Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA12 Pure 2 · June 2025WMA12 Pure 2 · มิ.ย. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 2 (WMA12) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Binomial expansion · 6 marksข้อ 1 · การกระจายทวินาม · 6 คะแนน

Answer: 1 − 28x + 336x² − 2240x³; k = 13คำตอบ: 1 − 28x + 336x² − 2240x³; k = 13

Q1(a) First four termsQ1(a) สี่พจน์แรก

(a) Expand $(1-4x)^7$ in rising powers of $x$, up to and including the $x^3$ term. Write every term in its simplest form. [4]

  1. $n=7$the power of the bracketกำลังของวงเล็บ
  2. $b=-4x$the second term, sign includedพจน์ที่สอง รวมเครื่องหมาย
  3. $\binom{7}{1}=7$⁷C₁ “7 choose 1”⁷C₁ อ่านว่า 7 เลือก 1
  4. $\binom{7}{2}=21$⁷C₂ on the calculatorกด ⁷C₂ ในเครื่องคิดเลข
  5. $\binom{7}{3}=35$⁷C₃⁷C₃
  6. $T_1=1$first term: 1⁷ = 1พจน์แรก: 1⁷ = 1
  7. $T_2=7(-4x)$⁷C₁ × b⁷C₁ × b
  8. $=-28x$the x termพจน์ x
  9. $T_3=21(-4x)^2$⁷C₂ × b²⁷C₂ × b²
  10. $=21\times16x^2$(−4)² = 16(−4)² = 16
  11. $=336x^2$the x² termพจน์ x²
  12. $T_4=35(-4x)^3$⁷C₃ × b³⁷C₃ × b³
  13. $=-35\times64x^3$(−4)³ = −64(−4)³ = −64
  14. $=-2240x^3$the x³ termพจน์ x³
  15. $E=T_1+T_2+T_3+T_4$E = (1 − 4x)⁷ up to x³E = (1 − 4x)⁷ ถึงพจน์ x³
  16. $\eqalign{&1-28x+336x^2\cr&-2240x^3}$answer · four terms, rising powersคำตอบ · สี่พจน์ เรียงกำลังจากน้อยไปมาก

Q1(b) Find kQ1(b) หา k

(b) From (a): $(1-4x)^7=1-28x+336x^2$
$\qquad-2240x^3+\dots$
In the expansion of $(5+kx)(1-4x)^7$, with $k$ a constant, the $x^2$ term has coefficient 1316. Using the result of (a), find $k$. [2]

  1. $5\times336x^2=1680x^2$x² from 5 times the x² term of (a)x² จาก 5 คูณพจน์ x² ของข้อ (a)
  2. $kx(-28x)=-28kx^2$x² from kx times the x term of (a)x² จาก kx คูณพจน์ x ของข้อ (a)
  3. $1680-28k=1316$the two x² coefficients add to 1316สัมประสิทธิ์ x² สองตัวรวมกันได้ 1316
  4. $-28k=-364$take 1680 from both sidesลบ 1680 ทั้งสองข้าง
  5. $k=13$answerคำตอบ

3. Q2 · Circle from a diameter · 7 marksข้อ 2 · วงกลมจากเส้นผ่านศูนย์กลาง · 7 คะแนน

Answer: (x − 1)² + (y − 10)² = 34; (1, 10 − √34)คำตอบ: (x − 1)² + (y − 10)² = 34; (1, 10 − √34)

Q2(a) Equation of CQ2(a) สมการของ C

The straight line from $(-2,5)$ to $(4,15)$ is a diameter of the circle $C$.
(a) Find an equation for $C$. [5]

  1. $x_M=\dfrac{-2+4}{2}$the centre is the midpoint of the diameter · x firstจุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลาง · หา x ก่อน
  2. $=1$x of the centrex ของจุดศูนย์กลาง
  3. $y_M=\dfrac{5+15}{2}$then yแล้วหา y
  4. $=10$centre (1, 10)จุดศูนย์กลาง (1, 10)
  5. $d^2=6^2+10^2$diameter²: across 4 − (−2) = 6, up 15 − 5 = 10เส้นผ่านศูนย์กลาง²: แนวนอน 4 − (−2) = 6 แนวตั้ง 15 − 5 = 10
  6. $=136$36 + 10036 + 100
  7. $r^2=\dfrac{136}{4}$r = d ÷ 2, so r² = d² ÷ 4r = d ÷ 2 ดังนั้น r² = d² ÷ 4
  8. $=34$radius squaredรัศมียกกำลังสอง
  9. $\eqalign{&(x-a)^2\cr&+(y-b)^2}=r^2$circle: centre (a, b), radius rสมการวงกลม: จุดศูนย์กลาง (a, b) รัศมี r
  10. $\eqalign{&(x-1)^2\cr&+(y-10)^2}=34$answerคำตอบ

Q2(b) Point nearest the x-axisQ2(b) จุดที่ใกล้แกน x ที่สุด

The straight line from $(-2,5)$ to $(4,15)$ is a diameter of the circle $C$.
(b) From (a): $C$ is $(x-1)^2+(y-10)^2=34$. Hence find, exactly, the coordinates of the point of $C$ closest to the $x$-axis. [2]

  1. $x=1$the lowest point is straight below the centreจุดต่ำสุดอยู่ใต้จุดศูนย์กลางตรง ๆ
  2. $r=\sqrt{34}$radius, from r² = 34รัศมี จาก r² = 34
  3. $y=10-\sqrt{34}$go down one radius from y = 10ลงมาหนึ่งรัศมีจาก y = 10
  4. $10-\sqrt{34}\approx4.17$above 0: the circle does not reach the x-axisมากกว่า 0: วงกลมไม่แตะแกน x
  5. $(1,\ 10-\sqrt{34})$answer · exactคำตอบ · ค่าตรง

4. Q3 · Area between a curve and a chord · 5 marksข้อ 3 · พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับคอร์ด · 5 คะแนน

Answer: 13.5 (27/2)คำตอบ: 13.5 (27/2)

Q3 Area of RQ3 พื้นที่ R

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
The curve $C$ is $y=3x+\dfrac{16}{x^2}-8$, for $x\gt0$. The points $P(1,11)$ and $Q(4,5)$ are on $C$. The shaded region $R$ is enclosed by $C$ and the straight segment $PQ$.
Find the area of $R$ by integrating algebraically. [5]

  1. $A=T-U$R = trapezium under PQ minus the area under C · T = trapezium, U = under CR = สี่เหลี่ยมคางหมูใต้ PQ ลบพื้นที่ใต้ C · T = คางหมู, U = ใต้ C
  2. $T=\dfrac{11+5}{2}\times3$parallel sides 11 and 5, width 4 − 1 = 3ด้านคู่ขนาน 11 กับ 5 กว้าง 4 − 1 = 3
  3. $=24$the trapeziumสี่เหลี่ยมคางหมู
  4. $U=\int_1^4 y\,dx$area under C from x = 1 to x = 4พื้นที่ใต้ C จาก x = 1 ถึง x = 4
  5. $\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$power + 1, divide by the new powerกำลัง + 1 แล้วหารด้วยกำลังใหม่
  6. $\int 16x^{-2}dx=-16x^{-1}$16/x² = 16x⁻²16/x² = 16x⁻²
  7. $\int -8\,dx=-8x$a constant gives a multiple of xค่าคงที่ได้เป็นพหุคูณของ x
  8. $F(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{16}{x}-8x$F = the integral of yF = อินทิกรัลของ y
  9. $F(4)=24-4-32$x = 4: 3/2 × 16, 16 ÷ 4, 8 × 4x = 4: 3/2 × 16, 16 ÷ 4, 8 × 4
  10. $=-12$top limitขอบบน
  11. $F(1)=\dfrac{3}{2}-16-8$x = 1x = 1
  12. $=-22.5$bottom limitขอบล่าง
  13. $U=-12-(-22.5)$U = F(4) − F(1)U = F(4) − F(1)
  14. $=10.5$area under Cพื้นที่ใต้ C
  15. $A=24-10.5$trapezium minus the area under Cคางหมูลบพื้นที่ใต้ C
  16. $=13.5$answer · 27/2คำตอบ · 27/2

5. Q4 · Factor and remainder theorems · 9 marksข้อ 4 · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ · 9 คะแนน

Answer: b = 3a + 2 (shown); a = 2, b = 8; quotient 2x² + 12x + 29, remainder 55คำตอบ: b = 3a + 2 (shown); a = 2, b = 8; quotient 2x² + 12x + 29, remainder 55

Q4(a) Show b = 3a + 2Q4(a) แสดงว่า b = 3a + 2

$f(x)=ax^3+bx^2+5x-3$, where $a$ and $b$ are constants. $(x+3)$ is a factor of $f(x)$.
(a) Show that $b=3a+2$. [2]

  1. $f(-3)=0$factor theorem: (x + 3) is a factor, so f(−3) = 0ทฤษฎีบทตัวประกอบ: (x + 3) เป็นตัวประกอบ ดังนั้น f(−3) = 0
  2. $a(-3)^3=-27a$(−3)³ = −27(−3)³ = −27
  3. $b(-3)^2=9b$(−3)² = 9(−3)² = 9
  4. $5(-3)-3=-18$the last two termsสองพจน์สุดท้าย
  5. $-27a+9b-18=0$add the termsรวมพจน์
  6. $-27a+9b=18$add 18 to both sidesบวก 18 ทั้งสองข้าง
  7. $9b=27a+18$add 27a to both sidesบวก 27a ทั้งสองข้าง
  8. $b=3a+2$shownแสดงได้ตามโจทย์

Q4(b) Find a and bQ4(b) หา a และ b

$f(x)=ax^3+bx^2+5x-3$, where $a$ and $b$ are constants. $(x+3)$ is a factor of $f(x)$.
(b) From (a): $b=3a+2$. Also, dividing $f(x)$ by $(2x-1)$ leaves a remainder of $\dfrac{7}{4}$. Find $a$ and $b$. [4]

  1. $f\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{4}$remainder theorem: 2x − 1 = 0 at x = ½ทฤษฎีบทเศษเหลือ: 2x − 1 = 0 เมื่อ x = ½
  2. $a\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{a}{8}$(½)³ = 1/8(½)³ = 1/8
  3. $b\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{b}{4}$(½)² = 1/4(½)² = 1/4
  4. $5\left(\tfrac{1}{2}\right)-3=-\dfrac{1}{2}$2.5 − 32.5 − 3
  5. $\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{4}$add the termsรวมพจน์
  6. $a+2b-4=14$times 8 clears the fractionsคูณ 8 ตัดเศษส่วนออก
  7. $a+2b=18$add 4 to both sidesบวก 4 ทั้งสองข้าง
  8. $b=3a+2$from (a)จากข้อ (a)
  9. $a+2(3a+2)=18$put ② into ①แทน ② ลงใน ①
  10. $7a+4=18$a + 6a + 4a + 6a + 4
  11. $7a=14$take 4 from both sidesลบ 4 ทั้งสองข้าง
  12. $a=2$aa
  13. $b=3(2)+2$back into ②แทนกลับใน ②
  14. $=8$answer · a = 2, b = 8คำตอบ · a = 2, b = 8

Q4(c) Quotient and remainderQ4(c) ผลหารและเศษ

$f(x)=ax^3+bx^2+5x-3$, where $a$ and $b$ are constants. $(x+3)$ is a factor of $f(x)$.
(c) With $a=2$ and $b=8$ (from (b)), use algebra to divide $f(x)$ by $(x-2)$, and find both the quotient and the remainder. [3]

  1. $f(x)=\eqalign{&2x^3+8x^2\cr&+5x-3}$a = 2, b = 8 · divide by (x − 2)a = 2, b = 8 · หารด้วย (x − 2)
  2. $2x^3\div x=2x^2$first term of the quotientพจน์แรกของผลหาร
  3. $2x^2(x-2)=2x^3-4x^2$multiply back and subtractคูณกลับแล้วลบ
  4. $8x^2-(-4x^2)=12x^2$what is left of x²x² ที่เหลือ
  5. $12x^2\div x=12x$next termพจน์ถัดไป
  6. $12x(x-2)=12x^2-24x$multiply back and subtractคูณกลับแล้วลบ
  7. $5x-(-24x)=29x$what is left of xx ที่เหลือ
  8. $29x\div x=29$last termพจน์สุดท้าย
  9. $29(x-2)=29x-58$multiply back and subtractคูณกลับแล้วลบ
  10. $-3-(-58)=55$nothing left to divide: the remainderหารต่อไม่ได้แล้ว: นี่คือเศษ
  11. $Q(x)=2x^2+12x+29$answer · the quotientคำตอบ · ผลหาร
  12. $R=55$answer · the remainder · check f(2) = 16 + 32 + 10 − 3 = 55คำตอบ · เศษ · ตรวจ f(2) = 16 + 32 + 10 − 3 = 55

6. Q5 · Trapezium rule · 6 marksข้อ 5 · กฎสี่เหลี่ยมคางหมู · 6 คะแนน

Answer: 18.8; 4.7; 51.3คำตอบ: 18.8; 4.7; 51.3

Q5(a) Trapezium estimateQ5(a) ประมาณด้วยกฎคางหมู

For $y=3\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, the table lists $y$ (to 3 d.p. where it is not exact) at seven values of $x$:
x: −2, −0.5, 1, 2.5, 4, 5.5, 7
y: 12, 4.243, 1.5, 0.530, 0.188, 0.066, 0.023
(a) Use the trapezium rule with all seven $y$ values to estimate $\displaystyle\int_{-2}^{7}3\left(\dfrac{1}{2}\right)^x dx$. Answer to 1 d.p. [3]

  1. $h=1.5$strip width: the x-values go up in steps of 1.5ความกว้างแถบ: ค่า x เพิ่มทีละ 1.5
  2. $I\approx\dfrac{h}{2}(E+2M)$trapezium rule · E = the two end y-values · M = the middle ones addedกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · E = ค่า y ปลายสองตัว · M = ผลรวมค่ากลาง
  3. $E=12+0.023$first + lastตัวแรก + ตัวสุดท้าย
  4. $=12.023$the endsค่าปลาย
  5. $4.243+1.5=5.743$the middle five, a few at a timeค่ากลางห้าตัว บวกทีละน้อย
  6. $0.530+0.188=0.718$the next twoอีกสองตัว
  7. $0.718+0.066=0.784$and the last middle valueและค่ากลางตัวสุดท้าย
  8. $M=5.743+0.784$add the groupsรวมกลุ่ม
  9. $=6.527$the middle valuesค่ากลาง
  10. $2M=13.054$twice the middleสองเท่าของค่ากลาง
  11. $E+2M=25.077$12.023 + 13.05412.023 + 13.054
  12. $I\approx0.75\times25.077$h/2 = 1.5 ÷ 2 = 0.75h/2 = 1.5 ÷ 2 = 0.75
  13. $=18.80775$multiplyคูณ
  14. $I\approx18.8$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

Q5(b)(i) A quarter of (a)Q5(b)(i) หนึ่งในสี่ของข้อ (a)

For $y=3\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, the table lists $y$ (to 3 d.p. where it is not exact) at seven values of $x$:
x: −2, −0.5, 1, 2.5, 4, 5.5, 7
y: 12, 4.243, 1.5, 0.530, 0.188, 0.066, 0.023
(b)(i) From (a): the estimate is 18.8.
Show your method clearly and estimate $\displaystyle\int_{-2}^{7}3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+2}dx$. (Part (b) is 3 marks in all; the mark scheme gives (i) 1 and (ii) 2.) [1]

  1. $a^{x+2}=a^x\times a^2$index law · here a = ½กฎเลขยกกำลัง · ในข้อนี้ a = ½
  2. $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}$so the new curve is ¼ of 3(½)ˣกราฟใหม่จึงเป็น ¼ ของ 3(½)ˣ
  3. $J\approx\tfrac{1}{4}\times18.8$J = this integral · ¼ of the answer to (a)J = อินทิกรัลนี้ · ¼ ของคำตอบข้อ (a)
  4. $=4.7$answerคำตอบ

Q5(b)(ii) A third of (a), plus 45Q5(b)(ii) หนึ่งในสามของข้อ (a) บวก 45

For $y=3\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, the table lists $y$ (to 3 d.p. where it is not exact) at seven values of $x$:
x: −2, −0.5, 1, 2.5, 4, 5.5, 7
y: 12, 4.243, 1.5, 0.530, 0.188, 0.066, 0.023
(b)(ii) From (a): the estimate is 18.8.
Show your method clearly and estimate $\displaystyle\int_{-2}^{7}\left(2^{-x}+2x\right)dx$. (Part (b) is 3 marks in all; the mark scheme gives (i) 1 and (ii) 2.) [2]

  1. $2^{-x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$2⁻ˣ = 1 ÷ 2ˣ2⁻ˣ = 1 ÷ 2ˣ
  2. $=\tfrac{1}{3}\times3\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$one third of the curve in (a)หนึ่งในสามของกราฟในข้อ (a)
  3. $K\approx\tfrac{1}{3}\times18.8$K = the 2⁻ˣ partK = ส่วนของ 2⁻ˣ
  4. $\approx6.267$3 d.p. for nowเก็บทศนิยม 3 ตำแหน่งไว้ก่อน
  5. $\int 2x\,dx=x^2$the 2x part: integrate exactlyส่วน 2x: อินทิเกรตได้ค่าตรง
  6. $\left[x^2\right]_{-2}^{7}=49-4$7² − (−2)²7² − (−2)²
  7. $=45$the 2x partส่วน 2x
  8. $T\approx6.267+45$T = the whole integralT = อินทิกรัลทั้งหมด
  9. $=51.267$addบวก
  10. $T\approx51.3$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

7. Q6 · Logarithms and exponentials · 10 marksข้อ 6 · ลอการิทึมและเลขชี้กำลัง · 10 คะแนน

Answer: x = −2; P = (log₃ 2, 12)คำตอบ: x = −2; P = (log₃ 2, 12)

Q6(i) Solve the log equationQ6(i) แก้สมการ log

Show every stage of your working: a solution that rests on a calculator gets no credit.
(i) Solve
$2\log_2(4-x)$
$\quad=3+\log_2\left(\dfrac{x+11}{2}\right)$ [5]

  1. $2\log_2(4-x)=\log_2(4-x)^2$power law: n log a = log aⁿกฎกำลัง: n log a = log aⁿ
  2. $3=\log_2 8$2³ = 82³ = 8
  3. $w=\tfrac{x+11}{2}$w = what is inside the last logw = สิ่งที่อยู่ใน log ตัวสุดท้าย
  4. $R=\log_2 8+\log_2 w$R = the right sideR = ข้างขวา
  5. $=\log_2(8w)$add logs: multiply insideบวก log: คูณข้างใน
  6. $8w=4(x+11)$8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 4
  7. $=4x+44$expandกระจาย
  8. $R=\log_2(4x+44)$the right side as one logข้างขวาเป็น log ตัวเดียว
  9. $\log_2(4-x)^2=\log_2(4x+44)$the equation, one log on each sideสมการ: ข้างละหนึ่ง log
  10. $(4-x)^2=4x+44$same log on both sides, so the insides matchlog เดียวกันทั้งสองข้าง ข้างในจึงเท่ากัน
  11. $16-8x+x^2=4x+44$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  12. $x^2-12x-28=0$take 4x + 44 from both sidesลบ 4x + 44 ทั้งสองข้าง
  13. $(x-14)(x+2)=0$factorise: −14 × 2 = −28, −14 + 2 = −12แยกตัวประกอบ: −14 × 2 = −28, −14 + 2 = −12
  14. $x=14$reject: 4 − 14 is negative, and a log needs a positive numberตัดทิ้ง: 4 − 14 ติดลบ และ log ต้องใช้จำนวนบวก
  15. $x=-2$answer · 4 + 2 = 6 and −2 + 11 = 9 are both positiveคำตอบ · 4 + 2 = 6 และ −2 + 11 = 9 เป็นบวกทั้งคู่

Q6(ii) Where two curves meetQ6(ii) จุดที่กราฟสองเส้นตัดกัน

Show every stage of your working: a solution that rests on a calculator gets no credit.
(ii) The curve $C_1$ is $y=3^{2x+1}$ and the curve $C_2$ is $y=6\times3^x$. They cross at $P$. Find the coordinates of $P$ exactly, as $(\log_3 a,\ b)$ with $a$ and $b$ integers. [5]

  1. $3^{2x+1}=6\times3^x$at P the two y-values are equalที่ P ค่า y ทั้งสองเท่ากัน
  2. $3^{2x+1}=3\times(3^x)^2$index laws: 3²ˣ⁺¹ = 3 × 3²ˣกฎเลขยกกำลัง: 3²ˣ⁺¹ = 3 × 3²ˣ
  3. $u=3^x$let u = 3ˣ (always positive)ให้ u = 3ˣ (เป็นบวกเสมอ)
  4. $3u^2=6u$a quadratic in uสมการกำลังสองของ u
  5. $3u^2-6u=0$take 6u from both sidesลบ 6u ทั้งสองข้าง
  6. $3u(u-2)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
  7. $u=2$u = 3ˣ is never 0u = 3ˣ ไม่มีทางเป็น 0
  8. $3^x=2$put 3ˣ backแทน 3ˣ กลับ
  9. $x=\log_3 2$log base 3 of both sides · exactใส่ log ฐาน 3 ทั้งสองข้าง · ค่าตรง
  10. $y=6\times3^x$y from C₂หา y จาก C₂
  11. $=6\times2$3ˣ = 23ˣ = 2
  12. $=12$y at Py ที่ P
  13. $P=(\log_3 2,\ 12)$answer · a = 2, b = 12คำตอบ · a = 2, b = 12

8. Q7 · Geometric and arithmetic series · 9 marksข้อ 7 · อนุกรมเรขาคณิตและเลขคณิต · 9 คะแนน

Answer: 50; k = 46; 52033คำตอบ: 50; k = 46; 52033

Q7(i)(a) Sum to infinityQ7(i)(a) ผลบวกถึงอนันต์

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(i)(a) A geometric series starts $10+8+6.4+\dots$ Find its sum to infinity. [2]

  1. $a=10$first termพจน์แรก
  2. $r=\dfrac{8}{10}$common ratio: second ÷ firstอัตราส่วนร่วม: พจน์ที่สอง ÷ พจน์แรก
  3. $=0.8$check: 8 × 0.8 = 6.4ตรวจ: 8 × 0.8 = 6.4
  4. $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$sum to infinity · S∞ “S infinity” · it exists because −1 < r < 1ผลบวกถึงอนันต์ · S∞ อ่านว่า เอสอินฟินิตี้ · มีค่าเพราะ −1 < r < 1
  5. $=\dfrac{10}{1-0.8}$substituteแทนค่า
  6. $=\dfrac{10}{0.2}$1 − 0.8 = 0.21 − 0.8 = 0.2
  7. $=50$answerคำตอบ

Q7(i)(b) Smallest kQ7(i)(b) k ที่น้อยที่สุด

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(i)(b) The geometric series $10+8+6.4+\dots$ has a $k$th term that is below 0.0005. Use algebra to find the least possible $k$. [3]

  1. $u_k=10(0.8)^{k-1}$term k = a r^(k − 1)พจน์ที่ k = a r^(k − 1)
  2. $10(0.8)^{k-1}\lt0.0005$the term is below 0.0005พจน์นี้น้อยกว่า 0.0005
  3. $0.8^{k-1}\lt0.00005$divide both sides by 10หาร 10 ทั้งสองข้าง
  4. $(k-1)\log0.8\lt\log0.00005$take logs: log aⁿ = n log aใส่ log: log aⁿ = n log a
  5. $k-1\gt\dfrac{\log0.00005}{\log0.8}$log 0.8 is negative, so the sign turns roundlog 0.8 ติดลบ เครื่องหมายจึงกลับด้าน
  6. $k-1\gt44.38$work out the right sideคิดข้างขวา
  7. $k\gt45.38$add 1 to both sidesบวก 1 ทั้งสองข้าง
  8. $k=46$answer · the first whole number above 45.38คำตอบ · จำนวนเต็มตัวแรกที่มากกว่า 45.38

Q7(ii) Greatest sum of an APQ7(ii) ผลบวกมากที่สุดของอนุกรมเลขคณิต

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(ii) An arithmetic series starts $850+843+836+\dots$ Let $S_n$ stand for the sum of its first $n$ terms. Find the largest value that $S_n$ can take. [4]

  1. $a=850$first termพจน์แรก
  2. $d=-7$each term is 7 lessแต่ละพจน์ลดลง 7
  3. $u_n=850-7(n-1)$the sum grows only while the terms are positiveผลรวมเพิ่มขึ้นเฉพาะตอนที่พจน์ยังเป็นบวก
  4. $850-7(n-1)=0$when does a term reach 0?พจน์ไหนถึง 0
  5. $857-7n=0$expand: 850 + 7 = 857กระจาย: 850 + 7 = 857
  6. $857=7n$add 7n to both sidesบวก 7n ทั้งสองข้าง
  7. $n\approx122.4$not a whole numberไม่ใช่จำนวนเต็ม
  8. $n=122$u₁₂₂ = 3 is the last positive term (u₁₂₃ = −4)u₁₂₂ = 3 เป็นพจน์บวกตัวสุดท้าย (u₁₂₃ = −4)
  9. $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$sum of an arithmetic series · l = the last termผลบวกอนุกรมเลขคณิต · l = พจน์สุดท้าย
  10. $l=u_{122}$the last term we addพจน์สุดท้ายที่บวก
  11. $=850-7(121)$n − 1 = 121n − 1 = 121
  12. $=3$the last termพจน์สุดท้าย
  13. $S_{122}=61(850+3)$122 ÷ 2 = 61122 ÷ 2 = 61
  14. $=61\times853$inside the bracketในวงเล็บ
  15. $=52033$answer · the greatest sumคำตอบ · ผลรวมมากที่สุด

9. Q8 · Trigonometric equations · 8 marksข้อ 8 · สมการตรีโกณมิติ · 8 คะแนน

Answer: x = 29π/60, 59π/60; θ = 50.3°, 309.7°คำตอบ: x = 29π/60, 59π/60; θ = 50.3°, 309.7°

Q8(i) Solve in radiansQ8(i) แก้สมการเป็นเรเดียน

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(i) Solve $3\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right)=\sqrt3$ for $0\le x\lt\pi$. Write each answer in radians as $k\pi$, with $k$ a rational number that you find. [3]

  1. $A=2x+\tfrac{\pi}{5}$A = the angle inside the tanA = มุมข้างใน tan
  2. $3\tan A=\sqrt{3}$the equation with Aสมการเมื่อเขียนด้วย A
  3. $\tan A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$divide both sides by 3หาร 3 ทั้งสองข้าง
  4. $A=\tfrac{\pi}{6}$tan⁻¹ “tan inverse” of √3/3 is π/6 (30°)tan⁻¹ (แทนอินเวิร์ส) ของ √3/3 คือ π/6 (30°)
  5. $\tfrac{\pi}{5}\le A\lt\tfrac{11\pi}{5}$range of A: 0 ≤ x < π, so 2x + π/5 runs from π/5 to 2π + π/5ช่วงของ A: 0 ≤ x < π ดังนั้น 2x + π/5 อยู่ระหว่าง π/5 ถึง 2π + π/5
  6. $\tfrac{\pi}{6}\lt\tfrac{\pi}{5}$π/6 is below the range · tan repeats every ππ/6 ต่ำกว่าช่วง · tan ซ้ำทุก π
  7. $A=\tfrac{7\pi}{6},\ \tfrac{13\pi}{6}$add π, then π again · 19π/6 is too bigบวก π แล้วบวก π อีกครั้ง · 19π/6 เกินช่วง
  8. $2x+\tfrac{\pi}{5}=\tfrac{7\pi}{6}$first value of Aค่าแรกของ A
  9. $2x=\tfrac{29\pi}{30}$35π/30 − 6π/3035π/30 − 6π/30
  10. $x=\tfrac{29\pi}{60}$first answerคำตอบแรก
  11. $2x+\tfrac{\pi}{5}=\tfrac{13\pi}{6}$second value of Aค่าที่สองของ A
  12. $2x=\tfrac{59\pi}{30}$65π/30 − 6π/3065π/30 − 6π/30
  13. $x=\tfrac{59\pi}{60}$second answerคำตอบที่สอง
  14. $x=\tfrac{29}{60}\pi,\ \tfrac{59}{60}\pi$answers · k = 29/60 and 59/60คำตอบ · k = 29/60 และ 59/60

Q8(ii) Solve in degreesQ8(ii) แก้สมการเป็นองศา

Show every stage of your working: an answer that rests only on a calculator gets no credit.
(ii) Solve $5\sin\theta\tan\theta=\cos\theta+4$ for $0\le\theta\lt360^\circ$. Answers in degrees, to 1 d.p. [5]

  1. $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$θ “theta” · write tan with sin and cosθ อ่านว่า ทีตา · เขียน tan ด้วย sin และ cos
  2. $\dfrac{5\sin^2\theta}{\cos\theta}=\cos\theta+4$so 5 sin θ tan θ = 5 sin²θ ÷ cos θดังนั้น 5 sin θ tan θ = 5 sin²θ ÷ cos θ
  3. $5\sin^2\theta=\cos^2\theta+4\cos\theta$multiply both sides by cos θคูณ cos θ ทั้งสองข้าง
  4. $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$from sin²θ + cos²θ = 1จาก sin²θ + cos²θ = 1
  5. $5(1-\cos^2\theta)=\cos^2\theta+4\cos\theta$substituteแทนค่า
  6. $5-5\cos^2\theta=\cos^2\theta+4\cos\theta$expandกระจาย
  7. $0=\eqalign{&6\cos^2\theta\cr&+4\cos\theta-5}$move both terms overย้ายทั้งสองพจน์ไปอีกข้าง
  8. $\cos\theta=\dfrac{-4\pm\sqrt{136}}{12}$quadratic formula: 4² − 4(6)(−5) = 136สูตรสมการกำลังสอง: 4² − 4(6)(−5) = 136
  9. $\cos\theta\approx0.63849$the + root · the − root is below −1: no angleรากบวก · รากลบน้อยกว่า −1 จึงไม่มีมุม
  10. $\theta\approx50.32^\circ$cos⁻¹ of 0.63849cos⁻¹ ของ 0.63849
  11. $\theta\approx360^\circ-50.32^\circ$cos is also positive in the 4th quartercos เป็นบวกในจตุภาคที่ 4 ด้วย
  12. $=309.68^\circ$the second angleมุมที่สอง
  13. $\theta\approx50.3^\circ$answer 1 · 1 d.p.คำตอบที่ 1 · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
  14. $\theta\approx309.7^\circ$answer 2 · 1 d.p.คำตอบที่ 2 · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

10. Q9 · Optimisation: least metal · 11 marksข้อ 9 · หาค่าที่เหมาะที่สุด: ใช้โลหะน้อยที่สุด · 11 คะแนน

Answer: S = 6x² + 20/x (P = 6, Q = 20); 25.3 m²; d²S/dx² = 36 > 0, so a minimumคำตอบ: S = 6x² + 20/x (P = 6, Q = 20); 25.3 m²; d²S/dx² = 36 > 0, so a minimum

Q9(a) Show the formula for SQ9(a) แสดงสูตรของ S

The figure shows an open container: it has no lid. Faces $CDEF$ and $ABFE$ are both rectangles. Both ends, $ADE$ and $BCF$, are the same right-angled triangle (the right angle is at $E$ on the figure). Treat the metal as having no thickness.
$AE=BF=3x$ m, $DE=CF=2x$ m, $AB=DC=EF=L$ m, and the container holds $12\text{ m}^3$ when full.
(a) Let $S\text{ m}^2$ be the area of metal in the container. Show that $S=Px^2+\dfrac{Q}{x}$, where $P$ and $Q$ are positive integers that you find. [4]

  1. $\text{end}=\tfrac{1}{2}(3x)(2x)$each end is a right triangle: ½ × AE × DEแต่ละด้านปลายเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก: ½ × AE × DE
  2. $=3x^2$area of one endพื้นที่ด้านปลายหนึ่งด้าน
  3. $V=3x^2L$volume = end area × length Lปริมาตร = พื้นที่ด้านปลาย × ความยาว L
  4. $3x^2L=12$it holds 12 m³จุได้ 12 m³
  5. $L=\dfrac{4}{x^2}$L in terms of xL ในรูปของ x
  6. $S=6x^2+3xL+2xL$metal: 2 ends 2 × 3x² · ABFE 3x by L · CDEF 2x by L · no lidแผ่นโลหะ: ปลาย 2 ด้าน 2 × 3x² · ABFE 3x คูณ L · CDEF 2x คูณ L · ไม่มีฝา
  7. $=6x^2+5xL$collect the L termsรวมพจน์ที่มี L
  8. $5xL=5x\times\dfrac{4}{x^2}$substitute Lแทน L
  9. $=\dfrac{20}{x}$x cancels onceตัด x ได้หนึ่งตัว
  10. $S=6x^2+\dfrac{20}{x}$shown · P = 6, Q = 20แสดงได้ตามโจทย์ · P = 6, Q = 20

Q9(b) Least value of SQ9(b) ค่าน้อยที่สุดของ S

The figure shows an open container: it has no lid. Faces $CDEF$ and $ABFE$ are both rectangles. Both ends, $ADE$ and $BCF$, are the same right-angled triangle (the right angle is at $E$ on the figure). Treat the metal as having no thickness.
$AE=BF=3x$ m, $DE=CF=2x$ m, $AB=DC=EF=L$ m, and the container holds $12\text{ m}^3$ when full.
(b) From (a): $S=6x^2+\dfrac{20}{x}$, and $x$ can change. Find the least value of $S$, using algebraic calculus. Answer to 1 d.p. [5]

  1. $S=6x^2+20x^{-1}$write 20/x as a powerเขียน 20/x เป็นเลขยกกำลัง
  2. $\dfrac{dS}{dx}=12x-20x^{-2}$differentiate: bring the power down, take 1 off itดิฟ: ดึงกำลังลงมาคูณ แล้วลดกำลังลง 1
  3. $12x-\dfrac{20}{x^2}=0$a stationary point: dS/dx = 0จุดคงที่: dS/dx = 0
  4. $12x=\dfrac{20}{x^2}$move the fraction acrossย้ายเศษส่วนข้ามไป
  5. $12x^3=20$multiply both sides by x²คูณ x² ทั้งสองข้าง
  6. $x^3=\dfrac{5}{3}$20/12 = 5/320/12 = 5/3
  7. $x\approx1.18563$cube root · keep the digitsถอดรากที่สาม · เก็บทศนิยมไว้
  8. $6x^2\approx8.43$the first part of Sส่วนแรกของ S
  9. $\dfrac{20}{x}\approx16.87$the second partส่วนที่สอง
  10. $S\approx8.43+16.87$add · 2 d.p. is enough for 1 d.p.บวก · ทศนิยม 2 ตำแหน่งพอสำหรับคำตอบ 1 ตำแหน่ง
  11. $=25.30$the least valueค่าน้อยที่สุด
  12. $S\approx25.3$answer · m², 1 d.p.คำตอบ · m² ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

Q9(c) Prove it is a minimumQ9(c) พิสูจน์ว่าเป็นค่าต่ำสุด

The figure shows an open container: it has no lid. Faces $CDEF$ and $ABFE$ are both rectangles. Both ends, $ADE$ and $BCF$, are the same right-angled triangle (the right angle is at $E$ on the figure). Treat the metal as having no thickness.
$AE=BF=3x$ m, $DE=CF=2x$ m, $AB=DC=EF=L$ m, and the container holds $12\text{ m}^3$ when full.
(c) From (b): $\dfrac{dS}{dx}=12x-\dfrac{20}{x^2}$, which is 0 when $x^3=\dfrac{5}{3}$. Justify that the value of $S$ from (b) is a minimum. [2]

  1. $\dfrac{dS}{dx}=12x-20x^{-2}$from (b)จากข้อ (b)
  2. $\dfrac{d^2S}{dx^2}=12+40x^{-3}$differentiate again: −20 × −2 = 40ดิฟอีกครั้ง: −20 × −2 = 40
  3. $x^3=\dfrac{5}{3}$at the stationary pointที่จุดคงที่
  4. $40x^{-3}=40\times\dfrac{3}{5}$1/x³ = 3/51/x³ = 3/5
  5. $=24$40 × 3 ÷ 540 × 3 ÷ 5
  6. $\dfrac{d^2S}{dx^2}=12+24$substituteแทนค่า
  7. $=36$the second derivativeอนุพันธ์อันดับสอง
  8. $36\gt0$positive, so S is a minimum thereเป็นบวก S จึงมีค่าต่ำสุดที่จุดนี้

11. Q10 · Proof by exhaustion · 4 marksข้อ 10 · การพิสูจน์แบบแจกกรณี · 4 คะแนน

Answer: m = 3p + 1 gives 3(3p² + 5p + 2); m = 3p + 2 gives 3(3p² + 7p + 4); both multiples of 3คำตอบ: m = 3p + 1 gives 3(3p² + 5p + 2); m = 3p + 2 gives 3(3p² + 7p + 4); both multiples of 3

Q10 Prove E is a multiple of 3Q10 พิสูจน์ว่า E เป็นพหุคูณของ 3

Show detailed reasoning in this question.
Let $m$ be any positive integer that is not a multiple of 3. Prove by exhaustion, using algebra, that $m^2+3m+2$ is then a multiple of 3. [4]

  1. $E=m^2+3m+2$E = the expression · m is 1 or 2 more than a multiple of 3E = นิพจน์นี้ · m มากกว่าพหุคูณของ 3 อยู่ 1 หรือ 2
  2. $m=3p+1$case 1 · p is a whole number, p ≥ 0กรณี 1 · p เป็นจำนวนเต็ม p ≥ 0
  3. $m^2=9p^2+6p+1$(3p + 1)²(3p + 1)²
  4. $3m=9p+3$3(3p + 1)3(3p + 1)
  5. $E=9p^2+15p+6$add: 6p + 9p, 1 + 3 + 2บวก: 6p + 9p, 1 + 3 + 2
  6. $=3(3p^2+5p+2)$a multiple of 3เป็นพหุคูณของ 3
  7. $m=3p+2$case 2กรณี 2
  8. $m^2=9p^2+12p+4$(3p + 2)²(3p + 2)²
  9. $3m=9p+6$3(3p + 2)3(3p + 2)
  10. $E=9p^2+21p+12$add: 12p + 9p, 4 + 6 + 2บวก: 12p + 9p, 4 + 6 + 2
  11. $=3(3p^2+7p+4)$a multiple of 3เป็นพหุคูณของ 3
  12. $m\ne3p$every m that is not a multiple of 3 is case 1 or case 2, so E is always a multiple of 3 · provedทุก m ที่ไม่ใช่พหุคูณของ 3 อยู่ในกรณี 1 หรือ 2 ดังนั้น E เป็นพหุคูณของ 3 เสมอ · พิสูจน์แล้ว

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. Find the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(1+2x)^5$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจาย $(1+2x)^5$
    Answer:เฉลย: 40⁵C₂ × 2² = 10 × 4 = 40.⁵C₂ × 2² = 10 × 4 = 40
  2. $(x-2)$ is a factor of $x^3+ax-6$. Find $a$.$(x-2)$ เป็นตัวประกอบของ $x^3+ax-6$ หา $a$
    Answer:เฉลย: -1Put x = 2: 8 + 2a − 6 = 0, so 2a = −2 and a = −1.แทน x = 2: 8 + 2a − 6 = 0 ดังนั้น 2a = −2 และ a = −1
  3. Solve $2^{2x}=8\times2^x$.แก้สมการ $2^{2x}=8\times2^x$
    Answer:เฉลย: 3Let u = 2ˣ: u² = 8u, so u = 8 and 2ˣ = 8, x = 3.ให้ u = 2ˣ: u² = 8u ดังนั้น u = 8 และ 2ˣ = 8 ได้ x = 3
  4. A geometric series starts $20+15+11.25+\dots$ Find its sum to infinity.อนุกรมเรขาคณิตเริ่มด้วย $20+15+11.25+\dots$ หาผลบวกถึงอนันต์
    Answer:เฉลย: 80r = 15/20 = 0.75, so S∞ = 20/(1 − 0.75) = 80.r = 15/20 = 0.75 ดังนั้น S∞ = 20/(1 − 0.75) = 80
  5. $S=2x^2+\dfrac{32}{x}$ for $x\gt0$. Find the least value of $S$.$S=2x^2+\dfrac{32}{x}$ เมื่อ $x\gt0$ หาค่าน้อยที่สุดของ $S$
    Answer:เฉลย: 24dS/dx = 4x − 32/x² = 0 gives x³ = 8, x = 2, so S = 8 + 16 = 24.dS/dx = 4x − 32/x² = 0 ได้ x³ = 8, x = 2 ดังนั้น S = 8 + 16 = 24

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี