Edexcel IAL Pure 4 WMA14 January 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA14 Pure 4 · January 2024WMA14 Pure 4 · ม.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 4 (WMA14) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Binomial series · 4 marksข้อ 1 · อนุกรมทวินาม · 4 คะแนน

Answer: 1 + 12x + 96x² + 640x³คำตอบ: 1 + 12x + 96x² + 640x³

Q1 Expand to the x³ termQ1 กระจายถึงพจน์ x³

Expand $(1-4x)^{-3}$, valid for $|x|\lt\dfrac14$, as a binomial series in increasing powers of $x$. Give the terms up to $x^3$, each one in its simplest form. [4]

$n=-3$the power · use (1 + z)ⁿกำลัง · ใช้สูตร (1 + z)ⁿ
$z=-4x$the term after the 1 · keep its minus signพจน์หลังเลข 1 · เก็บเครื่องหมายลบไว้
$T_1=nz$x term: n times zพจน์ x: n คูณ z
$=(-3)(-4x)$substituteแทนค่า
$=12x$two minus signs give plusลบคูณลบได้บวก
$c_2=\dfrac{n(n-1)}{2!}$x² coefficient · 2! = 2 × 1สัมประสิทธิ์ของ x² · 2! = 2 × 1
$=\dfrac{(-3)(-4)}{2}$substitute n = −3แทน n = −3
$=6$12 ÷ 212 ÷ 2
$z^2=16x^2$(−4x)² = 16x²(−4x)² = 16x²
$T_2=6(16x^2)$coefficient times z²สัมประสิทธิ์คูณ z²
$=96x^2$6 × 16 = 966 × 16 = 96
$D=n(n-1)(n-2)$name the top of the x³ coefficient Dตั้งชื่อตัวบนของสัมประสิทธิ์ x³ ว่า D
$c_3=\dfrac{D}{3!}$x³ coefficient · 3! = 6สัมประสิทธิ์ของ x³ · 3! = 6
$(-3)(-4)=12$D with n = −3: first two bracketsD เมื่อ n = −3: สองวงเล็บแรก
$12\times(-5)=-60$times n − 2 = −5, so D = −60คูณ n − 2 = −5 จึงได้ D = −60
$c_3=\dfrac{-60}{6}$substitute the topแทนตัวบน
$=-10$−60 ÷ 6−60 ÷ 6
$z^3=-64x^3$(−4x)³: an odd power keeps the minus(−4x)³ กำลังคี่เครื่องหมายลบยังอยู่
$T_3=c_3z^3$coefficient times z³สัมประสิทธิ์คูณ z³
$=10\times64x^3$(−10)(−64x³): minus times minus(−10)(−64x³): ลบคูณลบได้บวก
$=640x^3$10 × 64 = 64010 × 64 = 640
$U=T_2+T_3$U = the x² and x³ terms togetherU = พจน์ x² กับ x³ รวมกัน
$=96x^2+640x^3$from the rows aboveจากบรรทัดข้างบน
$S=1+T_1+U$the expansion, up to x³ผลกระจาย ถึงพจน์ x³
$S=1+12x+U$answer, U = 96x² + 640x³ · valid for |x| < ¼คำตอบ U = 96x² + 640x³ · ใช้ได้เมื่อ |x| < ¼

3. Q2 · Partial fractions and a log integral · 10 marksข้อ 2 · เศษส่วนย่อยและอินทิกรัลที่ได้ ln · 10 คะแนน

Answer: A = 2/5, B = −4/5, C = −1; (2/5) ln(6/5) − 1/75คำตอบ: A = 2/5, B = −4/5, C = −1; (2/5) ln(6/5) − 1/75

Q2(a) Find A, B and CQ2(a) หา A, B และ C

The fraction $\dfrac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}$ can be split as $\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+\dfrac{C}{(2x+1)^2}$, where $A$, $B$ and $C$ are constants.
(a) Work out $A$, $B$ and $C$. [4]

$3x+4=P+Q+R$times both sides by the bottom (x − 2)(2x + 1)²คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วน (x − 2)(2x + 1)²
$P=A(2x+1)^2$A loses its (x − 2)A เหลือ (2x + 1)²
$Q=\eqalign{&B(x-2)\cr&\times(2x+1)}$B loses one (2x + 1)B หายไปหนึ่ง (2x + 1)
$R=C(x-2)$C loses (2x + 1)²C หายไป (2x + 1)²
$x=2$x = 2 makes Q and R zerox = 2 ทำให้ Q กับ R เป็นศูนย์
$3(2)+4=A(5)^2$substitute: 2(2) + 1 = 5แทนค่า 2(2) + 1 = 5
$10=25A$work out each sideคิดแต่ละข้าง
$A=\dfrac{2}{5}$10 ÷ 2510 ÷ 25
$x=-\tfrac12$x = −½ makes P and Q zerox = −½ ทำให้ P กับ Q เป็นศูนย์
$3(-\tfrac12)+4=C(-\tfrac52)$substitute: −½ − 2 = −5/2แทนค่า −½ − 2 = −5/2
$\tfrac52=-\tfrac52C$work out the leftคิดข้างซ้าย
$C=-1$divide both sidesหารทั้งสองข้าง
$4A+2B=0$x² terms: 4A from P, 2B from Q · the left has no x²พจน์ x²: 4A จาก P, 2B จาก Q · ข้างซ้ายไม่มี x²
$\tfrac85+2B=0$put A = 2/5แทน A = 2/5
$2B=-\tfrac85$move 8/5 acrossย้าย 8/5 ไปอีกข้าง
$B=-\dfrac{4}{5}$answer: A = 2/5, B = −4/5, C = −1คำตอบ A = 2/5, B = −4/5, C = −1

Q2(b) The exact integralQ2(b) อินทิกรัลค่าแม่นตรง

The fraction $\dfrac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}$ can be split as $\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+\dfrac{C}{(2x+1)^2}$, where $A$, $B$ and $C$ are constants.
(b) Using $A=\dfrac25$, $B=-\dfrac45$ and $C=-1$, find the exact value of $\displaystyle\int_7^{12}\dfrac{3x+4}{(x-2)(2x+1)^2}\,dx$. Write it as $p\ln q+r$, with $p$, $q$ and $r$ rational. [6]

$I=\int_7^{12}F\,dx$F = the fraction, split as in (a)F = เศษส่วนที่แยกแล้วในข้อ (a)
$\int\dfrac{1}{x-2}dx=\ln(x-2)$one over a line gives lnหนึ่งส่วนเส้นตรง ได้ ln
$\int\dfrac{1}{2x+1}dx=\tfrac12\ln(2x+1)$the ½ undoes the 2 in 2x½ หักล้างเลข 2 ใน 2x
$\int\dfrac{1}{(2x+1)^2}dx=\dfrac{-1}{2(2x+1)}$power −2 goes to −1, then ÷ (−1) ÷ 2กำลัง −2 เป็น −1 แล้ว ÷ (−1) ÷ 2
$L_1=\ln(x-2)$name the first logตั้งชื่อ log ตัวแรก
$L_2=\ln(2x+1)$name the second logตั้งชื่อ log ตัวที่สอง
$H=\tfrac25(L_1-L_2)$A = 2/5 · B × ½ = −2/5A = 2/5 · B × ½ = −2/5
$K=\dfrac{1}{4x+2}$C = −1 times −1/(2(2x + 1))C = −1 คูณ −1/(2(2x + 1))
$G=H+K$G = the integral, before the limitsG = ผลอินทิเกรต ก่อนใส่ขอบเขต
$H=\tfrac25\ln\dfrac{x-2}{2x+1}$log law: ln a − ln b = ln(a ÷ b)กฎ log: ln a − ln b = ln(a ÷ b)
$H(12)=\tfrac25\ln\tfrac{10}{25}$x = 12: 12 − 2 = 10, 24 + 1 = 25x = 12: 12 − 2 = 10, 24 + 1 = 25
$H(7)=\tfrac25\ln\tfrac{5}{15}$x = 7: 7 − 2 = 5, 14 + 1 = 15x = 7: 7 − 2 = 5, 14 + 1 = 15
$\tfrac{10}{25}\div\tfrac{5}{15}=\tfrac25\times3$top minus bottom: divide the insidesบนลบล่าง: เอาค่าข้างในมาหารกัน
$=\tfrac65$simplifyทำให้เป็นอย่างง่าย
$\Delta H=\tfrac25\ln\tfrac65$H(12) − H(7) · Δ “delta” = the changeH(12) − H(7) · Δ “เดลตา” = ผลต่าง
$K(12)=\tfrac{1}{50}$x = 12: 48 + 2 = 50x = 12: 48 + 2 = 50
$K(7)=\tfrac{1}{30}$x = 7: 28 + 2 = 30x = 7: 28 + 2 = 30
$\Delta K=\tfrac{1}{50}-\tfrac{1}{30}$top limit minus bottom limitขอบบนลบขอบล่าง
$=\tfrac{3-5}{150}$common bottom 150ตัวส่วนร่วม 150
$=-\tfrac{1}{75}$−2 ÷ 150−2 ÷ 150
$I=\Delta H+\Delta K$add the two changesรวมผลต่างทั้งสอง
$I=\tfrac25\ln\tfrac65-\tfrac{1}{75}$answer: p = 2/5, q = 6/5, r = −1/75คำตอบ p = 2/5, q = 6/5, r = −1/75

4. Q3 · Implicit differentiation · 9 marksข้อ 3 · การดิฟโดยปริยาย · 9 คะแนน

Answer: dy/dx = (8x − y²)/(2xy + 3); (i) p = 1/2 · (ii) k = 7คำตอบ: dy/dx = (8x − y²)/(2xy + 3); (i) p = 1/2 · (ii) k = 7

Q3(a) Find dy/dxQ3(a) หา dy/dx

The curve $C$ is $y^2x+3y=4x^2+k$ for $y\gt0$, where $k$ is a constant. A sketch shows $C$: it falls to a lowest point $P$ just right of the $y$-axis, then rises.
(a) Work out $\dfrac{dy}{dx}$ as an expression in $x$ and $y$. [5]

$y^2x+3y=4x^2+k$the curve · y depends on xสมการเส้นโค้ง · y ขึ้นกับ x
$y'=\dfrac{dy}{dx}$write y′ (“y dash”) for dy/dxเขียน y′ (อ่านว่า “วายแดช”) แทน dy/dx
$(y^2x)'=2xyy'+y^2$product rule: y² gives 2y y′, x gives 1กฎผลคูณ: y² ได้ 2y y′ และ x ได้ 1
$(3y)'=3y'$chain ruleกฎลูกโซ่
$(4x^2+k)'=8x$k is a constant, it gives 0k เป็นค่าคงที่ ได้ 0
$P=2xyy'+3y'$name the two y′ terms Pตั้งชื่อสองพจน์ที่มี y′ ว่า P
$P+y^2=8x$differentiate both sidesดิฟทั้งสองข้าง
$P=8x-y^2$keep the y′ terms on the leftเก็บพจน์ที่มี y′ ไว้ข้างซ้าย
$y'(2xy+3)=8x-y^2$take y′ out as a factorดึง y′ ออกเป็นตัวร่วม
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{8x-y^2}{2xy+3}$answerคำตอบ

Q3(b) Find p and kQ3(b) หา p และ k

The curve $C$ is $y^2x+3y=4x^2+k$ for $y\gt0$, where $k$ is a constant. A sketch shows $C$: it falls to a lowest point $P$ just right of the $y$-axis, then rises.
(b) Using $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{8x-y^2}{2xy+3}$: $P(p,2)$ is on $C$, with $p$ a constant, and $P$ is the minimum turning point of $C$. Find (i) $p$, (ii) $k$. [4]

$8x-y^2=0$turning point: dy/dx = 0, so the top is 0จุดวกกลับ: dy/dx = 0 ตัวเศษจึงเป็น 0
$8p-4=0$at P: x = p and y = 2ที่ P: x = p และ y = 2
$8p=4$move the 4 acrossย้าย 4 ไปอีกข้าง
$p=\tfrac12$answer (i)คำตอบ (i)
$y^2x+3y=4x^2+k$P is on CP อยู่บน C
$y^2x+3y-4x^2=k$move 4x² acrossย้าย 4x² ไปอีกข้าง
$y^2x=4\times\tfrac12$x = ½, y = 2x = ½, y = 2
$=2$first termพจน์แรก
$3y=6$second termพจน์ที่สอง
$4x^2=1$4 × ¼4 × ¼
$2+6-1=k$put the three terms inแทนทั้งสามพจน์
$k=7$answer (ii)คำตอบ (ii)

5. Q4 · Cone: connected rates · 5 marksข้อ 4 · กรวย: อัตราการเปลี่ยนแปลงที่สัมพันธ์กัน · 5 คะแนน

Answer: l = √(25 + r²); 81.5 cm² per minuteคำตอบ: l = √(25 + r²); 81.5 cm² per minute

Q4(a) l in terms of rQ4(a) l ในรูปของ r

A cone has a fixed height of 5 cm, a base radius of $r$ cm and a slant height of $l$ cm.
(a) Write $l$ as an expression in $r$. [1]

$l^2=5^2+r^2$Pythagoras: l is the longest sideพีทาโกรัส: l เป็นด้านที่ยาวที่สุด
$l^2=25+r^2$5² = 255² = 25
$l=\sqrt{25+r^2}$answer · square root, a length is positiveคำตอบ · ถอดรากที่สอง ความยาวเป็นบวก

Q4(b) Rate of change of the areaQ4(b) อัตราการเปลี่ยนของพื้นที่ผิว

A cone has a fixed height of 5 cm, a base radius of $r$ cm and a slant height of $l$ cm.
(b) Using $l=\sqrt{25+r^2}$: the base radius grows at a steady 3 cm per minute. The total surface area is $S=\pi r^2+\pi rl$. At the moment when $r=1.5$ cm, how fast is $S$ changing? Answer in cm² per minute, to 1 d.p. [4]

$S=\pi r^2+\pi rl$total surface area, givenพื้นที่ผิวทั้งหมด โจทย์ให้มา
$l=(25+r^2)^{\frac12}$from (a), as a powerจากข้อ (a) เขียนเป็นเลขยกกำลัง
$\dfrac{dl}{dr}=\dfrac{r}{\sqrt{25+r^2}}$chain rule: ½ × 2r = rกฎลูกโซ่: ½ × 2r = r
$\dfrac{d}{dr}(\pi r^2)=2\pi r$the baseส่วนฐาน
$\dfrac{d}{dr}(\pi rl)=\pi l+\pi r\dfrac{dl}{dr}$product rule: l changes with r tooกฎผลคูณ: l เปลี่ยนตาม r ด้วย
$r=1.5$the moment asked aboutช่วงเวลาที่โจทย์ถาม
$l=\sqrt{25+2.25}$from (a): 1.5² = 2.25จากข้อ (a): 1.5² = 2.25
$\approx5.2202$keep 4 d.p.เก็บทศนิยม 4 ตำแหน่ง
$\dfrac{dl}{dr}=\dfrac{1.5}{5.2202}$substituteแทนค่า
$\approx0.28735$keep 5 d.p.เก็บทศนิยม 5 ตำแหน่ง
$2r=3$the base term, without πพจน์ของฐาน ยังไม่คูณ π
$r\dfrac{dl}{dr}=1.5\times0.28735$the last term, without πพจน์สุดท้าย ยังไม่คูณ π
$\approx0.4310$4 d.p.ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
$\dfrac{dS}{dr}\approx8.6512\pi$π × (3 + 5.2202 + 0.4310)π × (3 + 5.2202 + 0.4310)
$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$chain rule for ratesกฎลูกโซ่ของอัตรา
$\approx8.6512\pi\times3$dr/dt = 3 cm per minutedr/dt = 3 ซม. ต่อนาที
$\approx81.536$calculatorใช้เครื่องคิดเลข
$\dfrac{dS}{dt}\approx81.5$answer: cm² per minute, 1 d.p.คำตอบ: ตร.ซม. ต่อนาที ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

6. Q5 · Parts and a differential equation · 9 marksข้อ 5 · อินทิเกรตทีละส่วนและสมการเชิงอนุพันธ์ · 9 คะแนน

Answer: ½x² sin 2x + ½x cos 2x − ¼ sin 2x + c; y³ = ½t³ + ¾t² sin 2t + ¾t cos 2t − ⅜ sin 2t + cคำตอบ: ½x² sin 2x + ½x cos 2x − ¼ sin 2x + c; y³ = ½t³ + ¾t² sin 2t + ¾t cos 2t − ⅜ sin 2t + c

Q5(a) Integrate x² cos 2xQ5(a) อินทิเกรต x² cos 2x

(a) Work out $\displaystyle\int x^2\cos2x\,dx$. [4]

$I=\int x^2\cos2x\,dx$I = the integral asked forI = อินทิกรัลที่โจทย์ถาม
$\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$integration by partsอินทิเกรตทีละส่วน
$u=x^2$x² gets simpler when differentiatedx² ดิฟแล้วง่ายลง
$v'=\cos2x$the part to integrateส่วนที่จะอินทิเกรต
$u'=2x$differentiate uดิฟ u
$v=\tfrac12\sin2x$integrate cos 2x: ÷ 2อินทิเกรต cos 2x แล้ว ÷ 2
$I=\tfrac12x^2\sin2x-J$uv, then take away Juv แล้วลบด้วย J
$J=\int x\sin2x\,dx$u′v = 2x × ½ sin 2xu′v = 2x × ½ sin 2x
$u=x$parts again, same directionทีละส่วนอีกครั้ง ทิศเดิม
$v'=\sin2x$the part to integrateส่วนที่จะอินทิเกรต
$u'=1$differentiate uดิฟ u
$v=-\tfrac12\cos2x$integrate sin 2xอินทิเกรต sin 2x
$J=-\tfrac12x\cos2x+K$uv, then minus ∫u′v: minus times minusuv แล้วลบ ∫u′v: ลบคูณลบ
$K=\tfrac12\int\cos2x\,dx$u′v = 1 × ½ cos 2xu′v = 1 × ½ cos 2x
$=\tfrac14\sin2x$integrate: ÷ 2 againอินทิเกรต ÷ 2 อีกครั้ง
$T_1=\tfrac12x^2\sin2x$first term of Iพจน์แรกของ I
$T_2=\tfrac12x\cos2x$−J gives +½ x cos 2x−J ให้ +½ x cos 2x
$T_3=\tfrac14\sin2x$−J gives −¼ sin 2x−J ให้ −¼ sin 2x
$I=T_1+T_2-T_3+c$answerคำตอบ

Q5(b) Solve the differential equationQ5(b) แก้สมการเชิงอนุพันธ์

(b) From (a), $\displaystyle\int x^2\cos2x\,dx=I$, where
$I=\tfrac12x^2\sin2x+\tfrac12x\cos2x$
$\quad\;-\tfrac14\sin2x+c$.
Solve $\dfrac{dy}{dt}=\left(\dfrac{t\cos t}{y}\right)^2$. Write the answer as $y^n=\mathrm{f}(t)$, where $n$ is an integer. [5]

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{t^2\cos^2t}{y^2}$square out the bracketยกกำลังสองในวงเล็บ
$y^2\dfrac{dy}{dt}=t^2\cos^2t$y on one side, t on the othery อยู่ข้างหนึ่ง t อยู่อีกข้าง
$\int y^2\,dy=\int t^2\cos^2t\,dt$separate, then integrate both sidesแยกตัวแปร แล้วอินทิเกรตทั้งสองข้าง
$\int y^2\,dy=\tfrac13y^3$left side: power + 1ข้างซ้าย: กำลัง + 1
$\cos^2t=\tfrac12(1+\cos2t)$double angle formulaสูตรมุมสองเท่า
$M=\tfrac12t^2$times t²: first pieceคูณ t²: ส่วนแรก
$N=\tfrac12t^2\cos2t$times t²: second pieceคูณ t²: ส่วนที่สอง
$t^2\cos^2t=M+N$t² × ½(1 + cos 2t)t² × ½(1 + cos 2t)
$\int M\,dt=\tfrac16t^3$power + 1กำลัง + 1
$\int N\,dt=\tfrac12I$I = the answer to (a), with t for xI = คำตอบข้อ (a) ใช้ t แทน x
$\tfrac13y^3=\tfrac16t^3+\tfrac12I+c$put both sides togetherรวมทั้งสองข้าง
$y^3=\tfrac12t^3+\tfrac32I+c$times 3 · 3c is still a constant, call it cคูณ 3 · 3c ยังเป็นค่าคงที่ เรียกว่า c
$Q_1=\tfrac34t^2\sin2t$3/2 × T₁3/2 × T₁
$Q_2=\tfrac34t\cos2t$3/2 × T₂3/2 × T₂
$Q_3=\tfrac38\sin2t$3/2 × T₃3/2 × T₃
$Q=Q_1+Q_2-Q_3$Q = 3/2 × I · the signs of (a) stayQ = 3/2 × I · เครื่องหมายเหมือนข้อ (a)
$y^3=\tfrac12t^3+Q+c$answer: n = 3, with Q aboveคำตอบ: n = 3 โดย Q ตามบรรทัดบน

7. Q6 · Vector lines · 14 marksข้อ 6 · เส้นตรงในรูปเวกเตอร์ · 14 คะแนน

Answer: p = −23/2; −4j + k; 69.0°; (22/3, −13/6, 14/3)คำตอบ: p = −23/2; −4j + k; 69.0°; (22/3, −13/6, 14/3)

Q6(a) Find pQ6(a) หา p

$3+2\lambda=8+4\mu$i parts equal · λ “lambda”, μ “mu”ส่วน i เท่ากัน · λ “แลมบ์ดา”, μ “มิว”
$p-5\lambda=-2+\mu$j parts equalส่วน j เท่ากัน
$7+4\lambda=5+2\mu$k parts equalส่วน k เท่ากัน
$6+4\lambda=16+8\mu$double ①คูณ ① ด้วย 2
$1=-11-6\mu$③ − 2 × ①: the λ terms cancel③ − 2 × ①: พจน์ λ หักล้างกัน
$12=-6\mu$move −11 acrossย้าย −11 ไปอีกข้าง
$\mu=-2$divide by −6หารด้วย −6
$3+2\lambda=0$μ = −2 in ①: 8 − 8 = 0แทน μ = −2 ใน ①: 8 − 8 = 0
$2\lambda=-3$move the 3 acrossย้าย 3 ไปอีกข้าง
$\lambda=-\tfrac32$divide by 2หารด้วย 2
$-5\lambda=\tfrac{15}{2}$the λ part of ②ส่วน λ ใน ②
$-2+\mu=-4$the right side of ②ข้างขวาของ ②
$p+\tfrac{15}{2}=-4$put both into ②แทนทั้งสองค่าใน ②
$p=-\tfrac{23}{2}$answer · −4 − 7.5 = −11.5คำตอบ · −4 − 7.5 = −11.5

Q6(b) The meeting pointQ6(b) จุดตัด

$O$ is a fixed origin. Line $l_1$ is $\mathbf{r}=(3\mathbf{i}+p\mathbf{j}+7\mathbf{k})+\lambda(2\mathbf{i}-5\mathbf{j}+4\mathbf{k})$ and line $l_2$ is $\mathbf{r}=(8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+5\mathbf{k})+\mu(4\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$. $\lambda$ and $\mu$ are scalar parameters and $p$ is a constant. The two lines meet.
(b) From (a), $\mu=-2$ and $\lambda=-\tfrac32$. Write down the position vector of the point where the lines meet. [2]

$\mu=-2$from (a)จากข้อ (a)
$\mathbf{r}=\eqalign{&(8+4\mu,\cr&-2+\mu,\cr&5+2\mu)}$any point of l₂จุดใดๆ บน l₂
$=\eqalign{&(8-8,\cr&-2-2,\cr&5-4)}$put μ = −2 in each partแทน μ = −2 ทีละส่วน
$=(0,-4,1)$work out each partคิดแต่ละส่วน
$\overrightarrow{OX}=-4\mathbf{j}+\mathbf{k}$answer · X = where the lines meetคำตอบ · X = จุดที่เส้นตัดกัน

Q6(c) Acute angle between the linesQ6(c) มุมแหลมระหว่างสองเส้น

$O$ is a fixed origin. Line $l_1$ is $\mathbf{r}=(3\mathbf{i}+p\mathbf{j}+7\mathbf{k})+\lambda(2\mathbf{i}-5\mathbf{j}+4\mathbf{k})$ and line $l_2$ is $\mathbf{r}=(8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+5\mathbf{k})+\mu(4\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$. $\lambda$ and $\mu$ are scalar parameters and $p$ is a constant. The two lines meet.
(c) Work out the acute angle between $l_1$ and $l_2$, in degrees, to 1 d.p. [3]

$\mathbf{a}=(2,-5,4)$direction of l₁ทิศของ l₁
$\mathbf{b}=(4,1,2)$direction of l₂ทิศของ l₂
$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=8-5+8$dot product: multiply matching parts, addผลคูณจุด: คูณส่วนที่ตรงกันแล้วบวก
$=11$addบวก
$|\mathbf{a}|=\sqrt{4+25+16}$length of aความยาวของ a
$=\sqrt{45}$addบวก
$|\mathbf{b}|=\sqrt{16+1+4}$length of bความยาวของ b
$=\sqrt{21}$addบวก
$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$angle between two directionsมุมระหว่างสองทิศ
$=\dfrac{11}{\sqrt{945}}$√45 × √21 = √945√45 × √21 = √945
$\approx0.35783$calculatorใช้เครื่องคิดเลข
$\theta\approx69.033^\circ$cos⁻¹ (“cos inverse”), degree modeใช้ cos⁻¹ (อ่านว่า คอสอินเวิร์ส) โหมดองศา
$\theta\approx69.0^\circ$answer · 1 d.p. · cos θ > 0, so it is acuteคำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง · cos θ > 0 จึงเป็นมุมแหลม

Q6(d) The point BQ6(d) จุด B

$O$ is a fixed origin. Line $l_1$ is $\mathbf{r}=(3\mathbf{i}+p\mathbf{j}+7\mathbf{k})+\lambda(2\mathbf{i}-5\mathbf{j}+4\mathbf{k})$ and line $l_2$ is $\mathbf{r}=(8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+5\mathbf{k})+\mu(4\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$. $\lambda$ and $\mu$ are scalar parameters and $p$ is a constant. The two lines meet.
(d) Using $p=-\tfrac{23}{2}$: $A$ is the point on $l_1$ where $\lambda=2$. $B$ is a point on $l_2$, and $\overrightarrow{AB}$ is perpendicular to $l_2$. Work out the coordinates of $B$. [5]

$\lambda=2$A is on l₁A อยู่บน l₁
$\overrightarrow{OA}=\eqalign{&(3+4,\cr&p-10,\cr&7+8)}$λ = 2 into l₁: 2 × 2, −5 × 2, 4 × 2แทน λ = 2 ใน l₁: 2 × 2, −5 × 2, 4 × 2
$=(7,-\tfrac{43}{2},15)$p = −23/2, and −23/2 − 10 = −43/2p = −23/2 และ −23/2 − 10 = −43/2
$\overrightarrow{OB}=\eqalign{&(8+4\mu,\cr&-2+\mu,\cr&5+2\mu)}$B is on l₂B อยู่บน l₂
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$end minus startปลายลบต้น
$=\eqalign{&(1+4\mu,\cr&\tfrac{39}{2}+\mu,\cr&-10+2\mu)}$part by partทีละส่วน
$\overrightarrow{AB}\cdot\mathbf{b}=0$perpendicular to l₂: dot product 0ตั้งฉากกับ l₂: ผลคูณจุดเป็น 0
$4(1+4\mu)=4+16\mu$i parts, × 4ส่วน i คูณ 4
$1(\tfrac{39}{2}+\mu)=\tfrac{39}{2}+\mu$j parts, × 1ส่วน j คูณ 1
$2(-10+2\mu)=-20+4\mu$k parts, × 2ส่วน k คูณ 2
$21\mu+\tfrac72=0$add: 16 + 1 + 4 = 21 · 4 + 39/2 − 20 = 7/2รวม: 16 + 1 + 4 = 21 · 4 + 39/2 − 20 = 7/2
$21\mu=-\tfrac72$move 7/2 acrossย้าย 7/2 ไปอีกข้าง
$\mu=-\tfrac16$divide by 21หารด้วย 21
$\overrightarrow{OB}=\eqalign{&(8-\tfrac23,\cr&-2-\tfrac16,\cr&5-\tfrac13)}$put μ = −1/6 into l₂แทน μ = −1/6 ใน l₂
$=\eqalign{&(\tfrac{22}{3},\cr&-\tfrac{13}{6},\cr&\tfrac{14}{3})}$work out each partคิดแต่ละส่วน
$B=\eqalign{&(\tfrac{22}{3},-\tfrac{13}{6},\cr&\ \tfrac{14}{3})}$answerคำตอบ

8. Q7 · Substitution and volume of revolution · 8 marksข้อ 7 · การแทนค่าและปริมาตรจากการหมุน · 8 คะแนน

Answer: (1/8)(e^{2π} − 1), shown; (9/2)π(e^{2π} − 1)คำตอบ: (1/8)(e^{2π} − 1), shown; (9/2)π(e^{2π} − 1)

Q7(a) Show the integralQ7(a) แสดงค่าอินทิกรัล

(a) Use the substitution $u=4x+2\sin2x$ (or another method) to prove that $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{4x+2\sin2x}\cos^2x\,dx=\dfrac18\left(e^{2\pi}-1\right)$. [5]

$u=4x+2\sin2x$the substitutionตัวแปรที่จะแทน
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^u\cos^2x\,dx$I = the integral · e^(4x + 2 sin 2x) = eᵘI = อินทิกรัลนี้ · e^(4x + 2 sin 2x) = eᵘ
$\dfrac{du}{dx}=4+4\cos2x$differentiate: 2 sin 2x gives 4 cos 2xดิฟ: 2 sin 2x ได้ 4 cos 2x
$\cos2x=2\cos^2x-1$double angle formulaสูตรมุมสองเท่า
$\dfrac{du}{dx}=4+8\cos^2x-4$substitute itแทนลงไป
$=8\cos^2x$the 4s cancel4 หักล้างกัน
$\dfrac{du}{dx}=8\cos^2x$from the two rows aboveจากสองบรรทัดข้างบน
$du=8\cos^2x\,dx$times both sides by dxคูณ dx ทั้งสองข้าง
$\tfrac18du=\cos^2x\,dx$so cos² x dx becomes du ÷ 8cos² x dx จึงกลายเป็น du ÷ 8
$u(0)=0$x = 0: 0 + 2 sin 0x = 0: 0 + 2 sin 0
$u(\tfrac{\pi}{2})=2\pi$x = π/2: 2π + 2 sin πx = π/2: 2π + 2 sin π
$I=\int_0^{2\pi}\tfrac18e^u\,du$the integral in u, new limitsอินทิกรัลในรูป u ขอบเขตใหม่
$=\tfrac18\left[e^u\right]_0^{2\pi}$eᵘ integrates to itselfeᵘ อินทิเกรตได้ตัวเดิม
$=\tfrac18(e^{2\pi}-e^0)$top limit minus bottom limitขอบบนลบขอบล่าง
$=\tfrac18(e^{2\pi}-1)$e⁰ = 1 · showne⁰ = 1 · ได้ตามที่โจทย์ให้แสดง

Q7(b) Volume of the solidQ7(b) ปริมาตรของทรงตัน

(b) The curve $y=6e^{2x+\sin2x}\cos x$ is sketched. Region $R$ lies between the curve, the positive $x$-axis and the positive $y$-axis. $R$ is turned through $2\pi$ radians about the $x$-axis to make a solid. Using (a), $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{4x+2\sin2x}\cos^2x\,dx=\dfrac18\left(e^{2\pi}-1\right)$, find its volume in its simplest form. [3]

$V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}y^2\,dx$volume when turned about the x-axisปริมาตรเมื่อหมุนรอบแกน x
$y^2=36e^{u}\cos^2x$6² = 36 · (e^(2x + sin 2x))² = e^(4x + 2 sin 2x) = eᵘ6² = 36 · (e^(2x + sin 2x))² = e^(4x + 2 sin 2x) = eᵘ
$V=36\pi I$I = the integral in (a)I = อินทิกรัลในข้อ (a)
$=36\pi\times\tfrac18(e^{2\pi}-1)$use (a)ใช้ผลข้อ (a)
$=\tfrac92\pi(e^{2\pi}-1)$answer · 36 ÷ 8 = 9/2คำตอบ · 36 ÷ 8 = 9/2

9. Q8 · Proof by contradiction · 4 marksข้อ 8 · การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง · 4 คะแนน

Answer: Proof: dy/dx = 0 would need sin x = 2 + 3x² ≥ 2, but sin x ≤ 1คำตอบ: Proof: dy/dx = 0 would need sin x = 2 + 3x² ≥ 2, but sin x ≤ 1

Q8 No stationary pointsQ8 ไม่มีจุดคงตัว

Prove by contradiction that the curve $y=2x+x^3+\cos x$ has no stationary points. [4]

$y=2x+x^3+\cos x$the curveเส้นโค้ง
$\dfrac{dy}{dx}=2+3x^2-\sin x$differentiate: cos x gives −sin xดิฟ: cos x ได้ −sin x
$\dfrac{dy}{dx}=0$assume: there is a stationary point at some xสมมติว่ามีจุดคงตัวที่ค่า x หนึ่ง
$2+3x^2-\sin x=0$at that xที่ค่า x นั้น
$2+3x^2=\sin x$move sin x acrossย้าย sin x ไปอีกข้าง
$3x^2\ge0$a square is never negative · ≥ “at least”กำลังสองไม่เป็นลบ · ≥ “มากกว่าหรือเท่ากับ”
$2+3x^2\ge2$add 2บวก 2
$\sin x\ge2$so sin x would be at least 2sin x จึงต้องมีค่าอย่างน้อย 2
$\sin x\le1$but sin x is never more than 1 · contradictionแต่ sin x ไม่เกิน 1 · ขัดแย้งกัน
$\dfrac{dy}{dx}\ne0$the assumption is false, so dy/dx is never 0 · the curve has no stationary pointsข้อสมมติผิด dy/dx จึงไม่เป็น 0 เลย · เส้นโค้งไม่มีจุดคงตัว

10. Q9 · Parametric curve · 12 marksข้อ 9 · เส้นโค้งอิงตัวแปรเสริม · 12 คะแนน

Answer: dy/dx = √3 sec²(t + π/3) ÷ (sec t tan t); y = 2x − 7; A = 3, B = 4คำตอบ: dy/dx = √3 sec²(t + π/3) ÷ (sec t tan t); y = 2x − 7; A = 3, B = 4

Q9(a) Find dy/dxQ9(a) หา dy/dx

$x=\sec t$sec “secant” = 1 ÷ cossec (อ่านว่า “เซค”) = 1 ÷ cos
$\dfrac{dx}{dt}=\sec t\tan t$derivative of sec tอนุพันธ์ของ sec t
$w=t+\tfrac{\pi}{3}$name the inside wตั้งชื่อข้างในว่า w
$y=\sqrt3\tan w$the y equationสมการ y
$\dfrac{dy}{dt}=\sqrt3\sec^2w$tan gives sec² · dw/dt = 1tan ได้ sec² · dw/dt = 1
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\div\dfrac{dx}{dt}$chain rule for parametersกฎลูกโซ่ของสมการอิงตัวแปรเสริม
$=\dfrac{\sqrt3\sec^2w}{\sec t\tan t}$answer, with w = t + π/3คำตอบ โดย w = t + π/3

Q9(b) The tangentQ9(b) เส้นสัมผัส

The curve $C$ is given by $x=\sec t$, $y=\sqrt3\tan\left(t+\dfrac{\pi}{3}\right)$ for $\dfrac{\pi}{6}\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$. A sketch shows $C$ below the $x$-axis, to the right of the $y$-axis.
(b) Using $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sqrt3\sec^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}{\sec t\tan t}$, find the tangent to $C$ at the point where $t=\dfrac{\pi}{3}$, written as $y=mx+c$ with $m$ and $c$ constants. [4]

$t=\tfrac{\pi}{3}$the point asked aboutจุดที่โจทย์ถาม
$x=\sec\tfrac{\pi}{3}$x at this tค่า x ที่ t นี้
$=2$1 ÷ cos(π/3) = 1 ÷ ½1 ÷ cos(π/3) = 1 ÷ ½
$y=\sqrt3\tan\tfrac{2\pi}{3}$π/3 + π/3 = 2π/3π/3 + π/3 = 2π/3
$=\sqrt3(-\sqrt3)$tan(2π/3) = −√3tan(2π/3) = −√3
$=-3$the point is (2, −3)จุดคือ (2, −3)
$\sec^2\tfrac{2\pi}{3}=4$cos(2π/3) = −½, so sec² = 4cos(2π/3) = −½ จึง sec² = 4
$\sec\tfrac{\pi}{3}\tan\tfrac{\pi}{3}=2\sqrt3$2 × √32 × √3
$m=\dfrac{\sqrt3\times4}{2\sqrt3}$gradient from (a)ความชันจากข้อ (a)
$=2$the √3 cancels√3 หักล้างกัน
$y-y_1=m(x-x_1)$line through (2, −3)เส้นตรงผ่าน (2, −3)
$y+3=2(x-2)$substituteแทนค่า
$y+3=2x-4$expandกระจาย
$y=2x-7$answerคำตอบ

Q9(c) A Cartesian equationQ9(c) สมการคาร์ทีเซียน

The curve $C$ is given by $x=\sec t$, $y=\sqrt3\tan\left(t+\dfrac{\pi}{3}\right)$ for $\dfrac{\pi}{6}\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$. A sketch shows $C$ below the $x$-axis, to the right of the $y$-axis.
(c) Prove that every point of $C$ fits $y=\dfrac{Ax^2+B\sqrt{3x^2-3}}{4-3x^2}$, and find the constants $A$ and $B$. [5]

$T=\tan t$name T = tan tตั้งชื่อ T = tan t
$\tan(t+\tfrac{\pi}{3})=\dfrac{T+\sqrt3}{1-\sqrt3T}$compound angle formula · tan(π/3) = √3สูตรผลบวกของมุม · tan(π/3) = √3
$y=\dfrac{\sqrt3T+3}{1-\sqrt3T}$times √3 on topคูณ √3 ที่ตัวบน
$T^2=\sec^2t-1$identity: 1 + tan² t = sec² tเอกลักษณ์ 1 + tan² t = sec² t
$T^2=x^2-1$sec t = xsec t = x
$T=\sqrt{x^2-1}$tan t > 0 for π/6 < t < π/2tan t > 0 เมื่อ π/6 < t < π/2
$s=\sqrt3T$name s = √3 Tตั้งชื่อ s = √3 T
$=\sqrt{3x^2-3}$√3 × √(x² − 1)√3 × √(x² − 1)
$y=\dfrac{s+3}{1-s}$y in terms of sy ในรูปของ s
$y=\dfrac{(s+3)(1+s)}{(1-s)(1+s)}$times (1 + s) on top and bottomคูณ (1 + s) ทั้งบนและล่าง
$(1-s)(1+s)=1-s^2$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
$=1-(3x^2-3)$s² = 3x² − 3s² = 3x² − 3
$=4-3x^2$the bottomตัวล่าง
$(s+3)(1+s)=s^2+4s+3$expand the topกระจายตัวบน
$=3x^2-3+4s+3$s² = 3x² − 3s² = 3x² − 3
$=3x^2+4s$the topตัวบน
$y=\dfrac{3x^2+4s}{4-3x^2}$s = √(3x² − 3)s = √(3x² − 3)
$A=3$compare with the form asked forเทียบกับรูปที่โจทย์ให้
$B=4$answer: A = 3, B = 4คำตอบ A = 3, B = 4

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Find the coefficient of $x^2$ in the binomial expansion of $(1-2x)^{-2}$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจายทวินามของ $(1-2x)^{-2}$
Answer:เฉลย: 12n = −2, z = −2x. n(n − 1) ÷ 2 = 3, and z² = 4x², so 3 × 4 = 12.n = −2, z = −2x · n(n − 1) ÷ 2 = 3 และ z² = 4x² จึงได้ 3 × 4 = 12
A cone has height 12 cm and base radius 5 cm. Find its slant height, in cm.กรวยสูง 12 ซม. รัศมีฐาน 5 ซม. หาความยาวสูงเอียง (ซม.)
Answer:เฉลย: 13l² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, so l = 13.l² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 ดังนั้น l = 13
Find the acute angle between the directions $\mathbf{i}+\mathbf{k}$ and $\mathbf{j}+\mathbf{k}$, in degrees.หามุมแหลมระหว่างทิศ $\mathbf{i}+\mathbf{k}$ กับ $\mathbf{j}+\mathbf{k}$ (องศา)
Answer:เฉลย: 60Dot product 0 + 0 + 1 = 1. Each length is √2, so cos θ = 1/2 and θ = 60°.ผลคูณจุด 0 + 0 + 1 = 1 · ความยาวแต่ละเวกเตอร์ √2 จึง cos θ = 1/2 และ θ = 60°
A curve has $x=t^2$ and $y=t^3$. Find the gradient $\dfrac{dy}{dx}$ at the point where $t=2$.เส้นโค้งมี $x=t^2$ และ $y=t^3$ หาความชัน $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดที่ $t=2$
Answer:เฉลย: 3dx/dt = 2t and dy/dt = 3t², so dy/dx = 3t/2. At t = 2 this is 3.dx/dt = 2t และ dy/dt = 3t² จึง dy/dx = 3t/2 · ที่ t = 2 ได้ 3

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี