Trig identities · 9MA0เอกลักษณ์ตรีโกณ · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Double-angle identity · 9MA0/02 Jun 2018 · 9 marks1 · เอกลักษณ์มุมสองเท่า · 9MA0/02 Jun 2018 · 9 คะแนน

Answer: 1 − cos 2θ ≡ tan θ sin 2θ (proved); x = −π/4, 0, 1.326คำตอบ: 1 − cos 2θ ≡ tan θ sin 2θ (proved); x = −π/4, 0, 1.326

1(a) Prove the identity1(a) พิสูจน์เอกลักษณ์

(a) Prove that $1-\cos 2\theta\equiv\tan\theta\sin 2\theta$, where $n$ is an integer and $\theta\neq\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$. [3]

1. $\tan\theta\sin2\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot2\sin\theta\cos\theta$start right · sin 2θ = 2 sin θ cos θเริ่มฝั่งขวา · sin 2θ = 2 sin θ cos θ
2. $=2\sin^2\theta$cos θ cancelscos θ ตัดกัน
3. $=1-\cos2\theta$cos 2θ = 1 − 2sin²θ · showncos 2θ = 1 − 2sin²θ · แสดงได้แล้ว

1(b) Solve · keep x = 01(b) แก้สมการ · เก็บ x = 0

(b) Use part (a) to solve $(\sec^2 x-5)(1-\cos 2x)=3\tan^2 x\sin 2x$ for $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$. Round any answer that is not exact to 3 d.p. [6]

1. $t=\tan x$let t = tan xให้ t = tan x
2. $1-\cos2x=K$from (a) · K = t sin 2xจาก (a) · K = t sin 2x
3. $(\sec^2x-5)K=3t^2\sin2x$put K into the equationแทน K ลงในสมการ
4. $0=K(\ \ldots\ )$factorise · ( … ) = sec²x − 5 − 3t · never ÷ Kแยกตัวประกอบ · ( … ) = sec²x − 5 − 3t · ห้ามหาร K
5. $t\sin2x=0$factor 1ตัวแรก
6. $x=0$only one in −π/2 < x < π/2มีค่าเดียวในช่วง −π/2 < x < π/2
7. $t^2-3t-4=0$factor 2 · sec²x = 1 + t² · 1 − 5 = −4ตัวที่สอง · sec²x = 1 + t² · 1 − 5 = −4
8. $(t-4)(t+1)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
9. $\tan x=4,\ -1$t = 4 or t = −1t = 4 หรือ t = −1
10. $x=1.326,\ -\tfrac{\pi}{4}$radiansเรเดียน
11. $x=-\tfrac{\pi}{4},\ 0,\ 1.326$answer · three solutionsคำตอบ · สามค่า

3. 2 · Compound-angle proof · 9MA0/02 Jun 2019 · 7 marks2 · พิสูจน์มุมประกอบ · 9MA0/02 Jun 2019 · 7 คะแนน

Answer: cos 3θ/sin θ + sin 3θ/cos θ ≡ 2 cot 2θ (proved); θ = 103.3°คำตอบ: cos 3θ/sin θ + sin 3θ/cos θ ≡ 2 cot 2θ (proved); θ = 103.3°

2(a) Prove: equals 2 cot 2θ2(a) พิสูจน์ว่าเท่ากับ 2 cot 2θ

(a) Prove that $\dfrac{\cos 3\theta}{\sin\theta}+\dfrac{\sin 3\theta}{\cos\theta}\equiv 2\cot 2\theta$, where $n$ is an integer and $\theta\neq(90n)^\circ$. [4]

1. $L=\dfrac{\cos3\theta\cos\theta+\sin3\theta\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta}$L = left side · one fractionL = ฝั่งซ้าย · รวมเป็นเศษส่วนเดียว
2. $=\dfrac{\cos(3\theta-\theta)}{\sin\theta\cos\theta}$cos(A − B) = cosAcosB + sinAsinBcos(A − B) = cosAcosB + sinAsinB
3. $=\dfrac{\cos2\theta}{\tfrac12\sin2\theta}$sin θ cos θ = ½ sin 2θsin θ cos θ = ½ sin 2θ
4. $=2\cot2\theta$cos ÷ sin = cot · showncos ÷ sin = cot · แสดงได้แล้ว

2(b) Solve = 4 in the range2(b) แก้ = 4 ในช่วงที่กำหนด

(b) Use part (a) to solve $\dfrac{\cos 3\theta}{\sin\theta}+\dfrac{\sin 3\theta}{\cos\theta}=4$ for $90^\circ\lt\theta\lt180^\circ$. Give each answer to 1 d.p. [3]

1. $2\cot2\theta=4$use (a)ใช้ (a)
2. $\cot2\theta=2$
3. $\tan2\theta=\tfrac12$cot = 1/tancot = 1/tan
4. $180^\circ\lt2\theta\lt360^\circ$double the rangeช่วงของ 2θ: คูณ 2
5. $2\theta=180^\circ+26.57^\circ$arctan ½ = 26.57° is out · + 180°arctan ½ = 26.57° อยู่นอกช่วง · บวก 180°
6. $2\theta=206.57^\circ$
7. $\theta=103.3^\circ$answer · 1 d.p. · only oneคำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง · มีค่าเดียว

4. 3 · Identity, then solve · 9MA0/01 Oct 2021 · 8 marks3 · พิสูจน์แล้วแก้สมการ · 9MA0/01 Oct 2021 · 8 คะแนน

Answer: the fraction ≡ tan θ (proved); x = 35.3°, 90°, 144.7°คำตอบ: the fraction ≡ tan θ (proved); x = 35.3°, 90°, 144.7°

3(a) Prove the fraction3(a) พิสูจน์เศษส่วน

Show every stage of your working. A solution that relies only on a calculator earns nothing.
(a) Given that $1+\cos 2\theta+\sin 2\theta\neq 0$, prove that $\dfrac{1-\cos 2\theta+\sin 2\theta}{1+\cos 2\theta+\sin 2\theta}\equiv\tan\theta$. [4]

1. $1-\cos2\theta=2\sin^2\theta$cos 2θ = 1 − 2sin²θcos 2θ = 1 − 2sin²θ
2. $1+\cos2\theta=2\cos^2\theta$cos 2θ = 2cos²θ − 1cos 2θ = 2cos²θ − 1
3. $L=\dfrac{2\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta}$L = left side · sin 2θ = 2 sin θ cos θL = ฝั่งซ้าย · sin 2θ = 2 sin θ cos θ
4. $=\dfrac{2\sin\theta(\sin\theta+\cos\theta)}{2\cos\theta(\cos\theta+\sin\theta)}$factorise top and bottomแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน
5. $=\tan\theta$brackets cancel · shownวงเล็บตัดกัน · แสดงได้แล้ว

3(b) Solve using θ = 2x3(b) แก้สมการ ใช้ θ = 2x

Show every stage of your working. A solution that relies only on a calculator earns nothing.
(b) Use part (a) to solve $\dfrac{1-\cos 4x+\sin 4x}{1+\cos 4x+\sin 4x}=3\sin 2x$ for $0\lt x\lt180^\circ$. Give answers to 1 d.p. where they are not exact. [4]

1. $\tan2x=3\sin2x$left side is (a) with θ = 2xฝั่งซ้ายคือ (a) โดย θ = 2x
2. $\dfrac{\sin2x}{\cos2x}=3\sin2x$tan = sin ÷ costan = sin ÷ cos
3. $\sin2x=3\sin2x\cos2x$
4. $\sin2x(\ \ldots\ )=0$factorise · ( … ) = 1 − 3cos 2x · never ÷ sin 2xแยกตัวประกอบ · ( … ) = 1 − 3cos 2x · ห้ามหาร sin 2x
5. $\sin2x=0$factor 1 · 0° < 2x < 360°ตัวแรก · 0° < 2x < 360°
6. $2x=180^\circ$
7. $1-3\cos2x=0$factor 2ตัวที่สอง
8. $\cos2x=\tfrac13$rearrangeจัดรูป
9. $2x=70.53^\circ$first angleมุมแรก
10. $2x=289.47^\circ$and 360° − 70.53°และ 360° − 70.53°
11. $x=35.3^\circ,\ 90^\circ,\ 144.7^\circ\quad$answer · halve everythingคำตอบ · หารสองทุกค่า

5. 4 · Compound-angle equation · 9709/31 Jun 2021 · 6 marks4 · สมการมุมประกอบ · 9709/31 Jun 2021 · 6 คะแนน

Answer: tan x = (2 − √3)/(1 − 2√3) (shown); x = 173.8°, 353.8°คำตอบ: tan x = (2 − √3)/(1 − 2√3) (shown); x = 173.8°, 353.8°

4(a) Show the value of tan x4(a) แสดงค่า tan x

Consider the equation $\cos(x-30^\circ)=2\sin(x+30^\circ)$.
(a) Show that it gives $\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$. [4]

1. $c=\cos x$short names: c and sตั้งชื่อสั้น: c และ s
2. $s=\sin x$
3. $\cos(x-30^\circ)=\tfrac{\sqrt3}{2}c+\tfrac12s$M1 B1 · cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B · cos 30° = √3/2, sin 30° = ½M1 B1 · cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B · cos 30° = √3/2, sin 30° = ½
4. $2\sin(x+30^\circ)=\sqrt3s+c$expand the right bracket · 2 × (s · √3/2 + c · ½)กระจายวงเล็บขวา · 2 × (s · √3/2 + c · ½)
5. $\tfrac{\sqrt3}{2}c+\tfrac12s=\sqrt3s+c$the two sides are equalสองข้างเท่ากัน
6. $\sqrt3c+s=2\sqrt3s+2c$DM1 · × 2 clears the halvesDM1 · คูณ 2 ให้หมดเศษส่วน
7. $\sqrt3c-2c=2\sqrt3s-s$c terms on one side, s on the otherc ไว้ข้างหนึ่ง s ไว้อีกข้าง
8. $c(\sqrt3-2)=s(2\sqrt3-1)$factorise both sidesแยกตัวประกอบทั้งสองข้าง
9. $\tan x=\dfrac{\sqrt3-2}{2\sqrt3-1}$A1 · s ÷ c = tan xA1 · s ÷ c = tan x
10. $=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$× (−1) on top and bottom · shownคูณ −1 ทั้งเศษและส่วน · แสดงได้แล้ว

4(b) Solve for x4(b) หา x

Consider the equation $\cos(x-30^\circ)=2\sin(x+30^\circ)$.
(b) Use part (a) to solve the equation for $0^\circ\lt x\lt360^\circ$. [2]

1. $\tan x=\dfrac{2-\sqrt3}{1-2\sqrt3}$from (a)จาก (a)
2. $=-0.1087$decimal · negativeเป็นทศนิยม · ค่าลบ
3. $\tan^{-1}(0.1087)=6.2^\circ$work with the positive value firstหามุมจากค่าบวกก่อน
4. $x=180^\circ-6.2^\circ$B1 · tan is negative: second quarterB1 · tan ติดลบ: จตุภาคที่ 2
5. $=173.8^\circ$
6. $x=360^\circ-6.2^\circ$B1 · fourth quarterB1 · จตุภาคที่ 4
7. $=353.8^\circ$
8. $x=173.8^\circ,\ 353.8^\circ$answer · nothing else in rangeคำตอบ · ไม่มีค่าอื่นในช่วง

6. 5 · R sin(x − α) form · 9709/31 Nov 2021 · 5 marks5 · รูป R sin(x − α) · 9709/31 Nov 2021 · 5 คะแนน

Answer: R = √34, α = 0.54; greatest 34, least 0คำตอบ: R = √34, α = 0.54; greatest 34, least 0

5(a) Write in R sin form5(a) เขียนเป็นรูป R sin

(a) Write $5\sin x-3\cos x$ as $R\sin(x-\alpha)$, with $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\tfrac12\pi$. State $R$ exactly and give $\alpha$ to 2 d.p. [3]

1. $R=\sqrt{5^2+3^2}$B1 · R from the coefficients 5 and 3B1 · หา R จากสัมประสิทธิ์ 5 และ 3
2. $=\sqrt{34}$exact valueค่า exact
3. $R\sin(x-\alpha)=R\cos\alpha\sin x-R\sin\alpha\cos x$M1 · expand the bracketM1 · กระจายวงเล็บ
4. $R\cos\alpha=5$match the sin x termsเทียบเทอม sin x
5. $R\sin\alpha=3$match the cos x termsเทียบเทอม cos x
6. $\tan\alpha=\dfrac35$divide: sin ÷ cosหารกัน: sin ÷ cos
7. $\alpha=\tan^{-1}\dfrac35$A1 · radian modeA1 · เครื่องคิดเลขโหมดเรเดียน
8. $=0.54$radians, because α is between 0 and ½πเรเดียน เพราะ α อยู่ระหว่าง 0 กับ ½π
9. $R=\sqrt{34},\ \alpha=0.54$answerคำตอบ

5(b) Greatest and least5(b) ค่ามากสุดและน้อยสุด

(b) Use part (a) to state the greatest and the least value that $(5\sin x-3\cos x)^2$ can take. [2]

1. $E=R\sin(x-\alpha)$use (a) · E = 5 sin x − 3 cos x · R = √34ใช้ (a) · E = 5 sin x − 3 cos x · R = √34
2. $E^2=34S$square it · R² = 34 · S = sin²(x − α)ยกกำลังสอง · R² = 34 · S = sin²(x − α)
3. $0\le S\le1$a squared sin runs from 0 to 1sin ยกกำลังสอง อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
4. $\text{greatest}=34\times1=34$B1 · when S = 1B1 · ตอนที่ S = 1
5. $\text{least}=34\times0=0$B1 · when S = 0B1 · ตอนที่ S = 0
6. $\text{greatest}=34,\ \text{least}=0$answerคำตอบ

7. 6 · tan compound angles · 9709/31 Jun 2020 · 6 marks6 · tan มุมประกอบ · 9709/31 Jun 2020 · 6 คะแนน

Answer: θ = 12.1°, 122.9°คำตอบ: θ = 12.1°, 122.9°

6 Quadratic in tan θ6 สมการกำลังสองใน tan θ

Write $\tan(\theta+60^\circ)=2+\tan(60^\circ-\theta)$ as a quadratic equation in $\tan\theta$. Then solve it for $0^\circ\le\theta\le180^\circ$. [6]

1. $k=\sqrt3$tan 60° = √3 · call it k · let t = tan θtan 60° = √3 · ตั้งชื่อ k · ให้ t = tan θ
2. $\tan(\theta+60^\circ)=\dfrac{t+k}{1-kt}$M1 · tan(A + B) formulaM1 · สูตร tan(A + B)
3. $\tan(60^\circ-\theta)=\dfrac{k-t}{1+kt}$tan(A − B) formulaสูตร tan(A − B)
4. $\dfrac{t+k}{1-kt}=2+\dfrac{k-t}{1+kt}$A1 · both put in · D = (1 − kt)(1 + kt)A1 · แทนทั้งสองตัว · D = (1 − kt)(1 + kt)
5. $N_1-N_2=2(1-3t^2)$N₁ = (t + k)(1 + kt) · N₂ = (k − t)(1 − kt) · (1 − kt)(1 + kt) = 1 − 3t²N₁ = (t + k)(1 + kt) · N₂ = (k − t)(1 − kt) · (1 − kt)(1 + kt) = 1 − 3t²
6. $N_1=kt^2+4t+k$expand N₁ · k² = 3, so t + 3t = 4tกระจาย N₁ · k² = 3 ดังนั้น t + 3t = 4t
7. $N_2=kt^2-4t+k$expand N₂กระจาย N₂
8. $N_1-N_2=8t$subtract · kt² and k cancelลบกัน · kt² กับ k หักล้าง
9. $8t=2-6t^2$two ways to write N₁ − N₂N₁ − N₂ เขียนได้สองแบบ เท่ากัน
10. $6t^2+8t-2=0$all terms on the leftย้ายทุกเทอมมาซ้าย
11. $3t^2+4t-1=0$A1 · quadratic in tan θA1 · สมการกำลังสองใน tan θ
12. $t=\dfrac{-4\pm\sqrt{28}}{6}$M1 · quadratic formula · a = 3, b = 4, c = −1M1 · สูตรกำลังสอง · a = 3, b = 4, c = −1
13. $=\dfrac{-2\pm\sqrt7}{3}$√28 = 2√7, then ÷ 2√28 = 2√7 แล้วหารสอง
14. $t=0.21525$first value: (−2 + √7) ÷ 3ค่าแรก: (−2 + √7) ÷ 3
15. $\theta=12.1^\circ$A1 · first angle · tan⁻¹ 0.21525A1 · มุมแรก · tan⁻¹ 0.21525
16. $t=-1.54858$second value: (−2 − √7) ÷ 3ค่าที่สอง: (−2 − √7) ÷ 3
17. $\alpha=57.1^\circ$tan is negative: acute angle α = tan⁻¹ 1.54858tan ติดลบ: มุมแหลม α = tan⁻¹ 1.54858
18. $\theta=180^\circ-57.1^\circ$A1 · second quarter: 180° − αA1 · จตุภาคที่ 2: 180° − α
19. $=122.9^\circ$
20. $\theta=12.1^\circ,\ 122.9^\circ$answer · nothing else in rangeคำตอบ · ไม่มีค่าอื่นในช่วง

8. 7 · cot 2θ equation · 9709/31 Nov 2021 · 6 marks7 · สมการ cot 2θ · 9709/31 Nov 2021 · 6 คะแนน

Answer: tan²θ + 4 tan θ − 3 = 0 (shown); θ = 0.573, 1.783คำตอบ: tan²θ + 4 tan θ − 3 = 0 (shown); θ = 0.573, 1.783

7(a) Quadratic in tan θ7(a) สมการกำลังสองใน tan θ

The equation is $\cot 2\theta+\cot\theta=2$.
(a) Show that the equation reduces to a quadratic in $\tan\theta$. [3]

1. $t=\tan\theta$let t = tan θให้ t = tan θ
2. $\cot2\theta=\dfrac{1-t^2}{2t}$M1 · cot 2θ written with tM1 · เขียน cot 2θ ด้วย t
3. $\cot\theta=\dfrac1t$cot = 1 ÷ tancot = 1 ÷ tan
4. $\dfrac{1-t^2}{2t}+\dfrac1t=2$A1 · both put into the equationA1 · แทนทั้งสองตัวลงในสมการ
5. $3-t^2=4t$bottoms cancel · 1 + 2 = 3ตัวส่วนหายไป · 1 + 2 = 3
6. $0=t^2+4t-3$all terms on one sideย้ายทุกเทอมมาข้างเดียว
7. $t^2+4t-3=0$A1 · turn it round · t = tan θ · shownA1 · สลับข้างให้อ่านง่าย · t = tan θ · แสดงได้แล้ว

7(b) Solve in radians7(b) แก้สมการเป็นเรเดียน

The equation is $\cot 2\theta+\cot\theta=2$.
(b) Use part (a) to solve $\cot 2\theta+\cot\theta=2$ for $0\lt\theta\lt\pi$. Give each answer to 3 d.p. [3]

1. $\tan\theta=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+12}}{2}$M1 · quadratic formula · a = 1, b = 4, c = −3M1 · สูตรกำลังสอง · a = 1, b = 4, c = −3
2. $=-2\pm\sqrt7$√28 = 2√7, then ÷ 2√28 = 2√7 แล้วหารสอง
3. $\tan\theta=-2+\sqrt7$first valueค่าแรก
4. $=0.6458$
5. $\theta=0.573$A1 · tan⁻¹ in radian modeA1 · tan⁻¹ โหมดเรเดียน
6. $\tan\theta=-2-\sqrt7$second valueค่าที่สอง
7. $=-4.6458$
8. $\theta=\pi-1.359$A1 · tan⁻¹ gives −1.359: add πA1 · tan⁻¹ ได้ −1.359: บวก π
9. $=1.783$
10. $\theta=0.573,\ 1.783$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

9. 8 · cot 2x identity · 9709/32 Mar 2020 · 7 marks8 · เอกลักษณ์ cot 2x · 9709/32 Mar 2020 · 7 คะแนน

Answer: cos 3x/sin x + sin 3x/cos x = 2 cot 2x (shown); x = 0.232, 1.80คำตอบ: cos 3x/sin x + sin 3x/cos x = 2 cot 2x (shown); x = 0.232, 1.80

8(a) Prove with cot 2x8(a) พิสูจน์ด้วย cot 2x

(a) Show that $\dfrac{\cos 3x}{\sin x}+\dfrac{\sin 3x}{\cos x}=2\cot 2x$. [4]

1. $L=\dfrac{\cos3x\cos x+\sin3x\sin x}{\sin x\cos x}$B1 · L = left side · one fractionB1 · L = ฝั่งซ้าย · รวมเป็นเศษส่วนเดียว
2. $=\dfrac{\cos(3x-x)}{\sin x\cos x}$M1 · cos(A − B) on the topM1 · cos(A − B) ที่ตัวเศษ
3. $=\dfrac{\cos2x}{\tfrac12\sin2x}$M1 · sin x cos x = ½ sin 2xM1 · sin x cos x = ½ sin 2x
4. $=2\cot2x$A1 · cos ÷ sin = cot · shownA1 · cos ÷ sin = cot · แสดงได้แล้ว

8(b) Solve using (a)8(b) แก้สมการโดยใช้ (a)

(b) Use part (a) to solve $\dfrac{\cos 3x}{\sin x}+\dfrac{\sin 3x}{\cos x}=4$ for $0\lt x\lt\pi$. [3]

1. $2\cot2x=4$M1 · use (a)M1 · ใช้ (a)
2. $\cot2x=2$
3. $\tan2x=\tfrac12$cot = 1 ÷ tancot = 1 ÷ tan
4. $0\lt2x\lt2\pi$double the rangeช่วงของ 2x: คูณ 2
5. $2x=0.4636$A1 · tan⁻¹ ½ in radian modeA1 · tan⁻¹ ½ โหมดเรเดียน
6. $x=0.232$
7. $2x=\pi+0.4636$A1 · tan repeats every πA1 · tan ซ้ำทุก π
8. $2x=3.605$
9. $x=1.80$
10. $x=0.232,\ 1.80$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตัวสำคัญ

10. 9 · cos 4θ identity · 9709/31 Nov 2022 · 7 marks9 · เอกลักษณ์ cos 4θ · 9709/31 Nov 2022 · 7 คะแนน

Answer: cos 4θ + 4 cos 2θ + 3 = 8 cos⁴θ (proved); θ = 14.7°, 165.3°คำตอบ: cos 4θ + 4 cos 2θ + 3 = 8 cos⁴θ (proved); θ = 14.7°, 165.3°

9(a) Prove the cos 4θ identity9(a) พิสูจน์เอกลักษณ์ cos 4θ

(a) Prove the identity $\cos 4\theta+4\cos 2\theta+3\equiv8\cos^4\theta$. [4]

1. $y=\cos\theta$let y = cos θ · shorter to writeให้ y = cos θ · เขียนสั้นลง
2. $\cos2\theta=2y^2-1$B1 · cos 2θ in terms of cos θB1 · cos 2θ ในเทอม cos θ
3. $\cos4\theta=2\cos^22\theta-1$B1 · double angle again, on 2θB1 · มุมสองเท่าอีกรอบ กับ 2θ
4. $\cos^22\theta=(2y^2-1)^2$put cos 2θ inแทน cos 2θ
5. $=4y^4-4y^2+1$B1 · expand the squareB1 · กระจายกำลังสอง
6. $\cos4\theta=8y^4-8y^2+1$twice that, then − 1คูณ 2 แล้วลบ 1
7. $\cos4\theta+3=8y^4-8y^2+4$L = cos 4θ + 4 cos 2θ + 3 · first partL = cos 4θ + 4 cos 2θ + 3 · ส่วนแรก
8. $4\cos2\theta=8y^2-4$second partส่วนที่สอง
9. $L=8\cos^4\theta$B1 · the y² terms and numbers cancel · y = cos θB1 · เทอม y² กับตัวเลขหักล้างหมด · y = cos θ

9(b) Solve using (a)9(b) แก้สมการโดยใช้ (a)

(b) Use part (a) to solve $\cos 4\theta+4\cos 2\theta=4$ for $0^\circ\le\theta\le180^\circ$. [3]

1. $L-3=4$M1 · L = cos 4θ + 4 cos 2θ + 3, so the equation is L − 3 = 4M1 · L = cos 4θ + 4 cos 2θ + 3 ดังนั้นสมการคือ L − 3 = 4
2. $L=7$add 3 to match (a)บวก 3 ให้ตรงกับ (a)
3. $8\cos^4\theta=7$L is (a): L = 8cos⁴θL คือ (a): L = 8cos⁴θ
4. $\cos^4\theta=\dfrac78$
5. $\cos\theta=\pm\left(\dfrac78\right)^{1/4}$fourth root · both signsรากที่สี่ · ทั้งบวกและลบ
6. $\cos\theta=\pm0.9672$
7. $\theta=14.7^\circ$A1 · cos⁻¹ of the positive valueA1 · cos⁻¹ ของค่าบวก
8. $\theta=180^\circ-14.7^\circ$A1 FT · cos⁻¹ of the negative valueA1 FT · cos⁻¹ ของค่าลบ
9. $=165.3^\circ$
10. $\theta=14.7^\circ,\ 165.3^\circ$answer · nothing else in rangeคำตอบ · ไม่มีค่าอื่นในช่วง

11. 10 · R cos(x + α) form · 9709/32 Nov 2022 · 8 marks10 · รูป R cos(x + α) · 9709/32 Nov 2022 · 8 คะแนน

Answer: R = √17, α = 14.04°; x = 14.6°, 151.3°คำตอบ: R = √17, α = 14.04°; x = 14.6°, 151.3°

10(a) Write in R cos form10(a) เขียนเป็นรูป R cos

(a) Write $4\cos x-\sin x$ as $R\cos(x+\alpha)$, with $R\gt0$ and $0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ$. State $R$ exactly and give $\alpha$ to 2 d.p. [3]

1. $R=\sqrt{4^2+1^2}$B1 · R from the coefficients 4 and 1B1 · หา R จากสัมประสิทธิ์ 4 และ 1
2. $=\sqrt{17}$exact valueค่า exact
3. $R\cos(x+\alpha)=R\cos\alpha\cos x-R\sin\alpha\sin x$M1 · expand the bracketM1 · กระจายวงเล็บ
4. $R\cos\alpha=4$match the cos x termsเทียบเทอม cos x
5. $R\sin\alpha=1$match the sin x termsเทียบเทอม sin x
6. $\tan\alpha=\dfrac14$divide: sin ÷ cosหารกัน: sin ÷ cos
7. $\alpha=\tan^{-1}\dfrac14$A1 · degree modeA1 · เครื่องคิดเลขโหมดองศา
8. $=14.04^\circ$2 d.p.ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
9. $R=\sqrt{17},\ \alpha=14.04^\circ$answerคำตอบ

10(b) Solve with 2x10(b) แก้สมการด้วย 2x

(b) Use part (a) to solve $4\cos 2x-\sin 2x=3$ for $0^\circ\lt x\lt180^\circ$. [5]

1. $u=2x+14.04^\circ$let u = 2x + 14.04°ให้ u = 2x + 14.04°
2. $\sqrt{17}\cos u=3$use (a) with 2x in place of xใช้ (a) โดยแทน x ด้วย 2x
3. $\cos u=\dfrac{3}{\sqrt{17}}$
4. $14.04^\circ\lt u\lt374.04^\circ$range of u · 0° < 2x < 360°ช่วงของ u · 0° < 2x < 360°
5. $2x+14.04^\circ=43.31^\circ$B1 FT · cos⁻¹(3/√17) · M1 · first angleB1 FT · cos⁻¹(3/√17) · M1 · มุมแรก
6. $2x=29.27^\circ$A1A1
7. $x=14.6^\circ$
8. $2x+14.04^\circ=360^\circ-43.31^\circ$M1 · cos also fits 360° − 43.31°M1 · cos เท่ากันที่ 360° − 43.31° ด้วย
9. $=316.69^\circ$
10. $2x=302.65^\circ$A1A1
11. $x=151.3^\circ$
12. $x=14.6^\circ,\ 151.3^\circ$answer · nothing else in rangeคำตอบ · ไม่มีค่าอื่นในช่วง

12. 11 · Triple-angle identity · 9709/32 Nov 2023 · 8 marks11 · เอกลักษณ์มุมสามเท่า · 9709/32 Nov 2023 · 8 คะแนน

Answer: cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ (proved); θ = 25.3°, 90°, 137.5°คำตอบ: cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ (proved); θ = 25.3°, 90°, 137.5°

11(a) Prove the cos 3θ identity11(a) พิสูจน์เอกลักษณ์ cos 3θ

(a) Write $3\theta$ as $2\theta+\theta$ and use it to prove that $\cos 3\theta\equiv4\cos^3\theta-3\cos\theta$. [3]

1. $c=\cos\theta$short names: c and sตั้งชื่อสั้น: c และ s
2. $s=\sin\theta$
3. $\cos3\theta=\cos(2\theta+\theta)$M1 · 3θ = 2θ + θM1 · 3θ = 2θ + θ
4. $=P-Q$expand with cos(A + B) · P = cos 2θ · c · Q = sin 2θ · sกระจายด้วย cos(A + B) · P = cos 2θ · c · Q = sin 2θ · s
5. $P=(2c^2-1)c$DM1 · cos 2θ = 2c² − 1DM1 · cos 2θ = 2c² − 1
6. $=2c^3-c$expandกระจาย
7. $Q=(2sc)s$DM1 · sin 2θ = 2scDM1 · sin 2θ = 2sc
8. $=2cs^2$
9. $=2c(1-c^2)$A1 · s² = 1 − c²A1 · s² = 1 − c²
10. $=2c-2c^3$expandกระจาย
11. $P-Q=4c^3-3c$(2c³ − c) − (2c − 2c³) · 2c³ + 2c³ and −c − 2c(2c³ − c) − (2c − 2c³) · 2c³ + 2c³ และ −c − 2c
12. $\cos3\theta=4c^3-3c$c = cos θ · shownc = cos θ · แสดงได้แล้ว

11(b) Solve · keep cos θ = 011(b) แก้สมการ · เก็บ cos θ = 0

(b) Use part (a) to solve $\cos 3\theta+\cos\theta\cos 2\theta=\cos^2\theta$ for $0^\circ\le\theta\le180^\circ$. [5]

1. $y=\cos\theta$let y = cos θให้ y = cos θ
2. $\cos3\theta=4y^3-3y$from (a)จาก (a)
3. $\cos2\theta=2y^2-1$double angleมุมสองเท่า
4. $\cos\theta\cos2\theta=y(2y^2-1)$the product, in yผลคูณ ในรูป y
5. $y(2y^2-1)=2y^3-y$expandกระจาย
6. $6y^3-4y=y^2$M1 · all three terms in y: (4y³ − 3y) + (2y³ − y)M1 · ทุกเทอมอยู่ในรูป y: (4y³ − 3y) + (2y³ − y)
7. $6y^3-y^2-4y=0$
8. $y(6y^2-y-4)=0$factorise · never ÷ yแยกตัวประกอบ · ห้ามหารด้วย y
9. $y=0$B1 · first factorB1 · ตัวประกอบแรก
10. $\theta=90^\circ$cos θ = 0cos θ = 0
11. $6y^2-y-4=0$DM1 · second factorDM1 · ตัวประกอบที่สอง
12. $y=\dfrac{1\pm\sqrt{97}}{12}$quadratic formula · a = 6, b = −1, c = −4สูตรกำลังสอง · a = 6, b = −1, c = −4
13. $y=0.904$first valueค่าแรก
14. $\theta=25.3^\circ$A1 · cos⁻¹ 0.904A1 · cos⁻¹ 0.904
15. $y=-0.737$second valueค่าที่สอง
16. $\theta=137.5^\circ$A1 · cos⁻¹(−0.737)A1 · cos⁻¹(−0.737)
17. $\theta=25.3^\circ,\ 90^\circ,\ 137.5^\circ\quad$answer · three solutionsคำตอบ · สามค่า

13. 12 · tan(x + 45°) equation · 9709/32 Mar 2021 · 6 marks12 · สมการ tan(x + 45°) · 9709/32 Mar 2021 · 6 คะแนน

Answer: x = 31.7°, 121.7°คำตอบ: x = 31.7°, 121.7°

12 Quadratic in tan x12 สมการกำลังสองใน tan x

Write $\tan(x+45^\circ)=2\cot x+1$ as a quadratic equation in $\tan x$ first. Then solve it for $0^\circ\lt x\lt180^\circ$. [6]

1. $\tan(x+45^\circ)=\dfrac{\tan x+\tan45^\circ}{1-\tan x\tan45^\circ}$M1 · tan(A + B) formulaM1 · สูตร tan(A + B)
2. $\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}=\dfrac{2}{\tan x}+1$DM1 · tan 45° = 1 · cot x = 1 ÷ tan xDM1 · tan 45° = 1 · cot x = 1 ÷ tan x
3. $\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}-1=\dfrac{2}{\tan x}$
4. $\dfrac{2\tan x}{1-\tan x}=\dfrac{2}{\tan x}$left side as one fraction: tan x + 1 − (1 − tan x) = 2 tan xฝั่งซ้ายเป็นเศษส่วนเดียว: tan x + 1 − (1 − tan x) = 2 tan x
5. $2\tan^2x=2-2\tan x$A1 · bottoms cancelA1 · ตัวส่วนหายไป
6. $\tan^2x=1-\tan x$
7. $\tan^2x+\tan x-1=0$quadratic in tan xสมการกำลังสองใน tan x
8. $\tan x=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$M1 · quadratic formula · a = 1, b = 1, c = −1M1 · สูตรกำลังสอง · a = 1, b = 1, c = −1
9. $\tan x=0.618\ \text{or}\ \tan x=-1.618$
10. $x=31.7^\circ$A1 · tan⁻¹ 0.618A1 · tan⁻¹ 0.618
11. $x=180^\circ-58.3^\circ$A1 · tan⁻¹(−1.618) = −58.3°: add 180°A1 · tan⁻¹(−1.618) = −58.3°: บวก 180°
12. $=121.7^\circ$
13. $x=31.7^\circ,\ 121.7^\circ$answer · nothing else in rangeคำตอบ · ไม่มีค่าอื่นในช่วง

14. 13 · sec and R-form · 9709/33 Nov 2022 · 8 marks13 · sec กับรูป R · 9709/33 Nov 2022 · 8 คะแนน

Answer: R = √17, α = 14.04° (√17 cos(x + 14.04°) = √5); x = 21.6°, 144.4°คำตอบ: R = √17, α = 14.04° (√17 cos(x + 14.04°) = √5); x = 21.6°, 144.4°

13(a) Show the R cos form13(a) แสดงรูป R cos

(a) Show that $\sqrt5\sec x+\tan x=4$ can be written as $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$, with $R\gt0$ and $0^\circ\lt\alpha\lt90^\circ$. Give $R$ exactly and $\alpha$ to 2 d.p. [4]

1. $\sqrt5+\sin x=4\cos x$B1 · × cos x clears sec and tan · sec x cos x = 1 · tan x cos x = sin xB1 · คูณ cos x เพื่อกำจัด sec กับ tan · sec x cos x = 1 · tan x cos x = sin x
2. $\sqrt5=4\cos x-\sin x$
3. $4\cos x-\sin x=\sqrt5$turn it roundสลับข้าง
4. $R=\sqrt{4^2+1^2}$B1 · R from the coefficients 4 and 1B1 · หา R จากสัมประสิทธิ์ 4 และ 1
5. $=\sqrt{17}$exact valueค่า exact
6. $R\cos(x+\alpha)=p\cos x-q\sin x$M1 · expand the bracket · p = R cos α, q = R sin αM1 · กระจายวงเล็บ · p = R cos α, q = R sin α
7. $R\cos\alpha=4$p: match the cos x termsp: เทียบเทอม cos x
8. $R\sin\alpha=1$q: match the sin x termsq: เทียบเทอม sin x
9. $\tan\alpha=\dfrac14$divide: sin ÷ cosหารกัน: sin ÷ cos
10. $\alpha=\tan^{-1}\dfrac14$A1 · degree modeA1 · เครื่องคิดเลขโหมดองศา
11. $=14.04^\circ$2 d.p.ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
12. $R\cos(x+\alpha)=\sqrt5$R = √17, α = 14.04° · shownR = √17, α = 14.04° · แสดงได้แล้ว

13(b) Solve with 2x13(b) แก้สมการด้วย 2x

(b) Use part (a) to solve $\sqrt5\sec 2x+\tan 2x=4$ for $0^\circ\lt x\lt180^\circ$. [4]

1. $u=2x+14.04^\circ$let u = 2x + 14.04°ให้ u = 2x + 14.04°
2. $\sqrt{17}\cos u=\sqrt5$use (a) with 2x in place of xใช้ (a) โดยแทน x ด้วย 2x
3. $\cos u=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{17}}$
4. $14.04^\circ\lt u\lt374.04^\circ$range of u · 0° < 2x < 360°ช่วงของ u · 0° < 2x < 360°
5. $2x+14.04^\circ=57.16^\circ$B1 FT · cos⁻¹(√5/√17) · M1 · first angleB1 FT · cos⁻¹(√5/√17) · M1 · มุมแรก
6. $2x=43.12^\circ$A1A1
7. $x=21.6^\circ$
8. $2x+14.04^\circ=360^\circ-57.16^\circ$A1 · cos also fits 360° − 57.16°A1 · cos เท่ากันที่ 360° − 57.16° ด้วย
9. $=302.84^\circ$
10. $2x=288.80^\circ$
11. $x=144.4^\circ$
12. $x=21.6^\circ,\ 144.4^\circ$answer · nothing else in rangeคำตอบ · ไม่มีค่าอื่นในช่วง

15. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

1. Solve $3\cot 2\theta=1$ for $90^\circ\lt\theta\lt180^\circ$. Give $\theta$ in degrees to 1 d.p.แก้ $3\cot 2\theta=1$ เมื่อ $90^\circ\lt\theta\lt180^\circ$ · ตอบ $\theta$ เป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: 125.8tan 2θ = 3. 2θ must lie between 180° and 360°, so 2θ = 180° + 71.6° = 251.6° and θ = 125.8°.tan 2θ = 3 · 2θ ต้องอยู่ระหว่าง 180° กับ 360° · 2θ = 180° + 71.6° = 251.6° · θ = 125.8°

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี