e^{-0.2t}+0.9$. After a long time, the water level drops to the level of the hole. Use the model to find the height of the hole above the tank’s base. [2]

1. $t\to\infty$the long term: t gets very largeระยะยาว: t มากขึ้นเรื่อย ๆ
2. $e^{-0.2t}\to0$a negative power of e dies awaye ยกกำลังลบจะเข้าใกล้ 0
3. $H\to0.9$so H settles at BH จึงเข้าหา B
4. $\text{height}=0.9\text{ m}$answer · the water stops at the holeคำตอบ · น้ำหยุดที่ระดับรู

9. Q8 · Functions: composite, inverse, range · 11 marksข้อ 8 · ฟังก์ชัน: คอมโพสิต อินเวอร์ส เรนจ์ · 11 คะแนน

Answer: 1; g⁻¹(x) = (5 + 9x)/(2x), x ≠ 0; gf(x) = −5/(1 + 6x²); −5 ≤ gf(x) < 0; k > 29/5คำตอบ: 1; g⁻¹(x) = (5 + 9x)/(2x), x ≠ 0; gf(x) = −5/(1 + 6x²); −5 ≤ gf(x) < 0; k > 29/5

Q8(a) Value of fg(2)Q8(a) ค่าของ fg(2)

Two functions are defined as follows:
$\text{f}(x)=4-3x^2$, for $x\in\mathbb{R}$
$\text{g}(x)=\dfrac{5}{2x-9}$, for $x\in\mathbb{R},\ x\ne\dfrac92$
(a) Find $\text{fg}(2)$. [2]

1. $\text{g}(2)=\dfrac5{4-9}$g first: put x = 2ทำ g ก่อน: แทน x = 2
2. $=-1$5 ÷ (−5)5 ÷ (−5)
3. $\text{fg}(2)=\text{f}(-1)$then f of thatแล้วเอาไปใส่ f
4. $=4-3(-1)^2$substituteแทนค่า
5. $=1$answerคำตอบ

Q8(b) The inverse of gQ8(b) อินเวอร์สของ g

Two functions are defined as follows:
$\text{f}(x)=4-3x^2$, for $x\in\mathbb{R}$
$\text{g}(x)=\dfrac{5}{2x-9}$, for $x\in\mathbb{R},\ x\ne\dfrac92$
(b) Find $\text{g}^{-1}$. [3]

1. $y=\dfrac5{2x-9}$write y = g(x)เขียน y = g(x)
2. $2xy-9y=5$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
3. $2xy=5+9y$xy term aloneแยกพจน์ xy ไว้ข้างเดียว
4. $x=\dfrac{5+9y}{2y}$x is the subjectx เป็นตัวหลัก
5. $\text{g}^{-1}(x)=\dfrac{5+9x}{2x}$rename y as xเปลี่ยน y เป็น x
6. $x\ne0$answer · domain: g never takes the value 0คำตอบ · โดเมน: g ไม่มีค่าเป็น 0

Q8(c)(i) Find gf(x)Q8(c)(i) หา gf(x)

Two functions are defined as follows:
$\text{f}(x)=4-3x^2$, for $x\in\mathbb{R}$
$\text{g}(x)=\dfrac{5}{2x-9}$, for $x\in\mathbb{R},\ x\ne\dfrac92$
(c)(i) Find $\text{gf}(x)$ and write it as a simplified fraction. (Part (c) is 3 marks in all.) [2]

1. $\text{gf}(x)=\text{g}(4-3x^2)$f first, then gทำ f ก่อน แล้วค่อย g
2. $=\dfrac5{2(4-3x^2)-9}$put 4 − 3x² in place of xแทน x ด้วย 4 − 3x²
3. $=\dfrac5{8-6x^2-9}$expandกระจาย
4. $=\dfrac5{-1-6x^2}$8 − 9 = −18 − 9 = −1
5. $=-\dfrac5{1+6x^2}$answer · take out the minusคำตอบ · ดึงเครื่องหมายลบออก

Q8(c)(ii) Range of gfQ8(c)(ii) เรนจ์ของ gf

Two functions are defined as follows:
$\text{f}(x)=4-3x^2$, for $x\in\mathbb{R}$
$\text{g}(x)=\dfrac{5}{2x-9}$, for $x\in\mathbb{R},\ x\ne\dfrac92$
(c)(ii) From (i): $\text{gf}(x)=-\dfrac5{1+6x^2}$. Deduce the range of $\text{gf}(x)$. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

1. $1+6x^2\ge1$x² ≥ 0x² ≥ 0
2. $\text{gf}(0)=-5$smallest bottom, so the most negative valueตัวส่วนน้อยสุด จึงได้ค่าลบมากสุด
3. $\text{gf}(x)\lt0$a big bottom pushes it close to 0, never to 0ตัวส่วนยิ่งมาก ยิ่งเข้าใกล้ 0 แต่ไม่ถึง
4. $-5\le\text{gf}(x)\lt0$answerคำตอบ

Q8(d) No real solutions: range of kQ8(d) ไม่มีคำตอบจริง: ช่วงของ k

Two functions are defined as follows:
$\text{f}(x)=4-3x^2$, for $x\in\mathbb{R}$
$\text{g}(x)=\dfrac{5}{2x-9}$, for $x\in\mathbb{R},\ x\ne\dfrac92$
(d) A third function is $\text{h}(x)=2x^2-6x+k$, for $x\in\mathbb{R}$, where $k$ is a constant. Find the set of values of $k$ that make $\text{f}(x)=\text{h}(x)$ have no real roots. [3]

1. $4-3x^2=2x^2-6x+k$f(x) = h(x)f(x) = h(x)
2. $0=5x^2-6x+k-4$everything on the rightย้ายทุกอย่างไปขวา
3. $a=5,\ b=-6$read the coefficientsอ่านสัมประสิทธิ์
4. $c=k-4$the constant termพจน์ค่าคงตัว
5. $b^2-4ac\lt0$no real rootsไม่มีรากจริง
6. $36-20(k-4)\lt0$substituteแทนค่า
7. $116-20k\lt0$36 + 80 = 11636 + 80 = 116
8. $116\lt20k$move the 20kย้าย 20k
9. $k\gt\dfrac{29}5$answer · 116 ÷ 20 = 5.8คำตอบ · 116 ÷ 20 = 5.8

10. Q9 · Geometric sequence with indices · 6 marksข้อ 9 · ลำดับเรขาคณิตกับเลขยกกำลัง · 6 คะแนน

Answer: k = 5/2 (shown); 729/2 (= 364.5)คำตอบ: k = 5/2 (shown); 729/2 (= 364.5)

Q9(a) Prove k = 5/2Q9(a) พิสูจน์ k = 5/2

A geometric sequence starts with the three terms $3^{4k-5}$, $9^{7-2k}$, $3^{2(k-1)}$, in that order, where $k$ is a constant.
(a) Use algebra to prove that $k=\dfrac52$. Make each step of your reasoning clear. [3]

1. $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}$u₁, u₂, u₃: the terms · geometric, so the ratio is the sameu₁, u₂, u₃: สามพจน์ · เรขาคณิต อัตราส่วนเท่ากัน
2. $u_2=3^{14-4k}$9 = 3², so 9^(7 − 2k) = 3^(2(7 − 2k))9 = 3² · 9^(7 − 2k) = 3^(2(7 − 2k))
3. $\dfrac{u_2}{u_1}=3^{19-8k}$divide: subtract the powersหาร: ลบเลขชี้กำลัง
4. $\dfrac{u_3}{u_2}=3^{6k-16}$(2k − 2) − (14 − 4k)(2k − 2) − (14 − 4k)
5. $3^{19-8k}=3^{6k-16}$the two ratios are equalสองอัตราส่วนเท่ากัน
6. $19-8k=6k-16$same base 3, so the powers are equalฐาน 3 เหมือนกัน เลขชี้กำลังจึงเท่ากัน
7. $35=14k$19 + 16 and 6k + 8k19 + 16 และ 6k + 8k
8. $\dfrac{35}{14}=k$divide by 14หารด้วย 14
9. $k=\dfrac52$shown · 35/14 = 5/2ได้ตามที่โจทย์ให้ · 35/14 = 5/2

Q9(b) Sum to infinityQ9(b) ผลบวกถึงอนันต์

A geometric sequence starts with the three terms $3^{4k-5}$, $9^{7-2k}$, $3^{2(k-1)}$, in that order, where $k$ is a constant.
(b) Hence find this sequence’s sum to infinity. [3]

1. $a=3^{4(2.5)-5}$first term, with k = 5/2พจน์แรก ใช้ k = 5/2
2. $=3^5$10 − 5 = 510 − 5 = 5
3. $=243$first termพจน์แรก
4. $u_2=9^{7-5}$second term: 2k = 5พจน์ที่สอง: 2k = 5
5. $=81$9²9²
6. $r=\dfrac{81}{243}$ratio: second ÷ firstอัตราส่วน: พจน์ที่สอง ÷ พจน์แรก
7. $=\dfrac13$|r| < 1, so the sum to infinity exists|r| < 1 ผลบวกถึงอนันต์จึงมีค่า
8. $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$sum to infinityสูตรผลบวกถึงอนันต์
9. $=\dfrac{243}{1-\frac13}$substituteแทนค่า
10. $=\dfrac{729}2$answer · 243 × 3/2 = 364.5คำตอบ · 243 × 3/2 = 364.5

11. Q10 · Tangent and area by integration · 9 marksข้อ 10 · เส้นสัมผัสและพื้นที่ด้วยการอินทิเกรต · 9 คะแนน

Answer: 8(4) − 4^(5/2) = 32 − 32 = 0; 12x + y = 48 (shown); 384/35คำตอบ: 8(4) − 4^(5/2) = 32 − 32 = 0; 12x + y = 48 (shown); 384/35

Q10(a) x coordinate of AQ10(a) พิกัด x ของ A

Show every stage of your working in this question; a solution that relies only on calculator technology is not accepted.
Figure 3 sketches part of the curve $y=8x-x^{\frac52}$, for $x\ge0$. The curve cuts the $x$-axis at the point $A$.
(a) Verify that $A$ has $x$ coordinate 4. [1]

1. $y=8(4)-4^{\frac52}$put x = 4 into the curveแทน x = 4 ในเส้นโค้ง
2. $=32-32$4^(5/2) = (√4)⁵ = 2⁵ = 324^(5/2) = (√4)⁵ = 2⁵ = 32
3. $=0$answer · y = 0, so A = (4, 0)คำตอบ · y = 0 จึงได้ A = (4, 0)

Q10(b) Tangent at AQ10(b) เส้นสัมผัสที่ A

Show every stage of your working in this question; a solution that relies only on calculator technology is not accepted.
Figure 3 sketches part of the curve $y=8x-x^{\frac52}$, for $x\ge0$. The curve cuts the $x$-axis at the point $A$.
(b) The line $l_1$ touches the curve at $A$. Use calculus to show that $l_1$ has equation $12x+y=48$. [3]

1. $\dfrac{dy}{dx}=8-\dfrac52x^{\frac32}$power rule: times 5/2, power down by 1กฎยกกำลัง: คูณ 5/2 ลดกำลังลง 1
2. $m=8-\dfrac52\times4^{\frac32}$gradient at A: x = 4ความชันที่ A: x = 4
3. $=8-20$4^(3/2) = 8, and 5/2 × 8 = 204^(3/2) = 8 · 5/2 × 8 = 20
4. $=-12$gradient of l₁ความชันของ l₁
5. $y-0=-12(x-4)$line through A(4, 0)เส้นตรงผ่าน A(4, 0)
6. $y=-12x+48$expandกระจาย
7. $12x+y=48$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q10(c) Exact area of RQ10(c) พื้นที่ R แบบค่าแม่นยำ

Show every stage of your working in this question; a solution that relies only on calculator technology is not accepted.
Figure 3 sketches part of the curve $y=8x-x^{\frac52}$, for $x\ge0$. The curve cuts the $x$-axis at the point $A$.
(c) The line $l_2$ is $y=8x$. The shaded region $R$ (Figure 3) has three edges: the curve, $l_1$ and $l_2$. Find the area of $R$ exactly, using algebraic integration. [5]

1. $8x=48-12x$l₂ meets l₁: equal y valuesl₂ ตัด l₁: ค่า y เท่ากัน
2. $20x=48$move the 12xย้าย 12x
3. $x=2.4$x of the top cornerค่า x ของมุมบน
4. $y=8(2.4)$put it into l₂แทนใน l₂
5. $=19.2$top corner (2.4, 19.2)มุมบน (2.4, 19.2)
6. $T=\tfrac12\times4\times19.2$T: triangle O, A, top cornerT: สามเหลี่ยม O, A, มุมบน
7. $=\dfrac{192}5$= 38.4= 38.4
8. $C=\int_0^4 y\,dx$C: area under the curve, O to AC: พื้นที่ใต้เส้นโค้ง จาก O ถึง A
9. $F=4x^2-\tfrac27x^{\frac72}$F: integrate 8x − x^(5/2) · add 1 to each power, divide by itF: อินทิเกรต 8x − x^(5/2) · บวกกำลังทีละ 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
10. $C=F(4)-F(0)$put in the limits 0 and 4แทนขอบ 0 และ 4
11. $=64-\tfrac27\times128$4^(7/2) = 2⁷ = 128 · the 0 limit gives 04^(7/2) = 2⁷ = 128 · ขอบล่าง 0 ได้ 0
12. $=\dfrac{192}7$448/7 − 256/7448/7 − 256/7
13. $R=T-C$R: triangle minus the area under the curveR: สามเหลี่ยม ลบ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
14. $=\dfrac{192}5-\dfrac{192}7$substituteแทนค่า
15. $=\dfrac{384}{35}$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นยำ

12. Q11 · Area: sector minus segment · 4 marksข้อ 11 · พื้นที่: เซกเตอร์ลบเซกเมนต์ · 4 คะแนน

Answer: (25/4)√3 + (25/6)π cm²คำตอบ: (25/4)√3 + (25/6)π cm²

Q11 Exact area of RQ11 พื้นที่ R แบบค่าแม่นยำ

Figure 4 shows a badge design. $ABCOA$ is a semicircle with centre $O$ and diameter 10 cm. The arc $OB$ belongs to a circle centred at $A$ with radius 5 cm. The shaded region $R$ is enclosed by the arc $OB$, the arc $BC$ and the straight line $OC$.
Find the exact area of $R$, written as $\left(a\sqrt3+b\pi\right)$ cm², where $a$ and $b$ are rational. [4]

1. $OA=OB=AB=5$each is a radius of one of the circlesแต่ละเส้นเป็นรัศมีของวงกลม
2. $\angle BAO=\dfrac\pi3$triangle AOB is equilateralสามเหลี่ยม AOB เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
3. $\angle BOC=\dfrac{2\pi}3$angles on the line AC: π − π/3มุมบนเส้นตรง AC: π − π/3
4. $S=\tfrac12\times5^2\times\tfrac{2\pi}3$S: sector BOC (centre O) · ½r²θS: เซกเตอร์ BOC (จุดศูนย์กลาง O) · ½r²θ
5. $=\dfrac{25\pi}3$sector BOCเซกเตอร์ BOC
6. $\text{sector }AOB=\dfrac{25\pi}6$centre A, angle π/3: ½ × 25 × π/3จุดศูนย์กลาง A มุม π/3: ½ × 25 × π/3
7. $\triangle AOB=\dfrac{25\sqrt3}4$½ × 5 × 5 × sin(π/3)½ × 5 × 5 × sin(π/3)
8. $G=\dfrac{25\pi}6-\dfrac{25\sqrt3}4$G: the segment between chord OB and arc OBG: เซกเมนต์ระหว่างคอร์ด OB กับส่วนโค้ง OB
9. $R=S-G$R: sector BOC without that segmentR: เซกเตอร์ BOC ลบเซกเมนต์นั้น
10. $S-\dfrac{25\pi}6=\dfrac{25\pi}6$take away the sector part of G: 25π/3 − 25π/6ลบส่วนเซกเตอร์ของ G: 25π/3 − 25π/6
11. $R=\dfrac{25\pi}6+\dfrac{25\sqrt3}4$minus G gives plus the triangleลบ G จึงได้บวกสามเหลี่ยมกลับมา
12. $=\dfrac{25}4\sqrt3+\dfrac{25}6\pi$answer cm² · a = 25/4, b = 25/6คำตอบ ตร.ซม. · a = 25/4, b = 25/6

13. Q12 · R cos(θ + α): a rabbit and fox model · 11 marksข้อ 12 · R cos(θ + α): โมเดลกระต่ายกับสุนัขจิ้งจอก · 11 คะแนน

Answer: K = 500, α = 73.74°; R = 1000 + 140cos(30t)° − 480sin(30t)° (= 1000 + 500cos(30t + 73.74)°); 500; R(3.5) ≈ 500.1, the model’s minimum, so the model fits the real data; 1033 rabbits (the scheme also accepts 1032)คำตอบ: K = 500, α = 73.74°; R = 1000 + 140cos(30t)° − 480sin(30t)° (= 1000 + 500cos(30t + 73.74)°); 500; R(3.5) ≈ 500.1, the model’s minimum, so the model fits the real data; 1033 rabbits (the scheme also accepts 1032)

Q12(a) Write as K cos(θ + α)Q12(a) เขียนในรูป K cos(θ + α)

(a) Write $140\cos\theta-480\sin\theta$ as $K\cos(\theta+\alpha)$, where $K\gt0$ and $0\lt\alpha\lt90^\circ$. Give the value of $K$, and give $\alpha$ in degrees to 2 d.p. [3]

1. $K\cos\alpha=140$K cos(θ + α) = K cos θ cos α − K sin θ sin α · match cos θK cos(θ + α) = K cos θ cos α − K sin θ sin α · เทียบ cos θ
2. $K\sin\alpha=480$match the sin θ termsเทียบพจน์ sin θ
3. $K^2=140^2+480^2$square and add · cos² + sin² = 1ยกกำลังสองแล้วบวก · cos² + sin² = 1
4. $=250000$19 600 + 230 40019 600 + 230 400
5. $K=500$K > 0K > 0
6. $\tan\alpha=\dfrac{480}{140}$divide: sin ÷ cosหาร: sin ÷ cos
7. $\alpha\approx73.74^\circ$2 d.p.ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
8. $E\approx\eqalign{&500\cos(\theta\cr&+73.74^\circ)}$answer · E: 140 cos θ − 480 sin θ · K = 500คำตอบ · E: 140 cos θ − 480 sin θ · K = 500

Q12(b)(i) Complete the rabbit modelQ12(b)(i) เขียนโมเดลกระต่ายให้ครบ

(b)(i) Over one year, a scientist tracks how many rabbits and foxes live in a wood. Rabbits are modelled by $R=A+140\cos(30t)^\circ$ $-\,480\sin(30t)^\circ$, with $t$ the time in months since the year began and $A$ a constant. In that year the largest number of rabbits is 1500. From (a): $140\cos\theta-480\sin\theta$ $=500\cos(\theta+73.74^\circ)$. Find the complete equation of the model. (Part (b) is 2 marks in all.) [1]

1. $\theta=30t$the angle in (a) is 30t hereมุมในข้อ (a) คือ 30t
2. $R=A+E$E from (a): 500 cos(θ + α), α ≈ 73.74°E จากข้อ (a): 500 cos(θ + α), α ≈ 73.74°
3. $R_{\max}=A+500$largest when cos = 1มากสุดเมื่อ cos = 1
4. $A+500=1500$the largest number is 1500จำนวนมากสุดคือ 1500
5. $A=1000$move the 500ย้าย 500
6. $R=1000+E$E from (a), with θ = 30tE จากข้อ (a) โดย θ = 30t
7. $R=\eqalign{&1000\cr&+140\cos30t^\circ\cr&-480\sin30t^\circ}$answer · the modelคำตอบ · โมเดล

Q12(b)(ii) Least number of rabbitsQ12(b)(ii) จำนวนกระต่ายน้อยที่สุด

(b)(ii) From (i): $R=1000$ $+\,500\cos(30t+73.74)^\circ$. Hence write down the lowest rabbit count over the year that this model gives. (Part (b) is 2 marks in all.) [1]

1. $R_{\min}=1000-500$least when cos = −1น้อยสุดเมื่อ cos = −1
2. $=500$answerคำตอบ

Q12(c) Check the model against AprilQ12(c) ตรวจโมเดลกับเดือนเมษายน

(c) From (b): $R=1000$ $+\,500\cos(30t+73.74)^\circ$, least value 500. In the real wood, the rabbit numbers are lowest in the middle of April. Use this fact to comment on the model. [2]

1. $t=3.5$mid-April: 3 full months, then half of Aprilกลางเมษายน: ผ่านไป 3 เดือนเต็ม กับครึ่งเดือน
2. $\phi=105+73.74$φ “phi”: the angle, 30 × 3.5 = 105φ “ฟาย”: มุม · 30 × 3.5 = 105
3. $=178.74^\circ$nearly 180°เกือบ 180°
4. $\cos\phi\approx-0.99976$very close to −1, the lowestใกล้ −1 มาก ซึ่งต่ำสุด
5. $R\approx1000-499.88$R = 1000 + 500 cos φR = 1000 + 500 cos φ
6. $\approx500.1$the model’s minimum is 500ค่าต่ำสุดของโมเดลคือ 500
7. $\eqalign{&\text{model is}\cr&\text{reliable}}$answer · it is at its minimum in mid-April tooคำตอบ · โมเดลก็ต่ำสุดกลางเมษายนเหมือนกัน

Q12(d) Rabbits when foxes are fewestQ12(d) กระต่ายเมื่อสุนัขจิ้งจอกน้อยที่สุด

(d) Over that same year, the fox count follows $F=100+70\sin(30t+70)^\circ$. The foxes are fewest after $T$ months. From (b): $R=1000$ $+\,500\cos(30t+73.74)^\circ$. Use the models to find the number of rabbits at time $T$ months. [4]

1. $\psi=30T+70$ψ “psi”: the fox angle at time T, in degreesψ “ไซ”: มุมของสุนัขจิ้งจอกที่เวลา T หน่วยองศา
2. $\sin\psi=-1$F is least when sin ψ = −1F น้อยสุดเมื่อ sin ψ = −1
3. $30T+70=270$first angle above 70° with sin = −1มุมแรกที่เกิน 70° ซึ่ง sin = −1
4. $30T=200$move the 70ย้าย 70
5. $T=\dfrac{20}3$about 6.67 monthsประมาณ 6.67 เดือน
6. $\phi=200+73.74$rabbit angle at T: 30T = 200มุมของกระต่ายที่เวลา T: 30T = 200
7. $=273.74^\circ$φ at time Tφ ที่เวลา T
8. $500\cos\phi\approx32.6$rabbit model: R = 1000 + 500 cos φโมเดลกระต่าย: R = 1000 + 500 cos φ
9. $R\approx1000+32.6$add the 1000บวก 1000
10. $\approx1032.6$addบวก
11. $R\approx1033$answer · whole rabbits (the scheme also accepts 1032)คำตอบ · นับเป็นตัว (เกณฑ์ให้ 1032 ด้วย)

14. Q13 · Integration by substitution · 8 marksข้อ 13 · อินทิเกรตโดยการแทนค่า · 8 คะแนน

Answer: ∫₀ᵃ x^(1/2)√(a − x) dx = ½a² ∫₀^(π/2) sin²2θ dθ (shown); k = 1/8คำตอบ: ∫₀ᵃ x^(1/2)√(a − x) dx = ½a² ∫₀^(π/2) sin²2θ dθ (shown); k = 1/8

Q13(a) Change the variable to θQ13(a) เปลี่ยนตัวแปรเป็น θ

$a$ is a positive constant.
(a) By substituting $x=a\sin^2\theta$, show that $\displaystyle\int_0^a x^{\frac12}\sqrt{a-x}\,dx$ $\displaystyle=\frac12a^2\int_0^{\frac\pi2}\sin^22\theta\,d\theta$. [4]

1. $y=x^{\frac12}\sqrt{a-x}$y: the function being integratedy: ฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรต
2. $I=\int_0^a y\,dx$I: the integral on the leftI: อินทิกรัลทางซ้าย
3. $x=a\sin^2\theta$the substitutionการแทนค่า
4. $\dfrac{dx}{d\theta}=2a\sin\theta\cos\theta$chain ruleกฎลูกโซ่
5. $x^{\frac12}=\sqrt a\sin\theta$square root · sin θ ≥ 0 on [0, π/2]ถอดราก · sin θ ≥ 0 บน [0, π/2]
6. $a-x=a\cos^2\theta$a(1 − sin²θ)a(1 − sin²θ)
7. $\sqrt{a-x}=\sqrt a\cos\theta$cos θ ≥ 0 on [0, π/2]cos θ ≥ 0 บน [0, π/2]
8. $y=a\sin\theta\cos\theta$multiply the two roots: √a × √a = aคูณสองรากเข้าด้วยกัน: √a × √a = a
9. $\theta=0$lower limit: x = 0 gives sin θ = 0ขอบล่าง: x = 0 ได้ sin θ = 0
10. $\theta=\dfrac\pi2$upper limit: x = a gives sin²θ = 1ขอบบน: x = a ได้ sin²θ = 1
11. $I=\int_0^{\frac\pi2}y\dfrac{dx}{d\theta}\,d\theta$dx = (dx/dθ) dθ, with the new limitsdx = (dx/dθ) dθ พร้อมขอบใหม่
12. $y\dfrac{dx}{d\theta}=\eqalign{&2a^2\sin^2\theta\cr&\times\cos^2\theta}$(a sin θ cos θ)(2a sin θ cos θ)(a sin θ cos θ)(2a sin θ cos θ)
13. $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$double angleมุมสองเท่า
14. $\sin^2\theta\cos^2\theta=\tfrac14\sin^22\theta$square both sides, then divide by 4ยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย 4
15. $y\dfrac{dx}{d\theta}=\tfrac12a^2\sin^22\theta$2a² × ¼ = ½a²2a² × ¼ = ½a²
16. $I=\eqalign{&\tfrac12a^2\int_0^{\frac\pi2}\cr&\sin^22\theta\,d\theta}$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q13(b) Evaluate: find kQ13(b) หาค่า: หา k

$a$ is a positive constant.
(b) From (a): the integral equals $\displaystyle\frac12a^2\int_0^{\frac\pi2}\sin^22\theta\,d\theta$. Hence, using algebraic integration, show that $\displaystyle\int_0^a x^{\frac12}\sqrt{a-x}\,dx=k\pi a^2$, and find the constant $k$. [4]

1. $\cos4\theta=1-2\sin^22\theta$double angle, with 2θ in place of θมุมสองเท่า โดยใช้ 2θ แทน θ
2. $\sin^22\theta=\dfrac{1-\cos4\theta}2$rearrangeจัดรูปใหม่
3. $G=\tfrac12\theta-\tfrac18\sin4\theta$G: integral of sin²2θ · ∫cos 4θ dθ = ¼ sin 4θG: อินทิกรัลของ sin²2θ · ∫cos 4θ dθ = ¼ sin 4θ
4. $J=G(\tfrac\pi2)-G(0)$J: the θ integral from (a), 0 to π/2J: อินทิกรัล θ จากข้อ (a) จาก 0 ถึง π/2
5. $\tfrac18\sin2\pi=0$sin 2π = 0sin 2π = 0
6. $G(\tfrac\pi2)=\dfrac\pi4$½ × π/2 − 0½ × π/2 − 0
7. $G(0)=0$both terms are 0ทั้งสองพจน์เป็น 0
8. $J=\dfrac\pi4$π/4 − 0π/4 − 0
9. $I=\dfrac12a^2\times\dfrac\pi4$I = ½a² J, from (a)I = ½a² J จากข้อ (a)
10. $=\dfrac18\pi a^2$the form kπa²ได้รูป kπa²
11. $k=\dfrac18$answerคำตอบ

15. Q14 · Differential equation: balloon model · 9 marksข้อ 14 · สมการเชิงอนุพันธ์: โมเดลลูกโป่ง · 9 คะแนน

Answer: dr/dt = k/√r; r^(3/2) = 5.4t + 10 (shown); 24.1 cm; The balloon would burst (the model lets r grow without limit)คำตอบ: dr/dt = k/√r; r^(3/2) = 5.4t + 10 (shown); 24.1 cm; The balloon would burst (the model lets r grow without limit)

Q14(a) Write the equationQ14(a) เขียนสมการ

A balloon is being blown up. A simple model assumes that
• the balloon is a sphere
• its radius grows at a rate that varies inversely with $\sqrt{r}$, the square root of its radius.
The radius is $r$ cm at time $t$ seconds.
(a) Write down a differential equation linking $r$ and $t$ for this model. [1]

1. $\dfrac{dr}{dt}\propto\dfrac1{\sqrt r}$∝ “is proportional to” · rate of change of r∝ “แปรผันตาม” · อัตราการเปลี่ยนของ r
2. $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{k}{\sqrt r}$answer · k a constantคำตอบ · k เป็นค่าคงตัว

Q14(b) Solve: show r^(3/2) = 5.4t + 10Q14(b) แก้สมการ: แสดง r^(3/2) = 5.4t + 10

A balloon is being blown up. A simple model assumes that
• the balloon is a sphere
• its radius grows at a rate that varies inversely with $\sqrt{r}$, the square root of its radius.
The radius is $r$ cm at time $t$ seconds.
(b) When $t=10$, the radius is 16 cm and it is increasing at 0.9 cm s⁻¹. From (a): $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{k}{\sqrt r}$. Show, by solving the differential equation, that $r^{\frac32}=5.4t+10$. [5]

1. $0.9=\dfrac{k}{\sqrt{16}}$t = 10: r = 16 and dr/dt = 0.9t = 10: r = 16 และ dr/dt = 0.9
2. $3.6=k$√16 = 4√16 = 4
3. $\sqrt r\,dr=3.6\,dt$separate the variablesแยกตัวแปร
4. $\int r^{\frac12}dr=\int3.6\,dt$integrate both sidesอินทิเกรตทั้งสองข้าง
5. $\tfrac23r^{\frac32}=3.6t+c$add 1 to the power, divide by itบวกกำลังเพิ่ม 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
6. $\tfrac23\times64=36+c$t = 10, r = 16: 16^(3/2) = 64t = 10, r = 16: 16^(3/2) = 64
7. $\dfrac{128}3-36=c$move the 36ย้าย 36
8. $\dfrac{20}3=c$128/3 − 108/3128/3 − 108/3
9. $\tfrac23r^{\frac32}=3.6t+\tfrac{20}3$put c backใส่ c กลับ
10. $r^{\frac32}=5.4t+10$shown · 3.6 × 1.5 = 5.4, 20/3 × 3/2 = 10ได้ตามที่โจทย์ให้ · 3.6 × 1.5 = 5.4, 20/3 × 3/2 = 10

Q14(c) Radius at t = 20Q14(c) รัศมีเมื่อ t = 20

A balloon is being blown up. A simple model assumes that
• the balloon is a sphere
• its radius grows at a rate that varies inversely with $\sqrt{r}$, the square root of its radius.
The radius is $r$ cm at time $t$ seconds.
(c) From (b): $r^{\frac32}=5.4t+10$. Hence find the radius when $t=20$. Round to the nearest mm. [2]

1. $r^{\frac32}=5.4(20)+10$put t = 20แทน t = 20
2. $=118$108 + 10108 + 10
3. $r=118^{\frac23}$raise both sides to the power 2/3ยกกำลัง 2/3 ทั้งสองข้าง
4. $\approx24.06$cmซม.
5. $r\approx24.1\text{ cm}$answer · nearest mm (241 mm)คำตอบ · ปัดเป็นมิลลิเมตร (241 มม.)

Q14(d) A limitationQ14(d) ข้อจำกัด

A balloon is being blown up. A simple model assumes that
• the balloon is a sphere
• its radius grows at a rate that varies inversely with $\sqrt{r}$, the square root of its radius.
The radius is $r$ cm at time $t$ seconds.
(d) Suggest one limitation of the model. [1]

1. $r^{\frac32}=5.4t+10$the model lets r grow without endโมเดลนี้ให้ r โตไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด
2. $\eqalign{&\text{the balloon}\cr&\text{would burst}}$answer · a real balloon bursts, so the model fails for large tคำตอบ · ลูกโป่งจริงจะแตก โมเดลจึงใช้ไม่ได้เมื่อ t มาก

16. Q15 · Proof: completing the square, contradiction · 6 marksข้อ 15 · การพิสูจน์: กำลังสองสมบูรณ์ และข้อขัดแย้ง · 6 คะแนน

Answer: k² − 4k + 5 = (k − 2)² + 1 ≥ 1 > 0 for all real k; 3x + 2y ≥ 5 leaves only 28 × 1 and 7 × 4 (besides 14 × 2): x = 142/19 and x = 43/19, not integers, so a contradictionคำตอบ: k² − 4k + 5 = (k − 2)² + 1 ≥ 1 > 0 for all real k; 3x + 2y ≥ 5 leaves only 28 × 1 and 7 × 4 (besides 14 × 2): x = 142/19 and x = 43/19, not integers, so a contradiction

Q15(i) Always positiveQ15(i) เป็นบวกเสมอ

(i) Show that $k^2-4k+5$ is positive for every real value of $k$. [2]

1. $k^2-4k+5=(k-2)^2-4+5$complete the square: half of −4 is −2ทำกำลังสองสมบูรณ์: ครึ่งของ −4 คือ −2
2. $=(k-2)^2+1$−4 + 5 = 1−4 + 5 = 1
3. $(k-2)^2\ge0$a square is never negativeกำลังสองไม่มีวันติดลบ
4. $(k-2)^2+1\ge1$add 1 to both sidesบวก 1 ทั้งสองข้าง
5. $k^2-4k+5\gt0$shown · it is always at least 1ได้ตามที่โจทย์ให้ · มีค่าอย่างน้อย 1 เสมอ

Q15(ii) Finish the proof by contradictionQ15(ii) พิสูจน์โดยข้อขัดแย้งให้จบ

(ii) A student has to prove, by contradiction, that no positive integers $x$ and $y$ satisfy $(3x+2y)(2x-5y)=28$. The student wrote:
Suppose positive integers $x$, $y$ exist with $(3x+2y)(2x-5y)=28$. Take $3x+2y=14$ and $2x-5y=2$. Solving these gives $x=\dfrac{74}{19}$, $y=\dfrac{22}{19}$, which are not integers.
Write out the working and the statements needed to complete this proof. [4]

1. $3x+2y\ge5$x, y ≥ 1, so the first bracket is at least 3 + 2x, y ≥ 1 วงเล็บแรกจึงอย่างน้อย 3 + 2
2. $2x-5y\gt0$product 28 > 0 and the first bracket > 0ผลคูณ 28 > 0 และวงเล็บแรก > 0
3. $3x+2y=7,\ 14\ \text{or}\ 28$a factor of 28 and at least 5, so not 1, 2 or 4เป็นตัวประกอบของ 28 และอย่างน้อย 5 จึงไม่ใช่ 1, 2 หรือ 4
4. $3x+2y=28$case 28 × 1กรณี 28 × 1
5. $2x-5y=1$the other bracketวงเล็บอีกตัว
6. $19x=142$y cancelsy ตัดกันหมด
7. $x=\dfrac{142}{19}$not an integer: rejectไม่ใช่จำนวนเต็ม: ตัดทิ้ง
8. $3x+2y=7$case 7 × 4กรณี 7 × 4
9. $2x-5y=4$the other bracketวงเล็บอีกตัว
10. $19x=43$y cancelsy ตัดกันหมด
11. $x=\dfrac{43}{19}$not an integer: rejectไม่ใช่จำนวนเต็ม: ตัดทิ้ง
12. $\eqalign{&\text{every case}\cr&\text{fails}}$case 14 × 2 is the student’s, also not integersกรณี 14 × 2 นักเรียนทำแล้ว ก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม
13. $\eqalign{&\text{no such}\cr&x,\ y}$answer · this contradicts the assumption, so no positive integers x, y existคำตอบ · ขัดแย้งกับข้อสมมติ จึงไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y ที่ทำได้

17. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

1. $(x-2)$ is a factor of $x^3+kx-6$. Find $k$.$(x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $x^3+kx-6$ · จงหา $k$
   Answer:เฉลย: -1Put x = 2: 8 + 2k − 6 = 0, so 2k = −2 and k = −1.แทน x = 2: 8 + 2k − 6 = 0 · 2k = −2 · k = −1
2. $\text{f}(x)=x^2-5$. Start at $x_1=2$ and do one Newton–Raphson step. Find $x_2$.$\text{f}(x)=x^2-5$ · เริ่มที่ $x_1=2$ ทำนิวตัน–ราฟสันหนึ่งรอบ · จงหา $x_2$
   Answer:เฉลย: 2.25f(2) = −1 and f′(2) = 4, so x₂ = 2 − (−1)/4 = 2.25.f(2) = −1 และ f′(2) = 4 · x₂ = 2 − (−1)/4 = 2.25
3. Find the coordinates of the vertex of $y=2|x-3|+1$.จงหาพิกัดจุดยอดของ $y=2|x-3|+1$
   Answer:เฉลย: (3, 1)The modulus is 0 when x = 3, so y = 1 there.ค่าสัมบูรณ์เป็น 0 เมื่อ x = 3 · ตอนนั้น y = 1
4. $\text{f}(x)=1+x^2$ and $\text{g}(x)=\dfrac6{x+1}$. Find $\text{fg}(2)$.$\text{f}(x)=1+x^2$ และ $\text{g}(x)=\dfrac6{x+1}$ · จงหา $\text{fg}(2)$
   Answer:เฉลย: 5g(2) = 6 ÷ 3 = 2, then f(2) = 1 + 4 = 5.g(2) = 6 ÷ 3 = 2 แล้ว f(2) = 1 + 4 = 5
5. A geometric series has first term 48 and common ratio $\dfrac14$. Find its sum to infinity.อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์แรก 48 และอัตราส่วนร่วม $\dfrac14$ · จงหาผลบวกถึงอนันต์
   Answer:เฉลย: 6448 ÷ (1 − ¼) = 48 ÷ ¾ = 64.48 ÷ (1 − ¼) = 48 ÷ ¾ = 64
6. $7\cos\theta-24\sin\theta=K\cos(\theta+\alpha)$ with $K\gt0$. Find $K$.$7\cos\theta-24\sin\theta=K\cos(\theta+\alpha)$ โดย $K\gt0$ · จงหา $K$
   Answer:เฉลย: 25K² = 7² + 24² = 625, so K = 25.K² = 7² + 24² = 625 · K = 25
7. $r^{\frac32}=2t+4$. Find $r$ when $t=30$.$r^{\frac32}=2t+4$ · จงหา $r$ เมื่อ $t=30$
   Answer:เฉลย: 16r^(3/2) = 64, so r = 64^(2/3) = 16.r^(3/2) = 64 · r = 64^(2/3) = 16
8. Find the least value of $k^2-6k+10$.จงหาค่าต่ำสุดของ $k^2-6k+10$
   Answer:เฉลย: 1k² − 6k + 10 = (k − 3)² + 1, which is least when k = 3: the value is 1.k² − 6k + 10 = (k − 3)² + 1 น้อยสุดเมื่อ k = 3 ได้ 1

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี