Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Trig graphs · 9MA0กราฟตรีโกณ · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Transform and read graphs · WMA11/01 Oct 2020 · 9 marks1 · แปลงกราฟและอ่านค่า · WMA11/01 Oct 2020 · 9 คะแนน

Answer: cuts at (−7, 0), touches at (0, 0); cuts at (5, 0), touches at (−2, 0), passes through (0, −3); k = 2; p = π/3, q = 4π/3คำตอบ: cuts at (−7, 0), touches at (0, 0); cuts at (5, 0), touches at (−2, 0), passes through (0, −3); k = 2; p = π/3, q = 4π/3

1(i)(a) Shift left by 21(i)(a) เลื่อนไปทางซ้าย 2

(i) A sketch of the curve $y=\mathrm{f}(x)$ shows it cutting the $x$-axis at $(-5,0)$, cutting the $y$-axis at $(0,-3)$ and touching the $x$-axis at $(2,0)$.
(ii) A second sketch shows $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ for $0\le x\le2\pi$, where $k$ is a constant. It cuts the $y$-axis at $(0,\sqrt3)$ and meets the $x$-axis at $(p,0)$ and $(q,0)$.
(i)(a) Sketch $y=\mathrm{f}(x+2)$. Mark where it cuts or touches each axis. [3]

  1. $y=\mathrm{f}(x+2)$plus 2 inside: shift left 2บวก 2 ในวงเล็บ: เลื่อนซ้าย 2
  2. $x=-5-2$the crossing moves left 2จุดตัดแกน $x$ ขยับซ้าย 2
  3. $=-7$cuts the axis at $(-7,0)$ตัดแกน $x$ ที่ $(-7,0)$
  4. $x=2-2$the touch point moves tooจุดสัมผัสก็ขยับซ้าย 2
  5. $=0$touches at $O$ (the $y$-intercept too)สัมผัสที่ $O$ (เป็นจุดตัดแกน $y$ ด้วย)

1(i)(b) Mirror in the y-axis1(i)(b) สะท้อนข้ามแกน y

(i) A sketch of the curve $y=\mathrm{f}(x)$ shows it cutting the $x$-axis at $(-5,0)$, cutting the $y$-axis at $(0,-3)$ and touching the $x$-axis at $(2,0)$.
(ii) A second sketch shows $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ for $0\le x\le2\pi$, where $k$ is a constant. It cuts the $y$-axis at $(0,\sqrt3)$ and meets the $x$-axis at $(p,0)$ and $(q,0)$.
(i)(b) On a new diagram, sketch $y=\mathrm{f}(-x)$. Mark where it cuts or touches each axis. [3]

  1. $y=\mathrm{f}(-x)$minus $x$: mirror in the $y$-axisลบ $x$: สะท้อนข้ามแกน $y$
  2. $x=-(-5)$every $x$ changes signค่า $x$ ทุกค่าเปลี่ยนเครื่องหมาย
  3. $=5$cuts the axis at $(5,0)$ตัดแกน $x$ ที่ $(5,0)$
  4. $x=-(2)$the touch point changes signจุดสัมผัสก็เปลี่ยนเครื่องหมาย
  5. $=-2$touches at $(-2,0)$สัมผัสที่ $(-2,0)$
  6. $y=\mathrm{f}(0)$$x=0$: the $y$-axis does not move$x=0$: แกน $y$ อยู่กับที่
  7. $=-3$passes through $(0,-3)$ผ่าน $(0,-3)$

1(ii)(a) Find k1(ii)(a) หาค่า k

(i) A sketch of the curve $y=\mathrm{f}(x)$ shows it cutting the $x$-axis at $(-5,0)$, cutting the $y$-axis at $(0,-3)$ and touching the $x$-axis at $(2,0)$.
(ii) A second sketch shows $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ for $0\le x\le2\pi$, where $k$ is a constant. It cuts the $y$-axis at $(0,\sqrt3)$ and meets the $x$-axis at $(p,0)$ and $(q,0)$.
(ii)(a) Find $k$. [1]

  1. $k\cos\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3$point $(0,\sqrt3)$: $x=0$, $y=\sqrt3$จุด $(0,\sqrt3)$: $x=0$, $y=\sqrt3$
  2. $k\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$exact value of $\cos\dfrac{\pi}{6}$ค่า exact ของ $\cos\dfrac{\pi}{6}$
  3. $k=2$answerคำตอบ

1(ii)(b) Find p and q1(ii)(b) หาค่า p และ q

(i) A sketch of the curve $y=\mathrm{f}(x)$ shows it cutting the $x$-axis at $(-5,0)$, cutting the $y$-axis at $(0,-3)$ and touching the $x$-axis at $(2,0)$.
(ii) A second sketch shows $y=k\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ for $0\le x\le2\pi$, where $k$ is a constant. It cuts the $y$-axis at $(0,\sqrt3)$ and meets the $x$-axis at $(p,0)$ and $(q,0)$.
(ii)(b) Find the exact values of $p$ and $q$. [2]

  1. $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0$on the $x$-axis $y=0$บนแกน $x$: $y=0$
  2. $x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$first angle with $\cos=0$มุมแรกที่ $\cos=0$
  3. $x=\dfrac{\pi}{3}$$p$$p$
  4. $x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$next angle with $\cos=0$มุมถัดไปที่ $\cos=0$
  5. $x=\dfrac{4\pi}{3}$$q$$q$

3. 2 · Scaled sine graph · WMA11/01 Oct 2019 · 4 marks2 · กราฟ sine ที่ถูกสเกล · WMA11/01 Oct 2019 · 4 คะแนน

Answer: 24π; (18π, −1); (i) −12π − α · (ii) 6π − αคำตอบ: 24π; (18π, −1); (i) −12π − α · (ii) 6π − α

2(a) Period of the curve2(a) คาบของกราฟ

Below is part of the curve $C$, whose equation is $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ with $x$ in radians. The point $M$ is a minimum point of $C$.
(a) Write the period of $C$. [1]

  1. $T_{\sin x}=2\pi$period of $\sin x$คาบของ $\sin x$
  2. $T=12\times2\pi$$\dfrac{x}{12}$: 12 times longer$\dfrac{x}{12}$: คาบยาวขึ้น 12 เท่า
  3. $=24\pi$answerคำตอบ

2(b) The minimum point M2(b) จุดต่ำสุด M

Below is part of the curve $C$, whose equation is $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ with $x$ in radians. The point $M$ is a minimum point of $C$.
(b) Write the coordinates of $M$. [1]

  1. $y=-1$lowest value of sineค่าต่ำสุดของ sine
  2. $\dfrac{x}{12}=\dfrac{3\pi}{2}$$\sin=-1$ at $\dfrac{3\pi}{2}$$\sin=-1$ ที่ $\dfrac{3\pi}{2}$
  3. $x=18\pi$multiply both sides by 12คูณ 12 ทั้งสองข้าง
  4. $M=(18\pi,\,-1)$answerคำตอบ

2(c) Solutions in terms of α2(c) คำตอบในรูป α

Below is part of the curve $C$, whose equation is $y=\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)$ with $x$ in radians. The point $M$ is a minimum point of $C$.
(c) Let $\alpha$ be the smallest positive solution of $\sin\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$, where $k$ is a constant. Find, in terms of $\alpha$, (i) the negative solution of that equation closest to $0$, (ii) the smallest positive solution of $\cos\left(\dfrac{x}{12}\right)=k$. [2]

  1. $x=\alpha$smallest positive solutionคำตอบบวกที่เล็กที่สุด
  2. $x=12\pi-\alpha$mirror in the maximum at $6\pi$สะท้อนข้ามจุดสูงสุดที่ $6\pi$
  3. $x=12\pi-\alpha-24\pi$go back one periodถอยหลังไปหนึ่งคาบ
  4. $=-12\pi-\alpha$(i) answerคำตอบ (i)
  5. $x+6\pi=12\pi-\alpha$cos is sin moved left $6\pi$cos คือ sin ที่เลื่อนซ้าย $6\pi$
  6. $x=6\pi-\alpha$(ii) answer: the $\alpha$ one is negativeคำตอบ (ii): แบบ $\alpha$ ได้ค่าติดลบ

4. 3 · Tangent graph roots · WMA11/01 Jan 2023 · 4 marks3 · รากจากกราฟ tangent · WMA11/01 Jan 2023 · 4 คะแนน

Answer: π; 3; 5; 201คำตอบ: π; 3; 5; 201

3(a) Period of tan x3(a) คาบของ tan x

The sketch shows the curve $y=\tan x$ and the straight line $l$ with equation $y=\pi x$, for $-\pi\lt x\lt\pi$.
(a) Write the period of $\tan x$. [1]

  1. $\tan(x+\pi)=\tan x$same values again after $\pi$ผ่านไป $\pi$ ค่ากลับมาเหมือนเดิม
  2. $T=\pi$period $T$: one branch to the nextคาบ $T$: จากเส้นโค้งหนึ่งไปอีกเส้น

3(b)(i) Steeper line, one interval3(b)(i) เส้นชันกว่า ช่วงเดิม

The sketch shows the curve $y=\tan x$ and the straight line $l$ with equation $y=\pi x$, for $-\pi\lt x\lt\pi$.
(b)(i) How many roots has $\tan x=(\pi+2)x$ for $-\pi\lt x\lt\pi$? [1]

  1. $n=1+2$steep line: $O$, then one each sideเส้นชัน: จุด $O$ แล้วข้างละ 1 ราก
  2. $=3$answerคำตอบ

3(b)(ii) Wider interval, same line3(b)(ii) ช่วงกว้างขึ้น เส้นเดิม

The sketch shows the curve $y=\tan x$ and the straight line $l$ with equation $y=\pi x$, for $-\pi\lt x\lt\pi$.
(b)(ii) How many roots has $\tan x=\pi x$ for $-2\pi\lt x\lt2\pi$? [1]

  1. $n=3+2$middle branch 3, one more each sideกิ่งกลางมี 3 แล้วเพิ่มข้างละ 1
  2. $=5$answerคำตอบ

3(b)(iii) The pattern for any interval3(b)(iii) แบบรูปของทุกช่วง

The sketch shows the curve $y=\tan x$ and the straight line $l$ with equation $y=\pi x$, for $-\pi\lt x\lt\pi$.
(b)(iii) How many roots has $\tan x=\pi x$ for $-100\pi\lt x\lt100\pi$? [1]

  1. $m=100$interval is $-m\pi$ to $m\pi$ช่วงคือ $-m\pi$ ถึง $m\pi$
  2. $n=3+2(m-1)$start 3, plus 2 per extra $\pi$เริ่มที่ 3 แล้วเพิ่ม 2 ทุก $\pi$ ที่ขยาย
  3. $n=3+2(99)$substituteแทนค่า
  4. $=201$answerคำตอบ

5. 4 · Sine graph points · WMA11/01 Jan 2020 · 5 marks4 · จุดบนกราฟ sine · WMA11/01 Jan 2020 · 5 คะแนน

Answer: P (90°, 3) · Q (540°, 0); (270°, 4)คำตอบ: P (90°, 3) · Q (540°, 0); (270°, 4)

4(a) Read P and Q4(a) อ่านพิกัด P และ Q

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=3\sin x$ with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(a) Write the coordinates of
(i) $P$,
(ii) $Q$. [3]

  1. $\sin x=1$$P$ is a maximum: $\sin x=1$$P$ เป็นจุดสูงสุด: $\sin x=1$
  2. $x=90^\circ$first time $\sin x=1$ครั้งแรกที่ $\sin x=1$
  3. $y=3\times1$$3\sin x$ with $\sin x=1$$3\sin x$ เมื่อ $\sin x=1$
  4. $=3$height of $P$ความสูงของ $P$
  5. $P=(90^\circ,\,3)$answer (i)คำตอบ (i)
  6. $x=3\times180^\circ$$Q$: the 3rd crossing after $O$$Q$: จุดตัดแกนที่ 3 ถัดจาก $O$
  7. $=540^\circ$crossings are $180^\circ$ apartจุดตัดแกนห่างกัน $180^\circ$
  8. $Q=(540^\circ,\,0)$answer (ii)คำตอบ (ii)

4(b) Shift up, find R4(b) เลื่อนขึ้น แล้วหา R

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=3\sin x$ with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(b) A second curve $C_2$ has equation $y=3\sin x+k$, where $k$ is a constant. Its greatest $y$ value is $10$. $R$ is the minimum point of $C_2$ with the smallest positive $x$. Write the coordinates of $R$. [2]

  1. $k+3=10$greatest value is $k+3$ค่าสูงสุดคือ $k+3$
  2. $k=7$shift up 7เลื่อนขึ้น 7
  3. $y_{\min}=-3+7$lowest value of $3\sin x$ is $-3$ค่าต่ำสุดของ $3\sin x$ คือ $-3$
  4. $=4$height of $R$ความสูงของ $R$
  5. $x=270^\circ$$\sin x=-1$ first at $270^\circ$$\sin x=-1$ ครั้งแรกที่ $270^\circ$
  6. $R=(270^\circ,\,4)$shift up keeps $x$เลื่อนขึ้นไม่เปลี่ยน $x$

6. 5 · Cosine graph points · WMA11/01 Jan 2021 · 5 marks5 · จุดบนกราฟ cosine · WMA11/01 Jan 2021 · 5 คะแนน

Answer: P (−180°, −4) · Q (450°, 0); (360°, 7)คำตอบ: P (−180°, −4) · Q (450°, 0); (360°, 7)

5(a) Read P and Q5(a) อ่านพิกัด P และ Q

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=4\cos x^\circ$. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(a) Write the coordinates of
(i) $P$,
(ii) $Q$. [3]

  1. $\cos x=-1$$P$ is a minimum$P$ เป็นจุดต่ำสุด
  2. $x=-180^\circ$left of the $y$-axisอยู่ซ้ายแกน $y$
  3. $y=4\times(-1)$$4\cos x$ with $\cos x=-1$$4\cos x$ เมื่อ $\cos x=-1$
  4. $=-4$height of $P$ความสูงของ $P$
  5. $P=(-180^\circ,\,-4)$answer (i)คำตอบ (i)
  6. $x=360^\circ+90^\circ$$Q$: a quarter cycle after the maximum$Q$ ห่างจากจุดสูงสุด 1 ใน 4 คาบ
  7. $=450^\circ$quarter of $360^\circ$ is $90^\circ$หนึ่งในสี่ของ $360^\circ$ คือ $90^\circ$
  8. $Q=(450^\circ,\,0)$answer (ii)คำตอบ (ii)

5(b) Shift up, find R5(b) เลื่อนขึ้น แล้วหา R

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=4\cos x^\circ$. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=4\cos x^\circ+k$, where $k$ is a constant. Its lowest $y$ value is $-1$. $R$ is the maximum point of $C_2$ with the smallest positive $x$. Write the coordinates of $R$. [2]

  1. $k-4=-1$lowest value is $k-4$ค่าต่ำสุดคือ $k-4$
  2. $k=3$shift up 3เลื่อนขึ้น 3
  3. $y_{\max}=4+3$highest value of $4\cos x$ is $4$ค่าสูงสุดของ $4\cos x$ คือ $4$
  4. $=7$height of $R$ความสูงของ $R$
  5. $x=360^\circ$$\cos x=1$; $x=0$ is not positive$\cos x=1$; $x=0$ ไม่ใช่ค่าบวก
  6. $R=(360^\circ,\,7)$answerคำตอบ

7. 6 · Cosine graph shifts · WMA11/01 Jan 2024 · 6 marks6 · การเลื่อนกราฟ cosine · WMA11/01 Jan 2024 · 6 คะแนน

Answer: (540°, −5); (360°, 3); (180°, 5)คำตอบ: (540°, −5); (360°, 3); (180°, 5)

6(a) Read P6(a) อ่านพิกัด P

The grid below holds part of the curve $C_1$, given by $y=5\cos x$ with $x$ in degrees. The point $P$ is one of its minimum points.
(a) Write the coordinates of $P$. [2]

  1. $\cos x=-1$$P$ is a minimum$P$ เป็นจุดต่ำสุด
  2. $x=180^\circ+360^\circ$second minimum: add one cycleจุดต่ำสุดที่สอง: บวกอีกหนึ่งคาบ
  3. $=540^\circ$the $x$ of $P$ค่า $x$ ของ $P$
  4. $y=5\times(-1)$$5\cos x$ with $\cos x=-1$$5\cos x$ เมื่อ $\cos x=-1$
  5. $=-5$the $y$ of $P$ค่า $y$ ของ $P$
  6. $P=(540^\circ,\,-5)$answerคำตอบ

6(b)(i) Shift down 26(b)(i) เลื่อนลง 2

The grid below holds part of the curve $C_1$, given by $y=5\cos x$ with $x$ in degrees. The point $P$ is one of its minimum points.
(b)(i) A different curve $C_2$ first reaches a maximum for $x\gt0$ at the point $Q$. Find $Q$ when $C_2$ is $y=5\cos x-2$. [2]

  1. $\cos x=1$highest point: $\cos x=1$จุดสูงสุด: $\cos x=1$
  2. $x=360^\circ$$x=0$ is not positive$x=0$ ไม่ใช่ค่าบวก
  3. $y=5(1)-2$put $\cos x=1$ inแทน $\cos x=1$
  4. $=3$the $y$ of $Q$ค่า $y$ ของ $Q$
  5. $Q=(360^\circ,\,3)$answerคำตอบ

6(b)(ii) Reflected curve6(b)(ii) กราฟที่ถูกพลิก

The grid below holds part of the curve $C_1$, given by $y=5\cos x$ with $x$ in degrees. The point $P$ is one of its minimum points.
(b)(ii) Again $C_2$ first reaches a maximum for $x\gt0$ at $Q$. Find $Q$ when $C_2$ is $y=-5\cos x$. [2]

  1. $\cos x=-1$$-5\cos x$ is biggest when $\cos x=-1$$-5\cos x$ มากสุดเมื่อ $\cos x=-1$
  2. $x=180^\circ$first time in $x\gt0$ครั้งแรกที่ $x\gt0$
  3. $y=-5(-1)$put $\cos x=-1$ inแทน $\cos x=-1$
  4. $=5$the $y$ of $Q$ค่า $y$ ของ $Q$
  5. $Q=(180^\circ,\,5)$answerคำตอบ

8. 7 · Counting trig solutions · WMA11/01 Jun 2025 · 6 marks7 · นับคำตอบตรีโกณ · WMA11/01 Jun 2025 · 6 คะแนน

Answer: (270°, 0); (−180°, −4); 100; 4; 7คำตอบ: (270°, 0); (−180°, −4); 100; 4; 7

7(a) Read P7(a) อ่านพิกัด P

The sketch shows part of the curve $y=4\cos x$, where $x$ is in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(a) Write the coordinates of $P$. [1]

  1. $\cos x=0$$P$ is on the $x$-axis$P$ อยู่บนแกน $x$
  2. $x=180^\circ+90^\circ$a quarter cycle after the minimumห่างจากจุดต่ำสุด 1 ใน 4 คาบ
  3. $=270^\circ$the $x$ of $P$ค่า $x$ ของ $P$
  4. $P=(270^\circ,\,0)$answerคำตอบ

7(b) Read Q7(b) อ่านพิกัด Q

The sketch shows part of the curve $y=4\cos x$, where $x$ is in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(b) Write the coordinates of $Q$. [2]

  1. $\cos x=-1$$Q$ is a minimum$Q$ เป็นจุดต่ำสุด
  2. $x=-180^\circ$half a cycle left of the maximumอยู่ซ้ายจุดสูงสุดครึ่งคาบ
  3. $y=4\times(-1)$$4\cos x$ with $\cos x=-1$$4\cos x$ เมื่อ $\cos x=-1$
  4. $=-4$the $y$ of $Q$ค่า $y$ ของ $Q$
  5. $Q=(-180^\circ,\,-4)$answerคำตอบ

7(c)(i) Cosine equals ¾7(c)(i) cos เท่ากับ ¾

The sketch shows part of the curve $y=4\cos x$, where $x$ is in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(c)(i) How many solutions has $4\cos x=3$ for $0\lt x\le18\,000^\circ$? [1]

  1. $4\cos x=3$divide both sides by 4หารทั้งสองข้างด้วย 4
  2. $\cos x=\dfrac{3}{4}$2 solutions in each $360^\circ$2 คำตอบในทุก $360^\circ$
  3. $18\,000\div360=50$number of cyclesจำนวนคาบ
  4. $n=50\times2$two solutions per cycleคาบละ 2 คำตอบ
  5. $=100$answerคำตอบ

7(c)(ii) Cosine equals −17(c)(ii) cos เท่ากับ −1

The sketch shows part of the curve $y=4\cos x$, where $x$ is in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(c)(ii) How many solutions has $5+4\cos x=1$ for $-720^\circ\lt x\le720^\circ$? [1]

  1. $5+4\cos x=1$move the 5ย้าย 5 ไปอีกข้าง
  2. $4\cos x=-4$divide both sides by 4หารทั้งสองข้างด้วย 4
  3. $\cos x=-1$one solution in each $360^\circ$คาบละ 1 คำตอบ
  4. $x=\pm180^\circ$solutions: $180^\circ$ and $-180^\circ$คำตอบ: $180^\circ$ และ $-180^\circ$
  5. $x=\pm540^\circ$next: $\pm900^\circ$ is outsideถัดไป $\pm900^\circ$ เกินช่วง
  6. $n=2+2$count themนับคำตอบ
  7. $=4$answerคำตอบ

7(c)(iii) Cosine equals 17(c)(iii) cos เท่ากับ 1

The sketch shows part of the curve $y=4\cos x$, where $x$ is in degrees. The points $P$ and $Q$ are marked on it.
(c)(iii) How many solutions has $4\cos x-3=1$ for $-1080^\circ\le x\le1080^\circ$? [1]

  1. $4\cos x-3=1$move the 3ย้าย 3 ไปอีกข้าง
  2. $4\cos x=4$divide both sides by 4หารทั้งสองข้างด้วย 4
  3. $\cos x=1$one solution in each $360^\circ$คาบละ 1 คำตอบ
  4. $x=0$the middle oneตัวกลาง
  5. $x=\pm360^\circ$then add and subtract $360^\circ$แล้วบวกลบทีละ $360^\circ$
  6. $x=\pm720^\circ$againอีกครั้ง
  7. $x=\pm1080^\circ$the ends count: $\le$ปลายช่วงนับด้วย: $\le$
  8. $n=1+2+2+2$count themนับคำตอบ
  9. $=7$answerคำตอบ

9. 8 · Sine graph shifts · WMA11/01 Jun 2024 · 6 marks8 · การเลื่อนกราฟ sine · WMA11/01 Jun 2024 · 6 คะแนน

Answer: (5π/2, 12); (3π/2, −21); (i) A = −12 · (ii) B = 5π/4คำตอบ: (5π/2, 12); (3π/2, −21); (i) A = −12 · (ii) B = 5π/4

8(a) Read P8(a) อ่านพิกัด P

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=12\sin x$ with $x$ in radians. The point $P$ is a maximum point of $C_1$.
(a) Find the coordinates of $P$. [2]

  1. $\sin x=1$$P$ is a maximum$P$ เป็นจุดสูงสุด
  2. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi$second maximum: add one cycleจุดสูงสุดที่สอง: บวกอีกหนึ่งคาบ
  3. $=\dfrac{5\pi}{2}$the $x$ of $P$ค่า $x$ ของ $P$
  4. $y=12\times1$$12\sin x$ with $\sin x=1$$12\sin x$ เมื่อ $\sin x=1$
  5. $=12$the $y$ of $P$ค่า $y$ ของ $P$
  6. $P=\left(\dfrac{5\pi}{2},\,12\right)$answerคำตอบ

8(b) Shift down, find the minimum8(b) เลื่อนลง หาจุดต่ำสุด

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=12\sin x$ with $x$ in radians. The point $P$ is a maximum point of $C_1$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=12\sin x+k$, where $k$ is a constant. The greatest value of $y$ on $C_2$ is $3$. Call the minimum point of $C_2$ with the smallest positive $x$ $R$. Give the coordinates of $R$. [2]

  1. $k+12=3$greatest value is $k+12$ค่าสูงสุดคือ $k+12$
  2. $k=-9$shift down 9เลื่อนลง 9
  3. $y_{\min}=-12-9$lowest value of $12\sin x$ is $-12$ค่าต่ำสุดของ $12\sin x$ คือ $-12$
  4. $=-21$the $y$ of the pointค่า $y$ ของจุด
  5. $x=\dfrac{3\pi}{2}$$\sin x=-1$ first at $\dfrac{3\pi}{2}$$\sin x=-1$ ครั้งแรกที่ $\dfrac{3\pi}{2}$
  6. $R=\left(\dfrac{3\pi}{2},\,-21\right)$answerคำตอบ

8(c) Shift sideways8(c) เลื่อนไปทางซ้าย

Below is part of the curve $C_1$, given by $y=12\sin x$ with $x$ in radians. The point $P$ is a maximum point of $C_1$.
(c) The curve $C_3$ has equation $y=12\sin(x+B)$, where $B$ is a positive constant. Its minimum point with the smallest positive $x$ is $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$, where $A$ is a constant. Find (i) $A$, (ii) the smallest possible $B$. [2]

  1. $A=-12$a sideways shift keeps the lowest valueเลื่อนซ้ายขวาไม่เปลี่ยนค่าต่ำสุด
  2. $x+B=\dfrac{3\pi}{2}$lowest point: $\sin=-1$ at $\dfrac{3\pi}{2}$จุดต่ำสุด: $\sin=-1$ ที่ $\dfrac{3\pi}{2}$
  3. $\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{3\pi}{2}$put in $x=\dfrac{\pi}{4}$แทน $x=\dfrac{\pi}{4}$
  4. $B=\dfrac{5\pi}{4}$smallest: $\dfrac{5\pi}{4}-2\pi\lt0$น้อยสุด: $\dfrac{5\pi}{4}-2\pi\lt0$

10. 9 · Sine symmetry and sketch · WMA11/01 Jun 2022 · 8 marks9 · สมมาตรและการร่างกราฟ sine · WMA11/01 Jun 2022 · 8 คะแนน

Answer: (i) 2p · (ii) −p · (iii) 3 − p; sine curve through O, height 1, period 180°; x = α/2 and x = 90° − α/2คำตอบ: (i) 2p · (ii) −p · (iii) 3 − p; sine curve through O, height 1, period 180°; x = α/2 and x = 90° − α/2

9(a) Values in terms of p9(a) ค่าในรูป p

The sketch shows part of the curve $y=\sin x$, where $x$ is in degrees. The angle $\alpha$ satisfies $\sin\alpha=p$ and $0\lt\alpha\lt90^\circ$.
(a) Give each value in terms of $p$:
(i) $2\sin(180^\circ-\alpha)$,
(ii) $\sin(\alpha-180^\circ)$,
(iii) $3+\sin(180^\circ+\alpha)$. [3]

  1. $2\sin(180^\circ-\alpha)=2\sin\alpha$mirror in $x=90^\circ$: same heightสะท้อนข้ามเส้น $x=90^\circ$: สูงเท่าเดิม
  2. $=2p$(i) answerคำตอบ (i)
  3. $\sin(\alpha-180^\circ)=-\sin\alpha$half a cycle back: the height flipsถอยครึ่งคาบ: ค่าเปลี่ยนเครื่องหมาย
  4. $=-p$(ii) answerคำตอบ (ii)
  5. $\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$(iii) half a cycle on: the height flips(iii) เดินหน้าครึ่งคาบ: ค่าเปลี่ยนเครื่องหมาย
  6. $3+(-p)=3-p$(iii) answerคำตอบ (iii)

9(b) Sketch y = sin 2x9(b) ร่างกราฟ y = sin 2x

The sketch shows part of the curve $y=\sin x$, where $x$ is in degrees. The angle $\alpha$ satisfies $\sin\alpha=p$ and $0\lt\alpha\lt90^\circ$.
(b) Sketch $y=\sin2x$ on a copy of the diagram. [2]

  1. $T=360^\circ\div2$$2x$ makes it twice as fast$2x$ ทำให้เร็วขึ้นสองเท่า
  2. $=180^\circ$one cycle in $180^\circ$หนึ่งคาบใน $180^\circ$
  3. $y_{\max}=1$same height as $\sin x$สูงเท่า $\sin x$
  4. $x=90^\circ\times n$crosses the axis every $90^\circ$ตัดแกนทุก $90^\circ$

9(c) Solve using symmetry9(c) แก้สมการด้วยสมมาตร

The sketch shows part of the curve $y=\sin x$, where $x$ is in degrees. The angle $\alpha$ satisfies $\sin\alpha=p$ and $0\lt\alpha\lt90^\circ$.
(c) Use your sketch to find, in terms of $\alpha$, the $x$ values with $0\lt x\lt180^\circ$ for which $\sin2x=p$. [3]

  1. $2x=\alpha$direct: $\sin\alpha=p$ตรง ๆ: $\sin\alpha=p$
  2. $x=\dfrac{\alpha}{2}$first solutionคำตอบแรก
  3. $2x=180^\circ-\alpha$mirror in the maximum at $x=45^\circ$สะท้อนข้ามจุดสูงสุดที่ $x=45^\circ$
  4. $x=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}$second solution; no others in rangeคำตอบที่สอง ไม่มีอื่นในช่วงนี้

11. 10 · Sketch trig graphs · WMA11/01 Jun 2023 · 9 marks10 · ร่างกราฟตรีโกณ · WMA11/01 Jun 2023 · 9 คะแนน

Answer: f(x) = 3 cos x; x-intercepts −7π/4, −3π/4, π/4, 5π/4 · y-intercept 3√2/2; g(x) = sin 2x; y-intercept (0, −2)คำตอบ: f(x) = 3 cos x; x-intercepts −7π/4, −3π/4, π/4, 5π/4 · y-intercept 3√2/2; g(x) = sin 2x; y-intercept (0, −2)

10(i)(a) Write f(x)10(i)(a) เขียน f(x)

(i)(a) Part of the graph of a trigonometric function $y=\mathrm{f}(x)$ is shown. Write an expression for $\mathrm{f}(x)$. [2]

  1. $A=3$the highest point is 3จุดสูงสุดคือ 3
  2. $T=2\pi$one full cycle in $2\pi$หนึ่งคาบยาว $2\pi$
  3. $\mathrm{f}(0)=3$maximum at $x=0$: a cosineสูงสุดที่ $x=0$: เป็น cosine
  4. $\mathrm{f}(x)=3\cos x$answerคำตอบ

10(i)(b) Sketch f(x + π/4)10(i)(b) ร่างกราฟ f(x + π/4)

(i)(b) Sketch $y=\mathrm{f}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ for $-2\pi\lt x\lt2\pi$. Mark every point where it meets the axes. [3]

  1. $y=\mathrm{f}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$plus $\dfrac{\pi}{4}$ inside: move leftบวก $\dfrac{\pi}{4}$ ในวงเล็บ: เลื่อนซ้าย
  2. $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$each zero of f moves left $\dfrac{\pi}{4}$ทุกจุดที่ f เป็น 0 ขยับซ้าย $\dfrac{\pi}{4}$
  3. $\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$
  4. $-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}$
  5. $-\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{7\pi}{4}$four $x$-interceptsจุดตัดแกน $x$ ทั้งสี่
  6. $y=3\cos\dfrac{\pi}{4}$$x=0$: the $y$-intercept$x=0$: จุดตัดแกน $y$
  7. $=3\times\dfrac{\sqrt2}{2}$exact value of $\cos\dfrac{\pi}{4}$ค่า exact ของ $\cos\dfrac{\pi}{4}$
  8. $=\dfrac{3\sqrt2}{2}$answerคำตอบ

10(ii)(a) Write g(x)10(ii)(a) เขียน g(x)

(ii)(a) Part of the graph of a trigonometric function $y=\mathrm{g}(x)$ is shown. Write an expression for $\mathrm{g}(x)$. [2]

  1. $A=1$the highest point is 1จุดสูงสุดคือ 1
  2. $\mathrm{g}(0)=0$through $O$: a sine shapeผ่าน $O$: เป็นรูป sine
  3. $T=\pi$one cycle every $\pi$หนึ่งคาบยาว $\pi$
  4. $b=\dfrac{2\pi}{T}$$\sin bx$ has period $\dfrac{2\pi}{b}$$\sin bx$ มีคาบ $\dfrac{2\pi}{b}$
  5. $=\dfrac{2\pi}{\pi}$substitute $T=\pi$แทน $T=\pi$
  6. $=2$$b$$b$
  7. $\mathrm{g}(x)=\sin2x$answerคำตอบ

10(ii)(b) Sketch g(x) − 210(ii)(b) ร่างกราฟ g(x) − 2

(ii)(b) Sketch $y=\mathrm{g}(x)-2$ for $-2\pi\lt x\lt2\pi$. Mark where it cuts the $y$-axis. [2]

  1. $y=\mathrm{g}(x)-2$minus 2: every point moves down 2ลบ 2: ทุกจุดเลื่อนลง 2
  2. $y_{\max}=1-2$top of the curveยอดของกราฟ
  3. $=-1$it stays below the axisกราฟอยู่ใต้แกนทั้งหมด
  4. $y_{\min}=-1-2$bottom of the curveก้นของกราฟ
  5. $=-3$height from $-3$ to $-1$สูงจาก $-3$ ถึง $-1$
  6. $y=\sin(2\times0)-2$$x=0$$x=0$
  7. $=-2$$y$-intercept $(0,-2)$จุดตัดแกน $y$ คือ $(0,-2)$

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. The curve $y=5\cos x^\circ+k$ has a lowest $y$ value of $-2$. $R$ is its maximum point with the smallest positive $x$. Find the coordinates of $R$, with $x$ in degrees.เส้นโค้ง $y=5\cos x^\circ+k$ มีค่า $y$ ต่ำสุดเท่ากับ $-2$ · $R$ คือจุดสูงสุดที่มีค่า $x$ บวกน้อยที่สุด · หาพิกัดของ $R$ ($x$ เป็นองศา)
    Answer:เฉลย: (360, 8)Lowest value: $-5+k=-2$, so $k=3$. Highest value: $5+3=8$, at $x=360$.ค่าต่ำสุด: $-5+k=-2$ ได้ $k=3$ · ค่าสูงสุด: $5+3=8$ ที่ $x=360$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี