Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA13 Pure 3 · January 2024WMA13 Pure 3 · ม.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 3 (WMA13) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Where a point moves · 4 marksข้อ 1 · จุดย้ายไปไหน · 4 คะแนน

Answer: (−2, −3); (−3, −9); (−4, 3)คำตอบ: (−2, −3); (−3, −9); (−4, 3)

Q1(a) P on y = f(2x)Q1(a) P บน y = f(2x)

The point $P(-4,-3)$ sits on the curve $y=\text{f}(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Each part changes the curve. Give the point that $P$ moves to on the new curve.
(a) The new curve is $y=\text{f}(2x)$. [1]

  1. $y=\text{f}(2x)$× 2 inside the bracket: x-values ÷ 2× 2 ในวงเล็บ: ค่า x หารด้วย 2
  2. $x=-4\div2$only x changesเปลี่ยนแค่ x
  3. $=-2$y stays −3y ยังเป็น −3
  4. $P'=(-2,-3)$answerคำตอบ

Q1(b) P on y = 3f(x − 1)Q1(b) P บน y = 3f(x − 1)

The point $P(-4,-3)$ sits on the curve $y=\text{f}(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Each part changes the curve. Give the point that $P$ moves to on the new curve.
(b) The new curve is $y=3\text{f}(x-1)$. [2]

  1. $y=3\text{f}(x-1)$− 1 inside: right 1 · × 3 outside: y × 3− 1 ในวงเล็บ: ขวา 1 · × 3 ข้างนอก: y × 3
  2. $x=-4+1$x-value + 1ค่า x บวก 1
  3. $=-3$new xx ใหม่
  4. $y=3\times(-3)$y-value × 3ค่า y คูณ 3
  5. $=-9$new yy ใหม่
  6. $P'=(-3,-9)$answerคำตอบ

Q1(c) P on y = |f(x)|Q1(c) P บน y = |f(x)|

The point $P(-4,-3)$ sits on the curve $y=\text{f}(x)$, $x\in\mathbb{R}$. Each part changes the curve. Give the point that $P$ moves to on the new curve.
(c) The new curve is $y=|\text{f}(x)|$. [1]

  1. $y=|\text{f}(x)|$|…| “modulus”: a negative y flips up|…| “ค่าสัมบูรณ์”: y ที่ติดลบพลิกขึ้น
  2. $y=|-3|$x stays −4x ยังเป็น −4
  3. $=3$the size of −3ขนาดของ −3
  4. $P'=(-4,3)$answerคำตอบ

3. Q2 · Root by iteration · 6 marksข้อ 2 · หารากด้วยการวนซ้ำ · 6 คะแนน

Answer: f(2) = −3 < 0, f(3) = 41 > 0, sign change and f continuous, so a root in [2, 3]; x³ = (5x² − 4x + 7)/x, so x = ∛((5x² − 4x + 7)/x); x₂ = 2.1179; α = 2.1565คำตอบ: f(2) = −3 < 0, f(3) = 41 > 0, sign change and f continuous, so a root in [2, 3]; x³ = (5x² − 4x + 7)/x, so x = ∛((5x² − 4x + 7)/x); x₂ = 2.1179; α = 2.1565

Q2(a) A root between 2 and 3Q2(a) มีรากระหว่าง 2 กับ 3

The curve $y=\text{f}(x)$ has $\text{f}(x)=x^4-5x^2+4x-7$, $x\in\mathbb{R}$.
(a) Prove that $\text{f}(x)=0$ has a root $\alpha$ with $2\le\alpha\le3$. [2]

  1. $\text{f}(2)=16-20+8-7$put x = 2แทน x = 2
  2. $=-3$negativeติดลบ
  3. $\text{f}(3)=81-45+12-7$put x = 3แทน x = 3
  4. $=41$positiveเป็นบวก
  5. $-3\lt0\lt41$the sign changesเครื่องหมายเปลี่ยน
  6. $2\lt\alpha\lt3$f is continuous, so it crosses 0 · shownf ต่อเนื่อง จึงผ่าน 0 · พิสูจน์แล้ว

Q2(b) Rearrange to x = ∛(…)Q2(b) จัดรูปเป็น x = ∛(…)

The curve $y=\text{f}(x)$ has $\text{f}(x)=x^4-5x^2+4x-7$, $x\in\mathbb{R}$.
(b) Prove that $\text{f}(x)=0$ can be rearranged to $x=\sqrt[3]{\dfrac{5x^2-4x+7}{x}}$. [1]

  1. $N=5x^2-4x+7$call the quadratic part Nเรียกส่วนกำลังสองว่า N
  2. $x^4-N=0$f(x) = 0 is x⁴ − N = 0f(x) = 0 คือ x⁴ − N = 0
  3. $x^4=N$N to the other sideย้าย N ไปอีกข้าง
  4. $x^3=\dfrac{N}{x}$x ≠ 0 here (f(0) = −7)x ≠ 0 ตรงนี้ (f(0) = −7)
  5. $x=\sqrt[3]{\dfrac{N}{x}}$∛ “cube root” of both sides∛ “รากที่สาม” ทั้งสองข้าง
  6. $x=\sqrt[3]{\dfrac{5x^2-4x+7}{x}}$put N back · shownใส่ N กลับ · พิสูจน์แล้ว

Q2(c)(i) Find x₂Q2(c)(i) หา x₂

The curve $y=\text{f}(x)$ has $\text{f}(x)=x^4-5x^2+4x-7$, $x\in\mathbb{R}$.
(c)(i) Use $x_{n+1}=\sqrt[3]{\dfrac{5x_n^2-4x_n+7}{x_n}}$ with $x_1=2$. Work out $x_2$ to 4 d.p. [2]

  1. $x_1=2$start valueค่าเริ่มต้น
  2. $T=20-8+7$T = the top at x = 2: 5(2)² − 4(2) + 7T = ตัวบนที่ x = 2: 5(2)² − 4(2) + 7
  3. $=19$addบวกกัน
  4. $x_2=\sqrt[3]{\dfrac{19}{2}}$divide by x₁ = 2 · cube rootหารด้วย x₁ = 2 · รากที่สาม
  5. $=\sqrt[3]{9.5}$19 ÷ 219 ÷ 2
  6. $=2.1179$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

Q2(c)(ii) Find αQ2(c)(ii) หา α

The curve $y=\text{f}(x)$ has $\text{f}(x)=x^4-5x^2+4x-7$, $x\in\mathbb{R}$.
(c)(ii) Keep using the same formula. Give $\alpha$ to 4 d.p. [1]

  1. $x_3=2.1468$put x₂ back in · keep the full valueใส่ x₂ กลับเข้าไป · ใช้ค่าเต็มในเครื่อง
  2. $x_4=2.1541$againอีกรอบ
  3. $x_5=2.1559$againอีกรอบ
  4. $x_6=2.1563$againอีกรอบ
  5. $x_7=2.1564$againอีกรอบ
  6. $x_8=2.1565$againอีกรอบ
  7. $x_9=2.1565$no change at 4 d.p.ทศนิยม 4 ตำแหน่งไม่เปลี่ยนแล้ว
  8. $\alpha=2.1565$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

4. Q3 · A log model for money raised · 7 marksข้อ 3 · โมเดลลอการิทึมของเงินบริจาค · 7 คะแนน

Answer: D = 10.96 × 2.399ᵗ; T = 9.51; D(12) ≈ 398 000 > 350 000, so yesคำตอบ: D = 10.96 × 2.399ᵗ; T = 9.51; D(12) ≈ 398 000 > 350 000, so yes

Q3(a) Write it as D = abᵗQ3(a) เขียนเป็น D = abᵗ

A charity tracks its money. $D$ is the total raised (in GBP) $t$ months after the tracking started. The model is $\log_{10}D=1.04+0.38t$.
(a) Put the model in the form $D=ab^t$, with constants $a$ and $b$ each given to 4 s.f. [3]

  1. $\log_{10}D=1.04+0.38t$the modelโมเดลที่ให้มา
  2. $D=10^{1.04+0.38t}$undo log₁₀: 10 to the powerถอด log₁₀: ยก 10 กำลังทั้งสองข้าง
  3. $a=10^{1.04}$10^(p + q) = 10^p × 10^q · the part with no t10^(p + q) = 10^p × 10^q · ส่วนที่ไม่มี t
  4. $=10.96$4 s.f.4 เลขนัยสำคัญ
  5. $b=10^{0.38}$10^(0.38t) = (10^0.38)ᵗ10^(0.38t) = (10^0.38)ᵗ
  6. $=2.399$4 s.f.4 เลขนัยสำคัญ
  7. $D=10.96\times2.399^t$answerคำตอบ

Q3(b) When is D = 45 000?Q3(b) D = 45 000 เมื่อไร

A charity tracks its money. $D$ is the total raised (in GBP) $t$ months after the tracking started. The model is $\log_{10}D=1.04+0.38t$.
(b) At $t=T$ the total is GBP 45 000. Use the model to find $T$ to 3 s.f. [2]

  1. $L=\log_{10}45000$L = log₁₀ of the totalL = log₁₀ ของยอดรวม
  2. $=4.6532$calculatorกดเครื่องคิดเลข
  3. $1.04+0.38T=L$D = 45 000 in the modelแทน D = 45 000 ในโมเดล
  4. $0.38T=L-1.04$take 1.04 off both sidesลบ 1.04 ทั้งสองข้าง
  5. $=3.6132$4.6532 − 1.044.6532 − 1.04
  6. $0.38T=3.6132$soจึงได้
  7. $T=\dfrac{3.6132}{0.38}$divide by 0.38หารด้วย 0.38
  8. $=9.5084$calculatorกดเครื่องคิดเลข
  9. $T=9.51$answer · 3 s.f. (months)คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ (เดือน)

Q3(c) GBP 350 000 in 12 months?Q3(c) 350 000 ใน 12 เดือนไหม

A charity tracks its money. $D$ is the total raised (in GBP) $t$ months after the tracking started. The model is $\log_{10}D=1.04+0.38t$.
(c) The target of the charity is GBP 350 000 by the end of month 12 of tracking. Use the model to decide if it meets the target. [2]

  1. $0.38\times12=4.56$put t = 12แทน t = 12
  2. $\log_{10}D=1.04+4.56$the model at t = 12โมเดลที่ t = 12
  3. $=5.6$addบวกกัน
  4. $D=10^{5.6}$undo log₁₀ถอด log₁₀
  5. $=398107$about GBP 398 000ประมาณ 398 000
  6. $398107\gt350000$more than the aim · yes, it gets thereมากกว่าเป้า · ทำได้

5. Q4 · Functions, inverse, composite · 13 marksข้อ 4 · ฟังก์ชัน ผกผัน และประกอบ · 13 คะแนน

Answer: f(x) = 2x/(3x − 5); f′(x) = −10/(3x − 5)² < 0, so f is decreasing; g⁻¹(x) = e^((x − 3)/2), x ≥ 3; a = 5e/(3e − 2)คำตอบ: f(x) = 2x/(3x − 5); f′(x) = −10/(3x − 5)² < 0, so f is decreasing; g⁻¹(x) = e^((x − 3)/2), x ≥ 3; a = 5e/(3e − 2)

Q4(a) Simplify f(x)Q4(a) ทำ f(x) ให้ง่าย

$\text{f}(x)=\dfrac{2x^2-32}{3x^2+7x-20}+\dfrac{8}{3x-5}$ for real $x\gt2$.
(a) Prove that $\text{f}(x)=\dfrac{2x}{3x-5}$. [3]

  1. $3x^2+7x-20=(3x-5)(x+4)$factorise the first bottomแยกตัวประกอบตัวส่วนแรก
  2. $2x^2-32=2(x-4)(x+4)$top: take out 2, then a² − b²ตัวบน: ดึง 2 ออก แล้วใช้ a² − b²
  3. $F=\dfrac{2(x-4)(x+4)}{(3x-5)(x+4)}$F = the first fractionF = เศษส่วนแรก
  4. $=\dfrac{2(x-4)}{3x-5}$cancel x + 4 (x > 2, so it is not 0)ตัด x + 4 (x > 2 จึงไม่เป็น 0)
  5. $\text{f}(x)=\dfrac{2(x-4)+8}{3x-5}$F + 8/(3x − 5): same bottom, add the topsF + 8/(3x − 5): ตัวส่วนเท่ากัน บวกตัวบน
  6. $=\dfrac{2x-8+8}{3x-5}$expandกระจาย
  7. $=\dfrac{2x}{3x-5}$shownพิสูจน์แล้ว

Q4(b) f is decreasingQ4(b) f เป็นฟังก์ชันลด

$\text{f}(x)=\dfrac{2x^2-32}{3x^2+7x-20}+\dfrac{8}{3x-5}$ for real $x\gt2$.
(b) Use differentiation to prove that f is a decreasing function. Give your reason. [3]

  1. $u=2x$f = u ÷ v · u′ = 2f = u ÷ v · u′ = 2
  2. $v=3x-5$v′ = 3v′ = 3
  3. $\text{f}'(x)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
  4. $vu'=2(3x-5)$v × u′v × u′
  5. $=6x-10$expandกระจาย
  6. $uv'=3(2x)$u × v′u × v′
  7. $=6x$multiplyคูณ
  8. $\text{f}'(x)=\dfrac{6x-10-6x}{(3x-5)^2}$put them inแทนค่า
  9. $=\dfrac{-10}{(3x-5)^2}$the 6x terms cancelพจน์ 6x หักล้างกัน
  10. $(3x-5)^2\gt0$a square · x > 2, so 3x − 5 is not 0เป็นกำลังสอง · x > 2 จึง 3x − 5 ไม่เป็น 0
  11. $\text{f}'(x)\lt0$−10 ÷ positive · so f is decreasing−10 ÷ จำนวนบวก · f จึงเป็นฟังก์ชันลด

Q4(c) Find g⁻¹Q4(c) หา g⁻¹

$\text{f}(x)=\dfrac{2x^2-32}{3x^2+7x-20}+\dfrac{8}{3x-5}$ for real $x\gt2$.
(c) $\text{g}(x)=3+2\ln x$ for $x\ge1$. Find the inverse function $\text{g}^{-1}$. [3]

  1. $y=3+2\ln x$y = g(x) · get x on its owny = g(x) · ทำให้ x อยู่ตัวเดียว
  2. $y-3=2\ln x$take 3 off both sidesลบ 3 ทั้งสองข้าง
  3. $\dfrac{y-3}{2}=\ln x$undo ln: e to the powerถอด ln: ยก e กำลังทั้งสองข้าง
  4. $x=e^{\frac{y-3}{2}}$x on its ownx อยู่ตัวเดียวแล้ว
  5. $\text{g}^{-1}(x)=e^{\frac{x-3}{2}}$swap the lettersสลับตัวอักษร
  6. $\text{g}(1)=3$x ≥ 1 gives ln x ≥ 0, so g(x) ≥ 3x ≥ 1 ได้ ln x ≥ 0 จึง g(x) ≥ 3
  7. $x\ge3$domain of g⁻¹ = range of g · answerโดเมนของ g⁻¹ = เรนจ์ของ g · คำตอบ

Q4(d) Solve gf(a) = 5Q4(d) แก้ gf(a) = 5

$\text{f}(x)=\dfrac{2x^2-32}{3x^2+7x-20}+\dfrac{8}{3x-5}$ for real $x\gt2$.
(d) Work out the exact value of $a$ that makes $\text{gf}(a)=5$. [4]

  1. $q=\dfrac{2a}{3a-5}$q = f(a), from (a)q = f(a) จากข้อ (a)
  2. $3+2\ln q=5$gf(a) = g(q) = 5gf(a) = g(q) = 5
  3. $2\ln q=2$take 3 off both sidesลบ 3 ทั้งสองข้าง
  4. $\ln q=1$undo ln: e to the powerถอด ln: ยก e กำลัง
  5. $q=e$e¹ = ee¹ = e
  6. $\dfrac{2a}{3a-5}=e$q in fullเขียน q เต็ม
  7. $2a=e(3a-5)$multiply out the bottomคูณตัวส่วนออก
  8. $2a=3ea-5e$expandกระจาย
  9. $5e=3ea-2a$a terms on one sideพจน์ a อยู่ข้างเดียว
  10. $5e=a(3e-2)$factorise aดึง a ออก
  11. $a=\dfrac{5e}{3e-2}$answer · exact (about 2.21 > 2)คำตอบ · ค่าแม่นตรง (ประมาณ 2.21 > 2)

6. Q5 · A cooling model · 7 marksข้อ 5 · โมเดลการเย็นตัว · 7 คะแนน

Answer: A = 8; B = 0.00639; −0.0505 °C per minute; T > 10 for every t (the lower limit is 10 °C), so T cannot be 5คำตอบ: A = 8; B = 0.00639; −0.0505 °C per minute; T > 10 for every t (the lower limit is 10 °C), so T cannot be 5

Q5(a) Find AQ5(a) หา A

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
A heater in a room is turned off. $t$ minutes later the air is at $T$ °C, where $T=10+Ae^{-Bt}$ and $A$, $B$ are constants.
(a) The air was at 18 °C at the moment the heater went off. Find $A$. [1]

  1. $T=10+Ae^{-Bt}$the modelโมเดลที่ให้มา
  2. $18=10+Ae^{0}$t = 0 and T = 18t = 0 และ T = 18
  3. $18=10+A$e⁰ = 1e⁰ = 1
  4. $A=8$answerคำตอบ

Q5(b) Find BQ5(b) หา B

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
A heater in a room is turned off. $t$ minutes later the air is at $T$ °C, where $T=10+Ae^{-Bt}$ and $A$, $B$ are constants.
(b) Also, 45 minutes after the heater went off, the air was at 16 °C. Find $B$ to 3 s.f. [3]

  1. $16=10+8e^{-45B}$t = 45, T = 16, A = 8t = 45, T = 16, A = 8
  2. $6=8e^{-45B}$take 10 off both sidesลบ 10 ทั้งสองข้าง
  3. $\dfrac34=e^{-45B}$divide by 8 · take ln of both sidesหารด้วย 8 · ใส่ ln ทั้งสองข้าง
  4. $\ln\dfrac34=-45B$ln undoes eln ถอด e
  5. $B=-\dfrac{1}{45}\ln\dfrac34$divide by −45หารด้วย −45
  6. $=0.00639$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ

Q5(c) Rate of change at t = 2Q5(c) อัตราการเปลี่ยนที่ t = 2

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
A heater in a room is turned off. $t$ minutes later the air is at $T$ °C, where $T=10+Ae^{-Bt}$ and $A$, $B$ are constants.
(c) With these $A$ and $B$, find how fast the temperature changes 2 minutes after the heater went off, in °C per minute, to 3 s.f. [2]

  1. $T=10+8e^{-Bt}$the model with A = 8โมเดลที่ A = 8
  2. $\dfrac{dT}{dt}=-8Be^{-Bt}$chain rule: × (−B)กฎลูกโซ่: คูณ (−B)
  3. $8B=0.05114$use the full Bใช้ B ค่าเต็ม
  4. $e^{-2B}=0.9873$t = 2t = 2
  5. $0.05114\times0.9873=0.05049$8B × e^(−2B)8B × e^(−2B)
  6. $\dfrac{dT}{dt}=-0.0505$the minus from −8B · answer · 3 s.f. · fallingเครื่องหมายลบจาก −8B · คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ · กำลังลดลง

Q5(d) Why never 5 °CQ5(d) ทำไมไม่ถึง 5 °C

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
A heater in a room is turned off. $t$ minutes later the air is at $T$ °C, where $T=10+Ae^{-Bt}$ and $A$, $B$ are constants.
(d) Say why the model cannot give an air temperature of 5 °C. [1]

  1. $e^{-Bt}\gt0$e to any power is positivee ยกกำลังอะไรก็เป็นบวก
  2. $8e^{-Bt}\gt0$A = 8 is positiveA = 8 เป็นบวก
  3. $T\gt10$10 + a positive amount · it only gets close to 1010 + จำนวนบวก · เข้าใกล้ 10 เท่านั้น
  4. $T\ne5$answer: T stays above 10 °Cคำตอบ: T อยู่เหนือ 10 °C เสมอ

7. Q6 · Turning points with e^(3 sin x) · 7 marksข้อ 6 · จุดวกกลับของ e^(3 sin x) · 7 คะแนน

Answer: R = (3π/2, 0); 3 sin² x + sin x − 3 = 0 (a = 3, b = 1, c = −3); x = 2.131คำตอบ: R = (3π/2, 0); 3 sin² x + sin x − 3 = 0 (a = 3, b = 1, c = −3); x = 2.131

Q6(a) Coordinates of RQ6(a) พิกัดของ R

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The sketch shows $y=\text{f}(x)$ with $\text{f}(x)=2e^{3\sin x}\cos x$ for $0\le x\le2\pi$. The curve has two turning points, $P$ and $Q$. Further right, past $Q$, it meets the $x$-axis at $R$.
(a) Write down the coordinates of $R$. [1]

  1. $\text{f}(x)=0$R is on the x-axisR อยู่บนแกน x
  2. $\cos x=0$2e^(3 sin x) is never 02e^(3 sin x) ไม่เคยเป็น 0
  3. $x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}$the two values from 0 to 2πสองค่าในช่วง 0 ถึง 2π
  4. $R=\left(\dfrac{3\pi}{2},0\right)$R is the one on the right · answerR คือจุดทางขวา · คำตอบ

Q6(b) A quadratic in sin xQ6(b) สมการกำลังสองของ sin x

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The sketch shows $y=\text{f}(x)$ with $\text{f}(x)=2e^{3\sin x}\cos x$ for $0\le x\le2\pi$. The curve has two turning points, $P$ and $Q$. Further right, past $Q$, it meets the $x$-axis at $R$.
(b) Prove that, at $P$ and at $Q$, $a\sin^2x+b\sin x+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers you must find. [4]

  1. $u=2\cos x$f = u × v · product rulef = u × v · กฎผลคูณ
  2. $v=e^{3\sin x}$the second factorตัวประกอบที่สอง
  3. $u'=-2\sin x$differentiate cosดิฟ cos
  4. $v'=3\cos x\,e^{3\sin x}$chain rule: × (3 sin x)′กฎลูกโซ่: คูณ (3 sin x)′
  5. $\text{f}'=uv'+vu'$product ruleกฎผลคูณ
  6. $uv'=6\cos^2x\,e^{3\sin x}$first halfครึ่งแรก
  7. $vu'=-2\sin x\,e^{3\sin x}$second halfครึ่งหลัง
  8. $\text{f}'=E\times G$take out E = e^(3 sin x)ดึง E = e^(3 sin x) ออก
  9. $G=6\cos^2x-2\sin x$G = what is leftG = ส่วนที่เหลือ
  10. $E\gt0$so f′ = 0 only when G = 0f′ = 0 ได้เมื่อ G = 0 เท่านั้น
  11. $s=\sin x$call sin x “s”เรียก sin x ว่า s
  12. $\cos^2x=1-s^2$cos² x + sin² x = 1cos² x + sin² x = 1
  13. $6(1-s^2)-2s=0$G = 0G = 0
  14. $6-6s^2-2s=0$expandกระจาย
  15. $3s^2+s-3=0$multiply by −½คูณด้วย −½
  16. $3\sin^2x+\sin x-3=0$answer · a = 3, b = 1, c = −3คำตอบ · a = 3, b = 1, c = −3

Q6(c) The x-coordinate of QQ6(c) พิกัด x ของ Q

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The sketch shows $y=\text{f}(x)$ with $\text{f}(x)=2e^{3\sin x}\cos x$ for $0\le x\le2\pi$. The curve has two turning points, $P$ and $Q$. Further right, past $Q$, it meets the $x$-axis at $R$.
(c) Use your answer to (b) to find the $x$-coordinate of $Q$ to 3 d.p. [2]

  1. $3s^2+s-3=0$from (b), s = sin xจากข้อ (b) s = sin x
  2. $s=\dfrac{-1\pm\sqrt{37}}{6}$formula: b² − 4ac = 1 + 36สูตร: b² − 4ac = 1 + 36
  3. $s=0.84713$take + · keep 5 d.p.ใช้ + · เก็บทศนิยม 5 ตำแหน่ง
  4. $s=-1.180$take −: below −1, rejectใช้ −: น้อยกว่า −1 ตัดทิ้ง
  5. $x=\sin^{-1}0.84713$first angleมุมแรก
  6. $=1.0106$f > 0 here, so this is Pf > 0 ตรงนี้ จึงเป็น P
  7. $x=\pi-1.0106$sin x is also 0.8471 at π − anglesin x เป็น 0.8471 ที่ π − มุม ด้วย
  8. $=2.131$f < 0 here: Q · 3 d.p.f < 0 ตรงนี้: Q · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

8. Q7 · Chain rule, normal, ln integral · 12 marksข้อ 7 · กฎลูกโซ่ เส้นตั้งฉาก อินทิกรัล ln · 12 คะแนน

Answer: dy/dx = −16/(3(3x − k)²); k = 7/3 or k = 11/3; 12y − x − 31 = 0; λ = 16/27คำตอบ: dy/dx = −16/(3(3x − k)²); k = 7/3 or k = 11/3; 12y − x − 31 = 0; λ = 16/27

Q7(a) Find dy/dxQ7(a) หา dy/dx

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The curve $C$ is $y=\dfrac{16}{9(3x-k)}$, $x\ne\dfrac{k}{3}$. Here $k$ is a positive constant, and $k\ne3$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $k$, in its simplest form. [2]

  1. $y=\dfrac{16}{9}(3x-k)^{-1}$write it as a powerเขียนเป็นเลขยกกำลัง
  2. $(-1)\times3=-3$power down · × 3 from inside (chain rule)ดึงกำลังลง · คูณ 3 จากข้างใน (กฎลูกโซ่)
  3. $\dfrac{16}{9}\times(-3)=-\dfrac{16}{3}$the number in frontตัวเลขข้างหน้า
  4. $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{16}{3}(3x-k)^{-2}$power − 1กำลังลดลง 1
  5. $=-\dfrac{16}{3(3x-k)^2}$answerคำตอบ

Q7(b) Two values of kQ7(b) ค่า k สองค่า

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The curve $C$ is $y=\dfrac{16}{9(3x-k)}$, $x\ne\dfrac{k}{3}$. Here $k$ is a positive constant, and $k\ne3$.
(b) The point $P$ on $C$ has $x=1$, and the gradient of $C$ at $P$ is $-12$. Find both possible values of $k$. [3]

  1. $-\dfrac{16}{3(3-k)^2}=-12$x = 1 in dy/dxแทน x = 1 ใน dy/dx
  2. $\dfrac{16}{3(3-k)^2}=12$both sides × (−1)คูณ −1 ทั้งสองข้าง
  3. $16=36(3-k)^2$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
  4. $(3-k)^2=\dfrac{16}{36}$divide by 36หารด้วย 36
  5. $=\dfrac49$simplifyทำให้ง่าย
  6. $3-k=\pm\dfrac23$square root: + and −ถอดรากที่สอง: + และ −
  7. $k=3\mp\dfrac23$k on its ownk อยู่ตัวเดียว
  8. $k=\dfrac73,\ \dfrac{11}{3}$answerคำตอบ

Q7(c) Normal at PQ7(c) เส้นตั้งฉากที่ P

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The curve $C$ is $y=\dfrac{16}{9(3x-k)}$, $x\ne\dfrac{k}{3}$. Here $k$ is a positive constant, and $k\ne3$.
(c) Now $k\lt3$. Find the normal to $C$ at $P$ as $ax+by+c=0$ with integers $a$, $b$, $c$. [3]

  1. $k=\dfrac73$k < 3k < 3
  2. $3(1)-\dfrac73=\dfrac23$the bracket at x = 1ค่าในวงเล็บที่ x = 1
  3. $y=\dfrac{16}{9\times\frac23}$y at Py ที่ P
  4. $=\dfrac{16}{6}$9 × 2/3 = 69 × 2/3 = 6
  5. $=\dfrac83$P = (1, 8/3)P = (1, 8/3)
  6. $m_N=\dfrac{1}{12}$normal gradient: −1 ÷ (−12)ความชันเส้นตั้งฉาก: −1 ÷ (−12)
  7. $y-\dfrac83=\dfrac{1}{12}(x-1)$line through Pเส้นตรงผ่าน P
  8. $12y-32=x-1$multiply by 12คูณด้วย 12
  9. $12y-x-31=0$answerคำตอบ

Q7(d) Integral = λ ln 10Q7(d) อินทิกรัล = λ ln 10

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
The curve $C$ is $y=\dfrac{16}{9(3x-k)}$, $x\ne\dfrac{k}{3}$. Here $k$ is a positive constant, and $k\ne3$.
(d) With $k=\dfrac73$, use algebraic integration to show that $\displaystyle\int_1^3\dfrac{16}{9(3x-k)}\,dx=\lambda\ln10$, and find the constant $\lambda$. [4]

  1. $\int\dfrac{dx}{3x-k}=\dfrac13\ln(3x-k)$∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln(ax + b)∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln(ax + b)
  2. $\dfrac{16}{9}\times\dfrac13=\dfrac{16}{27}$the number in frontตัวเลขข้างหน้า
  3. $w=3x-\dfrac73$w = the bracket, k = 7/3w = ค่าในวงเล็บ, k = 7/3
  4. $I=\dfrac{16}{27}\Big[\ln w\Big]_1^3$I = the integralI = อินทิกรัล
  5. $3(3)-\dfrac73=\dfrac{20}{3}$w at the top limit, x = 3w ที่ขอบบน x = 3
  6. $3(1)-\dfrac73=\dfrac23$w at the bottom limit, x = 1w ที่ขอบล่าง x = 1
  7. $L=\ln\dfrac{20}{3}-\ln\dfrac23$L = top − bottomL = บน − ล่าง
  8. $=\ln\left(\dfrac{20}{3}\div\dfrac23\right)$ln p − ln q = ln(p ÷ q)ln p − ln q = ln(p ÷ q)
  9. $=\ln10$20/3 × 3/2 = 1020/3 × 3/2 = 10
  10. $I=\dfrac{16}{27}\ln10$shownพิสูจน์แล้ว
  11. $\lambda=\dfrac{16}{27}$answerคำตอบ

9. Q8 · Modulus graphs · 11 marksข้อ 8 · กราฟค่าสัมบูรณ์ · 11 คะแนน

Answer: (b/2, a); (0, a − b); ((b − a)/2, 0) and ((a + b)/2, 0); a V with its lowest point at (0, −1), through (±1, 0); a = 11, b = 3คำตอบ: (b/2, a); (0, a − b); ((b − a)/2, 0) and ((a + b)/2, 0); a V with its lowest point at (0, −1), through (±1, 0); a = 11, b = 3

Q8(a)(i) The highest pointQ8(a)(i) จุดสูงสุด

Show every stage of your working: an answer that relies on the calculator gets no marks.
The sketch shows the graph of $y=a-|2x-b|$. The constants $a$ and $b$ are positive, and $a\gt b$.
(a)(i) In terms of $a$ and $b$, give the coordinates of the maximum point. [2]

  1. $|2x-b|\ge0$a modulus is never negativeค่าสัมบูรณ์ไม่เคยติดลบ
  2. $y\le a$y = a minus something ≥ 0y = a ลบสิ่งที่ ≥ 0
  3. $2x-b=0$the top is where the modulus is 0จุดสูงสุดคือที่ค่าสัมบูรณ์เป็น 0
  4. $2x=b$add bบวก b
  5. $x=\dfrac{b}{2}$divide by 2หารด้วย 2
  6. $(x,y)=\left(\dfrac{b}{2},a\right)$answerคำตอบ

Q8(a)(ii) Where it cuts the y-axisQ8(a)(ii) จุดตัดแกน y

Show every stage of your working: an answer that relies on the calculator gets no marks.
The sketch shows the graph of $y=a-|2x-b|$. The constants $a$ and $b$ are positive, and $a\gt b$.
(a)(ii) In terms of $a$ and $b$, give the coordinates of the point where the graph meets the $y$-axis. [1]

  1. $x=0$on the y-axisบนแกน y
  2. $y=a-|0-b|$put x = 0แทน x = 0
  3. $=a-b$b > 0, so |−b| = bb > 0 จึง |−b| = b
  4. $(x,y)=(0,a-b)$answerคำตอบ

Q8(a)(iii) Where it cuts the x-axisQ8(a)(iii) จุดตัดแกน x

Show every stage of your working: an answer that relies on the calculator gets no marks.
The sketch shows the graph of $y=a-|2x-b|$. The constants $a$ and $b$ are positive, and $a\gt b$.
(a)(iii) In terms of $a$ and $b$, give the coordinates of the points where the graph meets the $x$-axis. [2]

  1. $a-|2x-b|=0$y = 0 on the x-axisy = 0 บนแกน x
  2. $a=|2x-b|$two cases: + and −มีสองกรณี: + และ −
  3. $2x-b=a$right branch: inside ≥ 0กิ่งขวา: ข้างใน ≥ 0
  4. $2x=a+b$add bบวก b
  5. $x=\dfrac{a+b}{2}$divide by 2หารด้วย 2
  6. $2x-b=-a$left branch: inside < 0กิ่งซ้าย: ข้างใน < 0
  7. $2x=b-a$add bบวก b
  8. $x=\dfrac{b-a}{2}$divide by 2หารด้วย 2
  9. $(x,y)=\left(\dfrac{b-a}{2},0\right)$answer, left pointคำตอบ จุดซ้าย
  10. $(x,y)=\left(\dfrac{a+b}{2},0\right)$answer, right pointคำตอบ จุดขวา

Q8(b) Sketch y = |x| − 1Q8(b) ร่างกราฟ y = |x| − 1

Show every stage of your working: an answer that relies on the calculator gets no marks.
The sketch shows the graph of $y=a-|2x-b|$. The constants $a$ and $b$ are positive, and $a\gt b$.
(b) On a copy of the sketch, draw the graph of $y=|x|-1$. [2]

  1. $y=|x|-1$the V of y = |x|, moved down 1กราฟตัว V ของ y = |x| เลื่อนลง 1
  2. $x=0$its lowest point is on the y-axisจุดต่ำสุดอยู่บนแกน y
  3. $y=-1$lowest point (0, −1), below the x-axisจุดต่ำสุด (0, −1) อยู่ใต้แกน x
  4. $|x|-1=0$where it meets the x-axisจุดที่ตัดแกน x
  5. $x=\pm1$answer · each arm crosses one arm of the first graphคำตอบ · แขนแต่ละข้างตัดแขนของกราฟแรกข้างละจุด

Q8(c) Find a and bQ8(c) หา a และ b

Show every stage of your working: an answer that relies on the calculator gets no marks.
The sketch shows the graph of $y=a-|2x-b|$. The constants $a$ and $b$ are positive, and $a\gt b$.
(c) The two graphs $y=|x|-1$ and $y=a-|2x-b|$ meet at $x=-3$ and at $x=5$. Work out $a$ and $b$. [4]

  1. $y=|-3|-1$x = −3 on the Vx = −3 บนตัว V
  2. $=2$both graphs pass through (−3, 2)กราฟทั้งสองผ่าน (−3, 2)
  3. $2=a-|-6-b|$x = −3 on the first graphx = −3 บนกราฟแรก
  4. $|-6-b|=6+b$b > 0, so −6 − b is negativeb > 0 จึง −6 − b ติดลบ
  5. $2=a-6-b$take the modulus offถอดค่าสัมบูรณ์
  6. $8=a-b$add 6บวก 6
  7. $y=|5|-1$x = 5 on the Vx = 5 บนตัว V
  8. $=4$both graphs pass through (5, 4)กราฟทั้งสองผ่าน (5, 4)
  9. $4=a-|10-b|$x = 5 on the first graphx = 5 บนกราฟแรก
  10. $|10-b|=10-b$x = 5 is right of the top, so 2x − b ≥ 0x = 5 อยู่ขวาของจุดสูงสุด จึง 2x − b ≥ 0
  11. $4=a-10+b$take the modulus offถอดค่าสัมบูรณ์
  12. $14=a+b$add 10บวก 10
  13. $22=2a$add the two equations: b cancelsบวกสองสมการ: b หักล้างกัน
  14. $a=11$divide by 2หารด้วย 2
  15. $b=14-11$put a = 11 into ②แทน a = 11 ใน ②
  16. $=3$answer: a = 11, b = 3คำตอบ: a = 11, b = 3

10. Q9 · Trig equation via R sin(2x − α) · 8 marksข้อ 9 · สมการตรีโกณผ่าน R sin(2x − α) · 8 คะแนน

Answer: 3 sin 2θ − 4 cos 2θ = 2; x = 3.81คำตอบ: 3 sin 2θ − 4 cos 2θ = 2; x = 3.81

Q9(a) Rearrange the equationQ9(a) จัดรูปสมการ

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
Angles are in radians.
(a) Prove that $\dfrac{3\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta+\sin\theta}=(2+\sec2\theta)(\cos\theta-\sin\theta)$ can be rearranged to $3\sin2\theta-4\cos2\theta=2$. [3]

  1. $s=\sin\theta$short namesตั้งชื่อสั้น
  2. $c=\cos\theta$short namesตั้งชื่อสั้น
  3. $K=2+\sec2\theta$K = the first bracketK = วงเล็บแรก
  4. $\dfrac{3sc}{c+s}=K(c-s)$the equationสมการที่ให้มา
  5. $3sc=K(c-s)(c+s)$multiply by c + sคูณด้วย c + s
  6. $(c-s)(c+s)=c^2-s^2$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
  7. $=\cos2\theta$cos 2θ = cos²θ − sin²θcos 2θ = cos²θ − sin²θ
  8. $3sc=\tfrac32\sin2\theta$sin 2θ = 2 sin θ cos θsin 2θ = 2 sin θ cos θ
  9. $K\cos2\theta=2\cos2\theta+1$sec 2θ × cos 2θ = 1sec 2θ × cos 2θ = 1
  10. $\tfrac32\sin2\theta=2\cos2\theta+1$put the last three rows togetherรวมสามบรรทัดก่อนหน้า
  11. $3\sin2\theta=4\cos2\theta+2$multiply by 2คูณด้วย 2
  12. $3\sin2\theta-4\cos2\theta=2$shownพิสูจน์แล้ว

Q9(b) Solve for π < x < 3π/2Q9(b) แก้สมการเมื่อ π < x < 3π/2

Show every stage of your working: an answer that rests only on the calculator gets no marks.
Angles are in radians.
(b) Use (a) to solve $\dfrac{3\sin x\cos x}{\cos x+\sin x}=(2+\sec2x)(\cos x-\sin x)$ for $\pi\lt x\lt\dfrac{3\pi}{2}$. Answer to 3 s.f. [5]

  1. $\eqalign{&3\sin2x\cr&-4\cos2x}=2$from (a), with θ = xจากข้อ (a) ให้ θ = x
  2. $R=\sqrt{3^2+4^2}$left side = R sin(2x − α)ฝั่งซ้าย = R sin(2x − α)
  3. $=5$R > 0R > 0
  4. $\tan\alpha=\dfrac43$R cos α = 3, R sin α = 4R cos α = 3, R sin α = 4
  5. $\alpha=0.9273$radiansเรเดียน
  6. $u=2x-\alpha$call the angle uเรียกมุมว่า u
  7. $5\sin u=2$the equation nowสมการตอนนี้
  8. $\sin u=0.4$divide by 5หารด้วย 5
  9. $\pi\lt x\lt\tfrac{3\pi}{2}$the range for xช่วงของ x
  10. $2\pi-\alpha=5.356$lowest u: x = πu ต่ำสุด: x = π
  11. $3\pi-\alpha=8.497$highest u: x = 3π/2u สูงสุด: x = 3π/2
  12. $5.356\lt u\lt8.497$the range for uช่วงของ u
  13. $\sin^{-1}0.4=0.4115$calculator: not in the rangeเครื่องคิดเลข: ไม่อยู่ในช่วง
  14. $u=0.4115+2\pi$add 2π to get into the rangeบวก 2π ให้อยู่ในช่วง
  15. $=6.6947$in the rangeอยู่ในช่วง
  16. $\pi-0.4115=2.7301$the other sine solutionคำตอบ sin อีกตัว
  17. $2.7301+2\pi=9.013$too big · 0.4115, 2.7301 too smallใหญ่เกิน · 0.4115, 2.7301 เล็กเกิน
  18. $2x-\alpha=6.6947$u = 6.6947, the only oneu = 6.6947 มีตัวเดียว
  19. $2x=6.6947+\alpha$add αบวก α
  20. $=7.6220$α = 0.9273α = 0.9273
  21. $2x=7.6220$soจึงได้
  22. $x=3.81$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 เลขนัยสำคัญ

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A model is log₁₀ D = 2 + 0.5t. Find D when t = 2.โมเดลคือ log₁₀ D = 2 + 0.5t · หา D เมื่อ t = 2
    Answer:เฉลย: 1000log₁₀ D = 2 + 1 = 3, so D = 10³ = 1000.log₁₀ D = 2 + 1 = 3 จึง D = 10³ = 1000
  2. A model is T = 20 + 60e^(−0.05t). Find t when T = 50. Answer to 3 s.f.โมเดลคือ T = 20 + 60e^(−0.05t) · หา t เมื่อ T = 50 · ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
    Answer:เฉลย: 13.960e^(−0.05t) = 30, so e^(−0.05t) = 1/2, t = ln 2 ÷ 0.05 = 13.9.60e^(−0.05t) = 30 จึง e^(−0.05t) = 1/2 · t = ln 2 ÷ 0.05 = 13.9
  3. Work out the integral of 1/(2x − 1) from x = 1 to x = 2. Answer to 3 s.f.หาอินทิกรัลของ 1/(2x − 1) จาก x = 1 ถึง x = 2 · ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
    Answer:เฉลย: 0.549½ ln(2x − 1) from 1 to 2 = ½ ln 3 − ½ ln 1 = ½ ln 3 = 0.549.½ ln(2x − 1) จาก 1 ถึง 2 = ½ ln 3 − ½ ln 1 = ½ ln 3 = 0.549
  4. The graph of y = 10 − |2x − 4| meets the x-axis twice. Find the x-coordinate of the point on the right.กราฟ y = 10 − |2x − 4| ตัดแกน x สองจุด · หาพิกัด x ของจุดทางขวา
    Answer:เฉลย: 7|2x − 4| = 10, right branch: 2x − 4 = 10, so x = 7.|2x − 4| = 10 กิ่งขวา: 2x − 4 = 10 จึง x = 7

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี