Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Indices and Surdsเลขยกกำลังและกรณฑ์ (surds)
A-Level Pure 1 · Edexcel IAL WMA11 · CAIE: assumed from IGCSE · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Add the indices, and multiply the rootsบวกเลขชี้กำลัง กับคูณรากเข้าด้วยกัน
Fractional and negative indices are panel 1 with the count relaxed.เลขชี้กำลังเศษส่วนและลบ คือช่อง 1 ที่ปล่อยให้จำนวนครั้งไม่ใช่จำนวนเต็ม
- Simplify $x^{4}\times x^{3}$.ทำให้ง่ายขึ้น $x^{4}\times x^{3}$
Answer:เฉลย: $x^{7}$Seven $x$'s multiplied together. Counting them is what the law $x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}$ does for you.มี $x$ เจ็ดตัวคูณกัน · กฎ $x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}$ ก็คือการนับให้เรานั่นเอง
- Work out $\sqrt{4}\times\sqrt{9}$.หาค่า $\sqrt{4}\times\sqrt{9}$
Answer:เฉลย: $6$Roots multiply into one root: $\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\times 3=6$ $\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6$ $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$รากคูณกัน รวมเป็นรากเดียวได้: $\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\times 3=6$ $\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6$ $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
2. The three laws you already haveสามกฎที่มีอยู่แล้ว
These three are the only tools used in this lesson: $x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}$, $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$, $(x^{m})^{n}=x^{mn}$.$x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}$, $x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}$, $(x^{m})^{n}=x^{mn}$ — เครื่องมือมีแค่นี้ทั้งบท
Three lines, and nothing elseสามบรรทัด ไม่มีอย่างอื่น
- Simplify $(x^{3})^{4}$.ทำให้ง่ายขึ้น $(x^{3})^{4}$
Answer:เฉลย: $x^{12}$$(x^{m})^{n}=x^{mn}$.
Write it out if you forget which law it is: four copies of $x^{3}$ give $x^{12}$.$(x^{m})^{n}=x^{mn}$
ถ้าลืมว่าใช้กฎไหน ให้เขียนออกมา: $x^{3}$ สี่ชุด ได้ $x^{12}$
- Simplify $\dfrac{a^{8}\times a^{2}}{a^{5}}$.ทำให้ง่ายขึ้น $\dfrac{a^{8}\times a^{2}}{a^{5}}$
Answer:เฉลย: $a^{5}$Top: $8+2=10$.
Then divide: $10-5=5$.
Two laws in one line, in the order the expression is written.ข้างบน: $8+2=10$
แล้วหาร: $10-5=5$
ใช้สองกฎในบรรทัดเดียว เรียงตามที่โจทย์เขียนมา
3. Zero and negative indicesเลขชี้กำลังศูนย์กับติดลบ
$x^{0}=1$ and $x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}$, worked out from the division law.$x^{0}=1$ กับ $x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}$ ที่ได้มาจากกฎการหาร
What happens when the division law gives $0$ or a negative?ถ้าใช้กฎการหารแล้วได้ $0$ หรือเลขติดลบ จะเป็นยังไง?
- Cancel $\dfrac{x^{5}}{x^{5}}$ without using any law. What number do you get?ตัดทอน $\dfrac{x^{5}}{x^{5}}$ โดยไม่ใช้กฎอะไรเลย ได้เลขอะไร?
Answer:เฉลย: $1$Cancelling gives $1$. The division law gives $x^{0}$.
Both are the same fraction, so $x^{0}=1$.ตัดทอนได้ $1$ · ใช้กฎการหารได้ $x^{0}$
เป็นเศษส่วนก้อนเดียวกัน ดังนั้น $x^{0}=1$
- Cancel $\dfrac{x^{3}}{x^{5}}$ without using any law. What is left?ตัดทอน $\dfrac{x^{3}}{x^{5}}$ โดยไม่ใช้กฎอะไรเลย เหลืออะไร?
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{x^{2}}$Cancelling gives $\dfrac{1}{x^{2}}$. The division law gives $x^{-2}$.
Same fraction, so $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$.ตัดทอนได้ $\dfrac{1}{x^{2}}$ · ใช้กฎการหารได้ $x^{-2}$
ก้อนเดียวกัน ดังนั้น $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$
- Find the value of $3^{-2}$. Give your answer as a fraction.หาค่า $3^{-2}$ ตอบเป็นเศษส่วน
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{9}$$3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$.
Deal with the minus sign first, then work out the power.$3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$
จัดการเครื่องหมายลบก่อน แล้วค่อยคิดเลขยกกำลัง
4. Fractional indicesเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
$x^{1/n}$ is the $n$th root, and $x^{m/n}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}$.$x^{1/n}$ คือรากที่ $n$ และ $x^{m/n}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}$
What must $x^{1/2}$ be?$x^{1/2}$ ต้องเป็นอะไร?
- $x^{\frac{1}{2}}\times x^{\frac{1}{2}}$Put $m=n=\tfrac12$ into the multiplication law.แทน $m=n=\tfrac12$ ลงในกฎการคูณ
- $=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$Add the indices.บวกเลขชี้กำลัง
- $=x^{1}$Times itself gives $x$ — you have a name for that number.คูณตัวเองแล้วได้ $x$ — เลขแบบนี้มีชื่อเรียกอยู่แล้ว
- $=x$Power $1$ is just the letter.กำลังหนึ่งก็คือตัวมันเอง
- $9^{1/2}\times 9^{1/2}=9$. Which number is $9^{1/2}$?$9^{1/2}\times 9^{1/2}=9$ · $9^{1/2}$ คือเลขอะไร?
Answer:เฉลย: $3$$3\times 3=9$, so $9^{1/2}=3=\sqrt{9}$.
An index of $\tfrac12$ and a square root are the same instruction written two ways.$3\times 3=9$ ดังนั้น $9^{1/2}=3=\sqrt{9}$
เลขชี้กำลัง $\tfrac12$ กับรากที่สอง คือคำสั่งเดียวกัน เขียนคนละแบบ
- Find the value of $27^{1/3}$.หาค่า $27^{1/3}$
Answer:เฉลย: $3$Learn the small cubes: $3\times 3\times 3=27\ \Rightarrow\ \sqrt[3]{27}=3$ $2^{3}=8,\ \ 3^{3}=27,\ \ 4^{3}=64,\ \ 5^{3}=125$ท่องลูกบาศก์ตัวเล็กไว้: $3\times 3\times 3=27\ \Rightarrow\ \sqrt[3]{27}=3$ $2^{3}=8,\ \ 3^{3}=27,\ \ 4^{3}=64,\ \ 5^{3}=125$
- You are about to work out $32^{3/5}$. Which number do you take a root with, and which number do you use as a power?กำลังจะหาค่า $32^{3/5}$ · เลขไหนใช้ถอดราก และเลขไหนใช้ยกกำลัง?
Answer:เฉลย: $5\to$ root · $3\to$ power$5\to$ ราก · $3\to$ กำลัง$32^{\frac{3}{5}}\;\to\;\dfrac{3\ \text{power}}{5\ \text{root}}\;\to\;\left(\sqrt[5]{32}\right)^{3}$
Name the two parts first. That is what stops the swap.$32^{\frac{3}{5}}\;\to\;$$3\ $ กำลัง$5\ $ ราก$\;\to\;\left(\sqrt[5]{32}\right)^{3}$
บอกชื่อสองส่วนก่อน คือสิ่งที่กันการสลับ
- Which line rewrites $32^{3/5}$ correctly?บรรทัดไหนเขียน $32^{3/5}$ ใหม่ได้ถูกต้อง?
Answer:เฉลย: $\left(\sqrt[5]{32}\right)^{3}=2^{3}=8$Root first keeps numbers small: $\sqrt[5]{32}=2$ $2^{3}=8$ $\text{other order needs }32^{3}=32768\ \text{first}$ถอดรากก่อน ตัวเลขจะเล็ก: $\sqrt[5]{32}=2$ $2^{3}=8$ $\text{other order needs }32^{3}=32768\ \text{first}$
5. Root first, then powerถอดรากก่อน แล้วค่อยยกกำลัง
Evaluate $8^{2/3}$, $16^{-1/2}$ and $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$ without a calculator.หาค่า $8^{2/3}$, $16^{-1/2}$ และ $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$ โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข
Both orders give $4$. Only one keeps the numbers small.ทำสองลำดับได้ $4$ เท่ากัน แต่มีลำดับเดียวที่ตัวเลขไม่บาน
- Find the value of $8^{2/3}$.หาค่า $8^{2/3}$
Answer:เฉลย: $4$$\sqrt[3]{8}=2$.
Then $2^{2}=4$.
Two small steps, no calculator needed.$\sqrt[3]{8}=2$
แล้ว $2^{2}=4$
สองขั้นเล็กๆ ไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
- Find the value of $16^{-1/2}$.หาค่า $16^{-1/2}$
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{4}$Minus, then root, then power: $16^{-1/2}=\dfrac{1}{16^{1/2}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}$ลบ · ราก · กำลัง ตามลำดับ: $16^{-1/2}=\dfrac{1}{16^{1/2}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}$
- What is the correct first step for $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$?ขั้นแรกที่ถูกต้องของ $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$ คืออะไร?
Answer:เฉลย: $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}$Flip, and the index turns positive: $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}$ $8=2^{3},\quad 27=3^{3}\quad\text{(both cubes)}$กลับเศษส่วน เลขชี้กำลังกลายเป็นบวก: $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}$ $8=2^{3},\quad 27=3^{3}\quad\text{(both cubes)}$
- Find the value of $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$. (3 marks)หาค่า $\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\dfrac{4}{9}$3 marks: $\text{M1}\ \ \left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}$ $\text{M1}\ \ \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3}$ $\text{A1}\ \ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$ Minus, then root, then power. Always that order.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \left(\dfrac{27}{8}\right)^{-2/3}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}$ $\text{M1}\ \ \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\dfrac{2}{3}$ $\text{A1}\ \ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$ ลบ แล้วราก แล้วกำลัง · ลำดับนี้เสมอ
6. Surdsกรณฑ์ หรือ เลขติดราก (surds)
Simplify $\sqrt{50}$, add like surds, and multiply surds.ทำ $\sqrt{50}$ ให้ง่ายขึ้น บวกรากที่เหมือนกัน และคูณราก
$\sqrt{9}$ is a whole number. $\sqrt{2}$ is not.$\sqrt{9}$ เป็นจำนวนเต็ม แต่ $\sqrt{2}$ ไม่ใช่
- To simplify $\sqrt{50}$ you need a factor of $50$ that is a square number. Which one is it?จะทำ $\sqrt{50}$ ให้ง่ายขึ้น ต้องหาตัวประกอบของ $50$ ที่เป็นจำนวนกำลังสอง · ตัวไหน?
Answer:เฉลย: $25$, because $50=25\times 2$Take the largest square factor: $50=25\times 2,\quad 25=5^{2}$ $\sqrt{48}=\sqrt{4\times 12}=2\sqrt{12}$ $=2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ A small factor still gets there, it just costs one more line.ดึงตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุด: $50=25\times 2,\quad 25=5^{2}$ $\sqrt{48}=\sqrt{4\times 12}=2\sqrt{12}$ $=2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ เจอตัวประกอบเล็กก็ได้คำตอบเดิม แค่เพิ่มอีกบรรทัด
- Simplify $\sqrt{50}$.ทำ $\sqrt{50}$ ให้ง่ายขึ้น
Answer:เฉลย: $5\sqrt{2}$$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
Check any simplified surd by squaring it: $(5\sqrt{2})^{2}=25\times 2=50$.$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
ตรวจ surd ที่ทำให้ง่ายแล้ว ด้วยการยกกำลังสอง: $(5\sqrt{2})^{2}=25\times 2=50$
- Simplify $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}$.ทำให้ง่ายขึ้น $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}$
Answer:เฉลย: $7\sqrt{5}$Add surds only when alike: $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$ $3\sqrt{5}+4\sqrt{2}\ \text{✗ cannot combine}$บวกกันได้ ต่อเมื่อในรากเหมือนกัน: $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$ $3\sqrt{5}+4\sqrt{2}\ \text{✗ cannot combine}$
- Work out $\sqrt{3}\times\sqrt{12}$. Give your answer as a whole number.หาค่า $\sqrt{3}\times\sqrt{12}$ ตอบเป็นจำนวนเต็ม
Answer:เฉลย: $6$Two surds, a whole number: $\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ $\text{check the product for a square first}$รากสองตัว ได้จำนวนเต็ม: $\sqrt{3}\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ $\text{check the product for a square first}$
7. No root on the bottomตัวส่วนต้องไม่มีราก
Clear the surd out of a denominator, first a single root, then $a+\sqrt{b}$.กำจัดรากออกจากตัวส่วน เริ่มจากรากตัวเดียว แล้วไปที่ $a+\sqrt{b}$
A final answer does not keep a root on the bottomคำตอบสุดท้ายจะไม่มีรากอยู่ที่ตัวส่วน
One multiplication clears the rootคูณครั้งเดียว รากหลุดจากตัวส่วน
- $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$A root on the bottom.มีรากอยู่ที่ตัวส่วน
- $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$Multiply by the root over itself — that is $1$.คูณด้วยรากส่วนราก — ก็คือคูณ $1$
- $=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}$One fraction.รวมเป็นเศษส่วนเดียว
- $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ — whole number on the bottom.$\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ — ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มแล้ว
$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$ in three moves$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$ ในสามจังหวะ
- $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$A conjugate pair.คู่ conjugate
- $=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}$Square the front, square the back, minus between.หน้ายกกำลังสอง หลังยกกำลังสอง คั่นด้วยลบ
- $=9-5$Squaring removes the root.ยกกำลังสองแล้ว รากหายไป
- $=4$No root left.ไม่มีรากเหลืออยู่เลย
- Open the calculator below. Work out $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, then work out $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Type the number they both give, to 4 decimal places.เปิดเครื่องคิดเลขข้างล่าง · หาค่า $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ แล้วหาค่า $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
พิมพ์ตัวเลขที่ได้ ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: $0.7071$Same value, different writing: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0.7071\ldots$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.7071\ldots$ $\Rightarrow\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ Rationalising changes how the number is written, never its value.ค่าเท่ากัน แค่เขียนคนละแบบ: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0.7071\ldots$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.7071\ldots$ $\Rightarrow\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ การทำส่วนให้เป็นจำนวนเต็ม เปลี่ยนแค่วิธีเขียน ไม่เปลี่ยนค่า
- Now do the same to $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$. Write it with a whole number on the bottom.ทีนี้ทำแบบเดียวกันกับ $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ · เขียนให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม
Answer:เฉลย: $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$This is what it is for: $\dfrac{1}{\sqrt{5}}\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ $\text{both}=0.4472\ldots$ $\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$นี่คือประโยชน์ของวิธีนี้: $\dfrac{1}{\sqrt{5}}\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ $\text{both}=0.4472\ldots$ $\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
- Write $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ with a whole number on the bottom. Give your answer in simplest form.เขียน $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ ให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answer:เฉลย: $2\sqrt{3}$$\dfrac{6}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
Check it: $2\sqrt{3}\times\sqrt{3}=2\times 3=6$, which is the original numerator.$\dfrac{6}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$
ตรวจดู: $2\sqrt{3}\times\sqrt{3}=2\times 3=6$ ซึ่งคือตัวเศษเดิม
- Write $\dfrac{16}{\sqrt{8}}$ with a whole number on the bottom. Give your answer in simplest surd form.เขียน $\dfrac{16}{\sqrt{8}}$ ให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม ตอบเป็น surd รูปอย่างง่ายที่สุด
Answer:เฉลย: $4\sqrt{2}$Rationalise, then simplify again: $\dfrac{16}{\sqrt{8}}\times\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\dfrac{16\sqrt{8}}{8}=2\sqrt{8}$ $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ $=4\sqrt{2}$ทำส่วนก่อน แล้วย้อนกลับมาลดรูป: $\dfrac{16}{\sqrt{8}}\times\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\dfrac{16\sqrt{8}}{8}=2\sqrt{8}$ $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ $=4\sqrt{2}$
- In all three of those, what happened to the two middle terms?ทั้งสามข้อนั้น พจน์ตรงกลางสองตัวเกิดอะไรขึ้น?
Answer:เฉลย: They cancelled: $+5x-5x=0$หักล้างกัน: $+5x-5x=0$The middle terms cancel: $(x-5)(x+5)=x^{2}+5x-5x-25$ $=x^{2}-25$ $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b$ With $\sqrt{5}$ in place of $5$, $(\sqrt{5})^{2}=5$ and the root is gone.พจน์กลางหักล้างกัน: $(x-5)(x+5)=x^{2}+5x-5x-25$ $=x^{2}-25$ $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b$ เปลี่ยน $5$ เป็น $\sqrt{5}$ · $(\sqrt{5})^{2}=5$ · รากหายไป
- The rule is written with $a+\sqrt{b}$. Match $2+\sqrt{7}$ to it. What are $a$ and $b$?กฎเขียนด้วย $a+\sqrt{b}$ · เทียบกับ $2+\sqrt{7}$ · $a$ กับ $b$ คืออะไร?
Answer:เฉลย: $a=2$, $b=7$$a$ outside, $b$ under the root: $2+\sqrt{7}\ \to\ a=2,\ b=7$ $a^{2}-b=2^{2}-7=4-7=-3$ $\text{a whole number: the root has gone}$$a$ อยู่นอกราก · $b$ อยู่ในราก: $2+\sqrt{7}\ \to\ a=2,\ b=7$ $a^{2}-b=2^{2}-7=4-7=-3$ $\text{a whole number: the root has gone}$
- Write down the conjugate of $2+\sqrt{7}$.เขียน conjugate ของ $2+\sqrt{7}$
Answer:เฉลย: $2-\sqrt{7}$Flip the sign in the middle: $2+\sqrt{7}\ \to\ 2-\sqrt{7}$ $(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})=2^{2}-7=-3$กลับเครื่องหมายตรงกลาง: $2+\sqrt{7}\ \to\ 2-\sqrt{7}$ $(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})=2^{2}-7=-3$
- You want to rationalise $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$. What do you multiply the top and bottom by?ต้องการทำ $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$ ให้ตัวส่วนไม่มีราก · ต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยอะไร?
Answer:เฉลย: $3-\sqrt{5}$Bottom first, on its own line: $\text{multiply by }\dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ $\text{1. bottom}:\ (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4$ $\text{2. top}$ $\text{3. divide every term on the top by }4$ Only the conjugate makes the middle terms cancel.ทำส่วนก่อน แยกบรรทัดของมันเอง: $\text{multiply by }\dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ $\text{1. bottom}:\ (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4$ $\text{2. top}$ $\text{3. divide every term on the top by }4$ มีแต่คอนจูเกตเท่านั้น ที่ทำให้พจน์กลางหักล้างกัน
- Use $(\text{front})^{2}-(\text{back})^{2}$. Do not expand.
$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=\;?$ใช้ $($หน้า$)^{2}-($หลัง$)^{2}$ ไม่ต้องกระจาย
$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=\;?$
Answer:เฉลย: $4$$3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=9-5=4$
$a=3,\;b=5$ in $a^{2}-b$.$3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=9-5=4$
$a=3,\;b=5$ ใน $a^{2}-b$
- Simplify $\dfrac{12-4\sqrt{5}}{4}$.ทำให้ง่ายขึ้น $\dfrac{12-4\sqrt{5}}{4}$
Answer:เฉลย: $3-\sqrt{5}$Both terms get divided: $\dfrac{12-4\sqrt{5}}{4}=\dfrac{12}{4}-\dfrac{4\sqrt{5}}{4}$ $=3-\sqrt{5}$ Dividing only one term is the most common lost mark, and it is the last line.หารทั้งสองพจน์: $\dfrac{12-4\sqrt{5}}{4}=\dfrac{12}{4}-\dfrac{4\sqrt{5}}{4}$ $=3-\sqrt{5}$ หารพจน์เดียว คือจุดเสียคะแนนที่พบบ่อยที่สุด · และมันคือบรรทัดสุดท้าย
- Write $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$ with a whole number on the bottom. Give your answer in simplest form.เขียน $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$ ให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answer:เฉลย: $3-\sqrt{5}$$\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}\times\dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{12-4\sqrt{5}}{4}=3-\sqrt{5}$.
Check it: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$, which is the original numerator.$\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}\times\dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{12-4\sqrt{5}}{4}=3-\sqrt{5}$
ตรวจดู: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$ ซึ่งคือตัวเศษเดิม
- Write $\dfrac{2}{\sqrt{2}-2}$ with a whole number on the bottom. Give your answer in simplest form.เขียน $\dfrac{2}{\sqrt{2}-2}$ ให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม · ตอบในรูปอย่างง่าย
Answer:เฉลย: $-\sqrt{2}-2$A negative bottom is fine: $\dfrac{2}{\sqrt{2}-2}\times\dfrac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{2-4}$ $=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{-2}=-\sqrt{2}-2$ $(\sqrt{2})^{2}=2\ <\ 2^{2}=4$ Dividing by a negative flips the sign of both terms on the top.ส่วนติดลบ ก็ไม่ผิด: $\dfrac{2}{\sqrt{2}-2}\times\dfrac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{2-4}$ $=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{-2}=-\sqrt{2}-2$ $(\sqrt{2})^{2}=2\ <\ 2^{2}=4$ หารด้วยจำนวนลบ พจน์บนกลับเครื่องหมายทั้งคู่
- Exam: Express $\dfrac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ in the form $a\sqrt{7}+b\sqrt{2}$, where $a$ and $b$ are integers. (3 marks)ข้อสอบ: เขียน $\dfrac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ ในรูป $a\sqrt{7}+b\sqrt{2}$ โดย $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2\sqrt{7}+2\sqrt{2}$3 marks: $\text{M1}\ \ \times\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$ $\text{M1}\ \ \text{bottom }7-2=5,\ \ \text{top }10\sqrt{7}+10\sqrt{2}$ $\text{A1}\ \ 2\sqrt{7}+2\sqrt{2}$ Both bottom terms are under roots here, so both get squared away.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \times\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$ $\text{M1}\ \ \text{bottom }7-2=5,\ \ \text{top }10\sqrt{7}+10\sqrt{2}$ $\text{A1}\ \ 2\sqrt{7}+2\sqrt{2}$ ส่วนอยู่ใต้รากทั้งสองพจน์ · จึงถูกยกกำลังสองหายไปทั้งคู่
- Exam: Express $\dfrac{11+5\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ in the form $a+b\sqrt{5}$, where $a$ and $b$ are integers. (4 marks)ข้อสอบ: เขียน $\dfrac{11+5\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ ในรูป $a+b\sqrt{5}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2+\sqrt{5}$4 marks: $\text{M1}\ \ \times\dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ $\text{M1}\ \ \text{bottom}=9-5=4$ $\text{M1}\ \ \text{top}=33-11\sqrt{5}+15\sqrt{5}-25=8+4\sqrt{5}$ $\text{A1}\ \ \dfrac{8+4\sqrt{5}}{4}=2+\sqrt{5}$ The top is not a conjugate pair, so its middle terms do not cancel.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \times\dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ $\text{M1}\ \ \text{bottom}=9-5=4$ $\text{M1}\ \ \text{top}=33-11\sqrt{5}+15\sqrt{5}-25=8+4\sqrt{5}$ $\text{A1}\ \ \dfrac{8+4\sqrt{5}}{4}=2+\sqrt{5}$ พจน์บนไม่ใช่คู่คอนจูเกต · พจน์กลางจึงไม่หักล้างกัน
- Exam: Express $\dfrac{8^{x+1}}{4^{x-1}}$ as a single power of $2$. (4 marks)ข้อสอบ: เขียน $\dfrac{8^{x+1}}{4^{x-1}}$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังของ $2$ ตัวเดียว (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2^{x+5}$4 marks: $\text{M1}\ \ 8=2^{3},\ \ 4=2^{2}$ $\text{M1}\ \ 8^{x+1}=2^{3(x+1)}=2^{3x+3}$ $\text{M1}\ \ 4^{x-1}=2^{2(x-1)}=2^{2x-2}$ $\text{A1}\ \ (3x+3)-(2x-2)=x+5\ \Rightarrow\ 2^{x+5}$ Subtract the whole exponent, brackets included.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ 8=2^{3},\ \ 4=2^{2}$ $\text{M1}\ \ 8^{x+1}=2^{3(x+1)}=2^{3x+3}$ $\text{M1}\ \ 4^{x-1}=2^{2(x-1)}=2^{2x-2}$ $\text{A1}\ \ (3x+3)-(2x-2)=x+5\ \Rightarrow\ 2^{x+5}$ ลบเลขชี้กำลังทั้งก้อน อย่าลืมวงเล็บ
- Rationalise the denominator of $\dfrac{14}{\sqrt{63}-\sqrt{28}}$, giving your answer in the form $a\sqrt{b}$ where $a$ and $b$ are integers and $b$ is as small as possible.ทำให้ตัวส่วนของ $\dfrac{14}{\sqrt{63}-\sqrt{28}}$ ไม่มี root · ตอบในรูป $a\sqrt{b}$ เมื่อ $a$, $b$ เป็นจำนวนเต็ม และ $b$ เล็กที่สุด
Answer:เฉลย: $2\sqrt{7}$Simplify the surds first: $\sqrt{63}=3\sqrt{7},\quad \sqrt{28}=2\sqrt{7}$ $3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}\quad\text{(one term)}$ $\dfrac{14}{\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{14\sqrt{7}}{7}=2\sqrt{7}$ $\text{one term}\to\text{single root};\ \ \text{two unlike}\to\text{conjugate}$ The conjugate reaches the same answer through $63-28=35$ and two extra lines.ลดรูปรากก่อน แล้วค่อยเลือกวิธี: $\sqrt{63}=3\sqrt{7},\quad \sqrt{28}=2\sqrt{7}$ $3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}\quad\text{(one term)}$ $\dfrac{14}{\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{14\sqrt{7}}{7}=2\sqrt{7}$ $\text{one term}\to\text{single root};\ \ \text{two unlike}\to\text{conjugate}$ ใช้คอนจูเกตก็ได้คำตอบเดิม แต่ต้องผ่าน $63-28=35$ และอีกสองบรรทัด
8. Exercise setชุดโจทย์
The questions are in order. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Find the value of $8^{4/3}$.Cube root first: $\sqrt[3]{8}=2$. Then $2^{4}=16$.
Same shape as the worked example, with a bigger power on top.ถอดรากที่สามก่อน: $\sqrt[3]{8}=2$ แล้ว $2^{4}=16$
รูปแบบเดียวกับตัวอย่างที่ทำไป แค่เลขข้างบนใหญ่ขึ้น
- Find the value of $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-3/4}$.Turn it over: $\left(\dfrac{81}{16}\right)^{3/4}$.
Fourth root of each part: $\dfrac{3}{2}$.
Cube it: $\dfrac{27}{8}$.
Three separate jobs, one at a time.กลับเศษส่วน: $\left(\dfrac{81}{16}\right)^{3/4}$
ถอดรากที่สี่ทีละส่วน: $\dfrac{3}{2}$
ยกกำลังสาม: $\dfrac{27}{8}$
สามงานแยกกัน ทำทีละอย่าง
- Simplify $\left(\dfrac{8a^{6}}{27}\right)^{2/3}$.The index applies to every part: $8$, $a^{6}$ and $27$.
$\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}=\dfrac{4}{9}$ and $(a^{6})^{2/3}=a^{4}$.
The index applies to the letter in the same way as to the numbers.เลขชี้กำลังใช้กับทุกส่วน: $8$, $a^{6}$ และ $27$
$\left(\dfrac{8}{27}\right)^{2/3}=\dfrac{4}{9}$ และ $(a^{6})^{2/3}=a^{4}$
ใครที่จำมาเป็นทริคของตัวเลขอย่างเดียว จะติดตรงตัวอักษร
- Simplify $\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$.Simplify each surd first: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ and $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.
Add them: $5\sqrt{3}$.
Divide by $\sqrt{3}$: $5$.
Simplifying, adding and dividing surds in one line.ทำ surd แต่ละตัวให้ง่ายก่อน: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ และ $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
บวกกัน: $5\sqrt{3}$
หารด้วย $\sqrt{3}$: $5$
ทำให้ง่าย บวก และหาร surd ในบรรทัดเดียว
- $x^{p}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$. Find the value of $p$.Read it in two steps. The cube root gives an index of $\tfrac{1}{3}$. The one-over gives a minus sign.
Here the index is the unknown. You have to read the notation backwards.อ่านสองขั้น · รากที่สามให้เลขชี้กำลัง $\tfrac{1}{3}$ · การเป็นหนึ่งส่วนให้เครื่องหมายลบ
ข้อนี้ให้คำตอบมาแล้วถามหาเลขชี้กำลัง จึงต้องเข้าใจสัญลักษณ์ ไม่ใช่ทำตามขั้นตอน
- Express $\dfrac{7}{3-\sqrt{2}}$ in the form $a+b\sqrt{2}$, where $a$ and $b$ are integers. (3 marks)Multiply top and bottom by $3+\sqrt{2}$.
Bottom: $9-2=7$. Top: $21+7\sqrt{2}$.
Divide by $7$: $3+\sqrt{2}$.
The words in the form tell you the answer must be split into a whole number plus a multiple of $\sqrt{2}$.คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย $3+\sqrt{2}$
ตัวส่วน: $9-2=7$ · ตัวเศษ: $21+7\sqrt{2}$
หารด้วย $7$: $3+\sqrt{2}$
คำว่า in the form บอกว่าคำตอบต้องแยกเป็นจำนวนเต็ม บวก จำนวนเท่าของ $\sqrt{2}$
- A student writes $\sqrt{9}+\sqrt{16}=\sqrt{25}=5$. Find the error and give the correct value.There is a rule for multiplying roots and a rule for dividing them. There is no rule for adding them.
Take each root first, then add: $3+4=7$.
Look for this error in your own working too.การคูณรากมีกฎ การหารรากมีกฎ แต่การบวกไม่มีกฎ
ถอดรากทีละตัวก่อน แล้วค่อยบวก: $3+4=7$
ถ้าหาจุดผิดในงานคนอื่นเจอ ก็แปลว่าตัวเองจะไม่พลาดแบบเดียวกัน
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี