Edexcel IAL Pure 1 WMA11 June 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA11 Pure 1 · June 2024WMA11 Pure 1 · มิ.ย. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 1 (WMA11) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Integrate each term · 3 marksข้อ 1 · อินทิเกรตทีละพจน์ · 3 คะแนน

Answer: 2x⁵ + (3/4)x⁻² − 7x + cคำตอบ: 2x⁵ + (3/4)x⁻² − 7x + c

Q1 Integrate and simplifyQ1 อินทิเกรตและทำให้ง่าย

Work out $\displaystyle\int\left(10x^4-\dfrac{3}{2x^3}-7\right)dx$. Give every term in its simplest form. [3]

$\dfrac{3}{2x^3}=\dfrac32x^{-3}$I is the integral · write 1/x³ as x⁻³ firstI คืออินทิกรัล · เขียน 1/x³ เป็น x⁻³ ก่อน
$\int10x^4dx=\dfrac{10x^5}{5}$power up 1 · divide by the new powerเลขชี้กำลังเพิ่ม 1 · หารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
$P=2x^5$10 ÷ 5 = 2 · call it P10 ÷ 5 = 2 · เรียกว่า P
$\int-\dfrac32x^{-3}dx=-\dfrac32\cdot\dfrac{x^{-2}}{-2}$−3 + 1 = −2 · divide by −2−3 + 1 = −2 · หารด้วย −2
$Q=\dfrac34x^{-2}$(−3/2) ÷ (−2) = 3/4 · call it Q(−3/2) ÷ (−2) = 3/4 · เรียกว่า Q
$\int-7\,dx=-7x$a number: add xตัวเลขล้วน: ได้ x ตามมา
$I=P+Q-7x+c$add the three parts · add +cรวมสามส่วน · อย่าลืม +c

3. Q2 · Indices and surds · 6 marksข้อ 2 · ดัชนีและเลขกรณฑ์ · 6 คะแนน

Answer: 8m; m¹²; x = 3 + 2√3คำตอบ: 8m; m¹²; x = 3 + 2√3

Q2(i)(a) 2ⁿ⁺³ in terms of mQ2(i)(a) 2ⁿ⁺³ ในรูป m

For part (i), $m=2^n$. Part (ii) is a non-calculator part: a method that needs the calculator earns no marks.
(i)(a) Write $2^{n+3}$ in terms of $m$, in its simplest form. [1]

$2^{n+3}=2^n\times2^3$split the power: 2ⁿ × 2³แยกกำลัง: 2ⁿ × 2³
$=m\times8$2ⁿ is m · 2³ is 82ⁿ คือ m · 2³ คือ 8
$2^{n+3}=8m$answer · simplest formคำตอบ · รูปที่ง่ายที่สุด

Q2(i)(b) 16³ⁿ in terms of mQ2(i)(b) 16³ⁿ ในรูป m

For part (i), $m=2^n$. Part (ii) is a non-calculator part: a method that needs the calculator earns no marks.
(i)(b) Write $16^{3n}$ in terms of $m$, in its simplest form. [2]

$16=2^4$write 16 as a power of 2เขียน 16 เป็นกำลังของ 2
$16^{3n}=(2^4)^{3n}$replace 16แทน 16
$=2^{4\times3n}$multiply the powersคูณเลขชี้กำลัง
$=2^{12n}$4 × 3n = 12n4 × 3n = 12n
$=(2^n)^{12}$pull out 2ⁿ · 12n = n × 12ดึง 2ⁿ ออก · 12n = n × 12
$16^{3n}=m^{12}$answer · 2ⁿ is mคำตอบ · 2ⁿ คือ m

Q2(ii) Solve with surdsQ2(ii) แก้สมการที่มีกรณฑ์

For part (i), $m=2^n$. Part (ii) is a non-calculator part: a method that needs the calculator earns no marks.
(ii) Without a calculator, solve $x\sqrt3-3=x+\sqrt3$. Write $x$ as $p+q\sqrt3$, where $p$ and $q$ are whole numbers. Show every step. [3]

$x\sqrt3-3=x+\sqrt3$the equationสมการที่ให้มา
$x\sqrt3-x=3+\sqrt3$x terms left · numbers rightพจน์ x ซ้าย · ตัวเลขขวา
$x(\sqrt3-1)=3+\sqrt3$factorise xดึง x ออก
$x=\dfrac{3+\sqrt3}{\sqrt3-1}$divide both sidesหารทั้งสองข้าง
$N=(3+\sqrt3)(\sqrt3+1)$multiply top and bottom by √3 + 1 · new top is Nคูณบนล่างด้วย √3 + 1 · ตัวบนใหม่คือ N
$=3\sqrt3+3+3+\sqrt3$expand the bracketsคูณวงเล็บ
$=6+4\sqrt3$collectรวมพจน์
$D=(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)$new bottom is Dตัวล่างใหม่คือ D
$=3-1$√3 × √3 = 3 · the √3 terms cancel√3 × √3 = 3 · พจน์ √3 หักล้างกัน
$=2$no surd leftไม่เหลือกรณฑ์แล้ว
$x=\dfrac{6+4\sqrt3}{2}$N over DN ส่วน D
$x=3+2\sqrt3$answer · p = 3, q = 2คำตอบ · p = 3, q = 2

4. Q3 · Transforming a curve · 6 marksข้อ 3 · เลื่อนและยืดกราฟ · 6 คะแนน

Answer: cuts the x-axis at (−4, 0), touches it at (0, 0); touches the x-axis at (−1, 0), cuts it at (1/3, 0), cuts the y-axis at (0, 2)คำตอบ: cuts the x-axis at (−4, 0), touches it at (0, 0); touches the x-axis at (−1, 0), cuts it at (1/3, 0), cuts the y-axis at (0, 2)

Q3(a) Sketch y = f(x + 3)Q3(a) ร่างกราฟ y = f(x + 3)

The sketch of $y=\text{f}(x)$ passes through $(-1,0)$ and $(0,2)$, and touches the $x$-axis at $(3,0)$. The paper gives no equation, so the grey curve below is an example through those three points.
Sketch each curve on its own diagram. Mark every point where it cuts or touches an axis.
(a) Sketch $y=\text{f}(x+3)$. [3]

$y=\text{f}(x+3)$+3 inside the bracket: slide left 3+3 ในวงเล็บ: เลื่อนซ้าย 3
$-1-3=-4$cut point (−1, 0): x goes down 3จุดตัด (−1, 0): x ลดลง 3
$3-3=0$touch point (3, 0): x goes down 3จุดสัมผัส (3, 0): x ลดลง 3
$y(0)=\text{f}(0+3)$where it meets the y-axisจุดที่ตัดแกน y
$=\text{f}(3)=0$the curve touches hereกราฟสัมผัสแกนที่นี่
$x=-4,\ 0$cuts at −4 · touches at the originตัดที่ −4 · สัมผัสที่จุดกำเนิด

Q3(b) Sketch y = f(−3x)Q3(b) ร่างกราฟ y = f(−3x)

$y=\text{f}(-3x)$×(−3) inside: flip left-right and squash ÷3×(−3) ในวงเล็บ: พลิกซ้ายขวาและบีบ ÷3
$-3x=-1$f is 0 when its input is −1f เป็น 0 เมื่อค่าในวงเล็บเป็น −1
$x=\dfrac13$it cuts the x-axis hereกราฟตัดแกน x ที่นี่
$-3x=3$f touches when its input is 3f สัมผัสเมื่อค่าในวงเล็บเป็น 3
$x=-1$it touches the x-axis hereกราฟสัมผัสแกน x ที่นี่
$x=0$on the y-axis: −3 × 0 = 0บนแกน y: −3 × 0 = 0
$y=2$f(−3 × 0) = f(0) = 2, givenf(−3 × 0) = f(0) = 2 โจทย์ให้มา
$x=-1,\ \dfrac13$answer · x-axis points · y-axis (0, 2)คำตอบ · จุดบนแกน x · แกน y คือ (0, 2)

5. Q4 · Discriminant and touching curves · 6 marksข้อ 4 · ตัวจำแนกและโค้งที่สัมผัสกัน · 6 คะแนน

Answer: k² + 26k + 169 = 0; P(1, −21)คำตอบ: k² + 26k + 169 = 0; P(1, −21)

Q4(a) Show the equation in kQ4(a) แสดงสมการของ k

Curve $C_1$ is $y=x^2+kx-9$. Curve $C_2$ is $y=-3x^2-5x+k$. Here $k$ is a constant.
The two curves meet at exactly one point, $P$.
(a) Show that $k^2+26k+169=0$. [3]

$x^2+kx-9=-3x^2-5x+k$the curves meet, so the y-values are equalโค้งสองเส้นพบกัน ค่า y จึงเท่ากัน
$4x^2+(k+5)x=k+9$collect like termsรวมพจน์ที่เหมือนกัน
$4x^2+bx+c=0$move k + 9 over: a quadratic in x equal to 0ย้าย k + 9 มา ได้สมการกำลังสองของ x เท่ากับ 0
$a=4$the number in front of x²เลขหน้า x²
$b=k+5$the number in front of xเลขหน้า x
$c=-k-9$what is left: k + 9 moved overส่วนที่เหลือ ย้าย k + 9 มาแล้ว
$b^2-4ac=0$one meeting point: discriminant (b² − 4ac) is 0พบกันจุดเดียว ตัวจำแนก (b² − 4ac) เป็น 0
$b^2=(k+5)^2$square bยกกำลังสอง b
$=k^2+10k+25$expand the bracketกระจายวงเล็บ
$-4ac=-4(4)(-k-9)$put in a and cแทน a กับ c
$=16k+144$multiply outคูณออก
$U=k^2+10k+25$name the first part U (from b²)ตั้งชื่อส่วนแรกว่า U (จาก b²)
$V=16k+144$name the second part V (from −4ac)ตั้งชื่อส่วนที่สองว่า V (จาก −4ac)
$U+V=0$k² + 10k + 25 + 16k + 144 = 0k² + 10k + 25 + 16k + 144 = 0
$k^2+26k+169=0$add the parts: 10k + 16k = 26k · 25 + 144 = 169รวม: 10k + 16k = 26k · 25 + 144 = 169

Q4(b) Find the point PQ4(b) หาจุด P

Curve $C_1$ is $y=x^2+kx-9$. Curve $C_2$ is $y=-3x^2-5x+k$. Here $k$ is a constant.
The two curves meet at exactly one point, $P$.
(b) Use this to find the coordinates of $P$. [3]

$k^2+26k+169=0$the result of (a)ผลจากข้อ (a)
$(k+13)^2=0$a perfect square: 13 × 13 = 169, 2 × 13 = 26กำลังสองสมบูรณ์ 13 × 13 = 169, 2 × 13 = 26
$k+13=0$the square root of 0 is 0รากที่สองของ 0 คือ 0
$k=-13$answer for kค่าของ k
$k+5=-8$put k = −13 into bแทน k = −13 ใน b
$k+9=-4$and into k + 9และใน k + 9
$4x^2-8x=-4$the quadratic from (a)สมการกำลังสองจากข้อ (a)
$4x^2-8x+4=0$move the −4 overย้าย −4 มา
$x^2-2x+1=0$divide by 4หารด้วย 4
$(x-1)^2=0$a perfect square againกำลังสองสมบูรณ์อีกครั้ง
$x-1=0$the square root of 0 is 0รากที่สองของ 0 คือ 0
$x=1$the x-value of Pค่า x ของจุด P
$y=x^2-13x-9$put x = 1 into C1 (k = −13)แทน x = 1 ใน C1 (k = −13)
$y=1-13-9$substituteแทนค่า
$=-21$the y-value of Pค่า y ของจุด P
$P=(1,-21)$answerคำตอบ

6. Q5 · Radians, sector and triangles · 7 marksข้อ 5 · เรเดียน เซกเตอร์ และสามเหลี่ยม · 7 คะแนน

Answer: 23.4 m²; 1.54 rad; 60.9 m²คำตอบ: 23.4 m²; 1.54 rad; 60.9 m²

Q5(a) Area of the sectorQ5(a) พื้นที่เซกเตอร์

A garden has the shape $ABCDEA$ on a plan. It is made of triangle $ABE$, a sector $BDE$ of a circle with centre $B$ and radius 6 m, and triangle $BCD$.
$A$, $B$ and $C$ are on one straight line. $AB=10.8$ m, $AE=12.2$ m and $BE=BD=6$ m.
Angle $EBD=1.3$ rad and angle $BCD=\dfrac{\pi}{2}$ rad.
(a) Find the area of sector $BDE$, in m². [2]

$S=\dfrac{1}{2}r^2\theta$sector area · S = area, θ “theta” = the angle in radiansพื้นที่เซกเตอร์ · S = พื้นที่, θ “ทีตา” = มุมเป็นเรเดียน
$r=6$the radius: BE = BD = 6 mรัศมี BE = BD = 6 ม.
$\theta=1.3$angle EBD, in radiansมุม EBD เป็นเรเดียน
$r^2\theta=36\times1.3$substitute: 6² = 36แทนค่า 6² = 36
$=46.8$multiplyคูณ
$S=\dfrac{46.8}{2}$times a halfคูณครึ่ง
$=23.4$divide by 2หารด้วย 2
$S=23.4\text{ m}^2$answerคำตอบ

Q5(b) Angle ABEQ5(b) มุม ABE

$\cos\theta=\dfrac{N}{D}$cosine rule, with cos θ alone · θ = angle ABEกฎโคไซน์ จัด cos θ ไว้ด้านเดียว · θ = มุม ABE
$N=b^2+c^2-a^2$a = AE is opposite θ · b = AB · c = BEa = AE ตรงข้าม θ · b = AB · c = BE
$D=2bc$two times the two sides next to θสองคูณด้านสองด้านที่ติดมุม θ
$b^2=116.64$AB² = 10.8²AB² = 10.8²
$c^2=36$BE² = 6²BE² = 6²
$a^2=148.84$AE² = 12.2²AE² = 12.2²
$b^2+c^2=152.64$add the first twoบวกสองตัวแรก
$N=152.64-a^2$take away a² (148.84)ลบ a² (148.84)
$=3.8$top of the fractionตัวเศษ
$D=2(10.8)(6)$substituteแทนค่า
$=129.6$bottom of the fractionตัวส่วน
$\cos\theta=\dfrac{3.8}{129.6}$top over bottomเศษส่วน ตัวเศษต่อตัวส่วน
$=0.02932$keep the full valueเก็บค่าเต็มไว้
$\theta=\cos^{-1}\text{Ans}$inverse cosine (cos⁻¹ “cos inverse”) of the last answer 0.02932 · radians modeใช้ cos⁻¹ (อ่านว่า คอสอินเวิร์ส) กับคำตอบก่อนหน้า 0.02932 · โหมดเรเดียน
$=1.5415$keep the full valueเก็บค่าเต็มไว้
$\theta=1.54\text{ rad}$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

Q5(c) Area of the gardenQ5(c) พื้นที่ของสวน

$T=S+X+Y$garden = sector S + triangle ABE (X) + triangle BCD (Y)สวน = เซกเตอร์ S + สามเหลี่ยม ABE (X) + สามเหลี่ยม BCD (Y)
$S=23.4$from (a)จากข้อ (a)
$X=32.4\sin\theta$X = ½ × 10.8 × 6 × sin θ · ½ × 10.8 × 6 = 32.4X = ½ × 10.8 × 6 × sin θ · ½ × 10.8 × 6 = 32.4
$\sin\theta=0.99957$θ = 1.5415 from (b)θ = 1.5415 จากข้อ (b)
$X=32.39$32.4 × 0.99957 · area of ABE32.4 × 0.99957 · พื้นที่ ABE
$\phi=\pi-\theta-1.3$angles on a straight line add to π · φ “phi” = angle DBCมุมบนเส้นตรงรวมเป็น π · φ “ฟาย” = มุม DBC
$=0.3001$radiansเรเดียน
$BC=6\cos\phi$right-angled triangle BCD · BD = 6 is the longest sideสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD · BD = 6 เป็นด้านยาวสุด
$=5.7318$adjacent sideด้านประชิด
$CD=6\sin\phi$opposite sideด้านตรงข้าม
$=1.7738$keep 4 d.p.เก็บ 4 ตำแหน่ง
$Y=\dfrac{1}{2}(BC)(CD)$half × base × heightครึ่ง × ฐาน × สูง
$BC\times CD=10.167$5.7318 × 1.77385.7318 × 1.7738
$Y=5.08$10.167 ÷ 2 · area of BCD10.167 ÷ 2 · พื้นที่ BCD
$T=55.79+5.08$23.4 + 32.39 = 55.79 · then add Y23.4 + 32.39 = 55.79 แล้วบวก Y
$T=60.9\text{ m}^2$add: 60.87 · answer, 3 s.f. · the MS rounds θ to 1.54 first: tiny differences, same 60.9บวกได้ 60.87 · คำตอบ 3 ตัวสำคัญ · MS ปัดมุม θ เป็น 1.54 ก่อน ตัวเลขกลางต่างนิดหน่อย คำตอบเดิม 60.9

7. Q6 · Line meets curve · region · 7 marksข้อ 6 · เส้นตรงตัดเส้นโค้ง · บริเวณ · 7 คะแนน

Answer: P(−6, 45) and Q(8, 115); y ≥ 0, y ≤ 5x + 75, y ≤ 2x² + x − 21, x ≤ 0คำตอบ: P(−6, 45) and Q(8, 115); y ≥ 0, y ≤ 5x + 75, y ≤ 2x² + x − 21, x ≤ 0

Q6(a) Find P and QQ6(a) หาจุด P และ Q

No calculator: show every stage of the working.
Line $l$ has equation $y-5x=75$. Curve $C$ has equation $y=2x^2+x-21$. They meet at two points: $P$ (on the left) and $Q$ (on the right).
(a) Use algebra to find the coordinates of $P$ and of $Q$. [4]

$y-5x=75$line lเส้นตรง l
$y=5x+75$make y the subjectจัด y ให้อยู่คนเดียว
$2x^2+x-21=5x+75$curve = line hereเส้นโค้ง = เส้นตรง ตรงนี้
$2x^2-4x-96=0$everything on the leftย้ายทุกอย่างมาซ้าย
$x^2-2x-48=0$divide by 2หารด้วย 2
$(x+6)(x-8)=0$6 × (−8) = −48, 6 + (−8) = −26 × (−8) = −48, 6 + (−8) = −2
$x=-6$from x + 6 = 0จาก x + 6 = 0
$x=8$from x − 8 = 0จาก x − 8 = 0
$y=5(-6)+75$x = −6 into the lineแทน x = −6 ในเส้นตรง
$=45$
$y=5(8)+75$x = 8 into the lineแทน x = 8 ในเส้นตรง
$=115$
$P=(-6,45)$P: the smaller xP: x น้อยกว่า
$Q=(8,115)$Q is on the rightQ อยู่ขวา

Q6(b) Inequalities for RQ6(b) อสมการของบริเวณ R

No calculator: show every stage of the working.
Line $l$ has equation $y-5x=75$. Curve $C$ has equation $y=2x^2+x-21$. They meet at two points: $P$ (on the left) and $Q$ (on the right).
(b) The shaded region $R$ is enclosed by $C$, $l$ and the $x$-axis. Write inequalities that define $R$. [3]

$y\ge0$above the x-axisอยู่เหนือแกน x
$y\le5x+75$below the line lอยู่ใต้เส้นตรง l
$y\le2x^2+x-21$below the curve Cอยู่ใต้เส้นโค้ง C
$2x^2+x-21=0$C meets the x-axis where?C ตัดแกน x ที่ไหน?
$(2x+7)(x-3)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
$x=-3.5$from 2x + 7 = 0จาก 2x + 7 = 0
$x=3$extra piece starts hereส่วนเกินเริ่มตรงนี้
$x\le0$0 is between −3.5 and 3: cuts the extra piece0 อยู่ระหว่าง −3.5 กับ 3 ตัดส่วนเกิน

8. Q7 · Derivatives that meet · 8 marksข้อ 7 · อนุพันธ์ที่ตัดกัน · 8 คะแนน

Answer: f′(x) = 6x² − 2kx + 14; f″(x) = 12x − 2k; k = 13; B(4/3, −10)คำตอบ: f′(x) = 6x² − 2kx + 14; f″(x) = 12x − 2k; k = 13; B(4/3, −10)

Q7(a)(i) Find f′(x)Q7(a)(i) หา f′(x)

Curve $C$ has equation $y=f(x)$, where $f(x)=2x^3-kx^2+14x+24$ and $k$ is a constant.
The curves $y=f'(x)$ and $y=f''(x)$ cross at two points, $A$ and $B$. Point $A$ has $x=5$.
(a)(i) Find $f'(x)$ in simplest form. [2]

$(2x^3)'=6x^2$power down, take 1 offลดกำลังลง 1 คูณเลขกำลัง
$(-kx^2)'=-2kx$k is just a numberk เป็นแค่ตัวเลข
$(14x)'=14$x has power 1x มีกำลัง 1
$(24)'=0$a constant has no slopeค่าคงที่ไม่มีความชัน
$f'(x)=6x^2-2kx+14$add the four partsบวกสี่ส่วนเข้าด้วยกัน

Q7(a)(ii) Find f″(x)Q7(a)(ii) หา f″(x)

$(6x^2)'=12x$differentiate againหาอนุพันธ์อีกครั้ง
$(-2kx)'=-2k$−2k is the number by x−2k คือเลขหน้า x
$(14)'=0$a constantค่าคงที่
$f''(x)=12x-2k$add the partsบวกทุกส่วน

Q7(b) Find kQ7(b) หา k

$f'(5)=f''(5)$same height at the meeting pointที่จุดตัดสูงเท่ากัน
$f'(5)=150-10k+14$x = 5 into f′: 6 × 25 = 150x = 5 ใน f′: 6 × 25 = 150
$=164-10k$150 + 14150 + 14
$f''(5)=60-2k$x = 5 into f″x = 5 ใน f″
$164-10k=60-2k$set them equalให้สองค่าเท่ากัน
$164=60+8k$k terms to the rightย้าย k ไปทางขวา
$104=8k$numbers to the leftย้ายตัวเลขไปทางซ้าย
$k=13$divide both sides by 8หารทั้งสองข้างด้วย 8

Q7(c) Find BQ7(c) หาจุด B

$f'(x)=f''(x)$they meet where equalตัดกันที่ค่าเท่ากัน
$6x^2-26x+14=12x-26$put k = 13 in bothแทน k = 13 ทั้งสองสูตร
$6x^2-38x+40=0$everything on the leftย้ายทุกอย่างมาซ้าย
$3x^2-19x+20=0$divide by 2หารด้วย 2
$(3x-4)(x-5)=0$3x² − 15x − 4x + 203x² − 15x − 4x + 20
$x=5$x − 5 = 0: this is Ax − 5 = 0: นี่คือ A
$x=\dfrac43$3x − 4 = 0: this is B3x − 4 = 0: นี่คือ B
$y=12x-26$x into f″ (shorter)x ใน f″ (สั้นกว่า)
$y=16-26$12 × 4/3 = 1612 × 4/3 = 16
$=-10$
$B=\left(\dfrac43,-10\right)$x and y togetherรวม x กับ y

9. Q8 · Cubic and reciprocal graphs · 7 marksข้อ 8 · กราฟกำลังสามและกราฟส่วนกลับ · 7 คะแนน

Answer: crosses at (−2, 0), (0, 0), (2, 0); falls from top left to bottom right with one max and one min; x⁴ − 4x² + A = 0 (shown); 0 < A < 4คำตอบ: crosses at (−2, 0), (0, 0), (2, 0); falls from top left to bottom right with one max and one min; x⁴ − 4x² + A = 0 (shown); 0 < A < 4

Q8(a) Sketch the cubicQ8(a) ร่างกราฟกำลังสาม

The curve $C_1$ has equation $y=x(4-x^2)$.
(a) Sketch $C_1$. Mark every point where it crosses an axis, with its coordinates. [3]

$x(4-x^2)=0$crosses the x-axis where y = 0ตัดแกน x ตอน y = 0
$x=0$first factor is 0ตัวประกอบแรกเป็น 0
$4-x^2=0$or the second factor is 0หรือตัวที่สองเป็น 0
$4=x^2$move x² acrossย้าย x² ข้ามไป
$x=\pm2$square root: plus or minusถอดรูท ได้ทั้งบวกและลบ
$y=4x-x^3$expand the bracketsกระจายวงเล็บ
$y\approx-x^3$big x: minus x³ leads. Left end up, right end down. 3 roots, so 2 turns.x ใหญ่ ๆ: −x³ นำ ซ้ายชี้ขึ้น ขวาชี้ลง · มี 3 ราก จึงหักเลี้ยว 2 ครั้ง

Q8(b) Show the equationQ8(b) แสดงสมการ

The curve $C_1$ has equation $y=x(4-x^2)$.
(b) The curve $C_2$ has equation $y=\dfrac{A}{x}$, where $A$ is a constant. Show that, where $C_1$ meets $C_2$, the value of $x$ must satisfy $x^4-4x^2+A=0$. [1]

$x(4-x^2)=\dfrac{A}{x}$meeting point: same y on both curvesจุดตัด: y เท่ากันทั้งสองเส้น
$x^2(4-x^2)=A$multiply both sides by xคูณทั้งสองข้างด้วย x
$4x^2-x^4=A$expandกระจาย
$4x^2-x^4-A=0$move A acrossย้าย A ข้ามไป
$x^4-4x^2+A=0$multiply by −1: every sign flips · shownคูณ −1 ทุกเครื่องหมายสลับ · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q8(c) Four meeting pointsQ8(c) ตัดกัน 4 จุด

The curve $C_1$ has equation $y=x(4-x^2)$.
(c) The curve $C_2$ is $y=\dfrac{A}{x}$. Using part (b), find the values of $A$ for which $C_1$ meets $C_2$ at exactly 4 different points. [3]

$u=x^2$let u stand for x²ให้ u แทน x²
$u^2-4u+A=0$x⁴ is u², so (b) becomes thisx⁴ = u² ดังนั้นข้อ (b) เป็นแบบนี้
$u_1u_2=A$product of the two roots = Aผลคูณของสองราก = A
$u_1+u_2=4$sum of the two roots = 4ผลบวกของสองราก = 4
$A\gt0$if the roots are real: sum 4, product A, both positiveถ้ารากเป็นจำนวนจริง: ผลบวก 4 ผลคูณ A เป็นบวก รากบวกทั้งคู่
$b^2-4ac\gt0$2 different roots u, so 4 different xu ต่างกัน 2 ค่า จึงได้ x 4 ค่า
$16-4A\gt0$a = 1, b = −4, c = Aa = 1, b = −4, c = A
$16\gt4A$move 4A acrossย้าย 4A ข้ามไป
$4\gt A$divide both sides by 4หารทั้งสองข้างด้วย 4
$A\lt4$read it the other way roundอ่านสลับด้าน
$0\lt A\lt4$both conditions together · answerรวมสองเงื่อนไข · คำตอบ

10. Q9 · Coordinate geometry · 9 marksข้อ 9 · เรขาคณิตพิกัด · 9 คะแนน

Answer: 5x − 11y + 2 = 0; C = (5, 2) or C = (25, 2); 2.5คำตอบ: 5x − 11y + 2 = 0; C = (5, 2) or C = (25, 2); 2.5

Q9(a) Equation of l₁Q9(a) สมการของ l₁

Point $A$ is $(4,2)$ and point $B$ is $(15,7)$. The line $l_1$ goes through both $A$ and $B$.
(a) Find an equation for $l_1$ in the form $px+qy+r=0$ with $p$, $q$, $r$ whole numbers. [3]

$m=\dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$gradient m = rise ÷ runความชัน m = ขึ้น ÷ ไป
$\text{rise}=7-2$up from A to Bขึ้นจาก A ไป B
$=5$
$\text{run}=15-4$across from A to Bไปทางขวาจาก A ไป B
$=11$
$m=\dfrac{5}{11}$gradientความชัน
$y-2=m(x-4)$line through A: y − y₁ = m(x − x₁)เส้นผ่าน A: y − y₁ = m(x − x₁)
$y-2=\dfrac{5}{11}(x-4)$put m inใส่ m
$11(y-2)=5(x-4)$multiply by 11: no fractionsคูณ 11 ให้ไม่มีเศษส่วน
$11y-22=5x-20$expandกระจาย
$0=5x-11y+2$all terms on the rightย้ายทุกพจน์ไปทางขวา
$5x-11y+2=0$swap sides · p = 5, q = −11, r = 2สลับข้าง · p = 5, q = −11, r = 2

Q9(b) Find both CQ9(b) หาจุด C ทั้งสองจุด

Point $A$ is $(4,2)$ and point $B$ is $(15,7)$. The line $l_1$ goes through both $A$ and $B$.
(b) The line $l_2$ goes through $A$, level with the $x$-axis. $C$ is a point on $l_2$ with $BC=5\sqrt{5}$. Give the coordinates of both places $C$ could be. [4]

$y=2$l₂ is flat and goes through Al₂ ขนานแกน x ผ่าน A
$D=(15,2)$D: straight down from B onto l₂D: ลากตรงลงจาก B ถึง l₂
$BD=7-2$B is at y = 7, l₂ is at y = 2B อยู่ y = 7, l₂ อยู่ y = 2
$=5$
$BC^2=(5\sqrt{5})^2$the given length, squaredความยาวที่โจทย์ให้ ยกกำลังสอง
$=25\times5$square 5 and square √5ยกกำลังสอง 5 และ √5
$=125$
$BC^2=BD^2+DC^2$Pythagoras in triangle BDCพีทาโกรัสในสามเหลี่ยม BDC
$125=25+DC^2$BD² = 5² = 25BD² = 5² = 25
$100=DC^2$move 25 acrossย้าย 25 ข้ามไป
$DC=10$square root · a length is positiveถอดรูท · ความยาวเป็นบวก
$x=15\pm10$C is 10 left or right of DC อยู่ซ้ายหรือขวาของ D อีก 10
$x=5\text{ or }25$both signsทั้งสองเครื่องหมาย
$C=(5,2)$first positionตำแหน่งแรก
$C=(25,2)$second positionตำแหน่งที่สอง

Q9(c) Smallest areaQ9(c) พื้นที่น้อยสุด

Point $A$ is $(4,2)$ and point $B$ is $(15,7)$. The line $l_1$ goes through both $A$ and $B$.
(c) Point $C$ is on $l_2$, the line through $A$ parallel to the $x$-axis, with $BC=5\sqrt{5}$. So $C$ is $(5,2)$ or $(25,2)$. Find the smallest area that triangle $ABC$ can have. [2]

$\text{area}=\dfrac{1}{2}bh$half × base × heightครึ่ง × ฐาน × สูง
$h=5$B is 5 above l₂B อยู่สูงกว่า l₂ 5 หน่วย
$AC=5-4$base on l₂ · C = (5, 2)ฐานอยู่บน l₂ · C = (5, 2)
$=1$
$AC=25-4$base on l₂ · C = (25, 2)ฐานอยู่บน l₂ · C = (25, 2)
$=21$
$1\lt21$smaller base, smaller areaฐานสั้นกว่า พื้นที่น้อยกว่า
$\text{area}=\dfrac{1}{2}\times1\times5$use the short baseใช้ฐานที่สั้นกว่า
$=2.5$
$\text{min}=2.5$answer · smallest areaคำตอบ · พื้นที่น้อยสุด

11. Q10 · Normal and integration · 10 marksข้อ 10 · เส้นตั้งฉากและอินทิเกรต · 10 คะแนน

Answer: y = 2x + 4; f(x) = 3x² − (6/5)x^(5/2) − (1/3)x^(3/2) + 2√x + 16/15คำตอบ: y = 2x + 4; f(x) = 3x² − (6/5)x^(5/2) − (1/3)x^(3/2) + 2√x + 16/15

Q10(a) Equation of the normalQ10(a) สมการเส้นตั้งฉาก

The curve $C$ is $y=\mathrm{f}(x)$ for $x\gt0$. Its slope function is $\mathrm{f}'(x)=6x-\dfrac{(2x-1)(3x+2)}{2\sqrt{x}}$. The point $P(4,12)$ is on $C$.
(a) Work out the normal line to $C$ at $P$, written as $y=mx+c$ where $m$ and $c$ are integers. [4]

$6(4)=24$first term of f′ at x = 4พจน์แรกของ f′ ที่ x = 4
$2(4)-1=7$first bracketวงเล็บแรก
$3(4)+2=14$second bracketวงเล็บที่สอง
$2\sqrt{4}=4$bottom of the fractionตัวล่างของเศษส่วน
$7\times14=98$top of the fractionตัวบนของเศษส่วน
$\dfrac{98}{4}=24.5$the fractionค่าเศษส่วน
$f'(4)=24-24.5$slope function at x = 4ฟังก์ชันความชันที่ x = 4
$=-\dfrac{1}{2}$gradient of the tangent at Pความชันของเส้นสัมผัสที่ P
$m_N=-\dfrac{1}{m_T}$flip, change sign (m_T = tangent)กลับเศษส่วน เปลี่ยนเครื่องหมาย (m_T = เส้นสัมผัส)
$=-1\times(-2)$1 ÷ (−½) = −21 ÷ (−½) = −2
$m_N=2$gradient of the normal · axes use different scalesความชันเส้นตั้งฉาก · สเกลสองแกนต่างกัน
$y-12=m_N(x-4)$line through P(4, 12)เส้นตรงผ่านจุด P(4, 12)
$y-12=2(x-4)$put m_N = 2แทน m_N = 2
$y-12=2x-8$expand the bracketกระจายวงเล็บ
$y=2x+4$add 12 to both sides · answerบวก 12 ทั้งสองข้าง · คำตอบ

Q10(b) Find f(x)Q10(b) หา f(x)

The curve $C$ is $y=\mathrm{f}(x)$ for $x\gt0$. Its slope function is $\mathrm{f}'(x)=6x-\dfrac{(2x-1)(3x+2)}{2\sqrt{x}}$. The point $P(4,12)$ is on $C$.
(b) Find $\mathrm{f}(x)$, with every term in its simplest form. [6]

$N=6x^2+x-2$N = top: expand the bracketsN = ตัวบน: กระจายวงเล็บ
$T_2=3x^{3/2}$from 6x² ÷ 2√xจาก 6x² ÷ 2√x
$T_3=\tfrac12\sqrt{x}$from x ÷ 2√xจาก x ÷ 2√x
$T_4=x^{-1/2}$from 2 ÷ 2√xจาก 2 ÷ 2√x
$T_1=6x$first term of f′พจน์แรกของ f′
$F=T_2+T_3-T_4$F = the fraction, term by termF = เศษส่วน ทีละพจน์
$f'(x)=T_1-F$f′ = 6x take away Ff′ = 6x ลบ F
$f'(x)=T_1-T_2-T_3+T_4$every sign in F flipsเครื่องหมายใน F สลับทุกตัว
$F_1=3x^2$integrate T₁: power + 1, ÷ itอินทิเกรต T₁
$F_2=\tfrac65x^{5/2}$3 ÷ 5/2 = 6/53 ÷ 5/2 = 6/5
$F_3=\tfrac13x^{3/2}$½ ÷ 3/2 = 1/3½ ÷ 3/2 = 1/3
$F_4=2\sqrt{x}$1 ÷ ½ = 21 ÷ ½ = 2
$f(x)=F_1-F_2-F_3+F_4+c$add the constant cบวกค่าคงที่ c
$F_2(4)=\tfrac{192}{5}$6/5 × 32 · 4^{5/2} = 2⁵6/5 × 32 · 4^{5/2} = 2⁵
$F_3(4)=\tfrac83$1/3 × 8 · 4^{3/2} = 2³1/3 × 8 · 4^{3/2} = 2³
$F_1(4)=3\times16$x = 4x = 4
$=48$F₄(4) = 2 × 2 = 4F₄(4) = 2 × 2 = 4
$S=52-F_2-F_3$S = f(4) without c · 48 + 4 = 52S = f(4) ที่ยังไม่มี c · 48 + 4 = 52
$52=\tfrac{780}{15}$common bottom 15ตัวส่วนร่วม 15
$\tfrac{192}{5}=\tfrac{576}{15}$× 3 top and bottom× 3 ทั้งบนและล่าง
$\tfrac83=\tfrac{40}{15}$× 5 top and bottom× 5 ทั้งบนและล่าง
$S=\tfrac{164}{15}$780 − 576 − 40 = 164780 − 576 − 40 = 164
$S+c=12$P is on C, so f(4) = 12P อยู่บน C จึง f(4) = 12
$c=12-S$move S acrossย้าย S ไปอีกข้าง
$12=\tfrac{180}{15}$12 × 15 = 18012 × 15 = 180
$c=\tfrac{16}{15}$180 − 164 = 16 · put c in f(x)180 − 164 = 16 · ใส่ c ใน f(x)

12. Q11 · Sine graph, shifts · 6 marksข้อ 11 · กราฟไซน์และการเลื่อน · 6 คะแนน

Answer: P = (5π/2, 12); (3π/2, −21); A = −12, B = 5π/4คำตอบ: P = (5π/2, 12); (3π/2, −21); A = −12, B = 5π/4

Q11(a) Coordinates of PQ11(a) พิกัดของ P

$y_{\max}=12\times1$the biggest value of sin x is 1sin x มากสุดคือ 1
$=12$so the peak height is 12ความสูงของยอดคือ 12
$\sin x=1$a peak is where sin x = 1ยอดอยู่ที่ sin x = 1
$x=\dfrac{\pi}{2}$the first peakยอดแรก
$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi$P is the second peak: add one full turn 2πP คือยอดที่สอง: บวกอีกหนึ่งรอบ 2π
$=\dfrac{5\pi}{2}$add the fractionsรวมเศษส่วน
$P=\left(\dfrac{5\pi}{2},12\right)$answerคำตอบ

Q11(b) Minimum of C₂Q11(b) จุดต่ำสุดของ C₂

The curve $C_1$ is $y=12\sin x$, with $x$ in radians. The sketch shows $C_1$ from just left of the origin; the point $P$ on it is the second maximum point to the right of the $y$-axis.
(b) $C_2$ is $y=12\sin x+k$, where $k$ is a constant, and the maximum value of $y$ on $C_2$ is 3. Give the coordinates of the lowest point on $C_2$ that has the smallest positive $x$. [2]

$\sin x=1$the peak of C₂ is where sin x = 1ยอดของ C₂ อยู่ที่ sin x = 1
$y_{\max}=12+k$max of 12 sin x is 12, then add kค่าสูงสุดของ 12 sin x คือ 12 แล้วบวก k
$3=12+k$the maximum is 3ค่าสูงสุดคือ 3
$k=-9$3 − 12 = −93 − 12 = −9
$\sin x=-1$a minimum is where sin x = −1จุดต่ำสุดอยู่ที่ sin x = −1
$x=\dfrac{3\pi}{2}$smallest positive x with sin x = −1x บวกที่น้อยสุดที่ sin x = −1
$y_{\min}=-12+k$the smallest value of 12 sin x is −12ค่าต่ำสุดของ 12 sin x คือ −12
$=-12-9$put k = −9แทน k = −9
$=-21$−12 − 9−12 − 9
$\text{min}=\left(\dfrac{3\pi}{2},-21\right)$answerคำตอบ

Q11(c) Find A and BQ11(c) หา A และ B

The curve $C_1$ is $y=12\sin x$, with $x$ in radians. The sketch shows $C_1$ from just left of the origin; the point $P$ on it is the second maximum point to the right of the $y$-axis.
(c) $C_3$ is $y=12\sin(x+B)$, where $B$ is a positive constant. The point $\left(\dfrac{\pi}{4},A\right)$ is the minimum point on $C_3$ with the smallest positive $x$. Find (i) the value of $A$, (ii) the smallest possible value of $B$. [2]

$y_{\min}=12\times(-1)$sin is at least −1sin ต่ำสุดคือ −1
$A=-12$(i) answer(i) คำตอบ
$\sin(x+B)=-1$(ii) at the minimum(ii) ที่จุดต่ำสุด
$x+B=\dfrac{3\pi}{2}$−π/2 would make B negative−π/2 ทำให้ B ติดลบ
$\dfrac{\pi}{4}+B=\dfrac{3\pi}{2}$put x = π/4แทน x = π/4
$B=\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}$subtract π/4 from both sidesลบ π/4 ทั้งสองข้าง
$=\dfrac{6\pi-\pi}{4}$common bottom 4ตัวส่วนร่วม 4
$B=\dfrac{5\pi}{4}$answer · π/4 is the first minimumคำตอบ · π/4 คือจุดต่ำสุดแรก

13. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Given m = 2ⁿ, write 8²ⁿ as mᵏ. Find k.กำหนด m = 2ⁿ เขียน 8²ⁿ ในรูป mᵏ จงหา k
Answer:เฉลย: 68 = 2³, so 8²ⁿ = 2⁶ⁿ = (2ⁿ)⁶ = m⁶.8 = 2³ ได้ 8²ⁿ = 2⁶ⁿ = (2ⁿ)⁶ = m⁶
The line $y=4x+k$ touches the curve $y=x^2-2x+7$ at one point only. Find $k$.เส้นตรง $y=4x+k$ สัมผัสโค้ง $y=x^2-2x+7$ ที่จุดเดียว หา $k$
Answer:เฉลย: -2x² − 2x + 7 = 4x + k gives x² − 6x + (7 − k) = 0. Discriminant: 36 − 4(7 − k) = 0, so k = −2.x² − 2x + 7 = 4x + k ได้ x² − 6x + (7 − k) = 0 ตัวจำแนก 36 − 4(7 − k) = 0 ดังนั้น k = −2
Line y = 2x + 8 meets curve y = x² + x − 4. Find the larger x-coordinate of the two meeting points.เส้นตรง y = 2x + 8 ตัดเส้นโค้ง y = x² + x − 4 หาค่า x ที่มากกว่าของจุดตัดทั้งสอง
Answer:เฉลย: 4x² + x − 4 = 2x + 8, so x² − x − 12 = 0, so (x + 3)(x − 4) = 0 and x = −3 or 4.x² + x − 4 = 2x + 8 ได้ x² − x − 12 = 0 และ (x + 3)(x − 4) = 0 ดังนั้น x = −3 หรือ 4
Line l is y = 1. Point B is (10, 6). Point C is on l with BC = 13. Find the largest possible x coordinate of C.เส้น l คือ y = 1 · จุด B = (10, 6) · จุด C อยู่บน l และ BC = 13 · หาค่า x มากที่สุดของ C
Answer:เฉลย: 22BD = 6 − 1 = 5, so DC² = 169 − 25 = 144, DC = 12. x = 10 ± 12, so the largest is 22.BD = 6 − 1 = 5 · DC² = 169 − 25 = 144 · DC = 12 · x = 10 ± 12 ใหญ่สุดคือ 22
A curve has f'(x) = 3√x for x > 0, and f(4) = 20. Find f(9).เส้นโค้งมี f'(x) = 3√x เมื่อ x > 0 และ f(4) = 20 · จงหา f(9)
Answer:เฉลย: 58f(x) = 2x^(3/2) + c. f(4) = 16 + c = 20, so c = 4. f(9) = 2 × 27 + 4 = 58.f(x) = 2x^(3/2) + c · f(4) = 16 + c = 20 จึง c = 4 · f(9) = 2 × 27 + 4 = 58

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี