Differentiation · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Differentiation
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differentiation · tangents and normals
A curve has equation $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$. The point $P$ on the curve has $x = 1$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
(c) Find the equation of the normal to the curve at $P$, giving your answer in the form $ax + by = c$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.
Differentiate $y = 2x^{2}$.
หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $y = 2x^{2}$
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by 1.
Differentiate $y = x^3 + 2x^2 - x - 3$.
Answershow ▾
Differentiate one term at a time; a constant term differentiates to 0.
Write $y = \dfrac{3}{x^2}$ in the form $y = kx^n$, then find $\dfrac{dy}{dx}$.
เขียน $y = \dfrac{3}{x^2}$ ในรูป $y = kx^n$ แล้วหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
You cannot differentiate $\dfrac{k}{x^2}$ as it stands — rewrite it as $kx^{-2}$ first. This is the step most students skip and then get stuck.
The question gives $P$ by its $x$-coordinate alone: $x = 1$. A straight line through $P$ needs two numbers about $P$ and one more besides. Which of $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$ and $\dfrac{dy}{dx}$ gives you the missing coordinate of $P$, and which gives you the gradient there?
โจทย์บอก $P$ มาแค่ค่า $x = 1$ · การเขียนเส้นตรงผ่าน $P$ ต้องใช้พิกัดสองตัวของ $P$ กับความชันอีกหนึ่ง · ระหว่าง $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$ กับ $\dfrac{dy}{dx}$ อันไหนให้พิกัดที่ขาดไป และอันไหนให้ความชัน
Answershow ▾
Two different substitutions of the same number $x = 1$, into two different expressions, for two different purposes. Putting $x = 1$ into $\dfrac{dy}{dx}$ and calling the answer the $y$-coordinate gives the point $(1,\,-3)$ and a tangent that is nowhere near the curve. No mark is attached to keeping the two apart.แทนเลข $x = 1$ สองครั้ง คนละนิพจน์ คนละจุดประสงค์ · ถ้าแทน $x = 1$ ลงใน $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วเอาคำตอบไปเป็นพิกัด $y$ จะได้จุด $(1,\,-3)$ และเส้นสัมผัสที่ไม่ได้อยู่ใกล้เส้นโค้งเลย · ไม่มีคะแนนให้กับการแยกสองอย่างนี้ออกจากกัน
A curve has equation $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
Answershow ▾
Same three moves as questions 1-3: differentiate $x^2$, differentiate $x$, and rewrite $\dfrac{3}{x^2}$ as $3x^{-2}$ before differentiating it.
The curve $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$ has a point $P$ where $x = 1$. Find the $y$-coordinate of $P$.
หาพิกัด $y$ ของจุด $P$ บนเส้นโค้ง $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$ เมื่อ $x = 1$
Answershow ▾
Substitute into the ORIGINAL equation for $y$, not into $\dfrac{dy}{dx}$ — a common mix-up.
Given $\dfrac{dy}{dx} = 4x - 1 - \dfrac{6}{x^3}$, find the gradient of the curve at $x = 1$.
Answershow ▾
Substitute $x = 1$ into $\dfrac{dy}{dx}$, not into $y$.
You have found that $\dfrac{dy}{dx} = -3$ when $x = 1$. Which one of these is that $-3$?
(A) the $y$-coordinate of $P$ (B) the gradient of the tangent at $P$ (C) the gradient of the normal at $P$
หาได้ว่า $\dfrac{dy}{dx} = -3$ ที่ $x = 1$ · เลข $-3$ นี้คืออะไร
(A) พิกัด $y$ ของ $P$ (B) ความชันของเส้นสัมผัสที่ $P$ (C) ความชันของเส้นตั้งฉากที่ $P$
Answershow ▾
$\dfrac{dy}{dx}$ at a point IS the gradient of the curve there, and the tangent is the straight line with that gradient. The normal is a second step away. Naming the number correctly carries no mark and decides both of the remaining parts.$\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดหนึ่งคือความชันของเส้นโค้งตรงจุดนั้น และเส้นสัมผัสคือเส้นตรงที่มีความชันเท่านั้น · ส่วนเส้นตั้งฉากต้องคิดต่ออีกขั้น · การเรียกชื่อเลขให้ถูกไม่มีคะแนน แต่ตัดสินสองข้อย่อยที่เหลือ
The curve $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$ has a point $P(1,\,4)$, and the gradient of the curve at $P$ is $-3$. Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
Answershow ▾
$y - 4 = -3(x - 1)$, then rearrange to $y = mx + c$.
Part (c) wants the normal. The tangent has gradient $-3$. Which of $-3$, $3$, $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{3}$ is the gradient of the normal — and what does the word "normal" mean in one phrase?
ข้อ (c) ขอ normal (เส้นตั้งฉาก) · เส้นสัมผัสมีความชัน $-3$ · ความชันของเส้นตั้งฉากคือ $-3$, $3$, $\frac{1}{3}$ หรือ $-\frac{1}{3}$ และคำว่า normal แปลว่าอะไรในหนึ่งวลี
Answershow ▾
The negative reciprocal turns the fraction over AND changes the sign, so $-3$ becomes $+\frac{1}{3}$, not $-\frac{1}{3}$. Doing only one of the two moves is the standard slip, and the word itself is worth no mark.negative reciprocal คือ "กลับเศษส่วน แล้วสลับเครื่องหมาย" ทั้งสองอย่าง · $-3$ จึงกลายเป็น $+\frac{1}{3}$ ไม่ใช่ $-\frac{1}{3}$ · ทำแค่อย่างเดียวคือจุดพลาดมาตรฐาน และคำนี้เองไม่มีคะแนนให้
Hence find the equation of the normal to the curve at $P(1,\,4)$, giving your answer in the form $ax + by = c$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.
Answershow ▾
Normal gradient $= \frac{1}{3}$, the negative reciprocal of $-3$. Multiply through by $-3$ to clear the fraction and get integer coefficients.
A curve has equation $y = x^2 + x + \dfrac{1}{x^2}$. The point $P$ on the curve has $x = 1$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
(c) Find the equation of the normal to the curve at $P$, giving your answer in the form $ax + by = c$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
A curve has equation $y = 2x^2 - x + \dfrac{3}{x^2}$. The point $P$ on the curve has $x = 1$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
(c) Find the equation of the normal to the curve at $P$, giving your answer in the form $ax + by = c$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 6 build part (a) and the two substitutions needed for part (b); question 7 is part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Differentiation · stationary points and their nature
A curve has equation $y = 2x^3 - 54x - 4$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the coordinates of the two stationary points on the curve.
(c) Determine the nature of each stationary point.
Differentiate $y = x^3 - x^2 + 3x - 1$.
หา $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $y = x^3 - x^2 + 3x - 1$
Answershow ▾
Differentiate one term at a time; the constant term disappears.
Solve $6x^2 + 6x - 36 = 0$.
แก้สมการ $6x^2 + 6x - 36 = 0$
Answershow ▾
Factorise the quadratic (or use the formula) to get two x-values — these are where the gradient is zero.
A curve has equation $y = x^3 - x^2 + 3x - 1$. Find the $y$-coordinate when $x = -1$.
Answershow ▾
Substitute into the ORIGINAL cubic for $y$, not into $\dfrac{dy}{dx}$ — stopping at the $x$-value is the single most common lost mark here.
A stationary point has two coordinates and you find them from two different equations. Which equation do you set to zero and solve, and which one do you then substitute the answer into? Say what you get from each.
จุดวิกฤต (stationary point) มีสองพิกัด และหาได้จากคนละสมการ · สมการไหนที่ตั้งให้เท่าศูนย์แล้วแก้ และสมการไหนที่เอาคำตอบไปแทน · บอกด้วยว่าแต่ละอันให้อะไร
Answershow ▾
"Stationary" is a statement about the gradient, so it is an equation in $\dfrac{dy}{dx}$; the height of the point is never in $\dfrac{dy}{dx}$ at all. Substituting $x$ back into $\dfrac{dy}{dx}$ returns $0$ every time, and a student who does it writes down two points on the $x$-axis. No mark exists for choosing the right equation.คำว่า stationary พูดถึงความชัน จึงเป็นสมการของ $\dfrac{dy}{dx}$ · ส่วนความสูงของจุดไม่ได้อยู่ใน $\dfrac{dy}{dx}$ เลย · ถ้าแทน $x$ กลับเข้า $\dfrac{dy}{dx}$ จะได้ $0$ ทุกครั้ง แล้วจะเขียนจุดสองจุดที่อยู่บนแกน $x$ · ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกสมการให้ถูก
A curve has equation $y = 2x^3 - 54x - 4$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real coefficients. This is part (a).
Given $\dfrac{dy}{dx} = 6x^2 - 54$, solve $6x^2 - 54 = 0$ to find the $x$-coordinates of the stationary points.
แก้สมการ $6x^2 - 54 = 0$ เพื่อหาพิกัด $x$ ของจุดคงตัว
Answershow ▾
Same move as question 2. This is the first half of part (b).
The curve $y = 2x^3 - 54x - 4$ has stationary points at $x = -3$ and $x = 3$. Find the coordinates of both stationary points.
Answershow ▾
Same move as question 3, applied twice. This finishes part (b) — do not stop at the $x$-values.
Part (c) says "determine the nature". Write down the only three words that can answer it. Then say which of them $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ cannot decide, and what you have to do instead in that case.
ข้อ (c) บอกว่า "determine the nature" (ระบุชนิดของจุด) · เขียนคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งสามคำ · แล้วบอกว่าคำไหนที่ $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ ตัดสินไม่ได้ และกรณีนั้นต้องทำอะไรแทน
Answershow ▾
"Nature" is asking for a word, not a number, and the second derivative answers it only when it is not zero. Nothing in the mark scheme warns that the test can fail; it simply never fails in the question in front of you.คำว่า nature ต้องการ "คำ" ไม่ใช่ "ตัวเลข" และอนุพันธ์อันดับสองตอบได้ก็ต่อเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ · มาร์คสกีมไม่เคยเตือนว่าวิธีนี้ล้มเหลวได้ เพราะในโจทย์ตรงหน้ามันไม่เคยล้มเหลว
Given $\dfrac{dy}{dx} = 6x^2 - 54$, find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Answershow ▾
Differentiate $\dfrac{dy}{dx}$ again, term by term, exactly as in question 4.
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 12x$, so at $x = -3$ it is $-36$. Which way round is the rule — does a NEGATIVE second derivative mean a maximum or a minimum? Picture the curve there before you answer.
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = 12x$ ดังนั้นที่ $x = -3$ ได้ $-36$ · กฎเป็นแบบไหน อนุพันธ์อันดับสองที่เป็น "ลบ" หมายถึงจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด · ลองนึกภาพเส้นโค้งตรงนั้นก่อนตอบ
Answershow ▾
A negative second derivative means the gradient is falling as you pass through, so the curve bends downwards — a hill. The A1 pays for the word "maximum" once it is written; nothing pays for knowing which sign gives which, and having the two the wrong way round is the commonest single error in the topic.อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ แปลว่าความชันกำลังลดลงขณะผ่านจุดนั้น เส้นโค้งจึงโค้งลง เป็นยอดเนิน · A1 ให้กับคำว่า maximum เมื่อเขียนลงไปแล้ว ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่าเครื่องหมายไหนคู่กับอะไร และการสลับสองอย่างนี้คือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของหัวข้อนี้
Using $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 12x$, determine the nature of the stationary points at $x = -3$ and $x = 3$.
Answershow ▾
$\dfrac{d^2y}{dx^2} \gt 0$ means minimum; $\dfrac{d^2y}{dx^2} \lt 0$ means maximum — the sign convention itself, not the arithmetic, is where the mark is lost.
A curve has equation $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the coordinates of the two stationary points on the curve.
(c) Determine the nature of each stationary point.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
A curve has equation $y = 2x^3 - 54x - 4$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.
(b) Find the coordinates of the two stationary points on the curve.
(c) Determine the nature of each stationary point.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 are part (b); questions 7 and 8 are part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Chain rule decides a sign กฎลูกโซ่ตัดสินเครื่องหมาย
The function f is defined by $\mathrm{f}(x)=\dfrac{1}{3x+2}+x^{2}$ for $x\lt -1$. Determine whether $\mathrm{f}$ is an increasing function, a decreasing function or neither.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac{1}{3x+2}+x^{2}$ สำหรับ $x\lt -1$ จงพิจารณาว่า $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) ฟังก์ชันลด (decreasing function) หรือไม่ใช่ทั้งสอง (neither)
Write $\dfrac{1}{3x+2}$ as a power of $(3x+2)$.
จงเขียน $\dfrac{1}{3x+2}$ ในรูปเลขชี้กำลังของ $(3x+2)$
Answershow ▾
The bracket moves from the bottom to the top, and its power changes sign.วงเล็บย้ายจากส่วนขึ้นไปเศษ แล้วเครื่องหมายของกำลังจะเปลี่ยน
Differentiate $(3x+2)^{-1}$ using the chain rule.
จงดิฟ $(3x+2)^{-1}$ โดยใช้กฎลูกโซ่
Answershow ▾
The power comes down and drops by one, then multiply by the derivative of the bracket, $3$.กำลังลงมาเป็นตัวคูณแล้วลดลงหนึ่ง จากนั้นคูณด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บ คือ $3$
Differentiate $x^{2}$.
จงดิฟ $x^{2}$
Answershow ▾
The power comes down as a multiplier, then the power drops by one.กำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วกำลังลดลงหนึ่ง
$\mathrm{f}(x)=(3x+2)^{-1}+x^{2}$. Pick the way to differentiate the first term.
(A) $(3x+2)^{-1}\to-(3x+2)^{-2}$
(B) $(3x+2)^{-1}\to-3(3x+2)^{-2}$
(C) differentiate the $1$ on top and the $3x+2$ on the bottom separately
$\mathrm{f}(x)=(3x+2)^{-1}+x^{2}$ จงเลือกวิธีดิฟพจน์แรก
(A) $(3x+2)^{-1}\to-(3x+2)^{-2}$
(B) $(3x+2)^{-1}\to-3(3x+2)^{-2}$
(C) ดิฟ $1$ ที่อยู่เศษ และ $3x+2$ ที่อยู่ส่วน แยกกัน
Answershow ▾
(A) drops the power but forgets the chain rule multiplier, the derivative of the bracket. (C) is not how a quotient differentiates - the derivative of a ratio is not the ratio of derivatives.(A) ลดกำลังแล้ว แต่ลืมคูณด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บตามกฎลูกโซ่ · (C) ไม่ใช่วิธีดิฟเศษส่วน เพราะอนุพันธ์ของอัตราส่วนไม่เท่ากับอัตราส่วนของอนุพันธ์
Differentiate $\mathrm{f}(x)=(3x+2)^{-1}+x^{2}$ to find $\mathrm{f}'(x)$.
จงดิฟ $\mathrm{f}(x)=(3x+2)^{-1}+x^{2}$ เพื่อหา $\mathrm{f}'(x)$
Answershow ▾
Each term differentiates on its own: the chain rule on the first, the power rule on the second.แต่ละพจน์ดิฟแยกกัน: พจน์แรกใช้กฎลูกโซ่ พจน์ที่สองใช้กฎกำลัง
Write $\mathrm{f}'(x)=2x-3(3x+2)^{-2}$ with the second term as a fraction.
จงเขียน $\mathrm{f}'(x)=2x-3(3x+2)^{-2}$ ให้พจน์ที่สองอยู่ในรูปเศษส่วน
Answershow ▾
A negative power moves back to the bottom, and its power turns positive again.เลขชี้กำลังติดลบย้ายกลับไปอยู่ส่วน แล้วกำลังกลับเป็นบวก
For $x\lt-1$, work out what $2x$ is less than.
สำหรับ $x\lt-1$ จงหาว่า $2x$ น้อยกว่าเท่าใด
Answershow ▾
Multiply both sides of $x\lt-1$ by $2$; the inequality direction stays the same.คูณทั้งสองข้างของ $x\lt-1$ ด้วย $2$ ทิศทางอสมการไม่เปลี่ยน
Work out the sign of $(3x+2)^{2}$, then of $-\dfrac{3}{(3x+2)^{2}}$.
จงหาเครื่องหมายของ $(3x+2)^{2}$ แล้วของ $-\dfrac{3}{(3x+2)^{2}}$
Answershow ▾
A squared real number is never negative, and the bracket is never zero in this domain.จำนวนจริงยกกำลังสองไม่เป็นลบ และวงเล็บนี้ไม่เป็นศูนย์ตลอดช่วงนี้
Use $2x\lt-2$ and $-\dfrac{3}{(3x+2)^{2}}\lt0$ to decide the sign of $\mathrm{f}'(x)$.
ใช้ $2x\lt-2$ และ $-\dfrac{3}{(3x+2)^{2}}\lt0$ เพื่อตัดสินเครื่องหมายของ $\mathrm{f}'(x)$
Answershow ▾
A negative term plus a negative term is always negative.พจน์ลบบวกกับพจน์ลบ ได้ผลลบเสมอ
$g(x)=\dfrac{1}{2x+5}+x^{2}$ for $x\lt-3$. Determine whether $g$ is increasing, decreasing or neither.
$g(x)=\dfrac{1}{2x+5}+x^{2}$ สำหรับ $x\lt-3$ จงพิจารณาว่า $g$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด หรือไม่ใช่ทั้งสอง
Answershow ▾
Same two facts: $2x$ is negative, and the squared term keeps the second part negative too.สองข้อเท็จจริงเดิม: $2x$ เป็นลบ และพจน์ยกกำลังสองทำให้พจน์ที่สองเป็นลบด้วย
The function f is defined by $\mathrm{f}(x)=\dfrac{1}{3x+2}+x^{2}$ for $x\lt -1$. Determine whether $\mathrm{f}$ is an increasing function, a decreasing function or neither.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac{1}{3x+2}+x^{2}$ สำหรับ $x\lt -1$ จงพิจารณาว่า $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) ฟังก์ชันลด (decreasing function) หรือไม่ใช่ทั้งสอง (neither)
Answershow ▾
3 marks: differentiate with the chain rule, then show both terms are negative on this domain.3 คะแนน: ดิฟโดยใช้กฎลูกโซ่ แล้วแสดงว่าทั้งสองพจน์เป็นลบตลอดช่วงนี้
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two rates joined through one radius สองอัตราที่เชื่อมกันผ่านรัศมีเดียว
Air is being pumped into a balloon in the shape of a sphere so that its volume is increasing at a constant rate of $50\text{ cm}^{3}\text{s}^{-1}$. Find the rate at which the radius of the balloon is increasing when the radius is $10$ cm.
กำลังสูบอากาศเข้าลูกโป่งทรงกลม ทำให้ปริมาตรเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $50\text{ cm}^{3}\text{s}^{-1}$ หาอัตราการเพิ่มขึ้นของรัศมีลูกโป่งเมื่อรัศมีเท่ากับ $10$ ซม.
Differentiate $V=\tfrac43\pi r^{3}$ with respect to $r$.
จงดิฟ $V=\tfrac43\pi r^{3}$ เทียบกับ $r$
Answershow ▾
Multiply the power down, then reduce the power by one.คูณเลขชี้กำลังลงมา แล้วลดเลขชี้กำลังลงหนึ่ง
Evaluate $4\pi r^{2}$ when $r=3$.
จงคำนวณ $4\pi r^{2}$ เมื่อ $r=3$
Answershow ▾
Substitute the radius, then simplify.แทนค่ารัศมี แล้วคำนวณให้ง่ายที่สุด
Round $0.0537482$ to $3$ significant figures.
จงปัดเศษ $0.0537482$ เป็น $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
The first three non-zero digits, then look at the next one to round.สามหลักแรกที่ไม่เป็นศูนย์ แล้วดูหลักถัดไปเพื่อปัดเศษ
The chain rule links $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$. Pick the way to get $\dfrac{dr}{dt}$ alone.
(A) divide $\dfrac{dV}{dt}$ by $\dfrac{dV}{dr}$
(B) multiply $\dfrac{dV}{dt}$ by $\dfrac{dV}{dr}$
(C) divide $\dfrac{dV}{dr}$ by $\dfrac{dV}{dt}$
กฎลูกโซ่เชื่อม $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$ จงเลือกวิธีหา $\dfrac{dr}{dt}$ ตัวเดียว
(A) หาร $\dfrac{dV}{dt}$ ด้วย $\dfrac{dV}{dr}$
(B) คูณ $\dfrac{dV}{dt}$ ด้วย $\dfrac{dV}{dr}$
(C) หาร $\dfrac{dV}{dr}$ ด้วย $\dfrac{dV}{dt}$
Answershow ▾
(B) multiplying two rates makes a new quantity, not $\dfrac{dr}{dt}$ alone - it does not undo the product. (C) puts the wrong rate on top: that gives $\dfrac{dV}{dr}\div\dfrac{dV}{dt}$, the reciprocal of the rate wanted.(B) การคูณสองอัตรา ทำให้ได้ปริมาณใหม่ ไม่ใช่ $\dfrac{dr}{dt}$ ตัวเดียว เพราะไม่ได้ย้อนผลคูณกลับ · (C) สลับตัวตั้ง ได้ $\dfrac{dV}{dr}\div\dfrac{dV}{dt}$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของอัตราที่ต้องการ
The balloon has radius $10$ cm. Evaluate $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ at $r=10$.
ลูกโป่งมีรัศมี $10$ ซม. จงคำนวณ $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$ ที่ $r=10$
Answershow ▾
Substitute $r=10$ before dividing - $\dfrac{dV}{dr}$ must be a number first.แทน $r=10$ ก่อนหาร $\dfrac{dV}{dr}$ ต้องเป็นตัวเลขก่อน
Write the calculation for $\dfrac{dr}{dt}$, using $\dfrac{dV}{dt}=50$ and $\dfrac{dV}{dr}=400\pi$.
จงเขียนวิธีคำนวณ $\dfrac{dr}{dt}$ โดยใช้ $\dfrac{dV}{dt}=50$ และ $\dfrac{dV}{dr}=400\pi$
Answershow ▾
Top is $\dfrac{dV}{dt}$, bottom is $\dfrac{dV}{dr}$.ตัวตั้งคือ $\dfrac{dV}{dt}$ ตัวหารคือ $\dfrac{dV}{dr}$
Evaluate $50\div400\pi$ exactly, as a fraction with $\pi$.
จงคำนวณ $50\div400\pi$ ให้เป็นค่า exact ในรูปเศษส่วนของ $\pi$
Answershow ▾
$400\div50=8$, so divide top and bottom by $50$.$400\div50=8$ จึงหารทั้งเศษและส่วนด้วย $50$
Round $\dfrac{1}{8\pi}$ to $3$ significant figures.
จงปัด $\dfrac{1}{8\pi}$ เป็น $3$ ตำแหน่ง
Answershow ▾
Same rounding rule as before, now on the real answer.กฎการปัดเศษเดิม นำมาใช้กับคำตอบจริง
Check: multiply $\dfrac{dr}{dt}=0.0398$ by $\dfrac{dV}{dr}=400\pi$. Does it match $\dfrac{dV}{dt}=50$?
ตรวจคำตอบ: คูณ $\dfrac{dr}{dt}=0.0398$ ด้วย $\dfrac{dV}{dr}=400\pi$ ตรงกับ $\dfrac{dV}{dt}=50$ หรือไม่
Answershow ▾
The rounded rate, times $\dfrac{dV}{dr}$, gives back $\dfrac{dV}{dt}$.อัตราที่ปัดเศษแล้ว คูณด้วย $\dfrac{dV}{dr}$ ได้กลับมาเป็น $\dfrac{dV}{dt}$
The volume of a sphere increases at a constant rate of $\dfrac{dV}{dt}=8\pi$ cm$^{3}$s$^{-1}$. Find $\dfrac{dr}{dt}$ when $r=2$ cm.
ปริมาตรทรงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $\dfrac{dV}{dt}=8\pi$ cm$^{3}$s$^{-1}$ จงหา $\dfrac{dr}{dt}$ เมื่อ $r=2$ ซม.
Answershow ▾
Same three moves: find $\dfrac{dV}{dr}$ at the radius, then divide.สามขั้นเดิม: หา $\dfrac{dV}{dr}$ ที่รัศมีนั้น แล้วหาร
Air is being pumped into a balloon in the shape of a sphere so that its volume is increasing at a constant rate of $50\text{ cm}^{3}\text{s}^{-1}$. Find the rate at which the radius of the balloon is increasing when the radius is $10$ cm.
กำลังสูบอากาศเข้าลูกโป่งทรงกลม ทำให้ปริมาตรเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $50\text{ cm}^{3}\text{s}^{-1}$ หาอัตราการเพิ่มขึ้นของรัศมีลูกโป่งเมื่อรัศมีเท่ากับ $10$ ซม.
Answershow ▾
3 marks: find $\dfrac{dV}{dr}$ at $r=10$, divide $\dfrac{dV}{dt}$ by it, then simplify.3 คะแนน: หา $\dfrac{dV}{dr}$ ที่ $r=10$ หาร $\dfrac{dV}{dt}$ ด้วยค่านั้น แล้วลดรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A derivative that must stay negative อนุพันธ์ที่ต้องติดลบตลอดช่วง
The function f is defined by $\mathrm{f}(x)=\dfrac13(2x-1)^{\frac32}-2x$ for $\dfrac12\lt x\lt a$. It is given that $\mathrm{f}$ is a decreasing function. Find the maximum possible value of the constant $a$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac13(2x-1)^{\frac32}-2x$ สำหรับ $\dfrac12\lt x\lt a$ กำหนดให้ $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) หาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของค่าคงที่ $a$
Differentiate $\tfrac13(2x-1)^{\frac32}$ using the chain rule.
จงหาอนุพันธ์ของ $\tfrac13(2x-1)^{\frac32}$ ด้วยกฎลูกโซ่
Answershow ▾
The $\tfrac32$ and the $\times2$ from the chain rule give a factor of $3$, which cancels the $\tfrac13$.$\tfrac32$ และ $\times2$ จากกฎลูกโซ่ คูณกันได้ $3$ ซึ่งตัดกับ $\tfrac13$
Solve $\sqrt{u}\lt2$ for $u\ge0$.
จงแก้อสมการ $\sqrt{u}\lt2$ เมื่อ $u\ge0$
Answershow ▾
Both sides are non-negative, so squaring both sides keeps the inequality the same way round.ทั้งสองข้างไม่เป็นลบ การยกกำลังสองทั้งสองข้างจึงไม่ทำให้อสมการกลับทิศ
Solve $2x-1=0$.
จงแก้สมการ $2x-1=0$
Answershow ▾
This is why the domain starts at $x=\tfrac12$: it is the smallest $x$ that keeps $2x-1$ non-negative.นี่คือเหตุผลที่โดเมนเริ่มที่ $x=\tfrac12$ เพราะเป็นค่า $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2x-1$ ไม่เป็นลบ
$\mathrm{f}$ is decreasing for the whole interval $\tfrac12\lt x\lt a$. Pick what this means.
(A) $\mathrm{f}^{\prime}(x)=0$ for some $x$ in the interval
(B) $\mathrm{f}^{\prime}(a)\lt0$, checked only at the right-hand end
(C) $\mathrm{f}^{\prime}(x)\lt0$ for every $x$ in the interval
$\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันลดตลอดช่วง $\tfrac12\lt x\lt a$ จงเลือกความหมายที่ถูก
(A) $\mathrm{f}^{\prime}(x)=0$ ที่บางค่า $x$ ในช่วง
(B) $\mathrm{f}^{\prime}(a)\lt0$ ตรวจแค่ปลายขวา
(C) $\mathrm{f}^{\prime}(x)\lt0$ ทุกค่า $x$ ในช่วง
Answershow ▾
(A) finds one turning point, not a decreasing interval - that is the mark lost by solving $\mathrm{f}^{\prime}(x)=0$ and stopping. (B) one point cannot prove $\mathrm{f}^{\prime}$ stays negative in between.(A) หาจุดเปลี่ยนทิศจุดเดียว ไม่ใช่ช่วงที่ลดตลอด เป็นคะแนนที่เสียเมื่อแก้ $\mathrm{f}^{\prime}(x)=0$ แล้วหยุด · (B) ตรวจจุดเดียวพิสูจน์ไม่ได้ว่า $\mathrm{f}^{\prime}$ เป็นลบตลอดช่วง
$\mathrm{f}(x)=\tfrac13(2x-1)^{\frac32}-2x$. Find $\mathrm{f}'(x)$.
$\mathrm{f}(x)=\tfrac13(2x-1)^{\frac32}-2x$ จงหา $\mathrm{f}'(x)$
Answershow ▾
Same chain rule as before, now with $-2x$ differentiating to $-2$.กฎลูกโซ่เดิม เพิ่มแค่ $-2x$ ที่ดิฟได้ $-2$
$\mathrm{f}$ is decreasing, so $\mathrm{f}'(x)\lt0$. Write $(2x-1)^{\frac12}-2\lt0$ with the $2$ moved to the other side.
$\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันลด จึง $\mathrm{f}'(x)\lt0$ จงย้าย $2$ ใน $(2x-1)^{\frac12}-2\lt0$ ไปอีกข้าง
Answershow ▾
Add $2$ to both sides, the same balancing move used on an equation.บวก $2$ ทั้งสองข้าง เหมือนย้ายข้างสมการ
Square both sides of $(2x-1)^{\frac12}\lt2$, then solve for $x$.
จงยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $(2x-1)^{\frac12}\lt2$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Both sides were non-negative, so squaring kept the same direction.ทั้งสองข้างไม่เป็นลบ การยกกำลังสองจึงไม่กลับทิศ
$x\lt2\tfrac12$ must hold for every $x$ in $\tfrac12\lt x\lt a$. Write down the maximum possible value of $a$.
$x\lt2\tfrac12$ ต้องเป็นจริงทุกค่า $x$ ในช่วง $\tfrac12\lt x\lt a$ จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$
Answershow ▾
$a$ cannot pass the point where $\mathrm{f}^{\prime}(x)$ reaches $0$.$a$ ผ่านจุดที่ $\mathrm{f}^{\prime}(x)$ เท่ากับ $0$ ไปไม่ได้
Check: find $\mathrm{f}'(2)$. It should be negative, since $\tfrac12\lt2\lt2\tfrac12$.
จงตรวจ: หา $\mathrm{f}'(2)$ ควรได้ค่าลบ เพราะ $\tfrac12\lt2\lt2\tfrac12$
Answershow ▾
$\sqrt3\approx1.73$, so $\sqrt3-2$ is negative, matching a point inside the interval.$\sqrt3\approx1.73$ ดังนั้น $\sqrt3-2$ เป็นลบ ตรงกับจุดที่อยู่ในช่วง
$\mathrm{g}(x)=\tfrac13(2x-1)^{\frac32}-x$ for $\tfrac12\lt x\lt a$, and $\mathrm{g}$ is decreasing. Find the maximum possible value of $a$.
$\mathrm{g}(x)=\tfrac13(2x-1)^{\frac32}-x$ สำหรับ $\tfrac12\lt x\lt a$ และ $\mathrm{g}$ เป็นฟังก์ชันลด จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$
Answershow ▾
Same three moves: differentiate, isolate the root, square and solve.สามขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ แยกกรณฑ์ ยกกำลังสองแล้วแก้สมการ
The function f is defined by $\mathrm{f}(x)=\dfrac13(2x-1)^{\frac32}-2x$ for $\dfrac12\lt x\lt a$. It is given that $\mathrm{f}$ is a decreasing function. Find the maximum possible value of the constant $a$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac13(2x-1)^{\frac32}-2x$ สำหรับ $\dfrac12\lt x\lt a$ กำหนดให้ $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) หาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของค่าคงที่ $a$
Answershow ▾
4 marks: $B2$ for the chain-rule derivative, $M1$ for $\mathrm{f}^{\prime}(x)\lt0$ then squaring, $A1$ for the maximum $a$.4 คะแนน: $B2$ สำหรับอนุพันธ์จากกฎลูกโซ่ $M1$ สำหรับ $\mathrm{f}^{\prime}(x)\lt0$ แล้วยกกำลังสอง $A1$ สำหรับค่ามากที่สุดของ $a$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Gradient on a square-root curve ความชันบนเส้นโค้งรากที่สอง
The equation of a curve is $y=2+\sqrt{25-x^{2}}$. Find the coordinates of the point on the curve at which the gradient is $\dfrac43$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=2+\sqrt{25-x^{2}}$ หาพิกัดของจุดบนเส้นโค้งที่ความชัน (gradient) เท่ากับ $\dfrac43$
Write $\sqrt{25-x^{2}}$ as a power.
จงเขียน $\sqrt{25-x^{2}}$ เป็นรูปยกกำลัง
Answershow ▾
A square root is the power $\frac12$.รากที่สองคือการยกกำลัง $\frac12$
Let $u=25-x^{2}$. Find $\dfrac{du}{dx}$.
ให้ $u=25-x^{2}$ จงหา $\dfrac{du}{dx}$
Answershow ▾
Power rule on each term: the derivative of $-x^{2}$ is $-2x$.ใช้กฎกำลังกับแต่ละพจน์: อนุพันธ์ของ $-x^{2}$ คือ $-2x$
If $x\lt0$, is $-x\gt0$ or $-x\lt0$?
ถ้า $x\lt0$ แล้ว $-x\gt0$ หรือ $-x\lt0$
Answershow ▾
A negative number times $-1$ is positive.จำนวนลบคูณด้วย $-1$ ได้ผลบวก
$y=2+\sqrt{25-x^{2}}$. Pick the first move to find $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) differentiate $2$ (it gives $0$) and use the chain rule on $\sqrt{25-x^{2}}$
(B) use the product rule on $2$ and $\sqrt{25-x^{2}}$
(C) square both sides of the equation, then differentiate
$y=2+\sqrt{25-x^{2}}$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $\dfrac{dy}{dx}$
(A) ดิฟ $2$ (ได้ $0$) แล้วใช้กฎลูกโซ่กับ $\sqrt{25-x^{2}}$
(B) ใช้กฎผลคูณกับ $2$ และ $\sqrt{25-x^{2}}$
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ แล้วจึงดิฟ
Answershow ▾
(B) is wrong: $2$ is added, not multiplied, to the root, so no product rule is needed. (C) changes the equation into a different curve, and its gradient is not the original one.(B) ผิด: $2$ ถูกบวก ไม่ใช่คูณ เข้ากับราก จึงไม่ต้องใช้กฎผลคูณ · (C) เปลี่ยนสมการเป็นเส้นโค้งอื่น ความชันที่ได้จึงไม่ใช่ความชันของเส้นโค้งเดิม
Differentiate $y=2+(25-x^{2})^{\frac12}$ to find $\dfrac{dy}{dx}$. Give it as a single fraction.
จงดิฟ $y=2+(25-x^{2})^{\frac12}$ หา $\dfrac{dy}{dx}$ เขียนเป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Chain rule: $\tfrac12(25-x^{2})^{-\frac12}\times(-2x)$ simplifies to $-x$ over the root.กฎลูกโซ่: $\tfrac12(25-x^{2})^{-\frac12}\times(-2x)$ ย่อได้เป็น $-x$ บนราก
$\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}=\dfrac43$. Square both sides, then clear the fractions. Show the result is $9x^{2}=16(25-x^{2})$.
$\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}=\dfrac43$ จงยกกำลังสองทั้งสองข้าง แล้วจัดเศษส่วนให้หมด จงแสดงว่าได้ $9x^{2}=16(25-x^{2})$
Answershow ▾
Squaring removes the root. Cross-multiply to clear the denominator.การยกกำลังสองทำให้รากหมดไป คูณไขว้เพื่อจัดส่วน
Solve $9x^{2}=16(25-x^{2})$ for $x$.
จงแก้สมการ $9x^{2}=16(25-x^{2})$ หา $x$
Answershow ▾
Expand, collect the $x^{2}$ terms, then square-root both sides.กระจาย รวมพจน์ $x^{2}$ แล้วถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
$x=4$ or $x=-4$ both solve $9x^{2}=16(25-x^{2})$. The original equation was $\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}=\dfrac43$, a positive number. Which $x$ is correct?
(A) $x=4$
(B) $x=-4$
(C) both
$x=4$ หรือ $x=-4$ ทั้งสองค่าแก้สมการ $9x^{2}=16(25-x^{2})$ ได้ สมการเดิมคือ $\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}=\dfrac43$ ซึ่งเป็นค่าบวก $x$ ค่าใดถูกต้อง
(A) $x=4$
(B) $x=-4$
(C) ทั้งสองค่า
Answershow ▾
Squaring $-x$ removes the sign, so it allows a solution that does not fit the original equation. At $x=4$ the quotient is $-\tfrac43$, not $\tfrac43$ - only $x=-4$ fits.การยกกำลังสองทำให้ $-x$ เสียเครื่องหมาย จึงได้คำตอบที่ไม่ตรงกับสมการเดิมด้วย · ที่ $x=4$ ผลหารคือ $-\tfrac43$ ไม่ใช่ $\tfrac43$ มีแต่ $x=-4$ ที่ใช้ได้
Use $x=-4$ in $y=2+\sqrt{25-x^{2}}$ to find $y$.
ใช้ $x=-4$ ใน $y=2+\sqrt{25-x^{2}}$ หา $y$
Answershow ▾
$\sqrt{25-16}=3$, since $(-4)^{2}=16$.$\sqrt{25-16}=3$ เพราะ $(-4)^{2}=16$
Check: use $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$ with $x=-4$. Does it give $\dfrac43$?
ตรวจคำตอบ: ใช้ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$ แทน $x=-4$ ได้ $\dfrac43$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct point must satisfy both the curve and the gradient equation.จุดที่ถูกต้องต้องเป็นจริงทั้งกับเส้นโค้งและสมการความชัน
The curve $y=1+\sqrt{100-x^{2}}$ has gradient $\dfrac34$ at one point. Find the coordinates of that point.
เส้นโค้ง $y=1+\sqrt{100-x^{2}}$ มีความชัน $\dfrac34$ ที่จุดหนึ่ง จงหาพิกัดของจุดนั้น
Answershow ▾
Same four moves: chain rule, square the gradient equation, solve, reject the wrong sign.สี่ขั้นเดิม: กฎลูกโซ่ ยกกำลังสองสมการความชัน แก้สมการ ตัดค่าที่เครื่องหมายผิด
The equation of a curve is $y=2+\sqrt{25-x^{2}}$. Find the coordinates of the point on the curve at which the gradient is $\dfrac43$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=2+\sqrt{25-x^{2}}$ หาพิกัดของจุดบนเส้นโค้งที่ความชัน (gradient) เท่ากับ $\dfrac43$
Answershow ▾
5 marks: two for the chain-rule derivative, one for squaring the gradient equation, two for solving and rejecting the wrong sign.5 คะแนน: สองคะแนนสำหรับอนุพันธ์จากกฎลูกโซ่ หนึ่งคะแนนสำหรับการยกกำลังสองสมการความชัน สองคะแนนสำหรับการแก้สมการและตัดค่าที่เครื่องหมายผิด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The normal to a fraction curve นอร์มัลของเส้นโค้งรูปเศษส่วน
A curve has equation $y=\dfrac{3}{2x^{2}-5}$. Find the equation of the normal to the curve at the point $(2,\,1)$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{3}{2x^{2}-5}$ หาสมการของ normal (เส้นตั้งฉากกับ tangent) ของเส้นโค้งนี้ที่จุด $(2,\,1)$ โดยเขียนคำตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Write $\dfrac{3}{2x^{2}-5}$ as $k(2x^{2}-5)^{n}$.
จงเขียน $\dfrac{3}{2x^{2}-5}$ ในรูป $k(2x^{2}-5)^{n}$
Answershow ▾
A fraction with $1$ on top is the bottom raised to the power $-1$.เศษส่วนที่เศษเป็น $1$ คือตัวส่วนยกกำลัง $-1$
Let $u=2x^{2}-5$. Find $\dfrac{du}{dx}$.
ให้ $u=2x^{2}-5$ จงหา $\dfrac{du}{dx}$
Answershow ▾
Power rule on each term: the derivative of $2x^{2}$ is $4x$, and $-5$ differentiates to $0$.ใช้กฎกำลังกับแต่ละพจน์: อนุพันธ์ของ $2x^{2}$ คือ $4x$ และ $-5$ ดิฟได้ $0$
A tangent has gradient $-\dfrac83$. Find the gradient of the normal at that point.
เส้นสัมผัสมีความชัน $-\dfrac83$ จงหาความชันของนอร์มัลที่จุดนั้น
Answershow ▾
Tangent and normal gradients multiply to $-1$, so flip the fraction and swap the sign.ความชันของเส้นสัมผัสกับนอร์มัลคูณกันได้ $-1$ จึงกลับเศษส่วนและสลับเครื่องหมาย
$y=3u^{-1}$, $u=2x^{2}-5$. You found $\dfrac{dy}{du}=-3u^{-2}$. Pick the next step for $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) $\dfrac{dy}{dx}=-3u^{-2}$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=-3u^{-2}\times4x$
(C) $\dfrac{dy}{dx}=-3u^{-2}\times2x^{2}$
$y=3u^{-1}$, $u=2x^{2}-5$ ได้ $\dfrac{dy}{du}=-3u^{-2}$ จงเลือกขั้นต่อไปสำหรับ $\dfrac{dy}{dx}$
(A) $\dfrac{dy}{dx}=-3u^{-2}$
(B) $\dfrac{dy}{dx}=-3u^{-2}\times4x$
(C) $\dfrac{dy}{dx}=-3u^{-2}\times2x^{2}$
Answershow ▾
(A) stops at $\dfrac{dy}{du}$ and never multiplies by $\dfrac{du}{dx}$, so it is not $\dfrac{dy}{dx}$ yet. (C) multiplies by $u$ itself, not its derivative $4x$.(A) หยุดที่ $\dfrac{dy}{du}$ ไม่ได้คูณด้วย $\dfrac{du}{dx}$ จึงยังไม่ใช่ $\dfrac{dy}{dx}$ · (C) คูณด้วย $u$ เอง ไม่ใช่อนุพันธ์ของมันซึ่งคือ $4x$
Differentiate $y=3(2x^{2}-5)^{-1}$ to find $\dfrac{dy}{dx}$.
จงดิฟ $y=3(2x^{2}-5)^{-1}$ หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Chain rule: $-3u^{-2}\times4x$ simplifies to $-12x$ over the bracket squared.กฎลูกโซ่: $-3u^{-2}\times4x$ ย่อได้เป็น $-12x$ บนวงเล็บยกกำลังสอง
The point $(2,1)$ lies on the curve. Evaluate $\dfrac{dy}{dx}$ at $x=2$.
จุด $(2,1)$ อยู่บนเส้นโค้ง จงหาค่า $\dfrac{dy}{dx}$ เมื่อ $x=2$
Answershow ▾
$2(2)^{2}-5=3$, so the bracket squared is $9$.$2(2)^{2}-5=3$ ดังนั้นวงเล็บยกกำลังสองคือ $9$
The tangent gradient at $(2,1)$ is $-\dfrac83$. Pick the first move to find the gradient of the normal.
(A) take the reciprocal: $-\dfrac38$
(B) take the negative reciprocal: $\dfrac38$
(C) negate it: $\dfrac83$
ความชันของเส้นสัมผัสที่ $(2,1)$ คือ $-\dfrac83$ จงเลือกขั้นแรกในการหาความชันของนอร์มัล
(A) กลับเศษส่วน: $-\dfrac38$
(B) กลับเศษส่วนและสลับเครื่องหมาย: $\dfrac38$
(C) สลับเครื่องหมายเฉยๆ: $\dfrac83$
Answershow ▾
Tangent and normal gradients multiply to $-1$. (A) keeps the same sign, so the product is $1$. (C) does not invert, so the product is $-\dfrac{64}{9}$.ความชันของเส้นสัมผัสกับนอร์มัลคูณกันได้ $-1$ · (A) ไม่สลับเครื่องหมาย ผลคูณจึงเป็น $1$ · (C) ไม่กลับเศษส่วน ผลคูณจึงเป็น $-\dfrac{64}{9}$
Find the gradient of the normal at $(2,1)$.
จงหาความชันของนอร์มัลที่จุด $(2,1)$
Answershow ▾
Negative reciprocal of $-\dfrac83$.ส่วนกลับติดลบของ $-\dfrac83$
Write the equation of the normal through $(2,1)$, using $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.
จงเขียนสมการของนอร์มัลที่ผ่านจุด $(2,1)$ โดยใช้ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
Answershow ▾
The point fixes $(x_{1},y_{1})$, and rung 6 fixes $m$.จุดกำหนด $(x_{1},y_{1})$ และข้อ 6 กำหนด $m$
Clear the fraction in $y-1=\dfrac38(x-2)$ and collect it into the form $ax+by+c=0$.
จัดการเศษส่วนใน $y-1=\dfrac38(x-2)$ แล้วรวมพจน์ให้อยู่ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Multiply every term by $8$, then move every term to one side.คูณทุกพจน์ด้วย $8$ แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียวกัน
A curve has equation $y=\dfrac{4}{x^{2}+3}$. Find the equation of the normal at $(1,1)$, in the form $ax+by+c=0$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{4}{x^{2}+3}$ จงหาสมการของนอร์มัลที่จุด $(1,1)$ ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same four moves: chain rule, gradient at the point, negative reciprocal, equation of the line.สี่ขั้นเดิม: กฎลูกโซ่ ความชันที่จุด ส่วนกลับติดลบ สมการของเส้นตรง
A curve has equation $y=\dfrac{3}{2x^{2}-5}$. Find the equation of the normal to the curve at the point $(2,\,1)$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$, where $a$, $b$ and $c$ are integers.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{3}{2x^{2}-5}$ หาสมการของ normal (เส้นตั้งฉากกับ tangent) ของเส้นโค้งนี้ที่จุด $(2,\,1)$ โดยเขียนคำตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
6 marks: most are for method. Show the chain rule, the gradient, the reciprocal and the rearrangement.6 คะแนน: ส่วนใหญ่เป็นคะแนนวิธีทำ จงเขียนกฎลูกโซ่ ความชัน ส่วนกลับติดลบ และการจัดรูปให้ครบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Find k from a flat point หาค่า k จากจุดคงที่
The function f is defined by $\mathrm{f}(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ for $x\gt0$.
(a) Given that the curve with equation $y=\mathrm{f}(x)$ has a stationary point when $x=2$, find $k$.
(b) Determine the nature of the stationary point.
(c) Given that this is the only stationary point of the curve, find the range of $\mathrm{f}$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ สำหรับ $x\gt0$
(ก) กำหนดให้เส้นโค้ง $y=\mathrm{f}(x)$ มีจุดคงที่ (stationary point) ที่ $x=2$ หาค่า $k$
(ข) หาชนิดของจุดคงที่นี้ (nature of the stationary point)
(ค) กำหนดให้นี่เป็นจุดคงที่เพียงจุดเดียวของเส้นโค้ง หาพิสัย (range) ของ $\mathrm{f}$
Differentiate $\dfrac{6}{x}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\dfrac{6}{x}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Write it as $6x^{-1}$, then use the power rule.เขียนเป็น $6x^{-1}$ แล้วใช้กฎกำลัง
A curve's gradient is $-6x^{-2}$. Differentiate this again.
ความชันของเส้นโค้งหนึ่งคือ $-6x^{-2}$ จงหาอนุพันธ์อีกครั้ง
Answershow ▾
Multiply by the power, then reduce the power by $1$ again.คูณด้วยเลขชี้กำลัง แล้วลดเลขชี้กำลังลงอีก $1$
A function has exactly one minimum point, for $x\gt0$, and the minimum value is $5$. Write the range of the function.
ฟังก์ชันหนึ่งมีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียว สำหรับ $x\gt0$ และค่าต่ำสุดคือ $5$ จงเขียนพิสัยของฟังก์ชันนี้
Answershow ▾
The function never goes below its one minimum value.ฟังก์ชันไม่มีค่าต่ำกว่าค่าต่ำสุดเพียงค่าเดียวนี้
A curve has a stationary point at $x=2$. Which equation do you solve for $k$?
(A) $\mathrm{f}(2)=0$
(B) $\mathrm{f}'(2)=0$
(C) $\mathrm{f}''(2)=0$
เส้นโค้งมีจุดคงที่ที่ $x=2$ จะแก้สมการใดเพื่อหา $k$
(A) $\mathrm{f}(2)=0$
(B) $\mathrm{f}'(2)=0$
(C) $\mathrm{f}''(2)=0$
Answershow ▾
(A) sets the curve's height to $0$, which is not what a stationary point means. (C) checks the curve's bend, which only matters once $k$ is already known.(A) ตั้งค่าความสูงของเส้นโค้งเป็น $0$ ซึ่งไม่ใช่ความหมายของจุดคงที่ · (C) ตรวจความเว้าของเส้นโค้ง ซึ่งสำคัญก็ต่อเมื่อรู้ค่า $k$ แล้ว
$\mathrm{f}(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ for $x\gt0$. Find $\mathrm{f}'(x)$.
$\mathrm{f}(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ สำหรับ $x\gt0$ จงหา $\mathrm{f}'(x)$
Answershow ▾
Differentiate each term; $\dfrac{k}{x}=kx^{-1}$ differentiates like question 1.หาอนุพันธ์ทีละพจน์ · $\dfrac{k}{x}=kx^{-1}$ หาอนุพันธ์เหมือนข้อ 1
Use $\mathrm{f}'(2)=0$ to find $k$.
ใช้ $\mathrm{f}'(2)=0$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Substitute $x=2$ into $\mathrm{f}'(x)$, then solve.แทน $x=2$ ใน $\mathrm{f}'(x)$ แล้วแก้สมการ
$k=16$ is found. Which test decides whether $x=2$ is a maximum or a minimum?
(A) compare $\mathrm{f}(1)$ and $\mathrm{f}(3)$ to $\mathrm{f}(2)$
(B) check the sign of $\mathrm{f}''(2)$
(C) check that $\mathrm{f}'(2)=0$ again
เมื่อได้ $k=16$ แล้ว จะใช้วิธีใดตัดสินว่า $x=2$ เป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด
(A) เทียบ $\mathrm{f}(1)$ และ $\mathrm{f}(3)$ กับ $\mathrm{f}(2)$
(B) ตรวจเครื่องหมายของ $\mathrm{f}''(2)$
(C) ตรวจว่า $\mathrm{f}'(2)=0$ อีกครั้ง
Answershow ▾
(A) only compares two values; it does not use the curve's bend, so it cannot show the nature of the point. (C) only confirms $k$ is right, not the shape there.(A) เทียบค่าแค่สองค่า ไม่ได้ใช้ความเว้าของเส้นโค้ง จึงไม่สามารถบอกชนิดของจุดคงที่ได้ · (C) ยืนยันแค่ว่า $k$ ถูกต้อง ไม่ได้บอกรูปร่างที่จุดนั้น
Find $\mathrm{f}''(x)$, evaluate it at $x=2$, and state the nature of the stationary point.
จงหา $\mathrm{f}''(x)$ ประเมินค่าที่ $x=2$ แล้วบอกชนิดของจุดคงที่
Answershow ▾
Differentiate $\mathrm{f}'(x)$ again; a positive second derivative means the curve bends upward.หาอนุพันธ์ของ $\mathrm{f}'(x)$ อีกครั้ง · อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก แปลว่าเส้นโค้งเว้าขึ้น
Using $k=16$, work out $\mathrm{f}(2)$.
ใช้ $k=16$ หาค่า $\mathrm{f}(2)$
Answershow ▾
Substitute $x=2$ and $k=16$ into $\mathrm{f}(x)$.แทน $x=2$ และ $k=16$ ใน $\mathrm{f}(x)$
Check: evaluate $\mathrm{f}(1)$ and $\mathrm{f}(4)$ using $k=16$. Are both greater than $14$?
ตรวจคำตอบ: หาค่า $\mathrm{f}(1)$ และ $\mathrm{f}(4)$ โดยใช้ $k=16$ มากกว่า $14$ ทั้งคู่หรือไม่
Answershow ▾
Both values sit above $14$, matching a single minimum for $x\gt0$.ทั้งสองค่าสูงกว่า $14$ สอดคล้องกับการมีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียวสำหรับ $x\gt0$
$g(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ for $x\gt0$, with a stationary point at $x=1$. Find $k$, the nature of the point, and the range of $g$.
$g(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ สำหรับ $x\gt0$ มีจุดคงที่ที่ $x=1$ จงหาค่า $k$ ชนิดของจุดคงที่ และพิสัยของ $g$
Answershow ▾
Same three moves as before: differentiate, solve for $k$, then test with the second derivative.สามขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ แก้หา $k$ แล้วทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง
The function f is defined by $\mathrm{f}(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ for $x\gt0$.
(a) Given that the curve with equation $y=\mathrm{f}(x)$ has a stationary point when $x=2$, find $k$.
(b) Determine the nature of the stationary point.
(c) Given that this is the only stationary point of the curve, find the range of $\mathrm{f}$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=x^{2}+\dfrac{k}{x}+2$ สำหรับ $x\gt0$
(ก) กำหนดให้เส้นโค้ง $y=\mathrm{f}(x)$ มีจุดคงที่ (stationary point) ที่ $x=2$ หาค่า $k$
(ข) หาชนิดของจุดคงที่นี้ (nature of the stationary point)
(ค) กำหนดให้นี่เป็นจุดคงที่เพียงจุดเดียวของเส้นโค้ง หาพิสัย (range) ของ $\mathrm{f}$
Answershow ▾
7 marks across three parts: differentiate for $k$, test with $\mathrm{f}''$, then evaluate at the minimum.7 คะแนน สามส่วน: หาอนุพันธ์เพื่อหา $k$ ทดสอบด้วย $\mathrm{f}''$ แล้วประเมินค่าที่จุดต่ำสุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The normal, then two linked rates normal แล้วอัตราที่เชื่อมกันสองค่า
A curve has equation $y=2\sqrt{x}-1$.
(a) Find the equation of the normal to the curve at the point $A(4,\,3)$, giving your answer in the form $y=mx+c$.
(b) A point is moving along the curve $y=2\sqrt{x}-1$ in such a way that at $A$ the rate of increase of the $x$-coordinate is $3\text{ cm s}^{-1}$. Find the rate of increase of the $y$-coordinate at $A$.
(c) At $A$ the moving point suddenly changes direction and speed, and moves down the normal in such a way that the rate of decrease of the $y$-coordinate is constant at $5\text{ cm s}^{-1}$. As the point moves down the normal, find the rate of change of its $x$-coordinate.
เส้นโค้งมีสมการ $y=2\sqrt{x}-1$
(ก) หาสมการของ normal ของเส้นโค้งนี้ที่จุด $A(4,\,3)$ โดยเขียนคำตอบในรูป $y=mx+c$
(ข) จุดหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง $y=2\sqrt{x}-1$ โดยที่ ณ จุด $A$ อัตราการเพิ่มขึ้นของพิกัด $x$ เท่ากับ $3\text{ cm s}^{-1}$ หาอัตราการเพิ่มขึ้นของพิกัด $y$ ที่จุด $A$
(ค) ที่จุด $A$ จุดนั้นเปลี่ยนทิศทางและความเร็วทันที แล้วเคลื่อนที่ลงไปตามแนว normal โดยที่อัตราการลดลงของพิกัด $y$ คงที่เท่ากับ $5\text{ cm s}^{-1}$ ขณะที่จุดเคลื่อนที่ลงตามแนว normal หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัด $x$
Write $y=2\sqrt{x}-1$ using a power of $x$, then differentiate it.
จงเขียน $y=2\sqrt{x}-1$ โดยใช้เลขชี้กำลังของ $x$ แล้วหาอนุพันธ์
Answershow ▾
$\sqrt{x}=x^{\frac12}$, then the power rule drops the power by $1$.$\sqrt{x}=x^{\frac12}$ จากนั้นกฎกำลังลดเลขชี้กำลังลง $1$
For $\dfrac{dy}{dx}=x^{-\frac12}$, find its value at $x=4$.
สำหรับ $\dfrac{dy}{dx}=x^{-\frac12}$ จงหาค่าเมื่อ $x=4$
Answershow ▾
$4^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt4}$.$4^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt4}$
A quantity $y$ depends on $x$, with $\dfrac{dy}{dx}=4$. $x$ increases at $2$ units per second. Find $\dfrac{dy}{dt}$.
ปริมาณ $y$ ขึ้นกับ $x$ โดย $\dfrac{dy}{dx}=4$ และ $x$ เพิ่มขึ้นด้วยอัตรา $2$ หน่วยต่อวินาที จงหา $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Multiply the two rates: $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$.คูณอัตราทั้งสองเข้าด้วยกัน: $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$
At $A$, the tangent gradient is $\dfrac12$. Pick the normal's gradient.
(A) $\dfrac12$
(B) $2$
(C) $-2$
ที่จุด $A$ ความชันของเส้นสัมผัสคือ $\dfrac12$ จงเลือกความชันของ normal
(A) $\dfrac12$
(B) $2$
(C) $-2$
Answershow ▾
(A) keeps the tangent's own gradient, not the normal's. (B) takes the reciprocal but keeps the same sign; the normal needs the reciprocal AND the sign flipped.(A) ใช้ความชันของเส้นสัมผัสเอง ไม่ใช่ของ normal · (B) กลับเศษส่วนแต่เครื่องหมายยังเหมือนเดิม ทั้งที่ normal ต้องกลับทั้งเศษส่วนและเครื่องหมาย
Write the equation of the line through $A(4,3)$ with gradient $-2$, using $y-y_1=m(x-x_1)$.
จงเขียนสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด $A(4,3)$ และมีความชัน $-2$ โดยใช้ $y-y_1=m(x-x_1)$
Answershow ▾
Substitute the point and the gradient directly into the formula.แทนจุดและความชันลงในสูตรโดยตรง
Expand and rearrange $y-3=-2(x-4)$ into the form $y=mx+c$.
จงกระจายและจัดรูป $y-3=-2(x-4)$ ให้อยู่ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Expand the bracket first, then add $3$ to both sides.กระจายวงเล็บก่อน แล้วบวก $3$ ทั้งสองข้าง
At $A$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac12$ and $\dfrac{dx}{dt}=3\text{ cm s}^{-1}$. Find $\dfrac{dy}{dt}$.
ที่ $A$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac12$ และ $\dfrac{dx}{dt}=3\text{ cm s}^{-1}$ จงหา $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Multiply the two rates: $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$.คูณอัตราทั้งสองเข้าด้วยกัน: $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$
At $A$ the point now moves down the normal, with $\dfrac{dy}{dt}=-5\text{ cm s}^{-1}$. The normal's gradient is $-2$. Pick the equation for $\dfrac{dx}{dt}$.
(A) $\dfrac{dx}{dt}=(-5)\times(-2)$
(B) $\dfrac{dx}{dt}=(-5)\div(-2)$
(C) $\dfrac{dx}{dt}=(-2)\div(-5)$
ที่จุด $A$ จุดเคลื่อนที่ลงตามแนว normal โดย $\dfrac{dy}{dt}=-5\text{ cm s}^{-1}$ ความชันของ normal คือ $-2$ จงเลือกสมการสำหรับ $\dfrac{dx}{dt}$
(A) $\dfrac{dx}{dt}=(-5)\times(-2)$
(B) $\dfrac{dx}{dt}=(-5)\div(-2)$
(C) $\dfrac{dx}{dt}=(-2)\div(-5)$
Answershow ▾
The chain rule gives $\dfrac{dy}{dt}=m_{\text{normal}}\times\dfrac{dx}{dt}$, so finding $\dfrac{dx}{dt}$ needs dividing, not multiplying. (A) multiplies instead. (C) divides the wrong way round.กฎลูกโซ่ให้ $\dfrac{dy}{dt}=m_{\text{normal}}\times\dfrac{dx}{dt}$ ดังนั้นการหา $\dfrac{dx}{dt}$ ต้องหาร ไม่ใช่คูณ · (A) คูณแทนการหาร · (C) หารสลับข้างผิด
Use $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}\div m_{\text{normal}}$ with $\dfrac{dy}{dt}=-5$ and $m_{\text{normal}}=-2$ to find $\dfrac{dx}{dt}$.
ใช้ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}\div m_{\text{normal}}$ โดย $\dfrac{dy}{dt}=-5$ และ $m_{\text{normal}}=-2$ จงหา $\dfrac{dx}{dt}$
Answershow ▾
A negative divided by a negative is positive.ลบหารด้วยลบได้บวก
Check: if $x$ increases by $\dfrac52$ cm in one second, use $y=-2x+11$ to find how much $y$ changes. Does it match the given rate of decrease, $5\text{ cm s}^{-1}$?
ตรวจคำตอบ: ถ้า $x$ เพิ่มขึ้น $\dfrac52$ cm ในหนึ่งวินาที ใช้ $y=-2x+11$ หาว่า $y$ เปลี่ยนไป เท่าใด ตรงกับอัตราการลดลงที่กำหนด $5\text{ cm s}^{-1}$ หรือไม่
Answershow ▾
The gradient of the normal, $-2$, gives the change in $y$ per unit change in $x$.ความชันของ normal คือ $-2$ บอกการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ต่อการเปลี่ยนแปลงหนึ่งหน่วยของ $x$
A curve has equation $y=2\sqrt{x}+1$.
(a) Find the equation of the normal at the point $A$ where $x=9$, in the form $y=mx+c$.
(b) A point moves along the curve so that at $A$, $\dfrac{dx}{dt}=3\text{ cm s}^{-1}$. Find $\dfrac{dy}{dt}$ at $A$.
(c) The point then moves down the normal with $\dfrac{dy}{dt}=-6\text{ cm s}^{-1}$. Find $\dfrac{dx}{dt}$.
เส้นโค้งมีสมการ $y=2\sqrt{x}+1$
(ก) หาสมการของ normal ที่จุด $A$ ซึ่ง $x=9$ โดยเขียนในรูป $y=mx+c$
(ข) จุดหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งโดยที่ ณ จุด $A$, $\dfrac{dx}{dt}=3\text{ cm s}^{-1}$ จงหา $\dfrac{dy}{dt}$ ที่จุด $A$
(ค) จากนั้นจุดเคลื่อนที่ลงตามแนว normal โดย $\dfrac{dy}{dt}=-6\text{ cm s}^{-1}$ จงหา $\dfrac{dx}{dt}$
Answershow ▾
Same three moves: differentiate and find the normal gradient, multiply the rates, then divide them the other way.สามขั้นเดิม: ดิฟหาความชันของ normal คูณอัตราทั้งสอง แล้วหารกลับด้าน
A curve has equation $y=2\sqrt{x}-1$.
(a) Find the equation of the normal to the curve at the point $A(4,\,3)$, giving your answer in the form $y=mx+c$.
(b) A point is moving along the curve $y=2\sqrt{x}-1$ in such a way that at $A$ the rate of increase of the $x$-coordinate is $3\text{ cm s}^{-1}$. Find the rate of increase of the $y$-coordinate at $A$.
(c) At $A$ the moving point suddenly changes direction and speed, and moves down the normal in such a way that the rate of decrease of the $y$-coordinate is constant at $5\text{ cm s}^{-1}$. As the point moves down the normal, find the rate of change of its $x$-coordinate.
เส้นโค้งมีสมการ $y=2\sqrt{x}-1$
(ก) หาสมการของ normal ของเส้นโค้งนี้ที่จุด $A(4,\,3)$ โดยเขียนคำตอบในรูป $y=mx+c$
(ข) จุดหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง $y=2\sqrt{x}-1$ โดยที่ ณ จุด $A$ อัตราการเพิ่มขึ้นของพิกัด $x$ เท่ากับ $3\text{ cm s}^{-1}$ หาอัตราการเพิ่มขึ้นของพิกัด $y$ ที่จุด $A$
(ค) ที่จุด $A$ จุดนั้นเปลี่ยนทิศทางและความเร็วทันที แล้วเคลื่อนที่ลงไปตามแนว normal โดยที่อัตราการลดลงของพิกัด $y$ คงที่เท่ากับ $5\text{ cm s}^{-1}$ ขณะที่จุดเคลื่อนที่ลงตามแนว normal หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัด $x$
Answershow ▾
8 marks across three parts: differentiate for the normal, apply the chain rule forward for (b), then divide the other way for (c).8 คะแนนใน 3 ส่วน: ดิฟหา normal ใช้กฎลูกโซ่แบบคูณในข้อ (ข) แล้วหารกลับด้านในข้อ (ค)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Decreasing interval, then tangent k ช่วงที่ลดลง แล้วหา k ของ tangent
The equation of a curve is $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$.
(a) Find the set of values of $x$ for which $y$ decreases as $x$ increases.
(b) It is given that $y=9x+k$ is a tangent to the curve. Find the value of the constant $k$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$
(ก) หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $y$ ลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น
(ข) กำหนดให้ $y=9x+k$ เป็น tangent ของเส้นโค้งนี้ หาค่าคงที่ $k$
Differentiate $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$.
จงดิฟ $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$
Answershow ▾
Each power comes down as a multiplier, then its power drops by one.เลขชี้กำลังของแต่ละพจน์ลงมาเป็นตัวคูณ แล้วเลขชี้กำลังลดลงหนึ่ง
If $-3x\leqslant9$, solve for $x$.
ถ้า $-3x\leqslant9$ จงแก้หา $x$
Answershow ▾
Dividing both sides by a negative number flips the inequality sign.การหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบ ทำให้เครื่องหมายอสมการสลับ
Factorise $9x^{2}-12x-5$.
จงแยกตัวประกอบ $9x^{2}-12x-5$
Answershow ▾
Try factors of $9$ and $5$ until the cross terms give $-12x$.ลองตัวประกอบของ $9$ และ $5$ จนกว่าผลคูณไขว้จะได้ $-12x$
$9x^{2}-12x-5=(3x+1)(3x-5)$, and you need $(3x+1)(3x-5)\geqslant0$. The critical values are $x=-\tfrac13$ and $x=\tfrac53$. Pick the solution set.
(A) $-\tfrac13\leqslant x\leqslant\tfrac53$
(B) $x\leqslant-\tfrac13$ or $x\geqslant\tfrac53$
(C) $x=-\tfrac13$ or $x=\tfrac53$
$9x^{2}-12x-5=(3x+1)(3x-5)$ และต้องการ $(3x+1)(3x-5)\geqslant0$ ค่าวิกฤตคือ $x=-\tfrac13$ และ $x=\tfrac53$ จงเลือกเซตคำตอบ
(A) $-\tfrac13\leqslant x\leqslant\tfrac53$
(B) $x\leqslant-\tfrac13$ หรือ $x\geqslant\tfrac53$
(C) $x=-\tfrac13$ หรือ $x=\tfrac53$
Answershow ▾
(A) is the shape for $\leqslant0$, between the roots - but this is $\geqslant0$ with a positive $x^{2}$ coefficient, so the region is outside the roots. (C) gives only where it equals $0$, not the whole region $\geqslant0$.(A) เป็นรูปของ $\leqslant0$ คือช่วงระหว่างราก แต่โจทย์นี้คือ $\geqslant0$ และสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ เป็นบวก จึงเป็นช่วงนอกราก · (C) ให้แค่จุดที่เท่ากับ $0$ ไม่ใช่ทั้งช่วงที่ $\geqslant0$
$y$ decreases as $x$ increases where $\dfrac{dy}{dx}\leqslant0$. Write this inequality using $\dfrac{dy}{dx}=5+12x-9x^{2}$.
$y$ ลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น ในช่วงที่ $\dfrac{dy}{dx}\leqslant0$ จงเขียนอสมการนี้โดยใช้ $\dfrac{dy}{dx}=5+12x-9x^{2}$
Answershow ▾
Decreasing means the gradient is negative or zero.ลดลง หมายถึงความชันเป็นลบหรือเป็นศูนย์
Rearrange $5+12x-9x^{2}\leqslant0$ so that the $x^{2}$ term is positive.
จงจัดรูป $5+12x-9x^{2}\leqslant0$ ให้พจน์ $x^{2}$ เป็นบวก
Answershow ▾
Multiplying by $-1$ flips the inequality, just like question $2$.คูณด้วย $-1$ ทำให้อสมการสลับทิศทาง เหมือนข้อ $2$
Hence, using $9x^{2}-12x-5=(3x+1)(3x-5)\geqslant0$, write the set of values of $x$ for which $y$ decreases as $x$ increases.
จากนั้น ใช้ $9x^{2}-12x-5=(3x+1)(3x-5)\geqslant0$ จงเขียนเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $y$ ลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น
Answershow ▾
Outside the roots, the same shape as the decision question.นอกช่วงราก เป็นรูปแบบเดียวกับคำถามตัดสินใจก่อนหน้า
It is given that $y=9x+k$ is a tangent to the curve. Pick the first move to find $x$ at the point of tangency.
(A) substitute $9x+k$ for $y$ in the curve equation and set the discriminant to $0$
(B) set $\dfrac{dy}{dx}=9$ and solve for $x$
(C) set $9x+k=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$ and solve for $k$
กำหนดให้ $y=9x+k$ เป็น tangent ของเส้นโค้งนี้ จงเลือกขั้นแรกในการหา $x$ ที่จุดสัมผัส
(A) แทน $9x+k$ เป็น $y$ ในสมการเส้นโค้ง แล้วให้ดิสคริมิแนนต์เป็น $0$
(B) ให้ $\dfrac{dy}{dx}=9$ แล้วแก้หา $x$
(C) ให้ $9x+k=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$ แล้วแก้หา $k$
Answershow ▾
(A) leaves a cubic with two unknowns $x$ and $k$, and a cubic has no simple discriminant test. (C) also has two unknowns in one equation, so $x$ cannot be found first.(A) เหลือสมการกำลังสามที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัวคือ $x$ และ $k$ ซึ่งไม่มีดิสคริมิแนนต์อย่างง่าย · (C) ก็มีตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัวในสมการเดียว จึงหา $x$ ก่อนไม่ได้
Set $\dfrac{dy}{dx}=9$ using $\dfrac{dy}{dx}=5+12x-9x^{2}$, then solve for $x$.
ให้ $\dfrac{dy}{dx}=9$ โดยใช้ $\dfrac{dy}{dx}=5+12x-9x^{2}$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
The equation is a perfect square, so there is only one value of $x$.สมการนี้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จึงมีค่า $x$ เพียงค่าเดียว
Find $y$ when $x=\tfrac23$ using $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$, then find $k$ using $y=9x+k$.
จงหา $y$ เมื่อ $x=\tfrac23$ โดยใช้ $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$ แล้วหา $k$ โดยใช้ $y=9x+k$
Answershow ▾
Evaluate $y$ first, then rearrange $y=9x+k$ for $k$.คำนวณ $y$ ก่อน แล้วจัดรูป $y=9x+k$ เพื่อหา $k$
The equation of a curve is $y=1+9x+3x^{2}-x^{3}$.
(a) Find the set of values of $x$ for which $y$ decreases as $x$ increases.
(b) It is given that $y=12x+k$ is a tangent to the curve. Find the value of the constant $k$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=1+9x+3x^{2}-x^{3}$
(a) จงหาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $y$ ลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น
(b) กำหนดให้ $y=12x+k$ เป็น tangent ของเส้นโค้งนี้ จงหาค่าคงที่ $k$
Answershow ▾
Same four moves: differentiate, flip the inequality, factorise for (a); set the gradient equal for (b).สี่ขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ กลับอสมการ แยกตัวประกอบสำหรับ (a) · ให้ความชันเท่ากับค่าที่กำหนดสำหรับ (b)
The equation of a curve is $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$.
(a) Find the set of values of $x$ for which $y$ decreases as $x$ increases.
(b) It is given that $y=9x+k$ is a tangent to the curve. Find the value of the constant $k$.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=4+5x+6x^{2}-3x^{3}$
(ก) หาเซตของค่า $x$ ที่ทำให้ $y$ ลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น
(ข) กำหนดให้ $y=9x+k$ เป็น tangent ของเส้นโค้งนี้ หาค่าคงที่ $k$
Answershow ▾
8 marks: 4 for differentiating, flipping, factorising and reading outside the roots; 4 for setting the gradient to $9$, then finding $y$ and $k$.8 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับหาอนุพันธ์ กลับอสมการ แยกตัวประกอบ แล้วอ่านช่วงนอกราก · 4 คะแนนสำหรับให้ความชันเท่ากับ $9$ แล้วหา $y$ และ $k$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Stationary points, start to finish จุดคงที่ ตั้งแต่ต้นจนจบ
The equation of a curve is $y=54x-(2x-7)^{3}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ and $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
(b) Find the coordinates of each of the stationary points on the curve.
(c) Determine the nature of each of the stationary points.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=54x-(2x-7)^{3}$
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ และ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
(ข) หาพิกัดของจุดคงที่ (stationary points) แต่ละจุดบนเส้นโค้งนี้
(ค) หาชนิดของจุดคงที่ (nature of the stationary points) แต่ละจุด
Differentiate $(2x-7)^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $(2x-7)^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Power rule on the bracket, times the derivative of the bracket.กฎกำลังกับวงเล็บ คูณด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บ
Differentiate $(2x-7)^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $(2x-7)^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Power rule on the bracket, times the derivative of the bracket.กฎกำลังกับวงเล็บ คูณด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บ
Solve $(2x-7)^{2}=9$.
จงแก้สมการ $(2x-7)^{2}=9$
Answershow ▾
A squared bracket equal to $9$ has two square roots, $+3$ and $-3$.วงเล็บยกกำลังสองเท่ากับ $9$ มีรากที่สองสองค่า คือ $+3$ และ $-3$
$y=54x-(2x-7)^{3}$. Pick the first move to find $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) differentiate term by term, using the chain rule on the bracket
(B) expand $(2x-7)^{3}$ first, then differentiate term by term
(C) treat $(2x-7)^{3}$ as $(2x)^{3}-7^{3}$
$y=54x-(2x-7)^{3}$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $\dfrac{dy}{dx}$
(A) หาอนุพันธ์ทีละพจน์ โดยใช้กฎลูกโซ่กับวงเล็บ
(B) กระจาย $(2x-7)^{3}$ ก่อน แล้วหาอนุพันธ์ทีละพจน์
(C) ให้ $(2x-7)^{3}$ เท่ากับ $(2x)^{3}-7^{3}$
Answershow ▾
(B) works, but expanding a cube adds arithmetic and risk. (C) is wrong: a power does not split over subtraction.(B) ใช้ได้ แต่การกระจายกำลังสามเพิ่มการคำนวณและความเสี่ยง · (C) ผิด เพราะเลขชี้กำลังไม่กระจายผ่านการลบ
$y=54x-(2x-7)^{3}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
$y=54x-(2x-7)^{3}$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
$54x$ differentiates to $54$. The bracket uses the chain rule from question 1.$54x$ หาอนุพันธ์ได้ $54$ · วงเล็บใช้กฎลูกโซ่จากข้อ 1
$\dfrac{dy}{dx}=54-6(2x-7)^{2}$. Find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
$\dfrac{dy}{dx}=54-6(2x-7)^{2}$ จงหา $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
Answershow ▾
Differentiate $-6(2x-7)^{2}$. The bracket uses the chain rule from question 2.หาอนุพันธ์ของ $-6(2x-7)^{2}$ · วงเล็บใช้กฎลูกโซ่จากข้อ 2
Set $54-6(2x-7)^{2}=0$ and find the values of $x$.
ให้ $54-6(2x-7)^{2}=0$ แล้วหาค่า $x$
Answershow ▾
Rearrange to a squared bracket equal to a number, then use question 3.จัดรูปให้ได้วงเล็บยกกำลังสองเท่ากับจำนวน แล้วใช้ข้อ 3
$x=2$ and $x=5$ are the stationary points. Pick the first move to find their nature.
(A) substitute each $x$ into $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
(B) substitute each $x$ into $\dfrac{dy}{dx}$
(C) compare the $y$-values of the two points
$x=2$ และ $x=5$ เป็นจุดคงที่ จงเลือกขั้นแรกในการหาชนิดของจุด
(A) แทน $x$ แต่ละค่าใน $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
(B) แทน $x$ แต่ละค่าใน $\dfrac{dy}{dx}$
(C) เทียบค่า $y$ ของทั้งสองจุด
Answershow ▾
(B) gives $0$ at both points, since that is how they were found, so it adds nothing. (C) compares height, not shape: a larger $y$ does not mean a maximum.(B) ได้ $0$ ที่ทั้งสองจุด เพราะเป็นวิธีที่ใช้หาจุดเหล่านั้นมาแล้ว จึงไม่ได้ข้อมูลใหม่ · (C) เทียบความสูง ไม่ใช่รูปร่าง $y$ ที่มากกว่าไม่ได้แปลว่าเป็นจุดสูงสุด
Use $y=54x-(2x-7)^{3}$ to find $y$ when $x=2$ and when $x=5$.
ใช้ $y=54x-(2x-7)^{3}$ หา $y$ เมื่อ $x=2$ และเมื่อ $x=5$
Answershow ▾
Two stationary points, two $y$-values - substitute each $x$ back into the curve.จุดคงที่สองจุด ได้ $y$ สองค่า · แทน $x$ แต่ละค่ากลับในสมการเส้นโค้ง
Find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ at $x=2$ and at $x=5$, and state the nature of each stationary point.
จงหา $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ที่ $x=2$ และที่ $x=5$ แล้วบอกชนิดของจุดคงที่แต่ละจุด
Answershow ▾
A negative second derivative means a maximum; a positive one means a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ หมายถึงจุดสูงสุด เป็นบวกหมายถึงจุดต่ำสุด
The equation of a curve is $y=12x-(x-1)^{3}$. Find the stationary points and determine their nature.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=12x-(x-1)^{3}$ จงหาจุดคงที่และบอกชนิดของจุดคงที่
Answershow ▾
Same three moves as the exam question: differentiate twice, solve $\dfrac{dy}{dx}=0$, then check the sign of $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.สามขั้นเดิมเหมือนข้อสอบ: หาอนุพันธ์สองครั้ง แก้ $\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วตรวจเครื่องหมายของ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
The equation of a curve is $y=54x-(2x-7)^{3}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ and $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
(b) Find the coordinates of each of the stationary points on the curve.
(c) Determine the nature of each of the stationary points.
สมการของเส้นโค้งคือ $y=54x-(2x-7)^{3}$
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ และ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$
(ข) หาพิกัดของจุดคงที่ (stationary points) แต่ละจุดบนเส้นโค้งนี้
(ค) หาชนิดของจุดคงที่ (nature of the stationary points) แต่ละจุด
Answershow ▾
9 marks: 4 for differentiating twice, 3 for the stationary points, 2 for their nature.9 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับการหาอนุพันธ์สองครั้ง 3 คะแนนสำหรับจุดคงที่ 2 คะแนนสำหรับชนิดของจุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A general formula, then two cases สูตรทั่วไปหนึ่งสูตร ใช้สองกรณี
It is given that a curve has equation $y=\dfrac{k}{3x-k}+3x$, where $k$ is a constant.
(a) Find, in terms of $k$, the values of $x$ at which there is a stationary point.
(b) The function f has a stationary value at $x=a$ and is defined by $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4}{3x-4}+3x$ for $x\ge\dfrac32$. Find the value of $a$ and determine the nature of the stationary value.
(c) The function g is defined by $\mathrm{g}(x)=\dfrac{-1}{3x+1}+3x$ for $x\ge0$. Determine, making your reasoning clear, whether $\mathrm{g}$ is an increasing function, a decreasing function or neither.
กำหนดให้เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{k}{3x-k}+3x$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาค่า $x$ ในรูปของ $k$ ที่ทำให้เกิดจุดคงที่ (stationary point)
(ข) ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ มีค่าคงที่ (stationary value) ที่ $x=a$ และนิยามโดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4}{3x-4}+3x$ สำหรับ $x\ge\dfrac32$ หาค่า $a$ และชนิดของค่าคงที่นี้
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=\dfrac{-1}{3x+1}+3x$ สำหรับ $x\ge0$ จงพิจารณาพร้อมแสดงเหตุผลให้ชัดเจนว่า $\mathrm{g}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด หรือไม่ใช่ทั้งสอง
Differentiate $4(3x-4)^{-1}$ using the chain rule.
จงหาอนุพันธ์ของ $4(3x-4)^{-1}$ โดยใช้กฎลูกโซ่
Answershow ▾
Multiply by the power, $-1$, then by the derivative of the inside, $3$.คูณด้วยเลขชี้กำลังเดิมคือ $-1$ แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของข้างใน คือ $3$
Solve $(3x-4)^{2}=4$ for $x$.
จงแก้สมการ $(3x-4)^{2}=4$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Square-root both sides first, then undo the $-4$ and the $\times3$.ถอดรากทั้งสองข้างก่อน แล้วย้าย $-4$ และ $\times3$ กลับ
$f''(x)=72(3x-4)^{-3}$. Work out $f''(2)$, and say whether it is positive or negative.
$f''(x)=72(3x-4)^{-3}$ จงหา $f''(2)$ และบอกว่าเป็นค่าบวกหรือค่าลบ
Answershow ▾
A positive second derivative means the curve bends upward: a minimum.อนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก แปลว่าเส้นโค้งโค้งขึ้น คือจุดต่ำสุด
To differentiate $y=k(3x-k)^{-1}+3x$, pick $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) $-3k(3x-k)^{-2}+3$
(B) $-k(3x-k)^{-2}+3$
(C) $-3k(3x-k)^{-1}+3$
เพื่อหาอนุพันธ์ของ $y=k(3x-k)^{-1}+3x$ จงเลือก $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ถูกต้อง
(A) $-3k(3x-k)^{-2}+3$
(B) $-k(3x-k)^{-2}+3$
(C) $-3k(3x-k)^{-1}+3$
Answershow ▾
(B) forgot to multiply by $3$, the derivative of $3x-k$. (C) left the power at $-1$ instead of lowering it to $-2$.(B) ลืมคูณด้วย $3$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ $3x-k$ · (C) ยังใช้เลขชี้กำลัง $-1$ ไม่ได้ลดเป็น $-2$
Differentiate $y=\dfrac{k}{3x-k}+3x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=\dfrac{k}{3x-k}+3x$
Answershow ▾
Same chain rule as before, now with $k$ instead of $4$.ใช้กฎลูกโซ่เหมือนเดิม แต่เปลี่ยนจาก $4$ เป็น $k$
Show that $-3k(3x-k)^{-2}+3=0$ rearranges to $(3x-k)^{2}=k$.
จงแสดงว่า $-3k(3x-k)^{-2}+3=0$ จัดรูปได้เป็น $(3x-k)^{2}=k$
Answershow ▾
Move the $3$, divide by $-3k$, then flip the fraction over.ย้าย $3$ แล้วหารด้วย $-3k$ แล้วกลับเศษส่วน
Solve $(3x-k)^{2}=k$ for $x$, in terms of $k$.
จงแก้สมการ $(3x-k)^{2}=k$ หาค่า $x$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
Square-root both sides first; a squared bracket always gives $\pm$.ถอดรากทั้งสองข้างก่อน วงเล็บยกกำลังสองให้ $\pm$ เสมอ
With $k=4$, $x=2$ or $x=\tfrac23$. The domain is $x\geqslant\tfrac32$. Pick $a$.
(A) $a=2$, because $\tfrac23$ is outside the domain
(B) $a=\tfrac23$, because it is the smaller value
(C) both are valid, since the domain has not been used yet
เมื่อ $k=4$ ได้ $x=2$ หรือ $x=\tfrac23$ โดยโดเมนคือ $x\geqslant\tfrac32$ จงเลือก $a$
(A) $a=2$ เพราะ $\tfrac23$ อยู่นอกโดเมน
(B) $a=\tfrac23$ เพราะเป็นค่าที่น้อยกว่า
(C) ได้ทั้งสองค่า เพราะยังไม่ได้ใช้โดเมน
Answershow ▾
(B) picks the smaller value for no reason; size never decides which point is $a$. (C) ignores that $\mathrm{f}$ is only defined for $x\geqslant\tfrac32$.(B) เลือกค่าที่น้อยกว่าโดยไม่มีเหตุผล ขนาดไม่ใช่ตัวตัดสินว่าจุดใดคือ $a$ · (C) ไม่ได้สนใจว่า $\mathrm{f}$ นิยามเฉพาะ $x\geqslant\tfrac32$
Using $x=2$ or $x=\tfrac23$, and $f''(2)=9$ from before, state $a$ and the nature of the stationary value.
จาก $x=2$ หรือ $x=\tfrac23$ และ $f''(2)=9$ จากข้อก่อนหน้า จงบอกค่า $a$ และชนิดของจุดคงที่
Answershow ▾
$\tfrac23$ is outside the domain $x\geqslant\tfrac32$, and $f''(2)=9\gt0$ means a minimum.$\tfrac23$ อยู่นอกโดเมน $x\geqslant\tfrac32$ และ $f''(2)=9\gt0$ แปลว่าเป็นจุดต่ำสุด
Substitute $k=-1$ into $\dfrac{dy}{dx}=-3k(3x-k)^{-2}+3$, then explain why the result is always positive.
แทน $k=-1$ ใน $\dfrac{dy}{dx}=-3k(3x-k)^{-2}+3$ แล้วอธิบายว่าทำไมผลลัพธ์เป็นบวกเสมอ
Answershow ▾
A squared term is never negative, so adding $3$ keeps the whole thing above $0$.พจน์ที่ยกกำลังสองไม่เป็นลบ เมื่อบวก $3$ จึงเป็นบวกเสมอ
A curve has equation $y=\dfrac{k}{x-k}+x$.
(a) Find, in terms of $k$, the $x$-values of the stationary points.
(b) The function f has a stationary value at $x=a$, with $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4}{x-4}+x$ for $x\geqslant3$. Find $a$ and its nature.
(c) The function g, $\mathrm{g}(x)=\dfrac{-1}{x+1}+x$ for $x\geqslant0$, is increasing. Show this.
เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{k}{x-k}+x$
(ก) หาค่า $x$ ในรูปของ $k$ ที่ทำให้เกิดจุดคงที่
(ข) ฟังก์ชัน f มีค่าคงที่ที่ $x=a$ โดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4}{x-4}+x$ สำหรับ $x\geqslant3$ จงหาค่า $a$ และชนิดของค่าคงที่นี้
(ค) ฟังก์ชัน g คือ $\mathrm{g}(x)=\dfrac{-1}{x+1}+x$ สำหรับ $x\geqslant0$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จงแสดงให้เห็น
Answershow ▾
Same three moves as the real question: chain rule, square-root, domain, then a positive-square argument.สามขั้นเดิมจากข้อสอบจริง: กฎลูกโซ่ ถอดราก โดเมน แล้วอาร์กิวเมนต์ยกกำลังสองเป็นบวก
It is given that a curve has equation $y=\dfrac{k}{3x-k}+3x$, where $k$ is a constant.
(a) Find, in terms of $k$, the values of $x$ at which there is a stationary point.
(b) The function f has a stationary value at $x=a$ and is defined by $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4}{3x-4}+3x$ for $x\ge\dfrac32$. Find the value of $a$ and determine the nature of the stationary value.
(c) The function g is defined by $\mathrm{g}(x)=\dfrac{-1}{3x+1}+3x$ for $x\ge0$. Determine, making your reasoning clear, whether $\mathrm{g}$ is an increasing function, a decreasing function or neither.
กำหนดให้เส้นโค้งมีสมการ $y=\dfrac{k}{3x-k}+3x$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาค่า $x$ ในรูปของ $k$ ที่ทำให้เกิดจุดคงที่ (stationary point)
(ข) ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ มีค่าคงที่ (stationary value) ที่ $x=a$ และนิยามโดย $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4}{3x-4}+3x$ สำหรับ $x\ge\dfrac32$ หาค่า $a$ และชนิดของค่าคงที่นี้
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=\dfrac{-1}{3x+1}+3x$ สำหรับ $x\ge0$ จงพิจารณาพร้อมแสดงเหตุผลให้ชัดเจนว่า $\mathrm{g}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด หรือไม่ใช่ทั้งสอง
Answershow ▾
9 marks across three parts: differentiate, then root; the domain decides $a$, and a new $k$ decides whether $\mathrm{g}$ increases.9 คะแนนจากสามข้อ: หาอนุพันธ์แล้วถอดราก โดเมนตัดสินค่า $a$ และ $k$ ใหม่ตัดสินว่า $\mathrm{g}$ เพิ่มหรือไม่