Trigonometry · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ตรีโกณมิติ
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Walking towards the tower เดินเข้าหาหอคอย
$TB$ is a vertical tower standing on horizontal ground. $B$, $Q$ and $P$ are points on the ground in a straight line. From $P$ the angle of elevation of the top of the tower is $27^{\circ}$. A surveyor walks $40$ m from $P$ straight towards the tower, to $Q$, where the angle of elevation is $41^{\circ}$.
Work out the height of the tower. Give your answer correct to 3 significant figures.
$TB$ คือหอคอยที่ตั้งฉากกับพื้นราบ จุด $B$, $Q$ และ $P$ อยู่บนพื้นในแนวเส้นตรงเดียวกัน จากจุด $P$ มุมเงยของยอดหอคอยเท่ากับ $27^{\circ}$ นักสำรวจเดินจาก $P$ ตรงเข้าหาหอคอยเป็นระยะ $40$ ม. มาถึงจุด $Q$ ซึ่งมุมเงยเท่ากับ $41^{\circ}$
จงหาความสูงของหอคอย ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
In a right-angled triangle the angle of elevation of the top of a pole from a point $30$ m away is $35^{\circ}$. Work out the height of the pole, correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมเงยของยอดเสาจากจุดที่อยู่ห่าง $30$ ม. เท่ากับ $35^{\circ}$ จงหาความสูงของเสา เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Opposite over adjacent is tangent. The $30$ is next to the angle, so it is the adjacent side.ตรงข้ามหารด้วยประชิดคือแทนเจนต์ · $30$ อยู่ติดกับมุม จึงเป็นด้านประชิด
$B$, $Q$ and $P$ lie on a straight line, in that order. $\angle TQB = 41^{\circ}$. Work out $\angle TQP$.
จุด $B$, $Q$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกันตามลำดับ และ $\angle TQB = 41^{\circ}$ จงหา $\angle TQP$
Answershow ▾
$\angle TQP$ opens back towards $P$, so it is the rest of the straight line.$\angle TQP$ เปิดย้อนกลับไปทาง $P$ จึงเป็นส่วนที่เหลือของเส้นตรง
In a triangle, $\dfrac{x}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{12}{\sin 45^{\circ}}$. Work out $x$, correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง $\dfrac{x}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{12}{\sin 45^{\circ}}$ จงหา $x$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Each side of the rule is a side over the sine of the angle opposite it. You need both parts of one pair.แต่ละข้างของกฎคือด้านหารด้วยไซน์ของมุมตรงข้าม · ต้องรู้ครบทั้งคู่หนึ่งคู่
The picture has two right-angled triangles, $TBP$ and $TBQ$. Write down the three facts you can get from them, count the unknowns, and then say which triangle actually contains the $40$ m.
ในรูปมีสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปคือ $TBP$ กับ $TBQ$ จงเขียนข้อเท็จจริงสามอย่างที่ได้จากสองรูปนั้น นับจำนวนตัวที่ยังไม่รู้ แล้วบอกว่ารูปสามเหลี่ยมใดที่มี $40$ ม. อยู่จริง
Answershow ▾
The $40$ m is $PQ$: it is the gap between the two bases, not a side of either right-angled triangle. Every earlier question in the topic was right-angled, so the reflex is to hunt for one, and a student who does writes $\tan 41^{\circ} = \dfrac{TB}{40}$ and is finished in ten seconds with the wrong answer. The first M1 is for $139^{\circ}$, which is already inside triangle $PQT$ — the choice of triangle happens before any mark exists.$40$ ม. คือ $PQ$ ซึ่งเป็นช่องว่างระหว่างฐานของสามเหลี่ยมสองรูป ไม่ใช่ด้านของรูปใดรูปหนึ่ง · โจทย์ก่อนหน้านี้ในหัวข้อนี้เป็นมุมฉากทั้งหมด สัญชาตญาณจึงไล่หามุมฉาก และคนที่ทำแบบนั้นจะเขียน $\tan 41^{\circ} = \dfrac{TB}{40}$ เสร็จในสิบวินาที และผิด · M1 แรกให้กับ $139^{\circ}$ ซึ่งอยู่ในสามเหลี่ยม $PQT$ อยู่แล้ว · การเลือกรูปสามเหลี่ยมเกิดขึ้นก่อนที่จะมีคะแนนใดๆ
In the exam question, the angle of elevation at $Q$ is $41^{\circ}$. Work out $\angle TQP$.
ในข้อสอบ มุมเงยที่จุด $Q$ เท่ากับ $41^{\circ}$ จงหา $\angle TQP$
Answershow ▾
The middle letter is the corner. This is the first mark of the question.ตัวอักษรตัวกลางคือจุดยอดมุม · นี่คือคะแนนแรกของข้อนี้
Triangle $PQT$ now has $\angle TPQ = 27^{\circ}$ and $\angle TQP = 139^{\circ}$. Produce the third angle, and then name the only side of this triangle whose length you already know and the angle that faces it.
ตอนนี้สามเหลี่ยม $PQT$ มี $\angle TPQ = 27^{\circ}$ และ $\angle TQP = 139^{\circ}$ จงหามุมที่สาม แล้วบอกว่าด้านใดของรูปนี้ที่รู้ความยาวแล้ว และมุมใดอยู่ตรงข้ามด้านนั้น
Answershow ▾
The sine rule needs one complete pair — a side and the angle opposite it — before it can start, and $14^{\circ}$ with $40$ m is the only complete pair in the whole figure. The exam folds this line into the same M1 as the $139^{\circ}$, so nothing on the paper says it matters; skip it and the sine rule has nothing to stand on.กฎของไซน์ต้องมีคู่ที่ครบหนึ่งคู่ก่อน คือด้านกับมุมตรงข้ามด้านนั้น และ $14^{\circ}$ กับ $40$ ม. คือคู่เดียวที่ครบในรูปทั้งรูป · ข้อสอบรวมบรรทัดนี้ไว้ใน M1 เดียวกับ $139^{\circ}$ จึงไม่มีอะไรบอกว่ามันสำคัญ · ถ้าข้ามไป กฎของไซน์ก็ไม่มีอะไรให้ยืน
Triangle $PQT$ has $\angle TPQ = 27^{\circ}$ and $\angle TQP = 139^{\circ}$. Work out $\angle QTP$.
สามเหลี่ยม $PQT$ มี $\angle TPQ = 27^{\circ}$ และ $\angle TQP = 139^{\circ}$ จงหา $\angle QTP$
Answershow ▾
This is the angle opposite the $40$ m, and that is what makes the sine rule possible.นี่คือมุมที่อยู่ตรงข้ามกับ $40$ ม. และนั่นคือสิ่งที่ทำให้ใช้กฎของไซน์ได้
In triangle $PQT$, $PQ = 40$ m, $\angle QTP = 14^{\circ}$ and $\angle TPQ = 27^{\circ}$. Work out $QT$.
ในสามเหลี่ยม $PQT$ มี $PQ = 40$ ม., $\angle QTP = 14^{\circ}$ และ $\angle TPQ = 27^{\circ}$ จงหา $QT$
Answershow ▾
Keep all the decimals. This number is used again in the next step.เก็บทศนิยมไว้ให้ครบ ตัวเลขนี้จะถูกใช้อีกในขั้นถัดไป
You have $QT = 75.06$. The tower is $TB$. In the right-angled triangle $QBT$, is $TB$ the opposite, the adjacent or the hypotenuse to the $41^{\circ}$? Name it, then name the ratio that finishes the question.
ได้ $QT = 75.06$ แล้ว หอคอยคือ $TB$ · ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $QBT$ ด้าน $TB$ เป็นด้านตรงข้าม ด้านประชิด หรือด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อเทียบกับมุม $41^{\circ}$ จงบอกชื่อด้าน แล้วบอกอัตราส่วนที่ใช้ทำข้อนี้ให้จบ
Answershow ▾
$QT$ is a slant line up to the top of the tower, not a height. Writing $75.06$ down as the answer is the commonest way to lose all four marks with the hard part already done, and reaching for $\tan$ is the second commonest — $\tan$ needs the base $QB$, which you do not have. The third M1 is for $TB = QT\sin 41^{\circ}$ once it is written; naming which side is which pays nothing.$QT$ เป็นเส้นเอียงขึ้นไปยังยอดหอคอย ไม่ใช่ความสูง · การเขียน $75.06$ เป็นคำตอบคือวิธีเสียคะแนนทั้งสี่ที่พบบ่อยที่สุด ทั้งที่ทำส่วนยากได้แล้ว · รองลงมาคือคว้า $\tan$ ซึ่งต้องใช้ฐาน $QB$ ที่เรายังไม่มี · M1 ที่สามให้กับ $TB = QT\sin 41^{\circ}$ เมื่อเขียนแล้ว ส่วนการบอกว่าด้านไหนคือด้านไหนไม่มีคะแนน
$QT = 75.06\ldots$ m and $\angle TQB = 41^{\circ}$, with $\angle QBT = 90^{\circ}$. Work out $TB$, correct to 3 significant figures.
$QT = 75.06\ldots$ ม. และ $\angle TQB = 41^{\circ}$ โดย $\angle QBT = 90^{\circ}$ จงหา $TB$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Round once, at the end. Rounding $QT$ to $75.1$ first still reaches $49.2$ here, but it will not always.ปัดเศษครั้งเดียวตอนจบ · ถ้าปัด $QT$ เป็น $75.1$ ก่อน ข้อนี้ยังได้ $49.2$ แต่จะไม่เป็นแบบนี้เสมอไป
A vertical mast stands on level ground. From a point $P$ the angle of elevation of the top is $30^{\circ}$. From a point $Q$, $50$ m nearer along the same straight line, it is $60^{\circ}$. Work out the height of the mast, correct to 3 significant figures.
เสาสูงตั้งฉากกับพื้นราบ จากจุด $P$ มุมเงยของยอดเสาเท่ากับ $30^{\circ}$ จากจุด $Q$ ซึ่งอยู่ใกล้กว่า $50$ ม. บนเส้นตรงเดียวกัน มุมเงยเท่ากับ $60^{\circ}$ จงหาความสูงของเสา เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
The angle at the top is $30^{\circ}$ again, and it faces the $50$ m. Same four lines.มุมที่ยอดเป็น $30^{\circ}$ อีกครั้ง และอยู่ตรงข้ามกับ $50$ ม. · สี่บรรทัดเดียวกัน
$TB$ is a vertical tower on horizontal ground, with $B$, $Q$, $P$ in a straight line. The angle of elevation of $T$ from $P$ is $22^{\circ}$ and from $Q$ is $38^{\circ}$, where $PQ = 55$ m. Work out the height of the tower, correct to 3 significant figures.
$TB$ คือหอคอยตั้งฉากกับพื้นราบ โดย $B$, $Q$, $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมเงยของ $T$ จาก $P$ เท่ากับ $22^{\circ}$ และจาก $Q$ เท่ากับ $38^{\circ}$ โดย $PQ = 55$ ม. จงหาความสูงของหอคอย เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
The angle at the top is $38^{\circ}-22^{\circ} = 16^{\circ}$ — the difference of the two elevations, every time.มุมที่ยอดคือ $38^{\circ}-22^{\circ} = 16^{\circ}$ ซึ่งเป็นผลต่างของมุมเงยสองมุม และเป็นแบบนี้ทุกครั้ง
$TB$ is a vertical tower standing on horizontal ground. $B$, $Q$ and $P$ are points on the ground in a straight line. From $P$ the angle of elevation of the top of the tower is $27^{\circ}$. A surveyor walks $40$ m from $P$ straight towards the tower, to $Q$, where the angle of elevation is $41^{\circ}$.
Work out the height of the tower. Give your answer correct to 3 significant figures.
$TB$ คือหอคอยที่ตั้งฉากกับพื้นราบ จุด $B$, $Q$ และ $P$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จากจุด $P$ มุมเงยของยอดหอคอยเท่ากับ $27^{\circ}$ นักสำรวจเดินจาก $P$ ตรงเข้าหาหอคอยเป็นระยะ $40$ ม. มาถึงจุด $Q$ ซึ่งมุมเงยเท่ากับ $41^{\circ}$
จงหาความสูงของหอคอย ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
4 marks. The whole difficulty was choosing the triangle, and you chose it at question 4.4 คะแนน · ความยากทั้งหมดอยู่ที่การเลือกรูปสามเหลี่ยม และเลือกไปแล้วตั้งแต่ข้อ 4
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The scheme opens at $139^{\circ}$ — after the decision to leave the right angles alone.
A ship on two bearings เรือแล่นสองแบริ่ง
A ship leaves port $A$ and sails $18$ km on a bearing of $062^{\circ}$ to a buoy $B$. It then sails $25$ km on a bearing of $145^{\circ}$ to a point $C$.
(a) Write down the bearing of $A$ from $B$.
(b) Work out the size of angle $ABC$.
(c) Work out the distance $AC$. Give your answer correct to 3 significant figures.
เรือออกจากท่า $A$ แล่นเป็นระยะ $18$ กม. ตามแบริ่ง $062^{\circ}$ ไปยังทุ่น $B$ จากนั้นแล่นต่ออีก $25$ กม. ตามแบริ่ง $145^{\circ}$ ไปยังจุด $C$
(ก) จงเขียนแบริ่งของ $A$ จาก $B$
(ข) จงหาขนาดของมุม $ABC$
(ค) จงหาระยะทาง $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
A ship sails on a bearing of sixty-two degrees. Write that bearing as it must appear on an exam script.
เรือแล่นตามแบริ่งหกสิบสององศา จงเขียนแบริ่งนั้นตามรูปแบบที่ต้องใช้ในข้อสอบ
Answershow ▾
A bearing is measured from north, turning clockwise, and is always written with three figures.แบริ่งวัดจากทิศเหนือ หมุนตามเข็มนาฬิกา และเขียนด้วยตัวเลขสามหลักเสมอ
The bearing of $B$ from $A$ is $070^{\circ}$. Write down the bearing of $A$ from $B$.
แบริ่งของ $B$ จาก $A$ คือ $070^{\circ}$ จงเขียนแบริ่งของ $A$ จาก $B$
Answershow ▾
The two north lines are parallel, so the two bearings differ by half a turn.เส้นทิศเหนือสองเส้นขนานกัน แบริ่งสองค่าจึงต่างกันครึ่งรอบ
In a triangle, $b = 5$, $c = 7$ and the angle between them is $60^{\circ}$. Work out the third side $a$, correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง $b = 5$, $c = 7$ และมุมระหว่างสองด้านนี้เท่ากับ $60^{\circ}$ จงหาด้านที่สาม $a$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
The angle in the rule is always the one between the two sides you know.มุมในสูตรคือมุมที่อยู่ระหว่างด้านสองด้านที่รู้ค่าเสมอ
The bearing of $B$ from $A$ is $062^{\circ}$. Two students write the bearing of $A$ from $B$ as $242^{\circ}$ and as $-118^{\circ}$. Both turn to the same direction. Name the one that is a bearing, and write down the two rules that decide it.
แบริ่งของ $B$ จาก $A$ คือ $062^{\circ}$ นักเรียนสองคนเขียนแบริ่งของ $A$ จาก $B$ เป็น $242^{\circ}$ และ $-118^{\circ}$ ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน จงบอกว่าค่าใดเป็นแบริ่ง และเขียนกฎสองข้อที่ตัดสินเรื่องนี้
Answershow ▾
A bearing turns one way only, clockwise, and never goes backwards past north, so a negative bearing does not exist. That is also why $062^{\circ}-180^{\circ}$ is the wrong move here and $062^{\circ}+180^{\circ}$ is the right one: subtracting would take you below $000^{\circ}$. The B1 in part (a) is for the number $242$; the convention that produced it is worth nothing and produces the wrong number twice as often as the arithmetic does.แบริ่งหมุนทางเดียวคือตามเข็มนาฬิกา และไม่ย้อนกลับผ่านทิศเหนือ ดังนั้นแบริ่งค่าลบจึงไม่มี · นี่คือเหตุผลที่ $062^{\circ}-180^{\circ}$ ผิด และ $062^{\circ}+180^{\circ}$ ถูก เพราะการลบจะทำให้ต่ำกว่า $000^{\circ}$ · B1 ของข้อ (ก) ให้กับเลข $242$ ส่วนหลักการที่ทำให้ได้เลขนั้นไม่มีคะแนน และมันทำให้ตอบผิดบ่อยกว่าการคำนวณถึงสองเท่า
The ship sails from $A$ to $B$ on a bearing of $062^{\circ}$. Write down the bearing of $A$ from $B$.
เรือแล่นจาก $A$ ไป $B$ ตามแบริ่ง $062^{\circ}$ จงเขียนแบริ่งของ $A$ จาก $B$
Answershow ▾
Part (a), one mark. Draw the north line at $B$ before you write anything.ข้อ (ก) หนึ่งคะแนน · ให้ลากเส้นทิศเหนือที่จุด $B$ ก่อนจะเขียนอะไร
At $B$, the direction back to $A$ is $242^{\circ}$ and the direction on to $C$ is $145^{\circ}$. Angle $ABC$ is between those two directions. Pick the subtraction that gives it and say what the other two would be measuring.
(A) $242^{\circ}-145^{\circ}$ (B) $145^{\circ}-062^{\circ}$ (C) $180^{\circ}-145^{\circ}$
ที่จุด $B$ ทิศย้อนกลับไป $A$ คือ $242^{\circ}$ และทิศไปยัง $C$ คือ $145^{\circ}$ มุม $ABC$ อยู่ระหว่างสองทิศนี้ จงเลือกการลบที่ให้คำตอบ และบอกว่าอีกสองอย่างวัดอะไรอยู่
(A) $242^{\circ}-145^{\circ}$ (B) $145^{\circ}-062^{\circ}$ (C) $180^{\circ}-145^{\circ}$
Answershow ▾
An angle inside the triangle is the difference of the two bearings measured from the same point, and both of these are measured at $B$. (B) subtracts a bearing taken at $B$ from one taken at $A$, which is not an angle of anything; (C) is the angle between $BC$ and south. The M1 in part (b) is for the subtraction once it is on the page — drawing the north line at $B$, which is what makes $242$ and $145$ comparable, is worth nothing at all.มุมภายในสามเหลี่ยมคือผลต่างของแบริ่งสองค่าที่วัดจากจุดเดียวกัน และทั้งสองค่านี้วัดที่ $B$ · (B) เอาแบริ่งที่วัดที่ $B$ ลบด้วยแบริ่งที่วัดที่ $A$ ซึ่งไม่ใช่มุมของอะไรเลย · (C) คือมุมระหว่าง $BC$ กับทิศใต้ · M1 ของข้อ (ข) ให้กับการลบเมื่อเขียนลงไปแล้ว ส่วนการลากเส้นทิศเหนือที่ $B$ ซึ่งทำให้ $242$ กับ $145$ เทียบกันได้ ไม่มีคะแนนเลย
Work out the size of angle $ABC$.
จงหาขนาดของมุม $ABC$
Answershow ▾
Part (b), two marks. It is obtuse, and the picture agrees.ข้อ (ข) สองคะแนน · เป็นมุมป้าน และภาพก็ตรงกัน
In triangle $ABC$ you know $AB = 18$, $BC = 25$ and $\angle ABC = 97^{\circ}$, and you want $AC$. Name the rule you can start with, and say in one line why the sine rule cannot start.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ รู้ว่า $AB = 18$, $BC = 25$ และ $\angle ABC = 97^{\circ}$ และต้องการหา $AC$ จงบอกชื่อกฎที่เริ่มได้ และเขียนหนึ่งบรรทัดว่าทำไมกฎของไซน์เริ่มไม่ได้
Answershow ▾
The sine rule needs a side and the angle facing it. Here $97^{\circ}$ faces $AC$, which is the unknown, and the two known sides face angles nobody knows yet, so the sine rule has one equation and two unknowns. The cosine rule is the one that takes two sides and the angle between them. The first M1 of part (c) is for the substituted cosine rule; choosing between the two rules is the whole of the difficulty and carries no mark.กฎของไซน์ต้องมีด้านกับมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้น · ที่นี่ $97^{\circ}$ อยู่ตรงข้าม $AC$ ซึ่งคือตัวที่ไม่รู้ ส่วนด้านสองด้านที่รู้ค่าอยู่ตรงข้ามมุมที่ยังไม่รู้ กฎของไซน์จึงมีหนึ่งสมการแต่สองตัวไม่รู้ · กฎของโคไซน์คือกฎที่รับสองด้านกับมุมระหว่างกลาง · M1 แรกของข้อ (ค) ให้กับการแทนค่าในกฎของโคไซน์ · การเลือกระหว่างสองกฎคือความยากทั้งหมด และไม่มีคะแนนให้
Write the cosine rule for $AC$ with $AB = 18$, $BC = 25$ and $\angle ABC = 97^{\circ}$ substituted in.
จงเขียนกฎของโคไซน์สำหรับ $AC$ โดยแทน $AB = 18$, $BC = 25$ และ $\angle ABC = 97^{\circ}$
Answershow ▾
The angle is obtuse, so its cosine is negative and the last term will add.มุมเป็นมุมป้าน โคไซน์จึงเป็นลบ และพจน์สุดท้ายจะกลายเป็นการบวก
Work out the distance $AC$, correct to 3 significant figures.
จงหาระยะทาง $AC$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Part (c). $\cos 97^{\circ}$ is negative, so $1058.6$ is bigger than $18^{2}+25^{2}$ — check that it is.ข้อ (ค) · $\cos 97^{\circ}$ เป็นลบ $1058.6$ จึงมากกว่า $18^{2}+25^{2}$ · ให้ตรวจดูว่าเป็นอย่างนั้นจริง
A boat sails $9$ km from $P$ on a bearing of $040^{\circ}$ to $Q$, then $12$ km on a bearing of $130^{\circ}$ to $R$.
(a) Work out angle $PQR$. (b) Work out $PR$.
เรือแล่นจาก $P$ เป็นระยะ $9$ กม. ตามแบริ่ง $040^{\circ}$ ไปยัง $Q$ แล้วแล่นต่ออีก $12$ กม. ตามแบริ่ง $130^{\circ}$ ไปยัง $R$
(ก) จงหามุม $PQR$ (ข) จงหา $PR$
Answershow ▾
The bearing back is $220^{\circ}$, and $220^{\circ}-130^{\circ} = 90^{\circ}$, so Pythagoras finishes it.แบริ่งย้อนกลับคือ $220^{\circ}$ และ $220^{\circ}-130^{\circ} = 90^{\circ}$ · จึงใช้พีทาโกรัสจบได้เลย
A ship sails $30$ km from $A$ on a bearing of $050^{\circ}$ to $B$, then $40$ km on a bearing of $160^{\circ}$ to $C$.
(a) Write down the bearing of $A$ from $B$. (b) Work out angle $ABC$. (c) Work out $AC$, correct to 3 significant figures.
เรือแล่นจาก $A$ เป็นระยะ $30$ กม. ตามแบริ่ง $050^{\circ}$ ไปยัง $B$ แล้วแล่นต่ออีก $40$ กม. ตามแบริ่ง $160^{\circ}$ ไปยัง $C$
(ก) จงเขียนแบริ่งของ $A$ จาก $B$ (ข) จงหามุม $ABC$ (ค) จงหา $AC$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
This time the angle is acute, so $\cos 70^{\circ}$ is positive and the last term subtracts.คราวนี้มุมเป็นมุมแหลม $\cos 70^{\circ}$ จึงเป็นบวก และพจน์สุดท้ายเป็นการลบ
A ship leaves port $A$ and sails $18$ km on a bearing of $062^{\circ}$ to a buoy $B$. It then sails $25$ km on a bearing of $145^{\circ}$ to a point $C$.
(a) Write down the bearing of $A$ from $B$.
(b) Work out the size of angle $ABC$.
(c) Work out the distance $AC$. Give your answer correct to 3 significant figures.
เรือออกจากท่า $A$ แล่นเป็นระยะ $18$ กม. ตามแบริ่ง $062^{\circ}$ ไปยังทุ่น $B$ จากนั้นแล่นต่ออีก $25$ กม. ตามแบริ่ง $145^{\circ}$ ไปยังจุด $C$
(ก) จงเขียนแบริ่งของ $A$ จาก $B$
(ข) จงหาขนาดของมุม $ABC$
(ค) จงหาระยะทาง $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
6 marks, and the north line at $B$ is what unlocks all six.6 คะแนน และเส้นทิศเหนือที่จุด $B$ คือกุญแจของทั้งหกคะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $242^{\circ}-145^{\circ}$ A1 $\angle ABC = 97^{\circ}$.
(c) M1 $AC^{2} = 18^{2}+25^{2}-2(18)(25)\cos 97^{\circ}$ M1 $AC^{2} = 1058.6\ldots$ A1 $AC = 32.5$ km.
Nothing pays for drawing the north line at $B$, and without it part (b) cannot start.
One right angle, one angle split in two มุมฉากหนึ่งมุม กับมุมที่ถูกแบ่งเป็นสองส่วน
The diagram shows right-angled triangle $ABD$
$AB = 14$ cm $AD = 8$ cm
$C$ is the point on $BD$ such that angle $BAC = 38°$
Work out the length of $CD$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABD$
$AB = 14$ ซม. $AD = 8$ ซม.
$C$ เป็นจุดบน $BD$ ที่ทำให้มุม $BAC = 38°$
จงหาความยาวของ $CD$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
A right-angled triangle has hypotenuse $10$ cm. The side next to angle $x$ is $6$ cm. Work out $x$.
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. ด้านที่ติดกับมุม $x$ ยาว $6$ ซม. จงหา $x$
Answershow ▾
Adjacent and hypotenuse: use cos.ด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ใช้ cos
In a right-angled triangle, the side next to a $20^{\circ}$ angle is $5$ cm. Work out the side opposite the $20^{\circ}$ angle.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่ติดกับมุม $20^{\circ}$ ยาว $5$ ซม. จงหาด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $20^{\circ}$
Answershow ▾
Opposite and adjacent: use tan.ด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ใช้ tan
A $70^{\circ}$ angle is split into two parts. One part is $25^{\circ}$. Work out the other part.
มุม $70^{\circ}$ ถูกแบ่งเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งเป็น $25^{\circ}$ จงหาอีกส่วน
Answershow ▾
The two parts add up to the whole angle.สองส่วนรวมกันเท่ากับมุมทั้งมุม
In triangle $ABD$ the right angle is at $D$. You know $AB = 14$ and $AD = 8$. Which ratio gives $\angle BAD$?
(A) sin
(B) cos
(C) tan
สามเหลี่ยม $ABD$ มีมุมฉากที่ $D$ รู้ $AB = 14$ และ $AD = 8$ อัตราส่วนไหนให้ $\angle BAD$
(A) sin
(B) cos
(C) tan
Answershow ▾
$AB$ is opposite the right angle, so it is the hypotenuse. $AD$ is next to angle $A$.$AB$ อยู่ตรงข้ามมุมฉาก จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก · $AD$ อยู่ติดกับมุม $A$
Work out $\angle BAD$.
จงหา $\angle BAD$
Answershow ▾
Keep the full value on your calculator.เก็บค่าเต็มไว้ในเครื่องคิดเลข
$\angle BAC = 38^{\circ}$. Work out $\angle CAD$.
$\angle BAC = 38^{\circ}$ จงหา $\angle CAD$
Answershow ▾
$AC$ splits $\angle BAD$ into $38^{\circ}$ and $\angle CAD$.$AC$ แบ่ง $\angle BAD$ เป็น $38^{\circ}$ กับ $\angle CAD$
To find $CD$, which triangle do you use?
(A) $ABD$
(B) $ABC$
(C) $ACD$
จะหา $CD$ ต้องใช้สามเหลี่ยมไหน
(A) $ABD$
(B) $ABC$
(C) $ACD$
Answershow ▾
$ACD$ has the right angle at $D$, the side $AD = 8$ and the angle $\angle CAD$. $ABC$ has no right angle.$ACD$ มีมุมฉากที่ $D$ มีด้าน $AD = 8$ และมุม $\angle CAD$ · $ABC$ ไม่มีมุมฉาก
Work out $CD$, correct to 3 significant figures.
จงหา $CD$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
$CD$ is opposite $\angle CAD$. $AD$ is next to it.$CD$ อยู่ตรงข้าม $\angle CAD$ ส่วน $AD$ อยู่ติดกับมุม
Work out $8\tan 17.2^{\circ}$ and $8\tan 17.15\ldots^{\circ}$ to 3 significant figures. Which one is $CD$?
จงหา $8\tan 17.2^{\circ}$ และ $8\tan 17.15\ldots^{\circ}$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว ค่าไหนคือ $CD$
Answershow ▾
Rounding the angle first changes the last digit. That costs the A1.ปัดมุมก่อนทำให้หลักสุดท้ายเปลี่ยน · เสีย A1
Back to the exam numbers. $BD = 11.48\ldots$ cm. Work out $BC$.
กลับมาที่ตัวเลขข้อสอบ $BD = 11.48\ldots$ ซม. จงหา $BC$
Answershow ▾
$C$ is on $BD$, so $BC$ is what is left.$C$ อยู่บน $BD$ ดังนั้น $BC$ คือส่วนที่เหลือ
Right angle at $D$. $AB = 10$ cm, $AD = 5$ cm. $C$ is on $BD$ with $\angle BAC = 15^{\circ}$. Work out $CD$.
มุมฉากที่ $D$ $AB = 10$ ซม. $AD = 5$ ซม. $C$ อยู่บน $BD$ โดยที่ $\angle BAC = 15^{\circ}$ จงหา $CD$
Answershow ▾
Same three steps: cos, subtract, tan.สามขั้นเดิม: cos ลบมุม แล้ว tan
The diagram shows right-angled triangle $ABD$
$AB = 14$ cm $AD = 8$ cm
$C$ is the point on $BD$ such that angle $BAC = 38°$
Work out the length of $CD$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABD$
$AB = 14$ ซม. $AD = 8$ ซม.
$C$ เป็นจุดบน $BD$ ที่ทำให้มุม $BAC = 38°$
จงหาความยาวของ $CD$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
4 marks: an angle, a subtraction, a tan, the answer.4 คะแนน: หามุม ลบมุม ใช้ tan แล้วได้คำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 $\angle CAD = 55.15\ldots^{\circ} - 38^{\circ} = 17.15\ldots^{\circ}$
M1 $CD = 8\tan(17.15\ldots^{\circ})$
A1 $CD = 2.47$ cm.
Three ships: the cosine rule, then the sine rule เรือสามลำ: กฎของโคไซน์ แล้วกฎของไซน์
The diagram shows the positions of three ships, $A$, $B$ and $C$.
Diagram NOT accurately drawn
Ship $B$ is due north of ship $A$.
The bearing of ship $C$ from ship $A$ is $120°$
$AB = 150$ m $AC = 275$ m
Calculate the bearing of ship $C$ from ship $B$.
Give your answer correct to the nearest degree.
จากรูป ตำแหน่งของเรือสามลำ $A$, $B$ และ $C$ (Diagram NOT accurately drawn)
เรือ $B$ อยู่ทางทิศเหนือของเรือ $A$ พอดี
ทิศของเรือ $C$ จากเรือ $A$ คือ $120°$
$AB = 150$ ม. $AC = 275$ ม.
จงหาทิศของเรือ $C$ จากเรือ $B$
ให้คำตอบถูกต้องเป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
A triangle has sides $5$ cm and $7$ cm with $60^{\circ}$ between them. Work out the third side.
สามเหลี่ยมมีด้าน $5$ ซม. และ $7$ ซม. มีมุม $60^{\circ}$ อยู่ระหว่างสองด้าน จงหาด้านที่สาม
Answershow ▾
Two sides and the angle between them: cosine rule. $5^{2}+7^{2}=74$.สองด้านกับมุมระหว่างสองด้าน: กฎของโคไซน์ · $5^{2}+7^{2}=74$
In a triangle, $\dfrac{\sin B}{8} = \dfrac{\sin 40^{\circ}}{10}$. Work out $B$.
ในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง $\dfrac{\sin B}{8} = \dfrac{\sin 40^{\circ}}{10}$ จงหา $B$
Answershow ▾
Multiply by $8$, then use $\sin^{-1}$.คูณด้วย $8$ แล้วใช้ $\sin^{-1}$
$B$ is due north of $A$. At $B$, the angle between $BA$ and $BC$ is $50^{\circ}$, with $C$ to the east. Work out the bearing of $C$ from $B$.
$B$ อยู่ทางทิศเหนือของ $A$ พอดี ที่ $B$ มุมระหว่าง $BA$ กับ $BC$ เท่ากับ $50^{\circ}$ และ $C$ อยู่ทางตะวันออก จงหาทิศของ $C$ จาก $B$
Answershow ▾
From $B$, $A$ is due south: $180^{\circ}$. $C$ is $50^{\circ}$ back towards north.จาก $B$ จุด $A$ อยู่ทิศใต้พอดี คือ $180^{\circ}$ · $C$ ย้อนกลับไปทางเหนือ $50^{\circ}$
$B$ is due north of $A$. $C$ is on a bearing of $120^{\circ}$ from $A$. What is $\angle BAC$?
(A) $120^{\circ}$
(B) $60^{\circ}$
(C) $30^{\circ}$
$B$ อยู่ทางทิศเหนือของ $A$ พอดี $C$ อยู่ทิศ $120^{\circ}$ จาก $A$ แล้ว $\angle BAC$ เท่าไร
(A) $120^{\circ}$
(B) $60^{\circ}$
(C) $30^{\circ}$
Answershow ▾
A bearing is measured from north, and $AB$ points north. So the bearing is the angle.ทิศวัดจากทิศเหนือ และ $AB$ ชี้ไปทางเหนือ ทิศจึงเท่ากับมุมนี้
Work out $BC$.
จงหา $BC$
Answershow ▾
$150^{2}+275^{2} = 98125$ and $-2(150)(275)\cos 120^{\circ} = +41250$. $\cos 120^{\circ}$ is negative, so $BC^{2}$ gets bigger.$150^{2}+275^{2} = 98125$ และ $-2(150)(275)\cos 120^{\circ} = +41250$ · $\cos 120^{\circ}$ ติดลบ $BC^{2}$ จึงเพิ่มขึ้น
Work out $\angle ABC$.
จงหา $\angle ABC$
Answershow ▾
Pairs: $275$ is opposite $B$, $373.3\ldots$ is opposite $120^{\circ}$.จับคู่: $275$ อยู่ตรงข้าม $B$ และ $373.3\ldots$ อยู่ตรงข้าม $120^{\circ}$
$\angle ABC = 39.6^{\circ}$. What is the bearing of $C$ from $B$?
(A) $039.6^{\circ}$
(B) $140.4^{\circ}$
(C) $219.6^{\circ}$
$\angle ABC = 39.6^{\circ}$ ทิศของ $C$ จาก $B$ คือเท่าไร
(A) $039.6^{\circ}$
(B) $140.4^{\circ}$
(C) $219.6^{\circ}$
Answershow ▾
At $B$, north points away from $A$. $BA$ is $180^{\circ}$, and $C$ is $39.6^{\circ}$ round from $BA$ towards east.ที่ $B$ ทิศเหนือชี้ออกจาก $A$ · $BA$ คือ $180^{\circ}$ และ $C$ อยู่ห่างจาก $BA$ ไปทางตะวันออก $39.6^{\circ}$
Give the bearing of $C$ from $B$ to the nearest degree.
จงบอกทิศของ $C$ จาก $B$ เป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Round only at the end.ปัดเฉพาะตอนสุดท้าย
Work out the bearing of $B$ from $C$.
จงหาทิศของ $B$ จาก $C$
Answershow ▾
A back bearing is $180^{\circ}$ more (or less).ทิศย้อนกลับคือบวก (หรือลบ) $180^{\circ}$
In the exam question, why can you not use the sine rule first?
ในข้อสอบ ทำไมใช้กฎของไซน์ก่อนไม่ได้
Answershow ▾
The sine rule needs one side with its opposite angle. At the start you have two sides and the angle between them: that is the cosine rule.กฎของไซน์ต้องมีด้านหนึ่งกับมุมตรงข้ามครบคู่ · ตอนแรกมีสองด้านกับมุมระหว่างสองด้าน ต้องใช้กฎของโคไซน์
$B$ is due north of $A$. $C$ is on a bearing of $090^{\circ}$ from $A$. $AB = 30$ m, $AC = 40$ m. Work out the bearing of $C$ from $B$.
$B$ อยู่ทางทิศเหนือของ $A$ พอดี $C$ อยู่ทิศ $090^{\circ}$ จาก $A$ $AB = 30$ ม. $AC = 40$ ม. จงหาทิศของ $C$ จาก $B$
Answershow ▾
Same steps. $\cos 90^{\circ} = 0$, so the cosine rule gives $BC = 50$.ขั้นเดิม · $\cos 90^{\circ} = 0$ กฎของโคไซน์จึงได้ $BC = 50$
The diagram shows the positions of three ships, $A$, $B$ and $C$.
Diagram NOT accurately drawn
Ship $B$ is due north of ship $A$.
The bearing of ship $C$ from ship $A$ is $120°$
$AB = 150$ m $AC = 275$ m
Calculate the bearing of ship $C$ from ship $B$.
Give your answer correct to the nearest degree.
จากรูป ตำแหน่งของเรือสามลำ $A$, $B$ และ $C$ (Diagram NOT accurately drawn)
เรือ $B$ อยู่ทางทิศเหนือของเรือ $A$ พอดี
ทิศของเรือ $C$ จากเรือ $A$ คือ $120°$
$AB = 150$ ม. $AC = 275$ ม.
จงหาทิศของเรือ $C$ จากเรือ $B$
ให้คำตอบถูกต้องเป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
5 marks. Cosine rule, sine rule, then the bearing.5 คะแนน · กฎของโคไซน์ กฎของไซน์ แล้วทิศ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 $BC = \sqrt{139375} = 373.3\ldots$
dM1 $\dfrac{\sin(ABC)}{275} = \dfrac{\sin120^{\circ}}{373.3\ldots}$
M1 $\angle ABC = 39.6^{\circ}$
A1 $180^{\circ}-39.6^{\circ} = 140^{\circ}$.
A sketch of y = cos(x÷2)° ภาพร่างกราฟ y = cos(x÷2)°
(i) The diagram shows a sketch of the graph of $y = \cos(x\div2)°$
Find the coordinates of the point $A$
(ii) Find the coordinates of the point $B$
(i) แผนภาพแสดงภาพร่างกราฟของ $y = \cos(x\div2)°$
จงหาพิกัดของจุด $A$
(ii) จงหาพิกัดของจุด $B$
Between $0°$ and $360°$, $\cos x=0$ at two values of $x$. Write down the smaller one.
ระหว่าง $0°$ ถึง $360°$ $\cos x=0$ ที่ค่า $x$ สองค่า จงเขียนค่าที่น้อยกว่า
Answershow ▾
Cos starts at its biggest value and crosses zero a quarter of the way round.cos เริ่มที่ค่าสูงสุด แล้วตัดศูนย์เมื่อหมุนไปหนึ่งในสี่รอบ
Write down the coordinates of the minimum point of $y=\cos x$ for $0°\leqslant x\leqslant360°$.
จงเขียนพิกัดของจุดต่ำสุดของ $y=\cos x$ สำหรับ $0°\leqslant x\leqslant360°$
Answershow ▾
Cos reaches its lowest value, $-1$, after half a turn.cos มีค่าต่ำสุดคือ $-1$ เมื่อหมุนไปครึ่งรอบ
Solve $x\div2=90$ for $x$.
จงแก้สมการ $x\div2=90$ หา $x$
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$ to undo the divide.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$ เพื่อย้อนการหาร
The curve $y=\cos(x\div2)°$ first meets the $x$-axis at point $A$. Pick the first move.
(A) $x=90$
(B) $x\div2=90$
(C) $90\div2=45$
กราฟ $y=\cos(x\div2)°$ ตัดแกน $x$ ครั้งแรกที่จุด $A$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $x=90$
(B) $x\div2=90$
(C) $90\div2=45$
Answershow ▾
(A) sets $x$ itself to $90°$, but the angle going into $\cos$ is $x\div2$, not $x$. (C) divides the target angle by $2$ instead of writing the equation and solving for $x$.(A) ให้ $x$ เท่ากับ $90°$ ตรงๆ แต่มุมที่เข้า $\cos$ คือ $x\div2$ ไม่ใช่ $x$ · (C) หาร $90$ ด้วย $2$ แทนการตั้งสมการแล้วแก้หา $x$
$A$ is where $y=\cos(x\div2)°$ first meets the $x$-axis. Use question $1$’s angle to write $\cos(x\div2)°=0$ as an equation for $x\div2$.
$A$ คือจุดที่ $y=\cos(x\div2)°$ ตัดแกน $x$ ครั้งแรก จงใช้มุมจากข้อ $1$ เขียน $\cos(x\div2)°=0$ ให้อยู่ในรูปสมการของ $x\div2$
Answershow ▾
Same fact as question $1$: cos is first zero at $90°$, now written for the angle $x\div2$.ข้อเท็จจริงเดียวกับข้อ $1$: cos เป็นศูนย์ครั้งแรกที่ $90°$ แต่เขียนสำหรับมุม $x\div2$
Solve $x\div2=90$ for $x$. $A$ lies on the $x$-axis, so its $y$-coordinate is $0$. Write the coordinates of $A$.
จงแก้สมการ $x\div2=90$ หา $x$ · $A$ อยู่บนแกน $x$ จึงมีพิกัด $y$ เท่ากับ $0$ จงเขียนพิกัดของ $A$
Answershow ▾
Same move as question $3$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$
$B$ is where $y=\cos(x\div2)°$ reaches its minimum. Use question $2$’s angle for the minimum of $\cos$ to write the equation for $x\div2$ at $B$.
$B$ คือจุดที่ $y=\cos(x\div2)°$ มีค่าต่ำสุด จงใช้มุมจากข้อ $2$ เขียนสมการของ $x\div2$ ที่จุด $B$
Answershow ▾
Cos reaches its minimum at $180°$ (question $2$), now written for the angle $x\div2$.cos มีค่าต่ำสุดที่ $180°$ (ข้อ $2$) แต่เขียนสำหรับมุม $x\div2$
To find $x$ at point $B$, pick the first move.
(A) $x=180$
(B) $x\div2=180$
(C) $x=180\div2=90$
เพื่อหา $x$ ที่จุด $B$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $x=180$
(B) $x\div2=180$
(C) $x=180\div2=90$
Answershow ▾
(A) uses $x$ itself as the angle again, the same slip as before. (C) divides the target angle by $2$ a second time instead of solving the equation for $x$.(A) ใช้ $x$ เป็นมุมตรงๆ อีกครั้ง พลาดแบบเดิม · (C) หารมุมเป้าหมายด้วย $2$ อีกครั้ง แทนการแก้สมการหา $x$
Solve $x\div2=180$ for $x$. $B$ is the minimum point, with $y=-1$. Write the coordinates of $B$.
จงแก้สมการ $x\div2=180$ หา $x$ · $B$ เป็นจุดต่ำสุด มีค่า $y=-1$ จงเขียนพิกัดของ $B$
Answershow ▾
Same balancing move as question $5$: multiply both sides by $2$.ขั้นถ่วงดุลเดียวกับข้อ $5$: คูณทั้งสองข้างด้วย $2$
Check that point $A=(180,0)$ fits the curve. Work out $\cos(180\div2)°$. Does it equal $A$’s $y$-coordinate, $0$?
จงตรวจว่าจุด $A=(180,0)$ อยู่บนกราฟ โดยคำนวณ $\cos(180\div2)°$ ได้เท่ากับพิกัด $y$ ของ $A$ คือ $0$ หรือไม่
Answershow ▾
A point that fits the curve’s equation really is on the curve.จุดที่สอดคล้องกับสมการของกราฟ ย่อมอยู่บนกราฟจริง
A sketch shows $y=\cos(x\div3)°$ for $0°\leqslant x\leqslant720°$. $C$ is where the curve first meets the $x$-axis, and $D$ is its minimum point. Find the coordinates of $C$ and $D$.
ภาพร่างแสดงกราฟ $y=\cos(x\div3)°$ สำหรับ $0°\leqslant x\leqslant720°$ · $C$ คือจุดที่กราฟตัดแกน $x$ ครั้งแรก และ $D$ คือจุดต่ำสุด จงหาพิกัดของ $C$ และ $D$
Answershow ▾
Same two moves: set $x\div3$ equal to $90°$, then to $180°$, and solve each time.สองขั้นเดิม: ให้ $x\div3$ เท่ากับ $90°$ แล้วเท่ากับ $180°$ แล้วแก้สมการทั้งสองครั้ง
(i) The diagram shows a sketch of the graph of $y = \cos(x\div2)°$
Find the coordinates of the point $A$
(ii) Find the coordinates of the point $B$
(i) แผนภาพแสดงภาพร่างกราฟของ $y = \cos(x\div2)°$
จงหาพิกัดของจุด $A$
(ii) จงหาพิกัดของจุด $B$
Answershow ▾
2 marks, one for each point: find the angle, then solve for $x$.2 คะแนน จุดละ 1 คะแนน: หามุมก่อน แล้วแก้สมการหา $x$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos(x\div2)° = 0$
$x\div2 = 90$
$x = 180$
B1 B is the curve's minimumB คือจุดต่ำสุดของกราฟ
$x\div2 = 180$
$x = 360$
Find an angle with tan หามุมด้วยแทนเจนต์
The diagram shows a right-angled triangle.
Calculate the value of $x$.
Give your answer correct to one decimal place.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก
จงหาค่าของ $x$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
In this triangle, the side $4.7$ cm is adjacent to angle $x$, and the hypotenuse is not given. Name the side that is opposite $x$.
ในสามเหลี่ยมนี้ ด้าน $4.7$ ซม. อยู่ประชิดมุม $x$ และไม่มีด้านตรงข้ามมุมฉากให้ จงบอกชื่อด้านที่อยู่ตรงข้าม $x$
Answershow ▾
The side that does not touch $x$, and is not the hypotenuse, is opposite $x$.ด้านที่ไม่ประชิด $x$ และไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านตรงข้าม $x$
SOH, CAH, TOA: which one connects $O$ and $A$ only, with no $H$?
SOH, CAH, TOA: ตัวไหนเชื่อม $O$ กับ $A$ เท่านั้น ไม่มี $H$
Answershow ▾
TOA is the only one of the three that does not use the hypotenuse.TOA เป็นตัวเดียวในสามตัวที่ไม่ใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก
Round $35.88213\ldots$ to $1$ decimal place.
จงปัด $35.88213\ldots$ เป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
The second decimal digit is $8$, so round up.ทศนิยมตำแหน่งที่สองคือ $8$ จึงปัดขึ้น
The two given sides are opposite $x$ ($3.4$ cm) and adjacent to $x$ ($4.7$ cm); the hypotenuse is not given. Which ratio should you use to find $x$?
(A) $\sin x°=\dfrac{O}{H}$
(B) $\tan x°=\dfrac{O}{A}$
(C) $\cos x°=\dfrac{A}{H}$
ด้านที่โจทย์ให้คือด้านตรงข้าม $x$ ($3.4$ ซม.) และด้านประชิด $x$ ($4.7$ ซม.) ไม่มีด้านตรงข้ามมุมฉากให้ จงเลือกอัตราส่วนที่ใช้หา $x$
(A) $\sin x°=\dfrac{O}{H}$
(B) $\tan x°=\dfrac{O}{A}$
(C) $\cos x°=\dfrac{A}{H}$
Answershow ▾
(A) and (C) both need the hypotenuse, which is not given here; only tan uses $O$ and $A$ alone.(A) และ (C) ทั้งคู่ต้องใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งโจทย์ไม่ได้ให้ มีแต่ tan เท่านั้นที่ใช้ $O$ กับ $A$ เพียงสองด้าน
Using $O=3.4$ and $A=4.7$, write $\tan x°$ as a fraction.
ใช้ $O=3.4$ และ $A=4.7$ จงเขียน $\tan x°$ ในรูปเศษส่วน
Answershow ▾
Opposite divided by adjacent.ด้านตรงข้าม หารด้วยด้านประชิด
$\tan x° = 3.4\div4.7$. Use inverse tan to write $x$ in terms of this division.
$\tan x° = 3.4\div4.7$ จงใช้แทนเจนต์ผกผันเขียน $x$ ในรูปการหารนี้
Answershow ▾
Apply $\tan^{-1}$ to both sides.ใช้ $\tan^{-1}$ กับทั้งสองข้าง
Evaluate $x=\tan^{-1}(3.4\div4.7)$. Do not round yet.
จงคำนวณ $x=\tan^{-1}(3.4\div4.7)$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$3.4\div4.7=0.7234\ldots$, then take inverse tan.$3.4\div4.7=0.7234\ldots$ แล้วใช้แทนเจนต์ผกผัน
Round $x=35.88213\ldots°$ to $1$ decimal place.
จงปัด $x=35.88213\ldots°$ เป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same rounding rule as the warm-up, now on the real answer.กฎการปัดเศษเดิม นำมาใช้กับคำตอบจริง
Check: the hypotenuse is $\sqrt{3.4^{2}+4.7^{2}}=5.8009\ldots$ Using $\sin x°=\dfrac{3.4}{5.8009\ldots}$, does $x$ still round to $35.9°$?
ตรวจคำตอบ: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $\sqrt{3.4^{2}+4.7^{2}}=5.8009\ldots$ ใช้ $\sin x°=\dfrac{3.4}{5.8009\ldots}$ แล้ว $x$ ยังปัดได้ $35.9°$ หรือไม่
Answershow ▾
The opposite-adjacent and opposite-hypotenuse ratios must agree.อัตราส่วนตรงข้าม-ประชิด และตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก ต้องให้ผลตรงกัน
A right triangle has the side opposite angle $\theta$ equal to $5$, and the side adjacent to $\theta$ equal to $12$ (the hypotenuse is not given). Find $\theta$, correct to $1$ decimal place.
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุม $\theta$ ยาว $5$ และด้านประชิด $\theta$ ยาว $12$ (ไม่มีด้านตรงข้ามมุมฉากให้) จงหา $\theta$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same three moves: set up $\tan\theta$, inverse tan, then round.สามขั้นเดิม: ตั้ง $\tan\theta$ ใช้แทนเจนต์ผกผัน แล้วปัดเศษ
The diagram shows a right-angled triangle.
Calculate the value of $x$.
Give your answer correct to one decimal place.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก
จงหาค่าของ $x$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
3 marks: set up $\tan x°=3.4\div4.7$, apply inverse tan, then round to $1$ d.p.3 คะแนน: ตั้ง $\tan x°=3.4\div4.7$ ใช้แทนเจนต์ผกผัน แล้วปัดเศษทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\tan x° = 3.4\div4.7$
M1 inverse tangentแทนเจนต์ผกผัน
$x = \tan^{-1}(3.4\div4.7)$
A1 x to 1 d.p.x ปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$x = 35.9°$
A right triangle with one angle and one side สามเหลี่ยมมุมฉากที่รู้มุมและด้านหนึ่งด้าน
Here is a right-angled triangle.
Calculate the length of $PQ$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก
จงหาความยาวของ $PQ$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
A right-angled triangle $PQR$ has its right angle at $R$. Which side is the hypotenuse?
สามเหลี่ยมมุมฉาก $PQR$ มีมุมฉากอยู่ที่ $R$ ด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
Answershow ▾
The hypotenuse is the side opposite the right angle.ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $90°$
In the same triangle, angle $P=63°$. Side $PR$ touches angle $P$ and is not the hypotenuse. What is $PR$ called, relative to angle $P$?
ในสามเหลี่ยมเดิม มุม $P=63°$ ด้าน $PR$ ติดกับมุม $P$ และไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้าน $PR$ เรียกว่าอะไร เทียบกับมุม $P$
Answershow ▾
The side next to the angle, that is not the hypotenuse, is the adjacent side.ด้านที่ติดกับมุม และไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก เรียกว่าด้านประชิด
Which ratio connects the adjacent side and the hypotenuse: sine, cosine or tangent?
อัตราส่วนใดเชื่อมด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก: ไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์
Answershow ▾
$\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.$\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$
$PR=24.3$ cm is adjacent to $63°$; $PQ$ is the hypotenuse, unknown. Pick the equation.
(A) $\cos63°=\dfrac{24.3}{PQ}$
(B) $\sin63°=\dfrac{24.3}{PQ}$
(C) $\cos63°=\dfrac{PQ}{24.3}$
$PR=24.3$ ซม. ประชิดมุม $63°$ และ $PQ$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ยังไม่รู้ค่า จงเลือกสมการ
(A) $\cos63°=\dfrac{24.3}{PQ}$
(B) $\sin63°=\dfrac{24.3}{PQ}$
(C) $\cos63°=\dfrac{PQ}{24.3}$
Answershow ▾
(B) uses sine, but $24.3$ is adjacent, not opposite - sine needs the opposite side. (C) puts the hypotenuse on top, so it multiplies $PQ$ by $\cos63°$ instead of dividing $24.3$ by it.(B) ใช้ไซน์ แต่ $24.3$ คือด้านประชิด ไม่ใช่ด้านตรงข้าม ไซน์ต้องใช้ด้านตรงข้าม · (C) เอาด้านตรงข้ามมุมฉากไว้บนแทน ทำให้กลายเป็นคูณ $PQ$ ด้วย $\cos63°$ แทนการเอา $24.3$ มาหาร
Evaluate $\cos63°$, to $4$ decimal places.
จงคำนวณ $\cos63°$ ถึงทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the cos button on your calculator.ใช้ปุ่ม cos บนเครื่องคิดเลข
Rearrange $\cos63°=\dfrac{24.3}{PQ}$ to make $PQ$ the subject.
จงจัดรูป $\cos63°=\dfrac{24.3}{PQ}$ ให้ $PQ$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
$PQ$ is on the bottom, so swap it with $\cos63°$.$PQ$ อยู่ด้านล่าง จึงสลับตำแหน่งกับ $\cos63°$
Work out $PQ=\dfrac{24.3}{\cos63°}$. Do not round yet.
จงคำนวณ $PQ=\dfrac{24.3}{\cos63°}$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Divide $24.3$ by the unrounded value of $\cos63°$.นำ $24.3$ หารด้วยค่า $\cos63°$ ที่ยังไม่ปัดเศษ
Round $53.525\ldots$ to $3$ significant figures.
จงปัด $53.525\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The 4th figure is $2$, so round down.ตัวเลขที่ 4 คือ $2$ จึงปัดลง
Check: does $24.3\div\cos63°$ give close to $53.5$?
ตรวจ: $24.3\div\cos63°$ ได้ใกล้เคียง $53.5$ หรือไม่
Answershow ▾
The unrounded value from question 6 rounds to the same answer.ค่าที่ยังไม่ปัดเศษจากข้อ 6 ปัดเศษแล้วได้คำตอบเดียวกัน
A right-angled triangle $XYZ$ has its right angle at $Z$. Angle $X=60°$ and side $XZ=10$ cm (adjacent to $X$). Work out $XY$, the hypotenuse.
สามเหลี่ยมมุมฉาก $XYZ$ มีมุมฉากอยู่ที่ $Z$ มุม $X=60°$ และด้าน $XZ=10$ ซม. (ประชิดมุม $X$) จงหา $XY$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
Answershow ▾
Same move: $\cos60°=\dfrac{10}{XY}$.ขั้นเดิม: $\cos60°=\dfrac{10}{XY}$
Here is a right-angled triangle.
Calculate the length of $PQ$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก
จงหาความยาวของ $PQ$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
3 marks: the cosine ratio, rearrange for $PQ$, then $3$ s.f.3 คะแนน: อัตราส่วนโคไซน์ จัดรูปหา $PQ$ แล้วปัดเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos63° = 24.3\div PQ$
M1 rearrange for PQจัดรูปหา PQ
$PQ = 24.3\div\cos63°$
A1 PQ to 3 s.f.PQ ปัดเป็น 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$PQ = 53.5\text{ cm}$
A vertical pole on a rectangular field เสาตั้งฉากบนสนามสี่เหลี่ยมผืนผ้า
$ABCD$ is a horizontal rectangular field.
A vertical pole, $AE$, is placed at the corner $A$ of the field.
$AE = 12$ m $AB = 18$ m $AD = 8$ m
Calculate the size of the angle between $EC$ and the plane $ABCD$
Give your answer correct to one decimal place.
$ABCD$ เป็นสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวนอน
มีเสาตั้งฉาก $AE$ ปักอยู่ที่มุม $A$ ของสนาม
$AE = 12$ ม. $AB = 18$ ม. $AD = 8$ ม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $EC$ กับระนาบ $ABCD$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
A rectangle has sides $18$ m and $8$ m. Work out the length of its diagonal. Leave your answer as a square root.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้าน $18$ ม. และ $8$ ม. จงหาความยาวเส้นทแยงมุม ให้คำตอบอยู่ในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
Square both sides and add, then square root. Do not evaluate the root yet.ยกกำลังสองทั้งสองด้านแล้วบวกกัน จึงถอดราก ยังไม่ต้องคำนวณค่าราก
In a right-angled triangle, the side opposite an angle $\theta$ is $12$ and the side adjacent to it is $\sqrt{388}$. Write the equation for $\tan(\theta)$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม $\theta$ ยาว $12$ และด้านประชิดมุมนั้นยาว $\sqrt{388}$ จงเขียนสมการ $\tan(\theta)$
Answershow ▾
Tangent is opposite over adjacent.แทนเจนต์ คือ ด้านตรงข้าม หารด้วย ด้านประชิด
$\tan(\theta) = 12\div\sqrt{388}$. Work out $\theta$, correct to $1$ decimal place.
$\tan(\theta) = 12\div\sqrt{388}$ จงหาค่า $\theta$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the inverse tangent button, then round.ใช้ปุ่มแทนเจนต์ผกผัน แล้วปัดเศษ
$ABCD$ is the horizontal field, and $AE$ is the vertical pole at $A$. To find the angle between $EC$ and the field, you need a flat right-angled triangle that contains that angle. Which three points make it?
(A) $A,B,C$
(B) $A,B,E$
(C) $A,C,E$
$ABCD$ คือสนามแนวนอน และ $AE$ คือเสาตั้งฉากที่จุด $A$ หากจะหามุมระหว่าง $EC$ กับสนาม ต้องใช้สามเหลี่ยมมุมฉากแบนที่มีมุมนั้นอยู่ ใช้จุดสามจุดใด
(A) $A,B,C$
(B) $A,B,E$
(C) $A,C,E$
Answershow ▾
(A) is flat inside the field itself, with no height, so it carries no angle to the field. (B) leaves out $C$, so it has no line $EC$ at all. Only (C) holds the pole $AE$, the diagonal $AC$, and the line $EC$ together.(A) $A,B,C$ เป็นรูปแบนอยู่ในสนามเอง ไม่มีความสูง จึงไม่มีมุมกับสนาม · (B) $A,B,E$ ไม่มีจุด $C$ จึงไม่มีเส้น $EC$ อยู่ด้วยซ้ำ · มีแค่ (C) ที่มีเสา $AE$ เส้นทแยงมุม $AC$ และเส้น $EC$ อยู่ครบในสามเหลี่ยมแบนรูปเดียว
$AB=18$ m and $AD=8$ m. Work out $AC$, the diagonal of the field, using Pythagoras. Leave it as a square root.
$AB=18$ ม. และ $AD=8$ ม. จงหา $AC$ เส้นทแยงมุมของสนาม โดยใช้พีทาโกรัส ให้คำตอบอยู่ในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
Same calculation as question $1$, now with the field's own letters.คำนวณเหมือนข้อ $1$ เพียงแต่ใช้ตัวอักษรของสนามจริง
In right-angled triangle $ACE$ (right angle at $A$), $AE=12$ m is opposite $\angle ECA$ and $AC=\sqrt{388}$ m is adjacent. Write the equation for $\tan(\angle ECA)$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $ACE$ (มุมฉากอยู่ที่ $A$) ด้าน $AE=12$ ม. อยู่ตรงข้ามมุม $\angle ECA$ และ $AC=\sqrt{388}$ ม. อยู่ประชิดมุมนั้น จงเขียนสมการ $\tan(\angle ECA)$
Answershow ▾
Opposite over adjacent, using the field's own letters.ด้านตรงข้ามหารด้วยด้านประชิด โดยใช้ตัวอักษรของสนามจริง
Work out $\angle ECA=\tan^{-1}\left(12\div\sqrt{388}\right)$, correct to $1$ decimal place.
จงหา $\angle ECA=\tan^{-1}\left(12\div\sqrt{388}\right)$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same rounding rule as question $3$, now on the real angle.กฎการปัดเศษเดิมจากข้อ $3$ นำมาใช้กับมุมจริง
Write the whole calculation for $\angle ECA$, from $AC$ to the final angle, as one chain.
จงเขียนวิธีคำนวณ $\angle ECA$ ทั้งหมด ตั้งแต่ $AC$ จนถึงมุมสุดท้าย เป็นขั้นตอนเดียว
Answershow ▾
Chain the diagonal straight into the tangent, without writing $AC$ on its own line.ต่อเส้นทแยงมุมเข้ากับแทนเจนต์โดยตรง ไม่ต้องเขียน $AC$ แยกบรรทัด
Check using $EC=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}$ and $\sin(\angle ECA)=AE\div EC$. Does this give close to $31.4°$?
ตรวจโดยใช้ $EC=\sqrt{AE^{2}+AC^{2}}$ และ $\sin(\angle ECA)=AE\div EC$ ได้ใกล้เคียง $31.4°$ หรือไม่
Answershow ▾
A different ratio in the same triangle gives the same angle.อัตราส่วนอีกแบบในสามเหลี่ยมเดียวกัน ให้มุมเท่ากัน
$PQRS$ is a horizontal rectangular field. A vertical pole, $PT$, is at corner $P$. $PQ=15$ m, $PS=8$ m, $PT=17$ m. Calculate the angle between $TR$ and the plane $PQRS$, correct to $1$ decimal place.
$PQRS$ เป็นสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวนอน มีเสาตั้งฉาก $PT$ อยู่ที่มุม $P$ โดย $PQ=15$ ม. $PS=8$ ม. และ $PT=17$ ม. จงหาขนาดของมุมระหว่าง $TR$ กับระนาบ $PQRS$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same two moves: Pythagoras on the base, then the inverse tangent.สองขั้นเดิม: พีทาโกรัสบนพื้นสนาม แล้วใช้แทนเจนต์ผกผัน
$ABCD$ is a horizontal rectangular field.
A vertical pole, $AE$, is placed at the corner $A$ of the field.
$AE = 12$ m $AB = 18$ m $AD = 8$ m
Calculate the size of the angle between $EC$ and the plane $ABCD$
Give your answer correct to one decimal place.
$ABCD$ เป็นสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวนอน
มีเสาตั้งฉาก $AE$ ปักอยู่ที่มุม $A$ ของสนาม
$AE = 12$ ม. $AB = 18$ ม. $AD = 8$ ม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $EC$ กับระนาบ $ABCD$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
3 marks: the diagonal $AC$ by Pythagoras, then the inverse tangent of $AE\div AC$.3 คะแนน: เส้นทแยงมุม $AC$ ด้วยพีทาโกรัส แล้วใช้แทนเจนต์ผกผันของ $AE\div AC$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$AC = \sqrt{18^{2}+8^{2}}$
$= \sqrt{388}$
M1 tangent of the EC-base angleแทนเจนต์ของมุมระหว่าง EC กับพื้น
$\tan(\text{angle}) = AE\div AC$
$= 12\div\sqrt{388}$
A1 angle to 1 d.p.มุมปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$\text{angle} = 31.4°$
Perimeter via the hidden right triangle เส้นรอบรูปผ่านสามเหลี่ยมมุมฉากที่ซ่อนอยู่
Here is isosceles triangle $ABC$.
$D$ is the midpoint of $AC$ and $DB = 16$ cm.
Angle $DAB = 65°$
Work out the perimeter of triangle $ABC$.
Give your answer correct to one decimal place.
นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$
$D$ คือจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $DB = 16$ ซม.
มุม $DAB = 65°$
จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $ABC$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
In a right-angled triangle, the angle is $65°$ and the side opposite is $16$. The adjacent side is $p$. Write the equation connecting $\tan65°$ to $p$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งมีขนาด $65°$ และด้านตรงข้ามยาว $16$ ด้านประชิดคือ $p$ จงเขียนสมการที่เชื่อม $\tan65°$ กับ $p$
Answershow ▾
tan equals opposite divided by adjacent.tan เท่ากับ ด้านตรงข้าม หารด้วย ด้านประชิด
Rearrange $\tan65°=16\div p$ to make $p$ the subject, then evaluate it. Do not round yet.
จัดรูป $\tan65°=16\div p$ ให้ $p$ เป็นตัวตั้ง แล้วคำนวณค่า ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Divide $16$ by $\tan65°$.เอา $16$ หารด้วย $\tan65°$
In the same right-angled triangle, the angle is $65°$, the side opposite is $16$, and the hypotenuse is $q$. Write the equation connecting $\sin65°$ to $q$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉากเดิม มุมมีขนาด $65°$ ด้านตรงข้ามยาว $16$ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $q$ จงเขียนสมการที่เชื่อม $\sin65°$ กับ $q$
Answershow ▾
sin equals opposite divided by hypotenuse.sin เท่ากับ ด้านตรงข้าม หารด้วย ด้านตรงข้ามมุมฉาก
Triangle $ABC$ is isosceles, but it has no right angle. $D$ is the midpoint of $AC$, and $DB=16$ cm. Which triangle do you use $\tan$ and $\sin$ in?
(A) triangle $ABC$, using angle $A=65°$
(B) triangle $ADB$, which has a right angle at $D$
(C) triangle $DBC$, which also has a right angle at $D$
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นหน้าจั่ว แต่ไม่มีมุมฉาก $D$ คือจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $DB=16$ ซม. จะใช้ $\tan$ และ $\sin$ ในสามเหลี่ยมใด
(A) สามเหลี่ยม $ABC$ โดยใช้มุม $A=65°$
(B) สามเหลี่ยม $ADB$ ซึ่งมีมุมฉากที่ $D$
(C) สามเหลี่ยม $DBC$ ซึ่งมีมุมฉากที่ $D$ ด้วย
Answershow ▾
(A) $ABC$ has no right angle, so $\tan$ and $\sin$ do not apply to it directly. (C) $DBC$ has a right angle too, but $65°$ is angle $DAB$ at $A$, not an angle of $DBC$.(A) $ABC$ ไม่มีมุมฉาก จึงใช้ $\tan$ และ $\sin$ ตรงๆ ไม่ได้ · (C) $DBC$ มีมุมฉากเหมือนกัน แต่ $65°$ คือมุม $DAB$ ที่จุด $A$ ไม่ใช่มุมของ $DBC$
Triangle $ADB$ has a right angle at $D$. Angle $DAB=65°$ and $DB=16$ cm. Write the equation connecting $\tan65°$ to $AD$.
สามเหลี่ยม $ADB$ มีมุมฉากที่ $D$ มุม $DAB=65°$ และ $DB=16$ ซม. จงเขียนสมการที่เชื่อม $\tan65°$ กับ $AD$
Answershow ▾
Same ratio as question $1$, now with the real triangle.อัตราส่วนเดียวกับข้อ $1$ แต่เปลี่ยนมาใช้สามเหลี่ยมจริง
Rearrange $\tan65°=16\div AD$ to make $AD$ the subject, then evaluate it. Do not round yet.
จัดรูป $\tan65°=16\div AD$ ให้ $AD$ เป็นตัวตั้ง แล้วคำนวณค่า ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Same rearrange as question $2$.จัดรูปแบบเดียวกับข้อ $2$
$D$ is the midpoint of $AC$, and $AD=7.4609\ldots$ You need $AC$. Which is it?
(A) $AC=AD$
(B) $AC=2\times AD$
(C) $AC=AD+16$
$D$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $AD=7.4609\ldots$ ต้องการ $AC$ แบบใด
(A) $AC=AD$
(B) $AC=2\times AD$
(C) $AC=AD+16$
Answershow ▾
(A) forgets that $D$ is the midpoint, so $AD$ is only half of $AC$. (C) adds $AD$ to $DB=16$, two different sides that do not combine this way.(A) ลืมว่า $D$ เป็นจุดกึ่งกลาง ทำให้ $AD$ เป็นครึ่งหนึ่งของ $AC$ เท่านั้น · (C) เอา $AD$ ไปบวกกับ $DB=16$ ซึ่งเป็นด้านคนละด้านที่รวมกันแบบนี้ไม่ได้
$DB=16$ cm is opposite angle $DAB=65°$, and $AB$ is the hypotenuse of triangle $ADB$. Write the equation connecting $\sin65°$ to $AB$, then evaluate it. Do not round yet.
$DB=16$ ซม. อยู่ตรงข้ามมุม $DAB=65°$ และ $AB$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม $ADB$ จงเขียนสมการที่เชื่อม $\sin65°$ กับ $AB$ แล้วคำนวณค่า ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Same ratio as question $3$, now with the real triangle.อัตราส่วนเดียวกับข้อ $3$ แต่เปลี่ยนมาใช้สามเหลี่ยมจริง
Using $AB=17.6540\ldots$ and $AC=14.9218\ldots$, write the unrounded perimeter of triangle $ABC$.
ใช้ $AB=17.6540\ldots$ และ $AC=14.9218\ldots$ จงเขียนเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $ABC$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
perimeter equals AB plus AB plus AC.เส้นรอบรูป เท่ากับ AB บวก AB บวก AC
Round $50.2299\ldots$ to $1$ decimal place. Then check: is $AB+AB$ bigger than $AC$, as it must be in any triangle?
จงปัด $50.2299\ldots$ เป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง แล้วตรวจ: $AB+AB$ มากกว่า $AC$ หรือไม่ ตามที่ต้องเป็นในสามเหลี่ยมใดๆ
Answershow ▾
The first decimal digit is $9$, so round up. Two sides together always beat the third.ทศนิยมตำแหน่งแรกคือ $9$ จึงปัดขึ้น · สองด้านรวมกันต้องมากกว่าด้านที่สามเสมอ
In isosceles triangle $ABC$, $D$ is the midpoint of $AC$ and $DB=14$ cm. Angle $DAB=70°$. Work out the perimeter of triangle $ABC$, correct to $1$ decimal place.
ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$ $D$ คือจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $DB=14$ ซม. มุม $DAB=70°$ จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $ABC$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same four moves: tan for AD, double for AC, sine for AB, then add and round.สี่ขั้นเดิม: tan หา AD เท่าตัวหา AC ไซน์หา AB แล้วบวกและปัดเศษ
Here is isosceles triangle $ABC$.
$D$ is the midpoint of $AC$ and $DB = 16$ cm.
Angle $DAB = 65°$
Work out the perimeter of triangle $ABC$.
Give your answer correct to one decimal place.
นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$
$D$ คือจุดกึ่งกลางของ $AC$ และ $DB = 16$ ซม.
มุม $DAB = 65°$
จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม $ABC$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
4 marks: tan for AD, double for AC, sine for AB, then add and round to $1$ d.p.4 คะแนน: tan หา AD เท่าตัวหา AC ไซน์หา AB แล้วบวกและปัดเศษเป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\tan65° = 16\div AD$
M1 AD rearrangedจัดรูปหา AD
$AD = 16\div\tan65°$
M1 AB from sine, then ACหา AB ด้วยไซน์ แล้วหา AC
$AB = 16\div\sin65°$
$AC = 2\times AD$
A1 perimeter to 1 d.p.เส้นรอบรูปปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$\text{perimeter} = AB+AB+AC$
$= 50.2\text{ cm}$
The point straight under the top corner จุดที่อยู่ใต้มุมบนพอดี
The diagram shows a cuboid $ABCDEFGH$.
$EH = 9$ cm, $HG = 5$ cm and $GB = 6$ cm.
Work out the size of the angle between $AH$ and the plane $EFGH$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงทรงลูกบาศก์ผืนผ้า $ABCDEFGH$
$EH = 9$ ซม. $HG = 5$ ซม. $GB = 6$ ซม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $AH$ กับระนาบ $EFGH$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
A rectangle has sides $9$ cm and $5$ cm. Use Pythagoras to find its diagonal. Leave your answer as a surd.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้าน $9$ ซม. และ $5$ ซม. จงใช้พีทาโกรัสหาเส้นทแยงมุม ตอบในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
Square both sides, add, then square root.ยกกำลังสองทั้งสองด้าน บวกกัน แล้วถอดราก
In a right-angled triangle, the side opposite an angle is $6$ cm and the side adjacent to it is $8$ cm. Write $\tan(\text{angle})$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมยาว $6$ ซม. และด้านประชิดมุมยาว $8$ ซม. จงเขียน $\tan(\text{angle})$
Answershow ▾
$\tan(\text{angle})$ is the opposite side divided by the adjacent side.$\tan(\text{angle})$ คือด้านตรงข้ามหารด้วยด้านประชิด
Round $42.371$ to $3$ significant figures.
จงปัดเศษ $42.371$ เป็น $3$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
The first 3 significant digits are $4$, $2$, $3$; the next digit $7$ rounds the $3$ up to $4$.เลขนัยสำคัญ 3 ตัวแรกคือ $4$, $2$, $3$ หลักถัดไปคือ $7$ จึงปัด $3$ ขึ้นเป็น $4$
$AH$ is drawn between top vertex $A$ and base vertex $H$. To find the angle between $AH$ and the base $EFGH$, pick the point directly below $A$, on the base.
(A) $E$
(B) $F$
(C) $H$
$AH$ ลากจากมุมบน $A$ ไปยังมุมฐาน $H$ หากต้องการหามุมระหว่าง $AH$ กับฐาน $EFGH$ จงเลือกจุดที่อยู่ใต้ $A$ พอดีบนฐาน
(A) $E$
(B) $F$
(C) $H$
Answershow ▾
(A) $AE$ runs across a side face, not straight down. (C) $H$ is the other end of $AH$ itself. The vertical edges join $A$ to $F$, so $F$ is directly below $A$.(A) $AE$ พาดผ่านหน้าด้านข้าง ไม่ได้ตั้งฉากลงมา · (C) $H$ คือจุดปลายอีกด้านของ $AH$ เอง · ด้านตั้งฉากของทรงเชื่อม $A$ กับ $F$ ดังนั้น $F$ คือจุดที่อยู่ใต้ $A$
$AF = GB = 6$ cm and $FH = \sqrt{106}$ cm (question $1$). Using the right triangle $AFH$, write $\tan(\text{angle})$, as question $[D]$ chose.
$AF = GB = 6$ ซม. และ $FH = \sqrt{106}$ ซม. (ข้อ $1$) ใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก $AFH$ จงเขียน $\tan(\text{angle})$ ตามที่เลือกไว้ในข้อ $[D]$
Answershow ▾
Opposite ($AF$) divided by adjacent ($FH$), the triangle from question $[D]$.ด้านตรงข้าม ($AF$) หารด้วยด้านประชิด ($FH$) ตามสามเหลี่ยมในข้อ $[D]$
Write the equation for the angle, using $\tan^{-1}$.
จงเขียนสมการของมุม โดยใช้ $\tan^{-1}$
Answershow ▾
Undo tan with its inverse on both sides.ยกเลิก $\tan$ ด้วยฟังก์ชันผกผันทั้งสองข้าง
Evaluate $\tan^{-1}(6\div\sqrt{106})$, in degrees, to at least $4$ decimal places.
จงคำนวณ $\tan^{-1}(6\div\sqrt{106})$ เป็นองศา อย่างน้อย $4$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
$6\div\sqrt{106}=0.5828$, then apply $\tan^{-1}$.$6\div\sqrt{106}=0.5828$ แล้วใช้ $\tan^{-1}$
Round $30.2324°$ to $3$ significant figures, the same way question $3$ rounded.
จงปัดเศษ $30.2324°$ เป็น $3$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ ด้วยวิธีเดียวกับข้อ $3$
Answershow ▾
The next digit after $30.2$ is $3$, so it rounds down.หลักถัดไปหลัง $30.2$ คือ $3$ จึงปัดลง
Check: evaluate $\tan(30.2°)$ to $2$ decimal places. Does it match $6\div\sqrt{106}$ to $2$ decimal places?
ตรวจคำตอบ: จงคำนวณ $\tan(30.2°)$ ถึง $2$ ตำแหน่งทศนิยม ตรงกับ $6\div\sqrt{106}$ ถึง $2$ ตำแหน่งทศนิยมหรือไม่
Answershow ▾
The rounded angle gives back the same tangent, to this precision.มุมที่ปัดเศษแล้ว ให้ค่าแทนเจนต์เดิม ในความละเอียดนี้
A cuboid $ABCDEFGH$ has $EH = 8$ cm, $HG = 6$ cm and $GB = 10$ cm ($A$ directly above $F$). Work out the angle between $AH$ and the plane $EFGH$.
ทรงลูกบาศก์ผืนผ้า $ABCDEFGH$ มี $EH = 8$ ซม., $HG = 6$ ซม. และ $GB = 10$ ซม. ($A$ อยู่เหนือ $F$ พอดี) จงหามุมระหว่าง $AH$ กับระนาบ $EFGH$
Answershow ▾
Same three moves: $FH$ by Pythagoras, $\tan^{-1}(AF\div FH)$, then round.สามขั้นเดิม: หา $FH$ ด้วยพีทาโกรัส หา $\tan^{-1}(AF\div FH)$ แล้วปัดเศษ
The diagram shows a cuboid $ABCDEFGH$.
$EH = 9$ cm, $HG = 5$ cm and $GB = 6$ cm.
Work out the size of the angle between $AH$ and the plane $EFGH$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงทรงลูกบาศก์ผืนผ้า $ABCDEFGH$
$EH = 9$ ซม. $HG = 5$ ซม. $GB = 6$ ซม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $AH$ กับระนาบ $EFGH$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
4 marks: $FH$ by Pythagoras in the base, $\tan(\text{angle})=AF\div FH$, $\tan^{-1}$, then round to 3 s.f.4 คะแนน: หา $FH$ ด้วยพีทาโกรัสบนฐาน $\tan(\text{angle})=AF\div FH$ แล้ว $\tan^{-1}$ แล้วปัดเป็น 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$FH = \sqrt{EH^{2}+HG^{2}}$
$= \sqrt{9^{2}+5^{2}}$
M1 tangent of the AH-base angleแทนเจนต์ของมุมระหว่าง AH กับฐาน
$\tan(\text{angle}) = GB\div FH$
M1 angle from inverse tangentหามุมด้วยแทนเจนต์ผกผัน
$\text{angle} = \tan^{-1}(GB\div FH)$
A1 angle to 3 s.f.มุมปัดเป็น 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$\text{angle} = 30.2°$
A right angle, split by a line to a point มุมฉากที่ถูกแบ่งด้วยเส้นไปยังจุดหนึ่ง
The diagram shows right-angled triangle $ABD$
$AB = 14$ cm $AD = 8$ cm
$C$ is the point on $BD$ such that angle $BAC = 38°$
Work out the length of $CD$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABD$
$AB = 14$ ซม. $AD = 8$ ซม.
$C$ เป็นจุดบน $BD$ ที่ทำให้มุม $BAC = 38°$
จงหาความยาวของ $CD$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
In a right-angled triangle, the hypotenuse is $14$ cm and the side next to the angle is $8$ cm. Find the angle, correct to $1$ decimal place.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้าน hypotenuse ยาว $14$ ซม. และด้านที่ติดกับมุม (adjacent) ยาว $8$ ซม. จงหามุม ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
cos is adjacent over hypotenuse: take $\cos^{-1}$ of $8\div14$.cos คือ adjacent หารด้วย hypotenuse: หา $\cos^{-1}$ ของ $8\div14$
An angle of $55.2°$ is split into two parts by a ray from one of its sides. One part is $38°$. Find the other part.
มุม $55.2°$ ถูกแบ่งเป็นสองส่วนด้วยรังสีจากด้านหนึ่งของมัน ส่วนหนึ่งมีขนาด $38°$ จงหาขนาดของอีกส่วนที่เหลือ
Answershow ▾
The two parts add up to the whole angle, so subtract one part from the whole.สองส่วนรวมกันได้มุมทั้งหมด จึงใช้การลบส่วนหนึ่งออกจากมุมทั้งหมด
In a right-angled triangle, the angle is $38°$ and the side next to it is $8$ cm. Find the side opposite the angle, correct to $3$ significant figures.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมมีขนาด $38°$ และด้านที่ติดกับมุม (adjacent) ยาว $8$ ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุม ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
tan is opposite over adjacent, so multiply by the adjacent side.tan คือ opposite หารด้วย adjacent จึงคูณด้วยด้าน adjacent
You know angle $BAD$ (from $AB$ and $AD$) and angle $BAC=38°$. To find $CD$, pick the first move.
(A) $CD=AD\times\tan(\angle BAD)$
(B) $CD=AD\times\tan(\angle BAD-\angle BAC)$
(C) $CD=AB\times\sin(\angle BAC)$
เรารู้มุม $BAD$ (จาก $AB$ และ $AD$) และมุม $BAC=38°$ เพื่อหา $CD$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $CD=AD\times\tan(\angle BAD)$
(B) $CD=AD\times\tan(\angle BAD-\angle BAC)$
(C) $CD=AB\times\sin(\angle BAC)$
Answershow ▾
(A) uses angle $BAD$, which belongs to the bigger triangle $ABD$ - that gives $BD$, not $CD$. (C) treats triangle $ABC$ as right-angled at $C$, but the right angle is at $D$, so sine cannot be used there.(A) ใช้มุม $BAD$ ซึ่งเป็นมุมของสามเหลี่ยมใหญ่ $ABD$ จะได้ $BD$ ไม่ใช่ $CD$ · (C) ถือว่าสามเหลี่ยม $ABC$ มีมุมฉากที่ $C$ แต่มุมฉากจริงอยู่ที่ $D$ จึงใช้ไซน์ที่นั่นไม่ได้
Triangle $ABD$ is right-angled at $D$. $AB=14$ cm, $AD=8$ cm. Use cosine to find angle $BAD$, correct to $1$ decimal place.
สามเหลี่ยม $ABD$ มีมุมฉากที่ $D$ โดย $AB=14$ ซม. และ $AD=8$ ซม. จงใช้โคไซน์หามุม $BAD$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same method as question $1$, now with the triangle named.วิธีเดียวกับข้อ $1$ แต่ตั้งชื่อสามเหลี่ยมแล้ว
Angle $BAC=38°$. Use angle $BAD$ from question $4$ to find angle $CAD$.
มุม $BAC=38°$ จงใช้มุม $BAD$ จากข้อ $4$ หามุม $CAD$
Answershow ▾
Angle $CAD$ is what is left of angle $BAD$ after angle $BAC$ is taken away.มุม $CAD$ คือส่วนที่เหลือของมุม $BAD$ หลังจากตัดมุม $BAC$ ออกไป
Triangle $ACD$ is right-angled at $D$. Use angle $CAD$ and $AD=8$ cm to find $CD$, correct to $3$ significant figures. Keep the unrounded angle on your calculator - do not use the rounded $17.2°$ for this step.
สามเหลี่ยม $ACD$ มีมุมฉากที่ $D$ จงใช้มุม $CAD$ กับ $AD=8$ ซม. หา $CD$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว เก็บมุมที่ยังไม่ปัดเศษไว้ในเครื่องคิดเลข อย่าใช้ $17.2°$ ที่ปัดแล้วในขั้นนี้
Answershow ▾
Rounding angle $CAD$ to $17.2°$ before this step changes the last figure of the answer.ถ้าปัดมุม $CAD$ เป็น $17.2°$ ก่อนขั้นนี้ จะทำให้เลขนัยสำคัญตำแหน่งสุดท้ายของคำตอบเปลี่ยนไป
Evaluate $CD=AD\times\tan(\angle CAD)$ using the full value of angle $CAD$ from your calculator. Do not round yet.
จงคำนวณ $CD=AD\times\tan(\angle CAD)$ โดยใช้มุม $CAD$ แบบเต็มค่าจากเครื่องคิดเลข ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Angle $BAD$ itself is not a round number - only its display was rounded to $55.2°$.มุม $BAD$ จริงๆ ไม่ใช่จำนวนกลม แค่ตัวเลขที่แสดงถูกปัดเป็น $55.2°$ เท่านั้น
Round $2.4688\ldots$ to $3$ significant figures. Then check: rounding angle $CAD$ to $17.2°$ first and using $CD=8\times\tan(17.2°)=2.4764\ldots$ gives a different last figure. Which is the correct answer - $2.47$ or $2.48$?
จงปัด $2.4688\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว จากนั้นตรวจ: ถ้าปัดมุม $CAD$ เป็น $17.2°$ ก่อนแล้ว คำนวณ $CD=8\times\tan(17.2°)=2.4764\ldots$ จะได้เลขนัยสำคัญตำแหน่งสุดท้ายต่างออกไป คำตอบที่ถูกต้อง คือ $2.47$ หรือ $2.48$
Answershow ▾
Rounding too early inside a calculation can change the last significant figure.การปัดเศษเร็วเกินไปในขั้นกลางอาจทำให้เลขนัยสำคัญตำแหน่งสุดท้ายเปลี่ยนไป
In triangle $ABD$, right-angled at $D$, $AB=10$ cm and $AD=5$ cm. $C$ is the point on $BD$ such that angle $BAC=20°$. Work out the length of $CD$, correct to $3$ significant figures.
ในสามเหลี่ยม $ABD$ มีมุมฉากที่ $D$ โดย $AB=10$ ซม. และ $AD=5$ ซม. $C$ เป็นจุดบน $BD$ ที่ทำให้มุม $BAC=20°$ จงหาความยาวของ $CD$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same three moves: angle $BAD$ from cosine, subtract to get angle $CAD$, then tangent for $CD$.สามขั้นเดิม: หามุม $BAD$ ด้วยโคไซน์ ลบเพื่อหามุม $CAD$ แล้วใช้แทนเจนต์หา $CD$
The diagram shows right-angled triangle $ABD$
$AB = 14$ cm $AD = 8$ cm
$C$ is the point on $BD$ such that angle $BAC = 38°$
Work out the length of $CD$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABD$
$AB = 14$ ซม. $AD = 8$ ซม.
$C$ เป็นจุดบน $BD$ ที่ทำให้มุม $BAC = 38°$
จงหาความยาวของ $CD$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$4$ marks: three are for method - show angle $BAD$, angle $CAD$ and the tangent step.$4$ คะแนน: สามคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ต้องแสดงมุม $BAD$ มุม $CAD$ และขั้นแทนเจนต์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos(\angle BAD) = AD\div AB$
$= 8\div14$
$\angle BAD = \cos^{-1}(8\div14)$
$= 55.2°$
M1 angle CAD from angle BADหามุม CAD จากมุม BAD
$\angle CAD = \angle BAD-38°$
$= 17.2°$
M1 CD from the right triangle ACDหา CD จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ACD
$CD = AD\times\tan(\angle CAD)$
$= 8\times\tan(17.2°)$
A1 CD to 3 s.f.CD ปัดเป็น 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$CD = 2.47\text{ cm}$
The diagonal, the angle, the volume เส้นทแยงมุม มุมกับฐาน แล้วหาปริมาตร
The diagram shows cuboid $ABCDEFGH$.
$AB = 5$ cm $AH = 4$ cm
The size of the angle between $CH$ and the plane $ABCD$ is $35°$
Calculate the volume of the cuboid.
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงทรงลูกบาศก์ผืนผ้า $ABCDEFGH$
$AB = 5$ ซม. $AH = 4$ ซม.
ขนาดของมุมระหว่าง $CH$ กับระนาบ $ABCD$ คือ $35°$
จงหาปริมาตรของทรงลูกบาศก์ผืนผ้านี้
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
In a right-angled triangle, the angle is $35°$ and the side opposite it is $4$ cm. Find the length of the side adjacent to the angle.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งมีขนาด $35°$ และด้านตรงข้ามมุมนั้นยาว $4$ ซม. จงหาความยาวด้านประชิดมุมนั้น
Answershow ▾
$\tan=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$, so divide the opposite side by $\tan35°$.แทนเจนต์เท่ากับด้านตรงข้ามหารด้วยด้านประชิด จึงนำด้านตรงข้ามหารด้วย $\tan35°$
A right-angled triangle has hypotenuse $10$ cm and one other side $6$ cm. Find the length of the third side.
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. และอีกด้านหนึ่งยาว $6$ ซม. จงหาความยาวด้านที่สาม
Answershow ▾
Square and subtract, then take the square root.ยกกำลังสองแล้วลบกัน จากนั้นถอดราก
A cuboid has edges $4$ cm, $6$ cm and $3.217$ cm. Work out its volume, correct to $3$ significant figures.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีด้านยาว $4$ ซม. $6$ ซม. และ $3.217$ ซม. จงหาปริมาตร ให้ถูกต้องถึง $3$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Multiply all three edges, then round only at the end.คูณทั้งสามด้านเข้าด้วยกัน แล้วปัดเศษในขั้นสุดท้ายเท่านั้น
The angle between diagonal $CH$ and the plane $ABCD$ is $35°$, measured at $C$. This angle sits inside one flat right-angled triangle. Pick it.
(A) triangle $ABC$
(B) triangle $ACH$
(C) triangle $BCH$
มุมระหว่างเส้นทแยงมุม $CH$ กับระนาบ $ABCD$ คือ $35°$ วัดที่จุด $C$ มุมนี้อยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉากแบนรูปเดียว จงเลือกสามเหลี่ยมนั้น
(A) สามเหลี่ยม $ABC$
(B) สามเหลี่ยม $ACH$
(C) สามเหลี่ยม $BCH$
Answershow ▾
(A) stays flat in the base and never reaches edge $AH$. (C) puts the right angle at $B$, but $H$ drops straight down to $A$, not $B$.(A) อยู่แบนในฐาน ไม่ถึงด้าน $AH$ เลย · (C) ให้มุมฉากอยู่ที่ $B$ แต่ $H$ ตกลงมาที่ $A$ ไม่ใช่ $B$
In triangle $ACH$, the right angle is at $A$, $AH=4$ cm is opposite the $35°$ angle at $C$, and $CA$ is adjacent to it. Write the equation connecting $\tan35°$, $AH$ and $CA$.
ในสามเหลี่ยม $ACH$ มุมฉากอยู่ที่ $A$ ด้าน $AH=4$ ซม. อยู่ตรงข้ามมุม $35°$ ที่ $C$ และ $CA$ อยู่ประชิดมุมนั้น จงเขียนสมการเชื่อม $\tan35°$, $AH$ และ $CA$
Answershow ▾
Opposite side over adjacent side.ด้านตรงข้าม หารด้วยด้านประชิด
Rearrange $\tan35°=4\div CA$ to make $CA$ the subject, and work it out. Do not round yet.
จงจัดรูป $\tan35°=4\div CA$ ให้ $CA$ เป็นตัวตั้ง แล้วคำนวณค่า ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$CA$ is on the bottom, so swap it with $\tan35°$.$CA$ อยู่ด้านล่าง จึงสลับตำแหน่งกับ $\tan35°$
$CA$ is the diagonal of the base rectangle $ABCD$, and $AB=5$ cm is one side of that rectangle. Which calculation gives the other side, $AD$?
(A) $\sqrt{AH^{2}+AB^{2}}$
(B) $\sqrt{CA^{2}-AB^{2}}$
(C) $\sqrt{CA^{2}-AH^{2}}$
$CA$ คือเส้นทแยงมุมของฐานสี่เหลี่ยม $ABCD$ และ $AB=5$ ซม. คือด้านหนึ่งของฐานนั้น วิธีคำนวณใดให้ด้านอีกด้าน คือ $AD$
(A) $\sqrt{AH^{2}+AB^{2}}$
(B) $\sqrt{CA^{2}-AB^{2}}$
(C) $\sqrt{CA^{2}-AH^{2}}$
Answershow ▾
(A) uses $AH$, which is not a side of the base at all. (C) pairs $AH$ with $CA$, but they are not two sides of one triangle - $AB$ and $AD$ are the two legs of the base, $CA$ is their hypotenuse.(A) ใช้ $AH$ ซึ่งไม่ใช่ด้านของฐานเลย · (C) จับคู่ $AH$ กับ $CA$ แต่ไม่ใช่สองด้านของสามเหลี่ยมเดียวกัน · $AB$ กับ $AD$ คือสองด้านของฐาน $CA$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก
Work out $AD=\sqrt{CA^{2}-AB^{2}}$ using $CA=5.7126\ldots$ and $AB=5$. Do not round yet.
จงคำนวณ $AD=\sqrt{CA^{2}-AB^{2}}$ โดยใช้ $CA=5.7126\ldots$ และ $AB=5$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Square $CA$, subtract $25$, then take the square root.ยกกำลังสอง $CA$ แล้วลบด้วย $25$ จากนั้นถอดราก
Write the volume of the cuboid as $AB\times AD\times AH$, and work it out using $AD=2.7629\ldots$ Do not round yet.
จงเขียนปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมเป็น $AB\times AD\times AH$ แล้วคำนวณโดยใช้ $AD=2.7629\ldots$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Multiply the three edges, in any order.คูณด้านทั้งสามเข้าด้วยกัน ในลำดับใดก็ได้
Round $55.258\ldots\text{ cm}^{3}$ to $3$ significant figures, and check the 4th figure to be sure.
จงปัด $55.258\ldots$ ซม.$^{3}$ เป็น $3$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ แล้วตรวจตัวเลขตำแหน่งที่ $4$ เพื่อความแน่ใจ
Answershow ▾
The 4th figure is $5$, so round the 3rd figure up.ตัวเลขตำแหน่งที่ 4 คือ $5$ จึงปัดตำแหน่งที่ 3 ขึ้น
A cuboid $ABCDEFGH$ has $AB=6$ cm and $AH=10$ cm. The angle between diagonal $CH$ and the plane $ABCD$ is $45°$. Work out the volume of the cuboid.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก $ABCDEFGH$ มี $AB=6$ ซม. และ $AH=10$ ซม. มุมระหว่างเส้นทแยงมุม $CH$ กับระนาบ $ABCD$ คือ $45°$ จงหาปริมาตรของทรงนี้
Answershow ▾
Same three moves: $\tan45°$ for $CA$, Pythagoras for $AD$, then the volume.สามขั้นเดิม: $\tan45°$ หา $CA$ พีทาโกรัสหา $AD$ แล้วหาปริมาตร
The diagram shows cuboid $ABCDEFGH$.
$AB = 5$ cm $AH = 4$ cm
The size of the angle between $CH$ and the plane $ABCD$ is $35°$
Calculate the volume of the cuboid.
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงทรงลูกบาศก์ผืนผ้า $ABCDEFGH$
$AB = 5$ ซม. $AH = 4$ ซม.
ขนาดของมุมระหว่าง $CH$ กับระนาบ $ABCD$ คือ $35°$
จงหาปริมาตรของทรงลูกบาศก์ผืนผ้านี้
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
5 marks: $\tan35°$ for $CA$, Pythagoras in the base for $AD$, the volume set up, then $3$ s.f.5 คะแนน: $\tan35°$ หา $CA$ พีทาโกรัสในฐานหา $AD$ ตั้งสูตรปริมาตร แล้วปัดเป็น $3$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\tan35° = AH\div CA$
M1 CA rearrangedจัดรูปหา CA
$CA = 4\div\tan35°$
M1 AD from Pythagoras in the baseหา AD ด้วยพีทาโกรัสบนฐาน
$AD = \sqrt{CA^{2}-AB^{2}}$
M1 volume set upตั้งสูตรปริมาตร
$\text{volume} = AB\times AD\times AH$
A1 volume to 3 s.f.ปริมาตรปัดเป็น 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$\text{volume} = 55.3\text{ cm}^{3}$
Two triangles and a flagpole สามเหลี่ยมสองรูปกับเสาธง
The diagram shows a triangle $ABC$ and a flagpole $BF$
$A$, $B$ and $C$ are points on horizontal ground.
$BF$ is vertical.
$AB = 9$ m $BC = 11$ m $AC = 16$ m $BF = 10$ m
$D$ is the point on $AC$ such that angle $BDC = 90°$
Work out the size of the angle of elevation of the point $F$ from the point $D$
Give your answer correct to one decimal place.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ และเสาธง $BF$
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนพื้นแนวนอน
$BF$ ตั้งฉากกับพื้น
$AB = 9$ ม. $BC = 11$ ม. $AC = 16$ ม. $BF = 10$ ม.
$D$ เป็นจุดบน $AC$ ที่ทำให้มุม $BDC = 90°$
จงหาขนาดของมุมเงยของจุด $F$ เมื่อมองจากจุด $D$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
In triangle $ABC$, $AB=9$, $BC=11$ and $AC=16$. Use the cosine rule to find $\cos C$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=9$, $BC=11$ และ $AC=16$ จงใช้กฎของโคไซน์หา $\cos C$
Answershow ▾
Angle $C$ is opposite side $AB$, so $AB$ is the one subtracted on top.มุม $C$ อยู่ตรงข้ามด้าน $AB$ จึงนำ $AB$ มาลบในตัวเศษ
Using $\cos C=\dfrac{296}{352}$ (question $1$), find angle $C$, correct to $1$ decimal place.
ใช้ $\cos C=\dfrac{296}{352}$ (ข้อ $1$) จงหามุม $C$ ให้ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Take the inverse cosine, then round.หาค่าผกผันของโคไซน์ แล้วปัดเศษ
In a right-angled triangle, the hypotenuse is $10$ and one angle is $30°$. Work out the side opposite that angle.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ และมุมหนึ่งมีขนาด $30°$ จงหาด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมนั้น
Answershow ▾
Opposite equals hypotenuse multiplied by sine of the angle.ด้านตรงข้ามมุม เท่ากับ ด้านตรงข้ามมุมฉาก คูณ ไซน์ของมุมนั้น
Triangle $ABC$ has no right angle ($9^{2}+11^{2}\ne16^{2}$), and the flagpole triangle needs $BD$, which is not yet known. Pick the first move.
(A) Use Pythagoras in triangle $ABC$
(B) Use the cosine rule in triangle $ABC$ to find angle $C$
(C) Use the flagpole triangle $BDF$ first, since that is where the answer is
สามเหลี่ยม $ABC$ ไม่มีมุมฉาก ($9^{2}+11^{2}\ne16^{2}$) และสามเหลี่ยมเสาธงต้องใช้ $BD$ ซึ่งยังไม่รู้ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้พีทาโกรัสในสามเหลี่ยม $ABC$
(B) ใช้กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยม $ABC$ หามุม $C$
(C) ใช้สามเหลี่ยมเสาธง $BDF$ ก่อน เพราะเป็นที่ที่คำตอบอยู่
Answershow ▾
(A) needs a right angle, but $9^{2}+11^{2}=202$, not $256=16^{2}$, so $ABC$ has none. (C) needs $BD$ before it can start, and $BD$ is still unknown.(A) ต้องมีมุมฉาก แต่ $9^{2}+11^{2}=202$ ไม่ใช่ $256=16^{2}$ จึง $ABC$ ไม่มีมุมฉาก · (C) ต้องรู้ $BD$ ก่อนจึงจะเริ่มได้ แต่ $BD$ ยังไม่รู้
Using $BC=11$ and angle $C=32.8°$ (question $2$), work out $BD$ using $BD = BC\times\sin C$.
ใช้ $BC=11$ และมุม $C=32.8°$ (ข้อ $2$) จงหา $BD$ โดยใช้ $BD = BC\times\sin C$
Answershow ▾
$BD$ is opposite angle $C$ in the right triangle $BDC$, with $BC$ as the hypotenuse.$BD$ อยู่ตรงข้ามมุม $C$ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $BDC$ โดย $BC$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
In the right triangle $BDF$, the right angle is at $B$. Relative to the angle at $D$, $BF$ is opposite and $BD$ is adjacent. Pick the equation for the elevation angle.
(A) $\tan(\text{angle}) = BD\div BF$
(B) $\tan(\text{angle}) = BF\div BD$
(C) $\sin(\text{angle}) = BF\div BD$
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $BDF$ มุมฉากอยู่ที่ $B$ เทียบกับมุมที่ $D$ แล้ว $BF$ อยู่ตรงข้ามและ $BD$ อยู่ประชิดมุม จงเลือกสมการสำหรับมุมเงย
(A) $\tan(\text{angle}) = BD\div BF$
(B) $\tan(\text{angle}) = BF\div BD$
(C) $\sin(\text{angle}) = BF\div BD$
Answershow ▾
(A) inverts opposite and adjacent, swapping which side is on top. (C) uses sine, but $BD$ is the side next to the angle, not the hypotenuse $DF$ - that ratio is tangent.(A) สลับด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ทำให้ตัวเศษตัวส่วนผิดด้าน · (C) ใช้ไซน์ แต่ $BD$ เป็นด้านประชิดมุม ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก $DF$ อัตราส่วนนั้นคือแทนเจนต์
Substitute $BF=10$ and $BD=5.96$ (question $4$) into $\tan(\text{angle}) = BF\div BD$.
จงแทน $BF=10$ และ $BD=5.96$ (ข้อ $4$) ใน $\tan(\text{angle}) = BF\div BD$
Answershow ▾
Put the real numbers into the equation chosen above.นำตัวเลขจริงแทนในสมการที่เลือกไว้ข้างต้น
Evaluate $\tan^{-1}(10\div5.96)$, correct to $1$ decimal place.
จงคำนวณ $\tan^{-1}(10\div5.96)$ ให้ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Take the inverse tangent, then round.หาค่าผกผันของแทนเจนต์ แล้วปัดเศษ
Combine the last three steps: write $\tan(\text{angle})$ using $BF$, $BC$ and $C$ directly, without a separate line for $BD$.
จงรวมสามขั้นล่าสุด: เขียน $\tan(\text{angle})$ โดยใช้ $BF$, $BC$ และ $C$ ตรงๆ โดยไม่ต้องมีบรรทัดแยกสำหรับ $BD$
Answershow ▾
The formula for $BD$ goes straight into the denominator.สูตรของ $BD$ ใส่ตรงเข้าไปในตัวส่วนได้เลย
Evaluate $\tan^{-1}(10\div(11\times\sin(32.8°)))$ and check it matches question $6$.
จงคำนวณ $\tan^{-1}(10\div(11\times\sin(32.8°)))$ แล้วตรวจว่าตรงกับข้อ $6$
Answershow ▾
Combining the steps gives the same angle as working them separately.การรวมขั้นตอนเข้าด้วยกัน ให้มุมเท่ากับการคำนวณแยกทีละขั้น
Triangle $ABC$ has $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$, and flagpole $BF=2.4$. $D$ is the point on $AC$ with angle $BDC=90°$. Work out the angle of elevation of $F$ from $D$.
สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$ และเสาธง $BF=2.4$ จุด $D$ อยู่บน $AC$ โดยมุม $BDC=90°$ จงหามุมเงยของ $F$ เมื่อมองจากจุด $D$
Answershow ▾
Same four moves: cosine rule, inverse cosine, $BD$ from sine, then inverse tangent.สี่ขั้นเดิม: กฎของโคไซน์ โคไซน์ผกผัน หา $BD$ ด้วยไซน์ แล้วแทนเจนต์ผกผัน
The diagram shows a triangle $ABC$ and a flagpole $BF$
$A$, $B$ and $C$ are points on horizontal ground.
$BF$ is vertical.
$AB = 9$ m $BC = 11$ m $AC = 16$ m $BF = 10$ m
$D$ is the point on $AC$ such that angle $BDC = 90°$
Work out the size of the angle of elevation of the point $F$ from the point $D$
Give your answer correct to one decimal place.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ และเสาธง $BF$
$A$, $B$ และ $C$ เป็นจุดบนพื้นแนวนอน
$BF$ ตั้งฉากกับพื้น
$AB = 9$ ม. $BC = 11$ ม. $AC = 16$ ม. $BF = 10$ ม.
$D$ เป็นจุดบน $AC$ ที่ทำให้มุม $BDC = 90°$
จงหาขนาดของมุมเงยของจุด $F$ เมื่อมองจากจุด $D$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: solve triangle $ABC$ for angle $C$ first, then $BD$, then the tangent ratio for the elevation.5 คะแนน: แก้สามเหลี่ยม $ABC$ หามุม $C$ ก่อน แล้วหา $BD$ แล้วใช้อัตราส่วนแทนเจนต์หามุมเงย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos C$
$= \dfrac{BC^{2}+AC^{2}-AB^{2}}{2\times BC\times AC}$
$= \dfrac{11^{2}+16^{2}-9^{2}}{2\times11\times16}$
M1 angle C from inverse cosineหามุม C ด้วยโคไซน์ผกผัน
$C = \cos^{-1}(296\div352)$
$= 32.8°$
M1 BD from the right triangle BDCหา BD จากสามเหลี่ยมมุมฉาก BDC
$BD = BC\times\sin C$
$= 11\times\sin(32.8°)$
M1 tangent of the elevation angleแทนเจนต์ของมุมเงย
$\tan(\text{angle}) = BF\div BD$
A1 angle to 1 d.p.มุมปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$\text{angle} = 59.2°$
Sloped-top prism, then space diagonal ปริซึมหลังคาเฉียง แล้วเส้นทแยงมุมในทรง
(a) The diagram shows a prism $ABCDEFGH$ with a horizontal base.
The base of the prism, $EFGH$, is a square of side $12$ cm.
Trapezium $ADEF$ is a cross section of the prism where $AF$ and $DE$ are vertical edges.
$DE = CH = 10$ cm $AD = BC = 15$ cm
Work out the size of the angle between $CF$ and the base $EFGH$.
Give your answer correct to one decimal place.
(b) Work out the length of $BE$.
Give your answer correct to one decimal place.
(ก) แผนภาพแสดงปริซึม $ABCDEFGH$ ที่มีฐานอยู่ในแนวนอน
ฐานของปริซึม $EFGH$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $12$ ซม.
สี่เหลี่ยมคางหมู $ADEF$ เป็นภาคตัดขวางของปริซึม โดยที่ $AF$ และ $DE$ เป็นด้านตั้งฉาก
$DE = CH = 10$ ซม. $AD = BC = 15$ ซม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $CF$ กับฐาน $EFGH$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ข) จงหาความยาวของ $BE$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Find the length of the diagonal of a square with side $12$ cm, using Pythagoras.
จงหาความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $12$ ซม. โดยใช้พีทาโกรัส
Answershow ▾
Pythagoras on the two sides of the square gives the diagonal.พีทาโกรัสบนสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้เส้นทแยงมุม
In a right triangle, the side opposite the angle is $3$ cm and the side adjacent is $4$ cm. Find the angle, correct to 1 decimal place.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ด้านตรงข้ามมุมยาว $3$ ซม. และด้านประชิดยาว $4$ ซม. จงหาขนาดของมุม ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide opposite by adjacent, then use $\tan^{-1}$.หารด้านตรงข้ามด้วยด้านประชิด แล้วใช้ $\tan^{-1}$
A right-angled triangle has hypotenuse $15$ cm and one leg $12$ cm. Find the other leg, using Pythagoras.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $15$ ซม. และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $12$ ซม. จงหาด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่ง โดยใช้พีทาโกรัส
Answershow ▾
The missing leg squared is the hypotenuse squared minus the known leg squared.ด้านที่หายไปยกกำลังสอง เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง ลบด้วยด้านที่รู้ยกกำลังสอง
The angle between $CF$ and the base $EFGH$ is measured at $F$. Pick the correct ratio for $\tan$.
(A) $\tan(\text{angle})=CH\div FE$
(B) $\tan(\text{angle})=CH\div FH$
(C) $\tan(\text{angle})=CE\div FH$
มุมระหว่าง $CF$ กับฐาน $EFGH$ วัดที่จุด $F$ จงเลือกอัตราส่วน $\tan$ ที่ถูกต้อง
(A) $\tan\theta=CH\div FE$
(B) $\tan\theta=CH\div FH$
(C) $\tan\theta=CE\div FH$
Answershow ▾
(A) uses $FE$, a side of the square, not the diagonal $FH$ under $C$. (C) uses $CE$, a slanted line, as the opposite side, but the opposite side must be vertical, $CH$.(A) ใช้ $FE$ ซึ่งเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ไม่ใช่เส้นทแยงมุม $FH$ ที่อยู่ใต้ $C$ · (C) ใช้ $CE$ ซึ่งเป็นเส้นเฉียง เป็นด้านตรงข้าม แต่ด้านตรงข้ามต้องเป็นเส้นตั้ง คือ $CH$
Work out $FH$, the horizontal diagonal of the base $EFGH$, using Pythagoras.
จงหา $FH$ ซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมแนวนอนของฐาน $EFGH$ โดยใช้พีทาโกรัส
Answershow ▾
Same move as question $[1]$, now on the real square in this question.ขั้นเดียวกับข้อ $[1]$ แต่ใช้กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริงในข้อนี้
Using the ratio from $[D]$, set up $\tan(\text{angle})=CH\div FH$ with the numbers from this prism.
ใช้อัตราส่วนจากข้อ $[D]$ ตั้ง $\tan\theta=CH\div FH$ ด้วยตัวเลขของปริซึมนี้
Answershow ▾
$CH=10$ cm is given; $FH=\sqrt{288}$ cm came from question $[4]$.$CH=10$ ซม. กำหนดให้ · $FH=\sqrt{288}$ ซม. มาจากข้อ $[4]$
Find the angle between $CF$ and the base, correct to 1 decimal place.
จงหามุมระหว่าง $CF$ กับฐาน ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same rounding move as question $[2]$, now on the real angle.การปัดเศษแบบเดียวกับข้อ $[2]$ แต่ใช้กับมุมจริง
$B$ sits directly above $G$, so $BE$ needs $GE$ (horizontal) and $BG$ (vertical). $BG=AF$, which is not given directly. What must you find first?
(A) $AF$, using the trapezium $ADEF$
(B) $CH$, using trigonometry on the angle from part (a)
(C) Use $DE=10$ cm instead of $BG$
$B$ อยู่ตรงเหนือ $G$ พอดี ดังนั้น $BE$ ต้องใช้ $GE$ (แนวนอน) และ $BG$ (แนวตั้ง) $BG=AF$ ซึ่งไม่ได้กำหนดมาตรง ๆ ต้องหาอะไรก่อน
(A) $AF$ โดยใช้สี่เหลี่ยมคางหมู $ADEF$
(B) $CH$ โดยใช้ตรีโกณมิติจากมุมในส่วน (a)
(C) ใช้ $DE=10$ ซม. แทน $BG$
Answershow ▾
(B) finds an angle, not a length, and this question needs no angle. (C) uses $DE$, the SHORT vertical edge at $E$, not the vertical edge at $B$ itself, which is the TALL height $AF$.(B) หามุม ไม่ใช่ความยาว ซึ่งข้อนี้ไม่ต้องใช้มุม · (C) ใช้ $DE$ ซึ่งเป็นด้านตั้งด้านสั้นที่ $E$ ไม่ใช่ด้านตั้งของ $B$ เอง ซึ่งคือความสูงด้านยาว $AF$
Find $AF$, using the trapezium $ADEF$.
จงหา $AF$ โดยใช้สี่เหลี่ยมคางหมู $ADEF$
Answershow ▾
Same move as question $[3]$, now on $AD$ and $EF$ of this prism.ขั้นเดียวกับข้อ $[3]$ แต่ใช้กับ $AD$ และ $EF$ ของปริซึมนี้
Work out $BE$, using $GE$ and $AF$, the lengths chosen in question $[D]$.
จงหา $BE$ โดยใช้ $GE$ และ $AF$ ซึ่งเป็นความยาวที่เลือกไว้ในข้อ $[D]$
Answershow ▾
$GE=\sqrt{288}$ cm is the same diagonal as $FH$ (question $[4]$); $AF=19$ cm came from question $[7]$.$GE=\sqrt{288}$ ซม. คือเส้นทแยงมุมเดียวกับ $FH$ (ข้อ $[4]$) · $AF=19$ ซม. มาจากข้อ $[7]$
A prism $ABCDEFGH$ has a horizontal square base $EFGH$ with side $4$ cm, where $AF$ and $DE$ are vertical edges. $DE=CH=4$ cm and $AD=BC=5$ cm. Work out (a) the angle between $CF$ and the base, (b) the length of $BE$. Give each answer correct to 1 decimal place where needed.
ปริซึม $ABCDEFGH$ มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส $EFGH$ อยู่ในแนวนอน ด้านยาว $4$ ซม. โดยที่ $AF$ และ $DE$ เป็นด้านตั้ง $DE=CH=4$ ซม. และ $AD=BC=5$ ซม. จงหา (a) มุมระหว่าง $CF$ กับฐาน (b) ความยาวของ $BE$ ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่งเมื่อจำเป็น
Answershow ▾
Same four moves: diagonal, tangent, trapezium height, then 3D Pythagoras.สี่ขั้นเดิม: เส้นทแยงมุม แทนเจนต์ ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู แล้วพีทาโกรัสสามมิติ
(a) The diagram shows a prism $ABCDEFGH$ with a horizontal base.
The base of the prism, $EFGH$, is a square of side $12$ cm.
Trapezium $ADEF$ is a cross section of the prism where $AF$ and $DE$ are vertical edges.
$DE = CH = 10$ cm $AD = BC = 15$ cm
Work out the size of the angle between $CF$ and the base $EFGH$.
Give your answer correct to one decimal place.
(b) Work out the length of $BE$.
Give your answer correct to one decimal place.
(ก) แผนภาพแสดงปริซึม $ABCDEFGH$ ที่มีฐานอยู่ในแนวนอน
ฐานของปริซึม $EFGH$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $12$ ซม.
สี่เหลี่ยมคางหมู $ADEF$ เป็นภาคตัดขวางของปริซึม โดยที่ $AF$ และ $DE$ เป็นด้านตั้งฉาก
$DE = CH = 10$ ซม. $AD = BC = 15$ ซม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $CF$ กับฐาน $EFGH$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
(ข) จงหาความยาวของ $BE$
ตอบให้ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
6 marks across two parts: the diagonal and tangent for the angle, then the trapezium height and 3D Pythagoras for $BE$.6 คะแนนใน 2 ส่วน: เส้นทแยงมุมและแทนเจนต์สำหรับหามุม แล้วความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูและพีทาโกรัสสามมิติสำหรับหา $BE$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$FH = \sqrt{12^{2}+12^{2}}$
M1 tangent of the CF-base angleแทนเจนต์ของมุมระหว่าง CF กับฐาน
$\tan(\text{angle}) = CH\div FH$
$= 10\div\sqrt{288}$
A1 angle to 1 d.p.มุมปัดเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$\text{angle} = 30.5°$
M1 AF from the trapezium ADEFหา AF จากสี่เหลี่ยมคางหมู ADEF
$AF-DE = \sqrt{AD^{2}-EF^{2}}$
$= \sqrt{15^{2}-12^{2}}$
M1 AF total heightAF ความสูงทั้งหมด
$AF = 10+9$
$= 19\text{ cm}$
A1 BE from 3D Pythagorasหา BE ด้วยพีทาโกรัสสามมิติ
$BE = \sqrt{12^{2}+12^{2}+19^{2}}$
$= 25.5\text{ cm}$
Area via the hidden right triangle พื้นที่ผ่านสามเหลี่ยมมุมฉากที่ซ่อนอยู่
The diagram shows isosceles triangle $ABC$
Diagram NOT accurately drawn
$AB = AC = 17.5$ cm $BC = 28$ cm
Calculate the area of triangle $ABC$.
จากรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$ (Diagram NOT accurately drawn)
$AB = AC = 17.5$ ซม. $BC = 28$ ซม.
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
In a right-angled triangle, the hypotenuse is $17.5$ and one of the other sides is $14$. Write the equation for the third side $h$, using Pythagoras.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $17.5$ และอีกด้านหนึ่งยาว $14$ จงเขียนสมการหาด้านที่สาม $h$ โดยใช้พีทาโกรัส
Answershow ▾
A shorter side squared is the hypotenuse squared minus the other side squared.ด้านสั้นยกกำลังสอง หาได้จากด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง ลบด้านสั้นอีกด้านยกกำลังสอง
Evaluate $h^{2}=17.5^{2}-14^{2}$, then find $h$. Do not round yet.
จงคำนวณ $h^{2}=17.5^{2}-14^{2}$ แล้วหาค่า $h$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$17.5^{2}-14^{2}=110.25$, and $\sqrt{110.25}=10.5$ exactly.$17.5^{2}-14^{2}=110.25$ และ $\sqrt{110.25}=10.5$ พอดี
A triangle has base $28$ and height $10.5$. Find its area.
สามเหลี่ยมหนึ่งมีฐานยาว $28$ และความสูง $10.5$ จงหาพื้นที่
Answershow ▾
Area of a triangle is half the base times the height.พื้นที่สามเหลี่ยม เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน คูณความสูง
Triangle $ABC$ is isosceles with $AB=AC=17.5$ cm and $BC=28$ cm, but it has no right angle. You need its area. Pick the first move.
(A) Area $=\dfrac12\times AB\times AC$
(B) draw the perpendicular from $A$ to $BC$ - it meets $BC$ at its midpoint
(C) use Pythagoras directly on triangle $ABC$: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นหน้าจั่ว $AB=AC=17.5$ ซม. และ $BC=28$ ซม. แต่ไม่มีมุมฉาก ต้องการพื้นที่ จงเลือกขั้นแรก
(A) พื้นที่ $=\dfrac12\times AB\times AC$
(B) ลากเส้นตั้งฉากจาก $A$ ไปยัง $BC$ - เส้นนี้ตัด $BC$ ที่จุดกึ่งกลาง
(C) ใช้พีทาโกรัสตรงๆ กับสามเหลี่ยม $ABC$: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$
Answershow ▾
(A) needs a right angle at $A$, which this triangle does not have. (C) Pythagoras only works in a right-angled triangle, and $ABC$ has none.(A) ต้องมีมุมฉากที่ $A$ ซึ่งสามเหลี่ยมนี้ไม่มี · (C) พีทาโกรัสใช้ได้เฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ $ABC$ ไม่มีมุมฉากเลย
The perpendicular from $A$ meets $BC$ at $M$, and $AB=17.5$ cm is the hypotenuse of right-angled triangle $ABM$. $M$ is the midpoint of $BC=28$ cm. What is $BM$?
(A) $BM=28$
(B) $BM=14$
(C) $BM=17.5$
เส้นตั้งฉากจาก $A$ ตัด $BC$ ที่จุด $M$ และ $AB=17.5$ ซม. เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม $ABM$ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC=28$ ซม. จงหา $BM$
(A) $BM=28$
(B) $BM=14$
(C) $BM=17.5$
Answershow ▾
(A) uses the whole base, forgetting that $M$ bisects it. (C) copies the hypotenuse $AB$ onto $BM$, a different side.(A) ใช้ฐานทั้งเส้น ลืมว่า $M$ แบ่งฐานครึ่งหนึ่ง · (C) เอาด้านตรงข้ามมุมฉาก $AB$ มาใส่เป็น $BM$ ซึ่งเป็นด้านคนละด้าน
Triangle $ABM$ has a right angle at $M$. $AB=17.5$ cm is the hypotenuse and $BM=14$ cm. Write the equation for $AM^{2}$.
สามเหลี่ยม $ABM$ มีมุมฉากที่ $M$ โดย $AB=17.5$ ซม. เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ $BM=14$ ซม. จงเขียนสมการหา $AM^{2}$
Answershow ▾
Same move as question $1$, now with the real triangle.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่เปลี่ยนมาใช้สามเหลี่ยมจริง
Evaluate $AM^{2}=17.5^{2}-14^{2}$, then find $AM$. Do not round yet.
จงคำนวณ $AM^{2}=17.5^{2}-14^{2}$ แล้วหาค่า $AM$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Same calculation as question $2$.คำนวณแบบเดียวกับข้อ $2$
Using $BC=28$ cm and $AM=10.5$ cm, write the area of triangle $ABC$, then evaluate it.
ใช้ $BC=28$ ซม. และ $AM=10.5$ ซม. จงเขียนพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ แล้วคำนวณค่า
Answershow ▾
Area is half the base times the height, with the real numbers now.พื้นที่คือครึ่งหนึ่งของฐาน คูณความสูง คราวนี้ใช้ตัวเลขจริง
Write the area of triangle $ABC$ as one expression, combining Pythagoras and the area formula without writing $AM$ separately. Then evaluate it.
จงเขียนพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นนิพจน์เดียว โดยรวมพีทาโกรัสกับสูตรพื้นที่ โดยไม่ต้องเขียน $AM$ แยกไว้ แล้วคำนวณค่า
Answershow ▾
The height from question $5$ can go straight inside the area formula.ความสูงจากข้อ $5$ ใส่ลงในสูตรพื้นที่ได้โดยตรง
Check the area a different way. The semi-perimeter is $s=\dfrac{17.5+17.5+28}{2}=31.5$. Evaluate $\sqrt{s(s-17.5)(s-17.5)(s-28)}$. Does it match?
จงตรวจพื้นที่ด้วยวิธีอื่น กึ่งรอบรูปคือ $s=\dfrac{17.5+17.5+28}{2}=31.5$ จงคำนวณ $\sqrt{s(s-17.5)(s-17.5)(s-28)}$ ตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
A different formula giving the same area checks the working.สูตรอื่นที่ให้พื้นที่เท่ากัน ช่วยตรวจคำตอบ
In isosceles triangle $ABC$, $AB=AC=13$ cm and $BC=10$ cm. Work out the area of triangle $ABC$.
ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$ $AB=AC=13$ ซม. และ $BC=10$ ซม. จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
Same two moves: Pythagoras for the height using half the base, then the area formula.สองขั้นเดิม: พีทาโกรัสหาความสูงโดยใช้ครึ่งฐาน แล้วใช้สูตรพื้นที่
The diagram shows isosceles triangle $ABC$
Diagram NOT accurately drawn
$AB = AC = 17.5$ cm $BC = 28$ cm
Calculate the area of triangle $ABC$.
จากรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$ (Diagram NOT accurately drawn)
$AB = AC = 17.5$ ซม. $BC = 28$ ซม.
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
4 marks: Pythagoras for the height using half the base, then the area formula.4 คะแนน: พีทาโกรัสหาความสูงโดยใช้ครึ่งฐาน แล้วใช้สูตรพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$17.5^{2}-14^{2} \;(=110.25)$
M1 the height itselfความสูง
$\sqrt{17.5^{2}-14^{2}} \;(=10.5)$
M1 the area formula with the height foundสูตรพื้นที่ โดยใช้ความสูงที่หาได้
$0.5\times28\times10.5$
A1 the areaพื้นที่
$=147\text{ cm}^{2}$
A zip wire between two posts สลิงซิปไลน์ระหว่างเสาสองต้น
A zip wire is shown as the dashed line $AC$ in the diagram.
Diagram NOT accurately drawn
The zip wire is supported by two vertical posts $AB$ and $CD$ standing on horizontal ground.
$CD = 2.6$ m $BD = 12$ m
The zip wire makes an angle $x$ with the horizontal, as shown in the diagram.
The design of the zip wire requires the angle $x$ to be at least $5°$
Work out the least possible height of the post $AB$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
สลิงซิปไลน์แสดงเป็นเส้นประ $AC$ ในรูป (Diagram NOT accurately drawn)
สลิงยึดด้วยเสาตั้งฉากสองต้นคือ $AB$ และ $CD$ บนพื้นราบ
$CD = 2.6$ ม. $BD = 12$ ม.
สลิงทำมุม $x$ กับแนวราบ ดังรูป
การออกแบบกำหนดให้มุม $x$ ต้องไม่น้อยกว่า $5°$
จงหาความสูงที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของเสา $AB$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
In a right-angled triangle, angle $x$ sits where the horizontal meets the slanting side. Which side is opposite $x$: the vertical side, or the horizontal side?
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุม $x$ อยู่ที่จุดที่แนวราบพบกับด้านลาด ด้านใดอยู่ตรงข้ามมุม $x$: ด้านตั้ง หรือด้านราบ
Answershow ▾
The side opposite an angle never touches that angle; the vertical side does not touch $x$.ด้านตรงข้ามมุมจะไม่สัมผัสมุมนั้น ด้านตั้งไม่สัมผัสมุม $x$
In the same triangle, the horizontal side touches $x$ and is not the hypotenuse. What is it called, relative to $x$?
ในสามเหลี่ยมเดิม ด้านราบสัมผัสมุม $x$ และไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านนี้เรียกว่าอะไร เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The side next to the angle, that is not the hypotenuse, is the adjacent side.ด้านที่ติดกับมุม และไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก เรียกว่าด้านประชิด
Which ratio connects the opposite side and the adjacent side: sine, cosine or tangent?
อัตราส่วนใดเชื่อมด้านตรงข้ามกับด้านประชิด: ไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์
Answershow ▾
$\tan=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.$\tan=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$
$x\geqslant5°$ and $AB$ is least when $x$ is least, i.e. $x=5°$. $BD=12$ m is adjacent to $x$; the extra rise ($AB$ above $C$'s height) is opposite $x$. Pick the first move.
(A) $\tan5°=\dfrac{AB-2.6}{12}$
(B) $AB=12\tan5°$
(C) $\tan5°=\dfrac{AB}{12}$
$x\geqslant5°$ และ $AB$ น้อยที่สุดเมื่อ $x$ น้อยที่สุด คือ $x=5°$ · $BD=12$ ม. ประชิดมุม $x$ · ส่วนสูงที่เพิ่มขึ้น ($AB$ ที่สูงกว่า $C$) อยู่ตรงข้ามมุม $x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $\tan5°=\dfrac{AB-2.6}{12}$
(B) $AB=12\tan5°$
(C) $\tan5°=\dfrac{AB}{12}$
Answershow ▾
(B) finds only the extra rise above $C$, then calls it $AB$ - it drops the $2.6$ m post underneath. (C) puts the whole of $AB$ opposite $x$, but $x$ is measured from $C$'s height, not from the ground.(B) หาได้แค่ส่วนสูงที่เพิ่มขึ้นเหนือ $C$ แล้วเรียกว่า $AB$ เลย ลืมบวกเสาสูง $2.6$ ม. ที่อยู่ข้างใต้ · (C) เอา $AB$ ทั้งเส้นไปเป็นด้านตรงข้าม $x$ แต่ $x$ วัดจากความสูงของ $C$ ไม่ใช่จากพื้น
Evaluate $\tan5°$, to $4$ decimal places.
จงคำนวณ $\tan5°$ ถึงทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Use the tan button on your calculator.ใช้ปุ่ม tan บนเครื่องคิดเลข
Work out $12\times\tan5°$, the extra rise above $C$. Do not round yet.
จงคำนวณ $12\times\tan5°$ ซึ่งคือส่วนสูงที่เพิ่มขึ้นเหนือ $C$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Multiply the adjacent side by the tangent ratio.คูณด้านประชิดด้วยค่าแทนเจนต์
Work out $AB=2.6+1.0499\ldots$. Do not round yet.
จงคำนวณ $AB=2.6+1.0499\ldots$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
The rise sits on top of the shorter post, so add it to $2.6$.ส่วนสูงที่เพิ่มขึ้นอยู่เหนือเสาที่สั้นกว่า จึงบวกเข้ากับ $2.6$
Round $3.6499\ldots$ to $3$ significant figures.
จงปัด $3.6499\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The 4th figure is $9$, so round up.ตัวเลขที่ 4 คือ $9$ จึงปัดขึ้น
Check: does $2.6+12\tan5°$ give close to $3.65$?
ตรวจ: $2.6+12\tan5°$ ได้ใกล้เคียง $3.65$ หรือไม่
Answershow ▾
The unrounded value from question 6 rounds to the same answer.ค่าที่ยังไม่ปัดเศษจากข้อ 6 ปัดเศษแล้วได้คำตอบเดียวกัน
Two posts stand $5$ m apart on flat ground. The shorter post is $2$ m tall. A support cable from the top of the taller post to the top of the shorter one makes a $45°$ angle with the horizontal. Work out the height of the taller post.
เสาสองต้นห่างกัน $5$ ม. บนพื้นราบ เสาที่สั้นกว่าสูง $2$ ม. สลิงยึดจากปลายเสาสูงไปยังปลายเสาสั้น ทำมุม $45°$ กับแนวราบ จงหาความสูงของเสาที่สูงกว่า
Answershow ▾
Same two moves: the rise from $5\tan45°$, then add the $2$ m post.สองขั้นเดิม: หาส่วนสูงที่เพิ่มขึ้นจาก $5\tan45°$ แล้วบวกเสาสูง $2$ ม.
A zip wire is shown as the dashed line $AC$ in the diagram.
Diagram NOT accurately drawn
The zip wire is supported by two vertical posts $AB$ and $CD$ standing on horizontal ground.
$CD = 2.6$ m $BD = 12$ m
The zip wire makes an angle $x$ with the horizontal, as shown in the diagram.
The design of the zip wire requires the angle $x$ to be at least $5°$
Work out the least possible height of the post $AB$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
สลิงซิปไลน์แสดงเป็นเส้นประ $AC$ ในรูป (Diagram NOT accurately drawn)
สลิงยึดด้วยเสาตั้งฉากสองต้นคือ $AB$ และ $CD$ บนพื้นราบ
$CD = 2.6$ ม. $BD = 12$ ม.
สลิงทำมุม $x$ กับแนวราบ ดังรูป
การออกแบบกำหนดให้มุม $x$ ต้องไม่น้อยกว่า $5°$
จงหาความสูงที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของเสา $AB$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
3 marks: the rise from $12\tan5°$, add the shorter post, then $3$ s.f.3 คะแนน: ส่วนสูงที่เพิ่มขึ้นจาก $12\tan5°$ บวกเสาที่สั้นกว่า แล้วปัดเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$12\tan5° \;(=1.05)$
M1 add the height of the shorter postบวกความสูงของเสาที่สั้นกว่า
$AB = 2.6+1.05$
A1 the least possible heightความสูงที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
$= 3.65\text{ m}$
Two sides and the angle between สองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่าง
The diagram shows triangle $PQR$.
Diagram NOT accurately drawn
Calculate the length of $PR$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
จากรูป สามเหลี่ยม $PQR$ (Diagram NOT accurately drawn)
จงหาความยาวของ $PR$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Work out $17.8^{2}$.
จงคำนวณ $17.8^{2}$
Answershow ▾
Multiply the decimal by itself.คูณทศนิยมด้วยตัวมันเอง
Work out $2\times17.8\times26.3$.
จงคำนวณ $2\times17.8\times26.3$
Answershow ▾
Multiply left to right. The order does not change the answer.คูณจากซ้ายไปขวา ลำดับไม่มีผลต่อคำตอบ
Use a calculator to work out $\cos36°$, correct to 4 decimal places.
ใช้เครื่องคิดเลขหา $\cos36°$ ให้ถูกต้องถึงทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Make sure the calculator is in degree mode.ตรวจสอบว่าเครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดองศา
Triangle $PQR$ has $QP=17.8$ cm, $QR=26.3$ cm and angle $Q=36°$. You need to find $PR$. Pick the first move.
(A) use the sine rule, since an angle and two sides are known
(B) use the cosine rule, since two sides and the angle between them are known
(C) use Pythagoras, since it is a triangle
สามเหลี่ยม $PQR$ มี $QP=17.8$ ซม., $QR=26.3$ ซม. และมุม $Q=36°$ ต้องหา $PR$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ใช้กฎของไซน์ เพราะรู้มุมและสองด้าน
(B) ใช้กฎของโคไซน์ เพราะรู้สองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง
(C) ใช้พีทาโกรัส เพราะเป็นสามเหลี่ยม
Answershow ▾
(A) needs a side opposite a known angle, and $PR$ (opposite $Q$) is what we are finding - no complete pair is known. (C) only works when the triangle has a right angle, and this one does not.(A) ต้องรู้ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่รู้ค่า แต่ $PR$ (ตรงข้ามมุม $Q$) คือสิ่งที่ต้องหา จึงยังไม่รู้คู่ที่ครบ · (C) ใช้ได้เฉพาะเมื่อสามเหลี่ยมมีมุมฉาก ซึ่งสามเหลี่ยมนี้ไม่มี
$PR$ is opposite angle $Q$. Substitute $QP=17.8$, $QR=26.3$ and angle $Q=36°$ into the cosine rule $PR^{2}=QP^{2}+QR^{2}-2\,QP\cdot QR\cos Q$.
$PR$ อยู่ตรงข้ามมุม $Q$ จงแทนค่า $QP=17.8$, $QR=26.3$ และมุม $Q=36°$ ลงในกฎของโคไซน์ $PR^{2}=QP^{2}+QR^{2}-2\,QP\cdot QR\cos Q$
Answershow ▾
$\quad-2\times17.8\times26.3\times\cos36°$
Replace each letter with its value. Keep the same pattern.แทนค่าแต่ละตัวแปรด้วยค่าจริง โดยคงรูปแบบเดิมไว้
Evaluate $17.8^{2}+26.3^{2}$ and $2\times17.8\times26.3\times\cos36°$ separately, then subtract. Do not round yet.
จงคำนวณ $17.8^{2}+26.3^{2}$ และ $2\times17.8\times26.3\times\cos36°$ แยกกัน แล้วนำมาลบกัน ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Work out the squares and the correction term before you subtract.คำนวณกำลังสองและพจน์ที่ปรับแก้ก่อน แล้วจึงลบ
Take the square root to find $PR$. Do not round yet.
ถอดรากที่สองเพื่อหา $PR$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
A square root undoes the square on $PR$.รากที่สองย้อนกลับการยกกำลังสองของ $PR$
Round $15.8449\ldots$ to 3 significant figures.
จงปัด $15.8449\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The 4th figure is $4$, so round down.ตัวเลขตำแหน่งที่ $4$ คือ $4$ จึงปัดลง
Check: side $PR$ must be between $26.3-17.8$ and $26.3+17.8$. Is $15.8$ in that range?
จงตรวจ: ด้าน $PR$ ต้องอยู่ระหว่าง $26.3-17.8$ และ $26.3+17.8$ ค่า $15.8$ อยู่ในช่วงนี้หรือไม่
Answershow ▾
Any side of a triangle is less than the sum, and more than the difference, of the other two.ด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม น้อยกว่าผลรวมและมากกว่าผลต่างของอีกสองด้านเสมอ
In triangle $XYZ$, $XY=3$ cm, $XZ=8$ cm and angle $X=60°$. Work out $YZ$.
ในสามเหลี่ยม $XYZ$ มี $XY=3$ ซม., $XZ=8$ ซม. และมุม $X=60°$ จงหา $YZ$
Answershow ▾
Same moves: substitute, evaluate in order, then square root.ขั้นตอนเดิม: แทนค่า คำนวณตามลำดับ แล้วถอดราก
The diagram shows triangle $PQR$.
Diagram NOT accurately drawn
Calculate the length of $PR$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
จากรูป สามเหลี่ยม $PQR$ (Diagram NOT accurately drawn)
จงหาความยาวของ $PR$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
3 marks: substitute into the cosine rule, evaluate in the right order, then round to 3 s.f.3 คะแนน: แทนค่าในกฎของโคไซน์ คำนวณตามลำดับที่ถูกต้อง แล้วปัดเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$PR^{2}$
$= 17.8^{2}+26.3^{2}-2\times17.8\times26.3\times\cos36°$
M1 correct order of operationsลำดับการคำนวณที่ถูกต้อง
$PR^{2}$
$= 1008.53\ldots-757.47\ldots \;($
$=251.06\ldots)$
A1 the lengthความยาว
$PR = 15.8\text{ cm}$
Three sides, the largest angle สามด้าน หามุมที่ใหญ่ที่สุด
A triangle has sides of length $8$ cm, $10$ cm and $14$ cm.
Work out the size of the largest angle of the triangle.
Give your answer correct to 1 decimal place.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว $8$ ซม., $10$ ซม. และ $14$ ซม.
จงหาขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมนี้
ให้คำตอบถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Work out $10^{2}+8^{2}-14^{2}$.
จงคำนวณ $10^{2}+8^{2}-14^{2}$
Answershow ▾
Square each number first, then add and subtract in order.ยกกำลังสองแต่ละจำนวนก่อน แล้วบวกลบตามลำดับ
Work out $2\times10\times8$.
จงคำนวณ $2\times10\times8$
Answershow ▾
Multiply straight across - the order does not change the answer.คูณไปตามลำดับ จะคูณก่อนหลังก็ได้ผลเท่ากัน
$\cos A=-0.2$. Use a calculator to find $A$, correct to 1 decimal place.
$\cos A=-0.2$ จงใช้เครื่องคิดเลขหา $A$ ถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
$\cos^{-1}$ of a negative number gives an angle over $90°$.$\cos^{-1}$ ของค่าลบ ให้มุมที่มากกว่า $90°$
A triangle has all three sides given, and no angle is known yet.
Pick the first move.
(A) sine rule, because an angle is wanted
(B) cosine rule, because three sides are known and no angle is
(C) Pythagoras, because it is a triangle
สามเหลี่ยมนี้รู้ด้านครบสามด้าน แต่ยังไม่รู้มุมใดเลย
จงเลือกขั้นแรก
(A) กฎ sine เพราะต้องการหามุม
(B) กฎ cosine เพราะรู้ด้านครบสามด้านและไม่รู้มุมเลย
(C) พีทาโกรัส เพราะเป็นรูปสามเหลี่ยม
Answershow ▾
The sine rule needs a known angle-side pair to start a ratio, and none exists here. Pythagoras only works when one angle is $90°$, which is not given.กฎ sine ต้องมีคู่มุม-ด้านที่รู้ค่าแล้วอย่างน้อยหนึ่งคู่ ซึ่งโจทย์นี้ไม่มี · พีทาโกรัสใช้ได้เฉพาะเมื่อมีมุม $90°$ ซึ่งไม่ได้ให้มา
The cosine rule puts one side alone, opposite the angle you want.
Sides are $8$ cm, $10$ cm, $14$ cm, and the angle wanted is the largest one. Which side goes alone on the left?
(A) $14$ cm
(B) $10$ cm
(C) $8$ cm
กฎ cosine ให้ด้านหนึ่งอยู่โดดเดี่ยว ตรงข้ามกับมุมที่ต้องการ
ด้านมี $8$ ซม., $10$ ซม., $14$ ซม. และมุมที่ต้องการคือมุมที่ใหญ่ที่สุด ด้านใดอยู่โดดเดี่ยว
(A) $14$ ซม.
(B) $10$ ซม.
(C) $8$ ซม.
Answershow ▾
The largest angle is opposite the longest side, so the $14$ cm side plays $a$. (B) and (C) put a shorter side alone, which would solve for a smaller angle instead.มุมที่ใหญ่ที่สุดอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด ดังนั้นด้าน $14$ ซม. คือ $a$ · (B) และ (C) เอาด้านที่สั้นกว่ามาอยู่โดดเดี่ยว ซึ่งจะหามุมที่เล็กกว่าแทน
$a=14$, $b=10$, $c=8$. Write the equation for $\cos A$, using the rearranged cosine rule.
$a=14$, $b=10$, $c=8$ จงเขียนสมการหา $\cos A$ โดยใช้กฎ cosine ที่จัดรูปใหม่แล้ว
Answershow ▾
$\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, with $b$ and $c$ the two shorter sides.$\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ โดย $b$ กับ $c$ คือด้านสั้นทั้งสอง
Evaluate $\cos A=\dfrac{10^{2}+8^{2}-14^{2}}{2\times10\times8}$ as a decimal.
จงคำนวณ $\cos A=\dfrac{10^{2}+8^{2}-14^{2}}{2\times10\times8}$ เป็นทศนิยม
Answershow ▾
The numerator and the denominator are questions $1$ and $2$: $-32\div160$.ตัวเศษกับตัวส่วนคือข้อ $1$ และข้อ $2$: $-32\div160$
$\cos A=-0.2$. Find $A$, correct to 1 decimal place.
$\cos A=-0.2$ จงหา $A$ ถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Same calculator step as question $3$, now on the real decimal.ขั้นเครื่องคิดเลขเดิมจากข้อ $3$ แต่ใช้ทศนิยมจริง
$\cos A$ came out negative. What does that tell you about angle $A$, before you even use the calculator?
$\cos A$ ออกมาเป็นลบ สิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับมุม $A$ ก่อนจะกดเครื่องคิดเลขเสียอีก
Answershow ▾
$\cos A$ is positive for $A\lt90°$ and negative for $A\gt90°$.$\cos A$ เป็นบวกเมื่อ $A\lt90°$ และเป็นลบเมื่อ $A\gt90°$
Check: evaluate $\cos(101.5°)$, correct to 1 decimal place. Does it match $-0.2$?
ตรวจคำตอบ: จงคำนวณ $\cos(101.5°)$ ถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม ตรงกับ $-0.2$ หรือไม่
Answershow ▾
The inverse operation should bring you back to where you started.การย้อนการกระทำควรพากลับไปที่จุดเริ่มต้น
A triangle has sides of length $3$ cm, $5$ cm and $7$ cm. Work out the size of the largest angle of the triangle.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว $3$ ซม., $5$ ซม. และ $7$ ซม. จงหาขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมนี้
Answershow ▾
Same four moves: longest side is $a$, substitute, evaluate, then inverse cosine.สี่ขั้นเดิม: ด้านที่ยาวที่สุดคือ $a$ แทนค่า คำนวณ แล้วหาโคไซน์ผกผัน
A triangle has sides of length $8$ cm, $10$ cm and $14$ cm.
Work out the size of the largest angle of the triangle.
Give your answer correct to 1 decimal place.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว $8$ ซม., $10$ ซม. และ $14$ ซม.
จงหาขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมนี้
ให้คำตอบถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
3 marks: substitute into the rearranged cosine rule, evaluate the fraction, then the angle.3 คะแนน: แทนค่าในกฎ cosine ที่จัดรูปใหม่ คำนวณค่าเศษส่วน แล้วหาค่ามุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos A$
$= \dfrac{10^{2}+8^{2}-14^{2}}{2\times10\times8}$
M1 evaluate the fractionคำนวณค่าเศษส่วน
$\cos A = \dfrac{-32}{160} \;(=-0.2)$
A1 the angleขนาดมุม
$A = 101.5°$
Two right triangles, one shared side สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ใช้ด้านร่วมกัน
The diagram shows triangle $ABD$.
Diagram NOT accurately drawn
The point $C$ lies on $BD$.
$AD = 13$ cm $BC = 8$ cm angle $ADB = 90°$ angle $CAD = 20°$
Calculate the size of angle $BAC$.
จากรูป สามเหลี่ยม $ABD$
(Diagram NOT accurately drawn) จุด $C$ อยู่บน $BD$
$AD = 13$ ซม. $BC = 8$ ซม. มุม $ADB = 90°$ มุม $CAD = 20°$
จงหาขนาดของมุม $BAC$
In a right-angled triangle, the angle is $20°$ and the side next to it (adjacent) is $13$ cm. Find the side opposite the angle, correct to $3$ significant figures.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมมีขนาด $20°$ และด้านที่ติดกับมุม (adjacent) ยาว $13$ ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุม ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
tan is opposite over adjacent, so multiply by the adjacent side.tan คือ opposite หารด้วย adjacent จึงคูณด้วยด้าน adjacent
A straight line $DB$ is split into two parts by a point $C$: $DC=4.73$ cm and $CB=8$ cm. Find the length $DB$.
เส้นตรง $DB$ ถูกแบ่งเป็นสองส่วนด้วยจุด $C$: $DC=4.73$ ซม. และ $CB=8$ ซม. จงหาความยาว $DB$
Answershow ▾
The whole line is the sum of its two parts.เส้นตรงทั้งเส้น คือผลรวมของสองส่วนที่แบ่งไว้
In a right-angled triangle, the side opposite the angle is $12.73$ cm and the side next to it (adjacent) is $13$ cm. Find the angle, correct to $1$ decimal place.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมยาว $12.73$ ซม. และด้านที่ติดกับมุม (adjacent) ยาว $13$ ซม. จงหามุม ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
tan is opposite over adjacent: take $\tan^{-1}$ of the division.tan คือ opposite หารด้วย adjacent: หา $\tan^{-1}$ ของผลหาร
You now know angle $BAD=44.4°$ and you are given angle $CAD=20°$. Pick the first move to find angle $BAC$.
(A) $BAC=\angle BAD$
(B) $BAC=\angle BAD-\angle CAD$
(C) $BAC=\angle CAD-\angle BAD$
ตอนนี้รู้มุม $BAD=44.4°$ และโจทย์ให้มุม $CAD=20°$ จงเลือกขั้นแรกในการหามุม $BAC$
(A) $BAC=\angle BAD$
(B) $BAC=\angle BAD-\angle CAD$
(C) $BAC=\angle CAD-\angle BAD$
Answershow ▾
(A) forgets that $C$ splits angle $BAD$, so $BAC$ is only part of it; (C) subtracts the wrong way and goes negative.(A) ลืมว่า $C$ แบ่งมุม $BAD$ ทำให้ $BAC$ เป็นแค่ส่วนหนึ่ง · (C) ลบสลับด้าน ได้ค่าติดลบ
Triangle $ACD$ is right-angled at $D$. $AD=13$ cm, angle $CAD=20°$. Use tangent to find $CD$, correct to $3$ significant figures.
สามเหลี่ยม $ACD$ มีมุมฉากที่ $D$ โดย $AD=13$ ซม. และมุม $CAD=20°$ จงใช้แทนเจนต์หา $CD$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same method as question $1$, now with the triangle named.วิธีเดียวกับข้อ $1$ แต่ตั้งชื่อสามเหลี่ยมแล้ว
$BD=BC+CD$. Use $BC=8$ cm and $CD=4.73$ cm to find $BD$, correct to $3$ significant figures.
$BD=BC+CD$ จงใช้ $BC=8$ ซม. และ $CD=4.73$ ซม. หา $BD$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Add the two parts of the line, same as question $2$.บวกสองส่วนของเส้นตรง เหมือนข้อ $2$
Triangle $ABD$ is right-angled at $D$. Use tangent with $BD$ and $AD=13$ cm to find angle $BAD$, correct to $1$ decimal place. Keep the unrounded $BD$ on your calculator - do not use the rounded $12.7$ cm for this step.
สามเหลี่ยม $ABD$ มีมุมฉากที่ $D$ จงใช้แทนเจนต์กับ $BD$ และ $AD=13$ ซม. หามุม $BAD$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง เก็บ $BD$ แบบยังไม่ปัดเศษไว้ในเครื่องคิดเลข อย่าใช้ $12.7$ ซม. ที่ปัดแล้วในขั้นนี้
Answershow ▾
Same method as question $3$, now with the triangle named.วิธีเดียวกับข้อ $3$ แต่ตั้งชื่อสามเหลี่ยมแล้ว
Evaluate angle $BAC=\angle BAD-\angle CAD$, using the full value of angle $BAD$ from your calculator. Do not round yet.
จงคำนวณมุม $BAC=\angle BAD-\angle CAD$ โดยใช้มุม $BAD$ แบบเต็มค่าจากเครื่องคิดเลข ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Angle $BAD$ itself is not a round number - only its display was rounded to $44.4°$.มุม $BAD$ จริงๆ ไม่ใช่จำนวนกลม แค่ตัวเลขที่แสดงถูกปัดเป็น $44.4°$ เท่านั้น
Round $24.40\ldots°$ to $1$ decimal place. Then check: does $\angle BAD-\angle BAC$, using the rounded values $44.4°$ and your answer, give back the given angle $\angle CAD=20°$?
จงปัด $24.40\ldots°$ เป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง จากนั้นตรวจ: มุม $BAD$ ลบมุม $BAC$ โดยใช้ค่าที่ปัดแล้ว $44.4°$ กับคำตอบของคุณ จะได้มุม $CAD=20°$ ที่โจทย์ให้มาหรือไม่
Answershow ▾
The three angles at $A$ fit together: what is left after taking away $BAC$ must be $CAD$.สามมุมที่จุด $A$ ต้องสอดคล้องกัน: ส่วนที่เหลือหลังตัดมุม $BAC$ ออก ต้องเท่ากับมุม $CAD$
Triangle $ABD$ is right-angled at $D$. $AD=10$ cm, $BC=5$ cm. $C$ is the point on $BD$ such that angle $CAD=25°$. Work out the size of angle $BAC$, correct to $1$ decimal place.
สามเหลี่ยม $ABD$ มีมุมฉากที่ $D$ โดย $AD=10$ ซม. และ $BC=5$ ซม. $C$ เป็นจุดบน $BD$ ที่ทำให้มุม $CAD=25°$ จงหาขนาดของมุม $BAC$ ถูกต้องถึงทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same four moves: $CD$ from tangent, $BD$ by adding, $BAD$ from tangent, then subtract $CAD$.สี่ขั้นเดิม: หา $CD$ ด้วยแทนเจนต์ บวกหา $BD$ หา $BAD$ ด้วยแทนเจนต์ แล้วลบด้วย $CAD$
The diagram shows triangle $ABD$.
Diagram NOT accurately drawn
The point $C$ lies on $BD$.
$AD = 13$ cm $BC = 8$ cm angle $ADB = 90°$ angle $CAD = 20°$
Calculate the size of angle $BAC$.
จากรูป สามเหลี่ยม $ABD$
(Diagram NOT accurately drawn) จุด $C$ อยู่บน $BD$
$AD = 13$ ซม. $BC = 8$ ซม. มุม $ADB = 90°$ มุม $CAD = 20°$
จงหาขนาดของมุม $BAC$
Answershow ▾
5 marks: four are for method - the equation for $CD$, $CD$ itself, the equation for angle $BAD$, and angle $BAD$. The last mark is for subtracting angle $CAD$.5 คะแนน: สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ได้แก่สมการหา $CD$ ค่า $CD$ สมการหามุม $BAD$ และมุม $BAD$ คะแนนสุดท้ายคือการลบด้วยมุม $CAD$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\tan20° = \dfrac{CD}{13}$
M1 $CD$ itselfหาค่า $CD$
$CD = 13\tan20° \;(=4.73\ldots)$
M1 an equation for angle $BAD$ alone, using $BD = BC+CD$สมการที่มีมุม $BAD$ ตัวแปรเดียว โดยใช้ $BD = BC+CD$
$\tan(BAD) = \dfrac{8+4.73\ldots}{13}$
M1 angle $BAD$มุม $BAD$
$BAD = \tan^{-1}(0.979\ldots) \;(=44.4°)$
A1 angle $BAC$, by subtracting angle $CAD$มุม $BAC$ โดยลบมุม $CAD$ ออก
$BAC = 44.4°-20° = 24.4°$
Three ships, two bearings เรือสามลำ สองทิศ
The diagram shows the positions of three ships, $A$, $B$ and $C$.
Diagram NOT accurately drawn
Ship $B$ is due north of ship $A$.
The bearing of ship $C$ from ship $A$ is $120°$
$AB = 150$ m $AC = 275$ m
Calculate the bearing of ship $C$ from ship $B$.
Give your answer correct to the nearest degree.
จากรูป ตำแหน่งของเรือสามลำ $A$, $B$ และ $C$ (Diagram NOT accurately drawn)
เรือ $B$ อยู่ทางทิศเหนือของเรือ $A$ พอดี
ทิศของเรือ $C$ จากเรือ $A$ คือ $120°$
$AB = 150$ ม. $AC = 275$ ม.
จงหาทิศของเรือ $C$ จากเรือ $B$
ให้คำตอบถูกต้องเป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Ship $B$ is on a bearing of $0°$ from ship $A$ (due north), and ship $C$ is on a bearing of $120°$ from ship $A$. Work out angle $\angle BAC$.
เรือ $B$ อยู่ทิศ $0°$ จากเรือ $A$ (ทิศเหนือพอดี) และเรือ $C$ อยู่ทิศ $120°$ จากเรือ $A$ จงหามุม $\angle BAC$
Answershow ▾
Both bearings are measured from $A$, so subtract one from the other.ทิศทั้งสองวัดจาก $A$ จึงนำมาลบกัน
Write the value of $\cos120°$.
จงเขียนค่าของ $\cos120°$
Answershow ▾
A cosine between $90°$ and $180°$ is negative.โคไซน์ของมุมระหว่าง $90°$ ถึง $180°$ มีค่าเป็นลบ
Round $140.3626\ldots°$ to the nearest degree.
จงปัดเศษ $140.3626\ldots°$ เป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
The first decimal digit is $3$, so round down.ทศนิยมตำแหน่งแรกคือ $3$ จึงปัดลง
$B$ is due north of $A$ (bearing $0°$). $C$ is on a bearing of $120°$ from $A$. Pick $\angle BAC$.
(A) $120°$
(B) $180°-120°=60°$
(C) $90°$, assuming a right angle at $A$
$B$ อยู่ทิศเหนือของ $A$ พอดี (ทิศ $0°$) $C$ อยู่ทิศ $120°$ จาก $A$ จงเลือก $\angle BAC$
(A) $120°$
(B) $180°-120°=60°$
(C) $90°$ โดยสมมติว่าเป็นมุมฉากที่ $A$
Answershow ▾
(B) uses a back-bearing idea that does not apply here - both bearings are measured from the same point $A$, so they simply subtract. (C) assumes $B$ and $C$ sit at right angles from $A$, which the bearings do not say.(B) ใช้แนวคิดทิศสวนทาง ซึ่งไม่เกี่ยวกับกรณีนี้ เพราะทิศทั้งสองวัดจากจุด $A$ จุดเดียวกัน จึงลบกันตรงๆ · (C) สมมติว่า $B$ กับ $C$ ทำมุมฉากจาก $A$ ซึ่งทิศที่ให้มาไม่ได้บอกเช่นนั้น
Use the cosine rule to write $BC^{2}$ in terms of $AB=150$, $AC=275$ and $\angle BAC=120°$.
จงใช้กฎโคไซน์เขียน $BC^{2}$ โดยใช้ $AB=150$, $AC=275$ และ $\angle BAC=120°$
Answershow ▾
$\quad-2\times150\times275\times\cos120°$
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,AB\cdot AC\cos(BAC)$.$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,AB\cdot AC\cos(BAC)$
Evaluate $150^{2}+275^{2}$, then subtract $2\times150\times275\times\cos120°$. Then find $BC$. Do not round yet.
จงคำนวณ $150^{2}+275^{2}$ แล้วลบด้วย $2\times150\times275\times\cos120°$ จากนั้นหา $BC$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$\cos120°=-0.5$, so the last term becomes $+41250$.$\cos120°=-0.5$ พจน์สุดท้ายจึงกลายเป็น $+41250$
Side $AC=275$ is opposite angle $ABC$. Write the sine rule equation for angle $ABC$, using $BC=373.3296\ldots$ and $\angle BAC=120°$.
ด้าน $AC=275$ อยู่ตรงข้ามมุม $ABC$ จงเขียนสมการกฎไซน์หามุม $ABC$ โดยใช้ $BC=373.3296\ldots$ และ $\angle BAC=120°$
Answershow ▾
$\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$, matching each angle to the side opposite it.$\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$ โดยจับคู่มุมกับด้านตรงข้าม
Solve $\dfrac{\sin(ABC)}{275}=\dfrac{\sin120°}{373.3296\ldots}$ for angle $ABC$. Round to $1$ decimal place.
จงแก้ $\dfrac{\sin(ABC)}{275}=\dfrac{\sin120°}{373.3296\ldots}$ หามุม $ABC$ ปัดเศษทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\sin(ABC)=\dfrac{275\times\sin120°}{373.3296\ldots}=0.6379\ldots$, then take $\sin^{-1}$.$\sin(ABC)=\dfrac{275\times\sin120°}{373.3296\ldots}=0.6379\ldots$ แล้วหา $\sin^{-1}$
$A$ is due south of $B$ (bearing $180°$), and angle $ABC=39.6°$. Pick the bearing of $C$ from $B$.
(A) $39.6°$
(B) $180°-39.6°=140.4°$
(C) $360°-39.6°=320.4°$
$A$ อยู่ทิศใต้ของ $B$ พอดี (ทิศ $180°$) และมุม $ABC=39.6°$ จงเลือกทิศของ $C$ จาก $B$
(A) $39.6°$
(B) $180°-39.6°=140.4°$
(C) $360°-39.6°=320.4°$
Answershow ▾
(A) is just the triangle’s interior angle, not a bearing - it ignores that $A$ is due south of $B$. (C) turns the wrong way round the compass; $C$ sits on the eastward side of $AB$, so the bearing is less than $180°$, not more.(A) เป็นแค่มุมภายในสามเหลี่ยม ไม่ใช่ทิศ เพราะไม่ได้คิดว่า $A$ อยู่ทิศใต้ของ $B$ · (C) หมุนผิดทาง เพราะ $C$ อยู่ฝั่งตะวันออกของเส้น $AB$ ทิศจึงต้องน้อยกว่า $180°$ ไม่ใช่มากกว่า
Using angle $ABC=39.6°$ and the method you chose, work out the bearing of $C$ from $B$, correct to the nearest degree.
ใช้มุม $ABC=39.6°$ และวิธีที่เลือกไว้ จงหาทิศของ $C$ จาก $B$ ถูกต้องเป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
$180°-39.6°=140.4°$, which rounds to $140°$.$180°-39.6°=140.4°$ ซึ่งปัดเศษได้ $140°$
Ship $B$ is due north of ship $A$. The bearing of ship $C$ from ship $A$ is $125°$. $AB=100$ m, $AC=150$ m. Calculate the bearing of ship $C$ from ship $B$, correct to the nearest degree.
เรือ $B$ อยู่ทิศเหนือของเรือ $A$ พอดี ทิศของเรือ $C$ จากเรือ $A$ คือ $125°$ $AB=100$ ม. $AC=150$ ม. จงหาทิศของเรือ $C$ จากเรือ $B$ ถูกต้องเป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Same three moves: cosine rule for $BC$, sine rule for angle $ABC$, then $180°$ minus that angle.สามขั้นเดิม: กฎโคไซน์หา $BC$ กฎไซน์หามุม $ABC$ แล้วนำ $180°$ ลบมุมนั้น
The diagram shows the positions of three ships, $A$, $B$ and $C$.
Diagram NOT accurately drawn
Ship $B$ is due north of ship $A$.
The bearing of ship $C$ from ship $A$ is $120°$
$AB = 150$ m $AC = 275$ m
Calculate the bearing of ship $C$ from ship $B$.
Give your answer correct to the nearest degree.
จากรูป ตำแหน่งของเรือสามลำ $A$, $B$ และ $C$ (Diagram NOT accurately drawn)
เรือ $B$ อยู่ทางทิศเหนือของเรือ $A$ พอดี
ทิศของเรือ $C$ จากเรือ $A$ คือ $120°$
$AB = 150$ ม. $AC = 275$ ม.
จงหาทิศของเรือ $C$ จากเรือ $B$
ให้คำตอบถูกต้องเป็นองศาที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
5 marks: the cosine rule for $BC$, $BC$ itself, the sine rule statement, angle $ABC$, then $180°$ minus it.5 คะแนน: กฎโคไซน์หา $BC$, ค่า $BC$, ประโยคกฎไซน์, มุม $ABC$, แล้วนำ $180°$ ลบมุมนั้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$BC^{2}$
$= 150^{2}+275^{2}-2\times150\times275\times\cos120° \;($
$=139375)$
M1 $BC$ itselfหาค่า $BC$
$BC = \sqrt{139375} \;(=373.3\ldots)$
dM1 a correct sine-rule statement for angle $ABC$ประโยคกฎของไซน์หามุม $ABC$
$\dfrac{\sin(ABC)}{275}$
$= \dfrac{\sin120°}{373.3\ldots}$
M1 angle $ABC$มุม $ABC$
$ABC = 39.6°$
A1 the bearing of $C$ from $B$ทิศของ $C$ จาก $B$
$180°-39.6° = 140°$
Angle between a prism diagonal and its base มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของปริซึมกับฐาน
The diagram shows a triangular prism $ABCDEF$ with a horizontal base $ABEF$.
Diagram NOT accurately drawn
$AC = BC = FD = ED = 12$ cm $AB = 10$ cm $BE = 15$ cm
Calculate the size of the angle between $AD$ and the base $ABEF$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
จากรูป แท่งปริซึมสามเหลี่ยม $ABCDEF$ ที่มีฐานราบ $ABEF$ (Diagram NOT accurately drawn)
$AC = BC = FD = ED = 12$ ซม. $AB = 10$ ซม. $BE = 15$ ซม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $AD$ กับฐาน $ABEF$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
A right-angled triangle has legs $5$ cm and $15$ cm. Find the hypotenuse, using Pythagoras.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีด้านประกอบมุมฉากยาว $5$ ซม. และ $15$ ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยใช้พีทาโกรัส
Answershow ▾
Square both legs, add them, then square root.ยกกำลังสองทั้งสองด้าน บวกกัน แล้วถอดราก
A right-angled triangle has hypotenuse $12$ cm and one leg $5$ cm. Find the other leg, using Pythagoras.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $12$ ซม. และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $5$ ซม. จงหาด้านที่เหลือ โดยใช้พีทาโกรัส
Answershow ▾
The missing leg squared is the hypotenuse squared minus the known leg squared.ด้านที่หายไปยกกำลังสอง เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง ลบด้วยด้านที่รู้ยกกำลังสอง
In a right triangle, the side opposite the angle is $3$ cm and the side adjacent is $4$ cm. Find the angle, correct to 1 decimal place.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ด้านตรงข้ามมุมยาว $3$ ซม. และด้านประชิดยาว $4$ ซม. จงหาขนาดของมุม ถูกต้องถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide opposite by adjacent, then use $\tan^{-1}$.หารด้านตรงข้ามด้วยด้านประชิด แล้วใช้ $\tan^{-1}$
$AD$ runs from $A$ to $D$, the far apex. $M$ is the foot of $D$ on the base, the midpoint of $EF$. Which right triangle gives the angle between $AD$ and the base?
(A) triangle $ACD$, using the ridge $CD$
(B) triangle $AMD$, right-angled at $M$
(C) triangle $ABE$, using the base edges
$AD$ ลากจาก $A$ ไปยัง $D$ ซึ่งเป็นจุดยอดอีกฝั่ง $M$ คือเงาของ $D$ บนฐาน เป็นจุดกึ่งกลาง $EF$ สามเหลี่ยมมุมฉากรูปใดให้มุมระหว่าง $AD$ กับฐาน
(A) สามเหลี่ยม $ACD$ โดยใช้สัน $CD$
(B) สามเหลี่ยม $AMD$ มุมฉากที่ $M$
(C) สามเหลี่ยม $ABE$ โดยใช้ด้านของฐาน
Answershow ▾
(A) uses $CD$, a ridge the same height as $DM$ but not under $A$ -- it does not touch the base at all. (C) lies flat in the base and never reaches $D$, so it has no angle with it.(A) ใช้ $CD$ ซึ่งสูงเท่า $DM$ แต่ไม่ได้อยู่ใต้ $A$ และไม่แตะฐานเลย · (C) นอนอยู่ในฐานทั้งหมด ไม่ไปถึง $D$ จึงไม่มีมุมกับ $AD$
$M$ is the midpoint of $EF$. $AM$ runs across half of $AB$ ($5$ cm) and the full length $BE$ ($15$ cm), at right angles. Find $AM$.
$M$ เป็นจุดกึ่งกลาง $EF$ แนว $AM$ วิ่งผ่านครึ่งหนึ่งของ $AB$ ($5$ ซม.) และความยาวเต็ม $BE$ ($15$ ซม.) ซึ่งตั้งฉากกัน จงหา $AM$
Answershow ▾
Same move as question $[1]$, now on the real prism.ขั้นเดียวกับข้อ $[1]$ แต่ใช้กับปริซึมจริง
$D$ sits directly above $M$ at height $DM$, inside the isosceles triangle $FED$ ($FD=ED=12$ cm, $FE=10$ cm). Find $DM$.
$D$ อยู่เหนือ $M$ พอดีที่ความสูง $DM$ ภายในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $FED$ ($FD=ED=12$ ซม., $FE=10$ ซม.) จงหา $DM$
Answershow ▾
Same move as question $[2]$, now on the real prism.ขั้นเดียวกับข้อ $[2]$ แต่ใช้กับปริซึมจริง
Find the angle between $AD$ and the base, using $\tan(\text{angle})=DM\div AM$. Give your answer correct to 3 significant figures.
จงหามุมระหว่าง $AD$ กับฐาน โดยใช้ $\tan\theta=DM\div AM$ ตอบถูกต้อง 3 เลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$DM=\sqrt{119}$ cm came from question $[5]$; $AM=\sqrt{250}$ cm came from question $[4]$.$DM=\sqrt{119}$ ซม. มาจากข้อ $[5]$ · $AM=\sqrt{250}$ ซม. มาจากข้อ $[4]$
Write $\tan(\text{angle})=DM\div AM$ as one expression, using the surds from questions $[4]$ and $[5]$ directly, with no decimal in between.
จงเขียน $\tan\theta=DM\div AM$ เป็นนิพจน์เดียว โดยใช้รากที่สองจากข้อ $[4]$ และ $[5]$ ตรง ๆ โดยไม่ผ่านทศนิยม
Answershow ▾
Both radicals plug straight into the ratio.นำทั้งสองรากที่สองใส่ลงในอัตราส่วนได้โดยตรง
Triangle $AMD$ is right-angled at $M$. Work out $AD$, then check that $\cos(34.6°)=AM\div AD$.
สามเหลี่ยม $AMD$ มุมฉากที่ $M$ จงหา $AD$ แล้วตรวจว่า $\cos(34.6°)=AM\div AD$
Answershow ▾
A different ratio, on the same right triangle, gives the same angle back.อัตราส่วนอื่นบนสามเหลี่ยมมุมฉากเดียวกัน ให้มุมเดิมกลับมา
A prism $ABCDEF$ has a horizontal base $ABEF$, a rectangle with $AB=6$ cm and $BE=4$ cm. $AC=BC=FD=ED=5$ cm. Work out the angle between $AD$ and the base, correct to 3 significant figures.
ปริซึม $ABCDEF$ มีฐานราบ $ABEF$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก $AB=6$ ซม. และ $BE=4$ ซม. $AC=BC=FD=ED=5$ ซม. จงหามุมระหว่าง $AD$ กับฐาน ถูกต้อง 3 เลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same three moves: floor diagonal, triangle height, then the tan ratio.สามขั้นเดิม: เส้นทแยงมุมบนพื้น ความสูงของสามเหลี่ยม แล้วอัตราส่วนแทนเจนต์
The diagram shows a triangular prism $ABCDEF$ with a horizontal base $ABEF$.
Diagram NOT accurately drawn
$AC = BC = FD = ED = 12$ cm $AB = 10$ cm $BE = 15$ cm
Calculate the size of the angle between $AD$ and the base $ABEF$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
จากรูป แท่งปริซึมสามเหลี่ยม $ABCDEF$ ที่มีฐานราบ $ABEF$ (Diagram NOT accurately drawn)
$AC = BC = FD = ED = 12$ ซม. $AB = 10$ ซม. $BE = 15$ ซม.
จงหาขนาดของมุมระหว่าง $AD$ กับฐาน $ABEF$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
4 marks: the floor diagonal $AM$, the triangle height $DM$, then $\tan^{-1}(DM\div AM)$.4 คะแนน: เส้นทแยงมุมบนพื้น $AM$ ความสูงของสามเหลี่ยม $DM$ แล้ว $\tan^{-1}(DM\div AM)$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$AM$
$= \sqrt{5^{2}+15^{2}} \;($
$=\sqrt{250}$
$=15.8\ldots)$
M1 $DM$, the height of the isosceles triangular face above $EF$หา $DM$ ความสูงของหน้าสามเหลี่ยมหน้าจั่วเหนือ $EF$
$DM = \sqrt{12^{2}-5^{2}} \;(=10.9\ldots)$
A1 the angle between $AD$ and the base, using the right angle at $M$มุมระหว่าง $AD$ กับฐาน โดยใช้มุมฉากที่ $M$
$\tan^{-1}\!\left(\dfrac{DM}{AM}\right)$
$= \tan^{-1}\!\left(\dfrac{10.9\ldots}{15.8\ldots}\right)$
$= 34.6°$
A quadrilateral cut in two by its diagonal รูปสี่เหลี่ยมที่ถูกแบ่งเป็นสองส่วนด้วยเส้นทแยงมุม
$ABCD$ is a quadrilateral.
Diagram NOT accurately drawn
$AD = 26$ cm
The area of triangle $ACD$ is $250\text{ cm}^{2}$
Calculate the area of the quadrilateral $ABCD$.
Show your working clearly.
Give your answer correct to 3 significant figures.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม (Diagram NOT accurately drawn) $AD = 26$ ซม.
พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ACD$ คือ $250$ ตร.ซม.
จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
A triangle has one side $26$ cm, the angle at the other end of that side is $39°$, and its area is $130\text{ cm}^{2}$. Use $\text{Area}=0.5\times a\times b\times\sin C$ to find the other side $b$.
สามเหลี่ยมมีด้านหนึ่งยาว $26$ ซม. มุมที่ปลายอีกด้านของด้านนั้นคือ $39°$ และพื้นที่คือ $130$ ตร.ซม. จงใช้สูตรพื้นที่ $0.5\times a\times b\times\sin C$ หาด้านอีกด้าน $b$
Answershow ▾
Put the known numbers in first, then divide to get $b$ on its own.แทนตัวเลขที่รู้ก่อน แล้วหารเพื่อให้เหลือ $b$ ตัวเดียว
In a triangle, side $p=10$ cm is opposite the angle $47°$, and side $q$ is opposite the angle $95°$. Use $\dfrac{q}{\sin95°}=\dfrac{p}{\sin47°}$ to find $q$.
ในสามเหลี่ยม ด้าน $p=10$ ซม. อยู่ตรงข้ามมุม $47°$ และด้าน $q$ อยู่ตรงข้ามมุม $95°$ จงใช้ $\dfrac{q}{\sin95°}=\dfrac{p}{\sin47°}$ หา $q$
Answershow ▾
Each side sits over the sine of the angle opposite it.ด้านแต่ละด้านอยู่คู่กับไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้ามมัน
A triangle has angles $47°$ and $95°$. Work out the third angle.
สามเหลี่ยมมีมุม $47°$ และ $95°$ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
Angles in a triangle add to $180°$.มุมในสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$
In triangle $ACD$ you know one side ($AD=26$), one angle ($39°$), and the AREA - not another side or a right angle. Pick the first move.
(A) the Pythagorean theorem
(B) $\text{Area}=0.5\times AD\times AC\times\sin(DAC)$, solved for $AC$
(C) the cosine rule
ในสามเหลี่ยม $ACD$ รู้ด้านหนึ่ง ($AD=26$) มุมหนึ่ง ($39°$) และ "พื้นที่" ไม่ใช่ด้านอื่นหรือมุมฉาก จงเลือกขั้นแรก
(A) ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
(B) สูตรพื้นที่ $0.5\times AD\times AC\times\sin(DAC)$ แก้หา $AC$
(C) กฎของโคไซน์
Answershow ▾
(A) needs a right angle, and none is given here. (C) the cosine rule needs two known sides; you only have one side ($AD$) and the area, not a second side.(A) ต้องมีมุมฉาก แต่ไม่มีมุมฉากในข้อนี้ · (C) กฎของโคไซน์ต้องรู้สองด้าน แต่ที่นี่รู้ด้านเดียว ($AD$) กับพื้นที่ ไม่ใช่ด้านที่สอง
Triangle $ACD$ has $AD=26$ cm, angle $DAC=39°$, and area $250\text{ cm}^{2}$. Write the area equation $\text{Area}=0.5\times AD\times AC\times\sin(DAC)$ with these numbers in.
สามเหลี่ยม $ACD$ มี $AD=26$ ซม. มุม $DAC=39°$ และพื้นที่ $250$ ตร.ซม. จงเขียนสมการพื้นที่ $0.5\times AD\times AC\times\sin(DAC)$ โดยแทนตัวเลขเหล่านี้เข้าไป
Answershow ▾
$AC$ is the only letter left in the equation.$AC$ เป็นตัวแปรเดียวที่เหลืออยู่ในสมการ
Solve $250=0.5\times26\times AC\times\sin39°$ for $AC$. Keep the unrounded value - you need it again in the next triangle.
จงแก้สมการ $250=0.5\times26\times AC\times\sin39°$ หา $AC$ เก็บค่าที่ยังไม่ปัดเศษไว้ เพราะต้องใช้ อีกครั้งในสามเหลี่ยมถัดไป
Answershow ▾
Divide both sides by $0.5\times26\times\sin39°$.หารทั้งสองข้างด้วย $0.5\times26\times\sin39°$
In triangle $ABC$ you now know $AC=30.6\ldots$, angle $ACB=47°$ and angle $ABC=95°$ - two angles and one side, no other side. Which rule finds $AB$?
(A) the Pythagorean theorem
(B) the sine rule
(C) the cosine rule
ในสามเหลี่ยม $ABC$ ตอนนี้รู้ $AC=30.6\ldots$ มุม $ACB=47°$ และมุม $ABC=95°$ คือสองมุมกับด้านเดียว ไม่มีด้านอื่น กฎใดหา $AB$ ได้
(A) ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
(B) กฎของไซน์
(C) กฎของโคไซน์
Answershow ▾
(A) needs a right angle, and none is given. (C) the cosine rule needs two known sides, but you only have one ($AC$); the sine rule works from one side plus its opposite angle.(A) ต้องมีมุมฉาก แต่ไม่มี · (C) กฎของโคไซน์ต้องรู้สองด้าน แต่รู้ด้านเดียว ($AC$) ส่วนกฎของไซน์ใช้ได้ จากด้านเดียวบวกมุมตรงข้ามด้านนั้น
Triangle $ABC$ has angle $ACB=47°$ and angle $ABC=95°$. Work out angle $BAC$.
สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $ACB=47°$ และมุม $ABC=95°$ จงหามุม $BAC$
Answershow ▾
Same move as question $3$, now on the real triangle.วิธีเดียวกับข้อ $3$ แต่คราวนี้ใช้กับสามเหลี่ยมจริง
Write the sine-rule equation $\dfrac{AB}{\sin47°}=\dfrac{AC}{\sin95°}$ using $AC=30.6\ldots$, then solve it for $AB$. Keep the unrounded value.
จงเขียนสมการกฎของไซน์ $\dfrac{AB}{\sin47°}=\dfrac{AC}{\sin95°}$ โดยใช้ $AC=30.6\ldots$ แล้วแก้หา $AB$ เก็บค่าที่ยังไม่ปัดเศษไว้
Answershow ▾
Multiply both sides by $\sin47°$.คูณทั้งสองข้างด้วย $\sin47°$
Use $AC=30.6\ldots$, $AB=22.4\ldots$ and angle $BAC=38°$ to find the area of triangle $ABC$, then add it to $250$ to get the area of $ABCD$, correct to $3$ significant figures.
จงใช้ $AC=30.6\ldots$, $AB=22.4\ldots$ และมุม $BAC=38°$ หาพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ แล้วบวกกับ $250$ เพื่อหาพื้นที่ $ABCD$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Area $ABCD$ = area $ACD$ + area $ABC$ - the diagonal splits it into exactly those two pieces.พื้นที่ $ABCD$ = พื้นที่ $ACD$ + พื้นที่ $ABC$ เพราะเส้นทแยงมุมแบ่งรูปออกเป็นสองส่วนนี้พอดี
$ABCD$ is a quadrilateral, split by diagonal $AC$. $AD=10$ cm, angle $DAC=30°$, and the area of triangle $ACD$ is $20\text{ cm}^{2}$. Angle $ACB=50°$ and angle $ABC=100°$. Find the area of $ABCD$, correct to $3$ significant figures.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม แบ่งด้วยเส้นทแยงมุม $AC$ $AD=10$ ซม. มุม $DAC=30°$ และพื้นที่สามเหลี่ยม $ACD$ คือ $20$ ตร.ซม. มุม $ACB=50°$ และมุม $ABC=100°$ จงหาพื้นที่ $ABCD$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same five moves: $AC$ from the area formula, $BAC$ from the angle sum, $AB$ from the sine rule, area $ABC$, then add.ห้าขั้นเดิม: หา $AC$ จากสูตรพื้นที่ หา $BAC$ จากผลรวมมุม หา $AB$ จากกฎของไซน์ หาพื้นที่ $ABC$ แล้วบวกกัน
$ABCD$ is a quadrilateral.
Diagram NOT accurately drawn
$AD = 26$ cm
The area of triangle $ACD$ is $250\text{ cm}^{2}$
Calculate the area of the quadrilateral $ABCD$.
Show your working clearly.
Give your answer correct to 3 significant figures.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยม (Diagram NOT accurately drawn) $AD = 26$ ซม.
พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ACD$ คือ $250$ ตร.ซม.
จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
6 marks: $AC$ from the area formula, the sine rule for $AB$, then the area of $ABC$ added to $250$.6 คะแนน: หา $AC$ จากสูตรพื้นที่ กฎของไซน์หา $AB$ แล้วบวกพื้นที่ $ABC$ กับ $250$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$250 = 0.5\times26\times AC\times\sin39°$
A1 $AC$หา $AC$
$AC = 30.6\text{ cm}$
M1 a correct sine-rule statement in triangle $ABC$, using angles $ACB = 47°$ and $ABC = 95°$ประโยคกฎของไซน์ในสามเหลี่ยม $ABC$ โดยใช้มุม $ACB = 47°$ และ $ABC = 95°$
$\dfrac{AB}{\sin47°}$
$= \dfrac{30.6\ldots}{\sin95°}$
M1 $AB$หา $AB$
$AB = 22.4\text{ cm}$
M1 the area of triangle $ABC$, added to $250$พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ บวกกับ $250$
$180°-95°-47° = 38°$
$\text{Area}$
$= 250+0.5\times30.6\times22.4\times\sin38°$
A1 the total areaพื้นที่รวม
$= 461\text{ cm}^{2}$
A cyclic quadrilateral, two rules รูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม สองกฎ
$ABCD$ is a quadrilateral where $A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle.
Diagram NOT accurately drawn
$AB = 8$ cm $BC = 7.5$ cm
Angle $ABC = 98°$ Angle $ACD = 35°$
Work out the perimeter of quadrilateral $ABCD$.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน (Diagram NOT accurately drawn)
$AB = 8$ ซม. $BC = 7.5$ ซม.
มุม $ABC = 98°$ มุม $ACD = 35°$
จงหาเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$
$A$, $B$, $C$, $D$ lie on a circle, in that order, so $ABCD$ is a cyclic quadrilateral. Angle $ABC=98°$. Work out angle $ADC$.
$A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลมเรียงตามลำดับ ทำให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม มุม $ABC=98°$ จงหามุม $ADC$
Answershow ▾
Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to $180°$.มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม รวมกันได้ $180°$
A triangle has angles $35°$ and $82°$. Work out the third angle.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม $35°$ และ $82°$ จงหามุมที่สาม
Answershow ▾
The three angles of a triangle add up to $180°$.มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม รวมกันได้ $180°$
A triangle has two sides $7$ cm and $8$ cm, with an angle of $120°$ between them. Use the cosine rule to find the third side.
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้าน $7$ ซม. และ $8$ ซม. โดยมีมุม $120°$ อยู่ระหว่างสองด้านนี้ จงใช้กฎของโคไซน์หาด้านที่สาม
Answershow ▾
Square the two known sides, then subtract twice their product times the cosine of the angle between them.ยกกำลังสองสองด้านที่รู้ แล้วลบด้วยสองเท่าของผลคูณสองด้านนั้นคูณโคไซน์ของมุมระหว่างด้าน
In triangle $ABC$ you know $AB=8$, $BC=7.5$, and angle $ABC=98°$, and you need $AC$. Pick the first move.
(A) $AC=AB+BC$
(B) $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos98°$
(C) $\dfrac{AC}{\sin98°}=\dfrac{AB}{\sin(\ldots)}$
ในสามเหลี่ยม $ABC$ รู้ $AB=8$, $BC=7.5$ และมุม $ABC=98°$ ต้องการหา $AC$ จงเลือกขั้นแรก
(A) $AC=AB+BC$
(B) $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos98°$
(C) $\dfrac{AC}{\sin98°}=\dfrac{AB}{\sin(\ldots)}$
Answershow ▾
(A) treats $A$, $B$, $C$ as one straight line, ignoring the $98°$ between them. (C) needs an angle facing a known side, and none is given yet - two sides with the angle between them is cosine-rule territory, not sine rule.(A) ปฏิบัติเหมือน $A$, $B$, $C$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งละเลยมุม $98°$ ระหว่างด้าน · (C) ต้องมีมุมที่หันหน้าเข้าหาด้านที่รู้ ซึ่งยังไม่มีมุมแบบนั้นให้ สองด้านกับมุมระหว่างด้าน เป็นงานของกฎของโคไซน์ ไม่ใช่กฎของไซน์
In quadrilateral $ABCD$, $A$, $B$, $C$, $D$ lie on a circle and angle $ABC=98°$. Work out angle $ADC$.
ในรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ จุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน และมุม $ABC=98°$ จงหามุม $ADC$
Answershow ▾
Same circle fact as question $1$, now with the real exam numbers.ข้อเท็จจริงเรื่องวงกลมแบบเดียวกับข้อ $1$ ใช้กับเลขของข้อสอบจริง
Using $AB=8$ cm, $BC=7.5$ cm, and angle $ABC=98°$, write $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos98°$ with the numbers substituted in.
ใช้ $AB=8$ ซม. $BC=7.5$ ซม. และมุม $ABC=98°$ จงเขียน $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2(AB)(BC)\cos98°$ โดยแทนค่าตัวเลขเข้าไป
Answershow ▾
Put each number in the place of its letter. The angle stays inside the cosine.แทนตัวเลขแต่ละตัวในตำแหน่งของตัวอักษร มุมยังคงอยู่ในโคไซน์
Work out $AC^{2}=8^{2}+7.5^{2}-2(8)(7.5)\cos98°$, then find $AC$. Round $AC$ to $3$ significant figures.
จงหา $AC^{2}=8^{2}+7.5^{2}-2(8)(7.5)\cos98°$ แล้วหา $AC$ ปัดเศษ $AC$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
$\cos98°$ is negative, so subtracting a negative term makes $AC^{2}$ bigger, not smaller.$\cos98°$ เป็นค่าลบ ดังนั้นการลบด้วยพจน์ลบ ทำให้ $AC^{2}$ ใหญ่ขึ้น ไม่ใช่เล็กลง
You now know $AC$, and all three angles of triangle $ACD$ ($35°$, $63°$, $82°$). Pick the rule to find $AD$ and $CD$.
(A) the cosine rule again
(B) the sine rule
(C) the Pythagorean theorem
ตอนนี้รู้ $AC$ และรู้มุมทั้งสามของสามเหลี่ยม $ACD$ ($35°$, $63°$, $82°$) จงเลือกกฎที่ใช้หา $AD$ และ $CD$
(A) กฎของโคไซน์อีกครั้ง
(B) กฎของไซน์
(C) ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
Answershow ▾
(A) needs two sides and the angle between them, or all three sides - only one side, $AC$, is known. (C) needs a right angle, and none of $35°$, $63°$, $82°$ is $90°$.(A) ต้องมีสองด้านกับมุมระหว่างด้าน หรือรู้ครบสามด้าน แต่ตอนนี้รู้ด้านเดียวคือ $AC$ · (C) ต้องมีมุมฉาก แต่ $35°$, $63°$, $82°$ ไม่มีมุมฉากเลย
In triangle $ACD$, angle $ACD=35°$ and angle $ADC=82°$. Work out angle $DAC$, then write the sine-rule statement linking $AD$, $CD$, and $AC$ to their facing angles.
ในสามเหลี่ยม $ACD$ มุม $ACD=35°$ และมุม $ADC=82°$ จงหามุม $DAC$ แล้วเขียนประโยคกฎของไซน์ที่เชื่อม $AD$, $CD$, และ $AC$ กับมุมที่หันหน้าเข้าหาแต่ละด้าน
Answershow ▾
Each side pairs with the angle at the OPPOSITE vertex.แต่ละด้านจับคู่กับมุมที่จุดยอดตรงข้าม
Using $AC\approx11.7026$ cm, find $AD$ and $CD$ from the sine rule, then work out the perimeter $AB+BC+AD+CD$, correct to $3$ significant figures.
ใช้ $AC\approx11.7026$ ซม. หา $AD$ และ $CD$ จากกฎของไซน์ แล้วหาเส้นรอบรูป $AB+BC+AD+CD$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Four lengths add to the perimeter - two given, two just found.สี่ด้านรวมกันเป็นเส้นรอบรูป สองด้านเป็นค่าที่ให้มา อีกสองด้านเพิ่งหาได้
$PQRS$ is a cyclic quadrilateral. $PQ=6$ cm, $QR=8$ cm, angle $PQR=90°$, angle $PRS=30°$. Work out the perimeter of $PQRS$, correct to $3$ significant figures.
$PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบวงกลม $PQ=6$ ซม. $QR=8$ ซม. มุม $PQR=90°$ มุม $PRS=30°$ จงหาเส้นรอบรูปของ $PQRS$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same four moves: circle fact, cosine rule for $PR$, sine rule for the last two sides, then add.สี่ขั้นเดิม: ข้อเท็จจริงวงกลม กฎของโคไซน์หา $PR$ กฎของไซน์หาอีกสองด้าน แล้วบวกกัน
$ABCD$ is a quadrilateral where $A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle.
Diagram NOT accurately drawn
$AB = 8$ cm $BC = 7.5$ cm
Angle $ABC = 98°$ Angle $ACD = 35°$
Work out the perimeter of quadrilateral $ABCD$.
$ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุด $A$, $B$, $C$, $D$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน (Diagram NOT accurately drawn)
$AB = 8$ ซม. $BC = 7.5$ ซม.
มุม $ABC = 98°$ มุม $ACD = 35°$
จงหาเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม $ABCD$
Answershow ▾
6 marks: circle fact for angle $ADC$, cosine rule for $AC$, sine rule for $AD$ and $CD$, then add.6 คะแนน: ข้อเท็จจริงวงกลมหามุม $ADC$ กฎของโคไซน์หา $AC$ กฎของไซน์หา $AD$ และ $CD$ แล้วบวกกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$ADC = 180°-98° \;(=82°)$
M1 correct substitution into the cosine rule for $AC$แทนค่าในกฎของโคไซน์หา $AC$
$AC^{2}$
$= 8^{2}+7.5^{2}-2(8)(7.5)\cos98° \;($
$=136.9\ldots)$
M1 $AC$ itselfหาค่า $AC$
$AC = 11.7\text{ cm}$
dM1 a correct sine-rule statement in triangle $ACD$ประโยคกฎของไซน์ในสามเหลี่ยม $ACD$
$\dfrac{AD}{\sin35°}$
$= \dfrac{CD}{\sin(63°)}$
$= \dfrac{11.7\ldots}{\sin82°}$
M1 both $AD$ and $CD$หาทั้ง $AD$ และ $CD$
$AD = 6.78\text{ cm}, \;CD = 10.5\text{ cm}$
A1 the perimeterเส้นรอบรูป
$8+7.5+6.78+10.5 = 32.8\text{ cm}$
Two answers from sine, then area สองคำตอบจากไซน์ แล้วหาพื้นที่
The diagram shows triangle $PQR$.
Diagram NOT accurately drawn
$PQ = 1.6$ cm $PR = 4.2$ cm Angle $PRQ = 18°$
Given that angle $PQR$ is obtuse, work out the area of triangle $PQR$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
จากรูป สามเหลี่ยม $PQR$
(Diagram NOT accurately drawn) $PQ = 1.6$ ซม. $PR = 4.2$ ซม. มุม $PRQ = 18°$
กำหนดให้มุม $PQR$ เป็นมุมป้าน จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
In triangle $PQR$, $PQ=1.6$ cm, $PR=4.2$ cm and angle $PRQ=18°$. Write the sine rule equation for angle $PQR$.
ในสามเหลี่ยม $PQR$ ด้าน $PQ=1.6$ ซม. ด้าน $PR=4.2$ ซม. และมุม $PRQ=18°$ จงเขียนสมการกฎไซน์หามุม $PQR$
Answershow ▾
The angle goes over the side across from it.มุมอยู่เหนือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมันเอง
Solve $\dfrac{\sin(PQR)}{4.2}=\dfrac{\sin18°}{1.6}$ for angle $PQR$, using $\sin^{-1}$. Give your answer correct to 1 decimal place.
จงแก้สมการ $\dfrac{\sin(PQR)}{4.2}=\dfrac{\sin18°}{1.6}$ หามุม $PQR$ โดยใช้ $\sin^{-1}$ ตอบถูกต้อง ถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\sin^{-1}$ on a calculator always gives an angle between $0°$ and $90°$.$\sin^{-1}$ บนเครื่องคิดเลขให้มุมระหว่าง $0°$ ถึง $90°$ เสมอ
Use $\sin(180°-x)=\sin(x)$ to write a second angle with the same sine as $54.2°$.
จงใช้ $\sin(180°-x)=\sin(x)$ เขียนมุมอีกค่าหนึ่งที่มีไซน์เท่ากับ $\sin(54.2°)$
Answershow ▾
Supplementary angles (adding to $180°$) always share the same sine.มุมคู่ที่บวกกันได้ $180°$ มีไซน์เท่ากันเสมอ
The question says angle $PQR$ is obtuse. $\sin^{-1}$ gave $54.2°$, and $180°-54.2°=125.8°$ has the same sine. Which one is angle $PQR$?
(A) $54.2°$, the value the calculator gave
(B) $125.8°$, since the question says angle $PQR$ is obtuse
(C) $90°-54.2°=35.8°$, the complement of $54.2°$
โจทย์บอกว่ามุม $PQR$ เป็นมุมป้าน $\sin^{-1}$ ให้ $54.2°$ และ $180°-54.2°=125.8°$ มีไซน์เท่ากัน มุม $PQR$ คือค่าใด
(A) $54.2°$ ค่าที่เครื่องคิดเลขให้มา
(B) $125.8°$ เพราะโจทย์บอกว่ามุม $PQR$ เป็นมุมป้าน
(C) $90°-54.2°=35.8°$ ส่วนเติมมุมฉากของ $54.2°$
Answershow ▾
(A) is acute, not obtuse, so it does not fit what the question states. (C) uses $90°$ minus the angle, the complement; the second solution of $\sin^{-1}$ comes from $180°$ minus the angle, the supplement, not the complement.(A) เป็นมุมแหลม ไม่ใช่มุมป้าน จึงไม่ตรงกับที่โจทย์กำหนด · (C) ใช้ $90°$ ลบมุม ซึ่งคือส่วนเติมมุมฉาก แต่คำตอบที่สองของ $\sin^{-1}$ มาจาก $180°$ ลบมุม คือมุมประกอบ ไม่ใช่ส่วนเติมมุมฉาก
Angles in a triangle add to $180°$. Using angle $PRQ=18°$ and angle $PQR=125.8°$, work out angle $QPR$.
มุมในสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180°$ ใช้มุม $PRQ=18°$ และมุม $PQR=125.8°$ จงหามุม $QPR$
Answershow ▾
Subtract the other two angles from $180°$.นำ $180°$ ลบมุมอีกสองมุม
Side $PQ=1.6$ cm and side $PR=4.2$ cm, with angle $QPR=36.2°$ between them. Write the area formula for triangle $PQR$.
ด้าน $PQ=1.6$ ซม. และด้าน $PR=4.2$ ซม. โดยมีมุม $QPR=36.2°$ แทรกอยู่ระหว่างด้านทั้งสอง จงเขียน สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
Answershow ▾
Area is half, times two sides, times the sine of the angle between them.พื้นที่คือครึ่งหนึ่งของผลคูณสองด้าน คูณไซน์ของมุมที่แทรกอยู่ระหว่างด้าน
Evaluate $0.5\times1.6\times4.2\times\sin36.2°$. Do not round yet.
จงคำนวณ $0.5\times1.6\times4.2\times\sin36.2°$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$\sin36.2°\approx0.5924$, then multiply by $0.5\times1.6\times4.2$.$\sin36.2°\approx0.5924$ แล้วคูณด้วย $0.5\times1.6\times4.2$
Round $1.9849\ldots$ to 3 significant figures, and give the units.
จงปัด $1.9849\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว พร้อมหน่วย
Answershow ▾
The first three nonzero digits are 1, 9, 8; the next digit is 4, so round down.เลขนัยสำคัญสามตัวแรกคือ 1, 9, 8 เลขตัวถัดไปคือ 4 จึงปัดลง
If angle $PQR$ were $54.2°$ instead (the acute value), angle $QPR$ would be $107.8°$. Work out the area using this angle, correct to 3 significant figures. Is it the same as $1.98\text{ cm}^{2}$?
ถ้ามุม $PQR$ เป็น $54.2°$ (ค่ามุมแหลม) แทน มุม $QPR$ จะเป็น $107.8°$ จงหาพื้นที่โดยใช้มุมนี้ ถูกต้อง ถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตัว เท่ากับ $1.98\text{ cm}^{2}$ หรือไม่
Answershow ▾
A different angle at $Q$ makes a different triangle, so the branch chosen for angle $PQR$ changes the final area.มุม $Q$ ที่ต่างกัน ทำให้ได้สามเหลี่ยมคนละรูป ดังนั้นการเลือกมุม $PQR$ จึงมีผลต่อพื้นที่ที่ได้
In triangle $PQR$, $PQ=3$ cm, $PR=5$ cm and angle $PRQ=25°$. Given that angle $PQR$ is obtuse, work out the area of triangle $PQR$, correct to 3 significant figures.
ในสามเหลี่ยม $PQR$ ด้าน $PQ=3$ ซม. ด้าน $PR=5$ ซม. และมุม $PRQ=25°$ กำหนดให้มุม $PQR$ เป็นมุมป้าน จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Same four moves: sine rule for the angle, $180°$ minus the acute value, the angle sum, then the area formula.สี่ขั้นเดิม: กฎไซน์หามุม นำ $180°$ ลบค่ามุมแหลม ผลรวมมุม แล้วใช้สูตรพื้นที่
The diagram shows triangle $PQR$.
Diagram NOT accurately drawn
$PQ = 1.6$ cm $PR = 4.2$ cm Angle $PRQ = 18°$
Given that angle $PQR$ is obtuse, work out the area of triangle $PQR$.
Give your answer correct to 3 significant figures.
จากรูป สามเหลี่ยม $PQR$
(Diagram NOT accurately drawn) $PQ = 1.6$ ซม. $PR = 4.2$ ซม. มุม $PRQ = 18°$
กำหนดให้มุม $PQR$ เป็นมุมป้าน จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PQR$
ให้คำตอบถูกต้อง 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
6 marks: the sine rule statement, the obtuse branch of $\sin^{-1}$, the third angle, then the area formula.6 คะแนน: ประโยคกฎของไซน์ เลือกมุมป้านจาก $\sin^{-1}$ มุมที่สาม แล้วใช้สูตรพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{\sin(PQR)}{4.2} = \dfrac{\sin18°}{1.6}$
M1 the acute value from the inverse sineค่ามุมแหลมจาก inverse sine
$\sin^{-1}\!\left(\dfrac{4.2\sin18°}{1.6}\right) \;($
$=54.2°)$
M1 the obtuse angle $PQR$, using $180°$ minus the acute valueมุมป้าน $PQR$ โดยใช้ $180°$ ลบค่ามุมแหลม
$PQR = 180°-54.2° \;(=125.8°)$
M1 angle $QPR$มุม $QPR$
$QPR = 180°-125.8°-18° \;(=36.2°)$
M1 the area formula, using the two given sides and their included angleสูตรพื้นที่ โดยใช้สองด้านที่รู้ค่าและมุมที่แทรกอยู่ระหว่างด้านทั้งสอง
$\text{Area}$
$= 0.5\times4.2\times1.6\times\sin36.2°$
A1 the areaพื้นที่
$= 1.98\text{ cm}^{2}$
One scale factor, two triangles อัตราส่วนความยาวหนึ่งค่า สองสามเหลี่ยม
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$
$AB = 4$ cm $PQ = 12$ cm $RQ = 16.5$ cm
Calculate the length of $BC$
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$
$AB = 4$ ซม. $PQ = 12$ ซม. $RQ = 16.5$ ซม.
จงหาความยาวของ $BC$
Side $AB=4$ cm in the small triangle corresponds to side $PQ=12$ cm in the large triangle. Work out the scale factor from $AB$ to $PQ$.
ด้าน $AB=4$ ซม. ในสามเหลี่ยมเล็ก สมนัยกับด้าน $PQ=12$ ซม. ในสามเหลี่ยมใหญ่ จงหาอัตราส่วนความยาวจาก $AB$ ไป $PQ$
Answershow ▾
Divide new ($PQ$) by old ($AB$): $12\div4$.หารค่าใหม่ ($PQ$) ด้วยค่าเดิม ($AB$): $12\div4$
Two shapes are similar, with scale factor $k=3$ from the small shape to the large shape. A side in the small shape is $3$ cm. Work out the corresponding side in the large shape.
รูปสองรูปคล้ายกัน มีอัตราส่วนความยาว $k=3$ จากรูปเล็กไปรูปใหญ่ ด้านหนึ่งในรูปเล็กยาว $3$ ซม. จงหาด้านที่สมนัยกันในรูปใหญ่
Answershow ▾
Multiply the small side by $k$.คูณด้านของรูปเล็กด้วย $k$
Same shapes, same scale factor $k=3$ from small to large. A side in the large shape is $9$ cm. Work out the corresponding side in the small shape.
รูปเดิม อัตราส่วนความยาว $k=3$ จากรูปเล็กไปรูปใหญ่เหมือนเดิม ด้านหนึ่งในรูปใหญ่ยาว $9$ ซม. จงหาด้านที่สมนัยกันในรูปเล็ก
Answershow ▾
Going backward (large to small), divide by $k$ instead of multiplying.ย้อนกลับ (จากรูปใหญ่ไปรูปเล็ก) ให้หารด้วย $k$ แทนการคูณ
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$, so $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$, $C\leftrightarrow R$. Pick the pair of sides that gives the scale factor.
(A) $AB$ and $RQ$
(B) $AB$ and $PQ$
(C) $BC$ and $RQ$
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ ดังนั้น $A\leftrightarrow P$, $B\leftrightarrow Q$, $C\leftrightarrow R$ จงเลือกคู่ด้านที่ใช้หาอัตราส่วนความยาว
(A) $AB$ กับ $RQ$
(B) $AB$ กับ $PQ$
(C) $BC$ กับ $RQ$
Answershow ▾
(A) $AB$ matches with $PQ$, not $RQ$ - $R$ corresponds to $C$, not to $B$. (C) $BC$ is the side we are trying to find, so it cannot be used to work out the scale factor.(A) $AB$ สมนัยกับ $PQ$ ไม่ใช่ $RQ$ เพราะ $R$ สมนัยกับ $C$ ไม่ใช่ $B$ · (C) $BC$ คือด้านที่ต้องหา จึงนำมาใช้หาอัตราส่วนความยาวไม่ได้
The scale factor from $ABC$ to $PQR$ is $k=3$, and $RQ=16.5$ cm. To find $BC$ (in the smaller triangle), pick the right calculation.
(A) $16.5\times3$
(B) $16.5\div3$
(C) $16.5\div4$
อัตราส่วนความยาวจาก $ABC$ ไป $PQR$ คือ $k=3$ และ $RQ=16.5$ ซม. เพื่อหา $BC$ (ในสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า) จงเลือกวิธีคำนวณที่ถูกต้อง
(A) $16.5\times3$
(B) $16.5\div3$
(C) $16.5\div4$
Answershow ▾
(A) multiplying would make $BC$ bigger than $RQ$, but $ABC$ is the SMALLER triangle, so $BC$ must be smaller. (C) divides by $AB=4$, one side length, instead of the scale factor $k=3$.(A) การคูณจะทำให้ $BC$ ใหญ่กว่า $RQ$ แต่ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า $BC$ จึงต้องเล็กกว่า · (C) หารด้วย $AB=4$ ซึ่งเป็นความยาวด้านหนึ่ง ไม่ใช่อัตราส่วนความยาว $k=3$
In triangle $ABC$ and triangle $PQR$, $AB=4$ cm and $PQ=12$ cm. Work out the scale factor $k$ from $AB$ to $PQ$.
ในสามเหลี่ยม $ABC$ และสามเหลี่ยม $PQR$ ด้าน $AB=4$ ซม. และ $PQ=12$ ซม. จงหาอัตราส่วนความยาว $k$ จาก $AB$ ไป $PQ$
Answershow ▾
Divide new ($PQ$) by old ($AB$).หารค่าใหม่ ($PQ$) ด้วยค่าเดิม ($AB$)
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$. Which side of triangle $PQR$ corresponds to side $BC$?
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$ ด้านใดของสามเหลี่ยม $PQR$ สมนัยกับด้าน $BC$
Answershow ▾
Match the letters in order: $B\leftrightarrow Q$ and $C\leftrightarrow R$.จับคู่ตัวอักษรตามลำดับ: $B\leftrightarrow Q$ และ $C\leftrightarrow R$
$RQ=16.5$ cm and $k=3$. Divide $RQ$ by $k$ to find $BC$.
$RQ=16.5$ ซม. และ $k=3$ จงหาร $RQ$ ด้วย $k$ เพื่อหา $BC$
Answershow ▾
$BC$ is in the smaller triangle, so divide by $k$.$BC$ อยู่ในสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า จึงหารด้วย $k$
$AB=4$ cm, $PQ=12$ cm, $RQ=16.5$ cm. Work out $BC$, starting from the scale factor.
$AB=4$ ซม. $PQ=12$ ซม. $RQ=16.5$ ซม. จงหา $BC$ โดยเริ่มจากอัตราส่วนความยาว
Answershow ▾
Two steps, one after the other: $k$ first, then divide.สองขั้นตอนต่อกัน: หา $k$ ก่อน แล้วหาร
Check $BC=5.5$ cm by multiplying it by $k=3$. Does it give $RQ=16.5$ cm?
จงตรวจคำตอบ $BC=5.5$ ซม. โดยคูณด้วย $k=3$ ได้ผลลัพธ์เท่ากับ $RQ=16.5$ ซม. หรือไม่
Answershow ▾
Going forward (small to large), multiply by $k$ - the reverse of what we just did.ไปข้างหน้า (จากเล็กไปใหญ่) ให้คูณด้วย $k$ ซึ่งตรงข้ามกับที่ทำไปก่อนหน้านี้
Triangle $DEF$ is similar to triangle $XYZ$. $DE=5$ cm, $XY=10$ cm, $YZ=14$ cm. Work out $EF$.
สามเหลี่ยม $DEF$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $XYZ$ $DE=5$ ซม. $XY=10$ ซม. $YZ=14$ ซม. จงหา $EF$
Answershow ▾
Same two moves: scale factor, then divide to go from the larger triangle to the smaller.สองขั้นตอนเดิม: หาอัตราส่วนความยาว แล้วหารเพื่อย้อนจากสามเหลี่ยมใหญ่ไปสามเหลี่ยมเล็ก
Triangle $ABC$ is similar to triangle $PQR$
$AB = 4$ cm $PQ = 12$ cm $RQ = 16.5$ cm
Calculate the length of $BC$
สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับสามเหลี่ยม $PQR$
$AB = 4$ ซม. $PQ = 12$ ซม. $RQ = 16.5$ ซม.
จงหาความยาวของ $BC$
Answershow ▾
2 marks: the scale factor from $AB$ to $PQ$, then $BC$ from the corresponding side $RQ$.2 คะแนน: อัตราส่วนความยาวจาก $AB$ ไป $PQ$ แล้วหา $BC$ จากด้านที่สมนัยกัน $RQ$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$PQ\div AB = 12\div4$
$= 3$
A1 BC from the corresponding side RQหา BC จากด้านที่สมนัยกัน RQ
$BC = RQ\div3$
$= 16.5\div3$
$= 5.5\text{ cm}$
Area ratio to volume, the flip อัตราส่วนพื้นที่สู่ปริมาตร แบบสลับทาง
Mathematically similar wooden blocks are made in a workshop. There are small blocks and there are large blocks.
The volume of each small block is $300$ cm$^{3}$
Given that the surface area of each small block : the surface area of each large block $= 25:36$
work out the volume of each large block.
โรงงานแห่งหนึ่งทำบล็อกไม้คล้ายกัน มีบล็อกเล็กและบล็อกใหญ่
ปริมาตรของบล็อกเล็กแต่ละอันคือ $300$ ซม.$^{3}$
กำหนดให้ พื้นที่ผิวของบล็อกเล็ก : พื้นที่ผิวของบล็อกใหญ่ $= 25:36$
จงหาปริมาตรของบล็อกใหญ่แต่ละอัน
Work out $\sqrt{\dfrac{25}{36}}$.
จงหา $\sqrt{\dfrac{25}{36}}$
Answershow ▾
Square root the top and the bottom separately.ถอดรากที่สองของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
Work out $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}$.
จงหา $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}$
Answershow ▾
Cube the top and the bottom separately.ยกกำลังสามของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
Write the reciprocal of $\dfrac{125}{216}$.
จงเขียนส่วนกลับของ $\dfrac{125}{216}$
Answershow ▾
Swap the numerator and the denominator.สลับตัวเศษกับตัวส่วน
The length ratio, small block to large block, is $5:6$, so the volume ratio is $125:216$. The volume of the small block is $300$ cm$^{3}$. Pick the calculation for the volume of the large block.
(A) $300\times\dfrac{125}{216}$
(B) $300\times\dfrac{216}{125}$
(C) $300\times\dfrac{36}{25}$
อัตราส่วนความยาว บล็อกเล็กต่อบล็อกใหญ่ คือ $5:6$ ดังนั้นอัตราส่วนปริมาตรคือ $125:216$ ปริมาตรของบล็อกเล็กคือ $300$ ซม.$^{3}$ จงเลือกวิธีคำนวณปริมาตรของบล็อกใหญ่
(A) $300\times\dfrac{125}{216}$
(B) $300\times\dfrac{216}{125}$
(C) $300\times\dfrac{36}{25}$
Answershow ▾
(A) keeps the small-to-large ratio as it is, which multiplies by a fraction less than $1$ and makes the large block smaller than the small block. (C) uses the surface area ratio directly, without cubing it for volume.(A) ใช้อัตราส่วนเล็กต่อใหญ่ตามเดิม ซึ่งคูณด้วยเศษส่วนที่น้อยกว่า $1$ ทำให้บล็อกใหญ่มีปริมาตรน้อยกว่าบล็อกเล็ก · (C) ใช้อัตราส่วนพื้นที่ผิวตรง ๆ โดยไม่ยกกำลังสามเพื่อหาปริมาตร
The surface area of the small block : the surface area of the large block $= 25:36$. Find the ratio of their lengths, small block to large block.
พื้นที่ผิวของบล็อกเล็ก : พื้นที่ผิวของบล็อกใหญ่ $= 25:36$ จงหาอัตราส่วนความยาว บล็อกเล็กต่อบล็อกใหญ่
Answershow ▾
Square root the area ratio for the length ratio.ถอดรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่ เพื่อได้อัตราส่วนความยาว
Use the length ratio $\dfrac{5}{6}$, small block to large block, to find the volume ratio.
ใช้อัตราส่วนความยาว $\dfrac{5}{6}$ บล็อกเล็กต่อบล็อกใหญ่ หาอัตราส่วนปริมาตร
Answershow ▾
Cube the length ratio for the volume ratio.ยกกำลังสามของอัตราส่วนความยาว เพื่อได้อัตราส่วนปริมาตร
The volume of the small block is $300$ cm$^{3}$ and the volume ratio, small block to large block, is $\dfrac{125}{216}$. Work out the volume of the large block.
ปริมาตรของบล็อกเล็กคือ $300$ ซม.$^{3}$ และอัตราส่วนปริมาตร บล็อกเล็กต่อบล็อกใหญ่ คือ $\dfrac{125}{216}$ จงหาปริมาตรของบล็อกใหญ่
Answershow ▾
Divide by the ratio, which is the same as multiplying by its reciprocal.หารด้วยอัตราส่วน ซึ่งเหมือนกับการคูณด้วยส่วนกลับของมัน
Starting from the surface area ratio $\dfrac{25}{36}$, write the volume ratio, small block to large block, as one calculation.
เริ่มจากอัตราส่วนพื้นที่ $\dfrac{25}{36}$ จงเขียนอัตราส่วนปริมาตร บล็อกเล็กต่อบล็อกใหญ่ ให้เป็นการคำนวณขั้นเดียว
Answershow ▾
Cube the square root of the area ratio, in one line.ยกกำลังสามของรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่ ในบรรทัดเดียว
Check: the large block has the bigger surface area. Should its volume be bigger or smaller than the $300$ cm$^{3}$ volume of the small block?
ตรวจคำตอบ: บล็อกใหญ่มีพื้นที่ผิวมากกว่า ปริมาตรของบล็อกใหญ่ควรจะมากกว่าหรือน้อยกว่าปริมาตร $300$ ซม.$^{3}$ ของบล็อกเล็ก
Answershow ▾
A bigger solid has both a bigger surface area and a bigger volume.รูปทรงที่ใหญ่กว่า มีทั้งพื้นที่ผิวและปริมาตรมากกว่า
Two ornaments are mathematically similar, a small one and a large one. The surface area ratio, small to large, is $1:4$. The volume of the small ornament is $5$ cm$^{3}$. Work out the volume of the large ornament.
เครื่องประดับสองชิ้นคล้ายกัน ชิ้นเล็กและชิ้นใหญ่ อัตราส่วนพื้นที่ผิว เล็กต่อใหญ่ คือ $1:4$ ปริมาตรของชิ้นเล็กคือ $5$ ซม.$^{3}$ จงหาปริมาตรของชิ้นใหญ่
Answershow ▾
Same three moves: length ratio, cube it for volume ratio, then scale the volume.สามขั้นเดิม: อัตราส่วนความยาว ยกกำลังสามเพื่อได้อัตราส่วนปริมาตร แล้วขยายปริมาตร
Mathematically similar wooden blocks are made in a workshop. There are small blocks and there are large blocks.
The volume of each small block is $300$ cm$^{3}$
Given that the surface area of each small block : the surface area of each large block $= 25:36$
work out the volume of each large block.
โรงงานแห่งหนึ่งทำบล็อกไม้คล้ายกัน มีบล็อกเล็กและบล็อกใหญ่
ปริมาตรของบล็อกเล็กแต่ละอันคือ $300$ ซม.$^{3}$
กำหนดให้ พื้นที่ผิวของบล็อกเล็ก : พื้นที่ผิวของบล็อกใหญ่ $= 25:36$
จงหาปริมาตรของบล็อกใหญ่แต่ละอัน
Answershow ▾
3 marks: the length ratio from the area ratio, its cube for the volume ratio, then the volume of the small block divided by it.3 คะแนน: อัตราส่วนความยาวจากอัตราส่วนพื้นที่ ยกกำลังสามเพื่อได้อัตราส่วนปริมาตร แล้วนำปริมาตรของบล็อกเล็กไปหารด้วยอัตราส่วนนั้น
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\sqrt{25\div36} = 5\div6$
M1 cube the linear ratio for volumeยกกำลังสามหาอัตราส่วนปริมาตร
$(5\div6)^{3} = 125\div216$
A1 volume of the large blockปริมาตรบล็อกใหญ่
$300\times(216\div125)$
$= 518.4\text{ cm}^{3}$
Volume ratio into surface area จากอัตราส่วนปริมาตร สู่พื้นที่ผิว
$A$ and $B$ are two similar solids.
$A$ has a volume of $1836$ cm$^{3}$
$B$ has a volume of $4352$ cm$^{3}$
$B$ has a total surface area of $1120$ cm$^{2}$
Work out the total surface area of $A$
$A$ และ $B$ เป็นทรงตันคล้ายกัน
$A$ มีปริมาตร $1836$ ซม.$^{3}$
$B$ มีปริมาตร $4352$ ซม.$^{3}$
$B$ มีพื้นที่ผิวรวม $1120$ ซม.$^{2}$
จงหาพื้นที่ผิวรวมของ $A$
Write the ratio $1836:4352$ in simplest form.
จงทำอัตราส่วน $1836:4352$ ให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide both numbers by their highest common factor, $68$.หารทั้งสองจำนวนด้วยตัวหารร่วมมาก คือ $68$
Work out the cube root of the ratio $27:64$.
จงถอดรากที่สามของอัตราส่วน $27:64$
Answershow ▾
$27=3^{3}$ and $64=4^{3}$, so cube root each number.$27=3^{3}$ และ $64=4^{3}$ จึงถอดรากที่สามของแต่ละจำนวน
Square the ratio $3:4$.
จงยกกำลังสองอัตราส่วน $3:4$
Answershow ▾
Square each number in the ratio.ยกกำลังสองแต่ละจำนวนในอัตราส่วน
You know the volumes of $A$ and $B$, and need an area. Pick the first move.
(A) square the volume ratio
(B) cube the volume ratio
(C) cube root the volume ratio
รู้ปริมาตรของ $A$ และ $B$ แต่ต้องหาพื้นที่ จงเลือกขั้นแรก
(A) ยกกำลังสองอัตราส่วนปริมาตร
(B) ยกกำลังสามอัตราส่วนปริมาตร
(C) ถอดรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร
Answershow ▾
(A) squares the volume ratio, already length cubed, giving length to the $6$th power - not an area. (B) cubes it again, giving the $9$th power. (C) cube roots it first, for the length ratio.(A) ยกกำลังสองอัตราส่วนปริมาตรซึ่งเป็นความยาวยกกำลังสามอยู่แล้ว จะได้ความยาวยกกำลังหก ไม่ใช่พื้นที่ · (B) ยกกำลังสามอีกครั้ง จะได้กำลังเก้า · (C) ถอดรากที่สามก่อน เพื่อได้อัตราส่วนความยาว
$A$ has volume $1836$ cm$^{3}$ and $B$ has volume $4352$ cm$^{3}$. Write the ratio of the volumes, $A$ to $B$, in simplest form.
$A$ มีปริมาตร $1836$ ซม.$^{3}$ และ $B$ มีปริมาตร $4352$ ซม.$^{3}$ จงเขียนอัตราส่วนปริมาตรของ $A$ ต่อ $B$ ในรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide both volumes by their highest common factor, $68$.หารปริมาตรทั้งสองด้วยตัวหารร่วมมาก คือ $68$
Use the volume ratio $27:64$ to find the length ratio, $A$ to $B$.
ใช้อัตราส่วนปริมาตร $27:64$ หาอัตราส่วนความยาวของ $A$ ต่อ $B$
Answershow ▾
Cube root the volume ratio.ถอดรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร
Square the length ratio $3:4$ to find the area ratio, $A$ to $B$.
จงยกกำลังสองอัตราส่วนความยาว $3:4$ เพื่อหาอัตราส่วนพื้นที่ของ $A$ ต่อ $B$
Answershow ▾
Square each number in the length ratio.ยกกำลังสองแต่ละจำนวนในอัตราส่วนความยาว
$B$ has total surface area $1120$ cm$^{2}$. Use the area ratio $9:16$ to find the surface area of $A$.
$B$ มีพื้นที่ผิวรวม $1120$ ซม.$^{2}$ จงใช้อัตราส่วนพื้นที่ $9:16$ หาพื้นที่ผิวของ $A$
Answershow ▾
Multiply the surface area of $B$ by the area ratio.คูณพื้นที่ผิวของ $B$ ด้วยอัตราส่วนพื้นที่
Check: $A$ has the smaller volume. Should the surface area of $A$ be bigger or smaller than the $1120$ cm$^{2}$ surface area of $B$?
ตรวจคำตอบ: $A$ มีปริมาตรน้อยกว่า พื้นที่ผิวของ $A$ ควรมากกว่าหรือน้อยกว่าพื้นที่ผิว $1120$ ซม.$^{2}$ ของ $B$
Answershow ▾
A smaller solid has both a smaller volume and a smaller surface area.ทรงตันที่เล็กกว่า มีทั้งปริมาตรและพื้นที่ผิวน้อยกว่า
$P$ and $Q$ are similar solids. $P$ has volume $8$ cm$^{3}$ and $Q$ has volume $27$ cm$^{3}$. $Q$ has total surface area $81$ cm$^{2}$. Work out the total surface area of $P$.
$P$ และ $Q$ เป็นทรงตันที่คล้ายกัน $P$ มีปริมาตร $8$ ซม.$^{3}$ และ $Q$ มีปริมาตร $27$ ซม.$^{3}$ $Q$ มีพื้นที่ผิวรวม $81$ ซม.$^{2}$ จงหาพื้นที่ผิวรวมของ $P$
Answershow ▾
Same three moves: volume ratio, cube root for the length ratio, square for the area ratio.สามขั้นเดิม: อัตราส่วนปริมาตร ถอดรากที่สามเพื่อได้อัตราส่วนความยาว แล้วยกกำลังสองเพื่อได้อัตราส่วนพื้นที่
$A$ and $B$ are two similar solids.
$A$ has a volume of $1836$ cm$^{3}$
$B$ has a volume of $4352$ cm$^{3}$
$B$ has a total surface area of $1120$ cm$^{2}$
Work out the total surface area of $A$
$A$ และ $B$ เป็นทรงตันคล้ายกัน
$A$ มีปริมาตร $1836$ ซม.$^{3}$
$B$ มีปริมาตร $4352$ ซม.$^{3}$
$B$ มีพื้นที่ผิวรวม $1120$ ซม.$^{2}$
จงหาพื้นที่ผิวรวมของ $A$
Answershow ▾
3 marks: the volume ratio simplifies to cubes, giving the length ratio, then square for the area ratio, then scale $1120$.3 คะแนน: อัตราส่วนปริมาตรจัดให้เป็นอัตราส่วนกำลังสาม ได้อัตราส่วนความยาว แล้วยกกำลังสองเพื่อได้อัตราส่วนพื้นที่ แล้วขยาย $1120$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$1836:4352 = 27:64$
$= 3^{3}:4^{3}$
M1 area ratio simplifies to linear ratioอัตราส่วนความยาวให้อัตราส่วนพื้นที่
$3:4$
$3^{2}:4^{2} = 9:16$
A1 surface area of Aพื้นที่ผิวของ A
$1120\times(9\div16)$
$= 630\text{ cm}^{2}$
Area ratio scales up a volume อัตราส่วนพื้นที่ขยายปริมาตร
A statue and a model of the statue are mathematically similar.
The statue has a total surface area of $3600$ cm$^{2}$
The model has a total surface area of $625$ cm$^{2}$
The volume of the model is $750$ cm$^{3}$
Work out the volume of the statue.
รูปปั้นและแบบจำลองของรูปปั้นนั้นคล้ายกัน
รูปปั้นมีพื้นที่ผิวรวม $3600$ ซม.$^{2}$
แบบจำลองมีพื้นที่ผิวรวม $625$ ซม.$^{2}$
แบบจำลองมีปริมาตร $750$ ซม.$^{3}$
จงหาปริมาตรของรูปปั้น
Simplify the ratio $3600:625$ to its simplest form.
จงทำอัตราส่วน $3600:625$ ให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide both parts by their highest common factor, $25$.หารทั้งสองส่วนด้วยตัวหารร่วมมาก คือ $25$
Write the ratio $144:25$ using two square numbers.
จงเขียนอัตราส่วน $144:25$ เป็นจำนวนยกกำลังสองสองจำนวน
Answershow ▾
$144=12^{2}$ and $25=5^{2}$.$144=12^{2}$ และ $25=5^{2}$
Cube the ratio $12:5$.
จงยกกำลังสามอัตราส่วน $12:5$
Answershow ▾
Cube each part of the ratio separately.ยกกำลังสามแต่ละส่วนของอัตราส่วนแยกกัน
The area ratio, statue to model, is $144:25$. Pick the first move to get the volume ratio.
(A) square $144:25$
(B) cube $144:25$ directly
(C) square root $144:25$ for the length ratio, then cube the result
อัตราส่วนพื้นที่ รูปปั้นต่อแบบจำลอง คือ $144:25$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหาอัตราส่วนปริมาตร
(A) ยกกำลังสอง $144:25$
(B) ยกกำลังสาม $144:25$ โดยตรง
(C) ถอดรากที่สอง $144:25$ เพื่อหาอัตราส่วนความยาว แล้วยกกำลังสามผลลัพธ์
Answershow ▾
(A) squares an already-squared ratio, giving length to the $4$th power, not volume. (B) cubes the area ratio directly, giving length to the $6$th power. (C) undoes the square first, for the length ratio, then cubes it for volume.(A) ยกกำลังสองอัตราส่วนที่เป็นกำลังสองอยู่แล้ว จะได้ความยาวยกกำลังสี่ ไม่ใช่ปริมาตร · (B) ยกกำลังสามอัตราส่วนพื้นที่ตรงๆ จะได้ความยาวยกกำลังหก · (C) ถอดรากออกก่อนเพื่อได้อัตราส่วนความยาว แล้วยกกำลังสามเพื่อหาปริมาตร
The statue has surface area $3600$ cm$^{2}$ and the model has surface area $625$ cm$^{2}$. Write the ratio of the areas, statue to model, in simplest form.
รูปปั้นมีพื้นที่ผิว $3600$ ซม.$^{2}$ และแบบจำลองมีพื้นที่ผิว $625$ ซม.$^{2}$ จงเขียนอัตราส่วนพื้นที่ รูปปั้นต่อแบบจำลอง ในรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide both areas by their highest common factor, $25$.หารพื้นที่ทั้งสองด้วยตัวหารร่วมมาก คือ $25$
Use the area ratio $144:25$ to find the volume ratio, statue to model.
ใช้อัตราส่วนพื้นที่ $144:25$ หาอัตราส่วนปริมาตรของรูปปั้นต่อแบบจำลอง
Answershow ▾
Square root the area ratio for the length ratio, then cube it.ถอดรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่เพื่อได้อัตราส่วนความยาว แล้วยกกำลังสาม
The model has volume $750$ cm$^{3}$. Multiply by the volume ratio $1728:125$ to find the volume of the statue.
แบบจำลองมีปริมาตร $750$ ซม.$^{3}$ จงคูณด้วยอัตราส่วนปริมาตร $1728:125$ เพื่อหาปริมาตรของรูปปั้น
Answershow ▾
Multiply the volume of the model by the volume ratio.คูณปริมาตรของแบบจำลองด้วยอัตราส่วนปริมาตร
Starting from the area ratio $3600:625$, write the volume ratio as one calculation.
เริ่มจากอัตราส่วนพื้นที่ $3600:625$ จงเขียนอัตราส่วนปริมาตรให้เป็นการคำนวณขั้นเดียว
Answershow ▾
Cube the square root of the area ratio, in one line.ยกกำลังสามของรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่ ในบรรทัดเดียว
Check: the statue has the bigger surface area. Should the volume of the statue be bigger or smaller than the $750$ cm$^{3}$ volume of the model?
ตรวจคำตอบ: รูปปั้นมีพื้นที่ผิวมากกว่า ปริมาตรของรูปปั้นควรจะมากกว่าหรือน้อยกว่าปริมาตร $750$ ซม.$^{3}$ ของแบบจำลอง
Answershow ▾
A bigger solid has both a bigger area and a bigger volume.รูปทรงที่ใหญ่กว่า มีทั้งพื้นที่ผิวและปริมาตรมากกว่า
Solid $A$ has surface area $9$ cm$^{2}$ and volume $8$ cm$^{3}$. Solid $B$ is similar to $A$ and has surface area $36$ cm$^{2}$. Work out the volume of solid $B$.
รูปทรงตัน $A$ มีพื้นที่ผิว $9$ ซม.$^{2}$ และปริมาตร $8$ ซม.$^{3}$ รูปทรงตัน $B$ คล้ายกับ $A$ และมีพื้นที่ผิว $36$ ซม.$^{2}$ จงหาปริมาตรของรูปทรงตัน $B$
Answershow ▾
Same three moves: area ratio, cube its square root, scale the volume.สามขั้นเดิม: หาอัตราส่วนพื้นที่ ถอดรากแล้วยกกำลังสาม แล้วขยายปริมาตร
A statue and a model of the statue are mathematically similar.
The statue has a total surface area of $3600$ cm$^{2}$
The model has a total surface area of $625$ cm$^{2}$
The volume of the model is $750$ cm$^{3}$
Work out the volume of the statue.
รูปปั้นและแบบจำลองของรูปปั้นนั้นคล้ายกัน
รูปปั้นมีพื้นที่ผิวรวม $3600$ ซม.$^{2}$
แบบจำลองมีพื้นที่ผิวรวม $625$ ซม.$^{2}$
แบบจำลองมีปริมาตร $750$ ซม.$^{3}$
จงหาปริมาตรของรูปปั้น
Answershow ▾
3 marks: area ratio to length ratio, cube for the volume ratio, then scale $750$.3 คะแนน: อัตราส่วนพื้นที่สู่อัตราส่วนความยาว ยกกำลังสามเพื่อได้อัตราส่วนปริมาตร แล้วขยาย $750$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$3600:625 = 144:25$
$= 12^{2}:5^{2}$
M1 cube the linear ratio for volumeยกกำลังสามหาอัตราส่วนปริมาตร
$12:5$
$12^{3}:5^{3} = 1728:125$
A1 volume of the statueปริมาตรของรูปปั้น
$750\times(1728\div125)$
$= 10368\text{ cm}^{3}$
Difference of two similar volumes ผลต่างปริมาตรของรูปคล้ายสองรูป
$A$ and $B$ are two similar vases.
Vase $A$ has height $10$ cm. Vase $B$ has height $15$ cm.
The difference between the volume of vase $A$ and the volume of vase $B$ is $1197$ cm$^{3}$
Calculate the volume of vase $A$
$A$ และ $B$ เป็นแจกันคล้ายกัน
แจกัน $A$ สูง $10$ ซม. แจกัน $B$ สูง $15$ ซม.
ผลต่างระหว่างปริมาตรแจกัน $A$ กับปริมาตรแจกัน $B$ คือ $1197$ ซม.$^{3}$
จงหาปริมาตรของแจกัน $A$
Write the ratio $10:15$ in lowest terms.
จงเขียนอัตราส่วน $10:15$ ให้เป็นรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide both parts by their highest common factor, $5$.หารทั้งสองส่วนด้วยตัวหารร่วมมากของมัน คือ $5$
The ratio of two lengths is $2:3$. Cube each part of this ratio.
อัตราส่วนความยาวสองค่าคือ $2:3$ จงยกกำลังสามแต่ละส่วนของอัตราส่วนนี้
Answershow ▾
Cube each number in the ratio separately.ยกกำลังสามแต่ละจำนวนในอัตราส่วนแยกกัน
Two volumes are in the ratio $8:27$. Write this ratio using $x$.
ปริมาตรสองค่าอยู่ในอัตราส่วน $8:27$ จงเขียนอัตราส่วนนี้โดยใช้ $x$
Answershow ▾
Multiply each part of the ratio by $x$.คูณแต่ละส่วนของอัตราส่วนด้วย $x$
The ratio of the heights of vase $A$ to vase $B$ is $2:3$. Pick the ratio to use for their volumes.
(A) $2:3$
(B) $2^{2}:3^{2}$
(C) $2^{3}:3^{3}$
อัตราส่วนความสูงของแจกัน $A$ ต่อแจกัน $B$ คือ $2:3$ จงเลือกอัตราส่วนที่ใช้กับปริมาตร
(A) $2:3$
(B) $2^{2}:3^{2}$
(C) $2^{3}:3^{3}$
Answershow ▾
(A) is the length ratio itself, one dimension. (B) squares it, which scales area, two dimensions. Volume is three dimensions, so it needs $2^{3}:3^{3}$.(A) คือ อัตราส่วนความยาวเอง มีมิติเดียว · (B) ยกกำลังสอง ใช้กับพื้นที่ มีสองมิติ · ปริมาตรมีสามมิติ จึงต้องใช้ $2^{3}:3^{3}$
Vase $B$ is bigger than vase $A$, and their volumes are $8x$ and $27x$. The difference between the volumes is $1197$ cm$^{3}$. Pick the correct equation.
(A) $8x-27x=1197$
(B) $27x-8x=1197$
(C) $27x+8x=1197$
แจกัน $B$ ใหญ่กว่าแจกัน $A$ และปริมาตรของทั้งสองคือ $8x$ และ $27x$ ผลต่างระหว่างปริมาตรคือ $1197$ ซม.$^{3}$ จงเลือกสมการที่ถูกต้อง
(A) $8x-27x=1197$
(B) $27x-8x=1197$
(C) $27x+8x=1197$
Answershow ▾
(A) subtracts the larger volume ($27x$) from the smaller one ($8x$), which gives a negative number, not a positive difference. (C) adds the two volumes, which finds their total, not their difference.(A) เอาปริมาตรที่มากกว่า ($27x$) ไปลบด้วยปริมาตรที่น้อยกว่า ($8x$) ทำให้ได้ค่าลบ ไม่ใช่ผลต่างที่เป็นบวก · (C) บวกปริมาตรทั้งสอง ซึ่งเป็นผลรวม ไม่ใช่ผลต่าง
Simplify the left-hand side of $27x-8x=1197$.
จงลดรูปด้านซ้ายของ $27x-8x=1197$
Answershow ▾
Subtract the coefficients of $x$: $27-8=19$.ลบสัมประสิทธิ์ของ $x$: $27-8=19$
Solve $19x=1197$ for $x$.
จงแก้สมการ $19x=1197$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Divide both sides by $19$.หารทั้งสองข้างด้วย $19$
The volume of vase $A$ is $8x$. Using $x=63$, work out the volume of vase $A$.
ปริมาตรของแจกัน $A$ คือ $8x$ เมื่อ $x=63$ จงหาปริมาตรของแจกัน $A$
Answershow ▾
Multiply $8$ by $63$.คูณ $8$ ด้วย $63$
Using $x=63$, work out the volume of vase $B$, $27x$.
เมื่อ $x=63$ จงหาปริมาตรของแจกัน $B$ คือ $27x$
Answershow ▾
Multiply $27$ by $63$.คูณ $27$ ด้วย $63$
Check: does $1701-504$ give back the difference $1197$ cm$^{3}$ stated in the question?
ตรวจสอบ: $1701-504$ ให้ผลต่าง $1197$ ซม.$^{3}$ ตามที่กำหนดในโจทย์หรือไม่
Answershow ▾
Subtracting the two volumes gives back the difference the question gave.การลบปริมาตรทั้งสองค่า ให้ผลต่างตรงกับที่โจทย์กำหนด
Two similar boxes have heights $3$ cm and $6$ cm. The difference between their volumes is $350$ cm$^{3}$. Work out the volume of the smaller box.
กล่องคล้ายกันสองใบ สูง $3$ ซม. และ $6$ ซม. ผลต่างระหว่างปริมาตรของกล่องทั้งสองคือ $350$ ซม.$^{3}$ จงหาปริมาตรของกล่องที่เล็กกว่า
Answershow ▾
Same four moves: ratio, cube it, write as $x$, then solve.สี่ขั้นเดิม: หาอัตราส่วน ยกกำลังสาม เขียนเป็น $x$ แล้วแก้สมการ
$A$ and $B$ are two similar vases.
Vase $A$ has height $10$ cm. Vase $B$ has height $15$ cm.
The difference between the volume of vase $A$ and the volume of vase $B$ is $1197$ cm$^{3}$
Calculate the volume of vase $A$
$A$ และ $B$ เป็นแจกันคล้ายกัน
แจกัน $A$ สูง $10$ ซม. แจกัน $B$ สูง $15$ ซม.
ผลต่างระหว่างปริมาตรแจกัน $A$ กับปริมาตรแจกัน $B$ คือ $1197$ ซม.$^{3}$
จงหาปริมาตรของแจกัน $A$
Answershow ▾
4 marks: the height ratio cubed for volume, $27x-8x=1197$ solved for $x$, then $8x$ evaluated at $x=63$.4 คะแนน: อัตราส่วนความสูงยกกำลังสามหาปริมาตร แก้สมการ $27x-8x=1197$ หาค่า $x$ แล้วคำนวณ $8x$ ที่ $x=63$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$10:15 = 2:3$
M1 cube the linear ratio for volumeยกกำลังสามหาอัตราส่วนปริมาตร
$2^{3}:3^{3} = 8:27$
M1 let volumes be 8x and 27xให้ปริมาตรเป็น 8x และ 27x
$27x-8x = 1197$
$19x = 1197$
A1 volume of vase Aปริมาตรแจกัน A
$x = 63$
$V_{A} = 8\times63$
$= 504\text{ cm}^{3}$
Two similar solids, a volume difference รูปทรงคล้ายกันสองรูป ผลต่างของปริมาตร
$A$ and $B$ are two similar vases.
The vases are such that surface area of vase $B = \dfrac{25}{64}\times$ surface area of vase $A$
and that volume of vase $A$ $-$ volume of vase $B$ $= 541.8$ cm$^{3}$
Calculate the volume of vase $B$
$A$ และ $B$ เป็นแจกันคล้ายกัน
พื้นที่ผิวแจกัน $B = \dfrac{25}{64}\times$ พื้นที่ผิวแจกัน $A$
และปริมาตรแจกัน $A$ $-$ ปริมาตรแจกัน $B$ $= 541.8$ ซม.$^{3}$
จงหาปริมาตรของแจกัน $B$
The area factor between two similar vases is $\dfrac{25}{64}$. Find the scale factor $k$.
แฟกเตอร์พื้นที่ระหว่างแจกันคล้ายกันสองใบคือ $\dfrac{25}{64}$ จงหาตัวคูณขยาย $k$
Answershow ▾
An area factor is $k^{2}$, so square root it to get $k$.แฟกเตอร์พื้นที่คือ $k^{2}$ จึงต้องถอดรากที่สองเพื่อหา $k$
The scale factor is $k=\dfrac{5}{8}$. Find the volume factor.
ตัวคูณขยายคือ $k=\dfrac{5}{8}$ จงหาแฟกเตอร์ปริมาตร
Answershow ▾
A volume factor is $k^{3}$.แฟกเตอร์ปริมาตรคือ $k^{3}$
Work out $\dfrac{512}{125}-1$, as a single fraction.
จงหา $\dfrac{512}{125}-1$ ในรูปเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Write $1$ as $\dfrac{125}{125}$, then subtract the tops.เขียน $1$ เป็น $\dfrac{125}{125}$ แล้วลบตัวเศษ
The area factor between the vases is $\dfrac{25}{64}$. Pick the first move to find the volume factor.
(A) square $\dfrac{25}{64}$
(B) cube $\dfrac{25}{64}$
(C) square root $\dfrac{25}{64}$ to find $k$, then cube $k$
แฟกเตอร์พื้นที่ระหว่างแจกันคือ $\dfrac{25}{64}$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหาแฟกเตอร์ปริมาตร
(A) ยกกำลังสอง $\dfrac{25}{64}$
(B) ยกกำลังสาม $\dfrac{25}{64}$
(C) ถอดรากที่สอง $\dfrac{25}{64}$ เพื่อหา $k$ แล้วยกกำลังสาม $k$
Answershow ▾
$\dfrac{25}{64}$ is already $k^{2}$ (an area factor), so (A) squares it again, giving $k^{4}$. (B) cubes the area factor directly, giving $k^{6}$. (C) finds $k$ first, then cubes it, which is the only move that gives a volume factor.$\dfrac{25}{64}$ เป็น $k^{2}$ อยู่แล้ว (แฟกเตอร์พื้นที่) ดังนั้น (A) ยกกำลังสองซ้ำอีกครั้ง จะได้ $k^{4}$ · (B) ยกกำลังสามแฟกเตอร์พื้นที่ตรงๆ จะได้ $k^{6}$ · (C) หา $k$ ก่อน แล้วยกกำลังสาม เป็นขั้นเดียวที่ให้แฟกเตอร์ปริมาตร
The vases are such that surface area of vase $B=\dfrac{25}{64}\times$ surface area of vase $A$. This area factor is $k^{2}$. Find the scale factor $k$, from $A$ to $B$.
แจกันทั้งสองเป็นไปตาม พื้นที่ผิวแจกัน $B=\dfrac{25}{64}\times$ พื้นที่ผิวแจกัน $A$ แฟกเตอร์พื้นที่นี้คือ $k^{2}$ จงหาตัวคูณขยาย $k$ จาก $A$ ไป $B$
Answershow ▾
Square root the area factor to get $k$.ถอดรากที่สองของแฟกเตอร์พื้นที่เพื่อหา $k$
The scale factor is $k=\dfrac{5}{8}$. Find the volume factor, from $A$ to $B$.
ตัวคูณขยายคือ $k=\dfrac{5}{8}$ จงหาแฟกเตอร์ปริมาตร จาก $A$ ไป $B$
Answershow ▾
Cube $k$.ยกกำลังสาม $k$
The volume factor, from $A$ to $B$, is $\dfrac{125}{512}$. Let $V$ be the volume of vase $B$. Given that (volume of $A$) $-$ (volume of $B$) $=541.8$, pick the correct equation for $V$.
(A) $\dfrac{512}{125}V-V=541.8$
(B) $\dfrac{125}{512}V-V=541.8$
(C) $V-\dfrac{512}{125}V=541.8$
แฟกเตอร์ปริมาตร จาก $A$ ไป $B$ คือ $\dfrac{125}{512}$ ให้ $V$ เป็นปริมาตรของแจกัน $B$ กำหนดว่า (ปริมาตร $A$) $-$ (ปริมาตร $B$) $=541.8$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับ $V$
(A) $\dfrac{512}{125}V-V=541.8$
(B) $\dfrac{125}{512}V-V=541.8$
(C) $V-\dfrac{512}{125}V=541.8$
Answershow ▾
The factor $\dfrac{125}{512}$ takes $A$ to $B$; going back needs the flipped factor, $\dfrac{512}{125}$, which is (A). (B) uses the factor the wrong way round, making $A$ smaller than $B$. (C) subtracts in the wrong order.แฟกเตอร์ $\dfrac{125}{512}$ พาจาก $A$ ไป $B$ จึงทำให้ปริมาตรเล็กลง การย้อนจาก $B$ กลับไป $A$ ต้องใช้แฟกเตอร์ที่กลับเศษ-ส่วน คือ $\dfrac{512}{125}$ ซึ่งคือ (A) · (B) ใช้แฟกเตอร์สลับทาง ทำให้ $A$ เล็กกว่า $B$ · (C) ลบสลับลำดับ ได้ $B$ ลบ $A$
Combine $\dfrac{512}{125}V-V$ into a single fraction of $V$.
จงรวม $\dfrac{512}{125}V-V$ ให้เป็นเศษส่วนเดียวของ $V$
Answershow ▾
Write $V$ as $\dfrac{125}{125}V$, then subtract.เขียน $V$ เป็น $\dfrac{125}{125}V$ แล้วลบ
Solve $\dfrac{387}{125}V=541.8$ for $V$.
จงแก้สมการ $\dfrac{387}{125}V=541.8$ หาค่า $V$
Answershow ▾
Multiply both sides by the reciprocal, $\dfrac{125}{387}$.คูณทั้งสองข้างด้วยตัวผกผัน $\dfrac{125}{387}$
Check: if $V=175$, work out $\dfrac{512}{125}\times175$, then subtract $175$. Does it equal $541.8$?
ตรวจคำตอบ: ถ้า $V=175$ จงหา $\dfrac{512}{125}\times175$ แล้วลบ $175$ ได้ $541.8$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct volume makes the original difference true.ปริมาตรที่ถูกต้องทำให้ผลต่างเดิมเป็นจริง
$C$ and $D$ are two similar vases. Surface area of vase $C=\dfrac{9}{16}\times$ surface area of vase $D$, and volume of $D$ $-$ volume of $C=37$ cm$^{3}$. Work out the volume of vase $C$.
$C$ และ $D$ เป็นแจกันคล้ายกัน พื้นที่ผิวแจกัน $C=\dfrac{9}{16}\times$ พื้นที่ผิวแจกัน $D$ และปริมาตรแจกัน $D$ $-$ ปริมาตรแจกัน $C=37$ ซม.$^{3}$ จงหาปริมาตรของแจกัน $C$
Answershow ▾
Same moves: factor to $k$, cube $k$ for the volume factor, form the equation with the bigger vase, then solve.ขั้นตอนเดิม: แฟกเตอร์หา $k$ ยกกำลังสาม $k$ เพื่อหาแฟกเตอร์ปริมาตร ตั้งสมการโดยใช้แจกันที่ใหญ่กว่า แล้วแก้สมการ
$A$ and $B$ are two similar vases.
The vases are such that surface area of vase $B = \dfrac{25}{64}\times$ surface area of vase $A$
and that volume of vase $A$ $-$ volume of vase $B$ $= 541.8$ cm$^{3}$
Calculate the volume of vase $B$
$A$ และ $B$ เป็นแจกันคล้ายกัน
พื้นที่ผิวแจกัน $B = \dfrac{25}{64}\times$ พื้นที่ผิวแจกัน $A$
และปริมาตรแจกัน $A$ $-$ ปริมาตรแจกัน $B$ $= 541.8$ ซม.$^{3}$
จงหาปริมาตรของแจกัน $B$
Answershow ▾
4 marks: the scale factor $k$, the volume factor $k^{3}$, the difference equation, then solve.4 คะแนน: ตัวคูณขยาย $k$ แฟกเตอร์ปริมาตร $k^{3}$ สมการผลต่าง แล้วแก้สมการ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\sqrt{25\div64} = 5\div8$
M1 cube the linear ratio for volumeยกกำลังสามหาอัตราส่วนปริมาตร
$5^{3}:8^{3} = 125:512$
M1 form the difference equationตั้งสมการผลต่าง
$\dfrac{512}{125}V_{B}-V_{B} = 541.8$
$\dfrac{387}{125}V_{B} = 541.8$
A1 volume of vase Bปริมาตรแจกัน B
$V_{B} = 541.8\times\dfrac{125}{387}$
$= 175\text{ cm}^{3}$
Two ratios sharing one solid สองอัตราส่วนที่ใช้ทรงเดียวกัน
The three solids $A$, $B$ and $C$ are similar such that
the surface area of $A$ : the surface area of $B$ $= 4:9$
and the volume of $B$ : the volume of $C$ $= 125:343$
Work out the ratio the height of $A$ : the height of $C$
Give your ratio in its simplest form.
ทรงตัน $A$, $B$ และ $C$ คล้ายกัน โดยที่
พื้นที่ผิวของ $A$ : พื้นที่ผิวของ $B$ $= 4:9$
และปริมาตรของ $B$ : ปริมาตรของ $C$ $= 125:343$
จงหาอัตราส่วนความสูงของ $A$ : ความสูงของ $C$
ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Work out $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$.
จงหา $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$
Answershow ▾
Square root the top and the bottom separately.ถอดรากที่สองของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
Work out $\sqrt[3]{\dfrac{125}{343}}$.
จงหา $\sqrt[3]{\dfrac{125}{343}}$
Answershow ▾
Cube root the top and the bottom separately.ถอดรากที่สามของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน
Write $\dfrac{2}{3}$ as an equivalent ratio with second term $15$.
จงเขียน $\dfrac{2}{3}$ เป็นอัตราส่วนที่เทียบเท่า โดยมีพจน์ที่สองเป็น $15$
Answershow ▾
$15\div3=5$, so multiply both terms by $5$.$15\div3=5$ จึงคูณทั้งสองพจน์ด้วย $5$
$A$ and $B$ give a surface area ratio. $B$ and $C$ give a volume ratio. Pick the pair of operations that turns each into a height ratio.
(A) square root both ratios
(B) square root the area ratio, cube root the volume ratio
(C) cube root both ratios
$A$ กับ $B$ ให้อัตราส่วนพื้นที่ผิว $B$ กับ $C$ ให้อัตราส่วนปริมาตร จงเลือกคู่การคำนวณที่เปลี่ยนทั้งสองอัตราส่วนให้เป็นอัตราส่วนความสูง
(A) ถอดรากที่สองทั้งสองอัตราส่วน
(B) ถอดรากที่สองอัตราส่วนพื้นที่ แล้วถอดรากที่สามอัตราส่วนปริมาตร
(C) ถอดรากที่สามทั้งสองอัตราส่วน
Answershow ▾
(A) square roots the volume ratio too, but a volume ratio needs a cube root to undo the cubed relationship. (C) cube roots the area ratio too, but an area ratio needs a square root to undo the squared relationship.(A) ถอดรากที่สองอัตราส่วนปริมาตรด้วย แต่อัตราส่วนปริมาตรต้องถอดรากที่สามเพื่อแก้ความเป็นกำลังสาม · (C) ถอดรากที่สามอัตราส่วนพื้นที่ด้วย แต่อัตราส่วนพื้นที่ต้องถอดรากที่สองเพื่อแก้ความเป็นกำลังสอง
$A:B=2:3$ and $B:C=5:7$. Pick the first move to find $A:C$.
(A) write $A:C$ using just the end terms: $2:7$
(B) scale each ratio so $B$ matches in both, then read off $A:C$
(C) add the two ratios term by term: $(2+5):(3+7)=7:10$
$A:B=2:3$ และ $B:C=5:7$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหา $A:C$
(A) เขียน $A:C$ จากพจน์ปลายสองข้างตรงๆ: $2:7$
(B) ปรับทั้งสองอัตราส่วนให้ $B$ เท่ากัน แล้วอ่านอัตราส่วน $A:C$
(C) บวกสองอัตราส่วนทีละพจน์: $(2+5):(3+7)=7:10$
Answershow ▾
(A) takes the end terms directly, but $B$ means $3$ parts in one ratio and $5$ in the other. (C) adding ratios term by term has no meaning - a ratio compares, it does not add.(A) เอาพจน์ปลายสองข้างมาตรงๆ แต่ $B$ มีค่า $3$ ส่วนในอัตราส่วนหนึ่ง และ $5$ ส่วนในอีกอัตราส่วน ซึ่งไม่เท่ากัน · (C) การบวกอัตราส่วนทีละพจน์ไม่มีความหมาย เพราะอัตราส่วนคือการเทียบ ไม่ใช่ปริมาณที่บวกกันได้
$A$ and $B$ are similar solids. Surface area of $A$ : surface area of $B$ $= 4:9$. Work out the ratio height of $A$ : height of $B$, in simplest form.
$A$ และ $B$ เป็นทรงตันที่คล้ายกัน พื้นที่ผิวของ $A$ : พื้นที่ผิวของ $B$ $= 4:9$ จงหาอัตราส่วนความสูงของ $A$ : ความสูงของ $B$ ในรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Square root the area ratio for the height ratio.ถอดรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่ เพื่อได้อัตราส่วนความสูง
$B$ and $C$ are similar solids. Volume of $B$ : volume of $C$ $= 125:343$. Work out the ratio height of $B$ : height of $C$, in simplest form.
$B$ และ $C$ เป็นทรงตันที่คล้ายกัน ปริมาตรของ $B$ : ปริมาตรของ $C$ $= 125:343$ จงหาอัตราส่วนความสูงของ $B$ : ความสูงของ $C$ ในรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Cube root the volume ratio for the height ratio.ถอดรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร เพื่อได้อัตราส่วนความสูง
$A:B=2:3$ and $B:C=5:7$. Scale each ratio so $B$ is the same number in both.
$A:B=2:3$ และ $B:C=5:7$ จงปรับทั้งสองอัตราส่วนให้ $B$ เป็นจำนวนเดียวกัน
Answershow ▾
$B$ is $3$ and $5$; the lowest number both divide into is $15$.$B$ คือ $3$ และ $5$ จำนวนที่น้อยที่สุดที่ทั้งสองหารลงตัวคือ $15$
Using $A:B=10:15$ and $B:C=15:21$, write the ratio $A:C$.
จาก $A:B=10:15$ และ $B:C=15:21$ จงเขียนอัตราส่วน $A:C$
Answershow ▾
With the same $B$ in both, the outer two terms give $A:C$ directly.เมื่อ $B$ เท่ากันในทั้งสอง พจน์ปลายสองข้างคืออัตราส่วน $A:C$ โดยตรง
Check: can $10:21$ be simplified further?
ตรวจคำตอบ: $10:21$ ทำให้เป็นอัตราส่วนอย่างต่ำได้อีกหรือไม่
Answershow ▾
A ratio is in simplest form when its two numbers share no common factor above $1$.อัตราส่วนเป็นรูปอย่างต่ำ เมื่อสองจำนวนนั้นไม่มีตัวหารร่วมที่มากกว่า $1$
$P$, $Q$ and $R$ are similar solids. Surface area of $P$ : surface area of $Q$ $= 9:16$. Volume of $Q$ : volume of $R$ $= 8:27$. Work out the ratio height of $P$ : height of $R$, in simplest form.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นทรงตันที่คล้ายกัน พื้นที่ผิวของ $P$ : พื้นที่ผิวของ $Q$ $= 9:16$ ปริมาตรของ $Q$ : ปริมาตรของ $R$ $= 8:27$ จงหาอัตราส่วนความสูงของ $P$ : ความสูงของ $R$ ในรูปอย่างต่ำ
Answershow ▾
Same three moves: square root the area ratio, cube root the volume ratio, then match $Q$.สามขั้นเดิม: ถอดรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่ ถอดรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร แล้วปรับ $Q$ ให้เท่ากัน
The three solids $A$, $B$ and $C$ are similar such that
the surface area of $A$ : the surface area of $B$ $= 4:9$
and the volume of $B$ : the volume of $C$ $= 125:343$
Work out the ratio the height of $A$ : the height of $C$
Give your ratio in its simplest form.
ทรงตัน $A$, $B$ และ $C$ คล้ายกัน โดยที่
พื้นที่ผิวของ $A$ : พื้นที่ผิวของ $B$ $= 4:9$
และปริมาตรของ $B$ : ปริมาตรของ $C$ $= 125:343$
จงหาอัตราส่วนความสูงของ $A$ : ความสูงของ $C$
ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
4 marks: height ratio A to B, height ratio B to C, match B in both, then read off A to C.4 คะแนน: อัตราส่วนความสูง A ต่อ B, อัตราส่วนความสูง B ต่อ C, ปรับ B ให้เท่ากัน แล้วอ่านอัตราส่วน A ต่อ C
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\sqrt{4\div9} = 2\div3$
$A:B = 2:3$
M1 linear ratio of B to Cอัตราส่วนความสูง B ต่อ C
$\sqrt[3]{125\div343} = 5\div7$
$B:C = 5:7$
M1 match B in both ratiosปรับทั้งสองอัตราส่วนให้ B เท่ากัน
$A:B = 10:15$
$B:C = 15:21$
A1 height ratio of A to Cอัตราส่วนความสูง A ต่อ C
$A:C = 10:21$
From volume ratio to area ratio จากอัตราส่วนปริมาตร สู่อัตราส่วนพื้นที่
The diagram shows two similar metal statues.
The volume of statue $B$ is $20\%$ less than the volume of statue $A$
The surface area of statue $B$ is $k\%$ less than the surface area of statue $A$
Work out the value of $k$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงรูปปั้นโลหะคล้ายกันสองรูป
ปริมาตรของรูปปั้น $B$ น้อยกว่าปริมาตรของรูปปั้น $A$ อยู่ $20\%$
พื้นที่ผิวของรูปปั้น $B$ น้อยกว่าพื้นที่ผิวของรูปปั้น $A$ อยู่ $k\%$
จงหาค่าของ $k$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
A quantity is $20\%$ less than another. Write the ratio of the smaller to the larger, as a decimal.
ปริมาณหนึ่งน้อยกว่าอีกปริมาณหนึ่งอยู่ร้อยละ $20$ จงเขียนอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยกว่าต่อปริมาณที่มากกว่า ในรูปทศนิยม
Answershow ▾
Subtract the percent, as a decimal, from $1$.เอา $1$ ลบด้วยร้อยละ (ในรูปทศนิยม)
Work out $\sqrt[3]{0.8}$, correct to 4 decimal places.
จงหา $\sqrt[3]{0.8}$ ถูกต้องถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Cube root undoes a cubed quantity, giving the linear (length) ratio.การถอดรากที่สาม เป็นการย้อนปริมาณที่ถูกยกกำลังสาม ทำให้ได้อัตราส่วนความยาว
Work out $\left(\sqrt[3]{0.8}\right)^{2}$, correct to 4 decimal places.
จงหา $\left(\sqrt[3]{0.8}\right)^{2}$ ถูกต้องถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Square the linear ratio to get the area ratio.ยกกำลังสองอัตราส่วนความยาว เพื่อได้อัตราส่วนพื้นที่
Statue $B$'s volume is $20\%$ less than statue $A$'s, so $V_{B}\div V_{A}=0.8$. Pick the first move to get the ratio of surface areas.
(A) square $0.8$
(B) cube $0.8$
(C) cube root $0.8$, then square the result
ปริมาตรของรูปปั้น $B$ น้อยกว่ารูปปั้น $A$ อยู่ $20\%$ ดังนั้น $V_{B}\div V_{A}=0.8$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหาอัตราส่วนพื้นที่ผิว
(A) ยกกำลังสอง $0.8$
(B) ยกกำลังสาม $0.8$
(C) ถอดรากที่สาม $0.8$ แล้วยกกำลังสองผลลัพธ์
Answershow ▾
(A) squares the volume ratio directly, giving length to the $6$th power, not area. (B) cubes the volume ratio again, giving length to the $9$th power. (C) undoes the cube first, for the length ratio, then squares it for area.(A) ยกกำลังสองอัตราส่วนปริมาตรตรงๆ จะได้ความยาวยกกำลังหก ไม่ใช่พื้นที่ · (B) ยกกำลังสามอัตราส่วนปริมาตรอีกครั้ง จะได้ความยาวยกกำลังเก้า · (C) ถอดรากที่สามออกก่อนเพื่อได้อัตราส่วนความยาว แล้วยกกำลังสองเพื่อหาพื้นที่
Statue $B$'s volume is $20\%$ less than statue $A$'s. Write the ratio $V_{B}\div V_{A}$ as a decimal.
ปริมาตรของรูปปั้น $B$ น้อยกว่าปริมาตรของรูปปั้น $A$ อยู่ร้อยละ $20$ จงเขียนอัตราส่วน $V_{B}\div V_{A}$ ในรูปทศนิยม
Answershow ▾
Subtract the percent decrease, as a decimal, from $1$.เอา $1$ ลบด้วยร้อยละที่ลดลง (ในรูปทศนิยม)
Use the volume ratio $0.8$ to find the linear (length) ratio between the statues, correct to 4 decimal places.
ใช้อัตราส่วนปริมาตร $0.8$ หาอัตราส่วนความยาวระหว่างรูปปั้นทั้งสอง ถูกต้องถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Cube root the volume ratio to undo the cube.ถอดรากที่สามของอัตราส่วนปริมาตร เพื่อย้อนการยกกำลังสาม
Square the linear ratio to find $SA_{B}\div SA_{A}$, correct to 4 decimal places.
ยกกำลังสองอัตราส่วนความยาว เพื่อหา $SA_{B}\div SA_{A}$ ถูกต้องถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The area ratio is the length ratio squared.อัตราส่วนพื้นที่ คือ อัตราส่วนความยาวยกกำลังสอง
Turn the area ratio $0.8618$ into the percentage decrease $k$, correct to 3 significant figures.
เปลี่ยนอัตราส่วนพื้นที่ $0.8618$ เป็นเปอร์เซ็นต์ที่ลดลง $k$ ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Subtract the ratio from $1$ for the fraction decreased, then multiply by $100$.เอา $1$ ลบด้วยอัตราส่วน เพื่อได้เศษส่วนที่ลดลง แล้วคูณด้วย $100$
Check: the area ratio $0.8618$ is closer to $1$ than the volume ratio $0.8$. Should the percentage decrease in area be smaller or bigger than the $20\%$ decrease in volume?
ตรวจคำตอบ: อัตราส่วนพื้นที่ $0.8618$ ใกล้ $1$ มากกว่าอัตราส่วนปริมาตร $0.8$ เปอร์เซ็นต์ที่พื้นที่ลดลง ควรจะน้อยกว่าหรือมากกว่าร้อยละ $20$ ที่ปริมาตรลดลง
Answershow ▾
A ratio closer to $1$ means a smaller percentage decrease.อัตราส่วนที่ใกล้ $1$ มากกว่า หมายถึงเปอร์เซ็นต์ที่ลดลงน้อยกว่า
Statue $D$'s volume is $87.5\%$ less than statue $C$'s. Work out the percentage decrease in surface area, $k$.
ปริมาตรของรูปปั้น $D$ น้อยกว่าปริมาตรของรูปปั้น $C$ อยู่ร้อยละ $87.5$ จงหาเปอร์เซ็นต์ที่พื้นที่ผิวลดลง $k$
Answershow ▾
Same three moves: volume ratio, cube root for length, square for area, then convert to a percentage.สามขั้นเดิม: อัตราส่วนปริมาตร ถอดรากที่สามหาความยาว ยกกำลังสองหาพื้นที่ แล้วแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์
The diagram shows two similar metal statues.
The volume of statue $B$ is $20\%$ less than the volume of statue $A$
The surface area of statue $B$ is $k\%$ less than the surface area of statue $A$
Work out the value of $k$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงรูปปั้นโลหะคล้ายกันสองรูป
ปริมาตรของรูปปั้น $B$ น้อยกว่าปริมาตรของรูปปั้น $A$ อยู่ $20\%$
พื้นที่ผิวของรูปปั้น $B$ น้อยกว่าพื้นที่ผิวของรูปปั้น $A$ อยู่ $k\%$
จงหาค่าของ $k$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
4 marks: the volume ratio, cube root it for the length ratio, square that for the area ratio, then convert to a percentage decrease.4 คะแนน: อัตราส่วนปริมาตร ถอดรากที่สามหาอัตราส่วนความยาว ยกกำลังสองหาอัตราส่วนพื้นที่ แล้วแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ที่ลดลง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$V_{B}\div V_{A} = 0.8$
M1 linear ratio from the volume ratioอัตราส่วนความยาวจากอัตราส่วนปริมาตร
$\sqrt[3]{0.8}$
M1 square it for the area ratioยกกำลังสองหาอัตราส่วนพื้นที่
$SA_{B}\div SA_{A} = (\sqrt[3]{0.8})^{2}$
$= 0.8618\ldots$
A1 k from the area ratioหาค่า k จากอัตราส่วนพื้นที่
$1-0.8618\ldots = 0.1382\ldots$
$k = 100\times0.1382\ldots$
$= 13.8$
Area ratio to a volume difference จากอัตราส่วนพื้นที่ สู่ผลต่างปริมาตร
The surface area of sphere $A$ is nine times the surface area of sphere $B$
The difference between the volume of sphere $A$ and the volume of sphere $B$ is $117\pi$ cm$^{3}$
Find the radius of the smaller sphere.
Show your working clearly.
พื้นที่ผิวของทรงกลม $A$ มากกว่าพื้นที่ผิวของทรงกลม $B$ อยู่ $9$ เท่า
ผลต่างระหว่างปริมาตรทรงกลม $A$ กับปริมาตรทรงกลม $B$ คือ $117\pi$ ซม.$^{3}$
จงหารัศมีของทรงกลมที่เล็กกว่า
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Work out $\sqrt{9}$.
จงหา $\sqrt{9}$
Answershow ▾
This undoes the squaring that turns a radius ratio into an area ratio.เป็นการย้อนการยกกำลังสองที่เปลี่ยนอัตราส่วนรัศมีเป็นอัตราส่วนพื้นที่
Work out $3^{3}$.
จงหา $3^{3}$
Answershow ▾
Cubing a radius ratio gives the volume ratio.ยกกำลังสามของอัตราส่วนรัศมี จะได้อัตราส่วนปริมาตร
Solve $26v=117\pi$ for $v$.
จงแก้สมการ $26v=117\pi$ หา $v$
Answershow ▾
Divide both sides by $26$.หารทั้งสองข้างด้วย $26$
Sphere $A$'s surface area is $9$ times sphere $B$'s. Pick the first move to find the ratio of the radii, $A:B$.
(A) multiply the radius of $B$ by $9$
(B) square root $9$ for the radius ratio, then cube that for the volume ratio
(C) cube $9$ directly for the volume ratio
พื้นที่ผิวของทรงกลม $A$ มากกว่าทรงกลม $B$ อยู่ $9$ เท่า จงเลือกขั้นแรกเพื่อหาอัตราส่วนรัศมี $A:B$
(A) คูณรัศมีของ $B$ ด้วย $9$
(B) ถอดรากที่สองของ $9$ เพื่อหาอัตราส่วนรัศมี แล้วยกกำลังสามเพื่อหาอัตราส่วนปริมาตร
(C) ยกกำลังสามของ $9$ โดยตรงเพื่อหาอัตราส่วนปริมาตร
Answershow ▾
(A) is not a valid operation on a ratio - you cannot multiply by the area factor. (C) cubes the area ratio directly, giving length to the $6$th power, not the $3$rd - the square root must come first.(A) ไม่ใช่การดำเนินการที่ใช้กับอัตราส่วน จะคูณด้วยแฟกเตอร์พื้นที่ตรงๆ ไม่ได้ · (C) ยกกำลังสามของอัตราส่วนพื้นที่ตรงๆ จะได้ความยาวยกกำลังหก ไม่ใช่กำลังสาม ต้องถอดรากที่สองก่อน
Sphere $A$'s surface area is $9$ times sphere $B$'s. Find the ratio of the radii, $A:B$.
พื้นที่ผิวของทรงกลม $A$ เป็น $9$ เท่าของทรงกลม $B$ จงหาอัตราส่วนรัศมี $A:B$
Answershow ▾
Square root the area ratio for the radius ratio.ถอดรากที่สองของอัตราส่วนพื้นที่ เพื่อได้อัตราส่วนรัศมี
Use the radius ratio $3:1$ to find the volume ratio, $A:B$.
ใช้อัตราส่วนรัศมี $3:1$ หาอัตราส่วนปริมาตร $A:B$
Answershow ▾
Cube the radius ratio for the volume ratio.ยกกำลังสามของอัตราส่วนรัศมี เพื่อได้อัตราส่วนปริมาตร
Sphere $B$ has volume $v$ cm$^{3}$, so sphere $A$ has volume $27v$ cm$^{3}$. The difference between the volumes is $117\pi$ cm$^{3}$. Write the equation and simplify it.
ทรงกลม $B$ มีปริมาตร $v$ ซม.$^{3}$ ดังนั้นทรงกลม $A$ มีปริมาตร $27v$ ซม.$^{3}$ ผลต่างของปริมาตรคือ $117\pi$ ซม.$^{3}$ จงเขียนสมการแล้วจัดรูปให้ง่าย
Answershow ▾
$27v$ minus $v$ collects to $26v$.$27v$ ลบ $v$ เหลือ $26v$
Solve $26v=117\pi$ for $v$, the volume of sphere $B$. Then use $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=v$ to find $r$.
จงแก้สมการ $26v=117\pi$ หาค่า $v$ ซึ่งคือปริมาตรของทรงกลม $B$ แล้วใช้ $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=v$ หา $r$
Answershow ▾
Divide by $26$ for $v$, then cancel $\pi$ and solve the cube.หารด้วย $26$ เพื่อหา $v$ แล้วตัด $\pi$ ออก แก้หากำลังสาม
Check: sphere $A$ has the bigger surface area. Should the radius of sphere $B$ be bigger or smaller than the radius of sphere $A$?
ตรวจคำตอบ: ทรงกลม $A$ มีพื้นที่ผิวมากกว่า รัศมีของทรงกลม $B$ ควรมากกว่าหรือน้อยกว่ารัศมีของทรงกลม $A$
Answershow ▾
A bigger sphere has a bigger radius, so the smaller radius belongs to the smaller sphere.ทรงกลมที่ใหญ่กว่ามีรัศมีมากกว่า ดังนั้นรัศมีที่น้อยกว่าจึงเป็นของทรงกลมที่เล็กกว่า
The surface area of sphere $X$ is $4$ times the surface area of sphere $Y$. The difference between the volume of sphere $X$ and the volume of sphere $Y$ is $252\pi$ cm$^{3}$. Find the radius of the smaller sphere.
พื้นที่ผิวของทรงกลม $X$ เป็น $4$ เท่าของทรงกลม $Y$ ผลต่างระหว่างปริมาตรของทรงกลม $X$ กับทรงกลม $Y$ คือ $252\pi$ ซม.$^{3}$ จงหารัศมีของทรงกลมที่เล็กกว่า
Answershow ▾
Same four moves: square root the area ratio, cube it, set up the volume equation, then use the volume formula.สี่ขั้นเดิม: ถอดรากของอัตราส่วนพื้นที่ ยกกำลังสาม ตั้งสมการปริมาตร แล้วใช้สูตรปริมาตร
The surface area of sphere $A$ is nine times the surface area of sphere $B$
The difference between the volume of sphere $A$ and the volume of sphere $B$ is $117\pi$ cm$^{3}$
Find the radius of the smaller sphere.
Show your working clearly.
พื้นที่ผิวของทรงกลม $A$ มากกว่าพื้นที่ผิวของทรงกลม $B$ อยู่ $9$ เท่า
ผลต่างระหว่างปริมาตรทรงกลม $A$ กับปริมาตรทรงกลม $B$ คือ $117\pi$ ซม.$^{3}$
จงหารัศมีของทรงกลมที่เล็กกว่า
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Four are for method - show the radius ratio, the volume ratio, the equation, and the volume-formula step, not just the final line.5 คะแนน · สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ จึงต้องแสดงอัตราส่วนรัศมี อัตราส่วนปริมาตร สมการ และขั้นตอนสูตรปริมาตรด้วย ไม่ใช่แค่บรรทัดสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\sqrt{9} = 3$
$A:B = 3:1$
M1 cube the linear ratio for volumeยกกำลังสามหาอัตราส่วนปริมาตร
$3^{3}:1^{3} = 27:1$
M1 let volumes be 27v and vให้ปริมาตรเป็น 27v และ v
$27v-v = 117\pi$
$26v = 117\pi$
M1 volume of the smaller sphereปริมาตรของทรงกลมเล็ก
$v = 4.5\pi\text{ cm}^{3}$
A1 radius from the sphere volume formulaหารัศมีจากสูตรปริมาตรทรงกลม
$\dfrac{4}{3}\pi r^{3} = 4.5\pi$
$r^{3} = 3.375$
$r = 1.5\text{ cm}$
Four congruent triangles on a line สามเหลี่ยมสมภาคสี่รูปบนเส้นตรง
The diagram shows four congruent right-angled triangles $ABJ$, $BCI$, $CDH$ and $DEG$.
The diagram also shows the straight line $ABCDEF$.
$AJ = 15$ cm Angle $BAJ = 35°$ $AF = 80$ cm
Work out the length of $EF$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉากที่สมภาคกันสี่รูป $ABJ$, $BCI$, $CDH$ และ $DEG$
แผนภาพยังแสดงเส้นตรง $ABCDEF$
$AJ = 15$ ซม. มุม $BAJ = 35°$ $AF = 80$ ซม.
จงหาความยาวของ $EF$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
In a right-angled triangle, the right angle is at $J$. Angle $A=35°$. Side $AJ$ is next to angle $A$, and is not the hypotenuse. $AB$ is the hypotenuse. Write the cosine ratio for angle $A$.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมฉากอยู่ที่ $J$ มุม $A=35°$ ด้าน $AJ$ อยู่ติดกับมุม $A$ และไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้าน $AB$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก จงเขียนอัตราส่วนโคไซน์ของมุม $A$
Answershow ▾
Cosine is the adjacent side divided by the hypotenuse.โคไซน์คือด้านประชิดมุม หารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก
Evaluate $15\div\cos(35°)$. Give your answer correct to 4 decimal places.
จงคำนวณ $15\div\cos(35°)$ ตอบถูกต้องถึงทศนิยม 4 ตำแหน่ง
Answershow ▾
$\cos(35°)\approx0.8192$.$\cos(35°)\approx0.8192$
Round $6.7535\ldots$ to 3 significant figures.
จงปัดเศษ $6.7535\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Keep 3 digits counted from the first non-zero digit.เก็บเลข 3 ตัว นับจากหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรก
Right angle at $J$. Angle $A=35°$, $AJ=15$ is adjacent to angle $A$ (not the hypotenuse), $AB$ is the hypotenuse, unknown. Pick the first move.
(A) $\sin(35°)=AJ\div AB$
(B) $\cos(35°)=AJ\div AB$
(C) $\tan(35°)=AJ\div AB$
มุมฉากอยู่ที่ $J$ มุม $A=35°$, $AJ=15$ อยู่ติดกับมุม $A$ (ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก) ด้าน $AB$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ยังไม่รู้ค่า จงเลือกขั้นแรก
(A) $\sin(35°)=AJ\div AB$
(B) $\cos(35°)=AJ\div AB$
(C) $\tan(35°)=AJ\div AB$
Answershow ▾
(A) sine links the opposite side $BJ$, not the adjacent side $AJ$. (C) tangent links the two legs, not the hypotenuse $AB$ that we want.(A) ไซน์เกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุม $BJ$ ไม่ใช่ด้านประชิดมุม $AJ$ · (C) แทนเจนต์เกี่ยวกับด้านประชิดทั้งสอง ไม่เกี่ยวกับด้านตรงข้ามมุมฉาก $AB$ ที่เราต้องการ
Write the cosine equation with the real numbers: $AJ=15$, angle $A=35°$.
จงเขียนสมการโคไซน์โดยใช้ตัวเลขจริง: $AJ=15$ มุม $A=35°$
Answershow ▾
Same ratio as before, now with the real length.อัตราส่วนเดิม แต่เปลี่ยนมาใช้ความยาวจริง
Make $AB$ the subject of $\cos(35°)=15\div AB$, and evaluate it. Do not round yet.
จงจัดให้ $AB$ เป็นตัวตั้งจาก $\cos(35°)=15\div AB$ แล้วคำนวณ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
Swap $AB$ and $\cos(35°)$ across the $\div$ sign.สลับตำแหน่ง $AB$ กับ $\cos(35°)$ คร่อมเครื่องหมายหาร
$AB=18.3116\ldots$ Four congruent triangles stand on $AB$, $BC$, $CD$ and $DE$. The line continues $ABCDEF$, with $AF=80$. Pick the equation for $EF$.
(A) $EF=80-5\times AB$
(B) $EF=80-4\times AB$
(C) $EF=80\div5$
$AB=18.3116\ldots$ สามเหลี่ยมสมภาคสี่รูปอยู่บน $AB$, $BC$, $CD$ และ $DE$ เส้นตรงต่อไปเป็น $ABCDEF$ โดย $AF=80$ จงเลือกสมการหา $EF$
(A) $EF=80-5\times AB$
(B) $EF=80-4\times AB$
(C) $EF=80\div5$
Answershow ▾
(A) counts five triangle-lengths, but only four triangles are built. (C) treats $EF$ as one of five equal pieces, but $EF$ carries no triangle and is a different length.(A) นับความยาวสามเหลี่ยมห้าช่วง แต่สร้างสามเหลี่ยมจริงแค่สี่รูป · (C) ถือว่า $EF$ เป็นหนึ่งในห้าส่วนเท่า ๆ กัน แต่ $EF$ ไม่มีสามเหลี่ยมอยู่และยาวไม่เท่ากัน
Using the decision above, work out $AE$, the length covered by the four triangles.
ใช้การเลือกข้างต้น จงหา $AE$ ความยาวที่สามเหลี่ยมสี่รูปครอบคลุม
Answershow ▾
$AE$ is four lengths of $AB$.$AE$ คือสี่ช่วงของ $AB$
Work out $EF=80-73.2465\ldots$. Do not round yet.
จงหา $EF=80-73.2465\ldots$ ยังไม่ต้องปัดเศษ
Answershow ▾
$EF$ is what remains of $AF$ after the four triangles.$EF$ คือส่วนที่เหลือของ $AF$ หลังหักสามเหลี่ยมสี่รูป
Round $6.7535\ldots$ to 3 significant figures. Then check: this leftover piece should be shorter than one full triangle base, $AB=18.3116\ldots$. Is it?
จงปัดเศษ $6.7535\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว จากนั้นตรวจ: ส่วนที่เหลือนี้ควรสั้นกว่าฐานสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ $AB=18.3116\ldots$ ใช่หรือไม่
Answershow ▾
If the leftover were as long as $AB$, a fifth triangle would fit there.ถ้าส่วนที่เหลือยาวเท่ากับ $AB$ จะมีสามเหลี่ยมรูปที่ห้าพอดีอยู่ตรงนั้น
Three congruent right-angled triangles $PQX$, $QRY$ and $RSZ$ stand on the straight line $PQRST$. $PX=5$ cm, angle $QPX=60°$, and $PT=50$ cm. Work out the length of $ST$, correct to 3 significant figures.
สามเหลี่ยมมุมฉากที่สมภาคกันสามรูป $PQX$, $QRY$ และ $RSZ$ อยู่บนเส้นตรง $PQRST$ โดย $PX=5$ ซม. มุม $QPX=60°$ และ $PT=50$ ซม. จงหาความยาวของ $ST$ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Answershow ▾
Same three moves: the ratio, three lengths together, then subtract.สามขั้นเดิม: อัตราส่วน รวมสามช่วง แล้วลบ
The diagram shows four congruent right-angled triangles $ABJ$, $BCI$, $CDH$ and $DEG$.
The diagram also shows the straight line $ABCDEF$.
$AJ = 15$ cm Angle $BAJ = 35°$ $AF = 80$ cm
Work out the length of $EF$
Give your answer correct to 3 significant figures.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยมมุมฉากที่สมภาคกันสี่รูป $ABJ$, $BCI$, $CDH$ และ $DEG$
แผนภาพยังแสดงเส้นตรง $ABCDEF$
$AJ = 15$ ซม. มุม $BAJ = 35°$ $AF = 80$ ซม.
จงหาความยาวของ $EF$
ตอบให้ถูกต้องถึง 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
5 marks: $AB$ from cosine, four lengths for $AE$, subtract for $EF$, then 3 s.f.5 คะแนน: หา $AB$ จากโคไซน์ รวมสี่ช่วงเป็น $AE$ ลบหา $EF$ แล้วปัดเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\cos(35°) = AJ\div AB$
M1 AB from the cosine ratioหา AB จากอัตราส่วนโคไซน์
$AB = 15\div\cos(35°)$
$= 18.3116\ldots\text{ cm}$
M1 four congruent triangles share this lengthสามเหลี่ยมสมภาคทั้งสี่รูปมีความยาวนี้เท่ากัน
$AE = 4\times AB$
$= 73.2465\ldots\text{ cm}$
M1 EF is what remains of AFEF คือส่วนที่เหลือของ AF
$EF = AF-AE$
$= 80-73.2465\ldots$
A1 EF to 3 s.f.EF ปัดเป็น 3 ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
$EF = 6.75\text{ cm}$