Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA11 Pure 1 · June 2025WMA11 Pure 1 · มิ.ย. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 1 (WMA11) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Index laws · 5 marksข้อ 1 · กฎเลขชี้กำลัง · 5 คะแนน

Answer: (1/4)x²; (2/5)x⁻¹; 100x⁻²คำตอบ: (1/4)x²; (2/5)x⁻¹; 100x⁻²

Q1(a) Square root of pQ1(a) รากที่สองของ p

You are told that $p=\dfrac{1}{16}x^4$ and $q=\dfrac{40}{x^3}$. Write each expression below as $kx^n$, with $k$ and $n$ constants in their simplest form.
(a) Write $p^{\frac12}$ as $kx^n$. [1]

  1. $p^{\frac12}=\left(\tfrac1{16}x^4\right)^{\frac12}$power ½ means square rootกำลัง ½ คือรากที่สอง
  2. $=\tfrac14x^2$√(1/16) = 1/4 · 4 × ½ = 2√(1/16) = 1/4 · 4 × ½ = 2

Q1(b) (pq) to the power −1Q1(b) (pq) ยกกำลัง −1

You are told that $p=\dfrac{1}{16}x^4$ and $q=\dfrac{40}{x^3}$. Write each expression below as $kx^n$, with $k$ and $n$ constants in their simplest form.
(b) Write $(pq)^{-1}$ as $kx^n$. [2]

  1. $pq=\dfrac{x^4}{16}\times\dfrac{40}{x^3}$multiply p by qคูณ p กับ q
  2. $=\dfrac{40}{16}x$x⁴ ÷ x³ = xx⁴ ÷ x³ = x
  3. $=\dfrac52x$40/16 = 5/240/16 = 5/2
  4. $(pq)^{-1}=\dfrac25x^{-1}$power −1: flip the number, x⁻¹กำลัง −1: กลับเศษเป็นส่วน ได้ x⁻¹

Q1(c) p times q squaredQ1(c) p คูณ q กำลังสอง

You are told that $p=\dfrac{1}{16}x^4$ and $q=\dfrac{40}{x^3}$. Write each expression below as $kx^n$, with $k$ and $n$ constants in their simplest form.
(c) Write $pq^2$ as $kx^n$. [2]

  1. $q^2=\dfrac{1600}{x^6}$40² = 1600 · (x³)² = x⁶40² = 1600 · (x³)² = x⁶
  2. $pq^2=\dfrac{x^4}{16}\times\dfrac{1600}{x^6}$multiply by pคูณด้วย p
  3. $=\dfrac{1600}{16}x^{4-6}$divide powers: subtractหารกัน: ลบเลขชี้กำลัง
  4. $=100x^{-2}$1600 ÷ 16 = 1001600 ÷ 16 = 100

3. Q2 · Gradient of a curve · 5 marksข้อ 2 · ความชันของเส้นโค้ง · 5 คะแนน

Answer: dy/dx = 5x^(3/2) − 4; k = 4/3คำตอบ: dy/dx = 5x^(3/2) − 4; k = 4/3

Q2(a) DifferentiateQ2(a) หาอนุพันธ์

A curve $C$ is given by $y=2x^{\frac52}-4x+3$.
(a) Work out $\dfrac{dy}{dx}$ and simplify it. [2]

  1. $y=2x^{\frac52}-4x+3$the curveสมการเส้นโค้ง
  2. $\dfrac{dy}{dx}=2\cdot\tfrac52x^{\frac32}-4$power down, take 1 off · 3 goesตบ · ลบ · ดิ๊ฟ · ค่าคงที่ 3 หายไป
  3. $=5x^{\frac32}-4$2 × 5/2 = 52 × 5/2 = 5

Q2(b) Find kQ2(b) หา k

A curve $C$ is given by $y=2x^{\frac52}-4x+3$.
(b) The point $P$ is on $C$. Its $x$ coordinate is $2^k$, with $k$ a constant, and the gradient of $C$ at $P$ is 16. From (a), $\dfrac{dy}{dx}=5x^{\frac32}-4$. Find $k$. [3]

  1. $5x^{\frac32}-4=16$gradient at P is 16ความชันที่ P เท่ากับ 16
  2. $5x^{\frac32}=20$−4 moves overย้าย −4
  3. $x^{\frac32}=4$divide by 5หารด้วย 5
  4. $x=4^{\frac23}$power 2/3 on both sides undoes 3/2ยกกำลัง 2/3 ทั้งสองข้าง หักล้างกับ 3/2
  5. $2^k=(2^2)^{\frac23}$x is 2ᵏ · 4 is 2²x คือ 2ᵏ · 4 คือ 2²
  6. $=2^{\frac43}$2 × 2/3 = 4/32 × 2/3 = 4/3
  7. $k=\dfrac43$same base: powers are equalฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังเท่ากัน

4. Q3 · Integrate a fraction with a root · 5 marksข้อ 3 · อินทิเกรตเศษส่วนที่มีราก · 5 คะแนน

Answer: (2/15)x^(5/2) + (4/3)x^(3/2) + 6x^(1/2) + cคำตอบ: (2/15)x^(5/2) + (4/3)x^(3/2) + 6x^(1/2) + c

Q3 Integrate and simplifyQ3 อินทิเกรตและทำให้ง่าย

Work out $\displaystyle\int\dfrac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$ and give the answer in its simplest form. [5]

  1. $I=\int\dfrac{(x+3)^2}{3\sqrt x}dx$I is the integralI คืออินทิกรัล
  2. $(x+3)^2=x^2+6x+9$expand the topกระจายตัวเศษ
  3. $3\sqrt x=3x^{\frac12}$root as a powerเขียนรากเป็นเลขชี้กำลัง
  4. $\dfrac{x^2}{3x^{\frac12}}=\tfrac13x^{\frac32}$split: each term over 3x^½ · 2 − ½ = 3/2แยกหารทีละพจน์ · 2 − ½ = 3/2
  5. $\dfrac{6x}{3x^{\frac12}}=2x^{\frac12}$1 − ½ = ½1 − ½ = ½
  6. $\dfrac{9}{3x^{\frac12}}=3x^{-\frac12}$0 − ½ = −½0 − ½ = −½
  7. $\int\tfrac13x^{\frac32}dx=\tfrac13\cdot\dfrac{x^{\frac52}}{\frac52}$power up 1, divide by itบวก · หาร: เพิ่มเลขชี้กำลัง 1 แล้วหาร
  8. $A=\tfrac2{15}x^{\frac52}$call it A · (1/3) ÷ (5/2) = 2/15เรียกว่า A · (1/3) ÷ (5/2) = 2/15
  9. $\int2x^{\frac12}dx=2\cdot\dfrac{x^{\frac32}}{\frac32}$½ + 1 = 3/2½ + 1 = 3/2
  10. $B=\tfrac43x^{\frac32}$call it B · 2 ÷ 3/2 = 4/3เรียกว่า B · 2 ÷ 3/2 = 4/3
  11. $\int3x^{-\frac12}dx=3\cdot\dfrac{x^{\frac12}}{\frac12}$−½ + 1 = ½−½ + 1 = ½
  12. $D=6x^{\frac12}$call it D · 3 ÷ ½ = 6เรียกว่า D · 3 ÷ ½ = 6
  13. $I=\tfrac2{15}x^{\frac52}+\tfrac43x^{\frac32}$answer: A + B …คำตอบ: A + B …
  14. $\phantom{=}+6x^{\frac12}+c$… + D, and add + c… + D แล้วอย่าลืม + c

5. Q4 · The cosine graph · 6 marksข้อ 4 · กราฟโคไซน์ · 6 คะแนน

Answer: P(270, 0); Q(−180, −4); 100; 4; 7คำตอบ: P(270, 0); Q(−180, −4); 100; 4; 7

Q4(a) Coordinates of PQ4(a) พิกัดของ P

The figure shows part of the graph of $y=4\cos x$, with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are on the graph, as marked in the figure: $P$ is the second point to the right of $O$ where the curve meets the $x$-axis, and $Q$ is the minimum point to the left of the $y$-axis.
(a) State the coordinates of $P$. [1]

  1. $y=4\cos x$the curveสมการกราฟ
  2. $y=0$P is on the x-axisP อยู่บนแกน x
  3. $\cos x=0$so cos x is 0ดังนั้น cos x เป็น 0
  4. $x=90,\ 270,\ \ldots$cos is 0 at 90° and at 270°cos เป็น 0 ที่ 90° และ 270°
  5. $x=270$P is the second crossing right of OP เป็นจุดตัดแกน x จุดที่สองทางขวาของ O
  6. $P=(270,0)$answerคำตอบ

Q4(b) Coordinates of QQ4(b) พิกัดของ Q

The figure shows part of the graph of $y=4\cos x$, with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are on the graph, as marked in the figure: $P$ is the second point to the right of $O$ where the curve meets the $x$-axis, and $Q$ is the minimum point to the left of the $y$-axis.
(b) State the coordinates of $Q$. [2]

  1. $y=4\cos x$the curveสมการกราฟ
  2. $\cos x=-1$Q is a lowest point: cos x is −1Q เป็นจุดต่ำสุด: cos x เป็น −1
  3. $y=4(-1)$put it inแทนค่า
  4. $=-4$the y-valueค่า y
  5. $x=-180$the minimum left of the y-axisจุดต่ำสุดทางซ้ายของแกน y
  6. $Q=(-180,-4)$answerคำตอบ

Q4(c)(i) Count: 4 cos x = 3Q4(c)(i) นับคำตอบ: 4 cos x = 3

The figure shows part of the graph of $y=4\cos x$, with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are on the graph, as marked in the figure: $P$ is the second point to the right of $O$ where the curve meets the $x$-axis, and $Q$ is the minimum point to the left of the $y$-axis.
(c)(i) How many solutions does $4\cos x=3$ have for $0\lt x\le18000^\circ$? (Part (c) is worth 3 marks in all, 1 for each of (i), (ii), (iii).) [1]

  1. $4\cos x=3$the equationสมการ
  2. $\cos x=\tfrac34$between −1 and 1, not at the top or bottomอยู่ระหว่าง −1 กับ 1 ไม่ใช่ยอดหรือก้น
  3. $\text{per }360^\circ=2$the line y = 3 cuts each wave twiceเส้น y = 3 ตัดคลื่นละ 2 จุด
  4. $18000\div360=50$whole waves in the intervalจำนวนคลื่นเต็มในช่วง
  5. $50\times2=100$two per wave · answerคลื่นละ 2 · คำตอบ

Q4(c)(ii) Count: 5 + 4 cos x = 1Q4(c)(ii) นับคำตอบ: 5 + 4 cos x = 1

The figure shows part of the graph of $y=4\cos x$, with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are on the graph, as marked in the figure: $P$ is the second point to the right of $O$ where the curve meets the $x$-axis, and $Q$ is the minimum point to the left of the $y$-axis.
(c)(ii) How many solutions does $5+4\cos x=1$ have for $-720^\circ\lt x\le720^\circ$? (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

  1. $5+4\cos x=1$the equationสมการ
  2. $4\cos x=-4$move the 5 overย้าย 5
  3. $\cos x=-1$only the low pointsเฉพาะจุดต่ำสุด
  4. $x=\pm180,\ \pm540$a low point every 360° · ±900 is outsideจุดต่ำสุดทุก 360° · ±900 อยู่นอกช่วง
  5. $\text{solutions}=4$answerคำตอบ

Q4(c)(iii) Count: 4 cos x − 3 = 1Q4(c)(iii) นับคำตอบ: 4 cos x − 3 = 1

The figure shows part of the graph of $y=4\cos x$, with $x$ in degrees. The points $P$ and $Q$ are on the graph, as marked in the figure: $P$ is the second point to the right of $O$ where the curve meets the $x$-axis, and $Q$ is the minimum point to the left of the $y$-axis.
(c)(iii) How many solutions does $4\cos x-3=1$ have for $-1080^\circ\le x\le1080^\circ$? (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

  1. $4\cos x-3=1$the equationสมการ
  2. $4\cos x=4$move the −3 overย้าย −3
  3. $\cos x=1$only the peaksเฉพาะยอด
  4. $x=0,\ \pm360$a peak every 360°ยอดทุก 360°
  5. $x=\pm720,\ \pm1080$both ends count: ≤ at each endปลายทั้งสองนับด้วย เพราะเป็น ≤
  6. $\text{solutions}=7$1 + 2 + 2 + 2 = 71 + 2 + 2 + 2 = 7

6. Q5 · Perpendicular lines · 7 marksข้อ 5 · เส้นตรงที่ตั้งฉากกัน · 7 คะแนน

Answer: y = −2x; P(−5, 10); 5√5คำตอบ: y = −2x; P(−5, 10); 5√5

Q5(a) Equation of l₂Q5(a) สมการของ l₂

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
Line $l_1$ is $x-2y+25=0$. Line $l_2$ goes through the origin and meets $l_1$ at right angles.
(a) Find an equation of $l_2$. [2]

  1. $x-2y+25=0$l₁ (l "ell" one)l₁ (อ่านว่า แอล หนึ่ง)
  2. $x-2y=-25$move 25 overย้าย 25
  3. $-2y=-x-25$move x overย้าย x
  4. $y=\dfrac12x+\dfrac{25}{2}$divide by −2หารด้วย −2
  5. $m_1=\dfrac12$gradient of l₁: the number in front of xความชันของ l₁: เลขหน้า x
  6. $m_2=-1\div m_1$perpendicular: m₁ × m₂ = −1ตั้งฉาก: m₁ × m₂ = −1
  7. $=-2$−1 ÷ ½ = −2−1 ÷ ½ = −2
  8. $y=-2x$through the origin: no number on the endผ่านจุดกำเนิด: ไม่มีค่าคงที่

Q5(b) Where the lines meetQ5(b) จุดตัดของสองเส้น

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
Line $l_1$ is $x-2y+25=0$. Line $l_2$ goes through the origin and meets $l_1$ at right angles.
(b) $P$ is the point where $l_1$ and $l_2$ cross. From (a), $l_2$ is $y=-2x$. Working algebraically, give the coordinates of $P$. [3]

  1. $x-2y+25=0$l₁l₁
  2. $y=-2x$l₂l₂
  3. $x-2(-2x)+25=0$put ② into ①แทน ② ใน ①
  4. $5x+25=0$x + 4x = 5xx + 4x = 5x
  5. $5x=-25$move 25 overย้าย 25
  6. $x=-5$divide by 5หารด้วย 5
  7. $y=-2(-5)$x into ②แทน x ใน ②
  8. $=10$the y-valueค่า y
  9. $P=(-5,10)$answerคำตอบ

Q5(c) Shortest distance to the originQ5(c) ระยะสั้นที่สุดถึงจุดกำเนิด

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
Line $l_1$ is $x-2y+25=0$. Line $l_2$ goes through the origin and meets $l_1$ at right angles.
(c) Using $P(-5,10)$ from (b), find how far the origin is from $l_1$ at its closest. Give the answer as a surd, fully simplified. [2]

  1. $d^2=5^2+10^2$OP meets l₁ at right angles, so d = OP · PythagorasOP ตั้งฉากกับ l₁ จึงเป็นระยะสั้นสุด d = OP · พีทาโกรัส
  2. $=25+100$square eachยกกำลังสอง
  3. $=125$addบวก
  4. $d=\sqrt{125}$square rootถอดราก
  5. $=\sqrt{25}\sqrt5$125 = 25 × 5125 = 25 × 5
  6. $=5\sqrt5$answer · simplest surdคำตอบ · รูปกรณฑ์อย่างง่าย

7. Q6 · Sector and triangle (radians) · 9 marksข้อ 6 · เซกเตอร์และสามเหลี่ยม (เรเดียน) · 9 คะแนน

Answer: 1.847 rad (3 d.p.); 622 m²; 94.1 mคำตอบ: 1.847 rad (3 d.p.); 622 m²; 94.1 m

Q6(a) Show angle COA = 1.847Q6(a) แสดงว่ามุม COA = 1.847

A helicopter landing pad, seen from above, is the major sector $AOB$ of a circle with centre $O$ together with the triangle $AOC$. $AO=OB=15$ m and $BC=2$ m; $C$, $B$ and $O$ lie on one straight line; angle $ACO=0.6$ radians. The figure is drawn to scale from these numbers.
(a) Show that angle $COA$ is $1.847$ radians, correct to 3 decimal places. [3]

  1. $OC=15+2$OB + BC: C, B, O are in a lineOB + BC: C, B, O อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
  2. $=17$OCOC
  3. $\dfrac{\sin\alpha}{17}=\dfrac{\sin0.6}{15}$α "alpha" = angle CAO · sine ruleα (แอลฟา) = มุม CAO · กฎของไซน์
  4. $\sin\alpha=\dfrac{17\sin0.6}{15}$times 17คูณ 17
  5. $=0.63992\ldots$radian modeโหมดเรเดียน
  6. $\alpha=0.69440\ldots$inverse sine · α is acute in the figuresin⁻¹ · α เป็นมุมแหลมตามรูป
  7. $\angle COA=\pi-0.6-\alpha$angles in a triangle add to πมุมในสามเหลี่ยมรวมกันได้ π
  8. $=1.84718\ldots$work it outคำนวณ
  9. $\approx1.847$to 3 d.p., as requiredทศนิยม 3 ตำแหน่ง ตามที่ต้องการ

Q6(b) Area of the padQ6(b) พื้นที่ลานจอด

A helicopter landing pad, seen from above, is the major sector $AOB$ of a circle with centre $O$ together with the triangle $AOC$. $AO=OB=15$ m and $BC=2$ m; $C$, $B$ and $O$ lie on one straight line; angle $ACO=0.6$ radians. The figure is drawn to scale from these numbers.
(b) Find the whole area of the landing pad, in m², to 3 s.f. Use angle $COA=1.847$ rad. [3]

  1. $\theta=2\pi-1.847$θ "theta": angle of the major sectorθ (ทีตา): มุมของเซกเตอร์ใหญ่
  2. $=4.43618\ldots$major angleมุมใหญ่
  3. $S=\tfrac12r^2\theta$sector areaพื้นที่เซกเตอร์
  4. $=112.5\theta$½ × 15² = 112.5½ × 15² = 112.5
  5. $=499.07\ldots$sectorเซกเตอร์
  6. $T=\tfrac12ab\sin O$triangle AOC: a = 15, b = 17, O = 1.847 between themสามเหลี่ยม AOC: a = 15, b = 17, มุม O = 1.847 อยู่ระหว่าง
  7. $=127.5\sin O$½ × 15 × 17 = 127.5½ × 15 × 17 = 127.5
  8. $=122.66\ldots$triangleสามเหลี่ยม
  9. $S+T=621.73\ldots$add the twoบวกสองส่วน
  10. $\approx622\ \text{m}^2$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ

Q6(c) Perimeter of the padQ6(c) เส้นรอบรูปลานจอด

A helicopter landing pad, seen from above, is the major sector $AOB$ of a circle with centre $O$ together with the triangle $AOC$. $AO=OB=15$ m and $BC=2$ m; $C$, $B$ and $O$ lie on one straight line; angle $ACO=0.6$ radians. The figure is drawn to scale from these numbers.
(c) Find the perimeter of the landing pad, in metres, to 3 s.f. Use angle $COA=1.847$ rad. [3]

  1. $L=r\theta$arc AB the long way (blue) · θ = 2π − 1.847ส่วนโค้ง AB ทางยาว (สีน้ำเงิน) · θ = 2π − 1.847
  2. $=15\times4.43618\ldots$r = 15r = 15
  3. $=66.542\ldots$arcส่วนโค้ง
  4. $15^2+17^2=514$cosine rule, sides 15 and 17กฎของโคไซน์ ด้าน 15 กับ 17
  5. $2(15)(17)=510$the 2ab partส่วน 2ab
  6. $AC^2=514-510\cos O$O = angle AOC = 1.847O = มุม AOC = 1.847
  7. $=653.07\ldots$cos 1.847 is negativecos 1.847 ติดลบ
  8. $AC=25.555\ldots$square root (green)ถอดราก (สีเขียว)
  9. $L+AC=92.098\ldots$arc + ACส่วนโค้ง + AC
  10. $\text{total}=92.098\ldots+2$add BC = 2 (red)บวก BC = 2 (สีแดง)
  11. $=94.098\ldots$perimeterเส้นรอบรูป
  12. $\approx94.1\ \text{m}$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ

8. Q7 · A cubic and a parabola · 10 marksข้อ 7 · กราฟกำลังสามกับพาราโบลา · 10 คะแนน

Answer: f(x) = 0.2x²(x − 4); ∩-shaped parabola through (0, 0) and (8, 0); (−8, −153.6), (0, 0), (6, 14.4)คำตอบ: f(x) = 0.2x²(x − 4); ∩-shaped parabola through (0, 0) and (8, 0); (−8, −153.6), (0, 0), (6, 14.4)

Q7(a) Find f(x)Q7(a) หา f(x)

The curve $C_1$ is $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)$ is a cubic. $C_1$ touches the $x$-axis at the origin, crosses it at $x=4$, and goes through $(10,120)$. The curve $C_2$ is $y=1.2x(8-x)$.
(a) Find $\text{f}(x)$. [3]

  1. $\text{f}(x)=\lambda x^2(x-4)$touches at O: x² · crosses at 4: (x − 4) · λ "lambda" a numberสัมผัสที่ O: x² · ตัดที่ 4: (x − 4) · λ (แลมบ์ดา) เป็นค่าคงที่
  2. $120=\lambda\times100\times6$(10, 120) on it · 10² = 100 · 10 − 4 = 6(10, 120) อยู่บนกราฟ · 10² = 100 · 10 − 4 = 6
  3. $120=600\lambda$100 × 6 = 600100 × 6 = 600
  4. $\lambda=0.2$divide by 600หารด้วย 600
  5. $\text{f}(x)=0.2x^2(x-4)$answerคำตอบ

Q7(b) Sketch C₂Q7(b) ร่าง C₂

The curve $C_1$ is $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)$ is a cubic. $C_1$ touches the $x$-axis at the origin, crosses it at $x=4$, and goes through $(10,120)$. The curve $C_2$ is $y=1.2x(8-x)$.
(b) On a copy of the figure, sketch the curve $C_2$. [2]

  1. $y=1.2x(8-x)$C₂C₂
  2. $x=0,\ 8$y = 0 when x = 0 or x = 8y = 0 เมื่อ x = 0 หรือ x = 8
  3. $y=-1.2x^2+9.6x$x² term is negative: ∩ shapeพจน์ x² ติดลบ: รูป ∩
  4. $x=4$top: halfway between 0 and 8ยอด: กึ่งกลางระหว่าง 0 กับ 8
  5. $y=1.2(4)(4)$put x = 4 inแทน x = 4
  6. $=19.2$top at (4, 19.2)ยอดที่ (4, 19.2)

Q7(c) Where C₁ and C₂ meetQ7(c) จุดที่ C₁ กับ C₂ ตัดกัน

The curve $C_1$ is $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)$ is a cubic. $C_1$ touches the $x$-axis at the origin, crosses it at $x=4$, and goes through $(10,120)$. The curve $C_2$ is $y=1.2x(8-x)$.
(c) Working algebraically, find the coordinates of every point where $C_1$ and $C_2$ meet. Show each stage. From (a), $\text{f}(x)=0.2x^2(x-4)$. [5]

  1. $0.2x^2(x-4)=1.2x(8-x)$C₁ = C₂C₁ = C₂
  2. $x^2(x-4)=6x(8-x)$times 5คูณ 5
  3. $x^3-4x^2=48x-6x^2$expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
  4. $x^3+2x^2-48x=0$all on one sideย้ายมาข้างเดียว
  5. $x(x^2+2x-48)=0$take out xดึง x ออก
  6. $x(x+8)(x-6)=0$8 × (−6) = −48 · 8 − 6 = 28 × (−6) = −48 · 8 − 6 = 2
  7. $x=-8,\ 0,\ 6$each bracket is 0ให้แต่ละวงเล็บเป็น 0
  8. $y=0$x = 0: the origin (0, 0)x = 0: จุดกำเนิด (0, 0)
  9. $y=1.2(-8)(16)$x = −8 in C₂ · 8 − (−8) = 16แทน x = −8 ใน C₂ · 8 − (−8) = 16
  10. $=-153.6$point (−8, −153.6)จุด (−8, −153.6)
  11. $y=1.2(6)(2)$x = 6 in C₂ · 8 − 6 = 2แทน x = 6 ใน C₂ · 8 − 6 = 2
  12. $=14.4$point (6, 14.4)จุด (6, 14.4)

9. Q8 · Tangent, f″ and f from f′ · 11 marksข้อ 8 · เส้นสัมผัส f″ และหา f จาก f′ · 11 คะแนน

Answer: k = 1/4; c = −28; f″ = 11/4 at P; f(x) = 2x^(3/2) + (1/12)x³ − 28/3คำตอบ: k = 1/4; c = −28; f″ = 11/4 at P; f(x) = 2x^(3/2) + (1/12)x³ − 28/3

Q8(a)(i) Show k = 1/4Q8(a)(i) แสดงว่า k = 1/4

Every stage of the working must be shown; an answer that leans entirely on calculator technology scores nothing.
A curve is $y=\text{f}(x)$ for $x\gt0$, and the point $P(4,12)$ is on it. You are told that $\text{f}'(x)=3\sqrt{x}+kx^2$, with $k$ a constant, and that the tangent to the curve at $P$ is $y=10x+c$, with $c$ a constant.
(a)(i) Show that $k=\dfrac14$. (Part (a) is worth 4 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 2 to (ii).) [2]

  1. $\text{f}'(4)=10$gradient of the tangent y = 10x + cความชันของเส้นสัมผัส y = 10x + c
  2. $3\sqrt4+k(4^2)=10$put x = 4 into f′(x)แทน x = 4 ใน f′(x)
  3. $6+16k=10$√4 = 2 · 4² = 16√4 = 2 · 4² = 16
  4. $16k=4$move the 6 overย้าย 6
  5. $k=\dfrac14$as requiredตามที่โจทย์ให้แสดง

Q8(a)(ii) Find cQ8(a)(ii) หา c

Every stage of the working must be shown; an answer that leans entirely on calculator technology scores nothing.
A curve is $y=\text{f}(x)$ for $x\gt0$, and the point $P(4,12)$ is on it. You are told that $\text{f}'(x)=3\sqrt{x}+kx^2$, with $k$ a constant, and that the tangent to the curve at $P$ is $y=10x+c$, with $c$ a constant.
(a)(ii) Find $c$. (Part (a) is 4 marks in all.) [2]

  1. $y=10x+c$the tangentเส้นสัมผัส
  2. $12=10(4)+c$P(4, 12) is on itP(4, 12) อยู่บนเส้น
  3. $12=40+c$10 × 4 = 4010 × 4 = 40
  4. $-28=c$move 40 overย้าย 40
  5. $c=-28$answerคำตอบ

Q8(b) f″ at PQ8(b) f″ ที่จุด P

Every stage of the working must be shown; an answer that leans entirely on calculator technology scores nothing.
A curve is $y=\text{f}(x)$ for $x\gt0$, and the point $P(4,12)$ is on it. You are told that $\text{f}'(x)=3\sqrt{x}+kx^2$, with $k$ a constant, and that the tangent to the curve at $P$ is $y=10x+c$, with $c$ a constant.
(b) Using $k=\dfrac14$, work out $\text{f}''$ at the point $P$. [3]

  1. $\text{f}'(x)=3x^{\frac12}+\tfrac14x^2$k = 1/4 · √x = x^½k = 1/4 · √x = x^½
  2. $\text{f}''(x)=\tfrac32x^{-\frac12}+\tfrac12x$power down, take 1 off, each termตบ · ลบ · ดิ๊ฟ ทีละพจน์
  3. $\text{f}''(4)=\dfrac{3}{2\sqrt4}+\dfrac42$x = 4 · x^(−½) = 1/√xx = 4 · x^(−½) = 1/√x
  4. $=\dfrac34+2$2√4 = 42√4 = 4
  5. $=\dfrac{11}{4}$answerคำตอบ

Q8(c) Find f(x)Q8(c) หา f(x)

Every stage of the working must be shown; an answer that leans entirely on calculator technology scores nothing.
A curve is $y=\text{f}(x)$ for $x\gt0$, and the point $P(4,12)$ is on it. You are told that $\text{f}'(x)=3\sqrt{x}+kx^2$, with $k$ a constant, and that the tangent to the curve at $P$ is $y=10x+c$, with $c$ a constant.
(c) Find $\text{f}(x)$. Use $k=\dfrac14$. [4]

  1. $\int3x^{\frac12}dx=2x^{\frac32}$power up 1: ½ + 1 = 3/2 · 3 ÷ 3/2 = 2บวก · หาร: ½ + 1 = 3/2 · 3 ÷ 3/2 = 2
  2. $\int\tfrac14x^2dx=\tfrac1{12}x^3$2 + 1 = 3 · ¼ ÷ 3 = 1/122 + 1 = 3 · ¼ ÷ 3 = 1/12
  3. $\text{f}(x)=2x^{\frac32}+\tfrac1{12}x^3+d$d is the constant (c is taken)d คือค่าคงที่ (c ใช้ไปแล้ว)
  4. $12=2(8)+\tfrac{64}{12}+d$P(4, 12) on it · 4^(3/2) = 8 · 4³ = 64P(4, 12) อยู่บนเส้นโค้ง · 4^(3/2) = 8 · 4³ = 64
  5. $12=16+\tfrac{16}3+d$4^(3/2) = 8 · 64/12 = 16/34^(3/2) = 8 · 64/12 = 16/3
  6. $d=12-16-\tfrac{16}3$move them overย้ายข้าง
  7. $=-\tfrac{28}3$−4 − 16/3 = −28/3−4 − 16/3 = −28/3
  8. $\text{f}(x)=2x^{\frac32}+\tfrac1{12}x^3$answer …คำตอบ …
  9. $\phantom{=}-\tfrac{28}3$… with d = −28/3… โดย d = −28/3

10. Q9 · Root graphs · 10 marksข้อ 9 · กราฟรากที่สอง · 10 คะแนน

Answer: a stretch parallel to the x-axis, scale factor ½ (or parallel to the y-axis, scale factor √2); a translation by the vector (0, 12): up 12; √x = 12(√2 − 1); P(432 − 288√2, 24 − 12√2)คำตอบ: a stretch parallel to the x-axis, scale factor ½ (or parallel to the y-axis, scale factor √2); a translation by the vector (0, 12): up 12; √x = 12(√2 − 1); P(432 − 288√2, 24 − 12√2)

Q9(a)(i) √x onto C₁Q9(a)(i) จาก √x ไปเป็น C₁

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
The figure shows $C_1$, the graph of $y=\sqrt{2x}$, and $C_2$, the graph of $y=12-\sqrt{x}$. They cross at the point $P$.
(a)(i) Give a full description of the one transformation that maps the graph of $y=\sqrt{x}$ onto $C_1$. (Part (a) is worth 4 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 2 to (ii).) [2]

  1. $y=\sqrt x$the start graphกราฟตั้งต้น
  2. $y=\sqrt{2x}$C₁: x is replaced by 2xC₁: แทน x ด้วย 2x
  3. $\text{factor}=\tfrac12$x × 2 inside: every x-value halvesคูณ 2 ข้างใน: ค่า x ทุกจุดลดครึ่ง
  4. $\sqrt{2x}=\sqrt2\sqrt x$also right: stretch ∥ y-axis, factor √2ตอบแบบนี้ก็ได้: ยืดขนานแกน y ตัวคูณ √2

Q9(a)(ii) −√x onto C₂Q9(a)(ii) จาก −√x ไปเป็น C₂

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
The figure shows $C_1$, the graph of $y=\sqrt{2x}$, and $C_2$, the graph of $y=12-\sqrt{x}$. They cross at the point $P$.
(a)(ii) Give a full description of the one transformation that maps the graph of $y=-\sqrt{x}$ onto $C_2$. (Part (a) is 4 marks in all.) [2]

  1. $y=-\sqrt x$the start graphกราฟตั้งต้น
  2. $y=12-\sqrt x$C₂C₂
  3. $=-\sqrt x+12$+12 outside: every y goes up 12+12 ข้างนอก: ค่า y ทุกจุดขึ้น 12
  4. $\text{vector}=\binom{0}{12}$a translationการเลื่อนขนาน

Q9(b)(i) Show √x = 12(√2 − 1)Q9(b)(i) แสดงว่า √x = 12(√2 − 1)

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
The figure shows $C_1$, the graph of $y=\sqrt{2x}$, and $C_2$, the graph of $y=12-\sqrt{x}$. They cross at the point $P$.
(b)(i) Prove that at $P$, $\sqrt{x}=12(\sqrt2-1)$. (Part (b) is worth 6 marks in all; the mark scheme gives 3 to (i) and 3 to (ii).) [3]

  1. $\sqrt{2x}=12-\sqrt x$at P the y-values are equalที่ P ค่า y เท่ากัน
  2. $\sqrt{2x}+\sqrt x=12$move −√x overย้าย −√x
  3. $\sqrt2\sqrt x+\sqrt x=12$√(2x) = √2 × √x√(2x) = √2 × √x
  4. $\sqrt x(\sqrt2+1)=12$take out √xดึง √x ออก
  5. $\sqrt x=\dfrac{12}{\sqrt2+1}$divideหาร
  6. $=\dfrac{12}{\sqrt2+1}\cdot\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$times √2 − 1 on top and bottomคูณ √2 − 1 ทั้งเศษและส่วน
  7. $=\dfrac{12(\sqrt2-1)}{2-1}$bottom: (√2 + 1)(√2 − 1) = 2 − 1ส่วน: (√2 + 1)(√2 − 1) = 2 − 1
  8. $\sqrt x=12(\sqrt2-1)$as requiredตามที่โจทย์ให้แสดง

Q9(b)(ii) Exact coordinates of PQ9(b)(ii) พิกัดจริงของ P

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
The figure shows $C_1$, the graph of $y=\sqrt{2x}$, and $C_2$, the graph of $y=12-\sqrt{x}$. They cross at the point $P$.
(b)(ii) Using $\sqrt{x}=12(\sqrt2-1)$, work out the exact coordinates of $P$, each fully simplified. (Part (b) is 6 marks in all.) [3]

  1. $\sqrt x=12(\sqrt2-1)$from (b)(i)จากข้อ (b)(i)
  2. $x=144(\sqrt2-1)^2$square both sides: 12² = 144ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: 12² = 144
  3. $(\sqrt2-1)^2=2-2\sqrt2+1$expandกระจาย
  4. $=3-2\sqrt2$2 + 1 = 32 + 1 = 3
  5. $x=144(3-2\sqrt2)$put it backแทนกลับ
  6. $=432-288\sqrt2$144 × 3 = 432 · 144 × 2 = 288144 × 3 = 432 · 144 × 2 = 288
  7. $y=12-\sqrt x$C₂C₂
  8. $=12-12(\sqrt2-1)$put √x inแทน √x
  9. $=12-12\sqrt2+12$expandกระจาย
  10. $=24-12\sqrt2$answer: P = (432 − 288√2, 24 − 12√2)คำตอบ: P = (432 − 288√2, 24 − 12√2)

11. Q10 · A quadratic in x³ · 7 marksข้อ 10 · สมการกำลังสองในรูป x³ · 7 คะแนน

Answer: x = −1, x = −∛(1/7); k < 0 or k > 5คำตอบ: x = −1, x = −∛(1/7); k < 0 or k > 5

Q10(a) Solve when k = 4.5Q10(a) แก้สมการเมื่อ k = 4.5

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
The equation is $(k-1)x^6+4x^3+(k-4)=0$, where $k$ is a constant.
(a) Take $k=4.5$. Find the exact solutions of the equation. [3]

  1. $k-1=3.5$k = 4.5k = 4.5
  2. $k-4=0.5$k = 4.5k = 4.5
  3. $2(k-1)=7$times the equation by 2: whole numbersคูณสมการด้วย 2 ให้เป็นจำนวนเต็ม
  4. $2(k-4)=1$2 × 4x³ = 8x³ · 2 × 0 = 02 × 4x³ = 8x³ · 2 × 0 = 0
  5. $7x^6+8x^3+1=0$the equation × 2สมการ × 2
  6. $u=x^3$let u = x³, so x⁶ = u²ให้ u = x³ จึงได้ x⁶ = u²
  7. $7u^2+8u+1=0$a quadratic in uสมการกำลังสองของ u
  8. $(7u+1)(u+1)=0$7 × 1 = 7 · 7 + 1 = 87 × 1 = 7 · 7 + 1 = 8
  9. $u=-\tfrac17,\ -1$each bracket is 0ให้แต่ละวงเล็บเป็น 0
  10. $x^3=-\tfrac17$u is x³u คือ x³
  11. $x=-\sqrt[3]{\tfrac17}$cube rootรากที่สาม
  12. $x^3=-1$the other oneอีกค่าหนึ่ง
  13. $x=-1$cube rootรากที่สาม

Q10(b) No real rootsQ10(b) ไม่มีรากจริง

Every stage of the working must be shown; an answer that leans on calculator technology scores nothing.
The equation is $(k-1)x^6+4x^3+(k-4)=0$, where $k$ is a constant.
(b) For which values of $k$ does the equation have no real roots? Give the full set. [4]

  1. $a=k-1$u = x³: (k − 1)u² + 4u + (k − 4) = 0u = x³: (k − 1)u² + 4u + (k − 4) = 0
  2. $c=k-4$b = 4 · every real u gives a real xb = 4 · u จริงทุกค่าให้ x จริง
  3. $b^2-4ac\lt0$no real u: discriminant below 0ไม่มี u จริง: ตัวจำแนกน้อยกว่า 0
  4. $b^2=16$b = 4b = 4
  5. $4ac=4(k-1)(k-4)$put in a and cแทน a กับ c
  6. $=4k^2-20k+16$expandกระจาย
  7. $b^2-4ac=20k-4k^2$16 − (4k² − 20k + 16)16 − (4k² − 20k + 16)
  8. $20k-4k^2\lt0$must be below 0ต้องน้อยกว่า 0
  9. $4k(5-k)\lt0$factoriseแยกตัวประกอบ
  10. $k=0,\ 5$where it is 0จุดที่เป็น 0
  11. $k\lt0\ \text{or}\ k\gt5$n-shape in k: below 0 outside the rootsกราฟของ k คว่ำ: ติดลบนอกช่วงราก

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. ∫ 6x^(1/2) dx = kx^(3/2) + c. Find k.∫ 6x^(1/2) dx = kx^(3/2) + c · จงหา k
    Answer:เฉลย: 4Power up 1 to 3/2, then 6 ÷ 3/2 = 4.เพิ่มเลขชี้กำลังเป็น 3/2 แล้ว 6 ÷ 3/2 = 4
  2. How many solutions does 4 cos x = 2 have for 0° < x ≤ 3600°?4 cos x = 2 มีคำตอบกี่ค่า เมื่อ 0° < x ≤ 3600°
    Answer:เฉลย: 20cos x = 1/2: two per 360°, and 3600 ÷ 360 = 10 waves, so 20.cos x = 1/2 ได้ 2 ค่าต่อ 360° · มี 10 คลื่น จึงได้ 20
  3. A sector has radius 10 m and angle 1.2 radians. Find its area in m².เซกเตอร์รัศมี 10 m มุม 1.2 เรเดียน จงหาพื้นที่ (m²)
    Answer:เฉลย: 60Area = ½r²θ = ½ × 100 × 1.2 = 60.พื้นที่ = ½r²θ = ½ × 100 × 1.2 = 60
  4. Solve x⁶ − 9x³ + 8 = 0. Give the larger real solution.แก้สมการ x⁶ − 9x³ + 8 = 0 ตอบค่าจริงที่มากกว่า
    Answer:เฉลย: 2Let u = x³: (u − 8)(u − 1) = 0, so x³ = 8 or 1, and x = 2 or 1.ให้ u = x³: (u − 8)(u − 1) = 0 ได้ x³ = 8 หรือ 1 จึงได้ x = 2 หรือ 1

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี