Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA13 Pure 3 · June 2024WMA13 Pure 3 · มิ.ย. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 3 (WMA13) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Modulus graph · 6 marksข้อ 1 · กราฟค่าสัมบูรณ์ · 6 คะแนน

Answer: P(5, 10); x < 5/2; (7, 30)คำตอบ: P(5, 10); x < 5/2; (7, 30)

Q1(a) The corner point PQ1(a) จุดมุม P

The sketch shows the V-shaped graph $y=\text{f}(x)$, with $\text{f}(x)=2|x-5|+10$. Its corner point is $P$.
(a) Write down the coordinates of $P$. [2]

  1. $|x-5|=0$the corner: the modulus is 0จุดมุม: ค่าในค่าสัมบูรณ์เป็น 0
  2. $x=5$x − 5 = 0x − 5 = 0
  3. $y=2\times0+10$put |x − 5| = 0 into fแทน |x − 5| = 0 ลงใน f
  4. $y=10$the lowest value of fค่าต่ำสุดของ f
  5. $P=(5,\ 10)$answerคำตอบ

Q1(b) Solve the inequalityQ1(b) แก้อสมการ

The sketch shows the V-shaped graph $y=\text{f}(x)$, with $\text{f}(x)=2|x-5|+10$. Its corner point is $P$.
(b) Solve $2|x-5|+10\gt 6x$ by algebra. A method that only uses a calculator gets no marks. [2]

  1. $\text{f}(x)=2x$right arm (x ≥ 5): 2(x − 5) + 10แขนขวา (x ≥ 5): 2(x − 5) + 10
  2. $2x\gt6x$never true when x ≥ 5ไม่จริงเลยเมื่อ x ≥ 5
  3. $\text{f}(x)=20-2x$left arm (x < 5): 2(5 − x) + 10แขนซ้าย (x < 5): 2(5 − x) + 10
  4. $20-2x\gt6x$left arm above the lineแขนซ้ายอยู่เหนือเส้นตรง
  5. $20\gt8x$x terms on one sideพจน์ x อยู่ข้างเดียว
  6. $\dfrac52\gt x$20 ÷ 8 = 5/220 ÷ 8 = 5/2
  7. $x\lt\dfrac52$answer · x on the leftคำตอบ · เขียน x ไว้ซ้าย

Q1(c) Where P goesQ1(c) P ย้ายไปไหน

The sketch shows the V-shaped graph $y=\text{f}(x)$, with $\text{f}(x)=2|x-5|+10$. Its corner point is $P$.
(c) The graph $y=\text{f}(x)$ is changed to $y=3\text{f}(x-2)$. Using $P(5,\ 10)$, find where $P$ goes. [2]

  1. $x=5+2$x − 2 inside: move right 2x − 2 ในวงเล็บ: เลื่อนขวา 2
  2. $=7$new xx ใหม่
  3. $y=3\times10$3 outside: stretch up × 33 นอกวงเล็บ: ยืดขึ้น × 3
  4. $=30$new yy ใหม่
  5. $P'=(7,\ 30)$answerคำตอบ

3. Q2 · Division, then integration · 7 marksข้อ 2 · หารพหุนาม แล้วอินทิเกรต · 7 คะแนน

Answer: g(x) = 2x − 1 + 6/(x − 2); 44 + 6 ln 3 (α = 44, β = 6)คำตอบ: g(x) = 2x − 1 + 6/(x − 2); 44 + 6 ln 3 (α = 44, β = 6)

Q2(a) Find A, B and CQ2(a) หา A, B และ C

$\text{g}(x)=\dfrac{2x^2-5x+8}{x-2}$
(a) Find whole numbers $A$, $B$ and $C$ so that $\text{g}(x)=Ax+B+\dfrac{C}{x-2}$. [3]

  1. $T=2x^2-5x+8$T is the top of gT คือตัวเศษของ g
  2. $Q=Ax+B$call the line part Qให้ส่วนเส้นตรงเป็น Q
  3. $T=Q(x-2)+C$times both sides by x − 2คูณทั้งสองข้างด้วย x − 2
  4. $x=2$put x = 2: the bracket is 0แทน x = 2: วงเล็บเป็น 0
  5. $C=8-10+8$T at x = 2ค่า T เมื่อ x = 2
  6. $=6$CC
  7. $A=2$x² terms: A = 2พจน์ x²: A = 2
  8. $-2A+B=-5$x termsพจน์ x
  9. $-4+B=-5$A = 2แทน A = 2
  10. $B=-1$BB
  11. $\text{g}(x)=2x-1+\dfrac6{x-2}$answerคำตอบ

Q2(b) Integrate from 4 to 8Q2(b) อินทิเกรตจาก 4 ถึง 8

$\text{g}(x)=\dfrac{2x^2-5x+8}{x-2}$
(b) Using part (a), integrate by algebra to show that $\displaystyle\int_4^8\text{g}(x)\,dx=\alpha+\beta\ln3$, where $\alpha$ and $\beta$ are integers. Find them. [4]

  1. $\text{g}(x)=2x-1+\dfrac6{x-2}$from part (a)จากข้อ (a)
  2. $\int(2x-1)dx=x^2-x$power up 1 · divide by the new powerเลขชี้กำลังเพิ่ม 1 · หารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
  3. $\int\dfrac6{x-2}dx=6\ln(x-2)$k over (x − 2) gives k ln(x − 2)k ส่วน (x − 2) ได้ k ln(x − 2)
  4. $F(8)=64-8+6\ln6$F is the integral · top limit 8F คือผลอินทิเกรต · ลิมิตบน 8
  5. $=56+6\ln6$value at 8ค่าที่ 8
  6. $F(4)=16-4+6\ln2$bottom limit 4ลิมิตล่าง 4
  7. $=12+6\ln2$value at 4ค่าที่ 4
  8. $I=F(8)-F(4)$top minus bottomบนลบล่าง
  9. $=44+6\ln\dfrac62$ln 6 − ln 2 = ln(6 ÷ 2)ln 6 − ln 2 = ln(6 ÷ 2)
  10. $=44+6\ln3$6 ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 3
  11. $\alpha=44$answerคำตอบ
  12. $\beta=6$answerคำตอบ

4. Q3 · Log graphs · 6 marksข้อ 3 · กราฟลอการิทึม · 6 คะแนน

Answer: straight line, gradient −3, through (0, 6) and (2, 0); N = 81 × 9ᵗ (a = 81, b = 9)คำตอบ: straight line, gradient −3, through (0, 6) and (2, 0); N = 81 × 9ᵗ (a = 81, b = 9)

Q3(i) Graph of log y against log xQ3(i) กราฟ log y กับ log x

(i) $x$ and $y$ satisfy $y=\dfrac{10^6}{x^3}$ for $x\gt0$. Draw the graph of $\log_{10}y$ against $\log_{10}x$, and label where it crosses each axis. [3]

  1. $X=\log_{10}x$call the axes X and Yเรียกแกนว่า X และ Y
  2. $Y=\log_{10}y$log of both sidesใส่ log ทั้งสองข้าง
  3. $\log_{10}10^6=6$log of the toplog ของตัวเศษ
  4. $\log_{10}x^3=3X$log of the bottom: the power comes downlog ของตัวส่วน: เลขชี้กำลังลงมาคูณ
  5. $Y=6-3X$top minus bottom · a straight lineบนลบล่าง · เป็นเส้นตรง
  6. $X=0$on the Y axisบนแกน Y
  7. $Y=6$cuts at (0, 6)ตัดที่ (0, 6)
  8. $0=6-3X$on the X axis: Y = 0บนแกน X: Y = 0
  9. $3X=6$move 3X acrossย้าย 3X ข้าม
  10. $X=2$cuts at (2, 0)ตัดที่ (2, 0)

Q3(ii) Find a and bQ3(ii) หา a และ b

(ii) A straight-line graph of $\log_3N$ against $t$ goes through $(-2,\ 0)$ and $(0,\ 4)$. Show that $N=ab^t$, and find the constants $a$ and $b$. [3]

  1. $m=\dfrac{4-0}{0-(-2)}$gradient: up ÷ acrossความชัน: ขึ้น ÷ ข้าม
  2. $=2$gradientความชัน
  3. $\log_3N=2t+4$line: crosses the log axis at 4สมการเส้นตรง: ตัดแกนตั้งที่ 4
  4. $N=3^{2t+4}$undo log₃: 3 to the powerถอด log₃: ยก 3 กำลัง
  5. $=3^4\times3^{2t}$split the powerแยกเลขชี้กำลัง
  6. $=81\times(3^2)^t$3⁴ = 81 · 2t = 2 × t3⁴ = 81 · 2t = 2 × t
  7. $=81\times9^t$this is a × bᵗอยู่ในรูป a × bᵗ แล้ว
  8. $a=81$answerคำตอบ
  9. $b=9$answerคำตอบ

5. Q4 · Double angles and R sin(2x + α) · 9 marksข้อ 4 · มุมสองเท่า และ R sin(2x + α) · 9 คะแนน

Answer: f(x) = 4 sin 2x + 2 cos 2x − 1; f(x) = 2√5 sin(2x + 0.464) − 1; 2√5 − 1; x = 3.70 (the mark scheme also accepts 3.69)คำตอบ: f(x) = 4 sin 2x + 2 cos 2x − 1; f(x) = 2√5 sin(2x + 0.464) − 1; 2√5 − 1; x = 3.70 (the mark scheme also accepts 3.69)

Q4(a) Write f in double anglesQ4(a) เขียน f ด้วยมุมสองเท่า

$\text{f}(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3$
(a) Find integers $a$, $b$ and $c$ so that $\text{f}(x)=a\sin2x+b\cos2x+c$. [3]

  1. $\sin2x=2\sin x\cos x$double angle for sinสูตรมุมสองเท่าของ sin
  2. $8\sin x\cos x=4\sin2x$8 = 4 × 28 = 4 × 2
  3. $\cos2x=2\cos^2x-1$double angle for cosสูตรมุมสองเท่าของ cos
  4. $\cos2x+1=2\cos^2x$move the 1ย้าย 1
  5. $2\cos2x+2=4\cos^2x$now 4cos²x is replacedแทน 4cos²x ได้แล้ว
  6. $c=2-3$the numbers: +2 and the −3ตัวเลข: +2 กับ −3
  7. $=-1$cc
  8. $a=4$the sin 2x numberตัวเลขหน้า sin 2x
  9. $b=2$the cos 2x numberตัวเลขหน้า cos 2x

Q4(b) R and αQ4(b) หา R และ α

$\text{f}(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3$
(b) Using part (a), write $\text{f}(x)$ as $R\sin(2x+\alpha)+c$, with $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$. Give $R$ exactly, and $\alpha$ in radians to 3 s.f. [3]

  1. $R\cos\alpha=4$expand sin(2x + α) · match sin 2xกระจาย sin(2x + α) · เทียบพจน์ sin 2x
  2. $R\sin\alpha=2$match cos 2xเทียบพจน์ cos 2x
  3. $R^2=4^2+2^2$cos²α + sin²α = 1cos²α + sin²α = 1
  4. $=20$16 + 416 + 4
  5. $R=2\sqrt5$exact · R > 0ค่าแม่นยำ · R > 0
  6. $\tan\alpha=\dfrac24$sin ÷ cos = tansin ÷ cos = tan
  7. $\alpha=0.4636$tan⁻¹(0.5) in radianstan⁻¹(0.5) หน่วยเรเดียน
  8. $\alpha=0.464$3 s.f.3 ตำแหน่งนัยสำคัญ
  9. $c=-1$the number staysตัวเลขคงเดิม

Q4(c)(i) Greatest valueQ4(c)(i) ค่ามากที่สุด

$\text{f}(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3$
(c)(i) Using part (b) or another method, state the greatest value of $\text{f}(x)$. [1]

  1. $\sin(2x+\alpha)\le1$sin is never more than 1sin ไม่เกิน 1
  2. $\text{f}_{\max}=2\sqrt5-1$R × 1 − 1 · answerR × 1 − 1 · คำตอบ

Q4(c)(ii) Second maximum pointQ4(c)(ii) จุดสูงสุดจุดที่สอง

$\text{f}(x)=8\sin x\cos x+4\cos^2x-3$
(c)(ii) $\text{f}(x)$ reaches its greatest value at many positive $x$. Of these, find the second one from 0. Answer to 3 s.f. [2]

  1. $2x+\alpha=\dfrac\pi2$first time sin = 1ครั้งแรกที่ sin = 1
  2. $x=0.554$(π/2 − α) ÷ 2 · the smallest(π/2 − α) ÷ 2 · ค่าที่เล็กที่สุด
  3. $2x+\alpha=\dfrac{5\pi}2$next time: add 2πครั้งถัดไป: บวก 2π
  4. $2x=\dfrac{5\pi}2-\alpha$use α unrounded: 0.463648ใช้ α ที่ยังไม่ปัด: 0.463648
  5. $2x=7.390334$7.853982 − 0.4636487.853982 − 0.463648
  6. $x=3.695167$divide by 2 · α = 0.464 would give 3.69หารด้วย 2 · ถ้าใช้ α = 0.464 จะได้ 3.69
  7. $x=3.70$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตำแหน่งนัยสำคัญ

6. Q5 · Functions: inverse and range · 10 marksข้อ 5 · ฟังก์ชัน: อินเวอร์สและเรนจ์ · 10 คะแนน

Answer: e⁴; g′(x) = 10/(2x + 1)² > 0, so g is increasing; g⁻¹(x) = (−x − 2)/(2x − 6), 0 < x < 3; fg(x) < 2 + 5 ln 3คำตอบ: e⁴; g′(x) = 10/(2x + 1)² > 0, so g is increasing; g⁻¹(x) = (−x − 2)/(2x − 6), 0 < x < 3; fg(x) < 2 + 5 ln 3

Q5(a) f⁻¹(22)Q5(a) f⁻¹(22)

$\text{f}(x)=2+5\ln x$ for $x\gt0$, and $\text{g}(x)=\dfrac{6x-2}{2x+1}$ for $x\gt\dfrac13$.
(a) Find $\text{f}^{-1}(22)$. [2]

  1. $2+5\ln x=22$f(x) = 22: which x?f(x) = 22: x เท่าไร
  2. $5\ln x=20$move the 2ย้าย 2
  3. $\ln x=4$divide by 5หารด้วย 5
  4. $x=e^4$undo ln: e to the powerถอด ln: ยก e กำลัง
  5. $\text{f}^{-1}(22)=e^4$answerคำตอบ

Q5(b) g is increasingQ5(b) g เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

$\text{f}(x)=2+5\ln x$ for $x\gt0$, and $\text{g}(x)=\dfrac{6x-2}{2x+1}$ for $x\gt\dfrac13$.
(b) Differentiate g, and use $\text{g}'(x)$ to show that g increases over its whole domain. [3]

  1. $u=6x-2$topตัวเศษ
  2. $v=2x+1$bottomตัวส่วน
  3. $u'=6$differentiate the topดิฟตัวเศษ
  4. $v'=2$differentiate the bottomดิฟตัวส่วน
  5. $\text{g}'(x)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
  6. $T=vu'-uv'$T is the topT คือตัวเศษ
  7. $=12x+6-12x+4$6(2x + 1) − 2(6x − 2)6(2x + 1) − 2(6x − 2)
  8. $=10$the x terms cancelพจน์ x หักล้างกัน
  9. $\text{g}'(x)=\dfrac{10}{(2x+1)^2}$T over v²T ส่วน v²
  10. $\text{g}'(x)\gt0$a square is positive · so g is increasingกำลังสองเป็นบวก · g จึงเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

Q5(c) Find g⁻¹Q5(c) หา g⁻¹

$\text{f}(x)=2+5\ln x$ for $x\gt0$, and $\text{g}(x)=\dfrac{6x-2}{2x+1}$ for $x\gt\dfrac13$.
(c) Find $\text{g}^{-1}$. [3]

  1. $y=\dfrac{6x-2}{2x+1}$call g(x) yให้ g(x) เป็น y
  2. $y(2x+1)=6x-2$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
  3. $2xy+y=6x-2$expandกระจาย
  4. $2xy-6x=-y-2$x terms on the leftพจน์ x ไว้ซ้าย
  5. $x(2y-6)=-y-2$take out xดึง x ออก
  6. $x=\dfrac{-y-2}{2y-6}$x in terms of yx ในรูป y
  7. $\text{g}^{-1}(x)=\dfrac{-x-2}{2x-6}$swap y for xเปลี่ยน y เป็น x
  8. $x=\dfrac13$g starts at x = 1/3g เริ่มที่ x = 1/3
  9. $y=0$(2 − 2) ÷ (5/3) = 0(2 − 2) ÷ (5/3) = 0
  10. $y\lt3$large x: 6x ÷ 2x → 3x มาก ๆ: 6x ÷ 2x → 3
  11. $0\lt x\lt3$domain of g⁻¹ = range of g · it earns a markโดเมนของ g⁻¹ = เรนจ์ของ g · ได้คะแนนด้วย

Q5(d) Range of fgQ5(d) เรนจ์ของ fg

$\text{f}(x)=2+5\ln x$ for $x\gt0$, and $\text{g}(x)=\dfrac{6x-2}{2x+1}$ for $x\gt\dfrac13$.
(d) Find the range of $\text{fg}$. [2]

  1. $0\lt\text{g}(x)\lt3$the range of g, from part (c)เรนจ์ของ g จากข้อ (c)
  2. $\text{f}(3)=2+5\ln3$f increases · top endf เป็นฟังก์ชันเพิ่ม · ปลายบน
  3. $\text{fg}(x)\lt2+5\ln3$ln → −∞ near 0 · answerใกล้ 0 ln → −∞ · คำตอบ

7. Q6 · Normal line and area · 9 marksข้อ 6 · เส้นแนวฉากและพื้นที่ · 9 คะแนน

Answer: 5x + 2y − 50 = 0 (shown); 155/6คำตอบ: 5x + 2y − 50 = 0 (shown); 155/6

Q6(a) Equation of the normalQ6(a) สมการเส้นแนวฉาก

A curve has equation $y=\sqrt{4x-7}$. The line $l$ is the normal at $P(8,\ 5)$: it is perpendicular to the tangent there. The shaded region $R$ is enclosed by $l$, the $x$-axis and the curve.
Show every step. An answer from a calculator alone gets no marks.
(a) Use calculus to show that $l$ has equation $5x+2y-50=0$. [5]

  1. $y=(4x-7)^{\frac12}$write the root as a powerเขียนรากเป็นเลขชี้กำลัง
  2. $\dfrac{dy}{dx}=2(4x-7)^{-\frac12}$chain rule: ½ × 4 = 2กฎลูกโซ่: ½ × 4 = 2
  3. $x=8$at Pที่จุด P
  4. $4x-7=25$32 − 732 − 7
  5. $m_T=2\times25^{-\frac12}$tangent gradientความชันเส้นสัมผัส
  6. $=\dfrac25$25^(−½) = 1/525^(−½) = 1/5
  7. $m_N=-\dfrac52$normal: −1 ÷ m_Tเส้นแนวฉาก: −1 ÷ m_T
  8. $y-5=-\dfrac52(x-8)$line through P(8, 5)เส้นตรงผ่าน P(8, 5)
  9. $2y-10=-5x+40$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
  10. $5x+2y=50$x and y on the leftx และ y ไว้ซ้าย
  11. $5x+2y-50=0$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q6(b) Exact area of RQ6(b) พื้นที่ R แบบค่าแม่นยำ

A curve has equation $y=\sqrt{4x-7}$. The line $l$ is the normal at $P(8,\ 5)$: it is perpendicular to the tangent there. The shaded region $R$ is enclosed by $l$, the $x$-axis and the curve.
Show every step. An answer from a calculator alone gets no marks.
(b) Find the exact area of $R$ by algebraic integration. [4]

  1. $4x-7=0$curve meets the x-axis: y = 0เส้นโค้งตัดแกน x: y = 0
  2. $4x=7$move the 7ย้าย 7
  3. $x=\dfrac74$R starts hereR เริ่มที่นี่
  4. $5x-50=0$l meets the x-axis: put y = 0l ตัดแกน x: แทน y = 0
  5. $5x=50$move the 50ย้าย 50
  6. $x=10$R ends hereR จบที่นี่
  7. $A_1=\int_{\frac74}^{8}y\,dx$under the curve, up to x = 8ใต้เส้นโค้ง ถึง x = 8
  8. $F=\dfrac{(4x-7)^{\frac32}}{6}$power up · ÷ (3/2 × 4) · call it Fเพิ่มกำลัง · ÷ (3/2 × 4) · เรียกว่า F
  9. $A_1=F(8)-F(\tfrac74)$top limit minus bottom limitลิมิตบนลบลิมิตล่าง
  10. $=\dfrac{25^{\frac32}}{6}-0$4 × 8 − 7 = 25 · 4 × 7/4 − 7 = 04 × 8 − 7 = 25 · 4 × 7/4 − 7 = 0
  11. $=\dfrac{125}{6}$25^(3/2) = 5³ = 12525^(3/2) = 5³ = 125
  12. $A_2=\dfrac12\times2\times5$triangle: base 10 − 8, height 5สามเหลี่ยม: ฐาน 10 − 8 สูง 5
  13. $=5$triangle areaพื้นที่สามเหลี่ยม
  14. $R=\dfrac{125}6+5$add the two partsรวมสองส่วน
  15. $=\dfrac{155}6$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นยำ

8. Q7 · Compound angles · 8 marksข้อ 7 · มุมประกอบ · 8 คะแนน

Answer: tan x = −2 − √3 (shown); θ = 75°, 165°คำตอบ: tan x = −2 − √3 (shown); θ = 75°, 165°

Q7(a) Show tan x = −2 − √3Q7(a) แสดงว่า tan x = −2 − √3

Show every step of your working. An answer that relies only on a calculator gets no marks.
(a) Given $\sqrt2\sin(x+45^\circ)=\cos(x-60^\circ)$, show that $\tan x=-2-\sqrt3$. [4]

  1. $u=x+45^\circ$name the angleตั้งชื่อมุม
  2. $L=\sqrt2\sin u$L is the left side · use sin(A + B)L คือฝั่งซ้าย · ใช้ sin(A + B)
  3. $=\sin x+\cos x$sin 45° = cos 45° = 1/√2sin 45° = cos 45° = 1/√2
  4. $R=\cos(x-60^\circ)$R is the right side · use cos(A − B)R คือฝั่งขวา · ใช้ cos(A − B)
  5. $=\eqalign{&\tfrac12\cos x\cr&+\tfrac{\sqrt3}2\sin x}$cos 60° = ½, sin 60° = √3/2cos 60° = ½, sin 60° = √3/2
  6. $L=R$the equation we are givenสมการที่โจทย์ให้
  7. $T+1=\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}2T$T = tan x = sin x ÷ cos xT = tan x = sin x ÷ cos x
  8. $2T+2=1+\sqrt3T$clear the halvesกำจัดครึ่ง
  9. $2T-\sqrt3T=-1$T terms on the leftพจน์ T ไว้ซ้าย
  10. $T(2-\sqrt3)=-1$take out Tดึง T ออก
  11. $T=\dfrac{-1}{2-\sqrt3}$times 2 + √3 on top and bottomคูณ 2 + √3 ทั้งบนและล่าง
  12. $=\dfrac{-(2+\sqrt3)}{4-3}$(2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3(2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3
  13. $=-2-\sqrt3$the bottom is 1ตัวส่วนเป็น 1
  14. $\tan x=-2-\sqrt3$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q7(b) Solve for θQ7(b) แก้หา θ

Show every step of your working. An answer that relies only on a calculator gets no marks.
(b) Using part (a) or another method, solve $\sqrt2\sin(2\theta)=\cos(2\theta-105^\circ)$ for $0\le\theta\lt180^\circ$. [4]

  1. $x+45^\circ=2\theta$match the left sides: x = 2θ − 45°เทียบฝั่งซ้าย: x = 2θ − 45°
  2. $x-60^\circ=2\theta-105^\circ$the right sides match tooฝั่งขวาก็ตรงกัน
  3. $\tan x=-2-\sqrt3$so part (a) gives thisจึงใช้ผลจากข้อ (a)
  4. $\tan75^\circ=2+\sqrt3$the acute angle is 75°มุมแหลมคือ 75°
  5. $-45^\circ\le x\lt315^\circ$the range of x · −75° is outsideช่วงของ x · −75° อยู่นอกช่วง
  6. $x=180^\circ-75^\circ$tan < 0: second quadranttan < 0: จตุภาคที่สอง
  7. $=105^\circ$first xx ค่าแรก
  8. $x=360^\circ-75^\circ$tan < 0: fourth quadranttan < 0: จตุภาคที่สี่
  9. $=285^\circ$second xx ค่าที่สอง
  10. $2\theta=150^\circ$x = 105°: add 45°x = 105°: บวก 45°
  11. $\theta=75^\circ$first answerคำตอบแรก
  12. $2\theta=330^\circ$x = 285°: add 45°x = 285°: บวก 45°
  13. $\theta=165^\circ$second answerคำตอบที่สอง

9. Q8 · Golf ball model · 10 marksข้อ 8 · แบบจำลองลูกกอล์ฟ · 10 คะแนน

Answer: d = 54.93; x = 50 ln(150/(x + 50)) (shown); x₂ = 31.43; 30.88 mคำตอบ: d = 54.93; x = 50 ln(150/(x + 50)) (shown); x₂ = 31.43; 30.88 m

Q8(a) Where the ball landsQ8(a) ลูกตกที่ไหน

A golf ball is hit from level ground; the graph shows its path. When it has gone $x$ m horizontally from where it was hit, its height is $h$ m. It first lands $d$ m from that point. Treat the ball as a particle moving in a vertical plane.
The model is $h=1.5x-0.5xe^{0.02x}$ for $0\le x\le d$. Use this model in every part.
(a) Find $d$ to 2 d.p. A method that only uses a calculator gets no marks. [3]

  1. $h=0$it lands: height 0ตกถึงพื้น: ความสูง 0
  2. $E=e^{0.02x}$call the exponential Eเรียกพจน์ e ว่า E
  3. $1.5x-0.5xE=0$the model with h = 0แบบจำลองเมื่อ h = 0
  4. $x(1.5-0.5E)=0$take out x · x ≠ 0 at dดึง x ออก · ที่ d ค่า x ≠ 0
  5. $1.5-0.5E=0$the bracket is 0วงเล็บเป็น 0
  6. $1.5=0.5E$move 0.5Eย้าย 0.5E
  7. $3=E$1.5 ÷ 0.51.5 ÷ 0.5
  8. $e^{0.02x}=3$E back · take lnแทน E กลับ · ใส่ ln
  9. $0.02x=\ln3$ln undoes eln ถอด e
  10. $x=50\ln3$1 ÷ 0.02 = 501 ÷ 0.02 = 50
  11. $=54.9306$calculator for the value onlyใช้เครื่องคิดเลขแค่หาค่า
  12. $d=54.93$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

Q8(b) Where h is greatestQ8(b) h มากที่สุดที่ไหน

A golf ball is hit from level ground; the graph shows its path. When it has gone $x$ m horizontally from where it was hit, its height is $h$ m. It first lands $d$ m from that point. Treat the ball as a particle moving in a vertical plane.
The model is $h=1.5x-0.5xe^{0.02x}$ for $0\le x\le d$. Use this model in every part.
(b) Show that $h$ is greatest when $x=50\ln\left(\dfrac{150}{x+50}\right)$. [4]

  1. $u=0.5x$h = 1.5x − uE, with E = e^(0.02x)h = 1.5x − uE โดย E = e^(0.02x)
  2. $E'=0.02E$chain ruleกฎลูกโซ่
  3. $(uE)'=0.5E+0.01xE$product rule: u′E + uE′กฎผลคูณ: u′E + uE′
  4. $\dfrac{dh}{dx}=1.5-(uE)'$differentiate hดิฟ h
  5. $0=1.5-(uE)'$top of the path: dh/dx = 0จุดสูงสุด: dh/dx = 0
  6. $(uE)'=1.5$move it acrossย้ายข้าม
  7. $0.5E+0.01xE=1.5$put (uE)′ backแทน (uE)′ กลับ
  8. $50E+xE=150$no decimalsไม่มีทศนิยม
  9. $E(50+x)=150$take out Eดึง E ออก
  10. $E=\dfrac{150}{x+50}$E on its ownE อยู่ตัวเดียว
  11. $0.02x=\ln\dfrac{150}{x+50}$take lnใส่ ln
  12. $x=50\ln\left(\dfrac{150}{x+50}\right)$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q8(c)(i) First iterateQ8(c)(i) รอบแรกของการทำซ้ำ

A golf ball is hit from level ground; the graph shows its path. When it has gone $x$ m horizontally from where it was hit, its height is $h$ m. It first lands $d$ m from that point. Treat the ball as a particle moving in a vertical plane.
The model is $h=1.5x-0.5xe^{0.02x}$ for $0\le x\le d$. Use this model in every part.
(c)(i) Use $x_{n+1}=50\ln\left(\dfrac{150}{x_n+50}\right)$ with $x_1=30$. Find $x_2$ to 2 d.p. [2]

  1. $x_2=50\ln\dfrac{150}{30+50}$put x₁ = 30 inแทน x₁ = 30
  2. $=50\ln1.875$150 ÷ 80150 ÷ 80
  3. $=31.4304$calculatorเครื่องคิดเลข
  4. $x_2=31.43$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

Q8(c)(ii) Iterate to the topQ8(c)(ii) ทำซ้ำจนถึงจุดสูงสุด

A golf ball is hit from level ground; the graph shows its path. When it has gone $x$ m horizontally from where it was hit, its height is $h$ m. It first lands $d$ m from that point. Treat the ball as a particle moving in a vertical plane.
The model is $h=1.5x-0.5xe^{0.02x}$ for $0\le x\le d$. Use this model in every part.
(c)(ii) Keep using $x_{n+1}=50\ln\left(\dfrac{150}{x_n+50}\right)$ from $x_1=30$ to find how far the ball has gone horizontally when it is at its highest point. Answer to 2 d.p. [1]

  1. $x_3=30.5443$put x₂ back inแทน x₂ กลับเข้าไป
  2. $x_4=31.0914$the values swing around the rootค่าแกว่งรอบคำตอบ
  3. $x_5=30.7529$the swing gets smallerการแกว่งเล็กลง
  4. $x_{13}=30.8794$keep goingทำต่อไป
  5. $x_{14}=30.8838$2 d.p.: 30.88 againทศนิยม 2 ตำแหน่ง: 30.88 อีก
  6. $x_{15}=30.8811$it stays at 30.88คงที่ที่ 30.88
  7. $x=30.88$answer · metres, 2 d.p.คำตอบ · เมตร ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

10. Q9 · Curve x = 4sin²y − 1 · 10 marksข้อ 9 · เส้นโค้ง x = 4sin²y − 1 · 10 คะแนน

Answer: k = 4 × 3/4 − 1 = 2; dx/dy = 8 sin y cos y (= 4 sin 2y); dy/dx = 1/(2√(x + 1)√(3 − x)) (shown); π/3 + π²/(36√3) (a = 1/3, b = 1/(36√3) = √3/108)คำตอบ: k = 4 × 3/4 − 1 = 2; dx/dy = 8 sin y cos y (= 4 sin 2y); dy/dx = 1/(2√(x + 1)√(3 − x)) (shown); π/3 + π²/(36√3) (a = 1/3, b = 1/(36√3) = √3/108)

Q9(a) Check k = 2Q9(a) ตรวจว่า k = 2

The curve in the graph is $x=4\sin^2y-1$, for $0\le y\le\dfrac{\pi}{2}$. The point $P\left(k,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$ is on it.
(a) Check that $k=2$. [1]

  1. $y=\dfrac\pi3$P has y = π/3P มี y = π/3
  2. $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$exact valueค่าแม่นยำ
  3. $\sin^2\dfrac\pi3=\dfrac34$square itยกกำลังสอง
  4. $x=4\times\dfrac34-1$put it in the curveแทนในสมการเส้นโค้ง
  5. $=2$3 − 13 − 1
  6. $k=2$checkedตรวจแล้ว

Q9(b)(i) dx/dyQ9(b)(i) dx/dy

The curve in the graph is $x=4\sin^2y-1$, for $0\le y\le\dfrac{\pi}{2}$. The point $P\left(k,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$ is on it.
(b)(i) Find $\dfrac{dx}{dy}$ as an expression in $y$. [2]

  1. $x=4(\sin y)^2-1$sin²y means (sin y)²sin²y คือ (sin y)²
  2. $\dfrac{dx}{dy}=8\sin y\cos y$chain rule: 2 × 4 sin y × cos yกฎลูกโซ่: 2 × 4 sin y × cos y

Q9(b)(ii) Show the dy/dx formulaQ9(b)(ii) แสดงสูตร dy/dx

The curve in the graph is $x=4\sin^2y-1$, for $0\le y\le\dfrac{\pi}{2}$. The point $P\left(k,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$ is on it.
(b)(ii) Using part (b)(i), show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}\sqrt{3-x}}$. [4]

  1. $x=4\sin^2y-1$the curveสมการเส้นโค้ง
  2. $x+1=4\sin^2y$move the 1ย้าย 1
  3. $\sin^2y=\dfrac{x+1}4$sin²y in xsin²y ในรูป x
  4. $\cos^2y=1-\dfrac{x+1}4$sin²y + cos²y = 1sin²y + cos²y = 1
  5. $=\dfrac{3-x}4$(4 − x − 1) ÷ 4(4 − x − 1) ÷ 4
  6. $\sin y=\dfrac{\sqrt{x+1}}2$square root · sin y ≥ 0 hereถอดราก · ช่วงนี้ sin y ≥ 0
  7. $\cos y=\dfrac{\sqrt{3-x}}2$cos y ≥ 0 for 0 ≤ y ≤ π/2cos y ≥ 0 เมื่อ 0 ≤ y ≤ π/2
  8. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{8\sin y\cos y}$flip dx/dyกลับเศษเป็นส่วนของ dx/dy
  9. $=\dfrac{4}{8\sqrt{x+1}\sqrt{3-x}}$put sin y and cos y in · the two halves give 4 on topแทน sin y และ cos y · ครึ่งสองตัวให้ 4 ด้านบน
  10. $=\dfrac1{2\sqrt{x+1}\sqrt{3-x}}$4 ÷ 8 = ½ · shown4 ÷ 8 = ½ · ได้ตามโจทย์

Q9(c) Area of triangle OPNQ9(c) พื้นที่สามเหลี่ยม OPN

The curve in the graph is $x=4\sin^2y-1$, for $0\le y\le\dfrac{\pi}{2}$. The point $P\left(k,\ \dfrac{\pi}{3}\right)$ is on it.
(c) At $P$ the normal to the curve meets the $x$-axis at $N$. $O$ is the origin. Find the exact area of triangle $OPN$. Write it as $a\pi+b\pi^2$ with constants $a$ and $b$. [3]

  1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{2\sqrt3\sqrt1}$x = 2: x + 1 = 3, 3 − x = 1x = 2: x + 1 = 3, 3 − x = 1
  2. $=\dfrac1{2\sqrt3}$gradient of the curve at Pความชันเส้นโค้งที่ P
  3. $m_N=-2\sqrt3$normal: −1 ÷ gradientเส้นแนวฉาก: −1 ÷ ความชัน
  4. $y-\dfrac\pi3=-2\sqrt3(x-2)$line through P(2, π/3)เส้นตรงผ่าน P(2, π/3)
  5. $-\dfrac\pi3=-2\sqrt3(x-2)$on the x-axis: y = 0บนแกน x: y = 0
  6. $\dfrac{\pi}{6\sqrt3}=x-2$the two minus signs cancelเครื่องหมายลบหักล้างกัน
  7. $ON=2+\dfrac{\pi}{6\sqrt3}$x of N is the length ONx ของ N คือความยาว ON
  8. $A=\dfrac12\times ON\times\dfrac\pi3$base ON · height = y of Pฐาน ON · สูง = y ของ P
  9. $=\dfrac\pi6\times ON$½ × π/3 = π/6½ × π/3 = π/6
  10. $=\dfrac{2\pi}6+\dfrac{\pi^2}{36\sqrt3}$π/6 × 2 and π/6 × π/(6√3)π/6 × 2 และ π/6 × π/(6√3)
  11. $=\dfrac\pi3+\dfrac{\pi^2}{36\sqrt3}$2π/6 = π/32π/6 = π/3
  12. $a=\dfrac13$answerคำตอบ
  13. $b=\dfrac1{36\sqrt3}$answer · = √3/108คำตอบ · = √3/108

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. f(x) = 3|x − 4| + 2 has its vertex at (4, 2). Find the image of the vertex on y = 2f(x − 3).f(x) = 3|x − 4| + 2 มีจุดยอดที่ (4, 2) · จงหาจุดยอดใหม่บนกราฟ y = 2f(x − 3)
    Answer:เฉลย: (7, 4)x − 3 inside: x + 3 = 7. The 2 outside: y × 2 = 4.x − 3 ในวงเล็บ: x + 3 = 7 · 2 นอกวงเล็บ: y × 2 = 4
  2. Write 3 sin 2x + 4 cos 2x as R sin(2x + α) with R > 0. Find R.เขียน 3 sin 2x + 4 cos 2x ในรูป R sin(2x + α) โดย R > 0 · จงหา R
    Answer:เฉลย: 5R² = 3² + 4² = 25, so R = 5.R² = 3² + 4² = 25 ได้ R = 5
  3. A curve is y = √(2x + 5). Find the gradient of the normal at (2, 3).เส้นโค้ง y = √(2x + 5) · จงหาความชันของเส้นแนวฉากที่จุด (2, 3)
    Answer:เฉลย: -3dy/dx = (2x + 5)^(−½) = 1/3 at x = 2, so the normal is −1 ÷ (1/3) = −3.dy/dx = (2x + 5)^(−½) = 1/3 ที่ x = 2 · เส้นแนวฉาก −1 ÷ (1/3) = −3
  4. Use xₙ₊₁ = 50 ln(150/(xₙ + 50)) with x₁ = 20. Find x₂ to 2 d.p.ใช้ xₙ₊₁ = 50 ln(150/(xₙ + 50)) โดย x₁ = 20 · จงหา x₂ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: 38.11x₂ = 50 ln(150 ÷ 70) = 50 ln 2.1429 = 38.11.x₂ = 50 ln(150 ÷ 70) = 50 ln 2.1429 = 38.11

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี