Edexcel A Level Maths 9MA0 Paper 2 June 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

9MA0 Paper 2 · June 20249MA0 Paper 2 · มิ.ย. 2024

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Differentiation: first and second derivative · 5 marksข้อ 1 · อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง · 5 คะแนน

Answer: dy/dx = 12x² − 14x + 5; d²y/dx² = 24x − 14; x = 7/12คำตอบ: dy/dx = 12x² − 14x + 5; d²y/dx² = 24x − 14; x = 7/12

Q1(a)(i) First derivativeQ1(a)(i) อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

A curve has equation $y=4x^3-7x^2+5x-10$.
(a)(i) Find $\dfrac{dy}{dx}$, written in its simplest form. (Part (a) is 3 marks in all.) [2]

$\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$power rule: n down, power − 1กฎยกกำลัง: n ลงมาคูณ ลดกำลัง 1
$\dfrac{d}{dx}(4x^3)=12x^2$3 × 4 = 123 × 4 = 12
$\dfrac{d}{dx}(7x^2)=14x$2 × 7 = 142 × 7 = 14
$\dfrac{d}{dx}(5x)=5$x to the power 1x กำลัง 1
$\dfrac{d}{dx}(10)=0$a constant gives 0ค่าคงที่ได้ 0
$\dfrac{dy}{dx}=12x^2-14x+5$answerคำตอบ

Q1(a)(ii) Second derivativeQ1(a)(ii) อนุพันธ์อันดับสอง

A curve has equation $y=4x^3-7x^2+5x-10$.
(a)(ii) Find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, written in its simplest form. (Part (a) is 3 marks in all.) [1]

$\dfrac{dy}{dx}=12x^2-14x+5$from (i)จาก (i)
$\dfrac{d}{dx}(12x^2)=24x$2 × 12 = 242 × 12 = 24
$\dfrac{d}{dx}(14x)=14$x to the power 1x กำลัง 1
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=24x-14$answer · the 5 gives 0คำตอบ · เลข 5 ได้ 0

Q1(b) Where the second derivative is 0Q1(b) จุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็น 0

A curve has equation $y=4x^3-7x^2+5x-10$.
(b) From (a)(ii): $\dfrac{d^2y}{dx^2}=24x-14$. Hence find the exact value of $x$ for which $\dfrac{d^2y}{dx^2}=0$. [2]

$24x-14=0$set it equal to 0ให้เท่ากับ 0
$24x=14$move −14ย้าย −14
$x=\dfrac{14}{24}$divide by 24หารด้วย 24
$=\dfrac7{12}$answer · exact, simplest formคำตอบ · ค่าแม่น รูปอย่างต่ำ

3. Q2 · Arithmetic series: paying off a loan · 5 marksข้อ 2 · อนุกรมเลขคณิต: ผ่อนหนี้ · 5 คะแนน

Answer: u₁₂ = 400 + 11 × (−10) = 290; N² − 81N + 1620 = 0; N = 36คำตอบ: u₁₂ = 400 + 11 × (−10) = 290; N² − 81N + 1620 = 0; N = 36

Q2(a) The payment in month 12Q2(a) ยอดจ่ายเดือนที่ 12

Jamie borrows GBP 8100 and pays no interest on it. Jamie pays some of it back each month: GBP 400 in month 1, then GBP 390, then GBP 380, continuing in the same way. The amounts paid each month make an arithmetic sequence.
(a) Show that the payment Jamie makes in month 12 is GBP 290. [1]

$a=400$first paymentยอดแรก
$d=-10$390 − 400: each month 10 less390 − 400: ลดลงเดือนละ 10
$u_n=a+(n-1)d$nth term of an APพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต
$u_{12}=400+11(-10)$n = 12, so n − 1 = 11n = 12 · n − 1 = 11
$=400-110$11 × 10 = 11011 × 10 = 110
$=290$shown: GBP 290ได้ตามโจทย์: 290 ปอนด์

Q2(b) The equation for NQ2(b) สมการของ N

Jamie borrows GBP 8100 and pays no interest on it. Jamie pays some of it back each month: GBP 400 in month 1, then GBP 390, then GBP 380, continuing in the same way. The amounts paid each month make an arithmetic sequence.
(b) The loan is fully repaid after Jamie's $N$th payment. Show that $N^2-81N+1620=0$. [2]

$S_N=\dfrac N2(a+l)$AP sum: N/2 × (first + last)ผลบวกเลขคณิต: N/2 × (แรก + สุดท้าย)
$l=a+(N-1)d$the last paymentยอดจ่ายงวดสุดท้าย
$=400-10(N-1)$a = 400, d = −10a = 400, d = −10
$=410-10N$expandกระจาย
$a+l=810-10N$400 + 410 = 810400 + 410 = 810
$S_N=\dfrac N2(810-10N)$substitute the bracketแทนวงเล็บ
$=405N-5N^2$multiply outคูณกระจาย
$405N-5N^2=8100$all paid back: sum = loanจ่ายครบ: ผลรวม = เงินกู้
$81N-N^2=1620$divide by 5หารด้วย 5
$0=1620-81N+N^2$move both terms rightย้ายสองพจน์ไปขวา
$N^2-81N+1620=0$shownได้ตามโจทย์

Q2(c) Solve for NQ2(c) แก้หา N

Jamie borrows GBP 8100 and pays no interest on it. Jamie pays some of it back each month: GBP 400 in month 1, then GBP 390, then GBP 380, continuing in the same way. The amounts paid each month make an arithmetic sequence.
(c) From (b): $N^2-81N+1620=0$. Hence find the value of $N$. [2]

$\eqalign{&N^2-81N\cr&+1620}=0$from (b)จาก (b)
$\eqalign{&(N-36)\cr&\times(N-45)}=0$36 × 45 = 1620, 36 + 45 = 8136 × 45 = 1620 · 36 + 45 = 81
$N=36,\,45$two rootsได้สองราก
$S_{36}=8100$the total reaches 8100 at N = 36ยอดรวมถึง 8100 ตั้งแต่ N = 36
$N=36$answer · the loan is gone at 36คำตอบ · หนี้หมดที่เดือน 36

4. Q3 · Graph transformations · 4 marksข้อ 3 · การแปลงกราฟ · 4 คะแนน

Answer: (5, −2); (1.5, −2); (−3, −1)คำตอบ: (5, −2); (1.5, −2); (−3, −1)

Q3(i) y = f(x − 2)Q3(i) y = f(x − 2)

The point $P(3,\,-2)$ lies on the curve $y=\text{f}(x)$, $x\in\mathbb{R}$. The curve is moved to a new curve. Find the coordinates of the point that $P$ moves to on each new curve below. (Q3 is 4 marks in all.)
(i) New curve: $y=\text{f}(x-2)$. [1]

$x-2=3$f still needs the input 3f ยังต้องได้ค่าเข้า 3
$x=5$move −2: shift right 2ย้าย −2: เลื่อนขวา 2
$y=-2$the height does not changeความสูงไม่เปลี่ยน
$\text{point}=(5,\,-2)$answerคำตอบ

Q3(ii) y = f(2x)Q3(ii) y = f(2x)

$2x=3$f still needs the input 3f ยังต้องได้ค่าเข้า 3
$x=1.5$halve: stretch by ½ acrossหารครึ่ง: ยืดแนวนอน ½ เท่า
$y=-2$the height does not changeความสูงไม่เปลี่ยน
$\text{point}=(1.5,\,-2)$answerคำตอบ

Q3(iii) y = 3f(−x) + 5Q3(iii) y = 3f(−x) + 5

$-x=3$f still needs the input 3f ยังต้องได้ค่าเข้า 3
$x=-3$reflect in the y-axisสะท้อนในแกน y
$y=3\text{f}(3)+5$new heightความสูงใหม่
$=3(-2)+5$f(3) = −2f(3) = −2
$=-1$−6 + 5−6 + 5
$\text{point}=(-3,\,-1)$answerคำตอบ

5. Q4 · Recurrence relation · 5 marksข้อ 4 · ความสัมพันธ์เวียนเกิด · 5 คะแนน

Answer: 6k² − 5k − 4 = 0; k = 4/3; 8คำตอบ: 6k² − 5k − 4 = 0; k = 4/3; 8

Q4(a) An equation for kQ4(a) สมการของ k

A sequence $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follows the rule $u_{n+1}=ku_n-5$ with $u_1=6$, where $k$ is a positive constant. You are told that $u_3=-1$.
(a) Show that $6k^2-5k-4=0$. [2]

$u_2=6k-5$n = 1: k × 6 − 5n = 1: k × 6 − 5
$u_3=k(6k-5)-5$n = 2: k × u₂ − 5n = 2: k × u₂ − 5
$=6k^2-5k-5$expandกระจาย
$6k^2-5k-5=-1$u₃ = −1u₃ = −1
$6k^2-5k-4=0$shownได้ตามโจทย์

Q4(b)(i) The value of kQ4(b)(i) ค่าของ k

A sequence $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follows the rule $u_{n+1}=ku_n-5$ with $u_1=6$, where $k$ is a positive constant. You are told that $u_3=-1$.
(b)(i) From (a): $6k^2-5k-4=0$. Hence find the value of $k$. (Part (b) is 3 marks in all.) [1]

$\eqalign{&(3k-4)\cr&\times(2k+1)}=0$factorise: 6k², −4, middle −5kแยกตัวประกอบ: 6k² · −4 · กลาง −5k
$k=\dfrac43\text{ or }-\dfrac12$two rootsได้สองราก
$k=\dfrac43$answer · k is positiveคำตอบ · k เป็นบวก

Q4(b)(ii) Sum of the first three termsQ4(b)(ii) ผลบวกสามพจน์แรก

A sequence $u_1,u_2,u_3,\ldots$ follows the rule $u_{n+1}=ku_n-5$ with $u_1=6$, where $k$ is a positive constant. You are told that $u_3=-1$.
(b)(ii) Using $k=\dfrac43$ from (i), find the value of $\displaystyle\sum_{r=1}^{3}u_r$. (Part (b) is 3 marks in all.) [2]

$u_2=\dfrac43\times6-5$k × u₁ − 5k × u₁ − 5
$=3$8 − 58 − 5
$\textstyle\sum_{r=1}^3u_r=u_1+u_2+u_3$add the three termsบวกสามพจน์
$=6+3+(-1)$u₃ = −1 is givenu₃ = −1 โจทย์ให้
$=8$answerคำตอบ

6. Q5 · Small-angle approximations · 3 marksข้อ 5 · การประมาณมุมเล็ก · 3 คะแนน

Answer: 4/9คำตอบ: 4/9

Q5 Approximate the fractionQ5 ประมาณค่าเศษส่วน

$\theta$ is a small angle measured in radians. Using the approximations for small angles, find an approximate value, as a number, of $\dfrac{\theta\tan2\theta}{1-\cos3\theta}$. [3]

$\tan x\approx x$small x, in radiansx เล็ก หน่วยเรเดียน
$\cos x\approx1-\dfrac{x^2}2$small x, in radiansx เล็ก หน่วยเรเดียน
$\tan2\theta\approx2\theta$x = 2θx = 2θ
$\cos3\theta\approx1-\dfrac{9\theta^2}2$x = 3θ: (3θ)² = 9θ²x = 3θ: (3θ)² = 9θ²
$1-\cos3\theta\approx\dfrac{9\theta^2}2$the bottom: the 1s cancelตัวส่วน: 1 หักกันหมด
$\theta\tan2\theta\approx2\theta^2$the topตัวเศษ
$\text{fraction}\approx\dfrac{2\theta^2}{9\theta^2/2}$top over bottomเศษ ÷ ส่วน
$=\dfrac{4\theta^2}{9\theta^2}$× 2 on top and bottom× 2 ทั้งเศษและส่วน
$=\dfrac49$answer · θ² cancelsคำตอบ · θ² ตัดกัน

7. Q6 · Chain rule, ln x and an iteration · 7 marksข้อ 6 · กฎลูกโซ่ · ln x · การทำซ้ำ · 7 คะแนน

Answer: f′(x) = 8x e^(4x² − 1); g′(x) = 8/x; 4α² + 2 ln α − 1 = 0; x₂ = 0.7109; α = 0.6706คำตอบ: f′(x) = 8x e^(4x² − 1); g′(x) = 8/x; 4α² + 2 ln α − 1 = 0; x₂ = 0.7109; α = 0.6706

Q6(a)(i) Derivative of fQ6(a)(i) อนุพันธ์ของ f

Figure 1 sketches the curves $y=\text{f}(x)$ and $y=\text{g}(x)$, where $\text{f}(x)=e^{4x^2-1}$ for $x\gt0$ and $\text{g}(x)=8\ln x$ for $x\gt0$.
(a)(i) Find $\text{f}'(x)$. (Part (a) is 2 marks in all.) [1]

$u=4x^2-1$the power of eกำลังของ e
$\dfrac{du}{dx}=8x$differentiate the powerดิฟกำลัง
$\dfrac{d}{dx}e^u=e^u\dfrac{du}{dx}$chain ruleกฎลูกโซ่
$\text{f}'(x)=8x\,e^{4x^2-1}$answerคำตอบ

Q6(a)(ii) Derivative of gQ6(a)(ii) อนุพันธ์ของ g

Figure 1 sketches the curves $y=\text{f}(x)$ and $y=\text{g}(x)$, where $\text{f}(x)=e^{4x^2-1}$ for $x\gt0$ and $\text{g}(x)=8\ln x$ for $x\gt0$.
(a)(ii) Find $\text{g}'(x)$. (Part (a) is 2 marks in all.) [1]

$\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x$learn this oneจำตัวนี้
$\text{g}'(x)=\dfrac8x$answer · 8 × 1/xคำตอบ · 8 × 1/x

Q6(b) The equation for αQ6(b) สมการของ α

Figure 1 sketches the curves $y=\text{f}(x)$ and $y=\text{g}(x)$, where $\text{f}(x)=e^{4x^2-1}$ for $x\gt0$ and $\text{g}(x)=8\ln x$ for $x\gt0$.
(b) From (a): $\text{f}'(x)=8x\,e^{4x^2-1}$ and $\text{g}'(x)=\dfrac8x$. The two derivatives are equal when $x=\alpha$. Show that $\alpha$ is a root of $4x^2+2\ln x-1=0$. [2]

$8x\,e^{4x^2-1}=\dfrac8x$set f′ = g′ให้ f′ = g′
$e^{4x^2-1}=\dfrac1{x^2}$divide by 8xหารด้วย 8x
$4x^2-1=\ln\dfrac1{x^2}$take ln of both sidesใส่ ln ทั้งสองข้าง
$=-2\ln x$ln(1/x²) = −2 ln xln(1/x²) = −2 ln x
$4x^2-1=-2\ln x$join the two linesรวมสองบรรทัด
$4x^2+2\ln x-1=0$shown · true at x = αได้ตามโจทย์ · จริงที่ x = α

Q6(c)(i) One step of the iterationQ6(c)(i) ทำซ้ำหนึ่งรอบ

Figure 1 sketches the curves $y=\text{f}(x)$ and $y=\text{g}(x)$, where $\text{f}(x)=e^{4x^2-1}$ for $x\gt0$ and $\text{g}(x)=8\ln x$ for $x\gt0$.
(c)(i) The rule $x_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1-2\ln x_n}{4}}$ is used with $x_1=0.6$ to estimate $\alpha$. Find $x_2$, to 4 d.p. (Part (c) is 3 marks in all.) [2]

$x_2=\sqrt{\dfrac{1-2\ln0.6}{4}}$n = 1: put in x₁ = 0.6n = 1: แทน x₁ = 0.6
$\ln0.6\approx-0.51083$calculatorเครื่องคิดเลข
$1-2\ln0.6\approx2.02165$1 + 1.021651 + 1.02165
$x_2\approx\sqrt{0.50541}$÷ 4÷ 4
$\approx0.7109$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

Q6(c)(ii) The value of αQ6(c)(ii) ค่าของ α

Figure 1 sketches the curves $y=\text{f}(x)$ and $y=\text{g}(x)$, where $\text{f}(x)=e^{4x^2-1}$ for $x\gt0$ and $\text{g}(x)=8\ln x$ for $x\gt0$.
(c)(ii) Using the same rule from $x_1=0.6$ (so $x_2\approx0.7109$), find $\alpha$ to 4 d.p. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

$x_3\approx0.6485$put x₂ back inแทน x₂ กลับเข้าไป
$x_4\approx0.6830$and againทำซ้ำ
$x_5\approx0.6638$the values swing above and below αค่าแกว่งขึ้นลงรอบ α
$x_6\approx0.6745$the swings get smallerแกว่งแคบลง
$x_{17}\approx0.6706$keep goingทำต่อไป
$x_{18}\approx0.6706$4 d.p. no longer changesทศนิยม 4 ตำแหน่งไม่เปลี่ยนแล้ว
$\alpha\approx0.6706$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

8. Q7 · Vectors: a point on a line · 5 marksข้อ 7 · เวกเตอร์: จุดบนเส้นตรง · 5 คะแนน

Answer: 3i + 9j + 3k; 4i + 3j + 7k and 8i + 15j + 11kคำตอบ: 3i + 9j + 3k; 4i + 3j + 7k and 8i + 15j + 11k

Q7(a) The vector ABQ7(a) เวกเตอร์ AB

$\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a$end minus startปลาย ลบ ต้น
$5-2=3$i partส่วน i
$6-(-3)=9$j partส่วน j
$8-5=3$k partส่วน k
$\overrightarrow{AB}=3\mathbf i+9\mathbf j+3\mathbf k$answerคำตอบ

Q7(b) Where P can beQ7(b) ตำแหน่งที่ P อยู่ได้

Figure 2 sketches a straight line $l$ through the points $A$ and $B$. From a fixed origin $O$, $A$ has position vector $2\mathbf i-3\mathbf j+5\mathbf k$ and $B$ has position vector $5\mathbf i+6\mathbf j+8\mathbf k$.
(b) From (a): $\overrightarrow{AB}=3\mathbf i+9\mathbf j+3\mathbf k$. A point $P$ on $l$ has $|\overrightarrow{AP}|=2|\overrightarrow{BP}|$. Find every possible position vector of $P$. [4]

$|\overrightarrow{AP}|=2|\overrightarrow{BP}|$P is twice as far from A as from BP ห่าง A เป็นสองเท่าของห่าง B
$\overrightarrow{AP}=\tfrac23\overrightarrow{AB}$P between A and B: AP is 2 of 3 partsP อยู่ระหว่าง A กับ B: AP = 2 ใน 3 ส่วน
$=2\mathbf i+6\mathbf j+2\mathbf k$⅔ of 3, 9 and 3⅔ ของ 3, 9 และ 3
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$go to A, then along APไปที่ A แล้วเดินตาม AP
$=4\mathbf i+3\mathbf j+7\mathbf k$answer 1 · 2 + 2, −3 + 6, 5 + 2คำตอบที่ 1 · 2 + 2 · −3 + 6 · 5 + 2
$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}$P past B: BP = ABP เลย B ไป: BP = AB
$=6\mathbf i+18\mathbf j+6\mathbf k$2 × (3, 9, 3)2 × (3, 9, 3)
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$go to A, then along APไปที่ A แล้วเดินตาม AP
$=8\mathbf i+15\mathbf j+11\mathbf k$answer 2 · 2 + 6, −3 + 18, 5 + 6คำตอบที่ 2 · 2 + 6 · −3 + 18 · 5 + 6
$|AP|\lt|BP|$for any P before A: no third answerP ที่อยู่ก่อน A: ไม่มีคำตอบที่สาม

9. Q8 · Trig identity, then a trig equation · 7 marksข้อ 8 · เอกลักษณ์ตรีโกณ แล้วแก้สมการ · 7 คะแนน

Answer: LHS = 2 sin θ / cos² θ = 2 tan θ sec θ; x = 17.6°, 72.4°คำตอบ: LHS = 2 sin θ / cos² θ = 2 tan θ sec θ; x = 17.6°, 72.4°

Q8(a) Prove the identityQ8(a) พิสูจน์เอกลักษณ์

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Prove that $\dfrac{1}{\operatorname{cosec}\theta-1}+\dfrac{1}{\operatorname{cosec}\theta+1}\equiv2\tan\theta\sec\theta$, for $\theta\ne(90n)^\circ$, $n\in\mathbb{Z}$. [3]

$\dfrac1{\operatorname{cosec}\theta-1}=\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}$× sin θ on top and bottom× sin θ ทั้งเศษและส่วน
$\dfrac1{\operatorname{cosec}\theta+1}=\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}$the same for the secondทำแบบเดียวกันกับตัวที่สอง
$\text{bottom}=1-\sin^2\theta$common bottom: (1 − sin θ)(1 + sin θ)ตัวส่วนร่วม: (1 − sin θ)(1 + sin θ)
$=\cos^2\theta$sin² θ + cos² θ = 1sin² θ + cos² θ = 1
$\text{top}_1=\sin\theta+\sin^2\theta$first top × second bottomเศษตัวแรก × ส่วนตัวที่สอง
$\text{top}_2=\sin\theta-\sin^2\theta$second top × first bottomเศษตัวที่สอง × ส่วนตัวแรก
$\text{top}_1+\text{top}_2=2\sin\theta$add: the sin² θ terms cancelบวกกัน: พจน์ sin² θ หักกัน
$\text{LHS}=\dfrac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}$top₁ + top₂ over the bottomเศษรวม ÷ ส่วน
$=2\tan\theta\times\dfrac1{\cos\theta}$split cos² θ: sin θ ÷ cos θ = tan θแยก cos² θ: sin θ ÷ cos θ = tan θ
$=2\tan\theta\sec\theta$1 ÷ cos θ = sec θ · = RHS, shown1 ÷ cos θ = sec θ · = ขวา พิสูจน์แล้ว

Q8(b) Solve the equationQ8(b) แก้สมการ

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b) Hence solve
$\dfrac{1}{\operatorname{cosec}2x-1}+\dfrac{1}{\operatorname{cosec}2x+1}$
$=\cot2x\sec2x$
for $0\lt x\lt90^\circ$. Give each answer in degrees to 1 d.p. [4]

$2\tan2x\sec2x=\cot2x\sec2x$(a) with θ = 2x(a) โดย θ = 2x
$2\tan2x=\cot2x$sec 2x is never 0sec 2x ไม่มีทางเป็น 0
$2\tan^22x=1$cot × tan = 1cot × tan = 1
$\tan^22x=\dfrac12$divide by 2หารด้วย 2
$\tan2x=\pm\dfrac1{\sqrt2}$square root: + and −ถอดรากที่สอง: บวกและลบ
$0\lt2x\lt180^\circ$double the rangeช่วงของ 2x คูณสอง
$2x\approx35.26^\circ$tan⁻¹(1/√2): the + roottan⁻¹(1/√2): รากบวก
$2x\approx144.74^\circ$180° − 35.26°: the − root180° − 35.26°: รากลบ
$x\approx17.6^\circ$answer 1 · halve, 1 d.p.คำตอบที่ 1 · หารสอง ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$x\approx72.4^\circ$answer 2คำตอบที่ 2

10. Q9 · Modelling with a quadratic · 7 marksข้อ 9 · แบบจำลองกำลังสอง · 7 คะแนน

Answer: H = −0.03x² + 0.54x + 2; Wind and air resistance are ignored, so the real path is not exactly a parabola.; H = 2.96 > 2.5, so Chandra cannot catch the ballคำตอบ: H = −0.03x² + 0.54x + 2; Wind and air resistance are ignored, so the real path is not exactly a parabola.; H = 2.96 > 2.5, so Chandra cannot catch the ball

Q9(a) The equation of the modelQ9(a) สมการของแบบจำลอง

In Figure 3, a curve traces the flight of a small ball, which moves in a vertical plane above level ground. It is thrown at the point shown by $A$ and caught at the point shown by $B$. Its height above the ground, $H$ metres, is plotted against $x$ metres, the horizontal distance from where it was thrown. From a fixed origin $O$, $A$ is $(0,\,2)$ and $B$ is $(20,\,0.8)$. The ball is highest when $x=9$. The path is modelled by a quadratic function linking $H$ and $x$.
(a) Find $H$ in terms of $x$. [4]

$H=ax^2+bx+c$a quadratic modelแบบจำลองกำลังสอง
$c=2$A: x = 0 gives H = 2A: x = 0 ได้ H = 2
$\dfrac{dH}{dx}=2ax+b$gradient of the pathความชันของเส้นทาง
$2a(9)+b=0$highest at x = 9: gradient 0สูงสุดที่ x = 9: ความชัน 0
$18a+b=0$2 × 9 = 182 × 9 = 18
$400a+20b+2=0.8$B: x = 20 gives H = 0.8B: x = 20 ได้ H = 0.8
$400a+20b=-1.2$move +2ย้าย +2
$b=-18a$from ①จาก ①
$400a-360a=-1.2$put b = −18a into ②แทน b = −18a ใน ②
$40a=-1.2$400 − 360 = 40400 − 360 = 40
$a=-0.03$divide by 40หารด้วย 40
$b=0.54$−18 × (−0.03)−18 × (−0.03)
$H=\eqalign{&-0.03x^2\cr&+0.54x+2}$answerคำตอบ

Q9(b) A limitationQ9(b) ข้อจำกัด

$\text{shape}=\text{parabola}$what the model assumesสิ่งที่แบบจำลองสมมติ
$\text{wind}\ne0$wind and air resistance are left outไม่ได้คิดลมและแรงต้านอากาศ
$\text{real path}\ne\text{parabola}$answer · the model is only closeคำตอบ · แบบจำลองแค่ใกล้เคียง

Q9(c) Can Chandra catch it?Q9(c) ชานดราจับได้ไหม

$x=16$Chandra is 16 m alongชานดราอยู่ห่าง 16 เมตร
$-0.03\times16^2=-7.68$16² = 25616² = 256
$0.54\times16=8.64$the x termพจน์ x
$-7.68+8.64=0.96$add the first twoบวกสองพจน์แรก
$H=0.96+2$add the 2บวก 2
$=2.96$height at x = 16 (m)ความสูงที่ x = 16 (เมตร)
$2.96\gt2.5$higher than the limitสูงกว่าเกณฑ์
$\text{catch?}=\text{no}$answer · Chandra cannot catch itคำตอบ · ชานดราจับไม่ได้

11. Q10 · Parametric curve: tangent and greatest height · 6 marksข้อ 10 · เส้นโค้งพาราเมตริก: เส้นสัมผัสและจุดสูงสุด · 6 คะแนน

Answer: 3x + 4y = 20; 9 mคำตอบ: 3x + 4y = 20; 9 m

Q10(a) Tangent at PQ10(a) เส้นสัมผัสที่ P

Figure 4 sketches the curve $C$ given by $x=(t+3)^2$, $y=1-t^3$, for $-2\le t\le1$. The point $P(4,\,2)$ is on $C$.
(a) Use parametric differentiation to show that the tangent to $C$ at $P$ is $3x+4y=20$. [5]

$1-t^3=2$P has y = 2P มี y = 2
$-t^3=1$move the 1ย้าย 1
$t^3=-1$times −1คูณ −1
$t=-1$check: x = (−1 + 3)² = 4 ✓ตรวจ: x = (−1 + 3)² = 4 ✓
$\dfrac{dx}{dt}=2(t+3)$chain ruleกฎลูกโซ่
$\dfrac{dy}{dt}=-3t^2$power ruleกฎยกกำลัง
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-3t^2}{2(t+3)}$dy/dt ÷ dx/dtdy/dt ÷ dx/dt
$=\dfrac{-3(-1)^2}{2(-1+3)}$t = −1t = −1
$=-\dfrac34$gradient at Pความชันที่ P
$y-2=-\dfrac34(x-4)$line through P(4, 2)เส้นผ่าน P(4, 2)
$4y-8=-3x+12$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$3x+4y=20$shownได้ตามโจทย์

Q10(b) Greatest height of the slideQ10(b) ความสูงมากสุดของสไลเดอร์

Figure 4 sketches the curve $C$ given by $x=(t+3)^2$, $y=1-t^3$, for $-2\le t\le1$. The point $P(4,\,2)$ is on $C$.
(b) $C$ models the side view of a water-park slide. Lengths are in metres, and $y$ is the height of the slide above the water. Using the model, find how high above the water the top of the slide is. [1]

$y=1-t^3$the heightความสูง
$-2\le t\le1$the range of tช่วงของ t
$t=-2$y falls as t rises, so take the smallest ty ลดลงเมื่อ t เพิ่ม · ใช้ t เล็กสุด
$y=1-(-2)^3$substituteแทนค่า
$=9$1 + 81 + 8
$\text{height}=9\text{ m}$answerคำตอบ

12. Q11 · Integration by parts: an exact area · 5 marksข้อ 11 · อินทิเกรตทีละส่วน: พื้นที่ค่าแม่น · 5 คะแนน

Answer: 16/27 − (136/27)e⁻³ (A = 16/27, B = −136/27)คำตอบ: 16/27 − (136/27)e⁻³ (A = 16/27, B = −136/27)

Q11 Area of RQ11 พื้นที่ R

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
Figure 5 sketches part of the curve $C$, $y=8x^2e^{-3x}$, $x\ge0$. The shaded region $R$ lies between $C$, the $x$-axis and the line $x=1$.
Find the exact area of $R$ in the form $A+Be^{-3}$, where $A$ and $B$ are rational numbers you find. [5]

$\text{area}=\int_0^18x^2e^{-3x}dx$area under C from 0 to 1พื้นที่ใต้ C จาก 0 ถึง 1
$u=8x^2$by parts: u = 8x²ทีละส่วน: u = 8x²
$\dfrac{du}{dx}=16x$differentiate uดิฟ u
$\dfrac{dv}{dx}=e^{-3x}$the other factorตัวประกอบอีกตัว
$v=-\tfrac13e^{-3x}$integrate itอินทิเกรตมัน
$J=\int_0^1xe^{-3x}dx$name the integral left overตั้งชื่ออินทิกรัลที่เหลือ
$\big[uv\big]_0^1=-\tfrac83e^{-3}$uv at 1, minus 0 at x = 0uv ที่ 1 ลบ 0 ที่ x = 0
$\text{area}=-\tfrac83e^{-3}+\tfrac{16}3J$[uv] − ∫ v (du/dx) dx[uv] − ∫ v (du/dx) dx
$\big[-\tfrac13xe^{-3x}\big]_0^1=-\tfrac13e^{-3}$J by parts again: u = xJ ทีละส่วนอีกรอบ: u = x
$\int_0^1\tfrac13e^{-3x}dx=\tfrac19-\tfrac19e^{-3}$the part left in Jส่วนที่เหลือใน J
$J=\tfrac19-\tfrac49e^{-3}$J = the two rows above added: −⅓ − ⅑ = −4/9J = สองบรรทัดบนบวกกัน: −⅓ − ⅑ = −4/9
$\tfrac{16}3J=\tfrac{16}{27}-\tfrac{64}{27}e^{-3}$× 16/3× 16/3
$-\tfrac83=-\tfrac{72}{27}$same bottom, 27ตัวส่วนเดียวกัน 27
$\text{area}=\tfrac{16}{27}-\tfrac{136}{27}e^{-3}$answer · 72 + 64 = 136คำตอบ · 72 + 64 = 136

13. Q12 · Partial fractions and a differential equation · 12 marksข้อ 12 · เศษส่วนย่อยและสมการเชิงอนุพันธ์ · 12 คะแนน

Answer: 1/(25V) + 1/(25(25 − V)); 43 minutes (exactly 24 ln 6); V = 100/(e^(−2.5t) + 4): A = 100, B = 4, k = 2.5; L = 25 microlitres, because e^(−2.5t) → 0 as t → ∞คำตอบ: 1/(25V) + 1/(25(25 − V)); 43 minutes (exactly 24 ln 6); V = 100/(e^(−2.5t) + 4): A = 100, B = 4, k = 2.5; L = 25 microlitres, because e^(−2.5t) → 0 as t → ∞

Q12(a) Partial fractionsQ12(a) เศษส่วนย่อย

(a) Write $\dfrac{1}{V(25-V)}$ as partial fractions. [2]

$\dfrac1{V(25-V)}=\dfrac PV+\dfrac Q{25-V}$one fraction per factorหนึ่งเศษส่วนต่อหนึ่งตัวประกอบ
$1=P(25-V)+QV$× V(25 − V)× V(25 − V)
$1=25P$put V = 0แทน V = 0
$P=\tfrac1{25}$divide by 25หารด้วย 25
$1=25Q$put V = 25แทน V = 25
$Q=\tfrac1{25}$divide by 25หารด้วย 25
$\dfrac1{V(25-V)}=\eqalign{&\dfrac1{25V}\cr&+\dfrac1{25(25-V)}}$answerคำตอบ

Q12(b) Time to reach 24 microlitresQ12(b) เวลาจนถึง 24 ไมโครลิตร

(b) A plant cell has volume $V$ microlitres $t$ hours after the plant is watered, modelled by $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{10}V(25-V)$. At the start the volume is 20 microlitres. From (a): $\dfrac{1}{V(25-V)}=\dfrac{1}{25V}+\dfrac{1}{25(25-V)}$. Using the model, find how long the volume takes to reach 24 microlitres, in minutes. [5]

$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{V(25-V)}{10}$the modelแบบจำลอง
$\int\dfrac{dV}{V(25-V)}=\int\dfrac{dt}{10}$separate the variablesแยกตัวแปร
$\int\dfrac{dV}{25V}=\tfrac1{25}\ln V$first fraction from (a)เศษส่วนแรกจาก (a)
$w=25-V$name the second bottomตั้งชื่อตัวส่วนที่สอง
$\int\dfrac{dV}{25w}=-\tfrac1{25}\ln w$minus: dw/dV = −1ติดลบ: dw/dV = −1
$\tfrac1{25}\ln\dfrac V{25-V}=\tfrac t{10}+c$ln V − ln w = ln(V/w)ln V − ln w = ln(V/w)
$\tfrac1{25}\ln\dfrac{20}5=c$t = 0, V = 20t = 0, V = 20
$c=\tfrac1{25}\ln4$20 ÷ 5 = 420 ÷ 5 = 4
$\tfrac1{25}\ln\dfrac{24}1=\tfrac t{10}+\tfrac1{25}\ln4$V = 24V = 24
$\tfrac1{25}\ln\dfrac{24}4=\tfrac t{10}$move the constant · ln 24 − ln 4 = ln(24/4)ย้ายค่าคงที่ · ln 24 − ln 4 = ln(24/4)
$\tfrac1{25}\ln6=\tfrac t{10}$24 ÷ 4 = 624 ÷ 4 = 6
$t=\tfrac25\ln6$time in hoursเวลาเป็นชั่วโมง
$\approx0.7167$hoursชั่วโมง
$\text{minutes}=60t$1 hour = 60 minutes1 ชั่วโมง = 60 นาที
$=24\ln6$60 × ⅖60 × ⅖
$\approx43$answer · 43 minutesคำตอบ · 43 นาที

Q12(c) V in terms of tQ12(c) V ในรูปของ t

(c) From (b): $\dfrac{1}{25}\ln\dfrac{V}{25-V}=\dfrac{t}{10}+\dfrac{1}{25}\ln4$. Show that $V=\dfrac{A}{e^{-kt}+B}$, and find the constants $A$, $B$ and $k$. [3]

$\tfrac1{25}\ln\dfrac V{25-V}=\tfrac t{10}+\tfrac1{25}\ln4$from (b)จาก (b)
$\ln\dfrac V{25-V}=2.5t+\ln4$× 25× 25
$\dfrac V{25-V}=e^{2.5t+\ln4}$undo ln: e to the power of both sidesถอด ln: ยก e กำลังทั้งสองข้าง
$=4e^{2.5t}$e to the power ln 4 is 4e ยกกำลัง ln 4 ได้ 4
$\dfrac{25-V}V=\dfrac{e^{-2.5t}}4$flip both sidesกลับเศษเป็นส่วนทั้งสองข้าง
$\dfrac{25}V-1=\dfrac{e^{-2.5t}}4$split: 25/V − V/Vแยก: 25/V − V/V
$\dfrac{25}V=\dfrac{e^{-2.5t}}4+1$move −1ย้าย −1
$\dfrac{100}V=e^{-2.5t}+4$× 4× 4
$V=\dfrac{100}{e^{-2.5t}+4}$flip both sides againกลับทั้งสองข้างอีกครั้ง
$A=100$read offอ่านค่า
$B=4$read offอ่านค่า
$k=2.5$answer · A = 100, B = 4, k = 2.5คำตอบ · A = 100, B = 4, k = 2.5

Q12(d) The upper limitQ12(d) ขีดจำกัดบน

(d) From (c): $V=\dfrac{100}{e^{-2.5t}+4}$. The model says the volume has an upper limit of $L$ microlitres. Find $L$, and give a reason. [2]

$V=\dfrac{100}{e^{-2.5t}+4}$from (c)จาก (c)
$\lim_{t\to\infty}e^{-2.5t}=0$it shrinks to 0 as t growsเมื่อ t มากขึ้น ค่านี้ลดเข้าหา 0
$L=\dfrac{100}{0+4}$the bottom tends to 4ตัวส่วนเข้าหา 4
$=25$answer · 25 microlitresคำตอบ · 25 ไมโครลิตร

14. Q13 · Exponential model from a log graph · 9 marksข้อ 13 · แบบจำลองเอกซ์โพเนนเชียลจากกราฟล็อก · 9 คะแนน

Answer: a = 6.457, b = 1.013; a is the population (in billions) in 2004; b is the factor the population is multiplied by each year (about 1.3 % growth a year); about 9 billion (8.92 billion); Not reliable: the data only covers 2004–2007, and the model may not hold up to 2030คำตอบ: a = 6.457, b = 1.013; a is the population (in billions) in 2004; b is the factor the population is multiplied by each year (about 1.3 % growth a year); about 9 billion (8.92 billion); Not reliable: the data only covers 2004–2007, and the model may not hold up to 2030

Q13(a) Find a and bQ13(a) หา a และ b

The number of people in the world, $P$ billions, is modelled by $P=ab^t$, where $a$ and $b$ are constants and $t$ counts the years since 2004. Estimates of the population for 2004 to 2007 were used to plot $\log_{10}P$ against $t$. The points lie close to a straight line with gradient 0.0054 that meets the $\log_{10}P$ axis at 0.81.
(a) Estimate $a$ and $b$, each to 3 d.p. [4]

$P=ab^t$the modelแบบจำลอง
$\log P=\log a+t\log b$log₁₀ of both sides (log = log₁₀)ใส่ log ฐาน 10 ทั้งสองข้าง
$\log b=0.0054$gradient: the number times tความชัน: ตัวคูณ t
$b=10^{0.0054}$undo log₁₀ถอด log ฐาน 10
$\approx1.013$3 d.p.ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$\log a=0.81$intercept: the constant termจุดตัดแกน: พจน์คงที่
$a=10^{0.81}$undo log₁₀ถอด log ฐาน 10
$\approx6.457$answer · a ≈ 6.457, b ≈ 1.013คำตอบ · a ≈ 6.457, b ≈ 1.013

Q13(b)(i) What a meansQ13(b)(i) ความหมายของ a

$t=0$the year 2004ปี 2004
$P=ab^0$put t = 0แทน t = 0
$=a$b⁰ = 1b⁰ = 1
$a\approx6.457$answer · world population in 2004, in billionsคำตอบ · ประชากรโลกปี 2004 (พันล้านคน)

Q13(b)(ii) What b meansQ13(b)(ii) ความหมายของ b

$P(t+1)=ab^{t+1}$one year laterอีกหนึ่งปีถัดไป
$=P(t)\times b$one more factor of bคูณ b เพิ่มอีกหนึ่งครั้ง
$b\approx1.013$answer · each year P is × 1.013 (+1.3 %)คำตอบ · ทุกปี P คูณ 1.013 (เพิ่ม 1.3 %)

Q13(c) Population in 2030Q13(c) ประชากรปี 2030

$t=2030-2004$years since 2004จำนวนปีนับจาก 2004
$=26$2030 − 20042030 − 2004
$26\times0.0054=0.1404$gradient × tความชัน × t
$\log P=0.9504$0.81 + 0.14040.81 + 0.1404
$P=10^{0.9504}$undo log₁₀ถอด log ฐาน 10
$\approx8.92$answer · about 9 billionคำตอบ · ประมาณ 9 พันล้านคน

Q13(d) Is it reliable?Q13(d) เชื่อถือได้ไหม

$\text{data}=2004\text{ to }2007$only 4 years of dataมีข้อมูลแค่ 4 ปี
$2030-2007=23$23 years past the dataเลยข้อมูลไป 23 ปี
$\text{reliable?}=\text{no}$answer · the trend may not continueคำตอบ · แนวโน้มอาจไม่คงอยู่

15. Q14 · Circles: centre, radius and two meeting points · 8 marksข้อ 14 · วงกลม: จุดศูนย์กลาง รัศมี จุดตัดสองจุด · 8 คะแนน

Answer: (3, −7); 5; {k : √82 − 5 < k < √82 + 5}คำตอบ: (3, −7); 5; {k : √82 − 5 < k < √82 + 5}

Q14(a)(i) Centre of C₁Q14(a)(i) จุดศูนย์กลางของ C₁

The circle $C_1$ has equation $x^2+y^2-6x+14y+33=0$.
(a)(i) Find the coordinates of the centre of $C_1$. (Part (a) is 3 marks in all.) [1]

$x^2-6x=(x-3)^2-9$complete the square: half of −6ทำกำลังสองสมบูรณ์: ครึ่งของ −6
$y^2+14y=(y+7)^2-49$half of 14ครึ่งของ 14
$\text{centre}=(3,\,-7)$answer · the signs flipคำตอบ · เครื่องหมายกลับ

Q14(a)(ii) Radius of C₁Q14(a)(ii) รัศมีของ C₁

The circle $C_1$ has equation $x^2+y^2-6x+14y+33=0$.
(a)(ii) From (i): $x^2-6x=(x-3)^2-9$ and $y^2+14y=(y+7)^2-49$. Find the radius of $C_1$. (Part (a) is 3 marks in all.) [2]

$S=\eqalign{&(x-3)^2\cr&+(y+7)^2}$name the two squaresตั้งชื่อผลรวมกำลังสองสองตัว
$S-9-49+33=0$C₁ written with the squares from (i)เขียน C₁ ด้วยกำลังสองจาก (i)
$S-25=0$−9 − 49 + 33 = −25−9 − 49 + 33 = −25
$S=25$move −25ย้าย −25
$r^2=25$S = r² for a circleวงกลม: S = r²
$r=5$answerคำตอบ

Q14(b) Range of kQ14(b) ช่วงของ k

The circle $C_1$ has equation $x^2+y^2-6x+14y+33=0$.
(b) From (a): $C_1$ has centre $(3,\,-7)$ and radius 5. A second circle $C_2$ has centre $(-6,\,-8)$ and radius $k$, a constant. $C_1$ and $C_2$ meet at exactly 2 distinct points. Find the range of possible values of $k$, written in set notation. [5]

$\Delta x=3-(-6)$across between the centresระยะแนวนอนระหว่างจุดศูนย์กลาง
$=9$3 + 63 + 6
$\Delta y=-7-(-8)$up between the centresระยะแนวตั้งระหว่างจุดศูนย์กลาง
$=1$−7 + 8−7 + 8
$d^2=9^2+1^2$Pythagorasพีทาโกรัส
$=82$81 + 181 + 1
$d=\sqrt{82}$distance between centres (≈ 9.06)ระยะระหว่างจุดศูนย์กลาง (≈ 9.06)
$k+5\gt\sqrt{82}$not too small: they must reachไม่เล็กเกิน: ต้องแตะถึงกัน
$k\gt\sqrt{82}-5$move +5ย้าย +5
$k-5\lt\sqrt{82}$not too big: C₁ not inside C₂ไม่ใหญ่เกิน: C₁ ไม่อยู่ใน C₂
$k\lt\sqrt{82}+5$move −5ย้าย −5
$\{k:\sqrt{82}-5\lt k\lt\sqrt{82}+5\}$answer · set notationคำตอบ · สัญกรณ์เซต

16. Q15 · Implicit differentiation and a proof · 12 marksข้อ 15 · อนุพันธ์โดยปริยายและการพิสูจน์ · 12 คะแนน

Answer: dy/dx = (2x − (x + y)²) / ((x + y)² + 1); y = −2x + 2; y³ + 60y = 0 gives y = 0 (P) or y² = −60 (no real roots), so the normal does not meet C againคำตอบ: dy/dx = (2x − (x + y)²) / ((x + y)² + 1); y = −2x + 2; y³ + 60y = 0 gives y = 0 (P) or y² = −60 (no real roots), so the normal does not meet C again

Q15(a) dy/dx in terms of x and yQ15(a) dy/dx ในรูป x และ y

The curve $C$ has equation $(x+y)^3=3x^2-3y-2$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. [5]

$y'=\dfrac{dy}{dx}$short name for the gradientชื่อย่อของความชัน
$S=(x+y)^2$name the squareตั้งชื่อกำลังสอง
$\dfrac{d}{dx}(x+y)^3=3S(1+y')$chain rule: the inside gives 1 + y′กฎลูกโซ่: ข้างในให้ 1 + y′
$\text{RHS}=3x^2-3y-2$the right side of Cฝั่งขวาของ C
$\dfrac{d}{dx}(\text{RHS})=6x-3y'$term by termทีละพจน์
$3S(1+y')=6x-3y'$differentiate both sidesดิฟทั้งสองข้าง
$3S+3Sy'=6x-3y'$expandกระจาย
$3Sy'+3y'=6x-3S$y′ terms on the leftพจน์ y′ ไว้ซ้าย
$y'(3S+3)=6x-3S$take out y′ดึง y′ ออก
$y'=\dfrac{6x-3S}{3S+3}$divideหาร
$=\dfrac{2x-S}{S+1}$÷ 3 on top and bottom÷ 3 ทั้งเศษและส่วน
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-(x+y)^2}{(x+y)^2+1}$answer · put S backคำตอบ · แทน S กลับ

Q15(b) The normal at PQ15(b) เส้นตั้งฉากที่ P

The curve $C$ has equation $(x+y)^3=3x^2-3y-2$.
(b) From (a): $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-(x+y)^2}{(x+y)^2+1}$. The point $P(1,\,0)$ is on $C$. Show that the normal to $C$ at $P$ is $y=-2x+2$. [2]

$S=(1+0)^2$S = (x + y)² from (a), at P(1, 0)S = (x + y)² จาก (a) ที่ P(1, 0)
$=1$1² = 11² = 1
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2(1)-1}{1+1}$from (a)จาก (a)
$=\dfrac12$tangent gradient at Pความชันเส้นสัมผัสที่ P
$m=-2$normal: −1 ÷ ½เส้นตั้งฉาก: −1 ÷ ½
$y-0=-2(x-1)$line through P(1, 0)เส้นผ่าน P(1, 0)
$y=-2x+2$shownได้ตามโจทย์

Q15(c) The normal meets C only at PQ15(c) เส้นตั้งฉากตัด C ที่ P จุดเดียว

The curve $C$ has equation $(x+y)^3=3x^2-3y-2$.
(c) From (b): the normal at $P$ is $y=-2x+2$. Prove that this normal does not meet $C$ again. Use algebra and explain each step of your reasoning. [5]

$y=2-2x$the normal from (b), terms swappedเส้นตั้งฉากจาก (b) สลับพจน์
$2x=2-y$move y and −2xย้าย y กับ −2x
$2(x+y)=2+y$add 2y: 2x + 2y = 2(x + y)บวก 2y: 2x + 2y = 2(x + y)
$8(x+y)^3=(2+y)^3$cube both sides: 2³ = 8ยกกำลังสามทั้งสองข้าง: 2³ = 8
$A=8+6y^2$name the part that will cancelตั้งชื่อส่วนที่จะตัดกัน
$(2+y)^3=A+12y+y^3$expand: 8 + 12y + 6y² + y³กระจาย: 8 + 12y + 6y² + y³
$8(x+y)^3=24x^2-24y-16$the equation of C, × 8สมการ C คูณ 8
$24x^2=6(2-y)^2$square row 2: 4x² = (2 − y)², then × 6ยกกำลังสองบรรทัดที่ 2: 4x² = (2 − y)² แล้ว × 6
$=24-24y+6y^2$expand: 6(4 − 4y + y²)กระจาย: 6(4 − 4y + y²)
$24x^2-24y-16=A-48y$24 − 16 = 8, so A appears · −24y − 24y24 − 16 = 8 จึงได้ A · −24y − 24y
$12y+y^3+A=-48y+A$both equal 8(x + y)³ทั้งสองข้างเท่ากับ 8(x + y)³
$12y+y^3=-48y$take A from both sidesลบ A ทั้งสองข้าง
$y^3+60y=0$move −48yย้าย −48y
$y(y^2+60)=0$take out yดึง y ออก
$y=0$gives x = 1: this is Pได้ x = 1: คือจุด P
$y^2=-60$from y² + 60 = 0: no real y, a square is never negativeจาก y² + 60 = 0: ไม่มี y จริง กำลังสองไม่ติดลบ
$\text{other points}=\text{none}$answer · the normal meets C only at Pคำตอบ · เส้นตั้งฉากตัด C ที่ P จุดเดียว

17. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

An arithmetic sequence has first term 500 and common difference −20. Find the 10th term.ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก 500 ผลต่างร่วม −20 · จงหาพจน์ที่ 10
Answer:เฉลย: 320u₁₀ = 500 + 9 × (−20) = 320.u₁₀ = 500 + 9 × (−20) = 320
u_{n+1} = 2uₙ + 1 and u₁ = 3. Find u₃.u_{n+1} = 2uₙ + 1 และ u₁ = 3 · จงหา u₃
Answer:เฉลย: 15u₂ = 2 × 3 + 1 = 7, then u₃ = 2 × 7 + 1 = 15.u₂ = 2 × 3 + 1 = 7 · u₃ = 2 × 7 + 1 = 15
θ is small, in radians. Find an approximate value of θ sin θ ÷ (1 − cos 2θ).θ เล็ก หน่วยเรเดียน · จงประมาณค่า θ sin θ ÷ (1 − cos 2θ)
Answer:เฉลย: 1/2Top ≈ θ². Bottom ≈ (2θ)²/2 = 2θ². So θ² ÷ 2θ² = 1/2.เศษ ≈ θ² · ส่วน ≈ (2θ)²/2 = 2θ² · θ² ÷ 2θ² = 1/2
A has position vector i + 2j + 3k and B has 4i + 5k. Find AB.A มีเวกเตอร์ตำแหน่ง i + 2j + 3k และ B มี 4i + 5k · จงหา AB
Answer:เฉลย: 3i − 2j + 5kb − a = (4 − 1)i + (0 − 2)j + (5 − 3)k.b − a = (4 − 1)i + (0 − 2)j + (5 − 3)k
x = t² and y = t³. Find dy/dx when t = 2.x = t² และ y = t³ · จงหา dy/dx เมื่อ t = 2
Answer:เฉลย: 3dy/dx = 3t² ÷ 2t = 12 ÷ 4 = 3.dy/dx = 3t² ÷ 2t = 12 ÷ 4 = 3
Write 1/(x(4 − x)) as partial fractions. Give the coefficient over x.เขียน 1/(x(4 − x)) เป็นเศษส่วนย่อย · บอกค่าเศษบน x
Answer:เฉลย: 1/41 = P(4 − x) + Qx. Put x = 0: 1 = 4P, so P = 1/4 (and Q = 1/4).1 = P(4 − x) + Qx · แทน x = 0: 1 = 4P · P = 1/4 (และ Q = 1/4)
Find the radius of the circle x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0.จงหารัศมีของวงกลม x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0
Answer:เฉลย: 5(x − 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 + 12 = 25, so r = 5.(x − 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 + 12 = 25 · r = 5
A circle has equation x² + y² = 25. Find dy/dx at the point (3, 4).วงกลม x² + y² = 25 · จงหา dy/dx ที่จุด (3, 4)
Answer:เฉลย: -3/42x + 2y dy/dx = 0, so dy/dx = −x/y = −3/4.2x + 2y dy/dx = 0 · dy/dx = −x/y = −3/4

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี