Edexcel IAL Pure 1 WMA11 January 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA11 Pure 1 · January 2024WMA11 Pure 1 · ม.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 1 (WMA11) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Integrate a product · 5 marksข้อ 1 · ปริพันธ์ของผลคูณวงเล็บ · 5 คะแนน

Answer: 3x⁴ + (8/3)x³ − (75/2)x² − 50x + cคำตอบ: 3x⁴ + (8/3)x³ − (75/2)x² − 50x + c

Q1 Expand, then integrateQ1 กระจายก่อน แล้วอินทิเกรต

Work out $\int(2x-5)(3x+2)(2x+5)\,dx$. Give the answer in its simplest form. [5]

$A=(2x-5)(3x+2)$multiply two brackets firstคูณวงเล็บสองตัวแรกก่อน
$2x(3x+2)=6x^2+4x$2x times each term2x คูณทุกพจน์
$-5(3x+2)=-15x-10$−5 times each term−5 คูณทุกพจน์
$A=6x^2-11x-10$add: 4x − 15x = −11xบวก: 4x − 15x = −11x
$B=A(2x+5)$now the last bracketตอนนี้คูณวงเล็บสุดท้าย
$P=12x^3+8x^2$x³: 6 × 2 = 12 · x²: 30 − 22 = 8x³: 6 × 2 = 12 · x²: 30 − 22 = 8
$Q=-75x-50$x: −55 − 20 = −75 · 1: −10 × 5 = −50x: −55 − 20 = −75 · 1: −10 × 5 = −50
$B=P+Q$the expansionผลกระจาย
$\int x^n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$power rule: add 1 to the power, divide by the new powerบวกกำลังอีก 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
$\int12x^3=3x^4$12 ÷ 4 = 312 ÷ 4 = 3
$\int8x^2=\dfrac{8x^3}{3}$divide by 3หารด้วย 3
$\int-75x=-\dfrac{75x^2}{2}$divide by 2หารด้วย 2
$\int-50=-50x$a number gets an xตัวเลขล้วนต่อ x
$I_1=3x^4+\dfrac{8x^3}{3}$first two termsสองพจน์แรก
$I_2=-\dfrac{75x^2}{2}-50x$last two termsสองพจน์หลัง
$I=I_1+I_2+c$do not forget + cอย่าลืม + c

3. Q2 · Triangle with an obtuse angle · 5 marksข้อ 2 · สามเหลี่ยมมุมป้าน · 5 คะแนน

Answer: sin θ = 8/15; 38.5 cmคำตอบ: sin θ = 8/15; 38.5 cm

Q2(a) Find sin θQ2(a) หา sin θ

Triangle $ABC$ has $AB=15$ cm and $AC=25$ cm. Angle $BAC=\theta^\circ$, and the area of the triangle is $100\ \text{cm}^2$.
(a) Find the value of $\sin\theta^\circ$. [2]

$A=\dfrac12bc\sin\theta$area from two sides and the angle between themพื้นที่จากสองด้านกับมุมระหว่างด้านนั้น
$\tfrac12(15)(25)=187.5$half × 15 × 25ครึ่งหนึ่ง × 15 × 25
$187.5\sin\theta=100$area = 100พื้นที่ = 100
$\sin\theta=\dfrac{100}{187.5}$sin θ on its ownให้ sin θ อยู่คนเดียว
$=\dfrac{8}{15}$multiply top and bottom by 2, then divide by 25 · answerคูณบนล่างด้วย 2 แล้วหารด้วย 25 · คำตอบ

Q2(b) Find BC when θ is obtuseQ2(b) หา BC เมื่อ θ เป็นมุมป้าน

Triangle $ABC$ has $AB=15$ cm and $AC=25$ cm. Angle $BAC=\theta^\circ$, and the area of the triangle is $100\ \text{cm}^2$.
(b) Now $\theta\gt90$. Find $BC$ in cm. Answer to 3 s.f. [3]

$\sin\theta=\dfrac{8}{15}$from part (a)จากข้อ (a)
$\theta=32.2^\circ$first angle from sin⁻¹ (“sine inverse”)มุมแรกจาก sin⁻¹ (อ่านว่า ไซน์อินเวิร์ส)
$\theta=180-32.2$sin gives a second anglesin ให้มุมที่สองด้วย
$=147.8^\circ$θ is over 90, so use this oneθ มากกว่า 90 จึงใช้มุมนี้
$\cos^2\theta=1-\dfrac{64}{225}$use sin² + cos² = 1ใช้ sin² + cos² = 1
$\cos^2\theta=\dfrac{161}{225}$225 − 64 = 161225 − 64 = 161
$\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{161}}{15}$square root · √225 = 15 · minus, because θ is obtuseถอดราก · √225 = 15 · ติดลบ เพราะ θ เป็นมุมป้าน
$BC^2=15^2+25^2-P$cosine rule · P = 2 × 15 × 25 × cos θกฎโคไซน์ · P = 2 × 15 × 25 × cos θ
$15^2+25^2=850$225 + 625225 + 625
$P=750\cos\theta$2 × 15 × 25 = 7502 × 15 × 25 = 750
$=-50\sqrt{161}$750 ÷ 15 = 50750 ÷ 15 = 50
$BC^2=850-P$put the parts togetherรวมสองส่วน
$=850+50\sqrt{161}$minus a minus is a plusลบกับลบได้บวก
$=1484.4$keep the full value in your calculatorเก็บค่าเต็มไว้ในเครื่องคิดเลข
$BC=\sqrt{1484.4}$square rootถอดรากที่สอง
$=38.5\text{ cm}$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตัวสำคัญ

4. Q3 · Differentiate and find a tangent · 7 marksข้อ 3 · อนุพันธ์และเส้นสัมผัส · 7 คะแนน

Answer: dy/dx = 5/2 + 8/x³; 7x − 2y − 6 = 0คำตอบ: dy/dx = 5/2 + 8/x³; 7x − 2y − 6 = 0

Q3(a) Find dy/dxQ3(a) หา dy/dx

The curve $C$ has the equation $y=\dfrac{5x^3-8}{2x^2}$ for $x\gt0$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in its simplest form. [4]

$y=\dfrac{5x^3}{2x^2}-\dfrac{8}{2x^2}$split into two fractionsแยกเป็นสองเศษส่วน
$=\dfrac52x-4x^{-2}$simplify each part · 1/x² = x⁻²ตัดแต่ละส่วน · 1/x² = x⁻²
$(\dfrac{5x}{2})'=\dfrac52$first term · slope of 5x/2พจน์แรก · ความชันของ 5x/2
$-4\times(-2)=8$second term · multiply by powerพจน์ที่สอง · คูณเลขชี้กำลัง
$-2-1=-3$power goes down by 1เลขชี้กำลังลดลง 1
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac52+8x^{-3}$differentiate each term · dy/dx “dee-y dee-x” = slopeหาอนุพันธ์ทีละพจน์ · dy/dx = ความชัน
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac52+\dfrac{8}{x^3}$answer · simplest formคำตอบ · รูปที่ง่ายที่สุด

Q3(b) Equation of the tangent at PQ3(b) สมการเส้นสัมผัสที่ P

The curve $C$ has the equation $y=\dfrac{5x^3-8}{2x^2}$ for $x\gt0$.
(b) The point $P(2,4)$ is on $C$. Write the tangent to $C$ at $P$ as $ax+by+c=0$, with whole-number $a$, $b$ and $c$. [3]

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac52+\dfrac{8}{x^3}$from part (a)จากข้อ (a)
$m=\dfrac52+\dfrac{8}{2^3}$slope at P · put x = 2ความชันที่ P · แทน x = 2
$=\dfrac52+1$8 ÷ 8 = 18 ÷ 8 = 1
$=\dfrac72$addบวก
$y-4=\dfrac72(x-2)$line through P (2, 4) with slope mเส้นตรงผ่าน P (2, 4) ความชัน m
$2(y-4)=7(x-2)$result of × 2 · no fractionผลของการคูณ 2 · ไม่มีเศษส่วน
$2y-8=7x-14$expand the bracketsคูณวงเล็บออก
$2y=7x-6$−8 moves acrossย้าย −8 ข้าม =
$0=7x-2y-6$2y moves acrossย้าย 2y ข้าม =
$7x-2y-6=0$answer · form ax + by + c = 0คำตอบ · รูป ax + by + c = 0

5. Q4 · Indices and a quadratic · 6 marksข้อ 4 · ดัชนีกับสมการกำลังสอง · 6 คะแนน

Answer: 4p² − 33p + 8 = 0; x = −2 or x = 3คำตอบ: 4p² − 33p + 8 = 0; x = −2 or x = 3

Q4(a) Turn (*) into a quadratic in pQ4(a) เปลี่ยน (*) เป็นสมการกำลังสองใน p

Show every stage of your working. A method that depends on a calculator earns no marks.
Equation (*): $2\times4^x-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$
(a) Put $p=2^x$ into (*). Show that it becomes $4p^2-33p+8=0$. [3]

$p=2^x$let p = 2ˣให้ p = 2ˣ
$4^x=(2^2)^x$write 4 as 2²เขียน 4 เป็น 2²
$=(2^x)^2$multiply the powersคูณเลขชี้กำลัง
$=p^2$replace 2ˣ by pแทน 2ˣ ด้วย p
$2^{x+3}=2^x\times2^3$add the powersเลขชี้กำลังบวกกัน
$=8p$2³ = 82³ = 8
$2^{x-1}=2^x\div2$subtract 1 from the powerลบ 1 จากเลขชี้กำลัง
$=\dfrac p2$replace 2ˣ by pแทน 2ˣ ด้วย p
$2p^2-8p=\dfrac{17p}{2}-4$put these into (*)แทนลงใน (*)
$4p^2-16p=17p-8$multiply by 2 · no fractionsคูณ 2 · ไม่เหลือเศษส่วน
$4p^2-33p=-8$17p moves acrossย้าย 17p ข้าม =
$4p^2-33p+8=0$−8 moves across · this is the form to showย้าย −8 ข้าม = · ได้รูปที่ต้องการ

Q4(b) Solve (*)Q4(b) แก้สมการ (*)

Show every stage of your working. A method that depends on a calculator earns no marks.
Equation (*): $2\times4^x-2^{x+3}=17\times2^{x-1}-4$
(b) Using part (a), solve (*). Do not use a calculator. [3]

$4p^2-33p+8=0$from part (a)จากข้อ (a)
$(4p-1)(p-8)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
$4p-1=0$first bracket is 0วงเล็บแรกเป็น 0
$4p=1$−1 moves acrossย้าย −1 ข้าม =
$p=\dfrac14$divide by 4หารด้วย 4
$p-8=0$second bracket is 0วงเล็บที่สองเป็น 0
$p=8$−8 moves acrossย้าย −8 ข้าม =
$2^x=\dfrac14$put p = 2ˣ backใส่ p = 2ˣ กลับ
$=2^{-2}$1/4 = 2⁻²1/4 = 2⁻²
$x=-2$same base, so same powerฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังเท่ากัน
$2^x=8$the other valueอีกค่าหนึ่ง
$=2^3$8 = 2³8 = 2³
$x=3$same base, so same powerฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังเท่ากัน
$x=-2\text{ or }3$answerคำตอบ

6. Q5 · Straight lines and area · 10 marksข้อ 5 · เส้นตรงและพื้นที่ · 10 คะแนน

Answer: y = −¼x + 17/2 (m = −1/4, c = 17/2); R(2, 8); 51คำตอบ: y = −¼x + 17/2 (m = −1/4, c = 17/2); R(2, 8); 51

Q5(a) Equation of l₁Q5(a) สมการของเส้น l₁

Line $l_1$ goes through $P(-2,9)$ and $Q(10,6)$. Line $l_2$ goes through the origin $O$ and is perpendicular to $l_1$. The two lines cross at the point $R$.
Show every step. No calculator shortcuts.
(a) Write the equation of $l_1$ as $y=mx+c$. Find the numbers $m$ and $c$. [3]

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$gradient from two pointsความชันจากสองจุด
$=\dfrac{6-9}{10-(-2)}$P and Q: put in the numbersใช้จุด P กับ Q แทนค่า
$=\dfrac{-3}{12}$down 3, across 12ลง 3 ไปทางขวา 12
$=-\dfrac14$simplifyทำให้ง่าย
$y=mx+c$the form we wantรูปที่ต้องการ
$y=-\dfrac14x+c$put in mใส่ค่า m
$9=-\dfrac14(-2)+c$P is on the line: x = −2, y = 9P อยู่บนเส้น: x = −2, y = 9
$9=\dfrac12+c$multiplyคูณ
$9-\dfrac12=c$take ½ from both sidesลบ ½ ทั้งสองข้าง
$c=\dfrac{17}{2}$9 − ½ = 8½9 − ½ = 8½
$y=-\dfrac14x+\dfrac{17}{2}$answerคำตอบ

Q5(b) Find point RQ5(b) หาจุด R

Line $l_1$ goes through $P(-2,9)$ and $Q(10,6)$. Line $l_2$ goes through the origin $O$ and is perpendicular to $l_1$. The two lines cross at the point $R$.
Show every step. No calculator shortcuts.
(b) Find the coordinates of $R$, where $l_1$ and $l_2$ cross. [4]

$m_1m_2=-1$perpendicular lines: gradients multiply to −1เส้นตั้งฉาก: ความชันคูณกันได้ −1
$-\dfrac14m_2=-1$put in m₁ = −¼ใส่ m₁ = −¼
$m_2=4$multiply both sides by −4คูณทั้งสองข้างด้วย −4
$y=4x$l₂ goes through O, so no cl₂ ผ่านจุด O จึงไม่มี c
$4x=-\dfrac14x+\dfrac{17}{2}$at R the two lines have the same yที่ R สองเส้นมี y เท่ากัน
$16x=-x+34$multiply every term by 4คูณทุกพจน์ด้วย 4
$17x=34$add x to both sidesบวก x ทั้งสองข้าง
$x=2$divide both sides by 17หารทั้งสองข้างด้วย 17
$y=4\times2$put x = 2 into l₂ใส่ x = 2 ใน l₂
$=8$multiplyคูณ
$R=(2,8)$answerคำตอบ

Q5(c) Exact area of OPQQ5(c) พื้นที่ OPQ แบบตรงตัว

Line $l_1$ goes through $P(-2,9)$ and $Q(10,6)$. Line $l_2$ goes through the origin $O$ and is perpendicular to $l_1$. The two lines cross at the point $R$.
Show every step. No calculator shortcuts.
(c) Using $R(2,8)$, find the exact area of triangle $OPQ$. [3]

$OR^2=2^2+8^2$Pythagoras: O is (0, 0), R is (2, 8)พีทาโกรัส: O คือ (0, 0), R คือ (2, 8)
$=68$addบวก
$OR=\sqrt{68}$square rootถอดรากที่สอง
$=2\sqrt{17}$68 = 4 × 1768 = 4 × 17
$PQ^2=12^2+3^2$across 10 − (−2) = 12, down 9 − 6 = 3ไปทางขวา 10 − (−2) = 12 ลง 9 − 6 = 3
$=153$addบวก
$PQ=\sqrt{153}$square rootถอดรากที่สอง
$=3\sqrt{17}$153 = 9 × 17153 = 9 × 17
$A=\dfrac12bh$b = PQ. OR is at right angles to PQ, so h = ORb = PQ และ OR ตั้งฉากกับ PQ จึง h = OR
$2A=bh$multiply both sides by 2คูณทั้งสองข้างด้วย 2
$2A=2\sqrt{17}\times3\sqrt{17}$put in OR and PQใส่ OR และ PQ
$=6\times17$2 × 3 and √17 × √17 = 172 × 3 และ √17 × √17 = 17
$2A=102$multiplyคูณ
$A=51$answer · square unitsคำตอบ · ตารางหน่วย

7. Q6 · Cosine graph · 6 marksข้อ 6 · กราฟโคไซน์ · 6 คะแนน

Answer: P(540, −5); Q(360, 3); Q(180, 5)คำตอบ: P(540, −5); Q(360, 3); Q(180, 5)

Q6(a) Coordinates of PQ6(a) พิกัดของ P

The graph shows part of curve $C_1$ with equation $y=5\cos x$, where $x$ is in degrees. $P$ is a minimum point on $C_1$.
A different curve $C_2$ has a maximum point $Q$. Among its maximum points, $Q$ is the one with the smallest $x$ that is above 0 ($x\gt0$).
(a) State the coordinates of $P$. [2]

$y=5\cos x$the curve C₁เส้นโค้ง C₁
$\cos x=-1$minimum: cos x is as low as it goesจุดต่ำสุด: cos x ต่ำที่สุด
$x=180$the first minimum, in degreesจุดต่ำสุดแรก หน่วยองศา
$x=180+360$P is the second minimum: one full turn laterP คือจุดต่ำสุดที่สอง: ห่างไปอีกหนึ่งรอบ
$=540$addบวก
$y=5(-1)$put cos x = −1 into the curveใส่ cos x = −1 ในเส้นโค้ง
$=-5$multiplyคูณ
$P=(540,-5)$answerคำตอบ

Q6(b)(i) C₂ moved down 2Q6(b)(i) C₂ ลดลง 2

$y=5\cos x-2$C₁ moved down 2: the maxima keep the same xC₁ เลื่อนลง 2: จุดสูงสุดคงที่ x เดิม
$\cos x=1$maximum: cos x is as high as it goesจุดสูงสุด: cos x สูงที่สุด
$x=0,360,\dots$cos x = 1 at 0, then every 360cos x = 1 ที่ 0 แล้วทุก 360
$x\gt0$the question wants x above 0, so skip 0โจทย์ต้องการ x มากกว่า 0 จึงข้าม 0
$x=360$the smallest leftค่าน้อยสุดที่เหลือ
$y=5(1)-2$put cos x = 1 into C₂ใส่ cos x = 1 ใน C₂
$=3$calculateคำนวณ
$Q=(360,3)$answerคำตอบ

Q6(b)(ii) C₂ flippedQ6(b)(ii) C₂ พลิกกลับ

$y=-5\cos x$C₁ flipped upside downC₁ พลิกกลับหัว
$\cos x=-1$maximum: −5 × (−1) is as high as it goesจุดสูงสุด: −5 × (−1) สูงที่สุด
$x=180,540,\dots$cos x = −1 at 180, then every 360cos x = −1 ที่ 180 แล้วทุก 360
$x=180$the smallest above 0ค่าน้อยสุดที่มากกว่า 0
$y=-5(-1)$put cos x = −1 into C₂ใส่ cos x = −1 ใน C₂
$=5$multiplyคูณ
$Q=(180,5)$answerคำตอบ

8. Q7 · Reciprocal graph and no intersection · 9 marksข้อ 7 · กราฟส่วนกลับและไม่ตัดกัน · 9 คะแนน

Answer: y-intercept (0, −4/k) · asymptote x = k · no x-intercept; 5 < k < 13คำตอบ: y-intercept (0, −4/k) · asymptote x = k · no x-intercept; 5 < k < 13

Q7(a) Sketch CQ7(a) ร่างกราฟ C

The curve $C$ has equation $y=\dfrac{4}{x-k}$, where $k$ is a positive constant.
(a) Sketch $C$. Mark where it meets each axis, and write the equation of its vertical asymptote. [4]

$y=\dfrac{4}{x-k}$sketched with k = 3 as an exampleร่างโดยลองใช้ k = 3 เป็นตัวอย่าง
$x-k=0$the bottom cannot be 0ตัวล่างเป็น 0 ไม่ได้
$x=k$vertical asymptote (the graph never reaches it)เส้นกำกับแนวตั้ง (กราฟไม่แตะเส้นนี้)
$x=0$on the y-axis, x is 0บนแกน y ค่า x เป็น 0
$y=\dfrac{4}{0-k}$put x = 0 inแทน x = 0
$=-\dfrac{4}{k}$y-interceptจุดตัดแกน y
$\dfrac{4}{x-k}=0$the top is 4, so this never happens: no x-interceptตัวบนคือ 4 จึงไม่เป็น 0 เลย: ไม่ตัดแกน x

Q7(b) Range of kQ7(b) ช่วงค่า k

The curve $C$ has equation $y=\dfrac{4}{x-k}$, where $k$ is a positive constant.
(b) The line $y=9-x$ never meets $C$ (it does not cross it or touch it). Work out every value of $k$ for which this is true. [5]

$\dfrac{4}{x-k}=9-x$meeting points: set the two y-values equalจุดตัด: ให้ค่า y สองฝั่งเท่ากัน
$4=(9-x)(x-k)$multiply both sides by (x − k)คูณทั้งสองข้างด้วย (x − k)
$E_1=9x-9k$expand: 9 times (x − k)กระจาย: 9 คูณ (x − k)
$E_2=-x^2+kx$expand: −x times (x − k)กระจาย: −x คูณ (x − k)
$4=E_1+E_2$the two parts togetherสองส่วนรวมกัน
$4-E_1-E_2=0$every term to one sideย้ายทุกพจน์ไปฝั่งเดียว
$p=9+k$x terms: −9x − kx = −(9 + k)xพจน์ x: −9x − kx = −(9 + k)x
$q=9k+4$number terms: 4 + 9kพจน์ค่าคงที่: 4 + 9k
$x^2-px+q=0$the quadratic: a = 1, b = −p, c = qสมการกำลังสอง: a = 1, b = −p, c = q
$p^2-4q\lt0$b² − 4ac below 0: no real rootsb² − 4ac น้อยกว่า 0: ไม่มีรากจริง
$p^2=81+18k+k^2$square (9 + k)ยกกำลังสอง (9 + k)
$4q=36k+16$4 × (9k + 4)4 × (9k + 4)
$p^2-4q=k^2-18k+65$81 − 16 = 65 · 18k − 36k = −18k81 − 16 = 65 · 18k − 36k = −18k
$(k-5)(k-13)\lt0$zero at k = 5 and k = 13เป็น 0 ที่ k = 5 และ k = 13
$5\lt k\lt13$the graph is below 0 between the rootsกราฟอยู่ต่ำกว่า 0 ระหว่างสองราก

9. Q8 · Sectors and arc length · 9 marksข้อ 8 · ส่วนของวงกลมและความยาวส่วนโค้ง · 9 คะแนน

Answer: AO = 7.03 m (OD = 11.25 m); 56.0 m; 186 m²คำตอบ: AO = 7.03 m (OD = 11.25 m); 56.0 m; 186 m²

Q8(a) Show AO = 7.03 mQ8(a) แสดงว่า AO = 7.03 ม.

The picture is the plan of a platform. It is a sector $DOC$ with centre $O$, joined to a larger part $AOBEA$ of a smaller circle that also has centre $O$. $A$ lies on $OD$ and $B$ lies on $OC$.
Angle $AOB=0.8$ radians. Arc $CD$ is 9 m long. $DA:AO=3:5$.
(a) Prove that $AO$ is $7.03$ m (3 s.f.). [3]

$s=r\theta$arc length · θ “theta” in radiansความยาวส่วนโค้ง · θ (เธตา) หน่วยเรเดียน
$9=OD\times0.8$arc CD = 9 · angle COD = angle AOB = 0.8, because A is on OD and B is on OCส่วนโค้ง CD = 9 · มุม COD = มุม AOB = 0.8 เพราะ A อยู่บน OD และ B อยู่บน OC
$OD=\dfrac{9}{0.8}$divide both sides by 0.8หารทั้งสองข้างด้วย 0.8
$=11.25$metresเมตร
$OD:AO=8:5$DA + AO = 3 + 5 = 8 partsDA + AO = 3 + 5 = 8 ส่วน
$AO=\dfrac{5}{8}\times OD$AO is 5 of the 8 partsAO คือ 5 จาก 8 ส่วน
$=\dfrac{5}{8}\times11.25$substituteแทนค่า
$=7.03125$before roundingก่อนปัดเศษ
$AO=7.03\text{ m}$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตัวสำคัญ

Q8(b) Perimeter of the platformQ8(b) เส้นรอบรูปของแท่น

$OD=11.25$from part (a)จากข้อ (a)
$AO=7.03$from part (a)จากข้อ (a)
$P=CD+2DA+AEB$the edge: arc CD, DA, CB (same length as DA), arc AEBขอบรูป: ส่วนโค้ง CD, DA, CB (ยาวเท่า DA), ส่วนโค้ง AEB
$DA=11.25-7.03$DA = OD − AODA = OD − AO
$=4.22$CB is the same lengthCB ยาวเท่ากัน
$\beta=2\pi-0.8$angle of the big part · β “beta”มุมของส่วนใหญ่ · β (เบตา)
$=5.483$radiansเรเดียน
$AEB=7.03\times5.483$s = rβ, with r = AOs = rβ โดย r = AO
$=38.55$arc AEBส่วนโค้ง AEB
$2\times DA=8.44$DA and CB togetherDA กับ CB รวมกัน
$P_1=17.44$9 + 8.44 = arc CD + DA + CB9 + 8.44 = ส่วนโค้ง CD + DA + CB
$P=P_1+38.55$add arc AEBบวกส่วนโค้ง AEB
$=55.99$before roundingก่อนปัดเศษ
$P=56.0\text{ m}$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตัวสำคัญ

Q8(c) Total area of the platformQ8(c) พื้นที่ทั้งหมดของแท่น

$OD=11.25$from part (a)จากข้อ (a)
$AO=7.03$from part (a)จากข้อ (a)
$A=A_1+A_2$big sector DOC + the big part of the small circleเซกเตอร์ใหญ่ DOC + ส่วนใหญ่ของวงกลมเล็ก
$A_1=\dfrac12r^2\theta$sector area · r = OD, θ = 0.8พื้นที่เซกเตอร์ · r = OD, θ = 0.8
$A_1=0.4\times OD^2$half of 0.8 is 0.4ครึ่งของ 0.8 คือ 0.4
$OD^2=126.5625$11.25 squared11.25 ยกกำลังสอง
$A_1=50.625$0.4 × 126.56250.4 × 126.5625
$\beta=2\pi-0.8$angle of the big part of the small circleมุมของส่วนใหญ่ของวงกลมเล็ก
$=5.483$radiansเรเดียน
$A_2=\dfrac12AO^2\beta$sector area ½r²β, with r = AOพื้นที่เซกเตอร์ ½r²β โดย r = AO
$\dfrac12AO^2=24.71$half of 7.03 squaredครึ่งหนึ่งของ 7.03 ยกกำลังสอง
$A_2=24.71\beta$β = 5.483β = 5.483
$=135.48$
$A=A_1+A_2$add: 50.625 + 135.48บวก: 50.625 + 135.48
$=186.105$before roundingก่อนปัดเศษ
$A=186\text{ m}^2$answer · nearest whole numberคำตอบ · จำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด

10. Q9 · Quadratic graph and meeting points · 10 marksข้อ 9 · กราฟพาราโบลาและจุดตัด · 10 คะแนน

Answer: ∩ through (0, 0), (2, 20), (4, 0); f(x) = −5x(x − 4) = 20x − 5x²; P = (−8, −480)คำตอบ: ∩ through (0, 0), (2, 20), (4, 0); f(x) = −5x(x − 4) = 20x − 5x²; P = (−8, −480)

Q9(a) Sketch C₁Q9(a) ร่างกราฟ C₁

The curve $C_1$ has equation $y=f(x)$, where $f(x)$ is a quadratic. The highest point of $C_1$ is $(2,20)$, and $C_1$ goes through the origin.
The curve $C_2$ has equation $y=x(x^2-4)$. The curves $C_1$ and $C_2$ cross at the origin and at two more points, $P$ and $Q$. The $x$ coordinate of $P$ is negative.
(a) Sketch $C_1$. Write the coordinates of every point where it meets an axis. [2]

$x_{\text{top}}=2$the highest point is on the line of symmetryจุดสูงสุดอยู่บนเส้นสมมาตร
$x_O=0$the curve goes through Oกราฟผ่านจุดกำเนิด O
$x_Q=2(2)-0$mirror O in the line x = 2สะท้อน O ข้ามเส้น x = 2
$x_Q=4$so the curve meets the x-axis at (4, 0)กราฟตัดแกน x ที่ (4, 0)

Q9(b) Find f(x)Q9(b) หา f(x)

$f(x)=Ax(x-4)$roots 0 and 4, A = numberรากคือ 0 กับ 4 · A = ตัวเลข
$f(2)=20$the highest point is (2, 20)จุดสูงสุดคือ (2, 20)
$20=A(2)(2-4)$substitute x = 2แทน x = 2
$20=-4A$2 × (−2) = −42 × (−2) = −4
$A=-5$divide both sides by −4หารทั้งสองข้างด้วย −4
$f(x)=-5x(x-4)$put A backใส่ A กลับ
$=20x-5x^2$expandกระจาย

Q9(c) Find the point PQ9(c) หาจุด P

The curve $C_1$ has equation $y=f(x)$, where $f(x)$ is a quadratic. The highest point of $C_1$ is $(2,20)$, and $C_1$ goes through the origin.
The curve $C_2$ has equation $y=x(x^2-4)$. The curves $C_1$ and $C_2$ cross at the origin and at two more points, $P$ and $Q$. The $x$ coordinate of $P$ is negative.
(c) Use algebra, with every stage of working, to find the coordinates of $P$. [5]

$x(x^2-4)=-5x(x-4)$C₂ and C₁ meet: same yC₂ กับ C₁ ตัดกัน: y เท่ากัน
$x^3-4x=20x-5x^2$expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
$x^3+5x^2-24x=0$move every term to the leftย้ายทุกพจน์ไปซ้าย
$x(x^2+5x-24)=0$take out the common factor xดึงตัวร่วม x ออก
$x(x+8)(x-3)=0$factorise: −24 = 8 × (−3) and 8 − 3 = 5แยกตัวประกอบ: −24 = 8 × (−3) และ 8 − 3 = 5
$x=0,-8,3$x = 0 is O · x = 3 is Qx = 0 คือ O · x = 3 คือ Q
$x_P=-8$x of P is negativex ของ P เป็นลบ
$y=x(x^2-4)$put x = −8 into C₂แทน x = −8 ใน C₂
$y=-8(64-4)$(−8)² = 64(−8)² = 64
$=-8\times60$
$y=-480$
$-5(-8)(-12)=-480$check in C₁: same yเช็กใน C₁: ได้ y เท่ากัน
$P=(-8,-480)$answerคำตอบ

11. Q10 · Differentiate twice, then integrate · 8 marksข้อ 10 · หาอนุพันธ์สองครั้งแล้วอินทิเกรต · 8 คะแนน

Answer: k = 24√2; f(x) = (8/5)x^(5/2) − 24√2/x + 68√2/5คำตอบ: k = 24√2; f(x) = (8/5)x^(5/2) − 24√2/x + 68√2/5

Q10(a) Find kQ10(a) หา k

Write out every stage of the working.
$C$ is the curve $y=f(x)$ for $x\gt0$. The point $P(2,8\sqrt{2})$ is on $C$. The slope function is $f'(x)=4\sqrt{x^3}+\dfrac{k}{x^2}$, where $k$ is a constant. Also $f''(x)=0$ at $P$.
(a) Find the exact value of $k$. [4]

$\sqrt{x^3}=x^{3/2}$write the root as a powerเขียนรากเป็นเลขยกกำลัง
$\dfrac{k}{x^2}=kx^{-2}$write the fraction as a powerเขียนเศษส่วนเป็นเลขยกกำลัง
$f^{\prime}(x)=A+B$split the slope function into two termsแยกฟังก์ชันความชันเป็นสองพจน์
$A=4x^{3/2}$first termพจน์แรก
$B=kx^{-2}$second termพจน์ที่สอง
$A^{\prime}=6x^{1/2}$4 × 3/2 = 6 · power 3/2 − 1 = 1/24 × 3/2 = 6 · ยกกำลัง 3/2 − 1 = 1/2
$B^{\prime}=-2kx^{-3}$k × (−2) = −2k · power −2 − 1 = −3k × (−2) = −2k · ยกกำลัง −2 − 1 = −3
$f^{\prime\prime}(x)=A^{\prime}+B^{\prime}$differentiate f′ once moreหาอนุพันธ์ของ f′ อีกครั้ง
$f^{\prime\prime}(x)=6x^{1/2}-2kx^{-3}$put A′ and B′ inใส่ A′ กับ B′
$A^{\prime}(2)=6\sqrt{2}$x = 2 · 2^{1/2} = √2x = 2 · 2^{1/2} = √2
$B^{\prime}(2)=-\dfrac{2k}{8}$2³ = 82³ = 8
$=-\dfrac{k}{4}$cancel the 2ตัด 2
$f^{\prime\prime}(2)=0$given at Pโจทย์ให้ที่จุด P
$6\sqrt{2}-\dfrac{k}{4}=0$A′(2) + B′(2) = 0A′(2) + B′(2) = 0
$6\sqrt{2}=\dfrac{k}{4}$k/4 moved acrossย้าย k/4 ข้าม =
$k=24\sqrt{2}$multiply both sides by 4 · answerคูณทั้งสองข้างด้วย 4 · คำตอบ

Q10(b) Find f(x)Q10(b) หา f(x)

$k=24\sqrt{2}$from part (a)จากข้อ (a)
$F=\dfrac{4x^{5/2}}{5/2}$integrate 4x^{3/2}: power + 1, divide by itอินทิเกรต 4x^{3/2}: ยกกำลังเพิ่ม 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
$=\dfrac{8}{5}x^{5/2}$4 ÷ 5/2 = 8/54 ÷ 5/2 = 8/5
$G=\dfrac{kx^{-1}}{-1}$integrate kx⁻²: power + 1 = −1อินทิเกรต kx⁻²: ยกกำลังเพิ่ม 1 = −1
$=-\dfrac{24\sqrt{2}}{x}$put k inใส่ค่า k
$f(x)=F+G+c$add c, the constantบวก c ค่าคงที่
$f(2)=8\sqrt{2}$P is on the curveP อยู่บนเส้นโค้ง
$2^{5/2}=4\sqrt{2}$2² × 2^{1/2}2² × 2^{1/2}
$S=\dfrac{8}{5}\times4\sqrt{2}$F at x = 2F ที่ x = 2
$=\dfrac{32\sqrt{2}}{5}$
$T=-\dfrac{24\sqrt{2}}{2}$G at x = 2G ที่ x = 2
$=-12\sqrt{2}$
$S+T+c=8\sqrt{2}$f(2) = S + T + cf(2) = S + T + c
$c=8\sqrt{2}-S-T$move S and T acrossย้าย S กับ T ไปอีกข้าง
$=20\sqrt{2}-S$8√2 + 12√2 = 20√28√2 + 12√2 = 20√2
$=\dfrac{100\sqrt{2}-32\sqrt{2}}{5}$20√2 = 100√2 ÷ 520√2 = 100√2 ÷ 5
$c=\dfrac{68\sqrt{2}}{5}$
$f(x)=F+G+c$F, G and c from above · full form belowF, G และ c จากด้านบน · รูปเต็มอยู่ด้านล่าง

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Triangle PQR: PQ = 8 cm, PR = 10 cm, area 30 cm², and angle QPR is obtuse. Find QR to 3 s.f.สามเหลี่ยม PQR: PQ = 8 ซม., PR = 10 ซม., พื้นที่ 30 ตร.ซม. และมุม QPR เป็นมุมป้าน จงหา QR (3 ตัวสำคัญ)
Answer:เฉลย: 16.4sin P = 3/4, cos P = −√7/4, QR² = 164 + 40√7 = 269.8, so QR = 16.4.sin P = 3/4, cos P = −√7/4, QR² = 164 + 40√7 = 269.8 ดังนั้น QR = 16.4
Let p = 2ˣ and solve 4ˣ − 6·2ˣ + 8 = 0. Give the larger value of x.ให้ p = 2ˣ แล้วแก้ 4ˣ − 6·2ˣ + 8 = 0 ตอบค่า x ที่มากกว่า
Answer:เฉลย: 2p² − 6p + 8 = 0 gives p = 2 or 4, so x = 1 or 2.p² − 6p + 8 = 0 ได้ p = 2 หรือ 4 ดังนั้น x = 1 หรือ 2
A line has gradient 2/3. Find the gradient of a line perpendicular to it.เส้นหนึ่งมีความชัน 2/3 จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมัน
Answer:เฉลย: -3/2The gradients multiply to −1, so 2/3 × m = −1 and m = −3/2.ความชันคูณกันได้ −1 ดังนั้น 2/3 × m = −1 และ m = −3/2
A sector has angle 0.6 radians and its arc is 7.2 cm long. Find the area of the sector, in cm².เซกเตอร์หนึ่งมีมุม 0.6 เรเดียน และส่วนโค้งยาว 7.2 ซม. จงหาพื้นที่ของเซกเตอร์ (หน่วย ซม.²)
Answer:เฉลย: 43.2r = 7.2 ÷ 0.6 = 12, then area = ½ × 12² × 0.6 = 43.2.r = 7.2 ÷ 0.6 = 12 แล้วพื้นที่ = ½ × 12² × 0.6 = 43.2
The slope function is f'(x) = 6√x + k/x², k a constant, and f''(4) = 0. Find k.ฟังก์ชันความชันคือ f'(x) = 6√x + k/x² เมื่อ k เป็นค่าคงที่ และ f''(4) = 0 · จงหา k
Answer:เฉลย: 48f''(x) = 3x^(−1/2) − 2kx⁻³. At x = 4: 3/2 − 2k/64 = 0, so k = 48.f''(x) = 3x^(−1/2) − 2kx⁻³ · ที่ x = 4: 3/2 − 2k/64 = 0 จึง k = 48

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี