Edexcel IAL Pure 3 WMA13 June 2025: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA13 Pure 3 · June 2025WMA13 Pure 3 · มิ.ย. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 3 (WMA13) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Functions: gf, range, inverse · 8 marksข้อ 1 · ฟังก์ชัน: gf · เรนจ์ · อินเวอร์ส · 8 คะแนน

Answer: 15/4; 0 ≤ f(x) < 2/3; f⁻¹(x) = x/(2 − 3x); x = 0, x = 1/3คำตอบ: 15/4; 0 ≤ f(x) < 2/3; f⁻¹(x) = x/(2 − 3x); x = 0, x = 1/3

Q1(a) Value of gf(1)Q1(a) ค่าของ gf(1)

Two functions are given by $\text{f}(x)=\dfrac{2x}{3x+1}$ for $x\in\mathbb{R},\ x\ge0$, and $\text{g}(x)=4-x^2$ for $x\in\mathbb{R},\ x\ge0$.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Find the value of $\text{gf}(1)$. [2]

$\text{f}(1)=\dfrac{2}{3+1}$f first: put x = 1ทำ f ก่อน: แทน x = 1
$=\dfrac12$2 ÷ 42 ÷ 4
$\text{gf}(1)=\text{g}(\tfrac12)$then g of thatแล้วเอาไปใส่ g
$=4-\tfrac14$(½)² = ¼(½)² = ¼
$=\dfrac{15}4$answerคำตอบ

Q1(b) Range of fQ1(b) เรนจ์ของ f

$\text{f}(0)=0$the smallest x is 0x ที่เล็กสุดคือ 0
$\text{f}(x)=\dfrac23-\dfrac2{9x+3}$split off 2/3 · same top over 9x + 3แยก 2/3 ออก · รวมกลับได้ตัวเดิม
$\dfrac2{9x+3}\gt0$positive for every x ≥ 0เป็นบวกทุก x ≥ 0
$\text{f}(x)\lt\dfrac23$f climbs towards 2/3, never reaches itf เพิ่มเข้าหา 2/3 แต่ไม่ถึง
$0\le\text{f}(x)\lt\dfrac23$answerคำตอบ

Q1(c) The inverseQ1(c) ฟังก์ชันอินเวอร์ส

$y=\dfrac{2x}{3x+1}$write y = f(x)เขียน y = f(x)
$3xy+y=2x$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
$3xy-2x=-y$x terms on the leftพจน์ x ไว้ซ้าย
$x(3y-2)=-y$take out xดึง x ออก
$x=\dfrac{-y}{3y-2}$x is the subjectx เป็นตัวหลัก
$=\dfrac{y}{2-3y}$times −1 on top and bottomคูณ −1 ทั้งบนและล่าง
$\text{f}^{-1}(x)=\dfrac{x}{2-3x}$answer · rename y as xคำตอบ · เปลี่ยน y เป็น x

Q1(d) Solve f⁻¹(x) = f(x)Q1(d) แก้ f⁻¹(x) = f(x)

$\dfrac{x}{2-3x}=\dfrac{2x}{3x+1}$set the two equalให้สองตัวเท่ากัน
$\dfrac{x(3x+1)}{2-3x}=2x$clear one bottomกำจัดตัวส่วนแรก
$x(3x+1)=2x(2-3x)$clear the other bottomกำจัดตัวส่วนที่สอง
$3x^2+x=4x-6x^2$expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
$9x^2-3x=0$all on the leftย้ายทั้งหมดไปซ้าย
$3x(3x-1)=0$take out 3xดึง 3x ออก
$x=0$first answerคำตอบแรก
$x=\dfrac13$second answer · both are in the domainคำตอบที่สอง · อยู่ในโดเมนทั้งคู่

3. Q2 · R cos(x + α) and a minimum · 7 marksข้อ 2 · R cos(x + α) และค่าต่ำสุด · 7 คะแนน

Answer: f(x) = 25 cos(x + 1.287); 1/33; x = 0.927คำตอบ: f(x) = 25 cos(x + 1.287); 1/33; x = 0.927

Q2(a) Write f as R cos(x + α)Q2(a) เขียน f ในรูป R cos(x + α)

$\text{f}(x)=7\cos x-24\sin x$
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Write $\text{f}(x)$ as $R\cos(x+\alpha)$, where $R$ and $\alpha$ are constants with $R\gt0$ and $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$. Give $R$ exactly, and $\alpha$ in radians to 3 d.p. [3]

$R\cos\alpha=7$expand cos(x + α) · match the cos x termsกระจาย cos(x + α) · เทียบพจน์ cos x
$R\sin\alpha=24$match the sin x termsเทียบพจน์ sin x
$R^2=7^2+24^2$square and add · cos² + sin² = 1ยกกำลังสองแล้วบวก · cos² + sin² = 1
$=625$49 + 57649 + 576
$R=25$R > 0R > 0
$\tan\alpha=\dfrac{24}7$divide: sin ÷ cosหาร: sin ÷ cos
$\alpha=\tan^{-1}\dfrac{24}7$inverse tan · radiansใช้ tan⁻¹ · หน่วยเรเดียน
$\alpha\approx1.287$3 d.p.ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$\text{f}(x)=25\cos(x+\alpha)$answer · α ≈ 1.287คำตอบ · α ≈ 1.287

Q2(b)(i) Least value of gQ2(b)(i) ค่าต่ำสุดของ g

$\text{f}(x)=7\cos x-24\sin x$
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b)(i) $\text{g}(x)=\dfrac{5}{90-3\text{f}(2x)}$. Using (a): $\text{f}(x)=25\cos(x+\alpha)$ with $\alpha\approx1.287$, find the least value of $\text{g}(x)$ as a fraction in its simplest form. (Part (b) is 4 marks in all.) [2]

$\text{f}(2x)=25\cos(2x+\alpha)$put 2x in place of xแทน x ด้วย 2x
$-25\le\text{f}(2x)\le25$cos is between −1 and 1cos อยู่ระหว่าง −1 กับ 1
$\text{f}(2x)=-25$g is least when its bottom is largestg น้อยสุดเมื่อตัวส่วนมากสุด
$\text{g}=\dfrac{5}{90-3(-25)}$substituteแทนค่า
$=\dfrac5{165}$90 + 7590 + 75
$=\dfrac1{33}$answer · ÷ 5 top and bottomคำตอบ · ÷ 5 ทั้งบนและล่าง

Q2(b)(ii) Where the least value happensQ2(b)(ii) ค่าต่ำสุดเกิดที่ไหน

$\text{f}(x)=7\cos x-24\sin x$
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b)(ii) With $\alpha\approx1.287$ from (a), find the smallest positive $x$ where this least value happens. Answer to 3 d.p. (Part (b) is 4 marks in all.) [2]

$\cos(2x+\alpha)=-1$f(2x) = −25f(2x) = −25
$2x+\alpha=\pi$first angle above α where cos = −1มุมแรกที่เกิน α ซึ่ง cos = −1
$2x=\pi-\alpha$move αย้าย α
$x=\dfrac{\pi-\alpha}2$x on its ownได้ x
$\approx\dfrac{\pi-1.2870}2$α to 4 d.p.: 1.2870ใช้ α ทศนิยม 4 ตำแหน่ง: 1.2870
$\approx0.927$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

4. Q3 · Log graph to y = px^q · 5 marksข้อ 3 · กราฟลอการิทึม สู่ y = px^q · 5 คะแนน

Answer: log₁₀y = −(4/7) log₁₀x − 2; y = (1/100) x^(−4/7)คำตอบ: log₁₀y = −(4/7) log₁₀x − 2; y = (1/100) x^(−4/7)

Q3(a) Equation of the lineQ3(a) สมการเส้นตรง

Figure 1 shows a straight line on axes $\log_{10}x$ (across) and $\log_{10}y$ (up). The line goes through $(-3.5,\ 0)$ and $(0,\ -2)$.
(a) Find an equation that links $\log_{10}y$ and $\log_{10}x$. [2]

$X=\log_{10}x$call the across axis Xเรียกแกนนอนว่า X
$Y=\log_{10}y$and the up axis Yและแกนตั้งว่า Y
$m=\dfrac{-2-0}{0-(-3.5)}$gradient: change in Y ÷ change in Xความชัน: Y เปลี่ยน ÷ X เปลี่ยน
$=-\dfrac{2}{3.5}$down 2 for 3.5 acrossลง 2 เมื่อไปขวา 3.5
$=-\dfrac47$2 ÷ 3.5 = 4/72 ÷ 3.5 = 4/7
$Y=-\dfrac47X-2$cuts the Y axis at −2ตัดแกน Y ที่ −2
$\log_{10}y=-\dfrac47\log_{10}x-2$answerคำตอบ

Q3(b) Write y as px^qQ3(b) เขียน y ในรูป px^q

Figure 1 shows a straight line on axes $\log_{10}x$ (across) and $\log_{10}y$ (up). The line goes through $(-3.5,\ 0)$ and $(0,\ -2)$.
(b) Using (a): $\log_{10}y=-\dfrac47\log_{10}x-2$, or another way, write $y$ as $px^q$, where $p$ and $q$ are rational constants. [3]

$\log_{10}y=-\tfrac47\log_{10}x-2$from (a)จากข้อ (a)
$-\tfrac47\log_{10}x=\log_{10}x^{-\frac47}$log rule: k log x = log xᵏกฎ log: k log x = log xᵏ
$\log_{10}y=\log_{10}x^{-\frac47}-2$put it inแทนลงไป
$\log_{10}\dfrac{y}{x^{-\frac47}}=-2$log a − log b = log(a/b)log a − log b = log(a/b)
$\dfrac{y}{x^{-\frac47}}=10^{-2}$10 to the power of each sideยก 10 กำลังทั้งสองข้าง
$y=10^{-2}x^{-\frac47}$times x^(−4/7)คูณ x^(−4/7)
$=\dfrac1{100}x^{-\frac47}$10⁻² = 1/10010⁻² = 1/100
$p=\dfrac1{100}$answerคำตอบ
$q=-\dfrac47$answerคำตอบ

5. Q4 · Algebraic fractions, then f′ · 5 marksข้อ 4 · เศษส่วนพีชคณิต แล้วหา f′ · 5 คะแนน

Answer: f(x) = 7x/(x − 3) (shown); f′(x) = −21/(x − 3)²คำตอบ: f(x) = 7x/(x − 3) (shown); f′(x) = −21/(x − 3)²

Q4(a) Show f(x) = 7x/(x − 3)Q4(a) แสดงว่า f(x) = 7x/(x − 3)

$\text{f}(x)=\dfrac{49x}{x^2+x-12}+\dfrac{7x}{x+4}$, for $x\gt3$.
(a) Show that $\text{f}(x)=\dfrac{7x}{x-3}$, for $x\gt3$. [3]

$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$factorise the first bottomแยกตัวประกอบตัวส่วนแรก
$N=49x+7x(x-3)$N: the top over (x + 4)(x − 3)N: ตัวเศษเมื่อตัวส่วนเป็น (x + 4)(x − 3)
$\text{f}(x)=\dfrac{N}{(x+4)(x-3)}$one fraction, common bottomรวมเป็นเศษส่วนเดียว ตัวส่วนร่วม
$N=49x+7x^2-21x$expand the topกระจายตัวเศษ
$=7x^2+28x$49x − 21x = 28x49x − 21x = 28x
$=7x(x+4)$take out 7xดึง 7x ออก
$\text{f}(x)=\dfrac{7x(x+4)}{(x+4)(x-3)}$put N backแทน N กลับ
$\text{f}(x)=\dfrac{7x}{x-3}$cancel (x + 4) · shownตัด (x + 4) · ได้ตามที่โจทย์ให้

Q4(b) Find f′(x)Q4(b) หา f′(x)

$\text{f}(x)=\dfrac{49x}{x^2+x-12}+\dfrac{7x}{x+4}$, for $x\gt3$.
(b) Using $\text{f}(x)=\dfrac{7x}{x-3}$, find $\text{f}'(x)$ in its simplest form. [2]

$u=7x$topตัวเศษ
$u'=7$differentiate the topดิฟตัวเศษ
$v=x-3$bottomตัวส่วน
$v'=1$differentiate the bottomดิฟตัวส่วน
$\text{f}'(x)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
$=\dfrac{7(x-3)-7x}{(x-3)^2}$substituteแทนค่า
$\text{f}'(x)=-\dfrac{21}{(x-3)^2}$answer · 7x − 21 − 7x = −21คำตอบ · 7x − 21 − 7x = −21

6. Q5 · Two integrals · 4 marksข้อ 5 · อินทิกรัลสองข้อ · 4 คะแนน

Answer: x/2 − (1/12) sin 6x + c; (1/5)(x² + 4)^(5/2) + cคำตอบ: x/2 − (1/12) sin 6x + c; (1/5)(x² + 4)^(5/2) + c

Q5(i) Integral of sin²3xQ5(i) อินทิกรัลของ sin²3x

Find each integral.
(i) $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$ [2]

$1-2\sin^2A=\cos2A$double angle formula for cosสูตรมุมสองเท่าของ cos
$-2\sin^2A=\cos2A-1$move the 1ย้าย 1
$\sin^2A=\dfrac{1-\cos2A}2$divide by −2หาร −2
$\sin^23x=\dfrac{1-\cos6x}2$A = 3xA = 3x
$=\tfrac12-\tfrac12\cos6x$two termsแยกเป็นสองพจน์
$I=\int\sin^23x\,dx$I is the integral · use the row aboveI คืออินทิกรัลนี้ · ใช้บรรทัดบน
$\int\tfrac12\,dx=\tfrac12x$first termพจน์แรก
$\int\cos6x\,dx=\tfrac16\sin6x$second term · cos 6x → (1/6) sin 6xพจน์ที่สอง · cos 6x → (1/6) sin 6x
$\tfrac12\times\tfrac16=\tfrac1{12}$the ½ in front of cos 6x½ ที่อยู่หน้า cos 6x
$I=\eqalign{&\tfrac12x\cr&-\tfrac1{12}\sin6x+c}$answerคำตอบ

Q5(ii) Reverse chain ruleQ5(ii) ย้อนกฎลูกโซ่

Find each integral.
(ii) $\displaystyle\int x(x^2+4)^{\frac32}\,dx$ [2]

$u=x^2+4$u is the inside of the bracketu คือของในวงเล็บ
$\dfrac{du}{dx}=2x$differentiate uดิฟ u
$x\,dx=\tfrac12\,du$x dx is what the integral holdsอินทิกรัลมี x dx อยู่แล้ว
$I=\int\tfrac12u^{\frac32}\,du$everything in uเขียนทั้งหมดเป็น u
$=\tfrac12\times\tfrac25u^{\frac52}+c$power up 1 · ÷ 5/2เพิ่มกำลัง 1 · ÷ 5/2
$=\tfrac15u^{\frac52}+c$½ × 2/5 = 1/5½ × 2/5 = 1/5
$I=\eqalign{&\tfrac15(x^2+4)^{\frac52}\cr&+c}$answer · u back to x² + 4คำตอบ · เปลี่ยน u กลับเป็น x² + 4

7. Q6 · Exponential cooling model · 8 marksข้อ 6 · แบบจำลองการเย็นตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล · 8 คะแนน

Answer: A = 54; k = 0.521; T = 2.19คำตอบ: A = 54; k = 0.521; T = 2.19

Q6(a) Find AQ6(a) หา A

A computer is switched off. $t$ minutes later, the temperature of its processor is $\theta$°C, where $\theta=21+Ae^{-kt}$ and $A$ and $k$ are positive constants.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) At the moment it was switched off, the processor was at 75°C. Find $A$. [2]

$21+Ae^{0}=75$θ = 75 when t = 0θ = 75 เมื่อ t = 0
$A+21=75$e⁰ = 1e⁰ = 1
$A=75-21$move the 21ย้าย 21
$=54$answerคำตอบ

Q6(b) Find kQ6(b) หา k

A computer is switched off. $t$ minutes later, the temperature of its processor is $\theta$°C, where $\theta=21+Ae^{-kt}$ and $A$ and $k$ are positive constants.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b) With $A=54$ from (a): the temperature falls from 75°C to 25°C in 5 minutes. Find $k$. Answer to 3 s.f. [3]

$54e^{-5k}+21=25$θ = 25 when t = 5θ = 25 เมื่อ t = 5
$54e^{-5k}=4$move the 21ย้าย 21
$e^{-5k}=\dfrac2{27}$4 ÷ 54 = 2/274 ÷ 54 = 2/27
$-5k=\ln\dfrac2{27}$ln of both sides · ln eᵃ = aใส่ ln ทั้งสองข้าง · ln eᵃ = a
$k=-\dfrac15\ln\dfrac2{27}$exact kk แบบค่าแม่นยำ
$\approx0.521$answer · 3 s.f.คำตอบ · 3 ตำแหน่งสำคัญ

Q6(c) When it cools at 9°C per minuteQ6(c) เมื่อเย็นลงนาทีละ 9°C

A computer is switched off. $t$ minutes later, the temperature of its processor is $\theta$°C, where $\theta=21+Ae^{-kt}$ and $A$ and $k$ are positive constants.
Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(c) With $\theta=21+54e^{-kt}$ and $k\approx0.521$ from (b): at time $T$ minutes the temperature is falling at 9°C per minute. Use the model to find $T$. Answer to 2 d.p. [3]

$\dfrac{d\theta}{dt}=-54ke^{-kt}$differentiate · e^(−kt) gives −k e^(−kt)ดิฟ · e^(−kt) ได้ −k e^(−kt)
$-54ke^{-kT}=-9$falling at 9 per minute: rate −9ลดลงนาทีละ 9: อัตรา −9
$e^{-kT}=\dfrac{1}{6k}$9 ÷ 54 = 1/69 ÷ 54 = 1/6
$-kT=-\ln(6k)$ln of both sides · ln(1/a) = −ln aใส่ ln ทั้งสองข้าง · ln(1/a) = −ln a
$T=\dfrac{\ln(6k)}{k}$T on its ownได้ T
$6k\approx3.1232$k unrounded: 0.52054ใช้ k ไม่ปัด: 0.52054
$\ln(6k)\approx1.13887$ln of thatln ของค่านั้น
$T\approx\dfrac{1.13887}{0.52054}$substituteแทนค่า
$\approx2.19$answer · 2 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

8. Q7 · Stationary point and iteration · 9 marksข้อ 7 · จุดคงที่และการทำซ้ำ · 9 คะแนน

Answer: x = (1/3) arctan(3/(2x)) (shown); x₂ = 0.4367; x₄ = 0.4307; sign change of h on [0.4295, 0.4305], so x = 0.430 (3 d.p.)คำตอบ: x = (1/3) arctan(3/(2x)) (shown); x₂ = 0.4367; x₄ = 0.4307; sign change of h on [0.4295, 0.4305], so x = 0.430 (3 d.p.)

Q7(a) Show the arctan equationQ7(a) แสดงสมการ arctan

The curve $y=e^{-x^2}\sin3x$, for $0\le x\le\dfrac{\pi}{3}$, is continuous. It has a stationary point at $P$.
(a) Use calculus to show that the $x$ coordinate of $P$ satisfies $x=\dfrac13\arctan\left(\dfrac{3}{2x}\right)$. [4]

$u=e^{-x^2}$product rule: y = uvกฎผลคูณ: y = uv
$u'=-2xe^{-x^2}$chain ruleกฎลูกโซ่
$v=\sin3x$the second factorตัวคูณที่สอง
$v'=3\cos3x$chain ruleกฎลูกโซ่
$uv'=3u\cos3x$first product · u = e^(−x²)ผลคูณแรก · u = e^(−x²)
$vu'=-2xu\sin3x$second productผลคูณที่สอง
$uv'+vu'=0$dy/dx = uv′ + vu′ = 0 at Pที่ P: dy/dx = uv′ + vu′ = 0
$3u\cos3x=2xu\sin3x$uv′ = −vu′uv′ = −vu′
$3\cos3x=2x\sin3x$u = e^(−x²) is never 0u = e^(−x²) ไม่เคยเป็น 0
$\dfrac{3}{2x}=\tan3x$sin ÷ cos = tansin ÷ cos = tan
$3x=\arctan\left(\dfrac{3}{2x}\right)$tan 3x > 0, so 3x is the acute angletan 3x > 0 · 3x เป็นมุมแหลม
$x=\tfrac13\arctan\dfrac{3}{2x}$shownได้ตามที่โจทย์ให้

Q7(b)(i) First iterate x₂Q7(b)(i) ค่าทำซ้ำ x₂

The curve $y=e^{-x^2}\sin3x$, for $0\le x\le\dfrac{\pi}{3}$, is continuous. It has a stationary point at $P$.
(b)(i) Use $x_{n+1}=\dfrac13\arctan\left(\dfrac{3}{2x_n}\right)$ with $x_1=0.4$ to find $x_2$. Answer to 4 d.p. (Part (b) is 3 marks in all.) [2]

$3x_2=\arctan\dfrac{3}{2x_1}$n = 1 · times both sides by 3n = 1 · คูณ 3 ทั้งสองข้าง
$=\arctan3.75$x₁ = 0.4: 3 ÷ 0.8x₁ = 0.4: 3 ÷ 0.8
$\approx1.31019$radiansโหมดเรเดียน
$x_2\approx0.4367$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

Q7(b)(ii) Find x₄Q7(b)(ii) หา x₄

The curve $y=e^{-x^2}\sin3x$, for $0\le x\le\dfrac{\pi}{3}$, is continuous. It has a stationary point at $P$.
(b)(ii) With $x_2\approx0.4367$ from (i), keep using the same formula to find $x_4$. Answer to 4 d.p. (Part (b) is 3 marks in all.) [1]

$3x_3=\arctan\dfrac{3}{2x_2}$use x₂ unrounded (ANS key)ใช้ x₂ ไม่ปัด (ปุ่ม ANS)
$\approx1.28747$radiansโหมดเรเดียน
$x_3\approx0.42916$x₃x₃
$3x_4=\arctan\dfrac{3}{2x_3}$one more timeทำอีกครั้ง
$\approx1.29214$radiansโหมดเรเดียน
$x_4\approx0.4307$answer · 4 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง

Q7(c) Show x = 0.430 to 3 d.p.Q7(c) แสดงว่า x = 0.430 (3 ตำแหน่ง)

The curve $y=e^{-x^2}\sin3x$, for $0\le x\le\dfrac{\pi}{3}$, is continuous. It has a stationary point at $P$.
(c) Pick a function you name and a narrow interval that suit the job. Use them to show that $P$ has $x$ coordinate 0.430 to 3 d.p. [2]

$w=\dfrac{3}{2x}$w names the fractionw แทนเศษส่วนนี้
$h(x)=3x-\arctan w$h is 0 at P (3 × the formula gap)h เป็น 0 ที่ P (3 เท่าของผลต่างสูตร)
$0.4295\le x\le0.4305$the interval around 0.430ช่วงรอบ 0.430
$h(0.4295)\approx-3.42\times10^{-3}$lower end · negativeปลายล่าง · ติดลบ
$h(0.4305)\approx1.92\times10^{-4}$upper end · positiveปลายบน · เป็นบวก
$0.4295\lt x_P\lt0.4305$x_P: x of P · sign change, h continuousx_P: ค่า x ของ P · เครื่องหมายเปลี่ยน และ h ต่อเนื่อง
$x_P\approx0.430$answer · 3 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

9. Q8 · tan 3x identity, then solve · 8 marksข้อ 8 · เอกลักษณ์ tan 3x แล้วแก้สมการ · 8 คะแนน

Answer: proved; θ = 0.37, 0.72, 1.42คำตอบ: proved; θ = 0.37, 0.72, 1.42

Q8(a) Prove the tan 3x identityQ8(a) พิสูจน์เอกลักษณ์ tan 3x

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(a) Prove the identity $\tan3x\equiv\dfrac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}$, for $x\ne(2n+1)\dfrac{\pi}{6}$, $n\in\mathbb{Z}$. [3]

$t=\tan x$t is short for tan xt แทน tan x
$\tan3x=\tan(2x+x)$write 3x as 2x + xเขียน 3x เป็น 2x + x
$=\dfrac{\tan2x+t}{1-t\tan2x}$tan(A + B) formulaสูตร tan(A + B)
$\tan2x=\dfrac{2t}{1-t^2}$double angle formulaสูตรมุมสองเท่า
$\tan3x=\dfrac{\frac{2t}{1-t^2}+t}{1-\frac{2t}{1-t^2}\,t}$put it inแทนลงไป
$=\dfrac{2t+t(1-t^2)}{1-t^2-2t^2}$times top and bottom by 1 − t²คูณ 1 − t² ทั้งบนและล่าง
$=\dfrac{3t-t^3}{1-3t^2}$collect like termsรวมพจน์ที่เหมือนกัน
$\tan3x=\dfrac{\eqalign{&3\tan x\cr&-\tan^3x}}{1-3\tan^2x}$t back to tan x · provedเปลี่ยน t กลับเป็น tan x · พิสูจน์แล้ว

Q8(b) Solve for θQ8(b) แก้หา θ

Show every stage of your working. An answer that depends only on a calculator scores no marks.
(b) Using (a), solve $\dfrac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}=2\sec^23\theta-8$ for $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$. Answers to 2 d.p. [5]

$\tan3\theta=2\sec^23\theta-8$by (a), the left side is tan 3θจากข้อ (a) ฝั่งซ้ายคือ tan 3θ
$\sec^23\theta=1+\tan^23\theta$identityเอกลักษณ์
$u=\tan3\theta$u is short for tan 3θu แทน tan 3θ
$u=2(1+u^2)-8$substituteแทนค่า
$u=2u^2-6$expandกระจาย
$0=2u^2-u-6$quadratic in uสมการกำลังสองของ u
$0=(2u+3)(u-2)$factoriseแยกตัวประกอบ
$u=2$first rootรากแรก
$u=-\dfrac32$second rootรากที่สอง
$0\lt3\theta\lt\dfrac{3\pi}2$the range for 3θช่วงของ 3θ
$3\theta\approx1.1071$tan 3θ = 2: arctan 2tan 3θ = 2: arctan 2
$\theta\approx0.37$first value · 2 d.p.ค่าแรก · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
$3\theta\approx4.2487$1.1071 + π · still below 3π/21.1071 + π · ยังไม่เกิน 3π/2
$\theta\approx1.42$second value · 2 d.p.ค่าที่สอง · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
$3\theta\approx\pi-0.9828$tan 3θ = −3/2: arctan 1.5 ≈ 0.9828tan 3θ = −3/2: arctan 1.5 ≈ 0.9828
$3\theta\approx2.1588$tan < 0: second quadrant · 2π − 0.9828 is too bigtan < 0: จตุภาคที่สอง · 2π − 0.9828 เกินช่วง
$\theta\approx0.72$third value · 2 d.p.ค่าที่สาม · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
$\theta\approx\eqalign{&0.37,\ 0.72,\cr&1.42}$answer · all three, in orderคำตอบ · ครบสามค่า เรียงลำดับ

10. Q9 · A curve given as x in terms of y · 11 marksข้อ 9 · เส้นโค้งที่ให้ x เป็นฟังก์ชันของ y · 11 คะแนน

Answer: A: y = π/4; B: y = 7π/12; (dy/dx)² = 1/(4 − 9x²): p = 4, q = 9; x = 2π/9คำตอบ: A: y = π/4; B: y = 7π/12; (dy/dx)² = 1/(4 − 9x²): p = 4, q = 9; x = 2π/9

Q9(a) y at A and at BQ9(a) ค่า y ที่ A และ B

$x=0$A and B are on the y-axisA และ B อยู่บนแกน y
$\sin(3y+\tfrac\pi4)=0$(2/3) × sin = 0(2/3) × sin = 0
$\tfrac\pi2\lt3y+\tfrac\pi4\lt\tfrac{5\pi}2$from π/12 < y < 3π/4จาก π/12 < y < 3π/4
$3y+\tfrac\pi4=\pi$first angle where sin = 0มุมแรกที่ sin = 0
$3y=\tfrac{3\pi}4$move π/4ย้าย π/4
$y_A=\dfrac\pi4$answer · the lower pointคำตอบ · จุดล่าง
$3y+\tfrac\pi4=2\pi$second angle where sin = 0มุมที่สองที่ sin = 0
$3y=\tfrac{7\pi}4$move π/4ย้าย π/4
$y_B=\dfrac{7\pi}{12}$answer · the higher pointคำตอบ · จุดบน

Q9(b) Show (dy/dx)² = 1/(p − qx²)Q9(b) แสดง (dy/dx)² = 1/(p − qx²)

Figure 2 sketches the curve $C$: $x=\dfrac23\sin\left(3y+\dfrac{\pi}{4}\right)$, for $\dfrac{\pi}{12}\lt y\lt\dfrac{3\pi}{4}$. $C$ crosses the $y$-axis at $A$ (lower) and at $B$ (higher).
(b) Show that $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2=\dfrac{1}{p-qx^2}$, where $p$ and $q$ are integers. Find $p$ and $q$. [4]

$\phi=3y+\tfrac\pi4$φ “phi” names the angleφ อ่านว่า ฟาย · ตั้งชื่อมุม
$x=\tfrac23\sin\phi$the curveสมการเส้นโค้ง
$\dfrac{dx}{dy}=2\cos\phi$chain rule: (2/3) × 3 = 2กฎลูกโซ่: (2/3) × 3 = 2
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\cos\phi}$dy/dx = 1 ÷ dx/dydy/dx = 1 ÷ dx/dy
$\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2=\dfrac1{4\cos^2\phi}$squareยกกำลังสอง
$=\dfrac{1}{4(1-\sin^2\phi)}$cos² = 1 − sin²cos² = 1 − sin²
$\sin\phi=\dfrac{3x}2$from x = (2/3) sin φจาก x = (2/3) sin φ
$\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2=\dfrac1{4(1-\frac{9x^2}4)}$sin²φ = 9x²/4sin²φ = 9x²/4
$=\dfrac1{4-9x^2}$multiply out the 4คูณ 4 เข้าไป
$p=4$answerคำตอบ
$q=9$answerคำตอบ

Q9(c) Where the normal and tangent meetQ9(c) จุดที่เส้นแนวฉากกับเส้นสัมผัสตัดกัน

Figure 2 sketches the curve $C$: $x=\dfrac23\sin\left(3y+\dfrac{\pi}{4}\right)$, for $\dfrac{\pi}{12}\lt y\lt\dfrac{3\pi}{4}$. $C$ crosses the $y$-axis at $A$ (lower) and at $B$ (higher).
(c) The normal to $C$ at $A$ and the tangent to $C$ at $B$ meet at $D$. Using (b): $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2=\dfrac{1}{4-9x^2}$, the sketch in Figure 2, and from (a): $A(0,\ \tfrac{\pi}{4})$, $B(0,\ \tfrac{7\pi}{12})$, find the exact $x$ coordinate of $D$ in its simplest form. [4]

$x=0$at A and at Bที่ A และที่ B
$\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2=\dfrac14$put x = 0 in (b)แทน x = 0 ในข้อ (b)
$\dfrac{dy}{dx}=\pm\dfrac12$square rootถอดรากที่สอง
$m_A=-\dfrac12$m_A: gradient at A · C goes up to the leftm_A: ความชันที่ A · จากรูป เส้นโค้งขึ้นไปทางซ้าย
$m_B=\dfrac12$m_B: gradient at B · C goes up to the rightm_B: ความชันที่ B · เส้นโค้งขึ้นไปทางขวา
$m_N=2$m_N: normal at A · −1 ÷ (−1/2)m_N: ความชันเส้นแนวฉากที่ A · −1 ÷ (−1/2)
$y=2x+\dfrac\pi4$normal through A(0, π/4)เส้นแนวฉากผ่าน A(0, π/4)
$y=\dfrac12x+\dfrac{7\pi}{12}$tangent through B(0, 7π/12)เส้นสัมผัสผ่าน B(0, 7π/12)
$2x+\dfrac\pi4=\dfrac12x+\dfrac{7\pi}{12}$D is on both linesD อยู่บนทั้งสองเส้น
$\dfrac32x=\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}$π/4 = 3π/12π/4 = 3π/12
$\dfrac32x=\dfrac\pi3$4π/12 = π/34π/12 = π/3
$x=\dfrac{2\pi}9$answerคำตอบ

11. Q10 · Modulus graph with a constant k · 10 marksข้อ 10 · กราฟค่าสัมบูรณ์ที่มีค่าคงตัว k · 10 คะแนน

Answer: 10 + k; P(10/k, k); x ≤ (10 − k)/k or x ≥ (10 + k)/k; 3 < k < 6คำตอบ: 10 + k; P(10/k, k); x ≤ (10 − k)/k or x ≥ (10 + k)/k; 3 < k < 6

Q10(a)(i) y coordinate of AQ10(a)(i) พิกัด y ของ A

Figure 3 sketches part of $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=|kx-10|+k$ for $x\in\mathbb{R}$, with the constant $k\gt0$. It meets the $y$-axis at $A$, and its vertex is $P$.
(a)(i) In terms of $k$, in simplest form, find the $y$ coordinate of $A$. (Part (a) is 3 marks in all.) [1]

$x=0$A is on the y-axisA อยู่บนแกน y
$y=|0-10|+k$substitute x = 0แทน x = 0
$=10+k$answer · |−10| = 10คำตอบ · |−10| = 10

Q10(a)(ii) Coordinates of PQ10(a)(ii) พิกัดของ P

Figure 3 sketches part of $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=|kx-10|+k$ for $x\in\mathbb{R}$, with the constant $k\gt0$. It meets the $y$-axis at $A$, and its vertex is $P$.
(a)(ii) In terms of $k$, in simplest form, find the coordinates of $P$. (Part (a) is 3 marks in all.) [2]

$kx-10=0$vertex: the inside of | | is 0จุดยอด: ค่าใน | | เป็น 0
$kx=10$move the 10ย้าย 10
$x=\dfrac{10}k$x of Px ของ P
$y=0+k$the modulus is 0 thereค่าสัมบูรณ์เป็น 0 ที่จุดนั้น
$=k$y of Py ของ P
$P=\left(\dfrac{10}k,\ k\right)$answerคำตอบ

Q10(b) Solve the inequalityQ10(b) แก้อสมการ

Figure 3 sketches part of $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=|kx-10|+k$ for $x\in\mathbb{R}$, with the constant $k\gt0$. It meets the $y$-axis at $A$, and its vertex is $P$.
(b) In terms of $k$, find the set of values of $x$ for which $|kx-10|+k\ge2k$. [3]

$|kx-10|+k\ge2k$the inequalityอสมการที่โจทย์ให้
$|kx-10|\ge k$move the kย้าย k
$kx-10\ge k$right arm: the inside is k or moreแขนขวา: ค่าข้างในตั้งแต่ k ขึ้นไป
$kx\ge10+k$move the 10ย้าย 10
$x\ge\dfrac{10+k}k$answer, part 1 · k > 0 keeps ≥คำตอบส่วนที่ 1 · k > 0 เครื่องหมายไม่กลับ
$kx-10\le-k$left arm: the inside is −k or lessแขนซ้าย: ค่าข้างในไม่เกิน −k
$kx\le10-k$move the 10ย้าย 10
$x\le\dfrac{10-k}k$answer, part 2คำตอบส่วนที่ 2
$x\le\eqalign{&\dfrac{10-k}k\ \text{or}\cr&x\ge\dfrac{10+k}k}$answer · either part worksคำตอบ · ส่วนใดส่วนหนึ่งก็ได้

Q10(c) Two crossings with y = 3x + 1Q10(c) ตัดเส้น y = 3x + 1 สองจุด

Figure 3 sketches part of $y=\text{f}(x)$, where $\text{f}(x)=|kx-10|+k$ for $x\in\mathbb{R}$, with the constant $k\gt0$. It meets the $y$-axis at $A$, and its vertex is $P$.
(c) The line $y=3x+1$ crosses the graph of $y=\text{f}(x)$ at two different points. With $P\left(\dfrac{10}{k},\ k\right)$ from (a), find the range of possible values of $k$. [4]

$k\gt3$right arm (gradient k) steeper than 3, or it never meets the lineแขนขวา (ความชัน k) ต้องชันกว่า 3 ไม่งั้นไม่ตัดเส้นตรง
$k\lt3\times\dfrac{10}k+1$P below the line, or at most 1 crossingP ต้องอยู่ใต้เส้นตรง ไม่งั้นตัดไม่เกิน 1 จุด
$k^2\lt30+k$k > 0: the sign staysk > 0: เครื่องหมายไม่กลับ
$k^2-k-30\lt0$all on the leftย้ายทั้งหมดไปซ้าย
$(k+5)(k-6)\lt0$factorise · k = 6: the line goes through P, 1 crossingแยกตัวประกอบ · k = 6: เส้นตรงผ่าน P ตัดจุดเดียว
$-5\lt k\lt6$between the rootsอยู่ระหว่างราก
$3\lt k\lt6$answer · with k > 3คำตอบ · รวมกับ k > 3

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

h(x) = 5cos x − 12 sin x = R cos(x + β), R > 0. Find R.h(x) = 5cos x − 12 sin x = R cos(x + β) โดย R > 0 · จงหา R
Answer:เฉลย: 13R² = 5² + 12² = 169, so R = 13.R² = 5² + 12² = 169 · R = 13
A graph of log₁₀y against log₁₀x is a straight line through (−2, 0) and (0, −4). y = px^q. Find q.กราฟ log₁₀y กับ log₁₀x เป็นเส้นตรงผ่าน (−2, 0) และ (0, −4) · y = px^q · จงหา q
Answer:เฉลย: -2q is the gradient: (−4 − 0) ÷ (0 − (−2)) = −2.q คือความชัน: (−4 − 0) ÷ (0 − (−2)) = −2
θ = 20 + Ae^(−kt). At t = 0, θ = 90. Find A.θ = 20 + Ae^(−kt) · เมื่อ t = 0 θ = 90 · จงหา A
Answer:เฉลย: 70e⁰ = 1, so 90 = 20 + A and A = 70.e⁰ = 1 · 90 = 20 + A · A = 70
Solve tan 3θ = 1 for 0 < θ < π/6. Answer in radians to 2 d.p.แก้ tan 3θ = 1 เมื่อ 0 < θ < π/6 · ตอบเป็นเรเดียน ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: 0.263θ = arctan 1 = π/4, so θ = π/12 ≈ 0.26.3θ = arctan 1 = π/4 · θ = π/12 ≈ 0.26
f(x) = |2x − 10| + 2. Find the y coordinate where y = f(x) meets the y-axis.f(x) = |2x − 10| + 2 · จงหาพิกัด y ของจุดที่กราฟตัดแกน y
Answer:เฉลย: 12Put x = 0: |−10| + 2 = 12.แทน x = 0: |−10| + 2 = 12

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี