Edexcel A Level Maths 9MA0 Paper 2 June 2023: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

9MA0 Paper 2 (Pure 2) · June 20239MA0 Paper 2 (Pure 2) · มิ.ย. 2023

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Second derivative and concavity · 4 marksข้อ 1 · อนุพันธ์อันดับสองและความเว้า · 4 คะแนน

Answer: f''(x) = 6x + 4; x = −2/3; x ≤ −2/3คำตอบ: f''(x) = 6x + 4; x = −2/3; x ≤ −2/3

Q1(a) Find f''(x)Q1(a) หา f''(x)

$\text{f}(x)=x^3+2x^2-8x+5$
(a) Find $\text{f}''(x)$. [2]

$\text{f}(x)=x^3+2x^2-8x+5$givenโจทย์ให้
$\text{f}'(x)=3x^2+4x-8$differentiate once: power down, power − 1ดิฟครั้งแรก: ตบ ลบ ดิฟ
$\text{f}''(x)=6x+4$answer · differentiate againคำตอบ · ดิฟอีกครั้ง

Q1(b)(i) Solve f''(x) = 0Q1(b)(i) แก้ f''(x) = 0

$\text{f}(x)=x^3+2x^2-8x+5$
(b)(i) Solve $\text{f}''(x)=0$. (Part (b) is 2 marks in all.) [1]

$\text{f}''(x)=0$the equationสมการ
$6x+4=0$f''(x) = 6x + 4 from (a)f''(x) = 6x + 4 จากข้อ (a)
$6x=-4$move 4 acrossย้าย 4
$x=-\dfrac23$answer · −4/6 in lowest termsคำตอบ · −4/6 ตัดทอนแล้ว

Q1(b)(ii) Where f is concaveQ1(b)(ii) ช่วงที่ f เว้า

$\text{f}(x)=x^3+2x^2-8x+5$
(b)(ii) From (i): $\text{f}''(x)=0$ at $x=-\dfrac23$. Hence find the set of $x$ values on which $\text{f}(x)$ is concave. (Part (b) is 2 marks in all.) [1]

$\text{f}''(x)\le0$concave: f'' ≤ 0 on the intervalเว้าลง: f'' ≤ 0 ตลอดช่วง
$6x+4\le0$f'' from (a)f'' จากข้อ (a)
$6x\le-4$move 4 acrossย้าย 4
$x\le-\dfrac23$answer · ≤: f'' ≤ 0 still holds at −2/3คำตอบ · ใช้ ≤ เพราะที่ −2/3 ยังมี f'' ≤ 0

3. Q2 · A sequence that repeats · 6 marksข้อ 2 · ลำดับที่วนซ้ำ · 6 คะแนน

Answer: u₂ = 40; u₃ = 28, u₄ = 33; u₅ = 35; 851คำตอบ: u₂ = 40; u₃ = 28, u₄ = 33; u₅ = 35; 851

Q2(a)(i) Show that u₂ = 40Q2(a)(i) แสดงว่า u₂ = 40

The terms $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follow the rule
$u_1=35$ and $u_{n+1}=u_n+7\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-5(-1)^n$
(a)(i) Show that $u_2=40$. (Part (a) is 3 marks in all.) [1]

$n=1$the rule with n = 1 gives u₂ใช้กฎกับ n = 1 จะได้ u₂
$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$nπ/2 = π/2nπ/2 = π/2
$(-1)^1=-1$odd power of −1−1 ยกกำลังคี่
$u_2=35+0-5(-1)$u₁ = 35u₁ = 35
$=35+5$−5 × (−1) = +5−5 × (−1) = +5
$=40$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q2(a)(ii) Find u₃ and u₄Q2(a)(ii) หา u₃ และ u₄

The terms $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follow the rule
$u_1=35$ and $u_{n+1}=u_n+7\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-5(-1)^n$
(a)(ii) Find $u_3$ and $u_4$. (Part (a) is 3 marks in all.) [2]

$\cos\pi=-1$n = 2: nπ/2 = π · and (−1)² = 1n = 2: nπ/2 = π · และ (−1)² = 1
$u_3=40-7-5$u₂ = 40 · 7(−1) − 5(1)u₂ = 40 · 7(−1) − 5(1)
$=28$u₃u₃
$\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$n = 3 · and (−1)³ = −1n = 3 · และ (−1)³ = −1
$u_4=28+0+5$u₃ = 28 · −5(−1) = +5u₃ = 28 · −5(−1) = +5
$=33$answer · u₃ = 28, u₄ = 33คำตอบ · u₃ = 28, u₄ = 33

Q2(b)(i) Write down u₅Q2(b)(i) เขียน u₅

The terms $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follow the rule
$u_1=35$ and $u_{n+1}=u_n+7\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-5(-1)^n$
(b)(i) The terms repeat in a cycle of 4 (periodic, order 4). Write down $u_5$. (Part (b) is 3 marks in all.) [1]

$u_5=u_1$order 4: every term repeats 4 places laterคาบ 4: ทุกพจน์ซ้ำทุก 4 ตำแหน่ง
$=35$answerคำตอบ

Q2(b)(ii) Sum of the first 25 termsQ2(b)(ii) ผลบวก 25 พจน์แรก

The terms $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follow the rule
$u_1=35$ and $u_{n+1}=u_n+7\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)-5(-1)^n$
(b)(ii) The terms repeat in a cycle of 4, and from (a): $u_1,u_2,u_3,u_4=35,40,28,33$. Find $\displaystyle\sum_{r=1}^{25}u_r$. (Part (b) is 3 marks in all.) [2]

$S=35+40+28+33$S = the sum of one block of 4S = ผลบวกหนึ่งชุด 4 พจน์
$=136$one blockหนึ่งชุด
$25=6\times4+1$6 full blocks, then one more term6 ชุดเต็ม แล้วเหลืออีก 1 พจน์
$u_{25}=u_1$25 = 24 + 1, so it starts a new block25 = 24 + 1 จึงเริ่มชุดใหม่
$=35$the extra termพจน์ที่เหลือ
$\sum_{r=1}^{25}u_r=6S+u_{25}$Σ “sigma” = add them upΣ “ซิกมา” = บวกทั้งหมด
$=6(136)+35$substituteแทนค่า
$=816+35$6 × 1366 × 136
$=851$answerคำตอบ

4. Q3 · Log laws and a root that fails · 5 marksข้อ 3 · กฎลอการิทึมและรากที่ใช้ไม่ได้ · 5 คะแนน

Answer: 3x² − 13x − 30 = 0; x = 6, x = −5/3; x = −5/3 is not a solution: log₂(−5/3) is not realคำตอบ: 3x² − 13x − 30 = 0; x = 6, x = −5/3; x = −5/3 is not a solution: log₂(−5/3) is not real

Q3(a) Show the quadraticQ3(a) แสดงสมการกำลังสอง

$\log_2(x+3)+\log_2(x+10)=2+2\log_2x$
(a) Show that this equation leads to $3x^2-13x-30=0$. [3]

$P=\eqalign{&(x+3)\cr&\times(x+10)}$P = the product of the two inputsP = ผลคูณของสองตัวในล็อก
$\text{LHS}=\log_2P$add logs = log of the productล็อกบวกกัน = ล็อกของผลคูณ
$2=\log_24$2² = 42² = 4
$2\log_2x=\log_2x^2$power law: the 2 goes upกฎยกกำลัง: 2 ขึ้นไปเป็นเลขชี้กำลัง
$\text{RHS}=\log_24x^2$add logs: 4 × x²ล็อกบวกกัน: 4 × x²
$\log_2P=\log_24x^2$LHS = RHSซ้าย = ขวา
$P=4x^2$same log on both sides, so the inputs are equalล็อกฐานเดียวกันทั้งสองข้าง ข้างในจึงเท่ากัน
$\eqalign{&(x+3)\cr&\times(x+10)}=4x^2$put P backแทน P กลับ
$x^2+13x+30=4x^2$expandกระจาย
$\eqalign{&-3x^2\cr&+13x+30}=0$move 4x² acrossย้าย 4x²
$\eqalign{&3x^2-13x\cr&-30}=0$shown · times −1ได้ตามที่โจทย์ให้ · คูณ −1

Q3(b)(i) Roots of the quadraticQ3(b)(i) รากของสมการกำลังสอง

$\log_2(x+3)+\log_2(x+10)=2+2\log_2x$
(b)(i) Write down the two roots of $3x^2-13x-30=0$. (Part (b) is 2 marks in all.) [1]

$3x^2-13x-30=0$from (a)จากข้อ (a)
$(3x+5)(x-6)=0$factorise · check: −18x + 5x = −13xแยกตัวประกอบ · เช็ก −18x + 5x = −13x
$x=6$x − 6 = 0x − 6 = 0
$x=-\dfrac53$answer · 3x + 5 = 0คำตอบ · 3x + 5 = 0

Q3(b)(ii) Which root failsQ3(b)(ii) รากไหนใช้ไม่ได้

$\log_2(x+3)+\log_2(x+10)=2+2\log_2x$
(b)(ii) From (i): the roots are $6$ and $-\dfrac53$. Hence say which one is not a solution of the log equation, and give the reason. (Part (b) is 2 marks in all.) [1]

$x=-\dfrac53$test the negative rootทดสอบรากที่เป็นลบ
$\log_2x=\log_2\!\left(-\dfrac53\right)$the right side needs log₂ xข้างขวามี log₂ x
$-\dfrac53\lt0$a log needs a positive inputล็อกต้องใช้ค่าบวกเท่านั้น
$\text{reject }x=-\dfrac53$answer · log₂ of a negative number is not realคำตอบ · log₂ ของจำนวนลบไม่มีค่าจริง

5. Q4 · Exponential cooling model · 4 marksข้อ 4 · แบบจำลองการเย็นตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล · 4 คะแนน

Answer: A = 55; H = 55e^(−0.136t) + 30คำตอบ: A = 55; H = 55e^(−0.136t) + 30

Q4(a) The value of AQ4(a) ค่าของ A

A cup is filled with coffee. $t$ minutes later, the coffee is at $H$ °C, where the model is
$H=Ae^{-Bt}+30$ with constants $A$ and $B$.
At the start the coffee was at 85 °C.
(a) Give the value of $A$. [1]

$t=0$the startตอนเริ่ม
$85=Ae^0+30$H = 85 at t = 0H = 85 เมื่อ t = 0
$85=A+30$e⁰ = 1e⁰ = 1
$A=55$answer · 85 − 30คำตอบ · 85 − 30

Q4(b) Find B and the full modelQ4(b) หา B และสมการเต็ม

A cup is filled with coffee. $t$ minutes later, the coffee is at $H$ °C, where the model is
$H=Ae^{-Bt}+30$ with constants $A$ and $B$.
At the start the coffee was at 85 °C.
(b) At the start the coffee was cooling at 7.5 °C per minute. Using $A=55$ from (a), write the full equation linking $H$ and $t$, with $B$ given to 3 d.p. [3]

$H=55e^{-Bt}+30$A = 55 from (a)A = 55 จากข้อ (a)
$\dfrac{dH}{dt}=-55Be^{-Bt}$differentiate: e^(−Bt) gives −B e^(−Bt)ดิฟ: e^(−Bt) ได้ −B e^(−Bt)
$\dfrac{dH}{dt}=-7.5$cooling: H falls 7.5 per minute at t = 0เย็นลง: H ลด 7.5 ต่อนาทีตอน t = 0
$-55Be^0=-7.5$put t = 0แทน t = 0
$-55B=-7.5$e⁰ = 1e⁰ = 1
$B=\dfrac{3}{22}$7.5 ÷ 557.5 ÷ 55
$\approx0.136$3 d.p.ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$H=\eqalign{&55e^{-0.136t}\cr&+30}$answerคำตอบ

6. Q5 · Turning point, then integrate · 5 marksข้อ 5 · จุดวกกลับ แล้วอินทิเกรต · 5 คะแนน

Answer: k = 12; (0, −28)คำตอบ: k = 12; (0, −28)

Q5(a) Show that k = 12Q5(a) แสดงว่า k = 12

The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$. It goes through the point $P(3,\,-10)$, and $P$ is a turning point of $C$.
Also $\dfrac{dy}{dx}=2x^3-9x^2+5x+k$, with $k$ a constant.
(a) Show that $k=12$. [2]

$\dfrac{dy}{dx}=0$a turning point: the gradient is 0 at x = 3จุดวกกลับ: ความชันเป็น 0 ที่ x = 3
$2(3)^3=54$put x = 3 into each termแทน x = 3 ทีละพจน์
$9(3)^2=81$9 × 99 × 9
$5(3)=15$5 × 35 × 3
$54-81+15+k=0$the gradient at Pความชันที่ P
$-12+k=0$54 − 81 + 15 = −1254 − 81 + 15 = −12
$k=12$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q5(b) Where C meets the y-axisQ5(b) จุดที่ C ตัดแกน y

The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$. It goes through the point $P(3,\,-10)$, and $P$ is a turning point of $C$.
Also $\dfrac{dy}{dx}=2x^3-9x^2+5x+k$, with $k$ a constant.
(b) Using $k=12$, hence give the coordinates of the point at which $C$ crosses the $y$-axis. [3]

$y=\int\dfrac{dy}{dx}\,dx$integrate to get yอินทิเกรตเพื่อหา y
$=\eqalign{&\tfrac12x^4-3x^3\cr&+\tfrac52x^2+12x+c}$power + 1, then divide by the new powerยกกำลังเพิ่ม 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
$x=3$P(3, −10) is on CP(3, −10) อยู่บน C
$y=\eqalign{&40.5-81\cr&+22.5+36+c}$½·81, 3·27, (5/2)·9, 12·3½·81, 3·27, (5/2)·9, 12·3
$=18+c$add the numbersบวกตัวเลข
$-10=18+c$y = −10 at Pที่ P: y = −10
$c=-28$−10 − 18−10 − 18
$x=0$the y-axisแกน y
$y=c$every x term is 0พจน์ที่มี x เป็น 0 หมด
$=-28$c from abovec จากข้างบน
$(x,y)=(0,\,-28)$answerคำตอบ

7. Q6 · Position vectors: a running track · 6 marksข้อ 6 · เวกเตอร์บอกตำแหน่ง: ลู่วิ่ง · 6 คะแนน

Answer: BC = 5 AD, so AD ∥ BC; ≈ 6.99 km/hคำตอบ: BC = 5 AD, so AD ∥ BC; ≈ 6.99 km/h

Q6(a) Show that AD is parallel to BCQ6(a) แสดงว่า AD ขนานกับ BC

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$AD = D − AAD = D − A
$=10\mathbf{i}+24\mathbf{j}$i: 22 − 12 · j: 24 − 0i: 22 − 12 · j: 24 − 0
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$BC = C − BBC = C − B
$=50\mathbf{i}+120\mathbf{j}$i: 50 − 0 · j: 136 − 16i: 50 − 0 · j: 136 − 16
$=5(10\mathbf{i}+24\mathbf{j})$take out 5ดึง 5 ออก
$\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{AD}$shown · a multiple of AD, so AD ∥ BCได้ตามที่โจทย์ให้ · BC เป็น 5 เท่าของ AD จึงขนานกัน

Q6(b) Average speed in km/hQ6(b) อัตราเร็วเฉลี่ย (กม./ชม.)

From a fixed origin $O$, the points $A$, $B$, $C$, $D$ have position vectors
$A$: $12\mathbf{i}$ · $B$: $16\mathbf{j}$ · $C$: $(50\mathbf{i}+136\mathbf{j})$ · $D$: $(22\mathbf{i}+24\mathbf{j})$
(b) The four points are the corners of a quadrilateral running track, with lengths in metres. One lap means running all four sides. A runner does exactly 2 laps in 5 minutes. Work out the runner's average speed in kilometres per hour. [4]

$AB=\sqrt{12^2+16^2}$AB = B − A = −12i + 16j · PythagorasAB = B − A = −12i + 16j · พีทาโกรัส
$=20$√400√400
$BC=\sqrt{50^2+120^2}$from (a)จากข้อ (a)
$=130$√16900√16900
$CD=\sqrt{28^2+112^2}$CD = D − C = −28i − 112jCD = D − C = −28i − 112j
$=28\sqrt{17}$√13328 = 28√17√13328 = 28√17
$\approx115.45$2 d.p.ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
$DA=\sqrt{10^2+24^2}$from (a)จากข้อ (a)
$=26$√676√676
$L=176+28\sqrt{17}$L = one lap · 20 + 130 + 26 = 176L = หนึ่งรอบ · 20 + 130 + 26 = 176
$\approx291.45$metresเมตร
$2L\approx582.89$two laps, metresสองรอบ (เมตร)
$5\text{ min}=\tfrac1{12}\text{ h}$5 ÷ 605 ÷ 60
$v\approx0.58289\times12$km ÷ hours: 582.89 m = 0.58289 kmกม. ÷ ชม.: 582.89 ม. = 0.58289 กม.
$\approx6.99$answer · km/h, 3 s.f.คำตอบ · กม./ชม. เลขนัยสำคัญ 3 ตัว

8. Q7 · Implicit differentiation and a normal · 7 marksข้อ 7 · ดิฟโดยปริยายและเส้นตั้งฉาก · 7 คะแนน

Answer: dy/dx = −(3x² + 2y)/(2x + 6y); 13x − 11y + 81 = 0คำตอบ: dy/dx = −(3x² + 2y)/(2x + 6y); 13x − 11y + 81 = 0

Q7(a) Find dy/dxQ7(a) หา dy/dx

Show every stage of your working. An answer that depends on calculator technology scores no marks.
A curve is given by $x^3+2xy+3y^2=47$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. [4]

$\dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2$differentiate every term with respect to xดิฟทุกพจน์เทียบกับ x
$\dfrac{d}{dx}(2xy)=2y+2x\dfrac{dy}{dx}$product ruleกฎผลคูณ
$\dfrac{d}{dx}(3y^2)=6y\dfrac{dy}{dx}$chain rule: a y term gets dy/dxกฎลูกโซ่: พจน์ y ได้ dy/dx ต่อท้าย
$D=2x\dfrac{dy}{dx}+6y\dfrac{dy}{dx}$D = the two dy/dx termsD = สองพจน์ที่มี dy/dx
$3x^2+2y+D=0$the whole left side · 47 gives 0ข้างซ้ายทั้งหมด · 47 ดิฟได้ 0
$D=-3x^2-2y$keep only D on the leftเหลือ D ไว้ข้างซ้าย
$(2x+6y)\dfrac{dy}{dx}=-3x^2-2y$put D back · take out dy/dxแทน D กลับ · ดึง dy/dx ออก
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^2+2y}{2x+6y}$answerคำตอบ

Q7(b) The normal at PQ7(b) เส้นตั้งฉากที่ P

Show every stage of your working. An answer that depends on calculator technology scores no marks.
A curve is given by $x^3+2xy+3y^2=47$
(b) The point $P(-2,\,5)$ is on the curve. Using (a): $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^2+2y}{2x+6y}$, find an equation for the normal at $P$, written as $ax+by+c=0$, with integers $a$, $b$ and $c$ to find. [3]

$3x^2+2y=22$x = −2, y = 5: 12 + 10x = −2, y = 5: 12 + 10
$2x+6y=26$−4 + 30−4 + 30
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{22}{26}$the tangent gradientความชันเส้นสัมผัส
$=-\dfrac{11}{13}$simplifyตัดทอน
$m_N=\dfrac{13}{11}$normal: the negative reciprocalเส้นตั้งฉาก: กลับเศษเป็นส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$y-5=\dfrac{13}{11}(x+2)$y − y₁ = m(x − x₁)y − y₁ = m(x − x₁)
$11y-55=13x+26$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$0=13x-11y+81$all on the right · 26 + 55 = 81ย้ายไปข้างขวาหมด · 26 + 55 = 81
$13x-11y+81=0$answer · a = 13, b = −11, c = 81คำตอบ · a = 13, b = −11, c = 81

9. Q8 · R cos(θ − α) and the largest sum · 6 marksข้อ 8 · R cos(θ − α) และผลบวกที่มากที่สุด · 6 คะแนน

Answer: 2√17 cos(θ − 1.326); 9√17; x ≈ 1.33คำตอบ: 2√17 cos(θ − 1.326); 9√17; x ≈ 1.33

Q8(a) Write as R cos(θ − α)Q8(a) เขียนในรูป R cos(θ − α)

(a) Write $2\cos\theta+8\sin\theta$ as $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R$ and $\alpha$ are constants with $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$. Give $R$ exactly, and $\alpha$ in radians to 3 d.p. [3]

$R\cos\alpha=2$expand cos(θ − α) · match the cos θ termsกระจาย cos(θ − α) · เทียบพจน์ cos θ
$R\sin\alpha=8$match the sin θ termsเทียบพจน์ sin θ
$R^2=2^2+8^2$square and add · cos² + sin² = 1ยกกำลังสองแล้วบวก · cos² + sin² = 1
$=68$4 + 644 + 64
$R=2\sqrt{17}$√68 = √(4 × 17) · R > 0√68 = √(4 × 17) · R > 0
$\tan\alpha=\dfrac82$divide: sin ÷ cosหาร: sin ÷ cos
$\alpha=\tan^{-1}4$inverse tan · radiansใช้ tan⁻¹ · หน่วยเรเดียน
$\alpha\approx1.326$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q8(b)(i) Largest value of S₉Q8(b)(i) ค่ามากที่สุดของ S₉

(b)(i) An arithmetic sequence starts $\cos x$, $\ \cos x+\sin x$, $\ \cos x+2\sin x$ (terms 1 to 3), with $x\ne n\pi$. $S_9$ is the total of terms 1 to 9; its value depends on $x$. Using (a): $2\cos x+8\sin x=2\sqrt{17}\cos(x-\alpha)$ with $\alpha\approx1.326$, find the exact largest value of $S_9$. (Part (b) is 3 marks in all.) [2]

$a=\cos x$first termพจน์แรก
$d=\sin x$common difference: each term adds sin xผลต่างร่วม: แต่ละพจน์บวก sin x
$S_9=\dfrac92(2a+8d)$AP sum with n = 9: n − 1 = 8ผลบวกลำดับเลขคณิต n = 9: n − 1 = 8
$2a+8d=2\cos x+8\sin x$substitute a and dแทน a และ d
$u=x-\alpha$u = the angle inside cosu = มุมใน cos
$2a+8d=2\sqrt{17}\cos u$from (a): R = 2√17จากข้อ (a): R = 2√17
$S_9=9\sqrt{17}\cos u$4.5 × 2√17 = 9√174.5 × 2√17 = 9√17
$\cos u\le1$cos is never more than 1cos ไม่เกิน 1
$S_9\le9\sqrt{17}$answer · the largest S₉ is 9√17คำตอบ · S₉ มากสุดคือ 9√17

Q8(b)(ii) Where the largest value happensQ8(b)(ii) ค่ามากที่สุดเกิดที่ไหน

(b)(ii) From (i): $S_9=9\sqrt{17}\cos(x-\alpha)$ with $\alpha\approx1.326$. Deduce the smallest positive $x$ at which $S_9$ takes its largest value. (Part (b) is 3 marks in all.) [1]

$\cos(x-\alpha)=1$S₉ is largest hereS₉ มากสุดตรงนี้
$x-\alpha=0$smallest angle with cos = 1มุมที่เล็กที่สุดที่ cos = 1
$x=\alpha$α is positive, so this is the smallest positive xα เป็นบวก จึงเป็น x บวกที่เล็กที่สุด
$\approx1.33$answer · radians, 3 s.f. (α ≈ 1.326)คำตอบ · เรเดียน เลขนัยสำคัญ 3 ตัว (α ≈ 1.326)

10. Q9 · Parametric curve and a tangent · 7 marksข้อ 9 · เส้นโค้งพาราเมตริกและเส้นสัมผัส · 7 คะแนน

Answer: y = 3 ln(x + 25): A = 3, B = 25; −3x + 25y = 150 ln 5คำตอบ: y = 3 ln(x + 25): A = 3, B = 25; −3x + 25y = 150 ln 5

Q9(a) The Cartesian equationQ9(a) สมการคาร์ทีเซียน

The curve $C$ is given by $x=t^2+6t-16$ and $y=6\ln(t+3)$, for $t\gt-3$.
(a) Show that $C$ can be written as $y=A\ln(x+B)$, $x\gt-B$, with integers $A$ and $B$ to find. [3]

$x=(t+3)^2-25$complete the square: 9 − 25 = −16ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: 9 − 25 = −16
$x+25=(t+3)^2$move 25 across · then square root both sidesย้าย 25 · แล้วถอดรากทั้งสองข้าง
$t+3=\sqrt{x+25}$t > −3, so t + 3 > 0: the positive roott > −3 ดังนั้น t + 3 > 0: ใช้รากบวก
$y=6\ln\sqrt{x+25}$put it into yแทนลงใน y
$\ln\sqrt{x+25}=\tfrac12\ln(x+25)$√ = power ½ · power law√ = ยกกำลัง ½ · กฎยกกำลัง
$y=3\ln(x+25)$shown · 6 × ½ = 3 · A = 3, B = 25ได้ตามที่โจทย์ให้ · 6 × ½ = 3 · A = 3, B = 25

Q9(b) The tangent at PQ9(b) เส้นสัมผัสที่ P

The curve $C$ is given by $x=t^2+6t-16$ and $y=6\ln(t+3)$, for $t\gt-3$.
(b) $C$ meets the $y$-axis at $P$. Using (a): $y=3\ln(x+25)$, show that the tangent to $C$ at $P$ can be written as $ax+by=c\ln5$, with integers $a$, $b$ and $c$ to find. [4]

$x=0$P is on the y-axisP อยู่บนแกน y
$y=3\ln25$put x = 0 in (a)แทน x = 0 ในข้อ (a)
$=6\ln5$ln 25 = ln 5² = 2 ln 5ln 25 = ln 5² = 2 ln 5
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{x+25}$differentiate 3 ln(x + 25)ดิฟ 3 ln(x + 25)
$m=\dfrac3{25}$at x = 0ที่ x = 0
$y-6\ln5=\dfrac3{25}x$y − y₁ = m(x − x₁)y − y₁ = m(x − x₁)
$25y-150\ln5=3x$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$25y=3x+150\ln5$move 150 ln 5 acrossย้าย 150 ln 5
$-3x+25y=150\ln5$shown · a = −3, b = 25, c = 150ได้ตามที่โจทย์ให้ · a = −3, b = 25, c = 150

11. Q10 · Partial fractions and a definite integral · 7 marksข้อ 10 · เศษส่วนย่อยและอินทิกรัลจำกัดเขต · 7 คะแนน

Answer: f(x) = (2k + 3)/(x + 4) + (k − 3)/(x − 2); k = 21/ln 5 − 6คำตอบ: f(x) = (2k + 3)/(x + 4) + (k − 3)/(x − 2); k = 21/ln 5 − 6

Q10(a) Partial fractions in kQ10(a) เศษส่วนย่อยในรูปของ k

$\text{f}(x)=\dfrac{3kx-18}{(x+4)(x-2)}$, where $k$ is a positive constant.
(a) Write $\text{f}(x)$ as partial fractions, in terms of $k$. [3]

$\text{f}(x)=\dfrac{A}{x+4}+\dfrac{B}{x-2}$one fraction per bracketหนึ่งเศษส่วนต่อหนึ่งวงเล็บ
$3kx-18=\eqalign{&A(x-2)\cr&+B(x+4)}$times (x + 4)(x − 2)คูณด้วย (x + 4)(x − 2)
$x=2$kills the A bracketวงเล็บของ A เป็น 0
$6k-18=6B$3k(2) − 18 = B(6)3k(2) − 18 = B(6)
$B=k-3$divide by 6หารด้วย 6
$x=-4$kills the B bracketวงเล็บของ B เป็น 0
$-12k-18=-6A$3k(−4) − 18 = A(−6)3k(−4) − 18 = A(−6)
$A=2k+3$divide by −6หารด้วย −6
$\text{f}(x)=\dfrac{2k+3}{x+4}+\dfrac{k-3}{x-2}$answerคำตอบ

Q10(b) Find k from the integralQ10(b) หา k จากอินทิกรัล

$\text{f}(x)=\dfrac{3kx-18}{(x+4)(x-2)}$, where $k$ is a positive constant.
(b) Using (a): $\text{f}(x)=\dfrac{2k+3}{x+4}+\dfrac{k-3}{x-2}$, hence find the exact value of $k$ for which $\displaystyle\int_{-3}^{1}\text{f}(x)\,dx=21$. [4]

$p=2k+3$p = the first topp = ตัวเศษตัวแรก
$q=k-3$q = the second topq = ตัวเศษตัวที่สอง
$F(x)=\eqalign{&p\ln|x+4|\cr&+q\ln|x-2|}$F = the integral: ∫ 1/(x + a) dx = ln|x + a|F = อินทิกรัล: ∫ 1/(x + a) dx = ln|x + a|
$F(1)=p\ln5+q\ln1$x = 1: |5| and |−1|x = 1: |5| และ |−1|
$=p\ln5$ln 1 = 0ln 1 = 0
$F(-3)=p\ln1+q\ln5$x = −3: |1| and |−5|x = −3: |1| และ |−5|
$=q\ln5$ln 1 = 0ln 1 = 0
$F(1)-F(-3)=(p-q)\ln5$top limit − bottom limitขอบบน − ขอบล่าง
$p-q=k+6$(2k + 3) − (k − 3)(2k + 3) − (k − 3)
$(k+6)\ln5=21$the integral is 21อินทิกรัลเท่ากับ 21
$k+6=\dfrac{21}{\ln5}$divide by ln 5หารด้วย ln 5
$k=\dfrac{21}{\ln5}-6$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นตรง

12. Q11 · Filling a tank: a differential equation · 10 marksข้อ 11 · เติมน้ำลงถัง: สมการเชิงอนุพันธ์ · 10 คะแนน

Answer: dh/dt = λ/√h; h^(3/2) = 0.513t + 1.728; ≈ 18.4 minutesคำตอบ: dh/dt = λ/√h; h^(3/2) = 0.513t + 1.728; ≈ 18.4 minutes

Q11(a) Show that dh/dt = λ/√hQ11(a) แสดงว่า dh/dt = λ/√h

Water flows into a tank shaped like a cuboid. The tank's base is 20 m by 10 m and it is 5 m tall (Figure 1).
$t$ minutes after the water starts to flow, the water is $h$ m deep and the tank holds $V$ m³ of water.
The model assumes: the tank walls have negligible thickness, and $V$ changes at a rate inversely proportional to $\sqrt{h}$.
(a) Show that $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{\lambda}{\sqrt{h}}$, with $\lambda$ a constant. [3]

$V=200h$base area 20 × 10 = 200 m², times the depthพื้นที่ฐาน 20 × 10 = 200 ตร.ม. คูณความลึก
$\dfrac{dV}{dh}=200$differentiateดิฟ
$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{k}{\sqrt h}$inversely proportional to √h · k is a constantแปรผกผันกับ √h · k เป็นค่าคงที่
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dh}{dV}\times\dfrac{dV}{dt}$chain ruleกฎลูกโซ่
$=\dfrac1{200}\times\dfrac{k}{\sqrt h}$dh/dV = 1 ÷ 200dh/dV = 1 ÷ 200
$\lambda=\dfrac{k}{200}$name the constant · λ “lambda”ตั้งชื่อค่าคงที่ · λ “แลมบ์ดา”
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{\lambda}{\sqrt h}$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q11(b) Solve for h and tQ11(b) แก้หาความสัมพันธ์ h กับ t

Water flows into a tank shaped like a cuboid. The tank's base is 20 m by 10 m and it is 5 m tall (Figure 1).
$t$ minutes after the water starts to flow, the water is $h$ m deep and the tank holds $V$ m³ of water.
The model assumes: the tank walls have negligible thickness, and $V$ changes at a rate inversely proportional to $\sqrt{h}$.
(b) At the start the water was 1.44 m deep, and exactly 8 minutes later it was 3.24 m deep. Use the model from (a), $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{\lambda}{\sqrt{h}}$, to find an equation for $h$ and $t$ of the form $h^{\frac32}=At+B$, with constants $A$ and $B$ to find. [5]

$\sqrt h\,dh=\lambda\,dt$separate: h left, t rightแยกตัวแปร: h ซ้าย t ขวา
$\int h^{\frac12}dh=\int\lambda\,dt$integrate both sidesอินทิเกรตทั้งสองข้าง
$\tfrac23h^{\frac32}=\lambda t+c$power ½ + 1 = 3/2กำลัง ½ + 1 = 3/2
$1.44^{\frac32}=1.728$t = 0, h = 1.44 · √1.44 = 1.2, 1.2³t = 0, h = 1.44 · √1.44 = 1.2, 1.2³
$c=\tfrac23(1.728)$at t = 0 the λt term is 0ที่ t = 0 พจน์ λt เป็น 0
$=1.152$cc
$3.24^{\frac32}=5.832$t = 8, h = 3.24 · √3.24 = 1.8, 1.8³t = 8, h = 3.24 · √3.24 = 1.8, 1.8³
$\tfrac23(5.832)=8\lambda+1.152$substituteแทนค่า
$3.888=8\lambda+1.152$⅔ × 5.832⅔ × 5.832
$2.736=8\lambda$move 1.152 acrossย้าย 1.152
$\lambda=0.342$divide by 8หารด้วย 8
$\tfrac23h^{\frac32}=\eqalign{&0.342t\cr&+1.152}$put λ and c backแทน λ และ c กลับ
$h^{\frac32}=\eqalign{&0.513t\cr&+1.728}$answer · A = 0.513, B = 1.728คำตอบ · A = 0.513, B = 1.728

Q11(c) Time to fill the tankQ11(c) เวลาที่ถังเต็ม

Water flows into a tank shaped like a cuboid. The tank's base is 20 m by 10 m and it is 5 m tall (Figure 1).
$t$ minutes after the water starts to flow, the water is $h$ m deep and the tank holds $V$ m³ of water.
The model assumes: the tank walls have negligible thickness, and $V$ changes at a rate inversely proportional to $\sqrt{h}$.
(c) Using (b): $h^{\frac32}=0.513t+1.728$, hence find how long it takes, from when the water starts to flow, for the tank to become full. [2]

$h=5$full: the tank is 5 m tallเต็ม: ถังสูง 5 ม.
$B=1.728$B from (b)B จากข้อ (b)
$5^{\frac32}=0.513t+B$put h = 5 into (b)แทน h = 5 ในข้อ (b)
$5^{\frac32}-B=0.513t$move B acrossย้าย B
$t=\dfrac{5^{\frac32}-1.728}{0.513}$divide by 0.513หารด้วย 0.513
$\approx\dfrac{9.4523}{0.513}$5^(3/2) ≈ 11.18035^(3/2) ≈ 11.1803
$\approx18.43$calculatorกดเครื่องคิดเลข
$t\approx18.4$answer · minutesคำตอบ · นาที

13. Q12 · Modulus models: subscribers · 10 marksข้อ 12 · แบบจำลองค่าสัมบูรณ์: จำนวนสมาชิก · 10 คะแนน

Answer: 5000 subscribers; T = 3: company A had its fewest subscribers then, and after it the number rises; {t : 0 ≤ t < 5/3} ∪ {t : t > 13/3}; For t > 7 the model gives a negative number of subscribersคำตอบ: 5000 subscribers; T = 3: company A had its fewest subscribers then, and after it the number rises; {t : 0 ≤ t < 5/3} ∪ {t : t > 13/3}; For t > 7 the model gives a negative number of subscribers

Q12(a) The starting differenceQ12(a) ผลต่างตอนเริ่มต้น

Two music streaming companies are being watched. $t$ is the time in years since the watching began.
Company A has $N_A$ thousand subscribers, modelled by $N_A=|t-3|+4$, $t\ge0$.
Company B has $N_B$ thousand subscribers, modelled by $N_B=8-|2t-6|$, $t\ge0$.
Figure 2 sketches both graphs over 5 years. Answer every part from the model equations.
(a) Work out the difference between company A's and company B's subscriber numbers at the start. [2]

$t=0$the startตอนเริ่ม
$N_A=|0-3|+4$model Aแบบจำลอง A
$=7$|−3| = 3|−3| = 3
$N_B=8-|0-6|$model Bแบบจำลอง B
$=2$|−6| = 6|−6| = 6
$N_A-N_B=5$in thousandsหน่วยเป็นพัน
$\text{difference}=5000$answer · subscribersคำตอบ · คน

Q12(b) Suggest a value for TQ12(b) เสนอค่า T

Two music streaming companies are being watched. $t$ is the time in years since the watching began.
Company A has $N_A$ thousand subscribers, modelled by $N_A=|t-3|+4$, $t\ge0$.
Company B has $N_B$ thousand subscribers, modelled by $N_B=8-|2t-6|$, $t\ge0$.
Figure 2 sketches both graphs over 5 years. Answer every part from the model equations.
(b) At $t=T$, company A cut its prices and its subscriber numbers went up. Suggest a value for $T$ and give a reason. [2]

$|t-3|\ge0$a modulus is never negativeค่าสัมบูรณ์ไม่ติดลบ
$N_A\ge4$so A is never below 4 thousandA จึงไม่ต่ำกว่า 4 พัน
$|t-3|=0$the lowest point: here A stops fallingจุดต่ำสุด: A หยุดลดตรงนี้
$T=3$answer · N_A is least at t = 3, then risesคำตอบ · N_A ต่ำสุดที่ t = 3 แล้วเพิ่มขึ้น

Q12(c) When A has more subscribersQ12(c) ช่วงที่ A มีสมาชิกมากกว่า

Two music streaming companies are being watched. $t$ is the time in years since the watching began.
Company A has $N_A$ thousand subscribers, modelled by $N_A=|t-3|+4$, $t\ge0$.
Company B has $N_B$ thousand subscribers, modelled by $N_B=8-|2t-6|$, $t\ge0$.
Figure 2 sketches both graphs over 5 years. Answer every part from the model equations.
(c) Find the set of values of $t$ for which $N_A\gt N_B$. Use set notation. [5]

$t\lt3$left of both cornersด้านซ้ายของมุมทั้งสอง
$N_A=7-t$|t − 3| = 3 − t|t − 3| = 3 − t
$N_B=2+2t$|2t − 6| = 6 − 2t|2t − 6| = 6 − 2t
$7-t\gt2+2t$N_A > N_BN_A > N_B
$5\gt3t$collectรวมพจน์
$t\lt\dfrac53$first critical valueค่าวิกฤตแรก
$t\ge3$right of the cornersด้านขวาของมุม
$N_A=t+1$|t − 3| = t − 3|t − 3| = t − 3
$N_B=14-2t$|2t − 6| = 2t − 6|2t − 6| = 2t − 6
$t+1\gt14-2t$N_A > N_BN_A > N_B
$3t\gt13$collectรวมพจน์
$t\gt\dfrac{13}3$second critical valueค่าวิกฤตที่สอง
$\text{set}=\eqalign{&\{t:0\le t\lt\tfrac53\}\cr&\cup\{t:t\gt\tfrac{13}3\}}$answer · the two outside regionsคำตอบ · สองช่วงด้านนอก

Q12(d) A limit of model BQ12(d) ข้อจำกัดของแบบจำลอง B

Two music streaming companies are being watched. $t$ is the time in years since the watching began.
Company A has $N_A$ thousand subscribers, modelled by $N_A=|t-3|+4$, $t\ge0$.
Company B has $N_B$ thousand subscribers, modelled by $N_B=8-|2t-6|$, $t\ge0$.
Figure 2 sketches both graphs over 5 years. Answer every part from the model equations.
(d) Give one limitation of the model for company B. [1]

$N_B\lt0$when can B go negative?B ติดลบได้เมื่อไร
$|2t-6|\gt8$8 − |2t − 6| < 08 − |2t − 6| < 0
$2t-6\gt8$t ≥ 0 rules out 2t − 6 < −8t ≥ 0 จึงตัดกรณี 2t − 6 < −8 ทิ้ง
$2t\gt14$move 6 acrossย้าย 6
$t\gt7$answer · after 7 years N_B is negative, which is impossibleคำตอบ · หลัง 7 ปี N_B ติดลบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

14. Q13 · Binomial series and an integral · 13 marksข้อ 13 · อนุกรมทวินามและอินทิกรัล · 13 คะแนน

Answer: 1/9 − 2x/27 + x²/27; ≈ 0.03304; 6 ln(17/16) − 45/136คำตอบ: 1/9 − 2x/27 + x²/27; ≈ 0.03304; 6 ln(17/16) − 45/136

Q13(a) Expand (3 + x)⁻²Q13(a) กระจาย (3 + x)⁻²

Show every stage of your working. An answer that depends wholly on calculator technology scores no marks.
(a) Expand $(3+x)^{-2}$ in ascending powers of $x$ up to the $x^2$ term, with each term simplified. [4]

$(3+x)^{-2}=\eqalign{&3^{-2}\cr&\times\left(1+\tfrac x3\right)^{-2}}$take 3 out: the bracket must start with 1ดึง 3 ออก: ในวงเล็บต้องขึ้นต้นด้วย 1
$(-2)\left(\tfrac x3\right)=-\tfrac{2x}3$x term: n × (x/3), n = −2พจน์ x: n × (x/3), n = −2
$\tfrac{(-2)(-3)}{2!}=3$x² coefficient: n(n − 1)/2!สัมประสิทธิ์ x²: n(n − 1)/2!
$3\left(\tfrac x3\right)^2=\tfrac{x^2}3$x² termพจน์ x²
$\left(1+\tfrac x3\right)^{-2}\approx1-\tfrac{2x}3+\tfrac{x^2}3$the bracketในวงเล็บ
$(3+x)^{-2}\approx\eqalign{&\tfrac19-\tfrac{2x}{27}\cr&+\tfrac{x^2}{27}}$answer · times 3⁻² = 1/9คำตอบ · คูณ 3⁻² = 1/9

Q13(b) Estimate the integralQ13(b) ประมาณค่าอินทิกรัล

Show every stage of your working. An answer that depends wholly on calculator technology scores no marks.
(b) Using (a): $(3+x)^{-2}\approx\dfrac19-\dfrac{2x}{27}+\dfrac{x^2}{27}$ and integrating algebraically, estimate $\displaystyle I=\int_{0.2}^{0.4}\dfrac{6x}{(3+x)^2}\,dx$. Answer to 4 s.f. [4]

$\dfrac{6x}{(3+x)^2}=6x(3+x)^{-2}$write the bottom as a powerเขียนตัวส่วนเป็นกำลังลบ
$\approx\eqalign{&\tfrac{2x}3-\tfrac{4x^2}9\cr&+\tfrac{2x^3}9}$6x times each term from (a)6x คูณทุกพจน์จากข้อ (a)
$G(x)=\eqalign{&\tfrac{x^2}3-\tfrac{4x^3}{27}\cr&+\tfrac{x^4}{18}}$G = the integral: power + 1, divide by itG = อินทิกรัล: ยกกำลังเพิ่ม 1 แล้วหาร
$x=0.4$top limitขอบบน
$G\approx0.045274$0.16/3 − 4(0.064)/27 + 0.0256/180.16/3 − 4(0.064)/27 + 0.0256/18
$x=0.2$bottom limitขอบล่าง
$G\approx0.012237$0.04/3 − 4(0.008)/27 + 0.0016/180.04/3 − 4(0.008)/27 + 0.0016/18
$I\approx\eqalign{&0.045274\cr&-0.012237}$top − bottomบน − ล่าง
$=0.033037$subtractลบกัน
$I\approx0.03304$answer · 4 s.f.คำตอบ · เลขนัยสำคัญ 4 ตัว

Q13(c) The exact valueQ13(c) ค่าแม่นตรง

Show every stage of your working. An answer that depends wholly on calculator technology scores no marks.
(c) Integrating algebraically, find the exact value of $\displaystyle I=\int_{0.2}^{0.4}\dfrac{6x}{(3+x)^2}\,dx$ as $a\ln b+c$, with constants $a$, $b$ and $c$ to find. [5]

$u=3+x$substitution · du = dxการแทนค่า · du = dx
$x=u-3$for the topใช้กับตัวเศษ
$u=3.2$x = 0.2x = 0.2
$u=3.4$x = 0.4x = 0.4
$\dfrac{6x}{(3+x)^2}=\dfrac{6(u-3)}{u^2}$in terms of uเขียนเป็น u
$=\dfrac6u-\dfrac{18}{u^2}$split the fractionแยกเศษส่วน
$F=6\ln u+\dfrac{18}u$F = the integral · −18u⁻² gives +18u⁻¹F = อินทิกรัล · −18u⁻² ได้ +18u⁻¹
$I=\eqalign{&F(3.4)\cr&-F(3.2)}$top − bottom, in uบน − ล่าง (ค่า u)
$6\ln\dfrac{3.4}{3.2}=6\ln\dfrac{17}{16}$the ln parts: 6 ln 3.4 − 6 ln 3.2 · 3.4 ÷ 3.2 = 17/16ส่วน ln: 6 ln 3.4 − 6 ln 3.2 · 3.4 ÷ 3.2 = 17/16
$\dfrac{18}{3.4}-\dfrac{18}{3.2}=-\dfrac{45}{136}$the other parts · 90/17 − 45/8ส่วนที่เหลือ · 90/17 − 45/8
$I=6\ln\dfrac{17}{16}-\dfrac{45}{136}$answer · a = 6, b = 17/16, c = −45/136คำตอบ · a = 6, b = 17/16, c = −45/136

15. Q14 · Trig equation: factor out sin 2θ · 7 marksข้อ 14 · สมการตรีโกณ: ดึง sin 2θ ออก · 7 คะแนน

Answer: sin 2θ(23cos²θ − 8cos θ − 15) = 0: A = 23, B = −8, C = −15; x = 360°, 490.7° (≈ 491°), 540°คำตอบ: sin 2θ(23cos²θ − 8cos θ − 15) = 0: A = 23, B = −8, C = −15; x = 360°, 490.7° (≈ 491°), 540°

Q14(a) Rewrite the equationQ14(a) เขียนสมการใหม่

Show every stage of your working. An answer that depends wholly on calculator technology scores no marks.
(a) Show that the equation
$2\tan\theta(8\cos\theta+23\sin^2\theta)$
$=8\sin2\theta(1+\tan^2\theta)$
can be written in the form
$\sin2\theta(A\cos^2\theta$
$+B\cos\theta+C)=0$
and find the constants $A$, $B$ and $C$. [3]

$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$identity · sec = 1 ÷ cosเอกลักษณ์ · sec = 1 ÷ cos
$Q=\eqalign{&8\cos\theta\cr&+23\sin^2\theta}$Q = the bracket on the leftQ = วงเล็บทางซ้าย
$2\tan\theta\,Q=8\sin2\theta\sec^2\theta$the equationสมการ
$2\tan\theta\cos^2\theta\,Q=8\sin2\theta$sec²θ × cos²θ = 1sec²θ × cos²θ = 1
$2\sin\theta\cos\theta\,Q=8\sin2\theta$tan θ × cos θ = sin θtan θ × cos θ = sin θ
$\sin2\theta\,Q=8\sin2\theta$2 sin θ cos θ = sin 2θ2 sin θ cos θ = sin 2θ
$\sin2\theta(Q-8)=0$take out sin 2θดึง sin 2θ ออก
$\sin2\theta(8-Q)=0$times −1คูณ −1
$23\sin^2\theta=23-23\cos^2\theta$sin²θ = 1 − cos²θsin²θ = 1 − cos²θ
$8-Q=\eqalign{&23\cos^2\theta\cr&-8\cos\theta-15}$8 − 8cos θ − 23 + 23cos²θ8 − 8cos θ − 23 + 23cos²θ
$\eqalign{&\sin2\theta\cr&\times(23\cos^2\theta\cr&-8\cos\theta-15)}=0$shown · A = 23, B = −8, C = −15ได้ตามรูปที่โจทย์ให้ · A = 23, B = −8, C = −15

Q14(b) Solve for 360° ≤ x ≤ 540°Q14(b) แก้สมการในช่วง 360° ≤ x ≤ 540°

Show every stage of your working. An answer that depends wholly on calculator technology scores no marks.
(b) Using (a): the equation is
$\sin2x(23\cos^2x$
$-8\cos x-15)=0$
Hence solve
$2\tan x(8\cos x+23\sin^2x)$
$=8\sin2x(1+\tan^2x)$
for $360^\circ\le x\le540^\circ$, where $x\in\mathbb{R}$ and $x\ne450^\circ$. [4]

$\sin2x=0$first factorตัวประกอบแรก
$2x=180^\circ n$sin is 0 at every multiple of 180°sin เป็น 0 ทุกพหุคูณของ 180°
$x=90^\circ n$in range: 360°, 450°, 540°ในช่วง: 360°, 450°, 540°
$x=360^\circ,\,540^\circ$450° is not allowedห้ามใช้ 450°
$\eqalign{&(\cos x-1)\cr&(23\cos x+15)}=0$second factor: factorise the quadraticตัวประกอบที่สอง: แยกตัวประกอบกำลังสอง
$\cos x=1$gives x = 360° againได้ x = 360° ซ้ำ
$\cos x=-\dfrac{15}{23}$the other rootอีกราก
$\cos^{-1}\!\left(-\dfrac{15}{23}\right)\approx130.7^\circ$calculator, degreesกดเครื่องคิดเลข หน่วยองศา
$x\approx360^\circ+130.7^\circ$one turn on: 360° + 229.3° is past 540°บวกหนึ่งรอบ: 360° + 229.3° เกิน 540°
$\approx490.7^\circ$addบวก
$x\approx\eqalign{&360^\circ,\ 490.7^\circ\cr&\text{and }540^\circ}$answer · 490.7° to 1 d.p.คำตอบ · 490.7° ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

16. Q15 · Finish a proof by contradiction · 3 marksข้อ 15 · ทำการพิสูจน์แย้งให้จบ · 3 คะแนน

Answer: −2 sin x cos x < 0 is false for obtuse x, a contradiction, so sin x − cos x ≥ 1คำตอบ: −2 sin x cos x < 0 is false for obtuse x, a contradiction, so sin x − cos x ≥ 1

Q15 Complete the proofQ15 พิสูจน์ต่อให้จบ

A student is working on this task: “$x$ is an obtuse angle. Prove, by contradiction and with algebra, that $\sin x-\cos x\ge1$.”
The student begins: “Assume $\sin x-\cos x\lt1$ for an obtuse angle $x$. Then $(\sin x-\cos x)^2\lt1$. Then …”
Carry on from the student's start and finish the proof. [3]

$\sin x-\cos x\lt1$the assumption (x obtuse)สมมติฐาน (x เป็นมุมป้าน)
$D=\sin x-\cos x$D = the left sideD = ข้างซ้าย
$D^2\lt1$the student's next lineบรรทัดถัดไปของนักเรียน
$D^2=1-2\sin x\cos x$expand · sin²x + cos²x = 1กระจาย · sin²x + cos²x = 1
$1-2\sin x\cos x\lt1$so this must holdดังนั้นต้องเป็นจริง
$-2\sin x\cos x\lt0$take 1 from both sidesลบ 1 ทั้งสองข้าง
$\sin x\gt0$x obtuse: 90° < x < 180°x เป็นมุมป้าน: 90° < x < 180°
$\cos x\lt0$cos is negative therecos เป็นลบในช่วงนี้
$-2\sin x\cos x\gt0$(−2) × (+) × (−) is positive: this contradicts the line above(−2) × (+) × (−) เป็นบวก: ขัดแย้งกับบรรทัดก่อน
$\sin x-\cos x\ge1$the assumption is false · provedสมมติฐานผิด · พิสูจน์แล้ว

17. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

g(x) = x³ − 6x² + 4x. Solve g''(x) = 0.g(x) = x³ − 6x² + 4x · แก้ g''(x) = 0
Answer:เฉลย: 2g'(x) = 3x² − 12x + 4, g''(x) = 6x − 12 = 0, so x = 2.g'(x) = 3x² − 12x + 4 · g''(x) = 6x − 12 = 0 · x = 2
A drink cools as T = Ae^(−kt) + 20 (T in °C, t in minutes). At t = 0, T = 90. Find A.เครื่องดื่มเย็นตัวตาม T = Ae^(−kt) + 20 · เมื่อ t = 0, T = 90 · หา A
Answer:เฉลย: 70At t = 0, e⁰ = 1, so 90 = A + 20 and A = 70.ที่ t = 0 · e⁰ = 1 · 90 = A + 20 · A = 70
A is the origin and B has position vector 6i + 8j. Find the length AB.A อยู่ที่จุดกำเนิด · B มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง 6i + 8j · หาความยาว AB
Answer:เฉลย: 10AB = √(6² + 8²) = √100 = 10.AB = √(6² + 8²) = √100 = 10
3cos θ + 4 sin θ = R cos(θ − α), with R > 0. Find R.3cos θ + 4 sin θ = R cos(θ − α) โดย R > 0 · หา R
Answer:เฉลย: 5R² = 3² + 4² = 25, so R = 5.R² = 3² + 4² = 25 · R = 5
x = t² + 4t and y = 4 ln(t + 2), t > −2. Then y = A ln(x + B). Find B.x = t² + 4t และ y = 4 ln(t + 2), t > −2 · เขียนได้เป็น y = A ln(x + B) · หา B
Answer:เฉลย: 4x = (t + 2)² − 4, so x + 4 = (t + 2)² and y = 2 ln(x + 4).x = (t + 2)² − 4 · x + 4 = (t + 2)² · y = 2 ln(x + 4)
N = |t − 2| + 3 for t ≥ 0. Find N at t = 0.N = |t − 2| + 3 สำหรับ t ≥ 0 · หา N เมื่อ t = 0
Answer:เฉลย: 5|0 − 2| + 3 = 2 + 3 = 5.|0 − 2| + 3 = 2 + 3 = 5
Find the coefficient of x in the expansion of (2 + x)⁻² in ascending powers of x.หาสัมประสิทธิ์ของ x ในการกระจาย (2 + x)⁻² เรียงตามกำลังของ x จากน้อยไปมาก
Answer:เฉลย: -1/4(2 + x)⁻² = ¼(1 + x/2)⁻²; the x term is ¼ × (−2)(x/2) = −¼x.(2 + x)⁻² = ¼(1 + x/2)⁻² · พจน์ x = ¼ × (−2)(x/2) = −¼x
Solve sin 2x = 0 for 0° < x < 180°.แก้ sin 2x = 0 ในช่วง 0° < x < 180°
Answer:เฉลย: 902x is a multiple of 180°, so x is a multiple of 90°; only 90° is in range.2x เป็นพหุคูณของ 180° · x เป็นพหุคูณของ 90° · ในช่วงมีแค่ 90°

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี