Graphs · practice ladders ชุดไต่ระดับ · กราฟ
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
A line at right angles to another เส้นตรงที่ตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่ง
The line $L_{1}$ has equation $2x - 3y + 12 = 0$. The point $A(3,\,6)$ lies on $L_{1}$. The line $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$.
(a) Work out the gradient of $L_{1}$.
(b) Find the equation of $L_{2}$. Give your answer in the form $y = mx + c$.
เส้นตรง $L_{1}$ มีสมการ $2x - 3y + 12 = 0$ และจุด $A(3,\,6)$ อยู่บน $L_{1}$ เส้นตรง $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$
(ก) จงหาความชันของ $L_{1}$
(ข) จงหาสมการของ $L_{2}$ ตอบในรูป $y = mx + c$
Rearrange $2x - 3y + 12 = 0$ into the form $y = mx + c$.
จงจัดรูป $2x - 3y + 12 = 0$ ให้อยู่ในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
Get the $y$ term alone on one side, then divide every term by the number in front of $y$.ย้ายให้เหลือพจน์ $y$ อยู่ข้างเดียว แล้วหารทุกพจน์ด้วยตัวเลขหน้า $y$
A line has gradient $4$. Write down the gradient of any line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $4$ จงเขียนความชันของเส้นตรงใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Turn it upside down and change the sign. Two things happen, not one.พลิกกลับหัวและเปลี่ยนเครื่องหมาย · ทำสองอย่าง ไม่ใช่อย่างเดียว
A line has gradient $-2$ and passes through $(1,\,5)$. Work out $c$ in $y = -2x + c$.
เส้นตรงมีความชัน $-2$ และผ่านจุด $(1,\,5)$ จงหา $c$ ใน $y = -2x + c$
Answershow ▾
Put the point’s $x$ where $x$ is and its $y$ where $y$ is.แทนค่า $x$ ของจุดลงในตำแหน่ง $x$ และ $y$ ของจุดลงในตำแหน่ง $y$
Someone looks at $2x - 3y + 12 = 0$ and says the gradient is $2$. Someone else says $-3$. Give the gradient, and write down the one thing that has to be done to the equation before any gradient can be read off it.
มีคนดู $2x - 3y + 12 = 0$ แล้วบอกว่าความชันคือ $2$ อีกคนบอกว่า $-3$ จงบอกความชันที่ถูกต้อง และเขียนสิ่งเดียวที่ต้องทำกับสมการก่อนจะอ่านความชันได้
Answershow ▾
The number in front of $x$ is only the gradient when $y$ is alone on one side with a coefficient of $1$. In $2x - 3y + 12 = 0$ nothing is in that form yet, so $2$ and $-3$ are just coefficients. The B1 in part (a) is for the number $\tfrac{2}{3}$; the rearranging that makes it visible is worth nothing, and it also decides part (b), because a wrong gradient here makes every one of the remaining three marks unreachable.ตัวเลขหน้า $x$ จะเป็นความชันก็ต่อเมื่อ $y$ อยู่ตัวเดียวข้างหนึ่งและมีสัมประสิทธิ์เป็น $1$ · ใน $2x - 3y + 12 = 0$ ยังไม่มีอะไรอยู่ในรูปนั้น $2$ กับ $-3$ จึงเป็นแค่สัมประสิทธิ์ · B1 ของข้อ (ก) ให้กับเลข $\tfrac{2}{3}$ ส่วนการจัดรูปที่ทำให้เห็นมันไม่มีคะแนน · และมันยังชี้ขาดข้อ (ข) ด้วย เพราะถ้าความชันผิด อีกสามคะแนนที่เหลือก็ไปไม่ถึง
Work out the gradient of $L_{1}$.
จงหาความชันของ $L_{1}$
Answershow ▾
Part (a), one mark. The picture shows the gradient triangle: along 3, up 2.ข้อ (ก) หนึ่งคะแนน · ภาพแสดงสามเหลี่ยมความชัน คือไปทางขวา 3 ขึ้น 2
$L_{1}$ has gradient $\tfrac{2}{3}$. Pick the gradient of $L_{2}$ and name the two things that were done to $\tfrac{2}{3}$ to get it.
(A) $-\dfrac{2}{3}$ (B) $\dfrac{3}{2}$ (C) $-\dfrac{3}{2}$
$L_{1}$ มีความชัน $\tfrac{2}{3}$ จงเลือกความชันของ $L_{2}$ และบอกว่าทำอะไรกับ $\tfrac{2}{3}$ สองอย่างจึงได้ค่านั้น
(A) $-\dfrac{2}{3}$ (B) $\dfrac{3}{2}$ (C) $-\dfrac{3}{2}$
Answershow ▾
Two operations, and each of the wrong options does exactly one of them. (A) is the reflection of $L_{1}$ in a vertical line, (B) is its reflection in $y = x$, and neither is perpendicular to anything. The test is $m_{1}m_{2} = -1$: only $\tfrac{2}{3}\times\left(-\tfrac{3}{2}\right)$ gives $-1$. The first M1 of part (b) is for the number $-\tfrac{3}{2}$ appearing; doing only half the operation is the commonest way to lose all three marks of part (b) while writing three correct-looking lines.ต้องทำสองอย่าง และตัวเลือกที่ผิดแต่ละข้อทำแค่อย่างเดียว · (A) คือภาพสะท้อนของ $L_{1}$ ในแนวตั้ง (B) คือภาพสะท้อนในเส้น $y = x$ ทั้งคู่ไม่ได้ตั้งฉากกับอะไรเลย · วิธีตรวจคือ $m_{1}m_{2} = -1$ · มีแค่ $\tfrac{2}{3}\times\left(-\tfrac{3}{2}\right)$ ที่ได้ $-1$ · M1 แรกของข้อ (ข) ให้กับการปรากฏของ $-\tfrac{3}{2}$ · การทำแค่ครึ่งเดียวคือวิธีที่พบบ่อยที่สุดในการเสียคะแนนทั้งสามของข้อ (ข) ทั้งที่เขียนสามบรรทัดที่ดูถูกต้อง
Write down the gradient of $L_{2}$.
จงเขียนความชันของ $L_{2}$
Answershow ▾
Negative, because $L_{1}$ goes uphill and a line at right angles to it must go downhill.เป็นลบ เพราะ $L_{1}$ ชันขึ้น เส้นที่ตั้งฉากกับมันจึงต้องชันลง
$L_{2}$ has gradient $-\tfrac{3}{2}$ and passes through $A(3,\,6)$. One script writes $6 = -\tfrac{3}{2}(3) + c$; another writes $3 = -\tfrac{3}{2}(6) + c$. Both say they substituted the point. Name the one that is right and write down the rule in your own words.
$L_{2}$ มีความชัน $-\tfrac{3}{2}$ และผ่านจุด $A(3,\,6)$ กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $6 = -\tfrac{3}{2}(3) + c$ อีกแผ่นเขียน $3 = -\tfrac{3}{2}(6) + c$ ทั้งคู่บอกว่าแทนค่าจุดลงไปแล้ว จงบอกว่าแผ่นไหนถูก และเขียนกฎด้วยคำของตัวเอง
Answershow ▾
A coordinate is written $(x,\,y)$, so the $3$ is an $x$ and the $6$ is a $y$, and $y = mx + c$ has one slot for each. Swapping them gives $c = 12$ instead of $10.5$, and the final line looks perfectly respectable. The second M1 is for the substitution and the A1 for the equation; nothing pays for putting the two numbers in the right slots, and a swap here costs two marks with no visible error.พิกัดเขียนเป็น $(x,\,y)$ ดังนั้น $3$ คือ $x$ และ $6$ คือ $y$ และ $y = mx + c$ มีช่องให้อย่างละหนึ่งช่อง · ถ้าสลับกันจะได้ $c = 12$ แทน $10.5$ และบรรทัดสุดท้ายก็ดูดีเรียบร้อย · M1 ที่สองให้กับการแทนค่า และ A1 ให้กับสมการ · ไม่มีคะแนนให้กับการใส่ตัวเลขสองตัวลงช่องที่ถูก และการสลับตรงนี้เสียสองคะแนนโดยไม่มีร่องรอยความผิด
$L_{2}$ has gradient $-\tfrac{3}{2}$ and passes through $A(3,\,6)$. Work out $c$.
$L_{2}$ มีความชัน $-\tfrac{3}{2}$ และผ่านจุด $A(3,\,6)$ จงหา $c$
Answershow ▾
$10.5$ is the same number, and both are accepted.$10.5$ คือจำนวนเดียวกัน และตอบได้ทั้งสองแบบ
Find the equation of $L_{2}$, in the form $y = mx + c$.
จงหาสมการของ $L_{2}$ ในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
Part (b), three marks. Check it: put $x = 3$ in and you must get $6$.ข้อ (ข) สามคะแนน · ตรวจดู แทน $x = 3$ แล้วต้องได้ $6$
$L_{1}$ has equation $x + 2y = 8$ and $A(2,\,3)$ lies on it. $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$. Find the equation of $L_{2}$.
$L_{1}$ มีสมการ $x + 2y = 8$ และจุด $A(2,\,3)$ อยู่บนเส้นนี้ $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$ จงหาสมการของ $L_{2}$
Answershow ▾
This time $L_{1}$ goes downhill, so $L_{2}$ goes uphill.คราวนี้ $L_{1}$ ชันลง $L_{2}$ จึงชันขึ้น
$L_{1}$ has equation $3x - 4y + 10 = 0$ and $A(2,\,4)$ lies on it. $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$.
(a) Work out the gradient of $L_{1}$. (b) Find the equation of $L_{2}$ in the form $y = mx + c$.
$L_{1}$ มีสมการ $3x - 4y + 10 = 0$ และจุด $A(2,\,4)$ อยู่บนเส้นนี้ $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$
(ก) จงหาความชันของ $L_{1}$ (ข) จงหาสมการของ $L_{2}$ ในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
Fractions in the answer are normal here and are not a sign that you have gone wrong.คำตอบเป็นเศษส่วนเป็นเรื่องปกติของโจทย์แบบนี้ ไม่ได้แปลว่าทำผิด
The line $L_{1}$ has equation $2x - 3y + 12 = 0$. The point $A(3,\,6)$ lies on $L_{1}$. The line $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$.
(a) Work out the gradient of $L_{1}$.
(b) Find the equation of $L_{2}$. Give your answer in the form $y = mx + c$.
เส้นตรง $L_{1}$ มีสมการ $2x - 3y + 12 = 0$ และจุด $A(3,\,6)$ อยู่บน $L_{1}$ เส้นตรง $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$
(ก) จงหาความชันของ $L_{1}$
(ข) จงหาสมการของ $L_{2}$ ตอบในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
4 marks, and three separate places to slip: the rearranging, the reciprocal, and the substitution.4 คะแนน และมีจุดพลาดสามจุด คือการจัดรูป การกลับเศษส่วน และการแทนค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 perpendicular gradient $= -\tfrac{3}{2}$ M1 $6 = -\tfrac{3}{2}(3) + c$ A1 $y = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{21}{2}$.
Nothing pays for rearranging into $y = mx + c$ first, and no gradient can be read until you do.
A stone thrown off a cliff โยนก้อนหินจากหน้าผา
A stone is thrown upwards from the top of a cliff. Its height above the sea, $h$ metres, at time $t$ seconds after it is thrown, is $h = 20 + 15t - 5t^{2}$.
(a) Use algebra to work out the greatest height of the stone above the sea, and the time at which it reaches that height.
(b) Work out the time at which the stone hits the sea.
(c) Use your answers to parts (a) and (b) to write down the values of $t$ for which the stone is falling.
โยนก้อนหินขึ้นจากยอดหน้าผา ความสูงเหนือระดับน้ำทะเล $h$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาทีหลังโยน คือ $h = 20 + 15t - 5t^{2}$
(ก) จงใช้พีชคณิตหาความสูงมากที่สุดของก้อนหินเหนือระดับน้ำทะเล และเวลาที่ไปถึงความสูงนั้น
(ข) จงหาเวลาที่ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล
(ค) จงใช้คำตอบจากข้อ (ก) และ (ข) เขียนค่าของ $t$ ที่ก้อนหินกำลังตกลง
For $h = 20 + 15t - 5t^{2}$, write down $a$, $b$ and $c$ for the quadratic in $t$.
จาก $h = 20 + 15t - 5t^{2}$ จงเขียน $a$, $b$ และ $c$ ของสมการกำลังสองในตัวแปร $t$
Answershow ▾
$a$ belongs to $t^{2}$ and carries its minus sign with it.$a$ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $t^{2}$ และต้องเอาเครื่องหมายลบไปด้วย
For a quadratic $h = at^{2}+bt+c$ the turning point is at $t = -\dfrac{b}{2a}$. Work out $t$ when $a = -5$ and $b = 15$.
สำหรับสมการกำลังสอง $h = at^{2}+bt+c$ จุดวกกลับอยู่ที่ $t = -\dfrac{b}{2a}$ จงหา $t$ เมื่อ $a = -5$ และ $b = 15$
Answershow ▾
Two negatives, so the answer is positive. Time cannot be negative anyway.ลบสองตัว คำตอบจึงเป็นบวก · และเวลาก็ติดลบไม่ได้อยู่แล้ว
Solve $20 + 15t - 5t^{2} = 0$.
จงแก้สมการ $20 + 15t - 5t^{2} = 0$
Answershow ▾
Divide by $-5$ first — every term does divide, and the factorising is then easy.หารด้วย $-5$ ก่อน ทุกพจน์หารลงตัว แล้วแยกตัวประกอบได้ง่าย
Part (a) wants the greatest height. Three equations are available. Pick the one that gives it, and name what each of the other two gives instead.
(A) $t = 0$ (B) $t = -\dfrac{b}{2a}$ (C) $h = 0$
ข้อ (ก) ต้องการความสูงมากที่สุด มีสมการให้เลือกสามอย่าง จงเลือกอันที่ให้คำตอบ และบอกว่าอีกสองอันให้อะไรแทน
(A) $t = 0$ (B) $t = -\dfrac{b}{2a}$ (C) $h = 0$
Answershow ▾
All three are correct pieces of mathematics about the same curve, and all three appear somewhere in this question — which is exactly why the choice is hard. The greatest height is the top of the curve, so it is the turning point; $t = 0$ is where the stone started and $h = 0$ is where it finishes. The M1 in part (a) is for $-\tfrac{b}{2a}$ being written; matching each part of the question to its own equation carries no mark at all.ทั้งสามอย่างเป็นคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องเกี่ยวกับเส้นโค้งเดียวกัน และปรากฏอยู่ในข้อนี้ทั้งสามอย่าง นี่แหละคือสาเหตุที่การเลือกมันยาก · ความสูงมากที่สุดคือยอดของเส้นโค้ง จึงเป็นจุดวกกลับ · $t = 0$ คือจุดที่ก้อนหินเริ่มต้น และ $h = 0$ คือจุดที่มันจบ · M1 ของข้อ (ก) ให้กับการเขียน $-\tfrac{b}{2a}$ · การจับคู่แต่ละข้อย่อยกับสมการของมันไม่มีคะแนนเลย
Work out the greatest height of the stone and the time at which it reaches that height.
จงหาความสูงมากที่สุดของก้อนหิน และเวลาที่ไปถึงความสูงนั้น
Answershow ▾
Part (a), three marks: the time, then the height you get by substituting it back.ข้อ (ก) สามคะแนน คือหาเวลา แล้วแทนกลับเข้าไปเพื่อหาความสูง
The stone hits the sea. Write down the equation you must solve, and solve it.
ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล จงเขียนสมการที่ต้องแก้ แล้วแก้สมการนั้น
Answershow ▾
At the sea the height is zero. That single fact is the whole of part (b).ที่ระดับน้ำทะเล ความสูงเป็นศูนย์ · ข้อเท็จจริงเดียวนี้คือทั้งหมดของข้อ (ข)
You have $t = 4$ and $t = -1$. Produce the meaning of each one in this situation, and say which is the answer to part (b).
ได้ $t = 4$ กับ $t = -1$ จงบอกความหมายของแต่ละค่าในสถานการณ์นี้ และบอกว่าค่าไหนคือคำตอบของข้อ (ข)
Answershow ▾
The formula does not know that the stone did not exist before $t = 0$; it happily continues the curve backwards to where it would have left the sea. Only $t \ge 0$ is real. The A1 in part (b) is printed as $t = 4$, so a script that offers “$t = 4$ or $t = -1$” has not chosen, and choosing is the part nobody is paid for.สูตรไม่รู้ว่าก้อนหินยังไม่มีอยู่ก่อน $t = 0$ มันจึงลากเส้นโค้งย้อนกลับไปยังจุดที่มันน่าจะออกจากน้ำ · มีแค่ $t \ge 0$ ที่เป็นจริง · A1 ของข้อ (ข) พิมพ์ไว้ว่า $t = 4$ · กระดาษที่ตอบว่า “$t = 4$ หรือ $t = -1$” แปลว่ายังไม่ได้เลือก และการเลือกคือส่วนที่ไม่มีใครให้คะแนน
Work out the time at which the stone hits the sea.
จงหาเวลาที่ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล
Answershow ▾
Part (b), two marks. One root only.ข้อ (ข) สองคะแนน · ตอบคำตอบเดียว
Part (c) asks when the stone is falling. Pick the correct set of times, and then say in one line what the stone is doing at the instant $t = 1.5$.
(A) $0 \le t \lt 1.5$ (B) $1.5 \lt t \le 4$ (C) $0 \le t \le 4$
ข้อ (ค) ถามว่าก้อนหินกำลังตกลงเมื่อใด จงเลือกช่วงเวลาที่ถูกต้อง แล้วเขียนหนึ่งบรรทัดว่าที่ขณะ $t = 1.5$ ก้อนหินกำลังทำอะไร
(A) $0 \le t \lt 1.5$ (B) $1.5 \lt t \le 4$ (C) $0 \le t \le 4$
Answershow ▾
The turning point splits the flight in two: rising up to $1.5$, falling after it. (A) is the rising half and (C) is the whole flight. The end points matter as much as the numbers — the stone is still in the air at $t = 4$, so that end is included, while $t = 1.5$ is the one instant it is doing neither, so that end is not. Part (c) is a single B1 for the whole line; the two answers it is built from were already paid for in (a) and (b), and the reading of them is free.จุดวกกลับแบ่งการเคลื่อนที่ออกเป็นสองช่วง คือขึ้นจนถึง $1.5$ แล้วตกลงหลังจากนั้น · (A) คือช่วงขาขึ้น และ (C) คือทั้งการเคลื่อนที่ · ปลายช่วงสำคัญพอๆ กับตัวเลข ก้อนหินยังอยู่กลางอากาศที่ $t = 4$ ปลายนั้นจึงรวมอยู่ด้วย ส่วน $t = 1.5$ เป็นขณะเดียวที่มันไม่ได้ทำทั้งสองอย่าง ปลายนั้นจึงไม่รวม · ข้อ (ค) มี B1 เดียวสำหรับทั้งบรรทัด · คำตอบสองค่าที่ใช้สร้างมันได้คะแนนไปแล้วในข้อ (ก) และ (ข) ส่วนการอ่านค่าไม่มีคะแนน
Write down the values of $t$ for which the stone is falling.
จงเขียนค่าของ $t$ ที่ก้อนหินกำลังตกลง
Answershow ▾
Part (c), one mark, and it is read straight off parts (a) and (b).ข้อ (ค) หนึ่งคะแนน อ่านได้ตรงๆ จากข้อ (ก) และ (ข)
A ball has height $h = 15 + 10t - 5t^{2}$ metres at time $t$ seconds.
(a) Work out its greatest height and when it happens. (b) Work out when it lands.
ลูกบอลมีความสูง $h = 15 + 10t - 5t^{2}$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาที
(ก) จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ไปถึง (ข) จงหาเวลาที่ตกถึงพื้น
Answershow ▾
The rejected root is $t = -1$ again. It always is, with these numbers.คำตอบที่ตัดทิ้งคือ $t = -1$ อีกครั้ง · เป็นแบบนี้เสมอกับตัวเลขชุดนี้
A stone has height $h = 25 + 20t - 5t^{2}$ metres above the sea at time $t$ seconds.
(a) Work out the greatest height and the time it happens. (b) Work out when it hits the sea. (c) Write down the values of $t$ for which it is falling.
ก้อนหินมีความสูงเหนือระดับน้ำทะเล $h = 25 + 20t - 5t^{2}$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาที
(ก) จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ไปถึง (ข) จงหาเวลาที่ตกถึงน้ำ (ค) จงเขียนค่าของ $t$ ที่มันกำลังตกลง
Answershow ▾
Three parts, three different equations, and the same three decisions.สามข้อย่อย สามสมการที่ต่างกัน และการตัดสินใจสามอย่างเดิม
A stone is thrown upwards from the top of a cliff. Its height above the sea, $h$ metres, at time $t$ seconds after it is thrown, is $h = 20 + 15t - 5t^{2}$.
(a) Use algebra to work out the greatest height of the stone above the sea, and the time at which it reaches that height.
(b) Work out the time at which the stone hits the sea.
(c) Use your answers to parts (a) and (b) to write down the values of $t$ for which the stone is falling.
โยนก้อนหินขึ้นจากยอดหน้าผา ความสูงเหนือระดับน้ำทะเล $h$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาทีหลังโยน คือ $h = 20 + 15t - 5t^{2}$
(ก) จงใช้พีชคณิตหาความสูงมากที่สุดของก้อนหินเหนือระดับน้ำทะเล และเวลาที่ไปถึงความสูงนั้น
(ข) จงหาเวลาที่ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล
(ค) จงใช้คำตอบจากข้อ (ก) และ (ข) เขียนค่าของ $t$ ที่ก้อนหินกำลังตกลง
Answershow ▾
6 marks. Every part is a different question about the same curve.6 คะแนน · ทุกข้อย่อยเป็นคำถามคนละแบบเกี่ยวกับเส้นโค้งเดียวกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $20+15t-5t^{2}=0$, so $(t-4)(t+1)=0$ A1 $t = 4$ s.
(c) B1 $1.5 \lt t \le 4$.
Choosing which equation each part needs is the whole question, and carries no mark.
A rectangle from three corners สี่เหลี่ยมผืนผ้าจากสามมุม
A rectangle $ABCD$ is to be drawn on a centimetre grid such that $A$ has coordinates $(-4,\,-2)$, $B$ has coordinates $(1,\,10)$, $C$ has coordinates $(19,\,a)$ and $D$ has coordinates $(b,\,c)$
(a) Work out the value of $a$, the value of $b$ and the value of $c$.
(b) Calculate the perimeter, in centimetres, of rectangle $ABCD$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ วาดบนกริดตารางเซนติเมตร โดยที่ $A$ มีพิกัด $(-4,\,-2)$, $B$ มีพิกัด $(1,\,10)$, $C$ มีพิกัด $(19,\,a)$ และ $D$ มีพิกัด $(b,\,c)$
(ก) จงหาค่าของ $a$, ค่าของ $b$ และค่าของ $c$
(ข) จงหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ เป็นเซนติเมตร
Find the gradient of the line through $(-4,\,-2)$ and $(1,\,10)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-4,\,-2)$ และ $(1,\,10)$
Answershow ▾
Up divided by across: the change in $y$ goes on top.ความสูงที่เพิ่มหารด้วยระยะที่ไปทางขวา: ผลต่างของ $y$ อยู่ด้านบน
A line has gradient $\dfrac{12}{5}$. Write down the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $\dfrac{12}{5}$ จงเขียนความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Turn it upside down and change the sign. Two things happen, not one.พลิกกลับหัวและเปลี่ยนเครื่องหมาย · ทำสองอย่าง ไม่ใช่อย่างเดียว
A line has gradient $-\dfrac{5}{12}$ and passes through $(1,\,10)$. Find $y$ when $x = 19$.
เส้นตรงมีความชัน $-\dfrac{5}{12}$ และผ่านจุด $(1,\,10)$ จงหา $y$ เมื่อ $x = 19$
Answershow ▾
Use $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ with the point $(1,\,10)$.ใช้ $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ กับจุด $(1,\,10)$
One script finds the gradient through $(-4,\,-2)$ and $(1,\,10)$ as $\dfrac{1-(-4)}{10-(-2)} = \dfrac{5}{12}$. Name the mistake.
กระดาษแผ่นหนึ่งหาความชันของเส้นผ่าน $(-4,\,-2)$ และ $(1,\,10)$ ได้ $\dfrac{1-(-4)}{10-(-2)} = \dfrac{5}{12}$ จงบอกว่าผิดตรงไหน
Answershow ▾
$5$ is the change in $x$, $12$ is the change in $y$. The gradient is $\dfrac{12}{5}$.$5$ คือผลต่างของ $x$ และ $12$ คือผลต่างของ $y$ · ความชันคือ $\dfrac{12}{5}$
Find the length of $AB$, where $A$ is $(-4,\,-2)$ and $B$ is $(1,\,10)$.
จงหาความยาว $AB$ เมื่อ $A$ คือ $(-4,\,-2)$ และ $B$ คือ $(1,\,10)$
Answershow ▾
Across $5$, up $12$: Pythagoras.ไปทางขวา $5$ ขึ้น $12$: ใช้พีทาโกรัส
From $B(1,\,10)$ to $C(19,\,2.5)$, how far across and how far up or down?
จาก $B(1,\,10)$ ไป $C(19,\,2.5)$ ไปทางขวาเท่าไร และขึ้นหรือลงเท่าไร
Answershow ▾
End minus start, one axis at a time. The minus sign means down.ปลายลบต้น ทีละแกน · เครื่องหมายลบแปลว่าลง
Find the length of $BC$, where $B$ is $(1,\,10)$ and $C$ is $(19,\,2.5)$.
จงหาความยาว $BC$ เมื่อ $B$ คือ $(1,\,10)$ และ $C$ คือ $(19,\,2.5)$
Answershow ▾
The same Pythagoras. The minus sign disappears when you square.พีทาโกรัสเหมือนเดิม · เครื่องหมายลบหายไปเมื่อยกกำลังสอง
To find $a$, one script says line $BC$ has the same gradient as $AB$, $\dfrac{12}{5}$. Another says $-\dfrac{5}{12}$. Which is right, and why?
เพื่อหา $a$ กระดาษแผ่นหนึ่งบอกว่าเส้น $BC$ มีความชันเท่า $AB$ คือ $\dfrac{12}{5}$ อีกแผ่นบอก $-\dfrac{5}{12}$ แผ่นไหนถูก เพราะอะไร
Answershow ▾
The corner $B$ of a rectangle is a right angle, so $BC$ is perpendicular to $AB$.มุม $B$ ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นมุมฉาก $BC$ จึงตั้งฉากกับ $AB$
$A$ is $(-4,\,-2)$, $B$ is $(1,\,10)$ and $C$ is $(19,\,a)$. Angle $ABC$ is $90^{\circ}$. Find $a$.
$A$ คือ $(-4,\,-2)$, $B$ คือ $(1,\,10)$ และ $C$ คือ $(19,\,a)$ มุม $ABC$ เป็น $90^{\circ}$ จงหา $a$
Answershow ▾
Gradient of $AB$, then the perpendicular gradient, then walk from $B$ to $x = 19$.ความชันของ $AB$ แล้วความชันตั้งฉาก แล้วเดินจาก $B$ ไปถึง $x = 19$
A rectangle $ABCD$ has $A(0,\,0)$, $B(3,\,4)$, $C(11,\,a)$ and $D(b,\,c)$. Find $a$, $b$ and $c$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $A(0,\,0)$, $B(3,\,4)$, $C(11,\,a)$ และ $D(b,\,c)$ จงหา $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
$D$ is $A$ plus the same step that takes $B$ to $C$ ($8$ across, $6$ down).$D$ คือ $A$ บวกก้าวเดียวกับที่พา $B$ ไป $C$ (ขวา $8$ ลง $6$)
The rectangle $ABCD$ has $A(0,\,0)$, $B(3,\,4)$, $C(11,\,-2)$ and $D(8,\,-6)$. Work out its perimeter.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $A(0,\,0)$, $B(3,\,4)$, $C(11,\,-2)$ และ $D(8,\,-6)$ จงหาเส้นรอบรูป
Answershow ▾
Two different sides, each used twice.ด้านที่ต่างกันสองด้าน ใช้ด้านละสองครั้ง
A script finds $AB = 13$ and $BC = 19.5$ and writes the perimeter as $13 + 19.5 = 32.5$. What is missing?
กระดาษแผ่นหนึ่งหา $AB = 13$ และ $BC = 19.5$ แล้วเขียนเส้นรอบรูปเป็น $13 + 19.5 = 32.5$ ขาดอะไรไป
Answershow ▾
A rectangle has four sides. Opposite sides are equal, so the perimeter is $2(AB + BC)$.สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสี่ด้าน ด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน เส้นรอบรูปจึงเป็น $2(AB + BC)$
A rectangle $ABCD$ is to be drawn on a centimetre grid such that $A$ has coordinates $(-4,\,-2)$, $B$ has coordinates $(1,\,10)$, $C$ has coordinates $(19,\,a)$ and $D$ has coordinates $(b,\,c)$
(a) Work out the value of $a$, the value of $b$ and the value of $c$.
(b) Calculate the perimeter, in centimetres, of rectangle $ABCD$.
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ วาดบนกริดตารางเซนติเมตร โดยที่ $A$ มีพิกัด $(-4,\,-2)$, $B$ มีพิกัด $(1,\,10)$, $C$ มีพิกัด $(19,\,a)$ และ $D$ มีพิกัด $(b,\,c)$
(ก) จงหาค่าของ $a$, ค่าของ $b$ และค่าของ $c$
(ข) จงหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ เป็นเซนติเมตร
Answershow ▾
7 marks. Four for $a$, $b$ and $c$, three for the perimeter.7 คะแนน · สี่คะแนนสำหรับ $a$, $b$, $c$ และสามคะแนนสำหรับเส้นรอบรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $AB = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ M1 $BC = \sqrt{18^{2} + 7.5^{2}} = 19.5$ A1 $2(13 + 19.5) = 65$ cm
Source: Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A (4MA1), Higher tier, paper reference P66301A (from the Graphs topic compilations). Question © Pearson Education Ltd.
Midpoint, gradient, then check a point จุดกึ่งกลาง ความชัน แล้วตรวจจุดบนเส้น
The point $A$ has coordinates $(5,-4)$. The point $B$ has coordinates $(13,1)$.
(a) Work out the coordinates of the midpoint of $AB$.
(b) Line $L$ has equation $y = 2 - 3x$.
Write down the gradient of line $L$.
(c) Line $L$ has equation $y = 2 - 3x$.
Does the point with coordinates $(100,-302)$ lie on line $L$? You must give a reason for your answer.
จุด $A$ มีพิกัด $(5,-4)$ จุด $B$ มีพิกัด $(13,1)$
(ก) จงหาพิกัดจุดกึ่งกลางของ $AB$
(ข) เส้นตรง $L$ มีสมการ $y = 2 - 3x$
จงเขียนความชันของเส้นตรง $L$
(ค) เส้นตรง $L$ มีสมการ $y = 2 - 3x$
จุดที่มีพิกัด $(100,-302)$ อยู่บนเส้นตรง $L$ หรือไม่ จงให้เหตุผลประกอบคำตอบ
Find the mean of $5$ and $13$.
จงหาค่าเฉลี่ยของ $5$ และ $13$
Answershow ▾
Add the two numbers, then divide by $2$.บวกสองจำนวน แล้วหารด้วย $2$
Find the mean of $-4$ and $1$.
จงหาค่าเฉลี่ยของ $-4$ และ $1$
Answershow ▾
Add the two numbers (mind the sign), then divide by $2$.บวกสองจำนวนโดยระวังเครื่องหมาย แล้วหารด้วย $2$
Line $L$ has equation $y=2-3x$. Write down the gradient of $L$.
เส้นตรง $L$ มีสมการ $y=2-3x$ จงเขียนความชันของ $L$
Answershow ▾
The gradient is the number multiplying $x$, with its sign.ความชันคือจำนวนที่คูณ $x$ รวมเครื่องหมายของมันด้วย
To check if $(100,-302)$ lies on $L: y=2-3x$, pick the first move.
(A) substitute $x=100$ into $y=2-3x$, then compare the result to $-302$
(B) substitute $x=-302$ into $y=2-3x$, then compare the result to $100$
(C) check whether $\dfrac{-302}{100}=-3$
จะตรวจว่า $(100,-302)$ อยู่บนเส้น $L: y=2-3x$ หรือไม่ จงเลือกขั้นแรก
(A) แทน $x=100$ ใน $y=2-3x$ แล้วเทียบผลลัพธ์กับ $-302$
(B) แทน $x=-302$ ใน $y=2-3x$ แล้วเทียบผลลัพธ์กับ $100$
(C) ตรวจว่า $\dfrac{-302}{100}=-3$ หรือไม่
Answershow ▾
(B) swaps which coordinate is $x$ and which is $y$ - here $100$ is $x$, not $y$. (C) only works for a line through the origin; $L$ has $y$-intercept $2$, not $0$.(B) สลับว่าตัวใดเป็น $x$ และตัวใดเป็น $y$ - ในที่นี้ $100$ คือ $x$ ไม่ใช่ $y$ · (C) ใช้ได้เฉพาะเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดเท่านั้น $L$ มีจุดตัดแกน $y$ เป็น $2$ ไม่ใช่ $0$
Work out the coordinates of the midpoint of $A(5,-4)$ and $B(13,1)$.
จงหาพิกัดจุดกึ่งกลางของ $A(5,-4)$ และ $B(13,1)$
Answershow ▾
Mean of the $x$-coordinates, mean of the $y$-coordinates.ค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ และค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
Line $L$ has equation $y=2-3x$. Write down the gradient of $L$.
เส้นตรง $L$ มีสมการ $y=2-3x$ จงเขียนความชันของ $L$
Answershow ▾
Compare $y=2-3x$ to $y=mx+c$.เทียบ $y=2-3x$ กับ $y=mx+c$
Line $L$ has equation $y=2-3x$. Work out $y$ when $x=100$.
เส้นตรง $L$ มีสมการ $y=2-3x$ จงหา $y$ เมื่อ $x=100$
Answershow ▾
Multiply $100$ by $-3$, then add $2$.คูณ $100$ ด้วย $-3$ แล้วบวก $2$
When $x=100$, line $L$ gives $y=-298$. Does the point $(100,-302)$ lie on $L$?
เมื่อ $x=100$ เส้นตรง $L$ ให้ $y=-298$ จุด $(100,-302)$ อยู่บนเส้น $L$ หรือไม่
Answershow ▾
The point is only on $L$ if its $y$ matches the $y$-value of $L$ at the same $x$.จุดจะอยู่บนเส้น $L$ ก็ต่อเมื่อค่า $y$ ของจุดตรงกับค่า $y$ ของเส้นที่ $x$ เดียวกัน
Check your midpoint $(9,-1.5)$: work out $M-A$ and $B-M$. They should match.
จงตรวจจุดกึ่งกลาง $(9,-1.5)$: หา $M-A$ และ $B-M$ ค่าควรตรงกัน
Answershow ▾
The midpoint is the same step away from each end.จุดกึ่งกลางอยู่ห่างจากปลายทั้งสองข้างเท่ากัน
$C(2,3)$ and $D(8,7)$ are two points. Line $N$ has equation $y=1+2x$.
(a) Work out the midpoint of $CD$.
(b) Write down the gradient of $N$.
(c) Does the point $(10,20)$ lie on $N$?
$C(2,3)$ และ $D(8,7)$ เป็นจุดสองจุด เส้นตรง $N$ มีสมการ $y=1+2x$
(ก) จงหาจุดกึ่งกลางของ $CD$
(ข) จงเขียนความชันของ $N$
(ค) จุด $(10,20)$ อยู่บนเส้น $N$ หรือไม่
Answershow ▾
Same three moves: average the coordinates, read the gradient, substitute and compare.สามขั้นเดิม: หาค่าเฉลี่ยของพิกัด อ่านความชัน แล้วแทนค่าเทียบ
The point $A$ has coordinates $(5,-4)$. The point $B$ has coordinates $(13,1)$.
(a) Work out the coordinates of the midpoint of $AB$.
(b) Line $L$ has equation $y = 2 - 3x$.
Write down the gradient of line $L$.
(c) Line $L$ has equation $y = 2 - 3x$.
Does the point with coordinates $(100,-302)$ lie on line $L$? You must give a reason for your answer.
จุด $A$ มีพิกัด $(5,-4)$ จุด $B$ มีพิกัด $(13,1)$
(ก) จงหาพิกัดจุดกึ่งกลางของ $AB$
(ข) เส้นตรง $L$ มีสมการ $y = 2 - 3x$
จงเขียนความชันของเส้นตรง $L$
(ค) เส้นตรง $L$ มีสมการ $y = 2 - 3x$
จุดที่มีพิกัด $(100,-302)$ อยู่บนเส้นตรง $L$ หรือไม่ จงให้เหตุผลประกอบคำตอบ
Answershow ▾
4 marks: method for the midpoint, the midpoint itself, the gradient read directly, then substitute and compare.4 คะแนน: วิธีหาจุดกึ่งกลาง ค่าจุดกึ่งกลาง ความชันที่อ่านได้โดยตรง แล้วแทนค่าเทียบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\left(\dfrac{5+13}{2},\;\dfrac{-4+1}{2}\right)$
A1 the midpointจุดกึ่งกลาง
$(9,\,-1.5)$
B1 the gradient, read directly from $y=mx+c$ความชัน อ่านได้โดยตรงจาก $y=mx+c$
$m = -3$
B1 No, with a valid reasonไม่ใช่ พร้อมเหตุผลที่ถูกต้อง
$x=100:\; y = 2-3(100) = -298$
$-298 \neq -302,\;\text{so no}$
A line through two points เส้นตรงที่ผ่านสองจุด
$A$ is the point with coordinates $(-5, 12)$. $B$ is the point with coordinates $(19, -48)$.
Find an equation of the straight line that passes through the points $A$ and $B$.
$A$ คือจุดที่มีพิกัด $(-5, 12)$ และ $B$ คือจุดที่มีพิกัด $(19, -48)$
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ และ $B$
Find the gradient of the line through the points $(-2,3)$ and $(4,15)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(-2,3)$ และ $(4,15)$
Answershow ▾
Keep the same point first on top and underneath: $\dfrac{15-3}{4-(-2)}$, not the other way round.ใช้จุดเดียวกันเป็นตัวแรกทั้งบนและล่าง: $\dfrac{15-3}{4-(-2)}$ ไม่ใช่สลับกัน
A line has gradient $2$ and passes through $(1,5)$. Find $c$ in $y=mx+c$.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $2$ และผ่านจุด $(1,5)$ จงหาค่า $c$ ใน $y=mx+c$
Answershow ▾
Substitute the point into $y=mx+c$, then make $c$ the subject.แทนจุดลงใน $y=mx+c$ แล้วทำ $c$ เป็นตัวตั้ง
Simplify $-\dfrac{45}{18}$ to a decimal.
จงทำ $-\dfrac{45}{18}$ ให้เป็นทศนิยม
Answershow ▾
Divide the top by the bottom; the negative sign stays outside.หารเศษด้วยส่วน เครื่องหมายลบอยู่ข้างนอก
Finding the gradient of the line through $A(-5,12)$ and $B(19,-48)$. Pick the correct setup.
(A) $m=\dfrac{12-(-48)}{19-(-5)}$
(B) $m=\dfrac{-48-12}{19-(-5)}$
(C) $m=\dfrac{-48-12}{-5-19}$
ต้องการหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $A(-5,12)$ และ $B(19,-48)$ จงเลือกวิธีตั้งที่ถูกต้อง
(A) $m=\dfrac{12-(-48)}{19-(-5)}$
(B) $m=\dfrac{-48-12}{19-(-5)}$
(C) $m=\dfrac{-48-12}{-5-19}$
Answershow ▾
(A) and (C) each use $A$ first on one row and $B$ first on the other, which flips the sign. The same point must come first in both the top and the bottom.(A) และ (C) ใช้จุด $A$ เป็นตัวแรกในแถวหนึ่ง แต่ใช้จุด $B$ เป็นตัวแรกในอีกแถว ทำให้เครื่องหมายกลับ · ต้องใช้จุดเดียวกันเป็นตัวแรกทั้งแถวบนและแถวล่าง
$A$ is the point $(-5,12)$ and $B$ is the point $(19,-48)$. Find the gradient of the line through $A$ and $B$.
$A$ คือจุด $(-5,12)$ และ $B$ คือจุด $(19,-48)$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $A$ และ $B$
Answershow ▾
Same setup as the decision step, now carried through.ตั้งแบบเดิมจากขั้นเลือกวิธี แล้วคำนวณต่อ
The line has gradient $-2.5$ and passes through $A(-5,12)$. Find $c$ in $y=mx+c$.
เส้นตรงมีความชัน $-2.5$ และผ่านจุด $A(-5,12)$ จงหาค่า $c$ ใน $y=mx+c$
Answershow ▾
Substitute $A$ into $y=-2.5x+c$, then make $c$ the subject.แทน $A$ ลงใน $y=-2.5x+c$ แล้วทำ $c$ เป็นตัวตั้ง
The line has $m=-2.5$ and $c=-0.5$. Write its equation in the form $y=mx+c$.
เส้นตรงมี $m=-2.5$ และ $c=-0.5$ จงเขียนสมการในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Put $m$ and $c$ straight into $y=mx+c$.แทน $m$ และ $c$ ลงใน $y=mx+c$ ตรงๆ
A line has the same gradient as the line through $A$ and $B$, and passes through $(2,1)$. Find its equation.
เส้นตรงหนึ่งมีความชันเท่ากับเส้นที่ผ่าน $A$ และ $B$ และผ่านจุด $(2,1)$ จงหาสมการของเส้นนี้
Answershow ▾
Reuse $m=-2.5$, then find a new $c$ for the new point.ใช้ $m=-2.5$ เดิม แล้วหาค่า $c$ ใหม่สำหรับจุดใหม่
Check that $B(19,-48)$ fits $y=-2.5x-0.5$.
จงตรวจว่า $B(19,-48)$ เป็นจริงกับ $y=-2.5x-0.5$
Answershow ▾
A point that fits the equation really is on the line.จุดที่เป็นจริงกับสมการ อยู่บนเส้นตรงจริง
$P$ is the point $(-1,4)$ and $Q$ is the point $(3,-8)$. Find an equation of the straight line that passes through $P$ and $Q$.
$P$ คือจุด $(-1,4)$ และ $Q$ คือจุด $(3,-8)$ จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $P$ และ $Q$
Answershow ▾
Same three moves: gradient, then $c$ from one point, then the equation.สามขั้นเดิม: หาความชัน แล้วหา $c$ จากจุดหนึ่ง แล้วเขียนสมการ
$A$ is the point with coordinates $(-5, 12)$. $B$ is the point with coordinates $(19, -48)$.
Find an equation of the straight line that passes through the points $A$ and $B$.
$A$ คือจุดที่มีพิกัด $(-5, 12)$ และ $B$ คือจุดที่มีพิกัด $(19, -48)$
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ และ $B$
Answershow ▾
3 marks: the gradient, then $c$ from point $A$, then the equation.3 คะแนน: หาความชัน แล้วหา $c$ จากจุด $A$ แล้วเขียนสมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$m = \dfrac{-48-12}{19-(-5)}$
$= -2.5$
M1ft use a point and the gradient to set up the equationใช้จุดหนึ่งและความชันตั้งสมการ
$y - 12 = -2.5\big(x-(-5)\big)$
A1 the equation of the lineสมการเส้นตรง
$y = -2.5x - 0.5$
Kite diagonal as perpendicular bisector เส้นทแยงมุมว่าวเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก
$ABCD$ is a kite with $AB = AD$ and $CB = CD$.
$B$ is the point with coordinates $(10, 19)$
$D$ is the point with coordinates $(2, 7)$
Find an equation of the line $AC$. Give your answer in the form $py + qx = r$ where $p$, $q$ and $r$ are integers.
$ABCD$ คือว่าวที่ $AB = AD$ และ $CB = CD$
$B$ คือจุดที่มีพิกัด $(10, 19)$
$D$ คือจุดที่มีพิกัด $(2, 7)$
จงหาสมการเส้นตรง $AC$ ตอบในรูป $py + qx = r$ โดยที่ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
Find the midpoint of $B(10,19)$ and $D(2,7)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $B(10,19)$ และ $D(2,7)$
Answershow ▾
Mean of the $x$-coordinates, mean of the $y$-coordinates.ค่าเฉลี่ยของพิกัด $x$ และค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$
Find the gradient of the line through $B(10,19)$ and $D(2,7)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $B(10,19)$ และ $D(2,7)$
Answershow ▾
Rise over run: the change in $y$ over the change in $x$.ความชัน = ระยะในแนวตั้ง หารด้วย ระยะในแนวนอน
The gradient of $BD$ is $\dfrac{3}{2}$. Find the gradient of a line perpendicular to $BD$.
ความชันของ $BD$ คือ $\dfrac{3}{2}$ จงหาความชันของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ $BD$
Answershow ▾
Turn the fraction upside down and change the sign.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
$ABCD$ is a kite with $AB=AD$ and $CB=CD$. Pick what the diagonal $AC$ is, compared with the diagonal $BD$.
(A) $AC$ is parallel to $BD$
(B) $AC$ is the perpendicular bisector of $BD$
(C) $AC$ passes through $B$ and through $D$
$ABCD$ คือว่าวที่ $AB=AD$ และ $CB=CD$ จงเลือกว่าเส้นทแยงมุม $AC$ เป็นอย่างไรเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุม $BD$
(A) $AC$ ขนานกับ $BD$
(B) $AC$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $BD$
(C) $AC$ ผ่านจุด $B$ และจุด $D$
Answershow ▾
(A) a kite’s two diagonals cross inside the shape, so they cannot run parallel. (C) $A$ and $C$ are not the endpoints of $BD$, so $AC$ only meets $BD$ at its midpoint, not at $B$ or $D$ themselves.(A) เส้นทแยงมุมทั้งสองของว่าวตัดกันภายในรูป จึงขนานกันไม่ได้ · (C) $A$ และ $C$ ไม่ใช่จุดปลายของ $BD$ ดังนั้น $AC$ ตัดกับ $BD$ เพียงที่จุดกึ่งกลางเท่านั้น ไม่ใช่ที่ $B$ หรือ $D$
The diagonal $AC$ passes through one of these points. Pick it.
(A) $B(10,19)$
(B) $D(2,7)$
(C) the midpoint of $BD$, $(6,13)$
เส้นทแยงมุม $AC$ ผ่านจุดใดจุดหนึ่งต่อไปนี้ จงเลือก
(A) $B(10,19)$
(B) $D(2,7)$
(C) จุดกึ่งกลางของ $BD$, $(6,13)$
Answershow ▾
$B$ and $D$ lie on the diagonal $BD$ itself, not on $AC$. The only point $AC$ and $BD$ share is $BD$’s own midpoint.$B$ และ $D$ อยู่บนเส้นทแยงมุม $BD$ เอง ไม่ได้อยู่บน $AC$ · จุดเดียวที่ $AC$ กับ $BD$ ร่วมกันคือจุดกึ่งกลางของ $BD$
Use the midpoint $(6,13)$ and gradient $-\dfrac{2}{3}$ to write the equation of $AC$, in the form $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
ใช้จุดกึ่งกลาง $(6,13)$ และความชัน $-\dfrac{2}{3}$ เขียนสมการของ $AC$ ในรูป $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Answershow ▾
Put the midpoint in for $(x_{1},y_{1})$ and the perpendicular gradient in for $m$.แทนจุดกึ่งกลางเป็น $(x_{1},y_{1})$ และความชันตั้งฉากเป็น $m$
Multiply both sides of $y-13=-\dfrac{2}{3}(x-6)$ by $3$, then expand the bracket.
คูณทั้งสองข้างของ $y-13=-\dfrac{2}{3}(x-6)$ ด้วย $3$ แล้วกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
Multiplying by $3$ removes the $3$ underneath. Then expand $-2(x-6)$.คูณด้วย $3$ เพื่อตัดตัวหารออก แล้วกระจาย $-2(x-6)$
Rearrange $3y-39=-2x+12$ into the form $py+qx=r$, with $p$, $q$, $r$ integers.
จงจัดรูป $3y-39=-2x+12$ ให้อยู่ในรูป $py+qx=r$ โดยที่ $p$, $q$, $r$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Move the $x$-term to the left and the number to the right, keeping $y$ first.ย้ายพจน์ $x$ มาทางซ้าย และย้ายจำนวนไปทางขวา โดยให้ $y$ อยู่หน้าสุด
Using the midpoint $(6,13)$ and gradient $-\dfrac{2}{3}$, find the equation of $AC$ with no fractions in it.
ใช้จุดกึ่งกลาง $(6,13)$ และความชัน $-\dfrac{2}{3}$ หาสมการของ $AC$ ที่ไม่มีเศษส่วน
Answershow ▾
Point and gradient into the equation, then multiply out the fraction.แทนจุดและความชันในสมการ แล้วคูณกำจัดเศษส่วน
Check that the midpoint $(6,13)$ satisfies $3y+2x=51$.
จงตรวจว่าจุดกึ่งกลาง $(6,13)$ เป็นจริงกับ $3y+2x=51$
Answershow ▾
A point on the line makes both sides of the equation equal.จุดที่อยู่บนเส้นตรง ทำให้สองข้างของสมการเท่ากัน
A kite $PQRS$ has $PQ=PS$ and $RQ=RS$. $Q$ is the point $(3,7)$ and $S$ is the point $(1,3)$. Find an equation of the line $PR$, in the form $py+qx=r$.
ว่าว $PQRS$ มี $PQ=PS$ และ $RQ=RS$ จุด $Q$ คือ $(3,7)$ และจุด $S$ คือ $(1,3)$ จงหาสมการเส้นตรง $PR$ ในรูป $py+qx=r$
Answershow ▾
Same five moves: midpoint, gradient, flip-and-change-sign, the line through the midpoint, clear and rearrange.ห้าขั้นเดิม: จุดกึ่งกลาง ความชัน กลับเศษส่วนเปลี่ยนเครื่องหมาย สมการผ่านจุดกึ่งกลาง แล้วกำจัดเศษส่วนและจัดรูป
$ABCD$ is a kite with $AB = AD$ and $CB = CD$.
$B$ is the point with coordinates $(10, 19)$
$D$ is the point with coordinates $(2, 7)$
Find an equation of the line $AC$. Give your answer in the form $py + qx = r$ where $p$, $q$ and $r$ are integers.
$ABCD$ คือว่าวที่ $AB = AD$ และ $CB = CD$
$B$ คือจุดที่มีพิกัด $(10, 19)$
$D$ คือจุดที่มีพิกัด $(2, 7)$
จงหาสมการเส้นตรง $AC$ ตอบในรูป $py + qx = r$ โดยที่ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
5 marks: the midpoint of $BD$, the gradient of $BD$, the perpendicular gradient, the equation through the midpoint, then the form $py+qx=r$.5 คะแนน: จุดกึ่งกลางของ $BD$ ความชันของ $BD$ ความชันตั้งฉาก สมการที่ผ่านจุดกึ่งกลาง แล้วจึงจัดรูปเป็น $py+qx=r$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\left(\dfrac{10+2}{2},\,\dfrac{19+7}{2}\right)$
$= (6,\,13)$
M1 the gradient of $BD$ความชันของ $BD$
$\dfrac{19-7}{10-2} = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$
M1 the gradient of $AC$, perpendicular to $BD$ความชันของ $AC$ ซึ่งตั้งฉากกับ $BD$
$m \times \dfrac32 = -1$
$m = -\dfrac23$
M1 use the midpoint and gradient to set up the equationใช้จุดกึ่งกลางและความชันตั้งสมการ
$y - 13 = -\dfrac23(x-6)$
A1 the equation in the required formสมการในรูปที่กำหนด
$3y + 2x = 51$
Track a maximum point through two moves ตามจุดสูงสุดผ่านการแปลงกราฟสองแบบ
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$. There is one maximum point on this curve. The coordinates of this maximum point are $(s,t)$.
(i) Find, in terms of $s$ and $t$, the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x-2)$.
(ii) Find, in terms of $s$ and $t$, the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=3f(x)$.
แผนภาพแสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้ง $y=f(x)$ ซึ่งมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว จุดสูงสุดนี้มีพิกัดเป็น $(s,t)$
(i) จงหาพิกัด (ในรูปของ $s$ และ $t$) ของจุดสูงสุดบนเส้นโค้ง $y=f(x-2)$
(ii) จงหาพิกัด (ในรูปของ $s$ และ $t$) ของจุดสูงสุดบนเส้นโค้ง $y=3f(x)$
A point is at $(5,4)$. The curve through it is shifted $2$ units in the positive $x$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(5,4)$ เส้นโค้งที่ผ่านจุดนี้ถูกเลื่อนไป $2$ หน่วยในทิศทาง $x$ บวก จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A shift in the $x$-direction adds to the $x$-coordinate only.การเลื่อนในทิศทาง $x$ บวกเข้ากับพิกัด $x$ เท่านั้น
A point is at $(5,4)$. The curve through it is stretched by scale factor $3$ in the $y$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(5,4)$ เส้นโค้งที่ผ่านจุดนี้ถูกยืดด้วยตัวประกอบ $3$ ในทิศทาง $y$ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A stretch in the $y$-direction multiplies the $y$-coordinate only.การยืดในทิศทาง $y$ คูณกับพิกัด $y$ เท่านั้น
A point is at $(5,4)$. The curve through it is shifted $2$ units in the positive $y$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(5,4)$ เส้นโค้งที่ผ่านจุดนี้ถูกเลื่อนไป $2$ หน่วยในทิศทาง $y$ บวก จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A shift in the $y$-direction adds to the $y$-coordinate only - the other coordinate the question needs.การเลื่อนในทิศทาง $y$ บวกเข้ากับพิกัด $y$ เท่านั้น ซึ่งเป็นอีกพิกัดที่โจทย์ต้องใช้
The maximum of $y=f(x)$ is $(s,t)$. For $y=f(x-2)$, pick the new maximum.
(A) $(s-2,\,t)$
(B) $(s,\,t+2)$
(C) $(s+2,\,t)$
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(s,t)$ สำหรับ $y=f(x-2)$ จงเลือกจุดสูงสุดใหม่
(A) $(s-2,\,t)$
(B) $(s,\,t+2)$
(C) $(s+2,\,t)$
Answershow ▾
$f(x-2)$ moves the curve in the POSITIVE $x$-direction, so (A) has the sign backwards. (B) moves the $y$-coordinate instead - that is $f(x)+2$ (question $3$), not $f(x-2)$.$f(x-2)$ เลื่อนกราฟไปในทิศทาง $x$ บวก ดังนั้น (A) ใส่เครื่องหมายผิด · (B) เลื่อนพิกัด $y$ แทน ซึ่งเป็น $f(x)+2$ (ข้อ $3$) ไม่ใช่ $f(x-2)$
The maximum of $y=f(x)$ is $(s,t)$. Write the new $x$-coordinate of the maximum of $y=f(x-2)$.
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(s,t)$ จงเขียนพิกัด $x$ ใหม่ของจุดสูงสุดของ $y=f(x-2)$
Answershow ▾
Same move as question $1$, now on the letter $s$.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้กับตัวอักษร $s$
The $y$-coordinate does not change under a shift in $x$. Write the coordinates of the maximum of $y=f(x-2)$.
พิกัด $y$ ไม่เปลี่ยนเมื่อเลื่อนในทิศทาง $x$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดของ $y=f(x-2)$
Answershow ▾
Put the shifted $x$-coordinate from question $4$ back with the unchanged $t$.นำพิกัด $x$ ที่เลื่อนแล้วจากข้อ $4$ มาเขียนคู่กับ $t$ ที่ไม่เปลี่ยน
The maximum of $y=f(x)$ is $(s,t)$. For $y=3f(x)$, pick the new maximum.
(A) $(3s,\,t)$
(B) $(3s,\,3t)$
(C) $(s,\,3t)$
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(s,t)$ สำหรับ $y=3f(x)$ จงเลือกจุดสูงสุดใหม่
(A) $(3s,\,t)$
(B) $(3s,\,3t)$
(C) $(s,\,3t)$
Answershow ▾
The $3$ is OUTSIDE $f$, so it multiplies the output $t$, not the input $s$. (A) multiplies $s$ instead - that is the trap for $f(3x)$, where the $3$ is inside. (B) multiplies both.$3$ อยู่ด้านนอก $f$ จึงคูณกับผลลัพธ์ $t$ ไม่ใช่ตัวแปรเข้า $s$ · (A) คูณ $s$ แทน ซึ่งเป็นกับดักของ $f(3x)$ ที่ $3$ อยู่ด้านใน · (B) คูณทั้งสองพิกัด
The maximum of $y=f(x)$ is $(s,t)$. Write the new $y$-coordinate of the maximum of $y=3f(x)$.
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(s,t)$ จงเขียนพิกัด $y$ ใหม่ของจุดสูงสุดของ $y=3f(x)$
Answershow ▾
Same move as question $2$, now on the letter $t$.ขั้นเดียวกับข้อ $2$ แต่ใช้กับตัวอักษร $t$
The $x$-coordinate does not change under a stretch in $y$. Write the coordinates of the maximum of $y=3f(x)$.
พิกัด $x$ ไม่เปลี่ยนเมื่อยืดในทิศทาง $y$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดของ $y=3f(x)$
Answershow ▾
Put the unchanged $s$ back with the stretched $y$-coordinate from question $6$.นำ $s$ ที่ไม่เปลี่ยนมาเขียนคู่กับพิกัด $y$ ที่ยืดแล้วจากข้อ $6$
Check your two rules on the warm-up point $(5,4)$: does $x\to x+2$ give $(7,4)$, and does $y\to3y$ give $(5,12)$?
จงตรวจกฎทั้งสองด้วยจุดจากข้อฝึกหัด $(5,4)$: $x\to x+2$ ให้ $(7,4)$ หรือไม่ และ $y\to3y$ ให้ $(5,12)$ หรือไม่
Answershow ▾
The same two rules that moved the letters also moved the numbers in the warm-up.กฎสองข้อเดียวกันที่ใช้เลื่อนตัวอักษร ก็ใช้เลื่อนตัวเลขในข้อฝึกหัดได้เช่นกัน
A curve $y=g(x)$ has one maximum point, at $(5,4)$. Find the coordinates of the maximum point on (i) $y=g(x-3)$ and (ii) $y=2g(x)$.
เส้นโค้ง $y=g(x)$ มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว อยู่ที่ $(5,4)$ จงหาพิกัดของจุดสูงสุดบน (i) $y=g(x-3)$ และ (ii) $y=2g(x)$
Answershow ▾
Same two moves, fresh numbers: add $3$ to $x$, then multiply $y$ by $2$.สองขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: บวก $3$ เข้ากับ $x$ แล้วคูณ $y$ ด้วย $2$
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$. There is one maximum point on this curve. The coordinates of this maximum point are $(s,t)$.
(i) Find, in terms of $s$ and $t$, the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x-2)$.
(ii) Find, in terms of $s$ and $t$, the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=3f(x)$.
แผนภาพแสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้ง $y=f(x)$ ซึ่งมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว จุดสูงสุดนี้มีพิกัดเป็น $(s,t)$
(i) จงหาพิกัด (ในรูปของ $s$ และ $t$) ของจุดสูงสุดบนเส้นโค้ง $y=f(x-2)$
(ii) จงหาพิกัด (ในรูปของ $s$ และ $t$) ของจุดสูงสุดบนเส้นโค้ง $y=3f(x)$
Answershow ▾
2 marks, one for each part: find which coordinate the move changes, then write the whole point.2 คะแนน จุดละ 1 คะแนน: หาว่าการแปลงเปลี่ยนพิกัดใด แล้วเขียนจุดทั้งจุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(s+2,\,t)$
B1 stretch scale factor $3$ in the $y$-directionยืดในทิศทาง $y$ ด้วยตัวประกอบ $3$
$(s,\,3t)$
Complete the square, name transformations เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วบอกการแปลง
The curve $S$ has equation $y=f(x)$ where $f(x)=x^{2}$
The curve $T$ has equation $y=g(x)$ where $g(x)=2x^{2}-12x+13$
By writing $g(x)$ in the form $a(x-b)^{2}-c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants, describe fully a series of transformations that map the curve $S$ onto the curve $T$.
เส้นโค้ง $S$ มีสมการ $y=f(x)$ โดยที่ $f(x)=x^{2}$
เส้นโค้ง $T$ มีสมการ $y=g(x)$ โดยที่ $g(x)=2x^{2}-12x+13$
โดยการเขียน $g(x)$ ในรูป $a(x-b)^{2}-c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ จงอธิบายลำดับการแปลงที่ทำให้เส้นโค้ง $S$ กลายเป็นเส้นโค้ง $T$ อย่างครบถ้วน
Take out the factor $2$ from $2x^{2}-12x$.
จงดึงตัวประกอบ $2$ ออกจาก $2x^{2}-12x$
Answershow ▾
Divide both terms by $2$ and write $2$ outside the bracket.หารทั้งสองพจน์ด้วย $2$ แล้วเขียน $2$ ไว้นอกวงเล็บ
What number completes the square: $x^{2}-6x+\square=(x-3)^{2}$?
เติมเลขอะไรให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์: $x^{2}-6x+\square=(x-3)^{2}$?
Answershow ▾
Halve $-6$ to get $-3$, then square it.หารครึ่ง $-6$ ได้ $-3$ แล้วยกกำลังสอง
A point is stretched, scale factor $2$, in the $y$-direction, then translated by $\binom{3}{-5}$. Starting at $(0,0)$, find the final point.
จุดหนึ่งถูกยืดในทิศทาง $y$ ด้วยตัวประกอบ $2$ แล้วเลื่อนด้วย $\binom{3}{-5}$ เริ่มจาก $(0,0)$ จงหาจุดสุดท้าย
Answershow ▾
The stretch leaves $x$ alone and multiplies $y$ by $2$, then the vector is added.การยืดไม่เปลี่ยน $x$ และคูณ $y$ ด้วย $2$ จากนั้นบวกด้วยเวกเตอร์
$x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$, so $g(x)=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+13$. Pick the correct next line.
(A) $2(x-3)^{2}-9+13$
(B) $2(x-3)^{2}-18+13$
(C) $2(x-3)^{2}-18+26$
$x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ ดังนั้น $g(x)=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+13$ จงเลือกบรรทัดต่อไปที่ถูกต้อง
(A) $2(x-3)^{2}-9+13$
(B) $2(x-3)^{2}-18+13$
(C) $2(x-3)^{2}-18+26$
Answershow ▾
Only the two terms inside the bracket, $(x-3)^{2}$ and $-9$, are multiplied by the outer $2$. (A) forgets to multiply the $-9$ by $2$. (C) also multiplies the $+13$ by $2$, but $13$ was never inside the bracket.มีแค่สองพจน์ในวงเล็บ คือ $(x-3)^{2}$ กับ $-9$ ที่ถูกคูณด้วย $2$ ข้างนอก · (A) ลืมคูณ $-9$ ด้วย $2$ · (C) คูณ $+13$ ด้วย $2$ ไปด้วย ทั้งที่ $13$ ไม่เคยอยู่ในวงเล็บ
Factor $2$ out of $2x^{2}-12x$ in $g(x)=2x^{2}-12x+13$. Write the new expression.
จงดึง $2$ ออกจาก $2x^{2}-12x$ ใน $g(x)=2x^{2}-12x+13$ แล้วเขียนนิพจน์ใหม่
Answershow ▾
Same move as the warm-up, but keep the $+13$ outside the bracket.ท่าเดิมจากวอร์มอัพ แต่เก็บ $+13$ ไว้นอกวงเล็บ
Using $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$, write $g(x)=2(x^{2}-6x)+13$ in the form $2(x-3)^{2}+\square+13$.
ใช้ $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ จงเขียน $g(x)=2(x^{2}-6x)+13$ ในรูป $2(x-3)^{2}+\square+13$
Answershow ▾
Multiply the $-9$ by the outer $2$ to get $-18$.คูณ $-9$ ด้วย $2$ ข้างนอก จะได้ $-18$
Simplify $2(x-3)^{2}-18+13$ to the form $a(x-b)^{2}-c$. State $a$, $b$ and $c$.
จงจัด $2(x-3)^{2}-18+13$ ให้อยู่ในรูป $a(x-b)^{2}-c$ แล้วระบุ $a$, $b$ และ $c$
Answershow ▾
$-18+13=-5$, so $g(x)=2(x-3)^{2}-5$.$-18+13=-5$ ดังนั้น $g(x)=2(x-3)^{2}-5$
$g(x)=2(x-3)^{2}-5$. To map $S$ onto $T$, which order of transformations is correct?
(A) translate by $\binom{3}{-5}$ first, then stretch scale factor $2$ in the $y$-direction
(B) stretch scale factor $2$ in the $y$-direction first, then translate by $\binom{3}{-5}$
(C) the order makes no difference to the final curve
$g(x)=2(x-3)^{2}-5$ การแปลง $S$ เป็น $T$ ลำดับใดถูกต้อง
(A) เลื่อนด้วย $\binom{3}{-5}$ ก่อน แล้วยืดในทิศทาง $y$ ด้วยตัวประกอบ $2$
(B) ยืดในทิศทาง $y$ ด้วยตัวประกอบ $2$ ก่อน แล้วเลื่อนด้วย $\binom{3}{-5}$
(C) ลำดับไม่มีผลต่อกราฟสุดท้าย
Answershow ▾
Doing (A) first moves the vertex to $(3,-5)$, then the stretch multiplies that $y$-value by $2$ as well, giving $(3,-10)$, the wrong vertex. (B) stretches $(0,0)$ to $(0,0)$ first, then the translation places it exactly at $(3,-5)$.ถ้าทำ (A) ก่อน จุดวกกลับย้ายไปที่ $(3,-5)$ แล้วการยืดคูณค่า $y$ นั้นด้วย $2$ อีกครั้ง ได้ $(3,-10)$ ซึ่งผิด · (B) ยืด $(0,0)$ ก่อนได้ $(0,0)$ แล้วเลื่อนไปที่ $(3,-5)$ พอดี
Using $g(x)=2(x-3)^{2}-5$, name the two transformations that map $S$ onto $T$, in the correct order.
ใช้ $g(x)=2(x-3)^{2}-5$ จงบอกชื่อการแปลงทั้งสองที่ทำให้ $S$ กลายเป็น $T$ ตามลำดับที่ถูกต้อง
Answershow ▾
$a=2$ gives the stretch factor; $(b,c)=(3,5)$ gives the translation vector $\binom{3}{-5}$.$a=2$ คือตัวประกอบของการยืด · $(b,c)=(3,5)$ คือเวกเตอร์เลื่อน $\binom{3}{-5}$
Check by substituting $x=3$ into both $g(x)=2x^{2}-12x+13$ and $g(x)=2(x-3)^{2}-5$. Do they agree?
ตรวจคำตอบโดยแทน $x=3$ ในทั้ง $g(x)=2x^{2}-12x+13$ และ $g(x)=2(x-3)^{2}-5$ ตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
$x=3$ is the vertex, where $(x-3)^{2}=0$.$x=3$ คือจุดวกกลับ ซึ่ง $(x-3)^{2}=0$
$S$: $y=x^{2}$. $U$: $y=h(x)=2x^{2}-8x+1$. Write $h(x)$ in the form $a(x-b)^{2}-c$ and describe the transformations that map $S$ onto $U$.
$S$: $y=x^{2}$ · $U$: $y=h(x)=2x^{2}-8x+1$ จงเขียน $h(x)$ ในรูป $a(x-b)^{2}-c$ และบอกการแปลงที่ทำให้ $S$ กลายเป็น $U$
Answershow ▾
Same three moves: factor $2$ out, complete the square, read off the vector.สามขั้นเดิม: ดึง $2$ ออก เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วอ่านเวกเตอร์
The curve $S$ has equation $y=f(x)$ where $f(x)=x^{2}$
The curve $T$ has equation $y=g(x)$ where $g(x)=2x^{2}-12x+13$
By writing $g(x)$ in the form $a(x-b)^{2}-c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants, describe fully a series of transformations that map the curve $S$ onto the curve $T$.
เส้นโค้ง $S$ มีสมการ $y=f(x)$ โดยที่ $f(x)=x^{2}$
เส้นโค้ง $T$ มีสมการ $y=g(x)$ โดยที่ $g(x)=2x^{2}-12x+13$
โดยการเขียน $g(x)$ ในรูป $a(x-b)^{2}-c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ จงอธิบายลำดับการแปลงที่ทำให้เส้นโค้ง $S$ กลายเป็นเส้นโค้ง $T$ อย่างครบถ้วน
Answershow ▾
$4$ marks: $2$ for completing the square, $1$ for naming both moves, $1$ for the correct order.$4$ คะแนน: $2$ คะแนนสำหรับเติมกำลังสองสมบูรณ์ $1$ คะแนนสำหรับชื่อการแปลงทั้งสอง $1$ คะแนนสำหรับลำดับที่ถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$g(x) = 2(x^{2}-6x)+13$
$= 2(x-3)^{2}-18+13$
$= 2(x-3)^{2}-5$
M1 name each transformationระบุชื่อการแปลงแต่ละแบบ
$\text{stretch, scale factor }2,\;\text{in the }y\text{-direction}$
$\text{translation}\; \binom{3}{-5}$
A1 both transformations, in the correct orderการแปลงทั้งสองแบบ ตามลำดับที่ถูกต้อง
$\text{stretch scale factor }2\text{ in the }y\text{-direction}$
$\text{then translation}\;\binom{3}{-5}$
The turning point has a letter จุดวกกลับมีตัวอักษร
The curve $C$ has equation $y=4(x-1)^{2}-a$ where $a>4$.
The diagram shows axes on which to sketch the curve $C$. Sketch the curve $C$, showing clearly, in terms of $a$,
(i) the coordinates of any points of intersection of $C$ with the coordinate axes,
(ii) the coordinates of the turning point.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=4(x-1)^{2}-a$ โดยที่ $a>4$
แผนภาพแสดงแกนสำหรับร่างเส้นโค้ง $C$ จงร่างเส้นโค้ง $C$ พร้อมแสดงให้ชัดเจน (ในรูปของ $a$)
(i) พิกัดจุดตัดของ $C$ กับแกนพิกัด (ถ้ามี)
(ii) พิกัดจุดวกกลับ
$y=4(x-1)^{2}-9$ is in vertex form. Write down its turning point.
$y=4(x-1)^{2}-9$ อยู่ในรูปจุดยอด จงบอกจุดวกกลับ
Answershow ▾
The bracket is smallest, $0$, when $x=1$; then $y$ is just the number left over.วงเล็บมีค่าน้อยที่สุดคือ $0$ เมื่อ $x=1$ แล้ว $y$ ก็คือจำนวนที่เหลือ
$y=4(x-1)^{2}-9$. Work out the $y$-intercept, where $x=0$.
$y=4(x-1)^{2}-9$ จงหาจุดตัดแกน $y$ ซึ่งคือตำแหน่งที่ $x=0$
Answershow ▾
Substitute $x=0$, square the bracket first, then subtract.แทน $x=0$ ยกกำลังสองวงเล็บก่อน แล้วจึงลบ
Solve $4(x-1)^{2}-9=0$ to find where the curve crosses the $x$-axis.
จงแก้สมการ $4(x-1)^{2}-9=0$ เพื่อหาจุดที่กราฟตัดแกน $x$
Answershow ▾
Add $9$, divide by $4$, then square-root both sides.บวก $9$ หารด้วย $4$ แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
To solve $4(x-1)^{2}-a=0$ for $x$, pick the first move.
(A) add $a$ to both sides
(B) expand the bracket first
(C) square-root both sides straight away
จะแก้สมการ $4(x-1)^{2}-a=0$ หา $x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวก $a$ เข้าทั้งสองข้าง
(B) กระจายวงเล็บก่อน
(C) ถอดรากที่สองทั้งสองข้างทันที
Answershow ▾
(B) also works, but it throws away the vertex form you were given, so the algebra with a letter gets much harder. (C) is wrong: a square root does not split over a minus sign, so $\sqrt{4(x-1)^{2}-a}\neq2(x-1)-\sqrt a$.(B) ก็ทำได้ แต่ทิ้งรูปจุดยอดที่ให้มาไป ทำให้พีชคณิตที่มีตัวอักษรยากขึ้นมาก · (C) ผิด เพราะรากที่สองไม่กระจายผ่านเครื่องหมายลบ $\sqrt{4(x-1)^{2}-a}\neq2(x-1)-\sqrt a$
$C:y=4(x-1)^{2}-a$. Write down its turning point, in terms of $a$.
$C:y=4(x-1)^{2}-a$ จงบอกจุดวกกลับ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
Same bracket-zero method as rung $1$, now with $a$ in place of the number.วิธีเดิมกับข้อ $1$ คือวงเล็บเป็น $0$ แต่ตอนนี้แทนที่ด้วย $a$
$C:y=4(x-1)^{2}-a$. Work out the $y$-intercept, in terms of $a$.
$C:y=4(x-1)^{2}-a$ จงหาจุดตัดแกน $y$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
Same substitution as rung $2$; this time leave $a$ as a letter.แทนค่าแบบเดียวกับข้อ $2$ คราวนี้ปล่อย $a$ ไว้เป็นตัวอักษร
Use the move you picked to solve $4(x-1)^{2}-a=0$ for $x$, in terms of $a$.
ใช้ขั้นที่เลือกไว้ แก้สมการ $4(x-1)^{2}-a=0$ หา $x$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
Same four moves as rung $3$; the square root now stays as $\sqrt a$.สี่ขั้นเดิมจากข้อ $3$ แต่รากที่สองยังคงเป็น $\sqrt a$
You have $x=1\pm\dfrac{\sqrt a}{2}$, and $a\gt4$. Pick the true statement.
(A) there are two different $x$-intercepts, because $\sqrt a$ is a positive real number
(B) there is only one $x$-intercept, because $\pm$ really just means the positive root
(C) there are no real $x$-intercepts, because $a$ is a letter, not a number
คุณได้ $x=1\pm\dfrac{\sqrt a}{2}$ และ $a\gt4$ จงเลือกข้อที่เป็นจริง
(A) มีจุดตัดแกน $x$ สองจุดที่ต่างกัน เพราะ $\sqrt a$ เป็นจำนวนจริงบวก
(B) มีจุดตัดแกน $x$ เพียงจุดเดียว เพราะ $\pm$ หมายถึงรากบวกเท่านั้น
(C) ไม่มีจุดตัดแกน $x$ ที่เป็นจำนวนจริง เพราะ $a$ เป็นตัวอักษร ไม่ใช่จำนวน
Answershow ▾
(B) is wrong: $\pm\sqrt a$ gives two different values whenever $\sqrt a\neq0$. (C) is wrong: $a\gt4$ makes $a$ a genuine positive number, so $\sqrt a$ is a real, positive number too.(B) ผิด เพราะ $\pm\sqrt a$ ให้ค่าสองค่าที่ต่างกันเสมอเมื่อ $\sqrt a\neq0$ · (C) ผิด เพราะ $a\gt4$ ทำให้ $a$ เป็นจำนวนบวกจริง ดังนั้น $\sqrt a$ ก็เป็นจำนวนจริงบวกด้วย
Write down the turning point and the $y$-intercept of $C$, both in terms of $a$.
จงบอกจุดวกกลับและจุดตัดแกน $y$ ของ $C$ ทั้งสองข้อ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
The two substitutions from rungs $4$ and $5$, side by side.การแทนค่าสองแบบจากข้อ $4$ และ $5$ นำมาเขียนคู่กัน
Check: put $a=9$ into $x=1\pm\dfrac{\sqrt a}{2}$. Does this match rung $3$?
ตรวจคำตอบ: แทน $a=9$ ใน $x=1\pm\dfrac{\sqrt a}{2}$ ตรงกับข้อ $3$ หรือไม่
Answershow ▾
Putting a number back into the letter answer checks the whole method at once.การแทนจำนวนกลับเข้าไปในคำตอบที่เป็นตัวอักษร ช่วยตรวจทั้งวิธีทำในครั้งเดียว
$y=2(x+1)^{2}-8$. Find (i) where the curve crosses the axes, (ii) its turning point.
$y=2(x+1)^{2}-8$ จงหา (i) จุดที่กราฟตัดแกนพิกัด (ii) จุดวกกลับ
Answershow ▾
Same three moves as the whole question above: turning point, $y$-intercept, then solve for $x$.สามขั้นเดิมจากข้อทั้งหมดข้างต้น: จุดวกกลับ จุดตัดแกน $y$ แล้วแก้หา $x$
The curve $C$ has equation $y=4(x-1)^{2}-a$ where $a>4$.
The diagram shows axes on which to sketch the curve $C$. Sketch the curve $C$, showing clearly, in terms of $a$,
(i) the coordinates of any points of intersection of $C$ with the coordinate axes,
(ii) the coordinates of the turning point.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=4(x-1)^{2}-a$ โดยที่ $a>4$
แผนภาพแสดงแกนสำหรับร่างเส้นโค้ง $C$ จงร่างเส้นโค้ง $C$ พร้อมแสดงให้ชัดเจน (ในรูปของ $a$)
(i) พิกัดจุดตัดของ $C$ กับแกนพิกัด (ถ้ามี)
(ii) พิกัดจุดวกกลับ
Answershow ▾
4 marks: the turning point, one intercept, then both $x$-intercepts together.4 คะแนน: จุดวกกลับ จุดตัดแกนหนึ่งจุด แล้วจุดตัดแกน $x$ ทั้งสองจุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y=4(x-1)^{2}-a\;\text{is a positive quadratic}$
M1 the turning pointจุดวกกลับ
$x=1$
$y = 4(1-1)^{2}-a = -a$
$(1,\,-a)$
M1 one of the axis interceptsจุดตัดแกนจุดหนึ่ง
$x=0:\;y = 4(0-1)^{2}-a = 4-a$
$(0,\,4-a)$
A1 the fully correct graph, with both $x$-intercepts and the turning pointกราฟที่ถูกต้องครบถ้วน ทั้งจุดตัดแกน $x$ สองจุดและจุดวกกลับ
$y=0:\;4(x-1)^{2}=a$
$x = 1\pm\dfrac{\sqrt a}{2}$
$\left(1+\dfrac{\sqrt a}{2},0\right),\;\left(1-\dfrac{\sqrt a}{2},0\right)$
A fraction function, then its inverse ฟังก์ชันเศษส่วน แล้วหาฟังก์ชันผกผัน
The function $f$ is defined as $f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$, $x \neq 6$
(a) Find $f(10)$.
(b) Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}: x \rightarrow \, \ldots$
ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$, $x \neq 6$
(ก) จงหาค่า $f(10)$
(ข) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}: x \rightarrow \, \ldots$
$f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$. Find $f(3)$.
$f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$ · จงหาค่า $f(3)$
Answershow ▾
Substitute $x=3$, then divide.แทน $x=3$ แล้วหาร
$y=\dfrac{4}{x-6}$. Multiply both sides by $(x-6)$. Write the result.
$y=\dfrac{4}{x-6}$ · คูณทั้งสองข้างด้วย $(x-6)$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Multiplying by $(x-6)$ cancels the denominator on the fraction side.การคูณด้วย $(x-6)$ ทำให้ตัวส่วนฝั่งเศษส่วนหายไป
Factorise $x$ from $yx-2x$.
จงแยกตัวประกอบ $x$ จาก $yx-2x$
Answershow ▾
$x$ is in both terms, so $x$ comes out of the bracket.$x$ อยู่ในทั้งสองพจน์ จึงดึง $x$ ออกจากวงเล็บ
$f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$. Find $f(10)$.
$f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$ · จงหาค่า $f(10)$
Answershow ▾
Substitute $x=10$, then divide.แทน $x=10$ แล้วหาร
Let $y=f(x)$. Multiply both sides of $y=\dfrac{2x}{x-6}$ by $(x-6)$ and expand the bracket. Write the result.
ให้ $y=f(x)$ · คูณทั้งสองข้างของ $y=\dfrac{2x}{x-6}$ ด้วย $(x-6)$ แล้วกระจายวงเล็บ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
$y(x-6)$ expands the same way as any bracket times a letter.$y(x-6)$ กระจายเหมือนวงเล็บคูณตัวแปรทั่วไป
You have $yx-6y=2x$. $x$ appears in two of the three terms. Pick the move that puts both $x$-terms on the same side.
(A) divide every term by $x$
(B) move $2x$ to the left and $-6y$ to the right: $yx-2x=6y$
(C) move only $-6y$ to the right: $yx=2x+6y$
มี $yx-6y=2x$ · $x$ อยู่ในสองพจน์จากสามพจน์ จงเลือกวิธีที่ทำให้พจน์ $x$ ทั้งสองมาอยู่ด้านเดียวกัน
(A) หารทุกพจน์ด้วย $x$
(B) ย้าย $2x$ ไปทางซ้าย และ $-6y$ ไปทางขวา: $yx-2x=6y$
(C) ย้ายแค่ $-6y$ ไปทางขวา: $yx=2x+6y$
Answershow ▾
(A) $-6y$ has no $x$ in it, so dividing by $x$ turns it into a new fraction, $-\dfrac{6y}{x}$, instead of gathering the $x$-terms. (C) still leaves $2x$ on the right, so $yx$ and $2x$ are on different sides - nothing has been collected yet.(A) $-6y$ ไม่มี $x$ อยู่เลย การหารด้วย $x$ จึงทำให้มันกลายเป็นเศษส่วนใหม่ $-\dfrac{6y}{x}$ แทนการรวมพจน์ $x$ · (C) ยังเหลือ $2x$ อยู่ทางขวา ทำให้ $yx$ กับ $2x$ ยังอยู่คนละด้าน ยังไม่ได้รวมกัน
Factorise $x$ from $yx-2x=6y$. Write the result.
จงแยกตัวประกอบ $x$ จาก $yx-2x=6y$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Same move as the warm-up — $x$ comes out of both terms on the left.ขั้นเดิมจากข้อวอร์มอัพ · ดึง $x$ ออกจากทั้งสองพจน์ฝั่งซ้าย
Divide both sides of $x(y-2)=6y$ by $(y-2)$ to make $x$ the subject. Write the result.
จงหารทั้งสองข้างของ $x(y-2)=6y$ ด้วย $(y-2)$ เพื่อให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
$(y-2)$ is a factor on the left, so dividing by it leaves $x$ alone.$(y-2)$ เป็นตัวประกอบฝั่งซ้าย การหารด้วยมันทำให้เหลือ $x$ ตัวเดียว
Swap $x$ and $y$ in $x=\dfrac{6y}{y-2}$ to write $f^{-1}$. Then check: work out $f^{-1}(5)$ — it should give back the $x$ you substituted in part (a).
สลับ $x$ กับ $y$ ใน $x=\dfrac{6y}{y-2}$ เพื่อเขียน $f^{-1}$ · แล้วตรวจ: หาค่า $f^{-1}(5)$ — ควรได้ค่า $x$ เดียวกับที่แทนไว้ในข้อ (a)
Answershow ▾
$f$ and $f^{-1}$ undo each other, so $f^{-1}(5)$ must give back $10$.$f$ กับ $f^{-1}$ ย้อนกันเสมอ ดังนั้น $f^{-1}(5)$ ต้องได้ $10$ กลับมา
$g: x \rightarrow \dfrac{3x}{x-4}$, $x \neq 4$. Find $g^{-1}$.
$g: x \rightarrow \dfrac{3x}{x-4}$, $x \neq 4$ · จงหา $g^{-1}$
Answershow ▾
Same five moves, kinder numbers: clear the fraction, expand, collect, factorise, divide, swap.ห้าขั้นเดิม ตัวเลขง่ายลง: กำจัดเศษส่วน กระจาย รวมพจน์ แยกตัวประกอบ หาร แล้วสลับ
The function $f$ is defined as $f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$, $x \neq 6$
(a) Find $f(10)$.
(b) Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}: x \rightarrow \, \ldots$
ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f: x \rightarrow \dfrac{2x}{x-6}$, $x \neq 6$
(ก) จงหาค่า $f(10)$
(ข) จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}: x \rightarrow \, \ldots$
Answershow ▾
4 marks: $1$ for the substitution, $2$ for clearing and collecting, $1$ for the final swapped formula.4 คะแนน: $1$ คะแนนสำหรับการแทนค่า $2$ คะแนนสำหรับการกำจัดเศษส่วนและรวมพจน์ $1$ คะแนนสำหรับสูตรสุดท้ายที่สลับแล้ว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$f(10) = \dfrac{2(10)}{10-6}$
$= 5$
M1 let $y=f(x)$ and multiply out the denominatorให้ $y=f(x)$ แล้วคูณกระจายตัวส่วน
$y = \dfrac{2x}{x-6}$
$y(x-6) = 2x$
M1 collect the $x$ terms and factoriseย้ายพจน์ $x$ มารวมกัน แล้วแยกตัวประกอบ
$yx-2x = 6y$
$x(y-2) = 6y$
A1 divide to make $x$ the subject, then swap $x$ and $y$หารเพื่อให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม แล้วสลับ $x$ กับ $y$
$x = \dfrac{6y}{y-2}$
$f^{-1}: x \rightarrow \dfrac{6x}{x-2}$
A composite function, then its inverse ฟังก์ชันประกอบ แล้วฟังก์ชันผกผัน
The functions $f$ and $g$ are such that $f(x)=x^{2}-2x$ $g(x)=x+3$
The function $h$ is such that $h(x)=fg(x)$ for $x \geqslant -2$.
Express the inverse function $h^{-1}(x)$ in the form $h^{-1}(x) = \, \ldots$
ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ คือ $f(x)=x^{2}-2x$ $g(x)=x+3$
ฟังก์ชัน $h$ คือ $h(x)=fg(x)$ เมื่อ $x \geqslant -2$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}(x)$ ในรูป $h^{-1}(x) = \, \ldots$
Expand $(x+3)^{2}$.
จงกระจาย $(x+3)^{2}$
Answershow ▾
Multiply the bracket by itself; the middle term appears twice.คูณวงเล็บด้วยตัวเอง พจน์กลางจะปรากฏสองครั้ง
Write $x^{2}+4x+3$ in completed-square form.
จงเขียน $x^{2}+4x+3$ ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Halve the $x$ coefficient to get the bracket, then fix the constant left over.หารสัมประสิทธิ์ของ $x$ ด้วย $2$ เพื่อหาค่าในวงเล็บ แล้วปรับตัวเลขที่เหลือ
$x\geqslant-2$, so $x+2\geqslant0$. If $(x+2)^{2}=9$, find $x+2$.
$x\geqslant-2$ ดังนั้น $x+2\geqslant0$ ถ้า $(x+2)^{2}=9$ จงหา $x+2$
Answershow ▾
The square root gives two signs, but the domain keeps only the positive one.รากที่สองให้สองเครื่องหมาย แต่โดเมนเก็บไว้เฉพาะค่าบวก
$f(x)=x^{2}-2x$, $g(x)=x+3$, and $h(x)=fg(x)$. Pick the correct way to substitute for $fg(x)$.
(A) put $g(x)$ into $f$: $(x+3)^{2}-2(x+3)$
(B) put $f(x)$ into $g$: $(x^{2}-2x)+3$
(C) multiply $f(x)$ by $g(x)$: $(x^{2}-2x)(x+3)$
$f(x)=x^{2}-2x$ $g(x)=x+3$ และ $h(x)=fg(x)$ จงเลือกวิธีแทนค่าที่ถูกต้องสำหรับ $fg(x)$
(A) แทน $g(x)$ ลงใน $f$: $(x+3)^{2}-2(x+3)$
(B) แทน $f(x)$ ลงใน $g$: $(x^{2}-2x)+3$
(C) คูณ $f(x)$ ด้วย $g(x)$: $(x^{2}-2x)(x+3)$
Answershow ▾
$fg(x)$ means $g$ acts first and its output goes into $f$; (B) finds $gf(x)$ instead, and (C) treats $fg$ as multiplication, which function notation does not mean.$fg(x)$ หมายความว่า $g$ ทำก่อน แล้วผลลัพธ์จึงเข้า $f$ · (B) กลับกลายเป็น $gf(x)$ · (C) ตีความ $fg$ เป็นการคูณ ซึ่งไม่ใช่ความหมายของสัญกรณ์ฟังก์ชัน
Substitute $g(x)=x+3$ into $f(x)=x^{2}-2x$ to write $fg(x)$, unsimplified.
แทน $g(x)=x+3$ ใน $f(x)=x^{2}-2x$ เพื่อเขียน $fg(x)$ โดยยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Replace every $x$ in $f(x)$ with $(x+3)$.แทน $x$ ทุกตัวใน $f(x)$ ด้วย $(x+3)$
Expand and simplify $(x+3)^{2}-2(x+3)$.
จงกระจายและทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย $(x+3)^{2}-2(x+3)$
Answershow ▾
Use question 1 for the bracket, then subtract $2(x+3)$.ใช้ข้อ 1 กระจายวงเล็บ แล้วลบ $2(x+3)$
Write $h(x)=x^{2}+4x+3$ in completed-square form.
จงเขียน $h(x)=x^{2}+4x+3$ ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Same move as question 2, now on the real function $h(x)$.ใช้วิธีเดียวกับข้อ 2 แต่กับฟังก์ชันจริง $h(x)$
Let $y=(x+2)^{2}-1$. Using $x\geqslant-2$, solve for $x$ in terms of $y$, then swap $x$ and $y$ to write $h^{-1}(x)$.
ให้ $y=(x+2)^{2}-1$ โดยใช้ $x\geqslant-2$ จงแก้หา $x$ ในรูปของ $y$ แล้วสลับ $x$ กับ $y$ เพื่อเขียน $h^{-1}(x)$
Answershow ▾
Move the $1$, take the positive root as in question 3, then subtract $2$ and swap the letters.ย้าย $1$ ถอดรากบวกตามข้อ 3 แล้วลบ $2$ และสลับตัวแปร
Check: $h(0)=(0+2)^{2}-1=3$. Does $h^{-1}(3)=\sqrt{3+1}-2$ give back $0$?
ตรวจคำตอบ: $h(0)=(0+2)^{2}-1=3$ แล้ว $h^{-1}(3)=\sqrt{3+1}-2$ ได้ $0$ กลับมาหรือไม่
Answershow ▾
$h^{-1}$ undoes $h$, so putting $h(0)$ back in should return $0$.$h^{-1}$ ย้อนกลับ $h$ ดังนั้นแทน $h(0)$ กลับเข้าไปต้องได้ $0$
$f(x)=x^{2}-2x$ and $g(x)=x+4$. The function $h$ is such that $h(x)=fg(x)$ for $x\geqslant-3$. Find $h^{-1}(x)$.
$f(x)=x^{2}-2x$ และ $g(x)=x+4$ ฟังก์ชัน $h$ คือ $h(x)=fg(x)$ เมื่อ $x\geqslant-3$ จงหา $h^{-1}(x)$
Answershow ▾
Same five moves: substitute, expand, complete the square, solve using the domain, then swap.ห้าขั้นเดิม: แทนค่า กระจาย ทำกำลังสองสมบูรณ์ แก้โดยใช้โดเมน แล้วสลับ
The functions $f$ and $g$ are such that $f(x)=x^{2}-2x$ $g(x)=x+3$
The function $h$ is such that $h(x)=fg(x)$ for $x \geqslant -2$.
Express the inverse function $h^{-1}(x)$ in the form $h^{-1}(x) = \, \ldots$
ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ คือ $f(x)=x^{2}-2x$ $g(x)=x+3$
ฟังก์ชัน $h$ คือ $h(x)=fg(x)$ เมื่อ $x \geqslant -2$
จงเขียนฟังก์ชันผกผัน $h^{-1}(x)$ ในรูป $h^{-1}(x) = \, \ldots$
Answershow ▾
5 marks: substitute, expand, complete the square, solve using the domain, then swap $x$ and $y$.5 คะแนน: แทนค่า กระจาย ทำกำลังสองสมบูรณ์ แก้โดยใช้โดเมน แล้วสลับ $x$ กับ $y$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$fg(x) = (x+3)^{2}-2(x+3)$
A1 expand and simplifyกระจายและทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
$h(x) = x^{2}+4x+3$
M1ft complete the squareทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
$h(x) = (x+2)^{2}-4+3$
$= (x+2)^{2}-1$
M1ft let $y=h(x)$ and rearrangeให้ $y=h(x)$ แล้วจัดรูปใหม่
$y = (x+2)^{2}-1$
$(x+2)^{2} = y+1$
A1 take the square root, make $x$ the subject, then swap $x$ and $y$ถอดกรณฑ์ ให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม แล้วสลับ $x$ กับ $y$
$x+2$
$= \sqrt{y+1}\quad(x\geqslant-2 \Rightarrow x+2\geqslant0)$
$x = \sqrt{y+1}-2$
$h^{-1}(x) = \sqrt{x+1}-2$
A line that cuts a curve เส้นตรงที่ตัดเส้นโค้ง
The straight line $L$ has equation $x-y=3$
The curve $C$ has equation $3x^{2}-y^{2}+xy=9$
$L$ and $C$ intersect at the points $P$ and $Q$.
Find the coordinates of the midpoint of $PQ$. Show clear algebraic working.
เส้นตรง $L$ มีสมการ $x-y=3$
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $3x^{2}-y^{2}+xy=9$
$L$ และ $C$ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$
จงหาพิกัดจุดกึ่งกลางของ $PQ$ แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Make $y$ the subject of $x-y=3$.
จงจัดสมการ $x-y=3$ ให้ $y$ เป็นตัวแปรหลัก
Answershow ▾
Subtract $x$, then multiply both sides by $-1$.ลบ $x$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $-1$
Expand $(x-3)^{2}$.
จงกระจาย $(x-3)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. Each term in the first multiplies each term in the second.เขียนเป็นสองวงเล็บ แต่ละพจน์ในวงเล็บแรกคูณกับทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง
Find the midpoint of $(4,1)$ and $(-2,5)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $(4,1)$ และ $(-2,5)$
Answershow ▾
Average the $x$'s, then average the $y$'s.เฉลี่ยค่า $x$ แล้วเฉลี่ยค่า $y$
One equation is a straight line, $x-y=3$. The other has $x^{2}$, $y^{2}$ and $xy$ terms. Pick the first move.
(A) add the two equations together
(B) rearrange the line to make $y$ the subject, then substitute into the curve
(C) rearrange the curve to make $y$ the subject, since it needs solving too
สมการหนึ่งเป็นเส้นตรง $x-y=3$ อีกสมการมี $x^{2}$ $y^{2}$ และ $xy$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) จัดรูปสมการเส้นตรงให้ $y$ เป็นตัวแปรหลัก แล้วแทนค่าลงในสมการเส้นโค้ง
(C) จัดรูปสมการเส้นโค้งให้ $y$ เป็นตัวแปรหลัก เพราะมันก็ต้องแก้เหมือนกัน
Answershow ▾
(A) adding does not remove a letter: one equation has $y$, the other has $y^{2}$ and $xy$, so nothing cancels. (C) the curve is not linear in $y$, so making $y$ the subject there needs the quadratic formula and gives two messy expressions.(A) การบวกไม่ได้ทำให้ตัวแปรหายไป เพราะสมการหนึ่งมี $y$ อีกสมการมี $y^{2}$ กับ $xy$ จึงไม่มีอะไรตัดกัน · (C) สมการเส้นโค้งไม่เป็นเชิงเส้นในตัวแปร $y$ การจัดให้ $y$ เป็นตัวแปรหลักต้องใช้สูตรกำลังสอง แล้วได้สองนิพจน์ที่ยุ่งยาก
Replace $y$ with $x-3$ in $3x^{2}-y^{2}+xy=9$. Write the new equation.
แทน $y$ ด้วย $x-3$ ใน $3x^{2}-y^{2}+xy=9$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Keep both brackets. $y^{2}$ and $xy$ each need the whole of $x-3$.ต้องมีวงเล็บทั้งคู่ $y^{2}$ และ $xy$ ต้องใช้ $x-3$ ทั้งก้อน
Show that $3x^{2}-(x-3)^{2}+x(x-3)=9$ becomes $x^{2}+x-6=0$.
จงแสดงว่า $3x^{2}-(x-3)^{2}+x(x-3)=9$ จัดรูปได้เป็น $x^{2}+x-6=0$
Answershow ▾
Expand both brackets fully, then collect like terms before dividing by $3$.กระจายวงเล็บทั้งสองให้หมด แล้วรวมพจน์ก่อนหารด้วย $3$
Solve $x^{2}+x-6=0$.
จงแก้สมการ $x^{2}+x-6=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-6$ and add to $1$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ และบวกกันได้ $1$
You have $x=2$ and $x=-3$. To find $y$, which equation do you use? Try $x=2$ in both and compare.
ได้ $x=2$ กับ $x=-3$ จะหา $y$ ต้องใช้สมการไหน ลองแทน $x=2$ ทั้งสองสมการแล้วเทียบกัน
Answershow ▾
Substituting $x=2$ into the curve gives $y=3$ or $y=-1$; only $y=-1$ is on the line. The line gives one $y$ per $x$ directly.แทน $x=2$ ลงในสมการเส้นโค้งได้ $y=3$ หรือ $y=-1$ แต่มีแค่ $y=-1$ ที่อยู่บนเส้นตรง · เส้นตรงให้ $y$ ค่าเดียวต่อ $x$ โดยตรง
Use $y=x-3$ to find $y$ for $x=2$ and for $x=-3$. Write both points.
ใช้ $y=x-3$ หา $y$ เมื่อ $x=2$ และเมื่อ $x=-3$ แล้วเขียนทั้งสองจุด
Answershow ▾
Two points: the line crosses the curve twice.ได้สองจุด เพราะเส้นตรงตัดเส้นโค้งสองครั้ง
Find the midpoint of $P(2,-1)$ and $Q(-3,-6)$.
จงหาจุดกึ่งกลางของ $P(2,-1)$ และ $Q(-3,-6)$
Answershow ▾
Average the $x$'s, then average the $y$'s - same as the warm-up.เฉลี่ยค่า $x$ แล้วเฉลี่ยค่า $y$ เหมือนข้อฝึกก่อนหน้า
Solve the simultaneous equations $y=x+2$ and $x^{2}-y^{2}+xy=-1$. Find the midpoint of the two intersection points.
จงแก้ระบบสมการ $y=x+2$ และ $x^{2}-y^{2}+xy=-1$ แล้วหาจุดกึ่งกลางของจุดตัดทั้งสอง
Answershow ▾
Same four moves: substitute, expand, solve, then the midpoint.สี่ขั้นเดิม: แทนค่า กระจาย แก้สมการ แล้วหาจุดกึ่งกลาง
The straight line $L$ has equation $x-y=3$
The curve $C$ has equation $3x^{2}-y^{2}+xy=9$
$L$ and $C$ intersect at the points $P$ and $Q$.
Find the coordinates of the midpoint of $PQ$. Show clear algebraic working.
เส้นตรง $L$ มีสมการ $x-y=3$
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $3x^{2}-y^{2}+xy=9$
$L$ และ $C$ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$
จงหาพิกัดจุดกึ่งกลางของ $PQ$ แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
6 marks: rearrange the line, substitute, expand to a quadratic, solve it, find both $y$ values, then the midpoint.6 คะแนน: จัดรูปเส้นตรง แทนค่า กระจายเป็นสมการกำลังสอง แก้สมการ หาค่า $y$ ทั้งสอง แล้วหาจุดกึ่งกลาง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y = x-3$
M1 substitute into the curve's equationแทนค่าลงในสมการของเส้นโค้ง
$3x^{2}-(x-3)^{2}+x(x-3) = 9$
M1ft expand and collect into a three-term quadraticกระจายแล้วรวมพจน์เป็นสมการกำลังสองสามพจน์
$3x^{2}-(x^{2}-6x+9)+x^{2}-3x = 9$
$3x^{2}+3x-18 = 0$
$x^{2}+x-6 = 0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(x-2)(x+3) = 0$
$x=2 \;\text{or}\; x=-3$
A1 the corresponding $y$-valuesค่า $y$ ที่สอดคล้องกัน
$x=2:\;y=-1$
$x=-3:\;y=-6$
A1 the midpoint of $PQ$จุดกึ่งกลางของ $PQ$
$\left(\dfrac{2+(-3)}{2},\,\dfrac{-1+(-6)}{2}\right)$
$= \left(-\dfrac12,\,-\dfrac72\right)$
Differentiate, then solve for x หาอนุพันธ์ก่อน แล้วแก้หาคำตอบ x
The curve $C$ has equation $y=4x^{3}+x^{2}-20x$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the $x$ coordinates of the points on $C$ where the gradient is $4$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=4x^{3}+x^{2}-20x$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
(ข) จงหาพิกัด $x$ ของจุดบน $C$ ที่ความชันเท่ากับ $4$
The curve $C$ has the term $4x^{3}$. Differentiate it.
เส้นโค้ง $C$ มีพจน์ $4x^{3}$ จงหาอนุพันธ์ของพจน์นี้
Answershow ▾
Power to the front, then subtract one from it: $3\times4=12$, and $3-1=2$.เอากำลังลงมาคูณก่อน แล้วลดกำลังลงหนึ่ง: $3\times4=12$ และ $3-1=2$
The curve $C$ has the term $x^{2}$. Differentiate it.
เส้นโค้ง $C$ มีพจน์ $x^{2}$ จงหาอนุพันธ์ของพจน์นี้
Answershow ▾
Power to the front, then subtract one: $2\times1=2$, and $2-1=1$.เอากำลังลงมาคูณก่อน แล้วลดกำลังลงหนึ่ง: $2\times1=2$ และ $2-1=1$
The curve $C$ has the term $-20x$. Differentiate it.
เส้นโค้ง $C$ มีพจน์ $-20x$ จงหาอนุพันธ์ของพจน์นี้
Answershow ▾
$x$ is $x^{1}$. The power comes down to give $-20\times1$, and the power drops to $x^{0}=1$.$x$ คือ $x^{1}$ กำลังลงมาคูณให้ $-20\times1$ แล้วกำลังลดลงเหลือ $x^{0}=1$
$y=4x^{3}+x^{2}-20x$. Using your three answers above, write $\dfrac{dy}{dx}$.
$y=4x^{3}+x^{2}-20x$ ใช้คำตอบสามข้อข้างต้น จงเขียน $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Add the three derivatives together, term by term.นำอนุพันธ์ทั้งสามพจน์มาบวกกัน
Curve $C$: $y=4x^{3}+x^{2}-20x$, and $\dfrac{dy}{dx}=12x^{2}+2x-20$. To find where the gradient is $4$, pick the first move.
(A) set $y=4$
(B) set $\dfrac{dy}{dx}=4$
(C) substitute $x=4$ into $\dfrac{dy}{dx}$
เส้นโค้ง $C$: $y=4x^{3}+x^{2}-20x$ และ $\dfrac{dy}{dx}=12x^{2}+2x-20$ เมื่อต้องหาตำแหน่งที่ความชันเท่ากับ $4$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $y=4$
(B) ให้ $\dfrac{dy}{dx}=4$
(C) แทน $x=4$ ใน $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
(A) sets the curve height equal to $4$, which is a $y$ value, not the gradient. (C) treats $4$ as an $x$ value, but $4$ is the gradient value given in the question.(A) ให้ความสูงของกราฟเท่ากับ $4$ ซึ่งเป็นค่า $y$ ไม่ใช่ความชัน · (C) ปฏิบัติกับ $4$ เหมือนเป็นค่า $x$ แต่ $4$ คือค่าความชันที่โจทย์กำหนด
Rearrange $12x^{2}+2x-20=4$ so that one side is $0$.
จงจัดรูป $12x^{2}+2x-20=4$ ให้ข้างหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
Subtract $4$ from both sides.นำ $4$ ลบออกจากทั้งสองข้าง
Every term in $12x^{2}+2x-24=0$ shares a factor of $2$. Divide to simplify.
ทุกพจน์ใน $12x^{2}+2x-24=0$ มีตัวประกอบร่วม $2$ จงหารเพื่อลดรูป
Answershow ▾
Divide every term by $2$.หารทุกพจน์ด้วย $2$
You have simplified to $6x^{2}+x-12=0$. Pick the correct factorisation.
(A) $(3x-4)(2x+3)$
(B) $(3x+4)(2x-3)$
(C) $(6x-4)(x+3)$
จัดรูปได้เป็น $6x^{2}+x-12=0$ จงเลือกการแยกตัวประกอบที่ถูกต้อง
(A) $(3x-4)(2x+3)$
(B) $(3x+4)(2x-3)$
(C) $(6x-4)(x+3)$
Answershow ▾
(B) expands to $6x^{2}-x-12$: the middle term has the wrong sign. (C) expands to $6x^{2}+14x-12$: those factors of $12$ do not pair with $6$ and $1$.(B) กระจายได้ $6x^{2}-x-12$ พจน์กลางมีเครื่องหมายผิด · (C) กระจายได้ $6x^{2}+14x-12$ ตัวประกอบของ $12$ คู่นี้ไม่จับกับ $6$ และ $1$
Solve $(3x-4)(2x+3)=0$.
จงแก้สมการ $(3x-4)(2x+3)=0$
Answershow ▾
Each bracket can equal $0$ on its own.แต่ละวงเล็บสามารถเท่ากับ $0$ ได้อย่างอิสระ
Check: substitute $x=\dfrac43$ into $\dfrac{dy}{dx}=12x^{2}+2x-20$. Does it equal $4$?
ตรวจคำตอบ: แทน $x=\dfrac43$ ใน $\dfrac{dy}{dx}=12x^{2}+2x-20$ ได้ $4$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct $x$ value gives back the gradient you were given.ค่า $x$ ที่ถูกต้องจะให้ความชันตรงกับที่โจทย์กำหนด
A curve has equation $y=2x^{3}+3x^{2}-6x$. Find the $x$-coordinates of the points where the gradient is $6$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=2x^{3}+3x^{2}-6x$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดที่ความชันเท่ากับ $6$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, set equal to $6$, rearrange, divide, then factorise.ขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ ให้เท่ากับ $6$ จัดรูป หาร แล้วแยกตัวประกอบ
The curve $C$ has equation $y=4x^{3}+x^{2}-20x$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the $x$ coordinates of the points on $C$ where the gradient is $4$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=4x^{3}+x^{2}-20x$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
(ข) จงหาพิกัด $x$ ของจุดบน $C$ ที่ความชันเท่ากับ $4$
Answershow ▾
6 marks: differentiate (2 marks), then set $\dfrac{dy}{dx}=4$, rearrange, divide, factorise, and give both $x$ values (4 marks).6 คะแนน: หาอนุพันธ์ (2 คะแนน) แล้วให้ $\dfrac{dy}{dx}=4$ จัดรูป หาร แยกตัวประกอบ แล้วตอบค่า $x$ ทั้งสองค่า (4 คะแนน)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{dy}{dx}:\;12x^{2},\;2x,\;-20$
A1 the complete derivativeอนุพันธ์ที่สมบูรณ์
$\dfrac{dy}{dx} = 12x^{2}+2x-20$
M1ft set the derivative equal to $4$ให้อนุพันธ์เท่ากับ $4$
$12x^{2}+2x-20 = 4$
M1 rearrange into a three-term quadraticจัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองสามพจน์
$12x^{2}+2x-24 = 0$
$6x^{2}+x-12 = 0$
M1 factorise the quadraticแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง
$(3x-4)(2x+3) = 0$
A1 both $x$ coordinatesค่า $x$ ทั้งสองค่า
$x = \dfrac43 \;\text{or}\; x = -\dfrac32$
Find the missing table values หาค่า y ที่ขาดหายในตาราง
Complete the table of values for $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $7.5$ | .... | .... | .... | $-2.5$ | .... | $4.5$ |
เติมตารางค่าของ $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $7.5$ | .... | .... | .... | $-2.5$ | .... | $4.5$ |
Work out $(-1)^{2}$.
จงหา $(-1)^{2}$
Answershow ▾
A negative number squared is positive.จำนวนลบยกกำลังสองได้ผลบวก
Work out $-\dfrac{-1}{2}$.
จงหา $-\dfrac{-1}{2}$
Answershow ▾
Two minus signs in a row make the term positive.เครื่องหมายลบสองตัวติดกัน ทำให้พจน์เป็นบวก
Work out $1+0.5-3$.
จงหา $1+0.5-3$
Answershow ▾
Add the first two, then subtract.บวกสองพจน์แรกก่อน แล้วลบ
For $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$ at $x=-2$, the middle term is $-\dfrac{x}{2}$. Pick its value.
(A) $-\dfrac{-2}{2}=-1$
(B) $-\dfrac{-2}{2}=1$
(C) $-\dfrac{2}{2}=-1$
จาก $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$ เมื่อ $x=-2$ พจน์กลางคือ $-\dfrac{x}{2}$ จงเลือกค่าของพจน์นี้
(A) $-\dfrac{-2}{2}=-1$
(B) $-\dfrac{-2}{2}=1$
(C) $-\dfrac{2}{2}=-1$
Answershow ▾
(A) stops after one sign flip - two minuses in a row make a plus, not a minus. (C) drops the minus on $x=-2$ itself and uses $2$ instead.(A) กลับเครื่องหมายแค่ครั้งเดียว ลบสองตัวติดกันต้องได้บวก ไม่ใช่ลบ · (C) ลืมเครื่องหมายลบของ $x=-2$ แล้วใช้ $2$ แทน
For $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$, work out $y$ when $x=-2$.
จาก $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-2$
Answershow ▾
Square $x$, use the middle term from question D, then combine.ยกกำลังสอง $x$ แล้วใช้พจน์กลางจากข้อก่อนหน้า นำมารวมกัน
Now work out $y$ when $x=-1$, using the same formula.
ต่อไป จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-1$ ด้วยสูตรเดียวกัน
Answershow ▾
Same three pieces as questions $1$ to $3$, now joined together.สามส่วนเดียวกันจากข้อ $1$ ถึง $3$ นำมารวมกัน
Work out $y$ when $x=0$.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=0$
Answershow ▾
Zero squared and zero halved are both zero.ศูนย์ยกกำลังสอง และศูนย์หารสอง ได้ศูนย์ทั้งคู่
Work out $y$ when $x=2$, joining all three steps: square, halve, subtract.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=2$ โดยรวมสามขั้นตอน: ยกกำลังสอง หารสอง แล้วลบ
Answershow ▾
With a positive $x$, both signs are ordinary - no flip needed.เมื่อ $x$ เป็นบวก เครื่องหมายเป็นปกติ ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย
The table already gives $y=-2.5$ when $x=1$. Use your method to check this.
ตารางให้ค่า $y=-2.5$ เมื่อ $x=1$ ไว้แล้ว จงใช้วิธีเดิมตรวจสอบค่านี้
Answershow ▾
The same method must agree with a value the exam already gave you.วิธีเดียวกันต้องให้ผลตรงกับค่าที่โจทย์ให้มาแล้ว
A table has $y=x^{2}-x-2$. Given $x=-2:y=4$, $x=0:y=-2$, $x=1:y=-2$, $x=3:y=4$. Complete it for $x=-1$ and $x=2$.
ตารางหนึ่งมี $y=x^{2}-x-2$ กำหนด $x=-2:y=4$, $x=0:y=-2$, $x=1:y=-2$, $x=3:y=4$ จงเติมค่าเมื่อ $x=-1$ และ $x=2$
Answershow ▾
Same three moves, simpler formula: no fraction to divide by.สามขั้นตอนเดิม แต่สูตรง่ายขึ้น ไม่มีเศษส่วนให้หาร
Complete the table of values for $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $7.5$ | .... | .... | .... | $-2.5$ | .... | $4.5$ |
เติมตารางค่าของ $y=x^{2}-\dfrac{x}{2}-3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $7.5$ | .... | .... | .... | $-2.5$ | .... | $4.5$ |
Answershow ▾
2 marks: M1 for the two harder values, with a minus $x$; A1 for the other two.2 คะแนน: M1 สำหรับสองค่าที่ยากกว่า ซึ่ง $x$ เป็นลบ · A1 สำหรับอีกสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x=-2$
$y=(-2)^{2}-\dfrac{-2}{2}-3$
$=2$
$x=-1$
$y=(-1)^{2}-\dfrac{-1}{2}-3$
$=-1.5$
A1 the other two missing valuesอีกสองค่าที่ขาดหาย
$x=0$
$y=0-0-3$
$=-3$
$x=2$
$y=(2)^{2}-\dfrac{2}{2}-3$
$=0$
Shift a maximum, left then up เลื่อนจุดสูงสุด ไปซ้ายแล้วขึ้น
(i) A curve has equation $y=f(x)$
There is only one maximum point on the curve.
The coordinates of this maximum point are $(5,7)$
Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x+9)$
(ii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x)+3$
(i) เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=f(x)$
มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวบนเส้นโค้งนี้
พิกัดของจุดสูงสุดนี้คือ $(5,7)$
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x+9)$
(ii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)+3$
Work out $5-9$.
จงหาค่า $5-9$
Answershow ▾
$9$ is bigger than $5$, so the answer is negative.$9$ มากกว่า $5$ ดังนั้นคำตอบเป็นจำนวนลบ
A point is at $(2,6)$. It is shifted $9$ units in the negative $x$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(2,6)$ ถูกเลื่อนไป $9$ หน่วยในทิศทาง $x$ ลบ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A shift in the $x$-direction changes the $x$-coordinate only.การเลื่อนในทิศทาง $x$ เปลี่ยนพิกัด $x$ เท่านั้น
A point is at $(2,6)$. It is shifted $3$ units in the positive $y$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(2,6)$ ถูกเลื่อนไป $3$ หน่วยในทิศทาง $y$ บวก จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A shift in the $y$-direction changes the $y$-coordinate only.การเลื่อนในทิศทาง $y$ เปลี่ยนพิกัด $y$ เท่านั้น
The maximum of $y=f(x)$ is $(5,7)$. For $y=f(x+9)$, pick the new maximum point.
(A) $(5+9,\,7)$
(B) $(5-9,\,7)$
(C) $(5,\,7+9)$
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(5,7)$ สำหรับ $y=f(x+9)$ จงเลือกจุดสูงสุดใหม่
(A) $(5+9,\,7)$
(B) $(5-9,\,7)$
(C) $(5,\,7+9)$
Answershow ▾
$f(x+9)$ moves the graph $9$ to the left, so $9$ is subtracted from the $x$-coordinate - the sign inside the bracket moves the other way. (A) adds instead, sign backwards. (C) changes the $y$-coordinate, which $f(x+9)$ does not touch.$f(x+9)$ เลื่อนกราฟไปทางซ้าย $9$ หน่วย จึงต้องลบ $9$ จากพิกัด $x$ - เครื่องหมายในวงเล็บ เลื่อนกลับทางตรงข้าม · (A) บวกแทน เครื่องหมายผิด · (B) เปลี่ยนพิกัด $y$ ซึ่ง $f(x+9)$ ไม่แตะ
The maximum of $y=f(x)$ is $(5,7)$. Write the new $x$-coordinate of the maximum of $y=f(x+9)$.
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(5,7)$ จงเขียนพิกัด $x$ ใหม่ของจุดสูงสุดของ $y=f(x+9)$
Answershow ▾
Same decision as the step before - now write it yourself.การเลือกแบบเดียวกับขั้นก่อนหน้า คราวนี้เขียนเอง
The $y$-coordinate does not change under a shift in $x$. Write the coordinates of the maximum of $y=f(x+9)$.
พิกัด $y$ ไม่เปลี่ยนเมื่อเลื่อนในทิศทาง $x$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดของ $y=f(x+9)$
Answershow ▾
Put the shifted $x$-coordinate from question $4$ back with the unchanged $7$.นำพิกัด $x$ ที่เลื่อนแล้วจากข้อ $4$ มาเขียนคู่กับ $7$ ที่ไม่เปลี่ยน
The maximum of $y=f(x)$ is $(5,7)$. For $y=f(x)+3$, pick the new maximum point.
(A) $(5+3,\,7)$
(B) $(5,\,7+3)$
(C) $(5-3,\,7)$
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(5,7)$ สำหรับ $y=f(x)+3$ จงเลือกจุดสูงสุดใหม่
(A) $(5+3,\,7)$
(B) $(5,\,7+3)$
(C) $(5-3,\,7)$
Answershow ▾
The $3$ is outside $f$, so it changes the output, the $y$-coordinate, not the input $x$-coordinate. (A) and (C) both change the $x$-coordinate, which $y=f(x)+3$ does not touch.$3$ อยู่นอก $f$ จึงเปลี่ยนผลลัพธ์คือพิกัด $y$ ไม่ใช่ตัวแปรเข้าคือพิกัด $x$ · (A) และ (C) เปลี่ยนพิกัด $x$ ทั้งคู่ ซึ่ง $y=f(x)+3$ ไม่แตะ
The maximum of $y=f(x)$ is $(5,7)$. Write the new $y$-coordinate of the maximum of $y=f(x)+3$.
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(5,7)$ จงเขียนพิกัด $y$ ใหม่ของจุดสูงสุดของ $y=f(x)+3$
Answershow ▾
Same decision as the step before - now write it yourself.การเลือกแบบเดียวกับขั้นก่อนหน้า คราวนี้เขียนเอง
The $x$-coordinate does not change under a shift in $y$. Write the coordinates of the maximum of $y=f(x)+3$.
พิกัด $x$ ไม่เปลี่ยนเมื่อเลื่อนในทิศทาง $y$ จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดของ $y=f(x)+3$
Answershow ▾
Put the unchanged $5$ back with the shifted $y$-coordinate from question $6$.นำ $5$ ที่ไม่เปลี่ยนมาเขียนคู่กับพิกัด $y$ ที่เลื่อนแล้วจากข้อ $6$
Check your two rules on the warm-up point $(2,6)$: does $x\to x-9$ give $(-7,6)$, and does $y\to y+3$ give $(2,9)$?
จงตรวจกฎทั้งสองด้วยจุดจากข้อฝึกหัด $(2,6)$: $x\to x-9$ ให้ $(-7,6)$ หรือไม่ และ $y\to y+3$ ให้ $(2,9)$ หรือไม่
Answershow ▾
The same two rules that moved $(5,7)$ also move the warm-up point.กฎสองข้อเดียวกันที่ใช้เลื่อนจุด $(5,7)$ ก็ใช้เลื่อนจุดในข้อฝึกหัดได้เช่นกัน
A curve $y=g(x)$ has one maximum point, at $(3,5)$. Find the coordinates of the maximum point on (i) $y=g(x+4)$ and (ii) $y=g(x)+2$.
เส้นโค้ง $y=g(x)$ มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว อยู่ที่ $(3,5)$ จงหาพิกัดของจุดสูงสุดบน (i) $y=g(x+4)$ และ (ii) $y=g(x)+2$
Answershow ▾
Same two moves, fresh numbers: subtract $4$ from $x$, then add $2$ to $y$.สองขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: ลบ $4$ จาก $x$ แล้วบวก $2$ เข้ากับ $y$
(i) A curve has equation $y=f(x)$
There is only one maximum point on the curve.
The coordinates of this maximum point are $(5,7)$
Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x+9)$
(ii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x)+3$
(i) เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=f(x)$
มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวบนเส้นโค้งนี้
พิกัดของจุดสูงสุดนี้คือ $(5,7)$
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x+9)$
(ii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)+3$
Answershow ▾
2 marks, one for each part: subtract $9$ from the $x$-coordinate, then add $3$ to the $y$-coordinate.2 คะแนน จุดละ 1 คะแนน: ลบ $9$ จากพิกัด $x$ แล้วบวก $3$ เข้ากับพิกัด $y$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(5,7)\to(5-9,\ 7)$
$=(-4,7)$
B1 shift up 3เลื่อนขึ้น 3
$(5,7)\to(5,\ 7+3)$
$=(5,10)$
Minimum point, bracket in the middle จุดต่ำสุด เมื่อมีวงเล็บคั่นกลาง
The curve $C$ has equation $y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$
The point $M$ is the minimum point on $C$
Find the coordinates of $M$
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$
จุด $M$ คือจุดต่ำสุดบน $C$
จงหาพิกัดของจุด $M$
$y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$. Let $u=x+4$. Write $y$ using $u$.
$y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$ ให้ $u=x+4$ จงเขียน $y$ ด้วย $u$
Answershow ▾
Swap every $(x+4)$ for $u$. The other numbers do not change.แทน $(x+4)$ ทุกตัวด้วย $u$ · ตัวเลขอื่นไม่เปลี่ยน
Factorise $2u^{2}-12u$, taking out a factor of $2$.
จงแยกตัวประกอบ $2u^{2}-12u$ โดยดึง $2$ ออก
Answershow ▾
Divide each term by $2$: the first term becomes $u^{2}$, the second becomes $-6u$.หารแต่ละพจน์ด้วย $2$: พจน์แรกเหลือ $u^{2}$ พจน์ที่สองเหลือ $-6u$
Write $u^{2}-6u$ as a bracket squared, minus a correction.
จงเขียน $u^{2}-6u$ เป็นวงเล็บยกกำลังสอง ลบตัวแก้
Answershow ▾
Half of $-6$ is $-3$; the correction removes the extra $9$ the bracket adds.ครึ่งของ $-6$ คือ $-3$ · ตัวแก้คือการลบ $9$ ที่วงเล็บแถมมาออกไป
$2u^{2}-12u+3$. To complete the square, what is the first move?
(A) Factor the $2$ out of $2u^{2}-12u$: $2(u^{2}-6u)+3$
(B) Halve $-12$ straight away: bracket $(u-6)^{2}$
(C) Square $-12$ straight away: add $144$
$2u^{2}-12u+3$ จะเติมกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกคือ
(A) ดึง $2$ ออกจาก $2u^{2}-12u$ ก่อน: $2(u^{2}-6u)+3$
(B) แบ่งครึ่ง $-12$ ทันที: วงเล็บเป็น $(u-6)^{2}$
(C) ยกกำลังสอง $-12$ ทันที: เติม $144$
Answershow ▾
(B) treats the coefficient of $u^{2}$ as $1$, but it is $2$ - the halve-and-square rule only works once the $2$ is factored out. (C) skips halving before squaring: $(-12)^{2}=144$ is not the correction this bracket needs.(B) มองสัมประสิทธิ์ของ $u^{2}$ เป็น $1$ ทั้งที่จริงเป็น $2$ · กฎแบ่งครึ่งแล้วยกกำลังสองใช้ได้ ก็ต่อเมื่อดึง $2$ ออกก่อนแล้ว · (C) ยกกำลังสองก่อนแบ่งครึ่ง: $(-12)^{2}=144$ ไม่ใช่ตัวแก้ของวงเล็บนี้
Using $u^{2}-6u=(u-3)^{2}-9$ from Q3, multiply out $2\left[(u-3)^{2}-9\right]$.
ใช้ $u^{2}-6u=(u-3)^{2}-9$ จากข้อ 3 จงกระจาย $2\left[(u-3)^{2}-9\right]$
Answershow ▾
$2\times(u-3)^{2}=2(u-3)^{2}$ and $2\times(-9)=-18$.$2\times(u-3)^{2}=2(u-3)^{2}$ และ $2\times(-9)=-18$
Using $2u^{2}-12u+3=2(u-3)^{2}-18+3$ from Q4, simplify to the form $2(u-3)^{2}+k$.
ใช้ $2u^{2}-12u+3=2(u-3)^{2}-18+3$ จากข้อ 4 จัดรูปให้เป็น $2(u-3)^{2}+k$
Answershow ▾
$-18+3=-15$: the two constants join, the squared bracket is untouched.$-18+3=-15$ · ค่าคงที่สองตัวรวมกัน ส่วนวงเล็บกำลังสองไม่เปลี่ยน
$y=2(u-3)^{2}-15$. Since $(u-3)^{2}\ge0$, write down the minimum value of $y$, and the value of $u$ where it happens.
$y=2(u-3)^{2}-15$ เนื่องจาก $(u-3)^{2}\ge0$ จงบอกค่าต่ำสุดของ $y$ และค่า $u$ ที่ทำให้เกิดค่านั้น
Answershow ▾
$(u-3)^{2}$ is lowest, $0$, when $u=3$; the leftover value is $-15$.$(u-3)^{2}$ ต่ำสุดคือ $0$ ตอน $u=3$ · ค่าที่เหลือคือ $-15$
$y=2(u-3)^{2}-15$ is lowest when $u=3$, and $u=x+4$. What is $x$ at the minimum?
(A) $x=3$
(B) $x=3-4=-1$
(C) $x=3+4=7$
$y=2(u-3)^{2}-15$ ต่ำสุดตอน $u=3$ และ $u=x+4$ ที่จุดต่ำสุด $x$ เท่าไร
(A) $x=3$
(B) $x=3-4=-1$
(C) $x=3+4=7$
Answershow ▾
(A) uses the value of $u$ as if it were $x$ itself, but $u$ stands for $x+4$, not $x$. (C) undoes the substitution with the wrong sign: $u=x+4$ means $x=u-4$, not $u+4$.(A) เอาค่า $u$ มาใช้แทน $x$ ตรง ๆ ทั้งที่ $u$ หมายถึง $x+4$ ไม่ใช่ $x$ · (C) ย้อนการแทนค่าผิดเครื่องหมาย: $u=x+4$ แปลว่า $x=u-4$ ไม่ใช่ $u+4$
Using $x=-1$ and the minimum value $y=-15$, write down the coordinates of $M$.
ใช้ $x=-1$ และค่าต่ำสุด $y=-15$ จงบอกพิกัดของ $M$
Answershow ▾
The minimum point pairs the $x$ you just found with the $y$ you already had.จุดต่ำสุดคือคู่ของ $x$ ที่หาได้ กับ $y$ ที่มีอยู่แล้ว
Check: substitute $x=-1$ into $y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$. Do you get $y=-15$?
ตรวจสอบ: แทน $x=-1$ ใน $y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$ จะได้ $y=-15$ ไหม
Answershow ▾
A correct completed-square form gives the same $y$ as the original, at every $x$.รูปเติมกำลังสองสมบูรณ์ที่ถูกต้อง ต้องให้ $y$ เท่ากับสมการเดิมที่ $x$ ทุกค่า
The curve $C$ has equation $y=3(x+2)^{2}-12(x+2)+7$. The point $M$ is the minimum point on $C$. Find the coordinates of $M$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=3(x+2)^{2}-12(x+2)+7$ จุด $M$ คือจุดต่ำสุดบน $C$ จงหาพิกัดของจุด $M$
Answershow ▾
Same route: let $v=x+2$, factor the $3$ out, complete the square, then swap back for $x$.วิธีเดิม: ให้ $v=x+2$ ดึง $3$ ออก เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วแทนกลับเป็น $x$
The curve $C$ has equation $y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$
The point $M$ is the minimum point on $C$
Find the coordinates of $M$
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=2(x+4)^{2}-12(x+4)+3$
จุด $M$ คือจุดต่ำสุดบน $C$
จงหาพิกัดของจุด $M$
Answershow ▾
2 marks. The method mark is for completing the square; the answer mark needs both coordinates.2 คะแนน · คะแนนวิธีทำคือการเติมกำลังสองสมบูรณ์ · คะแนนคำตอบต้องมีพิกัดทั้งสองค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$u = x+4$
$2u^{2}-12u+3 = 2(u-3)^{2}-15$
$y = 2\left[(x+4)-3\right]^{2}-15$
A1 read the coordinates of the minimumอ่านพิกัดของจุดต่ำสุด
$(x+4)-3=0$
$x=-1$
$y=-15$
Match a graph to its letter จับคู่กราฟกับตัวอักษร
Here are six graphs.
Complete the table below with the letter of the graph that could represent each given equation.
Write your answers on the dotted lines.
| Equation | Graph |
|---|---|
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | .... |
| $y=5-x^{2}$ | .... |
| $y=-2x^{3}$ | .... |
นี่คือกราฟหกรูป
จงเติมตารางด้านล่างด้วยตัวอักษรของกราฟที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละสมการที่กำหนดให้
เขียนคำตอบบนเส้นประ
| สมการ | กราฟ |
|---|---|
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | .... |
| $y=5-x^{2}$ | .... |
| $y=-2x^{3}$ | .... |
Work out $-2 \div 2$.
จงหา $-2 \div 2$
Answershow ▾
A negative divided by a positive is negative.จำนวนลบหารด้วยจำนวนบวกได้จำนวนลบ
Work out $-2 \div (-2)$.
จงหา $-2 \div (-2)$
Answershow ▾
A negative divided by a negative is positive.จำนวนลบหารด้วยจำนวนลบได้จำนวนบวก
Work out $5 - 0^{2}$.
จงหา $5 - 0^{2}$
Answershow ▾
Put $x=0$ into the equation to find where the curve crosses the $y$-axis.แทน $x=0$ ในสมการ เพื่อหาจุดที่กราฟตัดแกน $y$
A graph $y=f(x)$ is reflected to make $y=-f(x)$. Pick which axis it reflects in.
(A) the $x$-axis
(B) the $y$-axis
(C) it does not reflect, it shifts down
กราฟ $y=f(x)$ ถูกสะท้อนให้เป็น $y=-f(x)$ จงเลือกแกนที่มันสะท้อน
(A) แกน $x$
(B) แกน $y$
(C) ไม่สะท้อน แต่เลื่อนลง
Answershow ▾
$-f(x)$ changes the OUTPUT, so every $y$-value flips sign - that is a reflection in the $x$-axis. (B) describes $f(-x)$, which changes the input instead. (C) confuses a reflection with a shift.$-f(x)$ เปลี่ยนค่าผลลัพธ์ (output) ทำให้ทุกค่า $y$ สลับเครื่องหมาย ซึ่งคือการสะท้อนในแกน $x$ · (B) อธิบาย $f(-x)$ ซึ่งเปลี่ยนค่าตั้งต้น (input) แทน · (C) สับสนระหว่างการสะท้อนกับการเลื่อน
Work out $y$ when $x=2$ for $y=-\dfrac{2}{x}$.
จงหา $y$ เมื่อ $x=2$ สำหรับ $y=-\dfrac{2}{x}$
Answershow ▾
This is the same division as question $1$.เป็นการหารแบบเดียวกับข้อ $1$
Work out $y$ when $x=-2$ for $y=-\dfrac{2}{x}$.
จงหา $y$ เมื่อ $x=-2$ สำหรับ $y=-\dfrac{2}{x}$
Answershow ▾
This is the same division as question $2$.เป็นการหารแบบเดียวกับข้อ $2$
Work out $y$ when $x=0$ for $y=5-x^{2}$.
จงหา $y$ เมื่อ $x=0$ สำหรับ $y=5-x^{2}$
Answershow ▾
This is the same calculation as question $3$.เป็นการคำนวณแบบเดียวกับข้อ $3$
$y=-\dfrac{2}{x}$ is negative for positive $x$ and positive for negative $x$, with a break at $x=0$. Which letter in the picture matches this?
$y=-\dfrac{2}{x}$ เป็นลบเมื่อ $x$ เป็นบวก และเป็นบวกเมื่อ $x$ เป็นลบ โดยมีช่วงขาดที่ $x=0$ ตัวอักษรใดในรูปตรงกับนี้
Answershow ▾
Graph $B$ is the only one with a break in the middle where the sign swaps.กราฟ $B$ เป็นกราฟเดียวที่มีช่วงขาดตรงกลางและเครื่องหมายสลับกัน
Check: does graph $A$ cross the $y$-axis at $(0,5)$, matching $y=5-x^{2}$ from question $6$?
จงตรวจ: กราฟ $A$ ตัดแกน $y$ ที่ $(0,5)$ ตรงกับ $y=5-x^{2}$ จากข้อ $6$ หรือไม่
Answershow ▾
Graph $A$ is the downward parabola with its highest point above the $y$-axis at $5$.กราฟ $A$ คือพาราโบลาคว่ำที่จุดสูงสุดอยู่เหนือแกน $y$ ที่ $5$
Match $y=-\dfrac{3}{x}$, $y=4-x^{2}$ and $y=-x^{3}$ to a letter each, using the same picture.
จงจับคู่ $y=-\dfrac{3}{x}$, $y=4-x^{2}$ และ $y=-x^{3}$ กับตัวอักษรในรูปเดียวกัน
Answershow ▾
Same three shapes, fresh numbers: negative reciprocal, downward parabola, decreasing cubic.สามรูปทรงเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: ฟังก์ชันส่วนกลับลบ พาราโบลาคว่ำ กำลังสามที่ลดลง
Here are six graphs.
Complete the table below with the letter of the graph that could represent each given equation.
Write your answers on the dotted lines.
| Equation | Graph |
|---|---|
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | .... |
| $y=5-x^{2}$ | .... |
| $y=-2x^{3}$ | .... |
นี่คือกราฟหกรูป
จงเติมตารางด้านล่างด้วยตัวอักษรของกราฟที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละสมการที่กำหนดให้
เขียนคำตอบบนเส้นประ
| สมการ | กราฟ |
|---|---|
| $y=-\dfrac{2}{x}$ | .... |
| $y=5-x^{2}$ | .... |
| $y=-2x^{3}$ | .... |
Answershow ▾
3 marks, one for each correct match.3 คะแนน คะแนนละ 1 สำหรับแต่ละคู่ที่ถูกต้อง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y=-\dfrac{2}{x}\ \to\ B$
B1 match the downward parabolaจับคู่พาราโบลาคว่ำ
$y=5-x^{2}\ \to\ A$
B1 match the decreasing cubicจับคู่กราฟกำลังสามที่ลดลง
$y=-2x^{3}\ \to\ F$
Match six graphs to their equations จับคู่กราฟหกรูปกับสมการ
Here are six graphs.
Complete the table below with the letter of the graph that could represent each given equation.
Write your answers on the dotted lines.
| Equation | Graph |
|---|---|
| $y=\dfrac{2}{x^{2}}$ | .... |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^{3}$ | .... |
| $y=-\dfrac{5}{x}$ | .... |
นี่คือกราฟหกรูป
จงเติมตารางด้านล่างด้วยตัวอักษรของกราฟที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละสมการที่กำหนดให้
เขียนคำตอบบนเส้นประ
| สมการ | กราฟ |
|---|---|
| $y=\dfrac{2}{x^{2}}$ | .... |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^{3}$ | .... |
| $y=-\dfrac{5}{x}$ | .... |
For $y=\dfrac{2}{x^{2}}$, work out $y$ when $x=-1$.
สำหรับ $y=\dfrac{2}{x^{2}}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-1$
Answershow ▾
Squaring a negative number gives a positive result.การยกกำลังสองจำนวนลบ จะได้ผลลัพธ์เป็นบวก
For $y=-\dfrac{5}{x}$, work out $y$ when $x=-1$.
สำหรับ $y=-\dfrac{5}{x}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-1$
Answershow ▾
A minus outside, divided by a negative $x$, gives a positive result.เครื่องหมายลบด้านนอก หารด้วย $x$ ติดลบ จะได้ผลลัพธ์เป็นบวก
For $y=-\dfrac12x^{3}$, work out $y$ when $x=-1$.
สำหรับ $y=-\dfrac12x^{3}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-1$
Answershow ▾
Cubing a negative number keeps it negative, and the outside minus flips it back to positive.ยกกำลังสามจำนวนลบ ยังคงเป็นลบ แล้วลบด้านนอกจะพลิกกลับเป็นบวก
All three equations gave a positive $y$ at $x=-1$. Pick the next check that tells their graphs apart.
(A) evaluate each one at $x=1$ too, and compare the sign to $x=-1$
(B) check what happens as $x\to\infty$
(C) check what each equation gives at $x=0$
ทั้งสามสมการให้ $y$ เป็นบวกที่ $x=-1$ จงเลือกการตรวจขั้นต่อไปที่จะแยกกราฟออกจากกัน
(A) แทน $x=1$ ด้วย แล้วเทียบเครื่องหมายกับ $x=-1$
(B) ตรวจว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ $x\to\infty$
(C) ตรวจค่าของแต่ละสมการที่ $x=0$
Answershow ▾
(B) shows graphs get closer to the $x$-axis far away, but does not separate one that stays positive both sides from one that flips sign. (C) is undefined for every equation here, so it gives no information.(B) บอกแค่ว่าทุกกราฟเข้าใกล้แกน $x$ มากขึ้นเมื่อ $x$ มีค่ามาก แต่ไม่ได้แยกกราฟที่เป็นบวกทั้งสองฝั่ง ออกจากกราฟที่พลิกเครื่องหมาย · (C) หาค่าไม่ได้สำหรับทุกสมการนี้ จึงไม่ได้ข้อมูลอะไรเลย
For $y=\dfrac{2}{x^{2}}$, work out $y$ when $x=1$.
สำหรับ $y=\dfrac{2}{x^{2}}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=1$
Answershow ▾
Squaring a positive number is still positive - the sign never changed.ยกกำลังสองจำนวนบวก ยังคงเป็นบวก เครื่องหมายไม่เคยเปลี่ยน
For $y=-\dfrac{5}{x}$, work out $y$ when $x=1$.
สำหรับ $y=-\dfrac{5}{x}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=1$
Answershow ▾
The sign flipped from question $2$ - this graph crosses from one pair of branches to the other.เครื่องหมายพลิกจากข้อ $2$ - กราฟนี้ข้ามจากกิ่งคู่หนึ่งไปอีกคู่
For $y=-\dfrac12x^{3}$, work out $y$ when $x=1$.
สำหรับ $y=-\dfrac12x^{3}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=1$
Answershow ▾
The sign flipped from question $3$ too - this curve also crosses the $x$-axis.เครื่องหมายพลิกจากข้อ $3$ ด้วย - เส้นโค้งนี้ก็ตัดแกน $x$ เช่นกัน
$y=\dfrac{2}{x^{2}}$ was positive at both $x=-1$ and $x=1$. $y=-\dfrac{5}{x}$ and $y=-\dfrac12x^{3}$ were each positive then negative. Which equation never goes below the $x$-axis?
$y=\dfrac{2}{x^{2}}$ เป็นบวกทั้งที่ $x=-1$ และ $x=1$ ส่วน $y=-\dfrac{5}{x}$ กับ $y=-\dfrac12x^{3}$ เป็นบวกแล้วเป็นลบ สมการใดไม่มีทางต่ำกว่าแกน $x$
Answershow ▾
An even power of $x$ on the bottom can never make the fraction negative.เลขชี้กำลังคู่ของ $x$ ที่ตัวส่วน ไม่สามารถทำให้เศษส่วนเป็นลบได้
Check: does $y=-\dfrac{5}{x}$ give the same sign pattern (positive then negative) as $y=-\dfrac12x^{3}$, from $x=-1$ to $x=1$?
จงตรวจ: $y=-\dfrac{5}{x}$ ให้รูปแบบเครื่องหมายเดียวกัน (บวกแล้วลบ) กับ $y=-\dfrac12x^{3}$ จาก $x=-1$ ถึง $x=1$ หรือไม่
Answershow ▾
Both equations cross the $x$-axis once, between the two branches.ทั้งสองสมการตัดแกน $x$ หนึ่งครั้ง ระหว่างสองกิ่ง
Here are three descriptions of a graph:
P: stays positive for every value of $x$
Q: a decreasing curve that passes through the origin
R: two branches with opposite signs, one on each side of $x=0$
Match each equation to its description: $y=\dfrac{3}{x^{2}}$, $y=-4x^{3}$, $y=-\dfrac{6}{x}$.
นี่คือคำอธิบายกราฟสามแบบ:
P: เป็นบวกเสมอสำหรับทุกค่าของ $x$
Q: เส้นโค้งที่ลดลง ผ่านจุดกำเนิด
R: สองกิ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ฝั่งละข้างของ $x=0$
จงจับคู่แต่ละสมการกับคำอธิบาย: $y=\dfrac{3}{x^{2}}$, $y=-4x^{3}$, $y=-\dfrac{6}{x}$
Answershow ▾
Same three checks: an even power stays positive, a cubic through the origin decreases, a reciprocal flips sign.สามการตรวจเดิม: เลขชี้กำลังคู่เป็นบวกเสมอ ฟังก์ชันกำลังสามผ่านจุดกำเนิดลดลง ฟังก์ชันส่วนกลับพลิกเครื่องหมาย
Here are six graphs.
Complete the table below with the letter of the graph that could represent each given equation.
Write your answers on the dotted lines.
| Equation | Graph |
|---|---|
| $y=\dfrac{2}{x^{2}}$ | .... |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^{3}$ | .... |
| $y=-\dfrac{5}{x}$ | .... |
นี่คือกราฟหกรูป
จงเติมตารางด้านล่างด้วยตัวอักษรของกราฟที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละสมการที่กำหนดให้
เขียนคำตอบบนเส้นประ
| สมการ | กราฟ |
|---|---|
| $y=\dfrac{2}{x^{2}}$ | .... |
| $y=-\dfrac{1}{2}x^{3}$ | .... |
| $y=-\dfrac{5}{x}$ | .... |
Answershow ▾
3 marks, one for each match: the even power that stays positive, the decreasing cubic, and the sign-flipping reciprocal.3 คะแนน ข้อละหนึ่งคะแนน: เลขชี้กำลังคู่ที่เป็นบวกเสมอ ฟังก์ชันกำลังสามที่ลดลง และฟังก์ชันส่วนกลับที่พลิกเครื่องหมาย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y=\dfrac{2}{x^{2}}\ \to\ C$
B1 match the decreasing cubicจับคู่กราฟกำลังสามที่ลดลง
$y=-\dfrac{1}{2}x^{3}\ \to\ B$
B1 match the reciprocal graphจับคู่กราฟฟังก์ชันส่วนกลับ
$y=-\dfrac{5}{x}\ \to\ A$
Transform a maximum point, then translate a whole curve แปลงจุดสูงสุด แล้วเลื่อนเส้นโค้งทั้งเส้น
(i) The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$
There is one maximum point on this curve.
The coordinates of this maximum point are $(4,6)$
Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x+4)$
(ii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(2x)$
(b) The equation of a curve $C$ is $y=x^{2}+3x+4$
The curve $C$ is transformed to curve $S$ under the translation $\binom{4}{6}$
Find an equation of curve $S$
You do not need to simplify the equation.
(i) แผนภาพแสดงภาพร่างของบางส่วนของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)$
เส้นโค้งนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว
พิกัดของจุดสูงสุดนี้คือ $(4,6)$
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x+4)$
(ii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(2x)$
(ข) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{2}+3x+4$
เส้นโค้ง $C$ ถูกแปลงเป็นเส้นโค้ง $S$ ด้วยการเลื่อนตำแหน่งเวกเตอร์ $\binom{4}{6}$
จงหาสมการของเส้นโค้ง $S$
ไม่จำเป็นต้องจัดรูปสมการให้ง่ายที่สุด
A point is at $(7,5)$. On the curve $y=f(x+4)$, the $x$-coordinate moves $4$ to the left. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(7,5)$ บนเส้นโค้ง $y=f(x+4)$ พิกัด $x$ เลื่อนไปทางซ้าย $4$ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
Moving left subtracts from the $x$-coordinate.เลื่อนไปทางซ้าย คือการลบออกจากพิกัด $x$
A point is at $(6,5)$. On the curve $y=f(2x)$, the $x$-coordinate is divided by $2$. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(6,5)$ บนเส้นโค้ง $y=f(2x)$ พิกัด $x$ ถูกหารด้วย $2$ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
Divide the $x$-coordinate by the number inside the bracket.หารพิกัด $x$ ด้วยตัวเลขในวงเล็บ
A curve $y=f(x)$ is translated by the vector $\binom{4}{6}$. Write the equation of the new curve, using $f$.
เส้นโค้ง $y=f(x)$ ถูกเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ $\binom{4}{6}$ จงเขียนสมการของเส้นโค้งใหม่ โดยใช้ $f$
Answershow ▾
The top number goes inside the bracket with a minus sign; the bottom number is added outside.ตัวเลขบนไปอยู่ในวงเล็บโดยใส่เครื่องหมายลบ ส่วนตัวเลขล่างบวกไว้นอกวงเล็บ
The maximum of $y=f(x)$ is $(4,6)$. For $y=f(x+4)$, pick the new maximum.
(A) $(8,6)$
(B) $(4,10)$
(C) $(0,6)$
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(4,6)$ สำหรับ $y=f(x+4)$ จงเลือกจุดสูงสุดใหม่
(A) $(8,6)$
(B) $(4,10)$
(C) $(0,6)$
Answershow ▾
$f(x+4)$ moves the curve in the NEGATIVE $x$-direction, so (A) adds $4$ instead of subtracting it. (B) adds $4$ to the $y$-coordinate instead - that is $f(x)+4$, a different move with the $4$ outside the bracket.$f(x+4)$ เลื่อนกราฟไปในทิศทาง $x$ ลบ ดังนั้น (A) บวก $4$ แทนที่จะลบ · (B) บวก $4$ เข้ากับพิกัด $y$ แทน ซึ่งเป็น $f(x)+4$ การแปลงแบบอื่นที่ $4$ อยู่นอกวงเล็บ
The maximum of $y=f(x)$ is $(4,6)$. Write the coordinates of the maximum of $y=f(x+4)$.
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(4,6)$ จงเขียนพิกัดจุดสูงสุดของ $y=f(x+4)$
Answershow ▾
Same move as question $1$: subtract $4$ from the $x$-coordinate.ขั้นเดียวกับข้อ $1$: ลบ $4$ จากพิกัด $x$
The maximum of $y=f(x)$ is $(4,6)$. Write the coordinates of the maximum of $y=f(2x)$.
จุดสูงสุดของ $y=f(x)$ คือ $(4,6)$ จงเขียนพิกัดจุดสูงสุดของ $y=f(2x)$
Answershow ▾
Same move as question $2$: divide the $x$-coordinate by $2$.ขั้นเดียวกับข้อ $2$: หารพิกัด $x$ ด้วย $2$
A curve is translated by the vector $\binom{4}{6}$. Pick the correct new equation using $f$.
(A) $y=f(x+4)+6$
(B) $y=f(x-4)+6$
(C) $y=f(x-4)-6$
เส้นโค้งถูกเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ $\binom{4}{6}$ จงเลือกสมการใหม่ที่ถูกต้อง โดยใช้ $f$
(A) $y=f(x+4)+6$
(B) $y=f(x-4)+6$
(C) $y=f(x-4)-6$
Answershow ▾
The top number $4$ goes inside with a MINUS sign, so (A) has the sign backwards. (C) gets the outside sign wrong - a positive bottom number moves the curve UP, so it is added, not subtracted.ตัวเลขบน $4$ ต้องอยู่ในวงเล็บโดยใส่เครื่องหมายลบ ดังนั้น (A) ใส่เครื่องหมายผิด · (C) ใส่เครื่องหมายนอกวงเล็บผิด เพราะตัวเลขล่างที่เป็นบวก เลื่อนเส้นโค้งขึ้น จึงต้องบวก ไม่ใช่ลบ
The curve $C$ is $y=x^{2}+3x+4$. Replace $x$ with $x-4$. Write the new equation (not simplified).
เส้นโค้ง $C$ คือ $y=x^{2}+3x+4$ จงแทน $x$ ด้วย $x-4$ แล้วเขียนสมการใหม่ (ยังไม่ต้องจัดรูป)
Answershow ▾
Put $(x-4)$ everywhere $x$ was, keeping the brackets.นำ $(x-4)$ ไปแทนที่ $x$ ทุกตำแหน่ง โดยคงวงเล็บไว้
The vector $\binom{4}{6}$ also moves $y$ up by $6$. Add $6$ to the equation from the last step.
เวกเตอร์ $\binom{4}{6}$ ยังเลื่อน $y$ ขึ้น $6$ ด้วย จงบวก $6$ เข้ากับสมการจากขั้นที่แล้ว
Answershow ▾
$4+6=10$, the constant term absorbs the shift.$4+6=10$ พจน์คงที่รับผลจากการเลื่อน
Expand $(x-4)^{2}+3(x-4)+10$ and collect like terms.
จงกระจาย $(x-4)^{2}+3(x-4)+10$ แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
Answershow ▾
$(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16$ and $3(x-4)=3x-12$; collect the $x$-terms and the constants.$(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16$ และ $3(x-4)=3x-12$ จากนั้นรวมพจน์ $x$ และพจน์คงที่
A curve $y=g(x)$ has one maximum point, at $(6,5)$.
(i) Write down the coordinates of the maximum of $y=g(x+3)$.
(ii) Write down the coordinates of the maximum of $y=g(3x)$.
(b) The curve $y=x^{2}+2x+3$ is translated by the vector $\binom{3}{5}$. Find its new equation.
เส้นโค้ง $y=g(x)$ มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว อยู่ที่ $(6,5)$
(i) จงเขียนพิกัดจุดสูงสุดของ $y=g(x+3)$
(ii) จงเขียนพิกัดจุดสูงสุดของ $y=g(3x)$
(b) เส้นโค้ง $y=x^{2}+2x+3$ ถูกเลื่อนขนานด้วยเวกเตอร์ $\binom{3}{5}$ จงหาสมการใหม่
Answershow ▾
Same three moves, fresh numbers: subtract $3$ from $x$, divide $x$ by $3$, then substitute and expand.สามขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: ลบ $3$ จาก $x$ หาร $x$ ด้วย $3$ แล้วแทนค่าและกระจาย
(i) The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=f(x)$
There is one maximum point on this curve.
The coordinates of this maximum point are $(4,6)$
Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(x+4)$
(ii) Write down the coordinates of the maximum point on the curve with equation $y=f(2x)$
(b) The equation of a curve $C$ is $y=x^{2}+3x+4$
The curve $C$ is transformed to curve $S$ under the translation $\binom{4}{6}$
Find an equation of curve $S$
You do not need to simplify the equation.
(i) แผนภาพแสดงภาพร่างของบางส่วนของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x)$
เส้นโค้งนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว
พิกัดของจุดสูงสุดนี้คือ $(4,6)$
จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(x+4)$
(ii) จงเขียนพิกัดของจุดสูงสุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=f(2x)$
(ข) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{2}+3x+4$
เส้นโค้ง $C$ ถูกแปลงเป็นเส้นโค้ง $S$ ด้วยการเลื่อนตำแหน่งเวกเตอร์ $\binom{4}{6}$
จงหาสมการของเส้นโค้ง $S$
ไม่จำเป็นต้องจัดรูปสมการให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
4 marks: shift the $x$-coordinate for (i), halve it for (ii), then substitute and expand for (b).4 คะแนน: เลื่อนพิกัด $x$ สำหรับ (i) หารครึ่งสำหรับ (ii) แล้วแทนค่าและกระจายสำหรับ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(4,6)\to(4-4,\ 6)$
$=(0,6)$
B1 x-coordinate halvesพิกัด x ลดลงครึ่ง
$(4,6)\to(4\div2,\ 6)$
$=(2,6)$
M1 substitute x-4, add 6แทน x-4 แล้วบวก y ด้วย 6
${y=(x-4)^{2}+3(x-4)+10}$
A1 expand and simplifyกระจายและจัดรูป
$(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16$
$3(x-4)=3x-12$
$y=x^{2}-5x+14$
Fill the table, read the line เติมตารางค่า แล้วอ่านเส้นตรงจากกราฟ
(a) Complete the table of values for $y=\dfrac{1}{2}x^{3}-2x+3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-4.5$ | $3$ | .... | $3$ | .... | .... | .... |
(c) The graph from part (b) is drawn for you.
By drawing a suitable straight line on the grid, find an estimate for the solution of the equation $\dfrac{1}{2}x^{3}-x+4=0$
(ก) เติมตารางค่าของ $y=\dfrac{1}{2}x^{3}-2x+3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-4.5$ | $3$ | .... | $3$ | .... | .... | .... |
(ค) กราฟจากข้อ (b) วาดไว้ให้แล้ว
โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริด จงหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $\dfrac{1}{2}x^{3}-x+4=0$
Work out $(-1)^{3}$.
จงหาค่า $(-1)^{3}$
Answershow ▾
An odd power keeps the sign: multiply $-1$ by itself three times.เลขชี้กำลังคี่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย คูณ $-1$ กับตัวเองสามครั้ง
Work out $-2\times(-1)$.
จงหาค่า $-2\times(-1)$
Answershow ▾
A negative times a negative is positive.ลบคูณลบได้บวก
$2^{3}=8$. Work out $\tfrac12\times8$.
$2^{3}=8$ จงหาค่า $\tfrac12\times8$
Answershow ▾
Halving means dividing by $2$.การหารครึ่งคือหารด้วย $2$
To find $y$ at $x=-1$ for $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$, you first need $(-1)^{3}$. Pick its value.
(A) $-1$
(B) $1$
(C) $-3$
เพื่อหา $y$ ที่ $x=-1$ ของ $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$ ต้องหา $(-1)^{3}$ ก่อน จงเลือกค่าที่ถูก
(A) $-1$
(B) $1$
(C) $-3$
Answershow ▾
(B) treats the cube like a square and drops the minus, but an ODD power keeps it. (C) multiplies $-1$ by the power $3$ instead of by itself three times.(B) ปฏิบัติเหมือนยกกำลังสองแล้วตัดเครื่องหมายลบทิ้ง แต่เลขชี้กำลังคี่ไม่ตัดเครื่องหมาย · (C) คูณ $-1$ ด้วยเลขชี้กำลัง $3$ แทนการคูณตัวเองสามครั้ง
Work out $y$ when $x=-1$, for $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=-1$ จาก $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$
Answershow ▾
Use $(-1)^{3}=-1$ and $-2\times(-1)=2$ from the last two questions.ใช้ $(-1)^{3}=-1$ และ $-2\times(-1)=2$ จากสองข้อที่แล้ว
Work out $y$ when $x=1$, for $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=1$ จาก $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$
Answershow ▾
$1^{3}=1$, so half of it is $0.5$.$1^{3}=1$ ครึ่งหนึ่งของมันคือ $0.5$
Work out $y$ when $x=2$, for $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=2$ จาก $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$
Answershow ▾
$2^{3}=8$, so half of it is $4$, the number from question $3$.$2^{3}=8$ ครึ่งหนึ่งของมันคือ $4$ ตัวเลขจากข้อ $3$
The curve $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$ is already drawn. To solve $\tfrac12x^{3}-x+4=0$ using it, pick the straight line to draw.
(A) $y=x-4$
(B) $y=-x-1$
(C) $y=-2x+3$
เส้นโค้ง $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$ ถูกวาดไว้ให้แล้ว เพื่อแก้ $\tfrac12x^{3}-x+4=0$ โดยใช้เส้นโค้งนี้ จงเลือกเส้นตรงที่ต้องลาก
(A) $y=x-4$
(B) $y=-x-1$
(C) $y=-2x+3$
Answershow ▾
(A) isolates $\tfrac12x^{3}$ alone and throws away the curve already drawn - a whole new curve would be needed. (C) copies the $-2x+3$ term already used to draw the curve.(A) แยก $\tfrac12x^{3}$ ออกมาเดี่ยวๆ ทิ้งเส้นโค้งที่วาดไว้แล้ว ต้องวาดเส้นโค้งใหม่ทั้งเส้น · (C) เอา $-2x+3$ ที่ใช้วาดเส้นโค้งอยู่แล้วมาใช้ซ้ำ
Work out $y$ when $x=3$, for $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$. This completes the whole table.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=3$ จาก $y=\tfrac12x^{3}-2x+3$ ตารางค่าครบแล้ว
Answershow ▾
$3^{3}=27$, half of it is $13.5$, then $-2\times3=-6$.$3^{3}=27$ ครึ่งหนึ่งคือ $13.5$ แล้ว $-2\times3=-6$
Rearrange $\tfrac12x^{3}-x+4=0$ so the left side matches the drawn curve $\tfrac12x^{3}-2x+3$. Write the new equation.
จงจัดรูป $\tfrac12x^{3}-x+4=0$ ให้ด้านซ้ายตรงกับเส้นโค้งที่วาดไว้ $\tfrac12x^{3}-2x+3$ แล้วเขียนสมการใหม่
Answershow ▾
Add $-x-1$ to both sides: $-x+4$ becomes $-2x+3$, the curve already drawn.บวก $-x-1$ ทั้งสองข้าง: $-x+4$ จะกลายเป็น $-2x+3$ ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่วาดไว้แล้ว
The curve $y=x^{3}-x$ is drawn. By drawing a suitable straight line, find the solution of $x^{3}-3x-2=0$ for $x>0$.
เส้นโค้ง $y=x^{3}-x$ ถูกวาดไว้แล้ว โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสม จงหาคำตอบของ $x^{3}-3x-2=0$ เมื่อ $x>0$
Answershow ▾
Same two moves: rearrange to $x^{3}-x=2x+2$, draw $y=2x+2$, read where it meets the curve.สองขั้นเดิม: จัดรูปเป็น $x^{3}-x=2x+2$ ลากเส้น $y=2x+2$ แล้วอ่านจุดที่ตัดกับเส้นโค้ง
(a) Complete the table of values for $y=\dfrac{1}{2}x^{3}-2x+3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-4.5$ | $3$ | .... | $3$ | .... | .... | .... |
(c) The graph from part (b) is drawn for you.
By drawing a suitable straight line on the grid, find an estimate for the solution of the equation $\dfrac{1}{2}x^{3}-x+4=0$
(ก) เติมตารางค่าของ $y=\dfrac{1}{2}x^{3}-2x+3$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-4.5$ | $3$ | .... | $3$ | .... | .... | .... |
(ค) กราฟจากข้อ (b) วาดไว้ให้แล้ว
โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริด จงหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $\dfrac{1}{2}x^{3}-x+4=0$
Answershow ▾
4 marks: 2 for the four table values from questions $4$-$7$, 2 for the rearrange-and-read method from question $8$.4 คะแนน: 2 คะแนนจากค่าตารางสี่ค่าในข้อ $4$-$7$ · 2 คะแนนจากวิธีจัดรูปแล้วอ่านกราฟในข้อ $8$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x=-1$
$y=\tfrac12(-1)^{3}-2(-1)+3$
$=4.5$
$x=1$
$y=\tfrac12(1)^{3}-2(1)+3$
$=1.5$
A1 the other two missing valuesอีกสองค่าที่ขาดหาย
$x=2$
$y=\tfrac12(2)^{3}-2(2)+3$
$=3$
$x=3$
$y=\tfrac12(3)^{3}-2(3)+3$
$=10.5$
M1 rearrange to find the drawn lineจัดรูปเพื่อหาสมการเส้นตรงที่ต้องลาก
$\tfrac12x^{3}-x+4=0$
$\tfrac12x^{3}-2x+3=-x-1$
A1 read the intersection (accept ±0.1)อ่านจุดตัด (ยอมรับ ±0.1)
$x=-2.3$
One point, three transformations จุดเดียว สามการแปลง
(a)(i) The point $A$ with coordinates $(-3,2)$ lies on the straight line with equation $y=f(x)$
Find the coordinates of the image of the point $A$ on the straight line with equation $y=f(x)-3$
(a)(ii) Find the coordinates of the image of the point $A$ on the straight line with equation $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$
(b) Here is a sketch of part of the curve with equation $y=g(x)$
The point $B$ with coordinates $(p,q)$ lies on the curve.
Find the coordinates of the image of the point $B$ on the curve with equation $y=-g(x-c)$, where $c$ is a constant.
(a)(i) จุด $A$ ที่มีพิกัด $(-3,2)$ อยู่บนเส้นตรงที่มีสมการ $y=f(x)$
จงหาพิกัดภาพของจุด $A$ บนเส้นตรงที่มีสมการ $y=f(x)-3$
(a)(ii) จงหาพิกัดภาพของจุด $A$ บนเส้นตรงที่มีสมการ $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$
(ข) นี่คือภาพร่างของส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=g(x)$
จุด $B$ ที่มีพิกัด $(p,q)$ อยู่บนเส้นโค้งนี้
จงหาพิกัดภาพของจุด $B$ บนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=-g(x-c)$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่
A point has coordinates $(1,5)$. The curve through it is shifted $3$ units in the negative $y$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(1,5)$ เส้นโค้งที่ผ่านจุดนี้ถูกเลื่อนไป $3$ หน่วยในทิศทาง $y$ ลบ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A shift in the negative $y$-direction subtracts from the $y$-coordinate only.การเลื่อนในทิศทาง $y$ ลบ คือการลบออกจากพิกัด $y$ เท่านั้น
A point has coordinates $(4,6)$. The curve through it is stretched by scale factor $2$ in the $x$-direction. Write the new coordinates of the point.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(4,6)$ เส้นโค้งที่ผ่านจุดนี้ถูกยืดด้วยตัวประกอบ $2$ ในทิศทาง $x$ จงเขียนพิกัดใหม่ของจุด
Answershow ▾
A stretch in the $x$-direction multiplies the $x$-coordinate only.การยืดในทิศทาง $x$ คูณกับพิกัด $x$ เท่านั้น
A point is at $(1,5)$. First shift it $2$ units in the positive $x$-direction, then reflect it in the $x$-axis. Write the final coordinates.
จุดหนึ่งอยู่ที่ $(1,5)$ ให้เลื่อนไป $2$ หน่วยในทิศทาง $x$ บวกก่อน แล้วสะท้อนข้ามแกน $x$ จงเขียนพิกัดสุดท้าย
Answershow ▾
Do the two moves in the order they are written: the shift first, then the reflection.ทำสองขั้นตามลำดับที่เขียน: เลื่อนก่อน แล้วจึงสะท้อน
The point $A$ has coordinates $(-3,2)$ and lies on $y=f(x)$. Write the coordinates of the image of $A$ on $y=f(x)-3$.
จุด $A$ มีพิกัด $(-3,2)$ และอยู่บน $y=f(x)$ จงเขียนพิกัดของภาพของ $A$ บน $y=f(x)-3$
Answershow ▾
Same move as question $1$, now on point $A$.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้กับจุด $A$
The point $A$ has coordinates $(-3,2)$ and lies on $y=f(x)$. Write the coordinates of the image of $A$ on $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
จุด $A$ มีพิกัด $(-3,2)$ และอยู่บน $y=f(x)$ จงเขียนพิกัดของภาพของ $A$ บน $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$
Answershow ▾
Same move as question $2$, now on point $A$.ขั้นเดียวกับข้อ $2$ แต่ใช้กับจุด $A$
The point $B$ has coordinates $(p,q)$ and lies on $y=g(x)$. For $y=-g(x-c)$, pick the image of $B$.
(A) $(p-c,\,-q)$
(B) $(p+c,\,-q)$
(C) $(p+c,\,q)$
จุด $B$ มีพิกัด $(p,q)$ และอยู่บน $y=g(x)$ สำหรับ $y=-g(x-c)$ จงเลือกภาพของ $B$
(A) $(p-c,\,-q)$
(B) $(p+c,\,-q)$
(C) $(p+c,\,q)$
Answershow ▾
(A) treats $x-c$ like $x+c$, shifting LEFT instead of right - the classic sign slip. (C) shifts right correctly but drops the leading minus sign, which reflects the point in the $x$-axis.(A) ปฏิบัติกับ $x-c$ เหมือน $x+c$ คือเลื่อนซ้ายทั้งที่ต้องเลื่อนขวา ซึ่งเป็นความผิดพลาด เรื่องเครื่องหมายที่พบบ่อย · (C) เลื่อนขวาถูกแล้ว แต่ลืมเครื่องหมายลบด้านหน้า ซึ่งทำให้ สะท้อนข้ามแกน x
The point $B$ has coordinates $(p,q)$ and lies on $y=g(x)$. Write the coordinates of the image of $B$ on $y=g(x-c)$.
จุด $B$ มีพิกัด $(p,q)$ และอยู่บน $y=g(x)$ จงเขียนพิกัดของภาพของ $B$ บน $y=g(x-c)$
Answershow ▾
Same move as the first step of question $3$, now on the letters $p$ and $c$.ขั้นแรกเดียวกับข้อ $3$ แต่ใช้กับตัวอักษร $p$ และ $c$
The shifted point from question $6$ is $(p+c,\,q)$. Reflect it in the $x$-axis, to give the image on $y=-g(x-c)$. Write the final coordinates.
จุดที่เลื่อนแล้วจากข้อ $6$ คือ $(p+c,\,q)$ จงสะท้อนข้ามแกน $x$ เพื่อหาภาพบน $y=-g(x-c)$ แล้วเขียนพิกัดสุดท้าย
Answershow ▾
Same reflection as the second step of question $3$, now on the letter $q$.ขั้นที่สองเดียวกับข้อ $3$ แต่ใช้กับตัวอักษร $q$
Check with numbers: let $p=1,\,q=5,\,c=2$. Does shift-then-reflect give $(3,-5)$, matching question $3$?
ตรวจด้วยตัวเลข: ให้ $p=1,\,q=5,\,c=2$ การเลื่อนแล้วสะท้อนให้ $(3,-5)$ ตรงกับข้อ $3$ หรือไม่
Answershow ▾
The same two moves, in the same order, give the same result on the letters as on the numbers.สองขั้นเดิมในลำดับเดิม ให้ผลลัพธ์เดียวกันทั้งบนตัวอักษรและตัวเลข
A point $D$ has coordinates $(4,-1)$ and lies on $y=k(x)$.
(i) Find the image of $D$ on $y=k(x)+5$.
(ii) Find the image of $D$ on $y=k\left(\dfrac{x}{3}\right)$.
A point $E$ has coordinates $(r,s)$ and lies on $y=m(x)$. Find the image of $E$ on $y=-m(x-4)$.
จุด $D$ มีพิกัด $(4,-1)$ และอยู่บน $y=k(x)$
(i) จงหาพิกัดของภาพของ $D$ บน $y=k(x)+5$
(ii) จงหาพิกัดของภาพของ $D$ บน $y=k\left(\dfrac{x}{3}\right)$
จุด $E$ มีพิกัด $(r,s)$ และอยู่บน $y=m(x)$ จงหาพิกัดของภาพของ $E$ บน $y=-m(x-4)$
Answershow ▾
Same three moves, fresh numbers: add to $y$, multiply $x$, then shift $x$ and flip the sign of $y$.สามขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: บวกเข้ากับ $y$ คูณ $x$ แล้วเลื่อน $x$ และสลับเครื่องหมาย $y$
(a)(i) The point $A$ with coordinates $(-3,2)$ lies on the straight line with equation $y=f(x)$
Find the coordinates of the image of the point $A$ on the straight line with equation $y=f(x)-3$
(a)(ii) Find the coordinates of the image of the point $A$ on the straight line with equation $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$
(b) Here is a sketch of part of the curve with equation $y=g(x)$
The point $B$ with coordinates $(p,q)$ lies on the curve.
Find the coordinates of the image of the point $B$ on the curve with equation $y=-g(x-c)$, where $c$ is a constant.
(a)(i) จุด $A$ ที่มีพิกัด $(-3,2)$ อยู่บนเส้นตรงที่มีสมการ $y=f(x)$
จงหาพิกัดภาพของจุด $A$ บนเส้นตรงที่มีสมการ $y=f(x)-3$
(a)(ii) จงหาพิกัดภาพของจุด $A$ บนเส้นตรงที่มีสมการ $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$
(ข) นี่คือภาพร่างของส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่มีสมการ $y=g(x)$
จุด $B$ ที่มีพิกัด $(p,q)$ อยู่บนเส้นโค้งนี้
จงหาพิกัดภาพของจุด $B$ บนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=-g(x-c)$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
4 marks: one each for the shift down and the stretch, then one each for the shift right and the reflection.4 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับการเลื่อนลงและการยืด แล้วหนึ่งคะแนนสำหรับการเลื่อนขวาและการสะท้อน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$(-3,2)\to(-3,-1)$
B1 x-coordinate doublesพิกัด x เพิ่มเป็นสองเท่า
$(-3,2)\to(-6,2)$
M1 shift right by cเลื่อนขวา c
$(p,q)\to(p+c,\ q)$
A1 then reflect in the x-axisแล้วสะท้อนข้ามแกน x
$(p+c,\ q)\to(p+c,\ -q)$
Complete a cubic table and line เติมตารางกำลังสาม แล้วอ่านเส้นตรง
(a) Complete the table of values for $y=x^{3}-3x+2$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $1$ | $1.5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | .... | $4$ | $3.4$ | .... | $0$ | $0.9$ | .... |
(c) The graph from part (b) is drawn for you.
By drawing a suitable straight line on the grid, use your graph to find an estimate for the solution of $2x^{3}-3x+4=0$
Give your answer correct to one decimal place.
(ก) เติมตารางค่าของ $y=x^{3}-3x+2$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $1$ | $1.5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | .... | $4$ | $3.4$ | .... | $0$ | $0.9$ | .... |
(ค) กราฟจากข้อ (b) วาดไว้ให้แล้ว
โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริด ใช้กราฟของคุณเพื่อหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $2x^{3}-3x+4=0$
ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Work out $(-2)^{3}$.
จงคำนวณ $(-2)^{3}$
Answershow ▾
Cube a negative number: multiply it by itself three times, and the sign stays negative.ยกกำลังสามจำนวนลบ: คูณตัวเองสามครั้ง เครื่องหมายลบยังคงอยู่
Work out $-3\times(-2)$.
จงคำนวณ $-3\times(-2)$
Answershow ▾
Negative times negative gives a positive answer.ลบคูณลบได้บวก
Work out $-8+6+2$.
จงคำนวณ $-8+6+2$
Answershow ▾
Add the three signed numbers in the order they are written.บวกจำนวนทั้งสามตามลำดับที่เขียนไว้
The table says $y=3.4$ when $x=-0.5$. Work out $(-0.5)^{3}$ to check it.
(A) $-0.125$
(B) $-1.5$
(C) $0.125$
ตารางบอกว่า $y=3.4$ เมื่อ $x=-0.5$ จงคำนวณ $(-0.5)^{3}$ เพื่อตรวจสอบ
(A) $-0.125$
(B) $-1.5$
(C) $0.125$
Answershow ▾
(B) multiplies $-0.5$ by $3$, which is not what cubing means - cubing multiplies a number by itself three times. (C) drops the negative sign, but an odd power keeps it.(B) คูณ $-0.5$ ด้วย $3$ ซึ่งไม่ใช่การยกกำลังสาม เพราะยกกำลังสามคือคูณตัวเองสามครั้ง · (C) ทิ้งเครื่องหมายลบไป แต่กำลังคี่ยังคงเครื่องหมายลบไว้
Work out $y$ when $x=0$, for $y=x^{3}-3x+2$.
จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=0$ สำหรับ $y=x^{3}-3x+2$
Answershow ▾
Every term with $x$ in it becomes $0$; only the $+2$ is left.ทุกพจน์ที่มี $x$ กลายเป็น $0$ เหลือเพียง $+2$
Work out $2^{3}-3(2)$.
จงคำนวณ $2^{3}-3(2)$
Answershow ▾
This is the cubic and linear terms of $y=x^{3}-3x+2$, before the final $+2$.นี่คือพจน์กำลังสามและพจน์เชิงเส้นของ $y=x^{3}-3x+2$ ก่อนบวก $+2$ ตัวสุดท้าย
Use your answer to question $5$ to work out $y$ when $x=2$, for $y=x^{3}-3x+2$.
ใช้คำตอบจากข้อ $5$ หาค่า $y$ เมื่อ $x=2$ สำหรับ $y=x^{3}-3x+2$
Answershow ▾
Add the $+2$ from the formula that question $5$ left out.บวก $+2$ จากสูตรที่ข้อ $5$ ยังไม่ได้บวก
To solve $2x^{3}-3x+4=0$ using the curve $y=x^{3}-3x+2$, pick the straight line to draw.
(A) $y=-1.5x$
(B) $y=1.5x$
(C) $y=-3x-4$
เพื่อแก้สมการ $2x^{3}-3x+4=0$ โดยใช้เส้นโค้ง $y=x^{3}-3x+2$ จงเลือกเส้นตรงที่ต้องลาก
(A) $y=-1.5x$
(B) $y=1.5x$
(C) $y=-3x-4$
Answershow ▾
The whole equation must be divided by $2$ first, so its $x^{3}$ term matches the curve. (C) skips that division. (B) divides correctly but loses the minus sign.ต้องหารทั้งสมการด้วย $2$ ก่อน เพื่อให้พจน์ $x^{3}$ ตรงกับเส้นโค้ง · (C) ไม่ได้หาร · (B) หารถูกแต่เสียเครื่องหมายลบไป
Divide $2x^{3}-3x+4=0$ throughout by $2$.
จงหารทั้งสมการ $2x^{3}-3x+4=0$ ด้วย $2$
Answershow ▾
Every term is divided, including the constant term.ทุกพจน์ถูกหาร รวมถึงพจน์คงที่ด้วย
Rearrange $x^{3}-1.5x+2=0$ so that $x^{3}-3x+2$ stands alone on one side.
จงจัดรูป $x^{3}-1.5x+2=0$ ให้ $x^{3}-3x+2$ อยู่โดดเดี่ยวด้านหนึ่ง
Answershow ▾
Add $1.5x$, then subtract $3x$, from both sides to match the curve drawn.บวก $1.5x$ แล้วลบ $3x$ จากทั้งสองข้าง เพื่อให้ตรงกับเส้นโค้งที่วาดไว้
(i) For $y=x^{3}-4x$, find $y$ when $x=-1$. (ii) Hence use a straight line to solve $2x^{3}-8x-6=0$.
(i) สำหรับ $y=x^{3}-4x$ จงหา $y$ เมื่อ $x=-1$ (ii) จากนั้นใช้เส้นตรงแก้สมการ $2x^{3}-8x-6=0$
Answershow ▾
Same moves as before: evaluate the cubic, divide by the leading number, then match a value you already know.ขั้นตอนเดิม: คำนวณค่าสมการกำลังสาม หารด้วยตัวเลขนำหน้า แล้วเทียบกับค่าที่รู้อยู่แล้ว
(a) Complete the table of values for $y=x^{3}-3x+2$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $1$ | $1.5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | .... | $4$ | $3.4$ | .... | $0$ | $0.9$ | .... |
(c) The graph from part (b) is drawn for you.
By drawing a suitable straight line on the grid, use your graph to find an estimate for the solution of $2x^{3}-3x+4=0$
Give your answer correct to one decimal place.
(ก) เติมตารางค่าของ $y=x^{3}-3x+2$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $0$ | $1$ | $1.5$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | .... | $4$ | $3.4$ | .... | $0$ | $0.9$ | .... |
(ค) กราฟจากข้อ (b) วาดไว้ให้แล้ว
โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริด ใช้กราฟของคุณเพื่อหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $2x^{3}-3x+4=0$
ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: 2 for the table at $x=-2$ and $x=2$, 3 for dividing by $2$, isolating the curve, and reading $x$.5 คะแนน: 2 คะแนนจากตารางที่ $x=-2$ และ $x=2$ อีก 3 คะแนนจากการหารด้วย $2$ แยกเส้นโค้ง ออกมา แล้วอ่านค่า $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x=-2$
$y=(-2)^{3}-3(-2)+2$
$=0$
$x=0$
$y=0-0+2$
$=2$
A1 substitute x=2แทนค่า x=2
$x=2$
$y=(2)^{3}-3(2)+2$
$=4$
M1 rearrange to find the drawn lineจัดรูปเพื่อหาสมการเส้นตรงที่ต้องลาก
$2x^{3}-3x+4=0$
$x^{3}-1.5x+2=0$
M1 isolate the curve's own expressionแยกนิพจน์ของเส้นโค้งออกมา
$x^{3}-3x+2=-1.5x$
A1 read the intersection (accept ±0.1)อ่านจุดตัด (ยอมรับ ±0.1)
$x=-1.6$
Two equations, one curve สองสมการ เส้นโค้งเส้นเดียว
(a) Part of the graph of $y=2x^{2}-4x-1$ is shown on the grid.
Use the graph to find estimates for the solutions of the equation $2x^{2}-4x-1=0$
Give your solutions correct to one decimal place.
(b) By drawing a suitable straight line on the grid, find estimates for the solutions of the equation $x^{2}-x-1=0$
Show your working clearly.
Give your solutions correct to one decimal place.
(ก) กราฟส่วนหนึ่งของ $y=2x^{2}-4x-1$ แสดงอยู่บนกริด
ใช้กราฟเพื่อหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $2x^{2}-4x-1=0$
ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ข) โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริด จงหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $x^{2}-x-1=0$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
For $2x^{2}-4x-1=0$, work out $(-4)^{2}-4(2)(-1)$.
สำหรับ $2x^{2}-4x-1=0$ จงหา $(-4)^{2}-4(2)(-1)$
Answershow ▾
This is the number under the square root in the quadratic formula.นี่คือตัวเลขใต้เครื่องหมายกรณฑ์ในสูตรกำลังสอง
For $x^{2}-x-1=0$, work out $(-1)^{2}-4(1)(-1)$.
สำหรับ $x^{2}-x-1=0$ จงหา $(-1)^{2}-4(1)(-1)$
Answershow ▾
The same calculation, with the numbers from the other equation.คำนวณแบบเดียวกัน แต่ใช้ตัวเลขจากอีกสมการหนึ่ง
Round $2.2247$ to $1$ decimal place.
จงปัดเศษ $2.2247$ เป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The second decimal digit is $4$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งที่สองคือ $4$ จึงปัดลง
Part (b) asks you to solve $x^{2}-x-1=0$ using the SAME curve $y=2x^{2}-4x-1$. Pick the correct rearrangement for the line you must draw.
(A) $2x^{2}-4x-1=x^{2}-3x$
(B) $2x^{2}-4x-1=-2x+1$
(C) $2x^{2}-4x-1=2x+1$
ส่วน (ข) ให้แก้สมการ $x^{2}-x-1=0$ โดยใช้เส้นโค้งเดิม $y=2x^{2}-4x-1$ จงเลือกการจัดรูปที่ถูกต้องสำหรับเส้นตรงที่ต้องลาก
(A) $2x^{2}-4x-1=x^{2}-3x$
(B) $2x^{2}-4x-1=-2x+1$
(C) $2x^{2}-4x-1=2x+1$
Answershow ▾
(A) only subtracted $x^{2}-x-1$ once, so an $x^{2}$ term is still there - not a straight line, because the equation was never doubled first. (C) has the sign of the $x$ term backwards.(A) ลบ $x^{2}-x-1$ เพียงครั้งเดียว จึงยังเหลือพจน์ $x^{2}$ อยู่ ไม่ใช่เส้นตรง เพราะไม่ได้คูณสมการด้วย $2$ ก่อน · (C) ใส่เครื่องหมายของพจน์ $x$ ผิด
Substitute $a=2$, $b=-4$, $c=-1$ into $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. Write the result before simplifying.
แทน $a=2$, $b=-4$, $c=-1$ ในสูตร $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ แล้วเขียนผลลัพธ์ ยังไม่ต้องจัดรูป
Answershow ▾
Use the discriminant $24$ from the warm-up.ใช้ตัวเลขใต้กรณฑ์ $24$ จากข้อฝึกหัด
Evaluate $\sqrt{24}$, correct to $3$ decimal places.
จงคำนวณ $\sqrt{24}$ ถูกต้องถึงทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A calculator value, or build up from $4.9^{2}=24.01$.ใช้เครื่องคิดเลข หรือประมาณจาก $4.9^{2}=24.01$
Using $\sqrt{24}\approx4.899$, write both values of $x=\dfrac{4\pm\sqrt{24}}{4}$, correct to $1$ decimal place.
โดยใช้ $\sqrt{24}\approx4.899$ จงเขียนค่า $x=\dfrac{4\pm\sqrt{24}}{4}$ ทั้งสองค่า ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Work out each sign separately, then round.คำนวณแต่ละเครื่องหมายแยกกัน แล้วปัดเศษ
The line from the decision step meets the curve where $2x^{2}-4x-1=-2x+1$. Simplify this to the form $x^{2}+bx+c=0$.
เส้นตรงจากขั้นตัดสินใจตัดกับเส้นโค้งที่ $2x^{2}-4x-1=-2x+1$ จงจัดรูปให้เป็น $x^{2}+bx+c=0$
Answershow ▾
Collect everything on one side, then divide by $2$.ย้ายทุกพจน์มาไว้ข้างเดียว แล้วหารด้วย $2$
Solve $x^{2}-x-1=0$ using the quadratic formula. Round both solutions to $1$ decimal place.
จงแก้สมการ $x^{2}-x-1=0$ โดยใช้สูตรกำลังสอง แล้วปัดเศษคำตอบทั้งสองเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same formula as question $4$, with new values of $a$, $b$, $c$.สูตรเดียวกับข้อ $4$ แต่ใช้ค่า $a$, $b$, $c$ ใหม่
A curve $y=x^{2}-2x-3$ is drawn. (a) Use the curve to solve $x^{2}-2x-3=0$. (b) By drawing a suitable straight line on the same grid, solve $x^{2}-4=0$.
กราฟ $y=x^{2}-2x-3$ ถูกวาดไว้ (ก) ใช้กราฟแก้สมการ $x^{2}-2x-3=0$ (ข) โดยลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริดเดียวกัน จงแก้สมการ $x^{2}-4=0$
Answershow ▾
Same two ideas: roots are where $y=0$, and a new equation needs a line, found the same way as the decision step.สองความคิดเดิม: รากคือจุดที่ $y=0$ และสมการใหม่ต้องใช้เส้นตรง หาด้วยวิธีเดียวกับขั้นตัดสินใจ
(a) Part of the graph of $y=2x^{2}-4x-1$ is shown on the grid.
Use the graph to find estimates for the solutions of the equation $2x^{2}-4x-1=0$
Give your solutions correct to one decimal place.
(b) By drawing a suitable straight line on the grid, find estimates for the solutions of the equation $x^{2}-x-1=0$
Show your working clearly.
Give your solutions correct to one decimal place.
(ก) กราฟส่วนหนึ่งของ $y=2x^{2}-4x-1$ แสดงอยู่บนกริด
ใช้กราฟเพื่อหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $2x^{2}-4x-1=0$
ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ข) โดยการลากเส้นตรงที่เหมาะสมบนกริด จงหาค่าประมาณของคำตอบสมการ $x^{2}-x-1=0$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: the quadratic formula once directly, then again after finding the line, each pair rounded to 1 d.p.5 คะแนน: ใช้สูตรกำลังสองตรงๆ ครั้งหนึ่ง แล้วใช้อีกครั้งหลังหาเส้นตรง แต่ละคู่ปัดเศษเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}$
A1 both solutions to 1 d.p.คำตอบทั้งสองทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$x=2.2\ \text{or}\ x=-0.2$
M1 use the quadratic formulaใช้สูตรกำลังสอง
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}$
M1 simplify the surdทำให้รูปกรณฑ์ง่ายขึ้น
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
A1 both solutions to 1 d.p.คำตอบทั้งสองทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$x=1.6\ \text{or}\ x=-0.6$
Differentiate twice: displacement to acceleration ดิฟสองครั้ง: จากกระจัดสู่ความเร่ง
A particle $P$ is moving along a straight line.
The fixed point $O$ lies on this line.
At time $t$ seconds, the displacement, $s$ metres, of $P$ from $O$ is given by$$s = 4t^{3} - 6t^{2} + 5t$$At time $t$ seconds, the velocity of $P$ is $v$ m/s.
(a) Find an expression for $v$ in terms of $t$.
(b) Find the time at which the acceleration of the particle is $6$ m/s$^{2}$
อนุภาค $P$ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
จุดคงที่ $O$ อยู่บนเส้นตรงนี้
ที่เวลา $t$ วินาที การกระจัดของ $P$ จาก $O$ คือ $s$ เมตร โดยที่$$s = 4t^{3} - 6t^{2} + 5t$$ที่เวลา $t$ วินาที ความเร็วของ $P$ คือ $v$ m/s
(ก) จงหานิพจน์ของ $v$ ในรูปของ $t$
(ข) จงหาเวลาที่ความเร่งของอนุภาคเท่ากับ $6$ m/s$^{2}$
Differentiate the term $4t^{3}$.
จงดิฟพจน์ $4t^{3}$
Answershow ▾
The power $3$ comes down as a multiplier, then drops to $2$.กำลัง $3$ ลงมาเป็นตัวคูณ แล้วลดลงเหลือ $2$
Differentiate the term $-6t^{2}$.
จงดิฟพจน์ $-6t^{2}$
Answershow ▾
The power $2$ comes down and multiplies the $-6$, then drops to $1$.กำลัง $2$ ลงมาคูณกับ $-6$ แล้วลดลงเหลือ $1$
Differentiate the term $5t$.
จงดิฟพจน์ $5t$
Answershow ▾
$t$ is $t^{1}$: the power $1$ comes down, and $t^{0}=1$.$t$ คือ $t^{1}$ · กำลัง $1$ ลงมา แล้ว $t^{0}=1$
Combine the three differentiated terms to write $v$ in terms of $t$.
จงรวมสามพจน์ที่ดิฟแล้ว เพื่อเขียน $v$ ในรูปของ $t$
Answershow ▾
$v$ is $\dfrac{ds}{dt}$: put the three pieces back together, with their own signs.$v$ คือ $\dfrac{ds}{dt}$ · นำสามพจน์มารวมกัน พร้อมเครื่องหมายเดิม
You have $v=12t^{2}-12t+5$. Pick the move to find the acceleration $a$.
(A) $a=v$, acceleration and velocity are the same thing
(B) differentiate $v$ again: $a=\dfrac{dv}{dt}$
(C) differentiate $v$ again, but keep every term: $a=24t-12+5$
มี $v=12t^{2}-12t+5$ จงเลือกขั้นที่จะหาความเร่ง $a$
(A) $a=v$ ความเร่งกับความเร็วคือสิ่งเดียวกัน
(B) ดิฟ $v$ อีกครั้ง: $a=\dfrac{dv}{dt}$
(C) ดิฟ $v$ อีกครั้ง แต่เก็บทุกพจน์ไว้: $a=24t-12+5$
Answershow ▾
(A) treats acceleration and velocity as the same rate - they are not; $a$ is how fast $v$ changes. (C) differentiates the two $t$ terms correctly but keeps the constant $5$, which has gradient $0$ and must vanish.(A) ถือว่าความเร่งกับความเร็วเป็นอัตราเดียวกัน ซึ่งไม่ใช่ · $a$ คือความเร็วเปลี่ยนเร็วแค่ไหน · (C) ดิฟสองพจน์ที่มี $t$ ถูกต้อง แต่เก็บค่าคงตัว $5$ ไว้ ทั้งที่ความชันของค่าคงตัวเป็น $0$ จึงต้องหายไป
Differentiate $v=12t^{2}-12t+5$ to find $a$ in terms of $t$.
จงดิฟ $v=12t^{2}-12t+5$ เพื่อหา $a$ ในรูปของ $t$
Answershow ▾
The constant $+5$ has gradient $0$, so it disappears - that is the mark most students drop.ค่าคงตัว $+5$ มีความชันเป็น $0$ จึงหายไป · นี่คือคะแนนที่หลุดบ่อยที่สุด
Set $a=6$ and solve for $t$.
ให้ $a=6$ แล้วแก้หา $t$
Answershow ▾
Add $12$ to both sides, then divide by $24$.บวก $12$ เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $24$
Differentiate $s=4t^{3}-6t^{2}+5t$ twice in a row to find $a$ in terms of $t$.
จงดิฟ $s=4t^{3}-6t^{2}+5t$ สองครั้งติดกัน เพื่อหา $a$ ในรูปของ $t$
Answershow ▾
Two skills joined: differentiate once for $v$, then differentiate again for $a$.สองสกิลรวมกัน: ดิฟครั้งแรกได้ $v$ แล้วดิฟอีกครั้งได้ $a$
Check that $t=0.75$ satisfies $a=6$, using $a=24t-12$.
จงตรวจว่า $t=0.75$ ทำให้ $a=6$ จริงหรือไม่ โดยใช้ $a=24t-12$
Answershow ▾
Substitute the found $t$ back into the acceleration formula.แทน $t$ ที่หาได้กลับเข้าไปในสูตรความเร่ง
A particle moves so that $s=t^{3}-3t^{2}+4t$.
(a) Find $v$ in terms of $t$.
(b) Find the time at which $a=12$ m/s$^{2}$.
อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่โดยที่ $s=t^{3}-3t^{2}+4t$
(ก) จงหา $v$ ในรูปของ $t$
(ข) จงหาเวลาที่ $a=12$ m/s$^{2}$
Answershow ▾
Same three moves: differentiate for $v$, differentiate again for $a$, then solve.สามขั้นเดิม: ดิฟหา $v$ ดิฟอีกครั้งหา $a$ แล้วแก้สมการ
A particle $P$ is moving along a straight line.
The fixed point $O$ lies on this line.
At time $t$ seconds, the displacement, $s$ metres, of $P$ from $O$ is given by$$s = 4t^{3} - 6t^{2} + 5t$$At time $t$ seconds, the velocity of $P$ is $v$ m/s.
(a) Find an expression for $v$ in terms of $t$.
(b) Find the time at which the acceleration of the particle is $6$ m/s$^{2}$
อนุภาค $P$ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
จุดคงที่ $O$ อยู่บนเส้นตรงนี้
ที่เวลา $t$ วินาที การกระจัดของ $P$ จาก $O$ คือ $s$ เมตร โดยที่$$s = 4t^{3} - 6t^{2} + 5t$$ที่เวลา $t$ วินาที ความเร็วของ $P$ คือ $v$ m/s
(ก) จงหานิพจน์ของ $v$ ในรูปของ $t$
(ข) จงหาเวลาที่ความเร่งของอนุภาคเท่ากับ $6$ m/s$^{2}$
Answershow ▾
5 marks across two parts: differentiate once for $v$ (2 marks), then differentiate again and solve for $t$ (3 marks).5 คะแนนในสองข้อ: ดิฟครั้งแรกหา $v$ (2 คะแนน) แล้วดิฟอีกครั้งและแก้หา $t$ (3 คะแนน)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$4t^{3} \to 12t^{2}$
$6t^{2} \to 12t$
A1 v = ds/dtความเร็ว v = ds/dt
${v = 12t^{2} - 12t + 5}$
M1 differentiate v againดิฟ v อีกครั้ง
$a = \dfrac{dv}{dt}$
$= 24t - 12$
M1 acceleration equals 6ตั้งความเร่งเท่ากับ 6
$24t - 12 = 6$
A1 solve for tแก้หา t
$24t = 18$
$t = 0.75$
Two points, one gradient value สองจุด ความชันเดียวกัน
A curve $C$ has equation $y = x^{3} - 40x + 1$
Find the coordinates of both the points on $C$ at which the gradient is $8$
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y = x^{3} - 40x + 1$
จงหาพิกัดของจุดทั้งสองจุดบน $C$ ที่ความชันเท่ากับ $8$
Differentiate $y=x^{3}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
ดิฟ $y=x^{3}$ หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Bring the power down as a multiplier, then drop it by one.ดึงกำลังลงมาคูณ แล้วลดกำลังหนึ่ง
Differentiate $y=-40x$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
ดิฟ $y=-40x$ หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
A term in $x$ differentiates to its own coefficient.พจน์ที่มี $x$ ยกกำลังหนึ่ง ดิฟแล้วเหลือสัมประสิทธิ์ของมัน
Solve $x^{2}=16$ for $x$.
แก้ $x^{2}=16$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Square rooting both sides gives two roots, $4$ and $-4$.ถอดรากทั้งสองข้าง ได้สองคำตอบคือ $4$ และ $-4$
$3x^{2}-40=8$ rearranges to $x^{2}=16$. Pick the solutions for $x$.
(A) $x=4$ only
(B) $x=4$ and $x=-4$
(C) $x=8$
$3x^{2}-40=8$ จัดรูปได้ $x^{2}=16$ จงเลือกคำตอบของ $x$
(A) $x=4$ เท่านั้น
(B) $x=4$ และ $x=-4$
(C) $x=8$
Answershow ▾
(A) keeps only the positive root - squaring removes the sign, so $-4$ also gives $16$. (C) divides $16$ by $2$ instead of taking a square root; $8^{2}=64$, not $16$.(A) เก็บแค่คำตอบบวก แต่การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายหายไป $-4$ ก็ยกกำลังสองได้ $16$ เหมือนกัน · (C) เอา $16$ หารด้วย $2$ แทนการถอดราก เพราะ $8^{2}=64$ ไม่ใช่ $16$
$y=x^{3}-40x+1$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y=x^{3}-40x+1$ · หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Differentiate the cubic term and the linear term, then add the results.ดิฟพจน์กำลังสามกับพจน์ที่มี x แล้วนำผลมาบวกกัน
$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-40$. Set the gradient equal to $8$ and simplify to $x^{2}=\ldots$
$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-40$ · ตั้งความชันเท่ากับ $8$ แล้วจัดรูปให้เป็น $x^{2}=\ldots$
Answershow ▾
Add $40$ to both sides, then divide by $3$.บวก $40$ เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $3$
Solve $x^{2}=16$ for both values of $x$.
แก้ $x^{2}=16$ หาค่า $x$ ทั้งสองค่า
Answershow ▾
Both roots are needed - this curve has two points where the gradient is $8$.ต้องใช้คำตอบทั้งสองค่า เพราะเส้นโค้งนี้มีสองจุดที่ความชันเท่ากับ $8$
You have $x=4$ and $x=-4$. To find the $y$ coordinates, which equation do you substitute into?
(A) $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-40$
(B) the original curve $y=x^{3}-40x+1$
(C) solve $3x^{2}-40=8$ again
ได้ $x=4$ และ $x=-4$ แล้ว จะหาพิกัด $y$ ต้องแทนลงในสมการใด
(A) $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-40$
(B) สมการเส้นโค้งเดิม $y=x^{3}-40x+1$
(C) แก้ $3x^{2}-40=8$ อีกครั้ง
Answershow ▾
(A) gives the gradient again, which is already known to be $8$ - not the height. (C) repeats the equation already solved for $x$; it gives no $y$ at all.(A) ให้ความชันอีกครั้ง ซึ่งรู้อยู่แล้วว่าเท่ากับ $8$ ไม่ใช่ความสูง · (C) แก้สมการเดิมที่หา $x$ ไปแล้ว ไม่ได้ค่า $y$ เลย
$y=x^{3}-40x+1$. Find $y$ when $x=4$.
$y=x^{3}-40x+1$ · หา $y$ เมื่อ $x=4$
Answershow ▾
Substitute into the original curve, not into $\dfrac{dy}{dx}$.แทนค่าลงในสมการเส้นโค้งเดิม ไม่ใช่ $\dfrac{dy}{dx}$
Find $y$ when $x=-4$, then write both coordinate points.
หา $y$ เมื่อ $x=-4$ แล้วเขียนทั้งสองจุดพิกัด
Answershow ▾
$(-4,97)$
Pair each $x$ with its own $y$ - do not mix the two points up.จับคู่ $x$ แต่ละค่ากับ $y$ ของมันเอง ห้ามสลับคู่กัน
A curve has equation $y=x^{3}-3x$. Find the coordinates of both points where the gradient is $9$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y=x^{3}-3x$ จงหาพิกัดของจุดทั้งสองจุดที่ความชันเท่ากับ $9$
Answershow ▾
$(-2,-2)$
Same five moves: differentiate, set equal, solve both roots, substitute each into the original curve.ห้าขั้นเดิม: ดิฟ ตั้งความชัน แก้หาทั้งสองคำตอบ แล้วแทนแต่ละค่าลงในสมการเส้นโค้งเดิม
A curve $C$ has equation $y = x^{3} - 40x + 1$
Find the coordinates of both the points on $C$ at which the gradient is $8$
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y = x^{3} - 40x + 1$
จงหาพิกัดของจุดทั้งสองจุดบน $C$ ที่ความชันเท่ากับ $8$
Answershow ▾
$(-4,97)$
Five marks: differentiate, set equal to $8$, solve both roots, then substitute each into the original curve.ห้าคะแนน: ดิฟ ตั้งความชันเท่ากับ $8$ แก้หาทั้งสองคำตอบ แล้วแทนแต่ละค่าลงในสมการเส้นโค้งเดิม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x^{3} \to 3x^{2}$
A1 both termsครบทั้งสองพจน์
$\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2} - 40$
M1 gradient equals 8ตั้งความชันเท่ากับ 8
$3x^{2} - 40 = 8$
$3x^{2} = 48$
$x^{2} = 16$
$x = \pm 4$
M1 each x into yแทน x แต่ละค่าลงใน y
${y = 64 - 160 + 1}$
${y = -64 + 160 + 1}$
A1 pair each x with its yจับคู่ x กับ y ของมัน
$(4, -95)$
$(-4, 97)$
Cubic turning points, then tangent จุดวกกลับของกราฟกำลังสาม แล้วเส้นสัมผัส
A curve $\mathbf{C}$ has equation $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$
(b) The curve $\mathbf{C}$ has two turning points.
Work out the $x$ coordinates of the two turning points.
Show your working clearly.
(c) Show that the $x$-axis is a tangent to the curve $\mathbf{C}$.
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีสมการ $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
(ข) เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีจุดวกกลับสองจุด
จงหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับทั้งสองจุด
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
(ค) จงแสดงว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $\mathbf{C}$
Differentiate $x^{3}$.
จงดิฟ $x^{3}$
Answershow ▾
Bring the power down to multiply, then subtract $1$ from the power.ตบเลขชี้กำลังลงมาคูณ แล้วลบเลขชี้กำลังลง $1$ (ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ)
Differentiate $-8x$.
จงดิฟ $-8x$
Answershow ▾
The power on $x$ is $1$; bring it down, then the power becomes $0$, so $x$ disappears.เลขชี้กำลังของ $x$ คือ $1$ ตบลงมาคูณ แล้วเหลือเลขชี้กำลัง $0$ ตัว $x$ จึงหายไป
Differentiate the constant $12$.
จงดิฟค่าคงที่ $12$
Answershow ▾
A constant has no $x$, so its gradient is always $0$.ค่าคงที่ไม่มี $x$ ความชันจึงเป็น $0$ เสมอ
To find the $x$-coordinate of a turning point, which equation do you solve?
(A) $y=0$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$
(C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$
การหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับ ต้องแก้สมการใด
(A) $y=0$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$
(C) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$
Answershow ▾
A finds where the curve crosses the $x$-axis, not where it turns. C tests whether a turning point is a max or min; it does not locate one.A หาจุดที่กราฟตัดแกน $x$ ไม่ใช่จุดที่กราฟวกกลับ · C ใช้ตรวจว่าจุดวกกลับเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด ไม่ได้ใช้หาตำแหน่งของมัน
$y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Differentiate each term on its own, the same way as questions $1$ to $3$.ดิฟแต่ละพจน์แยกกัน เหมือนข้อ $1$ ถึง $3$
At a turning point, $\dfrac{dy}{dx}=0$. Factorise $3x^{2}-2x-8=0$.
ที่จุดวกกลับ $\dfrac{dy}{dx}=0$ จงแยกตัวประกอบ $3x^{2}-2x-8=0$
Answershow ▾
The front coefficient is $3$ - find factor pairs of $3$ and of $-8$ that combine to give $-2$.สัมประสิทธิ์หน้ามีค่าเป็น $3$ ให้หาตัวประกอบของ $3$ และของ $-8$ ที่รวมกันได้ $-2$
Solve $(3x+4)(x-2)=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $(3x+4)(x-2)=0$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Each bracket can equal $0$ on its own.วงเล็บแต่ละอันเท่ากับ $0$ ได้เองทีละอัน
To show the $x$-axis is a tangent at $x=2$, what must you show?
(A) $y=0$ at $x=2$ only
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$ at $x=2$ only
(C) both $y=0$ and $\dfrac{dy}{dx}=0$ at $x=2$
จะแสดงว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสที่ $x=2$ ต้องแสดงอะไร
(A) $y=0$ ที่ $x=2$ เท่านั้น
(B) $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่ $x=2$ เท่านั้น
(C) ทั้ง $y=0$ และ $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่ $x=2$
Answershow ▾
A only shows the curve meets the axis - it could cross at a slope. B only shows $x=2$ is a turning point, but not where it sits. Only both together prove it touches, not crosses.A แสดงแค่ว่ากราฟแตะแกน แต่กราฟอาจตัดแกนแบบเอียงก็ได้ · B แสดงแค่ว่า $x=2$ เป็นจุดวกกลับ แต่ไม่รู้ว่าจุดนั้นอยู่ตรงไหน · ต้องมีทั้งสองอย่างพร้อมกัน จึงพิสูจน์ได้ว่ากราฟแตะ ไม่ใช่ตัด
The turning point at $x=2$: work out $y$ when $x=2$, using $y=x^{3}-x^{2}-8x+12$.
จุดวกกลับที่ $x=2$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=2$ โดยใช้ $y=x^{3}-x^{2}-8x+12$
Answershow ▾
Substitute $x=2$ into the original equation, not the derivative.แทน $x=2$ ในสมการเดิม ไม่ใช่สมการที่ดิฟแล้ว
Check: does $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-2x-8$ also give $0$ at $x=2$?
จงตรวจสอบ: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-2x-8$ ที่ $x=2$ ได้ $0$ หรือไม่
Answershow ▾
Both $y=0$ and the gradient $=0$ at $x=2$ - that is what tangent means here.ทั้ง $y=0$ และความชัน $=0$ ที่ $x=2$ นี่คือความหมายของเส้นสัมผัส
$y=x^{3}-3x^{2}$. Work out the $x$-coordinates of the turning points, then show the curve touches the $x$-axis at one of them.
$y=x^{3}-3x^{2}$ จงหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับ แล้วแสดงว่ากราฟแตะแกน $x$ ที่จุดหนึ่งในนั้น
Answershow ▾
Same three moves: differentiate, set it to $0$, factorise, then check $y$ at that $x$.สามขั้นเดิม: ดิฟ ให้เท่ากับ $0$ แยกตัวประกอบ แล้วตรวจ $y$ ที่ $x$ นั้น
A curve $\mathbf{C}$ has equation $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$
(b) The curve $\mathbf{C}$ has two turning points.
Work out the $x$ coordinates of the two turning points.
Show your working clearly.
(c) Show that the $x$-axis is a tangent to the curve $\mathbf{C}$.
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีสมการ $y = x^{3} - x^{2} - 8x + 12$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
(ข) เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีจุดวกกลับสองจุด
จงหาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับทั้งสองจุด
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
(ค) จงแสดงว่าแกน $x$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $\mathbf{C}$
Answershow ▾
7 marks: differentiate, set the gradient to $0$, factorise, find both $x$ values, then check $y$ and the gradient are both $0$ at $x=2$.7 คะแนน: ดิฟ ให้ความชันเท่ากับ $0$ แยกตัวประกอบ หาค่า $x$ ทั้งสองค่า แล้วตรวจว่า $y$ และความชัน เป็น $0$ ทั้งคู่ที่ $x=2$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
${\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2} - 2x - 8}$
M1 turning point, so gradient 0จุดวกกลับ ความชันเป็น 0
${3x^{2} - 2x - 8 = 0}$
M1 factorise the quadraticแยกตัวประกอบ
${(3x + 4)(x - 2) = 0}$
A1 the two x valuesค่า x ทั้งสองค่า
$x = -\tfrac{4}{3}$
$x = 2$
M1 y at x = 2หา y ที่ x = 2
${y = 8 - 4 - 16 + 12}$
${y = 0}$
A1 (2, 0) is a turning point(2, 0) เป็นจุดวกกลับ
$(2, 0)$
Minimum speed of a moving particle อัตราเร็วต่ำสุดของอนุภาคที่เคลื่อนที่
A particle $P$ is moving along a straight line.
The fixed point $O$ lies on the line.
At time $t$ seconds $(t \geqslant 0)$, the displacement of $P$ from $O$ is $s$ metres where$$s = t^{3} - 9t^{2} + 33t - 6$$Find the minimum speed of $P$.
อนุภาค $P$ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
จุดคงที่ $O$ อยู่บนเส้นตรงนี้
ที่เวลา $t$ วินาที $(t \geqslant 0)$ การกระจัดของ $P$ จาก $O$ คือ $s$ เมตร โดยที่$$s = t^{3} - 9t^{2} + 33t - 6$$จงหาอัตราเร็วต่ำสุดของ $P$
Differentiate $-9t^{2}$.
จงดิฟ $-9t^{2}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by one.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลงหนึ่ง (ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ)
Differentiate $33t$.
จงดิฟ $33t$
Answershow ▾
A plain $t$ term differentiates to its own coefficient.พจน์ $t$ เฉยๆ ดิฟแล้วเหลือสัมประสิทธิ์ของมันเอง
Solve $4t - 8 = 0$ for $t$.
จงแก้สมการ $4t - 8 = 0$ หา $t$
Answershow ▾
Add $8$ to both sides, then divide by $4$.บวก $8$ เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $4$
To find the minimum speed, what do you do first?
(A) set $v=0$ and solve for $t$
(B) differentiate $v$ to get $a$, then set $a=0$
(C) substitute $t=0$ into $v$
จะหาอัตราเร็วต่ำสุด ขั้นแรกต้องทำอะไร
(A) ให้ $v=0$ แล้วแก้สมการหา $t$
(B) ดิฟ $v$ เพื่อหา $a$ แล้วให้ $a=0$
(C) แทน $t=0$ ลงใน $v$
Answershow ▾
(A) is impossible: $v=0$ has no real solution (discriminant $-72$), so speed is never zero. (C) checks one instant, not the lowest point of the whole graph.(A) เป็นไปไม่ได้ เพราะ $v=0$ ไม่มีคำตอบจริง (ดิสคริมิแนนต์ $-72$) ความเร็วไม่เคยเป็นศูนย์ · (C) ตรวจเพียงจุดเดียว ไม่ใช่จุดต่ำสุดของกราฟทั้งหมด
Differentiate $s = t^{3} - 9t^{2} + 33t - 6$ to find $v$.
จงดิฟ $s = t^{3} - 9t^{2} + 33t - 6$ เพื่อหา $v$
Answershow ▾
Differentiate each term on its own; the constant disappears.ดิฟแต่ละพจน์แยกกัน ค่าคงที่จะหายไป
Differentiate $v = 3t^{2} - 18t + 33$ to find $a$.
จงดิฟ $v = 3t^{2} - 18t + 33$ เพื่อหา $a$
Answershow ▾
Same rule again, one power lower.ใช้กฎเดิมอีกครั้ง เลขชี้กำลังลดลงอีกขั้น
Solve $6t - 18 = 0$ for $t$.
จงแก้สมการ $6t - 18 = 0$ หา $t$
Answershow ▾
Same method as the warm-up, now with the real numbers.วิธีเดิมจากขั้นอุ่นเครื่อง แต่คราวนี้ใช้ตัวเลขจริง
Substitute $t=3$ into $v = 3t^{2} - 18t + 33$ to find the minimum speed.
แทน $t=3$ ลงใน $v = 3t^{2} - 18t + 33$ เพื่อหาอัตราเร็วต่ำสุด
Answershow ▾
Evaluate the quadratic at $t=3$; its lowest value is the minimum speed.แทนค่า $t=3$ ในสมการกำลังสอง ค่าที่ได้คืออัตราเร็วต่ำสุด
Check: work out $v$ when $t=0$. Is it bigger than the minimum speed you found?
ตรวจคำตอบ: จงหาค่า $v$ เมื่อ $t=0$ มันมากกว่าอัตราเร็วต่ำสุดที่หาได้หรือไม่
Answershow ▾
The speed at the start is bigger than the minimum further along the motion.อัตราเร็วตอนเริ่มต้นมากกว่าอัตราเร็วต่ำสุดที่เกิดขึ้นระหว่างทาง
A particle moves so that $s = t^{3} - 3t^{2} + 5t$ for $t \geqslant 0$. Find the minimum speed.
อนุภาคเคลื่อนที่โดยที่ $s = t^{3} - 3t^{2} + 5t$ เมื่อ $t \geqslant 0$ จงหาอัตราเร็วต่ำสุด
Answershow ▾
Same four moves: differentiate twice, solve, then substitute back.สี่ขั้นเดิม: ดิฟสองครั้ง แก้สมการ แล้วแทนค่ากลับ
A particle $P$ is moving along a straight line.
The fixed point $O$ lies on the line.
At time $t$ seconds $(t \geqslant 0)$, the displacement of $P$ from $O$ is $s$ metres where$$s = t^{3} - 9t^{2} + 33t - 6$$Find the minimum speed of $P$.
อนุภาค $P$ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
จุดคงที่ $O$ อยู่บนเส้นตรงนี้
ที่เวลา $t$ วินาที $(t \geqslant 0)$ การกระจัดของ $P$ จาก $O$ คือ $s$ เมตร โดยที่$$s = t^{3} - 9t^{2} + 33t - 6$$จงหาอัตราเร็วต่ำสุดของ $P$
Answershow ▾
5 marks: differentiate twice, solve $a=0$, then substitute back into $v$.5 คะแนน: ดิฟสองครั้ง แก้สมการ $a=0$ แล้วแทนค่ากลับใน $v$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
${v = 3t^{2} - 18t + 33}$
M1 differentiate vดิฟ v
$a = 6t - 18$
M1 minimum where a = 0ต่ำสุดเมื่อ a = 0
$6t - 18 = 0$
$t = 3$
M1 t = 3 into vแทน t = 3 ลงใน v
${v = 27 - 54 + 33}$
A1 the minimum speedอัตราเร็วต่ำสุด
$= 6\text{ m/s}$
Negative power to zero velocity เลขชี้กำลังติดลบ สู่ความเร็วเป็นศูนย์
A particle $P$ moves along a straight line.
The fixed point $O$ lies on this line.
The displacement of $P$ from $O$ at time $t$ seconds, $t \geqslant 1$, is $s$ metres where$$s = 4t^{2} + \dfrac{125}{t}$$The velocity of $P$ at time $t$ seconds, $t \geqslant 1$, is $v$ m/s
Work out the distance of $P$ from $O$ at the instant when $v = 0$
อนุภาค $P$ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
จุดคงที่ $O$ อยู่บนเส้นตรงนี้
การกระจัดของ $P$ จาก $O$ ที่เวลา $t$ วินาที $t \geqslant 1$ คือ $s$ เมตร โดยที่$$s = 4t^{2} + \dfrac{125}{t}$$ความเร็วของ $P$ ที่เวลา $t$ วินาที $t \geqslant 1$ คือ $v$ m/s
จงหาระยะทางของ $P$ จาก $O$ ณ ขณะที่ $v = 0$
Write $\dfrac{125}{t}$ as a power of $t$.
จงเขียน $\dfrac{125}{t}$ ในรูปเลขชี้กำลังของ $t$
Answershow ▾
$t$ moves from the bottom to the top, and its power changes sign.$t$ ย้ายจากส่วนขึ้นไปเศษ แล้วเครื่องหมายของกำลังจะเปลี่ยน
Differentiate $t^{-1}$.
จงดิฟ $t^{-1}$
Answershow ▾
Same rule as any power: it comes down as a multiplier, then drops by one - $-1$ drops to $-2$.กฎเดิม: กำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วกำลังลดลงหนึ่ง · $-1$ ลดลงเป็น $-2$
Solve $t^{3}=\dfrac{125}{8}$ for $t$, where $t>0$.
จงแก้สมการ $t^{3}=\dfrac{125}{8}$ หา $t$ โดยที่ $t>0$
Answershow ▾
$125$ and $8$ are both cubes: $5^{3}$ and $2^{3}$.$125$ และ $8$ เป็นเลขยกกำลังสามทั้งคู่: $5^{3}$ และ $2^{3}$
$s=4t^{2}+\dfrac{125}{t}$. Pick the method to differentiate the second term.
(A) divide the derivative of $125$ by the derivative of $t$
(B) rewrite it as $125t^{-1}$, then use the power rule
(C) differentiate only the $t$ in the denominator
$s=4t^{2}+\dfrac{125}{t}$ จงเลือกวิธีดิฟพจน์ที่สอง
(A) นำอนุพันธ์ของ $125$ หารด้วยอนุพันธ์ของ $t$
(B) เขียนใหม่เป็น $125t^{-1}$ แล้วใช้กฎกำลัง
(C) ดิฟเฉพาะ $t$ ที่อยู่ตัวส่วน
Answershow ▾
(A) is not how a quotient differentiates - the derivative of a ratio is not the ratio of derivatives. (C) ignores the constant $125$ on top. Rewriting as a power lets the one rule you already know handle the whole term.(A) ไม่ใช่วิธีดิฟเศษส่วน เพราะอนุพันธ์ของอัตราส่วนไม่เท่ากับอัตราส่วนของอนุพันธ์ · (C) ละเลยค่าคงที่ $125$ ที่อยู่เศษ · การเขียนใหม่เป็นเลขชี้กำลังทำให้ใช้กฎกำลังกฎเดียวจัดการได้ทั้งพจน์
Differentiate $s=4t^{2}+125t^{-1}$ to find $v$.
จงดิฟ $s=4t^{2}+125t^{-1}$ เพื่อหา $v$
Answershow ▾
Each term differentiates on its own: $4t^{2}\to8t$, and $125t^{-1}\to-125t^{-2}$.แต่ละพจน์ดิฟแยกกัน: $4t^{2}\to8t$ และ $125t^{-1}\to-125t^{-2}$
$8t-125t^{-2}=0$. Pick the first move to solve for $t$.
(A) multiply every term by $t$
(B) take the reciprocal of both sides
(C) multiply every term by $t^{2}$
$8t-125t^{-2}=0$ จงเลือกขั้นแรกในการแก้หา $t$
(A) คูณทุกพจน์ด้วย $t$
(B) หาส่วนกลับของทั้งสองข้าง
(C) คูณทุกพจน์ด้วย $t^{2}$
Answershow ▾
(A) only removes one power of $t$, leaving $-125t^{-1}$ still negative. (B) is not valid: the reciprocal of a sum is not the sum of the reciprocals.(A) ลดกำลังของ $t$ ได้แค่หนึ่งขั้น เหลือ $-125t^{-1}$ ที่ยังติดลบอยู่ · (B) ใช้ไม่ได้ เพราะส่วนกลับของผลบวกไม่เท่ากับผลบวกของส่วนกลับ
Solve $8t-125t^{-2}=0$ for $t$.
จงแก้สมการ $8t-125t^{-2}=0$ หา $t$
Answershow ▾
Multiply by $t^{2}$ first, then it is the cube equation from question 3.คูณด้วย $t^{2}$ ก่อน แล้วจะได้สมการกำลังสามแบบข้อ 3
Put $t=2.5$ into $s=4t^{2}+\dfrac{125}{t}$ to find the distance.
แทน $t=2.5$ ลงใน $s=4t^{2}+\dfrac{125}{t}$ เพื่อหาระยะทาง
Answershow ▾
Work out each term separately, then add - do not round until the end.คำนวณแต่ละพจน์แยกกัน แล้วบวกกัน · ไม่ต้องปัดเศษจนกว่าจะถึงคำตอบสุดท้าย
$s=4t^{2}+\dfrac{125}{t}$. Differentiate to find $v$, then solve $v=0$ for $t$.
$s=4t^{2}+\dfrac{125}{t}$ จงดิฟหา $v$ แล้วแก้สมการ $v=0$ หา $t$
Answershow ▾
The same two moves, now run one after the other with no pause.สองขั้นเดิม ทำต่อกันโดยไม่หยุดพัก
Check that $t=2.5$ gives $v=0$, using $v=8t-125t^{-2}$.
จงตรวจว่า $t=2.5$ ทำให้ $v=0$ โดยใช้ $v=8t-125t^{-2}$
Answershow ▾
$125\div2.5^{2}=20$, the same as $8\times2.5$.$125\div2.5^{2}=20$ เท่ากับ $8\times2.5$
$s=t^{2}+\dfrac{16}{t}$, $t\geqslant1$. Work out the distance when $v=0$.
$s=t^{2}+\dfrac{16}{t}$ โดยที่ $t\geqslant1$ จงหาระยะทางเมื่อ $v=0$
Answershow ▾
Same four moves: differentiate, clear the power, solve for $t$, substitute back.สี่ขั้นเดิม: ดิฟ กำจัดเลขชี้กำลัง แก้หา t แล้วแทนกลับ
A particle $P$ moves along a straight line.
The fixed point $O$ lies on this line.
The displacement of $P$ from $O$ at time $t$ seconds, $t \geqslant 1$, is $s$ metres where$$s = 4t^{2} + \dfrac{125}{t}$$The velocity of $P$ at time $t$ seconds, $t \geqslant 1$, is $v$ m/s
Work out the distance of $P$ from $O$ at the instant when $v = 0$
อนุภาค $P$ เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
จุดคงที่ $O$ อยู่บนเส้นตรงนี้
การกระจัดของ $P$ จาก $O$ ที่เวลา $t$ วินาที $t \geqslant 1$ คือ $s$ เมตร โดยที่$$s = 4t^{2} + \dfrac{125}{t}$$ความเร็วของ $P$ ที่เวลา $t$ วินาที $t \geqslant 1$ คือ $v$ m/s
จงหาระยะทางของ $P$ จาก $O$ ณ ขณะที่ $v = 0$
Answershow ▾
5 marks. Differentiate, solve $v=0$, then substitute back into $s$ - every line is a method mark.5 คะแนน · ดิฟ แก้หา v=0 แล้วแทนกลับใน s · ทุกบรรทัดเป็นคะแนนวิธีทำ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{125}{t} = 125t^{-1}$
$4t^{2} \to 8t$
A1 both termsครบทั้งสองพจน์
$v = 8t - 125t^{-2}$
M1 v = 0, solve for tตั้ง v = 0 แล้วแก้หา t
$8t - 125t^{-2} = 0$
$8t^{3} = 125$
$t^{3} = \tfrac{125}{8}$
$t = 2.5$
M1 t = 2.5 into sแทน t = 2.5 ลงใน s
$4 \times 2.5^{2} = 25$
$125 \div 2.5 = 50$
A1 the distanceระยะทาง
$s = 25 + 50$
$= 75\text{ m}$
A cuboid, maximise the surface area ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก หาพื้นที่ผิวมากที่สุด
The diagram shows a solid cuboid.
The total surface area of the cuboid is $A$ cm$^{2}$
Find the maximum value of $A$.
แผนภาพแสดงทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากตัน
พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงนี้คือ $A$ cm$^{2}$
จงหาค่ามากที่สุดของ $A$
A cuboid has a square cross-section of side $x$. Write the area of one square face as an expression.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $x$ จงเขียนพื้นที่ของหน้าสี่เหลี่ยมหนึ่งหน้าเป็นนิพจน์
Answershow ▾
Multiply the side by itself.คูณด้านนั้นด้วยตัวมันเอง
Expand $x(12-3x)$.
จงกระจาย $x(12-3x)$
Answershow ▾
Multiply $x$ by each term inside the bracket.คูณ $x$ กับแต่ละพจน์ในวงเล็บ
A cuboid has two square ends, each of area $9$ cm$^{2}$, and four rectangular side faces, each of area $11$ cm$^{2}$. Work out its total surface area.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองหน้า หน้าละ $9$ ซม.$^{2}$ และหน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกสี่หน้า หน้าละ $11$ ซม.$^{2}$ จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมด
Answershow ▾
Two of one face, four of the other -- never just add the two areas once.หน้าหนึ่งมีสองหน้า อีกหน้ามีสี่หน้า อย่าบวกพื้นที่สองค่าทีเดียวเฉยๆ
A cuboid has two square ends of area $x^{2}$ and four rectangular side faces of area $x(12-3x)$. Pick the correct expression for the total surface area $A$.
(A) $A = x^{2}+x(12-3x)$
(B) $A = 2x^{2}+4x(12-3x)$
(C) $A = 2x^{2}\times4x(12-3x)$
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองหน้า พื้นที่ $x^{2}$ และหน้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกสี่หน้า พื้นที่ $x(12-3x)$ จงเลือกนิพจน์ที่ถูกต้องของพื้นที่ผิวทั้งหมด $A$
(A) $A = x^{2}+x(12-3x)$
(B) $A = 2x^{2}+4x(12-3x)$
(C) $A = 2x^{2}\times4x(12-3x)$
Answershow ▾
(A) counts only one of each face, missing the other three. (C) multiplies the two face areas together instead of adding them -- total surface area is always a sum of face areas, never a product.(A) นับหน้าแต่ละแบบแค่หน้าเดียว ขาดอีกสามหน้า · (C) เอาพื้นที่สองหน้ามาคูณกันแทนการบวก · พื้นที่ผิวทั้งหมดต้องเป็นผลบวกของพื้นที่แต่ละหน้าเสมอ ไม่ใช่ผลคูณ
Using questions $1$ and $2$, write the total surface area $A$ as the sum chosen in the decision question.
ใช้ข้อ $1$ และ $2$ จงเขียนพื้นที่ผิวทั้งหมด $A$ เป็นผลบวกตามที่เลือกไว้ในข้อตัดสินใจ
Answershow ▾
Two square ends, four long faces -- the form question $1$ chose.หน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองหน้า หน้ายาวสี่หน้า ตามรูปแบบที่เลือกไว้
Expand and simplify $A = 2x^{2}+4x(12-3x)$.
จงกระจายและจัดรูปให้ง่าย $A = 2x^{2}+4x(12-3x)$
Answershow ▾
Expand $4x(12-3x)=48x-12x^{2}$, then collect $2x^{2}-12x^{2}$.กระจาย $4x(12-3x)=48x-12x^{2}$ แล้วรวมพจน์ $2x^{2}-12x^{2}$
Differentiate $A = 48x-10x^{2}$ with respect to $x$.
จงดิฟ $A = 48x-10x^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Each power comes down as a multiplier, then drops by one.ตบกำลังลงมาเป็นตัวคูณก่อน แล้วค่อยลบกำลังหนึ่ง (ตบ · ลบ · ดิ๊ฟ)
Set $\dfrac{dA}{dx}=0$ and solve for $x$.
จับ $\dfrac{dA}{dx}=0$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Zero gradient is the turning point.ความชันเป็นศูนย์คือจุดวกกลับ
You have $x=2.4$. The question asks for the maximum value of $A$. Pick the next step.
(A) State $x=2.4$ as the final answer
(B) Substitute $x=2.4$ into $A=48x-10x^{2}$
(C) Substitute $x=2.4$ into $\dfrac{dA}{dx}=48-20x$
ได้ $x=2.4$ แล้ว โจทย์ต้องการค่ามากที่สุดของ $A$ จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ตอบ $x=2.4$ เป็นคำตอบสุดท้าย
(B) แทน $x=2.4$ ลงใน $A=48x-10x^{2}$
(C) แทน $x=2.4$ ลงใน $\dfrac{dA}{dx}=48-20x$
Answershow ▾
(A) answers "find $x$", not "find the maximum value of $A$" -- $x$ is where the maximum happens, not the maximum itself. (C) only re-checks that the gradient is zero there; it gives $0$, not an area.(A) ตอบคำถามว่า $x$ คือเท่าไร ไม่ใช่ค่ามากที่สุดของ $A$ · $x$ เป็นแค่ตำแหน่งที่เกิดค่ามากที่สุด ไม่ใช่ตัวค่ามากที่สุด · (C) แทนกลับในความชันได้แค่ตรวจว่าเป็นศูนย์จริง ไม่ได้พื้นที่
Evaluate $A$ at $x=2.4$. Then check it is a maximum: is $A$ smaller at $x=2$ and at $x=3$?
จงคำนวณ $A$ ที่ $x=2.4$ แล้วตรวจว่าเป็นค่ามากที่สุด: $A$ ที่ $x=2$ และ $x=3$ น้อยกว่าหรือไม่
Answershow ▾
A value higher than both its neighbours is a local maximum.ค่าที่สูงกว่าค่าข้างเคียงทั้งสองด้าน คือค่ามากที่สุดในช่วงนั้น
A cuboid has a square cross-section of side $y$ and length $(14-4y)$. Its total surface area is $S$ cm$^{2}$. Find the maximum value of $S$.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $y$ และยาว $(14-4y)$ พื้นที่ผิวทั้งหมดคือ $S$ ซม.$^{2}$ จงหาค่ามากที่สุดของ $S$
Answershow ▾
Same moves: six faces as an expression, differentiate, solve $=0$, substitute back.ขั้นตอนเดิม: หกหน้าในรูปนิพจน์ ดิฟ แก้สมการ $=0$ แล้วแทนกลับ
The diagram shows a solid cuboid.
The total surface area of the cuboid is $A$ cm$^{2}$
Find the maximum value of $A$.
แผนภาพแสดงทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากตัน
พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงนี้คือ $A$ cm$^{2}$
จงหาค่ามากที่สุดของ $A$
Answershow ▾
5 marks: one face, all six faces, $dA/dx=0$, substitute back, state the maximum.5 คะแนน: หนึ่งหน้า หกหน้าครบ $dA/dx=0$ แทนกลับ แล้วระบุค่ามากที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$x \times x = x^{2}$
$x(12 - 3x) = 12x - 3x^{2}$
M1 all six facesครบทั้งหกหน้า
$2 \times x^{2} = 2x^{2}$
$4 \times 12x = 48x$
$4 \times 3x^{2} = 12x^{2}$
$A = 48x - 10x^{2}$
M1 dA/dx = 0ตั้ง dA/dx = 0
$\dfrac{dA}{dx} = 48 - 20x$
$48 - 20x = 0$
$x = 2.4$
M1 x = 2.4 into Aแทน x = 2.4 ลงใน A
$48 \times 2.4 = 115.2$
$10 \times 2.4^{2} = 57.6$
A1 the maximum areaพื้นที่มากที่สุด
${A = 115.2 - 57.6}$
${A = 57.6}$
Gradient condition, then perpendicular line เงื่อนไขความชัน แล้วหาเส้นตั้งฉาก
$G$ is the point on the curve with equation $y = 8x^{2} - 14x - 6$ where the gradient is $10$
The straight line $\mathbf{Q}$ passes through the point $G$ and is perpendicular to the tangent at $G$
Find an equation for $\mathbf{Q}$
Give your answer in the form $ax + by + c = 0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
$G$ เป็นจุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y = 8x^{2} - 14x - 6$ ซึ่งความชันเท่ากับ $10$
เส้นตรง $\mathbf{Q}$ ผ่านจุด $G$ และตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่ $G$
จงหาสมการของ $\mathbf{Q}$
ตอบในรูป $ax + by + c = 0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
$y = 8x^{2} - 14x - 6$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y = 8x^{2} - 14x - 6$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by one. A constant differentiates to zero.คูณด้วยกำลัง แล้วลดกำลังลงหนึ่ง (ตบ·ลบ·ดิ๊ฟ) · ค่าคงที่ดิฟแล้วเป็นศูนย์
A curve's gradient function is $6x - 4$. The gradient at a point is $8$. Find $x$ there.
ฟังก์ชันความชันของเส้นโค้งคือ $6x - 4$ ที่จุดหนึ่งความชันเท่ากับ $8$ จงหา $x$ ที่จุดนั้น
Answershow ▾
Set the gradient function equal to the given gradient, then solve.ให้ฟังก์ชันความชันเท่ากับความชันที่กำหนด แล้วแก้สมการ
The gradient of a tangent is $10$. Write the gradient of the line perpendicular to it.
ความชันของเส้นสัมผัสคือ $10$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับมัน
Answershow ▾
Perpendicular gradients multiply to $-1$.ความชันของเส้นที่ตั้งฉากกันคูณกันได้ $-1$
$G$ is the point on $y=8x^{2}-14x-6$ where the gradient is $10$. Which equation finds the $x$-coordinate of $G$?
(A) $16x-14=0$
(B) $16x-14=10$
(C) $8x^{2}-14x-6=10$
$G$ คือจุดบน $y=8x^{2}-14x-6$ ที่ความชันเท่ากับ $10$ สมการใดใช้หา $x$ ของ $G$
(A) $16x-14=0$
(B) $16x-14=10$
(C) $8x^{2}-14x-6=10$
Answershow ▾
(A) sets the gradient to zero, which finds a turning point, not where the gradient is $10$. (C) sets the curve’s $y$-value to $10$, but $10$ is the gradient, not a height.(A) ให้ความชันเป็นศูนย์ ซึ่งหาจุดวกกลับ ไม่ใช่จุดที่ความชันเท่ากับ $10$ · (C) ให้ค่า $y$ ของเส้นโค้งเท่ากับ $10$ แต่ $10$ คือความชัน ไม่ใช่ความสูง
Using $\dfrac{dy}{dx}=16x-14$ (question 1), set it equal to $10$ and solve for $x$.
ใช้ $\dfrac{dy}{dx}=16x-14$ (ข้อ 1) ให้เท่ากับ $10$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Same two moves as question 2, now on the real curve.สองขั้นเดิมจากข้อ 2 แต่ใช้กับเส้นโค้งจริง
Substitute $x=1.5$ into $y=8x^{2}-14x-6$ to find the $y$-coordinate of $G$.
แทน $x=1.5$ ใน $y=8x^{2}-14x-6$ เพื่อหาพิกัด $y$ ของ $G$
Answershow ▾
Work out each term, then add.คำนวณทีละพจน์ แล้วนำมาบวกกัน
$G=(1.5,-9)$ and the tangent gradient there is $10$. Which gradient must line $\mathbf{Q}$ use?
(A) $10$
(B) $-\dfrac{1}{10}$
(C) $\dfrac{1}{10}$
$G=(1.5,-9)$ และความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้นคือ $10$ เส้น $\mathbf{Q}$ ต้องใช้ความชันใด
(A) $10$
(B) $-\dfrac{1}{10}$
(C) $\dfrac{1}{10}$
Answershow ▾
(A) is the tangent’s own gradient, which would make $\mathbf{Q}$ parallel to the tangent, not at right angles to it. (C) flips the fraction but forgets to change the sign.(A) คือความชันของเส้นสัมผัสเอง ซึ่งจะทำให้ $\mathbf{Q}$ ขนานกับเส้นสัมผัส ไม่ตั้งฉาก · (C) กลับเศษส่วนแล้ว แต่ลืมสลับเครื่องหมาย
$G=(1.5,-9)$ and the gradient of $\mathbf{Q}$ is $-\dfrac{1}{10}$. Write the equation of $\mathbf{Q}$ using $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
$G=(1.5,-9)$ และความชันของ $\mathbf{Q}$ คือ $-\dfrac{1}{10}$ จงเขียนสมการของ $\mathbf{Q}$ โดยใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Answershow ▾
Put the point and the gradient straight into the template.แทนจุดและความชันลงในสูตรทันที
Multiply both sides of $y+9=-\dfrac{1}{10}(x-1.5)$ by $10$, expand, and collect every term on one side.
คูณทั้งสองข้างของ $y+9=-\dfrac{1}{10}(x-1.5)$ ด้วย $10$ กระจายวงเล็บ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Multiply through, expand the bracket, then move $x$ and the constant across together.คูณทั้งสองข้าง กระจายวงเล็บ แล้วย้าย $x$ กับค่าคงที่ไปพร้อมกัน
$88.5$ is not an integer. Multiply $x+10y+88.5=0$ by $2$ so that $a$, $b$ and $c$ are integers.
$88.5$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม จงคูณ $x+10y+88.5=0$ ด้วย $2$ เพื่อให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
This is the mark that gets dropped most: a correct line in the wrong coefficients.นี่คือคะแนนที่หลุดบ่อยที่สุด: สมการถูกแต่สัมประสิทธิ์ไม่ใช่จำนวนเต็ม
$H$ is the point on the curve $y=2x^{2}-4x+1$ where the gradient is $8$. The straight line $\mathbf{R}$ passes through $H$ and is perpendicular to the tangent at $H$. Find an equation for $\mathbf{R}$ in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
$H$ เป็นจุดบนเส้นโค้ง $y=2x^{2}-4x+1$ ซึ่งความชันเท่ากับ $8$ เส้นตรง $\mathbf{R}$ ผ่านจุด $H$ และตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่ $H$ จงหาสมการของ $\mathbf{R}$ ในรูป $ax+by+c=0$ โดยที่ $a$, $b$, $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Same five moves: differentiate, solve for $x$, find $y$, flip and negate the gradient, clear the fraction.ห้าขั้นเดิม: ดิฟ แก้หา $x$ หา $y$ กลับเศษส่วนสลับเครื่องหมาย แล้วกำจัดเศษส่วน
$G$ is the point on the curve with equation $y = 8x^{2} - 14x - 6$ where the gradient is $10$
The straight line $\mathbf{Q}$ passes through the point $G$ and is perpendicular to the tangent at $G$
Find an equation for $\mathbf{Q}$
Give your answer in the form $ax + by + c = 0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
$G$ เป็นจุดบนเส้นโค้งที่มีสมการ $y = 8x^{2} - 14x - 6$ ซึ่งความชันเท่ากับ $10$
เส้นตรง $\mathbf{Q}$ ผ่านจุด $G$ และตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่ $G$
จงหาสมการของ $\mathbf{Q}$
ตอบในรูป $ax + by + c = 0$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
5 marks: differentiate, gradient $=10$, $G$ on the curve, flip and negate the gradient, then integers.5 คะแนน: ดิฟ ความชัน $=10$ จุด $G$ บนเส้นโค้ง กลับเศษส่วนสลับเครื่องหมาย แล้วทำเป็นจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{dy}{dx} = 16x - 14$
M1 gradient equals 10ตั้งความชันเท่ากับ 10
$16x - 14 = 10$
$x = 1.5$
A1 G on the curveจุด G บนเส้นโค้ง
$y = 18 - 21 - 6$
$= -9$
M1 perpendicular gradient through Gความชันตั้งฉาก ผ่าน G
$m = -\tfrac{1}{10}$
${y + 9 = -\tfrac{1}{10}(x - 1.5)}$
A1 integers a, b, ca, b, c เป็นจำนวนเต็ม
${10y + 90 = -x + 1.5}$
${2x + 20y + 177 = 0}$
Point and gradient give two equations จุดและความชันให้สมการสองสมการ
The curve $\mathbf{C}$ has equation $y = ax^{3} + bx^{2} - 12x + 6$ where $a$ and $b$ are constants.
The point $A$ with coordinates $(2, -6)$ lies on $\mathbf{C}$
The gradient of the curve at $A$ is $16$
Find the $y$ coordinate of the point on the curve whose $x$ coordinate is $3$
Show clear algebraic working.
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีสมการ $y = ax^{3} + bx^{2} - 12x + 6$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
จุด $A$ ซึ่งมีพิกัด $(2, -6)$ อยู่บน $\mathbf{C}$
ความชันของเส้นโค้งที่ $A$ เท่ากับ $16$
จงหาพิกัด $y$ ของจุดบนเส้นโค้งที่มีพิกัด $x$ เท่ากับ $3$
แสดงวิธีทำทางพีชคณิตให้ชัดเจน
Evaluate $-12\times2+6$.
จงคำนวณ $-12\times2+6$
Answershow ▾
Multiply first, then add.คูณก่อน แล้วจึงบวก
Differentiate $bx^{2}$.
จงดิฟ $bx^{2}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then drop the power by one.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลงหนึ่ง
Solve $4a=16$ for $a$.
จงแก้สมการ $4a=16$ หา $a$
Answershow ▾
Divide both sides by $4$.หารทั้งสองข้างด้วย $4$
$A(2,-6)$ lies on $\mathbf{C}$, and the gradient of $\mathbf{C}$ at $A$ is $16$. These are two different facts. Pick what you substitute $(2,-6)$ into.
(A) $\dfrac{dy}{dx}=3ax^{2}+2bx-12$
(B) $y=ax^{3}+bx^{2}-12x+6$
(C) $16=3ax^{2}+2bx-12$
$A(2,-6)$ อยู่บน $\mathbf{C}$ และความชันของ $\mathbf{C}$ ที่ $A$ เท่ากับ $16$ ทั้งสองเป็นข้อมูลคนละอย่าง จงเลือกสิ่งที่จะแทน $(2,-6)$ ลงไป
(A) $\dfrac{dy}{dx}=3ax^{2}+2bx-12$
(B) $y=ax^{3}+bx^{2}-12x+6$
(C) $16=3ax^{2}+2bx-12$
Answershow ▾
(A) and (C) are the gradient fact. A point ON the curve is a $y$ fact, so it goes into the curve equation. (C) also merges both facts into one equation, losing a mark-scheme line.(A) และ (C) เป็นข้อมูลความชัน ส่วนจุดที่อยู่บนเส้นโค้งเป็นข้อมูลค่า $y$ จึงต้องแทนลงในสมการเส้นโค้ง · (C) ยังรวมสองข้อมูลเป็นสมการเดียว ทำให้เสียบรรทัดคะแนนไปหนึ่งบรรทัด
From the point and the gradient you will get ① $8a+4b=12$ and ② $12a+4b=28$. The $b$-terms match: $4b$ in both, same sign. Pick the move that eliminates $b$.
(A) add ① and ②
(B) subtract ① from ② (② − ①)
(C) multiply ① by $3$ first
จากจุดและความชัน จะได้ ① $8a+4b=12$ และ ② $12a+4b=28$ พจน์ $b$ ตรงกัน: $4b$ ทั้งคู่ เครื่องหมายเดียวกัน จงเลือกขั้นที่กำจัด $b$
(A) บวก ① กับ ②
(B) เอา ① ไปลบออกจาก ② (② − ①)
(C) คูณ ① ด้วย $3$ ก่อน
Answershow ▾
(A) gives $20a+8b=40$: $b$ doubles instead of cancelling, because the $b$-terms already match. (C) gives $24a+12b=36$, which no longer matches ② - an unnecessary and wrong move.(A) ได้ $20a+8b=40$: $b$ กลายเป็นสองเท่าแทนที่จะหักกัน เพราะพจน์ $b$ ตรงกันอยู่แล้ว · (C) ได้ $24a+12b=36$ ซึ่งไม่ตรงกับ ② อีกต่อไป เป็นขั้นที่ไม่จำเป็นและผิด
$A(2,-6)$ lies on $\mathbf{C}: y=ax^{3}+bx^{2}-12x+6$. Substitute $(2,-6)$ and simplify to one equation in $a$ and $b$.
$A(2,-6)$ อยู่บน $\mathbf{C}: y=ax^{3}+bx^{2}-12x+6$ จงแทนค่า $(2,-6)$ แล้วจัดรูปให้เป็นสมการเดียวในรูป $a$ และ $b$
Answershow ▾
Substitute, then collect the known numbers on one side.แทนค่า แล้วรวมตัวเลขที่รู้ค่าไว้ข้างเดียว
Differentiate $\mathbf{C}: y=ax^{3}+bx^{2}-12x+6$ to find $\dfrac{dy}{dx}$.
จงดิฟ $\mathbf{C}: y=ax^{3}+bx^{2}-12x+6$ เพื่อหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Same rule as question $2$, applied to every term.กฎเดิมจากข้อ $2$ ใช้กับทุกพจน์
The gradient of $\mathbf{C}$ at $x=2$ is $16$. Substitute $x=2$ into $\dfrac{dy}{dx}=3ax^{2}+2bx-12$, set it equal to $16$, and simplify to one equation in $a$ and $b$.
ความชันของ $\mathbf{C}$ ที่ $x=2$ เท่ากับ $16$ จงแทน $x=2$ ลงใน $\dfrac{dy}{dx}=3ax^{2}+2bx-12$ ตั้งให้เท่ากับ $16$ แล้วจัดรูปให้เป็นสมการเดียวในรูป $a$ และ $b$
Answershow ▾
Same moves as question $4$, now on the gradient equation.ขั้นเดิมจากข้อ $4$ แต่ใช้กับสมการความชัน
① $8a+4b=12$
② $12a+4b=28$
Combine ① and ② to eliminate $b$, then solve for $a$ and $b$.
① $8a+4b=12$
② $12a+4b=28$
จงรวม ① กับ ② เพื่อกำจัด $b$ แล้วแก้หา $a$ และ $b$
Answershow ▾
Finding $a$ and $b$ is not the final answer - the question asks for $y$ at $x=3$.การหา $a$ และ $b$ ยังไม่ใช่คำตอบสุดท้าย - คำถามถามหา $y$ ที่ $x=3$
Check that $a=4,\,b=-5$ give a gradient of $16$ at $x=2$, using $\dfrac{dy}{dx}=3ax^{2}+2bx-12$.
จงตรวจว่า $a=4,\,b=-5$ ให้ความชันเท่ากับ $16$ ที่ $x=2$ โดยใช้ $\dfrac{dy}{dx}=3ax^{2}+2bx-12$
Answershow ▾
A quick check before the final substitution catches a slip in $a$ or $b$ early.ตรวจเร็ว ๆ ก่อนแทนค่าขั้นสุดท้าย ช่วยจับความผิดพลาดใน $a$ หรือ $b$ ได้ไว
A curve has equation $y=px^{3}+qx^{2}-6x+1$ where $p$ and $q$ are constants. The point $(2,5)$ lies on the curve, and the gradient at that point is $22$. Find $y$ when $x=3$.
เส้นโค้งเส้นหนึ่งมีสมการ $y=px^{3}+qx^{2}-6x+1$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่ จุด $(2,5)$ อยู่บนเส้นโค้งนี้ และความชันที่จุดนั้นเท่ากับ $22$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=3$
Answershow ▾
Same five moves: substitute the point, differentiate, substitute the gradient, solve the pair, then substitute the new $x$.ห้าขั้นเดิม: แทนค่าจุด ดิฟ แทนค่าความชัน แก้ระบบสมการ แล้วแทน $x$ ใหม่
The curve $\mathbf{C}$ has equation $y = ax^{3} + bx^{2} - 12x + 6$ where $a$ and $b$ are constants.
The point $A$ with coordinates $(2, -6)$ lies on $\mathbf{C}$
The gradient of the curve at $A$ is $16$
Find the $y$ coordinate of the point on the curve whose $x$ coordinate is $3$
Show clear algebraic working.
เส้นโค้ง $\mathbf{C}$ มีสมการ $y = ax^{3} + bx^{2} - 12x + 6$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
จุด $A$ ซึ่งมีพิกัด $(2, -6)$ อยู่บน $\mathbf{C}$
ความชันของเส้นโค้งที่ $A$ เท่ากับ $16$
จงหาพิกัด $y$ ของจุดบนเส้นโค้งที่มีพิกัด $x$ เท่ากับ $3$
แสดงวิธีทำทางพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
6 marks: the point gives one equation, the gradient gives a second, solve the pair for $a$ and $b$, then substitute $x=3$.6 คะแนน: จุดให้สมการหนึ่ง ความชันให้สมการที่สอง แก้ระบบสมการหา $a$ และ $b$ แล้วแทน $x=3$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
${-6 = 8a + 4b - 24 + 6}$
$8a + 4b = 12$
M1 differentiateดิฟ
${\dfrac{dy}{dx} = 3ax^{2} + 2bx - 12}$
M1 gradient 16 at x = 2ความชัน 16 ที่ x = 2
${16 = 12a + 4b - 12}$
$12a + 4b = 28$
M1 solve the pairแก้ระบบสมการ
$4a = 16$
$a = 4$
$b = -5$
M1 x = 3 into Cแทน x = 3 ลงใน C
$4 \times 3^{3} = 108$
$-5 \times 3^{2} = -45$
$-12 \times 3 = -36$
A1 the y coordinateพิกัด y
${y = 108 - 45 - 36 + 6}$
${y = 33}$
Hemisphere on a cylinder, biggest y ครื่งทรงกลมบนทรงกระบอก ค่า y มากทอยาด
A solid, $\mathbf{S}$, is made from a hemisphere and a cylinder.
The centre of the circular face of the hemisphere and the centre of the top face of the cylinder are at the same point.
The radius of the cylinder and the radius of the hemisphere are both $x$ cm.
The height of the cylinder is $(20 - 4x)$ cm.
The volume of $\mathbf{S}$ is $V$ cm$^{3}$ where $V = \dfrac{1}{3}\pi y$
Find the maximum value of $y$.
Show clear algebraic working.
ทรงตัน $\mathbf{S}$ ประกอบด้วยครึ่งทรงกลมและทรงกระบอก
จุดศูนย์กลางของหน้าวงกลมของครึ่งทรงกลม และจุดศูนย์กลางของหน้าบนของทรงกระบอกเป็นจุดเดียวกัน
รัศมีของทรงกระบอกและรัศมีของครึ่งทรงกลมยาว $x$ cm ทั้งคู่
ความสูงของทรงกระบอกคือ $(20 - 4x)$ cm
ปริมาตรของ $\mathbf{S}$ คือ $V$ cm$^{3}$ โดยที่ $V = \dfrac{1}{3}\pi y$
จงหาค่ามากที่สุดของ $y$
แสดงวิธีทำทางพีชคณิตให้ชัดเจน
Write an expression for the volume of a hemisphere of radius $r$, using half of the volume of a sphere, $\tfrac43\pi r^{3}$.
จงเขียนนิพจ์สำหรับประมาทรครื่งทรงกลมรัศมี $r$ โดยใช้ครื่งหนื่งของประมาตรทรงกลม $\tfrac43\pi r^{3}$
Answershow ▾
Half of the volume of a sphere, $\tfrac43\pi r^{3}$.ครื่งหนื่งของประมาตรทรงกลม $\tfrac43\pi r^{3}$
A cylinder has radius $r$ and height $h$. Write an expression for its volume.
ทรงกระบอกหนึ้งมีรัศี $r$ และความสูง $h$ จงเขียนนิพจ์สำหรับประมาทร
Answershow ▾
Area of the circular base, times the height.พื้นที่หน้าต้านวงกลม คูณด้วยความสูง
Expand $x^{2}(20-4x)$.
จงกระจาย $x^{2}(20-4x)$
Answershow ▾
Multiply $x^{2}$ by each term inside the bracket.คูณ $x^{2}$ ด้วยแต่ละพจน์ในวงเล็บ
The volume of the solid is given by $\tfrac13\pi y=V_{h}+V_{c}$. Pick the first move to get $y$ by itself.
(A) divide both sides by $3\pi$
(B) multiply both sides by $\tfrac{3}{\pi}$
(C) multiply both sides by $\pi$
ประมาทรของทรงตันคือ $\tfrac13\pi y=V_{h}+V_{c}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อเหลือ $y$ ตัวเดียว
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $3\pi$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $\tfrac{3}{\pi}$
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $\pi$
Answershow ▾
(A) divides by $3\pi$ as a whole, landing on $y$ divided by $9$, not $y$ alone. (C) multiplies by $\pi$ instead of cancelling it, adding another $\pi$ rather than removing it.(A) หารด้วย $3\pi$ ทั้งก้อน ได้ $y$ หารด้วย $9$ ไม่ใช่ $y$ ตัวเดียว · (C) คูณด้วย $\pi$ แทนการตัดออก กลับเพิ่ม $\pi$ อีกตัวแทนที่จะลบออก
Add $V_{h}=\tfrac23\pi x^{3}$ to $V_{c}=\pi x^{2}(20-4x)$. Write the sum, without combining the $x^{3}$ terms yet.
จงบวก $V_{h}=\tfrac23\pi x^{3}$ กับ $V_{c}=\pi x^{2}(20-4x)$ แล้วเขียนผลรวม ยังไม่ต้องรวมพจน์ $x^{3}$
Answershow ▾
Keep both volumes side by side; the question already told you to add them.เกี๊บประมาทรทั้งสองไว้ก้อน โจทย์บอกให้บวกกันอยู่แล้ว
Expand $V_{c}$ (question $3$), combine the $x^{3}$ terms, then use question $[D]$ to write $y$ in terms of $x$.
กระจาย $V_{c}$ (ข้อ $3$) รวมพจน์ $x^{3}$ แล้วใช้ข้อ $[D]$ เขียน $y$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
$\tfrac23-4=-\tfrac{10}{3}$, then multiply every term by $\tfrac3\pi$.$\tfrac23-4=-\tfrac{10}{3}$ แล้วคูณทุกพจน์ด้วย $\tfrac3\pi$
Differentiate $y=60x^{2}-10x^{3}$ to find $\dfrac{dy}{dx}$.
จงดิฟ $y=60x^{2}-10x^{3}$ เพื่อหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Power down as a multiplier, then the power drops by one, for each term.กำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วกำลังลดลงหนึ่ง ทำแบบนี้ทุกพจน์
$\dfrac{dy}{dx}=0$ gives $x=0$ or $x=4$. Which one gives the maximum value of $y$?
(A) $x=0$
(B) $x=4$
(C) both
$\dfrac{dy}{dx}=0$ ได้ $x=0$ หรือ $x=4$ จงเลือกค่าที่ให้ $y$ สูงสุด
(A) $x=0$
(B) $x=4$
(C) ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(A) $x=0$ makes the radius $0$, so there is no solid at all - it cannot be a maximum. (C) only $x=4$ keeps the cylinder height $(20-4x)$ positive.(A) $x=0$ ทำให้รัศีเป็น $0$ จึงไม่มีทรงตันเลย จะเป็นค่าสูงสุดไม่ได้ · (C) มีแค่ $x=4$ เท่านั้นที่ความสูงทรงกระบอก $(20-4x)$ ยังเป็นบวก
Substitute $x=4$ into $y=60x^{2}-10x^{3}$ to find $y$.
แทน $x=4$ ใน $y=60x^{2}-10x^{3}$ เพื่อหา $y$
Answershow ▾
Work out $60(4)^{2}$ and $10(4)^{3}$ separately, then subtract.คำนวณ $60(4)^{2}$ กับ $10(4)^{3}$ แยกกันก้อน แล้วลบ
Check with $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ that $x=4$ gives a maximum, not a minimum.
ตรวจด้วย $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ว่า $x=4$ ให้ค่าสูงสุด ไม่ใช่ต่ำสุด
Answershow ▾
A negative second derivative means the gradient is falling - the curve turns downward.อนุพันห์อันดับสองเป็นลบ แปลว่าความชันกำลังลดลง เส้นโค้งวกลง
A solid is made from a hemisphere and a cylinder, both of radius $x$. The height of the cylinder is $(10-4x)$ cm. The volume is $V$ cm$^{3}$ where $V=\tfrac13\pi y$. Find the maximum value of $y$.
ทรงตันหนึ่งประกอบด้วยครื่งทรงกลมและทรงกระบอก รัศีเท่ากันคือ $x$ ความสูงทรงกระบอกคือ $(10-4x)$ cm ประมาทรคือ $V$ cm$^{3}$ โดยที่ $V=\tfrac13\pi y$ จงหาค่ามากที่สุดของ $y$
Answershow ▾
Same four moves: add the volumes, isolate $y$, differentiate, then reject $x=0$.สี่ขั้นเดิม: บวกประมาทร แยก $y$ ดิฟ แล้วตัด $x=0$ ทง
A solid, $\mathbf{S}$, is made from a hemisphere and a cylinder.
The centre of the circular face of the hemisphere and the centre of the top face of the cylinder are at the same point.
The radius of the cylinder and the radius of the hemisphere are both $x$ cm.
The height of the cylinder is $(20 - 4x)$ cm.
The volume of $\mathbf{S}$ is $V$ cm$^{3}$ where $V = \dfrac{1}{3}\pi y$
Find the maximum value of $y$.
Show clear algebraic working.
ทรงตัน $\mathbf{S}$ ประกอบด้วยครึ่งทรงกลมและทรงกระบอก
จุดศูนย์กลางของหน้าวงกลมของครึ่งทรงกลม และจุดศูนย์กลางของหน้าบนของทรงกระบอกเป็นจุดเดียวกัน
รัศมีของทรงกระบอกและรัศมีของครึ่งทรงกลมยาว $x$ cm ทั้งคู่
ความสูงของทรงกระบอกคือ $(20 - 4x)$ cm
ปริมาตรของ $\mathbf{S}$ คือ $V$ cm$^{3}$ โดยที่ $V = \dfrac{1}{3}\pi y$
จงหาค่ามากที่สุดของ $y$
แสดงวิธีทำทางพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks: add the two volumes, isolate $y$, differentiate, then take $x=4$, not $x=0$.5 คะแนน: บวกประมาทรทั้งสอง แยก $y$ ดิฟ แล้วใช้ $x=4$ ไม่ใช่ $x=0$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
${V_{h} = \tfrac{2}{3}\pi x^{3}}$
${V_{c} = \pi x^{2}(20 - 4x)}$
M1 set equal to ⅓πyตั้งให้เท่ากับ ⅓πy
$\tfrac{1}{3}\pi y = V_{h} + V_{c}$
A1 y in terms of xy ในรูปของ x
$\tfrac{3}{\pi} V_{h} = 2x^{3}$
$\tfrac{3}{\pi} V_{c} = 60x^{2} - 12x^{3}$
$y = 60x^{2} - 10x^{3}$
M1 dy/dx = 0ตั้ง dy/dx = 0
${\dfrac{dy}{dx} = 120x - 30x^{2}}$
${30x(4 - x) = 0}$
${x = 4}$
A1 y at x = 4หา y ที่ x = 4
$y = 960 - 640$
$= 320$
A fraction term, differentiated ดิฟพจน์ที่เป็นเศษส่วน
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y = x^{2} - \dfrac{p}{x}$ where $p$ is a positive constant.
(a) For all values of $p$, the curve has exactly one turning point and this turning point is a minimum shown as the point $T$ in the sketch.
For the curve where the $x$ coordinate of $T$ is $-3$
find the value of $p$
(b) The line with equation $y = k$ is a tangent to the curve with equation $y = x^{2} - \dfrac{16}{x}$
Find the value of $k$
แผนภาพแสดงภาพร่างส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่มีสมการ $y = x^{2} - \dfrac{p}{x}$ โดยที่ $p$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) ไม่ว่า $p$ จะมีค่าเท่าใด เส้นโค้งมีจุดวกกลับเพียงจุดเดียว และจุดนี้เป็นจุดต่ำสุด แสดงเป็นจุด $T$ ในภาพร่าง
สำหรับเส้นโค้งที่พิกัด $x$ ของ $T$ เท่ากับ $-3$
จงหาค่าของ $p$
(ข) เส้นตรงที่มีสมการ $y = k$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่มีสมการ $y = x^{2} - \dfrac{16}{x}$
จงหาค่าของ $k$
Write $\dfrac{p}{x}$ as a power of $x$.
จงเขียน $\dfrac{p}{x}$ เป็นเลขยกกำลังของ $x$
Answershow ▾
A letter in the denominator becomes a negative power on top.ตัวแปรที่อยู่ใต้เส้นเศษส่วน กลายเป็นเลขชี้กำลังติดลบด้านบน
$y=x^{-1}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y=x^{-1}$ · หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
The same rule applies: the power comes down, then drops by one, even when it is negative.ใช้กฎเดิม: กำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วลดกำลังลงหนึ่ง แม้กำลังจะเป็นลบ
Work out $2x$ when $x=-3$.
จงหาค่า $2x$ เมื่อ $x=-3$
Answershow ▾
Multiply $2$ by the negative value of $x$.คูณ $2$ ด้วยค่า $x$ ที่เป็นลบ
Differentiate $y=-px^{-1}$. Pick $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) $-px^{-2}$
(B) $+px^{-2}$
(C) $+px^{0}$
จงหาอนุพันธ์ของ $y=-px^{-1}$ จงเลือก $\dfrac{dy}{dx}$
(A) $-px^{-2}$
(B) $+px^{-2}$
(C) $+px^{0}$
Answershow ▾
(A) keeps the coefficient negative, missing that the power $-1$ is also negative: $(-1)\times(-p)=+p$. (C) drops the power to $0$ instead of $-2$.(A) ยังคงเครื่องหมายลบของสัมประสิทธิ์ไว้ โดยไม่คิดว่ากำลัง $-1$ ก็เป็นลบด้วย: $(-1)\times(-p)=+p$ · (C) ลดกำลังไปที่ $0$ แทน $-2$
Differentiate $y = x^{2} - \dfrac{p}{x}$. Write $\dfrac{dy}{dx}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y = x^{2} - \dfrac{p}{x}$ แล้วเขียน $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Differentiate each term: $x^{2}$ the usual way, $-px^{-1}$ the way question 1 and the decision step just showed.ดิฟแต่ละพจน์: $x^{2}$ ตามปกติ ส่วน $-px^{-1}$ ตามที่ข้อ 1 และขั้นตัดสินใจแสดงไว้
The gradient is $0$ at the minimum $T$, where $x=-3$. Substitute into $\dfrac{dy}{dx}=2x+px^{-2}$.
ที่จุดต่ำสุด $T$ ความชันเป็น $0$ โดยที่ $x=-3$ จงแทนค่าใน $\dfrac{dy}{dx}=2x+px^{-2}$
Answershow ▾
$2(-3)=-6$ from question 3; $(-3)^{-2}=\dfrac{1}{9}$.$2(-3)=-6$ จากข้อ 3 · $(-3)^{-2}=\dfrac{1}{9}$
Solve $-6+\dfrac{p}{9}=0$ for $p$.
จงแก้สมการ $-6+\dfrac{p}{9}=0$ หาค่า $p$
Answershow ▾
Add $6$ to both sides, then multiply by $9$.บวก $6$ ทั้งสองข้าง แล้วคูณด้วย $9$
For the curve $y=x^{2}-\dfrac{16}{x}$, set $\dfrac{dy}{dx}=0$ and solve for $x$.
สำหรับเส้นโค้ง $y=x^{2}-\dfrac{16}{x}$ จงให้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Same two moves as questions 4 to 6, now with $16$ in place of $p$; clear the negative power first.สองขั้นเดิมจากข้อ 4 ถึง 6 แต่เปลี่ยน $p$ เป็น $16$ · กำจัดเลขชี้กำลังติดลบก่อน
The turning point now has $x=-2$. The tangent is the horizontal line $y=k$. Pick $k$.
(A) $k=-2$
(B) $k=$ the $y$-value of the curve at $x=-2$
(C) $k=\dfrac{dy}{dx}$ at $x=-2$
จุดวกกลับมี $x=-2$ เส้นสัมผัสคือเส้นแนวนอน $y=k$ จงเลือก $k$
(A) $k=-2$
(B) $k=$ ค่า $y$ ของเส้นโค้งที่ $x=-2$
(C) $k=\dfrac{dy}{dx}$ ที่ $x=-2$
Answershow ▾
$k$ is the height of the horizontal line - the $y$-value of the curve, not its $x$-value. (A) uses the $x$-coordinate instead. (C) is the gradient there, which is $0$; that found $x$, not $k$.$k$ คือความสูงของเส้นแนวนอน คือค่า $y$ ของเส้นโค้ง ไม่ใช่ค่า $x$ · (A) ใช้พิกัด $x$ แทน · (C) คือความชันที่จุดนั้นซึ่งเป็น $0$ ซึ่งใช้หา $x$ ไม่ใช่ $k$
Substitute $x=-2$ into $y=x^{2}-\dfrac{16}{x}$ to find $k$.
จงแทน $x=-2$ ใน $y=x^{2}-\dfrac{16}{x}$ เพื่อหา $k$
Answershow ▾
Minus divided by minus is plus: $-\dfrac{16}{-2}=+8$.ลบหารลบได้บวก: $-\dfrac{16}{-2}=+8$
(i) A curve $y=x^{2}-\dfrac{q}{x}$ has one minimum turning point $T$. For the curve where $T$ has $x=-1$, find $q$.
(ii) The line $y=k$ is a tangent to the curve $y=x^{2}-\dfrac{2}{x}$. Find $k$.
(i) เส้นโค้ง $y=x^{2}-\dfrac{q}{x}$ มีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียวคือ $T$ สำหรับเส้นโค้งที่ $T$ มี $x=-1$ จงหาค่า $q$
(ii) เส้นตรง $y=k$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $y=x^{2}-\dfrac{2}{x}$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Same two routes as questions 4 to 8, fresh numbers: zero the gradient at a given $x$ for (i), zero the gradient to find $x$ for (ii).สองวิธีเดิมจากข้อ 4 ถึง 8 แต่ใช้ตัวเลขใหม่: ตั้งความชันเป็น 0 ที่ $x$ ที่กำหนดสำหรับ (i) · ตั้งความชันเป็น 0 เพื่อหา $x$ สำหรับ (ii)
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y = x^{2} - \dfrac{p}{x}$ where $p$ is a positive constant.
(a) For all values of $p$, the curve has exactly one turning point and this turning point is a minimum shown as the point $T$ in the sketch.
For the curve where the $x$ coordinate of $T$ is $-3$
find the value of $p$
(b) The line with equation $y = k$ is a tangent to the curve with equation $y = x^{2} - \dfrac{16}{x}$
Find the value of $k$
แผนภาพแสดงภาพร่างส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่มีสมการ $y = x^{2} - \dfrac{p}{x}$ โดยที่ $p$ เป็นค่าคงที่บวก
(ก) ไม่ว่า $p$ จะมีค่าเท่าใด เส้นโค้งมีจุดวกกลับเพียงจุดเดียว และจุดนี้เป็นจุดต่ำสุด แสดงเป็นจุด $T$ ในภาพร่าง
สำหรับเส้นโค้งที่พิกัด $x$ ของ $T$ เท่ากับ $-3$
จงหาค่าของ $p$
(ข) เส้นตรงที่มีสมการ $y = k$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่มีสมการ $y = x^{2} - \dfrac{16}{x}$
จงหาค่าของ $k$
Answershow ▾
7 marks: differentiate and solve for $p$ in (a); differentiate again, solve for $x$, then substitute for $k$ in (b).7 คะแนน: ดิฟแล้วแก้หา $p$ ใน (a) · ดิฟอีกครั้ง แก้หา $x$ แล้วแทนค่าหา $k$ ใน (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$y = x^{2} - px^{-1}$
$\dfrac{dy}{dx} = 2x + px^{-2}$
M1 gradient 0 at x = −3ความชันเป็น 0 ที่ x = −3
$-6 + \dfrac{p}{9} = 0$
A1 the value of pค่าของ p
$\dfrac{p}{9} = 6$
$p = 54$
M1 horizontal tangent, so gradient 0เส้นสัมผัสแนวนอน ความชันเป็น 0
$2x + 16x^{-2} = 0$
M1 clear the negative powerกำจัดเลขชี้กำลังติดลบ
$2x^{3} + 16 = 0$
$x^{3} = -8$
$x = -2$
A1 k is the y value therek คือค่า y ที่จุดนั้น
$y = 4 + 8$
$k = 12$