Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Algebraic Fractionsเศษส่วนพีชคณิต

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Simplifying a fraction = cancelling shared factorsทำเศษส่วนให้ง่าย = ตัดตัวประกอบที่มีร่วมกัน

$\dfrac{12}{18}=\dfrac{6\times2}{6\times3}=\dfrac23$ — top and bottom both divided by $6$.$\dfrac{12}{18}=\dfrac{6\times2}{6\times3}=\dfrac23$ · หารทั้งเศษและส่วนด้วย $6$

  1. Which is $\dfrac{30}{42}$ in its simplest form?ข้อใดคือ $\dfrac{30}{42}$ ในรูปอย่างง่ายที่สุด?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{30}{42}=\dfrac57$Divide by the HCF, $6$: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{30}{42}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6\times5}{6\times7}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac57$ "Simplest form" means top and bottom share no factor except $1$.หารด้วย ห.ร.ม. คือ $6$: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{30}{42}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6\times5}{6\times7}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac57$ "รูปอย่างง่ายที่สุด" คือเศษกับส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกันนอกจาก $1$
  2. Work out $\dfrac13+\dfrac14$.หาค่า $\dfrac13+\dfrac14$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$Same bottom first: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac13+\dfrac14$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{1\times4}{3\times4}+\dfrac{1\times3}{4\times3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4+3}{12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{7}{12}$ $3$ and $4$ share no factor, so the common bottom is their product.ทำตัวส่วนให้เท่ากันก่อน: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac13+\dfrac14$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{1\times4}{3\times4}+\dfrac{1\times3}{4\times3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4+3}{12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{7}{12}$ $3$ กับ $4$ ไม่มีตัวประกอบร่วม · ตัวส่วนร่วมจึงเป็นผลคูณของทั้งสอง

2. Cancel a factor, not a termตัดตัวประกอบ ไม่ใช่พจน์

Only something that multiplies the WHOLE top and the WHOLE bottom cancels.ตัดได้เฉพาะสิ่งที่คูณอยู่กับตัวเศษทั้งก้อน และตัวส่วนทั้งก้อน

$\dfrac{2(x+3)}{5(x+3)}$ cancels. $\dfrac{x+3}{3}$ does not.$\dfrac{2(x+3)}{5(x+3)}$ ตัดได้ · $\dfrac{x+3}{3}$ ตัดไม่ได้

$\dfrac{2(x+3)}{5(x+3)}=\dfrac25$ for every $x$ except $-3$.$\dfrac{2(x+3)}{5(x+3)}=\dfrac25$ ทุกค่า $x$ ยกเว้น $-3$

  1. Simplify $\dfrac{x+3}{3}$ fully, if it can be simplified.ทำ $\dfrac{x+3}{3}$ ให้ง่ายที่สุด ถ้าทำได้
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x+3}{3}$ is already in its simplest form.$\dfrac{x+3}{3}$ อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้วNo factor is shared: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6+3}{3}=3$   $6+1=7$   $3\ne7$ Substituting one number is a quick test for any cancelling.ไม่มีตัวประกอบร่วม: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6+3}{3}=3$   $6+1=7$   $3\ne7$ แทนตัวเลขสักค่า คือวิธีเช็กการตัดที่เร็วที่สุด
  2. Simplify $\dfrac{6x}{9x^2}$.ทำ $\dfrac{6x}{9x^2}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{6x}{9x^2}=\dfrac{2}{3x}$Split into factors, cancel pairs: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6x}{9x^2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2\times3\times x}{3\times3\times x\times x}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2}{3x}$แยกตัวประกอบ แล้วตัดเป็นคู่: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6x}{9x^2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2\times3\times x}{3\times3\times x\times x}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2}{3x}$
  3. Simplify $\dfrac{(x+5)(x-2)}{3(x-2)}$.ทำ $\dfrac{(x+5)(x-2)}{3(x-2)}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x+5}{3}$The bracket is one factor: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x+5)(x-2)}{3(x-2)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+5}{3}\times\dfrac{x-2}{x-2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+5}{3}$ $\dfrac{x-2}{x-2}=1$, so striking it changes nothing.วงเล็บคือตัวประกอบหนึ่งตัว: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x+5)(x-2)}{3(x-2)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+5}{3}\times\dfrac{x-2}{x-2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+5}{3}$ $\dfrac{x-2}{x-2}=1$ · ขีดฆ่าทิ้งก็ไม่เปลี่ยนค่า
  4. Which fraction CAN be simplified by cancelling?เศษส่วนข้อใด ตัดทอนได้?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4(x+1)}{x(x+1)}=\dfrac4x$Same bracket, top and bottom: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4(x+1)}{x(x+1)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4}{x}\times\dfrac{x+1}{x+1}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac4x$วงเล็บเดียวกัน ทั้งบนและล่าง: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4(x+1)}{x(x+1)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4}{x}\times\dfrac{x+1}{x+1}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac4x$

3. Factorise first, then cancelแยกตัวประกอบก่อน แล้วค่อยตัด

The shared factor is hidden until you factorise the top and the bottom.ตัวประกอบร่วมจะโผล่ออกมา ก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน

Four ways to factorise — you know them allสี่วิธีแยกตัวประกอบ ที่เรียนมาแล้วทั้งหมด

Brackets first. A match between top and bottom only shows once both are factorised.ทำเป็นวงเล็บก่อน · จะเห็นตัวที่ตรงกัน ก็ต่อเมื่อแยกตัวประกอบทั้งบนและล่างแล้ว

Simplify fully $\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}$ทำ $\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด

  1. $\frac{x^2-9}{x^2+5x+6}$Two quadratics and no brackets yet, so nothing can cancel.พหุนามกำลังสองสองตัว ยังไม่มีวงเล็บ · ยังตัดอะไรไม่ได้
  2. $=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2+5x+6}$Top: difference of two squares, $x^2-3^2$.ตัวเศษ: ผลต่างกำลังสอง $x^2-3^2$
  3. $=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}$Bottom: $2\times3=6$ and $2+3=5$.ตัวส่วน: $2\times3=6$ และ $2+3=5$
  4. $=\frac{x-3}{x+2}\times\frac{x+3}{x+3}$$(x+3)$ is a factor of both. $\dfrac{x+3}{x+3}=1$, so strike it.$(x+3)$ เป็นตัวประกอบของทั้งคู่ · $\dfrac{x+3}{x+3}=1$ ขีดฆ่าทิ้ง
  5. $=\frac{x-3}{x+2}$No shared factor left. Check $x=1$: $\dfrac{-8}{12}=\dfrac{-2}{3}$ ✓ไม่เหลือตัวประกอบร่วม · เช็ก $x=1$: $\dfrac{-8}{12}=\dfrac{-2}{3}$ ✓
  1. Simplify fully $\dfrac{x^2+4x}{3x+12}$.ทำ $\dfrac{x^2+4x}{3x+12}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x(x+4)}{3(x+4)}=\dfrac{x}{3}$Common factor, top and bottom: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2+4x}{3x+12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x(x+4)}{3(x+4)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{3}\times\dfrac{x+4}{x+4}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{3}$ดึงตัวร่วม ทั้งบนและล่าง: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2+4x}{3x+12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x(x+4)}{3(x+4)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{3}\times\dfrac{x+4}{x+4}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{3}$
  2. Simplify fully $\dfrac{x^2-16}{x^2+4x}$.ทำ $\dfrac{x^2-16}{x^2+4x}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}=\dfrac{x-4}{x}$Squares on top, common factor below: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2-16}{x^2+4x}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x-4}{x}\times\dfrac{x+4}{x+4}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x-4}{x}$บนเป็นผลต่างกำลังสอง ล่างดึงตัวร่วม: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2-16}{x^2+4x}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x-4}{x}\times\dfrac{x+4}{x+4}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x-4}{x}$
  3. Simplify fully $\dfrac{x^2+x-12}{x^2-9}$.ทำ $\dfrac{x^2+x-12}{x^2-9}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(x+4)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+4}{x+3}$The two numbers: $4$ and $-3$: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2+x-12}{x^2-9}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x+4)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+4}{x+3}\times\dfrac{x-3}{x-3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+4}{x+3}$สองจำนวนนั้นคือ $4$ กับ $-3$: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2+x-12}{x^2-9}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x+4)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+4}{x+3}\times\dfrac{x-3}{x-3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+4}{x+3}$
  4. Simplify fully $\dfrac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+9}$.ทำ $\dfrac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+9}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(2x-1)(x+3)}{(x+3)(x+3)}=\dfrac{2x-1}{x+3}$Split the middle term: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+9}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x^2+6x-x-3}{(x+3)^2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(2x-1)(x+3)}{(x+3)(x+3)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x-1}{x+3}\times\dfrac{x+3}{x+3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x-1}{x+3}$ $6x$ and $-x$: they multiply to $-6x^2$ ($=2\times(-3)x^2$) and add to $5x$.แยกพจน์กลาง: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x^2+5x-3}{x^2+6x+9}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x^2+6x-x-3}{(x+3)^2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(2x-1)(x+3)}{(x+3)(x+3)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x-1}{x+3}\times\dfrac{x+3}{x+3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x-1}{x+3}$ $6x$ กับ $-x$ · คูณกันได้ $-6x^2$ ($=2\times(-3)x^2$) บวกกันได้ $5x$

4. Multiply and divideคูณและหาร

Factorise every part, cancel any top with any bottom, multiply what is left.แยกตัวประกอบทุกส่วน ตัดบนกับล่างคู่ไหนก็ได้ แล้วคูณที่เหลือ

$\dfrac{x^2-4}{3x}\times\dfrac{6}{x+2}$: cancel across, then multiply$\dfrac{x^2-4}{3x}\times\dfrac{6}{x+2}$: ตัดข้ามกันก่อน แล้วค่อยคูณ

$\div\dfrac{a}{b}$ is $\times\dfrac{b}{a}$: flip the second fraction, then multiply.$\div\dfrac{a}{b}$ คือ $\times\dfrac{b}{a}$ · กลับเศษส่วนตัวที่สอง แล้วคูณ

  1. Simplify $\dfrac{x}{5}\times\dfrac{10}{x^2}$.ทำ $\dfrac{x}{5}\times\dfrac{10}{x^2}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{10x}{5x^2}=\dfrac2x$Cancel across, then multiply: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{5}\times\dfrac{10}{x^2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x\times2\times5}{5\times x\times x}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2}{x}$ตัดข้ามกันก่อน แล้วคูณ: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{5}\times\dfrac{10}{x^2}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x\times2\times5}{5\times x\times x}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2}{x}$
  2. Simplify $\dfrac{x+1}{4}\div\dfrac{x+1}{12}$.ทำ $\dfrac{x+1}{4}\div\dfrac{x+1}{12}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x+1}{4}\times\dfrac{12}{x+1}=3$Flip, then multiply: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+1}{4}\div\dfrac{x+1}{12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+1}{4}\times\dfrac{12}{x+1}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{12}{4}$   $=3$กลับ แล้วคูณ: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+1}{4}\div\dfrac{x+1}{12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+1}{4}\times\dfrac{12}{x+1}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{12}{4}$   $=3$
  3. Simplify $\dfrac{x^2-x-6}{x+4}\times\dfrac{x+4}{x-3}$.ทำ $\dfrac{x^2-x-6}{x+4}\times\dfrac{x+4}{x-3}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(x-3)(x+2)}{x+4}\times\dfrac{x+4}{x-3}=x+2$Two pairs cancel: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2-x-6}{x+4}\times\dfrac{x+4}{x-3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x-3)(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-3)}$   $=x+2$ When every bottom factor cancels, the answer is not a fraction at all.ตัดได้สองคู่: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x^2-x-6}{x+4}\times\dfrac{x+4}{x-3}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{(x-3)(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-3)}$   $=x+2$ ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนตัดหมด คำตอบก็ไม่เป็นเศษส่วนแล้ว
  4. Simplify $\dfrac{2x+6}{x-5}\div\dfrac{x+3}{x^2-25}$.ทำ $\dfrac{2x+6}{x-5}\div\dfrac{x+3}{x^2-25}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{2(x+3)}{x-5}\times\dfrac{(x-5)(x+5)}{x+3}=2(x+5)$Flip, factorise, cancel: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x+6}{x-5}\div\dfrac{x+3}{x^2-25}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2(x+3)}{x-5}\times\dfrac{(x-5)(x+5)}{x+3}$   $=2(x+5)$กลับ แยกตัวประกอบ ตัด: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2x+6}{x-5}\div\dfrac{x+3}{x^2-25}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{2(x+3)}{x-5}\times\dfrac{(x-5)(x+5)}{x+3}$   $=2(x+5)$

5. Add and subtractบวกและลบ

Same bottom first: with no shared factor, use the product of the two bottoms.ทำตัวส่วนให้เท่ากันก่อน · ถ้าไม่มีตัวประกอบร่วม ใช้ผลคูณของตัวส่วนทั้งสอง

$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$: each fraction gets the bracket it is missing$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$: เติมวงเล็บที่ขาดให้แต่ละตัว

$\dfrac{2(x-2)+3(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ — expand the top only.$\dfrac{2(x-2)+3(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ · กระจายแค่ตัวเศษ

  1. Write $\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}$ as a single fraction.เขียน $\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}$ เป็นเศษส่วนเดียว
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4x}{12}+\dfrac{3x}{12}=\dfrac{7x}{12}$Exactly like $\frac13+\frac14$: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4x}{12}+\dfrac{3x}{12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{7x}{12}$เหมือน $\frac13+\frac14$ ทุกอย่าง: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4x}{12}+\dfrac{3x}{12}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{7x}{12}$
  2. Write $\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x-3}{5}$ as a single fraction.เขียน $\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x-3}{5}$ เป็นเศษส่วนเดียว
    Answer:เฉลย: $\dfrac{5(x+1)+2(x-3)}{10}=\dfrac{7x-1}{10}$Bracket each top, then expand: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x-3}{5}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{5(x+1)+2(x-3)}{10}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{5x+5+2x-6}{10}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{7x-1}{10}$ใส่วงเล็บตัวเศษ แล้วกระจาย: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x-3}{5}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{5(x+1)+2(x-3)}{10}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{5x+5+2x-6}{10}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{7x-1}{10}$
  3. Write $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$ as a single fraction.เขียน $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$ เป็นเศษส่วนเดียว
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3(x+1)+2x}{x(x+1)}=\dfrac{5x+3}{x(x+1)}$Missing bracket, top and bottom: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{2x}{x(x+1)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3x+3+2x}{x(x+1)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{5x+3}{x(x+1)}$ The bottom may be left as $x(x+1)$ or expanded to $x^2+x$ — both score.เติมวงเล็บที่ขาด ทั้งเศษและส่วน: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{2x}{x(x+1)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3x+3+2x}{x(x+1)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{5x+3}{x(x+1)}$ ตัวส่วนจะเขียน $x(x+1)$ หรือกระจายเป็น $x^2+x$ ก็ได้คะแนนเหมือนกัน
  4. Write $\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{3}{x+2}$ as a single fraction.เขียน $\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{3}{x+2}$ เป็นเศษส่วนเดียว
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4(x+2)-3(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x+11}{(x-1)(x+2)}$The minus hits the whole bracket: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4(x+2)-3(x-1)}{(x-1)(x+2)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4x+8-3x+3}{(x-1)(x+2)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+11}{(x-1)(x+2)}$ This sign slip is the most common lost mark on subtraction questions.ลบทั้งวงเล็บ: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4(x+2)-3(x-1)}{(x-1)(x+2)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4x+8-3x+3}{(x-1)(x+2)}$   $=\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+11}{(x-1)(x+2)}$ เครื่องหมายลบตรงนี้ คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดในข้อลบ

6. Solve an equation with fractionsแก้สมการที่มีเศษส่วน

An equation lets you clear every fraction: multiply every term by the common bottom.พอเป็นสมการ ก็กำจัดเศษส่วนทิ้งได้หมด · คูณทุกพจน์ด้วยตัวส่วนร่วม

Solve $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+2}=1$แก้สมการ $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+2}=1$

Multiply every term by $x(x+2)$ — the $1$ on the right too.คูณทุกพจน์ด้วย $x(x+2)$ · รวมถึง $1$ ทางขวาด้วย

  1. Solve $\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{x-1}{3}=1$.แก้สมการ $\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{x-1}{3}=1$
    Answer:เฉลย: $3(x+3)-4(x-1)=12$, so $x=1$$3(x+3)-4(x-1)=12$ ดังนั้น $x=1$$\times12$ clears both bottoms: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{x-1}{3}=1$   $3(x+3)-4(x-1)=12$   $3x+9-4x+4=12$   $-x+13=12$   $-x=-1$   $x=1$$\times12$ กำจัดตัวส่วนทั้งสอง: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{x-1}{3}=1$   $3(x+3)-4(x-1)=12$   $3x+9-4x+4=12$   $-x+13=12$   $-x=-1$   $x=1$
  2. Solve $\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{4}{x-1}$.แก้สมการ $\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{4}{x-1}$
    Answer:เฉลย: $6(x-1)=4(x+1)$, so $x=5$$6(x-1)=4(x+1)$ ดังนั้น $x=5$One fraction each side: cross-multiply: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{4}{x-1}$   $6(x-1)=4(x+1)$   $6x-6=4x+4$   $2x-6=4$   $2x=10$   $x=5$ Check: $\dfrac66=1$ and $\dfrac44=1$.ข้างละหนึ่งเศษส่วน: คูณไขว้: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{6}{x+1}=\dfrac{4}{x-1}$   $6(x-1)=4(x+1)$   $6x-6=4x+4$   $2x-6=4$   $2x=10$   $x=5$ เช็ก: $\dfrac66=1$ และ $\dfrac44=1$
  3. Multiply every term of $\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{1}{x}=3$ by $x(x-2)$. Which line is right?คูณทุกพจน์ของ $\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{1}{x}=3$ ด้วย $x(x-2)$ · บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $4x+(x-2)=3x(x-2)$Every term, one at a time: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4}{x-2}\times x(x-2)=4x$   $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{1}{x}\times x(x-2)=x-2$   $3\times x(x-2)=3x(x-2)$ Every term gets multiplied — including a number standing alone.ทุกพจน์ ทีละพจน์: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{4}{x-2}\times x(x-2)=4x$   $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{1}{x}\times x(x-2)=x-2$   $3\times x(x-2)=3x(x-2)$ ทุกพจน์ต้องถูกคูณ · รวมถึงตัวเลขที่อยู่เดี่ยว ๆ
  4. Solve $\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+3}=1$.แก้สมการ $\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+3}=1$
    Answer:เฉลย: $x^2-3x-10=0$, so $x=5$ or $x=-2$$x^2-3x-10=0$ ดังนั้น $x=5$ หรือ $x=-2$Clear, collect, factorise: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+3}=1$   $3(x+3)+2(x-1)=(x-1)(x+3)$   $5x+7=x^2+2x-3$   $0=x^2-3x-10$   $0=(x-5)(x+2)$   $x=5\ \text{or}\ x=-2$ Neither answer makes a bottom $0$, so both stand.กำจัดเศษส่วน รวมพจน์ แยกตัวประกอบ: $\vphantom{\Bigg|}\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{2}{x+3}=1$   $3(x+3)+2(x-1)=(x-1)(x+3)$   $5x+7=x^2+2x-3$   $0=x^2-3x-10$   $0=(x-5)(x+2)$   $x=5\ \text{or}\ x=-2$ ไม่มีคำตอบไหนทำให้ตัวส่วนเป็น $0$ · ใช้ได้ทั้งคู่

7. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks: "simplify fully", "single fraction", "solve".ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง: "simplify fully" "single fraction" "solve"

Show the factorised line — that is where the method marks areเขียนบรรทัดที่แยกตัวประกอบแล้ว · คะแนนวิธีอยู่ตรงนั้น

"Simplify fully": a correct answer that could still cancel loses the A mark."Simplify fully": คำตอบที่ยังตัดต่อได้ จะเสียคะแนน A

  1. Exam: Simplify fully $\dfrac{2x^2+7x-4}{4x^2-1}$.  (3 marks)ข้อสอบ: ทำ $\dfrac{2x^2+7x-4}{4x^2-1}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(2x-1)(x+4)}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{x+4}{2x+1}$3 marks: $\text{M1}\quad 2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$   $\text{M1}\quad 4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$   $\text{A1}\quad\vphantom{\Bigg|} \dfrac{x+4}{2x+1}$ Crossing out $2x^2$ against $4x^2$ scores nothing.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$   $\text{M1}\quad 4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$   $\text{A1}\quad\vphantom{\Bigg|} \dfrac{x+4}{2x+1}$ ขีดฆ่า $2x^2$ กับ $4x^2$ ไม่ได้คะแนนเลย
  2. Exam: Express $\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{2}{x-3}$ as a single fraction in its simplest form.  (3 marks)ข้อสอบ: เขียน $\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{2}{x-3}$ เป็นเศษส่วนเดียวในรูปอย่างง่ายที่สุด  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3(x-3)-2(x+2)}{(x+2)(x-3)}=\dfrac{x-13}{(x+2)(x-3)}$3 marks: $\text{M1}\quad\vphantom{\Bigg|} \dfrac{3(x-3)-2(x+2)}{(x+2)(x-3)}$   $\text{M1}\quad 3x-9-2x-4$   $\text{A1}\quad\vphantom{\Bigg|} \dfrac{x-13}{(x+2)(x-3)}$ The mark is usually lost on $-2\times2$: it is $-4$, not $+4$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad\vphantom{\Bigg|} \dfrac{3(x-3)-2(x+2)}{(x+2)(x-3)}$   $\text{M1}\quad 3x-9-2x-4$   $\text{A1}\quad\vphantom{\Bigg|} \dfrac{x-13}{(x+2)(x-3)}$ คะแนนมักหายตรง $-2\times2$ · ได้ $-4$ ไม่ใช่ $+4$
  3. Exam: Solve $\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x-1}=2$.  (4 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x-1}=2$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $2x^2-3x-2=0$, so $(2x+1)(x-2)=0$: $x=2$ or $x=-\tfrac12$$2x^2-3x-2=0$ ดังนั้น $(2x+1)(x-2)=0$: $x=2$ หรือ $x=-\tfrac12$4 marks: $\text{M1}\quad 4(x-1)+(x+2)=2(x+2)(x-1)$   $\text{M1}\quad 2x^2-3x-2=0$   $\text{M1}\quad (2x+1)(x-2)=0$   $\text{A1}\quad x=2,\ x=-\tfrac12$ Both values are needed for the A mark.4 คะแนน: $\text{M1}\quad 4(x-1)+(x+2)=2(x+2)(x-1)$   $\text{M1}\quad 2x^2-3x-2=0$   $\text{M1}\quad (2x+1)(x-2)=0$   $\text{A1}\quad x=2,\ x=-\tfrac12$ ต้องได้ทั้งสองค่า ถึงจะได้คะแนน A

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Simplify fully $\dfrac{x^2-2x-15}{x^2-25}$.The walk again: factorise top and bottom, cancel $(x-5)$.เหมือนตัวอย่าง: แยกตัวประกอบบนล่าง แล้วตัด $(x-5)$
  2. Simplify fully $\dfrac{6x^2-7x-3}{9x^2-1}$.Both parts have a leading number: $(3x+1)(2x-3)$ over $(3x-1)(3x+1)$.มีสัมประสิทธิ์นำทั้งคู่: $(3x+1)(2x-3)$ ส่วน $(3x-1)(3x+1)$
  3. A car travels $(x^2-9)$ km at a steady $(x+3)$ km/h. Find an expression for the time taken, in hours, as simply as possible.Time $=$ distance $\div$ speed is a fraction to simplify: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.เวลา $=$ ระยะทาง $\div$ อัตราเร็ว คือเศษส่วนที่ต้องทำให้ง่าย: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}$
  4. Write $\dfrac{3}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}$ as a single fraction in its simplest form.Factorise $x^2-4$ first: the common bottom is $(x-2)(x+2)$, not $(x^2-4)(x+2)$.แยกตัวประกอบ $x^2-4$ ก่อน · ตัวส่วนร่วมคือ $(x-2)(x+2)$ ไม่ใช่ $(x^2-4)(x+2)$
  5. $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}=\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$. Find $A$ and $B$.The rung-4 sum run backwards: $A(x-2)+B(x+1)=5x-1$. Put $x=2$, then $x=-1$.โจทย์บวกแบบย้อนกลับ: $A(x-2)+B(x+1)=5x-1$ · แทน $x=2$ แล้ว $x=-1$
  6. Solve $\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}=1$. Give your solutions correct to 3 significant figures.The quadratic $x^2-6x-1=0$ does not factorise: use the formula, $x=3\pm\sqrt{10}$.สมการ $x^2-6x-1=0$ แยกตัวประกอบไม่ได้ · ใช้สูตร: $x=3\pm\sqrt{10}$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี