Edexcel IAL Pure 2 WMA12 October 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA12 Pure 2 · October 2024WMA12 Pure 2 · ต.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 2 (WMA12) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Trapezium rule · 5 marksข้อ 1 · กฎสี่เหลี่ยมคางหมู · 5 คะแนน

Answer: 30.9; 90.9คำตอบ: 30.9; 90.9

Q1(a) Trapezium estimateQ1(a) ประมาณด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู

The curve $y=f(x)$ is continuous. Five of its points are listed:
x: 0.5, 1.75, 3, 4.25, 5.5
y: 3.479, 6.101, 7.448, 6.823, 5.182
(a) Use the trapezium rule with every $y$ value in the table to estimate $\displaystyle\int_{0.5}^{5.5}f(x)\,dx$. Answer to 1 d.p. [3]

$A\approx\dfrac{h}{2}(E+2M)$trapezium rule · E = the two end y-values · M = the middle ones addedกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · E = ค่า y ปลายสองตัว · M = ผลรวมค่ากลาง
$h=\dfrac{5.5-0.5}{4}$strip width: 5 values make 4 stripsความกว้างแถบ: 5 ค่าแบ่งได้ 4 แถบ
$=1.25$the x-values go up by 1.25ค่า x เพิ่มทีละ 1.25
$E=3.479+5.182$first + last (shaded)ตัวแรก + ตัวสุดท้าย (แถบสี)
$=8.661$the endsค่าปลาย
$6.101+7.448=13.549$the middle three, two at a timeค่ากลางสามตัว บวกทีละสองตัว
$M=\eqalign{&13.549\cr&+6.823}$add the last middle valueบวกค่ากลางตัวสุดท้าย
$=20.372$the middle valuesค่ากลาง
$2M=40.744$twice the middleสองเท่าของค่ากลาง
$E+2M=49.405$8.661 + 40.7448.661 + 40.744
$A\approx\eqalign{&0.625\cr&\times49.405}$h/2 = 1.25 ÷ 2 = 0.625h/2 = 1.25 ÷ 2 = 0.625
$=30.878125$multiplyคูณ
$A\approx30.9$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

Q1(b) A related integralQ1(b) อินทิกรัลที่เกี่ยวข้อง

The curve $y=f(x)$ is continuous. Five of its points are listed:
x: 0.5, 1.75, 3, 4.25, 5.5
y: 3.479, 6.101, 7.448, 6.823, 5.182
(b) From (a): $\displaystyle\int_{0.5}^{5.5}f(x)\,dx\approx30.9$
Use this, with your method shown clearly, to estimate $\displaystyle\int_{0.5}^{5.5}\big(f(x)+4x\big)\,dx$. [2]

$\int(f+4x)=\int f+\int4x$split the integral into two parts (limits 0.5 to 5.5)แยกอินทิกรัลเป็นสองส่วน (ขอบ 0.5 ถึง 5.5)
$\int f\,dx\approx30.9$the first part is the answer to (a)ส่วนแรกคือคำตอบข้อ (a)
$\int4x\,dx=2x^2$integrate exactly: power + 1, divide by 2อินทิเกรตได้ค่าตรง: กำลัง + 1 แล้วหาร 2
$2(5.5)^2=60.5$top limitขอบบน
$2(0.5)^2=0.5$bottom limitขอบล่าง
$I=60.5-0.5$I = the 4x part: top − bottomI = ส่วนของ 4x: บน − ล่าง
$=60$the 4x partส่วนของ 4x
$J\approx30.9+60$J = the whole integralJ = อินทิกรัลทั้งหมด
$=90.9$answerคำตอบ

3. Q2 · A sequence that repeats · 7 marksข้อ 2 · ลำดับที่วนซ้ำ · 7 คะแนน

Answer: u₅ = 7 (shown); k = 15; 1125คำตอบ: u₅ = 7 (shown); k = 15; 1125

Q2(a) Show u₅ = 7Q2(a) แสดงว่า u₅ = 7

The numbers $u_1,u_2,u_3,\dots$ follow the rule $u_1=7$ and $u_{n+1}=(-1)^n\,u_n+k$, with $k$ a constant.
(a) Show that $u_5=7$. [3]

$u_2=(-1)^1u_1+k$n = 1 in the ruleแทน n = 1 ในกฎ
$=-7+k$(−1)¹ = −1 and u₁ = 7(−1)¹ = −1 และ u₁ = 7
$=k-7$u₂u₂
$u_3=(-1)^2u_2+k$n = 2 · (−1)² = 1แทน n = 2 · (−1)² = 1
$=(k-7)+k$put in u₂แทน u₂
$=2k-7$u₃u₃
$u_4=(-1)^3u_3+k$n = 3 · (−1)³ = −1แทน n = 3 · (−1)³ = −1
$=-(2k-7)+k$put in u₃แทน u₃
$=7-k$u₄u₄
$u_5=(-1)^4u_4+k$n = 4 · (−1)⁴ = 1แทน n = 4 · (−1)⁴ = 1
$=(7-k)+k$put in u₄แทน u₄
$=7$shown · the k terms cancelแสดงได้ตามโจทย์ · พจน์ k หักล้างกัน

Q2(b) Find kQ2(b) หา k

The numbers $u_1,u_2,u_3,\dots$ follow the rule $u_1=7$ and $u_{n+1}=(-1)^n\,u_n+k$, with $k$ a constant.
(b) From (a): $u_2=k-7$, $u_3=2k-7$, $u_4=7-k$.
The first four terms add up to 30, so $\displaystyle\sum_{r=1}^{4}u_r=30$. Find $k$. [2]

$S_4=u_1+u_2+u_3+u_4$Σ “sigma” = add up · the first four terms from (a)Σ อ่านว่า ซิกมา = ผลบวก · สี่พจน์แรกจากข้อ (a)
$k+2k-k=2k$the k parts of u₂, u₃, u₄ส่วนที่มี k ของ u₂, u₃, u₄
$7-7-7+7=0$the number parts of u₁, u₂, u₃, u₄ส่วนที่เป็นตัวเลขของ u₁, u₂, u₃, u₄
$S_4=2k$add the two resultsรวมสองผล
$2k=30$the sum is 30ผลบวกเท่ากับ 30
$k=15$answerคำตอบ

Q2(c) Sum of 150 termsQ2(c) ผลบวก 150 พจน์

The numbers $u_1,u_2,u_3,\dots$ follow the rule $u_1=7$ and $u_{n+1}=(-1)^n\,u_n+k$, with $k$ a constant.
(c) From (a) and (b): $u_5=7$, $k=15$, and the first four terms add to 30. Hence find $\displaystyle\sum_{r=1}^{150}u_r$. [2]

$u_5=u_1$from (a): term 5 is back to 7จากข้อ (a): พจน์ที่ 5 กลับมาเป็น 7
$S_4=30$so the terms repeat in blocks of 4, each adding to 30พจน์จึงซ้ำเป็นชุดละ 4 ตัว แต่ละชุดรวมได้ 30
$150=37\times4+2$37 full blocks, then 2 terms more37 ชุดเต็ม แล้วเหลืออีก 2 พจน์
$S_{148}=37\times30$the 37 blocks37 ชุด
$=1110$the first 148 terms148 พจน์แรก
$u_2=15-7$u₂ = k − 7 with k = 15u₂ = k − 7 เมื่อ k = 15
$=8$u₂u₂
$u_1+u_2=7+8$the two extra terms are u₁ and u₂สองพจน์ที่เหลือคือ u₁ และ u₂
$=15$the extra termsพจน์ที่เหลือ
$S_{150}=1110+15$blocks + extraชุดเต็ม + ที่เหลือ
$=1125$answerคำตอบ

4. Q3 · Factor and remainder theorems · 7 marksข้อ 3 · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ · 7 คะแนน

Answer: 3A − B = −118 (shown); A = −26, B = 40; 2x² + 13x + 65คำตอบ: 3A − B = −118 (shown); A = −26, B = 40; 2x² + 13x + 65

Q3(a) Show 3A − B = −118Q3(a) แสดงว่า 3A − B = −118

$f(x)=2x^3-x^2+Ax+B$, where $A$ and $B$ are integers. When $f(x)$ is divided by $(x+3)$, 55 is left over as the remainder.
(a) Show that $3A-B=-118$. [2]

$f(-3)=55$remainder theorem: x + 3 = 0 at x = −3ทฤษฎีบทเศษเหลือ: x + 3 = 0 เมื่อ x = −3
$2(-3)^3=-54$(−3)³ = −27(−3)³ = −27
$-(-3)^2=-9$(−3)² = 9(−3)² = 9
$A(-3)+B=-3A+B$the last two termsสองพจน์สุดท้าย
$-63-3A+B=55$add the terms: −54 − 9 = −63รวมพจน์: −54 − 9 = −63
$-3A+B=118$add 63 to both sidesบวก 63 ทั้งสองข้าง
$3A-B=-118$shownแสดงได้ตามโจทย์

Q3(b) Find A and BQ3(b) หา A และ B

$f(x)=2x^3-x^2+Ax+B$, where $A$ and $B$ are integers. When $f(x)$ is divided by $(x+3)$, 55 is left over as the remainder.
(b) From (a): $3A-B=-118$. In addition, $(2x-5)$ is a factor of $f(x)$. Find the values of $A$ and $B$. [3]

$f\left(\tfrac{5}{2}\right)=0$factor theorem: 2x − 5 = 0 at x = 5/2ทฤษฎีบทตัวประกอบ: 2x − 5 = 0 เมื่อ x = 5/2
$2\left(\tfrac{5}{2}\right)^3=\tfrac{125}{4}$(5/2)³ = 125/8(5/2)³ = 125/8
$-\left(\tfrac{5}{2}\right)^2=-\tfrac{25}{4}$(5/2)² = 25/4(5/2)² = 25/4
$25+\tfrac{5}{2}A+B=0$add the terms: 125/4 − 25/4 = 25รวมพจน์: 125/4 − 25/4 = 25
$50+5A+2B=0$times 2 clears the fractionคูณ 2 ตัดเศษส่วนออก
$5A+2B=-50$take 50 from both sidesลบ 50 ทั้งสองข้าง
$3A-B=-118$from (a)จากข้อ (a)
$6A-2B=-236$double ②, so the B terms are oppositeคูณ ② ด้วย 2 ให้พจน์ B ตรงข้ามกัน
$11A=-286$add: the B terms cancelบวกกัน: พจน์ B หักล้างกัน
$A=-26$AA
$-78-B=-118$A into ②: 3(−26) = −78แทน A ใน ②: 3(−26) = −78
$-B=-40$add 78 to both sidesบวก 78 ทั้งสองข้าง
$B=40$answer · A = −26, B = 40คำตอบ · A = −26, B = 40

Q3(c) Quotient on dividing by (x − 7)Q3(c) ผลหารเมื่อหารด้วย (x − 7)

$f(x)=2x^3-x^2+Ax+B$, where $A$ and $B$ are integers. When $f(x)$ is divided by $(x+3)$, 55 is left over as the remainder.
(c) From (b): $A=-26$ and $B=40$. Hence, for the division of $f(x)$ by $(x-7)$, find the quotient. [2]

$f(x)=\eqalign{&2x^3-x^2\cr&-26x+40}$A = −26, B = 40 · divide by (x − 7)A = −26, B = 40 · หารด้วย (x − 7)
$2x^3\div x=2x^2$first term of the quotientพจน์แรกของผลหาร
$2x^2(x-7)=2x^3-14x^2$multiply back and subtractคูณกลับแล้วลบ
$-x^2-(-14x^2)=13x^2$what is left of x²x² ที่เหลือ
$13x^2\div x=13x$next termพจน์ถัดไป
$13x(x-7)=13x^2-91x$multiply back and subtractคูณกลับแล้วลบ
$-26x-(-91x)=65x$what is left of xx ที่เหลือ
$65x\div x=65$last termพจน์สุดท้าย
$65(x-7)=65x-455$multiply back and subtractคูณกลับแล้วลบ
$40-(-455)=495$the remainder (not asked for)เศษ (โจทย์ไม่ได้ถาม)
$Q(x)=2x^2+13x+65$answer · the quotientคำตอบ · ผลหาร

5. Q4 · Stationary point · 7 marksข้อ 4 · จุดคงที่ · 7 คะแนน

Answer: dy/dx = 2x^(−1/2) − (9/2)x^(−3/2); x = 9/4; d²y/dx² = −x^(−3/2) + (27/4)x^(−5/2); d²y/dx² = 16/27 > 0, so a minimum; 0 < x < 9/4คำตอบ: dy/dx = 2x^(−1/2) − (9/2)x^(−3/2); x = 9/4; d²y/dx² = −x^(−3/2) + (27/4)x^(−5/2); d²y/dx² = 16/27 > 0, so a minimum; 0 < x < 9/4

Q4(a) Find dy/dxQ4(a) หา dy/dx

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
The curve $C$ is $y=4x^{\frac{1}{2}}+9x^{-\frac{1}{2}}+3$, for $x\gt0$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$. Write every term in its simplest form. [2]

$y=\eqalign{&4x^{\frac{1}{2}}+9x^{-\frac{1}{2}}\cr&+3}$differentiate term by termดิฟทีละพจน์
$\tfrac{d}{dx}\big(4x^{\frac{1}{2}}\big)=2x^{-\frac{1}{2}}$times the power, power − 1: 4 × ½ = 2คูณกำลังลงมา แล้วลดกำลัง 1: 4 × ½ = 2
$\tfrac{d}{dx}\big(9x^{-\frac{1}{2}}\big)=-\tfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}$9 × (−½) = −9/2 · −½ − 1 = −3/29 × (−½) = −9/2 · −½ − 1 = −3/2
$\tfrac{d}{dx}(3)=0$a constant has slope 0ค่าคงที่ ดิฟได้ 0
$\dfrac{dy}{dx}=\eqalign{&2x^{-\frac{1}{2}}\cr&-\tfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}}$answerคำตอบ

Q4(b) x of the stationary pointQ4(b) x ของจุดคงที่

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
The curve $C$ is $y=4x^{\frac{1}{2}}+9x^{-\frac{1}{2}}+3$, for $x\gt0$.
(b) From (a): $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}$. Hence find the $x$ coordinate of the stationary point of $C$. [2]

$\eqalign{&2x^{-\frac{1}{2}}\cr&-\tfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}}=0$stationary point: dy/dx = 0จุดคงที่: dy/dx = 0
$2x^{-\frac{1}{2}}=\tfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}$add (9/2)x^(−3/2) to both sidesบวก (9/2)x^(−3/2) ทั้งสองข้าง
$2x=\tfrac{9}{2}$x^(−½) × x^(3/2) = x and x^(−3/2) × x^(3/2) = 1x^(−½) × x^(3/2) = x และ x^(−3/2) × x^(3/2) = 1
$x=\tfrac{9}{4}$answer · 2.25คำตอบ · 2.25

Q4(c)(i) Find d²y/dx²Q4(c)(i) หา d²y/dx²

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
The curve $C$ is $y=4x^{\frac{1}{2}}+9x^{-\frac{1}{2}}+3$, for $x\gt0$.
(c)(i) From (a): $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}$. Find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, every term in its simplest form. (Part (c) is 2 marks in all; the mark scheme gives 1 to (i) and 1 to (ii).) [1]

$\tfrac{d}{dx}\big(2x^{-\frac{1}{2}}\big)=-x^{-\frac{3}{2}}$differentiate dy/dx again: 2 × (−½) = −1ดิฟ dy/dx อีกครั้ง: 2 × (−½) = −1
$u=-\tfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}$u = the second term of dy/dxu = พจน์ที่สองของ dy/dx
$\tfrac{du}{dx}=\tfrac{27}{4}x^{-\frac{5}{2}}$−9/2 × (−3/2) = 27/4 · −3/2 − 1 = −5/2−9/2 × (−3/2) = 27/4 · −3/2 − 1 = −5/2
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\eqalign{&-x^{-\frac{3}{2}}\cr&+\tfrac{27}{4}x^{-\frac{5}{2}}}$answer · d²y/dx² “d two y by d x squared”คำตอบ · d²y/dx² อ่านว่า ดีสองวายบายดีเอ็กซ์กำลังสอง

Q4(c)(ii) Nature of the pointQ4(c)(ii) ชนิดของจุด

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
The curve $C$ is $y=4x^{\frac{1}{2}}+9x^{-\frac{1}{2}}+3$, for $x\gt0$.
(c)(ii) From (b) and (c)(i): the stationary point is at $x=\dfrac{9}{4}$, and $\dfrac{d^2y}{dx^2}=-x^{-\frac{3}{2}}+\dfrac{27}{4}x^{-\frac{5}{2}}$. Hence decide what kind of stationary point it is, and give a reason. (Part (c) is 2 marks in all; the mark scheme gives 1 to (i) and 1 to (ii).) [1]

$x=\tfrac{9}{4}$the stationary point from (b)จุดคงที่จากข้อ (b)
$\left(\tfrac{9}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=\tfrac{8}{27}$flip, then root, then cube: (2/3)³กลับเศษส่วน ถอดราก แล้วยกกำลังสาม: (2/3)³
$\left(\tfrac{9}{4}\right)^{-\frac{5}{2}}=\tfrac{32}{243}$(2/3)⁵(2/3)⁵
$\tfrac{27}{4}\times\tfrac{32}{243}=\tfrac{24}{27}$the second termพจน์ที่สอง
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\tfrac{8}{27}+\tfrac{24}{27}$substituteแทนค่า
$=\tfrac{16}{27}$about 0.593ประมาณ 0.593
$\tfrac{16}{27}\gt0$answer · positive, so a minimumคำตอบ · เป็นบวก จึงเป็นจุดต่ำสุด

Q4(d) Where y decreasesQ4(d) ช่วงที่ y ลดลง

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
The curve $C$ is $y=4x^{\frac{1}{2}}+9x^{-\frac{1}{2}}+3$, for $x\gt0$.
(d) From (a) and (b): $\dfrac{dy}{dx}=2x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{9}{2}x^{-\frac{3}{2}}$, and the stationary point is at $x=\dfrac{9}{4}$. State the values of $x$ for which $y$ is decreasing. [1]

$\dfrac{dy}{dx}\lt0$decreasing: the slope is negativeลดลง: ความชันติดลบ
$\dfrac{dy}{dx}=x^{-\frac{3}{2}}\big(2x-\tfrac{9}{2}\big)$take out the factor x^(−3/2)ดึงตัวร่วม x^(−3/2) ออก
$x^{-\frac{3}{2}}\gt0$always positive, because x > 0เป็นบวกเสมอ เพราะ x > 0
$2x-\tfrac{9}{2}\lt0$so the bracket must be negativeวงเล็บจึงต้องติดลบ
$2x\lt\tfrac{9}{2}$add 9/2 to both sidesบวก 9/2 ทั้งสองข้าง
$x\lt\tfrac{9}{4}$divide by 2หาร 2
$0\lt x\lt\tfrac{9}{4}$answer · with x > 0คำตอบ · รวมกับ x > 0

6. Q5 · Binomial expansion · 7 marksข้อ 5 · การกระจายทวินาม · 7 คะแนน

Answer: 64 + 192ax + 240a²x²; a = −24/5คำตอบ: 64 + 192ax + 240a²x²; a = −24/5

Q5(a) First three termsQ5(a) สามพจน์แรก

(a) The constant $a$ is not zero. Expand $(2+ax)^6$ in rising powers of $x$ as far as the third term, and give the terms in terms of $a$. Write every term in its simplest form. [3]

$(a+b)^n$binomial: Tₖ₊₁ = ⁿCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏทวินาม: Tₖ₊₁ = ⁿCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
$T_1=2^6$here n = 6, the first term is 2, the second is axข้อนี้ n = 6 พจน์แรกคือ 2 พจน์ที่สองคือ ax
$=64$the constant termพจน์ค่าคงที่
$T_2=\binom{6}{1}2^5(ax)$⁶C₁ “6 choose 1” = 6⁶C₁ อ่านว่า 6 เลือก 1 = 6
$=6\times32ax$2⁵ = 322⁵ = 32
$=192ax$the x termพจน์ x
$T_3=\binom{6}{2}2^4(ax)^2$⁶C₂ = 15⁶C₂ = 15
$=15\times16a^2x^2$2⁴ = 16 · (ax)² = a²x²2⁴ = 16 · (ax)² = a²x²
$=240a^2x^2$the x² termพจน์ x²
$\eqalign{&64+192ax\cr&+240a^2x^2}$answer · rising powers of xคำตอบ · เรียงกำลังของ x จากน้อยไปมาก

Q5(b) Find aQ5(b) หา a

(b) From (a): $(2+ax)^6=64+192ax$ $+\,240a^2x^2+\dots$, with $a\neq0$.
Let $f(x)=\left(3+\dfrac{1}{x}\right)^2(2+ax)^6$. When $f(x)$ is expanded, its constant term is 576. Find $a$. [4]

$\left(3+\tfrac{1}{x}\right)^2=9+\tfrac{6}{x}+\tfrac{1}{x^2}$square the first bracketยกกำลังสองวงเล็บแรก
$9\times64=576$constant × constantค่าคงที่ × ค่าคงที่
$\tfrac{6}{x}\times192ax=1152a$the x cancelsx ตัดกัน
$\tfrac{1}{x^2}\times240a^2x^2=240a^2$the x² cancelsx² ตัดกัน
$\eqalign{&576+1152a\cr&+240a^2}=576$the three constants add to 576ค่าคงที่ทั้งสามรวมกันได้ 576
$K=1152a+240a^2$K = the two a termsK = สองพจน์ที่มี a
$576+K=576$the same equation, with Kสมการเดิม เขียนด้วย K
$K=0$take 576 from both sidesลบ 576 ทั้งสองข้าง
$1152a+240a^2=0$K written outเขียน K เต็ม
$48a(24+5a)=0$factorise: 1152 = 48 × 24, 240 = 48 × 5แยกตัวประกอบ: 1152 = 48 × 24, 240 = 48 × 5
$a\neq0$the question says a is non-zeroโจทย์บอกว่า a ไม่เท่ากับศูนย์
$24+5a=0$so the bracket is 0วงเล็บจึงเท่ากับ 0
$5a=-24$take 24 from both sidesลบ 24 ทั้งสองข้าง
$a=-\tfrac{24}{5}$answer · −4.8คำตอบ · −4.8

7. Q6 · Log equation · 5 marksข้อ 6 · สมการลอการิทึม · 5 คะแนน

Answer: x = −1/8คำตอบ: x = −1/8

Q6 Solve with log lawsQ6 แก้ด้วยกฎ log

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
Solve $\log_4(12-2x)$ $=2+2\log_4(x+1)$, using the laws of logarithms. [5]

$2\log_4(x+1)=\log_4(x+1)^2$power law: n log a = log aⁿกฎกำลัง: n log a = log aⁿ
$R=\eqalign{&2\cr&+\log_4(x+1)^2}$R = the right sideR = ข้างขวา
$2=\log_4 16$write 2 as a log: 4² = 16เขียน 2 เป็น log: 4² = 16
$T=16(x+1)^2$T = what is inside once the logs are addedT = สิ่งที่อยู่ข้างในเมื่อรวม log
$R=\log_4 T$add logs: multiply insideบวก log: คูณข้างใน
$\log_4(12-2x)=\log_4 T$the equation, one log on each sideสมการ: ข้างละหนึ่ง log
$12-2x=T$same base on both sides, so the insides matchฐานเดียวกันทั้งสองข้าง ข้างในจึงเท่ากัน
$12-2x=16(x+1)^2$put T back: T = 16(x + 1)²แทน T กลับ: T = 16(x + 1)²
$6-x=8(x+1)^2$divide both sides by 2หาร 2 ทั้งสองข้าง
$8(x+1)^2=8x^2+16x+8$expand the right sideกระจายข้างขวา
$6-x=8x^2+16x+8$put it backแทนกลับ
$0=8x^2+17x+2$move 6 − x acrossย้าย 6 − x ไปอีกข้าง
$0=(8x+1)(x+2)$factorise: 8 × 2 = 16 = 16 × 1, 16 + 1 = 17แยกตัวประกอบ: 8 × 2 = 16 = 16 × 1, 16 + 1 = 17
$x=-\tfrac{1}{8},\ -2$the two rootsรากสองค่า
$-2+1=-1$x = −2 makes x + 1 negative: no log, reject itx = −2 ทำให้ x + 1 ติดลบ: หา log ไม่ได้ ตัดทิ้ง
$x=-\tfrac{1}{8}$answer · 12 − 2x and x + 1 are both positive hereคำตอบ · 12 − 2x และ x + 1 เป็นบวกทั้งคู่

8. Q7 · Arithmetic and geometric series · 6 marksข้อ 7 · อนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต · 6 คะแนน

Answer: GBP 69.50 (shown); GBP 28 425; GBP 1060คำตอบ: GBP 69.50 (shown); GBP 28 425; GBP 1060

Q7(a) Month 100Q7(a) เดือนที่ 100

$u_n=a+(n-1)d$term n of an arithmetic sequenceพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต
$a=20$month 1: GBP 20เดือนที่ 1: 20 ปอนด์
$d=0.5$it goes up 50p each monthเพิ่มเดือนละ 0.50 ปอนด์
$u_{100}=20+99(0.5)$n = 100, so n − 1 = 99n = 100 ดังนั้น n − 1 = 99
$=20+49.5$99 × 0.599 × 0.5
$=69.50$shown · GBP 69.50แสดงได้ตามโจทย์ · 69.50 ปอนด์

Q7(b) Total paid into AQ7(b) ยอดรวมที่จ่ายเข้า A

$B=2a+(n-1)d$B = the bracket of the sum formulaB = วงเล็บในสูตรผลบวก
$S_n=\dfrac{n}{2}B$sum of an arithmetic seriesผลบวกอนุกรมเลขคณิต
$B=40+149.5$n = 300: 2a = 40 · 299 × 0.5 = 149.5n = 300: 2a = 40 · 299 × 0.5 = 149.5
$=189.5$inside the bracketในวงเล็บ
$S_{300}=150\times189.5$300 ÷ 2 = 150300 ÷ 2 = 150
$=28425$answer · GBP 28 425คำตอบ · 28 425 ปอนด์

Q7(c) Difference of the totalsQ7(c) ผลต่างของยอดรวม

Over 300 months, Jem saves in scheme A. Jem's payments are GBP 20 in the first month, GBP 20.50 in the second, GBP 21 in the third, with the pattern continuing: the monthly amounts make an arithmetic sequence.
(c) Over the same 300 months, Kim saves in another scheme, B. A model says each monthly amount Kim pays is the same percentage higher than the one before, so Kim's amounts make a geometric sequence. Kim pays GBP 20 in month 1 and GBP 250 in month 300.
From (b): over 300 months scheme A receives GBP 28 425 in total.
With the model, work out the difference between the two schemes' 300-month totals, to the nearest GBP 10. [3]

$u_n=ar^{n-1}$term n of a geometric sequenceพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต
$20r^{299}=250$month 300 is GBP 250เดือนที่ 300 จ่าย 250 ปอนด์
$r^{299}=12.5$divide both sides by 20หาร 20 ทั้งสองข้าง
$r=12.5^{\frac{1}{299}}$take the 299th rootถอดรากที่ 299
$\approx1.008483032$keep 9 d.p.: r is very close to 1เก็บทศนิยม 9 ตำแหน่ง: r ใกล้ 1 มาก
$S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$sum of a geometric seriesผลบวกอนุกรมเรขาคณิต
$r^{300}=12.5r$r³⁰⁰ = r²⁹⁹ × rr³⁰⁰ = r²⁹⁹ × r
$\approx12.606038$12.5 × 1.00848303212.5 × 1.008483032
$N=20(r^{300}-1)$N = the top of the fractionN = ตัวเศษ
$\approx232.12076$20 × 11.60603820 × 11.606038
$r-1\approx0.0084830$the bottom of the fraction · 5 s.f. is enough hereตัวส่วน · 5 เลขนัยสำคัญก็พอ
$S_{300}\approx\dfrac{232.12076}{0.0084830}$total paid into Bยอดรวมที่จ่ายเข้า B
$\approx27363.05$GBPปอนด์
$D\approx\eqalign{&28425\cr&-27363.05}$D = total A − total B · A from (b)D = ยอด A − ยอด B · A จากข้อ (b)
$\approx1061.95$the differenceผลต่าง
$D\approx1060$answer · GBP 1060, to the nearest 10คำตอบ · 1060 ปอนด์ ปัดเป็นหลักสิบ

9. Q8 · Area between two curves · 8 marksข้อ 8 · พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น · 8 คะแนน

Answer: P: x = 1, Q: x = 3; 16/3คำตอบ: P: x = 1, Q: x = 3; 16/3

Q8(a) x at P and QQ8(a) ค่า x ที่ P และ Q

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
For $x\gt0$, the curve $C_1$ is $y=x^2+3$ and the curve $C_2$ is $y=13-\dfrac{9}{x^2}$. They cross at two points, $P$ and $Q$, as on the figure. The shaded region $R$ is the finite region enclosed by $C_1$ and $C_2$.
(a) Find, using algebra, the $x$ coordinates of $P$ and of $Q$. [4]

$x^2+3=13-\dfrac{9}{x^2}$at P and Q the two y-values are equalที่ P และ Q ค่า y ทั้งสองเท่ากัน
$x^4+3x^2=13x^2-9$multiply every term by x²คูณทุกพจน์ด้วย x²
$x^4-10x^2+9=0$everything on one sideย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
$u=x^2$let u = x²: a quadratic in uให้ u = x²: ได้สมการกำลังสองของ u
$u^2-10u+9=0$x⁴ = u²x⁴ = u²
$(u-1)(u-9)=0$factorise: −1 × −9 = 9, −1 − 9 = −10แยกตัวประกอบ: −1 × −9 = 9, −1 − 9 = −10
$u=1,\ 9$two rootsรากสองค่า
$x^2=1,\ 9$u = x²u = x²
$x=1,\ 3$x > 0: positive roots onlyx > 0: เอาเฉพาะรากบวก
$x_P=1$answer · P is the left pointคำตอบ · P คือจุดทางซ้าย
$x_Q=3$answer · Q is the right pointคำตอบ · Q คือจุดทางขวา

Q8(b) Exact area of RQ8(b) พื้นที่ R ค่าตรง

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
For $x\gt0$, the curve $C_1$ is $y=x^2+3$ and the curve $C_2$ is $y=13-\dfrac{9}{x^2}$. They cross at two points, $P$ and $Q$, as on the figure. The shaded region $R$ is the finite region enclosed by $C_1$ and $C_2$.
(b) From (a): $P$ has $x=1$ and $Q$ has $x=3$. Find the exact area of $R$, using algebraic integration. [4]

$D=y_2-y_1$D = upper curve C₂ minus lower curve C₁D = เส้นบน C₂ ลบเส้นล่าง C₁
$A=\int_1^3D\,dx$area of R: x = 1 to 3พื้นที่ R: x = 1 ถึง 3
$D=10-9x^{-2}-x^2$13 − 3 = 10 · 9/x² = 9x⁻²13 − 3 = 10 · 9/x² = 9x⁻²
$\int10\,dx=10x$a constant gives a multiple of xค่าคงที่ได้เป็นพหุคูณของ x
$\int-9x^{-2}dx=9x^{-1}$power + 1 = −1, divide by −1กำลัง + 1 = −1 แล้วหารด้วย −1
$\int-x^2dx=-\dfrac{x^3}{3}$power + 1 = 3, divide by 3กำลัง + 1 = 3 แล้วหารด้วย 3
$F(x)=10x+\dfrac{9}{x}-\dfrac{x^3}{3}$F = the integralF = อินทิกรัล
$F(3)=30+3-9$x = 3x = 3
$=24$top limitขอบบน
$F(1)=10+9-\tfrac{1}{3}$x = 1x = 1
$=\tfrac{56}{3}$bottom limitขอบล่าง
$A=24-\tfrac{56}{3}$A = F(3) − F(1)A = F(3) − F(1)
$=\tfrac{16}{3}$answer · exactคำตอบ · ค่าตรง

10. Q9 · Trigonometric identity and equation · 7 marksข้อ 9 · เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ · 7 คะแนน

Answer: 3sin²θ + 2sin θ − 3 = 0 (shown); θ ≈ −3.946489, 0.804897, 2.336696, 7.088082; x = −2.50, −0.121, 0.645, 3.02คำตอบ: 3sin²θ + 2sin θ − 3 = 0 (shown); θ ≈ −3.946489, 0.804897, 2.336696, 7.088082; x = −2.50, −0.121, 0.645, 3.02

Q9(a) Rewrite as a quadratic in sin θQ9(a) เขียนใหม่เป็นสมการกำลังสองของ sin θ

Detailed reasoning is required in this question: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(a) Show that the equation $2\tan\theta=3\cos\theta$ can be rearranged into the form $3\sin^2\theta+2\sin\theta-3=0$. [3]

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$θ “theta” · write tan with sin and cosθ อ่านว่า ทีตา · เขียน tan ด้วย sin และ cos
$\dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta}=3\cos\theta$the equation with sin and cos onlyสมการที่มีแค่ sin กับ cos
$2\sin\theta=3\cos^2\theta$multiply both sides by cos θคูณ cos θ ทั้งสองข้าง
$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$from sin²θ + cos²θ = 1จาก sin²θ + cos²θ = 1
$2\sin\theta=3(1-\sin^2\theta)$substituteแทนค่า
$2\sin\theta=3-3\sin^2\theta$expandกระจาย
$\eqalign{&3\sin^2\theta\cr&+2\sin\theta-3}=0$shown · 3sin²θ + 2sin θ − 3 = 0แสดงได้ตามโจทย์ · 3sin²θ + 2sin θ − 3 = 0

Q9(b) Solve for the angle θQ9(b) แก้หามุม θ

Detailed reasoning is required in this question: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(b) From (a): $2\tan\theta=3\cos\theta$ is the same as $3\sin^2\theta+2\sin\theta-3=0$.
Hence, for $-\pi\lt x\lt\pi$, solve $2\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$. Answers to 3 s.f. (Part (b) is 4 marks in all; the mark scheme gives 1 to solving for the angle and 3 to finding $x$.) [1]

$\theta=2x+\tfrac{\pi}{3}$θ = the angle inside the bracketsθ = มุมในวงเล็บ
$\eqalign{&3\sin^2\theta\cr&+2\sin\theta-3}=0$by (a), the equation becomes thisจากข้อ (a) สมการกลายเป็นแบบนี้
$\sin\theta=\dfrac{-2\pm\sqrt{40}}{6}$quadratic formula: 2² − 4(3)(−3) = 40สูตรสมการกำลังสอง: 2² − 4(3)(−3) = 40
$p=\dfrac{-2+\sqrt{40}}{6}$p = the + rootp = รากบวก
$\approx0.720759$sin θ = psin θ = p
$\dfrac{-2-\sqrt{40}}{6}\approx-1.38743$the − root is below −1: no angleรากลบน้อยกว่า −1: ไม่มีมุม
$-2\pi\lt2x\lt2\pi$range: −π < x < π, doubledช่วง: −π < x < π คูณ 2
$-\tfrac{5\pi}{3}\lt\theta\lt\tfrac{7\pi}{3}$add π/3: θ from −5.236 to 7.330บวก π/3: θ อยู่ระหว่าง −5.236 ถึง 7.330
$\theta_1=\sin^{-1}p$sin⁻¹ “sin inverse”, in radianssin⁻¹ (ไซน์อินเวิร์ส) ใช้เรเดียน
$\approx0.804897$first angleมุมแรก
$\theta_2\approx\pi-0.804897$sin is also positive in the 2nd quartersin เป็นบวกในจตุภาคที่ 2 ด้วย
$\approx2.336696$second angleมุมที่สอง
$\theta_3\approx0.804897+2\pi$add 2π: 7.088 is still insideบวก 2π: 7.088 ยังอยู่ในช่วง
$\approx7.088082$third angleมุมที่สาม
$\theta_4\approx2.336696-2\pi$take 2π from θ₂ · θ₁ − 2π ≈ −5.478 and θ₂ + 2π ≈ 8.620 are outsideลบ 2π จาก θ₂ · θ₁ − 2π ≈ −5.478 และ θ₂ + 2π ≈ 8.620 อยู่นอกช่วง
$\approx-3.946489$fourth angle · these four are all the angles in rangeมุมที่สี่ · ในช่วงนี้มีแค่สี่มุมนี้

Q9(b) From θ back to xQ9(b) จาก θ กลับไปหา x

Detailed reasoning is required in this question: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(b) From (a): $2\tan\theta=3\cos\theta$ is the same as $3\sin^2\theta+2\sin\theta-3=0$.
Hence, for $-\pi\lt x\lt\pi$, solve $2\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$. Answers to 3 s.f.
From the first step: $\theta=2x+\tfrac{\pi}{3}$ and $\theta_1\approx0.804897$, $\theta_2\approx2.336696$, $\theta_3\approx7.088082$, $\theta_4\approx-3.946489$. (Part (b) is 4 marks in all; the mark scheme gives 1 to solving for the angle and 3 to finding $x$.) [3]

$x=\dfrac{\theta-\tfrac{\pi}{3}}{2}$undo θ = 2x + π/3 · π/3 ≈ 1.047198ย้อนกลับ θ = 2x + π/3 · π/3 ≈ 1.047198
$\theta_1-\tfrac{\pi}{3}\approx-0.242301$take π/3 off θ₁ลบ π/3 จาก θ₁
$x\approx-0.12115$halve itหาร 2
$\theta_2-\tfrac{\pi}{3}\approx1.289498$take π/3 off θ₂ลบ π/3 จาก θ₂
$x\approx0.64475$halve itหาร 2
$\theta_3-\tfrac{\pi}{3}\approx6.040884$take π/3 off θ₃ลบ π/3 จาก θ₃
$x\approx3.02044$halve itหาร 2
$\theta_4-\tfrac{\pi}{3}\approx-4.993687$take π/3 off θ₄ลบ π/3 จาก θ₄
$x\approx-2.49684$halve itหาร 2
$x\approx\eqalign{&-2.50,\cr&-0.121,\cr&0.645,\cr&3.02}$answer · 3 s.f., all inside −π < x < πคำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ อยู่ในช่วง −π < x < π ทั้งหมด

11. Q10 · Circle and tangent · 10 marksข้อ 10 · วงกลมและเส้นสัมผัส · 10 คะแนน

Answer: (−2, 15); 2√5 (√20); 2m² − 7m − 22 = 0 (shown); m = 11/2, −2; P(12/5, 71/5); (12/5, 71/5) and (−6, 13)คำตอบ: (−2, 15); 2√5 (√20); 2m² − 7m − 22 = 0 (shown); m = 11/2, −2; P(12/5, 71/5); (12/5, 71/5) and (−6, 13)

Q10(a)(i) Centre of CQ10(a)(i) จุดศูนย์กลางของ C

The circle $C$ is $x^2+y^2+4x-30y+209=0$.
(a)(i) Find where the centre of $C$ is. (Part (a) is 3 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 1 to (ii).) [2]

$\eqalign{&(x-a)^2\cr&+(y-b)^2}=r^2$circle: centre (a, b), radius rสมการวงกลม: จุดศูนย์กลาง (a, b) รัศมี r
$x^2+4x=(x+2)^2-4$complete the square: half of 4 is 2ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: ครึ่งหนึ่งของ 4 คือ 2
$y^2-30y=(y-15)^2-225$half of −30 is −15ครึ่งหนึ่งของ −30 คือ −15
$4+225-209=20$move the numbers to the right sideย้ายตัวเลขไปข้างขวา
$\eqalign{&(x+2)^2\cr&+(y-15)^2}=20$C in centre–radius formสมการ C แบบจุดศูนย์กลาง–รัศมี
$(-2,\ 15)$answer · the centreคำตอบ · จุดศูนย์กลาง

Q10(a)(ii) Radius of CQ10(a)(ii) รัศมีของ C

The circle $C$ is $x^2+y^2+4x-30y+209=0$.
(a)(ii) From (a)(i): $(x+2)^2+(y-15)^2=20$. Find the radius of $C$ exactly. (Part (a) is 3 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 1 to (ii).) [1]

$r^2=20$from (x + 2)² + (y − 15)² = 20จาก (x + 2)² + (y − 15)² = 20
$r=\sqrt{20}$square rootถอดรากที่สอง
$=2\sqrt{5}$answer · exact: √20 = √4 × √5คำตอบ · ค่าตรง: √20 = √4 × √5

Q10(b) Show the condition on mQ10(b) แสดงเงื่อนไขของ m

The circle $C$ is $x^2+y^2+4x-30y+209=0$.
(b) The line $L$ is $y=mx+1$, with $m$ a constant, and $L$ touches $C$ as a tangent at the point $P$. Show that $2m^2-7m-22=0$. [3]

$y=mx+1$put L into the equation of Cแทน L ลงในสมการของ C
$(mx+1)^2=m^2x^2+2mx+1$the y² termพจน์ y²
$-30(mx+1)=-30mx-30$the −30y termพจน์ −30y
$a=1+m^2$collect x²: x² and m²x²รวม x²: x² กับ m²x²
$b=4+2m-30m$collect x: 4x, 2mx, −30mxรวม x: 4x, 2mx, −30mx
$=4-28m$bb
$c=1-30+209$collect the numbersรวมตัวเลข
$=180$cc
$ax^2+bx+c=0$x where L meets Cค่า x ที่ L ตัด C
$b^2-4ac=0$tangent: L meets C once, so one repeated rootเส้นสัมผัส: L แตะ C จุดเดียว จึงมีรากซ้ำ
$b^2=(4-28m)^2$b²b²
$=\eqalign{&784m^2\cr&-224m+16}$expandกระจาย
$4ac=720(1+m^2)$4 × 180 = 7204 × 180 = 720
$=720+720m^2$expandกระจาย
$\eqalign{&64m^2-224m\cr&-704}=0$b² − 4ac: 784 − 720 = 64, 16 − 720 = −704 · next, divide both sides by 32b² − 4ac: 784 − 720 = 64, 16 − 720 = −704 · ต่อไปหาร 32 ทั้งสองข้าง
$2m^2-7m-22=0$shown · divide by 32แสดงได้ตามโจทย์ · หาร 32

Q10(c) The gradients, then the first PQ10(c) ความชัน แล้วหา P จุดแรก

The circle $C$ is $x^2+y^2+4x-30y+209=0$.
(c) From (b): putting $y=mx+1$ into the equation of $C$ gives $ax^2+bx+c=0$ with $a=1+m^2$, $b=4-28m$, $c=180$, and the tangent condition gives $2m^2-7m-22=0$.
The line $L$ is $y=mx+1$ and touches $C$ at $P$. Hence find each possible pair of coordinates for $P$. (Part (c) is 4 marks in all; the mark scheme gives 3 to finding $m$ and one point, and 1 to the second point.) [3]

$2m^2-7m-22=0$from (b)จากข้อ (b)
$\eqalign{&(2m-11)\cr&\times(m+2)}=0$factorise: 2m × 2 − 11m = −7mแยกตัวประกอบ: 2m × 2 − 11m = −7m
$m=\tfrac{11}{2},\ -2$two tangents from (0, 1)เส้นสัมผัสสองเส้นจาก (0, 1)
$x=-\dfrac{b}{2a}$the repeated root of ax² + bx + c = 0รากซ้ำของ ax² + bx + c = 0
$a=1+\left(\tfrac{11}{2}\right)^2$m = 11/2 first · a = 1 + m²เริ่มที่ m = 11/2 · a = 1 + m²
$=\tfrac{125}{4}$1 + 121/41 + 121/4
$b=4-28\left(\tfrac{11}{2}\right)$b = 4 − 28mb = 4 − 28m
$=-150$4 − 1544 − 154
$x=\dfrac{150}{62.5}$2a = 125/2 = 62.52a = 125/2 = 62.5
$=\tfrac{12}{5}$x of the first Px ของ P จุดแรก
$y=\tfrac{11}{2}\left(\tfrac{12}{5}\right)+1$y = mx + 1y = mx + 1
$=\tfrac{71}{5}$66/5 + 5/566/5 + 5/5
$P\left(\tfrac{12}{5},\ \tfrac{71}{5}\right)$the first P · (2.4, 14.2)P จุดแรก · (2.4, 14.2)

Q10(c) The second PQ10(c) P จุดที่สอง

The circle $C$ is $x^2+y^2+4x-30y+209=0$.
(c) From (b): putting $y=mx+1$ into the equation of $C$ gives $ax^2+bx+c=0$ with $a=1+m^2$, $b=4-28m$, $c=180$, and the tangent condition gives $2m^2-7m-22=0$.
The line $L$ is $y=mx+1$ and touches $C$ at $P$. Hence find each possible pair of coordinates for $P$.
From the first step: $m=\tfrac{11}{2}$ or $m=-2$, and $m=\tfrac{11}{2}$ gives $P\left(\tfrac{12}{5},\tfrac{71}{5}\right)$. (Part (c) is 4 marks in all; the mark scheme gives 3 to finding $m$ and one point, and 1 to the second point.) [1]

$m=-2$the other gradient, from the first stepความชันอีกค่า จากขั้นแรก
$x=-\dfrac{b}{2a}$the repeated root, as for m = 11/2รากซ้ำ เหมือนตอน m = 11/2
$a=1+(-2)^2$a = 1 + m²a = 1 + m²
$=5$aa
$b=4-28(-2)$b = 4 − 28mb = 4 − 28m
$=60$4 + 564 + 56
$x=-\dfrac{60}{10}$2a = 102a = 10
$=-6$x of the second Px ของ P จุดที่สอง
$y=-2(-6)+1$y = mx + 1y = mx + 1
$=13$12 + 112 + 1
$P(-6,\ 13)$the second PP จุดที่สอง
$\eqalign{&P\left(\tfrac{12}{5},\ \tfrac{71}{5}\right)\cr&P(-6,\ 13)}$answer · both possible pointsคำตอบ · จุด P ที่เป็นไปได้ทั้งสองจุด

12. Q11 · Counter-example and exhaustion · 6 marksข้อ 11 · ตัวอย่างค้านและการแจกกรณี · 6 คะแนน

Answer: n = 5: 3⁵ + 2 = 245 = 5 × 49, not prime; m = 3k + 1 gives 3(3k² + 2k); m = 3k + 2 gives 3(3k² + 4k + 1); both multiples of 3คำตอบ: n = 5: 3⁵ + 2 = 245 = 5 × 49, not prime; m = 3k + 1 gives 3(3k² + 2k); m = 3k + 2 gives 3(3k² + 4k + 1); both multiples of 3

Q11(i) A counter-exampleQ11(i) ตัวอย่างค้าน

(i) Someone claims: “For every prime number $n$, the number $3^n+2$ is prime too.” Use a counter-example to prove the claim is false. [2]

$3^2+2=11$n = 2: 11 is primen = 2: 11 เป็นจำนวนเฉพาะ
$3^3+2=29$n = 3: 29 is primen = 3: 29 เป็นจำนวนเฉพาะ
$3^5+2=243+2$n = 5, the next primen = 5 จำนวนเฉพาะตัวถัดไป
$=245$ends in 5ลงท้ายด้วย 5
$245=5\times49$answer · 245 is not prime, so n = 5 makes the statement falseคำตอบ · 245 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ n = 5 จึงทำให้ข้อความเป็นเท็จ

Q11(ii) Proof by exhaustionQ11(ii) พิสูจน์แบบแจกกรณี

(ii) Let $m$ be an integer that is not a multiple of 3. Prove, by exhaustion, that 3 then divides $m^2-1$ exactly. [4]

$m=3k+1$case 1: remainder 1 on dividing by 3 (k an integer)กรณี 1: หารด้วย 3 เหลือเศษ 1 (k เป็นจำนวนเต็ม)
$m^2-1=(3k+1)^2-1$substituteแทนค่า
$=9k^2+6k+1-1$expandกระจาย
$=9k^2+6k$the 1s cancel1 หักล้างกัน
$=3(3k^2+2k)$3 × an integer: a multiple of 33 × จำนวนเต็ม: เป็นพหุคูณของ 3
$m=3k+2$case 2: remainder 2กรณี 2: เหลือเศษ 2
$m^2-1=(3k+2)^2-1$substituteแทนค่า
$=9k^2+12k+4-1$expandกระจาย
$=9k^2+12k+3$4 − 1 = 34 − 1 = 3
$=3(3k^2+4k+1)$answer · also a multiple of 3 · both cases done, so 3 divides m² − 1คำตอบ · เป็นพหุคูณของ 3 เช่นกัน · ครบทุกกรณี ดังนั้น 3 หาร m² − 1 ลงตัว

13. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Given $\displaystyle\int_{1}^{3}g(x)\,dx\approx12.4$, estimate $\displaystyle\int_{1}^{3}\big(g(x)+2x\big)\,dx$.ถ้า $\displaystyle\int_{1}^{3}g(x)\,dx\approx12.4$ จงประมาณ $\displaystyle\int_{1}^{3}\big(g(x)+2x\big)\,dx$
Answer:เฉลย: 20.4The 2x part is [x²] from 1 to 3 = 9 − 1 = 8, so 12.4 + 8 = 20.4.ส่วน 2x คือ [x²] จาก 1 ถึง 3 = 9 − 1 = 8 ดังนั้น 12.4 + 8 = 20.4
$y=x+\dfrac{4}{x}$ for $x\gt0$. Find the $x$ coordinate of the stationary point.$y=x+\dfrac{4}{x}$ เมื่อ $x\gt0$ หาพิกัด $x$ ของจุดคงที่
Answer:เฉลย: 2dy/dx = 1 − 4/x² = 0 gives x² = 4, and x > 0, so x = 2.dy/dx = 1 − 4/x² = 0 ได้ x² = 4 และ x > 0 ดังนั้น x = 2
Find the coefficient of $x$ in the expansion of $(2+3x)^4$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x$ ในการกระจาย $(2+3x)^4$
Answer:เฉลย: 96⁴C₁ × 2³ × 3 = 4 × 8 × 3 = 96.⁴C₁ × 2³ × 3 = 4 × 8 × 3 = 96
An arithmetic series has first term 5 and common difference 2. Find the sum of its first 20 terms.อนุกรมเลขคณิตมีพจน์แรก 5 ผลต่างร่วม 2 หาผลบวก 20 พจน์แรก
Answer:เฉลย: 480S = 20/2 × (2 × 5 + 19 × 2) = 10 × 48 = 480.S = 20/2 × (2 × 5 + 19 × 2) = 10 × 48 = 480
A circle has equation $x^2+y^2-6x+8y=0$. Find its radius.วงกลมมีสมการ $x^2+y^2-6x+8y=0$ หารัศมี
Answer:เฉลย: 5(x − 3)² + (y + 4)² = 9 + 16 = 25, so r = 5.(x − 3)² + (y + 4)² = 9 + 16 = 25 ดังนั้น r = 5

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี