Edexcel IAL Pure 2 WMA12 January 2025: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA12 Pure 2 · January 2025WMA12 Pure 2 · ม.ค. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 2 (WMA12) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Arithmetic series · 4 marksข้อ 1 · อนุกรมเลขคณิต · 4 คะแนน

Answer: 85; 10880คำตอบ: 85; 10880

Q1(a) How many termsQ1(a) มีกี่พจน์

The terms of a series $S$ go up by the same amount each time: $S=2+5+8+11+\dots+254$.
(a) How many terms does $S$ have? [2]

$a=2$a = the first terma = พจน์แรก
$d=5-2$d = the common difference: the jump from one term to the nextd = ผลต่างร่วม: ระยะจากพจน์หนึ่งไปพจน์ถัดไป
$=3$the jumpระยะที่เพิ่ม
$u_n=a+(n-1)d$nth term · uₙ “u sub n” = term number nพจน์ที่ n · uₙ อ่านว่า “ยู ซับ เอ็น”
$254=2+3(n-1)$the last term is 254พจน์สุดท้ายคือ 254
$252=3(n-1)$take 2 from both sidesลบ 2 ทั้งสองข้าง
$84=n-1$divide both sides by 3หาร 3 ทั้งสองข้าง
$n=85$answer · 85 termsคำตอบ · 85 พจน์

Q1(b) Add them upQ1(b) หาผลบวก

The terms of a series $S$ go up by the same amount each time: $S=2+5+8+11+\dots+254$.
(b) Work out the total of all the terms of $S$. (From (a): $S$ has 85 terms.) [2]

$S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$sum: half the number of terms × (first + last) · l = the last termผลบวก: ครึ่งของจำนวนพจน์ × (แรก + สุดท้าย) · l = พจน์สุดท้าย
$S=\dfrac{85}{2}(2+254)$n = 85 from (a), a = 2, l = 254n = 85 จากข้อ (a) · a = 2 · l = 254
$=\dfrac{85}{2}\times256$add inside the bracketบวกในวงเล็บ
$=85\times128$half of 256 is 128ครึ่งของ 256 คือ 128
$=10880$answerคำตอบ

3. Q2 · Binomial expansion · 5 marksข้อ 2 · การกระจายทวินาม · 5 คะแนน

Answer: 256 − 5120x + 44800x² − 224000x³; x = −0.01คำตอบ: 256 − 5120x + 44800x² − 224000x³; x = −0.01

Q2(a) First four termsQ2(a) สี่พจน์แรก

(a) Expand $(2-5x)^8$ as far as the first four terms, in ascending powers of $x$. Write every term as simply as you can. [4]

$b=-5x$call the second part of the bracket b · keep its minus signให้ b แทนส่วนที่สองในวงเล็บ · เก็บเครื่องหมายลบไว้ด้วย
$T_r=\binom{8}{r}2^{8-r}b^r$term r of (2 + b)⁸ · ⁸Cᵣ “8 choose r”พจน์ที่ r ของ (2 + b)⁸ · ⁸Cᵣ อ่านว่า “8 เลือก r”
$T_0=256$r = 0: 2⁸ = 256 · the first termr = 0: 2⁸ = 256 · พจน์แรก
$T_1=8\times2^7b$r = 1 · ⁸C₁ = 8r = 1 · ⁸C₁ = 8
$8\times128=1024$2⁷ = 1282⁷ = 128
$T_1=1024(-5x)$b = −5xb = −5x
$=-5120x$the second termพจน์ที่สอง
$T_2=28\times2^6b^2$r = 2 · ⁸C₂ = 28r = 2 · ⁸C₂ = 28
$28\times64=1792$2⁶ = 642⁶ = 64
$b^2=25x^2$(−5x)² = 25x² · the minus goes(−5x)² = 25x² · เครื่องหมายลบหายไป
$T_2=1792\times25x^2$put both inแทนทั้งสองค่า
$=44800x^2$the third termพจน์ที่สาม
$T_3=56\times2^5b^3$r = 3 · ⁸C₃ = 56r = 3 · ⁸C₃ = 56
$56\times32=1792$2⁵ = 322⁵ = 32
$b^3=-125x^3$(−5x)³: (−5)³ = −125 · the minus stays(−5x)³: (−5)³ = −125 · เครื่องหมายลบยังอยู่
$1792\times125=224000$the size of 1792 × (−125)ขนาดของ 1792 × (−125)
$T_3=-224000x^3$the minus from b³ · answer: 256 − 5120x + 44800x² − 224000x³ลบจาก b³ · คำตอบ: 256 − 5120x + 44800x² − 224000x³

Q2(b) Which x gives 2.05?Q2(b) x เท่าไรให้ 2.05

(b) The expansion is going to be used to estimate $2.05^8$. What value of $x$ should be put into it? (You do not need to work out the estimate.) [1]

$2-5x=2.05$make the bracket equal 2.05ให้ในวงเล็บเท่ากับ 2.05
$-5x=0.05$take 2 from both sidesลบ 2 ทั้งสองข้าง
$x=-0.01$answer · divide by −5คำตอบ · หารด้วย −5

4. Q3 · Open box: least metal · 10 marksข้อ 3 · กล่องเปิดฝา: ใช้โลหะน้อยที่สุด · 10 คะแนน

Answer: A = 3x² + 320/x (P = 3, Q = 320); x ≈ 3.76; d²A/dx² = 6 + 640/x³ = 18 > 0, so a minimumคำตอบ: A = 3x² + 320/x (P = 3, Q = 320); x ≈ 3.76; d²A/dx² = 6 + 640/x³ = 18 > 0, so a minimum

Q3(a) Area of metalQ3(a) พื้นที่แผ่นโลหะ

A water tank with no lid is a cuboid made from sheet metal (Figure 1). Its base measures $3x$ m by $x$ m, its height is $y$ m, and it holds $120\text{ m}^3$ of water.
(a) Let $A$ m² be the area of metal used. Show that $A=Px^2+\dfrac{Q}{x}$, where $P$ and $Q$ are positive constants, and find $P$ and $Q$. [4]

$V=3x\times x\times y$volume = length × width × heightปริมาตร = ยาว × กว้าง × สูง
$3x^2y=120$the box holds 120 m³กล่องจุ 120 m³
$y=\dfrac{40}{x^2}$120 ÷ 3 = 40120 ÷ 3 = 40
$\text{base}=3x^2$the base: 3x by xฐาน: 3x คูณ x
$\text{long}=2\times3xy$two long sides, each 3x by yด้านยาวสองแผ่น แผ่นละ 3x คูณ y
$\text{short}=2\times xy$two short sides, each x by y · no lidด้านสั้นสองแผ่น แผ่นละ x คูณ y · ไม่มีฝา
$A=3x^2+8xy$add them: 6xy + 2xy = 8xyรวมกัน: 6xy + 2xy = 8xy
$8xy=8x\times\dfrac{40}{x^2}$put y = 40/x² inแทน y = 40/x²
$=\dfrac{320}{x}$8 × 40 = 320 · x ÷ x² = 1/x8 × 40 = 320 · x ÷ x² = 1/x
$A=3x^2+\dfrac{320}{x}$the form Px² + Q/x · shownอยู่ในรูป Px² + Q/x · แสดงได้แล้ว
$P=3$answerคำตอบ
$Q=320$answerคำตอบ

Q3(b) Stationary valueQ3(b) ค่าคงที่ของ A

A water tank with no lid is a cuboid made from sheet metal (Figure 1). Its base measures $3x$ m by $x$ m, its height is $y$ m, and it holds $120\text{ m}^3$ of water.
(b) With calculus, find the $x$ that makes $A$ stationary. Answer to 3 s.f. (From (a): $A=3x^2+\dfrac{320}{x}$.) [4]

$A=3x^2+320x^{-1}$from (a) · write 320/x as a powerจากข้อ (a) · เขียน 320/x เป็นเลขยกกำลัง
$\dfrac{dA}{dx}=6x-320x^{-2}$differentiate each termดิฟทีละพจน์
$6x-\dfrac{320}{x^2}=0$stationary: dA/dx = 0จุดคงที่: dA/dx = 0
$6x=\dfrac{320}{x^2}$add 320/x² to both sidesบวก 320/x² ทั้งสองข้าง
$6x^3=320$multiply both sides by x²คูณ x² ทั้งสองข้าง
$x^3=\dfrac{160}{3}$320 ÷ 6 = 160/3320 ÷ 6 = 160/3
$x=\sqrt[3]{\dfrac{160}{3}}$cube root of both sidesถอดรากที่สามทั้งสองข้าง
$x\approx3.764$calculatorกดเครื่องคิดเลข
$x\approx3.76$answer · 3 s.f.คำตอบ · เลขนัยสำคัญ 3 ตัว

Q3(c) Check it is a minimumQ3(c) ตรวจว่าเป็นค่าต่ำสุด

A water tank with no lid is a cuboid made from sheet metal (Figure 1). Its base measures $3x$ m by $x$ m, its height is $y$ m, and it holds $120\text{ m}^3$ of water.
(c) Find $\dfrac{d^2A}{dx^2}$. Hence show that your $x$ from (b), $x\approx3.76$, gives the smallest value of $A$. [2]

$\dfrac{dA}{dx}=6x-320x^{-2}$from (b)จากข้อ (b)
$\dfrac{d^2A}{dx^2}=6+640x^{-3}$differentiate again: −320 × (−2) = 640ดิฟอีกครั้ง: −320 × (−2) = 640
$=6+\dfrac{640}{x^3}$the second derivativeอนุพันธ์อันดับสอง
$x^3=\dfrac{160}{3}$at the x from (b)ที่ค่า x จากข้อ (b)
$\dfrac{640}{x^3}=640\times\dfrac{3}{160}$÷ (160/3) is × (3/160)หาร 160/3 คือคูณ 3/160
$=12$640 ÷ 160 = 4, × 3640 ÷ 160 = 4 แล้วคูณ 3
$\dfrac{d^2A}{dx^2}=6+12$put it inแทนค่า
$=18$value at x ≈ 3.76ค่าที่ x ≈ 3.76
$18\gt0$positive, so x ≈ 3.76 gives the minimum value of A · shownเป็นบวก ดังนั้น x ≈ 3.76 ให้ค่า A ต่ำสุด · แสดงได้แล้ว

5. Q4 · Geometric series · 6 marksข้อ 4 · อนุกรมเรขาคณิต · 6 คะแนน

Answer: r = 0.4; a = 45คำตอบ: r = 0.4; a = 45

Q4(a) Common ratioQ4(a) อัตราส่วนร่วม

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
For one geometric series, the first three terms add up to 70.2 and its sum to infinity equals 75.
(a) Find its common ratio. [4]

$S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$sum to infinity · ∞ “infinity”ผลบวกถึงอนันต์ · ∞ อ่านว่า “อินฟินิตี”
$\dfrac{a}{1-r}=75$givenโจทย์ให้
$S_3=\dfrac{a(1-r^3)}{1-r}$sum of the first 3 termsผลบวก 3 พจน์แรก
$\dfrac{a(1-r^3)}{1-r}=70.2$givenโจทย์ให้
$75(1-r^3)=70.2$② is a/(1 − r) × (1 − r³), and a/(1 − r) = 75 by ①② คือ a/(1 − r) × (1 − r³) และ a/(1 − r) = 75 จาก ①
$1-r^3=0.936$70.2 ÷ 75 = 0.93670.2 ÷ 75 = 0.936
$-r^3=-0.064$take 1 from both sidesลบ 1 ทั้งสองข้าง
$r^3=0.064$change both signsเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองข้าง
$r=\sqrt[3]{0.064}$cube rootถอดรากที่สาม
$=0.4$answer · 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064คำตอบ · 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064

Q4(b) First termQ4(b) พจน์แรก

$\dfrac{a}{1-r}=75$① · r = 0.4 from (a)① · r = 0.4 จากข้อ (a)
$\dfrac{a}{1-0.4}=75$substituteแทนค่า
$\dfrac{a}{0.6}=75$1 − 0.4 = 0.61 − 0.4 = 0.6
$a=75\times0.6$multiply both sides by 0.6คูณ 0.6 ทั้งสองข้าง
$=45$answerคำตอบ

6. Q5 · Factor and remainder theorems · 9 marksข้อ 5 · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ · 9 คะแนน

Answer: 16a + 9b = 56; a = −1, b = 8; f(x) = (3x − 4)(x + 2)(x − 1)คำตอบ: 16a + 9b = 56; a = −1, b = 8; f(x) = (3x − 4)(x + 2)(x − 1)

Q5(a) Show 16a + 9b = 56Q5(a) แสดงว่า 16a + 9b = 56

$f(x)=3x^3+ax^2-10x+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(a) You are told that $(3x-4)$ is a factor of $f(x)$. Show that $16a+9b=56$. [2]

$3x-4=0$a factor is zero at its rootตัวประกอบเป็นศูนย์ที่รากของมัน
$3x=4$add 4 to both sidesบวก 4 ทั้งสองข้าง
$x=\dfrac{4}{3}$the rootราก
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=0$factor theoremทฤษฎีบทตัวประกอบ
$3\left(\dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{64}{9}$3 × 64/273 × 64/27
$a\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16a}{9}$(4/3)² = 16/9(4/3)² = 16/9
$-10\left(\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{120}{9}$−40/3 written over 9−40/3 เขียนให้ส่วนเป็น 9
$\dfrac{64}{9}-\dfrac{120}{9}=-\dfrac{56}{9}$the two number terms togetherรวมสองพจน์ที่เป็นตัวเลข
$\dfrac{16a}{9}+b-\dfrac{56}{9}=0$so f(4/3) = 0 says thisดังนั้น f(4/3) = 0 คือสมการนี้
$16a+9b-56=0$multiply every term by 9คูณทุกพจน์ด้วย 9
$16a+9b=56$shownแสดงได้แล้ว

Q5(b) Find a and bQ5(b) หา a และ b

$f(x)=3x^3+ax^2-10x+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) $(3x-4)$ is a factor of $f(x)$. Also, dividing $f(x)$ by $(x-2)$ leaves remainder $b$. Work out $a$, then $b$. [4]

$f(2)=b$remainder theorem: dividing by (x − 2) leaves f(2)ทฤษฎีบทเศษเหลือ: หารด้วย (x − 2) เศษคือ f(2)
$3(2)^3=24$put x = 2 into each termแทน x = 2 ทีละพจน์
$a(2)^2=4a$2² = 42² = 4
$-10(2)=-20$the x termพจน์ x
$24+4a-20+b=b$f(2) = bf(2) = b
$4a+4=0$b cancels · 24 − 20 = 4b ตัดกันหมด · 24 − 20 = 4
$4a=-4$take 4 from both sidesลบ 4 ทั้งสองข้าง
$a=-1$answerคำตอบ
$16(-1)+9b=56$put a = −1 into 16a + 9b = 56 from (a)แทน a = −1 ใน 16a + 9b = 56 จากข้อ (a)
$-16+9b=56$16 × (−1) = −1616 × (−1) = −16
$9b=72$add 16 to both sidesบวก 16 ทั้งสองข้าง
$b=8$answerคำตอบ

Q5(c) Factorise fullyQ5(c) แยกตัวประกอบให้หมด

$f(x)=3x^3+ax^2-10x+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(c) Hence, with algebra, write $f(x)$ as a product of three linear factors. (From (b): $a=-1$, $b=8$.) [3]

$a=-1$from (b)จากข้อ (b)
$b=8$from (b)จากข้อ (b)
$f(x)=\eqalign{&3x^3-x^2\cr&-10x+8}$put a and b inแทน a และ b
$f(x)=(3x-4)Q$(3x − 4) is a factor · Q = the quadratic factor(3x − 4) เป็นตัวประกอบ · Q = ตัวประกอบกำลังสอง
$Q=x^2+px+q$3x × x² gives the 3x³3x × x² ได้ 3x³
$-4q=8$number terms: −4 × q gives the + 8พจน์ตัวเลข: −4 × q ได้ + 8
$q=-2$divide by −4หารด้วย −4
$3p-4=-1$x² terms: 3x × px and −4 × x² give −x²พจน์ x²: 3x × px กับ −4 × x² ได้ −x²
$3p=3$add 4 to both sidesบวก 4 ทั้งสองข้าง
$p=1$check the x terms: 3x(−2) − 4x = −10x ✓ตรวจพจน์ x: 3x(−2) − 4x = −10x ✓
$Q=x^2+x-2$the quadratic factorตัวประกอบกำลังสอง
$=(x+2)(x-1)$2 × (−1) = −2, 2 + (−1) = 12 × (−1) = −2, 2 + (−1) = 1
$f(x)=\eqalign{&(3x-4)\cr&(x+2)(x-1)}$answer · f(x) = (3x − 4)Qคำตอบ · f(x) = (3x − 4)Q

7. Q6 · Chord, centre and circle · 8 marksข้อ 6 · คอร์ด จุดศูนย์กลาง และวงกลม · 8 คะแนน

Answer: y = −3x + 19; k = −2; (x − 7)² + (y + 2)² = 80คำตอบ: y = −3x + 19; k = −2; (x − 7)² + (y + 2)² = 80

Q6(a) Equation of lQ6(a) สมการของ l

$A(-1,2)$ and $B(11,6)$ are two points on a circle with centre $P$. $M$ is the midpoint of $AB$. The line $l$ passes through both $M$ and $P$ (Figure 2).
(a) Find the equation of $l$, written as $y=mx+c$ with constants $m$ and $c$. [4]

$x_M=\dfrac{-1+11}{2}$midpoint: the mean of the x-valuesจุดกึ่งกลาง: ค่าเฉลี่ยของค่า x
$=5$x of Mx ของ M
$y_M=\dfrac{2+6}{2}$the mean of the y-valuesค่าเฉลี่ยของค่า y
$=4$M = (5, 4)M = (5, 4)
$m_{AB}=\dfrac{6-2}{11-(-1)}$gradient = rise ÷ runความชัน = ระยะขึ้น ÷ ระยะข้าง
$=\dfrac{4}{12}$rise 4, run 12ขึ้น 4 ข้าง 12
$=\dfrac{1}{3}$simplifyทำให้อย่างต่ำ
$m_l=-3$a line from the centre through the middle of a chord is perpendicular to it: flip 1/3 and change the signเส้นจากจุดศูนย์กลางผ่านกึ่งกลางคอร์ดตั้งฉากกับคอร์ด: กลับเศษส่วน 1/3 แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$y-4=-3(x-5)$the line through M(5, 4) with gradient −3เส้นผ่าน M(5, 4) ความชัน −3
$y-4=-3x+15$expand: −3 × (−5) = 15กระจาย: −3 × (−5) = 15
$y=-3x+19$answer · 15 + 4 = 19คำตอบ · 15 + 4 = 19

Q6(b) Find kQ6(b) หา k

$A(-1,2)$ and $B(11,6)$ are two points on a circle with centre $P$. $M$ is the midpoint of $AB$. The line $l$ passes through both $M$ and $P$ (Figure 2).
(b) $P$ is the point $(7,k)$, with $k$ a constant. Find $k$. (From (a): $l$ is $y=-3x+19$.) [1]

$y=-3x+19$l from (a) · P is on lเส้น l จากข้อ (a) · P อยู่บน l
$k=-3(7)+19$put P(7, k) in: x = 7, y = kแทน P(7, k): x = 7, y = k
$=-21+19$3 × 7 = 213 × 7 = 21
$=-2$answerคำตอบ

Q6(c) Equation of the circleQ6(c) สมการวงกลม

$A(-1,2)$ and $B(11,6)$ are two points on a circle with centre $P$. $M$ is the midpoint of $AB$. The line $l$ passes through both $M$ and $P$ (Figure 2).
(c) Find the equation of the circle. (From (b): $P$ is $(7,-2)$.) [3]

$\Delta x=11-7$r = PB · from P(7, −2) across to B(11, 6) · Δ “delta” = changer = PB · จาก P(7, −2) ไป B(11, 6) แนวนอน · Δ อ่านว่า “เดลตา” = ระยะที่เปลี่ยน
$=4$acrossแนวนอน
$\Delta y=6-(-2)$up from P to Bแนวตั้งจาก P ไป B
$=8$upแนวตั้ง
$r^2=4^2+8^2$Pythagorasพีทาโกรัส
$=80$16 + 6416 + 64
$X=x-7$X = across from the centre P(7, −2)X = ระยะแนวนอนจากจุดศูนย์กลาง P(7, −2)
$Y=y+2$Y = up from P · y − (−2) = y + 2Y = ระยะแนวตั้งจาก P · y − (−2) = y + 2
$X^2+Y^2=r^2$circle rule: Pythagoras from the centreสูตรวงกลม: พีทาโกรัสจากจุดศูนย์กลาง
$\eqalign{&(x-7)^2\cr&+(y+2)^2}=80$answer · put X and Y backคำตอบ · แทน X และ Y กลับ

8. Q7 · Logarithms: trapezium rule and an equation · 8 marksข้อ 7 · ลอการิทึม: กฎสี่เหลี่ยมคางหมูและสมการ · 8 คะแนน

Answer: k = 10080; a = −5คำตอบ: k = 10080; a = −5

Q7(i) Trapezium rule with logsQ7(i) กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับ log

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
(i) The table lists $y=\log_{10}(x+5)$ at $x=-1,0,1,2,3,4$ (in the table, log means $\log_{10}$). Apply the trapezium rule to all six $y$ values to show that
$\displaystyle\int_{-1}^{4}\log_{10}(x+5)\,dx$
$\approx\log_{10}k$,
and find the integer $k$. [3]

$h=1$strip width: the x-values go up by 1 · log means log₁₀ hereความกว้างแถบ: ค่า x เพิ่มทีละ 1 · log ในข้อนี้คือ log ฐาน 10
$I\approx\dfrac{h}{2}(E+2M)$trapezium rule · E = the two end y-values · M = the middle onesกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · E = ค่า y ปลายสองข้าง · M = ค่าตรงกลาง
$I\approx\dfrac{1}{2}E+M$h/2 = ½ · open the bracketh/2 = ½ · กระจายวงเล็บ
$E=\log4+\log9$first + lastตัวแรก + ตัวสุดท้าย
$=\log36$log p + log q = log pqlog p + log q = log pq
$\dfrac{1}{2}\log36=\log6$½ log 36 = log 36^½ = log 6½ log 36 = log 36^½ = log 6
$\log5+\log6=\log30$the middle values, two at a timeค่าตรงกลาง บวกทีละคู่
$\log7+\log8=\log56$the other twoอีกคู่
$M=\log30+\log56$add the pairsรวมสองคู่
$=\log1680$30 × 56 = 168030 × 56 = 1680
$I\approx\log(6\times1680)$½E + M = log 6 + log 1680 · log p + log q = log pq½E + M = log 6 + log 1680 · log p + log q = log pq
$=\log10080$6 × 1680 = 10080 · the form log₁₀ k6 × 1680 = 10080 · อยู่ในรูป log₁₀ k
$k=10080$answerคำตอบ

Q7(ii) Solve the log equationQ7(ii) แก้สมการ log

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
(ii) Work out the value of $a$ for which
$2\log_5(5-a)$
$-\log_5(a+25)=1$. [5]

$2\log_5(5-a)=\log_5(5-a)^2$power law: n log p = log pⁿกฎกำลัง: n log p = log pⁿ
$1=\log_55$because 5¹ = 5เพราะ 5¹ = 5
$\log_5\dfrac{(5-a)^2}{a+25}=\log_55$subtract logs: log p − log q = log (p/q)ลบ log: log p − log q = log (p/q)
$\dfrac{(5-a)^2}{a+25}=5$equal logs, so the insides are equallog เท่ากัน สิ่งข้างในจึงเท่ากัน
$(5-a)^2=5(a+25)$multiply both sides by (a + 25)คูณ (a + 25) ทั้งสองข้าง
$25-10a+a^2=5a+125$expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
$a^2-15a-100=0$move 5a + 125 over · −10a − 5a = −15a · 25 − 125 = −100ย้าย 5a + 125 มา · −10a − 5a = −15a · 25 − 125 = −100
$(a-20)(a+5)=0$−20 × 5 = −100 and −20 + 5 = −15−20 × 5 = −100 และ −20 + 5 = −15
$a=20\ \text{or}\ a=-5$each bracket = 0ให้แต่ละวงเล็บเท่ากับ 0
$5-20=-15$a = 20 makes 5 − a negative: log₅ of a negative does not exist · rejecta = 20 ทำให้ 5 − a ติดลบ: log₅ ของจำนวนลบไม่มี · ตัดทิ้ง
$a=-5$answer · 5 − a = 10 and a + 25 = 20 are both positiveคำตอบ · 5 − a = 10 และ a + 25 = 20 เป็นบวกทั้งคู่

9. Q8 · Counter-example and proof · 5 marksข้อ 8 · ตัวอย่างค้านและการพิสูจน์ · 5 คะแนน

Answer: √2 × √8 = 4, which is rational; n = 2k + 1 gives 4(2k + 1)(k² + k + 1) + 2: even, never a multiple of 4คำตอบ: √2 × √8 = 4, which is rational; n = 2k + 1 gives 4(2k + 1)(k² + k + 1) + 2: even, never a multiple of 4

Q8(i) A counter-exampleQ8(i) ตัวอย่างค้าน

(i) A student says: “if $x$ and $y$ are two different irrational numbers ($x\ne y$), then their product $xy$ must be irrational as well.” Give a counter-example that shows this claim does not always hold. [1]

$x=\sqrt{2}$irrationalเป็นจำนวนอตรรกยะ
$y=\sqrt{8}$irrational, and √8 ≠ √2เป็นจำนวนอตรรกยะ และ √8 ≠ √2
$xy=\sqrt{2}\times\sqrt{8}$multiplyคูณกัน
$=\sqrt{16}$√p × √q = √(pq) · 2 × 8 = 16√p × √q = √(pq) · 2 × 8 = 16
$=4$4 = 4/1 is rational, so the statement is not always true4 = 4/1 เป็นจำนวนตรรกยะ ข้อความจึงไม่จริงเสมอไป

Q8(ii) Odd n: even, not a multiple of 4Q8(ii) n คี่: เป็นคู่ แต่ 4 หารไม่ลงตัว

(ii) Using algebra, prove that whenever $n$ is an odd integer, $n^3+3n+2$ is an even number that 4 does not divide. [4]

$n=2k+1$any odd integer · k is an integerจำนวนคี่ใด ๆ · k เป็นจำนวนเต็ม
$E=n^3+3n+2$call the expression Eให้ E แทนนิพจน์นี้
$=n(n^2+3)+2$take n out of the first two termsดึง n ออกจากสองพจน์แรก
$n^2=(2k+1)^2$put n = 2k + 1แทน n = 2k + 1
$=4k^2+4k+1$expandกระจาย
$n^2+3=4k^2+4k+4$add 3บวก 3
$=4(k^2+k+1)$take out 4ดึง 4 ออก
$m=k^2+k+1$m is a whole numberm เป็นจำนวนเต็ม
$E=4nm+2$n² + 3 = 4m, so E = 4(2k + 1)(k² + k + 1) + 2n² + 3 = 4m ดังนั้น E = 4(2k + 1)(k² + k + 1) + 2
$=2(2nm+1)$2 × a whole number: E is even2 × จำนวนเต็ม: E เป็นจำนวนคู่
$\dfrac{E}{4}=nm+\dfrac{1}{2}$not a whole number: E is never a multiple of 4 · provedไม่เป็นจำนวนเต็ม: E ไม่เป็นพหุคูณของ 4 · พิสูจน์แล้ว

10. Q9 · Turning point and area · 12 marksข้อ 9 · จุดวกกลับและพื้นที่ · 12 คะแนน

Answer: M(16, 460.8); x = 25; 1312.7คำตอบ: M(16, 460.8); x = 25; 1312.7

Q9(a) Coordinates of MQ9(a) พิกัดของ M

$y=\dfrac{9}{5}x^2(5-\sqrt{x})$the 5 under the fraction is 9/5 in front5 ที่เป็นตัวส่วน คือ 9/5 ข้างหน้า
$y=9x^2-\dfrac{9}{5}x^{\frac{5}{2}}$multiply out · x² × √x = x^(5/2)กระจาย · x² × √x = x^(5/2)
$\dfrac{dy}{dx}=18x-\dfrac{9}{2}x^{\frac{3}{2}}$times the power, then power − 1 · (9/5) × (5/2) = 9/2คูณกำลังลงมา แล้วกำลังลด 1 · (9/5) × (5/2) = 9/2
$18x-\dfrac{9}{2}x^{\frac{3}{2}}=0$turning point: dy/dx = 0จุดวกกลับ: dy/dx = 0
$18x=\dfrac{9}{2}x^{\frac{3}{2}}$move the x^(3/2) term overย้ายพจน์ x^(3/2) ไปอีกข้าง
$18=\dfrac{9}{2}x^{\frac{1}{2}}$divide by x (x ≠ 0 at M) · x^(3/2) ÷ x = x^(1/2)หารด้วย x (ที่ M x ≠ 0) · x^(3/2) ÷ x = x^(1/2)
$4=x^{\frac{1}{2}}$18 × 2/9 = 418 × 2/9 = 4
$x=16$square both sides: 4² = 16ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: 4² = 16
$5-\sqrt{16}=1$x = 16: √16 = 4x = 16: √16 = 4
$y=\dfrac{9}{5}\times256\times1$x² = 256x² = 256
$=460.8$9 × 256 ÷ 59 × 256 ÷ 5
$M=(16,\ 460.8)$answerคำตอบ

Q9(b) Where it meets the x-axisQ9(b) จุดตัดแกน x

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
Figure 3 sketches a section of the graph of $y=\dfrac{9x^2\left(5-\sqrt{x}\right)}{5}$, $x\ge0$. The curve has a turning point $M$.
(b) The curve meets the $x$-axis again at $P$. Using algebra, find the $x$ coordinate of $P$. [2]

$y=0$P is on the x-axisP อยู่บนแกน x
$\dfrac{9}{5}x^2(5-\sqrt{x})=0$set the curve equal to 0ให้สมการเส้นโค้งเท่ากับ 0
$5-\sqrt{x}=0$x² = 0 gives O · P comes from the bracketx² = 0 ได้จุด O · P มาจากวงเล็บ
$5=\sqrt{x}$add √x to both sidesบวก √x ทั้งสองข้าง
$x=25$answer · square both sidesคำตอบ · ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

Q9(c) Area of RQ9(c) พื้นที่ R

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
Figure 3 sketches a section of the graph of $y=\dfrac{9x^2\left(5-\sqrt{x}\right)}{5}$, $x\ge0$. The curve has a turning point $M$.
(c) The shaded region $R$ is enclosed by the curve, the line through $M$ parallel to the $x$-axis, and the line through $P$ parallel to the $y$-axis. With algebraic integration, find the area of $R$. Answer to 1 d.p. (From (a) and (b): $M(16,\ 460.8)$ and $P$ has $x=25$.) [5]

$R=B-U$B = the box: 16 to 25, up to the line through M · U = the area under the curve from 16 to 25B = สี่เหลี่ยม: จาก 16 ถึง 25 สูงถึงเส้นผ่าน M · U = พื้นที่ใต้โค้งจาก 16 ถึง 25
$B=9\times460.8$width 25 − 16 = 9 · height 460.8กว้าง 25 − 16 = 9 · สูง 460.8
$=4147.2$the boxพื้นที่สี่เหลี่ยม
$\int9x^2\,dx=3x^3$add 1 to the power, divide by the new powerบวกกำลัง 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
$\int\dfrac{9}{5}x^{\frac{5}{2}}dx=\dfrac{18}{35}x^{\frac{7}{2}}$new power 7/2 · (9/5) ÷ (7/2) = 18/35กำลังใหม่ 7/2 · (9/5) ÷ (7/2) = 18/35
$F(x)=3x^3-\dfrac{18}{35}x^{\frac{7}{2}}$F = the integral of yF = อินทิกรัลของ y
$3\times25^3=46875$x = 25 · 25³ = 15625x = 25 · 25³ = 15625
$25^{\frac{7}{2}}=78125$√25 = 5, then 5⁷√25 = 5 แล้วยกกำลัง 7
$\dfrac{18}{35}\times78125\approx40178.571$the second term at x = 25พจน์ที่สองที่ x = 25
$F(25)\approx6696.429$46875 − 40178.57146875 − 40178.571
$3\times16^3=12288$x = 16 · 16³ = 4096x = 16 · 16³ = 4096
$16^{\frac{7}{2}}=16384$√16 = 4, then 4⁷√16 = 4 แล้วยกกำลัง 7
$\dfrac{18}{35}\times16384\approx8426.057$the second term at x = 16พจน์ที่สองที่ x = 16
$F(16)\approx3861.943$12288 − 8426.05712288 − 8426.057
$U=F(25)-F(16)$top limit minus bottom limitขอบบนลบขอบล่าง
$\approx2834.486$6696.429 − 3861.9436696.429 − 3861.943
$R\approx\eqalign{&4147.2\cr&-2834.486}$R = B − U: put B and U inR = B − U: แทน B และ U
$\approx1312.714$4147.2 − 2834.4864147.2 − 2834.486
$R\approx1312.7$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

11. Q10 · Trig identity and equation · 8 marksข้อ 10 · เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ · 8 คะแนน

Answer: cos θ (3 tan θ + 2/tan θ) ≡ sin θ + 2/sin θ; x ≈ 3.48, 5.94คำตอบ: cos θ (3 tan θ + 2/tan θ) ≡ sin θ + 2/sin θ; x ≈ 3.48, 5.94

Q10(a) Prove the identityQ10(a) พิสูจน์เอกลักษณ์

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
(a) Show that
$\cos\theta\left(3\tan\theta+\dfrac{2}{\tan\theta}\right)$
$\equiv\sin\theta+\dfrac{2}{\sin\theta}$,
for $\theta\ne\dfrac{n\pi}{2}$. [4]

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$tan in sin and cosเขียน tan ด้วย sin และ cos
$\cos\theta\times3\tan\theta=3\sin\theta$first term: cos θ cancelsพจน์แรก: cos θ ตัดกัน
$\dfrac{2\cos\theta}{\tan\theta}=\dfrac{2\cos^2\theta}{\sin\theta}$second term: dividing by sin/cos is × cos/sinพจน์ที่สอง: หารด้วย sin/cos คือคูณ cos/sin
$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$sin²θ + cos²θ = 1sin²θ + cos²θ = 1
$\dfrac{2\cos^2\theta}{\sin\theta}=\dfrac{2-2\sin^2\theta}{\sin\theta}$put it in · now only sinแทนค่า · ตอนนี้มีแต่ sin
$=\dfrac{2}{\sin\theta}-2\sin\theta$split the fraction: 2 sin²θ ÷ sin θ = 2 sin θแยกเศษส่วน: 2 sin²θ ÷ sin θ = 2 sin θ
$3\sin\theta-2\sin\theta=\sin\theta$add the two sin θ termsรวมสองพจน์ sin θ
$\text{LHS}\equiv\sin\theta+\dfrac{2}{\sin\theta}$this is the right-hand side · shown · ≡ “identical to”นี่คือฝั่งขวา · แสดงได้แล้ว · ≡ อ่านว่า “เท่ากันทุกค่า”

Q10(b) Solve the equationQ10(b) แก้สมการ

Show each step of your working: an answer that rests only on calculator technology gets no credit.
(b) Hence solve
$\cos x\left(3\tan x+\dfrac{2}{\tan x}\right)$
$=4\sin x-5$
for $0\lt x\lt2\pi$. Answers to 3 s.f. [4]

$\sin x+\dfrac{2}{\sin x}=4\sin x-5$use (a) on the left sideใช้ข้อ (a) แทนฝั่งซ้าย
$s=\sin x$call sin x “s”ให้ s แทน sin x
$s+\dfrac{2}{s}=4s-5$the same equationสมการเดิม
$s^2+2=4s^2-5s$multiply every term by sคูณทุกพจน์ด้วย s
$0=3s^2-5s-2$move s² + 2 over · 4s² − s² = 3s²ย้าย s² + 2 ไปอีกข้าง · 4s² − s² = 3s²
$(3s+1)(s-2)=0$check: 3s² − 6s + s − 2ตรวจ: 3s² − 6s + s − 2
$s=-\dfrac{1}{3}$3s + 1 = 0 · s = 2 is impossible: sin x is never above 13s + 1 = 0 · s = 2 เป็นไปไม่ได้: sin x ไม่เกิน 1
$\sin x=-\dfrac{1}{3}$back to xกลับมาเป็น x
$\alpha=\sin^{-1}\dfrac{1}{3}$α “alpha” = the angle to use · radiansα (แอลฟา) = มุมอ้างอิง · หน่วยเรเดียน
$\alpha\approx0.3398$calculator in radiansเครื่องคิดเลขโหมดเรเดียน
$x\approx\pi+0.3398$sin is negative in the 3rd quarter …sin เป็นลบในจตุภาคที่ 3 …
$x\approx3.481$first angleมุมแรก
$x\approx2\pi-0.3398$… and in the 4th quarter… และในจตุภาคที่ 4
$x\approx5.943$second angleมุมที่สอง
$x\approx3.48,\ 5.94$answers · 3 s.f.คำตอบ · เลขนัยสำคัญ 3 ตัว

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

A series goes up by the same amount each time: $3+7+11+\dots+99$. How many terms does it have?อนุกรมเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกพจน์: 3 + 7 + 11 + … + 99 มีกี่พจน์
Answer:เฉลย: 25a = 3, d = 4: 99 = 3 + 4(n − 1), so n − 1 = 24 and n = 25.a = 3, d = 4: 99 = 3 + 4(n − 1) ได้ n − 1 = 24 ดังนั้น n = 25
A geometric series has common ratio 0.5 and sum to infinity 40. Find its first term.อนุกรมเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม 0.5 และผลบวกถึงอนันต์ 40 หาพจน์แรก
Answer:เฉลย: 20a/(1 − 0.5) = 40, so a = 40 × 0.5 = 20.a/(1 − 0.5) = 40 ดังนั้น a = 40 × 0.5 = 20
A circle has centre $(2,-1)$ and passes through $(5,3)$. Find $r^2$.วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (2, −1) และผ่านจุด (5, 3) หา r²
Answer:เฉลย: 25Across 3, up 4: r² = 3² + 4² = 25.แนวนอน 3 แนวตั้ง 4: r² = 3² + 4² = 25
Solve $\log_2x+\log_2(x+2)=3$.แก้สมการ log ฐาน 2 ของ x บวก log ฐาน 2 ของ (x + 2) เท่ากับ 3
Answer:เฉลย: 2x(x + 2) = 2³ = 8, so x² + 2x − 8 = 0, (x + 4)(x − 2) = 0. x = −4 has no log, so x = 2.x(x + 2) = 2³ = 8 ได้ x² + 2x − 8 = 0, (x + 4)(x − 2) = 0 · x = −4 หา log ไม่ได้ ดังนั้น x = 2
The curve $y=3x^2-x^3$ has a turning point with $x\gt0$. Find its $x$ coordinate.เส้นโค้ง y = 3x² − x³ มีจุดวกกลับที่ x > 0 หาค่า x ของจุดนั้น
Answer:เฉลย: 2dy/dx = 6x − 3x² = 3x(2 − x) = 0, so x = 0 or x = 2. With x > 0, x = 2.dy/dx = 6x − 3x² = 3x(2 − x) = 0 ได้ x = 0 หรือ x = 2 · x > 0 จึงได้ x = 2

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี