Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Differentiationอนุพันธ์ (Differentiation)

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two straight-line facts you already ownสองเรื่องเส้นตรงที่มีติดตัวอยู่แล้ว

  1. $y=2x+1$.  What is the gradient of this line?$y=2x+1$  เส้นนี้มีความชันเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $2$Same gradient at every point: $m=\dfrac{\text{up}}{\text{across}}=\dfrac{2}{1}=2$   $\text{line}:\ m=2\ \text{everywhere}$ A curve is not like that — that is today's whole topic.ความชันเท่ากันทุกจุด: $m=\dfrac{\text{up}}{\text{across}}=\dfrac{2}{1}=2$   $\text{line}:\ m=2\ \text{everywhere}$ เส้นโค้งไม่เป็นแบบนั้น · นั่นคือเรื่องของวันนี้ทั้งบท
  2. A line has gradient $3$ and passes through $(2,5)$. Its equation is:เส้นตรงความชัน $3$ ผ่านจุด $(2,5)$ สมการคือ:
    Answer:เฉลย: $y=3x-1$Remember this method — near the end of today you will use exactly this line to draw tangents to curves.จำวิธีนี้ไว้ให้แม่น ช่วงท้ายวันนี้จะได้ใช้ท่านี้เป๊ะๆ ตอนเขียนเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

2. Same gradient, new nameความชันเดิม ชื่อใหม่

$\dfrac{dy}{dx}$ is the gradient you have always known.$\dfrac{dy}{dx}$ ก็คือความชันที่รู้จักอยู่แล้ว

A line has one gradient: read it straight offเส้นตรงมีความชันค่าเดียว · อ่านออกมาได้เลย

Make $y$ the subject. The number in front of $x$ is the gradient.จัดให้ $y$ อยู่ตัวเดียว · เลขที่อยู่หน้า $x$ คือความชัน

  1. $y=5x-3$.  Write down $\dfrac{dy}{dx}$.$y=5x-3$  เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ออกมา
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=5$No new maths yet. $\dfrac{dy}{dx}$ is just a new name for the gradient you already know.ยังไม่มีคณิตใหม่ · $\dfrac{dy}{dx}$ คือชื่อใหม่ของความชันที่รู้จักอยู่แล้ว

3. A curve's gradient keeps changingเส้นโค้งเปลี่ยนความชันตลอดทาง

Discover the power rule from a pattern.ค้นพบกฎยกกำลังจากแพตเทิร์นด้วยตัวเอง

$y=x^{2}$: the steepness changes at every point$y=x^{2}$ · ความชันไม่เท่ากันสักจุด

A curve has a gradient at each point. Find the pattern in the table.เส้นโค้งมีความชันประจำแต่ละจุด · หาแพตเทิร์นในตาราง

Slide $Q$ into $P$. The line $PQ$ becomes the tangent.เลื่อน $Q$ เข้าหา $P$ · เส้น $PQ$ จะกลายเป็นเส้นสัมผัส

The gradient at $P$ is the gradient of $PQ$ when $h$ becomes $0$.ความชันที่ $P$ คือความชันของ $PQ$ เมื่อ $h$ เป็น $0$

  1. Same curve $y=x^{2}$. Using the pattern, what is the gradient at $x=5$?เส้นโค้งเดิม $y=x^{2}$ ดูจากแพตเทิร์น ความชันที่ $x=5$ คือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $10$  — the gradient is always $2x$ความชันคือ $2x$ เสมอThe gradient function: $y=x^{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=2x$   $x=5\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=10$ Put in a position, get the steepness there.ฟังก์ชันความชัน: $y=x^{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=2x$   $x=5\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=10$ ใส่ตำแหน่งเข้าไป ได้ความชันตรงนั้นออกมา
  2. Same measuring, new curve $y=x^{3}$. Which expression in $x$ gives every gradient in the table?วัดแบบเดิมบนเส้นโค้งใหม่ $y=x^{3}$ นิพจน์ไหนในรูป $x$ ให้ความชันทุกแถวในตาราง
    Answer:เฉลย: $3x^{2}$Gradient $=3\times x^{2}$: $3=3\times1^{2}$   $12=3\times2^{2}$   $27=3\times3^{2}$ความชัน $=3\times x^{2}$: $3=3\times1^{2}$   $12=3\times2^{2}$   $27=3\times3^{2}$
  3. $y=x^{2}$ and $\dfrac{dy}{dx}=2x$ are two different objects. At $x=3$:$y=x^{2}$ กับ $\dfrac{dy}{dx}=2x$ เป็นของคนละชิ้นกัน ที่ $x=3$:
    Answer:เฉลย: $y$ gives the height, $\dfrac{dy}{dx}$ gives the steepness.$y$ บอกความสูง · $\dfrac{dy}{dx}$ บอกความชันPosition, or slope: $y=3^{2}=9\ \ \text{(height)}$   $\dfrac{dy}{dx}=2(3)=6\ \ \text{(steepness)}$ Most lost marks here come from substituting into the wrong one.ตำแหน่ง หรือความชัน: $y=3^{2}=9\ \ \text{(height)}$   $\dfrac{dy}{dx}=2(3)=6\ \ \text{(steepness)}$ คะแนนที่เสียส่วนใหญ่ มาจากแทนค่าผิดตัว

4. Feed it anythingใส่อะไรเข้าไปก็ดิฟได้

Term by term — and rewrite first when the power hides.ดิฟทีละพจน์ — และถ้ากำลังแอบซ่อน ให้เขียนใหม่ก่อน

Rewrite FIRST, then differentiateเขียนใหม่ก่อน แล้วค่อยดิฟ

The power rule needs to see the power. Rewrite fractions and roots as powers first.กฎยกกำลังต้องเห็นเลขกำลัง · เขียนเศษส่วนกับรากเป็นเลขยกกำลังก่อนดิฟทุกครั้ง

  1. $y=7$.  What is $\dfrac{dy}{dx}$?$y=7$  แล้ว $\dfrac{dy}{dx}$ เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $0$A constant differentiates to zero: $y=7\ \Rightarrow\ \text{a flat horizontal line}$   $\dfrac{dy}{dx}=0$ค่าคงที่ ดิฟแล้วได้ศูนย์: $y=7\ \Rightarrow\ \text{a flat horizontal line}$   $\dfrac{dy}{dx}=0$
  2. Differentiate $y=x^{3}$. One of these is not even differentiation:ดิฟ $y=x^{3}$ — มีตัวเลือกหนึ่งที่ไม่ใช่การดิฟด้วยซ้ำ:
    Answer:เฉลย: $3x^{2}$$3x^{2}$ and $\dfrac{x^{4}}{4}$ are the same road in opposite directions. Remember: differentiate = the power comes down.$3x^{2}$ กับ $\dfrac{x^{4}}{4}$ คือถนนเส้นเดียวกัน แต่คนละทิศ · จำไว้: ดิฟ = กำลังลงมา
  3. $y=3x^{4}$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$.$y=3x^{4}$  หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $3\times4x^{3}=12x^{3}$$k$ stays, the power comes down: $y=kx^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=knx^{n-1}$   $y=3x^{4}\ \Rightarrow\ 3\times4x^{3}=12x^{3}$ With that, any polynomial differentiates term by term.$k$ อยู่ที่เดิม กำลังตบลงมา: $y=kx^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=knx^{n-1}$   $y=3x^{4}\ \Rightarrow\ 3\times4x^{3}=12x^{3}$ แค่นี้ก็ดิฟพหุนามได้ทีละพจน์แล้ว
  4. $y=\dfrac{1}{x^{2}}$.  Find $\dfrac{dy}{dx}$.$y=\dfrac{1}{x^{2}}$  หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $y=x^{-2}\;\Rightarrow\;\dfrac{dy}{dx}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}$Rewrite first, then the rule: $y=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}$   $\dfrac{dy}{dx}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}$ Down one from $-2$ is $-3$ — more negative, not less.เขียนใหม่ก่อน แล้วค่อยใช้กฎ: $y=\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}$   $\dfrac{dy}{dx}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}$ ลบหนึ่งจาก $-2$ ได้ $-3$ · ติดลบมากขึ้น ไม่ใช่น้อยลง
  5. $y=\sqrt{x}$.  Then $\dfrac{dy}{dx}=$$y=\sqrt{x}$  แล้ว $\dfrac{dy}{dx}=$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\tfrac12 x^{-1/2}$Roots are powers in disguise: $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$   $\dfrac{dy}{dx}=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ The rewrite line itself often carries a mark.รากคือเลขยกกำลังที่ใส่หน้ากาก: $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$   $\dfrac{dy}{dx}=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ บรรทัดที่เขียนใหม่ มักมีคะแนนของมันเอง

5. At a point — then in reverseหาที่จุด — แล้วถามย้อนกลับ

Substitute after differentiating; then find where the gradient is zero.ดิฟก่อนแล้วค่อยแทนค่า · จากนั้นหาว่าตรงไหนความชันเป็นศูนย์

  1. $y=x^{3}$.  What is the gradient of the curve at $x=2$?$y=x^{3}$  ความชันของเส้นโค้งที่ $x=2$ เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}\;\Rightarrow\;3(2)^{2}=12$Differentiate first, substitute second. Substitute first and the curve becomes one number, and a number has no gradient.ดิฟก่อน แทนค่าทีหลัง · ถ้าแทนก่อน เส้นโค้งจะเหลือตัวเลขตัวเดียว แล้วตัวเลขไม่มีความชัน
  2. Now the question runs backwards: $y=x^{2}-6x+1$.  For which $x$ is the gradient zero?ทีนี้คำถามย้อนทิศ: $y=x^{2}-6x+1$  ที่ $x$ เท่าไรความชันเป็นศูนย์?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2x-6=0\;\Rightarrow\;x=3$Set the output to zero: $\dfrac{dy}{dx}=2x-6$   $2x-6=0\ \Rightarrow\ x=3$ Zero gradient means the curve is flat there.ตั้งผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์: $\dfrac{dy}{dx}=2x-6$   $2x-6=0\ \Rightarrow\ x=3$ ความชันเป็นศูนย์ แปลว่ากราฟแบนตรงนั้น
  3. Same curve $y=x^{2}-6x+1$, stationary at $x=3$.  Find the $y$-coordinate of the stationary point.เส้นโค้งเดิม $y=x^{2}-6x+1$ นิ่งที่ $x=3$  หาพิกัด $y$ ของจุดนิ่ง
    Answer:เฉลย: $y=3^{2}-6(3)+1=-8$  — the point is $(3,-8)$ได้จุด $(3,-8)$A stationary point is a pair: $x$ from $\dfrac{dy}{dx}=0$, $y$ from the curve. Two objects, two jobs.จุดนิ่งคือพิกัดเป็นคู่: $x$ มาจาก $\dfrac{dy}{dx}=0$ · $y$ มาจากเส้นโค้ง · ของสองชิ้น หน้าที่คนละอย่าง

6. Tangents, normals, and the gradient of the gradientเส้นสัมผัส นอร์มัล และความชันของความชัน

Old line skills + one new symbol decide max vs min.ทักษะเส้นตรงของเก่า + สัญลักษณ์ใหม่ตัวเดียว ตัดสิน max กับ min

The tangent at a point: a point and a gradientเส้นสัมผัสที่จุดหนึ่ง · ใช้จุดกับความชัน

A point $(x_1,y_1)$ and a gradient $m$ fix the line.จุด $(x_1,y_1)$ กับความชัน $m$ กำหนดเส้นตรงได้พอดี

$y-y_1=m(x-x_1)$, with $m$ from $\dfrac{dy}{dx}$$y-y_1=m(x-x_1)$ · คราวนี้ $m$ มาจาก $\dfrac{dy}{dx}$

A tangent touches the curve at a point. Its gradient is $\dfrac{dy}{dx}$ there.เส้นสัมผัสแตะเส้นโค้งที่จุดหนึ่ง · ความชันของมันคือ $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดนั้น

Tangent to $y=x^{3}-2x$ at $x=2$เส้นสัมผัส $y=x^{3}-2x$ ที่ $x=2$

  1. $y=x^{3}-2x$A tangent is a line, so you need a point and a gradient.เส้นสัมผัสก็คือเส้นตรง ต้องมีจุดกับความชัน
  2. $x=2$The given value on its own line, before anything is done with it.ค่าที่โจทย์ให้อยู่คนละบรรทัด เขียนไว้ก่อนจะเอาไปใช้
  3. $y=8-4=4$The point is $(2,4)$. Get it from the ORIGINAL curve.จุดคือ $(2,4)$ · หาจากสมการเส้นโค้งตัวเดิม
  4. $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2$Differentiate first. Do not substitute yet.ดิฟก่อน ยังไม่แทนค่า
  5. $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=3(4)-2=10$Substitute AFTER differentiating. Swapping these two is the classic lost mark.แทนค่าหลังดิฟ · สลับสองขั้นนี้คือจุดเสียคะแนนยอดฮิต
  6. $y-4=10(x-2)$Point and gradient into the line formula.เอาจุดกับความชันใส่สูตรเส้นตรง
  7. $y-4=10x-20$Expand the bracket first.กระจายวงเล็บก่อน
  8. $y=10x-16$For the normal you would use $-\tfrac{1}{10}$ instead, same point.ถ้าเป็นเส้นปกติ ใช้ $-\tfrac{1}{10}$ แทน จุดเดิม

The normal is the tangent turned $90^{\circ}$นอร์มัลคือเส้นสัมผัสที่หมุนไป $90^{\circ}$

Tangent gradient $m$, normal gradient $n$: $m\times n=-1$.ความชันเส้นสัมผัส $m$ ความชันนอร์มัล $n$ · $m\times n=-1$

Normal at a point: the curve only gives you line ①เส้นตั้งฉากที่จุดหนึ่ง: เส้นโค้งให้มาแค่เส้น ①

Differentiating is only the first line. The rest is any perpendicular question.ดิฟเป็นแค่บรรทัดแรก · ที่เหลือเหมือนโจทย์ตั้งฉากทั่วไป

  1. The tangent to $y=x^{2}$ at the point $(3,9)$ is:เส้นสัมผัส $y=x^{2}$ ที่จุด $(3,9)$ คือ:
    Answer:เฉลย: $y=6x-9$Two skills, nothing new: $\dfrac{dy}{dx}=2x\ \Rightarrow\ m=2(3)=6$   $y-9=6(x-3)$   $y=6x-9$ Check the line really passes through the given point.สองท่าเดิม ไม่มีของใหม่: $\dfrac{dy}{dx}=2x\ \Rightarrow\ m=2(3)=6$   $y-9=6(x-3)$   $y=6x-9$ เช็คว่าเส้นผ่านจุดที่โจทย์ให้จริงไหม
  2. The normal at that point is perpendicular to the tangent. Tangent gradient was $6$ — what is the normal's gradient?นอร์มัลที่จุดเดิมตั้งฉากกับเส้นสัมผัส เส้นสัมผัสชัน $6$ — แล้วนอร์มัลชันเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $-\dfrac{1}{6}$$m_{\text{normal}}=-\dfrac{1}{m_{\text{tangent}}}$ — an IGCSE fact recycled. Tangent and normal questions are the same question with one extra flip.$m_{\text{normal}}=-\dfrac{1}{m_{\text{tangent}}}$ — ความรู้ IGCSE เอามาใช้ซ้ำ โจทย์เส้นสัมผัสกับนอร์มัลคือโจทย์เดียวกัน แค่กลับเศษส่วนเพิ่มหนึ่งจังหวะ
  3. $y=x^{3}-3x$, so $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-3$. But $3x^{2}-3$ is itself a function of $x$ — differentiate it once more.$y=x^{3}-3x$ ได้ $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-3$ แต่ $3x^{2}-3$ ก็เป็นฟังก์ชันของ $x$ เหมือนกัน — ลองเอามันมาดิฟซ้ำอีกรอบ
    Answer:เฉลย: $6x$Differentiating twice is the same rule used again. The sign of the second answer tells a hilltop from a valley.ดิฟสองรอบคือใช้กฎเดิมซ้ำอีกครั้ง · เครื่องหมายของค่าที่ได้จะบอกว่าเป็นยอดเขาหรือหุบเขา
  4. A curve has a stationary point where $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-4$. Is it a maximum or a minimum?เส้นโค้งมีจุดนิ่งตรงที่ $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-4$ เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด?
    Answer:เฉลย: Maximum. $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\lt0$ ⇒ max; $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ ⇒ min.สูงสุด · $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\lt0$ ⇒ max · $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ ⇒ minFrown or smile: $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\lt 0\ \Rightarrow\ \cap\ \Rightarrow\ \text{maximum}$   $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0\ \Rightarrow\ \cup\ \Rightarrow\ \text{minimum}$ Think “the gradient is falling” once and you will not flip it.หน้าบึ้ง หรือหน้ายิ้ม: $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\lt 0\ \Rightarrow\ \cap\ \Rightarrow\ \text{maximum}$   $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0\ \Rightarrow\ \cup\ \Rightarrow\ \text{minimum}$ จำว่า “ความชันกำลังลดลง” ครั้งเดียว แล้วจะไม่สลับ

7. Chain ruleกฎลูกโซ่

Differentiate a bracket to a power: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\times\dfrac{du}{dx}$.ดิฟวงเล็บยกกำลัง: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\times\dfrac{du}{dx}$

The power sits on a whole bracketกำลังอยู่บนวงเล็บทั้งก้อน

$2(2x+1)$ is the power rule on the bracket. The $\times2$ is new: the derivative of $2x+1$.$2(2x+1)$ คือกฎกำลังกับวงเล็บ · $\times2$ คือของใหม่: อนุพันธ์ของ $2x+1$

Differentiate $y=(3x+2)^{5}$ดิฟ $y=(3x+2)^{5}$

  1. $u=3x+2$Let $u$ be the inside.ให้ $u$ เป็นข้างใน
  2. $y=u^{5}$Now $y$ is a power of $u$.ตอนนี้ $y$ เป็นกำลังของ $u$
  3. $\dfrac{dy}{du}=5u^{4}$Power rule in $u$.กฎกำลังตาม $u$
  4. $\dfrac{du}{dx}=3$Differentiate the inside.ดิฟข้างใน
  5. $\dfrac{dy}{dx}=5u^{4}\times3$Multiply the two.คูณสองตัวนี้
  6. $=15(3x+2)^{4}$Put $u=3x+2$ back. Do not expand.แทน $u=3x+2$ กลับ · ไม่ต้องกระจาย
  1. Your turn. $y=(4x-1)^{3}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.ลองเอง · $y=(4x-1)^{3}$ · หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $3(4x-1)^{2}\times4=12(4x-1)^{2}$Times the inside derivative: $u=4x-1$   $\dfrac{dy}{dx}=3u^{2}\times4$   $=12(4x-1)^{2}$คูณอนุพันธ์ของข้างใน: $u=4x-1$   $\dfrac{dy}{dx}=3u^{2}\times4$   $=12(4x-1)^{2}$
  2. One change: the inside is $x^{2}+1$. $y=(x^{2}+1)^{4}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.เปลี่ยนอย่างเดียว: ข้างในคือ $x^{2}+1$ · $y=(x^{2}+1)^{4}$ · หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $4(x^{2}+1)^{3}\times2x=8x(x^{2}+1)^{3}$The inside derivative has an $x$: $u=x^{2}+1$   $\dfrac{du}{dx}=2x$   $\dfrac{dy}{dx}=4u^{3}\times2x$   $=8x(x^{2}+1)^{3}$อนุพันธ์ของข้างในมี $x$: $u=x^{2}+1$   $\dfrac{du}{dx}=2x$   $\dfrac{dy}{dx}=4u^{3}\times2x$   $=8x(x^{2}+1)^{3}$
  3. One change: a root. $y=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}=(2x-1)^{-\frac{1}{2}}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.เปลี่ยนอย่างเดียว: รากที่สอง · $y=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}=(2x-1)^{-\frac{1}{2}}$ · หา $\dfrac{dy}{dx}$
    Answer:เฉลย: $-\tfrac{1}{2}(2x-1)^{-\frac{3}{2}}\times2=-(2x-1)^{-\frac{3}{2}}$Down one from $-\tfrac{1}{2}$: $\dfrac{dy}{du}=-\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$   $\dfrac{du}{dx}=2$   $\dfrac{dy}{dx}=-\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}\times2$   $=-(2x-1)^{-\frac{3}{2}}$ลดลงหนึ่งจาก $-\tfrac{1}{2}$: $\dfrac{dy}{du}=-\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}$   $\dfrac{du}{dx}=2$   $\dfrac{dy}{dx}=-\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}\times2$   $=-(2x-1)^{-\frac{3}{2}}$
  4. Exam: The equation of a curve is $y=\dfrac{8}{(2x+1)^{2}}$. Find the gradient of the curve at the point where $x=\tfrac{1}{2}$.  (4 marks)ข้อสอบ: สมการของเส้นโค้งคือ $y=\dfrac{8}{(2x+1)^{2}}$ · จงหาความชันของเส้นโค้งที่จุดซึ่ง $x=\tfrac{1}{2}$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-16(2x+1)^{-3}\times2=\dfrac{-32}{(2x+1)^{3}}=\dfrac{-32}{8}=-4$4 marks: $\text{B1}\ \ -16(2x+1)^{-3}$   $\text{B1}\ \ \times2$   $\text{M1}\ \ x=\tfrac{1}{2}\text{ in }-32(2x+1)^{-3}$   $\text{A1}\ \ -4$ The second B1 is the $\times2$ from $2x+1$. Students lose it most often.4 คะแนน: $\text{B1}\ \ -16(2x+1)^{-3}$   $\text{B1}\ \ \times2$   $\text{M1}\ \ x=\tfrac{1}{2}\text{ in }-32(2x+1)^{-3}$   $\text{A1}\ \ -4$ B1 ตัวที่สองคือ $\times2$ จาก $2x+1$ · คะแนนนี้หายบ่อยที่สุด

8. Increasing or decreasingฟังก์ชันเพิ่ม หรือ ฟังก์ชันลด

The sign of $\dfrac{dy}{dx}$ says if the curve goes up or down. Solve an inequality to find where.เครื่องหมายของ $\dfrac{dy}{dx}$ บอกว่ากราฟขึ้นหรือลง · แก้อสมการเพื่อหาช่วง $x$

Where $\dfrac{dy}{dx}\gt0$, the curve goes upช่วงที่ $\dfrac{dy}{dx}\gt0$ กราฟขึ้น

$y=x^{3}-3x$ gives $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-3$. It is $0$ at $x=\pm1$, the two turning points.$y=x^{3}-3x$ ได้ $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-3$ · มีค่า $0$ ที่ $x=\pm1$ ซึ่งเป็นจุดวกกลับสองจุด

  1. Read the sign at one point first. $y=x^{2}-4x$ and, at $x=1$, $\dfrac{dy}{dx}=-2$. What does the curve do at $x=1$?อ่านเครื่องหมายที่จุดเดียวก่อน · $y=x^{2}-4x$ และที่ $x=1$ ได้ $\dfrac{dy}{dx}=-2$ · ที่ $x=1$ กราฟทำอะไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-2\lt0$: the curve goes down.$\dfrac{dy}{dx}=-2\lt0$: กราฟลงNegative gradient: down: $\dfrac{dy}{dx}=2x-4$   $=2(1)-4$   $=-2$   $-2\lt0$ความชันติดลบ: ลง: $\dfrac{dy}{dx}=2x-4$   $=2(1)-4$   $=-2$   $-2\lt0$
  2. $y=x^{2}-6x+5$. Find the set of values of $x$ for which $y$ is increasing.$y=x^{2}-6x+5$ · หาช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้ $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
    Answer:เฉลย: $2x-6\gt0$, so $x\gt3$Solve $\dfrac{dy}{dx}\gt0$: $\dfrac{dy}{dx}=2x-6$   $2x-6\gt0$   $x\gt3$แก้ $\dfrac{dy}{dx}\gt0$: $\dfrac{dy}{dx}=2x-6$   $2x-6\gt0$   $x\gt3$
  3. One change: now $\dfrac{dy}{dx}$ is a quadratic. $y=x^{3}-12x$. Find the set of values of $x$ for which $y$ is decreasing.เปลี่ยนอย่างเดียว: ตอนนี้ $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นกำลังสอง · $y=x^{3}-12x$ · หาช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้ $y$ เป็นฟังก์ชันลด
    Answer:เฉลย: $3x^{2}-12\lt0$, so $x^{2}\lt4$: $-2\lt x\lt2$Negative between the roots: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12$   $3x^{2}-12\lt0$   $x^{2}\lt4$   $-2\lt x\lt2$ติดลบระหว่างราก: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12$   $3x^{2}-12\lt0$   $x^{2}\lt4$   $-2\lt x\lt2$
  4. Exam: The function f is defined by $f(x)=x^{3}-6x^{2}+15x+2$. (a) Express $f^{\prime}(x)$ in the form $3(x-a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.  (3 marks)ข้อสอบ: ฟังก์ชัน f นิยามโดย $f(x)=x^{3}-6x^{2}+15x+2$ · (a) จงเขียน $f^{\prime}(x)$ ในรูป $3(x-a)^{2}+b$ โดย $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $3x^{2}-12x+15=3(x-2)^{2}-12+15=3(x-2)^{2}+3$3 marks: $\text{B1}\ \ f^{\prime}(x)=3x^{2}-12x+15$   $\text{M1}\ \ 3(x-2)^{2}-12+15$   $\text{A1}\ \ 3(x-2)^{2}+3$ Students lose the A1 when they subtract $4$, not $3\times4=12$.3 คะแนน: $\text{B1}\ \ f^{\prime}(x)=3x^{2}-12x+15$   $\text{M1}\ \ 3(x-2)^{2}-12+15$   $\text{A1}\ \ 3(x-2)^{2}+3$ คะแนน A1 หายเมื่อลบ $4$ แทนที่จะลบ $3\times4=12$
  5. (b) Hence explain why f is an increasing function.  (1 mark)
    $f^{\prime}(x)=3(x-2)^{2}+3$    (b) จากข้อ (a) จงอธิบายว่าทำไม f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม  (1 คะแนน)
    $f^{\prime}(x)=3(x-2)^{2}+3$
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)\ge3\gt0$ for every $x$, so f is increasing.$f^{\prime}(x)\ge3\gt0$ สำหรับทุก $x$ · f จึงเป็นฟังก์ชันเพิ่มA square is never negative: $(x-2)^{2}\ge0$   $3(x-2)^{2}+3\ge3$   $f'(x)\gt0$กำลังสองไม่มีวันติดลบ: $(x-2)^{2}\ge0$   $3(x-2)^{2}+3\ge3$   $f'(x)\gt0$

9. Connected rates of changeอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สัมพันธ์กัน

Two quantities change with time. Link their rates: $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$.สองปริมาณเปลี่ยนตามเวลา · เชื่อมอัตราทั้งสอง: $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$

The radius grows at a fixed rate. The area does not.รัศมีโตด้วยอัตราคงที่ · พื้นที่ไม่คงที่

Each second $r$ grows by $2$ cm. The area grows by $12\pi$, then $20\pi$: faster each second.ทุกวินาที $r$ โตขึ้น $2$ cm · พื้นที่โตขึ้น $12\pi$ แล้ว $20\pi$: เร็วขึ้นทุกวินาที

$r$ grows at $2$ cm/s. Find $\dfrac{dA}{dt}$ when $r=5$.$r$ โตขึ้น $2$ cm/s · หา $\dfrac{dA}{dt}$ เมื่อ $r=5$

  1. $A=\pi r^{2}$Write the formula that links $A$ and $r$.เขียนสูตรที่เชื่อม $A$ กับ $r$
  2. $\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$Differentiate in $r$.ดิฟตาม $r$
  3. $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$Area per cm of $r$, times cm of $r$ per second.พื้นที่ต่อ $r$ หนึ่ง cm คูณ $r$ ที่โตต่อวินาที
  4. $=2\pi r\times2$Substitute $\dfrac{dr}{dt}=2$.แทน $\dfrac{dr}{dt}=2$
  5. $=2\pi(5)\times2$Substitute $r=5$ last.แทน $r=5$ เป็นขั้นสุดท้าย
  6. $=20\pi$The area grows at $20\pi$ cm² per second.พื้นที่โตขึ้น $20\pi$ cm² ต่อวินาที
  1. Use the old skill first. $A=\pi r^{2}$. Find $\dfrac{dA}{dr}$ when $r=5$.ใช้ทักษะเดิมก่อน · $A=\pi r^{2}$ · หา $\dfrac{dA}{dr}$ เมื่อ $r=5$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dA}{dr}=2\pi r=2\pi(5)=10\pi$Differentiate in $r$: $\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$   $=2\pi(5)$   $=10\pi$ดิฟตาม $r$: $\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$   $=2\pi(5)$   $=10\pi$
  2. One change: a sphere. $V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ and $r$ grows at $0.1$ cm/s. Find $\dfrac{dV}{dt}$ when $r=3$.เปลี่ยนอย่างเดียว: ทรงกลม · $V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ และ $r$ โตขึ้น $0.1$ cm/s · หา $\dfrac{dV}{dt}$ เมื่อ $r=3$
    Answer:เฉลย: $4\pi(3)^{2}\times0.1=36\pi\times0.1=\dfrac{18\pi}{5}$Same chain, new formula: $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$   $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\times0.1$   $=4\pi(3)^{2}\times0.1$   $=\dfrac{18\pi}{5}$โซ่เดิม สูตรใหม่: $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$   $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\times0.1$   $=4\pi(3)^{2}\times0.1$   $=\dfrac{18\pi}{5}$
  3. Reverse it: the area of a circle grows at $12\pi$ cm² per second. Find $\dfrac{dr}{dt}$ when $r=3$.กลับทาง: พื้นที่วงกลมโตขึ้น $12\pi$ cm² ต่อวินาที · หา $\dfrac{dr}{dt}$ เมื่อ $r=3$
    Answer:เฉลย: $12\pi=2\pi(3)\times\dfrac{dr}{dt}$, so $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{12\pi}{6\pi}=2$Divide by $\dfrac{dA}{dr}$: $12\pi=2\pi(3)\times\dfrac{dr}{dt}$   $12\pi=6\pi\times\dfrac{dr}{dt}$   $\dfrac{dr}{dt}=2$หารด้วย $\dfrac{dA}{dr}$: $12\pi=2\pi(3)\times\dfrac{dr}{dt}$   $12\pi=6\pi\times\dfrac{dr}{dt}$   $\dfrac{dr}{dt}=2$
  4. One change: a container. Water goes in at $24$ cm³ per second. At depth $h$ cm, $V=4h^{3}$. Find $\dfrac{dh}{dt}$ when $h=2$.เปลี่ยนอย่างเดียว: ภาชนะ · เติมน้ำ $24$ cm³ ต่อวินาที · ที่ความลึก $h$ cm ได้ $V=4h^{3}$ · หา $\dfrac{dh}{dt}$ เมื่อ $h=2$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dV}{dh}=12h^{2}=48$, so $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{24}{48}=\dfrac{1}{2}$Link through $h$: $\dfrac{dV}{dh}=12h^{2}$   $24=12(2)^{2}\times\dfrac{dh}{dt}$   $24=48\times\dfrac{dh}{dt}$   $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{2}$เชื่อมผ่าน $h$: $\dfrac{dV}{dh}=12h^{2}$   $24=12(2)^{2}\times\dfrac{dh}{dt}$   $24=48\times\dfrac{dh}{dt}$   $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{2}$
  5. Exam: The volume of a spherical balloon increases at a constant rate of $50$ cm³ per second. Find the rate of increase of the radius when the radius is $5$ cm, correct to 3 significant figures. [$V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$]  (3 marks)ข้อสอบ: ปริมาตรของลูกโป่งทรงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $50$ cm³ ต่อวินาที · จงหาอัตราการเพิ่มของรัศมีเมื่อรัศมีเท่ากับ $5$ cm ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว [$V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$]  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{50}{4\pi(5)^{2}}=\dfrac{1}{2\pi}=0.159$ cm/s3 marks: $\text{B1}\ \ \dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$   $\text{M1}\ \ \dfrac{dr}{dt}=50\div4\pi(5)^{2}$   $\text{A1}\ \ 0.159$ Students lose the M1 when they multiply by $\dfrac{dV}{dr}$.3 คะแนน: $\text{B1}\ \ \dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$   $\text{M1}\ \ \dfrac{dr}{dt}=50\div4\pi(5)^{2}$   $\text{A1}\ \ 0.159$ คะแนน M1 หายเมื่อคูณด้วย $\dfrac{dV}{dr}$

10. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The full stationary-point question, mark by mark.โจทย์จุดนิ่งเต็มข้อ เก็บทีละคะแนน

  1. Exam: The curve $y=x^{3}-6x^{2}+9x+2$.  (a) Find $\dfrac{dy}{dx}$.  (2 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $y=x^{3}-6x^{2}+9x+2$  (a) หา $\dfrac{dy}{dx}$  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12x+9$2 marks: $\text{M1}\ \ \text{at least two terms differentiated correctly}$   $\text{A1}\ \ \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12x+9$ $9x$ still has an $x$, so it becomes $9$; only $+2$ vanishes.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{at least two terms differentiated correctly}$   $\text{A1}\ \ \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12x+9$ $9x$ ยังมี $x$ อยู่ ดิฟได้ $9$ · มีแต่ $+2$ ที่หายไป
  2. (b) Find the coordinates of the stationary points of the curve and determine the nature of each.  (4 marks)(b) หาพิกัดของจุดนิ่งบนเส้นโค้ง และบอกชนิดของแต่ละจุด  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $3(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1,\,3$.  $(1,6)$ is a maximum, $(3,2)$ is a minimum.4 marks: $\text{M1}\ \ \dfrac{dy}{dx}=0:\ \ 3(x-1)(x-3)=0$   $\text{A1}\ \ x=1,\ x=3\ \Rightarrow\ (1,6),\ (3,2)$   $\text{M1}\ \ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-12$   $\text{A1}\ \ -6\lt 0\ \Rightarrow\ \max(1,6);\ \ +6>0\ \Rightarrow\ \min(3,2)$ Writing “max” with no working loses the last mark.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \dfrac{dy}{dx}=0:\ \ 3(x-1)(x-3)=0$   $\text{A1}\ \ x=1,\ x=3\ \Rightarrow\ (1,6),\ (3,2)$   $\text{M1}\ \ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-12$   $\text{A1}\ \ -6\lt 0\ \Rightarrow\ \max(1,6);\ \ +6>0\ \Rightarrow\ \min(3,2)$ เขียนแค่ “max” โดยไม่มีวิธีทำ เสียคะแนนสุดท้าย
  3. Exam: The curve $C$ has equation $y=\dfrac{8}{x^{2}}$, $x\ne0$.
    Find an equation of the normal to $C$ at the point where $x=2$, giving your answer in the form $y=mx+c$.  (5 marks)    ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{8}{x^{2}}$ เมื่อ $x\ne0$
    หาสมการของเส้น normal ของ $C$ ที่จุดซึ่ง $x=2$ · ตอบในรูป $y=mx+c$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $y=\tfrac12 x+1$5 marks: $\text{M1}\ \ y=8x^{-2}$   $\text{A1}\ \ \dfrac{dy}{dx}=-16x^{-3}$   $\text{M1}\ \ x=2:\ \ m_{t}=-\dfrac{16}{8}=-2,\ \ y=\dfrac{8}{4}=2$   $\text{M1}\ \ m_{n}=-\dfrac{1}{-2}=\tfrac12$   $\text{A1}\ \ y-2=\tfrac12(x-2)\ \Rightarrow\ y=\tfrac12x+1$ The point is $(2,2)$: the $y$ comes from the curve, not the derivative.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ y=8x^{-2}$   $\text{A1}\ \ \dfrac{dy}{dx}=-16x^{-3}$   $\text{M1}\ \ x=2:\ \ m_{t}=-\dfrac{16}{8}=-2,\ \ y=\dfrac{8}{4}=2$   $\text{M1}\ \ m_{n}=-\dfrac{1}{-2}=\tfrac12$   $\text{A1}\ \ y-2=\tfrac12(x-2)\ \Rightarrow\ y=\tfrac12x+1$ จุดคือ $(2,2)$ · ค่า $y$ มาจากเส้นโค้ง ไม่ใช่จากอนุพันธ์
  4. The tangent to a curve is parallel to the line $y=15x-4$. Which equation do you write first?เส้นสัมผัสของเส้นโค้งขนานกับเส้นตรง $y=15x-4$ สมการแรกที่ต้องเขียนคืออะไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=15$$\dfrac{dy}{dx}=15$Read what it is compared with: $\text{parallel to the }x\text{-axis / stationary}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=0$   $\text{parallel to }y=mx+c\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=m$   $\text{gradient at a given }x\ \Rightarrow\ \text{substitute}$ดูว่าเส้นสัมผัสถูกเทียบกับอะไร: $\text{parallel to the }x\text{-axis / stationary}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=0$   $\text{parallel to }y=mx+c\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=m$   $\text{gradient at a given }x\ \Rightarrow\ \text{substitute}$
  5. The curve $C$ has equation $y=x^{3}-3x^{2}-9x+1$.
    Find the $x$-coordinates of the points on $C$ where the tangent is parallel to the line $y=15x-4$.  Type both, e.g. 5,-1    เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{3}-3x^{2}-9x+1$
    หาค่า $x$ ของจุดบน $C$ ที่เส้น tangent ขนานกับเส้นตรง $y=15x-4$  พิมพ์ทั้งสองค่า เช่น 5,-1
    Answer:เฉลย: $x=4$ or $x=-2$Gradient of the line is $15$: $\dfrac{dy}{dx}=15$   $3x^{2}-6x-9=15\ \Rightarrow\ x^{2}-2x-8=0$   $(x-4)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=4,\ x=-2$ Setting it to $0$ answers the stationary-point question instead.ความชันของเส้นตรงคือ $15$: $\dfrac{dy}{dx}=15$   $3x^{2}-6x-9=15\ \Rightarrow\ x^{2}-2x-8=0$   $(x-4)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=4,\ x=-2$ ถ้าตั้งเป็น $0$ จะกลายเป็นโจทย์หาจุดวิกฤตแทน

11. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $y=x^{4}+3x^{2}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
    Answer:เฉลย: $4x^{3}+6x$Identical to the drills, numbers changed. Builds confidence and proves the power rule transferred.เหมือนข้อฝึกเป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่ากฎยกกำลังติดตัวไปแล้ว
  2. $y=\dfrac{1}{2}x^{4}-\dfrac{3}{x}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.
    Answer:เฉลย: $2x^{3}+\dfrac{3}{x^{2}}$  $\left(=2x^{3}+3x^{-2}\right)$Same move, but a fraction coefficient and a hidden negative power. Rewrite before you differentiate.ท่าเดิม แต่มีสัมประสิทธิ์เศษส่วนกับกำลังลบซ่อนอยู่ · เขียนใหม่ให้เรียบร้อยก่อนค่อยดิฟ
  3. $s=t^{3}-6t$. Find $\dfrac{ds}{dt}$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{ds}{dt}=3t^{2}-6$New letters, same rule. Students who memorised 'y and x' rather than the pattern freeze here.เปลี่ยนตัวอักษร กฎเดิม · ใครท่องว่าต้องเป็น 'y กับ x' จะค้างตรงนี้
  4. Find the equation of the tangent to $y=x^{2}-3x$ at the point $(2,-2)$.
    Answer:เฉลย: $m=2(2)-3=1$;  tangent: $y=x-4$Differentiation plus the straight-line equation from the warm-up. Nothing new is taught — two known moves are chained.การดิฟ + สมการเส้นตรงจากวอร์มอัพ ไม่มีอะไรใหม่ แค่ต่อสองท่าที่รู้แล้วเข้าด้วยกัน
  5. The gradient function of a curve is $\dfrac{dy}{dx}=5x^{4}$. Write down a possible equation of the curve.
    Answer:เฉลย: $y=x^{5}$  (or $x^{5}+c$ for any constant $c$)Here you are given the derivative and must find the curve — the rule run backwards.ข้อนี้ให้อนุพันธ์มา แล้วให้หาเส้นโค้ง — คือการเดินกฎย้อนกลับ
  6. The curve $y=x^{3}-12x+1$. (a)(ก) Find $\dfrac{dy}{dx}$. (2) (b)(ข) Find the coordinates of the stationary points. (3) (c)(ค) Determine the nature of each. (2)
    Answer:เฉลย: (a) $3x^{2}-12$  (b) $(2,-15)$ and $(-2,17)$  (c) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x$: at $x=2$, $+12>0$ ⇒ minimum; at $x=-2$, $-12\lt0$ ⇒ maximumMulti-part, marks stated, nature asked separately with evidence required — exactly how it appears on the paper.หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ ถามชนิดของจุดแยกอีกข้อและต้องแสดงหลักฐาน — ตรงตามที่ออกในกระดาษข้อสอบ
  7. $y=\dfrac{1}{x^{3}}$. A student writes $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3x^{2}}$. Find the error and the correct answer.
    Answer:เฉลย: They differentiated only the denominator. Rewrite first: $y=x^{-3}\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^{4}}$Find the mistake in someone else's working. This slip turns up in real exam scripts every session.หาจุดผิดในวิธีทำของคนอื่น · จุดพลาดนี้โผล่ในกระดาษสอบจริงทุกรอบ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี