Edexcel IAL Pure 4 WMA14 June 2025: Every Question Solved

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

WMA14 Pure 4 · June 2025WMA14 Pure 4 · มิ.ย. 2025

A-Level · Edexcel IAL Pure 4 (WMA14) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. Q1 · Implicit differentiation: a tangent · 8 marksข้อ 1 · ดิฟโดยปริยาย: เส้นสัมผัส · 8 คะแนน

Answer: y = 4 or y = −5/2; 38x − 13y + 33 = 0คำตอบ: y = 4 or y = −5/2; 38x − 13y + 33 = 0

Q1(a) The two y valuesQ1(a) ค่า y สองค่า

Show all your working: an answer that only comes from a calculator scores nothing.
A curve $C$ has the equation $2y^2-6xy=7e^{2x-1}+13$. The point $P$ is on $C$, and its $x$ coordinate is $\dfrac{1}{2}$.
(a) There are two possible values for the $y$ coordinate of $P$. Find them both. [2]

$x=\dfrac{1}{2}$P has this xP มีค่า x นี้
$2x-1=0$so the power of e is 0เลขชี้กำลังของ e จึงเป็น 0
$7e^{0}+13=20$e⁰ = 1, so 7 + 13e⁰ = 1 จึงได้ 7 + 13
$6xy=3y$6 × ½ = 36 × ½ = 3
$2y^2-3y=20$put these into the equation of Cแทนลงในสมการของ C
$2y^2-3y-20=0$move 20 acrossย้าย 20
$(2y+5)(y-4)=0$factorise: 5 × (−4) = −20 and 5 − 8 = −3แยกตัวประกอบ: 5 × (−4) = −20 และ 5 − 8 = −3
$y=4$second bracket = 0วงเล็บที่สอง = 0
$y=-\dfrac{5}{2}$first bracket = 0 · answer: both valuesวงเล็บแรก = 0 · คำตอบ: ทั้งสองค่า

Q1(b) Tangent at PQ1(b) เส้นสัมผัสที่ P

Show all your working: an answer that only comes from a calculator scores nothing.
A curve $C$ has the equation $2y^2-6xy=7e^{2x-1}+13$. The point $P$ is on $C$, and its $x$ coordinate is $\dfrac{1}{2}$.
(b) Now $P$ is the point above the $x$-axis, so from (a) $P$ is $\left(\dfrac{1}{2},4\right)$. Find the equation of the tangent to $C$ at $P$ as $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers. [6]

$p=\dfrac{dy}{dx}$call the gradient pให้ความชัน dy/dx ชื่อ p
$\dfrac{d}{dx}(2y^2)=4yp$chain rule: y depends on x, so × pกฎลูกโซ่: y ขึ้นกับ x จึงคูณ p
$\dfrac{d}{dx}(6xy)=6y+6xp$product rule on x times yกฎผลคูณ x คูณ y
$\dfrac{d}{dx}(7e^{2x-1})=14e^{2x-1}$the 2 in the power comes downเลข 2 ในเลขชี้กำลังลงมาคูณ
$4yp-6y-6xp=14e^{2x-1}$all terms · the 13 gives 0ครบทุกพจน์ · 13 ดิฟได้ 0
$x=\dfrac{1}{2}$now put in the point Pแทนจุด P
$y=4$from (a): P is above the x-axis, so y > 0จากข้อ (a): P อยู่เหนือแกน x จึงใช้ y ที่เป็นบวก
$14e^{0}=14$the power 2x − 1 is 0เลขชี้กำลัง 2x − 1 เป็น 0
$16p-3p-24=14$4y = 16, 6x = 3, 6y = 244y = 16, 6x = 3, 6y = 24
$13p=38$16p − 3p = 13p · 14 + 24 = 3816p − 3p = 13p · 14 + 24 = 38
$p=\dfrac{38}{13}$gradient of the tangent at Pความชันของเส้นสัมผัสที่ P
$y-4=p\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$line through (½, 4) with gradient pเส้นตรงผ่าน (½, 4) ความชัน p
$26y-104=76x-38$26p = 76 and 76 × ½ = 3826p = 76 และ 76 × ½ = 38
$-76x+26y-66=0$everything on one sideย้ายทุกพจน์มาข้างเดียว
$38x-13y+33=0$answer · integers a, b, cคำตอบ · a, b, c เป็นจำนวนเต็ม

3. Q2 · Connected rates: a melting ball · 4 marksข้อ 2 · อัตราสัมพัทธ์: ลูกน้ำแข็งที่ละลาย · 4 คะแนน

Answer: −dr/dt = k/(4πr²), so it is ∝ 1/r²คำตอบ: −dr/dt = k/(4πr²), so it is ∝ 1/r²

Q2 dr/dt and 1/r²Q2 dr/dt กับ 1/r²

A ball of ice is a sphere of radius $r$ cm, and it is melting. Its volume, $V$ cm³, goes down at a steady rate of $k$ cm³ per second, with $k$ a constant.
Using $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$, show that the rate at which the radius decreases with time is inversely proportional to $r^2$. [4]

$\dfrac{dV}{dt}=-k$V goes down by k each secondV ลดลงวินาทีละ k
$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$givenโจทย์ให้
$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$differentiate: 3 × 4/3 = 4ดิฟ: 3 × 4/3 = 4
$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$chain ruleกฎลูกโซ่
$-k=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$substitute both ratesแทนอัตราทั้งสอง
$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{4\pi r^2}$divide by 4πr²หารด้วย 4πr²
$-\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{k}{4\pi}\times\dfrac{1}{r^2}$rate of decrease of rอัตราการลดลงของ r
$c=\dfrac{k}{4\pi}$k and π are constants, so c is a constantk และ π เป็นค่าคงที่ c จึงเป็นค่าคงที่
$-\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{c}{r^2}$the rate of decrease is c over r²อัตราการลดลง = c หาร r²
$-\dfrac{dr}{dt}\propto\dfrac{1}{r^2}$shown: inversely proportional to r² · ∝ “proportional to”พิสูจน์แล้ว: แปรผกผันกับ r² · ∝ อ่านว่า “แปรผันตาม”

4. Q3 · Separable differential equation · 6 marksข้อ 3 · สมการเชิงอนุพันธ์แบบแยกตัวแปร · 6 คะแนน

Answer: y² = 3 sec 2x + 10คำตอบ: y² = 3 sec 2x + 10

Q3 Solve for y²Q3 แก้หา y²

Solve $y\cos^2(2x)\dfrac{dy}{dx}=3\sin(2x)$, for $y\gt0$ and $-\dfrac{\pi}{4}\lt x\lt\dfrac{\pi}{4}$, when $y=4$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$. Write the solution as $y^2=\mathrm{g}(x)$. [6]

$y\cos^2(2x)\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$the equationสมการในโจทย์
$y\,dy=\dfrac{3\sin2x}{\cos^22x}\,dx$separate: ÷ cos²(2x), × dxแยกตัวแปร: หาร cos²(2x) คูณ dx
$h=\dfrac{\sin2x}{\cos^22x}$call this fraction hให้เศษส่วนนี้ชื่อ h
$=\sec2x\tan2x$split as 1/cos × sin/cosแยกเป็น 1/cos × sin/cos
$\int y\,dy=\dfrac{y^2}{2}$integrate the left sideอินทิเกรตข้างซ้าย
$\int h\,dx=\dfrac{1}{2}\sec2x$d/dx (sec 2x) = 2 sec 2x tan 2xดิฟ sec 2x ได้ 2 sec 2x tan 2x
$\dfrac{y^2}{2}=\dfrac{3}{2}\sec2x+c$both sides, + cรวมสองข้าง บวก c
$y^2=3\sec2x+2c$multiply by 2คูณ 2
$x=\dfrac{\pi}{6}$here y = 4ตรงนี้ y = 4
$\sec\dfrac{\pi}{3}=2$cos(π/3) = ½cos(π/3) = ½
$16=6+2c$4² = 16 · 3 × 2 = 64² = 16 · 3 × 2 = 6
$10=2c$16 − 6 = 1016 − 6 = 10
$y^2=3\sec2x+10$answer · y² = g(x)คำตอบ · รูป y² = g(x)

5. Q4 · Partial fractions and a log integral · 8 marksข้อ 4 · เศษส่วนย่อยและอินทิกรัลที่ได้ ln · 8 คะแนน

Answer: A = 5, B = 4, C = 8; 5 ln 2 + 4 ln(3/5)คำตอบ: A = 5, B = 4, C = 8; 5 ln 2 + 4 ln(3/5)

Q4(a) Partial fractionsQ4(a) เศษส่วนย่อย

Show all your working: an answer that rests only on a calculator is not accepted.
$\mathrm{f}(x)=\dfrac{5+17x-10x^2}{x(1-x)(2x+1)}$, for $x\gt1$.
(a) Find the constants $A$, $B$ and $C$ so that $\mathrm{f}(x)=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$. [3]

$D=\eqalign{&x(1-x)\cr&\times(2x+1)}$D = the bottom of f(x)D = ตัวส่วนของ f(x)
$N=5+17x-10x^2$N = the top of f(x)N = ตัวเศษของ f(x)
$\dfrac{A}{x}\times D=\eqalign{&A(1-x)\cr&\times(2x+1)}$times D, each fraction loses its own bottomคูณ D แต่ละเศษส่วนตัดตัวส่วนตัวเอง
$\dfrac{B}{1-x}\times D=Bx(2x+1)$the second fractionเศษส่วนที่สอง
$\dfrac{C}{2x+1}\times D=Cx(1-x)$the third · N = the sum of these threeเศษส่วนที่สาม · N = ผลบวกของทั้งสาม
$x=0$the B and C terms have a factor xพจน์ B และ C มีตัวประกอบ x
$5=A(1)(1)$N(0) = 5N(0) = 5
$A=5$the first constantค่าคงที่ตัวแรก
$x=1$the A and C terms have a factor (1 − x)พจน์ A และ C มีตัวประกอบ (1 − x)
$5+17-10=B(1)(3)$N(1) and x(2x + 1) at x = 1N(1) และ x(2x + 1) ที่ x = 1
$12=3B$5 + 17 − 10 = 125 + 17 − 10 = 12
$B=4$divide by 3หารด้วย 3
$x=-\dfrac{1}{2}$the A and B terms have (2x + 1) = 0พจน์ A และ B มี (2x + 1) = 0
$N\left(-\tfrac{1}{2}\right)=5-\dfrac{17}{2}-\dfrac{10}{4}$N at x = −½N ที่ x = −½
$=-6$5 − 8.5 − 2.55 − 8.5 − 2.5
$x(1-x)=-\dfrac{3}{4}$(−½)(3/2)(−½)(3/2)
$-6=-\dfrac{3}{4}C$soดังนั้น
$C=8$answer: A = 5, B = 4, C = 8คำตอบ: A = 5, B = 4, C = 8

Q4(b) The exact integralQ4(b) อินทิกรัลค่าแม่นตรง

Show all your working: an answer that rests only on a calculator is not accepted.
$\mathrm{f}(x)=\dfrac{5+17x-10x^2}{x(1-x)(2x+1)}$, for $x\gt1$.
(b) Using (a), $\mathrm{f}(x)=\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{1-x}+\dfrac{8}{2x+1}$. Integrate by algebra to find the exact value of $I=\displaystyle\int_2^4\mathrm{f}(x)\,dx$, as $p\ln2+q\ln\left(\dfrac{3}{5}\right)$ with $p$ and $q$ integers. [5]

$\int\dfrac{5}{x}\,dx=5\ln x$x > 1, so x is positivex > 1 ดังนั้น x เป็นบวก
$\int\dfrac{4}{1-x}\,dx=-4\ln|1-x|$the −x inside gives a minus−x ข้างในทำให้ได้เครื่องหมายลบ
$\int\dfrac{8}{2x+1}\,dx=4\ln|2x+1|$8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 4
$5\ln4-5\ln2=5\ln2$put in 4 and 2, top − bottom · ln x terms: ln 4 − ln 2 = ln 2แทน 4 และ 2 บนลบล่าง · พจน์ ln x: ln 4 − ln 2 = ln 2
$-4\ln3+4\ln1=-4\ln3$the ln|1 − x| terms · |1 − 4| = 3, ln 1 = 0พจน์ ln|1 − x| · |1 − 4| = 3, ln 1 = 0
$4\ln9-4\ln5=4\ln\dfrac{9}{5}$the ln|2x + 1| terms · 9 and 5พจน์ ln|2x + 1| · 9 และ 5
$-4\ln3+4\ln\dfrac{9}{5}=4\ln\dfrac{3}{5}$9/5 ÷ 3 = 3/59/5 ÷ 3 = 3/5
$I=5\ln2+4\ln\dfrac{3}{5}$answer: p = 5, q = 4คำตอบ: p = 5, q = 4

6. Q5 · Parametric curve: normal and Cartesian form · 9 marksข้อ 5 · เส้นโค้งพาราเมตริก: เส้นแนวฉากและสมการคาร์ทีเซียน · 9 คะแนน

Answer: 5x − 4y + 23 = 0; y = (10x − 5)/(x + 2)², x ≠ −2คำตอบ: 5x − 4y + 23 = 0; y = (10x − 5)/(x + 2)², x ≠ −2

Q5(a) Normal at PQ5(a) เส้นแนวฉากที่ P

A curve $C$ is given by $x=\dfrac{3+2t}{1-t}$ and $y=1-t^2$, where $t\ne1$. The point $P$ on $C$ has $t=2$.
(a) By parametric differentiation, find an equation of the normal to $C$ at $P$ in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers. [5]

$u=3+2t$x = u/v · quotient rulex = u/v · กฎผลหาร
$v=1-t$the bottomตัวส่วน
$u'=2$differentiate uดิฟ u
$v'=-1$differentiate vดิฟ v
$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
$vu'-uv'=2-2t+3+2t$2(1 − t) − (3 + 2t)(−1)2(1 − t) − (3 + 2t)(−1)
$=5$the t terms cancelพจน์ t ตัดกัน
$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{5}{(1-t)^2}$soดังนั้น
$\dfrac{dy}{dt}=-2t$differentiate y = 1 − t²ดิฟ y = 1 − t²
$t=2$the point Pจุด P
$\dfrac{dx}{dt}=5$(1 − 2)² = 1(1 − 2)² = 1
$\dfrac{dy}{dt}=-4$−2 × 2−2 × 2
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4}{5}$dy/dt ÷ dx/dtdy/dt ÷ dx/dt
$m=\dfrac{5}{4}$normal: flip and change the signเส้นแนวฉาก: กลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$x=\dfrac{3+4}{1-2}$P: put t = 2 into xP: แทน t = 2 ใน x
$=-7$7 ÷ (−1)7 ÷ (−1)
$y=1-4$put t = 2 into yแทน t = 2 ใน y
$=-3$so P is (−7, −3)ดังนั้น P คือ (−7, −3)
$y+3=\dfrac{5}{4}(x+7)$line through (−7, −3), gradient mเส้นตรงผ่าน (−7, −3) ความชัน m
$4y+12=5x+35$multiply by 4คูณ 4
$0=5x-4y+23$35 − 12 = 2335 − 12 = 23
$5x-4y+23=0$answer · a = 5, b = −4, c = 23คำตอบ · a = 5, b = −4, c = 23

Q5(b) Cartesian equationQ5(b) สมการคาร์ทีเซียน

A curve $C$ is given by $x=\dfrac{3+2t}{1-t}$ and $y=1-t^2$, where $t\ne1$. The point $P$ on $C$ has $t=2$.
(b) Show that $C$ has a Cartesian equation of the form $y=\dfrac{px+q}{(x+r)^2}$, $x\ne k$, and find the integers $p$, $q$, $r$ and $k$. [4]

$x=\dfrac{3+2t}{1-t}$make t the subjectจัดรูปหา t
$x-xt=3+2t$multiply outกระจาย
$x-3=2t+xt$the t terms on one sideพจน์ t อยู่ข้างเดียว
$x-3=t(x+2)$take out tดึง t ออก
$t=\dfrac{x-3}{x+2}$t in terms of xt ในรูปของ x
$y=1-t^2$now put t into yแทน t ลงใน y
$=1-\dfrac{(x-3)^2}{(x+2)^2}$square the fractionยกกำลังสองเศษส่วน
$T=\eqalign{&(x+2)^2\cr&-(x-3)^2}$write 1 as (x + 2)² over (x + 2)²: T = the new topเขียน 1 เป็น (x + 2)² ส่วน (x + 2)²: T = ตัวเศษใหม่
$(x+2)^2=x^2+4x+4$expand the first squareกระจายกำลังสองตัวแรก
$(x-3)^2=x^2-6x+9$expand the other squareกระจายอีกกำลังสอง
$T=10x-5$x² cancels · 4x + 6x · 4 − 9x² ตัดกัน · 4x + 6x · 4 − 9
$y=\dfrac{10x-5}{(x+2)^2}$one fractionเป็นเศษส่วนเดียว
$x=\dfrac{5}{1-t}-2$check: 5 − 2(1 − t) = 3 + 2tตรวจ: 5 − 2(1 − t) = 3 + 2t
$x\ne-2$5/(1 − t) is never 05/(1 − t) ไม่มีวันเป็น 0
$k=-2$answer: p = 10, q = −5, r = 2, k = −2คำตอบ: p = 10, q = −5, r = 2, k = −2

7. Q6 · Vectors: a line and a 45° angle · 8 marksข้อ 6 · เวกเตอร์: เส้นตรงและมุม 45° · 8 คะแนน

Answer: r = (i + 2j − 3k) + λ(4i + 4k); α = 2 ± 4√2คำตอบ: r = (i + 2j − 3k) + λ(4i + 4k); α = 2 ± 4√2

Q6(a) Vector equation of lQ6(a) สมการเวกเตอร์ของ l

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$direction of l: A to Bทิศทางของ l: จาก A ไป B
$=4\mathbf{i}+4\mathbf{k}$(5 − 1)i + (2 − 2)j + (1 + 3)k(5 − 1)i + (2 − 2)j + (1 + 3)k
$\mathbf{r}=\vec{OA}+\lambda\vec{AB}$a point on l + λ “lambda” × directionจุดบน l + λ (อ่านว่า “แลมบ์ดา”) × ทิศทาง
$\mathbf{r}=\eqalign{&(1+4\lambda,\ 2,\cr&\ -3+4\lambda)}$answer · OA = (1, 2, −3), AB = (4, 0, 4)คำตอบ · OA = (1, 2, −3), AB = (4, 0, 4)

Q6(b) The values of αQ6(b) ค่าของ α

$O$ is a fixed origin. Point $A$ has position vector $\mathbf{i}+2\mathbf{j}-3\mathbf{k}$, and point $B$ has position vector $5\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$. The line $l$ goes through $A$ and $B$.
(b) Point $C$ has position vector $3\mathbf{i}+\alpha\mathbf{j}+5\mathbf{k}$, with $\alpha$ a constant. $A$, $B$ and $C$ are the corners of a triangle in which angle $BAC=45°$. Find the possible values of $\alpha$, exactly. [6]

$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}$A to Cจาก A ไป C
$=(2,\ \alpha-2,\ 8)$3 − 1, α − 2, 5 + 3 · α “alpha”3 − 1, α − 2, 5 + 3 · α อ่านว่า “แอลฟา”
$|\vec{AB}|=\sqrt{4^2+0+4^2}$length of ABความยาว AB
$=\sqrt{32}$16 + 1616 + 16
$|\vec{AC}|^2=(\alpha-2)^2+68$square each part and add: 2² + 8² = 68ยกกำลังสองแต่ละส่วนแล้วบวก: 2² + 8² = 68
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=8+0+32$dot product: 4 × 2 + 0 + 4 × 8ผลคูณจุด: 4 × 2 + 0 + 4 × 8
$=40$addบวก
$\cos45^\circ=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}$angle BAC is between AB and ACมุม BAC อยู่ระหว่าง AB กับ AC
$\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{40}{\sqrt{32}\,|\vec{AC}|}$cos 45° = 1/√2cos 45° = 1/√2
$\sqrt{32}\,|\vec{AC}|=40\sqrt2$cross-multiplyคูณไขว้
$|\vec{AC}|=10$√32 = 4√2, and 40√2 ÷ 4√2 = 10√32 = 4√2 และ 40√2 ÷ 4√2 = 10
$(\alpha-2)^2+68=100$square both sides: 10² = 100ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: 10² = 100
$(\alpha-2)^2=32$100 − 68100 − 68
$\alpha-2=\pm\sqrt{32}$square root: two signsถอดรากที่สอง: ได้สองเครื่องหมาย
$\alpha=2\pm4\sqrt2$answer · √32 = 4√2คำตอบ · √32 = 4√2

8. Q7 · Integration by substitution · 6 marksข้อ 7 · อินทิเกรตโดยการแทนค่า · 6 คะแนน

Answer: k = 5, n = 3; −1/(4(5 + tan²x)²) + cคำตอบ: k = 5, n = 3; −1/(4(5 + tan²x)²) + c

Q7(a) Change to an integral in uQ7(a) เปลี่ยนเป็นอินทิกรัลของ u

(a) Show that, with the substitution $u=\tan x$, the integral $\displaystyle\int\dfrac{\tan x+\tan^3x}{(4+\sec^2x)^3}\,dx$ becomes $\displaystyle\int\dfrac{u}{(k+u^2)^n}\,du$, and find the integers $k$ and $n$. [4]

$u=\tan x$the substitutionการแทนค่า
$\dfrac{du}{dx}=\sec^2x$differentiate tan xดิฟ tan x
$\sec^2x=1+\tan^2x$identityเอกลักษณ์
$=1+u^2$tan x = utan x = u
$dx=\dfrac{du}{1+u^2}$rearrange du/dx = 1 + u²จัดรูป du/dx = 1 + u²
$\tan x+\tan^3x=u+u^3$the topตัวเศษ
$=u(1+u^2)$take out uดึง u ออก
$4+\sec^2x=4+1+u^2$inside the bottom bracketในวงเล็บตัวส่วน
$=5+u^2$4 + 1 = 54 + 1 = 5
$I=\int\dfrac{u(1+u^2)}{(5+u^2)^3}\,dx$I = the integral · top and bottom in uI = อินทิกรัลในโจทย์ · ตัวเศษและตัวส่วนในรูป u
$I=\int\dfrac{u}{(5+u^2)^3}\,du$dx = du/(1 + u²): the (1 + u²) cancelsdx = du/(1 + u²): (1 + u²) ตัดกัน
$k=5$answerคำตอบ
$n=3$answerคำตอบ

Q7(b) Finish the integralQ7(b) อินทิเกรตให้เสร็จ

(b) Using (a), with $k=5$ and $n=3$, find $\displaystyle\int\dfrac{\tan x+\tan^3x}{(4+\sec^2x)^3}\,dx$. [2]

$I=\int\dfrac{u}{(5+u^2)^3}\,du$from (a)จากข้อ (a)
$w=5+u^2$substitute again · w for the bracketแทนค่าอีกครั้ง · w แทนวงเล็บ
$dw=2u\,du$so u du = ½ dwดังนั้น u du = ½ dw
$I=\dfrac{1}{2}\int w^{-3}\,dw$the integral in wอินทิกรัลในรูป w
$=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{w^{-2}}{-2}+c$add 1 to the power, divide by itบวกเลขชี้กำลัง 1 แล้วหารด้วยเลขนั้น
$=-\dfrac{1}{4}w^{-2}+c$½ × (−½) = −¼½ × (−½) = −¼
$I=\eqalign{&-\tfrac{1}{4}\times\cr&(5+\tan^2x)^{-2}\cr&+c}$answer · w = 5 + tan²xคำตอบ · w = 5 + tan²x

9. Q8 · Binomial series and √135 · 10 marksข้อ 8 · อนุกรมทวินามและ √135 · 10 คะแนน

Answer: 1/2 − x/16 + 3x²/256; 1/2 + x/16 + 3x²/256; a = 1/4, b = 1/128; 128/11คำตอบ: 1/2 − x/16 + 3x²/256; 1/2 + x/16 + 3x²/256; a = 1/4, b = 1/128; 128/11

Q8(a) Expand 1/√(4 + x)Q8(a) กระจาย 1/√(4 + x)

(a) Find the first three terms that are not zero, in ascending powers of $x$, of the binomial series for $\dfrac{1}{\sqrt{4+x}}$. Each coefficient must be a fraction in its simplest form. [4]

$f=(4+x)^{-\frac{1}{2}}$f = 1 over √(4 + x)f = 1 หาร √(4 + x)
$u=\dfrac{x}{4}$name the small part uให้ส่วนเล็กชื่อ u
$4+x=4(1+u)$take out 4: 4 × x/4 = xดึง 4 ออก: 4 × x/4 = x
$4^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}$1 over √41 หาร √4
$n=-\dfrac{1}{2}$the powerเลขชี้กำลัง
$f=\dfrac{1}{2}(1+u)^n$soดังนั้น
$T_1=nu$binomial series 1 + T₁ + T₂ + … · first term after 1อนุกรมทวินาม 1 + T₁ + T₂ + … · พจน์แรกหลัง 1
$=-\dfrac{1}{8}x$−½ × x/4−½ × x/4
$T_2=\dfrac{n(n-1)}{2}u^2$second termพจน์ที่สอง
$\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{3}{8}$(−½)(−3/2) ÷ 2(−½)(−3/2) ÷ 2
$u^2=\dfrac{x^2}{16}$square uยกกำลังสอง u
$T_2=\dfrac{3}{128}x^2$3/8 × 1/163/8 × 1/16
$(1+u)^n\approx1+T_1+T_2$the first three termsสามพจน์แรก
$\dfrac{1}{2}T_1=-\dfrac{1}{16}x$now multiply each term by ½คูณทุกพจน์ด้วย ½
$\dfrac{1}{2}T_2=\dfrac{3}{256}x^2$½ × 3/128½ × 3/128
$f\approx\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{16}+\dfrac{3x^2}{256}$answer · ascending powersคำตอบ · เรียงกำลังจากน้อยไปมาก

Q8(b) Expand 1/√(4 − x)Q8(b) กระจาย 1/√(4 − x)

(b) From (a), $\dfrac{1}{\sqrt{4+x}}\approx\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{16}+\dfrac{3x^2}{256}$. Use it to state the first three terms that are not zero of the series for $\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}$. [1]

$g=(4-x)^{-\frac{1}{2}}$g = 1 over √(4 − x)g = 1 หาร √(4 − x)
$4-x=4+(-x)$so x becomes −x in (a)ดังนั้นเปลี่ยน x เป็น −x ในข้อ (a)
$g\approx\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{16}+\dfrac{3x^2}{256}$answer · only the odd power changes signคำตอบ · เปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะกำลังคี่

Q8(c) Multiply the two seriesQ8(c) คูณสองอนุกรม

(c) Using (a) and (b), or another way, show that $\dfrac{1}{\sqrt{4+x}}\times\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}\approx a+bx^2$, and find $a$ and $b$ as fractions in their simplest form. [2]

$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$f × g, f and g from (a) and (b) · number × numberf × g โดย f และ g จากข้อ (a) และ (b) · ตัวเลข × ตัวเลข
$\dfrac{x}{32}-\dfrac{x}{32}=0$the x terms: ½ × x/16 and −x/16 × ½พจน์ x: ½ × x/16 และ −x/16 × ½
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{256}=\dfrac{3}{512}$an x² term: ½ times 3x²/256พจน์ x²: ½ คูณ 3x²/256
$2\times\dfrac{3}{512}=\dfrac{3}{256}$it happens once in each orderเกิดขึ้นสองครั้ง สลับกัน
$-\dfrac{1}{16}\times\dfrac{1}{16}=-\dfrac{1}{256}$the other x² term: −x/16 × x/16พจน์ x² อีกตัว: −x/16 × x/16
$\dfrac{3}{256}-\dfrac{1}{256}=\dfrac{1}{128}$all the x² termsรวมพจน์ x² ทั้งหมด
$fg\approx\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{128}x^2$answer: a = 1/4, b = 1/128คำตอบ: a = 1/4, b = 1/128

Q8(d) A fraction close to √135Q8(d) เศษส่วนที่ใกล้ √135

(d) Put $x=1$ into $\dfrac{1}{\sqrt{4+x}}\times\dfrac{1}{\sqrt{4-x}}=a+bx^2$, with $a$ and $b$ from (c) ($a=\dfrac{1}{4}$, $b=\dfrac{1}{128}$), to find a rational approximation for $\sqrt{135}$ in its simplest form. Make every step of the method clear. [3]

$x=1$put x = 1 into both sides · f × g = 1/√(4 + x) × 1/√(4 − x)แทน x = 1 ทั้งสองข้าง · f × g = 1/√(4 + x) × 1/√(4 − x)
$fg=\dfrac{1}{\sqrt5}\times\dfrac{1}{\sqrt3}$4 + 1 = 5 · 4 − 1 = 34 + 1 = 5 · 4 − 1 = 3
$=\dfrac{1}{\sqrt{15}}$multiplyคูณ
$\dfrac{1}{\sqrt{15}}\approx\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{128}$a + b with x = 1a + b เมื่อ x = 1
$=\dfrac{33}{128}$32/128 + 1/12832/128 + 1/128
$\sqrt{15}\approx\dfrac{128}{33}$flip both sidesกลับเศษส่วนทั้งสองข้าง
$\sqrt{135}=3\sqrt{15}$135 = 9 × 15 and √9 = 3135 = 9 × 15 และ √9 = 3
$\approx\dfrac{3\times128}{33}$times 3คูณ 3
$=\dfrac{128}{11}$answer · 384/33, divide top and bottom by 3คำตอบ · 384/33 หารบนล่างด้วย 3

10. Q9 · Volume of revolution and parts twice · 12 marksข้อ 9 · ปริมาตรทรงหมุนและการแยกส่วนสองครั้ง · 12 คะแนน

Answer: A = 1/2, B = 1/2, C = 2/5, D = 1/25; ½eˣ(cos x + sin x) + c; 290 cm³คำตอบ: A = 1/2, B = 1/2, C = 2/5, D = 1/25; ½eˣ(cos x + sin x) + c; 290 cm³

Q9(a) V as one integralQ9(a) V เป็นอินทิกรัลเดียว

Show all your working: an answer that rests only on a calculator is not accepted.
A curve $C$ has equation $y=\cos x+\dfrac{1}{5}e^x$. The shaded region lies between $C$, the $y$-axis, the $x$-axis and the line $x=4$. Turning this region through $2\pi$ radians about the $x$-axis makes a solid $S$.
(a) Show that $S$ has an exact volume that can be written as $\pi\displaystyle\int_0^4\Big(A+B\cos2x$
$+\,Ce^x\cos x+De^{2x}\Big)\,dx$, and find the constants $A$, $B$, $C$ and $D$. [4]

$V=\pi\int_0^4y^2\,dx$volume when turned about the x-axisปริมาตรเมื่อหมุนรอบแกน x
$y=\cos x+\dfrac{1}{5}e^x$the curve Cเส้นโค้ง C
$p=\cos x$name the two terms p and qตั้งชื่อสองพจน์ว่า p และ q
$q=\dfrac{1}{5}e^x$so y = p + qดังนั้น y = p + q
$y^2=p^2+2pq+q^2$square a sumกำลังสองของผลบวก
$p^2=\cos^2x$first squareกำลังสองตัวแรก
$2pq=\dfrac{2}{5}e^x\cos x$2 × cos x × ⅕eˣ2 × cos x × ⅕eˣ
$q^2=\dfrac{1}{25}e^{2x}$(eˣ)² = e²ˣ(eˣ)² = e²ˣ
$\cos2x=2\cos^2x-1$double angleมุมสองเท่า
$\cos2x+1=2\cos^2x$move 1 acrossย้าย 1
$\cos^2x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x$divide by 2 and swap sidesหาร 2 แล้วสลับข้าง
$V=\eqalign{&\pi\int_0^4\Big(\tfrac{1}{2}\cr&+\tfrac{1}{2}\cos2x\cr&+\tfrac{2}{5}e^x\cos x\cr&+\tfrac{1}{25}e^{2x}\Big)dx}$put the three squares back into Vแทนสามส่วนกลับลงใน V
$A=\dfrac{1}{2}$the number termพจน์ตัวเลข
$B=\dfrac{1}{2}$with cos 2xคู่กับ cos 2x
$C=\dfrac{2}{5}$with eˣ cos xคู่กับ eˣ cos x
$D=\dfrac{1}{25}$with e²ˣ · answer: A, B, C, Dคู่กับ e²ˣ · คำตอบ: A, B, C, D

Q9(b) ∫ eˣ cos x dxQ9(b) ∫ eˣ cos x dx

$J=\int e^x\cos x\,dx$J = the integralJ = อินทิกรัลที่ต้องหา
$K=\int e^x\sin x\,dx$K = a second integral we will meetK = อินทิกรัลอีกตัวที่จะเจอ
$J=e^x\cos x+K$by parts: u = cos x, v′ = eˣ, u′ = −sin xแยกส่วน: u = cos x, v′ = eˣ, u′ = −sin x
$K=e^x\sin x-J$by parts again: u = sin x, v′ = eˣแยกส่วนอีกครั้ง: u = sin x, v′ = eˣ
$P=\cos x+\sin x$P = the bracket that appearsP = วงเล็บที่จะเกิดขึ้น
$J=e^xP-J$put K in: eˣcos x + eˣsin x = eˣPแทน K: eˣcos x + eˣsin x = eˣP
$2J=e^xP$J comes back · move it acrossJ กลับมา · ย้ายข้าง
$J=\dfrac{1}{2}e^xP+c$answer: ½eˣ(cos x + sin x) + cคำตอบ: ½eˣ(cos x + sin x) + c

Q9(c) Volume of the paperweightQ9(c) ปริมาตรที่ทับกระดาษ

Show all your working: an answer that rests only on a calculator is not accepted.
A curve $C$ has equation $y=\cos x+\dfrac{1}{5}e^x$. The shaded region lies between $C$, the $y$-axis, the $x$-axis and the line $x=4$. Turning this region through $2\pi$ radians about the $x$-axis makes a solid $S$.
(c) A paperweight is made by joining two copies of $S$ together; it is 8 cm high (see the figure). Using (a), with $A=B=\dfrac{1}{2}$, $C=\dfrac{2}{5}$, $D=\dfrac{1}{25}$, and (b), integrate by algebra to find the volume of the paperweight. Answer to 2 s.f. [4]

$\int\dfrac{1}{2}\,dx=\dfrac{x}{2}$A = ½ · integrate term by termA = ½ · อินทิเกรตทีละพจน์
$\int\dfrac{1}{2}\cos2x\,dx=\dfrac{1}{4}\sin2x$B = ½ · the 2 inside gives ½B = ½ · 2 ข้างในให้ ½
$E=\int\dfrac{2}{5}e^x\cos x\,dx$C = ⅖ · call this part EC = ⅖ · เรียกส่วนนี้ว่า E
$P=\cos x+\sin x$from (b): ∫ eˣ cos x dx = ½eˣPจากข้อ (b): ∫ eˣ cos x dx = ½eˣP
$E=\dfrac{1}{5}e^xP$⅖ × ½ = ⅕⅖ × ½ = ⅕
$\int\dfrac{1}{25}e^{2x}\,dx=\dfrac{1}{50}e^{2x}$D = 1/25 · the 2 in the power gives ½D = 1/25 · 2 ในเลขชี้กำลังให้ ½
$G=\eqalign{&\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin2x}{4}\cr&+E+\dfrac{e^{2x}}{50}}$G = the four parts addedG = ผลบวกทั้งสี่ส่วน
$\dfrac{1}{4}\sin8\approx0.24734$top limit x = 4 (radians) · x/2 = 2ขอบบน x = 4 (เรเดียน) · x/2 = 2
$P(4)\approx-1.41045$cos 4 + sin 4, in radianscos 4 + sin 4 หน่วยเรเดียน
$\dfrac{e^4}{5}\approx10.9196$for Eใช้ใน E
$E(4)\approx-15.40155$10.9196 × (−1.41045)10.9196 × (−1.41045)
$\dfrac{e^8}{50}\approx59.61916$last termพจน์สุดท้าย
$G(4)\approx46.46495$2 + 0.24734 − 15.40155 + 59.619162 + 0.24734 − 15.40155 + 59.61916
$G(0)=\dfrac{11}{50}$bottom limit x = 0: ⅕ + 1/50, as sin 0 = 0, cos 0 = e⁰ = 1ขอบล่าง x = 0: ⅕ + 1/50 เพราะ sin 0 = 0, cos 0 = e⁰ = 1
$H=G(4)-G(0)$top − bottomบนลบล่าง
$V_S=\pi H$one solid Sทรงตัน S หนึ่งชิ้น
$\approx145.28$π × (46.46495 − 0.22)π × (46.46495 − 0.22)
$2V_S\approx290.57$the paperweight is two solidsที่ทับกระดาษคือทรงตันสองชิ้น
$\approx290\text{ cm}^3$answer · 2 s.f.คำตอบ · 2 ตำแหน่งนัยสำคัญ

11. Q10 · Proof by contradiction · 4 marksข้อ 10 · การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง · 4 คะแนน

Answer: assume ≥ 1 → sin 2x ≥ 0, but sin 2x < 0 for 180° < 2x < 360°: contradictionคำตอบ: assume ≥ 1 → sin 2x ≥ 0, but sin 2x < 0 for 180° < 2x < 360°: contradiction

Q10 |cos 2x ÷ (cos x − sin x)| < 1Q10 |cos 2x ÷ (cos x − sin x)| < 1

Show all your working; a calculator-only answer is not accepted. Prove by contradiction that $\left|\dfrac{\cos2x}{\cos x-\sin x}\right|\lt1$ for every angle $x$ with $90°\lt x\lt180°$. [4]

$Q=\dfrac{\cos2x}{\cos x-\sin x}$name the fraction Qให้เศษส่วนนี้ชื่อ Q
$|Q|\ge1$assume: true for some x with 90° < x < 180°สมมติ: เป็นจริงสำหรับ x บางค่าที่ 90° < x < 180°
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$double angleมุมสองเท่า
$Q=\cos x+\sin x$a² − b² = (a + b)(a − b) · cos x − sin x < 0 here, so it cancelsa² − b² = (a + b)(a − b) · ช่วงนี้ cos x − sin x < 0 จึงตัดกันได้
$|\cos x+\sin x|\ge1$the assumption is now thisข้อสมมติกลายเป็นแบบนี้
$Q^2\ge1$square both sides (both are not negative)ยกกำลังสองทั้งสองข้าง (ไม่ติดลบทั้งคู่)
$Q^2=1+2\sin x\cos x$expand (cos x + sin x)² · cos²x + sin²x = 1กระจาย (cos x + sin x)² · cos²x + sin²x = 1
$1+2\sin x\cos x\ge1$soดังนั้น
$2\sin x\cos x\ge0$take 1 from both sidesลบ 1 ทั้งสองข้าง
$\sin2x\ge0$2 sin x cos x = sin 2x2 sin x cos x = sin 2x
$180^\circ\lt2x\lt360^\circ$double the range of xคูณช่วงของ x ด้วย 2
$\sin2x\lt0$sin is negative here: a contradictionsin ติดลบในช่วงนี้: ขัดแย้งกัน
$|Q|\lt1$the assumption is false, so |cos 2x ÷ (cos x − sin x)| < 1 for all such xข้อสมมติผิด ดังนั้น |cos 2x ÷ (cos x − sin x)| < 1 สำหรับทุก x ในช่วงนี้

12. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

A curve has equation $y^2+xy=6$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ at the point $(1,2)$.เส้นโค้ง $y^2+xy=6$ หา $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุด $(1,2)$
Answer:เฉลย: -2/52y p + y + x p = 0. At (1, 2): 4p + 2 + p = 0, so 5p = −2 and p = −2/5.2yp + y + xp = 0 · ที่ (1, 2): 4p + 2 + p = 0 ดังนั้น 5p = −2 และ p = −2/5
Solve $y\dfrac{dy}{dx}=2x$ with $y=3$ at $x=0$. Find $y^2$ when $x=2$.แก้ $y\dfrac{dy}{dx}=2x$ โดย $y=3$ ที่ $x=0$ แล้วหา $y^2$ เมื่อ $x=2$
Answer:เฉลย: 17∫ y dy = ∫ 2x dx gives y²/2 = x² + c. At (0, 3): c = 9/2, so y² = 2x² + 9 = 17 at x = 2.∫ y dy = ∫ 2x dx ได้ y²/2 = x² + c · ที่ (0, 3): c = 9/2 ดังนั้น y² = 2x² + 9 = 17 เมื่อ x = 2
$\vec{AB}=\mathbf{i}+\mathbf{k}$ and $\vec{AC}=2\mathbf{k}$. Find angle $BAC$ in degrees.$\vec{AB}=\mathbf{i}+\mathbf{k}$ และ $\vec{AC}=2\mathbf{k}$ หามุม $BAC$ เป็นองศา
Answer:เฉลย: 45AB · AC = 0 + 0 + 2 = 2. |AB| = √2 and |AC| = 2, so cos θ = 2/(2√2) = 1/√2 and θ = 45°.AB · AC = 2 · |AB| = √2 และ |AC| = 2 ดังนั้น cos θ = 2/(2√2) = 1/√2 และ θ = 45°
Find $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2u}{(1+u^2)^2}\,du$.หาค่า $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2u}{(1+u^2)^2}\,du$
Answer:เฉลย: 1/2With w = 1 + u², dw = 2u du, so the integral is −1/w = −1/(1 + u²). Top: −½. Bottom: −1. So −½ + 1 = ½.ให้ w = 1 + u² จะได้ dw = 2u du อินทิกรัลคือ −1/(1 + u²) · ขอบบน −½ ขอบล่าง −1 · −½ + 1 = ½
The region under $y=e^x$ from $x=0$ to $x=1$ turns once about the $x$-axis. Find the volume to 3 s.f.บริเวณใต้ $y=e^x$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$ หมุนรอบแกน $x$ หนึ่งรอบ หาปริมาตร (3 ตำแหน่งนัยสำคัญ)
Answer:เฉลย: 10.0V = π∫₀¹ e²ˣ dx = π[½e²ˣ]₀¹ = π(e² − 1)/2 ≈ 10.0.V = π∫₀¹ e²ˣ dx = π[½e²ˣ] จาก 0 ถึง 1 = π(e² − 1)/2 ≈ 10.0

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี