Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sequences · 9MA0ลำดับ · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Recurrence relations · WMA12/01 Oct 2021 · 5 marks1 · ความสัมพันธ์เวียนเกิด · WMA12/01 Oct 2021 · 5 คะแนน

Answer: u₃ = 6k² + 3k + 3; k = 7/2คำตอบ: u₃ = 6k² + 3k + 3; k = 7/2

1(a) Find the third term1(a) หาพจน์ที่ 3

A sequence has $u_{1}=6$ and $u_{n+1}=ku_{n}+3$ for every $n$. The constant $k$ is positive.
(a) Write $u_{3}$ in terms of $k$. [2]

  1. $u_2 = 6k+3$M1 · recurrence twice for $u_3$M1 · ใช้สูตรเวียนเกิดสองครั้งหา $u_3$
  2. $u_3 = k(6k+3)+3$
  3. $u_3 = 6k^{2}+3k+3$A1 · $u_3$ correctA1 · ได้นิพจน์ $u_3$ ที่ถูกต้อง

1(b) Use the sum to find $k$1(b) ใช้ผลบวกหา $k$

A sequence has $u_{1}=6$ and $u_{n+1}=ku_{n}+3$ for every $n$. The constant $k$ is positive.
(b) Using $u_{3}=6k^{2}+3k+3$ from (a): the first three terms add up to $117$, that is $\displaystyle\sum_{n=1}^{3}u_{n}=117$. Find $k$. [3]

  1. $u_{1}+u_{2}+u_{3}=117$M1 · add the first three termsM1 · บวกสามพจน์แรกให้เท่ากับ 117
  2. $6k^{2}+9k+12=117$put in $6$, $6k+3$, $6k^{2}+3k+3$ and collectแทน $6$, $6k+3$, $6k^{2}+3k+3$ แล้วรวมพจน์
  3. $6k^{2}+9k-105=0$a quadratic in $k$ได้สมการกำลังสองใน $k$
  4. $2k^{2}+3k-35=0$divide by 3หารด้วย 3
  5. $(2k-7)(k+5)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  6. $k=\tfrac72,\;-5$dM1 · solve it: two rootsdM1 · แก้สมการ ได้สองค่า
  7. $k=\tfrac72$A1 · $k$ is positive
    $k$ is a positive constant, so $k=-5$ is rejected.    A1 · $k$ เป็นบวก
    โจทย์กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงที่บวก จึงตัด $k=-5$ ทิ้ง

3. 2 · Geometric series proof · WMA12/01 Oct 2020 · 8 marks2 · พิสูจน์อนุกรมเรขาคณิต · WMA12/01 Oct 2020 · 8 คะแนน

Answer: S_n = a(1 − rⁿ)/(1 − r) (shown); r = −0.4; 571.43คำตอบ: S_n = a(1 − rⁿ)/(1 − r) (shown); r = −0.4; 571.43

2(a) Prove the sum formula2(a) พิสูจน์สูตรผลบวก

(a) A geometric series has first term $a$ and common ratio $r$. Prove that adding its first $n$ terms gives $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$. [3]

  1. $S_n = a+ar+ar^{2}+\dots+ar^{n-1}$M1 · write $S_n$ and $rS_n$ as seriesM1 · เขียน $S_n$ และ $rS_n$ เป็นอนุกรม
  2. $rS_n = ar+ar^{2}+\dots+ar^{n}$
  3. $S_n-rS_n = a-ar^{n}$A1 · subtract to eliminate the middle termsA1 · ลบกันเพื่อตัดพจน์กลางออก
  4. $S_n(1-r) = a(1-r^{n})$factorise both sidesแยกตัวประกอบทั้งสองข้าง
  5. $S_n = \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$A1* · the printed form
    A star mark: factorise both sides and divide by $1-r$ in view. Do not just quote the formula.    A1* · ได้รูปที่โจทย์ให้
    คะแนนดาว (*) ต้องเห็นการแยกตัวประกอบทั้งสองข้างและหารด้วย $1-r$ ไม่ใช่จำสูตรมาเขียนเฉยๆ

2(b) Find the common ratio2(b) หาอัตราส่วนร่วม

(b) Another geometric series has 2nd term $-320$ and 5th term $\dfrac{512}{25}$. Find its common ratio. [2]

  1. $\dfrac{ar^{4}}{ar} = \dfrac{512/25}{-320}$M1 · $u_5\div u_2$ gives $r^{3}$M1 · $u_5\div u_2$ ได้ $r^{3}$
  2. $r^{3} = -\dfrac{8}{125}$
  3. $r = -0.4$A1 · $r=-0.4$A1 · ได้ $r=-0.4$

2(c) Sum of 13 terms2(c) ผลบวก 13 พจน์

(c) For the series in (b), use $r=-0.4$ to find the sum of the first $13$ terms. Answer to 2 d.p. [3]

  1. $a(-0.4)=-320$M1 · 2nd term $=ar$M1 · พจน์ที่สอง $=ar$
  2. $a=800$the first termพจน์แรก
  3. $S_{13}=\dfrac{800\left(1-(-0.4)^{13}\right)}{1-(-0.4)}$M1 · sum formula, $n=13$M1 · ใช้สูตรผลบวก $n=13$
  4. $S_{13}=571.43$A1 · to 2 d.p.A1 · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

4. 3 · Geometric sequences · WMA12/01 Oct 2021 · 10 marks3 · ลำดับเรขาคณิต · WMA12/01 Oct 2021 · 10 คะแนน

Answer: n = 129; 25r² − 25r − 6 = 0 (shown); r = 6/5 or r = −1/5; r = −1/5, because |r| < 1 is needed for a sum to infinity; 24.96คำตอบ: n = 129; 25r² − 25r − 6 = 0 (shown); r = 6/5 or r = −1/5; r = −1/5, because |r| < 1 is needed for a sum to infinity; 24.96

3(i) Smallest $n$ with logs3(i) หา $n$ น้อยสุดด้วยลอการิทึม

(i) The first term of a geometric sequence is $4$ and its common ratio is $6$. The $n$th term is bigger than $10^{100}$. Find the least possible $n$. [3]

  1. $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$B1 · set up the inequality $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$B1 · ตั้งอสมการ $4(6)^{n-1} \gt 10^{100}$
  2. $\log4+(n-1)\log6 \gt 100$M1 · take logs to remove the powerM1 · หาค่าลอการิทึมทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเลขชี้กำลัง
  3. $(n-1)\log6 \gt 100-\log4$divide by $\log6$, which is positiveหารด้วย $\log6$ ซึ่งเป็นบวก
  4. $n-1 \gt \dfrac{100-\log4}{\log6}$solve for $n-1$หา $n-1$
  5. $n-1 \gt 127.7\dots$to 1 d.p.ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
  6. $n=129$A1 · least whole $n$
    $n-1\gt127.7\ldots$ means $n-1\ge128$, so $n=129$. $n=128$ gives $n-1=127$: too small.    A1 · $n$ เป็นจำนวนเต็มน้อยสุด
    $n-1\gt127.7\ldots$ แปลว่า $n-1\ge128$ จึงได้ $n=129$ · ถ้า $n=128$ จะได้ $n-1=127$ ซึ่งน้อยไป

3(ii)(a) Show a quadratic in $r$3(ii)(a) แสดงสมการกำลังสองใน $r$

(ii)(a) A second geometric sequence has first term $a$ and common ratio $r$. Its 2nd term is $-6$ and its sum to infinity is $25$. Show that $25r^{2}-25r-6=0$. [3]

  1. $ar = -6$B1 · the two given facts as equationsB1 · สองข้อมูลที่โจทย์ให้ในรูปสมการ
  2. $\dfrac{a}{1-r} = 25$
  3. $a = \dfrac{-6}{r}$$a$ from $ar=-6$หา $a$ จาก $ar=-6$
  4. $\dfrac{-6}{r(1-r)} = 25$M1 · one equation in $r$ onlyM1 · ได้สมการที่มีแต่ $r$
  5. $-6 = 25r(1-r)$
  6. $-6 = 25r-25r^{2}$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  7. $25r^{2}-25r-6 = 0$A1* · the printed equation, no slipsA1* · ได้สมการที่โจทย์ให้ ไม่มีที่ผิด

3(ii)(b) Solve the quadratic3(ii)(b) แก้สมการกำลังสอง

(ii)(b) Solve $25r^{2}-25r-6=0$. [1]

  1. $r = \tfrac65$B1 · both solutions of the quadraticB1 · คำตอบทั้งสองของสมการกำลังสอง
  2. $r = {-}\tfrac15$

3(ii)(c) Choose the ratio3(ii)(c) เลือกอัตราส่วนร่วม

(ii)(c) The solutions in (b) are $r=\dfrac65$ and $r=-\dfrac15$. Decide which one this sequence has, and give a reason. [1]

  1. $r=-\tfrac15$B1 · $|r|\lt1$ is needed
    A sum to infinity only exists when $|r|\lt1$. $r=\tfrac65$ fails this, so only $r=-\tfrac15$ is valid.    B1 · ต้องการ $|r|\lt1$
    ผลบวกถึงอนันต์มีค่าได้ก็ต่อเมื่อ $|r|\lt1$ เท่านั้น $r=\tfrac65$ ไม่ผ่านเงื่อนไขนี้ จึงเหลือ $r=-\tfrac15$

3(ii)(d) Sum of 4 terms3(ii)(d) ผลบวก 4 พจน์

(ii)(d) This second sequence has 2nd term $-6$ and the ratio from (c), $r=-\dfrac15$. Work out the sum of its first $4$ terms. [2]

  1. $a = \dfrac{-6}{-1/5}$M1 · $a$, then $S_4$ formulaM1 · หา $a$ แล้วใช้สูตร $S_4$
  2. $= 30$
  3. $S_4 = \dfrac{30\left(1-(-1/5)^{4}\right)}{1-(-1/5)}$
  4. $S_4 = 24.96$A1 · $S_4=24.96$A1 · ได้ $S_4=24.96$

5. 4 · Binomial and geometric series · WMA12/01 Oct 2023 · 12 marks4 · ทวินามกับอนุกรมเรขาคณิต · WMA12/01 Oct 2023 · 12 คะแนน

Answer: 2916x, 4860x², 2160x⁴; x = 15/4; 5cos²θ − 16cosθ + 3 = 0 (shown); 48/125คำตอบ: 2916x, 4860x², 2160x⁴; x = 15/4; 5cos²θ − 16cosθ + 3 = 0 (shown); 48/125

4(i)(a) Three binomial terms4(i)(a) สามพจน์ของทวินาม

(i)(a) Expand $(3+2x)^{6}$ with the powers of $x$ rising. Give its second, third and fifth terms. [3]

  1. $\binom{6}{1}3^{5}(2x)$M1 · one term set up correctlyM1 · ตั้งหนึ่งพจน์ถูกต้อง
  2. $=2916x$2nd termพจน์ที่ 2
  3. $\binom{6}{2}3^{4}(2x)^{2} = 4860x^{2}$A1 · two of three terms correctA1 · ถูกสองในสามพจน์
  4. $\binom{6}{4}3^{2}(2x)^{4} = 2160x^{4}$A1 · all three correct and simplified: 2nd, 3rd, 5th termsA1 · ถูกทั้งสามพจน์และย่อแล้ว: พจน์ที่ 2, 3, 5

4(i)(b) Terms in a GP4(i)(b) พจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

(i)(b) For one value of $x$, the three terms $2916x$, $4860x^{2}$ and $2160x^{4}$ sit next to each other in a geometric series. Work out this $x$. [3]

  1. $\dfrac{4860x^{2}}{2916x} = \dfrac{2160x^{4}}{4860x^{2}}$M1 · set consecutive-term ratios equalM1 · ให้อัตราส่วนของพจน์ติดกันเท่ากัน
  2. $\tfrac53x = \tfrac49x^{2}$simplify both ratiosย่อทั้งสองอัตราส่วน
  3. $\tfrac53 = \tfrac49x$$x\ne0$, so $x$ cancels$x\ne0$ จึงตัด $x$ ได้
  4. $x = \tfrac53\times\tfrac94$dM1 · solve for $x$dM1 · แก้หา $x$
  5. $x = \tfrac{15}{4}$A1 · $x=\tfrac{15}{4}$A1 · $x=\tfrac{15}{4}$

4(ii)(a) Show a quadratic in $\cos\theta$4(ii)(a) แสดงสมการกำลังสองใน $\cos\theta$

(ii)(a) A different geometric series has first term $\sin^{2}\theta$, common ratio $2\cos\theta$ and sum to infinity $\dfrac85$. Show that $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$. [3]

  1. $\dfrac{\sin^{2}\theta}{1-2\cos\theta} = \tfrac85$M1 · $S_\infty=\tfrac85$ set upM1 · ตั้ง $S_\infty=\tfrac85$
  2. $5(1-\cos^{2}\theta) = 8(1-2\cos\theta)$dM1 · $\sin^{2}\theta$ to $\cos\theta$ onlydM1 · เปลี่ยน $\sin^{2}\theta$ ให้เหลือ $\cos\theta$
  3. $5-5\cos^{2}\theta = 8-16\cos\theta$expand the bracketsกระจายวงเล็บ
  4. $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0\quad$A1* · the printed equation (swap sides)A1* · ได้สมการที่โจทย์ให้ (สลับข้าง)

4(ii)(b) Exact second term4(ii)(b) พจน์ที่สองแบบ exact

(ii)(b) The series in (a) has first term $\sin^{2}\theta$ and common ratio $2\cos\theta$. Using $5\cos^{2}\theta-16\cos\theta+3=0$, work out its second term. Give it exactly. [3]

  1. $c=\cos\theta$short name for $\cos\theta$ตั้งชื่อสั้นแทน $\cos\theta$
  2. $5c^{2}-16c+3=0$the quadratic from (a)สมการกำลังสองจาก (a)
  3. $(c-3)(5c-1)=0$B1 · solve; reject $\cos\theta=3$B1 · แก้สมการ ตัด $\cos\theta=3$ ทิ้ง
  4. $c=\tfrac15$$\cos\theta=3$ is impossible since $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$, leaving $\cos\theta=\tfrac15$ as the only valid root.$\cos\theta=3$ เป็นไปไม่ได้เพราะ $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$ จึงเหลือ $\cos\theta=\tfrac15$ เป็นรากเดียวที่ใช้ได้
  5. $\sin^{2}\theta = 1-\tfrac{1}{25}$$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ใช้ $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$
  6. $= \tfrac{24}{25}$
  7. $\text{2nd term} = \tfrac{24}{25}\times2\left(\tfrac15\right)$M1 · 2nd term $=ar$M1 · พจน์ที่ 2 $=ar$
  8. $\text{2nd term} = \tfrac{48}{125}$A1 · exact value $\tfrac{48}{125}$A1 · ได้ค่า exact $\tfrac{48}{125}$

6. 5 · Arithmetic progression · 9709/13 Nov 2024 · 3 marks5 · ลำดับเลขคณิต · 9709/13 Nov 2024 · 3 คะแนน

Answer: 80คำตอบ: 80

5 Find the 30th term5 หาพจน์ที่ 30

The 4th term of an arithmetic progression is $15$ and its 8th term is $25$. Work out the 30th term. [3]

  1. $a+3d=15$M1 · $u_{n}=a+(n-1)d$, twiceM1 · ใช้ $u_{n}=a+(n-1)d$ สองครั้ง
  2. $a+7d=25$4th and 8th termsพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 8
  3. $4d=10$subtract to find $d$ลบกันเพื่อหา $d$
  4. $d=\tfrac52$the common differenceผลต่างร่วม
  5. $a=15-3\left(\tfrac52\right)$put $d$ into ①แทน $d$ ใน ①
  6. $=\tfrac{15}{2}$DM1 · $d$ and $a$ foundDM1 · ได้ $d$ และ $a$
  7. $u_{30}=\tfrac{15}{2}+29\left(\tfrac52\right)$the 30th termพจน์ที่ 30
  8. $=80$A1 · answerA1 · คำตอบ

7. 6 · Arithmetic series sums · 9709/13 Nov 2021 · 5 marks6 · ผลบวกอนุกรมเลขคณิต · 9709/13 Nov 2021 · 5 คะแนน

Answer: n = 30; k = 19คำตอบ: n = 30; k = 19

6(a) First negative term6(a) พจน์แรกที่ติดลบ

An arithmetic progression has first term $84$ and common difference $-3$.
(a) Find the least $n$ for which the $n$th term is below zero. [2]

  1. $u_{n}\lt0$the $n$th term below zeroให้พจน์ที่ $n$ น้อยกว่าศูนย์
  2. $84-3(n-1)\lt0$M1 · $a+(n-1)d$ with $a=84$, $d=-3$M1 · $a+(n-1)d$ โดย $a=84$, $d=-3$
  3. $87-3n \lt 0$expand and collect: $84+3=87$กระจายและรวม $84+3=87$
  4. $-3n \lt -87$divide by $-3$: the sign flipsหารด้วย $-3$ เครื่องหมายอสมการกลับด้าน
  5. $n \gt 29$
  6. $n = 30$A1 · the smallest whole $n$
    $n=29$ gives $u_{29}=0$, which is not negative. The first negative term is $u_{30}=-3$.    A1 · ค่า $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุด
    $n=29$ ได้ $u_{29}=0$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนลบ พจน์แรกที่ติดลบคือ $u_{30}=-3$

6(b) Two equal sums6(b) ผลบวกสองก้อนเท่ากัน

An arithmetic progression has first term $84$ and common difference $-3$.
(b) The sum of the first $2k$ terms equals the sum of the first $k$ terms. Find $k$. [3]

  1. $S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$sum of $n$ termsผลบวก $n$ พจน์
  2. $S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[168-3(n-1)\big]$$a=84$, $d=-3$แทน $a=84$, $d=-3$
  3. $=\tfrac{n}{2}(171-3n)$$168+3=171$$168+3=171$
  4. $S_{2k}=k(171-6k)$A1 · $S_{2k}$ correct: put $n=2k$A1 · $S_{2k}$ ถูก: แทน $n=2k$
  5. $S_{k}=\tfrac{k}{2}(171-3k)$put $n=k$แทน $n=k$
  6. $k(171-6k)=\tfrac{k}{2}(171-3k)$M1 · set $S_{2k}=S_{k}$M1 · ให้ $S_{2k}=S_{k}$
  7. $2(171-6k)=171-3k$$k\ne0$, so $k$ cancels$k\ne0$ จึงตัด $k$ ได้
  8. $342-12k=171-3k$expandกระจายวงเล็บ
  9. $171=9k$collectย้ายข้าง
  10. $k=19$A1 · the value of $k$A1 · ได้ค่า $k$

8. 7 · Geometric progression · 9709/12 Nov 2020 · 5 marks7 · ลำดับเรขาคณิต · 9709/12 Nov 2020 · 5 คะแนน

Answer: 10.8คำตอบ: 10.8

7 Sum to infinity7 ผลบวกอนันต์

A geometric progression has terms $2p+6$, $-2p$ and $p+2$, in that order, where $p$ is positive. Work out its sum to infinity. [5]

  1. $(-2p)^{2} = (2p+6)(p+2)$M1 · a relationship in $p$ only
    In a GP $\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{u_{3}}{u_{2}}$, so $u_{2}^{2}=u_{1}u_{3}$.    M1 · ตั้งความสัมพันธ์ที่มีแค่ $p$
    ในลำดับเรขาคณิต $\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{u_{3}}{u_{2}}$ จึงได้ $u_{2}^{2}=u_{1}u_{3}$
  2. $4p^{2} = 2p^{2}+10p+12$expand the right sideกระจายด้านขวา
  3. $2p^{2}-10p-12 = 0$
  4. $p^{2}-5p-6 = 0$
  5. $(p-6)(p+1) = 0$
  6. $p = 6$A1 · $p=6$
    $p$ is positive, so $p=-1$ is rejected.    A1 · $p=6$
    $p$ เป็นจำนวนบวก จึงตัด $p=-1$ ทิ้ง
  7. $a = 2(6)+6$first term $=2p+6$พจน์แรก $=2p+6$
  8. $= 18$
  9. $r = \tfrac{-12}{18}$
  10. $= -\tfrac{2}{3}$A1 · $a=18$ and $r=-\tfrac23$A1 · $a=18$ และ $r=-\tfrac23$
  11. $S_{\infty} = \dfrac{18}{1-\left(-\tfrac{2}{3}\right)}$M1 · use $S_{\infty}=\tfrac{a}{1-r}$M1 · ใช้ $S_{\infty}=\tfrac{a}{1-r}$
  12. $= \dfrac{18}{\tfrac{5}{3}}$
  13. $S_{\infty} = 10.8$A1 · the sum to infinityA1 · ได้ผลบวกอนันต์

9. 8 · Sum to infinity · 9709/12 Nov 2021 · 5 marks8 · ผลบวกอนันต์ · 9709/12 Nov 2021 · 5 คะแนน

Answer: 512/243คำตอบ: 512/243

8 Exact tenth term8 พจน์ที่ 10 แบบ exact

A geometric progression has 2nd term $54$ and sum to infinity $243$. Its common ratio is above $\dfrac{1}{2}$. Work out the 10th term as an exact value. [5]

  1. $ar = 54$B1 · second term and sum to infinityB1 · เขียนพจน์ที่สองและผลบวกอนันต์
  2. $\dfrac{a}{1-r} = 243$
  3. $\dfrac{54}{r} = 243(1-r)$$a=\tfrac{54}{r}$ from $ar=54$$a=\tfrac{54}{r}$ จาก $ar=54$
  4. $54=243r-243r^{2}$
  5. $2=9r-9r^{2}$
  6. $9r^{2}-9r+2=0$M1 · a 3-term quadratic in $r$
    It is $243r^{2}-243r+54=0$ divided by $27$.    M1 · ได้สมการกำลังสองสามพจน์ใน $r$
    คือ $243r^{2}-243r+54=0$ ที่หารด้วย $27$
  7. $(3r-1)(3r-2) = 0$DM1 · solve the quadraticDM1 · แก้สมการกำลังสอง
  8. $r = \tfrac{1}{3},\; \tfrac{2}{3}$
  9. $r = \tfrac{2}{3}$Only $\tfrac{2}{3}$ is greater than $\tfrac{1}{2}$, so $r=\tfrac{1}{3}$ is rejected.มีแค่ $\tfrac{2}{3}$ ที่มากกว่า $\tfrac{1}{2}$ จึงตัด $r=\tfrac{1}{3}$ ทิ้ง
  10. $a = 54\div\tfrac{2}{3}$DM1 · $a$ from the right $r$DM1 · หา $a$ จาก $r$ ที่ถูก
  11. $= 81$
  12. $u_{10} = 81\left(\tfrac{2}{3}\right)^{9}$A1 · the tenth term, exactA1 · ได้พจน์ที่สิบแบบ exact
  13. $= \tfrac{512}{243}$

10. 9 · AP and GP linked · 9709/12 Jun 2021 · 8 marks9 · AP กับ GP ที่เชื่อมกัน · 9709/12 Jun 2021 · 8 คะแนน

Answer: a = 12, b = 24; 1380คำตอบ: a = 12, b = 24; 1380

9(a) Find $a$ and $b$9(a) หา $a$ และ $b$

An arithmetic progression (AP) begins $a$, $\dfrac{3}{2}a$, $b$, where $a$ and $b$ are positive constants. A geometric progression (GP) begins $a$, $18$, $b+3$.
(a) Work out the values of $a$ and $b$. [5]

  1. $\tfrac{3}{2}a-a = b-\tfrac{3}{2}a$B1 · AP: equal steps give $b=2a$B1 · AP: ระยะห่างเท่ากัน ได้ $b=2a$
  2. $b = 2a$
  3. $\dfrac{18}{a} = \dfrac{b+3}{18}$B1 · GP: equal ratiosB1 · GP: อัตราส่วนเท่ากัน
  4. $18^{2} = a(b+3)$
  5. $324 = a(2a+3)$put $b=2a$ inแทน $b=2a$
  6. $2a^{2}+3a-324 = 0$M1 · expand, swap sides: a 3-term quadraticM1 · กระจาย สลับข้าง ได้สมการกำลังสอง 3 พจน์
  7. $(a{-}12)(2a{+}27)=0$M1 · solve the quadraticM1 · แก้สมการกำลังสอง
  8. $a = 12,\; -\tfrac{27}{2}$
  9. $a = 12$$a$ and $b$ are positive, so $a=-\tfrac{27}{2}$ is rejected.$a$ และ $b$ เป็นค่าบวก จึงตัด $a=-\tfrac{27}{2}$ ทิ้ง
  10. $b = 2(12)$
  11. $= 24$A1 · $a$ and $b$A1 · ได้ $a$ และ $b$

9(b) Sum of the AP9(b) ผลบวกของ AP

An arithmetic progression (AP) begins $a$, $\dfrac{3}{2}a$, $b$, where $a$ and $b$ are positive constants. A geometric progression (GP) begins $a$, $18$, $b+3$.
(b) Using $a=12$ and $b=24$ from (a), work out the sum of the first $20$ terms of the AP. [3]

  1. $d = \tfrac{3}{2}(12)-12$B1FT · the common differenceB1FT · ได้ผลต่างร่วม
  2. $= 6$
  3. $S_{20} = \tfrac{20}{2}\big[2(12)+19(6)\big]$M1 · sum formula with $n=20$M1 · ใช้สูตรผลบวกกับ $n=20$
  4. $S_{20} = 10(24+114)$
  5. $= 1380$A1 · the sumA1 · ได้ผลบวก

11. 10 · GP and AP linked · 9709/13 Nov 2022 · 9 marks10 · GP กับ AP ที่เชื่อมกัน · 9709/13 Nov 2022 · 9 คะแนน

Answer: 648; 0คำตอบ: 648; 0

10(a) Sum to infinity10(a) ผลบวกอนันต์

A geometric progression (GP) has first term $216$ and fourth term $64$.
(a) Work out the sum to infinity of the GP. [3]

  1. $216r^{3} = 64$
  2. $r^{3} = \tfrac{8}{27}$
  3. $r = \tfrac{2}{3}$B1 · the common ratioB1 · อัตราส่วนร่วม
  4. $S_{\infty} = \dfrac{216}{1-\tfrac{2}{3}}$M1 · use $S_{\infty}$, $|r|\lt1$M1 · ใช้ $S_{\infty}$ เพราะ $|r|\lt1$
  5. $S_{\infty} = 648$A1 · the sum to infinityA1 · ได้ผลบวกอนันต์

10(b) Sum of the AP10(b) ผลบวกของ AP

A geometric progression (GP) has first term $216$ and fourth term $64$.
(b) The GP in (a) has common ratio $\dfrac{2}{3}$. Its 2nd term equals the 2nd term of an arithmetic progression (AP), and its 3rd term equals the 5th term of that same AP. Find the sum of the first $21$ terms of the AP. [6]

  1. $216\left(\tfrac23\right)=144$B1 · GP 2nd termB1 · พจน์ที่ 2 ของ GP
  2. $a+d=144$AP 2nd term, same valueพจน์ที่ 2 ของ AP ค่าเดียวกัน
  3. $216\left(\tfrac23\right)^{2}=96$B1 · GP 3rd termB1 · พจน์ที่ 3 ของ GP
  4. $a+4d=96$AP 5th term, same valueพจน์ที่ 5 ของ AP ค่าเดียวกัน
  5. $3d=-48$M1 · subtractM1 · ลบสมการ
  6. $d=-16$the common differenceผลต่างร่วม
  7. $a=144-(-16)$put $d$ into ①แทน $d$ ใน ①
  8. $=160$A1 · $d$ and $a$A1 · ได้ $d$ และ $a$
  9. $S_{21}=\tfrac{21}{2}\big[2(160)+20(-16)\big]$DM1 · sum of 21 termsDM1 · ผลบวก 21 พจน์
  10. $S_{21}=\tfrac{21}{2}(320-320)$
  11. $=0$A1 · the sumA1 · ได้ผลบวก

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. An arithmetic progression has $u_{3}=11$ and $u_{9}=35$. Find $u_{20}$.ลำดับเลขคณิตมี $u_{3}=11$ และ $u_{9}=35$ · หา $u_{20}$
    Answer:เฉลย: 79Subtract: $6d=24$, so $d=4$. Then $a=11-2(4)=3$ and $u_{20}=3+19(4)=79$.ลบสมการ $6d=24$ ได้ $d=4$ · $a=11-2(4)=3$ · $u_{20}=3+19(4)=79$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี