Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Pythagoras & Trigonometry in 3Dพีทาโกรัสและตรีโกณมิติสามมิติ

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Two tools for one right triangleเครื่องมือสองอย่าง สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก

Both tools need a right angle. Every 3-D question in this lesson hides one.ทั้งสองอย่างต้องมีมุมฉาก · โจทย์สามมิติทุกข้อในบทนี้ซ่อนมุมฉากไว้หนึ่งมุม

  1. A right triangle has shorter sides $5$ cm and $12$ cm. Find the hypotenuse.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $5$ cm และ $12$ cm · หาด้านตรงข้ามมุมฉาก
    Answer:เฉลย: $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cmSquare, add, square root: $c^2=5^2+12^2$   $=169$   $c=13$ยกกำลังสอง บวก ถอดราก: $c^2=5^2+12^2$   $=169$   $c=13$
  2. In a right triangle, the side opposite $\theta$ is $5$ cm and the side next to $\theta$ is $8$ cm. Find $\theta$.สามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้าม $\theta$ ยาว $5$ cm ด้านประชิด $\theta$ ยาว $8$ cm · หา $\theta$
    Answer:เฉลย: $\theta=\tan^{-1}\left(\tfrac{5}{8}\right)=32.0^\circ$Opposite over adjacent is tan: $\tan\theta=\dfrac{5}{8}$   $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{5}{8}\right)$   $=32.0^\circ$ Angles are given to 1 dp unless the question says otherwise.ตรงข้ามหารประชิด คือ tan: $\tan\theta=\dfrac{5}{8}$   $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{5}{8}\right)$   $=32.0^\circ$ ตอบมุมเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกเป็นอย่างอื่น

2. Find the hidden triangleหาสามเหลี่ยมที่ซ่อนอยู่

Floor diagonal first, then an upright triangle that uses it.หาเส้นทแยงมุมบนพื้นก่อน แล้วใช้มันในสามเหลี่ยมที่ตั้งขึ้น

Two right triangles, one after the otherสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ต่อกัน

$EG$ is the answer to the floor triangle and a side of triangle $AEG$.$EG$ คือคำตอบของสามเหลี่ยมบนพื้น และเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม $AEG$

  1. The cuboid has $FG=8$ cm, $EF=6$ cm and $AE=5$ cm. Find $EG$.ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมี $FG=8$ cm, $EF=6$ cm และ $AE=5$ cm · หา $EG$
    Answer:เฉลย: $EG=\sqrt{8^2+6^2}=10$ cmFloor triangle first: $EG^2=8^2+6^2$   $=100$   $EG=10$สามเหลี่ยมบนพื้นก่อน: $EG^2=8^2+6^2$   $=100$   $EG=10$
  2. Look at triangle $AEG$. Where is its right angle?ดูสามเหลี่ยม $AEG$ · มุมฉากอยู่ที่ไหน?
    Answer:เฉลย: at $E$: $\angle AEG=90^\circ$ที่ $E$: $\angle AEG=90^\circ$Upright edge meets floor line: $AE\perp EG$   $\angle AEG=90^\circ$สันตั้งชนเส้นบนพื้น: $AE\perp EG$   $\angle AEG=90^\circ$
  3. Same cuboid, so $EG=10$ cm. Find the space diagonal $AG$. Give your answer to 3 significant figures.ทรงเดิม $EG=10$ cm · หาเส้นทแยงมุมภายในทรง $AG$ · ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
    Answer:เฉลย: $AG=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=11.2$ cmUpright triangle second: $AG^2=10^2+5^2$   $=125$   $AG=11.2$ Keep $\sqrt{125}$ in the calculator and round only the final answer.สามเหลี่ยมแนวตั้งทีหลัง: $AG^2=10^2+5^2$   $=125$   $AG=11.2$ เก็บ $\sqrt{125}$ ไว้ในเครื่องคิดเลข · ปัดเฉพาะคำตอบสุดท้าย

3. Two steps in one lineสองขั้นในบรรทัดเดียว

$d^2=a^2+b^2+c^2$ — the three edges of the box.$d^2=a^2+b^2+c^2$ · สามสันของกล่อง

No square root in the middleไม่ต้องถอดรากตรงกลาง

Space diagonal $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.เส้นทแยงมุมภายในทรง $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

  1. A cuboid is $12$ cm by $4$ cm by $3$ cm. Find the length of its space diagonal.ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด $12$ cm × $4$ cm × $3$ cm · หาความยาวเส้นทแยงมุมภายในทรง
    Answer:เฉลย: $\sqrt{12^2+4^2+3^2}=\sqrt{169}=13$ cmThree squares, one root: $d^2=12^2+4^2+3^2$   $=144+16+9$   $=169$   $d=13$ยกกำลังสองสามตัว ถอดรากครั้งเดียว: $d^2=12^2+4^2+3^2$   $=144+16+9$   $=169$   $d=13$
  2. A box is $30$ cm long, $20$ cm wide and $10$ cm high. Find the length of the longest straight stick that fits inside. Give your answer to 3 significant figures.กล่องยาว $30$ cm กว้าง $20$ cm สูง $10$ cm · หาความยาวไม้ตรงที่ยาวที่สุดที่ใส่ในกล่องได้ · ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
    Answer:เฉลย: $\sqrt{30^2+20^2+10^2}=\sqrt{1400}=37.4$ cmLongest stick = space diagonal: $d^2=900+400+100$   $=1400$   $d=37.4$ไม้ยาวสุด = เส้นทแยงมุมภายในทรง: $d^2=900+400+100$   $=1400$   $d=37.4$

4. Inside a pyramidในพีระมิด

Half the base diagonal, the height and the slant edge make one right triangle.ครึ่งเส้นทแยงมุมฐาน ความสูง และสันเอียง ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากรูปเดียว

$V$ is directly above $M$, the centre of the base$V$ อยู่ตรงเหนือ $M$ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางฐาน

$AM$ comes from the base: $AC^2=8^2+8^2$, then halve $AC$.$AM$ มาจากฐาน: $AC^2=8^2+8^2$ แล้วแบ่งครึ่ง $AC$

  1. Which triangle has the height $VM$ and the slant edge $VA$ as sides, and a right angle?สามเหลี่ยมไหนมีความสูง $VM$ และสันเอียง $VA$ เป็นด้าน และมีมุมฉาก?
    Answer:เฉลย: $VMA$, right angle at $M$$VMA$ มุมฉากที่ $M$Height, half-diagonal, edge: $\angle VMA=90^\circ$   $VA^2=AM^2+VM^2$ความสูง ครึ่งทแยง สันเอียง: $\angle VMA=90^\circ$   $VA^2=AM^2+VM^2$
  2. The base $ABCD$ is a square of side $12$ cm. Find $AM$, half the diagonal. Give your answer to 3 significant figures.ฐาน $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ $12$ cm · หา $AM$ ซึ่งยาวครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม · ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
    Answer:เฉลย: $AC=\sqrt{12^2+12^2}=16.97$, so $AM=8.49$ cmDiagonal first, then halve: $AC^2=12^2+12^2$   $=288$   $AC=16.97$   $AM=8.49$เส้นทแยงมุมก่อน แล้วแบ่งครึ่ง: $AC^2=12^2+12^2$   $=288$   $AC=16.97$   $AM=8.49$
  3. The height $VM$ is $10$ cm and $AM=\sqrt{72}$ cm. Find the slant edge $VA$ to 3 significant figures.ความสูง $VM=10$ cm และ $AM=\sqrt{72}$ cm · หาสันเอียง $VA$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
    Answer:เฉลย: $VA=\sqrt{72+100}=\sqrt{172}=13.1$ cmThe root squares back to $72$: $VA^2=(\sqrt{72})^2+10^2$   $=72+100$   $=172$   $VA=13.1$รากยกกำลังสองกลับเป็น $72$: $VA^2=(\sqrt{72})^2+10^2$   $=72+100$   $=172$   $VA=13.1$

5. Angle between a line and a planeมุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

Drop a perpendicular, join its foot, then SOH CAH TOA.ลากเส้นตั้งฉากลงมา ลากเชื่อมจุดที่ตก แล้วใช้ SOH CAH TOA

Measure the angle to the projectionวัดมุมกับเส้นฉาย

The angle with a plane is measured to the projection, at the point where the line meets the plane.มุมกับระนาบวัดกับเส้นฉาย · ที่จุดที่เส้นตรงชนระนาบ

  1. A vertical pole $PN$ is $6$ m tall on level ground. A wire runs from $P$ to a point $A$ on the ground, $10$ m from $N$. Find the angle between the wire and the ground.เสาตั้งตรง $PN$ สูง $6$ m บนพื้นราบ · ลวดขึงจาก $P$ ไปจุด $A$ บนพื้น ห่างจาก $N$ $10$ m · หามุมระหว่างลวดกับพื้น
    Answer:เฉลย: $\tan\theta=\tfrac{6}{10}$, so $\theta=31.0^\circ$Opposite over the projection: $\tan\theta=\dfrac{6}{10}$   $\theta=\tan^{-1}(0.6)$   $=31.0^\circ$ตรงข้ามหารเส้นฉาย: $\tan\theta=\dfrac{6}{10}$   $\theta=\tan^{-1}(0.6)$   $=31.0^\circ$
  2. Which angle is the angle between $AG$ and the base $EFGH$?มุมไหนคือมุมระหว่าง $AG$ กับฐาน $EFGH$?
    Answer:เฉลย: $\angle AGE$: $E$ is below $A$, so $GE$ is the projection$\angle AGE$: $E$ อยู่ใต้ $A$ · $GE$ จึงเป็นเส้นฉายDrop from $A$ to $E$: $AE\perp EFGH$   $AG\ \to\ GE$   $\theta=\angle AGE$ The angle sits where the line meets the plane — here at $G$.ลากจาก $A$ ลงมาที่ $E$: $AE\perp EFGH$   $AG\ \to\ GE$   $\theta=\angle AGE$ มุมอยู่ตรงที่เส้นตรงชนระนาบ · ข้อนี้คือที่ $G$
  3. In a square-based pyramid, $AM=6$ cm and the height $VM=9$ cm. Find the angle between $VA$ and the base.พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส $AM=6$ cm ความสูง $VM=9$ cm · หามุมระหว่าง $VA$ กับฐาน
    Answer:เฉลย: $\tan\theta=\tfrac96$, so $\theta=56.3^\circ$Height over projection: $\tan\theta=\dfrac{9}{6}$   $\theta=\tan^{-1}(1.5)$   $=56.3^\circ$ความสูงหารเส้นฉาย: $\tan\theta=\dfrac{9}{6}$   $\theta=\tan^{-1}(1.5)$   $=56.3^\circ$

6. Space diagonal and the baseเส้นทแยงมุมภายในทรงกับฐาน

Projection first — a floor diagonal — then the angle.หาเส้นฉายก่อน (เส้นทแยงมุมบนพื้น) แล้วค่อยหามุม

The projection of $AG$ is the floor diagonal $GE$เส้นฉายของ $AG$ คือเส้นทแยงมุมบนพื้น $GE$

Two triangles again: Pythagoras on the floor, then SOH CAH TOA upright.สามเหลี่ยมสองรูปเหมือนเดิม: พีทาโกรัสบนพื้น แล้ว SOH CAH TOA ในแนวตั้ง

A cuboid is $6\times4\times3$ cm. Find the angle between $AG$ and the base $EFGH$.ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก $6\times4\times3$ cm · หามุมระหว่าง $AG$ กับฐาน $EFGH$

  1. $EG^2=6^2+4^2$Floor triangle $EFG$, right angle at $F$. It is shaded on the picture.สามเหลี่ยมบนพื้น $EFG$ มุมฉากที่ $F$ · แรเงาไว้ในรูป
  2. $=52$$36+16$. Leave it as $52$.$36+16$ · เก็บไว้เป็น $52$
  3. $EG=\sqrt{52}$Keep $\sqrt{52}=7.211\ldots$ in the calculator. Do not round yet.เก็บ $\sqrt{52}=7.211\ldots$ ไว้ในเครื่องคิดเลข · ยังไม่ปัด
  4. $\tan\theta=\dfrac{AE}{EG}$Upright triangle $AEG$, right angle at $E$. From $\theta$: $AE$ is opposite, $EG$ adjacent.สามเหลี่ยมแนวตั้ง $AEG$ มุมฉากที่ $E$ · มองจาก $\theta$: $AE$ ตรงข้าม $EG$ ประชิด
  5. $\tan\theta=\dfrac{3}{\sqrt{52}}$Put the lengths in: $AE=3$.แทนค่า: $AE=3$
  6. $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{52}}\right)$Apply $\tan^{-1}$ to the whole fraction. The angle is at $G$.กด $\tan^{-1}$ ทั้งเศษส่วน · มุมอยู่ที่ $G$
  7. $\theta=22.6^\circ$$22.588\ldots$ to 1 dp. Check: $\sin^{-1}\left(\tfrac{3}{\sqrt{61}}\right)$ with $AG=\sqrt{61}$ gives the same.$22.588\ldots$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง · เช็ก: $\sin^{-1}\left(\tfrac{3}{\sqrt{61}}\right)$ เมื่อ $AG=\sqrt{61}$ ได้ค่าเดียวกัน
  1. A cuboid has $FG=8$ cm, $EF=6$ cm and $AE=5$ cm. Find the angle between $AG$ and the base $EFGH$.ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมี $FG=8$ cm, $EF=6$ cm และ $AE=5$ cm · หามุมระหว่าง $AG$ กับฐาน $EFGH$
    Answer:เฉลย: $EG=10$, $\tan\theta=\tfrac{5}{10}$, so $\theta=26.6^\circ$Floor, then upright: $EG^2=8^2+6^2$   $EG=10$   $\tan\theta=\dfrac{5}{10}$   $\theta=26.6^\circ$พื้นก่อน แล้วแนวตั้ง: $EG^2=8^2+6^2$   $EG=10$   $\tan\theta=\dfrac{5}{10}$   $\theta=26.6^\circ$
  2. A cube has edges of $4$ cm. What angle does a space diagonal make with the base?ลูกบาศก์ยาวด้านละ $4$ cm · เส้นทแยงมุมภายในทรงทำมุมกับฐานเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\tan\theta=\tfrac{4}{\sqrt{32}}$, so $\theta=35.3^\circ$The size cancels: $\tan\theta=\dfrac{4}{\sqrt{32}}$   $=\dfrac{1}{\sqrt2}$   $\theta=35.3^\circ$ Every cube gives $\tan\theta=\tfrac{1}{\sqrt2}$, whatever its edge.ขนาดตัดกันหมด: $\tan\theta=\dfrac{4}{\sqrt{32}}$   $=\dfrac{1}{\sqrt2}$   $\theta=35.3^\circ$ ลูกบาศก์ทุกขนาดได้ $\tan\theta=\tfrac{1}{\sqrt2}$ เสมอ
  3. A cuboid has $FG=7$ cm, $EF=4$ cm and $AE=4$ cm, so $AG=9$ cm. Use $AE$ and $AG$ to find the angle between $AG$ and the base.ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมี $FG=7$ cm, $EF=4$ cm, $AE=4$ cm จึงได้ $AG=9$ cm · ใช้ $AE$ กับ $AG$ หามุมระหว่าง $AG$ กับฐาน
    Answer:เฉลย: $\sin\theta=\tfrac49$, so $\theta=26.4^\circ$Hypotenuse known: use sin: $\sin\theta=\dfrac{AE}{AG}$   $=\dfrac{4}{9}$   $\theta=\sin^{-1}\left(\dfrac49\right)$   $=26.4^\circ$รู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ใช้ sin: $\sin\theta=\dfrac{AE}{AG}$   $=\dfrac{4}{9}$   $\theta=\sin^{-1}\left(\dfrac49\right)$   $=26.4^\circ$

7. Frustum: a cone with its top cut offฟรัสตัม: กรวยที่ตัดยอดออก

Similar cones give the missing height. Volume = big cone − small cone.กรวยคล้ายกันให้ความสูงที่หายไป · ปริมาตร = กรวยใหญ่ − กรวยเล็ก

Cut a cone parallel to its baseตัดกรวยขนานกับฐาน

Frustum $=\tfrac13\pi(6^2)(12)-\tfrac13\pi(2^2)(4)=435.6$ฟรัสตัม $=\tfrac13\pi(6^2)(12)-\tfrac13\pi(2^2)(4)=435.6$

  1. A frustum has top radius $3$ cm, base radius $9$ cm and height $8$ cm. It was cut from a cone. Find the height $x$ of the small cone that was removed.ฟรัสตัมมีรัศมีบน $3$ cm รัศมีฐาน $9$ cm สูง $8$ cm ตัดมาจากกรวย · หาความสูง $x$ ของกรวยเล็กที่ถูกตัดออก
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x}{x+8}=\dfrac39$, so $x=4$ cmSimilar cones, same ratio: $\dfrac{x}{x+8}=\dfrac{3}{9}$   $9x=3(x+8)$   $9x=3x+24$   $6x=24$   $x=4$กรวยคล้าย อัตราส่วนเท่ากัน: $\dfrac{x}{x+8}=\dfrac{3}{9}$   $9x=3(x+8)$   $9x=3x+24$   $6x=24$   $x=4$
  2. Same frustum: $x=4$, so the big cone is $12$ cm tall. Which calculation gives the volume of the frustum?ฟรัสตัมเดิม: $x=4$ กรวยใหญ่จึงสูง $12$ cm · คำนวณแบบไหนได้ปริมาตรฟรัสตัม?
    Answer:เฉลย: $\tfrac13\pi(81)(12)-\tfrac13\pi(9)(4)$Own $r$, own $h$: $V=\tfrac13\pi(9^2)(12)-\tfrac13\pi(3^2)(4)$   $=324\pi-12\pi$   $=312\pi$ใช้ $r$ กับ $h$ ของตัวเอง: $V=\tfrac13\pi(9^2)(12)-\tfrac13\pi(3^2)(4)$   $=324\pi-12\pi$   $=312\pi$
  3. Now work it out: find the volume of the frustum, to 3 significant figures.คำนวณเลย: หาปริมาตรของฟรัสตัม ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
    Answer:เฉลย: $324\pi-12\pi=312\pi=980$ cm$^3$Subtract, then round: $V=324\pi-12\pi$   $=312\pi$   $=980.18\ldots$ Keep $\pi$ until the last line: $312\pi$ is exact, $980$ is 3 s.f.ลบก่อน แล้วค่อยปัด: $V=324\pi-12\pi$   $=312\pi$   $=980.18\ldots$ เก็บ $\pi$ ไว้จนบรรทัดสุดท้าย · $312\pi$ คือค่าจริง · $980$ คือค่าที่ปัดเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks — a pyramid, a frustum and a box.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · พีระมิด ฟรัสตัม และกล่อง

Keep full accuracy until the last lineเก็บค่าเต็มไว้จนบรรทัดสุดท้าย

Rounding $EG=\sqrt{52}$ to $7$ gives $23.2^\circ$, not $22.6^\circ$ — the A1 is lost.ปัด $EG=\sqrt{52}$ เป็น $7$ ได้ $23.2^\circ$ ไม่ใช่ $22.6^\circ$ · เสีย A1

  1. Exam: $VABCD$ is a pyramid with a square base $ABCD$ of side $6$ cm. $V$ is vertically above the centre $M$ of the base, and $VA=10$ cm. Calculate the size of the angle between $VA$ and the base $ABCD$. Give your answer correct to 1 decimal place. (4 marks)ข้อสอบ: $VABCD$ เป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ยาวด้านละ $6$ cm · $V$ อยู่ตรงเหนือจุดกึ่งกลางฐาน $M$ และ $VA=10$ cm · คำนวณขนาดของมุมระหว่าง $VA$ กับฐาน $ABCD$ ตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $AM=\sqrt{18}$, $\cos\theta=\tfrac{\sqrt{18}}{10}$, so $\theta=64.9^\circ$4 marks: $\text{M1}\quad AM=\tfrac12\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{18}$   $\text{M1}\quad \cos\theta=\dfrac{\sqrt{18}}{10}$   $\text{M1}\quad \theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{18}}{10}\right)$   $\text{A1}\quad 64.9^\circ$ Marks are usually lost by using the full diagonal $AC$ instead of $AM$.4 คะแนน: $\text{M1}\quad AM=\tfrac12\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{18}$   $\text{M1}\quad \cos\theta=\dfrac{\sqrt{18}}{10}$   $\text{M1}\quad \theta=\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{18}}{10}\right)$   $\text{A1}\quad 64.9^\circ$ คะแนนมักหายเพราะใช้เส้นทแยงมุมเต็ม $AC$ แทน $AM$
  2. Exam: A frustum is made by removing a small cone from the top of a large cone. The frustum has height $15$ cm, top radius $3$ cm and base radius $12$ cm. [Volume of a cone $=\tfrac13\pi r^2h$]  (5 marks)ข้อสอบ: ฟรัสตัมได้จากการตัดกรวยเล็กออกจากยอดกรวยใหญ่ · ฟรัสตัมสูง $15$ cm รัศมีบน $3$ cm รัศมีฐาน $12$ cm [ปริมาตรกรวย $=\tfrac13\pi r^2h$]  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $945\pi=2970$ cm$^3$5 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{x}{x+15}=\dfrac{3}{12}$   $\text{A1}\quad x=5$   $\text{M1}\quad \tfrac13\pi(12^2)(20)=960\pi$   $\text{M1}\quad 960\pi-\tfrac13\pi(3^2)(5)$   $\text{A1}\quad 945\pi=2970$ Writing $960\pi-15\pi$ before any decimals secures both method marks.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{x}{x+15}=\dfrac{3}{12}$   $\text{A1}\quad x=5$   $\text{M1}\quad \tfrac13\pi(12^2)(20)=960\pi$   $\text{M1}\quad 960\pi-\tfrac13\pi(3^2)(5)$   $\text{A1}\quad 945\pi=2970$ เขียน $960\pi-15\pi$ ก่อนแปลงเป็นทศนิยม ได้คะแนนวิธีครบทั้งสอง
  3. Exam: A closed box is a cuboid $20$ cm long, $15$ cm wide and $12$ cm high. A thin straight rod $AG$ fits exactly inside the box, from corner $A$ to the opposite corner $G$.  (4 marks)ข้อสอบ: กล่องปิดเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ยาว $20$ cm กว้าง $15$ cm สูง $12$ cm · แท่งตรงบาง $AG$ ใส่พอดีในกล่อง จากมุม $A$ ไปมุมตรงข้าม $G$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\theta=25.6^\circ$4 marks: $\text{M1}\quad AG^2=20^2+15^2+12^2$   $\text{A1}\quad AG=27.7$   $\text{M1}\quad \tan\theta=\dfrac{12}{25}$   $\text{A1}\quad \theta=25.6^\circ$ $\sin\theta=\tfrac{12}{27.73}$ also earns the method mark when $AG$ is right.4 คะแนน: $\text{M1}\quad AG^2=20^2+15^2+12^2$   $\text{A1}\quad AG=27.7$   $\text{M1}\quad \tan\theta=\dfrac{12}{25}$   $\text{A1}\quad \theta=25.6^\circ$ $\sin\theta=\tfrac{12}{27.73}$ ก็ได้คะแนนวิธี ถ้า $AG$ ถูก

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Cuboid $ABCDEFGH$: $FG=9$ cm, $EF=5$ cm, $AE=4$ cm.  Find $AG$ and the angle between $AG$ and the base $EFGH$.The walk again: floor diagonal $\sqrt{106}$, then tan in triangle $AEG$.เหมือนตัวอย่าง: เส้นทแยงมุมบนพื้น $\sqrt{106}$ แล้วใช้ tan ในสามเหลี่ยม $AEG$
  2. A cuboid measures $7.5$ cm by $3.2$ cm by $4.8$ cm (height).  Find the space diagonal and its angle with the base.Decimals change nothing. Keep every square root in the calculator.ทศนิยมไม่ได้เปลี่ยนวิธี · เก็บทุกรากไว้ในเครื่องคิดเลข
  3. A room is $5$ m long, $4$ m wide and $2.5$ m high. A string runs from a floor corner to the opposite ceiling corner.  Find its length and the angle it makes with the floor.A room is a cuboid. The floor is the plane, the string is the space diagonal.ห้องคือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก · พื้นคือระนาบ เชือกคือเส้นทแยงมุมภายในทรง
  4. A square-based pyramid has base side $10$ cm and slant edges $13$ cm.  Find its vertical height, then its volume $\left(V=\tfrac13\times\text{base area}\times h\right)$.Pyramid triangle gives the height; the volume formula is the old skill.สามเหลี่ยมในพีระมิดให้ความสูง · สูตรปริมาตรคือของเก่า
  5. In cuboid $ABCDEFGH$, $FG=8$ cm and $EF=6$ cm. The angle between $AG$ and the base $EFGH$ is $30^\circ$.  Find the height $AE$.Angle given, side wanted: $AE=EG\tan\theta$ with $EG=10$.รู้มุม หาด้าน: $AE=EG\tan\theta$ โดย $EG=10$
  6. A frustum has top diameter $8$ cm, base diameter $20$ cm and height $9$ cm.  (a) Show that the removed cone has height $6$ cm.  (b) Find the volume of the frustum.  (c) Find the angle between the sloping side and the base.Diameters must be halved first. Part (c) is the line–plane angle on a cone.ต้องแบ่งครึ่งเส้นผ่านศูนย์กลางก่อน · ข้อ (ค) คือมุมเส้นกับระนาบบนกรวย

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี