Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA11 Pure 1 · January 2025WMA11 Pure 1 · ม.ค. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 1 (WMA11) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Integrate each term · 4 marksข้อ 1 · อินทิเกรตทีละพจน์ · 4 คะแนน

Answer: 2x⁴ − 4x^(3/2) + 1/(5x²) + cคำตอบ: 2x⁴ − 4x^(3/2) + 1/(5x²) + c

Q1 Integrate and simplifyQ1 อินทิเกรตและทำให้ง่าย

Work out $\displaystyle\int\left(8x^3-6\sqrt{x}-\dfrac{2}{5x^3}\right)dx$. Write each term as simply as you can. [4]

  1. $\sqrt{x}=x^{\frac12}$write √x as a power firstเขียน √x เป็นเลขยกกำลังก่อน
  2. $\dfrac{2}{5x^3}=\dfrac25x^{-3}$and 1/x³ as x⁻³และ 1/x³ เป็น x⁻³
  3. $\int8x^3dx=\dfrac{8x^4}{4}$power up 1 · divide by the new powerเลขชี้กำลังเพิ่ม 1 · หารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
  4. $=2x^4$8 ÷ 4 = 28 ÷ 4 = 2
  5. $\int-6x^{\frac12}dx=\dfrac{-6x^{\frac32}}{\frac32}$½ + 1 = 3/2 · divide by 3/2½ + 1 = 3/2 · หารด้วย 3/2
  6. $=-4x^{\frac32}$−6 ÷ 3/2 = −6 × 2/3 = −4−6 ÷ 3/2 = −6 × 2/3 = −4
  7. $\int-\dfrac25x^{-3}dx=-\dfrac25\cdot\dfrac{x^{-2}}{-2}$−3 + 1 = −2 · divide by −2−3 + 1 = −2 · หารด้วย −2
  8. $=\dfrac15x^{-2}$(−2/5) ÷ (−2) = +1/5(−2/5) ÷ (−2) = +1/5
  9. $=\dfrac{1}{5x^2}$x⁻² is 1/x²x⁻² คือ 1/x²
  10. $\int\ldots\,dx=\eqalign{&2x^4-4x^{\frac32}\cr&+\dfrac{1}{5x^2}+c}$answer · the three terms + cคำตอบ · รวมสามพจน์ + c

3. Q2 · Surds and a perpendicular line · 5 marksข้อ 2 · กรณฑ์และเส้นตั้งฉาก · 5 คะแนน

Answer: gradient = (1/9)√3, so p = 1/9; y = −3√3x − 13คำตอบ: gradient = (1/9)√3, so p = 1/9; y = −3√3x − 13

Q2(a) Gradient as p√3Q2(a) ความชันในรูป p√3

Show every stage of your working: a method that leans on calculator technology earns no marks.
Point $A$ is $(-2\sqrt3,\,5)$ and point $B$ is $(7\sqrt3,\,8)$. The straight line $l_1$ goes through $A$ and $B$.
(a) Show that $l_1$ has gradient $p\sqrt3$ for a rational number $p$, and find $p$. Show each step. [2]

  1. $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$gradient = change in y ÷ change in xความชัน = y เปลี่ยน ÷ x เปลี่ยน
  2. $=\dfrac{8-5}{7\sqrt3-(-2\sqrt3)}$substitute A and Bแทนค่า A และ B
  3. $=\dfrac{3}{9\sqrt3}$8 − 5 = 3 · 7√3 + 2√3 = 9√38 − 5 = 3 · 7√3 + 2√3 = 9√3
  4. $=\dfrac{1}{3\sqrt3}$cancel 3ตัด 3
  5. $=\dfrac{\sqrt3}{3\sqrt3\times\sqrt3}$multiply top and bottom by √3คูณทั้งบนและล่างด้วย √3
  6. $=\dfrac{\sqrt3}{9}$3√3 × √3 = 3 × 3 = 93√3 × √3 = 3 × 3 = 9
  7. $m=\dfrac19\sqrt3$the form p√3 · p = 1/9อยู่ในรูป p√3 · p = 1/9

Q2(b) Equation of l₂Q2(b) สมการของ l₂

Show every stage of your working: a method that leans on calculator technology earns no marks.
Point $A$ is $(-2\sqrt3,\,5)$ and point $B$ is $(7\sqrt3,\,8)$. The straight line $l_1$ goes through $A$ and $B$.
(b) The line $l_2$ goes through $A$ and meets $l_1$ at right angles. From (a): $l_1$ has gradient $\dfrac{\sqrt3}{9}$. Find an equation for $l_2$ as $y=mx+c$, with $m$ and $c$ constants. [3]

  1. $m_1=\dfrac{\sqrt3}{9}$from (a): gradient of l₁จากข้อ (a): ความชันของ l₁
  2. $m_2=-\dfrac{1}{m_1}$at right angles: negative reciprocalตั้งฉาก: กลับเศษเป็นส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
  3. $=-\dfrac{9}{\sqrt3}$flip and change the signกลับเศษส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย
  4. $=-\dfrac{9\sqrt3}{3}$multiply top and bottom by √3คูณทั้งบนและล่างด้วย √3
  5. $=-3\sqrt3$9 ÷ 3 = 39 ÷ 3 = 3
  6. $y-y_1=m_2(x-x_1)$line through A(−2√3, 5)เส้นตรงผ่าน A(−2√3, 5)
  7. $y-5=-3\sqrt3(x+2\sqrt3)$x − (−2√3) = x + 2√3x − (−2√3) = x + 2√3
  8. $y-5=-3\sqrt3x-18$expand: −3√3 × 2√3 = −6 × 3 = −18กระจาย: −3√3 × 2√3 = −6 × 3 = −18
  9. $y=-3\sqrt3x-13$add 5 · m = −3√3, c = −13บวก 5 · m = −3√3, c = −13

4. Q3 · A population model · 5 marksข้อ 3 · แบบจำลองประชากร · 5 คะแนน

Answer: a = 3241, b = 0.984 (= 123/125); T ≈ 15.9คำตอบ: a = 3241, b = 0.984 (= 123/125); T ≈ 15.9

Q3(a) Find a and bQ3(a) หา a และ b

Someone began to record the population of a town. 5 years after the start it was exactly 58 000; 10 years after the start it was exactly 65 000.
A model says $P^2=a+bt^3$, where $a$ and $b$ are constants and $P$ is the population in thousands, $t$ years after the start.
(a) Work out $a$ and $b$. [3]

  1. $P^2=a+bt^3$the model · P is in thousandsแบบจำลอง · P มีหน่วยเป็นพัน
  2. $58^2=a+b\times5^3$t = 5, P = 58t = 5, P = 58
  3. $3364=a+125b$58² = 3364 · 5³ = 12558² = 3364 · 5³ = 125
  4. $65^2=a+b\times10^3$t = 10, P = 65t = 10, P = 65
  5. $4225=a+1000b$65² = 4225 · 10³ = 100065² = 4225 · 10³ = 1000
  6. $861=875b$a cancelsa ตัดกันหมด
  7. $b=\dfrac{861}{875}$divide both sides by 875หารทั้งสองข้างด้วย 875
  8. $=0.984$exact: 123/125ค่าแม่นตรง: 123/125
  9. $3364=a+125b$put b into ①แทน b ลงใน ①
  10. $125b=125\times0.984$
  11. $=123$
  12. $3364=a+123$125b = 123125 × 0.984 = 123
  13. $3241=a$take 123 from both sidesลบ 123 ทั้งสองข้าง
  14. $a=3241$answer · with b = 0.984คำตอบ · คู่กับ b = 0.984

Q3(b) Find TQ3(b) หา T

Someone began to record the population of a town. 5 years after the start it was exactly 58 000; 10 years after the start it was exactly 65 000.
A model says $P^2=a+bt^3$, where $a$ and $b$ are constants and $P$ is the population in thousands, $t$ years after the start.
(b) From (a): $a=3241$ and $b=0.984$. The model gives a population of 85 000 exactly $T$ years after the start. Make your method clear and find $T$ to 1 decimal place. A solution that relies only on a calculator earns no marks. [2]

  1. $P^2=a+bT^3$the model at t = Tแบบจำลองที่ t = T
  2. $P^2-a=bT^3$take a from both sidesลบ a ทั้งสองข้าง
  3. $85^2-3241=0.984T^3$P = 85 · a and b from (a)P = 85 · a และ b จากข้อ (a)
  4. $3984=0.984T^3$7225 − 3241 = 39847225 − 3241 = 3984
  5. $T^3\approx4048.78$divide both sides by 0.984หารทั้งสองข้างด้วย 0.984
  6. $T\approx\sqrt[3]{4048.78}$cube root of both sidesถอดรากที่สามทั้งสองข้าง
  7. $T\approx15.938$
  8. $T\approx15.9$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

5. Q4 · Index laws and an equation in 9ᵗ · 9 marksข้อ 4 · กฎเลขยกกำลังและสมการใน 9ᵗ · 9 คะแนน

Answer: ay³; 45a²/y²; 27p² − 82p + 3 = 0 (shown); t = 1/2 or t = −3/2คำตอบ: ay³; 45a²/y²; 27p² − 82p + 3 = 0 (shown); t = 1/2 or t = −3/2

Q4(i)(a) a³ˣ⁺¹ in y and aQ4(i)(a) a³ˣ⁺¹ ในรูป y และ a

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
In part (i), $y=a^x$ and $a$ is a positive constant.
(i)(a) Write $a^{3x+1}$ using only $y$ and $a$, as simply as possible. [1]

  1. $a^{3x+1}=a^{3x}\times a$adding powers = multiplying · split off a¹บวกเลขชี้กำลัง = คูณ · แยก a¹ ออกมา
  2. $=(a^x)^3\times a$a³ˣ = (aˣ)³a³ˣ = (aˣ)³
  3. $=y^3\times a$aˣ is yaˣ คือ y
  4. $a^{3x+1}=ay^3$answerคำตอบ

Q4(i)(b) A fraction in y and aQ4(i)(b) เศษส่วนในรูป y และ a

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
In part (i), $y=a^x$ and $a$ is a positive constant.
(i)(b) Write $\dfrac{5}{\left(3a^{1-x}\right)^{-2}}$ using only $y$ and $a$, as simply as possible. [3]

  1. $D=\left(3a^{1-x}\right)^{-2}$D: the bottom of the fractionD: ตัวส่วนของเศษส่วน
  2. $=3^{-2}\left(a^{1-x}\right)^{-2}$each factor to the power −2ยกกำลัง −2 ทุกตัวคูณ
  3. $=\dfrac19a^{-2+2x}$3⁻² = 1/9 · (1 − x)(−2) = −2 + 2x3⁻² = 1/9 · (1 − x)(−2) = −2 + 2x
  4. $=\dfrac19a^{-2}a^{2x}$split the powerแยกเลขชี้กำลัง
  5. $=\dfrac19\cdot\dfrac{y^2}{a^2}$a²ˣ = (aˣ)² = y² · a⁻² = 1/a²a²ˣ = (aˣ)² = y² · a⁻² = 1/a²
  6. $=\dfrac{y^2}{9a^2}$
  7. $\dfrac5D=5\times\dfrac{9a^2}{y^2}$dividing by D: multiply by its flipหารด้วย D: คูณด้วยส่วนกลับ
  8. $=\dfrac{45a^2}{y^2}$answerคำตอบ

Q4(ii)(a) Make a quadratic in pQ4(ii)(a) ทำเป็นสมการกำลังสองใน p

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
In part (i), $y=a^x$ and $a$ is a positive constant.
(ii)(a) Let $p=9^t$. Using $p$, show that $3\left(3^{4t+2}+1\right)=82\times9^t$ becomes $27p^2-82p+3=0$. [2]

  1. $3^{4t+2}=3^{4t}\times3^2$split the powerแยกเลขชี้กำลัง
  2. $=\left(3^2\right)^{2t}\times9$3⁴ᵗ = (3²)²ᵗ · 3² = 93⁴ᵗ = (3²)²ᵗ · 3² = 9
  3. $=\left(9^t\right)^2\times9$(3²)²ᵗ = 9²ᵗ = (9ᵗ)²(3²)²ᵗ = 9²ᵗ = (9ᵗ)²
  4. $=9p^2$p = 9ᵗp = 9ᵗ
  5. $3\left(9p^2+1\right)=82p$put it in · 82 × 9ᵗ = 82pแทนลงไป · 82 × 9ᵗ = 82p
  6. $27p^2+3=82p$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  7. $27p^2-82p+3=0$take 82p from both sides · shownลบ 82p ทั้งสองข้าง · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q4(ii)(b) Solve for tQ4(ii)(b) แก้หาค่า t

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
In part (i), $y=a^x$ and $a$ is a positive constant.
(ii)(b) From (a): with $p=9^t$ the equation is $27p^2-82p+3=0$. Hence solve $3\left(3^{4t+2}+1\right)=82\times9^t$. [3]

  1. $27p^2-82p+3=0$from (a)จากข้อ (a)
  2. $\eqalign{&(27p-1)\cr&\times(p-3)}=0$factorise · check: −81p − p = −82pแยกตัวประกอบ · ตรวจ: −81p − p = −82p
  3. $p=3\text{ or }p=\dfrac{1}{27}$each bracket = 0ให้แต่ละวงเล็บเป็น 0
  4. $9^t=3$p = 9ᵗ = 3p = 9ᵗ = 3
  5. $3^{2t}=3^1$9ᵗ = (3²)ᵗ = 3²ᵗ9ᵗ = (3²)ᵗ = 3²ᵗ
  6. $2t=1$same base: the powers are equalฐานเท่ากัน: เลขชี้กำลังเท่ากัน
  7. $t=\dfrac12$first answerคำตอบแรก
  8. $9^t=\dfrac{1}{27}$p = 9ᵗ = 1/27p = 9ᵗ = 1/27
  9. $3^{2t}=3^{-3}$1/27 = 1/3³ = 3⁻³1/27 = 1/3³ = 3⁻³
  10. $2t=-3$the powers are equalเลขชี้กำลังเท่ากัน
  11. $t=-\dfrac32$second answerคำตอบที่สอง
  12. $t=\dfrac12\text{ or }-\dfrac32$answerคำตอบ

6. Q5 · A tangent with a given gradient · 8 marksข้อ 5 · เส้นสัมผัสที่รู้ความชัน · 8 คะแนน

Answer: dy/dx = 12x² − 2/x²; 12x⁴ + 5x² − 2 = 0 (shown); k = 16คำตอบ: dy/dx = 12x² − 2/x²; 12x⁴ + 5x² − 2 = 0 (shown); k = 16

Q5(a) DifferentiateQ5(a) หาอนุพันธ์

Show every stage of your working: a method that leans on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ has equation $y=4x^3+\dfrac{2}{x}+9$, for $x\gt0$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in its simplest form. [2]

  1. $\dfrac2x=2x^{-1}$write 2/x as a powerเขียน 2/x เป็นเลขยกกำลัง
  2. $y=4x^3+2x^{-1}+9$
  3. $\dfrac{d}{dx}4x^3=12x^2$times the power, then power down 1คูณเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลง 1
  4. $\dfrac{d}{dx}2x^{-1}=-2x^{-2}$2 × (−1) = −2 · −1 − 1 = −22 × (−1) = −2 · −1 − 1 = −2
  5. $\dfrac{d}{dx}9=0$a constant has gradient 0ค่าคงที่มีความชัน 0
  6. $\dfrac{dy}{dx}=12x^2-\dfrac{2}{x^2}$answer · x⁻² = 1/x²คำตอบ · x⁻² = 1/x²

Q5(b) Show the quarticQ5(b) แสดงสมการกำลังสี่

Show every stage of your working: a method that leans on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ has equation $y=4x^3+\dfrac{2}{x}+9$, for $x\gt0$.
(b) Point $P$ is on $C$. The line $y=k-5x$, with $k$ a constant, is the tangent to $C$ at $P$. From (a): $\dfrac{dy}{dx}=12x^2-\dfrac{2}{x^2}$. Prove that $x$ at $P$ satisfies $12x^4+5x^2-2=0$. [2]

  1. $\dfrac{dy}{dx}=-5$the tangent y = k − 5x has gradient −5เส้นสัมผัส y = k − 5x มีความชัน −5
  2. $12x^2-\dfrac{2}{x^2}=-5$from (a), at Pจากข้อ (a) ที่จุด P
  3. $12x^4-2=-5x^2$multiply every term by x²คูณทุกพจน์ด้วย x²
  4. $12x^4+5x^2-2=0$add 5x² to both sides · shownบวก 5x² ทั้งสองข้าง · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q5(c) Find kQ5(c) หา k

Show every stage of your working: a method that leans on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ has equation $y=4x^3+\dfrac{2}{x}+9$, for $x\gt0$.
(c) From (b): $12x^4+5x^2-2=0$ at $P$, and the tangent at $P$ is $y=k-5x$. Using this, find $k$. [4]

  1. $12x^4+5x^2-2=0$from (b) · a quadratic in x²จากข้อ (b) · เป็นกำลังสองใน x²
  2. $u=x^2$let u stand for x² · then x⁴ = u²ให้ u แทน x² · x⁴ = u²
  3. $12u^2+5u-2=0$
  4. $\eqalign{&(4u-1)\cr&\times(3u+2)}=0$factorise · check: 8u − 3u = 5uแยกตัวประกอบ · ตรวจ: 8u − 3u = 5u
  5. $3u+2\gt0$u = x² ≥ 0, so this bracket is never 0u = x² ≥ 0 วงเล็บนี้จึงไม่เป็น 0
  6. $4u-1=0$so this bracket is 0ดังนั้นวงเล็บนี้เป็น 0
  7. $4u=1$add 1 to both sidesบวก 1 ทั้งสองข้าง
  8. $u=\dfrac14$divide both sides by 4หารทั้งสองข้างด้วย 4
  9. $x^2=\dfrac14$u is x²u คือ x²
  10. $x=\dfrac12$x > 0: the positive rootx > 0: เอารากบวก
  11. $y=4x^3+\dfrac2x+9$P is on C: put x = ½ into CP อยู่บน C: แทน x = ½ ใน C
  12. $=\dfrac12+4+9$4 × 1/8 = 1/2 · 2 ÷ ½ = 44 × 1/8 = 1/2 · 2 ÷ ½ = 4
  13. $=\dfrac{27}{2}$P = (1/2, 27/2)P = (1/2, 27/2)
  14. $\dfrac{27}{2}=k-5\times\dfrac12$P is on the tangent tooP อยู่บนเส้นสัมผัสด้วย
  15. $\dfrac{27}{2}=k-\dfrac52$
  16. $\dfrac{27}{2}+\dfrac52=k$add 5/2 to both sidesบวก 5/2 ทั้งสองข้าง
  17. $k=16$32/2 = 16 · answer32/2 = 16 · คำตอบ

7. Q6 · f(x) from its gradient function · 10 marksข้อ 6 · หา f(x) จากฟังก์ชันความชัน · 10 คะแนน

Answer: 4a + b = 24 (shown); f(x) = (1/5)x^(5/2) + (11/6)x^(3/2) − 10x^(1/2) − 91/15; Q = (7, −5)คำตอบ: 4a + b = 24 (shown); f(x) = (1/5)x^(5/2) + (11/6)x^(3/2) − 10x^(1/2) − 91/15; Q = (7, −5)

Q6(a) Show 4a + b = 24Q6(a) แสดงว่า 4a + b = 24

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$, $x\gt0$. The point $P(4,-5)$ is on $C$, and $\text{f}'(x)=\dfrac{2x^2+ax+b}{4\sqrt{x}}$ with constants $a$ and $b$. The tangent to $C$ at $P$ has gradient 7.
(a) Show that $4a+b=24$. [2]

  1. $f'(4)=\dfrac{2\times16+4a+b}{4\times2}$put x = 4 · 4² = 16, √4 = 2แทน x = 4 · 4² = 16, √4 = 2
  2. $=\dfrac{32+4a+b}{8}$
  3. $\dfrac{32+4a+b}{8}=7$the gradient at P is 7ความชันที่ P เท่ากับ 7
  4. $32+4a+b=56$multiply both sides by 8คูณทั้งสองข้างด้วย 8
  5. $4a+b=24$take 32 from both sides · shownลบ 32 ทั้งสองข้าง · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q6(b) Find f(x)Q6(b) หา f(x)

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$, $x\gt0$. The point $P(4,-5)$ is on $C$, and $\text{f}'(x)=\dfrac{2x^2+ax+b}{4\sqrt{x}}$ with constants $a$ and $b$. The tangent to $C$ at $P$ has gradient 7.
(b) You are also told that $a+b=-9$. From (a): $4a+b=24$. Find $\text{f}(x)$ in its simplest form. [7]

  1. $4a+b=24$from (a)จากข้อ (a)
  2. $a+b=-9$givenโจทย์ให้มา
  3. $3a=33$b cancelsb ตัดกันหมด
  4. $a=11$divide both sides by 3หารทั้งสองข้างด้วย 3
  5. $11+b=-9$put a into ②แทน a ลงใน ②
  6. $b=-20$take 11 from both sidesลบ 11 ทั้งสองข้าง
  7. $f'(x)=\dfrac{2x^2+11x-20}{4\sqrt x}$put a and b inแทนค่า a และ b
  8. $\dfrac{2x^2}{4x^{\frac12}}=\dfrac12x^{\frac32}$split: divide each term by 4√x = 4x^½แยก: หารแต่ละพจน์ด้วย 4√x = 4x^½
  9. $\dfrac{11x}{4x^{\frac12}}=\dfrac{11}{4}x^{\frac12}$1 − ½ = ½1 − ½ = ½
  10. $\dfrac{-20}{4x^{\frac12}}=-5x^{-\frac12}$0 − ½ = −½0 − ½ = −½
  11. $F_1=\dfrac15x^{\frac52}$integrate ½x^{3/2}: 3/2 + 1 = 5/2 · ½ ÷ 5/2 = 1/5อินทิเกรต ½x^{3/2}: 3/2 + 1 = 5/2 · ½ ÷ 5/2 = 1/5
  12. $F_2=\dfrac{11}{6}x^{\frac32}$integrate (11/4)x^½: ½ + 1 = 3/2 · 11/4 ÷ 3/2 = 11/6อินทิเกรต (11/4)x^½: ½ + 1 = 3/2 · 11/4 ÷ 3/2 = 11/6
  13. $F_3=-10x^{\frac12}$integrate −5x^{−½}: −½ + 1 = ½ · −5 ÷ ½ = −10อินทิเกรต −5x^{−½}: −½ + 1 = ½ · −5 ÷ ½ = −10
  14. $\text{f}(x)=F_1+F_2+F_3+c$add the three · + cรวมสามพจน์ · บวก c
  15. $F_1(4)=\dfrac15\times32$x = 4 · 4^{5/2} = 2⁵ = 32x = 4 · 4^{5/2} = 2⁵ = 32
  16. $=\dfrac{32}{5}$
  17. $F_2(4)=\dfrac{11}{6}\times8$4^{3/2} = 2³ = 84^{3/2} = 2³ = 8
  18. $=\dfrac{44}{3}$
  19. $F_3(4)=-10\times2$4^½ = 24^½ = 2
  20. $=-20$
  21. $S=\dfrac{32}{5}+\dfrac{44}{3}-20$S = F₁(4) + F₂(4) + F₃(4)S = F₁(4) + F₂(4) + F₃(4)
  22. $=\dfrac{96+220-300}{15}$all over 15ทำส่วนเป็น 15
  23. $=\dfrac{16}{15}$
  24. $\dfrac{16}{15}+c=-5$f(4) = S + c = −5: P is on Cf(4) = S + c = −5: P อยู่บน C
  25. $c=-5-\dfrac{16}{15}$take 16/15 from both sidesลบ 16/15 ทั้งสองข้าง
  26. $=-\dfrac{91}{15}$−75/15 − 16/15−75/15 − 16/15
  27. $\text{f}(x)=\eqalign{&\tfrac15x^{\frac52}\cr&+\tfrac{11}{6}x^{\frac32}\cr&-10x^{\frac12}\cr&-\tfrac{91}{15}}$answer · F₁ + F₂ + F₃ + c written outคำตอบ · เขียน F₁ + F₂ + F₃ + c เต็มรูป

Q6(c) Where P goesQ6(c) P ย้ายไปที่ไหน

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ is $y=\text{f}(x)$, $x\gt0$. The point $P(4,-5)$ is on $C$, and $\text{f}'(x)=\dfrac{2x^2+ax+b}{4\sqrt{x}}$ with constants $a$ and $b$. The tangent to $C$ at $P$ has gradient 7.
(c) The curve $C$ is mapped to the curve $y=\text{f}(x-3)$, and $P$ is mapped to the point $Q$. State the coordinates of $Q$. [1]

  1. $y=\text{f}(x-3)$x − 3 inside the bracket: move right 3x − 3 ในวงเล็บ: เลื่อนขวา 3
  2. $x-3=4$Q is where the input equals P’s x = 4Q อยู่ตรงที่ค่าในวงเล็บเท่ากับ x ของ P คือ 4
  3. $x=7$add 3 to both sidesบวก 3 ทั้งสองข้าง
  4. $y=-5$a sideways move keeps the heightเลื่อนแนวนอน ความสูงไม่เปลี่ยน
  5. $Q=(7,-5)$answerคำตอบ

8. Q7 · A reciprocal graph and a line · 8 marksข้อ 7 · กราฟส่วนกลับกับเส้นตรง · 8 คะแนน

Answer: two branches (quadrants 1/4 on the right, 3 on the left); cuts the x-axis at (2/k, 0); horizontal asymptote y = −k; 0 < k < 2 or k > 18คำตอบ: two branches (quadrants 1/4 on the right, 3 on the left); cuts the x-axis at (2/k, 0); horizontal asymptote y = −k; 0 < k < 2 or k > 18

Q7(a) Sketch CQ7(a) ร่างกราฟ C

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ has equation $y=\dfrac{2}{x}-k$, where $k$ is a positive constant.
(a) Sketch $C$. On the sketch, give the coordinates of every point where $C$ meets an axis, and the equation of its horizontal asymptote, each in terms of $k$. [3]

  1. $y=0$on the x-axisบนแกน x
  2. $\dfrac2x-k=0$
  3. $\dfrac2x=k$add k to both sidesบวก k ทั้งสองข้าง
  4. $2=kx$multiply both sides by xคูณทั้งสองข้างด้วย x
  5. $x=\dfrac2k$cuts the x-axis at (2/k, 0) · 2/k > 0 because k > 0ตัดแกน x ที่ (2/k, 0) · 2/k > 0 เพราะ k > 0
  6. $x=0$no y-intercept: 2/0 has no value, so the y-axis is an asymptoteไม่ตัดแกน y: 2/0 ไม่มีค่า แกน y จึงเป็นเส้นกำกับ
  7. $y=-k$big x: 2/x is almost 0 · horizontal asymptotex ใหญ่มาก: 2/x เกือบเป็น 0 · เส้นกำกับแนวนอน
  8. $\dfrac2x\gt0$for x > 0: the right branch is above y = −kเมื่อ x > 0: กิ่งขวาอยู่เหนือ y = −k
  9. $\dfrac2x\lt0$for x < 0: the left branch is below y = −kเมื่อ x < 0: กิ่งซ้ายอยู่ใต้ y = −k

Q7(b) Range of kQ7(b) ช่วงของ k

Show every stage of your working: a method that leans entirely on calculator technology earns no marks.
The curve $C$ has equation $y=\dfrac{2}{x}-k$, where $k$ is a positive constant.
(b) The line $l$ is $y=-kx-6$, and it meets $C$ at two different points. Find the possible values of $k$. [5]

  1. $-kx-6=\dfrac2x-k$where l meets C: the same yจุดที่ l ตัด C: y เท่ากัน
  2. $-kx^2-6x=2-kx$multiply every term by xคูณทุกพจน์ด้วย x
  3. $b=6-k$b: the x terms, 6x − kx = (6 − k)xb: พจน์ x ทั้งสอง 6x − kx = (6 − k)x
  4. $0=kx^2+bx+2$collect on the right · a = k, c = 2ย้ายไปรวมทางขวา · a = k, c = 2
  5. $b^2-4ac\gt0$two real roots · x = 0 is never a root (c = 2), so two roots = two pointsมีสองรากจริง · x = 0 ไม่ใช่ราก (c = 2) สองรากจึงเป็นสองจุด
  6. $(6-k)^2-8k\gt0$4ac = 4 × k × 2 = 8k4ac = 4 × k × 2 = 8k
  7. $(6-k)^2=36-12k+k^2$expand (6 − k)²กระจาย (6 − k)²
  8. $k^2-20k+36\gt0$−12k − 8k = −20k · a quadratic in k−12k − 8k = −20k · เป็นกำลังสองใน k
  9. $(k-2)(k-18)\gt0$factorise · −2 × −18 = 36แยกตัวประกอบ · −2 × −18 = 36
  10. $k=2,\ 18$critical valuesค่าวิกฤต
  11. $k\lt2\text{ or }k\gt18$positive outside the rootsเป็นบวกนอกช่วงราก
  12. $k\gt0$k is positive (given): drop k ≤ 0k เป็นบวก (โจทย์ให้): ตัด k ≤ 0 ทิ้ง
  13. $0\lt k\lt2$answer, first range · orคำตอบช่วงแรก · หรือ
  14. $k\gt18$answer: 0 < k < 2 or k > 18คำตอบ: 0 < k < 2 หรือ k > 18

9. Q8 · Badge: triangle and sector · 13 marksข้อ 8 · เข็มกลัด: สามเหลี่ยมกับเซกเตอร์ · 13 คะแนน

Answer: angle OAB ≈ 2.034 rad; ≈ 1.78 cm²; angle BOC ≈ 0.462 rad (shown); ≈ 9 cmคำตอบ: angle OAB ≈ 2.034 rad; ≈ 1.78 cm²; angle BOC ≈ 0.462 rad (shown); ≈ 9 cm

Q8(a) Angle OABQ8(a) มุม OAB

A badge is made from triangle $OAB$ and sector $OBC$, which share the side $OB$. The sector is part of a circle centred at $O$. $OB=3.4$ cm, $AB=1.9$ cm, angle $AOB=\dfrac{\pi}{6}$ radians, and angle $OAB$ is more than $\dfrac{\pi}{2}$ radians. Our figure is redrawn to scale. Make your method clear in every part.
(a) Work out angle $OAB$ in radians, to 4 s.f. [3]

  1. $\dfrac{\sin\theta}{OB}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{6}}{AB}$sine rule · θ “theta” = angle OABกฎของไซน์ · θ “ทีตา” = มุม OAB
  2. $\dfrac{\sin\theta}{3.4}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{6}}{1.9}$OB = 3.4 faces θ · AB = 1.9 faces π/6OB = 3.4 อยู่ตรงข้าม θ · AB = 1.9 อยู่ตรงข้าม π/6
  3. $\sin\theta=\dfrac{3.4\times0.5}{1.9}$multiply by 3.4 · sin(π/6) = 0.5คูณ 3.4 · sin(π/6) = 0.5
  4. $=\dfrac{17}{19}$1.7 ÷ 1.9 = 17/191.7 ÷ 1.9 = 17/19
  5. $\sin^{-1}\dfrac{17}{19}\approx1.10784$the calculator gives the acute angleเครื่องคิดเลขให้มุมแหลม
  6. $\theta=\pi-1.10784$θ > π/2: use π − the acute angleθ > π/2: ใช้ π − มุมแหลม
  7. $\theta\approx2.03375$
  8. $\theta\approx2.034$answer · radians, 4 s.f.คำตอบ · เรเดียน 4 ตำแหน่งนัยสำคัญ

Q8(b) Area of OABQ8(b) พื้นที่ OAB

A badge is made from triangle $OAB$ and sector $OBC$, which share the side $OB$. The sector is part of a circle centred at $O$. $OB=3.4$ cm, $AB=1.9$ cm, angle $AOB=\dfrac{\pi}{6}$ radians, and angle $OAB$ is more than $\dfrac{\pi}{2}$ radians. Our figure is redrawn to scale. Make your method clear in every part.
(b) From (a): angle $OAB\approx2.03375$ radians. Give the area of triangle $OAB$ in cm², to 3 s.f. [2]

  1. $\varphi=\pi-\dfrac{\pi}{6}-\theta$φ “phi” = angle OBA · angles in a triangle add to πφ “ฟาย” = มุม OBA · มุมในสามเหลี่ยมรวมกันได้ π
  2. $\varphi\approx0.58424$θ ≈ 2.03375 from (a) · π/6 ≈ 0.52360θ ≈ 2.03375 จากข้อ (a) · π/6 ≈ 0.52360
  3. $\text{Area}=\dfrac12ab\sin C$two sides and the angle between themสองด้านกับมุมระหว่างด้านทั้งสอง
  4. $\tfrac12\times3.4\times1.9=3.23$a = OB, b = AB · the angle between is φa = OB, b = AB · มุมระหว่างคือ φ
  5. $\text{Area}=3.23\sin\varphi$
  6. $\text{Area}\approx1.78156$
  7. $\text{Area}\approx1.78$answer · cm², 3 s.f.คำตอบ · ตร.ซม. 3 ตำแหน่งนัยสำคัญ

Q8(c) Angle BOCQ8(c) มุม BOC

A badge is made from triangle $OAB$ and sector $OBC$, which share the side $OB$. The sector is part of a circle centred at $O$. $OB=3.4$ cm, $AB=1.9$ cm, angle $AOB=\dfrac{\pi}{6}$ radians, and angle $OAB$ is more than $\dfrac{\pi}{2}$ radians. Our figure is redrawn to scale. Make your method clear in every part.
(c) Sector $OBC$ and triangle $OAB$ have areas in the ratio $3:2$. From (b): the triangle's area is about 1.78156 cm². Show that angle $BOC$ is 0.462 radians to 3 s.f. [3]

  1. $\dfrac{S}{1.78156}=\dfrac32$S = sector area · ratio 3 : 2S = พื้นที่เซกเตอร์ · อัตราส่วน 3 : 2
  2. $S=\dfrac32\times1.78156$multiply both sidesคูณทั้งสองข้าง
  3. $S\approx2.67234$
  4. $S=\dfrac12r^2\alpha$sector area · α “alpha” = angle BOC (radians)พื้นที่เซกเตอร์ · α “แอลฟา” = มุม BOC (เรเดียน)
  5. $\dfrac12\times3.4^2\times\alpha\approx2.67234$r = OB = 3.4r = OB = 3.4
  6. $5.78\alpha\approx2.67234$½ × 11.56 = 5.78½ × 11.56 = 5.78
  7. $\alpha\approx0.46234$divide both sides by 5.78หารทั้งสองข้างด้วย 5.78
  8. $\alpha\approx0.462$3 s.f. · shown3 ตำแหน่งนัยสำคัญ · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q8(d) Perimeter of the badgeQ8(d) เส้นรอบรูปของเข็มกลัด

A badge is made from triangle $OAB$ and sector $OBC$, which share the side $OB$. The sector is part of a circle centred at $O$. $OB=3.4$ cm, $AB=1.9$ cm, angle $AOB=\dfrac{\pi}{6}$ radians, and angle $OAB$ is more than $\dfrac{\pi}{2}$ radians. Our figure is redrawn to scale. Make your method clear in every part.
(d) From (c): angle $BOC\approx0.46234$ radians, and from (b): angle $OBA=\pi-\dfrac{\pi}{6}-\text{angle }OAB$, so angle $OBA\approx0.58424$. Using this, work out the badge's perimeter, rounded to the nearest whole centimetre. [5]

  1. $D=12.92\cos\varphi$D = 2 × OB × AB × cos φ · 2 × 3.4 × 1.9 = 12.92 · φ = angle OBAD = 2 × OB × AB × cos φ · 2 × 3.4 × 1.9 = 12.92 · φ = มุม OBA
  2. $D\approx10.777$φ ≈ 0.58424φ ≈ 0.58424
  3. $OA^2=OB^2+AB^2-D$cosine rule in OAB, angle φ at Bกฎของโคไซน์ใน OAB มุม φ ที่ B
  4. $OB^2+AB^2=15.17$3.4² + 1.9² = 11.56 + 3.613.4² + 1.9² = 11.56 + 3.61
  5. $OA^2=15.17-D$
  6. $\approx4.393$15.17 − 10.77715.17 − 10.777
  7. $OA\approx2.096$square root · cmถอดรากที่สอง · ซม.
  8. $BC=r\alpha$arc length = radius × angle in radiansความยาวส่วนโค้ง = รัศมี × มุม (เรเดียน)
  9. $=3.4\alpha$r = OB = 3.4r = OB = 3.4
  10. $\approx1.572$α ≈ 0.46234 from (c)α ≈ 0.46234 จากข้อ (c)
  11. $OA+AB\approx3.996$2.096 + 1.92.096 + 1.9
  12. $BC+OC\approx4.972$1.572 + 3.4 · OC = 3.4 (a radius)1.572 + 3.4 · OC = 3.4 (รัศมี)
  13. $\text{per}\approx8.968$per = perimeter = OA + AB + BC + OC = 3.996 + 4.972per = เส้นรอบรูป = OA + AB + BC + OC = 3.996 + 4.972
  14. $\text{per}\approx9$answer · nearest whole cmคำตอบ · ปัดเป็นจำนวนเต็ม ซม.

10. Q9 · Quadratic, cosine curve and a region · 13 marksข้อ 9 · กำลังสอง กราฟโคไซน์ และบริเวณ · 13 คะแนน

Answer: 9/4 − (x − 3)², so a = 9/4, b = −1, c = −3; P = (3, 9/4); x = 9/2; k = π/3; 6; y > cos(πx/3), y < 6x − 27/4 − x², y < −(3/2)x + 27/4คำตอบ: 9/4 − (x − 3)², so a = 9/4, b = −1, c = −3; P = (3, 9/4); x = 9/2; k = π/3; 6; y > cos(πx/3), y < 6x − 27/4 − x², y < −(3/2)x + 27/4

Q9(a) Complete the squareQ9(a) ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

The curve $C_1$ has equation $y=6x-\dfrac{27}{4}-x^2$. The curve $C_2$ has equation $y=\cos(kx)$, with $k$ a constant; $x$ is in radians. The figure shows part of each curve. $P$ is the highest point of $C_1$. The two curves meet on the $x$-axis at $A$ and at $B$. The line segment $L$ joins $P$ to $B$, and the shaded region $R$ is bounded by $L$, $C_1$ and $C_2$.
(a) Write $6x-\dfrac{27}{4}-x^2$ as $a+b(x+c)^2$, and find the constants $a$, $b$ and $c$. [3]

  1. $y=-x^2+6x-\dfrac{27}{4}$y = the expression, x² firsty = นิพจน์นี้ เรียง x² ก่อน
  2. $-x^2+6x=-(x^2-6x)$take −1 out of the x termsดึง −1 ออกจากพจน์ x
  3. $x^2-6x=(x-3)^2-9$complete the square: half of 6 is 3, 3² = 9ทำกำลังสองสมบูรณ์: ครึ่งของ 6 คือ 3, 3² = 9
  4. $-(x^2-6x)=-(x-3)^2+9$times −1: −(−9) = +9คูณ −1: −(−9) = +9
  5. $9-\dfrac{27}{4}=\dfrac94$the numbers left: 36/4 − 27/4ตัวเลขที่เหลือ: 36/4 − 27/4
  6. $y=\dfrac94-(x-3)^2$y = −(x − 3)² + 9 − 27/4 · the form a + b(x + c)²y = −(x − 3)² + 9 − 27/4 · อยู่ในรูป a + b(x + c)²
  7. $a=\dfrac94$answerคำตอบ
  8. $b=-1$answerคำตอบ
  9. $c=-3$answerคำตอบ

Q9(b) The maximum point PQ9(b) จุดสูงสุด P

The curve $C_1$ has equation $y=6x-\dfrac{27}{4}-x^2$. The curve $C_2$ has equation $y=\cos(kx)$, with $k$ a constant; $x$ is in radians. The figure shows part of each curve. $P$ is the highest point of $C_1$. The two curves meet on the $x$-axis at $A$ and at $B$. The line segment $L$ joins $P$ to $B$, and the shaded region $R$ is bounded by $L$, $C_1$ and $C_2$.
(b) From (a): $6x-\dfrac{27}{4}-x^2=\dfrac94-(x-3)^2$. State the coordinates of $P$, the maximum point of $C_1$. [2]

  1. $y=\dfrac94-(x-3)^2$C₁, from (a)C₁ จากข้อ (a)
  2. $(x-3)^2\ge0$a square is never negativeกำลังสองไม่มีวันติดลบ
  3. $y\le\dfrac94$so y is never more than 9/4y จึงไม่เกิน 9/4
  4. $x-3=0$y = 9/4 when the square is 0y = 9/4 เมื่อกำลังสองเป็น 0
  5. $x=3$add 3 to both sidesบวก 3 ทั้งสองข้าง
  6. $P=\left(3,\dfrac94\right)$answerคำตอบ

Q9(c)(i) x at BQ9(c)(i) ค่า x ที่ B

The curve $C_1$ has equation $y=6x-\dfrac{27}{4}-x^2$. The curve $C_2$ has equation $y=\cos(kx)$, with $k$ a constant; $x$ is in radians. The figure shows part of each curve. $P$ is the highest point of $C_1$. The two curves meet on the $x$-axis at $A$ and at $B$. The line segment $L$ joins $P$ to $B$, and the shaded region $R$ is bounded by $L$, $C_1$ and $C_2$.
(c)(i) State the $x$ coordinate of $B$. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

  1. $y=\dfrac94-(x-3)^2$C₁, from (a)C₁ จากข้อ (a)
  2. $0=\dfrac94-(x-3)^2$on the x-axis y = 0บนแกน x: y = 0
  3. $(x-3)^2=\dfrac94$add (x − 3)², then swap sidesบวก (x − 3)² แล้วสลับข้าง
  4. $x-3=\pm\dfrac32$square root: plus or minusถอดรูท ได้ทั้งบวกและลบ
  5. $x=3\pm\dfrac32$add 3 to both sidesบวก 3 ทั้งสองข้าง
  6. $x=\dfrac32\text{ or }\dfrac92$A is the left one, B the right oneA อยู่ซ้าย B อยู่ขวา
  7. $x_B=\dfrac92$answerคำตอบ

Q9(c)(ii) The value of kQ9(c)(ii) ค่าของ k

The curve $C_1$ has equation $y=6x-\dfrac{27}{4}-x^2$. The curve $C_2$ has equation $y=\cos(kx)$, with $k$ a constant; $x$ is in radians. The figure shows part of each curve. $P$ is the highest point of $C_1$. The two curves meet on the $x$-axis at $A$ and at $B$. The line segment $L$ joins $P$ to $B$, and the shaded region $R$ is bounded by $L$, $C_1$ and $C_2$.
(c)(ii) From (c)(i): $A$ is at $x=\dfrac32$ and $B$ is at $x=\dfrac92$. State the value of $k$. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

  1. $\cos\left(\dfrac32k\right)=0$C₂ meets the x-axis at A, x = 3/2C₂ ตัดแกน x ที่ A, x = 3/2
  2. $\dfrac32k=\dfrac{\pi}{2}$C₂ starts at (0, 1); its first zero is at kx = π/2C₂ เริ่มที่ (0, 1) · ศูนย์แรกอยู่ที่ kx = π/2
  3. $k=\dfrac{\pi}{3}$multiply both sides by 2/3คูณทั้งสองข้างด้วย 2/3
  4. $\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac92=\dfrac{3\pi}{2}$check at B: cos(3π/2) = 0 ✓ตรวจที่ B: cos(3π/2) = 0 ✓

Q9(c)(iii) The period of C₂Q9(c)(iii) คาบของ C₂

The curve $C_1$ has equation $y=6x-\dfrac{27}{4}-x^2$. The curve $C_2$ has equation $y=\cos(kx)$, with $k$ a constant; $x$ is in radians. The figure shows part of each curve. $P$ is the highest point of $C_1$. The two curves meet on the $x$-axis at $A$ and at $B$. The line segment $L$ joins $P$ to $B$, and the shaded region $R$ is bounded by $L$, $C_1$ and $C_2$.
(c)(iii) From (c)(ii): $k=\dfrac{\pi}{3}$. State the period of $C_2$. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

  1. $\text{period}=\dfrac{2\pi}{k}$cos(kx) repeats each time kx grows by 2πcos(kx) ซ้ำทุกครั้งที่ kx เพิ่มขึ้น 2π
  2. $=2\pi\div\dfrac{\pi}{3}$k = π/3k = π/3
  3. $=2\pi\times\dfrac{3}{\pi}$divide = multiply by the flipหาร = คูณด้วยส่วนกลับ
  4. $=6$answerคำตอบ

Q9(d) Describe RQ9(d) บรรยายบริเวณ R

The curve $C_1$ has equation $y=6x-\dfrac{27}{4}-x^2$. The curve $C_2$ has equation $y=\cos(kx)$, with $k$ a constant; $x$ is in radians. The figure shows part of each curve. $P$ is the highest point of $C_1$. The two curves meet on the $x$-axis at $A$ and at $B$. The line segment $L$ joins $P$ to $B$, and the shaded region $R$ is bounded by $L$, $C_1$ and $C_2$.
(d) From earlier parts: $P=\left(3,\dfrac94\right)$, $B=\left(\dfrac92,0\right)$ and $k=\dfrac{\pi}{3}$. Describe $R$ with inequalities. [5]

  1. $P=\left(3,\dfrac94\right)$from (b)จากข้อ (b)
  2. $B=\left(\dfrac92,0\right)$from (c)(i)จากข้อ (c)(i)
  3. $m=\dfrac{0-\frac94}{\frac92-3}$gradient of L, from P to Bความชันของ L จาก P ไป B
  4. $=\dfrac{-\frac94}{\frac32}$9/2 − 3 = 3/29/2 − 3 = 3/2
  5. $=-\dfrac32$−9/4 × 2/3 = −3/2−9/4 × 2/3 = −3/2
  6. $y-0=-\dfrac32\left(x-\dfrac92\right)$line L through Bเส้น L ผ่าน B
  7. $y=-\dfrac32x+\dfrac{27}{4}$3/2 × 9/2 = 27/43/2 × 9/2 = 27/4
  8. $y\gt\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)$R is above C₂R อยู่เหนือ C₂
  9. $y\lt6x-\dfrac{27}{4}-x^2$R is below C₁ (from A up to P)R อยู่ใต้ C₁ (จาก A ขึ้นไป P)
  10. $y\lt-\dfrac32x+\dfrac{27}{4}$R is below L (from P down to B) · all three hold in RR อยู่ใต้ L (จาก P ลงมา B) · ใน R ต้องเป็นจริงทั้งสามข้อ

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. Point A is (−√3, 1) and point B is (3√3, 5). The gradient of AB is p√3. Find p.จุด A = (−√3, 1) และจุด B = (3√3, 5) · ความชันของ AB คือ p√3 · จงหา p
    Answer:เฉลย: 1/3Gradient = 4/(4√3) = 1/√3 = √3/3, so p = 1/3.ความชัน = 4/(4√3) = 1/√3 = √3/3 ได้ p = 1/3
  2. A curve has equation y = 2x³ + 8/x. Find the gradient dy/dx at x = 2.เส้นโค้งมีสมการ y = 2x³ + 8/x · จงหาความชัน dy/dx ที่ x = 2
    Answer:เฉลย: 22dy/dx = 6x² − 8/x². At x = 2: 24 − 2 = 22.dy/dx = 6x² − 8/x² · ที่ x = 2 ได้ 24 − 2 = 22
  3. The point P(2, 9) is on y = f(x). On the curve y = f(x + 5), P moves to Q. Find the x coordinate of Q.จุด P(2, 9) อยู่บน y = f(x) · บนเส้นโค้ง y = f(x + 5) จุด P ย้ายไปที่ Q · จงหาพิกัด x ของ Q
    Answer:เฉลย: -3x + 5 inside the bracket moves the curve left 5: 2 − 5 = −3.x + 5 ในวงเล็บ เลื่อนกราฟไปทางซ้าย 5: 2 − 5 = −3
  4. A sector of a circle has radius 5 cm and area 10 cm². Find its angle in radians.เซกเตอร์ของวงกลมรัศมี 5 ซม. มีพื้นที่ 10 ตร.ซม. · จงหามุมเป็นเรเดียน
    Answer:เฉลย: 0.8½ × 5² × α = 10, so 12.5α = 10 and α = 0.8.½ × 5² × α = 10 ได้ 12.5α = 10 ดังนั้น α = 0.8
  5. The curve y = cos(kx), k > 0, first crosses the positive x-axis at x = 2. Find the period of the curve.เส้นโค้ง y = cos(kx) เมื่อ k > 0 ตัดแกน x ด้านบวกครั้งแรกที่ x = 2 · จงหาคาบของเส้นโค้ง
    Answer:เฉลย: 82k = π/2, so k = π/4. The period is 2π ÷ (π/4) = 8.2k = π/2 ได้ k = π/4 · คาบคือ 2π ÷ (π/4) = 8

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี