Graphs · practice ladders ชุดไต่ระดับ · กราฟ
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
A line at right angles to another เส้นตรงที่ตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่ง
The line $L_{1}$ has equation $2x - 3y + 12 = 0$. The point $A(3,\,6)$ lies on $L_{1}$. The line $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$.
(a) Work out the gradient of $L_{1}$.
(b) Find the equation of $L_{2}$. Give your answer in the form $y = mx + c$.
เส้นตรง $L_{1}$ มีสมการ $2x - 3y + 12 = 0$ และจุด $A(3,\,6)$ อยู่บน $L_{1}$ เส้นตรง $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$
(ก) จงหาความชันของ $L_{1}$
(ข) จงหาสมการของ $L_{2}$ ตอบในรูป $y = mx + c$
Rearrange $2x - 3y + 12 = 0$ into the form $y = mx + c$.
จงจัดรูป $2x - 3y + 12 = 0$ ให้อยู่ในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
Get the $y$ term alone on one side, then divide every term by the number in front of $y$.ย้ายให้เหลือพจน์ $y$ อยู่ข้างเดียว แล้วหารทุกพจน์ด้วยตัวเลขหน้า $y$
A line has gradient $4$. Write down the gradient of any line perpendicular to it.
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $4$ จงเขียนความชันของเส้นตรงใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Turn it upside down and change the sign. Two things happen, not one.พลิกกลับหัวและเปลี่ยนเครื่องหมาย · ทำสองอย่าง ไม่ใช่อย่างเดียว
A line has gradient $-2$ and passes through $(1,\,5)$. Work out $c$ in $y = -2x + c$.
เส้นตรงมีความชัน $-2$ และผ่านจุด $(1,\,5)$ จงหา $c$ ใน $y = -2x + c$
Answershow ▾
Put the point’s $x$ where $x$ is and its $y$ where $y$ is.แทนค่า $x$ ของจุดลงในตำแหน่ง $x$ และ $y$ ของจุดลงในตำแหน่ง $y$
Someone looks at $2x - 3y + 12 = 0$ and says the gradient is $2$. Someone else says $-3$. Give the gradient, and write down the one thing that has to be done to the equation before any gradient can be read off it.
มีคนดู $2x - 3y + 12 = 0$ แล้วบอกว่าความชันคือ $2$ อีกคนบอกว่า $-3$ จงบอกความชันที่ถูกต้อง และเขียนสิ่งเดียวที่ต้องทำกับสมการก่อนจะอ่านความชันได้
Answershow ▾
The number in front of $x$ is only the gradient when $y$ is alone on one side with a coefficient of $1$. In $2x - 3y + 12 = 0$ nothing is in that form yet, so $2$ and $-3$ are just coefficients. The B1 in part (a) is for the number $\tfrac{2}{3}$; the rearranging that makes it visible is worth nothing, and it also decides part (b), because a wrong gradient here makes every one of the remaining three marks unreachable.ตัวเลขหน้า $x$ จะเป็นความชันก็ต่อเมื่อ $y$ อยู่ตัวเดียวข้างหนึ่งและมีสัมประสิทธิ์เป็น $1$ · ใน $2x - 3y + 12 = 0$ ยังไม่มีอะไรอยู่ในรูปนั้น $2$ กับ $-3$ จึงเป็นแค่สัมประสิทธิ์ · B1 ของข้อ (ก) ให้กับเลข $\tfrac{2}{3}$ ส่วนการจัดรูปที่ทำให้เห็นมันไม่มีคะแนน · และมันยังชี้ขาดข้อ (ข) ด้วย เพราะถ้าความชันผิด อีกสามคะแนนที่เหลือก็ไปไม่ถึง
Work out the gradient of $L_{1}$.
จงหาความชันของ $L_{1}$
Answershow ▾
Part (a), one mark. The picture shows the gradient triangle: along 3, up 2.ข้อ (ก) หนึ่งคะแนน · ภาพแสดงสามเหลี่ยมความชัน คือไปทางขวา 3 ขึ้น 2
$L_{1}$ has gradient $\tfrac{2}{3}$. Pick the gradient of $L_{2}$ and name the two things that were done to $\tfrac{2}{3}$ to get it.
(A) $-\dfrac{2}{3}$ (B) $\dfrac{3}{2}$ (C) $-\dfrac{3}{2}$
$L_{1}$ มีความชัน $\tfrac{2}{3}$ จงเลือกความชันของ $L_{2}$ และบอกว่าทำอะไรกับ $\tfrac{2}{3}$ สองอย่างจึงได้ค่านั้น
(A) $-\dfrac{2}{3}$ (B) $\dfrac{3}{2}$ (C) $-\dfrac{3}{2}$
Answershow ▾
Two operations, and each of the wrong options does exactly one of them. (A) is the reflection of $L_{1}$ in a vertical line, (B) is its reflection in $y = x$, and neither is perpendicular to anything. The test is $m_{1}m_{2} = -1$: only $\tfrac{2}{3}\times\left(-\tfrac{3}{2}\right)$ gives $-1$. The first M1 of part (b) is for the number $-\tfrac{3}{2}$ appearing; doing only half the operation is the commonest way to lose all three marks of part (b) while writing three correct-looking lines.ต้องทำสองอย่าง และตัวเลือกที่ผิดแต่ละข้อทำแค่อย่างเดียว · (A) คือภาพสะท้อนของ $L_{1}$ ในแนวตั้ง (B) คือภาพสะท้อนในเส้น $y = x$ ทั้งคู่ไม่ได้ตั้งฉากกับอะไรเลย · วิธีตรวจคือ $m_{1}m_{2} = -1$ · มีแค่ $\tfrac{2}{3}\times\left(-\tfrac{3}{2}\right)$ ที่ได้ $-1$ · M1 แรกของข้อ (ข) ให้กับการปรากฏของ $-\tfrac{3}{2}$ · การทำแค่ครึ่งเดียวคือวิธีที่พบบ่อยที่สุดในการเสียคะแนนทั้งสามของข้อ (ข) ทั้งที่เขียนสามบรรทัดที่ดูถูกต้อง
Write down the gradient of $L_{2}$.
จงเขียนความชันของ $L_{2}$
Answershow ▾
Negative, because $L_{1}$ goes uphill and a line at right angles to it must go downhill.เป็นลบ เพราะ $L_{1}$ ชันขึ้น เส้นที่ตั้งฉากกับมันจึงต้องชันลง
$L_{2}$ has gradient $-\tfrac{3}{2}$ and passes through $A(3,\,6)$. One script writes $6 = -\tfrac{3}{2}(3) + c$; another writes $3 = -\tfrac{3}{2}(6) + c$. Both say they substituted the point. Name the one that is right and write down the rule in your own words.
$L_{2}$ มีความชัน $-\tfrac{3}{2}$ และผ่านจุด $A(3,\,6)$ กระดาษแผ่นหนึ่งเขียน $6 = -\tfrac{3}{2}(3) + c$ อีกแผ่นเขียน $3 = -\tfrac{3}{2}(6) + c$ ทั้งคู่บอกว่าแทนค่าจุดลงไปแล้ว จงบอกว่าแผ่นไหนถูก และเขียนกฎด้วยคำของตัวเอง
Answershow ▾
A coordinate is written $(x,\,y)$, so the $3$ is an $x$ and the $6$ is a $y$, and $y = mx + c$ has one slot for each. Swapping them gives $c = 12$ instead of $10.5$, and the final line looks perfectly respectable. The second M1 is for the substitution and the A1 for the equation; nothing pays for putting the two numbers in the right slots, and a swap here costs two marks with no visible error.พิกัดเขียนเป็น $(x,\,y)$ ดังนั้น $3$ คือ $x$ และ $6$ คือ $y$ และ $y = mx + c$ มีช่องให้อย่างละหนึ่งช่อง · ถ้าสลับกันจะได้ $c = 12$ แทน $10.5$ และบรรทัดสุดท้ายก็ดูดีเรียบร้อย · M1 ที่สองให้กับการแทนค่า และ A1 ให้กับสมการ · ไม่มีคะแนนให้กับการใส่ตัวเลขสองตัวลงช่องที่ถูก และการสลับตรงนี้เสียสองคะแนนโดยไม่มีร่องรอยความผิด
$L_{2}$ has gradient $-\tfrac{3}{2}$ and passes through $A(3,\,6)$. Work out $c$.
$L_{2}$ มีความชัน $-\tfrac{3}{2}$ และผ่านจุด $A(3,\,6)$ จงหา $c$
Answershow ▾
$10.5$ is the same number, and both are accepted.$10.5$ คือจำนวนเดียวกัน และตอบได้ทั้งสองแบบ
Find the equation of $L_{2}$, in the form $y = mx + c$.
จงหาสมการของ $L_{2}$ ในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
Part (b), three marks. Check it: put $x = 3$ in and you must get $6$.ข้อ (ข) สามคะแนน · ตรวจดู แทน $x = 3$ แล้วต้องได้ $6$
$L_{1}$ has equation $x + 2y = 8$ and $A(2,\,3)$ lies on it. $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$. Find the equation of $L_{2}$.
$L_{1}$ มีสมการ $x + 2y = 8$ และจุด $A(2,\,3)$ อยู่บนเส้นนี้ $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$ จงหาสมการของ $L_{2}$
Answershow ▾
This time $L_{1}$ goes downhill, so $L_{2}$ goes uphill.คราวนี้ $L_{1}$ ชันลง $L_{2}$ จึงชันขึ้น
$L_{1}$ has equation $3x - 4y + 10 = 0$ and $A(2,\,4)$ lies on it. $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$.
(a) Work out the gradient of $L_{1}$. (b) Find the equation of $L_{2}$ in the form $y = mx + c$.
$L_{1}$ มีสมการ $3x - 4y + 10 = 0$ และจุด $A(2,\,4)$ อยู่บนเส้นนี้ $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$
(ก) จงหาความชันของ $L_{1}$ (ข) จงหาสมการของ $L_{2}$ ในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
Fractions in the answer are normal here and are not a sign that you have gone wrong.คำตอบเป็นเศษส่วนเป็นเรื่องปกติของโจทย์แบบนี้ ไม่ได้แปลว่าทำผิด
The line $L_{1}$ has equation $2x - 3y + 12 = 0$. The point $A(3,\,6)$ lies on $L_{1}$. The line $L_{2}$ is perpendicular to $L_{1}$ and passes through $A$.
(a) Work out the gradient of $L_{1}$.
(b) Find the equation of $L_{2}$. Give your answer in the form $y = mx + c$.
เส้นตรง $L_{1}$ มีสมการ $2x - 3y + 12 = 0$ และจุด $A(3,\,6)$ อยู่บน $L_{1}$ เส้นตรง $L_{2}$ ตั้งฉากกับ $L_{1}$ และผ่านจุด $A$
(ก) จงหาความชันของ $L_{1}$
(ข) จงหาสมการของ $L_{2}$ ตอบในรูป $y = mx + c$
Answershow ▾
4 marks, and three separate places to slip: the rearranging, the reciprocal, and the substitution.4 คะแนน และมีจุดพลาดสามจุด คือการจัดรูป การกลับเศษส่วน และการแทนค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 perpendicular gradient $= -\tfrac{3}{2}$ M1 $6 = -\tfrac{3}{2}(3) + c$ A1 $y = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{21}{2}$.
Nothing pays for rearranging into $y = mx + c$ first, and no gradient can be read until you do.
A stone thrown off a cliff โยนก้อนหินจากหน้าผา
A stone is thrown upwards from the top of a cliff. Its height above the sea, $h$ metres, at time $t$ seconds after it is thrown, is $h = 20 + 15t - 5t^{2}$.
(a) Use algebra to work out the greatest height of the stone above the sea, and the time at which it reaches that height.
(b) Work out the time at which the stone hits the sea.
(c) Use your answers to parts (a) and (b) to write down the values of $t$ for which the stone is falling.
โยนก้อนหินขึ้นจากยอดหน้าผา ความสูงเหนือระดับน้ำทะเล $h$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาทีหลังโยน คือ $h = 20 + 15t - 5t^{2}$
(ก) จงใช้พีชคณิตหาความสูงมากที่สุดของก้อนหินเหนือระดับน้ำทะเล และเวลาที่ไปถึงความสูงนั้น
(ข) จงหาเวลาที่ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล
(ค) จงใช้คำตอบจากข้อ (ก) และ (ข) เขียนค่าของ $t$ ที่ก้อนหินกำลังตกลง
For $h = 20 + 15t - 5t^{2}$, write down $a$, $b$ and $c$ for the quadratic in $t$.
จาก $h = 20 + 15t - 5t^{2}$ จงเขียน $a$, $b$ และ $c$ ของสมการกำลังสองในตัวแปร $t$
Answershow ▾
$a$ belongs to $t^{2}$ and carries its minus sign with it.$a$ เป็นสัมประสิทธิ์ของ $t^{2}$ และต้องเอาเครื่องหมายลบไปด้วย
For a quadratic $h = at^{2}+bt+c$ the turning point is at $t = -\dfrac{b}{2a}$. Work out $t$ when $a = -5$ and $b = 15$.
สำหรับสมการกำลังสอง $h = at^{2}+bt+c$ จุดวกกลับอยู่ที่ $t = -\dfrac{b}{2a}$ จงหา $t$ เมื่อ $a = -5$ และ $b = 15$
Answershow ▾
Two negatives, so the answer is positive. Time cannot be negative anyway.ลบสองตัว คำตอบจึงเป็นบวก · และเวลาก็ติดลบไม่ได้อยู่แล้ว
Solve $20 + 15t - 5t^{2} = 0$.
จงแก้สมการ $20 + 15t - 5t^{2} = 0$
Answershow ▾
Divide by $-5$ first — every term does divide, and the factorising is then easy.หารด้วย $-5$ ก่อน ทุกพจน์หารลงตัว แล้วแยกตัวประกอบได้ง่าย
Part (a) wants the greatest height. Three equations are available. Pick the one that gives it, and name what each of the other two gives instead.
(A) $t = 0$ (B) $t = -\dfrac{b}{2a}$ (C) $h = 0$
ข้อ (ก) ต้องการความสูงมากที่สุด มีสมการให้เลือกสามอย่าง จงเลือกอันที่ให้คำตอบ และบอกว่าอีกสองอันให้อะไรแทน
(A) $t = 0$ (B) $t = -\dfrac{b}{2a}$ (C) $h = 0$
Answershow ▾
All three are correct pieces of mathematics about the same curve, and all three appear somewhere in this question — which is exactly why the choice is hard. The greatest height is the top of the curve, so it is the turning point; $t = 0$ is where the stone started and $h = 0$ is where it finishes. The M1 in part (a) is for $-\tfrac{b}{2a}$ being written; matching each part of the question to its own equation carries no mark at all.ทั้งสามอย่างเป็นคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องเกี่ยวกับเส้นโค้งเดียวกัน และปรากฏอยู่ในข้อนี้ทั้งสามอย่าง นี่แหละคือสาเหตุที่การเลือกมันยาก · ความสูงมากที่สุดคือยอดของเส้นโค้ง จึงเป็นจุดวกกลับ · $t = 0$ คือจุดที่ก้อนหินเริ่มต้น และ $h = 0$ คือจุดที่มันจบ · M1 ของข้อ (ก) ให้กับการเขียน $-\tfrac{b}{2a}$ · การจับคู่แต่ละข้อย่อยกับสมการของมันไม่มีคะแนนเลย
Work out the greatest height of the stone and the time at which it reaches that height.
จงหาความสูงมากที่สุดของก้อนหิน และเวลาที่ไปถึงความสูงนั้น
Answershow ▾
Part (a), three marks: the time, then the height you get by substituting it back.ข้อ (ก) สามคะแนน คือหาเวลา แล้วแทนกลับเข้าไปเพื่อหาความสูง
The stone hits the sea. Write down the equation you must solve, and solve it.
ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล จงเขียนสมการที่ต้องแก้ แล้วแก้สมการนั้น
Answershow ▾
At the sea the height is zero. That single fact is the whole of part (b).ที่ระดับน้ำทะเล ความสูงเป็นศูนย์ · ข้อเท็จจริงเดียวนี้คือทั้งหมดของข้อ (ข)
You have $t = 4$ and $t = -1$. Produce the meaning of each one in this situation, and say which is the answer to part (b).
ได้ $t = 4$ กับ $t = -1$ จงบอกความหมายของแต่ละค่าในสถานการณ์นี้ และบอกว่าค่าไหนคือคำตอบของข้อ (ข)
Answershow ▾
The formula does not know that the stone did not exist before $t = 0$; it happily continues the curve backwards to where it would have left the sea. Only $t \ge 0$ is real. The A1 in part (b) is printed as $t = 4$, so a script that offers “$t = 4$ or $t = -1$” has not chosen, and choosing is the part nobody is paid for.สูตรไม่รู้ว่าก้อนหินยังไม่มีอยู่ก่อน $t = 0$ มันจึงลากเส้นโค้งย้อนกลับไปยังจุดที่มันน่าจะออกจากน้ำ · มีแค่ $t \ge 0$ ที่เป็นจริง · A1 ของข้อ (ข) พิมพ์ไว้ว่า $t = 4$ · กระดาษที่ตอบว่า “$t = 4$ หรือ $t = -1$” แปลว่ายังไม่ได้เลือก และการเลือกคือส่วนที่ไม่มีใครให้คะแนน
Work out the time at which the stone hits the sea.
จงหาเวลาที่ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล
Answershow ▾
Part (b), two marks. One root only.ข้อ (ข) สองคะแนน · ตอบคำตอบเดียว
Part (c) asks when the stone is falling. Pick the correct set of times, and then say in one line what the stone is doing at the instant $t = 1.5$.
(A) $0 \le t \lt 1.5$ (B) $1.5 \lt t \le 4$ (C) $0 \le t \le 4$
ข้อ (ค) ถามว่าก้อนหินกำลังตกลงเมื่อใด จงเลือกช่วงเวลาที่ถูกต้อง แล้วเขียนหนึ่งบรรทัดว่าที่ขณะ $t = 1.5$ ก้อนหินกำลังทำอะไร
(A) $0 \le t \lt 1.5$ (B) $1.5 \lt t \le 4$ (C) $0 \le t \le 4$
Answershow ▾
The turning point splits the flight in two: rising up to $1.5$, falling after it. (A) is the rising half and (C) is the whole flight. The end points matter as much as the numbers — the stone is still in the air at $t = 4$, so that end is included, while $t = 1.5$ is the one instant it is doing neither, so that end is not. Part (c) is a single B1 for the whole line; the two answers it is built from were already paid for in (a) and (b), and the reading of them is free.จุดวกกลับแบ่งการเคลื่อนที่ออกเป็นสองช่วง คือขึ้นจนถึง $1.5$ แล้วตกลงหลังจากนั้น · (A) คือช่วงขาขึ้น และ (C) คือทั้งการเคลื่อนที่ · ปลายช่วงสำคัญพอๆ กับตัวเลข ก้อนหินยังอยู่กลางอากาศที่ $t = 4$ ปลายนั้นจึงรวมอยู่ด้วย ส่วน $t = 1.5$ เป็นขณะเดียวที่มันไม่ได้ทำทั้งสองอย่าง ปลายนั้นจึงไม่รวม · ข้อ (ค) มี B1 เดียวสำหรับทั้งบรรทัด · คำตอบสองค่าที่ใช้สร้างมันได้คะแนนไปแล้วในข้อ (ก) และ (ข) ส่วนการอ่านค่าไม่มีคะแนน
Write down the values of $t$ for which the stone is falling.
จงเขียนค่าของ $t$ ที่ก้อนหินกำลังตกลง
Answershow ▾
Part (c), one mark, and it is read straight off parts (a) and (b).ข้อ (ค) หนึ่งคะแนน อ่านได้ตรงๆ จากข้อ (ก) และ (ข)
A ball has height $h = 15 + 10t - 5t^{2}$ metres at time $t$ seconds.
(a) Work out its greatest height and when it happens. (b) Work out when it lands.
ลูกบอลมีความสูง $h = 15 + 10t - 5t^{2}$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาที
(ก) จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ไปถึง (ข) จงหาเวลาที่ตกถึงพื้น
Answershow ▾
The rejected root is $t = -1$ again. It always is, with these numbers.คำตอบที่ตัดทิ้งคือ $t = -1$ อีกครั้ง · เป็นแบบนี้เสมอกับตัวเลขชุดนี้
A stone has height $h = 25 + 20t - 5t^{2}$ metres above the sea at time $t$ seconds.
(a) Work out the greatest height and the time it happens. (b) Work out when it hits the sea. (c) Write down the values of $t$ for which it is falling.
ก้อนหินมีความสูงเหนือระดับน้ำทะเล $h = 25 + 20t - 5t^{2}$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาที
(ก) จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ไปถึง (ข) จงหาเวลาที่ตกถึงน้ำ (ค) จงเขียนค่าของ $t$ ที่มันกำลังตกลง
Answershow ▾
Three parts, three different equations, and the same three decisions.สามข้อย่อย สามสมการที่ต่างกัน และการตัดสินใจสามอย่างเดิม
A stone is thrown upwards from the top of a cliff. Its height above the sea, $h$ metres, at time $t$ seconds after it is thrown, is $h = 20 + 15t - 5t^{2}$.
(a) Use algebra to work out the greatest height of the stone above the sea, and the time at which it reaches that height.
(b) Work out the time at which the stone hits the sea.
(c) Use your answers to parts (a) and (b) to write down the values of $t$ for which the stone is falling.
โยนก้อนหินขึ้นจากยอดหน้าผา ความสูงเหนือระดับน้ำทะเล $h$ เมตร ณ เวลา $t$ วินาทีหลังโยน คือ $h = 20 + 15t - 5t^{2}$
(ก) จงใช้พีชคณิตหาความสูงมากที่สุดของก้อนหินเหนือระดับน้ำทะเล และเวลาที่ไปถึงความสูงนั้น
(ข) จงหาเวลาที่ก้อนหินตกถึงน้ำทะเล
(ค) จงใช้คำตอบจากข้อ (ก) และ (ข) เขียนค่าของ $t$ ที่ก้อนหินกำลังตกลง
Answershow ▾
6 marks. Every part is a different question about the same curve.6 คะแนน · ทุกข้อย่อยเป็นคำถามคนละแบบเกี่ยวกับเส้นโค้งเดียวกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $20+15t-5t^{2}=0$, so $(t-4)(t+1)=0$ A1 $t = 4$ s.
(c) B1 $1.5 \lt t \le 4$.
Choosing which equation each part needs is the whole question, and carries no mark.