Edexcel IAL Pure 2 WMA12 January 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA12 Pure 2 · January 2024WMA12 Pure 2 · ม.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 2 (WMA12) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Remainder theorem · 3 marksข้อ 1 · ทฤษฎีบทเศษเหลือ · 3 คะแนน

Answer: a = 5/8คำตอบ: a = 5/8

Q1 Use the remainder to find aQ1 ใช้เศษหา a

Let $f(x)=ax^3+3x^2-8x+2$, where $a$ is a constant.
When $f(x)$ is divided by $(x-2)$, the remainder is 3. Work out $a$. [3]

$f(2)=3$remainder theorem: dividing by (x − 2) leaves f(2)ทฤษฎีบทเศษเหลือ: หารด้วย (x − 2) เศษคือ f(2)
$a(2)^3=8a$put x = 2 into each term: 2³ = 8แทน x = 2 ทีละพจน์: 2³ = 8
$3(2)^2=12$2² = 4, times 32² = 4 คูณ 3
$-8(2)=-16$the x termพจน์ x
$f(2)=8a+12-16+2$add the four termsรวมสี่พจน์
$=8a-2$12 − 16 + 2 = −212 − 16 + 2 = −2
$8a-2=3$set it equal to the remainder 3ให้เท่ากับเศษ 3
$8a=5$add 2 to both sidesบวก 2 ทั้งสองข้าง
$a=\dfrac{5}{8}$answerคำตอบ

3. Q2 · Binomial expansion · 3 marksข้อ 2 · การกระจายทวินาม · 3 คะแนน

Answer: 96228คำตอบ: 96228

Q2 Coefficient of x⁷Q2 สัมประสิทธิ์ของ x⁷

In the expansion of $\left(\dfrac{3}{8}+4x\right)^{12}$, find the number in front of $x^7$. Simplify it fully. [3]

$n=12$the power of the bracketกำลังของวงเล็บ
$r=7$x⁷ comes from using 4x seven timesx⁷ มาจากการใช้ 4x เจ็ดครั้ง
$T=\binom{12}{7}a^5b^7$the term · a = 3/8 used 12 − 7 = 5 times · b = 4xพจน์นั้น · a = 3/8 ใช้ 12 − 7 = 5 ครั้ง · b = 4x
$\binom{12}{7}=792$¹²C₇ “12 choose 7” on the calculator¹²C₇ (อ่านว่า 12 เลือก 7) กดเครื่องคิดเลข
$a^5=\dfrac{243}{32768}$(3/8)⁵ = 3⁵ ÷ 8⁵(3/8)⁵ = 3⁵ ÷ 8⁵
$b^7=16384x^7$(4x)⁷ = 4⁷x⁷(4x)⁷ = 4⁷x⁷
$\dfrac{16384}{32768}=\dfrac{1}{2}$the 4⁷ and the 8⁵ cancel to a half4⁷ กับ 8⁵ ตัดกันเหลือครึ่ง
$c=792\times243\times\dfrac{1}{2}$c = the number in front of x⁷c = ตัวเลขหน้า x⁷
$=96228$answer · the coefficient of x⁷คำตอบ · สัมประสิทธิ์ของ x⁷

4. Q3 · Circle and a chord · 6 marksข้อ 3 · วงกลมและคอร์ด · 6 คะแนน

Answer: (x − 3)² + (y − 5)² = 169; y = 14คำตอบ: (x − 3)² + (y − 5)² = 169; y = 14

Q3(a) Equation of CQ3(a) สมการของ C

Circle $C$ has its centre at $A(3,5)$ and goes through the point $B(8,-7)$.
(a) Find an equation for $C$. [3]

$r=AB$B is on the circle, so the radius is ABB อยู่บนวงกลม รัศมีจึงเท่ากับ AB
$\Delta x=8-3$Δ “delta” = change · across from A to BΔ (เดลตา) = ระยะที่เปลี่ยน · แนวนอนจาก A ไป B
$=5$acrossแนวนอน
$\Delta y=-7-5$down from A to Bแนวตั้งจาก A ไป B
$=-12$downแนวตั้ง
$r^2=5^2+(-12)^2$Pythagorasพีทาโกรัส
$=169$25 + 144 · so r = 1325 + 144 · ดังนั้น r = 13
$X^2+Y^2=r^2$circle rule · X = x − 3 and Y = y − 5 (distances from the centre)สูตรวงกลม · X = x − 3 และ Y = y − 5 (ระยะจากจุดศูนย์กลาง)
$X^2+Y^2=169$put r² = 169 inแทน r² = 169
$\eqalign{&(x-3)^2\cr&+(y-5)^2}=169$answer · put X and Y backคำตอบ · แทน X และ Y กลับ

Q3(b) The line through M and NQ3(b) เส้นที่ผ่าน M และ N

Circle $C$ has its centre at $A(3,5)$ and goes through the point $B(8,-7)$.
(b) $C$ is $(x-3)^2+(y-5)^2=169$. Points $M$ and $N$ are on $C$, so $MN$ is a chord. The chord $MN$ is above the $x$-axis, is parallel to the $x$-axis and has length $4\sqrt{22}$. Find the equation of the straight line through $M$ and $N$. [3]

$MN=4\sqrt{22}$the chord, givenคอร์ด (โจทย์ให้)
$\dfrac{1}{2}MN=2\sqrt{22}$the line down from A cuts the chord in halfเส้นตั้งฉากจาก A แบ่งคอร์ดครึ่งพอดี
$(2\sqrt{22})^2=88$2² × 22 = 4 × 222² × 22 = 4 × 22
$d^2+88=169$Pythagoras: d = height of MN above A · AN = r = 13พีทาโกรัส: d = ความสูงของ MN เหนือ A · AN = r = 13
$d^2=81$take 88 from both sidesลบ 88 ทั้งสองข้าง
$d=9$a length is positiveความยาวเป็นบวก
$y=5+9$MN is above A · 5 − 9 = −4 is below the x-axis: rejectMN อยู่เหนือ A · 5 − 9 = −4 อยู่ใต้แกน x จึงตัดทิ้ง
$=14$addบวก
$y=14$answer: the line through M and Nคำตอบ: เส้นที่ผ่าน M และ N

5. Q4 · Exponential graph and trapezium rule · 9 marksข้อ 4 · กราฟเลขชี้กำลังและกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · 9 คะแนน

Answer: a falling curve above y = 4, crossing the y-axis at (0, 5); asymptote y = 4; 69; 19; 138คำตอบ: a falling curve above y = 4, crossing the y-axis at (0, 5); asymptote y = 4; 69; 19; 138

Q4(a) Sketch the curveQ4(a) ร่างกราฟ

(a) Sketch $y=a^{-x}+4$, where $a$ is a constant with $a\gt1$. Mark the point where the curve crosses the $y$-axis, and write the equation of its asymptote. [3]

$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$a > 1: as x grows, aˣ grows, so 1/aˣ shrinks · the curve fallsa > 1: x มากขึ้น aˣ โตขึ้น 1/aˣ จึงเล็กลง · กราฟลดลง
$x=0$the y-axis is where x = 0แกน y คือที่ x = 0
$y=a^0+4$substitute x = 0แทน x = 0
$=1+4$a⁰ = 1 for every aa⁰ = 1 ทุกค่า a
$=5$y-intercept (0, 5)จุดตัดแกน y คือ (0, 5)
$a^{-x}\gt0$never 0 or negative, so y stays above 4ไม่เป็น 0 หรือลบ y จึงอยู่เหนือ 4 เสมอ
$y=4$asymptote: the curve gets close to 4 and never touches itเส้นกำกับ: กราฟเข้าใกล้ 4 แต่ไม่แตะ

Q4(b) Trapezium ruleQ4(b) กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

(b) For $y=3^{-\frac{1}{2}x}+4$ the table gives $y$ (to 4 s.f.) at six values of $x$. Use the trapezium rule with every value in the table to estimate $\displaystyle\int_{-4}^{8.5}\left(3^{-\frac{1}{2}x}+4\right)dx$. Answer to 2 s.f. [3]

$h=\dfrac{8.5-(-4)}{5}$strip width · 6 values make 5 stripsความกว้างแถบ · 6 ค่า ได้ 5 แถบ
$=2.5$width of each stripความกว้างแต่ละแถบ
$I\approx\dfrac{h}{2}(E+2M)$trapezium rule · E = the two end y-values · M = the middle onesกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · E = ค่า y ปลายสองข้าง · M = ค่าตรงกลาง
$E=13+4.009$first + lastตัวแรก + ตัวสุดท้าย
$=17.009$the endsค่าปลาย
$6.280+4.577=10.857$the middle four, two at a timeค่ากลางสี่ตัว บวกทีละคู่
$4.146+4.037=8.183$the other twoอีกคู่
$M=\eqalign{&10.857\cr&+8.183}$add the pairsรวมสองคู่
$=19.04$the middle valuesค่าตรงกลาง
$E+2M=\eqalign{&17.009\cr&+38.08}$2 × 19.04 = 38.082 × 19.04 = 38.08
$=55.089$inside the bracketในวงเล็บ
$I\approx1.25\times55.089$h/2 = 2.5 ÷ 2 = 1.25h/2 = 2.5 ÷ 2 = 1.25
$=68.86125$multiplyคูณ
$I\approx69$answer · 2 s.f.คำตอบ · เลขนัยสำคัญ 2 ตัว

Q4(c)(i) Take away the +4Q4(c)(i) เอา +4 ออก

(c)(i) Using your answer to (b) (about 69), estimate $\displaystyle\int_{-4}^{8.5}3^{-\frac{1}{2}x}\,dx$. (The paper gives 3 marks for (c) as a whole; the mark scheme splits them (i) 2 + (ii) 1.) [2]

$J+K\approx69$split (b) · J = the 3^(−x/2) part · K = the +4 partแยกข้อ (b) · J = ส่วน 3^(−x/2) · K = ส่วน +4
$K=4\times12.5$K is a rectangle: height 4, width 8.5 − (−4) = 12.5K เป็นสี่เหลี่ยม สูง 4 กว้าง 8.5 − (−4) = 12.5
$=50$area of the rectangleพื้นที่สี่เหลี่ยม
$J+50\approx69$put K = 50 inแทน K = 50
$J\approx19$answerคำตอบ

Q4(c)(ii) A reflected copyQ4(c)(ii) สำเนาที่สะท้อน

(c)(ii) Using your answer to (b), estimate $\displaystyle\int_{-4}^{8.5}\left(3^{-\frac{1}{2}x}+4\right)dx$
$\displaystyle+\int_{-8.5}^{4}\left(3^{\frac{1}{2}x}+4\right)dx$. (Last 1 of the 3 marks for (c).) [1]

$g(x)=f(-x)$f = the curve in (b) · put −x for x: the second curve is f reflected in the y-axisf = กราฟในข้อ (b) · แทน x ด้วย −x: กราฟที่สองคือ f สะท้อนในแกน y
$-4\to4$the limits reflect too: −4 → 4ขอบเขตก็สะท้อนด้วย: −4 → 4
$8.5\to-8.5$and 8.5 → −8.5และ 8.5 → −8.5
$S\approx69+69$a reflection keeps the area, so both parts are ≈ 69การสะท้อนไม่เปลี่ยนพื้นที่ ทั้งสองส่วนจึง ≈ 69
$=138$answerคำตอบ

6. Q5 · Geometric series and a periodic sequence · 8 marksข้อ 5 · อนุกรมเรขาคณิตและลำดับที่เป็นคาบ · 8 คะแนน

Answer: 2; u₁ = 3, u₂ = 0, u₃ = 3/2, u₄ = 3 = u₁, so it repeats; 3; 106.5คำตอบ: 2; u₁ = 3, u₂ = 0, u₃ = 3/2, u₄ = 3 = u₁, so it repeats; 3; 106.5

Q5(i) Sum to infinityQ5(i) ผลบวกถึงอนันต์

(i) Work out $\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}6\times(0.25)^r$. [3]

$S_\infty=\dfrac{a}{1-k}$sum to infinity · k = the common ratio (r is already the counter)ผลบวกถึงอนันต์ · k = อัตราส่วนร่วม (r ใช้เป็นตัวนับแล้ว)
$a=6\times0.25$first term: put r = 1พจน์แรก: แทน r = 1
$=1.5$first termพจน์แรก
$k=0.25$each term is 0.25 times the one before · |k| < 1, so the sum existsแต่ละพจน์ = 0.25 เท่าของพจน์ก่อน · |k| < 1 ผลบวกจึงมีค่า
$S_\infty=\dfrac{1.5}{1-0.25}$substituteแทนค่า
$=\dfrac{1.5}{0.75}$1 − 0.25 = 0.751 − 0.25 = 0.75
$=2$answerคำตอบ

Q5(ii)(a) Show it repeatsQ5(ii)(a) แสดงว่าวนซ้ำ

(ii)(a) A sequence starts $u_1=3$ and then follows $u_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{u_n-2}$ for $n\in\mathbb{N}$. Show that the sequence is periodic. [2]

$u_2=\dfrac{3-3}{3-2}$put u₁ = 3 into the ruleแทน u₁ = 3 ในกฎ
$=0$second termพจน์ที่ 2
$u_3=\dfrac{0-3}{0-2}$put u₂ = 0 inแทน u₂ = 0
$=1.5$third term (3/2)พจน์ที่ 3 (3/2)
$u_4=\dfrac{1.5-3}{1.5-2}$put u₃ = 1.5 inแทน u₃ = 1.5
$=3$fourth termพจน์ที่ 4
$u_4=u_1$back to the start, so the terms repeat: 3, 0, 1.5, 3, … · periodicกลับมาที่ค่าแรก พจน์จึงวนซ้ำ: 3, 0, 1.5, 3, … · เป็นคาบ

Q5(ii)(b) Order of the sequenceQ5(ii)(b) อันดับของลำดับ

(ii)(b) The terms go $3,\ 0,\ \dfrac{3}{2},\ 3,\ \ldots$ What is the order of this sequence? [1]

$u_{n+3}=u_n$the same three values come round again and againสามค่าเดิมวนกลับมาเรื่อย ๆ
$\text{order}=3$answer · the order is the length of one repeatคำตอบ · อันดับคือความยาวของหนึ่งรอบ

Q5(ii)(c) Sum of the first 70 termsQ5(ii)(c) ผลบวก 70 พจน์แรก

(ii)(c) The terms repeat $3,\ 0,\ \dfrac{3}{2}$ (order 3). Use this to work out $\displaystyle\sum_{n=1}^{70}u_n$. [2]

$70=3\times23+1$23 full blocks of 3 terms, then 1 term moreครบ 23 ชุด ชุดละ 3 พจน์ แล้วเหลืออีก 1 พจน์
$B=3+0+1.5$B = the sum of one blockB = ผลรวมหนึ่งชุด
$=4.5$one blockหนึ่งชุด
$S=23B+u_{70}$u₇₀ starts a new block, so u₇₀ = u₁ = 3u₇₀ เริ่มชุดใหม่ u₇₀ = u₁ = 3
$=103.5+3$23 × 4.5 = 103.523 × 4.5 = 103.5
$=106.5$answerคำตอบ

7. Q6 · Logarithms and a cubic · 8 marksข้อ 6 · ลอการิทึมและสมการกำลังสาม · 8 คะแนน

Answer: x³ + 6x² + x − 4 = 0 (shown); x = (−5 ± √41)/2; x = (−5 + √41)/2คำตอบ: x³ + 6x² + x − 4 = 0 (shown); x = (−5 ± √41)/2; x = (−5 + √41)/2

Q6(a) Logs to a cubicQ6(a) จาก log เป็นสมการกำลังสาม

(a) You are told that $2\log_4(x+3)+\log_4x$ $=\log_4(4x+2)+\dfrac{1}{2}$. Prove that $x^3+6x^2+x-4=0$. [4]

$u=x+3$name the bracket uให้วงเล็บนี้ชื่อ u
$2\log_4u=\log_4u^2$power law: n log a = log aⁿกฎกำลัง: n log a = log aⁿ
$\dfrac{1}{2}=\log_42$because 4^(1/2) = √4 = 2เพราะ 4^(1/2) = √4 = 2
$\text{LHS}=\log_4xu^2$add logs: log a + log b = log abบวก log: log a + log b = log ab
$v=4x+2$name the other bracket vให้วงเล็บอีกตัวชื่อ v
$\text{RHS}=\log_42v$same law: log v + log 2 = log 2vกฎเดียวกัน: log v + log 2 = log 2v
$xu^2=2v$the logs are equal, so the insides are equallog เท่ากัน สิ่งข้างในจึงเท่ากัน
$x(x+3)^2=8x+4$put u and v back · 2(4x + 2) = 8x + 4แทน u และ v กลับ · 2(4x + 2) = 8x + 4
$(x+3)^2=x^2+6x+9$expand the squareกระจายกำลังสอง
$x^3+6x^2+9x=8x+4$multiply by xคูณด้วย x
$\eqalign{&x^3+6x^2\cr&+x-4}=0$move 8x + 4 over · 9x − 8x = x · shownย้าย 8x + 4 มา · 9x − 8x = x · แสดงได้แล้ว

Q6(b)(i) The other two rootsQ6(b)(i) อีกสองราก

(b)(i) One root of $x^3+6x^2+x-4=0$ is $-1$. Use algebra to find the two other roots. [3]

$f(x)=x^3+6x^2+x-4$call the cubic f(x)เรียกพหุนามกำลังสามว่า f(x)
$f(-1)=0$given, so (x + 1) is a factor (factor theorem)โจทย์ให้ f(−1) = 0 ดังนั้น (x + 1) เป็นตัวประกอบ (ทฤษฎีบทตัวประกอบ)
$f(x)=(x+1)Q$Q = the quadratic factorQ = ตัวประกอบกำลังสอง
$Q=x^2+5x-4$divide: x³ ÷ x = x², then 6x² − x² = 5x², and −4 ÷ 1 = −4หาร: x³ ÷ x = x² แล้ว 6x² − x² = 5x² และ −4 ÷ 1 = −4
$x^2+5x-4=0$the other two roots make Q = 0อีกสองรากทำให้ Q = 0
$b^2-4ac=25+16$a = 1, b = 5, c = −4a = 1, b = 5, c = −4
$=41$not a square, so the roots are surdsไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ รากจึงติดกรณฑ์
$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$answer · the formula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2aคำตอบ · สูตร x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Q6(b)(ii) Solve the log equationQ6(b)(ii) แก้สมการ log

(b)(ii) The roots of the cubic are $-1$ and $\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$. Use them to solve $2\log_4(x+3)+\log_4x$ $=\log_4(4x+2)+\dfrac{1}{2}$. [1]

$x\gt0$log₄ x only exists for x > 0log₄ x มีค่าเมื่อ x > 0 เท่านั้น
$-1\lt0$rejectตัดทิ้ง
$\dfrac{-5-\sqrt{41}}{2}\lt0$rejectตัดทิ้ง
$x=\dfrac{-5+\sqrt{41}}{2}$answer (≈ 0.702)คำตอบ (≈ 0.702)

8. Q7 · Arithmetic and geometric models · 9 marksข้อ 7 · แบบจำลองเลขคณิตและเรขาคณิต · 9 คะแนน

Answer: 1310 tonnes; 380 tonnes; 7860 tonnesคำตอบ: 1310 tonnes; 380 tonnes; 7860 tonnes

Q7(a) Model A: year 4Q7(a) แบบ A: ปีที่ 4

A farm grows wheat. It produced 300 tonnes in year 1, and it is expected to produce 4000 tonnes in year 12.
(a) Model A says the yearly amount goes up by a fixed number of tonnes each year. With model A, how much wheat does the farm produce in year 4? Round it to the nearest 10 tonnes. [3]

$u_n=a+(n-1)d$model A adds the same d each year · uₙ = year n, a = 300แบบ A บวก d เท่ากันทุกปี · uₙ = ปีที่ n, a = 300
$u_{12}=300+11d$year 12 is 11 steps after year 1ปีที่ 12 ห่างจากปีที่ 1 อยู่ 11 ขั้น
$300+11d=4000$year 12 is 4000 tonnesปีที่ 12 ได้ 4000 ตัน
$11d=3700$take 300 from both sidesลบ 300 ทั้งสองข้าง
$d=\dfrac{3700}{11}$keep the exact value (≈ 336.36)เก็บค่าตรงไว้ (≈ 336.36)
$u_4=300+3d$year 4: 3 stepsปีที่ 4: 3 ขั้น
$=300+1009.09$3d = 11100/11 ≈ 1009.093d = 11100/11 ≈ 1009.09
$=1309.09$tonnesตัน
$u_4\approx1310$answer · nearest 10 tonnesคำตอบ · ปัดเป็นหลักสิบ

Q7(b) Model B: year 2Q7(b) แบบ B: ปีที่ 2

A farm grows wheat. It produced 300 tonnes in year 1, and it is expected to produce 4000 tonnes in year 12.
(b) Model B says the yearly amount goes up by a fixed percentage each year. With model B, how much wheat does the farm produce in year 2? Round it to the nearest 10 tonnes. [3]

$u_n=ar^{n-1}$model B multiplies by the same r each yearแบบ B คูณด้วย r เท่ากันทุกปี
$300r^{11}=4000$year 12: 11 steps of × rปีที่ 12: คูณ r ไป 11 ครั้ง
$r^{11}=\dfrac{40}{3}$4000 ÷ 3004000 ÷ 300
$r\approx1.26551$take the 11th root · keep the full valueถอดรากที่ 11 · เก็บค่าเต็มในเครื่อง
$u_2=300\times1.26551$year 2: one stepปีที่ 2: หนึ่งขั้น
$=379.65$tonnesตัน
$u_2\approx380$answer · nearest 10 tonnesคำตอบ · ปัดเป็นหลักสิบ

Q7(c) Difference between the totalsQ7(c) ผลต่างของผลรวม

A farm grows wheat. It produced 300 tonnes in year 1, and it is expected to produce 4000 tonnes in year 12.
(c) Add up the wheat for years 1 to 12 under each model. Find the difference between the two totals, to the nearest 10 tonnes. [3]

$S_A=\dfrac{n}{2}(a+l)$model A total · first a, last lผลรวมแบบ A · พจน์แรก a พจน์สุดท้าย l
$=6(300+4000)$n = 12, so n/2 = 6n = 12 ดังนั้น n/2 = 6
$=25800$tonnes, model Aตัน แบบ A
$S_B=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$model B total · geometric sumผลรวมแบบ B · ผลบวกอนุกรมเรขาคณิต
$=\dfrac{300(r^{12}-1)}{r-1}$a = 300, n = 12, r = 1.26551…a = 300, n = 12, r = 1.26551…
$=17935.2$tonnes, model Bตัน แบบ B
$D=S_A-S_B$D = the differenceD = ผลต่าง
$=\eqalign{&25800\cr&-17935.2}$substitute both totalsแทนผลรวมทั้งสอง
$=7864.8$tonnesตัน
$\approx7860$answer · nearest 10 tonnesคำตอบ · ปัดเป็นหลักสิบ

9. Q8 · Proof · 6 marksข้อ 8 · การพิสูจน์ · 6 คะแนน

Answer: n = 6 gives 55 = 5 × 11, not prime; even: 4p² − 2; odd: 4p² + 4p − 1; neither is a multiple of 4คำตอบ: n = 6 gives 55 = 5 × 11, not prime; even: 4p² − 2; odd: 4p² + 4p − 1; neither is a multiple of 4

Q8(i) A counter-exampleQ8(i) ตัวอย่างค้าน

(i) Someone claims: “for every $n\in\mathbb{N}$, the number $n^2+3n+1$ is prime”. Give one counter-example to show the claim is false. [2]

$n=6$try n = 6ลอง n = 6
$n^2+3n+1=36+18+1$substituteแทนค่า
$=55$the valueค่าที่ได้
$55=5\times11$55 is not prime, so the claim is false55 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ข้อความจึงเป็นเท็จ

Q8(ii) Proof by exhaustionQ8(ii) พิสูจน์แบบแจกกรณี

(ii) For every $n\in\mathbb{N}$, prove with algebra, by checking every case, that $n^2-2$ is never a multiple of 4. [4]

$n=2p$case 1: n is even · p is a whole numberกรณี 1: n เป็นคู่ · p เป็นจำนวนเต็ม
$n^2-2=4p^2-2$(2p)² = 4p²(2p)² = 4p²
$=4(p^2-1)+2$remainder 2 when divided by 4: not a multiple of 4หารด้วย 4 เหลือเศษ 2 จึงไม่ใช่พหุคูณของ 4
$n=2p+1$case 2: n is oddกรณี 2: n เป็นคี่
$n^2-2=4p^2+4p-1$(2p + 1)² = 4p² + 4p + 1, then take 2(2p + 1)² = 4p² + 4p + 1 แล้วลบ 2
$=4(p^2+p)-1$one less than a multiple of 4: not a multiple of 4น้อยกว่าพหุคูณของ 4 อยู่ 1 จึงไม่ใช่พหุคูณของ 4
$n^2-2\ne4k$every n is even or odd, so n² − 2 is never a multiple of 4 · provedทุก n เป็นคู่หรือคี่ n² − 2 จึงไม่เป็นพหุคูณของ 4 · พิสูจน์แล้ว

10. Q9 · Trigonometric equations and graphs · 14 marksข้อ 9 · สมการและกราฟตรีโกณมิติ · 14 คะแนน

Answer: x = 78.9°, 281.1°; A = 5; Q(15π/16, −3); θ = 5.51คำตอบ: x = 78.9°, 281.1°; A = 5; Q(15π/16, −3); θ = 5.51

Q9(i) Solve sin x tan x = 5Q9(i) แก้ sin x tan x = 5

Show detailed reasoning in this question. An answer that relies only on a calculator gets no credit.
(i) Find every $x$ with $0\le x\lt360^\circ$ for which $\sin x\tan x=5$. Answer to 1 d.p. [6]

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$write tan with sin and cosเขียน tan ด้วย sin และ cos
$\dfrac{\sin^2x}{\cos x}=5$so sin x tan x = sin²x ÷ cos xดังนั้น sin x tan x = sin²x ÷ cos x
$\sin^2x=5\cos x$multiply both sides by cos xคูณ cos x ทั้งสองข้าง
$\sin^2x=1-\cos^2x$sin² + cos² = 1sin² + cos² = 1
$1-\cos^2x=5\cos x$put it into the line aboveแทนลงในบรรทัดก่อนหน้า
$0=\eqalign{&\cos^2x\cr&+5\cos x-1}$move both terms over · a quadratic in cos xย้ายสองพจน์ไปอีกข้าง · สมการกำลังสองของ cos x
$\Delta=25+4$Δ = b² − 4ac with 1, 5, −1Δ = b² − 4ac ใช้ 1, 5, −1
$=29$the discriminantตัวจำแนก
$\cos x=\dfrac{-5\pm\sqrt{29}}{2}$quadratic formulaสูตรสมการกำลังสอง
$\cos x=0.19258$the + root · the − root is −5.19, below −1: no angleรากบวก · รากลบได้ −5.19 น้อยกว่า −1 จึงไม่มีมุม
$x=78.90^\circ$cos⁻¹ “cos inverse” of 0.19258cos⁻¹ (คอสอินเวิร์ส) ของ 0.19258
$x=360^\circ-78.90^\circ$cos is also positive in the 4th quartercos เป็นบวกในจตุภาคที่ 4 ด้วย
$=281.10^\circ$the second angleมุมที่สอง
$x=78.9^\circ$answer 1 · 1 d.p.คำตอบที่ 1 · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$x=281.1^\circ$answer 2 · 1 d.p.คำตอบที่ 2 · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

Q9(ii)(a) The value of AQ9(ii)(a) ค่าของ A

Show detailed reasoning in this question. An answer that relies only on a calculator gets no credit.
(ii)(a) The figure shows part of $y=A\sin\left(2\theta-\dfrac{3\pi}{8}\right)+2$, with $A$ a constant and $\theta$ in radians. $P$, $Q$ and $R$ are points on the curve, and $P$ has $y$-coordinate 7. What is $A$? [1]

$y_{\max}=A+2$sin is at most 1, so the top of the curve is A + 2sin มีค่ามากสุด 1 จุดสูงสุดจึงเป็น A + 2
$A+2=7$P is a top point with y = 7P เป็นจุดสูงสุด y = 7
$A=5$answerคำตอบ

Q9(ii)(b) Exact coordinates of QQ9(ii)(b) พิกัดตรงของ Q

Show detailed reasoning in this question. An answer that relies only on a calculator gets no credit.
(ii)(b) The curve is $y=5\sin\left(2\theta-\dfrac{3\pi}{8}\right)+2$. $Q$ is the lowest point after $P$ in the figure. Find the exact coordinates of $Q$. [3]

$\sin z=-1$Q is a lowest point · z = 2θ − 3π/8, the angle insideQ เป็นจุดต่ำสุด · z = 2θ − 3π/8 คือมุมข้างใน
$z=\dfrac{3\pi}{2}$z = −π/2 gives θ = −π/16, left of O · Q is the next onez = −π/2 ได้ θ = −π/16 อยู่ซ้ายของ O · Q คือตัวถัดไป
$2\theta-\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{2}$put z backแทน z กลับ
$2\theta=\dfrac{15\pi}{8}$3π/2 = 12π/8, then add 3π/83π/2 = 12π/8 แล้วบวก 3π/8
$\theta=\dfrac{15\pi}{16}$θ at Qθ ที่ Q
$y=5(-1)+2$A = 5 and sin z = −1A = 5 และ sin z = −1
$=-3$y at Qy ที่ Q
$Q=\left(\dfrac{15\pi}{16},-3\right)$answer · exactคำตอบ · ค่าตรง

Q9(ii)(c) θ at RQ9(ii)(c) ค่า θ ที่ R

Show detailed reasoning in this question. An answer that relies only on a calculator gets no credit.
(ii)(c) The curve is $y=5\sin\left(2\theta-\dfrac{3\pi}{8}\right)+2$. $R$ is where the curve crosses the $\theta$-axis, as in the figure. Find $\theta$ at $R$, to 3 s.f. [4]

$z=2\theta-\dfrac{3\pi}{8}$z = the angle inside the sinz = มุมข้างใน sin
$5\sin z+2=0$R is on the θ-axis, so y = 0R อยู่บนแกน θ จึงมี y = 0
$5\sin z=-2$take 2 from both sidesลบ 2 ทั้งสองข้าง
$\sin z=-0.4$divide by 5หารด้วย 5
$z=-0.41152$sin⁻¹(−0.4) in radianssin⁻¹(−0.4) เป็นเรเดียน
$z=3\pi+0.41152$crossings: z = −0.41, π + 0.41, 2π − 0.41, 3π + 0.41 · R is the 4thจุดตัด: z = −0.41, π + 0.41, 2π − 0.41, 3π + 0.41 · R คือจุดที่ 4
$=9.83630$z at Rz ที่ R
$2\theta=z+\dfrac{3\pi}{8}$from the first lineจากบรรทัดแรก
$2\theta=\eqalign{&9.8363\cr&+1.1781}$3π/8 = 1.1781 · both to 4 d.p.3π/8 = 1.1781 · ทศนิยม 4 ตำแหน่งทั้งคู่
$=11.0144$addบวก
$\theta=5.5072$divide by 2หารด้วย 2
$\theta\approx5.51$answer · 3 s.f.คำตอบ · เลขนัยสำคัญ 3 ตัว

11. Q10 · Stationary point and area · 9 marksข้อ 10 · จุดคงที่และพื้นที่ · 9 คะแนน

Answer: x = 9 (shown); 373/3คำตอบ: x = 9 (shown); 373/3

Q10(a) Show P has x = 9Q10(a) แสดงว่า P มี x = 9

$\dfrac{1458}{\sqrt{x^3}}=1458x^{-\frac{3}{2}}$write the root as a power: √(x³) = x^(3/2)เขียนรากเป็นเลขยกกำลัง: √(x³) = x^(3/2)
$\dfrac{dy}{dx}=x-2187x^{-\frac{5}{2}}$differentiate · ½ × 2x = x · 1458 × (−3/2) = −2187ดิฟ · ½ × 2x = x · 1458 × (−3/2) = −2187
$x-2187x^{-\frac{5}{2}}=0$P is stationary: dy/dx = 0P เป็นจุดคงที่: dy/dx = 0
$x^{\frac{7}{2}}-2187=0$x × x^(5/2) = x^(7/2)x × x^(5/2) = x^(7/2)
$x^{\frac{7}{2}}=2187$add 2187 to both sidesบวก 2187 ทั้งสองข้าง
$x=2187^{\frac{2}{7}}$raise both sides to the power 2/7ยกกำลัง 2/7 ทั้งสองข้าง
$=9$2187 = 3⁷, so (3⁷)^(2/7) = 3² = 9 · shown2187 = 3⁷ ดังนั้น (3⁷)^(2/7) = 3² = 9 · แสดงได้แล้ว

Q10(b) Exact area of RQ10(b) พื้นที่ R แบบค่าตรง

Show detailed reasoning in this question. An answer that relies only on a calculator gets no credit.
The figure shows the curve $y=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1458}{\sqrt{x^3}}-74$ for $x\gt0$. Its one and only stationary point is $P$.
(b) $P$ has $x$-coordinate 9. The line $l$ goes through $P$ and is parallel to the $x$-axis. The shaded region $R$ lies between the curve, the line $l$ and the line $x=4$. Use algebraic integration to find the area of $R$ exactly. [5]

$R=U-V$U = area under the curve from 4 to 9 · V = the rectangle under lU = พื้นที่ใต้โค้งจาก 4 ถึง 9 · V = สี่เหลี่ยมใต้เส้น l
$\sqrt{9^3}=27$P has x = 9 · 9³ = 729 and √729 = 27P มี x = 9 · 9³ = 729 และ √729 = 27
$y_P=40.5+54-74$½ × 81 = 40.5 · 1458 ÷ 27 = 54½ × 81 = 40.5 · 1458 ÷ 27 = 54
$=20.5$the height of lความสูงของเส้น l
$V=5\times20.5$width 9 − 4 = 5กว้าง 9 − 4 = 5
$=102.5$the rectangleพื้นที่สี่เหลี่ยม
$\int\dfrac{x^2}{2}dx=\dfrac{x^3}{6}$add 1 to the power, divide by the new powerบวกกำลัง 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
$\int x^{-\frac{3}{2}}dx=-2x^{-\frac{1}{2}}$new power −½ · ÷ (−½) is × (−2)กำลังใหม่ −½ · หาร (−½) คือคูณ (−2)
$1458\times(-2)=-2916$times 1458: the term is −2916/√xคูณ 1458: ได้พจน์ −2916/√x
$\int74\,dx=74x$a number integrates to number × xค่าคงที่อินทิเกรตได้ ค่าคงที่ × x
$F(9)=\eqalign{&121.5\cr&-972-666}$F = x³/6 − 2916/√x − 74x · at x = 9F = x³/6 − 2916/√x − 74x · ที่ x = 9
$=-1516.5$top limitขอบบน
$F(4)=\eqalign{&\dfrac{32}{3}\cr&-1458-296}$at x = 4: 64/6, 2916/2, 74 × 4ที่ x = 4: 64/6, 2916/2, 74 × 4
$=-\dfrac{5230}{3}$bottom limitขอบล่าง
$U=F(9)-F(4)$top limit minus bottom limitขอบบนลบขอบล่าง
$=\eqalign{&-1516.5\cr&+\dfrac{5230}{3}}$minus a minus is plusลบด้วยค่าลบ = บวก
$=\dfrac{1361}{6}$area under the curve (≈ 226.8)พื้นที่ใต้โค้ง (≈ 226.8)
$R=\dfrac{1361}{6}-102.5$R = U − VR = U − V
$=\dfrac{373}{3}$answer · exact (124⅓)คำตอบ · ค่าตรง (124⅓)

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

$g(x)=ax^3+2x^2-5x+1$. Dividing $g(x)$ by $(x-1)$ leaves remainder 4. Find $a$.$g(x)=ax^3+2x^2-5x+1$ หารด้วย $(x-1)$ เหลือเศษ 4 หา $a$
Answer:เฉลย: 6g(1) = a + 2 − 5 + 1 = 4, so a − 2 = 4 and a = 6.g(1) = a + 2 − 5 + 1 = 4 ดังนั้น a − 2 = 4 และ a = 6
A circle has centre $(1,2)$ and goes through $(4,6)$. Find its radius.วงกลมมีจุดศูนย์กลาง $(1,2)$ และผ่านจุด $(4,6)$ หารัศมี
Answer:เฉลย: 5Across 3, up 4: r² = 3² + 4² = 25, so r = 5.แนวนอน 3 แนวตั้ง 4: r² = 3² + 4² = 25 ดังนั้น r = 5
Work out $\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}4\times(0.5)^r$.หาค่า $\displaystyle\sum_{r=1}^{\infty}4\times(0.5)^r$
Answer:เฉลย: 4First term 4 × 0.5 = 2, ratio 0.5: 2 ÷ (1 − 0.5) = 4.พจน์แรก 4 × 0.5 = 2 อัตราส่วน 0.5: 2 ÷ (1 − 0.5) = 4
A sequence goes up by the same amount each time. The 1st term is 200 and the 10th term is 2000. Find the 5th term.ลำดับเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกครั้ง พจน์แรกคือ 200 พจน์ที่ 10 คือ 2000 หาพจน์ที่ 5
Answer:เฉลย: 10002000 = 200 + 9d gives d = 200. The 5th term is 200 + 4 × 200 = 1000.2000 = 200 + 9d ได้ d = 200 พจน์ที่ 5 คือ 200 + 4 × 200 = 1000
The curve $y=x^2+\dfrac{16}{x}$, $x\gt0$, has one stationary point. Find its $x$-coordinate.โค้ง $y=x^2+\dfrac{16}{x}$, $x\gt0$ มีจุดคงที่จุดเดียว หาพิกัด $x$
Answer:เฉลย: 2dy/dx = 2x − 16/x² = 0 gives x³ = 8, so x = 2.dy/dx = 2x − 16/x² = 0 ได้ x³ = 8 ดังนั้น x = 2

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี