Edexcel IAL Pure 3 WMA13 October 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA13 Pure 3 · October 2024WMA13 Pure 3 · ต.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 3 (WMA13) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · A sec and tan equation · 5 marksข้อ 1 · สมการ sec กับ tan · 5 คะแนน

Answer: θ = 109.5°, 250.5°คำตอบ: θ = 109.5°, 250.5°

Q1 Solve for θQ1 แก้หา θ

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
For $0\lt\theta\le360^\circ$, solve $3\tan^2\theta+7\sec\theta-3=0$. Answers to 1 d.p. [5]

$s=\sec\theta$s is short for sec θs แทน sec θ
$\tan^2\theta=s^2-1$identity: tan² = sec² − 1เอกลักษณ์: tan² = sec² − 1
$3s^2-3+7s-3=0$substitute · 3(s² − 1) = 3s² − 3แทนค่า · 3(s² − 1) = 3s² − 3
$3s^2+7s-6=0$collect: −3 − 3 = −6รวม: −3 − 3 = −6
$(3s-2)(s+3)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
$s=\tfrac23$cos θ = 3/2 is more than 1: no anglecos θ = 3/2 เกิน 1 · ไม่มีมุม
$s=-3$the root we keepรากที่ใช้ได้
$\cos\theta=-\tfrac13$cos = 1 ÷ seccos = 1 ÷ sec
$\theta=\cos^{-1}(-\tfrac13)$inverse cosใช้ cos⁻¹
$\approx109.47^\circ$quadrant 2จตุภาคที่ 2
$\theta\approx250.5^\circ$360° − 109.47° · cos < 0 in quadrant 3 too360° − 109.47° · cos ติดลบในจตุภาคที่ 3 ด้วย
$\theta\approx\eqalign{&109.5^\circ\cr&250.5^\circ}$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

3. Q2 · x as a function of y · vertical tangent · 5 marksข้อ 2 · x เป็นฟังก์ชันของ y · เส้นสัมผัสแนวดิ่ง · 5 คะแนน

Answer: dy/dx = 1/(4y + 5); P(−73/8, −5/4)คำตอบ: dy/dx = 1/(4y + 5); P(−73/8, −5/4)

Q2(a) dy/dx in terms of yQ2(a) dy/dx ในรูปของ y

Figure 1 sketches the curve $C$ with equation $x=2y^2+5y-6$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ as an expression in $y$. [2]

$x=2y^2+5y-6$the curveสมการเส้นโค้ง
$\dfrac{dx}{dy}=4y+5$differentiate with respect to yดิฟเทียบกับ y
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{4y+5}$answer · dy/dx = 1 ÷ dx/dyคำตอบ · dy/dx = 1 ÷ dx/dy

Q2(b) Where the tangent is verticalQ2(b) จุดที่เส้นสัมผัสตั้งดิ่ง

Figure 1 sketches the curve $C$ with equation $x=2y^2+5y-6$.
(b) The point $P$ on $C$ is marked in Figure 1. At $P$ the tangent to $C$ is parallel to the $y$-axis. From (a): $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{4y+5}$. Find the coordinates of $P$. [3]

$\dfrac{dx}{dy}=0$vertical tangent: x does not changeเส้นสัมผัสดิ่ง: x ไม่เปลี่ยน
$4y+5=0$from (a)จากข้อ (a)
$4y=-5$move 5ย้าย 5
$y=-\tfrac54$y at Pค่า y ที่ P
$y^2=\tfrac{25}{16}$square itยกกำลังสอง
$2y^2=\tfrac{25}8$times 2คูณ 2
$5y=-\tfrac{25}4$times 5คูณ 5
$x=\tfrac{25}8-\tfrac{25}4-6$put both in x = 2y² + 5y − 6แทนลงใน x = 2y² + 5y − 6
$=\tfrac{25-50-48}8$over 8ทำส่วนเป็น 8
$=-\tfrac{73}8$x at Pค่า x ที่ P
$P=\left(-\tfrac{73}8,-\tfrac54\right)$answerคำตอบ

4. Q3 · Modulus: f(|x|) and |f(x)| · 7 marksข้อ 3 · ค่าสัมบูรณ์: f(|x|) และ |f(x)| · 7 คะแนน

Answer: x = 8, x = −8; x ≤ 15/4 or x ≥ 25/4คำตอบ: x = 8, x = −8; x ≤ 15/4 or x ≥ 25/4

Q3(a) Solve f(|x|) = 48Q3(a) แก้ f(|x|) = 48

Figure 2 sketches $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=2x^2-10x$ for $x\in\mathbb{R}$.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Solve $\text{f}(|x|)=48$. [3]

$x\ge0$first: |x| = xก่อนอื่น: |x| = x
$2x^2-10x=48$f(x) = 48f(x) = 48
$2x^2-10x-48=0$all on the leftย้ายทั้งหมดไปซ้าย
$x^2-5x-24=0$divide by 2หาร 2
$(x-8)(x+3)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
$x=8$x = −3 is not ≥ 0: rejectx = −3 ไม่ ≥ 0 · ตัดทิ้ง
$\text{f}(|-x|)=\text{f}(|x|)$the graph is symmetric in the y-axisกราฟสมมาตรกับแกน y
$x=-8$the mirror of 8ค่าสะท้อนของ 8
$x=\pm8$answer · no other valuesคำตอบ · ไม่มีค่าอื่น

Q3(b) Solve |f(x)| ≥ 5x/2Q3(b) แก้ |f(x)| ≥ 5x/2

$2x^2-10x=\tfrac52x$x ≥ 5: f ≥ 0, so |f| = fx ≥ 5: f ≥ 0 จึง |f| = f
$4x^2-20x=5x$times 2คูณ 2
$4x^2-25x=0$all on the leftย้ายไปซ้าย
$x(4x-25)=0$take out xดึง x ออก
$x=\tfrac{25}4$first critical value · x = 0 is not ≥ 5ค่าวิกฤตแรก · x = 0 ไม่ ≥ 5
$10x-2x^2=\tfrac52x$0 ≤ x ≤ 5: f ≤ 0, so |f| = −f0 ≤ x ≤ 5: f ≤ 0 จึง |f| = −f
$20x-4x^2=5x$times 2คูณ 2
$15x-4x^2=0$all on the leftย้ายไปซ้าย
$x(15-4x)=0$take out xดึง x ออก
$x=\tfrac{15}4$second critical valueค่าวิกฤตที่สอง
$\tfrac52x\le0$x ≤ 0: the line is at or below 0, |f| is notx ≤ 0: เส้นตรงอยู่ที่ 0 หรือต่ำกว่า แต่ |f| ไม่ติดลบ
$x\le\tfrac{15}4$answer · curve on or above the lineคำตอบ · ช่วงที่เส้นโค้งอยู่บนหรือเหนือเส้นตรง
$\text{or }x\ge\tfrac{25}4$answer, second pieceคำตอบ ช่วงที่สอง

5. Q4 · A log model for bacteria · 6 marksข้อ 4 · โมเดลลอการิทึมของแบคทีเรีย · 6 คะแนน

Answer: 100; N = 100 × 2.24^t (a = 100, b = 2.24); about 4550 bacteria per hourคำตอบ: 100; N = 100 × 2.24^t (a = 100, b = 2.24); about 4550 bacteria per hour

Q4(a) The starting numberQ4(a) จำนวนตอนเริ่ม

Bacteria on a surface are being counted. The number of bacteria $N$, $t$ hours after the counting started, follows the model $\log_{10}N=0.35t+2$.
Answer every part of this question from this model.
(a) Find the number of bacteria on the surface when the counting started. [1]

$t=0$the startตอนเริ่ม
$\log_{10}N=2$0.35 × 0 + 20.35 × 0 + 2
$N=10^2$undo log₁₀ถอด log₁₀
$=100$answerคำตอบ

Q4(b) Write the model as N = ab^tQ4(b) เขียนโมเดลเป็น N = ab^t

Bacteria on a surface are being counted. The number of bacteria $N$, $t$ hours after the counting started, follows the model $\log_{10}N=0.35t+2$.
Answer every part of this question from this model.
(b) Show that the model can be put in the form $N=ab^t$, where $a$ and $b$ are constants to find. Give $b$ to 2 d.p. [3]

$\log_{10}N=0.35t+2$the modelโมเดล
$N=10^{0.35t+2}$undo log₁₀: 10 to the powerถอด log₁₀: ยก 10 เป็นกำลัง
$=10^2\times10^{0.35t}$index law: add powers = multiplyกฎเลขชี้กำลัง: บวกกำลัง = คูณ
$10^{0.35t}=\left(10^{0.35}\right)^t$power of a powerกำลังซ้อนกำลัง
$b=10^{0.35}$b names the baseb แทนฐาน
$\approx2.2387$calculatorเครื่องคิดเลข
$N=100\,b^t$so a = 100จึงได้ a = 100
$b\approx2.24$second constant · 2 d.p.ค่าคงที่ตัวที่สอง · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
$N\approx100\times2.24^t$shownแสดงแล้ว

Q4(c) Rate of growth at 5 hoursQ4(c) อัตราการเพิ่มที่ 5 ชั่วโมง

Bacteria on a surface are being counted. The number of bacteria $N$, $t$ hours after the counting started, follows the model $\log_{10}N=0.35t+2$.
Answer every part of this question from this model.
(c) Using (b), $N=100\times2.24^t$, find the rate at which the number of bacteria is increasing exactly 5 hours after the counting started. [2]

$\dfrac{d}{dt}\left(b^t\right)=b^t\ln b$rule for b to the power tสูตรดิฟของ b ยกกำลัง t
$\dfrac{dN}{dt}=100\,b^t\ln b$times the 100 · b = 2.24คูณ 100 · b = 2.24
$b^5=2.24^5$t = 5t = 5
$\approx56.39$calculatorเครื่องคิดเลข
$\ln b\approx0.8065$ln 2.24ln 2.24
$\dfrac{dN}{dt}\approx5639\times0.8065$100 × 56.39 = 5639100 × 56.39 = 5639
$\approx4550$answer · bacteria per hour · 3 s.f.คำตอบ · ตัวต่อชั่วโมง · 3 หลักนัยสำคัญ

6. Q5 · sin 3x identity, then solve · 8 marksข้อ 5 · เอกลักษณ์ sin 3x แล้วแก้สมการ · 8 คะแนน

Answer: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x (P = 3, Q = −4); θ = 100.1°, 180°, 259.9°, 360°คำตอบ: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x (P = 3, Q = −4); θ = 100.1°, 180°, 259.9°, 360°

Q5(a) sin 3x as P sin x + Q sin³xQ5(a) sin 3x ในรูป P sin x + Q sin³x

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Show that $\sin3x$ can be written as $P\sin x+Q\sin^3x$, where $P$ and $Q$ are constants to find. [4]

$\sin3x=\sin(2x+x)$write 3x as 2x + xเขียน 3x เป็น 2x + x
$T_1=\sin2x\cos x$sin(A + B): T₁ names the first termsin(A + B): T₁ แทนพจน์แรก
$T_2=\cos2x\sin x$T₂ names the second termT₂ แทนพจน์ที่สอง
$\sin3x=T_1+T_2$sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
$\sin2x=2\sin x\cos x$double angleสูตรมุมสองเท่า
$T_1=2\sin x\cos^2x$times cos xคูณ cos x
$\cos^2x=1-\sin^2x$Pythagoras identityเอกลักษณ์พีทาโกรัส
$T_1=\eqalign{&2\sin x\cr&-2\sin^3x}$2 sin x × (1 − sin²x)2 sin x × (1 − sin²x)
$\cos2x=1-2\sin^2x$double angle, sin formสูตรมุมสองเท่า แบบ sin
$T_2=\eqalign{&\sin x\cr&-2\sin^3x}$times sin xคูณ sin x
$2\sin x+\sin x=3\sin x$collect the sin x termsรวมพจน์ sin x
$2(-2\sin^3x)=-4\sin^3x$collect: −2 sin³x twiceรวม: −2 sin³x สองครั้ง
$\sin3x=\eqalign{&3\sin x\cr&-4\sin^3x}$T₁ + T₂T₁ + T₂
$P=3$answerคำตอบ
$Q=-4$answerคำตอบ

Q5(b) Solve 2 sin 3θ = 5 sin 2θQ5(b) แก้ 2 sin 3θ = 5 sin 2θ

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b) From (a): $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$. By this or another method, solve $2\sin3\theta=5\sin2\theta$ for $0\lt\theta\le360^\circ$. Give answers in degrees, to 1 d.p. where needed. [4]

$2\sin3\theta=\eqalign{&6\sin\theta\cr&-8\sin^3\theta}$by (a), times 2จากข้อ (a) คูณ 2
$5\sin2\theta=10\sin\theta\cos\theta$double angle, times 5มุมสองเท่า คูณ 5
$\eqalign{&6\sin\theta\cr&-8\sin^3\theta}=10\sin\theta\cos\theta$so the equation isสมการจึงเป็น
$\sin\theta=0$every term has a factor sin θทุกพจน์มีตัวประกอบ sin θ
$\theta=180^\circ$sin θ = 0sin θ = 0
$\theta=360^\circ$0° is not in the range0° ไม่อยู่ในช่วง
$6-8\sin^2\theta=10\cos\theta$or: divide both sides by sin θหรือ: หารทั้งสองข้างด้วย sin θ
$u=\cos\theta$u is short for cos θu แทน cos θ
$6-8(1-u^2)=10u$sin² = 1 − cos² = 1 − u²sin² = 1 − cos² = 1 − u²
$8u^2-2=10u$expand: 6 − 8 + 8u²กระจาย: 6 − 8 + 8u²
$4u^2-1=5u$divide by 2หาร 2
$4u^2-5u-1=0$quadratic in uสมการกำลังสองของ u
$u=\dfrac{5\pm\sqrt{41}}8$formula: 25 + 16 = 41สูตร: 25 + 16 = 41
$u\approx1.425$more than 1: no angleเกิน 1 · ไม่มีมุม
$u\approx-0.1754$the root we keepรากที่ใช้ได้
$\theta\approx100.1^\circ$cos⁻¹(−0.1754) · quadrant 2cos⁻¹(−0.1754) · จตุภาคที่ 2
$\theta\approx259.9^\circ$360° − 100.1° · quadrant 3360° − 100.1° · จตุภาคที่ 3
$\theta\approx\eqalign{&100.1^\circ\cr&259.9^\circ}$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$\theta=\eqalign{&180^\circ\cr&360^\circ}$answer · exact · four angles in allคำตอบ · ค่าตรง · รวมสี่มุม

7. Q6 · Functions: gf, inverse, gg · 8 marksข้อ 6 · ฟังก์ชัน: gf · อินเวอร์ส · gg · 8 คะแนน

Answer: 14; f⁻¹(x) = (3x + 3)/(2(6 − x)), −1 ≤ x < 6; x = ±√6คำตอบ: 14; f⁻¹(x) = (3x + 3)/(2(6 − x)), −1 ≤ x < 6; x = ±√6

Q6(a) Value of gf(2)Q6(a) ค่าของ gf(2)

Two functions are given by $\text{f}(x)=6-\dfrac{21}{2x+3}$ for $x\ge0$, and $\text{g}(x)=x^2+5$ for $x\in\mathbb{R}$.
(a) Find $\text{gf}(2)$. [2]

$\text{f}(2)=6-\dfrac{21}{7}$f first: 2 × 2 + 3 = 7ทำ f ก่อน: 2 × 2 + 3 = 7
$=3$6 − 36 − 3
$\text{gf}(2)=\text{g}(3)$then g of thatแล้วเอาไปใส่ g
$=3^2+5$g(x) = x² + 5g(x) = x² + 5
$=14$answerคำตอบ

Q6(b) The inverse and its domainQ6(b) อินเวอร์สและโดเมน

Two functions are given by $\text{f}(x)=6-\dfrac{21}{2x+3}$ for $x\ge0$, and $\text{g}(x)=x^2+5$ for $x\in\mathbb{R}$.
(b) Find $\text{f}^{-1}$. [3]

$y=6-\dfrac{21}{2x+3}$write y = f(x)เขียน y = f(x)
$w=2x+3$w names the bottomw แทนตัวส่วน
$y=6-\dfrac{21}w$rewrite with wเขียนใหม่ด้วย w
$\dfrac{21}w=6-y$swap the two terms overสลับสองพจน์ข้ามฝั่ง
$21=w(6-y)$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$\dfrac{21}{6-y}=w$w on its ownได้ w
$2x+3=\dfrac{21}{6-y}$w = 2x + 3w = 2x + 3
$2x=\dfrac{21}{6-y}-3$move 3ย้าย 3
$2x=\dfrac{3+3y}{6-y}$one fraction: 21 − 3(6 − y)รวมเป็นเศษส่วนเดียว: 21 − 3(6 − y)
$x=\dfrac{3y+3}{2(6-y)}$x is the subjectx เป็นตัวหลัก
$\text{f}^{-1}(x)=\dfrac{3x+3}{2(6-x)}$rename y as xเปลี่ยน y เป็น x
$\text{f}(0)=-1$f grows as x grows: least at x = 0f เพิ่มตาม x · ค่าน้อยสุดที่ x = 0
$\text{f}(x)\lt6$21 ÷ (2x + 3) is always positive21 ÷ (2x + 3) เป็นบวกเสมอ
$-1\le x\lt6$answer · domain of f⁻¹ = range of fคำตอบ · โดเมนของ f⁻¹ = เรนจ์ของ f

Q6(c) Solve gg(x) = 126Q6(c) แก้ gg(x) = 126

Two functions are given by $\text{f}(x)=6-\dfrac{21}{2x+3}$ for $x\ge0$, and $\text{g}(x)=x^2+5$ for $x\in\mathbb{R}$.
(c) Solve $\text{gg}(x)=126$. [3]

$\text{gg}(x)=(x^2+5)^2+5$g of g: put x² + 5 into gg ของ g: ใส่ x² + 5 ลงใน g
$(x^2+5)^2+5=126$set equal to 126ให้เท่ากับ 126
$(x^2+5)^2=121$move 5ย้าย 5
$x^2+5=11$square root · x² + 5 > 0, so not −11ถอดราก · x² + 5 > 0 จึงไม่ใช่ −11
$x^2=6$move 5ย้าย 5
$x=\pm\sqrt6$answer · g takes every real xคำตอบ · g รับ x จริงทุกตัว

8. Q7 · Product rule, minimum, range, transformation · 10 marksข้อ 7 · กฎผลคูณ · จุดต่ำสุด · เรนจ์ · การแปลงกราฟ · 10 คะแนน

Answer: f′(x) = 7x²(2x + 3)/√(4x + 7), k = 7; P(−3/2, −27/8); g(x) ≤ 27/2; (2, 7)คำตอบ: f′(x) = 7x²(2x + 3)/√(4x + 7), k = 7; P(−3/2, −27/8); g(x) ≤ 27/2; (2, 7)

Q7(a) Show the form of f′(x)Q7(a) แสดงรูปของ f′(x)

Figure 3 sketches the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=x^3\sqrt{4x+7}$ for $x\ge-\dfrac74$.
(a) Show that $\text{f}'(x)=\dfrac{kx^2(2x+3)}{\sqrt{4x+7}}$, where $k$ is a constant to find. [4]

$r=\sqrt{4x+7}$r names the rootr แทนรากที่สอง
$\text{f}(x)=x^3r$the functionฟังก์ชัน
$\dfrac{dr}{dx}=\dfrac2r$chain rule: ½ × 4 ÷ √(4x + 7)กฎลูกโซ่: ½ × 4 ÷ √(4x + 7)
$\text{f}'(x)=3x^2r+x^3\cdot\dfrac2r$product ruleกฎผลคูณ
$=\dfrac{3x^2r^2+2x^3}r$one fraction: times r top and bottomรวมเป็นเศษส่วนเดียว: คูณ r ทั้งบนและล่าง
$r^2=4x+7$square the rootยกกำลังสองของราก
$3x^2r^2=12x^3+21x^2$3x²(4x + 7)3x²(4x + 7)
$\text{f}'(x)=\dfrac{14x^3+21x^2}r$12x³ + 2x³ = 14x³12x³ + 2x³ = 14x³
$=\dfrac{7x^2(2x+3)}r$take out 7x²ดึง 7x² ออก
$\text{f}'(x)=\dfrac{7x^2(2x+3)}{\sqrt{4x+7}}$shownแสดงแล้ว
$k=7$answerคำตอบ

Q7(b) The minimum point PQ7(b) จุดต่ำสุด P

Figure 3 sketches the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=x^3\sqrt{4x+7}$ for $x\ge-\dfrac74$.
(b) $P$, marked in Figure 3, is the lowest turning point on $C$. From (a): $\text{f}'(x)=\dfrac{7x^2(2x+3)}{\sqrt{4x+7}}$. Find the coordinates of $P$. [2]

$\text{f}'(x)=0$turning pointจุดวกกลับ
$7x^2(2x+3)=0$the top is 0ตัวเศษเป็น 0
$x=0$that is O: flat, not the minimumนั่นคือ O: แบนราบ ไม่ใช่จุดต่ำสุด
$x=-\tfrac32$x at Pค่า x ที่ P
$4x+7=1$4 × (−3/2) + 74 × (−3/2) + 7
$y=\left(-\tfrac32\right)^3\sqrt1$y = x³√(4x + 7)y = x³√(4x + 7)
$=-\tfrac{27}8$y at Pค่า y ที่ P
$P=\left(-\tfrac32,-\tfrac{27}8\right)$answerคำตอบ

Q7(c) Range of g = −4fQ7(c) เรนจ์ของ g = −4f

Figure 3 sketches the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=x^3\sqrt{4x+7}$ for $x\ge-\dfrac74$.
(c) From (b): $P\left(-\tfrac32,-\tfrac{27}8\right)$. Hence find the range of g, where $\text{g}(x)=-4\text{f}(x)$ for $x\ge-\dfrac74$. [2]

$\text{f}(x)\ge-\tfrac{27}8$least value at P · f has no topค่าน้อยสุดที่ P · f ไม่มีค่าสูงสุด
$-4\text{f}(x)\le\tfrac{27}2$times a negative: ≥ turns to ≤คูณด้วยลบ: ≥ กลับเป็น ≤
$\text{g}(x)\le\tfrac{27}2$answerคำตอบ

Q7(d) Where Q goesQ7(d) จุด Q ย้ายไปไหน

Figure 3 sketches the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=x^3\sqrt{4x+7}$ for $x\ge-\dfrac74$.
(d) The point $Q\left(\tfrac12,\tfrac38\right)$ is on $C$. $C$ is transformed to the curve $y=40\,\text{f}\left(x-\tfrac32\right)-8$. Find the coordinates of the image of $Q$. [2]

$x=\tfrac12+\tfrac32$x − 3/2 inside f: move right 3/2x − 3/2 ข้างใน f: เลื่อนขวา 3/2
$=2$new xx ใหม่
$y=40\times\tfrac38-8$stretch by 40, then down 8ยืดแนวตั้ง 40 เท่า แล้วลง 8
$=15-8$40 × 3/8 = 1540 × 3/8 = 15
$=7$new yy ใหม่
$Q'=(2,\ 7)$answer · Q′ is the image of Qคำตอบ · Q′ คือภาพของ Q

9. Q8 · Heart-rate model: max and iteration · 12 marksข้อ 8 · โมเดลอัตราการเต้นของหัวใจ: ค่าสูงสุดและการทำซ้ำ · 12 คะแนน

Answer: 52 bpm; L = 32; T = 1.158; shown; t₂ = 10.3947; M = 10.3955คำตอบ: 52 bpm; L = 32; T = 1.158; shown; t₂ = 10.3947; M = 10.3955

Q8(a) Heart rate at the startQ8(a) อัตราการเต้นตอนเริ่ม

A horse's heart rate is being recorded. Its heart rate $H$ beats per minute (bpm), $t$ minutes after the recording started, follows the model $H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}$. Figure 4 sketches $H$ against $t$.
Answer every part of this question from this model.
(a) State the heart rate of the horse when the recording started. [1]

$t=0$the start · e⁰ = 1ตอนเริ่ม · e⁰ = 1
$H=32+40-20$substituteแทนค่า
$=52$answer · bpmคำตอบ · ครั้งต่อนาที

Q8(b) The long-term heart rateQ8(b) อัตราการเต้นในระยะยาว

A horse's heart rate is being recorded. Its heart rate $H$ beats per minute (bpm), $t$ minutes after the recording started, follows the model $H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}$. Figure 4 sketches $H$ against $t$.
Answer every part of this question from this model.
(b) Over a long time the heart rate gets closer and closer to $L$ bpm. State the value of $L$. [1]

$\lim_{t\to\infty}e^{-0.2t}=0$as t grows, the power dies awayเมื่อ t มากขึ้น พจน์นี้หายไป
$\lim_{t\to\infty}e^{-0.9t}=0$the same for this oneพจน์นี้ก็เช่นกัน
$L=32+0-0$only 32 is leftเหลือแค่ 32
$=32$answer · bpmคำตอบ · ครั้งต่อนาที

Q8(c) When the heart rate is highestQ8(c) เวลาที่หัวใจเต้นเร็วที่สุด

A horse's heart rate is being recorded. Its heart rate $H$ beats per minute (bpm), $t$ minutes after the recording started, follows the model $H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}$. Figure 4 sketches $H$ against $t$.
Answer every part of this question from this model.
(c) The heart rate is highest after $T$ minutes. Find $T$ to 3 d.p. An answer that depends only on a calculator scores no marks. [5]

$\dfrac{dH}{dt}=\eqalign{&-8e^{-0.2t}\cr&+18e^{-0.9t}}$differentiate: 40 × (−0.2), −20 × (−0.9)ดิฟ: 40 × (−0.2), −20 × (−0.9)
$p=e^{-0.2t}$p names the first powerp แทนพจน์ยกกำลังตัวแรก
$q=e^{-0.9t}$q names the secondq แทนตัวที่สอง
$0=-8p+18q$top of the curve: dH/dt = 0ยอดของกราฟ: dH/dt = 0
$8p=18q$move the −8p termย้ายพจน์ −8p
$4p=9q$divide by 2หาร 2
$4e^{-0.2t}=9e^{-0.9t}$p and q backแทน p และ q กลับ
$4e^{0.7t}=9$−0.2 + 0.9 = 0.7−0.2 + 0.9 = 0.7
$e^{0.7t}=\tfrac94$e on its ownได้ e ยกกำลังเดี่ยว ๆ
$0.7t=\ln\tfrac94$ln of both sidesใส่ ln ทั้งสองข้าง
$t=\dfrac{\ln2.25}{0.7}$9/4 = 2.259/4 = 2.25
$\approx\dfrac{0.81093}{0.7}$calculator: ln 2.25เครื่องคิดเลข: ln 2.25
$\approx1.15847$divideหาร
$T\approx1.158$answer · minutes · 3 d.p.คำตอบ · นาที · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q8(d) Show the equation for MQ8(d) แสดงสมการของ M

A horse's heart rate is being recorded. Its heart rate $H$ beats per minute (bpm), $t$ minutes after the recording started, follows the model $H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}$. Figure 4 sketches $H$ against $t$.
Answer every part of this question from this model.
(d) After $M$ minutes the heart rate is 37 bpm. Show that $M$ is a solution of $t=5\ln\left(\dfrac{8}{1+4e^{-0.9t}}\right)$. [2]

$p=e^{-0.2t}$p names the first powerp แทนพจน์ยกกำลังตัวแรก
$q=e^{-0.9t}$q names the secondq แทนตัวที่สอง
$32+40p-20q=37$H = 37 at t = MH = 37 ที่ t = M
$40p-20q=5$move 32ย้าย 32
$40p=5+20q$move −20qย้าย −20q
$p=\dfrac{1+4q}8$5/40 = 1/8, 20/40 = 4/85/40 = 1/8, 20/40 = 4/8
$w=1+4e^{-0.9t}$w names the top: 1 + 4qw แทนตัวเศษ: 1 + 4q
$e^{-0.2t}=\dfrac w8$p and q backแทน p และ q กลับ
$e^{0.2t}=\dfrac8w$flip both sidesกลับเศษเป็นส่วนทั้งสองข้าง
$0.2t=\ln\left(\dfrac8w\right)$ln of both sidesใส่ ln ทั้งสองข้าง
$t=5\ln\left(\dfrac8w\right)$1 ÷ 0.2 = 51 ÷ 0.2 = 5
$t=\eqalign{&5\ln\Big(8\div\cr&(1+4e^{-0.9t})\Big)}$shown · w = 1 + 4e^(−0.9t) put backแสดงแล้ว · แทน w = 1 + 4e^(−0.9t) กลับ

Q8(e)(i) One step of the iterationQ8(e)(i) ทำซ้ำหนึ่งรอบ

A horse's heart rate is being recorded. Its heart rate $H$ beats per minute (bpm), $t$ minutes after the recording started, follows the model $H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}$. Figure 4 sketches $H$ against $t$.
Answer every part of this question from this model.
(e)(i) Use $t_{n+1}=5\ln\left(\dfrac{8}{1+4e^{-0.9t_n}}\right)$ with $t_1=10$. Find $t_2$ to 4 d.p. (Part (e) is 3 marks in all.) [2]

$t_1=10$start valueค่าเริ่มต้น
$e^{-0.9\times10}=e^{-9}$the power at t₁เลขชี้กำลังที่ t₁
$4e^{-9}\approx0.000494$calculatorเครื่องคิดเลข
$t_2=5\ln\left(\dfrac{8}{1+4e^{-9}}\right)$put t₁ = 10 inแทน t₁ = 10
$\approx10.39474$calculatorเครื่องคิดเลข
$t_2\approx10.3947$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

Q8(e)(ii) The value of MQ8(e)(ii) ค่าของ M

A horse's heart rate is being recorded. Its heart rate $H$ beats per minute (bpm), $t$ minutes after the recording started, follows the model $H=32+40e^{-0.2t}-20e^{-0.9t}$. Figure 4 sketches $H$ against $t$.
Answer every part of this question from this model.
(e)(ii) From (i): $t_2\approx10.3947$. Keep going with the same formula and find $M$ to 4 d.p. (Part (e) is 3 marks in all.) [1]

$t_3\approx10.39548$put t₂ inแทน t₂
$t_4\approx10.39548$put t₃ in · no change at 5 d.p.แทน t₃ · ทศนิยม 5 ตำแหน่งไม่เปลี่ยน
$M\approx10.3955$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

10. Q9 · Quotient rule, normal, area with ln · 14 marksข้อ 9 · กฎผลหาร · เส้นแนวฉาก · พื้นที่ที่มี ln · 14 คะแนน

Answer: f′(x) = (12x² + 12x + 8)/(2x + 1)²; 16y + 5x = 106; f(x) = 3x + 1/2 − (5/2)/(2x + 1); 964/15 − (5/4) ln 3คำตอบ: f′(x) = (12x² + 12x + 8)/(2x + 1)²; 16y + 5x = 106; f(x) = 3x + 1/2 − (5/2)/(2x + 1); 964/15 − (5/4) ln 3

Q9(a) Find f′(x)Q9(a) หา f′(x)

Figure 5 sketches part of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{6x^2+4x-2}{2x+1}$ for $x\gt-\dfrac12$.
(a) Find $\text{f}'(x)$ in its simplest form. [3]

$u=6x^2+4x-2$u: the topu: ตัวเศษ
$v=2x+1$v: the bottomv: ตัวส่วน
$\text{f}'(x)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
$u'=12x+4$differentiate uดิฟ u
$v'=2$differentiate vดิฟ v
$vu'=24x^2+20x+4$(2x + 1)(12x + 4), expanded(2x + 1)(12x + 4) กระจายแล้ว
$uv'=12x^2+8x-4$(6x² + 4x − 2) × 2(6x² + 4x − 2) × 2
$vu'-uv'=12x^2+12x+8$subtractลบกัน
$\text{f}'(x)=\dfrac{12x^2+12x+8}{(2x+1)^2}$answerคำตอบ

Q9(b) Show the normal at PQ9(b) แสดงสมการเส้นแนวฉากที่ P

Figure 5 sketches part of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{6x^2+4x-2}{2x+1}$ for $x\gt-\dfrac12$.
(b) The line $l$ is the normal to $C$ at $P(2,\ 6)$. From (a): $\text{f}'(x)=\dfrac{12x^2+12x+8}{(2x+1)^2}$. Show that $l$ has equation $16y+5x=106$. [3]

$\text{f}'(2)=\dfrac{48+24+8}{25}$x = 2 · (2 × 2 + 1)² = 25x = 2 · (2 × 2 + 1)² = 25
$=\dfrac{80}{25}$add the topบวกตัวเศษ
$=\dfrac{16}5$gradient of the tangentความชันของเส้นสัมผัส
$m=-\dfrac5{16}$normal: −1 ÷ (16/5)เส้นแนวฉาก: −1 ÷ (16/5)
$y-6=-\dfrac5{16}(x-2)$line through P(2, 6)เส้นตรงผ่าน P(2, 6)
$16y-96=-5x+10$times 16คูณ 16
$16y+5x=106$shown · 10 + 96 = 106แสดงแล้ว · 10 + 96 = 106

Q9(c) f as Ax + B + D/(2x + 1)Q9(c) f ในรูป Ax + B + D/(2x + 1)

Figure 5 sketches part of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{6x^2+4x-2}{2x+1}$ for $x\gt-\dfrac12$.
(c) Write $\text{f}(x)$ as $Ax+B+\dfrac{D}{2x+1}$, where $A$, $B$ and $D$ are constants. [3]

$\text{f}(x)=Ax+B+\dfrac{D}{2x+1}$the form asked forรูปที่โจทย์ต้องการ
$N=6x^2+4x-2$N names the topN แทนตัวเศษ
$v=2x+1$v names the bottomv แทนตัวส่วน
$N-D=(Ax+B)v$times both sides by v, then move Dคูณทั้งสองข้างด้วย v แล้วย้าย D
$2A=6$compare x²: Ax × 2xเทียบ x²: Ax × 2x
$A=3$AA
$A+2B=4$compare x: Ax × 1 + B × 2xเทียบ x: Ax × 1 + B × 2x
$3+2B=4$A = 3A = 3
$2B=1$move 3ย้าย 3
$B=\tfrac12$BB
$B+D=-2$compare numbers: B × 1 + Dเทียบค่าคงที่: B × 1 + D
$\tfrac12+D=-2$B = 1/2B = 1/2
$D=-\tfrac52$DD
$\text{f}(x)=\eqalign{&3x+\tfrac12\cr&-\dfrac{\tfrac52}{2x+1}}$answerคำตอบ

Q9(d) Exact area of RQ9(d) พื้นที่ R แบบค่าจริง

Figure 5 sketches part of the curve $C$: $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=\dfrac{6x^2+4x-2}{2x+1}$ for $x\gt-\dfrac12$.
(d) The shaded region $R$ in Figure 5 lies between $C$, $l$ and the $x$-axis. From (c): $\text{f}(x)=3x+\tfrac12-\dfrac{\tfrac52}{2x+1}$. Using algebraic integration, find the exact area of $R$ in the form $P+Q\ln3$, where $P$ and $Q$ are rational. An answer that depends only on a calculator scores no marks. [5]

$\text{f}(x)=0$where C meets the x-axisจุดที่ C ตัดแกน x
$3x^2+2x-1=0$the top 6x² + 4x − 2 = 0, ÷ 2ตัวเศษ 6x² + 4x − 2 = 0 หาร 2
$(3x-1)(x+1)=0$factoriseแยกตัวประกอบ
$x=\tfrac13$x = −1 is not > −1/2x = −1 ไม่ > −1/2
$F(x)=\tfrac32x^2+\tfrac12x$F: integral of 3x + 1/2 from (c)F: อินทิเกรตของ 3x + 1/2 จากข้อ (c)
$G(x)=\tfrac54\ln(2x+1)$G: integral of the ln term · ÷ the 2 of 2xG: อินทิเกรตพจน์ ln · หาร 2 จาก 2x
$F(2)-F(\tfrac13)=7-\tfrac13$F(2) = 7, F(1/3) = 1/6 + 1/6F(2) = 7 · F(1/3) = 1/6 + 1/6
$=\tfrac{20}3$subtractลบกัน
$\ln5-\ln\tfrac53=\ln3$ln(2x + 1) at x = 2 and x = 1/3ln(2x + 1) ที่ x = 2 และ x = 1/3
$G(2)-G(\tfrac13)=\tfrac54\ln3$times 5/4คูณ 5/4
$\int_{1/3}^{2}\text{f}\,dx=\tfrac{20}3-\tfrac54\ln3$area under C: F part − G partพื้นที่ใต้ C: ส่วน F − ส่วน G
$x=\tfrac{106}5$l meets the x-axis: y = 0, 5x = 106l ตัดแกน x: y = 0 · 5x = 106
$\text{base}=\tfrac{96}5$triangle from x = 2: 106/5 − 10/5สามเหลี่ยมจาก x = 2: 106/5 − 10/5
$\triangle=\tfrac12\times6\times\tfrac{96}5$triangle: ½ × height 6 × baseสามเหลี่ยม: ½ × สูง 6 × ฐาน
$=\tfrac{288}5$area of the triangleพื้นที่สามเหลี่ยม
$R=\eqalign{&\tfrac{20}3+\tfrac{288}5\cr&-\tfrac54\ln3}$curve part + triangleส่วนใต้เส้นโค้ง + สามเหลี่ยม
$=\tfrac{964}{15}-\tfrac54\ln3$answer · 100/15 + 864/15คำตอบ · 100/15 + 864/15

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

g(x) = x² − x. Solve g(|x|) = 30.g(x) = x² − x · จงแก้ g(|x|) = 30
Answer:เฉลย: ±6For x ≥ 0: x² − x − 30 = (x − 6)(x + 5) = 0, so x = 6; the mirror gives −6.เมื่อ x ≥ 0: x² − x − 30 = (x − 6)(x + 5) = 0 ได้ x = 6 · สะท้อนได้ −6
log₁₀ N = 0.5t + 1. Find N at t = 0.log₁₀ N = 0.5t + 1 · จงหา N เมื่อ t = 0
Answer:เฉลย: 10At t = 0, log₁₀ N = 1, so N = 10¹ = 10.ที่ t = 0 · log₁₀ N = 1 · N = 10¹ = 10
Same f and g. Work out gf(9).f และ g เดิม · จงหา gf(9)
Answer:เฉลย: 30f(9) = 6 − 21/21 = 5, then g(5) = 25 + 5 = 30.f(9) = 6 − 21/21 = 5 · แล้ว g(5) = 25 + 5 = 30
H = 30 + 50e^(−0.1t) − 10e^(−t). Find H at t = 0.H = 30 + 50e^(−0.1t) − 10e^(−t) · จงหา H เมื่อ t = 0
Answer:เฉลย: 70e⁰ = 1, so H = 30 + 50 − 10 = 70.e⁰ = 1 · H = 30 + 50 − 10 = 70
A curve has gradient 4 at a point. Find the gradient of the normal there, as a decimal.เส้นโค้งมีความชัน 4 ที่จุดหนึ่ง · จงหาความชันของเส้นแนวฉากที่จุดนั้น เป็นทศนิยม
Answer:เฉลย: -0.25Normal gradient = −1 ÷ 4 = −0.25.ความชันเส้นแนวฉาก = −1 ÷ 4 = −0.25

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี