Functions · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Functions
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Functions · composite functions
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$.
(a) Find $fg(x)$.
(b) State the range of $fg$.
(c) Solve $fg(x) = 11$.
$f(x) = 2x + 2$. Find $f(3)$.
$f(x) = 2x + 2$ · หา $f(3)$
Answershow ▾
Substitute the number for $x$ and simplify — everything below rests on this.
$g(x) = x^2 + 2$. Find $g(3)$.
Answershow ▾
Square first, then add the constant.
$f(x) = 2x + 2$ and $g(x) = x^2 + 2$. Find $fg(3)$ and $gf(3)$.
Answershow ▾
$fg$ means $f(g(x))$ — do $g$ first. Swap the order and the answer changes, as it does here.
$fg(3)$ and $gf(3)$ came out as different numbers. Is that an accident of these two particular functions, or the usual state of affairs? And in the symbol $fg$, which letter is nearer to the $x$ — so which machine runs first?
$fg(3)$ กับ $gf(3)$ ออกมาเป็นคนละเลข · นี่เป็นเรื่องบังเอิญของฟังก์ชันคู่นี้ หรือเป็นเรื่องปกติ · และในสัญลักษณ์ $fg$ ตัวอักษรไหนอยู่ใกล้ $x$ มากกว่า เครื่องไหนจึงทำงานก่อน
Answershow ▾
Composition is not multiplication and the letters do not commute; $fg = gf$ is the exception, not the rule. Reading the order off the symbol is the entire skill here and there is no mark for it — the M1 is for a composition, whichever way round you built it.การประกอบฟังก์ชันไม่ใช่การคูณ ตัวอักษรสลับที่กันไม่ได้ · $fg = gf$ เป็นข้อยกเว้น ไม่ใช่กฎ · การอ่านลำดับจากสัญลักษณ์คือทักษะทั้งหมดของข้อนี้ และไม่มีคะแนนให้ เพราะ M1 ให้กับการประกอบฟังก์ชัน ไม่ว่าจะประกอบทางไหน
$f(x) = 2x + 1$. Find $f(3)$.
Answershow ▾
Same skill as question 1, now with the numbers from the real question.
$g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$. Find $g(3)$.
Answershow ▾
Same skill as question 2, with the real $c$.
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$. Find $fg(3)$ and $gf(3)$.
$f(x) = 2x + 1$ และ $g(x) = x^2 - 4$ · หา $fg(3)$ และ $gf(3)$
Answershow ▾
Same idea as question 3. Keep this $fg(3)$ value — it reappears in part (c).
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$. Find $fg(x)$.
Answershow ▾
Substitute the whole of $g(x)$ into $f$: $fg(x) = 2(x^2 - 4) + 1$, then simplify.
Part (b) wants the range of $fg$, and $g$ is defined only for $x \ge 0$. Work forwards in three steps: which numbers may $x$ be, which numbers can $g(x)$ then be, and which numbers can $fg(x)$ be? Do you start from $x$, or from the formula $2x^2 - 7$?
ข้อ (b) ขอ range ของ $fg$ และ $g$ นิยามไว้เฉพาะ $x \ge 0$ · ไล่ไปข้างหน้าสามขั้น: $x$ เป็นเลขอะไรได้บ้าง แล้ว $g(x)$ เป็นอะไรได้บ้าง แล้ว $fg(x)$ เป็นอะไรได้บ้าง · เริ่มจาก $x$ หรือเริ่มจากสูตร $2x^2 - 7$
Answershow ▾
A range is the domain pushed forwards through the machines in the order they run, never a guess made by staring at the final formula. Here the two routes happen to agree; change the domain of $g$ to $x \ge 2$ and the formula is unchanged while the range moves to $fg(x) \ge 1$. The B1 pays for the inequality, never for the direction of travel.range คือโดเมนที่ถูกดันไปข้างหน้าผ่านเครื่องทีละตัวตามลำดับ ไม่ใช่การเดาจากสูตรสุดท้าย · ในข้อนี้สองทางบังเอิญตรงกัน แต่ถ้าเปลี่ยนโดเมนของ $g$ เป็น $x \ge 2$ สูตรเดิมไม่เปลี่ยน แต่ range กลายเป็น $fg(x) \ge 1$ · B1 ให้กับอสมการ ไม่ได้ให้กับทิศทางการคิด
$g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$, and $fg(x) = 2x^2 - 7$. State the range of $fg$.
Answershow ▾
$x \ge 0 \Rightarrow g(x) \ge -4$, and $f$ is increasing since $a > 0$, so the inequality stays the same way round.
Part (c): $fg(x) = 11$ gives $2x^2 - 7 = 11$, so $x^2 = 9$ and $x = \pm 3$. Are both of those answers? What in the question decides it, and where is that condition written?
ข้อ (c): $fg(x) = 11$ ได้ $2x^2 - 7 = 11$ ดังนั้น $x^2 = 9$ และ $x = \pm 3$ · ทั้งสองค่าเป็นคำตอบไหม อะไรในโจทย์เป็นตัวตัดสิน และเงื่อนไขนั้นเขียนไว้ตรงไหน
Answershow ▾
The domain is printed once, at the top, beside $g$, and it is still in force in part (c). $x = -3$ is a solution of the equation $2x^2 - 7 = 11$ but not of $fg(x) = 11$, because $fg(-3)$ does not exist. Throwing it away earns no mark of its own; keeping it loses the A1.โดเมนถูกพิมพ์ไว้ครั้งเดียวข้างบน ข้าง ๆ $g$ และยังมีผลอยู่ในข้อ (c) · $x = -3$ เป็นคำตอบของสมการ $2x^2 - 7 = 11$ แต่ไม่ใช่คำตอบของ $fg(x) = 11$ เพราะ $fg(-3)$ ไม่มีอยู่จริง · การตัดทิ้งไม่มีคะแนนให้ แต่การเก็บไว้ทำให้เสีย A1
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 + 1$ for $x \ge 0$.
(a) Find $fg(x)$.
(b) State the range of $fg$.
(c) Solve $fg(x) = 11$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$.
(a) Find $fg(x)$.
(b) State the range of $fg$.
(c) Solve $fg(x) = 11$.
Answershow ▾
7 marks. Question 7 is part (a); question 8 is part (b); questions 4-6 feed part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Functions · inverse functions
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ for $x \ge 1$.
(a) State the range of $f$.
(b) Find $f^{-1}(x)$ and state its domain.
(c) Solve $f(x) = f^{-1}(x)$.
Make $x$ the subject of $y = x - 3$.
เขียน $y = x - 3$ ให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม
Answershow ▾
Undo "subtract 3" by adding it back to both sides.
$y = (x - 3)^2$ for $x \ge 3$. Make $x$ the subject.
Answershow ▾
$x - 3 = \pm\sqrt{y}$, but $x \ge 3$ rules out the negative root.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ is given only for $x \ge 1$. Sketch the whole parabola in your head and say what would go wrong with $f^{-1}$ if that restriction were dropped — and which sign of the square root the restriction is there to choose.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ ให้มาเฉพาะ $x \ge 1$ · ลองนึกภาพพาราโบลาทั้งเส้น แล้วบอกว่าถ้าตัดเงื่อนไขนี้ทิ้ง $f^{-1}$ จะพังตรงไหน และเงื่อนไขนี้มีไว้เพื่อเลือกเครื่องหมายไหนของรากที่สอง
Answershow ▾
Every value above $-5$ is hit twice by the full parabola, so the reverse machine would have two outputs and would not be a function. The restriction is the question quietly handing you the half it wants — and the same restriction is what makes $x = 1 + \sqrt{y + 5}$ rather than $1 - \sqrt{y + 5}$. No mark is attached to noticing it.ค่าทุกค่าที่มากกว่า $-5$ ถูกพาราโบลาเต็มเส้นแตะสองครั้ง เครื่องย้อนกลับจึงให้ผลลัพธ์สองค่า และไม่เป็นฟังก์ชัน · เงื่อนไขนี้คือโจทย์กำลังยื่นครึ่งที่ต้องการมาให้เงียบ ๆ และเป็นตัวเดียวกันที่ทำให้ได้ $x = 1 + \sqrt{y + 5}$ ไม่ใช่ $1 - \sqrt{y + 5}$ · ไม่มีคะแนนให้กับการสังเกตเห็น
$f(x) = (x - 3)^2 + 4$ for $x \ge 3$. State the range of $f$.
Answershow ▾
The squared bracket is smallest, zero, when $x = 3$; nothing makes $f$ smaller than that.
Make $x$ the subject of $y = x - 1$.
Answershow ▾
Same move as question 1 — this is the first line of finding $f^{-1}$.
$y = (x - 1)^2$ for $x \ge 1$. Make $x$ the subject.
Answershow ▾
Same as question 2. The domain $x \ge 1$ is what tells you to keep only the $+$ root.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ for $x \ge 1$. State the range of $f$.
Answershow ▾
Same as question 3 — this answers part (a) of the exam question.
Part (b) also asks for the domain of $f^{-1}$. It is not something you calculate from the formula $1 + \sqrt{x + 5}$ — it is something you copy. Copy it from where, and what does that make it?
ข้อ (b) ขอ domain ของ $f^{-1}$ ด้วย · มันไม่ได้คำนวณจากสูตร $1 + \sqrt{x + 5}$ แต่เป็นสิ่งที่ "คัดลอก" มา · คัดลอกมาจากไหน และได้เป็นอะไร
Answershow ▾
$f^{-1}$ can only accept what $f$ produced, so its domain is the range of $f$, already found in part (a). Reading it off the formula instead gives the same answer here by luck, and a different one as soon as $f$ has a restricted domain that bites. The B1 pays for the inequality; nothing pays for knowing where it came from.$f^{-1}$ รับได้เฉพาะสิ่งที่ $f$ ผลิตออกมา โดเมนของมันจึงคือ range ของ $f$ ซึ่งหาไว้แล้วในข้อ (a) · ถ้าอ่านจากสูตรแทน ข้อนี้บังเอิญได้เท่ากัน แต่จะต่างทันทีเมื่อโดเมนของ $f$ ถูกจำกัดจริง ๆ · B1 ให้กับอสมการ ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่ามันมาจากไหน
The range of $f$ is $f(x) \ge -5$. State the domain of $f^{-1}$.
Answershow ▾
The domain of $f^{-1}$ is always the range of $f$ — swap the roles of $x$ and $y$.
The graphs of $f$ and $f^{-1}$ are reflections of each other in the line $y = x$, and $f$ is increasing, so they can only meet ON that line. Solving $f(x) = f^{-1}(x)$ therefore means solving $f(x) = x$.
Solve $(x - 1)^2 - 5 = x$, given $x \ge 1$.
กราฟของ $f$ กับ $f^{-1}$ สะท้อนกันผ่านเส้น $y = x$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงตัดกันบนเส้นนั้นเท่านั้น · การแก้ $f(x) = f^{-1}(x)$ จึงคือการแก้ $f(x) = x$
แก้ $(x - 1)^2 - 5 = x$ เมื่อ $x \ge 1$
Answershow ▾
Expanding gives $x^2 - 3x - 4 = 0$, whose roots are $4$ and $-1$; the second is rejected because $x \ge 1$.
Part (c) becomes $f(x) = x$, which is $(x - 1)^2 - 5 = x$, so $x^2 - 3x - 4 = 0$ and $x = 4$ or $x = -1$. Which one survives, and which line of the question throws the other one out?
ข้อ (c) กลายเป็น $f(x) = x$ คือ $(x - 1)^2 - 5 = x$ ได้ $x^2 - 3x - 4 = 0$ ดังนั้น $x = 4$ หรือ $x = -1$ · ค่าไหนรอด และบรรทัดไหนของโจทย์เป็นตัวตัดอีกค่าทิ้ง
Answershow ▾
$x = -1$ solves the quadratic but is not in the domain of $f$, so $f(-1)$ does not exist and the equation was never asked there. The quadratic is a tool, not the question; the final A1 is for one value, and offering two loses it.$x = -1$ แก้สมการกำลังสองได้ แต่ไม่อยู่ในโดเมนของ $f$ ดังนั้น $f(-1)$ ไม่มีอยู่จริง และไม่เคยมีใครถามตรงนั้น · สมการกำลังสองเป็นเครื่องมือ ไม่ใช่ตัวคำถาม · A1 ตัวสุดท้ายให้กับค่าเดียว ตอบสองค่าจึงเสียคะแนน
$f(x) = (x - 2)^2$ for $x \ge 2$.
(a) State the range of $f$.
(b) Find $f^{-1}(x)$ and state its domain.
(c) Solve $f(x) = f^{-1}(x)$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ for $x \ge 1$.
(a) State the range of $f$.
(b) Find $f^{-1}(x)$ and state its domain.
(c) Solve $f(x) = f^{-1}(x)$.
Answershow ▾
8 marks. Question 6 is part (a); questions 4, 5 and 7 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Square it, then name the shift จัดกำลังสอง แล้วบอกการเลื่อน
(a) Express $x^{2}+6x+5$ in the form $(x+a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) The curve with equation $y=x^{2}$ is transformed to the curve with equation $y=x^{2}+6x+5$. Describe fully the transformation(s) involved.
(ก) เขียน $x^{2}+6x+5$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ข) เส้นโค้งที่มีสมการ $y=x^{2}$ ถูกแปลง (transformed) ไปเป็นเส้นโค้งที่มีสมการ $y=x^{2}+6x+5$ จงบรรยายการแปลงที่เกิดขึ้นให้ครบถ้วน (describe fully)
To write $x^{2}+6x$ as $(x+a)^{2}+c$, find $a$.
จะเขียน $x^{2}+6x$ ในรูป $(x+a)^{2}+c$ ต้องหา $a$ เท่ากับเท่าไร
Answershow ▾
Half the coefficient of $x$.หาร สัมประสิทธิ์ของ $x$ ด้วยสอง
Expand $(x+3)^{2}$.
จงกระจาย $(x+3)^{2}$
Answershow ▾
Squaring the bracket adds an extra $9$ that was not in $x^{2}+6x$.การยกกำลังสองวงเล็บ ทำให้ได้ $9$ เพิ่มมา ซึ่งไม่มีอยู่ใน $x^{2}+6x$
A curve is moved $3$ units left and $4$ units down. Write this move as a column vector.
เส้นโค้งหนึ่งถูกเลื่อนไปทางซ้าย $3$ หน่วย และลง $4$ หน่วย จงเขียนการเลื่อนนี้เป็นเวกเตอร์
Answershow ▾
Left and down are both negative.ซ้ายและลง เป็นค่าลบทั้งคู่
You know $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$. To write $x^{2}+6x+5$ in the form $(x+3)^{2}+b$, what is $b$?
(A) $b=5$, since $x^{2}+6x+5$ still ends in $+5$
(B) $b=14$, since $5+9=14$
(C) $b=-4$, since $-9+5=-4$
รู้แล้วว่า $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$ จะเขียน $x^{2}+6x+5$ ในรูป $(x+3)^{2}+b$ ได้ $b$ เท่าใด
(A) $b=5$ เพราะ $x^{2}+6x+5$ ยังลงท้ายด้วย $+5$
(B) $b=14$ เพราะ $5+9=14$
(C) $b=-4$ เพราะ $-9+5=-4$
Answershow ▾
(A) drops the $-9$ that completing the square created - it is not in $x^{2}+6x+5$ any more, so it must be combined with the $5$, not ignored. (B) adds $9$ instead of keeping it negative.(A) ตัด $-9$ ที่เกิดจากการจัดกำลังสองสมบูรณ์ทิ้งไป ซึ่งไม่ถูก เพราะต้องนำ $-9$ ไปรวมกับ $5$ ไม่ใช่ตัดทิ้ง · (B) บวก $9$ แทนที่จะคงเครื่องหมายลบไว้
Write $x^{2}+6x$ in the form $(x+3)^{2}+c$. Find $c$.
จงเขียน $x^{2}+6x$ ในรูป $(x+3)^{2}+c$ แล้วหา $c$
Answershow ▾
Squaring $(x+3)$ adds $9$, so subtract it back.การยกกำลังสอง $(x+3)$ ทำให้ได้ $9$ เพิ่มมา จึงต้องหักออก
Use $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$ to write $x^{2}+6x+5$ in the form $(x+3)^{2}+b$.
ใช้ $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$ เขียน $x^{2}+6x+5$ ในรูป $(x+3)^{2}+b$
Answershow ▾
Add the $5$ to the $-9$ from completing the square.บวก $5$ เข้ากับ $-9$ ที่ได้จากการจัดกำลังสองสมบูรณ์
Write down the vertex (minimum point) of $y=(x+3)^{2}-4$.
จงเขียนจุดยอด (จุดต่ำสุด) ของ $y=(x+3)^{2}-4$
Answershow ▾
The vertex of $y=(x+p)^{2}+q$ is $(-p,q)$.จุดยอดของ $y=(x+p)^{2}+q$ คือ $(-p,q)$
$y=(x+3)^{2}-4$. Which transformation takes $y=x^{2}$ to this curve?
(A) translate by $\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$
(B) translate by $\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$
(C) translate by $\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$
$y=(x+3)^{2}-4$ การแปลงใดที่เปลี่ยน $y=x^{2}$ ไปเป็นเส้นโค้งนี้
(A) เลื่อนด้วยเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$
(B) เลื่อนด้วยเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$
(C) เลื่อนด้วยเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$
Answershow ▾
(A) reads the $+3$ inside the bracket as a move right, but $x+3$ moves the graph left. (C) gets the left move right but reads $-4$ as a move up; a smaller $y$-value is a move down.(A) อ่าน $+3$ ในวงเล็บเป็นการเลื่อนไปทางขวา ซึ่งผิด เพราะ $x+3$ เลื่อนกราฟไปทางซ้าย · (C) ได้ทิศซ้ายถูก แต่อ่าน $-4$ เป็นการเลื่อนขึ้น ทั้งที่ค่า $y$ ที่น้อยลงคือการเลื่อนลง
Describe fully the transformation from $y=x^{2}$ to $y=(x+3)^{2}-4$.
จงบรรยายการแปลงจาก $y=x^{2}$ ไปเป็น $y=(x+3)^{2}-4$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
The vertex moves from $(0,0)$ to $(-3,-4)$, so that is the shift vector.จุดยอดเลื่อนจาก $(0,0)$ ไปที่ $(-3,-4)$ นั่นคือเวกเตอร์การเลื่อน
Check: substitute $x=0$ into both $x^{2}+6x+5$ and $(x+3)^{2}-4$. Do they match?
จงตรวจ: แทน $x=0$ ในทั้ง $x^{2}+6x+5$ และ $(x+3)^{2}-4$ ได้ค่าตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
Two equal forms must agree for every $x$, including $x=0$.สองรูปที่เท่ากัน ต้องให้ค่าตรงกันทุก $x$ รวมถึง $x=0$
(a) Express $x^{2}+4x+1$ in the form $(x+a)^{2}+b$.
(b) The curve $y=x^{2}$ is transformed to $y=x^{2}+4x+1$. Describe fully the transformation(s) involved.
(ก) เขียน $x^{2}+4x+1$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$
(ข) เส้นโค้ง $y=x^{2}$ ถูกแปลงไปเป็น $y=x^{2}+4x+1$ จงบรรยายการแปลงที่เกิดขึ้นให้ครบถ้วน
Answershow ▾
Same two moves: halve the coefficient, fix the constant, then read the vertex shift.สองขั้นเดิม: หารครึ่งสัมประสิทธิ์ ปรับค่าคงที่ แล้วอ่านการเลื่อนของจุดยอด
(a) Express $x^{2}+6x+5$ in the form $(x+a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) The curve with equation $y=x^{2}$ is transformed to the curve with equation $y=x^{2}+6x+5$. Describe fully the transformation(s) involved.
(ก) เขียน $x^{2}+6x+5$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ข) เส้นโค้งที่มีสมการ $y=x^{2}$ ถูกแปลง (transformed) ไปเป็นเส้นโค้งที่มีสมการ $y=x^{2}+6x+5$ จงบรรยายการแปลงที่เกิดขึ้นให้ครบถ้วน (describe fully)
Answershow ▾
4 marks: $2$ for completing the square, $2$ for naming the translation and giving its vector.4 คะแนน: $2$ คะแนนสำหรับการจัดกำลังสองสมบูรณ์ $2$ คะแนนสำหรับการบอกชื่อการแปลงและเวกเตอร์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A function that undoes itself ฟังก์ชันที่ผกผันกลับมาเป็นตัวเอง
The function $\mathrm{f}$ is defined as follows: $$\mathrm{f}(x)=\frac{x+3}{x-1}\quad\text{for } x>1.$$
(a) Find the value of $\mathrm{ff}(5)$.
(b) Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามดังนี้ $$\mathrm{f}(x)=\frac{x+3}{x-1}$$ เมื่อ $x>1$
(ก) หาค่าของ $\mathrm{ff}(5)$
(ข) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$
$\mathrm{f}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$. Work out $\mathrm{f}(5)$.
$\mathrm{f}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ จงหาค่า $\mathrm{f}(5)$
Answershow ▾
Substitute $x=5$, then simplify the fraction.แทน $x=5$ แล้วทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น
$y=\dfrac{x+3}{x-1}$. Multiply both sides by $(x-1)$. Write the result.
$y=\dfrac{x+3}{x-1}$ จงคูณทั้งสองข้างด้วย $(x-1)$ แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Multiplying by $(x-1)$ removes it from the denominator.การคูณด้วย $(x-1)$ ทำให้มันหายไปจากตัวส่วน
Factorise $x$ out of $xy-x$.
จงแยกตัวประกอบ $x$ ออกจาก $xy-x$
Answershow ▾
Both terms share the factor $x$.ทั้งสองพจน์มี $x$ เป็นตัวประกอบร่วม
$\mathrm{ff}(5)$ means $\mathrm{f}$ applied twice, starting at $5$. Pick the correct working.
(A) $[\mathrm{f}(5)]^{2}$
(B) $\mathrm{f}(\mathrm{f}(5))$
(C) $\mathrm{f}(5)+\mathrm{f}(5)$
$\mathrm{ff}(5)$ หมายถึงใช้ $\mathrm{f}$ สองครั้ง เริ่มจาก $5$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) $[\mathrm{f}(5)]^{2}$
(B) $\mathrm{f}(\mathrm{f}(5))$
(C) $\mathrm{f}(5)+\mathrm{f}(5)$
Answershow ▾
(A) squares the number $\mathrm{f}(5)$ instead of feeding it back into $\mathrm{f}$. (C) adds two separate outputs instead of chaining them. $\mathrm{ff}$ means apply $\mathrm{f}$, then apply $\mathrm{f}$ again to that result.(A) ยกกำลังสองค่า $\mathrm{f}(5)$ แทนที่จะเอาค่านั้นกลับเข้า $\mathrm{f}$ อีกครั้ง · (C) บวกสองผลลัพธ์ที่แยกกัน แทนที่จะต่อกัน · $\mathrm{ff}$ คือใช้ $\mathrm{f}$ แล้วใช้ $\mathrm{f}$ อีกครั้งกับผลลัพธ์นั้น
You found $\mathrm{f}(5)=2$. Work out $\mathrm{f}(2)$.
ได้ $\mathrm{f}(5)=2$ จงหาค่า $\mathrm{f}(2)$
Answershow ▾
Substitute $x=2$ into $\mathrm{f}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$.แทน $x=2$ ใน $\mathrm{f}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$
$\mathrm{ff}(5)=\mathrm{f}(2)$ and $\mathrm{f}(2)=5$. Write the value of $\mathrm{ff}(5)$.
$\mathrm{ff}(5)=\mathrm{f}(2)$ และ $\mathrm{f}(2)=5$ จงเขียนค่าของ $\mathrm{ff}(5)$
Answershow ▾
$\mathrm{ff}(5)$ is just $\mathrm{f}(2)$, already found.$\mathrm{ff}(5)$ ก็คือ $\mathrm{f}(2)$ ที่หาไว้แล้ว
$y=\dfrac{x+3}{x-1}$. Multiply both sides by $(x-1)$, then expand. Write the result in terms of $xy$.
$y=\dfrac{x+3}{x-1}$ จงคูณทั้งสองข้างด้วย $(x-1)$ แล้วกระจาย เขียนผลลัพธ์ในรูป $xy$
Answershow ▾
Multiply out $y(x-1)$: $y$ times $x$, then $y$ times $-1$.กระจาย $y(x-1)$: $y$ คูณ $x$ แล้ว $y$ คูณ $-1$
$xy-y=x+3$. Pick the first move to make $x$ the subject.
(A) move $y$ to the right: $xy=x+3+y$
(B) move $x$ to the left, $y$ to the right: $xy-x=y+3$
(C) divide every term by $x$: $y-\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{3}{x}$
$xy-y=x+3$ จงเลือกขั้นแรกที่ทำให้ $x$ เป็นตัวแปรต้น
(A) ย้าย $y$ ไปทางขวา: $xy=x+3+y$
(B) ย้าย $x$ ไปทางซ้าย $y$ ไปทางขวา: $xy-x=y+3$
(C) หารทุกพจน์ด้วย $x$: $y-\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{3}{x}$
Answershow ▾
(A) still leaves $x$ split between both sides, so it cannot be factorised out. (C) creates new fractions and loses $x$ as a clean factor. Only (B) puts both $x$-terms together.(A) ยังมี $x$ อยู่ทั้งสองข้าง จึงแยกตัวประกอบ $x$ ไม่ได้ · (C) ทำให้เกิดเศษส่วนใหม่และเสีย $x$ ที่เป็นตัวประกอบ · มีแค่ (B) ที่รวมพจน์ $x$ ไว้ด้วยกัน
$xy-x=y+3$. Factorise $x$ on the left, divide, then write the answer as $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
$xy-x=y+3$ จงแยกตัวประกอบ $x$ ด้านซ้าย หาร แล้วเขียนคำตอบเป็น $\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
Divide both sides by $(y-1)$, then rename $y$ as $x$.หารทั้งสองข้างด้วย $(y-1)$ แล้วเปลี่ยน $y$ เป็น $x$
$\mathrm{f}(2)=5$. Use $\mathrm{f}^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ to work out $\mathrm{f}^{-1}(5)$. Does it give back $2$?
$\mathrm{f}(2)=5$ · ใช้ $\mathrm{f}^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$ หาค่า $\mathrm{f}^{-1}(5)$ ได้กลับมาเป็น $2$ หรือไม่
Answershow ▾
An inverse sends the output of $\mathrm{f}$ back to its input.inverse เอาผลลัพธ์ของ $\mathrm{f}$ ย้อนกลับไปเป็นค่าตั้งต้น
$g(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ for $x>1$. Find $\mathrm{gg}(3)$ and an expression for $g^{-1}(x)$.
$g(x)=\dfrac{x+5}{x-1}$ เมื่อ $x>1$ จงหาค่าของ $\mathrm{gg}(3)$ และนิพจน์ของ $g^{-1}(x)$
Answershow ▾
Same four moves: apply $g$ twice, then clear the fraction and collect $x$.สี่ขั้นเดิม: ใช้ $g$ สองครั้ง แล้วกำจัดเศษส่วนและรวมพจน์ $x$
The function $\mathrm{f}$ is defined as follows: $$\mathrm{f}(x)=\frac{x+3}{x-1}\quad\text{for } x>1.$$
(a) Find the value of $\mathrm{ff}(5)$.
(b) Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามดังนี้ $$\mathrm{f}(x)=\frac{x+3}{x-1}$$ เมื่อ $x>1$
(ก) หาค่าของ $\mathrm{ff}(5)$
(ข) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
5 marks: $2$ for $\mathrm{ff}(5)$ (apply $\mathrm{f}$ twice), $3$ for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ (clear the fraction, collect $x$, make it the subject).5 คะแนน: $2$ คะแนนสำหรับ $\mathrm{ff}(5)$ (ใช้ $\mathrm{f}$ สองครั้ง) $3$ คะแนนสำหรับ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ (กำจัดเศษส่วน รวมพจน์ $x$ แล้วทำให้เป็นตัวแปรต้น)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two clues fix two constants สองเงื่อนงำ หาค่าคงที่สองค่า
Functions $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$ are defined for $x\in\mathbb{R}$ by $$\mathrm{f}:x\mapsto\tfrac{1}{2}x-a,\qquad \mathrm{g}:x\mapsto 3x+b,$$ where $a$ and $b$ are constants.
(a) Given that $\mathrm{gg}(2)=10$ and $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$, find the values of $a$ and $b$.
(b) Using these values of $a$ and $b$, find an expression for $\mathrm{gf}(x)$ in the form $cx+d$, where $c$ and $d$ are constants.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ และ $\mathrm{g}$ นิยามสำหรับ $x\in\mathbb{R}$ โดย $$\mathrm{f}:x\mapsto\tfrac{1}{2}x-a,\qquad \mathrm{g}:x\mapsto 3x+b$$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ก) กำหนดให้ $\mathrm{gg}(2)=10$ และ $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$ จงหาค่าของ $a$ และ $b$
(ข) ใช้ค่า $a$ และ $b$ ที่ได้ หานิพจน์ของ $\mathrm{gf}(x)$ ในรูป $cx+d$ เมื่อ $c$ และ $d$ เป็นค่าคงที่
$\mathrm{g}(x)=3x+b$. Find $\mathrm{g}(2)$ in terms of $b$.
$\mathrm{g}(x)=3x+b$ จงหา $\mathrm{g}(2)$ ในรูปของ $b$
Answershow ▾
Substitute $x=2$ into $3x+b$.แทน $x=2$ ลงใน $3x+b$
If $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$, write this as a fact about $\mathrm{f}$.
ถ้า $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$ จงเขียนเป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับ $\mathrm{f}$
Answershow ▾
The inverse swaps input and output, so $\mathrm{f}$ undoes it.อินเวอร์สสลับค่าเข้ากับค่าออก $\mathrm{f}$ จึงย้อนกลับได้
Solve $18+4b=10$ for $b$.
จงแก้สมการ $18+4b=10$ หาค่า $b$
Answershow ▾
Subtract $18$, then divide by $4$.ลบด้วย $18$ แล้วหารด้วย $4$
$\mathrm{g}(x)=3x+b$. Find $\mathrm{gg}(2)$ in terms of $b$.
$\mathrm{g}(x)=3x+b$ จงหา $\mathrm{gg}(2)$ ในรูปของ $b$
Answershow ▾
Put $\mathrm{g}(2)=6+b$ back into $\mathrm{g}$.นำ $\mathrm{g}(2)=6+b$ กลับไปใส่ใน $\mathrm{g}$ อีกครั้ง
You are given $\mathrm{gg}(2)=10$. Solve $18+4b=10$ for $b$.
กำหนดให้ $\mathrm{gg}(2)=10$ จงแก้สมการ $18+4b=10$ หาค่า $b$
Answershow ▾
Same equation as the warm-up, now with the real fact.สมการเดิมจากขั้นอุ่นเครื่อง แต่ใช้ข้อเท็จจริงจริง
You are given $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$, so $\mathrm{f}(14)=2$. Using $\mathrm{f}(x)=\tfrac12x-a$, find $a$.
กำหนดให้ $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$ จึงได้ $\mathrm{f}(14)=2$ ใช้ $\mathrm{f}(x)=\tfrac12x-a$ จงหาค่า $a$
Answershow ▾
Substitute $x=14$, set it equal to $2$, then solve.แทน $x=14$ ให้เท่ากับ $2$ แล้วแก้สมการ
To find $\mathrm{gf}(x)$, which function applies to $x$ first?
(A) $\mathrm{f}$ first, then $\mathrm{g}$
(B) $\mathrm{g}$ first, then $\mathrm{f}$ — this gives $\mathrm{fg}(x)$, not $\mathrm{gf}(x)$
(C) multiply $\mathrm{f}(x)$ by $\mathrm{g}(x)$
จะหา $\mathrm{gf}(x)$ ฟังก์ชันไหนทำกับ $x$ ก่อน
(A) $\mathrm{f}$ ก่อน แล้วค่อย $\mathrm{g}$
(B) $\mathrm{g}$ ก่อน แล้วค่อย $\mathrm{f}$ — นี่คือ $\mathrm{fg}(x)$ ไม่ใช่ $\mathrm{gf}(x)$
(C) เอา $\mathrm{f}(x)$ คูณกับ $\mathrm{g}(x)$
Answershow ▾
The letter touching $x$ runs first, so $\mathrm{f}$ goes first. (B) swaps the order and finds $\mathrm{fg}(x)$ instead. (C) is not what a composite means.ตัวที่ติดกับ $x$ ทำก่อน ดังนั้น $\mathrm{f}$ ทำก่อน · (B) สลับลำดับ กลายเป็นหา $\mathrm{fg}(x)$ · (C) ไม่ใช่ความหมายของฟังก์ชันประกอบ
Using $a=5$ and $b=-2$, write $\mathrm{gf}(x)=3\left(\tfrac12x-a\right)+b$ with the numbers substituted in.
ใช้ $a=5$ และ $b=-2$ จงเขียน $\mathrm{gf}(x)=3\left(\tfrac12x-a\right)+b$ โดยแทนค่าตัวเลขลงไป
Answershow ▾
Replace $a$ and $b$ with their values. Do not expand yet.แทน $a$ และ $b$ ด้วยค่าที่ได้ ยังไม่ต้องกระจาย
Expand $3\left(\tfrac12x-5\right)$. Pick the correct expansion.
(A) $\tfrac32x-5$
(B) $\tfrac32x-15$
(C) $\tfrac12x-8$
จงกระจาย $3\left(\tfrac12x-5\right)$ จงเลือกคำตอบที่ถูกต้อง
(A) $\tfrac32x-5$
(B) $\tfrac32x-15$
(C) $\tfrac12x-8$
Answershow ▾
The $3$ must multiply both terms inside the bracket. (A) multiplies only $\tfrac12x$ and leaves the $5$ alone. (C) does not multiply either term.$3$ ต้องคูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บ · (A) คูณแค่ $\tfrac12x$ แล้วปล่อย $5$ ไว้เฉยๆ · (C) ไม่คูณทั้งสองพจน์เลย
Expand $3\left(\tfrac12x-5\right)-2$ to find $\mathrm{gf}(x)$ in the form $cx+d$.
จงกระจาย $3\left(\tfrac12x-5\right)-2$ เพื่อหา $\mathrm{gf}(x)$ ในรูป $cx+d$
Answershow ▾
Multiply the $3$ into both terms, then combine the constants.คูณ $3$ เข้าทั้งสองพจน์ แล้วรวมค่าคงที่
Functions $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$ are defined by $\mathrm{f}:x\mapsto\tfrac12x-p$ and $\mathrm{g}:x\mapsto3x+q$. Given that $\mathrm{gg}(1)=17$ and $\mathrm{f}^{-1}(3)=8$, find $\mathrm{gf}(x)$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ และ $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{f}:x\mapsto\tfrac12x-p$ และ $\mathrm{g}:x\mapsto3x+q$ กำหนดให้ $\mathrm{gg}(1)=17$ และ $\mathrm{f}^{-1}(3)=8$ จงหา $\mathrm{gf}(x)$
Answershow ▾
Same three moves: find $q$ from $\mathrm{gg}(1)$, find $p$ from $\mathrm{f}^{-1}(3)$, then combine.สามขั้นเดิม: หา $q$ จาก $\mathrm{gg}(1)$ หา $p$ จาก $\mathrm{f}^{-1}(3)$ แล้วรวมกัน
Functions $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$ are defined for $x\in\mathbb{R}$ by $$\mathrm{f}:x\mapsto\tfrac{1}{2}x-a,\qquad \mathrm{g}:x\mapsto 3x+b,$$ where $a$ and $b$ are constants.
(a) Given that $\mathrm{gg}(2)=10$ and $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$, find the values of $a$ and $b$.
(b) Using these values of $a$ and $b$, find an expression for $\mathrm{gf}(x)$ in the form $cx+d$, where $c$ and $d$ are constants.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ และ $\mathrm{g}$ นิยามสำหรับ $x\in\mathbb{R}$ โดย $$\mathrm{f}:x\mapsto\tfrac{1}{2}x-a,\qquad \mathrm{g}:x\mapsto 3x+b$$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ก) กำหนดให้ $\mathrm{gg}(2)=10$ และ $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$ จงหาค่าของ $a$ และ $b$
(ข) ใช้ค่า $a$ และ $b$ ที่ได้ หานิพจน์ของ $\mathrm{gf}(x)$ ในรูป $cx+d$ เมื่อ $c$ และ $d$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
6 marks: $\mathrm{gg}(2)$ gives $b$, $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$ gives $a$, then $\mathrm{f}$ first, $\mathrm{g}$ second gives $\mathrm{gf}(x)$.6 คะแนน: $\mathrm{gg}(2)$ ให้ $b$ · $\mathrm{f}^{-1}(2)=14$ ให้ $a$ · แล้ว $\mathrm{f}$ ก่อน $\mathrm{g}$ ตามให้ $\mathrm{gf}(x)$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two moves, then run them backwards สองท่า แล้วย้อนกลับ
The graph of $y=\mathrm{f}(x)$ is transformed to the graph of $y=\mathrm{f}(2x)-3$.
(a) Describe fully the two single transformations that have been combined to give the resulting transformation.
(b) The point $P(5,\,6)$ lies on the transformed curve $y=\mathrm{f}(2x)-3$. State the coordinates of the corresponding point on the original curve $y=\mathrm{f}(x)$.
กราฟของ $y=\mathrm{f}(x)$ ถูกแปลงไปเป็นกราฟของ $y=\mathrm{f}(2x)-3$
(ก) จงบรรยายให้ครบถ้วน (describe fully) ถึง transformation เดี่ยวสองแบบที่รวมกันแล้วได้การแปลงนี้
(ข) จุด $P(5,\,6)$ อยู่บนเส้นโค้งที่แปลงแล้ว $y=\mathrm{f}(2x)-3$ จงบอกพิกัดของจุดที่สมนัยกัน (corresponding point) บนเส้นโค้งเดิม $y=\mathrm{f}(x)$
$y=\mathrm{f}(2x)$ is a stretch parallel to the $x$-axis. State its scale factor.
$y=\mathrm{f}(2x)$ คือการยืดขนานแกน $x$ จงบอกตัวคูณของการยืดนี้
Answershow ▾
The bracket multiplier $k$ gives scale factor $\tfrac{1}{k}$, not $k$ itself.ตัวคูณในวงเล็บ $k$ ให้ตัวคูณเป็น $\tfrac{1}{k}$ ไม่ใช่ $k$ เอง
$y=\mathrm{f}(x)-3$ is a translation of $y=\mathrm{f}(x)$. Write it as a column vector.
$y=\mathrm{f}(x)-3$ คือการเลื่อนขนานของ $y=\mathrm{f}(x)$ จงเขียนเป็นเวกเตอร์ในแนวตั้ง
Answershow ▾
A number outside the bracket moves $y$ only - here, $3$ units down.ตัวเลขนอกวงเล็บเลื่อน $y$ เท่านั้น ในที่นี้คือลงไป $3$ หน่วย
The point $(5,6)$ lies on $y=\mathrm{f}(2x)$. State the $x$-coordinate of the corresponding point on $y=\mathrm{f}(x)$.
จุด $(5,6)$ อยู่บน $y=\mathrm{f}(2x)$ จงบอกพิกัด $x$ ของจุดที่สมนัยกันบน $y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
Double the $x$-coordinate: the stretch compresses $x$ by half, so undoing it multiplies by $2$.คูณพิกัด $x$ ด้วย $2$ เพราะการยืดบีบ $x$ ลงครึ่งหนึ่ง การย้อนกลับจึงต้องคูณสอง
$y=\mathrm{f}(2x)$ is one single transformation of $y=\mathrm{f}(x)$. Pick its full description.
(A) stretch parallel to the $x$-axis, factor $2$
(B) stretch parallel to the $x$-axis, factor $\tfrac{1}{2}$
(C) stretch parallel to the $y$-axis, factor $2$
$y=\mathrm{f}(2x)$ คือการแปลงเดี่ยวหนึ่งแบบของ $y=\mathrm{f}(x)$ จงเลือกคำบรรยายที่ครบถ้วน
(A) ยืดขนานแกน $x$ ตัวคูณ $2$
(B) ยืดขนานแกน $x$ ตัวคูณ $\tfrac{1}{2}$
(C) ยืดขนานแกน $y$ ตัวคูณ $2$
Answershow ▾
(A) uses the bracket multiplier itself as the factor, but the stretch compresses, so the true factor is its reciprocal, $\tfrac{1}{2}$. (C) moves $y$, while $x\to2x$ changes $x$, inside the bracket.(A) ใช้ตัวคูณในวงเล็บเป็นตัวคูณโดยตรง แต่การยืดนี้บีบกราฟ ตัวคูณจริงจึงเป็นส่วนกลับคือ $\tfrac{1}{2}$ · (C) เลื่อน $y$ แต่ $x\to2x$ เปลี่ยน $x$ ซึ่งอยู่ในวงเล็บ
Describe fully the single transformation that takes $y=\mathrm{f}(x)$ to $y=\mathrm{f}(2x)$.
จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $y=\mathrm{f}(x)$ ไปเป็น $y=\mathrm{f}(2x)$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
Name the type, the axis, and the factor - all three carry a mark.ต้องบอกชนิด แกน และตัวคูณครบทั้งสามส่วน แต่ละส่วนมีคะแนน
Describe fully the single transformation that takes $y=\mathrm{f}(2x)$ to $y=\mathrm{f}(2x)-3$.
จงบรรยายการแปลงเดี่ยวที่ส่ง $y=\mathrm{f}(2x)$ ไปเป็น $y=\mathrm{f}(2x)-3$ ให้ครบถ้วน
Answershow ▾
The $-3$ sits outside $\mathrm{f}$, so it moves $y$ only.$-3$ อยู่นอก $\mathrm{f}$ จึงเลื่อน $y$ เท่านั้น
$P(5,6)$ lies on $y=\mathrm{f}(2x)-3$. To find the $x$-coordinate of the corresponding point on $y=\mathrm{f}(x)$, pick the first move.
(A) divide $5$ by $2$
(B) multiply $5$ by $2$
(C) keep $x=5$ - the stretch does not change it
$P(5,6)$ อยู่บน $y=\mathrm{f}(2x)-3$ หากต้องการหาพิกัด $x$ ของจุดที่สมนัยกันบน $y=\mathrm{f}(x)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หาร $5$ ด้วย $2$
(B) คูณ $5$ ด้วย $2$
(C) ใช้ $x=5$ เดิม การยืดไม่ทำให้เปลี่ยน
Answershow ▾
(A) repeats the stretch instead of undoing it - the graph was compressed by $\tfrac{1}{2}$, so reversing it multiplies by $2$. (C) ignores the stretch completely; $x\to2x$ does change $x$.(A) ทำซ้ำการยืดแทนการย้อนกลับ กราฟถูกบีบด้วย $\tfrac{1}{2}$ การย้อนกลับจึงต้องคูณด้วย $2$ · (C) มองข้ามการยืดไปเลย ทั้งที่ $x\to2x$ เปลี่ยน $x$ จริง
$P(5,6)$ lies on $y=\mathrm{f}(2x)-3$. State the $x$-coordinate of the corresponding point on $y=\mathrm{f}(x)$.
$P(5,6)$ อยู่บน $y=\mathrm{f}(2x)-3$ จงบอกพิกัด $x$ ของจุดที่สมนัยกันบน $y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
The $-3$ does not touch $x$ - same move as question $3$.$-3$ ไม่กระทบ $x$ เป็นขั้นเดียวกับข้อ $3$
Use $P(5,6)$ on $y=\mathrm{f}(2x)-3$ to find $\mathrm{f}(10)$.
ใช้ $P(5,6)$ บน $y=\mathrm{f}(2x)-3$ หาค่า $\mathrm{f}(10)$
Answershow ▾
Add $3$ back: the $-3$ was the last move applied, so undo it first.บวก $3$ กลับไป เพราะ $-3$ เป็นขั้นสุดท้ายที่ทำ จึงต้องย้อนก่อน
Check: does $\mathrm{f}(10)-3$ equal $6$, the $y$-coordinate of $P$?
ตรวจคำตอบ: $\mathrm{f}(10)-3$ เท่ากับ $6$ ซึ่งเป็นพิกัด $y$ ของ $P$ หรือไม่
Answershow ▾
A correct point must satisfy the transformed equation too.จุดที่ถูกต้องต้องเป็นจริงกับสมการที่แปลงแล้วด้วย
$y=\mathrm{f}(3x)+2$. The point $Q(4,5)$ lies on this graph. Find the two single transformations, and the coordinates of the corresponding point on $y=\mathrm{f}(x)$.
$y=\mathrm{f}(3x)+2$ จุด $Q(4,5)$ อยู่บนกราฟนี้ จงหาการแปลงเดี่ยวทั้งสองแบบ และพิกัดของจุดที่สมนัยกันบน $y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
Same two moves, fresh numbers: to go back, multiply by $3$, then subtract $2$.สองขั้นเดิม แต่ตัวเลขใหม่: ย้อนกลับด้วยการคูณ $3$ แล้วลบ $2$
The graph of $y=\mathrm{f}(x)$ is transformed to the graph of $y=\mathrm{f}(2x)-3$.
(a) Describe fully the two single transformations that have been combined to give the resulting transformation.
(b) The point $P(5,\,6)$ lies on the transformed curve $y=\mathrm{f}(2x)-3$. State the coordinates of the corresponding point on the original curve $y=\mathrm{f}(x)$.
กราฟของ $y=\mathrm{f}(x)$ ถูกแปลงไปเป็นกราฟของ $y=\mathrm{f}(2x)-3$
(ก) จงบรรยายให้ครบถ้วน (describe fully) ถึง transformation เดี่ยวสองแบบที่รวมกันแล้วได้การแปลงนี้
(ข) จุด $P(5,\,6)$ อยู่บนเส้นโค้งที่แปลงแล้ว $y=\mathrm{f}(2x)-3$ จงบอกพิกัดของจุดที่สมนัยกัน (corresponding point) บนเส้นโค้งเดิม $y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
5 marks: 3 for describing both transformations, 2 for the point - find $x$ first (double it), then $y$ (undo the $-3$).5 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับบรรยายการแปลงทั้งสอง และ 2 คะแนนสำหรับจุด - หา $x$ ก่อน (คูณสอง) แล้วหา $y$ (ย้อน $-3$)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Three moves, one function สามท่า หนึ่งฟังก์ชัน
A function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$ for $x\in\mathbb{R}$. A sequence of transformations is applied in the following order to the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ to give the graph of $y=\mathrm{g}(x)$.
• Stretch parallel to the $x$-axis with scale factor $\tfrac{1}{2}$
• Reflection in the $y$-axis
• Stretch parallel to the $y$-axis with scale factor $3$
Find $\mathrm{g}(x)$, giving your answer in the form $ax^{2}+bx+c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$ สำหรับ $x\in\mathbb{R}$ นำลำดับของ transformation ต่อไปนี้ไปใช้กับกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ ตามลำดับ ได้เป็นกราฟ $y=\mathrm{g}(x)$
• ยืด (stretch) ขนานแกน $x$ ด้วย scale factor $\tfrac{1}{2}$
• สะท้อน (reflection) ในแกน $y$
• ยืด (stretch) ขนานแกน $y$ ด้วย scale factor $3$
หา $\mathrm{g}(x)$ โดยตอบในรูป $ax^{2}+bx+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่
The graph of $y=\mathrm{p}(x)$ is stretched parallel to the $x$-axis, scale factor $\tfrac12$. Write the equation of the new graph.
กราฟ $y=\mathrm{p}(x)$ ถูกยืดขนานแกน $x$ ด้วยตัวคูณ $\tfrac12$ จงเขียนสมการกราฟใหม่
Answershow ▾
Scale factor $\tfrac12$ means $x$ is replaced by its reciprocal, $2x$.ตัวคูณ $\tfrac12$ หมายความว่า $x$ ถูกแทนด้วยส่วนกลับของมัน คือ $2x$
The graph of $y=\mathrm{p}(x)$ is reflected in the $y$-axis. Write the equation of the new graph.
กราฟ $y=\mathrm{p}(x)$ ถูกสะท้อนในแกน $y$ จงเขียนสมการกราฟใหม่
Answershow ▾
Reflection in the $y$-axis replaces $x$ with $-x$.การสะท้อนในแกน $y$ คือการแทน $x$ ด้วย $-x$
The graph of $y=\mathrm{p}(x)$ is stretched parallel to the $y$-axis, scale factor $3$. Write the equation of the new graph.
กราฟ $y=\mathrm{p}(x)$ ถูกยืดขนานแกน $y$ ด้วยตัวคูณ $3$ จงเขียนสมการกราฟใหม่
Answershow ▾
A $y$-stretch multiplies the whole function, not just $x$.การยืดขนานแกน $y$ คือการคูณฟังก์ชันทั้งหมด ไม่ใช่แค่ $x$
A graph is stretched parallel to the $x$-axis, scale factor $\tfrac12$. Pick the correct new equation for $y=\mathrm{p}(x)$.
(A) $y=\mathrm{p}\left(\tfrac12x\right)$
(B) $y=\mathrm{p}(2x)$
(C) $y=\tfrac12\mathrm{p}(x)$
กราฟถูกยืดขนานแกน $x$ ด้วยตัวคูณ $\tfrac12$ จงเลือกสมการใหม่ของ $y=\mathrm{p}(x)$ ที่ถูกต้อง
(A) $y=\mathrm{p}\left(\tfrac12x\right)$
(B) $y=\mathrm{p}(2x)$
(C) $y=\tfrac12\mathrm{p}(x)$
Answershow ▾
(A) uses the scale factor itself instead of its reciprocal, so the graph would widen instead of narrow. (C) stretches $y$, which changes the output, not the input $x$.(A) ใช้ตัวคูณตรงๆ แทนส่วนกลับของมัน กราฟจึงกว้างขึ้นทั้งที่ควรแคบลง · (C) ยืดแกน $y$ ซึ่งเปลี่ยนค่าออก ไม่ใช่ค่าเข้า $x$
Replace $x$ with $2x$ in $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$. Expand and simplify.
แทน $x$ ด้วย $2x$ ใน $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$ แล้วกระจายให้เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
Square the whole of $2x$, then expand the bracket.ยกกำลังสองทั้ง $2x$ แล้วกระจายวงเล็บ
Replace $x$ with $-x$ in $y=4x^{2}-4x+5$. Expand and simplify.
แทน $x$ ด้วย $-x$ ใน $y=4x^{2}-4x+5$ แล้วกระจายให้เป็นรูปง่าย
Answershow ▾
Squaring $-x$ keeps the sign, but the $-4x$ term flips sign.การยกกำลังสอง $-x$ ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย แต่พจน์ $-4x$ จะเปลี่ยนเครื่องหมาย
Multiply $4x^{2}+4x+5$ by $3$. Do not expand yet.
คูณ $4x^{2}+4x+5$ ด้วย $3$ ยังไม่ต้องกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
The $y$-stretch multiplies the whole previous result.การยืดแกน $y$ คือการคูณผลลัพธ์ก่อนหน้าทั้งหมด
Expand $3\left(4x^{2}+4x+5\right)$ and write $\mathrm{g}(x)$ in the form $ax^{2}+bx+c$.
จงกระจาย $3\left(4x^{2}+4x+5\right)$ แล้วเขียน $\mathrm{g}(x)$ ในรูป $ax^{2}+bx+c$
Answershow ▾
Multiply every term inside the bracket by $3$.คูณทุกพจน์ในวงเล็บด้วย $3$
The point $(1,4)$ lies on $y=\mathrm{f}(x)$. Track it through all three transformations and give its final point on $y=\mathrm{g}(x)$.
จุด $(1,4)$ อยู่บน $y=\mathrm{f}(x)$ จงติดตามจุดนี้ผ่านการแปลงทั้งสามขั้น แล้วหาจุดสุดท้ายบน $y=\mathrm{g}(x)$
Answershow ▾
Each transformation moves the point the same way it moves the graph.การแปลงแต่ละขั้นเลื่อนจุดในแบบเดียวกับที่เลื่อนกราฟ
A function $\mathrm{h}$ is defined by $\mathrm{h}(x)=x^{2}-4x+1$. Apply the same three transformations, in the same order (stretch parallel to $x$, scale factor $\tfrac12$; reflect in the $y$-axis; stretch parallel to $y$, scale factor $2$), to find the new function.
ฟังก์ชัน $\mathrm{h}$ นิยามโดย $\mathrm{h}(x)=x^{2}-4x+1$ จงใช้การแปลงสามขั้นเดิมตามลำดับ (ยืดขนานแกน $x$ ตัวคูณ $\tfrac12$ · สะท้อนในแกน $y$ · ยืดขนานแกน $y$ ตัวคูณ $2$) เพื่อหาฟังก์ชันใหม่
Answershow ▾
Same three moves: stretch, reflect, then stretch again.สามขั้นเดิม: ยืด สะท้อน แล้วยืดอีกครั้ง
A function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$ for $x\in\mathbb{R}$. A sequence of transformations is applied in the following order to the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ to give the graph of $y=\mathrm{g}(x)$.
• Stretch parallel to the $x$-axis with scale factor $\tfrac{1}{2}$
• Reflection in the $y$-axis
• Stretch parallel to the $y$-axis with scale factor $3$
Find $\mathrm{g}(x)$, giving your answer in the form $ax^{2}+bx+c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$ สำหรับ $x\in\mathbb{R}$ นำลำดับของ transformation ต่อไปนี้ไปใช้กับกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$ ตามลำดับ ได้เป็นกราฟ $y=\mathrm{g}(x)$
• ยืด (stretch) ขนานแกน $x$ ด้วย scale factor $\tfrac{1}{2}$
• สะท้อน (reflection) ในแกน $y$
• ยืด (stretch) ขนานแกน $y$ ด้วย scale factor $3$
หา $\mathrm{g}(x)$ โดยตอบในรูป $ax^{2}+bx+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
4 marks: one for each transformation, then one for the form $ax^{2}+bx+c$.4 คะแนน: การแปลงแต่ละขั้นได้ 1 คะแนน แล้ว 1 คะแนนสำหรับรูป $ax^{2}+bx+c$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A fraction, its range, its inverse เศษส่วน เรนจ์ และตัวผกผัน
The function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$ for $x>2$.
(a) State the range of $\mathrm{f}$.
(b) Obtain an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
(c) The function $\mathrm{g}$ is defined by $\mathrm{g}(x)=2x-2$ for $x>0$. Obtain a simplified expression for $\mathrm{gf}(x)$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$ เมื่อ $x>2$
(ก) บอก range (เรนจ์) ของ $\mathrm{f}$
(ข) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอก domain (โดเมน) ของ $\mathrm{f}^{-1}$
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=2x-2$ เมื่อ $x>0$ จงหานิพจน์อย่างง่ายของ $\mathrm{gf}(x)$
For $x\gt2$, decide the sign of $\dfrac{3}{x-2}$.
เมื่อ $x\gt2$ จงบอกเครื่องหมายของ $\dfrac{3}{x-2}$
Answershow ▾
Dividing a positive number by another positive number gives a positive number.จำนวนบวกหารด้วยจำนวนบวก ได้ผลลัพธ์เป็นบวก
Make $x$ the subject of $(x-2)(y-1)=3$.
จงจัดให้ $x$ เป็นตัวแปรหลักจาก $(x-2)(y-1)=3$
Answershow ▾
Divide both sides by $(y-1)$, then add $2$.หารทั้งสองข้างด้วย $(y-1)$ แล้วบวก $2$
$\mathrm{g}(x)=2x-2$ for $x\gt0$. Work out $\mathrm{g}(5)$.
$\mathrm{g}(x)=2x-2$ เมื่อ $x\gt0$ จงหา $\mathrm{g}(5)$
Answershow ▾
Substitute $5$ for $x$, then simplify.แทน $x$ ด้วย $5$ แล้วคำนวณ
To find the range of $\mathrm{f}$, where $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$ for $x\gt2$. Pick the right first move.
(A) Solve $\mathrm{f}(x)=0$
(B) Look at the sign of $\dfrac{3}{x-2}$ for $x\gt2$, and what it gets close to
(C) Substitute $x=2$ into $\mathrm{f}(x)$
เพื่อหาเรนจ์ของ $\mathrm{f}$ โดย $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$ เมื่อ $x\gt2$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูก
(A) แก้สมการ $\mathrm{f}(x)=0$
(B) ดูเครื่องหมายของ $\dfrac{3}{x-2}$ เมื่อ $x\gt2$ และค่าที่มันเข้าใกล้
(C) แทน $x=2$ ลงใน $\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
(A) gives $x=-1$, which is outside the domain $x\gt2$ and says nothing about the range. (C) cannot be used: $x=2$ is excluded from the domain, so $\mathrm{f}(2)$ does not exist.(A) ได้ $x=-1$ ซึ่งอยู่นอกโดเมน $x\gt2$ และไม่บอกอะไรเกี่ยวกับเรนจ์ · (C) ใช้ไม่ได้ เพราะ $x=2$ ไม่อยู่ในโดเมน $\mathrm{f}(2)$ จึงไม่มีค่า
State the range of $\mathrm{f}$ for $x\gt2$.
จงบอกเรนจ์ของ $\mathrm{f}$ เมื่อ $x\gt2$
Answershow ▾
$\dfrac{3}{x-2}$ is positive and gets close to $0$ but never reaches it, so $\mathrm{f}(x)$ gets close to $1$ but never equals it.$\dfrac{3}{x-2}$ เป็นบวกและเข้าใกล้ $0$ แต่ไม่ถึง $0$ ดังนั้น $\mathrm{f}(x)$ เข้าใกล้ $1$ แต่ไม่เท่ากับ $1$
Let $y=\mathrm{f}(x)$. Write $y=1+\dfrac{3}{x-2}$ with the fraction on its own.
ให้ $y=\mathrm{f}(x)$ จงเขียน $y=1+\dfrac{3}{x-2}$ โดยแยกเศษส่วนออกมา
Answershow ▾
Move the $1$: subtract it from both sides.ย้าย $1$ โดยลบออกจากทั้งสองข้าง
Multiply both sides of $y-1=\dfrac{3}{x-2}$ by $(x-2)$, then make $x$ the subject.
คูณทั้งสองข้างของ $y-1=\dfrac{3}{x-2}$ ด้วย $(x-2)$ แล้วจัดให้ $x$ เป็นตัวแปรหลัก
Answershow ▾
Clearing the fraction first turns a fraction equation into a product you can rearrange.กำจัดเศษส่วนก่อน จะทำให้สมการเศษส่วนกลายเป็นสมการคูณที่จัดรูปได้
You have $x=2+\dfrac{3}{y-1}$. What is the domain of $\mathrm{f}^{-1}$?
(A) $x\ne1$
(B) $x\gt1$
(C) $x\gt2$
ได้ $x=2+\dfrac{3}{y-1}$ โดเมนของ $\mathrm{f}^{-1}$ คืออะไร
(A) $x\ne1$
(B) $x\gt1$
(C) $x\gt2$
Answershow ▾
(A) removes only the one undefined point, but $\mathrm{f}$ never gives values below $1$ either. The domain of $\mathrm{f}^{-1}$ is the range of $\mathrm{f}$, found above: $x\gt1$. (C) is the domain of $\mathrm{f}$, not of $\mathrm{f}^{-1}$.(A) ตัดออกแค่จุด $x=1$ จุดเดียว แต่ $\mathrm{f}$ ไม่เคยให้ค่าต่ำกว่า $1$ เลย · โดเมนของ $\mathrm{f}^{-1}$ คือเรนจ์ของ $\mathrm{f}$ ที่หาได้ก่อนหน้านี้ ซึ่งคือ $x\gt1$ · (C) เป็นโดเมนของ $\mathrm{f}$ ไม่ใช่ของ $\mathrm{f}^{-1}$
Swap $x$ and $y$ in $x=2+\dfrac{3}{y-1}$ to write $\mathrm{f}^{-1}(x)$, with its domain.
สลับ $x$ กับ $y$ ใน $x=2+\dfrac{3}{y-1}$ เพื่อเขียน $\mathrm{f}^{-1}(x)$ พร้อมโดเมน
Answershow ▾
The letter used for the input does not change the function or its domain.ตัวแปรที่ใช้แทนค่าเข้า ไม่เปลี่ยนฟังก์ชันหรือโดเมนของมัน
$\mathrm{g}(x)=2x-2$ for $x\gt0$. Work out $\mathrm{gf}(x)=\mathrm{g}(\mathrm{f}(x))$, simplified.
$\mathrm{g}(x)=2x-2$ เมื่อ $x\gt0$ จงหา $\mathrm{gf}(x)=\mathrm{g}(\mathrm{f}(x))$ ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
Put the whole of $\mathrm{f}(x)$ into $\mathrm{g}$, then collect the two constant terms.แทน $\mathrm{f}(x)$ ทั้งหมดลงใน $\mathrm{g}$ แล้วรวมพจน์คงที่สองพจน์
The function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{2}{x-3}$ for $x\gt3$.
(a) State the range of $\mathrm{f}$.
(b) Obtain $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and its domain.
(c) $\mathrm{g}(x)=2x-2$ for $x\gt0$. Obtain $\mathrm{gf}(x)$, simplified.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{2}{x-3}$ เมื่อ $x\gt3$
(ก) จงบอกเรนจ์ของ $\mathrm{f}$
(ข) จงหา $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และโดเมนของมัน
(ค) $\mathrm{g}(x)=2x-2$ เมื่อ $x\gt0$ จงหา $\mathrm{gf}(x)$ ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
Same three moves: read the range from the sign of the fraction, swap to get the inverse, then substitute $\mathrm{f}$ into $\mathrm{g}$.สามขั้นเดิม: อ่านเรนจ์จากเครื่องหมายของเศษส่วน สลับเพื่อหาตัวผกผัน แล้วแทน $\mathrm{f}$ ลงใน $\mathrm{g}$
The function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$ for $x>2$.
(a) State the range of $\mathrm{f}$.
(b) Obtain an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
(c) The function $\mathrm{g}$ is defined by $\mathrm{g}(x)=2x-2$ for $x>0$. Obtain a simplified expression for $\mathrm{gf}(x)$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$ เมื่อ $x>2$
(ก) บอก range (เรนจ์) ของ $\mathrm{f}$
(ข) หานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอก domain (โดเมน) ของ $\mathrm{f}^{-1}$
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=2x-2$ เมื่อ $x>0$ จงหานิพจน์อย่างง่ายของ $\mathrm{gf}(x)$
Answershow ▾
7 marks: 1 for the range, 4 for the inverse (clear the fraction, isolate $x$, then state the domain from part (a)), 2 for substituting $\mathrm{f}$ into $\mathrm{g}$.7 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับเรนจ์ 4 คะแนนสำหรับตัวผกผัน (กำจัดเศษส่วน จัด $x$ แล้วบอกโดเมนจากข้อ (a)) และ 2 คะแนนสำหรับแทน $\mathrm{f}$ ลงใน $\mathrm{g}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A composite that equals its inverse ฟังก์ชันประกอบที่เท่ากับตัวผกผัน
The function $\mathrm{f}$ is defined for $x\in\mathbb{R}$ by $$\mathrm{f}:x\mapsto a-2x,$$ where $a$ is a constant.
(a) Express $\mathrm{ff}(x)$ and $\mathrm{f}^{-1}(x)$ in terms of $a$ and $x$.
(b) Given that $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$, find $x$ in terms of $a$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามสำหรับ $x\in\mathbb{R}$ โดย $$\mathrm{f}:x\mapsto a-2x$$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่
(ก) เขียน $\mathrm{ff}(x)$ และ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ ในรูปของ $a$ และ $x$
(ข) กำหนดให้ $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$ จงหา $x$ ในรูปของ $a$
$g(x)=7-2x$. Find $g(3-2x)$.
$g(x)=7-2x$ จงหา $g(3-2x)$
Answershow ▾
Replace every $x$ in the rule with the whole expression $3-2x$.แทนทุก $x$ ในฟังก์ชันด้วยนิพจน์ทั้งหมด $3-2x$
Expand $-2(a-2x)$.
จงกระจาย $-2(a-2x)$
Answershow ▾
Multiply both terms inside the bracket by $-2$.คูณทั้งสองพจน์ในวงเล็บด้วย $-2$
Make $x$ the subject of $y=a-2x$.
จงทำให้ $x$ เป็นตัวแปรต้นของ $y=a-2x$
Answershow ▾
Move the $x$-term to one side, then divide by its coefficient.ย้ายพจน์ $x$ ไปข้างหนึ่ง แล้วหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $x$
To find $\mathrm{ff}(x)$, what do you substitute into $\mathrm{f}(x)=a-2x$ in place of $x$?
(A) the expression $a-2x$
(B) the letter $a$
(C) nothing - square $\mathrm{f}(x)$ instead
การหา $\mathrm{ff}(x)$ ต้องแทนสิ่งใดในตำแหน่ง $x$ ของ $\mathrm{f}(x)=a-2x$
(A) นิพจน์ $a-2x$
(B) ตัวอักษร $a$
(C) ไม่ต้องแทน - ยกกำลังสอง $\mathrm{f}(x)$ แทน
Answershow ▾
(B) replaces the wrong symbol - $a$ is a fixed constant, not the input. (C) confuses composing a function with itself and squaring it; $\mathrm{ff}(x)\ne(\mathrm{f}(x))^{2}$.(B) แทนตัวที่ผิด เพราะ $a$ เป็นค่าคงที่ ไม่ใช่ตัวแปรเข้า · (C) สับสนระหว่างการแทนฟังก์ชันในตัวเองกับการยกกำลังสอง เพราะ $\mathrm{ff}(x)\ne(\mathrm{f}(x))^{2}$
$\mathrm{f}(x)=a-2x$. Substitute $a-2x$ for $x$ in $\mathrm{f}$ to form $\mathrm{ff}(x)$.
$\mathrm{f}(x)=a-2x$ จงแทน $a-2x$ ลงใน $x$ ของ $\mathrm{f}$ เพื่อตั้ง $\mathrm{ff}(x)$
Answershow ▾
$\mathrm{ff}(x)$ means putting the output of $\mathrm{f}$ back into $\mathrm{f}$.$\mathrm{ff}(x)$ คือการนำผลลัพธ์ของ $\mathrm{f}$ กลับไปแทนใน $\mathrm{f}$ อีกครั้ง
Simplify $a-2(a-2x)$.
จงจัดรูป $a-2(a-2x)$
Answershow ▾
Expand the bracket first, the way question 2 did, then collect like terms.กระจายวงเล็บก่อนแบบข้อ 2 แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
Use $y=a-2x$ and question 3 to write $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
ใช้ $y=a-2x$ และข้อ 3 เขียน $\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
Question 3 gives $x$ in terms of $y$. Swap $x$ and $y$ to name it $\mathrm{f}^{-1}(x)$.ข้อ 3 ให้ $x$ ในรูปของ $y$ · สลับ $x$ กับ $y$ เพื่อเรียกว่า $\mathrm{f}^{-1}(x)$
$\mathrm{ff}(x)=4x-a$ and $\mathrm{f}^{-1}(x)=\dfrac{a-x}{2}$ are set equal: $4x-a=\dfrac{a-x}{2}$. Pick the first move.
(A) multiply both sides by $2$
(B) square both sides
(C) subtract $a$ from both sides
$\mathrm{ff}(x)=4x-a$ และ $\mathrm{f}^{-1}(x)=\dfrac{a-x}{2}$ ถูกจับเท่ากัน: $4x-a=\dfrac{a-x}{2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทั้งสองข้างด้วย $2$
(B) ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
(C) ลบ $a$ ออกจากทั้งสองข้าง
Answershow ▾
(B) is for clearing a square root, not a fraction. (C) does not remove the fraction - the $2$ in the denominator is still there.(B) ใช้กับการกำจัดรากที่สอง ไม่ใช่เศษส่วน · (C) ไม่ได้กำจัดเศษส่วน เพราะตัวหาร $2$ ยังอยู่
Use questions 5 and 6 to write the equation $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$.
ใช้ข้อ 5 และข้อ 6 ตั้งสมการ $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
Put the two results on either side of the same sign.นำผลลัพธ์ทั้งสองมาวางคนละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
Solve $8x-2a=a-x$ for $x$, in terms of $a$.
จงแก้สมการ $8x-2a=a-x$ หา $x$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
Collect every $x$ on one side, every $a$ on the other.รวมพจน์ $x$ ไว้ข้างเดียว รวมพจน์ $a$ ไว้อีกข้าง
$\mathrm{f}(x)=9-2x$. Find $\mathrm{ff}(x)$ and $\mathrm{f}^{-1}(x)$, then solve $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$ for $x$.
$\mathrm{f}(x)=9-2x$ จงหา $\mathrm{ff}(x)$ และ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ แล้วแก้สมการ $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$ หา $x$
Answershow ▾
Same moves as questions 4 to 8, with $a=9$.ขั้นตอนเดิมจากข้อ 4 ถึง 8 โดยใช้ $a=9$
The function $\mathrm{f}$ is defined for $x\in\mathbb{R}$ by $$\mathrm{f}:x\mapsto a-2x,$$ where $a$ is a constant.
(a) Express $\mathrm{ff}(x)$ and $\mathrm{f}^{-1}(x)$ in terms of $a$ and $x$.
(b) Given that $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$, find $x$ in terms of $a$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามสำหรับ $x\in\mathbb{R}$ โดย $$\mathrm{f}:x\mapsto a-2x$$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่
(ก) เขียน $\mathrm{ff}(x)$ และ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ ในรูปของ $a$ และ $x$
(ข) กำหนดให้ $\mathrm{ff}(x)=\mathrm{f}^{-1}(x)$ จงหา $x$ ในรูปของ $a$
Answershow ▾
6 marks: 4 for $\mathrm{ff}(x)$ and $\mathrm{f}^{-1}(x)$ in part (a), 2 for solving the equation in part (b).6 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับ $\mathrm{ff}(x)$ และ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ ในข้อ (a) อีก 2 คะแนนสำหรับแก้สมการในข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Undo a translation and a stretch ย้อนการเลื่อนขนานและการยืด
The diagram shows a curve which has a maximum point at $(8,\,12)$ and a minimum point at $(8,\,0)$. The curve is the result of applying a combination of two transformations to a circle. The first transformation applied is a translation of $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$. The second transformation applied is a stretch in the $y$-direction.
(a) State the scale factor of the stretch.
(b) State the radius of the original circle.
(c) State the coordinates of the centre of the circle after the translation has been completed but before the stretch is applied.
(d) State the coordinates of the centre of the original circle.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งที่มีจุดสูงสุด (maximum point) ที่ $(8,\,12)$ และจุดต่ำสุด (minimum point) ที่ $(8,\,0)$ เส้นโค้งนี้ได้จากการใช้ transformation สองแบบรวมกันกับวงกลมวงหนึ่ง transformation แรกคือการเลื่อนขนาน (translation) ด้วย $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$ transformation ที่สองคือการยืด (stretch) ในแนวแกน $y$
(ก) บอก scale factor ของการยืด
(ข) บอกรัศมีของวงกลมเดิม
(ค) บอกพิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลมหลังการเลื่อนขนานเสร็จแล้ว แต่ก่อนการยืด
(ง) บอกพิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลมเดิม
A point is translated by $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$ to the point $(9,5)$. Find the coordinates of the point before the translation.
จุดหนึ่งถูกเลื่อนขนานด้วย $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$ ไปยังจุด $(9,5)$ จงหาพิกัดของจุดก่อนการเลื่อนขนาน
Answershow ▾
Undo a translation by subtracting the vector instead of adding it.ย้อนการเลื่อนขนานด้วยการลบเวกเตอร์ แทนการบวก
A line of length $4$ is stretched parallel to the $y$-axis to become length $20$. State the scale factor of the stretch.
เส้นตรงยาว $4$ ถูกยืดขนานแกน $y$ จนยาว $20$ จงบอกตัวคูณของการยืด
Answershow ▾
The scale factor is the new length divided by the old length.ตัวคูณคือความยาวใหม่หารด้วยความยาวเดิม
A point has $y$-coordinate $18$ after a stretch of scale factor $6$ parallel to the $y$-axis. Find its $y$-coordinate before the stretch.
จุดหนึ่งมีพิกัด $y$ เท่ากับ $18$ หลังถูกยืดขนานแกน $y$ ด้วยตัวคูณ $6$ จงหาพิกัด $y$ ก่อนการยืด
Answershow ▾
Undo a stretch by dividing by the scale factor instead of multiplying.ย้อนการยืดด้วยการหารด้วยตัวคูณแทนการคูณ
The curve comes from stretching a circle parallel to the $y$-axis. Pick what you need to find the scale factor.
(A) the translation vector $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$
(B) the height ($12-0$) and the width, read from the diagram
(C) the coordinates of the maximum point alone
เส้นโค้งนี้ได้จากการยืดวงกลมขนานแกน $y$ จงเลือกสิ่งที่ต้องใช้หาตัวคูณ
(A) เวกเตอร์การเลื่อนขนาน $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$
(B) ความสูง ($12-0$) และความกว้าง อ่านจากแผนภาพ
(C) พิกัดของจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว
Answershow ▾
(A) a translation does not change size, so it cannot give a scale factor. (C) one point gives no length - a ratio needs two lengths, before and after.(A) การเลื่อนขนานไม่เปลี่ยนขนาด จึงบอกตัวคูณไม่ได้ · (C) จุดเดียวไม่มีความยาว ต้องมีความยาวสองค่า ก่อนและหลัง จึงหาอัตราส่วนได้
From the diagram, the curve crosses its mid-height ($y=6$) at $x=6$ and at $x=10$. Work out the width of the curve.
จากแผนภาพ เส้นโค้งตัดกับความสูงกึ่งกลาง ($y=6$) ที่ $x=6$ และ $x=10$ จงหาความกว้างของเส้นโค้ง
Answershow ▾
The width is the difference between the two $x$-values.ความกว้างคือผลต่างของค่า $x$ ทั้งสอง
The height of the curve is $12-0=12$ (the max minus the min). Use the width from question $4$ to state the scale factor of the stretch.
ความสูงของเส้นโค้งคือ $12-0=12$ (ค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด) จงใช้ความกว้างจากข้อ $4$ หาตัวคูณของการยืด
Answershow ▾
Same move as question $2$: new length (height) divided by old length (width).ขั้นเดียวกับข้อ $2$: ความยาวใหม่ (ความสูง) หารด้วยความยาวเดิม (ความกว้าง)
State the radius of the original circle: half the width found in question $4$.
จงบอกรัศมีของวงกลมเดิม: ครึ่งหนึ่งของความกว้างจากข้อ $4$
Answershow ▾
A stretch parallel to the $y$-axis does not change the horizontal radius.การยืดขนานแกน $y$ ไม่เปลี่ยนรัศมีในแนวนอน
The curve's centre is $(8,6)$. The translation happened first, then the stretch. To undo them, which order do you use?
(A) undo the translation, then undo the stretch
(B) undo the stretch, then undo the translation
(C) either order gives the same point
จุดศูนย์กลางของเส้นโค้งคือ $(8,6)$ การเลื่อนขนานเกิดก่อน แล้วตามด้วยการยืด จะย้อนทั้งสองอย่าง ต้องทำลำดับใด
(A) ย้อนการเลื่อนขนานก่อน แล้วย้อนการยืด
(B) ย้อนการยืดก่อน แล้วย้อนการเลื่อนขนาน
(C) ลำดับใดก็ได้ ผลลัพธ์เหมือนกัน
Answershow ▾
The stretch was applied LAST, so it must be undone FIRST - (8,6) is not yet "before the translation" until the stretch is removed.การยืดถูกใส่เข้าไปทีหลังสุด จึงต้องย้อนออกก่อน $(8,6)$ ยังไม่ใช่จุดก่อนการเลื่อนขนาน จนกว่าจะย้อนการยืดออกก่อน
The curve's centre is $(8,6)$, the midpoint of the max and min. Undo the stretch (factor $3$, from question $5$) to find the centre before the stretch.
จุดศูนย์กลางของเส้นโค้งคือ $(8,6)$ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด จงย้อนการยืด (ตัวคูณ $3$ จากข้อ $5$) เพื่อหาจุดศูนย์กลางก่อนการยืด
Answershow ▾
The $x$-coordinate does not change under a stretch in $y$ - only divide the $y$-coordinate.พิกัด $x$ ไม่เปลี่ยนเมื่อยืดในแนว $y$ - หารเฉพาะพิกัด $y$
Undo the translation ($\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$) on $(8,2)$ to find the centre of the original circle.
จงย้อนการเลื่อนขนาน ($\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$) จากจุด $(8,2)$ เพื่อหาจุดศูนย์กลางของวงกลมเดิม
Answershow ▾
Same move as question $1$: subtract the vector instead of adding it.ขั้นเดียวกับข้อ $1$: ลบเวกเตอร์ แทนการบวก
A curve has a maximum point at $(5,\,10)$ and a minimum point at $(5,\,2)$. It is formed from a circle by a translation of $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, followed by a stretch parallel to the $y$-axis. The curve crosses its mid-height at $x=3$ and $x=7$. Find (a) the scale factor of the stretch, (b) the radius of the original circle, (c) the centre of the circle after the translation but before the stretch, (d) the centre of the original circle.
เส้นโค้งหนึ่งมีจุดสูงสุดที่ $(5,\,10)$ และจุดต่ำสุดที่ $(5,\,2)$ เกิดจากวงกลมที่ถูกเลื่อนขนาน ด้วย $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ แล้วยืดขนานแกน $y$ เส้นโค้งตัดกับความสูงกึ่งกลาง ที่ $x=3$ และ $x=7$ จงหา (ก) ตัวคูณของการยืด (ข) รัศมีของวงกลมเดิม (ค) จุดศูนย์กลางของวงกลมหลังการเลื่อนขนาน แต่ก่อนการยืด (ง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเดิม
Answershow ▾
Same four moves, fresh numbers: width and height give the scale factor and radius; undo the stretch, then undo the translation.สี่ขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: ความกว้างและความสูงให้ตัวคูณกับรัศมี แล้วย้อนการยืด จากนั้นย้อนการเลื่อนขนาน
The diagram shows a curve which has a maximum point at $(8,\,12)$ and a minimum point at $(8,\,0)$. The curve is the result of applying a combination of two transformations to a circle. The first transformation applied is a translation of $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$. The second transformation applied is a stretch in the $y$-direction.
(a) State the scale factor of the stretch.
(b) State the radius of the original circle.
(c) State the coordinates of the centre of the circle after the translation has been completed but before the stretch is applied.
(d) State the coordinates of the centre of the original circle.
แผนภาพแสดงเส้นโค้งที่มีจุดสูงสุด (maximum point) ที่ $(8,\,12)$ และจุดต่ำสุด (minimum point) ที่ $(8,\,0)$ เส้นโค้งนี้ได้จากการใช้ transformation สองแบบรวมกันกับวงกลมวงหนึ่ง transformation แรกคือการเลื่อนขนาน (translation) ด้วย $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$ transformation ที่สองคือการยืด (stretch) ในแนวแกน $y$
(ก) บอก scale factor ของการยืด
(ข) บอกรัศมีของวงกลมเดิม
(ค) บอกพิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลมหลังการเลื่อนขนานเสร็จแล้ว แต่ก่อนการยืด
(ง) บอกพิกัดจุดศูนย์กลางของวงกลมเดิม
Answershow ▾
6 marks: one mark each for (a)/(b), two each for (c)/(d) - write every line, the $x$- and $y$-coordinates are separate marks.6 คะแนน: (a)/(b) ข้อละ 1 คะแนน (c)/(d) ข้อละ 2 คะแนน ต้องเขียนทุกบรรทัด เพราะพิกัด $x$ และ $y$ แยกคะแนนกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Restrict it, invert it, compose it จำกัดโดเมน หาตัวผกผัน แล้วประกอบฟังก์ชัน
The functions $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$ are defined by
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ for $x>c$, where $c$ is a constant,
$\mathrm{g}(x)=\dfrac{1}{x+1}$ for $x>-1$.
(a) Express $\mathrm{f}(x)$ in the form $(x-a)^{2}+b$.
(b) It is given that $\mathrm{f}$ is a one-one function. State the smallest possible value of $c$.
(c) It is now given that $c=5$. Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
(d) Find an expression for $\mathrm{gf}(x)$ and state the range of $\mathrm{gf}$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ และ $\mathrm{g}$ นิยามโดย
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ เมื่อ $x>c$ โดยที่ $c$ เป็นค่าคงที่
$\mathrm{g}(x)=\dfrac{1}{x+1}$ เมื่อ $x>-1$
(ก) เขียน $\mathrm{f}(x)$ ในรูป $(x-a)^{2}+b$
(ข) กำหนดให้ $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-one) จงบอกค่า $c$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
(ค) ต่อจากนี้กำหนดให้ $c=5$ จงหานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอก domain ของ $\mathrm{f}^{-1}$
(ง) หานิพจน์ของ $\mathrm{gf}(x)$ และบอก range ของ $\mathrm{gf}$
Write $x^{2}-4x$ in the form $(x-2)^{2}+k$. Find $k$.
จงเขียน $x^{2}-4x$ ในรูป $(x-2)^{2}+k$ แล้วหา $k$
Answershow ▾
Halve the $-4$ to get $-2$, then subtract its square.หาร $-4$ ด้วยสอง ได้ $-2$ แล้วลบด้วยกำลังสองของมัน
The completed square form is $(x-2)^{2}-1$. Write the coordinates of its vertex.
รูปกำลังสองสมบูรณ์คือ $(x-2)^{2}-1$ จงเขียนพิกัดของจุดยอด
Answershow ▾
The vertex of $(x-p)^{2}+q$ is $(p,q)$.จุดยอดของ $(x-p)^{2}+q$ คือ $(p,q)$
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$. Work out $\mathrm{f}(5)$.
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ จงหาค่า $\mathrm{f}(5)$
Answershow ▾
Substitute $x=5$ into the original expression.แทน $x=5$ ลงในนิพจน์เดิม
The completed square form is $(x-2)^{2}-1$, vertex $(2,-1)$. For $\mathrm{f}$ to be one-one, pick the smallest $c$.
(A) $c=-1$
(B) $c=0$
(C) $c=2$
รูปกำลังสองสมบูรณ์คือ $(x-2)^{2}-1$ จุดยอด $(2,-1)$ เพื่อให้ $\mathrm{f}$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง จงเลือกค่า $c$ ที่น้อยที่สุด
(A) $c=-1$
(B) $c=0$
(C) $c=2$
Answershow ▾
(A) uses $-1$, the least value the function takes, not the $x$ where it turns. (B) picks $0$ with no reason: the graph still turns at $x=2$, so values on both sides of $2$ would repeat.(A) ใช้ $-1$ ซึ่งเป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน ไม่ใช่ตำแหน่ง $x$ ที่กราฟเปลี่ยนทิศ · (B) เลือก $0$ โดยไม่มีเหตุผล กราฟยังเปลี่ยนทิศที่ $x=2$ ค่าทั้งสองฝั่งของ $2$ จึงซ้ำกันได้
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ for $x>c$. Express $\mathrm{f}(x)$ in the form $(x-a)^{2}+b$.
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ เมื่อ $x>c$ จงเขียน $\mathrm{f}(x)$ ในรูป $(x-a)^{2}+b$
Answershow ▾
Halve the $-4$, then adjust the constant.หาร $-4$ ด้วยสอง แล้วปรับค่าคงที่
It is given that $\mathrm{f}$ is a one-one function. State the smallest possible value of $c$.
กำหนดให้ $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จงบอกค่า $c$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
Answershow ▾
The vertex is at $x=2$; keep only the rising half.จุดยอดอยู่ที่ $x=2$ เก็บไว้แค่ครึ่งขาขึ้น
$x-2=\pm\sqrt{y+1}$ and the domain is $x>5$. Pick the correct root.
(A) $x=2-\sqrt{y+1}$
(B) $x=2+\sqrt{y+1}$
(C) keep both signs, $x=2\pm\sqrt{y+1}$
$x-2=\pm\sqrt{y+1}$ และโดเมนคือ $x>5$ จงเลือกรากที่ถูกต้อง
(A) $x=2-\sqrt{y+1}$
(B) $x=2+\sqrt{y+1}$
(C) เก็บทั้งสองเครื่องหมาย $x=2\pm\sqrt{y+1}$
Answershow ▾
(A) gives $x\lt2$, never inside the domain $x>5$. (C) is not a function: one input must give one output, not two. (B) matches $x>5$, where $x-2$ is always positive.(A) ได้ $x\lt2$ ซึ่งไม่อยู่ในโดเมน $x>5$ เลย · (C) ไม่ใช่ฟังก์ชัน เพราะหนึ่งค่าเข้าต้องให้หนึ่งค่าออก ไม่ใช่สองค่า · (B) ตรงกับ $x>5$ ซึ่ง $x-2$ เป็นบวกเสมอ
It is now given that $c=5$. Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$.
ต่อจากนี้กำหนดให้ $c=5$ จงหานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$
Answershow ▾
Set $y=\mathrm{f}(x)$, undo the square, then take the $+$ root since $x>5$.ให้ $y=\mathrm{f}(x)$ ย้อนกำลังสอง แล้วเลือกรากบวกเพราะ $x>5$
State the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
จงบอกโดเมนของ $\mathrm{f}^{-1}$
Answershow ▾
The domain of $\mathrm{f}^{-1}$ is the range of $\mathrm{f}$, starting just above $\mathrm{f}(5)$.โดเมนของ $\mathrm{f}^{-1}$ คือเรนจ์ของ $\mathrm{f}$ เริ่มถัดจาก $\mathrm{f}(5)$
Find an expression for $\mathrm{gf}(x)$ and state the range of $\mathrm{gf}$.
จงหานิพจน์ของ $\mathrm{gf}(x)$ และบอกเรนจ์ของ $\mathrm{gf}$
Answershow ▾
Substitute $\mathrm{f}(x)$ into $\mathrm{g}$, then use $x>5$ to bound $(x-2)^{2}$.แทน $\mathrm{f}(x)$ ลงใน $\mathrm{g}$ แล้วใช้ $x>5$ กำหนดขอบของ $(x-2)^{2}$
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+10$ for $x>c$. $\mathrm{g}(x)=\dfrac{1}{x-1}$ for $x>1$.
(a) Express $\mathrm{f}(x)$ in the form $(x-a)^{2}+b$.
(b) State the smallest possible value of $c$.
(c) It is now given that $c=4$. Find $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state its domain.
(d) Find $\mathrm{gf}(x)$ and state its range.
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-6x+10$ เมื่อ $x>c$ · $\mathrm{g}(x)=\dfrac{1}{x-1}$ เมื่อ $x>1$
(ก) เขียน $\mathrm{f}(x)$ ในรูป $(x-a)^{2}+b$
(ข) บอกค่า $c$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
(ค) ต่อจากนี้กำหนดให้ $c=4$ จงหา $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอกโดเมนของมัน
(ง) จงหา $\mathrm{gf}(x)$ และบอกเรนจ์ของมัน
Answershow ▾
Same four moves: complete the square, read the vertex, undo it with the $+$ root, then compose with $\mathrm{g}$.สี่ท่าเดิม: ทำกำลังสองสมบูรณ์ อ่านจุดยอด ย้อนด้วยรากบวก แล้วประกอบกับ $\mathrm{g}$
The functions $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$ are defined by
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ for $x>c$, where $c$ is a constant,
$\mathrm{g}(x)=\dfrac{1}{x+1}$ for $x>-1$.
(a) Express $\mathrm{f}(x)$ in the form $(x-a)^{2}+b$.
(b) It is given that $\mathrm{f}$ is a one-one function. State the smallest possible value of $c$.
(c) It is now given that $c=5$. Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
(d) Find an expression for $\mathrm{gf}(x)$ and state the range of $\mathrm{gf}$.
ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ และ $\mathrm{g}$ นิยามโดย
$\mathrm{f}(x)=x^{2}-4x+3$ เมื่อ $x>c$ โดยที่ $c$ เป็นค่าคงที่
$\mathrm{g}(x)=\dfrac{1}{x+1}$ เมื่อ $x>-1$
(ก) เขียน $\mathrm{f}(x)$ ในรูป $(x-a)^{2}+b$
(ข) กำหนดให้ $\mathrm{f}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-one) จงบอกค่า $c$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
(ค) ต่อจากนี้กำหนดให้ $c=5$ จงหานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอก domain ของ $\mathrm{f}^{-1}$
(ง) หานิพจน์ของ $\mathrm{gf}(x)$ และบอก range ของ $\mathrm{gf}$
Answershow ▾
9 marks across four parts: complete the square, read the vertex, undo it with the $+$ root, then compose with $\mathrm{g}$.9 คะแนน กระจายอยู่ 4 ส่วน: ทำกำลังสองสมบูรณ์ อ่านจุดยอด ย้อนด้วยรากบวก แล้วประกอบกับ $\mathrm{g}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Complete the square, then undo it ทำกำลังสองสมบูรณ์ แล้วย้อนกลับ
(a) Express $2x^{2}+12x+11$ in the form $2(x+a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) The function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=2x^{2}+12x+11$ for $x\le-4$. Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
(c) The function $\mathrm{g}$ is defined by $\mathrm{g}(x)=2x-3$ for $x\le k$. For the case where $k=-1$, solve the equation $\mathrm{fg}(x)=193$.
(d) State the largest value of $k$ possible for the composition $\mathrm{fg}$ to be defined.
(ก) เขียน $2x^{2}+12x+11$ ในรูป $2(x+a)^{2}+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ข) ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=2x^{2}+12x+11$ เมื่อ $x\le-4$ จงหานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอก domain ของ $\mathrm{f}^{-1}$
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=2x-3$ เมื่อ $x\le k$ ในกรณีที่ $k=-1$ จงแก้สมการ $\mathrm{fg}(x)=193$
(ง) บอกค่า $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ฟังก์ชันประกอบ (composition) $\mathrm{fg}$ นิยามได้
In $2x^{2}+12x+11$, take the $2$ out of the $x^{2}$ and $x$ terms only. Write the result.
ใน $2x^{2}+12x+11$ จงดึง $2$ ออกจากพจน์ $x^{2}$ และ $x$ เท่านั้น แล้วเขียนผลลัพธ์
Answershow ▾
Divide $12x$ by $2$ to get $6x$ inside the bracket. Leave the $+11$ alone.หาร $12x$ ด้วย $2$ ได้ $6x$ ในวงเล็บ · ปล่อย $+11$ ไว้เฉยๆ
Complete the square: write $x^{2}+6x$ in the form $(x+a)^{2}+b$.
จงทำกำลังสองสมบูรณ์: เขียน $x^{2}+6x$ ในรูป $(x+a)^{2}+b$
Answershow ▾
Half of $6$ is $3$. Subtract $3^{2}=9$ to keep the value the same.ครึ่งของ $6$ คือ $3$ · ต้องลบ $3^{2}=9$ ออก เพื่อให้ค่าเท่าเดิม
Using $2(x+3)^{2}-7$, work out the value when $x=-4$.
ใช้ $2(x+3)^{2}-7$ จงหาค่าเมื่อ $x=-4$
Answershow ▾
$x+3=-1$, and $(-1)^{2}=1$.$x+3=-1$ และ $(-1)^{2}=1$
To write $2x^{2}+12x+11$ as $2(x+a)^{2}+b$, pick the first move.
(A) halve $12$ to get $(x+6)^{2}$
(B) take the $2$ out of the $x^{2}$ and $x$ terms first
(C) divide the whole expression by $2$
เพื่อเขียน $2x^{2}+12x+11$ เป็น $2(x+a)^{2}+b$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารครึ่ง $12$ ได้ $(x+6)^{2}$
(B) ดึง $2$ ออกจากพจน์ $x^{2}$ และ $x$ ก่อน
(C) หารทั้งนิพจน์ด้วย $2$
Answershow ▾
(A) ignores the $2$ in front of $x^{2}$, so $(x+6)^{2}$ expands to the wrong quadratic. (C) changes the value of the expression — dividing is not a valid rewriting step.(A) ไม่ได้คิดถึง $2$ ที่อยู่หน้า $x^{2}$ จึงกระจาย $(x+6)^{2}$ ได้สมการที่ไม่ตรง · (C) การหารทำให้ค่าของนิพจน์เปลี่ยนไป ไม่ใช่การจัดรูปที่ถูกต้อง
Multiply the $-9$ inside the bracket by the $2$ outside, then simplify $2\big[(x+3)^{2}-9\big]+11$.
คูณ $-9$ ในวงเล็บด้วย $2$ ข้างนอก แล้วลดรูป $2\big[(x+3)^{2}-9\big]+11$
Answershow ▾
$2\times(-9)=-18$, and $-18+11=-7$.$2\times(-9)=-18$ และ $-18+11=-7$
Let $y=2(x+3)^{2}-7$. Undo the $-7$, then the $\times2$, to make $(x+3)^{2}$ the subject.
ให้ $y=2(x+3)^{2}-7$ จงย้อน $-7$ แล้วย้อน $\times2$ เพื่อให้เหลือ $(x+3)^{2}$
Answershow ▾
Add $7$ to both sides, then divide both sides by $2$.บวก $7$ ทั้งสองข้าง แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $2$
Take the square root of both sides of $(x+3)^{2}=\dfrac{y+7}{2}$. Write both possible signs.
ถอดรากที่สองทั้งสองข้างของ $(x+3)^{2}=\dfrac{y+7}{2}$ จงเขียนทั้งสองเครื่องหมาย
Answershow ▾
Squaring hides the sign, so the square root can be positive or negative.การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายหายไป ดังนั้นรากที่สองเป็นบวกหรือลบก็ได้
The domain of $\mathrm{f}$ is $x\leqslant-4$, so $x+3\leqslant-1$. Pick the correct sign for $\mathrm{f}^{-1}$.
(A) the positive root
(B) the negative root
(C) either sign, both are valid
โดเมนของ $\mathrm{f}$ คือ $x\leqslant-4$ ดังนั้น $x+3\leqslant-1$ จงเลือกเครื่องหมายที่ถูกสำหรับ $\mathrm{f}^{-1}$
(A) รากบวก
(B) รากลบ
(C) ใช้เครื่องหมายไหนก็ได้ ถูกทั้งคู่
Answershow ▾
$x+3\leqslant-1$ is negative, so $x+3$ must equal the negative root. (A) would give $x+3\geqslant0$, outside the domain. (C) ignores that only one sign fits $x\leqslant-4$.$x+3\leqslant-1$ เป็นลบ ดังนั้น $x+3$ ต้องเท่ากับรากลบ · (A) จะให้ $x+3\geqslant0$ ซึ่งอยู่นอกโดเมน · (C) ไม่ได้คิดถึงว่ามีเครื่องหมายเดียวที่ตรงกับ $x\leqslant-4$
Using the negative root, rearrange $x+3=-\sqrt{\dfrac{y+7}{2}}$ to find $\mathrm{f}^{-1}(x)$. Then state its domain, using $\mathrm{f}(-4)=-5$ from question $3$.
ใช้รากลบ จัดรูป $x+3=-\sqrt{\dfrac{y+7}{2}}$ เพื่อหา $\mathrm{f}^{-1}(x)$ แล้วบอกโดเมนของมัน โดยใช้ $\mathrm{f}(-4)=-5$ จากข้อ $3$
Answershow ▾
Subtract $3$ to isolate $x$, then rename $y$ as $x$. The domain of $\mathrm{f}^{-1}$ is the range of $\mathrm{f}$.ลบ $3$ เพื่อให้เหลือ $x$ ตัวเดียว แล้วเปลี่ยน $y$ เป็น $x$ · โดเมนของ $\mathrm{f}^{-1}$ คือเรนจ์ของ $\mathrm{f}$
(c) Let $\mathrm{g}(x)=2x-3$ for $x\leqslant-1$. Solve $\mathrm{fg}(x)=193$.
(d) Find the largest value of $k$ for which $\mathrm{fg}$ is defined, given $\mathrm{g}(x)=2x-3$ for $x\leqslant k$.
(ค) ให้ $\mathrm{g}(x)=2x-3$ เมื่อ $x\leqslant-1$ จงแก้สมการ $\mathrm{fg}(x)=193$
(ง) หาค่า $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $\mathrm{fg}$ นิยามได้ เมื่อ $\mathrm{g}(x)=2x-3$ และ $x\leqslant k$
Answershow ▾
$\mathrm{fg}(x)=8x^{2}-7$, so $x=\pm5$; only $x=-5$ fits $x\leqslant-1$. For (d), the output $\mathrm{g}(k)$ must stay inside the domain of $\mathrm{f}$.$\mathrm{fg}(x)=8x^{2}-7$ จึงได้ $x=\pm5$ · มีแค่ $x=-5$ ที่อยู่ใน $x\leqslant-1$ · ส่วนข้อ (ง) ค่า $\mathrm{g}(k)$ ต้องอยู่ในโดเมนของ $\mathrm{f}$
$\mathrm{f}(x)=2x^{2}+8x+3$ for $x\leqslant-3$.
(a) Write $\mathrm{f}(x)$ in the form $2(x+p)^{2}+q$.
(b) Find $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state its domain.
$\mathrm{g}(x)=2x-1$ for $x\leqslant-2$.
(c) Solve $\mathrm{fg}(x)=27$.
(d) Find the largest value of $k$ for which $\mathrm{fg}$ is defined, given $\mathrm{g}(x)=2x-1$ for $x\leqslant k$.
$\mathrm{f}(x)=2x^{2}+8x+3$ เมื่อ $x\leqslant-3$
(ก) เขียน $\mathrm{f}(x)$ ในรูป $2(x+p)^{2}+q$
(ข) หา $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอกโดเมนของมัน
$\mathrm{g}(x)=2x-1$ เมื่อ $x\leqslant-2$
(ค) จงแก้สมการ $\mathrm{fg}(x)=27$
(ง) หาค่า $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $\mathrm{fg}$ นิยามได้ เมื่อ $\mathrm{g}(x)=2x-1$ และ $x\leqslant k$
Answershow ▾
Same shape as the exam question: take out the $2$, complete the square, use the negative root because $x\leqslant-3$, then substitute $\mathrm{g}$ into $\mathrm{f}$.ทรงเดียวกับข้อสอบ: ดึง $2$ ออก ทำกำลังสองสมบูรณ์ ใช้รากลบเพราะ $x\leqslant-3$ แล้วแทน $\mathrm{g}$ เข้า $\mathrm{f}$
(a) Express $2x^{2}+12x+11$ in the form $2(x+a)^{2}+b$, where $a$ and $b$ are constants.
(b) The function $\mathrm{f}$ is defined by $\mathrm{f}(x)=2x^{2}+12x+11$ for $x\le-4$. Find an expression for $\mathrm{f}^{-1}(x)$ and state the domain of $\mathrm{f}^{-1}$.
(c) The function $\mathrm{g}$ is defined by $\mathrm{g}(x)=2x-3$ for $x\le k$. For the case where $k=-1$, solve the equation $\mathrm{fg}(x)=193$.
(d) State the largest value of $k$ possible for the composition $\mathrm{fg}$ to be defined.
(ก) เขียน $2x^{2}+12x+11$ ในรูป $2(x+a)^{2}+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
(ข) ฟังก์ชัน $\mathrm{f}$ นิยามโดย $\mathrm{f}(x)=2x^{2}+12x+11$ เมื่อ $x\le-4$ จงหานิพจน์ของ $\mathrm{f}^{-1}(x)$ และบอก domain ของ $\mathrm{f}^{-1}$
(ค) ฟังก์ชัน $\mathrm{g}$ นิยามโดย $\mathrm{g}(x)=2x-3$ เมื่อ $x\le k$ ในกรณีที่ $k=-1$ จงแก้สมการ $\mathrm{fg}(x)=193$
(ง) บอกค่า $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ฟังก์ชันประกอบ (composition) $\mathrm{fg}$ นิยามได้
Answershow ▾
8 marks across four parts: complete the square, undo it with the negative root, then substitute $\mathrm{g}$ into $\mathrm{f}$.8 คะแนนใน 4 ข้อ: ทำกำลังสองสมบูรณ์ ย้อนด้วยรากลบ แล้วแทน $\mathrm{g}$ เข้า $\mathrm{f}$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cubic that touches, a curve that never crosses กราฟกำลังสามที่สัมผัสแกน กับกราฟที่ไม่ตัดแกนเลย
(a) Given that $k$ is a positive constant such that $0 \lt k \lt 4$, sketch, on separate axes, the graphs of
(i) $y=(2x-k)(x+4)^{2}$
(ii) $y=\dfrac{k}{x^{2}}$
showing the coordinates of any points where the graphs cross or meet the coordinate axes, leaving coordinates in terms of $k$, where appropriate.
(b) State, with a reason, the number of roots of the equation
$(2x-k)(x+4)^{2}=\dfrac{k}{x^{2}}$
(ก) กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงที่บวกโดยที่ $0 \lt k \lt 4$ จงวาดกราฟแยกแกนของ
(i) $y=(2x-k)(x+4)^{2}$
(ii) $y=\dfrac{k}{x^{2}}$
แสดงพิกัดจุดที่กราฟตัดหรือสัมผัสแกน (coordinate axes) โดยเขียนพิกัดในรูปของ $k$ ตามความเหมาะสม
(ข) จงบอกจำนวนคำตอบของสมการต่อไปนี้ พร้อมให้เหตุผล
$(2x-k)(x+4)^{2}=\dfrac{k}{x^{2}}$
Solve $2x-k=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $2x-k=0$ หา $x$
Answershow ▾
Move $k$ across, then divide by $2$ - the same moves as any linear equation.ย้าย $k$ ข้าม แล้วหารด้วย $2$ เหมือนสมการเชิงเส้นทั่วไป
Solve $(x+4)^{2}=0$.
จงแก้สมการ $(x+4)^{2}=0$
Answershow ▾
A squared factor is zero only when the bracket itself is zero - the root $-4$ comes out twice.ตัวประกอบกำลังสองเป็นศูนย์ได้เมื่อวงเล็บเป็นศูนย์เท่านั้น รากที่ $-4$ จึงออกมาซ้ำสองครั้ง
Work out $(2(0)-k)(0+4)^{2}$, fully simplified.
จงคำนวณ $(2(0)-k)(0+4)^{2}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
Answershow ▾
$2(0)-k=-k$ and $(0+4)^{2}=16$, then multiply.$2(0)-k=-k$ และ $(0+4)^{2}=16$ แล้วนำมาคูณกัน
$(2x-k)(x+4)^{2}$ has a root at $x=\dfrac{k}{2}$ (once) and at $x=-4$ (twice, from the squared factor). Pick what the graph does at $x=-4$.
(A) crosses the $x$-axis, same as at $x=\dfrac{k}{2}$
(B) touches the $x$-axis and turns back
(C) does not reach the $x$-axis at all, since $k$ is unknown
$(2x-k)(x+4)^{2}$ มีรากที่ $x=\dfrac{k}{2}$ (หนึ่งครั้ง) และที่ $x=-4$ (สองครั้ง จากตัวประกอบกำลังสอง) จงเลือกว่ากราฟทำอะไรที่ $x=-4$
(A) ตัดแกน $x$ เหมือนที่ $x=\dfrac{k}{2}$
(B) สัมผัสแกน $x$ แล้วเลี้ยวกลับ
(C) ไม่ถึงแกน $x$ เลย เพราะไม่รู้ค่า $k$
Answershow ▾
(A) treats the repeated root like the single one, but a squared factor never changes sign, so the curve cannot cross. (C) confuses an unknown constant with no root: $x=-4$ is a root for every $k$.(A) ปฏิบัติต่อรากซ้ำเหมือนรากเดี่ยว แต่ตัวประกอบกำลังสองไม่เปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดนั้น กราฟจึงตัดไม่ได้ · (C) สับสนระหว่างค่าคงที่ที่ไม่รู้ค่ากับการไม่มีราก เพราะ $x=-4$ เป็นรากเสมอไม่ว่า $k$ จะเป็นเท่าใด เนื่องจากมันมาจาก $(x+4)^{2}$ เพียงอย่างเดียว
Write the coordinates of the point where $y=(2x-k)(x+4)^{2}$ crosses the $x$-axis.
จงเขียนพิกัดจุดที่ $y=(2x-k)(x+4)^{2}$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
The single root from question $1$, paired with $y=0$.รากเดี่ยวจากข้อ $1$ นำมาเขียนคู่กับ $y=0$
Write the coordinates of the point where $y=(2x-k)(x+4)^{2}$ touches the $x$-axis.
จงเขียนพิกัดจุดที่ $y=(2x-k)(x+4)^{2}$ สัมผัสแกน $x$
Answershow ▾
The repeated root from question $2$ - this is the touching point from the decision step.รากซ้ำจากข้อ $2$ คือจุดสัมผัสจากขั้นตัดสินใจก่อนหน้า
Write the coordinates of the point where $y=(2x-k)(x+4)^{2}$ meets the $y$-axis.
จงเขียนพิกัดจุดที่ $y=(2x-k)(x+4)^{2}$ ตัดแกน $y$
Answershow ▾
The value from question $3$, paired with $x=0$.ค่าจากข้อ $3$ นำมาเขียนคู่กับ $x=0$
$k$ is a positive constant and $x\neq0$. Decide whether $\dfrac{k}{x^{2}}$ can ever be negative or zero.
$k$ เป็นค่าคงที่บวก และ $x\neq0$ จงตัดสินว่า $\dfrac{k}{x^{2}}$ เป็นลบหรือเป็นศูนย์ได้หรือไม่
Answershow ▾
A positive number divided by a square, which is always positive, stays positive.จำนวนบวกหารด้วยจำนวนกำลังสอง (ซึ่งเป็นบวกเสมอ) ยังคงเป็นบวก
$y=\dfrac{k}{x^{2}}$ is positive for every $x\neq0$, and $(-x)^{2}=x^{2}$. Pick where the curve lies.
(A) quadrants $1$ and $2$ only
(B) quadrants $1$ and $3$ only
(C) all four quadrants
$y=\dfrac{k}{x^{2}}$ เป็นบวกเสมอสำหรับ $x\neq0$ และ $(-x)^{2}=x^{2}$ จงเลือกว่ากราฟอยู่ในส่วนใด
(A) ควอดรันต์ $1$ และ $2$ เท่านั้น
(B) ควอดรันต์ $1$ และ $3$ เท่านั้น
(C) ทั้งสี่ควอดรันต์
Answershow ▾
(B) is the shape of $\dfrac{1}{x}$, an odd function - this curve is even, so the same positive $y$ appears for $+x$ and $-x$. (C) would need some negative $y$, which question $7$ ruled out.(B) เป็นทรงของ $\dfrac{1}{x}$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันคี่ แต่กราฟนี้เป็นฟังก์ชันคู่ ค่า $y$ บวกเดียวกันจึงเกิดขึ้น ทั้งที่ $+x$ และ $-x$ · (C) ต้องมี $y$ เป็นลบบางส่วน ซึ่งข้อ $7$ ตัดความเป็นไปได้นี้ไปแล้ว
For $k=2$: $(2x-2)(x+4)^{2}$ is $0$ or negative for every $x\leqslant\dfrac{k}{2}$, and $\dfrac{2}{x^{2}}$ is always positive. So where can the two curves possibly meet?
สำหรับ $k=2$: $(2x-2)(x+4)^{2}$ เป็น $0$ หรือลบสำหรับทุก $x\leqslant\dfrac{k}{2}$ และ $\dfrac{2}{x^{2}}$ เป็นบวกเสมอ ดังนั้นกราฟทั้งสองจะพบกันได้ที่ใด
Answershow ▾
A positive curve can only meet a curve that is also positive.กราฟที่เป็นบวกเสมอ จะพบกับอีกกราฟได้เฉพาะตอนที่อีกกราฟเป็นบวกด้วย
A curve $y=(3x-6)(x+1)^{2}$ and a curve $y=\dfrac{4}{x^{2}}$. Write (i) the coordinates where $y=(3x-6)(x+1)^{2}$ crosses, touches, and meets the $y$-axis, and (ii) the number of times the two curves meet, with a reason.
กราฟ $y=(3x-6)(x+1)^{2}$ และกราฟ $y=\dfrac{4}{x^{2}}$ จงเขียน (i) พิกัดจุดที่ $y=(3x-6)(x+1)^{2}$ ตัดแกน สัมผัสแกน และตัดแกน $y$ และ (ii) จำนวนครั้งที่กราฟทั้งสองพบกัน พร้อมเหตุผล
Answershow ▾
Same three moves as the warm-up, then the same comparing-the-sketches reason.สามขั้นเดิมจากข้อฝึกหัด แล้วใช้เหตุผลเทียบกราฟแบบเดิม
(a) Given that $k$ is a positive constant such that $0 \lt k \lt 4$, sketch, on separate axes, the graphs of
(i) $y=(2x-k)(x+4)^{2}$
(ii) $y=\dfrac{k}{x^{2}}$
showing the coordinates of any points where the graphs cross or meet the coordinate axes, leaving coordinates in terms of $k$, where appropriate.
(b) State, with a reason, the number of roots of the equation
$(2x-k)(x+4)^{2}=\dfrac{k}{x^{2}}$
(ก) กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงที่บวกโดยที่ $0 \lt k \lt 4$ จงวาดกราฟแยกแกนของ
(i) $y=(2x-k)(x+4)^{2}$
(ii) $y=\dfrac{k}{x^{2}}$
แสดงพิกัดจุดที่กราฟตัดหรือสัมผัสแกน (coordinate axes) โดยเขียนพิกัดในรูปของ $k$ ตามความเหมาะสม
(ข) จงบอกจำนวนคำตอบของสมการต่อไปนี้ พร้อมให้เหตุผล
$(2x-k)(x+4)^{2}=\dfrac{k}{x^{2}}$
Answershow ▾
6 marks, all B1: the roots of the cubic (crossing, touching), its $y$-intercept, the shape and quadrants of the reciprocal curve, then one mark for comparing the two sketches to count the roots.6 คะแนน B1 ทั้งหมด: รากของกราฟกำลังสาม (จุดตัดและจุดสัมผัส) จุดตัดแกน $y$ ทรงและควอดรันต์ของกราฟ reciprocal แล้วอีก 1 คะแนนจากการเทียบกราฟทั้งสองเพื่อหาจำนวนคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A reciprocal curve meets a cubic กราฟส่วนกลับพบกับกราฟกำลังสาม
The diagram shows part of the curve $C$ with equation $y=\dfrac{1}{x+2}$
(a) State the equation of the asymptote of $C$ that is parallel to the $y$-axis.
(b) Factorise fully $x^{3}+4x^{2}+4x$
(c) Add a sketch of the curve with equation $y=x^{3}+4x^{2}+4x$ to the diagram.
On your sketch, state clearly the coordinates of each point where this curve cuts or meets the coordinate axes.
(d) Hence state the number of real solutions of the equation
$(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$
giving a reason for your answer.
ภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $C$ ที่มีสมการ $y=\dfrac{1}{x+2}$
(ก) จงบอกสมการเส้นกำกับ (asymptote) ของ $C$ ที่ขนานกับแกน $y$
(ข) จงแยกตัวประกอบของ $x^{3}+4x^{2}+4x$ ให้สมบูรณ์
(ค) วาดกราฟของ $y=x^{3}+4x^{2}+4x$ เพิ่มลงในภาพ
แสดงพิกัดของทุกจุดที่กราฟนี้ตัดหรือสัมผัสแกนให้ชัดเจน
(ง) จากข้อที่ผ่านมา จงบอกจำนวนคำตอบจริงของสมการ
$(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$
พร้อมให้เหตุผล
Solve $x+2=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $x+2=0$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Move the $2$ to the other side and change its sign.ย้าย $2$ ไปอีกข้าง แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Factorise $x^{2}+4x+4$.
จงแยกตัวประกอบ $x^{2}+4x+4$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $4$ and add to $4$ are both $2$.สองจำนวนที่คูณกันได้ $4$ และบวกกันได้ $4$ คือ $2$ ทั้งคู่
A curve has a factor $(x+2)^{2}$. Does the curve cross or touch the $x$-axis at $x=-2$?
กราฟหนึ่งมีตัวประกอบ $(x+2)^{2}$ กราฟนี้ตัดหรือสัมผัสแกน $x$ ที่ $x=-2$
Answershow ▾
A squared factor is a repeated root, so the curve turns back without crossing.ตัวประกอบกำลังสองคือรากซ้ำ กราฟจึงวกกลับโดยไม่ตัดแกน
To factorise $x^{3}+4x^{2}+4x$ fully, pick the first move.
(A) group the three terms in pairs
(B) take out the common factor $x$
(C) look for a difference of two squares
จะแยกตัวประกอบ $x^{3}+4x^{2}+4x$ ให้สมบูรณ์ จงเลือกขั้นแรก
(A) จัดกลุ่มสามพจน์เป็นคู่
(B) ดึงตัวประกอบร่วม $x$ ออก
(C) หารูปผลต่างกำลังสอง
Answershow ▾
(A) three terms cannot be grouped into pairs. (C) there is no difference of two squares here - every term is positive and this is a cubic, not $a^{2}-b^{2}$.(A) สามพจน์จัดเป็นคู่ไม่ได้ · (C) ไม่มีรูปผลต่างกำลังสองในนี้ เพราะทุกพจน์เป็นบวก และนี่คือพหุนามกำลังสาม ไม่ใช่ $a^{2}-b^{2}$
The curve $C$ has equation $y=\dfrac{1}{x+2}$. State the equation of the asymptote of $C$ that is parallel to the $y$-axis.
กราฟ $C$ มีสมการ $y=\dfrac{1}{x+2}$ จงบอกสมการเส้นกำกับของ $C$ ที่ขนานกับแกน $y$
Answershow ▾
The asymptote sits where the denominator is zero.เส้นกำกับอยู่ที่ตำแหน่งซึ่งตัวส่วนเป็นศูนย์
Take out the common factor from $x^{3}+4x^{2}+4x$.
จงดึงตัวประกอบร่วมออกจาก $x^{3}+4x^{2}+4x$
Answershow ▾
Every term has an $x$ in it.ทุกพจน์มี $x$ อยู่
Factorise $x^{3}+4x^{2}+4x$ fully.
จงแยกตัวประกอบ $x^{3}+4x^{2}+4x$ ให้สมบูรณ์
Answershow ▾
Use question $2$ for the bracket, then put the $x$ back in front.ใช้ข้อ $2$ กับวงเล็บ แล้วนำ $x$ กลับมาคูณด้านหน้า
The curve $y=x(x+2)^{2}$ cuts the $x$-axis at one point and touches it at another. Write both points.
กราฟ $y=x(x+2)^{2}$ ตัดแกน $x$ ที่จุดหนึ่ง และสัมผัสแกน $x$ ที่อีกจุดหนึ่ง จงเขียนทั้งสองจุด
Answershow ▾
$x=0$ is a single root, so the curve cuts there; $x=-2$ is repeated, so it touches.$x=0$ เป็นรากเดี่ยว กราฟจึงตัดที่นั่น ส่วน $x=-2$ เป็นรากซ้ำ กราฟจึงสัมผัส
At $x=-2$ the curve $y=x(x+2)^{2}$ has a repeated root. Pick what the curve does there.
(A) crosses the $x$-axis
(B) touches the $x$-axis and turns back
(C) does not reach the $x$-axis
ที่ $x=-2$ กราฟ $y=x(x+2)^{2}$ มีรากซ้ำ จงเลือกสิ่งที่กราฟทำที่จุดนั้น
(A) ตัดแกน $x$
(B) สัมผัสแกน $x$ แล้ววกกลับ
(C) ไม่ถึงแกน $x$
Answershow ▾
(A) crossing needs a single root, not a repeated one. (C) is wrong because $x=-2$ really is a root - substituting it gives $0$.(A) การตัดต้องใช้รากเดี่ยว ไม่ใช่รากซ้ำ · (C) ผิด เพราะ $x=-2$ เป็นรากจริง แทนค่าแล้วได้ $0$
The equation $(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$ rearranges to $x^{3}+4x^{2}+4x=\dfrac{1}{x+2}$. State the number of real solutions, using your sketches.
สมการ $(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$ จัดรูปได้เป็น $x^{3}+4x^{2}+4x=\dfrac{1}{x+2}$ จงบอกจำนวนคำตอบจริง โดยใช้ภาพที่วาดไว้
Answershow ▾
This equation says the cubic and curve $C$ meet; the sketches cross each other twice.สมการนี้คือจุดที่กราฟกำลังสามกับกราฟ $C$ พบกัน จากภาพทั้งสองตัดกันสองจุด
A curve $C$ has equation $y=\dfrac{1}{x-3}$. (a) State the asymptote of $C$ parallel to the $y$-axis. (b) Factorise $x^{3}-6x^{2}+9x$ fully. (c) State where $y=x^{3}-6x^{2}+9x$ cuts and touches the $x$-axis. (d) State the number of real solutions of $(x-3)(x^{3}-6x^{2}+9x)=1$.
กราฟ $C$ มีสมการ $y=\dfrac{1}{x-3}$ (a) จงบอกเส้นกำกับของ $C$ ที่ขนานกับแกน $y$ (b) จงแยกตัวประกอบ $x^{3}-6x^{2}+9x$ ให้สมบูรณ์ (c) จงบอกจุดที่กราฟ $y=x^{3}-6x^{2}+9x$ ตัดและสัมผัสแกน $x$ (d) จงบอกจำนวนคำตอบจริงของ $(x-3)(x^{3}-6x^{2}+9x)=1$
Answershow ▾
Same four moves as before: asymptote, common factor, factorise the square, read the sketches.สี่ขั้นเดิม: เส้นกำกับ ตัวประกอบร่วม แยกตัวประกอบกำลังสอง แล้วอ่านจากภาพ
The diagram shows part of the curve $C$ with equation $y=\dfrac{1}{x+2}$
(a) State the equation of the asymptote of $C$ that is parallel to the $y$-axis.
(b) Factorise fully $x^{3}+4x^{2}+4x$
(c) Add a sketch of the curve with equation $y=x^{3}+4x^{2}+4x$ to the diagram.
On your sketch, state clearly the coordinates of each point where this curve cuts or meets the coordinate axes.
(d) Hence state the number of real solutions of the equation
$(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$
giving a reason for your answer.
ภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $C$ ที่มีสมการ $y=\dfrac{1}{x+2}$
(ก) จงบอกสมการเส้นกำกับ (asymptote) ของ $C$ ที่ขนานกับแกน $y$
(ข) จงแยกตัวประกอบของ $x^{3}+4x^{2}+4x$ ให้สมบูรณ์
(ค) วาดกราฟของ $y=x^{3}+4x^{2}+4x$ เพิ่มลงในภาพ
แสดงพิกัดของทุกจุดที่กราฟนี้ตัดหรือสัมผัสแกนให้ชัดเจน
(ง) จากข้อที่ผ่านมา จงบอกจำนวนคำตอบจริงของสมการ
$(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$
พร้อมให้เหตุผล
Answershow ▾
7 marks across four parts: the asymptote, factorising the cubic, sketching it, then counting solutions from the sketches.7 คะแนน ในสี่ข้อ: เส้นกำกับ การแยกตัวประกอบกราฟกำลังสาม การวาดกราฟ แล้วนับคำตอบจากภาพ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Stretching and shifting a cubic การยืดและการเลื่อนกราฟกำลังสาม
The curve $C_1$ has equation $y=f(x)$, where
$f(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$
(a) Sketch $C_1$ showing the coordinates of any point where the curve touches or crosses the coordinate axes.
(b) Hence or otherwise
(i) find the values of $x$ for which $f\left(\dfrac14 x\right)=0$
(ii) find the value of the constant $p$ such that the curve with equation $y=f(x)+p$ passes through the origin.
(c) A second curve $C_2$ has equation $y=g(x)$, where $g(x)=f(x+1)$
(i) Find, in simplest form, $g(x)$. You may leave your answer in a factorised form.
(ii) Hence, or otherwise, find the $y$ intercept of curve $C_2$
กราฟ $C_1$ มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ
$f(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$
(ก) วาดกราฟ $C_1$ แสดงพิกัดของทุกจุดที่กราฟสัมผัสหรือตัดแกน
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น
(i) หาค่า $x$ ที่ทำให้ $f\left(\dfrac14 x\right)=0$
(ii) หาค่าคงที่ $p$ ที่ทำให้กราฟ $y=f(x)+p$ ผ่านจุดกำเนิด
(ค) กราฟที่สอง $C_2$ มีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ $g(x)=f(x+1)$
(i) หา $g(x)$ ในรูปอย่างง่าย จะตอบในรูปตัวประกอบก็ได้
(ii) จากข้อนี้ หรือวิธีอื่น หาจุดตัดแกน $y$ ของกราฟ $C_2$
Solve $4x-3=0$.
จงแก้สมการ $4x-3=0$
Answershow ▾
Add $3$, then divide by $4$.บวก $3$ แล้วหารด้วย $4$
Solve $(x-5)^{2}=0$.
จงแก้สมการ $(x-5)^{2}=0$
Answershow ▾
A squared factor gives one repeated root.ตัวประกอบกำลังสองให้รากซ้อนหนึ่งค่า
Work out $(4(0)-3)(0-5)^{2}$.
จงคำนวณ $(4(0)-3)(0-5)^{2}$
Answershow ▾
$-3$ times $25$.$-3$ คูณ $25$
$f(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$. The factor $(x-5)^{2}$ is squared. Pick what the curve does at $x=5$.
(A) crosses the $x$-axis, same as any root
(B) touches the $x$-axis, because the factor is squared
(C) crosses the $x$-axis twice
$f(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$ ตัวประกอบ $(x-5)^{2}$ เป็นกำลังสอง จงเลือกสิ่งที่กราฟทำที่ $x=5$
(A) ตัดแกน $x$ เหมือนรากทั่วไป
(B) สัมผัสแกน $x$ เพราะตัวประกอบเป็นกำลังสอง
(C) ตัดแกน $x$ สองครั้ง
Answershow ▾
(A) treats every root the same, but a squared factor does not change sign either side of it, so the curve meets the axis and turns back. (C) imagines two separate crossing points at the same $x$.(A) ปฏิบัติต่อรากทุกตัวเหมือนกัน แต่ตัวประกอบกำลังสองไม่เปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองข้าง กราฟจึงสัมผัสแกนแล้วเลี้ยวกลับ · (C) คิดว่ามีจุดตัดสองจุดที่ $x$ เดียวกัน
Using rungs 1-3 and the decision above, write the three points where $C_1$ crosses or touches the axes, stating which is which.
ใช้ข้อ 1-3 และการเลือกข้างต้น จงเขียนจุดทั้งสามที่ $C_1$ ตัดหรือสัมผัสแกน พร้อมระบุว่าจุดใดเป็นจุดใด
Answershow ▾
The plain factor crosses, the squared factor touches, and $x=0$ gives the $y$-intercept.ตัวประกอบปกติตัดแกน ตัวประกอบกำลังสองสัมผัสแกน และ $x=0$ ให้จุดตัดแกน $y$
$f(x)=0$ at $x=\dfrac34$ and $x=5$. To solve $f\left(\dfrac14x\right)=0$, pick the first move.
(A) set $\dfrac14x$ equal to $\dfrac34$ or $5$, then solve for $x$
(B) divide $\dfrac34$ and $5$ by $4$
(C) multiply $f(x)$ by $\dfrac14$, then solve
$f(x)=0$ ที่ $x=\dfrac34$ และ $x=5$ หากต้องแก้ $f\left(\dfrac14x\right)=0$ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้ $\dfrac14x$ เท่ากับ $\dfrac34$ หรือ $5$ แล้วแก้หา $x$
(B) หาร $\dfrac34$ และ $5$ ด้วย $4$
(C) คูณ $f(x)$ ด้วย $\dfrac14$ แล้วแก้สมการ
Answershow ▾
(B) divides the roots by $4$ - the sign of a backward stretch; the real answers $3$ and $20$ come from MULTIPLYING by $4$. (C) scales the output of $f$, not its input, which changes nothing about where $f=0$.(B) หารรากด้วย $4$ ซึ่งเป็นการยืดแบบกลับทาง คำตอบจริง $3$ และ $20$ มาจากการคูณด้วย $4$ · (C) คูณผลลัพธ์ของ $f$ ไม่ใช่ตัวแปรเข้า ซึ่งไม่เปลี่ยนตำแหน่งที่ $f=0$
Using the decision above, solve $\dfrac14x=\dfrac34$ and $\dfrac14x=5$.
ใช้การเลือกข้างต้น จงแก้ $\dfrac14x=\dfrac34$ และ $\dfrac14x=5$
Answershow ▾
Multiply each side by $4$.คูณทั้งสองข้างด้วย $4$
The curve $y=f(x)+p$ passes through the origin. Using $f(0)=-75$ from rung 3, write the equation at $x=0$ and solve for $p$.
กราฟ $y=f(x)+p$ ผ่านจุดกำเนิด ใช้ $f(0)=-75$ จากข้อ 3 จงเขียนสมการที่ $x=0$ แล้วแก้หา $p$
Answershow ▾
Passing through the origin means $y=0$ when $x=0$.ผ่านจุดกำเนิดหมายถึง $y=0$ เมื่อ $x=0$
The touch point from part (a) is at $x=5$. Using the stretch rule from the decision step, write the value of $x$ this gives for $f\left(\dfrac14x\right)=0$.
จุดสัมผัสจากข้อ (a) อยู่ที่ $x=5$ ใช้กฎการยืดจากขั้นเลือกข้างต้น จงเขียนค่า $x$ ที่ได้สำหรับ $f\left(\dfrac14x\right)=0$
Answershow ▾
The touch point, scaled by the same rule as rung 5.จุดสัมผัส ถูกขยายด้วยกฎเดียวกันกับข้อ 5
Check: using $p=75$ from rung 6, work out $f(0)+p$. Does the curve pass through the origin?
ตรวจ: ใช้ $p=75$ จากข้อ 6 จงคำนวณ $f(0)+p$ กราฟผ่านจุดกำเนิดหรือไม่
Answershow ▾
The shift that was found is the one that makes this zero.ค่าการเลื่อนที่หาได้ คือค่าที่ทำให้นี่เป็นศูนย์
A curve has equation $y=h(x)=(2x-1)(x-3)^{2}$. (a) State the points where it crosses or touches the $x$-axis. (b)(i) Find the values of $x$ for which $h\left(\dfrac12x\right)=0$. (ii) Find the value of $q$ such that $y=h(x)+q$ passes through the origin.
กราฟ $y=h(x)=(2x-1)(x-3)^{2}$ (a) จงหาจุดที่กราฟตัดหรือสัมผัสแกน $x$ (b)(i) หาค่า $x$ ที่ทำให้ $h\left(\dfrac12x\right)=0$ (ii) หาค่า $q$ ที่ทำให้ $y=h(x)+q$ ผ่านจุดกำเนิด
Answershow ▾
Same three moves: factor roots, scale by the stretch, then solve for the shift.สามขั้นเดิม: หารากจากตัวประกอบ ขยายด้วยการยืด แล้วแก้หาค่าการเลื่อน
The curve $C_1$ has equation $y=f(x)$, where
$f(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$
(a) Sketch $C_1$ showing the coordinates of any point where the curve touches or crosses the coordinate axes.
(b) Hence or otherwise
(i) find the values of $x$ for which $f\left(\dfrac14 x\right)=0$
(ii) find the value of the constant $p$ such that the curve with equation $y=f(x)+p$ passes through the origin.
(c) A second curve $C_2$ has equation $y=g(x)$, where $g(x)=f(x+1)$
(i) Find, in simplest form, $g(x)$. You may leave your answer in a factorised form.
(ii) Hence, or otherwise, find the $y$ intercept of curve $C_2$
กราฟ $C_1$ มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ
$f(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$
(ก) วาดกราฟ $C_1$ แสดงพิกัดของทุกจุดที่กราฟสัมผัสหรือตัดแกน
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น
(i) หาค่า $x$ ที่ทำให้ $f\left(\dfrac14 x\right)=0$
(ii) หาค่าคงที่ $p$ ที่ทำให้กราฟ $y=f(x)+p$ ผ่านจุดกำเนิด
(ค) กราฟที่สอง $C_2$ มีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ $g(x)=f(x+1)$
(i) หา $g(x)$ ในรูปอย่างง่าย จะตอบในรูปตัวประกอบก็ได้
(ii) จากข้อนี้ หรือวิธีอื่น หาจุดตัดแกน $y$ ของกราฟ $C_2$
Answershow ▾
8 marks: B1 B1 B1 for the sketch, B1ft B1ft for the stretch and the shift, M1 A1 B1 for the second curve.8 คะแนน: B1 B1 B1 สำหรับกราฟ B1ft B1ft สำหรับการยืดและการเลื่อน M1 A1 B1 สำหรับกราฟที่สอง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Reciprocal curve meets a parabola กราฟ reciprocal พบพาราโบลา
The curve $C$ has equation $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$
(a) Sketch the graph of $C$.
On your sketch
• show the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes
• state clearly the equations of any asymptotes
(b) The curve $D$ has equation $y=kx^{2}$ where $k$ is a constant.
Given that $C$ meets $D$ at 4 distinct points, find the range of possible values for $k$.
กราฟ $C$ มีสมการ $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$
(ก) วาดกราฟของ $C$
บนภาพของนักเรียน
• แสดงพิกัดจุดตัดแกนทั้งหมด
• บอกสมการเส้นกำกับทุกเส้นให้ชัดเจน
(ข) กราฟ $D$ มีสมการ $y=kx^{2}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
กำหนดให้ $C$ พบ $D$ ที่ 4 จุดต่างกัน จงหาช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
Solve $\dfrac{1}{x^{2}}=9$ for $x$.
จงแก้สมการ $\dfrac{1}{x^{2}}=9$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Take the reciprocal of both sides, then square root - keep the $\pm$.หาส่วนกลับทั้งสองข้าง แล้วถอดรากที่สอง อย่าลืม $\pm$
As $x\to0$, $\dfrac{1}{x^{2}}\to\infty$. Write the vertical asymptote of $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$.
เมื่อ $x\to0$ ค่า $\dfrac{1}{x^{2}}\to\infty$ จงเขียนเส้นกำกับแนวตั้งของ $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$
Answershow ▾
A vertical shift never moves a vertical asymptote.การเลื่อนแนวตั้งไม่ทำให้เส้นกำกับแนวตั้งเปลี่ยนตำแหน่ง
$y=\dfrac{1}{x^{2}}$ has horizontal asymptote $y=0$. $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$ is this shifted down $9$. Write its new horizontal asymptote.
$y=\dfrac{1}{x^{2}}$ มีเส้นกำกับแนวนอน $y=0$ · $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$ คือกราฟนี้เลื่อนลง $9$ จงเขียนเส้นกำกับแนวนอนใหม่
Answershow ▾
A vertical shift moves the horizontal asymptote by the same amount.การเลื่อนในแนวตั้งทำให้เส้นกำกับแนวนอนเลื่อนตามจำนวนเท่ากัน
$C$ and $D$ meet where their $y$ values are equal. Pick the first move.
(A) subtract the equation of $D$ from the equation of $C$
(B) set $\dfrac{1}{x^{2}}-9$ equal to $kx^{2}$
(C) set the $x$-intercepts of $D$ equal to the $x$-intercepts of $C$
$C$ กับ $D$ พบกันเมื่อค่า $y$ เท่ากัน จงเลือกขั้นแรก
(A) นำสมการของ $D$ ไปลบออกจากสมการของ $C$
(B) ให้ $\dfrac{1}{x^{2}}-9$ เท่ากับ $kx^{2}$
(C) ให้จุดตัดแกน $x$ ของ $D$ เท่ากับจุดตัดแกน $x$ ของ $C$
Answershow ▾
(A) subtracting makes a new equation but does not say where the curves meet. (C) $D=kx^{2}$ always passes through $(0,0)$, which is not on $C$ - its intercepts tell you nothing about $C$.(A) การลบได้สมการใหม่ แต่ไม่ได้บอกว่ากราฟพบกันที่ใด · (C) $D=kx^{2}$ ผ่านจุด $(0,0)$ เสมอ ซึ่งไม่อยู่บน $C$ จุดตัดของมันจึงไม่บอกอะไรเกี่ยวกับ $C$
Collect the three facts from questions $1$-$3$: the $x$-intercepts, the vertical asymptote, and the horizontal asymptote of $C:y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$.
รวมผลลัพธ์สามข้อจากข้อ $1$-$3$: จุดตัดแกน $x$ เส้นกำกับแนวตั้ง และเส้นกำกับแนวนอนของ $C:y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$
Answershow ▾
The same three results, now written together as the sketch answer.ผลลัพธ์สามอย่างเดิม นำมาเขียนรวมกันเป็นคำตอบของการวาดกราฟ
$D$ meets $C$ where $kx^{2}=\dfrac{1}{x^{2}}-9$. Multiply both sides by $x^{2}$ and collect everything on one side. Write the equation.
$D$ พบ $C$ เมื่อ $kx^{2}=\dfrac{1}{x^{2}}-9$ จงคูณทั้งสองข้างด้วย $x^{2}$ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Multiplying by $x^{2}$ is safe: $C$ has no point at $x=0$.คูณด้วย $x^{2}$ ได้อย่างปลอดภัย เพราะ $C$ ไม่มีจุดที่ $x=0$
Let $u=x^{2}$ in $kx^{4}+9x^{2}-1=0$. Write the discriminant $b^{2}-4ac$ of the quadratic in $u$, in terms of $k$.
ให้ $u=x^{2}$ ใน $kx^{4}+9x^{2}-1=0$ จงเขียนดิสคริมิแนนต์ $b^{2}-4ac$ ของสมการกำลังสองในตัวแปร $u$ ในรูป $k$
Answershow ▾
$ku^{2}+9u-1=0$ gives $a=k$, $b=9$, $c=-1$.$ku^{2}+9u-1=0$ ได้ $a=k$, $b=9$, $c=-1$
$81+4k\gt0$ gives two real values of $u$. $C$ meets $D$ at $4$ points only if BOTH values of $u=x^{2}$ are positive. Pick what this still needs.
(A) nothing else - two real values of $u$ already give $4$ points
(B) both roots of $u$ positive, which needs $k\lt0$
(C) both roots of $u$ equal, which needs the discriminant to be $0$
$81+4k\gt0$ ให้ค่า $u$ จริงสองค่า $C$ จะพบ $D$ ที่ $4$ จุด ก็ต่อเมื่อค่า $u=x^{2}$ ทั้งสองเป็นบวก จงเลือกสิ่งที่ยังต้องมี
(A) ไม่ต้องมีอะไรเพิ่ม - ค่า $u$ จริงสองค่าให้ $4$ จุดแล้ว
(B) รากทั้งสองของ $u$ เป็นบวก ซึ่งต้อง $k\lt0$
(C) รากทั้งสองของ $u$ เท่ากัน ซึ่งต้องให้ดิสคริมิแนนต์เป็น $0$
Answershow ▾
(A) is the common lost mark: $u=x^{2}$ can never be negative, so a negative root of $u$ gives no $x$ at all. (C) equal roots give one value of $u$, so only $2$ points, not $4$.(A) คือคะแนนที่หลุดบ่อยที่สุด: $u=x^{2}$ เป็นลบไม่ได้ รากที่เป็นลบของ $u$ จึงไม่ให้ค่า $x$ ใดเลย · (C) รากเท่ากันให้ค่า $u$ เพียงค่าเดียว จึงได้ $2$ จุด ไม่ใช่ $4$
Solve $81+4k\gt0$ for $k$, then combine it with $k\lt0$ from the decision above into one range.
จงแก้ $81+4k\gt0$ หาค่า $k$ แล้วรวมกับ $k\lt0$ จากข้อตัดสินใจข้างบน ให้เป็นช่วงเดียว
Answershow ▾
Two conditions on $k$ combine into one interval.เงื่อนไขสองอย่างของ $k$ รวมกันเป็นช่วงเดียว
Check the range with $k=-10$ (inside) and $k=1$ (outside). For each, is the product of the roots of $u$ positive?
จงตรวจช่วงด้วย $k=-10$ (อยู่ในช่วง) และ $k=1$ (อยู่นอกช่วง) ผลคูณของรากของ $u$ เป็นบวกหรือไม่
Answershow ▾
A positive product means both roots of $u$ are positive, giving $4$ values of $x$.ผลคูณเป็นบวก แปลว่ารากทั้งสองของ $u$ เป็นบวก จึงได้ $4$ ค่าของ $x$
A curve $C$ has equation $y=\dfrac{1}{x^{2}}-4$. The curve $D$ has equation $y=mx^{2}$. $C$ meets $D$ at $4$ distinct points. (a) Write the intercepts and asymptotes of $C$. (b) Find the range of $m$.
กราฟ $C$ มีสมการ $y=\dfrac{1}{x^{2}}-4$ กราฟ $D$ มีสมการ $y=mx^{2}$ $C$ พบ $D$ ที่ $4$ จุดต่างกัน (ก) จงเขียนจุดตัดและเส้นกำกับของ $C$ (ข) จงหาช่วงของ $m$
Answershow ▾
Same shape, fresh numbers: the $9$ becomes a $4$ all the way through.รูปแบบเดิม แต่เปลี่ยนตัวเลข: เลข $9$ กลายเป็น $4$ ตลอดทั้งข้อ
The curve $C$ has equation $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$
(a) Sketch the graph of $C$.
On your sketch
• show the coordinates of any points of intersection with the coordinate axes
• state clearly the equations of any asymptotes
(b) The curve $D$ has equation $y=kx^{2}$ where $k$ is a constant.
Given that $C$ meets $D$ at 4 distinct points, find the range of possible values for $k$.
กราฟ $C$ มีสมการ $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$
(ก) วาดกราฟของ $C$
บนภาพของนักเรียน
• แสดงพิกัดจุดตัดแกนทั้งหมด
• บอกสมการเส้นกำกับทุกเส้นให้ชัดเจน
(ข) กราฟ $D$ มีสมการ $y=kx^{2}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
กำหนดให้ $C$ พบ $D$ ที่ 4 จุดต่างกัน จงหาช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้
Answershow ▾
9 marks: 4 for the sketch (shape, intercepts, two asymptotes), 5 for the range of $k$ (method, substitution, discriminant, critical value, sign).9 คะแนน: 4 คะแนนสำหรับการวาดกราฟ (รูปร่าง จุดตัด เส้นกำกับสองเส้น) และ 5 คะแนนสำหรับช่วงของ $k$ (วิธีทำ การแทนค่า ดิสคริมิแนนต์ ค่าวิกฤต เครื่องหมาย)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cubic that touches, then a line that cuts it twice more กราฟกำลังสามที่สัมผัสแกน แล้วเส้นตรงที่ตัดอีกสองจุด
The diagram shows part of the curve $C$ with equation $y=f(x)$, where
$f(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$
(a) Deduce the values of $x$ for which $f(x) \gt 0$
(b) Expand $f(x)$ to the form
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
where $a$, $b$, $c$ and $d$ are integers to be found.
(c) The line $l$, also shown in the diagram, passes through the $y$ intercept of $C$ and is parallel to the $x$-axis.
The line $l$ cuts $C$ again at points $P$ and $Q$, also shown in the diagram.
Using algebra and showing your working, find the length of line $PQ$. Write your answer in the form $k\sqrt3$, where $k$ is a constant to be found.
(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
ภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $C$ ที่มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ
$f(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$
(ก) จงอนุมานค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x) \gt 0$
(ข) จงกระจาย $f(x)$ ให้อยู่ในรูป
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
เมื่อ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ค) เส้นตรง $l$ ซึ่งแสดงในภาพด้วย ผ่านจุดตัดแกน $y$ ของ $C$ และขนานกับแกน $x$
เส้นตรง $l$ ตัด $C$ อีกครั้งที่จุด $P$ และ $Q$ ซึ่งแสดงในภาพด้วย
จงใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำ หาความยาวของเส้น $PQ$ ตอบในรูป $k\sqrt3$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน)
State the sign of $(3x-2)^{2}$ for any real value of $x$.
จงบอกเครื่องหมายของ $(3x-2)^{2}$ สำหรับค่า $x$ จำนวนจริงใดๆ
Answershow ▾
A square can never be negative.กำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นลบไม่ได้
Expand $(3x-2)^{2}$.
จงกระจาย $(3x-2)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets multiplied together.เขียนเป็นสองวงเล็บคูณกัน
Work out $(0-2)^{2}(0-4)$.
จงคำนวณ $(0-2)^{2}(0-4)$
Answershow ▾
A squared negative is positive.จำนวนลบยกกำลังสองได้จำนวนบวก
$f(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$. Pick the correct reasoning for where $f(x)\gt0$.
(A) $3x-2\gt0$ gives the boundary, so $x\gt\frac23$
(B) $(3x-2)^{2}\geq0$ always, so the sign of $f(x)$ matches $(x-4)$ alone
(C) $x-4\gt0$ or $3x-2=0$, so $x\geq4$ or $x=\frac23$
$f(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$ จงเลือกเหตุผลที่ถูกต้องสำหรับช่วงที่ $f(x)\gt0$
(A) $3x-2\gt0$ ให้ขอบเขต ดังนั้น $x\gt\frac23$
(B) $(3x-2)^{2}\geq0$ เสมอ ดังนั้นเครื่องหมายของ $f(x)$ ขึ้นกับ $(x-4)$ เพียงอย่างเดียว
(C) $x-4\gt0$ หรือ $3x-2=0$ ดังนั้น $x\geq4$ หรือ $x=\frac23$
Answershow ▾
(A) treats the touch point as a crossing, wrongly moving the boundary to $x=\frac23$. (C) wrongly counts $x=\frac23$, where $f(x)=0$, as part of $f(x)\gt0$.(A) ถือว่าจุดสัมผัสเป็นจุดตัด ทำให้ขอบเขตผิดไปเป็น $x=\frac23$ · (C) นับ $x=\frac23$ ซึ่ง $f(x)=0$ ผิดว่าอยู่ในช่วง $f(x)\gt0$
Using the previous step, write the values of $x$ for which $f(x)\gt0$.
จากขั้นก่อนหน้า จงเขียนค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)\gt0$
Answershow ▾
The squared factor never changes the sign, so only $(x-4)$ decides it.พจน์ยกกำลังสองไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ดังนั้น $(x-4)$ เป็นตัวตัดสินเพียงตัวเดียว
Multiply $(9x^{2}-12x+4)$ by $(x-4)$. Write the result before collecting like terms.
จงคูณ $(9x^{2}-12x+4)$ ด้วย $(x-4)$ เขียนผลลัพธ์ก่อนรวมพจน์ที่คล้ายกัน
Answershow ▾
Multiply every term in the first bracket by every term in the second.คูณทุกพจน์ในวงเล็บแรกด้วยทุกพจน์ในวงเล็บที่สอง
Collect the like terms in $9x^{3}-36x^{2}-12x^{2}+48x+4x-16$.
จงรวมพจน์ที่คล้ายกันใน $9x^{3}-36x^{2}-12x^{2}+48x+4x-16$
Answershow ▾
Add the two $x^{2}$ terms, then the two $x$ terms.บวกพจน์ $x^{2}$ สองพจน์ แล้วบวกพจน์ $x$ สองพจน์
$C$ has $y$-intercept $-16$. Line $l$ is parallel to the $x$-axis through that point. Pick the equation that finds where $l$ meets $C$ again.
(A) $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=0$
(B) $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=-16$
(C) $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=16$
$C$ มีจุดตัดแกน $y$ ที่ $-16$ เส้นตรง $l$ ขนานแกน $x$ ผ่านจุดนั้น จงเลือกสมการที่ใช้หาจุดที่ $l$ ตัด $C$ อีกครั้ง
(A) $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=0$
(B) $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=-16$
(C) $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=16$
Answershow ▾
(A) sets $f(x)$ equal to the $x$-axis, which only finds where $C$ itself touches or crosses zero, not where $l$ cuts it. (C) uses the wrong sign for the $y$-intercept.(A) ให้ $f(x)$ เท่ากับแกน $x$ ซึ่งหาได้แค่จุดที่ $C$ สัมผัสหรือตัดศูนย์เอง ไม่ใช่จุดที่ $l$ ตัด · (C) ใส่เครื่องหมายของจุดตัดแกน $y$ ผิด
Set $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=-16$ and factor out $x$.
จงให้ $9x^{3}-48x^{2}+52x-16=-16$ แล้วดึง $x$ ออกเป็นตัวร่วม
Answershow ▾
Cancel the $-16$ on both sides, then every remaining term has a factor of $x$.ตัด $-16$ ทั้งสองข้าง แล้วทุกพจน์ที่เหลือมี $x$ เป็นตัวร่วม
Solve $9x^{2}-48x+52=0$ using the quadratic formula. Leave your answer in surd form.
จงแก้สมการ $9x^{2}-48x+52=0$ โดยใช้สูตรกำลังสอง ตอบในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
The discriminant is $432=144\times3$, so $\sqrt{432}=12\sqrt3$.ตัวแยกแยะคือ $432=144\times3$ ดังนั้น $\sqrt{432}=12\sqrt3$
A curve has equation $y=g(x)$, where
$g(x)=(x-2)^{2}(x-9)$
(a) Deduce the values of $x$ for which $g(x)\gt0$.
(b) Expand $g(x)$ to the form $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.
(c) The line through the $y$-intercept of the curve, parallel to the $x$-axis, cuts the curve again at $P$ and $Q$. Find the length $PQ$.
กราฟหนึ่งมีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ
$g(x)=(x-2)^{2}(x-9)$
(a) จงอนุมานค่า $x$ ที่ทำให้ $g(x)\gt0$
(b) จงกระจาย $g(x)$ ให้อยู่ในรูป $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
(c) เส้นตรงที่ผ่านจุดตัดแกน $y$ ของกราฟ และขนานกับแกน $x$ ตัดกราฟอีกครั้งที่จุด $P$ และ $Q$ จงหาความยาวของ $PQ$
Answershow ▾
Same three moves: sign follows the single factor, multiply out, then solve where the line meets the curve again.สามขั้นเดิม: เครื่องหมายขึ้นกับตัวประกอบเดี่ยว กระจายให้หมด แล้วแก้หาจุดที่เส้นตรงตัดกราฟอีกครั้ง
The diagram shows part of the curve $C$ with equation $y=f(x)$, where
$f(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$
(a) Deduce the values of $x$ for which $f(x) \gt 0$
(b) Expand $f(x)$ to the form
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
where $a$, $b$, $c$ and $d$ are integers to be found.
(c) The line $l$, also shown in the diagram, passes through the $y$ intercept of $C$ and is parallel to the $x$-axis.
The line $l$ cuts $C$ again at points $P$ and $Q$, also shown in the diagram.
Using algebra and showing your working, find the length of line $PQ$. Write your answer in the form $k\sqrt3$, where $k$ is a constant to be found.
(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
ภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $C$ ที่มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ
$f(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$
(ก) จงอนุมานค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x) \gt 0$
(ข) จงกระจาย $f(x)$ ให้อยู่ในรูป
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
เมื่อ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ค) เส้นตรง $l$ ซึ่งแสดงในภาพด้วย ผ่านจุดตัดแกน $y$ ของ $C$ และขนานกับแกน $x$
เส้นตรง $l$ ตัด $C$ อีกครั้งที่จุด $P$ และ $Q$ ซึ่งแสดงในภาพด้วย
จงใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำ หาความยาวของเส้น $PQ$ ตอบในรูป $k\sqrt3$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน)
Answershow ▾
9 marks across three parts: the squared factor never changes sign, multiply out fully, then solve where line $l$ meets $C$ again.9 คะแนนใน 3 ส่วน: พจน์ยกกำลังสองไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย กระจายให้หมด แล้วแก้หาจุดที่เส้นตรง $l$ ตัด $C$ อีกครั้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A reciprocal curve, shifted up กราฟ reciprocal ที่เลื่อนขึ้น
(a) Sketch the curve with equation
$y=-\dfrac{k}{x}$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
(b) On a separate diagram, sketch the curve with equation
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
stating the coordinates of the point of intersection with the $x$-axis and, in terms of $k$, the equation of the horizontal asymptote.
(c) Find the range of possible values of $k$ for which the curve with equation
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
does not touch or intersect the line with equation $y=3x+4$
(ก) วาดกราฟของสมการ
$y=-\dfrac{k}{x}$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
(ข) วาดกราฟของสมการแยกภาพ
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
บอกพิกัดจุดตัดแกน $x$ และสมการเส้นกำกับแนวนอนในรูปของ $k$
(ค) จงหาช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ ที่ทำให้กราฟของสมการ
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
ไม่สัมผัสหรือตัดเส้นตรง $y=3x+4$
For $y=-\dfrac{2}{x}$, work out $y$ when $x=1$, and when $x=-1$.
$y=-\dfrac{2}{x}$ จงหาค่า $y$ เมื่อ $x=1$ และเมื่อ $x=-1$
Answershow ▾
A negative divided by a positive stays negative; a negative divided by a negative becomes positive.ลบหารบวกยังคงเป็นลบ ลบหารลบกลายเป็นบวก
For $y=-\dfrac{2}{x}$, write the value $y$ gets closer to as $x$ gets very large.
$y=-\dfrac{2}{x}$ จงเขียนค่าที่ $y$ เข้าใกล้ เมื่อ $x$ มีค่ามากขึ้น
Answershow ▾
Dividing $2$ by a huge number gives almost nothing.$2$ หารด้วยจำนวนที่ใหญ่มาก ได้ค่าที่น้อยมาก
Solve $-\dfrac{2}{x}+2=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $-\dfrac{2}{x}+2=0$ หา $x$
Answershow ▾
Move the fraction across, then clear it by multiplying by $x$.ย้ายเศษส่วนไปอีกข้าง แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $x$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ is formed from $y=-\dfrac{k}{x}$ by ONE move. Pick the move.
(A) stretch $y$ by factor $k$
(B) shift $x$ by $k$
(C) shift $y$ up by $k$
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ เกิดจาก $y=-\dfrac{k}{x}$ ด้วยการแปลงเดียว จงเลือกการแปลงนั้น
(A) ยืด $y$ ด้วยตัวประกอบ $k$
(B) เลื่อน $x$ ด้วย $k$
(C) เลื่อน $y$ ขึ้นด้วย $k$
Answershow ▾
Adding $k$ OUTSIDE $f(x)$ moves every output up by $k$ - a $y$-shift, not a stretch (A), which would be $k\cdot f(x)$, and not an $x$-shift (B), which would be $f(x-k)$.การบวก $k$ ด้านนอก $f(x)$ ทำให้ผลลัพธ์ทุกค่าเลื่อนขึ้นด้วย $k$ คือการเลื่อน $y$ ไม่ใช่การยืด (A) ซึ่งจะเป็น $k\cdot f(x)$ และไม่ใช่การเลื่อน $x$ (B) ซึ่งจะเป็น $f(x-k)$
For $y=-\dfrac{k}{x}$ ($k\gt0$), write the two quadrants that contain the curve.
$y=-\dfrac{k}{x}$ ($k\gt0$) จงเขียนควอดรันต์สองส่วนที่กราฟอยู่
Answershow ▾
For $x\gt0$, $-\dfrac{k}{x}\lt0$ (quadrant $4$); for $x\lt0$, $-\dfrac{k}{x}\gt0$ (quadrant $2$).เมื่อ $x\gt0$ จะได้ $-\dfrac{k}{x}\lt0$ (ควอดรันต์ $4$) เมื่อ $x\lt0$ จะได้ $-\dfrac{k}{x}\gt0$ (ควอดรันต์ $2$)
Solve $-\dfrac{k}{x}+k=0$ for $x$.
จงแก้สมการ $-\dfrac{k}{x}+k=0$ หา $x$
Answershow ▾
Same three moves as question $3$, now with the letter $k$ instead of $2$.สามขั้นเดิมจากข้อ $3$ แต่ใช้ตัวอักษร $k$ แทน $2$
Write the equation of the horizontal asymptote of $y=-\dfrac{k}{x}+k$, in terms of $k$.
จงเขียนสมการเส้นกำกับแนวนอนของ $y=-\dfrac{k}{x}+k$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
As $x\to\pm\infty$, $-\dfrac{k}{x}\to0$ (question $2$), so $y\to k$.เมื่อ $x\to\pm\infty$ ค่า $-\dfrac{k}{x}\to0$ (ข้อ $2$) ดังนั้น $y\to k$
The curve and the line must not touch or cross. What must be true about the discriminant of the quadratic they give?
(A) discriminant $=0$
(B) discriminant $\gt0$
(C) discriminant $\lt0$
กราฟกับเส้นตรงต้องไม่สัมผัสหรือตัดกัน ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองที่ได้ต้องเป็นอย่างไร
(A) ดิสคริมิแนนต์ $=0$
(B) ดิสคริมิแนนต์ $\gt0$
(C) ดิสคริมิแนนต์ $\lt0$
Answershow ▾
$=0$ (A) is one touching point, a tangent; $\gt0$ (B) is two crossing points. Neither is allowed, so the quadratic must have no real root at all: discriminant $\lt0$.$=0$ (A) คือสัมผัสจุดเดียว (เส้นสัมผัส) ส่วน $\gt0$ (B) คือตัดกันสองจุด ทั้งสองแบบไม่ได้รับอนุญาต สมการกำลังสองจึงต้องไม่มีคำตอบจริงเลย: ดิสคริมิแนนต์ $\lt0$
Set $3x+4$ equal to $-\dfrac{k}{x}+k$, multiply every term by $x$, then collect everything on one side.
ให้ $3x+4$ เท่ากับ $-\dfrac{k}{x}+k$ คูณทุกพจน์ด้วย $x$ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Answershow ▾
Multiplying by $x$ clears the fraction; the move across $=$ still needs its balancing step.คูณด้วย $x$ เพื่อกำจัดเศษส่วน การย้ายข้ามเครื่องหมาย $=$ ยังต้องแสดงขั้นปรับสมดุล
Check the discriminant: show that $(4-k)^{2}-4(3)(k)$ simplifies to $k^{2}-20k+16$.
จงตรวจดิสคริมิแนนต์: แสดงว่า $(4-k)^{2}-4(3)(k)$ จัดรูปได้เป็น $k^{2}-20k+16$
Answershow ▾
Expand the bracket first, then collect the $k$ terms.กระจายวงเล็บก่อน แล้วรวมพจน์ที่มี $k$
A curve has equation $y=-\dfrac{m}{x}+m$ ($m\gt0$, $x\neq0$). State the coordinates of its $x$-intercept and the equation of its horizontal asymptote, then find the range of values of $m$ for which the curve does not meet the line $y=x+2$.
กราฟมีสมการ $y=-\dfrac{m}{x}+m$ ($m\gt0$, $x\neq0$) จงบอกพิกัดจุดตัดแกน $x$ และสมการเส้นกำกับแนวนอน แล้วหาช่วงของ $m$ ที่ทำให้กราฟไม่พบเส้นตรง $y=x+2$
Answershow ▾
Same three moves as the exam question, with $m$ in place of $k$ and a different line.สามขั้นเดิมจากข้อสอบจริง แต่ใช้ $m$ แทน $k$ และเส้นตรงที่ต่างกัน
(a) Sketch the curve with equation
$y=-\dfrac{k}{x}$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
(b) On a separate diagram, sketch the curve with equation
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
stating the coordinates of the point of intersection with the $x$-axis and, in terms of $k$, the equation of the horizontal asymptote.
(c) Find the range of possible values of $k$ for which the curve with equation
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
does not touch or intersect the line with equation $y=3x+4$
(ก) วาดกราฟของสมการ
$y=-\dfrac{k}{x}$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
(ข) วาดกราฟของสมการแยกภาพ
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
บอกพิกัดจุดตัดแกน $x$ และสมการเส้นกำกับแนวนอนในรูปของ $k$
(ค) จงหาช่วงของค่า $k$ ที่เป็นไปได้ ที่ทำให้กราฟของสมการ
$y=-\dfrac{k}{x}+k$ ($k \gt 0$, $x\neq0$)
ไม่สัมผัสหรือตัดเส้นตรง $y=3x+4$
Answershow ▾
10 marks: 2 for the shape, 3 for the intercept and asymptote of the shifted curve, 5 for turning "does not meet the line" into a discriminant inequality.10 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับรูปทรง 3 คะแนนสำหรับจุดตัดแกนและเส้นกำกับของกราฟที่เลื่อน 5 คะแนนสำหรับเปลี่ยน "ไม่พบเส้นตรง" เป็นอสมการดิสคริมิแนนต์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A translated curve meets a line กราฟที่เลื่อนแล้วตัดกับเส้นตรง
(a) On a diagram, sketch a graph of the curve $C$ with equation
$y=\dfrac6x$ ($x\neq0$)
(b) The curve $C$ is transformed onto the curve with equation $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$)
Fully describe this transformation.
(c) The curve with equation $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$) and the line with equation $y=kx+7$, where $k$ is a constant, intersect at exactly two points, $P$ and $Q$.
Given that the $x$ coordinate of point $P$ is $-4$, find the value of $k$.
(d) Find, using algebra, the coordinates of point $Q$.
(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
(ก) วาดกราฟของ $C$ ที่มีสมการ
$y=\dfrac6x$ ($x\neq0$)
(ข) กราฟ $C$ ถูกแปลง (transform) เป็นกราฟที่มีสมการ $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$)
จงบอกการแปลงนี้ให้ครบถ้วน
(ค) กราฟของ $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$) และเส้นตรง $y=kx+7$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$ พอดีสองจุด
กำหนดให้พิกัด $x$ ของจุด $P$ คือ $-4$ จงหาค่า $k$
(ง) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $Q$
(คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน)
For the curve $y=\dfrac6x$ ($x\neq0$), work out $y$ when $x=1$.
กราฟ $y=\dfrac6x$ ($x\neq0$) จงหา $y$ เมื่อ $x=1$
Answershow ▾
Divide $6$ by $1$.หาร $6$ ด้วย $1$
For the curve $y=\dfrac6x$ ($x\neq0$), work out $y$ when $x=-1$.
กราฟ $y=\dfrac6x$ ($x\neq0$) จงหา $y$ เมื่อ $x=-1$
Answershow ▾
Dividing by a negative number gives a negative answer.หารด้วยจำนวนลบ ได้ผลลัพธ์เป็นลบ
A curve $y=f(x)$ is transformed to $y=f(x+3)$. State the direction and the number of units of the translation.
กราฟ $y=f(x)$ ถูกแปลงเป็น $y=f(x+3)$ จงบอกทิศทางและจำนวนหน่วยของการเลื่อน
Answershow ▾
Inside the bracket, a change moves the curve the opposite way to its sign.การเปลี่ยนแปลงในวงเล็บ ทำให้กราฟเลื่อนในทางตรงข้ามกับเครื่องหมาย
The curve $y=\dfrac6x$ is transformed to $y=\dfrac{6}{x-2}$. Pick the transformation.
(A) translation $2$ units in the negative $x$ direction
(B) translation $2$ units in the positive $x$ direction
(C) translation $2$ units in the positive $y$ direction
กราฟ $y=\dfrac6x$ ถูกแปลงเป็น $y=\dfrac{6}{x-2}$ จงเลือกการแปลง
(A) เลื่อน $2$ หน่วย ในทิศทาง $x$ ลบ
(B) เลื่อน $2$ หน่วย ในทิศทาง $x$ บวก
(C) เลื่อน $2$ หน่วย ในทิศทาง $y$ บวก
Answershow ▾
The sign inside the bracket is $-2$, which (unlike question $3$'s $+3$) moves the curve the OTHER way - in the positive $x$ direction, so (A) has the sign backwards. (C) moves $y$ instead - the change is inside the bracket, so it moves $x$.เครื่องหมายในวงเล็บคือ $-2$ ซึ่งต่างจากข้อ $3$ ที่เป็น $+3$ จึงเลื่อนกราฟไปทางตรงข้าม คือทิศทาง $x$ บวก ดังนั้น (A) ใส่เครื่องหมายผิด · (C) เลื่อน $y$ แทน เพราะการเปลี่ยนแปลงอยู่ในวงเล็บ จึงต้องเลื่อน $x$
Using $(1,6)$ and $(-1,-6)$ on $y=\dfrac6x$, name the two quadrants that contain the curve.
ใช้จุด $(1,6)$ และ $(-1,-6)$ บนกราฟ $y=\dfrac6x$ จงบอกควอดรันต์ทั้งสองที่กราฟอยู่
Answershow ▾
$x$ and $y$ have the same sign at both points, so both points sit on a diagonal pair of quadrants.ที่ทั้งสองจุด $x$ และ $y$ มีเครื่องหมายเดียวกัน จึงอยู่ในควอดรันต์แนวทแยงคู่กัน
State the full description of the transformation that takes $y=\dfrac6x$ onto $y=\dfrac{6}{x-2}$.
จงบอกการแปลงให้ครบถ้วน ที่ส่งกราฟ $y=\dfrac6x$ ไปเป็น $y=\dfrac{6}{x-2}$
Answershow ▾
The word "translation" and the direction are both needed - either alone is only half the marks.ต้องมีทั้งคำว่า "เลื่อน" (translation) และทิศทาง ขาดอย่างใดอย่างหนึ่งได้คะแนนเพียงครึ่งเดียว
Point $P$ on $y=\dfrac{6}{x-2}$ and on $y=kx+7$ has $x=-4$. Find the value of $k$.
จุด $P$ บนกราฟ $y=\dfrac{6}{x-2}$ และบนเส้นตรง $y=kx+7$ มี $x=-4$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Find $y$ from the curve first - it has no unknown - then solve the line's equation for $k$.หา $y$ จากกราฟก่อน เพราะไม่มีตัวแปรไม่ทราบค่า แล้วค่อยแก้สมการเส้นตรงหา $k$
The curve $y=\dfrac{6}{x-2}$ and the line $y=2x+7$ intersect. Pick the first move to find where.
(A) add the two equations
(B) substitute $2x+7$ for $y$ in the curve equation, then cross-multiply
(C) set $x-2=0$ and solve
กราฟ $y=\dfrac{6}{x-2}$ และเส้นตรง $y=2x+7$ ตัดกัน จงเลือกขั้นแรกในการหาจุดตัด
(A) บวกสองสมการเข้าด้วยกัน
(B) แทน $y$ ด้วย $2x+7$ ในสมการกราฟ แล้วคูณไขว้
(C) ให้ $x-2=0$ แล้วแก้สมการ
Answershow ▾
(A) adding does not remove a letter here - there is one unknown pair $(x,y)$, not two equations to eliminate between. (C) finds where the curve is UNDEFINED, not where it meets the line.(A) การบวกไม่ได้ทำให้ตัวแปรหายไป เพราะมีคู่ไม่ทราบค่าเดียวคือ $(x,y)$ ไม่ใช่สองสมการที่ต้องกำจัดตัวแปร · (C) หาจุดที่กราฟไม่นิยาม ไม่ใช่จุดที่ตัดกับเส้นตรง
Using $k=2$, the curve $y=\dfrac{6}{x-2}$ meets the line $y=2x+7$. Form and solve the quadratic equation in $x$.
ใช้ $k=2$ กราฟ $y=\dfrac{6}{x-2}$ ตัดกับเส้นตรง $y=2x+7$ จงตั้งและแก้สมการกำลังสองของ $x$
Answershow ▾
Collect everything on one side before factorising, the same move as question $6$'s balancing.ย้ายทุกพจน์มาไว้ข้างเดียวก่อนแยกตัวประกอบ เป็นการจัดสมการแบบเดียวกับข้อ $6$
$x=-4$ is already point $P$. Find the coordinates of point $Q$, using the line $y=2x+7$.
$x=-4$ คือจุด $P$ อยู่แล้ว จงหาพิกัดของจุด $Q$ โดยใช้เส้นตรง $y=2x+7$
Answershow ▾
Use the line, not the curve - it needs only one substitution, not a fraction.ใช้เส้นตรง ไม่ใช้กราฟ เพราะแทนค่าได้ทันทีโดยไม่ต้องจัดการเศษส่วน
$C$ is the curve $y=\dfrac4x$.
(a) State the two quadrants containing $C$.
(b) $C$ is transformed onto $y=\dfrac{4}{x-1}$. Fully describe this transformation.
(c) The curve $y=\dfrac{4}{x-1}$ and the line $y=kx+3$ intersect at exactly two points $P$ and $Q$. Given that the $x$ coordinate of $P$ is $-1$, find the value of $k$.
(d) Find, using algebra, the coordinates of $Q$.
$C$ คือกราฟ $y=\dfrac4x$
(ก) จงบอกควอดรันต์ทั้งสองที่ $C$ อยู่
(ข) $C$ ถูกแปลงเป็นกราฟ $y=\dfrac{4}{x-1}$ จงบอกการแปลงนี้ให้ครบถ้วน
(ค) กราฟ $y=\dfrac{4}{x-1}$ และเส้นตรง $y=kx+3$ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$ พอดีสองจุด กำหนดให้พิกัด $x$ ของจุด $P$ คือ $-1$ จงหาค่า $k$
(ง) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $Q$
Answershow ▾
Same four moves, fresh numbers: name the quadrants, translate the curve, substitute the known point to find $k$, then solve the quadratic for $Q$.สี่ขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่: บอกควอดรันต์ เลื่อนกราฟ แทนจุดที่กำหนดเพื่อหา $k$ แล้วแก้สมการกำลังสองหาจุด $Q$
(a) On a diagram, sketch a graph of the curve $C$ with equation
$y=\dfrac6x$ ($x\neq0$)
(b) The curve $C$ is transformed onto the curve with equation $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$)
Fully describe this transformation.
(c) The curve with equation $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$) and the line with equation $y=kx+7$, where $k$ is a constant, intersect at exactly two points, $P$ and $Q$.
Given that the $x$ coordinate of point $P$ is $-4$, find the value of $k$.
(d) Find, using algebra, the coordinates of point $Q$.
(Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
(ก) วาดกราฟของ $C$ ที่มีสมการ
$y=\dfrac6x$ ($x\neq0$)
(ข) กราฟ $C$ ถูกแปลง (transform) เป็นกราฟที่มีสมการ $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$)
จงบอกการแปลงนี้ให้ครบถ้วน
(ค) กราฟของ $y=\dfrac{6}{x-2}$ ($x\neq2$) และเส้นตรง $y=kx+7$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ ตัดกันที่จุด $P$ และ $Q$ พอดีสองจุด
กำหนดให้พิกัด $x$ ของจุด $P$ คือ $-4$ จงหาค่า $k$
(ง) จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $Q$
(คำตอบที่อาศัยเครื่องคิดเลขทั้งหมดจะไม่ได้คะแนน)
Answershow ▾
10 marks across 4 parts: the shape, the full translation, substituting the known point to find $k$, then solving the quadratic for $Q$.10 คะแนน 4 ส่วน: ทรงกราฟ การเลื่อนให้ครบถ้วน การแทนจุดที่กำหนดเพื่อหา $k$ แล้วแก้สมการกำลังสองหาจุด $Q$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A line that meets a curve once เส้นตรงที่พบเส้นโค้งเพียงครั้งเดียว
(a) The line with equation $y=4x+c$, where $c$ is a constant, meets the curve with equation $y=x(x-3)$ at only one point.
Find the value of $c$.
(b) Hence find the coordinates of the point of intersection.
(ก) เส้นตรง $y=4x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ พบกราฟ $y=x(x-3)$ เพียงจุดเดียวเท่านั้น
จงหาค่า $c$
(ข) จากข้อนี้ จงหาพิกัดของจุดตัด
Expand $x(x-3)$.
จงกระจาย $x(x-3)$
Answershow ▾
Multiply $x$ by each term inside the bracket.คูณ $x$ เข้ากับแต่ละพจน์ในวงเล็บ
For $x^{2}-7x-c=0$, write the coefficient of $x$, with its sign.
สำหรับ $x^{2}-7x-c=0$ จงเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ พร้อมเครื่องหมาย
Answershow ▾
The sign of $-7$ must be kept - losing it is a common dropped mark.ต้องเก็บเครื่องหมายลบของ $-7$ ไว้ · การหายไปของเครื่องหมายเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
For a repeated root, $x=\dfrac{-b}{2a}$. Use $a=1$ and $b=-7$ to find it.
สำหรับรากซ้ำ $x=\dfrac{-b}{2a}$ จงใช้ $a=1$ และ $b=-7$ หาค่านี้
Answershow ▾
A repeated root sits halfway between where two equal roots would be.รากซ้ำอยู่ตรงกึ่งกลางพอดีของตำแหน่งที่รากทั้งสองจะเท่ากัน
The line meets the curve at exactly one point. Which approach finds $c$?
(A) Substitute the line into the curve to form one quadratic in $x$, then set its discriminant $b^{2}-4ac=0$
(B) Set the gradient of the line equal to the gradient of the curve, at $x=0$
(C) Substitute $x=0$ into the curve to get $y$, then use $y=4(0)+c$ to find $c$
เส้นตรงพบกราฟเพียงจุดเดียวเท่านั้น วิธีใดหาค่า $c$ ได้
(A) แทนเส้นตรงลงในกราฟให้ได้สมการกำลังสองในรูป $x$ สมการเดียว แล้วให้ดิสคริมิแนนต์ $b^{2}-4ac=0$
(B) ให้ความชันของเส้นตรงเท่ากับความชันของกราฟ ที่ $x=0$
(C) แทน $x=0$ ในกราฟเพื่อหา $y$ แล้วใช้ $y=4(0)+c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
(B) checks gradients only at $x=0$, which has no special meaning. The real condition is a repeated root. (C) assumes the single point is at $x=0$, which is not given.(B) ตรวจความชันเท่ากันที่ $x=0$ เท่านั้น ซึ่งไม่มีความหมายพิเศษ เงื่อนไขจริงคือรากซ้ำ · (C) สมมติว่าจุดเดียวอยู่ที่ $x=0$ ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้ในโจทย์
Set the curve equal to the line, $x(x-3)=4x+c$, and collect every term onto one side to form a quadratic in $x$.
ให้กราฟเท่ากับเส้นตรง $x(x-3)=4x+c$ แล้วย้ายทุกพจน์ไปด้านเดียวเพื่อตั้งเป็นสมการกำลังสองในรูป $x$
Answershow ▾
Expand the bracket, then move every term so the equation reads $=0$.กระจายวงเล็บ แล้วย้ายทุกพจน์ให้อยู่ในรูป $=0$
Use $b^{2}-4ac=0$ for $x^{2}-7x-c=0$, with $a=1$, $b=-7$, and constant term $-c$. Write the resulting equation.
ใช้ $b^{2}-4ac=0$ กับ $x^{2}-7x-c=0$ โดย $a=1$, $b=-7$ และพจน์คงที่คือ $-c$ จงเขียนสมการที่ได้
Answershow ▾
Only one point means a repeated root, so the discriminant of this quadratic is $0$.การพบเพียงจุดเดียว หมายถึงมีรากซ้ำ ดังนั้นดิสคริมิแนนต์ของสมการนี้จึงเป็น $0$
Solve $49=-4c$ for $c$.
จงแก้สมการ $49=-4c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
Divide both sides by $-4$ to isolate $c$.หารทั้งสองข้างด้วย $-4$ เพื่อแยกหาค่า $c$
Substitute $c=-12.25$ into $x^{2}-7x-c=0$ and solve for $x$ (it is a repeated root).
แทน $c=-12.25$ ใน $x^{2}-7x-c=0$ แล้วแก้หาค่า $x$ (เป็นรากซ้ำ)
Answershow ▾
The quadratic with this $c$ factorises as a perfect square, confirming the repeated root.สมการกำลังสองที่ได้ค่า $c$ นี้ แยกตัวประกอบได้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ยืนยันว่าเป็นรากซ้ำ
Check $x=\dfrac72$: find $y$ using $y=x(x-3)$, then using $y=4x+c$. Do both match?
ตรวจ $x=\dfrac72$ โดยหา $y$ จาก $y=x(x-3)$ แล้วจาก $y=4x+c$ ตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
A genuine intersection point satisfies both equations, so either one finds $y$.จุดตัดจริงเป็นจริงกับทั้งสองสมการ จึงใช้สมการใดหาค่า $y$ ก็ได้
The line with equation $y=2x+c$ meets the curve with equation $y=x(x-2)$ at only one point.
(a) Find the value of $c$.
(b) Hence find the coordinates of the point of intersection.
เส้นตรง $y=2x+c$ พบกราฟ $y=x(x-2)$ เพียงจุดเดียวเท่านั้น
(ก) จงหาค่า $c$
(ข) จากข้อนี้ จงหาพิกัดของจุดตัด
Answershow ▾
Same three moves: form the quadratic, set the discriminant to $0$, then solve for $x$ and $y$.สามขั้นเดิม: ตั้งสมการกำลังสอง ให้ดิสคริมิแนนต์เป็น $0$ แล้วแก้หา $x$ และ $y$
(a) The line with equation $y=4x+c$, where $c$ is a constant, meets the curve with equation $y=x(x-3)$ at only one point.
Find the value of $c$.
(b) Hence find the coordinates of the point of intersection.
(ก) เส้นตรง $y=4x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ พบกราฟ $y=x(x-3)$ เพียงจุดเดียวเท่านั้น
จงหาค่า $c$
(ข) จากข้อนี้ จงหาพิกัดของจุดตัด
Answershow ▾
7 marks: form the quadratic, use the discriminant $=0$ to find $c$, then solve for the point.7 คะแนน: ตั้งสมการกำลังสอง ใช้ดิสคริมิแนนต์ $=0$ หาค่า $c$ แล้วแก้หาจุดตัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Build a quadratic and a cubic, then find P สร้างสมการพาราโบลาและกำลังสาม แล้วหาจุด P
The diagram shows part of the curves $C_1$ and $C_2$
$C_1$ has equation $y=f(x)$ where $f(x)$ is a quadratic function, cuts the $x$-axis at the origin and at $x=4$, and has a minimum turning point at $(2,-4.8)$.
$C_2$ has equation $y=g(x)$ where $g(x)$ is a cubic function, cuts the $x$-axis at the origin and meets the $x$-axis at $x=4$, and passes through the point $(6,7.2)$.
(a) Find $f(x)$
(b) Find $g(x)$
(c) The curves $C_1$ and $C_2$ meet in the first quadrant at the point $P$, shown in the diagram.
Use algebra to find the coordinates of $P$.
ภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $C_1$ และ $C_2$
$C_1$ มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและที่ $x=4$ และมีจุดต่ำสุดที่ $(2,-4.8)$
$C_2$ มีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสาม ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและสัมผัสแกน $x$ ที่ $x=4$ และผ่านจุด $(6,7.2)$
(ก) จงหา $f(x)$
(ข) จงหา $g(x)$
(ค) กราฟ $C_1$ และ $C_2$ พบกันในควอดรันต์ที่ 1 ที่จุด $P$ ดังที่แสดงในภาพ
จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$
A quadratic curve crosses the $x$-axis at the origin and at $x=4$, and nowhere else. Write its equation in the form $y=kx(x-4)$, with $k$ still unknown.
กราฟพาราโบลาตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและที่ $x=4$ เท่านั้น จงเขียนสมการในรูป $y=kx(x-4)$ โดยยังไม่ทราบค่า $k$
Answershow ▾
Each root gives one bracket; the constant $k$ is fixed later by another point.รากแต่ละค่าให้วงเล็บหนึ่งตัว ส่วนค่าคงที่ $k$ จะหาได้จากจุดอื่นในขั้นถัดไป
The curve $y=kx(x-4)$ has a minimum at $(2,-4.8)$. Substitute this point to find $k$.
กราฟ $y=kx(x-4)$ มีจุดต่ำสุดที่ $(2,-4.8)$ จงแทนจุดนี้เพื่อหาค่า $k$
Answershow ▾
The minimum point lies on the curve, so it satisfies the equation.จุดต่ำสุดอยู่บนกราฟ ดังนั้นมันทำให้สมการเป็นจริง
A curve touches (does not cross) the $x$-axis at $x=4$. Write the bracket for a repeated root at $x=4$.
กราฟสัมผัสแกน $x$ ที่ $x=4$ (ไม่ตัดผ่าน) จงเขียนวงเล็บสำหรับรากซ้ำที่ $x=4$
Answershow ▾
Touching means the root at $x=4$ counts twice, so its bracket is squared.การสัมผัสหมายความว่ารากที่ $x=4$ นับสองครั้ง จึงต้องยกกำลังสองวงเล็บนั้น
$C_2$ crosses the $x$-axis at the origin and touches it at $x=4$. Pick the correct factorised form, $y=g(x)$.
(A) $y=cx^{2}(x-4)$
(B) $y=cx(x-4)^{2}$
(C) $y=c(x-4)^{2}$
$C_2$ ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและสัมผัสแกน $x$ ที่ $x=4$ จงเลือกรูปแยกตัวประกอบที่ถูก ของ $y=g(x)$
(A) $y=cx^{2}(x-4)$
(B) $y=cx(x-4)^{2}$
(C) $y=c(x-4)^{2}$
Answershow ▾
(A) squares the wrong bracket, so the curve would touch at the origin and cross at $4$ - backwards. (C) drops the $x$ factor, so the curve would not pass through the origin at all.(A) ยกกำลังสองวงเล็บผิดตัว ทำให้กราฟสัมผัสที่จุดกำเนิดและตัดผ่านที่ $4$ ซึ่งสลับกับ ความจริง · (C) ไม่มีตัวประกอบ $x$ ทำให้กราฟไม่ผ่านจุดกำเนิดเลย
The curve $y=cx(x-4)^{2}$ passes through $(6,7.2)$. Substitute this point to find $c$.
กราฟ $y=cx(x-4)^{2}$ ผ่านจุด $(6,7.2)$ จงแทนจุดนี้เพื่อหาค่า $c$
Answershow ▾
Same move as question $2$, now on the cubic.ขั้นเดียวกับข้อ $2$ แต่ใช้กับกราฟกำลังสาม
Write $f(x)$ and $g(x)$ in full, using $k=1.2$ and $c=0.3$.
จงเขียน $f(x)$ และ $g(x)$ แบบสมบูรณ์ โดยใช้ $k=1.2$ และ $c=0.3$
Answershow ▾
Put each constant back into its own bracket form.นำค่าคงที่แต่ละตัวแทนกลับเข้าไปในรูปวงเล็บของมัน
At a point where $C_1$ and $C_2$ meet, $f(x)=g(x)$. Write this equation using the full forms of $f$ and $g$.
ที่จุดซึ่ง $C_1$ และ $C_2$ พบกัน $f(x)=g(x)$ จงเขียนสมการนี้โดยใช้รูปสมบูรณ์ของ $f$ และ $g$
Answershow ▾
Both curves pass through the origin and $x=4$, so they already meet there too.กราฟทั้งสองผ่านจุดกำเนิดและ $x=4$ ด้วย จึงพบกันที่นั่นด้วยเช่นกัน
$1.2x(x-4)=0.3x(x-4)^{2}$ is also true at $x=0$ and $x=4$, where $C_1$ and $C_2$ already meet. Pick the move that finds $P$ instead.
(A) divide both sides by $0.3x(x-4)$, since $x\neq0,4$ at $P$
(B) substitute $x=0$ into the equation
(C) substitute $x=4$ into the equation
$1.2x(x-4)=0.3x(x-4)^{2}$ เป็นจริงที่ $x=0$ และ $x=4$ ด้วย ซึ่ง $C_1$ และ $C_2$ พบกัน ที่นั่นอยู่แล้ว จงเลือกขั้นที่หาจุด $P$ ได้จริง
(A) หารทั้งสองข้างด้วย $0.3x(x-4)$ เพราะ $x\neq0,4$ ที่จุด $P$
(B) แทน $x=0$ ในสมการ
(C) แทน $x=4$ ในสมการ
Answershow ▾
(B) and (C) both just confirm the equation is true at $x=0$ and $x=4$ - the two points the curves already share, not the new point $P$.(B) และ (C) เป็นเพียงการยืนยันว่าสมการเป็นจริงที่ $x=0$ และ $x=4$ ซึ่งเป็นจุดที่กราฟพบกันอยู่แล้ว ไม่ใช่จุด $P$ ที่ต้องหาใหม่
Divide both sides of $1.2x(x-4)=0.3x(x-4)^{2}$ by $0.3x(x-4)$, then solve for $x$.
จงหารทั้งสองข้างของ $1.2x(x-4)=0.3x(x-4)^{2}$ ด้วย $0.3x(x-4)$ แล้วแก้หาค่า $x$
Answershow ▾
Dividing out the shared factor leaves one equation in $x$ alone.การหารตัวประกอบร่วมออกทำให้เหลือสมการที่มีแค่ $x$
Substitute $x=8$ into $f(x)=1.2x(x-4)$ to find the $y$-coordinate of $P$, then check it matches $g(8)$.
จงแทน $x=8$ ใน $f(x)=1.2x(x-4)$ เพื่อหาพิกัด $y$ ของจุด $P$ แล้วตรวจกับ $g(8)$
Answershow ▾
A point where two curves meet gives the same $y$ from both equations.จุดที่กราฟสองเส้นพบกัน จะให้ค่า $y$ เท่ากันจากทั้งสองสมการ
$C_1$: $y=f(x)$ is a quadratic through the origin and $x=2$, with a minimum at $(1,-1)$. $C_2$: $y=g(x)$ is a cubic through the origin, touching the $x$-axis at $x=2$, and through $(4,16)$. Find $f(x)$, $g(x)$, and the point $P$ where $C_1$ and $C_2$ meet again in the first quadrant.
$C_1$: $y=f(x)$ เป็นพาราโบลาผ่านจุดกำเนิดและ $x=2$ มีจุดต่ำสุดที่ $(1,-1)$ $C_2$: $y=g(x)$ เป็นกราฟกำลังสามผ่านจุดกำเนิด สัมผัสแกน $x$ ที่ $x=2$ และผ่าน $(4,16)$ จงหา $f(x)$, $g(x)$ และจุด $P$ ที่ $C_1$ และ $C_2$ พบกันอีกครั้งในควอดรันต์ที่ 1
Answershow ▾
Same five moves, fresh numbers: both constants happen to come out as $1$.ห้าขั้นเดิม แต่ใช้ตัวเลขใหม่ บังเอิญค่าคงที่ทั้งสองตัวออกมาเป็น $1$
The diagram shows part of the curves $C_1$ and $C_2$
$C_1$ has equation $y=f(x)$ where $f(x)$ is a quadratic function, cuts the $x$-axis at the origin and at $x=4$, and has a minimum turning point at $(2,-4.8)$.
$C_2$ has equation $y=g(x)$ where $g(x)$ is a cubic function, cuts the $x$-axis at the origin and meets the $x$-axis at $x=4$, and passes through the point $(6,7.2)$.
(a) Find $f(x)$
(b) Find $g(x)$
(c) The curves $C_1$ and $C_2$ meet in the first quadrant at the point $P$, shown in the diagram.
Use algebra to find the coordinates of $P$.
ภาพแสดงส่วนหนึ่งของกราฟ $C_1$ และ $C_2$
$C_1$ มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและที่ $x=4$ และมีจุดต่ำสุดที่ $(2,-4.8)$
$C_2$ มีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสาม ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและสัมผัสแกน $x$ ที่ $x=4$ และผ่านจุด $(6,7.2)$
(ก) จงหา $f(x)$
(ข) จงหา $g(x)$
(ค) กราฟ $C_1$ และ $C_2$ พบกันในควอดรันต์ที่ 1 ที่จุด $P$ ดังที่แสดงในภาพ
จงใช้พีชคณิตหาพิกัดของจุด $P$
Answershow ▾
10 marks: $3$ for $f(x)$, $3$ for $g(x)$, $4$ for $P$ - the last mark needs $x\neq0,4$ before dividing.10 คะแนน: $3$ สำหรับ $f(x)$ $3$ สำหรับ $g(x)$ $4$ สำหรับจุด $P$ - คะแนนสุดท้าย ต้องระบุ $x\neq0,4$ ก่อนหาร
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A parabola and a cubic meet พาราโบลาและกราฟกำลังสามตัดกัน
(a) On a diagram, sketch the graphs of
(i) $y=x(3-x)$
(ii) $y=x(x-2)(5-x)$
showing clearly the coordinates of the points where the curves cross the coordinate axes.
(b) Show that the $x$ coordinates of the points of intersection of
$y=x(3-x)$ and $y=x(x-2)(5-x)$
are given by the solutions to the equation $x(x^{2}-8x+13)=0$
(c) The point $P$ lies on both curves. Given that $P$ lies in the first quadrant, find, using algebra and showing your working, the exact coordinates of $P$.
(ก) วาดกราฟของ
(i) $y=x(3-x)$
(ii) $y=x(x-2)(5-x)$
แสดงพิกัดของจุดที่กราฟทั้งสองตัดแกนให้ชัดเจน
(ข) จงแสดงว่าพิกัด $x$ ของจุดตัดของ
$y=x(3-x)$ และ $y=x(x-2)(5-x)$
เป็นคำตอบของสมการ $x(x^{2}-8x+13)=0$
(ค) จุด $P$ อยู่บนกราฟทั้งสอง กำหนดให้ $P$ อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 จงใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำ หาพิกัดที่แน่นอนของจุด $P$
Solve $x(3-x)=0$.
จงแก้สมการ $x(3-x)=0$
Answershow ▾
If a product is zero, one of the factors is zero.ถ้าผลคูณเป็นศูนย์ ตัวประกอบตัวหนึ่งต้องเป็นศูนย์
Write all the solutions of $x(x-2)(5-x)=0$.
จงเขียนคำตอบทั้งหมดของสมการ $x(x-2)(5-x)=0$
Answershow ▾
Three factors multiply to zero, so each one can be zero on its own.ตัวประกอบสามตัวคูณกันได้ศูนย์ แต่ละตัวจึงเป็นศูนย์ได้เองทีละตัว
Solve $x^{2}-8x+13=0$. Give the exact answer, using surds.
จงแก้สมการ $x^{2}-8x+13=0$ คำตอบที่แน่นอน ในรูปกรณฑ์
Answershow ▾
The square root does not simplify to a whole number, so keep it as a surd.รากที่สองไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม จึงต้องเก็บไว้ในรูปกรณฑ์
$y=x(x-2)(5-x)$. Fully expanded, the term with the highest power of $x$ is $-x^{3}$. As $x\to\infty$ (far to the right), what happens to the curve?
(A) it rises forever
(B) it falls forever
(C) it flattens and stays level
$y=x(x-2)(5-x)$ เมื่อกระจายเต็มที่ พจน์ที่มีกำลังของ $x$ สูงสุดคือ $-x^{3}$ เมื่อ $x\to\infty$ (ไปทางขวาไกลๆ) กราฟจะเป็นอย่างไร
(A) สูงขึ้นไปตลอด
(B) ต่ำลงไปตลอด
(C) ราบและคงระดับ
Answershow ▾
The leading term is $-x^{3}$: a negative coefficient on an odd power sends large $x$ to large negative $y$. (A) is the trap if you forget the minus sign. (C) never happens for a cubic.พจน์นำคือ $-x^{3}$ สัมประสิทธิ์ลบบนกำลังคี่ หมายความว่า $x$ บวกมากๆ ให้ $y$ ลบมากๆ · (A) คือสิ่งที่เกิดถ้าพจน์นำเป็นบวก ซึ่งเป็นกับดักถ้าลืมเครื่องหมายลบ · (C) ไม่เกิดขึ้นกับกราฟกำลังสาม มีแต่กราฟที่มีขอบเขตเท่านั้นที่ราบได้
Using question $1$, write the coordinates of the two points where $y=x(3-x)$ crosses the $x$-axis.
ใช้ข้อ $1$ จงเขียนพิกัดของสองจุดที่ $y=x(3-x)$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
Each solution for $x$ pairs with $y=0$ on the axis.คำตอบ $x$ แต่ละค่าจับคู่กับ $y=0$ บนแกน
Using question $2$, write the coordinates of the three points where $y=x(x-2)(5-x)$ crosses the $x$-axis.
ใช้ข้อ $2$ จงเขียนพิกัดของสามจุดที่ $y=x(x-2)(5-x)$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
Each solution for $x$ pairs with $y=0$ on the axis.คำตอบ $x$ แต่ละค่าจับคู่กับ $y=0$ บนแกน
$x(3-x)=x(x-2)(5-x)$. Pick the best first move to show this gives $x(x^{2}-8x+13)=0$.
(A) expand $x(x-2)(5-x)$ completely into four terms, then collect everything on one side
(B) move everything to one side, where both terms already share a factor of $x$, and take that $x$ out first
(C) divide both sides by $x$ to cancel it, then solve what is left
$x(3-x)=x(x-2)(5-x)$ จงเลือกขั้นแรกที่ดีที่สุดเพื่อแสดงว่าสมการนี้ได้ $x(x^{2}-8x+13)=0$
(A) กระจาย $x(x-2)(5-x)$ ให้เต็มที่เป็นสี่พจน์ แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
(B) ย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว ซึ่งทั้งสองพจน์มี $x$ เป็นตัวประกอบร่วมอยู่แล้ว แล้วดึง $x$ นั้นออกก่อน
(C) หารทั้งสองข้างด้วย $x$ เพื่อตัดออก แล้วแก้สมการที่เหลือ
Answershow ▾
(A) works but needs a full three-bracket expansion, then $x$ must be factored back out anyway. (C) cancels $x=0$ along with the $x$ - exactly the root being asked for, so it cannot be divided away.(A) ทำได้แต่ต้องกระจายสามวงเล็บเต็มๆ แล้วยังต้องดึง $x$ กลับออกมาอีกครั้งตอนจบเพื่อให้ตรงกับรูปที่โจทย์ให้ · (C) ตัด $x=0$ หายไปพร้อมกับ $x$ ซึ่งเป็นคำตอบที่โจทย์ต้องการให้แสดง จึงหารตัดออกไม่ได้
Show that $x(3-x)=x(x-2)(5-x)$ leads to $x\left(x^{2}-8x+13\right)=0$.
จงแสดงว่า $x(3-x)=x(x-2)(5-x)$ นำไปสู่ $x\left(x^{2}-8x+13\right)=0$
Answershow ▾
Factor $x$ out first, then expand only the two-bracket piece inside.ดึง $x$ ออกก่อน แล้วค่อยกระจายวงเล็บสองตัวที่เหลือด้านใน
$P$ lies in the first quadrant, so its $y$-coordinate is positive. $y=x(3-x)$ is positive only for $0 \lt x \lt 3$. Using question $3$, which of $x=4-\sqrt3$ and $x=4+\sqrt3$ lies in that interval?
$P$ อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 พิกัด $y$ จึงเป็นบวก $y=x(3-x)$ เป็นบวกเฉพาะเมื่อ $0 \lt x \lt 3$ ใช้ข้อ $3$ ระหว่าง $x=4-\sqrt3$ กับ $x=4+\sqrt3$ ค่าไหนอยู่ในช่วงนี้
Answershow ▾
$4-\sqrt3\approx2.27$ is between $0$ and $3$; $4+\sqrt3\approx5.73$ is not.$4-\sqrt3\approx2.27$ อยู่ระหว่าง $0$ กับ $3$ ส่วน $4+\sqrt3\approx5.73$ ไม่อยู่ในช่วงนี้
Substitute $x=4-\sqrt3$ into $y=x(3-x)$ and simplify, using surds, to find the exact coordinates of $P$.
จงแทน $x=4-\sqrt3$ ใน $y=x(3-x)$ แล้วจัดรูปกรณฑ์ให้ง่าย เพื่อหาพิกัดที่แน่นอนของ $P$
Answershow ▾
Keep the bracket exact, expand it last, and collect the whole numbers and the surds separately.เก็บวงเล็บไว้แบบแน่นอน กระจายเป็นลำดับสุดท้าย แล้วรวมจำนวนเต็มกับกรณฑ์แยกกัน
A parabola is $y=x(5-x)$ and a cubic is $y=x(x-3)(6-x)$. Show that the $x$-coordinates where they meet satisfy $x\left(x^{2}-10x+23\right)=0$, then find the exact coordinates of the point where both curves meet in the first quadrant.
พาราโบลาคือ $y=x(5-x)$ และกราฟกำลังสามคือ $y=x(x-3)(6-x)$ จงแสดงว่าพิกัด $x$ ของจุดตัดทั้งสองกราฟ เป็นคำตอบของ $x\left(x^{2}-10x+23\right)=0$ แล้วหาพิกัดที่แน่นอนของจุดตัดที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 1
Answershow ▾
Same moves: factor $x$ out first, solve the quadratic factor, keep the first-quadrant root, substitute.ขั้นเดิม: ดึง $x$ ออกก่อน แก้สมการกำลังสองที่เหลือ เลือกคำตอบในควอดรันต์ที่ 1 แล้วแทนค่า
(a) On a diagram, sketch the graphs of
(i) $y=x(3-x)$
(ii) $y=x(x-2)(5-x)$
showing clearly the coordinates of the points where the curves cross the coordinate axes.
(b) Show that the $x$ coordinates of the points of intersection of
$y=x(3-x)$ and $y=x(x-2)(5-x)$
are given by the solutions to the equation $x(x^{2}-8x+13)=0$
(c) The point $P$ lies on both curves. Given that $P$ lies in the first quadrant, find, using algebra and showing your working, the exact coordinates of $P$.
(ก) วาดกราฟของ
(i) $y=x(3-x)$
(ii) $y=x(x-2)(5-x)$
แสดงพิกัดของจุดที่กราฟทั้งสองตัดแกนให้ชัดเจน
(ข) จงแสดงว่าพิกัด $x$ ของจุดตัดของ
$y=x(3-x)$ และ $y=x(x-2)(5-x)$
เป็นคำตอบของสมการ $x(x^{2}-8x+13)=0$
(ค) จุด $P$ อยู่บนกราฟทั้งสอง กำหนดให้ $P$ อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 จงใช้พีชคณิตและแสดงวิธีทำ หาพิกัดที่แน่นอนของจุด $P$
Answershow ▾
12 marks over three parts: sketch the shape and crossings of each curve, equate them and factor $x$ out first, then substitute the root that gives a positive $y$.12 คะแนน สามส่วน: สเก็ตช์รูปทรงและจุดตัดแกนของแต่ละกราฟ ให้สมการเท่ากันแล้วดึง $x$ ออกก่อน จากนั้นแทนค่าคำตอบที่ให้ $y$ เป็นบวก