Circular measure · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Circular measure
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Circular measure · arc length and sector area
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $6$ cm, with angle $AOB = \theta$ radians. The arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
(c) Find the area of the sector.
Convert $120°$ to radians, giving your answer as a multiple of $\pi$.
แปลง $120°$ เป็นเรเดียน โดยตอบในรูปพหุคูณของ $\pi$
Answershow ▾
Multiply by $\dfrac{\pi}{180}$.
Convert $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians to degrees.
แปลง $\theta = \frac{\pi}{6}$ เรเดียน เป็นองศา
Answershow ▾
Multiply by $\dfrac{180}{\pi}$.
Both $s = r\theta$ and $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ are false if $\theta$ is in degrees. Where in this question is it stated that the angle is in radians, and what would $s = r\theta$ give if you fed it $120$ instead of $\frac{2\pi}{3}$?
ทั้ง $s = r\theta$ และ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ ใช้ไม่ได้ถ้า $\theta$ เป็นองศา · โจทย์ข้อนี้บอกไว้ตรงไหนว่ามุมเป็นเรเดียน และถ้าเผลอใส่ $120$ แทน $\frac{2\pi}{3}$ สูตร $s = r\theta$ จะให้อะไร
Answershow ▾
These two formulas are radian-only; that is the entire reason radians exist in this chapter. The calculator has to be in RAD as well, and nothing in the working records either fact. No mark is available for the check, and an answer produced in degrees still looks like an answer.สองสูตรนี้ใช้ได้กับเรเดียนเท่านั้น นั่นคือเหตุผลทั้งหมดที่เรเดียนมีอยู่ในบทนี้ · เครื่องคิดเลขก็ต้องอยู่โหมด RAD ด้วย และไม่มีบรรทัดไหนของงานที่บันทึกทั้งสองอย่าง · ไม่มีคะแนนให้กับการตรวจ และคำตอบที่ทำในหน่วยองศาก็ยังดูเหมือนคำตอบอยู่ดี
A circle has radius $5$ cm. An arc of the circle subtends an angle of $1$ radians at the centre. Find the length of the arc.
วงกลมรัศมี $5$ ซม. ส่วนโค้งรองรับมุม $1$ เรเดียนที่จุดศูนย์กลาง จงหาความยาวส่วนโค้ง
Answershow ▾
$s = r\theta$ — the radius times the angle in radians, directly.
The sector $OAB$ has radius $6$ cm, and the arc $AB$ has length $4 \pi$ cm. Find $\theta$, the angle $AOB$ in radians.
เซกเตอร์ $OAB$ มีรัศมี $6$ ซม. และส่วนโค้ง $AB$ ยาว $4 \pi$ ซม. จงหา $\theta$ ซึ่งเป็นมุม $AOB$ ในหน่วยเรเดียน
Answershow ▾
$\theta = \dfrac{s}{r}$ — divide the arc length by the radius; never the other way round.
Part (b) asks for the perimeter of the sector. Trace the boundary with a finger: how many pieces is it made of, and which of them is not straight? Is $2\pi r$ any part of it?
ข้อ (b) ขอ เส้นรอบรูป ของ sector · ลองไล่นิ้วไปตามขอบ: ขอบประกอบด้วยกี่ชิ้น และชิ้นไหนที่ไม่ตรง · มี $2\pi r$ อยู่ในนั้นไหม
Answershow ▾
A sector is neither a circle nor a triangle, and its boundary is the one thing about it nobody writes a formula for. The two commonest wrong answers are $4\pi$ alone (the arc only) and $12\pi$ (the whole circumference). The M1 pays for adding three lengths, never for knowing which three.sector ไม่ใช่วงกลมและไม่ใช่สามเหลี่ยม และขอบของมันคือสิ่งเดียวที่ไม่มีใครเขียนสูตรไว้ · คำตอบผิดที่พบบ่อยสองแบบคือ $4\pi$ อย่างเดียว (เอาแค่ส่วนโค้ง) กับ $12\pi$ (เอาเส้นรอบวงทั้งวง) · M1 ให้กับการบวกความยาวสามชิ้น ไม่ได้ให้กับการรู้ว่าเป็นสามชิ้นไหน
The sector $OAB$ has radius $6$ cm and arc $AB$ of length $4 \pi$ cm. Find the perimeter of the sector.
Answershow ▾
Perimeter $= 2r + s$: the two straight radii $OA$ and $OB$, plus the arc. It is NOT $2r + 2\pi r$ — that is the whole circle, and forgetting the two radii altogether is the classic dropped mark.
The sector $OAB$ has radius $6$ cm and angle $AOB = \frac{2 \pi}{3}$ radians. Find the area of the sector.
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians — never in degrees.
Part (b) is a perimeter and part (c) is an area. Without calculating either, say which of the two formulas contains $r^2$, and write down the unit that each of the two answers has to carry.
ข้อ (b) คือเส้นรอบรูป ข้อ (c) คือพื้นที่ · ยังไม่ต้องคำนวณ บอกว่าสูตรไหนมี $r^2$ อยู่ และคำตอบสองข้อนี้ต้องมีหน่วยอะไร
Answershow ▾
The power of $r$ and the unit always agree: one power, one cm; two powers, cm$^2$. It is a free check on every answer in the chapter, and it catches a perimeter formula used for an area before the marks are lost. The unit itself is usually inside the A1 rather than a mark of its own.กำลังของ $r$ กับหน่วยตรงกันเสมอ: กำลังหนึ่งคือ cm กำลังสองคือ cm$^2$ · เป็นการตรวจฟรีสำหรับทุกคำตอบในบทนี้ และจับได้ทันทีถ้าเผลอใช้สูตรเส้นรอบรูปไปหาพื้นที่ · หน่วยมักถูกนับรวมอยู่ใน A1 ไม่ได้เป็นคะแนนของตัวเอง
The sector $OAB$ has radius $6$ cm, and the arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
Answershow ▾
Question 4 then question 5, back to back: find $\theta$ first, then use $2r + s$.
The sector $OAB$ has radius $6$ cm, and the arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the area of the sector.
Answershow ▾
Question 4 then question 6: the same $\theta$ feeds both the perimeter and the area.
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $2$ cm, with angle $AOB = \theta$ radians. The arc $AB$ has length $\pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
(c) Find the area of the sector.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout — a quarter circle.
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $6$ cm, with angle $AOB = \theta$ radians. The arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
(c) Find the area of the sector.
Answershow ▾
6 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circular measure · the segment
The diagram shows a sector $OAB$ with radius $8$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians. The chord $AB$ divides the sector into a triangle and a segment.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
(c) Hence find the exact area of the segment.
A circle has radius $7$ cm. A region is bounded by two radii and an arc, with the angle between the radii equal to $\frac{\pi}{6}$ radians. Find the area of the region.
วงกลมรัศมี $7$ ซม. บริเวณถูกล้อมด้วยรัศมีสองเส้นและส่วนโค้ง โดยมุมระหว่างรัศมีเท่ากับ $\frac{\pi}{6}$ เรเดียน จงหาพื้นที่บริเวณนั้น
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians.
A triangle has two sides of length $5$ cm and $6$ cm, with an included angle of $\frac{\pi}{3}$ radians between them. Find the area of the triangle.
รูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว $5$ ซม. และ $6$ ซม. โดยมุมประชิดระหว่างสองด้านนี้เท่ากับ $\frac{\pi}{3}$ เรเดียน จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 ab\sin C$, where $C$ is the angle BETWEEN the two given sides.
A triangle has two sides that are both radii of a circle, each of length $7$ cm, with the angle between them equal to $\frac{\pi}{6}$ radians. Write down the values of $a$, $b$ and $C$ to use in $\text{Area} = \dfrac12 ab\sin C$.
รูปสามเหลี่ยมมีด้านสองด้านเป็นรัศมีวงกลม ยาวด้านละ $7$ ซม. โดยมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากับ $\frac{\pi}{6}$ เรเดียน จงเขียนค่า $a$, $b$ และ $C$ ที่จะใช้ในสูตร $\text{Area} = \dfrac12 ab\sin C$
Answershow ▾
The two radii ARE the two sides $a$ and $b$; the angle between them is $C$. Missing this is why students reach for the wrong formula.
Triangle $OAB$ has two sides that are radii, $8$ cm each, with the angle $\frac{\pi}{6}$ between them. Which area formula fits — $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$, or $\frac{1}{2}ab\sin C$? What would you have to find first to use the other one?
สามเหลี่ยม $OAB$ มีสองด้านเป็นรัศมี ยาว $8$ ซม. เท่ากัน และมีมุม $\frac{\pi}{6}$ อยู่ระหว่างกลาง · สูตรพื้นที่อันไหนเข้ากับข้อมูลนี้ ระหว่าง "ฐาน $\times$ สูง $\div\ 2$" กับ $\frac{1}{2}ab\sin C$ · ถ้าจะใช้อีกอันต้องหาอะไรก่อน
Answershow ▾
The data decides the formula: two sides and the angle BETWEEN them is exactly what $\frac{1}{2}ab\sin C$ eats. Base times height would mean dropping a perpendicular from $O$ to $AB$ and finding its length first — two extra steps for the same number. No mark is attached to picking the right one.ข้อมูลเป็นตัวเลือกสูตร: สองด้านกับมุมที่อยู่ "ระหว่าง" สองด้านนั้น คือสิ่งที่ $\frac{1}{2}ab\sin C$ กินพอดี · ถ้าใช้ฐานคูณสูง ต้องลากเส้นตั้งฉากจาก $O$ ไป $AB$ แล้วหาความยาวก่อน เพิ่มสองขั้นเพื่อเลขตัวเดิม · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกสูตรถูก
The sector $OAB$ has radius $8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians. Find the area of the sector.
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians. This is part (a).
The triangle $OAB$ has $OA = OB = 8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians. Find the area of triangle $OAB$.
Answershow ▾
$OA$ and $OB$ are the two sides, $\theta$ is the included angle: area $= \dfrac12 r^2\sin\theta = \dfrac12 \times 8^2 \times \sin(\frac{\pi}{6})$. This is part (b).
The segment is the piece between the chord $AB$ and the arc $AB$. Which two areas make it, and which way round do they subtract? Work out what you would get if you subtracted the other way.
segment คือชิ้นที่อยู่ระหว่างคอร์ด $AB$ กับส่วนโค้ง $AB$ · เกิดจากพื้นที่สองอันไหน และลบกันทางไหน · ลองดูว่าถ้าลบสลับทางจะได้อะไร
Answershow ▾
The triangle sits inside the sector, so it is the piece taken away. The mark scheme opens at "sector area first", after the choice of which two areas and which way round has already been made. A negative answer is the only warning you will get, and it arrives after all the work.สามเหลี่ยมอยู่ข้างในเซกเตอร์ จึงเป็นชิ้นที่ถูกหักออก · มาร์คสกีมเริ่มที่ "หาพื้นที่เซกเตอร์ก่อน" คือหลังจากเลือกไปแล้วว่าจะใช้สองพื้นที่ไหนและลบทางไหน · คำตอบติดลบคือคำเตือนเดียวที่จะได้ และมันมาถึงหลังจากทำงานเสร็จหมดแล้ว
The sector $OAB$ has area $\frac{16 \pi}{3}$ cm$^2$ and triangle $OAB$ has area $16$ cm$^2$. Find the area of the segment cut off by chord $AB$.
Answershow ▾
The segment is what is left of the sector once the triangle is removed: segment $=$ sector $-$ triangle. This is part (c).
Part (c) says find the exact area of the segment. Which of $\frac{16\pi}{3} - 16$ and $0.755$ answers that, and name two things the word "exact" forbids you from doing.
ข้อ (c) บอกว่าหาพื้นที่ segment แบบ exact · ระหว่าง $\frac{16\pi}{3} - 16$ กับ $0.755$ อันไหนคือคำตอบ และคำว่า exact ห้ามทำอะไรบ้าง สองอย่าง
Answershow ▾
"Exact" means the symbols stay: $\pi$, surds and fractions are the answer, not a step towards it. The A1 is written against the exact form, so a correct decimal scores nothing — and the decimal is the more natural thing to write, which is why the word is there.คำว่า exact แปลว่าให้สัญลักษณ์อยู่ต่อ: $\pi$ กรณฑ์ และเศษส่วน คือคำตอบ ไม่ใช่ขั้นระหว่างทาง · A1 เขียนไว้ตามรูป exact ทศนิยมที่ถูกต้องจึงไม่ได้คะแนน และทศนิยมคือสิ่งที่คนจะเขียนโดยธรรมชาติ นั่นคือเหตุผลที่คำนี้ถูกใส่ไว้
The sector $OAB$ has radius $8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
Answershow ▾
Question 4 then question 5: same $r$ and $\theta$, two different formulas.
The sector $OAB$ has radius $8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians. The area of the sector is $\frac{16 \pi}{3}$ cm$^2$.
(a) Find the area of triangle $OAB$.
(b) Hence find the area of the segment cut off by chord $AB$.
Answershow ▾
Question 5 then question 6: find the triangle first, then subtract it from the sector area already given.
The diagram shows a sector $OAB$ with radius $2$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{2}$ radians. The chord $AB$ divides the sector into a triangle and a segment.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
(c) Hence find the exact area of the segment.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout — a quarter circle.
The diagram shows a sector $OAB$ with radius $8$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians. The chord $AB$ divides the sector into a triangle and a segment.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
(c) Hence find the exact area of the segment.
Answershow ▾
6 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
From sector area to segment perimeter จากพื้นที่เซกเตอร์ สู่เส้นรอบรูปเซกเมนต์
The diagram shows a sector $ABC$ of a circle with centre $A$ and radius $8$ cm. The area of the sector is $\dfrac{16}{3}\pi$ cm$^{2}$. The point $D$ lies on the arc $BC$.
Find the perimeter of the segment $BCD$.
แผนภาพแสดง sector $ABC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $A$ รัศมี $8$ cm พื้นที่ของ sector เท่ากับ $\dfrac{16}{3}\pi$ cm$^{2}$ จุด $D$ อยู่บนส่วนโค้ง (arc) $BC$
หาเส้นรอบรูปของ segment $BCD$
Make $\theta$ the subject of $A=\tfrac12r^{2}\theta$.
จงทำให้ $\theta$ เป็นตัวแปรหลักจาก $A=\tfrac12r^{2}\theta$
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$, then divide both sides by $r^{2}$.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $r^{2}$
A sector has radius $r=6$ cm and angle $\theta=\dfrac{\pi}{3}$. Use $s=r\theta$ to find the arc length $s$.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $r=6$ ซม. และมุม $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ จงใช้ $s=r\theta$ หาความยาวส่วนโค้ง $s$
Answershow ▾
Multiply the radius by the angle in radians.คูณรัศมีด้วยมุมที่เป็นเรเดียน
A chord cuts off an isosceles triangle with two equal sides $r=10$ cm and angle $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ between them. Use $2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ to find the length of the chord.
คอร์ด (chord) หนึ่งตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากันสองด้าน $r=10$ ซม. และมุม $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง จงใช้ $2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ หาความยาวของคอร์ด
Answershow ▾
Halve the angle first: $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12$.หารมุมครึ่งก่อน: $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12$
What makes up the perimeter of segment $BCD$?
(A) the arc $BDC$ plus the two radii $AB$ and $AC$
(B) the arc $BDC$ plus the chord $BC$
(C) the chord $BC$ alone
เส้นรอบรูปของเซกเมนต์ $BCD$ ประกอบด้วยอะไร
(A) ส่วนโค้ง $BDC$ รวมกับรัศมีสองเส้น $AB$ และ $AC$
(B) ส่วนโค้ง $BDC$ รวมกับคอร์ด (chord) $BC$
(C) คอร์ด (chord) $BC$ เพียงอย่างเดียว
Answershow ▾
(A) gives the perimeter of the sector, not the segment - a segment has no radii at all. (C) leaves out the arc, so the curved edge of the shape is missing.(A) คือเส้นรอบรูปของเซกเตอร์ ไม่ใช่เซกเมนต์ เพราะเซกเมนต์ไม่มีรัศมีเลย · (C) ไม่ได้รวมส่วนโค้ง ทำให้ขาดขอบที่เป็นเส้นโค้งของรูป
Sector $ABC$ has radius $r=8$ cm and area $A=\dfrac{16}{3}\pi$ cm$^{2}$. Use your rule from question $1$ to find $\theta$.
เซกเตอร์ $ABC$ มีรัศมี $r=8$ ซม. และพื้นที่ $A=\dfrac{16}{3}\pi$ ซม.$^{2}$ จงใช้กฎจากข้อ $1$ หาค่า $\theta$
Answershow ▾
Substitute $A=\dfrac{16}{3}\pi$ and $r=8$ into $\theta=\dfrac{2A}{r^{2}}$.แทน $A=\dfrac{16}{3}\pi$ และ $r=8$ ใน $\theta=\dfrac{2A}{r^{2}}$
Use $s=r\theta$ with $r=8$ and $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ to find the arc $BDC$.
จงใช้ $s=r\theta$ โดย $r=8$ และ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ หาส่วนโค้ง (arc) $BDC$
Answershow ▾
Same move as question $2$, now with the real numbers.ขั้นเดียวกับข้อ $2$ เพียงใช้ตัวเลขจริง
Use $BC=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ with $r=8$ and $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ to find the chord $BC$.
จงใช้ $BC=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ โดย $r=8$ และ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ หาคอร์ด $BC$
Answershow ▾
Same move as question $3$: halve $\theta$ before taking $\sin$.ขั้นเดียวกับข้อ $3$: หารมุมครึ่งก่อนหา $\sin$
Add the arc and the chord to find the perimeter of segment $BCD$.
จงบวกส่วนโค้งกับคอร์ด (chord) เพื่อหาเส้นรอบรูปของ segment $BCD$
Answershow ▾
The segment’s boundary is curved on one side, straight on the other - add both.ขอบของเซกเมนต์เป็นโค้งด้านหนึ่ง ตรงอีกด้านหนึ่ง นำมารวมกัน
Check: a chord is always shorter than the arc it cuts off. Is $4.14 \lt 4.19$ true?
ตรวจคำตอบ: คอร์ดต้องสั้นกว่าส่วนโค้งที่มันตัดเสมอ $4.14 \lt 4.19$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
A straight line between two points is always the shortest path between them.เส้นตรงระหว่างสองจุดเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดนั้นเสมอ
Sector $PQR$, centre $P$, has radius $r=10$ cm and area $A=\dfrac{50}{3}\pi$ cm$^{2}$. Point $S$ lies on arc $QR$. Find the perimeter of segment $QRS$.
เซกเตอร์ $PQR$ ศูนย์กลาง $P$ มีรัศมี $r=10$ ซม. และพื้นที่ $A=\dfrac{50}{3}\pi$ ซม.$^{2}$ จุด $S$ อยู่บนส่วนโค้ง $QR$ จงหาเส้นรอบรูปของเซกเมนต์ $QRS$
Answershow ▾
Same four moves: find $\theta$, then the arc, then the chord, then add.สี่ขั้นเดิม: หา $\theta$ แล้วหาส่วนโค้ง แล้วหาคอร์ด แล้วบวกกัน
The diagram shows a sector $ABC$ of a circle with centre $A$ and radius $8$ cm. The area of the sector is $\dfrac{16}{3}\pi$ cm$^{2}$. The point $D$ lies on the arc $BC$.
Find the perimeter of the segment $BCD$.
แผนภาพแสดง sector $ABC$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $A$ รัศมี $8$ cm พื้นที่ของ sector เท่ากับ $\dfrac{16}{3}\pi$ cm$^{2}$ จุด $D$ อยู่บนส่วนโค้ง (arc) $BC$
หาเส้นรอบรูปของ segment $BCD$
Answershow ▾
4 marks: the angle from the area formula, the arc length, the chord length, then add them.4 คะแนน: มุมจากสูตรพื้นที่ ความยาวส่วนโค้ง ความยาวคอร์ด แล้วบวกกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The chord that cuts a sector คอร์ดที่ตัดเซกเตอร์
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle with centre $O$. The length of the arc $AB$ is $8$ cm. It is given that the perimeter of the sector is $20$ cm.
(a) Find the perimeter of the shaded segment.
(b) Find the area of the shaded segment.
แผนภาพแสดง sector $OAB$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ความยาวส่วนโค้ง (arc) $AB$ เท่ากับ $8$ cm กำหนดให้เส้นรอบรูปของ sector เท่ากับ $20$ cm
(ก) หาเส้นรอบรูปของ segment ที่แรเงา
(ข) หาพื้นที่ของ segment ที่แรเงา
Solve $2r+8=20$ for $r$.
จงแก้สมการ $2r+8=20$ หาค่า $r$
Answershow ▾
Subtract $8$ from both sides, then divide by $2$.ลบ $8$ ออกจากทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $2$
A sector has radius $6$ cm and arc length $8$ cm. Use $\theta=\dfrac{s}{r}$ to find $\theta$, as a fraction in its simplest form.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $6$ cm และส่วนโค้งยาว $8$ cm ใช้ $\theta=\dfrac{s}{r}$ หาค่า $\theta$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide the top and the bottom by $2$.หารทั้งเศษและส่วนด้วย $2$
Round $7.4204\ldots$ to $3$ significant figures.
จงปัดเศษ $7.4204\ldots$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The 4th significant figure is $0$, so the 3rd stays as it is.เลขนัยสำคัญตัวที่ 4 คือ $0$ จึงไม่ปัดตัวที่ 3
The sector’s perimeter is two radii plus the arc. Arc $AB=8$ cm, perimeter $=20$ cm. Pick the correct equation for $r$.
(A) $2\pi r+8=20$
(B) $2r+8=20$
(C) $r+8=20$
เส้นรอบรูปของเซกเตอร์คือรัศมีสองเส้นรวมกับส่วนโค้ง ส่วนโค้ง $AB=8$ cm เส้นรอบรูป $=20$ cm จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับ $r$
(A) $2\pi r+8=20$
(B) $2r+8=20$
(C) $r+8=20$
Answershow ▾
(A) uses $2\pi r$, the circumference of a full circle - the straight sides of a sector are two radii, not an arc. (C) counts only one radius; $OA$ and $OB$ are both straight sides.(A) ใช้ $2\pi r$ ซึ่งคือเส้นรอบวงของวงกลมเต็มวง แต่ด้านตรงของเซกเตอร์คือรัศมีสองเส้น ไม่ใช่ส่วนโค้ง · (C) นับรัศมีเพียงเส้นเดียว ทั้งที่ $OA$ และ $OB$ เป็นด้านตรงทั้งคู่
The perimeter of sector $OAB$ is $20$ cm and arc $AB=8$ cm. Solve $2r+8=20$ for $r$.
เส้นรอบรูปของเซกเตอร์ $OAB$ เท่ากับ $20$ cm และส่วนโค้ง $AB=8$ cm จงแก้สมการ $2r+8=20$ หาค่า $r$
Answershow ▾
Same equation as question $1$.สมการเดียวกับข้อ $1$
Use $\theta=\dfrac{s}{r}$ with $s=8$ and $r=6$ to find $\theta$, as a fraction in its simplest form.
ใช้ $\theta=\dfrac{s}{r}$ โดย $s=8$ และ $r=6$ หาค่า $\theta$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Same division as question $2$.การหารเดียวกับข้อ $2$
Use $AB=2r\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ with $r=6$ and $\theta=\dfrac43$ to find chord $AB$, to $3$ significant figures.
ใช้ $AB=2r\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ โดย $r=6$ และ $\theta=\dfrac43$ หาคอร์ด $AB$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Half the angle goes inside $\sin$, not the whole angle.ครึ่งมุมอยู่ใน $\sin$ ไม่ใช่มุมเต็ม
Use the arc and your answer to question $6$ to answer part (a): the perimeter of the segment is the arc plus the chord.
ใช้ส่วนโค้งและคำตอบข้อ $6$ ตอบส่วน (ก): เส้นรอบรูปของเซกเมนต์คือส่วนโค้งรวมกับคอร์ด
Answershow ▾
The segment’s boundary is curved on one side, straight on the other - add both.ขอบของเซกเมนต์เป็นโค้งด้านหนึ่ง ตรงอีกด้านหนึ่ง นำมารวมกัน
The segment is the sector with a shape removed. Using $r=6$, $\theta=\dfrac43$, pick the correct equation for the area.
(A) $\text{area}=\dfrac12r^{2}\theta$
(B) $\text{area}=\dfrac12r^{2}\theta-\dfrac12r^{2}\sin\theta$
(C) $\text{area}=\dfrac12r^{2}(76.4)-\dfrac12r^{2}\sin\theta$
เซกเมนต์คือเซกเตอร์ที่เอารูปหนึ่งออก โดย $r=6$, $\theta=\dfrac43$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับพื้นที่
(A) $\text{area}=\dfrac12r^{2}\theta$
(B) $\text{area}=\dfrac12r^{2}\theta-\dfrac12r^{2}\sin\theta$
(C) $\text{area}=\dfrac12r^{2}(76.4)-\dfrac12r^{2}\sin\theta$
Answershow ▾
(A) is only the sector - it never removes the triangle, so it is not the segment. (C) puts $\theta$ in degrees into $\dfrac12r^{2}\theta$, but that formula only holds for $\theta$ in radians; mixing units makes the sector term about $57$ times too big.(A) คือพื้นที่เซกเตอร์เท่านั้น ไม่ได้เอาสามเหลี่ยมออก จึงไม่ใช่เซกเมนต์ · (C) ใส่ $\theta$ เป็นองศาลงใน $\dfrac12r^{2}\theta$ แต่สูตรนี้ใช้ได้เมื่อ $\theta$ เป็นเรเดียนเท่านั้น การผสมหน่วยทำให้พจน์เซกเตอร์ใหญ่เกินจริงราว $57$ เท่า
Use the equation from the last step to answer part (b): the area of the segment, with $r=6$ and $\theta=\dfrac43$, to $3$ significant figures.
ใช้สมการจากขั้นที่แล้วตอบส่วน (ข): พื้นที่ของเซกเมนต์ โดย $r=6$ และ $\theta=\dfrac43$ เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
The triangle’s area uses $\sin\theta$, not $\theta$ itself.พื้นที่สามเหลี่ยมใช้ $\sin\theta$ ไม่ใช่ $\theta$ ตรงๆ
A sector $OAB$ has centre $O$. Arc $AB=10$ cm. The perimeter of sector $OAB$ is $26$ cm. Find (a) the perimeter of the shaded segment, (b) the area of the shaded segment, each to $3$ significant figures.
เซกเตอร์ $OAB$ มีศูนย์กลาง $O$ ส่วนโค้ง $AB=10$ cm เส้นรอบรูปของเซกเตอร์ $OAB$ เท่ากับ $26$ cm จงหา (ก) เส้นรอบรูปของเซกเมนต์ที่แรเงา (ข) พื้นที่ของเซกเมนต์ที่แรเงา ให้เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same five moves: radius, angle, chord, add for (a), then sector minus triangle for (b).ห้าขั้นเดิม: รัศมี มุม คอร์ด รวมกันได้ส่วน (ก) แล้วเซกเตอร์ลบสามเหลี่ยมได้ส่วน (ข)
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle with centre $O$. The length of the arc $AB$ is $8$ cm. It is given that the perimeter of the sector is $20$ cm.
(a) Find the perimeter of the shaded segment.
(b) Find the area of the shaded segment.
แผนภาพแสดง sector $OAB$ ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ ความยาวส่วนโค้ง (arc) $AB$ เท่ากับ $8$ cm กำหนดให้เส้นรอบรูปของ sector เท่ากับ $20$ cm
(ก) หาเส้นรอบรูปของ segment ที่แรเงา
(ข) หาพื้นที่ของ segment ที่แรเงา
Answershow ▾
6 marks: radius, then angle, then chord; add for (a). Sector minus triangle for (b).6 คะแนน: รัศมี มุม แล้วคอร์ด รวมกันได้ส่วน (ก) · เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยมได้ส่วน (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sector cut from a triangle เซกเตอร์ที่ถูกตัดจากรูปสามเหลี่ยม
The diagram shows a triangle $ABC$, in which angle $ABC=90^{\circ}$ and $AB=4$ cm. The sector $ABD$ is part of a circle with centre $A$. The area of the sector is $10$ cm$^{2}$.
(a) Find angle $BAD$ in radians.
(b) Find the perimeter of the shaded region.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งมุม $ABC=90^{\circ}$ และ $AB=4$ cm sector $ABD$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $A$ พื้นที่ของ sector เท่ากับ $10$ cm$^{2}$
(ก) หามุม $BAD$ เป็นเรเดียน (radians)
(ข) หาเส้นรอบรูปของพื้นที่แรเงา
A sector has radius $4$ cm and area $6$ cm$^{2}$. Use $\text{Area}=\dfrac12r^{2}\theta$ to find $\theta$, in radians.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $4$ cm และพื้นที่ $6$ cm$^{2}$ ใช้ $\text{Area}=\dfrac12r^{2}\theta$ หาค่า $\theta$ เป็นเรเดียน
Answershow ▾
Put $r=4$ into the formula, then divide to get $\theta$ on its own.แทน $r=4$ ลงในสูตร แล้วหารเพื่อให้เหลือ $\theta$ ตัวเดียว
A circle has radius $4$ cm. Find the length of an arc that cuts off an angle of $0.75$ radians at the centre.
วงกลมหนึ่งมีรัศมี $4$ cm จงหาความยาวส่วนโค้งที่รองรับมุม $0.75$ เรเดียนที่จุดศูนย์กลาง
Answershow ▾
Arc length $=r\theta$.ความยาวส่วนโค้ง $=r\theta$
Evaluate $\tan(0.75)$, giving your answer to $3$ significant figures.
จงคำนวณ $\tan(0.75)$ ให้เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Check your calculator is in radian mode, not degree mode.ตรวจว่าเครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดเรเดียน ไม่ใช่โหมดองศา
The sector $ABD$ has radius $4$ cm and area $10$ cm$^{2}$. Pick the correct equation for $\angle BAD$.
(A) $\dfrac12(4)^{2}\times\angle BAD=10$
(B) $4\times\angle BAD=10$
(C) $\dfrac12(4)\times(\angle BAD)^{2}=10$
เซกเตอร์ $ABD$ มีรัศมี $4$ cm และพื้นที่ $10$ cm$^{2}$ จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับ $\angle BAD$
(A) $\dfrac12(4)^{2}\times\angle BAD=10$
(B) $4\times\angle BAD=10$
(C) $\dfrac12(4)\times(\angle BAD)^{2}=10$
Answershow ▾
(B) uses the arc length formula, $r\theta$, not the area formula. (C) squares $\angle BAD$ instead of the radius $4$ - the formula squares $r$, not the angle.(B) ใช้สูตรความยาวส่วนโค้ง $r\theta$ ไม่ใช่สูตรพื้นที่ · (C) ยกกำลังสอง $\angle BAD$ แทนรัศมี $4$ ทั้งที่สูตรต้องยกกำลังสองที่ $r$ ไม่ใช่ที่มุม
Simplify $\dfrac12(4)^{2}\times\angle BAD=10$ by collecting the numbers on the left.
จงทำ $\dfrac12(4)^{2}\times\angle BAD=10$ ให้ง่าย โดยรวมตัวเลขทางซ้ายเข้าด้วยกัน
Answershow ▾
$\dfrac12\times4^{2}=\dfrac12\times16=8$.$\dfrac12\times4^{2}=\dfrac12\times16=8$
Solve $8\times\angle BAD=10$ for $\angle BAD$.
จงแก้สมการ $8\times\angle BAD=10$ หาค่า $\angle BAD$
Answershow ▾
Same division as question $1$, now on the real numbers.การหารแบบเดียวกับข้อ $1$ แต่ใช้ตัวเลขจริง
Use $\angle BAD=1.25$ and arc $=r\theta$, with $r=4$, to find the length of arc $BD$.
ใช้ $\angle BAD=1.25$ และ arc $=r\theta$ โดย $r=4$ จงหาความยาวส่วนโค้ง $BD$
Answershow ▾
Same formula as question $2$, now with the real angle.สูตรเดียวกับข้อ $2$ แต่ใช้มุมจริง
$D$ lies on $AC$, so $\angle BAC=\angle BAD=1.25$. In triangle $ABC$, $BC$ is opposite $\angle BAC$ and $AB=4$ is adjacent to it. Use $BC=AB\times\tan(\angle BAC)$ to find $BC$.
$D$ อยู่บน $AC$ ดังนั้น $\angle BAC=\angle BAD=1.25$ ในสามเหลี่ยม $ABC$ ด้าน $BC$ อยู่ตรงข้ามมุม $\angle BAC$ และ $AB=4$ อยู่ประชิดมุมนั้น จงใช้ $BC=AB\times\tan(\angle BAC)$ หา $BC$
Answershow ▾
$\tan=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$, so opposite $=$ adjacent $\times\tan$.$\tan=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ ดังนั้นด้านตรงข้าม $=$ ด้านประชิด $\times\tan$
To find $CD$, you first need $AC$, the hypotenuse of triangle $ABC$. Pick the correct way to find $AC$ ($\angle BAC=1.25$, $AB=4$ adjacent).
(A) $AC=\dfrac{4}{\cos(1.25)}$
(B) $AC=4\cos(1.25)$
(C) $AC=\dfrac{4}{\sin(1.25)}$
การหา $CD$ ต้องหา $AC$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม $ABC$ ก่อน จงเลือกวิธีหา $AC$ ที่ถูกต้อง ($\angle BAC=1.25$, $AB=4$ อยู่ประชิด)
(A) $AC=\dfrac{4}{\cos(1.25)}$
(B) $AC=4\cos(1.25)$
(C) $AC=\dfrac{4}{\sin(1.25)}$
Answershow ▾
(B) multiplies instead of dividing, giving $AC\lt AB$ - impossible for a hypotenuse. (C) uses $\sin$, which pairs the opposite side with the hypotenuse, not the adjacent side.(B) คูณแทนการหาร ทำให้ $AC\lt AB$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้สำหรับด้านตรงข้ามมุมฉาก · (C) ใช้ $\sin$ ซึ่งจับคู่ด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ไม่ใช่ด้านประชิด
Use $AC=\dfrac{4}{\cos(1.25)}$ to find $CD=AC-AD$, with $AD=4$. Then add arc $BD$, $BC$ and $CD$ to get the perimeter of the shaded region, to $3$ significant figures.
ใช้ $AC=\dfrac{4}{\cos(1.25)}$ หา $CD=AC-AD$ โดย $AD=4$ จากนั้นรวมส่วนโค้ง $BD$, $BC$ และ $CD$ เพื่อหาเส้นรอบรูปของพื้นที่แรเงา ให้เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
$CD\approx8.69$ cm; then $5+12.0+8.69=25.7$ cm.$CD\approx8.69$ cm จากนั้น $5+12.0+8.69=25.7$ cm
Triangle $PQR$ has $\angle PQR=90°$ and $PQ=5$ cm. Sector $PQS$ is part of a circle with centre $P$, and its area is $12.5$ cm$^{2}$. Find $\angle QPS$ in radians, and the perimeter of the region bounded by arc $QS$, $QR$ and $RS$, to $3$ significant figures.
สามเหลี่ยม $PQR$ มีมุม $\angle PQR=90°$ และ $PQ=5$ cm เซกเตอร์ $PQS$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $P$ มีพื้นที่ $12.5$ cm$^{2}$ จงหามุม $\angle QPS$ เป็นเรเดียน และเส้นรอบรูปของ พื้นที่ที่ล้อมด้วยส่วนโค้ง $QS$, $QR$ และ $RS$ ให้เป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
Answershow ▾
Same four moves: solve for the angle, then arc, then the two sides of the triangle.สี่ขั้นเดิม: แก้หามุม แล้วหาส่วนโค้ง แล้วหาสองด้านของสามเหลี่ยม
The diagram shows a triangle $ABC$, in which angle $ABC=90^{\circ}$ and $AB=4$ cm. The sector $ABD$ is part of a circle with centre $A$. The area of the sector is $10$ cm$^{2}$.
(a) Find angle $BAD$ in radians.
(b) Find the perimeter of the shaded region.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งมุม $ABC=90^{\circ}$ และ $AB=4$ cm sector $ABD$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $A$ พื้นที่ของ sector เท่ากับ $10$ cm$^{2}$
(ก) หามุม $BAD$ เป็นเรเดียน (radians)
(ข) หาเส้นรอบรูปของพื้นที่แรเงา
Answershow ▾
6 marks across two parts: the sector-area equation for $\angle BAD$, then arc $BD$, $BC$, $CD$ and the sum.6 คะแนนใน 2 ส่วน: สมการพื้นที่เซกเตอร์หา $\angle BAD$ จากนั้นส่วนโค้ง $BD$, $BC$, $CD$ แล้วรวมกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Three arcs that make a coin สามส่วนโค้งที่ประกอบเป็นเหรียญ
The diagram shows the shape of a coin. The three arcs $AB$, $BC$ and $CA$ are parts of circles with centres $C$, $A$ and $B$ respectively. $ABC$ is an equilateral triangle with sides of length $2$ cm.
(a) Find the perimeter of the coin.
(b) Find the area of the face $ABC$ of the coin, giving the answer in terms of $\pi$ and $\sqrt{3}$.
แผนภาพแสดงรูปร่างของเหรียญ ส่วนโค้งทั้งสาม $AB$, $BC$ และ $CA$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $C$, $A$ และ $B$ ตามลำดับ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral triangle) ด้านยาว $2$ cm
(ก) หาเส้นรอบรูปของเหรียญ
(ข) หาพื้นที่หน้า $ABC$ ของเหรียญ โดยตอบในรูปของ $\pi$ และ $\sqrt{3}$
Write $60°$ in radians, as a fraction of $\pi$.
จงเขียน $60°$ เป็นเรเดียน ในรูปเศษส่วนของ $\pi$
Answershow ▾
Multiply the degrees by $\dfrac{\pi}{180}$.คูณจำนวนองศาด้วย $\dfrac{\pi}{180}$
A circle has radius $2$ cm. An arc of this circle subtends an angle of $\dfrac{\pi}{3}$ at the centre. Find the length of the arc.
วงกลมรัศมี $2$ cm ส่วนโค้งหนึ่งรองรับมุม $\dfrac{\pi}{3}$ ที่จุดศูนย์กลาง จงหาความยาวส่วนโค้งนี้
Answershow ▾
Arc length $=r\theta$.ความยาวส่วนโค้ง $=r\theta$
A sector has radius $2$ cm and angle $\dfrac{\pi}{3}$ at the centre. Find the area of the sector.
เซกเตอร์หนึ่งมีรัศมี $2$ cm และมุมที่จุดศูนย์กลาง $\dfrac{\pi}{3}$ จงหาพื้นที่เซกเตอร์นี้
Answershow ▾
Sector area $=\dfrac12r^{2}\theta$.พื้นที่เซกเตอร์ $=\dfrac12r^{2}\theta$
$ABC$ is an equilateral triangle. Arc $AB$ is part of a circle centred at $C$. Pick the angle $ACB$ at the centre of that arc.
(A) $\dfrac{2\pi}{3}$
(B) $\dfrac{\pi}{3}$
(C) $\pi$
$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนโค้ง $AB$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $C$ จงเลือกมุม $ACB$ ที่จุดศูนย์กลางของส่วนโค้งนี้
(A) $\dfrac{2\pi}{3}$
(B) $\dfrac{\pi}{3}$
(C) $\pi$
Answershow ▾
(A) doubles the triangle’s own angle, as if the arc swept the reflex angle outside the triangle. (C) treats the arc as a semicircle, which only happens when the centre sits on the chord itself.(A) เอามุมของสามเหลี่ยมมาคูณสอง เหมือนส่วนโค้งกวาดมุมสะท้อนด้านนอกสามเหลี่ยม · (C) คิดว่าส่วนโค้งเป็นครึ่งวงกลม ซึ่งเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อจุดศูนย์กลางอยู่บนคอร์ดนั้นเอง
Arc $AB$ is part of a circle, centre $C$, radius $2$ cm (the side of the triangle). The angle at $C$ is $\dfrac{\pi}{3}$. Find the length of arc $AB$.
ส่วนโค้ง $AB$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $C$ รัศมี $2$ cm (ด้านของสามเหลี่ยม) มุมที่ $C$ คือ $\dfrac{\pi}{3}$ จงหาความยาวส่วนโค้ง $AB$
Answershow ▾
Same formula as question $2$, now with the letters of the coin.สูตรเดิมจากข้อ $2$ เพียงเปลี่ยนเป็นตัวอักษรของเหรียญ
By the same reasoning, arcs $BC$ and $CA$ are each $\dfrac{2\pi}{3}$ cm too. Find the perimeter of the coin.
ด้วยเหตุผลเดียวกัน ส่วนโค้ง $BC$ และ $CA$ ยาว $\dfrac{2\pi}{3}$ cm เท่ากัน จงหาเส้นรอบรูปของเหรียญ
Answershow ▾
Add the three equal arcs.บวกส่วนโค้งทั้งสามที่เท่ากัน
Now for the area. Sector $CAB$, centre $C$, has radius $2$ cm and angle $\dfrac{\pi}{3}$. Find its area.
ต่อไปหาพื้นที่ เซกเตอร์ $CAB$ จุดศูนย์กลาง $C$ รัศมี $2$ cm มุม $\dfrac{\pi}{3}$ จงหาพื้นที่
Answershow ▾
Same sector formula as question $3$.สูตรเซกเตอร์เดิมจากข้อ $3$
Triangle $ABC$ has two sides $2$ cm with angle $\dfrac{\pi}{3}$ between them. Find its area.
สามเหลี่ยม $ABC$ มีสองด้านยาว $2$ cm โดยมีมุม $\dfrac{\pi}{3}$ อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง จงหาพื้นที่
Answershow ▾
Area $=\dfrac12ab\sin C$.พื้นที่ $=\dfrac12ab\sin C$
The three sectors (centres $A$, $B$, $C$) together cover the coin, but each one also covers triangle $ABC$. How many times is the triangle counted, and how many times must it be removed to leave the coin once?
(A) counted once, remove once
(B) counted three times, remove twice
(C) counted three times, remove three times
เซกเตอร์ทั้งสาม (จุดศูนย์กลาง $A$, $B$, $C$) รวมกันครอบคลุมเหรียญ แต่แต่ละเซกเตอร์ก็ครอบคลุมสามเหลี่ยม $ABC$ ด้วย สามเหลี่ยมถูกนับซ้ำกี่ครั้ง และต้องตัดออกกี่ครั้งจึงจะเหลือเหรียญพอดี
(A) นับหนึ่งครั้ง ตัดออกหนึ่งครั้ง
(B) นับสามครั้ง ตัดออกสองครั้ง
(C) นับสามครั้ง ตัดออกสามครั้ง
Answershow ▾
(A) misses that every sector shares the same central triangle. (C) removes it one time too many, which would cut a hole out of the coin instead of leaving it flat.(A) มองข้ามว่าทุกเซกเตอร์มีสามเหลี่ยมกลางร่วมกัน · (C) ตัดออกมากไปหนึ่งครั้ง ซึ่งจะเจาะรูที่เหรียญ แทนที่จะได้พื้นผิวเรียบ
Find the area of the coin: $3$ sectors, each $\dfrac{2\pi}{3}$ cm$^{2}$, minus $2$ triangles, each $\sqrt{3}$ cm$^{2}$.
จงหาพื้นที่เหรียญ: เซกเตอร์ $3$ อัน อันละ $\dfrac{2\pi}{3}$ cm$^{2}$ ลบด้วยสามเหลี่ยม $2$ อัน อันละ $\sqrt{3}$ cm$^{2}$
Answershow ▾
$3\times\dfrac{2\pi}{3}=2\pi$ and $2\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.$3\times\dfrac{2\pi}{3}=2\pi$ และ $2\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
A badge is cut in the same shape: three arcs, each centred at the opposite vertex of an equilateral triangle $PQR$ with sides $4$ cm. (a) Find the perimeter of the badge. (b) Find its area, in terms of $\pi$ and $\sqrt{3}$.
เข็มกลัดถูกตัดเป็นรูปทรงเดียวกัน: ส่วนโค้งสามเส้น แต่ละเส้นมีจุดศูนย์กลางที่จุดยอดตรงข้ามของสามเหลี่ยมด้านเท่า $PQR$ ด้านยาว $4$ cm (ก) หาเส้นรอบรูปของเข็มกลัด (ข) หาพื้นที่ ในรูปของ $\pi$ และ $\sqrt{3}$
Answershow ▾
Same three moves: one arc, then all three; one sector minus one triangle, times three.สามขั้นเดิม: ส่วนโค้งหนึ่งเส้น แล้วทั้งสาม เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม คูณสาม
The diagram shows the shape of a coin. The three arcs $AB$, $BC$ and $CA$ are parts of circles with centres $C$, $A$ and $B$ respectively. $ABC$ is an equilateral triangle with sides of length $2$ cm.
(a) Find the perimeter of the coin.
(b) Find the area of the face $ABC$ of the coin, giving the answer in terms of $\pi$ and $\sqrt{3}$.
แผนภาพแสดงรูปร่างของเหรียญ ส่วนโค้งทั้งสาม $AB$, $BC$ และ $CA$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $C$, $A$ และ $B$ ตามลำดับ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral triangle) ด้านยาว $2$ cm
(ก) หาเส้นรอบรูปของเหรียญ
(ข) หาพื้นที่หน้า $ABC$ ของเหรียญ โดยตอบในรูปของ $\pi$ และ $\sqrt{3}$
Answershow ▾
6 marks: one arc, then all three; the triangle’s own area; three sectors minus two triangles.6 คะแนน: ส่วนโค้งหนึ่งเส้นแล้วทั้งสาม พื้นที่สามเหลี่ยมเอง แล้วเซกเตอร์สามอันลบสามเหลี่ยมสองอัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Perimeter from two overlapping arcs เส้นรอบรูปจากส่วนโค้งที่ซ้อนกันสองส่วน
In the diagram, $X$ and $Y$ are points on the line $AB$ such that $BX=9$ cm and $AY=11$ cm. Arc $BC$ is part of a circle with centre $X$ and radius $9$ cm, where $CX$ is perpendicular to $AB$. Arc $AC$ is part of a circle with centre $Y$ and radius $11$ cm.
(a) Show that angle $XYC=0.9582$ radians, correct to $4$ significant figures.
(b) Find the perimeter of $ABC$.
ในแผนภาพ $X$ และ $Y$ เป็นจุดบนเส้นตรง $AB$ โดยที่ $BX=9$ cm และ $AY=11$ cm ส่วนโค้ง $BC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $X$ รัศมี $9$ cm โดยที่ $CX$ ตั้งฉากกับ $AB$ ส่วนโค้ง $AC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $Y$ รัศมี $11$ cm
(ก) แสดงว่ามุม $XYC=0.9582$ เรเดียน ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ (significant figures)
(ข) หาเส้นรอบรูปของ $ABC$
In a right triangle, the side opposite angle $\theta$ is $9$ and the hypotenuse is $11$. Find $\theta$ in radians, correct to $4$ significant figures.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม $\theta$ คือ $9$ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $11$ จงหา $\theta$ ในหน่วยเรเดียน ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Set the calculator to radians before using $\sin^{-1}$.ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นเรเดียนก่อนกด $\sin^{-1}$
In a right triangle, the hypotenuse is $11$ and one other side is $9$. Find the third side.
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $11$ และอีกด้านหนึ่งคือ $9$ จงหาด้านที่สาม
Answershow ▾
Hypotenuse squared minus the known side squared.ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง ลบด้วยด้านที่รู้ยกกำลังสอง
A circle has radius $9$ cm. Find the arc length cut off by an angle of $\dfrac{\pi}{2}$ radians.
วงกลมรัศมี $9$ cm จงหาความยาวส่วนโค้งที่รองรับมุม $\dfrac{\pi}{2}$ เรเดียน
Answershow ▾
Radians let you multiply radius by angle directly: $s=r\theta$.หน่วยเรเดียนทำให้คูณรัศมีกับมุมได้ตรงๆ: $s=r\theta$
In triangle $XYC$, the right angle is at $X$. You know $XC=9$ and $YC=11$. Which ratio finds $\angle XYC$ straightaway?
(A) $\tan(\angle XYC)=\dfrac{XC}{XY}$
(B) $\sin(\angle XYC)=\dfrac{XC}{YC}$
(C) $\cos(\angle XYC)=\dfrac{XY}{YC}$
ในสามเหลี่ยม $XYC$ มุมฉากอยู่ที่ $X$ รู้ $XC=9$ และ $YC=11$ อัตราส่วนใดหามุม $\angle XYC$ ได้ทันที
(A) $\tan(\angle XYC)=\dfrac{XC}{XY}$
(B) $\sin(\angle XYC)=\dfrac{XC}{YC}$
(C) $\cos(\angle XYC)=\dfrac{XY}{YC}$
Answershow ▾
(A) and (C) both need $XY$, which is still unknown at this point. (B) uses only the two sides already known, $XC$ and $YC$.(A) และ (C) ต้องใช้ $XY$ ซึ่งยังไม่รู้ค่า · (B) ใช้แค่สองด้านที่รู้แล้วคือ $XC$ และ $YC$
$XC=9$ (the radius of the circle centred $X$) and $YC=11$ (the radius of the circle centred $Y$). Show that $\angle XYC=0.9582$ radians.
$XC=9$ (รัศมีวงกลมศูนย์กลาง $X$) และ $YC=11$ (รัศมีวงกลมศูนย์กลาง $Y$) จงแสดงว่า $\angle XYC=0.9582$ เรเดียน
Answershow ▾
The right angle at $X$ makes $YC$ the hypotenuse of triangle $XYC$.มุมฉากที่ $X$ ทำให้ $YC$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม $XYC$
Use Pythagoras in triangle $XYC$ to find $XY$.
ใช้พีทาโกรัสในสามเหลี่ยม $XYC$ เพื่อหา $XY$
Answershow ▾
Same triangle as question $2$, with $X$, $Y$, $C$ written in.สามเหลี่ยมเดียวกับข้อ $2$ เพียงเปลี่ยนชื่อจุดเป็น $X$, $Y$, $C$
Arc $BC$ is part of the circle centred $X$; arc $AC$ is part of the circle centred $Y$. Which radius goes with which arc?
(A) arc $BC$ uses radius $11$; arc $AC$ uses radius $9$
(B) arc $BC$ uses radius $9$; arc $AC$ uses radius $11$
(C) both arcs use radius $6.325$
ส่วนโค้ง $BC$ เป็นส่วนของวงกลมศูนย์กลาง $X$ ส่วนโค้ง $AC$ เป็นส่วนของวงกลมศูนย์กลาง $Y$ รัศมีใดคู่กับส่วนโค้งใด
(A) $BC$ ใช้รัศมี $11$ · $AC$ ใช้รัศมี $9$
(B) $BC$ ใช้รัศมี $9$ · $AC$ ใช้รัศมี $11$
(C) ทั้งสองส่วนโค้งใช้รัศมี $6.325$
Answershow ▾
(A) swaps the two circles - each arc uses the radius of its own centre: $9$ for the circle at $X$, $11$ for the circle at $Y$. (C) uses $XY$, which is not a radius of either circle.(A) สลับวงกลมสองวง · ส่วนโค้งแต่ละส่วนต้องใช้รัศมีของศูนย์กลางตัวเอง คือ $9$ สำหรับวงกลมที่ $X$ และ $11$ สำหรับวงกลมที่ $Y$ · (C) ใช้ $XY$ ซึ่งไม่ใช่รัศมีของวงกลมทั้งสองวงเลย
Find $AB$, using $BX=9$, $AY=11$ and $XY=6.325$.
จงหา $AB$ โดยใช้ $BX=9$, $AY=11$ และ $XY=6.325$
Answershow ▾
$X$ and $Y$ overlap on $AB$, so the middle stretch $XY$ is counted twice and subtracted once.$X$ กับ $Y$ ทับกันอยู่บน $AB$ ช่วงกลาง $XY$ จึงถูกนับซ้ำและต้องลบออกหนึ่งครั้ง
Use $r\theta$ to find arc $AC$ (radius $11$, angle $0.9582$) and arc $BC$ (radius $9$, angle $\dfrac{\pi}{2}$).
ใช้ $r\theta$ หาส่วนโค้ง $AC$ (รัศมี $11$ มุม $0.9582$) และส่วนโค้ง $BC$ (รัศมี $9$ มุม $\dfrac{\pi}{2}$)
Answershow ▾
Angle $AYC$ equals angle $XYC$: $A$ and $X$ sit on the same side of $Y$.มุม $AYC$ เท่ากับมุม $XYC$ เพราะ $A$ และ $X$ อยู่ด้านเดียวกันของ $Y$
Add the three rounded parts: $AB=13.7$, arc $AC=10.5$, arc $BC=14.1$. Does the total equal the exam answer, $38.4$ cm?
บวกสามส่วนที่ปัดเศษแล้ว: $AB=13.7$ ส่วนโค้ง $AC=10.5$ ส่วนโค้ง $BC=14.1$ ผลรวมเท่ากับคำตอบข้อสอบ $38.4$ cm หรือไม่
Answershow ▾
Rounding each part before adding loses accuracy; keep extra decimal places until the last line.การปัดเศษแต่ละส่วนก่อนบวกทำให้ความแม่นยำหายไป ให้เก็บทศนิยมเพิ่มไว้จนถึงบรรทัดสุดท้าย
$X$ and $Y$ are points on line $AB$ with $BX=3$ cm and $AY=5$ cm. Arc $BC$ is part of a circle, centre $X$, radius $3$ cm, with $CX$ perpendicular to $AB$. Arc $AC$ is part of a circle, centre $Y$, radius $5$ cm. Find the perimeter of $ABC$.
$X$ และ $Y$ เป็นจุดบนเส้นตรง $AB$ โดย $BX=3$ cm และ $AY=5$ cm ส่วนโค้ง $BC$ เป็นส่วนของวงกลม ศูนย์กลาง $X$ รัศมี $3$ cm โดย $CX$ ตั้งฉากกับ $AB$ ส่วนโค้ง $AC$ เป็นส่วนของวงกลม ศูนย์กลาง $Y$ รัศมี $5$ cm จงหาเส้นรอบรูปของ $ABC$
Answershow ▾
Same four moves: the angle, $XY$, $AB$, then both arcs.สี่ขั้นเดิม: หามุม หา $XY$ หา $AB$ แล้วหาส่วนโค้งทั้งสอง
In the diagram, $X$ and $Y$ are points on the line $AB$ such that $BX=9$ cm and $AY=11$ cm. Arc $BC$ is part of a circle with centre $X$ and radius $9$ cm, where $CX$ is perpendicular to $AB$. Arc $AC$ is part of a circle with centre $Y$ and radius $11$ cm.
(a) Show that angle $XYC=0.9582$ radians, correct to $4$ significant figures.
(b) Find the perimeter of $ABC$.
ในแผนภาพ $X$ และ $Y$ เป็นจุดบนเส้นตรง $AB$ โดยที่ $BX=9$ cm และ $AY=11$ cm ส่วนโค้ง $BC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $X$ รัศมี $9$ cm โดยที่ $CX$ ตั้งฉากกับ $AB$ ส่วนโค้ง $AC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $Y$ รัศมี $11$ cm
(ก) แสดงว่ามุม $XYC=0.9582$ เรเดียน ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ (significant figures)
(ข) หาเส้นรอบรูปของ $ABC$
Answershow ▾
7 marks: the angle (B1), $XY$ (M1A1), $AB$ (B1FT), both arcs (M1M1), then the total (A1).7 คะแนน: มุม (B1) $XY$ (M1A1) $AB$ (B1FT) ส่วนโค้งทั้งสอง (M1M1) แล้วรวมผล (A1)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A reflex sector, perimeter and area เซกเตอร์มุม reflex เส้นรอบรูปและพื้นที่
The diagram shows a sector of a circle with centre $C$. The radii $CA$ and $CB$ each have length $r$ cm and the size of the reflex angle $ACB$ is $\theta$ radians. The sector, shaded in the diagram, has a perimeter of $65$ cm and an area of $225$ cm$^{2}$.
(a) Find the values of $r$ and $\theta$.
(b) Find the area of triangle $ACB$.
แผนภาพแสดง sector ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $C$ รัศมี $CA$ และ $CB$ ยาวเส้นละ $r$ cm และขนาดของมุม reflex $ACB$ เท่ากับ $\theta$ เรเดียน sector ที่แรเงาในแผนภาพมีเส้นรอบรูป $65$ cm และพื้นที่ $225$ cm$^{2}$
(ก) หาค่าของ $r$ และ $\theta$
(ข) หาพื้นที่สามเหลี่ยม $ACB$
$\pi\approx3.14$ rad and $2\pi\approx6.28$ rad. A reflex angle is between them. Is $\theta=4.5$ rad reflex?
$\pi\approx3.14$ rad และ $2\pi\approx6.28$ rad มุม reflex อยู่ระหว่างสองค่านี้ $\theta=4.5$ rad เป็นมุม reflex หรือไม่
Answershow ▾
$4.5$ sits between $3.14$ and $6.28$.$4.5$ อยู่ระหว่าง $3.14$ กับ $6.28$
$2r+r\theta=65$. Make $\theta$ the subject.
$2r+r\theta=65$ จงทำ $\theta$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Move the $2r$ term, then divide every term by $r$.ย้ายพจน์ $2r$ ก่อน แล้วหารทุกพจน์ด้วย $r$
A triangle has two sides $10$ cm, with an angle of $2$ rad between them. Find its area, to $3$ s.f.
สามเหลี่ยมมีสองด้านยาว $10$ ซม. มุมระหว่างสองด้านนั้น $2$ rad จงหาพื้นที่ ตอบ $3$ ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Area $=\tfrac12 ab\sin C$, with $a=b=10$.พื้นที่ $=\tfrac12 ab\sin C$ โดย $a=b=10$
The sector gives $2r+r\theta=65$ and $\tfrac12r^{2}\theta=225$. Pick the first move.
(A) add the two equations
(B) rearrange one equation for $\theta$, then substitute into the other
(C) divide one equation by the other
เซกเตอร์นี้ให้ $2r+r\theta=65$ และ $\tfrac12r^{2}\theta=225$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) จัดสมการหนึ่งให้ $\theta$ เป็นตัวตั้ง แล้วแทนค่าในอีกสมการ
(C) หารสมการหนึ่งด้วยอีกสมการ
Answershow ▾
(A) adding cancels nothing: $r\theta$ and $r^{2}\theta$ are different degrees in $r$. (C) dividing still leaves $r$ and $\theta$ mixed together in one fraction, no closer to one unknown.(A) การบวกไม่ตัดอะไรเลย เพราะ $r\theta$ กับ $r^{2}\theta$ เป็นกำลังของ $r$ ต่างกัน · (C) การหารยังเหลือ $r$ กับ $\theta$ ปนกันอยู่ในเศษส่วนเดียว ไม่ได้ใกล้คำตอบขึ้นเลย
The sector has perimeter $65$ cm and area $225$ cm$^{2}$. Write the perimeter equation and the area equation.
เซกเตอร์นี้มีเส้นรอบรูป $65$ ซม. และพื้นที่ $225$ ตร.ซม. จงเขียนสมการเส้นรอบรูปและสมการพื้นที่
Answershow ▾
Perimeter is two radii plus the arc; area is $\tfrac12r^{2}\theta$.เส้นรอบรูปคือรัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง · พื้นที่คือ $\tfrac12r^{2}\theta$
Substitute $\theta=\dfrac{65}{r}-2$ (question $2$) into $\tfrac12r^{2}\theta=225$. Simplify to one quadratic equation in $r$.
แทน $\theta=\dfrac{65}{r}-2$ (ข้อ $2$) ใน $\tfrac12r^{2}\theta=225$ แล้วทำให้ง่ายเป็นสมการกำลังสองในตัวแปร $r$
Answershow ▾
$r^{2}\theta=450$, then expand $r^{2}\left(\dfrac{65}{r}-2\right)$.$r^{2}\theta=450$ แล้วกระจาย $r^{2}\left(\dfrac{65}{r}-2\right)$
Solve $2r^{2}-65r+450=0$ by factorising.
จงแก้สมการ $2r^{2}-65r+450=0$ โดยแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
$(r-10)(2r-45)$ expands to $2r^{2}-65r+450$.$(r-10)(2r-45)$ กระจายได้ $2r^{2}-65r+450$
Using question $2$, $r=10$ gives $\theta=4.5$ and $r=22.5$ gives $\theta\approx0.889$. $\theta$ must be reflex. Which pair is valid?
(A) $r=22.5$, $\theta\approx0.889$
(B) $r=10$, $\theta=4.5$
(C) both pairs are valid
จากข้อ $2$ $r=10$ ให้ $\theta=4.5$ และ $r=22.5$ ให้ $\theta\approx0.889$ $\theta$ ต้องเป็นมุม reflex คู่ใดใช้ได้
(A) $r=22.5$, $\theta\approx0.889$
(B) $r=10$, $\theta=4.5$
(C) ใช้ได้ทั้งสองคู่
Answershow ▾
(A) fails the check: $0.889$ is less than $\pi$, so it is not reflex, and is rejected. (C) is wrong - the quadratic gives two algebraic roots, but only one also fits the reflex condition.(A) ไม่ผ่านการตรวจสอบ: $0.889$ น้อยกว่า $\pi$ จึงไม่ใช่มุม reflex ต้องปฏิเสธ · (C) ผิด เพราะสมการกำลังสองให้สองคำตอบทางพีชคณิต แต่มีคำตอบเดียวที่ตรงกับเงื่อนไขมุม reflex ด้วย
Using $r=10$, find $\theta$ with the formula from question $2$.
ใช้ $r=10$ หา $\theta$ จากสูตรในข้อ $2$
Answershow ▾
Substitute $r=10$ into $\theta=\dfrac{65}{r}-2$.แทน $r=10$ ใน $\theta=\dfrac{65}{r}-2$
$\theta=4.5$ rad is reflex, so it cannot go into $\tfrac12r^{2}\sin\theta$ directly. Find the non-reflex angle at $C$, then use it to find the area of triangle $ACB$, to $3$ s.f.
$\theta=4.5$ rad เป็นมุม reflex จะใส่ใน $\tfrac12r^{2}\sin\theta$ ตรงๆไม่ได้ จงหามุมที่ไม่ใช่ reflex ที่ จุด $C$ แล้วใช้หาพื้นที่สามเหลี่ยม $ACB$ ตอบ $3$ ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
The angles round $C$ add to $2\pi$: use $2\pi-4.5$ as the angle in the triangle.มุมรอบจุด $C$ รวมกันเป็น $2\pi$ ใช้ $2\pi-4.5$ เป็นมุมของสามเหลี่ยม
A sector, centre $O$, has radii $OA$ and $OB$ each of length $r$ cm, and reflex angle $AOB=\theta$ rad. The sector has perimeter $28$ cm and area $40$ cm$^{2}$.
(a) Find $r$ and $\theta$.
(b) Find the area of triangle $OAB$, to $3$ s.f.
เซกเตอร์ ศูนย์กลาง $O$ รัศมี $OA$ และ $OB$ ยาวเส้นละ $r$ ซม. มุม reflex $AOB=\theta$ เรเดียน เซกเตอร์นี้มีเส้นรอบรูป $28$ ซม. และพื้นที่ $40$ ตร.ซม.
(ก) หาค่าของ $r$ และ $\theta$
(ข) หาพื้นที่สามเหลี่ยม $OAB$ ตอบ $3$ ตัวเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same five moves: form both equations, combine to a quadratic, factorise, reject the non-reflex root, then use the other angle for the triangle.ห้าขั้นเดิม: ตั้งสองสมการ รวมเป็นสมการกำลังสอง แยกตัวประกอบ ปฏิเสธคำตอบที่ไม่ใช่ reflex แล้วใช้มุมอีกฝั่งหาพื้นที่สามเหลี่ยม
The diagram shows a sector of a circle with centre $C$. The radii $CA$ and $CB$ each have length $r$ cm and the size of the reflex angle $ACB$ is $\theta$ radians. The sector, shaded in the diagram, has a perimeter of $65$ cm and an area of $225$ cm$^{2}$.
(a) Find the values of $r$ and $\theta$.
(b) Find the area of triangle $ACB$.
แผนภาพแสดง sector ของวงกลม จุดศูนย์กลาง $C$ รัศมี $CA$ และ $CB$ ยาวเส้นละ $r$ cm และขนาดของมุม reflex $ACB$ เท่ากับ $\theta$ เรเดียน sector ที่แรเงาในแผนภาพมีเส้นรอบรูป $65$ cm และพื้นที่ $225$ cm$^{2}$
(ก) หาค่าของ $r$ และ $\theta$
(ข) หาพื้นที่สามเหลี่ยม $ACB$
Answershow ▾
6 marks: two equations, combine to a quadratic, solve it, reject the non-reflex root, then the triangle area using the other angle.6 คะแนน: ตั้งสองสมการ รวมเป็นสมการกำลังสอง แก้สมการ ปฏิเสธคำตอบที่ไม่ใช่ reflex แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยมด้วยมุมอีกฝั่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A symmetrical plate cut from a disc แผ่นโลหะสมมาตรที่ตัดออกจากดิสก์
The diagram shows a symmetrical metal plate. The plate is made by removing two identical pieces from a circular disc with centre $C$. The boundary of the plate consists of two arcs $PS$ and $QR$ of the original circle and two semicircles with $PQ$ and $RS$ as diameters. The radius of the circle with centre $C$ is $4$ cm, and $PQ=RS=4$ cm also.
(a) Show that angle $PCS=\dfrac{2}{3}\pi$ radians.
(b) Find the exact perimeter of the plate.
(c) Show that the area of the plate is $\dfrac{20}{3}\pi+8\sqrt{3}$ cm$^{2}$.
แผนภาพแสดงแผ่นโลหะที่สมมาตร แผ่นนี้เกิดจากการตัดชิ้นส่วนที่เหมือนกันสองชิ้นออกจากแผ่นดิสก์กลม จุดศูนย์กลาง $C$ ขอบของแผ่นประกอบด้วยส่วนโค้งสองเส้น $PS$ และ $QR$ ของวงกลมเดิม และครึ่งวงกลม (semicircle) สองอันที่มี $PQ$ และ $RS$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีของวงกลม จุดศูนย์กลาง $C$ เท่ากับ $4$ cm และ $PQ=RS=4$ cm ด้วยเช่นกัน
(ก) แสดงว่ามุม $PCS=\dfrac{2}{3}\pi$ เรเดียน
(ข) หาเส้นรอบรูปแบบ exact ของแผ่นโลหะ
(ค) แสดงว่าพื้นที่ของแผ่นโลหะเท่ากับ $\dfrac{20}{3}\pi+8\sqrt{3}$ cm$^{2}$
A triangle has all three sides equal to $4$ cm. Each of its three angles is the same. Find one angle, in radians.
สามเหลี่ยมมีสามด้านยาวเท่ากันคือ $4$ ซม. มุมทั้งสามมุมเท่ากัน จงหามุมหนึ่งมุม หน่วยเรเดียน
Answershow ▾
Three equal angles share $\pi$ between them.สามมุมที่เท่ากัน แบ่ง $\pi$ กันคนละเท่า ๆ
Four angles meet at a point and go all the way round. Two of them are each $\dfrac{\pi}{3}$, and the other two are equal to each other, each $x$. Find $x$.
มุมสี่มุมมาพบกันที่จุดเดียวครบหนึ่งรอบ สองมุมเท่ากับ $\dfrac{\pi}{3}$ มุมละมุม และอีกสองมุมเท่ากันเอง มุมละ $x$ จงหา $x$
Answershow ▾
All four angles add to $2\pi$.มุมทั้งสี่รวมกันเป็น $2\pi$
A sector has radius $4$ cm and angle $\dfrac{\pi}{3}$. Find its segment area (sector area minus the triangle formed by the two radii and the chord), as an exact value.
เซกเตอร์รัศมี $4$ ซม. มุม $\dfrac{\pi}{3}$ จงหาพื้นที่ segment (พื้นที่เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีสองเส้นกับคอร์ด) ตอบแบบ exact
Answershow ▾
Sector $=\tfrac12r^{2}\theta$, triangle $=\tfrac12r^{2}\sin\theta$, same $\theta$.เซกเตอร์ $=\tfrac12r^{2}\theta$ · สามเหลี่ยม $=\tfrac12r^{2}\sin\theta$ ใช้ $\theta$ เดียวกัน
The plate is the disc with two identical pieces cut away, where each small arc is replaced by a semicircle that bulges inward. Which TWO areas, added together, make one cut-away piece?
(A) the whole sector $CPQ$
(B) the segment beyond chord $PQ$, plus the small semicircle on $PQ$
(C) the small semicircle on $PQ$ only
แผ่นโลหะคือดิสก์ที่ตัดชิ้นส่วนที่เหมือนกันสองชิ้นออก โดยส่วนโค้งเล็กแต่ละอันถูกแทนที่ด้วยครึ่งวงกลมที่โป่งเข้าด้านใน ผลรวมของพื้นที่สองส่วนใดคือชิ้นที่ถูกตัดออกหนึ่งชิ้น
(A) เซกเตอร์ $CPQ$ ทั้งอัน
(B) segment ที่เกินคอร์ด $PQ$ บวกครึ่งวงกลมเล็กบน $PQ$
(C) ครึ่งวงกลมเล็กบน $PQ$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) the sector also covers the part near $C$ that stays in the plate, so it is too much. (C) the semicircle alone misses the sliver of the original circle beyond the chord that is also cut away.(A) เซกเตอร์ยังรวมส่วนใกล้ $C$ ที่ยังอยู่ในแผ่นโลหะด้วย จึงมากเกินไป · (C) ครึ่งวงกลมอย่างเดียวไม่รวมเศษของวงกลมเดิมที่เกินคอร์ดซึ่งถูกตัดออกด้วยเช่นกัน
$C$ is the centre, radius $4$ cm. $CP=CQ=4$ (radii) and $PQ=4$ (given). Find angle $PCQ$, in radians.
$C$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี $4$ ซม. $CP=CQ=4$ (รัศมี) และ $PQ=4$ (กำหนดให้) จงหามุม $PCQ$ หน่วยเรเดียน
Answershow ▾
All three sides of triangle $CPQ$ are $4$ cm (question $1$).สามด้านของสามเหลี่ยม $CPQ$ ยาว $4$ ซม. เท่ากันหมด (ข้อ $1$)
By symmetry, angle $RCS=\dfrac{\pi}{3}$ too. Use question $2$ to show angle $PCS=\dfrac{2}{3}\pi$.
โดยสมมาตร มุม $RCS=\dfrac{\pi}{3}$ ด้วย จงใช้ข้อ $2$ แสดงว่ามุม $PCS=\dfrac{2}{3}\pi$
Answershow ▾
The four angles around $C$ are $\tfrac{\pi}{3},\angle QCR,\tfrac{\pi}{3},\angle PCS$, and $\angle QCR=\angle PCS$.มุมทั้งสี่รอบ $C$ คือ $\tfrac{\pi}{3},\angle QCR,\tfrac{\pi}{3},\angle PCS$ และ $\angle QCR=\angle PCS$
For the exact perimeter, which pieces make up the boundary of the plate?
(A) the full circumference $2\pi r$ of the original circle
(B) the two kept arcs (each angle $\dfrac23\pi$) plus the two semicircle curves (each radius $2$)
(C) the two kept arcs only
เส้นรอบรูปแบบ exact ประกอบด้วยชิ้นใด
(A) เส้นรอบวงเต็ม $2\pi r$ ของวงกลมเดิม
(B) ส่วนโค้งที่เหลืออยู่สองเส้น (มุม $\dfrac23\pi$ เส้นละอัน) บวกเส้นรอบครึ่งวงกลมสองอัน (รัศมี $2$)
(C) ส่วนโค้งที่เหลืออยู่สองเส้นเท่านั้น
Answershow ▾
(A) the bites change the boundary, so it is no longer the full circumference of the original circle. (C) forgets that the semicircle curves are now part of the edge too, not just the two kept arcs.(A) การกัดออกทำให้ขอบไม่ใช่เส้นรอบวงเต็มของวงกลมเดิมอีกต่อไป · (C) ลืมว่าเส้นรอบครึ่งวงกลมก็เป็นส่วนหนึ่งของขอบด้วย ไม่ใช่แค่ส่วนโค้งที่เหลืออยู่สองเส้น
Using angle $PCS=\dfrac23\pi$ (question $5$), find the exact perimeter of the plate.
ใช้มุม $PCS=\dfrac23\pi$ (ข้อ $5$) จงหาเส้นรอบรูปแบบ exact ของแผ่นโลหะ
Answershow ▾
Two kept arcs, radius $4$, angle $\dfrac23\pi$; two semicircle curves, radius $2$.ส่วนโค้งที่เหลืออยู่สองเส้น รัศมี $4$ มุม $\dfrac23\pi$ · เส้นรอบครึ่งวงกลมสองอัน รัศมี $2$
Find the area of sector $CPQ$, then add the small semicircle (radius $2$) to the segment from question $3$, to get one cut-away piece.
จงหาพื้นที่เซกเตอร์ $CPQ$ แล้วบวกครึ่งวงกลมเล็ก (รัศมี $2$) กับ segment จากข้อ $3$ เพื่อได้ชิ้นที่ถูกตัดออกหนึ่งชิ้น
Answershow ▾
From the decision above: piece $=$ segment (question $3$) $+$ semicircle.จากการเลือกข้างต้น: ชิ้น $=$ segment (ข้อ $3$) $+$ ครึ่งวงกลม
The plate is the disc minus two of the pieces from question $7$. Show that the area is $\dfrac{20}{3}\pi+8\sqrt{3}$ cm$^{2}$.
แผ่นโลหะคือดิสก์ลบสองชิ้นจากข้อ $7$ จงแสดงว่าพื้นที่เท่ากับ $\dfrac{20}{3}\pi+8\sqrt{3}$ cm$^{2}$
Answershow ▾
Disc area is $\pi(4)^{2}$; subtract twice the piece from question $7$.พื้นที่ดิสก์คือ $\pi(4)^{2}$ ลบด้วยสองเท่าของชิ้นจากข้อ $7$
A disc, centre $C$, has radius $6$ cm. Points $P,Q,R,S$ are on the circle with $PQ=RS=6$ cm also. The plate keeps arcs $PS,QR$ and replaces arcs $PQ,RS$ with semicircles on $PQ,RS$, bulging inward.
(a) Find angle $PCS$.
(b) Find the exact perimeter.
(c) Find the exact area.
ดิสก์ จุดศูนย์กลาง $C$ รัศมี $6$ ซม. จุด $P,Q,R,S$ อยู่บนวงกลม โดย $PQ=RS=6$ ซม. ด้วย แผ่นโลหะเก็บส่วนโค้ง $PS,QR$ ไว้ และแทนที่ส่วนโค้ง $PQ,RS$ ด้วยครึ่งวงกลมบน $PQ,RS$ ที่โป่งเข้าด้านใน
(ก) จงหามุม $PCS$
(ข) จงหาเส้นรอบรูปแบบ exact
(ค) จงหาพื้นที่แบบ exact
Answershow ▾
Same shape every time: $PQ=$ radius always makes angle $PCQ=\tfrac{\pi}{3}$, whatever the radius is.ทรงเดิมทุกครั้ง: $PQ=$ รัศมีเสมอ ทำให้มุม $PCQ=\tfrac{\pi}{3}$ เสมอ ไม่ว่ารัศมีจะเป็นเท่าใด
The diagram shows a symmetrical metal plate. The plate is made by removing two identical pieces from a circular disc with centre $C$. The boundary of the plate consists of two arcs $PS$ and $QR$ of the original circle and two semicircles with $PQ$ and $RS$ as diameters. The radius of the circle with centre $C$ is $4$ cm, and $PQ=RS=4$ cm also.
(a) Show that angle $PCS=\dfrac{2}{3}\pi$ radians.
(b) Find the exact perimeter of the plate.
(c) Show that the area of the plate is $\dfrac{20}{3}\pi+8\sqrt{3}$ cm$^{2}$.
แผนภาพแสดงแผ่นโลหะที่สมมาตร แผ่นนี้เกิดจากการตัดชิ้นส่วนที่เหมือนกันสองชิ้นออกจากแผ่นดิสก์กลม จุดศูนย์กลาง $C$ ขอบของแผ่นประกอบด้วยส่วนโค้งสองเส้น $PS$ และ $QR$ ของวงกลมเดิม และครึ่งวงกลม (semicircle) สองอันที่มี $PQ$ และ $RS$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีของวงกลม จุดศูนย์กลาง $C$ เท่ากับ $4$ cm และ $PQ=RS=4$ cm ด้วยเช่นกัน
(ก) แสดงว่ามุม $PCS=\dfrac{2}{3}\pi$ เรเดียน
(ข) หาเส้นรอบรูปแบบ exact ของแผ่นโลหะ
(ค) แสดงว่าพื้นที่ของแผ่นโลหะเท่ากับ $\dfrac{20}{3}\pi+8\sqrt{3}$ cm$^{2}$
Answershow ▾
10 marks: the equilateral triangle, the angle around $C$, two arcs plus two semicircles for the perimeter, then sector minus triangle plus semicircle, doubled and taken from the disc, for the area.10 คะแนน: สามเหลี่ยมด้านเท่า มุมรอบจุด $C$ ส่วนโค้งสองเส้นบวกครึ่งวงกลมสองอันสำหรับเส้นรอบรูป จากนั้นเซกเตอร์ลบสามเหลี่ยมบวกครึ่งวงกลม คูณสองแล้วลบจากดิสก์ สำหรับพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A sector cut off by a chord, inside a triangle เซกเตอร์ถูกคอร์ดตัด อยู่ในสามเหลี่ยม
The diagram shows triangle $ABC$ in which angle $B$ is a right angle. The length of $AB$ is $8$ cm and the length of $BC$ is $4$ cm. The point $D$ on $AB$ is such that $AD=5$ cm. The sector $DAC$ is part of a circle with centre $D$.
(a) Find the perimeter of the shaded region.
(b) Find the area of the shaded region.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งมุม $B$ เป็นมุมฉาก ความยาว $AB$ เท่ากับ $8$ cm และความยาว $BC$ เท่ากับ $4$ cm จุด $D$ บน $AB$ เป็นจุดที่ $AD=5$ cm sector $DAC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $D$
(ก) หาเส้นรอบรูปของพื้นที่แรเงา
(ข) หาพื้นที่ของพื้นที่แรเงา
A straight line is $8$ cm long. One part of it is $5$ cm. Find the length of the other part.
เส้นตรงเส้นหนึ่งยาว $8$ ซม. ส่วนหนึ่งของเส้นยาว $5$ ซม. จงหาความยาวของส่วนที่เหลือ
Answershow ▾
Subtract the known part from the whole line.นำส่วนที่รู้ค่าไปลบจากเส้นทั้งเส้น
A right-angled triangle has legs $3$ cm and $4$ cm, with the right angle between them. Find the angle opposite the $4$ cm leg, in radians, to $3$ decimal places.
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $3$ ซม. และ $4$ ซม. จงหามุมที่อยู่ตรงข้ามด้านยาว $4$ ซม. หน่วยเรเดียน ทศนิยม $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Tangent is opposite over adjacent. Keep the calculator in radian mode.แทนเจนต์คือด้านตรงข้ามหารด้านประกอบมุมฉาก ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นโหมดเรเดียน
Two angles on a straight line add up to $\pi$. One of them is $0.927$ radians. Find the other.
มุมสองมุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $\pi$ มุมหนึ่งมีขนาด $0.927$ เรเดียน จงหาอีกมุมหนึ่ง
Answershow ▾
Angles on a straight line add to $\pi$ (that is, $180°$).มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $\pi$ (คือ $180°$)
In the diagram, $A$, $D$, $B$ lie on a straight line. Angle $BDC=0.927$ rad. Which gives angle $ADC$?
(A) $2\pi - 0.927$
(B) $\pi - 0.927$
(C) $0.927$
ในรูป $A$, $D$, $B$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุม $BDC=0.927$ เรเดียน ข้อใดคือมุม $ADC$
(A) $2\pi - 0.927$
(B) $\pi - 0.927$
(C) $0.927$
Answershow ▾
(A) treats the angle as going right round a point, but $A$, $D$, $B$ are a straight line, not a full turn. (C) reuses angle $BDC$ as angle $ADC$, but they are different angles that add to $\pi$.(A) คิดเหมือนมุมรอบจุดครบรอบ แต่ $A$, $D$, $B$ เป็นเส้นตรง ไม่ใช่รอบจุดครบรอบ · (C) เอามุม $BDC$ มาใช้เป็นมุม $ADC$ ทั้งที่จริงมุมทั้งสองต่างกันและรวมกันได้ $\pi$
$D$ lies on $AB$. $AB=8$ cm and $AD=5$ cm. Find $DB$.
$D$ อยู่บน $AB$ · $AB=8$ ซม. และ $AD=5$ ซม. จงหา $DB$
Answershow ▾
Same subtraction as the warm-up, now on the real diagram.การลบแบบเดียวกับข้อฝึก แต่ใช้กับรูปจริง
In triangle $DBC$, angle $DBC=90°$, $DB=3$ cm, $BC=4$ cm. Find angle $BDC$ in radians, to $3$ decimal places.
ในสามเหลี่ยม $DBC$ มุม $DBC=90°$ · $DB=3$ ซม. $BC=4$ ซม. จงหามุม $BDC$ หน่วยเรเดียน ทศนิยม $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same tangent ratio as the warm-up, now with the real lengths.อัตราส่วนแทนเจนต์แบบเดียวกับข้อฝึก แต่ใช้ความยาวจริง
$A$, $D$, $B$ lie on a straight line and angle $BDC=0.9273\ldots$ rad. Find angle $ADC$, to $4$ decimal places.
$A$, $D$, $B$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และมุม $BDC=0.9273\ldots$ เรเดียน จงหามุม $ADC$ ทศนิยม $4$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same straight-line rule as the decision step, kept unrounded for the next part.กฎเส้นตรงแบบเดียวกับขั้นเลือกวิธี แต่เก็บค่าไม่ปัดเศษไว้ใช้ขั้นต่อไป
Before finding the shaded area, which calculation is right?
(A) sector $DAC$ minus triangle $ADC$
(B) sector $DAC$ plus triangle $ADC$
(C) sector $DAC$ on its own
ก่อนหาพื้นที่แรเงา ข้อใดคือการคำนวณที่ถูก
(A) เซกเตอร์ $DAC$ ลบสามเหลี่ยม $ADC$
(B) เซกเตอร์ $DAC$ บวกสามเหลี่ยม $ADC$
(C) เซกเตอร์ $DAC$ อย่างเดียว
Answershow ▾
(B) would double-count the straight-edged triangle, which is already part of the sector. (C) is the whole pie slice, including the triangle that chord $AC$ cuts away - too big for the shaded piece.(B) จะนับสามเหลี่ยมขอบตรงซ้ำ ทั้งที่มันเป็นส่วนหนึ่งของเซกเตอร์อยู่แล้ว · (C) คือชิ้นพายทั้งชิ้น รวมสามเหลี่ยมที่คอร์ด $AC$ ตัดออกไปด้วย ซึ่งใหญ่เกินไปสำหรับส่วนที่แรเงา
Radius $DA=5$ cm, angle $ADC=2.2143\ldots$ rad. Find arc $AC=r\theta$. Then find the straight chord $AC$, using $AB=8$ cm and $BC=4$ cm. Add them for the perimeter of the shaded region.
รัศมี $DA=5$ ซม. มุม $ADC=2.2143\ldots$ เรเดียน จงหาส่วนโค้ง $AC=r\theta$ จากนั้นหาคอร์ดตรง $AC$ โดยใช้ $AB=8$ ซม. และ $BC=4$ ซม. แล้วบวกกันเป็นเส้นรอบรูปของพื้นที่แรเงา
Answershow ▾
The chord is the hypotenuse of triangle $ABC$ itself: Pythagoras on $AB$ and $BC$, not on the sector.คอร์ดคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม $ABC$ เอง ใช้พีทาโกรัสกับ $AB$ และ $BC$ ไม่ใช่กับเซกเตอร์
Sector $DAC$ has radius $5$ cm and angle $2.2143\ldots$ rad. Triangle $ADC$ has two sides of $5$ cm with that same angle between them. Find the shaded area, sector minus triangle. Then check: is it smaller than the sector alone?
เซกเตอร์ $DAC$ มีรัศมี $5$ ซม. มุม $2.2143\ldots$ เรเดียน สามเหลี่ยม $ADC$ มีสองด้านยาว $5$ ซม. มุมระหว่างด้านเท่ากัน จงหาพื้นที่แรเงา (เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม) แล้วตรวจ: มันเล็กกว่าเซกเตอร์เพียงอย่างเดียวหรือไม่
Answershow ▾
A segment is always smaller than its own sector, since the triangle removed has positive area.เซกเมนต์เล็กกว่าเซกเตอร์ของตัวเองเสมอ เพราะสามเหลี่ยมที่ถูกลบออกมีพื้นที่เป็นบวก
Triangle $ABC$ has a right angle at $B$, with $AB=9$ cm and $BC=3$ cm. $D$ lies on $AB$ with $AD=5$ cm. Sector $DAC$ is part of a circle, centre $D$. Find (a) the perimeter and (b) the area of the shaded segment, each correct to $3$ significant figures.
สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุมฉากที่ $B$ · $AB=9$ ซม. และ $BC=3$ ซม. $D$ อยู่บน $AB$ โดย $AD=5$ ซม. เซกเตอร์ $DAC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $D$ จงหา (ก) เส้นรอบรูป และ (ข) พื้นที่ของเซกเมนต์แรเงา แต่ละคำตอบ ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same six moves: $DB$, angle $BDC$, angle $ADC$, arc $+$ chord, sector $-$ triangle.หกขั้นเดิม: $DB$ มุม $BDC$ มุม $ADC$ ส่วนโค้ง$+$คอร์ด เซกเตอร์$-$สามเหลี่ยม
The diagram shows triangle $ABC$ in which angle $B$ is a right angle. The length of $AB$ is $8$ cm and the length of $BC$ is $4$ cm. The point $D$ on $AB$ is such that $AD=5$ cm. The sector $DAC$ is part of a circle with centre $D$.
(a) Find the perimeter of the shaded region.
(b) Find the area of the shaded region.
แผนภาพแสดงสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งมุม $B$ เป็นมุมฉาก ความยาว $AB$ เท่ากับ $8$ cm และความยาว $BC$ เท่ากับ $4$ cm จุด $D$ บน $AB$ เป็นจุดที่ $AD=5$ cm sector $DAC$ เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม จุดศูนย์กลาง $D$
(ก) หาเส้นรอบรูปของพื้นที่แรเงา
(ข) หาพื้นที่ของพื้นที่แรเงา
Answershow ▾
8 marks: angle $ADC$ must be in radians (the common lost mark), then arc $+$ chord for the perimeter, sector $-$ triangle for the area.8 คะแนน: มุม $ADC$ ต้องเป็นเรเดียน (จุดที่เสียคะแนนบ่อย) จากนั้นส่วนโค้ง$+$คอร์ดเป็นเส้นรอบรูป เซกเตอร์$-$สามเหลี่ยมเป็นพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Tangents, then the long way round เส้นสัมผัส แล้ววนไปทางไกล
The diagram shows a cord going around a pulley and a pin. The pulley is modelled as a circle with centre $O$ and radius $5$ cm. The thickness of the cord and the size of the pin $P$ can be neglected. The pin is situated $13$ cm vertically below $O$. Points $A$ and $B$ are on the circumference of the circle such that $AP$ and $BP$ are tangents to the circle. The cord passes over the major arc $AB$ of the circle and under the pin such that the cord is taut.
Calculate the length of the cord.
แผนภาพแสดงเชือกที่พันรอบรอก (pulley) และหมุด (pin) รอกจำลองเป็นวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $5$ cm ความหนาของเชือกและขนาดของหมุด $P$ ถือว่าไม่มีผล หมุดอยู่ในแนวดิ่งต่ำกว่า $O$ เป็นระยะ $13$ cm จุด $A$ และ $B$ อยู่บนเส้นรอบวง โดยที่ $AP$ และ $BP$ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) กับวงกลม เชือกพาดผ่านส่วนโค้งใหญ่ (major arc) $AB$ ของวงกลม และลอดใต้หมุด โดยเชือกตึงพอดี
หาความยาวของเชือก
A right-angled triangle has hypotenuse $13$ and the side adjacent to angle $\theta$ is $5$. Write $\cos\theta$ as a fraction.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉาก $13$ และด้านประชิดมุม $\theta$ ยาว $5$ จงเขียน $\cos\theta$ ในรูปเศษส่วน
Answershow ▾
Adjacent over hypotenuse.ด้านประชิดมุมหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก
$\cos\theta=\dfrac{5}{13}$. Find $\theta$ in radians, correct to $3$ decimal places.
$\cos\theta=\dfrac{5}{13}$ จงหา $\theta$ ในหน่วยเรเดียน ถูกต้องถึง $3$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Use $\cos^{-1}$, with the calculator in radian mode.ใช้ $\cos^{-1}$ โดยตั้งเครื่องคิดเลขเป็นหน่วยเรเดียน
A right-angled triangle has hypotenuse $13$ and one other side $5$. Work out the third side.
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉาก $13$ และอีกด้านยาว $5$ จงหาด้านที่สาม
Answershow ▾
The hypotenuse squared equals the sum of the other two sides squared.ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับผลรวมของอีกสองด้านยกกำลังสอง
In triangle $OAP$, the right angle is at $A$ (tangent $\perp$ radius). $OA=5$ sits next to angle $POA$, and $OP=13$ is the hypotenuse. Pick the ratio for angle $POA$.
(A) $\sin(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$
(B) $\cos(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$
(C) $\tan(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$
ในสามเหลี่ยม $OAP$ มุมฉากอยู่ที่ $A$ (เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี) $OA=5$ อยู่ประชิดมุม $POA$ และ $OP=13$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จงเลือกอัตราส่วนของมุม $POA$
(A) $\sin(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$
(B) $\cos(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$
(C) $\tan(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$
Answershow ▾
(A) uses opposite over hypotenuse, but $OA=5$ is adjacent to the angle, not opposite it. (C) needs the opposite side $AP$, which is not known yet.(A) ใช้ด้านตรงข้ามหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก แต่ $OA=5$ อยู่ประชิดมุม ไม่ใช่ด้านตรงข้าม · (C) ต้องใช้ด้าน $AP$ ที่ยังไม่ทราบค่า
Write the equation for angle $POA$, using the pulley’s own lengths $OA=5$ and $OP=13$.
จงเขียนสมการของมุม $POA$ โดยใช้ความยาวจริงของโจทย์ $OA=5$ และ $OP=13$
Answershow ▾
Same ratio, now with the real letters.อัตราส่วนเดิม แต่ใช้ตัวอักษรของโจทย์จริง
Solve $\cos(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$ for angle $POA$, in radians, to $3$ decimal places.
จงแก้สมการ $\cos(\angle POA)=\dfrac{5}{13}$ หามุม $POA$ ในหน่วยเรเดียน ถูกต้องถึง $3$ ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Same move as the warm-up, applied to the real triangle.ขั้นเดิมจากคำถามอุ่นเครื่อง นำมาใช้กับสามเหลี่ยมจริง
By symmetry, angle $POB=$ angle $POA$. Work out angle $AOB$ (the smaller angle, facing the pin).
โดยสมมาตร มุม $POB=$ มุม $POA$ จงหามุม $AOB$ (มุมเล็กที่หันเข้าหาหมุด)
Answershow ▾
$OP$ cuts angle $AOB$ into two equal halves.$OP$ แบ่งมุม $AOB$ ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน
Angle $AOB$ (facing $P$) is $2.352$ rad. The cord lies over the MAJOR arc $AB$, the side away from $P$. Pick $\theta$ for arc $=r\theta$.
(A) $\theta=2.352$
(B) $\theta=2\pi-2.352$
(C) $\theta=\pi-2.352$
มุม $AOB$ (ฝั่งที่หันเข้าหา $P$) คือ $2.352$ เรเดียน เชือกพาดผ่านส่วนโค้งใหญ่ (major arc) $AB$ ฝั่งตรงข้ามกับ $P$ จงเลือก $\theta$ สำหรับส่วนโค้ง $=r\theta$
(A) $\theta=2.352$
(B) $\theta=2\pi-2.352$
(C) $\theta=\pi-2.352$
Answershow ▾
(A) is the angle on $P$’s side, the arc the cord does NOT touch. (C) subtracts from $\pi$ for no reason - angles all the way round a point add to $2\pi$, not $\pi$.(A) คือมุมฝั่งที่หันเข้าหา $P$ ซึ่งเป็นส่วนโค้งที่เชือกไม่ได้พาด · (C) ลบออกจาก $\pi$ โดยไม่มีเหตุผล มุมรอบจุดหนึ่งเต็มรอบรวมกันได้ $2\pi$ ไม่ใช่ $\pi$
Evaluate the major arc, $5\times3.931$.
จงคำนวณส่วนโค้งใหญ่ $5\times3.931$
Answershow ▾
Arc length $=r\theta$, with the pulley’s own radius.ความยาวส่วนโค้ง $=r\theta$ โดยใช้รัศมีของรอกเอง
Check: use $OP=13$ and $OA=5$ in Pythagoras to find tangent length $AP$. Does it match the $12$ from the warm-up?
ตรวจสอบ: ใช้ $OP=13$ และ $OA=5$ ในพีทาโกรัสหาความยาวเส้นสัมผัส $AP$ ตรงกับ $12$ จากคำถามอุ่นเครื่องหรือไม่
Answershow ▾
Same right triangle, same two given numbers, same answer.สามเหลี่ยมมุมฉากเดิม ตัวเลขที่กำหนดเดิมสองค่า ได้คำตอบเดิม
A pulley has radius $6$ cm. A pin is $12$ cm from the centre. Work out the cord length: the two tangents plus the major arc.
รอกตัวหนึ่งมีรัศมี $6$ cm หมุดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง $12$ cm จงหาความยาวเชือก: เส้นสัมผัสสองเส้น รวมกับส่วนโค้งใหญ่
Answershow ▾
Same four moves: ratio, angle, reflex angle, then arc plus two tangents.สี่ขั้นเดิม: อัตราส่วน หามุม หามุม reflex แล้วรวมส่วนโค้งกับเส้นสัมผัสสองเส้น
The diagram shows a cord going around a pulley and a pin. The pulley is modelled as a circle with centre $O$ and radius $5$ cm. The thickness of the cord and the size of the pin $P$ can be neglected. The pin is situated $13$ cm vertically below $O$. Points $A$ and $B$ are on the circumference of the circle such that $AP$ and $BP$ are tangents to the circle. The cord passes over the major arc $AB$ of the circle and under the pin such that the cord is taut.
Calculate the length of the cord.
แผนภาพแสดงเชือกที่พันรอบรอก (pulley) และหมุด (pin) รอกจำลองเป็นวงกลม จุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $5$ cm ความหนาของเชือกและขนาดของหมุด $P$ ถือว่าไม่มีผล หมุดอยู่ในแนวดิ่งต่ำกว่า $O$ เป็นระยะ $13$ cm จุด $A$ และ $B$ อยู่บนเส้นรอบวง โดยที่ $AP$ และ $BP$ เป็นเส้นสัมผัส (tangent) กับวงกลม เชือกพาดผ่านส่วนโค้งใหญ่ (major arc) $AB$ ของวงกลม และลอดใต้หมุด โดยเชือกตึงพอดี
หาความยาวของเชือก
Answershow ▾
6 marks: the ratio, the angle, the reflex angle, the arc, the tangent, then add all three.6 คะแนน: อัตราส่วน หามุม หามุม reflex ส่วนโค้ง เส้นสัมผัส แล้วรวมทั้งสามส่วน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Circle, tangent, then a segment วงกลม เส้นสัมผัส แล้วเซกเมนต์
The diagram shows the circle with centre $C(-4,\,5)$ and radius $\sqrt{20}$ units. The circle intersects the $y$-axis at the points $A$ and $B$. The size of angle $ACB$ is $\theta$ radians.
(a) Find the equation of the tangent to the circle at the point $(-6,\,9)$.
(b) Find the equation of the circle in the form $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$.
(c) Find the value of $\theta$ correct to $4$ significant figures.
(d) Find the perimeter and area of the segment shaded in the diagram.
แผนภาพแสดงวงกลม จุดศูนย์กลาง $C(-4,\,5)$ รัศมี $\sqrt{20}$ หน่วย วงกลมตัดแกน $y$ ที่จุด $A$ และ $B$ ขนาดของมุม $ACB$ เท่ากับ $\theta$ เรเดียน
(ก) หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $(-6,\,9)$
(ข) หาสมการวงกลมในรูป $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$
(ค) หาค่า $\theta$ ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ง) หาเส้นรอบรูปและพื้นที่ของ segment ที่แรเงาในแผนภาพ
Find the gradient of the line joining $C(-4,5)$ and $(-6,9)$.
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $C(-4,5)$ และ $(-6,9)$
Answershow ▾
Subtract coordinates in the same order, top and bottom.ลบพิกัดตามลำดับเดียวกัน ทั้งเศษและส่วน
A line has gradient $-2$. Find the gradient of a line perpendicular to it.
เส้นตรงหนึ่งมีความชัน $-2$ จงหาความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นนี้
Answershow ▾
Flip the fraction, then change its sign.กลับเศษเป็นส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Write the equation of the circle with centre $(-4,5)$ and radius $\sqrt{20}$, in the form $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.
จงเขียนสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(-4,5)$ และรัศมี $\sqrt{20}$ ในรูป $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
Answershow ▾
Centre and radius go straight into the form; the radius is squared.เอาจุดศูนย์กลางและรัศมีแทนเข้ารูปได้ทันที โดยรัศมียกกำลังสอง
You know the radius $C\to(-6,9)$ has gradient $-2$. Pick the first move to find the tangent at $(-6,9)$.
(A) use $-2$ as the tangent gradient
(B) take the negative reciprocal of $-2$, then use the point $(-6,9)$
(C) find the gradient from the origin to $(-6,9)$ instead
ความชันของรัศมี $C\to(-6,9)$ คือ $-2$ จงเลือกขั้นแรกในการหาเส้นสัมผัสที่จุด $(-6,9)$
(A) ใช้ $-2$ เป็นความชันของเส้นสัมผัสโดยตรง
(B) หาตัวผกผันเครื่องหมายลบของ $-2$ แล้วใช้จุด $(-6,9)$
(C) หาความชันจากจุดกำเนิดไปยัง $(-6,9)$ แทน
Answershow ▾
(A) uses the radius gradient itself, but a tangent is perpendicular to the radius, not along it. (C) uses the wrong centre: the origin is not $C$.(A) ใช้ความชันของรัศมีเอง แต่เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ไม่ใช่แนวเดียวกัน · (C) ใช้จุดศูนย์กลางผิด จุดกำเนิดไม่ใช่ $C$
Use gradient $\dfrac12$ through $(-6,9)$ to find the equation of the tangent.
ใช้ความชัน $\dfrac12$ ผ่านจุด $(-6,9)$ หาสมการเส้นสัมผัส
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect the numbers.กระจายวงเล็บ แล้วรวมตัวเลข
Expand $(x+4)^{2}+(y-5)^{2}=20$ into the form $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$.
จงกระจาย $(x+4)^{2}+(y-5)^{2}=20$ ให้อยู่ในรูป $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$
Answershow ▾
Expand both brackets, then move the $20$ across.กระจายทั้งสองวงเล็บ แล้วย้าย $20$ ข้าม
The circle meets the $y$-axis where $x=0$. Solve $16+(y-5)^{2}=20$ to find the two points $A$ and $B$.
วงกลมตัดแกน $y$ ที่ $x=0$ จงแก้ $16+(y-5)^{2}=20$ เพื่อหาจุด $A$ และ $B$
Answershow ▾
Square root both sides; a square root gives two values.ถอดรากทั้งสองข้าง การถอดรากให้สองคำตอบ
$C(-4,5)$ is a horizontal distance $4$ from the $y$-axis, and $AB=4$. Pick the first move to find $\theta$.
(A) treat the chord $AB=4$ as the arc length itself
(B) use the right triangle from $C$ to the midpoint of $AB$: half-chord $2$, radius $\sqrt{20}$
(C) use the full chord as the hypotenuse of a right angle at $C$
$C(-4,5)$ อยู่ห่างจากแกน $y$ ในแนวนอน $4$ หน่วย และ $AB=4$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $\theta$
(A) ใช้คอร์ด $AB=4$ เป็นความยาวส่วนโค้งเอง
(B) ใช้สามเหลี่ยมมุมฉากจาก $C$ ไปยังจุดกึ่งกลางของ $AB$: ครึ่งคอร์ด $2$ รัศมี $\sqrt{20}$
(C) ใช้คอร์ดเต็มเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากที่จุด $C$
Answershow ▾
(A) confuses the straight chord with the curved arc - they are different lengths. (C) puts the right angle at $C$, but it sits at the midpoint of the chord, where the radius meets it at $90°$.(A) สับสนคอร์ดตรงกับส่วนโค้งที่โค้ง ทั้งสองยาวไม่เท่ากัน · (C) วางมุมฉากไว้ที่ $C$ แต่จริงๆมุมฉากอยู่ที่จุดกึ่งกลางคอร์ด ซึ่งรัศมีไปตัดกันที่ $90°$
Use $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{20}}$ to find $\theta$, correct to $4$ significant figures.
ใช้ $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{20}}$ หาค่า $\theta$ ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
Answershow ▾
$\sin^{-1}$ undoes $\sin$; double the half-angle for $\theta$ itself.$\sin^{-1}$ ย้อนกลับ $\sin$ · คูณสองครึ่งมุมเพื่อได้ $\theta$ เต็ม
Find the perimeter and area of the segment, using arc $=r\theta$ and segment area $=\dfrac12r^{2}(\theta-\sin\theta)$.
จงหาเส้นรอบรูปและพื้นที่ของเซกเมนต์ โดยใช้ส่วนโค้ง $=r\theta$ และพื้นที่เซกเมนต์ $=\dfrac12r^{2}(\theta-\sin\theta)$
Answershow ▾
Perimeter $=$ arc $+$ chord; area $=$ sector $-$ triangle.เส้นรอบรูป $=$ ส่วนโค้ง $+$ คอร์ด · พื้นที่ $=$ เซกเตอร์ $-$ สามเหลี่ยม
The circle has centre $C(3,4)$ and radius $5$. It meets the $y$-axis at $A$ and $B$; angle $ACB=\theta$ radians.
(a) Find the tangent at $(6,8)$.
(b) Find the equation of the circle as $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$.
(c) Find $\theta$, correct to $4$ significant figures.
(d) Find the perimeter and area of the segment cut off by chord $AB$.
วงกลมมีจุดศูนย์กลาง $C(3,4)$ รัศมี $5$ ตัดแกน $y$ ที่ $A$ และ $B$ มุม $ACB=\theta$ เรเดียน
(a) หาเส้นสัมผัสที่ $(6,8)$
(b) หาสมการวงกลมในรูป $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$
(c) หา $\theta$ ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(d) หาเส้นรอบรูปและพื้นที่ของเซกเมนต์ที่ตัดด้วยคอร์ด $AB$
Answershow ▾
Same five moves: perpendicular gradient, expand the circle, solve the chord, the half-angle, then the two formulas.ห้าขั้นเดิม: ความชันตั้งฉาก กระจายสมการวงกลม แก้หาคอร์ด ครึ่งมุม แล้วสองสูตรสุดท้าย
The diagram shows the circle with centre $C(-4,\,5)$ and radius $\sqrt{20}$ units. The circle intersects the $y$-axis at the points $A$ and $B$. The size of angle $ACB$ is $\theta$ radians.
(a) Find the equation of the tangent to the circle at the point $(-6,\,9)$.
(b) Find the equation of the circle in the form $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$.
(c) Find the value of $\theta$ correct to $4$ significant figures.
(d) Find the perimeter and area of the segment shaded in the diagram.
แผนภาพแสดงวงกลม จุดศูนย์กลาง $C(-4,\,5)$ รัศมี $\sqrt{20}$ หน่วย วงกลมตัดแกน $y$ ที่จุด $A$ และ $B$ ขนาดของมุม $ACB$ เท่ากับ $\theta$ เรเดียน
(ก) หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของวงกลมที่จุด $(-6,\,9)$
(ข) หาสมการวงกลมในรูป $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$
(ค) หาค่า $\theta$ ถูกต้องถึง $4$ ตำแหน่งเลขนัยสำคัญ
(ง) หาเส้นรอบรูปและพื้นที่ของ segment ที่แรเงาในแผนภาพ
Answershow ▾
12 marks across four parts: perpendicular gradient, expand the circle, solve the chord, then the half-angle and the two segment formulas.12 คะแนนในสี่ส่วน: ความชันตั้งฉาก กระจายสมการวงกลม แก้หาคอร์ด แล้วครึ่งมุมและสองสูตรเซกเมนต์