Edexcel IAL Pure 4 WMA14 January 2025: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA14 Pure 4 · January 2025WMA14 Pure 4 · ม.ค. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 4 (WMA14) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Volume of revolution · 5 marksข้อ 1 · ปริมาตรจากการหมุน · 5 คะแนน

Answer: 32π/5คำตอบ: 32π/5

Q1 Turn R about the x-axisQ1 หมุน R รอบแกน x

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
The figure shows the curve $y=\dfrac{4}{x+2}$, for $x>-2$. The shaded region $R$ lies between the curve, the line $x=8$ and the two coordinate axes.
$R$ is turned through a full 360° about the $x$-axis. Use calculus to work out the exact volume of the solid this makes, and write it as simply as possible. [5]

$V=\pi\int_0^8y^2\,dx$volume when R turns about the x-axisปริมาตรเมื่อหมุน R รอบแกน x
$y^2=\dfrac{16}{(x+2)^2}$square y: 4² = 16ยกกำลังสอง y: 4² = 16
$J=\int_0^8(x+2)^{-2}dx$J = the integral without the 16J = อินทิกรัลที่ไม่มี 16
$V=16\pi J$take 16π outsideดึง 16π ออกมาข้างหน้า
$J=\Big[-(x+2)^{-1}\Big]_0^8$add 1 to the power, divide by −1บวกเลขชี้กำลังด้วย 1 แล้วหารด้วย −1
$=-\dfrac{1}{10}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)$top x = 8: −1/10 · bottom x = 0: −1/2ขอบบน x = 8: −1/10 · ขอบล่าง x = 0: −1/2
$=\dfrac{2}{5}$−1/10 + 5/10 = 4/10−1/10 + 5/10 = 4/10
$V=16\pi\times\dfrac{2}{5}$put J backแทน J กลับเข้าไป
$=\dfrac{32\pi}{5}$answer · exact, simplest formคำตอบ · ค่าแม่นตรง รูปอย่างง่าย

3. Q2 · Implicit differentiation with 2ˣ · 8 marksข้อ 2 · ดิฟโดยปริยายที่มี 2ˣ · 8 คะแนน

Answer: dy/dx = (10·2ˣ ln 2 − 3 − 8xy)/(10y + 4x²); (10 ln 2 − 3)/30คำตอบ: dy/dx = (10·2ˣ ln 2 − 3 − 8xy)/(10y + 4x²); (10 ln 2 − 3)/30

Q2(a) dy/dx in x and yQ2(a) dy/dx ในรูป x และ y

A curve $C$ has the equation $3x+5y^2+4x^2y=10(2^x)+35$, with $y>0$.
(a) Work out an expression for $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. [6]

$p=\dfrac{dy}{dx}$call the gradient pให้ความชัน dy/dx ชื่อ p
$\dfrac{d}{dx}(3x)=3$differentiate each term with respect to xดิฟทีละพจน์เทียบกับ x
$\dfrac{d}{dx}(5y^2)=10yp$chain rule: y depends on x, so × pกฎลูกโซ่: y ขึ้นกับ x จึงคูณ p
$\dfrac{d}{dx}(4x^2y)=8xy+4x^2p$product rule on x² times yกฎผลคูณ x² คูณ y
$\dfrac{d}{dx}(2^x)=2^x\ln2$a power of 2 gives itself times ln 2เลขยกกำลังฐาน 2 ดิฟได้ตัวเดิมคูณ ln 2
$R=10\cdot2^x\ln2$R = the right side, differentiated (35 gives 0)R = ฝั่งขวาที่ดิฟแล้ว (35 ดิฟได้ 0)
$S=3+8xy$S = the left-side terms with no pS = พจน์ฝั่งซ้ายที่ไม่มี p
$S+10yp+4x^2p=R$all the terms: 3 + 10yp + 8xy + 4x²p = Rครบทุกพจน์: 3 + 10yp + 8xy + 4x²p = R
$10yp+4x^2p=R-S$move S acrossย้าย S ไปอีกข้าง
$(10y+4x^2)p=R-S$take out pดึง p ออก
$p=\dfrac{R-S}{10y+4x^2}$divide by the bracketหารด้วยวงเล็บ
$=\dfrac{\eqalign{&10\cdot2^x\ln2\cr&-3-8xy}}{10y+4x^2}$answer · put R and S backคำตอบ · แทน R และ S กลับ

Q2(b) Gradient where C meets the y-axisQ2(b) ความชันที่ C ตัดแกน y

A curve $C$ has the equation $3x+5y^2+4x^2y=10(2^x)+35$, with $y>0$.
(b) $C$ crosses the $y$-axis at $P$. From (a): $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{10\cdot2^x\ln2-3-8xy}{10y+4x^2}$. Find the exact gradient of the tangent to $C$ at $P$. [2]

$x=0$P is on the y-axisP อยู่บนแกน y
$5y^2=10(2^0)+35$the x terms are 0พจน์ที่มี x เป็น 0
$=45$2⁰ = 1, so 10 + 352⁰ = 1 จึงได้ 10 + 35
$5y^2=45$from the two rows aboveจากสองบรรทัดข้างบน
$y^2=9$divide by 5หารด้วย 5
$y=3$y > 0, so not −3 · P is (0, 3)y > 0 จึงไม่ใช่ −3 · P คือ (0, 3)
$p=\dfrac{10\ln2-3-0}{30+0}$put x = 0, y = 3 into (a) · 2⁰ = 1แทน x = 0, y = 3 ในข้อ (a) · 2⁰ = 1
$=\dfrac{10\ln2-3}{30}$answer · exactคำตอบ · ค่าแม่นตรง

4. Q3 · Binomial series with a fractional power · 8 marksข้อ 3 · อนุกรมทวินามกำลังเศษส่วน · 8 คะแนน

Answer: A = 2/3, B = 3, C = 1/32; −6 < x < 6; −5/1152คำตอบ: A = 2/3, B = 3, C = 1/32; −6 < x < 6; −5/1152

Q3(a) Find A, B and CQ3(a) หา A, B และ C

In ascending powers of $x$, the binomial expansion of $6(4+Ax)^{-\frac12}$ starts $B-\dfrac14x+Cx^2+\dots$
(a) Work out the values of the constants $A$, $B$ and $C$. [5]

$4^{-\frac12}=\dfrac12$take the 4 out: 4^(−½) = 1/√4ดึง 4 ออก: 4^(−½) = 1/√4
$6\times\dfrac12=3$times the 6 in frontคูณ 6 ที่อยู่ข้างหน้า
$f=3\left(1+\dfrac{Ax}{4}\right)^{-\frac12}$f = the expression · now it starts with 1f = นิพจน์นี้ · ตอนนี้ขึ้นต้นด้วย 1
$B=3$the term with no xพจน์ที่ไม่มี x
$n=-\dfrac12$the powerเลขชี้กำลัง
$3n\times\dfrac{A}{4}=-\dfrac{3A}{8}$x term: 3 × n × A/4พจน์ x: 3 × n × A/4
$-\dfrac{3A}{8}=-\dfrac14$the x term must be −¼พจน์ x ต้องเป็น −¼
$3A=2$times −8คูณ −8
$A=\dfrac23$divide by 3หารด้วย 3
$\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac38$x² term: (−½)(−3/2) ÷ 2พจน์ x²: (−½)(−3/2) ÷ 2
$\left(\dfrac{A}{4}\right)^2=\dfrac{1}{36}$A/4 = 2/3 ÷ 4 = 1/6A/4 = 2/3 ÷ 4 = 1/6
$C=3\times\dfrac38\times\dfrac1{36}$3 × n(n − 1)/2 × (A/4)²3 × n(n − 1)/2 × (A/4)²
$=\dfrac{1}{32}$answer: B = 3, A = 2/3, C = 1/32คำตอบ: B = 3, A = 2/3, C = 1/32

Q3(b) When the series is validQ3(b) อนุกรมใช้ได้เมื่อไร

In ascending powers of $x$, the binomial expansion of $6(4+Ax)^{-\frac12}$ starts $B-\dfrac14x+Cx^2+\dots$
(b) From (a): $A=\dfrac23$. State the set of $x$ values for which the expansion holds. [1]

$\left|\dfrac{Ax}{4}\right|\lt1$the series for (1 + u)ⁿ needs |u| < 1อนุกรมของ (1 + u)ⁿ ต้องมี |u| < 1
$\left|\dfrac{x}{6}\right|\lt1$A/4 = 1/6A/4 = 1/6
$|x|\lt6$times 6คูณ 6
$-6\lt x\lt6$answer · the mark scheme also accepts −6 < x ≤ 6คำตอบ · เฉลยรับ −6 < x ≤ 6 ด้วย

Q3(c) The x³ coefficientQ3(c) สัมประสิทธิ์ของ x³

In ascending powers of $x$, the binomial expansion of $6(4+Ax)^{-\frac12}$ starts $B-\dfrac14x+Cx^2+\dots$
(c) From (a): $A=\dfrac23$. In the same expansion, work out the coefficient of $x^3$. [2]

$n(n-1)(n-2)=-\dfrac{15}{8}$(−½)(−3/2)(−5/2)(−½)(−3/2)(−5/2)
$\dfrac{-15}{8\times6}=-\dfrac{5}{16}$divide by 3! = 6หารด้วย 3! = 6
$\left(\dfrac{A}{4}\right)^3=\dfrac{1}{216}$(1/6)³(1/6)³
$c=\eqalign{&3\times\left(-\dfrac{5}{16}\right)\cr&\times\dfrac{1}{216}}$c = the coefficient of x³ · 3 in frontc = สัมประสิทธิ์ของ x³ · มี 3 อยู่ข้างหน้า
$=-\dfrac{15}{16}\times\dfrac{1}{216}$3 × (−5/16)3 × (−5/16)
$=-\dfrac{5}{1152}$answer · 15/3456 = 5/1152คำตอบ · 15/3456 = 5/1152

5. Q4 · Rates of change and a differential equation · 10 marksข้อ 4 · อัตราการเปลี่ยนแปลงและสมการเชิงอนุพันธ์ · 10 คะแนน

Answer: 0.7 cm/s; T ≈ 46.8 hoursคำตอบ: 0.7 cm/s; T ≈ 46.8 hours

Q4(i) How fast the radius growsQ4(i) รัศมีโตเร็วแค่ไหน

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
(i) A balloon is a sphere. Its volume $V$ goes up at a steady $70\pi$ cm³ per second. A sphere of radius $r$ has volume $V=\dfrac43\pi r^3$. At the moment the radius is 5 cm, find how fast the radius is growing, in cm per second. [4]

$V=\dfrac43\pi r^3$the volume formulaสูตรปริมาตร
$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$differentiate with respect to rดิฟเทียบกับ r
$\dfrac{dV}{dt}=70\pi$the volume grows by 70π cm³ each secondปริมาตรเพิ่มวินาทีละ 70π ลบ.ซม.
$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dV}{dt}\div\dfrac{dV}{dr}$chain ruleกฎลูกโซ่
$r=5$the moment we wantขณะที่โจทย์ถาม
$\dfrac{dV}{dr}=100\pi$4π × 5² = 4π × 254π × 5² = 4π × 25
$\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{70\pi}{100\pi}$chain rule with the numbersแทนตัวเลขในกฎลูกโซ่
$=0.7$answer · cm per secondคำตอบ · ซม. ต่อวินาที

Q4(ii) The time for the water to reach 10 cmQ4(ii) เวลาที่น้ำลึกถึง 10 ซม.

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
(ii) In a cave, the water depth at one point is $h$ cm, $t$ hours after people start to measure it. The model is $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^3}$, with $k$ a constant. At the start the depth is 4 cm; after 5 hours it is 6 cm; after $T$ hours it is 10 cm. Solve the differential equation and use it to find $T$, to 1 d.p. [6]

$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^3}$the modelแบบจำลอง
$\int h^3\,dh=\int k\,dt$separate: h on the left, t on the rightแยกตัวแปร: h ไว้ซ้าย t ไว้ขวา
$\dfrac{h^4}{4}=kt+c$integrate both sidesอินทิเกรตทั้งสองข้าง
$c=\dfrac{4^4}{4}$put t = 0, h = 4แทน t = 0, h = 4
$=64$256 ÷ 4256 ÷ 4
$\dfrac{6^4}{4}=5k+64$put t = 5, h = 6แทน t = 5, h = 6
$324=5k+64$1296 ÷ 4 = 3241296 ÷ 4 = 324
$260=5k$move 64 acrossย้าย 64
$k=52$divide by 5หารด้วย 5
$\dfrac{h^4}{4}=52t+64$the model with c and kสมการที่ได้ค่า c และ k แล้ว
$\dfrac{10^4}{4}=52T+64$put h = 10, t = Tแทน h = 10, t = T
$2500=52T+64$10000 ÷ 4 = 250010000 ÷ 4 = 2500
$2436=52T$move 64 acrossย้าย 64
$T=\dfrac{609}{13}$divide by 52หารด้วย 52
$\approx46.85$calculatorกดเครื่องคิดเลข
$T\approx46.8$answer · hours, 1 d.p.คำตอบ · ชั่วโมง ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

6. Q5 · Integration: by parts and partial fractions · 10 marksข้อ 5 · อินทิเกรต: แยกส่วนและเศษส่วนย่อย · 10 คะแนน

Answer: (e^(4x)/32)(8x² − 4x + 1) + c; k = 8/45คำตอบ: (e^(4x)/32)(8x² − 4x + 1) + c; k = 8/45

Q5(i) By parts, twiceQ5(i) แยกส่วนสองรอบ

(i) Work out $\displaystyle\int x^2e^{4x}\,dx$, and give the result in its simplest form. [4]

$I=\int x^2e^{4x}\,dx$I = the integralI = อินทิกรัลนี้
$u=x^2$by parts: u is the part to differentiateแยกส่วน: u คือส่วนที่จะดิฟ
$u'=2x$differentiate uดิฟ u
$v=\dfrac14e^{4x}$integrate e^(4x): the 4 gives ¼อินทิเกรต e^(4x): 4 ข้างในให้ ¼
$I=uv-\int vu'\,dx$by partsสูตรแยกส่วน
$uv=\dfrac14x^2e^{4x}$u times vu คูณ v
$vu'=\dfrac12xe^{4x}$¼ e^(4x) × 2x¼ e^(4x) × 2x
$I=uv-\dfrac12K$K = ∫ x e^(4x) dx · the ½ comes outK = ∫ x e^(4x) dx · ดึง ½ ออกมา
$K=uv-\int v\,dx$by parts again: now u = x, u′ = 1, v = ¼ e^(4x)แยกส่วนอีกรอบ: คราวนี้ u = x, u′ = 1, v = ¼ e^(4x)
$=\dfrac14xe^{4x}-\dfrac1{16}e^{4x}$uv = ¼x e^(4x) · ∫ ¼ e^(4x) dx = 1/16 e^(4x)uv = ¼x e^(4x) · ∫ ¼ e^(4x) dx = 1/16 e^(4x)
$\dfrac12K=\dfrac18xe^{4x}-\dfrac1{32}e^{4x}$half of Kครึ่งหนึ่งของ K
$I=\eqalign{&\dfrac{e^{4x}}{32}(8x^2\cr&-4x+1)+c}$answer · uv − ½K = e^(4x)(x²/4 − x/8 + 1/32), all over 32คำตอบ · uv − ½K = e^(4x)(x²/4 − x/8 + 1/32) แล้วทำส่วนเป็น 32

Q5(ii) Partial fractions, then ln kQ5(ii) เศษส่วนย่อย แล้วได้ ln k

(ii) Using partial fractions and integrating by algebra, show that $\displaystyle\int_4^7\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$, and find $k$, a rational number in its simplest form. [6]

$f=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{2-x}$f = the fraction inside · partial fractionsf = เศษส่วนในอินทิกรัล · แยกเศษส่วนย่อย
$P=A(2-x)$P = the A part, over the common bottomP = ส่วนของ A เมื่อใช้ส่วนร่วม
$Q=B(2x+1)$Q = the B part, over the common bottomQ = ส่วนของ B เมื่อใช้ส่วนร่วม
$2x+11=P+Q$times (2x + 1)(2 − x)คูณ (2x + 1)(2 − x)
$15=0+5B$x = 2: 2 × 2 + 11 = 15, P = 0, Q = 5Bx = 2: 2 × 2 + 11 = 15, P = 0, Q = 5B
$B=3$divide by 5หารด้วย 5
$10=\dfrac52A+0$x = −½: 2(−½) + 11 = 10, P = (5/2)A, Q = 0x = −½: 2(−½) + 11 = 10, P = (5/2)A, Q = 0
$A=4$times 2/5คูณ 2/5
$f=\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$the partial fractionsเศษส่วนย่อยที่ได้
$I_1=\int\dfrac{4}{2x+1}dx$I₁ = the first pieceI₁ = ก้อนแรก
$=2\ln|2x+1|$the 2 inside gives ½ · 4 × ½ = 22 ข้างในให้ ½ · 4 × ½ = 2
$I_2=\int\dfrac{3}{2-x}dx$I₂ = the second pieceI₂ = ก้อนที่สอง
$=-3\ln|2-x|$the −1 inside gives −1−1 ข้างในให้ −1
$J_1=2\ln15-2\ln9$J₁ = I₁ from 4 to 7 · 2 × 7 + 1 = 15, 2 × 4 + 1 = 9J₁ = I₁ จาก 4 ถึง 7 · 2 × 7 + 1 = 15, 2 × 4 + 1 = 9
$=2\ln\dfrac{5}{3}$ln p − ln q = ln(p ÷ q) · 15/9 = 5/3ln p − ln q = ln(p ÷ q) · 15/9 = 5/3
$=\ln\dfrac{25}{9}$power law: (5/3)²กฎกำลัง: (5/3)²
$J_2=-3\ln5+3\ln2$J₂ = I₂ from 4 to 7 · |2 − 7| = 5, |2 − 4| = 2J₂ = I₂ จาก 4 ถึง 7 · |2 − 7| = 5, |2 − 4| = 2
$=3\ln\dfrac{2}{5}$ln p − ln q = ln(p ÷ q)ln p − ln q = ln(p ÷ q)
$=\ln\dfrac{8}{125}$power law: (2/5)³กฎกำลัง: (2/5)³
$I=J_1+J_2$I = the whole integral from 4 to 7I = อินทิกรัลทั้งหมดจาก 4 ถึง 7
$=\eqalign{&\ln\dfrac{25}{9}\cr&+\ln\dfrac{8}{125}}$put J₁ and J₂ inแทน J₁ และ J₂
$=\ln\dfrac{200}{1125}$ln p + ln q = ln(pq) · 25 × 8 = 200, 9 × 125 = 1125ln p + ln q = ln(pq) · 25 × 8 = 200, 9 × 125 = 1125
$=\ln\dfrac{8}{45}$answer · ÷ 25 top and bottom · k = 8/45คำตอบ · หาร 25 ทั้งเศษและส่วน · k = 8/45

7. Q6 · Proof by contradiction · 4 marksข้อ 6 · การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง · 4 คะแนน

Answer: Proof: an even n = 2k gives n² − 4n + 5 = 2(2k² − 4k + 2) + 1, which is odd, a contradictionคำตอบ: Proof: an even n = 2k gives n² − 4n + 5 = 2(2k² − 4k + 2) + 1, which is odd, a contradiction

Q6 If n² − 4n + 5 is even, n is oddQ6 ถ้า n² − 4n + 5 เป็นคู่ แล้ว n เป็นคี่

$n$ is a natural number, $n\in\mathbb{N}$.
Prove by contradiction, using algebra, the statement: “when $n^2-4n+5$ is even, $n$ must be odd”. [4]

$n=2k$assume the opposite: n² − 4n + 5 is even AND n is even · k is a whole numberสมมติตรงข้าม: n² − 4n + 5 เป็นคู่ และ n เป็นคู่ · k เป็นจำนวนเต็ม
$n^2=4k^2$(2k)²(2k)²
$4n=8k$4 × 2k4 × 2k
$n^2-4n+5=4k^2-8k+5$put them inแทนค่าลงไป
$=4(k^2-2k)+5$take out 4ดึง 4 ออก
$=\eqalign{&2(2k^2-4k+2)\cr&+1}$write it as 2 × (whole number) + 1เขียนเป็น 2 × (จำนวนเต็ม) + 1
$n^2-4n+5=\text{odd}$two times a whole number, plus 1, is odd · but we assumed it is even: a contradictionสองคูณจำนวนเต็มแล้วบวก 1 เป็นคี่ · แต่เราสมมติว่าเป็นคู่: ขัดแย้งกัน
$n\ \text{is odd}$so the assumption is false: if n² − 4n + 5 is even, then n is oddข้อสมมติจึงผิด: ถ้า n² − 4n + 5 เป็นคู่ แล้ว n เป็นคี่

8. Q7 · Integration by a trig substitution · 6 marksข้อ 7 · อินทิเกรตโดยแทนด้วยตรีโกณ · 6 คะแนน

Answer: √3/24คำตอบ: √3/24

Q7 Substitute x = 4 sin θQ7 แทน x = 4 sin θ

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
With the substitution $x=4\sin\theta$, work out the exact value of $\displaystyle\int_2^{2\sqrt3}\dfrac{1}{(16-x^2)^{\frac32}}\,dx$. [6]

$x=4\sin\theta$the substitution · θ “theta”ตัวแปรที่จะแทน · θ อ่านว่า “ทีตา”
$\dfrac{dx}{d\theta}=4\cos\theta$differentiateดิฟ
$dx=4\cos\theta\,d\theta$times both sides by dθคูณ dθ ทั้งสองข้าง
$16-x^2=16-16\sin^2\theta$x² = 16 sin²θx² = 16 sin²θ
$=16\cos^2\theta$1 − sin²θ = cos²θ1 − sin²θ = cos²θ
$(16\cos^2\theta)^{\frac32}=64\cos^3\theta$power 3/2: √16 = 4, 4³ = 64ยกกำลัง 3/2: √16 = 4, 4³ = 64
$\sin\theta=\dfrac12$bottom limit x = 2: 4 sin θ = 2ขอบล่าง x = 2: 4 sin θ = 2
$\theta=\dfrac{\pi}{6}$new bottom limitขอบล่างใหม่
$\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$top limit x = 2√3: 4 sin θ = 2√3ขอบบน x = 2√3: 4 sin θ = 2√3
$\theta=\dfrac{\pi}{3}$new top limitขอบบนใหม่
$g=\dfrac{4\cos\theta}{64\cos^3\theta}$g = the new inside: dx over (16 − x²)^(3/2)g = ตัวข้างในใหม่: dx หารด้วย (16 − x²)^(3/2)
$=\dfrac{1}{16\cos^2\theta}$4 ÷ 64 = 1/16 · cancel cos θ4 ÷ 64 = 1/16 · ตัด cos θ
$=\dfrac{1}{16}\sec^2\theta$1/cos²θ = sec²θ1/cos²θ = sec²θ
$I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}g\,d\theta$I = the integral, all in θI = อินทิกรัลนี้ เขียนเป็น θ ทั้งหมด
$K=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sec^2\theta\,d\theta$K = the integral of sec²θ, same limitsK = อินทิกรัลของ sec²θ ขอบเดิม
$I=\dfrac{1}{16}K$g = (1/16) sec²θ, so take 1/16 outg = (1/16) sec²θ จึงดึง 1/16 ออก
$K=\Big[\tan\theta\Big]_{\pi/6}^{\pi/3}$sec²θ integrates to tan θsec²θ อินทิเกรตได้ tan θ
$=\sqrt3-\dfrac{1}{\sqrt3}$tan(π/3) = √3 · tan(π/6) = 1/√3tan(π/3) = √3 · tan(π/6) = 1/√3
$=\dfrac{2}{\sqrt3}$√3 = 3/√3, and 3/√3 − 1/√3 = 2/√3√3 = 3/√3 และ 3/√3 − 1/√3 = 2/√3
$I=\dfrac{1}{16}\times\dfrac{2}{\sqrt3}$put K inแทน K
$=\dfrac{1}{8\sqrt3}$2/16 = 1/82/16 = 1/8
$=\dfrac{\sqrt3}{24}$answer · times √3/√3คำตอบ · คูณ √3/√3

9. Q8 · Vector line: points, an angle, twice the area · 12 marksข้อ 8 · เส้นตรงเวกเตอร์: จุด มุม และพื้นที่สองเท่า · 12 คะแนน

Answer: a = −3, b = 10; 12i + 6j − 3k; 33.7°; (22, 9, −2) and (−26, −15, 10)คำตอบ: a = −3, b = 10; 12i + 6j − 3k; 33.7°; (22, 9, −2) and (−26, −15, 10)

Q8(a) The constants a and bQ8(a) ค่าคงตัว a และ b

$\mathbf{r}=\eqalign{&(2+4\lambda,\cr&-1+2\lambda,\cr&3-\lambda)}$any point of l · λ “lambda”จุดใดๆ บน l · λ อ่านว่า “แลมบ์ดา”
$2+4\lambda=-2$A: the x-coordinate is −2A: พิกัด x เป็น −2
$4\lambda=-4$move 2 acrossย้าย 2
$\lambda=-1$λ at Aค่า λ ที่ A
$z=3-(-1)$check the z-coordinateตรวจพิกัด z
$=4$it matches A(−2, a, 4)ตรงกับ A(−2, a, 4)
$a=-1+2(-1)$the y-coordinate at λ = −1พิกัด y ที่ λ = −1
$=-3$a = −3a = −3
$-1+2\lambda=3$B: the y-coordinate is 3B: พิกัด y เป็น 3
$2\lambda=4$move −1 acrossย้าย −1
$\lambda=2$λ at Bค่า λ ที่ B
$z=3-2$check the z-coordinateตรวจพิกัด z
$=1$it matches B(b, 3, 1)ตรงกับ B(b, 3, 1)
$b=2+4(2)$the x-coordinate at λ = 2พิกัด x ที่ λ = 2
$=10$answer: a = −3, b = 10คำตอบ: a = −3, b = 10

Q8(b) The vector ABQ8(b) เวกเตอร์ AB

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$from A to Bจาก A ไป B
$=\eqalign{&(10-(-2),\cr&3-(-3),\cr&1-4)}$B(10, 3, 1) take away A(−2, −3, 4)B(10, 3, 1) ลบ A(−2, −3, 4)
$=(12,\,6,\,-3)$answer: 12i + 6j − 3kคำตอบ: 12i + 6j − 3k

Q8(c) Angle CABQ8(c) มุม CAB

$O$ is a fixed origin. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}$, with $\lambda$ a scalar parameter.
Points $A(-2,a,4)$ and $B(b,3,1)$ are both on $l$.
(c) From (a): $A(-2,-3,4)$ and $B(10,3,1)$. The point $C$ is $(4,7,-2)$. Find angle $CAB$ in degrees, to 1 d.p. [4]

$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}$from A to Cจาก A ไป C
$=\eqalign{&(4-(-2),\cr&7-(-3),\cr&-2-4)}$C(4, 7, −2) take away A(−2, −3, 4)C(4, 7, −2) ลบ A(−2, −3, 4)
$=(6,\,10,\,-6)$subtractลบกัน
$\vec{AC}\cdot\vec{AB}=72+60+18$6 × 12 + 10 × 6 + (−6)(−3)6 × 12 + 10 × 6 + (−6)(−3)
$=150$the scalar productผลคูณสเกลาร์
$|\vec{AC}|=\sqrt{172}$6² + 10² + 6² = 36 + 100 + 366² + 10² + 6² = 36 + 100 + 36
$|\vec{AB}|=\sqrt{189}$12² + 6² + 3² = 144 + 36 + 912² + 6² + 3² = 144 + 36 + 9
$\cos\theta=\dfrac{150}{\sqrt{172}\sqrt{189}}$θ = angle CAB: scalar product over the two lengthsθ = มุม CAB: ผลคูณสเกลาร์หารด้วยความยาวสองด้าน
$\approx0.8319$4 d.p.ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
$\theta\approx33.7^\circ$answer · inverse cos, 1 d.p.คำตอบ · ใช้ cos⁻¹ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

Q8(d) Two places for DQ8(d) ตำแหน่งที่เป็นไปได้ของ D

$O$ is a fixed origin. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}$, with $\lambda$ a scalar parameter.
Points $A(-2,a,4)$ and $B(b,3,1)$ are both on $l$.
(d) From (a): $A(-2,-3,4)$ and $B(10,3,1)$. The point $C$ is $(4,7,-2)$, and from (b) $\vec{AB}=12\mathbf{i}+6\mathbf{j}-3\mathbf{k}$. A point $D$ on $l$ makes triangle $CAD$ have twice the area of triangle $CAB$. Find both possible coordinates of $D$. [4]

$S=\dfrac12\times\text{base}\times h$triangle area · base on l, h = distance from C to lพื้นที่สามเหลี่ยม · ฐานอยู่บน l, h = ระยะจาก C ถึง l
$AD=2\times AB$both triangles have the same h, so twice the area needs twice the baseสองรูปมี h เท่ากัน พื้นที่สองเท่าจึงต้องมีฐานสองเท่า
$\vec{AD}=\pm2\vec{AB}$D can be on either side of AD อยู่ได้ทั้งสองฝั่งของ A
$2\vec{AB}=(24,\,12,\,-6)$2 × (12, 6, −3)2 × (12, 6, −3)
$\vec{OD}=\vec{OA}+2\vec{AB}$first position: past Bตำแหน่งแรก: เลย B ไป
$=\eqalign{&(-2+24,\cr&-3+12,\cr&4-6)}$addบวกกัน
$=(22,\,9,\,-2)$D = (22, 9, −2)D = (22, 9, −2)
$\vec{OD}=\vec{OA}-2\vec{AB}$second position: the other side of Aตำแหน่งที่สอง: อีกฝั่งของ A
$=\eqalign{&(-2-24,\cr&-3-12,\cr&4+6)}$subtractลบกัน
$=\eqalign{&(-26,\,-15,\cr&10)}$answer: D = (22, 9, −2) or (−26, −15, 10)คำตอบ: D = (22, 9, −2) หรือ (−26, −15, 10)

10. Q9 · Parametric curve: tangent meets the curve again · 12 marksข้อ 9 · เส้นโค้งอิงตัวแปรเสริม: เส้นสัมผัสตัดเส้นโค้งอีกครั้ง · 12 คะแนน

Answer: k = −3/8; 3x + 16y − 5 = 0; Q(7/4, −1/64)คำตอบ: k = −3/8; 3x + 16y − 5 = 0; Q(7/4, −1/64)

Q9(a)(i) dy/dx = k sin tQ9(a)(i) dy/dx = k sin t

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
The figure is a sketch of the curve $C$ given by $x=2\cos2t$, $y=\sin^3t$, for $-\dfrac{\pi}{2}\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$, with $t$ a parameter. $P$ is the point of $C$ where $t=\dfrac{\pi}{6}$, and the line $l$ touches $C$ at $P$ (it is the tangent there).
(a)(i) Use parametric differentiation to show that $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$, where $k$ is a constant, and find $k$. (Part (a) is 6 marks in all; the mark scheme gives 3 to (i) and 3 to (ii).) [3]

$x=2\cos2t$the x equationสมการ x
$\dfrac{dx}{dt}=-4\sin2t$cos gives −sin · the 2 inside gives ×2cos ดิฟได้ −sin · 2 ข้างในให้ ×2
$y=\sin^3t$the y equationสมการ y
$\dfrac{dy}{dt}=3\sin^2t\cos t$chain rule: 3 sin²t × cos tกฎลูกโซ่: 3 sin²t × cos t
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\div\dfrac{dx}{dt}$chain rule for a parameterกฎลูกโซ่ของตัวแปรเสริม
$=\dfrac{3\sin^2t\cos t}{-4\sin2t}$put both inแทนทั้งสองตัว
$=\dfrac{3\sin^2t\cos t}{-8\sin t\cos t}$sin 2t = 2 sin t cos tsin 2t = 2 sin t cos t
$=-\dfrac38\sin t$cancel sin t and cos tตัด sin t และ cos t
$k=-\dfrac38$answerคำตอบ

Q9(a)(ii) The tangent lQ9(a)(ii) เส้นสัมผัส l

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
The figure is a sketch of the curve $C$ given by $x=2\cos2t$, $y=\sin^3t$, for $-\dfrac{\pi}{2}\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$, with $t$ a parameter. $P$ is the point of $C$ where $t=\dfrac{\pi}{6}$, and the line $l$ touches $C$ at $P$ (it is the tangent there).
(a)(ii) From (i): $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac38\sin t$. Show that $l$ has the equation $3x+16y-5=0$. (Part (a) is 6 marks in all.) [3]

$t=\dfrac{\pi}{6}$the point Pจุด P
$x=2\cos\dfrac{\pi}{3}$2t = π/32t = π/3
$=1$cos(π/3) = ½cos(π/3) = ½
$y=\left(\dfrac12\right)^3$sin(π/6) = ½sin(π/6) = ½
$=\dfrac18$P is (1, ⅛)P คือ (1, ⅛)
$m=-\dfrac38\times\dfrac12$gradient: −⅜ sin(π/6)ความชัน: −⅜ sin(π/6)
$=-\dfrac{3}{16}$gradient of lความชันของ l
$y-\dfrac18=-\dfrac{3}{16}(x-1)$line through P(1, ⅛)เส้นตรงผ่าน P(1, ⅛)
$16y-2=-3x+3$times 16คูณ 16
$3x+16y-5=0$shown · −2 − 3 = −5ได้ตามที่ให้แสดง · −2 − 3 = −5

Q9(b) Where l meets C againQ9(b) จุดที่ l ตัด C อีกครั้ง

Show every stage of your working: a calculator-only answer gets no credit.
The figure is a sketch of the curve $C$ given by $x=2\cos2t$, $y=\sin^3t$, for $-\dfrac{\pi}{2}\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$, with $t$ a parameter. $P$ is the point of $C$ where $t=\dfrac{\pi}{6}$, and the line $l$ touches $C$ at $P$ (it is the tangent there).
(b) The line $l$ meets $C$ at a second point, $Q$. Using algebra, and showing your reasoning in full, find the exact coordinates of $Q$. [6]

$s=\sin t$name s = sin tตั้งชื่อ s = sin t
$\cos2t=1-2s^2$double angle formulaสูตรมุมสองเท่า
$3x=6-12s^2$x = 2 cos 2t, so 3x = 6 cos 2tx = 2 cos 2t จึง 3x = 6 cos 2t
$16y=16s^3$y = s³y = s³
$f=3x+16y-5$f = the left side of l, with x and y from Cf = ฝั่งซ้ายของ l โดยใช้ x และ y จาก C
$=\eqalign{&6-12s^2\cr&+16s^3-5}$put both inแทนทั้งสองตัว
$=\eqalign{&16s^3-12s^2\cr&+1}$collect: 6 − 5 = 1รวมพจน์: 6 − 5 = 1
$f=0$C meets l where f = 0C ตัด l ที่ f = 0
$f\left(\tfrac12\right)=2-3+1$P is on l, so s = sin(π/6) = ½ should be a root · 16/8 − 12/4 + 1P อยู่บน l จึง s = sin(π/6) = ½ ควรเป็นราก · 16/8 − 12/4 + 1
$=0$so (2s − 1) is a factorจึงมี (2s − 1) เป็นตัวประกอบ
$q=8s^2-2s-1$q = f ÷ (2s − 1) · check: (2s − 1)q = 16s³ − 4s² − 2s − 8s² + 2s + 1 = fq = f ÷ (2s − 1) · ตรวจ: (2s − 1)q = 16s³ − 4s² − 2s − 8s² + 2s + 1 = f
$r=4s+1$r = the other factor of qr = ตัวประกอบอีกตัวของ q
$q=(2s-1)r$check: (2s − 1)(4s + 1) = 8s² + 2s − 4s − 1ตรวจ: (2s − 1)(4s + 1) = 8s² + 2s − 4s − 1
$f=(2s-1)^2r$f = (2s − 1)q · ½ is a double root: l touches C at Pf = (2s − 1)q · ½ เป็นรากซ้ำ: l สัมผัส C ที่ P
$4s+1=0$Q comes from r = 0Q มาจาก r = 0
$4s=-1$move 1 acrossย้าย 1
$s=-\dfrac14$the point Q · −1 < −¼ < 1, so a t in the range existsจุด Q · −1 < −¼ < 1 จึงมีค่า t ในช่วงที่กำหนด
$x=2\left(1-\dfrac{2}{16}\right)$x = 2(1 − 2s²), s² = 1/16x = 2(1 − 2s²), s² = 1/16
$=\dfrac74$2 × 7/82 × 7/8
$y=\left(-\dfrac14\right)^3$y = s³y = s³
$=-\dfrac{1}{64}$cube itยกกำลังสาม
$Q=\left(\dfrac74,-\dfrac{1}{64}\right)$answer · check: 3(7/4) + 16(−1/64) − 5 = 0คำตอบ · ตรวจ: 3(7/4) + 16(−1/64) − 5 = 0

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

Find the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(1+2x)^{-\frac12}$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจาย $(1+2x)^{-\frac12}$
Answer:เฉลย: 3/2n(n − 1)/2 = (−½)(−3/2)/2 = 3/8, and (2x)² = 4x², so 3/8 × 4 = 3/2.n(n − 1)/2 = (−½)(−3/2)/2 = 3/8 และ (2x)² = 4x² จึงได้ 3/8 × 4 = 3/2
A spherical balloon has volume $V=\dfrac43\pi r^3$, and $V$ grows at $36\pi$ cm³ per second. Find how fast $r$ grows, in cm per second, when $r=3$.ลูกโป่งทรงกลมมีปริมาตร $V=\dfrac43\pi r^3$ และ $V$ เพิ่มวินาทีละ $36\pi$ ลบ.ซม. หาอัตราการเพิ่มของ $r$ เป็น ซม. ต่อวินาที เมื่อ $r=3$
Answer:เฉลย: 1dV/dr = 4πr² = 36π at r = 3, so dr/dt = 36π ÷ 36π = 1.dV/dr = 4πr² = 36π ที่ r = 3 ดังนั้น dr/dt = 36π ÷ 36π = 1
For $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{(4-x^2)^{\frac32}}\,dx$, use $x=2\sin\theta$. What is the new top limit for $\theta$, in degrees?สำหรับ $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{(4-x^2)^{\frac32}}\,dx$ ใช้ $x=2\sin\theta$ ขอบบนใหม่ของ $\theta$ เป็นกี่องศา?
Answer:เฉลย: 30Top limit x = 1: 2 sin θ = 1, so sin θ = ½ and θ = 30°.ขอบบน x = 1: 2 sin θ = 1 จึง sin θ = ½ และ θ = 30°
The line $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ goes through the point $(7,a,6)$. Find $a$.เส้นตรง $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ ผ่านจุด $(7,a,6)$ หา $a$
Answer:เฉลย: -1x: 1 + 2λ = 7, so λ = 3 (z: 0 + 2 × 3 = 6 agrees). Then a = 2 − 3 = −1.x: 1 + 2λ = 7 จึง λ = 3 (z: 0 + 2 × 3 = 6 ตรงกัน) แล้ว a = 2 − 3 = −1

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี