Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sum & Product of Rootsผลบวกและผลคูณของราก

IGCSE Further Pure · Edexcel 4PM1 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

The roots are where the curve meets the $x$-axisรากคือจุดที่กราฟตัดแกน $x$

Today: get facts about the roots without solving the equation.วันนี้: หาข้อมูลของรากโดยไม่ต้องแก้สมการ

  1. Solve $x^2-9x+14=0$.แก้สมการ $x^2-9x+14=0$
    Answer:เฉลย: $(x-2)(x-7)=0\ \Rightarrow\ x=2,\ 7$Factorise, then each bracket $=0$: $x^2-9x+14=0$   $(x-2)(x-7)=0$   $x=2$   $x=7$แยกตัวประกอบ แล้วให้แต่ละวงเล็บ $=0$: $x^2-9x+14=0$   $(x-2)(x-7)=0$   $x=2$   $x=7$
  2. Find the discriminant $b^2-4ac$ of $x^2-5x+3=0$.หาดิสคริมิแนนต์ $b^2-4ac$ ของ $x^2-5x+3=0$
    Answer:เฉลย: $(-5)^2-4(1)(3)=13$$13>0$: two real roots: $b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(3)$   $=25-12$   $=13$ $13$ is not a square number, so the roots are not whole numbers.$13>0$: มีรากจริงสองตัว: $b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(3)$   $=25-12$   $=13$ $13$ ไม่ใช่จำนวนกำลังสอง · รากจึงไม่ใช่จำนวนเต็ม

2. Play firstเล่นก่อน

Pick two roots. Watch what happens to $b$ and $c$.เลือกรากสองตัว · ดูว่า $b$ กับ $c$ เป็นยังไง

Choose $\alpha$ and $\beta$. The page builds $x^2+bx+c$.เลือก $\alpha$ กับ $\beta$ · หน้านี้จะสร้าง $x^2+bx+c$ ให้

  1. The roots are $3$ and $8$. The equation is $x^2+bx+c=0$. What is $b$?รากคือ $3$ กับ $8$ · สมการคือ $x^2+bx+c=0$ · $b$ เท่ากับเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $(x-3)(x-8)=x^2-11x+24$, so $b=-11$$b$ is minus the sum: $(x-3)(x-8)=x^2-11x+24$   $b=-(3+8)$   $=-11$$b$ คือลบของผลบวก: $(x-3)(x-8)=x^2-11x+24$   $b=-(3+8)$   $=-11$
  2. The roots are $-2$ and $6$. The equation is $x^2+bx+c=0$. Find $c$.รากคือ $-2$ กับ $6$ · สมการคือ $x^2+bx+c=0$ · หา $c$
    Answer:เฉลย: $c=(-2)(6)=-12$$c$ is the product: $(x+2)(x-6)=x^2-4x-12$   $c=(-2)(6)$   $=-12$$c$ คือผลคูณ: $(x+2)(x-6)=x^2-4x-12$   $c=(-2)(6)$   $=-12$

3. Why it worksทำไมถึงเป็นแบบนี้

Expand $a(x-\alpha)(x-\beta)$ and match it to $ax^2+bx+c$.กระจาย $a(x-\alpha)(x-\beta)$ แล้วเทียบกับ $ax^2+bx+c$

  1. Label. $3x^2+5x-2=0$. Which is right?ระบุค่า $3x^2+5x-2=0$ · ข้อไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $a=3,\ b=5,\ c=-2$Signs stay with the numbers: $3x^2+5x+(-2)=0$   $a=3$   $b=5$   $c=-2$เครื่องหมายติดไปกับตัวเลข: $3x^2+5x+(-2)=0$   $a=3$   $b=5$   $c=-2$
  2. Substitute and evaluate. $3x^2+5x-2=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $\alpha+\beta$.แทนค่าแล้วคำนวณ $3x^2+5x-2=0$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · หา $\alpha+\beta$
    Answer:เฉลย: $\alpha+\beta=-\dfrac{5}{3}$Sum $=-\tfrac ba$: $\alpha+\beta=-\dfrac{5}{3}$ผลบวก $=-\tfrac ba$: $\alpha+\beta=-\dfrac{5}{3}$
  3. Same equation, $3x^2+5x-2=0$. Find $\alpha\beta$.สมการเดิม $3x^2+5x-2=0$ · หา $\alpha\beta$
    Answer:เฉลย: $\alpha\beta=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}$Product $=\tfrac ca$: $\alpha\beta=\dfrac{-2}{3}$ Check: the roots are $\tfrac13$ and $-2$. $\tfrac13\times(-2)=-\tfrac23$ ✓ผลคูณ $=\tfrac ca$: $\alpha\beta=\dfrac{-2}{3}$ ตรวจ: รากคือ $\tfrac13$ กับ $-2$ · $\tfrac13\times(-2)=-\tfrac23$ ✓
  4. $x^2=6x-4$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $\alpha+\beta$.$x^2=6x-4$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · หา $\alpha+\beta$
    Answer:เฉลย: $x^2-6x+4=0\ \Rightarrow\ \alpha+\beta=6$Rearrange to $=0$ first: $x^2=6x-4$   $x^2-6x+4=0$   $\alpha+\beta=-\dfrac{-6}{1}$   $=6$จัดให้ $=0$ ก่อน: $x^2=6x-4$   $x^2-6x+4=0$   $\alpha+\beta=-\dfrac{-6}{1}$   $=6$

4. $\alpha^2+\beta^2$ without the roots$\alpha^2+\beta^2$ โดยไม่ใช้ราก

Write it with $\alpha+\beta$ and $\alpha\beta$ only: $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$.เขียนให้มีแค่ $\alpha+\beta$ กับ $\alpha\beta$: $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

$x^2-5x+3=0$ has ugly roots but a clean sum and product$x^2-5x+3=0$ รากไม่สวย แต่ผลบวกกับผลคูณสวย

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$

$2x^2-6x+1=0$. Find $\alpha^2+\beta^2$.$2x^2-6x+1=0$ · หา $\alpha^2+\beta^2$

  1. $\alpha+\beta=-\dfrac{-6}{2}$Label: $a=2$, $b=-6$. The sum is $-\tfrac ba$.ระบุค่า: $a=2$, $b=-6$ · ผลบวกคือ $-\tfrac ba$
  2. $=3$Minus a minus is plus.ลบของลบเป็นบวก
  3. $\alpha\beta=\dfrac{1}{2}$The product is $\tfrac ca$ with $c=1$.ผลคูณคือ $\tfrac ca$ โดย $c=1$
  4. $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$Write the identity before any numbers.เขียนเอกลักษณ์ก่อนแทนตัวเลข
  5. $=3^2-2\left(\tfrac12\right)$Substitute: $3$ for the sum, $\tfrac12$ for the product.แทนค่า: ผลบวก $3$ · ผลคูณ $\tfrac12$
  6. $=9-1$Evaluate one piece at a time.คำนวณทีละส่วน
  7. $=8$The roots were never found.เราไม่ได้หารากเลย
  1. Substitute. $x^2-5x+3=0$: $\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=3$. Which line is $\alpha^2+\beta^2$?แทนค่า $x^2-5x+3=0$: $\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=3$ · บรรทัดไหนคือ $\alpha^2+\beta^2$?
    Answer:เฉลย: $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(3)$Put the numbers in the identity: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$   $=5^2-2(3)$แทนตัวเลขลงในเอกลักษณ์: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$   $=5^2-2(3)$
  2. Evaluate. Work out $5^2-2(3)$.คำนวณ หาค่า $5^2-2(3)$
    Answer:เฉลย: $25-6=19$So $\alpha^2+\beta^2=19$: $25-6=19$ Check with the roots: $\left(\tfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)^2+\left(\tfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right)^2=\tfrac{76}{4}=19$ ✓ดังนั้น $\alpha^2+\beta^2=19$: $25-6=19$ ตรวจด้วยราก: $\left(\tfrac{5+\sqrt{13}}{2}\right)^2+\left(\tfrac{5-\sqrt{13}}{2}\right)^2=\tfrac{76}{4}=19$ ✓
  3. $3x^2-4x-2=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $\alpha^2+\beta^2$.$3x^2-4x-2=0$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · หา $\alpha^2+\beta^2$
    Answer:เฉลย: $\left(\tfrac43\right)^2-2\left(-\tfrac23\right)=\dfrac{28}{9}$Label, substitute, evaluate: $\alpha+\beta=\tfrac43$   $\alpha\beta=-\tfrac23$   $\alpha^2+\beta^2=\tfrac{16}{9}-2\left(-\tfrac23\right)$   $=\tfrac{16}{9}+\tfrac{12}{9}$   $=\tfrac{28}{9}$ระบุ แทน คำนวณ: $\alpha+\beta=\tfrac43$   $\alpha\beta=-\tfrac23$   $\alpha^2+\beta^2=\tfrac{16}{9}-2\left(-\tfrac23\right)$   $=\tfrac{16}{9}+\tfrac{12}{9}$   $=\tfrac{28}{9}$

5. $(\alpha-\beta)^2$$(\alpha-\beta)^2$

Four $\alpha\beta$ tiles this time: $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$.รอบนี้สี่แผ่น $\alpha\beta$: $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$

Four $\alpha\beta$ tiles fit round the middle squareแผ่น $\alpha\beta$ สี่แผ่นล้อมสี่เหลี่ยมตรงกลาง

$\alpha^2+\beta^2$ takes away $2\alpha\beta$. $(\alpha-\beta)^2$ takes away $4\alpha\beta$.$\alpha^2+\beta^2$ ลบ $2\alpha\beta$ · $(\alpha-\beta)^2$ ลบ $4\alpha\beta$

  1. Substitute. $x^2-5x+3=0$: $\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=3$. Which line is $(\alpha-\beta)^2$?แทนค่า $x^2-5x+3=0$: $\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=3$ · บรรทัดไหนคือ $(\alpha-\beta)^2$?
    Answer:เฉลย: $(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=5^2-4(3)$Four tiles, not two: $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$   $=5^2-4(3)$สี่แผ่น ไม่ใช่สองแผ่น: $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$   $=5^2-4(3)$
  2. Evaluate. Work out $(\alpha-\beta)^2=5^2-4(3)$.คำนวณ หาค่า $(\alpha-\beta)^2=5^2-4(3)$
    Answer:เฉลย: $25-12=13$The discriminant came back: $25-12=13$ Same $13$ as the warm-up: $(\alpha-\beta)^2=\tfrac{b^2-4ac}{a^2}$.ได้ดิสคริมิแนนต์กลับมา: $25-12=13$ ได้ $13$ เท่ากับตอนวอร์มอัพ: $(\alpha-\beta)^2=\tfrac{b^2-4ac}{a^2}$
  3. Given that $\alpha\gt\beta$, find the exact value of $\alpha-\beta$.กำหนดให้ $\alpha\gt\beta$ · หาค่าแม่นตรงของ $\alpha-\beta$
    Answer:เฉลย: $\alpha-\beta=\sqrt{13}$Positive root, because $\alpha\gt\beta$: $(\alpha-\beta)^2=13$   $\alpha-\beta=\sqrt{13}$รากบวก เพราะ $\alpha\gt\beta$: $(\alpha-\beta)^2=13$   $\alpha-\beta=\sqrt{13}$

6. $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$$\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$

Add the fractions: the top becomes $\alpha+\beta$, the bottom $\alpha\beta$.บวกเศษส่วน: ข้างบนกลายเป็น $\alpha+\beta$ ข้างล่างเป็น $\alpha\beta$

  1. $x^2-5x+3=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Which is $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$?$x^2-5x+3=0$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · ข้อไหนคือ $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac53$Sum over product: $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$   $=\dfrac53$ผลบวกส่วนผลคูณ: $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$   $=\dfrac53$
  2. $2x^2+3x-4=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$.$2x^2+3x-4=0$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · หา $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{-\tfrac32}{-2}=\dfrac34$Label, substitute, evaluate: $\alpha+\beta=-\tfrac32$   $\alpha\beta=-2$   $\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{-\tfrac32}{-2}$   $=\dfrac34$ระบุ แทน คำนวณ: $\alpha+\beta=-\tfrac32$   $\alpha\beta=-2$   $\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{-\tfrac32}{-2}$   $=\dfrac34$
  3. Back to $x^2-5x+3=0$, where $\alpha^2+\beta^2=19$. Find $\dfrac\alpha\beta+\dfrac\beta\alpha$.กลับมาที่ $x^2-5x+3=0$ ซึ่ง $\alpha^2+\beta^2=19$ · หา $\dfrac\alpha\beta+\dfrac\beta\alpha$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\dfrac{19}{3}$Re-use $\alpha^2+\beta^2=19$: $\dfrac\alpha\beta+\dfrac\beta\alpha=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}$   $=\dfrac{19}{3}$ใช้ $\alpha^2+\beta^2=19$ ซ้ำ: $\dfrac\alpha\beta+\dfrac\beta\alpha=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}$   $=\dfrac{19}{3}$

7. Build a new equationสร้างสมการใหม่

New roots: find their sum $S$ and product $P$, then write $x^2-Sx+P=0$.รากใหม่: หาผลบวก $S$ กับผลคูณ $P$ แล้วเขียน $x^2-Sx+P=0$

Roots $2\alpha$ and $2\beta$, from $x^2-5x+3=0$ราก $2\alpha$ กับ $2\beta$ จาก $x^2-5x+3=0$

$x^2-Sx+P=0$ gives $x^2-10x+12=0$.$x^2-Sx+P=0$ ได้ $x^2-10x+12=0$

  1. $x^2-5x+3=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find a quadratic equation with roots $\alpha+1$ and $\beta+1$.$x^2-5x+3=0$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · หาสมการกำลังสองที่มีราก $\alpha+1$ และ $\beta+1$
    Answer:เฉลย: $x^2-7x+9=0$$S=7$, $P=9$: $S=(\alpha+\beta)+2=7$   $P=\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1=9$   $x^2-7x+9=0$$S=7$, $P=9$: $S=(\alpha+\beta)+2=7$   $P=\alpha\beta+(\alpha+\beta)+1=9$   $x^2-7x+9=0$
  2. Same $\alpha$ and $\beta$. Find a quadratic equation with integer coefficients and roots $\dfrac1\alpha$ and $\dfrac1\beta$.$\alpha$ กับ $\beta$ เดิม · หาสมการกำลังสองที่ สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีราก $\dfrac1\alpha$ กับ $\dfrac1\beta$
    Answer:เฉลย: $3x^2-5x+1=0$Clear the fractions last: $S=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac53$   $P=\dfrac{1}{\alpha\beta}=\dfrac13$   $x^2-\tfrac53x+\tfrac13=0$   $3x^2-5x+1=0$ "Integer coefficients" is where the last mark is.กำจัดเศษส่วนตอนท้าย: $S=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac53$   $P=\dfrac{1}{\alpha\beta}=\dfrac13$   $x^2-\tfrac53x+\tfrac13=0$   $3x^2-5x+1=0$ คะแนนสุดท้ายอยู่ที่ "สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม"
  3. Same $\alpha$ and $\beta$, with $\alpha^2+\beta^2=19$. Which equation has roots $\alpha^2$ and $\beta^2$?$\alpha$ กับ $\beta$ เดิม โดย $\alpha^2+\beta^2=19$ · สมการไหนมีราก $\alpha^2$ และ $\beta^2$?
    Answer:เฉลย: $S=19$, $P=9$: $x^2-19x+9=0$$S=19$, $P=(\alpha\beta)^2$: $S=\alpha^2+\beta^2=19$   $P=(\alpha\beta)^2=9$   $x^2-19x+9=0$$S=19$, $P=(\alpha\beta)^2$: $S=\alpha^2+\beta^2=19$   $P=(\alpha\beta)^2=9$   $x^2-19x+9=0$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Two real 4PM1 questions, marked the way the examiner marks.ข้อสอบ 4PM1 จริงสองข้อ ให้คะแนนแบบผู้ตรวจ

Write $\alpha+\beta$ and $\alpha\beta$ first, with numbersเขียน $\alpha+\beta$ กับ $\alpha\beta$ ก่อน พร้อมตัวเลข

"Without solving" means no quadratic formula. It is marked zero if you solve."โดยไม่แก้สมการ" แปลว่าห้ามใช้สูตร · ถ้าแก้สมการจะได้ศูนย์

  1. P41774A · Q4Exam: The equation $2x^2-7x+4=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Without solving this equation, form a quadratic equation with integer coefficients which has roots $\alpha+\dfrac1\beta$ and $\beta+\dfrac1\alpha$.  (8 marks)
    Question © Pearson Education Ltd, reproduced for study.    P41774A · Q4ข้อสอบ: สมการ $2x^2-7x+4=0$ มีราก $\alpha$ และ $\beta$ · โดยไม่แก้สมการนี้ จงสร้างสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีราก $\alpha+\dfrac1\beta$ และ $\beta+\dfrac1\alpha$  (8 คะแนน)
    โจทย์ © Pearson Education Ltd ใช้เพื่อการเรียน
    Answer:เฉลย: $4x^2-21x+18=0$8 marks: $\text{B1}\quad \alpha+\beta=\tfrac72$   $\text{B1}\quad \alpha\beta=2$   $\text{M1}\quad S=(\alpha+\beta)+\tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$   $\text{A1}\quad S=\tfrac{21}{4}$   $\text{M1}\quad P=\alpha\beta+2+\tfrac{1}{\alpha\beta}$   $\text{A1}\quad P=\tfrac92$   $\text{M1}\quad x^2-\tfrac{21}{4}x+\tfrac92=0$   $\text{A1}\quad 4x^2-21x+18=0$ The last A1 needs "$=0$" and integer coefficients.8 คะแนน: $\text{B1}\quad \alpha+\beta=\tfrac72$   $\text{B1}\quad \alpha\beta=2$   $\text{M1}\quad S=(\alpha+\beta)+\tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$   $\text{A1}\quad S=\tfrac{21}{4}$   $\text{M1}\quad P=\alpha\beta+2+\tfrac{1}{\alpha\beta}$   $\text{A1}\quad P=\tfrac92$   $\text{M1}\quad x^2-\tfrac{21}{4}x+\tfrac92=0$   $\text{A1}\quad 4x^2-21x+18=0$ A1 ตัวสุดท้ายต้องมี "$=0$" และสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
  2. P71666A · Q5Exam: The roots of the quadratic equation $2x^2+(6+2p)x+2p=0$ are $\alpha$ and $\beta$
    (a) Write down an expression in terms of $p$ for (i) $\alpha+\beta$  (ii) $\alpha\beta$  (2)
    (b) Show that $(\alpha-\beta)^2=9+2p+p^2$  (4)
    Given that $(\alpha-\beta)=3$
    (c) find the possible values of $p$  (3)
    Question © Pearson Education Ltd, reproduced for study.    P71666A · Q5ข้อสอบ: รากของสมการกำลังสอง $2x^2+(6+2p)x+2p=0$ คือ $\alpha$ และ $\beta$
    (a) จงเขียนนิพจน์ในรูป $p$ ของ (i) $\alpha+\beta$  (ii) $\alpha\beta$  (2)
    (b) จงแสดงว่า $(\alpha-\beta)^2=9+2p+p^2$  (4)
    กำหนดให้ $(\alpha-\beta)=3$
    (c) จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $p$  (3)
    โจทย์ © Pearson Education Ltd ใช้เพื่อการเรียน
    Answer:เฉลย: $p=0$ or $p=-2$9 marks: $\text{B1}\quad \alpha+\beta=-3-p$   $\text{B1}\quad \alpha\beta=p$   $\text{M1}\quad (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$   $\text{M1}\quad (-3-p)^2-4p$   $\text{M1}\quad 9+6p+p^2-4p$   $\text{A1}\quad 9+2p+p^2$   $\text{M1}\quad 9+2p+p^2=9$   $\text{M1}\quad p(p+2)=0$   $\text{A1}\quad p=0,\ p=-2$ Square both sides first: $(\alpha-\beta)=3$ becomes $(\alpha-\beta)^2=9$.9 คะแนน: $\text{B1}\quad \alpha+\beta=-3-p$   $\text{B1}\quad \alpha\beta=p$   $\text{M1}\quad (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$   $\text{M1}\quad (-3-p)^2-4p$   $\text{M1}\quad 9+6p+p^2-4p$   $\text{A1}\quad 9+2p+p^2$   $\text{M1}\quad 9+2p+p^2=9$   $\text{M1}\quad p(p+2)=0$   $\text{A1}\quad p=0,\ p=-2$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างก่อน: $(\alpha-\beta)=3$ กลายเป็น $(\alpha-\beta)^2=9$

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $x^2-7x+2=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $\alpha^2+\beta^2$.
    Answer:เฉลย: $7^2-2(2)=45$Straight into $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ with $a=1$.แทนลง $(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ ตรง ๆ โดย $a=1$
  2. $5x^2+3x-4=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{-3/5}{-4/5}=\dfrac34$Two negative fractions: divide by $a=5$ first, then sum over product.เศษส่วนติดลบสองตัว: หารด้วย $a=5$ ก่อน แล้วผลบวกส่วนผลคูณ
  3. $3x^2=2x+7$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $(\alpha-\beta)^2$.
    Answer:เฉลย: $3x^2-2x-7=0$: $\tfrac49+\tfrac{28}{3}=\dfrac{88}{9}$Rearrange to $=0$ before reading $a$, $b$, $c$.จัดให้ $=0$ ก่อนอ่านค่า $a$, $b$, $c$
  4. $x^2-4x+1=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Use $\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ to find $\alpha^3+\beta^3$.
    Answer:เฉลย: $64-12=52$A new identity, same method: label, substitute, evaluate.เอกลักษณ์ใหม่ วิธีเดิม: ระบุ แทน คำนวณ
  5. One root of $x^2-8x+k=0$ is three times the other. Find $k$.
    Answer:เฉลย: roots $2$ and $6$;  $k=12$Call the roots $\alpha$ and $3\alpha$: the sum gives $\alpha$, the product gives $k$.ให้รากเป็น $\alpha$ กับ $3\alpha$: ผลบวกให้ $\alpha$ ผลคูณให้ $k$
  6. The roots of $x^2+kx+8=0$ differ by $2$. Find the possible values of $k$.
    Answer:เฉลย: $k^2-32=4$, so $k=\pm6$Start from $(\alpha-\beta)^2=4$ and work back to $k$.เริ่มจาก $(\alpha-\beta)^2=4$ แล้วย้อนกลับไปหา $k$
  7. $3x^2-4x+2=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Without solving the equation, form a quadratic equation with integer coefficients which has roots $\dfrac\alpha\beta$ and $\dfrac\beta\alpha$.
    Answer:เฉลย: $S=\tfrac23$, $P=1$:  $3x^2-2x+3=0$The product of $\tfrac\alpha\beta$ and $\tfrac\beta\alpha$ is $1$; the sum needs $\alpha^2+\beta^2$.ผลคูณของ $\tfrac\alpha\beta$ กับ $\tfrac\beta\alpha$ คือ $1$ · ผลบวกต้องใช้ $\alpha^2+\beta^2$
  8. $2x^2+3x-1=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Without solving the equation, form a quadratic equation with integer coefficients which has roots $\alpha^2$ and $\beta^2$.
    Answer:เฉลย: $S=\tfrac{13}{4}$, $P=\tfrac14$:  $4x^2-13x+1=0$Product $(\alpha\beta)^2$ is positive even when $\alpha\beta$ is negative.ผลคูณ $(\alpha\beta)^2$ เป็นบวกเสมอ แม้ $\alpha\beta$ ติดลบ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี