Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA13 Pure 3 · January 2025WMA13 Pure 3 · ม.ค. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 3 (WMA13) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Locating a root, then iteration · 6 marksข้อ 1 · หาช่วงของราก แล้วทำซ้ำ · 6 คะแนน

Answer: f(0.1) ≈ −0.390 < 0, f(0.2) ≈ 0.241 > 0, sign change, f continuous, so 0.1 < α < 0.2; x = 1/2 − 1/(3cos x) (shown); x₂ = 0.1629; α = 0.1622คำตอบ: f(0.1) ≈ −0.390 < 0, f(0.2) ≈ 0.241 > 0, sign change, f continuous, so 0.1 < α < 0.2; x = 1/2 − 1/(3cos x) (shown); x₂ = 0.1629; α = 0.1622

Q1(a) α is between 0.1 and 0.2Q1(a) α อยู่ระหว่าง 0.1 กับ 0.2

$\text{f}(x)=2\sec x+6x-3$, for $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$. There is exactly one root of $\text{f}(x)=0$; call it $\alpha$.
(a) Show that $0.1\lt\alpha\lt0.2$. [2]

  1. $\sec x=\dfrac1{\cos x}$sec "seek": 1 over cos · radianssec อ่านว่า "เซ็ก" = 1 ส่วน cos · ใช้เรเดียน
  2. $2\sec0.1\approx2.0100$2 ÷ cos 0.12 ÷ cos 0.1
  3. $\text{f}(0.1)\approx-0.390$2.0100 + 0.6 − 32.0100 + 0.6 − 3
  4. $2\sec0.2\approx2.0407$2 ÷ cos 0.22 ÷ cos 0.2
  5. $\text{f}(0.2)\approx0.241$2.0407 + 1.2 − 32.0407 + 1.2 − 3
  6. $\text{f}(0.1)\lt0\lt\text{f}(0.2)$the sign changesเครื่องหมายเปลี่ยน
  7. $0.1\lt\alpha\lt0.2$f is continuous here, so a root is betweenf ต่อเนื่องในช่วงนี้ จึงมีรากอยู่ระหว่างกลาง

Q1(b) Rearrange f(x) = 0Q1(b) จัดรูป f(x) = 0

$\text{f}(x)=2\sec x+6x-3$, for $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$. There is exactly one root of $\text{f}(x)=0$; call it $\alpha$.
(b) Show that $\alpha$ satisfies $x=\dfrac12-\dfrac1{3\cos x}$. [1]

  1. $\text{f}(x)=0$at the root x = αที่ราก x = α
  2. $\dfrac2{\cos x}+6x-3=0$sec x = 1 ÷ cos xsec x = 1 ÷ cos x
  3. $\dfrac2{\cos x}+6x=3$move the 3ย้าย 3
  4. $6x=3-\dfrac2{\cos x}$keep 6x on the leftเหลือ 6x ไว้ซ้าย
  5. $x=\dfrac12-\dfrac1{3\cos x}$shown · 3 ÷ 6 = ½, 2 ÷ 6 = ⅓ได้ตามที่โจทย์ให้ · 3 ÷ 6 = ½ · 2 ÷ 6 = ⅓

Q1(c)(i) The first step: x₂Q1(c)(i) รอบแรก: x₂

$\text{f}(x)=2\sec x+6x-3$, for $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$. There is exactly one root of $\text{f}(x)=0$; call it $\alpha$.
(c)(i) The iteration $x_{n+1}=\dfrac12-\dfrac1{3\cos x_n}$ is used to find $\alpha$. Begin with $x_1=0.15$. Find $x_2$ to 4 d.p. (Part (c) is worth 3 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 1 to (ii).) [2]

  1. $x_{n+1}=\dfrac12-\dfrac1{3\cos x_n}$the iterationสูตรทำซ้ำ
  2. $x_1=0.15$start value · radiansค่าเริ่มต้น · ใช้เรเดียน
  3. $D=3\cos0.15$D: the bottom when n = 1D: ตัวส่วนเมื่อ n = 1
  4. $\approx2.9663$radiansใช้เรเดียน
  5. $x_2=\dfrac12-\dfrac1D$put n = 1แทน n = 1
  6. $x_2\approx0.5-0.33712$1 ÷ 2.96631 ÷ 2.9663
  7. $\approx0.16288$keep every digitเก็บทุกหลักไว้ในเครื่อง
  8. $x_2\approx0.1629$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

Q1(c)(ii) Keep going: αQ1(c)(ii) ทำต่อจนนิ่ง: α

$\text{f}(x)=2\sec x+6x-3$, for $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$. There is exactly one root of $\text{f}(x)=0$; call it $\alpha$.
(c)(ii) Using the same iteration, find $\alpha$ to 4 d.p. (Part (c) is 3 marks in all.) [1]

  1. $x_2\approx0.16288$from (i) · feed it back inจากข้อ (i) · ใส่กลับเข้าสูตร
  2. $x_3\approx0.16220$x₃ from x₂x₃ จาก x₂
  3. $x_4\approx0.16223$x₄ from x₃x₄ จาก x₃
  4. $x_5\approx0.16223$no change at 5 d.p.ไม่เปลี่ยนที่ทศนิยม 5 ตำแหน่ง
  5. $\alpha\approx0.1622$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

3. Q2 · Log model for weed · 3 marksข้อ 2 · แบบจำลอง log ของวัชพืช · 3 คะแนน

Answer: 10 m²; T = 13.26คำตอบ: 10 m²; T = 13.26

Q2(a) Area at the startQ2(a) พื้นที่ตอนเริ่ม

Weed is growing on the surface of a pond, and people are measuring it. The area of the pond it covers is $A$ m². The model is $\log_{10}A=1+0.03t$, where $t$ is the time in weeks since the measuring started. Use this model in (a) and (b).
(a) Find the area of the pond that the weed covered at the start. [1]

  1. $t=0$the startตอนเริ่ม
  2. $\log_{10}A=1$1 + 0.03 × 01 + 0.03 × 0
  3. $A=10^1$undo log₁₀: 10 to the powerถอด log₁₀: ยก 10 กำลัง
  4. $A=10\text{ m}^2$answer · with unitsคำตอบ · ใส่หน่วย

Q2(b) When the area is 25 m²Q2(b) เมื่อพื้นที่เป็น 25 m²

Weed is growing on the surface of a pond, and people are measuring it. The area of the pond it covers is $A$ m². The model is $\log_{10}A=1+0.03t$, where $t$ is the time in weeks since the measuring started. Use this model in (a) and (b).
(b) The weed covers 25 m² after $T$ weeks. Find $T$ to 2 d.p. [2]

  1. $\log_{10}A=1+0.03t$the modelแบบจำลอง
  2. $\log_{10}25=1+0.03T$A = 25 when t = TA = 25 เมื่อ t = T
  3. $\log_{10}25-1=0.03T$move the 1ย้าย 1
  4. $\dfrac{\log_{10}25-1}{0.03}=T$T on its ownเหลือ T ตัวเดียว
  5. $T\approx\dfrac{0.39794}{0.03}$log₁₀25 ≈ 1.39794log₁₀25 ≈ 1.39794
  6. $\approx13.265$divideหาร
  7. $T\approx13.26$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

4. Q3 · Where the curve increases · 6 marksข้อ 3 · ช่วงที่เส้นโค้งเพิ่มขึ้น · 6 คะแนน

Answer: −3 < x < 5/2คำตอบ: −3 < x < 5/2

Q3 Where y increasesQ3 ช่วงที่ y เพิ่มขึ้น

Show all your working. A calculator-only method gets no marks.
A curve $C$ has equation $y=\dfrac{4x+1}{(x+3)^2}$, $x\ne-3$, $x\in\mathbb{R}$.
Using calculus, find the set of values of $x$ for which $y$ is increasing. [6]

  1. $u=4x+1$topตัวเศษ
  2. $u'=4$derivative of the topอนุพันธ์ของตัวเศษ
  3. $v=(x+3)^2$bottomตัวส่วน
  4. $v'=2(x+3)$chain ruleกฎลูกโซ่
  5. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
  6. $u'v=4(x+3)^2$first pieceก้อนแรก
  7. $uv'=\eqalign{&2(4x+1)\cr&\times(x+3)}$second pieceก้อนที่สอง
  8. $K=\dfrac{u'v-uv'}{x+3}$both pieces have x + 3 · call what is left Kทั้งสองก้อนมี x + 3 · ให้ส่วนที่เหลือเป็น K
  9. $=4x+12-8x-2$4(x + 3) − 2(4x + 1)4(x + 3) − 2(4x + 1)
  10. $=10-4x$collectรวมพจน์
  11. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x+3)K}{(x+3)^4}$u′v − uv′ = (x + 3)K · v² = (x + 3)⁴u′v − uv′ = (x + 3)K · v² = (x + 3)⁴
  12. $=\dfrac{10-4x}{(x+3)^3}$cancel one x + 3ตัด x + 3 หนึ่งตัว
  13. $10-4x=0$top = 0ตัวเศษ = 0
  14. $10=4x$move 4xย้าย 4x
  15. $\dfrac52=x$critical valueค่าวิกฤต
  16. $x=-3$bottom = 0: critical valueตัวส่วน = 0: ค่าวิกฤต
  17. $-3\lt x\lt\dfrac52$top > 0 and bottom > 0 only hereตัวเศษ > 0 และตัวส่วน > 0 เฉพาะช่วงนี้

5. Q4 · Division, then a log integral · 9 marksข้อ 4 · หารพหุนาม แล้วอินทิเกรตได้ ln · 9 คะแนน

Answer: A = 4, B = 2, C = −13; D = 0 (shown); 36 − 13 ln 2 (p = 36, q = −13)คำตอบ: A = 4, B = 2, C = −13; D = 0 (shown); 36 − 13 ln 2 (p = 36, q = −13)

Q4(a)(i) Find A, B and CQ4(a)(i) หา A, B และ C

$\dfrac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}$
$\equiv Ax+B+\dfrac{Cx+D}{x^2+4}$
(a)(i) Find the constants $A$, $B$ and $C$. (Part (a) is worth 4 marks in all; the mark scheme gives 3 to (i) and 1 to (ii).) [3]

  1. $T=\eqalign{&4x^3+2x^2\cr&+3x+8}$T is the topT คือตัวเศษ
  2. $Q=x^2+4$Q is the bottomQ คือตัวส่วน
  3. $A=4$4x³ ÷ x² = 4x4x³ ÷ x² = 4x
  4. $4xQ=4x^3+16x$take this away from Tนำไปลบออกจาก T
  5. $T-4xQ=2x^2-13x+8$2x² + (3 − 16)x + 82x² + (3 − 16)x + 8
  6. $B=2$2x² ÷ x² = 22x² ÷ x² = 2
  7. $2Q=2x^2+8$take this away tooลบอันนี้ออกด้วย
  8. $T-(4x+2)Q=-13x$what is left: 8 − 8 = 0เหลือเท่านี้: 8 − 8 = 0
  9. $C=-13$the x term left overพจน์ x ที่เหลือ

Q4(a)(ii) Show that D = 0Q4(a)(ii) แสดงว่า D = 0

$\dfrac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}$
$\equiv Ax+B+\dfrac{Cx+D}{x^2+4}$
(a)(ii) Using $B=2$ from (i), show that $D=0$. (Part (a) is 4 marks in all.) [1]

  1. $T=\eqalign{&4x^3+2x^2\cr&+3x+8}$T is the topT คือตัวเศษ
  2. $Q=x^2+4$Q is the bottomQ คือตัวส่วน
  3. $T\equiv\eqalign{&(Ax+B)Q\cr&+Cx+D}$times the identity by Qคูณเอกลักษณ์ด้วย Q
  4. $x=0$put x = 0 on both sidesแทน x = 0 ทั้งสองข้าง
  5. $8=4B+D$T(0) = 8 · Q(0) = 4T(0) = 8 · Q(0) = 4
  6. $8=8+D$B = 2 from (i)B = 2 จากข้อ (i)
  7. $0=D$take 8 from both sidesลบ 8 ทั้งสองข้าง
  8. $D=0$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q4(b) Integrate from 1 to 4Q4(b) อินทิเกรตจาก 1 ถึง 4

$\dfrac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}$
$\equiv Ax+B+\dfrac{Cx+D}{x^2+4}$
(b) Using (a) and integration by algebra, find $\displaystyle\int_1^4\dfrac{4x^3+2x^2+3x+8}{x^2+4}\,dx$. Write the answer as $p+q\ln2$, where $p$ and $q$ are integers. [5]

  1. $T=\eqalign{&4x^3+2x^2\cr&+3x+8}$T is the topT คือตัวเศษ
  2. $Q=x^2+4$Q is the bottomQ คือตัวส่วน
  3. $\dfrac{T}{Q}=4x+2-\dfrac{13x}{Q}$from (a): A, B, C, D = 4, 2, −13, 0จากข้อ (a): A, B, C, D = 4, 2, −13, 0
  4. $\int(4x+2)dx=2x^2+2x$power up 1 · divide by the new powerเพิ่มเลขชี้กำลัง 1 · หารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
  5. $\int\dfrac{x}{Q}dx=\dfrac12\ln Q$Q′ = 2x: the top is half of Q′Q′ = 2x: ตัวเศษเป็นครึ่งหนึ่งของ Q′
  6. $F=\eqalign{&2x^2+2x\cr&-6.5\ln Q}$F is the integral · 13 × ½ = 6.5F คือผลอินทิเกรต · 13 × ½ = 6.5
  7. $Q(4)=20$16 + 416 + 4
  8. $F(4)=40-6.5\ln20$32 + 832 + 8
  9. $Q(1)=5$1 + 41 + 4
  10. $F(1)=4-6.5\ln5$2 + 22 + 2
  11. $I=F(4)-F(1)$top limit minus bottom limitลิมิตบนลบลิมิตล่าง
  12. $=36-6.5\ln\dfrac{20}5$40 − 4 · ln 20 − ln 5 = ln(20 ÷ 5)40 − 4 · ln 20 − ln 5 = ln(20 ÷ 5)
  13. $=36-6.5\ln4$20 ÷ 5 = 420 ÷ 5 = 4
  14. $=36-13\ln2$ln 4 = 2 ln 2 · 6.5 × 2 = 13ln 4 = 2 ln 2 · 6.5 × 2 = 13
  15. $p=36$answerคำตอบ
  16. $q=-13$answerคำตอบ

6. Q5 · Cooling model · 9 marksข้อ 5 · แบบจำลองการเย็นตัว · 9 คะแนน

Answer: 304 °C; decreasing curve from (0, 304), levelling to the asymptote H = 24; t = 16.95; dH/dt = 1.2 − 0.05H (a = 1.2, b = −0.05)คำตอบ: 304 °C; decreasing curve from (0, 304), levelling to the asymptote H = 24; t = 16.95; dH/dt = 1.2 − 0.05H (a = 1.2, b = −0.05)

Q5(a) Temperature at the startQ5(a) อุณหภูมิตอนเริ่ม

A hot piece of metal goes into water to cool. Its temperature is $H$ °C at $t$ minutes after it goes in, where $H=280e^{-0.05t}+24$, $t\ge0$. Use this model for every part.
(a) What was the temperature of the metal at the start? [1]

  1. $t=0$the startตอนเริ่ม
  2. $H=280e^0+24$put t = 0แทน t = 0
  3. $=280+24$e⁰ = 1e⁰ = 1
  4. $H=304^\circ\text{C}$answerคำตอบ

Q5(b) Sketch H against tQ5(b) ร่างกราฟ H กับ t

A hot piece of metal goes into water to cool. Its temperature is $H$ °C at $t$ minutes after it goes in, where $H=280e^{-0.05t}+24$, $t\ge0$. Use this model for every part.
(b) Sketch the graph of $H$ against $t$. Write the equation of the asymptote on your sketch. [2]

  1. $t=0$where the graph startsจุดที่กราฟเริ่ม
  2. $H=304$from (a): on the H axisจากข้อ (a): อยู่บนแกน H
  3. $e^{-0.05t}\to0$as t gets largeเมื่อ t มากขึ้นเรื่อย ๆ
  4. $H\to24$falls, then levels outลดลง แล้วค่อย ๆ ราบ
  5. $H=24$the asymptoteเส้นกำกับ

Q5(c) When H = 144Q5(c) เมื่อ H = 144

A hot piece of metal goes into water to cool. Its temperature is $H$ °C at $t$ minutes after it goes in, where $H=280e^{-0.05t}+24$, $t\ge0$. Use this model for every part.
(c) Find the value of $t$ when $H=144$, to 2 d.p. Show the log working: a calculator answer alone is not enough. [3]

  1. $E=e^{-0.05t}$call the power Eให้ก้อนเลขยกกำลังเป็น E
  2. $280E+24=144$put H = 144แทน H = 144
  3. $280E=120$move the 24ย้าย 24
  4. $E=\dfrac{120}{280}$divide by 280หารด้วย 280
  5. $=\dfrac37$simplifyทำให้อย่างต่ำ
  6. $e^{-0.05t}=\dfrac37$E is e^(−0.05t)E คือ e^(−0.05t)
  7. $-0.05t=\ln\dfrac37$ln of both sidesใส่ ln ทั้งสองข้าง
  8. $t=-20\ln\dfrac37$1 ÷ (−0.05) = −201 ÷ (−0.05) = −20
  9. $=20\ln\dfrac73$−ln(3/7) = ln(7/3)−ln(3/7) = ln(7/3)
  10. $\approx16.946$calculatorกดเครื่องคิดเลข
  11. $t\approx16.95$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

Q5(d) dH/dt in terms of HQ5(d) dH/dt ในรูปของ H

A hot piece of metal goes into water to cool. Its temperature is $H$ °C at $t$ minutes after it goes in, where $H=280e^{-0.05t}+24$, $t\ge0$. Use this model for every part.
(d) By differentiating, show that $\dfrac{dH}{dt}=a+bH$, and find the constants $a$ and $b$. [3]

  1. $E=e^{-0.05t}$call the power Eให้ก้อนเลขยกกำลังเป็น E
  2. $H=280E+24$the modelแบบจำลอง
  3. $\dfrac{dH}{dt}=-14E$eᵏᵗ → keᵏᵗ · −0.05 × 280 = −14eᵏᵗ → keᵏᵗ · −0.05 × 280 = −14
  4. $280E=H-24$from the model: take away 24จากแบบจำลอง: ลบ 24
  5. $\dfrac{dH}{dt}=-0.05(H-24)$−14E = −0.05 × 280E−14E = −0.05 × 280E
  6. $=1.2-0.05H$−0.05 × −24 = 1.2 · shown−0.05 × −24 = 1.2 · ได้ตามรูปที่โจทย์ให้
  7. $a=1.2$answerคำตอบ
  8. $b=-0.05$answerคำตอบ

7. Q6 · Inverse, composite, transformation · 8 marksข้อ 6 · อินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบ การแปลงกราฟ · 8 คะแนน

Answer: f⁻¹(x) = (2x + 3)/(x − 4), x ≠ 4; ff(x) = (19x + 6)/(2x + 7): a = 19, b = 6, c = 2, d = 7; (1, 38)คำตอบ: f⁻¹(x) = (2x + 3)/(x − 4), x ≠ 4; ff(x) = (19x + 6)/(2x + 7): a = 19, b = 6, c = 2, d = 7; (1, 38)

Q6(a) Find the inverseQ6(a) หาอินเวอร์ส

$\text{f}(x)=\dfrac{4x+3}{x-2}$, $x\ne2$.
(a) Find $\text{f}^{-1}$. [3]

  1. $y=\dfrac{4x+3}{x-2}$write y for f(x)ให้ y = f(x)
  2. $yx-2y=4x+3$clear the bottom, multiply outกำจัดตัวส่วน แล้วกระจาย
  3. $yx-4x=2y+3$x terms on the leftพจน์ x ไว้ซ้าย
  4. $x(y-4)=2y+3$take out xดึง x ออก
  5. $x=\dfrac{2y+3}{y-4}$x on its ownเหลือ x ตัวเดียว
  6. $\text{f}^{-1}(x)=\dfrac{2x+3}{x-4}$write x for yเปลี่ยน y เป็น x
  7. $x\ne4$the bottom cannot be 0ตัวส่วนห้ามเป็น 0

Q6(b) Find ff(x)Q6(b) หา ff(x)

$\text{f}(x)=\dfrac{4x+3}{x-2}$, $x\ne2$.
(b) Show that $\text{ff}(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, and find the integers $a$, $b$, $c$ and $d$. [3]

  1. $\text{ff}(x)=\dfrac{4\text{f}+3}{\text{f}-2}$put f(x) in place of xใส่ f(x) แทน x
  2. $\text{f}=\dfrac{4x+3}{x-2}$f means f(x)f คือ f(x)
  3. $N=(4\text{f}+3)(x-2)$top × (x − 2)ตัวเศษ × (x − 2)
  4. $=16x+12+3x-6$f × (x − 2) = 4x + 3, then × 4f × (x − 2) = 4x + 3 แล้ว × 4
  5. $=19x+6$collectรวมพจน์
  6. $D=(\text{f}-2)(x-2)$bottom × (x − 2)ตัวส่วน × (x − 2)
  7. $=4x+3-2(x-2)$same moveทำแบบเดียวกัน
  8. $=2x+7$4x + 3 − 2x + 44x + 3 − 2x + 4
  9. $\text{ff}(x)=\dfrac ND$top and bottom both × (x − 2)คูณ (x − 2) ทั้งบนและล่าง
  10. $=\dfrac{19x+6}{2x+7}$shownได้ตามรูปที่โจทย์ให้
  11. $a=19$answerคำตอบ
  12. $b=6$answerคำตอบ
  13. $c=2$answerคำตอบ
  14. $d=7$answerคำตอบ

Q6(c) Where P goesQ6(c) P ย้ายไปไหน

$\text{f}(x)=\dfrac{4x+3}{x-2}$, $x\ne2$.
(c) The point $P(3,\ 15)$ is on the curve $y=\text{f}(x)$. The curve is transformed to $y=2\text{f}(3x)+8$. Find the point that $P$ moves to. [2]

  1. $x=\dfrac33$3x inside: x is divided by 33x ในวงเล็บ: x หารด้วย 3
  2. $=1$new xx ใหม่
  3. $y=2\times15+8$× 2, then + 8× 2 แล้ว + 8
  4. $=38$new yy ใหม่
  5. $P'=(1,\ 38)$answerคำตอบ

8. Q7 · Modulus graphs · 8 marksข้อ 7 · กราฟค่าสัมบูรณ์ · 8 คะแนน

Answer: V shape, lowest point (a/3, 0), meets the y-axis at (0, a); V shape, lowest point (a/3, −b), meets the y-axis at (0, a − b); x = (a − b)/8คำตอบ: V shape, lowest point (a/3, 0), meets the y-axis at (0, a); V shape, lowest point (a/3, −b), meets the y-axis at (0, a − b); x = (a − b)/8

Q7(a)(i) Sketch y = |3x − a|Q7(a)(i) ร่างกราฟ y = |3x − a|

$a$ and $b$ are positive constants, and $a\gt b$.
(a)(i) On a diagram of its own, sketch $y=|3x-a|$. On the sketch, give the coordinates of the lowest point and of the point where the graph meets the $y$-axis. (Part (a) is worth 6 marks in all; the mark scheme gives 3 to (i) and 3 to (ii).) [3]

  1. $3x-a=0$lowest point: the inside is 0จุดต่ำสุด: ค่าข้างในเป็น 0
  2. $3x=a$move aย้าย a
  3. $x=\dfrac a3$x of the lowest pointx ของจุดต่ำสุด
  4. $y=0$the graph sits on the x-axisกราฟแตะแกน x
  5. $x=0$on the y-axisบนแกน y
  6. $y=|-a|$put x = 0แทน x = 0
  7. $=a$a > 0a > 0

Q7(a)(ii) Sketch y = |3x − a| − bQ7(a)(ii) ร่างกราฟ y = |3x − a| − b

$a$ and $b$ are positive constants, and $a\gt b$.
(a)(ii) On a separate diagram, sketch $y=|3x-a|-b$, again giving the coordinates of the lowest point and of the point where it meets the $y$-axis. (Part (a) is 6 marks in all.) [3]

  1. $y=|3x-a|-b$graph (i) moved down bกราฟข้อ (i) เลื่อนลง b
  2. $x=\dfrac a3$lowest point: same x as (i)จุดต่ำสุด: x เดิมจากข้อ (i)
  3. $y=0-b$the modulus is 0 thereค่าสัมบูรณ์เป็น 0 ตรงนั้น
  4. $=-b$below the x-axisอยู่ใต้แกน x
  5. $x=0$on the y-axisบนแกน y
  6. $y=a-b$|−a| = a · positive, as a > b|−a| = a · เป็นบวกเพราะ a > b

Q7(b) Solve |3x − a| − b = 5xQ7(b) แก้ |3x − a| − b = 5x

$a$ and $b$ are positive constants, and $a\gt b$.
(b) Solve $|3x-a|-b=5x$. Give any solution for $x$ in terms of $a$ and $b$. [2]

  1. $3x-a-b=5x$right arm: 3x − a ≥ 0แขนขวา: 3x − a ≥ 0
  2. $-a-b=2x$move 3xย้าย 3x
  3. $-\dfrac{a+b}2=x$x < 0, so 3x − a < 0: not on this arm, rejectx < 0 จึงได้ 3x − a < 0: ไม่อยู่บนแขนนี้ ตัดทิ้ง
  4. $-3x+a-b=5x$left arm: |3x − a| = −3x + aแขนซ้าย: |3x − a| = −3x + a
  5. $a-b=8x$move −3xย้าย −3x
  6. $\dfrac{a-b}8=x$a > b, so x > 0 and 3x − a < 0 ✓a > b จึงได้ x > 0 และ 3x − a < 0 ✓
  7. $x=\dfrac{a-b}8$answer · the only solutionคำตอบ · มีคำตอบเดียว

9. Q8 · Trig equations · 9 marksข้อ 8 · สมการตรีโกณมิติ · 9 คะแนน

Answer: θ = 0.424, 1.15; x = 24.7°, 114.7°คำตอบ: θ = 0.424, 1.15; x = 24.7°, 114.7°

Q8(i) Solve 3 cosec θ = 8 cos θQ8(i) แก้ 3 cosec θ = 8 cos θ

Show every stage of the working. A method that relies entirely on a calculator gets no marks.
(i) For $0\lt\theta\lt\pi$, solve $3\operatorname{cosec}\theta=8\cos\theta$. Answers in radians, to 3 s.f. [5]

  1. $\operatorname{cosec}\theta=\dfrac1{\sin\theta}$cosec "co-seek": 1 over sincosec อ่านว่า "โคเซ็ก" = 1 ส่วน sin
  2. $\dfrac3{\sin\theta}=8\cos\theta$rewrite the equationเขียนสมการใหม่
  3. $3=8\sin\theta\cos\theta$clear the bottomกำจัดตัวส่วน
  4. $3=4\sin2\theta$2 sin θ cos θ = sin 2θ2 sin θ cos θ = sin 2θ
  5. $\dfrac34=\sin2\theta$sin 2θ on its ownเหลือ sin 2θ
  6. $0\lt2\theta\lt2\pi$double the rangeช่วงของ 2θ เป็นสองเท่า
  7. $2\theta\approx0.84806$arcsin 0.75arcsin 0.75
  8. $\theta\approx0.424$first answer · 3 s.f.คำตอบแรก · 3 นัยสำคัญ
  9. $2\theta\approx2.29353$π − 0.84806π − 0.84806
  10. $\theta\approx1.15$second answer · 3 s.f.คำตอบที่สอง · 3 นัยสำคัญ

Q8(ii) Solve with tan(A − B)Q8(ii) แก้ด้วย tan(A − B)

Show every stage of the working. A method that relies entirely on a calculator gets no marks.
(ii) For $0\lt x\lt180^\circ$, solve $\dfrac{\tan2x-\tan70^\circ}{1+\tan2x\tan70^\circ}=-\dfrac38$. Answers in degrees, to 1 d.p. [4]

  1. $u=2x-70^\circ$call this angle uให้มุมนี้เป็น u
  2. $\tan u=-\dfrac38$left side = tan(A − B), A = 2x, B = 70°ฝั่งซ้าย = tan(A − B) โดย A = 2x, B = 70°
  3. $0^\circ\lt2x\lt360^\circ$double the range of xช่วงของ 2x เป็นสองเท่า
  4. $-70^\circ\lt u\lt290^\circ$take 70° off: range of uลบ 70°: ช่วงของ u
  5. $u\approx-20.556^\circ$arctan(−3/8)arctan(−3/8)
  6. $2x\approx49.444^\circ$add 70°บวก 70°
  7. $x\approx24.7^\circ$first answer · 1 d.p.คำตอบแรก · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
  8. $u\approx159.444^\circ$tan repeats every 180°tan ซ้ำทุก 180°
  9. $2x\approx229.444^\circ$add 70° · next u is out of rangeบวก 70° · u ถัดไปเกินช่วง
  10. $x\approx114.7^\circ$second answer · 1 d.p.คำตอบที่สอง · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

10. Q9 · Stationary point and range · 8 marksข้อ 9 · จุดคงที่และเรนจ์ · 8 คะแนน

Answer: x = 1/4; Q(1/(4e²), −6/e); g(x) ≤ 12/eคำตอบ: x = 1/4; Q(1/(4e²), −6/e); g(x) ≤ 12/e

Q9(a) The x coordinate of PQ9(a) พิกัด x ของ P

The sketch shows part of the curve $C$, $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=6\sqrt{x}\ln(4x)$, $x\gt0$. $C$ crosses the $x$-axis at $P$. $Q$ is the stationary point of $C$.
(a) State the $x$ coordinate of $P$. [1]

  1. $\text{f}(x)=0$P is on the x-axisP อยู่บนแกน x
  2. $\ln(4x)=0$6√x > 0 when x > 06√x > 0 เมื่อ x > 0
  3. $4x=1$ln 1 = 0ln 1 = 0
  4. $x=\dfrac14$answerคำตอบ

Q9(b) Exact coordinates of QQ9(b) พิกัดแบบค่าแม่นยำของ Q

The sketch shows part of the curve $C$, $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=6\sqrt{x}\ln(4x)$, $x\gt0$. $C$ crosses the $x$-axis at $P$. $Q$ is the stationary point of $C$.
(b) Find the exact coordinates of $Q$ by calculus. [5]

  1. $u=6x^{\frac12}$first factorตัวประกอบแรก
  2. $u'=3x^{-\frac12}$½ × 6 = 3½ × 6 = 3
  3. $v=\ln(4x)$second factorตัวประกอบที่สอง
  4. $v'=\dfrac1x$4 ÷ 4x4 ÷ 4x
  5. $u'v=\dfrac{3\ln(4x)}{\sqrt x}$product rule: f′ = u′v + uv′กฎผลคูณ: f′ = u′v + uv′
  6. $uv'=\dfrac6{\sqrt x}$6√x ÷ x6√x ÷ x
  7. $\text{f}'(x)=\dfrac{3\ln(4x)+6}{\sqrt x}$add the two piecesบวกสองก้อน
  8. $3\ln(4x)+6=0$f′ = 0 at Q: the top is 0f′ = 0 ที่ Q: ตัวเศษเป็น 0
  9. $3\ln(4x)=-6$move the 6ย้าย 6
  10. $\ln(4x)=-2$undo ln: e to the powerถอด ln: ยก e กำลัง
  11. $4x=e^{-2}$e^(ln 4x) = 4xe^(ln 4x) = 4x
  12. $x=\dfrac1{4e^2}$x of Qx ของ Q
  13. $\sqrt x=\dfrac1{2e}$square root of top and bottomถอดรากทั้งบนและล่าง
  14. $y=6\times\dfrac1{2e}\times(-2)$y = 6√x × ln(4x), ln(4x) = −2y = 6√x × ln(4x) · ln(4x) = −2
  15. $=-\dfrac6e$y of Qy ของ Q
  16. $Q=\left(\dfrac1{4e^2},\ -\dfrac6e\right)$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นยำ

Q9(c) Range of gQ9(c) เรนจ์ของ g

The sketch shows part of the curve $C$, $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=6\sqrt{x}\ln(4x)$, $x\gt0$. $C$ crosses the $x$-axis at $P$. $Q$ is the stationary point of $C$.
(c) From (b): $Q\left(\dfrac1{4e^2},\ -\dfrac6e\right)$. Using this, find the range of the function $\text{g}(x)=-2\text{f}(x)$. [2]

  1. $\text{f}(x)\ge-\dfrac6e$Q is the lowest point · f has no topQ เป็นจุดต่ำสุด · f ไม่มีค่าสูงสุด
  2. $-2\text{f}(x)\le\dfrac{12}e$times −2 flips the signคูณ −2 ต้องกลับเครื่องหมาย
  3. $\text{g}(x)\le\dfrac{12}e$answerคำตอบ

11. Q10 · Curve x = 3cos 2y · 9 marksข้อ 10 · เส้นโค้ง x = 3cos 2y · 9 คะแนน

Answer: dx/dy = −6 sin 2y; dy/dx = −1/(2√(9 − x²)), k = −1/2; a = √5, b = ½ arccos(√5/3)คำตอบ: dx/dy = −6 sin 2y; dy/dx = −1/(2√(9 − x²)), k = −1/2; a = √5, b = ½ arccos(√5/3)

Q10(a) Find dx/dyQ10(a) หา dx/dy

The sketch shows the curve $x=3\cos2y$, for $-3\le x\le3$ and $0\le y\le\dfrac{\pi}2$.
(a) Find $\dfrac{dx}{dy}$ in terms of $y$. [2]

  1. $x=3\cos2y$the curveสมการเส้นโค้ง
  2. $\dfrac{dx}{dy}=3\times(-2\sin2y)$chain rule: cos 2y → −2 sin 2yกฎลูกโซ่: cos 2y → −2 sin 2y
  3. $=-6\sin2y$answerคำตอบ

Q10(b) dy/dx in terms of xQ10(b) dy/dx ในรูปของ x

The sketch shows the curve $x=3\cos2y$, for $-3\le x\le3$ and $0\le y\le\dfrac{\pi}2$.
(b) From (a): $\dfrac{dx}{dy}=-6\sin2y$. Using this, show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{k}{\sqrt{9-x^2}}$, and find the constant $k$. [3]

  1. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1}{6\sin2y}$dy/dx = 1 ÷ dx/dydy/dx = 1 ÷ dx/dy
  2. $\cos2y=\dfrac x3$from x = 3 cos 2yจาก x = 3 cos 2y
  3. $\sin^22y=1-\dfrac{x^2}9$sin² + cos² = 1sin² + cos² = 1
  4. $=\dfrac{9-x^2}9$one fractionรวมเป็นเศษส่วนเดียว
  5. $\sin2y=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}3$positive root: 0 ≤ 2y ≤ πรากบวก: 0 ≤ 2y ≤ π
  6. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1}{2\sqrt{9-x^2}}$6 × ⅓ = 26 × ⅓ = 2
  7. $k=-\dfrac12$take the −½ to the topยก −½ ขึ้นไปบน
  8. $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{k}{\sqrt{9-x^2}}$shown, with k = −½ได้ตามรูปที่โจทย์ให้ · k = −½

Q10(c) Find a and bQ10(c) หา a และ b

The sketch shows the curve $x=3\cos2y$, for $-3\le x\le3$ and $0\le y\le\dfrac{\pi}2$.
(c) From (b): $k=-\dfrac12$. The point $P(a,\ b)$ on the curve is shown in the sketch. At $P$ the gradient of the curve is $-\dfrac14$, and $a$ and $b$ are both positive. Find the exact values of $a$ and $b$. [4]

  1. $\dfrac{-1}{2\sqrt{9-x^2}}=-\dfrac14$gradient at Pความชันที่ P
  2. $2\sqrt{9-x^2}=4$flip both sides · the minus signs cancelกลับเศษส่วนทั้งสองข้าง · ลบตัดกัน
  3. $\sqrt{9-x^2}=2$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
  4. $9-x^2=4$2² = 42² = 4
  5. $9=4+x^2$move x²ย้าย x²
  6. $5=x^2$move the 4ย้าย 4
  7. $a=\sqrt5$a > 0: positive roota > 0: เอารากบวก
  8. $\sqrt5=3\cos2b$P is on the curveP อยู่บนเส้นโค้ง
  9. $\dfrac{\sqrt5}3=\cos2b$cos 2b on its ownเหลือ cos 2b
  10. $2b=\arccos\dfrac{\sqrt5}3$arccos "arc-cos": the angle with this cosarccos คือมุมที่มีค่า cos เท่านี้
  11. $b=\dfrac12\arccos\dfrac{\sqrt5}3$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นยำ

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. Use x_{n+1} = 1/2 − 1/(3cos xₙ) with x₁ = 0.2 (radians). Find x₂ to 4 d.p.ใช้ x_{n+1} = 1/2 − 1/(3cos xₙ) โดย x₁ = 0.2 (เรเดียน) · หา x₂ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: 0.15993cos 0.2 ≈ 2.9402, 1 ÷ 2.9402 ≈ 0.3401, then 0.5 − 0.3401.3cos 0.2 ≈ 2.9402 · 1 ÷ 2.9402 ≈ 0.3401 · แล้ว 0.5 − 0.3401
  2. A model is H = 100e^(−0.1t) + 50. Find t when H = 75, to 2 d.p.แบบจำลอง H = 100e^(−0.1t) + 50 · หา t เมื่อ H = 75 ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: 13.86100e^(−0.1t) = 25, so e^(−0.1t) = 1/4 and t = 10 ln 4.100e^(−0.1t) = 25 · e^(−0.1t) = 1/4 · t = 10 ln 4
  3. Solve |3x − 9| − 1 = 5x.แก้สมการ |3x − 9| − 1 = 5x
    Answer:เฉลย: 1Left arm: −3x + 9 − 1 = 5x, so 8 = 8x. The right arm gives x = −5, which is not on it.แขนซ้าย: −3x + 9 − 1 = 5x จึงได้ 8 = 8x · แขนขวาได้ x = −5 ซึ่งไม่อยู่บนแขนขวา
  4. The lowest value of f(x) is −4, and f has no highest value. Find the largest value of g(x) = −3f(x).ค่าต่ำสุดของ f(x) คือ −4 และ f ไม่มีค่าสูงสุด · หาค่ามากที่สุดของ g(x) = −3f(x)
    Answer:เฉลย: 12f(x) ≥ −4. Times −3 flips the sign: g(x) ≤ 12.f(x) ≥ −4 · คูณ −3 กลับเครื่องหมาย: g(x) ≤ 12

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี