Edexcel IAL Pure 4 WMA14 October 2024: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA14 Pure 4 · October 2024WMA14 Pure 4 · ต.ค. 2024

A-Level · Edexcel IAL Pure 4 (WMA14) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Binomial series: a negative fraction power · 6 marksข้อ 1 · อนุกรมทวินาม: เลขชี้กำลังเศษส่วนติดลบ · 6 คะแนน

Answer: 1/2 + x/16 + x²/64 + 7x³/1536; 5184/2851คำตอบ: 1/2 + x/16 + x²/64 + 7x³/1536; 5184/2851

Q1(a) First four termsQ1(a) สี่พจน์แรก

(a) Expand $(8-3x)^{-\frac{1}{3}}$, for $|x|\lt\dfrac{8}{3}$, as a binomial series in rising powers of $x$, up to and including the $x^3$ term. Write every coefficient as a fraction in its simplest form. [4]

$f=(8-3x)^{-\frac13}$f = the expressionf = นิพจน์ที่โจทย์ให้
$8-3x=8\left(1-\dfrac38x\right)$take 8 out, so the bracket starts with 1ดึง 8 ออก ให้วงเล็บขึ้นต้นด้วย 1
$8^{-\frac13}=\dfrac12$cube root of 8 is 2 · the minus power flips itรากที่สามของ 8 คือ 2 · เลขชี้กำลังติดลบกลับเศษส่วน
$n=-\dfrac13$the powerเลขชี้กำลัง
$a=-\dfrac38x$the second term in the bracket, sign includedพจน์ที่สองในวงเล็บ รวมเครื่องหมาย
$f=\dfrac12(1+a)^n$now f is ½ times a bracket that starts with 1ตอนนี้ f = ½ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย 1
$na=\dfrac18x$x term: (−⅓)(−⅜x)พจน์ x: (−⅓)(−⅜x)
$\dfrac{n(n-1)}{2!}=\dfrac29$(−⅓)(−4/3) ÷ 2(−⅓)(−4/3) ÷ 2
$a^2=\dfrac{9}{64}x^2$(−⅜)² = 9/64(−⅜)² = 9/64
$\dfrac29a^2=\dfrac{1}{32}x^2$x² term: 2/9 × 9/64พจน์ x²: 2/9 × 9/64
$n(n-1)(n-2)=-\dfrac{28}{27}$(−⅓)(−4/3)(−7/3)(−⅓)(−4/3)(−7/3)
$-\dfrac{28}{27}\div3!=-\dfrac{14}{81}$3! = 63! = 6
$a^3=-\dfrac{27}{512}x^3$(−⅜)³ = −27/512(−⅜)³ = −27/512
$-\dfrac{14}{81}a^3=\dfrac{7}{768}x^3$x³ term: minus times minus is plusพจน์ x³: ลบคูณลบได้บวก
$(1+a)^n\approx\eqalign{&1+\dfrac18x\cr&+\dfrac{1}{32}x^2\cr&+\dfrac{7}{768}x^3}$the bracket up to x³วงเล็บถึงพจน์ x³
$f\approx\eqalign{&\dfrac12+\dfrac{1}{16}x\cr&+\dfrac{1}{64}x^2\cr&+\dfrac{7}{1536}x^3}$times ½ · answer: four terms, rising powersคูณ ½ · คำตอบ: สี่พจน์ เรียงกำลังจากน้อยไปมาก

Q1(b) A fraction for ∛6Q1(b) เศษส่วนแทน ∛6

(b) From (a), $(8-3x)^{-\frac{1}{3}}\approx\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16}x$ $+\dfrac{1}{64}x^2+\dfrac{7}{1536}x^3$. Put $x=\dfrac{2}{3}$ into this answer to get an approximation to $\sqrt[3]{6}$ as a fraction. [2]

$x=\dfrac23$givenโจทย์ให้
$8-3x=6$3 × ⅔ = 2 and 8 − 2 = 63 × ⅔ = 2 และ 8 − 2 = 6
$(8-3x)^{-\frac13}=6^{-\frac13}$so the expression is 1 over the cube root of 6นิพจน์จึงเท่ากับ 1 หารด้วยรากที่สามของ 6
$=\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}$∛6 “cube root of 6”∛6 อ่านว่า รากที่สามของ 6
$\dfrac{1}{16}x=\dfrac{1}{24}$put x = ⅔ into each term of (a)แทน x = ⅔ ในแต่ละพจน์ของข้อ (a)
$\dfrac{1}{64}x^2=\dfrac{1}{144}$(⅔)² = 4/9(⅔)² = 4/9
$\dfrac{7}{1536}x^3=\dfrac{7}{5184}$(⅔)³ = 8/27(⅔)³ = 8/27
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{6}}\approx\dfrac{2851}{5184}$over 5184: 2592 + 216 + 36 + 7ส่วนเป็น 5184: 2592 + 216 + 36 + 7
$\sqrt[3]{6}\approx\dfrac{5184}{2851}$flip both sides · answerกลับเศษส่วนทั้งสองข้าง · คำตอบ

3. Q2 · Proof by contradiction: curves that never meet · 4 marksข้อ 2 · พิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง: เส้นโค้งที่ไม่ตัดกัน · 4 คะแนน

Answer: x² = −5 or −3, impossible for real x, so the curves do not meetคำตอบ: x² = −5 or −3, impossible for real x, so the curves do not meet

Q2 C₁ and C₂ do not meetQ2 C₁ กับ C₂ ไม่ตัดกัน

Show every step. An answer that rests on a calculator scores nothing.
Curve $C_1$ is $y=x^4+10x^2+8$, $x\in\mathbb{R}$, and curve $C_2$ is $y=2x^2-7$, $x\in\mathbb{R}$.
By algebra, and by contradiction, prove that there is no point where $C_1$ and $C_2$ meet. [4]

$x^4+10x^2+8=2x^2-7$assume: C₁ and C₂ meet, so at that x the two y values are equalสมมติ: C₁ กับ C₂ ตัดกัน ที่ x นั้นค่า y จึงเท่ากัน
$x^4+8x^2+15=0$move 2x² − 7 acrossย้าย 2x² − 7 ไปอีกข้าง
$m=x^2$call x² mให้ x² ชื่อ m
$m^2+8m+15=0$a quadratic in mสมการกำลังสองในตัวแปร m
$(m+5)(m+3)=0$factorise: 5 × 3 = 15 and 5 + 3 = 8แยกตัวประกอบ: 5 × 3 = 15 และ 5 + 3 = 8
$x^2=-5$first bracket = 0, and m = x²วงเล็บแรก = 0 และ m = x²
$x^2=-3$second bracket = 0วงเล็บที่สอง = 0
$x^2\ge0$a real number squared is never negative: a contradictionจำนวนจริงยกกำลังสองไม่มีทางติดลบ: ขัดแย้งกัน
$x^4+8x^2+15\ne0$so the equation has no real root: C₁ and C₂ do not meetสมการจึงไม่มีรากจริง: C₁ กับ C₂ ไม่ตัดกัน

4. Q3 · Parametric curve: gradient, tangent, Cartesian form · 9 marksข้อ 3 · เส้นโค้งอิงพารามิเตอร์: ความชัน เส้นสัมผัส สมการคาร์ทีเซียน · 9 คะแนน

Answer: k = −4/9; 16x + 18y − 33 = 0; 8x² = 9(2 − y)³, q = 3คำตอบ: k = −4/9; 16x + 18y − 33 = 0; 8x² = 9(2 − y)³, q = 3

Q3(a) dy/dx = k cosec θQ3(a) dy/dx = k cosec θ

A curve $C$ (sketched in the figure) is given by $x=3\sin^3\theta$, $y=1+\cos2\theta$, for $-\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$ for $\theta\ne0$, and find the constant $k$. [3]

$x=3\sin^3\theta$givenโจทย์ให้
$\dfrac{dx}{d\theta}=9\sin^2\theta\cos\theta$chain rule: 3 × 3 sin²θ × cos θกฎลูกโซ่: 3 × 3 sin²θ × cos θ
$y=1+\cos2\theta$givenโจทย์ให้
$\dfrac{dy}{d\theta}=-2\sin2\theta$the 2 inside comes outเลข 2 ข้างในออกมาคูณ
$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$double angleมุมสองเท่า
$\dfrac{dy}{d\theta}=-4\sin\theta\cos\theta$put it inแทนลงไป
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{d\theta}\div\dfrac{dx}{d\theta}$gradient of a parametric curveความชันของเส้นโค้งอิงพารามิเตอร์
$=\dfrac{-4\sin\theta\cos\theta}{9\sin^2\theta\cos\theta}$substitute bothแทนทั้งสองตัว
$=-\dfrac{4}{9\sin\theta}$cancel sin θ cos θ (θ ≠ 0)ตัด sin θ cos θ (θ ≠ 0)
$=-\dfrac49\,\text{cosec}\,\theta$1 ÷ sin θ = cosec θ1 ÷ sin θ = cosec θ
$k=-\dfrac49$answerคำตอบ

Q3(b) Tangent at PQ3(b) เส้นสัมผัสที่ P

A curve $C$ (sketched in the figure) is given by $x=3\sin^3\theta$, $y=1+\cos2\theta$, for $-\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$.
(b) The point $P$ on $C$ has $\theta=\dfrac{\pi}{6}$. From (a), $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4}{9}\,\text{cosec}\,\theta$. Find the tangent to $C$ at $P$ as $ax+by+c=0$, with $a$, $b$ and $c$ integers. [3]

$\theta=\dfrac{\pi}{6}$Pจุด P
$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$exact valueค่าที่แม่นตรง
$x=3\left(\dfrac12\right)^3$x = 3 sin³θx = 3 sin³θ
$=\dfrac38$x of Px ของ P
$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$2θ = π/32θ = π/3
$y=1+\dfrac12$y = 1 + cos 2θy = 1 + cos 2θ
$=\dfrac32$y of Py ของ P
$\text{cosec}\,\dfrac{\pi}{6}=2$1 ÷ ½1 ÷ ½
$m=-\dfrac49\times2$gradient from (a): k cosec θ, k = −4/9ความชันจากข้อ (a): k cosec θ, k = −4/9
$=-\dfrac89$gradient of the tangent at Pความชันของเส้นสัมผัสที่ P
$y-\dfrac32=-\dfrac89\left(x-\dfrac38\right)$line through P with gradient mเส้นตรงผ่าน P ความชัน m
$18y-27=-16x+6$18 × (−8/9) = −16 and −16 × (−⅜) = 618 × (−8/9) = −16 และ −16 × (−⅜) = 6
$16x+18y-33=0$answer · integers a, b, cคำตอบ · a, b, c เป็นจำนวนเต็ม

Q3(c) Cartesian equation and qQ3(c) สมการคาร์ทีเซียนและ q

A curve $C$ (sketched in the figure) is given by $x=3\sin^3\theta$, $y=1+\cos2\theta$, for $-\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$.
(c) Show that a Cartesian equation of $C$ is $8x^2=9(2-y)^3$ for $-q\le x\le q$, and find the constant $q$. [3]

$x=3\sin^3\theta$givenโจทย์ให้
$\sin^3\theta=\dfrac{x}{3}$divide by 3 and swap sidesหาร 3 แล้วสลับข้าง
$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$double angle: the sin formมุมสองเท่า: แบบที่มี sin
$y=2-2\sin^2\theta$y = 1 + cos 2θ, and 1 + 1 = 2y = 1 + cos 2θ และ 1 + 1 = 2
$y+2\sin^2\theta=2$move 2 sin²θ acrossย้าย 2 sin²θ
$2\sin^2\theta=2-y$move y acrossย้าย y
$(2-y)^3=8\sin^6\theta$cube both sides: 2³ = 8ยกกำลังสามทั้งสองข้าง: 2³ = 8
$\sin^6\theta=\dfrac{x^2}{9}$square sin³θ = x/3ยกกำลังสอง sin³θ = x/3
$(2-y)^3=\dfrac{8x^2}{9}$put it inแทนลงไป
$9(2-y)^3=8x^2$times 9คูณ 9
$8x^2=9(2-y)^3$shown · swap sidesพิสูจน์แล้ว · สลับข้าง
$\sin\theta=\pm1$x is biggest and smallest at θ = ±π/2x มากสุดและน้อยสุดที่ θ = ±π/2
$x=\pm3$x = 3 × (±1)³x = 3 × (±1)³
$q=3$answerคำตอบ

5. Q4 · Implicit differentiation: a normal · 9 marksข้อ 4 · ดิฟโดยปริยาย: เส้นตั้งฉาก · 9 คะแนน

Answer: 3 + 8 − 8 + 8 − 11 = 0; dy/dx = (4y − 6x − 8ˣ ln 8)/(4y − 4x); 2 − 12 ln 2คำตอบ: 3 + 8 − 8 + 8 − 11 = 0; dy/dx = (4y − 6x − 8ˣ ln 8)/(4y − 4x); 2 − 12 ln 2

Q4(a) P is on CQ4(a) P อยู่บน C

A curve $C$ (sketched in the figure) has equation $3x^2+2y^2-4xy+8^x-11=0$. The point $P$ is $(1,2)$.
(a) Check that $P$ is a point of $C$. [1]

$3x^2=3$x = 1, y = 2 · first termx = 1, y = 2 · พจน์แรก
$2y^2=8$2 × 2²2 × 2²
$4xy=8$4 × 1 × 24 × 1 × 2
$8^x=8$8¹8¹
$\eqalign{&3+8-8\cr&+8-11}=0$the left side of C is 0, so P is on Cฝั่งซ้ายของ C เป็น 0 ดังนั้น P อยู่บน C

Q4(b) dy/dxQ4(b) dy/dx

A curve $C$ (sketched in the figure) has equation $3x^2+2y^2-4xy+8^x-11=0$. The point $P$ is $(1,2)$.
(b) Find an expression for $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. [5]

$p=\dfrac{dy}{dx}$call the gradient pให้ความชัน dy/dx ชื่อ p
$\dfrac{d}{dx}(3x^2)=6x$differentiate each term with respect to xดิฟทีละพจน์เทียบกับ x
$\dfrac{d}{dx}(2y^2)=4yp$chain rule: y depends on x, so × pกฎลูกโซ่: y ขึ้นกับ x จึงคูณ p
$\dfrac{d}{dx}(4xy)=4y+4xp$product rule on x times yกฎผลคูณ x คูณ y
$\dfrac{d}{dx}(8^x)=8^x\ln8$a power of 8 gives itself times ln 8เลขยกกำลังฐาน 8 ดิฟได้ตัวเดิมคูณ ln 8
$E=8^x\ln8$E = that term (11 gives 0)E = พจน์นั้น (11 ดิฟได้ 0)
$G=6x-4y+E$G = the terms with no pG = พจน์ที่ไม่มี p
$4yp-4xp+G=0$all terms: 6x + 4yp − 4y − 4xp + E = 0ครบทุกพจน์: 6x + 4yp − 4y − 4xp + E = 0
$4yp-4xp=-G$move G acrossย้าย G ไปอีกข้าง
$(4y-4x)p=-G$take out pดึง p ออก
$p=\dfrac{-G}{4y-4x}$divide by the bracketหารด้วยวงเล็บ
$=\dfrac{\eqalign{&4y-6x\cr&-8^x\ln8}}{4y-4x}$answer · −G = 4y − 6x − 8ˣ ln 8คำตอบ · −G = 4y − 6x − 8ˣ ln 8

Q4(c) Where the normal meets the x-axisQ4(c) จุดที่เส้นตั้งฉากตัดแกน x

A curve $C$ (sketched in the figure) has equation $3x^2+2y^2-4xy+8^x-11=0$. The point $P$ is $(1,2)$.
(c) The normal to $C$ at $P$ meets the $x$-axis at $Q$. From (b), $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y-6x-8^x\ln8}{4y-4x}$. Find the $x$ coordinate of $Q$ in the form $a+b\ln2$, with $a$ and $b$ integers. [3]

$p=\dfrac{8-6-8\ln8}{8-4}$from (b), put in x = 1, y = 2 · 8¹ = 8จากข้อ (b) แทน x = 1, y = 2 · 8¹ = 8
$=\dfrac{2-8\ln8}{4}$gradient of the tangent at Pความชันของเส้นสัมผัสที่ P
$n=-\dfrac{1}{p}$normal: the negative reciprocalเส้นตั้งฉาก: กลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$=\dfrac{4}{8\ln8-2}$flip, and change the signกลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$y-2=n(x-1)$the normal through P(1, 2)เส้นตั้งฉากผ่าน P(1, 2)
$-2=n(x-1)$Q is on the x-axis: y = 0Q อยู่บนแกน x: y = 0
$-\dfrac{2}{n}=x-1$divide by nหารด้วย n
$x=1-\dfrac{2}{n}$move 1 across and swap sidesย้าย 1 แล้วสลับข้าง
$-\dfrac{2}{n}=-\dfrac{8\ln8-2}{2}$2 ÷ n = 2 × (8 ln 8 − 2) ÷ 42 ÷ n = 2 × (8 ln 8 − 2) ÷ 4
$=1-4\ln8$divide each term by 2หารทีละพจน์ด้วย 2
$\ln8=3\ln2$8 = 2³8 = 2³
$x=1+1-12\ln2$4 × 3 ln 2 = 12 ln 24 × 3 ln 2 = 12 ln 2
$=2-12\ln2$answer: a = 2, b = −12คำตอบ: a = 2, b = −12

6. Q5 · Connected rates: filling a cone · 6 marksข้อ 5 · อัตราสัมพัทธ์: เติมน้ำลงกรวย · 6 คะแนน

Answer: V = 4πh³/75; 1/18 cm/sคำตอบ: V = 4πh³/75; 1/18 cm/s

Q5(a) V in terms of hQ5(a) V ในรูป h

A hollow container is a right circular cone, upside down, of height 30 cm and radius 12 cm (see the figure). It is empty, and then water begins to run into it. When the water is $h$ cm deep, its surface is a circle of radius $r$ cm and the water has volume $V$ cm³.
(a) Using the cone volume formula $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$ (vertical height $h$, base radius $r$), show that $V=\dfrac{4\pi h^3}{75}$. [2]

$\dfrac{r}{h}=\dfrac{12}{30}$the water is a smaller cone of the same shapeน้ำเป็นกรวยเล็กรูปทรงเดียวกัน
$r=\dfrac25h$times h · 12/30 = 2/5คูณ h · 12/30 = 2/5
$V=\dfrac13\pi r^2h$givenโจทย์ให้
$=\dfrac13\pi\left(\dfrac25h\right)^2h$put r = 2h/5 inแทน r = 2h/5
$=\dfrac13\pi\cdot\dfrac{4}{25}h^3$(2/5)² = 4/25 · h² × h = h³(2/5)² = 4/25 · h² × h = h³
$=\dfrac{4\pi h^3}{75}$shown · 3 × 25 = 75พิสูจน์แล้ว · 3 × 25 = 75

Q5(b) dh/dt after 1.5 minutesQ5(b) dh/dt หลัง 1.5 นาที

A hollow container is a right circular cone, upside down, of height 30 cm and radius 12 cm (see the figure). It is empty, and then water begins to run into it. When the water is $h$ cm deep, its surface is a circle of radius $r$ cm and the water has volume $V$ cm³.
(b) The water runs in at a steady $2\pi$ cm³ s⁻¹. Find the rate of change of $h$, in cm s⁻¹, exactly 1.5 minutes after the water begins to run in. [4]

$V=\dfrac{4\pi h^3}{75}$from (a)จากข้อ (a)
$\dfrac{dV}{dh}=\dfrac{12\pi h^2}{75}$differentiate: 3 × 4 = 12ดิฟ: 3 × 4 = 12
$=\dfrac{4\pi h^2}{25}$cancel 3ตัด 3
$t=90$1.5 minutes = 90 seconds1.5 นาที = 90 วินาที
$V=2\pi\times90$it starts empty: volume = rate × timeเริ่มจากว่าง: ปริมาตร = อัตรา × เวลา
$=180\pi$water in after 90 sน้ำที่เข้ามาใน 90 วินาที
$\dfrac{4\pi h^3}{75}=180\pi$the two volumes are equalปริมาตรสองแบบเท่ากัน
$4\pi h^3=13500\pi$180 × 75 = 13500180 × 75 = 13500
$h^3=3375$divide by 4πหารด้วย 4π
$h=15$cube root: 15³ = 3375รากที่สาม: 15³ = 3375
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV}{dt}\div\dfrac{dV}{dh}$chain ruleกฎลูกโซ่
$=2\pi\div\dfrac{4\pi(15)^2}{25}$dV/dt = 2π · h = 15dV/dt = 2π · h = 15
$=\dfrac{2\pi}{36\pi}$4 × 225 ÷ 25 = 364 × 225 ÷ 25 = 36
$=\dfrac{1}{18}$answer · cm per secondคำตอบ · เซนติเมตรต่อวินาที

7. Q6 · Integration by substitution · 5 marksข้อ 6 · อินทิเกรตโดยการแทนค่า · 5 คะแนน

Answer: k = 1/2, A = 2คำตอบ: k = 1/2, A = 2

Q6 u = √(x³ + 1)Q6 u = √(x³ + 1)

With the substitution $u=\sqrt{x^3+1}$, show that $\displaystyle\int\dfrac{9x^5}{\sqrt{x^3+1}}\,dx$ $=2\left(x^3+1\right)^k\left(x^3-A\right)+c$, where $c$ is any constant, and find the constants $k$ and $A$. [5]

$u=\sqrt{x^3+1}$givenโจทย์ให้
$u^2=x^3+1$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$u^2-1=x^3$x³ in terms of u: move 1 acrossx³ ในรูป u: ย้าย 1
$2u\dfrac{du}{dx}=3x^2$differentiate u² = x³ + 1ดิฟ u² = x³ + 1
$dx=\dfrac{2u}{3x^2}\,du$rearrange for dxจัดให้ได้ dx
$I=\int\dfrac{9x^5}{u}\,dx$I = the integral · √(x³ + 1) = uI = อินทิกรัลนี้ · √(x³ + 1) = u
$\dfrac{9x^5}{u}\cdot\dfrac{2u}{3x^2}=6x^3$replace dx: 9 × 2 ÷ 3 = 6 · x⁵ ÷ x² = x³ · u cancelsแทน dx: 9 × 2 ÷ 3 = 6 · x⁵ ÷ x² = x³ · ตัด u
$I=\int6x^3\,du$so the integral in uจึงได้อินทิกรัลในรูป u
$=\int6(u^2-1)\,du$x³ = u² − 1: now only ux³ = u² − 1: เหลือแต่ u
$=2u^3-6u+c$add 1 to each power, divide by itบวกเลขชี้กำลังด้วย 1 แล้วหารด้วยเลขนั้น
$=2u(u^2-3)+c$take out 2uดึง 2u ออก
$u^2-3=x^3-2$u² = x³ + 1, and 1 − 3 = −2u² = x³ + 1 และ 1 − 3 = −2
$I=\eqalign{&2(x^3+1)^{\frac12}\cr&\times(x^3-2)+c}$u = (x³ + 1)^½ back inแทน u = (x³ + 1)^½ กลับ
$k=\dfrac12$answer: the powerคำตอบ: เลขชี้กำลัง
$A=2$answer: the number in the bracketคำตอบ: ตัวเลขในวงเล็บ

8. Q7 · Volume of revolution · 8 marksข้อ 7 · ปริมาตรทรงหมุน · 8 คะแนน

Answer: A = 3, B = −7; π(211/6 − 42 ln 2)คำตอบ: A = 3, B = −7; π(211/6 − 42 ln 2)

Q7(a) A + B/(x + 2)Q7(a) A + B/(x + 2)

The figure shows part of the curve $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$, $x\gt-2$.
(a) Show that $\dfrac{3x-1}{x+2}\equiv A+\dfrac{B}{x+2}$, and find the constants $A$ and $B$. [2]

$3x-1=3(x+2)-7$3(x + 2) = 3x + 6, and 6 − 7 = −13(x + 2) = 3x + 6 และ 6 − 7 = −1
$\dfrac{3x-1}{x+2}=\dfrac{3(x+2)-7}{x+2}$divide both sides by x + 2หารทั้งสองข้างด้วย x + 2
$=3-\dfrac{7}{x+2}$split the fraction: (x + 2) cancels in the first partแยกเศษส่วน: (x + 2) ตัดกันในส่วนแรก
$A=3$answerคำตอบ
$B=-7$answerคำตอบ

Q7(b) The exact volumeQ7(b) ปริมาตรแบบค่าแม่นตรง

The figure shows part of the curve $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$, $x\gt-2$.
(b) The shaded region $R$ lies between the curve, the $x$-axis and the lines $x=1$ and $x=4$. Turning $R$ through $2\pi$ radians about the $x$-axis makes a solid. Using (a), $y=3-\dfrac{7}{x+2}$, and integrating by algebra, find the exact volume of this solid as $\pi(p+q\ln2)$ with $p$ and $q$ rational. [6]

$V=\pi\int_1^4y^2\,dx$volume when turned about the x-axisปริมาตรเมื่อหมุนรอบแกน x
$y=3-\dfrac{7}{x+2}$from (a)จากข้อ (a)
$y^2=\eqalign{&9-\dfrac{42}{x+2}\cr&+\dfrac{49}{(x+2)^2}}$square: 2 × 3 × 7 = 42 and 7² = 49ยกกำลังสอง: 2 × 3 × 7 = 42 และ 7² = 49
$\int9\,dx=9x$integrate term by termอินทิเกรตทีละพจน์
$\int\dfrac{42}{x+2}dx=42\ln(x+2)$one over (x + 2) gives lnหนึ่งส่วน (x + 2) ได้ ln
$\int\dfrac{49}{(x+2)^2}dx=-\dfrac{49}{x+2}$power −2 → power −1, divide by −1กำลัง −2 → กำลัง −1 แล้วหารด้วย −1
$F=\eqalign{&9x\cr&-42\ln(x+2)\cr&-\dfrac{49}{x+2}}$F = the three parts togetherF = รวมทั้งสามส่วน
$F(4)=\eqalign{&36-42\ln6\cr&-\dfrac{49}{6}}$top limit · 4 + 2 = 6ขอบบน · 4 + 2 = 6
$F(1)=\eqalign{&9-42\ln3\cr&-\dfrac{49}{3}}$bottom limit · 1 + 2 = 3ขอบล่าง · 1 + 2 = 3
$36-9=27$F(4) − F(1): the x termsF(4) − F(1): พจน์ x
$-\dfrac{49}{6}+\dfrac{49}{3}=\dfrac{49}{6}$the fraction termsพจน์เศษส่วน
$27+\dfrac{49}{6}=\dfrac{211}{6}$27 = 162/627 = 162/6
$L=\eqalign{&42\ln3\cr&-42\ln6}$L = the ln terms of F(4) − F(1)L = พจน์ ln ของ F(4) − F(1)
$=42\ln\dfrac{3}{6}$ln a − ln b = ln(a ÷ b)ln a − ln b = ln(a ÷ b)
$=-42\ln2$ln ½ = −ln 2ln ½ = −ln 2
$V=\eqalign{&\pi(\dfrac{211}{6}\cr&-42\ln2)}$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นตรง
$p=\dfrac{211}{6}$andและ
$q=-42$the two constantsค่าคงที่ทั้งสองตัว

9. Q8 · Vector lines: meeting point, angle, distance · 10 marksข้อ 8 · เส้นตรงเวกเตอร์: จุดตัด มุม ระยะทาง · 10 คะแนน

Answer: r = (−10, 5, −4) + λ(4, −1, 3); p = −8, q = 2; 19/26; 3√910/26คำตอบ: r = (−10, 5, −4) + λ(4, −1, 3); p = −8, q = 2; 19/26; 3√910/26

Q8(a) A vector equation of l₁Q8(a) สมการเวกเตอร์ของ l₁

Measured from a fixed origin $O$, the point $A$ is $(-10,5,-4)$ and the point $B$ is $(-6,4,-1)$. The line $l_1$ goes through $A$ and $B$.
(a) Write a vector equation of $l_1$. [2]

$-6-(-10)=4$B − A, x part: the direction of l₁B − A ส่วน x: ทิศทางของ l₁
$4-5=-1$y partส่วน y
$-1-(-4)=3$z partส่วน z
$\overrightarrow{AB}=(4,-1,3)$the direction of l₁ทิศทางของ l₁
$\mathbf{r}=\eqalign{&(-10+4\lambda,\cr&\ 5-\lambda,\cr&-4+3\lambda)}$answer · start at A, move along AB · λ “lambda”คำตอบ · เริ่มที่ A เดินตาม AB · λ อ่านว่า แลมบ์ดา

Q8(b) p and qQ8(b) p และ q

Measured from a fixed origin $O$, the point $A$ is $(-10,5,-4)$ and the point $B$ is $(-6,4,-1)$. The line $l_1$ goes through $A$ and $B$.
(b) A second line $l_2$ is $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}3\\p\\q\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}$, with $p$, $q$ constant and $\mu$ a scalar parameter. The lines $l_1$ and $l_2$ meet at $B$. Find $p$ and $q$. [3]

$3+3\mu=-6$x rows: l₂ reaches B, so x = −6 · μ “mu”แถว x: l₂ ผ่าน B ดังนั้น x = −6 · μ อ่านว่า มิว
$3\mu=-9$take 3 from both sidesลบ 3 ทั้งสองข้าง
$\mu=-3$divide by 3หารด้วย 3
$p-4\mu=4$y rows: y of B is 4แถว y: y ของ B คือ 4
$p+12=4$μ = −3, so −4μ = 12μ = −3 ดังนั้น −4μ = 12
$p=-8$answerคำตอบ
$q+\mu=-1$z rows: z of B is −1แถว z: z ของ B คือ −1
$q-3=-1$μ = −3μ = −3
$q=2$answerคำตอบ

Q8(c) cos θQ8(c) cos θ

Measured from a fixed origin $O$, the point $A$ is $(-10,5,-4)$ and the point $B$ is $(-6,4,-1)$. The line $l_1$ goes through $A$ and $B$.
(c) The line $l_2$ has direction $\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}$, and $l_1$ has direction $\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}$ from (a). The acute angle between $l_1$ and $l_2$ is $\theta$. Find the exact value of $\cos\theta$. [3]

$\mathbf{d}_1\cdot\mathbf{d}_2=12+4+3$d₁ = (4, −1, 3), d₂ = (3, −4, 1): multiply row by rowd₁ = (4, −1, 3), d₂ = (3, −4, 1): คูณทีละแถว
$=19$scalar productผลคูณสเกลาร์
$|\mathbf{d}_1|=\sqrt{16+1+9}$length of d₁ความยาวของ d₁
$=\sqrt{26}$16 + 1 + 916 + 1 + 9
$|\mathbf{d}_2|=\sqrt{9+16+1}$length of d₂ความยาวของ d₂
$=\sqrt{26}$9 + 16 + 19 + 16 + 1
$\cos\theta=\dfrac{19}{\sqrt{26}\sqrt{26}}$cos θ = d₁·d₂ ÷ (|d₁||d₂|) · positive, so θ is acutecos θ = d₁·d₂ ÷ (|d₁||d₂|) · เป็นบวก θ จึงเป็นมุมแหลม
$=\dfrac{19}{26}$answer · √26 × √26 = 26คำตอบ · √26 × √26 = 26

Q8(d) Length of ACQ8(d) ความยาว AC

Measured from a fixed origin $O$, the point $A$ is $(-10,5,-4)$ and the point $B$ is $(-6,4,-1)$. The line $l_1$ goes through $A$ and $B$.
(d) The point $C$ is on $l_2$, and $AC$ is perpendicular to $l_2$. From (c), $\cos\theta=\dfrac{19}{26}$. Find the exact length of $AC$ as a surd. [2]

$AB=\sqrt{26}$AB = (4, −1, 3), the length found in (c)AB = (4, −1, 3) ความยาวเท่ากับที่หาในข้อ (c)
$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$angle ABC = θ, the acute angleมุม ABC = θ ซึ่งเป็นมุมแหลม
$=1-\dfrac{361}{676}$cos θ = 19/26 from (c)cos θ = 19/26 จากข้อ (c)
$=\dfrac{315}{676}$676 − 361 = 315676 − 361 = 315
$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{315}}{26}$square root · √676 = 26ถอดราก · √676 = 26
$AC=AB\sin\theta$right angle at C: AC is opposite θมุมฉากที่ C: AC อยู่ตรงข้าม θ
$=\sqrt{26}\cdot\dfrac{\sqrt{315}}{26}$substituteแทนค่า
$=\dfrac{\sqrt{8190}}{26}$26 × 315 = 819026 × 315 = 8190
$=\dfrac{3\sqrt{910}}{26}$answer · 8190 = 9 × 910คำตอบ · 8190 = 9 × 910

10. Q9 · Partial fractions and a differential equation · 10 marksข้อ 9 · เศษส่วนย่อยและสมการเชิงอนุพันธ์ · 10 คะแนน

Answer: 2/(2x − 1) − 1/x; k = 1/5; 141 sคำตอบ: 2/(2x − 1) − 1/x; k = 1/5; 141 s

Q9(a) Partial fractionsQ9(a) เศษส่วนย่อย

(a) Write $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ as partial fractions. [2]

$\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x-1}$one fraction for each bracketเศษส่วนหนึ่งตัวต่อหนึ่งวงเล็บ
$1=A(2x-1)+Bx$times x(2x − 1)คูณ x(2x − 1)
$1=-A$x = 0 removes Bx = 0 ทำให้ B หายไป
$A=-1$soดังนั้น
$1=\dfrac12B$x = ½ removes Ax = ½ ทำให้ A หายไป
$B=2$times 2 and swap sidesคูณ 2 แล้วสลับข้าง
$\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x}$answerคำตอบ

Q9(b) Solve the modelQ9(b) แก้สมการแบบจำลอง

(b) On a fairground ride, $t$ seconds after the start, one carriage is $h$ metres above the ground. The model is $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\left(\dfrac{t}{10}\right)$. When the ride starts, the carriage is 2.5 m above the ground. From (a), $\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x}$. Solve the differential equation and show that the model gives $h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin\left(\frac{t}{10}\right)}}$, and find the constant $k$. [6]

$C=\cos\dfrac{t}{10}$C = the cos part of the modelC = ส่วน cos ของแบบจำลอง
$\int\dfrac{dh}{h(2h-1)}=\int\dfrac{C}{50}\,dt$separate: h on the left, t on the rightแยกตัวแปร: h ไว้ซ้าย t ไว้ขวา
$\dfrac{1}{h(2h-1)}=\dfrac{2}{2h-1}-\dfrac{1}{h}$from (a), with h for xจากข้อ (a) ใช้ h แทน x
$\int\dfrac{2}{2h-1}\,dh=\ln(2h-1)$the top is the derivative of the bottom · 2h − 1 > 0 hereตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วน · ที่นี่ 2h − 1 > 0
$\int\dfrac{1}{h}\,dh=\ln h$h > 0h > 0
$\int\dfrac{C}{50}\,dt=\dfrac15\sin\dfrac{t}{10}$∫ cos(t/10) dt = 10 sin(t/10), and 10/50 = ⅕∫ cos(t/10) dt = 10 sin(t/10) และ 10/50 = ⅕
$w=\dfrac15\sin\dfrac{t}{10}$call this wให้ส่วนนี้ชื่อ w
$\eqalign{&\ln(2h-1)\cr&-\ln h}=w+c$both sides integrated · c = constantอินทิเกรตทั้งสองข้าง · c = ค่าคงที่
$\ln\dfrac{2h-1}{h}=w+c$ln a − ln b = ln(a ÷ b)ln a − ln b = ln(a ÷ b)
$\ln\dfrac{4}{2.5}=0+c$start: t = 0, h = 2.5 · 2 × 2.5 − 1 = 4 · sin 0 = 0เริ่มต้น: t = 0, h = 2.5 · 2 × 2.5 − 1 = 4 · sin 0 = 0
$c=\ln1.6$4 ÷ 2.5 = 1.64 ÷ 2.5 = 1.6
$\ln\dfrac{2h-1}{h}=w+\ln1.6$put c backแทน c กลับ
$\dfrac{2h-1}{h}=1.6e^w$e to the power of both sidesยก e กำลังทั้งสองข้าง
$2h-1=1.6he^w$times hคูณ h
$2h=1.6he^w+1$move 1 acrossย้าย 1
$2h-1.6he^w=1$h terms on one sideพจน์ที่มี h ไว้ข้างเดียว
$h(2-1.6e^w)=1$take out hดึง h ออก
$h=\dfrac{1}{2-1.6e^w}$divide by the bracketหารด้วยวงเล็บ
$=\dfrac{5}{10-8e^w}$times 5 on top and bottomคูณ 5 ทั้งเศษและส่วน
$h=\dfrac{5}{10-8e^{\frac15\sin\frac{t}{10}}}$put w back · shownแทน w กลับ · พิสูจน์แล้ว
$k=\dfrac15$answerคำตอบ

Q9(c) The 3rd highest pointQ9(c) จุดสูงสุดครั้งที่ 3

(c) Using the model from (b), $h=\dfrac{5}{10-8e^{\frac{1}{5}\sin\left(\frac{t}{10}\right)}}$, find how long it takes the carriage to reach its greatest height for the third time. Answer to the nearest second. A method that relies only on a calculator is not accepted. [2]

$h=\dfrac{5}{10-8e^{\frac15\sin\frac{t}{10}}}$from (b), with k = ⅕จากข้อ (b) โดย k = ⅕
$\sin\dfrac{t}{10}=1$h is biggest when the bottom is smallest: sin t/10 at its biggesth มากที่สุดเมื่อตัวส่วนน้อยที่สุด: sin t/10 มากที่สุด
$\dfrac{t}{10}=\dfrac{\pi}{2}$radians · the 1st timeเรเดียน · ครั้งที่ 1
$\dfrac{t}{10}=\dfrac{5\pi}{2}$the 2nd time: add 2πครั้งที่ 2: บวก 2π
$\dfrac{t}{10}=\dfrac{9\pi}{2}$the 3rd time: add 2π againครั้งที่ 3: บวก 2π อีกครั้ง
$t=45\pi$times 10คูณ 10
$\approx141\text{ s}$answer · 141.37…, nearest secondคำตอบ · 141.37… ปัดเป็นวินาที

11. Q10 · Parametric area, by parts · 8 marksข้อ 10 · พื้นที่อิงพารามิเตอร์ แยกส่วน · 8 คะแนน

Answer: k = 12; 2π − 8/3คำตอบ: k = 12; 2π − 8/3

Q10(a) Area as an integral in tQ10(a) พื้นที่เป็นอินทิกรัลใน t

The figure shows the curve $x=3t^2$, $y=\sin t\sin2t$, for $0\le t\le\dfrac{\pi}{2}$. The shaded region $R$ lies between the curve and the $x$-axis.
(a) Show that $R$ has area $k\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin^2t\cos t\,dt$, and find the constant $k$. [3]

$\text{area}=\int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$area under a curve given by tพื้นที่ใต้เส้นโค้งที่ให้ในรูป t
$\dfrac{dx}{dt}=6t$x = 3t²x = 3t²
$\sin2t=2\sin t\cos t$double angleมุมสองเท่า
$J=\sin^2t\cos t$J = sin²t cos tJ = sin²t cos t
$y=2J$y = sin t × 2 sin t cos ty = sin t × 2 sin t cos t
$y\dfrac{dx}{dt}=12tJ$2J × 6t2J × 6t
$t=0$at O: x = 0ที่ O: x = 0
$t=\dfrac{\pi}{2}$the other end: y = 0 againปลายอีกด้าน: y = 0 อีกครั้ง
$\text{area}=12\int_0^{\frac{\pi}{2}}tJ\,dt$put it togetherรวมกัน
$=\eqalign{&12\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin^2t\cr&\times\cos t\,dt}$J back in · shownแทน J กลับ · พิสูจน์แล้ว
$k=12$answerคำตอบ

Q10(b) The exact areaQ10(b) พื้นที่แบบค่าแม่นตรง

The figure shows the curve $x=3t^2$, $y=\sin t\sin2t$, for $0\le t\le\dfrac{\pi}{2}$. The shaded region $R$ lies between the curve and the $x$-axis.
(b) From (a), the area of $R$ is $12\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin^2t\cos t\,dt$. Integrate by algebra to find the exact area of $R$ as $p\pi+q$, with $p$ and $q$ constants. [5]

$J=\sin^2t\cos t$J = the trig partJ = ส่วนตรีโกณ
$I=\int tJ\,dt$by parts: u = t, dv/dt = Jแยกส่วน: u = t, dv/dt = J
$\int J\,dt=\dfrac13\sin^3t$reverse chain rule: cos t is the derivative of sin tกฎลูกโซ่ย้อนกลับ: cos t คืออนุพันธ์ของ sin t
$S=\int\sin^3t\,dt$S = the integral left overS = อินทิกรัลที่เหลือ
$I=\eqalign{&\dfrac13t\sin^3t\cr&-\dfrac13S}$u v − ∫ v du/dt dtu v − ∫ v du/dt dt
$\sin^2t=1-\cos^2t$Pythagoras identityเอกลักษณ์พีทาโกรัส
$K=\sin t\cos^2t$K = sin t × cos²tK = sin t × cos²t
$\sin^3t=\sin t-K$sin t × sin²t, multiplied outsin t × sin²t แล้วกระจาย
$\int\sin t\,dt=-\cos t$first partส่วนแรก
$\int K\,dt=-\dfrac13\cos^3t$reverse chain rule: −sin t is the derivative of cos tกฎลูกโซ่ย้อนกลับ: −sin t คืออนุพันธ์ของ cos t
$S=\eqalign{&-\cos t\cr&+\dfrac13\cos^3t}$first part minus second partส่วนแรกลบส่วนที่สอง
$G=\eqalign{&4t\sin^3t\cr&+4\cos t\cr&-\dfrac43\cos^3t}$G = 12I: 12 × ⅓ = 4, 12 × ⅓ × ⅓ = 4/3G = 12I: 12 × ⅓ = 4 และ 12 × ⅓ × ⅓ = 4/3
$G\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\pi$top limit: sin = 1, cos = 0 · 4 × π/2ขอบบน: sin = 1, cos = 0 · 4 × π/2
$G(0)=4-\dfrac43$bottom limit: sin 0 = 0, cos 0 = 1ขอบล่าง: sin 0 = 0, cos 0 = 1
$=\dfrac83$12/3 − 4/312/3 − 4/3
$\text{area}=2\pi-\dfrac83$answer · top minus bottom, area = 12Iคำตอบ · ขอบบนลบขอบล่าง พื้นที่ = 12I
$p=2$andและ
$q=-\dfrac83$the two constantsค่าคงที่ทั้งสองตัว

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Find the coefficient of $x^2$ in the binomial expansion of $(1-2x)^{-\frac{1}{2}}$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจายทวินามของ $(1-2x)^{-\frac{1}{2}}$
Answer:เฉลย: 3/2n(n − 1)/2 = (−½)(−3/2)/2 = 3/8, and (−2)² = 4, so 3/8 × 4 = 3/2.n(n − 1)/2 = (−½)(−3/2)/2 = 3/8 และ (−2)² = 4 จึงได้ 3/8 × 4 = 3/2
A curve has $x=t^2$, $y=t^3$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ when $t=2$.เส้นโค้ง $x=t^2$, $y=t^3$ หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $t=2$
Answer:เฉลย: 3dy/dt = 3t², dx/dt = 2t, so dy/dx = 3t²/(2t) = 3t/2 = 3 at t = 2.dy/dt = 3t², dx/dt = 2t ดังนั้น dy/dx = 3t/2 = 3 เมื่อ t = 2
A cone of water has $V=\dfrac{1}{3}\pi h^3$. Water goes in at $4\pi$ cm³ s⁻¹. Find $\dfrac{dh}{dt}$ when $h=2$.กรวยน้ำมี $V=\dfrac{1}{3}\pi h^3$ น้ำเข้า $4\pi$ ลบ.ซม. ต่อวินาที หา $\dfrac{dh}{dt}$ เมื่อ $h=2$
Answer:เฉลย: 1dV/dh = πh² = 4π at h = 2, so dh/dt = 4π ÷ 4π = 1 cm/s.dV/dh = πh² = 4π เมื่อ h = 2 ดังนั้น dh/dt = 4π ÷ 4π = 1 ซม./วินาที
Find $\cos\theta$ for the angle between $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$.หา $\cos\theta$ ของมุมระหว่าง $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ กับ $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$
Answer:เฉลย: 8/9Scalar product 2 + 4 + 2 = 8; each length is √9 = 3; cos θ = 8/9.ผลคูณสเกลาร์ 2 + 4 + 2 = 8 · ความยาวแต่ละตัว √9 = 3 · cos θ = 8/9
Write $\dfrac{1}{x(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}$. Find $B$.เขียน $\dfrac{1}{x(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}$ หา $B$
Answer:เฉลย: 11 = A(x − 1) + Bx. Put x = 1: 1 = B.1 = A(x − 1) + Bx · แทน x = 1 ได้ 1 = B

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี