Binomial expansion · 9MA0ทวินาม · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Expand to four terms · WMA12/01 Jun 2022 · 4 marks1 · กระจายสี่พจน์แรก · WMA12/01 Jun 2022 · 4 คะแนน

Answer: 1024 + 1920x + 1620x² + 810x³คำตอบ: 1024 + 1920x + 1620x² + 810x³

1 First four terms1 สี่พจน์แรก

Expand $\left(2+\dfrac38x\right)^{10}$ as far as the $x^{3}$ term, lowest power of $x$ first, with integer coefficients. [4]

1. $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$term $r+1$ · $a=2$, $b=\tfrac38x$, $n=10$พจน์ที่ $r+1$ · $a=2$, $b=\tfrac38x$, $n=10$
2. $2^{10}=1024$B1 · constant termB1 · พจน์คงที่
3. $\binom{10}{1}2^{9}\left(\tfrac38x\right)=1920x$the $x$ term · $\binom{10}{1}$ = “10 choose 1”พจน์ $x$ · $\binom{10}{1}$ อ่านว่า “10 choose 1”
4. $\binom{10}{2}2^{8}\left(\tfrac38x\right)^{2}=1620x^{2}$M1 A1 · two $x$-terms rightM1 A1 · ได้พจน์ $x$ ถูกสองพจน์
5. $\binom{10}{3}2^{7}\left(\tfrac38x\right)^{3}=810x^{3}$A1 · all three rightA1 · ถูกครบสามพจน์
6. $\begin{array}{rl}\text{four terms}&=1024+1920x\\&\phantom{=}+1620x^{2}+810x^{3}\end{array}$answer · four termsคำตอบ · สี่พจน์

3. 2 · Expansion for an estimate · WMA12/01 Jan 2025 · 5 marks2 · กระจายเพื่อประมาณค่า · WMA12/01 Jan 2025 · 5 คะแนน

Answer: 256 − 5120x + 44800x² − 224000x³; x = −0.01คำตอบ: 256 − 5120x + 44800x² − 224000x³; x = −0.01

2(a) First four terms2(a) สี่พจน์แรก

(a) Expand $(2-5x)^{8}$ up to its $x^{3}$ term, with the powers of $x$ going up. Write every term simplified. [4]

1. $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$term $r+1$ · $a=2$, $b=-5x$, $n=8$พจน์ที่ $r+1$ · $a=2$, $b=-5x$, $n=8$
2. $2^{8}=256$B1 · constant termB1 · พจน์คงที่
3. $\binom{8}{1}2^{7}(-5x)=-5120x$the $x$ termพจน์ $x$
4. $\binom{8}{2}2^{6}(-5x)^{2}=44800x^{2}$M1 A1 · two $x$-terms rightM1 A1 · ได้พจน์ $x$ ถูกสองพจน์
5. $\binom{8}{3}2^{5}(-5x)^{3}=-224000x^{3}$A1 · all simplifiedA1 · ทำเป็นอย่างง่ายครบ
6. $\begin{array}{rl}\text{four terms}&=256-5120x\\&\phantom{=}+44800x^{2}-224000x^{3}\end{array}$answer · four termsคำตอบ · สี่พจน์

2(b) Choose the value of $x$2(b) เลือกค่า $x$

(b) The expansion of $(2-5x)^{8}$ from (a) will be used to estimate $2.05^{8}$. Which value of $x$ goes in? (You do not need to do the estimate.) [1]

1. $2-5x=2.05$the bracket must equal $2.05$วงเล็บต้องเท่ากับ $2.05$
2. $-5x=0.05$subtract $2$ from both sidesลบ $2$ ทั้งสองข้าง
3. $x=-0.01$B1 · answerB1 · คำตอบ

4. 3 · Full expansion and product · 9709/13 Jun 2023 · 6 marks3 · กระจายครบและผลคูณ · 9709/13 Jun 2023 · 6 คะแนน

Answer: x⁵ + 10x³ + 40x + 80/x + 80/x³ + 32/x⁵; a = 2, b = −1คำตอบ: x⁵ + 10x³ + 40x + 80/x + 80/x³ + 32/x⁵; a = 2, b = −1

3(a) Complete expansion3(a) กระจายครบทุกพจน์

(a) Write out all six terms of $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$, each term simplified. [2]

1. $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$term $r+1$ · $a=x$, $b=\tfrac2x$, $n=5$พจน์ที่ $r+1$ · $a=x$, $b=\tfrac2x$, $n=5$
2. $\binom{5}{r}=1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$row 5 of Pascal’s triangleแถวที่ 5 ของสามเหลี่ยมปาสคาล
3. $1\cdot x^{5}=x^{5}$the $r=0$ termพจน์ $r=0$
4. $5\cdot x^{4}\cdot\tfrac{2}{x}=10x^{3}$the $r=1$ termพจน์ $r=1$
5. $10\cdot x^{3}\cdot\tfrac{4}{x^{2}}=40x$the $r=2$ termพจน์ $r=2$
6. $10\cdot x^{2}\cdot\tfrac{8}{x^{3}}=\tfrac{80}{x}$the $r=3$ termพจน์ $r=3$
7. $5\cdot x\cdot\tfrac{16}{x^{4}}=\tfrac{80}{x^{3}}$the $r=4$ termพจน์ $r=4$
8. $\left(\tfrac2x\right)^{5}=\tfrac{32}{x^{5}}$the $r=5$ termพจน์ $r=5$
9. $\begin{array}{rl}\left(x+\tfrac2x\right)^{5}&=x^{5}+10x^{3}+40x\\&\phantom{=}+\tfrac{80}{x}+\tfrac{80}{x^{3}}+\tfrac{32}{x^{5}}\end{array}$B2 · all six terms, simplifiedB2 · ครบหกพจน์ ทำเป็นอย่างง่าย

3(b) Find $a$ and $b$3(b) หา $a$ และ $b$

(b) In the expansion of $(a+bx^{2})\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ the coefficient of $x$ is $0$ and the coefficient of $\dfrac1x$ is $80$. Find the constants $a$ and $b$. From (a), the expansion of $\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{5}$ has the terms $40x$, $\dfrac{80}{x}$ and $\dfrac{80}{x^{3}}$. [4]

1. $a\left(40x\right)=40ax$$a$ times the $40x$ term$a$ คูณพจน์ $40x$
2. $bx^{2}\left(\tfrac{80}{x}\right)=80bx$$bx^{2}$ times the $\tfrac{80}{x}$ term$bx^{2}$ คูณพจน์ $\tfrac{80}{x}$
3. $40a+80b=0$M1 · coefficient of $x$ is $0$M1 · สัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็น $0$
4. $a+2b=0$divided by 40หารด้วย 40 แล้ว
5. $a\left(\tfrac{80}{x}\right)=\tfrac{80a}{x}$$a$ times the $\tfrac{80}{x}$ term$a$ คูณพจน์ $\tfrac{80}{x}$
6. $bx^{2}\left(\tfrac{80}{x^{3}}\right)=\tfrac{80b}{x}$$bx^{2}$ times the $\tfrac{80}{x^{3}}$ term$bx^{2}$ คูณพจน์ $\tfrac{80}{x^{3}}$
7. $80a+80b=80$M1 · coefficient of $\tfrac1x$ is $80$M1 · สัมประสิทธิ์ของ $\tfrac1x$ เป็น $80$
8. $a+b=1$divided by 80หารด้วย 80 แล้ว
9. $-b=1$subtractลบกัน
10. $b=-1$A1 · $b$A1 · ได้ $b$
11. $a=1-(-1)$put $b$ into ②แทน $b$ ใน ②
12. $=2$A1 · $a$A1 · ได้ $a$
13. $(a,\,b)=(2,\,-1)$answerคำตอบ

5. 4 · Constant term, then coefficient · 9709/11 Nov 2024 · 4 marks4 · พจน์ค่าคงที่ แล้วสัมประสิทธิ์ · 9709/11 Nov 2024 · 4 คะแนน

Answer: k = 5/2, coefficient of x² = 125คำตอบ: k = 5/2, coefficient of x² = 125

4 Find $k$, then a coefficient4 หา $k$ แล้วหาสัมประสิทธิ์

In the expansion of $\left(kx+\dfrac{2}{x}\right)^{4}$ the constant $k$ is positive and the term with no $x$ equals $150$. Find $k$. Then find the coefficient of $x^{2}$. [4]

1. $\binom{4}{2}(kx)^{2}\left(\tfrac2x\right)^{2}=6\cdot k^{2}x^{2}\cdot\tfrac{4}{x^{2}}$M1 · the $x$ powers cancel: no $x$M1 · กำลังของ $x$ ตัดกัน ไม่เหลือ $x$
2. $=24k^{2}$$6\times4=24$$6\times4=24$
3. $24k^{2}=150$equal to $150$ให้เท่ากับ $150$
4. $k^{2}=\tfrac{25}{4}$divide by 24หารด้วย 24
5. $k=\tfrac52$A1 · $k\gt0$, so not $-\tfrac52$A1 · $k\gt0$ จึงไม่เอา $-\tfrac52$
6. $\binom{4}{1}(kx)^{3}\left(\tfrac2x\right)=4\cdot k^{3}x^{3}\cdot\tfrac{2}{x}$M1 · the $x^{2}$ termM1 · พจน์ $x^{2}$
7. $=8k^{3}x^{2}$$x^{3}\cdot\tfrac1x=x^{2}$$x^{3}\cdot\tfrac1x=x^{2}$
8. $8k^{3}=8\left(\tfrac52\right)^{3}$put in $k=\tfrac52$แทน $k=\tfrac52$
9. $=8\cdot\tfrac{125}{8}$cube $\tfrac52$ยกกำลังสาม $\tfrac52$
10. $\text{coefficient of }x^{2}=125$A1 · answerA1 · คำตอบ

6. 5 · Product of two expansions · 9709/11 Jun 2021 · 6 marks5 · ผลคูณของสองการกระจาย · 9709/11 Jun 2021 · 6 คะแนน

Answer: 243 − 810x + 1080x²; 11043คำตอบ: 243 − 810x + 1080x²; 11043

5(a) First three terms5(a) สามพจน์แรก

(a) Expand $(3-2x)^{5}$ as far as the $x^{2}$ term, lowest power first. [3]

1. $T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$term $r+1$ · $a=3$, $b=-2x$, $n=5$พจน์ที่ $r+1$ · $a=3$, $b=-2x$, $n=5$
2. $3^{5}=243$B1 · constant termB1 · พจน์คงที่
3. $\binom{5}{1}3^{4}(-2x)=5\cdot81\cdot(-2x)$the $x$ termพจน์ $x$
4. $=-810x$B1 · $x$ termB1 · พจน์ $x$
5. $\binom{5}{2}3^{3}(-2x)^{2}=10\cdot27\cdot4x^{2}$the $x^{2}$ term · $(-2x)^{2}=4x^{2}$พจน์ $x^{2}$ · $(-2x)^{2}=4x^{2}$
6. $=1080x^{2}$B1 · $x^{2}$ termB1 · พจน์ $x^{2}$
7. $\text{three terms}=243-810x+1080x^{2}$answer · three termsคำตอบ · สามพจน์

5(b) Coefficient in a product5(b) สัมประสิทธิ์ในผลคูณ

(b) Use $(3-2x)^{5}=243-810x+1080x^{2}+\dots$ from (a) to find the coefficient of $x^{2}$ in $(4+x)^{2}(3-2x)^{5}$. [3]

1. $(4+x)^{2}=16+8x+x^{2}$B1 · expand the squareB1 · กระจายกำลังสอง
2. $16\cdot1080=17280$M1 · three pairs make $x^{2}$ · $16$ with $1080x^{2}$M1 · สามคู่ที่ได้ $x^{2}$ · $16$ กับ $1080x^{2}$
3. $8\cdot(-810)=-6480$$8x$ with $-810x$$8x$ กับ $-810x$
4. $1\cdot243=243$$x^{2}$ with $243$$x^{2}$ กับ $243$
5. $17280-6480=10800$add the first twoบวกสองตัวแรก
6. $10800+243=11043$A1 · coefficient of $x^{2}$A1 · สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$

7. 6 · Fractional power and validity · 9MA0/01 Jun 2019 · 6 marks6 · กำลังเศษส่วนและช่วงที่ใช้ได้ · 9MA0/01 Jun 2019 · 6 คะแนน

Answer: 1/2 + x/16 + 3x²/256; x = −14: it is outside |x| < 4, where the expansion is valid; x = −1/2: it is the closest to zeroคำตอบ: 1/2 + x/16 + 3x²/256; x = −14: it is outside |x| < 4, where the expansion is valid; x = −1/2: it is the closest to zero

6(a) Fractional power, three terms6(a) กำลังเศษส่วน สามพจน์แรก

(a) Expand $\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}$ up to the term in $x^{2}$, lowest power first. Each coefficient must be in simplest form. [4]

1. $\tfrac{1}{\sqrt{4-x}}=(4-x)^{-\frac12}$root underneath: power $-\tfrac12$รากอยู่ข้างล่าง: กำลัง $-\tfrac12$
2. $(4-x)^{-\frac12}=4^{-\frac12}\left(1-\tfrac{x}{4}\right)^{-\frac12}$M1 · take $4^{-\frac12}$ out, bracket starts $1$M1 · ดึง $4^{-\frac12}$ ออก ในวงเล็บขึ้นต้นด้วย $1$
3. $4^{-\frac12}=\tfrac12$power $-\tfrac12$ means $\tfrac{1}{\sqrt4}$กำลัง $-\tfrac12$ คือ $\tfrac{1}{\sqrt4}$
4. $(1+y)^{n}=1+ny+\tfrac{n(n-1)}{2!}y^{2}$M1 · $n=-\tfrac12$, $y=-\tfrac{x}{4}$M1 · $n=-\tfrac12$, $y=-\tfrac{x}{4}$
5. $ny=\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac{x}{4}\right)$put in the numbersแทนค่า
6. $ny=\tfrac{x}{8}$minus times minus is plusลบคูณลบได้บวก
7. $\tfrac{n(n-1)}{2}y^{2}=\tfrac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2}\cdot\tfrac{x^{2}}{16}$put in · $y^{2}=\tfrac{x^{2}}{16}$แทนค่า · $y^{2}=\tfrac{x^{2}}{16}$
8. $\tfrac{n(n-1)}{2}y^{2}=\tfrac{3x^{2}}{128}$$\tfrac38\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{3}{128}$$\tfrac38\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{3}{128}$
9. $\tfrac{1}{\sqrt{4-x}}=\tfrac12\left(1+\tfrac{x}{8}+\tfrac{3x^{2}}{128}+\dots\right)$A1 · put the bracket backA1 · ใส่กลับในวงเล็บ
10. $=\tfrac12+\tfrac{x}{16}+\tfrac{3x^{2}}{256}$A1 · $\times\tfrac12$ on every termA1 · คูณ $\tfrac12$ ทุกพจน์

6(b)(i) Value that fails6(b)(i) ค่า $x$ ที่ใช้ไม่ได้

(b)(i) The expansion in (a) is used to estimate $\sqrt2$. Three values could be put in for $x$: $x=-14$ (then $\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}=\dfrac{1}{\sqrt{18}}=\dfrac{\sqrt2}{6}$), $x=2$ (then $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$) and $x=-\dfrac12$ (then $\dfrac{1}{\sqrt{\frac92}}=\dfrac{\sqrt2}{3}$). Do not work out the expansion. Which of the three values must not be used, and why? [1]

1. $\left|-\tfrac{x}{4}\right|\lt1$it works when $|y|\lt1$ใช้ได้เมื่อ $|y|\lt1$
2. $|x|\lt4$the range that worksช่วงที่ใช้ได้
3. $|-14|=14$try $x=-14$ลอง $x=-14$
4. $14\gt4$outside the rangeอยู่นอกช่วง
5. $\text{not }x=-14$B1 · answer: do not use it, $|x|\lt4$ failsB1 · คำตอบ: ห้ามใช้ ไม่ผ่าน $|x|\lt4$

6(b)(ii) Most accurate value6(b)(ii) ค่า $x$ ที่แม่นที่สุด

(b)(ii) The expansion in (a) is used to estimate $\sqrt2$ with one of the same three values: $x=-14$, $x=2$ or $x=-\dfrac12$. Do not work out the expansion. Which value gives the most accurate estimate of $\sqrt2$? Give a reason. [1]

1. $|x|\lt4$only this range works · $-14$ is outใช้ได้เฉพาะช่วงนี้ · $-14$ หลุดช่วง
2. $\left|-\tfrac12\right|=\tfrac12$distance from $0$ระยะจาก $0$
3. $|2|=2$distance from $0$ระยะจาก $0$
4. $\tfrac12\lt2$smaller: nearer $0$เล็กกว่า: ใกล้ 0 กว่า
5. $\text{use }x=-\tfrac12$B1 · answer: nearest $0$, later terms tinyB1 · คำตอบ: ใกล้ $0$ สุด พจน์หลังเล็กมาก

8. 7 · Two brackets, validity, estimate · 9MA0/01 Jun 2018 · 10 marks7 · สองวงเล็บ ช่วงที่ใช้ได้ และการประมาณ · 9MA0/01 Jun 2018 · 10 คะแนน

Answer: 1 + 5x/2 − 5x²/8 (shown); The expansion is only valid for |x| < 1/4, and 1/2 is outside this range; 1183/484คำตอบ: 1 + 5x/2 − 5x²/8 (shown); The expansion is only valid for |x| < 1/4, and 1/2 is outside this range; 1183/484

7(a) Two brackets, then multiply7(a) สองวงเล็บ แล้วคูณกัน

(a) Show, using binomial expansions, that $\sqrt{\dfrac{1+4x}{1-x}}\approx1+\dfrac52x-\dfrac58x^{2}$. [6]

1. $\sqrt{\tfrac{1+4x}{1-x}}=P\times Q$B1 · $P=(1+4x)^{\frac12}$ · $Q=(1-x)^{-\frac12}$B1 · $P=(1+4x)^{\frac12}$ · $Q=(1-x)^{-\frac12}$
2. $(1+y)^{n}=1+ny+\tfrac{n(n-1)}{2}y^{2}$the formula, used twiceสูตร ใช้สองครั้ง
3. $P=(1+4x)^{\frac12}$M1 · $n=\tfrac12$, $y=4x$M1 · $n=\tfrac12$, $y=4x$
4. $=1+\tfrac12(4x)-\tfrac18(4x)^{2}$$\tfrac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2}=-\tfrac18$$\tfrac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2}=-\tfrac18$
5. $=1+2x-2x^{2}$$\tfrac18\times16=2$$\tfrac18\times16=2$
6. $Q=(1-x)^{-\frac12}$M1 · $n=-\tfrac12$, $y=-x$M1 · $n=-\tfrac12$, $y=-x$
7. $=1+\tfrac12x+\tfrac38x^{2}$A1 · $\tfrac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2}=\tfrac38$A1 · $\tfrac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2}=\tfrac38$
8. $x\text{ terms}=2x+\tfrac12x$dM1 · multiply $P\times Q$ · see the griddM1 · คูณ $P\times Q$ · ดูตาราง
9. $=\tfrac52x$
10. $x^{2}\text{ terms}=\tfrac38x^{2}+x^{2}-2x^{2}$three cells · ignore $x^{3}$ and upสามช่อง · ไม่สน $x^{3}$ ขึ้นไป
11. $=-\tfrac58x^{2}$
12. $P\times Q\approx1+\tfrac52x-\tfrac58x^{2}$A1* · shownA1* · แสดงได้แล้ว

7(b) Why not x = ½?7(b) ทำไมใช้ x = ½ ไม่ได้

(b) A student wants an estimate of $\sqrt6$, so puts $x=\dfrac12$ into both sides of $\sqrt{\dfrac{1+4x}{1-x}}\approx1+\dfrac52x-\dfrac58x^{2}$ from (a). Give a reason why $x=\dfrac12$ should not be used. [1]

1. $|4x|\lt1$the bracket $(1+4x)^{\frac12}$ needs thisวงเล็บ $(1+4x)^{\frac12}$ ต้องมี
2. $|x|\lt\tfrac14$tighter than the other bracketแคบกว่าอีกวงเล็บ
3. $x=\tfrac12$the value the student usedค่าที่นักเรียนใช้
4. $\tfrac12\gt\tfrac14$outside the rangeอยู่นอกช่วง
5. $\text{expansion not valid}$B1 · $\tfrac12$ is outside $|x|\lt\tfrac14$B1 · $\tfrac12$ อยู่นอก $|x|\lt\tfrac14$

7(c) Estimate $\sqrt6$7(c) ประมาณค่า $\sqrt6$

(c) Put $x=\dfrac{1}{11}$ into $\sqrt{\dfrac{1+4x}{1-x}}\approx1+\dfrac52x-\dfrac58x^{2}$ to get an estimate of $\sqrt6$. Give it as a fraction in its simplest form. [3]

1. $x=\tfrac{1}{11}$inside $|x|\lt\tfrac14$, so allowedอยู่ในช่วง $|x|\lt\tfrac14$ ใช้ได้
2. $\sqrt{\tfrac{1+4x}{1-x}}=\sqrt{\tfrac{15}{10}}$M1 · left side · the $11$s cancelM1 · ฝั่งซ้าย · ตัด $11$
3. $=\sqrt{\tfrac32}$
4. $=\tfrac{\sqrt6}{2}$$\tfrac{\sqrt3}{\sqrt2}=\tfrac{\sqrt6}{2}$$\tfrac{\sqrt3}{\sqrt2}=\tfrac{\sqrt6}{2}$
5. $\tfrac{\sqrt6}{2}\approx1+\tfrac52\cdot\tfrac{1}{11}-\tfrac58\cdot\tfrac{1}{121}$right sideแทนฝั่งขวา
6. $\tfrac{\sqrt6}{2}\approx1+\tfrac{5}{22}-\tfrac{5}{968}$multiply the fractionsคูณเศษส่วน
7. $\tfrac{\sqrt6}{2}\approx\tfrac{1183}{968}$A1 · common denominator $968$A1 · ตัวส่วนร่วม $968$
8. $\sqrt6\approx\tfrac{1183}{484}$A1 · answerA1 · คำตอบ

9. 8 · Root series estimate · 9MA0/02 Jun 2022 · 5 marks8 · ประมาณค่าด้วยอนุกรมของราก · 9MA0/02 Jun 2022 · 5 คะแนน

Answer: 2 − 9x/4 − 81x²/64 − 729x³/512; Overestimate: every term after the first is negative (x > 0)คำตอบ: 2 − 9x/4 − 81x²/64 − 729x³/512; Overestimate: every term after the first is negative (x > 0)

8(a) Four terms8(a) สี่พจน์แรก

(a) Expand $\sqrt{4-9x}$ up to the term in $x^{3}$, lowest power first. Write each term in simplest form. [4]

1. $\sqrt{4-9x}=2\left(1-\tfrac{9x}{4}\right)^{\frac12}$B1 · take $\sqrt4=2$ outB1 · ดึง $\sqrt4=2$ ออก
2. $(1+y)^{n}=1+ny+\tfrac{n(n-1)}{2!}y^{2}$the formula, three termsสูตร สามพจน์
3. $\text{4th term}=\tfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^{3}$the fourth termพจน์ที่สี่
4. $(1+y)^{\frac12}=1+\tfrac12y-\tfrac18y^{2}$M1 · $n=\tfrac12$ in the formulaM1 · ใส่ $n=\tfrac12$ ในสูตร
5. $\text{4th term}=\tfrac{1}{16}y^{3}$$n=\tfrac12$ again$n=\tfrac12$ เช่นกัน
6. $y=-\tfrac{9x}{4}$put in $y$แทน $y$
7. $\tfrac12y=-\tfrac{9x}{8}$
8. $-\tfrac18y^{2}=-\tfrac{81x^{2}}{128}$$y^{2}$ is positive$y^{2}$ เป็นบวก
9. $\tfrac{1}{16}y^{3}=-\tfrac{729x^{3}}{1024}$odd power keeps the minusกำลังคี่ ลบยังอยู่
10. $\begin{array}{rl}\sqrt{4-9x}&=2(1-\tfrac{9x}{8}-\tfrac{81x^{2}}{128}\\&\phantom{=2(}-\tfrac{729x^{3}}{1024})\end{array}$A1 · put the bracket backA1 · ใส่กลับในวงเล็บ
11. $\begin{array}{rl}\sqrt{4-9x}&=2-\tfrac94x-\tfrac{81}{64}x^{2}\\&\phantom{=}-\tfrac{729}{512}x^{3}\end{array}$A1 · $\times2$ on every termA1 · คูณ $2$ ทุกพจน์

8(b) Over or under?8(b) เกินหรือขาด

(b) A student puts $x=\dfrac19$ into the four terms $2-\dfrac94x-\dfrac{81}{64}x^{2}-\dfrac{729}{512}x^{3}$ from (a) to estimate $\sqrt3$. Without calculating, say whether the estimate is too big (an overestimate) or too small (an underestimate), and give a short reason. [1]

1. $x\gt0$the student uses $x=\tfrac19$นักเรียนใช้ $x=\tfrac19$
2. $\text{terms after }2\lt0$negative coefficients, $x\gt0$สัมประสิทธิ์ติดลบ และ $x\gt0$
3. $\text{left-out terms}\lt0$the later terms are negative tooพจน์หลัง ๆ ติดลบด้วย
4. $\sqrt3=\text{4 terms}+\text{left-out}$true value = kept + left outค่าจริง = ที่เก็บ + ที่ตัดทิ้ง
5. $\text{4 terms}\gt\sqrt3$minus a negative is a plusลบด้วยค่าติดลบ = บวก
6. $\text{overestimate}$B1 · answerB1 · คำตอบ

10. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

1. In the expansion of $\left(kx+\dfrac{3}{x}\right)^{4}$ the constant $k$ is positive and the term with no $x$ equals $216$. Find the coefficient of $x^{2}$.ในการกระจาย $\left(kx+\dfrac{3}{x}\right)^{4}$ ค่า $k$ เป็นค่าคงที่บวก และพจน์ที่ไม่มี $x$ เท่ากับ $216$ · หาสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$
   Answer:เฉลย: 96The $x$-free term is $6\cdot9k^{2}=216$, so $k=2$. The $x^{2}$ term is $4\cdot k^{3}\cdot3=96$.พจน์ที่ไม่มี $x$ คือ $6\cdot9k^{2}=216$ ได้ $k=2$ · พจน์ $x^{2}$ คือ $4\cdot k^{3}\cdot3=96$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี