Functions · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Functions
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Functions · composite functions
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$.
(a) Find $fg(x)$.
(b) State the range of $fg$.
(c) Solve $fg(x) = 11$.
$f(x) = 2x + 2$. Find $f(3)$.
$f(x) = 2x + 2$ · หา $f(3)$
Answershow ▾
Substitute the number for $x$ and simplify — everything below rests on this.
$g(x) = x^2 + 2$. Find $g(3)$.
Answershow ▾
Square first, then add the constant.
$f(x) = 2x + 2$ and $g(x) = x^2 + 2$. Find $fg(3)$ and $gf(3)$.
Answershow ▾
$fg$ means $f(g(x))$ — do $g$ first. Swap the order and the answer changes, as it does here.
$fg(3)$ and $gf(3)$ came out as different numbers. Is that an accident of these two particular functions, or the usual state of affairs? And in the symbol $fg$, which letter is nearer to the $x$ — so which machine runs first?
$fg(3)$ กับ $gf(3)$ ออกมาเป็นคนละเลข · นี่เป็นเรื่องบังเอิญของฟังก์ชันคู่นี้ หรือเป็นเรื่องปกติ · และในสัญลักษณ์ $fg$ ตัวอักษรไหนอยู่ใกล้ $x$ มากกว่า เครื่องไหนจึงทำงานก่อน
Answershow ▾
Composition is not multiplication and the letters do not commute; $fg = gf$ is the exception, not the rule. Reading the order off the symbol is the entire skill here and there is no mark for it — the M1 is for a composition, whichever way round you built it.การประกอบฟังก์ชันไม่ใช่การคูณ ตัวอักษรสลับที่กันไม่ได้ · $fg = gf$ เป็นข้อยกเว้น ไม่ใช่กฎ · การอ่านลำดับจากสัญลักษณ์คือทักษะทั้งหมดของข้อนี้ และไม่มีคะแนนให้ เพราะ M1 ให้กับการประกอบฟังก์ชัน ไม่ว่าจะประกอบทางไหน
$f(x) = 2x + 1$. Find $f(3)$.
Answershow ▾
Same skill as question 1, now with the numbers from the real question.
$g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$. Find $g(3)$.
Answershow ▾
Same skill as question 2, with the real $c$.
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$. Find $fg(3)$ and $gf(3)$.
$f(x) = 2x + 1$ และ $g(x) = x^2 - 4$ · หา $fg(3)$ และ $gf(3)$
Answershow ▾
Same idea as question 3. Keep this $fg(3)$ value — it reappears in part (c).
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$. Find $fg(x)$.
Answershow ▾
Substitute the whole of $g(x)$ into $f$: $fg(x) = 2(x^2 - 4) + 1$, then simplify.
Part (b) wants the range of $fg$, and $g$ is defined only for $x \ge 0$. Work forwards in three steps: which numbers may $x$ be, which numbers can $g(x)$ then be, and which numbers can $fg(x)$ be? Do you start from $x$, or from the formula $2x^2 - 7$?
ข้อ (b) ขอ range ของ $fg$ และ $g$ นิยามไว้เฉพาะ $x \ge 0$ · ไล่ไปข้างหน้าสามขั้น: $x$ เป็นเลขอะไรได้บ้าง แล้ว $g(x)$ เป็นอะไรได้บ้าง แล้ว $fg(x)$ เป็นอะไรได้บ้าง · เริ่มจาก $x$ หรือเริ่มจากสูตร $2x^2 - 7$
Answershow ▾
A range is the domain pushed forwards through the machines in the order they run, never a guess made by staring at the final formula. Here the two routes happen to agree; change the domain of $g$ to $x \ge 2$ and the formula is unchanged while the range moves to $fg(x) \ge 1$. The B1 pays for the inequality, never for the direction of travel.range คือโดเมนที่ถูกดันไปข้างหน้าผ่านเครื่องทีละตัวตามลำดับ ไม่ใช่การเดาจากสูตรสุดท้าย · ในข้อนี้สองทางบังเอิญตรงกัน แต่ถ้าเปลี่ยนโดเมนของ $g$ เป็น $x \ge 2$ สูตรเดิมไม่เปลี่ยน แต่ range กลายเป็น $fg(x) \ge 1$ · B1 ให้กับอสมการ ไม่ได้ให้กับทิศทางการคิด
$g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$, and $fg(x) = 2x^2 - 7$. State the range of $fg$.
Answershow ▾
$x \ge 0 \Rightarrow g(x) \ge -4$, and $f$ is increasing since $a > 0$, so the inequality stays the same way round.
Part (c): $fg(x) = 11$ gives $2x^2 - 7 = 11$, so $x^2 = 9$ and $x = \pm 3$. Are both of those answers? What in the question decides it, and where is that condition written?
ข้อ (c): $fg(x) = 11$ ได้ $2x^2 - 7 = 11$ ดังนั้น $x^2 = 9$ และ $x = \pm 3$ · ทั้งสองค่าเป็นคำตอบไหม อะไรในโจทย์เป็นตัวตัดสิน และเงื่อนไขนั้นเขียนไว้ตรงไหน
Answershow ▾
The domain is printed once, at the top, beside $g$, and it is still in force in part (c). $x = -3$ is a solution of the equation $2x^2 - 7 = 11$ but not of $fg(x) = 11$, because $fg(-3)$ does not exist. Throwing it away earns no mark of its own; keeping it loses the A1.โดเมนถูกพิมพ์ไว้ครั้งเดียวข้างบน ข้าง ๆ $g$ และยังมีผลอยู่ในข้อ (c) · $x = -3$ เป็นคำตอบของสมการ $2x^2 - 7 = 11$ แต่ไม่ใช่คำตอบของ $fg(x) = 11$ เพราะ $fg(-3)$ ไม่มีอยู่จริง · การตัดทิ้งไม่มีคะแนนให้ แต่การเก็บไว้ทำให้เสีย A1
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 + 1$ for $x \ge 0$.
(a) Find $fg(x)$.
(b) State the range of $fg$.
(c) Solve $fg(x) = 11$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
$f(x) = 2x + 1$ and $g(x) = x^2 - 4$ for $x \ge 0$.
(a) Find $fg(x)$.
(b) State the range of $fg$.
(c) Solve $fg(x) = 11$.
Answershow ▾
7 marks. Question 7 is part (a); question 8 is part (b); questions 4-6 feed part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B1 $x \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 0 \Rightarrow g(x) \ge -4$ B1 $fg(x) \ge -7$.
(c) M1 $2x^2 - 7 = 11 \Rightarrow x^2 = 9$ M1 $x = \pm3$ A1 $x = 3$ (reject $x = -3$ since $x \ge 0$).
Functions · inverse functions
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ for $x \ge 1$.
(a) State the range of $f$.
(b) Find $f^{-1}(x)$ and state its domain.
(c) Solve $f(x) = f^{-1}(x)$.
Make $x$ the subject of $y = x - 3$.
เขียน $y = x - 3$ ให้ $x$ เป็นตัวแปรตาม
Answershow ▾
Undo "subtract 3" by adding it back to both sides.
$y = (x - 3)^2$ for $x \ge 3$. Make $x$ the subject.
Answershow ▾
$x - 3 = \pm\sqrt{y}$, but $x \ge 3$ rules out the negative root.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ is given only for $x \ge 1$. Sketch the whole parabola in your head and say what would go wrong with $f^{-1}$ if that restriction were dropped — and which sign of the square root the restriction is there to choose.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ ให้มาเฉพาะ $x \ge 1$ · ลองนึกภาพพาราโบลาทั้งเส้น แล้วบอกว่าถ้าตัดเงื่อนไขนี้ทิ้ง $f^{-1}$ จะพังตรงไหน และเงื่อนไขนี้มีไว้เพื่อเลือกเครื่องหมายไหนของรากที่สอง
Answershow ▾
Every value above $-5$ is hit twice by the full parabola, so the reverse machine would have two outputs and would not be a function. The restriction is the question quietly handing you the half it wants — and the same restriction is what makes $x = 1 + \sqrt{y + 5}$ rather than $1 - \sqrt{y + 5}$. No mark is attached to noticing it.ค่าทุกค่าที่มากกว่า $-5$ ถูกพาราโบลาเต็มเส้นแตะสองครั้ง เครื่องย้อนกลับจึงให้ผลลัพธ์สองค่า และไม่เป็นฟังก์ชัน · เงื่อนไขนี้คือโจทย์กำลังยื่นครึ่งที่ต้องการมาให้เงียบ ๆ และเป็นตัวเดียวกันที่ทำให้ได้ $x = 1 + \sqrt{y + 5}$ ไม่ใช่ $1 - \sqrt{y + 5}$ · ไม่มีคะแนนให้กับการสังเกตเห็น
$f(x) = (x - 3)^2 + 4$ for $x \ge 3$. State the range of $f$.
Answershow ▾
The squared bracket is smallest, zero, when $x = 3$; nothing makes $f$ smaller than that.
Make $x$ the subject of $y = x - 1$.
Answershow ▾
Same move as question 1 — this is the first line of finding $f^{-1}$.
$y = (x - 1)^2$ for $x \ge 1$. Make $x$ the subject.
Answershow ▾
Same as question 2. The domain $x \ge 1$ is what tells you to keep only the $+$ root.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ for $x \ge 1$. State the range of $f$.
Answershow ▾
Same as question 3 — this answers part (a) of the exam question.
Part (b) also asks for the domain of $f^{-1}$. It is not something you calculate from the formula $1 + \sqrt{x + 5}$ — it is something you copy. Copy it from where, and what does that make it?
ข้อ (b) ขอ domain ของ $f^{-1}$ ด้วย · มันไม่ได้คำนวณจากสูตร $1 + \sqrt{x + 5}$ แต่เป็นสิ่งที่ "คัดลอก" มา · คัดลอกมาจากไหน และได้เป็นอะไร
Answershow ▾
$f^{-1}$ can only accept what $f$ produced, so its domain is the range of $f$, already found in part (a). Reading it off the formula instead gives the same answer here by luck, and a different one as soon as $f$ has a restricted domain that bites. The B1 pays for the inequality; nothing pays for knowing where it came from.$f^{-1}$ รับได้เฉพาะสิ่งที่ $f$ ผลิตออกมา โดเมนของมันจึงคือ range ของ $f$ ซึ่งหาไว้แล้วในข้อ (a) · ถ้าอ่านจากสูตรแทน ข้อนี้บังเอิญได้เท่ากัน แต่จะต่างทันทีเมื่อโดเมนของ $f$ ถูกจำกัดจริง ๆ · B1 ให้กับอสมการ ไม่มีใครให้คะแนนกับการรู้ว่ามันมาจากไหน
The range of $f$ is $f(x) \ge -5$. State the domain of $f^{-1}$.
Answershow ▾
The domain of $f^{-1}$ is always the range of $f$ — swap the roles of $x$ and $y$.
The graphs of $f$ and $f^{-1}$ are reflections of each other in the line $y = x$, and $f$ is increasing, so they can only meet ON that line. Solving $f(x) = f^{-1}(x)$ therefore means solving $f(x) = x$.
Solve $(x - 1)^2 - 5 = x$, given $x \ge 1$.
กราฟของ $f$ กับ $f^{-1}$ สะท้อนกันผ่านเส้น $y = x$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงตัดกันบนเส้นนั้นเท่านั้น · การแก้ $f(x) = f^{-1}(x)$ จึงคือการแก้ $f(x) = x$
แก้ $(x - 1)^2 - 5 = x$ เมื่อ $x \ge 1$
Answershow ▾
Expanding gives $x^2 - 3x - 4 = 0$, whose roots are $4$ and $-1$; the second is rejected because $x \ge 1$.
Part (c) becomes $f(x) = x$, which is $(x - 1)^2 - 5 = x$, so $x^2 - 3x - 4 = 0$ and $x = 4$ or $x = -1$. Which one survives, and which line of the question throws the other one out?
ข้อ (c) กลายเป็น $f(x) = x$ คือ $(x - 1)^2 - 5 = x$ ได้ $x^2 - 3x - 4 = 0$ ดังนั้น $x = 4$ หรือ $x = -1$ · ค่าไหนรอด และบรรทัดไหนของโจทย์เป็นตัวตัดอีกค่าทิ้ง
Answershow ▾
$x = -1$ solves the quadratic but is not in the domain of $f$, so $f(-1)$ does not exist and the equation was never asked there. The quadratic is a tool, not the question; the final A1 is for one value, and offering two loses it.$x = -1$ แก้สมการกำลังสองได้ แต่ไม่อยู่ในโดเมนของ $f$ ดังนั้น $f(-1)$ ไม่มีอยู่จริง และไม่เคยมีใครถามตรงนั้น · สมการกำลังสองเป็นเครื่องมือ ไม่ใช่ตัวคำถาม · A1 ตัวสุดท้ายให้กับค่าเดียว ตอบสองค่าจึงเสียคะแนน
$f(x) = (x - 2)^2$ for $x \ge 2$.
(a) State the range of $f$.
(b) Find $f^{-1}(x)$ and state its domain.
(c) Solve $f(x) = f^{-1}(x)$.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
$f(x) = (x - 1)^2 - 5$ for $x \ge 1$.
(a) State the range of $f$.
(b) Find $f^{-1}(x)$ and state its domain.
(c) Solve $f(x) = f^{-1}(x)$.
Answershow ▾
8 marks. Question 6 is part (a); questions 4, 5 and 7 build part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $y + 5 = (x - 1)^2$ M1 $x - 1 = \pm\sqrt{y + 5}$, take $+$ since $x \ge 1$ A1 $f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x + 5}$ B1 domain $x \ge -5$.
(c) M1 $f$ is increasing on $x \ge 1$, so solutions of $f(x) = f^{-1}(x)$ satisfy $f(x) = x$: $(x - 1)^2 - 5 = x$ M1 $x^2 - 3x - 4 = 0$ A1 $x = -1$ or $x = 4$; reject $x = -1$ since $x \ge 1$, so $x = 4$.