Edexcel IAL Pure 2 WMA12 June 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA12 Pure 2 · June 2024WMA12 Pure 2 · มิ.ย. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 2 (WMA12) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Binomial expansion · 5 marksข้อ 1 · การกระจายทวินาม · 5 คะแนน

Answer: 1 − (3/2)x + x² − (7/18)x³; 53/6คำตอบ: 1 − (3/2)x + x² − (7/18)x³; 53/6

Q1(a) First four termsQ1(a) สี่พจน์แรก

(a) Expand $\left(1-\dfrac16x\right)^9$ in ascending powers of $x$, up to and including the $x^3$ term. Write every term as simply as possible. [3]

$u=-\dfrac16x$call the second term uเรียกพจน์ที่สองว่า u
$(1+u)^9=1+9u+\dots$binomial: the numbers are ⁹C₁, ⁹C₂, ⁹C₃ทวินาม: สัมประสิทธิ์คือ ⁹C₁, ⁹C₂, ⁹C₃
$T_1=9u$term in x · ⁹C₁ = 9พจน์ x · ⁹C₁ = 9
$=-\dfrac32x$9 × (−1/6) = −3/29 × (−1/6) = −3/2
$T_2=36u^2$term in x² · ⁹C₂ = 36พจน์ x² · ⁹C₂ = 36
$u^2=\dfrac{x^2}{36}$a minus squared is a plusลบยกกำลังสองเป็นบวก
$T_2=x^2$36 ÷ 36 = 136 ÷ 36 = 1
$T_3=84u^3$term in x³ · ⁹C₃ = 84พจน์ x³ · ⁹C₃ = 84
$u^3=-\dfrac{x^3}{216}$a minus cubed stays minusลบยกกำลังสามยังเป็นลบ
$T_3=-\dfrac{7}{18}x^3$84/216 = 7/1884/216 = 7/18
$E=1+T_1+T_2+T_3$add the four termsบวกสี่พจน์
$=\eqalign{&1-\dfrac32x+x^2\cr&-\dfrac{7}{18}x^3}$answerคำตอบ

Q1(b) Coefficient of x³Q1(b) สัมประสิทธิ์ของ x³

(b) Use your answer to (a), $1-\dfrac32x+x^2-\dfrac7{18}x^3+\dots$, to find the coefficient of $x^3$ when $(10x+3)\left(1-\dfrac16x\right)^9$ is expanded. Simplest form. [2]

$E=1-\dfrac32x+x^2+T_3$the expansion from (a)ผลกระจายจากข้อ (a)
$A=10x\times x^2$10x meets the x² term10x คูณกับพจน์ x²
$=10x^3$one part of the x³ termส่วนหนึ่งของพจน์ x³
$B=3\times T_3$3 meets the x³ term3 คูณกับพจน์ x³
$=-\dfrac76x^3$3 × (−7/18) = −7/63 × (−7/18) = −7/6
$c=10-\dfrac76$add the two numbersบวกสัมประสิทธิ์สองตัว
$=\dfrac{53}{6}$60/6 − 7/6 · answer, simplest form60/6 − 7/6 · คำตอบ รูปอย่างง่าย

3. Q2 · Arithmetic series · 7 marksข้อ 2 · อนุกรมเลขคณิต · 7 คะแนน

Answer: a = −98, d = 20; n = 35คำตอบ: a = −98, d = 20; n = 35

Q2(a) First term and differenceQ2(a) พจน์แรกและผลต่างร่วม

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
In an arithmetic series, term number 6 equals 2, and the first ten terms add up to $-80$.
(a) Find the first term $a$ and the common difference $d$. [4]

$u_n=a+(n-1)d$nth term · a = first term, d = common differenceพจน์ที่ n · a = พจน์แรก, d = ผลต่างร่วม
$a+5d=2$n = 6: 6 − 1 = 5n = 6: 6 − 1 = 5
$L=(n-1)d$call (n − 1)d the letter Lเรียก (n − 1)d ว่า L
$S_n=\dfrac n2(2a+L)$sum of the first n termsผลบวก n พจน์แรก
$5(2a+9d)=-80$n = 10: 10 ÷ 2 = 5, 10 − 1 = 9n = 10: 10 ÷ 2 = 5, 10 − 1 = 9
$2a+9d=-16$divide by 5หารด้วย 5
$2a+10d=4$double ①คูณ ① ด้วย 2
$d=20$10d − 9d = d · 4 − (−16) = 2010d − 9d = d · 4 − (−16) = 20
$a+100=2$put d = 20 into ① · 5 × 20 = 100แทน d = 20 ใน ① · 5 × 20 = 100
$a=-98$answer · first termคำตอบ · พจน์แรก

Q2(b) Smallest n with Sₙ > 8000Q2(b) n ที่น้อยที่สุดที่ Sₙ > 8000

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
In an arithmetic series, term number 6 equals 2, and the first ten terms add up to $-80$.
(b) Using $a=-98$ and $d=20$ from (a), find the least value of $n$ with $S_n\gt8000$. [3]

$L=(n-1)d$call (n − 1)d the letter Lเรียก (n − 1)d ว่า L
$S_n=\dfrac n2(2a+L)$sum of the first n termsผลบวก n พจน์แรก
$2a=-196$a = −98a = −98
$L=20n-20$d = 20: (n − 1) × 20d = 20: (n − 1) × 20
$S_n=\dfrac n2(20n-216)$−196 − 20 = −216−196 − 20 = −216
$=10n^2-108n$n/2 × 20n = 10n² · n/2 × 216 = 108nn/2 × 20n = 10n² · n/2 × 216 = 108n
$10n^2-108n\gt8000$the sum is over 8000ผลบวกเกิน 8000
$5n^2-54n\gt4000$divide by 2หารด้วย 2
$p=5$solve 5n² − 54n − 4000 = 0 first · p, q, r for the formulaแก้ 5n² − 54n − 4000 = 0 ก่อน · p, q, r ใช้ในสูตร
$q=-54$the number in front of nเลขหน้า n
$r=-4000$move 4000 overย้าย 4000 มา
$n=\dfrac{-q+\sqrt{q^2-4pr}}{2p}$quadratic formula · the + root (n > 0)สูตรสมการกำลังสอง · ใช้รากบวก (n > 0)
$q^2-4pr=2916+80000$54² = 2916 · 4 × 5 × 4000 = 8000054² = 2916 · 4 × 5 × 4000 = 80000
$=82916$under the rootค่าใต้รากที่สอง
$n=\dfrac{54+\sqrt{82916}}{10}$the positive root · 2p = 10รากที่เป็นบวก · 2p = 10
$=\dfrac{54+287.95}{10}$√82916 = 287.95√82916 = 287.95
$=34.2$n must be a whole numbern ต้องเป็นจำนวนเต็ม
$S_{34}=7888$n = 34: 10 × 34² − 108 × 34 · below 8000n = 34: 10 × 34² − 108 × 34 · ยังไม่ถึง 8000
$S_{35}=8470$n = 35: over 8000n = 35: เกิน 8000
$n=35$answer · the smallest nคำตอบ · n ที่น้อยที่สุด

4. Q3 · Laws of logarithms · 6 marksข้อ 3 · กฎของลอการิทึม · 6 คะแนน

Answer: x = −6; 12คำตอบ: x = −6; 12

Q3(i) Solve a log equationQ3(i) แก้สมการลอการิทึม

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
(i) Use the laws of logs to solve this equation:
$2\log_2(2-x)$
$\quad=4+\log_2(x+10)$ [5]

$2\log_2(2-x)=\log_2(2-x)^2$power law: 2 log A = log A²กฎเลขชี้กำลัง: 2 log A = log A²
$4=\log_2 16$2⁴ = 162⁴ = 16
$B=x+10$call the bracket Bเรียกวงเล็บว่า B
$4+\log_2B=\log_2R$add law: log 16 + log B = log 16Bกฎการบวก: log 16 + log B = log 16B
$R=16(x+10)$R = 16BR = 16B
$(2-x)^2=16(x+10)$same base, equal logs: the insides are equalฐานเดียวกัน log เท่ากัน ข้างในจึงเท่ากัน
$4-4x+x^2=16x+160$expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
$x^2-20x-156=0$−4x − 16x = −20x · 4 − 160 = −156−4x − 16x = −20x · 4 − 160 = −156
$(x+6)(x-26)=0$6 × (−26) = −156 · 6 − 26 = −206 × (−26) = −156 · 6 − 26 = −20
$x=-6\text{ or }26$each bracket equal to 0ให้แต่ละวงเล็บเป็น 0
$2-26=-24$x = 26: log₂(−24) does not exist · rejectx = 26: log₂(−24) ไม่มีค่า · ตัดทิ้ง
$x=-6$answer · check: 2 + 6 = 8 and −6 + 10 = 4, both positiveคำตอบ · ตรวจ: 2 + 6 = 8 และ −6 + 10 = 4 เป็นบวกทั้งคู่

Q3(ii) Log with base √aQ3(ii) log ฐาน √a

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
(ii) Work out $\log_{\sqrt a}a^6$. Here $a$ is a positive constant and $a\gt1$. [1]

$\sqrt a=a^{\frac12}$a root is the power ½รากที่สองคือกำลัง ½
$a^6=\left(a^{\frac12}\right)^{12}$½ × 12 = 6½ × 12 = 6
$\log_{\sqrt a}a^6=12$log of (base)¹² is 12 · answerlog ของ (ฐาน)¹² คือ 12 · คำตอบ

5. Q4 · Factor and remainder theorems · 8 marksข้อ 4 · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษ · 8 คะแนน

Answer: 21; k = 11; f(x) = (2x − 1)(x² + x + 1); one real solution (x = ½)คำตอบ: 21; k = 11; f(x) = (2x − 1)(x² + x + 1); one real solution (x = ½)

Q4(a) Remainder on dividing by x − 2Q4(a) เศษเมื่อหารด้วย x − 2

$\text{f}(x)=(x-2)(2x^2+5x+k)$
$\qquad+21$
where $k$ is a constant.
(a) What is the remainder when you divide $\text{f}(x)$ by $(x-2)$? [1]

$x-2=0$remainder theorem: use the x that makes x − 2 zeroทฤษฎีบทเศษ: ใช้ค่า x ที่ทำให้ x − 2 เป็นศูนย์
$x=2$the remainder is f(2)เศษคือ f(2)
$R=0+21$f(2): the bracket (x − 2) is 0, so the product is 0f(2): วงเล็บ (x − 2) เป็น 0 ผลคูณจึงเป็น 0
$R=21$answerคำตอบ

Q4(b) Show that k = 11Q4(b) แสดงว่า k = 11

$\text{f}(x)=(x-2)(2x^2+5x+k)$
$\qquad+21$
where $k$ is a constant.
(b) You are told that $(2x-1)$ is a factor of $\text{f}(x)$. Show that $k=11$. [2]

$2x-1=0$factor theorem: this factor is 0 at a rootทฤษฎีบทตัวประกอบ: ตัวประกอบนี้เป็น 0 ที่ราก
$2x=1$add 1บวก 1
$x=\dfrac12$so f(½) = 0ดังนั้น f(½) = 0
$x-2=-\dfrac32$½ − 2½ − 2
$2x^2+5x=3$2 × ¼ + 5 × ½ = ½ + 5/22 × ¼ + 5 × ½ = ½ + 5/2
$-\dfrac32(3+k)+21=0$f(½) = 0f(½) = 0
$-\dfrac32(3+k)=-21$take 21 awayลบ 21
$3+k=14$−21 × (−2/3) = 14−21 × (−2/3) = 14
$k=11$shownได้ตามที่โจทย์ให้แสดง

Q4(c)(i) Factorise f(x)Q4(c)(i) แยกตัวประกอบ f(x)

$\text{f}(x)=(x-2)(2x^2+5x+k)$
$\qquad+21$
where $k$ is a constant.
(c)(i) With $k=11$, factorise $\text{f}(x)$ fully. (Part (c) is worth 5 marks in all; the mark scheme gives 3 to (i) and 2 to (ii).) [3]

$\text{f}(x)=P+21$P = (x − 2)(2x² + 5x + 11) with k = 11P = (x − 2)(2x² + 5x + 11) เมื่อ k = 11
$A=2x^3+5x^2+11x$x times the bracketx คูณวงเล็บ
$B=-4x^2-10x-22$−2 times the bracket−2 คูณวงเล็บ
$P=A+B$P is the two parts addedP คือสองส่วนรวมกัน
$=2x^3+x^2+x-22$5x² − 4x² = x² · 11x − 10x = x5x² − 4x² = x² · 11x − 10x = x
$\text{f}(x)=2x^3+x^2+x-1$add 21: −22 + 21 = −1บวก 21: −22 + 21 = −1
$\text{f}(x)=(2x-1)Q$2x − 1 is a factor · Q is a quadratic2x − 1 เป็นตัวประกอบ · Q เป็นกำลังสอง
$Q=x^2+px+1$2x × x² = 2x³ · (−1) × 1 = −12x × x² = 2x³ · (−1) × 1 = −1
$2p-1=1$match the x²: 2x × px and −1 × x²เทียบ x²: 2x × px กับ −1 × x²
$2p=2$add 1บวก 1
$p=1$check the x term: 2x − x = xตรวจพจน์ x: 2x − x = x
$Q=x^2+x+1$the quadratic factorตัวประกอบกำลังสอง
$\text{f}(x)=\eqalign{&(2x-1)\cr&\times(x^2+x+1)}$answerคำตอบ

Q4(c)(ii) How many real solutions?Q4(c)(ii) มีคำตอบจริงกี่ค่า

$\text{f}(x)=(x-2)(2x^2+5x+k)$
$\qquad+21$
where $k$ is a constant.
(c)(ii) With $k=11$, $\text{f}(x)=(2x-1)(x^2+x+1)$ from (c)(i). How many real solutions does $\text{f}(x)=0$ have? Give a reason. (Part (c) is 5 marks in all.) [2]

$\text{f}(x)=(2x-1)Q$from (c)(i) · Q = x² + x + 1จากข้อ (c)(i) · Q = x² + x + 1
$x=\dfrac12$2x − 1 = 0 gives one real solution2x − 1 = 0 ให้คำตอบจริง 1 ค่า
$x^2+x+1=0$now the quadratic factorต่อด้วยตัวประกอบกำลังสอง
$b^2-4ac=1-4$discriminant · a = b = c = 1ตัวจำแนก · a = b = c = 1
$=-3$1² − 4 × 1 × 11² − 4 × 1 × 1
$-3\lt0$negative: the quadratic has no real rootsติดลบ: กำลังสองนี้ไม่มีรากจริง
$\text{solutions}=1$answer · only x = ½คำตอบ · มีแค่ x = ½

6. Q5 · Proof and counter-example · 6 marksข้อ 5 · การพิสูจน์และตัวอย่างค้าน · 6 คะแนน

Answer: y > x (proved); e.g. x = 3, y = −1: 64 > 28 but y < xคำตอบ: y > x (proved); e.g. x = 3, y = −1: 64 > 28 but y < x

Q5(a) Prove y > xQ5(a) พิสูจน์ว่า y > x

Show your reasoning in full in this question.
(a) $x$ and $y$ are both positive, and $(x-y)^3\gt x^3-y^3$. Prove that $y\gt x$. [4]

$(x-y)^3=x^3+M-y^3$expand with the 1, 3, 3, 1 pattern · M = the middle termsกระจายด้วยแบบ 1, 3, 3, 1 · M = พจน์ตรงกลาง
$M=-3x^2y+3xy^2$the two middle termsสองพจน์ตรงกลาง
$x^3+M-y^3\gt x^3-y^3$put it into the given inequalityแทนลงในอสมการที่ให้มา
$M-y^3\gt-y^3$x³ goes from both sidesx³ หายจากทั้งสองข้าง
$M\gt0$−y³ goes from both sides−y³ หายจากทั้งสองข้าง
$-3x^2y+3xy^2\gt0$write M outเขียน M ออกมา
$3xy(y-x)\gt0$common factor 3xy · x, y > 0, so 3xy > 0ดึงตัวร่วม 3xy · x, y > 0 จึงได้ 3xy > 0
$y-x\gt0$divide by a positive: the sign staysหารด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายไม่เปลี่ยน
$y\gt x$provedพิสูจน์แล้ว

Q5(b) A counter-exampleQ5(b) ตัวอย่างค้าน

Show your reasoning in full in this question.
(b) Give one counter-example to show that the result of (a) is false when $x$ and $y$ may be any real numbers. [2]

$x=3$choose x positiveเลือก x เป็นบวก
$y=-1$and y negativeและ y เป็นลบ
$(x-y)^3=4^3$3 − (−1) = 43 − (−1) = 4
$=64$left sideฝั่งซ้าย
$x^3-y^3=27+1$3³ = 27 · −(−1)³ = +13³ = 27 · −(−1)³ = +1
$=28$right sideฝั่งขวา
$64\gt28$so the inequality is trueอสมการจึงเป็นจริง
$y\lt x$−1 < 3: "y > x" is false · counter-example−1 < 3: "y > x" ไม่จริง · ได้ตัวอย่างค้าน

7. Q6 · Exponential curve and trapezium rule · 9 marksข้อ 6 · กราฟเลขชี้กำลังและกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · 9 คะแนน

Answer: increasing curve through (0, 5), asymptote y = 4; 2.34; 18.84; 4.68คำตอบ: increasing curve through (0, 5), asymptote y = 4; 2.34; 18.84; 4.68

Q6(a) Sketch y = aˣ + 4Q6(a) ร่างกราฟ y = aˣ + 4

(a) Sketch the curve $y=a^x+4$, where $a$ is a constant and $a\gt1$. Mark the coordinates where it meets the $y$-axis, and give the equation of its asymptote. [3]

$x=0$where the curve meets the y-axisจุดที่โค้งตัดแกน y
$y=a^0+4$substitute x = 0แทน x = 0
$=1+4$a⁰ = 1 for every aa⁰ = 1 ทุกค่า a
$=5$the point (0, 5)ได้จุด (0, 5)
$a^x\gt0$aˣ is always positive; far to the left it gets close to 0aˣ เป็นบวกเสมอ ยิ่งไปทางซ้ายยิ่งเข้าใกล้ 0
$y=4$so y gets close to 4: the asymptotey จึงเข้าใกล้ 4: เส้นกำกับ

Q6(b) Trapezium ruleQ6(b) กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

(b) The table lists values of $y=2^x-2x$, with $y$ given to 4 d.p. Use the trapezium rule with all six $y$ values to estimate $\displaystyle\int_2^{3.5}(2^x-2x)\,dx$. Answer to 2 d.p. [3]

$h=0.3$strip width: 2.3 − 2ความกว้างแถบ: 2.3 − 2
$T=\dfrac h2(E+2M)$trapezium rule · E = first + last y · M = the middle y valuesกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · E = y แรก + y สุดท้าย · M = ค่า y ตรงกลาง
$E=0+4.3137$first and last yy แรกและ y สุดท้าย
$=4.3137$the two endsสองปลาย
$M=5.6414$the four middle y values: 0.3246 + 0.8629 + 1.6643 + 2.7896ค่า y ตรงกลางสี่ค่า: 0.3246 + 0.8629 + 1.6643 + 2.7896
$S=E+2M$call the bracket Sเรียกวงเล็บว่า S
$=15.5965$4.3137 + 2 × 5.64144.3137 + 2 × 5.6414
$T=0.15S$h ÷ 2 = 0.15h ÷ 2 = 0.15
$=2.3395$multiplyคูณ
$T=2.34$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

Q6(c)(i) Estimate ∫(2ˣ + 2x)dxQ6(c)(i) ประมาณ ∫(2ˣ + 2x)dx

(c)(i) Use your answer to (b), 2.34, with your method clear, to estimate $\displaystyle\int_2^{3.5}(2^x+2x)\,dx$. (Part (c) is worth 3 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 1 to (ii).) [2]

$2^x+2x=(2^x-2x)+4x$the (b) curve plus 4xโค้งข้อ (b) บวก 4x
$J=2.34+K$J = the new integral · K = ∫ 4x dx from 2 to 3.5J = อินทิกรัลใหม่ · K = ∫ 4x dx จาก 2 ถึง 3.5
$\int4x\,dx=2x^2$power up 1, divide by the new powerเลขชี้กำลังเพิ่ม 1 หารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
$K=24.5-8$2 × 3.5² = 24.5 · 2 × 2² = 82 × 3.5² = 24.5 · 2 × 2² = 8
$=16.5$top limit minus bottom limitขอบบนลบขอบล่าง
$J=2.34+16.5$put K inแทน K
$=18.84$answerคำตอบ

Q6(c)(ii) Estimate ∫(2ˣ⁺¹ − 4x)dxQ6(c)(ii) ประมาณ ∫(2ˣ⁺¹ − 4x)dx

(c)(ii) In the same way, using 2.34 from (b), estimate $\displaystyle\int_2^{3.5}(2^{x+1}-4x)\,dx$. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

$2^{x+1}=2\times2^x$index law: 2ˣ⁺¹ = 2¹ × 2ˣกฎเลขชี้กำลัง: 2ˣ⁺¹ = 2¹ × 2ˣ
$2^{x+1}-4x=2(2^x-2x)$take out 2: twice the (b) curveดึง 2 ออก: สองเท่าของโค้งข้อ (b)
$L=2\times2.34$so twice the (b) answerจึงเป็นสองเท่าของคำตอบข้อ (b)
$=4.68$answerคำตอบ

8. Q7 · Two circles · 6 marksข้อ 7 · วงกลมสองวง · 6 คะแนน

Answer: (−4, 5); √70; distance √250 = 15.81 > √70 + √52 = 15.58, so no common pointคำตอบ: (−4, 5); √70; distance √250 = 15.81 > √70 + √52 = 15.58, so no common point

Q7(a)(i) Centre of C₁Q7(a)(i) จุดศูนย์กลางของ C₁

The circle $C_1$ has equation $x^2+y^2+8x-10y=29$.
(a)(i) Where is the centre of $C_1$? Give its coordinates. (Part (a) is worth 3 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 1 to (ii).) [2]

$x^2+8x=(x+4)^2-16$complete the square: half of 8 is 4, 4² = 16ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: ครึ่งของ 8 คือ 4, 4² = 16
$y^2-10y=(y-5)^2-25$half of −10 is −5, 5² = 25ครึ่งของ −10 คือ −5, 5² = 25
$X-16+Y-25=29$X = (x + 4)², Y = (y − 5)²X = (x + 4)², Y = (y − 5)²
$X+Y-41=29$−16 − 25 = −41−16 − 25 = −41
$X+Y=70$add 41 · so (x + 4)² + (y − 5)² = 70, the form (x − p)² + (y − q)² = r²บวก 41 · ได้ (x + 4)² + (y − 5)² = 70 รูป (x − p)² + (y − q)² = r²
$\text{centre}=(-4,\ 5)$answer · the signs swap: x + 4 means p = −4คำตอบ · เครื่องหมายกลับ: x + 4 คือ p = −4

Q7(a)(ii) Radius of C₁Q7(a)(ii) รัศมีของ C₁

The circle $C_1$ has equation $x^2+y^2+8x-10y=29$.
(a)(ii) Find the radius of $C_1$ as an exact value. (Part (a) is 3 marks in all.) [1]

$r^2=70$from (i): (x + 4)² + (y − 5)² = 70 · the right side is r²จากข้อ (i): (x + 4)² + (y − 5)² = 70 · ฝั่งขวาคือ r²
$r=\sqrt{70}$answer · exact, so leave the rootคำตอบ · ค่าแม่นตรง เก็บรากไว้

Q7(b) Prove the circles are apartQ7(b) พิสูจน์ว่าวงกลมแยกกัน

The circle $C_1$ has equation $x^2+y^2+8x-10y=29$.
(b) A second circle $C_2$ has equation $(x-5)^2+(y+8)^2=52$. Show full reasoning to prove that $C_1$ and $C_2$ do not touch and do not cross each other. [3]

$A=(-4,\ 5)$centre of C₁ · radius √70จุดศูนย์กลาง C₁ · รัศมี √70
$B=(5,\ -8)$centre of C₂ · read off the signsจุดศูนย์กลาง C₂ · อ่านจากเครื่องหมาย
$r_2=\sqrt{52}$radius of C₂รัศมีของ C₂
$d^2=9^2+13^2$distance AB: 5 − (−4) = 9, −8 − 5 = −13ระยะ AB: 5 − (−4) = 9, −8 − 5 = −13
$=81+169$square eachยกกำลังสองแต่ละตัว
$=250$addบวก
$d=\sqrt{250}$square rootถอดรากที่สอง
$=15.81$distance between the centresระยะระหว่างจุดศูนย์กลาง
$r_1+r_2=\sqrt{70}+\sqrt{52}$sum of the two radiiผลบวกรัศมีสองวง
$=15.58$8.367 + 7.2118.367 + 7.211
$15.58\lt15.81$the radii add to less than the distanceรัศมีรวมกันน้อยกว่าระยะห่าง
$r_1+r_2\lt d$a gap is left: the circles neither touch nor crossเหลือช่องว่าง วงกลมไม่สัมผัสและไม่ตัดกัน

9. Q8 · Trig equation and a sine model · 12 marksข้อ 8 · สมการตรีโกณและแบบจำลองไซน์ · 12 คะแนน

Answer: x = 1.91; k = 6.41 or k = 17.59; 22 °C; 11:14 (am)คำตอบ: x = 1.91; k = 6.41 or k = 17.59; 22 °C; 11:14 (am)

Q8(i) Solve with sin, cos and tanQ8(i) แก้สมการ sin cos tan

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
For part (ii): on one day, a model gives the temperature $H$ °C inside a greenhouse $t$ hours after midnight as $H=10+12\sin(kt+18)^\circ$, for $0\le t\lt24$. Here $k$ is a constant. Answer (a) to (c) from this model.
(i) Solve $5\sin x\tan x+13=\cos x$ for $0\lt x\le\pi$. Give $x$ in radians to 3 s.f. [5]

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$tan = sin ÷ costan = sin ÷ cos
$5\sin x\tan x=\dfrac{5\sin^2x}{\cos x}$put it in: sin x × sin x = sin²xแทนลงไป: sin x × sin x = sin²x
$P=13\cos x$13 × cos x will appear: call it Pจะได้ 13 × cos x: เรียกว่า P
$\dfrac{5\sin^2x}{\cos x}+13=\cos x$the equation nowสมการตอนนี้
$5\sin^2x+P=\cos^2x$multiply every term by cos x · 13 × cos x = Pคูณทุกพจน์ด้วย cos x · 13 × cos x = P
$\sin^2x=1-\cos^2x$sin²x + cos²x = 1sin²x + cos²x = 1
$5-5\cos^2x+P=\cos^2x$replace sin²x · 5 × (1 − cos²x)แทน sin²x · 5 × (1 − cos²x)
$5-6\cos^2x+P=0$−5cos²x − cos²x = −6cos²x−5cos²x − cos²x = −6cos²x
$6\cos^2x-P-5=0$every sign flipsทุกเครื่องหมายกลับ
$\eqalign{&6\cos^2x\cr&-13\cos x-5}=0$write P out: a quadratic in cos xเขียน P ออกมา: สมการกำลังสองของ cos x
$\eqalign{&(3\cos x+1)\cr&\times(2\cos x-5)}=0$3 × 2 = 6 · 1 × (−5) = −5 · −15 + 2 = −133 × 2 = 6 · 1 × (−5) = −5 · −15 + 2 = −13
$\cos x=-\dfrac13$from 3cos x + 1 = 0จาก 3cos x + 1 = 0
$\cos x=\dfrac52$from 2cos x − 5 = 0จาก 2cos x − 5 = 0
$\dfrac52\gt1$cos x is never more than 1: rejectcos x ไม่เกิน 1: ตัดทิ้ง
$x=\cos^{-1}\left(-\dfrac13\right)$cos⁻¹ “cos inverse” · radians modecos⁻¹ อ่านว่า คอสอินเวิร์ส · โหมดเรเดียน
$=1.9106$the only value in 0 < x ≤ πค่าเดียวในช่วง 0 < x ≤ π
$x=1.91$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตำแหน่งสำคัญ

Q8(ii)(a) Find kQ8(ii)(a) หาค่า k

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
For part (ii): on one day, a model gives the temperature $H$ °C inside a greenhouse $t$ hours after midnight as $H=10+12\sin(kt+18)^\circ$, for $0\le t\lt24$. Here $k$ is a constant. Answer (a) to (c) from this model.
(ii)(a) At 6 am the temperature was 20 °C, and $0\lt k\lt20$. Find every possible value of $k$, each to 2 d.p. [4]

$t=6$6 am: 6 hours after midnight6 โมงเช้า: 6 ชั่วโมงหลังเที่ยงคืน
$\theta=6k+18$θ “theta” = the angle, in degreesθ อ่านว่า ทีตา = มุม หน่วยองศา
$20=10+12\sin\theta$H = 20H = 20
$10=12\sin\theta$take 10 awayลบ 10
$\sin\theta=\dfrac56$divide by 12หารด้วย 12
$18\lt\theta\lt138$0 < k < 20: 6 × 0 + 18 and 6 × 20 + 180 < k < 20: 6 × 0 + 18 และ 6 × 20 + 18
$\theta=56.44$sin⁻¹(5/6), degreessin⁻¹(5/6) หน่วยองศา
$\theta=180-56.44$second angle: sin(180° − θ) = sin θมุมที่สอง: sin(180° − θ) = sin θ
$=123.56$both are in the range · the next one, 416.44, is notอยู่ในช่วงทั้งคู่ · มุมถัดไป 416.44 เกินช่วง
$6k+18=56.44$first angleมุมแรก
$6k=38.44$take 18 awayลบ 18
$k=6.41$2 d.p.ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
$6k+18=123.56$second angleมุมที่สอง
$6k=105.56$take 18 awayลบ 18
$k=17.59$answer: k = 6.41 or 17.59คำตอบ: k = 6.41 หรือ 17.59

Q8(ii)(b) Highest temperatureQ8(ii)(b) อุณหภูมิสูงสุด

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
For part (ii): on one day, a model gives the temperature $H$ °C inside a greenhouse $t$ hours after midnight as $H=10+12\sin(kt+18)^\circ$, for $0\le t\lt24$. Here $k$ is a constant. Answer (a) to (c) from this model.
(ii)(b) Now you also know $0\lt k\lt10$. Find the highest temperature inside the greenhouse. [1]

$\sin\theta\le1$sine is never more than 1sin ไม่เกิน 1
$H_{\max}=10+12\times1$biggest when sin θ = 1 · k = 6.41 reaches θ = 90° before t = 24มากสุดเมื่อ sin θ = 1 · k = 6.41 ถึง θ = 90° ก่อน t = 24
$=22$answer: 22 °Cคำตอบ: 22 °C

Q8(ii)(c) Time of the highest temperatureQ8(ii)(c) เวลาที่ร้อนที่สุด

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
For part (ii): on one day, a model gives the temperature $H$ °C inside a greenhouse $t$ hours after midnight as $H=10+12\sin(kt+18)^\circ$, for $0\le t\lt24$. Here $k$ is a constant. Answer (a) to (c) from this model.
(ii)(c) Using $k=6.41$ from (a), find the time of day when this highest temperature happens, to the nearest minute. [2]

$6.41t+18=90$sin θ = 1 when θ = 90° · k = 6.41sin θ = 1 เมื่อ θ = 90° · k = 6.41
$6.41t=72$take 18 awayลบ 18
$t=11.2324$hours after midnightชั่วโมงหลังเที่ยงคืน
$0.2324\times60=13.94$the part hour in minutesเศษชั่วโมงเป็นนาที
$\text{time}=11{:}14$answer · 11:14 am, to the nearest minuteคำตอบ · 11:14 น. ปัดเป็นนาทีที่ใกล้ที่สุด

10. Q9 · Stationary point and equal areas · 8 marksข้อ 9 · จุดคงที่และพื้นที่เท่ากัน · 8 คะแนน

Answer: x = 12/5; k = 28/5คำตอบ: x = 12/5; k = 28/5

Q9(a) x coordinate of PQ9(a) พิกัด x ของ P

The figure shows the curve $C$ with equation $y=2x^{\frac32}(4-x)$, $x\ge0$. The point $P$ is where $C$ has a stationary point.
(a) Use calculus to find the $x$ coordinate of $P$. [4]

$y=8x^{\frac32}-2x^{\frac52}$multiply out: 2 × 4 = 8 · x^(3/2) × x = x^(5/2)คูณกระจาย: 2 × 4 = 8 · x^(3/2) × x = x^(5/2)
$\dfrac{dy}{dx}=12x^{\frac12}-5x^{\frac32}$power down 1 · 8 × 3/2 = 12 · 2 × 5/2 = 5ลดเลขชี้กำลัง 1 · 8 × 3/2 = 12 · 2 × 5/2 = 5
$12x^{\frac12}-5x^{\frac32}=0$stationary: the gradient is 0จุดคงที่: ความชันเป็น 0
$x^{\frac12}(12-5x)=0$take out x^(1/2)ดึง x^(1/2) ออก
$12-5x=0$x = 0 is the origin, not Px = 0 คือจุดกำเนิด ไม่ใช่ P
$12=5x$add 5xบวก 5x
$x=\dfrac{12}{5}$answer · x of P = 2.4คำตอบ · x ของ P = 2.4

Q9(b) Find k: equal areasQ9(b) หา k: พื้นที่เท่ากัน

The figure shows the curve $C$ with equation $y=2x^{\frac32}(4-x)$, $x\ge0$. The point $P$ is where $C$ has a stationary point.
(b) Region $R_1$ (shaded) lies between $C$ and the $x$-axis. Region $R_2$ (shaded) lies between $C$, the $x$-axis and the line $x=k$, where $k$ is a constant. The two regions have the same area. Use calculus to find $k$ exactly. [4]

$y=8x^{\frac32}-2x^{\frac52}$from (a)จากข้อ (a)
$\int8x^{\frac32}dx=\dfrac{16}{5}x^{\frac52}$3/2 + 1 = 5/2 · 8 ÷ 5/2 = 16/53/2 + 1 = 5/2 · 8 ÷ 5/2 = 16/5
$\int2x^{\frac52}dx=\dfrac47x^{\frac72}$5/2 + 1 = 7/2 · 2 ÷ 7/2 = 4/75/2 + 1 = 7/2 · 2 ÷ 7/2 = 4/7
$F(x)=\eqalign{&\dfrac{16}{5}x^{\frac52}\cr&-\dfrac47x^{\frac72}}$F = the integral of yF = อินทิกรัลของ y
$\int_0^ky\,dx=R_1-R_2$area above the x-axis counts +, below counts −พื้นที่เหนือแกน x นับบวก ใต้แกนนับลบ
$R_1-R_2=0$the two areas are equalสองพื้นที่เท่ากัน
$F(k)-F(0)=0$so the integral from 0 to k is 0 · F(0) = 0อินทิกรัลจาก 0 ถึง k จึงเป็น 0 · F(0) = 0
$A=\dfrac{16}{5}k^{\frac52}$first term of F(k)พจน์แรกของ F(k)
$B=\dfrac47k^{\frac72}$second term of F(k)พจน์ที่สองของ F(k)
$A-B=0$F(k) = A − B = 0F(k) = A − B = 0
$A=B$move B overย้าย B
$\dfrac{16}{5}k^{\frac52}=\dfrac47k^{\frac72}$write A and B outเขียน A และ B ออกมา
$\dfrac{16}{5}=\dfrac47k$k is not 0, so divide by k^(5/2)k ไม่เป็น 0 จึงหารด้วย k^(5/2)
$k=\dfrac{16}{5}\times\dfrac74$multiply by 7/4, then swap sidesคูณ 7/4 แล้วสลับข้าง
$=\dfrac{28}{5}$answer · exact (5.6)คำตอบ · ค่าแม่นตรง (5.6)

11. Q10 · Geometric growth and decay models · 8 marksข้อ 10 · แบบจำลองเติบโตและลดลงแบบเรขาคณิต · 8 คะแนน

Answer: 2390; N = 4000 × 0.98ᵗ; T = 13.9คำตอบ: 2390; N = 4000 × 0.98ᵗ; T = 13.9

Q10(a) Dormice after 6 yearsQ10(a) จำนวนดอร์เมาส์หลัง 6 ปี

$u_t=2000\times1.03^t$up 3% a year: × 1.03 each year · u_t = dormice after t yearsเพิ่ม 3% ต่อปี: × 1.03 ทุกปี · u_t = จำนวนดอร์เมาส์หลัง t ปี
$u_6=2000\times1.03^6$t = 6t = 6
$=2388.1$calculatorเครื่องคิดเลข
$u_6=2390$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตำแหน่งสำคัญ

Q10(b) The vole model N = abᵗQ10(b) แบบจำลองของหนูนา N = abᵗ

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
On an island, the dormice and the voles are counted. At the start there are 2000 dormice. A model says the dormice go up by 3% every year, so the year-end counts of dormice make a geometric sequence.
(b) Over the same years the voles are counted too: 3690 voles 4 years after the start, and 3470 voles 7 years after the start. The year-end vole numbers are also modelled by a geometric sequence. Find the model as $N=ab^t$, where $N$ is the number of voles $t$ years after the start and $a$, $b$ are constants. Give $a$ and $b$ to 2 s.f. [3]

$ab^4=3690$t = 4t = 4
$ab^7=3470$t = 7t = 7
$b^3=\dfrac{3470}{3690}$divide: a cancels · 7 − 4 = 3หารกัน: a ตัดกัน · 7 − 4 = 3
$=0.94038$keep 5 d.p.เก็บทศนิยม 5 ตำแหน่ง
$b=\sqrt[3]{0.94038}$cube rootรากที่สาม
$=0.97972$bb
$b^4=0.92131$for ①ใช้ใน ①
$a=\dfrac{3690}{0.92131}$from ①: a = 3690 ÷ b⁴จาก ①: a = 3690 ÷ b⁴
$=4005.2$aa
$N=4000\times0.98^t$answer · a and b to 2 s.f.คำตอบ · a และ b เป็น 2 ตำแหน่งสำคัญ

Q10(c) When the numbers are equalQ10(c) เมื่อจำนวนเท่ากัน

Show every step: an answer that comes only from a calculator earns no marks.
On an island, the dormice and the voles are counted. At the start there are 2000 dormice. A model says the dormice go up by 3% every year, so the year-end counts of dormice make a geometric sequence.
(c) The dormice model is $2000\times1.03^t$ and the vole model is $N=4000\times0.98^t$ from (b). At $t=T$ the two models give the same number of dormice as voles. Find $T$ to 1 d.p. [3]

$\dfrac{1.03^T}{0.98^T}=\dfrac{4000}{2000}$equal: 2000 × 1.03ᵀ = 4000 × 0.98ᵀ · divide both sidesเท่ากัน: 2000 × 1.03ᵀ = 4000 × 0.98ᵀ · หารทั้งสองข้าง
$r=\dfrac{1.03}{0.98}$call the ratio rเรียกอัตราส่วนว่า r
$=1.05102$keep 5 d.p.เก็บทศนิยม 5 ตำแหน่ง
$r^T=2$one power of T: 1.03ᵀ ÷ 0.98ᵀ = rᵀเลขยกกำลัง T ตัวเดียว: 1.03ᵀ ÷ 0.98ᵀ = rᵀ
$T\log1.05102=\log2$take logs · power law: log aᵀ = T log aใส่ log · กฎเลขชี้กำลัง: log aᵀ = T log a
$T=\dfrac{\log2}{\log1.05102}$divideหาร
$=13.93$calculatorเครื่องคิดเลข
$T=13.9$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

An arithmetic series has 4th term 11, and its first 8 terms add up to 100. Find the common difference $d$.อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 4 เท่ากับ 11 และผลบวก 8 พจน์แรกเท่ากับ 100 หาผลต่างร่วม $d$
Answer:เฉลย: 3a + 3d = 11 and 4(2a + 7d) = 100, so 2a + 7d = 25. Double the first: 2a + 6d = 22. Subtract: d = 3.a + 3d = 11 และ 4(2a + 7d) = 100 ได้ 2a + 7d = 25 · คูณสมการแรกด้วย 2: 2a + 6d = 22 · ลบกัน ได้ d = 3
Solve $\log_3(x+1)+2=\log_3(x+25)$.แก้สมการ $\log_3(x+1)+2=\log_3(x+25)$
Answer:เฉลย: 22 = log₃9, so log₃9(x + 1) = log₃(x + 25). Then 9x + 9 = x + 25, so 8x = 16 and x = 2.2 = log₃9 ได้ log₃9(x + 1) = log₃(x + 25) · 9x + 9 = x + 25 · 8x = 16 · x = 2
The trapezium rule gives $\displaystyle\int_1^3\text{g}(x)\,dx\approx4.2$. Use it to estimate $\displaystyle\int_1^3(\text{g}(x)+2x)\,dx$.กฎสี่เหลี่ยมคางหมูให้ $\displaystyle\int_1^3\text{g}(x)\,dx\approx4.2$ ใช้ค่านี้ประมาณ $\displaystyle\int_1^3(\text{g}(x)+2x)\,dx$
Answer:เฉลย: 12.2Add the integral of 2x from 1 to 3: [x²] = 9 − 1 = 8. So 4.2 + 8 = 12.2.บวกอินทิกรัลของ 2x จาก 1 ถึง 3: [x²] = 9 − 1 = 8 ได้ 4.2 + 8 = 12.2
A circle has equation $x^2+y^2-6x+4y=12$. Find its radius.วงกลมมีสมการ $x^2+y^2-6x+4y=12$ หารัศมี
Answer:เฉลย: 5(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12, so (x − 3)² + (y + 2)² = 25 and r = 5.(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ได้ (x − 3)² + (y + 2)² = 25 ดังนั้น r = 5
A colony starts with 500 birds and grows by 4% a year. Use a geometric model to find the number of birds after 5 years, to 3 s.f.ฝูงนกเริ่มที่ 500 ตัว เพิ่ม 4% ต่อปี ใช้แบบจำลองเรขาคณิตหาจำนวนนกหลัง 5 ปี (3 ตำแหน่งสำคัญ)
Answer:เฉลย: 608500 × 1.04⁵ = 608.3, so about 608 birds.500 × 1.04⁵ = 608.3 ประมาณ 608 ตัว

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี