Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Circular Measureการวัดเชิงวงกลม
A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
The whole way round, and a fraction of itรอบวงทั้งวง กับเศษส่วนของมัน
A sector is a fraction of the circle. Radians only change $\dfrac{\theta}{360}$ to $\dfrac{\theta}{2\pi}$.เซกเตอร์คือเศษส่วนของวงกลม · เรเดียนแค่เปลี่ยน $\dfrac{\theta}{360}$ เป็น $\dfrac{\theta}{2\pi}$
A circle has radius $6$ cm. Its circumference, in terms of $\pi$, is?วงกลมรัศมี $6$ ซม. เส้นรอบวงเท่ากับเท่าไร (ตอบติด $\pi$)? Answer:เฉลย: $C=2\pi(6)=12\pi$ cmToday is fractions of this: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi$วันนี้คือเศษส่วนของตัวนี้ทั้งนั้น: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi$
Now take half of that circle. Half a turn is $\dfrac{180}{360}$ of the way round. How long is the curved edge?คราวนี้เอาครึ่งวง · ครึ่งรอบคือ $\dfrac{180}{360}$ ของรอบทั้งหมด · ขอบโค้งยาวเท่าไร? Answer:เฉลย: $\dfrac{180}{360}\times12\pi=\dfrac12\times12\pi=6\pi$ cmFraction of the turn, times $C$: $\dfrac{180}{360}\times12\pi=\tfrac12\times12\pi=6\pi$ From here on, only the fraction changes.เศษส่วนของรอบ คูณ $C$: $\dfrac{180}{360}\times12\pi=\tfrac12\times12\pi=6\pi$ จากนี้ไป เปลี่ยนแค่เศษส่วน
A quarter next: the angle is $90^{\circ}$, so the fraction is $\dfrac{90}{360}$. The arc is?ต่อไปหนึ่งในสี่: มุม $90^{\circ}$ เศษส่วนคือ $\dfrac{90}{360}$ · ส่วนโค้งยาวเท่าไร? Answer:เฉลย: $\dfrac{90}{360}\times12\pi=\dfrac14\times12\pi=3\pi$ cmSame move, new fraction: $\dfrac{180}{360}\times12\pi=6\pi$ $\dfrac{90}{360}\times12\pi=3\pi$ท่าเดิม เศษส่วนใหม่: $\dfrac{180}{360}\times12\pi=6\pi$ $\dfrac{90}{360}\times12\pi=3\pi$
Last one: the same circle, but the angle is $60^{\circ}$. Its arc length is:ข้อสุดท้าย · วงเดิม แต่มุมเป็น $60^{\circ}$ ความยาวส่วนโค้งคือ: Answer:เฉลย: $s=\dfrac{60}{360}\times12\pi=2\pi$ cmRemember this $2\pi$: $\dfrac{60}{360}\times12\pi=2\pi$ The same $2\pi$ returns from a two-letter formula in a few minutes.จำ $2\pi$ ตัวนี้ไว้: $\dfrac{60}{360}\times12\pi=2\pi$ อีกไม่กี่นาที $2\pi$ ตัวนี้จะกลับมาจากสูตรที่มีแค่สองตัวอักษร
2. The circle's own rulerไม้บรรทัดของวงกลมเอง
$\pi$ rad $=180^{\circ}$. Same angles, new unit.$\pi$ เรเดียน $=180^{\circ}$ มุมเดิม หน่วยใหม่
A circle brings its own rulerวงกลมพกไม้บรรทัดของตัวเองมาด้วย
$3.14\ldots$ of them: that is $\pi$. One radius-length of rim is one radian.ได้ $3.14\ldots$ เส้น ก็คือ $\pi$ · ขอบวงยาวเท่ารัศมีหนึ่งเส้น คือหนึ่งเรเดียน
Count radius-lengths round half a turnนับว่าครึ่งรอบยาวกี่รัศมี
$\text{arc}=\tfrac12\times2\pi r$Half a turn is half the circumference.ครึ่งรอบ คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง
$=\pi r$So $\pi$ radius-lengths fit along it: the “three and a bit”.วางรัศมีได้ $\pi$ อันพอดี คือ “สามอันกว่าๆ” ในรูป
$\pi\text{ rad}=180^{\circ}$Half a turn, counted two ways.ครึ่งรอบ นับได้สองแบบ
$1\text{ rad}=\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$One radius-length of rim.ขอบยาวหนึ่งรัศมี
$1\text{ rad}\approx57.3^{\circ}$Slightly less than $60^{\circ}$.เกือบ $60^{\circ}$ แต่ยังไม่ถึง
Swap $\pi$ for $180$สลับ $\pi$ กับ $180$
Replace $\pi$ with $180$ and divide. Backwards: degrees over $180$, then attach $\pi$.แทน $\pi$ ด้วย $180$ แล้วหาร · ขากลับ: เอาองศาหารด้วย $180$ แล้วติด $\pi$
Convert $90^{\circ}$ to radians.แปลง $90^{\circ}$ เป็นเรเดียน Answer:เฉลย: $90^{\circ}=90\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{2}$What fraction of a half-turn?: $90^{\circ}=\dfrac{90}{180}\times\pi=\dfrac{\pi}{2}$ Ask for the fraction; do not memorise a conversion factor.เป็นเศษส่วนเท่าไรของครึ่งรอบ: $90^{\circ}=\dfrac{90}{180}\times\pi=\dfrac{\pi}{2}$ ถามหาเศษส่วน ไม่ต้องท่องตัวคูณ
Convert $\dfrac{\pi}{6}$ rad to degrees.แปลง $\dfrac{\pi}{6}$ เรเดียนเป็นองศา Answer:เฉลย: $\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{180^{\circ}}{6}=30^{\circ}$Wherever you see $\pi$ in an angle, hear 180. Then $\frac{\pi}{6}$ reads itself: $180$ over $6$.เห็น $\pi$ ในมุมเมื่อไร ให้ได้ยินคำว่า 180 แล้ว $\frac{\pi}{6}$ จะอ่านตัวเองออกมาเลย: $180$ ส่วน $6$
3. Get fluent in the new unitพูดหน่วยใหม่ให้คล่อง
Know common angles at once. Set the calculator to RAD.มุมมาตรฐานต้องตอบได้ทันที · และเครื่องคิดเลขต้องอยู่โหมด RAD
The exact-angle tableตารางมุมมาตรฐาน
Which is bigger: $1$ radian or $60^{\circ}$?อันไหนใหญ่กว่า: $1$ เรเดียน หรือ $60^{\circ}$? Answer:เฉลย:$60^{\circ}$ is slightly bigger ($1$ rad $\approx57.3^{\circ}$)$60^{\circ}$ ใหญ่กว่านิดเดียว ($1$ rad $\approx57.3^{\circ}$)Know the size of a radian: $1\text{ rad}\approx57.3^{\circ}$ $60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}\approx1.05\text{ rad}$ A $40$-radian sector should ring an alarm.รู้ว่าเรเดียนใหญ่แค่ไหน: $1\text{ rad}\approx57.3^{\circ}$ $60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}\approx1.05\text{ rad}$ เซกเตอร์มุม $40$ เรเดียน ต้องรู้สึกผิดสังเกตทันที
Put your calculator in radian mode. Now find $\sin\dfrac{\pi}{6}$.ตั้งเครื่องคิดเลขเป็นโหมดเรเดียนก่อน แล้วหา $\sin\dfrac{\pi}{6}$ Answer:เฉลย: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\sin30^{\circ}=\dfrac12$RAD mode from now on: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\sin30^{\circ}=\tfrac12$ $\text{DEG mode}:\ 0.00914\ \ \times$ Wrong mode is the most common lost mark in this topic.ตั้งเครื่องเป็น RAD ตั้งแต่นี้ไป: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\sin30^{\circ}=\tfrac12$ $\text{DEG mode}:\ 0.00914\ \ \times$ ตั้งโหมดผิด คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุดในบทนี้
4. Arc length shrinks to two lettersสูตรส่วนโค้งหดเหลือสองตัว
$s=r\theta$ is the old fraction in a shorter form.$s=r\theta$ · เศษส่วนสูตรเดิมที่เขียนให้สั้นลง
The IGCSE way, one more timeวิธี IGCSE อีกสักรอบ
Why the answer is always $r\theta$ทำไมคำตอบถึงเป็น $r\theta$ เสมอ
Arc divided by angle is always the radius: $s=r\theta$, with $\theta$ in radians.ส่วนโค้งหารด้วยมุม ได้รัศมีเสมอ · $s=r\theta$ โดย $\theta$ เป็นเรเดียน
The same collapse, in symbolsการยุบตัวแบบเดียวกัน ในรูปสัญลักษณ์
$r=8$ cm, $\theta=0.6$ rad: find the arc$r=8$ cm, $\theta=0.6$ rad · หาความยาวส่วนโค้ง
$s=r\theta$Two letters. This only works when $\theta$ is in radians.สองตัวอักษร · ใช้ได้เฉพาะตอน $\theta$ เป็นเรเดียนเท่านั้น
$s=8\times0.6$No degrees, no fraction of $360$, no $\pi$ to cancel.ไม่มีองศา ไม่ต้องคิดเป็นเศษของ $360$ ไม่มี $\pi$ ให้ตัด
$s=4.8\ \text{cm}$Length, so the unit is cm, not radians.เป็นความยาว หน่วยจึงเป็น cm ไม่ใช่เรเดียน
$\frac{0.6}{2\pi}\times2\pi(8)=4.8 \;\checkmark$The old fraction-of-the-circumference method gives the same answer. $s=r\theta$ is that formula with everything cancelled.วิธีเดิมที่คิดเป็นเศษของเส้นรอบวงได้เท่ากัน · $s=r\theta$ คือสูตรนั้นหลังตัดทุกอย่างแล้ว
Multiply the two numbers on the diagram: radius $\times$ angle in radians. What is the arc length $s$?คูณเลขสองตัวที่อยู่บนรูป: รัศมี $\times$ มุมเป็นเรเดียน · ส่วนโค้ง $s$ ยาวเท่าไร? Answer:เฉลย: $6\times\dfrac{\pi}{3}=2\pi$Same $2\pi$ as the warm-up. This time it took one multiplication. That is not a coincidence.ได้ $2\pi$ เท่ากับตอนวอร์มอัพ · แต่รอบนี้ใช้การคูณครั้งเดียว และไม่ใช่เรื่องบังเอิญ
A student is given $r=5$ cm and angle $=40$. They write $s=5\times40=200$ cm. Mark it.นักเรียนคนหนึ่งได้โจทย์ $r=5$ ซม. มุม $=40$ · เขาเขียนว่า $s=5\times40=200$ ซม. · ตรวจให้หน่อย Answer:เฉลย:the working is wrong. $40^{\circ}=\dfrac{2\pi}{9}$ rad, so $s=5\times\dfrac{2\pi}{9}=\dfrac{10\pi}{9}\approx3.49$ cmวิธีทำผิด · $40^{\circ}=\dfrac{2\pi}{9}$ เรเดียน ดังนั้น $s=5\times\dfrac{2\pi}{9}=\dfrac{10\pi}{9}\approx3.49$ ซม.A bare number is degrees: $40\text{ rad}=6.4\text{ turns}$ $2\pi(5)\approx31.4\text{ cm}\ \Rightarrow\ s=200\ \ \times$ $40^{\circ}=\dfrac{2\pi}{9}\ \Rightarrow\ s=5\times\dfrac{2\pi}{9}\approx3.49\text{ cm}$ เลขเปล่าๆ คือองศา: $40\text{ rad}=6.4\text{ turns}$ $2\pi(5)\approx31.4\text{ cm}\ \Rightarrow\ s=200\ \ \times$ $40^{\circ}=\dfrac{2\pi}{9}\ \Rightarrow\ s=5\times\dfrac{2\pi}{9}\approx3.49\text{ cm}$
A sector has $r=5$ cm and $\theta=1.2$ rad. Find the perimeter of the sector.เซกเตอร์มี $r=5$ ซม. และ $\theta=1.2$ rad หาเส้นรอบรูปของเซกเตอร์ Answer:เฉลย: $P=5+5+5(1.2)=16$ cmList the edges first: $P=r+r+r\theta$ $=5+5+6=16\text{ cm}$ Forgetting the two radii is the most common lost mark.ไล่ขอบให้ครบก่อน: $P=r+r+r\theta$ $=5+5+6=16\text{ cm}$ ลืมรัศมีสองเส้น คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุด
5. Area, then backwardsพื้นที่ แล้วถอยหลัง
$A=\frac12 r^{2}\theta$, and rearranging it when the answer is given.$A=\frac12 r^{2}\theta$ · และการย้อนสูตรเมื่อโจทย์ให้คำตอบมาแทน
Where $\tfrac12r^{2}\theta$ comes from$\tfrac12r^{2}\theta$ มาจากไหน
$\text{circle}=\pi r^{2}$A full turn is $2\pi$ rad and covers $\pi r^{2}$.หนึ่งรอบ $=2\pi$ rad ได้พื้นที่ $\pi r^{2}$
$\dfrac{A}{\pi r^{2}}=\dfrac{\theta}{2\pi}$The slice gets the same share of the area as of the turn.ชิ้นนี้ได้ส่วนแบ่งพื้นที่เท่ากับส่วนแบ่งของมุม
$A=\dfrac{\theta}{2\pi}\times\pi r^{2}$The same fraction as $\frac{\theta}{360}$, with a full turn now $2\pi$.เศษส่วนเดิมแบบ $\frac{\theta}{360}$ แค่หนึ่งรอบตอนนี้คือ $2\pi$
$A=\tfrac12r^{2}\theta$The $2$ stays underneath: that is the half.เลข $2$ ยังอยู่ข้างล่าง กลายเป็นครึ่ง
Check it the IGCSE way: start from $\dfrac{\theta}{360}\times\pi r^{2}$, substitute $\theta$ rad $=\theta\cdot\frac{180}{\pi}$ degrees, and simplify. What survives?ลองตรวจด้วยวิธี IGCSE: เริ่มจาก $\dfrac{\theta}{360}\times\pi r^{2}$ แทน $\theta$ rad $=\theta\cdot\frac{180}{\pi}$ องศา แล้วลดรูป เหลืออะไร? Answer:เฉลย: $A=\dfrac{\theta\cdot\frac{180}{\pi}}{360}\times\pi r^{2}=\dfrac12 r^{2}\theta$The $2$ that is not there: $s=\dfrac{\theta}{360}\times2\pi r=r\theta$ $A=\dfrac{\theta}{360}\times\pi r^{2}=\tfrac12 r^{2}\theta$ $2\pi r$ has a $2$ to cancel the half; $\pi r^{2}$ does not.เลข $2$ ที่หายไป: $s=\dfrac{\theta}{360}\times2\pi r=r\theta$ $A=\dfrac{\theta}{360}\times\pi r^{2}=\tfrac12 r^{2}\theta$ $2\pi r$ มีเลข $2$ ไว้ตัดกับครึ่ง แต่ $\pi r^{2}$ ไม่มี
Now backwards: a sector has area $27$ cm$^2$ and radius $6$ cm. Find $\theta$.คราวนี้ย้อนกลับ: เซกเตอร์มีพื้นที่ $27$ ตร.ซม. รัศมี $6$ ซม. หา $\theta$ Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{2A}{r^{2}}=\dfrac{54}{36}=1.5$ radRearrange first, put numbers in last: $\theta=\frac{2\times27}{36}=1.5$ rad. Quick check: $1.5$ rad $\approx86^{\circ}$, a believable slice of pie.จัดรูปก่อน ค่อยแทนตัวเลขทีหลัง: $\theta=\frac{2\times27}{36}=1.5$ rad · ตรวจเร็วๆ: $1.5$ rad $\approx86^{\circ}$ เป็นชิ้นพายที่มีจริงได้
6. Cut by a chord: the segmentคอร์ดตัดวง: เซกเมนต์
A chord cuts the sector into two piecesคอร์ดหั่นเซกเตอร์ออกเป็นสองชิ้น
Chord $AB$ splits the sector: triangle $OAB$ and the segment. Segment $=$ sector $-$ triangle.คอร์ด $AB$ แบ่งเซกเตอร์เป็นสามเหลี่ยม $OAB$ กับเซกเมนต์ · เซกเมนต์ $=$ เซกเตอร์ $-$ สามเหลี่ยม
Where $\tfrac12r^{2}\sin\theta$ comes from$\tfrac12r^{2}\sin\theta$ มาจากไหน
$\text{segment}=\text{sector}-\triangle$The sector we have. The triangle is the missing piece.เซกเตอร์มีสูตรแล้ว ที่ขาดคือสามเหลี่ยม
$\triangle=\tfrac12\times b\times h$Now the triangle only: half base times height. Base $b=OA=r$.ดูแค่สามเหลี่ยม: ครึ่งของฐานคูณสูง ฐาน $b=OA=r$
$\sin\theta=\dfrac{BH}{r}$Drop $BH\perp OA$. In right triangle $OHB$ the hypotenuse is $OB=r$.ลาก $BH$ ตั้งฉาก $OA$ สามเหลี่ยมมุมฉาก $OHB$ มีด้านตรงข้ามมุมฉาก $OB=r$
$BH=r\sin\theta$The slanted $r$, stood upright, is $r\sin\theta$.$r$ ที่เอียงอยู่ พอตั้งตรงยาว $r\sin\theta$
$=\tfrac12r^{2}\sin\theta$It is $\tfrac12ab\sin C$ with $a=b=r$.คือ $\tfrac12ab\sin C$ ที่ $a=b=r$
Where $2r\sin\tfrac{\theta}{2}$ comes from$2r\sin\tfrac{\theta}{2}$ มาจากไหน
$P=\text{arc}+AB$The arc is $r\theta$. The chord is the missing piece.ส่วนโค้งคือ $r\theta$ ที่ขาดคือคอร์ด
$OA=OB=r$Now the triangle only. Two radii, so it is isosceles.ดูแค่สามเหลี่ยม รัศมีสองเส้นเท่ากัน จึงเป็นหน้าจั่ว
$\angle AOM=\tfrac12\theta$$OM\perp AB$ cuts $\theta$ in half, and $AB$ in half.$OM$ ตั้งฉาก $AB$ ผ่าครึ่งทั้งมุม $\theta$ และคอร์ด $AB$
$\sin\tfrac{\theta}{2}=\dfrac{AM}{r}$Right triangle $OMA$: the hypotenuse is $r$.สามเหลี่ยมมุมฉาก $OMA$ ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $r$
$AM=r\sin\tfrac{\theta}{2}$That is half the chord.นี่คือครึ่งคอร์ด
$AB=2\times AM$The other half is the same length.อีกครึ่งยาวเท่ากัน
$=2r\sin\tfrac{\theta}{2}$Half the angle inside the sine, times $2$ outside.มุมครึ่งเดียวอยู่ใน sin แล้วคูณ $2$ ข้างนอก
Triangle $OAB$: two sides of length $r$ with angle $\theta$ between them. Its area is:สามเหลี่ยม $OAB$: สองด้านยาว $r$ มีมุม $\theta$ คั่นกลาง พื้นที่คือ: Answer:เฉลย: $\dfrac12 ab\sin C=\dfrac12 r^{2}\sin\theta$Only $\theta$ against $\sin\theta$: $\text{triangle}=\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12 r^{2}\sin\theta$ $\text{sector}=\tfrac12 r^{2}\theta$ต่างกันแค่ $\theta$ กับ $\sin\theta$: $\text{triangle}=\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12 r^{2}\sin\theta$ $\text{sector}=\tfrac12 r^{2}\theta$
$r=6$, $\theta=1.2$ rad. Area of the segment, to 2 dp?$r=6$, $\theta=1.2$ rad พื้นที่เซกเมนต์ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง? Answer:เฉลย: $\tfrac12(36)(1.2-\sin1.2)=18(0.2680)\approx4.82$Sector minus triangle: $A=21.6-16.78$ $=4.82$ Take out the common factor $\frac12r^{2}$: $\frac12r^{2}(\theta-\sin\theta)$.เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม: $A=21.6-16.78$ $=4.82$ ดึง $\frac12r^{2}$ ออกครั้งเดียว ได้ $\frac12r^{2}(\theta-\sin\theta)$
The chord $AB$ ($r=6$, $\theta=1.2$). Its length is:คอร์ด $AB$ ($r=6$, $\theta=1.2$) ยาวเท่าไร: Answer:เฉลย: $AB=2r\sin\tfrac{\theta}{2}=12\sin0.6\approx6.78$Two roads, same chord: $AB=2r\sin\tfrac{\theta}{2}=12\sin0.6\approx6.78$ $AB=\sqrt{36+36-72\cos1.2}\approx6.78$สองทาง ได้คอร์ดเท่ากัน: $AB=2r\sin\tfrac{\theta}{2}=12\sin0.6\approx6.78$ $AB=\sqrt{36+36-72\cos1.2}\approx6.78$
Perimeter of the segment ($r=6$, $\theta=1.2$)?เส้นรอบรูปของเซกเมนต์ ($r=6$, $\theta=1.2$)? Answer:เฉลย:$P=r\theta+2r\sin\tfrac{\theta}{2}\approx13.98$$P=r\theta+2r\sin\tfrac{\theta}{2}\approx13.98$List the edges first: $\text{sector}:\ r+r+r\theta$ $\text{segment}:\ r\theta+2r\sin\tfrac{\theta}{2}$ $=7.2+6.78\approx13.98$ไล่ขอบให้ครบก่อน: $\text{sector}:\ r+r+r\theta$ $\text{segment}:\ r\theta+2r\sin\tfrac{\theta}{2}$ $=7.2+6.78\approx13.98$
Circle centre O, radius 10 cm, angle AOB = 0.8 radวงกลมจุดศูนย์กลาง O รัศมี 10 ซม. มุม AOB = 0.8 rad
Exam: Find the perimeter of the shaded region, to 3 sf. (3 marks)ข้อสอบ: หาเส้นรอบรูปของบริเวณแรเงา ตอบเลขนัยสำคัญ 3 ตัว (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $P=10(0.8)+2(10)\sin0.4=8+7.79\approx15.8$ cm3 marks: $\text{M1}\ \ \text{arc}=r\theta=10(0.8)=8$ $\text{M1}\ \ \text{chord}=2(10)\sin0.4\approx7.79$ $\text{A1}\ \ P=8+7.79\approx15.8\text{ cm}$ Adding the radii gives $28$ and loses the mark.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{arc}=r\theta=10(0.8)=8$ $\text{M1}\ \ \text{chord}=2(10)\sin0.4\approx7.79$ $\text{A1}\ \ P=8+7.79\approx15.8\text{ cm}$ บวกรัศมีเข้าไปจะได้ $28$ แล้วเสียคะแนน
Exam: Find the area of the shaded region, to 3 sf. (3 marks)ข้อสอบ: หาพื้นที่ของบริเวณแรเงา ตอบเลขนัยสำคัญ 3 ตัว (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $A=\tfrac12(100)(0.8-\sin0.8)=50(0.0826)\approx4.13$ cm$^2$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{sector}=\tfrac12(100)(0.8)=40$ $\text{M1}\ \ \text{triangle}=\tfrac12(100)\sin0.8\approx35.87$ $\text{A1}\ \ A=40-35.87\approx4.13\text{ cm}^{2}$ With the perimeter part, this is the full 6-mark question.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{sector}=\tfrac12(100)(0.8)=40$ $\text{M1}\ \ \text{triangle}=\tfrac12(100)\sin0.8\approx35.87$ $\text{A1}\ \ A=40-35.87\approx4.13\text{ cm}^{2}$ รวมกับข้อหาเส้นรอบรูป คือข้อสอบเต็ม 6 คะแนน
Exam: $OAB$ is a sector of a circle, centre $O$, with $OA=OB=12$ cm and angle $AOB=\dfrac{\pi}{4}$ radians. The point $C$ lies on $OA$ and the point $D$ lies on $OB$, with $OC=OD=5$ cm. The region $R$ is bounded by the arc $AB$, the arc $CD$, and the straight lines $CA$ and $DB$. Find the exact area of $R$, in cm$^{2}$. (5 marks)ข้อสอบ: $OAB$ เป็น sector ของวงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ · $OA=OB=12$ ซม. · มุม $AOB=\dfrac{\pi}{4}$ เรเดียน · จุด $C$ อยู่บน $OA$ และจุด $D$ อยู่บน $OB$ โดย $OC=OD=5$ ซม. บริเวณ $R$ ล้อมด้วยส่วนโค้ง $AB$ · ส่วนโค้ง $CD$ · และส่วนของเส้นตรง $CA$ กับ $DB$ หาพื้นที่ของ $R$ แบบ exact หน่วย cm$^{2}$ (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $\dfrac{119\pi}{8}$ cm$^{2}$5 marks: $\text{M1}\ \ R=\text{sector }OAB-\text{sector }OCD$ $\text{A1}\ \ A_{OAB}=\tfrac12(12^{2})\dfrac{\pi}{4}=18\pi$ $\text{A1}\ \ A_{OCD}=\tfrac12(5^{2})\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{25\pi}{8}$ $\text{M1}\ \ 18\pi-\dfrac{25\pi}{8}=\dfrac{144\pi-25\pi}{8}$ $\text{A1}\ \ \dfrac{119\pi}{8}\text{ cm}^{2}$ Exact means the $\pi$ stays. $46.7$ scores nothing.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ R=\text{sector }OAB-\text{sector }OCD$ $\text{A1}\ \ A_{OAB}=\tfrac12(12^{2})\dfrac{\pi}{4}=18\pi$ $\text{A1}\ \ A_{OCD}=\tfrac12(5^{2})\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{25\pi}{8}$ $\text{M1}\ \ 18\pi-\dfrac{25\pi}{8}=\dfrac{144\pi-25\pi}{8}$ $\text{A1}\ \ \dfrac{119\pi}{8}\text{ cm}^{2}$ โจทย์บอก exact ต้องเหลือ $\pi$ ไว้ · ตอบ $46.7$ ไม่ได้คะแนน
The chord $AB$ cuts a segment off this sector. Find the perimeter of the segment, in cm to 3 significant figures.chord $AB$ ตัด segment ออกมาจาก sector นี้ หา เส้นรอบรูปของ segment เป็น ซม. ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ Answer:เฉลย: $22.9$ cmTrace the boundary named: $\text{sector}:\ P=r\theta+2r$ $\text{segment}:\ P=r\theta+2r\sin\dfrac{\theta}{2}$ $\text{arc}=8(1.5)=12$ $\text{chord}=16\sin0.75=10.906$ $P=22.9\text{ cm}\ (3\text{ s.f.})$ “Cut off by the chord” puts the centre outside. There are no radii.ไล่ขอบของรูปที่โจทย์ถาม: $\text{sector}:\ P=r\theta+2r$ $\text{segment}:\ P=r\theta+2r\sin\dfrac{\theta}{2}$ $\text{arc}=8(1.5)=12$ $\text{chord}=16\sin0.75=10.906$ $P=22.9\text{ cm}\ (3\text{ s.f.})$ “ตัดด้วยคอร์ด” แปลว่าจุดศูนย์กลางไม่อยู่ในรูป · ไม่มีรัศมี
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
A sector has $r=5$ cm, $\theta=1.4$ rad. Find the arc length and the sector area. Answer:เฉลย: $s=7$ cm; $A=17.5$ cm$^2$Identical to the worked examples, numbers changed. Builds confidence, proves both formulas transferred.เหมือนตัวอย่างที่ทำไป เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าสูตรทั้งคู่ติดตัวไปแล้ว
$r=\dfrac92$ cm, $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$. Find the exact arc length and exact sector area. Answer:เฉลย: $s=\dfrac{9\pi}{5}$ cm; $A=\dfrac{81\pi}{20}$ cm$^2$Same method, but with fractions and a π that must survive to the final answer.วิธีเดิม แต่มีเศษส่วนและ π ที่ต้องรอดไปถึงคำตอบสุดท้าย
A windscreen wiper blade of length $40$ cm sweeps through an angle of $1.8$ radians. What area of glass does it wipe? Answer:เฉลย: $\tfrac12(40)^2(1.8)=1440$ cm$^2$No circle drawn, no $O$, no $\theta$ label. Spotting the sector inside a story is the skill here.ไม่มีรูปวงกลม ไม่มี $O$ ไม่มีป้าย $\theta$ · ทักษะของข้อนี้คือการมองเห็นเซกเตอร์ที่ซ่อนอยู่ในโจทย์เล่าเรื่อง
A sector of radius $5$ cm has perimeter $16$ cm. Find $\theta$. Answer:เฉลย: $2(5)+5\theta=16 \Rightarrow \theta=1.2$ radSector perimeter (two radii plus arc) combined with forming and solving a linear equation.เส้นรอบรูปเซกเตอร์ (รัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง) ผสมกับการตั้งและแก้สมการเชิงเส้น
A sector has arc length $9$ cm and area $27$ cm$^2$. Find $r$ and $\theta$. Answer:เฉลย: $A=\tfrac12rs \Rightarrow 27=\tfrac12r(9) \Rightarrow r=6$; $\theta=\dfrac{s}{r}=1.5$ radYou are given the answers and must find the starting values. Notice $A=\frac12rs$, the two formulas combined.โจทย์ให้ผลลัพธ์มา แล้วให้หาค่าตั้งต้น · สังเกตว่า $A=\frac12rs$ คือสองสูตรรวมกัน
A circle centre $O$ has radius $7$ cm. Points $A$, $B$ lie on the circle with angle $AOB=1.4$ radians. The chord $AB$ divides the sector into two regions. Find the perimeter and the area of the segment cut off by $AB$. (5 marks) Answer:เฉลย: $P=7(1.4)+14\sin0.7\approx18.8$ cm; $A=\tfrac12(49)(1.4-\sin1.4)\approx10.2$ cm$^2$The full 9709 staple, marks stated: arc, chord, sector, triangle in one question, as on the real paper.โจทย์ขาประจำ 9709 เต็มยศพร้อมคะแนน: ส่วนโค้ง คอร์ด เซกเตอร์ สามเหลี่ยม ในข้อเดียว ตรงตามกระดาษจริง
A sector has $r=10$ cm and angle $45$. A student writes $s=r\theta=10\times45=450$ cm. Find the mistake and the correct answer. Answer:เฉลย: $45$ is in degrees — $s=r\theta$ needs radians. $45^{\circ}=\dfrac{\pi}{4}$, so $s=10\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{2}\approx7.85$ cmMarking someone else's degree-mode mistake is harder than avoiding your own. Do this last before closing the topic.จับผิดคนอื่นที่พลาดองศา-เรเดียนยากกว่าไม่พลาดเอง ทำข้อนี้เป็นข้อสุดท้ายก่อนปิดหัวข้อ