Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA11 Pure 1 · October 2024WMA11 Pure 1 · ต.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 1 (WMA11) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Straight lines · 6 marksข้อ 1 · เส้นตรง · 6 คะแนน

Answer: y = −3x + 5; x − 3y + 25 = 0คำตอบ: y = −3x + 5; x − 3y + 25 = 0

Q1(a) Equation of l₁Q1(a) สมการของ l₁

The points $A(-5,20)$ and $B(3,-4)$ both lie on the line $l_1$.
(a) Find an equation of $l_1$ in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants. [3]

  1. $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$gradient: change in y over change in xความชัน: y ที่เปลี่ยน ÷ x ที่เปลี่ยน
  2. $=\dfrac{20-(-4)}{-5-3}$A first, then Bใช้ A ลบ B
  3. $=\dfrac{24}{-8}$
  4. $=-3$the gradient of l₁ความชันของ l₁
  5. $y-20=-3(x+5)$y − y₁ = m(x − x₁) through Ay − y₁ = m(x − x₁) ผ่าน A
  6. $y=-3x-15+20$expand · move −20 overกระจาย · ย้าย −20
  7. $y=-3x+5$answerคำตอบ

Q1(b) The perpendicular bisectorQ1(b) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

The points $A(-5,20)$ and $B(3,-4)$ both lie on the line $l_1$.
(b) The line $l_2$ meets $l_1$ at right angles and goes through the midpoint of $AB$. From (a), $l_1$ is $y=-3x+5$. Find an equation of $l_2$ in the form $px+qy+r=0$, with $p$, $q$ and $r$ integers. [3]

  1. $m_1=-3$gradient of l₁, from (a)ความชันของ l₁ จากข้อ (a)
  2. $m_2=-1\div m_1$perpendicular: m₁ × m₂ = −1ตั้งฉาก: m₁ × m₂ = −1
  3. $=\dfrac13$−1 ÷ (−3)−1 ÷ (−3)
  4. $x_M=\dfrac{-5+3}{2}$midpoint: the mean of the x valuesจุดกึ่งกลาง: ค่าเฉลี่ยของ x
  5. $=-1$
  6. $y_M=\dfrac{20+(-4)}{2}$the mean of the y valuesค่าเฉลี่ยของ y
  7. $=8$M = (−1, 8)M = (−1, 8)
  8. $y-8=\dfrac13(x+1)$line through M with gradient ⅓เส้นผ่าน M ความชัน ⅓
  9. $3y-24=x+1$multiply both sides by 3คูณทั้งสองข้างด้วย 3
  10. $0=x+1-3y+24$move 3y − 24 to the rightย้าย 3y − 24 ไปทางขวา
  11. $0=x-3y+25$1 + 24 = 251 + 24 = 25
  12. $x-3y+25=0$answer · p = 1, q = −3, r = 25คำตอบ · p = 1, q = −3, r = 25

3. Q2 · Indices and surds · 7 marksข้อ 2 · เลขชี้กำลังและกรณฑ์ · 7 คะแนน

Answer: 6x¹⁰/y; a = −(4/3)√3 + 8/3คำตอบ: 6x¹⁰/y; a = −(4/3)√3 + 8/3

Q2(i) SimplifyQ2(i) ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
(i) Write $\dfrac{3y^3(2x^4)^3}{4x^2y^4}$ in its simplest form. [3]

  1. $(2x^4)^3=8x^{12}$cube each part: 2³ = 8 · 4 × 3 = 12ยกกำลังสามทุกตัว: 2³ = 8 · 4 × 3 = 12
  2. $E=\dfrac{3y^3\cdot8x^{12}}{4x^2y^4}$E is the whole fractionE คือเศษส่วนทั้งก้อน
  3. $=\dfrac{24}{4}x^{12-2}y^{3-4}$divide: take the powers awayหารกัน: ลบเลขชี้กำลัง
  4. $=6x^{10}y^{-1}$24 ÷ 4 = 624 ÷ 4 = 6
  5. $=\dfrac{6x^{10}}{y}$answer · y⁻¹ = 1/yคำตอบ · y⁻¹ = 1/y

Q2(ii) Solve for aQ2(ii) หาค่า a

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
(ii) Find the exact value of $a$ for which $\dfrac{16}{\sqrt3+1}=a\sqrt{27}+4$. Give $a$ as $p\sqrt3+q$, with $p$ and $q$ rational numbers in their simplest form. [4]

  1. $\sqrt{27}=3\sqrt3$27 = 9 × 3 and √9 = 327 = 9 × 3 และ √9 = 3
  2. $D=\eqalign{&(\sqrt3+1)\cr&\times(\sqrt3-1)}$D: the bottom times (√3 − 1)D: ตัวส่วนคูณ (√3 − 1)
  3. $=3-1$(√3)² − 1²(√3)² − 1²
  4. $=2$
  5. $L=\dfrac{16}{\sqrt3+1}$L is the left sideL คือด้านซ้าย
  6. $=\dfrac{16(\sqrt3-1)}{D}$times (√3 − 1) on top and bottomคูณ (√3 − 1) ทั้งเศษและส่วน
  7. $=\dfrac{16(\sqrt3-1)}{2}$D = 2D = 2
  8. $=8\sqrt3-8$16 ÷ 2 = 816 ÷ 2 = 8
  9. $8\sqrt3-8=3\sqrt3\,a+4$L = a√27 + 4L = a√27 + 4
  10. $8\sqrt3-12=3\sqrt3\,a$take 4 from both sidesลบ 4 ทั้งสองข้าง
  11. $a=\dfrac{8\sqrt3-12}{3\sqrt3}$divide by 3√3หารด้วย 3√3
  12. $=\dfrac{(8\sqrt3-12)\sqrt3}{9}$times √3 on top and bottom: 3√3 × √3 = 9คูณ √3 ทั้งเศษและส่วน: 3√3 × √3 = 9
  13. $=\dfrac{24-12\sqrt3}{9}$8√3 × √3 = 248√3 × √3 = 24
  14. $=\dfrac83-\dfrac43\sqrt3$split: 24/9 = 8/3 · 12/9 = 4/3แยก: 24/9 = 8/3 · 12/9 = 4/3
  15. $a=-\dfrac43\sqrt3+\dfrac83$answer · p = −4/3, q = 8/3คำตอบ · p = −4/3, q = 8/3

4. Q3 · Integrate and differentiate · 9 marksข้อ 3 · อินทิเกรตและหาอนุพันธ์ · 9 คะแนน

Answer: (2/5)x^(5/2) + (20/3)x^(3/2) + 50x^(1/2) + c; 3x² + 10x − 25 = 0 (shown); x = 5/3คำตอบ: (2/5)x^(5/2) + (20/3)x^(3/2) + 50x^(1/2) + c; 3x² + 10x − 25 = 0 (shown); x = 5/3

Q3(a) Integrate f(x)Q3(a) อินทิเกรต f(x)

Every stage of the working must be shown.
The function is $\text{f}(x)=\dfrac{(x+5)^2}{\sqrt{x}}$, for $x\gt0$.
(a) Work out $\displaystyle\int\text{f}(x)\,dx$. [4]

  1. $(x+5)^2=x^2+10x+25$expand the topกระจายตัวเศษ
  2. $\sqrt x=x^{\frac12}$root as a powerเขียนรากเป็นเลขชี้กำลัง
  3. $\dfrac{x^2}{x^{\frac12}}=x^{\frac32}$split: each term over x^½ · 2 − ½ = 3/2แยกหารทีละพจน์ · 2 − ½ = 3/2
  4. $\dfrac{10x}{x^{\frac12}}=10x^{\frac12}$1 − ½ = ½1 − ½ = ½
  5. $\dfrac{25}{x^{\frac12}}=25x^{-\frac12}$0 − ½ = −½0 − ½ = −½
  6. $\int x^{\frac32}dx=\dfrac{x^{\frac52}}{\frac52}$plus · divide: power up 1, divide by itบวก · หาร: เพิ่มเลขชี้กำลัง 1 แล้วหาร
  7. $A=\tfrac25x^{\frac52}$call it A · 1 ÷ 5/2 = 2/5เรียกว่า A · 1 ÷ 5/2 = 2/5
  8. $\int10x^{\frac12}dx=10\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32}$½ + 1 = 3/2½ + 1 = 3/2
  9. $B=\tfrac{20}3x^{\frac32}$call it B · 10 ÷ 3/2 = 20/3เรียกว่า B · 10 ÷ 3/2 = 20/3
  10. $\int25x^{-\frac12}dx=25\cdot\dfrac{x^{\frac12}}{\frac12}$−½ + 1 = ½−½ + 1 = ½
  11. $D=50x^{\frac12}$call it D · 25 ÷ ½ = 50เรียกว่า D · 25 ÷ ½ = 50
  12. $\int\text{f}(x)dx=\tfrac25x^{\frac52}+\tfrac{20}3x^{\frac32}$answer: A + B …คำตอบ: A + B …
  13. $\phantom{=}+50x^{\frac12}+c$… + D, and add + c… + D แล้วอย่าลืม + c

Q3(b)(i) Show the equation for f′(x) = 0Q3(b)(i) แสดงสมการเมื่อ f′(x) = 0

Every stage of the working must be shown.
The function is $\text{f}(x)=\dfrac{(x+5)^2}{\sqrt{x}}$, for $x\gt0$.
(b)(i) Show that, where $\text{f}'(x)=0$, the equation $3x^2+10x-25=0$ holds. (Part (b) is 5 marks in all.) [4]

  1. $\text{f}(x)=x^{\frac32}+10x^{\frac12}$f split into powers, as in (a) …แยก f เป็นเลขชี้กำลัง เหมือนข้อ (a) …
  2. $\phantom{=}+25x^{-\frac12}$… third term… พจน์ที่สาม
  3. $\dfrac{d}{dx}x^{\frac32}=\tfrac32x^{\frac12}$power down, take 1 offตบ · ลบ · ดิ๊ฟ: นำเลขชี้กำลังลงมาคูณ แล้วลบ 1
  4. $\dfrac{d}{dx}10x^{\frac12}=5x^{-\frac12}$10 × ½ = 510 × ½ = 5
  5. $\dfrac{d}{dx}25x^{-\frac12}=-\tfrac{25}2x^{-\frac32}$25 × (−½) = −25/225 × (−½) = −25/2
  6. $\text{f}'(x)=0$the gradient is 0ความชันเป็น 0
  7. $\tfrac32x^{\frac12}\times2x^{\frac32}=3x^2$each term × 2x^(3/2) · ½ + 3/2 = 2คูณทีละพจน์ด้วย 2x^(3/2) · ½ + 3/2 = 2
  8. $5x^{-\frac12}\times2x^{\frac32}=10x$−½ + 3/2 = 1−½ + 3/2 = 1
  9. $-\tfrac{25}2x^{-\frac32}\times2x^{\frac32}=-25$−3/2 + 3/2 = 0−3/2 + 3/2 = 0
  10. $3x^2+10x-25=0$add the three · 0 × 2x^(3/2) = 0 · shownรวมสามพจน์ · 0 × 2x^(3/2) = 0 · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q3(b)(ii) The value of xQ3(b)(ii) ค่าของ x

Every stage of the working must be shown.
The function is $\text{f}(x)=\dfrac{(x+5)^2}{\sqrt{x}}$, for $x\gt0$.
(b)(ii) Using (i), state the value of $x$ at which $\text{f}'(x)=0$. (Part (b) is 5 marks in all.) [1]

  1. $3x^2+10x-25=0$from (i)จากข้อ (i)
  2. $(3x-5)(x+5)=0$factorise · −5 × 5 = −25, 3x × 5 − 5x = 10xแยกตัวประกอบ · −5 × 5 = −25, 15x − 5x = 10x
  3. $x=\dfrac53\text{ or }x=-5$each bracket = 0ให้แต่ละวงเล็บเป็น 0
  4. $x\gt0$f is only for x > 0: drop −5f ใช้ได้เมื่อ x > 0: ตัด −5 ทิ้ง
  5. $x=\dfrac53$answerคำตอบ

5. Q4 · Quadratic and cubic curves · 10 marksข้อ 4 · เส้นโค้งกำลังสองและกำลังสาม · 10 คะแนน

Answer: f(x) = 1.2x(x − 4); g(x) = 0.3x(x − 4)²; P(8, 38.4)คำตอบ: f(x) = 1.2x(x − 4); g(x) = 0.3x(x − 4)²; P(8, 38.4)

Q4(a) Find f(x)Q4(a) หา f(x)

The figure shows part of two curves, $C_1$ and $C_2$.
(a) $C_1$ is $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)$ is a quadratic. $C_1$ crosses the $x$-axis at $O$ and at $x=4$, and its turning point is a minimum at $(2,-4.8)$. Find $\text{f}(x)$. [3]

  1. $\text{f}(x)=kx(x-4)$roots 0 and 4 · k still unknownรากคือ 0 และ 4 · ยังไม่รู้ค่า k
  2. $-4.8=k(2)(2-4)$the minimum (2, −4.8) is on the curveจุดต่ำสุด (2, −4.8) อยู่บนกราฟ
  3. $-4.8=-4k$2 × (−2) = −42 × (−2) = −4
  4. $k=1.2$divide both sides by −4หารทั้งสองข้างด้วย −4
  5. $\text{f}(x)=1.2x(x-4)$answer · = 1.2x² − 4.8xคำตอบ · = 1.2x² − 4.8x

Q4(b) Find g(x)Q4(b) หา g(x)

The figure shows part of two curves, $C_1$ and $C_2$.
(b) $C_2$ is $y=\text{g}(x)$, where $\text{g}(x)$ is a cubic. $C_2$ crosses the $x$-axis at $O$, meets the $x$-axis at $x=4$, and goes through $(6,7.2)$. Find $\text{g}(x)$. [3]

  1. $\text{g}(x)=ax(x-4)^2$root 0 · meets, not cuts, at 4: (x − 4) twiceรากคือ 0 · ที่ 4 แค่แตะแกน ไม่ตัดผ่าน: (x − 4) สองครั้ง
  2. $7.2=a(6)(6-4)^2$put in the point (6, 7.2)แทนจุด (6, 7.2)
  3. $7.2=24a$6 × 2² = 246 × 2² = 24
  4. $a=0.3$divide both sides by 24หารทั้งสองข้างด้วย 24
  5. $\text{g}(x)=0.3x(x-4)^2$answerคำตอบ

Q4(c) Where the curves meetQ4(c) จุดที่สองเส้นโค้งตัดกัน

The figure shows part of two curves, $C_1$ and $C_2$.
(c) $P$ is the point in the first quadrant where the two curves cross. From (a) and (b), $\text{f}(x)=1.2x(x-4)$ and $\text{g}(x)=0.3x(x-4)^2$. Working algebraically, find the coordinates of $P$. [4]

  1. $1.2x(x-4)=0.3x(x-4)^2$at P: f(x) = g(x) · P is not at x = 0 or 4ที่ P: f(x) = g(x) · P ไม่ได้อยู่ที่ x = 0 หรือ 4
  2. $4=x-4$1.2 ÷ 0.3 = 41.2 ÷ 0.3 = 4
  3. $8=x$add 4 to both sidesบวก 4 ทั้งสองข้าง
  4. $x=8$x > 4: first quadrantx > 4: อยู่ในจตุภาคที่หนึ่ง
  5. $y=1.2(8)(8-4)$x = 8 into f(x)แทน x = 8 ใน f(x)
  6. $=38.4$1.2 × 8 × 41.2 × 8 × 4
  7. $P=(8,\ 38.4)$answerคำตอบ

6. Q5 · Arc and sector · 9 marksข้อ 5 · ส่วนโค้งและเซกเตอร์ · 9 คะแนน

Answer: 16 km; area of R₂ = 3.75 km² (shown); AP ≈ 4.7 km (4700 m)คำตอบ: 16 km; area of R₂ = 3.75 km² (shown); AP ≈ 4.7 km (4700 m)

Q5(a) Perimeter of the fieldQ5(a) เส้นรอบรูปของที่ดิน

A field $OAB$ is shaped like a sector, centre $O$, of a circle: $OA=OB=5\text{ km}$ and angle $AOB=1.2$ radians.
(a) Work out the perimeter of the field. [2]

  1. $s=r\theta$arc length · θ "theta" in radiansความยาวส่วนโค้ง · θ (ทีตา) เป็นเรเดียน
  2. $=5\times1.2$r = 5, θ = 1.2r = 5, θ = 1.2
  3. $=6$the arc is 6 kmส่วนโค้งยาว 6 km
  4. $\text{perimeter}=5+5+6$two radii and the arcรัศมีสองเส้นกับส่วนโค้ง
  5. $=16$answer · kmคำตอบ · km

Q5(b) Show the area of R₂Q5(b) แสดงพื้นที่ของ R₂

A field $OAB$ is shaped like a sector, centre $O$, of a circle: $OA=OB=5\text{ km}$ and angle $AOB=1.2$ radians.
(b) The point $P$ is on $OB$, and the straight line $AP$ splits the field into the regions $R_1$ and $R_2$ shown. The area of $R_1$ is three times the area of $R_2$. Show that the area of $R_2$ is $3.75\text{ km}^2$. [3]

  1. $S=\tfrac12r^2\theta$sector areaพื้นที่เซกเตอร์
  2. $=\tfrac12\times5^2\times1.2$r = 5, θ = 1.2r = 5, θ = 1.2
  3. $=15$the whole field, km²พื้นที่ทั้งแปลง km²
  4. $R_1+R_2=15$the two regions fill the fieldสองส่วนรวมกันเต็มแปลง
  5. $3R_2+R_2=15$R₁ = 3 × R₂R₁ = 3 × R₂
  6. $4R_2=15$
  7. $R_2=3.75$km² · shownkm² · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q5(c) Length of APQ5(c) ความยาว AP

A field $OAB$ is shaped like a sector, centre $O$, of a circle: $OA=OB=5\text{ km}$ and angle $AOB=1.2$ radians.
(c) Using area $R_2=3.75\text{ km}^2$, find the length $AP$, to the nearest 100 m. [4]

  1. $R_2=\tfrac12ab\sin C$triangle OAP: two sides and the angle betweenสามเหลี่ยม OAP: สองด้านกับมุมระหว่างด้าน
  2. $3.75=2.5\,OP\sin1.2$a = OA = 5, b = OP · ½ × 5 = 2.5a = OA = 5, b = OP · ½ × 5 = 2.5
  3. $OP=\dfrac{3.75}{2.5\sin1.2}$divide both sidesหารทั้งสองข้าง
  4. $\approx1.60937$keep 5 d.p.เก็บทศนิยม 5 ตำแหน่ง
  5. $T=2\,OA\cdot OP\cos\theta$T: the last term of the cosine ruleT: พจน์สุดท้ายของกฎโคไซน์
  6. $=10\,OP\cos1.2$2 × 5 = 102 × 5 = 10
  7. $\approx5.8317$
  8. $AP^2=OA^2+OP^2-T$cosine rule in triangle OAPกฎโคไซน์ในสามเหลี่ยม OAP
  9. $OP^2\approx2.5901$1.60937²1.60937²
  10. $AP^2\approx\eqalign{&25+2.5901\cr&-5.8317}$OA² = 25OA² = 25
  11. $\approx21.7584$
  12. $AP\approx4.6646$square rootถอดราก
  13. $\approx4.7\text{ km}$answer · nearest 100 m = 4700 mคำตอบ · ปัดเป็นหลักร้อยเมตร = 4700 m

7. Q6 · A reciprocal graph and a line · 9 marksข้อ 6 · กราฟส่วนกลับกับเส้นตรง · 9 คะแนน

Answer: two branches: above the x-axis for x < 2, below it for x > 2; asymptote x = 2; meets the y-axis at (0, ½); k² − 5k + 4 ≥ 0 (shown); k ≤ 1 or k ≥ 4คำตอบ: two branches: above the x-axis for x < 2, below it for x > 2; asymptote x = 2; meets the y-axis at (0, ½); k² − 5k + 4 ≥ 0 (shown); k ≤ 1 or k ≥ 4

Q6(a) Sketch CQ6(a) ร่างกราฟ C

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
(a) Sketch the curve $C$: $y=\dfrac{1}{2-x}$, $x\ne2$. On the sketch, give the equation of its vertical asymptote and the coordinates of the point where $C$ meets the $y$-axis. [3]

  1. $2-x=0$no value where the bottom is 0ไม่มีค่าเมื่อตัวส่วนเป็น 0
  2. $x=2$add x · the vertical asymptoteบวก x · เส้นกำกับแนวตั้ง
  3. $x=0$on the y-axisบนแกน y
  4. $y=\dfrac{1}{2-0}$put x = 0 inแทน x = 0
  5. $=\dfrac12$meets the y-axis at (0, ½)ตัดแกน y ที่ (0, ½)
  6. $2-x\gt0$for x < 2: so y > 0, left branch aboveเมื่อ x < 2: y > 0 กิ่งซ้ายอยู่บน
  7. $2-x\lt0$for x > 2: so y < 0, right branch belowเมื่อ x > 2: y < 0 กิ่งขวาอยู่ล่าง
  8. $y\ne0$the top is 1: the x-axis is never reachedตัวเศษเป็น 1: ไม่ถึงแกน x

Q6(b)(i) Show k² − 5k + 4 ≥ 0Q6(b)(i) แสดงว่า k² − 5k + 4 ≥ 0

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
(b)(i) The line $l$ is $y=kx-4$, where $k$ is a constant, and $l$ meets $C$ at one point or more. Show that $k^2-5k+4\ge0$. (Part (b) is 6 marks in all.) [4]

  1. $kx-4=\dfrac{1}{2-x}$where l meets C: the same yจุดที่ l ตัด C: y เท่ากัน
  2. $(kx-4)(2-x)=1$multiply both sides by 2 − xคูณทั้งสองข้างด้วย 2 − x
  3. $m=2k+4$call the x-coefficient mให้ m เป็นสัมประสิทธิ์ของ x
  4. $-kx^2+mx-8=1$expand · 2kx + 4x = mxกระจาย · 2kx + 4x = mx
  5. $-kx^2+mx-9=0$take 1 from both sidesลบ 1 ทั้งสองข้าง
  6. $kx^2-mx+9=0$a quadratic: a = k, b = −m, c = 9สมการกำลังสอง: a = k, b = −m, c = 9
  7. $b^2-4ac\ge0$meets at least once: real rootsตัดอย่างน้อยหนึ่งจุด: มีรากจริง
  8. $m^2-36k\ge0$(−m)² = m² · 4 × k × 9 = 36k(−m)² = m² · 4 × k × 9 = 36k
  9. $m^2=(2k+4)^2$
  10. $=4k^2+16k+16$expand the squareกระจายกำลังสอง
  11. $4k^2-20k+16\ge0$16k − 36k = −20k16k − 36k = −20k
  12. $k^2-5k+4\ge0$divide by 4 · shownหารด้วย 4 · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q6(b)(ii) Range of kQ6(b)(ii) ช่วงของ k

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
(b)(ii) Using $k^2-5k+4\ge0$ from (i), find the range of possible values of $k$. (Part (b) is 6 marks in all.) [2]

  1. $k^2-5k+4\ge0$from (i)จากข้อ (i)
  2. $(k-1)(k-4)\ge0$factorise · 1 × 4 = 4, 1 + 4 = 5แยกตัวประกอบ · 1 × 4 = 4, 1 + 4 = 5
  3. $k=1,\ 4$critical valuesค่าวิกฤต
  4. $-4x+9=0$k = 0 (m = 4): linear, x = 9/4 · l meets C, and 0 ≤ 1k = 0 (m = 4): สมการเชิงเส้น x = 9/4 · l ตัด C และ 0 ≤ 1
  5. $k\le1\text{ or }k\ge4$answer · ≥ 0 outside the rootsคำตอบ · ≥ 0 อยู่นอกช่วงราก

8. Q7 · The cosine graph in radians · 8 marksข้อ 7 · กราฟโคไซน์ (เรเดียน) · 8 คะแนน

Answer: P(−2π, −4); Q(3π/2, 0); k = 7; (2π, 3); 1 solution: the line y = 5 − 10x/π meets C₁ once only, at (π/2, 0)คำตอบ: P(−2π, −4); Q(3π/2, 0); k = 7; (2π, 3); 1 solution: the line y = 5 − 10x/π meets C₁ once only, at (π/2, 0)

Q7(a)(i) Coordinates of PQ7(a)(i) พิกัดของ P

The figure shows part of the curve $C_1$: $y=-4\cos x$, with $x$ in radians. The points $P$ and $Q$ are on $C_1$, as marked: $P$ is the minimum point nearest to $O$ on the left of the $y$-axis, and $Q$ is the second point to the right of $O$ where $C_1$ crosses the $x$-axis.
(a)(i) State the coordinates of $P$. (Part (a) is 3 marks in all.) [2]

  1. $y=-4\cos x$the curveสมการกราฟ
  2. $\cos x=1$lowest points: −4cos x is least when cos x = 1จุดต่ำสุด: −4cos x น้อยที่สุดเมื่อ cos x = 1
  3. $y=-4(1)$put it inแทนค่า
  4. $=-4$the y-valueค่า y
  5. $x=0,\ \pm2\pi,\ \ldots$cos x = 1 every 2πcos x = 1 ทุก 2π
  6. $x=-2\pi$the one left of Oจุดที่อยู่ทางซ้ายของ O
  7. $P=(-2\pi,-4)$answerคำตอบ

Q7(a)(ii) Coordinates of QQ7(a)(ii) พิกัดของ Q

The figure shows part of the curve $C_1$: $y=-4\cos x$, with $x$ in radians. The points $P$ and $Q$ are on $C_1$, as marked: $P$ is the minimum point nearest to $O$ on the left of the $y$-axis, and $Q$ is the second point to the right of $O$ where $C_1$ crosses the $x$-axis.
(a)(ii) State the coordinates of $Q$. (Part (a) is 3 marks in all.) [1]

  1. $y=0$Q is on the x-axisQ อยู่บนแกน x
  2. $\cos x=0$−4cos x = 0−4cos x = 0
  3. $x=\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2},\ \ldots$crossings right of Oจุดตัดแกน x ทางขวาของ O
  4. $x=\tfrac{3\pi}{2}$the second one, after the peak at πจุดที่สอง ถัดจากยอดที่ π
  5. $Q=\left(\tfrac{3\pi}{2},0\right)$answerคำตอบ

Q7(b)(i) Find kQ7(b)(i) หา k

The figure shows part of the curve $C_1$: $y=-4\cos x$, with $x$ in radians. The points $P$ and $Q$ are on $C_1$, as marked: $P$ is the minimum point nearest to $O$ on the left of the $y$-axis, and $Q$ is the second point to the right of $O$ where $C_1$ crosses the $x$-axis.
(b)(i) The curve $C_2$ is $y=-4\cos x+k$, with $x$ in radians and $k$ a constant. The greatest $y$ value on $C_2$ is 11. State the value of $k$. (Part (b) is 3 marks in all.) [1]

  1. $\max(-4\cos x)=4$when cos x = −1เมื่อ cos x = −1
  2. $4+k=11$C₂ is C₁ moved up by kC₂ คือ C₁ เลื่อนขึ้น k
  3. $k=7$answerคำตอบ

Q7(b)(ii) Minimum point of C₂Q7(b)(ii) จุดต่ำสุดของ C₂

The figure shows part of the curve $C_1$: $y=-4\cos x$, with $x$ in radians. The points $P$ and $Q$ are on $C_1$, as marked: $P$ is the minimum point nearest to $O$ on the left of the $y$-axis, and $Q$ is the second point to the right of $O$ where $C_1$ crosses the $x$-axis.
(b)(ii) From (i), $C_2$ is $y=-4\cos x+7$. For $C_2$, state the coordinates of its minimum point that has the smallest positive $x$ coordinate. (Part (b) is 3 marks in all.) [2]

  1. $\cos x=1$lowest points of −4cos xจุดต่ำสุดของ −4cos x
  2. $x=2\pi$smallest positive x: x = 0 is not positivex บวกที่น้อยที่สุด: 0 ไม่ใช่จำนวนบวก
  3. $y=-4(1)+7$put it inแทนค่า
  4. $=3$the y-valueค่า y
  5. $\text{min}=(2\pi,\ 3)$answerคำตอบ

Q7(c) Count the solutionsQ7(c) นับจำนวนคำตอบ

The figure shows part of the curve $C_1$: $y=-4\cos x$, with $x$ in radians. The points $P$ and $Q$ are on $C_1$, as marked: $P$ is the minimum point nearest to $O$ on the left of the $y$-axis, and $Q$ is the second point to the right of $O$ where $C_1$ crosses the $x$-axis.
(c) Use a copy of the figure to state how many solutions the equation $-4\cos x=5-\dfrac{10}{\pi}x$ has. Give a reason. [2]

  1. $y=5-\dfrac{10}{\pi}x$the right side: a straight line through (0, 5), sloping downด้านขวาเป็นเส้นตรงผ่าน (0, 5) ลาดลง
  2. $0=5-\dfrac{10}{\pi}x$where the line meets the x-axisจุดที่เส้นตรงตัดแกน x
  3. $-5=-\dfrac{10}{\pi}x$take 5 from both sidesลบ 5 ทั้งสองข้าง
  4. $x=\dfrac{\pi}{2}$the line crosses at (π/2, 0)เส้นตรงตัดแกน x ที่ (π/2, 0)
  5. $-4\cos\tfrac{\pi}{2}=0$C₁ crosses there tooC₁ ก็ผ่านจุดนั้นด้วย
  6. $0\lt x\lt\pi$the only place the line is between −5 and 5 · C₁ rises, the line fallsช่วงเดียวที่เส้นตรงอยู่ระหว่าง −5 กับ 5 · C₁ ขึ้น เส้นตรงลง
  7. $\text{solutions}=1$answer · the line meets C₁ at one point onlyคำตอบ · เส้นตรงตัด C₁ จุดเดียว

9. Q8 · Gradient, normal and f(x) · 7 marksข้อ 8 · ความชัน เส้นตั้งฉาก และ f(x) · 7 คะแนน

Answer: k = −5 (shown); f(x) = (4/3)x³ − (5/2)x² + 3x − 141/8คำตอบ: k = −5 (shown); f(x) = (4/3)x³ − (5/2)x² + 3x − 141/8

Q8(a) Show k = −5Q8(a) แสดงว่า k = −5

The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$, and the point $P$ on $C$ has $x$ coordinate 3. You are given $\text{f}'(x)=4x^2+kx+3$, with $k$ a constant, and the normal to $C$ at $P$ is $y=-\dfrac{1}{24}x+5$.
(a) Show that $k=-5$. [3]

  1. $m_N=-\dfrac{1}{24}$gradient of the normal, from its equationความชันของเส้นตั้งฉาก จากสมการ
  2. $m_T=-1\div m_N$the tangent meets the normal at right anglesเส้นสัมผัสตั้งฉากกับเส้นตั้งฉาก
  3. $=24$gradient of C at Pความชันของ C ที่ P
  4. $\text{f}'(x)=4x^2+kx+3$givenโจทย์ให้มา
  5. $4(3)^2+3k+3=24$at P: x = 3, gradient 24ที่ P: x = 3 ความชัน 24
  6. $3k+39=24$36 + 3 = 3936 + 3 = 39
  7. $3k=-15$take 39 from both sidesลบ 39 ทั้งสองข้าง
  8. $k=-5$divide by 3 · shownหารด้วย 3 · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q8(b) Find f(x)Q8(b) หา f(x)

The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$, and the point $P$ on $C$ has $x$ coordinate 3. You are given $\text{f}'(x)=4x^2+kx+3$, with $k$ a constant, and the normal to $C$ at $P$ is $y=-\dfrac{1}{24}x+5$.
(b) Using $k=-5$ from (a), find $\text{f}(x)$. [4]

  1. $\text{f}'(x)=4x^2-5x+3$k = −5k = −5
  2. $\int4x^2dx=\tfrac43x^3$plus · divide: power up 1, divide by itบวก · หาร: เพิ่มเลขชี้กำลัง 1 แล้วหาร
  3. $\int-5x\,dx=-\tfrac52x^2$
  4. $\int3\,dx=3x$
  5. $\text{f}(x)=\tfrac43x^3-\tfrac52x^2$add them …รวมกัน …
  6. $\phantom{=}+3x+c$… and + c… แล้วบวก c
  7. $y=-\dfrac{1}{24}(3)+5$P is on the normal: put x = 3 inP อยู่บนเส้นตั้งฉาก: แทน x = 3
  8. $=\dfrac{39}{8}$−1/8 + 5−1/8 + 5
  9. $\tfrac43(3)^3=36$each term of f at x = 3แทน x = 3 ทีละพจน์
  10. $\tfrac52(3)^2=\tfrac{45}{2}$
  11. $36-\tfrac{45}{2}+9+c=\tfrac{39}{8}$f(3) = 39/8 · 3 × 3 = 9f(3) = 39/8 · 3 × 3 = 9
  12. $\tfrac{45}{2}+c=\tfrac{39}{8}$36 + 9 − 45/2 = 45/236 + 9 − 45/2 = 45/2
  13. $c=\tfrac{39}{8}-\tfrac{45}{2}$take 45/2 from both sidesลบ 45/2 ทั้งสองข้าง
  14. $=\tfrac{39-180}{8}$45/2 = 180/845/2 = 180/8
  15. $=-\tfrac{141}{8}$
  16. $\text{f}(x)=\tfrac43x^3-\tfrac52x^2$answer …คำตอบ …
  17. $\phantom{=}+3x-\tfrac{141}{8}$… with c = −141/8… โดย c = −141/8

10. Q9 · A cubic curve · 10 marksข้อ 9 · เส้นโค้งกำลังสาม · 10 คะแนน

Answer: x ≥ −5; f′(x) = 9x² + 22x; x = 14/9; (−1, 84); (−4, 336)คำตอบ: x ≥ −5; f′(x) = 9x² + 22x; x = 14/9; (−1, 84); (−4, 336)

Q9(a) Where f(x) ≥ 0Q9(a) ช่วงที่ f(x) ≥ 0

The figure shows a sketch of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=(x+5)(3x^2-4x+20)$.
(a) Deduce the set of values of $x$ for which $\text{f}(x)\ge0$. [1]

  1. $b^2-4ac=16-240$for 3x² − 4x + 20: (−4)² = 16, 4 × 3 × 20 = 240สำหรับ 3x² − 4x + 20: (−4)² = 16, 4 × 3 × 20 = 240
  2. $=-224$< 0 and 3 > 0: that factor is always positive< 0 และ 3 > 0: ตัวประกอบนี้เป็นบวกเสมอ
  3. $x+5\ge0$so f(x) ≥ 0 when x + 5 ≥ 0f(x) ≥ 0 เมื่อ x + 5 ≥ 0
  4. $x\ge-5$answerคำตอบ

Q9(b) Find f′(x)Q9(b) หา f′(x)

The figure shows a sketch of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=(x+5)(3x^2-4x+20)$.
(b) Find $\text{f}'(x)$ in its simplest form. [3]

  1. $A=3x^3-4x^2+20x$A: x × (3x² − 4x + 20)A: x × (3x² − 4x + 20)
  2. $B=15x^2-20x+100$B: 5 × (3x² − 4x + 20)B: 5 × (3x² − 4x + 20)
  3. $\text{f}(x)=A+B$f(x) = (x + 5)(…) = A + Bf(x) = (x + 5)(…) = A + B
  4. $=\eqalign{&3x^3+11x^2\cr&+100}$−4x² + 15x² = 11x² · the x terms cancel−4x² + 15x² = 11x² · พจน์ x หักล้างกัน
  5. $\text{f}'(x)=9x^2+22x$answer · power down, take 1 off · the 100 goesคำตอบ · ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ ค่าคงที่ 100 หายไป

Q9(c) The parallel tangentQ9(c) เส้นสัมผัสที่ขนานกัน

The figure shows a sketch of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=(x+5)(3x^2-4x+20)$.
(c) The point $R(-4,84)$ is on $C$. The tangent to $C$ at a point $P$ is parallel to the tangent to $C$ at $R$. From (b), $\text{f}'(x)=9x^2+22x$. Find the $x$ coordinate of $P$. [4]

  1. $9(-4)^2=144$gradient at R: put x = −4 into f′(x)ความชันที่ R: แทน x = −4 ใน f′(x)
  2. $22(-4)=-88$second termพจน์ที่สอง
  3. $m_R=144-88$m_R: the gradient at Rm_R: ความชันที่ R
  4. $=56$
  5. $9x^2+22x=56$parallel: P has the same gradientขนานกัน: ความชันที่ P เท่ากัน
  6. $9x^2+22x-56=0$take 56 from both sidesลบ 56 ทั้งสองข้าง
  7. $\eqalign{&(x+4)\times\cr&(9x-14)}=0$factorise · x = −4 is a root: that is Rแยกตัวประกอบ · x = −4 เป็นราก: นั่นคือ R
  8. $x=-4\text{ or }x=\dfrac{14}{9}$each bracket = 0ให้แต่ละวงเล็บเป็น 0
  9. $x=\dfrac{14}{9}$answer · P is not Rคำตอบ · P ไม่ใช่ R

Q9(d)(i) R under y = f(x − 3)Q9(d)(i) R ภายใต้ y = f(x − 3)

The figure shows a sketch of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=(x+5)(3x^2-4x+20)$.
(d)(i) The curve $y=\text{f}(x)$ is mapped to $y=\text{f}(x-3)$. Find the point that $R(-4,84)$ is mapped to. (Part (d) is 2 marks in all.) [1]

  1. $y=\text{f}(x-3)$x − 3 inside the bracket: move right 3x − 3 ในวงเล็บ: เลื่อนไปทางขวา 3
  2. $x-3=-4$the input must be R’s x = −4ค่าในวงเล็บต้องเท่ากับ x ของ R คือ −4
  3. $x=-1$add 3 to both sidesบวก 3 ทั้งสองข้าง
  4. $y=84$a sideways move keeps the heightเลื่อนแนวนอน ความสูงไม่เปลี่ยน
  5. $R'=(-1,84)$answerคำตอบ

Q9(d)(ii) R under y = 4f(x)Q9(d)(ii) R ภายใต้ y = 4f(x)

The figure shows a sketch of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=(x+5)(3x^2-4x+20)$.
(d)(ii) The curve $y=\text{f}(x)$ is mapped to $y=4\text{f}(x)$. Find the point that $R(-4,84)$ is mapped to. (Part (d) is 2 marks in all.) [1]

  1. $y=4\text{f}(x)$every y is multiplied by 4ค่า y ทุกค่าคูณ 4
  2. $y=4\times84$
  3. $=336$
  4. $x=-4$x does not changex ไม่เปลี่ยน
  5. $R'=(-4,336)$answerคำตอบ

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A line goes through (1, 2) and (3, 8). Find its gradient.เส้นตรงผ่านจุด (1, 2) และ (3, 8) · จงหาความชัน
    Answer:เฉลย: 3(8 − 2) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3.(8 − 2) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3
  2. y = kx(x − 5) goes through (2, 10). Find k.y = kx(x − 5) ผ่านจุด (2, 10) · จงหา k
    Answer:เฉลย: -5/310 = k(2)(2 − 5) = −6k, so k = −10/6 = −5/3.10 = k(2)(2 − 5) = −6k ดังนั้น k = −10/6 = −5/3
  3. y = −4cos x + k has greatest value 9. Find k.y = −4cos x + k มีค่ามากที่สุดเป็น 9 · จงหา k
    Answer:เฉลย: 5The greatest value of −4cos x is 4, so 4 + k = 9 and k = 5.ค่ามากที่สุดของ −4cos x คือ 4 · 4 + k = 9 ดังนั้น k = 5
  4. The normal to a curve at a point has gradient 1/6. Find the gradient of the tangent there.เส้นตั้งฉากกับเส้นโค้งที่จุดหนึ่งมีความชัน 1/6 · จงหาความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น
    Answer:เฉลย: -6Tangent × normal = −1, so −1 ÷ 1/6 = −6.ความชันเส้นสัมผัส × เส้นตั้งฉาก = −1 · −1 ÷ 1/6 = −6

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี