Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Functionsฟังก์ชัน

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Feed a number in, or run the machine backwardsใส่เลขเข้าไป หรือเดินเครื่องย้อนกลับ

One rule, two ways: forwards gives $y$, backwards gives $x$. Level 1 renames it $f(x)$.กฎเดียว อ่านได้สองทาง · ไปหน้าได้ $y$ ย้อนกลับได้ $x$ · ขั้นแรกแค่เปลี่ยนชื่อเป็น $f(x)$

  1. $y=2x+1$.  What is $y$ when $x=3$?$y=2x+1$  ถ้า $x=3$ แล้ว $y$ เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $y=7$Substituting a number for $x$ is the only skill this whole lesson uses.แทนตัวเลขลงใน $x$ · ทั้งบทนี้ต่อยอดจากทักษะเดียวนี้
  2. $y=2x+1$.  Make $x$ the subject.$y=2x+1$  ทำ $x$ ให้เป็นตัวตั้ง
    Answer:เฉลย: $x=\dfrac{y-1}{2}$Remember this move. In 20 minutes you will find out it already has a name: the inverse function.จำท่านี้ไว้ อีก 20 นาทีจะรู้ว่าท่านี้มีชื่ออยู่แล้ว เรียกว่า อินเวอร์ส

2. Same job, new nameงานเดิม ชื่อใหม่

$y$ and $f(x)$ are the same thing.$y$ กับ $f(x)$ คือของอย่างเดียวกัน

You have written this many times beforeเคยเขียนแบบนี้มาหลายครั้งแล้ว

  1. $f(x)=2x+1$.  Find $f(2)$.$f(x)=2x+1$  หา $f(2)$
    Answer:เฉลย: $f(2)=5$The arithmetic is the same as in the warm-up. Only the way you write it changed.เลขเดียวกับที่ทำตอนวอร์มอัพ เปลี่ยนแค่วิธีเขียน
  2. Going from $f(x)$ to $f(2)$: what changed?จาก $f(x)$ ไปเป็น $f(2)$ อะไรที่เปลี่ยน?
    Answer:เฉลย: The input changed.ตัวที่ใส่เข้าไปเปลี่ยนFunction notation in one line: the rule stays the same, the input changes.สัญลักษณ์ฟังก์ชันคือประโยคเดียว: กฎอยู่เหมือนเดิม เปลี่ยนแค่ตัวที่ใส่เข้าไป

3. Input can be a letterใส่ตัวอักษรก็ได้

The bracket holds any expression, not only numbers.ในวงเล็บใส่อะไรก็ได้ ไม่ใช่แค่ตัวเลข

$f(\;\square\;)=2\square+1$$f(\;\square\;)=2\square+1$

  1. $f(x)=2x+1$.  What is $f(a)$?$f(x)=2x+1$  แล้ว $f(a)$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $f(a)=2a+1$Number or letter, same swap: $f(2)=2(2)+1=5$   $f(a)=2(a)+1=2a+1$ใส่เลขหรือตัวอักษร ก็ท่าเดียวกัน: $f(2)=2(2)+1=5$   $f(a)=2(a)+1=2a+1$
  2. Which one is $f(x+1)$?อันไหนคือ $f(x+1)$?
    Answer:เฉลย: $f(x+1)=2x+3$Inside the bracket runs first: $f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3$   $f(x)+1=(2x+1)+1=2x+2$ Inside the bracket happens before the rule; outside happens after.ในวงเล็บ ทำก่อน: $f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3$   $f(x)+1=(2x+1)+1=2x+2$ ในวงเล็บเกิดก่อนกฎ นอกวงเล็บเกิดทีหลัง

4. Input can be a whole expressionใส่ทั้งก้อนก็ได้

A composite function is two functions in a row.ฟังก์ชันประกอบคือสองฟังก์ชันต่อกัน

Let $A = x^{2}$. What is $f(A)$?ให้ $A = x^{2}$ แล้ว $f(A)$ คืออะไร?

Same move as $f(a)$: the letter now carries $x^{2}$.ท่าเดียวกับ $f(a)$ · แค่ตัวอักษรตอนนี้แบก $x^{2}$ มา

$f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$. Compare $fg(2)$ with $gf(2)$.$f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$ · เทียบ $fg(2)$ กับ $gf(2)$

Read from the right: the letter touching the number goes first.อ่านจากขวา ตัวที่ติดกับเลขทำก่อน

  1. $f(x)=2x+1$ and $A=x^{2}$.  Write $f(A)$ in terms of $x$.$f(x)=2x+1$ และ $A=x^{2}$  เขียน $f(A)$ ในรูปของ $x$
    Answer:เฉลย: $f(A)=2x^{2}+1$Write the empty brackets first: $f(\;\square\;)=2(\;\square\;)+1$   $\square=x^{2}$   $f(A)=2x^{2}+1$เขียนวงเล็บเปล่าไว้ก่อน: $f(\;\square\;)=2(\;\square\;)+1$   $\square=x^{2}$   $f(A)=2x^{2}+1$
  2. Build the pair that makes the target.ประกอบคู่ให้ได้ตามเป้า
    Answer:เฉลย: Each target has one pair — the card next to the input runs first.เป้าแต่ละอันมีคู่เดียว · การ์ดที่ติดกับสิ่งที่ใส่เข้าไปทำก่อนThe right one runs first: $fg(x)=f\left(g(x)\right)$   $gf(x)=g\left(f(x)\right)$ Swap the letters and the answer changes: $jk(5)=27$ but $kj(5)=19$.ตัวขวาทำก่อน: $fg(x)=f\left(g(x)\right)$   $gf(x)=g\left(f(x)\right)$ สลับตัวอักษร คำตอบเปลี่ยน · $jk(5)=27$ แต่ $kj(5)=19$
  3. $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$.  Is $fg(x)$ the same as $gf(x)$?$f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$  $fg(x)$ เท่ากับ $gf(x)$ ไหม?
    Answer:เฉลย: $fg(x)\neq gf(x)$Order changes the answer: $fg(x)=2x^{2}+1$   $gf(x)=(2x+1)^{2}$   $x=1:\quad 3\neq 9$สลับลำดับ คำตอบเปลี่ยน: $fg(x)=2x^{2}+1$   $gf(x)=(2x+1)^{2}$   $x=1:\quad 3\neq 9$

5. Run the machine backwardsเดินเครื่องย้อนกลับ

You already know how. Now it gets a name.ทำเป็นอยู่แล้ว แค่ยังไม่รู้ว่ามันมีชื่อ

Undoing = making $x$ the subjectการย้อน = การทำ $x$ ให้เป็นตัวตั้ง

The warm-up moves, $-1$ then $\div2$, written as algebra.ท่าเดิมจากวอร์มอัพ $-1$ แล้ว $\div2$ · แค่เขียนเป็นพีชคณิต

Three lines, every timeสามบรรทัด ใช้ได้ทุกครั้ง

Step 2 is not new maths: $f^{-1}(x)$ must be written in $x$.ขั้นที่ 2 ไม่ใช่คณิตใหม่ · $f^{-1}(x)$ ต้องเขียนในรูปของ $x$

Find $f^{-1}(x)$ when $f(x)=3x-4$หา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x)=3x-4$

  1. $f(x)=3x-4$The machine: times $3$, then take $4$ away.เครื่อง: คูณ $3$ แล้วลบ $4$
  2. $y=3x-4$Add $4$ to both sides: write $+4$ under each, strike the pair.บวก $4$ ทั้งสองข้าง เขียน $+4$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่าคู่ที่ตัดกัน
  3. $y+4=3x$Undo the $-4$ first, because it happened last.แก้ $-4$ ก่อน เพราะมันเกิดทีหลังสุด
  4. $x=\frac{y+4}{3}$Undo the $\times3$. $x$ is now the subject.แก้ $\times3$ · ตอนนี้ $x$ เป็นตัวตั้งแล้ว
  5. $f^{-1}(x)=\frac{x+4}{3}$Swap the letter back. Check: $f(3)=5$ and $f^{-1}(5)=3$ ✓เปลี่ยนตัวอักษรกลับ · ตรวจ: $f(3)=5$ และ $f^{-1}(5)=3$ ✓
  1. $f(x)=2x+1$.  What does the machine do to $x$?$f(x)=2x+1$  เครื่องนี้ทำอะไรกับ $x$ บ้าง?
    Answer:เฉลย: $\times2$, then $+1$$\times2$ แล้ว $+1$Naming the operations is the whole trick. Once you can list them forwards, you can list them backwards.การเรียกชื่อการกระทำคือกุญแจทั้งหมด พอเรียงไปข้างหน้าได้ ก็เรียงย้อนกลับได้
  2. What undoes it, and in what order?อะไรย้อนมันได้ และเรียงลำดับยังไง?
    Answer:เฉลย: $-1$, then $\div2$$-1$ แล้ว $\div2$Shoes go on after socks, so shoes come off first. Same logic, every time.รองเท้าใส่ทีหลังถุงเท้า เวลาถอดจึงถอดรองเท้าก่อน ตรรกะเดียวกันทุกครั้ง
  3. One that is not a straight line: $f(x)=\sqrt{x+1}$ for $x\geq-1$.  Find $f^{-1}(x)$.ข้อที่ไม่ใช่เส้นตรง: $f(x)=\sqrt{x+1}$ เมื่อ $x\geq-1$  หา $f^{-1}(x)$
    Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=x^{2}-1$Square, rearrange, swap: $y=\sqrt{x+1}$   $y^{2}=x+1$   $x=y^{2}-1\ \Rightarrow\ f^{-1}(x)=x^{2}-1$ A root is never negative, so $f^{-1}$ only accepts $x\geq0$.ยกกำลังสอง จัดรูป สลับ: $y=\sqrt{x+1}$   $y^{2}=x+1$   $x=y^{2}-1\ \Rightarrow\ f^{-1}(x)=x^{2}-1$ รากที่สองไม่เป็นลบ ดังนั้น $f^{-1}$ รับได้แค่ $x\geq0$

6. Use the inverseใช้อินเวอร์ส

Two routes to the same answer.สองทาง คำตอบเดียวกัน

  1. $f(x)=2x+1$, so $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$.  Find $f^{-1}(7)$.$f(x)=2x+1$ ดังนั้น $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$  หา $f^{-1}(7)$
    Answer:เฉลย: $f^{-1}(7)=3$Same substitution, new machine: $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$   $f^{-1}(7)=\dfrac{7-1}{2}=3$แทนค่าแบบเดิม แค่เปลี่ยนเครื่อง: $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$   $f^{-1}(7)=\dfrac{7-1}{2}=3$
  2. $f^{-1}(7)$ is asking about this machine. Which question is it?$f^{-1}(7)$ กำลังถามถึงเครื่องนี้ · ถามว่าอะไร?
    Answer:เฉลย: Solve $2x+1=7 \Rightarrow x=3$แก้ $2x+1=7 \Rightarrow x=3$$f^{-1}$ reads the machine backwards: start at $7$, walk back to the $?$.
    Both routes give $3$.    $f^{-1}$ คืออ่านเครื่องย้อนกลับ: เริ่มที่ $7$ เดินย้อนกลับไปหา $?$
    ทั้งสองทางได้ $3$ เท่ากัน
  3. Simplify $f\big(f^{-1}(x)\big)$.ลดรูป $f\big(f^{-1}(x)\big)$
    Answer:เฉลย: $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$Compose back to check: $f\big(f^{-1}(x)\big)=2\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+1$   $=(x-1)+1=x$ If the composite is not $x$, the inverse is wrong.ประกอบกลับ ใช้ตรวจคำตอบ: $f\big(f^{-1}(x)\big)=2\left(\dfrac{x-1}{2}\right)+1$   $=(x-1)+1=x$ ถ้าผลลัพธ์ไม่ใช่ $x$ แปลว่าอินเวอร์สผิด

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same ideas, exam wording.ความคิดเดิม ภาษาข้อสอบ

An inverse only exists if the machine is one-to-oneอินเวอร์สจะมีได้ ต่อเมื่อเครื่องเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

  1. $f(x)=x^{2}+3$ for $x\geq0$.  The domain of $f^{-1}$ is:$f(x)=x^{2}+3$ เมื่อ $x\geq0$  โดเมนของ $f^{-1}$ คือ:
    Answer:เฉลย: domain of $f^{-1}$ = range of $f$ = $x\geq3$โดเมนของ $f^{-1}$ = เรนจ์ของ $f$ = $x\geq3$Domain and range swap: $f:\ x\geq 0\ \to\ y\geq 3$   $f^{-1}:\ x\geq 3\ \to\ y\geq 0$   $\text{domain of }f^{-1}=\text{range of }f$ An easy mark students lose every year.โดเมนกับเรนจ์สลับกัน: $f:\ x\geq 0\ \to\ y\geq 3$   $f^{-1}:\ x\geq 3\ \to\ y\geq 0$   $\text{domain of }f^{-1}=\text{range of }f$ คะแนนง่ายๆ ที่หลุดมือทุกปี
  2. Exam: $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$.  Solve $fg(x)=19$.  (3 marks)ข้อสอบ: $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}$  แก้สมการ $fg(x)=19$  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $2x^{2}+1=19 \Rightarrow x^{2}=9 \Rightarrow x=\pm3$3 marks: $\text{M1}\quad fg(x)=2x^{2}+1$   $\text{M2}\quad 2x^{2}+1=19\ \Rightarrow\ x^{2}=9$   $\text{A1}\quad x=\pm 3$ No domain here removes the negative root, so give both.3 คะแนน: $\text{M1}\quad fg(x)=2x^{2}+1$   $\text{M2}\quad 2x^{2}+1=19\ \Rightarrow\ x^{2}=9$   $\text{A1}\quad x=\pm 3$ ไม่มีโดเมนมาตัดรากลบ ต้องตอบทั้งสองค่า
  3. $f(x)=x^{2}-9$ for $x\geq0$,  $g(x)=x-4$.
    Solving $fg(x)=0$ gives $x=7$ and $x=1$.  Which one survives?    $f(x)=x^{2}-9$ เมื่อ $x\geq0$  $g(x)=x-4$
    แก้ $fg(x)=0$ ได้ $x=7$ กับ $x=1$  ตัวไหนรอด?
    Answer:เฉลย: $g(7)=3\geq0$ ✓   $g(1)=-3$ ✗  so $x=7$$g(7)=3\geq0$ ✓   $g(1)=-3$ ✗  ได้ $x=7$Test the root inside $g$: $g(7)=3\geq 0$   $g(1)=-3\ \lt\ 0$   $x=7$ The domain belongs to $f$, and $g(x)$ is what knocks on its door.เอารากไปแทนใน $g$: $g(7)=3\geq 0$   $g(1)=-3\ \lt\ 0$   $x=7$ โดเมนเป็นของ $f$ ตัวที่มาเคาะประตูคือ $g(x)$
  4. Exam: $f(x)=x^{2}-4x$ for $x\geq2$, and $g(x)=2x+1$ for all real $x$.
    Solve $fg(x)=0$.  (5 marks)    ข้อสอบ: $f(x)=x^{2}-4x$ โดย $x\geq2$ · และ $g(x)=2x+1$ สำหรับ $x$ จำนวนจริงทุกตัว
    แก้สมการ $fg(x)=0$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $x=\dfrac{3}{2}$5 marks: $\text{M1}\quad fg(x)=(2x+1)^{2}-4(2x+1)$   $\text{M2}\quad =4x^{2}-4x-3$   $\text{M3}\quad (2x-3)(2x+1)=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac32,\ -\tfrac12$   $\text{M4}\quad g(\tfrac32)=4,\quad g(-\tfrac12)=0$   $\text{A1}\quad f\text{ needs }x\geq 2\ \Rightarrow\ x=\tfrac32$ Test each root inside $g$, because the domain belongs to $f$.5 คะแนน: $\text{M1}\quad fg(x)=(2x+1)^{2}-4(2x+1)$   $\text{M2}\quad =4x^{2}-4x-3$   $\text{M3}\quad (2x-3)(2x+1)=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac32,\ -\tfrac12$   $\text{M4}\quad g(\tfrac32)=4,\quad g(-\tfrac12)=0$   $\text{A1}\quad f\text{ needs }x\geq 2\ \Rightarrow\ x=\tfrac32$ เอาแต่ละรากไปแทนใน $g$ เพราะโดเมนเป็นของ $f$
  5. $f(x)=\sqrt{x}$ for $x\geq0$ and $g(x)=x+7$.
    Solve $gf(x)=10$.    $f(x)=\sqrt{x}$ โดย $x\geq0$ และ $g(x)=x+7$
    แก้สมการ $gf(x)=10$
    Answer:เฉลย: $x=9$Nearest the $x$ runs first: $gf(x)=g\big(f(x)\big):\ \sqrt{x}+7=10\ \Rightarrow\ x=9$   $fg(x)=f\big(g(x)\big):\ \sqrt{x+7}=10\ \Rightarrow\ x=93$ Same two functions, same target, two different answers.ตัวที่ติดกับ $x$ ทำก่อน: $gf(x)=g\big(f(x)\big):\ \sqrt{x}+7=10\ \Rightarrow\ x=9$   $fg(x)=f\big(g(x)\big):\ \sqrt{x+7}=10\ \Rightarrow\ x=93$ ฟังก์ชันคู่เดิม เป้าเดิม แต่คำตอบคนละค่า

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $f(x)=2x+1$, $g(x)=x+3$. Find $fg(x)$.
    Answer:เฉลย: $2x+7$Identical to the worked example, numbers changed. Builds confidence, proves the move transferred.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่านี้ติดตัวไปแล้ว
  2. $f(x)=3x-2$, $g(x)=\dfrac{x}{4}$. Find $fg(x)$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3x}{4}-2$Same method with fractions: one missing bracket makes the answer wrong. This tests careful writing.วิธีเดิมแต่เป็นเศษส่วน · วงเล็บหายตัวเดียวคำตอบก็ผิด · ข้อนี้วัดความเรียบร้อยของการเขียน
  3. $p(t)=t^{2}$, $q(t)=t-5$. Find $pq(t)$.
    Answer:เฉลย: $(t-5)^{2}$New letters, same idea. It shows whether you learned the pattern or only the letters $f$ and $g$.เปลี่ยนตัวอักษร ความคิดเดิม · ข้อนี้บอกว่าเรียนแพตเทิร์น หรือแค่จำตัวอักษร $f$ กับ $g$
  4. $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^{2}-4$. Find $fg(x)$ and hence solve $fg(x)=1$.
    Answer:เฉลย: $2x^{2}-7$;  $x=\pm2$Composite plus solving a quadratic. Nothing new is taught: two known moves are chained.ฟังก์ชันประกอบ + แก้สมการกำลังสอง ไม่มีอะไรใหม่ แค่ต่อสองท่าที่รู้แล้วเข้าด้วยกัน
  5. $f(x)=2x+1$ and $fg(x)=2x^{2}+1$. Find $g(x)$.
    Answer:เฉลย: $g(x)=x^{2}$Given the output, find the input. This is the best check of understanding in the set.ให้ผลลัพธ์มา หาตัวที่ใส่เข้าไป · ข้อนี้วัดความเข้าใจได้ดีที่สุดในชุด
  6. $f(x)=\dfrac{3}{x-2}$, $x>2$.  (5 marks) (a)(ก) Find $f^{-1}(x)$. (b)(ข) State the domain of $f^{-1}$.
    Answer:เฉลย: (a) $f^{-1}(x)=\dfrac{3}{x}+2$  (b) $x>0$Multi-part, marks stated, domain asked separately: the layout used on the paper.หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ ถามโดเมนแยกอีกข้อ ตรงตามที่ออกในกระดาษข้อสอบ
  7. $f(x)=x^{2}$, $g(x)=x+1$. A student writes $fg(x)=x^{2}+1$. Find the mark they lost and the correct answer.
    Answer:เฉลย: They did $gf$. Correct: $fg(x)=(x+1)^{2}$Marking someone else's error is harder than avoiding your own. Do it last, before you close the topic.ตรวจข้อผิดของคนอื่นยากกว่าไม่ผิดเอง · ทำข้อนี้เป็นข้อสุดท้ายก่อนปิดหัวข้อ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี