Circular measure · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Circular measure
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Circular measure · arc length and sector area
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $6$ cm, with angle $AOB = \theta$ radians. The arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
(c) Find the area of the sector.
Convert $120°$ to radians, giving your answer as a multiple of $\pi$.
แปลง $120°$ เป็นเรเดียน โดยตอบในรูปพหุคูณของ $\pi$
Answershow ▾
Multiply by $\dfrac{\pi}{180}$.
Convert $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians to degrees.
แปลง $\theta = \frac{\pi}{6}$ เรเดียน เป็นองศา
Answershow ▾
Multiply by $\dfrac{180}{\pi}$.
Both $s = r\theta$ and $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ are false if $\theta$ is in degrees. Where in this question is it stated that the angle is in radians, and what would $s = r\theta$ give if you fed it $120$ instead of $\frac{2\pi}{3}$?
ทั้ง $s = r\theta$ และ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ ใช้ไม่ได้ถ้า $\theta$ เป็นองศา · โจทย์ข้อนี้บอกไว้ตรงไหนว่ามุมเป็นเรเดียน และถ้าเผลอใส่ $120$ แทน $\frac{2\pi}{3}$ สูตร $s = r\theta$ จะให้อะไร
Answershow ▾
These two formulas are radian-only; that is the entire reason radians exist in this chapter. The calculator has to be in RAD as well, and nothing in the working records either fact. No mark is available for the check, and an answer produced in degrees still looks like an answer.สองสูตรนี้ใช้ได้กับเรเดียนเท่านั้น นั่นคือเหตุผลทั้งหมดที่เรเดียนมีอยู่ในบทนี้ · เครื่องคิดเลขก็ต้องอยู่โหมด RAD ด้วย และไม่มีบรรทัดไหนของงานที่บันทึกทั้งสองอย่าง · ไม่มีคะแนนให้กับการตรวจ และคำตอบที่ทำในหน่วยองศาก็ยังดูเหมือนคำตอบอยู่ดี
A circle has radius $5$ cm. An arc of the circle subtends an angle of $1$ radians at the centre. Find the length of the arc.
วงกลมรัศมี $5$ ซม. ส่วนโค้งรองรับมุม $1$ เรเดียนที่จุดศูนย์กลาง จงหาความยาวส่วนโค้ง
Answershow ▾
$s = r\theta$ — the radius times the angle in radians, directly.
The sector $OAB$ has radius $6$ cm, and the arc $AB$ has length $4 \pi$ cm. Find $\theta$, the angle $AOB$ in radians.
เซกเตอร์ $OAB$ มีรัศมี $6$ ซม. และส่วนโค้ง $AB$ ยาว $4 \pi$ ซม. จงหา $\theta$ ซึ่งเป็นมุม $AOB$ ในหน่วยเรเดียน
Answershow ▾
$\theta = \dfrac{s}{r}$ — divide the arc length by the radius; never the other way round.
Part (b) asks for the perimeter of the sector. Trace the boundary with a finger: how many pieces is it made of, and which of them is not straight? Is $2\pi r$ any part of it?
ข้อ (b) ขอ เส้นรอบรูป ของ sector · ลองไล่นิ้วไปตามขอบ: ขอบประกอบด้วยกี่ชิ้น และชิ้นไหนที่ไม่ตรง · มี $2\pi r$ อยู่ในนั้นไหม
Answershow ▾
A sector is neither a circle nor a triangle, and its boundary is the one thing about it nobody writes a formula for. The two commonest wrong answers are $4\pi$ alone (the arc only) and $12\pi$ (the whole circumference). The M1 pays for adding three lengths, never for knowing which three.sector ไม่ใช่วงกลมและไม่ใช่สามเหลี่ยม และขอบของมันคือสิ่งเดียวที่ไม่มีใครเขียนสูตรไว้ · คำตอบผิดที่พบบ่อยสองแบบคือ $4\pi$ อย่างเดียว (เอาแค่ส่วนโค้ง) กับ $12\pi$ (เอาเส้นรอบวงทั้งวง) · M1 ให้กับการบวกความยาวสามชิ้น ไม่ได้ให้กับการรู้ว่าเป็นสามชิ้นไหน
The sector $OAB$ has radius $6$ cm and arc $AB$ of length $4 \pi$ cm. Find the perimeter of the sector.
Answershow ▾
Perimeter $= 2r + s$: the two straight radii $OA$ and $OB$, plus the arc. It is NOT $2r + 2\pi r$ — that is the whole circle, and forgetting the two radii altogether is the classic dropped mark.
The sector $OAB$ has radius $6$ cm and angle $AOB = \frac{2 \pi}{3}$ radians. Find the area of the sector.
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians — never in degrees.
Part (b) is a perimeter and part (c) is an area. Without calculating either, say which of the two formulas contains $r^2$, and write down the unit that each of the two answers has to carry.
ข้อ (b) คือเส้นรอบรูป ข้อ (c) คือพื้นที่ · ยังไม่ต้องคำนวณ บอกว่าสูตรไหนมี $r^2$ อยู่ และคำตอบสองข้อนี้ต้องมีหน่วยอะไร
Answershow ▾
The power of $r$ and the unit always agree: one power, one cm; two powers, cm$^2$. It is a free check on every answer in the chapter, and it catches a perimeter formula used for an area before the marks are lost. The unit itself is usually inside the A1 rather than a mark of its own.กำลังของ $r$ กับหน่วยตรงกันเสมอ: กำลังหนึ่งคือ cm กำลังสองคือ cm$^2$ · เป็นการตรวจฟรีสำหรับทุกคำตอบในบทนี้ และจับได้ทันทีถ้าเผลอใช้สูตรเส้นรอบรูปไปหาพื้นที่ · หน่วยมักถูกนับรวมอยู่ใน A1 ไม่ได้เป็นคะแนนของตัวเอง
The sector $OAB$ has radius $6$ cm, and the arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
Answershow ▾
Question 4 then question 5, back to back: find $\theta$ first, then use $2r + s$.
The sector $OAB$ has radius $6$ cm, and the arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the area of the sector.
Answershow ▾
Question 4 then question 6: the same $\theta$ feeds both the perimeter and the area.
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $2$ cm, with angle $AOB = \theta$ radians. The arc $AB$ has length $\pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
(c) Find the area of the sector.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout — a quarter circle.
The diagram shows a sector $OAB$ of a circle, centre $O$, radius $6$ cm, with angle $AOB = \theta$ radians. The arc $AB$ has length $4 \pi$ cm.
(a) Find $\theta$.
(b) Find the perimeter of the sector.
(c) Find the area of the sector.
Answershow ▾
6 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 perimeter $= 2r + s = 12 + 4 \pi$ A1 perimeter $= 12 + 4 \pi$ cm.
(c) M1 area $= \dfrac12 r^2\theta = \dfrac12 \times 6^2 \times \frac{2 \pi}{3}$ A1 area $= 12 \pi$ cm$^2$.
Circular measure · the segment
The diagram shows a sector $OAB$ with radius $8$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians. The chord $AB$ divides the sector into a triangle and a segment.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
(c) Hence find the exact area of the segment.
A circle has radius $7$ cm. A region is bounded by two radii and an arc, with the angle between the radii equal to $\frac{\pi}{6}$ radians. Find the area of the region.
วงกลมรัศมี $7$ ซม. บริเวณถูกล้อมด้วยรัศมีสองเส้นและส่วนโค้ง โดยมุมระหว่างรัศมีเท่ากับ $\frac{\pi}{6}$ เรเดียน จงหาพื้นที่บริเวณนั้น
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians.
A triangle has two sides of length $5$ cm and $6$ cm, with an included angle of $\frac{\pi}{3}$ radians between them. Find the area of the triangle.
รูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว $5$ ซม. และ $6$ ซม. โดยมุมประชิดระหว่างสองด้านนี้เท่ากับ $\frac{\pi}{3}$ เรเดียน จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 ab\sin C$, where $C$ is the angle BETWEEN the two given sides.
A triangle has two sides that are both radii of a circle, each of length $7$ cm, with the angle between them equal to $\frac{\pi}{6}$ radians. Write down the values of $a$, $b$ and $C$ to use in $\text{Area} = \dfrac12 ab\sin C$.
รูปสามเหลี่ยมมีด้านสองด้านเป็นรัศมีวงกลม ยาวด้านละ $7$ ซม. โดยมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากับ $\frac{\pi}{6}$ เรเดียน จงเขียนค่า $a$, $b$ และ $C$ ที่จะใช้ในสูตร $\text{Area} = \dfrac12 ab\sin C$
Answershow ▾
The two radii ARE the two sides $a$ and $b$; the angle between them is $C$. Missing this is why students reach for the wrong formula.
Triangle $OAB$ has two sides that are radii, $8$ cm each, with the angle $\frac{\pi}{6}$ between them. Which area formula fits — $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$, or $\frac{1}{2}ab\sin C$? What would you have to find first to use the other one?
สามเหลี่ยม $OAB$ มีสองด้านเป็นรัศมี ยาว $8$ ซม. เท่ากัน และมีมุม $\frac{\pi}{6}$ อยู่ระหว่างกลาง · สูตรพื้นที่อันไหนเข้ากับข้อมูลนี้ ระหว่าง "ฐาน $\times$ สูง $\div\ 2$" กับ $\frac{1}{2}ab\sin C$ · ถ้าจะใช้อีกอันต้องหาอะไรก่อน
Answershow ▾
The data decides the formula: two sides and the angle BETWEEN them is exactly what $\frac{1}{2}ab\sin C$ eats. Base times height would mean dropping a perpendicular from $O$ to $AB$ and finding its length first — two extra steps for the same number. No mark is attached to picking the right one.ข้อมูลเป็นตัวเลือกสูตร: สองด้านกับมุมที่อยู่ "ระหว่าง" สองด้านนั้น คือสิ่งที่ $\frac{1}{2}ab\sin C$ กินพอดี · ถ้าใช้ฐานคูณสูง ต้องลากเส้นตั้งฉากจาก $O$ ไป $AB$ แล้วหาความยาวก่อน เพิ่มสองขั้นเพื่อเลขตัวเดิม · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกสูตรถูก
The sector $OAB$ has radius $8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians. Find the area of the sector.
Answershow ▾
Area $= \dfrac12 r^2\theta$, with $\theta$ in radians. This is part (a).
The triangle $OAB$ has $OA = OB = 8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians. Find the area of triangle $OAB$.
Answershow ▾
$OA$ and $OB$ are the two sides, $\theta$ is the included angle: area $= \dfrac12 r^2\sin\theta = \dfrac12 \times 8^2 \times \sin(\frac{\pi}{6})$. This is part (b).
The segment is the piece between the chord $AB$ and the arc $AB$. Which two areas make it, and which way round do they subtract? Work out what you would get if you subtracted the other way.
segment คือชิ้นที่อยู่ระหว่างคอร์ด $AB$ กับส่วนโค้ง $AB$ · เกิดจากพื้นที่สองอันไหน และลบกันทางไหน · ลองดูว่าถ้าลบสลับทางจะได้อะไร
Answershow ▾
The triangle sits inside the sector, so it is the piece taken away. The mark scheme opens at "sector area first", after the choice of which two areas and which way round has already been made. A negative answer is the only warning you will get, and it arrives after all the work.สามเหลี่ยมอยู่ข้างในเซกเตอร์ จึงเป็นชิ้นที่ถูกหักออก · มาร์คสกีมเริ่มที่ "หาพื้นที่เซกเตอร์ก่อน" คือหลังจากเลือกไปแล้วว่าจะใช้สองพื้นที่ไหนและลบทางไหน · คำตอบติดลบคือคำเตือนเดียวที่จะได้ และมันมาถึงหลังจากทำงานเสร็จหมดแล้ว
The sector $OAB$ has area $\frac{16 \pi}{3}$ cm$^2$ and triangle $OAB$ has area $16$ cm$^2$. Find the area of the segment cut off by chord $AB$.
Answershow ▾
The segment is what is left of the sector once the triangle is removed: segment $=$ sector $-$ triangle. This is part (c).
Part (c) says find the exact area of the segment. Which of $\frac{16\pi}{3} - 16$ and $0.755$ answers that, and name two things the word "exact" forbids you from doing.
ข้อ (c) บอกว่าหาพื้นที่ segment แบบ exact · ระหว่าง $\frac{16\pi}{3} - 16$ กับ $0.755$ อันไหนคือคำตอบ และคำว่า exact ห้ามทำอะไรบ้าง สองอย่าง
Answershow ▾
"Exact" means the symbols stay: $\pi$, surds and fractions are the answer, not a step towards it. The A1 is written against the exact form, so a correct decimal scores nothing — and the decimal is the more natural thing to write, which is why the word is there.คำว่า exact แปลว่าให้สัญลักษณ์อยู่ต่อ: $\pi$ กรณฑ์ และเศษส่วน คือคำตอบ ไม่ใช่ขั้นระหว่างทาง · A1 เขียนไว้ตามรูป exact ทศนิยมที่ถูกต้องจึงไม่ได้คะแนน และทศนิยมคือสิ่งที่คนจะเขียนโดยธรรมชาติ นั่นคือเหตุผลที่คำนี้ถูกใส่ไว้
The sector $OAB$ has radius $8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
Answershow ▾
Question 4 then question 5: same $r$ and $\theta$, two different formulas.
The sector $OAB$ has radius $8$ cm and angle $AOB = \frac{\pi}{6}$ radians. The area of the sector is $\frac{16 \pi}{3}$ cm$^2$.
(a) Find the area of triangle $OAB$.
(b) Hence find the area of the segment cut off by chord $AB$.
Answershow ▾
Question 5 then question 6: find the triangle first, then subtract it from the sector area already given.
The diagram shows a sector $OAB$ with radius $2$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{2}$ radians. The chord $AB$ divides the sector into a triangle and a segment.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
(c) Hence find the exact area of the segment.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout — a quarter circle.
The diagram shows a sector $OAB$ with radius $8$ cm and angle $\theta = \frac{\pi}{6}$ radians. The chord $AB$ divides the sector into a triangle and a segment.
(a) Find the area of the sector.
(b) Find the area of triangle $OAB$.
(c) Hence find the exact area of the segment.
Answershow ▾
6 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $OA = OB = 8$ are the two sides and $\theta = \frac{\pi}{6}$ is the included angle, so area $= \dfrac12 r^2\sin\theta$ A1 area of triangle $= 16$ cm$^2$.
(c) M1 segment $=$ sector $-$ triangle $= \frac{16 \pi}{3} - 16$ A1 area of segment $= \frac{16 \pi}{3} - 16$ cm$^2$.