Edexcel IAL Pure 4 WMA14 June 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA14 Pure 4 · June 2024WMA14 Pure 4 · มิ.ย. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 4 (WMA14) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Integration by parts · 5 marksข้อ 1 · อินทิเกรตแยกส่วน · 5 คะแนน

Answer: π/18 − 1/9คำตอบ: π/18 − 1/9

Q1 A definite integral by partsQ1 อินทิกรัลจำกัดเขตแบบแยกส่วน

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
Work out $\displaystyle\int_0^{\pi/6} x\cos 3x\,dx$, and write the answer in its simplest form. [5]

$u=x$parts: u is the part to differentiateแยกส่วน: u คือส่วนที่จะดิฟ
$u'=1$differentiate uดิฟ u
$v'=\cos3x$the part to integrateส่วนที่จะอินทิเกรต
$v=\dfrac{1}{3}\sin3x$integrate: the 3 inside gives ⅓อินทิเกรต: 3 ข้างในให้ ⅓
$I=uv-J$by parts: I = the integral, J = ∫ v u′ dxสูตรแยกส่วน: I = อินทิกรัลในโจทย์, J = ∫ v u′ dx
$uv=\dfrac{1}{3}x\sin3x$u times vu คูณ v
$J=\int\dfrac{1}{3}\sin3x\,dx$v times u′ = v times 1v คูณ u′ = v คูณ 1
$=-\dfrac{1}{9}\cos3x$integrate: ⅓ × (−⅓ cos 3x)อินทิเกรต: ⅓ × (−⅓ cos 3x)
$x=\dfrac{\pi}{6}$top limit · then 3x = π/2ขอบบน · 3x = π/2
$uv=\dfrac{\pi}{18}$⅓ × π/6 × sin(π/2), and sin(π/2) = 1⅓ × π/6 × sin(π/2) และ sin(π/2) = 1
$J=0$−⅑ cos(π/2), and cos(π/2) = 0−⅑ cos(π/2) และ cos(π/2) = 0
$T=\dfrac{\pi}{18}-0$top value: uv − Jค่าขอบบน: uv − J
$x=0$bottom limitขอบล่าง
$uv=0$x = 0 makes uv = 0x = 0 ทำให้ uv = 0
$J=-\dfrac{1}{9}$−⅑ cos 0, and cos 0 = 1−⅑ cos 0 และ cos 0 = 1
$B=0-\left(-\dfrac{1}{9}\right)$bottom value: uv − Jค่าขอบล่าง: uv − J
$=\dfrac{1}{9}$minus a minus is plusลบของลบเป็นบวก
$I=T-B$top value minus bottom valueค่าขอบบน ลบ ค่าขอบล่าง
$=\dfrac{\pi}{18}-\dfrac{1}{9}$answer · simplest formคำตอบ · รูปอย่างง่าย

3. Q2 · Vectors: a perpendicular pair · 6 marksข้อ 2 · เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน · 6 คะแนน

Answer: B(5, 6, −2); a = −1 or a = 6คำตอบ: B(5, 6, −2); a = −1 or a = 6

Q2(a) Coordinates of BQ2(a) พิกัดของ B

$O$ is a fixed origin. Point $A$ has position vector $\vec{OA}=\begin{pmatrix}7\\2\\-5\end{pmatrix}$, and $\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}$.
(a) Work out the coordinates of $B$. [2]

$\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB}$go O to A, then A to Bเดินจาก O ไป A แล้ว A ไป B
$x=7+(-2)$add the i partsบวกส่วน i
$=5$x-coordinateพิกัด x
$y=2+4$add the j partsบวกส่วน j
$=6$y-coordinateพิกัด y
$z=-5+3$add the k partsบวกส่วน k
$=-2$z-coordinateพิกัด z
$B=(5,6,-2)$answerคำตอบ

Q2(b) The values of aQ2(b) ค่าของ a

$O$ is a fixed origin. Point $A$ has position vector $\vec{OA}=\begin{pmatrix}7\\2\\-5\end{pmatrix}$, and $\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\3\end{pmatrix}$.
(b) Point $C$ has position vector $\vec{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$, with $a$ a constant. The vectors $\vec{OC}$ and $\vec{BC}$ are at right angles to each other. Using $B(5,6,-2)$, find every possible value of $a$. [4]

$\vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}$B to C = (O to C) − (O to B)B ไป C = (O ไป C) − (O ไป B)
$=\eqalign{&(a-5,\cr&\ 5-6,\cr&\ -1+2)}$take away OB = (5, 6, −2)ลบ OB = (5, 6, −2)
$=(a-5,\,-1,\,1)$simplifyจัดรูป
$\vec{OC}\cdot\vec{BC}=0$perpendicular: the dot product is 0ตั้งฉาก: ผลคูณจุดเป็น 0
$a(a-5)-5-1=0$a × (a − 5) + 5 × (−1) + (−1) × 1a × (a − 5) + 5 × (−1) + (−1) × 1
$a^2-5a-6=0$expand and collectกระจายแล้วรวม
$(a-6)(a+1)=0$factorise: −6 × 1 = −6, −6 + 1 = −5แยกตัวประกอบ: −6 × 1 = −6, −6 + 1 = −5
$a=6$first bracket = 0วงเล็บแรก = 0
$a=-1$second bracket = 0วงเล็บที่สอง = 0

4. Q3 · Implicit differentiation: a normal · 7 marksข้อ 3 · ดิฟโดยปริยาย: เส้นแนวฉาก · 7 คะแนน

Answer: 13x + 53y − 291 = 0คำตอบ: 13x + 53y − 291 = 0

Q3 Normal at (2, 5)Q3 เส้นแนวฉากที่ (2, 5)

A curve $C$ has the equation $8x^3-3y^2+2xy=9$.
Find the equation of the normal to $C$ at the point $(2,5)$. Write it as $ax+by+c=0$ with $a$, $b$ and $c$ integers. [7]

$p=\dfrac{dy}{dx}$call the gradient pให้ความชัน dy/dx ชื่อ p
$\dfrac{d}{dx}(8x^3)=24x^2$differentiate each term with respect to xดิฟทีละพจน์เทียบกับ x
$\dfrac{d}{dx}(3y^2)=6yp$chain rule: y depends on x, so × pกฎลูกโซ่: y ขึ้นกับ x จึงคูณ p
$\dfrac{d}{dx}(2xy)=2y+2xp$product rule on x times yกฎผลคูณ x คูณ y
$\dfrac{d}{dx}(9)=0$a constant gives 0ค่าคงที่ดิฟได้ 0
$D=24x^2+2y$D = the two terms with no pD = สองพจน์ที่ไม่มี p
$D+(2x-6y)p=0$all four terms: 24x² − 6yp + 2y + 2xp = 0ครบสี่พจน์: 24x² − 6yp + 2y + 2xp = 0
$D=96+10$at (2, 5): x = 2, y = 5ที่จุด (2, 5): x = 2, y = 5
$=106$24 × 4 = 96 · 2 × 5 = 1024 × 4 = 96 · 2 × 5 = 10
$2x-6y=4-30$the number in front of pตัวเลขหน้า p
$=-26$at (2, 5)ที่จุด (2, 5)
$106-26p=0$put D = 106 and 2x − 6y = −26 inแทน D = 106 และ 2x − 6y = −26
$106=26p$move 26p acrossย้าย 26p
$p=\dfrac{53}{13}$gradient of the curve at (2, 5)ความชันของเส้นโค้งที่ (2, 5)
$m=-\dfrac{1}{p}$normal: negative reciprocal (flip and change sign)เส้นแนวฉาก: กลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$=-\dfrac{13}{53}$gradient of the normalความชันเส้นแนวฉาก
$y-5=m(x-2)$line through (2, 5) with gradient mเส้นตรงผ่าน (2, 5) ความชัน m
$53y-265=-13x+26$times 53: 53m = −13คูณ 53: 53m = −13
$13x+53y-291=0$answer · −265 − 26 = −291คำตอบ · −265 − 26 = −291

5. Q4 · Segment area: rate of change · 6 marksข้อ 4 · อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่ส่วนของวงกลม · 6 คะแนน

Answer: K = 25/2; 5/8 cm² s⁻¹ (0.625)คำตอบ: K = 25/2; 5/8 cm² s⁻¹ (0.625)

Q4(a) dA/dθQ4(a) dA/dθ

The figure shows a segment $PQRP$ of a circle. The centre is $O$ and the radius is 5 cm.
Angle $POR$ is $\theta$ radians. $\theta$ goes up steadily, from 0 to $\pi$, by 0.1 radians each second.
The segment $PQRP$ has area $A$ cm².
(a) Show that $\dfrac{dA}{d\theta}=K(1-\cos\theta)$, and state the value of the constant $K$. [2]

$S=\dfrac{1}{2}r^2\theta$sector OPQR · θ “theta” in radiansเซกเตอร์ OPQR · θ อ่านว่า “ทีตา” เป็นเรเดียน
$T=\dfrac{1}{2}r^2\sin\theta$triangle OPRสามเหลี่ยม OPR
$A=S-T$segment = sector − triangleส่วนของวงกลม = เซกเตอร์ − สามเหลี่ยม
$r=5$the radius, cmรัศมี ซม.
$S=\dfrac{25}{2}\theta$½ × 5² = 25/2½ × 5² = 25/2
$T=\dfrac{25}{2}\sin\theta$the same 25/225/2 เหมือนกัน
$\dfrac{dS}{d\theta}=\dfrac{25}{2}$differentiate with respect to θดิฟเทียบกับ θ
$\dfrac{dT}{d\theta}=\dfrac{25}{2}\cos\theta$sin differentiates to cosดิฟ sin ได้ cos
$\dfrac{dA}{d\theta}=\dfrac{25}{2}(1-\cos\theta)$dS/dθ − dT/dθ, take out 25/2dS/dθ − dT/dθ แล้วดึง 25/2 ออก
$K=\dfrac{25}{2}$answerคำตอบ

Q4(b) Rate when θ = π/3Q4(b) อัตราเมื่อ θ = π/3

The figure shows a segment $PQRP$ of a circle. The centre is $O$ and the radius is 5 cm.
Angle $POR$ is $\theta$ radians. $\theta$ goes up steadily, from 0 to $\pi$, by 0.1 radians each second.
The segment $PQRP$ has area $A$ cm².
(b) Using $\dfrac{dA}{d\theta}=\dfrac{25}{2}(1-\cos\theta)$, find how fast the segment's area is growing, in cm² s⁻¹, at the moment $\theta=\dfrac{\pi}{3}$. [4]

$\dfrac{d\theta}{dt}=0.1$θ grows by 0.1 rad each secondθ เพิ่มวินาทีละ 0.1 เรเดียน
$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{d\theta}\times\dfrac{d\theta}{dt}$chain ruleกฎลูกโซ่
$\theta=\dfrac{\pi}{3}$the moment we wantขณะที่โจทย์ถาม
$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$cos(π/3) = ½cos(π/3) = ½
$\dfrac{dA}{d\theta}=\dfrac{25}{2}\times\dfrac{1}{2}$from (a): 1 − ½ = ½จากข้อ (a): 1 − ½ = ½
$=\dfrac{25}{4}$multiplyคูณ
$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{25}{4}\times0.1$chain rule with the numbersแทนตัวเลขในกฎลูกโซ่
$=\dfrac{5}{8}$answer · cm² per second (0.625)คำตอบ · ตร.ซม. ต่อวินาที (0.625)

6. Q5 · Parametric curve: area and partial fractions · 13 marksข้อ 5 · เส้นโค้งพาราเมตริก: พื้นที่และเศษส่วนย่อย · 13 คะแนน

Answer: a = 1, b = 2; M = 5, k = 4; 1/(3t) + 4/(3(3 − t)); 5 − (20/3) ln 2คำตอบ: a = 1, b = 2; M = 5, k = 4; 1/(3t) + 4/(3(3 − t)); 5 − (20/3) ln 2

Q5(a) The values of a and bQ5(a) ค่าของ a และ b

$y=1$both ends sit on the line y = 1ปลายทั้งสองอยู่บนเส้น y = 1
$\dfrac{2}{t(3-t)}=1$set y equal to 1ให้ y เท่ากับ 1
$2=t(3-t)$multiply both sides by t(3 − t)คูณ t(3 − t) ทั้งสองข้าง
$2=3t-t^2$expandกระจาย
$t^2-3t+2=0$move everything to one sideย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว
$(t-1)(t-2)=0$factorise: −1 × −2 = 2, −1 − 2 = −3แยกตัวประกอบ: −1 × −2 = 2, −1 − 2 = −3
$a=1$the smaller t, left endt ที่น้อยกว่า ปลายซ้าย
$b=2$the larger t, right endt ที่มากกว่า ปลายขวา

Q5(b) Area as an integralQ5(b) พื้นที่ในรูปอินทิกรัล

A curve has parametric equations $x=t^2+2t$ and $y=\dfrac{2}{t(3-t)}$, for $a\le t\le b$, where $a$ and $b$ are constants.
Both ends of the curve are on the line $y=1$. The region $R$ lies between the curve and the line $y=1$.
(b) Using $a=1$ and $b=2$, show that the area of $R$ is $M-k\displaystyle\int_a^b\dfrac{t+1}{t(3-t)}\,dt$, and find the constants $M$ and $k$. [5]

$\dfrac{dx}{dt}=2t+2$differentiate x = t² + 2tดิฟ x = t² + 2t
$U=\int y\,dx$U = area under the curveU = พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
$=\int_1^2 y\dfrac{dx}{dt}\,dt$change dx to (dx/dt) dt · t from 1 to 2เปลี่ยน dx เป็น (dx/dt) dt · t จาก 1 ถึง 2
$y\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2(2t+2)}{t(3-t)}$y times dx/dty คูณ dx/dt
$=\dfrac{4(t+1)}{t(3-t)}$2t + 2 = 2(t + 1)2t + 2 = 2(t + 1)
$F=\dfrac{t+1}{t(3-t)}$name the fraction Fตั้งชื่อเศษส่วนนี้ว่า F
$U=4\int_1^2F\,dt$take the 4 outsideดึง 4 ออกนอกอินทิกรัล
$x=1+2$left end, t = 1: 1² + 2(1)ปลายซ้าย t = 1: 1² + 2(1)
$=3$x at the left endx ที่ปลายซ้าย
$x=4+4$right end, t = 2: 2² + 2(2)ปลายขวา t = 2: 2² + 2(2)
$=8$x at the right endx ที่ปลายขวา
$H=(8-3)\times1$rectangle under y = 1, x from 3 to 8สี่เหลี่ยมใต้ y = 1 ตั้งแต่ x = 3 ถึง 8
$=5$width 5, height 1กว้าง 5 สูง 1
$R=H-U$R = rectangle − area under the curveR = สี่เหลี่ยม − พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
$=5-4\int_1^2F\,dt$H = 5, U from above · F = (t + 1)/(t(3 − t)): the form asked forH = 5 และ U จากข้างบน · F = (t + 1)/(t(3 − t)): ได้รูปที่โจทย์ถาม
$M=5$the rectangleสี่เหลี่ยม
$k=4$the number outside the integralตัวเลขนอกอินทิกรัล

Q5(c)(i) Partial fractionsQ5(c)(i) เศษส่วนย่อย

A curve has parametric equations $x=t^2+2t$ and $y=\dfrac{2}{t(3-t)}$, for $a\le t\le b$, where $a$ and $b$ are constants.
Both ends of the curve are on the line $y=1$. The region $R$ lies between the curve and the line $y=1$.
(c)(i) Split $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ into partial fractions. (Part (c) is worth 6 marks in all; the mark scheme gives 3 to (i) and 3 to (ii).) [3]

$F=\dfrac{t+1}{t(3-t)}$name the fraction Fตั้งชื่อเศษส่วนนี้ว่า F
$F=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{3-t}$one fraction for each factorหนึ่งเศษส่วนต่อหนึ่งตัวประกอบ
$t+1=A(3-t)+Bt$multiply through by t(3 − t)คูณตลอดด้วย t(3 − t)
$t=0$this makes the B term 0ทำให้พจน์ B เป็น 0
$1=3A$substitute t = 0แทน t = 0
$A=\dfrac{1}{3}$divide by 3หารด้วย 3
$t=3$this makes the A term 0ทำให้พจน์ A เป็น 0
$4=3B$substitute t = 3แทน t = 3
$B=\dfrac{4}{3}$divide by 3หารด้วย 3
$F=\dfrac{1}{3t}+\dfrac{4}{3(3-t)}$answerคำตอบ

Q5(c)(ii) Exact area of RQ5(c)(ii) พื้นที่ R แบบค่าแม่นตรง

A curve has parametric equations $x=t^2+2t$ and $y=\dfrac{2}{t(3-t)}$, for $a\le t\le b$, where $a$ and $b$ are constants.
Both ends of the curve are on the line $y=1$. The region $R$ lies between the curve and the line $y=1$.
(c)(ii) Using $\dfrac{t+1}{t(3-t)}=\dfrac{1}{3t}+\dfrac{4}{3(3-t)}$ and the result of (b) with $M=5$, $k=4$, integrate by hand to find the exact area of $R$, in its simplest form. (Part (c) is 6 marks in all.) [3]

$G_1=\int\dfrac{dt}{3t}$integrate the first fractionอินทิเกรตเศษส่วนแรก
$=\dfrac{1}{3}\ln t$∫ 1/t dt = ln t∫ 1/t dt = ln t
$G_2=\int\dfrac{4\,dt}{3(3-t)}$the second fractionเศษส่วนที่สอง
$=-\dfrac{4}{3}\ln(3-t)$the −t inside gives a minus−t ข้างในทำให้ได้เครื่องหมายลบ
$V_2=\dfrac{1}{3}\ln2$G₁ + G₂ at t = 2 · ln 1 = 0G₁ + G₂ ที่ t = 2 · ln 1 = 0
$V_1=-\dfrac{4}{3}\ln2$G₁ + G₂ at t = 1 · ln 1 = 0G₁ + G₂ ที่ t = 1 · ln 1 = 0
$\int_1^2F\,dt=V_2-V_1$top value minus bottom valueค่าขอบบน ลบ ค่าขอบล่าง
$=\dfrac{5}{3}\ln2$⅓ ln 2 + ⁴⁄₃ ln 2⅓ ln 2 + ⁴⁄₃ ln 2
$R=5-4\times\dfrac{5}{3}\ln2$from (b): R = M − k × the integralจากข้อ (b): R = M − k × อินทิกรัล
$=5-\dfrac{20}{3}\ln2$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นตรง

7. Q6 · Vector lines: distance and triangle area · 10 marksข้อ 6 · เส้นตรงเวกเตอร์: ระยะทางและพื้นที่สามเหลี่ยม · 10 คะแนน

Answer: 81λ² + 52λ − 220 = 0; −15i + 4j − 3k; (961/81)i + (52/81)j + (845/81)k; 29.4คำตอบ: 81λ² + 52λ − 220 = 0; −15i + 4j − 3k; (961/81)i + (52/81)j + (845/81)k; 29.4

Q6(a) The equation for λQ6(a) สมการของ λ

$O$ is a fixed origin. The line $l_1$ has equation $\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ $+\,\lambda(8\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k})$, with $\lambda$ a scalar parameter.
Point $A$ is on $l_1$, and $|\vec{OA}|=5\sqrt{10}$.
(a) Show that the value of $\lambda$ at $A$ fits $81\lambda^2+52\lambda-220=0$. [3]

$\vec{OA}=\eqalign{&(1+8\lambda,\cr&\ 2-\lambda,\cr&\ 5+4\lambda)}$A is on l₁: its λ “lambda” goes into rA อยู่บน l₁: แทน λ (อ่านว่า “แลมบ์ดา”) ลงใน r
$|\vec{OA}|^2=250$(5√10)² = 25 × 10 = 250(5√10)² = 25 × 10 = 250
$(1+8\lambda)^2=64\lambda^2+16\lambda+1$square the first partยกกำลังสองส่วนแรก
$(2-\lambda)^2=\lambda^2-4\lambda+4$square the second partยกกำลังสองส่วนที่สอง
$(5+4\lambda)^2=16\lambda^2+40\lambda+25$square the third partยกกำลังสองส่วนที่สาม
$64+1+16=81$add the λ² termsรวมพจน์ λ²
$16-4+40=52$add the λ termsรวมพจน์ λ
$1+4+25=30$add the numbersรวมตัวเลข
$81\lambda^2+52\lambda+30=250$the three squares add to 250ผลรวมกำลังสองทั้งสามเท่ากับ 250
$\eqalign{&81\lambda^2+52\lambda\cr&-220}=0$answer · 30 − 250 = −220คำตอบ · 30 − 250 = −220

Q6(b)(i) One position of AQ6(b)(i) ตำแหน่งหนึ่งของ A

$O$ is a fixed origin. The line $l_1$ has equation $\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ $+\,\lambda(8\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k})$, with $\lambda$ a scalar parameter.
Point $A$ is on $l_1$, and $|\vec{OA}|=5\sqrt{10}$.
(b)(i) Using part (a), show that one possible position vector of $A$ is $-15\mathbf{i}+4\mathbf{j}-3\mathbf{k}$. (Part (b) is worth 3 marks in all; the mark scheme gives 2 to (i) and 1 to (ii).) [2]

$\eqalign{&81\lambda^2+52\lambda\cr&-220}=0$the equation from (a)สมการจากข้อ (a)
$\eqalign{&(81\lambda-110)\cr&\times(\lambda+2)}=0$factorise: 81 × 2 − 110 = 52แยกตัวประกอบ: 81 × 2 − 110 = 52
$\lambda=-2$the second bracket = 0วงเล็บที่สอง = 0
$\vec{OA}=\eqalign{&(1+8(-2),\cr&\ 2-(-2),\cr&\ 5+4(-2))}$put λ = −2 into l₁แทน λ = −2 ใน l₁
$=(-15,\,4,\,-3)$answer: −15i + 4j − 3kคำตอบ: −15i + 4j − 3k

Q6(b)(ii) The other position of AQ6(b)(ii) อีกตำแหน่งของ A

$O$ is a fixed origin. The line $l_1$ has equation $\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ $+\,\lambda(8\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k})$, with $\lambda$ a scalar parameter.
Point $A$ is on $l_1$, and $|\vec{OA}|=5\sqrt{10}$.
(b)(ii) The quadratic also has the root $\lambda=\dfrac{110}{81}$. Find the other possible position vector of $A$. (Part (b) is 3 marks in all.) [1]

$\lambda=\dfrac{110}{81}$the other bracket: 81λ − 110 = 0วงเล็บที่เหลือ: 81λ − 110 = 0
$1+8\lambda=\dfrac{961}{81}$81 + 880 = 96181 + 880 = 961
$2-\lambda=\dfrac{52}{81}$162 − 110 = 52162 − 110 = 52
$5+4\lambda=\dfrac{845}{81}$405 + 440 = 845405 + 440 = 845
$\vec{OA}=\eqalign{&\tfrac{1}{81}(961,\cr&\ 52,\,845)}$answerคำตอบ

Q6(c) Area of triangle OABQ6(c) พื้นที่สามเหลี่ยม OAB

$O$ is a fixed origin. The line $l_1$ has equation $\mathbf{r}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ $+\,\lambda(8\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k})$, with $\lambda$ a scalar parameter.
Point $A$ is on $l_1$, and $|\vec{OA}|=5\sqrt{10}$.
(c) The line $l_2$ goes through $O$ and is parallel to $l_1$. Take $\vec{OA}=-15\mathbf{i}+4\mathbf{j}-3\mathbf{k}$. Point $B$ is on $l_2$ with $|\vec{OB}|=4\sqrt{10}$. Find the area of triangle $OAB$, to 1 d.p. [4]

$\vec{d}=(8,\,-1,\,4)$l₂ is parallel to l₁: same direction dl₂ ขนานกับ l₁: ทิศทาง d เดียวกัน
$\vec{OA}\cdot\vec{d}=-120-4-12$−15 × 8 + 4 × (−1) + (−3) × 4−15 × 8 + 4 × (−1) + (−3) × 4
$=-136$the dot productผลคูณจุด
$|\vec{d}|=\sqrt{81}$8² + 1² + 4² = 818² + 1² + 4² = 81
$=9$length of dความยาวของ d
$\cos\theta=\dfrac{-136}{45\sqrt{10}}$θ = angle between OA and d · 5√10 × 9 = 45√10θ = มุมระหว่าง OA กับ d · 5√10 × 9 = 45√10
$\approx-0.9557$4 d.p. · θ ≈ 162.9°, obtuseทศนิยม 4 ตำแหน่ง · θ ≈ 162.9° เป็นมุมป้าน
$\sin\theta\approx0.2943$sin²θ + cos²θ = 1, and sin θ > 0sin²θ + cos²θ = 1 และ sin θ > 0
$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$B on the other side of O: angle AOB = 180° − θ ≈ 17.1°, same sine, same areaถ้า B อยู่อีกฝั่งของ O: มุม AOB = 180° − θ ≈ 17.1° ค่า sin เท่าเดิม พื้นที่จึงเท่าเดิม
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta$triangle area · a = OA, b = OBพื้นที่สามเหลี่ยม · a = OA, b = OB
$ab=5\sqrt{10}\times4\sqrt{10}$the two given lengthsความยาวสองด้านที่โจทย์ให้
$=200$20 × 1020 × 10
$S=100\sin\theta$half of 200ครึ่งหนึ่งของ 200
$\approx29.43$100 × 0.2943100 × 0.2943
$S\approx29.4$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

8. Q7 · Differential equation: current in a circuit · 11 marksข้อ 7 · สมการเชิงอนุพันธ์: กระแสไฟฟ้า · 11 คะแนน

Answer: x = (k/3)(1 − e^(−3t)); k = 21; 0.42 sคำตอบ: x = (k/3)(1 − e^(−3t)); k = 21; 0.42 s

Q7(a) Solve the equationQ7(a) แก้สมการ

In an electric circuit, the current is $x$ amps at $t$ seconds after a switch is closed. The model is $\dfrac{dx}{dt}=k-3x$, where $k$ is a constant.
At the start there is no current.
(a) Solve the differential equation to get the current at time $t$, in terms of $k$. Write it as $x=\mathrm{f}(t)$. [6]

$\dfrac{dx}{dt}=k-3x$the modelแบบจำลอง
$\int\dfrac{dx}{k-3x}=\int dt$separate: x on the left, t on the rightแยกตัวแปร: x ไว้ซ้าย t ไว้ขวา
$-\dfrac{1}{3}\ln(k-3x)=t+c$the −3 inside gives −⅓−3 ข้างในให้ −⅓
$\ln(k-3x)=-3t-3c$multiply by −3คูณ −3
$t=0$the moment the switch closesตอนที่สับสวิตช์
$x=0$zero current at the startกระแสเริ่มต้นเป็น 0
$\ln k=-3c$put t = 0 and x = 0 into the line aboveแทน t = 0 และ x = 0 ในบรรทัดก่อนหน้า
$\ln(k-3x)=-3t+\ln k$write ln k for −3cเขียน ln k แทน −3c
$\eqalign{&\ln(k-3x)\cr&-\ln k}=-3t$move ln k acrossย้าย ln k
$\ln\dfrac{k-3x}{k}=-3t$log law: ln p − ln q = ln(p ÷ q)กฎลอการิทึม: ln p − ln q = ln(p ÷ q)
$\dfrac{k-3x}{k}=e^{-3t}$undo ln with eถอด ln ด้วย e
$k-3x=ke^{-3t}$multiply by kคูณ k
$-3x=ke^{-3t}-k$move k acrossย้าย k
$x=\dfrac{k}{3}-\dfrac{k}{3}e^{-3t}$divide by −3หารด้วย −3
$=\dfrac{k}{3}(1-e^{-3t})$answer · take out k/3คำตอบ · ดึง k/3 ออก

Q7(b) The value of kQ7(b) ค่าของ k

In an electric circuit, the current is $x$ amps at $t$ seconds after a switch is closed. The model is $\dfrac{dx}{dt}=k-3x$, where $k$ is a constant.
At the start there is no current.
(b) Over a long time the current gets closer and closer to 7 amps. Using $x=\dfrac{k}{3}(1-e^{-3t})$, find $k$. [2]

$\dfrac{k}{3}=7$long term: e^(−3t) gets close to 0, so x gets close to k/3ระยะยาว: e^(−3t) เข้าใกล้ 0 ดังนั้น x เข้าใกล้ k/3
$k=21$answerคำตอบ

Q7(c) Time to reach 5 ampsQ7(c) เวลาที่กระแสถึง 5 แอมแปร์

In an electric circuit, the current is $x$ amps at $t$ seconds after a switch is closed. The model is $\dfrac{dx}{dt}=k-3x$, where $k$ is a constant.
At the start there is no current.
(c) With $k=21$, find how many seconds the current takes to reach 5 amps. Answer to 2 s.f. [3]

$x=7(1-e^{-3t})$k/3 = 21/3 = 7k/3 = 21/3 = 7
$7(1-e^{-3t})=5$the current is 5 ampsกระแส 5 แอมแปร์
$1-e^{-3t}=\dfrac{5}{7}$divide by 7หารด้วย 7
$-e^{-3t}=-\dfrac{2}{7}$move the 1 acrossย้าย 1
$e^{-3t}=\dfrac{2}{7}$times −1: both signs changeคูณ −1: เปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองข้าง
$-3t=\ln\dfrac{2}{7}$take ln of both sidesใส่ ln ทั้งสองข้าง
$t=-\dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{7}$divide by −3หารด้วย −3
$\approx0.4176$calculatorกดเครื่องคิดเลข
$t\approx0.42$answer · seconds, 2 s.f.คำตอบ · วินาที เลขนัยสำคัญ 2 ตัว

9. Q8 · Binomial series and proof by contradiction · 8 marksข้อ 8 · อนุกรมทวินามและการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง · 8 คะแนน

Answer: A = 16, B = 1/24; 8(x − 1)² + x³/24 > 0, so no meeting pointคำตอบ: A = 16, B = 1/24; 8(x − 1)² + x³/24 > 0, so no meeting point

Q8(a) Expand to the x³ termQ8(a) กระจายถึงพจน์ x³

$\mathrm{f}(x)=(8-3x)^{\frac{4}{3}}$, for $0\lt x\lt\dfrac{8}{3}$.
(a) Show that, in ascending powers of $x$ up to the $x^3$ term, the binomial expansion of $\mathrm{f}(x)$ is $A-8x+\dfrac{x^2}{2}+Bx^3+\ldots$, and find the constants $A$ and $B$. [4]

$8-3x=8(1+u)$take out 8 · u is −3x/8ดึง 8 ออก · u คือ −3x/8
$u=-\dfrac{3}{8}x$check: 8 × (−3x/8) = −3xตรวจ: 8 × (−3x/8) = −3x
$8^{\frac{4}{3}}=16$cube root of 8 is 2, and 2⁴ = 16รากที่สามของ 8 คือ 2 และ 2⁴ = 16
$f=16(1+u)^n$f(x) = 16(1 + u)ⁿf(x) = 16(1 + u)ⁿ
$n=\dfrac{4}{3}$the powerเลขชี้กำลัง
$(1+u)^n=1+T_1+T_2+T_3$binomial series: T₁, T₂, T₃ are the next termsอนุกรมทวินาม: T₁, T₂, T₃ คือพจน์ถัดไป
$T_1=nu$first term after 1พจน์แรกหลัง 1
$=-\dfrac{1}{2}x$4/3 × (−3/8)4/3 × (−3/8)
$T_2=\dfrac{n(n-1)}{2}u^2$second termพจน์ที่สอง
$\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{2}{9}$4/3 × 1/3 ÷ 24/3 × 1/3 ÷ 2
$u^2=\dfrac{9}{64}x^2$square uยกกำลังสอง u
$T_2=\dfrac{1}{32}x^2$2/9 × 9/642/9 × 9/64
$T_3=Cu^3$third term · C = n(n − 1)(n − 2) ÷ 6พจน์ที่สาม · C = n(n − 1)(n − 2) ÷ 6
$C=-\dfrac{4}{81}$4/3 × 1/3 × (−2/3) ÷ 64/3 × 1/3 × (−2/3) ÷ 6
$u^3=-\dfrac{27}{512}x^3$cube uยกกำลังสาม u
$T_3=\dfrac{1}{384}x^3$−4/81 × (−27/512)−4/81 × (−27/512)
$16T_1=-8x$now multiply each term by 16คูณทุกพจน์ด้วย 16
$16T_2=\dfrac{1}{2}x^2$16/32 = 1/216/32 = 1/2
$16T_3=\dfrac{1}{24}x^3$16/384 = 1/2416/384 = 1/24
$A=16$16 × 116 × 1
$B=\dfrac{1}{24}$answer: 16 − 8x + x²/2 + x³/24คำตอบ: 16 − 8x + x²/2 + x³/24

Q8(b) Prove the curves never meetQ8(b) พิสูจน์ว่าเส้นโค้งไม่ตัดกัน

$\mathrm{f}(x)=(8-3x)^{\frac{4}{3}}$, for $0\lt x\lt\dfrac{8}{3}$.
(b) One curve is $y=8+8x-\dfrac{15}{2}x^2$. The other is $y=A-8x+\dfrac{x^2}{2}+Bx^3$ for $0\lt x\lt\dfrac{8}{3}$, using $A=16$ and $B=\dfrac{1}{24}$. Prove by contradiction that the two curves have no point in common. Do not rely on a calculator. [4]

$L=8+8x-\dfrac{15}{2}x^2$L = the first curveL = เส้นโค้งแรก
$E=\eqalign{&A-8x\cr&+\dfrac{x^2}{2}+Bx^3}$E = the second curveE = เส้นโค้งที่สอง
$Bx^3=\dfrac{x^3}{24}$from (a): A = 16 and B = 1/24จากข้อ (a): A = 16 และ B = 1/24
$E=L$assume they meet at some x, 0 < x < 8/3สมมติว่าตัดกันที่ x บางค่า 0 < x < 8/3
$E-L=0$move L acrossย้าย L
$16-8=8$the numbers: A = 16, minus 8ตัวเลข: A = 16 ลบ 8
$-8x-8x=-16x$the x termsพจน์ x
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{2}=8$the x² terms: 8x²พจน์ x²: ได้ 8x²
$8x^2-16x+8=8(x-1)^2$take out 8: x² − 2x + 1 = (x − 1)²ดึง 8 ออก: x² − 2x + 1 = (x − 1)²
$E-L=8(x-1)^2+\dfrac{x^3}{24}$collect, and keep the x³/24 termรวมพจน์ และเก็บพจน์ x³/24 ไว้
$8(x-1)^2\ge0$a square is never negativeกำลังสองไม่มีวันติดลบ
$\dfrac{x^3}{24}\gt0$x > 0, so x³ > 0x > 0 ดังนั้น x³ > 0
$E-L\gt0$so E − L is never 0ดังนั้น E − L ไม่มีวันเป็น 0
$E\ne L$this contradicts E = L, so the curves do not meetขัดแย้งกับ E = L ดังนั้นเส้นโค้งไม่ตัดกัน

10. Q9 · Volume of revolution by substitution · 9 marksข้อ 9 · ปริมาตรทรงหมุนด้วยการแทนค่า · 9 คะแนน

Answer: k = 2π, a = π/6, b = π/3; V = 6คำตอบ: k = 2π, a = π/6, b = π/3; V = 6

Q9(a) V as an integral in uQ9(a) V เป็นอินทิกรัลของ u

The curve $C$ has equation $y=\dfrac{x^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{1+x}\,\left(\arctan\sqrt{x}\right)}$.
The region $R$ lies between $C$, the $x$-axis and the lines $x=\dfrac{1}{3}$ and $x=3$. $R$ turns through 360° about the $x$-axis to make a solid of volume $V$.
(a) Use the substitution $\tan u=\sqrt{x}$ to show that $V=k\displaystyle\int_a^b\dfrac{1}{u^2}\,du$, and find the constants $k$, $a$ and $b$. [6]

$V=\pi\int y^2\,dx$volume when turned about the x-axisปริมาตรเมื่อหมุนรอบแกน x
$\tan u=\sqrt{x}$the substitutionการแทนค่า
$u=\arctan\sqrt{x}$so arctan √x is just uดังนั้น arctan √x ก็คือ u
$y^2=\dfrac{x^{-\frac{1}{2}}}{(1+x)u^2}$square y: (x^(−¼))² = x^(−½)ยกกำลังสอง y: (x^(−¼))² = x^(−½)
$1+x=1+\tan^2u$x = tan²ux = tan²u
$=\sec^2u$identity: 1 + tan²u = sec²uเอกลักษณ์: 1 + tan²u = sec²u
$\sec^2u\,\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$differentiate tan u = √x with respect to xดิฟ tan u = √x เทียบกับ x
$dx=2x^{\frac{1}{2}}\sec^2u\,du$rearrange for dxจัดรูปหา dx
$x^{-\frac{1}{2}}\times2x^{\frac{1}{2}}=2$the x powers cancelกำลังของ x ตัดกัน
$y^2dx=\dfrac{2\sec^2u}{\sec^2u\,u^2}du$put the pieces togetherนำส่วนต่าง ๆ มารวมกัน
$=\dfrac{2}{u^2}\,du$sec²u cancelssec²u ตัดกัน
$x=\dfrac{1}{3}$lower limitขอบล่าง
$u=\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}}$u = arctan √xu = arctan √x
$=\dfrac{\pi}{6}$aa
$x=3$upper limitขอบบน
$u=\arctan\sqrt{3}$u = arctan √xu = arctan √x
$=\dfrac{\pi}{3}$bb
$V=2\pi\int_{\pi/6}^{\pi/3}\dfrac{1}{u^2}\,du$π × 2 = 2π outsideπ × 2 = 2π อยู่ข้างนอก
$k=2\pi$answer, with a = π/6 and b = π/3คำตอบ พร้อม a = π/6 และ b = π/3

Q9(b) The value of VQ9(b) ค่าของ V

The curve $C$ has equation $y=\dfrac{x^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{1+x}\,\left(\arctan\sqrt{x}\right)}$.
The region $R$ lies between $C$, the $x$-axis and the lines $x=\dfrac{1}{3}$ and $x=3$. $R$ turns through 360° about the $x$-axis to make a solid of volume $V$.
(b) Using $V=2\pi\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/3}\dfrac{1}{u^2}\,du$, integrate by hand to find $V$ in its simplest form. [3]

$\int\dfrac{1}{u^2}\,du=-\dfrac{1}{u}$u^(−2) integrates to −u^(−1)u^(−2) อินทิเกรตได้ −u^(−1)
$P=-\dfrac{1}{\pi/3}$upper limit u = π/3ขอบบน u = π/3
$=-\dfrac{3}{\pi}$flip the fractionกลับเศษส่วน
$Q=-\dfrac{1}{\pi/6}$lower limit u = π/6ขอบล่าง u = π/6
$=-\dfrac{6}{\pi}$flip the fractionกลับเศษส่วน
$P-Q=\dfrac{3}{\pi}$−3/π + 6/π−3/π + 6/π
$V=2\pi\times\dfrac{3}{\pi}$times k = 2πคูณ k = 2π
$=6$answer · the π cancelsคำตอบ · π ตัดกัน

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

A curve has equation $x^2+xy+y^2=7$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ at the point $(1,2)$.เส้นโค้ง $x^2+xy+y^2=7$ หา $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุด $(1,2)$
Answer:เฉลย: -4/52x + y + x p + 2y p = 0. At (1, 2): 2 + 2 + p + 4p = 0, so 5p = −4 and p = −4/5.2x + y + xp + 2yp = 0 · ที่ (1, 2): 2 + 2 + p + 4p = 0 ดังนั้น 5p = −4 และ p = −4/5
A segment of a circle of radius 4 cm has angle θ at the centre, and θ grows at 0.2 rad per second. Find the rate the area grows, in cm² per second, when θ = π/2.ส่วนของวงกลมรัศมี 4 ซม. มุมที่จุดศูนย์กลาง θ เพิ่มวินาทีละ 0.2 เรเดียน หาอัตราที่พื้นที่เพิ่ม (ตร.ซม. ต่อวินาที) เมื่อ θ = π/2
Answer:เฉลย: 1.6A = ½ × 16(θ − sin θ), so dA/dθ = 8(1 − cos θ) = 8 at θ = π/2. Then 8 × 0.2 = 1.6.A = ½ × 16(θ − sin θ) ดังนั้น dA/dθ = 8(1 − cos θ) = 8 ที่ θ = π/2 แล้ว 8 × 0.2 = 1.6
The model is $\dfrac{dx}{dt}=k-2x$, with $x=0$ when $t=0$. Over a long time $x$ gets closer and closer to 5. Find $k$.แบบจำลอง $\dfrac{dx}{dt}=k-2x$ โดย $x=0$ เมื่อ $t=0$ ระยะยาว $x$ เข้าใกล้ 5 หา $k$
Answer:เฉลย: 10The solution is x = (k/2)(1 − e^(−2t)). As t grows, e^(−2t) gets close to 0, so k/2 = 5 and k = 10.คำตอบคือ x = (k/2)(1 − e^(−2t)) เมื่อ t มากขึ้น e^(−2t) เข้าใกล้ 0 ดังนั้น k/2 = 5 และ k = 10
Find $2\pi\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac{1}{u^2}\,du$.หาค่า $2\pi\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac{1}{u^2}\,du$
Answer:เฉลย: 4The integral of 1/u² is −1/u. Top: −2/π. Bottom: −4/π. Top minus bottom is 2/π, and 2π × 2/π = 4.อินทิกรัลของ 1/u² คือ −1/u · ขอบบน −2/π · ขอบล่าง −4/π · บนลบล่าง = 2/π และ 2π × 2/π = 4

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี